OTRA OPTICA DEL CALCULO ACTUARIAL by Marcelo Yumiceba

OTRA OPTICA DEL CÁLCULO ACTUARIAL OSCAR MARCELO YUMICEBA ASQUEL

2012

OTRA OPTICA DEL Cร LCULO ACTUARIAL OSCAR MARCELO YUMICEBA ASQUEL Ingeniero Civil, Mรกster en Gerencia Empresarial

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

CÁLCULO ACTUARIAL

El presente libro resume los principales lineamientos y criterios generales que el actuario debe considerar en la determinación o cálculo actuarial de las primas de tarifa de los contratos de seguro de corto plazo, independientemente del ramo al que correspondan. Estos lineamientos fueron desarrollados con el fin de proporcionar una guía práctica para la realización de esta tarea. Los mismos se apegan al marco legal aplicable en materia de seguros, sin perjuicio de las necesidades o propósitos de tipo comercial de las entidades aseguradoras, ni de los valores específicos que, para efectos regulatorios, se establezcan para los parámetros considerados en estos lineamientos con el propósito de incorporar márgenes prudenciales que garanticen con un elevado grado de certidumbre el cumplimiento de las obligaciones con los asegurados. Asimismo, enuncia criterios de carácter y aplicación general, sin abarcar casos específicos que por sus características requieran de consideraciones especiales, mismas que deberán ser tratados con base en el juicio y experiencia profesional del actuario, respetando siempre los principios sobre los cuales fueron sustentados estos estándares. La fortuna juega en favor de una mente preparada Louis Pasteur Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la electricidad y la energía atómica: la voluntad. Albert Einstein

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INDICE Concepto Presentación Capítulo 1

………………………………………………………………. ………………………………………………………………. PLANIFICACION ACTUARIAL …………………………………………. Concepto ………………………………………………………………. Elementos y funciones …………………………………………………. Etapas de planificación ………………………………………………….

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Capítulo 2

EL ELEMENTO DEMOGRAFICO ……………………………………. Representación en el tiempo stocks y flujos. …………………. Análisis probabilístico de la mortalidad. …………………………. Supervivencia y mortalidad… …………………………………………. Probabilidades de vida y muerte sobre una cabeza. ……….. Funciones biométricas: ley de supervivencia…………………… Probabilidades de supervivencia y mortalidad referentes a Un grupo de dos cabezas…………………………………………………..

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TERMINOLOGIA DE SEGUROS …………………………………………. Seguro ………………………………………………………………… Riesgo ………………………………………………………………… Siniestro ………………………………………………………………… Asegurador ………………………………………………………………… Asegurado ………………………………………………………………… Beneficiario ………………………………………………………………… Agente de Seguros ………………………………………………………… Las cinco <<aes>> …………………………………………………………… Póliza …..…………………………………………………………… Prima ………………………………………………………………… Clases de primas …………………………………………………………….… Suma Asegurada ……………………………………………………………… Indemnización. ………………………………………………………………… Vigencia del seguro …………………………………………………………… Coaseguro ………………………………………………………………… Deducible ………………………………………………………………… Apéndice o suplemento…………………………………………………… Reaseguro ………………………………………………………………… Reservas ………………………………………………………………… Ramos del Seguro …………………………………………………………….. Clases de Seguro ……………………………………………………………… Seguro contra incendio ..…………………………………………………… Seguro de transportes.……………………………………………………… Seguro Casco Marino ………………………………………………………… Seguro robo y/o asalto ……………………………………………………… Seguro de ingeniería .………………………………………………………… Seguro de Fidelidad …………………………………………………………… Seguro de Responsabilidad Civil ……………………………………….

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Capítulo 3

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Seguro de Automóviles …………………………………………………………… Seguro de Lucro cesante ………………………………………………………… Seguro de vida …..…………………………………………………………… Seguro contra accidentes personales ……………………………………… Seguro de asistencia sanitaria ………………………………………………… Principios del seguro ……………………………………………………………… Calidad de vida ………………………………………………………………… Concepto sobre desarrollo ……………………………………………………… Concepto de mortalidad .………………………………………………………… Concepto de natalidad .………………………………………………………… Concepto de morbilidad .…………………………………………………………

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Capítulo 4

Funciones Biométricas Probabilidades Y Seguros ……………...…. Funciones de sobrevivencia y de mortalidad …………………………… Probabilidades sobre la vida de una persona …………………………… Vida Probable y duración más probable de la vida…………………… Capital diferido …………..…………………………………………………………… Rentas vitalicias constantes, inmediatas, vencidas………………….. Rentas vitalicias diferidas .………………………………………………………… Rentas vitalicias temporarias ……………………………………………… Rentas vitalicias adelantadas ……………………………………………… Rentas vitalicias superperiodicas……………………………………………… Seguro sobre la muerte inmediato …………………………………………… Seguro diferido y temporario …………………………………………………… Seguros con pago inmediato …………………………………………………… Seguros mixtos ….………………………………..……………………… Primas naturales en el seguro sobre la muerte ……………………… Primas periódicas ….………………………………..……………………… Resumen de Fórmulas ….………………………………..………………………

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Capítulo 5

OPERACIONES DEMOGRÁFICAS FINANCIERAS DE CAPITAL VARIABLE Rentas vitalicias en términos variables en progresión aritmética Rentas temporales de términos variables en progresión aritmética Seguros para el caso de fallecimiento a capitales variable en Progresión aritmética .…………………………………………………………… Primas únicas para seguros temporales con capitales variables En progresión aritmética .……………………………………………………………

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Seguro de Salud ….………………………………..……………………….. Fuentes de financiamiento de la salud ………………………………………. Financiamiento de la seguridad social en la salud …………………….. Las Aportaciones del Estado(y la sociedad) ……………………………… Modalidad del Seguro ….………………………………..……………………… Cobertura …………………………………………………………………………………. Coberturas Excluidas ………………………………………………………………... Hospitalización ………………………………………………………………………... Períodos de Carencia………………………………………………………………... Tarifas …………..………………………………………………………………...

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Capítulo 6

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Copagos ………………………………………………………………………………….. Renovación del contrato …………………………………………………………. Cobertura de asistencia familiar ………………………………………………. Procedimiento casos ambulatorios ………………………………………….. Procedimientos casos hospitalarios …………………………………………. Hospitalización no planificada ………………………………………………….

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Antecedentes del seguro de automóviles ………………………………. Tarifación a Priori o por clases de Riesgo ………………………………. Tarifación a Posteriori9 o según experiencia conocida ………….. Pólizas individuales ……………………………………………………………….. Daños Materiales …………………………………………………………………… Robo Total ……………………………………………………………………………… Responsabilidad civil por daños a terceros ……………………………. Seguro obligatorio de daños corporales SOAT ……………………….. Accidentes de tránsito ……………………………………………………………. Montos asegurados ………………………………………………………………. Gastos médicos a ocupantes ………………………………………………….. Prima de riesgos para daños materiales y Robo Total …………….. Prima de tarifa o Prima Neta ………………………………………………….. Prima de riesgo para responsabilidad civil y gastos médicos Ocupantes……………………………………………………………………………… Pólizas flotillas ……………………………………………………………………….. Modelos de credibilidad …………………………………………………………. Fundamentos Bayesianos de la teoría de la credibilidad ………. Teorema de Bayes …………………………………………………………………. Criterio de Jeffreys …………………………………………………………………. Prima de credibilidad bayesiana y credibilidad completa ……….. Modelo clásico de Buhlmann ………………………………………………….. Variables del factor de credibilidad “z” Buhlmann …………………. Modelo Buhlmann – Straub …………………………………………………… Términos del modelo Buhlmann – Straub ……………………………… Variables del factor de credibilidad “z” Buhlmann – Straub … Modelo Jerárquico de Jewell ………………………………………………….. Variables del factor de credibilidad “z” Jewell …………………………

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Capítulo 8

SISTEMA DE PENSIONES .…………………………………………………………… Cobertura del sistema de pensiones ………………………………………… Administración y Recursos………………………………………………………… Bono de reconocimiento .………………………………………………………… Prestaciones .…………………………………………………………… Factores de Pensión .…………………………………………………………… Pensión de jubilación .…………………………………………………………… Factores del éxito del sistema privado de pensiones …..………… Anualidades vitalicias con pagos fraccionados durante el año …. Esperanza de vida ………………………………………………………………

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Capítulo 9

ANALISIS ACTUARIAL DE UN MODELO PRIVADO DE PENSIONES

Capitulo 7

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QUE CUBRAN LA NECESIDADES DE LOS EMPLEADOS DE UN SECTOR EMPRESARIAL ……………………………………………………………… Principales sistemas se pensión social y privada…….……………….… Marco Técnico actuarial de los fondos de jubilación……………….… Estudio demográfico social del recurso humano de la institución En estudio ……………………………………………………………… Evaluación actuarial de las reservas para la jubilación………………. Recomendación de un programa de fondo de jubilación alternativo Para el recurso humano………………………………………………………………

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Capítulo 10

FONDO DE PENSIONES ……………………………………………………………… Principios básicos ……………………………………………………………… Agentes que intervienen ..………………………………………………………… Control en los planes ……………………………………………………………… Plan de pensiones ……………………………………………………………… Sistema de empleo ……………………………………………………………… Sistema asociado ……………………………………………………………… Sistema individual ……………………………………………………………… Fondo de pensiones obligatorias …………………………………………..…… Fondo de mayor riesgo ……………………………………………………………… Fondo moderado ……………………………………………………………… Fondo conservador ……………………………………………………………… Fondo especial ……………………………………………………………… Fondo de cesantía ……………………………………………………………… Fondo voluntario ……………………………………………………………… Caso de análisis ………………………………………………………………

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Capítulo 11

TABLAS DE MORTALIDAD ….……………………………………………………… Orden de eliminación por causa de muerte ……………………………… Métodos de construcción de una tabla de mortalidad ……………… Modelo de base teórica, considerando la fórmula de Makeham Tablas de Mortalidad ……………………………………………………………… Norma Internacional de contabilidad ………………………………………… Anexos ……………………………………………………………… Bibliografía ………………………………………………………………

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CONCEPTO El cálculo actuarial es una técnica que utiliza, entre otras materias, la estadística, las probabilidades y las matemáticas financieras, con el objeto de proyectar eventos que están sujetos a alguna contingencia y en su caso estimar los costos que estos representarán, encontrando también las cotizaciones únicas o periódicas que creen fondos suficientes para hacerles frente. El cálculo actuarial es una aplicación de las matemáticas que permite obtener valores relacionados con un evento proporcionando los elementos necesarios para prever los desembolsos necesarios que produzca la realización de dicho evento, como son los generados por la muerte de las personas o destrucción de objetos. El cálculo actuarial es una técnica que utiliza, entre otras materias, la estadística, las probabilidades y las matemáticas financieras, con el objeto de proyectar eventos que están sujetos a alguna contingencia y en su caso estimar los costos que estos representan, encontrando también las cotizaciones únicas o periódicas que creen fondos suficientes para hacerles frente. Debido a que los gastos de los Sistemas de Seguridad Social están sujetos al suceso de algunas contingencias, es necesario utilizar técnicas actuariales que permitan encontrar los ingresos, egresos y saldos futuros del sistema evaluado. Además, el cálculo actuarial permite hacer eficientes los portafolios de inversión, pues sus vencimientos se pueden hacer coincidir con la liquidez requerida por cada fondo evaluado. El actuario es el encargado de determinar el precio que hay que ponerle a un seguro en función del riesgo que cubre. La estadística, la probabilidad y el cálculo matemático son los conocimientos que traslada a la práctica este profesional, que fundamentalmente desarrolla su actividad en entidades aseguradoras, mutuas, gestoras de fondos y de planes de pensiones. También comienza a ser demandado por la banca para valorar los riesgos que comportan las inversiones financieras.

