Математика 5 клас 2016 by Шивачева

Здравка Паскалева, Мая Алашка, Райна Алашка

МАТЕМАТИКА

5. КЛАС

Означения, използвани в учебника:

Знания, които трябва да се запомнят

Основни знания Обърнете внимание! – пояснения към решението на задачите Интересни допълнения към учебния материал

1, 2, ... Задачи с повишена трудност

Рецензенти: проф. д.п.н. Сава Гроздев доц. д-р Драго Михалев

 Издателство “АРХИМЕД 2” EOОД, 2016 г.  Здравка Крумова Паскалева , Мая Събчева Алашка, Райна Милкова Алашка – автори, 2016 г.  проф. д-р Боян Господинов Добрев, Емануела Антониева Тонева-Добрева – концепция, художествен дизайн и типография, 2016 г.  Емил Генков Христов – художник на корицата, 2016 г.  Ангелина Владиславова Аврамова – графичен дизайн, 2016 г. ISBN: 978-954-779-204-3

СЪДЪРЖАНИЕ ВХОДНО НИВО 1. Естествени числа. Действия (преговор с допълнения).............................................6 2. Действия с естествени числа. Намиране на неизвестно число..................................8 3. Мерни единици..........................................................10 4. Тест с решения...........................................................12 5. Входно ниво................................................................15 ТЕМА 1. ДЕЛИМОСТ 6. Деление с остатък......................................................18 7. Кратно и делител на естествено число....................20 8. Делимост на сбор.......................................................22 9. Делимост на произведение.......................................24 10. Признаци за делимост на 2, на 5 и на 10.................26 11. Признаци за делимост на 3 и на 9............................28 12. Прости и съставни числа..........................................30 13. Представяне на естествени числа като произведение от прости множители........................32 14. Общ делител (OD) и най-голям общ делител (HOD). Намиране на HOD на естествени числа.....34 15. Общо кратно (OK) и най-малко общо кратно (HOK) на естествени числа.......................................36 16. Намиране на най-малко общо кратно (HOK) на естествени числа. Упражнение.................................38 17. Обобщение на темата „Делимост” . ........................40 18. Примерен тест върху темата „Делимост”................42 ТЕМА 2. ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ 19. Дробни числа..............................................................44 20. Обикновени дроби.....................................................46 21. Правилни и неправилни дроби.................................48 22. Основно свойство на дробите. Разширяване на дроби...............................................50 23. Основно свойство на дробите. Съкращаване на дроби..............................................52 24. Привеждане на обикновени дроби към общ знаменател..................................................................54 25. Сравняване на обикновени дроби............................56 26. Изобразяване на обикновени дроби върху числов лъч...............................................................................58 27. Събиране на обикновени дроби с равни знаменатели................................................................60 28. Изваждане на обикновени дроби с равни знаменатели................................................................62 29. Смесени числа. Преминаване от смесено число в неправилна дроб и обратно.......................................64 30. Събиране на обикновени дроби с различни знаменатели................................................................66 31. Изваждане на обикновени дроби с различни знаменатели................................................................68

32. Разместително и съдружително свойство на действието събиране..................................................70 33. Събиране и изваждане на смесени числа................72 34. Събиране и изваждане на обикновени дроби. Намиране на неизвестно събираемо, умаляемо и умалител..................................................................74 35. Събиране и изваждане на обикновени дроби. Упражнение................................................................76 36. Умножение на обикновени дроби............................78 37. Разместително и съдружително свойство на действието умножение..............................................80 38. Събиране, изваждане и умножение на обикновени дроби. Упражнение...............................82 39. Деление на обикновени дроби..................................84 40. Действия с обикновени дроби. Разпределително свойство на умножението относно събирането......86 41. Действия с обикновени дроби. Намиране на неизвестен множител, делимо и делител................88 42. Действия с обикновени дроби. Упражнение...........90 43. Част от число..............................................................92 44. Част от число. Основни задачи.................................94 45. Текстови задачи, които се решават чрез въвеждане на части от числото 1..............................96 46. Част от число. Практически задачи.........................98 47. Обобщение на темата „Обикновени дроби” № 1........................................100 48. Обобщение на темата „Обикновени дроби” № 2........................................102 49. Примерен тест върху темата „Обикновени дроби” ..............................................104 ТЕМА 3. ДЕСЕТИЧНИ ДРОБИ 50. Десетични дроби. Въвеждане.................................106 51. Четени и записване на десетични дроби...............108 52. Свойства на десетичните дроби.............................110 53. Сравняване на десетични дроби.............................112 54. Изобразяване на десетични дроби върху числов лъч................................................................114 55. Закръгляване. Оценка на резултат..........................116 56. Събиране на десетични дроби................................118 57. Разместително и съдружително свойство на действието събиране. Упражнение........................120 58. Изваждане на десетични дроби..............................122 59. Намиране на неизвестно събираемо, умаляемо и умалител. Упражнение.........................................124 60. Зависимости на сбора и разликата от компонентите им. Упражнение..........................126 61. Събиране и изваждане на десетични дроби. Упражнение..............................................................128 62. Умножение на десетични дроби с естествено число.........................................................................130

63. Умножение на десетични дроби........................... 132 64. Разместително и съдружително свойство на действието умножение. Упражнение................... 134 65. Деление на десетична дроб с естествено число....................................................................... 136 66. Умножение и деление на десетична дроб с 10, 100 и 1000. Преминаване от една мерна единица в друга..................................................................... 138 67. Деление на десетична дроб с десетична дроб.... 140 68. Разпределително свойство на умножението относно събирането. Упражнение........................ 142 69. Зависимости на произведението и частното от компонентите им. Упражнение............................. 144 70. Действия с десетични дроби. Намиране на неизвестен множител, делимо и делител. Упражнение............................................................ 146 71. Използване на калкулатор. Практически задачи............................................... 148 72. Решаване на текстови задачи................................ 150 73. Задачи от движение............................................... 152 74. Превръщане на десетични дроби в обикновени и на обикновени дроби в десетични.................... 154 75. Крайна десетична дроб. Безкрайна периодична десетична дроб....................................................... 156 76. Действия с обикновени и десетични дроби. Упражнение............................................................ 158 77. Процент. Определение........................................... 160 78. Процент. Основни задачи...................................... 162 79. Процент. Основни задачи (продължение)........... 164 80. Процент. Практически задачи............................... 166 81. Проста лихва.......................................................... 168 82. Четене и интерпретиране на данни. Работа с таблици................................................................... 170 83. Обработка на информация, зададена с таблица (практическа работа)............................................. 172 84. Представяне на данни. Кръгова диаграма. Хистограма............................................................. 174 85. Представяне на данни. Пиктограма..................... 176 86. Представяне на данни. Работа с диаграми.......... 178 87. Обобщение на темата „Десетични дроби”.......... 180 88. Примерен тест върху темата „Десетични дроби”................................................ 182 ТЕМА 4. ОСНОВНИ ГЕОМЕТРИЧНИ ФИГУРИ 89. Основни геометрични фигури (преговор)........... 184 90. Сбор и разлика на отсечки.................................... 186 91. Перпендикулярни прави. Разстояние от точка до права................................................................... 188 92. Триъгълник. Видове триъгълници. Елементи (преговор)............................................................... 190 93. Височини в триъгълник......................................... 192

94. Правоъгълник (преговор)...................................... 194 95. Лице на равнинните фигури правоъгълник и квадрат (преговор).............................................. 196 96. Мерни единици за лице (преговор с допълнение)....................................... 198 97. Лице на правоъгълен триъгълник........................ 200 98. Лице на триъгълник............................................... 202 99. Лице на триъгълник. Упражнение........................ 204 100. Лице на равнинната фигура четириъгълник. Практически задачи............................................... 206 101. Успоредни прави.................................................... 208 102. Успоредник. Ромб.................................................. 210 103. Обиколка на успоредник....................................... 212 104. Лице на успоредник............................................... 214 105. Лице на успоредник. Упражнение........................ 216 106. Трапец. Обиколка на трапец................................. 218 107. Трапец. Видове трапеци........................................ 220 108. Лице на трапец....................................................... 222 109. Лица на геометрични фигури, съставени от изучените фигури. Упражнение........................... 224 110. Лица на геометрични фигури. Практически задачи............................................... 226 111. Обобщение на темата „Основни геометрични фигури” .................................................................. 228 112. Примерен тест върху темата „Основни геометрични фигури” ......................... 230 ТЕМА 5. ГЕОМЕТРИЧНИ ТЕЛА 113. Куб. Елементи. Повърхнина................................. 232 114. Обем на куб............................................................ 234 115. Мерни единици за обем......................................... 236 116. Правоъгълен паралелепипед................................. 238 117. Правоъгълен паралелепипед. Упражнение.......... 240 118. Лице на околна повърхнина и лице на повърхнина на правоъгълен паралелепипед.. 242 119. Лице на повърхнина на правоъгълен паралелепипед. Упражнение................................. 244 120. Обем на правоъгълен паралелепипед.................. 246 121. Повърхнина и обем на правоъгълен паралелепипед. Упражнение................................. 248 122. Задачи с практическо приложение № 1............... 250 123. Задачи с практическо приложение № 2............... 252 124. Обобщение на темата „Геометрични тела”......... 254 125. Примерен тест върху темата „Геометрични тела”............................................... 256 ИЗХОДНО НИВО 126. Тест с решения....................................................... 258 127. Изходно ниво.......................................................... 260 ОТГОВОРИ.................................................................... 262

ВХОДНО НИВО (Урок № 1 – Урок № 5)

НАЧАЛЕН ПРЕГОВОР • Действия с естествени числа • Намиране на неизвестно число • Мерни единици УКАЗАНИЯ ЗА ОЦЕНКА НА ВСИЧКИ ТЕСТОВЕ, ДАДЕНИ В УЧЕБНИКА ПРИМЕРЕН ТЕСТ ЗА ВХОДНО НИВО С РЕШЕНИЯ ДВА ПРИМЕРНИ ТЕСТА ЗА ВХОДНО НИВО

ЕСТЕСТВЕНИ ЧИСЛА. ДЕЙСТВИЯ (ПРЕГОВОР С ДОПЪЛНЕНИЯ) Числата, с които броим, се наричат естествени числа. Естествените числа означаваме с N.

Правилото, по което записваме всяко естествено число с помощта на десет знака (цифрите 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), се нарича десетична позиционна бройна система. Числата 35, 946, 2037 ... в десетична позиционна бройна система се записват като сбор: 35 = 3 . 10 + 5, 946 = 9 . 100 + 4 . 10 + 6, 2 037 = 2 . 1000 + 0 . 100 + 3 . 10 + 7 ... Ако наредим естествените числа по големина, получаваме редицата на естествените числа: 1, 2, 3, ... , 9, 10, 11, ... , 20, ... , 100, ... , 1000, ...

• • • •

Най-малкото естествено число е 1. Всяко число след 1 е с единица по-голямо от предходното. Няма най-голямо число. Естествените числа са безброй много.

Числото 0 не е естествено число! Естествените числа и числото 0 означаваме с N0 . Числов лъч – На лъч с начало точката O се нанася последователно една и съща отсечка e. Получените точки са образи на естествените числа 1, 2, 3, ... , 10, ... , а началото O на числовия лъч е образ на числото 0.

Числата 2, 4, 6, 8, 10, ... са четни. Числата 1, 3, 5, 7, 9, ... са нечетни.

Действия с естествени числа и числото 0 Събиране:

Изваждане:

Умножение: Деление:

−

събираемо събираемо

умаляемо

умалител

множител множител

делимо

делител

сбор

(a > b)

разлика

произведение

(b ≠ 0)

частно

Към съдържанието

ЗАДАЧА 1 Сравнете числата:

а) 973 и 1020; а)

Решение:

б) 1891 и 1856. б)

ЗАДАЧА 2 Проверете вярно ли са извършени действията: а)

б)

в)

г)

Oтговор: Действията са извършени вярно.

ЗАДАЧА 3 Правоъгълник има страни с дължина 8 cm и 5 cm. Намерете обиколката Р и лицето S на правоъгълника. Решение:

ЗАДАЧА 4 Пресметнете: а) (24 . 10 − 6) : 3 + 5; б) 24 . (10 − 6 : 3) + 5.

P = 2 . a + 2 . b P = 2 . 8 + 2 . 5 = = 16 + 10 = 26 cm

S =a . b S = 8 . 5 S = 40 cm2

Решение: а) (240 − 6) : 3 + 5 = 234 : 3 + 5 = 78 + 5 = 83 б) 24 . (10 − 2) + 5 = 24 . 8 + 5 = 192 + 5 = 197

Числовите изрази в Задача 4 се различават само по мястото на скобите, но при решаването им се получават различни числени стойности. Скобите имат решаваща роля.

ЗАДАЧА 5 Намерете числената стойност на израза

A = 32 . a + a : 18, aко a = 450. Решение: A = 32 . a + a : 18 = 32 . 450 + 450 : 18 = 14400 + 25 = 14425

ЗАДАЧИ

1 Върху числов лъч с начало O и

б) (24 . 3 – 4 . 7) : 11; в) (108 : 3 – 135 : 5) . 101; e = 1сm изобразете: а) четните числа 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14; г) 1616 : (5 . 17 – 11 . 7); б) нечетните числа 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. д) 2816 : (2080 : 13 – 32 . 4). Намерете числената стойност на 2 Сравнете по големина числата: израза: а) 8410 и 8140; б) 77890 и 77980. 5 А = (486 + a) : 18, aко: 3 Пресметнете: а) а = 126; б) а = 468. а) 2437 + 925; 387 + 12113; 6 A = (2 . a – b : 3) . 5, ако: б) 1235 − 423; 9085 − 847; а) a = 209, b = 318; в) 237 . 54; 795 . 316; б) a = 3000, b = 1218; г) 4761 : 23; 59136 : 231. в) a = 3452, b = 5706; 4 Пресметнете: г) a = 12002, b = 21210. а) 18 . 2 – 108 : 6; Към съдържанието

ДЕЙСТВИЯ С ЕСТЕСТВЕНИ ЧИСЛА. НАМИРАНЕ НА НЕИЗВЕСТНО ЧИСЛО Свойства на събирането на умножението разместително свойство a + b = b + a a.b=b.a съдружително свойство (a + b) + c = a + (b + c) (a . b) . c = a . (b . c) разпределително свойство относно събирането (a + b) . c = a . c + b . c относно изваждането (a − b) . c = a . c − b . c (a > b)

ЗАДАЧА 1 Пресметнете рационално: a) 17 . 21 + 17 . 79; Решение:

б) 17 . 21 . 10 + 17 . 79 . 10.

а) 17 . 21 + 17 . 79 = 17 . (21 + 79) = 17 . 100 = 1700

б) 17 . 21 . 10 + 17 . 79 . 10 = 17 . (21 . 10 + 79 . 10) = = 17 . (21 + 79) . 10 = 17 . 100 . 10 = 17 000

ЗАДАЧА 2 Намислих число. Увеличих го с 325 и получих 523.

Кое число съм намислил? Решение: Намисленото число е х. Тогава x + 325 = 523 x = 523 − 325 x = 198. Намисленото число е 198.

За да не правим грешки при намиране на неизвестно число, удобно е да си служим с опорен пример. Например очевидно е равенството 2 + 3 = 5. Тогава, ако неизвестното число е събираемо, от +3=5 съобразяваме, че = 5 − 3.

ЗАДАЧА 3 Намерете неизвестното число x, ако: а) x + 213 = 956; Решение:

б) x − 283 = 408;

в) 1021 − x = 47.

а) x + 213 = 956 x = 956 − 213 x = 743

+2=5 =5−2

б) x − 283 = 408 x = 408 + 283 x = 691

−2=3 =3+2

в) 1 021 − x = 47 x = 1021 − 47 x = 974

5−

=2 =5−2

8 Към съдържанието

ЗАДАЧА 4 Намерете неизвестното число x, ако: а) 12 . x = 30240; Решение:

б) x : 17 = 607;

а) 12 . x = 30240 x = 30240 : 12 x = 2520

б) x : 17 = 607 x = 607 . 17 x = 10319 в) 345 : x = 23 x = 345 : 23 x = 15

в) 345 : x = 23. =6 =6:2 :2= 3 =3.2

=3 =6:3

ЗАДАЧА 5 Намерете x, ако 126 = 42 . (2 + x), и направете проверка. Решение: 126 = 42 . (2 + x) → От a = b следва b = a. 42 . (2 + x) = 126 → Решаваме относно (2 + x)! 2 + x = 126 : 42 2 + x = 3 → Намираме x. x = 3 − 2 x = 1

ЗАДАЧИ

Проверка: 126= 42 . (2 + 1) 126 = 42 . 3 126 = 126

Мерни единици за време 1 час = 60 минути, 1 минута = 60 секунди

1 Намерете x, ако:

а) x + 307 = 508; б) 820 + x = 980; в) x − 421 = 334; г) 3480 − x = 2100. 2 Намерете x, ако: а) (x + 107) : 2 = 126; б) 216 : (x + 12) = 12; в) (6 − x) . 53 = 212; г) 318 − (2 . x + 207) = 23. 3 За едно денонощие един слон изяжда 300 kg храна, една камила – 40 kg, а един лъв – 6 kg, но се храни само 3 пъти седмично. а) Колко килограма храна ще изядат трите животни за 6 седмици?

б) Ще стигне ли 1 t храна за изхран ването на един лъв за 1 година (1 година = 52 седмици)? 4 Туристическа фирма провела екскурзия с 25 ученици с вноска от 400 лв. на ученик. Поради отстъпките останала сума от 12 банкноти по 20 лв., 21 банкноти по 10 лв. и 35 банкноти по 5 лв., която фирма та върнала на учениците поравно. Колко лева е струвала екскурзията на един ученик?

Към съдържанието

МЕРНИ ЕДИНИЦИ Мерни единици за пари

1 лев = 100 стотинки

ЗАДАЧА 1 Намерете колко стотинки съдържат: Решение:

а) 5 . 100 = 500 б) 12 . 100 = 1200

а) 5 лева; б) 12 лева. 5 лева съдържат 500 стотинки. 12 лева съдържат 1200 стотинки.

ЗАДАЧА 2 Намерете колко лева са: а) 400 стотинки; Решение:

а) 400 : 100 = 4 б) 1300 : 100 = 13

б) 1300 стотинки. 400 стотинки са 4 лева. 1300 стотинки са 13 лева.

Превръщане на една мерна единица за пари в друга За да превърнем левове в стотинки, умножаваме по 100. стотинки За да превърнем стотинки в левове, лева делим на 100.

ЗАДАЧА 3 Ангел купил сандвич за 1 лев и 30 стотинки. Дал 5 лева.

Каква сума са му върнали? Решение: 5 лв. – 1 лв. 30 ст. = 4 лв. 100 ст. – 1 лв. 30 ст. = 3 лв. 70 ст.

ЗАДАЧА 4 Петър купил 2 банички по 70 стотинки и 3 сока по 30 стотинки.

Колко е струвала покупката? Решение: банички 2 . 70 ст. = 140 ст. = 1 лв. 40 ст. сок 3 . 30 ст. = 90 ст. = 90 ст. общо: 1 лв. 40 ст. + 90 ст. = 1 лв. + 130 ст. = = 1 лв. + 100 ст. + 30 ст. = = 1 лв. + 1 лв. + 30 ст. = 2 лв. 30 ст.

Мерни единици за маса Когато измерваме продукти, казваме например: “Това сирене тежи 2 kg и 300 g”. Така е прието, но не е правилно. Мерните единици килограм (kg), грам (g), тон (t) са мерни единици за масата на едно тяло. Теглото му P се получава от масата му m, умножена по земното привличане.

1 тон = 1 000 килограма = 1 000 000 грама = 1 000 000 000 милиграма

10 Към съдържанието

Превръщане на една мерна единица за маса в друга

ЗАДАЧА 5 В консервeн цех обработили 15 пратки с праскови, всяка по 2400 kg.

а) Колко тона праскови общо са обработили в цеха? б) Колко броя компоти са направили, ако за 1 буркан са необходими 300 g праскови? Решение: а) 2 400 . 15 = 36 000 Общо са обработили 36 000 kg, които са 36 t праскови. б) 36 000 kg . 1 000 g = 36 000 000 g, 36 000 000 g : 300 g = 120 000 буркана От получените 36 000 000 g праскови са направили 120 000 буркана компот.

Мерни единици за дължина dm

mm cm

1 метър = 10 дециметра = 100 сантиметра = 1 000 милиметра

Превръщане на една мерна единица за дължина в друга метър

дециметър

сантиметър

милиметър

1 километър (1 km) = 1 000 m 



Например: 5 m = 5 . 10 = 50 dm 5000 mm = 5000:10 = 500 сm 5.10.10 = 500 cm 5000:(10.10) = 50 dm 5.10.10.10 = 5000 mm; 5000:(10.10.10) = 5 m.

ЗАДАЧА 6 Иван преплувал 1 km и 400 m в басейн с дължина на коридора 50 m.

Колко пъти Иван е изминал дължината на басейна? Решение: 1 km 400 m = 1000 m + 400 m = 1400 m 1400 : 50 = 28 Иван е преплувал дължината на басейна 28 пъти.

ЗАДАЧИ

1 Запишете в стотинки:

а) 3 лв.; б) 7 лв. и 10 ст.; в) 10 лв. 2 Търговец на дребно закупил от борсата 200 вафли по 38 ст. и ги продал по 45 ст. Колко лева е печалбата му?

3 Един кашон съдържа 24 пакета

кашкавал по 250 g. а) Колко килограма кашкавал има в кашона? б) Ако 1 kg е на цена 14 лв. и 50 ст., колко лева струва целият кашон? Към съдържанието

ТЕСТ С РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧА 1 Ако сменим местата на първата и последната цифра, най-малко ще бъде числото: А) 5 351;

Б) 5 341;

В) 6 351;

Г) 6 341.

Решение:

А) 5351 → 1355

Б) 5341 → 1345

В) 6351 → 1356

Г) 6341 → 1346

Отговор: Б)

Б) 52 993; В) 52 903; Г) 52 003. 41 375 + 11 628 = 53003

Отговор: А)

ЗАДАЧА 2 Сборът 41 375 + 11 628 е: А) 53 003; Решение:

ЗАДАЧА 3 Стойността на израза 6 948 – 948 : 3 е: А) 2 000; Решение:

Б) 6 532; В) 6 732; Г) 6 632. 6 948 – 948 : 3 = 6 948 – 316 = 6 632

Отговор: Г)

ЗАДАЧА 4 Намислих едно число. Увеличих го с 53 и получих 211. Намисленото число е: А) 738; Решение:

Б) 158; В) 264; Г) 144. Намисленото число е 211 – 53 = 158

Отговор: Б)

ЗАДАЧА 5 Петко имал 1 000 картинки. На 9 приятели дал по 35 от тях, а на 7 приятелки подарил по 23. Колко картинки са останали на Петко? А) 476; Б) 624; В) 524; Г) 576. Решение: 1000 – (35 . 9 + 23 . 7) = 1000 – (315 + 161) = 1000 – 476 = 524 Отговор: В)

ЗАДАЧА 6 Дължината на правоъгълник е 60 сm, а широчината му е 3 dm.

Страната на равностранен триъгълник, чиято обиколка е равна на обиколката на правоъгълника, в сантиметри е: А) 42; Б) 30; В) 60; Г) 21.

Решение: a = 60 cm b = 3 dm = 30 cm Pправ. = 2 . a + 2 . b = b = 2 . 60 + 2 . 30 = = 120 + 60 = 180 cm а Pтр. = 3 . х Pтр. =Pправ. x x 3 . х = 180 х = 180 : 3 х = 60 cm x

Отговор: В)

Към съдържанието

ЗАДАЧА 7 Райна имала 2 панделки. Едната разделила с четири разрязвания на парчета по

12 сm, а другата – с девет разрязвания на парчета по 5 сm. С колко сантиметра едната панделка е била по-дълга от другата? А) 10; Б) 7; В) 3; Г) 9. Решение: При 4 разрязвания се получават 5 парчета 5 . 12 = 60 cm При 9 разрязвания се получават 10 парчета 10 . 5 = 50 cm 60 – 50 = 10 cm Отговор: А)

ЗАДАЧА 8 В кутия има три вида топчета – червени, бели и жълти. Теглото на вся-

ко топче от кутията е 25 g. Червените топчета са 87, жълтите са 3 пъти по-малко от червените, а белите са с 15 повече от жълтите. а) Колко топчета има в кутията? б) Колко килограма тежат всички топчета в кутията? Решение: а) червени топчета – 87 жълти топчета – 87 : 3 = 29 бели топчета – 29 + 15 = 44 87 + 29 + 44 = 87 + 73 = 160 топчета б) 160 . 25 = 4 000 g Отговор: а) 160 4 000 : 1 000 = 4 kg б) 4 kg

ЗАДАЧА 9 Илия прочел дадена книга от 306 страници за три дни. През първия ден прочел третинката от цялата книга, а през втория – третинката от останалата част. Колко страници е прочел Илия през: a) първия ден; б) втория ден; в) третия ден? Решение: Ден I II III

Прочел 306 : 3 = 102 204 : 3 = 68 136

Останали 306 – 102 = 204 204 – 68 = 136 Отговор: a) 102 б) 68 в) 136

ЗАДАЧА 10 Намерете сбора на всички нечетни числа, които се намират между x и y,

ако х = (405 : 15 + 13) : 4 – 2, у = (7 . 28 + 13 . 28) : 28. Решение: 405 : 15 = 27 1. х = (405 : 15 + 13) : 4 – 2 = – 30 = (27 + 13) : 4 – 2 = 105 = 40 : 4 – 2 = – 105 = 10 – 2 = 8 0 2. у = (7 . 28 + 13 . 28) : 28 = = ((7 + 13) . 28) : 28 = = (20 . 28) : 28 = 20 3. Нечетните числа между х и у са 9, 11, 13, 15, 17, 19. 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 84 Отговор: 84

13 Към съдържанието

УКАЗАНИЯ ЗА РЕШАВАНЕ НА ТЕСТОВЕТЕ, ДАДЕНИ В ТОЗИ УЧЕБНИК В учебника са дадени 9 теста. Във всеки от тях има 10 задачи: • 7 с избираем отговор, • 2 със свободен отговор и • 1, за която се изисква писмено аргументирано решение. След всяка задача с избираем отговор са посочени 4 отговора, от които само един е верен. В бланката за отговори се записва: • за задачите с избираем отговор – буквата, отговаряща на верния отговор; • за задачите със свободен отговор – отговора на задачата, без да се посочва хода на решението. За даден грешен отговор не се отнемат точки. Ако решите да промените отговора на дадена задача, зачеркнете с “Х” първия си отговор и запишете до него новия отговор. Задачите в теста са с различна трудност В бланката за отговори е посочен броят на точките, които получавате при верен отговор за всяка от първите 9 задачи. Задача 10 се оценява с най-много 10 точки. Максималният брой точки е 40.

Препоръчително време – 1 учебен час. Задачите се решават на допълнителни Бланка за отговори листове. Задача Отговор Точки Върху теста не се пише и огражда. № Не се използва калкулатор. 1 2 2 2 3 2 4 3 5 3 Вариант за оценка: 6 3 Точки Представяне 7 3 Задача 8 от 0 до 6 слабо а) 3 от 7 до 14 средно б) 3 от 15 до 22 добро Задача 9 от 23 до 30 много добро а) 2 от 31 до 40 отлично б) 2 в) 2 Задача 10 до 10

14 Към съдържанието

ВХОДНО НИВО ПРИМЕРЕН ТЕСТ № 1 1. Ако сменим местата на първата и последната цифра, най-голямо ще бъде числото: А) 54 851; Б) 54 841; В) 64 851; Г) 64 841. 2. Сборът 113 + 106 + 109 е: А) 328; Б) 327; В) 329; Г) 320. 3. Стойността на израза 2 016 – 2 016 : 4 + 4 е: А) 0; Б) 1 508; В) 1 764; Г) 1 516.

7. При купуване на кола на лизинг се плаща първоначална вноска 5 150 лв. и 36 месечни вноски по 565 лв. Цената на колата е: А) 15 190; Б) 25 490; В) 10 235; Г) 20 340. 8. В цветарски магазин има три вида рози – червени, бели и жълти. Цената на всяка от тях е 3 лв. Червените рози са 336, жълтите са 3 пъти по-малко от червените, а белите са 2 пъти повече от жълтите. а) Колко рози има в магазина? б) Колко лева струват всички рози в магазина?

4. Намислих едно число. Намалих го със 104 и получих 204. Намисленото 9. За три дни Драго решил общо 240 зачисло е: дачи. През първия ден решил четвър А) 100; Б) 308; В) 360; Г) 720. тинката от всичките задачи, през втория ден – третинката от останалите. 5. Квадрат и равностранен триъгълник а) Колко задачи е решил Драго през имат равни обиколки. Триъгълникът първия ден? е със страна 8 сm. Лицето на квадрата б) Колко задачи е решил през втория в квадратни сантиметри е: ден? А) 24; Б) 36; В) 18; Г) 64. в) Колко задачи е решил през третия ден? 6. На равни разстояния един от друг се намират 4 стълба. Милко изминава 10. Намерете сбора на всички четни разстоянието от първия до последчисла, които се намират между x и y, ния стълб за 12 минути. За колко ако минути той ще измине разстоянието 35 : х + 38 = 45; от първия до втория стълб, ако през у = (33 . 35 – 12 . 35) : 35. цялото време се движи с една и съща скорост? А) 3; Б) 4; В) 2; Г) 6.

Към съдържанието

ВХОДНО НИВО ПРИМЕРЕН ТЕСТ № 2 1. Н ай-голямото петцифрено число с 7. Събчо има една банкнота от 50 лв., осем по 20 лв., седем по 10 лв. и шест цифра на хилядите 5 е: по 5 лв. Разпределил ги за 6 дни по А) 95 999; 50 лв. и му останала една банкнота. Б) 59 999; Банкнота от колко лева е останала? В) 99 599; А) 5; Б) 10; В) 20; Г) 50. Г) 99 995. 2.

Произведението 16 . 202 е: А) 218; Б) 6 868; В) 3 232; Г) 352

Стойността на израза 1 250 – 250 : 10 + 15 . 16 е: А) 340; Б) 640; В) 1 090; Г) 1 465.

4. Намислих едно число. Намалих го 3 пъти. Полученото число увеличих с 27 и получих 90. Намисленото число е: А) 189; Б) 21; В) 333; Г) 471.

8. Жени изяла 230 g малини, а Весела с 40 g повече от нея. Иван изял с 200 g по-малко, отколкото двете момичета заедно. Цената на 200 g малини е 1 лв. а) Колко грама малини е изял Иван? б) Колко лева струват малините, които трите деца са изяли? 9. Автобус превозвал 48 ученици. На първата спирка слезли третината от всички ученици, а на втората – четвъртината от останалите. На последната, трета спирка слезли останалите ученици. а) Колко ученици са слезли на първата спирка? б) Колко ученици са слезли на втората спирка? в) Колко ученици са слезли на третата спирка?

5. Страната на квадрат е 12 cm. Страната на равностранен триъгълник, чиято обиколка е 2 пъти по-малка от оби- 10. Пресметнете числената стойност на израза А = х . у – (х + у), ако колката на квадрата, в сантиметри е: х = (19 . 16 – 32) : 34; А) 8; Б) 3; В) 4; Г) 6. у = (123 + 124 + 126 + 127) : 25. 6. Дъска с определена дължина била разрязана с 12 разреза на равни части с дължини по 15 cm. Колко сантиметра е била дължината на дъската? А) 165; Б) 180; В) 195; Г) 210.

Към съдържанието

ТЕМА 1 ДЕЛИМОСТ (Урок № 6 – Урок № 18)

В ТАЗИ ТЕМА СЕ ВЪВЕЖДАТ ПОНЯТИЯТА: • деление с остатък; • кратно и делител, признаци за делимост; •п рости и съставни числа, взаимно прости числа; •о бщ делител (OD) и най-голям общ делител (HOD); •о бщо кратно (OK) и най-малко общо кратно (HOK). УЧЕНИЦИТЕ СЕ НАУЧАВАТ: • да прилагат признаците за делимост; •д а прилагат HOD и HOK при решаване на задачи.

Към съдържанието

ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТЪК

ЗАДАЧА 1 В кошница има 46 ябълки. Разделили ги поравно на 7 деца.

а) По колко най-много ябълки е получило всяко дете? б) Останали ли са ябълки в кошницата? Решение: а) Най-близкото число до 46, което се дели на 7 и е по-малко от 46, е 42. 42 : 7 = 6 Всяко дете e получило по 6 ябълки. б) 46 – 42 = 4 Четири ябълки са останали в кошницата. Видяхме, че когато делим 46 на 7, получаваме 6 и остава 4. Пишем: 46 : 7 = 6 (ост. 4) или 46 = 6 . 7 + 4. Числото 46 наричаме делимо, 7 – делител, 6 – частно, и 4 – остатък.

ЗАДАЧА 2 Намерете частното и остатъка при деление на 138 с 11 и направете проверка. Решение: Стъпки за намиране на частно и остатък: 1. Намираме най-близкото, по-малко от 138 число, което се дели на 11. Това число е 11 . 12 = 132. 2. Изваждаме от делимото числото намерено в стъпка 1 и намираме остатъка: 138 – 132 = 6. 3. Сравняваме остатъка и делителя: 6 < 11. 4. Записваме 138 : 11 = 12 (ост. 6). 5. Правим проверка: 12 . 11 + 6 = 138.

Остатъкът винаги е по-малък от делителя. Ако делителят е 11, възможните остатъци са 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10.

Изчисленията могат да се представят така: делимо делител частно 138 = 12 . 11 + 6 138 : 11 = 12 – делимо частно делител остатък 11 28 – 22 6 остатък

Делимото е равно на произведението от частното и делителя плюс остатъка.

18 Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 Извършете делението с остатък. Сравнете остатъка с делителя и направете проверка. Решение:

а) 31 : 5; б) 22 : 4. а) 31 : 5 = 6 (ост. 1), 1 < 5 б) 22 : 4 = 5 (ост. 2), 2 < 4 6 . 5 + 1 = 31 5 . 4 + 2 = 22

ЗАДАЧА 4 Извършете делението:

а) 156 : 13; б) 165 : 13; в) 385 : 12. Решение: а) 156 : 13 = 12 б) 165 : 13 = 12 (ост. 9) в) – 385 : 12 = 32 (ост. 1) – – 13 13 36 26 35 25 – – – 26 26 24 0 9 1

ЗАДАЧА 5 Семейство отишло на почивка на 6 юли – понеделник, и почивало до 22 юли

включително. а) Колко дни е почивало семейството? б) Какъв ден от седмицата е 22 юли? Решение: а) Семейството е почивало 22 – 5 = 17 дни. б) След всеки 7 дни денят от седмицата се повтаря. Семейството е почивало 17 дни. 17 : 7 = 2 (ост. 3). Семейството е почивало 2 пълни седмици (до неделя) и още 3 дни. Следователно 22 юли е сряда.

ЗАДАЧА 6 Намислих едно число. Разделих го на 8 и получих частно 5 и остатък 1. Кое число съм намислил? Решение: х : 8 = 5 (ост. 3) х = 5 . 8 + 3 х = 43

Намисленото число е 43.

ЗАДАЧА 7 Намислих едно число. Разделих 39 на намисленото число и получих частно 5 и

ЗАДАЧИ

остатък 4. Кое число съм намислил? Решение: 39 : х = 5 (ост. 4) 5 . х + 4 = 39 5 . х = 39 – 4 х = 7 1 Кой е най-големият остатък, който може да се получи, ако делителят е: а) 7; б) 9; в) 23; г) 35. 2 Колко е броят на остатъците, които могат да се получат при деление със: а) 5; б) 8; в) 17; г) 44. 3 Извършете делението и направете проверка: а) 127 : 2; б) 368 : 3; в) 209 : 5;

Намисленото число е 7. 4 5

г) 367 : 18. Намерете х, ако: а) х : 9 = 11 (ост. 2); б) х : 12 = 10 (ост. 7); в) х : 20 = 7 (ост. 3); г) х : 15 = 15 (ост. 4). Намерете х, ако: а) 25 : х = 3 (ост. 4); б) 36 : х = 2 (ост. 2); в) 87 : х = 4 (ост. 11); г) 305 : х = 9 (ост. 8).

19 Към съдържанието

КРАТНО И ДЕЛИТЕЛ НА ЕСТЕСТВЕНО ЧИСЛО При игра на “Домино” се раздават по равен брой плочки на всеки играч. Броят на плочките е 28. • Ако играят 4 деца, се раздават по 7 плочки. • Ако играят 5 деца, се раздават по 5 плочки и три плочки остават. За естествените числа казваме, че: числото 28 се дели на 4, 28 : 4 = 7 числото 28 не се дели на 5. 28 : 5 = 5 (ост. 3)

ЗАДАЧА 1 Пресметнете: а) 6 008 : 8; Решение:

а)

б) 137 : 9. б)

(ост. 2)

Забелязваме, че: • числото 6 008 се дели на 8 (без остатък); • числото 137 не се дели на 9, защото при делението остава остатък 2.

! !

а е кратно на b Когато числото a се дели без остатък на числото b, казваме, че a е кратно на b. b е делител на а Когато числото b дели без остатък числото a, казваме, че b е делител на a. Примери: 32 е кратно на 4 (защото има число – 8, за което 8 . 4 = 32), 4 е делител на 32; 600 080 е кратно на 8, 41 е кратно на 41, 8 е делител на 600 080; 41 е делител на 41; 1 е кратно на 1, a е кратно на 1, 1 е делител на 1; 1 е делител на a.

! !

Всяко естествено число е кратно на себе си. Всяко естествено число е делител на себе си. Всяко число е кратно на 1. 1 е делител на всяко число.

20 Към съдържанието

Числото 0 е кратно на всяко естествено число a (0 : a = 0). Числото 0 не е делител.

ЗАДАЧА 2 Може ли три еднакви молива да струват 28 ст.? Решение: Не, защото числото 28 не е кратно на 3.

ЗАДАЧА 3 Проверете числото a кратно ли е на 6, ако: а) a = 72; Решение:

б) a = 155; в) a = 726. а) 72 : 6 = 12 → 72 е кратно на 6. б) 155 : 6 = 25 (ост. 5) → 155 не е кратно на 6. в) 726 : 6 = 121 → 726 е кратно на 6.

ЗАДАЧА 4 Проверете числата 2, 3, 4, 7 делители ли са на числото 252. Решение:

252 : 2 252 : 3 252 : 4 252 : 7

= 126 → 2 е делител на 252. = 84 → 3 е делител на 252. = 63 → 4 е делител на 252. = 36 → 7 е делител на 252.

Всяка четвърта календарна година има един ден повече (29 февруари) и се нарича високосна. Знаете ли защо? Една календарна година има 8 766 часа. Като знаем, че 1 ден = 24 часа, от 8 766 : 24 = 365 (ост. 6) получаваме, че 1 година = 365 дни и 6 часа. Четири календарни години имат 8 766 . 4 = 35 064 часа. От 35 064 : 24 = 1 461 получаваме, че 4 години = 1 461 дни, които се разпределят така: • 3 поредни години имат по 365 дни; • всяка четвърта година има 366 дни, т.е. е високосна и има допълнителен ден, който е прието да е 29 февруари. Всяка високосна година се означава с число, което е кратно на 4. Годините, които са кратни на 100, но не са кратни на 400, не са високосни.

ЗАДАЧИ

1 Напишете най-малкото двуцифрено 4 Кои от числата 1, 2, 3, 5, 15, 30, 45, число, което: а) е кратно на 6; б) не е кратно на 2; в) има делител 7. 2 Напишете всички двуцифрени числа, по-големи от 92, кратни на 2. 3 Кои от числата 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 27 са делители на 27?

50 са: а) делители на 15, б) кратни на 15? 5 Напишете най-малкото двуцифрено число, което е: а) кратно на 3, но не е кратно на 2; б) кратно на 5 и има делител 3; в) кратно на 5 и се дели на 4; г) кратно и на 2, и на 3.

Към съдържанието

ДЕЛИМОСТ НА СБОР

ЗАДАЧА 1 Петър и Иван си купили пликче с бонбони, в което имало 10 дъвчащи, 12 шоколадови и 6 ментови. Могат ли да си ги разделят поравно? Решение: При подялбата всяко от момчетата е получило по 5 дъвчащи, 6 шоколадови и 3 ментови бонбона.

ЗАДАЧА 2 Извършете делението:

а) (6 + 8 + 10) : 2;

б) (9 + 12 + 15 + 18) : 3.

Решение: 6 : 2 + 8 : 2 + 10 : 2 = 3 + 4 + 5 = 12 а) (6 + 8 + 10) : 2 = или 24 : 2 = 12 9 : 3 + 12 : 3 + 15 : 3 + 18 : 3 = 3 + 4 + 5 + 6 = 18 или б) (9 + 12 + 15 + 18) : 3 = 54 : 3 = 18 Забелязваме, че в условия а) и б) на Задача 2: • всяко от събираемите 6, 8, 10 се дели на 2, сборът им 6 + 8 + 10 = 24 също се дели на 2; • всяко от събираемите 9, 12, 15, 18 се дели на 3, сборът им 9 + 12 + 15 + 18 = 54 също се дели на 3.

Правило 1. Ако всяко от събираемите на сбор се дели на едно число, то и сборът се дели на това число.

ЗАДАЧА 3 Покажете, че сборът в скобите е число, което не се дели на делителя:

а) (7 + 14 + 21 + 25) : 7; б) (10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 65) : 10. Решение: а) (7 + 14 + 21 + 25) : 7 = 67 : 7 = 9 + 4 : 7 = 9 (ост. 4) Следва, че 67 не се дели (не е кратно) на 7. б) (10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 65) : 10 = 215 : 10 = 21 + 5 : 10 = 21 (ост. 5) Следва, че 215 не се дели (не е кратно) на 10.

Забелязваме, че в условия а) и б) на Задача 3: • 7, 14, 21 се делят на 7, а само едно от събираемите – 25, не се дели на 7, сборът 7 + 14 + 21 + 25 = 67 не се дели на 7; • 10, 20, 30, 40, 50 се делят на 10, а само едно от събираемите – 65, не се дели на 10, сборът 10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 65 = 215 не се дели на 10.

Правило 2. Ако само едно от събираемите на сбор не се дели на едно число, то и сборът не се дели на това число.

22 Към съдържанието

ЗАДАЧА 4 Oбосновете дели ли се на 11 даденият сбор:

а) 10 + 23 + 77; б) 10 + 24 + 77; в) 20 + 2 + 30 + 3. Решение: + 23 + 77 = 33 + 77 = 3 . 11 + 7 . 11 се дели (по правило 1); а) 10 123 б) 10 + 24 + 77 = 34 + 77 = 34 + 7 . 11 123

не се дели (по правило 2);

в) 123 20 + 2 + 123 30 + 3 = 22 + 33 = 2 . 11 + 3 . 11 се дели (по правило 1). Забелязваме, че в Задача 4: • в условие а) двете събираеми – 10 и 23, не се делят на 11, но сборът им 33 се дели на 11; • в условие б) двете събираеми – 10 и 24, не се делят на 11, сборът им 34 също не се дели на 11; • в условие в) четирите събираеми – 20, 2, 30, 3, не се делят на 11, но сборът 22 + 33 се дели на 11. Извод. Ако повече от едно събираемо на един сбор не се дели на дадено число, то с подходящо прилагане на правилата 1 и 2 разбираме дали сборът се дели на числото.

ЗАДАЧА 5 В трицифреното число 36x* с x е означена цифрата на единиците. Намерете x така,

ЗАДАЧИ

че числото 36x да се дели на 3. Решение: Записваме числото 36x във вида 3 . 100 + 6 . 10 + x. Тогава 36x = 300 + 60 + x 36x : 3 = (300 + 60 + x) : 3. Цифрата x приема стойности 0, 3, 6, 9. 1 Извършете делението по два на в) (38 + 27 + 63) : 3; чина: г) (55 + 110 + 33) : 11. а) (18 + 22 + 16) : 2; 4 В сбора A = a + 53 заместете a с най б) (15 + 21 + 33) : 3; малкото двуцифрено число, така че в) (15 +35 + 25) : 5; A да се дели на: г) (90 + 20 + 70) : 10. а) 2; б) 3; в) 5; г) 10. 2 Проверете и обосновете дели ли се 5 Пресметнете рационално: сборът: а) (3366 + 2244 + 5577) : 11; а) 28 + 13 + 17 на 2; б) (398 + 379 + 222) : 111. б) 17 + 15 + 13 на 3; 6 Пресметнете стойността на израза в) 17 + 25 + 23 на 5; A = (13 + a) : 2, г) 18 + 30 + 22 на 10. ако a е едноцифрено число, за което 3 Без да пресмятате сбора, определете е възможно делението. възможно ли е делението: 7 Числото 25x се дели на 2. Напишете а) (107 + 215 + 305) : 5; числата, които цифрата на едини б) (202 + 36 + 108) : 2; ците x може да приема. * Прието е abc да означава трицифрено число с цифра на стотиците а, цифра на десетиците b и цифра на единиците с, т.е. abc = 100 . a + 10 . b + c.

Към съдържанието

ДЕЛИМОСТ НА ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Познавате ли числата 2, 4, 6, 8, 10, ...? Това е редицата на четните числа. 2 = 2 = 1 . 2 4 = 2 + 2 = 2 . 2 6 = 2 + 2 + 2 = 3 . 2 8 = 2 + 2 + 2 + 2 = 4.2 10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5 . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Забелязваме, че: • всяко четно число (след 2) се записва като сбор, всички събираеми на който са равни на 2; • всяко четно число се записва като произведение с множител 2 и се дели на 2.

ЗАДАЧА 1 Числата 9, 15, 21, 30 делят ли се на 3? Решение:

9 15 21 30

= 3 . 3 = 3 . 5 = 3 . 7 = 3 . 10

Всяко от тези числа се записва като произведение с множител 3 и се дели на 3.

Забелязваме, че резултатът от делението на числата 9, 15, 21, 30 с 3 (Задача 1) са числата 3, 5, 7, 10.

ЗАДАЧА 2 Треньор купил за отбора 30 топчета за тенис на маса, пакетирани в кутийки по 6 броя. Разделил ги поравно на 5 момчета. Колко топчета е получило всяко момче? 5 кутийки . 6 топчета = 30 топчета

Решение: (5 . 6) : 5 = 6 Треньорът е дал на всяко момче по 6 топчета.

Числото 30 е равно на 5 . 6. Произведението 5 . 6 се дели на 5, защото има множител 5.

ЗАДАЧА 3 Пресметнете: а) (5 . 7) : 5; б) (5 . 7 . 10) : 5.

Решение: а) (5 . 7) : 5 = (5 : 5) . 7 = 1 . 7 = 7 б) (5 . 7 . 10) : 5 = (5 : 5) . 7 . 10 = 70 5 . 7 . (10 : 5) = 5 .7 . 2 = 70

Ако произведение съдържа множител, който се дели на дадено число, то произведението се дели на това число.

24 Към съдържанието

ЗАДАЧА 4 Делят ли се на 2 произведенията: а) 18 . 59 . 305;

б) 13 . 95 . 209?

ЗАДАЧА 5 Пресметнете по два начина:

б) (9 . 15 . 10) : 3.

Решение: а) 18 . 59 . 305 се дели на 2, защото 18 се дели на 2. б) 13 . 95 . 209 не се дели на 2, защото няма множител, който се дели на 2.

а) (8 . 15 . 20) : 2 = б) (9 . 15 . 10) : 3 =

 

Решение:

а) (8 . 15 . 20) : 2;

(8 . 15 . 20) : 2 = 4 . 15 . 20 = 1200 (8 . 15 . 20 ) : 2 = 8 . 15 . 10 = 1200 (9 . 15 . 10) : 3 = 3 . 15 . 10 = 450 (9 . 15 . 10) : 3 = 9 . 5 . 10 = 450

ЗАДАЧА 6 Произведението 18 . 20 дели ли се на 15? Решение: (18 . 20) : 15 = ? 18 : 15 = 1 (ост. 3) 18 . 20 = 360,

20 : 15 = 1 (ост. 5)

360 : 15 = 24

Забелязваме, че числото 18 и числото 20 не се делят на 15, но тяхното произведение се дели на 15.

ЗАДАЧА 7 Пресметнете рационално (39 . 109 + 26 . 225) : 13. Решение:

(39 . 109 + 26 . 225) : 13 = (39 . 109) : 13 + (26 . 225) : 13 =

= (39 : 13) . 109 + (26 : 13) . 225 = 3 . 109 + 2 . 225 = 327 + 450 = 777

ЗАДАЧИ

1 Делят ли се на 11 числата

страната b на друг правоъгълник със същото лице, ако: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77? а) a = 6 cm; б) a = 3 cm; 2 Делят ли се на 2 произведенията: в) a = 2 cm; г) a = 4 cm. а) 12 . 13 . 107; б) 6 . 109 . 201; в) 9 . 15 . 205; г) 2 139 . 8 . 709 . 39? 6 Проверете изразът A дели ли се на: 3 Делят ли се на 3 произведенията: а) 13, ако A = 26 . 11 + 13 . 4 . 15; б) 8, ако A = 4 . 22 . 35 + 16 . 107; а) 12 . 107 . 209; в) 15, ако A = 15 . 103 . 24 + 30 . 207; б) 15 . 208 . 106; г) 2, ако A = 11 . 33 . 7 + 2 . 15. в) 9 . 205 . 133 . 7003; 7 Пресметнете рационално: г) 6 . 337 . 143 . 1100? 4 Делят ли се и на 2, и на 3 произве- а) (22 . 15) : 11 + (7 . 110) : 10; б) (37 . 125) : 37 – (53 . 105) : 53; денията: в) (13 . 108 + 13 . 213) : 13; а) 22 . 33 . 127; г) (15 . 202 + 30 . 307) : 15. б) 14 . 9 . 371; 8 Пресметнете рационално: в) 41 . 99 . 13 . 213; а) (145 . 19 + 176 . 19) : 19; г) 20 . 30 . 107 . 209? 5 П р а в о ъ г ъ л н и к и м а с т р а н и б) (512 . 37 + 304 . 37) : 37; в) (9 . 307 + 18 . 204 + 3 . 1302) : 3; a = 12 cm и b = 9 cm. Намерете г) (33 . 102 + 22 . 203 + 55 . 1000) : 11.

25 Към съдържанието

10.

ПРИЗНАЦИ ЗА ДЕЛИМОСТ НА 2, НА 5 И НА 10

ЗАДАЧА 1 Как да познаем дали числата 534 и 539 се делят на 2? Решение: Представяме числата във вида: 534 = 5 . 100 + 3 . 10 + 4 = 539 = 5 . 100 + 3 . 10 + 9 = = 14442443 5 . 10 . 10 + 3 . 10 + 4 =14442443 5 . 10 . 10 + 3 . 10 + 9 ↓ ↓ Всяко събираемо се дели Всяко събираемо не се дели има множител 10, на 2. има множител 10, на 2. който се дели на 2. който се дели на 2. 534 се дели на 2. 539 не се дели на 2. Забелязваме, че всяко число може да се представи във вид на сбор, в който всички събираеми, без единиците, имат множител 10 и се делят на 2. Числото ще се дели на 2 само тогава, когато последната цифра е 0, 2, 4, 6 или 8. Намерихме правило, по което ще познаваме дали едно число се дели на 2. Това правило се нарича признак за делимост на 2.

Признак за делимост на 2 На 2 се делят само тези числа, на които цифрата на единиците е 0, 2, 4, 6 или 8, т.е. които са четни числа.

ЗАДАЧА 2 Като използвате признака за делимост на 2, от числата 11, 103, 108,

909, 10  020, 10 826, 11 007, 100 035, 1 000 624 отделете тези, които се делят на 2, и обосновете отговора. Решение: Числата 108, 10 020, 10 826, 1 000 624 се делят на 2, защото последните им цифри са съответно 8, 0, 6, 4.

ЗАДАЧА 3 Без да извършвате делението, покажете, че числата 360 и 365 се делят на 5.

Решение: 360 = 3 . 100 + 6 . 10 + 0 = 365 = 3 . 100 + 6 . 10 + 5 = =14442443 3 . 10 . 10 + 6 . 10 + 0 = 14442443 3 . 10 . 10 + 6 . 10 + 5 ↓ ↓ се дели Сборът се дели Сборът на 5. се дели на 5. на 5. се дели на 5. 360 се дели на 5. 365 се дели на 5. Забелязваме, че числата 360 и 365 се делят на 5, защото последната им цифра е 0 или 5. Няма други едноцифрени числа, които се делят на 5. Можем да изкажем следния

Към съдържанието

Признак за делимост на 5 На 5 се делят само тези числа, на които цифрата на единиците е 0 или 5. Примери: 4 615 се дели на 5, защото последната цифра е 5. 2 030 се дели на 5, защото последната цифра е 0. 301 не се дели на 5, защото последната цифра не е 0 и не е 5.

ЗАДАЧА 4 Като използвате признака за делимост на 5, от числата

105, 10008, 3330, 124, 65, 100 отделете тези, които се делят на 5, и обосновете отговора. Отговор: 105, 3330, 65, 100 са числата, които се делят на 5, защото последните им цифри са 0 или 5.

Вярно е, че: • числата, които се делят на 2, имат последна цифра 0, 2, 4, 6, 8; • числата, които се делят на 5, имат последна цифра 0, 5. Ако едно естествено число има последна цифра 0, то се дели и на 2, и на 5, т.е. дели се на 2 . 5 = 10.

Признак за делимост на 10 На 10 се делят само тези числа, на които цифрата на единиците е 0. Примери:

100, 250, 3300, 404 040 се делят на 10.

ЗАДАЧА 5 Без да извършвате делението, намерете кои от числата

475, 602, 95, 420, 3 350, 4000 се делят на: а) 2; б) 5; в) 10. Отговор: а) 602, 420, 3350, 4000; б) 475, 95, 420, 3350, 4000; в) 420, 3350, 4000.

ЗАДАЧИ

1 Напишете всички двуцифрени числа 6 Напишете всички двуцифрени числа, с цифра на десетиците 7, които се делят на 2. 2 Напишете всички двуцифрени числа, по-големи от 91, които се делят на 2. 3 С еднократно използване на всяка от цифрите 3, 4 и 5 напишете всички числа, които се делят на 2. 4 Дели ли се на 2 числото, равно на: а) 2 052 + 1 315; б) 342 + 256 + 140? 5 Напишете всички двуцифрени числа, по-големи от 83, които се делят на 5.

по-малки от 33, които се делят на 5. 7 Като използвате еднократно цифрите 2, 3, 5, 7, съставете всички трицифрени числа, които се делят на: а) 2; б) 5. 8 Дели ли се на 5 числото, равно на: а) 2013 + 302; б) 253 + 143 + 322; в) 135 . 27; г) 208 . 15 + 130 . 17? 9 Открийте кои от числата 124, 240, 1205, 3100, 21000 се делят на 10.

Към съдържанието

11.

ПРИЗНАЦИ ЗА ДЕЛИМОСТ НА 3 И НА 9

ЗАДАЧА 1 Без да делите, открийте могат ли да се разделят на 3 книжарници поравно 5 472 учебника. Решение: Как ще познаем дали едно число се дели на 3? Записваме числото 5472 във вида 5472 = 5 . 1000 + 4 . 100 + 7 . 10 + 2. Забелязваме, че нито едно от събираемите не се дели на 3. Представяме числото във вида 5472 = 5 . (999 + 1) + 4 . (99 + 1) + 7 . (9 + 1) + 2 = = 5 . 999 + 5 + 4 . 99 + 4 + 7 . 9 + 7 + 2 = = 5 . 999 + 4 . 99 + 7 . 9 +  (5 + 4 + 7 + 2).  сборът се дели на 3

= 18 е число, което се дели на 3

Числото 5472 се дели на 3, защото може да се представи като сбор от събираеми, всяко от които се дели на 3:

5472 =

I събираемо + II събираемо 5 . 999 + 4 . 99 + 7 . 9 5+4+7+2

Забелязваме, че: • І събираемо се дели на 3 и това не зависи от цифрите, с които е записано числото. • ІІ събираемо е сбор от числата, съответстващи на цифрите на числото. • Ако сборът от числата, съответстващи на цифрите на числото, се дели на 3, и числото ще се дели на 3. Открихме следния

! !

Признак за делимост на 3 На 3 се делят само тези числа, сборът от цифрите на които се дели на 3. Под сбор от цифрите ще разбираме сборът от числата, съответстващи на цифрите, с които е записано числото. Примери:

738 се дели на 3, защото 7 + 3 + 8 = 18 се дели на 3. 278 не се дели на 3, защото 2 + 7 + 8 = 17 не се дели на 3.

ЗАДАЧА 2 Като използвате признака за делимост на 3, проверете делят ли се на 3 числата: а) 12 381; б) 20 001; в) 14 573. Решение: а) 12 381 се дели на 3, защото 1 + 2 + 3 + 8 + 1 = 15 се дели на 3. б) 20  001 се дели на 3, защото 2 + 1 = 3 се дели на 3. в) 14 573 не се дели на 3, защото 1 + 4 + 5 + 7 + 3 = 20 не се дели на 3.

28 Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 Заменете квадратчето с цифра, така че полученото число да се дели на 3. а) 1 3; Решение: 3 а) 1

б) 3

1 2 3 1 5 3 1 8 3

б) 3

в) 73

3 1 2 3 4 2 3 7 2

в) 73

73 73 73 73

0 3 6 9

2 2 2 2

Числото 5472 (Задача 1) се представя като сбор от две събираеми. Първото събираемо се дели на 9 независимо от цифрите, с които е записано числото. Второто събираемо е сбор от цифрите на числото (5 + 4 + 7 + 2 = 18) и се дели на 9. Тогава числото 5472 също се дели на 9.

Признак за делимост на 9 На 9 се делят само тези числа, сборът от цифрите на които се дели на 9.

ЗАДАЧА 4 Като използвате признака за делимост на 9, проверете делят ли се на 9 числата: а) 34 515; б) 24 817; в) 456 678. Решение: а) 34515 се дели на 9, защото 3 + 4 + 5 + 1 + 5 = 18 се дели на 9. б) 24817 не се дели на 9, защото 2 + 4 + 8 + 1 + 7 = 22 не се дели на 9. в) 456 678 се дели на 9, защото 4 + 5 + 6 + 6 + 7 + 8 = 36 се дели на 9.

ЗАДАЧИ

1 Делят ли се на 3 числата:

а) 1383; в) 897654; д) 278112; ж) 7834001;

б) 25713; г) 51387; е) 593206; з) 1582500.

2 Заменете квадратчетaта с такива

цифри, че получените числа да се делят на 3. а) 6 5; б) 21 1; в) 4 94.

3 Проверете числото 3 делител ли е

на числата: а) 123014568; б) 14129578; в) 12309750; г) 5998761.

4 Делят ли се на 9 числата:

а) 324; в) 3672;

б) 2511; г) 19758?

5 Заменете квадратчетата с такива

цифри, че получените числа да се делят на 9. а) 9 7; б) 51 2; в) 4 32; г) 875 . 6 Запишете най-малкото трицифрено число, което се дели на 3. 7 Запишете най-голямото трицифрено число, което е кратно на 3. 8 Делят ли се на 3 сборовете: а) 108 + 225 + 324; б) 2006 + 3006; в) 2115 + 1302 + 771; г) 113 + 412 + 108? Решете задачата по два начина. 9 Дели ли се на 3 числото A, ако: а) A = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3; б) A = 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11?

29 Към съдържанието

12.

ПРОСТИ И СЪСТАВНИ ЧИСЛА Кои са делителите на естествените числа от 1 до 10? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

има един делител → 1 има два делителя → 1, има два делителя → 1, има три делителя → 1, има два делителя → 1, има четири делителя → 1, има два делителя → 1, има четири делителя → 1, има три делителя → 1, има четири делителя → 1,

2 3 2, 5 2, 7 2, 3, 2,

4 3, 6 4, 8 9 5, 10

Забелязваме, че всички числа след числото 1 имат повече от един делител, като: • ч ислата 2, 3, 5, 7 имат точно два делителя; • числата 4, 6, 8, 9, 10 имат повече от два делителя; • числото 1 има само един делител.

Прости числа Прости числа се наричат числата, които имат точно два делителя: числото 1 и самото число. Примери за прости числа: 2; 3; 7; 11; 13; 17; 19; ...

Съставни числа Съставни числа се наричат числата, които имат повече от два делителя. Примери за съставни числа: 4; 6; 8; 9; 10; 12; 15; 16; 18; ...

Числото 1 Числото 1 е нито просто, нито съставно, защото има само един делител. Числото 2 е единственото четно число, което е просто, защото има само два делителя: 1 и 2. Четните числа, по-големи от 2, са съставни, защото, освен 1 и себе си, имат и делител числото 2, т.е. имат повече от два делителя. С решетото на Ератостен (гръцки математик, роден през 284 г. пр.н.е.) могат да се “пресеят” естествените числа и да се получат поредни прости числа: Зачертаваме числото 1. Първото просто число е 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Всяко второ по ред число след 2 е чет11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 но и има делител 2 – зачертаваме го. 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Следващото просто число е 3. 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Всяко трето по ред число след 3: 6, 9, ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12,... се дели на 3 – зачертаваме го, и т.н. Незачертани остават простите числа.

30 Към съдържанието

Простите числа до 100 са

ЗАДАЧА 1 Може ли произведението на две прости числа да бъде просто число? Решение:

Не, защото има повече от два делителя. Например числото 21 = 3 . 7 има делители 1, 3, 7, 21.

ЗАДАЧА 2 Дадено е числото 18. Намерете:

а) всички делители на числото; б) делителите на числото, които са прости числа; в) делителите на числото, които са съставни числа. Решение: а) Делителите на 18 са 1, 2, 3, 6, 9, 18. б) Простите делители са 2 и 3. в) Съставните делители са 6, 9, 18.

Още Евклид е доказал, че простите числа са безброй много и няма найголямо просто число. Забелязва се, че колкото по-големи стават числата, толкова по-рядко се срещат прости числа. Ето примери за големи прости числа: 4 652 335, 4 652 507, 10 006 427, 10 006 429. Последните две от тези числа имат разлика 2. Такива прости числа се наричат “близнаци”. “Близнаци” са числата 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31 и т.н.

ЗАДАЧИ

1 Колко четни прости числа има? 7 Напишете всички прости двуцифрени числа с цифра на единиците 1. 2 Напишете най-малкото просто двуцифрено число. 8 Напишете всички прости двуцифрени числа, цифрите на които са 3 Напишете най-голямото просто двуцифрено число.

прости числа.

едноцифрени числа. Просто или съставно число е този сбор?

да бъде просто число? Напишете пет примера.

прости едноцифрени числа.

вадих най-голямото едноцифрено просто число и получих най-малкото двуцифрено число, кратно на 4. Кое число съм намислил?

4 Намерете сбора на всички прости 9 Може ли сборът на две прости числа

5 Намерете произведението на всички 10 Намислих едно число. От него из6 Напишете всички прости числа, които са по-големи от 10 и по-малки от 20.

Към съдържанието

13.

ПРЕДСТАВЯНЕ НА ЕСТЕСТВЕНИ ЧИСЛА КАТО ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОТ ПРОСТИ МНОЖИТЕЛИ Числата 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 са първите осем прости числа. Можем ли да представим числата 30, 40, 90 като произведение от множители, които са прости числа? .

. .

. . 30 = 2 . 3 . 5 40 = 2 . 2 . 2 . 5 90 = 2 . 3 . 3 . 5 2, 3, 5 са прости числа, които са делители на числото 30 и 30 = 2 . 3 . 5. Казваме, че числото 30 е разложено на произведение от прости множители.

! !

Прост множител Прост множител е множител, който е просто число.

Разлагане на число на прости множители Всяко съставно число може да се разложи по единствен начин като произведение от прости множители. Това представяне се нарича раз лагане на числото на прости множители. Разлагането на числата 30, 40 и 90 на произведение от прости множители записваме така: 30 2 40 2 90 2 15 3 20 2 45 3 5 5 10 2 15 3 1 5 5 5 5 1 1 30 = 2 . 3 . 5 40 = 2 . 2 . 2 . 5 90 = 2 . 3 . 3 . 5 40 = 23. 5 90 = 2 . 32 . 5 Тези разсъждения могат да се направят за всяко число. Произведението на равните множители 2 . 2 . 2 се записва 23 и се нарича степен с основа 2 и показател 3. Произведението 3 . 3 = 32 е степен с основа 3 и показател 2.

32 Към съдържанието

ЗАДАЧА 1 Разложете на произведение от прости множители числата:

а) 24; б) 45; в) 54; г) 175. Решение: а) 24 2 б) 45 3 в) 54 2 г) 175 5 12 2 15 3 27 3 35 5 6 2 5 5 9 3 7 7 3 3 1 3 3 1 1 1 24 = 2.2.2.3 45 = 3.3.5 54 = 2.3.3.3 1 75 = 5.5.7 24 = 23 . 3 45 = 32 . 5 54 = 2 . 33 175 = 52 . 7

Числото 24 може да се представи като произведение от множители по различни начини. Например 24 = 2 .12, 24 = 3.8. Само 24 = 2 . 2.2.3 е произведение от прости множители. Простите множители откриваме чрез признаците за делимост и за удобство ги подреждаме по големина.

ЗАДАЧА 2 Представете като произведение от прости множители числата:

а) 630; б) 704. Запишете произведението от равни множители като степен. Решение: а) 630 2 б) 704 2 315 3 352 2 105 3 176 2 35 5 88 2 7 7 44 2 1 22 2 11 11 630 = 2.3.3.5.7 2 630 = 2.3 .5.7 1 704 = 2.2.2.2.2.2.11 704 = 26.11

ЗАДАЧИ

• Делителите на числото 6 (без самото число) са 1, 2, 3. 1+2+3=6 • Делителите на числото 28 (без самото число) са 1, 2, 4, 7, 14. 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 Числата с това свойство се наричат съвършени числа.

Представете като произведение от про сти множители числата:

1 2 3 4

а) 8; а) 32; а) 48; а) 87;

б) 12; б) 56; б) 55; б) 62;

в) 18; в) 63; в) 68; в) 93;

г) 27. г) 75. г) 76. г) 94.

5 а) 102; б) 216; в) 225; г) 230. 6 а) 312; б) 408; в) 552; г) 759. 7 От сбора на простите множители

на числото 66 извадете сбора на простите множители на числото 42.

