Математика 7. клас by Шивачева

Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка

МАТЕМАТИКА

7. КЛАС

Означения, използвани в учебника:

! O Т

Знания, които трябва да се запомнят

П А

Правило

Определение Теорема

Аксиома Обърнете внимание! – пояснения към решението на задачите Интересни допълнения към учебния материал

1, 2, ... Задачи с повишена трудност

Рецензенти: проф. д.п.н. Сава Гроздев доц. д-р Драго Михалев Владимир Николов Консултант по графичния дизайн: проф. Илия Иванов Илиев

   

Издателство “АРХИМЕД 2” EOОД, 2018 г. Здравка Крумова Паскалева , Мая Събчева Алашка, д-р Райна Милкова Алашка – автори, 2018 г. Емил Генков Христов – художник на корицата, 2018 г. Ангелина Владиславова Аврамова – графичен дизайн, 2018 г.

ISBN:

СЪДЪРЖАНИЕ ВХОДНО НИВО 1. Тест с решения........................................................6 2. Входно ниво. Тест № 1 и Тест № 2.....................11 ТЕМА 1. ЦЕЛИ ИЗРАЗИ 3. Рационален израз. Променливи и постоянни величини.................................................................14 4. Числена стойност на израз..................................16 5. Едночлен. Нормален вид на едночлен..............18 6. Събиране и изваждане на едночлени. Подобни едночлени..............................................20 7. Събиране и изваждане на едночлени. Подобни едночлени. Упражнение......................22 8. Умножение, степенуване и деление на едночлени.........................................................24 9. Многочлен. Нормален вид на многочлен.........26 10. Събиране и изваждане на многочлени.............28 11. Умножение на многочлен с едночлен...............30 12. Умножение на многочлен с многочлен.............32 13. Умножение на многочлен с многочлен. Упражнение............................................................34 14. Тъждествени изрази..............................................36 15. Тъждествата (a ± b)² = a² ± 2ab + b²......................38 16. Тъждествата (a ± b)² = a² ± 2ab + b². Упражнение............................................................40 17. Тъждествата (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab²± b³.........42 18. Тъждеството (a + b)(a – b) = a² – b²........................44 19. Формули за съкратено умножение. Упражнение............................................................46 20. Тъждествата (a ± b)(a² ab + b²) = a³ ± b³..............48 21. Формули за съкратено умножение. Приложение...........................................................50 22. Разлагане многочлени на множители чрез изнасяне на общ множител.......................52 23. Разлагане чрез формулите за съкратено умножение.............................................................54 24. Разлагане чрез формулите за съкратено умножение. Упражнение.....................................56 25. Разлагане чрез групиране...................................58 26. Разлагане чрез комбинирано използване на различни методи..............................................60 27. Разлагане чрез комбинирано използване на различни методи. Упражнение......................62 28. Тъждествено преобразуване на изрази. Приложения...........................................................64 29. Обобщение на темата „Цели изрази“................66

30. Тестове върху темата „Цели изрази“..................69 ТЕМА 2. УРАВНЕНИЯ 31. Уравнение с едно неизвестно. Преговор с допълнение.............................................................72 32. Еквивалентни уравнения..................................... 74 33. Линейни уравнения..............................................76 34. Линейни уравнения. Упражнение......................78 35. Уравнението (ax + b)(cx + d) = 0............................80 36. Уравнението |ax + b| = c.......................................82 37. Уравнения, свеждащи се до линейни................84 38. Моделиране с линейни уравнения....................86 39. Моделиране с линейни уравнения. Упражнение............................................................88 40. Задачи от движение..............................................90 41. Задачи от движение. Упражнение......................92 42. Задачи от работа...................................................94 43. Задачи от работа. Упражнение...........................96 44. Задачи от капитал..................................................98 45. Задачи от смеси и сплави................................. 100 46. Обобщение на темата „Уравнения“............... 102 47. Тестове върху темата „Уравнения“................. 105 ТЕМА 3. ОСНОВНИ ГЕОМЕТРИЧНИ ФИГУРИ 48. Въведение в геометрията................................ 108 49. Основни геометрични фигури и построения....................................................... 110 50. Съседни ъгли, противоположни ъгли. Перпендикулярни прави................................... 112 51. Съседни ъгли, противоположни ъгли. Перпендикулярни прави. Упражнение........... 114 52. Построения с линия и пергел........................... 116 53. Ъгли, получени при пресичането на две прави с трета.......................................... 118 54. Признаци за успоредност на две прави......... 120 55. Аксиома за успоредните прави....................... 122 56. Свойства на успоредните прави...................... 124 57. Триъгълник........................................................... 126 58. Сбор на ъглите в триъгълник............................. 128 59. Външен ъгъл на триъгълник.............................. 130 60. Триъгълник. Упражнение................................... 132 61. Обобщение на темата „Основни геометрични фигури“...................... 134 62. Тестове върху темата „Основни геометрични фигури“................................................................. 137

ТЕМА 4. ЕДНАКВИ ТРИЪГЪЛНИЦИ 63. Еднакви триъгълници. Въведение................... 140 64. Първи признак за еднаквост на триъгълници................................................... 142 65. Първи признак за еднаквост на триъгълници. Упражнение......................................................... 144 66. Втори признак за еднаквост на триъгълници................................................... 146 67. Първи и втори признак за еднаквост на триъгълници. Упражнение........................... 148 68. Равнобедрен триъгълник. Равностранен триъгълник........................................................... 150 69. Равнобедрен триъгълник. Равностранен триъгълник. Упражнение................................... 152 70. Симетрала на отсечка. Построяване на симетрала на дадена отсечка.......................... 154 71. Симетрала на отсечка. Упражнение............... 156 72. Трети признак за еднаквост на триъгълници................................................... 158 73. Перпендикуляр от точка до права................... 160 74. Правоъгълен триъгълник с ъгъл 30°................ 162 75. Правоъгълен триъгълник с ъгъл 30°. Упражнение......................................................... 164 76. Медиана към хипотенузата в правоъгълен триъгълник........................................................... 166 77. Медиана към хипотенузата в правоъгълен триъгълник. Упражнение................................... 168 78. Признак за еднаквост на два правоъгълни триъгълника......................................................... 170 79. Ъглополовяща на ъгъл. Построяване на ъглополовяща на даден ъгъл....................... 172 80. Ъглополовяща на ъгъл. Упражнение................174 81. Височина, ъглополовяща и медиана в равнобедрен триъгълник................................176 82. Обобщение на темата „Еднакви триъгълници“..................................... 178 83. Тестове върху темата „Еднакви триъгълници“..................................... 181 ТЕМА 5. НЕРАВЕНСТВА 84. Числови неравенства. Въведение.................. 184 85. Числови неравенства. Свойства..................... 186 86. Линейно неравенство с едно неизвестно..... 188 87. Еквивалентни неравенства.............................. 190 88. Линейно неравенство. Упражнение............... 192 89. Представяне решенията на линейно неравенство с числови интервали и графично върху числова ос.............................. 194 90. Неравенства, свеждащи се до линейни......... 196 91. Неравенства. Упражнение............................... 198 92. Приложение на линейните неравенства........ 200

93. Уравнения и неравенства. Упражнение........ 202 94. Неравенства между страни и ъгли в триъгълника...................................................... 204 95. Неравенства между страни и ъгли в триъгълника. Упражнение.............................. 206 96. Неравенство на триъгълника........................... 208 97. Неравенство на триъгълника. Упражнение......................................................... 210 98. Обобщение на темата „Неравенства“........... 212 99. Тест върху темата „Неравенства“.................... 215 ТЕМА 6. УСПОРЕДНИК 100. Успоредник. Свойства..................................... 218 101. Успоредник. Свойства. Упражнение............. 220 102. Признаци за успоредник................................ 222 103. Успоредник. Упражнение................................ 224 104. Правоъгълник................................................... 226 105. Ромб................................................................... 228 106. Квадрат.............................................................. 230 107. Видове успоредници. Упражнение............... 232 108. Обобщение на темата „Успоредник“............ 234 109. Тестове върху темата „Успоредник“.............. 237 ТЕМА 7. ЕЛЕМЕНТИ ОТ ВЕРОЯТНОСТИ И СТАТИСТИКА 110. Организиране и представяне на данни. Построяване и интерпретиране на кръгови диаграми........................................................... 240 111. Задачи от вероятност на събития.................. 242 112. Практически задачи върху темата „Елементи от вероятности и статистика“......................... 244 113. Тестове върху темата „Елементи от вероятности и статистика“..........................247 ТЕМА 8. ПОСТРОЕНИЯ С ЛИНИЯ И ПЕРГЕЛ 114. Построяване на триъгълник по две страни и ъгъл между тях............................................... 250 115. Построяване на триъгълник по страна и два прилежащи ъгъла................................... 252 116. Построяване на триъгълник по три страни.................................................... 254 117. Построяване на успоредник.......................... 256 ИЗХОДНО НИВО 118. Подготовка за изходно ниво № 1.................. 260 119. Подготовка за изходно ниво № 2.................. 262 120. Тест с решения................................................. 264 121. Изходно ниво. Тест № 1 и Тест № 2.............. 268 ОТГОВОРИ.................................................................... 270

входно ниво (Урок № 1 – Урок № 2)

ПРИМЕРЕН ТЕСТ ЗА ВХОДНО НИВО С РЕШЕНИЯ

ДВА ПРИМЕРНИ ТЕСТА ЗА ВХОДНО НИВО

УКАЗАНИЯ ЗА ОЦЕНКА НА ВСИЧКИ ТЕСТОВЕ, ДАДЕНИ В УЧЕБНИКА

Към съдържанието

ВХОДНО НИВО

ЗАДАЧА 1 Не е вярно, че: А) 2 . 2 = 32; Б) 3 : 3 = 9; Решение: А) 23 . 22 = 23 + 2 = 25 = 32 – вярно 2

В) (23 )5 :164 = 1 ; 2

( ) ( ) = 32 . 3

Г) 2 ⋅ 3 3 2

Б) 35 : 33 = 35 – 3 = 32 = 9 – вярно 3. 5 23 )5 :164 2= : (24 ) 4 215 : 216 = 1 – вярно В) (= 2 3 2 3 2 Г) 2 ⋅ 3 = 23 ⋅ 32 = 2 – не е вярно. 3 2 3 3 2

()()

Отг. Г)

) (3 2)

ЗАДАЧА 2 Стойността на израза A = 5, 2 − 1 − 4, 8 − 2 1 − 1 е: А) −1,6; Решение:

Б) 0,4;

) (

(

В) 8;

Г) 10.

)

A = 5, 2 − 1 − 4, 8 − 2 1 − 1 = 5, 2 − 1 + 4, 8 − 2 + 1 = 10 3 3 3 2 3

Отг. Г)

ЗАДАЧА 3 При x = −2 . 5 + 8 стойността на израза A = | x − 3| − |6 − x| е: А) −13; Б) −3; В) −2; Г) 3. Решение: x = −2 . 5 + 8 = −10 + 8 = −2 A = | x − 3| − |6 − x| = | −2 − 3| − |6 − (−2)| = |−5| − |8| = 5 − 8 = −3

Отг. Б)

ЗАДАЧА 4 Периметърът на VABC е 70 cm. За страните му а, b и с e изпълнено

a : b = 2 : 3 и b : c = 4 : 5. Разликата между най-голямата и най-малката страна в сантиметри е: А) 8; Б) 6; В) 14; Г) 16. Решение: От

C b A

a c

a= : b 2= : 3 8 :12  a : b : c = 8 :12 :15 ⇒ = aa 88= = xx,, bb 12 12 = = xx,,cc 15 15xx . b= : c 4= : 5 12 :15 = P=a+b+c

8 x + 12 x + 15 x = 70 35 x = 70 x=2

⇒ a = 16 cm; b = 24 cm; c = 30 cm c – a = 30 – 16 = 14 cm

Отг. В) Към съдържанието

ЗАДАЧА 5 При х = – 2 числената стойност на израза А = – x3 – 3x2 – 5 e: А) – 1; Решение:

Б) 15;

В) – 9;

Г) –25.

А = – (–2)3 – 3 . (–2)2 – 5 = = – (– 8) – 3 . 4 – 5 = = 8 – 12 – 5 = = 8 – 17 = – 9

Отг. В)

ЗАДАЧА 6 В кутия има 100 кламера от 3 цвята – жълти, червени и сини.

Сините кламери са два пъти повече от жълтите и с 20 по-малко от червените. Изважда се по случаен начин един кламер. Вероятността той да е червен е: А) 4 ; Б) 8 ; В) 13 ; Г) 16 . 25 25 25 25 Решение: 1. Жълтите кламери са x, x∈ N; сините кламери са 2х; червените кламери са 2х + 20.

x + 2 x + 2 x + 20 = 100 5 x = 80 x = 16 Червените кламери са 2 . 16 + 20 = 52.

2. Всички възможности са 100. Благоприятните възможности са 52. p Вероятността да извадим червен кламер е=

52 = 13 . 100 25

Отг. В)

ЗАДАЧА 7 Ако x = 3 и y = 2 , то y − x e: 4 2 А) −2; Решение:

3 Б) 2;

В) 4;

Г) 6.

y − x = 4 − 6 = −2

Отг. А)

ЗАДАЧА 8 В правоъгълна координатна система Oxy постройте точките А(–5; –2),

B(5; –2), C(8; 2) и D(– 2; 2). Намерете: а) лицето на четириъгълника ABCD в квадратни мерни единици; б) обиколката на четириъгълника ABCD и разстоянието от точка D до правата ВС в мерни единици.

Към съдържанието

Решение: y D

а) ABCD е успоредник. AB = a = 10 м. ед. DD1 = ha = 4 м. ед. SABCD = a.ha SABCD = 10.4 = 40 кв. м. ед. б) 1. VADD1 е правоъгълен (SD1 = 90°). Прилагаме питагоровата теорема. AD2 = AD12 + DD12 AD2 = 32 + 42 AD2 = 25 AD = 5 м. ед., AD = BC = b = 5 м. ед. 2. PABCD = 2(a + b) PABCD = 2(10 + 5) PABCD = 30 м. ед. 3. DD2 ^ BC, DD2 = hb e разстоянието от D до правата ВС. От а . ha = b . hb намираме hb 10 . 4 = 5 . hb hb = 8 м. ед. Разстоянието от D до правата ВС е 8 м. ед. Отг. а) 40, б) 8

ЗАДАЧА 9 В лявата колона е написана буквата на израза. Срещу нея, в дясната

колона, запишете номера на уравнението с корен равен на стойността на израза. (А)

27.93 43.27 2

(Б)

57 − 58 58 − 3.57 3

(1) 5x +3 = 3x – 7

12 .15 .6 186.104

(В)

(2) 2(x + 7) = 8 – x (3) 5(x – 1) = 2(x + 5) 4

(4) 4 – 3x = 2(1 – x)

Решение: 7 3 7 6 27.(32 )3 .9 2= .3 2 (А) 23= = 2 2 3 3 2 6 6 4 .27 (2 ) .(3 ) 2 .3 7 8 7 7 57.(1 − 5) −4 5 − 5 5 − 5.5 (Б) 8 = = = = −2 5 − 3.57 5.57 − 3.57 57.(5 − 3) 2 3

12 .15 .6 (В)= 186.104

(4.3)3 (3.5)5 (2.3) 4 43.33.35.55.24.34 26.24.312.55 = = = 5 (2.9)6 .(2.5) 4 26.96.24.54 26.24.312.54 Към съдържанието

ЗАДАЧА 10

(1) 5 x + 3 = 3 x − 7 5 x − 3 x =−7 − 3 2 x = −10 x = −5

(2) 2( x + 7) =8 − x 2 x + 14 =8 − x 2 x + x = 8 − 14 3 x = −6 x = −2

(3) 5( x − 1)= 2 ( x + 5 ) 5 x − 5 = 2 x + 10 5 x − 2 x =10 + 5 3 x = 15 x=5

(4)

4 − 3 x = 2.(1 − x) 4 − 3 x =2 − 2 x

−3

Отг.

−3 x + 2 x =2 − 4 − x =−2 | .(−1)

(А) (4)

x=2

(В) (3)

(Б)

(2)

−4

3  3   Опростете израза A =  2 x 3  :  −2 x2  и намерете числената му стойност, ако х е  9 y   3y  5 корен на уравнението x − 7 − 2 x − 5 + 5 x − 7 = 1 − 4 x + 3 , а y е корен на уравнението 9 3 4 6 12 3y +1 y 2 y +1 = − . 2 3 6

)

(

Решение: −3 −4 4  9 y 3   3 y 2  93. y 9  −2 x3  36. y 9 24.x12  2 x3   −2 x3  1. A  3  = = = = : 2  : . . 4 8 2.32 x3 y  3= 3  3 9  2  3 9 − 9 3 2 2 2 . 3 2 . 3 .y y y x x x y x           A = 18x3y 3

)

(

2. 5 x − 7 − 2 ⋅ x − 5 + 5 x − 7 =1 − 4 x + 3 9 3 4 6 12 5x − 7 − x − 5 − 5x − 7 = 1− 4x + 3 9 6 9 12 1 − 4 x + 3 | .12 − x −5 = 6 12 −2( x − 5) = 12 − 1( 4 x + 3)

3y +1 y 2 y +1 = − | .6 2 3 6 3 ( 3 y + 1) = 2 y − 1(2 y + 1)

−2 x + 10 = 12 − 4 x − 3 2 x = −1 x= −1 2

9 y + 3 = 2 y − 2 y −1 9 y = −4 y= −4 9

( ) ( ) ( )( ) 3

−4 18. −1 . = −4 18. 1 1 4. = A 18= x3 y 18 −1 . = = 2 9 8 9 18 A=1 Към съдържанието

УКАЗАНИЯ ЗА РЕШАВАНЕ НА ТЕСТОВЕТЕ, ДАДЕНИ В ТОЗИ УЧЕБНИК В учебника са дадени 18 теста. Във всеки от тях има 10 задачи: • 7 с избираем отговор, • 2 със свободен отговор и • 1, за която се изисква писмено аргументирано решение. След всяка задача с избираем отговор са посочени 4 отговора, от които само един е верен. В бланката за отговори се записва: • за задачите с избираем отговор – буквата, отговаряща на верния отговор; • за задачите със свободен отговор – отговора на задачата, без да се посочва ходът на решението. За даден грешен отговор не се отнемат точки. Ако решите да промените отговора на дадена задача, зачеркнете с „ “ първия си отговор и запишете до него новия отговор. Задачите в теста са с различна трудност. В бланката за отговори е посочен броят на точките, които получавате при верен отговор за всяка от първите 9 задачи. Задача 10 се оценява с най-много 10 точки. Максималният брой точки е 40.

Бланка за отговори Задача Отговор Точки № 1 2 2 2 3 2 4 3 5 3 6 3 7 3 Задача 8 а) 3 б) 3 Задача 9 а) 2 б) 2 в) 2 Задача 10 до 10

Препоръчително време – 1 учебен час. Задачите се решават на допълнителни листове. Върху теста не се пише и огражда. Не се използва калкулатор.

Вариант за оценка: Точки Представяне от 0 до 6 слабо от 7 до 14 средно от 15 до 22 добро от 23 до 30 много добро от 31 до 40 отлично

Към съдържанието

ВХОДНО НИВО ТЕСТ № 1 1. Стойността на израза

  −6 :  −  − (−2) − 16 : 4 е:   А) –30; Б) 18; В) –18; Г) 10.

6. Ако страната на всяко квадратче от мрежата е 1 cm, обиколката на оцветената фигура в сантиметри е:

А) 4π;

Б) 8π;

В) 12π;

Г) 6π. 2. За х = (–3)3 + (–5)2 стойността на израза 3 3 − x − 2 x − 2 − (−3) 2 е: 7. Ако а = 3–1 и b = 2–1, стойността на А) 6; израза Б) –14; −3 4 8 2 В) –2; = A  b 5  :  −67a  − 5 : 2 е:  6a   b  Г) 0. А) –4,5; Б) –2; В) 2; Г) 4,5. 3. За страните a, b и с на АВС e дадено, че a : b : c = 2 : 5 : 4. Ако периме- 8. В кутия има сини, зелени и червени топки в отношение 3 : 4 : 5. Изважда търът е 44 cm, най-голямата страна се по случаен начин една топка. Какна триъгълника (cm) е: ва е вероятността тя да е: А) 8; а) синя; б) зелена? Б) 16; В) 20; 9. В лявата колона на бланката за отго Г) 24. вори е написана буквата на уравнението. Срещу нея, в дясната колона, 4. Правоъгълен триъгълник с катети запишете номера на израза, числена5 cm и 12 cm и хипотенуза 13 cm е та стойност на който е корен на уравзавъртян около по-големия си катет. нението: Повърхнината на полученото тяло 2 (в cm ) e: (1) 15 – 22 A) 120π; (А) 6 – 2(x – 3) = x (2) 23 – (–3)2 Б) 130π; В) 156π; (Б) x – 2(x + 1) = 5 (3) (–5)2 – 21 Г) 90π. (4) 32 – 23 5. Намислих едно число. Разделих го с (В) 4x – 5 = 3(x – 2) (5) 32 – 42 модула на − 2 и получих реципроч3 1 10. В два склада имало зърно. Зърноното число на − . Намисленото 12 то във втория склад било 2 пъти почисло е: малко от това в първия. Ако от пър А) –18; вия склад се пренесат 80 t във втория, Б) –8; то зърното в двата склада ще стане В) 8; поравно. Колко тона зърно е имало Г) 18. първоначално в първия склад? Към съдържанието

ВХОДНО НИВО ТЕСТ № 2 1. Стойността на израза

( )

−5 : − 1 − (−3)3 − 18 : 2 е: 3 А) –51; Б) –21; В) 3; Г) 33.

2. За х = 23 – 32 стойността на израза

5 x − 2 − 3 − x − (−4) 2 е: А) –34; Б) –4; В) –1; Г) 17.

3. Бронзът е сплав, която съдържа мед и калай съответно в отношение 9 : 1. В 840 g бронз калаят е: А) 60 g; Б) 42 g; В) 84 g; Г) 64 g. 4. Правоъгълен триъгълник с катети 3 cm и 6 cm е завъртян около по-големия си катет. Обемът на полученото тяло в кубически сантиметри е: А) 6π; Б) 12π; В) 18π; Г) 36π.

6. Ако страната на всяко квадратче от мрежата е 1 cm, обиколката на фигурата в сантиметри е: А) 12 + 2π; Б) 24 + 2π; В) 12 + 4π; Г) 20 + 4π. 7. Ако а = (–2)–1 и b = (–2)8, стойността −4 3  2  2 на израза A =  3b 3  :  4a3  е:  2a   9b 

А) –18; Б) –9;

В) 9;

Г) 18.

8. В кутия има сини, зелени и червени бонбони в отношение 4 : 5 : 6. Изважда се по случаен начин един бонбон. Каква е вероятността той да е: а) зелен; б) червен? 9. В лявата колона на бланката за отговори е написана буквата на уравнението. Срещу нея, в дясната колона, запишете номера на израза, числената стойност на който е корен на уравнението: (1) 22 + 32 – 52

2x + 3 x − 2 (А) = 3 2

(2) 72 – 62 – 12

(Б) x – 3(x + 2) = 4

(3) (–3)2 – 22

(В) 5(x + 2) –3(х + 1) = 3x

(4) (–2)2 – 32 (5) 42 – (–3)2

5. Намислих едно число. Умножих го с модула на –3 и получих противо- 10. В два склада имало брашно. Брашното във втория склад било 3 пъти поположното число на 9. Намисленото малко от това в първия. Ако от пърчисло е: вия склад се пренесат във втория 60 t, А) –27; то количеството брашно във втория Б) –3; склад ще е с 10 t по-малко от това в В) 3; първия. По колко тона брашно е имало първоначално в двата склада? Г) 27.

Към съдържанието

ТЕМА 1 ЦЕЛИ ИЗРАЗИ

(Урок № 3 – Урок № 30)

В ТАЗИ ТЕМА СЕ ИЗУЧАВАТ:

• действия с едночлени и многочлени; • формулите за съкратено умножение

(a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 (a ± b)3 = a 3 ± 3a 2b + 3ab 2 ± b3 a 3 ± b3 = (a ± b)(a 2 ∓ ab + b 2 ) •методи за разлагане на многочлени на множители.

УЧЕНИЦИТЕ СЕ НАУЧАВАТ:

• да извършват действия с едночлени и многочлени; • да прилагат формулите за съкратено умножение; • д а опростяват изрази и да пресмятат числена стойност на израз; • да разлагат многочлени на множители; • да извършват тъждествени преобразувания. Към съдържанието

РАЦИОНАЛЕН ИЗРАЗ. ПРОМЕНЛИВИ И ПОСТОЯННИ ВЕЛИЧИНИ Аритметиката е наука за числата (целите и дробните положителни числа) и действията събиране, изваждане, умножение и деление. В аритметиката се използват буквени означения, но те винаги представят положителни числа. Думата “аритметика” в превод от гръцки език означава “наука за числата”. С изучаването на отрицателните числа и величините, които могат да се измерват с числа (път, скорост, време, лица, обеми, ...), и с по-честото използване на бук вени означения се навлиза в дял от математиката, който се нарича алгебра.

Променливи и постоянни величини ЗАДАЧА 1 Фирма за товарни превози пресмята стойността z (лв.) на услугата по формулата

z = a + k . x, където a = 2 лв. е началната цена, x (km) е изминатият път, k (лв.) е цената на 1 km превоз. При градски превоз k = 0,80 лв., а при извънградски превоз k = 0,60 лв. Намерете цената на услугата: а) при градски превоз – на 5 km; на 10 km; б) при извънградски превоз – на 30 km; на 50 km. Решение: В задачата началната цена е а = 2 лв. Тогава формулата z = a + k . x приема вида z = 2 + k . x. а) k = 0,80 лв. z = 2 + 0,80 . x за x = 5 km z = 2 + 0,80 . 5 = 6 лв. за x = 10 km z = 2 + 0,80 . 10 = 10 лв. б) k = 0,60 лв. z = 2 + 0,60 . x за x = 30 km z = 2 + 0,60 . 30 = 20 лв. за x = 50 km z = 2 + 0,60 . 50 = 32 лв. В решената Задача 1 а) в z = 2 + 0,80 . x: • буквата x може да приема различни стойности (изминат път, който се поръчва от клиента и не зависи от формулата за z). Буквата x означава независима променлива; • буквата z също приема различни стойности, но те зависят от стойността на x (цената зависи от разстоянието на превоза). Буквата z означава зависима променлива.

Променлива величина Величина, означена с буква, която може да приема различни числени стойности, се нарича променлива величина или неизвестно. В случай а) z = 2 + 0,80 . x и в случай б) z = 2 + 0,60 . x величината а = 2 остава една и съща. Величината, означена с буквата а, се нарича константа.

О 14

Постоянна величина (константа) Величина, означена с буква, която при решаване на една задача не изменя стойността си, се нарича постоянна или константа. Към съдържанието

Константи са и всички числа, записани с цифри. Има константи, които се използват толкова често, че за тях се приемат постоянни означения. Такава е константата π. Тя се използва например във формулите за лице на кръг (π . r2) и за дължина на окръжност (2 . π . r). В 3адача 1 величината, означена с буквата k, при градски превоз приема една постоянна стойност (0,80 лв.), а при извънградски превоз – друга постоянна стойност (0,60 лв.). Такава величина се нарича параметър.

Постоянна величина (параметър) Величина, означена с буква, която в една задача при даденo условие приема постоянна стойност, а при друго условие – друга постоянна стойност, се нарича параметър. В този учебник е прието: • с първите букви на латинската азбука – a, b, c, d, ... , k, m, n, p, q, да се означават постоянни величини (константи и параметри); • с последните букви на латинската азбука – x, y, z, t, ... , да се означават променливи величини (променливи) или неизвестни.

Рационален израз Изрази от вида a + k .x, 4.x. y + 1,

3.a.x + b. y.z се наричат рационални изрази. 2 xy

Изрази, в които числата са записани с букви или с цифри, свързани със знаците на действията събиране, изваждане, умножение и деление, се наричат рационални изрази.

Отделните числа, записани с букви или цифри, са рационални изрази. Примери: 2; а; х; ... Ако u = 3. a . x и v = 4.b + 1 са рационални изрази, то u +

v = 3.a .x + 4. b + 1 също е рационален израз, също е рационален израз и т.н. В учебника ще разглеждаме рационални изрази на променливите x, y, z, в които участват и постоянни величини (константи и параметри). Например 2 + k.x е рационален израз на променливата х, където 2 е константа, k е параметър.

ЗАДАЧА 2 По шестобална система оценката K на тест се изчислява с формулата K = 2 + p .x, където x е броят на получените точки. Намерете p, ако максималният брой точки на теста е 100. Каква е оценката, която се получава при набрани 60 точки? Решение: За да се получи оценка отличен (6), (6 = 2 + p.x) намираме p от p.x = 4, където x е максималният брой точки за теста (x = 100). p . 100 = 4, p = (= 0,04) Тогава K = 2 + 0,04 . x. За x = 60

K = 2 + 0,04 . 60 = 2 + 2,40 = 4,40, K = Добър (4,40).

В Задача 2 x (= 60) e независима променлива, K (= 4,40) е зависима промен лива, 2 е константа, p (= 0,04) е параметър.

Към съдържанието

ЧИСЛЕНА СТОЙНОСТ НА ИЗРАЗ Цял израз Изразите 1 x2 + x – 1;

; 3

; 4 1 +

; 5

са рационални изрази, в които a е параметър, а x е променлива. Забелязваме, че в изразите 1 , 2 и 5 няма деление с променлива – те се наричат цели изрази.

Цял рационален израз Рационален израз, в който няма деление с променлива, се нарича цял рационален израз или само израз.

ЗАДАЧА 1 (Устно) Кои от дадените изрази са цели и кои – дробни (x и y са променливи, a и b – параметри)? а)

;

б)

(b ≠ 0); в) 3 +

(y ≠ 0); г)

(x ≠ -1).

Отг. Изразите а) и б) са цели, в) и г) – дробни.

Числена стойност на цял израз

Aко в един рационален израз заместим променливите с дадени рационални числа, то получаваме числена стойност на този израз. Пример: А = 2 . х2 . у - 1. За х = -1, у = 2 числената стойност на израза А е А = 2 . (-1)2 . 2 - 1 = 4 - 1 = 3. Ако в рационалния израз има променливи и параметри, в числената стойност на израза могат да участват и параметри. Пример: А = 2 . х2 . у - а. За х = -1, у = 2 А = 4 - а. По изключение не само x, y и z, но и параметрите a, b, c, m, ... могат да се разглеждат като променливи и да се търси числената стойност на израз от вида А = 2 . х - а . b. Пример: A = 2 . x - a . b. За x = 3, a = 1, b = -2 A = 2 . 3 - 1 . (-2) = 8.

Допустими стойности (ДС) на рационален израз Стойностите, които могат да приемат означените с букви величини в един израз, се наричат допустими стойности (ДС) за този израз. Допустими стойности на променливите в един цял рационален израз са всички рационални числа. Ако един цял рационален израз има параметър в знаменател, допустими стойности на параметъра са тези, при които знаменателят е различен от нула.

ЗАДАЧА 2 Баща е с 30 години по-възрастен от сина си.

а) Съставете израз A за годините на бащата, ако синът е на x години. б) На колко години е бил бащата, когато синът е бил на 10, 15, 18 години?

Към съдържанието

Решение: а) Рационалният израз е A = x + 30. б) За x = 10 A = 10 + 30 = 40. Бащата е бил на 40 години. За x = 15 A = 15 + 30 = 45. Бащата е бил на 45 години. За x = 18 A = 18 + 30 = 48. Бащата е бил на 48 години. Изразът A = x + 30 е свързан с конкретна текстова задача и в него променливата x означава годините на сина. Тази задача има смисъл само тогава, когато x е положително цяло число и изразът (x + 30) не надвишава възможната продължителност на човешкия живот.

ЗАДАЧА 3 Намерете числената стойност на изразите

A = (x + 1)2 и B = x2 + 2 . x + 1 за x = 2; −1; 3. Решение: За x = 2 A = (2 + 1)2 = 9, B = 22 + 2 . 2 + 1 = 9. За x = −1 A = (−1 + 1)2 = 0, B = (−1)2 + 2 . (−1) + 1 = 0. За x = 3 A = (3 + 1)2 = 16, B = 32 + 2 . 3 + 1 = 16. Забелязваме, че изразите А и В (Задача 3) за дадените стойности на х получават равни числени стойности.

Тъждествено равни цели изрази Два цели рационални израза се наричат тъждествено равни, ако за произволни стойности на променливите, допустими и за двата израза, съответните числени стойности на двата израза са равни. В Задача 3 целите изрази А и В са тъждествено равни. Тогава можем да ги свържем със знак за равенство независимо от това, че в тях има променлива: A = B, т.е. (x + 1)2 = x2 + 2 . x + 1.

ЗАДАЧИ

Кои от рационалните изрази в задачи 1 и 2 са цели (x, y са променливи, а е параметър)? 1. а) 2 . a . x – 1; б) . x . y + . a;

в)

. x2 − . x2 + 1;

г)

б)

в)

г)

;

Към съдържанието

израз: а) A = 3 . x – 2 за x = 0,1; −1; б) B = 2 . x3 – x2 + x – 1 за x = 1; −1; в) C =

. x . y − за x = 8; y = 3;

г) D = 3 . (1 – 3 . x) за x = 0,5; 1,4.

4 Начертайте таблицата в тетрадките си и я попълнете.

2 а) (a + 1) . ;

3 Пресметнете числената стойност на целия

; .5.a.

x y A = x2 – y2 B = (x + y) . (x – y)

1 1 ? ?

−1 1 1 −1 ? ? ? ?

2 2 ? ?

−2 9 −2 10 ? ? ? ?

Можем ли да твърдим, че изразите А и В са тъждествено равни?

ЕДНОЧЛЕН. НОРМАЛЕН ВИД НА ЕДНОЧЛЕН Едночлен. Определение

Всеки цял рационален израз, който е произведение от постоянни и променливи величини, се нарича едночлен на тези променливи или само едночлен. Примери: 3xy е едночлен на променливите х и y; 7ax е едночлен на променливата х. Едночлен е и всякa константа, параметър или променлива. Примери: 3 е едночлен, защото 3 = 3. x 0; a е едночлен, защото a = a. x 0; x е едночлен, защото x = 1. x1. Прието е при записа на едночлен да се изпуска знакът за умножение “.”.

ЗАДАЧА 1 (Устно) Кои от целите изрази A, B, C, D са едночлени, ако: A = 2x2y;

B = 3x2 + yy; C = 8a2xy; D = 1 – xy? Отг. Едночлени са изразите А и С.

Нормален вид на едночлен

Едночленът 3ay2xzx е едночлен на променливите x, y, z. Ако • разместим множителите (разместително свойство) 3.2axxyz, • представим произведенията от равни множители като степени • и запишем едночлена във вида 6ax2yz, казваме, че сме записали едночлена в нормален вид.

Нормален вид на едночлен се нарича такова представяне на едночлена, в което: • има само един числов множител, записан пред другите множители; • произведението от еднакви букви е записано като степен. Прието е редът на буквите, които са параметри или променливи, да следва реда им в латинската азбука. Пример: 4 y8ay2x = 4 . 8axyy2 = 32axy3, където а е параметър; x, y са променливи; 32 е числов множител; a, x, y са буквени множители. При представяне на един едночлен в нормален вид се използва знак за равенство, защото се получават тъждествено равни изрази. В следващото изложение в учебника под “равни изрази”ще разбираме “тъждествено равни изрази”. Когато един рационален израз се преобразува в тъждествено равен на него израз, се казва, че се извършва тъждествено преобразуване.

ЗАДАЧА 2 Представете в нормален вид едночлените: A = 3 xx2yzy; Решение: A = 3 xx2yzy = 3x3y2z,

B = 4x3xy2(−2)z; B = −8x4y2z,

C = axayz. C = a2xyz

18 Към съдържанието

Коефициент на едночлен Числовият множител, в който може да има и параметър, в нормалния вид на едночлен се нарича негов коефициент. Прието е коефициентът на едночлена да се записва като пръв множител. Примери: 7x има коефициент 7; x2y има коефициент 1; 3,5xy има коефициент 3,5; −xyz има коефициент −1. Коефициентът на едночлен може да се запише и с буква (константа или параметър). Примери: −5mx2 има коефициент −5m; 2abx има коефициент 2ab. Едночленът

и е едночлен на променливите x и y.

има коефициент

Степен на едночлен Сборът от степенните показатели на променливите, които участват в едночлена, се нарича степен на този едночлен. Примери: Едночленът x5 е от 5-а степен. Едночленът 2 x2y е от 3-та степен, защото 2 + 1 = 3. Едночленът 3ax2y5z8 е от 15-та степен. Едночленът 5 може да се представи като 5x0 и е от нулева степен.

ЗАДАЧА 3 Намерете нормалния вид, коефициента и степента на едночлените: а) A = 2x33x2; Решение: а) A = 2x33x2 A = 6x5 коефициент: 6 степен: 5

ЗАДАЧИ

б) B = −3x2y5xy3;

в) C = (−2ax)33y4z.

б) B = −3x2y5xy3 B = −15x3y4 коефициент: –15 степен: 7

в) C = (−2ax)33y4z С = −24a3x3y4z коефициент: −24a3 степен: 8

1 Кои от следните рационални изра-

зи са едночлени: а) kx; 2a + x; x; a5; 2x3(−y); б) 1; a; x2y3(−1); xyz; 4 + x? 2 Представете в нормален вид едночлените: а) 9x3xy2; 3xyzy2x; x2y3zx2z; б) 3 x(−2)y2x; x2yx(−1); (−1)x3(−3)z. 3 Определете коефициентите на едночлените, ако x, y са променливи, a е параметър: а) 7xy; x2y; −xy3; xyz; б)

Към съдържанието

;

y. 3

4 Определете степените на всеки от

едночлените, където a е параметър: а) 2x2y; 3x3; x; 2xyx; б) −1,2ax3y2;

ax2y4; −22x2(−x)(−y)2.

5 Представете в нормален вид едно

члените и намерете числената им стойност:

а) A = 3x2x2 за x = 1, x = −1, x = 2; б) B = − ax3x2 за a = −4, x = − 3 ; 2

в) C =

xy(−x )y за x = −1, y = 0,5. 2

СЪБИРАНЕ И ИЗВАЖДАНЕ НА ЕДНОЧЛЕНИ. ПОДОБНИ ЕДНОЧЛЕНИ Събиране и изваждане на едночлени Дадени са едночлените u = 2x2 , v = −3xy. За да съберем или извадим два едночлена, записваме ги един след друг и между тях поставяме съответния знак: u + v = 2x2 + (−3xy), u − v = 2x2 − (−3xy). Тъй като с буквената част на едночлените (x2 ; xy) се означават числа, записани с букви, то при едночлените ще са в сила основните свойства на числата и правилата за разкриване на скоби. Тогава u + v = 2x2 + (−3xy) = 2x2 −3xy, u − v = 2x2 − (−3xy) = 2x2 + 3xy. Изрази от вида 2x2 −3xy; 5x + xy − x + 2xy − 1 са алгебричен сбор на едночлени.

Събиране и изваждане на подобни едночлени Едночлени от вида 2x и 3х ; 0,6xy2 и −xy2 и т.н. имат една и съща буквена част, съдържаща променливи.

Подобни едночлени Два едночлена с едни и същи променливи са подобни, ако нормалният им вид е един и същ или се различават само по коефициентите си. Примери: 2xy и −3xy; 2ax 2yz и 4x 2yz; ... Едночлените 6xyz и 6xyz са равни, защото са подобни и имат равни коефициенти. Ако коефициентите на два подобни едночлена са противоположни числа, едночлените се наричат противоположни. Примери: 5x2 и −5x2; ax и – ax; 0,6xy2z и –0,6xy2z. По-нататък ще предполагаме, че едночлените са записани в нормален вид. Ще съберем и извадим два подобни едночлена, на които коефициентите са положителни числа. 5x2 + 2x2 = ? Ще разгледаме следната схема ► Taзи идея ни води до резултата 5x2 + 2x2 = 7x2 . От това равенство става ясно, че при събиране на два подобни едночлена използваме дистрибутивното свойство на числата. Получаваме 5x2 + 2x2 = (5 + 2) x2 = 7x2. 5x2 − 2x2 = ? Ще разгледаме следната схема ► Taзи идея ни води до резултата 5x2 − 2x2 = 3x2 . От това равенство става ясно, че и при изваждане на два подобни едночлена използваме дистрибутивното свойство на числата. Получаваме 5x2 − 2x2 = (5 − 2) x2 = 3x2.

Към съдържанието

ЗАДАЧА 1 Извършете действията: а) 7x + 2x; Решение: а) 7x + 2x = 9x

б) 3,6x2 + x2;

в) 4x3 − x3;

г) 9,5xy − 3xy.

б) 3,6x2 + x2 = 4,6x2

в) 4x3 − x3 = 3x3

г) 9,5xy − 3xy = 6,5xy

Ще съберем и извадим два подобни едночлена, на които коефициентите са произволни рационални числа. 3x2 + (−5x2) = ? 3x2 − (−5x2) = ? Като приложим правилото за разкриване на скоби и дистрибутивното свойство на рационалните числа, получаваме: 3x2 + (−5x2) = 3x2 − 5x2 = (3 − 5) x2 * = −2x2; 3x2 − (−5x2) = 3x2 + 5x2 = (3 + 5)x2 = 8x2.

При събиране и изваждане на подобни едночлени се получава едночлен, подобен на дадените, с коефициент сборът или разликата на коефициентите им.

ЗАДАЧА 2 Извършете действията u + v и u − v, ако: а) u = 8x2 , v = 9x2 ; Решение:

б) u = −3x3, v = 4x3 ;

в) u = −2xy, v = −3xy .

а) u + v = 8x2 + 9x2 = б) u + v = −3x3 + 4x3 = в) u + v = −2xy + (−3xy) = 2 3 = 17x = x = −2xy − 3xy = −5xy u − v = 8x2 − 9x2 = u − v = −3x3 − 4x3 = u − v = −2xy − (−3xy) = = −x2 = −7x3 = −2xy + 3xy = xy Сборът на два противоположни едночлена е равен на 0. Пример: 5x2 + (−5x2) = 5x2 − 5x2 = (5 − 5)x2 = 0 . x2 = 0.

ЗАДАЧИ

Съберете едночлените (u + v): 1 a) u = 3xz, v = –5xz; б) u = 3xz, v = 5xz; в) u = 2x2y, v = −15x2y; г) u = 21ax4, v = 9ax4; д) u = 5ax, v = 6x. 2 a) u = 35mxy, v = −5mxy;

б) u =

x y, v = − x y;

в) u =

mx, v =

г) u = 5ax3y2, v = −7ax3y2; д) u = −0,6а2xy3, v = 2,3а2xy3.

nx;

Извадете едночлените (u − v):

3 a) u = 3x2, v = 3x2; б) u = 2x, v = 2x; в) u = 3ax, v = −4ax; г) u = −5xy, v = 3xy; д) u = 10y3, v = 10y3.

4 а) u = 7ax2, v = 6ax2; б) u = 100abx, v = 90abx; в) u = −7axy2, v = 2,3axy2; г) u = 5,6ax3z, v = 5ax3z; д) u = −2,3x2y3, v = −4,6x2y3.

* При извършване на действията заградените изрази обикновено се пропускат.

Към съдържанието

СЪБИРАНЕ И ИЗВАЖДАНЕ НА ЕДНОЧЛЕНИ. ПОДОБНИ ЕДНОЧЛЕНИ. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Ако u = –3xy и v = 5xy, покажете че u + v = v + u. Решение: u + v = –3xy + 5xy = 2xy v + u = 5xy – 3xy = 2xy

Следва, че u + v = v + u.

ЗАДАЧА 2 Ако u = 6x3, v = −2x3 и w = −5x3, покажете, че (u + v) + w = u + (v + w) . Решение: (u + v) + w = (6x3 + (−2x3)) + (−5x3) = (6x3 − 2x3) − 5x3 = 4x3 − 5x3 = −x3 u + (v + w) = 6x3 + (−2x3 + (−5x3)) = 6x3 + (−2x3 − 5x3) = 6x3 − 7x3 = −x3

В Задачи 1 и 2 проверихме верността на комутативното и асоциативното свойства на събирането: u + v = v + u, (u + v) + w = u + (v + w), където u, v, w са подобни едночлени.

ЗАДАЧА 3 Ако u = 3x, v = −2x, w = −4x, намерете: а) u + v + w; Решение: a) u + v + w = = 4xy + 3xy + (−2xy) = = 4xy + 3xy − 2xy = = (4 + 3 − 2)xy = 5xy

б) u + v – w;

в) u − v − w.

б) u + v − w = = 4xy + 3xy − (−2xy) = = 4xy + 3xy + 2xy = = (4 + 3 + 2)xy = 9xy

в) u – v – w = = 4xy – 3xy – (−2xy) = = 4xy – 3xy + 2xy = = (4 – 3 + 2)xy = 3xy

Изразите от вида 4xy + 3xy −2xy, 4xy + 3xy + 2xy, 4xy – 3xy + 2xy представляват алгебричен сбор от подобни едночлени. Всеки алгебричен сбор от подобни едночлени може да се запише с едночлен, подобен на дадените, с коефициент, равен на алгебричния сбор на коефициентите им.

Приведение на подобни едночлени Представянето на алгебричен сбор от подобни едночлени като едночлен, подобен на тях, се нарича приведение. Пример: 2x2 + 9x2 – 7x2 – x2 = 11x2 – 8x2 = 3x2. Правила за приведение на подобни едночлени Даден е числов израз, който е алгебричен сбор от подобни едночлени. • Ако има едночлени, които не са в нормален вид, ги привеждаме в нормален вид. • Ако има противоположни едночлени, ги унищожаваме (сборът им е 0). • За удобство събираме едночлени с един и същи знак на коефициентите им (можем и да разместим местата им). • Пресмятаме до получаване на един едночлен, подобен на дадените.

Към съдържанието

ЗАДАЧА 4 Направете приведение:

а) A = 6x2 – 8x2 + 4x2 + x2; в) B = – 7xy + 3xy + 10xy − 3xy – 7xy;

б) A = − 2y – 8y + 12y + 2y – 4y; г) B = x2y + 3xyx – 7yx2 + xxy.

Решение: a) A = 6x2 – 8x2 + 4x2 + x2 = = 11x2 – 8x2 = = 3x2

б) A = −2y – 8y + 12y + 2y – 4y = 12y – 8y – 4y = = 12y – 12y = =0

в) B = – 7xy + 3xy + 10xy − 3xy – 7xy = = – 14xy + 10xy = = – 4xy

г) B = x2y + 3xyx – 7yx2 + xxy = = x2y + 3x2y – 7x2y + x2y = = 5x2y – 7x2y = = −2x2y

ЗАДАЧА 5 Намерете числената стойност на израза A = 2,3x3 + 3,4x3 – 31x2x – 3,4xx2 + 1,7xxx за x = − . Решение: A = 2,3x3 + 3,4x3 – 31x2x – 3,4xx2 + 1,7xxx = = 2,3x3 + 3,4x3 – 31x3 – 3,4x3 + 1,7x3 = = 2,3x3 + 1,7x3 – 31x3 = 4x3 – 31x3 = −27x3 A = −27x3 За x = −

A = −27 .

= −27 .

= 1.

Отг. A = 1

В Задача 5 първо направихме приведение на подобните едночлени. Записах ме израза А като едночлен и лесно намерихме числената му стойност.

ЗАДАЧИ

1 Намерете u + v + w, ако: 2

2 Ако u = 4xy, v = 3xy, w = −2xy,

намерете: а) u + v + w; в) u − v + w;

б) u + v – w; г) u − v − w.

Направете приведение:

3 а) 3x – 5x + 6x + 5x – x;

4 а) 2ax + 3ax + 10ax – 3ax – ax + 6ax;

а) u = 3xy , v = −2xy , w = 9xyy; 3 2 2 2 3 б) u = –3x y , v = 2xx y , w = −4x yy. 2

б) 7x2 + 3x2 – 6x2 – 3x2 – x2 + 6x2; в) – 2y + 7y + y − 4y + 2y − 10y; г) 3xy – 8xy – xy + 9xy – 2xy + xy.

Към съдържанието

б) 10ax3 – 9ax3 – 10ax3 – ax3 + 5ax3; в) x2y + г)

ay +

x2y −

x2y +

x2y −

x2y;

ay – ay + 1 ay + ay. 6

5 Намерете числената стойност на

израза: а) A = 2x − 8x + 9x − 4x за х = −2,8; б) B = 6x2y + x2y + 3x2y − 4x2y − x2y за х = −2, y = 3; в) C = 3x32y2 − 5xy22x2 + 8xx2y2 за х = −3, y = −0,5.

УМНОЖЕНИЕ, СТЕПЕНУВАНЕ И ДЕЛЕНИЕ НА ЕДНОЧЛЕНИ Умножение на едночлени Дадени са едночлените u = 3x и v = 5x2. За да ги умножим, записваме едночлените един след друг и ги свързваме със знака за умножение: u . v = 3x . 5x2. Полученият едночлен 3x . 5x2 привеждаме в нормален вид и получаваме u . v = 15x3.

Правило: Едночлени умножаваме, като ги напишем един след друг и получения едночлен приведем в нормален вид.

3x . 5x2 = 15x3

Примери: 2x . 7x = 2x 7x = 14x2; −5x3 . 3xy = −5x33xy = −15x4y.

ЗАДАЧА 1 Намерете u . v, ако:

а) u = 2 xy, v = 3xy2; Решение: а) u . v = 2xy3xy2 = 2 . 3xxyy2 = 6x2y3

б) u = −2x5, v = −x2y. б) u . v = −2x5(−x2y) = 2x5x2y = 2x7y

ЗАДАЧА 2 Ако u = −2x, v = 3y, w = 4x2, проверете, че: а) u . v = v . u;

Решение: a) u . v = −2x3y = = −2 . 3 xy = −6xy v . u = 3y(−2x) = = 3 . (−2) yx = −6xy Следва, че u . v = v . u.

б) (u . v) . w = u . (v . w) = u . v . w. б) (u . v) . w = (−2x3y) . 4x2 = = (−2 . 3) . 4 x3y = −24x3y u . (v . w) = −2x . (3y4x2) = = −2 . (3 . 4) x3y = −24x3y u . v . w = −2x . 3y . 4x2 = = −2 . 3 . 4 x3y = −24x3y Следва, че (u . v) . w = u . (v . w) = u . v . w.

Показахме, че както при числата, разместителното (комутативното) и съдружителното (асоциативното) свойства на умножението са в сила и при умножението на едночлени. Следователно можем да умножаваме три и повече едночлена, независимо от това къде са поставени скобите.

Степенуване на едночлени

Умножението на равни едночлени записваме, както при числата, като степен. Пример: 5xy3 . 5xy3 = (5xy3)2. Като приложим правилото за степенуване на произведение, получаваме (5xy3)2 = 5 2x2(y3)2 = 25x2y6.

! 24

Правило: Едночлен степенуваме, като степенуваме всеки негов множител.

(5 xy3)2 = 52x2(y3)2 Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 Извършете степенуването: а) (4x3)2; Решение: а) (4x3)2 = 42(x3)2 = 16x6

б) (2xy2)3;

в) (−ax)5.

б) (2xy2)3 = 23x3(y2)3 = 8x3y6 в) (−ax)5 = (−a)5x5 = −a5x5

Деление на едночлени Нека x ≠ 0 и y ≠ 0. За да разделим два едночлена, свързваме ги със знака за деление. Пример: u = 4x3y2, v = 2x2y, u : v = (4x3y2) : (2x2y) или

Както при числата, разглеждаме действие деление като обратно действие на умножението. От u : v = w (v ≠ 0) следва, че w . v = u, т.е.

= 2xy, защото 2xy . 2x2y = 4x3y2.

Правило: При деление на два едночлена частното има: коефициент, равен на частното от коефициентите на делимото и делителя, и буквена част, която се получава, като се делят степени с равни основи. Делението е възможно, когато делителят не приема стойност нула. Частното е едночлен, когато степенните показатели на делителя не надминават съответните степенни показатели на делимото. Пример:

ЗАДАЧА 4 При x ≠ 0, y ≠ 0, извършете делението u : v, ако:

ЗАДАЧИ

а) u = 3x2yz, v = 0,5xy; Решение:

б) u = −2x4y3, v = 2xy2.

а)

б)

1 Намерете u . v, ако:

а) u = 5x , v = 3x; б) u = −3x3, v = 2x2; в) u = 2x2, v = −3y4; г) u = 2xy, v = 4xy3. 2 Намерете u . v . w, ако: а) u = 3x2, v = −2x, w = −x3; б) u = 2xy, v = −3y, w = 4x2y; в) u = −2xy2, v = 0,2x2, w = 4y4. 3 Извършете степенуването: а) (−3x)2; б) (2x2y)3; в) (−3xy2)3; г) (−2x7y3)4. 2

Към съдържанието

4 Извършете делението u : v, ако:

а) u = 6x3y5, v = 2x2y4, x ≠ 0, y ≠ 0; б) u = −8ax3z7, v = −4x2z7, x ≠ 0, z ≠ 0. 5 Намерете числената стойност на израза: а) A = −2x . 5x3 + (−5x2)2 + x5 : x за x = −1; б) B = (−3x)2 . 2x + 6x8 : 2x5 − 6x . 2x2 за ; в) C = xy . 3x2y3 − 5x3y4 − 4x5y6 : x2y2 за x = 2, y = −0,5.

МНОГОЧЛЕН. НОРМАЛЕН ВИД НА МНОГОЧЛЕН

ЗАДАЧА 1 Направете приведение:

а) 2x2y – 3x2y – 2x2y – x2y + 6x2y; Решение: a) 2x2y – 3x2y – 2x2y – x2y + 6x2y = = −4x2y + 6x2y = 2x2y

б) 3xy2 − 3xy + 2xy + 5y. б) 3xy2 − 3xy + 2xy + 5y = = 3xy2 − xy + 5y

Забелязваме, че: • в Задача 1 а) събираемите са подобни едночлени и сборът им е 2x2y, т.е. е едночлен; • в Задача 1 б) не всички събираеми са подобни едночлени и сборът им не е едночлен. Изразът 3xy2 − xy + 5y е алгебричен сбор от едночлени и се нарича многочлен.

Многочлен Алгебричен сбор на едночлени се нарича многочлен (полином). Едночленът също е многочлен. Примери: 2x + 3y; 3x2 + xy + (−1) = 3x2 + xy – 1; 6ax3 + (−5x2) + axy + 4 = 6ax3 – 5x2 + axy + 4. Едночлените, които образуват многочлена, се наричат членове на многочлена. Многочленът е едночлен, ако има само един член; двучлен, ако има два члена; тричлен, ако има три члена.

Нормален вид на многочлен В Задача 1 б) даденият многочлен 3xy2 − 3xy + 2xy + 5y е четиричлен. След като направихме приведение на двата му подобни члена (−3xy + 2xy), получихме тъждествено равен на него тричлен, в който няма подобни едночлени (3xy2 − xy + 5y). За такъв многочлен казваме, че е в нормален вид.

Един многочлен е в нормален вид, ако всички едночлени в него са в нормален вид и няма подобни едночлени.

ЗАДАЧА 2 В нормален вид ли са многочлените:

а) 6x3 – 3x2 + 5x + 4; б) 2x2y – 1 + 6xy2 + xy2; в) 3x3 + 2 – 3x22y? Решение: а) Да, защото всички членове са в нормален вид и няма подобни едночлени. б) Не, защото два от членовете му са подобни едночлени (6xy2, xy2). в) Не, защото има членове, които не са в нормален вид (– 3x22y). Прието е многочлен, който съдържа само една променлива и е в нормален вид, да се подрежда по намаляващите степени на променливата: x3, x2, x1, x0 (Задача 2-а)).

Към съдържанието

Коефициенти на многочлен Коефициентите на членовете на многочлен в нормален вид се наричат коефициенти на многочлена. Пример:

Многочленът 6x3 – 3x2 + 5x + 4 е сбор от едночлените 6x3 + (– 3x2) + 5x + 4 и има коефициенти 6; −3; 5; 4. 4 е коефициент в едночлена 4x0 = 4 . 1 = 4 и се нарича свободен член.

ЗАДАЧА 3 Приведете в нормален вид многочлена:

а) u = 4x2 + 5x – 3x2 – 3 – 3x; Решение: а) u = 4x2 + 5x – 3x2 – 3 – 3x = x2 + 2x – 3

б) v = 3x2 – 7x + 3 + 5x – 4x2. б) v = 3x2 – 7x + 3 + 5x – 4x2 = −x2 – 2x + 3

Забелязваме, че в Задача 3 многочленът v = −x2 – 2x + 3 е сбор от едночлени, които са противоположни на членовете на многочлена u = x2 + 2x – 3. Такива многочлени наричаме противоположни. Пример: Многочлените 2x – 3y и −2x + 3y са противоположни.

Степен на многочлен Най-високата от степените на членовете в нормалния вид на един многочлен се нарича степен на многочлена. Примери: x2 + 2x – 3 е от втора степен, защото x2 е членът с най-висока степен (2). 2x5y – xy + 5 е от шеста степен, защото 2x5y е членът с най-висока степен (5 + 1 = 6). 3ax8 + 8ax5 + axy −1 е от осма степен (относно x), защото 3ax8 е членът с най-висока степен (8).

ЗАДАЧИ

1 Дадени са многочлените

A = −x5 + 2x4 – 5x3 – x + 1,5; B = 7x6 – 2,5x5 – 2x3 + 4x2 – x – 1. За всеки от многочлените А и В отговорете на въпросите: а) Колко члена има? б) От коя степен е? в) Кой e коефициентът на члена от втора степен? г) Има ли свободен член? 2 Приведете в нормален вид: а) 3 + 2x – 7 – 21x + x – 3; б) ax – 3 + 2ax2 – 5 + x + 2x; в) 2y – x + y – 3x + 1 + x + y; г) 5xy – x2 + xy – 5x2 + x2 – xy – 1.

Към съдържанието

3 Определете степента на многочлените: a) 3x4 – x + 5; б) y –

x2y3 +

x5y – 1;

в) 10x8 – 2x6 + x5y5 – xy + 2; г) 5x2y3 − 3xy4 + 5x2y2 − 7.

4 Подредете многочлените по нама

ляващата степен на променливата и напишете коефициентите на членовете от втора степен: а) 2x2 – x + 3x4 + 2x3 −1; б) 1,5y6 – y + 0,5y3 – y2 + 8; в) 3x7 – 2x + x5 – 2,5x4 + x3 – 1; г) 2x3 – 5x4 + 4x5 – x3 – 3x2 – 1 + 2x5.

10.

СЪБИРАНЕ И ИЗВАЖДАНЕ НА МНОГОЧЛЕНИ

Многочлени се събират и изваждат по правилата за събиране и изваждане на едночлени. Прилагаме правилата за разкриване на скоби.

ЗАДАЧА 1 Дадени са многочлените u = 2x2 + x + 1, v = 3x − 1, w = x2 − x. Намерете: а) u + v;

б) u − v;

в) u + v − w.

б) u − v = = (2x2 + x + 1) − (3x − 1) = = 2x2 + x + 1 − 3x + 1 = = 2x2 − 2x + 2

в) u + v − w = =(2x2 + x + 1) + (3x − 1) − (x2 − x) = = 2x2 + x + 1 + 3x − 1 − x2 + x = = x2 + 5x

Решение: a) u + v = = (2x2 + x + 1) + (3x − 1) = = 2x2 + x + 1 + 3x − 1 = = 2x2 + 4x

Разликата на два многочлена се свежда до сбор, след като умалителят се замени с противоположния му многочлен. Пример: ( 2x2 + x + 1) − (3x − 1) = = 2x2 + x + 1 + (− 3x + 1) = = 2x2 + x + 1 − 3x + 1.

ЗАДАЧА 2 Разкрийте скобите и направете приведение: а) (2x2 − 4xy − y) − (−x2 + xy) + (3x2 + y);

б) 1 − (15xy − y) − (5 − (2xy − 1) + y). Решение: а) (2x2 − 4xy − y) − (−x2 + xy) + (3x2 + y) = = 2x2 − 4xy − y + x2 − xy + 3x2 + y = 6x2 − 5xy б) 1 − (15xy − y) − (5 − (2xy − 1) + y) = = 1 − 15xy + y − (5 − 2xy + 1 + y) = = 1 − 15xy + y − 5 + 2xy − 1 − y = −13xy − 5

ЗАДАЧА 3 Пресметнете числената стойност на израза: A = 3x2 − y2 + 5xy − (x2 − 2xy) − (2x2 − 5xy − y2), ако x = − , y = − Решение: Записваме израза като многочлен и правим приведение: A = 3x2 − y2 + 5xy − x2 + 2xy − 2x2 + 5xy + y2 =

= 3x2 − 3x2 + 12xy = 12xy A = 12xy. За x = −

, y=−

A = 12 .

= 6. Към съдържанието

ЗАДАЧА 4 Покажете, че стойността на израза

A = 4x2 + y2 − (3x2 + 2xy + 5) − (x2 − 2xy + y2) не зависи от стойността на променливите в него. Решение: A = 4x2 + y2 − (3x2 + 2xy + 5) − (x2 − 2xy + y2) = = 4x2 + y2 − 3x2 − 2xy − 5 − x2 + 2xy − y2 = = 4x2 − 4x2 − 5 = −5 За всяка стойност на x и y A = −5.

ЗАДАЧА 5 Покажете, че изразът A = 2x2 − 5x + 3 − (x2 − 5x − 1)

приема положителни стойности за всяка стойност на x. Решение: A = 2x2 − 5x + 3 − (x2 − 5x − 1) = = 2x2 − 5x + 3 − x2 + 5x + 1 = =x2 + 4 Изразът x2 + 4 > 0 за всяка стойност на x.

ЗАДАЧА 6 Намерете най-малката стойност на израза

A = 4x2 − 5x + 4 − (2x2 − 3x) + (−x2 + 2x − 1). Решение: A = 4x2 − 5x + 4 − (2x2 − 3x) + (−x2 + 2x − 1) = = 4x2 − 5x + 4 − 2x2 + 3x − x2 + 2x − 1 = =x2 + 3 Най-малката стойност на израза А е 3 и се получава при x = 0.

ЗАДАЧИ

1 Съберете многочлените u и v:

б) B = 2x2y − 3x − (2x2y + y) + (−10x + 2y)

a) u = 2x2 − x + 5, v = x − 1; б) u = 4x2y − 3x + 4, v = −x2y − x − 3.

за x = 1 , y = −1 .

2 Намерете u − v, ако: а) u = 2x2 − x3 + x, v = x3 + 1 − x; б) u = 7a2x − ax2 + 1, v = −4a2x + ax2 + 1.

3 Разкрийте скобите и направете

5 Покажете, че стойността на изра

за не зависи от стойността на про менливите в него: а) A = −7xy + 3x − (1 − 7x) + (7xy − 10x − 9); б) B = 3x3 − 5x + 4 − (x3 − 7x) − (2x3 + 2x).

приведение: 6 Намерете най-малката стойност на а) (2x2 − 3y2) + (x2 − y2 + 1) − (2x2 − 3y2 + 5); израза 2 2 2 б) 9x − (7x − 3x − (x − 1) + (x − 2)). A = 3y4 − (3y2 + 2y + 1) − (3y4 − 5y2 − 2y). 4 Пресметнете числената стойност на 7 Намерете най-голямата стойност на израза: израза а) A = 15x2 + x − (5x2 − 4x) − (6x2 + 5x − 2) A = 9y3 − (2y3 − 3y2 + 5) + (−7y3 − 8y2 − 9). за x = − ; Към съдържанието

11.

УМНОЖЕНИЕ НА МНОГОЧЛЕН С ЕДНОЧЛЕН Умножение на едночлен с двучлен a (b + c) = ? (b + c) a = ? Знаем, че разпределителното (дистрибутивното) свойство на рационалните числа е a . (b + c) = a . b + a . c или (b + c) . a = b . a + c . a. Ако a, b и c означават едночлени, тези равенства показват как трябва да умножаваме едночлен с двучлен и двучлен с едночлен. Примери: 5 . (x + y) = 5 . x + 5 . y (= 5x + 5y); a . (b + c) = a . b + a . c (x + y) . 5 = x . 5 + y . 5 (= 5x + 5y).

ЗАДАЧА 1 Извършете умножението:

а) 2 . (3x + y); в) −3 . (2x2 + y2); Решение: a) 2 . (3x + y) = 2 . 3x + 2 . y = 6x + 2y

б) x . (2x + 3y); г) −3xy . (2x2 + 3y2).

б) x . (2x + 3y) = x . 2x + x . 3y = 2x2 + 3xy в) −3 . (2x2 + y2) = −3 . 2x2 + (−3) . y2 = = −3 . 2x2 − 3 . y2 = −6x2 − 3y2 г) −3xy . (2x2 + 3y2) = −3xy . 2x2 − 3xy . 3y2 = −6x3y − 9xy3 • В Задача 1-в) изразът в карето обикновено не се пише и задачата се решава както условие г). • Знакът за умножение “.” може да се изпуска.

ЗАДАЧА 2 Извършете умножението: а) 5x(x2 − y); Решение: а) 5 x(x2 − y) = = 5xx2 − 5xy = 5x3 − 5xy

б) 5x(−x2 + y). б) 5x(−x2 + y) = = 5x(−x2) + 5xy = −5x3 + 5xy

• Решението на Задача 2-а) се обосновава с равенството a(b − c) = a(b + (−c)) = ab + a(−c) = ab − ac. • В условие б) изразът в карето обикновено не се пише.

ЗАДАЧА 3 Извършете умножението:

а) (x2 + 3x) . 2; Решение: а) ( x2 + 3x) . 2 = = x2 . 2 + 3x . 2 = 2x2 + 6x

б) (x3 − xy) . 3x. б) (x3 − xy) . 3x = = 3x . (x3 − xy) = 3x4 − 3x2y

В Задача 3-б) за удобство използвахме комутативното свойство на умножението.

Към съдържанието

Умножение на едночлен с многочлен a . (b + c + d) = ? (b + c + d) . a = ? Като използваме дистрибутивното свойство на рационалните числа, получаваме a(b + c + d) = a((b + c) + d) = a(b + c) + ad = ab + ac + ad, т.е. a(b + c + d) = ab + ac + ad. Ако a, b, c и d са едночлени, това равенство показва правило за умножение на едночлен с многочлен.

ЗАДАЧА 4 Извършете умножението: а) 2 (x2 + x + y); Решение: а) 2 ( x2 + x + y) = = 2x2 + 2x + 2y

б) x (2x3 + x2 − 3x + 1). б) x (2x3 + x2 − 3x + 1) = = x . 2x3 + x . x2 − x . 3x + x . 1 = = 2x4 + x3 − 3x2 + x

Правило за умножение на едночлен с многочлен Умножаваме едночлен с многочлен, като: • умножим едночлена с всеки член на многочлена и • получените едночлени съберем. Прието е полученият сбор да се приведе в нормален вид.

ЗАДАЧА 5 Приведете в нормален вид изразите: а) 2x(x2 − 3x + 1) − (x − 6)x2; Решение: a) 2 x(x2 − 3x + 1) − (x − 6) x2 = = 2x(x2 − 3x + 1) − x2 (x − 6) = = 2x3 − 6x2 + 2x − x3 + 6x2 = = x3 + 2x

ЗАДАЧИ

б) xy(3x + y) − 3y(x2 + xy + y − 2) = = 3x2y + xy2 − 3x2y − 3xy2 − 3y2 + 6y = = −2xy2 − 3y2 + 6y

1 Извършете умножението:

а) 6 . (3x − 5y − 4); (2x2 − 3y2 + 1) . 7;

б) 7 . (2x − 3y + 5z); (5a − 4b + c) . 9;

в) (−1) . (x + y); (x + y) . (−1);

г) − 3 . (2x2 − 3y + 5); (xy − x2 + y2) . (−2).

б) xy(3x + y) − 3y(x2 + xy + y − 2).

б) 70x .

в) 2xy2 . (x2y + 2xy − 1);

г) −3x2y .

;

3 Приведете в нормален вид изразите:

а) 7x(x + 2) − 2(x2 + 3x − 1);

б) 2x2(x2 + 5x) − 3x(x2 + 2x − 1);

2 Извършете умножението:

в) 3xy(x + y − 1) − x(3xy + 2y2 − 5y);

г) x2(y2 + x − 1) − y2(x2 + 1).

a) −5 .

Към съдържанието

;

12.

УМНОЖЕНИЕ НА МНОГОЧЛЕН С МНОГОЧЛЕН Умножение на двучлени (a + b) . (c + d) = ? Aко означим с u двучлена c + d, т.е. u = c + d, и приложим правилото за умножение на едночлен с многочлен, получаваме

(a + b) (c + d) =  u = (a + b) u = au + bu = = a (c + d) + b (c + d) = = ac+ad+bc+bd.

Правило Двучлени умножаваме, като всеки член на единия (a + b) (c + d) = двучлен умножим с всеки член на другия двучлен и съберем получените едночлени. = ac+ad+bc+bd

ЗАДАЧА 1 Извършете умножението:

a) (x + 4) (x + 1); б) Решение: a) (x + 4) (x + 1) = б) = x (x + 1) + 4 (x + 1) = = x2 + x + 4x + 4 = = x2 + 5x + 4

ЗАДАЧА 2 Извършете умножението:

а) (x2 + 3) (2x − 3); б) Решение: a) (x2 + 3) (2x − 3) = б) = x2 (2x − 3) + 3 (2x − 3) = = 2x3 − 3x2 + 6x − 9

(x − 2) (x + 3);

в) (2x − 3) (x − 4).

(x − 2) (x + 3) = в) = x (x + 3) − 2 (x + 3) = = x2 + 3x − 2x − 6 = 2 = x + x − 6

(2x − 3) (x − 4) = = 2x (x − 4) − 3 (x − 4) = = 2x2 − 8x − 3x + 12 = = 2x2 − 11x + 12

(3x3 − 2) (x3 + 1);

в) (2x − 3y) (x − y).

(3x3 − 2) (x3 + 1) = = 3x3 (x3 + 1) − 2 (x3 + 1) = = 3x6 + 3x3 − 2x3 − 2 = = 3x6 + x3 − 2

в) (2x − 3y) (x − y) = = 2x (x − y) − 3y (x − y) = = 2x2 − 2xy − 3xy + 3y2 = = 2x2 − 5xy + 3y2

В решението на Задачи 1 и 2 редът в оцветената лента е помощен, за да ни предпазва от грешки, но може и да не се пише.

Умножение на многочлени (a + b) (m + n + p) = ? (a + b + c) (m + n + p) = ? … Правилото за умножение на двучлени е в сила и при умножение на многочлени с повече членове: (a + b) (m + n + p) = (a + b) u = au + bu =  = a (m + n + p) + b (m + n + p) = u = am+an+ap+bm+bn+bp.

Към съдържанието

Правило за умножение на многочлен с многочлен Многочлени умножаваме, като всеки член на единия многочлен умножим с всеки член на другия многочлен и съберем получените многочлени. (a + b) (m + n + p) = a m + a n + a p + b m + b n + b p При умножаване на многочлени полученото произведение също е многочлен, който привеждаме в нормален вид. При прилагане на правилото за умножение на многочлен с многочлен могат да се избегнат грешки, като запишем умножението на всеки член на първия многочлен с втория многочлен и сведем решението на задачата до умножение на едночлен с многочлен.

ЗАДАЧА 3 Извършете умножението:

a) (x − 5) (x2 + x + 1); Решение: a) (x − 5) (x2 + x + 1) = = x (x2 + x + 1) − 5 (x2 + x + 1) = = x3 + x2 + x − 5x2 − 5x − 5 = = x3 − 4x2 − 4x − 5

б) (2x − y − 1) (x − 2y + 1). б)

(2x − y − 1) (x − 2y + 1) = = 2x (x − 2y + 1) − y (x − 2y + 1) − 1 (x − 2y + 1) = = 2x2 − 4xy + 2x − xy + 2y2 − y − x + 2y − 1 = = 2x2 − 5xy + 2y2 + x + y − 1

ЗАДАЧА 4 Даден е изразът A = (x2 − 3) (x2 + 2x − 5).

а) Извършете умножението и представете получения многочлен в нормален вид. б) Определете степента на многочлена. в) Определете коефициента на члена от втора степен и свободния член. Решение: a) A = (x2 − 3) (x2 + 2x − 5) = = x2 (x2 + 2x − 5) − 3 (x2 + 2x − 5) = = x4 + 2x3 − 5x2 − 3x2 − 6x + 15 = x4 + 2x3 − 8x2 − 6x + 15 б) Многочленът А е от четвърта степен. в) Коефициентът на члена от втора степен е (−8), а свободният член е 15.

ЗАДАЧИ

Извършете умножението: 1 а) (3x + 2)(x − 4); б) (2x − 5)(x + 3); в) (3y − 2)(y − 6); г) (2y − 7)(3y − 2).

2 a) (3x2 − 5) (x + 4);

б) (2x3 − x) (x2 − 3); в) (5x − 2y) (xy + 3); г) (3x2y − 5y2) (xy − 2x).

3 a) (a − 3) (a2 + 3a + 9);

б) (2a − 5) (a2 − a − 2); в) (3a − 2b + 5) (3a + 2b − 5); г) (a2 − ab + 3) (a2 − ab − 3).

Към съдържанието

4 Извършете умножението и намере-

те числената стойност на израза: а) A = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9) за x = − 1 ;

2 б) B = (9x − 6x + 4) (3x + 2) за x = − 1 . 3 2

5 Даден е изразът A = (x3 − 1)(2x3 − 3x + 7). а) Извършете умножението. б) Определете степента на многочлена. в) Определете коефициента на члена от четвърта степен. г) Определете свободния член.

13.

УМНОЖЕНИЕ НА МНОГОЧЛЕН С МНОГОЧЛЕН. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Ако u = 2x − 3 и v = x2 − x + 5, намерете: а) u v ; Решение: a) u v = (2x − 3) (x2 − x + 5) = = 2x (x2 − x + 5) − 3 (x2 − x + 5) = = 2x3 − 2x2 + 10x − 3x2 + 3x − 15 = = 2x3 − 5x2 + 13x − 15

б) v u. б) v u = (x2 − x + 5) (2x − 3) = = x2(2x − 3) − x (2x − 3) + 5(2x − 3) = = 2x3 − 3x2 − 2x2 + 3x + 10x − 15 = = 2x3 − 5x2 + 13x − 15

При решаване на Задача 1 показахме, че комутативното свойство на умножението е в сила и при многочлените. uv =vu

ЗАДАЧА 2 Ако u = x + 1, v = x − 2, w = x + 3, намерете: а) u (v w); Решение: a) u (v w) = = (x + 1) ((x − 2) (x + 3)) = = (x + 1) (x (x + 3) − 2 (x + 3)) = = (x + 1) (x2 + 3x − 2x − 6) = = (x + 1) (x2 + x − 6) = = x (x2 + x − 6) + 1 (x2 + x − 6) = = x3 + x2 − 6x + x2 + x − 6 = = x3 + 2x2 − 5x − 6

б) (u v) w. б) (u v) w = = ((x + 1) (x − 2)) (x + 3) = = (x (x − 2) + 1 (x − 2)) (x + 3) = = (x2 − 2x + x − 2) (x + 3) = = (x2 − x − 2) (x + 3) = = x2 (x + 3) − x (x + 3) − 2 (x + 3) = = x3 + 3x2 − x2 − 3x − 2x − 6 = = x3 + 2x2 − 5x − 6

При решаване на Задача 2 показахме, че асоциативното свойство на умножението е в сила и при многочлените. u (v w) = (u v) w = u v w Това свойство ни подсказва правило за умножаване на повече от два многочлена.

ЗАДАЧА 3 Извършете умножението (x + 2) (x2 − x + 1) (x − 2).

Решение: (x + 2) (x2 − x + 1) (x − 2) = (x + 2) (x − 2) (x2 − x + 1) =

= (x2 + 2x − 2x − 4) (x2 − x + 1) = = (x2 − 4) (x2 − x + 1) = = x2 (x2 − x + 1) − 4 (x2 − x + 1) = = x4 − x3 + x2 − 4x2 + 4x − 4 = = x4 − x3 − 3x2 + 4x − 4 Към съдържанието

ЗАДАЧА 4 Извършете умножението (x2 − 3x + 2) (x2 + 3x + 2). Решение: (x2 − 3x + 2) (x2 + 3x + 2) = = x2 (x2 + 3x + 2) − 3x (x2 + 3x + 2) + 2 (x2 + 3x + 2) = = x4 + 3x3 + 2x2 − 3x3 − 9x2 − 6x + 2x2 + 6x + 4 = = x4 − 5x2 + 4

ЗАДАЧА 5 Намерете числената стойност на израза

A = (3x − 5) (x + 2) − (x − 3) (x − 4) за x = 1 . 2 Решение: A = (3x − 5) (x + 2) − (x − 3) (x − 4) = = 3x (x + 2) − 5 (x + 2) − (x (x − 4) − 3 (x − 4)) = = 3x2 + 6x − 5x − 10 − (x2 − 4x − 3x + 12) = = 3x2 + 6x − 5x − 10 − x2 + 4x + 3x − 12 = = 2x2 + 8x − 22 За x = 1 A = 2 . 1 + 8 . 1 − 22 = 1 + 4 − 22 = 1 − 18 = −17 1 . 4 2 2 2 2 2

ЗАДАЧА 6 Намерете най-малката стойност на израза A и стойността на x, за която тя се

получава, ако A = (x2 − 3) (x4 + 3x2 + 9). Решение: A = (x2 − 3) (x4 + 3x2 + 9) = =x2 (x4 + 3x2 + 9) − 3 (x4 + 3x2 + 9) = =x 6 + 3x 4 + 9x 2 − 3x 4 − 9x 2 − 27 = x6 − 27, A = x6 − 27 За да приеме изразът x6 − 27 най-малка стойност, трябва x6 да бъде най-малко. x6 ≥ 0 за всяка стойност на х и най-малката му стойност се получава при x = 0. Тогава най-малката стойност на А е −27.

ЗАДАЧИ

1 Извършете умножението и намерете

коефициента на члена от втора степен в получения многочлен: а) (x + 3) (x2 − 5x + 4); б) (x2 + 5) (x2 − 3x − 2); в) (x + 2) (x2 − x); г) (x2 − 7x + 2) (3x − 4). 2 Извършете умножението: а) (x + 2) (x − 2) (x2 + 4); б) (2x − 3) (2x + 3) (4x2 + 9); в) (x2 + 3) (x2 − 3) (x4 + 9); г) (xy − 5) (xy + 5) (x2y2 + 25). 3 Приведете в нормален вид изразите: а) (x − 2) (x + 1) − (x + 3) (x + 5);

Към съдържанието

б) 2x (x − 2) − (x + 5) (x − 3); в) x2 (x2 − 3) − (x + 1) (x3 + 5); г) (3x − y) (x − 2) − (x + y) (x − y). 4 Намерете числената стойност на изразите: а) A = (x + 5) (x − 2) − (x + 3) (x − 4) + 4x за x = − 7 ; 8 2 б) B = (x + 3) (x2 − 1) − (x − 5) (x3 + 4) за x = −2. 5 Извършете умножението и намерете най-малката стойност на изразите: a) A = (3a − 4) (3a + 4); б) B = (x2 + 2) (x4 − 2x2 + 4).

14.

ТЪЖДЕСТВЕНИ ИЗРАЗИ При действията с многочлени въведохме понятията тъждествено равни рационални изрази и тъждествено преобразуване. Тези понятия използвахме при правилата за действия с многочлени и при привеждането на многочлени в нормален вид. Примери: 3 xy + 7 xy = 10 xy ; 2 xy . 3 xy = 6 x 2 y 2 . Изразите (3 xy + 7 xy ) и (10xy ) са тъждествено равни, защото за произволни стойности на променливите x и y те получават равни числени стойности. Примери: за x = 1, y = 0 3 xy + 7 xy = 0 и 10xy = 0; за x = 1, y = 1 3 xy + 7 xy = 10 и 10xy = 10.

Равенство, двете страни на което са тъждествено равни изрази, се нарича тъждество.

Основни тъждества: !

u . v = v .u u +v = v+u (u + v) + w = u + (v + w) (u . v). w = u .(v . w) u.(v + w) = u.v + u.w

За записване на тъждества ще използваме буквите на латинската азбука. Уговаряме се буквите a, b, c, ... , x, y, z, u, v, w да означават променливи величини или многочлени. Когато е дадено равенство, свързващо два израза, има две възможности: то или е тъждество, или не е тъждество. Има различни начини да установим коя от тези възможности е изпълнена.

ЗАДАЧА 1 Покажете, че равенството ( x + 2)( x − 3) = x( x − 1) − 6 е тъждество. Решение:

( x + 2)( x − 3) = x( x − 1) − 6 u v u = ( x + 2)( x − 3) = x 2 + 2 x − 3 x − 6 = x 2 − x − 6 v = x( x − 1) − 6 = x 2 − x − 6

Изразите u и v имат един и същ нормален вид x2 - x - 6, от което следва, че за всяка стойност на х получават равни числени стойности. Изразите u и v са тъждествено равни и равенството u = v е тъждество.

ЗАДАЧА 2 Покажете, че равенството ( x − 1)( x 2 − x − 2) = ( x + 2)( x 2 − 1) не е тъждество.

Решение: I начин: С даване на конкретни стойности на х в равенството. Заместваме променливата x в лявата и дясната страна с конкретни стойности и сравняваме получените резултати. За x = 1 се получава 0 = 0 ; за x = −1 се получава 0 = 0 ; за x = 0 се получава 2 ≠ -2. Тъй като при x = 0 лявата и дясната страна имат различни числени стойности, правим извод, че равенството не е тъждество.

Към съдържанието

II начин: С прилагане на правилата за действия с многочлени. Привеждаме двете страни на равенството в нормален вид: ,, .. Получихме, че двете страни на равенството се преобразуват в многочлени, които имат различен нормален вид. Следва, че равенството не е тъждество. III начин: С преобразуване разликата на двата израза. Ако разликата на двата израза се окаже равна на 0, ще следва, че те са тъждествено равни и равенството е тъждество.

Получихме, че разликата на двата израза не е тъждествено равна на 0. Следва, че равенството не е тъждество. Да сравним трите начина. Първия начин използваме само когато искаме да докажем, че едно равенство не е тъждество. Достатъчно е да намерим само една стойност на променливата, за която двата израза имат различна числена стойност, за да твърдим, че даденото равенство не е тъждество. По този начин не може да се докаже, че равенството е тъждество. Вторият и третият начин винаги водят до отговор на въпроса тъждество ли е дадено равенство, или не.

ЗАДАЧА 3 Докажете тъждеството ( x 2 − x)( x + 1) = ( x − 1)( x 2 + x) . ( x 2 − x)( x + 1) = ( x − 1)( x 2 + x) u v Означаваме изразите от двете страни на равенството с u и v. Преобразуваме всеки от тях. I начин: II начин: 2 3 2 2 3 u = ( x − x)( x + 1) = x + x − x − x = x − x Решение:

v = ( x − 1)( x 2 + x) = x 3 + x 2 − x 2 − x = x3 − x Получихме, че изразите u и v имат един и същ нормален вид u = v , т.е. са тъждествено равни изрази. Следва, че равенството е тъждество.

ЗАДАЧИ

Проверете тъждество ли е равенството: 8 x 2 − 3 x − 4 = ( x + 1)( x − 4) ; 1 (a + 5)(a − 1) = a(a − 1) + 5a − 1 ; 9 6 − ( x + 3)( x + 2) = − x( x + 5) ; 2 2 p( p + 3) − p − 3 = ( p + 3)( p − 1) . 10 (2 − y )( y − 2) = 4( y − 1) − y ; Докажете, че равенството не е тъждество: 11 3 x( x − 5) − ( x − 1) = x(3 x − 1) − 15 x + 1; 3 5( x − 3) − x = 3( x − 5) ; 12 (3x − 1)(1 − x) = 3x(1 − x) − (1 − x) ; 4 ( x + 1)( x − 5) = x 2 − 4( x + 1) ; 13 (b + 5)(b − 1) − b(b + 2) = 2b − 5 ; 5 2( x + 3) − x = x + 4 . 14 (u + v)(u − v) − u (u + 2v) = −v(2u + v); 2 2 Докажете тъждествата: 15 (a + 5a)(2 − a − a ) = 3 = −a (a + 6) − a (3a − 10) ; 6 3 + a = 3(2a + 1) − 5a ; 2 2 2 7 ( x − 1)( x − 2) = x − 3x + 2 ; 16 (m + n)(m + n) = m + 2mn + n .

Към съдържанието

15.

ТЪЖДЕСТВАТА

(a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2

ЗАДАЧА 1 Докажете тъждествата:

(2) (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 .

