Matrius

Solucionari

Unitat 1

Matrius De (1) i (4) ® x = –2, y = –1, substituint a (3) ® ® z = –1, i substituint a (2) ® t = 3.

Comencem

FG 0,06 H 0,1

IJ K

0,3 0,2 0,2 0,15

7. Resposta oberta. Per exemple: 2 3 -1 A = 0 -1 2 0 0 1 tra(A) = 2 – 1 + 1 = 2.

F GG H

Exercicis 1. a) Ordre (3,5)

F GG H

I JJ K

p c) c4 = -5 3

b) a33

2. a) a14

b) a11 = 2, a23 = –1, a34 = 3

8. La matriu quadrada nul·la d’ordre quatre. Només aquesta.

d) f1 = (2 –5 1 p –3).

9. Sí, ja que si A és una matriu diagonal ® tA = A ® A és simètrica.

No, perquè si és una matriu diagonal, els elements de la diagonal principal no són zero, i per tant no pot ser antisimètrica.

c) a25

d) a22.

F1 1 / 2 1 / 3 I F -2 0 -2 0IJ 2 1 2 / 3J 3. a) A = GG b) B = G 0 2 0 2K H 3 3/ 2 1 J GH 4 2 4 / 3JK F1 2 3I c) C = G 1 4 9J .

GH1 8 27JK F1 2 3 4 I FG -20 20IJ 4. a) A' = G 1 / 2 1 GH1 / 3 2 / 3 13 / 2 24 / 3JJK B' = GG -2 0JJ H 0 2K F 1 1 1I C' = G 2 4 8J .

GH 3 9 27JK b) A' és d’ordre (3, 4), B' és d’ordre (4, 2) i C' és d’ordre (3, 3).

5. Resposta oberta. Per exemple: 1 -1 1 -1 A = 0 1 -1 -1 0 -1 -1 1

F GG H

I JJ K

F -1 a) –A = G 0 GH 0

I JJ K

1 -1 1 -1 1 1 1 1 -1

F1 -1 A = GG GH -11 0I 1J 1J J -1K t

F -1 0 1 -1 – ( A) = (–A) = GG -1 1 GH 1 1 F 1 -1 1 -1I b) ( A) = G 0 1 -1 -1J = A. GH 0 -1 -1 1JK t

t

I JJ K

t t

6. (1) 2x = 4y (2) 3z = –t (3) x – y = z (4) 2y = 3x + 4 McGraw-Hill/Interamericana S.A.U.

I JJ JK

0 0 1 -1 -1 -1 -1 1

10. Perquè sigui una matriu antisimètrica, els elements de la diagonal principal han de verificar que aii = –aii, d’on s’obté que aii = 0.

11. a) És una matriu simètrica.

F -6 -2 b) GG GH --41

I JJ JK

-2 -1 -4 -4 1 2 1 0 -1 2 -1 -3

c) Són oposades. d) En una matriu simètrica, la transposada de l’oposada coincideix amb la matriu oposada.

F GG H

I JJ K

12. a) Suma: 0 0 1 – associativa: A+ (B + C) = (A+ B) + C = 2 2 6 3 2 6 – existència d’element neutre: -1 2 1 A+ O = O + A= 1 0 1 = A, sent O la matriu 2 1 1 quadrada nul·la d’ordre tres.

F GG H

I JJ K

– existència d’element simètric:

F 1 -2 -1I A + (–A) = (–A) + A = O, sent –A = G -1 0 -1J GH -2 -1 0JK F 0 3 0I – commutativa: A + B = B + A = G -1 1 4J GH 2 3 2JK Producte: F18 9 37I – associativa: (AB)C = A(BC) = G 10 -1 11J GH10 2 10JK F 2 7 16I – distributiva: A(B + C) = AB + AC = G 2 -1 6J GH 3 -2 5JK

Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials. Batxillerat

F9 GG 7 H11 0I 8J J 4K

– distributiva: (A+ B)C = AC + BC =

F GG H

0 6 b) 2(A + B) = 2A + 2B = -2 2 4 6

(2 + 3)A = 5A = 2A + 3A =

F -5 GG 5 H 10

t

t

t

I JJ K

t

2

n

t

2

2

2

2

n–1

t

3

n

n

n

n

2

3

3

3

3

4

3

4 4

a4 a4

IJ K

2

Acabem 1. a) Qualsevol matriu A que sigui simètrica verifica la igualtat, ja que: Si A és simètrica ® tA = A ® A + tA = A + A = 2A. b) Qualsevol matriu B que sigui antisimètrica verifica la igualtat: Si B és antisimètrica ® tB = –B ® B + tB = B – B = O.

t

2

I JJ K

7 10 -8 -1 -5 -4

14. (1) 2x = –x + 3 (2) 2y = 2 + y – x (3) 2z = 1 + z + w (4) 2w = 3w + 4 De (1) ® x = 1; substituint a (2) ® y = 1; de (4) ® w = = – 4, substituint a (3) ® z = –3.