Към съдържанието

14.

ОБЩ ДЕЛИТЕЛ (OD) И НАЙ-ГОЛЯМ ОБЩ ДЕЛИТЕЛ (HOD). НАМИРАНЕ НА HOD НА ЕСТЕСТВЕНИ ЧИСЛА

ЗАДАЧА 1 Намерете делителите:

a) на числото 8;

Решение: а)

б)

б) на числото 20.

Забелязваме, че делителите се повтарят → 2 . 4 = 4 . 2 ... Делителите на 8 са 1, 2, 4, 8. Делителите на 20 са 1, 2, 4, 5, 10, 20. Числата 1, 2, 4 са делители • и на числото 8, • и на числото 20. Казваме, че числата 8 и 20 имат общи делители 1, 2, 4.

Общ делител (OD) или (ОД)* Числото c се нарича общ делител на естествените числа a и b, ако c дели a и c дели b. Общите делители на 8 и 20 са числата 1, 2, 4. Най-големият им общ делител е 4.

Най-голям общ делител (НOD) или (НОД) Най-голям общ делител на числата a и b се нарича най-големият от общите делители на a и b. Пишем: OD (8; 20) = (1, 2, 4). Четем: “ Общите делителите на 8 и 20 са 1, 2, 4”.

HOD (8; 20) = 4. Най-големият общ делител на 8 и 20 е 4.

ЗАДАЧА 2 Намерете HOD (14; 55). Решение: Делителите на 14 са 1, 2, 7, 14. OD (14; 55) = 1

Делителите на 55 са 1, 5, 11, 55.

HOD (14; 55) = 1

* За улеснение на учениците приемаме ръкописен знак на буквата Д – D.

34 Към съдържанието

абелязваме, че числата 14 и 55 имат най-голям общ делител числото 1. З Такива числа се наричат взаимно прости.

Взаимно прости числа Естествените числа a и b се наричат взаимно прости, ако техният найголям общ делител е числото 1.

ЗАДАЧА 3 Представете числата 60 и 132 като произведения от прости множители и намерете HOD (60; 132). Решение: 60 2 132 2 30 2 66 2 15 3 33 3 5 5 11 11 1 1

60 = 2 . 2 . 3 . 5 = 12 . 5 132 = 2 . 2 . 3 . 11 = 12 . 11 НOD (60; 132) = 2 . 2 . 3 = 12

Правило за намиране на HOD HOD на числа намираме, като: • разложим числата на прости множители; • определим всички повтарящи се общи множители и • намерим тяхното произведение.

ЗАДАЧА 4 Дадени са числата 66, 165.

а) Намерете HOD (66; 165). б) В книжарница доставили 66 червени и 165 сини химикалки. Колко най-много еднакви комплекта могат да се приготвят от всички химикалки и по колко червени и сини химикалки ще има във всеки комплект? Решение: а) 66 2 165 3 33 3 55 5 66 = 2 . 3 . 11 11 11 11 11 165 = 3 . 5 . 11 1 1 HOD (66; 165) = 3 . 11 = 33

ЗАДАЧИ

б) Намерихме, че HOD (66; 165) = 33. Това показва, че можем да направим 33 еднакви комплекта. Тъй като 66 = 33 . 2, 165 = 33 . 5, всеки комплект ще съдържа 2 червени и 5 сини химикалки. телите си. Закупили 96 червени и 1 Намерете НOD на числата: 72 розови карамфила. а) 8 и 20; б) 72 и 120; в) 30, 42 и 78. а) Колко най-много еднакви букета 2 Взаимно прости ли са числата: могат да се направят? а) 23 и 54; б) 18 и 35? б) Колко карамфила ще има във 3 Намерете: всеки букет? а) НOD (30; 54); б) HOD (126; 198). 4 За Нова година учениците от 5-ите в) По колко карамфила от всеки вид ще има в един букет? класове решили да поздравят учиКъм съдържанието

15.

ОБЩО КРАТНО (ОК) И НАЙ-МАЛКО ОБЩО КРАТНО (НОК) НА ЕСТЕСТВЕНИ ЧИСЛА На числовия лъч с начало О са отбелязани естествени числа:

Кратни на 3 са числата 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ... Кратни на 4 са числата 4, 8, 12, 16, 20, 24, ... Общи кратни на 3 и 4 са числата 12, 24, 36, ... Пишем: OK (3; 4) = (12, 24, 36, ...). Забелязваме, че OK (3; 4) могат да се запишат така: 12 = 1 . 12, 24 = 2 . 12, 36 = 3 . 12 ... Най-малкото общо кратно на 3 и 4 е 12. Пишем: HOK (3; 4) = 12.

ЗАДАЧА 1 По автомагистрала, като започнали от контролния пост на КАТ, две реклам-

ни фирми поставяли табла за реклама, като първата фирма – през 32 km, а втората фирма – през 40 km. След колко километра рекламните табла на двете фирми ще бъдат поставени на едно и също място за втори път.

Решение: Рекламните табла ще бъдат поставени: • първа фирма – на разстояние 32 km, 64 km, 96 km, 128 km, 160 km от поста; • втора фирма – на разстояние 40 km, 80 km, 120 km, 160 km, 200 km от поста. Най-близкото място, на което ще се поставят рекламните табла и на двете фирми, е на 160 km от поста на КАТ.

Задача 1 решихме, като намерихме най-малкото число, кратно на 32 и 40, което е 160. Задачата може да продължи така: “На колко километра от поста на КАТ рекламните табла ще бъдат поста вени на едно и също място за трети, четвърти и т.н. пъти?”. Отговорът е: на 2 . 160 = 320 km, 3 . 160 = 480 km, ...

Общo кратно (OK) на две числа Числото c се нарича общо кратно на числата a и b, ако то е кратно и на a, и на b. Две числа a и b имат безброй много общи кратни.

Към съдържанието

Най-малко общo кратно (НOK) на две числа Най-малкото от общите кратни на числата a и b се нарича най-малко общо кратно на a и b. HOK на числата 32 и 40 (Задача 1) намерихме чрез кратните на 32 и на 40. Този начин е дълъг и неудобен. Ще покажем правило за по-лесно намиране на HOK. Дадени са числата 12 и 15. За да намерим HOK (12; 15), е удобно да разложим на прости множители числата 12 и 15: Произведението 2 . 2 . 3 . 5 = 12 . 5 = 4 . 15 = 60 е най-малкото число, което е кратно и на 12, и на 15. Пишем: HOK (12; 15) = 2 . 2 . 3 . 5 = 60. Забелязваме, че числото 3 е множител и на 12, и на 15 → в HOK го вземаме само веднъж.

Правило за намиране на НOK Разлагаме едновременно числата (12, 15) 12, 15 2 прости множители, общите им множители 6 15 2 ← на (числото 3) се записват само веднъж и в дясната 3 15 3 колонка се подреждат всички прости множители 1 5 5 на HOK. 1

HOK (12; 15) = 2 . 2 . 3 . 5 = 60

ЗАДАЧА 2 Намерете НОK на числата: Решение:

а) 4 и 6; а)

HOK (4; 6) = 2.2.3 HOK (4; 6) = 12

ЗАДАЧИ

б) 12 и 18; б)

HOK (12;18) = 2.2.3.3 HOK (12; 18) = 36

Намерете HOK на числата: а) 4 и 8; б) 6 и 8; в) 6 и 9; г) 6 и 10. а) 2 и 12; б) 3 и 12; в) 4 и 12; г) 6 и 12. а) 8 и 12; б) 9 и 12; в) 6 и 14; г) 8 и 14. а) 12 и 15; б) 12 и 16;

в) 35 и 42. в)

HOK (35; 42) = 2.3.5.7 HOK (35; 42) = 210

в) 12 и 18; г) 12 и 20. 5 а) 20 и 30; б) 25 и 35; в) 32 и 40; г) 52 и 78. 6 а) 72 и 108; б) 92 и 138; в) 98 и 196; г) 98 и 147. 7 Намерете неизвестното число x, ако: а) HOK (12; 18) + x = HOK (32; 40); б) HOK (15; 25) – x = HOK (12; 16).

37 Към съдържанието

16.

НАМИРАНЕ НА НАЙ-МАЛКО ОБЩО КРАТНО (НОК) НА ЕСТЕСТВЕНИ ЧИСЛА. УПРАЖНЕНИЕ равилото за намиране на HOK на две числа може да се приложи и П за повече от две числа.

ЗАДАЧА 1 Намерете HOK на числата: а) 12, 15, 18; б) 42, 105, 147. Решение: 12, 15, 18 2 а) 6 15 9 2 3 15 9 3 1 5 3 3 5 1 5 1 HOK (12; 15; 18) = 2.2.3.3.5 = 180

б) 42, 105, 147 2 21 105 147 3 7 35 49 5 7 7 49 7 1 1 7 7 1 HOK (42; 105; 147) = 2.3.5.7.7 = 1 470

ЗАДАЧА 2 Намерете HOK (30; 35) и го представете като произведение, в което единият от множителите е 30 или 35. Решение: 30, 35 2 HOK (30; 35) = 2.3.5.7 = 210 15 35 3 210 : 30 = 7 → 210 = 30 . 7 5 35 5 210 : 35 = 6 → 210 = 35 . 6 1 7 7 1

ЗАДАЧА 3 Намерете HOK на числата: а) 3 и 5;

б) 2, 5 и 7.

Решение: а) Числата 3 и 5 са взаимно прости. HOK (3; 5) = 3.5 = 15 б) Числата 2, 5 и 7 са взаимно прости. HOK (2; 5; 7) = 2.5.7 = 70

НOK на взаимно прости числа HOK на числа, които са взаимно прости, е тяхното произведение.

ЗАДАЧА 4 Намерете рационално числото в празното квадратче: а) HOK (12; 15; 42) = 12 . Решение:

;

б) HOK (12; 15; 42) = 15 . в) HOK (12; 15; 42) = 42 .

; .

а) HOK (12; 15; 42) = 12 . 2 . 2 . 3 . 5 . 7 = (2 . 2 . 3) . (5 . 7) = 12 . 35 б) HOK (12; 15; 42) = 15 . 2 . 2 . 3 . 5 . 7 = (3 . 5) . (2 . 2 . 7) = 15 . 28

HOK (12; 15; 42) = 2 . 2 . 3 . 5 . 7

в) HOK (12; 15; 42) = 42 . 2 . 2 . 3 . 5 . 7 = (2 . 3 . 7) . (2 . 5) = 42 . 10

38 Към съдържанието

ЗАДАЧА 5 Намерете рационално HOK на числата 2100 и 2800. Решение: 2 100, 2 800 21 28 21 14 21 7 7 7 1 1

100 2 2 3 7

HOK = 100 . 2 . 2 . 3 . 7 = 100 . 84 = 8 400

ЗАДАЧА 6 Мама работи два дни, а на третия почива. Татко работи четири дни и на петия почива. Днес е 30 юни (събота) и те почиват заедно. а) Коя е най-близката дата, на която ще почиват заедно? б) Колко пъти през месец юли ще почиват заедно? Решение: þëè Ï Â 2 9 16 23 30

мама

3 10 17 24 31

4 11 18 25

5 12 19 26

6 13 20 27

Ñ 30 7 14 21 28

Í 1 8 15 22 29

Мама и татко си направиха календар. От него се вижда, че: а) най-близката дата, на която мама и татко ще почиват заедно, е 15 юли; б) през месец юли ще почиват заедно два пъти – на 15 и 30 юли.

татко Аз съобразих, че мама почива на дати, кратни на 3, а татко – на кратните на 5. Тогава те ще почиват заедно на дата, кратна и на 3, и на 5. Затова намерих HOK (3; 5) = 15, откъдето следва, че датите, на които ще почиват заедно, са 15 и 30 юли.

ЗАДАЧИ

Намерете HOK на числата: а) 2, 6 и 8; б) 3, 4 и 8; в) 3, 6 и 8; г) 4, 6 и 8. а) 2, 3 и 5; б) 2, 3 и 7; в) 3, 5 и 7; г) 2, 5 и 7. а) 8, 9 и 12; б) 8, 12 и 15; в) 8, 12 и 14; г) 8, 12 и 21. а) 12, 14 и 15; б) 12, 14 и 16; в) 12, 15 и 20; г) 15, 18 и 20. Намерете HOK на първите три двуцифрени числа. 6 Изчислете стойността на израза: а) HOK (36; 60; 108) : HOK (15; 18); б) HOK (42; 105; 147) : HOK (2; 7). 1 2 3 4 5

7 Представете HOK (12; 18; 20) като

произведение с множител: а) 12; б) 18; в) 20. 8 Представете HOK (14; 35; 30) като произведение с множител: а) 14; б) 35; в) 30. 9 През месец юли д-р Иванова ще има дежурства всеки шести ден, а сестра Петрова – всеки четвърти ден. Днес е 30 юни и те дежурят заедно. а) Коя е най-близката дата, на която ще дежурят отново заедно? б) Колко пъти през месец юли ще дежурят заедно?

Към съдържанието

17.

ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕМАТА “ДЕЛИМОСТ”



ЗАПОМНЕТЕ! 32 е кратно на 4, 4 е делител на 32, N

защото 32 : 4 = 8 (без остатък).

прости числа съставни числа числото 1

2; 3; 5, ... 4; 6; 8, ... 1

Делимост на сбор

имат точно два делителя имат повече от два делителя има точно един делител

(10 + 15 + 20):5 = 10:5 + 15:5 + 20:5

Делимост на произведение (10.15.20):3 = 10.(15:3).20 Признаците за делимост са правила, които осигуряват едно число да е делител на друго число.

Признаци за делимост

на 2

цифрата на единиците е 0, 2, 4, 6 или 8

на 5

цифрата на единиците е 0 или 5

на 3

сборът от числата, съответстващи на цифрите на числото, се дели на 3

на 9

сборът от числата, съответстващи на цифрите на числото, се дели на 9

на 10

цифрата на единиците е 0

HOD (12; 18) 12 2 18 2 6 2 9 3 3 3 3 3 1 1 HOD (12; 18) = 2 . 3 = 6

HOK (12; 18) 12, 18 2 6, 9 2 3, 9 3 1, 3 3 1 HOK (12; 18) = 2 . 2 . 3 . 3 = 22 . 32 = 36

ЗАДАЧА 1 Намерете x + у + z, ако x : 7 = 5 (ост. 2), 16 : у = 3 (ост. 1) и z . z = 196. Решение: 1. х : 7 = 5 (ост. 2) 2. 16 : у = 3 (ост. 1) 3. 196 х = 5 . 7 + 2 3 . у + 1 = 16 z . z х = 35 + 2 3 . у = 16 – 1 z х = 37 3 . у = 15 z у = 5 4. х + у + z = 37 + 5 + 14 = 56

= 2 . 2. 7 . 7 = (2 . 7) . (2 . 7) =2.7 = 14

40 Към съдържанието

ЗАДАЧА 2 Дадени са числата a = 168 и b = 462.

а) Разложете числата a и b на прости множители. б) Намерете HOD (a; b) като произведение от прости множители. в) Намерете HOK (a; b) като произведение от прости множители. г) Покажете, че a . b = HOD (a; b) . HOK (a; b). Решение: 2 a = 168 = 2 . 2 . 2 . 3 . 7 а) 168 462 2 b = 462 = 2 . 3 . 7 . 11 84 2 231 3  42 2  77 7 21 3 11 11 7 7 1 1

ЗАДАЧИ

б) HOD (a; b) = 2 . 3 . 7 в) HOK (a; b) = 2 . 2 . 2 . 3 . 7 . 11 г) a . b = 168 . 462 = 2 . 2 . 2 . 3 . 7 . 2 . 3 . 7 . 11= = (2 . 3 . 7) . (2 . 2 . 2 . 3 . 7 . 11) = = HOD(a; b) . HOK(a; b)

1 Намерете HOK на числата:

а) 28 и 36; б) 45 и 50; в) 12, 15 и 18; г) 42, 35 и 56.

7 Намерете x, ако:

а) x . HOD (18; 78) = HOK (8; 12; 14); б) x : HOK (26; 32) = HOD (26; 32).

2 Като разложите числото 195 на 8 В цветарски магазин докарали прости множители, напишете: а) всичките му делители; б) простите му делители.

54 бели и 81 червени рози. а) Колко най-много еднакви букета могат да бъдат направени от всички рози? 3 Като разложите числото 3 465 на б) Колко и какви на цвят рози ще прости множители: съдържа всеки букет? а) покажете, че то се дели на 9; 15; 35; 77; 105; 9 В книжарница има 2 вида тетрадки: б) намерете частното 3 465 : 99. 175 по 80 листа и 245 по 60 листа. а) Колко най-много еднакви ком4 Покажете, че плекта могат да бъдат направени от a . b = HOD (a; b) . HOK (a; b), ако: всички тетрадки? а) a = 108, b = 224; б) Колко и какви по вид тетрадки б) a = 144, b = 324. ще съдържа всеки комплект? 5 Намерете неизвестното число x, ако: 10 Иван ходи всеки трети ден на тре а) HOK (2; 3; 7) + x = HOK (9; 13); нировка, а Асен – всеки пети ден. б) HOK (27; 42):x = HOD (36; 126). На 31 август те тренират заедно. Колко пъти и на кои дати през месец 6 Дадено е числото 1 764. септември те ще бъдат заедно на а) Разложете числото на прости тренировка? множители. б) Намерете x, ако x . x = 1 764.

Към съдържанието

18.

ПРИМЕРЕН ТЕСТ ВЪРХУ ТЕМАТА “ДЕЛИМОСТ” 1. Числото 1 980 е равно на:

7. Кой от изразите НЕ се дели на 5?

А) 2 . 3 . 3 . 3 . 5 . 11;

А) 76 . 12 + 76 . 13;

Б) 2 . 2 . 3 . 3 . 5 . 11;

Б) 105 . 7 + 105 . 9;

В) 2 . 3 . 3 . 5 . 11;

В) 38 . 13 – 38 . 8;

Г) 2 . 2 . 3 . 3 . 5 . 13.

Г) 515 – 15 : 5.

2. Колко от числата 3, 5, 7, 11, 13, 17, 18, 19, 21, 23 са прости?

А) 6; Б) 7;

В) 8;

Г) 9.

3. Колко от числата 84, 126, 132, 333, 532, 558 са кратни на 3?

А) 3; Б) 4;

В) 5;

Г) 6.

4. Сборът на всички двуцифрени числа, по-малки от 43, които се делят на 5, е: А) 165; Б) 170; В) 175; Г) 135. 5. Разликата на най-голямото трицифрено число, което се дели на 10, и на най-малкото трицифрено число, което се дели на 9, е:

А) 882;

Б) 792;

В) 888;

Г) 873.

6. Числото 763 се дели на 3, но не се дели на 2. Коя от посочените цифри трябва да се постави на мястото на квадратчето? А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 5.

8. В кутия има размесени 400 бели и червени топчета. Белите са 225. а) Колко най-много еднакви пакета с топчета могат да се направят, като се използват всички топчета? б) Колко топчета ще има във всеки пакет? 9. Петя и Иво са готвачи в ресторант. Петя работи три дни и на четвъртия почива. Иво работи пет дни и на шестия почива. Днес е 1 октомври и те почиват едновременно. а) Коя е следващата дата, когато Петя и Иво отново ще почиват в един и същ ден? б) Коя е последната дата през месец октомври, когато Петя и Иво отново ще почиват едновременно? в) Колко пъти през месец октомври Петя и Иво ще почиват в един и същ ден? 10. Намерете сбора на всички прости числа, които се намират между x и y, ако: x . x = 256; y = HOK(120, 144, 180) : HOK(5, 6).

Към съдържанието

ТЕМА 2 ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ (Урок № 19 – Урок № 49)

В ТАЗИ ТЕМА СЕ ВЪВЕЖДАТ ПОНЯТИЯТА: • обикновена дроб, числител, знаменател; •п равилна дроб, неправилна дроб, смесено число; • съкратима и несъкратима дроб; • реципрочно число, числов лъч. УЧЕНИЦИТЕ СЕ НАУЧАВАТ: • да събират и изваждат обикновени дроби; • да умножават и делят обикновени дроби; •д а използват свойствата на действията с обикновени дроби за рационално смятане; •д а намират неизвестна компонента при действията; •д а намират част от число и решават основни задачи.

Към съдържанието

19.

ДРОБНИ ЧИСЛА В закусвалня се продава пица, разделена на 6 равни части. При покупка на едно парче продавачът ни дава една от шестте части. За да изядем четвърт ябълка, разделяме цялата ябълка на четири равни части и вземаме едната от тях. Една пица, една ябълка, един шоколад, ... се разглеждат като едно цяло (числото 1). Нека един шоколад съдържа 10 еднакви блокчета. Делим този шоколад на:

За едната част четем: пишем:

• 2 равни части

половинка 1 : 2 (една втора) от шоколада

• 5 равни части

петинка 1 : 5 (една пета) от шоколада

• 10 равни части Означаваме:

десетинка . 1 : 10, (една десета) от шоколада. (петинка), (десетинка).

(половинка),

Забелязваме, че знакът за деление (:) е заменен с чертичка. На чертежа кръгчето е разделено на равни части. Оцветената част от кръгчето е: Четем:

една втора една четвърт една осма една трета една шеста

ЗАДАЧА 1 На рождения ден на Ваня дошли 11 деца. На колко равни части Ваня

е разделила тортата и каква част от тортата е получило всяко дете? Решение: Ваня е разделила тортата на 12 равни части, защото децата са били общо 12 (11 гостенчета и Ваня). Всяко дете е получило от тортата.

44 Към съдържанието

ЗАДАЧА 2 Петя и Иван участвали във викторина и получили награда по 1 шоколад с по 8 еднакви блокчета. Петя изяла три блокчета, а Иван – 7 блокчета. Каква част от шоколада си е изяла Петя? Каква част от шоколада си е изял Иван? Решение: Един шоколад е един шоколад три части пет части разделен на 8 равни части. Тогава 1 част Петя → от шоколада.

→

Петя е изяла три осми

Иван →

един шоколад

от шоколада си.

седем части

→

Забелязваме, че:

ЗАДАЧИ

Иван е изял седем осми

eдна част

от шоколада си.

• числото

показва, че шоколадът е разделен на 8 равни части и са взети 3 от тях;

• числото

показва, че шоколадът е разделен на 8 равни части и са взети 7 от тях.

Дробни числа 1 5 3 7 С 12 , 13 , 15 , 10 , 12 , 8 , 8 , ... се означават нов вид числа, които изразяват част от цяло. Те се наричат дробни числа или дроби. • Дробното число 15 означава, че цялото (например един шоколад) сме разделили на пет равни части и сме взели една от тях. 5 • Дробното число 12 означава, че цялото (например една торта) сме разделили на дванадесет равни части и сме взели пет от тях.

1 Запишете с дробно число:

а) четвъртинка; в) деветинка;

б) седминка; г) осминка.

2 Запишете с дробно число:

4 Какво означава дробното число:

а)

б)

;

в)

;

г)

5 В тетрадките си запишете с дробно

число каква част от фигурата е оцветена:

а) една двадесета; б) три пети; в) пет седми; г) шест осми.

3 Запишете с думи дробните числа

;

а)

б)

в)

г)

45 Към съдържанието

20.

ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ

ЗАДАЧА 1 (Диктовка) Запишете с дробно число

една пета, четвъртинка, десетинка, една осма, една десета, половинка, две седми, три четвърти. Решение:

ПРИМЕР 1 Ако едно цяло сме разделили: на 2 равни части и вземем и двете части

на 3 равни части и вземем и трите части

на 4 равни части и вземем и четирите части...,

това означава, че сме взели цялото, т.е. 1.

ПРИМЕР 2 Едно дете изяло 1 шоколад и

част от втори шоколад, т.е.

четири третинки шоколад

4 Пишем 3 . Четем четири трети. от втория шоколад . един шоколад

Четем: “Три третинки и една третинка са четири третинки.”

ПРИМЕР 3 Купени са две еднакви торти, всяка от които е разделена на 10 равни парчета.

17 деца изяждат по едно парче торта. 10 парчета торта + 7 парчета торта = 17 парчета торта Казваме, че са изядени 17 десетинки. Пишем 17 . Четем седемнадесет десети. 10

Това означава, че децата са изяли 1 цяла торта и втората торта.

Дробното число ли 1 (=

10 10

17 10

се записва като сбор 1 +

7 10

от

и означава, че сме взе

) цяло (едната торта) и 107 от второто цяло ( 107 от втората торта).

ЗАДАЧА 2 Прочетете дробните числа: а)

; б)

Решение: a) една втора, две втори, три втори б) една четвърт, три четвърти, пет четвърти

46 Към съдържанието

Обикновени дроби Дробните числа, записани във вида се наричат обикновени дроби.

1 2

За числото : • 8 означава, че цялото е разделено на 8 части. 8 се нарича знаменател. • 5 означава, че са взети пет от тези части. 5 се нарича числител. • Знакът “−−” се нарича дробна черта.

5 7

5 8

3 8

11 3 , 15 3

20 , 13

... ,

числител дробна черта знаменател

Всяка обикновена дроб има числител и знаменател: • Знаменателят показва на колко равни части е разделено цялото и се записва под дробната черта. Знаменателят е число, с което се дели и не може да бъде нула. • Числителят показва колко такива части са взети и се записва над дробната черта.

ЗАДАЧА 3 Напишете обикновена дроб със:

а) числител 7 и знаменател 20; в) числител 12 и знаменател 37; Решение: a)

ЗАДАЧИ

б)

б) числител 9 и знаменател 5; г) числител 17 и знаменател 24. в) 12 37

г) 17 24

1 В тетрадките си запишете с дробно 2 Запишете като обикновена дроб: число: а) каква част от фигурата е оцветена;

а) пет девети; в) девет осми; б) четири седми; г) седем пети. 3 Прочетете обикновените дроби: а) ; б) ; в) ; г) .

4 Напишете обикновена дроб със:

б) колко оцветени четвъртинки съдържа фигурата, която се състои от два квадрата. 1

а) числител 4 и знаменател 5 ; б) числител 7 и знаменател 6; в) числител 9 и знаменател 13; г) числител 7 и знаменател 9. 5 Напишете пет дроби със: а) числител 7; б) знаменател 8. 6 Напишете пет дробни числа със знаменател 10 и: а) числител, по-малък от знаменателя; б) числител, по-голям от знаменателя.

47 Към съдържанието

21.

ПРАВИЛНИ И НЕПРАВИЛНИ ДРОБИ Дробните числа, записани във вида: (1) (2) се наричат обикновени дроби. Обикновените дроби се записват във вида:

a b

числител дробна черта (знак за деление → знаменател

a b

= а : b),

където a е естествено число или 0, b е естествено число. В примерите (1) числителите са по-малки от знаменателите. Такива дроби се наричат правилни (а < b).

Правилна дроб Обикновена дроб, на която числителят е по-малък от знаменателя, се нарича правилна дроб. 1 4 1 4 3 4

1 4 1 4

Правилната дроб означава, че цялото (например една торта) е разделено на 4 равни части и са взети 3 от тях. Всяка правилна дроб е част от едно цяло (от 1), т.е. е по-малка от 1. Правилните дроби от вида са равни на числото 0, т.е.

и т.н.

В примерите (2) числителите са равни или по-големи от знаменателите. Такива дроби се наричат неправилни (а > b или а = b).

Неправилна дроб Обикновена дроб, на която числителят е равен или по-голям от знаменателя, се нарича неправилна дроб. Неправилната дроб

означава, че сме взели 5 пъти по

, т.е.

4 пъти по

(= 1 цяло) и още

(от още едно цяло). Например, за

да вземем

парчета торта, трябва да имаме 2 еднакви торти, всяка

от които да е разделена на 4 равни части, и да вземем една цяла торта и едно парче

от втората торта.

Всяка неправилна дроб съдържа едно или повече цели, т.е. тя е по-голяма от 1 или равна на 1. Например:

48 Към съдържанието

Всяко цяло число може да се запише като неправилна дроб със знаменател 1. и т.н. Неправилна дроб, на която числителят е равен на знаменателя, е равна на 1. и т.н.

ЗАДАЧА 1 Отделете правилните и неправилните от следните обикновени дроби: Решение: Правилни дроби са Неправилни дроби са

ЗАДАЧА 2 Дадени са обикновените дроби

Разменете местата на

числителя и знаменателя на всяка от тях и прочетете получените дроби. Решение:

(седем пети),

(три осми),

(пет първи),

(една седма)

Реципрочно число Дадена е обикновената дроб получаваме дробта

b a

a b

(а ≠ 0). Ако разменим местата на a и b,

, която се нарича реципрочна (обратна) на

ЗАДАЧА 3 Напишете реципрочните числа на 7 , 11

13 11 17 , , , 20 5 1

ЗАДАЧИ

21 →

7 20 1 0 , 21 9

21, 0 .

Решение: 7 → 11, 13 → 20, 11 → 5 , 17 → 1 , 11

a b

→ няма реципрочно число.

1 В тетрадките си запишете с обикно- 3 Запишете всички правилни дроби,

вена дроб каква част от фигурите е които имат знаменател 13 и числител оцветена: просто число. a) б) в) г) 4 Запишете всички неправилни дроби, които имат числител 13 и знаменател четно число. 2 Дадени са дробите 5 Дадени са дробите

Запишете: а) правилните дроби; б) неправилните дроби.

Напишете и прочетете реципрочните им числа.

49 Към съдържанието

22.

ОСНОВНО СВОЙСТВО НА ДРОБИТЕ. РАЗШИРЯВАНЕ НА ДРОБИ Правоъгълниците на чертежа имат измерения 12 и 8 деления и са разделени на 4, 8, 12 и 16 еднакви правоъгълника. Сравнете лицата на оцветените ленти! Лицата на оцветените ленти са равни на от лицето на право ъгълника и образуват правоъгълник с едно и също лице: 1 4

1 12

1 8

1 12

1 16

1 8

1 16

1 4 2 8 3 12 4 16

Равенството

показва, че:

• при умножаване на числителя и знаменателя на с 2 или • при деление на числителя и знаменателя на с 2 се получава дроб, равна на дадената.

Основно свойство на дробите Ако числителят и знаменателят на една дроб се умножат (разделят) с число, различно от 0, получава се дроб, равна на дадената: a b

a,n , b.n

(n ≠ 0);

a b

a:m , b:m

m ≠ 0.

Ако числото n = 1 (m = 1), дробта не се променя.

Към съдържанието

Казваме, че сме разширили дробта

Пример:

ЗАДАЧА 1 Разширете с числото 2 дробите: Решение: а)

а) 6 ;

б) 15 ;

б)

с 3.

в) 17 . в)

Разширяване на дроби Умножаването на числителя и знаменателя на една дроб с едно и също естествено число (различно от 1) се нарича разширяване на дробта. Числото, с което разширяваме дробта, се нарича допълнителен множител.

ЗАДАЧА 2 Разширете дробите: а)

с числото 2 ; б)

Решение:

а)

с числото 12; б)

в)

с числото 6.

в)

Допълнителният множител се записва обикновено над дробта. При разширяване на дробите в Задача 2 получихме дроби с равни знаменатели.

ЗАДАЧА 3 Намерете допълнителните множители на дробта

ЗАДАЧИ

а)

Решение:

а)

б)

в)

б)

в)

4 Разширете с числото 2 дробите:

1 Разширете дробите

, ако:

а) с 2; б) с 3; в) с 5;

г) със 7.

а) 13 , 72 ;

11 б) 95 , 13 ;

11 , 13 5, 3 в) 17 ; г) 12 . 19 11 1 2 6 а) с 10; б) с 19; в) с 22. 5 Разширете дробите до равни знаме 3 5 7 натели: 3 Открийте липсващите числа: а) б) а) ; б) ;

2 Разширете дробта:

в)

;

г)

в)

г)

Към съдържанието

23.

ОСНОВНО СВОЙСТВО НА ДРОБИТЕ. СЪКРАЩАВАНЕ НА ДРОБИ При разширяване на дробите използвахме основното свойство: При съкращаване на дробите използваме основното свойство: , където m е делител на a и m е делител на b.

Съкращаване на дроби Делението на числителя и знаменателя на една дроб с едно и също естествено число (различно от 1) се нарича съкращаване на дробта.

ЗАДАЧА 1 Съкратете дробите Решение:

При съкращаване на дроби (Задача 1) търсим общ делител на числителя и знаменателя, като използваме признаците за делимост на 2, 3, 5, 10.

ЗАДАЧА 2 Съкратете дробта Решение: І начин: ІІ начин:

Пишем :

Търсим HOD на числителя 24 и знаменателя 42:

. Дробта

е съкратима дроб (може да се съкрати).

Дробта

е несъкратима дроб (не може да се съкрати).

Казваме, че сме съкратили една дроб тогава, когато я превърнем в несъкратима дроб (виж Задачи 1 и 2):

52 Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 Съкратете дробите Решение:

ЗАДАЧА 4 Като разложите предварително числителя и знаменателя на прости множители, съкратете дробта Решение:

ЗАДАЧА 5 Съкратете дробите:

а)

;

б)

;

в)

Решение:

а)

б)

в)

В Задача 5, когато съкращаваме: 1 а) ако съобразим, че 25 . 25 = 625, можем веднага да запишем 25 ; б) ако съобразим, че 26 = 2 . 13, по-рационално е да съкратим на 13, а след това на 2; в) съобразяваме, че първо можем да съкратим на 1 000.

ЗАДАЧИ

1 Съкратете дробите:

а)

б)

в)

г)

4 Намерете HOD на числителя и

а)

;

б)

;

в)

;

г)

3 След като разложите числителя и знаменателя на прости множители, съкратете дробите:

б)

в)

знаменателя на всяка дроб и я съкратете:

2 Открийте липсващите числа:

а)

б)

в)

г)

5 Съкратете дробите:

а)

; б)

; в)

53 Към съдържанието

24.

ПРИВЕЖДАНЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ КЪМ ОБЩ ЗНАМЕНАТЕЛ

ЗАДАЧА 1 Разширете дробите равни на 18. Решение:

9 1 2

1 2

9 , 18

, 2 , 5 , 7 така, че знаменателите им да са 3

6 8 3

48 , 18

3 5 6

15 , 18

2 7 9

= 14 . 18

Замяната на дроби с равни на тях, които имат еднакви знаменатели, се нарича привеждане на дроби към общ знаменател.

Общ знаменател на дроби Общото кратно на знаменателите на две или повече дроби се нарича общ знаменател на тези дроби.

ЗАДАЧА 2 Приведете към общ знаменател дробите Решение: Числата 5 и 8 имат много общи кратни: 40, 80, 120, 160 ... Когато привеждаме дроби към общ знаменател, е прието да се търси наймалкото общо кратно (HOK ) на знаменателите им.

од “най-малък общ знаменател” на дроби ще разбираме най-малкото П общо кратно (HOK) на знаменателите на тези дроби.

ЗАДАЧА 3 Приведете към най-малък общ знаменател дробите

Решение:

Допълнителните множители 40, 24 и 15 разширяват дробите , до дроби със знаменател 120, т.е. 3 . 40 = 120, 5 . 24 = 120, 8 . 15 = 120. Тогава 40 = 120 : 3, 24 = 120 : 5, 15 = 120 : 8.

Правило за намиране на допълнителните множители Когато привеждаме дроби към общ знаменател, допълнителните множители получаваме, като разделим общия знаменател със знаменателя на всяка дроб.

54 Към съдържанието

Когато се поставя въпросът за намиране на общ знаменател на дроби, се търси рационално решение и се намира HOK на знаменателите на тези дроби.

ЗАДАЧА 4 Приведете към общ знаменател дробите: a) Решение:

a) HOK (3; 9) = 9

;

б)

б) HOK (2; 3; 6) = 6

В Задача 4 а) 9 е кратно на 3, HOK (3; 9) = 9; б) 6 е кратно и на 2, и на 3, HOK (2; 3; 6) = 6.

ЗАДАЧА 5 Приведете към общ знаменател дробите

Решение: 

12 : 4 = 3 12 : 3 = 4 12 : 6 = 2

допълнителни множители

HOK = 2 . 2 . 3 = 12

Правило за привеждане на дроби към най-малък общ знаменател • Намираме НОК на всички знаменатели. • Намираме допълнителните множители на всяка дроб. • Разширяваме дробите със съответния допълнителен множител.

ЗАДАЧА 6 Съкратете дробите и ги приведете към най-малък общ знаменател.

а) 7 и 8 ;

Решение:

а) 7 =   1 , 8 = 1 ,

б) 12 , 20 и 24 .

21 3 4 3 1 и 1 3 4 123

15 24

4 12

б) 12 = 4 , 20 = 5 , 24 = 8 15 5 24 6 5 2 4 5 , и 8 5 6 15 14243

и 3. 12

Приведете към общ знаменател дробите:

1 а)

в)

б)

г)

2 а)

в)

24 25 , , 30 30

3 а)

;

и 16 . 30

г)

б)

4 Съкратете дробите и ги приведете

б)

ЗАДАЧИ

към най-малък общ знаменател. а) 8 и 22 ; б) 6 и 9 ;

в)

20 33 18 35 50 , и ; 27 45 60

г)

15 24 10 14 33 , и . 35 21 63

Към съдържанието

25.

СРАВНЯВАНЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ СРАВНЯВАНЕ НА ДРОБИ С РАВНИ ЗНАМЕНАТЕЛИ

ЗАДАЧА 1 Сравнете дробите

3 20

Решение: 1 → 1 квадратче 20 3 → 3 квадратчета 20 7 → 7 квадратчета 20

От 1 < 3 < 7 следва, че

1 20

→

7 20

→

↓

ко дроби имат равни знаменатели, това означава, че всяка от тях А съдържа толкова равни части (квадратчета), колкото е числителят й.

Сравняване на дроби с равни знаменатели Дроби с равни знаменатели сравняваме, като сравним числителите. По-малка е тази дроб, която има по-малък числител.

СРАВНЯВАНЕ НА ДРОБИ С РАЗЛИЧНИ ЗНАМЕНАТЕЛИ ЗАДАЧА 2 Иван и Петя си купили два еднакви шоколада. Всеки шоколад съдържа 15 равни блокчета. Иван изял 2 от единия, а Петя – 3 от другия. 3 5 Кой е изял повече шоколад? Решение: Иван разделил шоколада на Петя разделила шоколада на 3 ленти от по 5 блокчета и изял две от 5 ленти от по 3 блокчета и изяла три от 2 тези ленти, т.е. изял е от шоколада, тези ленти, т.е. изяла е 3 от шоколада, 3 10 5 или 10 блокчета, които са от шокоили 9 блокчета, които са 9 от шоколада. 15 15 лада.

2 3

→ 10 блокчета, които са 10 от шо15 колада. От 10 > 9 следва, че Забелязваме, че дробите

3 5

→ 9 блокчета, които са 9 от шо15 колада.

, т.е. 2 > 3 . Иван е изял повече шоколад. 3

2 3

3 5

сравнихме, като ги разширихме

до дроби с равни знаменатели 10 и 9 . Казваме, че ги привеждаме към един и същ знаменател.

Към съдържанието

Сравняване на дроби с различни знаменатели Дроби с различни знаменатели сравняваме, като първо ги приведем към дроби с равни знаменатели и сравняваме получените дроби. а) 5 и 9 ; б) 17 и 13 .

ЗАДАЧА 3 Сравнете дробите:

Решение: а) От 5 < 9 следва, че

б) От 17 > 13 следва, че

а) 2 и 8 ; б) 3

Решение: ,

ЗАДАЧА 4 Сравнете дробите: а)

1 2

ЗАДАЧА 5 Подредете по големина дробите

, т.е.

, т.е. 7 > 3 .

б)

, 1, 1, 1, 1. 3

Решение:

Забелязваме, че 1 < 1 < 1 < 1 < 1 . 6

От две дроби с равни числители и различни знаменатели по-малка е тази, която има по-голям знаменател.

ЗАДАЧИ

6 Подредете по големина дробите:

Сравнете дробите:

1 а)

б)

в)

а)

б)

2 а)

б)

в)

г)

3 а)

б)

в)

4 а)

б)

в)

7 Сравнете дробите:

а)

б)

в)

5 а)

б)

8 Като започнете от най-малката,

г)

в)

наредете по големина дробите: а) б)

57 Към съдържанието

26.

ИЗОБРАЗЯВАНЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ ВЪРХУ ЧИСЛОВ ЛЪЧ

ЗАДАЧА 1 На чертежа върху числов лъч са изобразени дробите Защо тези дроби са равни?

14243

На 4 → ОА = 4 деления 6 На 2 → ОВ = 4 деления 3

4 6

от квадратната мрежа.

и 2. 3

Решение: Точката A е образ на 4 , 6 защото 1 м. ед. е разделена на 6 равни части и са взети 4 от тях. Точката B е образ на 2 , 3 защото 1 м. ед. е разделена на 3 равни части и са взети 2 от тях.

От ОА = ОВ следва, че 4 = 2 6

ЗАДАЧА 2 На чертежа са изобразени дробите

Подредете дробите по големина. Решение:

1 12

На чертежа е избрана 1 м. ед. = 12 деления. Отсечка с дължина:

1 6 1 4 1 3 1 2

има 1 деление;

има 2 деления;

има 3 деления;

има 4 деления;

има 6 деления.

Тогава

ЗАДАЧА 3 Изобразете върху числов лъч числата Решение: Избираме 1 м. ед. така, че да е съставена от 5 равни части. Дробите са изобразени върху числовия лъч.

58 Към съдържанието

7 4

ЗАДАЧА 4 Изобразете върху числов лъч числата

Решение: Избираме 1 м. ед. така, че да е съставена от 8 равни части, защото НОK (2; 4; 8) = 8.

7 4

Дробите са изобразени върху числовия лъч. 8 8

7 4

ърху числов лъч правилните дроби се изобразяват преди числото 1, а В неправилните дроби – след числото 1.

ЗАДАЧА 5 Подредете върху числов лъч числата Решение:

НОK (2; 3; 5; 8) = 120 →

Oт 60 < 72 < 75 < 80 следва, че

т.е. . Дробите са подредени върху числовия лъч.

Задача 5 НОK = 120 е голямо число и 1 мерна единица трудно се пред В ставя като 120 деления. Дроби, на които знаменателите са големи числа, трудно могат да се изобразяват върху числов лъч. Тогава в условието на задачата се изисква те да се подредят (не да се изобразят) върху числов лъч по големина така, че да се спази правилото всяко по-малко число да е отляво на по-голямото от него число.

ЗАДАЧИ

Изобразете върху числов лъч числата:

1 2

6 7 Подредете върху числов лъч числата:

10 59 Към съдържанието

27.

СЪБИРАНЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ С РАВНИ ЗНАМЕНАТЕЛИ

ЗАДАЧА 1 На квадратната мрежа правоъгълникът е съставен от 5 квадратчета. Намерете каква част от правоъгълника е: а) оцветена в жълто; б) оцветена в синьо; в) оцветена. Решение: а) Частта, оцветена в жълто, е

б) Частта, оцветена в синьо, е

в) Оцветената част е

Сборът от оцветените в жълто и в синьо части е равен на оцветената част на правоъгълника: , т.е.

Правило за събиране на дроби с равни знаменатели

+ n = n

ЗАДАЧА 2 Съберете дробите:

a+b n

, n – естествено число

а)

б)

в)

Решение: а)

б)

в)

ЗАДАЧА 3 Проверете вярно ли е попълнена таблицата: a

a+b

b+a

1 7 1 9

2 7 2 9

3 7 5 9

3 7 3 9

b + c (a + b) + c a + (b + c) 5 7 7 9

6 7 8 9

a+b+c 6 7 8 9

Отговор: Таблицата е попълнена вярно. Забелязваме, че: a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c) = а + b + c .

Към съдържанието

ЗАДАЧА 4 Съберете дробите и представете резултата като несъкратима дроб: Решение:

а) 9 + 9 ;

а) 95 + 19 = 5 9+ 1 = 96 = 23

ЗАДАЧА 5 Сравнете: Решение:

б) 14 + 14 ;

в) 8 + 8 . 7 5 7 + 5 12 3 в) 8 + 8 = 8 = 8 = 2

5 + 3 = 5+3 = 8 = 4 б) 14 14 14 14 7

13 + 6 в) 19 и 19 . 19 19

а) 9 + 9 и 9 ; б) 13 + 13 и 13 ;

а) 95 + 92 = 5 +9 2 = 79

11 > 10 13 13 7 + 4 > 10 13 13 13

7<8 9 9 5+2<8 9 9 9

в) 19 + 19 = 19 19 = 19

б) 13 + 13 = 13

19 19 13 + 6 = 19 19 19 19

ЗАДАЧА 6 Съберете дробите и представете резултата като несъкратима дроб: Решение:

1 + 5 + 8 а) 21 21 21

1 + 5 + 8 = 1 + 5 + 8 = 14 = 2 а) 21 21 21 21 21 3

б) 88 + 88 + 88 . б) 88 + 88 + 88 =

5 + 15 + 13 = 33 = 3 88 88 8

ЗАДАЧА 7 Сравнете:

ЗАДАЧИ

Решение:

а) 7 + 7 и 1;

б) 11 + 11 и 1.

а) 75 + 17 = 5 7+ 1 = 76 < 1

7 + 9 = 7 + 9 = 16 > 1 б) 11 11 11 11

Извършете събирането:

1 а)

б)

5 а)

в)

г)

2 а)

б)

6 а)

в)

г)

3 а)

б)

7 Напишете четири числа, първото

в)

г)

4 а)

б)

г)

в)

Сравнете: в)

в)

2 + 7 13 13 5 + 13 21 21

и 13 ;

б) 17 + 17 и 17 ;

г) 29 + 29 и 29 .

и 21 ;

5+3 8 8 и 1; 9 + 5 и 1; 19 19

б) 13 + 13 и 1; г) 23 + 23 и 1.

5 от които е 19 , а всяко следващо 2 е с 19 по-голямо от предходното. Намерете сбора на: а) първото и четвъртото число; б) второто и третото число.

61 Към съдържанието

28.

ИЗВАЖДАНЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ С РАВНИ ЗНАМЕНАТЕЛИ

ЗАДАЧА 1 На квадратната мрежа правоъгълникът е съставен от 5 квадратчета. Намерете: а) каква част от правоъгълника е оцветена в жълто; б) каква част от правоъгълника е оцветена в червено; в) коя от оцветените части е по-голяма и с колко? Решение: а) Частта, оцветена в жълто, е

б) Частта, оцветена в червено, е в) От

следва, че червената част е по-голяма от жълтата.

1 квадратче е

част от правоъгълника. Тогава

• червената част е

части, а

• жълтата е

части, т.е. червената част е с

е разликата на

, т.е.

→

по-голяма от жълтата. .

Правило за изваждане на дроби с равни знаменатели a n

b n

–

a–b n

б)

в)

б)

, a > b или a = b, n – естествено число

ЗАДАЧА 2 Извадете дробите: Решение: а)

а)

в)

ЗАДАЧА 3 Извършете изваждането: 15

Решение: 15

а) 11 – 11 = 11

а) 11 – 11 ; б) б)

в)

Към съдържанието

ЗАДАЧА 4 Извършете изваждането и направете проверка: Решение:

5 − 2 а) 11 ; 11

− 5 . б) 13 9 9

5 − 2 = 5−2 = 3 а) 11 11 11 11

б) 13 − 5 = 13 − 5 = 8 9 9 9 9 8 + 5 = 8 + 5 = 13 9 9 9 9

3 + 2 = 3+ 2 = 5 11 11 11 11

Проверка:

ЗАДАЧА 5 Извършете изваждането и представете резултата като несъкратима дроб: Решение:

а) 85 − 18 ;

−3. б) 13 8 8

а) 85 − 18 = 5 8− 1 = 84 = 12

− 3 = 13 − 3 = 10 = 5 б) 13 8 8 8 8 4

(

ЗАДАЧА 6 Пресметнете: а) Решение:

(

9− 1+4 7 7 7

) ; б) 1013 − ( 137 − 135 ) ; в) 1723 − ( 2023 − 1523 ) . (

)

10 7 5 б) 13 − 13 − 13 =

=9−5=4 7 7 7

= 10 − 2 = 8 13 13 13

ЗАДАЧА 7 Сравнете: Решение:

ЗАДАЧИ

= 17 − 5 = 12 23

− 5 = 11 − 5 = 6 б) 11 7 7 7 7

13 13 13 4 = 4 13 13 15 − 11 = 4 13 13 13

6<8 7 7 11 − 5 < 8 7 7 7

4 Сравнете:

1 а)

б)

в)

;

г)

2 а)

б)

;

г)

в)

3 Извършете изваждането и направете проверка:

в) 15 − 11 = 15 − 11 = 4

Извършете изваждането:

)

17 20 15 в) 23 − 23 − 23 =

4 − 5 и 8 ; в) 15 − 11 и а) 79 − 92 и 94 ; б) 11 13 . 7 7 7 13 13

а) 7 − 2 = 7 − 2 = 5 9 9 9 5>4 9 9 7−2>4 9 9 9

(

)

9 1 4 а) 7 − 7 + 7 =

8 − 3 а) 17 ; 17

− 17 в) 32 31 31

15 − 12 б) 19 ; 19 г) 27 − 17 . 29

а) 11 − 11 и 11 ;

− 14 и 3 ; б) 18 23 23 23

18 40 − 25 − 13 и 5 . в) 37 и 37 ; г) 18 37 41 41 41 Пресметнете: 5 а) 8 − 5 − 1 ; б) 11 − 7 − 5 ;

( ) в) ( ) ; 13 − 5 + 3 ; 6 а) 17 ( 17 17 ) в) 25 − ( 4 + 7 ) ; 19 19 19 9 9 9 19 − 20 − 15 31 31 31

( (

) г) ). б) 19 − ( 7 + 8 ) ; 33 33 33 41 г) − ( 50 + 41 ) . 53 53 53 13 13 13 9 − 15 − 10 17 17 17

63 Към съдържанието

29.

СМЕСЕНИ ЧИСЛА. ПРЕМИНАВАНЕ ОТ СМЕСЕНО ЧИСЛО В НЕПРАВИЛНА ДРОБ И ОБРАТНО Неправилната дрoб

може да се запише:

Неправилната дроб

е сборът

. Този сбор се записва

се нарича смесено число с цяла част 1 и дробна част

Смесено число Смесеното число е запис на неправилна дроб: 4 3

1 3

= 1+

= 1 13 .

неправилна дроб смесено число Дробната част на смесеното число е правилна дроб. Примери:

2 7 (две цяло и една седма); 100 5 (сто цяло и три пети).

Как да превърнем неправилната дроб в смесено число? І начин:

ІІ начин:

Неправилна дроб превръщаме в смесено число, като разделим числителя на знаменателя.

ЗАДАЧА 1 Превърнете в смесени числа неправилните дроби: Решение:

а)

б)

а)

;

б)

При решаване на Задача 1- а) 24 е най-голямото число, което се дели на 6 и е по-малко от 29. По същия начин разсъждаваме при решаване на условие б).

Към съдържанието

ЗАДАЧА 2 Превърнете в смесени числа неправилните дроби: Решение: а)

а)

;

б)

Когато превръщаме неправилна дроб в смесено число, казваме, че “изключваме цялото”. Как да превърнем смесеното число

в неправилна дроб?

е неправилна дроб, където x е числото, което разделено на 4, дава частно 2 и остатък 3, т.е.

→

от x = 2 . 4 + 3 = 11 получихме

Правило за превръщане на смесено число в неправилна дроб 3

24 =

2.4+3 4

11 4

ЗАДАЧА 3 Превърнете в неправилни дроби смесените числа:

а)

;

б)

Решение:

а)

б)

ЗАДАЧА 4 Дадени са дробите

. а) Превърнете неправилната дроб в смесено число. б) Превърнете смесеното число в неправилна дроб. Решение:

ЗАДАЧИ

а) 17 = 17 : 6 = 2 + 5 = 2 5 6

Превърнете в смесени числа непра вилните дроби:

3 а)

3 ; 2 11 ; 2 29 ; 13

4 а)

30 17

1 а) 2 а)

б)

б) 7 ; в) 8 ; г) 9 .

Превърнете в неправилни дроби смесе ните числа: 5 а) 1 1 ; б) 1 2 ; в) 1 3 ; г) 1 5 .

б)

6 а) 2 ;

б)

6 13 ; 3 83 ; 11

в) в)

5 15 ; 4 97 ; 12

г) г)

7 21 . 5 100 . 3

50 79 55 ; б) 13 ; в) 11 ; г) 18 .

3 2 3

б) 5

5 1 3

; в) 7

7 1 4

; г)

11 83. 5

7 а) 13 13 ; б) 17 25 ; в) 21 35 ; г) 101 78 . 8 Намерете реципрочните числа на: а) 8 1 ; 3

б) 4 2 ; в) 5 3 ; г) 7 2 . 5

65 Към съдържанието

30.

СЪБИРАНЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ С РАЗЛИЧНИ ЗНАМЕНАТЕЛИ

Правило за събиране на обикновени дроби с различни знаменатели Дроби с различни знаменатели събираме, като първо ги приведем към дроби с един и същ знаменател и ги съберем като дроби с равни знаменатели.

ЗАДАЧА 1 Съберете дробите: Решение:

а)

б)

б) HOK = 60

ЗАДАЧА 2 Намерете стойностите на А, В, С, D. +

1 3

1 4

1 5 1 6

1 1 1 2 3 1 C= 6+3=6+6 =6 = 2 1 1 2 3 5 D = 6 + 4 = 12 + 12 = 12

ЗАДАЧА 3 Пресметнете и сравнете: 1

1 1 3 5 3+5 8 A = 5 + 3 = 15 + 15 = 15 = 15 1 1 4 5 4+5 9 B = 5 + 4 = 20 + 20 = 20 = 20

Решение:

а) 3 + 5 и 15 ; Решение:

б) 4 + 5 и 20 ;

1 2 5 + 8 13 +3 = 8 а) 13 + 15 = 515 б) 4 + 5 = 20 = 20 ; в) 15 8 7 13 17 15 > 15 20 < 20

1+1 3 5

> 7 15

ЗАДАЧА 4 Пресметнете и сравнете: Решение: 1 1 2 3 5 а) + = + = 3

в) 9 + 4 и 36 . = 31

1 + 2 < 17 4 5 20

1 + 3 = 4 + 27 9 4 36 31 = 31 36 36 1 + 3 = 31 9 4 36

а) 3 + 2 и 12 + 4 ; 1 +3 12 4

б) 7 + 4 и 28 + 7 .

= 1 + 9 = 10 = 5 12

⇒

1+1 3 2

= 1 +3 12

Към съдържанието

11 + 1 28 7

б) 7 + 4 = 28 + 28 = 28

ЗАДАЧА 5 Съберете дробите:

= 11 + 4 = 15

а)

2+1 7 4

⇒

= 11 + 1 28

б)

Решение:

а)

б)

HOK = 36

ЗАДАЧА 6 В лявата колона на бланката за отговори е написана буквата на сбора.

Срещу нея в дясната колона запишете номера на разликата със същата стойност. (А) (Б)

1+1 9 6 3+1 5 6

29 − 7 30 30

(2)

47 − 1 60 60

(3)

23 − 13 36 36

(1) 30 − 30 = 30 = 15

(2) 60 − 60 = 60 = 30

Решение:

(А) 9 + 6 = 18 + 18 = 18

(Б) 5 + 6 = 30 + 30 = 30

ЗАДАЧИ

(1)

(3)

Извършете събирането:

23 − 13 36 36

= 10 36

= 5 18

А Б

1 а)

б)

5 а)

б)

в)

г)

2 а)

б)

6 Попълнете таблицата:

в)

г)

3 а)

б)

г)

в)

4 а)

в)

б) г)

в)

1 2

2 5

1 7

1 3 1 4 1 6

3 2

67 Към съдържанието

31.

ИЗВАЖДАНЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ С РАЗЛИЧНИ ЗНАМЕНАТЕЛИ

Правило за изваждане на дроби с различни знаменатели Дроби с различни знаменатели изваждаме, като първо ги приведем към дроби с един и същ знаменател и ги извадим като дроби с равни знаменатели.

ЗАДАЧА 1 Извадете дробите:

а)

б)

в)

Решение:

а)

б)

HOK = 36

в)

В Задача 1 - в) извадихме дроб от цяло число, като цялото число запи сахме като дроб със знаменател 1.

ЗАДАЧА 2 Извършете изваждането и представете резултата като несъкратима дроб: Решение:

− 8 ; а) 32 35 15 3

а)

32 − 8 = 96 − 56 35 15 105 105

б)

13 − 7 = 65 − 21 = 65 − 21 = 44 18 30 90 90 90 90

96 − 56 105

= 40 105

105

13 − 7 б) 18 . 30

22 45

35, 15 3 5 5 1 7

35 8 7 21 1

18, 30 2 9 15 3 3 5 3 1 5 5 HOK 1

ЗАДАЧА 3 Извършете изваждането и направете проверка: Решение: 2

а) 13 − 5 = 26 − 25 = 26 − 25 = 1 15 6 30 30 30 30 30

Проверка: 1 +5 30 6

HOK = 105

13 − 5 а) 15 ; 6

= 90

11 − 8 б) 14 . 21

= 1 + 25 = 1 + 25 = 26 = 13 30

Към съдържанието

б) 14 − 21 = 42 − 42 =

33 − 16 42

Проверка:

= 17 42

17 + 8 = 17 + 16 42 21 42 42

= 17 + 16 = 33 = 11 42

ЗАДАЧА 4 Пресметнете и сравнете: 5 а) 23 − 85 и 24 ; Решение: − 15 = 1 а) 23 − 85 = 1624 24

б) 75 − 14 и 11 ; 28 б) 75 − 14 = 2028− 7 = 13 ; 28

5 в) 79 − 12 = 1418− 9 = 18 13 > 11 5 = 5

1 < 5 24 24 2−5< 5 3 8 24

ЗАДАЧА 5 Пресметнете:

5 в) 79 − 12 и 18 .

28 28 5 − 1 > 11 7 4 28

а)

18 18 7−1 = 5 9 2 18

б)

Решение:

а)

б)

ЗАДАЧА 6 В лявата колона на бланката за отговори е написана буквата на разликата.

Срещу нея в дясната колона запишете номера на сбора със същата стойност. (А) (Б)

5−2 7 5 7 −3 12 8

7 + 3 35 35

(2)

13 + 9 70 70

(3)

9 + 1 48 48

25 − 14 = 11 (А) 75 − 52 = 35 35 35 (Б) 7 − 3 = 14 − 9 = 5

7 + 3 = 10 = 2 (1) 35 35 35 7 13 + 9 = 22 = 11 (2)

(3)

Решение:

ЗАДАЧИ

(1)

70 70 9 + 1 48 48

70 10 = 48

35 5 24

А Б

2 3

Извършете изваждането:

1 а)

б)

3 а)

;

г)

в)

б)

;

г)

2 а)

б)

4 а)

б)

;

г)

;

г)

в)

69 Към съдържанието

32.

РАЗМЕСТИТЕЛНО И СЪДРУЖИТЕЛНО СВОЙСТВО НА ДЕЙСТВИЕТО СЪБИРАНЕ

ЗАДАЧА 1 Проверете разместителното свойство на действие събиране, ако: 7

а) a + b = 15 + 15 = 15 = 15 = 5

7 5 8 8 2 7

8 2 7 7 5 8

2+7

7+2

b + a = 15 + 15 = 15 = 15 = 5

б) a + b =

b+a=

+ +

б) а = 8 и b = 7 .

= 56 + 56 = 16

= 56 + 56 =

⇒ 15 + 15 = 15 + 15 ⇒a+b=b+a

35 + 16 56

= 56

16 + 35 56

= 56

14243

а) а = 15 и b = 15 ;

14243

Решение:

⇒ 8 + 7 = 7 + 8 ⇒a+b=b+a

Извод: Разместителното свойство на действието събиране a+b=b+a е изпълнено и при събирането на обикновени дроби.

ЗАДАЧА 2 Проверете съдружителното свойство на действие събиране, ако: 2

а) а = 15 , b = 15 и с = 15 ;

)

а) (a + b) + с = 15 + 15 + 15 = 15 + 15 = 15

)

а + (b + с) = 15 + 15 + 15 = 15 + 15 = 15

(1 1) 1 = ( 204 + 205 ) + 13 =

= + = 60 + 60 = 60 20 3

б) (a + b) + с

а + (b + с) =

= 5 + 4 + 3 = 9

1 5

(

1 4

1 3

)

= + 12 + 12 = 5

= + = 60 + 60 = 60 5 12

144444424444443

б) а = 5 , b = 4 и с = 3 . 14243

Решение:

)

15 + 15 + 15 = ⇒ 2 4 7 = + 15 + 15 15 (a + b) + с = а + (b + c)

(

)

Извод: Съдружителното свойство на действието събиране (a + b) + с = а + (b + с) е изпълнено и при събирането на обикновени дроби. При събирането на три и повече дроби можем да не пишем скоби. (a + b) + с = а + (b + c) = а + b + c

⇒ 5 + 4 + 3 = 5 + 4 + 3 (a + b) + с = а + (b + c)

Към съдържанието

)

ЗАДАЧА 3 Пресметнете: Решение:

1 9

а)

3 2 1 1 б) 2 + 3 3 2 = 6 + 6 3+2+1 = 6

1 1 6 1 6 6 6

б) 2 + 3 + 6 .

2 4 + 9 + 9 = 1+2+4 7 = 9 9

ЗАДАЧА 4 Пресметнете рационално. Решение:

а) 9 + 9 + 9 ;

+ + =

= = =1

б) 9 + 8 + 9 + 4 .

б) 9 + 8 + 9 + 4 =

а) 36 + 24 + 36 ; а) 36 + 24 + 36 = 5

8 1 3 15 24

7 24 5 8

= 36 + 36 + 24 =

= 9 + 9 + 8 + 4 =

= 36 + 24 =

= 9 + 8 + 8 =

+ =

8+7 24

=1+ 8 =18

ЗАДАЧА 5 Намерете числото, което е с 5 по-голямо от сбора на числата 39 Решение:

ЗАДАЧИ

( 56 + 398 ) + 395 = 5

= 6 + 39 + 39 = 6 + 39 = 6 + 3 =

= 6 + 6 = 6 =16

1 а)

б)

в)

г)

2 а) б)

1 + 4 5 + 12 1 + 3 2 + 9 1 + 4 1 + 4

1 + 6 1 + 15 5 + 24 11 + 16 1 + 6 11 + 20

2 ; 9 3 ; 20 7 ; 30 5 . 48 2 + 9 7 + 25

и 39 .

Пресметнете:

5 6

в) 10 + 12 + 15 + 20

г) 8 + 15 + 12 + 24 Пресметнете рационално: 5 3 а) 17 +

5 12 13 50

б) 16 +

в) 13 +

г) 20 +

3 12 + 17 ; 8 5 13 + 16 ; 12 7 11 + 18 ; 18 8 7 + 20 . 35

71 Към съдържанието

33.

СЪБИРАНЕ И ИЗВАЖДАНЕ НА СМЕСЕНИ ЧИСЛА

ЗАДАЧА 1 Съберете смесените числа 2 1 и 4 2 . 5 5 Решение:

2 1 + 4 2 = 11 + 22 = 33 = 6 3 .

І начин: ІI начин:

5 5 1 2 +42 5 5

Записваме:

21 +42 =63

5 5 1 = 2+ +4+ 2 5 5

(5 5)

= ( 2 + 4) + 1 + 2 = 6 + 3 = 6 3 . 5

Правило за събиране на смесени числа I начин: ІІ начин: 1. смесените числа превръщаме 1. събираме целите части; в неправилни дроби; 2. събираме дробните части; 2. събираме неправилните дроби; 3. събираме получените сборове 3. получения сбор (неправилна и резултата записваме като дроб) превръщаме в смесено смесено число. число.

ЗАДАЧА 2 Пресметнете:

7 а) 5 + 4 12 ;

5 + 7 б) 13 19 . 19

7 =9 7 а) 5 + 4 12 ; 12

Решение:

5 + 7 = 13 12 б) 13 19 . 19 19

Всяко естествено число е смесено число с дробна част нула. Всякa правилна дроб е смесено число с цяла част нула.

ЗАДАЧА 3 Пресметнете: а) 4 7 + 3 5 ; 11 11

7 б) 2 85 + 3 12 .

7 + 3 5 = 7 + 12 = 7 + 1 1 = 8 1 а) 4 11 11 11 11 11 7 5 12 Записваме: 4 + 3 = 7 = 8 1 .

Решение:

Записът 7 11 не е смесено число, защото 11 не е правилна дроб. Той се използва за рационално пресмятане.

Към съдържанието

7 = 2 9 + 3 14 = 5 23 б) 2 83 + 3 12 24 24 24

Ако дробните части на смесените числа са с различни знаменатели, предварително ги привеждаме към дроби с равни знаменатели.

ЗАДАЧА 4 Извадете смесените числа 5 3 и 3 1 . 5 5 Решение:

5 3 − 3 1 = 28 − 16 = 12 = 2 2 .

І начин:

5 5 3 1 5 −3 5 5

ІI начин:

5 =22 5

Правило за изваждане на смесени числа I начин: ІІ начин: 1. смесените числа превръщаме 1. изваждаме дробните части; в неправилни дроби; 2. изваждаме целите части; 2. изваждаме неправилните 3. резултата записваме като дроби; смесено число. 3. ако полученият резултат е неправилна дроб, превръщаме я в смесено число.

ЗАДАЧА 5 Извадете: Решение: 1

б) 18 11 – 5 11 .

От не можем да извадим !

а) 17 3 – 5 3 = ?

а) 17 3 – 5 3 ;

огава от 17 “вземаме 1 цяло”, записваме го като и го прибавяме Т към дробната част.

(17 13 = 16 + 1 + 13 = 16 + 33 + 13 = 16 + 43 = 16 43 )

Записваме 17 3 – 5 3 = 16 3 – 5 3 = 11 3 .

б) 18 11 – 5 11 = 17 11 – 5 11 = 12 11

ЗАДАЧИ

Пресметнете по два начина:

1 а) 3 72 + 5 17 ;

в) 5 13 + 4 12 ;

8 +7 3 б) 5 11 ; 11

5 −2 2 7 2 а) 7 13 ; б) 8 − 5 11 ; 13

г) 3 72 + 5 16 .

в) 8 13 − 3 15 ;

г) 9 72 − 4 75 .

73 Към съдържанието

34.