(1) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ; Решение: (a + b) 2 = a 2 + 2 ab + b2 u v 2 u = (a + b) = (a + b)(a + b) =

( a − b) 2 = a 2 − 2 ab + b2 u v u = (a − b) 2 = (a − b)(a − b) =

= a 2 + ab + ab + b 2 =

= a 2 − ab − ab + b 2 =

= a 2 + 2ab + b 2

= a 2 − 2ab + b 2

v = a 2 + 2ab + b 2 Следва, че u = v , т.е. равенството (1) е тъждество.

v = a 2 − 2ab + b 2 Следва, че u = v , т.е. равенството (2) е тъждество.

Тъждествата от Задача 1 обосновахме, като използвахме знанията за степени и действия с многочлени. Тъждествата (1) и (2) са верни за всяка стойност на а и b и са известни като формули за съкратено умножение.

Формули за съкратено умножение: (а + b)2 = a2 + 2ab + b2, (а – b)2 = a2 – 2ab + b2. ЗАПОМНЕТЕ! (1) (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 ,

(2) (a − b) 2 = a − 2 a b + b .

Квадратът на сбор от два израза a и b е равен на квадрата на първия израз плюс удвоеното произведение на I и II израз, плюс квадрата на втория израз.

Квадратът на разлика от два израза a и b е равен на квадрата на първия израз минус удвоеното произведение на I и II израз, плюс квадрата на втория израз.

I II

Записваме схематично: (I + II)2 = I2 + 2.I.II + II2 (I – II)2 = I2 – 2.I.II + II2

ЗАДАЧА 2 Извършете степенуването: а) ( x + y ) 2 ; ( x − y ) 2 ; Решение:

а) ( x + y ) 2 = x 2 + 2 xy + y 2 2

( x − y ) = x − 2 xy + y

I II

Четем: (първото + второто)2 = = първото2 + 2 пъти първото . второто + второто2 (първото − второто)2 = = първото2 − 2 пъти първото . второто + второто2

б) ( x + 5) 2 ; ( x − 5) 2 . б)

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 Извършете степенуването:

а) (1 + 2 x) 2 ; (1 − 2 x) 2 ; б) (3a + 5b) 2 ; (3a − 5b) 2 . Решение: а) (1 + 2 x) 2 = 12 + 2 .1. 2 x + (2 x) 2 = 1 + 4 x + 4 x 2 (1 − 2 x) 2 = 12 − 2 .1. 2 x + (2 x) 2 = 1 − 4 x + 4 x 2 б) (3a + 5b) 2 = (3a ) 2 + 2 . 3a . 5b + (5b) 2 = 9a 2 + 30ab + 25b 2 (3a − 5b) 2 = (3a ) 2 − 2 . 3a . 5b + (5b) 2 = 9a 2 − 30ab + 25b 2

ЗАДАЧА 4 Опростете изразите:

а) ( x + 3) 2 − (1 − x) 2 ; б) (2 x + 3) 2 − 2( x − 5) 2 − x(2 x + 7).= Решение: = (2 x) 2 + 2 . 2 x . 3 + 32 − 2( x 2 − 2 . x . 5 + 5 2 2 2 2 2 2 а) ( x + 3) − (1 − x) = x + 2 . x . 3 + 3 − (1 − 2 .1. x + x ) = = 4 x 2 + 12 x + 9 − 2 x 2 + 20 x − 50 − 2 x 2 = x2 + 6 x + 9 −1 + 2 x − x2 = 8x + 8

б) (2 x + 3) 2 − 2( x − 5) 2 − x(2 x + 7) = = (2 x) 2 + 2 . 2 x . 3 + 32 − 2( x 2 − 2 . x . 5 + 52 ) − 2 x 2 − 7 x = = 4 x 2 + 12 x + 9 − 2 x 2 + 20 x − 50 − 2 x 2 + - 7 x = 25 x − 41.

Геометричен смисъл на формулата за съкратено умножение (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Aко a > 0, b > 0, тъждеството (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 има следното геометрично тълкуване: b a+b

a a+b

ЗАДАЧИ

Извършете степенуването:

22 2 22 2 22 2 22 ( x(−x (2−x)22−); 22;) 2 ; (28 (−2(2− (x2a)(x22−+);a25x;+b) 2)5;b;) ; (3m(3+m2+n)2n;) ; (6a(6+a7+c)7c;) ; (2n(2+n7+p7) p; . 22 2 22 2 22 2 9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 25 22− 2)2b; ) ; ( 2m ( 5 a ( − a b ( 2 − m 3 − n ) 3 n ; ) ; ( 7 a ( 7 − a 6 − c ) 6 c ;) ; (7n(7−n2−p2) 22p. ) (a2 (+ a 1(+)a1+ ); 1;) ; (a(− a 1(−)a1− ); 1;) ; (a(+ a (+ 2a)2+); 2;) ; (a(− a (2−a)2−); 2;) ; Приведете в нормален вид изразите: (23 (x2 + x(21+x)12+ );21;) 2 ; (2(x2 − x(21−)x12− );21;) 2 ; (1(+1 +2(1x2+)x22);2x;) 2 ; (1(−1 −2(1x2−)x22);2x;)222; 10 ( x( +x +y )y )+ +( x( −x −y )y2);2 ; ( x( +x +y )y2)−2 −( x( −x −y )y2);2 ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( x4 (+x (+ ax)a+); a;) ; (b(− b− (xb)x−); x;) ; (a(+ a (+ ca)c+); c;) ; (m(m −(− nm)n2−); 2n;) 2 ; 11 (a(−a b−)b2 )+2 (+a(+a b+)b2 ;) 2 ; (a(−a b−)b2 )−2 (−a(+a b+)b2 ;) 2 ; 5 ((22xx(+2+xyy+))22;y;) 2 ; ((xx++( x22+yy)2)22;y;) 2 ; ((xx++( x55+ yy)5)22;y;) 2 ; ((5512 xx(+5+2x(yy2x+))(2−2x;y;1)−)21+; )(+x(−x1−) 21;) 2 ; 2( 2x(−x1−) 1−)(−x(−x1−) 21;) 2 ;

( x1 (−x 1(−)x12 − ); 21;) 2 ;

(1(−1 − x(1)x2−); 2x;) 2 ;

(6 2(2mm (−2−m 33)−2);23;) 2 ; (3(3aa(−3−2a2)−2);22;) 2 ; (5(5−−(353b−b) 2)3;2b;) 2 ; (4(13 4−− (74(7na−(n)a−2)7;2−nx;)x22);+2 +2(23(3−−x)x2);2 ; ( x( x++1)12)+2 +2(2x( x++2)22);2 ;

((55++(544a+a))422a;;) 2 ; ((55−−(544a−a))422a;;) 2 ; ((66xx(−6−xyy− ))22;y;) 2 ; ((6614 xx(+6+(xyay(+)a)−22;y−;x))x22);2−−2(23(3−−x)x2);2 ; ( x( x++1)12) 2−−2(2x( x−−2)22).2 . 7

Към съдържанието

16.

ТЪЖДЕСТВАТА УПРАЖНЕНИЕ

(a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 .

Ще разгледаме приложения на формулите (1) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (2) (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 . Ако сравним двете формули за съкратено умножение, забелязваме, че те се различават само по знака пред удвоеното произведение. Двете формули за съкратено умножение могат да се запишат заедно: (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 .

Формулата (2) за (a – b)2 е следствие от формулата (1) за (a + b)2, когато a – b се разглежда като сбор a + (–b): (a – b)2 = (a + (–b))2 = a2 + 2a(–b) + (–b)2 = a2 – 2ab + b2. ПРИЛОЖЕНИЯ • При повдигане на квадрат на сбор или разлика на два по–сложни израза

ЗАДАЧА 1 Извършете степенуването:

(

)

(

)

2 3 4 б) ax y − 1 z . 3

2 а) a + b 2 c ; 2 Решение:

а) б) • При повдигане на тричлен на квадрат

ЗАДАЧА 2 Повдигнете на квадрат: а) (a + b + c) 2 ;

б) (a + b − c) 2 ;

в) (a − b − c) 2 .

Решение: а) (a + b + c) 2 = (a + b) 2 + 2 (a + b) c + c 2 = a 2 + 2ab + b 2 + 2ac + 2bc + c 2 = I

= a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc

Получихме формулата (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc . б) в) Формулата за (a − b − c) 2 например може да се получи, като използваме формулата (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc по следния начин: (a − b − c) 2 = (a + (−b) + (−c)) 2 = a 2 + (−b) 2 + (−c) 2 + 2a (−b) + 2a (−c) + 2(−b)(−c) = = a 2 + b 2 + c 2 − 2ab − 2ac + 2bc .

Към съдържанието

• За по–бързо пресмятане на квадратите на някои числа

ЗАДАЧА 3 Пресметнете: а) 512;

б) 1022;

в) 492.

Решение: а) б) в) • При опростяване на изрази

ЗАДАЧА 4 Опростете изразите:

2 2 в) (2 + x) − 2( x + 1) .

а) (a − 1) 2 + (a + 1) 2 − a (a − 1) ; б) (2 − x) 2 − ( x + 2) 2 ; Решение:

а) (a − 1) 2 + (a + 1) 2 − a (a − 1) = a 2 − 2a + 1 + a 2 + 2a + 1 − a 2 + a = a 2 + a + 2 б) (2 − x) 2 − ( x + 2) 2 = 22 − 2 . 2 x + x 2 − ( x 2 + 2 x . 2 + 22 ) = 4 − 4 x + x 2 − x 2 − 4 x − 4 = −8 x в) (2 + x) 2 − 2( x + 1) 2 = 22 + 2 . 2 x + x 2 − 2( x 2 + 2 x + 1) = 4 + 4 x + x 2 − 2 x 2 − 4 x − 2 = − x 2 + 2

ЗАДАЧА 5 Извършете действията:

(

)

(

) (

а) 1 a 2 − 1 b 2 ; 2 3 Решение: а) 1 a 2 − 1 b 2 2 3

2 б) (3 − a + b) .

2 2 = a −b 2 3

) ( ) 2

2 = a 2

( ) = a4 − 13 a b + b9

2 2 2 − 2⋅ a ⋅ b + b 2 3 3

2 2

б) (3 − a + b) 2 = 32 + a 2 + b 2 − 2 . 3 . a + 2 . 3 . b − 2 . a . b = 9 + a 2 + b 2 − 6a + 6b − 2ab

ЗАДАЧИ

Извършете действията: 2 2 (5 + y 2 ) 2 ; 1 ( x + 2) ;

2 (a 2b + 1)2 ;

(

3 a 2 + 1 ;

(2 + x 2 y ) 2 ;

2 2

(x + y ) ; (3x 2 y + z )2 ;

( 12 + xy ) ; ( m2 + n2 ) ; 2

Като използвате формулата (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 , пресметнете степените: 9 422; 532; 10 1032; 10012;

11 992; 682;

12 1992; 2992;

2 2 2 (0(,104,+ 1(x+0),x21;)+ ; x) 2 ;(a(2a+2 0+(,a022,)2+2 ;)02,; 2)(2x;(2x+2 0+(,x032,y3+)y20;),23; y ) 213 ; 198 ; 298 . Извършете действията: 5 ( x + y + z )2 ; (2 x + y + 1)2 ; 2 6 (ab − mn) ;

( xy − z 2 ) 2 ;

7 8 ( x + y − z ) 2 ; Към съдържанието

( x − y − z )2 .

(mn − pq) 2 ;

14 (3 − x) 2 + 2( x − 2) 2 − 9 ; 15 (3a + 7) 2 − a(3 − 7a) 2 ; 16 −( x − y ) 2 + 5(1 − x) 2 − 3( y − 1) 2 ; 17 6( x − 1) 2 − 5( x − 2) 2 + 4( x − 5) .

17.

ТЪЖДЕСТВАТА

ЗАДАЧА 1 Докажете тъждествата:

3 3 2 2 3 а) (a + b) = a + 3a b + 3ab + b ;

3 3 2 2 3 б) (a − b) = a − 3a b + 3ab − b .

Доказателство: 3 2 а) u = (a + b) = (a + b) (a + b) = = (a 2 + 2ab + b 2 )(a + b) = = a 3 + a 2b + 2a 2b + 2ab 2 + ab 2 + b3 = = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 = v ,

т.е. равенството е тъждество. u = v ,⇒

3 2 б) u = (a − b) = (a − b) (a − b) = = (a 2 − 2ab + b 2 )(a − b) = = a 3 − a 2b − 2a 2b + 2ab 2 + ab 2 − b3 = = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3 = v , u = v ,⇒т.е. равенството е тъждество.

Доказахме, че равенствата са верни за произволни стойности на a и b. Ако разликата (a − b) се представи като сбор (a + (−b)) , то формулата за (a − b)3 може да се изведе и така: ((a + (–b))3 = a3 + 3a2(–b) + 3a(–b)2 + (–b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3. Първата формула за съкратено умножение може да се изкаже и така: Кубът на двучлен е равен на куба на първото събираемо плюс утроеното произведение на квадрата на първото с второто, плюс утроеното произведение на квадрата на второто с първото, плюс куба на второто събираемо.

Формули за съкратено умножение: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 , (a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 .

Ако номерираме събираемите с I и II, формулата (a + b)3 = a33 + 3 a22 b + 3 a b 22 + b33 I

записваме схематично (I + II ) 3 = I 3 + 3 . I 2 . II + 3 . I . II 2 + II 3 и четем

I II

(първото + второто)3 = първото на куб + три пъти първото на квадрат по второто + три пъти първото по второто на квадрат + второто на куб. Формулата за (a − b)3 записваме така: (I − II ) 3 = I 3 − 3 . I 2 . II + 3 . I . II 2 − II 3 .

ЗАДАЧА 2 Извършете степенуването: a) (a − 2)3 ;

б) (3 + x)3 ;

в) ( p −1)3 .

Решение: в) ( p − 1)3 = б) (3 + x)3 = а) (a − 2)3 = 2 3 3 2 2 3 3 2 = a 3 − 3 . a 2 . 2 + 3 . a . 22 − 23 = = 3 + 3 . 3 . x + 3 . 3 . x + x = = p − 3 . p .1 + 3 . p.1 − 1 = = p3 − 3 p 2 + 3 p − 1 = 27 + 27 x + 9 x 2 + x3 = a 3 − 6a 2 + 12a − 8

Към съдържанието

ПРИЛОЖЕНИЯ Формулите за повдигане на двучлен на трета степен се използват: • При повдигане на куб на сбор или разлика на два по–сложни израза

ЗАДАЧА 3 Извършете степенуването: а) (2 x + 3)3 ;

б) ( x 2 − 3 y )3 .

Решение: б) ( x 2 − 3 y )3 = = ( x 2 )3 − 3.( x 2 ) 2 . 3 y + 3. x 2 .(3 y ) 2 − (3 y )3 = = x 6 − 3x 4 . 3 y + 3x 2 . 9 y 2 − 27 y 3 = = x 6 − 9 x 4 y + 27 x 2 y 2 − 27 y 3

а) (2 x + 3)3 = = (2 x)3 + 3 .(2 x) 2 . 3 + 3 . 2 x . 32 + 33 = = 8 x3 + 3 . 4 x 2 . 3 + 6 x . 9 + 27 = = 8 x3 + 36 x 2 + 54 x + 27 • При опростяване на изрази

ЗАДАЧА 4 Опростете изразите:

3 2 а) ( x + 2) − x( x − 2) ;

б) (1 − x 2 )(1 + 8 x) − (1 − 2 x)3 .

Решение: а) ( x + 2)3 − x( x − 2) 2 = x3 + 3 x 2 . 2 + 3 x . 22 + 23 − x( x 2 − 4 x + 4) = = x3 + 6 x 2 + 12 x + 8 − x3 + 4 x 2 − 4 x = 10 x 2 + 8 x + 8 ; б)

• При доказване на тъждества a − b)3 = −(b − a )3 . ЗАДАЧА 5 Докажете тъждеството ( Доказателство:

u v 3 u = (a − b) = a − 3a b + 3ab − b v = −(b − a )3 = −(b3 − 3b 2 a + 3ba 2 − a 3 ) = −b3 + 3b 2 a − 3ba 2 + a 3 = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3 ⇒ u=v⇒ , т.е. равенството е тъждество. 3

ЗАДАЧИ

Извършете действията: ( x − y )3 ; 1 (m + n)3 ; ( 2 − x )3 ; 2 (a + 2)3 ; 3 ( x − 1)3 ; 3 ( x + 1) ;

( p + q) ; (m + 3)3 ; (1 − a )3 ;

4 (1 − 2 x) ; 3 5 (1 + ab) ; 6 (2 x − 3)3 ;

(1 + 3 x) ; (1 + xy )3 ; (3a + 2)3 ;

(1 − 4a ) ; (1 + ax)3 ; (a + 5b)3 ;

7 (3a − 2b)3 ; 8 ( x 2 − 2) 3 ; 2 3 9 ( x − 2a ) ;

(2a + 3b)3 ;

( 2 x − 5 y )3 ;

(3 − y 2 )3 ; (3a − y )3 ;

(1 − z 2 )3 ; (1 − 5 z 2 )3 ;

Към съдържанието

( )

10 x − 12 ; 11 ( x3 − a)3 ;

1−y ; 3 ( x 3 + a 2 )3 ;

12 ( x − 2a 2 )3 ;

( x 2 + 3 y 2 )3 ;

( )

a+ 2 ; 3 3 ( x − a 2 )3 ;

(

)

2 3

x 2 − a .; 2

Извършете действията: ( x + 1) 2 − ( x − 2)3 ; 13 ( x − 1)3 − ( x + 1)2 ; 14 ( x + 1)( x − 1)( x − 2)3 ; 3( x + 1)2 − 2( x − 2)3 ; 2 3 15 ( x − 1)3 − 2( x + 1)2 ;3(− x3−(1x)+ +1)22 (−2 2−(xx)−.2)3 . 16 Докажете тъждеството ( − a − b)3 = −( a + b)3 .

18.

ТЪЖДЕСТВОТО

2 ЗАДАЧА 1 Докажете тъждеството ( a + b)(a − b) = a − b2 .

Решение:

u = (a + b)(a − b) = a (a − b) + b(a − b) = a 2 − ab + ab − b 2 = a 2 − b 2 = v u = v ,⇒ т.е. равенството е тъждество. Доказахме, че равенството е вярно за произволни стойности на а и b, т.е. е тъждество.

Формула за съкратено умножение: (a + b)(a − b) = a 2 − b 2, Произведението на сбора и разликата на два израза е равно на първия израз на квадрат минус втория израз на квадрат. Ако номерираме a и b съответно с I и II, (a + b)(a − b) = a22 − b 22 2

записваме схематично (I + II )(I − II ) = I − II и четем (първото + второто) по (първото – второто) = първото2 – второто2.

ЗАДАЧА 2 Извършете умножението: а) (u + v)(u − v) ;

б) (a − 2)(a + 2) ;

в) ( x + 3)( x − 3) .

б) (a − 2)(a + 2) = a 2 − 4

в) ( x + 3)( x − 3) = x 2 − 9

Решение: а) (u + v)(u − v) = u 2 − v 2

ПРИЛОЖЕНИЯ Тъждеството (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 се използва: • При умножаване на сбор и разлика на по–сложни изрази

ЗАДАЧА 3 Извършете умножението: а) (5 x + 2 y )(5 x − 2 y ) ; Решение:

2 3 5 2 3 5 б) (3a x − 5ax )(3a x + 5ax ) .

а) (5 x + 2 y )(5 x − 2 y ) = (5 x) 2 − (2 y ) 2 = 25 x 2 − 4 y 2 б) (3a 2 x3 − 5ax5 )(3a 2 x3 + 5ax5 ) = (3a 2 x3 ) 2 − (5ax5 ) 2 = 9a 4 x 6 − 25a 2 x10 • При умножаване на някои тричлени

ЗАДАЧА 4 Извършете умножението:

а) (a + b − c)(a + b + c) ; б) (a − b + x)(a − b − x) . Решение: а) (a + b − c)(a + b + c) = (a + b) 2 − c 2 = a 2 + 2ab + b 2 − c 2 б) (a − b + x)(a − b − x) = (a − b) 2 − x 2 = a 2 − 2ab + b 2 − x 2

Към съдържанието

• При пресмятане произведенията на някои числа

ЗАДАЧА 5 Като използвате формулата (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 , пресметнете произведенията: а) 27 . 33; Решение:

б) 62 . 58.

2 2 а) 27 . 33 = (30 − 3)(30 + 3) = 30 − 3 = 900 − 9 = 891 б)

• При опростяване на изрази

ЗАДАЧА 6 Извършете умножението:

)(

(

)

б) 2 m + 3 n 2 m − 3 n . 3 4 3 4

а) ( x − 7 y )( x + 7 y ) ; Решение: а) ( x − 7 y )( x + 7 y ) = x 2 − (7 y ) 2 = x 2 − 49 y 2

)(

(

) ( ) ( ) = 94 m − 169 n 2

б) 2 m + 3 n 2 m − 3 n = 2 m − 3 n 3 4 3 4 3 4

ЗАДАЧА 7 Опростете изразите:

а) (a + 3)(a − 3)(a 2 + 9) ; Решение:

б) (a 2 − 1) 2 − (a − 1)(a 2 + 1)(a + 1) .

а) (a + 3)(a − 3)(a 2 + 9) = (a 2 − 9)(a 2 + 9) = a 4 − 81 б) (a 2 − 1) 2 − (a − 1)(a 2 + 1)(a + 1) = (a 2 − 1) 2 − (a − 1)(a + 1)(a 2 + 1) = = a 4 − 2a 2 +11 − (a 2 − 1)(a 2 + 1) = a 4 − 2a 2 + 1 − (a 4 − 1) = = a 4 − 2a 2 + 1 − a 4 + 1 = −2a 2 + 2 • При доказване на тъждества

ЗАДАЧА 8 Докажете тъждеството (a 2 − 3)(a 2 + 3) = (a 2 − 1)2 − 2(5 − a 2 ) . Решение:

u = (a 2 − 3)(a 2 + 3) = a 4 − 9 ⇒ u = v , т.е. равенството е тъждество. Извършете умножението: (a + 1)( 2)(a − 2); 1a (−a1+);1)(a − 1); (a + 2)(a(a− +2);

ЗАДАЧИ

(a + 32 )(a(a−+33);)(a − 3); (2 − x)(2(2+−xx);)(2 + x); 2 (a 3− 1()( a 2a−2 1+)(1); a 2 + 1); ( x 2 + 4( x)(2x+2 4−)(4x);2 − 4); (5 4 − 3(x5)(−53+x3)(x5);+ 3 x); (4a −(14)(a4−a1+)(14);a + 1); 5 (2a + 3b)(2a − 3b); (5 x + 2 y )(5 x − 2 y );

6 ( x 2 − y )( x 2 + y ); (2 x 2 − 3 y )(2 x 2 + 3 y ); 7 (2a 2 + b)(2a 2 − b); ( x 2 + 3 y 2 )( x 2 − 3 y 2 ); 8 m + 4 m − 4 ; 1+ n 1− n ;

( 3 )( 3 ) ( 2 )( 2 )

Към съдържанието

9 ( x + y + 1)( x + y − 1); (a − b + 2)(a − b − 2). 10 Пресметнете рационално: а) 22.18; б) 95.105; в) 71.69; г) 59.61. Опростете изразите: 11 (3 + a)(3 − a)(9 + a 2 ) ; 12 ( x + 3)( x − 3)( x − 3)( x + 3) ; 2 13 −(a − 5)(a + 5) − (a − 5) ;. Докажете тъждествата: 14 (a + 1)(a − 1) + 2 = (a − 1)2 + 2a ; 15 (3 + 4 x)(3 − 4 x) − 3( x 2 − 4) = 21 − 19 x 2.

19.

ФОРМУЛИ ЗА СЪКРАТЕНО УМНОЖЕНИЕ. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Опростете изразa ( x − 2)3 − x(3 − x)2 . Решение: ( x − 2)3 − x(3 − x) 2 = x3 − 3 . x 2 . 2 + 3 . x . 22 − 23 − x(9 − 6 x + x 2 ) = = x3 − 6 x 2 + 12 x − 8 − 9 x + 6 x 2 − x3 = 3 x − 8 .

ЗАДАЧА 2 Намерете формула за разликата

от лицата н а правоъгълника ABCD и квадрата MNPQ. Решение: S ABCD − S MNPQ = ( x + 3)( x + 2) − ( x + 1) 2 = x 2 + 3 x + 2 x + 6 − ( x 2 + 2 x + 1) = = x 2 + 3x + 2 x + 6 − x 2 − 2 x − 1 = 3x + 5

ЗАДАЧА 3 Намерете числената стойност на израза

A = (2 x + 1) 2 + ( x − 2) 2 − 5 x( x − 1) за x = 0, 2 . Решение: A = (2 x + 1) 2 + ( x − 2) 2 − 5 x( x − 1) = = 4 x2 + 4 x + 1 + x2 − 4 x + 4 − 5x2 + 5x = 5x + 5 За x = 0, 2 A = 5 . 0, 2 + 5 = 1 + 5 = 6 .

ЗАДАЧА 4 Намерете числената стойност на израза

)(

(

)( )

A = x − 1 x + 1 − x +1 2 3 2 3 2 Решение:

за x = 8 . 9

( )( ) ( )   = ( x ) − ( 1 ) −  ( x ) + 2 ⋅ x ⋅1 + 1  = 2 3 2  2 

A= x−1 2 3 2

x + 1 − x +1 = 2 3 2 2

2 2 = x − 1 − x − x −1 = − 1 − x −1 = −x −1 1 . 9 9 4 9 4

A = − x −1 1 9 8 За x = 9 A = − 8 − 1 1 = −2 . 9 9

ЗАДАЧА 5 Докажете, че стойността на израза

A = (2 x + 1)3 − 2 x(2 x − 3) 2 − 12 x(3 x − 1) е константа.

Решение: A = (2 x + 1)3 − 2 x(2 x − 3) 2 − 12 x(3 x − 1) = = (2 x)3 + 3 .(2 x) 2 .1 + 3 . 2 x .12 + 13 − 2 x(4 x 2 − 12 x + 9) − 36 x 2 + 12 x = = 8 x3 + 12 x 2 + 6 x + 1 − 8 x3 + 24 x 2 − 18 x − 36 x 2 + 12 x = 1

Към съдържанието

ЗАДАЧА 6 Намерете най–голямата стойност на израза

( )( )

A = (0, 5 x + 1) 2 − x + 3 x − 3 − x(1 + 3 x) . 2 2 Решение: 2 2 A = (0, 5 x + 1) 2 − x + 3 x − 3 − x(1 + 3x) = x + 2 ⋅ x ⋅1 + 12 − x − 9 − x − 3 x 2 = 2 2 4 2 4 2 2 = x + x + 1 − x + 9 − x − 3 x 2 = 10 − 3 x 2 4 4 A = 10 − 3 x 2 Най–голямата стойност на разликата 10 − 3 x 2 се получава при най-малката стойност на умалителя 3х2, т.е. при x = 0 . Най-голямата стойност на израза А е 10.

(

( )( )

)

ЗАДАЧА 7 Намерете нормалния вид на многочлена, тъждествено равен на израза

A = (2 x − m)(2 x + m) − ( x + m + 3) 2 . За коя стойност на параметъра m коефициентът на члена от първа степен е 10? Решение:

Коефициентът на члена от първа степен е −2m − 6 . –2m – 6 = 10 при m = –8.

ЗАДАЧИ

Опростете изразите: 1 (2 x − 5)2 − (3x − 4)(3x − 2) ;

8 A = (2 x − 1)2 − 2 x 2 − ( x + 1)(2 x − 3) + 3x ; 9 B = ( x + 1)3 − x( x 2 + 3x + 3) + 5 .

2 (5 x − 6)2 − (4 x − 9)2 ; 3 (2 x + 1)2 − (2 x − 0, 5)2 − 34 ;

Намерете най-малката стойност на израза: 10 A = ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) − ( x − 3)3 − 9(1 − 3x) ; 2 3 2 4 3x + ( x − 1) − ( x − 2)( x + 2 x + 4) . 11 C = 5, 5( x − 1)2 − 3 1 ( x − 2)2 − 1 1 ( x + 1)2. 6 3 Намерете числената стойност на израза: 12 Н амерете нормалния вид на много2 2 5 A = (2 x + 1) − 3x( x + 3) − ( x − 2) за: члена, тъждествено равен на израза 1 A = (2m − x) 2 − (2m − 1)( x + 1) 2 − 4m 2 . а) x = −1, 3 ; б) x = −2 ; в) x = −15 ; 7 За коя стойност на параметъра m 6 B = ( x + 2)3 − x( x + 5)( x + 2) − 3x( x + 7) за: коефиц иентът на члена от първа 1 степен е 10? а) x = −3 ; б) x = −2 ; в) x = − ; 2 13 Намерете нормалния вид на много7 C = x − 3 x + 1 − x 2 x + 1 − x + 5 за: члена, тъждествено равен на израза 3 2 2 3 B = ( x 2 − m) 2 − ( x − 3)(3mx − 1) − ( x + m) 2. а) x = − 0, 4 ; б) x = −1, 2 ; в) x = −2, 4 . За коя стойност на параметъра т Докажете, че стойността на израза е коефициентът на члена от втора стеконстанта за всяко х: пен е −6?

( )( ) (

Към съдържанието

)

20.

ТЪЖДЕСТВАТА

ЗАДАЧА 1 Докажете тъждествата:

а) (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b3 ; Решение: 3 а) (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = a + b3 v u 2 2 u = (a + b)(a − ab + b ) = = a 3 − a 2b + ab 2 + a 2b − ab 2 + b3 = = a 3 + b3 = v ⇒ u = v ,⇒ т.е. равенството е тъждество.

б) (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b3 . 3 a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = a − b3 б) ( v u 2 2 u = (a − b)(a + ab + b ) = = a 3 + a 2b + ab 2 − a 2b − ab 2 − b3 = = a 3 − b3 = v ⇒ u = v ,⇒ т.е. равенството е тъждество.

За по–лесно запомняне на тъждествата a 3 + b3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b3 или a 3 − b3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b3 ще имаме предвид следното: Изразите a 2 + 2ab + b 2 , a 2 − 2ab + b 2 са точен квадрат. Те се различават от изразите a 2 + ab + b 2 , a 2 − ab + b 2 само по коефициента 2 пред ab. Прието е всеки от изразите a 2 + ab + b 2 , a 2 − ab + b 2 да се нарича непълен квадрат.

Формули за съкратено умножение:

ЗАДАЧА 2 Извършете умножението:

а) ( x − y )( x 2 + xy + y 2 ) ; Решение: а) ( x − y )( x 2 + xy + y 2 ) = x3 − y 3

б) ( x + y )( x 2 − xy + y 2 ) . б) ( x + y )( x 2 − xy + y 2 ) = x3 + y 3

ЗАДАЧА 3 Извършете умножението:

2 а) (a + 1)(a − a + 1) ; б) (a − 3)(a 2 + 3a + 9) . Решение: а) (a + 1)(a 2 − a + 1) = (a + 1)(a 2 − a .1 + 12 ) = a 3 + 13 = a 3 + 1 2 2 2 3 3 3 б) (a − 3)(a + 3a + 9) = (a − 3)(a + a . 3 + 3 ) = a − 3 = a − 27

ЗАДАЧА 4 Извършете умножението:

а) (3 x + 2)(9 x 2 − 6 x + 4) ; Решение: а) (3 x + 2)(9 x 2 − 6 x + 4) = = (3 x + 2)((3 x) 2 − 3 x . 2 + 22 ) = = (3 x)3 + 23 = 27 x3 + 8

2 4 2 б) ( x − 3)( x + 3 x + 9) .

б) ( x 2 − 3)( x 4 + 3 x 2 + 9) = = ( x 2 − 3)(( x 2 ) 2 + x 2 . 3 + 32 ) = = ( x 2 )3 − 33 = x 6 − 27

Към съдържанието

При произведение на двучлен с тричлен (Задачи 2, 3, 4), за да можем да приложим формулите, трябва да проверим: • ако двучленът е u + v , дали тричленът е непълният квадрат u 2 − uv + v 2 ; • ако двучленът е u − v , дали тричленът е непълният квадрат u 2 + uv + v 2 .

ЗАДАЧА 5 Запишете като произведение на двучлен и тричлен: а) сбора x3 + 64 ;

б) разликата 8 x3 − 125 .

Решение: а) x3 + 64 = x3 + 43 = = ( x + 4)( x 2 − 4 x + 42 ) = = ( x + 4)( x 2 − 4 x + 16)

б) 8 x3 − 125 = (2 x)3 − 53 = = (2 x − 5)(4 x 2 + 10 x + 52 ) = = (2 x − 5)(4 x 2 + 10 x + 25)

ЗАДАЧА 6 Намерете едночлените u, v и w, така че равенствата да са тъждества: а) x3 − 8 = ( x − 2)( x 2 + u + 4) ; б) 8 x3 + 27 = (2 x + 3)(4 x 2 − v + 9) ; в) 125 x 6 − 64 y 3 = (5 x 2 − 4 y )( w + 20 x 2 y + 16 y 2 ) . Решение: а) x3 − 8 = x3 − 23 = ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) , u = 2 x б) 8 x3 + 27 = (2 x)3 + 33 = (2 x + 3)(4 x 2 − 6 x + 9) , v = 6 x в) 125 x 6 − 64 y 3 = (5 x 2 )3 − (4 y )3 = (5 x 2 − 4 y )( 25 x 4 + 20 x 2 y + 16 y 2 ) , w = 25 x 4

ЗАДАЧА 7 (Устно) Проверете могат ли дадените произведения да се запишат като сбор или разлика от кубовете на два едночлена: а) (a − 2)(a 2 + 2a + 4) ; б) (2m + 3)(4m 2 + 6m + 9) ;

ЗАДАЧИ 2

(m + n)(m − mn + n );

2 2 в) ( x + 2 y )( x − 4 xy + y ) . Отг. а) да, a3 – 8; б) не; в) не.

Извършете действията: 1 n 2 − 12 n + 1 ; 1 1 1 2 1 1 2 + n2 ); 4 ( p12 − q )(2px2 −+ 3pqy + q42x) + 6 xy + 9 y . 1 (m + n)(nm+22− mn 2 ( p − q)( p 2 + pq + q 2 ) ; Опростете израза: 2 3 (a + 1)(a − a + 1); 13 ( x − 3)( x + 3) − ( x + 2)( x 2 − 2 x + 4) ; 2 2 2 4 ( x − 1)( x 2 + x + 1) ; 14 ( x − 3) + ( x + 3) − ( x − 3)( x + 3x + 9); 2 (115 − n)(a1(+a n+ +2)( na2 )− 2) − (a − 3)(a 2 + 3a + 9) ; 5 (1 + m)(1 − m + m ); 16 (a − 1)3 − 4a(a + 1)(a − 1) + 3(a − 1)(a 2 + a + 1) ; 6 (1 − n)(1 + n + n 2 ) ; 3 2 3 (317 − b)(( x9 + 23b) ++b(22)x + 1)(4 x − 2 x + 1) − 8 x ; 7 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4);

( )(

)

8 (3 − b)(9 + 3b + b 2 ) ; 2 9 (2a + 3)(4a − 6a + 9); 10 (3a − 4)(9a 2 + 12a + 16) ;

( 2 )(

)

11 n + 1 n 2 − 1 n + 1 ; Към съдържанието

(

)(

)

18 (2 x + 3)3 − (4 x + 3)(16 x 2 − 12 x + 9) + x3 .

(3a − 4Опростете )(9a 2 + 12aизразите + 16) и намерете числената им стойност: 19 2 x3 + 9 − ( x + 1)( x 2 − x + 1) при x = 1; 20 −5( x − 1)3 + 10( x + 1)( x 2 − x + 1) при x = 2.

21.

ФОРМУЛИ ЗА СЪКРАТЕНО УМНОЖЕНИЕ. ПРИЛОЖЕНИЕ (a + b) 22 ( a + b) (a − b) 22 ( a − b)

= a 22 + 2ab + b 22 = a + 2ab + b = a 22 − 2ab + b 22 = a − 2ab + b

(a + b)33 = a 33 + 3a 22b + 3ab 22 + b33 (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 (a − b) = a − 3a b + 3ab − b (a − b)3 = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3

(a − b)(a + b) = a 22 − b 22 (a − b)(a + b) = a − b (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b3 (a + b)(a 22 − ab + b 22 ) = a 33 + b33 (a − b)(a + ab + b ) = a − b (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b3

ЗАДАЧА 1 Приложете формулите за съкратено умножение и направете съответните изводи за дадените два израза: а) ( x + y ) 2 и (− x − y ) 2 ; б) ( x − a ) 2 и (a − x) 2 ; в) ( x + y )3 и (− x − y )3 ; г) ( x − a )3 и (a − x)3 ; д) (a + b)(a − b) и (−a − b)(−a + b) . Решение: а) ( x + y ) 2 = x 2 + 2 xy + y 2 ; (− x − y ) 2 = ? I начин: (− x − y ) 2 = ((− x) + (− y )) 2 = (− x) 2 + 2(− x)(− y ) + (− y ) 2 = x 2 + 2 xy + y 2 ; II начин: ( x + y ) 2 = (− x − y ) 2 б) ( x − a ) 2 = x 2 − 2ax + a 2 ; 2 2 2 2 2 (a − x) = a − 2ax + x = x − 2ax + a . в) ( x + y )3 = x3 + 3 x 2 y + 3 xy 2 + y 3 ; (− x − y )3 = (−( x + y ))3 = (−1)3 ( x + y )3 =

( x − a ) 2 = (a − x ) 2

= −( x + y )3 = − x3 − 3 x 2 y − 3 xy 2 − y 3 г) ( x − a )3 = x3 − 3 x 2 a + 3 xa 2 − a 3 ; (a − x)3 = a 3 − 3a 2 x + 3ax 2 − x3 или (a − x)3 = (−( x − a ))3 = −( x − a )3

( − x − y ) 3 = −( x + y ) 3

(a − x ) 3 = −( x − a ) 3

д) (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 (−a − b)(−a + b) = (−(a + b))(−(a − b)) = = (−1)(a + b)(−1)(a − b) = = (−1) 2 (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 .

(a + b)(a − b) = (−a − b)(−a + b)

Примерите в Задача 1 се решават по-рационално, ако знакът (−) се изнесе пред скоби. Когато изнасяме знака (−) пред многочлен, който се повдига в степен, записваме го като множител (−1) и прилагаме правилото за степенуване на произведение. Ако изнасяме знака (−) пред всеки от множителите на произведение, то също го записваме като степен на множителя (−1) и знакът на резултата се влияе от степента на този множител. Примери:

, (a − b)( x − y ) = (−1)(b − a )(−1)( y − x) = (−1) (b − a )( y − x) = (b − a )( y − x) . 2

Към съдържанието

ЗАДАЧА 2 Докажете тъждествата:

2 2 2 б) x + y = ( x + y ) − 2 xy .

а) (a + b) 2 − (a − b) 2 = 4ab ;

Решение: a + b) 2 − (a − b) 2 = 4 ab а) ( v u

I начин: u = (a + b) 2 − (a − b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 − (a 2 − 2ab + b 2 ) = = a 2 + 2ab + b 2 − a 2 + 2ab − b 2 = 4ab = v II начин: u = (a + b) 2 − (a − b) 2 = (a + b + a − b)(a + b − a + b) = = 2a . 2b = 4ab = v

И по двата начина получаваме u = v ,⇒ т.е. равенството е тъждество. x 2 + y 2 = ( x + y ) 2 − 2 xy б) u v

v = ( x + y ) 2 − 2 xy = x 2 + 2 xy + y 2 − 2 xy = x 2 + y 2 = u u = v ,⇒т.е. равенството е тъждество.

От се получава формулата (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc .

ЗАДАЧА 3 Опростете изразите: а) A = ( x − 3)( x 2 + 3 x + 9) − ( x − 2)3 ; Решение: а)

ЗАДАЧИ

Извършете действията: 1 (3a + b)2 ; (3a − b)2 ; (3x + y )2 ; 2 (2a − b)(2a + b); (a − 3x)(a + 3x) ;

3 (−a − b)2 ; (−a + b)2 ; (−2a − b)2 ; 4 (− x − y )3 ; (− x + y )3 ; (−2 x − y )3 ; 5 ((–2x – y)2 – (2x + y)2).xy + 5; 2 2 6 (3x − y + 5) ; (2 x − y + 1) ; 7 (2a + 3b + 4c)(2a − 3b + 4c) ; 8 ( x n − 2)2 + x n (1 − x) − x n (1 + x) ; 2 2 9 ( x − 3 y )( x + 3xy + 9 y ); 10 3((x + y)2 – 2xy) – x2; 11 3((x – 1)3 – 3(x + 1)(x – 1)) + 9x2; 12 ((a – 2)(a2 + 2a + 4) – (a – 2)3) : 2 + a; 13 ((–2 – a)(–2 + a) + a2) : 4 – (а + 1)2. Към съдържанието

б) B = ( x + y − 2) 2 − x( x + 2 y ) . б)

Намерете числената стойност на израза: 2 14 x( x + 3)( x − 3) − ( x + 1)( x − x + 1) при x = 1 ; 3 a ( a + 2 )( a − 2) − (a − 3)(a 2 + 3a + 9) 15 при a = 1 ; 2 16 3(m − 1)2 + (m + 2)(m2 − 2m + 4) − (m + 1)3 при m = − 1 ; 3 3 17 (a − 1) − 4a(a + 1)(a − 1) + 3(a − 1)(a 2 + a + 1) при a = −2 . Докажете тъждествата: 18 m 2 + n 2 = 2mn + (m − n)2 ; 19 ( p − q)2 = (q − p)2 ;

20 ( x − 5)2 = (5 − x)2 . 51

22.

РАЗЛАГАНЕ НА МНОГОЧЛЕНИ НА МНОЖИТЕЛИ ЧРЕЗ ИЗНАСЯНЕ НА ОБЩ МНОЖИТЕЛ

ЗАДАЧА 1 Докажете тъждеството x3 − x 2 − 2 x = x( x + 1)( x − 2) .

3 2 Решение: u = x − x − 2 x v = x( x + 1)( x − 2) = x( x 2 − 2 x + x − 2) = = x3 − 2 x 2 + x 2 − 2 x = x3 − x 2 − 2 x От u = v следва, че равенството е тъждество.

В тъждеството x3 − x 2 − 2 x = x( x + 1)( x − 2) многочленът x3 − x 2 − 2 x е представен като произведение на три множителя, като всеки от тях е многочлен, който не може да се представи като произведение на многочлени. При представянето A = x3 − x 2 − 2 x = x( x + 1)( x − 2) казваме, че многочленът A e разложен на прости множители. Всеки от тях е делител на А. Пример: x3 − x 2 − 2 x се дели на x − 2 , защото, ако го запишем в разложен вид x3 − x 2 − 2 x = x( x + 1)( x − 2) , произведението има множител x − 2 .

! !

Да разложим един многочлен означава да го представим като произведение от множители, които повече не могат да се разлагат. Ако умножим числото а с тричлена (b + c + d ) , получаваме ab + ac + ad . Това равенство ни дава право да запишем, че ab + ac + ad = a (b + c + d ) = (b + c + d )a .

a (b + c + d ) = ab + ac + ad

Тричленът ab + ac + ad е представен като произведение на два прости множителя. Това произведение се получава, като се изнася повтарящият се множител (общият множител) извън скоби. Този начин на разлагане на многочлени на прости множители е известен като изнасяне на общ множител извън скоби.

ЗАДАЧА 2 Разложете многочлените:

а) 3a + 3b ; б) bx − by ; в) ax + a . Решение: а) 3a + 3b = 3(a + b) б) bx − by = b( x − y ) в) ax + a = ax + a .1 = a ( x + 1) В решените примери общият множител участва самостоятелно във всеки член на многочлена, лесно се открива и може да се изнесе извън скоби.

ЗАДАЧА 3 Разложете многочлените:

а) 3a + 15 ; б) 12 x − 18 ; в) 4a + 8ab + 12ab 2 . Решение: а) 3a + 15 = 3a + 3 . 5 = 3(a + 5) б) 12 x − 18 = 2 . 2 . 3 . x − 2 . 3 . 3 = 6(2 x − 3) в) 4a + 8ab + 12ab 2 = 4a .1 + 2 . 4a . b + 3 . 4a . b 2 = 4a (1 + 2b + 3b 2 ).

Към съдържанието

В решените примери общият множител не се вижда веднага, но лесно се открива като множител при разлагането на всеки член на дадения многочлен.

ЗАДАЧА 4 Разложете многочлените: а) 2 x + x 2 ; Решение: а) 2 x + x 2 = = 2x + x. x = = x (2 + x)

в) xy − x 2 y 2 + xy 3 .

б) a 2 + a 3 ;

в) xy − x 2 y 2 + xy 3 = б) a 2 + a 3 = = xy − x . xy . y + xy . y . y = = a2 + a2.a = = xy (1 − xy + y 2 ). = a 2 (1 + a ) В решените примери общият множител е едночлен и участва в членовете на дадения многочлен и като степен. Използват се правилата за представяне на степен като произведение от равни множители и повтарящите се едночлени се изнасят пред скоби.

ЗАДАЧА 5 Разложете многочлените: 2 2 3 3 2 а) a x − ax + a x ; Решение:

б) 15u 3v 2 + 10u 2 v − 20u 2 v3 .

а) a 2 x 2 − ax3 + a 3 x 2 = = ax 2 a − ax 2 x + ax 2 a 2 = = ax 2 (a − x + a 2 );

б)

В Задача 5 търсим повтарящи се букви и изнасяме пред скоби най-ниската им степен. При a2, a, a3 изнасяме а; при x2, x3, x2 изнасяме x2.

ЗАДАЧА 6 Разложете на множители:

2 2 а) x( x + y ) − 3( y + x) ; б) 5a (a − b) + b(b − a ) ; в) a ( x − 1) − 3(1 − x) . Решение: а) x( x + y ) − 3( y + x) = x( x + y ) − 3( x + y ) = ( x + y )( x − 3) (защото x + y = y + x )

б) 5a (a − b) + b(b − a ) = 5a (a − b) − b(a − b) = (a − b)(5a − b) (защото b − a = −(a − b) ) 2 2 2 2 в) a ( x − 1) − 3(1 − x) = a ( x − 1) − 3( x − 1) =

(защото (1 − x) 2 = ( x − 1) 2 )

= ( x − 1)(a 2 − 3( x − 1)) = ( x − 1)(a 2 − 3 x + 3)

ЗАДАЧИ

Разложете на множители:

8 p( x − y)2 − q( x − y)2 ; 2m( x − 4)2 − n(4 − x)2 ;

− 24 b ; ; 89xp−212 y ; 30 p − 40 yq ; 325a 2 + 30 3 1 4m + 8 ; 10m + 35 ; 67am−−221 9 2 x(a − b) + y (b − a) ; a(b − 5)3 + 2(5 − b)3 ; 3m − 3n + 9 ; 26 3xm − 3−y3n+ +9 z9;; 20 p 2m; + 24n − 28 p 2 6 xm− +3 y24+n9−z ;2820 10 a( x − 1) − b( x − 1) + c( x − 1); 5 2 4 33 53ax 43ax − 10 x −+ 12 a 2 xax6 ;3 ; 83xab y −+12 x 22y−4 18 − 16 − 8aax 6ab abx5 y 2 ; 11 x(a − 1) + y (a − 1) − z (a − 1);

4 − 4 x3 y − 8 x 4 y 3 ; − 3x 4 y 2 + 12 x 2 y 4 − 16 x5 y 2 ; 12 2 x(a − 2) + 3 y (a − 2) − z (2 − a); 5 a( x + y ) + b( x + y ); mx((aa2++51) − ny (a 2++51)); a(13 x 2 +44a)(−x b−( yx )2 + 34b) ( y − x) − 4c( y − x); +(1x) − n(3 +x(xa) +− b6m + 3)y (a + b + 1) − 4 z (a + b + 1); 6 3a(a3 + 5) + 2b(a3 + 5);x(73py(+x37+) −2)y−(72 +p(3xy3);+ 25)14 7 x(a − b) + y (b − a); a(m − n) − b(n − m) ; 15 ( x + 2 y)3 − a 2 ( x + 2 y); (a + b)3 + a 2 (a + b)2 .

Към съдържанието

23.

РАЗЛАГАНЕ ЧРЕЗ ФОРМУЛИ ЗА СЪКРАТЕНО УМНОЖЕНИЕ Във формулите за съкратено умножение, ако се разменят местата на лявата и дясната страна на равенствата, се получават формули за представяне на многочлени като произведение:

a − b = (a + b)(a − b) ; a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 ; a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2 ;

a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 = (a + b)3 ; a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3 = (a − b)3 ; a 3 + b3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 ); a 3 − b3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ).

Ще покажем с примери как тези формули се използват в задачи за разлагане на многочлени. a 2 − b 2 = (a + b)(a − b)

ЗАДАЧА 1 Разложете на множители: а) x 2 − 9 ; Решение:

б) 16a 2 − b 2 ;

в) 9m 2 − 4n 2 .

а) x 2 − 9 = = x 2 − 32 = = ( x + 3)( x − 3)

б) 16a 2 − b 2 = = ( 4a ) 2 − b 2 = = (4a + b)(4a − b)

в) 9m 2 − 4n 2 = = (3m) 2 − (2n) 2 = = (3m + 2n)(3m − 2n)

2 б) (m − n) − 1 ;

в) ( x + y ) 2 − 9 x 2 y 2 .

б) (m − n) 2 − 1 =

в) ( x + y ) 2 − 9 x 2 y 2 =

ЗАДАЧА 2 Разложете на множители: а) (a + b) 2 − c 2 ; Решение: а) (a + b) 2 − c 2 = = (a + b + c)(a + b − c)

= (m − n + 1)(m − n − 1)

ЗАДАЧА 3 Разложете на множители: а) a 2 − (b + c) 2 ; Решение: а) a2 – (b + c)2 = = (a + (b + c))(a – (b + c)) = = (a + b + c)(a – b – c)

= ( x + y ) 2 − (3 xy ) 2 = = ( x + y + 3 xy )( x + y − 3 xy )

б) 1 − ( x − y ) 2 ;

2 2 в) ( x + y ) − ( x − y ) .

б) 1 – (x – y)2 = = (1 + (x – y))(1 – (x – y)) = = (1 + x – y)(1 – x + y)

в) (x + y)2 – (x – y)2 = = (x + y + (x – y))(x + y – (x – y)) = = (x + y + x – y)(x + y – x + y) = = 2x.2y = 4xy

Когато разлагаме разлика от квадратите на два израза, вторият от които е многочлен, препоръчва се да поставим вътрешни скоби, за да избегнем грешки в определяне знаците на събираемите (примерите от Задача 3). Ако в скобите се получи сбор, в който има подобни членове, то се прави приведение (пример в)).

Към съдържанието

a 2 ± 2ab + b 2 = (a ± b) 2 Tова тъждество се използва само при разлагане на тричлен, който отговаря на следните условия: има два члена, които са точни квадрати на а и b, а третият член е 2.a .b. Ще разсъждаваме върху конкретен пример: x2 + 6x + 9 = ( x + 3) 2 . ↓ ↑? ↓ 2 ( x) (3) 2 2. x .3 Забелязваме, че в дадения тричлен x 2 + 6 x + 9 събираемите х2 и 9 са квадрати на х и 3. Тогава проверяваме дали тяхното удвоено произведение е равно на третия . x . 3 2= . 3 . x 6 x . Ако всички тези условия са изпълнени, то записваме член: 2= сбора или разликата на основите на степените, повдигнати на квадрат. Знакът (+ или −) се определя от знака пред удвоеното произведение.

ЗАДАЧА 4 Разложете тричлените: а) x 2 + 4 x + 4 ; Решение:

4x + а) x 2 + 2 + ↑ ?4 x ↓x ( x) 2↓ 2 . x .↑2 ? 2 ( x) 2. x .2 б) 9m 2 + 1 + ↓ ↓ (3m) 2 (1) 2 в) a 2 − 20a + ↓ ↑? (a)2 2 . a .5

б) 9m 2 + 1 + 6m ;

4 = + ↓ 4 (2) 2 ↓ (2) 2 6m ↑? 2 . 3m .1 25 ↓ (5) 2

в) a 2 − 20a + 25 .

( x + 2) 2 = ( x + 2) 2 = (3m + 1) 2

– условията не са изпълнени → не се разлага.

При записване на разсъжденията основите на степените заграждаме в скоби, за да отделим изразите, които образуват сбора, повдигнат на втора степен. В пример б) тричленът не е подреден в обичайната последователност. Това, разбира се, не променя крайния резултат.

ЗАДАЧИ

Разложете на множители:

9 x 2 − (1 − x)2 ; y 2 − ( y − 1)2 ; a 2 − (a − 2)2 ; a 2 − (3 − a)2 1 a 2 − n 2 ; p 2 − a 2 ; m 2 − x 2 ; n 2 − y 2 ; 10 1 − ( x − 1)2 ; 1 − (a + 1)2 ; 1 − ( x − 2)2 ; 1 − (a + 2)2 11 9 − (a − b)2 ; 4 − ( x + y )2 ; 16 − ( x + 4)2 ; 25 − ( x − 5)2 2 x 2 − 4 ; y 2 − 9 ; 4 − p 2 ; 9 − q 2 ; 12 a 2 + 2a + 1; a 2 + 4a + 4 ; a 2 − 2a + 1 ; 2 2 2 2 3 1 − a ; 1 − b ; x − 1; y − 1 ; 13 4a 2 + 12a + 9 ; 9a 2 − 6a + 1; 1 − 4a + 4a 2 ; 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 x − y ; 9 x − a ; 16m − n ; 25 p − q14 4a 2 + 4ab + b 2 ; 9a 2 − 6ac + c 2.; 4c 2 + 4ac + a 2 2 − 16n 2 защо чрез формулите за 5 4a 2 − 9b 2 ; 9 x 2 − 25 y 2 ; 100a 2 − p 2 ; 25mОбяснете 2 не могат да се ( x + y ) 2 − zумножение 6 (a + 1)2 − b 2 ; (1 − n)2 − p 2 ; (m − n)2 − q 2 ; съкратено

разложат многочлените:

− a)2 − 1 7 (3 + a)2 − 9 ; (2 − a)2 − 1; (4 − x)2 − 4 ; (515 (4 − y ) 2 − 4 y 2 8 (a + 1)2 − 9a 2 ; ( x − 1)2 − 4 x 2 ; ( x − 3)2 − 9 x 2 ; 16

Към съдържанието

; .

24.

РАЗЛАГАНЕ ЧРЕЗ ФОРМУЛИТЕ ЗА СЪКРАТЕНО УМНОЖЕНИЕ. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Разложете на множители:

а) 4a 2 − 1 ; б) ( x − 2) 2 − 4 ; в) x 2 + 14 x + 49 ; Решение: 2 2 2 а) 4a − 1 = (2a ) − 1 = (2a + 1)(2a − 1) 2 2 2 б) ( x − 2) − 4 = ( x − 2) − 2 = ( x − 2 + 2)( x − 2 − 2) = x( x − 4) в) x 2 + 14 x + 49 = x 2 + 2 . x . 7 + 7 2 = ( x + 7) 2 г) 4a 2 − 12a + 9 = (2a ) 2 − 2 . 2a . 3 + 32 = (2a − 3) 2

г) 4a 2 − 12a + 9 .

a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 = (a ± b) 3 Тези формули се използват при разлагане на четиричлени, които отговарят на известни условия, определени от израза a 3 ± 3a 2b + 3ab 2 ± b3 . Ще разсъждаваме върху конкретен пример: x3 + 6 x 2 + 12 x + 8 = ( x + 2)3 . ↓ ↑? ↑? ↓ ( x )3 (2)3 3x 2 2 3 x 22 Забелязваме, че в дадения четиричлен има два члена, които са кубове на двата израза а и b. Проверяваме дали другите два члена отговарят на изискването да са 3а2b и 3ab2. Ако тези условия са изпълнени, проследяваме знаците пред едночлените и записваме крайния резултат.

ЗАДАЧА 2 Разложете четиричлените:

3 2 2 3 а) x + 3 x y + 3 xy + y ; б) 27 − 27 x + 9 x 2 − x3 ; в) 8 x3 − 12 x 2 + 6 x − 1 ; г) 27 x3 + 54 x 2 + 36 x + 8 . Решение: 3 2 2 3 3 а) x + 3 x y + 3 xy + y = ( x + y ) 2 3 3 2 2 3 3 б) 27 − 27 x + 9 x − x = 3 − 3. 3 . x + 3. 3. x − x = (3 − x)

в) 8 x3 − 12 x 2 + 6 x − 1 = (2 x)3 − 3. 4 x 2 .1 + 3. 2 x .12 − 13 = (2 x − 1)3 г) 27 x3 + 54 x 2 + 36 x + 8 = (3 x)3 + 3 . 9 x 2 . 2 + 3 . 3 x . 22 + 23 = (3 x + 2)3

ЗАДАЧА 3 Намерете едночлените u и v, така че равенствата да са тъждества:

а) x3 − 15 x 2 + u − 125 = ( x − 5)3 ; Решение:

б) 27 x3 + v + 9a 2 x + a 3 = (3 x + a )3 .

а) От ( x − 5)3 = = x3 − 3 . x 2 . 5 + 3 . x .52 − 53 = = x3 − 15 x 2 + 75x − 125

б) От (3 x + a )3 = = (3 x)3 + 3 .(3 x) 2 . a + 3 . 3 x . a 2 + a 3 = = 27 x3 + 27 x 2 a + 9 xa 2 + a 3

следва, че u = 75 x .

следва, че v = 27 ax 2 . Към съдържанието

a 3 ± b 3 = (a ± b)(a 2 ∓ ab + b 2 )

ЗАДАЧА 4 Разложете двучлените:

а) x3 + y 3 ; б) m3 − n3 ; Решение: 3 3 2 2 а) x + y = ( x + y )( x − xy + y )

в) 8 x3 + 1 ;

б) m3 − n3 = (m − n)(m 2 + mn + n 2 )

I3 + II3 = (I + II)(I 2 − I.II + II 2 ) в) 8 x3 + 1 =

г) 27 x3 − 8a 3 .

I3 − II3 = (I − II)(I 2 + I.II + II 2 ) г)

27 x3 − 8a 3 =

= (2 x)3 + 13 =

= (3 x)3 − (2a )3 =

= (2 x + 1)((2 x) 2 − 2 x .1 + 12 ) =

= (3 x − 2a )((3 x) 2 + 3 x . 2a + (2a ) 2 ) =

= (2 x + 1)(4 x 2 − 2 x + 1)

= (3 x − 2a )((9 x 2 + 6ax + 4a 2 )

ЗАДАЧА 5 При x = −1 13 намерете числената стойност на израза:

а) A = x3 + 3 x 2 + 3 x + 1; б) B = 27 x3 − 27 x 2 + 9 x − 1 . Решение: 3 2 3 2 2 3 2 3 а) A = x + 3 x + 3 x + 1 = ( x + 1) б) B = 27 x − 27 x + 9 x − 1 = (3 x) − 3 .(3 x) .1 + 3 . 3 x .1 − A = x3 + 3 x 2 + 3 x + 1 = ( x + 1)3 B = 27 x3 − 27 x 2 + 9 x − 1 = (3 x)3 − 3 .(3 x) 2 .1 + 3 . 3 x .12 − 13 = (3 x − 1)3 За x = −1 1 3 3 За x = −1 1 3 3 1 1 1 3 A = −1 + 1 = − =− . 3 3 27 B = 3 . −1 1 − 1 = (− 4 − 1)3 = −125 . 3

) ( )

(

ЗАДАЧИ

(( ) )

Разложете на множители многочлените: 1 a3 + 3a 2 + 3a + 1; a3 + 6a 2 + 12a + 8 ;

8 Намерете едночлените u и v, така че равенствата да са тъждества: а) 8 x3 + 1 = 2 x + 1 u − x + 1 ; 8 2 4

2 8 − 12m + 6m 2 − m3 ; n3 − 9n 2 + 27n − 27 ; 3 8a3 − 36a 2 + 54a − 27; 27a3 + 27a 2 + 9a + 1 ; 4 a3 + m3 ; b3 + c3 ; x3 + y 3 ; m3 + n3 ; 5 a + 8 ; a − 8 ; 8 + a ; 8 − a ; 3

6 8a3 + 1; 8a3 − 1; 27a3 − 8 ; 27a3 + 8 ; 7 8a3b3 + 1; 1 − 8a3b3 ; x3 − 27 y 3 ; x3 y 3 − 1 .

) ( )( б) x − 27 = ( x − 3) ( x + v + 9 ) . 8 2 4 3

9 При x = 2 1 намерете числената 3 стойност на изразите: а) x3 − 6 x 2 + 12 x − 8 ; 2 3 б) 27 − 27 x + 9 x − x .

10 Изразът 9 x 2 − ( x + 5) 2 , разложен на множители, има вида: Т Е С Т

А) (2 x + 5)(4 x + 5) ; Б) (2 x − 5)(4 x + 5) ; В) (8 x + 5)(2 x − 5) ; Г) (4 x − 5)(2 x − 5) .

11 Изразът 4 x 3 − 9 x е тъждествено равен на: А) x(4 x + 3)(4 x − 3) ; Б) x(2 x + 9)(2 x − 9) ; В) x(4 x + 9)(4 x − 9) ; Г) x(2 x + 3)(2 x − 3) . 12 При x = 1 1 стойността на израза A = (3x + 1) 3 − 25(3x + 1) е: 3 А) 4; Б) 3; В) 1; Г) 0.

Към съдържанието

25.

РАЗЛАГАНЕ ЧРЕЗ ГРУПИРАНЕ

ЗАДАЧА 1 Разложете на множители:

а) a ( x + y ) + ( x + y ) ; Решение: а) a ( x + y ) + ( x + y ) = ( x + y )(a +1)

ЗАДАЧА 2 Разложете на множители:

б) a ( x − y ) + ( x − y ) . б) a ( x − y ) + ( x − y ) = ( x − y )(a +1)

а) a ( x − y ) + x − y ; Решение:

б) a ( x + y ) − x − y ;

в) a ( x − y ) − x + y .

a( x − y) + x − y = a) = a( x − y) + ( x − y) = = ( x − y )(a +1)

б) a ( x + y ) − x − y = = a( x + y) − ( x + y) = = ( x + y )(a −1)

в)

a( x − y ) − x + y = = a( x − y) − ( x − y) = = ( x − y )(a −1)

При решаване на Задача 2-б), в), за да получим двучлен, равен на множителя в първото събираемо, изнасяме (−) пред скоби. За да не сгрешим, веднага правим проверка, като разкриваме скобите и сравняваме получения израз с дадения.

ЗАДАЧА 3 Разложете:

а) am + an + b(m + n) ; Решение: а)

б) a (m − n) − bm + bn ;

в) m(a + b) – na – nb.

б)

в) m(a + b) – na – nb = = m(a + b) – n(a + b) = = (a + b)(m – n)

ЗАДАЧА 4 Разложете:

а) ax + ay + bx + by ; б) ax + ay − bx − by . Решение: а) ax + ay + bx + by = a ( x + y ) + b( x + y ) = ( x + y )(a + b) б) ax + ay − bx − by = a ( x + y ) − b( x + y ) = ( x + y )(a − b) При решаване на пример а) от Задача 4 обединихме членовете на дадения многочлен в отделни групи – в случая двучлените ax + ay и bx + by , така, че при разлагането на всеки от тях да се получи един и същ множител ( x + y ) . След това изнесохме този множител пред скоби и така получихме разложения вид на дадения израз. Този метод за разлагане на многочлени на множители се нарича разлагане чрез групиране. За примерите от Задача 4 може да се приложи и друго групиране на членовете: а) ax + ay + bx + by = x (a + b) + y (a + b) = (a + b)( x + y ) ; б) ax + ay − bx − by = x (a − b) + y (a − b) = (a − b)( x + y ) .

Към съдържанието

5 Разложете на множители A = x 2 + ax − 2 x − 2a . ЗАДАЧА

Решение: x 2 + ax − 2 x − 2a = I начин: A = = x( x + a ) − 2( x + a ) = = ( x + a )( x − 2)

II начин: A = x 2 + ax − 2 x − 2a = = x 2 − 2 x + ax − 2a = = x( x − 2) + a ( x − 2) = = ( x − 2)( x + a )

ЗАДАЧА 6 Разложете чрез групиране:

а) 10ax − 5bx + 2ay − by ; б) x 2 y − y + xy 2 − x . Решение: а) 10ax − 5bx + 2ay − by = 5 x(2a − b) + y (2a − b) = (2a − b)(5 x + y ); б) x 2 y − y + xy 2 − x = y ( x 2 − 1) + x( y 2 − 1) ? При това групиране не се получи общ множител в скобите, който да изнесем пред скоби. Това още не означава, че даденият многочлен е неразложим. Отново търсим членове, които имат общ множител, за да направим ново групиране: x 2 y − y + xy 2 − x = xy ( x + y ) − ( x + y ) = ( x + y )( xy − 1) . Задача 6-б) може да се реши и с друго групиране: x 2 y − y + xy 2 − x = x( xy − 1) − y (1 − xy ) = x( xy − 1) + y ( xy − 1) = ( xy − 1)( x + y ).

ЗАДАЧА 7 Разложете чрез групиране:

а) x 2 + 3 x + 2 ; б) x 2 − 5 x + 6 ; в) x 2 + 2 x − 3 ; г) x 2 − x − 6 . Решение: Дадените многочлени са с три члена и са от втора степен. За да ги разложим чрез групиране, трябва по подходящ начин да ги преобразуваме от тричлени в четиричлени. а) x 2 + 3 x + 2 = x 2 + x + 2 x + 2 = x( x + 1) + 2( x + 1) = ( x + 1)( x + 2); б) x 2 − 5 x + 6 = x 2 − 2 x − 3 x + 6 = x( x − 2) − 3( x − 2) = ( x − 2)( x − 3); в) x 2 + 2 x − 3 = x 2 − x + 3 x − 3 = x( x − 1) + 3( x − 1) = ( x − 1)( x + 3); г) x 2 − x − 6 = x 2 + 2 x − 3 x − 6 = x( x + 2) − 3( x + 2) = ( x + 2)( x − 3).

ЗАДАЧИ

Разложете на множители чрез групиране: 1 2( x + y ) + x + y ; 5( x + y ) − x − y ; 2 7a − 7b − m(a − b); xy 2 − xz + 5( y 2 − z ); 7 x + 7 + 10ax + 10a ; 3 ax + a + 3x + 3 ; a 2 − ab − 2a + 2b ; 4 ax − bx − a + b ; ay − by + 3a − 3b ; 5 nx + ny + 5 x + 5 y ;

11 12 13 14 15 16 ; 17 2

a 3 + 2a 2 − 2a − 4 ; m3 − 2m 2 + 2 − m ; p 3 + x3 + p 2 x + px 2 ; x3 + x 2 y − x 2 z − xyz ; ax 2 + bx 2 − cx 2 + ax + bx − cx ; an 2 + cn 2 − bn 2 + ap − bp + cp ; x 2 + 2 x − 15 ; x 2 − 4 x − 5 ; x 2 − 7 x + 12 ; x 2 − x − 12 ;

6 x 2 − 9 x − 10 ; x 2 − 8 x + 15 . 2 2 2 7 mn − m − 3n + 3m ; x − a + 3a − 3ax ; Намерете числената стойност на израза: p 2 + pq − 6 p − 6q ; 8 a 2 − ab − 3a + 3b ; ax + 1 + a + 1 x за a = 1, x = −2 ; 30ay ax − 534 17; b6;by − 15bx − 4ay − 18 bybx+−215 axa−+bx 10ax 2 2 9 10 2 2 19 x y − y + xy − x за x = −2 ; y = − 1 . 2 10 10a + 21xy − 14ax − 15ay ; 2 Към съдържанието

26.

РАЗЛАГАНЕ ЧРЕЗ КОМБИНИРАНО ИЗПОЛЗВАНЕ НА РАЗЛИЧНИ МЕТОДИ Въведохме и приложихме три метода за разлагане на многочлени на множители: • разлагане чрез изнасяне на общ множител извън скоби; • разлагане чрез групиране; • разлагане чрез формулите за съкратено умножение. Умението за комбинирано прилагане на тези методи открива възможности за разлагане на голям брой многочлени, които на пръв поглед са неразложими. Разлагане чрез изнасяне на общ множител и групиране

ЗАДАЧА 1 Разложете на множители: а) 7 a ( x + y ) + 7 x + 7 y ; Решение: а)

2 2 б) a x + a y + abx + aby ;

б)

в) 2 x3 − 6 x 2 + 6 x − 18 . в)

При решаване на Задача 1 забелязваме, че във всеки от многочлените има повтарящ се множител, който изнасяме пред (зад) скоби. След изнасяне на общия множител пред скоби изразът в скобите е от познат вид и може да се разложи чрез групиране. Разлагане чрез изнасяне на общ множител и формулите за съкратено умножение

ЗАДАЧА 2 Разложете на множители: а) 4 x 2 − 16 ; Решение: а) 4 x 2 − 16 = 2 = 4( x − 4) = = 4( x − 2)( x + 2)

б) 3 − 3( x − y ) 2 ; б)

в) 5 x 2 − 10 x + 5 . в) 5 x 2 − 10 x + 5 = = 5( x 2 − 2 x + 1) = = 5( x − 1) 2

При решаване на Задача 2 след изнасяне на общ множител извън скоби в скобите остава израз, познат от формулите за съкратено умножение. Прилагаме съответното тъждество и получаваме разложения вид на дадения многочлен. Извод: Ако трябва да разложим даден многочлен на прости множители, първо „търсим“ общ множител и ако има такъв, изнасяме го извън скоби.

Към съдържанието

Разлагане чрез комбинирано прилагане на формулите за съкратено умножение

ЗАДАЧА 3 Разложете на множители: а) a 2 − 2ab + b 2 − c 2 ; Решение:

б) 4a 2 − x 2 + 6 x − 9 ;

в) a 4 − b 4 .

а) a 2 − 2ab + b 2 − c 2 = = ( a − b) 2 − c 2 = = (a − b + c)(a − b − c)

б) 4a 2 − x 2 + 6 x − 9 = = 4 a 2 − ( x 2 − 6 x + 9) = = (2a ) 2 − ( x − 3) 2 = = (2a + x − 3)(2a − x + 3)

4 4 в) a − b = = (a 2 ) 2 − (b 2 ) 2 = = (a 2 − b 2 )(a 2 + b 2 ) = = (a + b)(a − b)(a 2 + b 2 )

Решените примери в Задача 3 ни убеждават, че познаването на формулите за съкратено умножение много пъти е ключов момент при решаване на задачи от разлагане на многочлени. Извод: При решаване на задачи от разлагане на многочлени на множители “търсим” израз, който е или може да се преобразува във формула за съкратено умножение.

ЗАДАЧА 4 Разложете на множители и намерете числената стойност на израза: а) A = (2 x − 7)3 − (2 x − 7)( x + 5) 2 при x = 2 ; 3 б) B = (5 x − 2)3 + 9 x 2 (2 − 5 x) при x = 0, 25 . Решение:

а) A = (2 x − 7)3 − (2 x − 7)( x + 5) 2 = б) B = (5 x − 2)3 + 9 x 2 (2 − 5 x) = = (5 x − 2)3 − 9 x 2 (5 x − 2) = = (2 x − 7)((2 x − 7) 2 − ( x + 5) 2 ) = = (2 x − 7)(2 x − 7 + x + 5)(2 x − 7 − x − 5) = = (5 x − 2)((5 x − 2) 2 − (3 x) 2 ) = = (2 x − 7)(3 x − 2)( x − 12) = (5 x − 2)(5 x − 2 + 3 x)(5 x − 2 − 3 x) = (5 x − 2)(8 x − 2)(2 x − 2) = = 2 A=0. При x = 3 = 4(5 x − 2)(4 x − 1)( x − 1) = x 0= , 25 1 B = 0 . При 4

ЗАДАЧИ

Разложете на множители: a 2 − 2ab + b 2 − a + 11 b ; p 2 + 2 pq + q 2 − p − q ; 2 2 2 2 2 2 1 a − b + a + b ; a − b + a − b ; a − b − a + b 1 − x 2 − 2 xy − y 2 ; 1 − a 2 + 2ab − b 2 12 ; ; 2 2 m 2 − n 2 − m − n ; m 2 − n 2 − 2m + 2n ; p 2 − q 2 − ap − aq 2 2 2 2 2 2(a + 1) − 8a ; 5a − 5(a + 1) 3 ax 2 + axy + bx 2 + bxy ; a 2 x + a 2 y − abx − aby ; 13 Разложете на множители и наме 4 5a 2 + 5ab + 5ac + 5bc ; 3xy 2 − 3x − 3 y + 3x 2 y ; рете числената стойност на израза: 5 ax 2 + ax − ax 4 − ax3 ; 6 xy 2 − 6 x + 6 x 2 y − 6 y ; 14 A = (3x − 1)3 − 4(3x − 1) при x = − 1 ; 3 6 2 x 2 − 2 y 2 ; ab 2 − ac 2 ; 5 p 2 − 5q 2 ; 6a 2 − 6b 2 ; 2 3 2 2 2 2 B = 9 x ( 2 x − 7 ) − ( 2 x − 7 ) 15 7 7a − 7 ; 10b − 10 ; 8 − 8 x ; 9 − 9 y ; 2 2 при x = 1,4 ; 8 bx + 2bx + b; 11a – 22a + 11; 2 2 2 2 2 16 C = (3x − 1)3 + 4 x 2 (1 − 3x) 9 x − 2 xy + y − 9 ; m − 2mn + n − p ; 10 a 2 − 2ab + b 2 − a + b ; p 2 + 2 pq + q 2 − p − q при x = 0,2 .

Към съдържанието

27.

РАЗЛАГАНЕ ЧРЕЗ КОМБИНИРАНО ИЗПОЛЗВАНЕ НА РАЗЛИЧНИ МЕТОДИ. УПРАЖНЕНИЕ Разлагане чрез комбинирано прилагане на изучените методи

ЗАДАЧА 1 Разложете на множители: а) 4 x 2 − 8 xy + 4 y 2 − 4 z 2 ; в) 16 − a 2 + 2ab − b 2 ; Решение: а)

б)

в)

г)

ЗАДАЧА 2 Разложете на множители:

а) 2ax 2 + 2bx 2 − 2b 2 x + 2a 2 x ; Решение: а)

б) 1 − a 2 + (1 − a ) 2 ; г) 2 x 2 − x − 2 y 2 − y .

б) 2m 2 − 6m + 4 .

б) 2m 2 − 6m + 4 = 2(m 2 − 3m + 2) = 2(m 2 − m − 2m + 2) = = 2(m(m − 1) − 2(m − 1)) = 2(m − 1)(m m − 2) Уговаряме се да употребяваме израза „търсим формула“, което означава, че многочленът или част от него може да се разложи чрез формулите за съкратено умножение. Няма общи правила за разлагане на многочлени на множители. Ако проследим обаче разлагането на многочлените в задачите, които решихме, и най-вече в Задача 2 от този урок, виждаме, че спазваме известен ред при комбинираното прилагане на различните начини за разлагане.

Практическо правило • Търсим общ множител. Ако има такъв, изнасяме го пред скоби. • Търсим формула за съкратено умножение. Ако има формула (в явен или неявен вид), прилагаме я и я използваме при разлагането. • Броим членовете на многочлена. Ако са четен брой, разлагаме чрез групиране, ако това е възможно. Ако са нечетен брой, стремим се по подходящ начин да ги направим повече на брой, така че да можем да групираме. Към съдържанието

Това практическо правило не е универсално и не може да се приложи в някои по-специални случаи. При тях ще разчитаме на интуицията и опита си.

Тричлени от вида ax 2 + bx + c (a ≠ 0) са от втора степен и се наричат квадратни тричлени. Квадратни тричлени разложихме чрез метода на групиране (Задача 7 от урок 25). Не всеки квадратен тричлен може да се разложи, например х2 + 4х – 1.

Има метод, чрез който може да се определи дали един квадратен тричлен е разложим или е неразложим. Този метод е известен като „допълване до точен квадрат“. Примери:

Получава се разлика от квадрати, която разлагаме по формулата a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) . Следователно тричленът x 2 + 6 x − 7 = x 2 + 2 . x . 3 + е разложим.

x 2 + 6 x − 7 = x 2 + 2 . x . 3 + 32 − 32 − 7 = отделяме точен квадрат

= ( x + 3) 2 − 16 =

= ( x + 3) 2 − 42 = = ( x + 3 + 4)( x + 3 − 4) = = ( x + 7)( x − 1)

= ( x + 3) 2 − 16

= ( x + 3) 2 − 42 Получава се сбор, който е неразложим. Следователно тричленът = ( x + 3 + 4)( x x 2 − 8 x + 20 е= неразложим. x 2 − 2 . x . 4 + 42 − 42 + 20==( x + 7)( x − 1)

x − 8 x + 20 = x − 2 . x . 4 + 4 − 4 + 20 = = ( x − 4) 2 − 16 + 20 =

= ( x − 4) 2 + 4

( x − 4) 2 −която 16 + 20 Получава се=разлика, не=моx + 4x −1 = x + 2. x .2 + 2 − 2 −1 = жем да представим = ( x − 4) 2като + 4 разлика от 2 квадрати. Следователно тричленът = ( x + 2) − 5 2 2 x + 4 x − 1 =е xнеразложим. + 2 . x . 2 + 22 − 22 − 1 = ЗАДАЧА 3 Намерете най-малката стойност на израза A = x 2 − 10 x + 16 = (.x + 2) 2 − 5 Решение: A = x 2 − 10 x + 16 = x 2 − 2 . x . 5 + 52 − 52 + 16 = ( x − 5) 2 − 9 Най-малката стойност на А се получава при x − 5 = 0 , т.е. при x = 5 и е A = −9 . 2

ЗАДАЧИ

Разложете на множители: 2

7 2 x 2 + 10 x + 12 ;

2 3 x13 − 524 x 2x ++10 45x − 15 ;

2 − xx ++12 2 xy + 4x −+b45 (a + 2) 1 ax2−x 2ay+ 10 ; −y ; 8a 3x+ 4−a24 5 x;2 + 10 x − 15 ; 14 x3 + 2 x 2 − 8 x ; 2 2 a + 4 a + 4 − b ( a + 2) ; 9 10 x 2 − 90 x − 100 ; 3a 2 − 9a2 + 6 15 2 x − 4 x − 30 ; 3 3 2 2 3 +x82 +− 690px2 − +100 12 p;; 3 p10 10m3a+2 6−m9an++612; nm2 + 8n 2 x − 4 x − 30 ; 3 x 2 + 9 x − 12 ; 16 3 2 2 3 m + 6 m n + 12 mn + 8 n 4 ; 5 3 2 + x4 + 2 x + x + x +1 11 ( x2 − 6)2 − 6 13 x −2 2 (4 + x); x17 5 3 2 4 x + 4 x − 15 ; 2 x − 4 xy − 8 + 2 y 5 m + m − m − 1; ) 2 −− 68 +12xy−2 2; (4 + x); 6 2 x(2x −− 46xy 12 x5 + x 4 + x3 +4 x 2 + 4x x+−115 ; ; 18 9 x 2 + 15 x − 14 . 3

(

Т Е С Т

)

(

)

19 Най-малката стойност на израза A = x 2 − 8 x + 30 е:

А) 0;

Б) 4;

В) 14;

Г) 16.

А) 2;

Б) 9;

В) 13;

Г) 15.

20 Най-голямата стойност на израза A = 9 + 4 x − x 2 е:

Към съдържанието

x3 + 2 x 2

3x 2 + 9 x

9 x 2 + 15 x

28.

ТЪЖДЕСТВЕНО ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ИЗРАЗИ. ПРИЛОЖЕНИЯ • При опростяване на изрази

ЗАДАЧА 1 Опростете израза (a3 − 8 − (a − 2)3 ) : 6 + (a + 3)(3 − a) . Решение:

• При доказване на тъждества

ЗАДАЧА 2 Докажете тъждествата:

а) (a + b)3 − a 2 (a + 3b) = b 2 (3a + b) ; Решение:

3 3 3 б) a + b + 3ab(a + b) = (a + b) .

а) (a + b)3 − a 2 (a + 3b) = b 2 (3a + b) u = (a + b)3 − a 2 (a + 3b) =

б) a 3 + b3 + 3ab(a + b) = (a + b)3 u v u = a 3 + b3 + 3ab(a + b) = = a 3 + b3 + 3a 2b + 3ab 2 = (a + b)3 = v ⇒ u = v , т.е. равенството е тъждество.

= a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 − a 3 − 3a 2b = = 3ab 2 + b3 v = b 2 (3a + b) = 3ab 2 + b3 ⇒ u = v , т.е. равенството е тъждество.

• При рационално пресмятане на числови изрази

ЗАДАЧА 3 Пресметнете: а) 4788 . 79 – 3788 . 79;

б) 71, 232 − 28, 77 2 .

Решение: а) б) • При решаване на практически задачи

ЗАДАЧА 4 Намерете формулата за обема на тръба с дължина h, външен радиус R и вътрешен радиус r. Изчислете обема, ако R = 4, 5 cm , r ≈ 3, 5 cm , h = 100 cm . Решение: Формулата за обем на цилиндър е V = π. R 2 . h . Получаваме Vтр. = π . R 2 . h − π . r 2 . h = π . h .( R 2 − r 2 ) Vтр. = π .100 .(4, 52 − 3, 52 ) = π .100 .(4, 5 + 3, 5)(4, 5 − 3, 5) ≈ π .100 . 8 .1 = 800π cm3 . • При доказване, че един многочлен се дели на друг многочлен Многочленът А се дели на многочлена В, ако може да се представи като произведение от множители, поне един от които е В.

Към съдържанието

ЗАДАЧА 5 Докажете, че произведението на две последователни четни числа се дели на 8. Решение: А = 2n(2n + 2) = 2n . 2(n + 1) = 4n(n + 1) Множителят n(n + 1) се дели на две, защото е произведение на две последователни числа. Следователно А се дели на 4 . 2 = 8.

ЗАДАЧА 6 Да се докаже, че сборът на едно двуцифрено число и числото, записано със

същите цифри, но в обратен ред, се дели на 11. Решение: Ако означим цифрата на единиците с х, а цифрата на десетиците с у, то първото число е 10 y + x , а второто число е 10x + y . Тогава A = 10 y + x + 10 x + y = 10( x + y ) + ( x + y ) = 11( x + y ) . Получихме разлагане на многочлена А с множител 11 и естествено число х + у. Следва, че А се дели на 11.

ЗАДАЧА 7 Да се докаже, че многочленът A = a 2 + 3a + 2 се дели на a + 2 . Решение: A = a 2 + 3a + 2 = a 2 + 2a + a + 2 = a (a + 2) + (a + 2) = (a + 2)(a + 1). Представихме многочлена А като произведение на множители ( a + 2 ) и (а + 1). Следва, че А се дели на ( a + 2). • При умножаване и степенуване на числа, близки до единицата

ЗАДАЧА 8 Пресметнете: а) 1,0012;

б) 0,9982;

в) 1,002 . 0,998.

Решение: а)

При приближено пресмятане на 1,0012 пренебрегваме числото 0,0012 като много малко и получаваме (1 + a)2 ≈ 1 + 2a, където a е малко число в 2 сравнение с числото 1. (1 + α) 2 ≈ 1 +(21α+ α) ≈ 1 + 2α 2 б) (1 − α) 2 ,≈т.е. 1 −(21α− α) ≈ 1 − 2α в) , т.е. (1 + α)(1 − α)(1≈+1 α)(1 − α) ≈ 1

ЗАДАЧИ

Опростете изразите: 2 1 A = ( x − 2) − ( x − 4)( x + 4) + 4( x − 1) ; 2

6 10,112 − 2 .10,11. 0,11 + 0,112 ; 7 7, 32 .85 + 7, 32 . 93 + 7, 32 . 22 . 8 Напишете формула за повърхнината

2 B = (2 x − 3) − 3( x − 2) − ( x + 3)( x − 3) . 3 Докажете, че изразът

и обема на куб със страна а, ако: а) страната му се увеличи с b cm; ( x − 2)3 − ( x + 3)( x 2 − 3 x + 9) − 6 x(2 − x) б) страната му се намали с b cm. не зависи от променливата х. 9 Докажете, че разликата от квадрати4 Докажете тъждеството те на едно нечетно число и числото 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (a + b ) − (a + b )(a − b ) = 2b (a + b ) . 1 се дели на 8. Пресметнете: 10 Пресметнете приблизително 2 2 66 , 8 − 33 , 2 5 ; 1,0022; 1,9972; 1,003 . 0,997.

Към съдържанието

29.

ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕМАТА “ЦЕЛИ ИЗРАЗИ” ЗАПОМНЕТЕ!

