Cálculo Diferencial 1.1 La recta numérica. La recta real o recta numérica es un modelo visual del conjunto de los números reales. El punto que corresponde al 0 es el origen y los puntos situados a la derecha del origen corresponden a los números positivos, como se ilustra en la figura siguiente. El término no negativo describe un número que es positivo o cero.
Cada punto en la recta real corresponde a uno y sólo un número real y cada número real corresponde a uno y sólo un punto en la recta real. El número asociado con un punto en la recta real se denomina coordenada del punto por la correspondencia de uno a uno entre los números reales y los puntos de la recta real; estas coordenadas se conocen como sistema coordenado. Sin embargo, a veces es necesario distinguir entre el punto y su coordenada.
ORDENACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES Una propiedad importante de los números reales es que son ordenados. Definición de orden en la recta real. Si a y b son números reales, entonces a es menor que b si b a es positivo. Denotamos éste orden por la desigualdad a b . Esta relación también puede describirse diciendo que b es mayor que a y escribiendo b a . La desigualdad a b significa que a es menor o igual que b y que la desigualdad b a 1
Cálculo Diferencial significa que b es mayor o igual que a . los símbolos , , y se denominan símbolos de desigualdad. Geométricamente, esta definición implica que a b si y sólo si a se encuentra a la izquierda de b en la recta real, como se muestra en la siguiente figura.
1.2 Los Números reales. Los números reales se usan en toda la matemática y el estudiante debe estar familiarizado con símbolos que los representan, por ejemplo
1, 73, 5,
49 , 12
2,
0,
3
85, 0.33333..., 596.25, y otros.
Los enteros positivos o números naturales, son: 1, 2, 3, 4, ... Los números enteros (no negativos) son los números naturales combinados con el número 0 . Los enteros se escriben a veces como sigue: ..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, ... En todo texto, las letras minúsculas a, b, c, x, y,... representan números reales arbitrarios (también llamados variables). Si a y b denotan el mismo número real, escribimos a b , que se lee “ a es igual que b ” y se denota igualdad. La notación a b se lee “ a no es igual que b .” Si a, b, y c son enteros y c ab , entonces a y b son factores o divisores de c . Por ejemplo, como: 6 2 3 (2) (3) 1 6 (1) (6), Sabemos que 1, 1, 2, 2, 3, 3, 6 y 6 son factores de 6. Un entero positivo p diferente de 1 es primo si sus únicos factores positivos son 1 y
p . Los primeros números primos son 2, 3, 7,11,13,17 y 19 . El Teorema Fundamental de la Aritmética expresa que todo número positivo diferente de 1 se puede expresar como el producto de números primos en una forma y sólo una (excepto por orden de factores). 126 2 3 3 7, Algunos ejemplos son: 12 2 2 3, 540 2 2 3 3 3 5 Un número racional es un número real que se puede expresar en la forma a / b , donde a y b son enteros y b 0 . Nótese que todo entero a es un número racional, dado que se puede expresar en la forma a / 1 . Todo número real se puede expresar como un decimal y las representaciones decimales para números racionales son finitas o no finitas y periódicas. Por ejemplo podemos demostrar, con el uso del proceso aritmético de la división que
2
Cálculo Diferencial 5 1.25 4 representación de
y
177 3.2181818..., 55
donde los dígitos 1
y
8 en la
177 se repite indefinidamente, (a veces se escribe como 3.218 ). 55
Los números reales que no son racionales son números irracionales. Las representaciones decimales para números irracionales son siempre no finitas y no periódicas. Un número irracional común, denotado por , es la razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. A veces usamos la notación 3.1416 para indicar que es aproximadamente igual a 3.1416 . No hay un número racional b tal que b 2 2 , donde b 2 denota b b , pero hay un número irracional denotado por
2 (la raíz cuadrada de 2 ), tal que
2
2
2
El sistema de números reales está formado por todos los números racionales e irracionales. Las relaciones entre los tipos de números empleados en álgebra están ilustradas en el diagrama de la siguiente figura, donde una línea que enlaza dos rectángulos significa que los números mencionados en el rectángulo más alto incluyen los del rectángulo más bajo. Los números complejos, contienen todos los números reales. Tipos de números empleados en álgebra
Según Swokowski y Cole.
