Capacitancia / Fisica

Capacitancia

Š

2014

Objetivos: Después de completar este módulo deberá:

• Definir la capacitancia en términos de carga y voltaje, y calcular la capacitancia para un capacitor de placas paralelas dados la separación y el área de las placas.

• Definir la constante dieléctrica y aplicarla a cálculos de voltaje, intensidad de campo eléctrico y capacitancia.

• Encontrar la energía potencial almacenada en capacitores.

Máxima carga sobre un conductor Una batería establece una diferencia de potencial que puede bombear electrones e- de una tierra (Tierra) a un conductor Conductor Batería Tierra -

e-

e- - ---

Existe un límite a la cantidad de carga que un conductor puede retener sin fuga al aire. Existe cierta capacidad para retener carga.

Capacitancia La capacitancia C de un conductor se define como la razón de la carga Q en el conductor al potencial V producido.

Batería Tierra

Capacitancia:

eC 

Conductor

- - - - e- - - Q, V - ---

Q Unidades: Coulombs por volt V

Capacitancia en farads Un farad (F) es la capacitancia C de un conductor que retiene un coulomb de carga por cada volt de potencial.

Q C ; V

coulomb (C) farad (F)  volt (V)

Ejemplo: Cuando 40 mC de carga se colocan en un conductor, el potencial es 8 V. ¿Cuál es la capacitancia?

Q 40 m C C  V 8V

C = 5 mF

Capacitancia de conductor esférico En la superficie de la esfera:

kQ E 2 ; r

kQ V r

Recuerde: k  Y:

1 4 0

kQ Q V  r 4 0 r

Q Q C  V Q 4 0 r

Capacitancia, C r +Q E y V en la superficie.

Q Capacitancia: C  V

C  4 0 r

Ejemplo 1: ¿Cuál es la capacitancia de una esfera metálica de 8 cm de radio?

Capacitancia, C

r +Q

r = 0.08 m

Capacitancia: C = 4or

C  4 (8.85 x 10-12 C Nm2 )(0.08 m) C = 8.90 x 10-12 F

Nota: La capacitancia sólo depende de parámetros físicos (el radio r) y no está determinada o por la carga o por el potencial. Esto es cierto para todos los capacitores.

Ejemplo 1 (Cont.): ¿Qué carga Q se necesita para dar un potencial de 400 V? Capacitancia, C

r +Q

r = 0.08 m

C = 8.90 x 10-12 F

Q C  ; Q  CV V Q  (8.90 pF)(400 V)

Carga total sobre el conductor:

Q = 3.56 nC

Nota: El farad (F) y el coulomb (C) son unidades extremadamente grandes para electricidad estática. Con frecuencia se usan los prefijos micro m, nano n y pico p.

Rigidez dieléctrica La rigidez dieléctrica de un material es aquella intensidad eléctrica Em para la que el material se convierte en conductor. (Fuga de carga.)

Em varía considerablemente con condiciones físicas y ambientales como presión, humedad y superficies.

r Q Dieléctrico

Para el aire: Em = 3 x 106 N/C para superficies esféricas y tan bajo como 0.8 x 106 N/C para puntos agudos.

Ejemplo 2: ¿Cuál es la carga máxima que se puede colocar en una superficie esférica de un metro de diámetro? (R = 0.50 m) Máxima Q r Q

Aire

Em = 3 x 106 N/C

kQ Em  2 ; r

Em r Q k

2

(3 x 106 N C)(0.50 m)2 Q 9 Nm2 9 x 10 C2

Carga máxima en aire:

Qm = 83.3 mC

Esto ilustra el gran tamaño del coulomb como unidad en aplicaciones electrostáticas.

Capacitancia y formas La densidad de carga sobre una superficie se afecta significativamente por la curvatura. La densidad de carga es mayor donde la curvatura es mayor.

+ + + ++ + + + + + + + ++

kQm Em  2 r

+ + + + ++ ++ + + + + + + +

La fuga (llamada descarga corona) ocurre con frecuencia en puntos agudos donde la curvatura r es mĂĄs grande.

Capacitancia de placas paralelas +Q

Área A

-Q

d

Para estas dos placas paralelas:

Q C  V

V y E  d

Recordará que, de la ley de Gauss, E también es:

 Q E  0 0 A

V Q E  d 0 A

Q es la carga en cualquier placa. A es el área de la placa. y

Q A C   0 V d

Ejemplo 3. Las placas de un capacitor de placas paralelas tienen una área de 0.4 m2 y están separadas 3 mm en aire. ¿Cuál es la capacitancia?

Q A C   0 V d C

(8.85 x 10

-12 C2 Nm2

A 0.4 m2

)(0.4 m2 )

(0.003 m) C = 1.18 nF

d

3 mm

Aplicaciones de los capacitores Un micrófono convierte las ondas sonoras en una señal eléctrica (voltaje variable) al cambiar d. d cambiante

micrófono

d

A C  0 d Q V C

Área cambiante

++ ++ - ++

-- + A ---

Capacitor variable

El sintonizador en un radio es un capacitor variable. El área cambiante A altera la capacitancia hasta que se obtiene la señal deseada.

Materiales dieléctricos La mayoría de los capacitores tienen un material dieléctrico entre sus placas para proporcionar mayor rigidez dieléctrica y menos probabilidad de descarga eléctrica.