2 (a + b) 22за = aсъкратено + 2ab + b 2умножение Формули Формули за разлагане (a + b)2 = a 22 + 2ab + b22 − b) = a − (a + + 2ab + b a 2 + 2ab + b22 = (a + b)22 (a + − b) 22 = a 22 + − 2ab + b 22 aa 222 + 22ab + bb 22 = bb)) 22 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 + ab + = ((aa + + − − b ) 2 + b2 ((aa − ) b = a − 2 ab a 2 ab + b 2 + 2 = (a + + b)(a − b) = a 2 − b 2 aa 22 − 22ab bb 22 = ((aa − bb)) 222 2 + − ab + = − (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 a 2 − 2b2ab=+(ab +=b)( (aa−−bb)) (a + b)(a − b) = a2 − b2 aa 223 − bb 22 2= ((aa + bb)( 2 a 3b) 3 − = + )( aa b− − ((aa + a3 + − b3a2=b (+a3+ab)( −3bb=)) (a + b)3 2 + + bb)( )33a=−ab33)+=3aa 22b−+b 3ab 22 + b33 a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 = ( a + b)33 aa33 + bb22 + (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 − 33aa22bb + + 33aaab − bb33 = = ((aa + − bb))3 + + + (a − + b)3 = a3 − + 3a 2b + 3ab2 − + b3 a b ab b a b2 ))33 + 3 − = ( − 3 − 3a 2 2 3 2 − 2b 3 = ( a − b aa33 − 33baa33 2=bb (+ 33+ab (a + − b) 3 = a 3 + − 3a 2b + 3ab 2 + − b3 a b a ab b + )( − + ab b a b) ( − + − = − 2 2 (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 a 3 + b 3 = ( a + b )( a 22 − ab + b 2 ) 3 3 2 aa3 + + + )(aa2 − − ((aa − − 3+abb2 )+=3ab − bb3 = = ((aa + − bb)( + ab ab + + bb2 )) + bb))(a=2 a− ab a 3 +−bb3 aa 33 − b 3 = ( a − b)( a 2 + ab + b 2 ) (a + b)(a 22 − ab + b 22 ) = a 33 + b33 3 2 − bb = = ((aa − − bb)( + ab ab + + bb 2 )) a − )(aa + − b)(a2 + − b3 (a + − ab + b2 ) = a3 + (a + − b)(a − + ab + b ) = a + −b (a − b)(a22 + ab + b22 ) = a33 − b33 (a − b)(a + ab + b ) = a − b Да разложим един многочлен означава да го представим като произведение от прости множители. Методи на разлагане: 1. Чрез изнасяне на общ множител извън скоби: 2a + 2b = 2(a + b) . 2. Чрез групиране: 2a + 2b + ma + mb = 2(a + b) + m(a + b) = (a + b)(2 + m) . 3. Чрез формулите за съкратено умножение. 4. Чрез комбинирано прилагане на методите от 1 до 3.

ЗАДАЧА 1 Извършете степенуването (a − b + c −1)2 . Решение: I начин:

II начин:

ЗАДАЧА 2 Намерете най-малката стойност на израза A = x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + 20 . Решение: A = x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + 20 = = x 2 + 4 x + 4 + y 2 − 6 y + 9 + 7 = 2 = ( x + 2) + ( y − 3) 2 + 7

Най-малката стойност на израза А е 7 и се получава при x = −2 и y = 3 .

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 Намерете най-голямата стойност на израза B = − x 2 − y 2 + 2 xy − 15 . Решение: B = − x 2 − y 2 + 2 xy − 15 =

= −( x 2 + y 2 − 2 xy ) − 15 = = −( x − y ) 2 − 15 . Най-голямата стойност на израза В е −15 и се получава при x = y.

ЗАДАЧА 4 В лявата колона на бланката за отговори е написана буквата на

рационалния израз. Срещу нея, в дясната колона, запишете номера на нормалния му вид. (1) 4x2 – 6x + 9

(А) (2x – 3)2 – 3x(x + 2)

(2) 4x – 29 (Б) (x + 5)(x – 5) – (x – 2)

(3) x2 – 18x + 9

Решение: (А) (2x – 3)2 – 3x(x + 2) = = 4х2 – 12х + 9 – 3х2 – 6х = = х2 – 18х + 9

(Б)

(x + 5)(x – 5) – (x – 2)2 = = х2 – 25 – (х2 – 4х + 4) = = х2 – 25 – х2 + 4х – 4 = = 4х – 29.

Отг. А 3 Б 2

ЗАДАЧА 5 В лявата колона на бланката за отговори е написана буквата на

рационалния израз. Срещу нея, в дясната колона, запишете номера на разложения на множители му вид. (А) (2x – 1)3 + 25(1 – 2х)

(1) 4(2x – 1)(x + 2)(х + 3) (2) (х + 3)(х – 3)(х – 1)(х – 9)

(Б) (x2 – 5х)2 – (5х – 9)2

(3) 4(2x – 1)(x + 2)(х – 3)

Решение: (А) (2x – 1)3 + 25(1 – 2х) = = (2х – 1)3 – 25(2х – 1) = = (2х – 1)((2х – 1)2 – 52) = = (2х – 1)(2х – 1 + 5)(2х – 1 – 5) = = (2х – 1)(2х + 4)(2х – 6) = = (2х – 1).2(х + 2).2(х – 3) = = 4(2х – 1)(х + 2)(х – 3)

Към съдържанието

(Б) (x2 – 5х)2 – (5х – 9)2 =

= (х2 – 5х + 5х –9)(х2 – 5х –5х + 9) =

= (х2 – 9)(х2 – 10х + 9) =

= (х + 3)(х – 3)(х2 – х – 9х + 9) =

= (х + 3)(х – 3)(х(х – 1) – 9(х – 1)) =

= (х + 3)(х – 3)(х – 1)(х – 9)

Отг. А 3 Б 2

ОБЩИ ЗАДАЧИ ВЪРХУ ТЕМАТА “ЦЕЛИ ИЗРАЗИ” 1. Ако а е параметър, намерете нормалния вид, коефициента и степента на едночлените:

8. Разложете на множители:

а) −a x y.(−4ax y ) ; б) –2x5.(–3ax)2.7a4x; в) (–2 a x4 y z2)2; г) (–4 a x3 y z2)3. 2. Ако u = −3mx 2 , v = 5mx 2 и w = −2mx 2 , намерете а) u − v − w ; б) u.v.w ;

б) 49 − (5 x − 2) 2 ;

2 3

в) u 2 − v.w ;

в) 4 x 2 − (3 x + 5) 2 ; г) (3 x + 2) 2 − (2 x − 7) 2 . 9. Разложете на множители: а) x + 8 x + 16 − 25 a ; 2

б) 36 a − x − 10 x − 25 ; 2

3. Ако A= x − 2 , B = x 2 − 3 x + 4 и

в) x − 4 xy + 4 y − 16 ;

C = − x 2 + 2 x , намерете нормалния вид на многочлена, тъждествено равен на израза:

г) 25 − 4 x − 4 xy − y .

а) A + 3.C − 2. B ; в) A . C − 2. B ;

а) x + 6 x + 8 ;

б) A . B − 5. C ; 2 г) A . B − C .

10. Разложете на множители: 2

4. Даден е изразът A = ( x 2 − 2)(3 x 3 − 5 x − 3) . а) Намерете нормалния вид на многочлена. б) Определете степента на многочлена. в) Определете коефициента на члена от трета степен. 5. Опростете изразите:

б) x − 10 x − 11 ;

а) ( x − 2) 2 − ( x − 3)(2 x − 1) ;

б) x + 4 x + 9 ;

б) (3 x − 2) 2 − (2 x + 1) 2 + 3 ;

в) ( x 2 + 3)( x 4 − 3 x 2 + 9) .

в) ( x + 1)3 − x(2 x − 3)(2 x + 3) ; г) ( x − 2) − ( x + 2)( x − 2 x + 4) .

12. Намерете най-голямата стойност на израза:

6. Даден е изразът

а) (5 − 4 x )(5 + 4 x ) ;

A = ( x + m)3 − x( x − m)( x + m) − m3 , където m е параметър. а) Приведете израза в нормален вид. б) За коя стойност на m коефициентът на члена от втора степен е 9. 7. При x = −3 намерете числената стойност на израза: 2 x − 3 а) A = − 3 − x ⋅ x −1 ; −2 2 −2 ( x + 3) 2 x − 7 x + 1 б) B= . − ⋅ 8 2 −4

б) − x + 6 x − 15 ;

( )

г) u.v − w2 .

а) (2 x + 7) 2 − 25 ;

в) 5 x − 7 x + 2 ; 2

г) 3 x − x − 2 . 2

11. Намерете най-малката стойност на израза: а) (3 x − 4)(3 x + 4) ; 2

в) (2 − x )( x + 2 x + 4) . 2

13. Ако m = 5,72 + 6,6 . 5,7 + 3,32 и n = 3,52 – 5,52, 2m намерете стойността на израза A = . |n|

12,83 + 7, 23 , 12,82 + 7, 22 − 7, 2.12,8 намерете числената стойност на израза x3 − 125 A= 2 . 3 x + 15 x + 75 14. Ако x =

Към съдържанието

30.

ТЕСТ № 1 ВЪРХУ ТЕМАТА “ЦЕЛИ ИЗРАЗИ” 1. Нормалният вид на едночлена –а2x3.(–2ax2y) е:

6. Изразът 9а2 – 12а + 4 в разложен вид е:

А) –2а3x5y;

Б) (3а – 2)2;

Б) 2а x y; 3 5

В) (3а + 2)2; Г) (3а + 4)(3а + 1).

В) 2а x y; 2 6

Г) –2а2x6y. 2. Многочленът 2xy2 – ax3 – 3xy2 + ax3 + x – 5 е тъждествено равен на: А) –xy2 + x – 5; Б) 5xy2 – 5; В) –xy2 – 2ax3 + x – 5; Г) –5xy2 – 5. 3. Числената стойност на многочлена A = 2x3 + 7x2 – 0,5xx2 + 1,5x2x – 7xx 1 за x = не е: 3 2 1 1 А) – ; Б) 9; В)   ; Г) 3–2. 9 3 4. Ако а е параметър, а х е променлива, многочленът, равен на израза (ax – 3)(x2 + 2x – 1), има коефициент на члена от втора степен 1 при а, равно на: А) –2;

А) (3a + 2)(3а – 2);

Б) –1;

В) 1;

Г) 2.

5. Равенството 3 1  1 2  x − 125  x − 5  x − u + 25  = 2  4  8 е тъждество, ако u e:

A) –5x; Б) 5x; В) –2,5х; Г) 2,5х. Към съдържанието

7. Изразът 2x2 – 4xy + 2y2 – 2 в разложен вид е: А) 2(x – y + 1)(x – y – 1); Б) 2(x – y – 1)(x + y – 1); В) 2(x + y – 1) (x – y + 1); Г) 2(x – y + 1)(x + y – 2). 8. Даден е многочленът А = х2 – 6х + 12. а) Да се намери най-малката стойност на многочлена А. б) Да се разложи на множители многочленът В = А – 4. 9. В лявата колона на бланката за отговори е написана буквата на рационалния израз. Срещу нея, в дясната колона, запишете номера на нормалния му вид. (А) (3х – 2)2 – 3х(х – 4) (Б) (х + 3)(х – 8) – (х + 4)(х – 4) (В) (х – 2)3 – (х + 3)2 (1) х3 – 7х2 + 18х + 1 (2) –24х + 4 (3) –5х – 8 (4) 6х2 + 4 (5) х3 – 7х2 + 6х – 17 10. Приведете израза А = (x + 3)(3 – x) – (y + 2)(y – 5) – (x + y – 2)(2 – x – y) в нормален вид и намерете числената му стойност, ако x =

−8670 (−2)56 и y = . (−2) 2012 3211

ТЕСТ № 2 ВЪРХУ ТЕМАТА “ЦЕЛИ ИЗРАЗИ” 6. Изразът x2 – (2x – y)2 в разложен вид е:

1. Степента на многочлена 2x3y – xy3 + x3 – x2 + y – 1 e: A) 2;

Б) 4;

В) 3;

Г) 13.

2. Ако u = –15x6y3z2 и v = 3x2y3z (v ≠ 0), изразът u : v е: Б) –5x3yz; В) –5x4уz; Г) –5x4z. 3. Нормалният вид на многочлена, тъждествено равен на израза 3(x3 – 5x2 – 2) – (x – 3)(3x2 + 2), e: A) 6x2 + 2x; Б) 6x2 – 2x; Г) –6x2 + 2x; 1 числената стойност 3 x( x − 1) x( x + 3) − на израза е: 2 3 А) 6; Б) 12; В) 3; Г) 18.

4. При x = ( –2 ) : − 2

5. Равенството x3 + u + 3x – 1 = (x – 1)3 e тъждество, ако u e: Б) 6х ; В) 3х2; Г) –3х2.

8. Даден е многочленът А = х2 + 4х + 8. а) Да се намери най-малката стойност на многочлена А. б) Да се разложи на множители многочленът В = А – 20. 9. В лявата колона на бланката за отговори е написана буквата на рационалния израз. Срещу нея, в дясната колона, запишете номера на нормалния му вид.

В) –6x2 – 2x;

(y – x)(3x – y); (x + y)(3x – y); (y – x)(3x + y); (x – y)(3x – y).

7. Изразът x2 – 4x + 3 в разложен вид е: А) (x + 1)(x + 3); Б) (x – 1)(x – 3); В) 3х2; Г) –3х2.

А) –5x3z;

А) –6х2;

А) Б) В) Г)

(А) (2х – 1)2 – х(2х – 5) (Б) (х + 2)(х + 4) – (х + 3)(х – 3) (В) (х + 1)3 – х(х + 2)2 (1) –х2 – х + 1 (2) 2х2 + х + 1 (3) 6х + 1 (4) 6х + 17 (5) 7х2 + 7х + 1 10. Приведете израза А = (x – y – 3)2 – (x – y)(x + y – 1) + (y – 3)(3 – y) + 0,25 в нормален вид и намерете числената му стойност, ако x = (–1)2019 + |–0,5| и y = (–16)–4 : 8–5. Към съдържанието

ТЕМА 2 УРАВНЕНИЯ

(Урок № 31 – Урок № 47)

В ТАЗИ ТЕМА СЕ ИЗУЧАВАТ:

• числови равенства, свойства; • линейни уравнения; • уравнения, свеждащи се до линейни; • моделиране с линейни уравнения: – задачи от движение; – задачи от работа; – задачи от капитал; – задачи от смеси и сплави.

УЧЕНИЦИТЕ СЕ НАУЧАВАТ:

• да прилагат еквивалентни преобразувания при решаване на уравнения; • да решават линейни уравнения и уравнения, свеждащи се до линейни; • да използват уравнения при моделиране на ситуации.

Към съдържанието

31.

УРАВНЕНИЕ С ЕДНО НЕИЗВЕСТНО. ПРЕГОВОР С ДОПЪЛНЕНИЕ Когато две числа или два числови израза са равни, между тях поставяме знак за равенство „=“ . Равенството 8 − 5 = 3 има лява страна 8 - 5 и дясна страна 3 и е вярно числово равенство. Знакът „≠“ показва, че две числа или два числови израза не са равни.

Две числови равенства се наричат еквивалентни, ако от първото следва второто и от второто следва първото. Знакът за еквивалентност на две равенства е “⇔”. Свойства на числовите равенства:

Ако

Ако a = b , то b = a .

Ако a = b и b = c , то a = c .

a=b ⇔ a+c=b+c a=b ⇔ a-c=b-c

Ако

a=b + c=d то a + c = b + d .

Нека c ≠ 0. Тогава a = b ⇔ a . c = b . c, a = b ⇔ a : c = b : c.

то a − c = b − d .

Ще изкажем свойства 3 , 4 , 5 и 6 : 3 и 4 Когато събираме (изваждаме) две равенства, сборът (разликата) на левите им страни е равен на сбора (разликата) на десните им страни. Казваме, че равенствата събираме (изваждаме) почленно. 5 Ако към двете страни на едно равенство прибавим (извадим) едно и също число, получава се равенство, еквивалентно на даденото. 6 Ако двете страни на едно равенство умножим (разделим) с едно и също число, различно от нула, получава се равенство, еквивалентно на даденото.

ЗАДАЧА 1 Намерете х, ако: a) 2x – 3 = –15; Решение:

1 5 б) − x + 7 =. 3

1 б) − x + 7 = 5 | −7 свойство 5 3 1 − x+7−7 = 5−7 3 1 − x= −2 | .(−3) свойство 6 3 x=6 1 5 съдържат неизвестно число х. Равенствата 2х – 3 = –15 и − x + 7 = 3 Прието е такива равенства да се наричат уравнения с едно неизвестно.

а)

2 x= – 3 –15 | +3 свойство 5 2 x − 3 + 3 =−15 + 3 2 x = −12 |: 2 свойство 6 x = −6

Към съдържанието

Уравнение с едно неизвестно наричаме равенство, в което едно число, означено с буква, се приема за неизвестно. Примери: 2х + 1 = 5; х2 – 9 = 0; x2 + 4 = 0; |x – 1| = –5.

Корен (решение) на уравнението наричаме всяко число, което, поставено на мястото на неизвестното, превръща уравнението във вярно числово равенство. Примери: Уравнението 2х + 1 = 5 има корен 2, защото 2.2 + 1 = 5. Уравнението х2 – 9 = 0 има корени 3 и –3, защото 32 – 9 = 0 и (–3)2 – 9 = 0. Уравнението х2 + 4 = 0 няма корен, защото х2 + 4 > 0 за всяка стойност на х. Уравнението |x – 1| = –5 няма корен, защото |x – 1| ≥ 0 за всяка стойност на х.

Да решим едно уравнение означава да намерим корените му или да установим, че няма корени (няма решение).

ЗАДАЧА 2 Кои от числата 1; 2; -2 са корени на уравнението x2 + x = 2? Решение: x2 + x = 2 Проверяваме последователно: за x = 1 12 + 1 = 2 за x = 2 22 + 2 = 2 6≠2 2=2

1 е корен.

2 не е корен.

-2 е корен.

ЗАДАЧА 3 Покажете, че числото 3 е корен на уравнението:

а) х2 – 3х = 0; Решение: а) х2 – 3х = 0 32 – 3.3 = 0 0=0

в) |x – 7| = 4.

б) х2 – х = 6 32 – 3 = 6 6=6

в) |x – 7| = 4 |3 – 7| = 4 |–4| = 4

а) х2 – 2х = 0; б) х3 = 8; Решение: а) х2 – 2х = 0 б) х3 = 8 2 (–2) – 2.(–2) = 0 (–2)3 = 8 8≠0 –8 ≠ 8 1 Намерете х, ако: а) 3х + 5 = 26; б) 4х – 1 = 7; в) 7 – 3х = 19; г) 5 – 2х = –9. 2 Покажете, че числото –5 е корен на уравнението: а) х2 + 5х = 0; б) х2 – 25 = 0; в) –3х + 1 = 16; г) 7 – 2х = 17.

Към съдържанието

(−2) 2 + (−2) = 2 4−2 = 2 2=2

б) х2 – х = 6;

ЗАДАЧА 4 Покажете, че числото –2 не е корен на уравнението:

ЗАДАЧИ

за x = -2

в) |4 – x| = 2. в) |4 – x| = 2 |4 – (–2)| = 2 6≠2

3 Покажете, че числото 2 не е корен на уравнението: а) 3х + 1 = 5; б) 9 – 5х = 1; в) |x – 3| = 2; г) х2 + 4 = 0. 4 Обяснете защо уравнението няма корен: а) (х + 3)2 + 4 = 0; б) |x + 2| + 5 = 0; в) (х – 1)2 + х2 = –3; г) |x + 1| + |x| = –7.

32.

ЕКВИВАЛЕНТНИ УРАВНЕНИЯ

Две уравнения се наричат еквивалентни (равносилни), ако имат едни и същи решения или и двете уравнения нямат решение. Знакът за еквивалентност на две уравнения е “⇔”. Примери: • Уравненията 3 x = 21 и 2 x − 5 = x + 2 са еквивалентни, защото x = 7 е единствен корен и на двете уравнения. Записваме 3 x = 21 ⇔ 2 x − 5 = x + 2 . • Уравненията | x | = −1 и | x − 1 | = −5 са еквивалентни, защото и двете нямат решение. • Уравненията x − 3 = 0 и x 2 − 9 = 0 не са еквивалентни, защото коренът на първото уравнение ( x = 3) е корен и на второто, но един от корените на второто уравнение ( x = −3) не е корен на първото.

Еквивалентни преобразувания наричаме преобразуванията, които извършваме в едно уравнение, за да получим еквивалентно на него уравнение. Като следствие от свойствата на числовите равенства се получават следните правила за еквивалентни преобразувания:

П1

Всеки член на уравнението може да се прехвърли от едната страна на уравнението в другата с противоположен знак – получава се уравнение, еквивалентно на даденото. Правилото следва от свойствата на еквивалентните равенства: a +b = c ⇔ a +b−b = c −b ⇔ a = c −b.

П2

Двете страни на уравнението могат да се умножават или разделят с едно и също число, различно от нула – получава се уравнение, еквивалентно на даденото. Правилото следва от свойствата на еквивалентните равенства: при c ≠ 0 a = b ⇔ a . c = b . c или a : c = b : c.

П3

В едно уравнение всеки израз може да се замени с тъждествено равен на него израз – получава се уравнение, еквивалентно на даденото. Правилото следва от определението за тъждествено равни изрази.

Решаване на уравнения Дадено уравнение се решава, като чрез правилата 1, 2, 3 се преобразува в еквивалентни на него уравнения. Ако се получи уравнение от вида x = a , числото а е корен на даденото уравнение.

Към съдържанието

ЗАДАЧА 1 Като отбелязвате правилата, които използвате, решете уравнението

7 x − 2 = x − 5 и направете проверка. Решение: Проверка: 7x − 2 = x − 5 П1 (прехвърляме членове) - 1 е корен на уравнението, 2 7 x − x = −5 + 2 защото П3 (правим приведение) 7⋅ − 1 − 2 = − 1 −5 6 x = −3 2 2 П2 (делим на 6) −5, 5 = −5, 5 x=−1 е вярно числово равенство. 2 Правилното прилагане на правилата за еквивалентност на уравненията осигурява верен резултат (ако не се допускат изчислителни грешки). Ето защо проверката на получената стойност за х в даденото уравнение не е задължителна. При решаване на уравненията редът на прилагане на правилата за еквивалентност избираме съобразно конкретната задача.

( )

ЗАДАЧА 2 Решете уравнението

а) 5 x − 3 − 3 x − 1 = 4 x − 2 . 7 ; Решение: а) 5 x − 3 − 3 x − 1 = 4 x − 2 . 7 2 x − 4 = 4 x − 14 2 x − 4 x = −14 + 4 −2 x = −10 |.(−1) 2 x = 10 x=5

б) 5 – 2(х – 3) = 3(х – 8). б) 5 – 2(х – 3) = 3(х – 8) 5 – 2х + 6 = 3х – 24 –2х + 11 = 3х – 24 –2х – 3х = –24 – 11 –5х = –35 х = 7

ЗАДАЧА 3 Докажете, че уравненията (1) 3x − 2 = 5 x + 4 и (2) 7 x − 1 = 2 x − 16 са еквивалентни. Решение: Ще покажем, че (1) и (2) имат равни корени. (1) 3 x − 2 = 5 x + 4 (2) 7 x − 1 = 2 x − 16 7 x − 2 x = −16 + 1 3x − 5 x = 4 + 2 5 x = −15 −2 x = 6 x = −3 x = −3 Следва, че уравненията са еквивалентни.

ЗАДАЧИ

Решете уравненията, като посочите правилата за еквивалентност, които прилагате: 1 6 x + 13 = 3x + 4 ; 2 7 x − 3x − 5 = −21 . Решете уравненията и направете проверка: 3 3x − 7 x + 1 = 33 ; 4 8 x − 5 − 3 x = 2 x + 7 ; 5 5 x − 11 = 2 x − 2 .13 ;

Към съдържанието

6 9 x + 4 − x = 4 x + 4 . Решете уравненията: 7 5, 5 x − 3 = 0, 5 x + 12 ; 8 3, 8 x + x − 2 = 1, 8 x + 4 ; 9 4, 5 x − 9 = x + 1, 5 x − 1 ; 10 7, 3x + 1, 7 x − 5 = x + 35 . Докажете, че дадените уравнения са екви валентни: 11 5 x − 3x = x + 2 и 5 x − 3x − x = 2 ; 12 7 x − x + 10 = 4 x − 3 и 7 x + 3 = x + 4 x − 10 . 75

33.

ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ Уравнението аx + b = 0 при а ≠ 0

ЗАДАЧА 1 Решете уравненията: а) 2 x + 10 = 0 ; Решение: а) 2 x + 10 = 0 2 x = −10 x = −5

б) 9 x + 3 = 2 x + 5 ; б)

2 x = −10 2x = −10 2 x + 10 c =0 2 x + 10 = 0

9x + 3 = 2x + 5 9x − 2x = 5 − 3 7x = 2 x=2 7 7x = 2 7x = 2 c 7 x + (−2) = 0 7 x + (−2) = 0

в) 4, 3 x + 2 = 2 x + 1 : 0, 5 . в) 4, 3 x + 2 = 2 x + 1 : 0, 5 4, 3 x − 2 x = 2 − 2 2, 3 x = 0 x=0 2, 3 x = 0 2, 3 x = 0 c0 2, 3 x + 0 = 2, 3 x + 0 = 0

Уравненията, които решихме в Задача 1, са с едно неизвестно (х) и могат да се запишат във вида ax + b = 0 .

Уравнение от вида ax + b = 0, където х е неизвестно число, a ≠ 0 и b са числа, се нарича уравнение от първа степен с едно неизвестно. Уравнението от първа степен с едно неизвестно винаги има решение, и то само едно.

ax + b = 0 ⇔ ax = −b ⇔ x = − b при а ≠ 0 a

ЗАДАЧА 2 Решете уравнението 6 x 2 − (2 x − 1)(3x + 1) = 3(1 − x) . Решение: 6 x 2 − (2 x − 1)(3 x + 1) = 3(1 − x) 6 x 2 − (6 x 2 + 2 x − 3 x − 1) = 3 − 3 x 6x2 − 6x2 − 2 x + 3x + 1 = 3 − 3x x + 1 = 3 − 3x x + 3x = 3 − 1 4x = 2 | : 4 x=1 2

1. Преобразуваме изразите в двете страни на уравнението в тъждествено равни на тях многочлени. 2. Членовете, които съдържат х, прехвър ляме в лявата страна, а свободните чле нове – в дясната. 3. Правим приведение и получаваме урав нение от вида ах + b = 0 ⇔ ax = -b, къ дето b = -2. 4. Делим двете страни на уравнението с коефициента пред х.

ЗАДАЧА 3 Решете уравнението (2 x + 1)2 − 3 = 4( x 2 + 1) + x . 76

Към съдържанието

Решение:

(2 x + 1) 2 − 3 = 4( x 2 + 1) + x 4x2 + 4x + 1 − 3 = 4x2 + 4 + x 4x2 + 4x − 4x2 − x = 4 −1 + 3 3x = 6 | : 3 x=2

Ако в двете страни на уравнението има равни членове, след прехвърляне на единия от тях те стават противоположни и се унищожават. Можем да ги унищожим и така, както са в двете страни на уравнението: 4 x 2 + 4 x − 2 = 4 x 2 + 4 + x .

Уравнението аx + b = 0 при а = 0 ЗАДАЧА 4 Намерете число със следното свойство: „Разликата от квадрата на числото и

удвоеното му произведение е равна на квадрата на разликата на това число с числото 1”. Решение: Означаваме търсеното число с х. Получаваме 2 2 x 2 − 2 x = ( x − 1) 2 2 22 2 x − 2x = x − 2x +1 − 2 x + 2 x = 1. (1) В равенството (1) членовете, които съдържат х, се унищожават, т.е. това равенство не съдържа х. Възниква въпросът уравнение ли е равенство −2 x + 2 x = 1 ⇔ (−2 + 2) x = 1 ⇔ 0 . x = 1, т.е. ax = b при a = 0? За да решаваме задачи, подобни на Задача 4, се приема равенство от вида аx + b = 0 да наричаме уравнение и при a = 0. • За да решим уравнението • За да решим уравнението 0. x = 5 , 0. x = 0 , търсим x, така че 0 . x = 5 търсим x, така че 0 . x = 0 – няма такова число – всяко число, умножено по 0 е 0 ⇒ уравнението 0 . x = 5 няма решение. ⇒ 0 . x = 0 има за корен всяко число. Да решим Задача 4: −2 x + 2 x = 1 ⇔ (−2 + 2) x = 1 ⇔ 0 . x = 1⇒ уравнението няма решение. Тогава и задачата няма решение, т.е. няма число с исканото свойство. Уравнението 0 . х = b при b ≠ 0 е 0 . х = b и няма решение; при b = 0 е 0 . х = 0 и всяко число е корен.

O ЗАДАЧИ

Уравненията от вида аx + b = 0 се наричат линейни уравнения.

Решете уравненията: 1 5(1 − x) = −10 x ;

2 3 4 5 6

2( x + 4) = 4( x − 1) ; 2( x + 3) + 3 x = 4 x − 5 ; 3( x − 2) − 4( x + 3) = 2 x + 3 ; 2(3 − x) + ( x − 1) − 15 = 3(2 x − 1) ; 4( x − 2) − 7 = 4 x + 3(1 − 2 x) ;

Към съдържанието

7 8

; ; 2

9 ( x + 4) − 3( x + 2) = x( x + 2) ; 10 (2 x − 1)2 − 3x( x + 3) = ( x + 1)2 ; 11 ( x + 2)2 − ( x − 3)( x + 3) = 2 x − 7 ; 12 ( x + 2)3 − x( x + 1)2 = (2 x + 3)2 . 77

34.

ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Решете уравненията:

а) 7 − ( x − 3)( x + 3) = 2 x − ( x + 2) 2 ; Решение:

б) −7 x − (2 − 3( x − 1)) + 2 x = 5 .

а) 7 − ( x − 3)( x + 3) = 2 x − ( x + 2) 2 2 2 7 − ( x − 9) = 2 x − ( x + 4 x + 4)

б) −7 x − (2 − 3( x − 1)) + 2 x = 5 −7 x − (2 − 3 x + 3) + 2 x = 5 −7 x − 2 + 3 x − 3 + 2 x = 5 −7 x + 3 x + 2 x = 5 + 2 + 3 −2 x = 10 | .(−1) 2 x = −10 x = −5

7 − x2 + 9 = 2 x − x2 − 4 x − 4 −2 x + 4 x = − 4 − 7 − 9 2 x = −20 x = −10

ЗАДАЧА 2 Решете уравненията: а) 5 x − ( x + 1)( x − 1) = 10 − x( x − 5) ; Решение:

2 2 б) ( x + 5) − ( x + 3) = 4(4 + x) .

а) 5 x − ( x + 1)( x − 1) = 10 − x( x − 5) 5 x − ( x 2 − 1) = 10 − x 2 + 5 x

б)

5 x − x 2 + 1 = 10 − x 2 + 5 x 5 x − 5 x = 10 − 1 (5 − 5) x = 9 0. x = 9 Отг. Уравнението няма решение.

( x + 5) 2 − ( x + 3) 2 = 4(4 + x) x 2 + 10 x + 25 − ( x 2 + 6 x + 9) = 16 + 4 x x 2 + 10 x + 25 − x 2 − 6 x − 9 = 16 + 4 x 10 x − 6 x − 4 x = 16 − 25 + 9 10 x − 10 x = 25 − 25 0. x = 0

Отг. Всяко число е корен на уравнението.

Зададените като уравнения равенства, които след преобразуване приемат вида 0.x = 0, т.е. 0 = 0, са тъждества (Задача 2-б)).

ЗАДАЧА 3 Решете уравненията:

а) 3 x + 5 + x − 1 = 1 1 x ; 2 −3 6 Решение: 3x + 5 + x − 1 = 1 1 x а) 2 −3 6 3 x + 5 − x − 1 = 7 x |. 6 2 3 6 3(3 x + 5) − 2( x − 1) = 7 x 9 x + 15 − 2 x + 2 = 7 x 7 x − 7 x = −17 (7 − 7) x = −17 0 x = −17 Отг. Уравнението няма решение.

б) x + 1 − x + 3 = 2 x . 0,1 0, 3 0, 3 x + 1 − x + 3 = 2x |⋅ 1 0,1 0, 3 0, 3 10 x + 1 − x + 3 = 2 x |. 3 1 3 3 3( x + 1) − ( x + 3) = 2 x 3x + 3 − x − 3 = 2 x 2 x − 2 x = −3 + 3 ( 2 − 2) x = 0 0x = 0 Отг. Всяко число е корен на уравнението.

б)

Към съдържанието

ЗАДАЧА 4 В лявата колона на таблицата за отговори е написана буквата на уравнението. Срещу нея, в дясната колона, запишете номера на еквивалeнтното му уравнение. (А)

(х – 1)(х – 3) = (х – 2)2

(Б)

(х + 2)2 – (х – 1)2 = 3(2х + 1)

(В)

(2х + 1)2 = (2х + 3)(2х – 3) – 6

Решение: (А) (х – 1)(х – 3) = (х – 2)2 х2 – 3х – х + 3 = х2 – 4х + 4 х2 – 4х + 3 = х2 – 4х + 4 0 х = 1 Уравнението няма решение. (Б) (х + 2)2 – (х – 1)2 = 3(2х + 1) х2 + 4х + 4 – х2 + 2х – 1 = 6х + 3 6х + 3 = 6х + 3 0х = 0 Всяко число е корен. (В) (2х + 1) = (2х + 3)(2х – 3) – 6 4х2 + 4х + 1 = 4х2 – 9 – 6 4х = –16 х = –4 2

ЗАДАЧИ

Решете уравненията: 1 ( x + 3)2 − 5 x = x 2 + 1 ; 2 ( x + 1)2 − 5 = ( x − 2)( x + 2) ; 3 1 − 5(5 x + 1) = 1 − 25 x ; 4 ( x + 5)2 = (5 − x)2 ; 5 y ( y − 2) = ( y − 1)2 ; 6 3( x + 1)2 − 1 = 2 + 3x( x + 2) ; 7 x − 5 = x + 2 ; 3 2 1 8 x − 0, 5 = 3 x − x ; 7 14 7

Към съдържанието

(1) х(х + 2) + 7 = (х + 1)(х – 1) (2) (х + 1)2 = (х – 2)(х + 3) (3) (х + 2)(х + 3) = х(х + 5) – 9 (4) (2х + 1)(х – 3) = х(2х – 5) – 3 (1) х(х + 2) + 7 = (х + 1)(х – 1) х2 + 2х + 7 = х2 – 1 2х = –1 – 7 2х = –8 х = –4 (2) (х + 1)2 = (х – 2)(х + 3) х2 + 2х + 1 = х2 + 3х – 2х – 6 2х + 1 = х – 6 х = –7 (3) (х + 2)(х + 3) = х(х + 5) – 9 х2 + 3х + 2х + 6 = х2 + 5х – 9 0х = –15 Уравнението няма решение. (4) (2х + 1)(х – 3) = х(2х – 5) – 3 2х2 – 6х + х – 3 = 2х2 – 5х – 3 2х2 – 5х – 3 = 2х2 – 5х – 3 0х = 0 Всяко число е корен.

Отг. А 3 Б 4 В 1

9 x − 3 x = 1 x − 5 x + 1 ; 10 11 12 13

4 2 6 4 1 + 7 x − 54 = 1 (27 − x) ; 2 2 2 x − 7 = 3x + 1 ; 2 5 3( x − 1) x + 2 = x−1 ; + −4 7 2 5, 4 x − 7 0, 5 x − 3, 7 − = −14, 4 ; 0,1 2

( 3) 6 ( 7 )

14 5 x − 1 − 1 1 x − 5 = 1 − 6 x . 6

35.

УРАВНЕНИЕТО Корените на уравнението ( x − 2)( x + 3) = 0 можем да намерим, като използваме определението за корен. За x = 2 множителят ( x - 2) приема стойност 0 (се анулира) и уравнението се преобразува във вярно числово равенство 0 .(2 + 3) = 0 , 0 = 0 . Следва, че x = 2 е корен на това уравнение. За x = −3 множителят ( x + 3) се анулира и уравнението се преобразува във вярно числово равенство (−5). 0 = 0 , т.е. 0 = 0 . Следва, че x = −3 е корен на това уравнение. Така намерихме две стойности на х, които удовлетворяват уравнението ( x − 2)( x + 3) = 0 . То има два корена: x = 2 и x = −3 , като x = 2 е корен и на уравнението x − 2 = 0 , а x = −3 е корен и на уравнението x + 3 = 0 . Уравнението ( x − 2)( x + 3) = 0 няма други корени. Чрез горния пример показахме, че уравнение от вида (ax + b)(cx + d ) = 0 (a ≠ 0 , c ≠ 0) има два корена, като единият е корен на уравнението ax + b = 0 , а другият – на уравнението cx + d = 0 .

(ax + b)(cx + d ) = 0 (a ≠ 0, c ≠ 0)

ax + b = 0

или

cx + d = 0 x =−d c

x=−b a

ЗАДАЧА 1 Решете уравненията:

а) (2 x + 1)(3 x − 2) = 0 ; Решение: а) (2 x + 1)(3 x − 2) = 0 2 x + 1 = 0 или 3 x − 2 = 0 2 x = −1 3x = 2 1 x=− x=2 2 3 Отг. У равнението има два корена: x1 = − 1 ; x2 = 2 . 2 3

ЗАДАЧА 2 Решете уравненията: а) 9 x 2 − 4 = 0 ;

⇔

Решение: 9x2 − 4 = 0 а) (3 x − 2)(3 x + 2) = 0 3 x − 2 = 0 или 3 x + 2 = 0 3 x = −2 3x = 2 x=−2 x=2 3 3 2 2 Отг. x1 = ; x2 = − 3 3

б) ( x − 5)( x + 7) = 0 . б) ( x − 5)( x + 7) = 0 x − 5 = 0 или x + 7 = 0 x=5 x = −7 Отг. У равнението има два корена: x1 = 5; x2 = −7. б) 2 x 2 + 5 x = 0 . б) 2 x 2 + 5 x = 0 x(2 x + 5) = 0 x = 0 или 2 x + 5 = 0 2 x = −5

x = −2 1 2 1 Отг. x1 = 0 ; x2 = −2 2 Към съдържанието

Уравненията от Задача 2 приведохме във вида (ax + b)(cx + d ) = 0 , като разложихме левите им страни на множители.

ЗАДАЧА 3 Решете уравненията: а) x 2 − 6 x + 9 = 0 ; Решение: а) x 2 − 6 x + 9 = 0 ( x − 3) 2 = 0 ( x − 3)( x − 3) = 0 x − 3 = 0 или x − 3 = 0 x=3 x=3 Отг. x= x= 3 1 2 или x 1,2 = 3

б) x 2 + 4 x − 5 = 0 . б) x 2 + 4 x − 5 = 0 x 2 + 2 . x . 2 + 22 − 22 − 5 = 0 ( x + 2) 2 − 9 = 0 ( x + 2 + 3)( x + 2 − 3) = 0 ( x + 5)( x − 1) = 0 x + 5 = 0 или x − 1 = 0 x =1 x = −5 Отг. x1 = −5 ; x2 = 1

ЗАДАЧА 4 Решете уравнението (2 x + 3)2 = ( x − 2)2 . Решение: (2 x + 3) 2 = ( x − 2) 2 I начин: (2 x + 3) 2 − ( x − 2) 2 = 0 (2 x + 3 + x − 2)(2 x + 3 − x + 2) = 0 (3 x + 1)( x + 5) = 0 3 x + 1 = 0 или x = −1 3 Отг. x1 = − 1 ; x2 = −5 3

II (2 x + 3) 2 = ( x − 2) 2 начин: 4 x 2 + 12 x + 9 = x 2 − 4 x + 4 4 x 2 + 12 x + 9 − x 2 + 4 x − 4 = 0 3 x 2 + 16 x + 5 = 0 3 x 2 + 15 x + x + 5 = 0 3 x( x + 5) + ( x + 5) = 0 (3 x + 1)( x + 5) = 0 3 x + 1 = 0 или x = −1 3 Отг. x1 = − 1 ; x2 = −5 3

2 2 При решаване на Задача 4 по I начин приложихме формулата a − b , 2 а по II начин – формулите (a ± b) . Решението по I начин е по-рационално.

ЗАДАЧИ

Решете уравненията: 1 ( x − 8)( x − 0,1) = 0 ; 2 ( x − 6)( x − 5) = 0 ;

3 4 5 6 7 8

( x − 6)(7 − x) = 0 ; (8 − x)(9 − x) = 0 ; (2 x + 1)(3 − x) = 0 ; (3 x − 2)( x + 8) = 0 ; (4 x − 3)(3 x − 2) = 0 ; (5 x + 1)(5 x − 3) = 0 ;

Към съдържанието

9 10 11 12 13 14 15 16 17

x 2 − 4 = 0 ; 4x2 −1 = 0 ; 9 − 4 x 2 = 0 ; 25 − 9 x 2 = 0 ; x 2 − 3 x = 0 ; 4 x2 + 5x = 0 ; x 2 + x = 0 ; x2 − x = 0 ; x 2 − 2 x + 1 = 0 ;

18 19 20 21 22 23 24 25 26

x2 + 2 x + 1 = 0 ; x 2 − x − 6 = 0 ; x2 + 5x + 4 = 0 ; (3 x − 1) 2 − x 2 = 0 ; 4 x 2 − ( x − 3) 2 = 0 ; (2 x + 5) 2 = ( x + 3) 2 ; (3 x − 1) 2 = (2 x + 7) 2 ; ( x + 7) 2 = 36 ; (2 x − 3) 2 = 25 .

36.

УРАВНЕНИЕТО

| ax + b | = c

Знаем, че: | 3 | = 3 , т.е. модулът на едно положително число е самото число; | −3 | = 3 , т.е. модулът на едно отрицателно число е противоположното му число; | 0 | = 0 , т.е. модулът на числото нула е нула. За всяко число а

| a | =

а при a > 0 ,

| a − b |=| b − a | ,

−а при a < 0 ,

| a . b | = | a |.| b | , a = |a| . b |b|

14424443

За всяко число а и b са в сила свойствата:

0 при a = 0 .

Да разгледаме уравнението | x | = 3 . От определението за модул следва, че числата 3 и −3 са корени на това уравнение. | x| =3 Отг. x1 = 3 ; x2 = −3 (или x 1,2 = ± 3 ) x = 3 или x = −3 a 1= , b 0, c = 3 Уравнението | x | = 3 е от вида | ax + b | = c при= и се нарича модулно уравнение.

Решението на уравнението | ax + b | = c , a ≠ 0 , записваме така:

| ax + b | = c −(ax + b) = c ax + b = c или ax + b = −c ax = −c − b ax = c − b c b − x = −c − b x= a a c > 0

Отг. x1 = c − b ; x2 = −c − b a a

c = 0 | ax + b | = 0 ax + b = 0

x =−b | ax + b | = 0 a ax + b = 0 Отг. x = − b a

c<0 | ax + b | = c | ax + b | =неc може да бъде отрицателно число. Отг. няма решение.

Броят на корените на уравнението | ax + b | = c , a ≠ 0 , зависи от числото с: • при c > 0 уравнението има два корена; • при c = 0 уравнението има един корен; • при c < 0 уравнението няма решение.

ЗАДАЧА 1 Решете уравненията:

а) | x − 2 | = 5 ; Решение: а) | x − 2 | = 5 x − 2 = 5 или x − 2 = −5 x=7 x = −3

б) | x − 2 | = 0 ;

в) | x − 2 | = −1 .

б) | x − 2 | = 0 x−2 =0 x =2

в) | x − 2 | = −1

Отг. x1 = 7 ; x2 = −3

Отг. х = 2

Отг. няма решение. Към съдържанието

ЗАДАЧА 2 Решете уравненията:

а) | 3( x − 1) + 4 | = 5 ; Решение: а) | 3( x − 1) + 4 | = 5 | 3x − 3 + 4 | = 5 | 3x + 1 | = 5 3 x + 1 = 5 или 3 x + 1 = −5 x = 11 x = −2 3 Отг. x1 = 1 1 ; x2 = −2 3

б) −3 | x − 5 | = − 9 . б) −3 | x − 5 | = − 9 |.(−1) 3 | x − 5 | = 9 |: 3 | x −5| = 3 x − 5 = 3 или x − 5 = −3 x =8 x=2 = x1 8= ; x2 2 Отг.

При решаване на Задача 2: • у словие а) по-рационално е първо да приведем израза, който е под знака на модула, във вида ax + b ; • у словие б) преобразуваме даденото уравнение, докато получим уравнение от вида | ax + b | = c .

ЗАДАЧА 3 Решете уравненията:

а) 2 | 3x − 1 | − 3 | 1 − 3x | = 5 ;

б) |x + 3| – |– 5x – 15| = –8.

Решение: а) 2 | 3 x − 1 | − 3 | 1 − 3 x | = 5 2 | 3x − 1 | − 3 | 3x − 1 | = 5 − | 3 x − 1 | = 5 |.(−1) | 3 x − 1 | = −5

б) |x + 3| – |– 5x – 15| = –8 |x + 3| – 5|x + 3| = –8 –4|x + 3| = –8 | : –4 |x + 3| = 2

Отг. Уравнението няма решение.

x + 3 = 2 или х + 3 = –2 х = 2 – 3 х = –2 – 3 х = –1 х = –5 Отг. х1 = –1; х2 = –5.

При решаване на Задача 3 използвахме свойствата на модулите: |a| | a − b | = | b − a | , |a.b| = |a|.|b| и a = . b |b|

ЗАДАЧИ

Решете уравненията: 8 1 | 3x − 8 | + 1 = 1;3 |2x |2−y5−=1 |−x 6|; = 0 ; 1 | x | = 2 ; | x | = 0 ; | x | = −2 ; 3 2 2 3 | y | − 6 = 5 | y |; 3 | x | − 5 = | x |; 9 2 | x − 1 | = 3 ; | x + 6 | = 1 ; | 2 − x | = 1; | 10 − x | = 5 | 2 − x | = 13; | 10 − x | = 5 ; | 2 x − 1 | = 0 ; | 2 x − 3 | = 10 ; 10 3| 2| xy ||−−| 36x=| =5 −| y6 ;|; | 5 y | − 2 | 3 y | = 4 ;

4 − | 2 x − 1 | = 3 ; | x + 6 | = −1 ; 5 | − x + 5 | = 8 ; | −8 − x | = 6 ; 6 | 2 x + ( x − 1) | = 1; | x 2 − ( x + 1) 2 | = 5 ; 7 2 + 4 | 3 x − 1 | = 6 ; 5 | 2 x − 1 | − 3 = 4 ; Към съдържанието

11 12 13 14

| x − 1 | + 3 | x − 1 | − | x − 1 | = 3; | 2x +1| + 3 | 2x +1| = 8; | 5x −1 | − 2 | 1 − 5x | = 3; | 2 x − 5 | − 5 | 5 − 2 x | = −1.

37.

УРАВНЕНИЯ, СВЕЖДАЩИ СЕ ДО ЛИНЕЙНИ

ЗАДАЧА 1 Решете уравненията:

2 2 б) (2 x − 5) − ( x + 1)( x − 1) = 3( x + 2) .

а) ( x + 2) − x( x + 1) = 0 ; Решение: ( x + 2) 2 − x( x + 1) = 0 а)

x2 + 4 x + 4 − x2 − x = 0 4x − x = − 4 3x = − 4 x = −1 1 3

ЗАДАЧА 2 Решете уравненията:

а) ( x − 3) 2 = 2( x − 1) + 11 ; Решение: ( x − 3) 2 = 2( x − 1) + 11 а) x 2 − 6 x + 9 = 2 x − 2 + 11 x 2 − 6 x − 2 x = −2 + 11 − 9 x2 − 8x = 0 x( x − 8) = 0 x = 0 или x − 8 = 0 x =8 = x1 0= ; x2 8 Отг.

б) (2 x − 5) 2 − ( x + 1)( x − 1) = 3( x 2 + 2) 4 x 2 − 20 x + 25 − ( x 2 − 1) = 3 x 2 + 6 4 x 2 − 20 x + 25 − x 2 + 1 = 3 x 2 + 6 4 x 2 − 20 x − x 2 − 3 x 2 = 6 − 25 − 1 −20 x = −20 x =1 3 2 б) ( x + 1) − 3x = ( x + 2)( x − 2 x + 4) + 5 .

б)

( x + 1)3 − 3x = ( x + 2)( x 2 − 2 x + 4) + 5

x3 + 3x 2 + 3x + 1 − 3x = x3 + 8 + 5 3x 2 = 13 − 1 3x 2 = 12 |: 3 x2 = 4 x2 − 4 = 0 ( x + 2)( x − 2) = 0 x + 2 = 0 или x − 2 = 0 x=2 x = −2 Отг. x1 = −2 ; x2 = 2

В Задача 2 б) неизвестното х след прилагане на свойствата за еквивалентност остана във втора степен. Тогава прехвърлихме всички членове в лявата страна и я разложихме така, че получихме уравнението ( x + 2)( x − 2) = 0, което знаем да решаваме.

ЗАДАЧА 3 Решете уравнението | x 2 − 1 | = 3 и намерете произведението от корените му.

Решение: | x2 −1 | = 3 x 2 − 1 = 3 или x2 − 4 = 0 ( x + 2)( x − 2) = 0 x + 2 = 0 или x − 2 = 0 2 x2 =x = 2 x1x == −−22

x 2 − 1 = −3 x2 + 2 = 0 Но x 2 + 2 > 0 за всяко х.

x 2 − 1 = −3 x2 + 2 = 0 x2 + 2 > 0 Следователно уравнението няма решение.

Отг. x1 . x2 = −2 . 2 = − 4 Към съдържанието

ЗАДАЧА 4 В лявата колона на бланката за отговори е написана буквата на

уравнението. Срещу нея, в дясната колона, запишете номера на еквивалентното му уравнение. (1) x2 = 9

(А)

х2 = 3х

(Б)

(х – 3) + (х – 1) = –10

(В)

(2) x(x + 3) = 0 2

|–x| = 3

(3) (x – 2)2 + (x – 4) = 0 (4) (2x + 3)2 = (x + 3)2 (5) |x| = –3

Решение: (А) х2 – 3х = 0 х(х – 3) = 0 х = 0 или х – 3 = 0 х1 = 0 х2 = 3 (Б) (х – 3)2 + (х – 1)2 = –10 Уравнението няма решение. (В) |–x| = 3 |x| = 3 x = 3 или х = –3 х1 = 3 х2 = –3 (1) х2 = 9 х2 – 9 = 0 (х + 3)(х – 3) = 0 х + 3 = 0 или х – 3 = 0 х1 = –3 х2 = 3

ЗАДАЧИ

Решете уравненията: 1 ( x + 2)2 − x( x + 3) = 7 x ; 2 (2x + 1)2 – (2x + 3)(2x – 3) = 3(x + 2); 3 (x – 1)2 – (x – 3)(x + 2) = 2(x – 1); 4 ( x + 1)3 − ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) = 3x( x + 2) ; 3 2 5 ( x + 2) − x( x + 1) = ( x + 4)( x + 2) ;

(2) х(х + 3) = 0 х = 0 или х + 3 = 0 х1 = 0 х2 = –3 (3) (x – 2)2 + (x – 4) = 0 х2 – 4х + 4 + х – 4 = 0 х2 – 3х = 0 х(х – 3) = 0 х = 0 или х – 3 = 0 х1 = 0 х2 = 3 (4) (2x + 3)2 = (x + 3)2 (2х + 3 + х + 3)(2х + 3 – х – 3) = 0 (3х + 6)х = 0 3х + 6 = 0 или х = 0 х1 = –2 х2 = 0 (5) |x| = –3 Уравнението няма решение.

Отг. А Б В

3 5 1

10 3 | 2 x − 1 | − 5 | 1 − 2 x |= −8 ; 11 5 | x − 3 | − | 7 x − 21 | = 4 ; 12 3 | 2 x − 3 | − | 6 − 4 x | − 5 | 3 − 2 x | = −20 ; 13 1 − 2 x6− 5 = 3 −4 x ; 14 1 − x + 1 = 3 − x ;

2 2 4 6 ( x − 1) − x( x + 3)( x − 3) = (2 x + 1)(2 x − 1) ; 1 x x −3 3 2 − 1.25 = 15 − ; 7 (2 x − 1) = (2 x − 1)(4 x + 2 x + 1) ; 3 4 6 2 8 (2 x + 3) − 3x( x + 4) = 25 ; x 2 − 3x x 2 + 4 x 2 = 16 . 9 ( x + 2) − x( x + 3) = 4 ; 3 4 3

Към съдържанието

38.

МОДЕЛИРАНЕ С ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ Разнообразни задачи от живота, науката и техниката водят до решаване на уравнения. Съставянето на уравнение за дадена текстова задача означава, че задачата се превежда от говорим език и от езика на съответната практическа област на езика на математиката. В такъв случай казваме, че сме построили математически модел на задачата. Ще изкажем твърдения най-напред на говорим език и след това ще ги запишем с математически равенства. Нека a > 0 : х е с две по-голямо от а х е с две по-малко от а x e k% от а х е четно х е 3 пъти по-голямо от а естествено число x = 2k , k ∈ N х е нечетно х е 3 пъти по-малко от а естествено число x = 2k − 1, k ∈ N х е с k% по-голямо от а х, разделено с 3, x = 11 + 2 има частно 11 3 3 х е с k% по-малко от а и остатък 2 х е 2 от а 5

x= 2a 5 x= k a 100

x = a + 2 или x−2= a x = a − 2 или x+2=a x = 3a или x = a или x .3 = a 3 x=a+ k a 100 x=a− k a 100

При моделиране с линейни уравнения и решаване на текстови задачи: 1. Избираме неизвестно число. 2. Съставяме математически модел → уравнение. 3. Решаваме уравнението. 4. Записваме с думи отговора на задачата. За онагледяване и удобство в някои случаи използваме чертеж и таблица.

ЗАДАЧА 1 Намислих число. Увеличих го с 3 и полученото число умножих с 5. Получих

число, което е с 43 по-голямо от намисленото. Кое число съм намислил? Решение: 3. Решаваме уравнението: 1. Избираме неизвестно число: 5( x + 3) = x + 43 х е намисленото число. 2. Съставяме математически модел: 5 x + 15 = x + 43 • увеличих намисленото число с 3 5 x − x = 43 − 15 → x + 3 ; 4 x = 28 • полученото число умножих с 5 x = 7. → 5( x + 3) ; • получих число, с 43 по-голямо от х 4. Записваме с думи отговора на задачата. → x + 43 ; • уравнението е 5(х + 3) = х + 43. Намисленото число е 7.

ЗАДАЧА 2 Разликата от квадратите на две последователни нечетни числа е 72. Намерете числата.

Към съдържанието

Решение: 1. Означаваме двете последователни 3. Решаваме уравнението и получа нечетни числа с 2 x - 1 и 2 x + 1 , ваме x = 9 – естествено число. x = 1 , 2 , 3 ,... където Намираме числата 2х – 1 = 17; 2. От 2 x + 1 > 2 x − 1 и 72 > 0 следва 2х – 1 = 19. 2 2 4. Търсените числа са 17 и 19. (2 x + 1) − (2 x − 1) = 72 2 2 4 x + 4 x + 1 − (4 x − 4 x + 1) = 72 Намалих го с 2. Полученото число разделих с 11 и получих частно ЗАДАЧА 3 2 Намислих число. 4 x + 4 x + 1 − 4 x 2 + 4 x − 1 = 72 5 и остатък 3. Кое число съм намислил? 8 x = 72 Решение: x=9 1. х е намисленото число, ДС: x > 2 . 3. x − 2 = 5 + 3 |.11 11 11 x − 2 x − 2 3 = 60 x , 60 ∈ ДС ; = 5+ 2. x − 2 ; 11 11 11 4. Намисленото число е 60.

ЗАДАЧА 4 Цифрата на десетиците на едно двуцифрено число е с 2 по-голяма от цифрата на

ЗАДАЧИ

единиците му. Сборът на цифрите на това число е 1 част от самото число. Намерете 7 двуцифреното число. Решение: 3. Решаваме уравнението 1. х е цифрата на единиците. 2. Цифрата на десетиците е x + 2 , 2 x + 2 = 1 (10 x + 20 + x) 7 ДС: x ∈{0,1, 2,..., 7} . ................................ x=2 х=2 Двуцифреното число е ( x + 2).10 + x . 2 е цифра от 0 до 7. Сборът от цифрите на числото е 4. Цифрата на единиците е 2. x + 2 + x = 2x + 2 Цифрата на десетиците 2 x + 2 = 1 (10 .( x + 2) + x) . е 2 + 2 = 4. Числото е 42. 7 1 Намислих положително число. Уве 5 Фирма закупила от банка долари личих го 8 пъти и от полученото чис по 1,34 лв. и 5 пъти повече евро по ло извадих 5. Получих число, което е 1,98 лв. общо за 5 620 лв. Намерете с 9 по-голямо от намисленото число. колко долара и колко евро е закупи Кое число съм намислил? ла фирмата. 2 Намерете число, при делението на 6 Сборът от цифрите на двуцифрено което с 24 се получава частно 3 и ос число е 11. Ако към това число се татък 4. прибави 63, ще се получи число, за 3 Намерете число, при делението на писано със същите цифри, но в обра което със 112 се получава частно 4 и тен ред. Намерете числото. остатък 5. 4 За обзавеждане на класна стая за 7 Цифрата на единиците на двуцифре но число А е с 5 по-голяма от цифра купили маси по 82 лв. и столове по та на десетиците му. Ако между ци 47 лв. на обща стойност 2 816 лв. На фрите на числото А напишем 0 и по мерете броя на закупените маси и то лученото трицифрено число разде зи на закупените столове, ако броят лим на сбора на цифрите му, ще по на столовете е 2 пъти по-голям от то зи на масите. лучим 28. Кое е числото А?

Към съдържанието

39.

МОДЕЛИРАНЕ С ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Стопанин гледа зайци и кокошки. Краката на всички животни са 220, а главите им са 70. Намерете колко зайци и колко кокошки гледа стопанинът. Решение: I начин (аритметичен): Всички животни са 70 и имат най-малко по два крака, 70 . 2 = 140 крака. Но краката на всички животни са 220. Тогава 220 − 140 = 80 . Останалите 80 крака са по два на всеки заек. Получихме, че зайците са 80 : 2 = 40 . Кокошките са 70 − 40 = 30 . Стопанинът гледа 40 зайци и 30 кокошки

II начин (алгебричен): Означаваме броя на зайците с х, ДС: х е естествено число, x ≤ 70. При съставяне на математическия модел е удобно да използваме таблица.

зайци

брой

брой крака на 1 животно

брой крака

4х

2(70 − x)

кокошки 70 − х

общ брой крака 220

Уравнението е 4 x + 2(70 − x) = 220 . Решаваме уравнението и получаваме x = 40 , 40 < 70 . Зайците са 40. Кокошките са 70 − 40 = 30 .

Някои от текстовите задачи могат да се решават и аритметично (без въвеждане на неизвестна величина х) – Задача 1, I начин. В 7. клас даваме предимство на алгебричния начин – Задача 1, II начин. Въвеждането на неизвестна величина води до съставяне и решаване на уравнение, т.е. до алгоритъм за решаване на текстова задача, и е по-достъпен от аритметичния начин.

ЗАДАЧА 2 В един склад за книги имало 5 пъти повече книги, отколкото във втори склад. След като от първия склад продали 4 000 книги, а на втория доставили 7 000 книги, във втория склад имало 2 пъти по-малко книги, отколкото в първия. По колко книги е имало първоначално във всеки от двата склада? Решение: Означаваме с х броя на книгите във втория склад, ДС: x ∈ N . брой промяна книги I склад II склад

5х х

−4000 +7000

брой книги след промяната 5х − 4000 х + 7000

Уравнението е 5х − 4000 = (х + 7000).2. Решаваме уравнението и получаваме х = 6000, 6000 ∈ N. В I склад е имало 30000 книги. Във II склад е имало 6 000 книги. Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 За пролетното тържество в една детска градина са закупени шоколади по 0,85 лв.,

дъвки по 0,12 лв. и шоколадови десерти по 0,28 лв. Количествата на шоколадите, на дъвките и на десертите се отнасят както 2 : 7 : 3. Намерете по колко броя от всеки вид са закупени, ако за тях е заплатена общо сумата от 169 лв. Решение: Закупили са 2х броя шоколади, 7х броя дъвки и 3х броя шоколадови десерти, ДС: x ∈ N . Уравнението е колиед. цена платена 2 x . 0, 85 + 7 x . 0,12 + 3 x . 0, 28 = 169 чество (лв.) сума (лв.) 1, 7 x + 0, 84 x + 0, 84 x = 169 шоколади 0,85 2х 2х . 0,85 3, 38 x = 169 дъвки 0,12 7х 7х . 0,12 x = 50 десерти 0,28 3х 3х . 0,28 общо 169 х ∈ ДС, = 2 x 100 = , 7 x 350, 3 x = 150 . Закупени са 100 броя шоколади, 350 броя дъвки и 150 броя десерти.

ЗАДАЧА 4 Група приятели решили да купят общ подарък на Илия за рождения му

ден. Те пресметнали, че ако съберат по 10 лв., за избрания подарък няма да стигнат 15 лв. Събрали по 12 лв., купили подаръка и останали 3 лв. Намерете броя на приятелите и цената на подаръка. Решение: Уравнението е Приятелите на Илия са х, ДС: x ∈ N . 10х + 15 = 12х – 3 брой вноска събрана цена на х = 9, 9 ∈ ДС. приятели (лв.) сума (лв.) подаръка Приятелите на Илия са 9. I начин 10 х 10х 10х + 15 Цената на подаръка е II начин 12 х 12х 12х – 3 (10.9 + 15 = 105) 105 лв.

ЗАДАЧИ

1 Сега моите години се отнасят към

годините на брат ми както 3 : 5. След 5 години аз ще бъда на толкова години, на колкото беше брат ми преди 5 години. На колко години сме сега аз и брат ми? 2 Разпространител на учебна литература за един ден продал 120 сборника по математика за 5. клас и 80 – за 6. клас. От реализираните продажби получил 1168 лв. Намерете цената на един сборник за 5. клас и на един сборник за 6. клас, ако цената на сборника за 6. клас е с 60 стотинки по-висока от тази на сборника за 5. клас. 3 В Народното събрание има 240 депутати. В сряда поради командировки отсъствали няколко от тях. В четвъртък поради болест отсъствали 5 депутати повече от тези в сряда. В

Към съдържанието

петък в залата се върнали само трима от отсъствалите в четвъртък. На заседанието в петък присъствали 188 депутати. Колко депутати са отсъствали в сряда? 4 В два варела имало общо 64 L нафта. От всеки варел взели по 4 L и тогава 25% от останалото количество нафта в първия варел станало равно на една трета от количеството нафта, останало във втория варел. По колко литра нафта е съдържал всеки варел? 5 За подготовка за класна работа по математика учителката дала задачи от сборника. Петър решавал 3 дни по един и същ брой задачи на ден и решил 15 задачи повече от зададените. Зоя решавала 2 дни по същия брой задачи като Петър и не успяла да реши 5 задачи. Колко задачи е дала учителката?

ЗАДАЧИ ОТ ДВИЖЕНИЕ Ще разгледаме задачи от движение, при които телата се движат равномерно, и се решават чрез равенствата = S v= .t ; v S ; t = S . t v Величините S, v и t се измерват със съответстващи мерни единици, което означава, че ако S се измерва с километри (km), а t – с часове (h), v се измерва с километри за час (km/h).

ЗАДАЧА 1 Разстоянието между градовете А и В е 360 km. От А за В тръгнал камион,

който се движел със скорост v = 80 km/h, а в същото време от В за А тръгнала лека кола, чиято скорост била с 20 km/h по-висока от тази на камиона. Намерете след колко часа двете превозни средства са се срещнали. Решение: Скоростта на леката кола е 100 km/h. Срещата е станала след х (h), ДС: x > 0 . Sкам. + Sл.к. = 360

v (km/h) 80 100

камион лека кола

t (h) x х

S (km) 80x 100x

Уравнението е 80х + 100х = 360. х = 2, 2∈ ДС Отг. К амионът и леката кола са се срещнали след 2 h.

ЗАДАЧА 2 Разстоянието от Ямбол до Сливен е 24 km. В неделя сутринта в 6 h 30 min от Сливен за Ямбол тръгнал велосипедист, а в 7 h 15 min от Ямбол за Сливен тръгнал втори велосипедист, чиято скорост била с 2 km/h по-висока от тази на първия. Ако двамата велосипедисти са се срещнали в 8 h, с каква скорост се е движил всеки от тях? Решение:

v (km/h) t (h)

S (km)

11 2

11 x 2

x+2

3 4

3 ( x + 2) 4

Означаваме vI = x (km/h), ДС: х > 0. Тогава vII = x + 2 (km/h). tI = 8 h − 6 h 30 min = 8 − 6 1 = 1 1 h 2 2 1 3 tII = 8 h − 7 h 15 min = 8 − 7 = h 4 4

SSII ++ SSIIII == SS . 1 3 24 . Уравнението е 1112 xx ++ 34 ((xx ++ 22)) == 24 2 4 x = 10 , 10 ∈ ДС Отг. Скоростта на I велосипедист е 10 km/h, а на II велосипедист е 12 km/h. От условието

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 Град С е между градовете А и В и разстоянието АС = 40 km. От А за В тръгва лека кола, която се движи със скорост 90 km/h, а в същото време от С за В тръгва камион, чиято скорост е 70 km/h. Двете превозни средства пристигат едновременно в град В. Намерете времето на пътуване на камиона и леката кола и разстоянията АВ и СВ. Решение: В задачата се търсят две величини: път и време. Ще решим задачата по два начина, като изберем за неизвестно най-напред едната, а след това другата величина.

40 km I начин: tл.к = tкам = х (h) ДС: х > 0 v (km/h)

t (h)

S (km)

90 70

х х

90x 70x

лека кола камион

Sл.к = Sкам + 40 90х = 70х + 40 х = 2,

2>0

tл.к = tкам = 2h Sл.к = 90х = 90.2 = 180 km АВ = 180 km Sкам = 70х = 70.2 = 140 km СВ = 140 km

ЗАДАЧИ

S (km)

v (km/h)

t (h)

лека кола

x 90

камион

x – 40

x − 40 70

tл.к = tкам

20х = 40

II начин: SAB = x (km) ДС: х > 40

1 От град А за град В пътувал моторист

x x − 40 = 90 70 7х = 9х – 360 x = 180, 180 > 0 Sл.к = 180 km Sкам = 180 – 40 = 140 km x 180 tл.к = tкам = = = 2h 90 90

АВ = 180 km СВ = 140 km

то е 90 km, престоял на гарата в Кюстендил 20 min и се върнал в София със същия влак. На гарата в София установил, че пътуването и престоят са му отнели общo 3 h 40 min. Намерете скоростта на влака.

със скорост 48 km/h. Един час след него по същия път тръгнал автомобил, който се движил със скорост 72 km/h. Намерете на какво разстояние от А автомобилът е настигнал моториста. 2 От хижа А тръгнал турист, който се 4 В 8 h покрай полицейски пост на пъдвижил със скорост 2,5 km/h. 1 h потя минал камион със скорост 36 km/h. късно по същия път след него тръгнал В 10 h 40 min в същата посока минадруг турист, чиято скорост била 4 km/h. ла кола, която се движела със скорост Намерете колко часа след тръгването 60 km/h. В колко часа� и на какво разси вторият турист е настигнал първия. стояние от поста колата ще настигне 3 Пътник, пътуващ с влак от София за камиона? Кюстендил, разстоянието между кои-

Към съдържанието

41.

ЗАДАЧИ ОТ ДВИЖЕНИЕ. УПРАЖНЕНИЕ

При движение на моторен плавателен съд vпо течението = vв спокойна вода + vна течението , vсрещу течението = vв спокойна вода − vна течението . При движение на сал скоростта му е равна на скоростта на течението.

ЗАДАЧА 1 Моторна лодка изминава разстоянието между две пристанища на една река

и се връща обратно за 8 h. Намерете разстоянието между двете пристанища, ако скоростта на лодката в спокойна вода е 18 km/h, а скоростта на течението е 3 km/h. Решение: Разстоянието между двете пристанища е х (km), ДС: x x> 0+ . x = 8 |.105 21 15 vпо течението = 18 + 3 = 21 km/h 5 x + 7 x = 8 .105 vсрещу течението = 18 − 3 = 15 km/h (5 + 7) x = 8 .105 S (km) v (km/h) t (h) tпо теч.12 + txср.= теч. = 8 8 .105 x + x = 88 .105 x |.105 по течението 21 х 21 15x = 12 21 5 x + 7 xx = = 870.105 , 70 > 0 x (5 + 7) x = 8 .105 срещу течението 15 х 15 Отг. е 70 km. 12 xРазстоянието = 8 .105

8 .105 за 8 h. ЗАДАЧА 2 Моторна лодка изминава разстоянието от Русе до Силистра иx =обратно

12 е засякъл, Намерете колко километра общо е пропътувала лодката, ако лодкарят x = 70 , 70 > 0 че е изминал по течението 10,5 km за 30 min, а движението на сал по реката е със скорост 5 m/s . 6 Решение: Означаваме разстоянието от Русе до Силистра с х (km), ДС: x > 0 . vпо теч = ? По течението 10,5 km са изминати за 30 min или за 30 = 1 h, т.е. 60 2 10,5 = vпо30 . 1 , vпо теч = 21 km/h. теч = 60 2 1 m km = 5 ⋅ 3, 6 km/ h = 3 km/ h 5 5 1000 = ⋅ vтеч = ? vтеч = vсал = h 6 s 6 1 6 3600 vсп. вода = 21 - 3 = 18 km/h tпо теч. + tср. теч. = 8 vср. теч. = 18 - 3 = 15 km/h x + x =8 S (km) v (km/h) t (h) 21 15 Р–С x 21 х x = 70 , 70 ∈ ДС 21 (по течението) С–Р (срещу течението)

x 15 Общо за 8 h х

Отг. Разстоянието от Русе до Силистра е 70 km. Лодката е изминала общо 140 km.

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 Като вървял от хижа към жп гара, турист изминал през първия час 3 km.

Преценил, че ако запази скоростта си, ще закъснее за влака с 10 min. Затова изминал останалия път със скорост, с 1 km/h по-висока от началната, и пристигнал на гарата 15 min преди тръгването на влака. Намерете разстоянието от хижата до жп гарата. Решение: За 1 час туристът изминал 3 km, т.е. vтур = 3 km/h. 10 = min 10 = h 1 h 15 = min 15 = h 1 h 60 6 60 4 Означаваме с T (h) времето от тръгването на туриста до пристигането на влака на гарата. x+3 Разстоянието CB = x (km) , x > 0 . Съставяме таблица. v (km/h) първи вариант втори вариант

S (km)

t (h)

x 3

x 4

закъснява с 1 h 6 по-рано 1 с h 4

T (h) x−1 3 6 x+1 4 4

Съставяме математически модел ТI = ТII , т.е. Уравнението е x − 1 = x + 1 , x = 5 , 5 > 0 3 6 4 4 Решаваме уравнението и получаваме х = 5, 5 > 0. Разстоянието е AB = x + 3 = 5 + 3 = 8 km Отг. Разстоянието от хижата до гарата е 8 km.

ЗАДАЧИ

1 Моторна лодка изминава разстоя-

нието между пристанищата А и В на една река и се връща обратно за 5

1 h. Намерете разстоянието между 2

двете пристанища, ако скоростта на лодката в спокойна вода е 16,5 km/h, а скоростта на течението е 1,5 km/h.

2 Група туристи искат да направят раз-

ходка с моторна лодка по река, която тече със скорост 3 km/h. Скоростта на

Към съдържанието

лодката в спокойна вода е 30 km/h. На какво най-голямо разстояние могат да се отдалечат туристите с лодката, ако трябва да се върнат след 2 h на мястото, от което са тръгнали? 3 Моторна лодка изминала разстоянието между две пристанища по течението на река за 4 h, а на връщане срещу течението за 5 h. Да се намери разстоянието между пристанищата, ако скоростта на течението на реката е 2 km/h.

42.

ЗАДАЧИ ОТ РАБОТА Някои от задачите, свързани с извършване на определена работа, решаваме чрез зависимостта A = N . t, където A е количеството свършена работа; t е времето, за което е свършена работата A; N е нормата (производителността), т.е. работата за единица време. Тази зависимост прилича на формулата за пътя при равномерното движение S = v . t , където изминатият път S е свършената работа A, а скоростта v е работата за единица време.

ЗАДАЧА 1 Конвейер в автомобилен завод сглобява за 24 дни определено количество

автомобили. Той работил 22 дни с увеличена с 5 автомобила на ден норма и от конвейера слезли 80 автомобила над определеното количество. Да се намери дневната норма на конвейера по план. Решение: Означаваме дневната норма N с х (автомобила), ДС: x > 0 , цяло число. A план < A д N t (дни) A A план + 80 = A д по план 24 х 24x = A план 24x + 80 = 22(x + 5) в действит. x + 5 22 22(x + 5) = A д x = 15, x ∈ ДС Отг. Дневната норма по план е 15 автомобила. В Задача 1 получихме, че Aплан < Aдействителност с a автомобила. Записването на уравнение може да стане по три начина: Aплан = Aдействителност – a (1) Aплан + a = Aдействителност (2) Aдействителност – Aплан = a. (3) В Задача 1 използвахме (2).

ЗАДАЧА 2 Асен се подготвял за изпит и трябвало да реши даден брой задачи за определен срок, като решава по 15 задачи на ден. Първите три дни той работил по план. След това увеличил дневната си норма с 20% и решил всички задачи 4 дни преди срока. Колко са дадените задачи и за колко дни ги е решил Асен? Решение: Означаваме с х времето по план (дни), ДС: x > 0 , цяло число. Дадените задачи са 15х, а времето, за което те са решени, е (х - 4) дни. Увеличената норма е 15 + 20%.15 = 18 задачи. Времето, през което Асен решава с увеличена норма, е ( x − 3) − 4 = х - 7. A план = A действителност N t (дни) A по план в действителност

15 15 18

х 3 х−7

15х 45 18(х − 7)

15 x = 45 + 18( x − 7) x = 27 , 27 ∈ ДС Отг. Д адени са 405 задачи и те са решени за x – 4 = 23 дни. Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 За да изоре един блок в определен срок, тракторист трябвало да изорава по 90 дка на ден. Трактористът изоравал по 105 дка на ден и затова един ден преди срока му останали само 15 дка. Колко декара е бил блокът? Решение: I начин: Означаваме с х декарите на блока, ДС: x > 15 . N по план

в действит. 105

t (дни) x 90 x −15 105

A (дка) x x −15

tпл = tд + 1 x = x − 15 + 1 90 105 = 6( x540 − 15∈ ) +ДС 630 х7=x 540, Отг. Блокът е 540 дка.

II начин: Означаваме с х дните по план, ДС: x > 0 , цяло число. N 90

t (дни) х

A (дка) 90х

по план в дейст105 х−1 105(х − 1) вит. Остават 15 дка. A план = A действителност + 15 90 x = 105( x − 1) + 15 x = 6, 6x ∈ ДС Дните по план са 6. Отг. Блокът е 6 . 90 = 540 дка

При решаване на Задача 2 по I начин с х означихме величината, която се търси. По II начин избрахме за х времето по план и съставихме уравнение без знаме натели, което се решава по-лесно.

ЗАДАЧИ

1 Един стругар изработва за 12 дни

определено количество детайли. Като увеличил дневната си норма с 5 детайла, той работил 11 дни и изработил 40 детайла над определеното количество. Намерете: а) дневната норма на стругаря; б) колко детайла е трябвало да изра боти. 2 Трактористи запланували да изорат една нива, като изорават по 120 ха на ден. След първите два дни те увеличили нормата си с 50% и завършили оранта с 2 дни предсрочно. Колко хектара е цялата нива и за колко дни е била изорана? 3 За да окосят една нива за определен срок, косачи трябвало да окосяват

Към съдържанието

по 15 дка дневно. Първите 4 дни те работили с тази норма, а след това увеличили нормата си с 33 1 % от за 3 плануваната, поради което съкратили срока с 1 ден. Намерете: а) колко декара е целият блок; б) за колко дни е окосен; в) за колко дни по план е трябвало да бъде окосен. 4 Един цех трябвало да произвежда дневно по 180 чифта обувки от даден модел. Поради допълнителна поръчка дневното производство се увеличило с 15 чифта и един ден преди срока цехът произвел 120 чифта обувки повече. Колко чифта обувки от този модел е трябвало да произведе цехът по план?

43.

ЗАДАЧИ ОТ РАБОТА. УПРАЖНЕНИЕ Ще разгледаме текстови задачи от работа, при които количеството работа не е известно и се приема за 1. Тези задачи се решават чрез въвеждане на части от числото 1.

ЗАДАЧА 1 Един работник може да свърши определена работа за 15 дни, а друг

работник може да свърши същата работа за 10 дни. Ако двамата работници работят заедно, за колко дни ще свършат работата? Решение: Приемаме, че цялата работа е 1. I работник за 1 ден свършва 1 част от работата. 15 II работник за 1 ден свършва 1 част от работата. 10 Ако двамата работници работят заедно, ще свършат работата за х дни, ДС: x > 0 . сам свършва работата за (дни)

за 1 ден (части от работата)

1 15 1 10

работили (дни)

свършена работа (части)

x⋅ 1 15 II раб. 10 х x⋅ 1 10 Двамата работници ще свършат заедно работата за 6 дни. I раб.

AI + AII = 1 x + x = 1 |. 30 15 10 x = 6, 6 > 0

ЗАДАЧА 2 Една тръба може да напълни басейн за 15 часа, а друга – за 10 часа. За колко

часа ще се напълни басейнът, ако се отворят едновременно двете тръби? Решение: Забелязваме, че математическият модел на Задача 2 е същият като на Задача 1. Басейнът ще се напълни за 6 часа.

ЗАДАЧА 3 Една тръба може да напълни един басейн за 12 часа, а друга – 2 пъти по-бързо. Първата тръба пълнила сама 3 часа, а след това отворили и втората. За колко часа се е напълнил басейнът? Решение: Означаваме с х времето, за което двете тръби са работили заедно, ДС: x > 0 .

сама свършва работата за (часове)

за 1 час (части от работата)

работили (часове)

свършена работа (части)

I тръба

1 12

x+3

x+3 12

II тръба

1 6

x 6

AI + AII = 1 x +3 + x =1 12 6 x = 3, 3 > 0 Към съдържанието

Басейнът се е напълнил за 6 часа. I тръба е “работила” x + 3 = 3 + 3 = 6 часа. II тръба е “работила” 3 часа.

ЗАДАЧА 4 Трима работници трябвало да извършат определена работа. Първият може

сам да свърши работата за 9 дни, вторият – за 12 дни, а третият – за 18 дни. Вторият работил сам 2 дни и бил преместен на друг обект. Първият и третият заедно довършили определената работа. Намерете: а) каква част от цялата работа е извършил всеки работник; б) каква сума е получил всеки работник, ако за цялата работа са платени 720 лв. Решение: Означаваме с х времето, за което първият и третият работник са довършили работата, ДС: x > 0 . сам свършва за 1 ден работата за (части от (дни) работата) I раб.

II раб.

III раб.

1 9 1 12 1 18

работили (дни) х 2 х

свършена работа (части)

x 9 2 12 x 18

AI + AII + AIII = 1 x + 2 + x =1 9 12 18 x = 5, 5 > 0

Получаваме, че:

ЗАДАЧИ

а) I работник е извършил 5 , II – 1 , III – 5 части от работата. 18 9 6 5 5 б) I работник е получил от 720 = ⋅ 720 = 400 лв. 9 9 1 II работник е получил от 720 = 1 ⋅ 720 = 120 лв. 6 6 5 III работник е получил от 720 = 5 ⋅ 720 = 200 лв. 18 18 ако в него има вода, която е наполови1 Една тръба може да напълни един баната от вместимостта му, и се отворят сейн за 6 часа, а втора – два пъти пои трите тръби едновременно? бързо. За колко часа ще се напълни 5 Един работник може да свърши оп басейна, ако работят и двете тръби? ределена работа за 9 часа, а друг – за 2 Един работник извършва една рабо6 часа. Първият работник започнал та за 2 часа, а друг – за 4 часа поверабота в 7 часа� сутринта, а вторият – че. За колко часа двамата заедно ще 1 час след него. Намерете в колко часа� свършат тази работа? двамата работници са свършили ця3 Иван и Георги могат да боядисат лата работа. един апартамент съответно за 8 часа и за 12 часа. Иван започнал работа в 6 Перална машина може да се напълни през един маркуч за 4 минути, а 7 часà, а Георги – в 10 часà. В колко за да се източи водата през друг марчаса двамата са приключили работата? куч, са необходими 6 минути. За кол4 Един басейн може да се напълни през ко минути ще се напълни пералната една тръба за 36 часа, през втора – за машина, ако крановете на двата мар24 часа, а през трета – за 18 часа. За колко часа ще се напълни басейнът, куча са отворени едновременно?

Към съдържанието

44.

ЗАДАЧИ ОТ КАПИТАЛ

Лихва. Възнаграждението, което банката изплаща на вложителя за използването на вложените от него парични средства, се нарича лихва. Лихвен процент. Лихвата за 100 лв. се нарича лихвен процент.

ЗАДАЧА 1 Семейство оставило част от спестяванията си на едногодишен срочен влог в

банка при годишна лихва 5%. След две години то закрило сметката си, в която имало 22050 лв. Колко лева е бил първоначалният влог на семейството? Решение: Означаваме с х лв. първоначалния влог, ДС: x > 0 . В края на първата година сумата от х лв. е нараснала с 5% от х: x + 5 x лв. 100 5 x лв. е нараснала с 5% от x + 5 x лв. В края на втората година сумата от x + 100 100

(

) (

(

) ) )

)

(

)

5 x + 5 x + 5 x = 22 050 Уравнението е x + . 100 100 100 Решаваме уравнението x + 1 x 1 + 1 = 22050 22050 ⇒ х = 20000, 20000 ∈ ДС. 20 20 Първоначалният влог е 20000 1лв. 1 + 1 = 22050 x 1+ 20 20 Когато е вложена сума от А лв. в банка с р% лихва за повече от една година, 2 21 обикновено се използва сложна (капитализирана) лихва. Това означава, че x = 22050 20 p след първата година нарасналата сумаx =A 2+0000,A се олихвява с р% и т.н. 100

(

)( )( ( )

ЗАДАЧА 2 Фирма има шестмесечни срочни влогове в 3 банки, в които лихвеният процент

за шест месеца е съответно 2%; 2,2% и 2,4%. Какви са влоговете и� във всяка банка, ако влогът във втората е с 10000 лв. по-малък от този в първата, влогът в третата е с 5000 лв. по-голям от този в първата, а лихвата на влоговете за определения срок възлиза общо на 3860 лв. Решение: Влогът във I банка е х лв. при 2% лихва, ДС: x > 0 ; II банка е ( х − 10000) лв. при 2,2% лихва; III банка е ( х + 5000) лв. при 2,4% лихва (лихвата е за 6 месеца). Лихвата от I банка e 2 % oт х = 0,02х лв.; II банка е 2 ,2% от (х − 10000) = 0,022(х − 10000) лв.; III банка е 2 ,4% от (х + 5000) = 0,024(х + 5000) лв. Уравнението е 0,02х + 0,022(х − 10000) + 0,024(х + 5000) = 3860 ⇒ x = 60000. Получаваме, че във I банка влогът е 60 000 лв., II банка влогът е 60000 − 10000 = 50000 лв., III банка влогът е 60 000 + 5000 = 65000 лв. Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 Един служител получил в края на месеца 828 лв. При пресмятане на заплатата

му начислили над основната му заплата 15% за прослужено време и от получената брутна сума удържали 10% плосък данък, 8% ДОО (държавно обществено осигуряване) и 2% здравна осигуровка. Определете основната заплата на служителя. Решение: 20 x + 15 Основната заплата е х лв., ДС: заплата е x + 15 x лв. x + x15> 0x .−Брутната x = 828 100 100 100 100 15 20 3 Удържаният данък е (10 + 8 + 2x)% + = 20x% − от брутната x− x заплата, = 828 т.е. 20 x + 15 x . 100 100 100 100 100 Получената заплата е 828 лв. (100 + 15 − 20 − 3) x = 828 .100 Брутна заплата − удържан данък = получена заплата 92 x = 82800 Уравнението е x + 15 x − 20 x + 15 x = 828 ⇒ x = 900 , 900 > 0. 100 100 100 15 20 3 лв. Основната заплатаx на + служителя x− xе−900 x = 828 100 100 100 3) x = 828 .100 на 1 000 L дизел е 70% + 15 − 20 −гориво. и дизелово Акцизът ЗАДАЧА 4 Фирма закупила бензин(100 92 x = 82800 от акциза на 1000 L бензин и още 8 евро. Фирмата платила за 14000 L дизел x =за 900 , 900 0 акциз, с 27 евро повече, отколкото акциза 10000 L >бензин. Намерете акциза на бензина и на дизеловото гориво. Решение: Означаваме с х (евро) акциза на 1000 L бензин, ДС: x > 0 . Акцизът на 1 000 L дизелово гориво е 70% x + 8 = 0, 7 x + 8 (евро).