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Presentación A través de este Proyecto de Innovación se presenta una herramienta de carácter interactivo, que proporciona conocimientos teórico-prácticos de matemática actuarial aplicados a la Previsión Social, Fondo de Pensiones y a los Seguros de Vida. La metodología seguida consiste en explicar conceptos fundamentales de la matemática actuarial, acompañándolos de aplicaciones prácticas, ejercicios que faciliten su comprensión y que acercan su aprendizaje a situaciones que resultan cotidianas en el ámbito profesional. Los casos prácticos que se plantean incorporan las bases técnicas más actuales, en concreto las tablas de mortalidad del bienio 2004-2005, así como las tablas de mortalidad y el tipo de interés técnico que están empleando actualmente las Aseguradoras. Además, se ha ajustado por interpolación una tabla de invalidez por edades. Al mismo tiempo, se plantean ejemplos prácticos que deben ser resueltos por el alumno y en los que, no obstante, se facilita la solución numérica. La formulación de los ejercicios prácticos en hoja de cálculo permite su extensión a un número infinito de situaciones. En lo que respecta al contenido, en el primer apartado se explica el significado de la planificación actuarial, la importancia del elemento demográfico y su medición a través de tablas de mortalidad y de invalidez; en el segundo epígrafe se aborda la ecuación del seguro y su aplicación a las rentas actuariales y a los seguros, en tanto que en el tercer y último punto se desarrolla la planificación de un sistema de previsión social, fondo de pensiones a través del método de las proyecciones. A esto hay que añadir dos anexos, uno con métodos de interpolación y ajuste de datos procedentes de una población y otro con los símbolos de conmutación propios de las tablas actuariales.

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CAPITULO 1 1. LA PLANIFICACIÓN ACTUARIAL 1.1 Concepto Es el instrumento que permite vigilar la solvencia de los sistemas de Previsión Social y de los Seguros en general, una vez determinadas las condiciones en las que se va a verificar el equilibrio financiero. Por ello, un primer objetivo dentro de la planificación actuarial es determinar la cuota o prima que verifique el equilibrio que, necesariamente ha de existir, entre recursos y gastos. Cualquiera que sea el sistema financiero utilizado, toda determinación del tipo o cuota (que representa el precio) implica un “reparto” tanto en la Seguridad Social como en el seguro privado. Un reparto es un cociente cuyo numerador representa el valor de las obligaciones o prestaciones previstas y el denominador el valor de los recursos, que pueden estar en función de los salarios o ser iguales para todos los asegurados. El cociente, coste del sistema, es el tipo de cotización, cuota o prima:

La forma en que se calcula el valor de las prestaciones es lo que difiere de uno a otro de los sistemas financieros utilizados, así como el horizonte temporal al que está referido el equilibrio. Así, en un sistema de previsión social, tenemos tres posibilidades: En el sistema de reparto anual: El Valor de las prestaciones = Número de asegurados por cuantía de la pensión media. En el sistema de capitales de cobertura: El Valor de las prestaciones = Valor Actual Actuarial (VAA) de las nuevas pensiones En el sistema de capitalización: El Valor de las prestaciones = VAA de las prestaciones totales Es decir, toda planificación actuarial tiene como primer objetivo determinar la cuota o prima (expresada en %), que aplicada a la base determina los recursos. Dichos recursos, junto a los rendimientos financieros de las reservas (si los hay), deben cubrir las prestaciones previstas durante el tiempo fijado para la duración del equilibrio. De este sencillo planteamiento se deduce la enorme trascendencia que tiene la dimensión del tiempo en toda planificación actuarial. Por lo tanto, la ecuación de equilibrio debe incorporar tanto la dimensión temporal como las reservas o fondos del sistema:

Por otra parte, una buena planificación en un sistema de reparto exige comprobar el grado de coincidencia entre los valores previstos y los reales, empleando proyecciones y efectuando un balance actuarial. Paralelamente, una planificación eficaz en capitalización colectiva o individual supone verificar que la cuantía de las reservas o provisiones sea suficiente para: Pagar las pensiones hasta su extinción y sus pensiones derivadas Entregar el rescate de los activos

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En este caso, siempre debe verificarse la siguiente ecuación:

VA de las cotizaciones del colectivo inicial + VA de las cotizaciones de los futuros asegurados + Reservas en el momento inicial = VA de las obligaciones del colectivo inicial (jubilación, invalidez y/o supervivencia) + VA de las obligaciones del colectivo de los futuros asegurados (jubilación, invalidez y/o supervivencia). Como se ve el tiempo es una variable trascendental 1.2 Elementos y funciones En la determinación del VAA de las prestaciones y del VA de los salarios intervienen los siguientes elementos y funciones: Elementos demográficos: el censo de partida o información de los asegurados. Elementos biométricos: la probabilidad de ocurrencia del hecho objeto del seguro, como el fallecimiento, la jubilación o la invalidez. Elementos financieros: el tipo de interés técnico i. Elementos económicos: los salarios y las cuantías de las prestaciones, así los como capitales asegurados. Funciones biométricas: las probabilidades de transición, Pxt, calculadas en función de las distintas probabilidades independientes. n n Funciones financieras: los factores de descuento v y v y los de capitalización (1+i) y (1+i) . Funciones financieras y actuariales: n Ex = vn .n p x Función de rentas financieras: a n:i Función de rentas actuariales: a x y a x:n 1.3 Etapas de la planificación Un proceso completo de planificación debe incorporar las siguientes etapas: 1. Planificación a corto plazo cuyo objetivo es determinar la cuota o prima que establece el equilibrio financiero sobre la base del sistema financiero y método de evaluación aceptado. Se materializa en un documento que se conoce con el nombre de nota técnica y consta, entre otros, de los siguientes apartados:  Objeto de la nota  Descripción de los riesgos y prestaciones  Colectivo cubierto y su evolución  Hipótesis de trabajo (que conforman la base técnica)  Sistema financiero y método de evaluación  Política de inversiones  Estimaciones demográficas  Valoraciones actuariales sobre cargas pasivas (actuales y futuras), derechos en formación (si los hay) y bases de cotización y salarios (que inciden tanto en el cálculo de los ingresos como en el de las prestaciones)  Tipos de cotización necesarios para conseguir el equilibrio financiero  Presupuestos anuales y plurianuales  Análisis de flujos monetarios y sus previsiones: presupuestos de tesorería 2. Planificación a medio plazo. Es complementaria con la anterior, utilizando técnicas tales como: Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

 Análisis de sensibilidad.  Métodos de simulación  Árboles de decisión  Balances actuariales Lo que implica realizar: * Una previsión inicial. * Una segunda fase de seguimiento a través de indicadores de control. * Un análisis de desviaciones y correcciones en su caso. 3. Planificación a largo plazo. Su objetivo es el mismo de las etapas anteriores:  Evaluación de cargas y provisiones a largo plazo.  Evaluación de salarios  Diseño de la financiación: sistema financiero y método de evaluación  Tipo de cotización necesario para el equilibrio financiero. A largo plazo se suelen utilizar distintas técnicas basadas en: * Modelos econométricos. * Modelos actuariales, entre los más conocidos nos referiremos al de las proyecciones. * Modelos mixtos. Así como la realización de la nota técnica resulta inherente a todo seguro y sistema de previsión social, no siempre se efectúa una adecuada planificación a medio y largo plazo. Sin embargo, la evaluación actuarial a lo largo del tiempo resulta crucial para conseguir una gestión financiera eficaz. También hay que decir que la técnica de evaluación a implementar (balance actuarial, proyección, etc.) será diferente según el régimen financiero elegido (reparto, capitalización, etc.).

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CAPITULO 2 2. EL ELEMENTO DEMOGRÁFICO Es la ciencia que tiene como objetivo el estudio de las poblaciones humanas y que trata de su dimensión, estructura, evolución y características generales. La demografía estudia estadísticamente la estructura y la dinámica de las poblaciones, así como los procesos concretos que determinan la formación, la conservación y la desaparición de las poblaciones. Tales procesos, en su forma más agregada, son los de fecundidad, mortalidad y migración -emigración e inmigración La demografía es la rama de la ciencia que tiene como objeto el estudio de la población, su volumen, composición, estructura, etc. Definición de población. Por población se entiende un conjunto de individuos, constituido de forma estable, ligado por vínculos de reproducción e identificado por características territoriales, políticas, jurídicas, étnicas o religiosas. Una población, pues, se definirá como tal si tiene continuidad en el tiempo y si esta continuidad está asegurada por vínculos de reproducción que ligan padres e hijos y garantizan la sucesión de las generaciones. Finalmente, una población se define también por las características que trazan su perfil y sus límites. Los límites y fronteras de las distintas poblaciones son tales que los agregados así definidos asumen su propia autonomía y estabilidad, reproduciéndose y conservándose en el tiempo. Una población, tal como se ha definido, tiende a perpetuarse y a permanecer en el tiempo, pero ello no significa que sea eterna. Una población se extingue porque la natalidad es insuficiente para compensar la mortalidad, o porque poblaciones inicialmente distintas se fusionan entre sí. Definición de demografía. A partir de la definición de población puede deducirse una definición de la demografía, la cual estudiaría aquellos procesos que determinan la formación, la conservación y la desaparición de las poblaciones. Tales procesos, en su forma más agregada, son los de fecundidad, mortalidad y movilidad. La variedad de combinaciones de estos fenómenos, interdependientes entre sí, determina la velocidad de las modificaciones de la población, tanto en sus dimensiones numéricas como en su estructura. La metodología del análisis demográfico tiene dos aspectos: el cuantitativo, que mide tanto el estado de la población y sus características, como su movimiento (los nacimientos, defunciones y migraciones) y el aspecto cualitativo, referido a las políticas demográficas, sanitarias, de previsión social, etc. La palabra demografía apareció, por primera vez, en la obra de Achille Guillard titulada “Éléments de statistique humaine on démographie comparée” en 1855. No obstante, las bases técnicas parten del siglo XVII, fundamentalmente con los trabajos del astrónomo Edmund Halley y de otros científicos que sintieron la necesidad de explicar los fenómenos de la población a través de las matemáticas y la estadística, reduciendo la realidad a elementos cuantificables. La evolución de la población constituye desde hace muchos años una preocupación de los Estados. Ya en el siglo XVIII, la teoría mercantilista centra en el crecimiento de la población la base para lograr una mayor renta y bienestar general. Adam Smith parte de la armonía natural entre economía y demografía, haciendo depender el tamaño de una población tanto de su mano de obra como de la productividad de la tierra. Thomas Maltus defendía la necesidad de poner freno al crecimiento de la población ya que, en otro caso, esta crecería en progresión geométrica mientras que los medios de subsistencia lo hacen en progresión aritmética. Para Marx, cada modo histórico de producción tiene su propia ley de población. Los procesos demográficos determinan la estructura de una población y su evolución y están referidos a los nacimientos, defunciones y migraciones. Estos procesos están condicionados en parte por fenómenos sociales, culturales, económicos, políticos, religiosos, sanitarios, etc. Por tanto, la demografía estudia las características y evolución de un colectivo bajo determinados supuestos sociales. Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

Se entiende por colectivo un conjunto de elementos que poseen, al menos, una característica común. Según esto, para poder hablar de colectivo será imprescindible que exista cierta homogeneidad entre sus elementos, al menos en torno a esa característica común a que se ha aludido. En nuestro caso, el estudio se limitará al tratamiento de colectivos humanos, esto es, de grupos de individuos sobre los que se construyan las hipótesis y se verifiquen las distintas fases del proceso estadístico. Además, de todas las posibles subdivisiones que sobre tales colectivos pueden efectuarse, en función de la característica buscada como elemento diferencial, en principio sólo se considerará una, la que responde a un criterio de "vida". Esto es, el objetivo principal va a ser tratar colectivos humanos atendiendo al hecho de que sus componentes vivan o no en un determinado momento. Podemos también preguntarnos si nuestro estudio se realiza tomando como variable el tiempo o al margen de éste; en otros términos, si se realiza un planteamiento estático o dinámico. Antes de nada, debemos decir que se puede considerar la variable tiempo en una doble acepción: a) Como tiempo "físico". Es decir, como soporte de la existencia; así se habla de una fecha determinada, de un instante concreto, etc. b) Como tiempo "biométrico". Esto es, como "medida de vida" de los elementos integrados en el colectivo. Por supuesto que esa "medida de vida" es la edad. Lo que se ha llamado tiempo biométrico, la edad, será el elemento fundamental en todo lo que sigue; efectivamente, será ésta la característica diferencial para los distintos grupos humanos. Es claro que una edad x puede tenerla, en cierta fecha, un número dado de individuos pero esa misma edad x la habrán alcanzado, en un momento anterior, otro número de individuos y otros la alcanzarán en un instante futuro. De manera que se tiene que precisar en qué momento t del tiempo físico se sitúan los individuos con tiempo biométrico x.