СЪБИРАНЕ И ИЗВАЖДАНЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ. НАМИРАНЕ НА НЕИЗВЕСТНО СЪБИРАЕМО, УМАЛЯЕМО И УМАЛИТЕЛ

ЗАДАЧА 1 Намерете неизвестното число x: 8

а) х + 11 = 11 ; х + 2 = 3 ; 7 4

б)

в)

х – 3 = 1 ; 13 2

5 8

–х= 1. 6

Решение: а)

х =

4 3 – 2 4 7 21 – 8 28 28 13 28

х – 3 = 1

–3=2 =2+3

х =

2 1 + 3 13 2 13 + 6 26 26 19 26

Неизвестно умаляемо намираме, като съберем разликата с умалителя. в)

х + 2 = 3

Неизвестно събираемо намираме, като от сбора извадим даденото събираемо. б)

+3=5 =5–3

5–

=3 =5–3

5 – х = 1 8

х =

6 5 – 1 8 6 15 – 4 24 24 11 24

Неизвестен умалител намираме, като от умаляемото извадим разликата.

Към съдържанието

ЗАДАЧА 2 Попълнете празните квадратчета така, че квадратът да

стане магически: Решение: Сборът на числата по редове, стълбове и диагонали трябва да бъде равен на

1 5

1. Търсим число x от квадратчето 1 .

1 3

7 15

2 5

2. Търсим число x от квадратчето 3 .

х = 4

3. Търсим число x от квадратчето 2 .

4. Търсим число x от квадратчето 4 . 1 5



5. Търсим число x от квадратчето 5 . 2

Магическият квадрат е

 ,

ЗАДАЧИ

Събираемо

Сбор

7 17

1 3 11 12

Събираемо 17

3 8

? 5 6

? 15 5

32 37 7 32

4 15

3 5

2 15

1 5

1 3

7 15

8 15

1 15

2 5

Умаляемо

8 9

Умалител

Разлика

1 9

? 8 17 3 17

5 9

? 1 4

? 25 3

22 13 5 22

Към съдържанието

35.

СЪБИРАНЕ И ИЗВАЖДАНЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Намерете неизвестното число x, ако: 5

б) х – 4 = 2 – 3 ;

в) 5 – х = 3 – 5 .

б) х – 4 = 2 – 3 1

в) – х = 3 – 5 5

а) х + 7 = 2 + 3

ЗАДАЧА 2

а) х + 7 = 2 + 3 ; Решение: х + 7 = 6

х – 4 = 6

4 5

– х = 15 4

х = 6 – 7

х = 6 + 4

х = 5 – 15

х =

х = 12

х =

х = 12

х =

35 – 30 42 5 42

2+3 5

)

Пресметнете: а) 8 – 3 – 4 ; б) 15 – 3 + 5 ; Решение: 2 1 14 1 2 7 – 3 – 4 = – 3 + 5 = а) б) 15 8

(

= = =

)

(

7 8–3 – 12 = 8 3 2 5 7 – 12 = 8 21 – 10 11 24 = 24

= = =

14 15 14 15 3 15

– – =

)

5+6 15 11 = 15 1 5

(

)

в) 18 5 − 13 2 − 3 1 . 12

(

)

в) 18 5 − 13 2 − 3 1 = 12

(

)

= 18 5 − 13 8 − 3 3 =

ЗАДАЧА 3 Намислих едно число. Намалих го със сбора на числата

12 – 2 15 10 2 = 3 15

12 12 5 5 = 18 −10 = 12 12

3 5

и 6 и получих

разликата на числата 2 и 3 . Кое число съм намислил? Решение:

)

х – 5 + 6 = 2 – 3

1 1

х = 6 + 30

х =

х – 30 = 6

5 + 23 30 28 14 х = 30 = 15

Към съдържанието

ЗАДАЧА 4 Пресметнете рационално: 3

Решение:

а) 8 + 17 + 8 + 17 ;

б) 15 19 + 23 21 + 4 19 + 6 21 .

3 14 5 3 а) + 17 + 8 + 17 = 8

б) 15 12 + 23 8 + 4 7 + 6 13 = 19 21 19 21

) (3

)

(

= 8 + 8 + 17 + 17 = 17

) (

)

= 8 + 17 =

= 19 19 + 29 21 =

=1+1=2

= 20 + 30 = 50

ЗАДАЧА 5 Напишете 5 числа, първото от които е

= 15 19 + 4 19 + 23 21 + 6 21 =

1 , 12

а всяко следващо е с 6 поголямо от предходното. От сбора на първото и четвъртото число извадете сбора на второто и третото число. Решение: 1

I число = 12 1

II число + III число = 12 + 12 = 12

(I + IV) – (II + III) = 12 – 12 = 0

V число = 12 + 12 = 12

1 Намерете х, ако: а) х + б) х – в) г)

7 9 7 8

1 4 1 3

= =

–х= –х=

5 6 3 4 2 3 1 2

– – – +

1 4 2 3 1 2 1 3

;

; .

;

а) 7 + 4 + 7 ; 5 1 7 б) 12 + 3 + 12 ; 3 1 5 2 в) 8 + 3 + 8 + 3 ; 4

I число + IV число = 12 + 12 = 12 5

Отговор: 0

3 Пресметнете:

2 Пресметнете рационално: 2

IV число = 12 + 12 = 12

III число = 12 + 12 = 12

ЗАДАЧИ

II число = 12 + 6 = 12 + 12 = 12

г) 9 + 4 + 9 + 4 .

(1 4) 11 2 1 б) 12 – ( 3 + 4 ); 3 1 1 1 в) ( 5 – 2 ) – ( 3 – 4 ); 7 1 1 1 г) ( 8 – 6 ) – ( 3 + 4 ). 5

а) 9 – 2 – 9 ;

4 Напишете 5 числа, първото от 7

които е 8 , а всяко следващо е с 8 по-малко от предходното. Намерете сбора на второто и петото число.

77 Към съдържанието

36.

УМНОЖЕНИЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ

ПРИМЕР 1 Петър купил 5 шишета нектар по

L едното.

Петър е купил общо

Забелязваме, че

L нектар, т.е.

Правило за умножение на цяло число с обикновена дроб a · b = a.b c

ЗАДАЧА 1 Умножете:

а) 3 . 7 ;

Решение:

3.2 . 2 = 7 = 6 а) 3 7

, c≠0 5

б) 11 . 9 ; в)

б)

в)

I начин:

II начин:

Решението на Задача 1 - в) по ІІ начин показва, че преди да умножим 4 с 3, можем да съкратим на 4. Този начин е по-рационален.

ПРИМЕР 2

От картон във форма на квадрат със страна 1 m трябва

2 3

да се изреже правоъгълник с измерения и от страната на квадрата. Лицето на този правоъгълник е m

4 5

Как да умножим дробите и ? Квадратът е разделен на 15 правоъгълничета, лицето на всяко от които е от лицето на квадрата. Лицето на оцветения правоъгълник се състои от 8 такива малки правоъгълничета: S=

m2.

2.4 . Тогава S = 2 · 4 = 8 = 3 . 5 . 3 5 15

Към съдържанието

Правило за умножение на обикновени дроби a · c = a . c b d b.d

, b ≠ 0, d ≠ 0

За да запомним правилото за умножение на обикновени дроби, изговаряме: “Умножаваме числител с числител и знаменател със знаменател”.

ЗАДАЧА 2 Умножете:

а) а)

Отговор:

б)

в)

г)

в)

г)

ЗАДАЧА 3 Намерете произведението:

а)

б)

;

в)

г)

Решение:

а)

в)

б)

г)

Преди да умножим числителите и знаменателите, извършваме съкраще ния. Ако при съкращенията пропуснем някои от делителите, полученото произ ведение ще е съкратима дроб, която трябва да съкратим. Произведението на дробите е прието да представяме с несъкратима дроб.

ЗАДАЧИ

Пресметнете: 1 а)

б)

4 а)

г)

в)

2 а)

б)

в)

;

г)

б)

5 а)

б)

в)

г)

в)

;

г)

3 а)

б)

6 а)

б)

;

г)

в)

;

г)

в)

79 Към съдържанието

37.

РАЗМЕСТИТЕЛНО И СЪДРУЖИТЕЛНО СВОЙСТВО НА ДЕЙСТВИЕТО УМНОЖЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Проверете, че свойствата на умножението са верни за

Решение: a.b=b.a 1. 2. 5

(a . b) . c = a . (b . c)

Свойства на умножението 1) a . b = b . a → разместително свойство; 2) (a . b) . c = a . (b . c) → съдружително свойство. При обикновените дроби са верни свойствата на умножението. Произведението на три и повече от три числа намираме, като се използва съдружителното свойство: (a . b) . c = a . (b . c) = а . b . c.

ЗАДАЧА 2 Умножете числата:

а)

б)

Решение: а)

б)

В Задача 2-б) за удобство записахме цялото число (7) като дроб със знаменател 1 и приложихме правилото за умножение на обикновени дроби.

ЗАДАЧА 3 Умножете всяко от числата 7 , 6, 8 Решение:

3 5

с реципрочнoто му число.

Към съдържанието

Когато умножаваме число с реципрочното му число, произведението е 1.

ЗАДАЧА 4 Умножете числата: Решение:

а) б) 11

11.21

Правило за умножение на смесени числа Смесени числа умножаваме, като ги превърнем в неправилни дроби и умножим получените дроби.

ЗАДАЧА 5 Пресметнете рационално: а) Решение:

ЗАДАЧИ

; в) 9 6 . 4 4 .

б)

в) 9 6= . 4 4 105 = . 88 105.88 = 5= .8 40

а)

5 9

б) 4 1 ⋅ 2 6 ⋅1 5 ⋅1 8 .

∙ 16 ∙ 20 ∙ 39 ;

( 5 9 ) ( 13 8 )

а) 9 ∙ 16 ∙ 20 ∙ 39 = 9 ∙ 20 ∙ 16 ∙ 39 = 4 ∙ 2 ∙ 3 = 24

5 ⋅1 8 = 21 ⋅ 20 ⋅ 17 ⋅ 25 = 3 ⋅ 4 ⋅ 1 ⋅ 25 = 25 б) 4 15 ⋅ 2 76 ⋅112 17 5 7 12 17 12

Извършете умножението:

1 а)

4 а)

б)

в)

; г)

2 а)

б)

в)

б)

;

г)

5 Умножете с реципрочните им числа дадените числа:

в)

;

г)

а)

3 а)

б)

в) 9, 41, 1;

;

г)

в)

б) г)

81 Към съдържанието

38.

СЪБИРАНЕ, ИЗВАЖДАНЕ И УМНОЖЕНИЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Пресметнете: а) Решение:

2 3

+ 3 ∙ 2 ;

ЗАДАЧА 2 Пресметнете: а) Решение:

3 7

= 6

∙ 6 + 3 ∙ 8 ;

4 3 3 1 9–1 3 – 12 = 12 4 123 12

= 12 = 3

б) 8 ∙ 15 – 10 ∙ 12 .

3 1 2 3 а) ∙ + 3 ∙ 8 = 7 6 7 2 1 2+7 1 = 14 + 4 = 28 123

3 1 1 б) – ∙ =

2 1 1 а) + ∙ =

3 2 2 4+1 2 1 = 3 + 6 = 6 123 6

б) 4 – 4 ∙ 3 .

∙ – ∙ = б) 8 15 10 12 =

1.7

1.1

= 4.3 – 2.4 =

9 28

3 2 14 – 3 7 1 = 12 – 8 = 24 123

= 24

ЗАДАЧА 3 Пресметнете: а) Решение:

а)

( 78 + 16 ) ∙ ( 29 + 25 ); 4 9 3 5 7 1 2 2 + 6 ∙ 9 + 5 8 123 123

(

= =

)(

24 21 + 4 24 25 28 ∙ 24 45

45 10 + 18 ∙ 45 = 5 7 35 = 6 ∙ 9 = 54

ЗАДАЧА 4 Намерете х, ако: 5

(5 3) (6 1) ( 56 – 35 ) ∙ ( 67 – 12 ) = б)

б) 6 – 5 ∙ 7 – 2 .

25 – 18 30 7 5 ∙ 30 14

12 – 7 14 = 1 1 1 = 6 ∙ 2 = 12

∙

а) х + 12 = 6 ∙ 8 ; Решение:

б) х – 8 = 4 ∙ 6 ;

в) 15 – х = 7 ∙ 15 .

5 5 5 а) х + 12 = 6 ∙ 8

х – 8 = 4 ∙ 6 б)

15 – х = 7 ∙ 15 в)

х + 12 = 48 25

х = 48 – 12

х =

25 – 20 48 5 48

х – 8 = 8 5

х = 8 + 8 х = 1

11 15

– х = 5

х = 15 – 5

х =

11 – 6 15 5 1 , х= 3 15

82 Към съдържанието

ЗАДАЧА 5 В лявата колона на таблицата за отговори е написана буквата на

числовия израз. Срещу нея в дясната колона запишете номера на произведението със същата стойност. (А)

(Б)

(

2 3

5 8

1 2

–

)∙

3 4

– 7 ∙ 4 + 3

(2) 5 ∙ 6 ∙ 7 6 7 40

)

(3) 5 ∙ 3 ∙ 14 7 4 15

( 23 – 12 ) ∙ 34 + 38 =

(А)

Решение:

(1) 4 ∙ 5 ∙ 9 5 9 20

3 8

5 8 5 8 5 8

6 ∙ 7 6 ∙ 7 1 = 2

= 6 ∙ 4 + 8 =

= 8 + 8 = 8 = 2 (Б) = =

(

– – –

)

ЗАДАЧА 6 Пресметнете: а) 3 1 ∙ 3 2 – 3 4 ; 11 9 7 Решение:

ЗАДАЧИ

(3)

∙ 9 ∙ 20 =

∙ 7 ∙ 40 =

5 6 5 6

5 7 1 5 = 7 1

∙ 4 ∙ 15 =

(2)

1 1 + 3 = 4 7 = 12 1 5 4 – 8 = 8 8

4 5 4 5

(1)

∙ 9 ∙ 20 = 5 1

∙ 7 ∙ 40 = 8

∙

Отговор: А Б

2 1 3 14 1 ∙ = 2 4 15 5 1

3 2

б) 27 15 – 6 14 · 45 . 22

а) 3 7 ∙ 3 11 – 3 9 = 7 ∙ 11 – 3 9 = 10 – 3 9 = 9 9 – 3 9 = 6 9

б) 27 15 – 6 14 · 45 = 27 15 – 14 · 45 = 27 15 – 45 = 27 15 – 1 15 = 26

Пресметнете:

1 а) б)

2 а) б)

· 6 – 5; · 8 + 14 . · 9 + 7 · 8; · 10 – 5 · 8 .

(5 2) (6 1) 7 5 а) ( 37 · 56 + 12 ) · 12 ; 9 5 1 8 б) ( 10 · 8 – 4 ) · 15 .

( 67 – 45 ) · 12 ; 5 15 4 б) ( 8 + 16 ) · 15 . 5 1 4 1 а) ( 8 – 3 ) · ( 7 + 2 );

3 а)

2 3 3 7 3 8 5 6

б) 12 + 5 · 7 – 2 .

6 Намерете х, ако:

а) х + 8 = 7 · 25 ; б) х – 7 · 9 = 21 ; 7

в) 12 – х = 8 · 9 ; 5

г) 6 · 20 – х = 8 . Към съдържанието

39.

ДЕЛЕНИЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ Как се делят дробите

Частното не се променя, ако умножим делимото и делителя с едно и също число, различно от нула. Делимото и делителя ще умножим с – реципрочното число на делителя:

Получаваме

. реципрочно число

Правило за деление на обикновени дроби a b

c d

a b

d c

Делението свеждаме до умножение на делимото с реципрочното число на делителя.

ЗАДАЧА 1 (Устно) Намерете реципрочната стойност на числата Решение:

ЗАДАЧА 2 Извършете делението: Решение: a) в)

а)

б)

в)

г)

б)

г) Към съдържанието

Правило за деление на смесени числа Смесени числа делим, като ги превърнем в неправилни дроби и разделим получените дроби.

ЗАДАЧА 3 Разделете и направете проверка:

а)

;

б)

в)

г)

Проверка:

Решение: а)

;

б)

в)

г)

Когато делимото или делителят (Задача 3 - г) е естествено число, за удобство го записваме като дроб със знаменател 1.

ЗАДАЧА 4 Пресметнете рационално: а)

б)

Решение:

ЗАДАЧИ

а)

б) Извършете делението:

1 а)

в)

2 а)

в)

3 а)

в)

б) ; г) б) ; г) б) ; г)

4 а)

в)

; г)

5 а)

б)

7 а) 1 53 : 34 ; б) 2 23 : 54 ;

б)

в)

2 3

: 2;

в) 9 : 3;

б) 5 : 8; г)

4 6

5 20

7 ; 8 а) 3 15 : 74 ; б) 3 19 : 18

; г)

6 а)

в) 3 3 : 5 ; г) 2 4 : 7 .

в) 11 1 : 2 1 ; г) 15 : 2 7 . 9

9 а) 3 12 : 2 53 ; б) 3 34 : 3 83 ;

в) 4 4 : 3 3 ; г) 3 1 : 8 2 . 5

85 Към съдържанието

40.

ДЕЙСТВИЯ С ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ. РАЗПРЕДЕЛИТЕЛНО СВОЙСТВО НА УМНОЖЕНИЕТО ОТНОСНО СЪБИРАНЕТО

ЗАДАЧА 1 Намерете числената стойност на израза А = х . у + 1 , ако: 3 Решение:

(

)(

)

х – 4 = 3 : 2 и у = 1 – 9 ∙ 1 – 10 ∙ 1 – 11 .

1 1 1 1. х – 4 = 3 : 2 1

( 1) ( 1) ( 1) 9 1 10 1 1 =( 9 – 9 ) ∙ ( 10 – 10 ) ∙ (1 – 11 ) =

2. у = 1 – 9 ∙ 1 – 10 ∙ 1 – 11 =

х – 4 =3 ∙ 1

х– 4 =3

=9 ∙ 10 ∙ 11 =

х = 3 + 4

=11

х = 12

у = 11

11 8 8 1 1 1 2 1 3 3. А = х . у + 3 = 12 ∙ 11 + 3 = 12 + 3 = 3 + 3 = 3 = 1

ЗАДАЧА 2 Проверете разпределителното свойство на умножението относно събирането при a = 5 , b = 4 и c = 10 . 6

Решение:

(a + b) . c = a . c + b . c

За обикновените дроби е вярно разпределителното свойство на умножението относно събирането, т.е. (a + b) . c = a . c + b . c.

ЗАДАЧА 3 Пресметнете рационално: а) Решение:

5 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ; 9 7 9 7

(

)

5 2 5 5 5 2 5 5 5 а) 9 ⋅ 7 + 9 ⋅ 7 = 9 ⋅ 7 + 7 = 9 ⋅1 = 9 ;

3 1 3 6 3 1 6 3 б) 5 ⋅ 2 7 + 5 ⋅ 7 7 = 5 ⋅ 2 7 + 7 7 = 5 ⋅10 = 6 .

(

б) 53 ⋅ 2 17 + 53 ⋅ 7 76 .

)

Към съдържанието

ЗАДАЧА 4 Пресметнете рационално: а) 34 2 ⋅ 2 ; 27 Решение:

( (

б) 18 6 ⋅ 1 . 11 3

)

а) 34 2 ⋅ 2 = 34 + 2 ⋅ 2 = 34 . 2 + 2 ⋅ 2 = 68 + 4 = 68 4

б)

27 27 27 27 18 6 ⋅ 1 = 18 + 6 ⋅ 1 = 18 ⋅ 1 + 6 ⋅ 1 = 6 + 2 = 6 2 11 3 11 3 3 11 3 11 11

)

ЗАДАЧА 5 Проверете разпределителното свойство на умножението относно изваждането при Решение:

6 5 5 4 – 5 6 123

(a – b) . c =

(

) ∙ 107 = 2530– 24 ∙ 107 =

a.c – b. c =

30 5 10 4 10 ∙ – 5∙7 6 7

5 . 10 6.7

–

1 . 10 30 . 7

= 21

3 1 25 8 = 21 – 7 123

4 . 10 5.7

Решение:

( 109 + 34 ) ∙ 23 ;

а)

(

= =

( 15

20 18 + 15 20 33 2 ∙ 20 3

(

1 1 10

)

15 – 12 16 3 8 ∙ 16 9

)

= 10 ∙ 3 + 4 ∙ 3 =

∙ 3 = 11 10

10 + 4 ∙ 3 =

15 3 8 б) – 4 ∙ 9 = 16

ЗАДАЧИ

)

= 21

б) 16 – 4 ∙ 9 . II начин:

I начин: 5 2 9 3 2 + 4 ∙ 3 10 123

25 – 24 21

(a – b) . c = a . c – b . c

ЗАДАЧА 6 Пресметнете: а)

5 2 3 1 = 5 + 2 123 10

( 1516 – 34 ) ∙ 89 = 15

= 10 = 1 10

∙ 9 =

= 16 ∙ 9 – 4 ∙ 9 =

= 6

2 5 2 – 3 6 123 6

= 6 – 6 = 6

Пресметнете:

1 а)

13 . 5 + 5 . 5 б) 18 ; 6 18 6

5 +32. 8 8 .7 +8 7 .7 в) 3 92 . 13 ; г) 9 15 . 9 13 9 15 9

( 158 + 1625 ). 85 ; б) ( 207 + 1415 ). 1021 ; 21 . 4 в) ( 78 + 32 ) 7 ; г) (15 + 125 ).2 52 .

2 а)

9 .5 + 7 .5 ; 13 8 13 8

3 . 3 ; 3 а) 32 13

5 б) 43 12 . 2 ;

10 . 1 в) 45 17 ; 5

15 . 2 г) 27 19 . 3

4 а) 32 74 . 34 ;

б) 45 5 . 3 ;

в) 18 24 . 5 ; 25 6

г)

9 5 21 7 . 3 . 9 7

87 Към съдържанието

41.

ДЕЙСТВИЯ С ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ. НАМИРАНЕ НА НЕИЗВЕСТЕН МНОЖИТЕЛ, ДЕЛИМО И ДЕЛИТЕЛ

ЗАДАЧА 1 Намерете неизвестното число х. 2

а) 3 ∙ х = 7 ; 3

х ∙ 8 = 16 ; Решение:

х = 7 ∙ 2

х =

2. =6 =6:2

15 14 1 1 14

в) 9 : х = 7 ; 2 21

: х = 7.

х =

7 16

х = 6 = 1 6

х ∙ 8 = 16 7 3 х = 16 : 8 2

∙

8 3

Неизвестен множител намираме, като разделим произведението на дадения множител. 3

б) х : 7 = 8 5

х = 8 ∙ 7

х = 56

:2=3 =3.2

х : 9 = 16

5 1 15 8

х = 16 ∙ 9 3

х = 6

Неизвестно делимо намираме, като умножим частното по делителя.

в) 9 : х = 7 2

х = 9 : 7

а) 3 ∙ х = 7

х = 7 : 3

х : 9 = 16 ;

б) х : 7 = 8 ;

2 7 х = 9 ∙ 5 14 х = 45

=2 =6:2

21 : х = 7 2 4 х = 21 : 7

х = 3

1 1 2 7 ∙ 21 4 2 1

х = 6

Неизвестен делител намираме, като разделим делимото на частното.

Към съдържанието

ЗАДАЧА 2 Намерете х, ако: а) Решение:

1 ; 5 1

а) 5

в)

2 5 2 25

б) 5

1 5

б)

ЗАДАЧА 3 Намислих едно число. Числото 2

произведението на числата 7 и Решение:

2 3 7 . 9

разделих с намисленото число и получих Кое число съм намислил?

х – намисленото число 2 3 2 3

: х = 9 2

х = 3 : 9

х = 3 ∙ 2 х = 3

ЗАДАЧИ

: х = 7 ∙ 9 6:

=2 =6:2

Отговор: Намисленото число е 3.

Намерете неизвестното число х: 1

б) 9 ∙ х = 4 ;

в) х ∙ 8 = 5 ;

г) х ∙ 6 = 7 .

2 3

= 7 ;

б) х : 7 = 4 ;

г) х : 9 = 8 .

б) 7 : х = 5 ;

г) 8 : х = 7 .

1 а)

3 7

2 а) х :

в) х : 8 = 5 ;

3 а)

∙ х = 3 ;

1 4 5

: х = 7 ;

в) 9 : х = 4 ;

3 7

б) х ∙ 9 = 12 ;

г) 5 : х = 15 .

3 7

= 4 ;

б) 18 ∙ х = 16 ;

4 а)

5 а) х ∙

6 а) х . 1 23 = 57 ;

∙ х = 25 ;

в) х : 8 = 21 ;

в) х : 1 7 = 8 ;

в) х : 8 = 15 ;

г) 7 : х = 7 . 1

б) 2 4 : х = 8 ;

г) 6 : х = 2 12 .

89 Към съдържанието

42.

ДЕЙСТВИЯ С ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Пресметнете: а) Решение:

3 8

+ 2 : 5 ;

3 1 4 а) + : = 8

Решение:

б) 5 – 1 : 4 = 6 3 9

5 8

: 4 + 3 : 9 ;

10 – 9 12

= 12

б) 7 : 4 – 7 : 9 . 3 2 4 6 б) : 4 – 7 : 9 = 7

= 8 ∙ 3 + 3 ∙ 8 =

= 7 ∙ 3 – 7 ∙ 4 =

10 + 9 12

б) 3 : 2 – 5 : 9 .

(

б) 2 : 1 – 2 : 7 = 3 2 5 9

)(

)

12 + 5 21 – 20 30 : 30 = 17 1 17 30 : = 30 ∙ 1 = 30 30

ЗАДАЧА 4 Намерете х, ако: 2

а) х + 8 = 15 : 15 ; Решение: 2

х + 8 = 15 : 15 а) 3

= 7 – 14 = 14 – 14 = 14 = 2

= 1 12

(

а) 2 + 1 : 7 – 2 = 5 6 10 3

( 25 + 16 ) : ( 107 – 23 ) ; =

3 2 8 5 а) : 4 + 3 : 9 = 8

ЗАДАЧА 3 Пресметнете: а)

= 6 – 4 =

= 8 + 8 = 8 =1

= 6 + 4 =

= 6 – 3 ∙ 4 =

Решение:

= 8 + 2 ∙ 4 = 3

ЗАДАЧА 2 Пресметнете: а)

б) 6 – 3 : 9 .

)

20 – 6 15

б) х – 7 = 8 : 8 ;

в) 9 – х = 4 : 8 .

в) 9 – х = 4 : 8

х– 7 = 8 : 8 б) 6

х + 8 = 15 ∙ 2

х – 7 = 8 ∙ 7

9 – х = 4 ∙ 7

х + 8 = 2

х – 7 = 7

9 – х = 7

х = 7 + 7

х = 9 – 7

х = 8 – 8

х = 7

х =

х = 8

х = 1 7

х = 2 – 8

∙ 7 = 15 ∙ 7 = 5 ∙ 1 = 5 = 1 5

)

= 3 ∙ 1 – 5 : 9 = 3 – 5 : 9 =

56 – 54 63 2 х = 63

Към съдържанието

ЗАДАЧА 5 В лявата колона на таблицата за отговори е написана буквата на числовия израз. Срещу нея в дясната колона запишете номера на израза със същата стойност. (1) 2 ∙ 3 + 4 : 4 7 5 3 7

(А) ( 3 – 1 ) : 5 – 4 4 3 6 9

2 25

(Б)

(2) 3 ∙ 8 + 2 : 5 3 11 5 9

) + 25

: 5 – 3

(3) 5 ∙ 3 – 1 : 6 6 13 9 4

Решение:

( 34 – 13 ) : 56 – 49 =

(А)

9–4

= 12 : 6 – 9 = 5

= 12 ∙ 5 – 9 = 2 – 9 =

(Б) = = =

ЗАДАЧИ

2 25 2 25 2 25 2 25

: 5 – 3 : : ∙

12 – 10 15 2 2 + 5 15 15 2 + 5 2

Пресметнете:

1 а) б)

2 а) б)

2 5

5 5

3 8

: 11 = 8

= 15 + 15 = 15 = 2 6

∙ 4 – 6 : 13 = 1

15 – 13 36

= 36 = 18

Отговор: А 3 Б 1

4 Намислих едно число. Намалих 3

го с частното на числата 7 и 9 1 и получих третинката на 7 . 14 Намерете намисленото число.

: 8 – 3 : 3. 3 7

5 9

+ 7 ∙ 4 = 7 + 7 = 7 =1

– 7 · 7;

( 67 + 38 ) : 37 ; 6 7

2 3 11 5

∙ 7 + 7 : 5 =

= 12 – 6 ∙ 6 = 12 – 36 =

= 3 5

3 8 ∙ + 5 9 8 2 + 3 ∙ 15

(3)

+ 5 =

( 57 · 38 ) : 56 ; 5 3 5 б) 7 · ( 8 : 6 ); 5 5 3 в) ( 7 : 6 ) · 8 .

3 а)

6 7 5 9

) + 25 =

= (2)

9–8

= 18 = 18

2 3 2 7

(1)

3 7

5 Намерете х, ако: .

а) х : 14 + 9 = 4 ; 4

(

)

б) 7 : х + 3 = 5 . 6 За х = 58 пресметнете числената стойност на израза:

а) А = х : 8 – 4 ; 8 1 б) В = 9 – 4 : х.

91 Към съдържанието

43.

ЧАСТ ОТ ЧИСЛО

ЗАДАЧА 1 Квадрат със страна 6 м. ед. е разделен на части така, както е показано на чертежа. Намерете каква част от квадрата е оцветена и колко квадратни мерни единици е оцветената част.

Решение: 1 Оцветената част е целият квадрат, който приемаме за 1. Лицето на квадрата е S = 6 . 6 = 36 кв. м. ед. 2 Оцветената част е

от квадрата. 36

Лицето ѝ е

от 36, т.е. 1 част по 2 = 1 ∙ 2 = 3 Оцветената част е от квадрата.

∙ 36 = 18 кв. м. ед.

Лицето ѝ е

от 36, т.е. 3 части по 4 = 3 ∙ 4 = 4 Оцветената част е от квадрата.

∙ 36 = 27 кв. м. ед.

Лицето ѝ е

от 36, т.е. 2 части по 3 = 2 ∙ 3 = 5 Оцветената част е от квадрата.

∙ 36 = 24 кв. м. ед.

Лицето ѝ е

∙ 36 = 30 кв. м. ед.

Лицето ѝ е

∙ 36 = 28 кв. м. ед.

от 36, т.е. 5 части по 6 = 5 ∙ 6 = 6 Оцветената част е от квадрата.

от 36, т.е. 7 части по 9 = 7 ∙ 9 = Цялата част е 1, или 36 кв. м. ед. 1

В части

Част от числото 36

Към съдържанието

Правило за намиране на част от число Част от число намираме, като умножим дробта, която означава тази част, с числото. a a от c

ЗАДАЧА 2 Пресметнете: а)

б) 6 от 48.

Решение: а)

б) 6 от 48 = 6 ∙ 48 =

ЗАДАЧА 3 Мария е ученичка в 5. клас.

5 . 48 6

= 40.

от денонощието тя подготвя уроците си за

училище, като отделя от това време, за да учи по математика. Колко часа Мария учи по математика? Решение: Денонощието има 24 часа. І начин:

Мария учи

от

часа.

Тя учи по математика от час. ІІ начин: Първо намираме частта от денонощието, през която Мария учи по математика:

Тогава

час.

Решението на Задача 3 по ІІ начин показва, че можем да намерим част от дробно число по правилото за намиране на част от цяло число.

ЗАДАЧИ

1 Намерете x, ако:

а)

от 200 = x; б)

в)

от 18 10 = x; г)

4 Тракторист трябвало да изоре нива от 210 = x;

2 В V а клас има 27 ученици.

=x.

от

от тях

от 48 дка за 3 дни. Първия ден изорал от нивата, ІІ ден – от нивата. Колко декара е изорал ІІІ ден?

5 Едно семейство спестява

от ме сечния си доход. Колко лева е спестило: а) през март 2016 г., ако месечният му доход е бил 1 750 лв.; В петите класове на едно училище има 105 ученици. от тях се б) през април 2016 г., ако месечният му доход е бил 1 810 лв.? записали за летен отдих, а от 6 Дворно място във форма на право записаните са платили веднага. ъгълник има дължина 18 m и широа) Колко ученици ще ходят на летен отдих? чина от нея. Намерете широчиб) Колко ученици са внесли веднага ната b, обиколката P и лицето S на таксата? дворното място. са момчета. а) Колко са момчетата в класа? б) Колко са момичетата?

93 Към съдържанието

44.

ЧАСТ ОТ ЧИСЛО. ОСНОВНИ ЗАДАЧИ

ЗАДАЧА 1 През март 2016 г. г-н Николов:

Ðåøåíèå: а • имал месечен доход от 1 600 лв., а x лв. са похарчени за храна 2

• 5 от него похарчил за храна. х = 5 от 1 600 2 Колко лева e похарчил за храна? х = 5 ∙ 1 600 x = 640 За храна са похарчени 640 лв.

б • похарчил за храна 640 лв.,

б x лв. е месечният доход

• похарчил 5 от месечния си доход 5 от x = 640 2 за храна. 5 ∙ x = 640

Колко лева е месечният му доход? x = 640 : 5 x = 1 600 Месечният доход е 1 600 лв. в

• имал месечен доход от 1 600 лв., • похарчил за храна 640 лв. Каква част от месечния си доход е похарчил за храна?

в x части x от 1 600 = 640 x . 1 600 = 640 640 x = 1 600

x = 5 2 За храна са похарчени 5 от дохода.

Забелязваме, че в Задача 1 участват: • месечен доход (1 600 лв); • сума за храна (640 лв); 2 • частта от месечния доход, похарчена за храна 5 . Между тях има зависимост:

()

2 5

от 1 600 = 640, т.е. 5 ∙ 1 600 = 640.

Решихме три вида задачи: Задачи

Дадено 2

I вид /условие а / 5 и 1 600 2

II вид /условие б / 5 и 640

Търсим 640 → част от числото 1 600 → число по дадена част от него 2

III вид /условие в / 640 и 1 600 5

→ каква част от 1 600 е 640

Към съдържанието

Запомнете, че p от a = b e p . a = b Намерете x, ако

Задачи от І вид:

ЗАДАЧА 2 Учениците в средния курс на едно училище са 720.

, x = 6

от тях са в 5. клас.

Колко са петокласниците в това училище? Решение: В училището има x ученици от 5. клас.

, В пети клас има 180 ученици.

x = 180

Намерете x, ако

Задачи от ІІ вид:

ЗАДАЧА 3 Ученик прочел за 1 ден 56 страници, което е Колко страници е книгата? Решение: Книгата е x страници.

Книгата е 140 страници. Задачи от ІІІ вид:

Намерете x, ако

. 2 5

, x = 18

от книгата.

x = 140

x oт 18 = 6 .

x . 18 = 6, x =

ЗАДАЧА 4 За подготовка за ІІ кръг на математическата олимпиада учителят

определил 120 задачи. Ангел успял да реши сам 80 от тях. Каква част от всички задачи е решил Ангел? Решение: x част от задачите е решил Ангел. x от 120 = 80, x . 120 = 80, x = 80 : 120, , Ангел решил сам от задачите.

ЗАДАЧИ

1 Намерете x, ако:

а)

от x = 30; б)

от x = 6 10 .

2 Трактористите на една земеделска

кооперация изорали за 1 ден 800 дка, което е от цялата обработваема площ. Колко декара обработва тази кооперация? 3 Търговец продал 105 щайги грозде, което е от закупените от борсата щайги. Колко щайги грозде е закупил търговецът? 4 Иван спестил 370 лв. за колело. Цената на колелото е 444 лв.

а) Каква част от необходимата сума е спестил Иван? б) Каква част от сумата не му достига? 5 Петър успял да реши в определения срок 68 задачи от зададените 85. Каква част от задачите е решил Петър? 6 Митко се явил на тест за специалност. От зададените 90 задачи той решил 75. Като се знае, че за да му се признае изпитът, трябва да е решил поне от зададените задачи, взел ли е Митко изпита?

95 Към съдържанието

45.

ТЕКСТОВИ ЗАДАЧИ, КОИТО СЕ РЕШАВАТ ЧРЕЗ ВЪВЕЖДАНЕ НА ЧАСТИ ОТ ЧИСЛОТО 1

ЗАДАЧА 1 Тракторист изорал

от нива. Каква част от нивата му остава да изоре? Решение: Не знаем колко декара е нивата! Приемаме, че цялата нива е 1. Трактористът изорал Остават му да изоре

части от нивата, или

или

от нивата.

части от нивата.

ЗАДАЧА 2 Тракторист изорал една нива за 3 дни. Първия ден изорал а втория ден –

от нея. І ден

ІII ден

14243 II ден

от нивата,

а) Каква част от нивата е изорал общо през І и ІІ ден? б) Каква част от нивата му e останала за ІІІ ден? Решение: Не знаем колко декара е нивата! Приемаме, че цялата нива е 1. а) І + ІІ ден изорал

І + II ден →

части от нивата, т.е. части от нивата.

б) За ІІІ ден му е останала

част от нивата.

ЗАДАЧА 3 Тракторист трябва да изоре една нива. Три дни той орал по

от нивата.

Каква част от нивата му остава да изоре? Решение: Не знаем колко декара е нивата! Приемаме, че цялата нива е 1. І + ІІ + ІІІ ден →

Остават

части от нивата

части от нивата. Към съдържанието

ЗАДАЧА 4 Тракторист може сам да изоре една нива за 7 дни, като всеки ден извършва една и съща работа. Каква част от нивата ще изоре: а) за 1 ден; б) за 5 дни; в) за 7 дни? за 1 ден Решение: Не знаем колко декара е нивата! Приемаме, че цялата нива е 1. Трактористът изорава цялата нива за 7 дни. а) За 1 ден изорава  за 5 дни

от нивата.

б) За 5 дни изорава в) За 7 дни изорава

от нивата. , т.е. цялата нива.

ЗАДАЧА 5 Една тръба пълни басейн за 7 часа, като тече равномерно.

Каква част от басейна ще напълни: а) за 1 час; б) за 5 часа; в) за 7 часа? Решение: Не знаем количеството на водата, която напълва басейна. Приемаме, че вместимостта на басейна е 1. Целият басейн се пълни за 7 часа.

За 1 час тръбата напълва

За 5 часа се заемат

За 7 часа тръбата напълва

от басейна.

от басейна. от басейна, т.е. целия басейн.

Задача 4 и Задача 5 са една и съща математическа задача. • В Задaча 4 цялата работа е да се изоре една нива; • в Задача 5 цялата работа е да се напълни един басейн.

ЗАДАЧИ

1 Тракторист изорал една нива за 4 дни. Първия ден изорал

от

нивата, а ІІ ден – от нея. а) Каква част от нивата е изорал І и ІІ ден? б) Каква част от нивата му е оста нала за ІІІ и ІV ден? 2 Секретарка пресметнала, че може да въведе определен текст на компютър за 8 часа, като работи равномерно. Тя набирала 3 часа. а) Каква част от работата е свършила?

б) Каква част от работата остава да се свърши?

3 В един киносалон

от местата са заети, а свободните места са 80. Колко са всички места в киносалона? 4 Един тракторист може да изоре една нива за 7 дни, а друг – за 8 дни. Първият работил 4 дни, а вторият – 3 дни. а) Каква част от нивата са изорали? б) Каква част от нивата е останала неизорана?

97 Към съдържанието

46.

ЧАСТ ОТ ЧИСЛО. ПРАКТИЧЕСКИ ЗАДАЧИ

ЗАДАЧА 1 Росен изминал пеша определен маршрут за 4 дни. Като използвате информацията от таблицата, намерете: а) Колко километра е целият маршрут? б) Колко километра е изминал Росен през втория ден? в) Колко километра е изминал през третия ден? г) Каква част от маршрута е изминал Росен през третия ден? д) Каква част от маршрута е изминал през четвъртия ден? Решение: а) x km е целият маршрут.

1 5

Ден

от х = 4, 5 ∙ х = 4, х = 4 : 5 х = 4 . 5, х = 20 Целият маршрут е 20 km.

б) у km е извървял прeз втория ден.

3 20

y= от 20, у = ∙ 20, у = 3 През втория ден Росен е изминал 3 km.

Изминати Част от километри маршрута 1 4 5

3 20

III IV

z 7 x

t u 1

Общо

в) z km е изминал прeз третия ден. z = 20 – (4 + 3 + 7), z = 20 – 14, z = 6 През третия ден Росен е изминал 6 km. г) t части от маршрута е изминал Росен през третия ден.

t от 20 = 6, t = 20 , t = 10 3 През третия ден Росен е изминал 10 от целия маршрут.

д) u части от маршрута е изминал Росен през четвъртия денл

)

u = 1 – 5 + 20 + 10 , u = 1 – 20 , u = 20 7 През четвъртия ден Росен е изминал 20 от целия маршрут.

ЗАДАЧА 2 В един клас правили контролно по математика, съдържащо четири

задачи. Една трета от присъстващите сгрешили една от тях, една четвърт – две, една шеста – три, и една осма са сгрешили всичките задачи. Оценката от контролното е равна на две плюс броя на решените задачи. В класа е имало не повече от 30 деца. Намерете броя на учениците: а) направили контролно; б) получили оценка „Мн. добър”, „Добър”, „Среден” и „Слаб”; в) получили оценка „Отличен”.

Към съдържанието

Решение: а) Броят на учениците, правили контролно по математика, трябва да се дели на 3, на 4, на 6 и на 8. Най-малкото число с това свойство е 24, което е единственото, по-малко от 30. Учениците, правили контролно, са 24. б) Учениците с една сгрешена задача са 1 3

1 4

1 6

1 8

от 24 = 3 ∙ 24 = 8 и са получили оценка „Мн. добър”. Учениците с две сгрешени задача са

от 24 = 4 ∙ 24 = 6 и са получили оценка „Добър”. Учениците с три сгрешени задача са

от 24 = 6 ∙ 24 = 4 и са получили оценка „Среден”. Учениците с четири сгрешени задача са

от 24 = 8 ∙ 24 = 3 и са получили оценка „Слаб”. в) І начин: Броят на учениците, получили оценка „Отличен”, е 24 – (8 + 6 + 4 + 3) = 24 – 21 = 3. ІІ начин: Частта на учениците без сгрешена задача, които са получили оценка „Отличен”, е: 1

)

1 – 3 + 4 + 6 + 8 = 1 – 24 + 24 + 24 + 24 =

= 1 – 24 = 1 – 8 = 8 – 8 = 8 1 1 Техният брой е 8 от 24 = 8 ∙ 24 = 3.

ЗАДАЧИ

1 За четири дни Румяна прочела една книга.

Ден

Като използвате информацията от таблицата, намерете: а) Колко страници е цялата книга? б) Колко страници е прочела Румяна през четвъртия ден? в) Колко страници е прочела през втория ден? г) Каква част от книгата е прочела през втория ден? д) Каква част от книгата е прочела Румяна през третия ден?

Брой Част от страници книгата

1 5

II III

z 90

t u

1 3

Общо

2 На математическо състезание са се явили не повече от 50 ученици от 3., 4., 1

5., 6. и 7. клас на едно училище. Известно е, че 12 от всички тях са от 3. клас, 1 1 1 – от 4. клас, 6 – от 5. клас, и 3 от 6. клас. 9 а) Намерете броя на ученици от училището, които са се явили на състезанието. б) Намерете броя на явилите се ученици от 3., 4., 5. и 6. клас. в) Намерете броя на явилите се ученици от 7. клас. Към съдържанието

47.

ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕМАТА “ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ” № 1

ЗАПОМНЕТЕ! Обикновени дроби:

a < b – правилна дроб →

a ≥ b – неправилна дроб →

смесено число →

Основно свойство:

Превръщане на неправилна дроб в смесено число:

18 5

= 18 : 5 = 3 5

смесено число в неправилна дроб:

Сравняване на дроби: Действия (n – естествено число):

Събиране:

Изваждане: I начин:

100

II начин:

Умножение:

Деление:

Реципрочна дроб:

Част от цяло:

р от а = b е p . a = b

Към съдържанието

ЗАДАЧА

Попитали Питагор колко ученика има. Той отговорил: “Половината от моите ученици изучават математика, изучават естествените науки, прекарват в мълчание, има и 3 жени.” Колко ученика имал Питагор? Решение: Не знаем броя на учениците, а знаем части от тях. Приемаме, че всички ученици на Питагор са едно цяло. Изучават

математика

–

част от цялото,

естествени науки –

част от цялото.

Мълчат

част от цялото.

Остават

част от цялото.

част от учениците на Питагор са 3 жени.

ЗАДАЧИ

1 2

Пресметнете:

6 7

. .

12 13

. .

14 101 Към съдържанието

48.

ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕМАТА “ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ” № 2 Вярно ли е равенството 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 · 1 3 · 1 4 · 1 5 · 1 6 · 1 7 · 1 8 · 1 9 = 5? Пресмятаме 3 2

ЗАДАЧА 1 Намерете х, ако:

4 3

5 4

6 5

7 6

8 7

9 8

10 9

10 2

= 5.

а) 8 ∙ х + 5 = 4 ;

б) х : 22 – 3 = 5 ;

в) 6 – 8 : х = 3 ;

г) х + 7 : 3 = 4 .

Решение:

7 2 3 а) +2=5 8 ∙ х + 5 = 4 =5–2 7 3 2 ∙ х = – 8 4 5 7 8 7 8

15 – 8 20 7 ∙ х = 20 7 7 х = 20 : 8 2 1 7 8 х = 20 ∙ 7 1 5 2 х = 5

∙ х =

.3=6 =6:3

–3=2 х : 22 – 3 = 5 б) 3 2 1 =2+3 х : = +

х:

102

22 3 = 22 3 = 22

5 3 6+5 15 11 15 1 1 11 3 х = 15 ∙ 22 2 5 1 х = 10

:2=3 =3.2

(

)

в) 5 – 3 : х = 1 6 8 3

3 8 3 8 3 8

2 1 3

: х = 6 – 3 : х = 6 1

: х = 2 3 1 х = 8 : 2 3 8

х =

х = 4

2 1

∙

=2 =6:2

( 3) 2 3 (х + 37 ) : 23 = 34 3

=2 =5–2

:2=3 =3.2

г) х + 7 : 3 = 4

5–

х + 7 = 4 ∙ 3 3 1 х + 7 = 2 1

х = 2 – 7 7–6 х = 14

х = 14

+2=5 =5–2

Към съдържанието

ЗАДАЧА 2 Намислих едно число. От него извадих сбора на числата Получената разлика разделих на намислил? Решение: Намисленото число означаваме с x.

и 12. и получих 1. Кое число съм

ЗАДАЧА 3 Имам чаша, пълна с кафе. Изпивам най-напред

1 5

от него и доливам 1 мляко в чашата, докато се напълни. След това изпивам 3 от съдържанието и отново допълвам мляко догоре. Накрая за трети път изпивам половината от цялото количество и за трети път доливам мляко, докато чашата се напълни. Тогава изпивам всичко до дъно. Чашата съдържа 300 mL. а) Колко милилитра кафе съм изпил? б) Колко милилитра мляко съм изпил? Решение: а) Чашата съдържа 300 mL. Тя е била пълна с кафе. Пиейки от нея, съм доливал само мляко. Изпил съм всичко до дъно. Следователно съм изпил всичкото кафе, т.е. 300 mL. б) Изпитото мляко е

)

5 + 3 + 2 от 300 = 30 ∙ 300 = 310 mL.

ЗАДАЧИ

Намерете неизвестното число x, ако:

8 4 12 – x :

7 7 5 9 65 11 – 7 7 ∙ x = 11 11 .

3 14 7 2 45 ∙ х – 52 17 = 31 17 .

1 2

= 5.

10 6 – x : 3 17 = 3 17 . 22 5 5 1 11 31 13 – x . 3 7 = 9 13 .

Към съдържанието

103

49.

ПРИМЕРЕН ТЕСТ ВЪРХУ ТЕМАТА “ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ” 1. 2.

(

)

5 1 4 Стойността на израза 7 + 7 − 7 е: А) 76 ; Б) 75 ; В) 73 ; Г) 72 .

Сборът 23 + 15 е равен на:

А) 83 ;

Разликата 53 − 12 е равна на:

А)

2 3

;

Б)

Стойността

А) 0;

Б)

1 ; 5

В)

1 10

; Г)

3 10

9 .5 на израза 34 − 20 6 3 3 ; В) 8 ; Г) 14 4

Г) 13 . 90

6. Намислих едно число. Намалих го

3 с частното на числата 11 и 14 и 33 получих половинката на числото 4 7

(

. Намисленото число е:

9 5 13 А) 25 ; Б) 28 ; В) 14 ; Г) 14 . 28

(4) 83 . 94 . 12

Ден

Брой страници

Част от книгата

1 3

ІІ

ІІІ

1 4

с пшеница и 18 – с царевица. Ако 40 декара са засети с царевица, кол- 10. Пресметнете числовата стойност на ко декара са засети с пшеница? израза А = x . y – y : x, ако: А) 320; Б) 240; В) 200; Г) 80. x+ 1 : 5 = 4 :1 ;

8. В лявата колона на бланката за отговори е написана буквата на

104

(3) 34 ⋅ 54 ⋅ 75 ⋅ 2

9. За три дни Пламен прочел една книга. Като използвате информацията от таблицата, намерете: а) Каква част от книгата е прочел Пламен през втория ден? б) Колко страници е прочел през първия ден? в) Колко страници е прочел Пламен през третия ден?

7. Един фермер засял 34 от земята си

)

е:

и 15 . Кое число получихте? 8 Б) 45 ; В) 23 ;

)

1 1 1 (Б) 1 − 2 : 4 + 3

7 5. Произведението на числата 12 и 60 63 8 намалете с разликата на числата 15

А) 92 ;

3 . 11 . 40 (1) 10 12 77 1−1 :1− 7 2 3 4 12 (2) 89 . 56 . 27 40

(

(A)

13 11 2 Б) 15 ; В) 15 ; Г) 15 .

числовия израз. Срещу нея в дясната колона запишете номера на произведението със същата стойност.

(

)

6 5 5 1− 1 . 1− 1 . 2 3

( ) ( ) (1− 14 ).(1− 15 ) . Към съдържанието

ТЕМА 3 ДЕСЕТИЧНИ ДРОБИ (Урок № 50 – Урок № 88)

В ТАЗИ ТЕМА СЕ ВЪВЕЖДАТ ПОНЯТИЯТА: •д есетична дроб, цяла част, дробна част, десетична запетая; •к райна десетична дроб, безкрайна периодична десетична дроб; • процент, проста лихва; • диаграма, пиктограма. УЧЕНИЦИТЕ СЕ НАУЧАВАТ: •д а четат, пишат, сравняват и закръгляват десетични дроби; •д а извършват действия с десетични дроби; •д а използват свойствата на действията с десетични дроби за рационално смятане; •д а намират неизвестна компонента при действията; •д а превръщат десетични дроби в обикновени и обратно; • да намират процент и решават основни задачи; •д а разчитат и интерпретират данни зададени с таблици и диаграми. Към съдържанието

105

50.

ДЕСЕТИЧНИ ДРОБИ. ВЪВЕЖДАНЕ

ПРИМЕР 1

1 лев е 10 монети по 10 стотинки.

1 лв. = 10 . 10 ст.

= + + . . . + 

10 ст. = 1 (лв.) : 10

10 пъти

Казваме, че 10 стотинки са една десета част от 1 лев, т.е. 1 : 10. Пишем: 0,1 от 1 лев. = 0,1 = 1 : 10 Четем: нула цяло и една десета.

ПРИМЕР 2

1 лев е 100 монети по 1 стотинка. 1 лв. = 100 . 1 ст. 1 ст. = 1 (лв.) : 100

= + + . . . + 44 100 пъти

Казваме, че 1 стотинка е една стотна част от 1 лев (стотинка), т.е. 1 : 100. Пишем: 0,01 от 1 лев. = 0,01 = 1 : 100 Четем: нула цяло и една стотна.

ПРИМЕР 3

1 kg = 1 000 г 1 kg = 1000 . 1 г

=  + + + . . . +

1 г = 1 (kg) : 1 000

1000 пъти

Казваме, че 1 грам е една хилядна

част от 1 килограм, т.е. 1 : 1000.

Пишем: 0,001 от 1 килограм. Четем: нула цяло и една хилядна.

= 0,001 = 1 : 1 000

ПРИМЕР 4 Една стока струва 25 лв. и 73 ст. Левовата стойност на тази стока е чис-

ло, което съдържа 25 цели лева, 7 десети (десетинки) от лева и 3 стотни (стотинки) от лева. В десетична позиционна бройна система числото, което показва стойността на тази стока, е прието да се записва така:

25,73

2 . 10 + 5 . 1 + 7 десетинки + 3 стотинки 2 . 10 + 5 . 1 + 7 . (1 : 10) + 3 . (1 : 100). Знакът “ , ” се нарича десетична запетая и отделя цялата част на числото (23) от частта, която е по-малка от 1 и се нарича дробна част.

25 , 73

цяла част дробна част десетична запетая

106

25,73 = 25100

Четем: 25 цяло и 73 стотни. Към съдържанието

Десетична дроб Десетична дроб е специален запис на едно число, в което цялата част и дробната част са отделени с десетична запетая*. Например цената на стоката 25 лв. и 73 ст. e прието да се записва с десетичната дроб 25,73 лв.

В ръкописи от XIV – XV век се намират наченки на записване на дробните числа като десетични дроби. С въвеждането им е свързано името на самаркандския астроном Ал Каши. В Европа десетичните дроби са открити и популяризирани през XVI век от холандския инженер Симон Стевин (1548 – 1620 г.).

ПРИМЕР 5 • Числото 1,2 • •

Четем: 1 цяло и 2 десети.

съдържа 1 единица и 2 десети от единицата. Числото 1,02 съдържа 1 единица и 2 стотни от единицата. Числото 1,002 съдържа 1 единица и 2 хилядни от единицата.

1 цяло и 2 стотни. 1 цяло и 2 хилядни.

За числото 9 356,847 имаме: Части Позиции Число Наименование Четем

IV 1 000 9

хиляди

Цяла част III II 100 10 3 5

стотици

десетици

9 356 цяло

I 1 6

единици

, и

I 1 : 10 8

десети

Дробна част II III 1 : 100 1 : 1 000 4 7 стотни

хилядни

847 хилядни

Дробната част на една десетична дроб четем по името на последната позиция (знак) след десетичната запетая. Числото 9 356,847 се записва като сбор от цяла част и дробна част така: 9 356,847 = 9 356 + 0,847. цяла част дробна част За числото 9 356,847 казваме, че има 3 знака след десетичната запетая.

ЗАДАЧИ

1 Запишете с десетична дроб:

а) 5 цяло и 3 десети; б) 2 цяло и 5 стотни; в) 13 цяло и 7 хилядни; г) 0 цяло и 127 хилядни. 2 Запишете с десетична дроб чис лото, което има: а) 7 десетици и 7 десети; б) 2 стотици и 2 стотни; в) 5 единици и 5 хилядни;

г) 0 единици и 15 стотни; д) 1 стотица и 37 хилядни; 3 Представете като сбор от цялa част и дробна част десетичните дроби: а) 5,1; б) 3,42; в) 12,03; г) 42,135. 4 Разменете местата на цифрите на: а) десетите и десетиците в числата 21,35 и 148,625; б) десетите и стотиците в числата 128,34 и 1258,76.

* В калкулаторите запетаята “ , ” е означена с точка “ . ”. Към съдържанието

107

51.

ЧЕТЕНЕ И ЗАПИСВАНЕ НА ДЕСЕТИЧНИ ДРОБИ

ЗАДАЧА 1 Запишете с десетична дроб оцветената част на фигурите.

 а) б) в) г) Решение: а) 0,1 б) 0,7 в) 0,21

г) 1,3

Оцветените части в Задача 1 са десета и стотна част от цяло и могат да се запишат с десетична дроб.

ЗАДАЧА 2 Прочетете числата:

а) 0,8; 5,3; б) 0,03; 5,028.

Решение: а) 0,8 → 0 цяло и 8 десети б) 0,03 → 0 цяло и 3 стотни 5,3 → 5 цяло и 3 десети 5,028 → 5 цяло и 28 хилядни

Десетични дроби четем, като: • прочетем цялата част и кажем думата “цяло”; • прочетем дробната част и кажем името на последната позиция в нея.

ЗАДАЧА 3 Колко знака след десетичната запетая имат десетичните дроби 0,5; 2,72; 54,006? Прочетете ги! Решение: 0,5 → един знак след десетичната запетая, нула цяло и пет десети 2,72 → два знака след десетичната запетая, две цяло и седемдесет и две стотни 54,006 → три знака след десетичната запетая, петдесет и четири цяло и шест хилядни

ЗАДАЧА 4 Прочетете числата 12,3; 12,30; 12,300. Решение: 12,3 → 12 цяло и три десети; 12,30 → 12 цяло и 30 стотни; 12,300 → 12 цяло и 300 хилядни.

108

Към съдържанието

ЗАДАЧА 5 (Диктовка) Запишете с десетична дроб:

Решение: а) 6,7 б) 30,07 в) 121,007 г) 0,11 д) 10,011 е) 100,0011

а) 6 цяло и 7 десети; б) 30 цяло и 7 стотни; в) 121 цяло и 7 хилядни; г) 0 цяло и 11 стотни; д) 10 цяло и 11 хилядни; е) 100 цяло и 11 десетохилядни.

ЗАДАЧА 6 Напишете и прочетете числото, което се получава, ако в числото 5,678 преместим десетичната запетая надясно: Решение: а) 56,78 56 цяло и 78 стотни

а) един знак; б) два знака. б) 567,8

567 цяло и 8 десети

ЗАДАЧА 7 Напишете и прочетете числото, което се получава, ако в числото 123,78 размените местата на цифрите на: а) стотните и стотиците; в) единиците и стотните; Решение: а) 123,78 823,71 б) 123,78 173,28 в) 123,78 128,73 г) 123,78 723,18

б) десетите и десетиците; г) десетите и стотиците. 823 цяло и 71 стотни 173 цяло и 28 стотни 128 цяло и 73 стотни 723 цяло и 18 стотни

ЗАДАЧА 8 От числата 3,127; 723,4; 217,3; 73,24; 132,7 и 2,371 изберете числото, за което цифрата 7 е цифра на: а) стотиците; в) десетите; Решение: а) 723,4 б) 73,24

ЗАДАЧИ

1 Прочетете числата:

а) 7,8; б) 0,38; в) 9,07; г)12,345. 2 Напишете с десетични дроби числата: а) 0 цяло и 13 стотни; б) 5 цяло и 5 десети; в) 7 цяло и 7 стотни; г) 8 цяло и 8 хилядни. 3 Н апишете и прочетете числото, което се получава, ако в 875,6 пре местим десетичната запетая наляво: а) един знак; б) два знака. 4 Напишете и прочетете числото, което се получава, ако в 9,345 премес тим десетичната запетая надясно:

б) десетиците; г) стотните. в) 132,7

г) 2,371

а) един знак; б) два знака. 5 Н апишете и прочетете числото което се получава, ако в числото 123,456 разменим местата на циф рите на: а) единиците и десетите; б) стотиците и стотните; в) десетиците и десетите; г) стотиците и хилядните. 6 От числата 64,82; 4,286; 26,84; 684,2; 2,468 и 8,642 изберете чис лото, за което цифрата 6 е цифра на: а) десетиците; б) десетите; в) стотните; г) хилядните.

Към съдържанието

109

52.

СВОЙСТВА НА ДЕСЕТИЧНИТЕ ДРОБИ

ПРИМЕР C

Блокче във форма на правоъгълник е съставено от 10 равни части (квадратчета). Квадратчето ABCD е една десета → 1 : 10 от блокчето. 0,1 Ако разделим всяко от получените 10 квадратчета на 10 равни части, блокчето ще е разделено на 100 равни части (правоъгълничета). Квадратчето ABCD е десет стотни → 10 : 100 от блокчето. 0,10 Ако разделим всяко от получените 100 малки правоъгълничета на 10 равни части, блокчето ще е разделено на 1 000 равни части (на чертежа те са квадратчета). Квадратчето ABCD е сто хилядни → 100 : 1000 от блокчето 0,100 и т.н.

От разгледания пример можем да покажем някои свойства на десетичните дроби. 1. Квадратчето ABCD е от блокчето, т.е. (1) Ако в примера направим същите разсъждения за три квадратчета, ще получим (2) 0,3 = 0,30 = 0,300 = ...

При дописване на нули след последния знак на дробната част на десетична дроб дробта не се променя. Например: 0,5 = 0,50 = 0,500 = ... ; 1,37 = 1,370 = 1,3700 = ... ; 2. Равенствата (1) и (2) могат да се запишат и така: 0,100 = 0,10 = 0,1; 0,300 = 0,30 = 0,3.

Ако дробната част на десетична дроб завършва с нули, при премахването на нули дробта не се променя. Например:

110

0,7000 = 0,700 = 0,70 = 0,7; 8,2300 = 8,230 = 8,23. Към съдържанието

3. Всяко цяло число можем да разглеждаме като десетична дроб с дробна част, равна на 0. 4 = 4,0 = 4,00 = 4,000 = ...

Всяко цяло число е десетична дроб с дробна част 0.

Например: 5 = 5,0; 10 = 10,00; 19 = 19,000; 12 = 12,0; 31 = 31,00; 71 = 71,000. 1 4. 0,1 . 10 = 10 · 10 = 1 1 0,01 . 100 = 100 · 100 = 1

0,001 . 1000 = 1 000 · 1 000 = 1 Тези равенства ни показват правило за умножаване на всяка десетична дроб с 10, 100, 1000, ...

Десетична дроб умножаваме с 10, 100, 1 000, ... , като “преместим десетичната запетая надясно” през толкова знака, колкото нули има числото, с което умножаваме. Например:

0,1 . 10 = 0,1 . 10 = 1; 0,01 . 100 = 0,01 . 100 = 1; 0,001 . 1 000 = 0,001 . 1 000 = 1.

0,3 : 10 = 10 : 10 = 10 ∙ 10 = 100 = 0,03 0,3 : 10 = 0,03 3 3 3 1 0,3 : 100 = 10 : 100 = 10 ∙ 100 = 1 000 = 0,003 0,3 : 100 = 0,003

Тези равенства ни показват правило за деление на всяка десетична дроб с 10, 100, 1000, ...

Десетична дроб делим с 10, 100, 1 000, ... , като “преместим десетичната запетая наляво” през толкова знака, колкото нули има числото, с което делим. Например: 20,32 : 10 = 2 0,32 : 10 = 2,032;

ЗАДАЧИ

1 Равни ли са дробите:

а) 0,1; 0,01; 0,001; б) 3,020; 3,02; 3,0200? 2 Представете дробната част като стотни в десетичните дроби 0,2; 5,300; 21,050; 0,4100. 3 Представете дробната част като хилядни в десетичните дроби 0,3; 0,7200; 0,3710; 0,49. 4 Дадени са десетичните дроби 12,57; 23,146; 3,69; 0,128; 0,7.

120,5 : 100 = 1 20,5 : 100 = 1,205.

а) Всяко от числата умножете по 10 и прочетете получените дроби. б) Всяко от числата разделете на 10 и прочетете получените дроби. 5 Извършете означените действия: а) 20,1 . 10; 20,1 : 10; б) 50,4 . 100; 50,4 : 100. 6 Запишете с десетична дроб и про четете числата: а) 7 : 10; б) 5 : 100; в) 1 : 1000; 13 : 10; 43 : 100; 19 : 1000.

111 Към съдържанието

53.

СРАВНЯВАНЕ НА ДЕСЕТИЧНИ ДРОБИ

Правило за сравняване на естествени числа • Ако числата имат различен брой цифри, по-голямото число е записано с повече цифри. Например: 12 > 9; 125 > 99; 1 000 > 897; 975 < 1 020, ... • Ако числата имат равен брой цифри, последователно сравняваме цифрите им отляво надясно – по-голямо е това число, на което първата по ред различна цифра е по-голямо число. Например:

ЗАДАЧА 1 Сравнете десетичните дроби: а) 12,5 и 9,5; б) 0,75 и 1,2; в) 125,3 и 131,2. Решение: Във всеки от примерите десетичните дроби имат различни цели части. a) 12,5 и 9,5 От 12 > 9 следва, че 12,5 > 9,5. б) 0,75 и 1,2 От 0 < 1 следва, че 0,75 < 1,2. в) 125,3 и 131,2 От 125 < 131 следва, че 125,3 < 131,2.

ЗАДАЧА 2 Сравнете десетичните дроби: а) 0,12 и 0,25; б) 13,72 и 13,78; в) 2,125 и 2,124. Решение: Във всеки от примерите десетичните дроби имат равни цели части и равен брой знаци след десетичната запетая. а) 0,12 и 0,25 От 0 = 0 и 12 < 25 следва, че 0,12 < 0,25. б) 13,72 и 13,78 От 13 = 13 и 72 < 78 следва, че 13,72 < 13,78. в) 2,125 и 2,124 От 2 = 2 и 125 > 124 следва, че 2,125 > 2,124.

ЗАДАЧА 3 Сравнете десетичните дроби:

а) 4,3 и 4,35; б) 0,123 и 0,12; в) 5 и 5,13; г) 2,6 и 2,60. Решение: Във всеки от примерите десетичните дроби имат равни цели части и различен брой знаци след десетичната запетая. За да ги сравним, изравняваме броя на знаците в дробните им части.

112

а) 4,3 = 4,30 4,30 < 4,35 4,3 < 4,35

в) 5 = 5,00 5,00 < 5,13

б) 0,12 = 0,120

г) 2,6 = 2,60 2,60 = 2,60

0,123 > 0,120 0,123 > 0,12

5 < 5,13

Към съдържанието

ЗАДАЧА 4 Сравнете десетичните дроби:

а) 3,7 и 3,53; б) 6,12 и 6,3; в) 0,321 и 0,25; г) 11,4 и 11,004. Решение: а) 3,7 и 3,53 → 3,70 и 3,53 От 3 = 3 и 70 > 53 → 3,7 > 3,53. б) 6,12 и 6,3 → 6,12 и 6,30 От 6 = 6 и 12 < 30 → 6,12 < 6,3. в) 0,312 и 0,25 → 0,312 и 0,250 От 0 = 0 и 312 > 250 → 0,312 > 0,25. г) 11,4 и 11,004 → 11,400 и 11,004 От 11 = 11 и 400 > 4 → 11,4 > 11,004.