(

количество (литра) бензин

10000

дизел

14000

акциз (1 литър)

) (

)

(

)

Σ (сума) (евро)

x 10 000 ⋅ x 1 000 1 000 0, 7 x + 8 0, 7 x + 8 14 000 ⋅ 1 000 1 000

От условието на задачата следва, че Σбензина < Σдизела , т.е. Σбензин + 27 = Σдизел

x + 27 = 14 000 ⋅ 0, 7 x + 8 1000 1000 10 x + 27 = 14 (0, 7 x + 8) ⇒ x = 425 , 425 ∈ ДС. Акцизът на бензина е 425 евро (на 1000 L). Акцизът на дизеловото гориво е 0, 7 . 425 + 8 = 305, 5 евро. и седмичният оборот бил 742407 лв. 1 На каква сума ще нарасне капитаКакъв е обичайният дневен оборот на лът от 7000 лв., вложен при сложна търговския център, ако през първите (капитализирана) лихва 3,5%, за две три дни на седмицата (тя има шест години? работни дни) той е бил един и същ? 2 Фирма внесла на срочен влог определена сума, която в края на срока 4 Строителна фирма продала два офиса (I и II), в които вложила 500000 евро, с нараснала с 4 500 евро при лихва печалба за I офис – 20%, и за II офис – 3%. Намерете сумата, която е внесла 15%. Колко е печалбата на фирмата от фирмата. всеки офис, ако продажната цена на 3 През последните 3 дни на изминалата II офис е със 105000 евро по-висока седмица обичайният дневен оборот на търговски център спаднал с 30% от тази на I офис? Уравнението е 10 000 ⋅

ЗАДАЧИ

Към съдържанието

45.

ЗАДАЧИ ОТ СМЕСИ И СПЛАВИ

ЗАДАЧА 1 От два вида месинг, единият от които съдържал 40% цинк, а другият – 30%

цинк, получили месинг с 36% цинк. Колко килограма е бил месингът от I вид, ако месингът от II вид е бил 200 kg. Решение: Означаваме с x kg месинга от I вид, ДС: x > 0 . Месингът от I вид е бил с 40% съдържание на цинк, т.е. 40 x kg цинк. 100 Месингът от II вид е бил 200 kg с 30% съдържание на цинк, т.е. 30 ⋅ 200 kg цинк. 100 Полученият месинг е (х + 200) kg с 36% съдържание на цинк, т.е. 36 ( x + 200) kg цинк. 100 От условието на задачата следва, че цинк в I вид + цинк във II вид = цинк в сместа. Изравняваме количеството цинк. Уравнението е 40 x + 30 ⋅ 200 = 36 ( x + 200) |.100 100 100 100 . 40 x + 30 . 200 = 36( x + 200) Решаваме уравнението и получаваме x = 300 , 300 ∈ ДС. Отг. Месингът от I вид е бил 300 kg.

ЗАДАЧА 2 Колко процентов разтвор ще се получи, ако към 50 g вода се прибавят

200 g 7,5%-oв разтвор на спирт? Решение: Означаваме с х% съдържанието на спирт в получения разтвор, ДС: x > 0 . Водата има 0% спирт. течност спирт количество (g) (% ) чист спирт (g) вода разтвор спирт разреден спирт

200

7,5

250

0 ⋅ 50 100 7, 5 ⋅ 200 100 x ⋅ 250 100

Изравняваме количеството чист спирт. 0 ⋅ 50 + 7, 5 ⋅ 200 = x ⋅ 250 100 100 100 x = 6 , 6 ∈ ДС Отг. Р азреденият спирт е 6%-ов разтвор.

В Задача 2 отношението на количеството вода (50 g) към количеството спирт (200 g) е 1 : 4. Ако вместо количеството в грамове е дадено съотношението на водата и спирта (1 : 4), количеството на разредения спирт в части ще е 5 (= 1 + 4) 7, 5 ⋅ 4 = x ⋅ 5 . За х отново получаваме 6. и уравнението ще приеме вида 0 ⋅1 + 100 100 100

100

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 В 10 kg кайма свинското и телешкото месо са в отношение 2 : 3.

а) О ще колко килограма свинска кайма трябва да се добавят, за да се получи кайма, в която свинското и телешкото месо са в отношение 4 : 3? б) Още колко килограма телешка кайма трябва да се добавят, за да се получи кайма, в която свинското и телешкото месо са в отношение 2 : 7? Решение: а) Т рябва да се добавят х kg свинска кайма, ДС: x > 0 . количество кайма (kg)

свинско месо (части)

I вид

свинско месо

2 5

свинско месо (kg) 2 ⋅10 5

1.х

II вид

10 + х

4 7

4 (10 + x) 7

Изравняваме количеството свинско месо. Уравнението е 2 ⋅10 + x = 4 (10 + x) . 5 7 x = 4 , 4 ∈ ДС 4 + x = 4 (10 + x) 7 Отг. Трябва да се добавят 4 kg свинска кайма. б) Трябва да се добавят у kg телешка кайма, ДС: y > 0 . количество кайма (kg)

свинско месо (части)

I вид

телешко месо

2 5

свинско месо (kg) 2 ⋅10 5

0.y

II вид

10 + y

2 9

2 (10 + y ) 9

Изравняваме количеството свинско месо. 2 ⋅10 + 0 . y = 2 (10 + y ) 5 9 y = 8 , 84 .∈9ДС = 2(10 + y ) Отг. Трябва да се добавят 8 kg телешка кайма.

ЗАДАЧИ

1 Колко литра 26%-ова сярна кисе-

лина трябва да се смесят с 40 L 68%-ова сярна киселина, за да се получи киселина с 32% концентрация? 2 Спирт от колко градуса трябва да се смеси с 24 L от 65°, за да се получат 60 L спирт от 59°? 3 Колко литра вода трябва да се прибавят към 12 L спирт от 75%, за да се

Към съдържанието

получи спирт от 60%? 4 Колко процентов разтвор ще се получи, ако към една част вода се прибавят 4 части 7,5%-ов разтвор на спирт? 5 В ресторант смесили 12 kg кайма с 40% съдържание на телешко месо с 8 kg кайма с 60% съдържание на телешко месо. Намерете колко процента е телешкото месо в новата кайма.

101

46.

ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕМАТА “УРАВНЕНИЯ” ЗАПОМНЕТЕ! Линейни уравнения Линейно уравнение ax + b = 0, х – неизвестно число, а, b – параметри: при a ≠ 0 уравнението е от първа степен и има едно решение − b ; a при а = 0 уравнението е от вида 0.х = b и при b ≠ 0 няма решение, при b = 0 всяко число е решение. Решаване на уравнения, свеждащи се към линейни (2 x + 1)( x − 2) = 0 2x +1 = 0

x=−1 2

или

x − 2 = 0 x=2

| 2x +1| = 5

2 x + 1 = 5 или 2 x + 1 = −5 x=2 x = −3

Решаване на текстова задача • Избираме неизвестна величина (която обикновено означаваме с х). • Описваме връзките между известните и неизвестните величини в задачата (които могат да се подредят и в таблица) и съставяме математически модел. • Решаваме уравнението. • Записваме с думи отговора на задачата, като отново съобразяваме получената стойност на х с условието на задачата.

ЗАДАЧА 1 Дадено е уравнението |х2 + 2х – 4| = 4.

В лявата колона на бланката за отговори е написан номерът на твърдението. Срещу всеки номер запишете „ДА“, ако твърдението е вярно, или „НЕ“, ако твърдението не е вярно. №

Твърдение

(1) Произведението на корените на уравнението е 0. (2) Сборът от корените на уравнението е 4. Решение: |х2 + 2х – 4| = 4 х2 + 2х – 4 = 4 или х2 – 4 + 2х – 4 = 0 (х + 2)(х – 2) + 2(х – 2) = 0 (х – 2)(х + 4) = 0 х – 2 = 0 или х + 4 = 0 х1 = 2 х2 = –4

Вярно ли е твърдението? ДА/НЕ ДА/НЕ

х2 + 2х – 4 = –4 х2 + 2х = 0 х(х + 2) = 0 х = 0 или х + 2 = 0 х3 = 0 х4 = –2

(1) х1.х2.х3.х4 = 2.(–4).0.(–2) = 0; (2) х1 + х2 + х3 + х4 = 2 – 4 + 0 – 2 = –4

102

Отг. 1 ДА 2 НЕ

Към съдържанието

ЗАДАЧА 2 В лявата колона на бланката за отговори е написана буквата на

уравнението. Срещу нея, в дясната колона, запишете номера на еквивалентното му уравнение. (А)

х2 + 2х = 0

(1) (х – 8)(х + 4) = 0

(Б)

(2х – 1)2 = (х + 3)2

(3) (х + 2)(3х + 2) = 0

(В)

|х – 2| = 6

(2) 3х2 – 10х = 8 (4) (х + 2)(х – 2) = 0 (5) |x + 1| = 1

Решение: (А) х2 + 2х = 0 х(х + 2) = 0 х = 0 или х + 2 = 0 х1 = 0 х2 = –2 (Б) (2х – 1)2 – (х + 3)2 = 0 (2х – 1 + х + 3)(2х – 1 – х – 3) = 0 (3х + 2)(х – 4) = 0 3х + 2 = 0 или х – 4 = 0 2 х1 = − х2 = 4 3 (В) |x – 2| = 6 x – 2 = 6 или х – 2 = –6 х1 = 8 х2 = –4 (1) (х – 8)(х + 4) = 0 х – 8 = 0 или х + 4 = 0 х1 = 8 х2 = –4

(2) 3х2 – 10х – 8 = 0 3х2 – 12х + 2х – 8 = 0 3х(х – 4) + 2(х – 4) = 0 (х – 4)(3х + 2) = 0 х – 4 = 0 или 3х + 2 = 0 2 х1 = 4 х2 = − 3 (3) (х + 2)(3х + 2) = 0 х + 2 = 0 или 3х + 2 = 0 2 х1 = –2 х2 = − 3 (4) (х + 2)(х – 2) = 0 х + 2 = 0 или х – 2 = 0 х1 = –2 х2 = 2 (5) |х + 1| = 1 x + 1 = 1 или х + 1 = –1 х1 = 0 х2 = –2

Отг. А 5 Б 2 В 1

ЗАДАЧА 3 Влак с дължина 200 m минава покрай стълб за 10 s, а през тунел – за 15 s.

Намерете дължината на тунела. Решение: Преминаване на влак, дълъг 200 m, покрай стълб за 10 s означава, че влакът е изминал S = 200 m за t = 10 s. vвл 200 S = v .t = = 20 , vвл = 20 m/s 10 Преминаване на влак, дълъг 200 m, през тунел x m означава, че влакът изминава път (x + 200) m за дадените 15 s. Sвл = (200 + х) m, tвл = 15 s От зависимостта S = v . t намираме 200 + x = 20 .15 , x = 100 . Отг. Тунелът е дълъг 100 m.

Към съдържанието

103

ОБЩИ ЗАДАЧИ ВЪРХУ ТЕМАТА “УРАВНЕНИЯ” Решете уравненията:

26. Част от приятелките на Мая събрали по 15 лв. за подарък за рождения ѝ ден, но за избрания подарък не стигнали 90 лв. Към групата се присъединили още 4 приятелки. Всички дали по 17 лв. и след като купили подаръка с 20% отстъпка, останали 36 лв. Намерете за колко лв. е купен подаръкът.

1. (x – 3)2 – x(x + 4) = 5x – 6 2. (x + 2)2 – (x + 3)(x – 3) = 2x – 5 3. (x + 1)2 – (x + 2)(x – 3) = x + 15 4. (x – 3)(x + 3) – (x + 2)2 = 7 5. (–x – 2)2 – (x – 1)2 = 8x – 5 6. (–2x + 3) – (3x + 1)(x – 2) = (x + 4) 2

7. (x + 1)3 – x(x + 4)(x – 1) = 8x + 3 8. (x + 3)3 – (3x – 1)2 = x(x + 1)(x – 1)

( ) (

x 9. 2 − 1

−

)

1 5x − 3 x +4 2− = 2 3 4

3x 2 + x + 22 10.  x − 4  − 3 1 ⋅  x − 5 − 3x + 3  =  −2 

3  10

11. 12. x2 – 7 = 5x – 7 13. (x – 3)(x – 4) = 12 14. 25 – (2x – 3)2 = 0 15. 4x2 – (x – 6)2 = 0 16. (–2x + 5)2 = 81 17. (3x + 2)2 – (2x – 7)2 = 0 18. (x + 3)2 = (2x – 9)2 19. x2 – 2x – 8 = 0 20. 3x2 – 7x + 4 = 0 21. |–2x + 14| = 6



27. Камион изминава 162,5 km за 2 h и 30 min, а автобус изминава 51 km за 36 min. Камионът и автобусът тръгват в 6 часà и 15 минути от едно и също място по един и същ път. В колко часà разстоянието между тях ще бъде 35 km? 28. В 8 часà сутринта от град А за град В тръгнал влак, а в 9 часà същия ден от В за А тръгнал друг влак, скоростта на който е 75% от тази на първия. Ако е известно, че първият влак пристига в град В в 16 часà същия ден, намерете в колко часà двата влака са се срещнали. 29. Влак трябва да измине разстоянието между две гари A и B. Като изминал половината 4 от пътя със скорост km/min, влакът спрял 5 за 15 минути, а след това увеличил скоростта си със 100 m/min и пристигнал навреме в гара B. Намерете разстоянието между A и B в километри. 30. Тръба пълни басейн за 12 часа, а друга – за 18 часа. Първата тръба била пусната да пълни басейна в 23 часà, а втората – 2 часа след нея. В колко часа на другата сутрин басейнът е бил пълен?

31. Един работник може да свърши определена работа за 6 дни, втори работник – за 23. 3|1 – 2x| – |8x – 4| = –7 8 дни, а трети – за 12 дни. Намерете за колко 24. Даниела написала едно двуцифрено чис- дни тримата работници заедно могат да свърло. От него извадила 13. Полученото число шат 75% от определената работа. повдигнала на квадрат и получила 81. Наме- 32. Камелия запланувала да набере една книга, рете кое число е намислила Даниела. като набира по 60 страници на ден. След пър25. Разликата от квадратите на две последо- вите два дни тя увеличила нормата си с 50% вателни естествени числа е 11. Намерете про- и набрала книгата 2 дни предсрочно. Намеизведението на тези числа. рете за колко дни Камелия е набрала книгата.

22. |(x + 2)2 – x(x + 5)| = 3

104

Към съдържанието

47.

ТЕСТ № 1 ВЪРХУ ТЕМАТА “УРАВНЕНИЯ” 1. Числото −3 е корен на уравнението: А) 7 x − 2 x = 15 ; Б) 3 x − 5 x = − 6 ;

В лявата колона на бланката за отговори е написан номерът на твърдението. Срещу всеки номер запишете „Да“, ако твърдението е вярно, или „Не“, ако твърдението не е вярно.

В) 8 x + x = 27 ; Г) 2 x − 4 x = 6 .

№

2. Коренът на уравнението 2( x + 1)( x − 1) − x = 2 x 2 − 7 е: А) −5;

Б) 5;

В) 1;

Г) –1.

3. Коренът на уравнението 0, 2 x − 1 2 − x 1 е: − = 0, 6 0, 2 3 А) −2 1 ; Б) −2,25; В) 2 1 ; Г) 2,25. 8 8 4. Произведението от корените на уравнението |2x + 7| = 3 e: A) –10;

Б) –5;

В) –2;

Г) 10.

5. Корените на уравнението (х + 3)2 – 4(х – 2) = 5(х + 3,4) са: А) – 3 и 0; Б) 3 и 0;

ДА/НЕ

(2)

По-малкият корен на уравнението е корен на уравнението x −4 x −5 . = 3 4

ДА/НЕ

9. В лявата колона на бланката за отговори е написана буквата на рационалния израз. Срещу нея, в дясната колона, запишете номера на еквивалентното му уравнение.

(Б) (2х + 5)2 = (х + 7)2

Г) 9 и 0. 6. Разходите за производството на една стока са 68 лв. Определете каква цена в лева трябва да се определи на стоката, така че печалбата да бъде 15% от цената. Б) 78;

В) 82;

Г) 80.

7. Колко литра 9%-ов оцет трябва да се прибавят към 8 литра 6%-ов оцет, за да се получи 7%-ов оцет? А) 2;

По-големият корен на уравнението е корен (1) на уравнението х(х – 4) – (х + 2)(х – 5)= 3.

(А) х2 + 6х = 0

В) 4 и 0;

А) 75;

Вярно ли е твърдението?

Твърдение

Б) 4;

В) 8;

8. Дадено е уравнението |(x – 4)2 – x(x – 7) – 13| = 4.

Към съдържанието

Г) 9.

(В) |x + 2| = 4

(1) (x – 2)(x + 4) = 0 (2) x2 + 4x = 12 (3) (x + 4)(x + 12) = 0 (4) (x + 2)(x – 6) = 0 (5) |x + 3| = 3 10. Ани намислила едно естествено число. Удвоеното намислено число намалила с 5, полученото число повдигнала на квадрат и получила квадрата на намисленото число. Намерете числото, което е намислила Ани.

105

ТЕСТ № 2 ВЪРХУ ТЕМАТА “УРАВНЕНИЯ” 1. Коренът на уравнението x − 5 = x е: 3 2 А) −15; Б) 30; В) −30; Г) 20. 2. Корените на уравнението (2 x − 1)(3 − 2 x) = 0 са:

№

А) − 1 ; − 1 1 ; 2 2 1 1 Б) ; 1 ; 2 2 В) − 1 ; 1 1 ; 2 2 1 1 Г) ; − 1 . 2 2 3. Корените на уравнението ( x − 5) 2 = (2 x − 1) 2 са:

По-големият корен на уравнението е корен на (1) уравнението х(х – 3) – (х + 2)(х – 2) = –5. По-малкият корен на уравнението е (2) корен на уравнението x − 3 x +1 . = 3 2

А) −2; 4; Б) 2; −4; В) −2; −4; Г) 2; 4. 4. Корените на уравнението 3|x – 2| = 8 + |2 – x| са: А) –2; 6; Б) –6; 2; В) –2; 0; Г) 0; 2. 5. Корените на уравнението (х + 3)2 – (–х – 2)2 = (х + 1)(х + 5) са: А) 0; 4;

Б) 0; –4; В) 0; –6; Г) 0; 6.

6. В една фирма 45% от всички работници са жени, а останалата част – мъже. Мъжете са с 6 повече от жените. Броят на жените, които работят във фирмата, е: А) 13;

Б) 40;

В) 33;

Г) 27.

7. Сплав от олово и цинк съдържа 60% олово. След добавянето на 12 kg цинк съдържанието на олово в сплавта става 40%. Теглото на новата сплав в килограми е: А) 24;

Б) 36;

В) 48;

Г) 60.

8. Дадено е уравнението |(x – 3)2 – x(x + 2) – 5| = 20. В лявата колона на бланката за отговори е написан номерът на твърдението. Срещу все-

106

ки номер запишете „Да“, ако твърдението е вярно, или „Не“, ако твърдението не е вярно. Твърдение

Вярно ли е твърдението? ДА/НЕ

ДА/НЕ

9. В лявата колона на бланката за отговори е написана буквата на рационалния израз. Срещу нея, в дясната колона, запишете номера на еквивалентното му уравнение. (А) х2 + 2х = 0 (Б) (2х + 3)2 + (х + 3)2 = –1 (В) |x – 1| = 1 (1) (x – 2)(x + 2) = 0 (2) 3x2 + 2x =2х2 + 4х (3) x + 2 = 0 (4) (2x + 3)2 = (x + 3)2 (5) |–x + 1| = –1 10. За подготовка за математическо състезание Александър трябвало да реши определен брой задачи. Той пресметнал, че ако решава 15 дни по определен брой задачи, няма да успее да реши 10 задачи. Александър решавал по 3 задачи повече дневно и 3 дни преди срока му останала нерешена само една задача. Намерете колко задачи е трябвало да реши Александър.

Към съдържанието

ТЕМА 3 ОСНОВНИ ГЕОМЕТРИЧНИ ФИГУРИ (Урок № 48 – Урок № 62)

В ТАЗИ ТЕМА:

• се систематизират основните геометрични понятия: точка, права, отсечка, лъч, полуравнина, ъгъл; • се изучават: видове ъгли – съседни, противоположни, образувани при пресичане на две успоредни прави с трета, триъгълник – свойства на ъглите. УЧЕНИЦИТЕ СЕ НАУЧАВАТ: • да прилагат зависимостите нежду ъглите в триъгълник и четириъгълник; • да прилагат признаците и свойствата на успоредните и перпендикулярни прави; • да извършват основни построения.

Към съдържанието

48.

ВЪВЕДЕНИЕ В ГЕОМЕТРИЯТА. ОСНОВНИ ГЕОМЕТРИЧНИ ФИГУРИ И ПОСТРОЕНИЯ Знаем, че:

• геометрични фигури* са прави, лъчи, отсечки, триъгълници и т.н.;

• геометрични тела са паралелепипед, призма, пирамида, цилиндър и т.н.

Науката, която изучава свойствата на геометричните фигури и геометричните тела, се нарича геометрия:

• планиметрия – геометрия на равнинните геометрични фигури;

• стереометрия – геометрия на пространствените геометрични тела.

Думата „геометрия” има гръцки произход и в превод означава “земеизмерване”. Геометрията е възникнала като наука чрез практиката – при измерването на земята. Геометрията изучава формите на геометричните фигури и свойствата, свързани с тях: обиколка, страни, ъгли, ... Понятията прав ъгъл, остър ъгъл се описват чрез изреченията: • Всеки прав ъгъл има мярка 90°. • Всеки ъгъл, който е по-малък от 90°, е остър ъгъл. Определение е изречението, което въвежда ново понятие. В учебника определението означаваме с O . Вместо думата „определение“ се употребява още дефиниция. Всяко понятие се определя чрез вече дефинирани понятия. Пример: Геометрична фигура, определена от три точки, които не лежат на една права, и съединяващите ги отсечки, се нарича триъгълник. За да се изкаже това определение, трябва последователно да се знаят понятията: точка, права → отсечка → триъгълник. Естествено е при тази последователност да се стигне до понятия, за които няма предходни, чрез които да можем да ги определим. Те се наричат основни (базисни) понятия. За тези понятия не се дават определения. Понятията точка, права, равнина са основни понятия в геометрията. • Точка се означава с главни букви от латинската азбука: А, В, С, ... М, N, P, ... Използват се и означения като А1: четем А едно, а числото 1 се нарича индекс. • Права се означава с малки букви от латинската азбука: a, b, ... , m, n, a1, b1, ... Права може да се означава и с две точки от нея, например АВ. • Равнина се означава с малки букви от гръцката азбука: α, β, γ, ... , λ, µ, ν, ... Четем алфа, бета, гама, ламбда, мю, ню. * Вместо „геометрична фигура“ в някои случаи ще употребяваме само „фигура“.

108

Към съдържанието

На чертежа са начертани права а и точките А, M, N. Ако две точки съвпадат, две прави съвпадат, две равнини съвпадат, използваме знака „≡“ или „=“, а ако не съвпадат – знака „≡“ или „≠“. M ≡ N, A ≡ M Пишем А ∈ а (А z а). Четем: „Точката А е от правата а. (Точката А лежи на права а. Точката А е върху правата а)“. Пишем а z А. Четем: „Правата а минава през точката А“. В геометрията чрез дефинираните понятия се изказват и твърдения. Всяко твърдение се изказва чрез вече въведени понятия и обосновани твърдения. Естествено е при тази последователност да се стигне до твърдения, които нямат предходни и трябва да се приемат за верни без обосновка. Те са основни (базисни) твърдения. Наричат се аксиоми и се означават с А . Изложението на геометрията започва със следните аксиоми: А1 Всяка права има безброй много точки. А2 През две различни точки минава само една права. Теорема – твърдение, верността на което може да се установи чрез логически разсъждения въз основа на вече въведени понятия и аксиоми и вече обосновани чрез тях твърдения. Доказателство на теорема – разсъжденията, които обосновават верността на една теорема, се наричат доказателство на тази теорема. Изложението на геометрията следва логическата последователност: • въвеждат се основни понятия и чрез тях се дефинират нови понятия; • въвеждат се основни твърдения – аксиоми; • изказват се теореми, които се доказват чрез въведени вече понятия и аксиоми и доказани теореми. Този подход на изложение е известен като аксиоматичен метод. Една теорема е толкова по-важна и значима, колкото по-често се използва при доказателството на следващите я твърдения. Има теореми, без които не е възможно да се продължи по-натататъшното изложение в геометрията. След въвеждането на тези теореми по-късно можем да ги използваме, без да ги доказваме. В учебника приемаме да ги означаваме с Т . Умението да се дефинират понятия, да се доказват теореми и да се решават задачи се създава в процеса на системното изучаване на геометрията, което започва в 7. клас и продължава през целия училищен курс. Логическата последователност и обоснованост на геометричните понятия и твърдения изгражда навици за доказателствена мисъл и реч и създава предпоставки за вземане на правилни решения.

ЗАДАЧИ

1 Колко прави можем да начертаем през една точка? 2 Колко прави можем да начертаем през две различни точки? Направете чертеж. 3 Дадени са три точки, които не лежат на една права. Колко прави можем да начертаем, така че всяка от тях да минава през две от дадените три точки? Направете чертеж.

Към съдържанието

109

49.

ОСНОВНИ ГЕОМЕТРИЧНИ ФИГУРИ И ПОСТРОЕНИЯ Всяка права има две посоки на обхождане. Ако изберем едната за положителна (+), то другата е отрицателна (−).

Ос се нарича права с избрана положителна посока върху нея.

Лъч. Ако върху права изберем точка О, тя разделя правата на две части, всяка от които се нарича лъч с начало О. Тези два лъча имат противоположни посоки на обхождане, като се започне от общото им начало, и се наричат противоположни лъчи. Означения: OA → , Ot → или t →

Полуравнина. Ако върху равнина се начертае права р, тя разделя равнината на две полуравнини с контур правата р. Означаваме едната полуравнина с λ, а другата сλ (ламбда черта). Казваме: „λ е тази полуравнина с контур правата р, която съдържа точката А“.

Ъгъл. Геометрична фигура, която се състои от два лъча с общо начало, се нарича ъгъл. Двата лъча се наричат рамене на ъгъла, а общото им начало – връх на ъгъла. Означения: SAOB, a, S(p, q)

Изправен ъгъл. Ъгъл, раменете на който са противоположни лъчи, се нарича изправен ъгъл. Всяка от правите, върху които лежат раменете на един ъгъл, разделя равнината на две полуравнини. Вътрешни точки на  АОВ се наричат общите точки на двете полуравнини: λ – с контур ОА, която съдържа В, и µ – с контур ОВ, която съдържа А. Ако X е вътрешна точка на  АОВ, казваме още, че X е точка от вътрешността на  АОВ, а лъчът ОХ → наричаме вътрешен лъч за този ъгъл. Мярка (големина) на ъгъл се нарича положителното число (или нула), получено при измерването на ъгъла с избрана мерна единица за ъгъл. Мерна единица градус – един градус (1°) =

1 част от изправения 180

ъгъл, 1° = 60 минути (60′) = 60 . 60 секунди (3600″).

110

Към съдържанието

Ъгли събираме, изваждаме и сравняваме, ако са измерени с една и съща мерна единица. Равни ъгли. Два ъгъла се наричат равни, ако имат равни мерки. От ABС = 45° и МNР = 45° следва, че тези два ъгъла са равни, т.е. АВС = МNР. Сравняване на ъгли. От два ъгъла по-голям се нарича този, който има по-голяма мярка. От DOE = 120° и ABC = 45° следва, че DOE > ABC.

Ъглополовяща на даден ъгъл се нарича лъчът с начало върха на ъгъла, който разделя този ъгъл на два равни ъгъла. AOL = BOL или 1 = 2. Задачите, които решавахме досега, бяха задачи за изчисление и задачи за доказателство. За чертежите използвахме линия с деления, транспортир и правия ъгъл на чертожния триъгълник. В геометрията се решават и задачи, при които се изисква точно построяване на геометрична фигура. Те се наричат построителни задачи. При решаване на задачи за построение е прието да се използват само два чертожни инструмента: линия без деления и пергел.

Основни построения 1. Точка, права, лъч, отсечка, окръжност 2. Пресечна точка на две прави 3. Пресечни точки на права и окръжност 4. Пресечни точки на две окръжности 5. Пренасяне на отсечка С разтвор на пергела, равен на дадената отсечка a, забиваме острието в началото O на лъча Op→ и описваме дъга, която пресича лъча Op→ в точката A. OA = a 6. Пренасяне на окръжност Нека е дадена окръжност c (A; r). С разтвор на пергела, равен на r, забиваме острието в избрана точка O и чертаем окръжност k (O; r). При описаното построение пренасяме окръжността c в окръжност k.

ЗАДАЧИ

1 Дадена е отсечка AB. Постройте от-

дадената окръжност. сечка OM, равна на дадената. 4 Дадена е окръжност k (r). Постройте окръжност k1, която има същия ради2 Изберете произволна точка O. С ус и: произволен разтвор на пергела по а) няма обща точка с дадената окръжстройте окръжност k (O; r). ност k; 3 Дадена е окръжност k (r). Построй б) има две общи точки с k. те права, която има две общи точки с

Към съдържанието

111

50.

СЪСЕДНИ ЪГЛИ, ПРОТИВОПОЛОЖНИ ЪГЛИ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНИ ПРАВИ Съседни ъгли Изправен ъгъл. На чертежа S(p, q) = g = 180° e изправен ъгъл.

Съседни ъгли. Два ъгъла, които имат едно общо рамо, а другите им рамене са противоположни лъчи, се наричат съседни ъгли. От определението за сбор на два ъгъла следва, че + b° = 180°. AOC + COB = AOB ,=a180 Обосновахме следната теорема:

Сборът на два съседни ъгъла е 180°.

Ако означим два съседни ъгъла с α и β, верни са равенствата α + β = 180° ; α = 180° − β ; β = 180° − α .

ЗАДАЧА 1 Ъглите α и β са съседни. Намерете ъгъл β, ако: а) a = 30°; Решение: а) β = 180° − α = = 180° − 30° = = 150°

б) a = 47°30′;

в) a = 32°18′10″.

б) β = 180° − α = = 180° − 47°30′ = = 179°60′ − 47°30′ = = 132°30′

в) β = 180° − α = = 179° 59′ 60′′ − 32° 18′ 10′′ 147° 41′ 50′′

Видове ъгли Прав ъгъл a = 90°

гъл с мярка 90° Ъ се нарича прав ъгъл.

Остър ъгъл b < 90°

гъл с мярка, Ъ по-малка от 90°, се нарича остър ъгъл.

Тъп ъгъл g > 90°

гъл с мярка, Ъ по-голяма от 90° и по-малка от 180°, се нарича тъп ъгъл.

Прието е правият ъгъл да се означава с дъга и точка, както е показано на чертежа. За чертане на прав ъгъл можем да използваме чертожен правоъгълен триъгълник.

112

Към съдържанието

ЗАДАЧА 2 На колко градуса е равен ъгъл, който е четири пъти по-голям от своя съседен. Решение: b = 4a (по условие) a + b = 180° (съседни ъгли) a + 4a = 180°, 5a = 180°, a = 36°, b = 4 . 36° = 144°

Ако единият от два съседни ъгъла е прав, то и другият е прав. Дадено:  1 и  2 са съседни ъгли,  1 = 90° Да се докаже:  2 = 90° Доказателство: От  1 = 90° и  2 (съседни) ⇒  2 = 180° - 90° = 90°.

Ако два съседни ъгъла са равни, то всеки от тях е прав. Дадено:  1 и  2 са съседни ъгли,  1 =  2 Да се докаже:  1 = 90°,  2 = 90° Доказателство: Ъглите  1 и  2 са равни. Тогава те имат една и съща мярка α. Ъглите  1 и  2 са съседни. Тогава 1 = 2 = 90° ⇒  1 и  2 са прави ъгли.

ЗАДАЧИ

При изказването на теоремата има две части: условие „ако...” и заключение „то...”. Преди записване на доказателството правим чертеж, въвеждаме означения и чрез тях записваме условието (дадено), заключението (да се докаже) и разсъжденията при доказателството. В хода на доказателството използваме само вече изказани понятия и теореми.

1 Ако S AOB = 135°27′ и OL→ е него

вата ъглополовяща, намерете мер ките на двата ъгъла AOL и LOB. 2 Намерете всеки от ъглите, означени с х на чертежите: a) б) в) г)

Към съдържанието

3 На колко градуса е равен съседният

ъгъл на ъгъл α, aко: а) α = 75° ; б) α = 108° ; в) α = 135° ; г) α = 90° ? 4 На колко градуса е равен съседният ъгъл на ъгъл α, ако: a) α = 38°20′ ; б) α = 125°55′ ; в) α = 70°36′45′′ ; г) α = 137°58′59′′ ? 5 На колко градуса е равен ъгъл, който е: а) с 30° по-голям от своя съседен; б) 1/3 част от своя съседен; в) 20% от своя съседен?

113

51.

СЪСЕДНИ ЪГЛИ, ПРОТИВОПОЛОЖНИ ЪГЛИ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНИ ПРАВИ. УПРАЖНЕНИЕ Противоположни ъгли

Пресичащи се прави. Две прави, които имат само една обща точка, се наричат пресичащи се (пресекателни) прави. Означение: a ∩ b = M Четем: „Правата а пресича правата b в точка М“ (или „Правите а и b се пресичат в точка М“). На чертежа точката О разделя правата АА1 на лъчите ОА→ и ОА1→ и правата ВВ1 на лъчите ОВ→ и ОВ1→, които са две двойки противоположни лъчи.

Противоположни (връхни) ъгли. Два ъгъла, раменете на които са противоположни лъчи, се наричат противоположни ъгли. При пресичане на две прави се образуват две двойки противоположни ъгли:  АОВ и  A1OB1 ;  AOB1 и  A1OB.

ЗАДАЧА 1 На чертежа са дадени две пресичащи се прави и AOC = 40° .

Намерете големината на  CОВ ,  BOD и  DOA. Решение: Прилагаме теоремата за съседните ъгли: AOC + COB = 180° COB + BOD = 180° BOD + DOA = 180° 140° + BOD = 180° 40° + COB = 180° 40° + DOA = 180° BOD = 40° COB = 140° DOA = 140°

Всеки два противоположни ъгъла са равни. Дадено:  АОВ и  А1ОВ1 – противоположни ъгли Да се докаже:  АОВ =  А1ОВ1 Доказателство: 1. О значаваме мерките* на дадените противоположни ъгли с α и α1, а на  BОA1 – с β. 2. α и β са съседни ъгли ⇒ α + β = 180° ⇒ α = 180° − β . 3. α1 и β са съседни ъгли ⇒ α1 + β = 180° ⇒ α1 = 180° − β . От 2. и 3. ⇒ α = α1 , т.е. AOB = A1OB1 . Чрез аналогични разсъждения доказваме, че SAOB1 = SA1OB.

114

Прието е с една и съща буква да се означава както мярката на ъгъла, така и самият ъгъл.

Към съдържанието

При изказване на теоремата “Всеки два противоположни ъгъла са равни” в текста условието и заключението се подразбират. Тази теорема можем да изкажем и така: “Ако два ъгъла са противоположни, то те са равни”. На чертежа ъглите АОВ и A1ОВ1 са връхни. Като използваме свойствата на връхните и съседните ъгли, можем да означим ъглите така, както е показано на чертежа: α и 180° − α.

ЗАДАЧА 2 (Устно) Един от ъглите, образувани при пресичане на две прави, е 20°. Намерете всички ъгли.

Отг. 20°, 160°, 20°, 160°

Перпендикулярни прави

Перпендикулярни прави. Две прави се наричат перпендикулярни, ако при пресичането си образуват прав ъгъл. Означение: а ⊥ b Четем: “Правата a е перпендикулярна на правата b”. От свойството на съседните и противоположните ъгли следва, че и четирите ъгъла, получени при пресичането на две перпендикулярни прави, са по 90°.

През точка, която лежи на дадена права, минава само една права, перпендикулярна на дадената права.

ЗАДАЧА 3 Да се докаже, че ъглополовящите на два съседни ъгъла са перпендикулярни. Основна задача

Дадено:  АОВ и  ВОС – съседни, l1 – ъглополовяща на  АОВ, l2 – ъглополовяща на  ВОС Да се докаже: l 1 ⊥ l 2 Доказателство: Ъглополовящите l1 и l2 разделят всеки от дадените два ъгъла на равни ъгли, които означаваме съответно с α и β. От свойството на съседните ъгли имаме AOB + BOC = 180° , т.е. 2α + 2β = 180° ⇒ α + β = 90° . Следователно (l 1 , l 2 ) = 90° ⇒ l 1 ⊥ l 2 . Задача 3 е първата задача за доказателство, която решаваме в учебника.

ЗАДАЧИ

1 Един от ъглите, образувани при 2 На колко градуса е равен ъгъл, ако сбо-

рът на двата му съседни ъгъла е 120°? пресичане на две прави, е α. Наме3 Докажете, че ако при пресичане на две рете останалите ъгли, ако: прави три от четирите ъгъла са рав а) α = 32°; б) α = 50°10′; в) α = 130°. ни, то правите са перпендикулярни.

Към съдържанието

115

52.

ПОСТРОЕНИЯ С ЛИНИЯ И ПЕРГЕЛ • Сбор и разлика на отсечки

ЗАДАЧА 1 Дадени са отсечките a и b. Да се построи отсечка c = a + b. Дадено: Построяваме: 1. лъч Op→; 2. OA = a, AB = b (пренасяме отсечки); 3. OB = c = a + b.

Построение:

ЗАДАЧА 2 Дадени са отсечките a и b (a > b). Да се построи отсечка d = a – b. Дадено: Построение:

Построяваме: 1. лъч Op→; 2. OA = a, AB = b (пренасяме отсечки); 3. OB = d = a – b.

• Построяване на ъгъл, равен на даден ъгъл

ЗАДАЧА 3 Да се построи ъгъл, равен на даден ъгъл. Дадено:

Построение:

Построяваме: 1. лъч O1p1; 2. окръжност k (O; r), r = OP = OQ – произволен; 1

3. пренасяме окръжност k в окръжност k1 (O1; r = OP = O1P1); 4. окръжност c (P; R = PQ);

5. пренасяме окръжност c в окръжност c1 (P1; R = PQ = P1Q1); 6. Q1 = k1 ∩ c1; 7. лъч O1Q1→, т.е. лъч O1q1→;

8. P1O1Q1 (POQ = P1O1Q1)

• Сбор и разлика на ъгли

ЗАДАЧА 4 Дадени са ъглите α и β. Да се построи ϕ = α + β. 116

Към съдържанието

Дадено:

Построение:

Построяваме: 1. лъч Op→; 2. (Op→, Oq→) = α; (Oq→, Ol→) = β (пренасяме ъгъл); 3. (Op→, Ol→) = ϕ = α + β.

ЗАДАЧА 5 Дадени са ъглите α и β (α > β). Да се построи ψ = α – β. Дадено:

Построение:

Построяваме: 1. лъч Op→; 2. (Op→, Oq→) = α; (Oq→, Ol→) = β (пренасяме ъгъл); 3. (Op→, Ol→) = ψ = α - β.

• Построяване на перпендикуляр от точка към права

ЗАДАЧА 6 Да се построи перпендикуляр от точка М към права а. Построение:

Дадено: M

Построяваме:

M k a

B a

A k2

k1 k B a

2. пренасяме окръжност k в окръжности k1(A, r), k2(B, r),

3. Права MN, k B a

k ∩ a = {A; B};

k1 ∩ k2 = {M; N};

N k2

1. окръжност k(M, r) така, че k да пресича правата а в две точки,

MN ⊥ a.

ЗАДАЧИ

1 Дадена е отсечка a. Постройте отсеч- 4 Дадени са два остри ъгъла α и β, като

ка c, ако: β > α. Постройте ъгъл: а) c = 2a; б) c = 3a; в) c = 4a. а) ϕ = α + β; б) ψ = β – α. 2 Дадена е отсечка a. Ако отсечката 5 Дадена е права и точка, нележаща на праb = 3 a, а отсечката c = 2 a, постройте вата. През дадената точка постройте праотсечка b – c. ва, перпендикулярна на дадената права. 3 Постройте тъп ъгъл и го пренесете в 6 Ако α и β са остри ъгли, постройте равнината. ъгъл γ = 180º – (α + β).

Към съдържанието

117

53.

ЪГЛИ, ПОЛУЧЕНИ ПРИ ПРЕСИЧАНЕТО НА ДВЕ ПРАВИ С ТРЕТА Две прави a и b в равнината могат: да се сливат, a ≡ b, всичките им точки са общи

да се пресичат, a ∩ b, имат само една обща точка

да са успоредни, a || b, нямат общи точки

a≡b

Успоредни прави. Две прави в равнината, които нямат обща точка, се наричат успоредни.

Пишем a || b. Четем: “ Правата а е успоредна на правата b”. Ако правите a и b са успоредни, колкото и да ги продължаваме извън рамките на чертожния лист, те не се пресичат.

Ъгли, получени при пресичане на две прави с трета права

Дадени са правите a, b и c, като правите a и b се пресичат от правата с. Означаваме (a, b) ∩ c. Образуват се осем ъгъла, които са означени с числата от 1 до 8. Те са известни със следните наименования: • кръстни ъгли –  3 и  6,  4 и  5 (вътрешни кръстни),  1 и  8,  2 и  7 (външни кръстни); • съответни ъгли –  1 и  5,  3 и  7,  2 и  6,  4 и  8; • прилежащи ъгли –  3 и  5,  4 и  6 (вътрешни прилежащи),  1 и  7,  2 и  8 (външни прилежащи).

ЗАДАЧА 1 Дадени са правите a, b, c, като (a, b) ∩ c, и са означени ъглите. Измерете с транспортир кръстните ъгли a и b и ги сравнете.

Решение: α = 40° а) β = 75° ⇒ α<β

118

б)

в)

α = 110° β = 50° ⇒ α >β

в)

α = 50° β = 50° ⇒ α =β

Към съдържанието

Забелязваме, че в а) и б) a ≠ b и а пресича b, а във в ) a = b и a || b. За да установим, че две прави са успоредни, търсим условия, които да осигуряват успоредността им, т.е. ако тези условия са изпълнени, да можем да твърдим, че колкото и да продължаваме правите в равнината, те няма да се пресекат. Ще разгледаме теореми, които определят такива условия. Ще ги наричаме теоремипризнаци.

ПРИЗНАК за успоредност на две прави в равнината Ако при пресичане на две прави с трета една двойка кръстни ъгли са равни, то правите са успоредни. от 3 = 6 ⇒ a b ; от 4 = 5 ⇒ a b ;

от 1 = 8 ⇒ a b ; от 2 = 7 ⇒ a b .

От (a, b) ∩ c и α = α1 (кръстни ъгли) ⇒ a || b. Ще приемем теоремата без доказателство. В Задача 1 в) правите (a, b) ∩ c имат равни кръстни ъгли (α = β = 50°) . Въз основа на Т-признак за успоредност на две прави можем да твърдим, че a || b.

ЗАДАЧА 2 Ако 4 = 130°, 7 = 50° , докажете, че a || b. Решение:

I начин: Намираме  5: 5 = 180° − 7 = 180° − 50° = 130° (съседни). От 4 = 130° и 5 = 130° ⇒ 4 = 5 (вътрешни кръстни ъгли). По Т-признак ⇒ a || b. II начин: Намираме  2: 2 = 180° − 4 = 180° − 130° = 50° (съседни). От 7 = 50° и 2 = 50° ⇒ 7 = 2 (външни кръстни ъгли). По Т-признак ⇒ a || b.

Ако в условието на задачата (Задача 2) се използват означения върху готов чертеж, в решението могат да се изпуснат етапите “Дадено” и “Да се намери (докаже)”.

ЗАДАЧИ

1 Докажете, че a || b, ако:

а) S2 = 110°, S5 = 70°; б) S3 = 132°, S8 = 48°.

Към съдържанието

2 На чертежите са начертани прави и са посочени

някои ъгли между тях. Намерете двойките успоредни прави. а) б) в)

119

54.

ПРИЗНАЦИ ЗА УСПОРЕДНОСТ НА ДВЕ ПРАВИ Теореми-признаци за успоредност на две прави

ПРИЗНАК за успоредност на две прави От (a, b) ∩ c и a = b (кръстни ъгли) ⇒ a || b. Ще изкажем още две теореми-признаци за успоредност на две прави, които са следствия на първата теорема.

ПРИЗНАК Ако при пресичане на две прави с трета една двойка съответни ъгли са равни, то двете прави са успоредни. От (a, b) ∩ c и 1 = 2 (съответни ъгли) ⇒ a || b. Дадено: (a, b) ∩ c, 1 = 2 – съответни ъгли Да се докаже: a || b

ПРИЗНАК Ако при пресичане на две прави с трета сборът на двойка прилежащи ъгли е 180°, то двете прави са успоредни. От (a, b) ∩ c и 1 + 2 = 180° (прилежащи ъгли) ⇒ a || b. Дадено: (a, b) ∩ c, 1 + 2 = 180° Да се докаже: a || b

Доказателство: 1. 1 + 2 = 180° (по условие) ⇒ 1 = 180° − 2 2. 2 + 3 = 180° (съседни) ⇒ 3 = 180° − 2 3. От 1. и 2. ⇒ 1 = 3 , т.е. от (a, b) ∩ c ⇒ и 1 = 3 (кръстни ъгли) ⇒ a || b.

ПРИЗНАК Ако две прави са поотделно перпендикулярни на трета, то те са успоредни помежду си. От aa⊥⊥cc ; и ; bb⊥⊥cc ⇒ a || b.

120

Доказателство: 1. 1 = 2 (по условие) 2. 2 = 3 (връхни ъгли) 3. От 1. и 2. ⇒ 1 = 3 , т.е. от (a, b) ∩ c ⇒ и 1 = 3 (кръстни ъгли) ⇒ a || b .

Дадено: aa⊥⊥cc;,; bb⊥⊥cc Да се докаже: a || b

Доказателство: От а ⊥ c ⇒ c ∩ a и α = 90° . От b ⊥ c ⇒ c ∩ b и β = 90° ⇒ α = β . От (a, b) ∩ c и α = β (кръстни ъгли) ⇒ a || b . Към съдържанието

ЗАДАЧА 1 По данните на чертежа докажете, че a || b по три начина. Решение:

I начин: α = 180° − 30° (съседни ъгли) α = 150° Има равни кръстни ъгли ⇒ a || b (Т-признак). II начин: β = 180° − 150° (съседни ъгли) β = 30° Има равни съответни ъгли ⇒ a || b (Т-признак). III начин: γ = 30° (връхни ъгли) Има прилежащи ъгли γ + 150° = 180° ⇒ a || b (Т-признак).

ЗАДАЧА 2 Като използвате означенията на чертeжа и 5 + 6 + 7 = 288° , 1 : 2 = 2 : 3 , докажете, че a || b. Решение:

5 + 6 + 7 = 288° и 5 + 6 = 180° 1.

180° + 7 = 288⇒ °, 7 = 108° 2. 1 : 2 = 2 : 3 и 1 + 2 = 180° ⇒ 1 = 2 x , 2 = 3 x , 2 x + 3x = 180°, x = 36° 1 = 2 x , 2 = 3 x3., 2 x + 3x = 180°, x = 36° ⇒ 1 = 2 x = 2 . 36°, 1 = 72° ; 2 = 3x = 3. 36°, 2 = 108° 1 = 2 x = 2 . 36°, 1 = 72 ° ; 2 = 3x = 3. 36°, 2 = 108° 4. I начин:  2 и  7 са външни кръстни ъгли. От 2 = 7 (= 108°) ⇒ a || b (Т-признак). II начин:  1 и  7 са външни прилежащи ъгли. От 1 + 7 = 72° + 108° = 180° ⇒ a || b (Т-признак).

ЗАДАЧИ

1 На чертежа са начертани прави и са посочени някои ъгли между тях. Посочете двойките успоредни прави и обосновете отговора си. а)

б)

в)

Към съдържанието

121

55.

АКСИОМА НА УСПОРЕДНИТЕ ПРАВИ Геометрията, която изучаваме, се нарича евклидова геометрия. Опит за системно изграждане на геометрията е направен най-напред от древногръцкия математик Евклид 300 години пр.н.е. в прочутото му съчинение „Елементи”. Първостепенна роля в това изграждане има петият постулат, известен още като „петия постулат (аксиома) на Евклид”.

Аксиома за успоредните прави През точка, нележаща на дадена права, минава не повече от една права, успоредна на дадената. Дадени са права а и точка В, нележаща на а. Аксиомата решава въпроса за броя на правите през точка В, успоредни на а. Аксиома за успоредните прави не гарантира, че през точката В, нележаща на а, съществува права b, която е успоредна на а, но ако съществува такава права, то тя е само една.

ЗАДАЧА 1 Дадени са права а и точка С, която не лежи на правата а. През точка С да се построи права с, успоредна на правата а. Решение:

1. Избираме произволна точка A ∈ a .

3. Построяваме ACD = BAC = α .

2. Построяваме права през точките А и С и получаваме BAC = α .

4. Построяваме правата с, която минава през точките С и D.

5. Oт DCA = BAC = α (кръстни ъгли) по Т-признак следва, че c a .

В тази задача установихме, че през точка С, която не лежи на дадена права а, минава права с, успоредна на а. От Аксиома за успоредните прави знаем, че не може да има друга права, която да минава през точката С и да е успоредна на а. Следователно в сила е следната теорема:

През точка, нележаща на дадена права, минава точно една права, успоредна на дадената. Ще докажем теореми-следствия от аксиомата за успоредните прави:

122

Към съдържанието

СЛЕДСТВИЕ Ако две различни прави поотделно са успоредни на трета, то те са успоредни. Дадено: Да се докаже: a ≡ b , a || c, b || c a || b Доказателство: За правите a ≡ b има две възможности: a ∩ b или a || b. Ако допуснем, че a ∩ b = M , т.е. че правите а и b се пресичат в точка М (черт. 49), получаваме, че през точка М минават две прави, успоредни на правата с, а това противоречи на аксиомата за успоредните прави. Остава вярно твърдението, че a || b.

СЛЕДСТВИЕ Ако права пресича едната от две успоредни прави, тя пресича и другата. Дадено: Да се докаже: a || b, c ∩ b c∩a Доказателство: Означаваме с В пресечната точка на правите b и с. За правите с и а има три възможности: ∩aa. c ≡ a , c a , cc × • Ако допуснем, че c ≡ a , от c ∩ b следва, че a ∩ b , което противоречи на условието на теоремата: a || b. • Ако допуснем, че c a , получаваме, че през В минават две прави b и с, успоредни на а, което противоречи на аксиомата за успоредните прави. • Остава вярно твърдението, че c ∩ a. Доказателствата на твърденията преди аксиомата за успоредните прави извършихме с непосредствено използване на понятия, изказани аксиоми и доказани теореми. Такъв вид доказателства са известни като “преки доказателства”. Теоремите-следствия на аксиомата A са доказани с метод, който в математиката е известен като косвен метод за доказване на твърдение (косвени доказателства).

Косвени доказателства Обикновено, когато трябва да се докаже определена връзка между два геометрични обекта (ъгли, прави, отсечки), се използва косвено доказателство: • Изказват се всички възможни връзки между тези обекти. Например за правите а и b всички възможни връзки са: a || b, a ∩ b, a ≡ b. • Aко искаме да докажем верността на дадена връзка (например a || b), трябва да докажем с пряко доказателство, че другите възможности a b ,(aa∩× bb,, a ≡ b ) са неверни. Търси се противоречие или с условието на задачата, или с изказани аксиоми или теореми. • Така доказваме верността на даденото твърдение (в случая, че a || b).

Към съдържанието

123

56.

СВОЙСТВА НА УСПОРЕДНИТЕ ПРАВИ От изказаните теореми-признаци за успоредност на две прави и аксиомата за успоредните прави следват теоремите-свойства за успоредните прави.

СВОЙСТВО Ако пресечем две успоредни прави с трета, то: 1. всяка двойка кръстни ъгли са равни; 2. всяка двойка съответни ъгли са равни; 3. всяка двойка прилежащи ъгли се допълват до 180°. Дадено: (a | | b) ∩ c Да се докаже: 1. двойките кръстни ъгли са равни: = 3 = = = 6 ; 313=  = 6 = = ;86; ;, 1 341= = 8= 6; 85; , ; 4142= = 5 8= ; ,;57 ; 24 2 = 7 5;;7  2  7 2. двойките съответни ъгли са равни: ,;  = 1 = = 5= ;  1 3 1=  = 5=  ;= 75;  3 123=  = 7=  5;= 6;7,;; 2 342= =  6 7;= 8,;6;4 2 4= 8 6; ;8  4  8 3. двойките прилежащи ъгли се допълват до 180°: 3 + 5 = 180°, 4 + 6 = 180°, 1 + 7 = 180°, 2 + 8 = 180°. Доказателство: От изброените твърдения е достатъчно да докажем само едно. Другите ще следват от него, като се използват свойствата на съседните и връхните ъгли. От 1. ще докажем, че  3 =  6 . За  3 и  6 има две възможности:S3 ≠ S 6 и  3 =  6 . Допускаме, че S3 > S 6. Нанасяме  6 с първо рамо ВА→ и второ рамо – права b1, през В така, че  ( BA→ , b1→ ) =  6 . Тогава oт Т-признак за успоредност на две прави следва, че b1  a . Получихме, че през точка В минават две прави b и b1, успоредни на правата а, което противоречи на A . Аналогично се отрича твърдението, че S3 < S 6. Остава вярно твърдението, че  3 =  6 .

СЛЕДСТВИЕ Ако права е перпендикулярна на едната от две успоредни прави, тя е перпендикулярна и на другата. Дадено: aa| | b, b; c ⊥ a Да се докаже: c ⊥ b Доказателство: От теоремата-свойство следва, че щом правата с пресича успоредните прави а и b, кръстните ъгли α и β са равни. Тъй като α = 90° , то и β = 90° , т.е. c ⊥ b .

124

Към съдържанието

СЛЕДСТВИЕ През точка, нележаща на дадена права, минава точно една права, перпендикулярна на дадената. b a

Дадено: точка М, а, М ∉ а Да се докаже: има точно една права c ∈ M, c ⊥ a Доказателство: През точката М минава точно една права b, успоредна на а. Знаем, че през точка М ∈ b минава точно една права c ⊥ b . От c ⊥ b и предходната теорема следва, че c ⊥ a. Не може да има и друга права c1 ⊥ a, която минава през М, защото по предходната теорема тя ще е перпендикулярна и на b. Това обаче противоречи на единствеността на перпендикулярна на b права през М.

Точката М1 е пресечната точка на правата а с перпендикулярната права с през М ∉ а. Точката М1 се нарича пета� на перпендикуляра, начертан от точката М към правата а. Разстояние от точка М до правата а наричаме дължината на отсечката ММ1 с краища точката М и петата М1 на перпендикуляра, спуснат от точката М към правата а.

ЗАДАЧА 1 На чертежа (a || b) ∩ c и един от ъглите S1 = 100°. Като използвате означенията на чертежа, намерете останалите ъгли.

Решение: 1. О т S1 = S4 (връхни), S4 = S5 (кръстни), S5 = S8 (връхни) ⇒ S1 = S4 = S5 = S8 = 100°. 2. 1 е съседен ъгъл на 2. 2 = 180° - 1 = 180° - 100° = 80° 3. ОтS2 = S3 (връхни), S3 = S6 (кръстни), S6 = S7 (връхни) ⇒ S2 = S3 = S6 = S7 = 80°. Извод: Ако (a | | b) ∩ c, по дадена големина на един от образуваните осем ъгъла могат да се намерят останалите.

ЗАДАЧИ

1 На чертежа правите а и b са успо- 2 За правите a, b, c на чертежа е дадено редни. Означени са дадените ъгли. Намерете ъглите, означени с x, y, z. а) б)

Към съдържанието

(a || b) ∩ c. Изговорете написаните връзки между ъглите и намерете α. а) б)

125

57.

ТРИЪГЪЛНИК O

Геометрична фигура, която се състои от три точки, нележащи на една права, и от съединяващите ги отсечки, се нарича триъгълник. • Триъгълник означаваме със знака „“ ( ABC). • Всеки триъгълник има: – три върха – точките А, В, С; – три страни – отсечките A B = c, BC = a, CA = b; – три ъгъла – CAB = A = α, ABC = B = b, ACB = C = g. • Прието е да се казва, че: – страната а е срещулежаща на върха А; – страните b и с са прилежащи на ъгъл α; – ъгълът α е срещулежащ на страната а; – ъглите β и γ са прилежащи на страната а. Периметърът на триъгълник е положително число. P = a + b + c Видове триъгълници • Според вида на ъглите: остроъгълен, правоъгълен, тъпоъгълен. • Според дължините на страните: разностранен, равнобедрен, равностранен.

Вътрешност на триъгълник (вътрешни точки за триъгълник) Общата част на полуравнините, определени от: • правата АВ, съдържаща точката С, • правата ВС, съдържаща точката А, • правата СА, съдържаща точката В, се нарича вътрешност на триъгълника АВС.

Височини, медиани и ъглополовящи в триъгълник

Височина в триъгълника се нарича отсечката, която съединява връх на триъгълника с точка от срещулежащата му страна или нейното продължение и е перпендикулярна на тази страна.

Означения: CH = hc , AH1 = ha , BH 2 = hb Всеки триъгълник има три височини.

126

Към съдържанието

От 5. клас знаем формулата за лице на триъгълник: S =

a . ha b . hb c . hc = = 2 2 2

Медиана в триъгълник се нарича отсечката, която съединява връх със средата на срещулежащата му страна. Означения: CM = mc AM1 = ma BM2 = mb Всеки триъгълник има три медиани.

Ъглополовяща в триъгълник се нарича отсечката, която съединява връх с точка от срещуположната му страна и лежи върху ъглополовящата на ъгъла при този връх. Означения: CL = lc AL1 = la BL2 = lb Всеки триъгълник има три ъглополовящи.

ЗАДАЧА 1 За страните a, b, c на правоъгълния ABC (C = 90°) е дадено, че

a : b : c = 3 : 4 : 5. Ако периметърът Р на триъгълника е 24 cm, намерете: а) дължините на страните a, b, c на триъгълника; б) дължината на височината hc към хипотенузата на ABC.

ЗАДАЧИ

Решение: а) От а : b : c = 3 : 4 : 5 и P = 24 cm получаваме a = 3x, b = 4x, c = 5x, 3x + 4x + 5x = 24, x = 2. ⇒ a = 3 . 2 = 6 cm, b = 4 . 2 = 8 cm, c = 5 . 2 = 10 cm 6 .8 a .b S = 24,. S = 24 cm 2 б) От S = намираме= 2 2 c . hc 10 .hc От S = намираме 24 = , hc = 4,8 cm. 2 2

1 Намерете периметъра на ABC със а) лицето на ABC; страни: а) a = 1 dm; b = 7 cm; c = 0,06 m; б) a = 0,5 m; b = 250 mm; c = 30 cm. 2 Периметърът на триъгълник е 36 cm, а страните му се отнасят както 2 : 3 : 4. Намерете страните на триъгълника. 3 В ABC (C = 90°) a = 10 cm, c = 26 cm, P = 60 cm. Намерете:

Към съдържанието

б) дължината на височината h c на ABC. 4 В ABC (C = 90°) a : b : c = 4 : 3 : 5. Ако дължината на най-малката страна е 9 cm, намерете: а) периметъра на триъгълника; б) лицето на ABC; в) височината към хипотенузата на ABC.

127

58.

СБОР ОТ ЪГЛИТЕ В ТРИЪГЪЛНИК ко изрежем трите ъгъла на произволен триъгълник и А ги подредим по показания начин, ще получим изправен ъгъл, което показва, че сборът от ъглите в триъгълник е 180°.

Сборът на ъглите на всеки триъгълник е 180°. Дадено: ABC, α, β, γ Да се докаже: α + β + γ = 180° Доказателство: 1. През върха С начертаваме права MN, успоредна на правата АВ. Нека С е между точките М и N. 2. От (MN || AB) ∩ CA следва, че  MCA =  CAB = α (кръстни). Раменете на MCA са лъчите CM→ и CА→. 3. От (MN || AB) ∩ CB следва, че  NCB =  CBA = β (кръстни). Раменете на NCB са лъчите CN→ и CB→. 4. Лъчите CM→ и CN→ са противоположни и MCN е изправен с мярка 180°. Точките А и В се намират в полуравнината λ с контур правата MN и лъчите СА и СВ са вътрешни за изправения MCN. Toгава  MCA +  ACB +  BCN =  MCN , т.е. α + β + γ = 180°.

! !

От

α = 180° − (β + γ ) ; α + β + γ = 180° ⇒ β = 180° − (α + γ ) ; γ = 180° − (α + β) .

Следствие В правоъгълен триъгълник C C == 90 90°°⇒ ⇒ αα ++ββ == 90 90°° , α = 90° − β, β = 90° − α.

ЗАДАЧА 1 Намерете ъглите на ABC, ако A : B : C = 4 : 2 : 3. Решение: Нека A = 4х*. Тогава В = 2х и С = 3х. От свойството на ъглите на триъгълник следва, че: 4х + 2х + 3х = 180°, 9х = 180°, х = 20°. За ъглите на ABC получаваме A = 80°, В = 40°, С = 60°. * Ъгъл, означен с x, ще приемем да записваме Sx или х.

128

Към съдържанието

ЗАДАЧА 2 В правоъгълен АВС (С = 90°) СН е височината към хипотенузата. Намерете ВСН, ако A = α. Решение: Като използваме следствието, получаваме: 1. ABC, α = 90° − β, 2. BНC (Н = 90°), х = 90° − β. Тогава от 1. и 2. ⇒ х = α.

В правоъгълния АВС с С = 90° и остри ъгли α и β височината CH разделя правия ъгъл на ъгли β и α.

ЗАДАЧА 3 В АВС ъглополовящите на A и В се пресичат в точка D. Намерете ADB, ако С = 80°.

Дадено: АВС, AL1 – ъглополовяща на A, BL2 – ъглополовяща на B, AL1 ∩ BL2 = D, С = 80° Да се намери: ADB Решение: Нека с х означим търсения ADB. β AL1 е ъглополовяща на A ⇒  DAB = α ; аналогично  DBA = . 2 2 1. В . 2. В ABC α + β + γ = 180° и α + β = 180° − γ . От 1. и 2. ⇒

γ γ γ формулата x = 180° − 1 (180° − γ ) = 180°Получихме − 90° + = 90 °+ , x = 90° + . За g = 80° 2 2 2 2

ЗАДАЧИ

° °

. °

°.

1 Отговорете на въпросите и обосновете б) С е 5 пъти по-голям от A. отговорите: 5 В АВС (С = 90°) СН е височина. а) Има ли триъгълник с два прави ъгъла? б) Има ли триъгълник с два тъпи ъгъла? в) Може ли един триъгълник да бъде едновременно правоъгълен и тъпо ъгълен? 2 В АВС ъгъл g = 90°. Намерете b, ако: а) α = 30°; б) α = 40°30′; в) α = 35°30′20″. 3 Намерете ъглите a, b и g на АВС, ако: а) α : β : γ = 2 : 3 : 4; б) α : β : γ = 3 : 2 : 1. 4 Намерете ъглите на АВС, ако A = 20° и: а) В е с 60° по-голям от A;

Към съдържанието

Намерете ВСН, ако: а) A = 40°; б) A = 75°. Упътване: Намерете най-напред AВС. 6 В АВС ъглополовящите на A и В се пресичат в точка D. Намерете ADВ, ако: а) A = 48°, В = 55°; б) С = 100°. 7 Височините, прекарани от върховете А и В на АВС, се пресичат в точка Н. Намерете AНВ, ако: а) A = 60°, В = 50°; б) A = 48°, В = 72°.

129

59.

ВЪНШЕН ЪГЪЛ НА ТРИЪГЪЛНИК Ако продължим страната АС на АВС, както е показано на чертeжа, се получава ъгъл γ′, който е разположен извън триъгълника и е съседен на ъгъл γ. Четем гама прим (γ′).

Външен ъгъл на триъгълник се нарича съседният на кой да е вътрешен негов ъгъл.

• Всеки ъгъл на триъгълника има по два съседни ъгъла. Тогава един триъгълник има шест външни ъгъла – два по два равни.

• Външните ъгли на АВС означаваме с α′, β′, γ′. Прието e да се казва, че триъгълникът има три външни ъгъла.

• От свойството на съседните ъгли следва, че: α′ = 180° − α , β′ = 180° − β , γ′ = 180° − γ .

ЗАДАЧА 1 Докажете, че сборът на трите външни ъгъла α′, β′, γ′ на триъгълника е 360°.

Решение: От определението за външен ъгъл следва, че , където a, b, g са ъглите на триъгълник. Тогава за сбора на външните ъгли получаваме α′ + β′ + γ′ = 180° − α + 180° − β + 180° − γ = 540° − (α + β + γ ) = 540° − 180° = 360° .  180°

Всеки външен ъгъл е равен на сбора на двата вътрешни, несъседни на него, ъгъла. Дадено: АВС Да се докаже: α′ = β + γ Доказателство: От определението за външен ъгъл следва, че α′ = 180° − α . От α + β + γ = 180° ⇒ β + γ = 180° − α . Получените равенства имат равни десни страни. Тогава и левите им страни са равни, т.е. α′ = β + γ . Доказателството за другите два външни ъгъла е аналогично.

! 130

α′ = β + γ α′ > β , От равенствата β′ = α + γ следва β′ > α , γ′ = α + β γ′ > α ,

α′ > γ , β′ > γ , γ′ > β.

Към съдържанието

Като следствие получихме следната теорема:

СЛЕДСТВИЕ Всеки външен ъгъл на триъгълника е по-голям от всеки вътрешен, несъседен на него, ъгъл от същия триъгълник.

ЗАДАЧА 2 За ъглите на АВС е дадено, че γ′ = 130° и α : β = 6 : 7.

Намерете големината на ъглите: а) α, β, γ; б) α′, β′. Решение: а) От теоремата за външен ъгъл на триъгълника ⇒ γ′ = α + β, т.е. α + β = 130°. От α : β = 6 : 7, α = 6x, β = 7x получаваме 6x + 7x = 130°, 13x = 130°, x = 10°. Тогава α = 6x = 6 . 10° = 60°, β = 7x = 7 . 10° = 70°. От γ + γ′ = 180° (по определение) ⇒ γ = 180° − γ′ = 180° − 130° = 50°. б) От α + α′ = 180° ⇒ α′ =180° − α = 180° − 60° = 120°. От β + β′ = 180° ⇒ β′ = 180° − β = 180° − 70° = 110°. Отг. а) α = 60°, β = 70°, γ = 50°; б) α′ = 120°, β′ = 110°

ЗАДАЧА 3 Точка Р е от страната ВС на АВС. Докажете, че: а) APB > ACB; Доказателство:

б) APС > ABР.

а) APB е външен за АРС ⇒ APB > ACB (по Т-следствие).

б) APС е външен за АВР ⇒ APС > ABР (по Т-следствие).

От условието на Задача 3 могат да се изкажат и твърденията APВ > СAР и APС > BАР, които се доказват аналогично.

ЗАДАЧИ

1 Точка М е от страната АВ на АВС. До- 4 В триъгълник един от вътрешните ъгли кажете, че: а) AМС > ABС; б) AМС > BСМ; в) ВМС > BАС; г) ВМС > АСМ. 2 Точка N е от страната АС на АВС. Докажете, че: а) ANB > AСB; б) ANB > NBС; в) ВNС > BАС; г) ВNС > АBN. 3 Външният ъгъл при върха А на АВС е α′ = 140°. За вътрешните ъгли β и γ съответно при върховете В и С е дадено, че β : γ = 2 : 5. Намерете големината на: а) вътрешните ъгли α, β, γ на АВС; б) външните ъгли β′ и γ′ на АВС.

Към съдържанието

е 40°, а един от външните ъгли e 50°. Намерете ъглите на триъгълника. 5 Два външни ъгъла на триъгълник са 110° и 130°. Намерете третия външен ъгъл и ъглите на триъгълника. 6 Сборът на външните ъгли при върховете А и В в АВС е 200°. Намерете вътрешния ъгъл при върха С. 7 За външните ъгли α′, β′, γ′ на АВС е дадено, че α′ : β′ : γ′ = 5 : 3 : 4. Намерете големината на: а) външните ъгли α′, β′, γ′; б) вътрешните ъгли α, β, γ.

131

60.

ТРИЪГЪЛНИК. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Докажете, че ако точка Х е вътрешна точка за АВС, то АХВ > АСB. Доказателство: Продължаваме АХ до пресичане с ВС в точка М. 1 . За ХВМ от Т-следствие за външен ъгъл получаваме ϕ > 1. 2. За AМC аналогично получаваме 1 > γ. От 1. и 2. ⇒ ϕ > 1 > γ ⇒ ϕ > γ, т.е. АХВ > АСB.

ЗАДАЧА 2 За ъглите в АВС е дадено, че α : β : γ = 5 : 6 : 7. Ако CL (L ∈ AB) е

ъглополовяща на АСB и LQ (Q ∈ AC) е успоредна на BC, намерете ъглите на QLС. Решение: 1. α : β : γ = 5 : 6 : 7 и α + β + γ = 180° ⇒ α = 5 x , β = 6 x , γ = 7 x , 5 x + 6 x + 7 x = 180°, x = 10° ⇒ α = 50°, β = 60°, γ = 70° γ 2. C L – ъглополовяща ⇒ = 70° = 35° 2 2 γ 3. (QL  BC ) ∩ LC ⇒ 1 = = 35° (Т-свойство за кръстните ъгли). 2 γ 4. В  QLC 1 +  2 + = 180° ⇒ 35° +  2 + 35° = 180° ⇒ 35° +  2 + 35° = 180° ,  2 = 110° .  2 = 110° Отг. Ъглите на QLС са 110°, 35°, 35°.

ЗАДАЧА 3 В АВС CH (H ∈ AB) е височина, CL (L ∈ AB) е ъглополовяща. Ако α : β = 3 : 2 и HCL = 10°, намерете мярката на ъгъл γ .

Решение: 1. α : β = 3 : 2 ⇒ α = 3x, β = 2x γ 2 ( CH ⊥ AB ) ⇒ 90° + 10° + δ = 180°, δ = 80° . 3. HLС е правоъгълен γ γ = 80° − 2 x 4. За LВС δ е външен ъгъл ⇒ δ = + 2 x, 2 2 ⇒ γ = 2 ⋅ γ = 2 .(80° − 2 x) = 160° − 4 x, γ = 160° − 4 x 2 γ γ = 2 ⋅ = 2 .(80° − 2 x) = 160° − 4 x⇒ , γ = 160° − 4 x . 2 3 xАВС: + 2 x + 160 ° 5. Намираме х от α +°β−+4 xγ = 180 180°, x = 20 °. 3 x + 2 x + 160 ° − 4 x = 180 ° т.е. , x = 20 ° 6. За γ получаваме γ = 160° − 4 . 20° = 80°, т.е. АСВ = 80°. 2. CL – ъглополовяща ⇒  LCB =

132

Към съдържанието

Подготовка за решаване на тест по геометрия Към условията на Задачи 4 и 6 са дадени чертежи с означения. Те са формулирани като задачи с избираем или свободен отговор и решенията им са записани схематично. Тестови задачи с решения

ЗАДАЧА 4 Като използвате означенията на чертежа, големината на ъгъл β е: ТЕСТ

А) 76°;

Б) 80°; В) 84°; Г) 86°. Решение: В АМС x + y + 132° = 180° ⇒ x + y = 48° . В АВС ( x + y ) + ( x + y ) + β = 180° ⇒ β = 180° − 2( x + y ) , β = 180° − 2 . 48°, β = 84° .

132°

Отг. В)

ЗАДАЧА 5 В АВС ъглополовящата AL (L ∈ BC) на А пресича ъглополовящата на С ТЕСТ

в точка О. Ако СOL = 52°, големината на АВС е: A) 76°; Б) 74°; В) 78°; Г) 86°.

Решение: Като използваме означенията α, β, γ, върху чертежа g означаваме равните ъгли с α и . 2 2 γ От АОС с външен ъгъл 52° ⇒ 52° = α + ⇒ α + γ = 104° . 2 2 В АВС α + β + γ = 180°, β = 180° − (α + γ ) = 180° − 104° = 76° .

ЗАДАЧА 6 Като използвате означенията на чертежа, намерете ъгъл ϕ. ТЕСТ

C M

Решение: Задачата решаваме с допълнително A построение – права АМ. Използваме означенията на чертeжа. ϕ1 е външен ъгъл за АМС ⇒ ϕ1 = x + 40° . ϕ2 е външен ъгъл за АМВ ⇒ ϕ2 = 70° − x + 25° . ϕ = ϕ1 + ϕ2 = x + 40° + 70° − x + 25° ϕ = 40° + 70° + 25° , ϕ = 135°

Отг. A) C

Отг. 135°

В Задача 6 получихме, че ϕ е сборът от трите дадени ъгъла (ϕ = 40° + 70° + 25°). Ако означим дадените ъгли с α, β, γ, ще получим зависимостта ϕ = α + β + γ .

ЗАДАЧИ

1 В АВС α : β : γ = 2 : 5 : 3. Ако BD 3 Вътрешният ъгъл при върха В на (D ∈ АC) е височина, намерете голе АВС е два пъти по-голям от външмините на АBD и CBD. ния ъгъл при същия връх. Ако BL 2 В остроъгълен АВС CАB = α. Ъгло (L ∈ АC) е ъглополовяща на АBС и половящата AL пресича височината LQ || AB (Q ∈ BC), намерете ъглите BB1 в точка Q. Намерете големините на ВLQ. на АQB и АQB1.

Към съдържанието

133

61.

ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕМАТА “ОСНОВНИ ГЕОМЕТРИЧНИ ФИГУРИ”

ЗАДАЧА 1 Докажете, че ъглополовящите на два вътрешни кръстни ъгъла, образувани при пресичане на две успоредни прави с трета, са успоредни.

Дадено: (a || b) ∩ c, a и b – вътрешни кръстни ъгли, l1 – ъглополовяща на a, l2 – ъглополовяща на b Да се докаже: l1 | | l2 Доказателство: 1 . От (a || b) ∩ c и a, b – кръстни ъгли (от Т-свойство) ⇒ α = β. β 2. От l1, l2 – ъглополовящи ⇒ 1 = α ,  2 = . 2 2 От 1. и 2. ⇒ 1 = 2 – кръстни ъгли при (l1, l2) ∩ c. От Т-признак следва, че l1 | | l2.

ЗАДАЧА 2 Докажете, че ъглополовящите на два вътрешни прилежащи ъгъла, образувани при пресичане на две успоредни прави с трета, са перпендикулярни.

Дадено: (a || b) ∩ c, 1 и 2 – вътрешни прилежащи ъгли, l1 – ъглополовяща на 1, l2 – ъглополовяща на 2 Да се докаже: l1 ⊥ l2 Доказателство: Нека 1 = 2α, 2 = 2β (определение за ъглополовяща).  b∩ ) ×cc ⇒ 1 +  2 = 180° (свойство на прилежащите ъгли). От (a(a|| b) Тогава 2α + 2β = 180° ⇒ α + β = 90° . В АМВ от α + β = 90° и α + β +  M = 180° ⇒ М = 90°, т.е.  (l 1 , l 2 ) = 90° ⇒ l 1 ⊥ l 2 .

ЗАДАЧА 3 Височините, прекарани от върховете А и В на остроъгълен АВС, се пресичат в точка Н. Намерете АНВ, ако: a) А = α, B = β;

б) α = 70°, β = 40°.

Дадено: АВС, AH1 ⊥ BC , BH 2 ⊥ AC, AH1 ∩ BH2 = H a) А = α, B = β; б) α = 70°, β = 40° Да се намери: АНВ Решение: а) В . В . В (свойство) ⇒ x = 180° − (1 +  2) = 180° − (90° − β + 90° − α) = АНВ = a + b = 180° − 180° + α + β = α + β ⇒ x = α + β . б) За α = 70°, β = 40° x = 70° + 40° = 110°, АНВ = 110°.

134

Към съдържанието

ЗАДАЧА 4 На чертежа правите a и b са успоредни. Като използвате дадените ъгли, изразени чрез х и у, намерете стойността на у в градуси.

Решение: I начин: Нека правата ВМ пресича правата а в точка N. BМА е външен за NAM. x + 40° + x − 20° = 110° 2 x = 110° − 20° 2 x = 90° x = 45° От x − 20° + 2 y = 180° (съседни ъгли)

45° − 20° + 2 y = 180° 2 y = 180° − 25° 2 y = 155° y = 77°30′. II начин: През точка М начертаваме лъч m, успореден на правите a || b, точка P ∈ m→ ⇒  ( MB, MP ) = x + 40° (съответни) и  ( MP, MA) = x − 20° (кръстни). АМВ е сборът на ъглите х + 40° и х − 20°. x + 40° + x − 20° = 110° 2 x = 90° x = 45° Аналогично на I начин намираме y = 77°30′.

ЗАДАЧА 5 Външните ъглополовящи при върховете А и В на АВС се пресичат в т. О. Ако АСВ = γ, изразете АОВ чрез γ. Решение:

1 1 α α=′ (180° − α)= 90° − (АО – ъглополовяща) 2 2 2 1 1 β 2. АВО = β=′ (180° − β)= 90° − (ВО – ъглополовяща) 2 2 2 3. АВО, АОВ = х 1. ВАО =

C A

Към съдържанието

B x O

Към съдържанието

α β + 90° − += x 180° 2 2 α β α + β 180° − γ γ x= + = = = 90° − 2 2 2 2 2 γ АОВ = 90° − 2 90° −

135

ОБЩИ ЗАДАЧИ ВЪРХУ ТЕМАТА “ОСНОВНИ ГЕОМЕТРИЧНИ ФИГУРИ”

12. a) 6x

10. Ъглополовящите АА1 и ВВ1 на VАВС се пресичат в точка О. Намерете SАСВ, ако SАОВ = 132°.

136

20°

66° – x

13. a)

80°

б) a

3x + 20°

130°

x 3x

x 75° b

14. a) a

б)

72°

15. a)

б)

c x d

115°

x 74°

b 47° a

123°

9. Височините АА1 и ВВ1 на остроъгълния VАВС се пресичат в точка Н. Намерете ъглите на триъгълника, ако: а) SАНB = 100° и SА : SВ = 3 : 7; б) SАНB = 112° и SАВВ1 = 38°.

б) 87°

8. В VАВС a : b : g = 7 : 5 : 6. Ъглополовящата АL пресича височината СН в точка Q. Намерете SAQC.

5x + 20°

7. Ъглополовящите, прекарани от върховете А и В на VАВС, се пресичат в точка L. Намерете SАLB, ако SС = 70°.

6. Височините, прекарани през върховете А и В на VАВС, се пресичат в точка Н. Намерете SАНВ, ако: а) SС = 70°; б) SС = g.

5. Намерете ъглите a, b, g на VАВС, ако: а) a : b : g = 1 : 4 : 5; б) a : b = 1 : 3, g = 20°.

3x a

4. Успоредните прави a и b се пресичат от права с в точките А и В. Ъглополовящата l на тъпия ъгъл при върха В пресича правата а в точка С и образува с нея ъгъл 125°. Да се намерят всички ъгли, които правите с и l образуват с а и b.

б)

3. Даден е ъгъл 67°25′. През върха му са прекарани прави, перпендикулярни на раменете на ъгъла. Да се намерят ъглите, които се получават при пресичането на тези прави.

11. a)

x + 30

2. При пресичане на две прави единият от ъглите е равен на сбора на съседните му ъгли. а) Намерете всички ъгли. б) На колко градуса е равен този ъгъл?

Ако правите а и b са успоредни, намерете големината на ъгъл х.

x + 20°

1. На колко градуса е равен всеки от два съседни ъгъла, ако: а) единият е 3 пъти по-малък от другия; б) единият е 25% от другия; в) единият е с 25% по-голям от другия?

x d 62°

Към съдържанието

62.

ТЕСТ № 1 ВЪРХУ ТЕМАТА “ОСНОВНИ ГЕОМЕТРИЧНИ ФИГУРИ” 1. Сборът на ъглите a = 21°57′ и b = 19°33′ e:

6. Ако AD || CE и CD || BE, то големината на SАВЕ е:

A) 50°30′;

А) 24°;

Б) 42°;

Б) 48°;

В) 40°30′;

В) 60°;

D 60° C

Г) 41°30′.

Г) 72°.

2. На колко градуса е равен ъгъл, ако сборът на двата му съседни ъгъла е 320°?

7. Големината на SАОС на чертежа е:

А) 40°;

А) 100°;

Б) 70°;

Б) 120°;

x y

В) 20°;

В) 130°;

Г) 30°.

Г) 150°.

3. Един от ъглите, образувани при пресича не на две прави, е с 40° по-малък от друг от тези ъгли. Всички ъгли са с големини: А) 130°, 90°, 130°, 90°; Б) 110°, 70°, 110°, 70°;

y A

80°

8. За VАВС е дадено, че SА : SВ : SС = 10 : 11 : 15. Ъглополовящата на SВАС и височината към страната АВ се пресичат в точка О. Намерете:

В) 120°, 80°, 120°, 80°;

а) големината на средния по големина ъгъл на VАВС в градуси;

Г) 100°, 60°, 100°, 60°.

б) големината на SАОС в градуси.

4. На чертежа големината на S BDC е: A) 50°; Б) 55°; В) 60°; Г) 65°. 5. Като използвате означенията на чертежа, намерете големината на Sх. А) 109°;

Б) 121°;

В) 118°; Г) 146°.

Към съдържанието

D x

9. Външният ъгъл при върха С на VАВС е 131° и CD ( D ∈ AB ) е височина в триъгълника. Ако SАСD : SBСD = 3 : 4, намерете в градуси: а) големината на SАСВ; б) големината на SАВС; в) големината на SВАС. 10. Височините АА1 и ВВ1 на остроъгълния VАВС се пресичат в точка Н. Ъглополовящите на SСАВ и SАВС се пресичат в точка О. Ако SАОВ = 130°, намерете големината на SАНВ в градуси.

137

ТЕСТ № 2 ВЪРХУ ТЕМАТА “ОСНОВНИ ГЕОМЕТРИЧНИ ФИГУРИ” 1. Разликата a - b на ъглите a = 80° и b = 32°50′20′′ е: А) 47°9′40′′; Б) 47°10′40′′; В) 46°10′40′′; Г) 48°9′40′′. 2. На чертежа са означени ъгли. Кои прави са успоредни? А) a || n; Б) a || b; В) m || n; Г) няма успоредни прави. 3. На чертежа големините на ъглите на VABC са: А) 20°, 60°, 100°;

А) 14°; Б) 15°;

30 2x

В) 24°; Г) 29°.

7. Ако AD || CE и CD || BE, то големината на SBAD е: А) 30°;

Б) 40°;

D 40°

В) 60°; Г) 80°.

x + 20°

8. За VАВС е дадено, че SА : SВ : SС = 5 : 6 : 7. Ъглополовящата на SАВС и височината към страната ВС се пресичат в точка О. Намерете:

Б) 20°, 30°, 110°;

а) големината на средния по големина ъгъл на VАВС в градуси;

В) 30°, 45°, 75°;

б) големината на SAOB в градуси.

Г) 36°, 54°, 90°.

А) 120°;

9. Външният ъгъл при върха С на VАВС е 130° и CL ( L ∈ AB ) е ъглополовяща на SАСВ. Ако SАLC : SBLC = 5 : 4, намерете в градуси:

Б) 110°;

а) големината на SАСВ;

В) 80°;

б) големината на SАВС;

Г) 70°.

в) големината на SВАС.

5. На чертежа a || b. Стойността на у е:

10. Височините АА1 и ВВ1 на остроъгълния VАВС се пресичат в точка Н. Ъглополовящите на SHАВ и SHBA се пресичат в точка О. Ако вътрешният ъгъл при върха С е равен на половината от външния ъгъл при върха С, намерете големината на SАОВ в градуси.

4. На чертежа големината на S BOC е:

А) 30°; Б) 35°; В) 10°; Г) 20°.