3
Cálculo Diferencial
Según Larson y Hostetler
Los números reales son cerrados con respecto a la operación de adición (denotada por ); esto es, a todo par a, b de números reales corresponde exactamente un número real a b llamado suma de a y b . Los números reales son también cerrados con respecto a la multiplicación (denotada por ); esto es, a todo par a, b de números reales corresponde exactamente un número real a b (también denotado por ab ) llamado producto de a y b .
1.3 propiedades de los números reales. Importantes propiedades de la adición y multiplicación de números reales aparecen en la tabla siguiente. Propiedades de números reales Terminología
Caso general
(1) La adición es conmutativa.
ab ba
(2) La adición es asociativa.
a (b c) (a b) c
(3) 0 es el neutro aditivo. (4) a es el inverso aditivo o negativo de a
a 0 a a ( a ) 0
Significado El orden es indistinto cuando se suman dos números La agrupación es indistinta cuando se suman tres números La suma de 0 con cualquier número da el mismo número. La suma de un número y su negativo da 0 .
4
Cálculo Diferencial (5) La multiplicación es conmutativa.
ab ba
(6) La multiplicación es asociativa.
a(bc) (ab)c
(7) 1 es el neutro multiplicativo. (8) Si a 0,
a 1 a
1 es el a
1 a 1 a
La multiplicación de un número diferente de cero por su recíproco da 1 .
a(b c) ab ac y (a b)c ac bc
La multiplicación de un número y una suma de dos números es equivalente a multiplicar cada uno de los dos números por el número y luego sumar los productos.
inverso multiplicativo o recíproco, de a
(9) La multiplicación es distributiva sobre la adición.
El orden es indistinto cuando se multiplican dos números. La agrupación es indistinta cuando se multiplican tres números. La multiplicación de cualquier número por 1 da el mismo número.
Las siguientes son propiedades básicas de la igualdad. Propiedad de la igualdad
Si a b y c es cualquier número real, entonces: (1) a c b c (2) ac bc
Las propiedades 1 y 2 expresan que el mismo número puede sumarse a ambos lados de una igualdad y ambos lados de una igualdad pueden multiplicarse por el mismo número.
Productos que involucran el 0
(1) a 0 0 para todo número real a . (2) Si ab 0 , entonces a 0 o b 0 .
Cuando usamos la palabra “o” queremos decir que al menos uno de los factores a y b es 0 . Nos referiremos a (2) como el teorema del factor cero.
Propiedades de negativos Propiedad (1) ( a ) a
Ejemplo
(3) 3 5
Cálculo Diferencial (2) (a )b (ab) a( b)
(2)3 (2 3) 2(3) (2)( 3) 2 3 ( 1)3 3
(3) ( a )( b) ab (4) ( 1)a a
Notación de recíprocos Propiedad
Ejemplo
1 Si a 0 , entonces a 1 . a
2 1
1 2
1
Notarás que si a 0, entonces
1 4 3 3 3 4 4
1 a a 1 a 1 a Las operaciones de sustracción y división se definen como sigue.
Sustracción y división Definición
a b a b
Significado Para restar un número de otro, se suma el negativo
1 a b a b a b a b 1 ; b 0
Para dividir un número de otro diferente de cero, se multiplica por el recíproco
Ejemplo
3 7 3 ( 7)
1 3 7 3 7 3 7 3 7 1
a se utiliza con frecuencia en lugar de a b y nos referimos a él b como el cociente de a entre b o la fracción de a sobre b . Los números a y b se llaman El símbolo a b o bien
numerador y denominador respectivamente. Puesto que el cero carece de inverso multiplicativo, a / b no está definido para b 0 ; esto es, la división entre cero, no está definida. Es por esta razón que los números reales no son cerrados en relación con la división. Advertirás que:
6
Cálculo Diferencial 1 b
1 b 1 b
si
b0
Se pueden establecer las siguientes propiedades de los cocientes, en donde todos los denominadores son números reales distintos de cero.