2.1 Representación en el tiempo. Stocks y flujos El análisis demográfico requiere situar los datos en el tiempo. Si el fenómeno estudiado tiene comienzo en una fecha concreta, por ejemplo el 10 de noviembre de 2008, va cumpliendo períodos de duración a lo largo del tiempo. Así, el 10 de noviembre de 2009 dicho fenómeno cumple un año de duración y cinco cuatro años después, discurriendo a lo largo de lo que se denomina su línea de vida hasta que el fenómeno desaparece. Si se observan algunos individuos, cada uno de ellos tiene su línea de vida, que comienza en su fecha de nacimiento y termina en la de su fallecimiento, habiendo transcurrido n años. Los nacidos en un mismo año de calendario se denominan generación. En general se consideran individuos de edad x todos aquellos que, en un momento dado, han cumplido x períodos de edad y no han llegado a cumplir x+1. Asimismo, en un mismo año de calendario coincidirán personas de la misma edad pertenecientes a dos generaciones diferentes. Por ejemplo, los nacidos en 2005 cumplirán 1 año de edad a lo largo del 2006, mientras que los nacidos en el 2004 cumplirán 2 años de edad a lo largo del 2006. Pues bien, ambas generaciones habrán tenido 1 año de edad durante algún tiempo del 2006. Una vez situada la vida en relación con el tiempo y la duración, se da paso a la determinación de lo que se denominan magnitudes demográficas. Las magnitudes demográficas se dividen en stocks y flujos, según estén referidas a un instante del tiempo o a un período, respectivamente. Un ejemplo de flujo sería el número de nacidos vivos en el año 2007. Un ejemplo de stock sería la población existente a 1 de enero de 2007. Las relaciones entre este tipo de magnitudes dan lugar a lo que se denominan tasas. Una tasa es un cociente entre un flujo y un stock, o bien entre dos flujos; por tanto, tiene una dimensión temporal. Las tasas intentan dar una medida de la frecuencia con la que un determinado Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

fenómeno se produce en una población. La medida será más ajustada cuanto más homogéneo sea el stock o flujo del denominador, dentro del cual se producen los sucesos que ocasionan el flujo del numerador. La tasa bruta es el cociente cuyo denominador es el stock de la población total y cuyo numerador es el flujo total de sucesos. La tasa bruta de un fenómeno demográfico es un indicador sencillo de la intensidad con la que dicho fenómeno se produce pero depende, en gran medida, de la estructura por edad y sexo de la población. De ahí la necesidad de refinar la medición mediante el empleo de tasas específicas que refieren el fenómeno a una edad y/o generación concretas. El objetivo de las tasas es doble, por una parte son descriptivas del fenómeno demográfico y por otra se utilizan para determinar probabilidades. A partir de este momento nos situamos ya exclusivamente en el marco de un colectivo humano cuya característica diferencial es la edad; en este colectivo el fenómeno causante del riesgo será la muerte. En este sentido conviene recordar que la ciencia que estudia la supervivencia de los humanos es la Biometría, valiéndose del empleo de modelos estadísticos. Dos son las hipótesis fundamentales sobre las que se asienta la teoría de la supervivencia: a) Hipótesis de independencia. Dado un grupo demográfico de N cabezas, se supone que el fenómeno de la mortalidad es independiente, es decir, que no existe interacción entre las mismas, no teniéndose en cuenta la mortalidad por contagio ni la que se deriva de la acción voluntaria de cualquiera de ellas sobre las demás. b) Hipótesis de homogeneidad. Los individuos objeto de estudio forman un grupo homogéneo respecto al fenómeno de la mortalidad, que sólo viene determinado por la edad y el sexo. 2.2 Análisis probabilístico de la mortalidad 2.2.1 Supervivencia y mortalidad Mediante estadísticas demográficas adecuadas, el objetivo es seguir la evolución a lo largo del tiempo de un grupo l0 de personas, nacidas simultáneamente. Se determinaría cuántos de ellos sobreviven cada año, es decir, cuantos cumplen 1, 2, 3, 4 ... w años, siendo w el límite de la vida humana o edad máxima que puede alcanzar una persona. La observación estadística nos permitirá determinar ℓ 0, ℓ 1, ℓ 2, ... ℓx ... ℓw, número de individuos, o cabezas como suele decirse, que cumplen 0, 1, 2, ... x, años de edad, verificándose ℓ w = 0. Sea un colectivo de individuos que, en un momento t, tienen exactamente la edad x y que denominaremos ℓ x. Los individuos supervivientes de éstos nos permitirán determinar los números ℓx+1, ... ℓx+n, ... ℓw que definirán una "tabla de supervivencia" procedente de una población. El tratamiento probabilístico de ℓx sugiere la conveniencia de considerar esta función como modelo biométrico, por lo que lx será un elemento básico para nuestro trabajo. Por otra parte, si del colectivo inicial ℓx sobreviven al cabo de un año ℓx+1 individuos, será porque se ha producido un número determinado de fallecimientos que representaremos por d x de tal forma que: ℓx = dx + ℓx+1

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Esto es, los individuos con edad x o fallecen antes de cumplir la edad x + 1, este número de fallecimientos es dx, o cumplen dicha edad, siendo este número de supervivientes ℓx+1. Análogamente: ℓx+1 = dx+1 + ℓx+2

De modo que, el número de individuos vivos con edad x+1 da origen al número de fallecidos con esa edad pero sin cumplir la x+2 (esto es dx+1) y al número de individuos que cumplen la edad x+2 (esto es ℓx+2). Y así sucesivamente podríamos ir estableciendo las relaciones entre los individuos de cada edad y los supervivientes a la siguiente edad, de tal forma que si se supone como edad límite, para los miembros del colectivo, w (lo que equivale a decir que ℓw= 0) podríamos decir que: ℓw-1 = dw-1 + ℓw = dw-1

En resumen, pues, se tiene que: dx = ℓx - ℓx+1 dx+1 =ℓ+1 - ℓx+2

(2.1)

dx+r = ℓx+r - ℓx+r+1 dw-1 = ℓw-1 - ℓw

Por supuesto, el fenómeno de la mortalidad provoca que el colectivo ℓx se vea sometido a un proceso monótono de eliminación, ya que: ℓx ≥ ℓx+1 ≥ ℓx+2 ............≥ ℓw-1 ≥ ℓw

Si sumamos ordenadamente en (2.1), y teniendo en cuenta que ℓw = 0 dx + dx+1 + ........... + dw-1 = ℓx

Es decir:

Lo que corrobora la afirmación de que se toma el grupo ℓx para analizarlo hasta su extinción. Este resultado, por lo demás es completamente lógico, ya que siendo la muerte el único riesgo al que se suponen sometidos los individuos que constituyen ℓx, y no admitiendo que se verifiquen nuevas incorporaciones a este grupo a partir del momento inicial de observación t0, la suma total de fallecimientos a todas las edades, a partir de la edad x y hasta el límite w, es igual al número inicial de individuos vivos a la edad x. En virtud de ello, las tablas de supervivencia, que en sentido estricto deben denominarse tablas de supervivencia y mortalidad, son fundamentales para determinar las consecuencias del riesgo

2.2.2 Probabilidades de vida y muerte sobre una cabeza Supongamos un individuo de edad x perteneciente al colectivo ℓx. Este individuo puede verse afectado única y exclusivamente por uno de estos dos sucesos: a) Fallecer antes de cumplir la edad x+1, entonces forma parte del colectivo dx. Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

b) Sobrevivir y cumplir la edad x+1, entonces forma parte de ℓx+1.

Pueden establecerse unas frecuencias, resultantes de comparar el número de personas que alcanzan la edad x+1, con el de personas de edad x. Pueden establecerse unas frecuencias resultantes de comparar el número de personas que alcanzan la edad x+1, con el de personas de edad x. Esta frecuencia con respecto al suceso "sobrevivir un año más una persona de edad x", se presenta (con referencia a la observación estadística) como el cociente de dividir el número de casos favorables l x+1 entre el número de casos posibles lx. Esto nos lleva a interpretar este cociente como la probabilidad de supervivencia al cabo de un año de una persona de edad x:

De forma análoga se establecería la frecuencia que surge al comparar el número de personas que fallecen a la edad x, respecto de la frecuencia de los que tienen esa edad:

(2.2)

Análogamente representamos por: n px =probabilidad de que un individuo de edad x alcance la edad x+n. /nqx = probabilidad de que un individuo de edad x fallezca antes de cumplir la edad x+n, es decir, dentro de los n años. (2.3)

(2.4)

Es evidente que todo individuo del colectivo ℓx se verá incluido en una —y sólo una— de estas categorías, de donde: n px

+ /nqx = 1

(2.5)

Pero ℓx - ℓx+n recoge la diferencia entre los individuos vivos a la edad x y los vivos a la edad x+n, luego será la suma de los fallecidos en ese período; en efecto: (2.6)

Según esto, también podríamos expresar

/nqx

así: (2.7)

En definitiva, /nqx expresa la relación entre los fallecidos durante los n años y los vivos a la edad x. Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

También tiene interés establecer la probabilidad de que un individuo de edad x fallezca en el trascurso del año n, esto es, a la edad x+n-1. Representamos esta probabilidad por n-1/qx y la definiremos como el cociente entre los fallecidos en ese año, o sea, con la edad x+n-1, pero sin haber cumplido la x+n, y los individuos vivos a la edad x. Es decir: n-1

/ qx =

(2.8)

Teniendo en cuenta que dx+n-1 = lx+n-1 - lx+n (2.9)

A partir de (2.8) podríamos llegar a la siguiente expresión de (2.7):

Lo que permite afirmar que (2.10)

Es claro que para n=1, n-1 /

qx = 0 / qx = qx

Esta expresión (2.10) permite afirmar que la probabilidad de fallecer durante los n años es igual a la suma de las probabilidades respectivas de fallecer en cada uno de ellos. La expresión (2.3) aplicada a otras edades base, permite escribir, por ejemplo:

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

(2.11)

Esto, por otra parte, es lógico, puesto que, en virtud del postulado de independencia, adoptado con anterioridad, y habiendo sido considerados los tantos como probabilidades referidas a cada año, npx podría ser considerada como probabilidad de un hecho compuesto; y, siendo los hechos simples estocásticamente independientes, esa probabilidad compuesta será igual al producto de las probabilidades de los hechos simples, tal y como pone de manifiesto la expresión (2.11). De la misma forma que hemos establecido los tantos anuales de supervivencia, podemos establecer los tantos anuales de mortalidad: (2.12)

Puede advertirse que: qx+n = tanto anual de mortalidad a la edad x+n. dx+n = número de fallecidos durante el año n+1, ó sea con la edad x+n, pero sin alcanzar la edad x+n+1. ℓx+n = número de individuos vivos con edad x+n. Esta relación evidencia que el tanto anual de mortalidad a la edad x+n, conocida también como "ex post", es igual al cociente entre el número de fallecidos con edad x+n y el número de vivos a tal edad.

2.2.3 Funciones biométricas: ley de supervivencia Se puede considerar un grupo de cabezas nacidas simultáneamente como ℓ0 pruebas de un suceso que presenta dos modalidades diferentes: la cabeza alcanza la edad x, acontecimiento de probabilidad xp0, o fallece antes de x años, acontecimiento de probabilidad xq0 = 1 – xp0. El valor medio o valor probable del número de cabezas, de entre las lo, que alcanzan la edad x, se obtendrá por tratarse del problema de pruebas repetidas, multiplicando el número de pruebas por la probabilidad correspondiente, es decir, será: ℓx = ℓ0 . xpo

(2.13)

El conocimiento de los valores: ℓ0, ℓ1, ℓ2, ..... ℓw

Ha permitido calcular las probabilidades de supervivencia y ahora, a partir de la expresión (2.13), es posible estimar los valores ℓx, dadas dichas probabilidades. El mismo razonamiento podría haberse efectuado para un grupo de ℓx personas, respecto al suceso alcanzar la edad x+t, acontecimiento de probabilidad t px, o respecto al suceso fallecer antes de t años, cuya probabilidad es /tqx. Siendo ℓx el número de pruebas o número total de personas del grupo de referencia, la variable aleatoria número de personas de edad x que alcanzan la edad x + t puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, .........., ℓx

Y su valor probable es, como antes, el producto del número de pruebas por la probabilidad, esto es ℓx+t = ℓx · tpx = ℓ0 · t p0 . tpx

Igualdad de la que se deduce el valor de la probabilidad:

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

tpx

o bien

tpx=

2.2.4 Probabilidades de supervivencia y mortalidad referentes a un grupo de dos cabezas

Puede ocurrir que el fenómeno de la supervivencia afecte a dos cabezas y las operaciones de seguro impliquen a ambas. Previamente a realizar valoraciones hay que definir las correspondientes probabilidades. En el supuesto de que las probabilidades de vida y muerte de dos cabezas de edades x e y sean independientes, podemos establecer ahora, basándonos en los principios de la probabilidad total y de la probabilidad compuesta, las siguientes probabilidades: a) Probabilidad de que ambas sobrevivan al cabo de n años, n p xy= n p x · n p y y en particular, para n = 1 p xy= p x · p y b) Probabilidad de que ninguna de las dos viva más de n años:

para n = 1:

pxy = px . py

c) Probabilidad de que no vivan las dos más de n años.