138

6. Ако a || b, то големината на Sх е:

Към съдържанието

ТЕМА 4 ЕДНАКВИ ТРИЪГЪЛНИЦИ (Урок № 63 – Урок № 83)

В ТАЗИ ТЕМА СЕ ИЗУЧАВАТ:

• признаци за еднаквост на два триъгълника; • равнобедрен триъгълник, свойства; • правоъгълен триъгълник с ъгъл 30º; • медиана към хипотенузата на правоъгълен триъгълник; • ъглополовяща на ъгъл; • симетрала на отсечка.

УЧЕНИЦИТЕ СЕ НАУЧАВАТ: • да откриват еднакви триъгълници; • да доказват еднаквост на триъгълници; • да прилагат свойствата на равнобедрен триъгълник, медиана към хипотенузата в правоъгълен триъгълник и правоъгълен триъгълник с ъгъл 30º; • да прилагат признаците и свойствата на симетрала и ъглополовяща; • да построяват симетрала на отсечка и ъглополовяща на ъгъл.

Към съдържанието

63.

ЕДНАКВИ ТРИЪГЪЛНИЦИ. ВЪВЕДЕНИЕ На чертежа са начертани два триъгълника ABC и A1B1C1. При измерване с линия с деления и с транспортир установяваме, че: AB = A1B1, BC = B1C1, AC = A1C1; A = A1 , B = B1, C = C1. Ако изрежем ABC и го наложим върху A1 B1C1 така, че върхът A ≡ A1 и върхът B ≡ B1, ще установим, че в полуравнината λ e и върхът C ≡ C1. За тези два триъгълника ( ABC и A1 B1C1 ) казваме, че са еднакви.

Те имат: • съответни върхове – върховете A и A1, B и B1, C и C1, които при налагане съвпадат; • съответни страни – страните AB и A1B1, BC и B1C1, AC и A1C1, които при налагане съвпадат; • съответни ъгли – BAC и B1 A1C1 , ABC и A1 B1C1 , ACB и A1C1 B1 , които при налагане съвпадат. Казваме, че: • Страната A1B1 е съответно равна на страната AB. • Страната B1C1 е съответно равна на страната BC. • Страната A1C1 е съответно равна на страната AC. • Ъгъл A1 е съответно равен на ъгъл A. • Ъгъл B1 е съответно равен на ъгъл B. • Ъгъл C1 е съответно равен на ъгъл C. Тези шест твърдения е прието да се изказват и така: • Страните A1B1, B1C1, A1C1 са съответно равни на страните AB, BC, AC. A1 , B1 , C1 са съответно равни на A, B, C. •

Еднакви триъгълници Два триъгълника, които имат съответно равни страни и съответно равни ъгли, се наричат еднакви. Означения: VABC ≅ VA1B1C1. Четем: “Триъгълникът ABC е еднакъв на триъгълника A1B1C1”.

A = A1 AB = A1 B1 Aко B = B1 и BC = B1C 1 , то VABC ≅ VA1B1C1. C = C1 CA = C 1 A1 Прието е записът VABC ≅ VA1B1C1 да показва, че върховете A1, B1, C1 са съответни на върховете A, B, C.

140

Към съдържанието

В ежедневието често се използва понятието “еднаквост”. Казваме, че две фигури са еднакви, когато имат една и съща форма и са с едни и същи размери, т.е. при налагане на едната фигура върху другата те съвпадат.

ЗАДАЧА 1 На чертежа е начертана двойка еднакви триъгълници. Посочени са съответните им страни и съответните им ъгли. Запишете, че триъгълниците са еднакви. Решение: Върховете X, Y, Z са съответни на върховете D, E, F ⇒ X Y Z ≅ DE F .

Свойства на еднаквите триъгълници V1

1. Ако 1 ≅ 2 , то 2 ≅ 1 . 2. Ако 1 ≅ 2 и 2 ≅ 3 , то 1 ≅ 3.

Тези свойства са следствия от определението за еднаквост на триъгълници и съответните свойства на числата.

ЗАДАЧА 2 Дадени са MNP и RST с означени дадени елементи. Да се докаже, че тези триъгълници са еднакви. Решение:

Триъгълниците MNP и RST имат: MN = RS = a, M = R = 40°;, MP = RT = b, P = T = 60°;. PN = TS = c,

От свойството на ъглите в триъгълник N = S 80 . ⇒ N = 180 − ( 40 + 60 ) = 80 и S = 80 , т.е. = V MNP и VRST имат три двойки съответно равни страни и три двойки съответно равни ъгли, откъдето следва, че са еднакви: MNP ≅ RST .(по определение). Теоремите, които определят условия, осигуряващи еднаквостта на два триъгълника, ще наричаме признаци за еднаквост на два триъгълника.

ЗАДАЧИ

1 Два триъгълника са еднакви и единият в) VMNP ≅ VXYZ ;

има страни, равни на 5 cm, 6 cm, г) VABC ≅ VMNP. 7 cm. Намерете страните на другия 4 На чертежа са начертани еднакви триъгълник. триъгълници с дадени елементи. На 2 Два триъгълника са еднакви и единият мерете елементите, означени с x. от тях има ъгли 50º и 70º. Намерете а) б) трите ъгъла на другия триъгълник. 3 Напишете равенствата на съответни те страни в еднаквите триъгълници: а) A1 B1C1 ≅ ABC ; б) A1 B1C1 ≅ A2 B 2C 2 ;

Към съдържанието

141

64.

ПЪРВИ ПРИЗНАК НА ЕДНАКВОСТ НА ТРИЪГЪЛНИЦИ

ЗАДАЧА 1 Начертани са два триъгълника ABC и A1B1C1,

като AB = A1B1 = 5 cm, AC = A1C1 = 4 cm и = BAC = B1 A1C1 40 . Измерете и сравнете: а) страните BC и B1C1; б) ABC и A1 B1C1 ; в) ACB и A1C1 B1. Решение: Измерваме с линия: а) BC = 3,2 cm, B1C1 = 3,2 cm ⇒ BC = B1C1. Измерваме с транспортир. б) ABC = B = 53°  ⇒ B = B1 A1 B1C1 = B1 = 53° в) ACB = C = 87°  ⇒ C = C1 A1C1 B1 = C1 = 87° В условието на Задача 1 за VABC и VA1B1C1 са дадени три двойки съответно равни елементи:

Чрез измерване забелязахме, че и останалите три двойки съответни елементи са равни: От тези 6 равенства и от определението за еднаквост на два триъгълника следва, че VABC ≅ VA1B1C1 . Ако разгледаме други два триъгълника MNP и M1N1P1, за които са изпълнени трите равенства: MN = M1N1, NP = N1P1 и N = N1 , може да се провери, че следва и верността на другите три равенства: PM = P1M1, P = P1 и M = M 1 , т.е. MNP ≅ M1N1P1 .

Първи признак за еднаквост на два триъгълника Ако две страни и ъгъл между тях от един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгъл между тях от друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви.

ЗАДАЧА 2 Приложете първи признак за еднаквост на два триъгълника, като използвате равенствата на съответните им елементи, означени на чертежа. Решение:  AB = NM  От  BC = MP ⇒ ABC ≅ NMP (по I признак).  B = M (= 90 )

142

Към съдържанието

Първи признак може да се използва за чертане на триъгълник, еднакъв на даден триъгълник. Първо с транспортир начертаваме ъгъл, равен на един от ъглите на дадения триъгълник, и върху раменете на този ъгъл нанасяме отсечки, равни на прилежащите страни на избрания ъгъл.

ЗАДАЧА 3 На чертежите а) и б) са начертани двойки защриховани триъгълници и са

отбелязани дадените елементи. Докажете, че тези триъгълници са еднакви. а)

б)

Решение: а) Р азглеждаме VAHC и VBHC AH = BH =( 2) CH = CH (обща страна) = AHC = BHC ( 90 ) (съседни ъгли) ⇒ AHC ≅ BHC (по І признак).

ЗАДАЧИ

б) Разглеждаме VOAB и VOA1B1 = OA OA = 1 ( 2) = OB OB = 1) 1 ( AOB = A1OB1 (общ ъгъл) ⇒ OAB ≅ O A1 B1 (по І признак).

1 Начертайте два триъгълника ABC и A1B1C1, ако са дадени:

а) AB = A1B1 = 4 cm, б) AB = A1B1 = 3 cm, AC = A1C1 = 3 cm, BC = B1C1 = 2 cm, SA = SA1 = 40°; SB = SB1 = 45°. Докажете, че VABC ≅ V A1B1C1 .

2 На чертежите а), б), в), г) са начертани геометрични фигури, които имат по два

оцветени триъгълника и са с отбелязани дадени елементи. Докажете, че тези два триъгълника са еднакви. а) a ∩ b; б) OC ⊥ АB; в) l – ъглополовяща; г) а | | b ∩ c.

Към съдържанието

143

65.

ПЪРВИ ПРИЗНАК ЗА ЕДНАКВОСТ НА ТРИЪГЪЛНИЦИ. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Отсечките AB и CD се пресичат в точка M, която е среда на всяка от тях. Докажете, че: а) AD = BC; б) DAM = CBM ;, ADM = BCM ;. Решение: а) Разглеждаме AMD и BMC AM = BM (по условие) DM = CM (по условие) AMD = BMC (връхни ъгли) ⇒ AMD ≅ BMC (по І признак) ⇒ AD = BC като съответни страни в еднакви триъгълници. б) От AMD ≅ BMC (условие а)) ⇒ DAM = CBM ADM = BCM

к ато съответни ъгли в еднакви триъгълници.

ЗАДАЧА 2 За правите a, b, c е дадено, че (a || b) ∩ c в точките A ∈ a и B ∈ b. Ако AM = BN, докажете, че MB || AN. Дадено: (a || b) ∩ c, A и M ∈ a, B и N ∈ b, AM = BN Да се докаже: MB || NA Доказателство: Разглеждаме MAB и NBA AB = AB (oбща страна) AM = BN (по условие) MAB = NBA (кръстни ъгли)

⇒ MAB ≅ NBA (по І признак) ⇒ MBA = NAB като съответни ъгли в еднакви триъгълници.

От (MB, NA) ∩ AB и MBA = NAB (кръстни ъгли) ⇒ MB || NA по признак за успоредност на две прави.

ЗАДАЧА 3 Докажете, че два триъгълника са еднакви, ако имат съответно равни страна, медиана

144

към тази страна и ъгъл между страната и медианата. Дадено: ABC и A1 B1C1 , AC = A1C1, BM = B1 M1 (медиана), AMB = A1M 1 B1. Да се докаже: ABC ≅ A1 B1C1. Доказателство: 1. Разглеждаме ABM и A1 B1M 1 BM = B1M 1 AM = A1M 1 1 AC = 1 A1C1 2 2 AMB = A1M 1 B1 (по условие)

(

)

⇒ ABM ≅ A1 B1M 1 (по І признак) ⇒ съответните им елементи са равни, т.е. MAB = = M 1 A1 B1 , AB A1 B1.

Към съдържанието

2. Разглеждаме ABC и A1 B1C1 AB = A1 B1 (от 1. ) AC = A1C1 (по условие) A = A1 (от 1. ) ⇒ ABC ≅ A1 B1C1 (по І признак). 3. Чрез аналогични разсъждения се доказва твърдението и в другите два случая.

ЗАДАЧА 4 Даден е равнобедрен ABC (CA = CB). На продължението на страните AC и BC са взети съответно точки M и N така, че CM = CN. Докажете, че: а) ACN ≅ BCM ; б) ABN ≅ BAM . Дадено: ABC (CА = CB) – равнобедрен, CM = CN Да се докаже: а) ACN ≅ BCM ; б) ABN ≅ BAM . Доказателство: а) Разглеждаме ACN и BCM

AC = BC (по условие) CN = CM (по условие) ACN = BCM (връхни ъгли) ⇒ ACN ≅ BCM ;(по І признак).

б) От условие а) ACN ≅ BCM ;и съответните им елементи

са равни AN = BM (1) 1 = 2 (2)

Разглеждаме ABN и BAM

ЗАДАЧИ

AN = BM 1 = 2 BN = AM (сбор на равни отсечки) ⇒ ABN ≅ BAM (по І признак).

1 На черт. а), б), в), г) са означени рав ни елементи. Докажете, че VABC ≅ VBAD.

2 В VABC AL е ъглополовяща (L ∈ CB).

Ако AP = AQ, като P ∈ AB и Q ∈ AC, докажете, че QL = PL.

3 За VABC и VA1B1C1 е дадено: а) страните AB и A1B1, медианите CM и C1M1 и AMC и A1M1C1 са равни; б) страните BC и B1C1, медианите AM и A1M1 и AMВ и A1M1В1 са равни. Да се докаже, че ABC ≅ A1 B1C1.

Към съдържанието

145

66.

ВТОРИ ПРИЗНАК ЗА ЕДНАКВОСТ НА ТРИЪГЪЛНИЦИ

ЗАДАЧА 1 Начертани са два триъгълника ABC и A1B1C1, като

= B = B1 30 . = A = A1 45 и AB = A1B1 = 6 cm, Измерете и сравнете: а) страните BC и B1C1; б) страните AC и A1C1; в) C и C1. Решение: Измерваме с линия: а) BC = 4,4 cm, B1C1 = 4,4 cm ⇒ BC = B1C1; б) AC = 3,1 cm, A1C1 = 3,1 cm ⇒ AC = A1C1. Измерваме с транспортир: в) C = 105 , C1 = 105 ⇒ C = C1. В Задача 1 от теоремата за сбор на ъглите в триъгълник, без да измерваме, можем да намерим, че SC = SC1 = 180° – (30° + 45°) = 105°. В условието на Задача 1 за VABC и VA1B1C1 са дадени три двойки съответно равни елементи:

Чрез измерване забелязахме, че и останалите три двойки съответни елементи са равни:

AB = A1 B1 A = A1 B = B1 ⇓ BC = B1C 1 AC = A1C 1 C = C1

От тези 6 равенства и от определението за еднаквост на два триъгълника следва, че VABC ≅ VA1B1C1 . Ако разгледаме други два триъгълника MNP и M1N1P1, за които са изпълнени трите N = N 1 , P P1 , може да се провери, че следва и вер равенства: NP = N= 1P1, ността на другите три равенства: MN = M1N1, MP = M1P1 и M = M 1 , т.е. MNP ≅ M1N1P1 .

Втори признак за еднаквост на два триъгълника Ако страна и два прилежащи ъгъла на един триъгълник са съответно равни на страна и два прилежащи ъгъла от друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви.

ЗАДАЧА 2 Приложете втори признак за еднаквост на два триъгълника, като използвате равен ствата на съответните им елементи, означени на чертежа. Решение:  XZ = BA От  X = B ⇒ XYZ ≅ BCA (по II признак).  Z = A

146

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 На чертежите са начертани двойки защриховани триъгълници и са отбелязани дадените елементи. Докажете, че тези триъгълници са еднакви. a) a ∩ b = O б) (a | | b) ∩ c

Решение: а) Разглеждаме AOB и COD OB = OD (по условие) B = D (по условие) AOB = COD (връхни ъгли) ⇒ AOB ≅ COD (по ІІ признак).

б) Разглеждаме ANB и BMA AB – обща страна BAN = ABM (кръстни) NBA = MAB (по условие) ⇒ ANB ≅ BMA (по ІІ признак).

ЗАДАЧА 4 Докажете, че еднаквите триъгълници са равнолицеви. Основна задача

Дадено: ABC ≅ A1 B1C1 Да се докаже: S ABC = S A1B1C 1 Доказателство: 1. Начертаваме височините AD и A1D1. Toгава ADB = 90°, A1 D1 B1 = 90° .

AB = A1 B1 B = B1 = β A = A1 = 1, където S1 = 90° - b, ⇒ AD = A1D1 (съответни страни).

2. ABD ≅ A1 B1 D1 (по ІІ признак)

3. Означаваме AD = A1D1 = h и BC = B1C1 = a. BC . AD B1C1 . A1 D1 a . h S ABC = = = S A1B1C 1 ⇒ S ABC = S A1B1C 1 = 2 2 2 Ако два триъгълника имат по два ъгъла, съответно равни (Задача 4), то и третите им ъгли са съответно равни. Тогава два триъгълника са еднакви по II признак и когато имат по страна и два ъгъла, съответно равни.

ЗАДАЧИ

1 Начертайте два триъгълника ABC и

N се намират на равни разстояния от правата a. A1B1C1, ако са дадени: AB = A1B1 = 3 cm, 3 Дадени са V ABC и V A 1B 1C 1, като A = A1 = 30°, B = B1 = 50°. B = B1 , ъглополовящите BL и B1L1 Докажете, че VABC ≅ VA1B1C1. са равни и сключват равни ъгли съот ветно със страните AC и A1C1. Дока 2 Права a минава през средата на от жете, че VABC ≅ VA1B1C1 . сечка MN. Докажете, че точките M и

Към съдържанието

147

67.

ПЪРВИ И ВТОРИ ПРИЗНАК ЗА ЕДНАКВОСТ НА ТРИЪГЪЛНИЦИ. УПРАЖНЕНИЕ Когато трябва да докажем, че два триъгълника са еднакви, използваме признаците за еднаквост на два триъгълника. Ако трябва да установим, че две отсечки или два ъгъла са равни, достатъчно е да намерим два еднакви триъгълника, на които тези отсечки или ъгли са съответни елементи. В два еднакви триъгълника медианите, ъглополовящите и височините през съответните върхове също се наричат съответни.

ЗАДАЧА 1 Да се докаже, че в еднаквите триъгълници: Основна задача

съответните медиани са равни; 2 съответните височини са равни; 3 съответните ъглополовящи са равни. 1

Дадено: ABC ≅ A1 B1C1 , CM = C1M1 – медиани Да се докаже: CM = C1M1 Доказателство: 1. О т определението за медиана следва, че точките M и M1 са среди на AB и A1B1. 1AB. = MB = 1 AB, A= M = Тогава AM 1M 1 1 B1 2 2 1 1 От AB = A1B1 (по условие) следва, че 1 AB = 1 A B , т.е. AM = A M . 1 1 2 2 1 1 2. Разглеждаме AMC и A1M 1C1 AC = A1C1 (по условие) A = A1 (по условие) ⇒ АМС ≅ А1М1С1 AM = A1M 1 (от 1.) (по І признак) ⇒ CM = C1M1 като съответни страни в еднакви триъгълници.

Дадено: ABC ≅ A1 B1C1 , CH и C1H1 – височини Да се докаже: CH = C1H1 Доказателство: 1. О т определението за височина следва, че CH ⊥ AB и C1H1 ⊥ A1B1, т.е. H = H= 90 . 1 2. Разглеждаме AHC и A1 H1C1 (по условие) AC = A1C1 A = A1 (по условие) H = H 1 = 90° (от 1.) ⇒ AHC ≅ A1 H1C1 (по ІІ признак) ⇒ CH = C1H1 като съответни страни в еднакви триъгълници.

148

Към съдържанието

Дадено: ABC ≅ A1 B1C1 , CL и C1L1 – ъглополовящи Да се докаже: CL = C1L1 Доказателство: 1. От определението за ъглополовяща следва, че 1 = 1 C и 2 = 1 C1 ., 2 2 От C = C1 (по условие) ⇒ 1 = 2,.

2. Разглеждаме ALC и A1 L1C1 AC = A1C1 A = A1 1 = 2 ⇒ ALC ≅ A1 L1C1 (по ІІ признак) ⇒ CL = C1L1 като съответни страни в еднакви триъгълници.

ЗАДАЧА 2 За триъгълниците ABC и A1B1C1 е дадено: AB = A1B1, CM = C1M1, CMB = C1M 1 B1 ,

като M и M1 са среди съответно на AB и A1B1. Да се докаже ABC ≅ A1 B1C1. Доказателство: 1. По условие точките M и M1 са среди съответно на AB и A1B1. 1AB. M = = MB = 1 AB и A= Тогава AM 1M 1 1 B1 2 1 1 2 От AB = A1B1 (по условие) следва, че MB = M1B1. 2. Разглеждаме MBC и M 1 B1C1 M = M 1 (по условие) CM = C1M 1 (по условие) MB = M 1 B1 (от 1.) ⇒ MBC ≅ M 1 B1C1 (по І признак) ⇒ B = B1,; BC = B1C1 като съответни елементи в еднакви триъгълници. 3. Разглеждаме ABC и A1 B1C1 : B = B1 ;(от 2.) BC = B1C1 (от 2.) AB = A1B1 (по условие)

ЗАДАЧИ

⇒ ABC ≅ A1 B1C1. (по І признак).

1 Две отсечки AB и CD се пресичат в точка O, която е среда на всяка от тях. Докажете, че ADC ≅ BCD.

2 Два триъгълника ABC и ABD имат

обща основа AB. Страните AD и BC са равни и сключват равни ъгли с ос новата. Докажете, че ABC ≅ ABD.

Към съдържанието

3 През средата M на отсечка AB е пре

карана права p, перпендикулярна на AB. Точката P от правата p (P ≠ M) е съединена с точките A и B. Да се дока же, че PM е ъглополовяща на APB. 4 Да се докаже, че ако точката L е от ъглополовящата на даден ъгъл, тя е на равни разстояния от раменете му.

149

68.

РАВНОБЕДРЕН ТРИЪГЪЛНИК. РАВНОСТРАНЕН ТРИЪГЪЛНИК

Равнобедрен триъгълник Триъгълник, на който две от страните са равни, се нарича равнобедрен. Означения: AC = BC = b – бедра, AB = c – основа

СВОЙСТВО В равнобедрения триъгълник ъглите при основата са равни. Доказателство: В ABC AC = BC = b. Oт CL – ъглополовяща на С ⇒ 1 = 2. От ALC ≅ BLC (по I признак) ⇒ A = B.

ПРИЗНАК В триъгълник срещу равни страни лежат равни ъгли и срещу равни ъгли лежат равни страни. Доказателство: В ABC A = B. От CH – височина ⇒ CH ⊥ AB ⇒ 3 = 4 = 90°. Oт AHC ≅ BHC (по ІІ признак) ⇒ AC = BC.

Свойство на триъгълника В равнобедрения триъгълник: • по определение бедрата са равни; • доказахме, че ъглите при основата са равни. Tогава е вярно твърдението:

В триъгълник срещу равни страни лежат равни ъгли и срещу равни ъгли лежат равни страни.

ЗАДАЧА 1 На чертежа са начертани триъгълници. Посочете равните страни и равните ъгли и обосновете отговора. а) б)

150

в)

г)

Към съдържанието

Решение: а) A = B = 70°; от свойството на триъгълника, че срещу равни ъгли лежат равни страни ⇒ CA = CB. Отг. б) A1B1 = B1C1 = C1A1; в) A2 = B2; г) A3 = B3 = C3 От свойството на ъглите в триъгълника α + β + γ = 180° и свойството на равнобедрения триъгълник α = β получаваме α + α + γ = 180°, 2α = 180° – γ , γ α = 90° − < 90°, т.е. ъгълът при основата на равнобедрен триъгълник е 2 остър ъгъл (т.е. не може да бъде прав или тъп ъгъл).

ЗАДАЧА 2 В равнобедрен триъгълник един от ъглите е 108º.

Намерете останалите два ъгъла. Решение: В равнобедрения триъгълник ъгълът при основата е остър (α < 90º). Тогава ъгълът при върха γ = 108º. 2α + γ = 180º, 2α = 180º – 108º, α = 36º Ъглите на равнобедрения триъгълник са 36º, 36º, 108º.

ЗАДАЧА 3 В равнобедрен триъгълник един от ъглите е 40°.

Намерете останалите два ъгъла. Решение: В условието на задачата не е уточнено кой от ъглите (α или γ) е 40°. Разглеждаме два случая: І случай: γ = 40°. От 2α + γ = 180° ⇒ α = 1 (180° − γ ) = 1 140° = 70°. 2 2 Отг. Ъглите на равнобедрения триъгълник са 70º, 70º, 40º.

ЗАДАЧИ

1 Може ли ъгълът при основата на един

равнобедрен триъгълник да е тъп ъгъл?

2 Намерете ъгъла между бедрата в рав

нобедрен триъгълник, ако ъгълът при основата е: а) 40º; б) 56º; в) 72º; г) 60º; д) 65º32′.

3 Намерете ъглите при основата на

равнобедрен триъгълник, ако ъгълът при върха е: а) 30º; б) 80º; в) 90º; г) 60º; д) 125º18′.

Към съдържанието

ІІ случай: α = 40º. От 2α + γ = 180º ⇒ γ = 180º – 2α = 180º – 2 . 40º = 100º. Отг. Ъглите на равнобедрения триъгълник са 40º, 40º, 100º.

4 Един от ъглите на равнобедрен

триъгълник е 100º. Намерете остана лите два ъгъла. 5 Един от ъглите на равнобедрен триъгълник е 70º. Намерете остана лите ъгли. 6 В равнобедрен триъгълник външен ъгъл при основата е 125º30′. Намере те ъглите на триъгълника. 7 Периметърът на равнобедрения триъгълник е 3 m, а основата – 80 cm. Намерете бедрата на триъгълника.

151

69.

РАВНОБЕДРЕН ТРИЪГЪЛНИК. РАВНОСТРАНЕН ТРИЪГЪЛНИК. УПРАЖНЕНИЕ

Равностранен триъгълник Триъгълник, на който и трите страни са равни, се нарича равностранен триъгълник. C

Равностранният триъгълник е вид равнобедрен триъгълник и теоремите за равностранен триъгълник са следствия от тези за равнобедрен триъгълник. B

СВОЙСТВО В равностранния триъгълник и трите ъгъла са равни на 60º. За ABC от AB = BC = CA ⇒ A = B = C = 1 от 180° = 60°. 3

ПРИЗНАК Ако в триъгълник трите ъгъла са равни, той е равностранен. За ABC от A = B = C ⇒ AB = BC = CA (= a). Два равнобедрени триъгълника са еднакви: • по І признак, ако имат бедро и ъгъл при върха съответно равни; • по ІІ признак, ако имат основа и ъгъл при основата съответно равни. Два равностранни триъгълника са еднакви: • по І и ІІ признак, ако страна от единия триъгълник е равна на страна от другия триъгълник.

ЗАДАЧА 1 Всеки равнобедрен триъгълник с ъгъл 60º е равностранен. Основна задача

Доказателство: Даден е равнобедрен ABC с ъгли α, α, γ. 1

152

Ако γ = 60º, то от 2α + γ = 180º ⇒ 2α = 120º, α = 60º. Тогава A = B = C = 60° ⇒ ABC е равностранен.

Ако α = 60º, то от 2α + γ = 180º ⇒ 2 . 60º + γ = 180º ⇒ γ = 60º. Тогава A = B = C = 60° ⇒ ABC е равностранен.

Към съдържанието

Твърдението на тази задача ще използваме в следващите уроци като теорема-признак за равностранен триъгълник.

ЗАДАЧА 2 Триъгълникът ABC е равностранен. Ако точките M и N са среди съответно на страните AC и BC докажете, че MNC е равностранен.

Доказателство: CA = CB, C = 60° (свойство на равностранния триъгълник) От M – среда на CA ⇒ CM = 1 CA ⇒ CM = CN. 2 CN 1= CB 1 CA От N – среда на CB ⇒ = 2 2 От CM = CN и C = 60° ⇒ MNC е равностранен (основна задача).

ЗАДАЧА 3 В равнобедрен ABC точките P и Q са съответно от бедрата му AC и BC и

са равноотдалечени от върха C. Да се докаже, че ако точка M е среда на AB, отсечките MQ и MP сключват равни остри ъгли с основата AB. Доказателство: 1. По условие точките P и Q са от бедрата на ABC ⇒ AC > PC и BC > QC. 2. Изваждаме почленно равенствата

AC = BC PC = QC AC − CP = BC − QC

и получаваме AP = BQ.

3. Разглеждаме AMP и BMQ

AP = BQ (от 2.) AM = MB (по условие М е средата на АВ) A = B (по условие ABC е равнобедрен) ⇒ AMP ≅ BMQ (по І признак) ⇒ AMP = BMQ като съответни ъгли в еднакви триъгълници.

ЗАДАЧИ

1 Като използвате линия и транспор тир, начертайте ABC, ако: а) AB = 5 cm, AC = 5 cm и A = 60°; б) AB = 5 cm, A = 60° и B = 60°; в) AC = 6 cm, A = 60° и C = 60°.

2 Даден е равностранен ABC. Върху страната му AB са взети точки M и N така, че AM = BN. Да се намерят ъг лите на MNC, ако правата CM дели ACN в отношение 1 : 2.

Към съдържанието

3 Даден е равностранен ABC. Върху правата AB са взети точки M и N така, че MA = AB = BN. а) Намерете ъглите на MNC. б) Ако MN = 18 cm, намерете пери метъра на ABC. 4 Даден е равнобедрен ABC. Върху бедрата CA и CB са взети съответно точки M и N така, че CM = CN. Ако AN ∩ BM = P, докажете, че ABP е равнобедрен.

153

70.

СИМЕТРАЛА НА ОТСЕЧКА. ПОСТРОЯВАНЕ НА СИМЕТРАЛА НА ДАДЕНА ОТСЕЧКА

Симетрала на отсечка Правата, която е перпендикулярна на дадена отсечка и минава през средата ѝ, се нарича симетрала на тази отсечка. Означение: s на AB; sAB sAB s е перпендикулярна на AB (s ⊥ AB); s минава през средата М на отсечката AB (AM = MB). s AB чертаем, като намерим средата M на AB (с линия с деления), през M прекараме права s ⊥ AB (с правия ъгъл на чертожен триъгълник).

ЗАДАЧА 1 Даден е равнобедрен ABC (CA = CB). Да се докаже, че медианата, Основна задача

височината и ъглополовящата към основата AB съвпадат и лежат върху симетралата на AB. Дадено: ABC (CA = CB) Да се докаже: CM ≡ CH ≡ CL ∈ sAB Доказателство: Нека CM е медиана. AM = MB (СМ – медиана) Разглеждаме AMC и BMC CA = CB A = B (по условие) ⇒ AMC ≅ BMC (І признак) ⇒ 1 = 2, т.е. CM е ъглополовяща и M ≡ L ⇒ 3 = 4 (съседни) ⇒ 3 = 4 = 90°, т.е. CM ⊥ AB и CM е и височина, M ≡ H. Доказахме, че в равнобедрения триъгълник CM ≡ CH ≡ CL. От CM ≡ CH ⇒ правата през точките C и M (H) минава през средата на AB и е перпендикулярна на AB, т.е. е sAB. Тогава CM ≡ CH ≡ CL ∈ sAB. Всяка точка от симетралата на дадена отсечка е на равни разстояния от краищата на отсечката. За дa докажем теоремата за всяка точка от sAB, е достатъчно да я докажем за произволно избрана точка X от sAB. Дадено: AB, sAB, X ∈ sAB, X – произволна точка Да се докаже: XA = XB Доказателство: Нека M е средата на AB ⇒ AM = MB. I случай: X ≡ M ⇒ X е средата на AB и XA = XB. II случай: X ≡ M От AMX ≅ BMX ⇒ XA = XB като съответни страни.

154

Към съдържанието

Забелязваме, че всяка точка X ∈ sAB е връх на равнобедрен триъгълник с основа AB, т.е. от X ∈ sAB ( X ≡ M ) ⇒ ABX е равнобедрен (XA = XB).

Всяка точка, която е на равни разстояния от краищата на дадена отсечка, лежи на симетралата на тази отсечка. Дадено: Отсечка AB, точка X, XA = XB Да се докаже: X ∈ sAB Доказателство: Ако X ∈ AB, oт XA = XB ⇒ X е средата на AB. Тогава X ∈ sAB. Ако X ∈ AB, от XA = XB ⇒ ABX е равнобедрен с основа AB. Нека M е средата на AB. Тогава XM е медиана и височина, т.е. XM ⊥ AB. От XM ⊥ AB и М – среда на АВ ⇒ XM лежи на sAB, т.е X ∈ sAB.

ЗАДАЧА 2 Да се построи симетрала на дадена отсечка. Дадено: отсечка AB Построение:

Построяваме: 1. окръжност k (A; r), r – произволно избран; 2. окръжност k1 (B; r) (същия радиус); 3. M и N като пресечни точки на k и k1; 4. правата MN ≡ sAB. Обосновка: Правата МN е симетрала на отсечката AB, защото MA = MB = r и NA = NB = r, т.е. точките M и N са на равни разстояния от краищата на отсечката AB и следователно са точки от симетралата на AB.

Построението може да се извърши само ако k ∩ k1, т.е. когато r > 1 AB. 2 С това построение решихме и следните задачи: • Да се построи средата на дадена отсечка. • Да се раздели отсечка на две равни части.

ЗАДАЧИ

1 Нa чертежа, ако s е симетрала на

отсечката RP, докажете, че RPT е равнобедрен. а)

б)

2 В равнобедрен остроъгълен триъ-

гълник са начертани симетралите на двете бедра. Докажете, че отсечките от симетралите, заключени между бедрата на триъгълника, са равни.

3 Разделете дадена отсечка: в)

Към съдържанието

г)

а) на две равни части; б) на четири равни части.

155

71.

СИМЕТРАЛА НА ОТСЕЧКА. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 В ABC симетралите на страните AB и BC се пресичат в точка O. Докажете, че точка O лежи на симетралата на страната AC. Доказателство: Tочка O ∈ sAB ⇒ OA = OB,

Т1

точка O ∈ sBC ⇒ OB = OC

Т1

⇒ OA = OC ⇒ точка O ∈ sAC .

Т2

В Задача 1 доказахме, че трите симетрали на страните на един триъгълник се пресичат в една точка O, която е на равни разстояния от върховете на триъгълника.

ЗАДАЧА 2 В ABC симетралата на страната AB пресича ъглополовящата на ABC в точка L от страната AC. Ако ACB = 75°, намерете големините на BAC и ABC. Решение:

Означаваме BAC = α, ABC = β. 1) Разглеждаме ABL. От L ∈ sAB ⇒ LA = LB ⇒ ABL е равнобедрен. Ъглите при основата АВ на ABL са равни на α. От lb – ъглополовяща ⇒ β = 2α. 2) Разглеждаме ABC. α + 2α + 75º = 180º, 3α = 180º – 75º, 3α = 105º, α = 35º, BAC = 35°, ABC = 2 . 35° = 70°

ЗАДАЧА 3 В ABC AC = 8 cm, AB = 5 cm. Ако симетралата на страната BC пресича страната AC в точка M, намерете периметъра на ABМ. Решение: M ∈ sBC ⇒ MB = MC = x, AM = AC – MC = 8 – x P ABM = AB + BM + MA = 5 + x + 8 − x = 13 P ABM = 13 cm.

ЗАДАЧА 4 На чертежа ABC е равнобедрен с C = 36° ТЕСТ

156

и sAC ∩ BC = M. Големината на MAB е: А) 36º; Б) 46º; В) 50º; Г) 72º. Решение: В ABC A + B + 36° = 180°, 2 . A = 144°, A = 72°. В ACM MA = MC ⇒ 1 = 36°. Тогава x = 36°

Отг. А)

Към съдържанието

ЗАДАЧА 5 На чертежа в ABC sAB ∩ AC = M и ABM : MBC = 2 : 3. Ако външният ъгъл при върха C е 140º, големината на BMC е: А) 40º; Б) 60º; В) 70º; Г) 80º.

ТЕСТ

Решение: BM разделя B на части 2x и 3x ⇒ B = 5x. От ABM – равнобедрен ⇒ A = 2x. I начин: Тогава 2x + 5x = 140º (свойство на външния ъгъл на ABC), 7x = 140º, x = 20º. В BMC ϕ + 3x = 140º (свойство на външния ъгъл на MBC), ϕ = 140º – 3.20º, ϕ = 80º. II начин: ϕ = 4x (външен ъгъл на ABМ), 3x + 4x = 140° (MBC) ⇒ x = 20° ⇒ ϕ = 80º. Отг. Г)

ЗАДАЧА 6 В ABC симетралата на страната BC пресича страната AB в

точка M – средата на AB. Ако AMC = 140°, намерете ъглите на ABC. Дадено: ABC, Да се намери: sBC ∩ AB = M, AM = MB, A, B, C AMC = 140° Решение: В MBC MB = MC (свойство на симетралата) ⇒ MBC е равнобедрен и B = MCB = β ⇒ 2β = 140º (външен ъгъл), β = 70º. За AMC от MA = MB по условие и MB = MC ⇒ MA = MC ⇒ AMC е равнобедрен и A = α ⇒ 2α + 140º = 180º (свойство на триъгълника), 2α = 180º – 140º, α = 20º. За ъглите на ABC получаваме: A = 20°, B = 70°, C = 20° + 70° = 90°.

ЗАДАЧИ

1 В ABC A = 35°, B = 60°. Ако си-

метралата на страната AB пресича страната AC в точка N, намерете ъглите на NBC. 2 В равнобедрен ABC (CA = CB) симетралата на страната CA пресича страната CB в точка D. Ако A = 72°, намерете големината на ADB. 3 В ABC симетралата на страната BC пресича страната AB в точка P и BPC = 70°. Ако P е средата на AB, намерете големината на ACB. Т Е С Т

4 В ABC симетралата на BC пресича страната AC в точка N и ANB = 100°. Ако ABN : NBC = 1 : 2, намерете големините на ъглите на ABC. 5 В ABC симетралата на страната AB пресича страната AC в точка D и BD е височина. Ако ABD : DBC = 3 : 2, намерете големината на ACB. 6 В ABC симетралата на страната AC пресича страната AB в точка D и CD е височина. Ако DBC = 25°, намерете големините на ъглите на ABC.

7 На чертежа в ABC sAB ∩ AC = M и MA = MC.

Ако ABM : MBC = 4 : 5, големината на BMC е: А) 70º; Б) 80º; В) 90º; Г) 100º.

Към съдържанието

157

72.

ТРЕТИ ПРИЗНАК ЗА ЕДНАКВОСТ НА ТРИЪГЪЛНИЦИ

ЗАДАЧА 1 Начертани са два триъгълника ABC и A1B1C1, като

AB = A1B1 = 5 cm, BC = B1C1 = 4 cm и AC = A1C1 = 3 cm. Измерете и сравнете: а) A и A1; б) B и B1; в) C и C1. Решение: Измерваме с транспортир: а) A = 53°, A1 = 53° ⇒ A = A1; б) B = 37°, B1 = 37° ⇒ B = B1; в) C = 90°, C1 = 90° ⇒ C = C1.

В условието на Задача 1 за VABC и VA1B1C1 са дадени три двойки съответно равни елементи: Чрез измерване забелязахме, че и останалите три двойки съответни елементи са равни: От тези 6 равенства и от определението за еднаквост на два триъгълника следва, че VABC ≅ VA1B1C1 .

AB = A1B1 BC = B1C1 CA = C1 A1 ⇓ A = A1 B = B1 C = C1

Ако разгледаме други два триъгълника MNP и M1N1P1, за които са изпълнени трите равенства: MN = M1N1, NP = N1P1, PM = P1M1, може да се провери, че следва и верността на другите три равенства: M = M1, N = N1, P = P1, т.е. MNP ≅ M1N1P1 . В сила е следната теорема:

Трети признак за еднаквост на два триъгълника Ако трите страни на един триъгълник са съответно равни на трите страни на друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви. Два равнобедрени триъгълника са еднакви по ІII признак, ако имат основа и бедро съответно равни. Два равностранни триъгълника са еднакви по І, ІІ и III признак, ако страна от единия триъгълник е равна на страна от другия триъгълник.

158

Към съдържанието

ЗАДАЧА 2 (Устно) На чертежа са начертани геометрични фигури, които имат по два

оцветени триъгълника и са с отбелязани равни страни чрез дължините им в сантиметри. Докажете, че тези триъгълници са еднакви. а)

б)

в)

Отг. а) ABC ≅ MNP (по ІІІ признак)

б) PQS ≅ PQR (по ІІІ признак)

в) ABM ≅ ABN (по ІІІ признак)

При решаване на Задача 2 б) от PQS ≅ PQR следва, че съответните ъгли са равни. Тогава от: • SPQ = RPQ ⇒ PQ е ъглополовяща на SPR; • SPQ = RPQ ⇒ QP е ъглополовяща на SQR.

ЗАДАЧА 3 В триъгълниците ABC и A1B1C1 точките М и М1 са среди съответно

на страните АВ и A1B1. Дадено: AB = A1B1, AC = A1C1 и CM = C1M1 Да се докаже: ABC ≅ A1B1C1 Доказателство: AC = A1C 1 (по условие) 1. Разглеждаме AMC и A1M1C1 CM = C 1M 1 (по условие) AM = A1M 1 1 AB = 1 A1 B1 2 2 ⇒ AMC ≅ A1M1C1 (по III признак) ⇒ A = A1.

(

2. Разглеждаме ABC и A1B1C1

ЗАДАЧИ

⇒ ABC ≅ A1B1C1 (по I признак).

1 Два равностранни триъгълника ABC и

ABC1 имат обща основа AB, а върховете им C и C1 са разположени в различни полуравнини с контур правата AB. Да се докаже, че: а) ABC ≅ ABC1; б) ACC1 ≅ BCC1. 2 Два триъгълника ABC и ABD с обща основа AB са равнобедрени. Докажете, че ADC ≅ BDC и CD е ъглополовяща на ъглите при върховете C и D.

Към съдържанието

)

AC = A1C 1 (по условие) AB = A1 B1 (по условие) A = A1 (от 1.)

Упътване: Разгледайте двата случая на чертежа. 3 В равнобедрен ABC (AC = BC) през краищата на основата AB са прекарани прави, сключващи с AB равни ъгли и пресичащи се в точка K. Докажете, че ACK ≅ BCK. 4 Върху раменете на (pOq) са взети точки A и B така, че OA = OB. Ако точка M е от вътрешността на дадения ъгъл, като MA = MB, да се докаже, че лъчът OM→ е ъглополовяща на този ъгъл.

159

73.

ПЕРПЕНДИКУЛЯР ОТ ТОЧКА ДО ПРАВА Знаем, че:

През точка, която лежи на дадена права, минава само една права, перпендикулярна на дадената права. Ако M ∈ p, то q ⊥ p през точка M, q е единствен перпендикуляр.

През точка, нележаща на дадена права, минава само една права, перпендикулярна на дадената.

Разстояние от точка до права

• Дължината на отсечката ММ1 ⊥ p е разстоянието от точката М до правата р. • Разстоянието от точката М до правата р е неотрицателно число. • Точката М1 е пета � на перпендикуляра от точката М към правата р.

Разстояние между две успоредни прави

Ако две прави са успоредни, то точките на едната права се намират на равни разстояния от другата права. Дадено: правите a || b; точките A, B, C … ∈ b; точките A1, B1, C1 … ∈ a, като AA1 ⊥ a, BB1 ⊥ a, CC1 ⊥ a, … Да се докаже: AA1 = BB1 = CC1 = … Доказателство: Ще докажем равенството AA1 = BB1. Тъй като точките A и B са произволно избрани от правата b, с това теоремата ще бъде доказана. Знаем, че ако една права е перпендикулярна на едната от две успоредни прави, тя е перпендикулярна и на другата, т.е. от AA1 ⊥ a и a || b ⇒ AA1 ⊥ b. Тогава A1AB = 90°. A1 B = BA1 Разглеждаме A1B1B и BAA1 B1 = A = 90° ⇒ A1 BB1 = BA1 A 1 = 2 ⇒ A1B1B ≅ BAA1 (по ІІ признак) ⇒ BB1 = AA1 като съответни страни в еднакви триъгълници. Чрез аналогични разсъждения правим извод, че AA1 = BB1 = CC1 = ...

}

Отсечките AA1 = BB1 = CC1 = ... имат равни дължини и са перпендикулярни на всяка от двете успоредни прави a и b.

160

Към съдържанието

Дължината h на равните отсечки AA1, BB1, CC1 е прието да се нарича разстояние между двете успоредни прави a и b.

ЗАДАЧА 1 Точките A и B са в една и съща полуравнина относно дадена права m. Основна задача

Ако A и B са на равни разстояния от правата m, докажете, че правата през точките A и B е успоредна на m. Дадено: п рава m, точки A и B ∉ m в λ, AA1 – разстояние от А до m, BB1 – разстояние от B до m, AA1 = BB1 Да се докаже: правата AB || m Доказателство: 1. От AA1 ⊥ m, BB1 ⊥ m (по определение) ⇒ AA1 || BB1. 2. Разглеждаме (AA1 || BB1) A1B ⇒ 1 = 2 (кръстни ъгли). 3. A1B1B ≅ BAA1 A1 B = BA1 1 = 2 AA1 = BB1 (по І признак) ⇒ 3 = 4 4. От (m, AB) ∩ A1B и 3 = 4 (кръстни ъгли) ⇒ AB || m.

ЗАДАЧА 2 Докажете, че върховете на триъгълник са на равни разстояния от правата, която минава през средите на две от страните му.

Дадено: ABC, M – средата на AB, N – средата на BC, права m през точките M и N, AA1 ⊥ m, BB1 ⊥ m, CC1 ⊥ m Да се докаже: AA1 = BB1 = CC1 Доказателство: (M – средата на АВ) AM = MB 1. Разглеждаме AA1M и BB1M M = M (връхни) A1 = B1 = 90° (по условие) ⇒ AA1M ≅ BB1M (по ІІ признак) ⇒ AA1 = BB1. 2. Разглеждаме CC1N и BB1N. Аналогично доказваме, че CC1N ≅ BB1N ⇒ CC1 = BB1. От 1. и 2. ⇒ AA1 = BB1 = CC1.

ЗАДАЧИ

1 Начертайте височините в даден рав

нобедрен ABC (CA = CB), ако: а) C < 90°; б) C = 90°; в) C > 90°. 2 Разстоянието между успоредните пра ви a и b е 6 cm, а разстоянието между успоредните прави b и c е 5 cm. Намерете разстоянието между правите a и c.

Към съдържанието

3 Докажете, че всеки два върха на

триъгълник са на равни разстояния от медианата, която минава през третия му връх. 4 Точките A, B, C лежат на една права. AB и BC са хипотенузи на два равнобедрени триъгълника ABM (M = 90°) и BCN (N = 90°). Ако AA1 и CC1 са разстоянията от точките A и C до правата MN, да се докаже, че AA1 + CC1 = MN.

161

74.

ПРАВОЪГЪЛЕН ТРИЪГЪЛНИК С ЪГЪЛ 30° Правоъгълен триъгълник ABC е правоъгълен (C = 90°), a е катет срещу ъгъл α при върха A, b е катет срещу ъгъл β при върха B, c е хипотенуза срещу ъгъл g = 90º. От α + β + 90º = 180º ⇒ α + β = 90º

Правоъгълен триъгълник с ъгъл 30°

α = 90º – β, β = 90º – α.

Ако в правоъгълен триъгълник един от острите ъгли е 30º, то катетът срещу този ъгъл е равен на половината от хипотенузата. Дадено: ABC (C = 90°), A = 30° Да се докаже: BC = 1 AB. 2 Доказателство: Върху лъча BC → нанасяме отсечка DC = BC. Разглеждаме ABC и ADC BC = DC C = 90° AC (обща страна) ⇒ ABC ≅ ADC (по І признак) ⇒ AB = AD и CAB = CAD = 30°. От AB = AD ⇒ BDA е равнобедрен с A = 60° ⇒ BDA е равностранен. Да означим страната на равностранния ABD с a. Тогава BD = a.

ЗАПОМНЕТЕ!

Тъй като точката C е среда на BD, получаваме BC = 1 a, 2 т.е. BC = 1 AB. 2

В ABC (C = 90°) A = 30°. От Т1 ⇒ a = 1 c, или c = 2 a. 2

ЗАДАЧА 1 (Устно) Като използвате означенията на чертежите, намерете x: а)

б)

в)

г)

Отг. а) 6; б) 4; в) 2; г) 3,5

162

Към съдържанието

ЗАДАЧА 2 Приложете Т1 за правоъгълните триъгълници на чертежа. Решение: 1. В AHC (H = 90°) ACH = 30°, АH е катет срещу ъгъл 30º, AC е хипотенуза ⇒ AH = 1 AC , AC = 2AH. 2 2. В HBC (H = 90°) HBC = 30°, CH е катет срещу ъгъл 30º,

BC е хипотенуза ⇒ CH = 1 BC , BC = 2CH. 2 3. В ABC C = 90°, защото HCB = 90° − 30° = 60°,

ABC = 30°, AC е катет срещу ъгъл 30º,

AB е хипотенуза ⇒ AC = 1 AB, AB = 2AC. 2

Ако в Т1 сменим местата на условието и заключението, получаваме отново вярно твърдение:

Ако в правоъгълен триъгълник единият катет е равен на половината от хипотенузата, то острият ъгъл срещу този катет е 30º.

Доказателство: Върху лъча BC → нанасяме отсечка DC = BC = a ⇒ BD = 2a. ABC ≅ ADC (по І признак) ⇒ AB = AD = 2a ⇒ ABD е равностранен и BAD = 60° ⇒ BAC = 30°.

ЗАДАЧА 4 (Устно) Като използвате означенията на чертежите, намерете x.

а)

б)

в)

г)

Отг. а) 30º; б) 60º; в) 30º; г) 60º

ЗАДАЧИ

1 Даден е ABC (C = 90°) с остър ъгъл

b = 30º и катети a, b и хипотенуза c. а) Ако b = 3 cm, c = ? б) Ако c = 7 cm, b = ? в) Ако b + c = 9 cm, b = ? c = ? г) Ако c – b = 5 cm, b = ? c = ?

2 На чертежа са начертани равностранни триъгълници с означени дадени отсечки. Намерете x. а) б)

Към съдържанието

163

75.

ПРАВОЪГЪЛЕН ТРИЪГЪЛНИК С ЪГЪЛ 30º. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 (Устно) На чертежите са начертани равнобедрени триъгълници с означени дадени елементи. Намерете x. а)

б)

в)

Отг. а) 7,5; б) 6; в) 5

ЗАДАЧА 2 На чертежа VABC е равностранен със страна 20 cm. ТЕСТ

Aко М е средата на AB и MN ⊥ BC, дължината на BN (в сm) е: А) 10; Б) 6; В) 5; Г) 4. Решение: = MB 1= AB 10 cm , B = 60° (по условие) 2 BN 1= MB 5 cm . В VMBN (N = 90°) BMN = 30° ⇒= 2

Отг. В)

ЗАДАЧА 3 На чертежа за VABC е дадено, че AB = 15 cm, A = 30° ТЕСТ

и B = 105°. Ако BD ⊥ AC, дължината на CD (в сm) е: А) 7,5; Б) 7; В) 5,5; Г) 5. Решение: 1 1. В VABD (D = 90°) A = 30° ⇒ BD = AB = 7,5 cm. 2 2. В VBCD (D = 90°) C = 180° - (105° + 30°) = 45° ⇒ VBCD е равнобедрен и CD = BD = 7,5 cm.

Отг. A)

ЗАДАЧА 4 На чертежа в VABC AL е ъглополовяща. Ако LP ⊥ AB, ТЕСТ

LQ ⊥ AC и LP + LQ = AL, големината на BAC e: А) 30°; Б) 40°; В) 50°; Г) 60°. Решение: 1. VALP ≅ VALQ (II признак) ⇒ ⇒ LP = LQ = x ⇒ AL = 2x 2. В VAPL (P = 90°) LP = x, AL = 2x ⇒ LAP = 30° ⇒ ⇒ BAC = 60°.

Отг. Г)

ЗАДАЧА 5 Лицето на остроъгълен ABC е 30 cm2. Ако страните AC и BC ТЕСТ

164

са съответно 12 cm и 10 cm, намерете големината на ACB. Решение: Чертаем BD ⊥ AC – височина в ABC, BD = hb. От S ABC = 1 b . hb ⇒ 30 = 1 ⋅12 . hb ⇒ hb = 5 cm. 2 2 В DBC ( D = 90°) DB = 1 BC ⇒ DCB = 30° . 2

Отг. 30°

Към съдържанието

ЗАДАЧА 6 Даден е правоъгълен ABC (B = 90°) с A = 30°. Ако BD (D ∈ AC) е

височина, CL (L ∈ AB) е ъглополовяща и BD + CL = 14 cm, намерете дължините на BD, CL и AB. Решение: 1. В LBC означаваме BL = x, тогава CL = 2x. 2. В ALC ъглите при страната AC са равни ⇒ LC = LA = 2x. 3. В ABD D = 90°, A = 30° ⇒ BD = 1 AB = 1 (2 x + x) = 3 x . 2 2 2 4. От условието BD + CL = 14 намираме 3 x + 2 x = 14, 3x + 4x = 28, 7x = 28, x = 4 . 2 3. 4 5. Тогава BD = = 6, CL = 2 . 4 = 8, 2 AB = 3x = 3 . 4 = 12, Отг. BD = 6 cm, CL = 8 cm, AB = 12 cm.

ЗАДАЧА 7 В ABC за ъглите α, β, γ е дадено, че α : β : γ = 2 : 1 : 3 и AL е ъглополовяща ТЕСТ

ЗАДАЧИ

(L ∈ BC). Отношението LC : LB е: А) 2 : 1; Б) 1 : 2; В) 1 : 3; Г) 3 : 1. Решение: 1. От α : β : γ = 2 : 1 : 3 намираме α = 60º, β = 30º, γ = 90º. 2. AL е ъглополовяща и разделя α = 60º на два ъгъла по 30°. 3. ACL е правоъгълен с ъгъл 30°. Означаваме CL = m, тогава AL = 2m. 4. ABL e равнобедрен (с ъгли при основата АВ с големина по 30°) ⇒ AL = LB = 2m. 5. От 3. и 4. ⇒ LC : LB = m : 2m = 1 : 2.

1 В правоъгълен ABC (C = 90°) с

B = 30° е прекарана ъглополовящата AL на A (L ∈ BC). а) Ако CL = 2 cm, намерете LB. б) Ако LB = 5 cm, намерете CL.

2 В ABC BD (D ∈ AC) е височина, A = 30°, B = 105°. Ако CD = 5 cm, намерете дължината на страната AB.

3 В ABC страните AB и AC са съот-

ветно 18 cm и 10 cm и ъгълът между тях е 30º. Намерете лицето на триъгълника.

Към съдържанието

Отг. Б)

4 В триъгълник със страна AB = 12 cm медианата CM образува с основата ъгъл 60º. Намерете дължината на отсечката с краища петите на перпенди кулярите, спуснати от върховете A и B към правата CM. 5 В ABC страните AC и BC са съответно 12 cm и 8 cm и ACB = 150°. Намерете лицето на ABC. 6 За ъглите на  ABC е дадено, че α : β : γ = 3 : 1 : 2. Ако височината AD = 9 cm (D ∈ BC) и CL е ъглопо ловяща (L ∈ AB), намерете дължините на отсечките AB и LB.

165

76.

МЕДИАНА КЪМ ХИПОТЕНУЗАТА В ПРАВОЪГЪЛЕН ТРИЪГЪЛНИК

ЗАДАЧА 1 Симетралите на две от страните на ABC се пресичат върху третата му страна AB в точка М. Да се определи видът на този триъгълник. Дадено: ABC, sAC ∩ sBC = M, M ∈ AB

Да се определи: видът на ABC

Решение: От M ∈ sAC ⇒ MA = MC и ACM е равнобедрен с ъгли при основата, равни на α. От M ∈ sBC ⇒ MB = MC и BCM е равнобедрен с ъгли при основата, равни на β. В ABC A + B + C = 180° ⇒ α + β + (α + β) = 180º, 2(α + β) = 180º, α + β = 90º, т.е. C = 90° ⇒ ABC е правоъгълен. Забелязваме, че от равенствата MA = MC и MB = MC ⇒ MA = MB = MC, т.е. М е средата на АВ.

Ако в триъгълник медианата към една страна е равна на половината от нея, то ъгълът срещу тази страна е прав, т.е. триъгълникът е правоъгълен. Дадено: ABC, Да се докаже: CM – медиана към AB, ACB = 90° 1 CM = AB 2 Доказателство: От CM = 1 AB и AM = MB 2 AМC е равнобедрен (MA = MC) с ъгъл при основата α; ⇒ BMC е равнобедрен (MB = MC) с ъгъл при основата β. В ABC A + B + C = 180°, α + β + (α + β) = 180º, α + β = 90º. Получихме, че ACB = 90°. ABC има C = 90° ⇒ е правоъгълен. Като се използва Т1 , Задача 1 може да се реши и така: От M ∈ sAC ⇒ MA = MC ⇒ MA = MB = MC. От M ∈ sBC ⇒ MB = MC От M – среда на AB ⇒ CM е медиана в ABC. Тогава от Т1 следва, че ABC е правоъгълен с прав ъгъл при върха C.

166

Към съдържанието

Ако в Т1 сменим местата на условието и заключението, получаваме отново вярно твърдение:

Във всеки правоъгълен триъгълник медианата към хипотенузата е равна на половината хипотенуза. Дадено: ABC (C = 90°), Да се докаже: CM = 1 AB CM – медиана 2 Доказателство: Върху продължението на CM нанасяме MC1 = CM (удвояваме медианата). 1. AMC1 ≅ BMC (по І признак) ⇒ 1 = 2. 2. 1 и 2 са кръстни ъгли за (AC1, BC) ∩ CC1 ⇒ AC1 || BC. 3. От (AC1 || BC) ∩ AC и ACB = 90° ⇒ CAC1 = 90°. 4. ACC1 ≅ CAB (по І признак) ⇒ CC1 = AB. 5. От CC1 = 2CM и CC1 = AB ⇒ 2CM = AB или CM = 1 AB . 2

ЗАДАЧА 2 В ABC (C = 90°) точка M е от хипотенузата и AM = MC. Да се докаже, че CM е медиана към хипотенузата в ABC.

Дадено: ABC (C = 90°), Да се докаже: M ∈ AB, AM = MC CM – медиана (AM = MB) Доказателство: От MC = MA (по условие) ⇒ CAM е равнобедрен. Означаваме A = ACM = α. Разглеждаме BCM CMB = 2α (външен ъгъл) MCB = 90° − α B = 90° − α (oт ABC) ⇒ BCM е равнобедрен с основа BC ⇒ MC = MB. От AM = MC и MC = MB ⇒ AM = MB ⇒ CM е медиана към хипотенузата AB.

ЗАДАЧИ

1 В ABC (C = 90°) CM е медиана.

а) Ако AB = 12,6 cm, намерете CM. б) Ако CM = 4,5 cm, намерете AB. в) Ако AB + CM = 18 cm, намерете AB. г) Ако AB – CM = 3,8 cm, намерете CM. 2 В MPQ (M = 90°) MN е медиана. а) Ако PQ = 16 cm, намерете MN; б) Ако MN = 3,8 cm, намерете PQ; в) Ако MN + PQ = 15,3 cm, намерете PQ.

Към съдържанието

г) Ако PQ – MN = 4,5 cm, намерете PQ. 3 В ABC (C = 90°) симетралата на BC пресича хипотенузата AB в точка M. Да се докаже, че CM е медиана на ABC. 4 Ако в ABC симетралата на BC пресича AB в средата M, докажете, че ACB = 90°.

167

77.

МЕДИАНА КЪМ ХИПОТЕНУЗАТА В ПРАВОЪГЪЛЕН ТРИЪГЪЛНИК. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 В ABC (C = 90°) M е средата на AB. Докажете, че: а) ако A = 30°, то CM = CB;

б) ако CM = CB, то A = 30°.

Доказателство: а) 1. В ABC CB е катет срещу ъгъл 30° ⇒ CB = 1 AB . 2 2. В ABC CM е медиана ⇒ CM = 1 AB . 2 От 1. и 2. ⇒ CM = CB. б) От CM = CB (по условие) и CM = 1 AB 2 ⇒ CB = 1 AB ⇒ A = 30°. 2

ЗАДАЧА 2 В правоъгълен ABC (C = 90°) с A = 30° CM е медианата към хипотенузата. Да се докаже, че MBC е равностранен. Доказателство:

1. В условие а) на Задача 1 доказахме, че ако A = 30°, то CM = CB. 2. От Т за медианата в правоъгълен триъгълник ⇒ = CM 1= AB MB . 2 От 1. и 2. ⇒ CM = CB = MB ⇒ MBC е равностранен.

ЗАДАЧА 3 Да се докаже, че ъгълът между медианата и височината към хипотенузата в правоъгълен триъгълник е равен на разликата от острите му ъгли.

Дадено: ABC (C = 90°), Да се докаже: CM – медиана (AM = MB), Ако α < β, CH – височина (CH ⊥ AB) x=β–α Доказателство: От MC = 1 AB ⇒ MC = MA ⇒ ACM = α. 2 От AHC с H = 90° ⇒ ACH = 90° − α = β, MCH = ACH − ACM, т.е. x = β – α. При α > β аналогично се доказва, че x = α – β. При α = β CH ≡ CM и x = 0°.

ЗАДАЧА 4 На чертежа в ABC (C = 90°) α = 25°, CM е медиана ТЕСТ

168

и CH е височина към AB. Големината на ъгъл x е: А) 25°; Б) 30°; В) 35°; Г) 40°. Решение: Прилагаме Задача 3 и намираме β = 90° – 25° = 65°, x = β – α = 65° – 25° = 40°.

Отг. Г)

Към съдържанието

ЗАДАЧА 5 На чертeжа в ABC (C = 90°) α = 55°,

AM = MB и CH ⊥ AB. Големината на ъгъл x е: А) 20°; Б) 25°; В) 30°; Г) 40°. Решение: Прилагаме Задача 3 и намираме β = 90° – 55° = 35°, x = α – β = 55° – 35° = 20°. Отг. А)

ТЕСТ

Правоъгълен триъгълник с ъгъл 15°

ЗАДАЧА 6 Докажете, че в правоъгълен триъгълник с остър ъгъл 15° височината 1 от хипотенузата. 4 Дадено: Да се докаже: ABC (C = 90°), CH = 1 AB CH – височина, 4 (AB = 4 CH) A = 15°

Основна задача

към хипотенузата е

Доказателство:

1. Нека CM е медиана, MC = 1 AB . 2 2. От C = 90° ⇒ MC = MA ⇒ ACM = 15°, CMH = 2 . 15° = 30° (външен за AMC). 3. В MHC (H = 90°) CMH = 30° ⇒ CH = 1 MC . 2 1 1 1 1 От (1.) и (3.) ⇒ CH = MC = ⋅ AB = AB, т.е. CH = 1 AB (AB = 4CH). 4 2 2 2 4

ЗАДАЧА 7 В ABC (C = 90°) A = 15° и височината към хипотенузата е CH = 12 cm. Дължината на хипотенузата AB в сантиметри е: А) 24; Б) 36; В) 48; Г) 3. Решение: Прилагаме Задача 6 ⇒ CH = 1 AB , т.е. AB = 4CH, AB = 4 . 12 = 48 cm. 4

ТЕСТ

Отг. В)

ЗАДАЧИ 1 В правоъгълен ABC (C = 90°) симет 3 В ABC за ъглите α, β, γ е дадено, че ралата на катета AC пресича AB в точка M. α : β : γ = 4 : 5 : 9. Ако CH е височина и CM е а) Ако AB = 12 cm, намерете CM. медиана, намерете големината на MCH. б) Ако CM = 5,5 cm, намерете AB. 4 Даден е правоъгълен триъгълник с 2 В ABC (C = 90°) B = 60° и M е хипотенуза c и височина към хипоте средата на AB. Докажете, че MBC е нузата hc. Ако c = 4hc, докажете, че един равностранен. от острите ъгли на триъгълника е 15°.

5 В ABC (C = 90°) CM е медиана. Т Е С Т

Ако AB = 12 cm, дължината на MC (в сm) е: А) 3; Б) 6; В) 10; Г) 12. 6 В ABC (C = 90°) CM е медиана. Ако AB + CМ = 12 cm, дължината на AB (в сm) е: А) 3; Б) 4; В) 6; Г) 8.

Към съдържанието

7 В ABC (B = 90°) BM е медиана.

Ако AC – BM = 4,5 cm, дължината на AC (в сm) е: А) 4,5; Б) 6; В) 9; Г) 10. 8 В ABC A = 35°, B = 55° и CM е медиана (M ∈ AB). Големината на AMC е: А) 110°; Б) 120°; В) 100°; Г) 90°.

169

78.

ПРИЗНАК ЗА ЕДНАКВОСТ НА ДВА ПРАВОЪГЪЛНИ ТРИЪГЪЛНИКА

ЗАДАЧА 1 Начертани са два правоъгълни триъгълника ABC (C = 90°) и A1B1C1 (C1 = 90°), като AB = A1B1 = 5 cm и AC = A1C1 = 3 cm. Измерете и сравнете: а) BC и B1C1; б) A и A1; в) B и B1 . Решение: Измерваме с линия: а) BC = 4 cm, B1C1 = 4 cm ⇒ BC = B1C1 . Измерваме с транспортир: б) A = 53°, A1 = 53° ⇒ A = A1; в) B = 37°, B1 = 37° ⇒ B = B1.

C = C1 = 90° AB = A1B1 CA = C1 A1 ⇓ BC = B1C1 A = A1 B = B1

Ако разгледаме други два триъгълника, за които е дадено, че имат катет и хипотенуза съответно равни, може да се провери, че и острите ъгли и другият катет са също съответно равни, т.е. триъгълниците са еднакви. В сила е следнaтa теорема:

Признак за еднаквост на два правоъгълни триъгълника (четвърти признак) Два правоъгълни триъгълника са еднакви, ако катет и хипотенуза от единия три ъгълник са съответно равни на катет и хипотенуза от другия триъгълник. В случаите, когато прилагаме признака за еднаквост на два правоъгълни триъгълника, ще казваме за удобство, че използваме ІV признак за еднаквост на два триъгълника.

Два правоъгълни триъгълника са еднакви: • по І признак, ако имат по два катета съответно равни; • по ІІ признак, ако имат по катет и остър ъгъл съответно равни; • по ІІ признак, ако имат по хипотенуза и остър ъгъл съответно равни; • по ІV признак, ако имат по катет и хипотенуза съответно равни.

170

Към съдържанието

ЗАДАЧА 2 Височините от върховете на два остри ъгъла в един триъгълник са равни. Да се докаже, че триъгълникът е равнобедрен. Решение: Разглеждаме три случая:

1. C < 90° Разглеждаме ABH1 и BAH2 H1 = H2 = 90° AB = AB (обща страна) AH1 = BH2 (по условие) ⇒ ABH1 ≅ BAH2 (по ІV признак) ⇒ CAB = CBA. ⇒ ABC е равнобедрен. 2. C = 90° От AC ⊥ BC ⇒ AC ≡ ha. От BC ⊥ AC ⇒ BC ≡ hb. Но ha = hb (по условие) ⇒ AC = BC ⇒ ABC е равнобедрен. 3. C > 90°. Разглеждаме ABH1 и BAH2 H1 = H2 = 90° AB = AB (обща страна) AH1 = BH2 (по условие) ⇒ ABH1 ≅ BAH2 (по ІV признак) ⇒ ABH1 = BAH2 ⇒ ABC е равнобедрен.

ЗАДАЧА 3 Да се докаже, че два равнобедрени триъгълника са еднакви,

ако имат по бедро и височина към него съответно равни. Доказателство: На чертeжа в ABC (CA = CB) и A1B1C1 (C1A1 = C1B1) H = H1 = 90°, AC = A1C1, AH = A1H1. AHC ≅ A1H1C1 (по IV признак) ⇒ C = C1 ⇒ ABC ≅ A1B1C1 (по II признак)

ЗАДАЧИ

1 На чертежите са начертани фигури

и са оцветени двойки триъгълници с означени равни елементи. Докажете, че тези триъгълници са еднакви. а) б) в) a | | b

Към съдържанието

2 В ABC е прекарана височина CH, като

H е вътрешна точка за страната AB. Да се докаже, че ако BАC =  BCH, то ABC е правоъгълен. 3 Да се докаже, че два правоъгълни триъгълника са еднакви, ако имат по катет и височина към хипотенузата съответно равни. 4 Да се докаже, че два остроъгълни триъгълника са еднакви, ако имат по две страни и височина към едната от тях съответно равни.

171

79.

ЪГЛОПОЛОВЯЩА НА ЪГЪЛ. ПОСТРОЯВАНЕ НА ЪГЛОПОЛОВЯЩА НА ДАДЕН ЪГЪЛ Знаем, че: • Ъглополовяща на MON наричаме лъча Ol →, който разделя ъгъла на два равни ъгъла. 1 = 2 • Ъглополовящата l на MON чертаем, като измерим ъгъла с транспортир и го разделим на два равни ъгъла.

Всяка точка от ъглополовящата на даден ъгъл е на равни разстояния от раменете на този ъгъл. Дадено: MON, Ol → – ъглополовяща, произволна точка X ∈ Ol →, XA ⊥ OM, XB ⊥ ON Да се докаже: XA = XB Доказателство: Разглеждаме OAX и OBX OX – обща страна A = B = 90° 1 = 2 (Ol → – ъглополовяща) ⇒ OAX ≅ OBX (по ІІ признак) ⇒ XA = XB (съответни страни в еднакви триъгълници).

ЗАДАЧА 1 В ABC ъглополовяща на ACB e CL. Ако разстоянието от точка L до

страната AC е 7 cm, намерете разстоянието от точка L до страната BC. Решение: От LM ⊥ AC, LN ⊥ BC и CL – ъглополовяща ⇒ LM = LN (по Т1 ). От LM = 7 cm ⇒ LN = 7 cm.

Всяка точка от вътрешността на даден ъгъл, която е на равни разстояния от раменете му, лежи на ъглополовящата на този ъгъл. Дадено: (Op→, Oq→), точка X – вътрешна за ъгъла, XP ⊥ Op→, XQ ⊥ Oq→, XP = XQ Да се докаже: X ∈ Ol→ Доказателство: Чертаем отсечката OХ. OPX ≅ OQX (по ІV признак) ⇒ 1 = 2 ⇒ OX лежи на ъглополовящата Ol →, т.е. X ∈ l.

172

Към съдържанието

ЗАДАЧА 2 Да се построи ъглополовящата на даден ъгъл.

Дадено: (p, q) с връх – точката O Построяваме: Построение: 1. окръжност k (O; r), r – произволно избран; 2. k ∩ Op→ = A, k ∩ Oq→ = B; 3. sAB. Обосновка: От OA = OB = r следва, че O лежи на симетралата на AB, т.е. sAB ще мине през O. Правата sAB е ъглополовяща на AOB, защото е височина и медиана в равнобедрения ABO.

ЗАДАЧА 3 В ABC ъглополовящите la и lb се пресичат в точка O.

Докажете, че точка O лежи на ъглополовящата на ACB. Доказателство: От O ∈ la ⇒ OP = OR. От O ∈ lb ⇒ OP = OQ. ⇒ OR = OQ ⇒ O ∈ lc

Т1 Т1 Т2

В Задача 3 доказахме, че трите ъглополовящи на един триъгълник се пресичат в една точка.

ЗАДАЧИ 1 Докажете, че ако ъглополовящите на 3 Ъглополовящите на ъглите при стра вътрешния и външния ъгъл при върха C на ABC пресичат правата AB в точки L и L1, то LL1C е правоъгълен.

2 В правоъгълен ABC (C = 90°) ъгло половящите на острите ъгли се пресичат в точка O. Ако OP и OQ са разстоянията от точка O до раменете на правия ъгъл, да се докаже, че триъгълниците OCP и OCQ са равнобедрени.

Т Е С Т

ната AB на ABC се пресичат в точка O и пресичат правата, която е успоредна на AB и минава през върха C, в точките M и N. Ако A : B : C = 5 : 4 : 3, определете ъглите на MON. 4 Да се докаже, че ако права l е ъглопо ловяща на даден ъгъл, то тя е симетрала на всяка отсечка, която е перпендикулярна на l и има краища върху раменете на дадения ъгъл.

5 В ABC AL е ъглополовяща. Разстоя- 6 Точка N лежи на страната AB на VABC нието от точка L до страната AC е 6 cm. Разстоянието от точка L до страната AB (в cm) е: A) 12; Б) 6; В) 4; Г) 3.

Към съдържанието

и е на разстояния, равни на 12 cm, и от страната CA, и от страната CB. Ако CN = 24 cm, големината на ACB е: А) 30°; Б) 45°; В) 60°; Г) 90°.

173

80.

ЪГЛОПОЛОВЯЩА НА ЪГЪЛ. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Даден е ABC с C = 90°, A = 30° и BL (L ∈ AC) – ъглополовяща на B. а) Докажете, че AL : LC = 2 : 1. б) Намерете дължината на AL, ако LC = 5 cm.

Решение: а) От C = 90° и A = 30° ⇒ в ABC B = 60°. От BL – ъглополовяща ⇒ 1 =  2 = 1 ⋅ 60° = 30°. 2 Означаваме CL = x. В LBC C = 90°, 2 = 30° ⇒ BL = 2x. В ABL от A = 1 (= 30°) ⇒ AL = BL = 2x. От CL = x и AL = 2 x ⇒ AL : LC = 2 : 1. б) В условие а) доказахме, че AL = 2x. По условие LC = 5 cm, т.е. x = 5 cm ⇒ AL = 2 . 5 = 10 cm.

ЗАДАЧА 2 В ABC ABC = 60° и точка N от страната AC е на разстояния, равни на 5 cm, от страните AB и BC. Намерете дължината на отсечката BN. Дадено: ABC, ABC = 60°, N ∈ AC, NP ⊥ AB, NQ ⊥ BC, NP = NQ = 5 cm Да се намери: BN Решение: От NP = NQ (= 5 cm) ⇒ BN е ъглополовяща ⇒  PBN = 1 60° = 30°. 2 PBN е правоъгълен с остър ъгъл 30° ⇒ BN = 2 . PN , BN = 10 cm.

ЗАДАЧА 3 В ABC (C = 90°) A = 30° и BL = 6 cm е ъглополовяща. ТЕСТ

Дължината на страната AC в сантиметри е: А) 6; Б) 7; В) 8; Г) 9. Решение: В ABC от A = 30° и C = 90° ⇒ B = 60°. BLC е правоъгълен с ъгъл 30° ⇒ CL = 1 BL = 3 cm. 2 ABL е равнобедрен ⇒ АL = LB = 6 cm ⇒ AC = AL + LC = 9 cm.

Отг. Г)

ЗАДАЧА 4 На чертежа в ABC AL е ъглополовяща на A и правата а ∈ C. ТЕСТ

174

Ако CD || AL и BAL = 32°, големината на DCA е: А) 58°; Б) 48°; В) 32°; Г) 64°. Решение: В ABC от AL – ъглополовяща ⇒ LAC = 32°. От (AL || CD) ∩ AC ⇒ ACD = 32° (кръстни ъгли)

Отг. В)

Към съдържанието

ЗАДАЧА 5 Ъглополовящите на външните ъгли при върховете B и C на ABC се пресичат в точка O и OQ ⊥ AB, OE ⊥ AC. Докажете, че: а) AO е ъглополовяща на BAC; б) AQ = AE; в) BC = BQ + CE; г) P ABC = AQ + AE. Доказателство: а) Нека OF ⊥ BC. Oт СО – ъглополовяща на ECF ⇒ OE = OF. Oт BО – ъглополовяща на QBF ⇒ OQ = OF. Tогава OE = OQ ⇒ AO е ъглополовяща на BAC. б) AQO ≅ AEO (по ІV признак) ⇒ AQ = AE в) 1. OCE ≅ OCF (по ІV признак) ⇒ CE = CF 2. OBQ ≅ OBF (по ІV признак) ⇒ BQ = BF От BC = BF + CF и от 1. и 2. ⇒ BC = BQ + CE. г) P ABC = AB + BC + CA = AB + BF + FC + CA. Заместваме BF = BQ (от 2.) и CF = CE (от 1.) и получаваме

P ABC = AB + BQ + AC + CE = AQ + AE ,

P ABC = AQ + AE.

ЗАДАЧА 6 На чертeжа AL и BN са ъглополовящи в ABC (C = 90°).

Ако L1 и N1 са петите на перпендикулярите от точките L и N към хипотенузата AB, намерете големината на N1CL1. Решение: 1. От AL – ъглополовяща ⇒ LC = LL1 ⇒ ⇒ L1CL е равнобедрен ⇒ L1 = C = y. 2. От BN – ъглополовяща ⇒ NC = NN1 ⇒ ⇒ N1CN е равнобедрен ⇒ N1 = C = x. 3. Тогава ANN1 = 2x и BLL1 = 2y (външни ъгли). В AN1N A = 90° − 2x, а в BL1L B = 90° − 2y. 4. За ABC A + B = 90°, 90° – 2x + 90° – 2y = 90°, x + y = 45°. 5. Тогава N1CL1 = 90° − x − y = 90° − (x + y) = 90° − 45°, N1CL1 = 45°.

ЗАДАЧИ

1 В ABC BL (L ∈ AC) е ъглополовяща

Т Е С Т

на B. Права през А, успоредна на BL, пресича продължението на страната СВ в точка D. Ако AB = 7 cm, BC = 4 cm, дължината на отсечката CD в сантиметри е: А) 7; Б) 4; В) 10; Г) 11. 2 В ABC CL и CN са съответно вътрешната и външната ъглополовящи при върха C. Ако точките L и N са от пра-

Към съдържанието

вата AB и CLN : CNL = 3 : 2, големината на ALC е: А) 144°; Б) 126°; В) 136°; Г) 142°. 3 В ABC a : b : c = 3 : 4 : 5, а периметърът му е 24 cm. Ъглополовящите AL1 и CL3 се пресичат в точка O. Разстоянието от точка O до страната BC е 2 cm. 6 cm2 е лицето на: А) АOC; Б) BOC; В) ABO; Г) ABC.

175

81.

ВИСОЧИНА, ЪГЛОПОЛОВЯЩА И МЕДИАНА В РАВНОБЕДРЕН ТРИЪГЪЛНИК Знаем, че в равнобедрен ABC (CA = CB) медианата, височината и ъглополовящата към основата AB съвпадат и лежат върху симетралата на AB.

ЗАДАЧА 1 Даден е равнобедрен ABC (AC = BC). Да се докаже, че:

а) ако AH1 и BH2 са височини, то ABH1 ≅ BАH2 и AH1 = BH2; б) ако AM1 и BM2 са медиани, то ABM1 ≅ BАM2 и AM1 = BM2; в) ако AL1 и BL2 са ъглополовящи, то ABL1 ≅ BАL2 и AL1 = BL2. Решение: Даден е ABC (AC = BC), A = B. а) Разглеждаме ABH1 и BАH2 AB – обща страна A = B (по условие) H1 = H2 = 90° ⇒ ABH1 ≅ BАH2 (по ІІ признак) ⇒ AH1 = BH2 (съответни страни). б) Разглеждаме ABM1 и BАM2 AB – обща страна A = B (по условие) 1b = BM = AM 2 1 2 ⇒ ABM1 ≅ BАM2 (по І признак) ⇒ AM1 = BM2 (съответни страни). в) Разглеждаме ABL1 и BАL2 AB – обща страна A = B (по условие) 1 1 =  2 = 2 α ⇒ ABL1 ≅ BАL2 (по ІІ признак) ⇒ AL1 = BL2 (съответни страни).

(

)

Ако при решаване на Задача 1 се разглежда равнобедрен правоъгълен или равнобедрен тъпоъгълен триъгълник, доказателството се извършва аналогично.

ЗАДАЧА 2 Даден е остроъгълен равнобедрен ABC (CA = CB) с ъгъл при върха γ.

Ако AL1 и BL2 са ъглополовящи и AL1 ∩ BL2 = L, намерете ALB. Решение: 180° − γ γ Ъглите при основата на ABC означаваме с α: α = = 90° − . 2 2 В ABL ъглите при основата AB са α . 2 γ γ − α = 180° − 90° − = 90° + , Тогава  ALB = 180° − α + α = 180  °ALB 2 2 2 2 γ  ALB = 180° − α = 90° + . 2

(

176

)

(

)

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 Докажете, че ABC е равнобедрен с връх C, ако в него: а) hc = mc;

б) hc = lc;

в) mc = lc;

г) sAC и sBC са симетрали и MN = M1N1,

Решение: а) От hc ⊥ AB ⇒ H = 90°. От hc = mc и M ≡ H ⇒ AH = HB ⇒ AHC ≅ BHC (по І признак) ⇒ AC = BC ⇒ ABC е равнобедрен. б) От hc ⊥ AB ⇒ H = 90°. От lc на C ⇒ 1 = 2 ⇒ AHC ≅ BHC (по ІI признак) ⇒ AC = BC ⇒ ABC е равнобедрен. в) От точката L спускаме перпендикуляри LP и LQ съответно към AC и BC. От ALP ≅ BLQ (по ІV признак) ⇒ A = B ⇒ ABC е равнобедрен. г) От sAC ⇒ M = 90°. От sBC ⇒ M1 = 90°. От CMN ≅ CM1N1 (по ІІ признак) 1 AC = 1 BC ⇒ AC = BC ⇒ CM = CM = 1 2 2 ⇒ ABC е равнобедрен. При решаване на условие в) триъгълниците ALC и BLC имат по две страни и ъгъл съответно равни, но няма признак, по който да твърдим, че те са еднакви. Тогава съобразяваме, че CL е ъглополовяща и точката L е равноотдалечена от раменете CA и CB на C, т.е. PL = QL.

ЗАДАЧИ

1 Даден е равнобедрен ABC (AC = BC).

Височините AH1 и BH2 към бедрата се пресичат в точка H. Да се докаже, че ABH е равнобедрен и HH1 = HH2. 2 В равнобедрения ABC с основа AB медианите AM1 и BM2 към бедрата се пресичат в точка M. Да се докаже, че ABM е равнобедрен и MM1 = MM2. 3 В равнобедрения ABC (AC = BC) ъглополовящите AL1 и BL2 към бедрата се пресичат в точка L. Докажете, че ABL е равнобедрен и LL1 = LL2.

Към съдържанието

4 Даден е равнобедреният остроъгълен

ABC с основа AB. Да се докаже, че: а) ако AH1 и BH2 са височините към бедрата, то AH1C ≅ BH2C; б) ако AM1 и BM2 са медиани към бедрата, то AM1C ≅ BM2C; в) ако AL1 и BL2 са ъглополовящи към бедрата, то AL1C ≅ BL2C.

177

82.

ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕМАТА “ЕДНАКВИ ТРИЪГЪЛНИЦИ” ЗАПОМНЕТЕ! Признаци за еднаквост на два триъгълника І признак

c = c1 От b = b1 ⇒ 1 ≅ 2 α = α1

ІІ признак

c = c1 От α = α 1 ⇒ 1 ≅ 2 β = β1

ІІІ признак

a = a1 Oт b = b1 ⇒ 1 ≅ 2 c = c1

ІV признак

γ1 =° 90° γ= = 90 От b = b1 ⇒ 1 ≅ 2 c = c1 В условието на всяка от теоремите-признаци за еднаквост на два триъгълника се изисква двата триъгълника да имат поне по една страна съответно равни. На чертежа OAB и OA1B1 имат по три ъгъла съответно равни, но не са еднакви!

Симетрала s на отсечка AB: s ⊥ AB, MA = MB

От X ∈ s ⇒ XA = XB. От XA = XB ⇒ X ∈ s.

Ъглополовяща l на AOB: 1 =  2

От X ∈ l ⇒ XA = XB. От XA = XB ⇒ X ∈ l.

Равнобедрен ABC: a=b От a = b ⇒ α = β.

От α = β ⇒ a = b.

Правоъгълен ABC: C = 90°

A = α = 30°

178

От C = 90° ⇒ m c = 1 c . 2 От m c = 1 c ⇒ C = 90°. 2 От α = 30º ⇒ a = 1 c . 2 От a = 1 c ⇒ α = 30º. 2

Към съдържанието

ЗАДАЧА 1 (Задача от практиката) Измерете разстоянието от точка A до точка B,

ако между тях има препятствие. Решение: Избираме точка O, от която може да се отиде по права линия до точките A и B. Върху продълженията на AO и BO отмерваме OM = OA и ON = OB. От OAB ≅OMN (по І признак) ⇒ MN = AB. Така получихме, че търсеното разстояние е дължината на отсечката MN, която можем да измерим.

ЗАДАЧА 2 Даден е равностранният ABC. Ако точките M, N и P са съответно върху страните AB, BC, CA и MNP е равностранен, да се докаже, че AM = BN = CP. Доказателство: 1. ABC е равностранен ⇒ A = B = C = 60°. MNP е равностранен ⇒ MN = MP = NP. 2. 1, 2 = 60°, 3 образуват изправен ъгъл. ⇒ 1 = 180° − (2 + 3) = 180° − 60° − 3 = 120° − 3 3. От AMP за 4 получаваме 4 = 180° − (3 + A) = 180° − 3 − 60° = 120° − 3. От 2. и 3. ⇒ 1 = 4. MP = MN A = B = 60°  4. Разглеждаме AMP и BNM  4 = 1 ⇒ AMP ≅ BNM (по ІІ признак) ⇒ AM = BN като съответни страни. Доказахме, че 1 ≅ 2, откъдето ⇒ AM = BN. Аналогично доказваме, че 2 ≅ 3, откъдето ⇒ BN = CP. От последните две равенства ⇒ AM = BN = CP.