Eo

+ + + aire + + + Co

E reducido +-+-+ + +-+-+ +-+-++ + dieléctrico

E < Eo + + +++ -+ ++ + C > Co

La separación de la carga dieléctrica permite que más carga se coloque en las placas; mayor capacitancia C > Co.

Ventajas de los dieléctricos • Menor separación de placas sin contacto.

• Aumenta la capacitancia de un capacitor.

• Se pueden usar voltajes más altos sin descarga disruptiva.

• Con frecuencia permite mayor resistencia mecánica.

Inserción de dieléctrico Disminuye el campo E < Eo

aire +Q dieléctrico

Co Vo Eo o -Q

+ + + + + +

Inserción de dieléctrico +Q C V E  Igual Q Q = Qo

-Q

Disminuye el voltaje V < Vo Aumenta capacitancia C > Co

+ +

Aumenta permitividad  > o

Constante dieléctrica, K La constante dieléctrica K para un material es la razón de la capacitancia C con este material a la capacitancia Co en el vacío.

C K C0

Constante dieléctrica: K = 1 para el aire

K también se puede dar en términos de voltaje V, intensidad de campo eléctrico E o permitividad :

V0 E0  K   V E 0

La permitividad de un medio La capacitancia de un capacitor de placas paralelas con un dieléctrico se puede encontrar de:

C  KC0

A A or C  K  0 or C   d d

La constante  es la permitividad del medio que relaciona la densidad de las líneas de campo.

  K 0 ;

 0  8.85 x 10

-12 C2 Nm2

Ejemplo 4: Encuentre la capacitancia C y la carga Q si se conecta a una batería de 200-V. Suponga que la constante dieléctrica es K = 5.0.   K0 5(8.85 x 10-12C/Nm2)

  K0

o  44.25 x 10-12 C/Nm2 -12 C2 Nm2

A 0.5 m2

2

)(0.5 m ) A (44.25 x 10 C   d 0.002 m

C = 11.1 nF ¿Q si se conecta a V = 200 V? Q = CV = (11.1 nF)(200 V)

d

2 mm

Q = 2.22 mC

Ejemplo 4 (Cont.): Encuentre el campo E entre las placas. Recuerde Q = 2.22 mC; V = 200 V.

 Q Ley de Gauss  E    A

  K0

  44.25 x 10-12 C/Nm2

A 0.5 m2

-6

2.22 x 10 C E -12 C 2 (44.25 x 10 Nm2 )(0.5 m2 )

E = 100 N/C

200 V

d

2 mm

Dado que V = 200 V, el mismo resultado se encuentra si E = V/d se usa para encontrar el campo.

Ejemplo 5: Un capacitor tiene una capacitancia de 6mF con aire como dieléctrico. Una batería carga el capacitor a 400 V y luego se desconecta. ¿Cuál es el nuevo voltaje si se inserta una hoja de of mica (K = 5)? ¿Cuál es la nueva capacitancia C ?

V0 C V0 K  ; V C0 V K 400 V V = 80.0 V V ; 5

Dieléctrico aire

Vo = 400 V

C = Kco = 5(6 mF)

Dieléctrico mica

C = 30 mF

Mica, K = 5

Ejemplo 5 (Cont.): Si la batería de 400 V se reconecta después de insertar la mica, ¿qué carga adicional se agregará a las placas debido a la C aumentada?

Aire Co = 6 mF Q0 = C0V0 = (6 mF)(400 V) Vo = 400 V Q = 2400 mC 0

Q = CV = (30 mF)(400 V)

Mica C = 30 mF

Q = 12,000 mC Mica, K = 5

DQ = 12,000 mC – 2400 mC DQ = 9600 mC

DQ = 9.60 mC

Energía de capacitor cargado La energía potencial U de un capacitor cargado es igual al trabajo (qV) que se requiere para cargar el capacitor.

Si se considera que la diferencia de potencial promedio de 0 a Vf es V/2: Trabajo = Q(V/2) = ½QV

U  1 2 QV ;

2 Q 2 1 U  2 CV ; U  2C

Ejemplo 6: En el Ej. 4 se encontró que la capacitancia era be 11.1 nF, el voltaje 200 V y la carga 2.22 mC. Encuentre la energía potencial U.

U U

1

2

1

2

CV

2

(11.1 nF)(200 V)

2

U = 222 mJ Verifique su respuesta con las otras fórmulas para E.P.

U  1 2 QV ;

Q2 U 2C

Capacitor del ejemplo 5.

C = 11.1 nF 200 V

U = ¿?

Q = 2.22 mC

Densidad de energía para capacitor La densidad de energía u es la energía por unidad de volumen (J/m3). Para un capacitor de área A y separación d, la densidad de energía u se encuentra del modo siguiente: Densidad de energía u para un campo E:

A d

U U u  Vol. Ad

0 A 1energía u: 2 Recuerde C  y V  Ed : Densidad de U 2  0 AdE d u  2 1  A Ad Ad   u  2 0E U  12 CV 2  12  0  ( Ed )2  d 

Resumen de fórmulas Q C ; V

coulomb (C) farad (F)  volt (V)

Q A C   K 0 C  4 0 r V d C V0 E0  2 1 K    u   E 0 2 C0 V E 0 U  1 2 QV ;

2 Q U  1 2 CV 2 ; U  2C

CONCLUSIÓN: Capítulo 25 Capacitancia