Este suceso se presenta bajo las siguientes modalidades: Probabilidad I. La cabeza x muere antes de los n años y sobrevive la y.................. II. La cabeza y muere antes de los n años y sobrevive la x................. III. Ninguna de las dos vive más de n años........................................... Por tanto la probabilidad de que no vivan las dos más de n años es: nqxy= nqx

. npy + npx . nqy + nqx . nqy = (1 - npx) npy + npx (1 -npy) + (1 -npx) (1 - npy)=

= (1 - npx) (npy + 1 - npy) + npx (1 -npy) = 1 - npx + npx - npx . npy = 1 - npx . npy = 1 - npxy

A este resultado podía haberse llegado directamente sin más que observar que el suceso en cuestión es el contrario del que ambas vivan más de n años, con lo cual nqxy

= l - npxy

Cuando n = 1 qxy = l - pxy d) La probabilidad de que al cabo de n años viva alguna de las dos cabezas, es la probabilidad del

suceso contrario al que no vivan ninguna de las dos; por lo tanto: npxy = 1 - nqxy = 1 - (1 - npx) (1 - npy) = npx + npy - npxy y para n = 1

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

Esta probabilidad nPxy también puede enunciarse como probabilidad de que al cabo de n años viva por lo menos una de las dos cabezas. e) Probabilidad de que al cabo de n años viva solamente una cualquiera de las dos cabezas. El suceso presenta dos modalidades: - Que viva "x" y haya muerto "y", cuya probabilidad es: nPx . nqy

- Que viva "y" y haya muerto "x", cuya probabilidad es: nPy . nqx La probabilidad buscada es, pues, Es decir: Resulta, pues, que las probabilidades de supervivencia y mortalidad de un grupo de dos cabezas pueden ser expresadas en función de las de una sola cabeza.

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

CAPITULO 3 3. TERMINOLOGIA DE SEGUROS 3.1 Seguro El término seguro proviene del latín secūrus y tiene diversos usos y significados en el idioma español. Se trata de aquello que es cierto e indubitable, o que aparece exento de riesgo y peligro. La palabra seguro se utiliza como sinónimo de seguridad o certeza. Por otra parte, un seguro es un contrato a través del cual una persona paga una prima para recibir una indemnización en caso de sufrir un accidente o robo, por ejemplo. También existen los seguros de vida, donde la compañía aseguradora abona una cierta suma a los familiares del muerto. En los contratos de seguro, existen obligaciones y derechos recíprocos para el asegurador y el asegurado. La intención del asegurado es obtener una protección económica de sus bienes o de las personas que pudieran sufrir daños, mientras que el negocio para el asegurador es el cobro de la prima. El contrato de seguro implica la existencia de un interés asegurable (se establece una relación lícita entre un valor económico y un bien; es posible asegurar bienes materiales, como una casa o un automóvil, e inmateriales, como un perjuicio económico o el lucro cesante), un riesgo asegurable (el evento posible, incierto y futuro que pueda causar un daño al interés asegurable), una prima (el costo del seguro) y la obligación del asegurador a indemnizar (al cobrar la prima, el asegurador está obligado a asumir el riesgo y pagar la indemnización en caso de que suceda un siniestro).

3.2 Riesgo El concepto de riesgo está íntimamente relacionado al de incertidumbre, o falta de certeza, de algo pueda acontecer y generar una pérdida del mismo. La Ley del Contrato de Seguro define el Riesgo como el suceso futuro e incierto que no depende exclusivamente de la voluntad del tomador, del asegurado o del beneficiario, y cuya materialización da origen a la obligación de la empresa de seguros. A nivel doctrinal el riesgo representa el elemento fundamental y más característico del seguro. Desde el punto de vista técnico, puede decirse que el riesgo es la posibilidad de que por azar ocurra un evento, futuro e incierto, de consecuencias dañosas susceptibles de crear una necesidad patrimonial. El Diccionario de Derecho Usual de Guillermo Cabanellas define el Riesgo así: Contingencia, probabilidad, proximidad de un daño. Peligro. Se conocen diversidad de conceptos sobre el riesgo, entre ellos se pueden señalar los siguientes: Riesgo es un conjunto de circunstancias que representan una posibilidad de pérdida Riesgo es la incertidumbre de que ocurra una pérdida económica Riesgo es la posibilidad de que por azar ocurra un hecho que produzca una necesidad patrimonial Riesgo es la eventualidad del suceso cuya realización ha de obligar al asegurador a efectuar la prestación que le corresponde Al analizar cada una de estas definiciones se puede constatar que aunque son de diferentes autores, todas coinciden cuando expresan que el riesgo es la incertidumbre asociada con la posibilidad de que se produzca una pérdida económica, por lo cual el patrimonio del asegurado se vería afectado. Se puede afirmar que la necesidad de asegurarse surge cuando se está frente a la posibilidad de que ocurra un evento dañoso, pudiendo decir que el riesgo actúa como móvil. El autor Prieto Pérez discierne sobre los conceptos de nesgo e incertidumbre en la siguiente forma: "La palabra riesgo lleva en sí idea de Posibilidad de pérdida. Se puede hablar de posibilidades de pérdida y de ganancia. Podríamos referirnos con pleno sentido al riesgo de pérdida, pero nunca lo tendría la frase "Riesgo de ganancia". La palabra riesgo utilizada en su sentido correcto significa posibilidad de sufrir Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

pérdida. La naturaleza de la pérdida física o monetaria es indiferente, pero tiene que darse su Posibilidad, sin ninguna seguridad de que va a Producirse, puesto que allí donde la pérdida es segura no hay riesgo de pérdida, sino certeza. "En resumen, el riesgo implica posibilidades de pérdidas no compensadas con posibilidades de ganancias". "La incertidumbre consiste en la certeza de tener que enfrentarse a una situación absolutamente Incierta respecto a la dirección hacia la cual puede desviarse". 3.3 Siniestro El concepto de siniestro (del latín sinister) tiene tres grandes usos. Por un lado, hace referencia a aquel o aquello que tiene propensión hacia lo malo o funesto. Se trata de una especie de costumbre o tendencia que es malintencionada. Una persona siniestra, por ejemplo, puede ser maligna o perversa: “El siniestro general ordenó el fusilamiento de los cuatro detenidos”, “Franco es siniestro, siempre trata de agredir a la gente”. El siniestro es la materialización del riesgo, “Algunas personas manifiesta: es mejor tener seguro y no necesitarlo, que necesitar un seguro y no tenerlo” , “gracias al seguro, he podido recuperar los bienes adquiridos productos de mi esfuerzo de muchos años” 3.4 Asegurador Persona física o jurídica que se dedica a asegurar riesgos ajenos a través de la celebración de un contrato recibiendo por adelantado la contraprestación. 3.5 Asegurado En sentido estricto, es la persona que en sí misma o en sus bienes o intereses económicos está expuesta al riesgo. Así, en el ramo de Vida, asegurado es la persona cuya vida se garantiza; en el ramo de Incendios, es el titular del inmueble cubierto por la póliza. No obstante, en sentido amplio, asegurado es quien suscribe la póliza con la entidad aseguradora, comprometiéndose al pago de las primas estipuladas y teniendo derecho al cobro de las indemnizaciones que se produzcan a consecuencia de siniestro. Por todo ello, en la práctica, la figura del asegurado se ve acompañada por otras manifestaciones personales que unas veces son coincidentes y otras, particularmente en ciertas modalidades de seguro, gozan de independencia: a) El suscriptor de la póliza, llamado generalmente tomador del seguro o contratante, cuya peculiaridad radica en la obligación esencial que pesa sobre él del pago de la prima; b) El asegurado, cuyas circunstancias personales o de otro tipo, pero siempre vinculadas íntimamente a él, originan o pueden motivar el pago de la indemnización; c) el beneficiario, cuya única vinculación al contrato de seguro es la de ser titular del derecho indemnizatorio. De hecho, especialmente en los riesgos patrimoniales, es decir, aquellos en los que el siniestro afecta directamente a la masa económica del asegurado (v. gr., incendios, robo, etc.), contratante, asegurado y beneficiario suelen ser la misma persona que, simultáneamente, suscribe la póliza de seguro, está obligada al pago de la prima, sus bienes constituyen directamente el objeto asegurado (la vivienda, la industria) y tiene el derecho a percibir la indemnización económica en el caso de producirse el siniestro. En los seguros de riesgos personales (vida, enfermedad, accidentes individuales, etc.) es posible y hasta en muchos casos frecuente, particularmente en los riesgos colectivos o de grupo, que aquellas tres figuras tengan naturaleza independiente: así, aparecen seguros directamente concertados por una empresa (contratante) a favor de sus empleados (asegurados) y en donde quienes perciban la indemnización en caso de fallecimiento de éstos sean sus herederos u otras personas específicamente designadas al efecto (beneficiarios). Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

3.6. Beneficiario Persona designada en la póliza por el asegurado o contratante como titular de los derechos indemnizatorios que en dicho documento se establecen. Su designación puede ser expresa (Señor, o su esposa, Doña, etc.) o tácita (los herederos legales del asegurado), y generalmente de libre nombramiento, aunque es práctica normal que el beneficiario tenga en alguna forma un vínculo común de intereses personales, familiares o económicos con el asegurado o contratante. 3.7. Agente de seguros

Un agente de seguros es un profesional, persona física o jurídica vinculado a una entidad aseguradora por un contrato de agencia de seguros. La tarea principal del agente de seguros es el asesoramiento (en caso de siniestro, sobre las condiciones de una pólizas, sobre cómo asegurar nuevos riesgos del asegurado cliente, etc.), la conservación de la cartera de clientes (labor comercial y administrativa para conseguir renovaciones de contratos de seguro) y la producción de seguros (nuevas contrataciones). El agente puede servirse de la imagen de la aseguradora (rótulos, cartelería, papelería, etc.) en su tarea comercial, y obtiene como retribución a su labor, una comisión por cada nuevo cliente captado así como por la cartera de clientes que continúan siendo fieles a la compañía y cuyas renovaciones de seguros se encarga de fomentar. Es muy común confundir a una agencia de seguros con una correduría de seguros, bróker o comisionista . La diferencia es que el agente lo es por cuenta de los productos de una sola compañía, mientras que una correduría de seguros puede comercializar los productos de varias aseguradoras. Cobra dela segurador una comisión o proporción del precio o prima que pague el asegurado. 3.8. Las cinco <<aes>> Asegurado, Agente, Asegurador, Ajustador, Autoridad, es el conjunto de los cinco vocablos, ligados a la actividad aseguradora, formando un equilibrado funcionamiento del sistema.  El asegurado requiere de contar con una seguro, pago por su servicio y lo recibe  El agente brinda sus servicios al asegurado y busca las mejores propuestas de aseguramiento en las mejores condiciones y más ventajosas.  El asegurador indemniza el siniestro aceptando las condiciones en función de su protección.  El ajustador, persona encargada de evaluar el daño por encargo del tercero, bajo su responsabilidad está el análisis de la procedencia o improcedencia de los reclamos y encargado de sugerir el pago del siniestro.  Autoridad, es la persona encargada de autorizar las condiciones, tarifas de seguro, encargada de valorar la idoneidad del agente y ajustador. 3.9. Póliza En el documento se describirán las personas, objetos o instrumentos que se vean sujetos a aseguración y se establecerán las indemnizaciones y garantías en caso que se produzca un siniestro que afecte a ese bien, persona u objeto de nuestra propiedad. Existe una vastísima gama de riesgos a asegurar, por ejemplo, incendios, choques, en el caso de un automóvil, la muerte de una persona, entre otros, entonces y debido a esta situación es que antes de tomar una determinada póliza, el individuo deberá asesorarse cierta y correctamente al respecto de cuál es la mejor alternativa que existe para el bien u objeto a asegurar y obviamente, tener en cuenta ante todo las características de aquello a resguardar de peligros. De esta manera, quedarán resguardadas Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