15. Respostes obertes. Per exemple:

F GG H

FG 10 14IJ A( A) = FG 42 22 102IJ H14 30K GH10 2 34JK F -33 11IJ ( B)( A) = FG -33 -47IJ 17. AB = G H -47 3K H 11 3K F a a IJ A = 2 FG a a IJ A = 2 FG a 18. a) A = 2 G Ha a K Ha a K Ha FG a a IJ b) A = 2 Ha a K F 9 -8 4I 19. A = 2A – I = G 4 -3 2J GH -8 8 -3JK

t

t

2

I JJ K

t

t

t

F GG H

1 -1 1 b) IA = AI = -1 1 1 1 1 -1

16. (tA)A =

10 5 0 5 5 0

F -6 12 6I 2(3A) = (2·3)A = 6A = G 6 0 6J GH 12 6 0JK F -1 2 1I 1A = G 1 0 1J = A GH 2 1 1JK F 0 -1 2I c) (A + B) = A + B = G 3 1 3J GH 0 4 2JK F -2 2 4I (2A) = 2( A) = G 4 0 2J GH 2 2 0JK F -5 1 0I (AB) = ( B)( A) = G 3 3 3J GH 9 1 1JK F 5 1 -1I (A ) = ( A) = G -1 3 4J GH 1 1 3JK F -5 -11 9I F -5 0 10I F -9 13. a) G 20 GH 8 -81 101JJK b) GGH 41 24 53JJK c) GGH 23 F -13 3 11I F -4 11 4I d) G 0 -8 -4J e) G 4 3 4J GH 0 -10 -8JK GH 11 1 3JK F -10 -6 -26I f) G 132 10 186J .

GH 112 -8 136JK t

I JJ K

3 6 0 17 -5 16

I JJ K

1 -1 1 a) A = -1 1 1 1 1 -1

F2 AB = BA = G -1 GH 3

F GG H

I JJ K

2 0 0 B= 0 1 0 0 0 3

I JJ K

-2 2 1 1 3 -3

F GG H

I JJ K

F GG H

7 -1 -4 2. a) -2 0 -1 0 6 -5

FG 2 3IJ H 0 2K F 2 7IJ b) Sí, ja que AB = BA = G H 0 2K F -3 -8IJ c) (A + B)(A – B) = A – B = G H 0 -3K

3. a) A =

FG 1 2IJ H 0 1K

I JJ K

20 -8 2 b) 18 8 22 4 6 16

B=

2

2

Si commuten, vol dir que AB = BA, d’on tenim que: = (A + B)(A – B) = AA + BA – AB – BB = A2 + BA – – BA– B2 = A2 – B2.

5 9 4. .

4 17

FG H

IJ K

5. Sí, ja que AB = BA =

FG ac - bd H -bc - ad

IJ K

ad + bc .

-bd + ac

6. Si no commuten, tenim que AB ¹ BA, d’on: (A + B)2 = (A+ B)(A+ B) = AA+ BA+ AB + BB = A2 + BA+ AB + + B2 ¹ A2 + 2AB + B2.

7. a) Sí, ja que el producte de dues matrius no nul·les pot donar la matriu nul·la. b) No, AB = AC ® AB – AC = 0 ® A(B – C) = 0 i pot ser que A ¹ 0 i B – C ¹ 0 d’on B ¹ C.

Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials. Batxillerat

McGraw-Hill/Interamericana S.A.U.

8. La primera fila de la matriu M(tP) és a11 p1 + a12 p2 i representa el preu total que haurà de pagar el client 1 per la compra d’articles del tipus 1 i 2.

9. AB = BA = (1).

F1 10. X = AB – A = A(B – A) = G 0 GH 0 2

I JJ K

0 1 2 1 .

1 1

McGraw-Hill/Interamericana S.A.U.

12. B =

FG 1 1IJ H x xK

® B2 =

FG1 + x Hx + x

2

IJ K

1+ x . x + x2

Si B2 = B ® 1 + x = 1 i x + x2 = x, d’on s’obté que x = 0.

13. Si n és parell An = I, si n és senar An = A. 14. Com que A2 = I ® A5 = A·A4 = A(A2)2 = A·I2 = A·I = A.

Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials. Batxillerat