1 Да се докаже, че два триъгълника са

ЗАДАЧИ

еднакви, ако имат по страна, прилежащ към нея ъгъл и ъглополовяща на същия ъгъл съответно равни. 2 Докажете, че средите на страните на равнобедрен триъгълник са върхове

на друг равнобедрен триъгълник. 3 Нека AD е ъглополовяща на равнобедрен ABC с основа AB и ъгъл при върха C, равен на 36º. Докажете, че триъгълниците BDA и ADC са равнобедрени.

4 В  ABC BC = m, AB = 2 m и

Т Е С Т

ната на BQC е: А) 30º; Б) 42º; В) 60º; Г) 84º. ABC = 60°. Големината на BAC е: А) 30º; Б) 45º; В) 60º; Г) 90º. 6 В ABC A = 50°, B = 60°. Ъглополовящите на външните ъгли при 5 Точка Q е от страната AC на ABC и върховете A и B се пресичат в точка O. ACB = 54°. Ако точка Q е на равни Големината на ACO е: разстояния от краищата на отсечката AB и от раменете на ABC, големи- А) 30º; Б) 35º; В) 40º; Г) 70º.

Към съдържанието

179

ОБЩИ ЗАДАЧИ ВЪРХУ ТЕМАТА “ЕДНАКВИ ТРИЪГЪЛНИЦИ” 1. Външния ъгъл при върха С на ABC е 112°. Ако симетралата на страната AB пресича страната AC в точка Q и отсечката BQ е перпендикулярна на AC, намерете големината на ABC .

симетралите на страните AD и CD се пресичат в точка О, намерете лицето на AOC.

2. В ABC симетралата на страната ВС пресича страната АС в точка D и BD ⊥ AC . Ако DBC = 3. ABD , намерете ъглите на ABC .

а) Ако CD = 18 cm, намерете дължината на ъглополовящата АL;

3. В ABC a : b : γ = 2 : 10 : 3 и АС = 12 cm. Симетралите на страните АB и BC пресичат страната АС съответно в точките М и N. Намерете: а) големината на MBN ; б) периметъра на BMN . 4. В ABC a : b : γ = 3 : 5 : 12 и AB = 32 cm. Симетралите на страните АC и BС пресичат страната АB съответно в точките М и N. Намерете: а) големината на MCN ;

б) Ако АC = 12 cm, намерете дължината на отсечката BD. 10. В остроъгълния ABC ABC = 54 º и височините АА1 и СС1 се пресичат в точка H. Ако M е среда на ВH, намерете големината на A1C1M. 11. В остроъгълния ABC ACB = 62 º и височините АА1 и BB1 се пресичат в точка H. Ако M е среда на CH, намерете големината на A1B1M. 12. ABC е правоъгълен с хипотенуза АВ = 20 сm и ABC = 75 . Намерете:

б) периметъра на CMN .

а) разстоянието от точка B до медианата СМ;

5. В ABC CAB = 124 º. Симетралите на страните AC и AB пресичат страната BC съответно в точките M и N. Намерете големината на MAN .

б) лицето на AMC .

6. В ABC a : b : γ = 7 : 2 : 3. Симетралите на страните АС и АВ пресичат страната BС съответно в точките М и N. Ако лицето на AMN е равно на 12 cm2, намерете лицето на ANB . 7. В равнобедрения ABC ACB = 30 и симетралата на бедрото AС пресича продължението на основата АВ в точка М. На продължението на МС е взета точка N така, че СN = BМ (С е между М и N). а) Намерете големината на MAN ; б) Ако AN = 8 сm, намерете лицето на AMC. 8. В четириъгълника АВСD BC = 16 cm, АВ = АD и A : B : C : D = 6 : 7 : 6 : 5. Ако

180

9. За ъглите α, β и γ на ABC е известно, че α : β : γ = 2 : 1 : 3. АL e ъглополовяща, а CD е височина.

13. За ABC е дадено, че АВ = 24 сm и a : b : γ = 5 : 1 : 6. Намерете: а) разстоянието от точка А до медианата СМ; б) лицето на ABC . 14. В ABC ъглополовящата BL ( L ∈ AC ) пресича височината CD ( D ∈ AB ) в точка М и BL = CD . Права през точка М, успоредна на АВ, пресича страната BС в точка Р. Ако BP : PC = 1: 2 и периметърът на ABC е 36 cm, намерете дължината на страната BС. 15. За ABC е известно, че АВ + ВС = 36 cm и CAB : ABC : BCA = 1 : 2 : 3. Точката М е среда на страната АС. През точка А е построена права p BM , а през точка С – права q ⊥ BM . Правите p и q се пресичат в точка R. Намерете дължината на отсечката BR и големината на MRB .

Към съдържанието

83.

ТЕСТ № 1 ВЪРХУ ТЕМАТА “ЕДНАКВИ ТРИЪГЪЛНИЦИ” 1. За триъгълниците на чертежа е вярно, че: N C А) BC = NM; P Б) MN = AB; 7 43° В) AC = MP; 4 Г) NP = CB. 7 A B M 2. Ако АВС ≅ MBN, BAC = 32° и АСВ = 78°, големината на ъгъл х е: M А) 128°; C Б) 74°; O x 78° В) 110°; Г) 134°. N A

3. В остроъгълния АВС AВC = 54° и височините АА1 и СС1 се пресичат в точка Н. Ако М е средата на ВН, A1МC1 е: C А) 54°; A Б) 108°; H В) 120°; M Г) 126°. 1

sBC

sAC

6. В АВС AВC = 60°, ВС = а и АВ = с. Ако ъглополовящата BL (L ∈ AC) на AВC е 12 cm, лицето на АВС се дава с формулата:

В бланката за отговори са написани номерата на твърденията. Срещу всеки номер запишете „Да“, ако твърдението е вярно, или „Не“, ако твърдението не е вярно.

5. В АВС симетралата на страната ВС пресича страната АС в точка D и BD ⊥ AC. Ако DBC = 3.ABD, C ъглите на АВС са: А) 75°, 60°, 45°; s Б) 60°, 70°, 50°; D В) 45°, 45°, 90°; Г) 75°, 15°, 90°. B A

Към съдържанието

4. За ъглите α, β и γ на АВС е известно, че α : β : γ = 2 : 1 : 3. AL e ъглополовяща, а CD e височина. Ако LA = 16 cm, дължината на височината CD в сантиметри е: C А) 9; Б) 12; L В) 16; Г) 8. B A

А) 6ac; Б) 3ас; В) 6(а + с); Г) 3(а + с). 7. Триъгълникът АВС е правоъгълен с прав ъгъл при върха С и ВАС = 60°. Ако АВ и ВС имат дължини съответно 4а и 2b, не е вярно, че: А) РАВС = 6а + 2b; Б) АС = 2а; В) SАВС = 2аb; Г) b < a. 8. За АВС е дадено, че α : β : γ = 5 : 1 : 6 и АВ = 16 cm. Намерете: а) разстоянието от точка А до медианата СМ в сантиметри; б) лицето на АВС в квадратни сантиметри. 9. В АВС АСВ > 90°. Симетралите на страните АС и ВС се пресичат в точка Р и пресичат страната АВ в точките M и N.

№

Твърдение

Вярно ли е твърдението?

(1)

CP е ъглополовяща на MCN

ДА/НЕ

(2)

MPN + ACB = 180°

ДА/НЕ

(3)

AB = РMNС

ДА/НЕ

10. В АВС АВС = 120°, а АА1 (А1 ∈ права ВС) и СС1 (С1 ∈ права АВ) са височини. Ако РАВС = 42 cm, намерете периметъра на А1С1В в сантиметри.

181

ТЕСТ № 2 ВЪРХУ ТЕМАТА “ЕДНАКВИ ТРИЪГЪЛНИЦИ” 1. За триъгълниците на чертежа е вярно, че: А) A = N; Б) C = Q; В) B = Q; Г) M = B. 2. Ако АВС ≅ АMN, то големината на ъгъл х е: M А) 112°; C Б) 108°; O В) 88°; 92° A B Г) 68°. x

3. В остроъгълния АВС височините АА1 и ВВ1 се пресичат в точка Н и М е среда на СН. Ако А1СВ1 + А1МВ1 = 135°, големината на А1НВ1 е: C А) 115°; M B A Б) 120°; H В) 90°; A B Г) 135°. 4. За ъглите α, β и γ на АВС е известно, че α : β : γ = 1 : 2 : 3. ВL e ъглополовяща, а CD e височина. Ако CD = 12 cm, дължината на ъглополовящата BL в сантиметри е: А) 12; Б) 18; В) 16; Г) 24.

7. Триъгълникът АВС е правоъгълен с прав ъгъл при върха С и AВC = 75°. Ако медианата СМ има дължина 2а, не е вярно, че: А) АВ = 4a; Б) SАВС = 2a2; В) ВС = 2а; Г) SМАС = a2. 8. В АВС AB = 10 cm, BC = 6 cm и BL (L ∈ AC) e ъглополовяща на АВС. Лицето на ВСL = 9 cm2. a) Намерете лицето на АВС в квадратни сантиметри. б) Ако ВМ (М ∈ АС) е медиана, намерете лицето на BML в квадратни сантиметри. 9. В АВС α : β : γ = 8 : 1 : 3. Симетралите на страните АС и АВ пресичат страната ВС съответно в точките M и N. C

5. Външният ъгъл при върха С на АВС е 122°. Ако симетралата на страната АВ пресича АС в точка Q и BQ е перпендикулярна на АС, големината на АВС в градуси е: А) 58°; Б) 88°; В) 62°; Г) 77°. 6. В АВС АСВ = 60°, СВ = а и СА = b. Ако ъглополовящата CL на АСВ е 8 cm, лицето на АВС се дава с формулата: А) 2аb; ( a + b) Б) ; 2 В) 2(а + b);

M N

sAC A

sAB

В бланката за отговори са написани номерата на твърденията. Срещу всеки номер запишете „Да“, ако твърдението е вярно, или „Не“, ако твърдението не е вярно. № (1)

Твърдение

Вярно ли е твърдението?

РAMN = BC

ДА/НЕ

(2) MAN:ANM:NMA = =1:2:3

ДА/НЕ

(3)

ДА/НЕ

SAMС = 2. SANB

10. Даден е остроъгълен АВС. Точка М (М ∈ ВС) е на равни разстояния MN и MP съответно от страните АВ и АС. Ако PMN = 120° и АМ = 12 cm, намерете разстоянието от точка Р до страната АВ в сантиметри.

Г) 4 (а + b).

182

Към съдържанието

ТЕМА 5 НЕРАВЕНСТВА

(Урок № 84 – Урок № 99)

В ТАЗИ ТЕМА СЕ ИЗУЧАВАТ: • числови неравенства, свойства; • линейни неравенства с едно неизвестно; • неравенства, свеждащи се до линейни; • неравенства в триъгълника. УЧЕНИЦИТЕ СЕ НАУЧАВАТ: • да решават линейни неравенства; • да представят решение на линейно неравенство с интервал и графика; • да прилагат неравенствата между ъглите и страните на триъгълник; • да прилагат неравенство на триъгълника.

Към съдържанието

84.

ЧИСЛОВИ НЕРАВЕНСТВА. ВЪВЕДЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Изобразете върху числова ос и сравнете числата: а) 2 и 4 ; 2 Решение:

б) 7 и 1;

в) −2 и 3;

г) −5 и −2.

а) 2 4= = (2 2) , защото образите на двете числа съвпадат; 2 б) 7 > 1, защото образът на числото 7 е надясно от образа на числото 1; в) −2 < 3, защото образът на числото −2 е наляво от образа на числото 3; г) −2 > −5, защото образът на числото −2 е надясно от образа на числото −5. Забелязваме, че всяка двойка числа, дадени в Задача 1, се свързват със знаците „=”, или „<”, или „>”. Всеки две числа могат да се свържат с един от тези знаци. 2 = 4 е числово равенство. 7 > 1; −2 < 3; −2 > −5 са числови неравенства. 2 Едно числово неравенство може да бъде вярно: 7 > 1; −2 < 3; 5 > −5; невярно: 7 < 1; −2 > 3; 5 < −5. Неравенството 7 > 3 има лява страна 7 и дясна страна 3. Неравенствата

7 > 1 и 5 > −5 са еднопосочни: a > b, c > d ; 7 > 1 и −2 < 3 са разнопосочни: a > b, c < d .

ЗАДАЧА 2 Като използвате чертежа на Задача 1, сравнете с числото 0 числата −5; −2; 2 и 7. Решение: −5 < 0

−2 < 0

2 > 0

7>0

Отрицателните числа −5; −2; ... са по-малки от нула.

Положителните числа са по-големи от нула.

2; 7; ...

Записът а < 0 oзначава, че числото а е отрицателно.

Записът а > 0 означава, че числото а е положително.

За рационалните числа а и b са в сила зависимостите: • Ако а = b, то a − b = 0 и обратно, ако a − b = 0, то а = b. Примери: 6 = 6 ⇒ 6 − 6 = 0; 6 − 6 = 0 ⇒ 6 = 6. • Ако а > b, то a − b > 0 и обратно, ако a − b > 0, то а > b. Примери: 5 > 2 ⇒ 5 − 2 > 0; 5 − 2 > 0 ⇒ 5 > 2. • Ако а < b, то a − b < 0 и обратно, ако a − b < 0, то а < b. Примери: 2 < 7 ⇒ 2 − 7 < 0; 2 − 7 < 0 ⇒ 2 < 7.

184

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 Сравнете числото а с числото 0, ако 3a > 2a . Решение: Дадено е неравенството 3a > 2a . Образуваме разликата 3a − 2a > 0 ⇒ a > 0 . Неравенствата а > b и а < b се наричат строги неравенства; a ≥ b и a ≤ b се наричат нестроги неравенства. Записът: a≤b a≥b a≤0 a≥0

Означава: а b или а = b а < 0 или а = 0 а > 0 или а = 0

Четем: а е по-малко или равно на b а е по-голямо или равно на b а е неположително число а е неотрицателно число

ЗАДАЧА 4 Намерете:

а) целите положителни числа а, за които е вярно неравенството а < 6; б) целите отрицателни числа b, за които е вярно неравенството b ≥ −4. Решение: а) Целите положителни числа, по-малки от 6, са а = 1; 2; 3; 4; 5. б) Целите отрицателни числа, по-големи или равни на −4, са b = −4; −3; −2; −1. Неравенствата: • а < b и b < c записваме a < b < c • a ≤ b и b < c записваме a ≤ b < c и ги наричаме двойни неравенства. • a ≤ b и b ≤ c записваме a ≤ b ≤ c Ако a < b < c казваме, че числото b е между числата а и с.

ЗАДАЧА 5 Намерете целите числа х, за които: а) 1 < x < 7 ; б) −5 < x ≤ −2 ; в) −3 ≤ x ≤ 2 . Решение: а) Целите числа х, за които 1 < x < 7 , са х = 2; 3; 4; 5; 6. б) Целите числа х, за които −5 < x ≤ −2 , са х = −4; −3; −2. в) Целите числа х, за които −3 ≤ x ≤ 2 , са х = −3; −2; −1; 0; 1; 2.

ЗАДАЧИ

1 2

Дадени са числата: а) −2 и 5; б) −7 и −1; в) −1 и −10; г) 0,5 и 0,6. Свържете числата с един от знаците „>” или „<”, така че да се получи вярно числово неравенство. Запишете с числово неравенство твърдението: а) Числото а е по-голямо от 5. б) Числото b е по-малко от −7. в) Числото с е положително. г) Числото d е отрицателно.

Към съдържанието

3 4 5

д) Числото х е между числата −2 и 8. Сравнете числата: а) 6 и −1; б) −1 и 8; в) 0 и 5; г) −5 и 0. Намерете: а) целите положителни числа а, за които е вярно неравенството а < 5; б) целите отрицателни числа b, за които е вярно неравенството b ≥ −5 . Кои са целите числа, за които: а) −2 < x < 6 ; б) − 4 < x ≤ 4 ; в) − 6 ≤ x < −1 ; г) −2 ≤ x ≤ 0 .

185

85.

ЧИСЛОВИ НЕРАВЕНСТВА. СВОЙСТВА

Израз от вида a > b (a < b), където а и b са числа, се нарича числово неравенство.

Свойства на числовите неравенства За произволни рационални числа a, b, c, d са верни свойствата. Примери: Свойства: 1. свойство

Ако −2 < 7, то 7 > −2.

• Ако а < b, то b > а.

2. свойство

Ако −2 < 5 и 5 < 7, то −2 < 7.

• Ако а < b и b < c, то а < с.

3. свойство

2<5 + 3< 4 5<9

• Ако

2 > −3 + −1 > −2 1 > −5

то

a>b ad c<d a + c > b +. d a+c < b+d

Еднопосочни неравенства могат да се събират, като събираме поотделно левите и десните им страни и между тези сборове поставим същия знак. Казваме, че еднопосочните неравенства събираме почленно. Две неравенства не могат да се изваждат!

Числовите неравенства а < b и c < d се наричат еквивалентни, ако от първото неравенство следва второто и от второто неравенство следва първото. Записваме а < b ⇔ c < d. 4. свойство

а<b ⇔ а+c<b+c а<b ⇔ a−c<b−c

Ако към двете страни на едно вярно числово неравенство прибавим (или извадим) едно и също число, полученото неравенство е еквивалентно на даденото. Приложение на 4. свойство. Това свойство ни дава възможност при числовите неравенства да прехвърляме членове от едната им страна в другата с обратен знак. −2 > −5 | +5 3 > 1 | −1 5 < 7 | −7 Примери: − 2 + 5 > −5 + 5 3 −1 > 1 −1 5−7 < 7−7 −2 + 5 > 0 3 −1 > 0 5−7 < 0

ЗАДАЧА 1 Прехвърлете числото 5 в лявата страна на дадените неравенства: а) 7 > 5; Решение: 7 > 5 а) 7−5 > 0

186

б) 7 + 1 > 5; б)

7 +1 > 5 7 +1− 5 > 0

в) 7 + 5 > 5 + 2. в)

7+5 > 5+ 2 7+5−5 > 2 Към съдържанието

5. свойство

Нека c > 0 a < b ⇔ a .c < b .c , a<b a<b ⇔ c c

Нека c < 0 a b .c , a b c c

Ако двете страни на едно вярно числово неравенство умножим (или разделим) с числото: • с > 0 и запазим посоката на неравенството, получаваме еквивалентно неравенство; • с < 0 и сменим посоката на неравенството, получаваме еквивалентно неравенство. Приложение на 5. свойство: Това свойство ни дава възможност при числовите неравенства да умножаваме (или да делим) двете страни на неравенството с едно и също число, различно от нула.

ЗАДАЧА 2 Приложете свойствата: а) ; Решение: а) −1 > −3 |. 2 −1. 2 > −3 . 2 −2 > −6

б)

;

5 > 3 | .(−1) 5 .(−1) < 3 .(−1) −5 < −3

в) −24 < −8 | : (−8); г) −12 > −18 | : (−6). в) −24 < −8 |: (−8) г) −12 > −18 |: (− 6) 3 >1 2<3

ЗАДАЧА 3 Като използвате свойствата на числовите неравенства, от първото неравенство получете второто:

а) a > 5 → a + 2 > 7 ; Решение: a > 5 | +2 а) a + 2 > 5+ 2 a+2>7

б) −a < 1 → a > − 1 ; 2 2

в) a < 2 → 2a − 3 < 1 .

б) −a < 1 | .(−1) a > −1 |: 2 a >−1 2 2

в)

a < 2 | .2 2a < 4 | −3 2a − 3 < 4 − 3 2a − 3 < 1

ЗАДАЧА 4 Като използвате свойствата на числовите неравенства, обосновете твърдението:

ЗАДАЧИ

а) ако 1 < a , то −15 < a ; 3 Решение: а) От −15 < 1 и 1 < a ⇒ −15 < a 3 3 1 Запишете във вида a > 0 или a < 0 неравенствата: а) 3 − 5 < 4 ; б) 7 − 1 > 3 − 2 . 2 Съкратете неравенствата: а) 7 < 21 ; б) 48 > 24 ; в) 36 > 9 . 3 Приложете свойствата: а) 7 < 20 | . 3 ; б) 7 < 20 | . 3(-3) ; в) -8 < 12 |.(-1); г) -8 < 12 | - (-1).

Към съдържанието

б) ако 5a < −1 , то 5a < 14 . б) От 5a < −1 и −1 < 14 ⇒ 5a < 14

Докажете, че: 4 Ако aa>>33,→ то22aa>>22 . → 33 5 Aкo aa<<−−22,→то →−−22aa>>44 . 33 33

6 Ако 22aa<<11,→ то22aa++77<<88 . → 77 77 77 77 2 7 Ако < a , то −1 < a . 7 8 Ако 8a < −5 , то 8a < 5 .

187

86.

ЛИНЕЙНО НЕРАВЕНСТВО С ЕДНО НЕИЗВЕСТНО

ЗАДАЧА 1 За кои стойности на х е вярно неравенството: а) x > 3 ; б) x < 2 ? Решение: а) x > 3, x = ? х може да бъде всяко число, което е по-голямо от 3. б) x < 2, x = ? х може да бъде всяко число, което е по-малко от 2. Неравенства от вида x > 3, x < 2, където х е неизвестно, се наричат неравенства с едно неизвестно. Забелязваме, че: • в неравенството x > 3 числата 5; 7; 8; ... го превръщат във вярно числово неравенство; • в неравенството x < 2 числата 1; 0; −2; ... го превръщат във вярно числово неравенство, т.е. можем да намерим безброй много стойности на х, за които неравенства от вида x > 3 , x < 2 са верни.

Решения на неравенство с едно неизвестно са всички числа, които, поставени на мястото на неизвестното, превръщат неравенството във вярно числово неравенство.

Пример: 2 x − 7 > 0 за ; за и т.н. са верни числови неравенства. ⇒ x = 4 , x = 5 , ... са решения на даденото неравенство. Но за е невярно числово неравенство. ⇒ x = 2 не е решение на даденото неравенство.

ЗАДАЧА 2 Покажете, че числото 4 е решение на неравенството: а) 2х + 5 > 0; Решение: а) 2х + 5 > 0 2.4 + 5 > 0 13 > 0 да

б) 3х – 1 > 2х;

в) 5 – х < 7.

б) 3х – 1 > 2х 3.4 – 1 > 2.4 11 > 8 да

в) 5 – х < 7 5 – 4 < 7 1 < 7 да

ЗАДАЧА 3 Покажете, че числото –3 не е решение на неравенството: а) 4х + 1 > 8; Решение:

б) 10 – х < 4х;

в) 5х < 3х – 7.

а) 4х + 1 > 8 4.(–3) + 1 > 8 –11 > 8 не

б) 10 – х < 4х 10 – (–3) < 4.(–3) 13 < –12 не

в) 5х < 3х – 7 5.(–3) < 3.(–3) – 7 –15 < –16 не

ЗАДАЧА 4 Намерете най-малкото цяло решение на неравенството: а) х ≥ –6;

188

б) х > –6;

в) х ≥ –2,5. Отг. а) х = –6; б) х = –5;

в) х = –2.

Към съдържанието

ЗАДАЧА 5 Намерете най-голямото цяло решение на неравенството: а) х < –7;

б) х ≤ –7;

в) х ≤ –3,2. Отг. а) х = –8; б) х = –7; в) х = –4.

Да решим едно неравенство означава да намерим всичките му решения или да установим, че няма решение. Пример: Н еравенството x > 5 има за решения всички числа, по-големи от числото 5 (без числото 5).

ЗАДАЧА 6 Решете неравенствата: а) 2 x + 5 < 0 ; Решение: а) 2 x + 5 < 0 2 x < −5 x < −2, 5

б) −2 x + 7 > 0 ;

в) − 4 x < 0 .

б) −2 x + 7 > 0 −2 x > −7 | .(−1) 2x < 7 x < 3, 5

в) − 4 x < 0 | .(−1) 4x > 0 x>0

Неравенствата, които решихме в Задача 6, са от вида ax + b < 0 , ax + b > 0 . Например за: ax + b < 0 при = a 2= , b 5 получаваме 2 x + 5 < 0 ; ax + b < 0 при a = − 4 , b = 0 получаваме − 4 x < 0 ; ax + b > 0 при a = −2 , b = 7 получаваме −2 x + 7 > 0 .

Неравенства от вида ax + b < 0, ax + b > 0, където х е неизвестно число, а и b са числа, като а ≠ 0, се наричат неравенства от първа степен с едно неизвестно.

Неравенства от вида ax + b < 0, ax + b > 0, където х е неизвестно число, а и b са произволни числа, се наричат линейни неравенства с едно неизвестно.

Неравенства от вида ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0, където х е неизвестно число, а и b са произволни числа, се наричат нестроги линейни неравенства с едно неизвестно.

ЗАДАЧИ

1 Покажете, че числото 5 е решение

на неравенството: а) 2х – 7 > 0; б) 10 – 3х < 0. 2 Покажете, че числото 7 не е решение на неравенството: а) 2х – 5 < 0; б) 5 – х > 0. 3 Намерете най-малкото цяло реше-

Към съдържанието

ние на неравенството: а) х > 4; б) х ≥ 4; в) х > – 4; г) х ≥ – 4. 4 Намерете най-голямото цяло решение на неравенството: а) х < 3; б) х ≤ 3; в) х < – 3; г) х ≤ – 3.

189

87.

ЕКВИВАЛЕНТНИ НЕРАВЕНСТВА Както при уравненията, така и при неравенствата употребяваме понятията лява и дясна страна на неравенството, членове, член, който съдържа неизвестно със съответен коефициент, свободни членове.

Еквивалентни (равносилни) неравенства (⇔). Две неравенства с едно неизвестно са еквивалентни, ако имат едни и същи решения или и двете нямат решение. Примери: Неравенствата x > 5 и 2 x > 10 са еквивалентни, т.е. x > 5 ⇔ 2 x > 10 . Неравенствата |x| < 0 и |x| < –3 са еквивалентни, защото и двете нямат решения.

Теореми за еквивалентност на неравенства

Всеки член на неравенството може да се пренесе (прехвърли) от едната страна на неравенството в другата с обратен (противоположен) знак – получава се неравенство, еквивалентно на даденото. Пример: 2 x − 7 > 0 ⇔ 2 x > 7 .

Двете страни на неравенството могат да се умножат или разделят с едно и също число c ≠ 0, като: • ако c > 0 , получава се неравенство, еквивалентно на даденото; •а ко c < 0 , след смяна на посоката му се получава неравенство, което е еквивалентно на даденото. − 4 x > 3 | .(−1) < 0 Примери: 4 x > 3 | . 2 > 0 4 x < −3 ⇔ − 4 x > 3 8x > 6 ⇔ 4 x > 3 В едно неравенство всеки израз може да се замени с тъждествено равен на него израз. Получава се неравенство, еквивалентно на даденото. Пример: 2( x + 1) > x ⇔ 2 x + 2 > x . Tеоремите за еквивалентност на неравенства следват от свойствата за еквивалентност на числовите неравенства.

ЗАДАЧА 1 Докажете, че неравенствата 2 x − 1 < 3 и x( x + 2) − x 2 > 4( x − 1) са еквивалентни. Решение: 2 x −1 < 3 Т1 2 x < 3 +1 Т3 2 x < 4 |: 2 ( > 0) Т2 x<2

190

x( x + 2) − x 2 > 4( x −1) Т3 x2 + 2 x − x2 > 4 x − 4 Т1 2x − 4x > − 4 Т3 −2 x > − 4 | .( −1) (< 0 !) Т2 2 x < 4 |: 2 Т2 x<2 Към съдържанието

Решенията и на двете неравенства са x < 2 , т.е. са всички числа, по-малки от 2 (без числото 2). Следва, че двете дадени неравенства са еквивалентни. Решаване на линейни неравенства при а ≠ 0: • При a > 0 решенията на: ax + b > 0 са всички числа x > − b , a b са всички числа x<− . ax + b < 0 a • При a < 0 за удобство двете страни се умножават с (−1), сменя се посоката и се получава неравенство с коефициент пред х, който е положително число.

ЗАДАЧА 2 Решете неравенствата:

а) 4 x + 7 < 2 x − 3 ; б) 2 x − 9 < 4 x + 3 и изобразете решенията им върху числова ос. Решение: а) 4 x + 7 < 2 x − 3 б) 2 x − 9 < 4 x + 3 2x − 4x < 3 + 9 4 x − 2 x < −3 − 7 −2 x < 12 | .(−1) 2 x < −10 2 x > −12 x < −5 x > −6

Решенията на неравенството x < −5 са всички числа, по-малки от −5, образите на които върху числовата ос са „наляво” от образа на числото −5.

Решенията на неравенството x > − 6 са всички числа, по-големи от −6, образите на които върху числовата ос са „надясно” от образа на числото −6.

ЗАДАЧА 3 Решете неравенствата:

а) ( x + 2)3 ≥ x 2 ( x + 6) − 4 ; б) ( x + 2)( x 2 − 2 x + 4) ≤ x( x 2 − 1) + 10 и изобразете решенията им върху числовата ос. Решение:( x + 2)3 ≥ x 2 ( x + 6) − 4 ( x + 2 ) 3 ≥ x 2 ( x + 6) − 4 а) 3 б) ( x + 2)( x 2 − 2 x + 4) ≤ x( x 2 − 1) + 10 x3 + 6 x22 + 12 x + 8 ≥ x33 + 6 x22 − 4 x + 6 x + 12 x12 + 8x ≥≥ −x 4 + x3 + 8 ≤ x3 − x + 10 − 86 x − 4 12 4−8 x ≤ 10 − 8 12xx ≥≥ −−12 12 xx ≥≥ −−12 x≤2 1 x ≥ −1 Решенията на неравенството x ≥ −1 са Решенията на неравенството x ≤ 2 са всички числа, по-големи или равни на −1. всички числа, по-малки или равни на 2.

ЗАДАЧИ

Еквивалентни ли са неравенствата: 1 2 x > 10 и x > 5 ; 2 −3x < 15 и x < −5 ; 3 x + 9 > 3 и x > − 6 ; 4 3x + 7 > 2 x − 3 и x > −10 ; 5 −2 x + 4 < 5 − 3x и x < 1 ?

Към съдържанието

Решете неравенствата и изобразете решенията им върху числовата ос: 6 5 x − 3 > 2(2 x − 3) ; 7 ( x + 3)2 ≤ x( x − 3) ; 8 2(2 x − 5) < 5( x − 2) ; 9 3(2 x − 7) > 2(4 x − 7, 5) .

191

88.

ЛИНЕЙНО НЕРАВЕНСТВО. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Решете неравенството ( x + 2)2 > x( x + 6) . Решение:

( x + 2) 2 > x( x + 6) x2 + 4 x + 4 > x2 + 6 x

x + 4x − x − 6x > − 4 −2 x > − 4 | .(−1) 2x < 4 x<2

ЗАДАЧА 2 Решете неравенствата:

а) (2 x + 3) 2 − 3 x( x + 4) − 9 > 0 ; Решение: (2 x + 3) 2 − 3 x( x + 4) − 9 > 0 а) 4 x 2 + 12 x + 9 − 3 x 2 − 12 x − 9 > 0 x2 > 0

б)

Квадратът на всяко число х ≠ 0 е положително число. Решение на неравенството х2 > 0 е всяко число х ≠ 0.

Неравенството х2 < 0 няма решение.

ЗАДАЧА 3 Решете неравенствата:

б) (2 x + 1) 2 − (3 x + 1)( x + 1) < 0 . (2 x + 1) 2 − (3 x + 1)( x + 1) < 0 4 x 2 + 4 x + 1 − (3 x 2 + 3 x + x + 1) < 0 4 x 2 + 4 x + 1 − 3x 2 − 3x − x − 1 < 0 x2 < 0

а) 3 x( x + 2) − 2 x( x + 1) + 4 > 0 ; Решение: а) 3 x( x + 2) − 2 x( x + 1) + 4 > 0 3x 2 + 6 x − 2 x 2 − 2 x + 4 > 0 x2 + 4x + 4 > 0 ( x + 2) 2 > 0

б) ( x + 3)( x − 3) − 2(5 x − 17) < 0 .

Решение на неравенството ( x + 2) 2 > 0 е всяко число х, за което x + 2 ≠ 0 , т.е. x ≠ −2 .

Неравенството ( x − 5) 2 < 0 няма решение.

ЗАДАЧА 4 Решете неравенствата:

192

При подреждане на решението на неравенство (Задача 1) използваме теоремите за еквивалентност, без да ги посочваме и без да поставяме знака „⇔”.

б) ( x + 3)( x − 3) − 2(5 x − 17) < 0 x 2 − 9 − 10 x + 34 < 0 x 2 − 10 x + 25 < 0 ( x − 5) 2 < 0

а) ( x + 2) 2 ≥ 0 ; Решение:

б) ( x − 5) 2 ≤ 0 .

а) ( x + 2) 2 ≥ 0 Решение на неравенството е всяко х.

б) ( x − 5) 2 ≤ 0 Неравенството има само едно решение: х = 5.

Към съдържанието

ЗАДАЧА 5 Решете неравенствата:

а) ( x + 1)( x + 3) − 4 x > 0 ; Решение: ( x + 1)( x + 3) − 4 x > 0 а) 2 x + 3x + x + 3 − 4 x > 0 x2 + 3 > 0 3 x 2 > −3 Неравенството x 2 + x32>>0−⇔ има за решение всяко число.

б) (2 x − 3)( x − 2) − x( x − 7) < 0 . б)

(2 x − 3)( x − 2) − x( x − 7) < 0 2 x − 4 x − 3x + 6 − x 2 + 7 x < 0 x2 + 6 < 0 2 Неравенството x + 6 < 0 ⇔x 2 x<2 −<6− 6 няма решение. 2

При решаване на Задачи 2, 3, 4, 5 изводите не се запаметяват. Добре е дясната страна да се преобразува в числото 0. Тогава x 2 > 0 за всяко x ≠ 0 , x 2 ≥ 0 за всяко х. Неравенствата с едно неизвестно могат да бъдат строги неравенства: x > 2; x – 3 < 4;... нестроги неравенства: x – 3 ≤ 4;... x − 3 ≤ 4 означава, че x − 3 < 4 или x − 3 = 4 .

ЗАДАЧА 6 Решете неравенството ( x + 2)2 ≤ x( x + 5) − 6 . Решение: ( x + 2) 2 < x( x + 5) − 6 или

( x + 2) 2 = x( x + 5) − 6

x2 + 4 x + 4 = x2 + 5x − 6 x2 + 4 x + 4 < x2 + 5x − 6 4 x − 5x = − 6 − 4 4 x − 5x < − 6 − 4 − x = −10 | .(−1) − x < −10 | .(−1) x = 10 x > 10 Получихме x > 10 или x = 10 , т.е. x ≥ 10 . Забелязваме, че неравенството и уравнението в Задача 6 се решават аналогично. Тъй като при умножаване двете страни: • на уравнението с (−1) знакът „=” се запазва, • на неравенството с (−1) се променя само посоката на неравенството, се получава − x ≤ −10 | .(−1) x ≥ 10 . Този запис ни дава основание да решаваме неравенството от Задача 6 така:

ЗАДАЧИ

( x + 2) 2 ≤ x( x + 5) − 6 ⇔ x 2 + 4 x + 4 ≤ x 2 + 5 x − 6 ⇔ 4 x − 5 x ≤ − 6 − 4 − x ≤ −10 | .(−1) x ≥ 10 . Решения на неравенството x ≥ 10 са всички числа, които са по-големи или равни на 10. Решете неравенствата: 7 (3x − 1)2 − (3x − 1)(3x + 1) > − 4 ; 1 (2 x + 1)2 > (2 x − 3)(2 x + 3) ; 2 2 ( x − 1) ≥ ( x + 3)( x − 3) ; 8 (2 x − 3)2 ≤ (4 x − 1)( x + 5) − 17 ; 3 x 2 − ( x + 5)( x − 1) ≤ 9 ; 9 ( x + 7)2 > 7(2 x − 1) ; 4 (3x − 2)2 ≤ (3x + 1)2 − 15 ; 10 (3x − 2)( x + 1) > 3( x − 1)2 ; 5 ( x + 3)2 > ( x − 2)( x + 5) + 1 ; 11 (5 x − 1)( x − 2) < x( x + 9) − 23 ; 3 6 ( x + 2) > x( x + 5)( x + 1) − 6 ; 12 ( x − 3)2 < ( x − 7)( x + 1) − x 2 .

Към съдържанието

193

89.

ПРЕДСТАВЯНЕ РЕШЕНИЯТА НА ЛИНЕЙНО НЕРАВЕНСТВО С ЧИСЛОВИ ИНТЕРВАЛИ И ГРАФИЧНО ВЪРХУ ЧИСЛОВА ОС Числови интервали 1. Множеството от всички числа х, за които е изпълнено неравенството x > a, e безкраен числов интервал (а, +∞). x>a (а, +∞) 2. Множеството от всички числа х, за които е изпълнено неравенството x ≥ a, e безкраен числов интервал [а, +∞). x≥a [а, +∞) 3. Множеството от всички числа х, за които е изпълнено неравенството x < a, e безкраен числов интервал (-∞, а). x<a (- ∞, а) 4. Множеството от всички числа х, за които е изпълнено неравенството x ≤ a, e безкраен числов интервал (-∞, а]. x≤a (- ∞, а] 5. Множеството на всички числа се разглежда като интервал (− ∞ ; + ∞) и се чете интервал от минус безкрайност до плюс безкрайност. (− ∞ ; + ∞)

Интервалите (− ∞ ; + ∞) , (− ∞ ; a ) , (a ; + ∞) , (− ∞ ; a ], [a ; + ∞) са безкрайни числови интервали. Символите (− ∞) и (+ ∞) не са числа и при тях не може да се постави знак за затворен интервал. Решенията на линейните неравенства се записват чрез интервали така: x>2

x ∈ (2, +∞);

x<2

x ∈ (-∞, 2);

x≥2

x ∈ [2, +∞);

x≤2

x ∈ (-∞, 2].

Знакът „∈” означава принадлежност на едно число към даден интервал. x ∈ (a ; + ∞) се чете: „х принадлежи (е от) интервала от а до плюс безкрайност”.

194

Към съдържанието

• Записът x ∈ (2, +∞) о значава, че решенията на неравенството x > 2 са всички числа, по-големи от 2, без числото 2. • Записът x ∈ [2, +∞) о значава, че решенията на неравенството x ≥ 2 са всички числа, по-големи от 2, и числото 2. • Записът x ∈ (-∞, 2) означава, че решенията на неравенството x < 2 са всички числа, по-малки от 2, без числото 2. • Записът x ∈ (-∞, 2] означава, че решенията на неравенството x ≤ 2 са всички числа, по-малки от 2, и числото 2.

ЗАДАЧА 1 Решете неравенствата и представете решенията им графично и чрез интервали: а) 3 x − 2 > 10 ; Решение: а) 3 x − 2 > 10 3 x > 10 + 2 3 x > 12 x>4 x ∈ (4; + ∞)

б) 5 x + 8 < 2 x − 10 .

б) 5 x + 8 < 2 x − 10 5 x − 2 x < −10 − 8 3 x < −18 x < −6 x ∈ (-∞; -6)

ЗАДАЧА 2 Решете неравенствата и представете решенията им графично и чрез интервали: а) 2(2 x − 3) ≤ 7 x + 3 ; Решение: а) 2(2 x − 3) ≤ 7 x + 3 4x − 6 ≤ 7x + 3 4x − 7x ≤ 3 + 6 −3 x ≤ 9 |.(−1) 3 x ≥ −9 x ≥ −3 x ∈ [-3; + ∞)

б) 3( x + 5) ≥ 5( x − 23) .

б) 3( x + 5) ≥ 5( x − 23) 3 x + 15 ≥ 5 x − 115 3 x − 5 x ≥ −115 − 15 −2 x ≥ −130 |.(−1) 2 x ≤ 130 x ≤ 65

x ∈ (-∞; 65]

При записa на решението на неравенство чрез интервали се спазва редът (−∞; число) , (число; +∞).

ЗАДАЧИ

Решете неравенствата и представете решенията им графично и чрез интервали:

1 3x + 1 > x − 5 ; 2 2 x − 7 ≤ 3x + 4 ; 3 3 − ( x + 1) − 2 < 0 ; 4 4 − (2 x − 3) + 5 ≥ 0 ; 5 x − [7 − x − (8 + 3x)] < 3x + 2 ; 6 ( x − 1)( x 2 + x + 1) + 2 x > x3 − 1 ;

Към съдържанието

7 ( x + 5)2 − 2( x − 5)( x + 5) > x(1 − x) ; 8 ( y − 1)(3 y + 5) ≤ 2 + 3 y 2 ; 9 t (t − 4)(t + 4) ≤ t 3 − 3t + 3 ; 10 2 x + 1 > 3x − 1 ;

4 5 10 3 − 4 x 11 + 1 ≤ x − x − 10 . 4 3

195

НЕРАВЕНСТВА, СВЕЖДАЩИ СЕ ДО ЛИНЕЙНИ

ЗАДАЧА 1 Запишете неравенството, еквивалентно на: а) x ∈ (2 ; + ∞) ; в) x ∈ (− ∞ ; − 5) ; Решение: а) x ∈ (2 ; + ∞) ⇔ x > 2 в) x ∈ (− ∞ ; − 5) ⇔ x < −5

б) x ∈ [−3 ; + ∞) ; г) x ∈ (− ∞ ; 7] . б) x ∈ [−3 ; + ∞) ⇔ x ≥ −3 г) x ∈ (− ∞ ; 7] ⇔ x ≤ 7

ЗАДАЧА 2 Ако х е променлива, запишете неравенствата, чиито решения са изобразени графично: а)

;

б)

;

в)

;

г)

Решение: а) x < −1

б) x ≥ 30

ЗАДАЧА 3 Решете неравенствата:

y y −1 + ≥ 1 ; 3 −4 Решение: y y −1 ≥ 1 + а) 3 −4 y y −1 − ≥1 3 4 4 y − 3( y − 1) ≥ 12 4 y − 3 y + 3 ≥ 12 y≥9

а)

y ∈ [9 ; + ∞)

в) x ≤ −2, 8 г) x > 200 б) 3t + 2 < − t . 0, 4 0, 2 б)

3t + 2 < − t | ⋅ 1 0, 4 0, 2 10 3t + 2 < − t 4 10 2 15t + 4 < −10t 25t < − 4 t < − 0,16 t ∈ (− ∞ ; − 0,16)

ЗАДАЧА 4 Решете неравенствата:

2 2 а) ( x − 2)( x + 1) > 0 ; б) ( x + 3)( x + 4) ≤ 0 . Решение: 2 2 б) ( x + 3)( x + 4) ≤ 0 а) ( x − 2)( x + 1) > 0 x 2 + 4 > 0 за всяко число x 2 + 1 > 0 за всяко х ( x + 3)( x 2 + 4) ≤ 0 |: x 2 + 4 > 0 ( x − 2)( x 2 + 12) > 0 |: x 2 + 12 > 0 ( x − 2x)(−x2 +>10) > 0 |: x + 1 > 0 ( x +x3+ )(3x 2≤+04) ≤ 0 |: x 2 + 4 > 0 x ≤x −+33 ≤ 0 xx >− 22 > 0 x > 2 x ∈ (−x∞≤; −−33] x ∈ (2 ; + ∞) x ∈ (2 ; + ∞) x ∈ (− ∞ ; − 3]

196

Към съдържанието

ЗАДАЧА 5 Намерете стойностите на х, за които:

а) изразът 3 x − 7 е по-голям от 5; в) изразът 5 − 2 x е по-малък от 7; Решение: а) 3 x − 7 > 5 б) 2( x + 5) ≤ 3 3 x > 12 2 x + 10 ≤ 3 x>4 2 x ≤ −7 x ≤ −3, 5

б) изразът 2( x + 5) е не по-голям от 3; г) изразът 2(3 x − 1) е не по-малък от 4. в) 5 − 2 x < 7 г) 2(3 x − 1) ≥ 4 |: 2 3x − 1 ≥ 2 −2 x < 2 | .(−1) 3x ≥ 3 2 x > −2 x ≥1 x > −1

В Задача 5-г) двете страни на неравенството имат общ множител 2. В такива случаи е удобно предварително да разделим двете страни на общия множител 2. За изразите А и B могат да се образуват следните твърдения и техните отрицания: Твърдение

А>В

А≥В

А<В

А≤В

А=В

А≠В

Отрицание

А≤В

А<В

А≥В

А>В

А≠В

А=В

Твърденията А е по-малко или равно на В, А не е по-голямо от В, А не е повече от В, А е най-много В записваме А ≤ В.

ЗАДАЧИ

1 Запишете неравенството, еквивалентно на: а) x ∈ (3 ; + ∞) ; б) x ∈ [−1; + ∞) ; в) x ∈ (− ∞ ; 2] ; г) x ∈ (− ∞ ; − 5) .

2 Ако х е променлива, запишете

неравенството, чиито решения са изобразени графично:

а)

; б)

в)

; г)

Решете неравенствата:

3 2x + x−+31 > 5 ; x +2 5 − x−−41 > x ; 4 2 x − 1 − x + 5 > 8 x + 1 ; −3

Към съдържанието

−6

Твърденията А е по-голямо или равно на В, А не е по-малко от В, А е най-малко В, А е поне В записваме А ≥ В.

5 x0,−21 > 1 − x0+, 35 ; 6 x − 5 < x − x + 4 ;

0, 3 0, 6 2( x − 1) ≤ x +1 ; 7 0, 3 2 8 ( x − 7)( x + 4) > 0 ; 2 9 ( x + 3)( x + 1) ≤ 0 ; 2 ; 10 ( x + 5)(3 x − 1) ≥ 0 ; 2 . 11 ( x + 7)(7 x + 2) < 0 . 12 Намерете стойностите на х, за които: а) изразът 2x - 5 е по-голям от 3; б) изразът 3(x - 2) е по-малък от 9; в) изразът 7(1 - 2x) е не по-голям от 1; г) изразът -3(2x - 1) е не по-малък от 2.

197

91.

НЕРАВЕНСТВА. УПРАЖНЕНИЕ Решаване на линейни неравенства (а = 0)

ЗАДАЧА 1 Решете неравенствата: а) 7( x − 1) > 7( x + 1) ; Решение: а) 7( x − 1) > 7( x + 1) 7x − 7 > 7x + 7 7x − 7x > 7 + 7 (7 − 7) x > 14 0 x > 14

б) 4( y − 3) − 2 y < 2 y − 3 ;

в) x( x + 2) − ( x + 1) 2 > −1 .

б) 4( y − 3) − 2 y < 2 y − 3 4 y − 12 − 2 y < 2 y − 3 4 y − 4 y < 12 − 3 (4 − 4) y < 9 0y < 9

в)

x( x + 2) − ( x + 1) 2 > −1 x 2 + 2 x − ( x 2 + 2 x + 1) > −1 x 2 + 2 x − x 2 − 2 x − 1 > −1 ( 2 − 2) x > 0 0x > 0

Как ще решаваме неравенства от този вид? Неравенствата, които получихме, са от вида ax > b и ax b и 0x < b. Решаването на линейни неравенства при а = 0 става чрез разсъждения, при които се проверява дали съответното числово неравенство е вярно, или не е вярно. • В пример а) получихме 0 x > 14 . Числовото неравенство 0 > 14 е невярно. Следователно неравенството 0 x > 14 няма решения. • В пример б) получихме 0 y < 9 . Числовото неравенство 0 < 9 е вярно. Следователно всяко число е решение на неравенството 0 y < 9 . • В пример в) получихме 0 x > 0 . Числовото неравенство 0 > 0 е невярно. Следователно неравенството 0 x > 0 няма решения. Аналогични разсъждения правим и когато решаваме нестроги неравенства.

ЗАДАЧА 2 Решете неравенствата:

а) 0 x > −5; б) 0 x < −5; в) 0 x > 5; Решение: а) 0 > -5 е вярно – всяко число е решение. б) 0 < -5 не е вярно – няма решение. в) 0 > 5 не е вярно – няма решение. г) 0 < 5 е вярно – всяко число е решение.

ЗАДАЧА 3 Решете неравенствата:

а) 0 x < 0 ; б) 0х ≤ 0; в) 0 x > 0 ; Решение: а) 0 < 0 не е вярно, 0x < 0 – няма решение. б) 0 ≤ 0 е вярно, 0x ≤ 0 – всяко число е решение. в) 0 > 0 не е вярно, 0x > 0 – няма решение. г) 0 ≥ 0 е вярно, 0x ≥ 0 – всяко число е решение.

198

г) 0 x < 5.

г) 0 x ≥ 0 .

Към съдържанието

ЗАДАЧА 4 Решете неравенствата: а) 6 x − 5 < 6 x − 1 ; б) 4( x + 1)22 − 10 x > 4 x 22 − 2( x − 2) . Решение: а) 6 x − 5 < 6 x − 1 6x − 6x < 5 −1 (6 − 6) x < 4 0x < 4 0 < 4 – вярно ⇒ всяко число е решение.

4( x + 1) − 10 x > 4 x − 2( x − 2) 1)x2 −−10 10xx >> 44 x−24− 2( x − 2) б) 4( x +10 10) x > 04 − 4 (10 10x−−10 10 − 10 x (10 − 10 0)xx >> 04 − 4 (10 − 100) x > 0 0 x⇒ > 0няма решение. 0 > 0 – невярно

ЗАДАЧА 5 В лявата колона на таблицата за отговори запишете буквата на

неравенството и срещу нея, в дясната колона, запишете номера на еквивалентното му неравенство. (А) 3х – 2 (2х – 1) ≤ 6 (Б) (х + 1)2 – х(х + 2) ≥ –7 (В) (х – 3)(х – 1) ≥ (х – 2)2

(1) 3(2х – 1) ≤ 6х + 7 (2) (х + 4)(х – 4) ≤ –20 (3) (х – 1)2 ≥ х(х + 2) + 17 (4) 2х(х – 2) ≤ 2х(х – 1) + 8

Решение: (А) 3х – 2 (2х – 1) ≤ 6 3х – 4х + 2 ≤ 6 –х ≤ 4 |.(–1) x ≥ –4 (Б) (х + 1)2 – х(х + 2) ≥ –7 х2 + 2х + 1 – х2 – 2х ≥ –7 1 ≥ –7 0x ≥ –8 всяко х (В) (х – 3)(х – 1) ≥ (х – 2)2 х2 – х – 3х + 3 ≥ х2 – 4х + 4 3 ≥ 4 0x ≥ 1 няма решение

(1) 3(2х – 1) ≤ 6х + 7 6х – 3 ≤ 6х + 7 –3 ≤ 7 0x ≤ 10 всяко х (2) (х + 4)(х – 4) ≤ –20 х2 – 16 ≤ –20 х2 ≤ –4 няма решение (3) (х – 1)2 ≥ х(х + 2) + 17 х2 – 2х + 1 ≥ х2 + 2х + 17 –2х – 2х ≥ 17 – 1 –4х ≥ 16 | : (–4) x ≤ –4 (4) 2х(х – 2) ≤ 2х(х – 1) + 8 2х2 – 4х ≤ 2х2 – 2х + 8 (А) –4х + 2х ≤ 8 –2х ≤ 8 | : (–2) (Б) х ≥ –4 (В)

ЗАДАЧИ

Отг. (4) (1) (2)

Решете неравенствата:

1 x − (2 x + 1)2 < (3 − x)2 − 5 x 2 ; 2 2 x(2 x + 1) − x 2 ≥ 3( x 2 − 2) + 2 x − 6 ; 3 1 + x > 2 x + 1 + 1 ; 2

Към съдържанието

4 ( x − 1)2 + 4 x ≥ ( x + 1)2 + 5 ; 5 2 x + 1 + x − 2 ≤ x ;

5 10 2 6 1 x + 3 + 1 − 5 > x − 4 . 2 2 4

(

)

199

92.

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНИТЕ НЕРАВЕНСТВА

ЗАДАЧА 1 Намерете всички цели 2 отрицателни числа, които са решения на неравенството

( x + 1) − ( x + 1)( x − 1) ≥ − 6 ( x + 1) 2 − ( x + 1)( x −2 1) ≥ − 6 . 2 x + 22 x + 1 − ( x − 1) ≥ − 6 Решение: ( x + 12) − ( x + 1)( x2− 1) ≥ − 6 . . . 2.x. .+. 2. x. .+.1. −. .x2. .+.1. ≥. .−. 6. x + 2 x + 1 − ( x − 1) ≥ − 6 2x ≥ − 8 x 2 + 2 x + 1 − x 2 +x1 ≥ ≥− − 64 Търсените числа са -4; -3; -2; -1. 2x ≥ − 8 ЗАДАЧА 2 Дадено е неравенството ( x + 3)( x −x 3≥) −−4( x + 1)( x − 1) > ( x + 5)( x + 1) . Намерете: 2 3 6 а) най-голямото цяло число, което е решение на неравенството; б) най-малкото цяло число, което не е решение на неравенството. Решение: ( x + 3)( x − 3) ( x + 1)( x − 1) ( x + 5)( x + 1) − > |. 6 2 3 6 3( x 2 − 9) − 2( x 2 − 1) > x 2 + 6 x + 5 а) Най-голямото цяло число, решение на ...................... неравенството, е −6. − 6 x > 30 |.(−1) б) Най-малкото цяло число, което не е 6 x < −30 решение на неравенството, е −5. x < −5

ЗАДАЧА 3 Дадено е неравенството (2 x − 3)2 ≥ 4 x( x − 2) − 5 . Намерете:

а) произведението на естествените числа, които са решения на неравенството; б) сбора от целите числа, не по-малки от −5, които са решения на неравенството. Решение: (2 x − 3) 2 ≥ 4 x( x − 2) − 5 4 x 2 − 12 x + 9 ≥ 4 x 2 − 8 x − 5 −12 x + 8 x ≥ −5 − 9 − 4 x ≥ −14 |.(−11) 4 x ≤ 14 x ≤ 3, 5

а) Естествените числа, които са решения на неравенството, са 1; 2; 3. 1. 2 . 3 = 6

б) Целите числа, не по-малки от −5, които са решения на неравенството, са −5 ; − 4 ; − 3 ; − 2 ; − 1; 0 ; 1; 2 ; 3 . Търсеният сбор е −5 − 4 − 3 − 2 − 1 + 0 + 1 + 2 + 3 = −9 .

ЗАДАЧА 4 В лявата колона на таблицата за отговори запишете буквата на

неравенството и срещу нея, в дясната колона, запишете номера на еквивалентното му неравенство. (А) (x – 2)2 – x(x – 6) < –8 (Б) (x + 1)(x2 – x + 1) > x(x2 – 4) – 7

200

(1) 3x – 1 > x – 13 (2) 2x – 5 > 3x + 1 (3) x(x + 2) < (x + 2)(x – 2) (4) 2(x + 5) < 3(x + 4) Към съдържанието

Решение: (А) (x – 2)2 – x(x – 6) < –8 x2 – 4x + 4 – x2 + 6x < –8 2x < –12 x < –6 (1) 3х – 1 > х – 13 3х – х > –13 + 1 2х > –12 х > –6

(Б) (x + 1)(x2 – x + 1) > x(x2 – 4) – 7 х3 + 1 > х3 – 4х – 7 4х > –8 х > –2 (2) 2x – 5 > 3x + 1 2х – 3х > 1 + 5 –х > 6 | . (–1) x < –6

(3) x(x + 2) < (x + 2)(x – 2) x2 + 2x < x2 – 4 2x < –4 x < –2

(4) 2(x + 5) < 3(x + 4) 2x + 10 < 3x + 12 2x – 3x < 12 – 10 –x < 2 | . (–1) x > – 2

Отг. (А) (Б)

(2) (4)

ЗАДАЧА 5 На математическо състезание всеки участник решава всяка от дадените

12 задачи. За вярно решена задача той получава по 4 точки. Ако сгреши задача, му се отнемат 2 точки. Наградени са участниците, набрали не по-малко от 35 точки. Колко задачи най-малко трябва да реши участник, за да получи награда? Решение: Дадени са 12 задачи. Означаваме с х броя на вярно решените задачи от един участник, ДС: 0 ≤ x ≤ 12, х – цяло число. Един участник Брой задачи Решил вярно х Нерешил 12 − х

Точки 4 2

Получени точки 4х 2(12 − х)

Получените точки са 4 x − 2(12 − x) и те са не по-малко (≥) от 35. Неравенството е 4 x − 2(12 − x) ≥ 35 , x ≥ 9 5 . 6 За да получи награда, участникът трябва да реши най-малко 10 задачи.

ЗАДАЧИ

1 Намерете сбора от всички цели отри а) най-малкото цяло число, което е решение на неравенството; цателни числа, които са решения на б) най-голямото цяло число, което неравенството не е решение на неравенството. (2 x + 1) 2 − (3x − 1)( x − 2) < ( x + 2) 2 + 8 x . 3 Дадено е неравенството 2 Дадено е неравенството ( x − 1)3 − x( x 2 − 3 x + 5) < 8 . Намерете произведението от целите ( x + 2) 2 1 − x( x + 3) > x − 4 ⋅ x + 4 . отрицателни числа, които са реше2 3 2 3 ния на неравенството. Намерете:

Към съдържанието

201

93.

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА. УПРАЖНЕНИЕ ЗАПОМНЕТЕ!

Числовите равенства и числовите неравенства се различават по това, че: • две числови равенства • две числови неравенства могат да се изваждат; не могат да се изваждат. Ако умножим (разделим) двете страни: • на едно равенство с c < 0, • на едно неравенство с c < 0, равенството се запазва; неравенството променя посоката си.

ЗАДАЧА 1 Дадени са изразите A = ( x + 2)2 и B = x( x + 3) . Намерете за кои стойности на х:

а) изразите А и В приемат равни стойности; б) стойността на израза А е по-голяма от стойността на израза В. Решение: б) От A > B ⇒ ( x + 2) 2 > x( x + 3) . а) От A = B ⇒ ( x + 2) 2 = x( x + 3) . Решаваме уравнението и получаваме, Решаваме неравенството и получаваме, че за x > − 4 A > B . че за x = − 4 A = B . ( x + 2) 2 = x( x + 3) x = −4 x+4=0 е линейно уравнение; Линейни уравнения с едно неизвестно

ax + b = 0 a ≠ 0

Решение на ax + b = 0 при a ≠ 0а ≠ 0 Пример: x − 6 = 0 , x = 6 x = 6 е корен. Линейното уравнение ax + b = 0 при a≠0 а ≠ 0 винаги има един корен.

Решение на ax = b при а = 0 (0x = b ) Примери: 0х = 5, 0 = 5 не е вярно – няма решение; 0х = 0, 0 = 0 е вярно – всяко число е корен.

202

( x + 2) 2 > x( x + 3) x > −4 x+4>0 е линейно неравенство. Линейни неравенства с едно неизвестно

O Решение на при а ≠ 0 Пример: x − 6 > 0 , x > 6 x > 6 са решения. x ∈ (6; + ∞) Линейното неравенство при а ≠ 0 винаги има много решения. Решение на ax > b при а = 0 (0 x > b); 0 x 5, 0 > 5 не е вярно – няма решение; 0х > -1, 0 > -1 е вярно – всяко число е решение; 0х > 0, 0 > 0 не е вярно – няма решение. Към съдържанието

Теореми за еквивалентност Т1 ax + b = 0 ⇔ ax = −b Т2 ax + b = 0 |. c ≠ 0 acx + bc = 0

Т1 ax + b > 0 ⇔ ax > −b Т2 ax + b > 0 |. c ≠ 0 • ако c > 0 , ax + b > 0 ⇔ acx + bc > 0 • ако c < 0 , ax + b > 0 ⇔ acx + bc < 0 Т3 В едно уравнение или неравенство всеки израз може да се замени с тъждествено равен на него израз. Полученото уравнение (неравенство) е еквивалентно на даденото.

Да се реши уравнението. 4 x( x − 5) − ( x + 2) 2 = 3( x + 1)( x − 1) + 47 4 x 2 − 20 x − ( x 2 + 4 x + 4) = 3( x 2 − 1) + 47 4 x 2 − 20 x − x 2 − 4 x − 4 = 3x 2 − 3 + 47 −20 x − 4 x = 4 − 3 + 47 −24 x = 48 |.(−1) 24 x = − 48 x = −2

Да се реши неравенството. 4 x( x − 5) − ( x + 2) 2 > 3( x + 1)( x − 1) + 47 4 x 2 − 20 x − ( x 2 + 4 x + 4) > 3( x 2 − 1) + 47 4 x 2 − 20 x − x 2 − 4 x − 4 > 3x 2 − 3 + 47 −20 x − 4 x > 4 − 3 + 47 −24 x > 48 |.(−1) 24 x < − 48 x < −2

ЗАДАЧА 1 В лявата колона на таблицата за отговори запишете буквата на

неравенството. Срещу нея, в дясната колона, запишете номера на уравненията, чиито корени са решения на неравенство. (А) х + 6 > –4х – 4 (Б) (х – 3)2 – х(х – 4) ≥ 9 Решение: (A) х + 6 > –4х – 4 x + 4x > –4 – 6 5x > –10 x > –2 (1) (x + 1)(x + 3) = 0 х + 1 = 0 или х + 3 = 0 х1 = –1 х2 = –3 са решения на (Б)

ЗАДАЧИ

(1) (x + 1)(x + 3) = 0 (2) x2 – 3x = 0 (3) x2 + 2x = 0 (4) x2 – 1 = 0 (Б) (х – 3)2 – x(x – 4) ≥ 9 x2 – 6x + 9 – x2 + 4x ≥ 9 –2x ≥ 0 | : (–2) x ≤ 0 2 (2) x – 3x = 0 х(х – 3) = 0 х = 0 или х – 3 = 0 х1 = 0 х2 = 3 са решения на (А) (4) x2 – 1 = 0 (х + 1)(х – 1) = 0 Отг. х + 1 = 0 или х – 1 = 0 (А) (2) (4) х1 = –1 х2 = 1 (Б) (1) (3) са решения на (А)

(3) x2 + 2x = 0 х(х + 2) = 0 = 0 или х + 2 = 0 х1 = 0 х2 = –2 са решения на (Б) 1 Намерете х, ако: 2 2 2 2 а) 2 − x + 3, 5 x − 3 = x + 2 + x ; б) 2 − x + 3, 5 x − 3 < x + 2 + x ; 3 3 1, 2 3 3 1, 2 в) (x – 1)(x2 + x + 1) = x(x + 2)(x – 2) – 9; г) (x – 1)(x2 + x + 1) > x(x + 2)(x – 2) – 9.

( )

Към съдържанието

( )

203

94.

НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ СТРАНИ И ЪГЛИ В ТРИЪГЪЛНИКА Начертани са триъгълници. 1.

ABC (1.) е равнобедрен (AC = BC), AC = BC ⇔ A = B . ABC (2.) е правоъгълен с C = 90° . Ако сравним дължините на страните АС, ВС и АВ, ще установим, че срещу ъгъл 90° лежи най-голямата страна. ABC (3.) е тъпоъгълен с B > 90° . От чертежа се вижда, че страната АС, която лежи срещу тъпия ъгъл, е най-голяма.

Свойство на страните и ъглите в триъгълника

От a > b ⇒ α > β .

В триъгълника срещу по-голяма страна лежи по-голям ъгъл. Доказателство:

ABC От a > b ⇒ α > β .

1. От a > b ⇒ върху страната BC = a има точка D, такава,че CD = CA. 2. Oт 1. ⇒ ADC е равнобедрен, S 1 = S 2. 3. S2 е външен за ABD ⇒ S 2 > b. 4. Лъчът AD→ e вътрешен за  BAC ⇒ a > S 1. Oт 4., 2. и 3. последователно ⇒ a > S 1 = S 2 > b ⇒ a > b.

В триъгълник срещу по-голям ъгъл лежи по-голяма страна. Доказателство:

ABC От α > β ⇒ a > b .

От α > β ⇒ a > b .

За страните a и b има три възможности: a < b, a = b, a > b . Ако допуснем, че а = b, то от свойството на триъгълника, че срещу равни страни лежат равни ъгли, ще следва, че a = b, което противоречи на условието, че a > b. Ако допуснем, че a β. Остава вярно твърдението, че a > b .

Двете теореми можем да изкажем като една теорема така:

204

Към съдържанието

Ако срещу ъглите α и β в АВС страните са съответно a и b, то a > b тогава и само тогава, когато α > β .

(a > b ⇔ α > β )

За да докажем тази теорема, трябва да докажем и Т1 , и Т2 .

СЛЕДСТВИЕ 1 В правоъгълния триъгълник хипотенузата е по-голяма от всеки катет.

СЛЕДСТВИЕ 2 Перпендикулярът от точка към права е по-малък от всяка наклонена от същата точка към правата. Перпендикулярът AA1 от А ∉ p към р е единствен. Ако точка М ≠ А1 е произволна точка от правата р, A1MA е правоъгълен и съгласно Следствие 1 AM > AA1 , където AM e наклонена към правата р.

ЗАДАЧА 1 Отговорете на въпросите:

а) Може ли един триъгълник да бъде едновременно равностранен и правоъгълен? б) Може ли срещу тъп ъгъл в триъгълник да лежи най-малката страна? в) Може ли срещу остър ъгъл в триъгълник да лежи най-голямата страна? Отг. а) Не, защото в правоъгълния триъгълник (Следствие 1) има найголяма страна и той не може да бъде равностранен. б) Не, защото твърдението противоречи на Т2 . в) Да, например триъгълник с ъгли 80°, 60°, 40°.

ЗАДАЧА 2 Ъгълът при върха на равнобедрен триъгълник е 68°30′.

Коя от двете страни е по-голяма – основата или бедрото? Решение: От зависимостта 2α + γ = 180° получаваме последователно 2α = 180° − 68°30′, 2α = 111°30′, α = 55°45′ . α = 55°45′ От ⇒ γ > α ⇒ c > b , т.е. γ = 68°30′ основата е по-голяма от бедрото.

ЗАДАЧИ

1 Наредете по големина ъглите α, β, 4 Сравнете основата и бедрото на

γ на  ABC, ако a = 7 cm , b = 9 cm , c = 12 равно cm бедрен триъгълник, ако ъгълът . при основата е: a = 7 cm , b = 9 cm , c = 12 cm 2 Наредете по големина страните a, b, c а) 35°; б) 50°; в) 60°; г) 70°. на ABC, ако: 5 Сравнете основата и бедрото на а) α = 100° и β = 38° ; б) α < γ < β . равнобедрен триъгълник, ако ъгълът 3 Сравнете катетите а и b на правоъгълен между бедрата му е: триъгълник, ако α = 48° . а) 70°; б) 50°; в) 40°; г) 100°.

Към съдържанието

205

95.

НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ СТРАНИ И ЪГЛИ В ТРИЪГЪЛНИКА. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Върху страната АВ на ABC е взета точка М.

Докажете, че ако BC > AC , то CM < BC . Да се докаже: Дадено: ABC, CM < BC М ∈ AB, BC > AC Доказателство: ⇒>αAC >⇒ β⇒ α > β . 1. В ABC от BC > ACBC AMC ⇒ ϕ >ϕ α >α. 2. ϕ е външен ъгъл за AMC ⇒⇒ 3. От 1. и 2. ⇒ ϕ >⇒αϕ>>βα⇒>ϕβ⇒>⇒βϕ > β . В МBC от (3) ⇒ BC > CM , т.е. CM < BC .

ЗАДАЧА 2 Даден е ABC, като AC > BC и СМ е медиана. Докажете, че BCM > ACM .

Дадено: ABC, AC > BC , СМ – медиана

Да се докаже: BCM > ACM

Доказателство: Върху продължението на медианата СМ нанасяме отсечка MN = CM .  AM = MB  Разглеждаме AMC и BMN CM = MN  AMC = BMN ⇒ AMC ≅ BMN (по I признак) ⇒ BN = AC (= b) и 2 = 3 . Разглеждаме CNB. От b > a ⇒ 1 > 3 (= 2) . Тогава 1 > 2 , т.е. BCM > ACM .

ЗАДАЧА 3 Докажете, че сборът от височините във всеки триъгълник е по-малък от неговия периметър.

Дадено: ABC, h a , h b , h c – височини Да се докаже: h a + hb + hc < P

Доказателство: В правоъгълния триъгълник всеки катет е по-малък от хипотенузата. 1ABA ( 1 A(1 = A 901 °=) ,90°h)a, < hca < c В ABA BCB =B 901 °=) ,90 В BCB °h)b, < hab < a + 1 ( 1 B 1( В CAC CAC =C90 =) 90 , °h)c, < hbc < b 1 ( 1 C(1 1° Събираме почленно h a + h b + h c < c + a + b , т.е. h a + h b + h c < P .

206

Към съдържанието

ЗАДАЧА 4 В ABC страната АВ е най-голяма. Ако точка Р е от страната ВС,

а точка М – от страната АС, да се докаже, че MP < AB . Да се докаже: Дадено: ABC, AB > AC , AB > BC MP < AB M ∈ AC , P ∈ BC Доказателство: От AB > AC ⇒ γ > β . От AB > BC ⇒ γ > α . В ABC β < γ . Начертаваме отсечка АР. За AРC 1 е външен. Тогава β < γ < 1 ⇒ β < 1. 1. В AВР от β < 1 ⇒ AP < AB . За ABC АР е вътрешна отсечка, защото P ∈ BC . Тогава 3 < α . От 3 < α и α < γ ⇒ 3 < γ . В AРC МР е вътрешна отсечка, защото M ∈ AC . За МРC 2 е външен и γ < 2 . 2. От 3 < γ и γ < 2 ⇒ 3 < 2 ⇒ MP < AP . От 1. и 2. ⇒ MP < AP < AB ⇒ MP < AB.

ЗАДАЧА 5 Периметърът на равнобедрен ABC ( CA = CB ) е 25 cm, разликата между две от страните му е 4 cm, а външният ъгъл при върха С е остър. Намерете страните на триъгълника.

Решение: От γ′ < 90° ⇒ γ > 90° и ABC е тъпоъгълен при върха С ⇒ най-голямата страна е основата АВ. Означаваме CA = CB = x , AB = x + 4 . Тогава P = 2 x + x + 4 , 3 x + 4 = 25 , x = 7 . Страните на триъгълника са CA = CB = 7 cm , AB = 7 + 4 = 11 cm .

ЗАДАЧИ

1 В ABC ъглите при върховете А и В 4 В правоъгълен  АВС ( C = 90° ) са съответно: а) 50° и 80°; б) 110° и 40°; в) 90° и 70°. Сравнете страните на триъгълника. 2 Ъгълът между бедрата на равнобедрен триъгълник е: а) 130°; б) 45°; в) 30°; г) 80°. Сравнете бедрото и основата на триъ гълника. 3 Докажете, че всяка височина в триъгълника е по-малка от страните, излизащи от същия връх.

Към съдържанието

точка D е от катета ВС. Докажете, че AD < AB . 5 В АВС ъгълът при върха С е тъп и точка K лежи на страната АС. Докажете, че BK < AB . 6 В ABC точка N от страната АВ е такава, че CA = CN . Докажете, че CB > CA . 7 Ако AQ е ъглополовяща в ABC, да се докаже, че AB > BQ и AC > CQ . 8 Даден е ABC, като AC < AB и АМ е медиана. Докажете, че BAM < CAM .

207

96.

НЕРАВЕНСТВО НА ТРИЪГЪЛНИКА На чертeжа е начертан триъгълник със страни = a 3= cm , b 2 cm , c = 4 cm .

1. 2. 3.

На лъч с начало точката О и единична отсечка 1 cm са нанесени страните на триъгълника така, както е показано на 1., 2., 3.. Вижда се, че дължината на всяка страна е по-малка от сбора на дължините на другите две страни: b < c + a ; a < c + b; c < a + b. Ще докажем, че това твърдение е вярно за всеки триъгълник.

В триъгълника всяка страна е по-малка от сбора на другите две страни. Дадено: ABC; страни a, b, c Да се докаже: a < c + b, b < c + a, c < a + b

Доказателство: = AC = b. Върху лъча BA→ нанасяме отсечка AD В DBC имаме DB = b + c , BC = a . От AD = AC следва, че DАC е равнобедрен и 1 = 3 . Но СА е вътрешна отсечка за DBC, защото точката А е между точките D и В. Тогава 3 < 2 . От 1 = 3 и 3 < 2 ⇒ 1 < 2 , а от свойството на страните и ъглите в триъгълника следва, че BC < BD , т.е. a < b + c . Аналогично се доказват и другите две неравенства: b < c + a и c < a + b . За да можем да сравним отсечките а и c + b, чрез допълнително построение ги направихме страни на DBC. Точката D можеше да се вземе и върху лъча СA→ така, че AD = AB = c. Целта е да се получи триъгълник със страни а и c + b. Вярна е и следната теорема:

Ако всяка от три дадени отсечки a, b, c е по-малка от сбора на другите две, то има триъгълник със страни, равни на тези три отсечки.

ЗАДАЧА 1 Отговорете на въпроса и обосновете съществува ли триъгълник със страни (в cm): а) a = 2 , b = 6 , c = 7 ;

208

б) a = 1, b = 2 , c = 4 ;

в) a = 1, b = 1, c = 1 .

Към съдържанието

За да бъдат три отсечки с дължини a, b, c, където a ≤ b ≤ c , страни на триъгълник, трябва да бъдат изпълнени трите неравенства от теоремата: b < c + a , a < c + b , c < a + b . Достатъчно е да проверяваме само третото от тях (за най-голямата отсечка), тъй като другите две са винаги изпълнени. Решение: а) Тъй като 2 < 6 < 7 , проверяваме неравенството 7 < 6 + 2 . То е изпълнено и следователно числата 7, 6, 2 (cm) са дължини на страни на триъгълник. б) Тъй като 1 < 2 < 4 , проверяваме неравенството 4 < 2 + 1 . То не е изпълнено и следователно числата 4, 2, 1 (cm) не са дължини на страни на триъгълник. в) Тъй като 1= 1= 1 , проверяваме неравенството 1 < 1 + 1 . То е изпълнено и следователно числата 1, 1, 1 (cm) са дължини на страни на триъгълник.

Да се докаже, че във всеки разностранен триъгълник всяка страна е по-голяма от разликата на другите две страни. Доказателство: Ако сме означили страните на триъгълника с a, b, c, нека най-голямата страна е с, а най-малката е а. Тогава a b ⇒ c − b < a , т.е. a > c − b . От c < a + b и c > a ⇒ c − a c − a . От b < c + a и b > a ⇒ b − a < c , т.е. c > b − a . Теоремата е в сила и при равенство на страните в триъгълника. Тогава разликата на равни страни е нула и неравенството пак е изпълнено.

ЗАДАЧА 2 Периметърът на равнобедрен триъгълник е 24 cm. Намерете страните на

триъгълника, ако едната страна е с 6 cm по-голяма от другата. Решение: Страните на триъгълника могат да бъдат: x, x, x + 6 . x + 6 , x + 6 , x или 2 x + x + 6 = 24 2( x + 6) + x = 24 x=6. x=4 Получаваме 4, 10, 10. Получаваме 6, 6, 12. От 10 < 4 + 10 (вярно) От 12 < 6 + 6 (не е вярно) ⇒ числата 4, 10, 10 (cm) са дължини ⇒ числата 6, 6, 12 (cm) не са дължини на страни на триъгълник. на страни на триъгълник. Страните на триъгълника са 4 cm, 10 cm, 10 cm.

ЗАДАЧИ

1 Има ли триъгълник със страни (в cm):

рен триъгълник, ако две от страните са: а) 8 cm и 4 cm; б) 6 cm и 4 cm; а) 1; 3; 4; б) 2; 4; 5; в) 9 cm и 5 cm; г) 10 cm и 3 cm. в) 3; 5; 6; г) 6; 6; 6? Отговорете и се обосновете. 4 Периметърът на равнобедрен три ъгълник е 42 cm. Ако едната страна е 2 Намерете бедрото на равнобедрен с 3 cm по-голяма от другата, намерете триъгълник със страни 5 cm и 12 cm. страните на триъгълника. 3 Намерете третата страна на равнобед

Към съдържанието

209

97.

НЕРАВЕНСТВО НА ТРИЪГЪЛНИКА. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Докажете, че всяка страна на триъгълника е по-малка от полупериметъра му. Дадено:ABC със страни a, b, c

Да се докаже: a < p , b < p , c < p , където p = 1 P 2 Доказателство: От a < b + c , като приложим свойствата на числовите неравенства, получаваме a+a <b+c+a, 2a < P , a < 1 P , a < p . 2 Аналогично b < p и c < p .

ЗАДАЧА 2 Докажете, че всяка медиана в триъгълника е по-малка от полупериметъра му. Дадено: ABC със страни a, b, c и медиани m a , m b , m c Да се докаже: m a < p , m b < p , m c < p Доказателство: 2m c < a + b + c В AMC m c < b + c 2 ⇒ mc < 1 P c 2 В BMC m c < a + m c < p. 2

Аналогично се доказва, че m a < p и m b < p .

ЗАДАЧА 3 Докажете, че всяка медиана в триъгълника е по-малка от полусбора на страните, които излизат от същия връх.

Дадено: ABC със страни a, b, c и медиани m a , m b , m c Да се докаже: m a < 1 (b + c) , m b < 1 (a + c) , m c < 1 (a + b) 2 2 2 Доказателство: Ще докажем, че m c < 1 (a + b) . 2 По продължението на СМ нанасяме MN = CM . От AMC ≅ BMN ⇒ BN = b. В CNB CN < CB + BN , 2m c < a + b, m c < 1 (a + b) . 2 Аналогично се доказва, че m a < 1 (b + c) и m b < 1 (a + c) . 2 2

210

Към съдържанието

ЗАДАЧА 4 Докажете, че периметърът на триъгълник, чиито върхове лежат

на страните на дадения триъгълник, е по-малък от периметъра на дадения триъгълник. Дадено: ABC, M ∈ AB (= c), N ∈ BC (= a), P ∈ AC (= b) Да се докаже: P MNP < P ABC Доказателство: Означенията на всички отсечки са дадени на чертежа. От AMP ⇒ x < m + b − p . От MBN ⇒ y < n + c − m . От NCP ⇒ z < p + a − n . Събираме почленно: x+ y+ z < m+b− p+n+c−m+ p+a−n ⇒ x + y + z < a + b + c , т.е. P MNP < P ABC .

ЗАДАЧА 5 Даден е ABC и точка М е вътрешна за този триъгълник. Докажете неравенството MA + MB < CA + CB .

Дадено: ABC, М – вътрешна за ABC Да се докаже: MA + MB < CA + CB Доказателство: Означенията на отсечките са дадени на чертежа. Искаме да докажем, че x + y < a + b . Продължаваме АМ до пресичането и� с ВС в точка N. + v MBN y < u + v . В MBN y < u ANC x + u < a −v x+u < b+a −v. В b +ANC Събираме почленно: x + y + u < u + v + b + a − v ⇒ x + y < a +b, т.е. MA + MB < CA + CB .

ЗАДАЧИ

1 Даден е ABC със страни a, b, c и 3 Докажете, че сборът от трите медиани

точка D от страната с. Докажете нев един триъгълник е по-малък от пери равенството a + b − c < 2CD . метъра му. 2 Даден е ABC и точка S, вътрешна 4 В триъгълник с дължини на страните за този триъгълник. Докажете нераестествени числа едната страна има венството SA + SB + SC > p , където р дължина 5 cm, а другата – 1 cm. Намее полупериметърът на ABC. рете дължината на третата страна.

5 В ABC AB : BC : CA = 6 : 4 : 5. Т Е С Т

За ъглите на ABC е вярно, че: А) a > b > g; Б) a g > b.

Към съдържанието

6 В ABC (S B = 90°) BD е височина.

Не е вярно, че: А) AB > BD; Б) S ABD = S ACB; В) AB < AC; Г) S BAC > S DBC.

211

98.

ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕМАТА “НЕРАВЕНСТВА” ЗАПОМНЕТЕ! Свойства на числовите неравенства: 1. Ако a < b, то b > a. 2. Ако a < b и b < c, то a < c. a<b 3. Ако + c<d то a + c < b + d.

4. а 0 a b . c , a b . c c Аналогични са свойствата на числовите неравенства и когато вместо “<” имаме “≤”, или “>”, или „≥”.

Решаване на линейни неравенства с едно неизвестно. Теореми за еквивалентност: −3 x − 7 > x + 5 по Т1 : прехвърляме членове от едната страна в → другата с обратен знак; −3 x − x > 5 + 7 по Т3 : заменяме изрази с тъждествено равни на тях; → − 4 x > 12 |.(−1) по Т2 : умножаваме двете страни с (−1) и сменяме → посоката на неравенството; 4 x < −12 по Т2 : делим двете страни на коефициента пред х → (числото 4). x < −3 Решенията на неравенството записваме чрез неравенство графично x < −3

с интервал x ∈ (− ∞ ; − 3)

Неравенства в триъгълника: ABC , a < b < c Неравенства между страни и ъгли: a < b ⇔ α < β Неравенства между страни: c − b < a < b + c c−a <b< a+c b−a < c < a+b

ЗАДАЧА 1 В лявата колона на таблицата за отговори запишете буквата на неравенството и

срещу нея, в дясната колона, запишете номера на еквивалентното му неравенство. (А) х(х + 2) < (х + 3)(х – 3) (Б) х(х + 3) – (х + 2)(х + 1) < 5

212

(1) (x + 1)2 – 10 < х(x + 4) (2) 3(2х – 1) – 2(3х + 4) > 8 2 x + 1 1 − 3x (3) > 2 −3 (4) 3х – 8 > 5х + 1 Към съдържанието

Решение: (А) х(х + 2) < (х + 3)(х – 3) х2 + 2х < х2 – 9 х < –4,5 (1) (х + 1)2 – 10 < х(х + 4) х2 + 2х + 1 – 10 < х2 + 4х –2х < 9 х > –4,5 2 x + 1 3x − 1 (3) > 2 3 6х + 3 > 6х – 2 3 > –2 всяко х

(Б) х(х + 3) – (х + 2)(х + 1) < 5 х2 + 3х – (х2 + 2х + х + 2) < 5 –2 < 5 всяко х (2) 3(2х – 1) – 2(3х + 4) > 8 6х – 3 – 6х – 8 > 8 –11 > 8 няма решение (4) 3х – 8 > 5х + 1 3х – 5х > 1 + 8 –2х > 9 х < –4,5

Отг. (А) (4) (Б) (3)

ЗАДАЧА 2 Даден е равнобедрен ABC (CA = CB ) и ACB = 36° . Ако AL е ъглополовяща ( L ∈ BC ) , докажете, че:

ЗАДАЧИ

а) BL < CL ; б) BL < 1 BC . 2

Доказателство: а) ABC – равнобедрен, γ = 36°, α = β От 2β + γ = 180° 2β + 36° = 180° ⇒ β = 72°. От AL – ъглополовяща, и α = 72° ⇒ α = 36° . 2 От Т-свойство на страните и ъглите в триъгълника за ABL от 36° < 72° ⇒ BL < AL , за AСL от 36° = 36° ⇒ AL = LC . Получихме BL < AL , AL = LC ⇒ BL < CL . б) В условие а) доказахме, че BL < CL . Знаем, че BL = BL . Събираме почленно и получаваме 2 BL < BL + LC 2 BL < BC , BL < 1 BC 2 1 Докажете, че за всяко a ≠ 0 е вярно 6 x − 7 > x − 4 ; 1, 5 0, 3 0, 5 0, 3 неравенството (3 + 2a ) 2 − 12a > 9 . x x 2x 2 Докажете, че за всяко а и b е вярно 7 2, 4 + −2 ≤ 0, 3 + 81 . неравенството: 8 Намерете естествените числа, които а) a (a + 5b) + b(b + 2a ) ≥ 7 ab ; са решения на неравенството 2 a + b б) ≥ ab . x − 2 − x − 9 x + 7 ≤ 36 . 2 7 2 Решете неравенствата: 9 Намерете целите отрицателни числа, 3 ( x + 1)2 − 2( x − 1)( x + 1) < − x(1 + x) ; които са решение на неравенството 4 ( x − 2)2 − x ≥ x 2 + 2 x − 1 ; x + 2 − 1 2 + x < 1+ x + 5 . 3 2 3 6 5 y − 2 − y < 3 y + y − 1 ; 3 2

( )

)

(

( )

Към съдържанието

213

ОБЩИ ЗАДАЧИ ВЪРХУ ТЕМАТА “НЕРАВЕНСТВА” 1. Решете неравенствата и представете решенията им графично и чрез интервал: а) ( x + 2) 2 − x( x − 3) ≤ 8 x + 3 ;

) ( )

б) ( x + 4) 2 − ( x + 2)( x − 2) ≥ 2( x − 3) ;

6. Намерете стойностите на x, за които изразът:

в) ( x − 3) − ( x − 2)( x − 5) < 2 x + 7 ;

а) ( x + 3) 2 − ( x − 2) 2 е по-голям от 15;

г) (2 x − 3) 2 − (2 x + 1) 2 > −8 . 2. Намерете сбора от естествените числа, които са решение на неравенството:

б) x 2 − ( x + 4)( x − 1) e по-малък от 10; в) x(x2 – 3) – (x – 3)(x2 + 3x + 9) е не по-голям от –3. г) ( x − 2)3 − x( x − 3) 2 е не по-малък от 4.