algunas cuestiones o riesgos y excluidas otras, pero claro, se tendrá una acabada idea de aquello a cuidar más, porque no se encuentra cubierto por la póliza que se sacó. La póliza se encuentra compuesta por tres partes fundamentales: las condiciones generales, las condiciones particulares y el condicionado especial. Las condiciones generales, comprenden a aquel conjunto de cláusulas que establece el asegurador para regular todos los contratos de seguro que se emitan dentro del mismo ramo como: extensión y objeto del seguro, riesgos excluidos, pago de indemnizaciones y la forma de liquidación de las indemnizaciones. Por su lado, las condiciones particulares, son aquellos aspectos específicos de cada póliza y que las diferenciará del resto. Y el condicionado especial, refiere al conjunto de cláusulas que resultan de la aplicación a cada póliza en concreto. El condicionado especial que trata de materias o coberturas no contempladas en las condiciones generales. Estas condiciones deben estar mencionadas en las condiciones particulares 3.10. Prima Aportación económica que ha de satisfacer el Tomador a la Entidad Aseguradora, en concepto de contraprestación por la cobertura de un riesgo. Jurídicamente es el elemento real más importante del Contrato de Seguros, porque su naturaleza, constitución y finalidad lo hacen ser esencial y típico de dicho contrato. Técnicamente es el coste de la probabilidad media teórica de que haya un siniestro. El costo de la prima se calcula en solidas bases estadísticas, frente a una gran cantidad de bienes o personas expuestas al riesgo, de este trabajo se ocupa el actuario en seguros. 3.11. Clase de Primas Existen distintos tipos de primas según la cuantía monetaria que tiene cancelar el tomador del seguro: Prima natural  Prima pura  Prima comercial  Prima nivelada  Prima única  Prima periódica Prima natural: En los seguros de vida es la prima que depende del cómputo matemático del riesgo. Por esta razón, a mayor riesgo, mayor será la prima natural, y viceversa. Prima pura: Es la prima de riesgo de los otros ramos de seguros. Prima comercial: esta es la prima que paga efectivamente el asegurado y se compone de dos partes: la prima natural o pura por un lado y los gastos de explotación y la ganancia del asegurador por el otro. De esos gastos los más importantes son:  Comisión a favor de los productores que colocan los seguros.  Comisión de cobranza que se paga a los colaboradores por la percepción de las primas.  Gastos de administración y propaganda.  Recargo por fraccionamiento de la prima. La prima puede fraccionarse mediante cuotas periódicas, y ello da origen a un recargo, como suele ocurrir con las ventas a plazo.  Margen de seguridad. Se trata de un recargo para prever cualquier aumento de gastos y en particular la posibilidad de un riesgo mayor. B=Prima Comercial

P= Prima de riegos a= Gastos administrativos, un % de B k=Gastos de adquisición, un % de B b=Margen de beneficio, un % de B Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

B=P+ recargos B=P + aB + kB + bB P B=----------------1–a–k–b Ejercicio: Calcular la prima comercial de un determinado seguro cuya prima de riesgo es el 5,37% considerando el 7,5% por gastos de agenciamiento y el 9%, el 11% por gastos de administración y el 3% por margen de beneficio. 5,37 5,37 B= -------------------------------- = ------ = 6,67% 1 – 0,09 – 0,075 – 0,03 0,805 Se observa que hay un recargo de: 6,67% - 5,37% = 1,3% Es decir, 1,3 -------- = 24,21% 5,37

1,3 -------- = 19,49% 6,67

sobre la prima de riesgo

sobre la prima de tarifa

Prima nivelada: La aplicación simple de la prima natural para el cálculo de la prima comercial haría prohibitivo el seguro de vida, a partir de una determinada edad. En este caso la prima comercial aumentaría de continuo y llegaría un momento en que el asegurado desistiría del contrato dado el alto precio que debería abonar por su seguro. Por ello ha sido necesario nivelar las primas a fin de que la prima comercial sea la misma, en los seguros de vida, durante toda la vigencia del contrato. Prima única: es lo que debe abonar el asegurado cuando ello se hace en una sola oportunidad. Primas periódicas: la prima única se abona con pagos parciales, con lo cual se ofrece al asegurado una posibilidad que puede decidir la concentración de estas operaciones. 3.12. Suma asegurada La suma asegurada es el valor que se asigna en la póliza como el gasto máximo que ha de pagar la compañía de seguros en caso de daño o pérdida de sus asegurados. Se puede contratar bajo la modalidad de valor total –el más habitual y coincidente con el valor asegurado-, primer riesgo límite máximo que la compañía indemnizaría en caso de siniestro- y de valor parcial -un límite máximo de indemnización que viene reflejado en un % sobre la suma asegurada a valor total-. En los seguros de cosas o daños, esta suma debe ser el valor real del objeto asegurado, en una economía inflacionaria, este valor puede deteriorarse y para esto existe formulas de actualización de la suma

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asegurada. En el caso de personas, accidentes, enfermedad o muerte, la suma no tiene límite, la muerte no tiene precio. 3.13. Indemnización Se refiere a la transacción que se realiza entre un acreedor o víctima y un deudor o victimario. En palabras simples es una "compensación" que alguien pide y eventualmente puede recibir por daños o deudas de parte de otra persona o entidad. La transacción mencionada corresponde a la petición realizada por parte de la víctima o acreedor de una determinada suma de dinero, la que deberá ser equivalente al daño producido o a las ganancias y beneficios que hubiese adquirido de no haberse producido cierto daño por parte del victimario o deudor. Es por esto que, generalmente, se habla de indemnización de perjuicios, entendiendo “perjuicio” como aquel daño producido por el deudor o victimario, y que deberá ser compensado. Cuando la suma asegurada fijada en la póliza sea menor del valor real de los bienes afectados en el momento del siniestro, se trata de un tipo caso de <<infraseguro>> En este caso la indemnización se reducirá en la misma proporción del infrasegurio mediante la aplicación de la formula: Valor Asegurado I = ------------------------ x importe de la pérdida Valor real 3.14. Vigencia del seguro Generalmente el tiempo de la vigencia es de un seguro es de un año, y es el tiempo durante el cual está cubierta el motivo del seguro y se puede contratarse por menor o mayor tiempo como está indicado en el concepto de la Prima Vigencia de seguro es también el período de tiempo previsto en la póliza durante el cual surten efectos sus coberturas. 3.15. Coaseguro

Es un contrato de seguros suscrito de una parte por el asegurado y de otra parte, por varios aseguradores que asumen con entera independencia, los unos de otros, la obligación de responder separadamente de la parte del riesgo que les corresponda. Es factible que un asegurador no pueda responder financieramente de la totalidad de un riesgo por no traspasar sus plenos y es cuando aparece la figura del coaseguro, en virtud del cual son varios los aseguradores que intervienen independientemente en el seguro. Existen tres tipos de Coaseguro: Puro; cuando el asegurado es el que solicita por escrito que el riesgo sea distribuido en coaseguro, señalando las proporciones respectivas que le correspondan, en cuyo caso cobrará de cada coasegurador el valor proporcional de siniestro que ocurra. Interno; resulta de la iniciativa de la entidad líder y demás coaseguradoras. El asegurado no conoce este convenio y se entiende únicamente con el que emitió la póliza. Pactado; es una mezcla de los dos anteriores, con el objeto de obtener una rebaja en la prima, según normas tarifarias. 3.16. Deducible Un deducible es una cantidad de dinero que usted conviene en pagar como parte de una reclamación antes de que el asegurador se comprometa a pagar el resto del importe de la reclamación. Por ejemplo, si usted tiene una cobertura para colisión con un deducible de $200 y usted tuvo una pérdida de $500, Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

usted tendría que pagar $200 y la compañía de seguros el remanente de $300. Básicamente, los deducibles reducen las primas debido a que usted conviene en deducir una cantidad del monto de la reclamación a su asegurador que de lo contrario tendría que pagar. Las compañías de seguros ofrecen deducibles debido a que reducen el número de reclamaciones de poco monto, las cuales les resulta costoso manejar. Si usted compra un automóvil nuevo con un préstamo, la institución financiera que le prestó el dinero, podrá requerirle que compre una cobertura para colisión. Esto se debe a que ellos ven su automóvil como una garantía colateral del préstamo, y quieren asegurarse de que valga algo si necesitan reposesionarse del vehículo. Los sistemas de coaseguro pactado o de deducibles voluntarios por sumas o proporciones mayores a la obligatoria, da derecho a rebajas sustanciales en el costo de los seguros. 3.17. Apéndice o suplemento Es un documento que el asegurador emite durante la vigencia de la póliza para modificar las condiciones del contrato otorgado, sea para ampliar o restringir la cobertura, Mal Llamado endoso, este documento puede generar cobro o devolución de la prima, o sólo modificación sin vinculación con el coste del seguro. 3.18. Reaseguro El reaseguro es esencialmente una modalidad de seguro, en la que el asegurado es una entidad de seguros y el asegurados es un reasegurador. Por mucho que la evolución del reaseguro haya llegado a adoptar fórmulas de protección muy variada y original, el seguro comparten una naturaleza común: la asunción de un riesgo económico. La principal diferencia estriba en el hecho de que mientras por un contrato de seguro la relación indemnizatoria se establece entre una empresa de seguros y el público en general (individuos o empresas), en el caso del reaseguro el cliente es una entidad de seguros o de reaseguros. En términos sencillos, cabría definir el reaseguro como "el seguro del seguro". Se trata de un contrato que suscribe tu compañía de seguros con otra compañía (en este caso, sería la reaseguradora), para que cubra parte (o la totalidad) del coste del siniestro. Es la manera que tienen las entidades aseguradores de asumir riesgos muy elevados. Por ello, el reaseguro viene a superponerse a la protección de los riesgos otorgando mayor estabilidad y solvencia al asegurador, que es quien, frente a sus asegurados, tiene la obligación de asumir el coste de las reclamaciones por siniestros cubiertos por la póliza. En definitiva,, y en términos más técnicos, con el reaseguro se homogenizan los valores asegurados y se limitan las responsabilidades asumidas, con lo que se permite el control de la frecuencia siniestral (probabilidad de ocurrencia), de la intensidad del siniestro (alcance) y de su importe (cuantía), todo lo cual favorece una mayor capacidad y oferta de seguros para asumir riesgos. 3.19. Reservas Son conceptos que utiliza el seguro y señala derechos de terceros, es decir obligaciones una veces exigibles y concretas y otras abstractas del asegurador. Provisión de prestaciones pendientes de pagar o liquidar a la fecha de consulta del siniestro, se modifica automáticamente en función de la información recibida desde peritaciones y/o pagos/recobros efectuados.