Правило за сравняване на десетични дроби Ако две десетични дроби имат: • различни цели части, по-голяма е тази, която има по-голяма цяла част; • равни цели части и равен брой знаци след десетичната запетая, поголяма е тази, която има по-голяма дробна част; • равни цели части и различен брой знаци след десетичната запетая, сравняването става, след като изравним броя на знаците в дробната им част.

ЗАДАЧА 5 Сравнете числата:

а) 4,31 и 5,2; б) 16,23 и 15,83; в) 4,37 и 4,39; г) 5,125 и 5,121. Решение: а) 4,31 < 5,2, защото 4 < 5 в) 4,37 < 4,39, защото 37 < 39 б) 16,23 > 15,83, защото 16 > 15 г) 5,125 > 5,121, защото 125 > 121

ЗАДАЧИ

1 Сравнете десетичните дроби:

а) 2,91 и 3,01; в) 3,88 и 2,93;

б) 5,11 и 6,01; г) 6,81 и 4,91.

2 Сравнете десетичните дроби:

а) 5,11 и 5,01; б) 3,005 и 3,051; в) 4,61 и 4,16; г) 10,109 и 10,111.

3 Сравнете десетичните дроби:

а) 5 и 5,3; б) 6,8 и 6,81; в) 21,305 и 21,35; г) 40,9 и 40,099.

4 Сравнете десетичните дроби:

а) 5,43 и 6,279; б) 13,59 и 14,2; в) 0,48 и 0,23; г) 8,125 и 8,125.

5 Като започнете от най-малкото,

подредете по големина числата 0,73; 5,13; 2,36; 3,4; 4,28; 0,85; 5,14.

6 От числата

5,7; 5,09; 7,8; 15,8; 6,4; 8,3 запишете тези, които са: а) по-малки от 8,3; б) по-големи от 5,7; в) по-големи от 5,7 и по-малки от 8,3. 7 С еднократно използване на всяка от цифрите 4, 5, 6 и десетичната запетая запишете числото: а) най-близко до 4; б) най-близко до 6 и по-голямо от 6; в) най-близко до 6 и по-малко от 6. 8 Дадени са числата 11,2; 7,6; 9,21; 11,02; 4,3; 6,52; 12,6. Подредете по големина тези от тях, които са: а) по-малки от 10; б) по-големи от 9; в) по-големи от 9 и по-малки от 10.

113 Към съдържанието

54.

ИЗОБРАЗЯВАНЕ НА ДЕСЕТИЧНИ ДРОБИ ВЪРХУ ЧИСЛОВ ЛЪЧ

ЗАДАЧА 1 Начертайте числов лъч. Поставете чертожната линийка под него (както е на чертежа). С мерна единица 1 сm отбележете точките, които: а) са образи на числата 1, 2, 3, 7, 9; б) са образи на числата 0,5; 1,5; 2,5; 8,3; в) са образи на числата 4,1; 5,2; 7,4; 8,7. Решение: mm

ЗАДАЧА 2 Начертайте числов лъч върху квадратна мрежа. Изберете за мерна единица 10 деления. Намерете образите на числата: а) 0,2; 1,2 и 2,2; б) 0,5; 1,5 и 2,5; Решение:

в) 0,7; 1,8 и 2,9.

a) O

б) O

в) O

114

Към съдържанието

При намиране образа на десетична дроб с дробна част хилядни, например 2,467, трябва мерната единица, взета вдясно от числото 2 да разделим на 1 000 равни части и да вземем 467 от тях. Практически това е трудно. На практика при изобразяване на такива дроби върху числов лъч ги закръгляваме с точност до десети. Например: 1,35 ≈ 1,4 2,467 ≈ 2,5. Знакът “≈ “ означава “приблизително равно”.

ЗАДАЧА 3 Начертайте числов лъч върху квадратна мрежа. Изберете за мерна единица

10 деления. Изобразете върху числовия лъч и сравнете по големина числата: 1,5; 0,1; 0,8; 2,4. Решение:

0,1 < 0,8 < 1,5 < 2,4

Върху числовия лъч образът на по-голямата десетична дроб е “вдясно” от образа на по-малката. Ще обърнем внимание, че ако определим коя от две дроби е по-голямата, всъщност сме определили и коя от тези две дроби е по-малката.

ЗАДАЧА 4 Подредете върху числов лъч дробите 25,3; 25,8; 40,5; 12,3. Решение:

Когато в задачата се изисква числата да се изобразят върху числов лъч (Задача 1, 2, 3), намираме образите на числата (т.е. съответните точки върху лъча) при подходящо избрана мерна единица. Когато в задачата се изисква числата да се подредят върху числов лъч (Задача 4), достатъчно е да се спази правилото за подредбата: “По-голямото число да е “вдясно” от по-малкото.”

ЗАДАЧИ

1 Начертайте числов лъч върху

изобразете числата 0,35; 0,50; 0,65; 0,85.

квадратна мрежа. При една мерна единица, равна на 10 деления, 3 Н ачертайте числов лъч. Като изобразете числата използвате чертожна линийка, 0,5; 1,8; 2,3; 2,7. изобразете числата 0,7; 1,9; 2,4; 3,2; 2 Начертайте числов лъч върху 4,1; 5,8; 7,3; 9,1. квадратна мрежа. При една мерна единица, равна на 20 деления, Към съдържанието

115

55.

ЗАКРЪГЛЯВАНЕ. ОЦЕНКА НА РЕЗУЛТАТ Когато правим измервания, в повечето случаи е невъзможно да получим точните стойности на величините. Например нито един кантар не показва абсолютно точно тегло. Понякога точното измерване не е необходимо. Например разстоянието между два града се дава с точност до 1 km; прогнозите за времето – до 1 градус и т.н.

ПРИМЕР 1 А 0

В 1

От чертежа се вижда, че дължината на отсечката АВ ( в сантиметри) е между 10 cm и 11 cm. Числото 10 се нарича приближена стойност с недостиг. Числото 11 се нарича приближена стойност с излишък.

Ако за числата A, Х, B е изпълнено A < Х < B, то числото: • А се нарича приближена стойност на Х с недостиг (надолу); • B се нарича приближена стойност на Х с излишък (нагорe).

ЗАДАЧА 1 От числата 6,54; 7,28; 6,23; 7,68; 6,15 запишете тези, за които числото

6,2 е приближена стойност с недостиг, а числото 7,6 е приближена стойност с излишък. Решение: 6,23, защото 6,2 < 6,23 < 7,6 6,54, защото 6,2 < 6,54 < 7,6 7,28, защото 6,2 < 7,28 < 7,6

ЗАДАЧА 2 Между кои две съседни естествени числа е разположена всяка от дробите

3,25; 73,62; 123,5. До кое от тези две числа е по-близко? Решение: 3 < 3,25 < 4 Числото 3,25 е по-близко до 3. 73 < 73,62 < 74 Числото 73,62 е по-близко до 74. 123 < 123,5 < 124 Числото 123,5 е еднакво близко до числата 123 и 124. Смяната на числото с най-близкото до него естествено число или 0 се нарича закръгляване на това число с точност до целите (до единиците). Дължината на отсечката АВ в сантиметри от пример 1 е по-близко до 11 сm, отколкото до 10 cm. Дължината на отсечката АВ е „приблизително равна“ на 11 сm. Казваме, че сме закръглили дължината на отсечката АВ до цяло число (до целите). Например числото 3,25 се закръглява до 3, числото 73,62 се закръглява до 74. Когато числото е еднакво близко до неговите приближения, го закръгляваме към по-голямото от тях. Например числото 123,5 се закръглява до 124.

116

Към съдържанието

Закръгляването на числа може да се извърши до десетите, до стотните, до хи лядните и т.н. Закръгляване на число – действие, при което се заменя числото с най-близката негова приближена стойност със зададена точност.

ПРИМЕР 2

• • • • •

32,1546 закръгляваме така: Пишем: 32,1546 с точност до хилядните (до 0,001) 32,155; 32,1546 ≈ 32,155 32,1546 с точност до стотните (до 0,01) 32,15; 32,1546 ≈ 32,15 32,1546 с точност до десетите (до 0,1) 32,2; 32,1546 ≈ 32,2 32,1546 с точност до целите (до 1) 32; 32,1546 ≈ 32 32,1546 с точност до десетиците (до 10) 30; 32,1546 ≈ 30

Знакът „≈“ означава „приблизително равно“.

Правило за закръгляване на десетични дроби с дадена точност: 1. Ако първата цифра след дадената точност е: • 0, 1, 2, 3 или 4, последната цифра остава същата. • 5, 6, 7, 8 или 9, увеличаваме последната цифра с 1. 2. Всички цифри след дадената точност заменяме с нули, а ако те стоят след десетичната запетая, ги премахваме.

ЗАДАЧА 3 Росица имала 100 лв. За рождения си ден тя искла до почерпи всичките

си съученици, които са 24 на брой, с парче торта. Росица видяла, че едно парче торта струва 3,60, и съобразила, че ще ѝ стигнат парите. Как толкова бързо е решила това? Решение: Росица направила пресмятането със следните приближени стойности: • броят на съучениците оценила (приближила) на 25; • цената на едно парче торта оценила (приближила) на 4 лв. Пресметнала бързо, че 4 . 25 е 100 лв.

Обърнете внимание, че Росица е приближила всички числа с излишък (нагорe). Ако парите и΄стигнат за повече парчета на по-висока цена, то със сигурност, ще й стигнат да плати и точната цена. Оценка на резултат: Когато искаме бързо да оценим даден резултат и да вземем правилно решение, знанията за приближаване и закръгляване на числа се оказват много полезни.

ЗАДАЧИ

1 Начертайте таблицата и я попълнете, като закръглите числата с показаната точност.

Число а) 17,8753 б) 23,3718 в) 75,2389

С точност до 0,001 0,01 0,1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

10 ? ? ?

Към съдържанието

117

56.

СЪБИРАНЕ НА ДЕСЕТИЧНИ ДРОБИ

ЗАДАЧА 1 (преговор)

Извършете събирането: а) 341 + 935; б) 245 + 5 829; в) 2953 + 347. Решение: а) + 341 б) 245 в) + 2 953 + 935 5 829 347 1 276 6 074 3 300

ЗАДАЧА 2 Съберете 5,321 m и 7,465 m. Решение: 5,321 m = 5 m + 3 dm + 2 cm + 1 mm + 7,465 m = 7 m + 4 dm + 6 cm + 5 mm 12 m + 7 dm + 8 cm + 6 mm = 12,786 m

Правило за събиране на десетични дроби При събиране на десетични дроби събираме последователно: хилядни с хилядни (mm); стотни със стотни (cm); десети с десети (dm); цели с цели (m). За удобство записваме десетичните дроби една под друга, като: • подреждаме така, че десетичните запетаи да са една под друга; • изравняваме броя на знаците в дробната част (дописваме нули); • събирането започваме от последния знак на дробната част.

ЗАДАЧА 3 Извършете събирането:

а) 5,3 + 2,4; б) 2,13 + 3,22; в) 10,4 + 5,23; г) 5 + 6,081. Решение:

ЗАДАЧА 4 (Устно) Намерете сбора:

118

а) 1,5 + 0,2; б) 2,7 + 3,2; в) 0,7 + 0,13.

Отговор:

а) 1,7

б) 5,9

в) 0,83 Към съдържанието

ЗАДАЧА 5 Съберете 2,802 m и 8,984 m. Решение: m + m

m m m

dm dm dm

cm cm cm

mm mm mm

m m

dm dm

В Задача 5 17 dm представихме като сбор (10 dm + 7 dm) или (1 m + 7 dm) и 1 m премина към цялата част на сбора. В този случай казваме, че събираме с преминаване.

ЗАДАЧА 6 Извършете събирането:

а) 0,8 + 0,9; б) 1,57 + 2,28; в) 12,98 + 0,256; г) 0,991 + 0,3691. Решение:

ЗАДАЧА 7 Извършете събирането:

а) 1,3 + 0,9; б) 0,75 + 0,58; в) 25,3 + 8,97; г) 34,07 + 126,643. Решение:

ЗАДАЧИ

а) +

б) +

1 Извършете събирането:

а) ;

б) ;

в)

г)

; .

в) +

г)

2 Намерете сбора: а) 0,7 + 13,2; б) 13,8 + 2,03; 5,2 + 7,3; 14,12 + 13,21; в) 1,53 + 2,47; г) 14,33 + 15,67; 7,25 + 11,75; 18,125 + 1,875.

3 За ушиване на дамски костюм са

използвани 0,75 m плат за пола и 1,45 m плат за сако. Намерете колко метра плат е използван за целия костюм.

4 Яна купила сирене за 8,54 лв. и

домати за 3,26 лв. Колко лева е платила Яна? Към съдържанието

119

57.

РАЗМЕСТИТЕЛНО И СЪДРУЖИТЕЛНО СВОЙСТВО НА ДЕЙСТВИЕТО СЪБИРАНЕ. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Извършете събирането:

а) 5,81 + 2,95; б) 1,03 + 0,005; в) 1,92 + (0,105 + 2,01); 2,95 + 5,81; 0,005 + 1,03; (1,92 + 0,105) + 2,01. Решение: а) в)

б) Забелязваме, че: • ако а = 5,81 и b = 2,95, • ако а = 1,03 и b = 0,005, • ако а = 1,92, b = 0,105, c = 2,01,

а + b = b + а; а + b = b + а; а + (b + c) = (а + b) + c.

Свойства на събирането При десетичните дроби са верни свойствата на събирането: а+b=b+а → разместително свойство, (а + b) + c = a + (b + c) → съдружително свойство. Сборът на три числа a, b, c може да се намери, като се използва съдружителното свойство: (а + b) + c = а + (b + c) = а + b + c.

ЗАДАЧА 2 Пресметнете рационално сборовете: а) 7,4 + 8,5 + 0,6; б) 107,3 + 15,33 + 12,7 + 23,67. Решение: а) 7,4 + 8,5 + 0,6 = (7,4 + 0,6) + 8,5 = 8 + 8,5 = 16,5 б) 107,3 + 15,33 + 12,7 + 23,67 = (107,3 + 12,7) + (15,33 + 23,67) = 120 + 39 = 159

ЗАДАЧА 3 Проверете вярно ли е извършено събирането:

В Задача 3 броят на знаците в дробната част на събираемите не са изравнени с дописване на 0. Достатъчно е десетичните дроби да бъдат подредени така, че десетите, стотните, хилядните, ... да са в колонки.

120

Към съдържанието

ЗАДАЧА 4 Пресметнете числената стойност на израза A = 5,42 + x, ако: а) x = 0,9; б) x = 0,09. Решение: а) A = 5,42 + 0,9 + 5,42 б) A = 5,42 + 0,09 A = 6,32 0,90 A = 5,51 6,32

+ 5,42 0,09 5,51

ЗАДАЧА 5 В дъното на езеро е забит стълб, който влиза в земята на дълбочина 1,25 m и се издига над водата на височина 1,48 m. Дълбочината на езерото на това място е 1,52 m. Намерете дължината на стълба. Решение: Дължината на стълба е сборът от трите дадени части от него: 1,25 + 1,48 + 1,52 = 1,25 + (1,48 + 1,52) = 1,25 + 3 = 4,25. Дължината на стълба е 4,25 m.

ЗАДАЧА 6 От мост над река пада камък, който за първата секунда изминава 4,905 m, а

ЗАДАЧИ

през всяка следваща секунда – с 9,81 m повече от предходната. Ако камъкът пада във водата след 4 секунди, намерете разстоянието от моста до водата. Решение: Разстоянието, изминато от камъка през: • първата секунда, е 4,905 m; • втората секунда, е 4,905 + 9,81 = 14,715 m; • третата секунда, е 14, 715 + 9, 81 = 24,525 m; • четвъртата секунда, е 24,525 + 9,81 = 34,335 m. Цялото разстояние е 4,905 + 14,715 + 24,525 + 34,335 = 78,480 m. е с 1,28 по-голямо от предходното. 1 Извършете събирането: Пресметнете сбора на: а) а) първото и третото число; б) второто и четвъртото число; в) четирите числа. 5 Пресметнете рационално: б) а) 5,2 + 4,13 + 4,8; б) 15,27 + 5,4 + 4,73. 2 Извършете събирането: 6 Т ърговец закупил на едро 1 000 a) 15 + 13,2 + 7,95; шоколада за 980 лв. Всеки шоколад б) 102 + 13,87 + 0,28; той продал на дребно с надценка oт в) 0,17 + 15,33 + 13,25; 0,25 лв. г) 17,84 + 5,108 + 0,95. а) Колко е струвал един шоколад на едро? 3 За числата a = 0,12, b = 3,95 и б) Колко е струвал един шоколад на c = 10,78 покажете, че дребно? (а + b) + c = а + (b + c). 4 Запишете четири числа, първото в) Каква е печалбата на търговеца? от които е 3,52, а всяко следващо Към съдържанието

121

58.

ИЗВАЖДАНЕ НА ДЕСЕТИЧНИ ДРОБИ

ЗАДАЧА 1 От 6,985 m извадете 4,231 m. Решение:

6,985 m = 6 m + 9 dm + 8 cm + 5 mm – 4,231 m = 4 m + 2 dm + 3 cm + 1 mm

2 m + 7 dm + 5 cm + 4 mm = = 2,754 m

ЗАДАЧА 2 От 13,819 m извадете 8,75 m. Решение:

7 dm + 1 dm 10 cm

13,819 m = 13 m + 8 dm + 1 cm + 9 mm – 8,750 m = 8 m + 7 dm + 5 cm + 0 mm

5 m + 0 dm + 6 cm + 9 mm = = 5,069 m

При решаване на Задача 2 от 8 dm взехме 1 dm = 10 cm и дециметрите останаха 7, а сантиметрите → 10 + 1 = 11. Тогава от 11 сm извадихме 5 сm. Както при целите числа, поставяме точка над знака (съответната цифра на числото), което ни подсказва, че сме намалили с 1.

ЗАДАЧА 3 Представете числото 1 като сбор от десети, стотни и хилядни.

Решение:: 9 десети 1 цяло = + 9 стотни 1 десета = 10 стотни + 1 стотна = 10 хилядни ... Тогава 1 цяло = 9 десети + 9 стотни + 10 хилядни = 0,9 + 0,09 + 0,010.

Правило за изваждане на десетични дроби При изваждане на десетични дроби хилядни от хилядни (mm); изваждаме последователно стотни от стотни (cm); десети от десети (dm); цели от цели (m).

• Подреждаме така, че десетичните запетаи да са една под друга; • изравняваме броя на знаците в дробната част; • изваждането започваме от последния знак на дробната част.

122 Към съдържанието

ЗАДАЧА 4 Извършете изваждането:

а) 5,4 – 2,3; б) 3,25 – 3,12; Решение:

в) 10,15 – 8,711;

ЗАДАЧА 5 (Устно) Намерете разликата: Отговор:

а) 10,55 – 9,05; а) 1,50

г) 5,127 – 0,23.

б) 1,50 – 0,25; б) 1,25

в) 17,25 – 8,20. в) 9,05

ЗАДАЧА 6 Извършете изваждането: а) 1 – 0,325; б) 3 – 1,457; в) 10 – 5,107. Решение:

ЗАДАЧА 7 Извършете изваждането: Решение:

ЗАДАЧИ

а) 2,7 – 0,8;

б) 3,20 – 1,59; в) 17 – 8,38; г) 125 – 36,137.

б)

в)

г)

1. Извършете изваждането: а)

3. Намерете разликата: а) 1 – 0,23; б) 10 – 0,41; 1 – 0,05; 10 – 3,55; 1 – 0,871; 10 – 5,06; б) 1 – 0,408; 10 – 7,003; в) 100 – 25,4; г) 1 000 – 2,51; 100 – 30,05; 1 000 – 35,6; в) 100 – 45,12; 1 000 – 121,05; 100 – 61,004; 1 000 – 531,004. г) 4. Ивaн тежи 47,5 kg, а Петър тежи 3,8 kg по-малко от Иван. Намерете 2. Намерете разликата: колко тежи Петър. а) 18,5 – 17,4; б) 13,7 – 5,85; 5. Дължината на правоъгълник е 27,13 – 13,02; 12 – 7,37; 12,6 сm, а ширината му е с 3,8 сm в) 0,9 – 0,127; г) 19,35 – 0,104; по-къса. Намерете ширината на 0,15 – 0,073; 6,09 – 5,9. правоъгълника. Към съдържанието

123

59.

НАМИРАНЕ НА НЕИЗВЕСТНО СЪБИРАЕМО, УМАЛЯЕМО И УМАЛИТЕЛ. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 (Устно) Колко лева и колко стотинки са: а) 1 лв. – 0,50 лв.; Отговор: а) 0,50 лв. = 50 ст.

б) 1 лв. – 0,70 лв.;

в) 3 лв. – 1,30 лв.?

б) 0,30 лв. = 30 ст.

в) 1,70 лв. = 1 лв. и 70 ст.

ЗАДАЧА 2 Пресметнете числената стойност на израза A = x − 7,8, ако:

а) x = 18,9; б) x = 20,1; в) x = 30,07; г) x = 40. Решение:: а) A = 18,9 − 7,8 18,9 в) A = 30,07 − 7,8 − A = 11,1 7,8 A = 22,27 11,1 •• б) A = 20,1 − 7,8 20,1 г) A = 40 − 7,8 − A = 12,3 7,8 A = 32,2 12,3

30,07 − 7,80 22,27

40,0 − 7,8 32,2

ЗАДАЧА 3 Пресметнете стойността на числовите изрази:

а) 15,8 − (8,3 + 6,9); б) 10,25 − (25,3 − 20,05). Решение:: а) 15,8 − (8,3 + 6,9) = б) 10,25 − (25,3 − 20,05) = = 15,8 − 15,2 = = 10,25 − 5,25 = = 0,6 = 5

При решаване на Задача 3 спазваме правилото: “Първо се извършват действията в скобите”.

ЗАДАЧА 4 Намерете x, ако:

а) x + 13,5 = 42,02; Решение: a)

124

б)

в)

б) 18,21 − x = 9,705;

в) x − 13,07 = 4,23.

Към съдържанието

ЗАДАЧА 5 Съставете израз по дадената схема и намерете стойността му. ? ?

Решение:: A = 5,2 − (13 − 7,8) = = 5,2 − 5,2 = 0 A = 0

ЗАДАЧА 6 Антон си купил две тетрадки. Дал 10 лв. Върнали му 4,95 лв. Едната

тетрадка е с маркирана цена 3,20 лв. Каква е цената на другата тетрадка? Решение:: Антон платил 10 лв. – 4,95 лв. = 5,05 лв. за двете тетрадки. Цената на едната тетрадка е 3,20 лв. Цената на другата тетрадка е 5,05 лв. – 3,20 лв. = 1,85 лв.

ЗАДАЧА 7 В началото на работния ден в двете каси на магазин имало общо 325,60 лв.

В края на работния ден I каса отчела оборот от 1 820,30 лв., а II каса – 1635,80 лв. Намерете: а) колко лева е бил оборотът на магазина през този ден; б) с колко лева оборотът на I каса е бил по-голям от този на II каса; в) колко лева са останали в магазина за следващия ден, ако в края на работния ден внесли в банка 3500 лв.? Решение:: а) 1820,30 + 1635,80 = 3456,10 Оборотът на магазина е бил 3456,10 лв. б) 1820,30 − 1635,80 = 184,50 Оборотът на I каса е бил със 184,50 лв. по-голям. в) (3456,10 + 325,60) − 3500 = 281,70 За следващия ден са останали 281,70 лв.

ЗАДАЧИ

1 Пресметнете числената стойност

на израза A = x − 1,83, ако: а) x = 10,90; в) x = 101,08; б) x = 6,19; г) x = 10.

2 Пресметнете:

а) (9 + 18,2) – (15 – 7,5); б) (108 – 27,37) – (14,39 + 5,07); в) 2,53 + 1,47 – 1,53 – 0,47.

5 Асен отишъл на екскурзия за

3 Намерете x, ако:

а) x + 17,3 = 18,92 ; б) 105 – x = 27,33; в) x + 1,52 . 10 = 40; г) 100 − x = (38,5 + 0,61) : 10.

4 Валя имала 15 лв. и си купила две книги. Едната струвала 3,75 лв.,

а другата – с 1,60 лв. повече от първата. а) Каква е била цената на втората книга? б) Колко е платила Валя за двете книги? в) Колко лева са £ останали?

три дни. Имал 40 лв. Първия ден похарчил 12,60 лв. Втория ден похарчил с 3,80 лв. по-малко, отколкото през първия ден. Третия ден похарчил с 2,50 лв. повече, отколкото през втория ден. а) Колко лева е похарчил Асен през трите дни? б) Колко лева са му останали? Към съдържанието

125

60.

ЗАВИСИМОСТИ НА СБОРА И РАЗЛИКАТА ОТ КОМПОНЕНТИТЕ* ИМ. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Пресметнете стойността на израза A = 7,2 + a, ако: а) a = 0,5; б) a = 1,5; в) a = 2,5; Решение: а) A = 7,2 + 0,5 = б) A = 7,2 + 1,5 = 7,7 8,7

г) a = 3,5.

в) A = 7,2 + 2,5 = 9,7

г) A = 7,2 + 3,5 = 10,7

За сбора (7,2 + a) забелязваме, че: • ако увеличаваме едното събираемо, сборът също се увеличава; • ако само едното събираемо увеличаваме с дадено число (0,5; 0,5 + 1 = 1,5; 1,5 + 1 = 2,5; 2,5 + 1 = 3,5), сборът се увеличава със същото число (7,7; 7,7 + 1 = 8,7; 8,7 + 1 = 9,7; 9,7 + 1 = 10,7).

Ако увеличаваме само едното събираемо с дадено число, сборът се увеличава със същото число. Ако в Задача 1 стойностите на a се зададат в обратен ред: 3,5; 2,5; 1,5; 0,5, съответните стойности на сбора ще са 10,7; 9,7; 8,7; 7,7. Можем да направим следния извод: • ако намаляваме едното събираемо, сборът също се намалява; • ако само едното събираемо намаляваме с дадено число, сборът също се намалява със същото число.

Ако намаляваме само едното събираемо с дадено число, сборът се намалява със същото число.

ЗАДАЧА 2 Проверете вярно ли е попълнена таблицата, открийте зависимост на сбора от събираемите и направете извод. a b a+b

0,3 20,1 20,4

3,3 17,1 20,4

6,3 14,1 20,4

9,3 11,1 20,4

12,3 8,1 20,4

15,3 5,1 20,4

Ако увеличаваме едното събираемо с дадено число и намаляваме другото събираемо със същото число, сборът не се променя.

* Събираемите са компоненти на сбора. Умаляемото и умалителят са компоненти на разликата.

126

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 Пресметнете стойността на израза A = a − 2,4, ако:

а) a = 12,4; б) a = 22,4; в) a = 32,4; г) a = 42,4. Решение: а) A = 12,4 − 2,4 = б) A = 22,4 − 2,4 = в) A = 32,4 − 2,4 = 10 20 30

г) A = 42,4 − 2,4 = 40

Ако увеличаваме умаляемото с дадено число, разликата се увеличава със същото число.

ЗАДАЧА 4 Проверете вярно ли е попълнена таблицата, открийте зависимост на разликата от умаляемото и направете извод. a b a−b

12,8 1,4 11,4

10,8 1,4 9,4

8,8 1,4 7,4

6,8 1,4 5,4

4,8 1,4 3,4

2,8 1,4 1,4

Ако намаляваме умаляемото с дадено число, разликата се намалява със същото число.

ЗАДАЧА 5 Пресметнете стойността на израза A = 60,3 − a, ако:

а) a = 10,3; б) a = 20,3; в) a = 30,3; г) a = 40,3. Решение: а) A = 60,3 − 10,3 = б) A = 60,3 − 20,3 = в) A = 60,3 − 30,3 = г) A = 60,3 − 40,3 = 50 40 30 20

Ако увеличаваме умалителя с дадено число, разликата се намалява със същото число.

ЗАДАЧА 6 Проверете вярно ли е попълнена таблицата, открийте зависимост на разликата от умалителя и направете извод. a b a−b

! ЗАДАЧИ

20,7 15,3 5,4

20,7 13,3 7,4

20,7 11,3 9,4

20,7 9,3 11,4

20,7 7,3 13,4

20,7 5,3 15,4

Ако намаляваме умалителя с дадено число, разликата се увеличава със същото число.

Начертайте таблиците в тетрадките си, попълнете ги и направете извод за зависимостта между числената стойност на израза А и компонентите му. a b A=a+b

30,2 4,8 ?

25,2 4,8 ?

20,2 4,8 ?

15,2 4,8 ?

a b A=a−b

40,3 5,1 ?

35,3 5,1 ?

30,3 5,1 ?

25,3 5,1 ?

127 Към съдържанието

61.

СЪБИРАНЕ И ИЗВАЖДАНЕ НА ДЕСЕТИЧНИ ДРОБИ. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Пресметнете стойността на израза A = 7,2 + a, ако:

а) a = 21,5 − (6 + 2,8); б) a = 63,8 − (7 − 2,5). Решение: a) a = 21,5 − (6 + 2,8) = б) a = 63,8 − (7 − 2,5) = = 21,5 − 8,8 = 12,7 =63,8 − 4,5 = 59,3 A = 7,2 + 12,7 = 19,9 A = 7,2 + 59,3 = 66,5

ЗАДАЧА 2 Пресметнете:

Решение: а) (28,5 − 15,4) − (7 + 2,3); a) (28,5 − 15,4) − (7 + 2,3)   = 13,1 − 9,3 = 3,8 б) 28,5 − (15,4 − (7 + 2,3)). б) 28,5 − (15,4 − (7 + 2,3)) =   1. = 28,5 − (15,4 − 9,3) =   2.  = 28,5 − 6,1 = 22,4 3.

В Задача 2 числовите изрази се различават само по мястото на поставените скоби, но се получават различни отговори. Ако в числовия израз има скоби, първо се извършват действията в скобите.

ЗАДАЧА 3 (Диктовка) От сбора на числата 121,3 и 0,45 извадете разликата на числата Решение:

208,05 и 105,62. (121,3 + 0,45) − (208,05 − 105,62) = 121,75 − 102,43 = 19,32.

ЗАДАЧА 4 Запишете с числов израз и пресметнете:

а) сбора от разликата на числата 10,8 и 2,6 и разликата на числата 15,7 и 8 ; б) разликата от сбора на числата 100,35 и 56,65 и разликата на числата 17,67 и 11,35. Решение: а) (10,8 − 2,6) + (15,7 − 8) = 8,2 + 7,7 = 15,9 б) (100,35 + 56,65) − (17,67 − 11,35) = 157,00 − 6,32 = 150,68

ЗАДАЧА 5 Пресметнете с калкулатор числовите изрази: а) (135,602 − 68,31) − 42,106; б) 321,54 − (148,506 − 88,6) + (98,3 − 8,9). Решение: За да запишем на скалата на калкулатора десетична дроб, на мястото на десетичната запетая натискаме клавиша .

128

Към съдържанието

a) 135 602 68 31 42 106 25,186 б) Първо пресмятаме изразите в скобите и записваме получения резултат: 148 506 88 6 59,906 98 3 8 9 Тогава 321 54 59

89,4. 906

351,034.

ЗАДАЧА 6 По дадения модел съставете числов израз и пресметнете стойността му: ?

? ?

Решение: (198,765 − 41,235) + (198,765 + 41,235) = 157,53 + 240 = 397,53

ЗАДАЧА 7 Намерете числената стойност на израза A = 24,3 − (x + y), ако:

а) x = 3,5; б) x = 14,23; в) x = 4,09; г) x = 9,21; y = 0,32; y = 5,77; y = 16,01; y = 9,09. Решение: a) A = 24,3 − (x + y) = 24,3 − ( 3,5 + 0,32) = 24,3 − 3,82 = 20,48 б) A = 24,3 − (x + y) = 24,3 − (14,23 + 5,77) = 24,3 − 20 = 4,3 в) A = 24,3 − (x + y) = 24,3 − ( 4,09 + 16,01) = 24,3 − 20,1 = 4,2 г) A = 24,3 − (x + y) = 24,3 − ( 9,21 + 9,09) = 24,3 − 18,3 = 6

ЗАДАЧИ

1 Пресметнете:

а) (10,6 − 3,4) − 0,9; б) 10,6 − (3,4 − 0,9); в) (10,6 − (3,6 − 0,9)) + 2,4; г) (10,6 − 3,6) − (0,9 + 2,4). 2 Пресметнете: а) 27,8 − (30,2 − (52,3 − 40,8)); б) 54,3 − (70,5 − (21,3 + 48,8)); в) 37,8 + (80,3 − (45,1 + 30,7)); г) 43,5 + (51,3 − (90,2 − 85,9)). 3 Запишете с числов израз и пре сметнете: а) сбора от разликата на числата 18,3 и 5,7 и разликата на числата 20,1 и 18,6; б) разликата от разликите на числата 21,7; 1,9 и 35,7; 29,8.

Намерете числената стойност на изра зите: 4 A = 10,6 − (x − y), ако: а) x = 5,8; y = 3,6; б) x = 11,5; y = 3,7; в) x = 20,1; y = 15,8; г) x = 10,6; y = 5,4.

5 A = 55,5 − (x + y), ако: а) x = 13,2; б) x = 17,1; в) x = 20,3; г) x = 13,9;

y = 15,8; y = 15,4; y = 35,2; y = 40,6.

6 A = x − (48,25 − (6,02 + 3,08)), ако:

а) x = 55; в) x = 80;

б) x = 69; г) x = 100.

129 Към съдържанието

62.

УМНОЖЕНИЕ НА ДЕСЕТИЧНИ ДРОБИ С ЕСТЕСТВЕНО ЧИСЛО

ЗАДАЧА 1 Цената на една дъвка е 0,23 лв. Ани купила 3 дъвки. Колко лева е платила Ани? Решение: 0,23 . 3 = ? 23 Записваме 0,23 като обикновена дроб: 0,23 = 100 . 23

23 . 3

Умножаваме 100 · 3 = 100 = 100 . 69 69 Записваме 100 като десетична дроб: 100 = 0,69. Ани е платила 0,69 лв.

Практическо правило Десетична дроб умножаваме с естествено число, като: • умножим числата, без да обръщаме внимание на десетичната запетая (както умножаваме естествени числа); • в полученото произведение от дясно наляво отделим с десетична запе тая толкова знака, колкото знака има в дробната част на десетичната дроб.

ЗАДАЧА 2 Извършете умножението:

а) 1,7 . 8 ; б) 3,21 . 6; в) 4,312 . 3. Решение: а) 1,7 . 8 = ? (17 . 8 = 136) б) 3,21 . 6 = ? (321 . 6 = 1926) в) 4,312 . 3 = ? (4312 . 3 = 12936)

ЗАДАЧА 3 Пресметнете:

а) 0,3 . 13; Решение: а) 0,3 . 13 = 3,9;

ЗАДАЧА 4 Пресметнете: а) 6,543 . 11; Решение: а) 6,543 . 11 6543 + 6543 71,973

130

1,7 . 8 = 13,6 1,7 . 8 = 13,6 3,21 . 6 = 19,26 3,21 . 6 = 19,26 4,312 . 3 = 12,936 4,312 . 3 = 12,936

б) 0,03 . 13;

в) 0,003 . 13.

б) 0,03 . 13= 0,39;

в) 0,003 . 13= 0,039.

б) 13,42 . 12;

в) 21,3 .23.

б) 13,42 . 12 2684 + 1342 161,04

в) 21,3 . 23 639 + 426 489,9 Към съдържанието

ЗАДАЧА 5 Като използвате, че 23 . 45 = 1035, пресметнете:

а) 2,3 . 45; б) 0,23 . 45; в) 0,023 . 45; 23 . 4,5; 23 . 0,45; 23 . 0,045. Решение: а) 2,3 . 45 = 103,5; б) 0,23 . 45 = 10,35; в) 0,023 . 45 = 1,035; 23 . 4,5 = 103,5; 23 . 0,45 = 10,35; 23 . 0,045 = 1,035.

ЗАДАЧА 6 Намерете x, ако:

а) x + 0,3 . 6 = 3,4 . 2; б) x – 0,52 . 2 = 1,32 . 3; в) 9,7 . 2 – x = 1,8 . 8. Решение: а) x + 0,3 . 6 = 3,4 . 2 б) x – 0,52 . 2 = 1,32 . 3 в) 9,7 . 2 – x = 1,8 . 8 x + 1,8 = 6,8 x – 1,04 = 3,96 19,4 – x = 14,4 x = 6,8 – 1,8 x = 3,96 + 1,04 x = 19,4 – 14,4 x = 5 x = 5 x=5

ЗАДАЧА 7 Задача 7. Намерете числената стойност на израза A = 0,7 . x + 2,3 , ако: а) x = 6; б) x = 10; Решение: а) A = 0,7 . 6 + 2,3 = 4,2 + 2,3 = 6,5 б) A = 0,7 . 10 + 2,3 = 7 + 2,3 = 9,3 в) A = 0,7 . 12 + 2,3 = 8,4 + 2,3 = 10,7

в) x = 12.

ЗАДАЧА 8 Ани купила 5 тетрадки и 8 химикалки. Намерете колко лева е платила Ани, ако цената на 1 тетрадка е 1,37 лв., а цената на 1 химикалка е 0,65 лв. Решение: 1,37 . 5 + 0,65 . 8 = 6,85 + 5,20 = 12,05 Ани е платила 12,05 лв.

ЗАДАЧИ

Пресметнете: 1 а) 4,2 . 4; б) 3,21 . 3; в) 8,5 . 5; г) 31,02 . 3. 2 а) 13,4 . 2; б) 5,2 . 3; в) 2,11 . 7; г) 3,07 . 5. 3 а) 0,3 . 12; б) 0,07 . 18; в) 0,008 . 14; г) 0,66 . 105. 4 Мими купила 5 кисели млека. Намерете колко лева е платила тя, ако цената на 1 кисело мляко е 1,35 лв. 5 Асен купил 0,375 kg кашкавал. Намерете колко лева е платил той, ако цената на 1 kg кашкавал е 16 лв.

6 Петър купил 3 kg портокали и

2 kg банани. Намерете колко лева е платил той, ако цената на 1 kg портокали е 1,45 лв., а цената на 1 kg банани е 2,25 лв. 7 Намерете x, ако: а) x + 1,7 . 3 = 0,83 . 7; б) x – 0,32 . 5 = 1,4 . 6; в) 6,25 . 4 – x = 2,125 . 8. 8 Намерете числената стойност на израза A = 15,6 – 0,3 . x , ако: а) x = 2; б) x = 40; в) x = 22.

Към съдържанието

131

63.

УМНОЖЕНИЕ НА ДЕСЕТИЧНИ ДРОБИ

ЗАДАЧА 1 Даден е правоъгълник с измерения a = 0,7 dm и b = 0,3 dm.

Намерете лицето на правоъгълника в квадратни дециметри. Решение: S = a . b , S = 0,7 . 0.3 = ? 7 3 Записваме 0,7 и 0,3 като обикновени дроби: 0,7 = 10 и 0,3 = 10 . 7

7.3

Умножаваме 10 · 10 = 10 . 10 = 100 . 21 21 Записваме 100 като десетична дроб: 100 = 0,21. Лицето на правоъгълника е 0,21 dm2.

Практическо правило Десетична дроб умножаваме с десетична дроб, като: • умножим числата, без да обръщаме внимание на десетичната запетая (както умножаваме естествени числа); • в полученото произведение от дясно наляво отделим с десетична запе тая толкова знака, колкото е сборът на броя на знаците в дробните части на двата множителя.

ЗАДАЧА 2 Извършете умножението: а) 0,3 . 0,2; Решение: а) 0,3 . 0,2 = ? б) 0,03 . 0,2 = ? в) 0,03 . 0,02 = ?

б) 0,03 . 0,2;

в) 0,03 . 0,02.

(3 . 2 = 6) 0,3 . 0,2 = 0,06 (3 . 2 = 6) 0,03 . 0,2 = 0,006 (3 . 2 = 6) 0,03 . 0,02 = 0,0006

ЗАДАЧА 3 Извършете умножението: а) 135,7 . 0,1; Решение: а) 135,7 . 0,1 = 13,57;

б) 135,7 . 0,01;

в) 135,7 . 0,001.

б) 135,7 . 0,01 = 1,357;

в) 135,7 . 0,001 = 0,1357.

ЗАДАЧА 4 Извършете умножението: а) 6,5 . 0,3; б) 4,21 . 1,3. Решение: a) 6,5 . 0,3 = ? б) 4,21 . 1,3 = ?

132

Към съдържанието

ЗАДАЧА 5 Извършете умножението: Решение:

а) 5,3 . 0,7;

б) 3,4 . 5,2;

в) 1,25 . 3,3; г) 5,1231 . 7.

а)

б)

в) г)

ЗАДАЧА 6 Като използвате, че 54 . 32 = 1728, пресметнете:

а) 5,4 . 3,2; б) 5,4 . 0,32; в) 0,54 . 0,32; 0,54 . 3,2; 0,054 . 3,2; 5,4 . 0,032. Решение: а) 5,4 . 3,2 = 17,28; б) 5,4 . 0,32 = 1,728; в) 0,54 . 0,32 = 0,1728; 0,54 . 3,2 = 1,728; 0,054 . 3,2 = 0,1728; 5,4 . 0,032 = 0,1728.

ЗАДАЧА 7 Намерете x, ако:

а) x + 0,8.0,2 = 0,9.0,4; Решение: а) x + 0,8.0,2 = 0,9.0,4; x + 0,16 = 0,36 x = 0,36 – 0,16 x = 0,20 x = 0,2

б) x – 1, 2.0,3 = 0,4.0,6;

в) 2,3.0,2 – x = 0,4.0,4.

б) x – 1, 2.0,3 = 0,4.0,6; в) 2,3.0,2 – x = 0,4.0,4. x – 0,36 = 0,24 0,46 – x = 0,16 x = 0,24 + 0,36 x = 0,46 – 0,16 x = 0,60 x = 0,30 x = 0,6 x = 0,3

ЗАДАЧА 8 Намерете числената стойност на израза A = 5,67 + 0,9 . x, ако: а) x = 0,3; б) x = 2,4. Решение: а) A = 5,67 . 6 + 0,9 . 0,3 = 5,67 + 0,27 = 5,94; б) A = 5,67. 10 + 0,9 . 2,4 = 5,67 + 2,16 = 7,83.

ЗАДАЧИ

Пресметнете: 1 а) 5,3 . 3,2; в) 8,5 . 0,7;

б) 7,8 . 0,3; г) 3,2 . 5,6.

2 а) 21,5 . 0,103; б) 5,7 . 1,25;

в) 3,12 . 5,25;

3 а) 2,01 . 0,42;

г) 0,05 . 3,14.

б) 3,52 . 0,16; в) 42,5 . 0,13; г) 121,4 . 0,17. 4 Намерете лицето на правоъгълник (в cm2) с дължина 5,8 cm и ширина 2,5 сm. 5 Иво купил 2,5 kg домати. Намерете колко лева е платил Иво, ако цената на 1 kg домати е 1,82 лв.

6 Дени купила 4,5 m плат и 2,5 m

дантела. Намерете колко лева е платила Дени, ако цената на 1 m плат е 12,44 лв., а цената на 1 m дантела е 8,64 лв. 7 Намерете x, ако: а) x + 0,7 . 0,9 = 1,2 . 0,8; б) x – 1,2 . 0,4 = 0,6 . 2,2; в) 3,02 . 0,5 – x = 4,7 . 0,3. 8 Намерете числената стойност на израза A = 5,68 – 0,8 . x , ако: а) x = 0,6; б) x = 1,2; в) x = 0,75. Към съдържанието

133

64.

РАЗМЕСТИТЕЛНО И СЪДРУЖИТЕЛНО СВОЙСТВО НА ДЕЙСТВИЕТО УМНОЖЕНИЕ. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Извършете умножението: а) 18,5 . 7; Решение: a)

б) 3,5 . 2,3;

в) 14,14 . 0,7; г) 102,207 . 0,12.

б)

в)

г) +

В произведението на две десетични дроби в зависимост от броя на цифрите в дробните им части могат да се получат много цифри след десетичната запетая. В практиката рядко се използват десетични дроби с толкова много знаци след десетичната запетая. Обикновено в крайния резултат се вземат техни приближени стойности. Например: 102,207 . 0,12 = 12,26484 ≈ 12,3 с точност до десети; 2,001 . 0,0006 = 0,0012006 ≈ 0,001 с точност до хилядни.

ЗАДАЧА 2 Извършете умножението:

а) 2,7 . 0,43; 0,43 . 2,7; б) (1,3 . 0,02) . 0,6; 1,3 . (0,02 . 0,6). Решение: а) 2,7 . 0,43 = 1,161 б) (1,3 . 0,02) . 0,6 = 0,026 . 0,6 = 0,0156 0,43 . 2,7 = 1,161 1,3 . (0,02 . 0,6) =1,3 . 0,012 = 0,0156

Забелязваме, че • ако a = 2,7 и b = 0,43, то a . b = b . a; • ако a = 1,3 , b = 0,02, c = 0,6, то (a . b) . c = a . (b . c).

134

Свойства на умножението За десетичните дроби са верни свойствата на умножението: a.b=b.a → разместително свойство, (a . b) . c = a . (b . c) → съдружително свойство. Произведението на три числа може да се намери, като се използва съдружителното свойство: (a . b) . c = a . (b . c) = a . b . c. Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 Пресметнете рационално:

а) 5 . 34,125 . 0,2; б) 0,25 . 15,67 . 40. Решение: а) 5 . 34,125 . 0,2 = б) 0,25 . 15,67 . 40 = = 5 . 0,2 . 34,125 = = 0,25 . 40 . 15,67 = = 1 . 34,125 = 34,125 = 10 . 15,67 = 156 ,7

ЗАДАЧА 4 Намерете x, ако:

а) x + 0,5 . 27 . 0,2 = 5,62; Решение: а) x + 0,5 . 27 . 0,2 = 5,62 x + 27 . 0,1 = 5,62 x + 2,7 = 5,62 x = 5,62 − 2,7 x = 2,92

б) 17,86 – х = 1,25 . 0,534 . 8 б)

17,86 – х = 1,25 . 0,534 . 8 17,86 – х = (1,25 . 8) . 0,534 17,86 – х = 10 . 0,534 17,86 – х = 5,34 х = 17,86 – 5,34 х = 12,52

ЗАДАЧА 5 Пресметнете стойността на изразите: а) 7,3 . 2,5 − 0,37 . 12; Решение: а) 7,3 . 2,5 − 0,37 . 12 = = 18,25 − 4,44 = = 13,81

б) 5,3 . (7,6 − (0,12 . 5 + 0,5)). б) 5,3 . (7,6 – (0,12 . 5 + 0,5)) =  = 5,3 . (7,6 – (0,6 + 0,5)) =  = 5,3 . (7,6 – 1,1) =  = 5,3 . 6,5 = = 34,45

ЗАДАЧИ

1 Извършете умножението:

а) 5,2 . 3,4 . 0,5; б) 7,15 . 2,2 . 6,4; в) 2,5 . 3,2 . 0,6; г) 12,25 . 0,02 . 4,4. 2 Закръглете с точност до 0,01 числата: а) 21,2387; б) 5,7102; в) 0,1357. 3 Извършете умножението и закръглете с точност до 0,1 полученото произведение: а) 19,31 . 4; б) 2,71 . 23; в) 114,3 . 5,2; г) 21,33 . 12. 4 Намерете x, aко: а) x + 21,3 . 4 = 100;

б) x − 2,13 . 1,5 = 6,81 . 10. 5 Пресметнете рационално: a) 12,5 . 4,56 . 8; б) 0,25 . 3,45 . 40.

6 Пресметнете:

а) 100 − (5,7 + 3,12 . 5,5); б) 8,9 . [5,82 − (3,6 . 0,2 + 0,8)].

7 Нели купила 3 пакета прясно мля

ко по 1,25 лв. и 4 кофички кисело мляко по 0,75 лв. а) Колко лева е платила Нели? б) Колко лева са ѝ върнали, ако е дала 10 лв.?

135 Към съдържанието

65.

ДЕЛЕНИЕ НА ДЕСЕТИЧНА ДРОБ С ЕСТЕСТВЕНО ЧИСЛО

ЗАДАЧА 1 Дъска с дължина 2,486 m трябва да се пробие в средата. Намерете мястото на пробода. Решение: Разделяме дължината на дъската на две равни части:

Пишем

(2,486 m) : 2 = (2 m + 4 dm + 8 cm + 6 mm) : 2 = = 1 m + 2 dm + 4 cm + 3 mm = = 1,243 m Дъската трябва да се пробие на 1,243 m от началото.

ЗАДАЧА 2 (Устно) Извършете делението: Отговор:

а) 8,64 : 2; а) 4,32

б) 9,63 : 3; б) 3,21

в) 50,55 : 5. в) 10,11

ЗАДАЧА 3 Разделете числото 22,89 на 7. Решение:

Пишем Проверка:

В частното (3,27) десетичната запетая поставяме, след като завършим делението на цялата част и преди да започнем делението на дробната част: 22 цяло : 7 = 3 цяло, 18 десети : 7 = 2 десети, 49 стотни : 7 = 7 стотни.

ЗАДАЧА 4 Извършете делението 41,17 : 23.

136

Решение:

Към съдържанието

В разгледаните примери (Задачи 1, 2, 3, 4) цялата част на делимото е по-голяма от делителя. Тогава делителят е с цяла част, различна от 0. Ще разгледаме примери, в които цялата част на делимото е по-малка от делителя.

ЗАДАЧА 5 Извършете делението: а) 3,6 : 12;

б) 1,26 : 18; в) 0,112 : 14.

Решение:

а)

б)

в)

ЗАДАЧИ

Правило за деление на десетична дроб с естествено число • Делим цялата част на делимото с естественото число. • Поставяме десетичната запетая в частното. • Продължаваме делението с естественото число.

1 Пресметнете:

3 Н амерете сбора на 3 числа, ако

а) 12,8 : 2; 13,5 : 5; 0,351 : 3;

б) 23,8 : 17; 102,4 : 32; 4,2 : 7;

в) 18,72 : 6; 37,38 : 7; 25,88 : 4;

г) 23,4 : 12 ; 37,51 : 11; 68,64 : 13.

2 Пресметнете и закръглете до 0,1 частните:

а) 2,31 : 3;

в) 18,69 : 6;

б) 9,24 : 4;

г) 57,75 : 7.

първото число е 62,1, а всяко следващо е 3 пъти по-малко от предходното.

4 Иван купил 3 kg домати общо за

6,12 лв., 2 kg краставици за 3,76 лв. и 7 kg картофи за 4,69 лв. Намерете: а) цената на 1 kg домати; б) цената на 1 kg краставици; в) цената на 1 kg картофи; г) колко лева общо е платил Иван.

137 Към съдържанието

66.

УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ НА ДЕСЕТИЧНА ДРОБ С 10, 100 И 1000. ПРЕМИНАВАНЕ ОТ ЕДНА МЕРНА ЕДИНИЦА В ДРУГА

Десетична дроб умножаваме с 10, 100, 1 000, ... , като “преместим десетичната запетая надясно” през толкова знака, колкото нули има числото, с което умножаваме.

ЗАДАЧА 1 Пресметнете.

а) 0,72 . 10 ; Решение: а) 0,72 . 10 = 7,2;

б) 3,25 . 100;

в) 2,423 . 1000.

б) 3,25 . 100 = 325;

в) 2,423 . 1000 = 2423.

Десетична дроб делим с 10, 100, 1000, ... , като “преместим десетичната запетая наляво” през толкова знака, колкото нули има числото, с което делим.

ЗАДАЧА 2 Пресметнете.

а) 32,26 : 10 ; Решение: а) 32,26 : 10 = 3,226;

б) 53,4 : 100;

в) 234,5 : 1000.

б) 53,4 : 100 = 0,534;

в) 234,5 : 1000 = 0,2345.

ЗАДАЧА 3 Дени купила лента с дължина 1,8 m и я нарязала на равни части по 12 cm. Намерете броя на получените лентички. Решение: 1 m = (1 . 100) cm = 100 cm 1,8 m = (1,8 . 100) cm = 180 cm 180 : 12 = 15 Получените лентички са 15.

138

1 m = 10 dm 1 m = 100 cm 1 m = 1000 mm

1 dm = (1 : 10) m = 0,1 m 1 cm = (1 : 100) m = 0,01 m 1 mm = (1 : 1000) m = 0,001 m

1 dm = 10 cm 1 dm = 100 mm

1 cm = (1 : 10) dm = 0,1 dm 1 mm = (1 : 100) dm = 0,01 dm

1 cm = 10 mm

1 mm = (1 : 10) cm = 0,1 cm

Към съдържанието

ЗАДАЧА 4 Иво направил 4 обиколки по 450 m. Колко километра е пробягал Иво? Решение: 4 . 450 m = 1800 m 1800 m = (1800 : 1000) km = 1,8 km Иво е пробягал 1,8 km. 1 km = 1000 m

1 m = (1 : 1000) km = 0,001 km

ЗАДАЧА 5 От 4,5 kg малини домакиня направила компоти. Колко буркана е

напълнила, ако във всеки буркан е сложила по 180 g малини? Решение: 1 kg = ( 1 . 1 000) g = 1 000 g 4,5 kg = (4,5 . 1 000) g = 4 500 g 4 500 : 180 = 25 Домакинята е направила 25 буркана. 1 kg = 1 000 g 1 g = (1 : 1 000) kg = 0,001 kg 1 t

= 1 000 kg

1 kg = (1 : 1 000) t = 0.001 t

ЗАДАЧА 6 Една вафла струва 45 стотинки. Намерете колко лева е цената на опаковка от 50 вафли. Решение: 50 . 45 ст. = 2 250 ст. 2 250 ст. = (2 250 : 100) лв. = 22,50 лв. Цената на опаковката е 22,50 лв. 1 лв. = 100 ст.

ЗАДАЧИ

Превърнете в показаната мерна единица: 1 а) 2,33 m = ? cm; б) 1,4 m = ? dm; в) 0,006 m = ? mm; г) 17 m = ? km.

2 а) 53 cm

= ? dm; б) 123 cm = ? m; в) 2,7 cm = ? mm; г) 12345 cm = ? km.

3 а) 8,3 dm = ? cm;

б) 1,6 dm = ? mm; в) 2,7 dm = ? m; г) 1301 dm = ? km.

1 ст. = (1 : 100) лв. = 0,01 лв.

4 а) 0,234 km = ? m;

б) 0,13 km = ? dm; в) 0,003 km = ? cm; г) 0,0008 km = ? mm.

5 а) 2 345 g = ? kg;

б) 1,375 kg = ? g; в) 4 358 kg = ? t; г) 2,387 t = ? kg.

6 Правоъгълник има дължина

a = 0,8 dm и ширина b = 40 mm. Намерете измеренията и обикол ката P на правоъгълника в: а) mm; б) cm; в) dm.

139 Към съдържанието

67.

ДЕЛЕНИЕ НА ДЕСЕТИЧНА ДРОБ С ДЕСЕТИЧНА ДРОБ

При деление на десетични дроби се използва свойството на частното: Ако умножим делимото и делителя с 10, 100, 1000, ... , частното не се променя. Например 6 : 2 =3 (6 . 10) : (2 . 10) = 60 : 20 = 3. При деление с десетична дроб прилaгаме това свойство така, че делителят да стане естествено число.

ЗАДАЧА 1 Разделете десетичните дроби: а) 18,2 и 1,3; Решение: а)

а) 15,81 : 0,3;

а)

ЗАДАЧА 3 Извършете делението: Решение: а)

140

б)

Проверка:

ЗАДАЧА 2 Извършете делението: Решение:

б) 17,25 и 0,15.

б) 4,056 : 0,13.

б)

а) 6,93 : 10,5; б) 3 : 0,25; б)

в) 0,5 : 0,7. в)

Към съдържанието

Ако при делението в частното се получат повече знаци след десетичната запетая (Задача 3-в), обикновено закръгляваме с посочена точност. Например с точност 0,001 → 0,7142 ≈ 0,714.

Правило за деление на десетична дроб с десетична дроб • Десетичната запетая в делимото и делителя преместваме през толкова знака “вдясно”, колкото са знаците в дробната част на делителя. Така делителят става естествено число. • Извършваме деление с естествено число.

ЗАДАЧА 4 Пресметнете числената стойност на израза A = 3,4 . x − (2,3 − 0,5) : 0,9, ако: а) x = 1; б) x = 0,7; в) x = 1,8; г) x = 4,5. Решение: Ще решим задачата рационално, като представим израза A в по-удобен вид: A = 3,4 . x − (2,3 − 0,5) : 0,9 = 3,4 . x − 1,8 : 0,9 = 3,4 . x − 2 A = 3,4 . x − 2 a) за x = 1 A = 3,4 . 1 − 2 = 1,4 б) за x = 0,7 A = 3,4 . 0,7 − 2 = 2,38 − 2 = 0,38 в) за x = 1,8 A = 3,4 . 1,8 − 2 = 6,12 − 2 = 4,12 г) за x = 4,5 A = 3,4 . 4,5 − 2 = 15,3 − 2 = 13,3

ЗАДАЧА 5 Асен купил връзка банани по 2,40 лв. за килограм и портокали по 1,40 лв. за килограм и платил общо 8,02 лв. Видял на кантара, че бананите са 2,350 kg, а не забелязал колко килограма са портокалите. Можете ли да намерите колко килограма портокали е купил Асен? Решение: І начин: банани → 2,350 kg . 2,40 лв. = 5,64 лв. портокали → 8,02 лв. – 5,64 лв. = 2,38 лв. Асен дал 2,38 лв. за портокали с цена 1,40 лв. за килограм. Портокалите са 2,38 : 1,40 = 1,700 kg. Асен е купил 1,700 kg портокали.

ЗАДАЧИ

1 Пресметнете:

а) 28 : 0,04; 32 : 0,08; б) 13,41 : 0,3; 8,61 : 0,7; в) 7,36 : 2,3; 31,45 : 3,7; г) 0,851 : 3,7; 1,955 : 2,3. 2 Извършете делението: а) 0,064 : 0,016; 0,54 : 0,0027; б) 7,2 : 0,12; 0,0092 : 0,23; в) 1,998 : 0,00037; 0,00075 : 0,0025; г) 0,0144 : 0,0012; 0,000625 : 0,0025.

3 Пресметнете и закръглете до 0,1

частните: а) 15 : 4; б) 25 : 8; в) 47 : 8; г) 37,76 : 16. 4 Намерете стойността на числовия израз: а) 13,2 + 5,2 : 2; б) 14,8 – 7,2 : 3; в) 13,3 . 0,2 + 18,3 : 0,3; г) 14 : 0,5 – 27,3 : 3. Към съдържанието

141

68.

РАЗПРЕДЕЛИТЕЛНО СВОЙСТВО НА УМНОЖЕНИЕТО ОТНОСНО СЪБИРАНЕТО. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Пресметнете:

а) (13,2 + 8,4 . 2) . 1,7; б) (8,4 : 0,3 – 21,6) : 3,2. Решение: а) (13,2 + 8,4 . 2) . 1,7 = б) (8,4 : 0,3 – 21,6) : 3,2 = = (13,2 + 16,8) . 1,7 = = (28 – 21,6) : 3,2 = = 30 . 1,7 = 51 = 6,4 : 3,2 = 2

ЗАДАЧА 2 Проверете разпределителното свойство на умножението относно събирането, ако: Решение: а) (a + b) . c = (3,7 + 2,3) . 4 = = 6 . 4 = 24 а . с + b . c = 3,7 . 4 + 2,3 . 4 = = 14,8 + 9,2 = 24

14243

б) (a + b) . c = (0,8 + 9,2) . 0,6 = = 10 . 0,6 = 6 а . с + b . c = 0,8 . 0,6 + 9,2 . 0,6 = = 0,48 + 5,52 = 6

14243

а) a = 3,7, b = 2,3 и с = 4;

б) a = 0,8, b = 9,2 и с = 0,6.

⇒ (3,7 + 2,3) . 4 = 3,7 . 4 + 2,3 . 4 ⇒ (a + b) . c = а . с + b . c

⇒ (0,8 + 9,2) . 0,6 = 0,8 . 0,6 + 9,2 . 0,6 ⇒ (a + b) . c = а . с + b . c

Извод: За десетичните дроби е вярно разпределителното свойство на умножението относно събирането (a + b) . c = а . с + b . c.

ЗАДАЧА 3 Пресметнете рационално: а) 2,7 . 1,3 + 2,7 . 1,7; б) 0,38 . 17,2 + 0,38 . 82,8. Решение: б) 0,38 . 17,2 + 0,38 . 82,8 = а) 2,7 . 1,3 + 2,7 . 1,7 = = 0,38 . (17,2 + 82,8) = = 2,7 . (1,3 + 1,7) = = 0,32 . 100 = 32 = 2,7 . 3 = 8,1

ЗАДАЧА 4 Намерете х, ако 3 + х = 0,126 . 12,3 + 0,126 . 87,7; Решение: 3 + х = 0,126 . 12,3 + 0,126 . 87,7 3 + х = 0,126 . (12,3 + 87,7) 3 + х = 0,126 . 100 3 + х = 12,6 x = 12,6 – 3 x = 9,6

142

Към съдържанието

ЗАДАЧА 5 Намерете х, ако х – 1,2 = 0,24 . 7,13 + 0,24 . 2,87; Решение: х – 1,2 = 0,24 . 7,13 + 0,24 . 2,87 х – 1,2 = 0,24 . (7,13 + 2,87) х – 1,2 = 0,24 . 10 х – 1,2 = 2,4 x = 2,4 + 1,2 x = 3,6

ако a = 17,2, b = 7,2 и с = 0,3. Решение: (a – b) . c = (17,2 – 7,2) . 0,3 = = 10 . 0,3 = 3 а . с – b . c = 17,2 . 0,3 – 7,2 . 0,3 = = 5,16 – 2,16 = 3

14243

ЗАДАЧА 6 Проверете разпределителното свойство на умножението относно изваждането,

⇒ (17,2 – 7,2) . 0,3 = 17,2 . 0,3 – 7,2 . 0,3 ⇒ (a – b) . c = а . с – b . c

ЗАДАЧА 7 Пресметнете рационално:

а) 123 . (0,01 + 2); б) 213 . (0,2 + 0,01). Решение: а) 123 . (0,01 + 2) = б) 213 . (0,2 + 0,01) = = 123 . 0,01 + 123 . 2 = = 213 . 0,2 + 213 . 0,01 = = 1,23 + 246 = = 42,6 + 2,13 = = 247,23 = 44,73

ЗАДАЧИ

1 Пресметнете рационално:

а) 5,2 . 0,4 + 5,2 . 0,6; б) 3,7 . 1,3 + 3,7 . 1,7; в) 12,7 . 0,83 + 12,7 . 9,17; г) 7,4 . 2,8 + 7,4 . 2,2.

2 Пресметнете рационално:

а) 32 . (0,2 + 0,01); б) 5,3 . (0,1 + 2); в) 123 . (0,01 + 0,3); г) 37,8 . (9,33 + 0,67).

3 Намерете х, ако:

а) 2 . х = 2,3 . 2,7 + 3,7 . 2,7; б) х . 3 = 4,7 . 5,6 – 4,7 . 2,6;

в) х : 2,5 = 34,5 . 1,36 + 34,5 . 2,64; г) 4,8 : х = 2,4 . 2,3 + 2,4 . 1,7.

4 Ния купила 4 литра прясно мляко по

1,75 лв. и 4 кофички кисело мляко по 1,25 лв. Намерете колко лева е платила Ния за покупката.

5 За направата на детска площадка са

закупени два вида плочки: 35 m2 по 13,25 лв. за 1 m2 и 35 m2 по 16,75 лв. за 1 m2. Намерете колко лева са платени за покупката.

143 Към съдържанието

69.

ЗАВИСИМОСТИ НА ПРОИЗВЕДЕНИЕТО И ЧАСТНОТО ОТ КОМПОНЕНТИТЕ* ИМ. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Пресметнете стойността на израза:

a) A = a . 0,3, ако a = 2, 4, 8, 16; б) A = 2,4 . b, ако b = 10, 20, 40, 80. Решение: а) A = 2 . 0,3 = A = 4 . 0,3 = A = 8 . 0,3 = 0,6 1,2 2,4 б) A = 2,4 . 10 = A = 2,4 . 20 = A = 2,4 . 40 = 24 48 96

A = 16 . 0,3 = 4,8 A = 2,4 . 80 = 192

За произведението (a . 0,3) забелязваме, че: • ако увеличаваме единия множител, произведението също се увеличава; • ако само единия множител умножим с дадено число (2; 2.2 = 4; 4.2 = 8; ...), произведението също се умножава с това число (0,6; 0,6.2 = 1,2; 1,2.2 = 2,4; ...).

Ако умножаваме единия множител с дадено число, произведението се умножава със същото число.

ЗАДАЧА 2 Проверете вярно ли е попълнена таблицата, открийте зависимост на произведе нието от множителите и направете извод. a b a.b

80 0,2 16

40 0,2 8

20 0,2 4

10 0,2 2

5 0,2 1

2,5 0,2 0,5

Ако делим единия множител с дадено число, произведението се дели със същото число.

ЗАДАЧА 3 Проверете вярно ли са попълнени таблиците, открийте зависимост на частното от делимото и делителя и направете изводи. а)

a b a:b

5,1 5,1 1

10,2 5,1 2

20,4 5,1 4

б)

a b a:b

80 0,2 400

40 0,2 200

20 0,2 100

а) Ако делимото се увеличава, и частното се увеличава. Ако умножаваме делимото с дадено число, частното се умножава със същото число. б) Ако делимото се намалява, и частното се намалява. Ако делим делимото с дадено число, частното се дели със същото число. * Множителите са компоненти на произведението. Делимото и делителят са компоненти на частното.

144

Към съдържанието

в)

a b a:b

16,8 2 8,4

16,8 4 4,2

г)

16,8 8 2,1

a b a:b

12,4 4 3,1

12,4 2 6,2

12,4 1 12,4

в) Ако делителят се увеличава, частното се намалява. Ако умножаваме делителя с дадено число, частното се дели със същото число. г) Ако делителят се намалява, частното се увеличава. Ако делим делителя с дадено число, частното се умножава с това число.