Propiedades de los cocientes Propiedad (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
a c si ad bc b d ad a bd b a a a b b b a c ac b b b a c ad bc b d bd a c ac b d bd a c a d ad b d b c bc
Relaciones entre a y -a
Ejemplo
2 6 porque 2 15 5 6 5 15 23 2 5 3 5 2 2 2 5 5 5 2 9 2 9 11 5 5 5 5 2 4 2 3 5 4 26 5 3 5 3 15 2 7 2 7 14 5 3 5 3 15 2 7 2 3 6 5 3 5 7 35 (1) a Es positivo, entonces a es negativo. (2) Si a es negativo, entonces a es positivo.
(1) Si a y b tienen el mismo signo, entonces ab y Leyes de los signos
a b
son positivos. (2) Si a y b tienen signos opuestos, entonces ab y
a b
son negativos.
1.3.1 Tricotomía. La ley de tricotomía dice: 7
Cálculo Diferencial - Si un número es mayor que otro, no puede ser igual o menor que él. - Si un número es igual que otro, no puede ser mayor o menor que él. - Si un número es menor que otro, no puede ser igual o mayor que él. Se dice que se cumple con la ley de tricotomía si dados a, b R se cumple una y sólo una de las proposiciones siguientes:
a b;
a b;
ab
1.3.2 Transitividad. La transitividad es una de las propiedades más necesarias de los números reales. En general, la propiedad de la transitividad tiene su aplicación en dos categorías: La Transitividad de la igualdad y la Transitividad de la desigualdad. De acuerdo con la transitividad de la igualdad, si dos números son equivalentes al mismo número, entonces todos los números son equivalentes entre sí. Es decir, si a b y b c entonces a c La Transitividad de la desigualdad trata con cuatro subpartes correspondientes a; mayor que, menor que, mayor o igual que y menor o igual que. Si a, b, c son tres números reales y 1). Si a <b y b <c, entonces en ese caso, a < c. 2). Si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c. 3). Si a> b y b> c, entonces a > c. 4). Si a ≥ b y b ≥ c, entonces a ≥ c. En general, las primeras dos subpartes pueden afirmar que si un número es menor que o igual a un 2do numero, y el 2do es más pequeño o igual que un 3er entero, entonces el 1er número es menor o igual que el tercero.
1.3.3 Densidad Un número real es un número que existe en la realidad, lo que significa que cada punto en la recta numérica real representa un número real. Puede ser un número racional o irracional, un número entero o trascendental, de cualquier tipo.
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Cálculo Diferencial La densidad es una propiedad fundamental de los números reales, según la cual los números reales son densos en naturaleza. En términos simples, entre dos números reales existe un tercer número real, en todos los casos. Por ejemplo: existen una cantidad infinita de números reales entre cero y uno. Si a y b ∈ R , si b a , entonces existen un elemento x ∈R tal que a x y
xb La propiedad de la densidad es consecuencia directa de la definición de número real, el cual fue creado pensando en la necesidad de tener números “suficientes" para explicar el mundo real.
1.3.4 Axioma del supremo Si A es un conjunto de números reales, entonces y es una cota superior de A sí y sólo si y es un número real y para cada x A , x y . Ejemplos: El conjunto 2,4,6,8,10 es acotado superiormente por cualquier número mayor o igual a 10 . 2. El conjunto x R : x 3 es acotado superiormente por cualquier número mayor o igual a 3 . 3. El conjunto x 2 1,1 x 1 es acotado superiormente por cualquier número mayor o igual a 2 . 1.
Una observación importante es que si un conjunto tiene una cota superior entonces existen infinitas cotas superiores del conjunto. Por lo tanto, tiene sentido la siguiente definición. Definición 1. Si A es un conjunto de números reales, el número y es el supremo de A sí y sólo si y es una cota superior de A y para cada z que es cota superior de A se tiene y z . Es decir el supremo es la menor de las cotas superiores.
REFERENCIAS: [1] http://www.ithua.edu.mx/documentos/calculo_diferencial.pdf [2] Algebra y trigonometría con geometría analítica, 12ª edición, Swokowski/Cole, Ed. CENGAGE Learning. [3] http://claroline.emate.ucr.ac.cr/claroline/backends/download.php/VGFyZWEyLUF 4RXh0clN1cC5wZGY%3D?cidReset=true&cidReq=MA0700 [4] Algebra, 3ª Edición, Larson/Hostetler, Ed. Publicaciones cultural. [5] http://mitecnologico.com/igestion/Main/CalculoDiferencial 9