Las reservas de las compañías de seguros son de dos clases. Las del primer grupo se constituyen con utilidades líquidas y realizadas, como ocurre en todas las empresas, por ejemplo, Reserva Legal, Reserva Facultativa, Reserva General de Previsión, etc. El otro grupo está integrado por las reservas técnicas propia de la explotación de seguro. Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

Las reservas del primer grupo tienen por objeto aumentar los medios de acción de la empresa, prevenir quebrantos futuros o hacer distribuciones posteriores entre los socios o accionistas. En cambio, las reservas técnicas no responden a estas finalidades y representan un pasivo o compromiso a cargo de la compañía aseguradora, lo que pone bien de manifiesto la diferencia esencial que existe entre ambos tipos de reservas. Reserva para riesgo en curso: Una determinada porción de las primas percibidas en cada ejercicio en los seguros eventuales se transfiere a esta reserva. Para cada uno de los ramos de seguro que se explote se utiliza una reserva de esta naturaleza, tanto para los seguros directos como para los reaseguros tomados. El asegurado, al contratar un seguro, adquiere la obligación de pagar anticipadamente la prima respectiva. Lo haga de inmediato o en cuotas, lo cierto es que la compañía dispone de una masa de valores activos con la cual debe afrontar los siniestros correspondientes a las pólizas emitidas. Los siniestros que ocurran en el año de la emisión de la póliza se abonan con esa masa de valores. Pero es posible que haya siniestros en el ejercicio posterior. Por lo tanto, para hacer frente a su pago es necesario reservar, de las primas de cada año, una determinada proporción, que se acredita a la Reserva de Riesgos en Curso de cada uno de los seguros eventuales. Sobre la constitución de las reservas de este tipo rigen las normas siguientes: 

En general, para los seguros de riesgos eventuales debe reservarse el 80% de las primas, netas de anulaciones y reaseguros, que sean representativas del riesgo no corrido al término del ejercicio.  En los seguros marítimos que se halla contratado por viaje la reserva se constituye por el total de las primas, netas de reaseguros y anulaciones, correspondientes a los dos últimos meses de cada ejercicio.  En los seguros de fidelidad y garantía hay que reservar el 40% de las primas netas de cada ejercicio y un adicional del 15% sobre el promedio de las primas netas de los últimos tres ejercicios. Reserva Matemática: Se constituye para los seguros de vida. Teóricamente las primas de estos seguros, dada su naturaleza, deberían elevarse de continuo, por la mayor probabilidad de muerte

del asegurado a medida que transcurre el tiempo. Pero si así se hiciera los seguros de vida serían prohibitivos a partir de cierta edad. Para evitar este inconveniente las compañías de seguro perciben primas niveladas o medias. Quiere decir que un asegurado en sus comienzos abonará primas en exceso con relación a lo que corresponda según su probabilidad de muerte, y pagará primas más reducidas a partir de una edad determinada. La cantidad abonada en exceso durante estos primeros años, constituye la prima de ahorro. Con ésta y la parte que se toma de la prima de riesgo, así como con los intereses acumulados, se forma la reserva matemática del seguro. Reserva para Siniestros Pendientes: A esta reserva se le acredita el importe de los siniestros denunciados que permanecen en trámite de liquidación y que por esa causa aún no han sido abonados, ya se trate de seguros directos o de reaseguros. Fondo de Acumulación Asegurados Vida: Se acreditan a este fondo las partidas a distribuir entre los asegurados de la Sección Vida como beneficio complementario, según las condiciones estipuladas en las pólizas. Esas partidas pueden ser utilidades de dicha Sección o ingresos de éstos que se afectan a esa finalidad. 3.20. Ramos del Seguro Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

Conjunto de modalidades de seguro relativas a riesgos de características o naturaleza semejantes. En este sentido se habla de ramo de vida, ramo de automóviles, ramo de incendios, etc. La clasificación de los riesgos en ramos es un instrumento fundamental para establecer la homogeneidad cualitativa de los mismos. 3.21. Clases de seguro Existen muchas clases de seguros (de hogar, de vida, de asistencia sanitaria, de automóvil, etc.) según el objeto que se asegure, según los propósitos, características, complejidad, origen, pertenencia, etc. Y los diferentes modos de clasificación que se pretenda hacer. Las diversas modalidades de seguros se pueden clasificar de la siguiente manera: a) Seguros patrimoniales. Garantizan los daños que pueda sufrir el patrimonio del asegurado y por los que pueda surgirle una necesidad dineraria. Se incluyen en este grupo, entre otros, el seguro de responsabilidad civil, que cubre e indemniza por los daños y perjuicios causados por el asegurado a un tercero en una situación prevista en el contrato (un accidente de coche, por ejemplo). Para realizar determinadas actividades es obligatoria la contratación de este seguro, por ejemplo, para circular con vehículos a motor, para el ejercicio de la caza, etc. Estos seguros son de estricta indeminización, y es preciso para su validez que en el momento de su contratación exista un interés asegurable. b) Seguro de personas. Abarcan los riesgos que puedan afectar a la vida, a la integridad física o a la salud del consumidor. Están dentro de esta clasificación los seguros siguientes: seguros de vida, seguros de accidentes, seguro de enfermedad, la asistencia médica, la invalidez, etc. Se caracterizan por contratarse por sumas aseguradas variables y prácticamente ilimitadas. 3.22. Seguro contra incendio Cubre los daños, según lo pactado en la póliza, que como consecuencia de un incendio, fuego o llama se puedan producir en el objeto asegurado y puede haber otra gama de coberturas tales como explosión, terremoto, daños por agua, daños por humo, inundación, terrorismo etc. 3.23. Seguro de Transporte El asegurador se responsabiliza de la indemnización de los daños que se puedan producir tanto en las mercancías transportadas como en los vehículos que las transportan. También se llama seguro de carga, cubre las mercancías o carga deducida por la nave si el transporte es marítimo, también la carga cubierta por el seguro puede ser aérea, terrestre, fluvial o lacustre, desde el almacén de origen hasta el del importador. 3.24. Seguro de Cascos Marítimos Cubre a las naves, buques, yates y toda embarcación contra los llamados riesgos de mar como son: Hundimiento naufragio, varadura, encallamiento, choque, colisión, abordaje o choque con otra nave, incendio, Pérdida total, Apresamiento, Deterioro que disminuya las ¾ partes del valor del barco. 3.25. Seguro de robo y/o asalto Cubre los daños que pueda causar un tercero, por robo o hurto o apropiación ilícita, en los bienes que se tengan asegurados. Cuando el robo se produzca por una negligencia del asegurado, por ejemplo, olvidarse las llaves puestas en la cerradura de casa, dejarse el coche abierto, etc., la entidad aseguradora no tendrá obligación de indemnizar. 3.26. Seguro de Ingeniería Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

Cubren todos los riesgos de construcción, riesgo de montaje, rotura de maquinaria, todo riesgo de equipo de contratistas, equipos electrónicos. Este seguro esta dentro de los denominados "Ramos de Ingeniería" la solicitud de este seguro en los últimos años ha aumentado considerablemente debido que cada día las Empresas de todo tipo (industrias, comercio hospitales / clínicas) dependen más de la tecnología y se vuelve indispensable tener computadores, equipos de telecomunicación, equipos médicos, equipos de precisión. 3.27. Seguro de fidelidad

Este seguro cubre la infidelidad, falsificación, robo, hurto, abuso de confianza, estafa o apropiación indebida de valores o bienes, infidelidad de empleados, por parte de uno o de varios empleados del asegurado. Estas coberturas están expresamente excluidas de una póliza de Robo y/o Asalto. Para contratar esta póliza, se establece un límite de cobertura mediante convenio con la aseguradora. 3.28. Seguro de responsabilidad civil Se define como la obligación que tiene toda persona de reparar el daño, en virtud del principio "No causar daño ni lesiones a los intereses de los semejantes", para lo cual aquella fija en la póliza un límite de cobertura hasta el cual puede la entidad aseguradora indemnizar a la víctima por el daño que el asegurado le ha causado. 3.29. Seguro de automóviles El seguro del automóvil es un contrato de seguro que cubre los riesgos creados por la conducción de automóviles en caso de causar un accidente.

Existe una modalidad básica, cuya contratación es obligatoria por los propietarios de todo vehículo, denominada por ello seguro obligatorio del automóvil que cubre la responsabilidad civil del propietario y del conductor del vehículo —en el caso de que no sean la misma persona— por los daños y lesiones que causen a terceros. Incluye también la defensa jurídica hasta ciertos límites. Esta modalidad está regulada de forma detallada por la normativa estatal. Junto a esta modalidad básica se pueden contratar otros complementos voluntarios: lo que se denomina seguro de responsabilidad civil voluntario, que cubre las posibles indemnizaciones a terceros por encima de las cantidades incluidas en el seguro obligatorio; el seguro de ocupantes, lo mismo que el anterior pero específicamente para los ocupantes del vehículo; el seguro de daños propios o seguro a todo riesgo, por los daños que pueda sufrir el vehículo del propio asegurado; el seguro de lunas, por los daños a las lunas del propio vehículo, es una subespecie del anterior; el seguro de accidentes del conductor, que es un seguro sobre la vida del propio conductor, ya que éste no está cubierto por el seguro obligatorio; el seguro de defensa jurídica en cuanto no esté cubierto por el obligatorio; la asistencia en viaje, etc. También existe la variante «con franquicia» que se utiliza sobre todo en los seguros de coche a todo riesgo que en vez de cubrir el total del siniestro, solo lo hace a partir de una cantidad que soporta el asegurado. 3.30. Seguro de lucro cesante Se regula como aquel contrato de seguro por él que el asegurador se obliga, dentro de los límites establecidos en la ley y en el contrato, a indemnizar al asegurado la pérdida del rendimiento económico que hubiera podido alcanzarse en un acto o actividad de no haberse producido el siniestro descrito en el Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

contrato. Esta clase de seguro podrá celebrarse como contrato autónomo o añadirse como un pacto a otro de distinta naturaleza. Este seguro cubre riesgos afectantes a una o varias operaciones lucrativas predeterminadas en la póliza, o recaer sobre la actividad de una empresa mercantil, asegurando la pérdida de beneficios y los gastos generales que el titular de aquella haya de seguir soportando cuando quede paralizada total o parcialmente, a consecuencia de acontecimientos determinados en el contrato. En el supuesto de que coexistan un seguro de lucro cesante y otro de daños sobre el mismo objeto, pero con distinto asegurador, el asegurado deberá comunicar a cada uno de los aseguradores la existencia del otro seguro. La indemnización a satisfacer según la ley, salvo pacto en contrario, será: La pérdida de beneficios que produzca el siniestro durante el plazo previsto en la póliza. Los gastos generales que continúen gravando al asegurado después de la producción del siniestro. Los gastos que sean consecuencia directa del siniestro. Cuando el contrato solo tenga por objeto la pérdida de beneficios, las partes no podrán predeterminar el importe de la indemnización. Un incendio o rotura de maquinaria puede paralizar la producción y consecuentemente la venta de productos y la obtención de beneficios. El seguro repone la ganancia no obtenida por causa de la interrupción. 3.31. Seguro de vida El seguro de vida busca garantizar la protección de las personas que el asegurado tiene a su cargo. En caso del fallecimiento de éste, sus beneficiarios o herederos acceden a una indemnización. Esta indemnización se denomina capital asegurado y puede ser pagada en una única vez o a

modo de renta financiera. Por lo general, los beneficiarios son los familiares del asegurado, aunque también pueden ser sus socios o acreedores. 3.32. Seguro contra accidentes personales

Seguro de accidentes, cuando el riesgo que se quiere prevenir es la posibilidad de sufrir un menoscabo físico personal como consecuencia de un accidente. Este seguro cubre la lesión corporal por causa de accidentes. A estos efectos la Ley de España define al accidente como aquella lesión corporal que deriva de una causa violenta, súbita, externa y ajena a la intencionalidad del asegurado, que produzca invalidez temporal o permanente o muerte. Las pólizas configuran cuidadosamente el riesgo cubierto mediante un sistema de delimitaciones, principalmente causales. Como el contrato de seguro de vida, se pueden designar beneficiarios por el contratante asegurado que percibirán la indemnización: capital asegurado, en el caso de muerte. De no existir beneficiarios, pasará el derecho a los herederos del muerto. En el supuesto de invalidez permanente, el valor del daño indemnizable se determina con arreglo a una escala de porcentajes adecuada a las distintas manifestaciones o clases de incapacidad. En la incapacidad temporal se abona al asegurado una cantidad o dieta asegurada por el tiempo que dure la incapacidad. La provocación voluntaria del siniestro por parte del asegurado libera al asegurador del cumplimiento de su obligación. La póliza puede extenderse a la cobertura de los gastos sanitarios, siempre que se realice de acuerdo con las condiciones pactadas. Esta modalidad del seguro de personas es la única del ramo en el que el Consorcio de Compensación de Seguros entra en relación con los riesgos extraordinarios.