а) 2 x − 5 − 3 x − 1 ≥ −3 − x − 11 ; 5 3 15 б) x − x − 1 ≤ 2 x + 4 − x − 5 ; 12 3 2

7. В лявата колона на таблицата за отговори запишете буквата на неравенството и срещу нея, в дясната колона, запишете номера на еквивалентното му неравенство.

(

)

в) x + 2 − x − 5 − x > x + 1 ; 3 6 −2 г) x3 − x( x − 3)( x + 3) < 2( x + 19) .

(А)

3. Намерете сбора на целите отрицателни числа, които са решение на неравенството:

(В) (x + 3)(x − 3) > x2 + 4x + 11

а) ( x − 3)( x + 3) − (2 − x) 2 ≤ 8 x + 3 ;

x − 2x −1 < 1 2 3

(Б) (x + 1)2 − x(x + 2) > −7 (1) (x + 2)(x − 2) < −5

3x + 1 − 4 x − 1 > 0 2 3

б) (2 x − 3) 2 − (3 x − 2)( x − 1) ≤ (3 − x) 2 ;

(2)

в) ( x + 2) 2 − x − 7 > ( x + 2)( x + 1) ; 6 г) (2 x + 1) 2 − ( x + 1) 2 ≤ 8 + 3 x( x + 1 1 ) . 3 4. Намерете най-голямото цяло число, което е решение на неравенството:

(3) (x − 2)2 > 9 − x(3 − x)

а) (2 x + 1) − 3 x( x − 2) < ( x + 3) ; 2

б) ( x + 1)3 − ( x + 1)( x 2 − x + 1) − 3 x 2 < −12 ; 1 1 3x + 2 2x − 3 5 x − 2, 5 4 x − 3, 5 6− 3; + > в) 3 2 −6 −4 1 1 5x + 3x − 2 x − 3, 5 2 x + 1, 5 6 3. < − − г) 2 6 3 −4

(4) 3(2x − 1) < 6x + 5 (5) 3x − 5 < 7x + 11

8. В лявата колона на бланката за отговори е написана буквата на неравенството. Срещу нея, в дясната колона, запишете номерата на уравненията, чиито корени са решения на неравенството. (А) –x + 6 > 5x − 18 (Б)

x+7 ≤ −2 −3

(В) x2 + 9 < x(x + 3)

5. Намерете най-малкото цяло число, което е решение на неравенството:

(1) (x − 4)(x − 1) = 0

а) ( x + 3)( x − 3) − ( x − 2)( x + 2) < x ;

(2) x2 = 9x

б) 2 x − 1 ⋅ 5 x + 3 − x + 3 > x 2 − 3 x − 1 ;

214

(

2 г) x + 1 − 1 ⋅ 5 x − 3 − 2 > 1 − x . 2 2 4 4

5 2 2 5 x ( x − 2) ( x − 1)(1 + x ) 5 + x2 в) − ; ≤ 2− 3 2 6

(3) x2 − 16 = 0 (4) (x − 4)(x − 5) = 0 (5) | x + 3 | = 4

Към съдържанието

99.

ТЕСТ № 1 ВЪРХУ ТЕМАТА “НЕРАВЕНСТВА” 1. На неравенството −3 x + 5 < x − 3 е еквивалентно неравенството: А) x > 4 ; Б) x < 4 ; В) x > 2 ; Г) x < 2 . 2. Решенията на неравенството ( x − 5) 2 < 0 са: А) x > 5 ; Б) x < 5 ; В) всяко число x ≠ 5; Г) няма решение. 3. Решенията на неравенството x + 4 + 2 x − 1 > x са: 2 −3 А) x < −1 3 ; 7 3 Б) x > 1 ; 7 x > −2 В) ; Г) x < 2 . 4. Решенията на неравенството ( x − 1)( x + 1) − 2 x > x 2 + 5 са: А)

;

Б)

;

В)

;

Г)

5. Решенията на неравенството x − (2 − x − 3( x + 1)) > 21 са:

А) 7; Б) 2 или 8; В) 6 или 7, или 8; Г) 2 или 7. 7. Неравенството, чиито решения са изо бразени графично така: А) x < −200 ; Б) x > −200 ; В) x ≤ −200 ; Г) x ≥ −200 . 8. Дадено е неравенството x −1 x+2 > ( x + 1)( x + 2) − . 2 3 а) Запишете решенията на неравенството чрез интервал. б) Намерете сбора от целите отрицателни числа, които са решения на неравенството. ( x + 2) 2 −

9. В лявата колона на бланката за отговори е написана буквата на неравенството. Срещу нея, в дясната колона, запишете номерата на уравненията, чиито корени са решения на неравенството. (А) (Б) (В)

А) x ∈ (− ∞ ; 4) ;

(1)

Б) x ∈ (4 ; + ∞) ;

(2)

В) x ∈ 5 1 ; + ∞ ; 5 Г) x ∈ − ∞ ; 5 1 . 2 6. В триъгълник с дължини на страните естествени числа едната страна има дължина 7 cm, а другата – 2 cm. Дължината на третата страна в сантиметри е:

(3)

( (

) )

Към съдържанието

, е:

(4) (5)

–х – 4 < 3х – 8 x−7 >1 −3 (х + 2)2 ≤ х(х + 8) (х – 1)(х – 4) = 0 х2 – 5х = 0 х2 – х = 0 х2 = 4 |x – 7| = 5

10. Решете неравенството (х + 2)3 – (2х + 5)(3х – 1) < х + х(х – 1)(1 + х) и намерете най-малкото цяло число, което е негово решение.

215

ТЕСТ № 2 ВЪРХУ ТЕМАТА “НЕРАВЕНСТВА” 1. Числото (–3) не е решение на неравенството: А) 3х < 6; Б) 2х ≥ –6; В) х < –3; Г) х < 1. 2. Решенията на неравенството (2 x − 3) 2 ≤ 0 са: А) x = 1 1 ; 2 1 Б) x ≤ 1 ; 2 В) всяко число x ≠ 1 1 ; 2 Г) няма решение. 3. Числото 3 е решение на неравенството: А) 2(х + 4) < 5х – 1; Б) 5х + 1 < 3х + 7; В) 3(х – 1) > 2(х – 3); Г) 7(х + 1) < 5(х – 1). 4. Най-голямото цяло число, което е решение на неравенството 3(х + 2) ≥ 2(3х + 4), е: А) –1; Б) 0; В) 1; Г) няма такова число. 5. Решенията на неравенството (х + 1)2 – х(х + 5) > 7 са: А) х > – 1,4; Б) х < –1,4; В) х < –2; Г) х > –2. 6. Решенията на неравенството 1 x + 3 + 1 + x − 4 > 5 са: −4 2 2 А) x > 0 ; Б) x < 10 В) всяко число е решение; Г) няма решение.

(

216

)

7. Решенията на неравенството ( x + 2)( x − 2) x( x − 4) − 10 x < са: 0, 4 0, 4 А) x < 1 ; 2 Б) x > 1 ; 2 В) всяко число е решение; Г) няма решение. 8. Дадено е неравенството 1  (2 x + 1) 2 − 3 x  x + 1  ≤ ( x + 1) 2 + 8 . 3  а) Запишете решенията на неравенството чрез интервал. б) Намерете произведението от целите отрицателни числа, които са решения на неравенството. 9. В лявата колона на бланката за отговори е написана буквата на неравенството. Срещу нея, в дясната колона, запишете номерата на уравненията, чиито корени са решения на неравенството. (А) (Б) (В) (1) (2) (3) (4) (5)

–х – 2 < 4(х – 3) x+5 >0 −5

(х – 5)2 ≤ 2х2 – (х + 5)(х – 5) (х – 3)(х – 6) = 0 х2 – 5х = 0 х2 + х = 0 х2 = 9 |x + 8| = 1

10. Решете неравенството x  x  x + 5  3x x + 1   − 5 + 4 −  −  > x − 20 2  5 2  4  5  и намерете най-малкото цяло число, което е негово решение.

Към съдържанието

ТЕМА 6 УСПОРЕДНИК

(Урок № 100 – Урок № 109)

В ТАЗИ ТЕМА СЕ ИЗУЧАВАТ:

• успоредник – признаци и свойства; • правоъгълник; • ромб; • квадрат.

УЧЕНИЦИТЕ СЕ НАУЧАВАТ:

• да разпознават видовете успоредници; • да прилагат признаците и свойствата на успоредник, правоъгълник, ромб и квадрат.

Към съдържанието

100.

УСПОРЕДНИК. СВОЙСТВА Четириъгълник Четириъгълник ABCD – eлементи, означения P = AB + BC + CD + DA,

A, B, C, D – върхове AB, BC, CD, DA – страни A, B, C, D – ъгли AC, BD – диагонали S = S ABC + S ACD

Страните, които имат общ връх, се наричат съседни, а тези, които нямат общ връх, се наричат срещуположни (противоположни, срещулежащи).

Ъглите, които имат общо рамо, се наричат прилежащи, а тези, които нямат общо рамо, се наричат срещулежащи.

ЗАДАЧА 1 Да се докаже, че сборът на ъглите на четириъгълник е 360°. Основна задача

Успоредник

Доказателство: Означенията на ъглите са дадени на чертежа. Диагоналът АС разделя четириъгълника на два триъгълника. В ACD 1 + 3 + D = 180°. В ACB 2 + 4 + B = 180°. Събираме почленно 1 + 3 + 2 + 4 + D + B = 360°. От 1 + 2 = А и 3 + 4 = C ⇒ А + B + C + D = 360°.

Четириъгълник, на който двойките срещуположни страни са успоредни, се нарича успоредник. AB CD Четириъгълник ABCD, в който AD BC , е успоредник. Успоредникът е геометрична фигура, получена при пресичане на две двойки успоредни прави.

Т1

СВОЙСТВО на страните на успоредник В успоредник двойките срещуположни страни са равни. Доказателство: Построяваме диагонала АС. 1 = 2, 3 = 4 (кръстни ъгли) От  ABC ≅  CDA (по II признак) ⇒ AB = CD и BC = DA като съответни страни в еднакви триъгълници.

218 Към съдържанието

Следствие от Т-свойство: AB = CD = a BC = AD = b P = AB + BC + CD + DA = a + b + a + b = 2a + 2b P = 2(a + b)

Т2

СВОЙСТВО на диагоналите на успоредник В успоредник диагоналите взаимно се разполовяват. Разглеждаме ABO и CDO: AB = CD (като срещуположни страни в успоредник) 1 = 2 (като кръстни ъгли при (AB || CD) ∩ AC) О – връхни ъгли ⇒ ABO ≅ CDO (по II признак) ⇒ AО = ОС и BO = OD като съответни страни в еднакви триъгълници.

ЗАДАЧА 2 Диагоналите АС и BD в успоредника ABCD се пресичат в точка О. Ако AO = 5 cm и DO = 3,4 cm, намерете АС и BD.

Решение: От Т-свойство на диагоналите следва, че: AC = 2 . AO = 2 . 5 = 10, AC = 10 cm; BD = 2 . DO = 2 . 3,4 = 6,8, BD = 6,8 cm.

Т3

СВОЙСТВО на ъглите на успоредник В успоредник срещуположните ъгли са равни. Доказателство: От ABD ≅ CDB (по III признак) ⇒ A = C. Аналогично се доказва, че B = D.

Т4

СВОЙСТВО на ъглите на успоредник В успоредник сборът на прилежащите на коя да е страна ъгли е 180°. Доказателство: От (AB || CD) ∩ AD и A и D – прилежащи ⇒ A + D = 180°. Аналогично се доказва, че: A + B = 180°, B + C = 180°, C + D = 180°.

ЗАДАЧИ

1 Диагоналите АС и BD на успоредни-

Т Е С Т

ка ABCD се пресичат в точка О. Ако ОС = 8 cm и OD = 3,5 cm, сборът на диагоналите АС и BD в сантиметри е: А) 21; Б) 23; В) 25; Г) 27.

2 За успоредника ABCD е дадено, че

АВ = 10 cm, AD = 6 cm и BAD = 30°.

Към съдържанието

Лицето на успоредника (в cm2) е: А) 20; Б) 40; В) 30; Г) 60. 3 В успоредника ABCD диагоналите АС и BD се пресичат в точка О и ОAВ = 30°. Ако АС = 11 cm, разстоянието от О до страната АВ в сантиметри е: А) 3,15; Б) 3,25; В) 2,25; Г) 2,75.

219

101.

УСПОРЕДНИК. СВОЙСТВА. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Докажете, че всеки диагонал на успоредника го разделя на два еднакви триъгълника.

Решение: На чертежа BD е диагонал,  ABD ≅  CDB (по III признак). По аналогичен начин се доказва твърдението и за диагонала АС.

Лице на успоредник SABCD = a.ha = b.hb Знаем, че еднаквите триъгълници имат равни лица. S ABCD = S ABD + S CDB = S ABCD = S ABD + S CDBa .=h a = 2 S ABD = 2 ⋅ a . h a = 2 S ABD = 2 ⋅ 2 = a.ha 2 a + S CDB = S ABCD = = aS. hABD S ABCD = S ABD + S CDB b.= hb = 2 S CDB = 2 ⋅ b . h b = 2 S CDB = 2 ⋅ 2 = b . hb 2 = b . hb

= =

ЗАДАЧА 2 Разликата на два от ъглите на успоредник е 36°. Намерете ъглите му.

Решение: От β − α = 36° ⇒ β = 36° + α. От α + β = 180° Т4 ⇒ α + (α + 36°) = 180°

⇒ α + (α + 36°) = 180°

2α = 180° − 36°, α = 72° β = 36° + α = 36° + 72° = 108° A = C = 72°, B = D = 108°

ЗАДАЧА 3 В успоредник ABCD ъглополовящата на A пресича страната CD в точка L и ALD = 20°. Намерете ъглите на успоредника. Решение: От AL – ъглополовяща ⇒ 1 = 2 L От (AB || CD) ∩ AL ⇒ 1 = 3

⇒ 2 = 3 = 20°

⇒  A = 2 . 20° = 40°,  B = 180° − 40° = 140° .  A =  C = 40°,  B =  D = 140°

220

Към съдържанието

ЗАДАЧА 4 В успоредник ABCD ъглополовящата на ъгъла при върха А пресича страната CD (или нейното продължение) в точка М. Да се докаже, че AМD е равнобедрен. Решение: От АМ → – ъглополовяща ⇒ 1 = 2. От (AB || CD) ∩ AМ ⇒ 2 = 3 . Тогава 1 = 3 и AМD е равнобедрен.

ЗАДАЧА 5 Докажете, че ъглополовящите на два срещуположни ъгъла в успоредник са успоредни.

Решение: 1. От DL – ъглополовяща ⇒ 1 = 2. От ВМ – ъглополовяща ⇒ 3 = 4 . От АDC = ABC ⇒ ⇒ 1 = 2 = 3 = 4 = x. 2. От (AB || CD) ∩ BМ ⇒ ⇒ 3 = 5 = x (кръстни). 3. 2 и 5 са съответни за (DL, BM) ∩ CD и 2 = 5 = х. От признака за успоредност на две прави ⇒ DL || BM.

ЗАДАЧА 6 DD1 (D1 ∈ AB) и DD2 (D2 ∈ BC) са височини в успоредника ABCD.

ЗАДАЧИ

90°

Ако BAD = α (α < 90°), намерете D1DD2. Решение: 90° 1. DCD2 = DAD1 (срещулежащи ъгли) 2. ADC = 180° – α (прилежащи ъгли) 3. АDD1 = 90° – α (ADD1 – правоъгълен) D2 CDD2 = 90° – α (CDD2 – правоъгълен) 4. D1DD2 = 180° – α – (90° – α) – (90° – α) = α D1

1 Сборът на два от ъглите на успоре- 3 Два от ъглите на успоредник се от-

дник е 90°. Тъпият ъгъл на успореднасят както 2 : 1. Сборът на острите ника е: ъгли в успоредника е: Т Е А) 120°; Б) 125°; В) 130°; Г) 135°. А) 100°; Б) 110°; В) 120°; Г) 130°. С 2 Единият от ъглите на успоредник е 4 Разликата на два от ъглите в успореТ 4 пъти по-голям от другия. Острият дник е 20°. Сборът на тъпите ъгли в ъгъл на успоредника е: успоредника е: А) 30°; Б) 36°; В) 40°; Г) 46°. А) 200°; Б) 210°; В) 220°; Г) 230°.

5 Ъглополовящата на BAD на успо 6 Ъглополовящата на BAD на успо редника ABCD пресича страната CD в точка Q. Aко DQ = 8 cm и CQ = 5 cm, намерете периметъра на успоредника.

Към съдържанието

редника ABCD пресича страната BC в точка N. Aко BN = 11 cm и NC = 5 cm, намерете периметъра на успоредника.

221

102.

ПРИЗНАЦИ ЗА УСПОРЕДНИК Т1

ПРИЗНАК Четириъгълник, на който двойките срещуположни страни са равни, е успоредник. Дадено: четириъгълник ABCD, AB = CD, AD = BC Да се докаже: ABCD е успоредник Доказателство: Построяваме диагонала АС. VABC ≅ VCDA (по III признак) ⇒ 3 = 1, 2 = 4 От признака за успоредност на две прави и 1 = 3 (кръстни ъгли) ⇒ AD || BC, 2 = 4 (кръстни ъгли) ⇒ AB || CD. От определението за успоредник следва, че ABCD е успоредник.

ЗАДАЧА 1 В четириъгълника ABCD AD = BC и CAD = ACB.

Докажете, че ABCD е успоредник. Доказателство: 1. Разглеждаме ACD и САВ. АС – обща AD = CB (по условие) CAD = ACB (по условие) ⇒ ACD ≅ CAB (по I признак) ⇒ CD = AB 2. От Т1 -признак и CD = AB ⇒ ABCD успоредник. AD = BC

Т2

222

ПРИЗНАК Четириъгълник, на който една двойка срещуположни страни са успоредни и равни, е успоредник. Дадено: четириъгълник ABCD, AB || CD, AB = CD Да се докаже: ABCD е успоредник Доказателство: Построяваме диагонала АС. От (AB || CD) ∩ АС ⇒ 1 = 2.  ABC ≅  CDA (I признак) ⇒ 4 = 3 като съответни ъгли в еднакви триъгълници. От признака за успоредност на две прави (3 = 4 като кръстни ъгли) ⇒ AD || BC. Доказахме, че AD || BC. По условие AB || CD. Тогава от определението за успоредник следва, че ABCD е успоредник.

Към съдържанието

ЗАДАЧА 2 Върху страните AB и CD на успоредника ABCD са взети съответно

точки M и N такива, че AM = CN. Докажете, че MBND е успоредник. a–x

Т3

a–x

Доказателство: 1. Означаваме А В = CD = a AM = CN = x. 2. BN = AB – AM = a – x ⇒ BM = DN DN = DC – CN = a – x 3. ABCD – успоредник ⇒ АВ || CD ⇒ BM || DN 4. От Т2 -признак и BM = DN BM || DN ⇒ MBND – успоредник.

ПРИЗНАК Четириъгълник, на който диагоналите взаимно се разполовяват, е успоредник. Дадено: четириъгълник ABCD, АC ∩ BD = O, AО = ОС, BO = OD Да се докаже: ABCD е успоредник Доказателство: 1. Oт  ABO ≅  CDO (по I признак) ⇒ 1 = 2 и AB = CD. 2. От признака за успоредност на две прави (1 = 2) ⇒ AB || CD. От 1. и 2. ⇒ ABCD е успоредник (по Т2 -признак).

ЗАДАЧА 3 На продължението на медианата СМ в ABC е взета точка N така,

че MN = MC. Да се докаже, че четириъгълникът ANBC е успоредник. Доказателство: В четириъгълника ANBC АМ = МB МN = CM (по условие) ⇒ диагоналите му NC и AB взаимно се разполовяват ⇒ ANBC е успоредник (по Т3 -признак). Ако продължим една от медианите в триъгълник и я нанесем още веднъж, получаваме успоредник.

ЗАДАЧИ

1 В четириъгълника ABCD AB = CD и

BAC = ACD. Докажете, че ABCD е успоредник. 2 В четириъгълника ABCD AD = BC и ADB = CBD. Докажете, че ABCD е успоредник. 3 На продължението на медианата АМ в ABC е взета точка Е така, че

Към съдържанието

АМ = МЕ. Докажете, че четириъгълникът АВЕС е успоредник. 4 На продължението на медианата ВМ в ABC е взета точка Q така, че BМ = МQ. Докажете, че четириъгълникът АВСQ е успоредник и намерете диагоналите му, ако АМ = 12 cm и BM = 7 cm.

223

103.

УСПОРЕДНИК. УПРАЖНЕНИЕ

Четириъгълник ABCD, в който AB || CD , AD || BC е успоредник.

Признаци Даден четириъгълник е успоредник, ако: 1 двойките срещуположни страни са успоредни; 2 двойките срещуположни страни са равни; 3 една двойка срещуположни страни са успоредни и равни; 4 диагоналите взаимно се разполовяват.

Свойства

Даден е успоредник ⇒ свойствата: 1 двойките срещуположни страни са успоредни; 2 двойките срещуположни страни са равни; 3 срещуположните ъгли са равни, сборът на прилежащите на всяка страна ъгли е 180°; 4 диагоналите взаимно се разполовяват.

От изказаните и доказани теореми-признаци и теореми-свойства на успоредника могат да се изкажат следните еквивалентни твърдения: • Един четириъгълник е успоредник тогава и само тогава, когато двойките срещуположни страни са успоредни. • Един четириъгълник е успоредник тогава и само тогава, когато двойките срещуположни страни са равни. • Един четириъгълник е успоредник тогава и само тогава, когато диагоналите му взаимно се разполовяват.

ЗАДАЧА 1 На чертежа e начертан успоредник с DD1 ⊥ AB и BB1 ⊥ CD. С  са отбелязани триъгълници. Докажете, че:

а) DD1 = BB1 ; б) 1 ≅ 2; в) АD1 = СB1. Решение: а) DD1 = BB1 като разстояния между две успоредни прави. б) 1 ≅ 2 (по II признак или по IV признак) в) От 1 ≅ 2 ⇒ АD1 = СB1 като съответни страни.

ЗАДАЧА 2 На чертежа е начертан успоредник ABCD с височини DD1 ⊥ AB и BB1 ⊥ CD. Да се докаже, че DD1 || BB1.

224

Доказателство: От BB1 ⊥ CD и от CD || AB (срещулежащи страни в успоредник) ⇒ BB1 ⊥ AB. Тогава от BB1 ⊥ AB и DD1 ⊥ AB (по условие) ⇒ BB1 || DD1 (от теоремата, че ако две прави са перпендикулярни на трета, те са успоредни помежду си).

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 В успоредник ABCD диагоналите AC и BD се пресичат в точка О. През О е

начертана права, която пресича страните АВ и CD съответно в точките М и N. Да се докаже: а) VAMО ≅ VCNО; б) OM = ON; в) AM = CN; г) AMCN е успоредник. Доказателство: а) VAMО ≅ VCNО (по II признак) б) и в) От VAMО ≅ VCNО ⇒ OM = ON и AM = CN. г) От AM = CN и AM || CN (AB || CD) ⇒ AMCN е успоредник.

ЗАДАЧА 4 В успоредника ABCD отсечките DM и BN са височини съответно към страните AB

ЗАДАЧИ Т Е С Т

и CD. AN пресича DM в точка P, a CM пресича BN в точка Q. Да се докаже, че четириъгълникът MQNP е успоредник. Доказателство: 1. Oт VAMD ≅ VCNB (по II признак) ⇒ AM = CN. 2. Разглеждаме четириъгълника AMCN: AM = CN , AM || CN (от AB || CD) ⇒ AMCN е успоредник ⇒ MC || AN и MQ || PN. 3. O т BN ⊥ CD и CD || AB ⇒ BN ⊥ AB. Имаме BN ⊥ AB, DM ⊥ AB (по условие) ⇒ DM || BN. Тогава и PM || NQ. Oт 2. и 3. ⇒ MQNP е успоредник (по определение). Даден е успоредник ABCD 2 Ако b = 15 cm, a = 5 b , периметърът 4 (виж чертежа). Р на ABCD (в cm) е: А) 67,5; Б) 75; В) 60; Г) 33,75. 3 Ако периметърът P = 25 cm, a = 8,5 cm, страната b на ABCD (в cm) е: А) 8; Б) 5; В) 4; Г) 6. 1 Ако a = 10 cm, b = 2 cm, периметърът 4 Ако b = 9 cm, hа = 4,5 cm, големината Р на ABCD (в cm) е: на ъгъл β e: А) 40; Б) 24; В) 12; Г) 20. A) 60°; Б) 120°; В) 30°; Г) 150°. сичат страните CD и АВ съответно в 5 Да се докаже, че ако в четириъгълник точките N и М. Докажете, че MBND ABCD една двойка срещуположни е успоредник. страни са успоредни и една двойка срещулежащи ъгли са равни, той е 8 Докажете, че два срещулежащи върха на успоредника са равноотдалечени успоредник. от диагонала му, който свързва дру6 Диагоналите АС и BD на четириъгите два върха. гълник ABCD се пресичат в точка О. Да се докаже, че ако ABD = BDC и 9 Ъгълът, който образуват перпендику лярите, спуснати от върха на острия АО = ОС, то ABCD е успоредник. ъгъл на един успоредник към про7 Даден е успоредник ABCD. През дълженията на страните му, е 127°. върховете B и D са построени прави, Намерете ъглите на успоредника. перпендикулярни на АС, които пре-

Към съдържанието

225

104.

ПРАВОЪГЪЛНИК

Успоредник с прав ъгъл се нарича правоъгълник.

Т1

ПРИЗНАК Успоредник с равни диагонали е правоъгълник.

На чертежа е начертан правоъгълник ABCD. От свойствата на ъглите в успоредника следва, че A = B = C = D = 90°. Знаем, че лицето на правоъгълника е S = ab.

Дадено: успоредник ABCD, АC = BD Да се докаже: ABCD е правоъгълник Доказателство: От АBС ≅ BAD (по III признак) ⇒ B = A. От  B = A и A + B = 180° (свойство на успоредника) ⇒ 2 A = 180°, A = 90° ⇒ ABCD е правоъгълник (по определение). Диагоналите на четириъгълник са равни. Следва ли, че е правоъгълник? Начертан е четириъгълник с равни диагонали, който не е правоъгълник. Ако се посочи пример, който опровергава твърдението, се счита, че задачата е решена. Такъв пример в математиката се нарича „контрапример“.

Т2

ПРИЗНАК Четириъгълник с три прави ъгъла е правоъгълник. Дадено: четириъгълник ABCD, B = C = D = 90° Да се докаже: ABCD е правоъгълник Доказателство: От (AB, CD) ∩ BC и B + C = 180° ⇒ AB || CD. Аналогично доказваме, че AD || BC. Тогава четириъгълникът ABCD е успоредник с прав ъгъл ⇒ правоъгълник.

Свойства на правоъгълника

Правоъгълникът е успоредник и притежава всички свойства на успоредниците.

СВОЙСТВО В правоъгълника диагоналите са равни. Доказателство: Oт VABC ≅ VBAD (по I признак) ⇒ AC = BD. Теоремата-признак и теоремата-свойство за правоъгълника могат да се изкажат като една теорема така:

226

Към съдържанието

Успоредник е правоъгълник тогава и само тогава, когато диагоналите му са равни.

ЗАДАЧА 1 Да се докаже, че ако ъгълът между диагоналите на един правоъгълник е 60°, то: а) т ой е ъгъл в равностранен триъгълник, образуван от диагоналите и страната на правоъгълника; б) диагоналите сключват с по-голямата страна ъгли от по 30°; в) всеки диагонал е два пъти по-голям от малката страна. Доказателство: 1 а) В BСО OB = OC = d и има ъгъл 60° 2 ⇒ е равностранен; б) ъгъл 60° е външен за АBО (OA = OB) ⇒ ъглите при основата са по 30°; в) АBС е правоъгълен с А = 30° 1 ⇒ BC = AC ⇒ AC = 2BC. 2

ЗАДАЧА 2 Да се построи правоъгълник по дадени две страни. Дадено:

Да се построи: правоъгълник ABCD

Построение: Построението се свежда до задачата за построяване на успоредник по дадени две съседни страни a и b и ъгъл между тях, равен на 90°. Построяваме: 1. Ap→ → връх А; 2. AB = a, B ∈ p → връх B; 3. (Аq →, Ap→) = 90°; 4. AD = b, D ∈ q → връх D; 5. k1(B; r = b), k2(D; r = a); 6. k1 ∩ k2 = C → връх C; 7. четириъгълник ABCD. Обосновка: Построеният четириъгълник е правоъгълник, защото по построение AB = CD = a, AD = BC = b ⇒ успоредник, и BAD = 90° (от AD ⊥ p) ⇒ правоъгълник. Разсъждения върху решението: В полуравнината λ задачата винаги има едно решение.

ЗАДАЧИ

1 Отсечките AC и BD са диаметри на 3 Едната страна на правоъгълник е окръжност. Докажете, че четириъгъл 5 dm и е 3 пъти по-малка от другата никът ABCD е правоъгълник. му страна. Намерете периметъра на правоъгълника. 2 На чертeжа са начертани правоъгъл ниц и с означени дадени елементи. 4 Докажете, че в правоъгълник ъглопо Намерете елементите, означени с x и y. ловящите на два прилежащи към една а) б) в) страна ъгъла са перпендикулярни.

5 Да се построи правоъгълник по даден

диагонал и ъгъл между диагоналите.

Към съдържанието

227

105.

РОМБ

Успоредник с равни съседни страни се нарича ромб.

На чертежа е начертан ромб ABCD. От AB = AD = a и от свойството на страните в успоредника следва, че всичките му страни са равни. AB = BC = CD = DA = a Знаем, че лицето на ромба е S = ah.

Т1

ПРИЗНАК Успоредник, на който диагоналите са взаимноперпендикулярни, е ромб. Дадено: успоредник ABCD, AC ⊥ BD – диагонали Да се докаже: ABCD е ромб Доказателство: Нека AC ∩ BD = O. Тогава АО = ОC, BO = OD (по теорема). От АBО ≅ АDО (по I признак) ⇒ АB = AD като съответни страни в еднакви триъгълници ⇒ ABCD е ромб (по определение).

Т2

ПРИЗНАК Четириъгълник, на който всички страни са равни, е ромб. Доказателство: От равенството на всички страни в четириъгълника следва, че: 1. срещуположните двойки страни са равни, т.е. четириъгълникът е успоредник; 2. съседните страни са равни, т.е. успоредникът е ромб.

Свойства на ромба Ромбът е успоредник и притежава всички свойства на успоредниците.

СВОЙСТВО В ромба диагоналите са взаимноперпендикулярни. Дадено: ромб АBCD, AC и BD – диагонали Да се докаже: AC ⊥ BD Доказателство: От АBО ≅ АDО (по III признак) ⇒ AOB = AOD. Но те са съседни с общо рамо ОА и противоположни рамене OB → и OD →. Toгава сборът им е 180° ⇒ AOB = AOD = 90° ⇒ AC ⊥ BD. Т1-признак и Т1-свойство за ромба могат да се изкажат като една теорема така: Успоредникът е ромб тогава и само тогава, когато диагоналите му са взаимноперпендикулярни.

228

Към съдържанието

Т3

СВОЙСТВО В ромба диагоналите са ъглополовящи на ъглите му. Дадено: ромб АBCD, AC и BD – диагонали Да се докаже: АС и BD са ъглополовящи на ъглите Доказателство: 1. Диагоналът АС е основа на равнобедрен АCD. От AD = DC ⇒ 1 = 2. 2. От (AB || CD) ∩ AC ⇒ 2 = 3 (кръстни). От 1. и 2. ⇒ 1 = 3 ⇒ АС е ъглополовяща на A. Аналогично се доказва, че АС е ъглополовяща на С и BD е ъглополовяща на В и D.

ЗАДАЧА 1 Да се докаже, че:

а) д иагоналите в ромба го разделят на четири еднакви правоъгълни триъгълника; б) п ресечната точка О на диагоналите на ромба е на равни разстояния от страните му. Доказателство: а) Всеки от триъгълниците 1, 2, 3, 4 има прав ъгъл (О = 90°), катети 1 d 1 и 1 d 2 , хипотенуза а. 2 2 Тогава 1 ≅ 2 , 2 ≅ 3 , 3 ≅ 4 , 4 ≅ 1 . б) Разстоянията от O до АB, BC, CD, DA са равни като съответни височини в еднакви триъгълници.

ЗАДАЧА 2 Даден е ромб със страна а. Да се докаже, че BD = a ⇔ A = 60°. Доказателство: 1. От BD = a ⇒ АBD е равностранен и A = 60°. 2. От A = 60° и АBD е равнобедрен (AB = AD = a) ⇒ АBD е равностранен и BD = a.

1 Единият ъгъл на ромб е 42°. Ъглите, 2 Ъглите, които една от страните на ромб

ЗАДАЧИ Т Е С Т

които диагоналите образуват със страните на ромба, са: А) 42°, 48°; Б) 42°, 138°; В) 21°, 159°; Г) 21°, 69°.

3 Да се построи ромб по дадени:

а) страна и ъгъл; б) два диагонала. 4 В ромб ABCD (A < 90°) ъглополовя щата на САВ пресича страната ВС под Към съдържанието

образува с диагоналите му, се отнасят както 4 : 5. Острият ъгъл на ромба е: А) 40°; Б) 80°; В) 42°; Г) 84°.

ъгъл 48°. Намерете ъглите на ромба. 5 Да се докаже, че ако в успоредник диагоналът е ъглополовяща на един от ъглите му, то успоредникът е ромб.

229

106.

КВАДРАТ На чертежа е начертан квадрат ABCD. Квадратът има равни страни и равни ъгли, които са по 90°: • AB = BC = CD = DA = a; • A = B = C = D = 90°. Знаем, че лицето на квадрата е S = a2. Квадратът може да се разглежда като вид правоъгълник с равни страни или вид ромб с прави ъгли. Могат да се изкажат следните определения:

Правоъгълник с две равни съседни страни се нарича квадрат. Твърдението „Правоъгълник с равни страни е квадрат” не може да се приеме за правилно изказано определение, защото допуска преопределеност (от равенството само на една двойка съседни страни следва равенството на всичките страни).

Ромб с един прав ъгъл се нарича квадрат. Твърдението „Ромб с прави ъгли се нарича квадрат” е преопределено, защото, ако един от ъглите на ромба е 90°, следва, че всичките му ъгли са прави (свойство на ъглите в успоредник). Квадратът е вид успоредник. Двете определения за квадрат са твърдения-признаци: Един успоредник е квадрат: • ако е правоъгълник с две равни съседни страни; • ако е ромб с един прав ъгъл.

ЗАДАЧА 1 Да се докаже, че ромб с равни диагонали е квадрат. Доказателство: На чертежа ABCD е ромб ⇒ 1. АС е ъглополовяща, A = 2α, ABO e правоъгълен, О = 90°. 2. От АС = BD ⇒ 1 AC = 1 BD ⇒ AO = ОВ 2 2 (по условие). От 1. и 2. ⇒ в ABO α = 45° ⇒ A = 2α = 90°. Ромбът ABCD има A = 90° ⇒ квадрат (по определение).

230

Към съдържанието

Свойства на квадрата Квадратът притежава всички свойства на успоредника, ромба и правоъгълника: 1. има равни страни; 2. има равни ъгли (= 90°); 3. има равни диагонали, които са перпендикулярни; 4. диагоналите взаимно се разполовяват; 5. диагоналите са ъглополовящи на ъглите на квадрата – образуват със страните ъгли по 45°.

ЗАДАЧА 1 Диагоналите на квадрата образуват четири еднакви правоъгълни равнобедрени триъгълника. Защо (разгледай чертежа)?

ЗАДАЧА 2 В квадрата пресечната точка на диагоналите е равноот далечена от страните му. Защо (разгледай чертежа)?

ЗАДАЧА 3 В правоъгълен ABC (C = 90°) ъглополовящите на острите ъгли (A и

ЗАДАЧИ

B) се пресичат в точка О. От точка О към катетите АС и ВС са построени перпендикуляри съответно ОМ и ON. Да се докаже, че ONCM е квадрат. Дадено: ABС (C = 90°), АО – ъглополовяща на A, ВО – ъглополовяща на В, ОМ ⊥ АС, ON ⊥ BC Да се докаже: ONCM е квадрат Доказателство: Четириъгълникът ONCM е правоъгълник, защото има три прави ъгъла. Точката О е от ъглополовящата на A ⇒ OM = OL ⇒ OM = ON. Точката О е от ъглополовящата на B ⇒ ON = OL Тогава ONCM е правоъгълник с равни съседни страни ⇒ е квадрат. 1 Да се докаже, че правоъгълник, диагоналите на който са ъглополовящи на ъглите му, е квадрат. 2 Да се построи квадрат по дадени: а) страна; б) диагонал. 3 В правоъгълен триъгълник ъглополовящата на правия ъгъл пресича хипотенузата в точка D. През D са построени прави, успоредни на катетите. Докажете, че полученият четириъгълник е квадрат. 4 Върху всяка от страните на квадрат ABCD са взети точки M, N, P, Q така, че AM = BN = CP = DQ. Да се докаже, че четириъгълникът MNPQ е квадрат. 5 Докажете, че ъглополовящите на вътрешните ъгли на правоъгълник образуват квадрат (чертежът горе). 6 Докажете, че ъглополовящите на външните ъгли на правоъгълник образуват квадрат (чертежът долу).

Към съдържанието

231

107.

ВИДОВЕ УСПОРЕДНИЦИ. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Да се докаже, че височините в ромба са равни.

Доказателство: Нека е даден ромб ABCD. Oцветените триъгълници са еднакви (по II признак). Височините на ромба са съответни катети в еднакви триъгълници, откъдето следва, че са равни.

ЗАДАЧА 2 Диагоналът на правоъгълник се дели от перпендикуляра, спуснат към него

от връх на правоъгълникa, в отношение 1 : 3. Намерете този диагонал, ако пресечната точка на диагоналите е на разстояние m от по-голямата страна. Решение: Нека DH = x и HB = 3x ⇒ DB = 4x. От OD = OB ⇒ OD = 2x. От DH = x, OD = 2x ⇒ H е средата на OD ⇒ HD = HO. В AOD AH е медиана (от HD = HO) и АН е височина (AH ⊥ BD по условие). Тогава HDA ≅ HOA (по I признак) ⇒ АD = АO. Но АО = ОD като половинки от равните диагонали в правоъгълника. От АD = АO = ОD ⇒ AOD е равностранен ⇒ DAO = 60°. В AМО МAO = 90° − 60° = 30°. От свойството на правоъгълен триъгълник с ъгъл 30° ⇒ АО = 2m, т.е. OD = 2m ⇒ BD = 4m.

ЗАДАЧА 3 Ако точките M, N, P, Q са среди съответно на страните AB, BC, CD, DA а) на правоъгълник ABCD, то MNPQ е ромб; б) на ромб ABCD, то MNPQ е правоъгълник. Решение: а) От 1 ≅ 2 ⇒ QM = MN От 2 ≅ 3 ⇒ MN = NP От 3 ≅ 4 ⇒ NP = PQ

⇒ QM = MN = NP = PQ ⇒ MNPQ е ромб.

б) От 1 ≅ 2 ⇒ MQ = NP ⇒ MNPQ е успоредник. От 3 ≅ 4 ⇒ MN = QP 180° − β x = 180° − (1 +  2) , 1 = 180° − α ,  2 = 2 2 β α + β 1 +  2 = 90° − α + 90° − = 180° − = 2 2 2 = 180° − 180° = 90° ⇒ x = 180° − 90° = 90° 2 MNPQ е успоредник с прав ъгъл ⇒ е правоъгълник.

232 Към съдържанието

Лицето на ромб е полупроизведението на двата му диагонала. Дадено: ABCD – ромб, AC и BD – диагонали AC . BD Да се докаже: Sромб = 2 Доказателство: Нека AC ∩ BD = O. Триъгълниците BDC и BDA са равнобедрени с основа BD и височини CO = OA. Тогава BD . AO BD . CO BD BD . AC . S ABCD = + = ( AO + CO) = 2 2 2 2 Получихме формулата Sромб =

d 1 .d 2 2 , където d1 и d2 са диагоналите на ромба. 2

Следствие: Лицето на квадрат е S = d , където d е диагонал. 2 Четириъгълник, съставен от два равнобедрени триъгълника с обща основа, се нарича делтоид (ромбоид). Лицето на делтоид се намира по формулата за лице на ромб чрез диагоналите му.

ЗАДАЧА 4 Лицето на ромб е 90 cm2, a единият му диагонал е 20 cm.

ЗАДАЧИ

Т Е С Т

Намерете другия му диагонал. d .d 20 .d 2 Решение: S = 1 2 , 180 = 20d2 , d2 = 9 cm 90 = 2 2 1 В правоъгълник ABCD диагоналите 120°. Сборът от дължините на диагоналите в сантиметри е: AC и BD се пресичат в точка О. Ако В) 12; Г) 42. ABD = 30° и AC = 11 cm, периметърът А) 48; Б) 24; 4 Диагона лите на ромб са 7 cm и на BCO в сантиметри е: 6 cm. Лицето на ромба в квадратни А) 15; Б) 16,5; В) 18; Г) 18,3. 2 Диагоналите на ромб сключват с една сантиметри е: В) 24; Г) 21. от страните му ъгли, които се отнасят А) 42; Б) 34; както 1 : 3. Тъпият ъгъл на ромба е: 5 Диагоналът AC на ромб ABCD е с 5 cm по-голям от страната му. Ако периме А) 135°; Б) 130°; В) 125°; Г) 120°. 3 По-малката страна в правоъгълник е търът на АВС е 26 cm, страната на ромба в сантиметри е: 6 cm, а ъгълът между диагоналите е А) 7; Б) 6; В) 5; Г) 4.

6 В квадрат ABCD точките M, N, P, Q са

среди съответно на страните AB, BC, CD, DA. Да се докаже, че MNPQ е квадрат. 7 Даден е квадрат ABCD. Точката М е вътрешна за квадрата и АВМ е равКъм съдържанието

ностранен. Намерете големината на MCD. 8 Върху страната ВС на квадрата ABCD, вън от него, е построен равностранен ВСМ. Намерете големината на MАВ.

233

108.

ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕМАТА “УСПОРЕДНИК” ЗАПОМНЕТЕ!

ЗАДАЧА 1 Даден е AВС. Нека СМ е медиана и върху продължението и� нанесем отсечка MN = CM (N ≠ C). Да се докаже, че: а) ако AВС е произволен, то ANBC е успоредник; б) ако AВС е правоъгълен, то ANBC е правоъгълник; в) ако AВС е равнобедрен (AC = BC), то ANBC е ромб; г) ако AВС е равностранен, то ANBC е ромб; д) ако AВС е правоъгълен равнобедрен (AC = BC), то ANBC е квадрат.

а)

Решение:

б)

в)

г)

д)

а) От CM = MN и AM = MB ⇒ ANBC е успоредник. От CA = CB ⇒ ANBC е ромб. Oт С = 90° ⇒ ANBC е квадрат.

ЗАДАЧА 2 Даден е успоредник със страни а, b и диагонали d1, d2. Ако Р е периметърът на успоредника, докажете, че: а) d1 + d2 < P; б) d1 + d 2 > 1 P . 2 Доказателство: а) От AВС ⇒ d1 < a + b + От AВD ⇒ d2 < a + b

d1 + d2 < 2a + 2b

⇒ d1 + d2 < P.

d1 d 2 + >a 2 2 + d d От BOC ⇒ 1 + 2 > b 2 2 d1 + d2 > a + b ⇒ d1 + d 2 > 1 P . 2 б) От AOB ⇒

234

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 Даден е ромбът ABCD с периметър 84 cm. Да се намери дължината на

по-малкия му диагонал, ако ъглополовящата на BAC образува с BD ъгъл, равен на 75°. Дадено: ABCD – ромб, Рромб = 94 cm, (AL, BL) = 75°, AL – ъглополовяща на BAC Да се намери: BD Решение: Диагоналите AC и BD се пресичат в точка О. Правата AL сключва с правата BD ъглите 1 ≠ 2. 2 е външен за ALO ⇒ 2 > 90° и не може да бъде 75°. Тогава 1 = 75°. Разглеждаме ALO: О = 90° ⇒ 3 = 90° − 1 = 90° − 75° = 15°, 3 = 15°. Но AL е ъглополовяща на BAC ⇒ BAO = 2 . 3 = 2 . 15° = 30°, BAO = 30°. AC е ъглополовяща на A ⇒ BAD = 2 . 30° = 60°. AВD е равнобедрен (AB = AD) с ъгъл 60° и следователно е равностранен ⇒ BD = AB = a (a е страната на ромба). От Pромба = 84 cm и Р = 4а ⇒ 4а = 84, а = 21 cm. Тогава BD = 21 cm.

Лице на:

успоредник

S = aha = bhb

ромб

S = ah =

d1d 2 2

ЗАДАЧИ

1 Един от диагоналите на ромб е равен на

Т Е С Т

страната му. Острият ъгъл на ромба е: А) 30°; Б) 45°; В) 60°; Г) 65°. 2 Едната страна на успоредник е 10 cm, а височината към нея е 4 cm. Ако другата страна на успоредника е 8 cm, височината към нея е: А) 5; Б) 6; В) 7; Г) 8. 3 Един от ъглите на ромб е 30°. Ако периметърът на ромба е 80 cm, ли-

правоъгълник

S = ab

квадрат

d2 S = a2 = 2

цето му в квадратни сантиметри е: А) 800; Б) 600; В) 400; Г) 200. 4 Лицето на ромб е 20 cm 2. Един от диагоналите му е 4 cm. Другият диагонал на ромба в сантиметри е: А) 5; Б) 10; В) 4; Г) 8. 5 Диагоналът на квадрат е 10 cm. Лицето на квадрата в квадратни сантиметри е: А) 100; Б) 50; В) 80; Г) 40.

6 Върху страната CD на квадратаABCD 7 В ABC C = 90° и CA = CB = 10 cm. са взети точките M и N така, че CM = DN. Докажете, че четириъгълникът ABMN е равнобедрен трапец.

Към съдържанието

Точките M, N, P са избрани съответно върху страните AC, AB и BC така, че CMNP е квадрат. Намерете периметъра и лицето на този квадрат.

235

ОБЩИ ЗАДАЧИ ВЪРХУ ТЕМАТА “УСПОРЕДНИК” 1. За успоредника ABCD e известно, че A : B = 5 : 7 . Намерете: а) ъглите на успоредника; б) H1DH2, ако DH1 и DH2 са височини при върха D. 2. За успоредника ABCD e известно, че A + C =130° . Намерете: а) ъглите на успоредника; б) H1 AH 2 , ако AH1 и AH2 са височини при върха A. 3. В успоредника ABCD ъглополовящата на ъгъл A пресича страната CD в точка L. Намерете отсечките DL и CL и ги сравнете, ако: а) AB = 12 сm, AD = 5 сm; б) AB = 12 сm, AD = 8 сm; в) AB = 12 сm, AD = 6 сm. 4. В успоредника ABCD ъглополовящата на ъгъл B пресича страната AD в точка L. Намерете отсечките AL и DL, ако: а) CD = 6 сm, BC = 10 сm; б) CD = 5 сm, BC = 10 сm; в) CD = 3 сm, BC = 10 сm. 5. Ъглополовящите на ъглите при върховете A и B на успоредника ABCD пресичат страната CD съответно в точките M и N. Намерете частите, на които се разделя страната CD от тези точки, ако: а) AB = 18 сm, BC = 6 сm; б) AB = 18 сm, BC = 9 сm; в) AB = 18 сm, BC = 11 сm. 6. В успоредника ABCD AB = 12 cm, BC = 8 cm и DAB = 30°. Намерете: а) височините на успоредника; б) лицето на успоредника. 7. За успоредника ABCD e известно, че ABC = 5. DAB и AB : BC = 7 : 5 . Ако обиколката на успоредника е 96 cm, намерете: а) разстоянието от пресечната точка на диа гоналите на успоредника до страната AD; б) лицето на успоредника. 8. В правоъгълника ABCD АВ = 18 cm и точка М е средата на CD. Ако BAM = 45°, намерете:

236

а) периметъра на ABCD; б) лицето на ABCD. 9. В правоъгълника ABCD АВ = 15 cm и точка М е от отсечката CD. Ако BMC = 45° и DM : MC = 2 : 3, намeрете: а) периметъра на ABCD; б) лицето на ABCD. 10. В правоъгълника ABCD ВC = 5 cm и ъглополовящата на ABC пресича страната CD в точка L. Ако DL = 7 cm, намерете: а) периметъра на ABCD; б) лицето на ABCD. 11. За правоъгълника ABCD e дадено, че симетралата на диагонала BD пресича страните AB и CD съответно в точки M и N и AM : AB = 1 : 3. а) Намерете големината на SNBD. б) Ако AB = 24 cm, намерете периметъра на MBND . 12. Ромб има периметър 64 cm и остър ъгъл 30°. Намерете: а) височината ромба; б) лицето на ромба. 13. Единият от ъглите на ромб е 48°. Намерете ъглите, които диагоналите образуват със страните на ромба. 14. Да се намерят ъглите на ромб, ако: а) височината, прекарана през връх на тъп ъгъл, разполовява страната; б) периметърът на ромба е 48 сm, а височината му е 6 сm. 15. Един от ъглите на ромб е 46°. Намерете: а) ъгъла между височините, построени от върха на тъпия ъгъл на ромба; б) ъгъла между височините, построени от върха на острия ъгъл на ромба. 16. ABCD е квадрат и AC ∩ BD = O. Ако разстоянието от точка О до AB е 8 cm, намерете: а) периметъра на ABCD; б) лицето на ABCD. 17. Разстоянията от точка върху страна на квадрат до диагоналите му са 4 cm и 5 cm. Намерете лицето на квадрата.

Към съдържанието

109.

ТЕСТ № 1 ВЪРХУ ТЕМАТА “УСПОРЕДНИК” 1. ABCD е успоредник и CL е ъглополовяща на DCB. Ако AL : LB = 4 : 5 и АD = 10 cm, обиколката на успоредника ABCD в сантиметри е: D C А) 28; Б) 38; В) 56; A L B Г) 78. 2. Успоредникът ABCD има страни AB = 20 cm и AD = 12 cm. Лицето на успоредника е 120 cm2. Острият ъгъл на успоредника е: А) 20°; Б) 30°; В) 45°; Г) 60°. 3. За успоредника ABCD DQ ⊥ AB, DE ⊥ BC и QDE = 60°. Ако AQ = 8 cm и СЕ = 15 cm, периметърът на успоредника ABCD в сантиметри е: D C А) 46; Б) 92; В) 120; E A Q B Г) 138. 4. ABCD е правоъгълник. Ако DAE = 56° и АВ = АЕ, големината на ВЕС е: А) 73°; E D C Б) 62°; В) 56° Г) 68°. A

5. На чертежа ABCD e квадрат. Ако МВ = CN и NBC = 35°, големината на АМВ е: N D C А) 35°; Б) 45°; В) 55°; M Г) 60°. A B 6. В успоредника ABCD точка М е от диагонала АС, СМ = 6 cm и BMD = 90°. Ако BD = 14 cm, дължината на диагонала АС в сантиметри е:

D C А) 12; M Б) 14; В) 13; Г) 26. A B 7. На диагонала АС в успоредник ABCD са взети точките P и Q така, че АР = CQ.

D P A

Q B

Не е вярно, че: А) APD ≅ CQB; Б) ABP ≅ CDQ; В) BQDP е успоредник; Г) ADP ≅ ABP. 8. За успоредника ABCD е известно, че β = 5α и а : b = 7 : 5. Ако обиколката на успоредника е 96 cm, намерете: а) разстоянието от пресечната точка на диагоналите на успоредника до страната AD в сантиметри; б) лицето на успоредника ABCD в квадратни сантиметри. 9. АВCD е успоредник. Точките M и N са среди съответно на АВ и CD. В бланката за отговори са написани номерата на твърденията. Срещу всеки номер запишете „Да“, ако твърдението е вярно, или „Не“, ако твърдението не е вярно. №

Твърдение

(1) AND ≅ CMB (2) AMN ≅ DNM (3) MВND е успоредник

Вярно ли е твърдението?

ДА/НЕ ДА/НЕ ДА/НЕ

10. За ъглите α, β и γ на АВС е известно, че α : β : γ = 7 : 3 : 10. Външно за триъгълника е построен квадрат ABNM. Намерете големината на АОС в градуси, където О е пресечната точка на диагоналите на квадрата.

237 Към съдържанието

ТЕСТ № 2 ВЪРХУ ТЕМАТА “УСПОРЕДНИК” 1. ABCD е успоредник. Ако АL е ъглополовяща на ВАD, AD = 13 cm и BL : CL = 8 : 5, периметърът на ABCD в сантиметри е: А) 36; D C L Б) 32; В) 42; Г) 46. A B 2. Успоредникът ABCD има страна CD = 8 cm, диагонал AC = 4 cm и BAC = 30°. Лицето на успоредника (в cm2) е: А) 12; Б) 16; В) 20; Г) 32. 3. В успоредника ABCD е дадена страната АВ = 6m + 9 и височината DQ = m. Периметърът на успоредника е 18(m + 1). Дължината на височината DE, изразена чрез m, e: А) 2m + 3; D C Б) 3m + 2; В) 2m; E Г) 2m + 4,5. A Q B 4. ABCD е успоредник и DE e ъглополовяща на ADC. Големината на АEF е: А) 52°; D C 70° Б) 76°; В) 104°; B A E Г) 128°. F 5. В правоъгълника ABCD страната AD = 7 cm и диагоналът BD = 14 cm. Ако диагоналите АС и BD се пресичат в точка O, то големината на BOC е: А) 90°; C D Б) 45°; O В) 30°; A B Г) 60°. 6. Точката М е вътрешна за квадрата ABCD и AMD е равностранен. Големината на BMC e:

238

A) 100°; Б) 120°; В) 135°; Г) 150°.

M A

7. В ромба ABCD ABC = 120°. Върху страните AB и BC са взети съответно точките M и N така, че BM = CN. Не е вярно, че: А) ADM ≅ BDN; Б) MDB = NDC; В) S MBD = S BND ; Г) MND – равностранен. 8. За правоъгълника ABCD е дадено, че симетралата на диагонала BD пресича страните АВ и CD съответно в точки M и N и АМ : МВ = 1 : 2. D

sBD

а) Намерете MDB в градуси. б) Ако АВ = 12 cm, намерете периметъра на MND в сантиметри. 9. ABCD е успоредник. Точките M и N са среди съответно на AB и СD. В бланката за отговори са написани номерата на твърденията. Срещу всеки номер запишете „Да“, ако твърдението е вярно, или „Не“, ако твърдението не е вярно. №

Твърдение

(1) AMD ≅ CNB (2) CMN ≅ BNM (3) AMCN е успоредник

Вярно ли е твърдението?

ДА/НЕ ДА/НЕ ДА/НЕ

10. В квадрата ABCD е построен лъч с начало точката В, който минава във вътрешността на квадрата и образува ъгъл 58° с ВС. Ако точката Q e петата на перпендикуляра, спуснат от точка D към построения лъч, намерете големината на DCQ в градуси.

Към съдържанието

ТЕМА 7 ЕЛЕМЕНТИ ОТ ВЕРОЯТНОСТИ И СТАТИСТИКА (Урок № 110 – Урок № 113)

В ТАЗИ ТЕМА СЕ ИЗУЧАВАТ:

• организиране и представяне на данни; • кръгови диаграми; • вероятност на случайно събитие.

УЧЕНИЦИТЕ СЕ НАУЧАВАТ:

• да построяват и интерпретират кръгови диаграми; • да оценяват вероятност на събитие със случаен характер; • да решават практически задачи от вероятност на събитие.

Към съдържанието

110.

ОРГАНИЗИРАНЕ И ПРЕДСТАВЯНЕ НА ДАННИ. ПОСТРОЯВАНЕ И ИНТЕРПРЕТИРАНЕ НА КРЪГОВИ ДИАГРАМИ

Централен ъгъл Ъгъл, чийто връх е центърът на кръг, а раменете му са радиуси на кръга, се нарича централен ъгъл.

ЗАДАЧА 1 На изпит по математика са се явили 450 ученици. На кръговата

диаграма е представено разпределението на получените от тях оценки. Дадено е, че a : b : g : d : j = 5 : 4 : 2 : 1 : 3. а) Намерете големината на ъгъл j в градуси. б) Колко ученици са получили оценка „Среден“? в) Колко процента от учениците са получили оценка „Отличен“?

Решение: а) От условието a : b : g : d : j = 5 : 4 : 2 : 1 : 3 получаваме a = 5k; b = 4k; g = 2k; d = 1k ; j = 3k. a + b + g + d + j = 360° 5k + 4k + 2k + 1k + 3k = 360° 15k = 360° | : 15 k = 24° Големината на ъгъл j е 3k = 72°.

б) На учениците, получили оценка „Среден“, отговаря кръгов сектор с централен ъгъл g = 2k. Броят им е 2k ⋅ 450= 2 . 30= 60 . 15k в) На учениците, получили оценка „Отличен“, отговаря кръгов сектор с централен ъгъл j = 3k. Техният процент е 3k ⋅100% = 1 ⋅100% = 20% . 15k 5

ЗАДАЧА 2 На кръговата диаграма е представено разпределението на работещите на

един строителен обект. Диаметърът на кръга е MN, а MOP : NOP = 7 : 3 . а) Колко процента от работещите на обекта са инженери? б) Намерете средната заплата (в лв.) на работещите на обекта, ако строителните работници получават по 800 лв., техническите ръководители – по 1400 лв., а инженерите – по 2400 лв. в) Ако техническите ръководители са с 12 човека повече от инженерите, намерете броя на строителните работници.

Решение: б) Средната заплата на работещите на От кръговата диаграма отчитаме SMOP = 7x, SNOM = 10x, SNOP = 3x. обекта е 3k .2400 + 7 k .1400 + 10k .800 = 3.120 + 7.7 ⇒ техническите ръководители са 7k, 20k 3k работници – 10k, .2400 + 7 k .1400 + 10k .800 строителните = 3.120 + 7.70 + 10.40 = 1250 лв. 20k инженерите – 3k. в) Техническите ръководители са с 12 Работещите на обекта са 20k (k ∈ N). човека повече от инженерите. а) Процентът на инженерите е 7k = 3k + 12 ⇒ k = 3. Броят на строи3k ⋅100% = 15% . телните работници е 10k = 10 . 3 = 30. 20k

240

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 Успехът на шестокласниците в едно училище за I учебен срок е даден в таблицата. Брой ученици 120

Слаб 0

Среден 12

Добър 30

Мн. добър 36

Отличен 42

а) Проверете вярно ли е попълнена таблицата. б) Намерете какъв процент от учениците са с успех: среден, добър, мн. добър и отличен. в) С получените данни начертайте кръгова диаграма. Решение: а) 120 = 0 + 12 + 30 + 36 + 42 – таблицата е попълнена вярно. б) Пресмятаме: x% от 120 = 12 x% от 120 = 30 x% от 120 = 36 x% от 120 = 42 x . 1,2 = 12 x . 1,2 = 30 x . 1,2 = 36 x . 1,2 = 42 x = 10 x = 25 x = 30 x = 35 Получаваме таблицата: Брой ученици Процент

Среден 12 10%

Добър 30 25%

Мн. добър 36 30%

Отличен 42 35%

в) За да се определят секторите (частите от кръга), които съответстват на броя на учениците, получили еднакви оценки, трябва да се намери централният ъгъл за всеки сектор. На полуокръжност отговарят 180°, а на окръжността – 360°. Приема се, че целият кръг е 100%. На 100% съответстват 360°, на 1% отговарят = 3,6°. Пресмятаме: на 10% → 10 . 3,6° = 36°, на 25% → 25 . 3,6° = 90°, на 30% → 30 . 3,6° = 108°, на 35% → 35 . 3,6° = 126°, като 36° + 90° + 108° + 126° = 360°. Начертаваме окръжност и с помощта на транспортир последователно нанасяме 36°, 90°, 108°, 126° и така я разделяме на 4 части. Съединяваме всяко от получените деления с центъра на окръжността и получаваме кръгова диаграма за успеха на учениците.

ЗАДАЧИ

1 На кръговата диаграма е представено разпределението на служителите в една болница. Отсечките АВ и CD са диа метри на кръга и AOD + BOC = 288°. а) Колко процента от служителите в болницата са специалисти по здравни грижи? б) Намерете средната заплата (в лв.) на служителите, ако лекарите получават заплата средно по 1400 лв, специалистите по здравни грижи – средно по 700 лв, санитарите – средно по 300 лв, а другият персонал – средно по 900 лв. в) Ако лекарите са с 150 човека повече от санитарите, намерете броя на служителите в болницата.

Към съдържанието

241

111.

ЗАДАЧИ ОТ ВЕРОЯТНОСТ НА СЪБИТИЯ

Класическа вероятност Ако при даден опит има n възможни изхода и m от тях са благоприятни за събитието А, то вероятността за настъпване на събитието А се нарича отношението на броя на благоприятните към броя на възможните изходи.

1. Вероятността на достоверното събитие е единица: P(Ω) =1 . 2. Вероятността на невъзможното събитие е нула: P(∅) =1 . 3. За вероятността на кое да е събитие А е в сила: 0 ≤ P( A) ≤ 1 .

ЗАДАЧА 1 В партида има 25 изделия I качество, 40 – II качество, и 35 – III качество.

Случайно е избрано едно изделие. Каква е вероятността то: а) да е I качество; б) да не е I качество? Решение: Броят на всички изделия е 25 + 40 + 35 = 100, т.е. всички възможности са n = 100. а) Б роят на изделията, които са I каб) Б роят на изделията, които не са чество е 25, т.е. благоприятните I качество е 40 + 35 = 75, т.е. бла възможности са m = 25 гоприятните възможности са m = 75 ⇒= P 25 = 1. P 75 = 3. ⇒= 100 4 100 4

ЗАДАЧА 2 Буквите от думата „СИМЕТРАЛА“ са написани на отделни еднакви

картончета, а картончетата са разбъркани. По случаен начин е изтеглено едно картонче. Каква е вероятността върху него да е написана: а) буквата „А“; б) гласна буква? Решение: Броят на всички букви (картончета) е 9, т.е. всички възможности са n = 9. а) Н а 2 от картончетата е написана б) На 4 от картончетата е написана гласна буква (И, Е, А, А), т.е. буквата „А”, т.е. благоприятните 2 m=4⇒ P=4. възможности са m = 2 ⇒ P = . 9 9

ЗАДАЧА 3 Числата 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 20 са написани на отделни

еднакви картончета, които са разбъркани. По случаен начин е изтеглено едно картонче. Каква е вероятността числото, написано върху него, да е: а) четно; б) да е кратно на 3? Решение: Броят на всички картончета е 12, т.е. всички възможности са n = 12. а) Н а 6 от картончетата е написано четно число (4, 6, 10, 12, 16, 20), т.е. m=6 ⇒ = P 6= 1 . 12 2

242

б) На 4 от картончетата е написано число, кратно на 3 (6, 9, 12, 15), т.е. m=4⇒ = P 4= 1 . 12 3 Към съдържанието

ЗАДАЧА 4 Имаме тесте от 52 карти. Без да гледаме, теглим една карта.

Каква е вероятността изтеглената карта да е: а) купа; б) седмица? Решение: Броят на всички карти е 52, т.е. всички възможности са n = 52. 2 ♣ 2 ♥ 2 ♦ 2 ♠

3 ♣ 3 ♥ 3 ♦ 3 ♠

4 ♣ 4 ♥ 4 ♦ 4 ♠

5 ♣ 5 ♥ 5 ♦ 5 ♠

6 ♣ 6 ♥ 6 ♦ 6 ♠

7 ♣ 7 ♥ 7 ♦ 7 ♠

8 ♣ 8 ♥ 8 ♦ 8 ♠

9 ♣ 9 ♥ 9 ♦ 9 ♠

10 ♣ 10 ♥ 10 ♦ 10 ♠

J ♣ J ♥ J ♦ J ♠

Q ♣ Q ♥ Q ♦ Q ♠

K ♣ K ♥ K ♦ K ♠

A ♣ A ♥ A ♦ A ♠

a) Броят на купите е 13, т.е. благоприятните възможности са P 13 = 1. m = 13 ⇒ = 52 4

2 ♣ 2 ♥ 2 ♦ 2 ♠

3 ♣ 3 ♥ 3 ♦ 3 ♠

4 ♣ 4 ♥ 4 ♦ 4 ♠

5 ♣ 5 ♥ 5 ♦ 5 ♠

6 ♣ 6♥ 6 ♦ 6 ♠

7 ♣ 7 ♥ 7 ♦ 7 ♠

8 ♣ 8 ♥ 8 ♦ 8 ♠

9 ♣ 9 ♥ 9 ♦ 9 ♠

10 ♣ 10 ♥ 10 ♦ 10 ♠

J ♣ J ♥ J ♦ J ♠

Q ♣ Q ♥ Q ♦ Q ♠

K ♣ K ♥

A ♣ A ♥ A ♦ A ♠

K♦ K ♠

б) Броят на седмиците е 4, т.е. благоприятните възможности са m = 4 ⇒ = P 4= 1 . 52 13

ЗАДАЧА 5 Хвърляме два правилни зара – бял и червен.

Каква е вероятността сборът от точките на двата зара да е: а) седем; б) по-голям от 8? Решение: Броят на всички възможности е n = 36.

a) Благоприятните възможности са m=6⇒= P 6= 1 . 36 6

ЗАДАЧИ

б) Благоприятните възможности са m = 10 ⇒ = P 10 = 5 . 36 18

1 Буквите от думата „КЛАВИАТУРА“

картонче. Каква е вероятността числото, написано върху него, да е: са написани на отделни еднакви карб) да е кратно на 5? тончета, а картончетата са разбърка- а) нечетно; ни. По случаен начин е изтеглено ед- 3 Имаме тесте от 52 карти. Без да глено картонче. Каква е вероятността даме, теглим една карта. Каква е вевърху него да е написана: роятността изтеглената карта да е: а) буквата „А”; б) съгласна буква? а) пика; б) червена? 2 Числата 1, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 15, 4 Хвърляме два правилни зара – бял и 23, 25 са написани на отделни еднакчервен. Каква е вероятността сборът ви картончета, които са разбъркани. от точките на двата зара да е: По случаен начин е изтеглено едно а) по-малък от 4; б) по-голям от 9?

Към съдържанието

243

112.

ПРАКТИЧЕСКИ ЗАДАЧИ ВЪРХУ ТЕМАТА “ЕЛЕМЕНТИ ОТ ВЕРОЯТНОСТИ И СТАТИСТИКА”

ЗАДАЧА 1 В партида има 90 изделия от различно качество. Разпределението

Брой изделия

на изделията по качество е дадено на правоъгълната диаграма.

7m 6m 5m 4m 3m 2m 1m 0 I качество

II качество Вид изделие

III качество

а) Намерете колко от изделията са I качество, II качество и III качество. б) Ако разпределението на изделията се представи с кръгова диаграма, то на колко градуса ще е равен централният ъгъл на сектора „I качество“? в) Каква е вероятността случайно избрано изделие от партидата да е III качество?

Решение: От диаграмата отчитаме: 6 m – брой изделия I качество, 5 m – II качество, 4 m – III качество ⇒ броят на всички изделия е 6 m + 5 m + 4 m = 15 m. а) 15 m = 90 ⇒ m = 6 ⇒ 6 . 6 = 36 изделия са I качество, 5 . 6 = 30 – II качество, 4 . 6 = 24 – III качество. б) На кръговата диаграма на всички изделия ще отговаря централен ъгъл 360°. Централният ъгъл на сектора „I качество” ще е равен на 36 ⋅ 360°= 2 ⋅ 360°= 144° . 90 5 P 24 = 4 . в) От 90 изделия 24 са III качество ⇒ = 90 15

ЗАДАЧА 2 Сервиз за гуми предлага следните цени за смяна на гуми: Вид гума

Брой гум и

Цена (в лв.)

14 цола 15 цола 16 цола 17 цола 8

10 m 9m 8m 7m 6m 5m 4m 3m 2m 1m 0 14 цола

15 цола

16 цола

Вид гума

17 цола

В сервиза за един ден са сменени 200 гуми. На диаграмата е показано разпределението на гумите според вида им. а) Колко лева са приходите за деня от смяната на гумите? б) Ако разпределението на гумите се представи с кръгова диаграма, то на колко градуса ще е равен ъгълът на сектора „16 цола”? в) Каква е вероятността случайно избрана гума да е 14 цолова?

Решение: От диаграмата отчитаме: 7 т – брой гуми 14 цола, 10 т – 15 цола, 5 т – 16 цола, 3 т – 17 цола.

244

Към съдържанието

7 т + 10 т + 5 т + 3 т = 200 25 т = 200 т = 8 ⇒ 7 . 8 = 56 гуми са 14 цола, 10 . 8 = 80 гуми са 15 цола 5 . 8 = 40 гуми са 16 цола, 3 . 8 = 24 гуми са 17 цола а) Приходите за деня са 56 . 8 + 80 . 12 + 40 . 14 + 24 . 16 = 2352 лв. б) Централният ъгъл на сектора „16 цола” ще е равен на 40 ⋅ 360°= 1 ⋅ 360°= 72° . 200 5 P 56 = 7 . в) От 200 гуми 56 са 14 цола ⇒= 200 25

ЗАДАЧА 3 Живеещите в един блок решили да направят топлоизолация на целия блок. На кръговата диаграма е представено разпределението на апартаментите по видове. Диаметърът на кръга е MN, MOP : NOP = 2 : 3 . Броят на тристайните апартаменти в блока е 36. Средствата, които трябва да заплати един апартамент за топлоизолацията са показани в таблицата. M

Четиристаен

O Двустаен Тристаен

Вид апартамент

Средства (в лв.)

Двустаен

1700

Тристаен

2000

Четиристаен

2500

а) Колко апартамента има в блока? б) Колко лева струва изолацията на блока? в) Колко лева средно трябва да плати един апартамент?

Решение: MOP : NOP = 2 : 3 ⇒ MOP = 2x и NOP = 3x MN е диаметър ⇒ MON = 5x. Четиристайни : Тристайни : Двустайни = MOP : NOP : MON = 2 : 3 : 5 Означаваме: 2х – четиристайни апартаменти, 3х – тристайни апартаменти, 5х – двустайни апартаменти. Всички апартаменти в блока са 10х. Тристайните апартаменти са 36 ⇒ 3х = 36 ⇒ х = 12. а) В блока има 10х = 10 . 12 = 120 апартамента. б) Четиристайните апартаменти са 2х = 2 . 12 = 24. Двустайните апартаменти са 5х = 5 . 12 = 60. Топлоизолацията на всички апартаменти струва 60 . 1700 + 36 . 2000 + 24 . 2500 = 102 000 + 72 000 + 60 000 = 234 000 лв. в) Средната цена за топлоизолация на един апартамент е 234 000 = 1950 лв. 120 Към съдържанието

245

ОБЩИ ЗАДАЧИ ВЪРХУ ТЕМАТА “ЕЛЕМЕНТИ ОТ ВЕРОЯТНОСТИ И СТАТИСТИКА“

Брой ученици

1. Дадена е сравнителна диаграма на резултатите от пробен изпит по математика за ученици от 7 клас. 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Слаб

Среден

Добър

момичета

Много добър

от 7. клас. Диаметърът на големия кръг е MN, MOQ : NOQ = 1: 4 ,

= NOP NOQ − 36○ . Резултатът на 80 ученици е „Добър“.

Отличен

момчета

а) Колко е общият среден успех от изпита? б) Каква е вероятността произволно избран ученик да е момиче? в) Каква е вероятността произволно избран ученик да е получил оценка „Добър“? 2. На кръговата диаграма е представено разпределението на оценките, получени от пробен изпит по математика. Броят на учениците, които са получили оценка „Слаб“, е с 16 по-малък от броя на учениците с оценка „Среден“.

а) Колко процента от учениците са получили оценка „Добър“? б) Колко е броят на учениците, които са се явили на изпита? в) Каква е вероятността произволно избран ученик да е получил оценка „Отличен (6,00)“? 4. На кръговата диаграма е представено разпределението на разходите за почивка на едно семейство. Отсечката АВ е диаметър на кръга, BOC = 9.AOC и BOD : AOD = 3 : 7. D

Отличен 15%

Транспорт

Среден 20%

Настаняване

O уги

Добър 30%

Др

Много добър 25%

Слаб 10%

Храна

C а) Какво е отношението на разходите за б) Каква е вероятността произволно избран „Настаняване“ към разходите за „Храна“? ученик да е получил оценка „Много добър“? б) Колко процента от всички разходи са в) Колко градуса е централният ъгъл на сек- за „Транспорт“? тора „Отличен“? в) Ако разходите за настаняване са с 3. Дадена е кръгова диаграма на резултатите 220 лв. по-малко от тези за храна, намереот пробен изпит по математика за ученици те колко са всичките разходи за почивката.

а) Колко е общият среден успех от изпита?

246

Към съдържанието

113.

ТЕСТ № 1 ВЪРХУ ТЕМАТА „ЕЛЕМЕНТИ ОТ ВЕРОЯТНОСТИ И СТАТИСТИКА“ 1. В една кутия има 16 бели и 14 черни топки. Изважда се по случаен начин една топка. Вероятността тя да е черна е:

чество? А) 72° ; Б) 108° ; В) 162° ; Г) 144° .

А) 1 ;

8. Дадена е сравнителна диаграма на резултатите от пробен изпит по математика за ученици от 7. клас.

Б) 1 ; 30

В) 7 ; 8

Г)

2. Хвърляме правилен зар. Вероятността да се паднат повече от четири точки е: А) 1 ; 3

Б) 1 ; 2

В) 2 ; 3

Г) 1 . 4

3. В лотария са пуснати 1500 билета, между които 180 са печеливши. Купен е един билет. Вероятността той да не е печеливш е:

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Слаб 2

А) 3 ; 25

Б) 22 ; 25

В) 71 ; 75

Г) 13 . 15

4. Числата 1, 2, 3, 4, 6, 8, 13, 18, 25 са написани на отделни еднакви картончета, а картончетата са разбъркани. По случаен начин е изтеглено едно от тях. Вероятността върху него да е написано нечетно число е: А) 5 ; 9

Б) 4 ; 9

В) 1 ; 9

Г) 4 . 5

5. Буквите от думата „ПРОТИВОПОЛОЖНИ“ са написани на отделни еднакви картончета, а картончетата са разбъркани. По случаен начин е изтеглено едно от тях. Вероятността върху него да не е написана съгласна буква е: А) 3 ; 7

Б) 4 ; 7

В) 1 ; 6

Б) 1 ; 52

В) 1 ; 4

Много добър 5

Отличен 6

Намерете: а) средния успех от изпита; б) вероятността произволно избран ученик да има оценка „Добър 4“. 9. На пробен изпит по математика се явили 150 ученици от 7 клас. На кръговата диаграма е представено разпределението на получените от тях оценки. Дадено е, че α : β : γ : δ : ϕ = 8 : 7 : 6 : 4 : 5.

Г) 4 . 13

7. В партида има 34 изделия от I качество, 26 – от II качество и 40 – от III качество. Ако разпределението на изделията се представи с кръгова диаграма, то на колко градуса ще е равен централният ъгъл на сектора III ка-

Към съдържанието

Добър 4

Г) 1 .

6. Имаме тесте от 52 карти. Без да гледаме теглим една карта. Вероятността изтеглената карта да е спатия е: А) 1 ;

Среден 3

а) Намерете големината на ъгъл α в градуси. б) Колко ученици са получили оценка, повисока от „Добър“? в) Колко процента от учениците са получили оценка „Среден“? 10. Хвърляме два правилни зара – бял и червен. Намерете вероятността сборът от точките на двата зара да е по-малък от 6.

247

ТЕСТ № 2 ВЪРХУ ТЕМАТА „ЕЛЕМЕНТИ ОТ ВЕРОЯТНОСТИ И СТАТИСТИКА“ 1. В една кутия има 16 бели и 24 черни топки. гова диаграма, то на колко градуса ще е раИзважда се по случаен начин една топка. Ве- вен централният ъгъл на сектора I качество? роятността тя да е бяла е: А) 72° ; Б) 90° ; В) 98° ; Г) 108° . 8. Дадена е сравнителна диаграма на реА) 2 ; Б) 2 ; В) 3 ; Г) 1 . зултатите от пробен изпит по математика 3 5 16 5 за ученици от 7. клас. 2. Хвърляме правилен зар. Вероятността да се паднат по-малко от пет точки е: А) 1 ; 6

Б) 1 ; 5

В) 2 ; 3

Г) 5 . 6

3. В лотария са пуснати 2500 билета, между които 200 са печеливши. Купен е един билет. Вероятността той да не е печеливш е: А) 23 ; 25

Б) 2 ; 25

В) 68 ; 75

24 21 18 15 12 9 6 3 0

Слаб 2

Среден 3

Добър 4

Много добър 5

Отличен 6

Г) 24 . 25

Намерете: 4. Числата 1, 3, 4, 6, 8, 10, 13, 14, 18, 25 са на- а) средния успех от изпита; писани на отделни еднакви картончета, а кар- б) вероятността произволно избран ученик тончетата са разбъркани. По случаен начин е из- да има оценка „Среден 3“. теглено едно тях. Вероятността върху него да е 9. На пробен изпит по математика се явинаписано четно число е: ли 150 ученици от 7. клас. На кръговата диаграма е представено разпределението А) 1 ; Б) 3 ; В) 2 ; Г) 1 . на получените от тях оценки. Дадено е, че 6 5 10 5 5. Буквите от думата „ПРИЛАГАТЕЛНО“ са на- α : β : γ : δ : ϕ = 7 : 6 : 5 : 3 : 4. писани на отделни еднакви картончета, а картончетата са разбъркани. По случаен начин е изтеглено едно тях. Вероятността върху него да не е написана гласна буква е: А) 5 ; 7

Б) 5 ; 12

В) 1 ; 12

Г) 7 . 12

6. Имаме тесте от 52 карти. Без да гледаме, те- а) Намерете големината на ъгъл γ в градуси. глим една карта. Вероятността изтеглената кар- б) Колко ученици са получили оценка, пота да е картинка (вале, дама, поп, асо) е: ниска от „Добър“? в) Колко процента от учениците са получиА) 4 ; Б) 3 ; В) 1 ; Г) 1 . ли оценка „Отличен“? 13 13 16 13 7. В партида има 35 изделия от I качество, 50 – 10. Хвърляме два правилни зара – бял и от II качество и 55 – от III качество. Ако раз- червен. Намерете вероятността сборът от пределението на изделията се представи с кръ- точките на двата зара да е по-голям от 7.

248

Към съдържанието

ТЕМА 8 ПОСТРОЕНИЯ С ЛИНИЯ И ПЕРГЕЛ (Урок № 114 – Урок № 117)

В ТАЗИ ТЕМА СЕ ИЗУЧАВАТ

основни геометрични построения.

УЧЕНИЦИТЕ СЕ НАУЧАВАТ:

• да построяват триъгълник по две страни и ъгъл между тях; • да построяват триъгълник по страна и два прилежащи ъгъла; • да построяват триъгълник по дадени три страни; • да построяват успоредник.

Към съдържанието

114.

ПОСТРОЯВАНЕ НА ТРИЪГЪЛНИК ПО ДВЕ СТРАНИ И ЪГЪЛ МЕЖДУ ТЯХ

ЗАДАЧА 1 Да се построи триъгълник по дадени две страни и ъгъл между тях. Основна задача

Дадено: b c

Да се построи: ABC За да съобразим как да извършим построението, начертаваме произволен триъгълник и отбелязваме елементите, които трябва да са равни на дадените отсечки и ъгли.

α Построение: C q

Построяваме: 1. лъч Ap→ → връх A (на търсения триъгълник); 2. AB = c, B ∈ p → връх B; 3. (p, q) = α (в λ); 4. AC = b, C ∈ q → връх C; 5. ABC.

Обосновка: ABC е търсеният, защото по построение AB = c, (p, q) = α и AC = b. Разсъждения върху решението на задачата: За да има задачата решение, трябва α < 180º. В полуравнината l може да се построи още един триъгълник, който ще е еднакъв на вече построения. Прието е построението да се извършва в едната полуравнина и да се казва, че задачата има едно решение, определено с точност до еднаквост.

ЗАДАЧА 2 Да се построи правоъгълен триъгълник по дадени два катета. Основна задача

Дадено: a b Построение:

Да се построи: ABC (C = 90°) За да съобразим как да извършим построението, начертаваме произволен правоъгълен триъгълник и отбелязваме дадените елементи. Построяваме: 1. лъч Cp→ → връх C (на търсения триъгълник); 2. (Cp→, Cq→) = 90°; 3. CB = a, B ∈ Cq→ → връх B; 4. CA = b, A ∈ Cp→ → връх A; 5. ABC (C = 90°).

250

Към съдържанието

Обосновка: ABC е търсеният, защото по построение C = 90°, CB = a, CA = b. Разсъждения върху решението на задачата: В полуравнината λ задачата има две решения, които са еднакви триъгълници. Построението е винаги възможно. Следствие на задача 2: Да се построи правоъгълен равнобедрен триъгълник по даден катет.

ЗАДАЧА 3 Да се построи правоъгълен триъгълник по дадени катет a и хипотенуза c. Основна задача

Дадено: a c

Да се построи: ABC (C = 90°)

Построение:

Построяваме: 1. права p; 2. C ∈ p; 3. ъгъл с връх C, (p, q) = 90°; 4. CB = a, B ∈ Cq→ → връх B; 5. k (B; r = c); 6. k ∩ Cp→ = A → връх A; 7. ABC.

Обосновка: ABC е търсеният, защото по построение CB = a, AB = c и C = 90°. Разсъждения върху решението на задачата: В полуравнината λ задачата има две решения, които са еднакви триъгълници. Построението е възможно при c > a. При c < a окръжността k и правата a няма да се пресекат, а при c = a няма да има триъгълник, защото A ≡ C. • П о І признак: “Два триъгълника са еднакви, ако имат по две страни и ъгъл между тях съответно равни.” В Задача 1 показахме, че може да се построи триъгълник, ако са дадени две страни и ъгъл между тях. • П о ІV признак (признакът за еднаквост на два правоъгълни триъгълника): “Два правоъгълни триъгълника са еднакви, ако имат по катет и хипотенуза съответно равни.” В Задача 3 показахме, че може да се построи правоъгълен триъгълник, ако са дадени катет и хипотенуза.

ЗАДАЧИ

1 Да се построи равнобедрен правоъгъ- 3 Като се използва правоъгълен триъгъл

лен триъгълник по даден катет. ник, да се построи ъгъл, равен на 45º. 2 Да се построи равнобедрен триъгъл- 4 Да се построи ABC, ако са дадени ник по дадени бедро и ъгъл между бестраните a, b = 2a и ъгъл между тях, драта. равен на 45º.

Към съдържанието

251

115.

ПОСТРОЯВАНЕ НА ТРИЪГЪЛНИК ПО СТРАНА И ДВА ПРИЛЕЖАЩИ ЪГЪЛА

ЗАДАЧА 1 Да се построи триъгълник по дадени страна и два, Основна задача

прилежащи към тази страна, ъгъла. Дадено:

Да се построи: ABC

Построение:

Построяваме: 1. лъч Ap→ → връх A; 2. AB = c, B ∈ p → връх B; 3. (p, q) = α (в λ); 4. (BA→, Br→) = β (в λ); 5. q→ r→ = C → връх C; 6. ABC.

Обосновка: ABC е търсеният, защото по построение AB = c, A = α и B = β. Разсъждения върху решението на задачата: За да има задачата решение, трябва лъчите Aq→ и Br→ да се пресекат. Лъчите Aq→ и Br→ се пресичат в една точка, ако α + β < 180º. В полуравнината λ задачата има едно решение.

ЗАДАЧА 2 Да се построи триъгълник по дадени страна, прилежащ ъгъл и срещулежащ ъгъл към тази страна. c Дадено: c, α, g c

Построение:

Да се построи: ABC

Построяваме β = 180º – (α + γ). Така решението на Задача 2 се свежда до решението на Задача 1, т.е. построяваме ABC по дадени страна c и два прилежащи към нея ъгъла α и β. Задачата има решение при α + γ < 180º.