ЗАДАЧА 4 Пресметнете стойността на израза A = а : b, ако: Решение: а) a = 0,8 b = 0,2 A = 0,8 : 0,2 = 4

a = 0,8 . 10 = 8 b = 0,2 . 10 = 2

a = 0,8 . 2 = 1,6 b = 0,2 . 2 = 0,4

A = 8 : 2 = 4

A = 1,6 : 0,4 = 4

Ако делимото и делителя умножаваме с дадено число, частното не се променя. б) a = 40,8 b = 0,8

a = 40,8 : 2 = 20,4 b = 0,8 : 2 = 0,4

a = 40,8 : 4 = 10,2 b = 0,8 : 4 = 0,2

A = 40,8 : 0,8 = 51

A = 20,4 : 0,4 = 51

A = 10,2 : 0,2 = 51

Ако делимото и делителя делим с дадено число, частното не се променя.

ЗАДАЧИ

Пресметнете стойността на израза A и направете изводи при: 1 A = 0,6 . a, ако: а) a = 1; б) a = 3; в) a = 9; г) a = 27. 2 A = 0,79 . a, ако: а) a = 10; б) a = 100; в) a = 1000; г) a = 10000. 3 A = a : 3, ако: а) a = 61,2; б) a = 30,6; в) a = 15,3; г) a = 7,65. 4 A = 20,4 : a, ако: а) a = 4; б) a = 2; в) a = 1; г) a = 0,5.

5 A = 40 : a, ако:

а) a = 0,1; б) a = 0,2; в) a = 0,4; г) a = 0,8. Пресметнете: 6 A = a : b, ако: а) a = 64; б) a = 32; b = 16; b = 8; в) a = 8; г) a = 1,6; b = 2; b = 0,4. 7 A = a : b, ако: а) a = 6,5; б) a = 65; b = 1,3; b = 13; в) a = 19,5; г) a = 13; b = 3,9; b = 2,6. Към съдържанието

145

70.

ДЕЙСТВИЯ С ДЕСЕТИЧНИ ДРОБИ. НАМИРАНЕ НА НЕИЗВЕСТЕН МНОЖИТЕЛ, ДЕЛИМО И ДЕЛИТЕЛ. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Пресметнете с точност до 0,01:

Решение: а) (160,8 : 40,2 − 0,2 . 0,3) + 3,2; a) (160,8 : 40,2 − 0,2 . 0,3) + 3,2 = = (4 − 0,06) + 3,2 = = 3,94 + 3,2 = 7,14 б) 160,8 : (40,2 − 0,2 . 0,3) + 3,2; б)

160,8 : (40,2 − 0,2 . 0,3) + 3,2 = = 160,8 : (40,2 − 0,06) + 3,2 = = 160,8 : 40,14 + 3,2 ≈ ≈ 4,01 + 3,2 ≈ 7,21

в) 160,8 : 40,2 − (0,2 . 0,3 + 3,2); в) 160,8 : 40,2 − (0,2 . 0,3 + 3,2) = = 4 − (0,06 + 3,2) = = 4 − 3,26 = 0,74 г) 160,8 : (40,2 − 0,2 . (0,3 + 3,2)). 

г) 160,8 : (40,2 − 0,2 . (0,3 + 3,2)) =

I = 160,8 : (40,2 − 0,2 . 3,5) = 4 II 4 = 160,8 : (40,2 − 0,7) = III  = 160,8 : 39,5 ≈ 4,07 IV

ЗАДАЧА 2 Намерете неизвестното число x, ако: а) х . 0,2 = 4; б) х : 0,12 = 3; в) 0,8 : х = 4 x . 3,2 = 1,92 x : 0,7 = 2,3; 15,3 : x = 0,3. Решение: а) х . 0,2 = 4 .2=6 х = 4 : 0,2 = 6 : 2 х = 20 б) х : 0,12 = 3 :2=3 х = 3 . 0,12 = 3 , 2 х = 0,36 в) 0,8 : х = 4 6: =2 х = 0,8 : 4 = 6 : 2 х = 0,2

146

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 Намерете x, ако:

а) х : 0,3 – 4,7 = 2,3;

б) 7,2 : (х – 3,6) = 3.

Решение: а) х : 0,3 – 4,7 = 2,3 х : 0,3 = 2,3 + 4,7 х : 0,3 = 7 х = 7 . 0,3 х = 2,1

а) 7,2 : (х – 3,6) = 3 х – 3,6 = 7,2 : 3 х – 3,6 = 2,4 х = 2,4 + 3,6 х = 6

ЗАДАЧА 4 Намерете неизвестното число x, ако:

а) (7,5 − x) : 0,2 = 2,5 . 10; б) 18,92 : (x + 2,3) = 22 : 10.

Решение: а) (7,5 − x) : 0,2 = 2,5 . 10 (7,5 − x) : 0,2 = 25 :2=3 7,5 − x = 25 . 0,2 = 3 . 2 7,5 − x = 5 5− =3 x = 7,5 − 5 = 5 − 3 x = 2,5

б) 18,92 : (x + 2,3) = 22 : 10 18,92 : (x + 2,3) = 2,2 x + 2,3 = 18,92 : 2,2 x + 2,3 = 8,6 x = 8,6 − 2,3 x = 6,3

ЗАДАЧА 5 Намислих едно число. Намалих го 5 пъти. Полученото число увеличих с

произведението на числата 1,4 и 4 и получих частното на числата 2 и 0,25. Намерете намисленото число. Решение: x : 5 + 1,4 . 4 = 2 : 0,25 x : 5 + 5,6 = 8 x : 5 = 8 – 5,6 x : 5 = 2,4 x = 2,4 . 5 x = 12 Намисленото число е 12.

ЗАДАЧИ

1 Пресметнете:

а) 0,84 : 0,03 + 4,8 : 0,12; б) 5,2 : (7,6 : 0,4 – 17); в) 23,4 – 8,4 : (5,6 – 9 . 0,4); г) 9,2 . 0,7 – (19,7 – 5,3 . 3) . 0,8. Намерете неизвестното число x, ако:

2 а) 8,4 . х + 5,6 = 9,8; 3

б) 0,4 . х + 15,67 = 29,67; в) 5,7 – 0,4 . х = 2,9; г) 2,1 : х – 2,3 = 4,7. а) x : 0,3 = 15;

б) 0,3 : x = 5; в) (x + 2,5) : 0,3 = 15; г) (x – 3,7) . 5,6 = 0,224.

4 а) 2 . х – 2,3 . 2,7 + 3,7 . 2,7;

б) х . 3 = 4,7 . 5,6 – 4,7 . 2,6; в) х : 2,5 = 34,5 . 1,36 + 34,5 . 2,64; г) 4,8 : х = 2,4 . 2,3 + 2,4 . 1,7. 5 а) (13,4 − x) : 0,3 = 5 : 10; б) 16,8 : (10,2 − x) = 2 : 0,5; в) (0,3 . x + 5,9) : 0,16 = 5 : 0,1 ; г) (17,2 − x : 0,4) . 0,7 = 0,56 . 9.

Към съдържанието

147

71.

ИЗПОЛЗВАНЕ НА КАЛКУЛАТОР. ПРАКТИЧЕСКИ ЗАДАЧИ

ЗАДАЧА 1 Пресметнете с калкулатор: а) 123,748 + 59,875; б) 398,297 – 189,379;

в) 105,375 . 27,4; г) 2431,193 : 46,46.

Отговор: а) 183,623

в) 2887,275 г) ≈ 52,33

б) 208,918

ЗАДАЧА 2 Проверете равенствата: а) (253,62 + 489,79) . 256 = 190 312,96 ; б) 372,5 . 14,4 – 4 789,23 = 574,77; в) 354 : 23,6 + 359,68 = 374,68; г) 4521,06 – 45,6 . 74,5 = 1123,86.

При решаване на Задача 2 - г) първо умножаваме 45,6 . 74,5, записваме в тетрадките това произведение (3 397,2) и след това пресмятаме 4 521,06 – 3 397,2 = 1 123,86.

ЗАДАЧА 3 През месец юли 2016 г. таксиметрова фирма работи при следните условия: начална такса

0,70 лв.

пробег 1 km (дневна тарифа) 0,79 лв. престой 1 min

0,22 лв.

Каква сума трябва да плати г-н Иванов, ако е изминал 3,988 km и е направил престой от 4 min? Решение: Сметката на г-н Иванов е дадена на фискалния бон: 0,70 + 3,988 . 0,79 + 4 . 0,22 = = 0,70 + 3,15 + 0,88 = 4,73 Г-н Иванов е платил 4,73 лв.

ЗАДАЧА 4 Един син кит тежи 136,2 t. Седем лъва тежат 1 589 kg.

Колко лъва тежат колкото един син кит? Решение: 136,2 t = 136 200 kg 1 лъв тежи 1 589 : 7 = 227 kg. 136 200 : 227 = 600 600 лъва тежат колкото един син кит.

148

Към съдържанието

ЗАДАЧА 5 При пазаруване семейство Михалеви

получили фискален бон. Проверете фискалния бон. Решение: 1. Преброяваме числата, след които има знак Б. Те са 10, т.е. семейството е закупило 10 стоки. 2. Проверяваме цената на следните продукти: картофи: 1,240 . 0,49 = 0,6076 ≈ 0,61 – да краставици: 0,612 . 2,19 = 1,34028 ≈ 1,34 – да домати: 1,338 . 2,49 = 3,33162 ≈ 3,33 – да кашкавал: 0,530 . 8,99 = 4,7647 ≈ 4,76 – да. С „да“ означаваме, че получената сума е правилно нанесена във фискалния бон. 3. Събираме 10-те крайни цени (тези със знак Б) и получаваме сбора 30,94 – верен. 4. Платени са в брой 40,94 лв. Рестото е 10,00 лв. (40,94 – 30,94 = 10,00) Фискалният бон е верен.

ЗАДАЧА 6 При x = 75,36 и y = 48,5 пресметнете стойността на изразите: а) A = (x – y) . 23,4;

б) B = x . y – 23,4.

Решение: а) б)

ЗАДАЧИ

1 Пресметнете*:

а) 12,3 . 7,5 – 67,89; 104,88 : 4,56 + 34,56; б) (278,56 – 199,77) . 34,5; 147,89 – 27,69 . 3,4; в) 5,7 . 6,5 . 4,2 + 235,61; 3,8 . 4,5 . 12 + 309,2; г) 14,46 : 0,241 + 77,77; 15,45 : 1,03 + 13,2 . 7,4. 2 Пресметнете стойността на израза A = x . 0,23 + 7,89, ако: а) x = 13,5; б) x = 107; в) x = 4,25; г) x = 1,5.

3 Пресметнете стойността на израза

A = x . y + 4,56, ако: а) x = 124; y = 0,43; б) x = 256; y = 0,025. 4 Пресметнете стойността на израза A = x . 0,35 + y : 0,2 + 7,3, ако: а) x = 10,8; y = 126,8; б) x = 27,3; y = 51,64. 5 Намерете неизвестното x, ако: а) x – 259,78 = 384,35; б) 1 275,6 – x = 1 197,9; в) x . 4,25 – 12,53 = 4,47; г) (x – 13,4) . 2,5 = 4.

* Всички задачи от дадената самостоятелна работа да се решават с калкулатор.

Към съдържанието

149

72.

РЕШАВАНЕ НА ТЕКСТОВИ ЗАДАЧИ Ако в условието на една задача е описана с думи случка от живота (покупка, продажба, игра и т.н.), ще казваме, че е дадена текстова задача (задача, зададена с текст). Текстова задача решаваме, като чрез разсъждения превеждаме задачата от говоримия език на езика на математиката (като използваме действията събиране, изваждане, умножение, деление и знака “=”). В такъв случай казваме, че сме съставили математически модел на задачата (или само модел). Казваме, че: Пишем: b е с 2 по-голямо от a → b = a + 2 или b − 2 = a b е с 3 по-малко от a → b = a − 3 или b + 3 = a b е 4 пъти по-голямо от a → b = 4 . a или b : 4 = a b е 5 пъти по-малко от a → b = a : 5 или b . 5 = a A e 10. → A = 10.

Когато в условието се употребяват: • думите “печеля, получавам, увеличавам, ...”, използваме действията събиране и умножение; • думите “губя, давам, намалявам, купувам, харча, ...”, използваме действията изваждане и деление.

ЗАДАЧА 1 Мая поканила съученици за рождения си ден. Те събрали по 7 лв. за подарък.

След като купили компютърна игра за 44,25 лв., им останали 4,75 лв. за цветя. Колко са били приятелите на Мая, които са дали пари за подарък? Решение: 1. Избираме неизвестно число: x е броят на приятелите, дали пари за подарък. 2. Съставяме модел: Разсъждаваме така: Пишем x души събрали по 7 лв. 7.x От тях дали 44,25 лв. за подарък. 7 . x – 44,25 Останали 4,75 лв. 7 . x – 44,25 = 4,75. 3. Намираме неизвестното число x: 7 . x – 44,25 = 4,75 7 . x = 4,75 + 44,25 7 . x = 49 x = 7. 4. Записваме с думи отговора на задачата: 7 приятели са дали пари за подарък.

При решаване на текстова задача: 1. Избираме неизвестно число. 2. Съставяме модел.

3. Намираме неизвестното число. 4. Записваме отговора.

150 Към съдържанието

ЗАДАЧА 2 В училищната книжарница за един ден продали 27 сборника по математика за 5. клас с единична цена 5,60 лв. и 3 пъти по-малко сборници по математика за 6. клас. Каква е единичната цена на сборника за 6. клас, ако от продадените през деня сборници са получили 203,40 лв.? Решение: 1. x е цената на сборника за 6. клас. 2. Продадените сборници за 6. клас са 9, защото 27 : 3 = 9. брой единична цена (лв.) обща сума (лв.) сборници за 5. клас 27 5,60 27 . 5,60 сборници за 6. клас 9 x 9.x 3. 4.

Общата получена сума е 203,40 лв., т.е. 27 . 5,60 + 9 . x = 203,40. Намираме неизвестното x: 27 . 5,60 + 9 . x = 203,40 151,2 + 9 . x = 203,4 2 + = 5 9 . x = 203,4 − 151,2 =5–2 9 . x = 52,2 3 . = 6 x = 52,2 : 9 =6:3 x = 5,8. Цената на сборника за 6. клас е 5,80 лв.

ЗАДАЧА 3 Намислих едно число. Увеличих го с 325. Полученото число намалих 11 пъти и получих произведението на числата 80 и 0,5. Кое число съм намислил? Решение: 3. 1. x е намисленото число. 2. x увеличих с 325. x + 325 x + 325 намалих 11 пъти. (x + 325) : 11 Получих 80 . 0,5 = 40 . (x + 325) : 11 = 40.

4. Намислил съм числото 115.

ЗАДАЧИ

1 Намислих едно число. Увеличих го

получих частното на числата 245,6 и 0,4. Кое число съм намислил? 3 пъти. Полученото число намалих със 77 и получих произведението 4 З а обзавеждане на една класна на числата 13,3 и 10. Кое число съм стая закупили 16 маси и 2 пъти намислил? повече столове и платили 1 776 лв. Намерете колко струва една маса, 2 Намислих едно число. От него ако цената на един стол е 28,50 лв. извадих сбора на числата 21 и 303 и получих тяхното произведение. 5 Н яколко приятели отишли на излет в планината. За закупуване Кое число съм намислил? на храна трима дали по 15,50 лв., 3 Намислих едно число. Увеличих го а останалите – по 17,50 лв. Колко 5 пъти. С полученото число намалих са били приятелите, ако събраната най-голямото трицифрено число и сума е била 116,50 лв.? Към съдържанието

151

73.

ЗАДАЧИ ОТ ДВИЖЕНИЕ Ако A и B са две селища, SAB е разстоянието между тях и: • Ангел тръгва от A, спира в C и продължава до B, то SAB = SAC + SCB , SAC SCB • Ангел тръгва от A, а Васил – от B, и се срещат в C, то SAB = SAC + SBC , SAC SBC • Ангел тръгва от A, а Васил – от B, и се настигат в C, то SBC SAB = SAC – SBC . SAC Зависимостта между изминатия път S, средната скорост на движение на тялото v и времето t е: S = v . t , където мерната единица за v е съобразена с мерните единици за S и t: Например, ако S → километри (km), t → часове (h), то v → km/h.

ЗАДАЧА 1 От градовете A и B едновременно един срещу друг тръгнали двама велоси

педисти. Велосипедистът от A се движел със средна скорост 12,8 km/h, а велосипедистът от B – със средна скорост 14,2 km/h. Те се срещнали след 2 часа. Намерете разстоянието между градовете A и B. Решение: Съставяме таблицата: v (km/h) t (h) S (km) велос. от A 12,8 2 12,8 . 2 велос. от B 14,2 2 14,2 . 2 SAB = SAC + SBC

SAB = 12,8 . 2 + 14,2 . 2 = (12,8 + 14,2) . 2 = 27 . 2 SAB = 54 km

ЗАДАЧА 2 Христо тръгнал пешá от хижа в планината и пристигнал в близкото село за 3 h, като се движел със скорост 6,3 km/h. От селото взел велосипед и за 2 h, като се движел с 12,6 km/h, пристигнал в града. а) Колко километра е изминал Христо? б) Каква е средната му скорост? Хижа

Село 152

Град Към съдържанието

Решение:

а) Съставяме таблицата: v (km/h) t (h) Х → С 6,3 3 С → Г

SХГ = SХС + SСГ

12,6

S (km) SХС = 6,3 . 3 SСГ = 12,6 . 2

SХГ = 6,3 . 3 + 12,6 . 2 = 18,9 + 25,2 = 44,1 Христо изминал 44,1 km.

б) Христо пътувал 3 h пешá и 2 h с велосипед, т.е. общо 5 h. Целият път от хижата до града е 44,1 km. Тогава, като разделим целия път на времето, за което той е изминат, получаваме средната скорост, с която се е движил Христо: 44,1 : 5 = 8,82, vср = 8,82 km/h.

В Задача 2-б) средната скорост можем да намерим, като разделим сбора от скоростите за всеки час на броя часове, т.е.: (6,3 + 6,3 + 6,3 + 12,6 + 12,6) : 5 = (3 . 6,3 + 2 . 12,6) : 5 = = (18,9 + 25,2) : 5 = 44,1 : 5 = 8,82, vср = 8,82 km/h. Движението на водата в река се определя от скоростта на течението. Ако моторна лодка се движи по течението, скоростта ѝ е vпо теч. = vспокойна вода + vтечението . Ако моторна лодка се движи срещу течението, скоростта ѝ е vср. теч. = vспокойна вода − vтечението .

ЗАДАЧИ

1 Разстоянието между градовете A 3 Град В е между градовете А и С. и B е 270 km. От град A за град B тръгнал автобус, който се движел със средна скорост 82,5 km/h. На какво разстоя ние от град B ще се намира автобусът след 3 h от тръгването му?

В едно и също време тръгнали за С лека кола от А и камион от В. Ако средната скорост на колата е била 80,5 km/h, а на камиона – 60,5 km/h, и леката кола е настигнала камиона 3 h след тръгването им, намерете разстоянието между градовете А и В.

2 Автобус тръгнал от град А за град В в

7 часá и се движил със средна скорост 60,5 km/h. В същия час от В за А тръгнал друг автобус, който се движил със средна скорост 66,5 km/h. Срещнали се в 9 часá същия ден. Намерете: а) колко километра е изминал всеки автобус до срещата; б) разстоянието между градовете А и В.

4 Разстоянието между пристанищата

А и B на една река е 270 km. Кораб тръгва от A към B по течението на реката със скорост на двигателите 26,8 km/h. Ако скор о стта на течението е 3,2 km/h, намерете: а) за колко време корабът изминава разстоянието от A до B; б) в колко часá пристига в B, ако тръгва от A в 8 часá сутринта? Към съдържанието

153

74.

ПРЕВРЪЩАНЕ НА ДЕСЕТИЧНИ ДРОБИ В ОБИКНОВЕНИ И НА ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ В ДЕСЕТИЧНИ Превръщане на десетични дроби в обикновени

ЗАДАЧА 1 Превърнете в обикновени дроби следните десетични дроби: 0,3; 0,8; 0,17; 0,32; 0,06; 0,008. Решение:

Когато десетичната дроб има цяла част, равна на 0 ( 0,8), тя се превръща в обикновена дроб със знаменател 10, 100, 1000... несъкратима дроб

и ако може да се съкрати – в

ЗАДАЧА 2 Превърнете в смесени числа следните десетични дроби: 8,19; 12,4; 32,25. Решение:

ЗАДАЧА 3 Превърнете в обикновени дроби следните десетични дроби: 3,2; 2,05. Решение: Когато десетичната дроб има цяла част, която не е равна на 0 (7,04): I начин:

превръщаме я в смесено число дробната му част обикновена дроб

II начин:

, съкращаваме, ако е възможно,

и тогава смесеното число превръщаме в ;

десетичната дроб записваме като обикновена дроб със знаменател 10, 100...

и, ако е възможно, съкращаваме

ЗАДАЧА 4 Превърнете по два начина в обикновени дроби следните десетични дроби: 17,12; 258,125. Решение:

154

Към съдържанието

Превръщане на обикновени дроби в десетични ЗАДАЧА 5 Превърнете в десетични дроби следните обикновени дроби: а)

б)

в)

Решение: а)

б)

в)

бикновена дроб превръщаме в десетична, като разделим числителя О на знаменателя.

ЗАДАЧА 6 Като използвате основното свойство на частното,

превърнете в десетични дроби следните обикновени дроби: а) ; Решение:

б)

;

в)

а)

б)

в)

ЗАДАЧА 7 Като използвате калкулатор, превърнете в десетични дроби следните числа: a) ; Решение:

б)

а) б)

ЗАДАЧИ

Превърнете в обикновени дроби след в) 38,48; г) 52,95. ните десетични дроби: Превърнете в десетични дроби следните обикновени дроби: 1 а) 0,4; б) 0,16; в) 0,25.

2 а) 2,5; б) 3,2; в) 7,8. 3 а) 5,12; б) 8,25; в) 12,16. 4* а) 47,04; б) 38,24; в) 37,48. 5 Превърнете в смесени числа

следните десетични дроби: а) 15,22; б) 27,35;

6 а) ;

б)

;

в)

;

г)

7 а)

б)

;

в)

;

г)

8* а)

в)

;

б)

;

г)

; .

* Може да се ползва калкулатор.

Към съдържанието

155

75.

КРАЙНА ДЕСЕТИЧНА ДРОБ. БЕЗКРАЙНА ПЕРИОДИЧНА ДЕСЕТИЧНА ДРОБ

ЗАДАЧА 1 Превърнете в десетични дроби следните обикновени дроби: а)

;

б)

;

Решение: а)

в)

б)

в)

В разгледаните примери остатъкът е числото 0.

Крайна десетична дроб Когато при деление на две числа получим остатък 0, казваме, че частното е крайна десетична дроб. За да се напише една несъкратима обикновена дроб като крайна десетична дроб, трябва знаменателят и΄да може да се разложи на произведение от прости множители, които са: • само двойки → 2 . 2 . 2 ... Например • само петици → 5 . 5 . 5 ... • само двойки и петици → 2 . 2 . 5 ...

ЗАДАЧА 2 Превърнете в десетични дроби следните обикновени дроби: а) ; б) . Решение:

а) б)

При деление на числата от Задача 2 се получават безброй много знаци след десетичната запетая. В условие б) ясно се виждат повтарящите се групи цифри, които се наричат периоди.

156

Към съдържанието

Пишем:

Четем:

0,333... = 0,(3); 1,5454... = 1,(54); 0,833... = 0,8(3).

0 цяло и 3 в период; 1 цяло и 54 в период; 0,8 и 3 в период.

Безкрайна периодична десетична дроб Когато при деление на две числа винаги се получава остатък, различен от 0, частното е безкрайна периодична десетична дроб.

ЗАДАЧА 3 Като използвате калкулатор, превърнете в десетични дроби следните обикновени дроби: Решение:

Когато една десетична дроб е записана с повече от една цифра след десетичната запетая (цифрите могат да бъдат 2, 3, 4, 5 ...), обикновено се закръглява с точност до 0,1, или 0,01, или 0,001.

ЗАДАЧА 4 Превърнете в десетични дроби и закръглете следните смесени числа: а)

с точност до 0,1; б)

Решение:

а)

б)

в)

с точност до 0,01; в)

с точност до 0,001.

Когато превръщаме смесено число в десетична дроб (Задача 4), достатъчно е да превърнем дробната му част в десетична дроб.

ЗАДАЧИ

Запишете като периодични дроби числата:

4 а)

;

б)

; в)

;

г)

1 а) ;

б)

;

в)

;

г)

Превърнете в десетични дроби и закръг лете с точност до 0,001 числата:

2 а) ;

б)

;

в)

;

г)

5 а) ;

б)

3 а) ;

б)

;

в)

;

г)

6 а)

б)

;

в)

; в)

; ;

г) г)

Към съдържанието

. .

157

76.

ДЕЙСТВИЯ С ОБИКНОВЕНИ И ДЕСЕТИЧНИ ДРОБИ. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Пресметнете:

а)

б)

в)

Решение:

а)

б)

в)

ЗАДАЧА 2 Пресметнете:

а)

Решение:

а)

б)

в)

б)

; в)

ЗАДАЧА 3 Пресметнете:

а)

б)

Решение:

а)

б)

ЗАДАЧА 4 Намерете х, ако: а)

158

б)

в)

Към съдържанието

Решение: а)

б)

в)

ЗАДАЧА 5 Намерете х, ако: а)

;

б)

;

в)

Решение: а)

ЗАДАЧИ

б)

в)

Пресметнете: 1 а) ; б)

;

в)

;

г)

2 а)

;

б)

;

в)

;

г)

3 а)

;

б)

в)

;

г)

4 а)

;

б)

5 а)

. ;

б)

; ;

в)

г)

6 а)

;

в) ; г) Намерете х, ако:

б)

в)

; . ; ; .

7 а)

;

б)

;

в)

8 а)

;

б)

;

в)

;

г)

159 Към съдържанието

77.

ПРОЦЕНТ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

ПРИМЕР 1 Стефан внесъл в банка 800 лв. с годишна лихва 5%.

Това означава, че след една година сумата ще нарасне с . 800 = 40 (лв.),

oт 800 =

т.е. след една година влогът на Стефан ще бъде 840 лв.

ПРИМЕР 2

На пътния знак 5% означава, че в следващите 800 m наклонът на пътя се увеличава с oт 800 = 40 (m), т.е. с 40 m. Частта

от числото 800 е 40.

Процент част от дадено число е прието да се означава с 1% от това число. Пишем:

. Четем: “Една стотна е равна на един процент”.

Например:

;

200

Под “5%” разбираме частта

200 10 .

от числото 1, т.е. 5% =

.1=

= 0,05.

ЗАДАЧА 1 Запишете дробите като процент:

а)

;

б)

;

в)

;

г)

Решение:

а)

б)

в)

г)

ЗАДАЧА 2 Запишете процентите 11%, 7%, 123%, 12,9% като дроби: а) с обикновена дроб; Решение:

а)

б)

б) с десетична дроб.

160 Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 Запишете като процент числата 1; 2; 5; 10. Решение:

ЗАДАЧА 4 Запишете като процент дробите:

а)

;

б)

Решение: I начин:

а)

II начин:

б)

• За да запишем едно число като процент от единицата (Задачи 3, 4), трябва да го превърнем в обикновена дроб със знаменател 100. За тази цел използваме основното свойство на дробите. • Ако числителят на дробта със знаменател 100 е дробно число, обикновено го записваме като десетична дроб. В някои случаи се получават приближени стойности (Задача 4 - б).

ЗАДАЧА 5 Намерете оцветената част от фигурата и я запишете като процент от цялата фигура.

50%

ЗАДАЧИ

25%

1 Запишете дробите като процент:

а)

б)

в)

г) 0,33; 0,09; 5,17; 1,2.

43,75%

2 Запишете с обикновена дроб про

центите: а)

б) 0,6%; 1,3%; 0,2%; 0,25%. 3 Запишете с десетична дроб про центите: а) 53%; 2%; 13%; 102%;

б)

Към съдържанието

161

78.

ПРОЦЕНТ. ОСНОВНИ ЗАДАЧИ

ЗАДАЧА 1 Пазаруваме в магазин. а • Стойността на покупката а x лв. е ДДС. без ДДС* е 135 лв. • ДДС е 20%. Колко лева е ДДС?

ДДС е 27 лв. (На касата ще платим 135 + 27 = 162 лв.) б • ДДС е 20%. б x лв. е стойността на покупката без ДДС. • ДДС e 27 лв. Каква е стойността на покупката без ДДС?

Покупката без ДДС е на стойност 135 лв.

в • Стойността на покупката в x % е ДДС. без ДДС е 135 лв. • ДДС е 27 лв. Какъв процент е ДДС?

ДДС е 20%.

Забелязваме, че при решаване на Задача 1 участват: • стойност на покупката без ДДС (135 лв.); • ДДС в проценти (20%); • ДДС в левове (27 лв.). Между тях има зависимост: 20% от 135 = 27, т.е. 20% . 135 = 27. * ДДС – данък добавена стойност

162

Към съдържанието

Запомнете, че p% от a = b e . Решихме 3 вида задачи:

Задачи от I вид Намерете x, ако 5% oт 120 = x .

ЗАДАЧА 2 Намерете:

а) 9,6% от 500 ;

Решение: а) 9,6% от 500 =

, x = 6 б) 135% от 20.

б) 135% от 20 =

ЗАДАЧА 3 В една фирма назначили счетоводител с основна месечна заплата 1 360 лв. За добра работа му увеличили заплатата с 15%. а) Колко лева е увеличението? б) Колко лева е новата заплата? Решение: 15 а) x лв. е увеличението. 15% oт 1 360 = x, 100 ∙ 1 360 = x, x = 204 Увеличението е 204 лв. б) Новата заплата е (1 360 + 204 = 1 564) 1 564 лв. или 115% от 1 360 = 1,15 . 1 360 = 1 564 лв.

ЗАДАЧИ

1 Заплатата на служител е 840 лв.

Здравната му осигуровка е 8% от заплатата. Колко лева е здравната осигуровка? 2 В аптека правили отстъпка за пенсионери, която била 10% от цената на лекарствата. Бабата на Ани купила лекарства, цената на които била 32 лв. Колко лева е платила бабата на Ани? 4 Ц е н ат а н а ед и н ком п ют ъ р е 1600 лв. Каква ще бъде тя след две 3 Намерете новите цени на стоките: последователни намаления с 10% и а) при намаление с 10% ; с 5%? б) при увеличение с 5% . Към съдържанието

163

79.

ПРОЦЕНТ. ОСНОВНИ ЗАДАЧИ (ПРОДЪЛЖЕНИЕ) В този урок може да се работи с калкулатор. Задачи от II вид Намерете x, ако 5% oт x = 6 .

ЗАДАЧА 1 Намерете x, ако: а) 39% от x = 1755 ; Решение:

а)

x = 120

б) 73% от x = 2522,88. б)

ЗАДАЧА 2 В края на годината издателство платило на автор хонорар. С 28% от хонорара той си купил телевизор за 385 лв. а) Колко лева е бил полученият хонорар? б) Колко лева са останали на автора? Решение: а) x лв. е полученият хонорар.

Полученият хонорар е бил 1375 лв. б) След покупката на автора са му останали 990 лв. (1375 – 385 = 990).

ЗАДАЧА 3 При купуване на лекарствo хронично болен ползва отстъпка 15% от здравната каса, която е 12 лв. а) Каква е цената на лекарството? б) За колко лева болният го купува? Решение: а) x лв. е цената на лекарството.

Цената на лекарството е 80 лв. б) Болният купува лекарството за 68 лв. (80 – 12 = 68). Задачи от III вид Намерете x, ако x% oт 120 = 6 .

ЗАДАЧА 4 Намерете x, ако: 164

а) x % от 160 = 19,2;

x=5

б) x % от 212, 5 = 42,5.

Към съдържанието

Решение:

а)

б)

ЗАДАЧА 5 Магазин за бяла техника при разпродажба намалява цената на пералня от 450 лв. на 369 лв. а) Какъв процент е новата цена спрямо старата? б) Колко процента е намалението? Решение: а) x % е новата цена. б) y % e намалението. Намалението е 450 – 369 = 81 (лв.).

Новата цена е 82% от старата. Намалението е 18%. Забелязваме, че т.е. ако процентът на намалението е 18, то новата цена ще е 100 – 18 = 82% от старата.

В Задача 5, ако намерим единия от търсените проценти (например 82%), другия процент можем да съобразим (100 – 82 = 18).

ЗАДАЧИ

1 Намерете x, ако:

а) 20% от 335 = х; 1,3% от 600 = х; б) 16% от х = 20; 75% от х = 27; в) х% от 125 = 20; х% от 75 = 15. 2 На контролна работа по математика 9 ученици получили отлична оценка. Те са 30% от броя на учениците в V а клас. Колко ученици има в Vа клас?

3 В магазин имало намаление на

стоките с 15%. Клиент купил кожен куфар за 102 лв. Колко

лева е струвал куфарът преди намалението? Колко лева е спестил клиентът?

4 Колко процента е намалението на

стока, ако старата ѝ цена е 180 лв., а новата – 153 лв.?

5 Фирма купува суровини за

48 000 лв. Допълнителните ѝ разходи са 22 000 лв. Готовата продукция тя продава за 100 000 лв. Какъв процент от получената сума е печалбата на фирмата? Към съдържанието

165

80.

ПРОЦЕНТ. ПРАКТИЧЕСКИ ЗАДАЧИ

ЗАДАЧА 1 Родителите на Ася купили апартамент на разсрочено плащане с начална

вноска от 18 000 евро, което е 40% от стойността на апартамента. Останалата сума е изплатена на 3 вноски. Първата вноска е 30% от стойността на апартамента. Ако втората вноска е 9000 евро, намерете какъв процент е тя от цената на апартамента. Намерете колко евро е третата вноска и какъв процент е тя от стойността на апартамента? Решение: 1. x евро е цената на апартамента. 40% от х = 18 000 0,4 . х = 18 000 х = 18 000 : 0,4 х = 45 000 Цената на апартамента е 45000 евро. 2. y евро е първата вноска. І вноска е 13 500 евро. 3. ІІ вноска е 9 000 евро и е z % от 45 000.

3 0% от 45 000 = у 0,3 . 45 000 = у у = 13 500 z% от 45 000 = 9 000 z 100 · 45 000 = 9 000 z . 450 = 9 000 z = 20

ІІ вноска е 20% от цената на апартамента. 4. ІІІ вноска е 45 000 − (18 000 + 13 500 + 9 000) = 4 500. ІІІ вноска е 4 500 евро. В проценти е 100 − (40 + 30 + 20) = 100 − 90 = 10. ІІІ вноска е 10% от цената на апартамента.

ЗАДАЧА 2 Цената на 1 kg банани била 2 лв. Преди Коледа те поскъпнали с 20%. След празниците търговецът намалил коледната цена с 20%. Каква е била цената на бананите: а) през коледните празници; б) след празниците? Решение: І начин: Поскъпване → 20% от 2 = 0,40 (лв.) Коледна цена → 2 лв. + 0,40 лв. = 2,40 лв. Намаление → 20% от 2,40 = 0,48 (лв.) Цена след Коледа → 2,40 лв. – 0,48 лв. = 1,92 лв. ІІ начин:

В задачата не се търсят увеличението и намалението. Коледната цена намираме: 120% от 2 = 2,40 (лв.). Цената след Коледа намираме: 80% от 2,40 = 1,92 (лв.).

В Задaча 2 цената след Коледа можем да намерим и така: 80% от (120% от 2) = 0,8 . 1,2 . 2 = 1,92 (лв.).

166 Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 Автокъща закупила 2 леки коли, като за втората платила 4700 евро.

Продала първата с 15% надценка, а втората – с 13% надценка, и реализирала обща печалба от 1391 евро. а) На каква цена е купена първата кола? б) На каква цена е продадена всяка от колите? в) Каква е печалбата от всяка кола? Решение: а) Първата кола е купена за x лв. б) Първата кола е продадена Знаем, че: на цена 5980 евро печалбата от І кола е 15% от x, (115% от 5 200 = 1,15 . 5 200 = 5 980). печалбата от ІІ кола е 13% от 4700 лв., Втората кола е продадена общата печалба е 1391 лв. на цена 5311 евро Получаваме (113% от 4 700 = 1,13 . 4 700 = 5 311). в) Печалбата от І кола е 780 евро (5 980 – 5 200 = 780). Печалбата от ІІ кола е 611 евро . (5 311 – 4 700 = 611). Първата кола е купена за 5 200 евро.

ЗАДАЧИ

1 От 200 kg пресни ябълки след

изсушав ане се получават 32 kg сушени ябълки. а) Колко процента от теглото на суровите ябълки са изсушените? б) Колко килограма сушени ябълки се получават от 450 kg сурови? в) Колко килограма сурови ябълки са необходими за получаване на 180 kg сушени?

4 Служител получил премия. Дал на

2 От 1200 kg грозде чрез сушене се

получават 300 kg стафиди. а) Колко процента от теглото на гроздето са стафидите? б) Колко килограма стафиди ще се получат от 5 t грозде? в) От колко килограма грозде ще се получат 200 kg стафиди?

а) Колко лева е струвало първона чално якето? б) Колко лева е спестил клиентът? в) Каква е била цената на якето след първото намаление? двамата си сина по 100 лв. и с 30% от остатъка си купил диван за 345 лв. а) Каква премия е получил служи телят? б) Колко лева са му останали след покупката на дивана?

5 Трима братя получавали от наслед

3 Търговец направил за 1 месец две намаления от по 10% на стоката в магазина. След второто намаление клиент си купил яке за 121,50 лв.

ствени имоти наем. От месечния наем те отделяли 20% за данъци и 100 лв. за ремонти. След като си разделяли поравно останалата сума, получавали по 340 лв. а) Колко лева е бил месечният наем? б) Колко лева отделяли братята за плащане на данъци?

Към съдържанието

167

81.

ПРОСТА ЛИХВА

Лихва Парична сума, която се заплаща при ползване на чужди парични средства за определено време. Първоначалната сума (вложена или дадена в заем) се нарича начален капитал. Времето, за което се предоставя сумата, се нарича лихвен срок (лихвено време). Този лихвен срок обикновено е разделен на равни периоди от време (лихвен период) – най-често 1 година. Лихвата за един лихвен период се изчислява като процент (лихвен процент) от капитала.

Проста лихва Лихвата, която се получава, като в края на всеки лихвен период се олихвява само началния капитал. Нараснал капитал: Нарасналият капитал е сбор от началния капитал и лихвата.

ЗАДАЧА 1 Фирма дала на свой служител заем в размер на 10000 лв. при 4% проста годишна лихва. Намерете лихвата, която трябва да изплати служителят, ако върне заема за: а) една година; б) три години. Решение: а) За една година лихвата, която трябва да изплати служителят, е 4% от 10 000 лв. 4 4% от 10 000 = 100 · 10 000 = 4 . 100 = 400 лв.

б) І начин: За 3 години лихвата, която трябва да изплати служителят, е лихвата за 1 година, умножена по 3, т.е. 400 . 3 = 1 200 лв. ІІ начин: За 3 години лихвеният процент е 3 пъти по-голям от лихвения процент за 1 година, т.е. 3 . 4% = 12%. Тогава лихвата за 3 години е

12% от 10 000 = 100 · 10 000 = 12 . 100 = 1 200 лв.

ЗАДАЧА 2 Господин Петров взел заем в размер на 20 000 лв. при проста годишна лихва и за пет години трябвало да върне 23 200 лв. Намерете лихвения процент. Решение: Нека лихвеният процент е x %. Цялата лихва (лихвата за 5 години) е 23 200 – 20 000 = 3 200 лв. Лихвата за 1 година е 3 200 : 5 = 640 лв.

168

Към съдържанието

х% от 20 000 = 640 х 100 · 20 000 = 640 640 х . 200 = 640, х = 200 , х = 3,2

Лихвеният процент е 3,2%.

ЗАДАЧА 3 Бизнесмен дал заем на свой бизнес партньор в размер на 30 000 лв. при 6% проста годишна лихва. Намерете колко лева трябва да върне партньорът, ако уговореният лихвен срок е: а) 1 година; б) 4 години. Решение: а) І начин: За 1 година лихвата е 6

6% от 30 000 = 100 · 30 000 = 1 800 лв. Партньорът трябва да върне 30 000 + 1 800 = 31 800 лв. ІІ начин: В задачата не се търси колко лева е лихвата за 1 година. Сумата, която трябва да върне партньорът след една година, е 106

(100% + 6%) от 30 000 = 106% от 30 000 = 100 · 30 000 = 31 800 лв. б) І начин: За 4 години лихвата, която трябва да даде служителят, е лихвата за 1 година умножена по 4, т.е. 1 800 . 4 = 7 200 лв. Партньорът трябва да върне 30 000 + 7 200 = 37 200 лв. ІІ начин: Сумата, която трябва да върне партньорът след 4 години, е (100% + 4 . 6%) от 30 000 = 124% от 30 000 = 37 200 лв.

ЗАДАЧА 4 Госпожа Николова внесла в банката определена сума пари при 3%

проста годишна лихва. След 4 години влогът нараснал на 44 800 лв. Намерете колко лева е внесла госпожа Николова. Решение: Нека внесените пари (началният капитал) са x лв. (100% + 4 . 3%) от х = 44 800 112% от х = 44 800 1,12 . х = 44 800 х = 40 000 Внесените пари са 40 000 лв.

ЗАДАЧИ

1 Като използвате данните от таблицата, съставете задачи и ги решете. Начален капитал (лв.)

10 000

18 000

16 000

5,5%

Лихва за n периода (лв.)

2700

5500

Нараснал капитал за n периода (лв.)

20 160

19 200

34 080

17 700

30 500

Лихвен процент за 1 период Брой периоди (години)

Към съдържанието

169

82.

ЧЕТЕНЕ И ИНТЕРПРЕТИРАНЕ НА ДАННИ. РАБОТА С ТАБЛИЦИ

ЗАДАЧА 1 През първото тримесечие на 2016 г. фирма за производство на дрехи

произвела три нови модела мъжки ризи. Произведените количества са попълнени в следната таблица: 2016 г. Произведени ризи Модел А Модел В Модел С 1 януари ? 12 350 2 18 400 3 21 750 4 5 февруари ? 18 420 6 20 320 7 24 120 8 9 март ? 20 360 10 18 480 11 26 330 12 13 14 15 16 общо ? ? ? ?

Намерете колко ризи са произведени: а) през всеки от месеците януари, февруари и март; б) от всеки модел за тримесечието; в) от трите модела за тримесечието. Решение: а) Произведените ризи през месеците: • януари са 2 + 3 + 4 = 1 , т.е. 52 500, • февруари са 6 + 7 + 8 = 5 , т.е. 62 860, • март са 10 + 11 + 12 = 9 , т.е. 65 170. б) Произведените ризи от: • модел А са 2 + 6 + 10 = 14 , т.е. 51 130, • модел В са 3 + 7 + 11 = 15 , т.е. 57 200, • модел С са 4 + 8 + 12 = 16 , т.е. 72 200. в) Общият брой произведени ризи 13 намираме по два начина: • 1 + 5 + 9 = 13 , т.е. 180 530, или • 14 + 15 + 16 = 13 , т.е. 180 530. 2016 г. Произведени ризи Модел А Модел В Модел С 1 януари 52 500 12 350 2 18 400 3 21 750 4 5 февруари 62 860 18 420 6 20 320 7 24 120 8 9 март 65 170 20 360 10 18 480 11 26 330 12 13 общо 180 530 51 130 14 57 200 15 72 200 16

Полученият един и същ резултат в клетка 13 показва, че таблицата е попълнена правилно. Общият брой произведени ризи е 180 530.

ЗАДАЧА 2 Една фирма разпределя годишните си приходи от производството за три последователни години, както следва:

I година II година III година общо

Приходи ? ? ? ?

Заплати 1 2 3 4

275 000 372 000 542 000 ?

Текущи разходи 273 500 383 250 420 350 ?

Разходи за модернизация 320 050 218 150 320 500 7 ?

Печалба 350 800 470 200 560 800 ?

Начертайте таблицата в тетрадките си и я попълнете.

170

Към съдържанието

Решение: 1 → 1 219 350 = 275 000 + 273 500 + 320 050 + 350 800 2 → 1 443 600 = 372 000 + 383 250 + 218 150 + 470 200 3 → 1 843 650 = 542 000 + 420 350 + 320 500 + 560 800 4 → 4 506 600 = 1 + 2 + 3 = 1 219 350 + 1 443 600 + 1 843 650 5 → 1 189 000 = 275 000 + 372 000 + 542 000 6 → 1 077 100 = 273 500 + 383 250 + 420 350 7 → 858 700 = 320 050 + 218 150 + 320 500 8 → 1 381 800 = 350 800 + 470 200 + 560 800 Проверка: 4 = 4 506 600 = 5 + 6 + 7 + 8 . Таблицата е попълнена вярно.

ЗАДАЧА 3 Успехът на петокласниците в едно училище за І учебен срок е даден в таблицата: Брой ученици с успех: слаб среден добър мн. добър отличен 120 0 12 30 36 42 а) Вярно ли е попълнена таблицата? б) Намерете какъв процент от всички ученици са със среден, добър, мн. добър и отличен успех. Решение: а) 12 + 30 + 36 + 42 = 120 − таблицата е попълнена вярно. б) Пресмятаме:

Получаваме таблицата: Успех

ЗАДАЧИ

1 При преброяване на бюлетините по време на избори резултатите от

гласуването в един район били нанесени в следната таблица:

Напишете в тетрадките си резултатите от таблицата, като използвате означените номера. Обобщете резултатите и направете съответните изводи.

* БДГ означава брой действителни гласове Към съдържанието

171

83.

ОБРАБОТКА НА ИНФОРМАЦИЯ, ЗАДАДЕНА С ТАБЛИЦА (ПРАКТИЧЕСКА РАБОТА)

ЗАДАЧА 1 Петко е ученик в 5. клас. Завършил е годината със

следните оценки: Пресметнете успеха на Петко за годината. Решение: Успехът на Петко за годината ще намерим, като съберем всички оценки и получения сбор разделим на техния брой: (5 + 5 + 6 + 6 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 6) : 11 = = (3 . 4 + 5 . 5 + 3 . 6) : 11 = 55 : 11 = 5 Петко е завършил годината с успех мн. добър 5,00.

Български език и литература.......5 Английски език............................. 5 Математика.................................... 6 Информационни технологии....... 6 История и цивилизация................4 География и икономика................ 4 Човекът и природата.....................4 Музика...........................................5 Изобразително изкуство .............5 Технологии и предприемачество.5 Физическо възпитание и спорт.... 6

Средна стойност (средно аритметично) на числа е сборът на числата, разделен на техния брой.

ЗАДАЧА 2 В края на учебната година оценките на петокласниците в едно училище са попълнени в следната таблица: № по ред

Учебни предмети

1 Български език и литература

Брой на учениците, които Общ са получили оценка Среден брой успех мн. ученици слаб среден добър добър отличен

2 Английски език

3 Математика

4 Информационни технологии

5 История и цивилизация

6 География и икономика

7 Човекът и природата

8 Музика

9 Изобразително изкуство

10 Технологии и предприемачество 11 Физическо възпитание и спорт ВСИЧКО: ПРОЦЕНТ:

5 6

? ?

100%

? ?

13 30

? ?

14 31

? ?

15 32

? ?

16 33

? ?

17 34

Начертайте таблицата в тетрадките си и попълнете номерираните клетки.

172

Към съдържанието

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

Решение: 1. Третата колона на таблицата попълваме по следния начин: Събираме последователно: Записваме: 2 + 12 + 29 + 42 + 35 = 120 в 1 → 120 18 + 23 + 44 + 35 = 120 в 2 → 120 4 + 14 + 27 + 44 + 31 = 120 в 3 → 120 .................. 2 + 8 + 25 + 40 + 45 = 120 в 7 → 120 .................. 31 + 37 + 52 = 120 в 11 → 120 11 . 120 = 1 320 в 12 → 1 320 2. Предпоследният ред на таблицата попълваме, като съберем оценките във всяка колона. Записваме броят на оценките: слаб 2 среден 3 добър 4 мн. добър 5 отличен 6 в 13 → 10 в 14 → 79 в 15 → 312 в 16 → 485 в 17 → 434. За да проверим вярно ли са попълнени клетките, сборът 1 + 2 + ... + 11 трябва да бъде равен на сбора 13 + 14 + ... + 17 . Събираме 10 + 79 + 312 + 485 + 434 = 1 320. Следователно клетките са попълнени вярно. 3. Последната колона на таблицата попълваме по следния начин: Пресмятаме средния успех по първия и петия учебни предмети: 1. (2 . 2 + 12 . 3 + 29 . 4 + 42 . 5 + 35 . 6) : 120 = 576 : 120 = 4,8 5. ( 6 . 3 + 28 . 4 + 47 . 5 + 39 . 6) : 120 = 599 : 120 ≈ 4,99 Средния успех за останалите предмети пресметнете сами. Общият среден успех на петокласниците е (10 . 2 + 79 . 3 + 312 . 4 + 485 . 5 + 434 . 6) : 1 320 = = 6 534 : 1 320 = 4,95

Записваме: в 18 → 4,80 в 22 → 4,99

в 29 → 4,95

4. Последният ред на таблицата попълваме по следния начин: Броят на всички получени оценки е 1 320. х% от 1 320 = А, където A е броят на учениците, получили съответната оценка. х · 1 320 = А, х . 13,2 = А, х = А : 13,2. 100 Последният ред на таблицата попълваме по следния начин: Записваме: слаб 2 А = 10 х = 10 : 13,2 ≈ 0,76% в 30 → 0,76% среден 3 А = 79 х = 79 : 13,2 ≈ 5,98% в 31 → 5,98% добър 4 А = 312 х = 312 : 13,2 ≈ 23,64% в 32 → 23,64% мн. добър 5 А = 485 х = 485 : 13,2 ≈ 36,74% в 33 → 36,74% отличен 6 А = 434 х = 434 : 13,2 ≈ 32,88% в 34 → 32,88% За да проверим вярно ли са попълнени последните пет клетките, сборът 30 + 31 + ... + 34 трябва да бъде равен на 100%. Събираме 0,76% + 5,98% + 23,64% + 36,74% + 32,88% = 100%. Следователно клетките са попълнени вярно.

Към съдържанието

173

84.

ПРЕДСТАВЯНЕ НА ДАННИ. КРЪГОВА ДИАГРАМА. ХИСТОГРАМА

ЗАДАЧА 1 На училищното табло чрез кръгова диаграма е показано процентното

разпределение на учениците от начален, среден и горен курс. Намерете броя на учениците от всеки курс, ако в училището учат 1 800 ученици. Решение: Начален курс 30 % от 1 800 = = 540 ученици

Среден курс 25 % от 1 800 = = 450 ученици

Горен курс 45 % от 1 800 = = 810 ученици

Данните от Задача 1 ще онагледим и по друг начин – чрез построяване на хистограма. Построяване на хистограма (към Задача 1): 1 Върху квадратна мрежа начертаваме два лъча Ox и Oy (Ox ⊥ Oy). Върху лъча Ox нанасяме 3 равни отсечки, които приемаме за единица мярка по лъча Ox. Всяка отсечка отговаря на вида ученици – от начален, от среден и от горен курс. 2

Върху лъча Oy избираме друга (подходяща) мерна единица така, че да можем да нанесем числ ата 25, 30 и 45 (процентното разпределение на учениците). 3

Начертаваме три правоъгълника с “измерения” 1 и 30, 1 и 25, 1 и 45. Лицата на тези правоъгълници условно приемаме съответно за 30, 25, 45. Тези лица показват процентното разпределение на учениците в трите курса. 4

От начина на построяване на хистограмата следва, че лицето (сборът от “лицата” на трите правоъгълника) е 100% = 1.

174 Към съдържанието

ЗАДАЧА 2 На конкурсен изпит по математика се явили 5 200 кандидати. Резултатите от изпита са показани на кръгова диаграма. Намерете броя на учениците, получили слаби, средни, добри, много добри и отлични оценки. Решение: слаби

→ 18 % от 5 200 = 936

средни

→ 24 % от 5 200 = 1 248

добри

→ 30 % от 5 200 = 1 560

много добри

→ 22 % от 5 200 = 1 144

отлични

→ 6 % от 5 200 = 312

Резултатите подреждаме в таблица: Брой ученици 5 200

слаби

средни

Оценки добри

936

1 248

1 560

много добри 1 144

отлични 312

По данните на Задача 2 можем да построим хистограма:

Към съдържанието

175

85.

ПРЕДСТАВЯНЕ НА ДАННИ. ПИКТОГРАМА Пиктограмата е тип диаграма, информацията в която се изобразява графично чрез рисунки (снимки). Всяка пиктограма има ключ, показващ какъв брой елементи съответства на една рисунка.

ЗАДАЧА 1 Обичайният брой на слънчевите дни през летните месеци е даден в таблицата:

Месец Брой слънчеви дни

Юни 15

Юли 25

Август 20

Септември 10

Представете информацията чрез пиктограма. Решение: Избираме рисунката, която ще използваме в пиктограмата . Избираме броя на слънчевите дни, които ще съответстват на една рисунка. Тъй като всички числа се делят на 5, избираме = 5 слънчеви дни. Пресмятаме броя на рисунките за всеки месец и построяваме пиктограмата. Месец Юни Юли Август Септември Ключ:

Брой рисунки 15 : 5 = 3 25 : 5 = 5 20 : 5 = 4 10 : 5 = 2

= 5 слънчеви дни

Месец

Слънчеви дни

Юни Юли Август Септември

От пиктограмата може лесно да направим следните изводи: 1. Най-малко слънчеви дни има през септември. 2. Най-много слънчеви дни има през юли. 3. През август има 2 пъти повече слънчеви дни, отколкото през септември.

ЗАДАЧА 2 Пиктограмата показва броя на събраните контейнери за рециклиране. Ако общият им брой е 3 300, намерете ключа на пиктограмата (брой контейнери, на които съответства една рисунка – Вид отпадъци

Брой контейнери

). Решение:

Хартия

15 .

= 3 300

Пластмаса

= 3 300 : 15

Стъкло

= 220

176 Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 Пиктограмата показва броя на продадените в книжарница книги за една седмица. Ден

1. К олко книги са продадени във вторник? 2. Колко общо книги са продадени през седмицата? 3. През кой ден са продадени най-малко книги? 4. През кой ден са продадени най-много книги? 5. През кой ден са продадени 120 книги? 6. През кои дни са продадени един и същ брой книги? 7. През кой ден са продадени 2 пъти повече книги, отколкото през предишния ден? 8. През кои дни са продадени повече от 100 книги на ден?

Продадени книги

Понеделник

Вторник Сряда Четвъртък Петък Събота Неделя Ключ:

= 20 продадени книги

Решение:

ЗАДАЧИ

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

5 . 20 = 100 книги 38 . 20 = 760 книги Понеделник Петък 120 : 20 = 6, сряда Вторник и неделя Петък Сряда, петък и събота

1 В цветарски магазин доставили 600

рози и ги продали за 3 дни. Пиктограмата показва броя на продадените цветя по дни. Намерете ключа на тази пиктограма. Намерете колко рози са продали през всеки от трите дни. Ден

Продадени рози

І ден

Тримесечие Произведени леки коли І ІІ ІІІ ІV Ключ: 1.

ІІ ден

ІІІ ден

2 Пиктограмата показва броя на про-

изведените в един завод леки коли 4. за една година по тримесечия.

= 2 500 произведени леки коли Колко леки коли са произведени през второто тримесечие? Колко леки коли са произведени през годината? През кое тримесечие са произведени най-много коли? През кое тримесечие са произведени 2 пъти по-малко коли, отколкото през предишното?

177 Към съдържанието

86.

ПРЕДСТАВЯНЕ НА ДАННИ. РАБОТА С ДИАГРАМИ Графичното представяне на данни, известно още като „статистически графики“ или „диаграми“, осигурява нагледност и по-лесно възприемане и разчитане на процесите, които се изследват. Има различни видове статистически графики. Ще се спрем на някои от тях, като използваме данните от Задача 1.

ЗАДАЧА 1 Фирма произвежда 4 вида сладолед – сметанов, шоколадов, плодов и орехов.

Тя анкетира 300 ученици, за да се определи любимият им вид. Броят на учениците според предпочитания от тях сладолед е даден в таблицата: Плодов Сладолед Шоколадов Сметанов 105 90 Брой ученици 45 Представете графично данните от анкетата. Решение: 1. Пиктограма Пиктограмата може да се направи както в хоризонтална, така и във вертикална посока. Ключ:

Орехов 60

= 15 ученици

Сладолед Шоколадов

Брой ученици

Сметанов Плодов Орехов 2. Точкова диаграма

Шоколадов

Смета- Плодов Орехов нов

• За построяване на точкова диаграма се използват два перпендикулярни лъча – Ox и Oy. • В ърху лъча Ox нанасяме равни отсечки с избрана дължина, които съответстват на видовете сладолед. • Върху лъча Oy се нанасят числа, съобразени с броя на учениците, при подходящо избрана (друга) мерна единица. • Всяка от нанесените точки се определя от две величини – в случая от вида на сладоледа и от броя на учениците, които го предпочитат. • Построените точки представляват точкова диаграма.

178 Към съдържанието

3. Обикновена линейна диаграма • Построените точки от точковата диаграма се свързват с отсечки и се получава графично представяне на данните чрез обикновена линейна диаграма.

4. Блокова (стълбова) диаграма

• З а построяване на блокова диаграма отново ще използваме два перпендикулярни лъча – Ox и Oy. • В ърху лъча Ox нанасяме равни отсечки с избрана дължина, които съответстват на видовете сладолед. • В ърху лъча Oy нанасяме числа, съобразени с броя на учениците, при подходящо избрана (друга) мерна единица. • Н ачертаваме четири правоъгълника с равни основи. Второто измерение на всеки от тях има дължина съответно 45, 105, 90, 60.

5. С ъставяме таблица с процентното разпределение на учениците според любимия им сладолед. Пресмятаме процентите: Шоколадов х% от 300 = 45 х . 3 = 45 х = 15

Сметанов х% от 300 = 105 х . 3 = 105 х = 35

Плодов х% от 300 = 90 х . 3 = 90 х = 30

Орехов х% от 300 = 60 х . 3 = 60 х = 20

Получаваме таблицата на процентното разпределение: Орехов Сладолед Шоколадов Сметанов Плодов 105 90 60 Брой ученици 45 35% 30% 20% Процент 15%

ЗАДАЧИ

1 В таблицата са дадени продажбите на телефони за първото полугодие на

2016 година. Март Април Май Юни Месец Януари Февруари 120 240 160 200 80 Брой телефони 200 Представете графично данните от таблицата (чрез пиктограма, точкова диа грама, линейна диаграма, блокова диаграма и хистограма).

179 Към съдържанието

87.

ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕМАТА “ДЕСЕТИЧНИ ДРОБИ”

ЗАПОМНЕТЕ! Десетична дроб →

Десетичната дроб

Мерни единици: дължина

пари

лв.

маса

ст.

Сравняване на десетични дроби. Числов лъч O

0,5

2,6 3

0,5 < 2,6

Действия с десетични дроби + 2,38 0,15 2,53

•

15,71 − 0,23 15,48

15,2.0,3 4,56

6,314 : 0,7 = = 63,14 : 7= 9,02 − 63 014 − 14 0

180 Към съдържанието

Всяко естествено число може да се представи като десетична дроб с дробна част, записана с нули: 5 = 5,000...

Десетични дроби Естествени числа

Основна мерна единица за дължина е метърът. През 1790 г. Френската академия на науките изработва система за измерване на дължина с основна мерна единица 1 метър. Извършени са измервания с голяма точност на дължината на част от земния меридиан и е прието 1 m = 0,0000013 от четвъртината на Парижкия меридиан. Има и други мерни единици за дължина: инч, фут, ярд, миля.

1 cm = 0,394 инча 1 m = 3,281 фута

ЗАДАЧА 1 Пресметнете с калкулатор: а) колко сантиметра е 1 инч; б) колко метра е 1 фут; в) колко метра е 1 ярд; г) колко километра е 1 миля.

ЗАДАЧА 2 Пресметнетe:

Решение: а) 1 инч =1 : 0,394 = 2,53807... ≈ 2,540 cm б) 1 фут =1 : 3,281 = 0,30478... ≈ 0,305 m в) 1 ярд =1 : 1,094 = 0,91407... ≈ 0,914 m г) 1 миля = 1 : 0,621 = 1,61030... ≈ 1,610 km 8

в) 5 17 ⋅ 2, 9 + 5 17 ⋅ 4,1 .

в) 5 17 ⋅ 2, 9 + 5 17 ⋅ 4,1 = = 5 1 ⋅ ( 2, 9 + 4,1) =

б) 7,2 · 9 – 0,4 : 13 ;

а) 2,4 : 3 + 2 4 : 0,9 = 2,4 . 3 9 9 = 2 + 4 : 10 =

б) 7,2 · 9 – 0,4 : 13 = 7,2 . 8 4 13 = 9 – 10 · 4 =

= 1,2 . 3 +

= 0,8 . 8 – 1,3 =

a) 2,4 : 3 + 2 4 : 0,9; Решение:

ЗАДАЧИ

1 m = 1,094 ярда 1 km = 0,621 мили

9 4

10 9

= 3,6 + 2 = = 6,4 – 1,3 = 5,1 = 3,6 + 2,5 = 6,1 1 Пресметнете: а) 3,5 : 0,7 + 35 : 0,7; б) 0,35 : 0,7 + 0,035 : 0,7 + 50; 4 в) 81 : 0,09 – 81 : 0,9. 2 Като използвате калкулатор, наме рете неизвестното число x: а) x + 467,346 = 921,111; б) x . 44,4 = 2 464,2; 5 в) (25,43 – x) . 0,5 = 11,76; г) 16,9 + x . 3,42 = 34. 3 Намислих едно число. От него извадих 23,2. Полученото число

7 =51⋅7 = 7 36 = ⋅ 7 = 36 7

амалих 2 пъти и получих 15,9. Кое н число съм намислил? Намерете: а) колко сантиметра са 5 инча? б) колко метра са 4 фута? в) колко метра са 100 ярда? г) колко километра са 20 мили? Като използвате калкулатор, наме рете на колко инча са равни: а) 45,72 сm; б) 63,5 сm; в) 116,84 сm?

181 Към съдържанието

88.

ПРИМЕРЕН ТЕСТ ВЪРХУ ТЕМАТА “ДЕСЕТИЧНИ ДРОБИ” 1. С цифрата 9 са означени стотните в числото: А) 642,139; Б) 781,943; В) 901,152; Г) 765,193. 2. Сборът 3,8 + 4,52 е равен на:

А) 7,6; Б) 8,32; В) 4,9; Г) 7,132.

Разликата 5 – 2,35 е равна на: А) 3,75; Б) 3,35; В) 2,75; Г) 2,65.

лева трябва да заплати клиент, ако е изминал 4 km и е направил престой от 5 минути? А) 5,20; Б) 5,25; В) 5,00; Г) 5,40.

8. Цената на лаптоп е 800 лв. В магазина направили две последователни намаления на цената първо с 10%, а след това с 5%. Намерете цената на лаптопа след: а) първото намаление; б) второто намаление.

9. Н а изпит по математика се явили ученици от 5. клас. Броят на учениците, получили оценка „Отличен“, е 4. Стойността на израза 40. Като използвате информацията от 3,46 . 2,7 + 6,54 . 2,7 е: кръговата диаграма, намерете: А) 270; а) колко процента от учениците са Б) 27; получили оценка „Отличен“; В) 2,7; б) колко учениците са се явили на Г) 24,3. изпита; 5. Стойността на израза 36,5 – 16,5 : 5 е: в) колко ученици са получили оценка, А) 4; по-висока от „Среден“. Б) 28,25; В) 33,2; Г) 33,4. 6. Намислих едно число. Увеличих го с произведението на числата 10 и 0,075 и получих четвъртинката на числото 35. Намисленото число е: А) 2,3 Б) 15,5; В) 8; Г) 7,5.

10. Пресметнете числовата стойност на 7. Таксиметрова фирма работи при израза A = z : (x + y), ако: следните условия: начална так (1,2 . x + 8,6) : 2 = 7,9; са – 0,70 лв.; пробег 1 km – 0,85 лв; y = (4,34 + 4,35 + 4,36) : 4,35; престой 1 минута – 0,22 лв. Колко z = 2,5 . 2,25 . 40.

182 Към съдържанието

ТЕМА 4 ОСНОВНИ ГЕОМЕТРИЧНИ ФИГУРИ (Урок № 89 – Урок № 112)

В ТАЗИ ТЕМА СЕ ИЗУЧАВАТ: триъгълник, правоъгълник, квадрат, успоредник, ромб и трапец. ВЪВЕЖДАТ СЕ ПОНЯТИЯТА: • перпендикулярни и успоредни прави; •р азстояния от точка до права, между две точки и между две успоредни прави; • съседни и срещуположни страни, диагонал; • основи и бедра на трапец; • обиколка, височини и лице на геометрична фигура.

Към съдържанието

183

89.

ОСНОВНИ ГЕОМЕТРИЧНИ ФИГУРИ (ПРЕГОВОР) отсечка АВ A

ъгъл S АОВ B

лъч ОА → А

B О

ЗАДАЧА 1 Начертайте числов лъч. Образът на числото 2 означете с A, образът на числото 5,5 означете с B. Намерете дължината на отсечката AB, ако 1 м. ед. = 1 сm. Решение: Дължината на отсечката AB е 5,5 cm – 2 cm = 3,5 cm. Казваме, че разстоянието между точките A и B е 3,5 cm. Дължината на опънатата част на въже, вързано за две дървета, е 3 m. Разстоянието между двете дървета е 3 m.

Разстояние между две точки Разстояние между две точки A и B наричаме дължината на отсечката AB. Означението AB (BA) е: • или отсечката AB, • или дължината на отсечката AB, • или разстоянието между точката A и точката B.

ЗАДАЧА 2 На чертежа са отбелязани точките A, B, C, D.

а) Начертайте отсечките AB, BC, CA, DA, DB, DC. б) Измерете разстоянията AB и CD (в mm). Дадено: Решение: а)

б) AB ≈ 28 mm, CD ≈ 32 mm

Когато измерваме разстояние между две точки, обикновено си служим с приближени стойности. Измерването може да стане от A към B или от B към A.

184

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 Измерете с транспортир мярката на всеки от начертаните ъгли.

Решение: При измерването с транспортир получаваме, че  AOB = 40°  COD = 90°

 MON = 125°.