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Se puede asegurar también el riesgo de sufrir una invalidez, estableciendo el pago de una cantidad para el caso de la invalidez permanente absoluta o total y cantidades a determinar según un baremo o escala si la invalidez es parcial 3.33. Seguro de asistencia sanitaria Es un seguro de prestación de servicios a través del cual el asegurador asume la prestación de servicios médicos, riesgos de enfermedad, gastos hospitalarios, extendiéndose a los familiares o dependientes del asegurado titular, sin que el asegurado tenga, en principio, derecho a una suma dineraria. Es una especia de seguro supletorio de seguridad social 3.34. Principios del seguro Son los fundamentos doctrinarios en que se basa la actividad aseguradora y son las normas que rigen las relaciones entre Asegurador y Asegurado. Son los siguientes: 1. Principio de Buena Fe: Llamado la "ubérrima fide" o la máxima buena fe que debe sustentar la validez del contrato de seguro, cuando las partes se rigen por actos de absoluta veracidad, a fin de evitar todo intento de dolo o mala intención. Por ejemplo, si un asegurado hace declaraciones falsas para la apreciación del riesgo, no actúa de buena fe, más bien trata de engañar u ocultar algo para lucrar del seguro, lo cual no es buena regla de Juego. 2. Principio de Indemnización: Resumido en la frase "el seguro no es para ganar, el seguro es para no perder" trata de evitar un afán de lucro por parte del asegurado, en vez de tener un seguir para garantizarle solamente una protección que le libere de una pérdida o daño. 3. Principio de Interés Asegurable: Vinculado con el anterior, hace que el seguro proteja el valor económico de un bien hasta una suma máxima de pérdida, pero sin exceder el valor real total de dicho bien. Sería absurdo e injusto, por ejemplo, que un determinado asegurado tuviera un interés asegurable de 100 por un bien que sólo vale 50. 4. Principio de Subrogación: Consecuencia del principio de indemnización, que faculta al asegurador (una vez que ha indemnizado una pérdida) a recuperar de terceras personas responsables, en caso de haberlas. 5. Principio de Contribución: Según este principio, en caso de que una misma materia asegurada tuviera "otros seguros", la pérdida total debe ser compartida por los otros aseguradores en proporción a los capitales asegurados. 3.35 Calidad de vida es un concepto utilizado para evaluar el bienestar social general de individuos y sociedades por si. El término se utiliza en una generalidad de contextos, tales como sociología, ciencia política, estudios médicos, estudios del desarrollo, etc. No debe ser confundido con el concepto de estándar o nivel de vida, que se basa primariamente en ingresos. Indicadores de calidad de vida incluyen no solo elementos de riqueza y empleo sino también de ambiente físico y arquitectónico, salud física y mental, educación, recreación y pertenencia o cohesión social. 3.36. Concepto sobre desarrollo. Es el proceso caracterizado por una rápida acumulación de capital, elevación de la productividad, introducción y mejora de nuevas técnicas; diversificación de la producción y la oferta, capitalización agraria, aumento de la población (en especial de la población activa), creación y perfeccionamiento de la infraestructura. La renta por habitante es el principal elemento que se utiliza para medir el grado de desarrollo de una economía. En síntesis, el desarrollo es el conjunto de actividades y procesos que aumentan la capacidad del hombre, con el fin de satisfacer sus necesidades e incrementar su calidad de vida.

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3.37 Concepto de mortalidad. La mortalidad es la condición de ser mortal, por tanto, de ser susceptible a la muerte. Sin embargo, el término mortalidad está en la mayoría de los casos relacionado con los estudios estadísticos aplicados sobre poblaciones. La mortalidad aparece entonces como un número que busca establecer la cantidad de muertes sobre una población determinada. 3.38. Concepto de natalidad. La natalidad es el número proporcional de los nacimientos que acontecen en una población y un tiempo determinados. Para la demografía, la tasa de natalidad es una medida de cuantificación de la fecundidad.

La natalidad suele medirse en un periodo de un año y toma como base el número de nacimientos de una población por cada mil habitantes. Dicho dato es fácil de obtener y de interpretar, pero no resulta muy preciso para medir la fecundidad ya que depende de la estructura de edad y sexo de la población. En un pueblo donde la mayor parte de la gente supera los 40 años, por ejemplo, habrá una tasa de natalidad inferior a un pueblo de personas más jóvenes. 3.39. Concepto de Morbilidad (del inglés morbidity) es la cantidad de personas o individuos que son considerados enfermos o que son víctimas de enfermedad en un espacio y tiempo determinados. La morbilidad es, entonces, un dato estadístico de altísima importancia para poder comprender la evolución y avance o retroceso de alguna enfermedad, así también como las razones de su surgimiento y las posibles soluciones. En el sentido de la epidemiología se puede ampliar al estudio y cuantificación de la presencia y efectos de alguna enfermedad en una población.

También es una adaptación mal empleada al español que proviene de la inglesa "morbidity" generalmente usada así en Sudamérica para identificar una condición médica en la que se estudian los padecimientos de una enfermedad y cuyo verdadero significado es "patología". O también para definir discapacidad, es el porcentaje de individuos que contrae una cierta enfermedad en una población. En español se considera incorrecta la palabra morbididad.

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CAPITULO 4 4.1. FUNCIONES BIOMÉTRICAS PROBABILIDADES Y SEGUROS El supuesto de una fuerza de mortalidad constante fue asumido por famosos científicos, como Jan de Witt y Jan Hudde quienes construyeron tablas de mortalidad después de Graunt. Este supuesto tuvo gran importancia en los comienzos de la Matemática Actuarial. La primera tabla de mortalidad desarrollada de una manera lógica, la tabla de mortalidad de Halley, se publico en 1963 y está basada en los registros de muerte y nacimiento de la ciudad de Breslau durante los años 1967 a 1691. Para la preparación de esta tabla, se asumió que la población había permanecido estable, esta suposición no era del todo correcta, por lo tanto, la tabla de mortalidad era imprecisa. La primera tabla de mortalidad elaborada científicamente y considerada correcta se baso tanto en la información de la población como en la muerte clasificada por edad siendo elaborada por Milne y publicada en 1815. Esta tabla de mortalidad se sustentaba en la experiencia de mortalidad de dos parcelas en la ciudad de Calisle, Inglaterra, durante el período de 1779 a 1787. Una tabla de mortalidad está diseñada esencialmente para medir la mortalidad, pero es empleada por una gran cantidad de especialistas de distintas maneras. Es utilizada por proveedores de salud, demógrafos, actuarios y muchos estudios de longevidad, fertilidad, migración y crecimiento de la población, así como en la realización de proyecciones del tamaño y características de la población y estudios de la viudez, orfandad entre otras. Si la condición para efectuar los pagos es que la personas se encuentren con vida, como es el caso de las jubilaciones, o que hayan muerto como en los llamados “seguros de vida” nos resulta imprescindible contar con tablas que permitan calcular la frecuencia con que estos acontecimientos se producen. El método más comúnmente utilizado para la construcción de tablas de mortalidad es la que se genera a través de la mortalidad específica y los valores resultantes son utilizados para medir la mortalidad, supervivencia, expectativa de vida. Las tablas de vida son, en esencia, una forma de combinar las tasas de mortalidad en una población a diferentes edades y son utilizadas principalmente para medir el nivel de mortalidad de una determinada población. Una de las ventajas más importantes, en comparación con otros métodos para la medición de la mortalidad es que las tablas de vida no reflejan los efectos de la distribución de edad de cierta población y que no requieren la adopción de una población estándar. Otra ventaja de estas tablas es que permiten la realización de cortes de edad, eliminando la tediosa tarea de recopilar estadísticas de muerte anuales para los corte de edad aún cuando estas últimas son variables. 4.2. FUNCIONES DE SOBREVIVENCIA Y DE MORTALIDAD a) Si partimos de la palabra en inglés living, asociamos con ℓx (ele sub x), que puede traducirse como vivo, al número de personas que a partir de un grupo inicial ℓo (ele sub cero) que supuestamente ha nacido el mismo instante, alcanzan a cumplir la edad x, esta es la función llamada de sobre vivencia. Si hacemos que varié la edad x desde cero hasta la edad máxima que pueda alcanzar el ser humano, tenemos los valores en la columna lx de las tablas de mortalidad. Si representamos con ω (omega) la primera edad a la cual no llega ninguna persona con vida, será evidente que ℓ ω=0 el último valor de la tabla será ℓ ω-1 Esto quiere decir que de 10.000.000 nacimientos. 9.929.200 personas cumplen un año 9.911.725 llegan a los dos años; 6.415 llegan a los 99 años y nadie llega a los 100 años. Para esta tabla, entonces no queda: ω - 1 = 99 ω = 100 Estos valores para mujeres quedarían: Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

ω - 1 = 102 ω = 103 b) Si partimos de la palabra agonizante en inglés “dying” entonces simbolizamos con la letra dx al grupo de personas ℓx que habiendo cumplido x años no cumplen ni uno más, o mueren a edad x, esta es la función llamada mortalidad. dx = ℓx - ℓx+1 d41 = ℓ41-ℓ42 En efecto d41= 9.208.737 – 9.173.375 = 35.362 Si tomamos que a partir de un grupo ℓx de personas que cumplieron años, sumamos todos los que mueren en cada uno de los años subsiguientes, hasta la extinción del grupo, el resultado será el número ℓx que compone el grupo inicial. ℓx = dx + dx+1 + dx+2 ……. dω -1

ℓx

t = ω - x - 1 = ∑ Dx+t t =

Tomando números de la tabla ℓ96 =d96 + d97 + d98 + d99 ℓ96 = 25.250 + 18.456 + 12.916 + 6.415 = 53.037 Esto nos quiere decir que si a la ℓ96 y a la edad ω no llega nadie es porque todas esas personas han muerto entre ω=99 y por lo tanto: dω -1 = ℓ ω -1 - ℓω = ℓω -1 Para nuestra Tabla sería: d99 = ℓ99= 6.415 4.3. PROBABILIDADES SOBRE LA VIDAD DE UNA PERSONA En el momento que se cuenta con valores tabulares es mucho más fácil realizar los cálculos de frecuencias relativas con hechos de vida y muerte producidos en el pasado, esto es admitir que la supervivencia y la mortalidad son aleatorias. Supongamos un individuo de edad x perteneciente al colectivo ℓx. Este individuo puede verse afectado única y exclusivamente por uno de estos dos sucesos: a) Fallecer antes de cumplir la edad x+1, entonces forma parte del colectivo dx. b) Sobrevivir y cumplir la edad x+1, entonces forma parte de ℓ x+1.

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Pueden establecerse unas frecuencias, resultantes de comparar el número de personas que alcanzan la edad x+1, con el de personas de edad x. Pueden establecerse unas frecuencias resultantes de comparar el número de personas que alcanzan la edad x+1, con el de personas de edad x. Esta frecuencia con respecto al suceso "sobrevivir un año más una persona de edad x", se presenta (con referencia a la observación estadística) como el cociente de dividir el número de casos favorables lx+1 entre el número de casos posibles lx. Esto nos lleva a interpretar este cociente como la probabilidad de supervivencia al cabo de un año de una persona de edad x:

De forma análoga se establecería la frecuencia que surge al comparar el número de personas que fallecen a la edad x, respecto de la frecuencia de los que tienen esa edad:

Llamaremos qx a la probabilidad de que un individuo de edad x fallezca y px a la de que sobreviva; con este planteamiento nos hallamos, evidentemente, ante un fenómeno dicotómico, expresado por un esquema binomial o de Bernouilli. Luego ambas probabilidades son complementarias y por consiguiente: px + qx = 1 (2.2) Análogamente representamos por: n px =probabilidad de que un individuo de edad x alcance la edad x+n. /nqx = probabilidad de que un individuo de edad x fallezca antes de cumplir la edad x+n, es decir, dentro de los n años. (2.3) Ejemplo: a) Calcular la probabilidad que tiene un hombre de 23 años de llegar a los 65 años de edad b) la misma probabilidad para una mujer. ℓ65 6.800.531 42P23 = ----- = -------------- = 0.70794 ℓ23 9.612.127 b) Tomando en cuenta que la ℓx masculina corresponde a ℓ x+3 femenina ℓ62

7.374.370

42P23 = ------ = -------------- = 0.762998

ℓ20

9.664.994

Ejemplo: Para un grupo de 15.000 varones de 24 años, calcular el número esperado de sobrevivientes a los 56 años ℓ56

8.223.010

32P24 = ----- = -------------- = 0.857103

ℓ24

9.593.960

Por regla de tres obtenemos el valor 12.856.54 Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