По ІІ признак: “Два триъгълника са еднакви, ако имат по страна и два прилежащи ъгъла съответно равни.” В Задача 1 и 2 показахме как може да се построи триъгълник, ако са дадени страна и два ъгъла.

252

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 Да се построи равнобедрен триъгълник по дадени основа и ъгъл при основата. Дадено:

Да се построи: ABC (A = B = α) α

Построение:

Построяваме: 1. лъч Ap→ → връх A; 2. AB = c, B ∈ p → връх B; 3. (Ap→, Aq→) = α; 4. (BA→, Br→) = α; 5. Aq→ ∩ Br→ = C → връх C; 6. ABC.

Обосновка: ABC е търсеният, защото по построение AB = c, A = α. От A = B = α по построение следва, че ABC е равнобедрен с основа AB. Разсъждения върху решението на задачата: В полуравнината λ задачата има едно решение, при условие че α < 90º.

ЗАДАЧА 4 Да се построи правоъгълен триъгълник по дадени хипотенуза и остър ъгъл. Да се построи: ABC (C = 90°)

Дадено: β Построение:

Построяваме: 1. лъч Ap→ → връх A; 2. AB = c, B ∈ p → връх B; 3. (BA→, Bq→) = β; 4. права a ∈ A, a ⊥ q; 5. a→ q→ = C → връх C; 6. ABC.

Обосновка: ABC е търсеният, защото по построение AB = c, B = β и от a ⊥ q ⇒ C = 90°. Разсъждения върху решението на задачата: В полуравнината λ задачата има едно решение.

ЗАДАЧИ

1 Постройте правоъгълен триъгъл-

ник по дадени катет и остър ъгъл.

2 Постройте равнобедрен триъгълник по дадени основа и ъгъл при основата, равен на 45º.

Към съдържанието

3 Постройте триъгълник по дадени стра-

на и два прилежащи ъгъла α и β = 2α, като α = 30º. 4 В ABC α + β = γ и височината CH разполовява ъглополовящата AL. Намерете големината на ABC.

253

116.

ПОСТРОЯВАНЕ НА ТРИЪГЪЛНИК ПО ТРИ СТРАНИ

ЗАДАЧА 1 Да се построи триъгълник по дадени три страни. Дадено:

Построение:

Построяваме: 1. лъч Ap→ → връх А; 2. АВ = с В ∈ р → връх B; 3. k1 ( A ; r = b) ; 4. k2 ( B ; r = a ) ; 5. C = k1 × k2 (в λ) → връх C; 6. ABC.

Обосновка: = AB c= , AC= rk1 b= , BC rk2 = a . ABC е търсеният, защото по построение Разсъждения върху решението на задачата: Нека а ≤ b ≤ c. Ако е нарушено условието c < b + a , окръжностите k1 и k2 ще са разположени както на чертeжите и няма да се пресичат. а)

б)

Ако е изпълнено условието c < b + a , окръжностите k1 и k2 се пресичат, т.е. има триъгълник със страни a, b, c, както е получен ABC на чертежа. С тези разсъждения обосновахме теоремата от урока „Неравенство на триъгълника“: Ако всяка от три дадени отсечки a, b, c е по-малка от сумата на другите две, то има триъгълник със страни, равни на тези отсечки. Тогава е вярна теоремата:

T 254

Отсечките a, b, c са страни на триъгълник тогава и само тогава, когато всяка от тях е по-малка от сбора на другите две.

Към съдържанието

Приложение При решаване на някои задачи за доказателство и изчисление се налага да се чертае равностранен и равнобедрен триъгълник. На практика това става така: Равностранен триъгълник Построяваме едната му страна а и с разтвор на пергела, равен на а, „засичаме” върха С.

Равнобедрен триъгълник Построяваме основата с и с разтвор на пергела, равен на b > c , 2 „засичаме” върха С.

ЗАДАЧА 2 Постройте ъгъл, равен на: а) 60°; Решение:

б) 30°; в) 15°;

г) 45°.

а) 60° → Построяваме произволен равностранен АВС. Всеки негов ъгъл ( BAC) е равен на 60°. б) 30° → Построяваме ъглополовящата на ъгъл 60°. BAM = MAC = 30° в) 15° → Построяваме ъглополовящата на ъгъл 30°. NAM = BAN = 15° г) 45° → От S NAM + S MAC получаваме NAC = 45° .

ЗАДАЧИ

1 Постройте ABC по три страни a,

b, c, ако: а) a = 3 cm , b = 5 cm , c = 6 cm ; б) a = 2 cm , b = 4 cm , c = 3 cm ; в) a = 4 cm , b = 3 cm , c = 5 cm ; г) a = 3,5 cm, b = 2,5 cm, c = 4 cm. Упътване: Начертайте три прави. Върху всяка права нанесете отсеч-

Към съдържанието

ка с дадената дължина, като използвате линия с деления. Означете получените три отсечки съответно с a, b, c. Постройте само с линия и пергел триъгълник със страни a, b, c, които да са начертаните отсечки. 2 Постройте ъгъл, равен на: а) 60°; б) 120°; в) 150°; г) 135°.

255

117.

ПОСТРОЯВАНЕ НА УСПОРЕДНИК

ЗАДАЧА 1 Да се построи успоредник по дадени две съседни страни и ъгъл между тях. Дадено:

Построение:

Да се построи: успоредник ABCD Ако начертаем диагонала BD, ABD може да се построи по две страни и ъгъл между тях. Диагоналът BD (= d) е страна в BСD, който също може да се построи по три страни: a, b, d. Построяваме: 1. лъч Ap→ → връх А; 2. AB = a, B ∈ p → връх B; 3. (p, q) = α (в λ); 4. AD = b, D ∈ q → връх D; 5. ABD; 6. k1 (D; r = a), k2 (B; r = b); 7. k1 k2 = C → връх C; 8. четириъгълник ABCD. Oбосновка: Четириъгълникът ABCD е успоредник, защото по построение AB = DC и AD = BC, т.е. има две двойки равни срещуположни страни (Т). Успоредникът ABCD е търсеният, защото по построение AB = a, AD = b и BAD = α. Разсъждения върху решението: За да има задачата решение, трябва да съществува триъгълник по дадени a, b и α, т.е. 0 < α < 180°. От VABD ≅ VCDB ⇒ BСD със страни d, b, a съществува. В полуравнината λ, определена от Ap →, задачата има едно решение.

Приложения на Задача 1 Като се използва решението на Задача 1, могат да се построят: • произволен успоредник – начертаваме произволен ъгъл с връх А и върху раменете му избираме две точки В и D. С пергела извършваме стъпки 5, 6, 7 и 8 и получаваме успоредника ABCD; • успоредни прави – при построяване на произволен успоредник ABCD правите AB || DC и AD || BC.

256

Към съдържанието

ЗАДАЧА 2 Ако са дадени права а и точка М ∉ а, да се построи права b през М така, че b || a.

Решение: Върху правата а избираме произволно две точки А и В и построяваме успоредник ABDМ по дадени три върха А, В и М. Търсената права b е правата MD. Построението в Задача 2 се използва при решаване на Задача 3 → точките А, В, M определят триъгълник.

ЗАДАЧА 3 Постройте успоредник по дадени две страни и диагонал. Дадено: Построение:

Да се построи: успоредник ABCD Диагоналът BD (AC) разделя успоредника на два триъгълника, всеки от които може да се построи по дадени три страни. Построяваме: 1. лъч Ap→ → връх А; 2. AB = a, B ∈ p → връх B; 3. k1 (A; r = b), k2 (B; r = d); 4. D = k1 k2 → връх D; 5. k3 (D; r = a), k4 (B; r = b); 6. C = k3 k4 → връх C; 7. ABCD. Обосновка: Четириъгълникът ABCD е търсеният успоредник, защото по построение AB = DC = a, AD = BC = b и BD = d . Разсъждения върху решението на задачата: За да има задачата решение, дадените отсечки a, b, d трябва да са страни на триъгълник, т.е. да изпълняват условията: a < b + d; b < a + d; d < a + b.

1 Да се докаже, че ако в четириъгълник

6 cm и e 0,3 части от периметъра му. Намерете дължината на страната AD. ABCD AB || CD и A + B = 180°, той е успоредник. 3 Да се построи успоредник по дадени два диагонала и ъгъл между тях. 2 В успоредник ABCD страната AB e

ЗАДАЧИ

Т Е С Т

4 Периметърът на успоредник е 76 cm. 5 Страните AB и AD на успоредник Едната му страна е с 10% по-малка от другата. Разликата на страните на успоредника в сантиметри е: А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4.

Към съдържанието

ABCD са съответно 15 cm и 8 cm. Ако АЕ е ъглополовящата на DАB, дължината на отсечката ЕС (в cm) е: А) 7; Б) 8; В) 9; Г) 10.

257

ЗАПОМНЕТЕ! Построения с линийка и пергел Това са вид геометрични задачи за построение само с помощта на два чертожни инструмента: • линийка без деления; • пергел. Не е разрешено използването на други чертожни инструменти като транспортир (за точно отмерване на градусите) или триъгълник (за изчертаване на прав ъгъл). Основни построителни задачи: • построяване на отсечка, равна на дадена отсечка; • построяване на сбор и разлика на отсечки; • построяване на ъгъл, равен на даден ъгъл; • построяване на сбор и разлика на ъгли;

• построяване на перпендикуляр от точка към права;

• построяване на права, успоредна на дадена права, през дадена точка; • построяване на симетрала на дадена отсечка; • построяване на ъглополовяща на даден ъгъл. Построяване на триъгълник: • по дадени две страни и ъгъл между тях;

• по дадени страна и два прилежащи ъгъла; • по дадени три страни.

Построяване на успоредник:

• по дадени две съседни страни и ъгъл между тях; • по дадени две съседни страни и диагонал. Нерешими задачи:

• Квадратура на кръг – задачата изисква да се построи квадрат, равнолицев на даден кръг с радиус 1. Следователно трябва да се построи отсечка с дължина π, което е невъзможно;

• Трисекция на ъгъл – задачата изисква произволен ъгъл с големина α да се раздели на три равни части, което е невъзможно.

258

Към съдържанието

изходно ниво (Урок № 118 – Урок № 121)

ПРИМЕРЕН ТЕСТ ЗА ИЗХОДНО НИВО С РЕШЕНИЯ

ДВА ПРИМЕРНИ ТЕСТА ЗА ИЗХОДНО НИВО

Към съдържанието

259

118.

ПОДГОТОВКА ЗА ИЗХОДНО НИВО №1

ЗАДАЧА 1 Приведете изразите в нормален вид: a) (2x + 1)2 – 3x(x – 2) – 5(2x + 1); б) (x2 + 2) (x2 – 3) – (x + 3) (x3 – 2) + 3x3; в) (3x – 2)(9x2 + 6x + 4) – (3x – 1)3 – (5x + 3)(5x – 3). Решение: а) (2x + 1)2 – 3x(x – 2) – 5 (2x + 1) = = 4x2 + 4x + 1 – 3x2 + 6x – 10x – 5 = x2 – 4 б) (x2 + 2)(x2 – 3) – (x + 3)(x3 – 2) + 3x3 = = x2(x2 – 3) + 2(x2 – 3) – x (x3 – 2) – 3(x3 – 2) + 3x3 = = x4 – 3x2 + 2x2 – 6 – x4 + 2x – 3x3 + 6 + 3x3 = = – x2 + 2x в) (3x – 2) (9x2 + 6x + 4) – (3x –1)3 – (5x + 3)(5x – 3) = = 27x3 – 8 – (27x3 – 27x2 + 9x – 1) – (25x2 – 9) = = 27x3 – 8 – 27x3 + 27x2 – 9x + 1 – 25x2 + 9 = = 2x2 – 9x + 2

ЗАДАЧА 2 Решете уравненията: а) (x +1)3 – x (x + 2)(x – 2) = 3(x2 + x + 3); в) |x2 + 8x – 4,5| = 4,5.

б) (2x – 2)2 – (x + 1)2 = (3x – 1)(x – 3);

Решение: а) (x +1)3 – x(x + 2)(x – 2) = 3(x2 + x + 3) x3 + 3 x 2 + 3 x + 1 − x( x 2 − 4) = 3 x 2 + 3 x + 9 x + 3x + 3x + 1 − x + 4 x = 3x + 3x + 9 4x +1 = 9 4x = 8 x=2 3

в)

б) (2x – 2)2 – (x + 1)2 = (3x – 1)(x – 3) 4 x 2 − 8 x + 4 − ( x 2 + 2 x + 1)= 3 x 2 − 9 x − x + 3 4 x 2 − 8 x + 4 − x 2 − 2 x − 1= 3 x 2 − 10 x + 3 3 x 2 − 10 x + 3 = 3 x 2 − 10 x + 3 0x = 0 Всяко х е решение.

| x2 + 8x – 4,5 | = 4,5

x 2 + 8 x − 4,5 = 4,5 x2 + 8x − 9 = 0 x2 + 9x − x − 9 = 0 x( x + 9) − 1( x + 9) = 0 ( x + 9) ( x − 1) = 0

или x2 + 8x – 4,5 = – 4,5 x2 + 8x = 0 x(x + 8) = 0 x = 0 или x + 8 = 0 x3 = 0 x4 = – 8

x + 9 = 0 или x – 1 = 0 x1 = – 9 x2 = 1

260

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 Решете неравенствата: а) ( x − 3) 2 − x( x − 7) < 3 x − 5 ;

б) (2 x + 3) 2 − 13( x + 1) ≥ (2 x + 1) (2 x − 1) ;

в) ( x + 3) 2 − 6( x + 1) < ( x + 4) ( x − 4) ;

г) ( x + 2)3 − 8 ≤ ( x + 6) ( x 2 + 12) .

Решение: а) (x – 3)2 – x(x – 7) < 3x –5 x 2 − 6 x + 9 − x 2 + 7 x < 3x − 5 x + 9 < 3x − 5 −2 x < −14 |: (−2) x>7 7 x (7, + ) 7 x (7, + ) в) (x + 3)2 – 6(x + 1) < (x + 4) (x – 4) x 2 + 6 x + 9 − 6 x − 6 < x 2 − 16 x 2 + 3 < x 2 − 16 0 x < −19 Неравенството няма решение.

б) (2 x + 3) 2 − 13( x + 1) ≥ (2 x + 1) (2 x − 1) 4x2 + 12x + 9 –13x – 13 ≥ 4x2 – 1 –x – 4 ≥ –1 –x ≥ 3 |.(–1) x ≤ –3 –3 x (– , –3] –3 x (– , –3]3 ( x + 2) − 8 ≤ ( x + 6) ( x 2 + 12) г) x3 + 6 x 2 + 12 x + 8 − 8 ≤ x3 + 12 x + 6 x 2 + 72 0 x ≤ 72 Всяко х е решение на неравенството.

ЗАДАЧА 4 От град А за град В пътувал автобус с постоянна скорост 80 km/h. След

15 min от тръгването си той срещнал лека кола, идваща от В с постоянна скорост 100 km/h. Леката кола пристигнала в град А и след престой от 12 min тръгнала обратно за град В и настигнала автобуса на 70 km преди В. Намерете разстоянието от А до В. Решение: A

C x

20 km

B 70 km

В точка С леката кола и автобусът се срещат. 1 20 km S AC 80. = t AC = 15 =′ 15 = 1 h, = 4 60 4 Означаваме с x разстоянието от С до D, x > 0 (km). =′ 12 = 1 h SAB = 20 + x + 70 = x + 90 (km), t престой = 12 60 5 S (km) V (km/h) автобус

лека кола

x + 40

100

Към съдържанието

t (h)

tавт. = t л.к. + t престой

x x + 40 + 1 | .400 = x 80 100 5 80 5x = 4x + 160 + 80 x + 40 x = 240 (km) 100 SAB = x + 90 = 240 + 90 = 330 (km)

261

119.

ПОДГОТОВКА ЗА ИЗХОДНО НИВО №2

ЗАДАЧА 1 В VABC a : b : g = 2 : 1 : 3, AL e ъглополовяща и CD е височина. Ако AD = m, CL = 2n, изразете чрез m и n обиколката и лицето на: а) VADC; б) VABC; в) VBDC; Решение: 1. a = 60°; b = 30°; g = 90 °

г) VABL.

2. AL e ъглополовяща ⇒ S BAL = S CAL= 30° VACL – правоъгълен с 30° АL = 2.CL = 2.2n = 4n 3. VABL – равнобедрен AL = BL = 4n

5. VACD – правоъгълен с 30° AC = 2.AD = 2m

4. BC = BL + LC = 4n + 2n = 6n VBCD – правоъгълен с 30° CD =1 BC =1 ⋅ 6n =3n 2 2 6. VABC – правоъгълен с 30° AB = 2.AC = 2.2m = 4m BD = AB – AD = 4m – m = 3m .CD m= .3n 1,5m.n AD= 2 2

a) VADC:

РVADC = АD + CD + CA = = m + 3n + 2m = 3.(m + n)

SVADC =

б) VABC:

PVABC = AB + AC + CB = = 4m + 2m + 6n = 6 (m + n)

.CD 4= m.3n 6m.n = SVABC = AB 2 2

в) VBDC:

РVBDC = BD + DC + CB = = 3m + 3n + 6n = 3(m + 3n)

.CD 3= m.3n 4,5m.n = SVBDC = BD 2 2

г) VABL:

PVABL = AB + AL + BL = = 4m + 4n + 4n = 4(m + 2n)

. AC 4= n.2m 4m.n SVABL BL = = 2 2

ЗАДАЧА 2 В VABC a : b : g = 3 : 11 : 4, SAB ∩ AC = M, SBC ∩ AC = N и SAB ∩ SBC = O.

а) Намерете ъглите на VMBN. б) Докажете, че РVMBN = AC. в) Докажете, че BO e ъглополовяща на SMBN. г) Намерете ъглите на VACО. Решение:

1. a = 30°, b = 110°, g = 40° 2. M ∈ sAB ⇒ MA = MB = m VABM е равнобедрен SABМ = a = 30° SBMN = 2a = 60° (външен ъгъл)

262 Към съдържанието

3. N ∈ sBC ⇒ NB = NC = n VBCN е равнобедрен SNBC = g = 40° SBNM = 2g = 80° (външен ъгъл)

4. VMBN S MBN = 180° – (60° + 80°) = 40° VMBN (60°, 40°, 80°)

5. Означаваме MN = q, AC = AM + MN + NC = m + q + n  AC  ⇒ P MBN = P MBN = MB + MN + NB = m + q + n  6. O ∈ s AB ⇒ OA = OB  OA = OC ⇒ ACO e равнобедрен ⇒ OAC = OCA = ϕ O ∈ sBC ⇒ OB = OC  7. VOAM @ VOBM (III пр.) ⇒ SOAM = SOBM = j 8. VOCN @ VOBN (III пр.) ⇒ SOCN = SOBN = j 9. От 7. и 8. ⇒ SOBM = SOBN = j ⇒ OB е ъглополoвяща на SMBN. 10. MBN= 2ϕ= 40° ⇒ ϕ= 20° OAC AOC = 180° − 2 . 20= ° 140° ACO (20°; 20°;140°)

ЗАДАЧА 3 В ромба ABCD SBAD = 52° и AC ∩ BD = 0. Външно за ромба е построен квадрат DCPQ и DP ∩ CQ = O1. Намерете големината на SOO1D. Решение: 1. ABCD – ромб, AC – ъглополовяща на SBAD ⇒ BAC= 1 BAD= 1 52°= 26° 2 2 ACD= BAC= 26° (кръстни) DOC = 90°( AC ⊥ BD) 2. DCPQ – квадрат DP ⊥ CQ ⇒ CO1 D =90° DCO1= 1 90°= 45° 2 3. VDOC и VDO1C са прaвоъгълни с обща хипотенуза DC. Построяваме т. М – среда на CD. = OM 1= DC , O1M 1 DC ⇒ VOMO1 e равнобедрен 2 2 SO1OM = SOO1M = j.

4. V OMC, OM = MC SMOC = SMCO = 26° SOMD = 26° + 26° = 52° (външен ъгъл) 5. V O1MC, O1M = MC SMO1C = S MCO1 = 45° SO1MD = 45° + 45° = 90°

6. От 4. и 5. ⇒ SOMO1 = 52° + 90° = 142° ⇒ j = (180° – 142°) : 2 = 38° : 2 = 19° 7. SOO1D = SMO1D – SMO1O = 45° – 19° = 26°

Към съдържанието

Отг. SOO1D = 26°

263

120.

ТЕСТ С РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧА 1 Коренът на уравнението ( x − 3)2 − x( x + 5) = 4(3 − 2 x) е: А) 7; Решение:

Б) –1;

В) 1;

Г) 3.

x 2 − 6 x + 9 − x 2 − 5 x = 12 − 8 x −11x + 9 = 12 − 8 x −11x + 8 x =12 − 9 −3 x = 3 x = −1

Отг. Б)

ЗАДАЧА 2 Решенията на неравенството (2 x − 1)2 − (3x − 1) ( x − 2) < x( x + 5) − 7 са: А) x < –3; Решение:

Б) x > –3;

В) x < 3;

Г) x > 3.

4 x 2 − 4 x + 1 − ( 3 x( x − 2) − 1( x − 2) ) < x 2 + 5 x − 7 4 x 2 − 4 x + 1 − (3 x 2 − 6 x − x + 2) < x 2 + 5 x − 7 4 x 2 − 4 x + 1 − 3x 2 + 6 x + x − 2 < x 2 + 5 x − 7 x 2 + 3x − 1 < x 2 + 5 x − 7 3 x − 5 x < −7 + 1 −2 x < −6 |: (−2) x>3

Отг. Г)

ЗАДАЧА 3 Големината на SACB на чертежа е:

А) 60°; Б) 70°; В) 110°; Г) 120°. Решение: x + y = 35° (външен ъгъл за VABO) 2x + 2y = 70° SACB = 180° – 70° = 110°

Отг. В)

ЗАДАЧА 4 На чертежа правите а и b са успоредни. Големината на ъгъл x e: А) 68°; Б) 57°; В) 55°; Г) 65°.

264

112°

123°

Към съдържанието

Решение: c

M 1

112°

2 123°

През точка М построяваме права c, успоредна на правите a и b. S1 = 180° – 112° = 68° (прилежащи) S2 = 180° – 123° = 57° (прилежаща) x = 180° – (S 1 + S 2) = 180° – (68° + 57°) = = 180° – 125° = 55°

Отг. В)

ЗАДАЧА 5 Корените на уравнението (x – 2)3 – x(– x – 1)2 = 5x – 8 са: А) 0; − 3 ; Б) 0; –3; В) 0; 3 ; Г) 0; 3. 4 4 Решение: x3 – 6x2 + 12x – 8 – x(x2 + 2x + 1) = 5x – 8 x3 – 6x2 + 12x – 8 – x3 – 2x2 – x = 5x – 8 – 8x2 + 11x = 5x – 8x2 + 6x = 0 | : (–2) 4x2 – 3x = 0 x (4x – 3) = 0 x = 0 или 4x – 3 = 0 Отг. В) x1 = 0 x2 = 3 4

ЗАДАЧА 6 Сборът от корените на уравнението |5 – |x – 2|| = 1 e: А) 4; Решение: 5− | x − 2 |= 1 − | x − 2 |= −4 | x − 2 |= 4

Б) 8;

В) 14; или

x – 2 = 4 или x – 2 = – 4 x1 = 6 x2 = –2 x1 + x2 + x3 + x4 = 6 – 2 + 8 – 4 = 8

Г) 20.

5− | x − 2 |= −1 − | x − 2 |= −6 | x − 2 |= 6 x – 2 = 6 или x – 2 = – 6 x3 = 8 x4 = – 4

Отг. Б)

ЗАДАЧА 7 В VABC (SC = 90°) медианата СМ и ъглополовящата BL са перпендикулярни.

Ако CL = 5 cm, дължината на АС в сантиметри е: А) 10; Б) 15; В) 20; Г) 25. Решение: 1. СМ = МВ (свойство) От VМОВ @ VСОВ (II признак) ⇒ МВ = СВ ⇒ VМВС е равностранен с SВ = 60°. 2. BL – ъглополовяща ⇒ S ABL = SCBL = 1 S B = 30° 2 3. VBСL e правоъгълен с 30° ⇒ LB = 2CL = 10 cm 4. VABL e равнобедрен (a = x = 30°) ⇒ AL = 10 cm ⇒ AC = 10 + 5 = 15 cm. Отг. Б)

Към съдържанието

265

ЗАДАЧА 8 Дадена е правоъгълна координатна система Oxy и точките А (–1; –2), B(–1; 4), C и D. Точката C има положителна абсциса и е връх на равнобедрен правоъгълен VABC с основа АB. Точка D е такава, че ординатната ос е симетрала на CD. а) Намерете координатите на точката С. б) Намерете разстоянието от точката D до правата АВ. Решение: а) 1 . АB e хипотенуза в равнобедрен правоъгълен VABC и АВ = 6 м. ед. 2. Точка М е среда на АВ. Медианата СМ ^ AB и = CM 1= AB 3 м. ед. 2 Точка С има положителна абсциса ⇒ C (2; 1). б) 1. Разстоянието от точка С до Оy→ e 2 м. ед. ⇒ точка D е на разстояние 2 м. ед. от Оy→ и Оy→ ^ СD ⇒ D (–2; 1). 2. Разстоянието от D до АВ е DМ ⇒ DМ = 1 м. ед.

ЗАДАЧА 9 За ъглите a, b, g на VABC е известно, че a : b : g = 5 : 1 : 6. Ако медианата CM = 2m, изразете чрез m: а) височината CD; б) SVABC; в) SVMBC. Решение:

а) 1. Намираме a = 75°; b = 15°; g = 90°.

2. СМ – медиана към хипотенузата АВ в VABC (SC = 90°) АВ = 2.СМ = 2.2m = 4m

3. VBMC (MB = MC = 2m) ⇒ SMCB = b = 15° SDMC = 15° + 15° = 30° (външен ъгъл за VMBC)

4. VCDM – правоъгълен с 30° ⇒ CD =1 ⋅ CM =1 ⋅ 2m =m 2 2 2 1 1 AB. CD = ⋅ 4m . m = 2m б) S ABC = 2 2

1 MB . CD = 1 ⋅ 2m . m = m2 в) S MBC = 2 2

266

Към съдържанието

ЗАДАЧА 10 Автобус тръгва от град А за град В в 8 h, а друг автобус тръгва от град В за град А в 8 h и 20 min. Намерете в колко часà двата автобуса ще се срещнат, ако разстоянието АВ автобусът от А изминава за 2 h, а автобусът от B – за 3 h. Решение: 1. Означаваме АB = s (km) ДС: s > 0 Sавт.А

Sавт.В

B s

2. Изразяваме скоростите на двата автобуса чрез s. S (km)

t (h)

V (km/h)

Автобус от А

s 2

Автобус от B

s 3

V (km/h)

t (h)

S (km)

Автобус от А

s 2

sx 2

Автобус от B

s 3

x−1 3

s⋅ x−1 3 3

3. Нека х е времето на автобуса от А до срещата. 20 min = 1 h, t авт. B = x − 1 , ДС: x > 1 3 3 3

)

(

( )

4. Зависимостта е Sавт. А + Sавт. В = SAB.

( ) ( )

s x+ s x−1 = s |: s 2 3 3 x +1 x−1 = 1 2 3 3 x+ x−1 = 1| .18 2 3 9 9x + 6x − 2 = 18 15 x = 20 x=4 3 x = 1 1 h = 1h 20 min 3

Към съдържанието

Отг. Срещата е станала след 1 h 20 min, т.е. в 9 часà 20 минути.

267

121.

ИЗХОДНО НИВО ТЕСТ № 1 1. Коренът на уравнението (x + 3)2 − x(x + 4) = 5 е: А) −1; Б) −2; В) 1; Г) 2. 2. Решенията на неравенството (x – 2)2 – (x – 1)(1 + x) < 7 – 2x са: А) x < − 1 ; 3 1 Б) x > ; 3 В) x > −1; Г) x < −1. 3. За ъглите α, β и γ на АВС е известно, че α : β : γ = 2 : 1 : 3. AL е ъглополовяща, а CD е височина. Ако CD = 18 cm, дължината на ъглополовящата AL в сантиметри е: А) 9; Б) 12; В) 18; Г) 24.

C L

4. Изразът 4x3 – x(x + 1)2, разложен на множители, има вида: А) x(3x – 1)(x – 1); Б) x(3x – 1)(x + 1); В) x(3x + 1)(x + 1); Г) x(3x + 1)(x – 1). 5. АВС е правоъгълен с прав ъгъл при върха С и ВАС = 60°. Ако АВ и ВС имат дължини съответно 2а и 4b, не е вярно, че: А) а < 2b; Б) АС = а; В) SABC = 2ab; Г) PABC = 3a + 4b. 6. В ромба ABCD АВС = 120° и AC = 42 cm. Ако точките М и N лежат на АС и BМ и DN са ъглополовящи съответно на СBD и АDВ, перимет ърът на четириъгълника BMDN в сантиметри е: А) 28; Б) 48; В) 56; Г) 70.

268

7. Един работник може да свърши дадена работа за 9 часа, а друг – за 6 часа. Пър вият работник започнал работа в 7 часа � сутринта, а вторият – 1 час след него. Намерете в колко часа � двамата работници ще са извършили поравно количество работа. А) 9; Б) 10; В) 11; Г) 12. 8. В лявата колона на бланката за отговори е написана буквата на уравнението. Срещу нея, в дясната колона, запишете номера на еквивалентното му уравнение. (А) (Б)

х2 = 4х (х – 1)2 + (х + 3)2 = –10

(1) (х – 1)(х – 3) = 3 (2) х2 + 4 = 0 (3) х2 + 4х = 0 (4) (х – 7)(х – 2) = 0 9. Дадена е правоъгълна координатна система Oxy и точките А(–4; 2), В(4; –4), С(3; 3). y

а) Намерете лицето на ABC в квадратни мерни единици. б) Намерете големината на АВС в градуси. в) Намерете разстоянието от точката С до АВ в мерни единици. 10. В АВС α : β : γ = 11 : 3 : 4 и ВС = 37 cm. Симетралите на страните АВ и АС пресичат страната ВС съответно в точките M и N. Намерете големината на MAN в градуси и периметъра на AMN в сантиметри.

Към съдържанието

ИЗХОДНО НИВО ТЕСТ № 2 1. Коренът на уравнението 4( x − 1) x + 1 x − 1 е: − = 3 6 2 2 А) ; 3 Б) − 2 ; 3 В) 1 1 ; 2 Г) −1 1 . 2 2. Решенията на неравенството 4(2 x + 1) − 3 x − 1 < 2 x − 1 са: 3 2 А) x < −2; Б) x > −2; В) x < −3; Г) x > −3.

( ) ( )

3. В ABС (C = 90°) големината на B е 50°. Ъглополовящата AL пресича височ и ната CD в точка Q. Големината на АQC е: А) 120°; Б) 110°; В) 100°; Г) 130°. 4. Многочленът 9m2 – x2 + 4x – 4 след разла гане има вида: А) (3m + x – 2)(3m – x – 2); Б) (3m + x + 2)(3m – x + 2); В) (3m + x – 2)(3m + x + 2); Г) (3m + x – 2)(3m – x + 2). 5. АВС е правоъгълен с прав ъгъл при върха С и АВС = 30°. Ако АВ и ВС имат дължини съответно 2а и 4b, не е вярно, че: А) a < 2b; Б) АС = а; В) SABC = 2ab; Г) PABC = 3a + 4b. 6. Колко процентов разтвор ще се получи, ако към 100 g вода се прибавят 200 g 7,5%-ов разтвор на спирт? А) 4; Б) 7; В) 6; Г) 5.

Към съдържанието

7. На чертежа ABCD e успоредник. Стойността на x – y е: А) 34°;

Б) 112°; В) 146°;

C 52 x

y A

Г) 128°. 8. В лявата колона на бланката за отговори е написана буквата на уравнението. Срещу нея, в дясната колона, запишете номера на еквивалентното му уравнение. (А)

х2 = –3х

(Б)

(2х – 1)2 + (х + 3)2 +1 = 0

(1) (х – 2)(х + 4) = 0 (2) х2 + 9 = 0 (3) х2 – (х – 1)2 + 7 = 0 (4) (х + 1)(х + 2) = 2 9. Дадена е правоъгълна координатна система Oxy и точките А(–3; 1), В(1; –2), С(4; 2). y

а) Намерете лицето на ABC в квадратни мерни единици. б) Намерете големината на АСВ в градуси. в) Намерете дължината на АВ в мерни единици. 10. В АВС α : β : γ = 3 : 12 : 5 и АС = 32 cm. Симетралите на страните АВ и ВС пресичат страната АС съответно в точките M и N. Намерете големината на MВN в градуси и периметъра на ВMN в сантиметри.

269

ОТГОВОРИ ВХОДНО НИВО 2. Входно ниво Тест № 1 Задача № Отговор 1 Г 2 В 3 В 4 Г 5 Б 6 Б 7 В Задача 8 1 а) 4 1 б) 3 Задача 9 (А) (3) (Б) (5) (В) (2) Задача 10 320 t Тест № 2 Задача № 1 2 3 4 5 6 7

Отговор Г Б В В Б В В Задача 8 1 а) 3 2 б) 5 Задача 9 (А) (1) (Б) (4) (В) (5) Задача 10 I склад – 195 t II склад – 65 t

270

Точки 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 10 Точки 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 10

ТЕМА 1. ЦЕЛИ ИЗРАЗИ 4. Числена стойност на израз 1. а), б), в); 2. б); 3. а) −1,7; −5; б) 1; −5; в) 10; г) −1,5; −9,6; 4. x y A = x2 – y2 B = (x + y)(x – y)

1 −1 1 2 −2 9 1 1 −1 2 −2 10 0 0 0 0 0 −19 0 0 0 0 0 −19

5. Едночлен. Нормален вид на едночлен 1. a) kx; x; a5; 2x3(−y); б) 1; a; x2y3(−1); 1 − 4 xyz ; 5 6 4 2 2 3 2. а) 9x y ; 3x y z; x 4 y 3 z 2 ; 7 б) −6x2y2; −x3y; 3x3z; 1 3. a) 7; 1; −1; ; 2 б) 1 ; 3 ; 2ab ; 5a ; 2 4 3 3 4. а) 3; 3; 1; 3; б) 5; 6; 5; 5. a) A = 6x3; 6; −6; 48; б) B = −2ax3; −27; 4 3 2 1 в) C = − x y ; ; 5 5 6. Събиране и изваждане на едночлени. Подобни едночлени 1. а) –2xz; б) 8xz; 2 в) −13x y; г) 30ax4; д) (5a + 6)x; 2. а) 30mxy; б) 0; в) 2 (m + n) x ; 3 г) −2ax3y2; д) 1,7a2xy3; 3. а) 0; б) 0; в) 7ax; г) −8xy; д) 0; 4. a) ax2; б) 10abx; в) −9,3axy2; г) 0,6ax3z; д) 2,3x2y3. 7. Събиране и изваждане на едночлени. Подобни едночлени. Упражнение 1. a) 10xy2; б) −5x3y2; 2. a) 5xy; б) 9xy; в) −xy; г) 3xy;

( )

3. а) 8x; в) −6y; 4. a) 17ax;

б) 6x2; г) 2xy; б) −5ax3; в) 0; г) 1 1 ay ; 3 5. а) A = −x; 2,8; 2 б) B = 5x y; 60; в) C = 4x3y2; −27. 8. Умножение, степенуване и деление на едночлени 1. а) 15x3; б) −6x5; в) −6x2y4; г) 8x2y4; 6 2. а) 6x ; б) −24x3y3; 3 6 в) −1,6x y ; 3. а) 9x2; б) 8x6y3; 3 6 в) −27x y ; г) 16x28y12; 4. a) 3xy; б) 2ax; 5. а) A = 16x4; 16; б) B = 9x3; −2 2 ; 3 в) C = −6x3y4; −3. 9. Многочлен. Нормален вид на многочлен 1. а) A – пет члена, B – шест члена; б) A – пета степен, B – шеста степен; в) A – 0; B – 4; г) A – да (1,5); B – да (−1); 2. а) −18x − 7; б) 2ax2 + (a + 3)x − 8; в) −3x + 4y + 1; г) −5x2 + 5xy – 1; 3. a) четвърта; б) шеста; в) десета; г) пета; 4. а) 3x4 + 2x3 + 2x2 − x − 1; 2; б) 1,5y6 + 0,5y3 − y2 − y + 8; −1; в) 3x7 + x5 − 2,5x4 + x3 − 2x − 1; 0; г) 6x5 − 5x4 + x3 − 3x2 − 1; −3. 10. Събиране и изваждане на многочлени 1. а) 2x2 + 4; б) 3x2y − 4x + 1; 2. а) −2x3 + 2x2 + 2x – 1; б) − 2ax2 + 11a2x; 3. а) x2 − y2 − 4; б) 3x2 + 2x + 1; 4. a) A = 4x2 + 2; 3; б) B = −13x + y; −6; 5. а) A = −10; б) B = 4; 6. A = 2y2 − 1; −1;

Към съдържанието

7. A = −5y2 − 14; −14. 11. Умножение на многочлен с едночлен 1. а) 18x2 − 30y − 24; 14x2 − 21y2 + 7; б) 14x − 21y + 35z; 45a − 36b + 9c; в) −x − y; −x − y; г) −6x2 + 9y − 15; −2xy + 2x2 – 2y2; 2 2 2. а) − 1 m x − 3n y ; 2 б) 210x5 − 2x4 + x; в) 2x3y3 + 4x2y3 − 2xy2; г) −3x7y7 + x3y2 − 9x2y; 3. а) 5x2 + 8x + 2; б) 2x4 + 7x3 − 6x2 + 3x; в) xy2 + 2xy; г) x3 − x2 − y2. 12. Умножение на многочлен с многочлен 1. а) 3x2 − 10x − 8; б) 2x2 + x − 15; в) 3y2 − 20y + 12; г) 6y2 – 25y + 14; 2. а) 3x3 + 12x2 − 5x − 20; б) 2x5 − 7x3 + 3x; в) 5x2y − 2xy2 + 15x − 6y; г) 3x3y2 − 6x3y − 5xy3 + 10xy2; 3. а) a3 − 27; б) 2a3 − 7a2 + a + 10; в) 9a2 − 4b2 + 20b − 25; г) a4 − 2a3b + a2b2 − 9; 4. a) A = 8x3 − 27; −28; б) B = 27x3 + 8; 7; 5. а) A = 2x6 − 3x4 + 5x3 + 3x − 7; б) шеста степен; в) −3; г) −7. 13. Умножение на многочлен с многочлен. Упражнение 1. а) x3 − 2x2 − 11x + 12; −2; б) x4 − 3x3 + 3x2 − 15x − 10; 3; в) x3 + x2 − 2x; 1; г) 3x3 − 25x2 + 34x − 8; −25; 2. a) x4 − 16; б) 16x4 − 81; 8 в) x − 81; г) x4y4 − 625; 3. а) −9x − 17; б) x2 − 6x + 15; в) −x3 − 3x2 − 5x − 5; г) 2x2 – xy + y2 – 6x + 2y;

4. a) A = 8x + 2; −5; б) B = 5x3 + 2x2 − 4x + 17; −7; 5. а) A = 9a2 − 16; −16; б) B = x6 + 8; 8. 14. Тъждествени изрази 1. не; 2. да. 15. Тъждествата: (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 1. x2 − 2x + 1; 1 − 2x + x2; x2 − 4x + 4; 2. а2 + 2а + 1; а2 − 2а + 1; а2 + 4а + 4; 3. 4x2 + 4x + 1; 4x2 − 4x + 1; 1 + 4x + 4x2; 4. x2 + 2ax + а2; b2 − 2bx + x2; a2 + 2ac + c2; 5. 4x2 + 4xy + y2; x2 + 4xy + 4y2; x2 + 10xy + 25y2; 6. 4m2 − 12m + 9; 9a2 − 12a + 4; 25 − 30b + 9b2; 7. 25 + 40a + 16a2; 25 − 40a + 16a2; 36x2 − 12xy + y2; 8. 4a2 + 20ab + 25b2; 9m2 + 12mn + 4n2; 36a2 + 84ac + 49c2; 9. 25a2 − 20ab + 4b2; 4m2 − 12mn + 9n2; 49a2 − 84ac + 36c2; 10. 2x2 + 2y2; 4xy; 12 2a2 + 2b2; −4ab; 12. x2 − 1; −x2 + 4x − 3; 13. 3x2 − 2(a + 6)x + a2 + 18; 3x2 + 10x + 9; 14. −x2 + 2(6 − a)x + a2 − 18; −x2 + 10x − 7. 16. Тъждествата: (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 1. x4 + 4x2 + 4; 25 + 10y2 + y4; x4 + 2x2y2 + y4; 2. a4b2 + 2a2b + 1; 4 + 4x2y + x4y2; 9x4y2 + 6x2yz + z2; 3. a 4 + 2 a 2 + 1 ; 1 + xy + x 2 y 2 ;

3 9 4 m 2 + mn + n 2 ; 4 2 4

4. 0,01 + 0,2x + x2; a4 + 0,4a2 + 0,04; x4 + 0,6x2y + 0,09y2; 5. x2 + y2 + z2 +2xy + 2xz + 2yz; 4x2 + y2 + 1 + 4xy + 4x + 2y; 6. a2b2 − 2abmn + m2n2; x2y2 − 2xyz2 + z4; m2n2 − 2mnpq + p2q2;

7. 1 a 4 b 2 − 2 a 2 bx 2 + 1 x 4 ; 9

0,64b2x6 − 1,6bx3y3 + y6; 8. x2 + y2 + z2 + 2xy − 2xz − 2yz; x2 + y2 + z2 − 2xy − 2xz + 2yz; 9. 1764; 2809; 10. 10609; 1002001; 11. 9801; 4624; 12. 39601; 89401; 13. 39204; 88804; 14. 3x2 − 14x + 8; 15. −49a3 + 51a2 + 33a + 49; 16. 4x2 + 2xy − 4y2 − 10x + 6y + 2; 17. x2 + 12x − 34. 17. Тъждествата: (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 1. m3 + 3m2n + 3mn2 + n3; x3 − 3x2y + 3xy2 − y3; p3 + 3p2q + 3pq2 + q3; 2. a3 + 6a2 + 12a + 8; 8 − 12x + 6x2 − x3; m3 + 9m2 + 27m + 27; 3. x3 + 3x2 + 3x + 1; x3 − 3x2 + 3x − 1; 1 − 3a + 3a2 − a3; 4. 1 − 6x + 12x2 − 8x3; 1 + 9x + 27x2 + 27x3; 1 − 12a + 48a2 − 64a3; 5. 1 + 3ab + 3a2b2 + a3b3; 1 + 3xy + 3x2y2 + x3y3; 1 + 3ax + 3a2x2 + а3x3; 6. 8x3 − 36x2 + 54x − 27; 27a3 + 54a2 + 36a + 8; a3 + 15a2b + 75ab2 + 125b3; 7. 27a3 − 54a2b + 36ab2 − 8b3; 8a3 + 36a2b + 54ab2 + 27b3; 8x3 − 60x2y + 150xy2 − 125y3; 8. x6 − 6x4 + 12x2 − 8; 27 − 27y2 + 9y4 − y6; 1 − 3z2 + 3z4 − z6; 9. x6 − 6x4a + 12x2a2 − 8a3; 27a3 − 27a2y + 9ay2 − y3; 1 − 15z2 + 75z4 − 125z6; 10. x3 − 3 x 2 + 3 x − 1 ;

2 4 8 1 − 1 y + y 2 − y3 ; 27 3 3 2 8 4 ; a + 2a + a + 3 27

11. x9 − 3x6a + 3x3a2 − a3; x9 + 3x6a2 + 3x3a4 + a6; x9 − 3x6a2 + 3x3a4 − a6;

271 Към съдържанието

12. x3 − 6x2a2 + 12xa4 − 8a6; x6 + 9x4y2 + 27x2y4 + 27y6;

x6 − 3 x4 a 2 + 3 x2 a 4 − 1 a6 ; 2 4 8

13. x3 − 4x2 + x − 2; −x3 + 7x2 − 10x + 9; 14. x5 − 6x4 + 11x3 − 2x2 − 12x + 8; −2x3 + 15x2 − 18x + 19; 15. x3 − 5x2 − x − 3; −2x3 + 15x2 − 18x + 19. 18. Тъждеството (a + b)(a − b) = a2 − b2 1. a2 − 1; a2 − 4; 2. a2 − 9; 4 − x2; 3. a4 − 1; x4 − 16; 4. 25 − 9x2; 16a2 − 1; 5. 4a2 − 9b2; 25x2 − 4y2; 6. x4 − y2; 4x4 − 9y2; 7. 4a4 − b2; x4 − 9y4; 2 2 8. m − 16 ; 1 − n ;

9. x2 + 2xy + y2 − 1; a2 − 2ab + b2 − 4; 10. a) (20 + 2)(20 − 2) = = 400 − 4 = 396; б) (100 − 5)(100 + 5) = = 1002 − 52 = 9975; в) (70 + 1)(70 − 1) = = 702 − 12 = 4899; г) (60 − 1)(60 + 1) = = 602 − 12 = 3599; 11. 81 − a4; 12. x4 − 18x2 + 81; 13. −2a2 + 10a. 19. Формули за съкратено умножение. Упражнение 1. −5x2 − 2x + 17; 2. 9x2 + 12x − 45; 3. 6x; 4. 3x + 7; 5. A = −x − 3;

a) −1,7; б) − 6 ; в) 12; 7

6. B = −4x2 − 19x + 8; a) 29; б) 30; в) 16,5; 7. C = 5 x − 9 ; 3

a) −3 2 ; б) −5; в) −7; 3 8. А = 4; 9. B = 6;

272

10. A = 9x2 + 10; 10; 11. C = x2 − 9; −9; 12. A = 2(1 − m)x2 + 2(1 − 4m)x + 1 − 2m; m = −1; 13. B = x4 + (−5m − 1)x2 + (7m + 1)x − 3; m = 1. 20. Тъждествата: a 3 ± b 3 = (a ± b)(a 2 ∓ ab + b 2 ) 1. m3 + n3; 2. p3 − q3; 3. a3 + 1; 4. x3 − 1; 3 5. 1 + m ; 6. 1 − n3; 7. x3 − 8; 8. 27 − b3; 3 9. 8a + 27; 10. 27a3 − 64; 11. n3 + 1 ; 8

3 3 12. x − y ;

13. −x + x − 17; 14.−x + 2x2 + 45; 15. −4a + 27; 16. −3a2 + 7a − 4; 17. x3 + 6x2 + 12x + 9; 18. −55x3 + 36x2 + 54x; 19. x3 + 8; 9; 20. 5x3 + 15x2 − 15x + 15; 85. 21. Формули за съкратено умножение. Приложения 1. 9a2 + 6ab + b2; 9a2 − 6ab + b2; 9x2 + 6xy + y2; 2. 4a2 − b2; a2 − 9x2; 3. a2 + 2ab + b2; a2 − 2ab + b2; 4a2 + 4ab + b2; 4. −x3 − 3x2y − 3xy2 − y3; −x3 + 3x2y − 3xy2 + y3; −8x3 − 12x2y − 6xy2 − y3; 5. 5; 6. 9x2 + y2 − 6xy + 30x − 10y + 25; 4x2 − 4xy + y2 + 4x − 2y + 1; 7. 4a2 + 16ac + 16c2 − 9b2; 8. x2n - 2xn + 1 − 4xn + 4; 9. x3 − 27y3; 10. 2x2 + 3y2; 11. 3x3 − 9x2 + 9x + 6; 12. 3a2 − 5a; 13. −a2 − 2a; 14. −9x − 1; −4; 15. −4а + 27; 25; 16. −9m + 10; 13; 17. −3a2 + 7a − 4; −30. 22. Разлагане на многочлени на множители чрез изнасяне на общ множител 1. 4(m + 2); 5(2m + 7); 2(3a − b); 4(2x − 3y); 3

2. 3(m − n + 3); 4(5m + 6n − 7p2); 3. 4ax(1 − 2x + 3x2); 4x2y2(2x2y − 3y2 − 4x3); 4. −4x3y(1 + 2xy2); −x2y2(3x2 − 12y2 + 16x3); 5. (x + y)(a + b); (a2 + 1)(m − n); 6. (a3 + 5)(3a + 2b); (3y + 7)(x − y); 7. (a − b)(x − y); (m − n)(a + b); 8. (x − y)2(p − q); (x − 4)2(2m − n); 9. (a − b)3(2x − y); (b − 5)3(a − 2); 10. (x − 1)(a − b + c); 11. (a − 1)(x + y − z); 12. (a − 2)(2x + 3y + z); 13. (x − y)(4a − 3b + 4c); 14. (a + b + 1)(x − 3y − 4z); 15. (x + 2y)(x + 2y + a)(x + 2y − a); (a + b)2(a2 + a + b). 23. Разлагане чрез формулите за съкратено умножение 1. (a + n)(a − n); (p + a)(p − a); (m + x)(m − x); (n + y)(n − y); 2. (x + 2)(x − 2); (y + 3)(y − 3); (2 + p)(2 − p); (3 + q)(3 − q); 3. (1 + a)(1 − a); (1 + b)(1 − b); (x + 1)(x − 1); (y + 1)(y − 1); 4. (2x + y)(2x − y); (3x + a)(3x − a); (4m + n)(4m − n); 5. (2a + 3b)(2a − 3b); (3x + 5y)(3x − 5y); (10a + p)(10a − p); 6. (a + 1 + b)(а + 1 − b); (1 − n + p)(1 − n − p); (m − n + q)(m − n − q); 7. a(a + 6); (3 − a)(1 − a); (6 − x)(2 − x); 8. (4a + 1)(1 − 2a); (1 − 3x)(x + 1); (3 − 4x)(2x + 3); 9. 2x − 1; 2y − 1; 4(a − 1); 10. x(2 − x); −a(a + 2); (x − 1)(3 − x); 11. (3 + a − b)(3 − a + b); (2 + x + y)(2 − x − y); −x(x + 8); 12. (a + 1)(a + 1); (a + 2)(a + 2); (a − 1)(a − 1); 13. (2а + 3)(2а + 3); (3a − 1)(3a − 1); (2a − 1)(2a − 1); 14. (2a + b)(2a + b); (3a − c)(3a − c).

Към съдържанието

24. Разлагане чрез формулите за съкратено умножение. Упражнение 1. (a + 1)3; (a + 2)3; 2. (2 − m)3; (n − 3)3; 3. (2a − 3)3; (3a + 1)3; 4. (a + m)(a2 − am + m2); (b + c)(b2 − bc + c2); (x + y)(x2 − xy + y2); (m + n)(m2 − mn + n2); 5. (a + 2)(a2 − 2a + 4); (a − 2)(a2 + 2a + 4); (2 + a)(4 − 2a + a2); (2 − a)(4 + 2a + a2); 6. (2a + 1)(4a2 − 2a + 1); (2a − 1)(4a2 + 2a + 1); (3a − 2)(9a2 + 6a + 4); (3a + 2)(9a2 − 6a + 4); 7. (2ab + 1)(4a2b2 − 2ab + 1); (1 − 2ab)(1 + 2ab + 4a2b2); (x − 3y)(x2 + 3xy + 9y2); (xy − 1)(x2y2 + xy + 1); 8. a) u = 4x2; б) v = 3x ; 2

9. a) ( x − 2)3 ; 1 ; б) (3 − x)3 ; 8 ; 27

10. Б); 11. Г); 12. Г). 25. Разлагане чрез групиране 1. 3(x + y); 4(x + y); 2. (a − b)(7 − m); (y2 − z)(x + 5); 3. (x + 1)(a + 3); (x + 1)(10a + 7); 4. (a − b)(x − 1); (a − b)(a − 2); 5. (x + y)(n + 5); (a − b)(y + 3); 6. (x − y)(x + 2); (x + y)(x + 0,1); 7. (n − m)(m − 3); (x2 − a)(1 − 3a); 8. (a − b)(a − 3); (p + q)(p − 6); 9. (2a − b)(x + 5y); 10. (2a − 3y)(5a − 7x); 11. (a + 2)(a2 − 2); (m − 2)(m − 1)(m + 1); 12. (p + x)(p2 + x2); x(x + y)(x − z); 13. x(x + 1)(a + b − c); 14. (a − b + с)(n2 + p); 15. (x + 5)(x − 3); (x − 5)(x + 1); 16. (x − 3)(x − 4); (x − 4)(x + 3); 17. (x − 10)(x + 1); (x − 3)(x − 5);

( 2)

18. ( x + 1) a + 1 ; − 1 1 ; 2

19. (x + y)(xy − 1); 0. 26. Разлагане чрез комбирано използване на различни методи 1. (a + b)(a − b + 1); (a − b)(a + b + 1);

Към съдържанието

6. 100; 7. 1464; 2. (m + n)(m − n − 1); 8. а) S1 = 6(a + b)2; V = (a + b)3; (m − n)(m + n − 2); б) S1 = 6(a − b)2; V = (a − b)3; 3. x(x + y)(a + b); a(x + y)(a − b); а > b; 4. 5(a + b)(a + c); 3(x + y)(xy − 1); 2 5. ax(1 − x)(x + 1) ; 6(x + y)(xy − 1); 9. (2n − 1)2 − 1 = 4n(n + 1); 6. 2(x + y)(x − y); a(b + c)(b − c); 10. 1; 4; 1. 5(p + q)(p − q); 6(a + b)(a − b); 29. Обобщение на темата „Цели изрази” 7. 7(a + 1)(a − 1); 10(b + 1)(b − 1); 8(1 + x)(1 − x); 9(1 + y)(1 − y); 1. а) 4a3x5y2; коефициент: 4a3; степен: 7; 8. b(x + 1)2; 11(a − 1)2; б) –126a6x8; 9. (x − y + 3)(x − y − 3); коефициент: –126a6; степен: 8; (m − n + p)(m − n − p); в) 4a2x8y2z4; 10. (a − b)(a − b − 1); коефициент: 4a2; степен: 14; 11. (p + q)(p + q − 1); г) –64a3x9y3z6; 12. (1 + x + y)(1 − x − y); коефициент: –64a3; степен: 18; (1 + a − b)(1 − a + b); 2. а) –6mx2; 13. 2(a + 1)2(a − 1)2; б) 30m3x6; −5(a2 + a + 1)(a2 − a + 1); в) 19m2x4; 14. A = 3(3x − 1)(3x + 1)(x − 1); г) –19m2x4; A = 0; 3. а) –5x2 + 13х – 10; 15. B = (2x − 7)(5x − 7)(x + 7); б) x3 – 8; B = 0; в) –x3 + 2x2 + 2х – 8; 16. C = (3x − 1)(5x − 1)(x − 1); C = 0. г) –x4 + 5x3 – 9x2 + 10х – 8; 27. Разлагане чрез комбирано 4. а) А = 3x5 –11x3 –3x2 +10х + 6; използване на различни б) 5; методи. Упражнение в) –11; 1. (x − y)(a − x + y); 5. а) –x2 + 3х + 1; 2. (a + 2)(a + 2 − b); 3 б) 5x2 – 16х + 6; 3. (p + 2) ; в) –3x3 + 3x2 + 12х + 1; 4. (m + 2n)3; г) –6x2 + 12х – 16; 5. (m2 + 1)(m − 1)(m2 + m + 1); 6. а) А = 3mx2 + 4m2x; 6. 2(x − y + 2)(x − y − 2); б) m = 3; 7. 2(x + 2)(x + 3); −x + 3 8. 3(x − 3)(x − 5); = ; A 3; 7. а) A = 9. 10(x − 10)(x + 1); 2 x2 + 1 10. 3(a − 1)(a − 2); ; B 2,5; = б) B = 4 11. (x + 14)(6 − x); 8. а) 4(х + 1)(х + 6); 12. (x2 + x + 1)(x + 1)(x2 − x + 1); б) – 5(х + 1)(5х – 9); 13. 5(x + 3)(x − 1); в) – 5(х + 1)(х + 5); 14. x(x + 4)(x − 2); г) 5(х – 1)(х + 9); 15. 2(x − 5)(x + 3); 9. а) (х + 4 – 5a)(х + 4 + 5a); 16. 3(x + 4)(x − 1); б) (6a – х – 5)(6a + х + 5); 17. (2x + 5)(2x − 3); в) (х – 2y –4)(х – 2y + 4); 18. (3x + 7)(3x − 2); г) (5 – 2х – y)(5 + 2х + y); 19. В); 20. В). 10. а) (х + 2)(х + 4); 28. Тъждествено б) (х – 11)(х + 1); преобразуване на изрази. в) (5х – 2)(х – 1); Приложения г) (х – 1)(3х + 2); 1. A = 16; 2. B = 6; 11. а) –16; б) 5; в) 27; 3. −35; 5. 3360; 12. а) 25; б) –6; в) 8;

273

13. А = 9; 14. x = 20; А = 5 30. Тестове върху темата „Цели изрази” Тест № 1 Задача № Отговор Точки 1 Б 2 2 А 2 3 Б 2 4 Г 3 5 В 3 6 Б 3 7 А 3 Задача 8 а) 3 3 б) 3 (х – 2)(х – 4) Задача 9 (А) (4) 2 (Б) (3) 2 (В) (5) 2 Задача 10 А = 2xy – 4x – y + 23 10 х = – 0,25; y = 2; A = 21 Тест № 2 Задача № 1 2 3 4 5 6 7

Отговор Точки Б 2 Г 2 В 2 А 3 Г 3 А 3 Б 3 Задача 8 а) 4 3 б) 3 (х – 2)(х + 6) Задача 9 (А) (2) 2 (Б) (4) 2 (В) (1) 2 Задача 10 А=y2 –2xy–5x+11y+0,25 10 х = – 0,5; y = 0,5; A = 9

ТЕМА 2. УРАВНЕНИЯ 31. Уравнение с едно неизвестно. Преговор с допълнение 1. а) x = 3; б) x = 2; в) x = – 4; г) x = 7;

274

32. Еквивалентни уравнения 1. −3; 2. −4; 3. −8; 4. 4; 5. −5; 6. 0; 7. 3; 8. 2; 9. 4; 10. 5. 33. 1. 3. 5.

Линейни уравнения x = – 1; 2. x = 6; x = – 11; 4. x = – 7; x = – 1; 6. x = 3; 1 7. x = – 2,25; 8. x = ; 3 1 9. x = 0; 10. x = −3 ; 3 11. x = – 10; 12. x = – 1. 34. Линейни уравнения. Упражнение 1. x = – 8; 2. x = 0; 3. няма решение; 4. x = 0; 5. няма решение; 6. всяко число е корен; 7. x = – 42; 8. x = 7; 9. x = – 12; 10. x = 9; 11. x = – 37; 12 12. x = − ; 13. x = 1; 23 14. няма решение. 35. Уравнението (ax + b)(cx + d) = 0 1. 8 и 0,1; 2. 6 и 5; 3. 6 и 7; 4. 8 и 9; 5. − 1 и 3; 2

7. 3 и 2 ; 4

9. −2 и 2; 11. −1,5 и 1,5; 13. 0 и 3; 15. 0 и −1;

6. 2 и −8;

3 8. − 1 и 3 ; 5 5 1 10. − и 1 ; 2 2 2 12. −1 и 1 2 ; 3 3 14. 0 и −1 1 ; 4

16. 0 и 1;

17. 1;

18. −1;

19. −2 и 3;

20. −4 и −1;

21. 1 и 1 ;

22. −3 и 1;

25. −13 и −1;

26. −1 и 4.

2 4 23. −2 2 и −2; 24. −1 1 и 8; 3 5

36. Уравнението |ax + b| = c 1. x1 = −2; x2 = 2; x = 0; няма решение;

2. x1 = 4; x2 = −2; x1 = −7; x2 = −5; x1 = 1; x2 = 3;

3. x1 = 5; x2 = 15; x = 1 ; 2 x1 = 6,5; x2 = −3,5; 4. няма решение; няма решение; 5. x1 = −3; x2 = 13; x1 = −14; x2 = −2; 6. x 1 = 2 ; x2 = 0; 3 x1 = −3; x2 = 2;

7. x 1 = 2 ; x2 = 0; 3 x1 = 1,2; x2 = −0,2;

8. x1 = 3; x 2 = 2 1 ; 3 y1 = 6; y2 = −3; 9. x1 = 2,5; x2 = −2,5; няма решение; 10. x1 = 6; x2 = −6; няма решение; 11. x1 = 2; x2 = 0; 12. x1 = 0,5; x2 = −1,5; 13. няма решение; 5; x 14. = x 1 2= 23 . 2 8

37. Уравнения, свеждащи се до линейни 1.

2; 3

2. −4;

3. 3;

5. 0 и −1 2 ; 3

7. 0 и 1 ; 2

4. 3; 6. 0 и 1 5 ; 7

8. −4 и 4;

9. 0 и −8; 10. 2,5 и −1,5; 11. няма решение; 12. 4 и −1; 13. 13; 14. −4; 15. 8; 16. 0 и 24. 38. Моделиране с линейни уравнения 1. 2; 2. 76; 3. 453; 4. 16 маси и 32 стола; 5. 500 долара и 2500 евро; 6. 29; 7. 38. 39. Моделиране с линейни уравнения. Упражнение 1. 15 години; 25 години; 2. 5,60 лв.; 6,20 лв.; 3. 50 депутати; 4. 36 литра; 28 литра;

Към съдържанието

5. 40. 1. 3. 4. 41.

45 задачи. Задачи от движение 144 km; 2. 1 h 40 min; 54 km/h; 14 h 40 min; 240 km. Задачи от движение. Упражнение 1. 45 km; 2. 29,7 km; 3. 80 km. 42. Задачи от работа 1. а) 15 детайла; б) 180 детайла; 2. 960 ха, 6 дни; 3. а) 120 дка; б) 7 дни; в) 8 дни; 4. 3780 чифта. 43. Задачи от работа. Упражнение 1. 2 h; 2. 1 h 30 min; 3. в 13 h; 4. 4 h; 5. 11 h 12 min; 6. 12 min. 44. Задачи от капитал 1. 7498,57 лв.; 2. 150000 €; 3. 145570 лв.; 4. 40000 €; 45000 €. 45. Задачи от смеси и сплави 1. 240 литра; 2. 55°; 3. 3 литра; 4. 6%; 5. 48%. 46. Обобщение на темата „Уравнения” 1. x = 1; 2. x = – 9; 3. x = 4; 4. x = – 5; 1 5. x = 4; 6. x = − ; 3 13 7. x = – 2; 8. x = − ; 17 9. x = – 9; 10. x = 14; 1 11. x1 = ; x2 = −5; 4 12. x1 = 0; x2 = 5; 13. x1 = 0; x2 = 7; 14. x1 = – 1; x2 = 4; 15. x1 = – 6; x2 = 2; 16. x1 = – 2; x2 = 7; 17. x1 = – 9; x2 = 1; 18. x1 = 2; x2 = 12; 19. x1 = – 2; x2 = 4; x2 1 1 ; 20. = x1 1;= 3 21. x1 = 4; x2 = 10; 22. x1 = 1; x2 = 7; 23. x1 = – 3; x2 = 4; 24. 22; 25. 30; 26. 168 лв.; 27. в 8 часа;

Към съдържанието

28. в 13 часа; 29. 216 km; 30. в 7 часа; 31. 2 дни; 32. 6 дни. 47. Тестове върху темата „Уравнения“ Тест № 1 Задача № Отговор Точки 1 Г 2 2 Б 2 3 Г 2 4 Г 3 5 Б 3 6 Г 3 7 Б 3 Задача 8 (1) Да 3 (2) Не 3 Задача 9 (А) (5) 2 (Б) (1) 2 (В) (2) 2 Задача 10 10 (2x – 5)2 = x2; 5 Тест № 2 Задача № 1 2 3 4 5 6 7

Отговор Точки В 2 Б 2 Б 2 А 3 Б 3 Г 3 Б 3 Задача 8 (1) Да 3 (2) Не 3 Задача 9 (А) (4) 2 (Б) (5) 2 (В) (2) 2 Задача 10 145 10 ТЕМА 3. ОСНОВНИ ГЕОМЕТРИЧНИ ФИГУРИ 48. Въведение в геометрията 1. безброй много прави; 2. само една права; 3. три прави. 50. Съседни ъгли, противоположни ъгли. Перпендикулярни прави 1. 67°43′30″; 2. а) 151°55′; б) 6°40′; в) 67°27′; г) 57°52′; 3. а) 105°; б) 72°; в) 45°; г) 90°;

4. а) 141°40′; б) 54°5′; в) 109°23′15″; г) 42°1′1″; 5. а) 105°; б) 45°; в) 30°. 51. Съседни ъгли, противоположни ъгли. Перпендикулярни прави. Упражнение 1. а) 32°, 148°, 148°; б) 50°10′; 129°50′; 129°50′; 2. 120°. 53. Ъгли, получени при пресичането на две прави с трета 2. а) a || b; b || c; c || a; б) a || b; b || c; c || a; в) няма. 54. Признаци за успоредност на две прави 1. а) b || c; б) a || b; b || c; c || a; в) m || n; r || q. 56. Свойства на успоредните прави 1. a) x = 110°; y = 105°; z = 70°; б) x = 129°; y = 48°; z = 51°; 2. a) 60°; б) 75°. 57. Триъгълник 1. а) 23 cm; б) 105 cm; 2. 8 cm; 12 cm; 16 cm; a) 120 cm2; б) ≈ 9,2 cm; 3. а) 36 cm; б) 54 cm2; в) 7,2 cm. 58. Сбор на ъглите в триъгълник 1. a) не; б) не; в) не; 2. а) 60°; б) 49°30′; в) 54°29′40″; 3. а) 40°; 60°; 80°; б) 90°; 60°; 30°; 4. а) 20°; 80°; 80°; б) 20°; 60°; 100°; 5. а) 40°; б) 75°; 6. а) 128°30′; б) 140°; 7. а) 110°; б) 120°. 59. Външен ъгъл на триъгълник 3. а) α = 40°; β = 40°; γ = 100°; б) β′ = 140°; γ′ = 80°; 4. 40°; 130°; 10°; 5. 120° (70°, 50°, 60°); 6. 20°; 7. a) α′ = 150°; β′ = 90°; γ′ = 120°; б) α = 30°; β = 90°; γ = 60°.

275

60. Триъгълник. Упражнение 1. 54°; 36°; 2. 90° + α ; 90° − α ; 2

3. 60°; 60°; 60°. 61. Обобщение на темата „Основни геометрични фигури” 1. а) 45°; 135°; б) 36°; 144°; в) 80°; 100°; 2. а) 60°; 120°; б) 120°; 3. 67°25¢; 112°35¢; 4. 70°; 110°; 70°; 110°; 55°; 125°; 55°; 125°; 5. а) a = 18°; b = 72°; g = 90°; б) a = 40°; b = 120°; g = 20°; 6. а) 110°; б) 180° – g; 7. 125°; 8. 125°; 9. а) a = 30°; b = 70°; g = 80°; б) a = 52°; b = 60°; g = 68°; 10. 84°; 11. а) 35°; б) 21°30¢; 12. а) 21°; б) 115°; 13. а) 25°; б) 32°; 14. а) 18°; б) 9°; 15. а) 68°; б) 61°. 62. Тестове върху темата „Основни геометрични фигури” Тест № 1 Задача № Отговор Точки 1 Г 2 2 В 2 3 Б 2 4 В 3 5 Г 3 6 Г 3 7 В 3 Задача 8 а) 55° 3 б) 115° 3 Задача 9 а) 49° 2 б) 62° 2 в) 69° 2 Задача 10 100° 10

276

Тест № 2 Задача № 1 2 3 4 5 6 7

Точки 2 2 2 3 3 3 3

а) б)

3 3

а) б) в)

Отговор А Б Г Б А Г В Задача 8 60° 120° Задача 9 50° 75° 55° Задача 10 150°

2 2 2 10

ТЕМА 4. ЕДНАКВИ ТРИЪГЪЛНИЦИ 63. Еднакви триъгълници. Въведение 1. 5 cm; 6 cm; 7 cm; 2. 50°; 70°; 60°; 3. a) A1B1 = AB; B1C1 = BC; C1A1 = CA; б) A1B1 = A2B2; B1C1 = B2C2; C1A1 = C2A2; в) MN = XY; NP = YZ; PM = ZX; г) AB = MN; BC = NP; CA = PM; 4. a) x = 70°; б) x = 4. 68. Р авнобедрен триъгълник. Равностранен триъгълник 1. не; 2. а) 100°; б) 68°; в) 36°; г) 60°; д) 48°56′; 3. а) 75°; б) 50°; в) 45°; г) 60°; д) 27°21′; 4. 40°; 40°; 5. 55° или 40°; 6. 54°30′; 54°30′; 71°; 7. 110 cm; 110 cm. 69. Р авнобедрен триъгълник. Равностранен триъгълник. Упражнение 2. 30°; 75°; 75°; 3. a) 30°; 30°; 120°; б) 18 cm. 71. Симетрала на отсечка. Упражнение 1 25°; 70°; 85°; 2 72°; 3. 90°;

4. 55°; 75°; 50°; 5. 60°; 6. 45°; 110°; 25°; 7. Б. 73. Перпендикуляр от точка към права 2. 11 cm или 1 cm. 74. Правоъгълен триъгълник с ъгъл 30° 1. a) 6 cm; б) 3,5 cm; в) 3 cm; 6 cm; г) 5 cm; 10 cm; 2. a) 5; б) 4. 75. Правоъгълен триъгълник с ъгъл 30°. Упражнение 1. а) 4 cm; б) 2,5 cm; 2. 10 cm; 3. 45 cm2; 4. 6 cm; 5. 24 cm2; 6. 18 cm; 12 cm. 76. Медиана към хипотенузата в правоъгълен триъгълник 1. а) 6,3 cm; б) 9 cm; в) 12 cm; г) 3,8 cm; 2. а) 8 cm; б) 7,6 cm; в) 10,2 cm; г) 9 cm. 77. Медиана към хипотенузата в правоъгълен триъгълник. Упражнение 1. а) 6 cm; б) 11 cm; 3. 10°; 5. Б); 6. Г); 7. В); 8. А). 79. Ъглополовяща на ъгъл. Построяване на ъглополовяща на данен ъгъл 3. 37°30′; 30°; 112°30′; 5. Б); 6. В). 80. Ъглополовяща на ъгъл. Упражнение 1. Г); 2. Б); 3. Б). 82. Обобщение на темата „Еднакви триъгълници” 4. А); 5. Г); 6. В). Общи задачи 1. 67°; 2. a = 75°; b = 60°; g = 45°; 3. а) 60°; б) 12 cm; 4. а) 36°; б) 32 cm; 5. 68°; 6. 24 cm2; 7. а) 120°; б) 16 cm2; 2 8. 64 cm ; 9. а) 24 cm; б) 18 cm; 10. 36°; 11. 28°;

Към съдържанието

12. а) 5 cm; б) 25 cm2; 13. а) 6 cm; б) 72 cm2; 14. 12 cm; 15. 12 cm; 90°. 83. Тестове върху темата „Еднакви триъгълници” Тест № 1 Задача № Отговор Точки 1 Г 2 2 Г 2 3 Б 2 4 Б 3 5 А 3 6 Г 3 7 Г 3 Задача 8 а) 4 3 б) 32 3 Задача 9 (1) Да 2 (2) Да 2 (3) Да 2 Задача 10 21 10 Тест № 2 Задача № 1 2 3 4 5 6 7 а) б) (1) (2) (3)

Отговор Б Б Г В Г В В Задача 8 24 3 Задача 9 Да Не Да Задача 10 9

Точки 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 10

ТЕМА 5. НЕРАВЕНСТВА 84. Числови неравенства. Въведение 1. а) – 2 < 5; б) – 7 < – 1; в) – 1 > – 10; г) 0,5 < 0,6; 2. а) a > 5; б) b < – 7; в) c > 0; г) d < 0; д) – 2 < x < 8; 3. а) 6 > – 1; б) – 1 < 8; в) 0 < 5; г) – 5 < 0; 4. а) 1; 2; 3; 4; б) – 5; – 4; – 3; – 2; – 1;

Към съдържанието

5. 85. 1. 2. 3. 86. 3. 4. 87. 1. 3. 5.

а) – 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; б) – 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3; 4; в) – 6;– 5; – 4; – 3; – 2; г) – 2; – 1; 0. Числови неравенства. Свойства а) −6 < 0; б) 5 > 0; а) 1 < 3; б) 2 > 1; в) 4 > 1; а) 21 < 60; б) −21 > −60; в) 8 > −12; г) −7 < 13. Линейно неравенство с едно неизвестно а) 5; б) 4; в) – 3; г) – 4; а) 2; б) 3; в) – 4; г) – 3. Еквивалентни неравенства да; 2. не; да; 4. да; да;

6. x > −3; 7. x ≤ −1; 8. x > 0; 9. x < −3;

-3 0 -1 0 0 -3 0

88. Л инейно неравенство. Упражнение 1. x > −2,5; 2. x ≤ 5; 3. x ≥ −1; 4. x ≥ 1; 5. x > −6; 6. x > −2; 7. x < 1; 8. x ≥ 1;

9. всяко х е решение; 10. x > 5 ; 7 11. няма решение; 12. няма решение. 89. Представяне решенията на линейно неравенство с числови интервали и графично върху числова ос 1. x > −3; x ∈ (−3; +∞); 2. x ≥ −11; x ∈ [−11; +∞); 3. x > 0; x ∈ (0; +∞); 4. x ≤ 6; x ∈ (−∞; 6]; 5. x < 1 ; 2

(

)

x ∈ − ∞; 1 ; 2

x ∈ (0; +∞);

7. x > −8 1 ; 3 8. y ≤ 3,5;

x ∈ −8 1 ; + ∞ ; 3

9. t ≥ − 3 ; 13 10. x < 3,5;

(

x ∈  − 19 ; + ∞ .  20

4. x > 12;

90. Н еравенства, свеждащи се до линейни 1. a) x > 3; б) x ≥ −1; в) x ≤ 2; г) x < −5; 2. а) x > −2; б) x ≤ 3; в) x < −1,2; г) x ≥ 125; 3. а) x > 32; б) x < 9; 6. x < 2,5; 8. x > 7;

10. x ≥ 1 ; 3 12. a) x > 4;

2. 3. 93. 1. 94. 1. 2. 3. 4.

)

y ∈ (−∞; 3,5];

t ∈ − 3 ; + ∞ ;  13

x ∈ (−∞; 3,5);

x > −1 7 ; 25 6 7. xx≤″ 1 ; 17

9. x ≤ −3;

11. x < − 2 ; 7 б) x < 5;

в) x ≥ 3 ; г) xx≤″ 1 . 6 7 91. Неравенства. Упражнение 1 1. x < 3 ; 2. всяко x; 3 3. няма решение; 4. няма решение; 5. всяко x; 6. няма решение. 92. Приложения на линейните неравенства 1. x > −5; −10;

6. x > 0;

)

19 11. x ≥ − 20 ;

x > −4 2 ; 3

a) x = −4; б) x = −5; x > −4,5; 24. Уравнения и неравенства. Упражнение а) няма решение; б) всяко х е решение; в) х = – 4; г) х < – 4. Неравенства между страни и ъгли в триъгълника α < β < γ; a) b < c < a; б) a < c < b; b < a; а ) основата е по-голяма от бедрото; б ) основата е по-голяма от бедрото; в) основата е равна на бедрото; г) основата е по-малка от бедрото; а ) основата е по-голяма от бедрото;

277

б) основата е по-малка от бедрото; в) основата е по-малка от бедрото; г ) основата е по-голяма от бедрото. 95. Неравенства между страни и ъгли в триъгълника. Упражнение 1. а) AB = BC < AC; б) AB < AC < BC; в) AB < AC < BC; 2. а ) основата е по-голяма от бедрото; б) основата е по-малка от бедрото; в) основата е по-малка от бедрото; г ) основата е по-голяма от бедрото. 96. Неравенство на триъгълника 1. a) не; б) да; в) да; г) да; 2. 12 cm; 3. а) 8 cm; б) 6 cm или 4 cm; в) 9 cm или 5 cm; г) 10 cm; 4. 12 cm, 15 cm, 15 cm или 13 cm, 13 cm, 16 cm. 97. Неравенство на триъгълника. Упражнение 4. 5 cm; 5. Б); 6. Г). 98. Обобщение на темата „Неравенства” 3. x < −1;

5. y ≥ − 1 ; 13

4. xx≤″ 5 ; 7

6. x < −7,5;

7. x ≥ −12; 8. x ≤ 9; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 9. x > −4,5; −4; −3; −2; −1. Общи задачи 1. а) x ³ 1; x Î [1; +∞); 1 1 б) x ≥ −4 ; x ∈ [−4 ; +∞) 3 3 в) x > – 8; x Î (– 8; +∞); г) x < 1; x Î (– ∞; 1); 2. а) x £ 3; 6; б) x £ 5; 15; в) x < 6; 15; г) x < 5 3 ; 15; 7

278

3. а) x ³ – 4; – 10; б) x ³ – 2; – 3; 4 в) x > −3 ; − 6; 5 г) x ³ – 4; – 10; 4. а) x < 2; 1; б) x < – 4; – 5; 1 в) x < − ; − 1; 2 1 г) x < − ; − 1; 3 5. а) x > – 5; – 4; б) x > 10; 11; в) x ³ – 1; – 1; г) x > −1 2 ; − 1; 3 6. а) x > 1; x Î (1; +∞); б) x > – 2; x Î (– 2; +∞); в) x ³ 10; x Î [10; +∞); г) x ³ 4; x Î [4; +∞); 7.

(A) (Б) (В)

(5) (4) (3)

(A)

(5)

(Б)

(1), (2), (4)

(В) (4) 99. Т естове върху темата „Неравенства” Тест № 1 Задача № Отговор Точки 1 В 2 2 Г 2 3 Г 2 4 Г 3 5 Б 3 6 В 3 7 Б 3 Задача 8 а) 3 xÎ(–3,8; +∞) б) –6 3 Задача 9 (А) (5) 2 (Б) (3), (4) 2 (В) (1), (5) 2 Задача 10 10 x > 13; 14

Тест № 2 Задача № 1 2 3 4 5 6 7

Отговор Точки В 2 А 2 В 2 А 3 В 3 Г 3 В 3 Задача 8 а) 3 xÎ[–4; +∞) б) 24 3 Задача 9 (А) (1) 2 (Б) (5) 2 (В) (1), (2) 2 Задача 10 10 x < 1,25; 1

ТЕМА 6. УСПОРЕДНИК 100. Успоредник. Свойства 1. Б; 2. В; 3. Г. 101. Успоредник. Свойства. Упражнение 1. Г; 2. Б; 3. В; 4. А; 5. 42 cm; 6. 54 cm. 102. Признаци за успоредник 4. AC = 24 cm; BQ = 14 cm. 103. Успоредник. Упражнение 1. Б; 2. А; 3. В; 4. Г; 9. 53°; 127°. 104. Правоъгълник 2. a) x = 124°, y = 62°; б) x = 67°30′, y = 22°30′; в) x = 60°, y = 60°; 3. 40 dm. 105. Ромб 1. Г); 2. Б); 4. 64°; 116°. 107. Видове успоредници. Упражнение 1. Б; 2. А; 3. Б; 4. Г; 5. А; 7. 15°; 8. 15°. 108. Обобщение на темата „Успоредник” 1. В; 2. А; 3. Г; 4. Б; 5. Б; 7. 20 cm; 25 cm2.

Към съдържанието

Общи задачи 75°; B = 105°; 1. а) A = C = 75°; D = 105°; 75°; б) H1 DH = 2 A = 65 ° ; B= 115°; 2. а) C = 65°; D = 115°; 115 ° ; б) H1 AH= 2 3. а) DL = 5 cm; CL = 7 cm; DL < CL; б) DL = 8 cm; CL = 4 cm; DL > CL; в) DL = 6 cm; CL = 6 cm; DL = CL; 4. а) AL = 6 cm; DL = 4 cm; AL > DL; б) AL = 5 cm; DL = 5 cm; AL = DL; в) AL = 3 cm; DL = 7 cm; AL < DL; 5. а) DM = MN = NC = 6 cm; б) M º N; DM = MC = 9 cm; в) DN = 7 cm; MN = 4 cm; MC = 7 cm; 6. а) 4 cm; 6 cm; б) S = 48 cm2; 7. а) 7 cm; б) S = 280 cm2; 8. а) P = 54 cm; б) S = 162 cm2; 9. а) P = 48 cm; б) S = 135 cm2; 10. а) P = 34 cm; б) S = 60 cm2; 11. а) 30°; б) P = 64 cm; 12. а) h = 8 cm; б) S = 128 cm2; 13. 24°; 66°; 60°; B = 120°; 14. а) A = C = 60°; D = 120°; 30°; B = 150°; б) A = C = 30°; D = 150°; 15. а) 46°; б) 134°; 16. а) P = 64 cm; б) S = 256 cm2; 17. S = 162 cm2.

Към съдържанието

109. Т естове върху темата „Успоредник” Тест № 1 Задача № Отговор Точки 1 В 2 2 Б 2 3 Б 2 4 А 3 5 В 3 6 Г 3 7 Г 3 Задача 8 а) 7 3 б) 280 3 Задача 9 (А) Да 2 (Б) Не 2 (В) Да 2 Задача 10 27° 10 Тест № 2 Задача № 1 2 3 4 5 6 7

Точки 2 2 2 3 3 3 3

а) б)

3 3

(А) (Б) (В)

Отговор В Б А Г Г Г В Задача 8 30 24 Задача 9 Да Не Да Задача 10 13°

2 2 2 10

ТЕМА 7. ЕЛЕМЕНТИ ОТ ВЕРОЯТНОСТИ И СТАТИСТИКА 110. Организиране и представяне на данни 1. а) 40%; б) 960 лв.; в) 500. 111. Задачи от вероятност на събития 1. а)= n 10;= m 3;= P 3; 10

n 10;= m 5;= P 1; б)= 2 3 2. а)= n 12;= m 9;= P ; 4 n 12;= m 4;= P 1; б)= 3 = m 13; = P 1; 3. = а) n 52; 4 = m 26; = P 1; = б) n 52; 2 1 n 36;= m 3;= P ; 4. а)= 12 n 36;= m 6;= P 1. б)= 6 112. Практически задачи върху темата „Елементи от вероятности и статистика“ 1. а) 4,40; = б) n 140; = m 60; = P 3; 7 = в) n 140; = m 50; = P 5; 14 2. а) 4,15; = m 40; = P 1; = б) n 160; 4 в) 54°; 3. а) 40%; б) 200; = = m 10; = P 1 ; в) n 200; 20 4. а) 7 : 9; б) 15%; в) 2200 лв. 113. Тестове върху темата „Елементи от вероятности и статистика“ Тест № 1 Задача № Отговор Точки 1 Г 2 2 А 2 3 Б 2 4 Б 3 5 Б 3 6 В 3 7 Г 3 Задача 8 а) 4,48 3

7 25

б) (А) (Б) (В)

Задача 9 a = 96° 65 20% Задача 10

5 18

3 2 2 2 10

279

Тест № 2 Задача № 1 2 3 4 5 6 7 а)

Отговор Б В А Б Б А Б Задача 8 4,44

б) (А) (Б) (В)

4 25

2 2 2

Задача 9 g = 72° 16% Задача 10

5 12

Точки 2 2 2 3 3 3 3

ТЕМА 7. ПОСТРОЕНИЯ С ЛИНИЯ И ПЕРГЕЛ 115. Построяване на триъгълник по страна и два прилежащи ъгъла 4. 30°.

117. П острояване на успоредник 2. 4 cm; 4. Б); 5. А). ИЗХОДНО НИВО 121. Изходно ниво Тест № 1 Задача № Отговор 1 Б 2 В 3 Г 4 Г 5 А 6 В 7 Б Задача 8 (А) (1) (Б) (2) Задача 9 а) 25 б) 45° в) 5 Задача 10 40°; 37 cm

Точки 2 2 2 3 3 3 3 3 3

Тест № 2 Задача № 1 2 3 4 5 6 7

Отговор В А Б Г А Г Б Задача 8 (А) (4) (Б) (2) Задача 9 а) 12,5 б) 45° в) 5 Задача 10 36°; 32 cm

Точки 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 10

2 2 2 10

МАТЕМАТИКА 7. КЛАС Здравка Крумова Паскалева , Мая Събчева Алашка, Райна Милкова Алашка Редактор и коректор Юлиана Христова Дамянова Художник на корицата Емил Генков Христов Графичен дизайн Ангелина Владиславова Аврамова Българска, Първо издание 2018 г. Формат: 60/90/8; Печатни коли: 35 Издателство “АРХИМЕД 2” ЕООД тел./факс: 963 28 90, GSM: 0898 670 640, 0898 670 647 www.arhimedbg.com Печат: “Алианс принт” – София

280

Към съдържанието