Ъглите се измерват в градуси. При използване на транспортир закръгляваме получените мерки на ъглите. Ъглите, по-малки от 90°, се наричат остри ъгли.  AOB = 40° е остър, т.е.  AOB < 90°. Ъглите, по-големи от 90°, се наричат тъпи ъгли.  MON = 125° е тъп, т.е.  MON > 90°. Ъглите, равни на 90°, се наричат прави ъгли.  COD = 90° е прав.

ЗАДАЧА 4 На един чертеж начертайте три ъгъла с общо рамо OA, които имат мерки 60°, 90°, 120°. Решение: 1. Начертаваме лъч OA. 2. С транспортир отбелязваме:  AOB е остър, точка B → 60 деления = 60°,  AOC е прав, точка C → 90 деления = 90°, точка D → 120 деления = 120°.  AOD е тъп. 3. Начертаваме  AOB = 60°,  AOC = 90°,  AOD = 120°. Прав ъгъл може да се начертае, като се използва правият ъгъл на чертожния триъгълник. Правият ъгъл се означава с дъгичка и точка, както е показано на чертежа.

ЗАДАЧИ

1 Дадени са точките A, B, C и D. 2 Начертайте лъч АВ с начало точка Намерете разстоянията между всяка от тези точки и останалите три.

А така, че разстоянието между точките A и B да е 2,7 cm. Върху лъча AB намерете точка M така, че разстоянието от A до M да е: а) 2 пъти по-голямо от AB; б) с 2,4 cm по-голямо от AB.

Към съдържанието

185

90.

СБОР И РАЗЛИКА НА ОТСЕЧКИ Начертана е отсечката AB. Поставяме линийката с деления така, че за отсечката AB краят A да съвпадне с числото 0. Тогава другият край B на отсечката съвпада с делението 2,5. Числото 2,5 показва, че от края A до края B на отсечката AB са измерени 2,5 сm. Казваме, че отсечката AB има дължина 2,5 сm. Пишем: AB = 2,5 сm, или AB = 25 mm, или AB = 0,25 dm ... Прието е отсечките да се означават (именуват) и с малки букви, например AB = m = 2,5 сm.

Дължината на отсечка е число.

ЗАДАЧА 1 Дадени са отсечките т и п. Постройте:

а) отсечка, равна на отсечката т; б) отсечка, равна на сбора на отсечките т и п; в) отсечка, равна на разликата на отсечките т и п.

т п

Решение: а) Върху числов лъч с начало О с помощта на пергел нанасяме отсечката ОА = т. A т O Построихме отсечката ОА, равна на дадената отсечка т. б) Върху числов лъч с начало О нанасяме последователно двете отсечки ОА = т и АВ = п.

A В т п O Построихме отсечката ОВ, която е сборът на отсечките т и п. Означаваме ОВ = т + п. б) Върху числов лъч с начало О нанасяме отсечка ОА = т и в обратната посока нанасяме отсечка АС = п.

С т Построихме остечката ОС, която е разликата на отсечките т и п (т > п). Означаваме ОС = т – п.

186

Към съдържанието

ЗАДАЧА 2 На числов лъч с начало O и 1 м. ед. = 1 сm нанесете последователно образите на числата 0 → т. О, 2,5 → т. A, 6 → т. B, 8,5 → т. C. Измерете с линийка дължините на отсечките OA, BC, AB и OB (в сm). Решение: OA = 2,5 сm AB = 3,5 сm BC = 2,5 сm OB = 6 сm За отсечките, начертани в Задача 2, забелязваме, че: • са измерени с една и съща мерна единица (сm); • OA = 2,5 сm, BC = 2,5 сm, т.е. отсечките OA и BC имат равни дължини. Казваме, че отсечката OA е равна на отсечката BC.

Равни отсечки От OA = 2,5 сm, BC = 2,5 сm и 2,5 = 2,5 следва, че OA = BC. От OA = BC следва, че отсечките OA и BC имат равни дължини. • AB = 3,5 сm, OB = 6 сm, т.е. отсечките AB и OB имат различни дължини.

Сравняване на отсечки От AB = 3,5 сm, OB = 6 сm и 3,5 < 6 следва, че AB < OB. От AB < OB и AB = 3,5 сm, OB = 6 сm следва, че 3,5 < 6. • OA = 2,5 сm, AB = 3,5 сm, OB = 6 сm

! ! ЗАДАЧИ

Сбор на отсечки От OA = 2,5 сm, AB = 3,5 сm, OB = 6 сm и 2,5 + 3,5 = 6 следва, че OA + AB = OB. Казваме, че отсечката OB е сбор на отсечките OA и AB. Разлика на отсечки От OB = 6 сm, AB = 3,5 сm, OA = 2,5 сm и 6 − 3,5 = 2,5 следва, че OB − AB = OA. Казваме, че отсечката OA е разлика на отсечките OB и AB.

1 Сравнете отсечките:

а) AB = 21,5 сm и CD = 21,05 сm; б) MN = 0,08 dm и PK = 0,008 m.

Измерете с линийка дължините на отсечките OA, BC, AB и OB и срав нете: a) OA и BC; б) AB и OB.

2 На числов лъч с начало O и 3 Начертайте на една права отсечките 1 м. ед. = 1 сm нанесете последо вателно образите на числата 0 → т. О, 3,5 → т. A, 6 → т. B, 9,5 → т. C.

AB = 2,3 сm, BC = 2 сm, CD = 3,5 сm, DE = 1,6 сm. Намерете: а) AB + BD; в) AD − BD; б) BC + CE; г) AE − CE.

Към съдържанието

187

91.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНИ ПРАВИ. РАЗСТОЯНИЕ ОТ ТОЧКА ДО ПРАВА

Разстояние между две точки Разстояние между две точки A и B наричаме дължината на отсечката AB, т.е. разстоянието между две точки е число. Записът AB (BA) означава: • дължината на отсечката AB; • отсечката AB; • разстоянието между точките A и B; • правата, минаваща през точките A и B. Какво ще разбираме под разстояние от точка до права? Кое дете е застанало най-близо до Ваня? Дора е най-близо до Ваня. Ако Ваня и Дора стоят на местата си, а Ани и Соня се движат по оградата, разстоянията от тях до Ваня винаги ще бъдат по-големи, отколкото разстоянието от Дора до Ваня. Разположението на децата е както това на върховете на ABC. Отсечката BD е най-малката отсечка, която свързва точка B с точка от правата AC.

Ваня

! ! !

Казваме, че отсечката BD: • е перпендикулярът, спуснат от B към правата AC; • образува прав ъгъл с отсечката AC. SBDC = 90°

Разстояние от точка до права Дължината на отсечката BD се нарича разстояние от точката B до правата AC. Разстоянието от точка до права е число. Перпендикулярни прави Две прави, които образуват прав ъгъл, се наричат перпендикулярни прави. Пишем а ⊥ b. Четем: “Правата a е перпендикулярна на правата b.” Перпендикулярни D отсечки C a b A

Отсечката АВ е от правата а. Отсечката CD е от правата b. Oт а ⊥ b следва, че АВ ⊥ CD

188 Към съдържанието

ЗАДАЧА 1 Намерете разстоянието от точките A, B и C до правата a. Решение: Като използваме правия ъгъл на чертожния триъгълник (както е на чертежа), начертаваме отсечките AM и CN. Измерваме разстоянията от A до a → AM = 1,6 сm; от C до a → CN = 0,8 сm. Точката B е от правата a. Разстоянието от B до a е 0 сm.

ЗАДАЧА 2 Даден е правоъгълник ABCD с измерения 5 сm и 3 сm. Намерете разстоянията: а) от A до BC и от A до CD ; б) от B до AD и от B до CD. сm сm

Решение: Разстоянието: а) от A до BC е AB = 5 сm; от A до CD е AD = 3 сm; б) от B до AD е BA = 5 сm; от B до CD е BC = 3 сm.

ЗАДАЧА 3 На чертежа са дадени  ABC и точка M. Начертайте (спуснете) перпендикуляра от точка M към страната BC на  ABC. MN ⊥ BC,  MNB = 90°

ЗАДАЧИ

1 На квадратна мрежа са означени 3 Намерете разстоянията от точка P прави a и b и точка M. Намерете разстоянията от M до правите a и b.

до раменете на  MON.

2 Намерете разстоянията от точките 4 Върху квадратна мрежа начертайте A, B и C до дадената права a (в сm).

квадрат ABCD и вземете точка M от отсечката AC. Намерете и сравнете разстоянията от точка M до страните AB и AD.

189 Към съдържанието

92.

ТРИЪГЪЛНИК. ВИДОВЕ ТРИЪГЪЛНИЦИ. ЕЛЕМЕНТИ (ПРЕГОВОР) Геометричната фигура на чертежа се нарича триъгълник. Триъгълникът има: 3 върха → A, B, C, 3 страни → AB, BC, CA, 3 ъгъла →  BAC,  ABC,  ACB. Пишем: ABC, α, β, γ. Четем: триъгълник ABC, алфа, бета, гама. Прието е да се означават: • страните с малки букви: AB = c, BC = a, AC = b; a е срещу върха A b е срещу върха B • ъглите:  BAC = α или  A,  A = α c е срещу върха C  ABC = β или  B,  B = β  ACB = γ или  C;  C = γ • обиколката – P, P = a + b + c.

ЗАДАЧА 1 Начертани са  ABC,  MNK,  LQE и са дадени страните им (в cm). K L

а) Определете вида на триъгълниците според страните им. б) Намерете обиколката P на всеки от триъгълниците. Решение: а)  ABC − и трите му страни са равни →  ABC е равностранен.  MNK − има две равни страни →  MNK е равнобедрен.  LQE − няма равни страни →  LQE е разностранен. б)  ABC → P = 3,4 + 3,4 + 3,4 = 3 . 3,4 = 10,2, P = 10,2 cm  MNK → P = 2,3 + 3,9 + 3,9 = 2,3 + 2 . 3,9 = 2,3 + 7,8 = 10,1, P = 10,1 cm  LQE → P = 5 + 4,2 + 2 = 11,2, P = 11,2 cm

! 190

В равнобедрения триъгълник: • двете равни страни се наричат бедра; • третата страна се нарича основа. В равнобедрения триъгълник бедрата са равни и  A =  B. В равностранния триъгълник: • трите страни са равни; • трите ъгъла са равни –  A =  B =  C = 60°. Към съдържанието

ЗАДАЧА 2 Начертани са  ABC,  MNK,  LQE и са дадени ъглите им. Определете вида на триъгълниците според ъглите им.

L Решение:

 ABC има три остри ъгъла →  ABC е остроъгълен.  MNK има прав ъгъл →  MNK е правоъгълен.  LQE има тъп ъгъл →  LQE е тъпоъгълен.

В правоъгълния триъгълник: • страната срещу върха на правия ъгъл се нарича хипотенуза; • другите две страни се наричат катети.

ЗАДАЧА 3 В равнобедрен триъгълник с обиколка 17,2 сm основата е 48 mm. Намерете бедрата.

 ABC AC = BC AC = ? P = 17,2 сm BC = ? c = 48 mm

Решение:

ЗАДАЧИ

1. c = 48 mm = 4,8 сm 2. AC = BC = b, защото  ABC е равнобедрен. 3. P = 2 . b + c → 17,2 = 2 . b + 4,8 → 2 . b + 4,8 = 17,2, b = 6,2 Бедрото на  ABC е 6,2 сm, т.е. AC = BC = 6,2 сm.

1 Начертани са триъгълници, номери- 2 Начертайте таблицата в тетрадките

рани с числата от 1 до 3. Направете измервания и определете вида им: а) според страните; б) според ъглите; в) според страните и ъглите.

си и намерете търсените стойности за ABC със страни a, b, c и обиколка P:  ABC а) б) в) г) a 5 сm 72 mm ? m 7,5 сm b 0,6 dm 8,3 сm 0,07 m ? dm c 70 mm 0,91 dm 80 mm 86 mm P ? сm ? сm 0,21 m 2,26 dm

3 Даден е  ABC със страни a, b, c

(в сm). Как ще се измени обиколката му, ако всяка страна се увеличи: а) с 3 сm; б) 3 пъти?

Към съдържанието

191

93.

ВИСОЧИНИ В ТРИЪГЪЛНИК

ЗАДАЧА 1 На квадратна мрежа (1 деление = 1 м. ед.) са начертани триъгълници. а)*

б)

в)

г)

Намерете разстоянията: а) от С до АВ; в) от А до ВС; б) от В до АС; г) от D до ВС. Решение: а) Разстоянието от С до АВ е дължината на отсечката CC1, CC1 = 6 м. ед. б) Разстоянието от B до АC е дължината на отсечката BB1, BB1 = 4 м. ед. в) Разстоянието от А до BC е дължината на отсечката AA1, AA1 = 5 м. ед. г) Разстоянието от D до BC е дължината на отсечката DD1, DD1 = 3 м. ед.

ЗАДАЧА 2 На квадратна мрежа (1 деление = 1 м. ед.) начертайте правоъгълен

 ABC с катети CA = 12 м. ед. и CB = 3 м. ед. Намерете разстоянията от върха: а) B до катета AC; б) A до катета BC. Решение: а) Разстоянието от B до катета AC е дължината на катета BC, BC = 3 м. ед. б) Разстоянието от A до катета BC е дължината на катета AC, AC = 12 м. ед.

ЗАДАЧА 3 Начертайте (спуснете) перпендикулярите от върха: a) C до страната AB ; Решение: a)

б) A до страната BC ;

в) B до страната AC.

б)

в)

Височини в триъгълник Отсечките AA1, BB1, CC1 в  ABC, за които AA1 ⊥ BC, BB1 ⊥ AC, CC1 ⊥ AB, се наричат височини в  ABC. Всеки триъгълник има три височини.

* Прието е точки да се означават и така: A1, B1, C1, A2, ... , където 1, 2, ... се пишат долу вдясно и се наричат индекси. Четем A едно, B едно и т.н.

192

Към съдържанието

Приемаме означенията: страни → BC = a, CA = b, AB = c; височини към a → AA1 = ha , към b → BB1 = hb , към c → CC1 = hc .

a b c

ЗАДАЧА 4 Начертайте височините в правоъгълния  ABC.

Решение:  ACB = 90°

hа

ЗАДАЧА 5

CC1 = hc АC = hа BC = hb На квадратна мрежа (1 дел. = 1 м. ед.) е начертан равнобедрен  ABC с основа АB = 4 м. ед. и височина CC1 = 7 м. ед. Открийте чрез кои познати фигури можем да начертаем  ABC. Решение: Равнобедрения  ABC можем да начертаем чрез два правоъгълни триъгълника с общ катет CC1 = 7 м. ед. и катети АC1 = C1B, които са половината от AB.

ЗАДАЧА 6 Начертайте височините в тъпоъгълния  ABC. Решение: I случай:  ACB > 90°

ЗАДАЧИ

II случай:  ABC > 90°

III случай:  BAC > 90°

1 Начертайте остроъгълен  ABC и трите му височини. 2 Начертайте правоъгълен  ABC ( C = 90°) и трите му височини. 3 Начертайте правоъгълен  ABC ( A = 90°) и трите му височини. 4 Начертайте тъпоъгълен  ABC ( А > 90°) и трите му височини. 5 Начертайте тъпоъгълен  ABC ( B > 90°) и трите му височини. 6 Начертайте тъпоъгълен  ABC ( C > 90°) и трите му височини. 193 Към съдържанието

94.

ПРАВОЪГЪЛНИК (ПРЕГОВОР)

Квадратната мрежа е съставена от малки квадрати. На чертежа деленията са по 0,5 cm. Квадратът е геометрична фигура, която има: • 4 върха; • 4 равни страни; • 4 прави ъгъла. Геометричната фигура MNPQ е квадрат. Геометричната фигура ABCD, начертана на квадратната мрежа, е правоъгълник. Елементи на правоъгълника: • 4 върха – точките A, B, C, D; • 4 страни – отсечките AB, BC, CD, DA; • 4 прави ъгъла – S BAD = S ABC = S BCD = S CDA = 90°; • 2 диагонала – AC и BD. Квадратът е вид правоъгълник.

ЗАДАЧА 1 Намерете дължините на страните на начертаните на квадратната мрежа: а) квадрат;

б) правоъгълник.

Решение: а) MN = NP = PQ = QM = 3 деления . 0,5 cm = 1,5 cm б) AB = 7 деления . 0,5 cm = 3,5 cm, AD = 4 деления . 0,5 cm = 2 cm CD = 7 деления . 0,5 cm = 3,5 cm, BC = 4 деления . 0,5 cm = 2 cm Забелязваме, че страните AB и CD са равни (3,5 cm); страните AD и BC са равни (2 cm). AB и CD нямат общ връх → наричаме ги срещуположни страни. AB и AD имат общ връх (точката A) → наричаме ги съседни страни.

Свойство на правоъгълника Срещуположните страни на правоъгълника са равни. Означаваме AB = CD = a, AD = BC = b. Например AB = a = 3,5 cm, AD = b = 2 cm. a и b се наричат измерения на правоъгълника. Наричат се още дължина и ширина на правоъгълника. Квадратът е вид правоъгълник, на който измеренията са равни (a = b) или дължината и ширината са равни: AB = BC = CD = DA = a. a се нарича измерение на квадрата. Обиколката на начертания правоъгълник е AB + BC + CD + DA = 3,5 cm + 2 cm + 3,5 cm + 2 cm = = 2 . 3,5 cm + 2 . 2 cm = 7 cm + 4 cm = 11 cm.

194

Към съдържанието

Обиколка на правоъгълник

P=2.a+2.b

P = 2 . (a + b)

P=4.a

Обиколка на квадрат

ЗАДАЧА 2 Върху квадратна мрежа начертайте правоъгълник ABCD с измерения AB = 6 м. ед. и AD = 4 м. ед. Решение:

Един от начините за чертане на правоъгълник върху квадратна мрежа е показан в четири последователни стъпки. Избираме точка А да е връх на квадратче, а страните чертаем по линиите на квадратната мрежа.

ЗАДАЧА 3 Правоъгълник има обиколка 15,4 cm. Дължината му е 44 mm. Намерете ширината му (в cm). Решение: 44 mm = 4,4 cm Означаваме ширината на правоъгълника с x.

Ширината е 3,3 cm.

ЗАДАЧА 4 Дворно място във форма на правоъгълник има ширина 18,5 m

и дължина 27,5 m. Намерете: а) обиколката на дворното място; б) колко лева трябват, за да се огради мяс тото, ако цената на 1 m ограда е 18,50 лв. Решение: а) P = 2 . (a + b), a = 27,5 m, b = 18,5 m б) 92 m . 18,5 лв. за 1 m = ? P = 2 . (27,5 + 18,5) = 2 . 46,0 = 92 92 . 18,5 = 1 702 P = 92 m За ограждане на мястото са нужни 1702 лв.

ЗАДАЧИ

1 Върху квадратна мрежа начертайте правоъгълник ABCD с измерения: а) AB = 7 м. ед.; AD = 3 м. ед.; б) AB = 4 м. ед.; AD = 8 м. ед.; в) AB = 10 м. ед.; AD = 5 м. ед. 2 Върху квадратна мрежа начертайте квадрат ABCD с измерениe:

а) AB = 5 м. ед.; б) AB = 10 м. ед.; в) AB = 7 м. ед.; г) АВ = 6 м. ед.

3 Намерете обиколката на:

а) квадрат с измерение 5,9 cm; б) правоъгълник с дължина 7,8 cm и ширина, 2 пъти по-малка от нея.

195 Към съдържанието

95.

ЛИЦЕ НА РАВНИННИТЕ ФИГУРИ ПРАВОЪГЪЛНИК И КВАДРАТ (ПРЕГОВОР)

ЗАДАЧА 1 Върху квадратна мрежа с мерна единица 1 cm начертайте правоъгълник

с дължини на страните 6 cm и 3 cm. Намерете лицето на правоъгълника.

3 cm

6 cm 1 cm2 Решение: Квадратчето с лице 1 cm2 се нанася по страната AB 6 пъти, а по BC 3 пъти. Получават се 3 реда по 6 квадратчета, всяко по 1 cm2, т.е. 18 квадратчета по 1 cm2 (или 6 стълба по 3 квадратчета = 18 cm2): S = 3 . 6 = 6 . 3 = 18 S = 18 cm2. Забелязваме, че: • лицето на правоъгълника ABCD в квадратни сантиметри се получава, като умножим двете му измерения в сантиметри → 6 сm . 3 сm = 18 cm2; • лицето на квадрата MNPQ в квадратни сантиметри се получава, като умножим двете му измерения в сантиметри → 2 сm . 2 сm = 4 сm2.

Лице на правоъгълник

S=a.b

Лице на квадрат

S=a.a

ЗАДАЧА 2 Страните* на правоъгълник са 4,2 cm и 3 cm.

Намерете обиколката и лицето на правоъгълника. Правоъгълник a = 4,2 cm P=? b = 3 cm S=? Решение: 1. P = 2 . a + 2 . b 2. S = a . b P = 2 . 4,2 + 2 . 3 S = 4,2 . 3 P = 14,4 cm S = 12,6 cm2

* По-нататък под “отсечката е a cm” ще разбираме “дължината на отсечката е a cm”.

196 Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 Лицето на правоъгълник е 16,32 cm2. Дължината му е 6,8 cm. Намерете ширината и обиколката на правоъгълника. Правоъгълник S = 16,32 cm2 b = ? a = 6,8 cm Р=? Решение:

b = 2,4 сm

P = 18,4 сm

ЗАДАЧА 4 Обиколката на правоъгълник ABCD е 36,8 cm, а дължината му е 78 mm. Намерете лицето му (в cm2). Правоъгълник ABCD P = 36,8 сm S = ? a = 78 mm Решение: 1. AB = a = 78 mm = 7,8 сm 2. P = 2 . a + 2 . b →

=5 =5–2

=6 =6:2

3. S = a . b

ЗАДАЧИ

, S = 7,8 . 10,6, S = 82,68 сm2

1 Страните на правоъгълник са 4,8 сm 4 Обиколката на правоъгълник е и 0,3 dm. Намерете лицето му. 2 Едната страна на правоъгълник е 6,8 сm, а другaтa e с 24 mm по-къса. Намерете лицето и обиколката на правоъгълника. 3 Лицето на правоъгълник е 50,32 сm2, а дължината му е 7,4 сm. Намерете: а) ширината на правоъгълника; б) обиколката на правоъгълника.

24,2 сm, а едната му страна е 6,6 сm. Намерете лицето на правоъгълника. 5 Квадрат със страна 6,8 сm и пра воъгълник с дължина 13,6 сm имат равни лица. Намерете обиколката на правоъгълника. 6 Квадрат с обиколка 24 cm и правоъгълник имат равни лица. Намерете обиколката на правоъгълника (в cm), ако едната му страна е 0,9 dm. Към съдържанието

197

96.

МЕРНИ ЕДИНИЦИ ЗА ЛИЦЕ (ПРЕГОВОР С ДОПЪЛНЕНИЕ)

ЗАДАЧА 1 От лист милиметрова хартия отрежете квадрат със страна 1 dm. Намерете лицето на квадрата във: а) квадратни дециметри; б) квадратни сантиметри; в) квадратни милиметри. Решение: а) S = 1 dm2 б) S = 10 cm . 10 cm = 100 cm2 в) S = 100 mm . 100 mm = = 10 000 mm2

dm 2

m2 m m2

dm 2 dm dm 2

cm 2

mm 2

mm 2 mm mm 2

cm cm 2

Мерни единици за лице 1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2

ЗАДАЧА 2 Лист хартия за ксерокс има размери 0,21 m и 0,296 m. Намерете лицето на листа в квадратни метри и го превърнете в квадратни сантиметри. Решение: S = a . b = 0,21 . 0,296 = 0,06216, S = 0,06216 m2 S = 0,06216 . (100 . 100) = 0,06216 . 10000 = 621,6 cm2

ЗАДАЧА 3 Намерете:

а) 1 dm2 = ? m2; б) 1 cm2 = ? m2; в) 1 mm2 = ? m2;

г) 1 сm2 = ? dm2; д) 1 mm2 = ? dm2; е) 1 mm2 = ? cm2.

Решение: а) От 1 m2 = 100 dm2 → 1 dm2 = (1 : 100) m2 = 0,01 m2 б) От 1 m2 = 10000 сm2 → 1 сm2 = (1 : 10000) m2 = 0,0001 m2 в) От 1 m2 = 1000000 mm2 → 1 mm2 = (1 : 1000000) m2 = 0,000001 m2 г) От 1 dm2 = 100 сm2 → 1 сm2 = (1 : 100) dm2 = 0,01 dm2 д) От 1 dm2 = 10000 mm2 → 1 mm2 = (1 : 10000) dm2 = 0,0001 dm2 е) От 1 сm2 = 100 mm2 → 1 mm2 = (1 : 100) сm2 = 0,01 сm2

При решаване на Задача 3 г), д), е) 1 dm2 = (10 . 10) = 100 сm2 , 1 dm2 = (100 . 100) = 10 000 mm2, ...

198 Към съдържанието

Запомняме начинa (чрез лицето на квадрат) за превръщане на по-голяма квадратна мерна единица в по-малка квадратна мерна единица. Съобразяваме (както решихме Задача 3) превръщането на по-малка квадратна мерна единица в по-голяма квадратна мерна единица. При измерване площта на държави, континенти, морета и др. се използва квадратен километър (km2). При измерване на ниви, паркове, дворни места и др. мерните единици квадратен метър и квадратен километър са неудобни за използване. Затова са въведени мерните единици ар, декар (дкa) и хектар (ха).

1 ар = (10 . 10) m2 = 100 m2 1 дка = (10 . 100) m2 = 1 000 m2 1 ха = (100 . 100) m2 = 10 000 m2

ЗАДАЧА 4 Намерете:

а) 1 m2 = ? ара; б) 1 m2 = ? дка; в) 1 m2 = ? ха;

Решение: а) 1 ар = 100 m2 б) 1 дка = 1000 m2 в) 1 ха = 10000 m2 г) 1 дка = 10 ара д) 1 ха = 100 ара е) 1 ха = 10 дка

ЗАДАЧИ

→ → → → → →

1 дка = 10 ара 1 ха = 10 дка = 100 ара г) 1 ар = ? дка; д) 1 ар = ? ха; е) 1 дка = ? ха.

1 m2 = 1 m2 = 1 m2 = 1 ар = 1 ар = 1 дка =

(1 : 100) ара = 0,01 ара (1 : 1000) дка = 0,001 дка (1 : 10000) ха = 0,0001 ха (1 : 10) дка = 0,1 дка (1 : 100) ха = 0,01 ха (1 : 10) ха = 0,1 ха

1 Европа заема площ от 10532000 km2, 3 Намерете: а Азия – с 33 482 000 km2 повече. Двата континента образуват най-голямата суша на Земята. Намерете колко квадратни километра е тя. 2 Измерете с линийка размерите на една страница от този учебник. а) Намерете колко квадратни санти метра хартия са необходими за една страница и за един лист от учебника. б) Намерете колко квадратни метра хартия са нужни за отпечатването на целия учебник. в) Намерете колко квадратни метра са необходими за отпeчатване на тираж от 30000 екземпляра от този учебник.

а) 2 dm2 = ? m2; б) 3 сm2 = ? dm2; в) 7 mm2 = ? сm2; г) 9 mm2 = ? dm2.

4 Намерете:

а) 5 m2 = ? ара; в) 8 ара = ? дка;

б) 7 m2 = ? дка; г) 6 ара = ? дка.

5 Дъното на басейн има форма на

правоъ гълник с размери 30 m и 12 m. Колко броя плочки са необходими за покриването му, ако една плочка има размери 40 сm и 30 сm?

6 София е разположена на площ от

приблизително 450 km2. Намерете площта ѝ в квадратни метри, арове, декари и хектари.

199 Към съдържанието

97.

ЛИЦЕ НА ПРАВОЪГЪЛЕН ТРИЪГЪЛНИК Начертайте върху квадратна мрежа (1 м. ед. = 1 сm) правоъгълник ABCD със страни 4 сm и 2 сm. Изрежете правоъгълника и след това по диагонала AC го разделете на два триъгълника. Наложете триъгълниците, както е показано на чертежа. Намерете лицето на  ABC.



При налагане на  ACD върху  ABC върхът A → върха C върхът D → върха B , т.е. триъгълниците съвпадат. върхът C → върха A

ко две фигури при налагане съвпадат, те имат равни лица, т.е. са А равнолицеви. Правоъгълникът ABCD е съставен от двата триъгълника ABC и ACD, които при налагане съвпадат, т.е. са равнолицеви. Тогава всеки от триъгълниците има лице, равно на половината от лицето на правоъгълника ABCD, което ще означим с S: 1

S = 2 . S S = 2 . 4 . 2 = 4, S = 4 cm2.

Ако една фигура е разделена на части, лицето и΄е сбор от лицата на тези части. Ако един правоъгълник има лице S = a . b, то правоъгъл ният тръгълник с хипотенуза − диагоналът на правоъгъл ника, и катети a и b има лице, равно на половината от лицето на правоъгълника. S = Sправоъг. : 2, т.е. 1

S = 2 . Sправоъг. = 2 . a . b, S = 2 . a . b

! 200

Лице на правоъгълен триъгълник

S =

1 2

.a.b

S = a 2. b Към съдържанието

ЗАДАЧА 1 Намерете лицето на правоъгълен ABC ( C = 90°), ако катетите му са: а) a = 6 сm, b = 10 сm;

б) a = 5 сm, b = 8 сm;

а) a = 6 сm б) a = 5 сm b = 10 сm b = 8 сm Решение: 1

S = ?

а) S = 2 . a . b S = 2 . 6 . 10 = 5 . 6 = 30, S = 30 cm2 1 1 б) S = 2 . a . b S = 2 . 5 . 8 = 4 . 5 = 20, S = 20 cm2

ЗАДАЧА 2 Лицето на  ABC ( C = 90°) е 90,3 сm2. Намерете дължината на катета BC, ако дължината на катета AC = 0,129 m.  ABC ( C = 90°) AC = b = 0,129 m S = 90,3 сm2

BC = a = ?

1. b = 0,129 m = 12,9 сm

2. S = 2 . a . b → 90,3 = 2 . 12,9 . a 1 2 . 12,9 . a = 90,3 6,45 . a = 90,3 a = 90,3 : 6,45 a = 14 BC = a = 14 сm Решение:

ЗАДАЧИ

1 Намерете лицето на правоъгълен

 ABC с катети AC = 12,2 сm и BC = 10,6 сm. 2 Н а м е р е т е л и ц е т о н а  A B C ( C = 90°) с обиколка 30 сm, хипотенуза c = 1,3 dm и катет, с 8 сm по-малък от хипотенузата. 3 На чертежа е даден модел на хвър- 5 Начертайте таблицата в тетрадките си и я попълнете, ако a и b са дължи чило, което се състои от два правоните на катетите на правоъгълен ъгълни триъгълника. По дадените триъгълник, а S е лицето му: размери намерете площта на хвърdm чилото. а) б) в) dm

dm dm

4 Намерете лицето на оцветената

а b S

12,3 сm 579 mm 1,35 dm 0,17 m 3,2 dm ? сm 2 2 ? сm ? сm 44,55 сm2 г) д) е) ? dm 5,5 m ? dm а ?m 0,77 m b 333 mm S 13,32 dm2 38,5 dm2 46,2 dm2

фигура, като използвате дадените измерения в метри:

201 Към съдържанието

98.

ЛИЦЕ НА ТРИЪГЪЛНИК

ЗАДАЧА 1 CC1 е височина в остроъгълен  ABC. Намерете лицето на триъгълника, ако: AC1 = 5 cm C1B = 3 cm CC1 = hc = 4 cm

S=?

Решение: Височината CC1 към страната AB разделя  ABC на два правоъгълни триъгълника.

S2 C1

Тогава S = S1 + S 2

S1 = 2 . 5 . 4 = 10 1 S2 = 2 . 3 . 4 = 6 S = 10 + 6 S = 16 cm2.



Означаваме: лицето на  ABC → S лицето на  ACC1 → S1 лицето на C1BC → S 2

Забелязваме, че можем да запишем следното равенство: 1

S = 2 . 5 . 4 + 2 . 3 . 4 = 2 . (5 . 4 + 3 . 4) = 1 1 =2 . (5 + 3) . 4 = 2 . 8 . 4. От AB = AC1 + C1B = 5 + 3 = 8, AB = 8 cm следва, че 1

S = 2 . AB . CC1 или S = 2 . c . hc , където АB = c, CC1 = hc . В Задача 1 лицето на остроъгълния ABC намерихме като сбор от лицата на два правоъгълни триъгълника. По същия начин можем да намерим лицето на правоъгълен и тъпоъгълен триъгълници: 1

S = 2 . AB . CC1 или S = 2 . c . hc .

hc C1

ЗАДАЧА 2 На чертежа  ABC е тъпоъгълен с тъп ъгъл при върха B. Намерете лицето на триъгълника, ако:

hc = 4

CC1 = hc = 4 cm AC1 = 7 cm BC1 = 2 cm

S=?

202

Към съдържанието

Решение: Означаваме: Тогава S + S2 = S1 → S1 = лицето на  ABC → S S = S1 − S2 S2 = лицето на  AC1C → S1 лицето на  BCC1 → S2 S = 14 − 4 S = 10 cm2.

1 2 1 2

. 7 . 4 = 14 .2.4=4

Правилото за намиране лицето на триъгълник – S = 12 . c.hc , е вярно и в случая на Задача 2, защото 1

SABC = 2 . AB . CC1 = 2 . (7 − 2) . 4 = 2 . 5 . 4 = 2 . 20 = 10, SABC = 10 cm2.

ЗАДАЧА 3 В  ABC страната BC = a = 9 cm, а височинaтa към нея AA 1 = ha = 5 cm.

Намерете лицето на триъгълника. a = 9 cm SABC = ? ha = 5 cm Решение: Височината AA 1 = ha разделя  ABC на ha два правоъгълни триъгълника. Като раз съждаваме както в Задача 1, намираме: 1

S = 2 . a . ha 1 1 S = 2 . 9 . 5 = 2 . 45 = 22,5 S = 22,5 cm2.

ЗАДАЧИ

Лице на триъгълник

1 2

. a . ha

1 2

. b . hb

1 2

. c . hc

a . ha 2 b . hb 2 c . hc 2

Намерете лицето на  ABC в квадратни сантиметри, ако са дадени: 4 a = 70 mm, ha = 6 cm. 1 a = 8 cm, ha = 6 cm.

2 b = 7 cm, hb = 4 cm. 3 c = 9 cm, hc = 5 cm.

5 b = 0,9 dm, hb = 40 mm. 6 c = 0,07 m, hc = 50 mm.

Към съдържанието

203

99.

ЛИЦЕ НА ТРИЪГЪЛНИК. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 (Устно) Начертани са три триъгълника. Намерете лицата им, като използвате дадените измерения (в сm): а) б)

в)

Решение: 1 1 1 а) S = 2 . BC . AA1 б) S = 2 . AB . CC1 в) S = 2 . AC . BB1 S = 20 cm2 S = 15 cm2 S = 12 cm2

ЗАДАЧА 2 Даден е  ABC ( C = 90°) с катети a = 6 сm и b = 8 сm и хипотенуза c = 10 сm. Намерете:

а) лицето на триъгълника; б) височината към хипотенузата.

 ABC ( C = 90°) a = 6 сm S = ? b = 8 сm hc = ? c = 10 сm

а) S = 2 . a . b б) 24 = 2 . 10 . hc 1 S = 2 . 6 . 8 24 = 5 . hc S = 4 . 6 5 . hc = 24 S = 24 cm2 hc = 24 : 5 = 4,8 сm Решение:

Лицето на  ABC ( C = 90°) може да се намери по формулите 1 S = 2 . a . b и S = 12 . c . hc .

ЗАДАЧА 3 Даден е  ABC със страни a = 9 сm, c = 7 сm и височина hb = 6,71 сm. Намерете обиколката на триъгълника, ако лицето му е 26,84 cm2.

204

 ABC a = 9 сm c = 7 сm hb = 6,71 S = 26,84 cm2

P=?

Към съдържанието

1. S = 2 . b . hb 1 26,84 = 2 . (b . 6,71) 1 2

. (b . 6,71) = 26,84 b = 8 сm

2. P = a + b + c P=9+7+8 P = 24 сm

ЗАДАЧА 4 ABC има лице S = 0,435 dm2 и височина ha = 58 mm. Намерете страната a в сантиметри.

 ABC ha = 58 mm S = 0,435 dm2

a=?

Решение: 1 ha = 58 mm = 5,8 сm S = 2 . a . ha S = 0,435 dm2 = 43,5 cm2

43,5 = 2 . a . 5,8 → a = 15 a = 15 сm

ЗАДАЧА 5

(Устно) Намерете лицата на оцветените триъгълници и ги сравнете. Решение: 2.4 S1 = S2 = S3 = 2 = 4 cm2

ЗАДАЧА 6

(Устно) Намерете лицата на  ABM,  ABN,  ABP и ги сравнете. Решение: 4.3 S1 = S2 = S3 = 2 = 6 cm2

ЗАДАЧИ

1 В  ABC намерете (в cm) при даде-

ни: а) S = 12,48 cm2, c = 78 mm, hc = ? б) S = 21 cm2, a = 0,7 dm, ha = ? в) S = 22,8 cm2, hb = 0,057 m, b = ? 2 Даден е  ABC със страна a = 9 сm и височини ha = 6 сm, hb = 6,75 сm. Намерете страната b. 3 Лицето на  ABC ( C = 90°) е 24 cm2 . Единият му катет е 6 сm, а

обиколката му е 24 сm. Намерете дължината на: а) другия катет; б) хипотенузата; в) височината към хипотенузата. 4 Триъгълник и квадрат имат равни лица. Страната на квадрата е 4,8 сm, а една от страните на триъгълника е 6,4 сm. Намерете височината на триъгълника към дадената му страна.

205 Към съдържанието

100.

ЛИЦЕ НА РАВНИННАТА ФИГУРА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК. ПРАКТИЧЕСКИ ЗАДАЧИ

ПРИМЕР

Четириъгълникът ABCD е начертан на квадратна мрежа. AC е единият му диагонал. Лицето на четириъгълника е сбор от лицата на ACB и ACD. Те имат обща основа AC = 9 м. ед. За да намерим височините на  ACB и ACD, отчитаме разстоянията: от върха B до AC → BB1 = 2 м. ед., от върха D до AC → DD1 = 4 м. ед. Означаваме лицето на четириъгълника ABCD със S,  ACB → S1 ,  ACD → S2.

1 1

Тогава S = S1 + S2 = 2 . AC . BB1 + 2 . AC . DD1 1 1 S = 2 . 9 . 2 + 2 . 9 . 4 = 9 + 18 = 27

S = 27 кв. м. ед. Забелязваме, че за да намерим лицето на четириъгълника, намираме лицата на познати фигури, които го съставят. Всеки четириъгълник има два диагонала. Всеки диагонал разделя четириъгълника на два триъгълника. Лицето на четириъгълника е сбор от лицата на тези два триъгълници.

Лице на четириъгълник 1

S = 2 . AC . BB1 + 2 . AC . DD1

S = 2 . BD . AA1 + 2 . BD . CC1

ЗАДАЧА 1 Намерете площта на хвърчило (в m2) с измерения, дадени на чертежа. Решение:

m m

S = 2 . 80 . 30 + 2 . 80 . 30 = 1200 + 1200 = 2 400 S = 2400 cm2 S = 0,24 m2

ЗАДАЧА 2 Намерете лицата на четириъгълниците в квадратни сантиметри, ако измеренията са дадени в сантиметри: а) б)

Отговор:

206

в)

а) S = 24 cm2 б) S = 51 cm2 в) S = 70 cm2 Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 На скицата е даден план на вилно място в мащаб 1 : 1000.

Означените измерения са в сантиметри. Намерете: а) действителните размери на вилното място; б) с колко метра телена мрежа може да се огради мястото; в) колко евро струва вилното място, ако цената на 1 m2 е 8 евро. Решение: Вилното място има форма на четириъгълник. Означаваме го ABCD. а) AB = 3,1 cm → AB = 3,1.1000 = = 3100 cm = 31 m BC = 4,2 cm → BC = 42 m CD = 3,8 cm → CD = 38 m AD = 4,5 cm → AD = 45 m DP = 4 cm → DP = 40 m DQ = 3,4 cm → DQ = 34 m

б) P = AB + BC + CD + DA = 31 + 42 + 38 + 45 = 156, P = 156 m Оградната телена мрежа трябва да е 156 m. в) S = SABD + SBCD 1

S = 2 . 31 . 40 + 2 . 42 . 34 = 31 . 20 + 21 . 34 = 620 + 714 = 1334 S = 1334 m2 Вилното място е 1334 m2. Цената му е 1334 . 8 = 10 672, 10672 евро.

ЗАДАЧИ

1 Намерете лицето на четириъгълни- ците в квадратни метри, ако 1 деление на квадратната мрежа е 1 m.

д)

е)

3 На скицата е даден план на вилно

място в мащаб 1 : 1000. Означените измерения са в сантиметри. Намерете: а) действителните размери на вилното място; а) б) в) б) с колко метра телена мрежа може 2 Намерете лицата на четириъгълнида се огради мястото; ците в квадратни метри, ако изме- в) колко евро струва вилното място, ако цената на 1 m2 е 12 евро. ренията са в дециметри. а)

б)

в)

г)

Към съдържанието

207

101.

УСПОРЕДНИ ПРАВИ

2 cm

2,5 cm

2 cm

Начертани са правите: • m и n; разстоянията на точките M и M1 от правата m до правата n са MN = 2 cm, M1 N1 = 2,5 cm. Ако продължим правите m и n, те ще се пресекат. • a и b; разстоянията на точките A и A1 от правата a до правата b са AB = 2 cm, A1 B1 = 2 cm.

Успоредни прави Ако продължим правите a и b, те няма да се пресекат, защото всички точки от едната права (правата a) са на равни разстояния от другата права (правата b). Правите a и b се наричат успоредни прави. Пишем: a || b. Четем: “a е успоредна на b”. AB = A1 B1 = A2B2 се нарича разстояние между успоредните прави a и b.

ЗАДАЧА 1

Начертани са правите m и n. Покажете, че те са успоредни.

1 1

Решение: Избираме две точки P и Q от правата m. Начертаваме PP1 ⊥ n и QQ1 ⊥ n. Измерваме отсечките PP1 и QQ1: PP1 = 1,3 cm ; QQ1 = 1,3 cm. Тогава n || m.

Ако изберем две точки от правата n (Задача 1) и направим същите разсъждения, отново ще получим, че m || n. Кои геометрични фигури, които познаваме, имат страни, които лежат на успоредни прави? − правоъгълник и квадрат: • страните AB и CD са отсечки от успоредните прави a и b; • страните AD и BC са отсечки от успоредните прави c и d.

208

Към съдържанието

Успоредни отсечки Успоредни отсечки са тези, които лежат на успоредни прави. За страните на правоъгълника ABCD → AB || CD; AD || BC. Знаем, че срещуположните страни на правоъгълника са равни. Показахме, че срещуположните страни на правоъгълника са успоредни. Правоъгълник ABCD

ЗАДАЧА 2 Върху квадратна мрежа са начертани три положения на правите a и b. Обосновете твърдението, че правите a и b са успоредни.

Решение: Разстоянията AB = 3 м. ед., A1B1 = 3 м. ед. са равни, т.е. AB = A1B1. Всички точки A, A1 , ... , от правата a са на равни разстояния (3 м. ед.) до правата b. Тогава правите a и b са успоредни (a || b).

ЗАДАЧИ

1 На квадратна мрежа са начертани

правите: а) a и b ;

б) m и n ;

3 На квадратна мрежа (1 дел. =

1 м. ед.) са начертани правите: а) a и b ; б) c и d ;

в) m и n ;

a n

в) p и q;

г) с и d.

г) p и q.

Определете успоредни ли са всяка двойка прави и обосновете отговора си.

2 Върху квадратна мрежа начертайте две успоредни прави a и b, разстоянието между които е 5 м. ед.

Покажете, че правите са успоредни, и намерете разстоянието между тях (в дадените мерни единици).

4 Върху квадратна мрежа начертайте две успоредни прави m и n, разстоянието между които е 4 м. ед.

209 Към съдържанието

102.

УСПОРЕДНИК. РОМБ Фигурата, начертана на квадратната мрежа, е четириъгълник ABCD. Страните AB и CD лежат върху успоредни прави, т.е. AB || CD и се наричат срещуположни страни. Ще покажем, че правите AD и BC също са успоредни. Начертаваме AA1 ⊥ правата BC, DD1 ⊥ правата BC. Измерваме отсечките AA1 и DD1 → AA1 = 2,5 сm, DD1 = 2,5 сm. Получихме, че AA1 = DD1. Тогава правите AD и BC са успоредни (AD || BC). За четириъгълника ABCD показахме, че AB || CD, AD || BC, т.е. срещуположните му страни са успоредни отсечки. Такъв четириъгълник се нарича успоредник.

Успоредник

Четириъгълник, на който срещу положните страни са успоредни, се нарича успоредник.

Измерваме страните AB и CD → AB = CD = 3 сm, страните AD и BC → AD = BC = 1,8 сm.

Свойство на успоредника Срещуположните страни на успоредника са равни. ABCD – успоредник →

AB || CD, AD || BC AB = DC, AD = BC

Отсечките AC и BD се наричат диагонали на успоредника ABCD. Отсечките AВ и BС се наричат съседни страни на успоредника ABCD.

ЗАДАЧА 1 Начертани са четириъгълници. Кои от тях са успоредници?

Решение: Четириъгълниците 2 , 3 , 4 , 5 са успоредници. • Успоредниците 4 и 5 са правоъгълници, защото ъглите им са прави (по 90°). Правоъгълникът 4 и квадратът 5 са видове успоредници. • Успоредникът 3 има 4 равни страни. Такъв успоредник се нарича ромб.

210

Към съдържанието

Ромб

Ромбът е успоредник, на който две съседни страни са равни. Правоъгълникът е вид успоредник. Ромбът е вид успоредник. Квадратът е вид успоредник, вид правоъгълник, вид ромб.

ЗАДАЧА 2 Начертайте върху квадратна мрежа: a) модел на успоредник; Решение:

б) модел на ромб.

а) Модели 1 , 2 , 3 . Модел на успоредник върху квадратна мрежа чертаем, като върху успоредните прави на квадратната мрежа вземем две равни отсечки AB и CD и съединим точките, както е показано на чертежа. Модел 1 има страна AB = 4 деления, AB < AD и разстоянието между страните AB и CD е 5 деления. Модел 2 има страна AB = 7 деления, AB > AD и разстоянието между страните AB и CD е 4 деления. б) Модел 3 . Модел на ромб ABCD е удобно да начертаем по два начина: • чрез четири правоъгълни триъгълника AOB, BOC, COD и DOA с прав ъгъл при върха О; • чрез два равнобедрени триъгълника, чиито бедра са равни (DBC и DBA или ACB и ACD).

ЗАДАЧИ

Начертайте модел на успоредник ABCD върху квадратна мрежа, ако:

1 AB = 6 деления, AB > AD,  A – остър, и разстоянието между страните AB

и CD е 4 деления.

2 AB = 9 деления, AB > AD,  A – тъп, и разстоянието между страните AB и CD е 2 деления.

3 AB = 3 деления, AB < AD, A – остър, и разстоянието между страните AB и CD е 7 деления.

Към съдържанието

211

103.

ОБИКОЛКА НА УСПОРЕДНИК

Даден е успоредник ABCD. Означаваме AB = CD = a, AD = BC = b. P = AB + BC + CD + DA P = a + b + a + b = a + a + b+b

P = 2 . a + 2 . b,

P = 2 . (a + b)

Обиколката на ромб MNLQ е P = a + a + a + a = 4 . a.

Обиколка на успоредник

P=2.a+2.b

P = 2 . (a + b)

P=4.a

Обиколка на ромб

ЗАДАЧА 1 Намерете обиколката P на успоредник, ако:

а) a = 7,5 сm, b = 0,3 dm ; б) a = 38 mm, b = 4,5 сm. Решение: а) a = 7,5 сm, b = 0,3 dm = 3 сm б) a = 38 mm = 3,8 сm, b = 4,5 сm P = 2 . a + 2 . b P = 2 . a + 2 . b P = 2 . 7,5 + 2 . 3 P = 2 . 3,8 + 2 . 4,5 P = 15 + 6 P = 7,6 + 9 P = 21 сm P = 16,6 сm

ЗАДАЧА 2 Обиколката на успоредник е 26,8 сm и едната му страна е a = 7,8 сm.

Намерете другата му страна b. Решение: 2 . а + 2 . b = P 2+

ABCD − успоредник P = 26,8 сm a = 7,8 сm

b=? b = 5,6 b = 5,6 сm

=5 =5−2

2. =6 = 6 : 2

Модел на успоредник е удобно да начертаем (използваме линийка с деления), като върху успоредните редове на тетрадката начертаем две равни отсечки AB и DC (виж Задача 2) и съединим точките A с D и B с C.

212 Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 Намерете страната на ромб с обиколка 25,6 сm. Решение:

a = 6,4 сm

ЗАДАЧА 4 Успоредник ABCD със страни a и b и ромб MNLQ със страна m имат равни обиколки. Ако a = 16 сm и b е 5 пъти по-малкa от a, намерете m.

Решение: 1 b = a : 5 2 PABCD = 2 . a + 2 . b 3 PMNLQ = PABCD b = 16 : 5 P = 2 . 16 + 2 . 3,2 P = 4 . m b = 3,2 сm P = 32 + 6,4 4 . m = 38,4 L P = 38,4 сm m = 38,4 : 4 m m = 9,6 сm m

ЗАДАЧА 5 Посочете верните твърдения:

1 Всеки успоредник е четириъгълник. 2 Всеки правоъгълник е успоредник. 3 Всеки успоредник е правоъгълник.

4 5 6 7

Всеки ромб е успоредник. Всеки успоредник е ромб. Всеки квадрат е правоъгълник. Всеки квадрат е ромб.

Отговор: Верни са твърденията 1 , 2 , 4 , 6 , 7 .

ЗАДАЧИ

1 Успоредник има страни a и b. Наме- 4 Дадени са едната от страните на рете обиколката му в сантиметри, ако: а) а = 7,5 сm, в) a = 18,3 сm, b = 3,8 сm; b e 3 пъти по-малко от a; б) a = 157 mm, г) а = 18 сm, b = 0,49 dm; b e с 10,8 сm по-малко от a.

успоредник и обиколката му. Намерете другата му страна, ако: а) a = 11,3 сm, в) P = 48 сm, P = 33,6 сm; a = 0,3 . P ; б) b = 21,8 сm, г) P = 80 сm, P = 59 сm; a = 0,32 . P.

5 Успоредник със страни a и b и ромб

2 Ромб има страна a сm. Намерете

обиколката му в сантиметри, ако: а) a = 14,3 сm; в) a = 0,51 dm; б) a = 78 mm; г) a = 0,104 m.

метри, ако обиколката му е: а) P = 26,4 сm; в) P = 3,52 dm; б) P = 0,22 m; г) P = 144 mm.

3 Намерете страната на ромб в санти-

със страна m имат равни обиколки P. а) Ако a = 17,2 сm, b е 4 пъти по-малка от a, намерете P и m. б) Ако a = 20 сm, b е с 5 сm по-малка от a, намерете P и m. в) Ако a = 13,4 сm, m = 8,5 сm, намерете P и b. г) Ако P = 25,6 сm, a = m + 1,2 сm, намерете m и b.

Към съдържанието

213

104.

ЛИЦЕ НА УСПОРЕДНИК ВИСОЧИНИ НА УСПОРЕДНИК В успоредника ABCD AB || CD, AD || BC, което означава, че: • т очките D и C се намират на равни разстояния от AB

DD1 = CC1 = ha ;

• т очките A и B се намират на равни разстояния от CD

AA1 = BB1= ha ;

• т очките B и C се намират на равни разстояния от AD

BB2 = CC2 = hb ;

• т очките A и D се намират на равни разстояния от BC AA2 = DD2 = hb .

Височини на успоредник Височината на успоредника към страната a – ha, е разстоянието между успоредните прави AB и CD, т.е. ha = AA1 = BB1 = CC1 = DD1. Височината на успоредника към страната b – hb, е разстоянието между успоредните прави AD и BC, или hb = AA2 = BB2 = CC2 = DD2. Успоредникът има две височини: ha и hb.

214 Към съдържанието

ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА УСПОРЕДНИК Диагоналът BD разделя успоредника ABCD на два триъгълника: •  ABD с основа AB = a, височина DD1 = ha; • CDB с основа CD = a, височина BB1 = ha. За лицето S на успоредника ABCD получаваме: S = SABD + SCDB

S = 2 . a . ha + 2 . a . ha = 2 . 2 . a . ha = a . ha . S = a . ha Като повторим разсъжденията за ABD и  BCD с основа b и височина h b , получаваме S = b . hb .

Лице на успоредник b a

ЗАДАЧА

ЗАДАЧИ

Намерете лицето на успоредник, ако: а) a = 7 сm, ha = 4,2 сm ; б) b = 8 сm, hb = 3,5 сm; в) a = 1,2 dm, ha = 4 сm. Решение: а) S = a . ha б) S = b . hb в) a = 1,2 dm = 12 cm S = 7 . 4,2 S = 8 . 3,5 S = a . ha S = 29,4 сm2 S = 28 сm2 S = 12 . 4 S = 48 сm2

1 Върху лист с редове начертайте: а) успоредник ABCD и височините DD1 и DD2 ; б) успоредник ABCD и височините BB1 и BB2 ; в) успоредник ABCD и височините CC1 и CC2 ; г) успоредник ABCD и височините AA1 и AA2 . 2 Намерете лицето на успоредник, ако:

а) a = 10 сm, б) a = 12 dm, в) b = 8 mm, г) b = 0,52 m,

ha = 5 сm; ha = 7 dm; hb = 10 mm; hb = 0,25 m.

3 Намерете лицето (в cm2) на успоред

ник, ако: а) a = 14,5 сm, б) a = 123 mm, в) b = 0,32 m, г) b = 0,42 dm,

ha = 0,6 dm; ha = 8,3 сm; hb = 140 mm; hb = 0,55 m.

Към съдържанието

215

105.

ЛИЦЕ НА УСПОРЕДНИК. УПРАЖНЕНИЕ

Ромбът ABCD е успоредник с равни страни (AB = BC = = CD = DA = a). Нека AB = 3 сm. Тогава от S = AB . DD1 и S = BC . DD2 получаваме 3 . DD1 = 3 . DD2 , т.е. DD1 = DD2 . Получихме, че в ромба двете височини са равни → DD1 = DD2 = h. Тогава лицето на ромба е S = a . h.

Лице на ромб

S=a.h

ЗАДАЧА 1 Намерете обиколката и лицето на ромб, ако a = 5,6 сm, h = 0,75 . a. ромб a = 5,6 сm h = 0,75 . a

P, S = ?

Решение: 1 P = 4 . a 2 h = 0,75 . a 3 S = a . h P = 4 . 5,6 h = 0,75 . 5,6 S = 5,6 . 4,2 P = 22,4 сm h = 4,2 сm S = 23,52 сm2

ЗАДАЧА 2 Височините в успоредник са ha = 3 сm, hb = 6 сm. Ако a = 10 сm, намерете S, b и P.

успоредник ha = 3 сm, hb = 6 сm a = 10 сm

Решение: 1 S = a . ha 2 S = S = 10 . 3 b . 6 = S = 30 сm2 b = b =

S, b, P = ?

b . hb 3 P=2.a+2.b 30 P = 2 . 10 + 2 . 5 30 : 6 P = 30 сm 5 сm

ЗАДАЧА 3 Страните на успоредник са a = 15 сm и b e 3 пъти по-малка от a.

Ако лицето на успоредника е 60 сm2, намерете височините му ha и hb. успоредник a = 15 сm, b = a : 3 ha , hb = ? 2 S = 60 сm

Решение: 1 S = a . ha 2 b = a : 3 3 S = b . hb 15 . ha = 60 b = 15 : 3 5 . hb = 60 ha = 60 : 15 b = 5 сm hb = 60 : 5 ha = 4 сm hb = 12 сm Височините на успоредника са ha = 4 сm и hb = 12 сm.

216 Към съдържанието

ЗАДАЧА 4 На квадратна мрежа са начертани геометрични фигури. Намерете лицата им в квадратни мерни единици.

Решение:

Фигура 1 → S = 3 . 2 = 6 кв. м. ед.

Фигура 2 → S = 3 . 2 = 6 кв. м. ед.

Фигура 3 → S = 3 . 2 + 3 . 2 + 3 . 2 = 3 . 6 = 18 кв. м. ед.

Фигура 4 → S = 6 . 4 + 6 . 2 + 4 . 2 = 24 + 12 + 8 = 44 кв. м. ед.

Фигура 5 → S = 6 . 2 + 6 . 2 + 6 . 2 + 2 . 2 . 5 = 3 . 12 + 5 = 41 кв. м. ед.

SABCD = SABMN

ЗАДАЧИ

Правоъгълник и успоредник с равни основи и равни височини към тях имат равни лица (Задача 4, фиг. 1 и 2 ).

1 Намерете (в сm2) лицето на ромб, ако: 7 Ако a = 40 сm, hb = 0,6 . a и ha е

а) a = 15 сm, h = 42 mm; б) a = 3,2 dm, h = 2,5 dm; в) a = 0,32 m, h = 120 mm.

Успоредник ABCD има страни a и b, височини към тези страни ha и hb , обиколка P и лице S. 2 Ако a = 10,2 сm, ha = 4 сm, hb = 8 сm, намерете S, b, P.

3 Ако a = 15 сm, b = 5 сm, S = 45 сm2,

намерете ha , hb , P.

4 Ако ha = 3 сm, hb = 6 сm, S = 42 сm2, намерете a, b, P.

5 Ако a = 10 сm, P = 30 сm, hb = 8 сm, намерете b, S, ha.

6 Ако a = 14,6 сm, P = 43,8 сm,

S = 43,8 сm2, намерете b, ha , hb .

половината от hb, намерете S, b, P. 8 Ако b = 5 сm, S = 42 сm2, ha = 0,5 . hb , намерете hb , a, P. 9 Ако S = 122,4 сm2, hb = 15,3 сm, a = 3b, намерете b, ha , P . 10 Ако P = 64 сm, a = 24 сm, hb = 15 сm, намерете b, ha, S. 11 Как ще се измени лицето на успоредник, ако едната от страните му се увеличи 2 пъти, а височината към нея се увеличи 3 пъти? 12 Успоредникът ABCD и  ABM имат обща основа AB = a и точка M е от страната CD. Ако разстоянието между AB и CD е hа: а) намерете лицата на  ABM и успоредника ABCD ; б) покажете, че SABCD = 2 . S ABM . Към съдържанието

217

106.

ТРАПЕЦ. ОБИКОЛКА НА ТРАПЕЦ На квадратна мрежа са начертани четириъгълници. Те имат: • две срещуположни страни, които са успоредни, а • другите две срещуположни страни не са успоредни.

! !

Трапец Трапецът е четириъгълник, на който две срещуположни страни са успоредни, а другите две не са успоредни. Когато е даден трапец, обикновено отбелязваме двете страни, които са успоредни: трапец ABCD (AB || CD). Елементи на трапеца: • AB, CD − основи долна основа − AB = a, горна основа − CD = b; • AD и BC − бедра на трапеца – BC = c, AD = d; • AC и BD − диагонали на трапеца.

ЗАДАЧА 1 Върху квадратна мрежа начертайте модел на трапец ABCD (AB || CD) с основи AB = 6 м. ед., DC = 2 м. ед. и разстояние между основите на трапеца 4 м. ед. Решение:

Модел на трапец ABCD (AB || CD) върху квадратна мрежа начертахме, като върху успоредни прави, разстоянието между които е 4 м. ед., избрахме отсечки AB = 6 м. ед. и DC = 2 м. ед. и ги съединихме така, че фигурата ABCD да е трапец.

ЗАДАЧА 2 Върху квадратна мрежа (1 деление = 1 м. ед.) е начертан трапец ABCD

с основи AB = 8 м. ед., CD = 2 м. ед. и разстояние между основите 4 м. ед. Открийте чрез кои познати фигури можем да начертаем този трапец. Решение: Трапецa ABCD можем да начертаем чрез правоъгълника D1C1CD (с измерения 2 м. ед. и 4 м. ед.) и правоъгълните триъгълници АD1D и C1BC (с катети 3 м. ед. и 4 м. ед.).

218

Към съдържанието

Обиколка на трапец

P =a+b+c+d

ЗАДАЧА 3 Трапец ABCD има основи a и b (a > b), бедра c и d и обиколка P.

Ако a = 8,2 сm, b= 0,3 dm, c = 45 mm, P = 22 сm, намерете d в сантиметри.

трапец a = 8,2 сm, b = 0,3 dm, c = 45 mm d = ? P = 22 сm

Решение: 1

a = 8,2 сm 2 b = 0,3 dm = 3 сm c = 45 mm = 4,5 сm P = 22 сm

P = a + b + c + d 22 = 8,2 + 3 + 4,5 + d 22 = 15,7 + d d = 6,3 сm

ЗАДАЧА 4 (Устно) Начертани са трапеци.

По дадени елементи (в cm) намерете обиколката им:

а) б) Решение: а) P = 5 + 4 + 2 + 3 = 14 сm б) P = 4 + 8 + 3 + 2 = 17 сm

ЗАДАЧИ

в)

г)

в) P = 12 сm г) P = 14 сm

Трапец ABCD има основи a и b (a > b), бедра c и d и обиколка P.

5 Ако a = 12 сm, b е 3 пъти по-малка

1 Ако a = 12 сm, b = 0,4 dm, c = 100 mm,

от c, b е с 3 сm по-голяма от c, d = 1,2.c, намерете P (сm).

d = 0,06 m, намерете P (сm).

от a, c = a : 4, d = (c + 2) сm, намерете P (сm).

6 Ако c = 5 сm, a е 3 пъти по-голяма

2 Ако a = 2 dm, c = 130 mm, d = 5 сm, 7 Ако a = 16,5 сm, b = (2 . a) : 3, P = 46 сm, намерете b (сm).

3 Ако a = 15 сm, b = a : 3, d = 80 mm, c = 0,6 dm, намерете P (сm).

4 Ако b = 6,5 сm, a = 3.b, c = 120 mm, d = 0,5 dm, намерете P (сm).

c = 0,40. a, d = (с – 1,1) сm, намерете P (сm).

8 Ако b = 8,9 сm, a = 3.b, c = (b – 2,3) сm, d = 2,5.c, намерете P (сm).

Към съдържанието

219

107.

ТРАПЕЦ. ВИДОВЕ ТРАПЕЦИ Модел на трапец е удобно да начертаем, като върху успоредните редове на тетрадката вземем две различни успоредни отсечки AB и CD и съединим A с D и B с C. Обикновено AB > CD.

Равнобедрен трапец Трапец, на който бедрата са равни, се нарича равнобедрен трапец.

ЗАДАЧА 1 Намерете обиколката на равнобедрен трапец ABCD (AB || CD) с основи AB = 12 сm и CD = 4 сm и бедро AD = BC = 6 сm.

трапец ABCD (AB || CD) AB = a = 12 сm P=? CD = b = 4 сm c = d = 6 сm Решение: P = a + b + c + c P=a+b+2.c P = 12 + 4 + 2 . 6 P = 28 сm

ЗАДАЧА 2 Даден е равнобедрен трапец ABCD (AB || CD) с основи a = 7,2 сm

и b = 2,8 сm и обиколка P = 19 сm. Намерете бедрото c на трапеца. равнобедрен трапец ABCD (AB || CD, AD = BC) a = 7,2 сm, b = 2,8 сm c=? P = 19 сm Решение: P = a + b + 2 . c 19 = 7,2 + 2,8 + 2 . c 19 = 10 + 2 . c

2 . c + 10 = 19 2 . c = 9 c = 4,5 сm

ЗАДАЧА 3 На квадратна мрежа е начертан трапец ABCD (AB || CD). Намерете обиколката му, ако BC = 5 м. ед. Решение:

BC = 5 м. ед. От чертежа намираме, че AB = 9 м. ед. CD = 6 м. ед. AD = 4 м. ед. P = AB + BC + CD + DA P=9+5+6+4 P = 24 м. ед.

220

Към съдържанието

Правоъгълен трапец Трапец, на който едното бедро е перпендикулярно на основата, се нарича правоъгълен трапец.

ЗАДАЧА 4 Трапецът ABCD (AB || CD) има бедра c = 5 сm и d = 6,2 сm. Намерете обиколката на трапеца, ако b = 6 сm и a e 2 пъти по-голяма от b.

Решение: c = 5 сm 1 a = 2 . b 2 P = a + b + c + d a = 2 . 6 P = 12 + 6 + 5 + 6,2 d = 6,2 сm а = 12 сm P = 29,2 сm b = 6 сm a=2.b

ЗАДАЧА 5 Трапецът ABCD има основи AB = 14 сm, CD = 4 сm и бедра BC = 8 сm,

AD = 6 сm. Точката M е от голямата основа AB и MBCD е успоредник. Намерете обиколката на: а) трапеца ABCD ; б) успоредника MBCD ; в)  AMD. Решение: а) PABCD = AB + BC + CD + DA = = 14 + 8 + 4 + 6 = 32 PABCD = 32 сm б) MBCD − успоредник. Тогава MB = CD = 4 сm и DM = BC = 8 сm. P = 2 . 8 + 2 . 4 = 24, PMBCD = 24 сm в)  AMD → AD = 6 сm, MD = 8 сm (от условие б)) и AM = AB − BM = 14 − 4 = 10 сm, P = 10 + 8 + 6 = 24, P AMD = 24 сm

ЗАДАЧИ

1 Намерете обиколката (в сm) на 4 Даден е равнобедрен трапец с осноравнобедрен трапец с основи a, b и бедро c, aко: а) a = 15 сm, b = 5 сm, c = 7 сm; б) a = 6 dm, b = 3 dm, c = 4 dm. 2 Трапецът ABCD е равнобедрен с основи a = 22,5 сm и b е 3 пъти по-малка от a. Бедрото е с 3 сm по-голямо от b. Намерете обиколката на трапеца (в сm). 3 Намерете обиколката на правоъгълен трапец, на който по-малкото бедро е равно на малката му основа (b = c), ако основите му са a = 14 сm, b = 8 сm и наклоненото бедро е d = 10 сm.

ви a и b, бедро c и обиколка Р. Ако: а) a = 10 сm, b = 4 сm, P = 25 сm, c = ? б) a = 32 сm, b = (а − 12) сm, P = (2 . a + 5) сm, c = ? в) a = 10 dm, P = (a : 2) . 5 dm, c = 50 сm, b = ? 5 Равнобедреният трапец ABCD има основи AB = 20 сm, CD = 10,2 сm и бедро AD = 7,5 сm. Точката М е от голямата основа AB и AMCD е успоредник. Намерете обиколката на: а) трапеца ABCD; б) успоредника AMCD; в) триъгълника MBC.

Към съдържанието

221

108.

ЛИЦЕ НА ТРАПЕЦ В трапеца ABCD основите AB и CD лежат върху успоредни прави (a || b). Затова разстоянията • от точките C и D от правата b до правата a и • от точките A и B oт правата а до правата b

AA1 = BB1= CC1 = DD1= h.

са равни, т.е.

Казваме, че трапецът ABCD има височина h.

ЗАДАЧА 1 На квадратна мрежа са начертани трапеци. Намерете височината на всеки от тях.

Решение: а) h = 5 м. ед. б) h = 3 м. ед. в) h = 7 м. ед. г) h = 3 м. ед.

иагоналът BD разделя трапеца на два Д триъгълника:  ABD с основа AB = a, височина DD1 = h; CDB с основа CD = b, височина BB1 = h. Лицето на трапеца S е сборът от лицата на тези два триъгълника:

a.h

S = SABD + SCDB

b.h

(a b)

S= 2 + 2 = 2 + 2 .h= a+b S= 2 .h

Лице на трапец

a+b 2

ЗАДАЧА 2 Намерете лицето на трапец с основи a = 13 cm, b = 11 cm и височина h = 8 cm.

трапец a = 13 сm, b = 11 сm, h = 8 сm Решение: S=

222

a+b 2

. h

S=?

S = 13 + 11 . 8 , S = 12 . 8, S = 96 сm2 2

Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 Намеретe обиколката P и лицето S на правоъгълен трапец с основи a = 10 cm, b = 6 сm и бедра c = 5 сm, d = 3 сm.

правоъгълен трапец a = 10 сm, b = 6 сm P, S = ? c = 5 сm, d = 3 сm Решение: 1 P = a + b + c + d 2 h = d = 3

P = 10 + 6 + 5 + 3

P = 24 сm S =

a+b .h 2 10 + 6 . 2

3=8.3

S = 24 сm2

В правоъгълен трапец по-малкото бедро е височина.

ЗАДАЧА 4 Намеретe обиколката P и лицето S на равнобедрен трапец с основи a = 13 сm, b = 7 сm, бедра c = d = 5 сm и височина h = 4 сm. равнобедрен трапец a = 13 сm, b = 7 сm c = d = 5 сm, h = 4 сm Решение:

ЗАДАЧИ

1 P = a + b + 2 . c 2 S= S=

P, S = ?

a+b .h 2 13 + 7 . 2

P = 13 + 7 + 2 . 5

P = 30 сm S = 40 сm2

4 = 10 . 4 = 40

1 Намерете лицето (в cm2) на трапец с основи a, b и височина h, aко: а) a = 21 сm, b = 8,5 сm, h = 5,2 сm; б) a = 0,32 m, b = 1,9 dm, h = 14 сm; в) a = 3,5 dm, b = 100 mm, h = 0,12 m; г) a = 52 сm, b е 2 пъти по-малка от а, h е с 30 сm по-малка от a. 2 Намерете лицето (в сm2) на правоъ гълен трапец (с точност до 0,01) с основи a, b и бедро c, перпендикулярно на основите, ако: а) a = 15,2 сm, b = 13,4 сm, c = 8,41 сm; б) a = 13,82 сm, b = 8,14 сm, c = 5,64 сm; в) a = 11,59 сm, b = 0,06 m, c = 0,9 dm;

г) a = 12,35 сm, b = 74,1 mm, c = 0,893 dm. 3 Намерете обиколката P и лицето S на равнобедрен трапец с основи a и b, бедро c и височина h, aко: а) a = 24 сm, b = 10 сm, c = 25 сm, h = 24 сm; б) a = 100 сm, b = 20 сm, c = 41 сm, h = 9 сm. 4 Намерете обиколката P и лицето S на правоъгълен трапец с основи a и b и бедра c и d, aко: а) a = 15 сm, b = 1 dm, c = 0,12 m, d = 13 сm; б) a = 19 сm, b = 120 mm, c = 2,4 dm, d = 25 сm. Към съдържанието

223

109.

ЛИЦA НА ГЕОМЕТРИЧНИ ФИГУРИ, СЪСТАВЕНИ ОТ ИЗУЧЕНИТЕ ФИГУРИ. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 На квадратна мрежа е начертана фигура. Намерете лицето на фигурата:

а) в квадратни метри, ако 1 деление отговаря на 1 m; б) в квадратни сантиметри, ако 1 деление отговаря на 5 cm, и след това го превърнете в квадратни метри. Решение: Sфиг = Sправоъгълник + Sтрапец а) Правоъгълникът има измерения 8 m и 2 m. Трапецът има основи 2 m, 6 m и височина 2 m. Тогава Sфиг = 8 . 2 +

6+2 2

Sфиг = 16 + 8

Sфиг = 24 m2.

б) Правоъгълникът има измерения 8 . 5 = 40 cm и 2 . 5 = 10 cm. Трапецът има основи 2 . 5 = 10 cm, 6 . 5 = 30 cm и височина 2 . 5 = 10 cm. Тогава Sфиг = 40 . 10 + 10 + 30 . 10 = 400 + 200 = 600.

Sфиг = 0, 0600 m2 Sфиг = 0,06 m2 ( (

Sфиг = 600 cm 2

ЗАДАЧА 2 (Устно) Намерете лицата на фигурите, начертани на квадратната мрежа в квадратни мерни единици, и сравнете получените лица.

ЗАДАЧА 3 Намерете лицето на фигурата ABCDE в квадратни сантиметри. D C E A

224

1 cm

Към съдържанието

Q C

E D2

D1 M

Решение: “Опаковаме“ фигурата ABCDE по показания начин с правоъгълника MNQL и отчитаме: MN = 10 cm, NQ = 6 cm MA = 3 cm, ME = 3 cm NB = 3 cm, NC = 5 cm QC = 1 cm, QD = 5 cm LD = 5 cm, LE = 3 cm

SABCDE = SMNQL – (SD1 + SD2 + SD3 + SD4) =

( MA 2. ME + NB 2. NC + QC 2. QD + LD2. LE ) = 3.3 3.5 1.5 5.3 = 10 . 6 – ( 2 + 2 + 2 + 2 ) = =MN . NQ –

= 60 – (4,5 + 7,5 + 2,5 + 7,5) = 60 – 22,5 = = 38 cm2 Отговор: SABCDE = 38 cm2

ЗАДАЧИ

1 Сборът на двете основи на трапец е 3 Даден е трапец с основи a, b, висо

a + b, височината му е h, а лицето му е S. Aкo: а) a + b = 127 cm, h = 20 cm, S = ? б) a + b = 98,5 cm, S = 591 cm2, h = ? в) h = 8 cm, S = 1112 cm2, a + b = ?

2 На квадратна мрежа е начертана фигура. Намерете лицето на фигурата в квадратни метри, ако 1 деление отговаря на 1 m.

чина h и лице S. Начертайте таблицата в тетрадките си и я попълнете: a (cm) b (cm) h (cm) 15 7 6 23 9 ? ? 4 2,8

S (cm2) ? 83,2 19,6

4 На квадратна мрежа е начертана фигура. Намерете лицето на фигурата в квадратни метри, ако 1 деление отговаря на 2 m.

Към съдържанието

225

110.

ЛИЦA НА ГЕОМЕТРИЧНИ ФИГУРИ. ПРАКТИЧЕСКИ ЗАДАЧИ

ЗАДАЧА 1 Правоъгълник с измерения 9 cm и 4 cm е равнолицев с квадрат. Намерете периметъра на квадрата. Решение:

9 . 4 = x . x 36 = x . x 6 . 6 = x . x, x = 6 P = 4 . x = 4 . 6 = 24 P = 24 cm

ЗАДАЧА 2 (практическа работа) Начертан е  ABC и трите му височини.

Преcметнете лицето на  ABC по три начина и намерете средната му стойност. Решете задачата, като изберете и измерите необходимите елементи на начертания триъгълник. Решение: Измерваме с линийка AB = c ≈ 8 cm, BC = a ≈ 7,2 cm, CA = b ≈ 6 cm и

AA1 = ha ≈ 5,8 cm, BB1 = hb ≈ 6,9 cm, CC1 = hc ≈ 5,2 cm. Преcмятаме лицето по три начина: a ≈ 7,2 cm, ha ≈ 5,8 cm b ≈ 6 cm, hb ≈ 6,9 cm c ≈ 8 cm, hc ≈ 5,2 cm S=

a . ha 2

≈

7,2 . 5,8 2

b . hb 2

≈

6 . 6,9 2

c . hc 2

≈

8 . 5,2 2

S ≈ 20,88 cm2 S ≈ 20,7 cm2 S ≈ 20,8 cm2 Средната стойност е S ≈ (20,88 + 20,7 + 20,8) : 3 ≈ 20,79, S ≈ 20,79 cm2.

ЗАДАЧА 3 Намерете лицето на фигурите, начертани върху квадратната мрежа:

226 Към съдържанието

Решение: 1 S = 2 . 3 = 6 кв. м. ед. 5.3 2 S = 2 = 7,5 кв. м. ед. 4.2 4.2 + = 8 кв. м. ед. 3 S=

4 S=

2 2.1 2

= 2 кв. м. ед.

(

)

5.3 1.2 4.5 5 S = 5 . 5 − 2 + 2 + 2 = 6,5 кв. м. ед. 2.2 3.2 + = 3 + 3 = 6 кв. м. ед. 6 S= 2

7 S=3.4+

2 2.1 2

− 2 . 1 = 12 кв. м. ед. 2

8 S = 5 . 5 − 5,5* = 19,5 кв. м. ед.

Лицето на фигура върху квадратна мрежа (Задача 3) с върхове на фигурата в пресечните точки на хоризонталните и вертикалните линии, може да се намери по правилото:

Ще преcметнем лицата на фигурите от 1 до 8 по това правило: 1 S = 10 : 2 + 2 − 1 = 6 кв. м. ед. 5 S = 3 : 2 + 6 − 1 = 6,5 кв. м. ед.

ЗАДАЧИ

2 S = 9 : 2 + 4 − 1 = 7,5 кв. м. ед.

6 S = 6 : 2 + 4 − 1 = 6 кв. м. ед.

3 S = 8 : 2 + 5 − 1 = 8 кв. м. ед.

7 S = 14 : 2 + 6 − 1 = 12 кв. м. ед.

4 S = 4 : 2 + 1 − 1 = 2 кв. м. ед.

8 S = 15 : 2 + 13 − 1 = 19,5 кв. м. ед.

1 Намерете лицата на фигурите, ако измеренията са в сантиметри:

а)

2 Изчислете квадратурата на стаята, кухнята, банята, коридора, балкона и на целия апартамент.

б)

m m

m в)

m m

3 Триъгълник и квадрат имат равни 4 В успоредник ABCD със страна лица. Страната на квадрата е 4,8 cm, а едната страна на триъгълника е 6,4 cm. Намер ете височината на триъгълника към дадената страна.

AB = a и височина към нея h, диагоналът AC го разделя на два триъгълника. Намерете лицата им и ги сравнете.

* Извън фигурата има 3 цели квадратчета и 5 половинки, т.е. 5,5 кв. м. ед.

Към съдържанието

227

111.

ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕМАТА “ОСНОВНИ ГЕОМЕТРИЧНИ ФИГУРИ”

ЗАПОМНЕТЕ! Триъгълник

CH – разстояние от точката C до правата AB CH = hc – височина в ABC Обиколка P = a + b + c 1 Лице S = 2 . c . hc

Правоъгълник

Успоредник

Измерения (страни) AB = CD = a, AD = BC = b, AB || CD, AD || BC Диагонали AC, BD P = 2 . (a + b), S = a . b Страни AB = CD = a, AD = BC = b, AB || CD, AD || BC Височини ha , hb P = 2 . (a + b), S = a . ha = b . hb

Квадрат (вид правоъгълник) Измерение a P=4.a S=a.a

Ромб (вид успоредник)

Трапец

Страна a Височина h P=4.a S=a.h

Четириъгълник Основи а || b Бедра c, d Височинa DH = h P=a+b+c+d S=

a+b 2

P=a+b+c+d S = S∆1 + S∆2

Мерни единици за лице

1 m2 = 10 . 10 dm2 = 100 . 100 cm2 = 1 000 . 1 000 mm2 1 cm2 = 0,0001 m2

ЗАДАЧА 1 Даден е трапец с основи a и b и лице S. Намерете височината му, ако a = 15,3 cm, b = 4,7 cm, S = 36 cm2. Решение: a+b

15,3 + 4,7

36 = S = 2 . h 2 10 . h = 36 h = 36 : 10 h = 3,6 cm

228

Към съдържанието

ЗАДАЧА 2 Цветна градина има правоъгълна форма с размери 9 m и 4 m. Около нея е

направена алея, широка 1,5 m. Намерете: а) лицето на градината в квадратни метри; б) външните размери на алеята; в) лицето на алеята; г) какъв брой квадратни плочки с измерение 50 cm е необходим за направата на алеята, ако е предвиден и резерв от 8 плочки. Решение: Правим чертежа. a) Sцв. град. = SABCD = AB . BC = 9 . 4 = 36 m2 Q1 P1 Q P б) MN = MM1 + M1N1 + NN1 = D C Q2 P2 = 1,5 + 4 + 1,5 = 7 m в) Sалея = SMNPQ – SABCD = 4m = 12 . 7 – 36 = 84 – 36 = 48 m2 N M2 2 Sалея = 2.SM1N1BA + 2.SBN2P2C + 4.SMM1AM2 = A B N М M = 2.9.1,5 + 2.4.1,5 + 4. 1,5 . 1,5 = N1 9m 1 = 27 + 12 + 9 = 48 m2

г) Sплочка = 0,5.0,5 = 0,25 m2 х.0,25 = 48 I начин: Необходими са х плочки. х = 48 : 0,25 х = 192 плочки 192 плочки + 8 плочки резерв = 200 плочки II начин: Sалея = SMNN2M2 + SQ2P2PQ + SBN2P2C + SM2ADQ2 = = 2.SMNN2M2 + 2.SBN2P2C

За покриването на: MNN2M2 са необходими 3 реда по 24 плочки = 72 плочки; BN2P2C са необходими 8 реда по 3 плочки = 24 плочки. За цялата алея са необходими 2.72 + 2.24 + 8 = 144 + 48 + 8 = 200 плочки.

ЗАДАЧИ

1 Намерете лицето (в cm2) на оцвете 3 Страните на успоредник са a = 8 сm ната фигура.

0,04 m

6 cm 0,3 dm

и b = 40 mm. Височината h b e 0,62 dm. Намерете обиколката, лицето и другата височина на успоредника (в сm).

4 Лицето на трапец е 96 cm2. Голямата 2 Намерете лицето на фигурата (в кв. м. ед.).

му основа е 25 сm, а височината му е 4,8 сm. Намерете малката основа на трапеца.

5 Успоредник има височини 40 mm и 0,8 dm. Лицето на успоредника е 48 cm2. Намерете обиколката на успоредника (в cm).

229 Към съдържанието

112.

ПРИМЕРЕН ТЕСТ ВЪРХУ ТЕМАТА “ОСНОВНИ ГЕОМЕТРИЧНИ ФИГУРИ” 1. Даден е правоъгълник със страни 7 сm и 8 сm. Лицето му в квадратни сантиметри е: А) 56; Б) 23; В) 15; Г) 30.

се намали лицето му, ако намалим страната му 4 пъти, а височината към нея намалим с 6 сm? А) 8; Б) 10; В) 12; Г) 24.

2. Страните на триъгълник са 53 dm, 8. На квадратната мрежа са начертани четири фигури. 482 cm и 472 cm. Обиколката му в а) Коя от фигурите има най-малко метри е: лице? А) 14,84; б) Коя от фигурите има най-голямо Б) 148,4; лице? В) 1,484; Г) 1 484. 3. Обиколката на ромб е 136,8 сm. Страната му в сантиметри е: А) 132,8 ; Б) 68,4; 9. Страните на успоредник са В) 34,2; а = 18,4 сm и b = 9,2 cm. Височината Г) 29,2. ha e 0,3 dm. Намерете: 4. Лицето на квадрат с обиколка 24 сm а) обиколката на успоредника в сане равно на лицето на правоъгълен тиметри; триъгълник с катет 9 сm. Дължината б) лицето на успоредника в квадратни на другия катет в сантиметри е: сантиметри; А) 4; Б) 8; В) 16; Г) 36. в) дължината на височината hb в сан5. Л ицето на правоъгълен трапец е тиметри. 288 cm2, а основите му са 17,1 сm и 10. Парцел има формата на правоъгълен 14,9 сm. Бедрото, перпендикулярно трапец с размери, показани на чертена основите, в сантиметри е: жа. Цената на 1 дка е 12 000 лв. Це А) 9; Б) 7; В) 14; Г) 18. ната на 1 m оградна мрежа е 3,75 лв. 6. Ако лицето на всяко квадратче от мреНамерете: жата е 1 cm2, лицето на четириъгъл- а) колко квадратни метри е лицето на ника ABCD, в квадратни сантиметри, парцела; е: б) колко лева струва парцелът; C А) 20; в) колко лева ще струва мрежата, Б) 22; необходима за ограждането на D В) 24; парцела. B Г) 26. A 7. Успоредник има страна 36 сm и височина към нея 12 сm. Колко пъти ще

230 Към съдържанието

ТЕМА 5 ГЕОМЕТРИЧНИ ТЕЛА (Урок № 113 – Урок № 125)

В ТАЗИ ТЕМА СЕ ИЗУЧАВАТ: куб и правоъгълен паралелепипед. ВЪВЕЖДАТ СЕ ПОНЯТИЯТА: • стена, ръб, връх; • дължина, широчина, височина на тяло; • развивка, повърхнина на тяло S и S1; • обем, m3, dm3, cm3, mm3.

Към съдържанието

231

113.

КУБ. ЕЛЕМЕНТИ. ПОВЪРХНИНА Кубчетата, с които сте играли като малки, зарчетата, кубчето на Рубик имат шест стени, които са еднакви квадрати. Тези предмети имат форма на геометрично тяло, което се нарича куб.

Куб Куб е геометрично тяло, заградено от шест еднакви квадрата. D1 Математическият модел е ABCDA1B1C1D1 →

C1 B1

D A

Елементите на куба са:

стена C

• 8 върха – точките A, B, C, D, A1, B1, C1, D1; • 12 ръба, които са равни отсечки – АB, A1B1, BC, B1C1, CD, C1D1, АD, A1D1, АA1, BB1, CC1, DD1; • 6 стени, които са еднакви квадрати – АBCD, A1B1C1D1 – основи, ADD1A1, BCC1B1, околни ABB1A1, DCC1D1. стени Под измерение на куба разбираме дължината на ръба му. Развивка на куб Разрязваме кубче, направено от картон, на три стъпки.

a Първа стъпка: Разрязваме по ръбовете D1A1, A1B1, B1C1 и отваряме капака на кутията, т.е. горната основа на куба.

Втора стъпка: Разрязваме по ръбовете DA, AB, BC и отваряме дъното на кутията, т.е. долната основа на куба.

Трета стъпка: Разрязваме по ръба BB1 и разтваряме околните стени на куба.

232 Към съдържанието

a a a

a a

a a a

a a

Получаваме фигура, която може да легне върху чертожния лист. Тя се състои от 6 квадрата (стените на куба) и се нарича развивка на куба. Лицето на развивката на куба се нарича лице на повърхнината на куба и се означава с S1.

S1 = 6 . a . a = 6 . a2

Лице на повърхнина на куб

S1 = 6 . a . a

ЗАДАЧА 1 Върху квадратна мрежа с 1 деление = 1 м. ед. Решение: начертайте развивката на куб с измере ние 2 м. ед.

ЗАДАЧА 2 Сборът от всички ръбове на куб е 60 сm. Намерете: а) измерението на куба; б) повърхнината на куба*.

ЗАДАЧИ

Решение: а) 12 . a = 60 a = 60 : 12 = 5 a = 5 сm

б) S1 = 6 . a . a S1 = 6 . 5 . 5 = 150 S1 = 150 cm2

1 Даден е куб с измерение 7 cm. Наме 3 Обиколката на една стена на куба е рете: а) сбора на всичките му ръбове**; б) сбора от лицата на всички стени. 2 Лицето на една от стените на куба е 121 cm2. Намерете лицето на повърхнината на куба.

48 cm. Намерете: а) дължината на ръба на куба; б) лицето на повърхнината на куба. 4 Сборът от всички ръбове на куб е 30 cm. Намерете: а) измерението на куба; б) лицето на повърхнината на куба.

* Вместо “лице на повърхнина на куб” ще казваме “повърхнина на куб”. ** Вместо “сбор от дължините на отсечки (ръбове)” ще казваме “сбор от отсечки (ръбове)”. Към съдържанието

233

114.

ОБЕМ НА КУБ Кубчето на Рубик е съставено от малки кубчета с равни измерения, които са разположени на 3 слоя. Всеки слой се състои от 3 . 3 = 9 кубчета. Тогава 3 слоя по 9 кубчета са 27 кубчета. Ако приемем, че едното кубче е 1 м. ед., обемът на кубчето на Рубик е 27 м. ед. Мерна единица за

дължина

лице

обем 1 cm 1 cm

1 cm 1 cm 1 cm

1 cm

1 cm2

1 cm3

ЗАДАЧА 1 Намерете обема на телата, съставени от кубчета със страна 1 сm.

ислото, което показва колко пъти кубче с ръб 1 м. ед. се съдържа в Ч тялото, което измерваме, се нарича обем и се означава с V. Мерните единици за обем са mm3, cm3, dm3... Забелязваме, че: • •

Решение: 1 кубче = 1 кубически сантиметър 1 кубче = 1 cm3 Броим кубчетата: 1 V1 = 2 . 1 cm3 = 2 cm3; 2 V2 = 4 . 1 cm3 = 4 cm3; 3 V3 = 7 . 1 cm3 = 5 cm3; 4 V4 = 64 . 1 cm3 = 64 cm3.

кубчето на Рубик има измерение 3 м. ед. и обем V = 27 = 3 . 3 . 3 куб. м. ед.; кубчето 4 от зад. 1 има измерение 4 cm и обем V = 64 = 4 . 4 . 4 cm3

Обем на куб V=a.a.a Обемът на всеки куб с ръб ае

ЗАДАЧА 2 Намерете обема на куб с измерение а, ако: а) а = 7 сm; б) a = 10 cm. Решение:

a) V = a . a . a V = 7 . 7 . 7 V = 343 cm3

б) V = a . a . a V = 10 . 10 . 10 V = 1 000 cm3

234 Към съдържанието

Практическа работа “Мерни единици за обем” Направете модел на куб (без горна основа) със страна 1 dm (= 10 cm). Предварителна подготовка: Трябва да имате: • картон с форма на правоъгълник с размери 45 × 25 cm, облепен от едната страна с милиметрова хартия; • тиксо с широчина на лентата около 2 cm; • линия, молив, ножичка, червен химикал; • самозалепващо се фолио. Изработване на модела: 1 На картона, откъм облепената с милиметрова хартия страна, начертайте развивката на куб с ръб 10 cm (без горна основа). 2 Изрежете начертаната фигура.

Подгответе червените ръбове за сгъване. 4 Облепете ръбовете 1 , 2 , 3 и 4 с лента от тиксо от външната страна така, че половината от лентата по дължина да не е залепена. 5 Прегънете по червените ръбове и залепете по начинa, посочен със стрелките. 6 Облепете с тиксо и останалите ръбове на получения куб. 7 Полученият куб без капак изглежда така: 3

10 cm

10 cm 10 cm

1. Добре е картонът да е по-твърд и след като се начертае развивката, да се облепи със самозалепващо се фолио. 2. Направеният куб без капак е модел за опит в урокa “Мерни единици за обем”. Към съдържанието

235

115.

МЕРНИ ЕДИНИЦИ ЗА ОБЕМ Да разгледаме модел на куб с измерение 1 dm. L

V = 1 dm3 = 10 . 10 . 10 cm3 = 100 . 100 . 100 mm3 1 dm3 = 1000 cm3 =1000000 mm3 (= 1 L).

Мерни единици за обем При превръщане на кубическите мерни единици използваме, че Vкуб = a . a . a. Ако a = 1 m = 10 dm → 1 m3 = 10 . 10 . 10 dm3 = 1 000 dm3. Ако a = 1 m = 100 cm → 1 m3 = 100. 100 . 100 cm3 = 1 000 000 cm3. Опит в клас: С едно от изработените в практическата работа кубчета без капак (с измерение 1 dm) се прави следният опит: шише от 1 литър, пълно с вода, се изсипва в кубчето. Водата от шишето напълва кубчето. Изводът е 1 dm3 = 1 литър = 1 L

ЗАДАЧА 1 (Устно) Една тенекия във форма на куб има измерение 20 cm. Колко

литра течност може да събере тенекията? Решение: Измерението е 20 cm = 2 dm. V = 2 . 2 . 2 = 8 dm3 = 8 L. Тенекията може да събере 8 L течност.

ЗАДАЧА 2 Намерете:

а) 3 m3 = ? dm3; б) 5 m3 = ? cm3;

Решение: а) 1 m = 10 dm б) 1 m = 100 cm г) 1 dm = 10 cm д) 1 dm = 100 mm е) 1 cm = 10 mm

в) 7 dm3 = ? cm3; г) 4 dm3 = ? mm3.

1 m3 = 10 . 10 . 10 dm3 3 m3 = 3 . 10 . 10 . 10 dm3 = 3000 dm3 1 m3 = 100 . 100 . 100 cm3 5 m3 = 5 . 100 . 100 . 100 cm3 = 5000000 cm3 1 dm3 = 10 . 10 . 10 cm3 7 dm3 = 7 . 10 . 10 . 10 cm3 = 7000 cm3 1 dm3 = 100 . 100 . 100 mm3 4 dm3 = 4000000 mm3 1 cm3 = 10 . 10 . 10 mm3 6 cm3 = 6000 mm3

236 Към съдържанието

ЗАДАЧА 3 Намерете:

а) 1 cm3 = ? dm3; 3 cm3 = ? dm3; б) 1 cm3 = ? m3; 2 cm3 = ? m3; в) 1 mm3 = ? cm3; 4 mm3 = ? cm3.

Решение: а) 1 dm = 10 cm б) 1 m = 100 cm в) 1 cm = 10 mm

1 dm3 = 10 . 10 . 10 cm3 = 1000 cm3 1 cm3 = (1 : 1000) dm3 = 0,001 dm3 3 cm3 = 3 . 0,001 = 0,003 dm3 1 m3 = 100 . 100 . 100 cm3 = 1000000 cm3 1 cm3 = (1 : 1000000) m3 = 0,000001 m3 2 cm3 = 2 . 0,000001 m3 = 0,000002 m3 1 cm3 = 10 . 10 . 10 mm3 = 1000 mm3 1 mm3 = (1 : 1000) cm3 = 0,001 cm3 4 mm3 = 4 . 0,001 cm3 = 0,004 cm3

Удобно е дадените измерения първо да се превърнат в съответната мерна единица, в която се търси обемът.

ЗАДАЧА 4 Как ще се измени обемът на куб, ако:

а) увеличим дължината на ръба му 2 пъти; б) намалим дължината на ръба му 2 пъти. Решение: а) б)

a 2

2a a a

2a 2a

V = a . a . a V1 = 2a . 2a . 2a = = 8 . a . a . a = 8V Обемът ще се увеличи 8 пъти.

ЗАДАЧИ

a a

a 2 a a a a.a.a V V2 = . . = = 2 2 2 8 8 Обемът ще се намали 8 пъти.

a 2

Намерете: 1 а) 4 m3 = ? dm3; 0,4 m3 = ? dm3; б) 6 m3 = ? cm3; 0,06 m3 = ? cm3; 3 3 3 в) 11 dm = ? cm ; 1,1 dm = ? cm3; г) 200 dm3 = ? mm3; 0,2 dm3 = ? mm3. 2 а) 5 cm3 =? dm3; 50 cm3 = ? dm3; б) 7 cm3 =? m3; 700 cm3 =? m3; 3 3 в) 8 mm =? cm ; 80 mm3 = ? cm3; г) 30 mm3 = ? dm3; 3000 mm3 = ? dm3. 3 Намерете колко литра вода съдържа съд с форма на куб с ръб: а) 25 cm; б) 0,5 m; в) 20 dm; г) 1 m. Към съдържанието

237

116.

ПРАВОЪГЪЛЕН ПАРАЛЕЛЕПИПЕД

Кибритената кутия, кутиите за чай и натурален сок са предмети с шест стени, които са правоъгълници. Тези предмети имат форма на геометричното тяло, което се нарича правоъгълен паралелепипед.

Правоъгълен паралелепипед Правоъгълен паралелепипед е геометрично тяло, заградено от шест правоъгълника.

ЗАДАЧА 1 Разглеждаме кутия, в която има пакетчета чай. Решение:

а) Колко стени има кутията? б) Какви измерения имат тези стени?

cm cm

Математическият модел е ABCDA1B1C1D1 →

cm cm

а) Кутията има 6 стени – правоъгълници. б) Техните измерения са нанесени на математическия модел. Забелязваме, че: • правоъгълниците ABCD и A1B1C1D1 имат измерения 12 cm и 4,5 cm; • правоъгълниците ADD1A1 и BCC1В1 имат измерения 4,5 cm и 7 cm; • правоъгълниците ABB1A1 и DCC1D1 имат измерения 12 cm и 7 cm. Трите дължини – 12 cm, 4,5 cm и 7 cm, се наричат измерения на правоъгълния паралелепипед.

Прието е вместо за “измерения” да се говори за дължина (а = 12 cm), широчина (b = 4,5 cm) и височина (c = 7 cm) на правоъгълния паралелепипед.

238

Към съдържанието

Кубът е вид правоъгълен паралелепипед, на който трите измерения са равни.

ЗАДАЧА 2 От показаните предмети посочете тези, които имат форма на правоъ гълен паралелепипед:

 

Решение: Предметите 2 , 4 , 6 имат форма на правоъгълен паралелепипед. Зарчето 2 е куб. Елементите на правоъгълния паралелепипед са: • 8 върха → A, B, C, D, A1, B1, C1, D1; • 12 ръба 4 ръба с дължина a → основни → 4 ръба с дължина b ръбове, 4 ръба с дължина c→ околни ръбове, като сборът от дължините на всички ръбове е 4 . a + 4 . b + 4 . c; • 6 стени, които са правоъгълници: ABCD и A1B1C1D1 са срещуположни стени основи, имат равни измерения a и b ABB1A1 и DCC1D1 са срещуположни стени имат равни измерения a и c ADD1A1 и BCC1B1 са срещуположни стени околни стени. имат равни измерения b и c Кубът е вид правоъгълен паралелепипед. Кубът има: • 8 върха; • 12 ръба с дължина, равна на a, като сборът от дължините на всички ръбове е 12 . a; • 6 стени, които са квадрати със страна a. Върховете, ръбовете и стените са елементи на правоъгълния паралелепипед.

ЗАДАЧИ

1 Даден е правоъгълен паралелепипед

с измерение a = 5 cm, b = 3 cm, c = 6 cm. Намерете: а) сбора от всичките му ръбове; б) сбора от лицата на всички стени. 2 Начертани са правоъгълни парале лепипеди. По дадените измерения (в cm) намерете:

а) обиколката на долната основа; б) сбора от лицата на двете ос нови; в) обиколката на всяка от околни те стени.

Към съдържанието

239

117.

ПРАВОЪГЪЛЕН ПАРАЛЕЛЕПИПЕД. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Правоъгълен паралелепипед има основни ръбове a = 11 cm, b = 8 cm

и околен ръб c = 9 cm. Намерете: а) сбора от дължините на основните му ръбове; б) сбора от дължините на околните му ръбове; в) сбора от дължините на всичките му ръбове; г) колко метра тел е необходима за направата на модел на този паралелепипед; д) лицата на двете основи на паралелепипеда. Решение: а) 4.a + 4.b = 4.11 + 4.8 = 44 + 32 = 76 4.a + 4.b = 76 cm б) 4.c = 4 . 9 = 36 4.c = 36 cm в) 4.a + 4.b + 4.c = 4.11 + 4.8 + 4.9 = 4.(11 + 8 + 9) = 4.28 = 112 4.a + 4.b + 4.c = 112 cm г) 112 cm = 1,12 m, 1,12 m тел д) Означаваме с B* лицето на долната основа, а с B1 – лицето на горната основа. B = a .b B = 11.8 = 88, B = 88 cm2 B1 = a .b B1 = 88 cm2

• В Задача 1-а), б) намерихме 4 . a + 4 . b = 76 cm и 4 . c = 36 cm. Тогава 4 . a + 4 . b + 4 . c = 76 + 36 = 112 cm. • Двете основи са правоъгълници, на които измеренията са a и b. Тогава лицата им B = a . b и B1 = a . b са равни, т.е. двете основи са равнолицеви.

ЗАДАЧА 2 Правоъгълен паралелепипед има измерения a, b и c. Aко a = 12,6 cm,

b е 3 пъти по-малко от a и c е с 2,8 cm по-голямо от b, намерете сбора от всички ръбове на паралелепипеда. 4.a+4.b+4.c= Решение: a = 12,6 cm = 4 . (a + b + c) = b = a : 3 = 12,6 : 3 = 4,2 cm = 4 . (12,6 + 4,2 + 7) = c = b + 2,8 = 4,2 + 2,8 = 7 cm = 4 . 23,8 = 95,2 cm

Правоъгълният паралелепипед е тяло в пространството. При решаване на задачи за нагледност чертаем модел на тялото върху лист хартия.

* Лицата на основите на правоъгълен паралелепипед означаваме с B.

240 Към съдържанието

• При чертане на модел на правоъгълен паралелепипед някои от ръбовете (AD, CD, DD1) чертаем с прекъсната линия, което показва, че ако тялото е плътно, тези ръбове не се виждат. • Най-добра представа за тялото правоъгълен паралелепипед се получава, като начертаем основите и две от околните стени като успоредници. • Ако чертаем куб, ABB1A1 е квадрат.

ЗАДАЧА 3 Измеренията на правоъгълен паралелепипед са a, b и c. Сборът от всички

ръбове на паралелепипеда е 240 cm. Ако a = 15 cm и b = 20 cm, намерете: а) измерението c; б) сбора от лицата на всички стени. Решение: а) Сборът от всички ръбове на паралелепипеда е 4 . a + 4 . b + 4 . c. От 4 . a + 4 . b + 4 . c = 240 получаваме c 4 . (a + b + c) = 240 a + b + c = 60 15 + 20 + c =60 35 + c = 60 b c = 60 − 35, c = 25 cm a б) Сборът от лицата на всички стени е a.b+a.b+a.c+a.c+b.c+b.c= = 2 . a . b + 2 . a . c + 2 . b . c = = 2 . 15 . 20 + 2 . 15 . 25 + 2 . 20 . 25 = = 600 +750 + 1 000 = 2 350 Сборът от лицата на всички стени е 2 350 cm2

ЗАДАЧИ

1 Правоъгълен паралелепипед

има основни ръбове a = 3,2 cm, b = 1,5 cm и околен ръб c = 0,7 dm. Намерете (в cm): а) сбора на основните му ръбове; б) сбора на околните му ръбове.

2 Правоъгълен паралелепипед има

измерения a, b, c. Намерете сбора от всички ръбове на паралелепипеда, ако: а) a = 7,8 cm, b = 0,5 . a, c е 2 пъти по-голямо от а; б) b = 6,4 dm, a = (b + 2) dm, c е с 24 cm по-малко от a.

3 Измеренията на правоъгълен па

ралелепипед са a, b и c. Сборът от всички ръбове на паралелепипеда е 356 cm. Ако a = 0,32 m, b = 1,8 dm, намерете c (в cm). 4 В кухнята между мивката и шкафа има разстояние 58 cm, оставено за готварска печка. В магазина има два вида печки, за които в каталога е отбелязано: І вид: 60 × 60 × 80 (cm); ІІ вид: 50 × 60 × 80 (cm). Кой вид печка да купим?

Към съдържанието

241

118.

ЛИЦЕ НА ОКОЛНА ПОВЪРХНИНА И ЛИЦЕ НА ПОВЪРХНИНА НА ПРАВОЪГЪЛЕН ПАРАЛЕЛЕПИПЕД

Повърхнина на правоъгълен паралелепипед Повърхнината, която загражда геометричното тяло правоъгълен паралелепипед, се нарича повърхнина на правоъгълния паралелепипед. Нагледна представа за повърхнината на правоъгълен паралелепипед ни дава картонена кутия във форма на правоъгълен паралелепипед. Разрязваме кутията на три стъпки: Първа стъпка: Разрязваме по ръбовете D1A1, A1B1, B1C1 и отваряме капака на кутията, т.е. горната основа на паралелепипеда. Втора стъпка: Разрязваме по ръбовете DA, AB, BC и отваряме дъното на кутията, т.е. долната основа на паралелепипеда. Трета стъпка: Разрязваме по ръба BB1 и разтваряме околните стени на паралелепипеда. b

a c

c a

b c

a a

c b

Получаваме фигура, която може да “легне” върху чертожния лист. Тя се състои от 6 правоъгълника (стените на правоъгълния паралелепипед) и се нарича развивка на повърхнината на правоъгълния паралелепипед, а лицето ѝ – лице на повърхнината на правоъгълния паралелепипед. Сборът от лицата на околните стени на правоъгълния паралелепипед се нарича околна повърхнина на този паралелепипед. Означава се със S.

242

Към съдържанието

Лицето на околната повърхнина S е равно на лицето на правоъгълник с измерения 

2 . (a + b) = P c , т.е. S = 2 . (a + b) . c S=P.c

P = 2 . a + 2 . b = 2 . (a + b)

• Във формулата S = 2 . (a + b) . c 2 . (a + b) е обиколката* на основата на правоъгълния паралелепипед. • S можем да намерим и като съберем лицата на четирите околни стени: S = a . c + b . c + a . c + b . c, S=2.a.c+2.b.c Ако към лицето на околната повърхнина S прибавим лицата на двете основи, ще получим лицето на повърхнината (пълната повърхнина) S1 на правоъгълния паралелепипед. Двете основи са прав о ъг ълници с равни изме рения, т.е. са равнолицеви с лице B = a . b. Тогава S1 = S + 2 . B S1 = 2.a .c + 2.b .c + 2 .a . b

ЗАДАЧА

ЗАДАЧИ

Лице на повърхнина на правоъгълен паралелепипед • лице на околна повърхнина S = P . c , където P = 2 . (a + b); • лице на повърхнина S1 = S + 2 . B , където B = a . b. (Устно) Правоъгълен паралелепипед с височина c = 7 cm има обиколка на основата 20 cm. Намерете околната повърхнина на паралелепипеда. Решение: S = P . c S = 20 . 7 = 140, S = 140 cm2

1 Намерете околната повърхнина на 2 Намерете повърхнината на кутия

правоъгълен паралелепипед (в cm2), с форма на куб с ръб 7 cm, ако e: който има измерения (c = h): а) с капак; б) без капак. а) a = 4,5 cm, b = 2 cm, c = 1,5 cm; 3 Намерете повърхнината на право ъгълен паралелепипед, ако едното б) a = 60 mm, b = 30 mm, c = 40 mm; му измерение е 16 cm, второто е с в) a = 0,5 dm, b = 20 mm, c = 4 cm; 2 cm по-малко от него, а третото – г) a = 3 cm, b = (a + 1) cm, c = (b + 2) cm. 2 пъти по-малко от второто.

* За “обиколка на фигура” се използва и думата “периметър”.

Към съдържанието

243

119.

ЛИЦЕ НА ПОВЪРХНИНА НА ПРАВОЪГЪЛЕН ПАРАЛЕЛЕПИПЕД. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Правоъгълен паралелепипед има лице на основата B, околна

повърхнина S и повърхнина S1. Ако: а) S = 200 cm2, B = 24 cm2, намерете S1 ; б) S1 = 254 cm2, B = 28 cm2, намерете S ; в) S1 = 498 cm2, S = 342 cm2, намерете B . Решение: а) S1 = S + 2 . B б) S1 = S + 2 . B в) S1 = S + 2 . B S1 = 200 + 2 . 24 254 = S + 2 . 28 498 = 342 + 2 . B S1 = 200 + 48 254 = S + 56 342 + 2 . B = 498 2 S1 = 248 cm S + 56 = 254 2 . B = 498 − 342 S = 254 − 56 2 . B = 156 2 S = 198 cm B = 156 : 2 B = 78 cm2

ЗАДАЧА 2 Правоъгълен паралелепипед има широчина 5 cm, височина 7 cm и околна повърхнина 210 cm2. Намерете дължината на този паралелепипед. b = 5 cm c = 7 cm a=? S = 210 cm2

Решение: 1. S = P . c 2. P = 2 . (a + b) 3. a + b = 15 210 = P . 7 30 = 2 . (a + b) a + 5 = 15 P = 30 a + b = 15 a = 15 − 5 a = 10, a = 10 cm

ЗАДАЧА 3 Правоъгълен паралелепипед има дължина 5 m, широчина 4 m и повърхнина 94 m2. Намерете височината на този паралелепипед. a = 5 m b = 4 m c=? S1 = 94 m2 Решение: S1 = S + 2 . B S1 = 2 . (a + b) . c + 2 . a . b 94 = 2 . (5 + 4) . c + 2 . 5 . 4 94 = 2 . 9 . c + 40

18 . c + 40 = 94 18 . c =94 – 40 18 . c = 54 c = 3, c = 3 m

ЗАДАЧА 4 В баня е изградена вана с форма на правоъгълен паралелепипед. Размерите на

вътрешната част на ваната са: дължина 2 m, широчина 1,2 m и дълбочина 60 cm. Колко квадратни метра плочки са необходими за вътрешната облицовка на ваната?

244 Към съдържанието

a = 2 m b = 1,2 m c = 60 cm

Повърхнината на вътрешната част (в m2) = ?

Решение: c = 60 cm = 0,6 m Ваната има форма на правоъгълен паралелепипед без горна основа. Тогава търсената повърхнина е сборът от S и B. S + B = 2 . (a + b) . c + a . b = = 2 . (2 + 1,2) . 0,6 + 2 . 1,2 = 2 . 3,2 . 0,6 + 2,4 = 3,84 + 2,4 = 6,24, Необходими са 6,24 m2 плочки.

ЗАДАЧА 5 Два еднакви правоъгълни паралелепипеда с измерения 4 dm, 5 dm и 6 dm

са залепени така, че е получен правоъгълен паралелепипед с най-малка повърхнина. Намерете повърхнината на този паралелепипед. Решение: Начините на залепване са три. I начин: до стената с II начин: до стената с III начин: до стената с измерения 4 dm и 5 dm измерения 4 dm и 6 dm измерения 5 dm и 6 dm

4 6

6 5 4 6 5 4 Повърхнината на един паралелепипед е S1 = 2.a .b + 2.b .c + 2.a.c = 2.4.5 + 2.5.6 + 2.4.6 = 40 + 60 + 48 = 148 dm2 Повърхнината на: I тяло е 2S1 – 2 . 4 . 5 = 296 – 40 = 256 cm2 II тяло е 2S1 – 2 . 4 . 6 = 296 – 48 = 248 cm2 III тяло е 2S1 – 2 . 5 . 6 = 296 – 60 = 236 cm2 Тяло с най-малка повърхнина ще получим, като залепим двата правоъгълни паралелепипеда до стената с най-голямо лице.

ЗАДАЧИ

1 Правоъгълен паралелепипед има лице на основата B, околна повърхнина S и повърхнина S1. Aко: а) S = 174 cm2, B = 53 cm2, S1 = ? б) S1 = 623,5 dm2, B = 83 dm2, S = ? в) S1 = 1573,2 cm2, S = 954,2 cm2, B = ? 2 Правоъгълен паралелепипед има измерения на основата a = 14 cm, b = 90 mm и околна повърхнина 230 cm2. Намерете височината на паралелепипеда. 3 Правоъгълен паралелепипед има дължина 8 cm, височина 5 cm и околна повърхнина 140 cm2. Намерете:

а) широчината му; б) пълната му повърхнина. 4 Кашон с форма на правоъгълен паралелепипед има дължина 80 cm, широчина 60 cm и височина 70 cm. Колко квадратни метра картон е употребен за изработването на кашона, ако дъното и капакът му са двойни. 5 Върху квадратна мрежа с 1 деление = 0,5 cm начертайте развивката на: а) куб със страна 2,5 cm; б) правоъгълен паралелепипед с измерения a = 5 cm, b = 1,5 cm, c = 1,5 cm.

245 Към съдържанието

120.

ОБЕМ НА ПРАВОЪГЪЛЕН ПАРАЛЕЛЕПИПЕД Всички сте играли като малки с дървени кубчета и сте ги подреждали в кутията им. Ако кубчетата са 24 броя и се подредят на 2 слоя по 12 броя, кутията се запълва, т.е. в нея се вместват 24 броя кубчета. Ако приемем, че едното кубче е 1 мерна единица, казваме, че обемът на кутията е 24.

Обемът на тяло се измерва в кубически мерни единици и се означава с V.

ЗАДАЧА 1 Намерете обема на правоъгълните паралелепипеди, съставени от кубчета с обем по 1 cm3 . а)

б)

в)

3 cm

2 cm

5 cm

Решение:

3 cm

5 cm

3 cm

а) 5 реда по 3 кубчета → V = 5 . 3 = 15 cm3 б) 5 реда по 3 кубчета в 2 слоя → V = (5 . 3) . 2 = 15 . 2 = 30 cm3 в) 5 реда по 3 кубчета в 3 слоя → V = (5 . 3) . 3 = 15 . 3 = 45 cm3

Забелязваме, че обемът на един правоъгълен паралелепипед (в cm3 ) се намира, като се изброят кубчетата с измерение 1 cm, които “го запълват”, т.е. като се умножат трите му измерения.

Обемът на всеки правоъгълен паралелепипед е равен на произведението на трите му измерения, взети в една и съща мерна единица, т.е. V = a . b . c. Формулата за обем на правоъгълен паралелепипед може да се запише и така: V = B . c, където B = a . b .

Обем на правоъгълен паралелепипед

V=a.b.c V=B.c 246 Към съдържанието

ЗАДАЧА 2 Правоъгълен паралелепипед има измерения a, b, c и обем V. Ако:

a) a = 8 cm, b = 4 cm, c = 6 cm, намерете V ; б) a = 7 dm, b = 3 dm, c = 2,8 dm, намерете V; в) a = 9 m, b = 4 m, V = 90 m3, намерете c .

Решение: а) V = a . b . c б) V = a . b . c в) V = a . b . c V = 8 . 4 . 6 V = 7 . 3 . 2,8 90 = 9 . 4 . c V = 192 cm3 V = 58,8 dm3 36 . c = 90 c = 90 : 36, c = 2,5 m

ЗАДАЧА 3 Правоъгълен паралелепипед с лице на основата B има височина c и обем V. Ако:

a) B = 56 cm2, c = 9 cm, намерете V ; б) B = 32 cm2, V = 192 cm3 , намерете c; в) c = 7 cm, V = 504 cm3 , намерете B .

Решение: а) V = B . c б) V = B . c в) V = B . c V = 56 . 9 192 = 32 . c 504 = B . 7 V = 504 cm3 32 . c = 192 B . 7 = 504 c = 192 : 32 B = 504 : 7 c = 6 cm B = 72 cm2

ЗАДАЧИ

1 Намерете обема на: а) куб, ако a = 5 cm; б) правоъгълен паралелепипед, ако a = 6 cm, b = 5 cm, c = 10 cm. 2 Намерете обема на правоъгълен паралелепипед, ако: а) a = 7 cm, b = 2 . a cm, c = (a + 3) cm; б) a = 11 dm, b = (a – 3) dm, c = 2 . b dm. 3 Даден е правоъгълен паралелепипед. Ако: а) a = 8 cm, b = 3 cm, V = 120 cm3, c = ? б) a = 7,2 dm, c = 5,4 dm, V = 97,2 dm3, b = ? в) b = 3,8 m, c = 2,2 m, V = 87,78 m3, a=? 4 Правоъгълен паралелепипед с лице на основата B има височина c и обем V. Намерете: а) V, ако B = 45 cm2, c = 13 cm;

б) c, ако B = 48 cm2, V = 720 cm3; в) B, ако c = 16 cm, V = 1120 cm3. 5 Правоъгълен паралелепипед с дължина 7 cm и височина 5,2 cm има обем 364 cm3. Намерете: а) широчината на паралелепипеда; б) околната и пълната повърхнини на паралелепипеда. 6 Правоъгълен паралелепипед с дъл жина 14 cm, широчина 7 cm има повърхнина 826 cm2. Намерете: а) околната повърхнина на парале лепипеда; б) обема на паралелепипеда. 7 Правоъгълен паралелепипед с дължина 8 cm, широчина 5 cm има околна повърхнина 260 cm2. Намерете: а) повърхнината на паралелепипеда; б) обема на паралелепипеда. Към съдържанието

247

121.

ПОВЪРХНИНА И ОБЕМ НА ПРАВОЪГЪЛЕН ПАРАЛЕЛЕПИПЕД. УПРАЖНЕНИЕ

ЗАДАЧА 1 Правоъгълен паралелепипед има основен ръб a = 8 cm, височина

c = 20 cm и околна повърхнина S = 800 cm2. Намерете обема V на правоъгълния паралелепипед. правоъгълен паралелепипед a = 8 cm, c = 20 cm V=? 2 S = 800 cm Решение: 1. S = P . c 2. P = 2 . a + 2 . b 3. V = a . b . c 800 = P . 20 40 = 2 . 8 + 2 . b V = 8 . 12 . 20 P . 20 = 800 40 = 16 + 2 . b V = 1920 cm3 P = 800 : 20 16 + 2 . b = 40 P = 40 cm 2 . b = 40 − 16 2 . b = 24 b = 12 cm

ЗАДАЧА 2 Правоъгълен паралелепипед има дължина a = 10 cm, широчина b = 4 cm и обем V = 320 cm3. Намерете повърхнината S1 на паралелепипедa. правоъгълен паралелепипед a = 10 cm, b = 4 cm S1= ? 3 V = 320 cm

Решение: 1. V = a . b . c 2. P = 2 . (a + b) 3. S = P . c 320 = 10 . 4 . c P = 2 . (10 + 4) S = 28 . 8 40 . c = 320 P = 28 cm S = 224 cm2 c = 8 cm 4. B = a . b 5. S1 = S + 2 . B B = 10 . 4 S1 = 224 + 2 . 40 B = 40 cm2 S1 = 304 cm2

ЗАДАЧА 3 Правоъгълен паралелепипед има измерения a = 5 cm, b = 4 cm и

c = 3 cm. Как ще се измени околната му повърхнина, ако всички измерения се увеличат 3 пъти. Решение: 1. S = P . c 2. a1 = 3 . a = 3 . 5 = 15 cm 3. S* = 2 . (a1 + b1) . c1 S = 2 . (a + b) . c b1 = 3 . b = 3 . 4 = 12 cm S* = 2 . (15 + 12) . 9 S = 2 . (5 + 4) . 3 c1 = 3 . c = 3 . 3 = 9 cm S* = 2 . 27 . 9 S = 2 . 9 . 3 S* = 486 cm2 S = 2 . 27 S = 54 cm2 S* = 9 . S , т.е. oколната повърхнина се увеличава 9 пъти.

248 Към съдържанието

ЗАДАЧА 4 Правоъгълен паралелепипед има измерения a = 8 cm, b = 6 cm и

c = 4 cm. Как ще се измени обемът му, ако всички измерения се намалят 2 пъти. Решение: 1. V = a . b . c 2. a1 = a : 2 = 8 : 2 = 4 cm V = 8 . 6 . 4 b1 = b : 2 = 6 : 2 = 3 cm V = 8 . 24 c1 = c : 2 = 4 : 2 = 2 cm V = 192 cm3 3. V1 = a1 . b1 . c1 V1 = 4 . 3 . 2 V1 = 24 cm3 V1 = V : 8 , т.е. обемът се намалява 8 пъти.

ЗАДАЧА 5 Куб и паралелепипед имат равни обеми и равни височини h = 5 cm. Ако дължината на паралелепипеда е 10 cm, намерете с колко квадратни сантиметра повърхнината му е по-голяма от повърхнината на куба.

Решение: V1 = 5 . 5 . 5 = 125, V1 = 125 cm3 V2 = 10 . x . 5 = 125 50 . x = 125 x = 125 : 50 x = 2,5 cm 2 5 S1 = 6 . 5 . 5 = 6 . 25 = 150, S1 = 150 cm S2 = 2 . (10 + 2,5) . 5 + 2 . 10 . 2,5 = = 2 . 12,5 . 5 + 2 . 25 = 125 + 50 = 175, S2 = 175 cm2 x S2 – S1 = 175 – 150 = 25, S2 – S1 = 25 cm2 S2 е по-голяма от S1 с 25 cm2.

5 5

5 V1 , S1

V2 , S2

ЗАДАЧИ

1 Обемът на правоъгълен паралеле-

3 Начертайте таблицата в тетрадки-

пипед е 210 m3. Ако дължината на паралелепипеда е 7 m, а широчината му е 6 m, намерете: а) височината; б) S; в) S1.

те си и попълнете липсващите стойности за правоъгълен паралелепипед с измерения a, b, c:

2 Даден е правоъгълен паралеле-

пипед с измерения a = 4,8 dm, b = 28,5 cm, c = 0,37 m. Намерете обема му във: а) кубически сантиметри; б) кубически дециметри; в) кубически метри.

а) б) в) г) д)

a b c B S S1 V 2 2 2 (cm) (cm) (cm) (cm ) (cm ) (cm ) (cm3) 5 4 3 ? ? ? ? 6 ? 5 42 ? ? ? 8 ? 10 ? ? ? 400 4 5 ? ? 180 ? ? 5 6 ? ? ? 280 ?

Към съдържанието

249

122.

ЗАДАЧИ С ПРАКТИЧЕСКО ПРИЛОЖЕНИЕ № 1 Предварително задание: Всеки ученик да има за урока: • 1 картон с форма на правоъгълник с размери 30 × 20 cm, облепен от едната страна с милиметрова хартия; • тиксо с широчина на лентата около 2 cm; • ножичка, линия и молив. Практическа работа в час: 1 На картона, откъм облепената с милиметрова хартия страна, начертайте развивката на правоъгълен паралелепипед с размери a = 8 cm, b = 5 cm, c = 6 cm.

Изрежете начертаната фигура. 3 Подгответе подчертаните ръбове за сгъване. 4 Облепете ръба 1 с лента от тиксо, дълга 6 cm, от външната страна така, че половината от лентата по дължина да не е залепена. 5 Прегънете по околните ръбове и залепете ръба 2 до ръба 1 . 6 Облепете ръбовете 3 и 4 с лента от тиксо, дълга 8 cm, от външната страна така, че половината от лентата по дължина да не е залепена. 7 Прегънете така, че ръбовете 3 и 4 да залепите за съответната околна стена. 8 Облепете с тиксо и останалите ръбове на получения правоъгълен паралелепипед. 9 Полученият правоъгълен паралелепипед изглежда така: 6 10 По желание тялото може да се облепи с цветна хартия. 5 8 2

250 Към съдържанието

ЗАДАЧА 1 Майстор Милко изработва отворени аквариуми за рибки с формата на

правоъгълен паралелепипед. Използва три вида правоъгълни стъклени листове – малки, средни и големи. Малките листове имат измерения 2 dm и 4 dm, средните – 2 dm и 6 dm, и големите – 4 dm и 6 dm. За всеки аквариум майстор Милко задължително използва листове от всеки вид, без да ги реже. а) Намерете цената на трите вида стъклени листове, ако цената на 1 m2 стъкло е 35 лв. б) Намерете колко квадратни дециметра стъкло е използвал майстор Милко за направата на аквариум с най-малко материал. в) Водата, която се налива в аквариума, достига 1 dm под горния ръб. Майстор Милко направил аквариум, който събира най-много вода. Колко литра вода има в този аквариум?

Решение: a) малки листове

средни листове

големи листове

Sм. л. = 4 . 2 = 8 dm2 = 0,08 m2 цена 0,08 . 35 = 2,80 лв.

2 dm 4 dm 2 dm 6 dm 4 dm

Sср. л. = 6 . 2 = 12 dm2 = 0,12 m2 цена 0,12 . 35 = 4,20 лв. Sг. л. = 6 . 4 = 24 dm2 = 0,24 m2 цена 0,24 . 35 = 8,40 лв.

6 dm б) Правоъгълните паралелепипеди имат 6 стени – две по две еднакви. За направата на аквариум с най-малко материал листът с най-голямо лице трябва да се използва само веднъж (за основа). Направеният аквариум има вида: Използваният материал е 2.6.2+2.4.2+6.4= = 24 + 16 + 24 = 64 dm2. в) Трите вида аквариуми, които може да направи майстор Милко, имат една и съща вместимост (48 dm3). Водата в тях е: I вид

II вид

III вид

V = 6.4.1 = 24 dm3 = 24 L

V = 6.2.3 = 36 dm3 = 36 L

V = 4.2.5 = 40 dm3 = 40 L

Mайстор Милко е направил аквариум от III вид, който съдържа 40 L вода. Към съдържанието

251

123.

ЗАДАЧИ С ПРАКТИЧЕСКО ПРИЛОЖЕНИЕ № 2

ЗАДАЧА 1 Класна стая има форма на правоъгълен паралелепипед с дължина 10 m,

широчина 6 m и височина 3 m и 20 cm. а) Намерете колко кислород има в класната стая преди учебните часове, ако количеството му е 0,21 . V L (V е обемът на въздуха в класната стая). б) Първия учебен час в класната стая има 28 ученици и 1 учител и всеки от тях за един учебен час (= 40 минути) вдишва средно 0,250 L кислород за една минута. Намерете с колко литра ще намалее кислородът в стаята след първия учебен час. Решение: а) Означаваме a = 10 m, b = 6 m, c = 3,2 m V = a . b . c V = 10 . 6 . 3,2 = 192, V = 192 m3 V = 192 000 dm3 Чистият въздух в стаята е 192 000 L. 0,21 . V = 0,21 . 192 000 = 40 320 Кислородът в класната стая е 40 320 L. б) В класната стая има общо 29 човека. За 1 минута те вдишват 29 . 0,250 = 7,250 L кислород. За 40 минути вдишват 40 . 7,250 = 290 L кислород. След първия учебен час кислородът ще намалее с 290 L.

ЗАДАЧА 2 Класна стая има форма на правоъгълен паралелепипед с дължина

10 m, широчина 6 m и височина 3 m и 20 cm. Колко килограма латексова боя са необходими за измазване на стаята, ако за 1 m2 се използва 220 g боя (вратата, прозорците и бялата дъска заемат 24 m2 площ)? Решение: С латекс се боядисват стените и тавана (без 24 m2 площ). S + B – 24 = ? S = 2 . (a + b) . c B=a.b S = 2 . (10 + 6) . 3,2 B = 10 . 6 2 S = 102,4 m B = 60 m2 S + B – 24 = 102,4 + 60 – 24 = 138,4 Площта, която се боядисва, е 138,4 m2. 220 g = 0,22 kg Боята, която е необходима, е 138,4 . 0,22 = 30,448, т.е. 30,448 kg.

ЗАДАЧА 3 Жилищен блок има форма на правоъгълен паралелепипед с дължина

18 m, широчина 12 m и височина 28 m. При направата му са излети 10 етажни стоманобетонни плочи, всяка с височина 14 cm. Намерете: а) колко кубически метра стоманобетон са необходими за една плоча; б) колко тона тежат десетте плочи, ако 1 m3 стоманобетон тежи 2600 kg. Решение: а) Всяка етажна плоча има форма на правоъгълен паралелепипед с измерения

252

Към съдържанието

и обем V = a. b.c = 18.12.0,14 = 30,24 V = 30,24 m3.

б) Една плоча тежи 30,24 . 2600 = 78 624 kg. 78 624 kg = 78,624 t 10 плочи тежат 786,24 t.

В Задача 3 теглото* на плочата получихме, като умножихме обема и΄с даденото тегло на 1 m3 стоманобетон, т.е. теглото на плочата зависи от обема и΄и от материала, от който е направена.

стомана 7,7 злато 19,3 диамант 3,5 мед 8,9 мрамор 2,8 олово 11,4

Ако измерим два правоъгълни паралелепипеда с еднакви размери, т.е. с равни обеми, единият от дърво, а другият – от мрамор, вторият ще е по-тежък. Това се дължи на различното тегло (на 1 cm3) на материала (специфичното му тегло). В таблицата са дадени специфичните тегла на някои материали (грам на кубически сантиметър).

ЗАДАЧА 4 В аквариум с форма на правоъгълен паралелепипед с размери на осно

вата 30 × 20 cm след поставяне на камъчета нивото на водата се вдига с 1 cm. Намерете обема на камъчетата.

Решение: Обема на камъчетата можем да намерим, като пресметнем обема на изместената от тях вода: V = 30 . 20 . 1 = 600, V = 600 cm3. Обемът на камъчетата е 600 cm3.

ЗАДАЧИ

1 Стая с форма на правоъгълен паралелепипед има размери на пода 7 m и 8 m. Трябва да се направи изолационна замазк а на пода с дебелина 4 cm. а) Колко кубически метра замазка са необходими? б) Колко лева ще струва този ремонт, ако цената на 1 m3 замазка с поставянето ѝ е 130 лв.? 2 Баня с дължина 2 m и широчина 1,80 m трябва да се облицова с фаян сови плочки на височина 2 m от пода, без да се покрива подът. Вратата на банята е с размери 80 × 200 cm. Колко броя правоъгълни плочки

с размери 20 × 15 cm са необхо дими, като предвидите 26 плочки резерв? 3 Мраморен блок има форма на правоъгъл ен паралелепипед с размери, дадени на чертежа. m

m m а) Колко лева трябва да се запла тят за този блок, ако 1 m3 мрамор струва 230 лв.? б) Колко тежи този блок (специ фичното тегло на мрамора е 2,8 g на 1 cm3)?

* В практиката физическото понятие маса отъждествяваме с тегло.

Към съдържанието

253

124.

ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕМАТА “ГЕОМЕТРИЧНИ ТЕЛА” ЗАПОМНЕТЕ! Правоъгълен паралелепипед Измерения a, b, c Обем V = a . b . c Лице на основата B = а . b Околна повърхнина S = 2 . (a + b) . c Повърхнина S1 = S + 2 . B

Куб (вид правоъгълен паралелепипед) Измерение a Обем V = a . a . a Околна повърхнина S = 4 . a . a Повърхнина S1 = 6 . a . a

Мерни единици за лице 1 m2 = 10 . 10 dm2 = 100 . 100 cm2 = 1 000 . 1 000 mm2 1 cm2 = 0,0001 m2

Мерни единици за обем 1 m3 = 10 . 10 . 10 dm3 = 100 . 100 . 100 cm3 = 1 000 . 1 000 . 1 000 mm3 1 cm3 = 0,000001 m3

ЗАДАЧА 1 От лист картон с размери 30 cm × 18 cm трябва да се

направи отворена кутия във форма на правоъгълен паралелепипед. Направени са три проекта. Коя кутия да изберем, така че тя да има най-голям обем (вместимост)?

Решение: I проект

II проект

III проект

Отрязани са квадратчета със страна 3 cm

Отрязани са квадратчета със страна 4 cm

Отрязани са квадратчета със страна 5 cm

3 cm

4 cm

5 cm

c=3 a

254

c=5

c=4 a

Към съдържанието

І проект: ІІ проект: c = 3 cm c = 4 cm a = 30 – 2 . 3 = 24 cm a = 30 – 2 . 4 = 22 cm b = 18 – 2 . 3 = 12 cm b = 18 – 2 . 4 = 10 cm V = a . b . c V = a . b . c V = 24.12.3 V = 22.10.4 V = 864 cm3 V = 880 cm3 Избираме кутията, която е изработена по ІІ проект.

ІІІ проект: c = 5 cm a = 30 – 2 . 5 = 20 cm b = 18 – 2 . 5 = 8 cm V=a.b.c V = 20.8.5 V = 800 cm3.

ЗАДАЧА 2 Басейн има формата на правоъгълен паралелепипед с дължина 6 m и широчина 4 m. Вътрешната облицовка на басейна съдържа 1 400 цели еднакви квадратни плочки със страна 20 cm. Намерете: a) колко плочки са използвани за облицоването на дъното на басейна; б) колко кубични метра е обемът на басейна; в) на каква височина ще достигне водата в басейна, ако в него има 36 000 литра вода?

Решение: а) Основата на басейна е правоъгълник с измерения 6 m и 4 m. Лицето на основата (В) е 6 . 4 = 24 m2. Лицето на една плочка е 0,2 . 0,2 = 0,04 m2. Необходимите плочки са 24 : 0,04 = 600 плочки. б) За облицоването на стените на басейна са използвани 1 400 – 600 = 800 плочки. Околната повърхнина (S) на басейна е 800 . 0,04 = 32 m2. S = P . h P = 2 . (6 + 4) = 20 m 32 = 20 . h h = 1,6 m h – дълбочина на басейна в) х – височината на водата в метри Vвода = 36 000 = 36 000 dm3 = 36 m3 Vвода = B . x 36 = 24 . x x = 36 : 24 x = 1,5 m

ЗАДАЧИ

1 При ремонт на волейболно игрище,

което има форма на правоъгълник с размери 18 m и 9 m, е направена изравнителна замазка средно с височина 4 cm. Намерете колко кубически метра замазка е употребена. 2 Два правоъгълни паралелепипеда са направени от еднакъв материал и единият тежи 1,4 kg. Колко тежи другият, ако размерите му са 3 пъти по-големи от размерите на първия? 3 20 борови дъски с форма на пра воъ г ълен паралелепипед имат размери 20 cm, 3 cm и 4 m.

а) Намерете колко тежат дъските, ако 1 m 3 боров материал тежи 600 kg. б) Ако цената на 1 m3 дъски е 250 лв., колко лева струват тези дъски?

4 Жилищен блок има форма на

правоъгълен паралелепипед с дължина 26 m и широчина 12 m. На покрива му е направена топлоизо лация, за която са изразходвани 18,72 m3 перлитобетон. Намерете дебелината на топлоизолацията.

Към съдържанието

255

125.

ПРИМЕРЕН ТЕСТ ВЪРХУ ТЕМАТА “ГЕОМЕТРИЧНИ ТЕЛА” 1. Повърхнината на правоъгълен параляма повърхнина. Повърхнината на лелепипед с измерения 9 cm, 7 cm и получения паралелепипед (в cm2) е: 2 5 cm (в cm ) е: А) 148; Б) 158; В) 164; Г) 188. А) 429; Б) 315; В) 286; Г) 143. 8. До всяка стена на куб с ръб 2 cm е 2. Обемът на куб с измерение 4 cm в залепен куб със същия ръб. Намерете: кубични сантиметри е: а) обема на полученото тяло (в cm3); А) 16; Б) 64; В) 96; Г) 128. б) повърхнината на полученото тяло (в cm2). 3. Правоъгълен паралелепипед има обем

1 440 cm3 и основа с лице 360 cm2. Височината на паралелепипеда (в cm) е: А) 4; Б) 40; В) 400; Г) 180.

4. Правоъгълен паралелепипед има основни ръбове а = 25 mm, b = 6,3 cm и околен ръб с = 0,47 dm. Сборът от 9. В резервоар с формата на правоъгълен паралелепипед има 48 литра вода. всичките му ръбове (в cm) е: Ако поставим резервоара на всяка от А) 13,5; стените му, нивото на водата ще е на Б) 36; височина съответно 30 cm, 40 cm и В) 27; 60 cm. Намерете (в cm2): Г) 54. а) лицето на най-малката стена на 5. Съд с формата на правоъгълен парарезервоара; лелепипед има дължина 30 cm, широ- б) лицето на най-голямата стена на чина 20 cm и височина 40 cm. Колко резервоара; литра течност може да събере съдът? в) повърхнината на резервоара. А) 90; Б) 24; В) 20; Г) 18. 10. След разтапяне на парче цинк с фор6. Периметърът на основата на правома на правоъгълен паралелепипед с ъгълен паралелепипед е 20 cm. Ако размери 6 cm, 5 cm и 12 cm и парче единият основен ръб е 6 cm, а окололово с форма на куб с ръб 6 cm от ният ръб е 1 dm, то повърхнината на цялата сплав отлели парче с формата паралелепипеда в квадратни сантимена правоъгълен паралелепипед, две от три е: измеренията на който са 4 cm и 18 cm. А) 248; Б) 224; В) 240; Г) 200. Намерете: 7. Два еднакви правоъгълни парале- а) обема на отлетия паралелепипед (в cm3); лепипеда с измерения 3 cm, 4 cm и 5 cm са залепени така, че е получен б) третото измерение на отлетия паралелепипед (в cm). правоъгълен паралелепипед с най-го-

256

Към съдържанието

ИЗХОДНО НИВО (Урок № 126 – Урок № 127)

ПРИМЕРЕН ТЕСТ ЗА ИЗХОДНО НИВО С РЕШЕНИЯ ДВА ПРИМЕРНИ ТЕСТА ЗА ИЗХОДНО НИВО

257

126.

ТЕСТ С РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧА 1 От дробните числа Решение:

2 3

Решение:

Г) 20 . 1. Намираме НОК на знаменателите. НОК = 2 . 2 . 3 . 5 = 60 2. Привеждаме дробните числа към общ знаменател. 2 3

= 60 , 12 = 60 , 15 = 60 , 20 = 60

3. Най-малко е числото 60 = 15 .

ЗАДАЧА 2 Стойността на израза

, 12 , 15 , 20 най-малко е: 2 7 8 А) 3 ; Б) 12 ; В) 15 ;

А) 7 ; 6 7

6 7

Отговор: В)

∙ 3 – 3 е: 3 Б) 4 ; 4

В) 2 ; 7

∙ 3 – 3 = 7 – 3 = 21 – 21 = 21

Г) 21 .

Отговор: Г)

ЗАДАЧА 3 При деление на едно число с 13 се получава частно 9 и остатък 8. Числото е: А) 113; Б) 221; Решение:: х : 13 = 9 (ост. 8)

ЗАДАЧА 4 Ако (х + 6,6) :

В) 125; Г) 85. х = 9 . 13 + 8 х = 117 + 8 х = 125

Отговор: В)

1 2

= 7,3 . 2,2 + 7,8 . 7,3, то х е равно на: А) 358,4; Б) 139,4; В) 29,9; Г) 43,1. 1 1 . 7,3 х + 6,6 = 73 ∙ 2 Решение: (х + 6,6) : 2 = 7,3 . 2,2 + 7,8 1 х + 6,6 = 36,5 (х + 6,6) : 2 = 7,3 . (2,2 + 7,8) х = 36,5 – 6,6 1 (х + 6,6) : 2 = 7,3 . 10 х = 29,9 1 Отговор: В) (х + 6,6) : = 73

ЗАДАЧА 5 Ако НОD (42; 60) : х = НОК (6; 8), то х е: Решение:

А) 144; Б) 0,25; В) 4; Г) 6. НОД (42; 60) : х = НОК (6; 8) НОD (42; 60) = 2 . 3 = 6 6 : х = 24 НОК (6; 8) = 2 . 2 . 2 . 3 = 24 х = 6 : 24 х = 0,25 Отговор: Б)

ЗАДАЧА 6 Петко похарчил 35% от парите си и му останали 32 лв. и 50 ст. Колко лева е имал Петко първоначално? А) 50; Б) 55;

258

В) 60;

Г) 65. Към съдържанието

Решение: Петко е похарчил 35% от парите си. Останали са му 65%. Петко е имал първоначално х лева. 65 65% от х = 32,50 100 ∙ х = 32,50 х = 50 лв. Отговор: А)

ЗАДАЧА 7 Автобус изминал определен маршрут от 1 296 km за три дни. Първия 1

ден изминал 3 от целия път, втория ден 25% от останалия. Колко километра е изминал автобусът през третия ден? А) 432; Б) 648; В) 864; Г) 216. 1

I ден SI = 3 от S = 3 ∙ 1296 = 432 km, останали 864 km 1 II ден SII = 25% oт 864 = 4 ∙ 864 = 216 km SIII = 864 – SII = 864 – 216 = 648 km Отговор: Б)

Решение:

ЗАДАЧА 8 Обиколката на квадрата ABCD от чертежа е 48 cm.

а) Намерете лицето на оцветения триъгълник (VMNP) в cm2. б) Намерете колко процента от лицето на квадрата е лицето на оцветения триъгълник. Решение: а) Означаваме AB = a. D C PABCD = 4a a = 48 P a = 48 : 4 = 12 cm SABCD = a . a = 12 . 12 = 144 cm2 SMNP =

A M

MN . PB 2

б) x% от SABCD = SMNP

x 100

8.9

= 2 = 36 cm2 Отговор: a) 36 cm2 б) 25%

∙ 144 = 36 x = 25

ЗАДАЧА 9 В магазин доставили 720 kg ябълки, пакетирани в

Продадени

Ден опаковки по 1 kg и ги продали за три дни. Пиктограмата опаковки показва броя на продадените опаковки. І ден а) Намерете ключа на пиктограмата. б) Колко килограма ябълки са продали през ІІІ ден? ІІ ден в) През кой ден са продадени 240 kg ябълки? ІІІ ден Решение: а) На пиктограмата има 12 ябълки. 1 ябълка отговаря на 720 : 12 = 60 kg. Отговор: Ключът е: = 60 kg. a) 60 kg б) III ден са продадени 5 = 5 . 60 = 300 kg б) 300 kg в) 240 : 60 = 4. 4 ябълки са нарисувани за I ден. в) I ден

ЗАДАЧА 10 Тялото на чертежа е съставено от 4 еднакви куба с ръб 4 cm. Намерете: а) обема на тялото в кубични сантиметри; б) повърхнината на тялото в квадратни сантиметри. Решение: а) Vтяло = 4 . Vкуб = 4 . 64 = 256 cm3 б) Sтяло = 18 . В = 18 . 4 . 4 = 288 cm2

Към съдържанието

Отговор: a) 256 cm3 б) 288 cm2

259

127.

ИЗХОДНО НИВО ПРИМЕРЕН ТЕСТ № 1 1. Коя от посочените дроби е по-голяма от

5 6

и по-малка от

7 8

е:

41 43 А) 37 ; Б) 39 ; В) 48 ; Г) 48 . 48 48

5 ⋅ 7 + 5 Стойността на израза 21 е: 10 12

6 7 5 А) 16 ; Б) 12 ; В) 12 ; Г) 29 .

3. Стойността на израза 36,5 – 16,5 : 5 е: А) 4; Б) 28,25; В) 33,2; Г) 33,4. 4. Ако 100 – x : 2,25 = 11,98 + 28,02, то х е равно на: А) 10; Б) 135; В) 190; Г) 315. 5. Трапец има основи 116 mm и 37 dm. 50 Височината на трапеца е 10 cm. Лицето на трапеца, в квадратни сантиметри, е: А) 95; Б) 19; В) 120; Г) 190. 6. Илиян похарчил за закуска 73 от парите си и загубил половината от остатъка. Останали му 4,50 лв. Колко лева е имал Илиян първоначално? А) 10,50; Б) 10,75; В) 15,50; Г) 15,75 . 7. Натоварен със стока камион тежал 28 тона. След като разтоварили 35% от стоката, се оказало, че той тежи 21 тона. Колко тона тежи камионът, когато е празен? А) 7; Б) 7,35; В) 8; Г) 20.

260

8. Правоъгълният паралелепипед на чертежа е съставен от 5 куба, 4 от които имат ръб 3 cm. Намерете: а) обема на паралелепипеда в кубични сантиметри; б) повърхнината на паралелепипеда в квадратни сантиметри. 9. Тест по математика се състои от 20 задачи. За всяка вярно решена задача учениците получават по 5 точки. На диаграмата са дадени резултатите от теста на четири ученици. Известно е, че: Иван е с най-лош резултат; а Васил е с най-добър. Мая е получила по-добър резултат от Зоя.

а) Колко задачи е решил Васил? б) Колко точки е получила Мая? в) Колко процента от всички задачи в теста е решила Зоя?

10. Пресметнете числената стойност на израза А = (х + z) : y, ако: x+ 1 ⋅2 = 3: 1 ; 4 3 8 4

(

)

26,25 : (y – 4,75) = 5; z = HOK (48; 72) : HOK (6; 8).

Към съдържанието

ПРИМЕРЕН ТЕСТ № 2 1. 2.

Сборът 2 + 4 + 8 е: 3 5 1 7 А) 4 ; Б) 8 ; В) 1 8 ; Г) 8 . 2

Стойността на израза 6 3 – 3 : 2 е: 2 1 2 А) 3; Б) 5 3 ; В) 6 3 ; Г) 3 3 .

3. Колко лева общо струват три вафли по 0,45 лв. и три сока по 0,75 лв.? А) 3,30; Б) 3,45; В) 3,60; Г) 3,90 . 4.

а) обема на паралелепипеда в ку бични сантиметри; б) повърхнината на паралелепипеда в квадратни сантиметри.

9. В разширения национален отбор по баскетбол участват състезатели само от три клуба „К1”, „К2” и „К3”. Процентното разпределение на състезателите от клубовете е показано на кръговата диаграма. Състезателите от клуб „К2” са 6.

Ако x : 5 – 0,5 = 3,2, то х е равно на: А) 16,4; Б) 1,64; В) 7,4; Г) 0,74.

5. Н амислих едно число. Разделих го на НОD (12; 9) и получих НОK (7; 9). Намисленото число е: А) 378; Б) 567; В) 2 268; Г) 189.

К3 28% К2

К1 48%

а) Колко процента от разширения национален отбор са състезaтелите от клуб „К2”? б) Колко са всички състезатели от разширения национален отбор? в) Колко състезaтели от клуб „К3” има в разширения национален отбор?

6. Георги трябвало да реши опреде- лен брой задачи по математиката. 4 Решил 7 от тях и установил, че му остават да реши още 84 задачи. 10. Обиколката на квадрата на чертежа Колко задачи е трябвало да реши е 40 cm. Георги? а) Намерете лицето на квадрата в А) 196; Б) 147; В) 132; Г) 184 . квадратни сантиметри? 7. Цената на таблет е 200 лв. Два пъти б) Намерете лицето на оцветения последователно намалили цената триъгълник? на таблета с по 10 %. След второто в) Намерете каква част от лицето намаление цената на таблета в лева на квадрата е D C е: лицето на оц А) 160; Б) 162; В) 164; Г) 180. ветения триъгълник? 8. Правоъгълният паралелепипед на чертежа е съставен от 10 куба, 9 от които имат ръб 2 cm. Намерете:

Към съдържанието

261

ОТГОВОРИ

ВХОДНО НИВО 1. Естествени числа. Действия (преговор с допълнение) 2. а) 8410 > 8140; б) 77890 < 77980. 3. а) 3362; 12500; б) 812; 8238; в) 12798; 251220; г) 207; 256. 4. а) 18; б) 4; в) 909; г) 202; д) 88. 5. а) 34; б) 53. 6. а) 1 560; б) 27 970; в) 25 010; г) 84 670. 2. Действия с естествени числа. Намиране на неизвестно число 1. а) 201; б) 160; в) 755; г) 1380. 2. а) 145; б) 6; в) 2; г) 44. 3. а) 14 388 kg; б) 936 kg – да. 4. 375. 3. Мерни единици 1. а) 300 ст.; б) 710 ст.; в) 1 000 ст. 2. 14 лв. 3. а) 6 kg; б) 87 лв. 4. Тест с решения Задача № Отговор Точки 1 Б 2 2 А 2 3 Г 2 4 Б 3 5 В 3 6 В 3 7 А 3 Задача 8 а) 160 3 б) 4 3 Задача 9 а) 102 2 б) 68 2 в) 136 2 Задача 10 10 x = 8, y = 20, 84 5. Входно ниво Примерен тест № 1 Задача № Отговор Точки 1 В 2 2 А 2 3 Г 2 4 Б 3 5 Б 3 6 Б 3 7 Б 3 Задача 8 а) 672 3 б) 2016 3 Задача 9 а) 60 2 б) 60 2 в) 120 2

262

Задача 10 x = 5; y = 21; 104 Примерен тест № 2 Задача № Отговор 1 А 2 В 3 Г 4 А 5 А 6 В 7 Б Задача 8 а) 300 б) 4 Задача 9 а) 16 б) 8 в) 24 Задача 10 x = 8; y = 20; A = 132

10 Точки 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 10

ТЕМА 1. ДЕЛИМОСТ 6. Деление с остатък 1. а) 6; б) 8; в) 22; г) 34. 2. а) 5; б) 8; в) 17; г) 44. 3. а) 63 (ост. 1); 63 . 2 + 1 = 127; б) 122 (ост. 2); 122 . 3 + 2 = 368; в) 41 (ост. 4); 41 . 5 + 4 = 209; г) 20 (ост. 7); 20 . 18 + 7 = 367. 4. а) 101; б) 122; в) 143; г) 229. 5. а) 7; б) 17; в) 19; г) 33. 7. Кратно и делител на естествено число 1. а) 12; б) 11; в) 14. 2. 94; 96; 98. 3. 1; 3; 9; 27. 4. а) 1; 3; 5; 15; б) 15; 30; 45. 5. а) 15; б) 15; в) 20; г) 12. 8. Делимост на сбор 1. а) 28; б) 23; в) 15; г) 18. 2. а) да; б) да; в) да; г) да. 3. а) не; б) да; в) не; г) да. 4. а) 11; б) 10; в) 12; г) 17. 5. а) 1017; б) 9. 6. при a = 1, A = 7; при a = 3, A = 8; при a = 5, A = 9; при a = 7, A = 10; при a = 9, A = 11. 7. A = 0; 2; 4; 6; 8. 9. Делимост на произведение 1. да. 2. а) да; б) да; в) не; г) да. 3. а) да; б) да; в) да; г) да. 4. а) да; б) да; в) не; г) да. 5. а) 18; б) 36; в) 54; г) 27. 6. а) да; б) да; в) да; г) не. 7. а) 107; б) 20; в) 321; г) 816. 8. а) 321; б) 816; в) 3447; г) 5712.

10. Признаци за делимост на 2, на

5 и на 10 70; 72; 74; 76; 78. 92; 94; 96; 98. 354 и 534. а) не; б) да; в) да; г) да. 85; 90; 95. 10; 15; 20; 25; 30. а) 352; 532; 372; 732; 572; 752; б) 235; 325; 275; 725; 375; 735. а) да; б) не; в) да; г) да. 240; 3100; 21000. 11. Признаци за делимост на 3 и на 9 1. а) да; б) да; в) да; г) да; д) да; е) не; ж) не; з) да. 2. а) 1; 4; 7; б) 2; 5; 8; в) 1; 4; 7. 3. а) да; б) не; в) да; г) да. 4. а) да; б) да; в) да; г) не. 5. а) 2; б) 1; в) 0; 9; г) 7. 6. 102. 7. 999. 8. а) да; б) не; в) да; г) да. 9. а) да; б) да. 12. Прости и съставни числа 1. едно. 2. 11. 3. 97. 4. 17 – просто число. 5. 210. 6. 11; 13; 17; 19. 7. 11; 31; 41; 61; 71. 8. 23; 37; 53; 73. 9. да, например: 2 + 3 = 5; 2 + 5 = 7; 2 + 11 = 13; 2 + 17 = 19; 2 + 29 = 31. 10. 19. 13. Представяне на естествени числа като произведение от прости множители 1. а) 8 = 2 . 2. 2; б) 12 = 2 . 2. 3; в) 18 = 2 . 3. 3; г) 27 = 3 . 3. 3. 2. а) 32 = 25; б) 56 = 23 . 7; в) 63 = 32 . 7; г) 75 = 3 . 52. 3. а) 48 = 24 . 3; б) 55 = 5 . 11; в) 68 = 22 . 17; г) 76 = 22 . 19. 4. а) 87 = 3 . 29; б) 62 = 2 . 31; в) 93 = 3 . 31; г) 94 = 2 . 47. 5. а) 102 = 2 . 3 . 17; б) 216 = 23 . 33; в) 225 = 32 . 52; г) 230 = 2 . 5 . 23. 6. а) 312 = 23 . 3 . 13; б) 408 = 23 . 3 . 17; в) 552 = 23 . 3 . 23; г) 759 = 3 . 11 . 23. 7. 4. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Към съдържанието

14. Общ делител (OD) и най-голям

общ делител (HOD). Намиране на HOD на естествени числа 1. а) 4; б) 24; в) 6. 2. а) да; б) да. 3. а) 6; б) 18. 4. а) 24; б) 7; в) 4 червени и 3 розови. 15. Общо кратно (OK) и наймалко общо кратно (HOK) на естествени числа 1. а) 8; б) 24; в) 18; г) 30. 2. а) 12; б) 12; в) 12; г) 12. 3. а) 24; б) 36; в) 42; г) 56. 4. а) 60; б) 48; в) 36; г) 60. 5. а) 60; б) 175; в) 160; г) 156. 6. а) 216; б) 276; в) 196; г) 294. 7. а) 124; б) 27. 16. Намиране на най-малко общо кратно (HOK) на естествени числа. Упражнение 1. а) 24; б) 24; в) 24; г) 24. 2. а) 30; б) 42; в) 105; г) 70. 3. а) 72; б) 120; в) 168; г) 168. 4. а) 420; б) 336; в) 60; г) 180. 5. 660. 6. а) 6; б) 105. 7. а) 12 . 15; б) 18 . 10; в) 20 . 9. 8. а) 14 . 15; б) 35 . 6; в) 30 . 7. 9. а) 12 юли; б) 2 пъти – на 12 юли и на 24 юли. 17. Обобщение на темата „Делимост” 1. а) 252; б) 450; в) 180; г) 840. 2. а) 1; 3; 5; 13; 15; 39; 65; 195; б) 3; 5; 13. 3. а) 3465 = 32 . 5 . 7 . 11; б) 35. 5. а) 42 + x = 117; x = 75; б) 378 : x = 18; x = 21. 6. а) 1764 = 22 . 32 . 72 ; б) x = 2 . 3 . 7 = 42. 7. а) 28; б) 832. 8. а) 27 б) 5 рози – 2 бели и 3 червени 9. а) 35; б) 12 тетрадки – 5 по 80 л. и 7 по 60 л. 10. 2 пъти – на 15 септември и на 30 септември. 18. Примерен тест върху темата „Делимост” Задача № Отговор Точки 1  Б 2 2  В 2 3  В 2

4 5 6 7

В  А  Г  Г Задача 8 а) 25 б) 16 Задача 9 а)  13. XI б)  25. XI в)  3 Задача 10 x = 16; y = 24; 59

3 3 3 3 3 3 2 2 2 10

ТЕМА 2. ОБИКНОВЕНИ ДРОБИ 19. Дробни числа 1 1 1 1 1. а) ; б) ; в) ; г) . 4 7 9 8 1 3 5 6 2. а) ; б) ; в) ; г) . 20 5 7 8 3. една трета, една осма, две девети, три десети, една двайсета. 4. а) цялото сме разделили на четири равни части и сме взели една от тях; б) цялото сме разделили на шест равни части и сме взели пет от тях; в) цялото сме разделили на десет равни части и сме взели девет от тях; г) цялото сме разделили на сто равни части и сме взели тринайсет от тях. 3 5 1 4 5. а) ; б) ; в) ; г) . 8 8 8 8 20. Обикновени дроби 1 3 4 8 4 9 1. а) ; ; ; ; ; ; 4 5 5 12 8 13 5 6 7 8 б) ; ; ; . 4 4 4 4 5 4 9 7 2. а) ; б) ; в) ; г) . 9 7 8 5 3. а) две единайсети; б) три осми; в) една петнайсета; г) двайсет седемнайсети. 4 7 9 7 4. а) ; б) ; в) ; г) . 5 6 13 9 21. Правилни и неправилни дроби 1 3 1 7 1. а) ; б) ; в) ; г) . 2 4 8 8 5 7 1 1 0 2. а) ; ; ; ; ; 6 8 3 2 1 9 4 7 8 б) ; ; ; . 9 3 6 7 2 3 5 7 11 3. ; ; ; ; . 13 13 13 13 13

13 13 13 13 13 13 ; ; ; ; ; . 2 4 6 8 10 12 8 11 17 7 19 20 5. ; ; ; ; ; . 5 3 12 9 11 21 22. Основно свойство на дробите. Разширяване на дроби 6 8 10 22 1. а) ; ; ; ; 10 14 16 26 9 12 15 33 б) ; ; ; ; 15 21 24 39 15 20 25 55 в) ; ; ; ; 25 35 40 65 21 28 35 77 г) ; ; ; . 35 49 56 91 10 38 132 2. а) ; б) ; в) . 30 95 154 3. а) 9; б) 20; в) 15; г) 36. 2 4 10 22 4. а) ; ; б) ; ; 6 14 18 26 22 26 10 6 в) ; ; г) ; . 34 38 24 22 5 6 3 4 5. а) и ; б) и ; 9 9 10 10 5 8 7 8 в) и ; г) и . 12 12 30 30 23. Основно свойство на дробите. Съкращаване на дроби 2 3 4 4 6 17 1. а) ; ; ; б) ; ; ; 9 7 5 5 11 21 1 2 4 9 4 2 в) ; ; ; г) ; ; . 5 3 11 35 9 5 2. а) 6; б) 2; в) 4; г) 12. 4 2 7 2 5 5 3. а) ; ; б) ; ; в) ; . 11 3 36 11 9 2 4 4. а) HOD = 27; ; 15 13 б) HOD = 36; ; 17 23 в) HOD = 24; ; 17 3 г) HOD = 105; . 7 1 9 5. а) 7; б) ; в) . 21 4 24. Привеждане на дроби към общ знаменател 10 9 30 35 1. а) и ; б) и ; 15 15 42 42 9 20 44 39 в) и ; г) и . 24 24 72 72 56 63 60 2. а) ; и ; 84 84 84 55 66 70 б) ; и ; 110 110 110 30 27 56 в) ; и ; 72 72 72 105 100 126 г) ; и . 360 360 360 105 70 42 30 3. а) ; ; и ; 210 210 210 210 30 9 16 24 б) ; ; и ; 36 36 36 36 4.

263

1 3 1 2 ; б) ; в) ; г) . 6 5 3 5 5 3 15 10 а) ; б) ; в) ; г) . 17 19 31 29 5 − 3 = 2 18 − 14 > 3 а) ; б) ; 11 11 11 23 23 23 40 − 25 < 18 18 − 13 = 5 в) ; г) . 37 37 37 41 41 41 4 9 14 4 а) ; б) ; в) ; г) . 9 13 31 17 5 4 14 50 а) ; б) ; в) ; г) . 17 33 19 53 Смесени числа. Преминаване от смесено число в неправилна дроб и обратно 1 1 3 2 а) 1 ; б) 1 ; в) 1 ; г) 1 . 2 6 5 7 1 1 3 1 а) 5 ; б) 4 ; в) 3 ; г) 4 . 2 3 4 5 3 6 1 1 2 7 8 33 а) ; б) ; в) ; г) . 13 11 12 3 13 11 2 1 а) 1 ; б) 3 ; в) 7 ; г) 3 . 17 13 11 18 4 7 10 16 а) ; б) ; в) ; г) . 3 5 7 11 8 16 29 43 а) ; б) ; в) ; г) . 3 3 4 5 40 87 108 815 а) ; б) ; в) ; г) . 3 5 5 8 3 5 8 9 а) ; б) ; в) ; г) . 25 22 43 65 Събиране на обикновени дроби с различни знаменатели 3 1 7 5 а) ; б) ; в) ; г) . 4 2 8 9 5 7 11 4 а) ; б) ; в) ; г) 1 . 6 12 15 15 2 3 7 7 а) ; б) ; в) ; г) . 3 4 15 12 17 19 25 53 а) ; б) ; в) ; г) . 33 26 63 91 23 19 43 5 а) 1 ; б) ; в) ; г) . 24 24 63 132

2. а)

25. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

27. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

28. 1.

264

6 10 и ; 15 15 4 15 б) и ; 40 40 6 14 15 в) ; и ; 18 18 18 6 14 11 г) ; и . 21 21 21 Сравняване на обикновени дроби 1 2 3 < 9 4 > 2 а) < ; б) ; в) . 3 3 14 14 15 15 11 < 13 8 < 13 15 < 19 а) ;б) ;в) . 17 17 21 21 32 32 1 1 2 2 3 3 а) > ; б) > ; в) > . 3 5 3 5 7 10 2 8 5 21 15 < 8 а) < ; б) < ; в) . 5 15 7 28 35 14 40 < 6 18 = 21 а) ; б) ; 56 7 30 35 16 > 28 35 = 40 в) ; г) . 18 36 77 88 1;3;5 5 ; 7 ; 10 а) ; б) ; 7 7 7 11 11 11 5;8;9 7 ; 9 ; 11 в) ; г) . 13 13 13 23 23 23 5 11 7 < 5 а) < ; ; 8 12 9 6 11 < 17 11 > 13 б) ; ; 12 18 34 51 7 < 11 11 < 10 в) ; . 24 30 36 27 1 < 10 < 4 < 1 а) ; 6 27 9 2 9 < 13 < 3 < 3 б) . 20 25 5 4 Събиране на обикновени дроби с равни знаменатели 3 5 7 а) ; б) ; в) ; г) 1. 5 7 9 8 7 а) ; б) ; в) 1; г) 1. 11 13 6 9 13 13 а) ; б) ; в) ; г) . 5 7 9 8 6 9 10 а) ; б) 1; в) ; г) . 5 8 9 2 + 7 > 8 5 + 6 > 10 а) ; б) ; 13 13 13 17 17 17 5 + 13 > 17 9 + 11 > 18 в) ; г) . 21 21 21 29 29 29 5 3 7 + 8 >1 а) + = 1 ; б) ; 8 8 13 13 9 + 5 <1 17 + 6 = 1 в) ; г) . 19 19 23 23 5 ; 7 ; 9 ; 11 19 19 19 19 16 16 а) ; б) . 19 19 Изваждане на обикновени дроби с равни знаменатели 1 2 4 1 а) ; б) ; в) ; г) . 3 11 13 17

4. а)

4. 5. 6.

29.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

30. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

1 1 2 2 7 5 1 5 11 10 3 6 15 21 1 3 13 11 4 4 20 28 1 2 17 13 6 3 30 42 Изваждане на обикновени дроби с различни знаменатели 3 1 4 8 а) ; б) ; в) ; г) . 8 3 15 17 1 9 7 4 а) ; б) ; в) ; г) . 12 35 55 15 7 11 5 1 а) ; б) ; в) ; г) . 12 24 24 5

31. 1. 2. 3.

5 11 13 3 ; б) ; в) ; г) . 72 126 132 40 32. Разместително и съдружително свойство на действието събиране 23 19 31 1 1. а) ; б) ; в) ; г) 1 . 36 30 40 72 29 1 17 5 2. а) 1 ; б) 1 ; в) 1 ; г) . 18 50 6 30 3 9 5 8 3. а) 1 ; б) 1 ; в) 1 ; г) 1 . 8 12 13 35 33. Събиране и изваждане на смесени числа 3 5 19 1. а) 8 ; б) 13; в) 9 ; г) 8 . 7 6 42 3 4 2 4 5 2 5 4 2. а) ; б) ; в) ; г) . 13 11 15 7 34. Събиране и изваждане на обикновени дроби. Намиране на неизвестно събираемо, умаляемо и умалител 1. 4. а)

2 17 5 Събираемо 17 7 Сбор 17 2. Събираемо

Умаляемо Умалител Разлика

8 9 7 9 1 9

7 12 1 3 11 12

3 8 11 24 5 6

22 1 16 15 5 32 37 7 32

11 17 8 17 3 17

5 9 11 36 1 4

38 4 11 25 3 22 13 5 22

35. Събиране и изваждане

1. 2. 3. 4.

36. 1. 2. 3. 4.

на обикновени дроби. Упражнение 1 5 11 1 а) ; б) ; в) ; г) . 3 12 18 24 1 3 а) 1 ; б) 1 ; в) 2; г) 2. 4 3 1 1 1 а) ; б) 0; в) ; г) . 2 60 8 7 ; 6 ; 5 ; 4 ; 3 6 + 3 = 11 ; . 8 8 8 8 8 8 8 8 Умножение на обикновени дроби 6 10 1 1 а) ; б) ; в) 1 ; г) 2 . 7 11 4 3 2 4 1 1 а) 1 ; б) 1 ; в) 1 ; г) 3 . 7 11 2 3 1 4 1 1 а) 2 ; б) 2 ; в) 6 ; г) 5 . 3 13 2 3 10 14 15 15 а) ; б) ; в) ; г) . 63 55 77 88

3 5 1 1 ; б) ; в) ; г) . 10 14 9 14 1 6 1 2 6. а) ; б) ; в) ; г) . 6 55 8 15 37. Разместително и съдружително свойство на действието умножение 1 2 2 1 1. а) ; б) ; в) ; г) . 4 33 13 21 6 1 1 2. а) 1 ; б) ; в) 2 ; г) 1. 3 7 3 2 4 1 3. а) 2; б) ; в) 2; г) 2 . 3 5 4. а) 14; б) 30; в) 45; г) 6. 5. Всички произведения са равни на 1. 38. Събиране, изваждане и умножение на обикновени дроби. Упражнение 7 27 1. а) ; б) . 45 56 7 1 2. а) ; б) . 12 2 1 5 3. а) ; б) . 35 12 5 7 4. а) ; б) . 16 24 1 1 5. а) ; б) . 2 6 1 5 1 6. а) ; б) 1; в) ; г) . 40 12 4 39. Деление на обикновени дроби 15 28 28 7 1. а) ; б) ; в) ; г) . 22 57 39 10 7 11 1 2 2. а) ; б) ; в) ; г) 1 . 10 48 3 3 1 5 2 7 10 12 3. а) ; б) ; в) ; г) 33. 2 6 3 1 4. а) 11 ; б) 21; в) 33; г) 52. 2 1 1 5. а) 17 ; б) 132 ; в) 81; г) 88. 2 2 1 3 4 1 6. а) ; б) ; в) ; г) . 3 40 27 16 2 1 1 7. а) 2 ; б) 3 ; в) 4 ; г) 8. 15 3 2 3 76 18 5 4 8. а) ; б) 8; в) ; г) 6 . 5 81 47 9 1 3 1 9. а) 1 ; б) 1 ; в) 1 ; г) . 26 3 8 9 40. Действия с обикновени дроби. Разпределително свойство на умножението относно събирането 10 5 2 1. а) ; б) ; в) 3 ; г) 14. 13 6 9 11 11 7 2. а) ; б) ; в) ; г) 37. 15 18 8 9 5 2 10 3. а) 96 ; б) 86 ;в) 9 ; г) 18 . 13 6 17 19 5. а)

3 1 1 4 4. а) 24 ; б) 27 ; в) 15 ; г) 9 . 7 3 3 5 41. Действия с обикновени дроби. Намиране на неизвестен множител, делимо и делител 7 9 24 12 1. а) ; б) ; в) ; г) . 9 16 35 35 10 15 21 35 2. а) ; б) ; в) ; г) . 21 28 40 72 7 10 20 7 3. а) ; б) ; в) ; г) . 20 21 27 24 21 15 1 3 4. а) ; б) ; в) ; г) . 25 16 6 4 3 2 3 5. а) 1 ; б) 3 ; в) ; г) 3. 4 8 3 3 1 2 6. а) 7 ; б) 6; в) 1 ; г) . 2 5 42. Действия с обикновени дроби. Упражнение 36 2 1. а) ; б) . 49 3 7 7 2. а) 2 ; б) 2 . 8 8 9 9 9 3. а) ; б) ; в) . 28 28 28 5 1 2 4. 5. а) ; б) . 7 24 7 13 22 6. а) ; б) . 28 45 43. Част от число 1 2 1. а) 40; б) 90; в) 15 ; г) 4 3 2. а) 15; б) 12. 3. а) 63; б) 21. 4. 8 дка. 5. а) 350 лв.; б) 362 лв. 6. b = 12 m; P = 60 m; S = 216 m2. 44. Част от число. Основни задачи 4 1. а) 75; б) 16 . 5 2. 2800 дка. 3. 140 щайги. 1 4 4. а) 5 ; б) . 5. . 6. да. 6 5 6 45. Текстови задачи, които се решават чрез въвеждане на части от числото 1 7 5 1. а) ; б) . 12 12 3 5 2. а) ; б) . 3. 480. 8 8 53 3 4. а) ; б) . 56 56 46. Част от число. Практически задачи 1.   1 ден

Брой Част от страници книгата 60

3 5

2 ден

3 ден

1 6 3 10

1 3 Общо: 300 1 а) 300 стр.; б) 100 стр.; 1 3 в) 50 стр.; г) ; д) . 6 10 2 а) 36; б) 25; в) 11; 47. Обобщение на темата „Обикновени дроби” №1 1 7 1 1. . 2. . 3. . 14 20 3 2 13 4. 2. 5. . 6. 1 . 17 14 1 1 10 7. 1 . 8. . 9. . 2 8 19 2 1 10. . 11 261. 12. 2 . 3 5 13 7. 14. 3. 48. Обобщение на темата „Обикновени дроби” №2 1 7 1. . 2. 1. 3. . 6 17 5 19 4 1. 5. 3 . 6. . 6 20 3 7. 30. 8. 2 . 9 7. 20 10. 7. 11. 7. 49. Примерен тест върху темата „Обикновени дроби” 4 ден

100

Задача № 1 2 3 4 5 6 7

Отговор  Г  Б  В  В  А  Г  Б Задача 8 (4) (1) Задача 9

а) б)

5 12

а) б) в)

40 30 Задача 10

x= 3; y= 1 ; A= 8

Точки 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 10

ТЕМА 3. ДЕСЕТИЧНИ ДРОБИ 50. Десетични дроби. Въвеждане 1. а) 5,3; б) 2,05;

265

2. 3. 4.

в) 13,007; г) 0,127. а) 70,7; б) 200,02; в) 5,005; г) 0,15; д) 100,037. а) 5 + 0,1; б) 3 + 0,42; в) 12 + 0,03; г) 42 + 0,135. а) 31,25; 168,425; б) 328,14; 1 758, 26. 51. Четени и записване на десетични дроби 1. а) 7 цяло и 8 десети; б) 0 цяло и 38 стотни; в) 9 цяло и 7 стотни; г) 12 цяло и 345 хилядни. 2. а) 0,13; б) 5,5; в) 7,07; г) 8,008. 3. а) 87,56; 87 цяло и 56 стотни; б) 8,756; 8 цяло и 756 хилядни. 4. а) 93,45; 93 цяло и 45 стотни; б) 934,5; 934 цяло и 5 десети. 5. а) 124,356; 124 цяло и 356 хилядни; б) 523,416; 523 цяло и 416 хилядни; в) 143,256; 143 цяло и 256 хилядни; г) 623,451; 623 цяло и 451 хилядни. 6. а) 64,82; б) 8,642; в) 2,468; г) 4,286. 52. Свойства на десетични дроби 1. а) не; б) да. 2. 0,20; 5,30; 21,05; 0,41. 3. 0,300; 0,720; 0,371; 0,490. 4. а) 125,7; 231,46; 36,9; 1,28; 7; б) 1,257; 2,3146; 0,369;0,0128; 0,07. 5. а) 201; 2,01; б) 5040; 0,504. 6. а) 0,7; 1,3; б) 0,05; 0,43; в) 0,001; 0,019. 53. Сравняване на десетични дроби 1. а) 2,91 < 3,01; б) 5,11 < 6,01; в) 3,88 > 2,93; г) 6,81 > 4,91. 2. а) 5,11 > 5,01; б) 3,005 < 3,051; в) 4,61 > 4,16; г) 10,109 < 10,111. 3. а) 5 < 5,3; б) 6,8 < 6,81; в) 21,305 < 21,35; г) 40,9 > 40,099. 4. а) 5,43 < 6,279; б) 13,59 < 14,2; в) 0,48 > 0,23; г) 8,125 = 8,125. 5. 0,73; 0,85; 2,36; 3,4; 4,28; 5,13; 5,14. 6. а) 5,09; 5,7; 6,4; 7,8; б) 6,4; 7,8; 8,3; 15,8; в) 6,4; 7,8. 7. а) 4,56; б) 6,45; в) 5,64. 8. а) 4,3; 6,52; 7,6; 9,21; б) 9,21; 11,02; 11,2; 12,6; в) 9,21.

266

55. Закръгляване. Оценка на 1.

резултат

0,001

с точност до 0,01 0,1 1

а) 17,8753

17,875

17,88

17,9

б) 23,3718

23,372

23,37

23,4

в) 75,2389

75,239

75,24

75,2

г) 18,9645

18,965

18,96

19,0

Число

56. Събиране на десетични дроби

1. а) 3,7; 7,47; 15,17; б) 10; 11,1; 6,21; в) 8,578; 27,07; 1,248; г) 12,9; 12,05; 6,004. 2. а) 13,9; 12,5; б) 15,83; 27,33; в) 4; 19; г) 30; 20. 3. 2,20 m; 4. 11,80 лв. 57. Разместително и съдружително свойство на действието събиране. Упражнение 1. а) 43,51; 110,423; 72,53; б) 12,478; 119,16; 36,92. 2. а) 36,15; б) 116,15; в) 28,75; г) 23,898. 4. а) 9,6; б) 12,16; в) 21,76. 5. а) 14,13; б) 25,4. 6. а) 0,98 лв.; б) 1,23 лв.; в) 250 лв. 58. Изваждане на десетични дроби 1. а) 21,12; 3,22; 20,111; б) 11,221; 411,651; 16,828; в) 7,22; 12,247; 0,165; г) 5,886; 199,68; 27,54. 2. а) 1,1; 14,11; б) 7,85; 4,63; в) 0,773; 0,077; г) 19,246; 0,19. 3. а) 0,77; 0,95; 0,129; 0,592; б) 9,59; 6,45; 4,94; 2,997; в) 74,6; 69,95; 54,88; 38,996; г) 997,49; 964,4; 878,95; 468,996. 4. 43,7 kg. 5 8,8 cm. 59. Намиране на неизвестно събираемо, умаляемо и умалител. Упражнение 1. а) 9,07; б) 4,36; в) 99,25; г) 8,17. 2. а) 19,7; б) 61,17; в) 2. 3. а) 1,62; б) 77,67; в) 24,8; г) 96,089. 4. а) 5,35 лв.; б) 9,10 лв.; в) 5,90 лв. 5. а) 32,70 лв.; б) 7,30 лв.; 60. Зависимости на сбора и разликата от компонентите им. Упражнение 1. a 30,2 25,2 20,2 15,2 b a+b

4,8 35

4,8 30

4,8 25

4,8 20

a 40,3 35,3 30,3 25,3 b 5,1 5,1 5,1 5,1 a – b 35,2 30,2 25,2 20,2 61. Събиране и изваждане на десетични дроби. Упражнение 1. а) 6,3; б) 8,1; в) 10,3; г) 3,7. 2. а) 9,1; б) 53,9; в) 42,3; г) 90,5. 3. а) (18,3 – 5,7) + (20,1 – 18,6)=14,1; б) (21,7 – 1,9) – (35,7 – 29,8)=13,9. 4. а) 8,4; б) 2,8; в) 6,3; г) 5,4. 5. а) 26,5; б) 23; в) 0; г) 1. 6. а) 15,85; б) 29,85; в) 40,85; г) 60,85. 62. Умножение на десетични дроби с естествено число 1. а) 16,8; б) 9,63; в) 42,5; г) 93,06. 2. а) 26,8; б) 15,6; в) 14,77; г) 15,35. 3. а) 3,6; б) 1,26; в) 0,112; г) 69,3. 4. 6,75 лв. 5. 6 лв. 6. 8,85 лв. 7. а) 0,71; б) 10; в) 8. 8. а) 15; б) 3,6; в) 9. 63. Умножение на десетични дроби 1. а) 16,96; б) 2,34; в) 5,95; г) 17,92. 2. а) 2,2145; б) 7,125; в) 16,38; г) 0,157. 3. а) 0,8442; б) 0,5632; в) 5,525; г) 20,638. 4. 14,5 cm2. 5. 4,55 лв. 6. 77,58 лв. 7. а) 0,33; б) 1,8; в) 0,1. 8. а) 5,2; б) 4,72; в) 5,08. 64. Разместително и съдружително свойство на действието умножение. Упражнение 1. а) 8,84; б) 100,672; в) 4,8; г) 1,078. 2. а) 21,24; б) 5,71; в) 0,14. 3. а) 77,2; б) 62,3; в) 594,4; г) 256,0. 4. а) 14,8; б) 71,295. 5. а) 456; б) 34,5. 6. а) 77,14; б) 38,27. 7. а) 6,75 лв.; б) 3,25 лв. 65. Деление на десетична дроб с естествено число 1. а) 6,4; 2,7; 0,117; б) 1,4; 3,2; 0,6; в) 3,12; 5,34; 6,47; г) 1,95; 3,41; 5,28. 2. а) ≈ 0,8; б) ≈ 2,3; в) ≈ 3,1; г) ≈ 8,3.

3. 89,7. 4. а) 2,04 лв.; б) 1,88 лв.; в) 0,67 лв.; г) 14,57 лв. 66. Умножение и деление на десетична дроб с 10, 100 и 1000. Преминаване от една мерна единица в друга 1. а) 233; б) 14; в) 60; г) 0,017. 2. а) 5,3; б) 1,23; в) 27; г) 0,12345. 3. а) 83; б) 160; в) 0,27; г) 0,1301. 4. а) 234; б) 1300; в) 300; г) 800. 5. а) 2,345; б) 1375; в) 4,358; г) 2387. 6. а) a = 80 mm; b = 40 mm; P = 240 mm. б) a = 8 cm; b = 4 cm; P = 24 cm. в) a = 0,8 dm; b = 0,4 dm; P = 2,4 dm. 67. Деление на десетична дроб с десетична дроб 1. а) 700; 400; б) 447; 12,3; в) 32; 8,5; г) 0,23; 0,85. 2. а) 4; 200; б) 60; 0,04; в) 5400; 0,3; г) 12; 0,25. 3. а) 3,8; б) 3,1; в) 5,9; г) 2,4. 4. а) 15,8; б) 12,4; в) 63,66; г) 18,9. 68. Разпределително свойство на умножението относно събирането. Упражнение 1. а) 5,5; б) 11,1; в) 127; г) 37. 2. а) 6,72; б) 11,13; в) 38,13; г) 378. 3. а) 8,1; б) 4,7; в) 345; г) 0,5. 4. 12 лв. 5. 1 050 лв. 69. Зависимости на произведението и частното от компонентите им. Упражнение 1. а) 0,6; б) 1,8; в) 5,4; г) 16,2. 2. а) 7,9; б) 79; в) 790; г) 7900. 3. а) 20,4; б) 10,2; в) 5,1; г) 2,55. 4. а) 5,1; б) 10,2; в) 20,4; г) 40,8. 5. а) 400; б) 200; в) 100; г) 50. 6. а) 4; б) 4; в) 4; г) 4. 7. а) 5; б) 5; в) 5; г) 5. 70. Действия с десетични дроби. Намиране на неизвестен множител, делимо и делител. Упражнение 1. а) 68; б) 2,6; в) 19,2; г) 3,4.

2. 3. 4. 5.

71. 1. 2. 3. 4. 5.

72. 1. 3. 5.

73. 1. 2. 3. 4.

74.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

75. 1. 2. 3. 4. 5.

а) 0,5; б) 35; в) 7; г) 0,3. а) 4,5; б) 0,06; в) 2; г) 3,74. а) 8,1; б) 4,7; в) 345; г) 0,5. а) 13,25; б) 6; в) 7; г) 4. Използване на калкулатор. Практически задачи а) 24,36; 57,56; б) 2718,255; 53,744; в) 391,22; 514,4; г) 137,77; 112,68. а) 10,995; б) 32,5; в) 8,8675; г) 8,235. а) 57,88; б) 10,96. а) 645,08; б) 275,055. а) 644,13; б) 77,7; в) 4; г) 15. Решаване на текстови задачи 70. 2. 6687. 77. 4. 54 лв. 7. Задачи от движение 22,5 km. а) автобус от А – 121 km; автобус от В – 133 km; б) 254 km. 60 km. а) 9 часа; б) в 17 часа. Превръщане на десетични дроби в обикновени и на обикновени дроби в десетични 2 4 1 а) ; б) ; в) . 5 25 4 5 16 39 а) ; б) ; в) . 2 5 5 128 33 304 а) ; б) ; в) . 25 4 25 1176 956 937 а) ; б) ; в) . 25 25 25 11 7 а) 15 ; б) 27 ; 50 20 12 19 в) 38 ; г) 52 . 25 25 а) 0,375; б) 0,625; в) 1,4; г) 2,2. а) 0,65; б) 0,42; в) 0,68; г) 0,088. а) 27,3125; б) 37,15625; в) 123,4375; г) 302,5625. Крайна десетична дроб. Безкрайна периодична десетична дроб а) 0,(2); б) 0,(5); в) 0,(7); г) 0,(8). а) 0,(45); б) 1,(18); в) 2,(27); г) 4,(09). а) 0,9(63); б) 0,4(90); в) 2,15(90); г) 0,88(63). а) 0,(063); б) 1,6(234); в) 1,01(576); г) 0,(006). а) ≈ 0,962; б) ≈ 1,138;

в) ≈ 1,073; г) ≈ 0,861. 6. а) ≈ 2,764; б) ≈ 1,751; в) ≈ 0,3; г) ≈ 4,081. 76. Действия с обикновени и десетични дроби. Упражнение 1 1 6 1 1. а) ; б) ; в) ; г) . 15 5 35 3 1 6 1 4 2. а) 1 ; б) 2 ; в) 1 ; г) 1 . 9 7 20 5 3. а) 0,1; б) 1,4; в) 0,04; г) 0,16. 1 4 4. а) 3 ; б) 28 ; в) 0,18; г) 12,6. 3 7 8 1 11 14 5. а) ; б) 3 ; в) 10 ; г) 2 . 15 15 24 15 5 6. а) ; б) 0,3; в) 9. 7 7. а) 0,4; б) 1; в) 6. 1 3 8. а) ; б) ; 22 35 54 в) ; г) 0,7. 61 77. Процент. Определение 1. а) 90%; 75%; 71%; 27%; б) 90%; 68%; 82%; 380%; в) 4,25%; 2,2%; ≈ 42,86%; 1300%; г) 33%; 9%; 517%; 120%. 31 1 1 1 2. а) ; ; ; ; 100 25 30 3 3 13 1 1 б) ; ; ; . 500 1000 500 400 3. а) 0,53; 0,02; 0,13; 1,02; б) 0,003; 0,875; 0,375; 0,625. 78. Процент. Основни задачи 1. 67,20 лв. 2. 28,80 лв. 3. а) 32,40 лв. ; 21,60 лв.; 612 лв.; б) 37,80 лв.; 25,20 лв.; 714 лв. 4. 1 368 лв. 79. Процент. Основни задачи (продължение) 1. а) 67; 7,8; б) 125; 36; в) 16; 20. 2. 30. 3. 120 лв.; 18 лв. 4. 15%. 5. 30%. 80. Процент. Практически задачи 1. а) 16%; б) 72 kg; в) 1125 kg. 2. а) 25%; б) 1250 kg; в) 800 kg. 3. а) 150 лв.; б) 28,50 лв.; в) 135 лв. 4. а) 1350 лв.; б) 805 лв. 5. а) 1400 лв.; б) 280 лв.

267

81. Проста лихва 1.

Начален капитал

10 000 лв.

18 000 лв.

16 000 лв.

24 000 лв.

15 000 лв.

25 000 лв.

5,5%

5 год.

3 год.

4 год.

7 год.

6 год.

4 год.

Лихвен процент за 1 период Брой периоди Лихва за n периода

3500 лв.

2160 лв.

3200 лв.

10 080 лв.

2700 лв.

5500 лв.

Нараснал капитал за n периода

13 500 лв

20 160 лв

19 200 лв

34 080 лв

17 700 лв

30 500 лв

82. Четене и интерпретиране на данни. Работа с таблици 1.

Брой БДГ* за БДГ за БДГ за БДГ за избиратели партия А партия В партия C партия D Селище 1 7 256 1 825 Селище 2 6 885 1 112 Селище 3 8 127 1 223 Селище 4 8 945 1 312 Общо 31 213 5 472 *БДГ – брой действителни гласове

1 122 982 963 972 4 039

627 318 512 437 1 894

321 405 208 709 1 643

БДГ за Брой недейБрой недруги ствителни гласували партии гласове 1 615 75 1 671 2 213 36 1 819 2 315 48 2 858 2 236 37 3 242 8 379 196 9 590

83. Обработка на информация, зададена с таблица (практическа работа) №

1 Български език и литература

120

2 Английски език

120

3 Математика

120

4 Информационни технологии

120

5 История и цивилизация

120

6 География и икономика

120

7 Човекът и природата

120

8 Музика

Брой на учениците, които са получили оценка Среден слаб среден добър мн. добър отличен успех 12

4,80

4,70

4,85

4,99

4,80

4,98

120

5,05

9 Изобразително изкуство

120

5,18

10 Технологии и предприемачество

120

5,13

11 Физическо възпитание и спорт

120

5,18

ВСИЧКО:

1320

312

485

434

4,95

ПРОЦЕНТ:

100%

0,76%

5,98%

23,64%

36,74%

32,88%

85. Представяне на данни.

Пиктограми 1. Ключ: 1 картинка = 50 рози. през І ден – 200 рози; през ІІ ден – 150 рози; през ІІІ ден – 250 рози; 2 . 1 – 10 000 леки коли; 2 – 25 000 леки коли; 3 – ІІ тримесечие; 4 – ІІІ тримесечие.

268

Общ брой ученици

Учебни предмети

86. Представяне на данни. Работа с диаграми 1. Пиктограма

Ключ: = 40 телефона. Точкова диаграма 280 240 200 160 120 80 40

ІІ

ІІІ ІV Месец

VІ

0 І

ІІ

ІІІ

ІV

VІ

Линейна диаграма 280 240 200 160 120 80 40 0 І

ІІ

ІІІ

ІV

VІ

ІІ

ІІІ

ІV

VІ

Блокова диаграма 280 240 200 160 120 80 40 0

Хистограма 28% 24% 20% 16% 12% 8%

24%

20%

16%

12%

20% 8%

0% І

ІІ

ІІІ

ІV

VІ

87. Обобщение на темата „Десетични дроби” а) 55; б) 50,55; в) 810. а) 453,765; б) 55,5; в) 1,91; г) 5. 55. а) ≈ 12,7 cm; б) ≈ 1,22 m; в) ≈ 91,4 m; г) ≈ 32,2 km. а) ≈ 18 инча; б) ≈ 25 инча; в) ≈ 46 инча. 88. Примерен тест върху темата „Десетични дроби” Задача № Отговор Точки 1  Г 2 2  Б 2 3  Г 2 4  Б 3 5  В 3 6  В 3 7  А 3 Задача 8 а) 720 3 б) 684 3 Задача 9 а) 20 2 б) 200 2 в) 150 2 Задача 10 1. 2. 3. 4. 5.

x = 6; y = 3; z = 225; A = 25

ТЕМА 4. ОСНОВНИ ГЕОМЕТРИЧНИ ФИГУРИ 89. Основни геометрични фигури (преговор) 1. AB = CD = 3,5 cm; AD = BC = 2 cm; AC = 5,3 cm; BD = 2,2 cm. 2. а) АM = 5,4 cm; б) АM = 5,1 cm. 90. Сбор и разлика на отсечки 1. а) АB > CD; б) MN = PK. 2. OA = 3,5 cm; BC = 3,5 cm; AB = 2,5 cm; OB = 6 cm; а) ОА = BC; б) AB < OB. 3. а) 7,8 cm; б) 7,1 cm; в) 2,3 cm; г) 4,3 cm. 91. Перпендикулярни прави. Разстояние от точка до права 1. разстоянието от М до a e 1,5 cm, а от М до b е 3 cm. 2. разстоянието от A до a e 0,7 cm; разстоянието от B до a e 1 cm; разстоянието от C до a e 1,2 cm. 4. разстоянията са равни. 92. Триъгълник. Видове триъгълници. Елементи (преговор) 1. Δ1 – страните са 3,5 cm, 3 cm, 2,5 cm – остроъгълен разностранен; Δ2 – страните са 2 cm, 2 cm, 2 cm – остроъгълен равностранен; Δ3 – страните са 2 cm, 2 cm, 2,8 cm – правоъгълен равнобедрен. 2. а) 18 cm; б) 24,6 cm; в) 0,06 m; г) 0,65 dm. 3. а) увеличава се с 9 cm; б) увеличава се 3 пъти. 94. Правоъгълник (преговор) 3. а) 23,6 cm; б) 23,4 cm; 95. Лице на равнинните фигури правоъгълник и квадрат (преговор) 1. 14,4 cm2. 2. 29,92 cm2; 22,4 cm. 3. а) 6,8 cm; б) 28,4 cm. 4. 36,3 cm2; 5. 34 cm. 6. 26 cm. 96. Мерни единици за лице (преговор с допълнение) 1. 54 546 000 km2; 3. а) 0,02 m2; б) 0,03 dm2; в) 0,07 cm2; г) 0,0009 dm2. 4. а) 0,05 ара; б) 0,007 дка; в) 0,8 дка; г) 0,6 дка. 5. 3 000 броя.

6. 450 km2 = 450 000 000 m2 = = 4 500 000 ара = 450 000 дка = = 45 000 ха. 97. Лице на правоъгълен триъгълник 1. 64,66 cm2. 2. 30 cm2. 3. 91 dm2. 4. 24 m2. 5. а) 104,55 cm2; б) 926,4 cm2; в) 6,6 cm; г) 8 dm; д) 0,14 m; е) 12 dm. 98. Лице на триъгълник 1. 24 cm2. 2. 14 cm2. 3. 22,5 cm2. 4. 21 cm2. 5. 18 cm2. 6. 17,5 cm2. 99. Лице на триъгълник. Упражнение 1. а) 3,2 cm; б) 6 cm; в) 8 cm. 2. 8 cm. 3. а) 8 cm; б) 10 cm; в) 4,8 cm. 4. 7,2 cm. 100. Лице на равнинната фигура четириъгълник. Практически задачи 1. а) 35 m2; б) 24 m2; в) 17 m2. 2. а) 0,66 m2; б) 1,98 m2; в) 0,96 m2; г) 1,6 m2; д) 1,1 m2; е) 0,69 m2. 3. а) 26 m; 32 m; 28 m; 18 m; б) 104 m; в) 7 584 евро. 101. Успоредни прави 1. а) не; б) да; в) да; г) не. 3. а) 4 м. ед.; б) 3 м. ед.; в) 2 м. ед.; г) 5 м. ед. 103. Обиколка на успоредник 1. а) 22,6 cm; б) 41,2 cm; в) 48,8 cm; г) 50,4 cm. 2. а) 57,2 cm; б) 31,2 cm; в) 20,4 cm; г) 41,6 cm. 3. а) 6,6 cm; б) 5,5 cm; в) 8,8 cm; г) 3,6 cm. 4. а) 5,5 cm; б) 7,7 cm; в) 9,6 cm; г) 14,4 cm. 5. а) P = 43 cm; m = 10,75 cm; б) P = 70 cm; m = 17,5 cm; в) P = 34 cm; b = 3,6 cm; г) m = 6,4 cm; b = 5,2 cm. 104. Лице на успоредник 2. а) 50 cm2; б) 84 dm2; в) 80 mm2; г) 0,13 m2;

269

3. а) 87 cm2; б) 102,09 cm2; в) 448 cm2; г) 231 cm2; 105. Лице на успоредник. Упражнение 1. а) 63 cm2; б) 800 cm2; в) 384 cm2. 2. S = 40,8 cm2; b = 5,1 cm; P = 30,6 cm. 3. ha = 3 cm; hb = 9 cm; P = 40 cm. 4. a = 14 cm; b = 7 cm; P = 42 cm. 5. b = 5 cm; S = 40 cm2; ha = 4 cm. 6. b = 7,3 cm; ha = 3 cm; hb = 6 cm. 7. S = 480 cm2; b = 20 cm; P = 120 cm. 8. hb = 8,4 cm; a = 10 cm; P = 30 cm. 9. b = 8 cm; ha = 5,1 cm; P = 64 cm. 10. b = 8 cm; ha = 5 cm; S = 120 cm2. 11. лицето ще се увеличи 6 пъти. 12. SABM = 0,5 . a . ha; SABCD = a . ha. 106. Трапец. Обиколка на трапец 1. P = 32 cm. 2. b = 8 cm. 3. P = 34 cm. 4. P = 43 cm. 5. P = 24 cm. 6. P = 34 cm. 7. P = 39,6 cm. 8. P = 58,7 cm. 107. Трапец. Видове трапеци 1. а) 34 cm; б) 170 cm; 2. 51 cm. 3. 40 cm. 4. а) c = 5,5 cm; б) c = 8,5 cm; в) b = 5 dm. 5. а) 45,2 cm; б) 35,4 cm; в) 24,8 cm. 108. Лице на трапец 1. а) 76,7 cm2; б) 357 cm2; 2 в) 270 cm ; г) 858 cm2; 2 2. а) ≈ 120,26 cm ; б) ≈ 61,93 cm2; в) ≈ 79,16 cm2; г) ≈ 88,23 cm2; 3. а) P = 84 cm; S = 408 cm2; б) P = 202 cm; S = 540 cm2. 4. а) P = 50 cm; S = 150 cm2; б) P = 80 cm; S = 372 cm2. 109. Лицe на геометрични фигури, съставени от изучените фигури. Упражнение 1. а) S = 1270 cm2; б) h = 12 cm; в) a + b = 278 cm. 2. 22 m2. 3. a (cm) b (cm) h(cm) S (cm2) 15 7 6 66 23 9 5,2 83,2 10 4 2,8 19,6 2 4. 68 m . 110. Лица на геометрични фигури. Практически задачи 1. а) 350 кв. м. ед.; б) 112 кв. м. ед.;

270

2. 3. 4.

в) 176 кв. м. ед. стая 21 m2; кухня 11,25 m2; баня 2,25 m2; балкон 3,5 m2; коридор 4 m2; апартамент 42 m2. 7,2 cm. 0,5. a . h; лицата са равни. 111. Обобщение на темата „Основни геометрични фигури” 1. 21 cm2 2. 22,5 кв. м. ед. 3. P = 24 cm; S = 24,8 cm2; hb = 3,1 cm; 4. b = 15 cm. 5. P = 36 cm. 112. Примерен тест върху темата „Основни геометрични фигури” Задача № Отговор Точки 1 А 2 2 А 2 3 В 2 4 Б 3 5 Г 3 6 В 3 7 А 3 Задача 8 а) III 3 б) I 3 Задача 9 а) 55,2 2 б) 55,2 2 в) 6 2 Задача 10 600, 7200, 375 10 ТЕМА 5. ГЕОМЕТРИЧНИ ТЕЛА 113. Куб. Елементи. Повърхнина 1. а) 84 cm; б) 294 cm2. 2. 726 cm2. 3. а) 12 cm; б) 864 cm2. 4. а) 2,5 cm; б) 37,5 cm2. 114. Обем на куб 1. а) 64 cm3; б) 27 dm3; в) 125 m3. 2. а) 125 cm3; б) 512 dm3; в) 729 m3. 115. Мерни единици за обем 1. а) 4 000 dm3; 400 dm3; 3 б) 6 000 000 cm ; 60 000 cm3; в) 11 000 cm3; 1 100 cm3; г) 200 000 000 mm3; 200 000 mm3. 2. а) 0,005 dm3; 0,05 dm3; 3 б) 0,000007 m ; 0,0007 m3; в) 0,008 cm3; 0,08 cm3; 3 г) 0,00003 dm ; 0,003 dm3. 3. а) 15,625 L; б) 125 L; в) 8 000 L; г) 1 000 L.

116. Правоъгълен паралелепипед

а) 56 cm; б) 126 cm2. а) 1) 12 cm; 2) 28 cm; 3) 36 cm; б) 1) 18 cm2; 2) 80 cm2; 3) 160 cm2; в) 1) 20 cm; 20 cm; 2) 16 cm; 28 cm; 3) 38 cm; 34 cm. 117. Правоъгълен паралелепипед. Упражнение 1. а) 18,8 cm; б) 28 cm. 2. а) 109,2 cm; б) 832 cm. 3. 39 cm. 4. ІІ вид. 118. Лице на околна повърхнина и лице на повърхнина на правоъгълен паралелепипед 1. а) 19,5 cm2; б) 72 cm2; 2 в) 56 cm ; г) 84 cm2. 2. а) 294 cm2; б) 245 cm2. 2 3. 868 cm . 119. Лице на повърхнина на правоъгълен паралелепипед. Упражнение 1. а) 280 cm2; б) 457,5 dm2; в) 309,5 cm2. 2. 5 cm. 3. а) 6 cm; б) 236 cm2. 4. 3,88 m2. 120. Обем на правоъгълен паралелепипед 1. а) 125 cm3; б) 300 cm3. 3 2. а) 980 cm ; б) 1408 cm3. 3. а) 5 cm; б) 2,5 dm; в) 10,5 m. 4. а) 585 cm3; б) 15 cm; в) 70 cm2. 5. а) 10 cm; б) S = 176,8 cm2; S1 = 316,8 cm2. 6. а) S = 630 cm2; б) V = 1470 cm3. 7. а) S1 = 340 cm2; б) V = 400 cm3. 121. Повърхнина и обем на правоъгълен паралелепипед. Упражнение 1. а) 5 m; б) 130 m2; в) 214 m2. 2. а) 50616 cm3; б) 50,616 dm3; в) 0,050616 m3. 3. 1. 2.

а) б) в) г) д)

a (cm)

5 6 8 4 5

b (cm)

4 7 5 5 6

с(cm)

3 5 10 10 10

В (cm2)

20 42 40 20 30

S (cm2)

а) б) в) г) д)

54 130 260 180 220

S1 (cm2)

94 214 340 220 280

V (cm3)

60 210 400 200 300

123. Задачи с практическо приложение №2 1. а) 2,24 m3; б) 291,20 лв. 2. 480 плочки. 3. а) 77,28 лв.; б) 940,8 kg. 124. Обобщение на темата „Геометрични тела” 1. 6,48 m3. 2. 37,8 kg. 3. а) 288 kg; б) 120 лв.. 4. 6 cm. 125. Примерен тест върху темата „Геометрични тела” Задача № Отговор Точки 1 В 2 2 Б 2 3 А 2 4 Г 3 5 Б 3 6 А 3 7 В 3 Задача 8 а) 56 3 б) 120 3 Задача 9 а) 800 2 б) 1 600 2 в) 7 200 2 Задача 10 576, 8 10

ИЗХОДНО НИВО 126. Тест с решения Задача № Отговор 1 В 2 Г 3 В 4 В 5 Б 6 А 7 Б Задача 8 а) 36 б) 25 Задача 9 а)

Точки 2 2 2 3 3 3 3

= 60 kg

б) в)

300 I ден Задача 10 256, 288 127. Изходно ниво Примерен тест № 1 Задача № 1 2 3 4 5 6 7

Отговор

В Б В Б А Г В

Задача 8 324 288 Задача 9 а) 18 б) 80 в) 60 Задача 10 x = 2; y = 10; z = 6; A = 0,8 а) б)

Примерен тест № 2 Задача № 1 2 3 4 5 6 7

3 3

а) б)

а) б) в)

2 2 10

Отговор Г В В Г Г А Б Задача 8 288 264 Задача 9 24 25 7 Задача 10

100, 26,

13 50

Точки 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 10

271

МАТЕМАТИКА 5. КЛАС Здравка Крумова Паскалева , Мая Събчева Алашка, Райна Милкова Алашка Редактор и коректор Юлиана Христова Дамянова Художник на корицата Емил Генков Христов Графичен дизайн Ангелина Владиславова Аврамова Първо издание 2016 г. Формат: 60/90/8; Печатни коли: 34 Издателство “АРХИМЕД 2” ЕООД тел./факс: 963 28 90, GSM: 0898 670 640, 0898 670 647 www.arhimedbg.com Печат: “Алианс принт” – София

272