(2.4) Es evidente que todo individuo del colectivo lx se verá incluido en una —y sólo una— de estas categorías, de donde: (2.5) n px + /nqx = 1 Pero lx - lx+n recoge la diferencia entre los individuos vivos a la edad x y los vivos a la edad x+n, luego será la suma de los fallecidos en ese período; en efecto: (2.6) Según esto, también podríamos expresar

/nqx

así: (2.7)

En definitiva, /nqx expresa la relación entre los fallecidos durante los n años y los vivos a la edad x. También tiene interés establecer la probabilidad de que un individuo de edad x fallezca en el trascurso del año n, esto es, a la edad x+n-1. Representamos esta probabilidad por n-1/qx y la definiremos como el cociente entre los fallecidos en ese año, o sea, con la edad x+n-1, pero sin haber cumplido la x+n, y los individuos vivos a la edad x. Es decir: n-1

/ qx =

(2.8)

Ejemplo: Calcular la probabilidad de que un hombre de 50 años muera antes de llegar a los 65 años. ℓ50- ℓ65 8.762.306 – 6.800.531 /15q50 = -------------= ------------------------------- = 0,223888 ℓ50 8.762.306 Ejemplo: De 12.000 hombres que llegan a 50 años, calcular cuántos se espera que mueran antes de llegar a los 65 años. Transformando la probabilidad anterior en tanto por doce mil obtenemos la siguiente respuesta. Muertes esperadas= 2.686.66 Ejemplo: a) Calcular la probabilidad de que un hombre de 30 años muera entre 45 y 55 años b) Lo mismo para un hombre de 35 años

ℓ45- ℓ55

9.048.999 – 8.331.317

15/10q30 = -------------= ------------------------------- = 0,075702

ℓ30

9.480.358

/ q

10 10 35

ℓ45- ℓ55 9.048.999 – 8.331.317 = -------------= ------------------------------- = 0,076562 ℓ35 9.373.807

Ejemplo: Calcular la probabilidad de que un hombre de 30 años muera en el 11° año a partir de esa edad. Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

d40 32.622 10/q30 = --------= ---------------- = 0,003441 ℓ30 9.480.358 Ejemplo: Calcular la probabilidad de que un hombre y una mujer de 35 años muera antes de cumplir los 55 años b) de 12.000 mujeres que llegan a los 50 años, calcular las muertes esperadas antes de llegar a los 57 años. Hombres ℓ35- ℓ55 9.373.807 – 8.331.317 /15q35 = -------------= ------------------------------- = 0,111213 ℓ35 9.373.807 Para mujeres ℓ32- ℓ52 9.439.447 – 8.610.244 /15q35 = -------------= ------------------------------- = 0,087844 ℓ32 9.439.447 Estableciendo regla de tres con los 12.000, obtenemos Muertes esperadas= 1.054.13 Teniendo en cuenta que dx+n-1 = lx+n-1 - lx+n (2.9) A partir de (2.8) podríamos llegar a la siguiente expresión de (2.7):

Lo que permite afirmar que (2.10) Es claro que para n=1, n-1 / qx = 0 / qx = qx Esta expresión (2.10) permite afirmar que la probabilidad de fallecer durante los n años es igual a la suma de las probabilidades respectivas de fallecer en cada uno de ellos. La expresión (2.3) aplicada a otras edades base, permite escribir, por ejemplo:

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Es fácil interpretar estas relaciones. Por ejemplo, px+n expresaría la probabilidad de que un individuo de edad x+n sobreviviera a la edad x+n+1. A las relaciones de este tipo las denominaremos "tantos de supervivencia para la edad x+n". Adviértase que el conocimiento de estos tantos "ex post", procede de la información estadística de que dispongamos, mientras que el conocimiento de las probabilidades, teniendo en cuenta el carácter del modelo que corresponde a lx, será "ex ante". Pues bien, a la vista de lo que antecede podemos expresar npx así: (2.11) Esto, por otra parte, es lógico, puesto que, en virtud del postulado de independencia, adoptado con anterioridad, y habiendo sido considerados los tantos como probabilidades referidas a cada año, npx podría ser considerada como probabilidad de un hecho compuesto; y, siendo los hechos simples estocásticamente independientes, esa probabilidad compuesta será igual al producto de las probabilidades de los hechos simples, tal y como pone de manifiesto la expresión (2.11). De la misma forma que hemos establecido los tantos anuales de supervivencia, podemos establecer los tantos anuales de mortalidad: (2.12) Puede advertirse que: qx+n = tanto anual de mortalidad a la edad x+n. dx+n = número de fallecidos durante el año n+1, ó sea con la edad x+n, pero sin alcanzar la edad x+n+1. ℓx+n = número de individuos vivos con edad x+n. Esta relación evidencia que el tanto anual de mortalidad a la edad x+n, conocida también como "ex post", es igual al cociente entre el número de fallecidos con edad x+n y el número de vivos a tal edad. 4.4. VIDA PROBABLE Y DURACIÓN MÁS PROBABLE DE LA VIDA Entendemos por vida probable a la edad x, al tiempo que falta para que el grupo inicial ℓx se reduzca a la mitad. Usemos z para representarla, por definición será: ℓx ℓx+z = -----2 Se puede definir como el número de años que faltan para llegar a una edad, en tanto que la probabilidad de llegar a ella como la de morir antes sean iguales. Para que sean iguales, deben ser complementarias y deben valer un medio. zpx = / zqx =½ Ejemplo: Hallar la vida probable a los 25 años ℓ25 + z=9.575.636/2 = 4.787.818 Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

Buscando en la tabla en la columna ℓx encontramos que el valor obtenido del ejemplo está comprendido entre los años 72 y 73 72 5.025.855 73 4.731.089 Dif. 294.766 Diferencia real= 5.025.855 - 4.787.818 = 238.037 Δ= 238.037/294.766 = 0.807546 25+z= 72 + 0.807546 Z= 72.0807546 -25 = 47 años 29 días Se llama duración más probable de vida a la edad x al tiempo que falta para llegar al año en que la probabilidad de morir es mayor. Si tenemos la probabilidad de morir en el año enésimo es: dx+n-1 n-1/qx

= -----ℓx

Si hacemos variar n, que para el denominador constante ℓx, la probabilidad será mayor cuando el numerador dx+n-1 alcance el valor máximo. 4.5. CAPITAL DIFERIDO Es la suma que debe abonar hoy una persona que recién a cumplido años, para recibir un capital determinado. Si llega con vida a una edad x+n o, lo que es lo mismo, si vive n años más. Todas estas fórmulas son calculadas para capitales unitarios, será suficiente en cada caso multiplicar el valor hallado de esta manera, por la suma de que se trate, para obtener el valor buscado. a) Si representamos como nEx a la prima única o valor actual de un capital diferido, aplicando el concepto de esperanza matemática para un juego equitativo, su valor será igual a la suma a percibir (premio) por la probabilidad de que ello ocurra El Capital asegurado es un dólar pagadero dentro de n años, cuyo valor es $1.vn, la probabilidad que tiene una persona de x años de llegar con vida x+n es npx, por lo tanto. n. nEx = $1.v npx n nEx = v .

ℓx+n Multiplicando numerador y denominador por vx ℓx

ℓx+n. vx+n haciendo; Dx = ℓx . vx Resulta; nEx = Dx+n ℓxvx Dx Se entiendo que los valores de conmutación, uno de cuyos factores es vx requiere de la elección de una tasa de interés para hallarlos que figuran en nuestra tabla se han calculado con el 4% anual. La construcción de la tabla Dx es sencilla. D0 = ℓ0 v 0 = ℓ0 D1 = ℓ1 v 1 D2 = ℓ2 v 2 nEx =

Dw-1 = ℓw-1 v w-1 Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

Dw = ℓw v w = 0 b) Hay personas que se resisten a utilizar el cálculo de probabilidades a la vida humana y prefieren usar el método “euleriano” Si suponemos que existe un grupo de personas ℓx de edad x que desean contratar un capital diferido. Si la prima única a pagar por cada uno es nEx, en conjunto el compromiso contraído por el grupo será de dólares ℓx . nEx La entidad aseguradora se compromete en pagar $ 1 a cada sobreviviente que llegue a x+n años, o sea ℓx+n el valor de ese importe será ℓx+n . vn Si igualamos el compromiso de las empresas aseguradoras con el de los asegurados, tendremos: . vn y obtenemos: Ex = ℓx+n . vn ℓx Ejemplo: Calcule la prima única que debe pagar una persona a los 27 años para tener derecho a percibir $130.000 si llega con vida a los 55 años. 28E27 = D55 . 130.000 = 963.563 . 130.000 = 37.865.79 D27 3.308.083 . nEx = ℓx+n

Ejemplo: a) Calcule el valor actual de un capital de $ 100.000 al 8% anual pagadero dentro de 30 años b) Calcule la prima única o valor que debe pagar una persona a los 23 años para tener derecho a recibir $ 100.000 si llega con vida a los 53 años, también al 8% anual. c) explique la diferencia entre los dos resultados. a) V = 100.000 . v30 = 9.937.73 0,08

b) No tenemos valores de conmutación al 8%, debemos aplicar la: 30 30 nEx= ℓ53 . v = 8.524.486 . v .100.000 = 8.813.25 ℓ23 0.08 9.612.127 0.08 c) El valor de la prima es menor porque existe la probabilidad, porque existe la probabilidad de que la persona asegurada muera antes de los 30 años y no reciba el capital, el punto a) sea calculado en condiciones de certidumbre en el pago final. 4.6. RENTAS VITALICIAS CONSTANTES, INMEDIATAS, VENCIDAS Es la suma de debe cancelar una persona por x años, para tener el derecho a cobrar un dólar al final o al principio de cada año, mientras se encuentre con vida en el lapso considerado del contrato. Si es pagadera al final, se llamará vencida si se paga al principio será adelantada. El lapso para este y otros seguros puede ser: Inmediato: es la comprendida entre la edad x hasta el final de la existencia.

Diferido: es el intervalo que va después de la fecha del contrato hasta el final de la existencia.

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

Temporario: es el intervalo que desde la edad x hasta el momento anterior al final de la existencia.

En este libro no se estudiará este tipo de seguro, puede ser interceptado, cuando va después de un momento posterior a la edad x hasta otro anterior al final de su muerte.

Para el estudio realizaremos el análisis de las rentas vitalicias contantes, vencidas, inmediatas, o lo que comúnmente se llaman pagaderas durante toda la vida. a) Se puede considerar a cada pago o término de cada renta constituye un capital diferido cuyo valor es tEx, variando t hasta cubrir toda la existencia a partir de la edad x, es decir ω –x, pero como el pago a la edad ω no se realiza desde que nadie llega con la vida t varía entre uno y ω-x-1 Se representa con

a a la renta en estudio, tendremos: x

t = ω-x-1 ax = ∑ tEx t=1 Si representamos gráficamente nos daría:

Reemplazando tEx por su igual: tEx = Dx+t

Dx t = ω-x-1 t = ω-x-1 ax = ∑ Dx+t = 1 ∑ Dx+t t=1 Dx Dx t=1 Haciendo t = ω-x-1 Nx = Dx + Dx +1+ Dx +2+ …..+ Dw – 1 =

∑D

x+t

t=0 t = ω-x-1 Nx+1 =

∑

Dx+t

Remplazando tenemos:

t=1

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

Si un grupo ℓx de personas de edad x desea aportar $

a a cada una para que los sobrevivientes x

cobren $1 al final de cada año, se reunirán . ℓx, que constituiría el valor actual del compromiso de los asegurados. Al final del primer año se pagaría 1 dólar a cada uno de los que lleguen a x+1 años que son ℓx+1 . v, al final del segundo año sería x+2, ℓx+2 . v2, así sucesivamente.

a a

ℓx, = v .ℓx+1 + v2 .ℓx+2 + v3 .ℓx+3 + ….. + ℓω-1 . v ω-x-1

.ℓx+1 + v2 .ℓx+2 + v3 .ℓx+3 + ….. + ℓω-1 . v ω-x-1 ℓx, Multiplicando numerador y denominador por vx x. = v

x. = v

x. = Dx+1

x+1

.ℓx+1 + vx+2 .ℓx+2 + vx+3 .ℓx+3 + ….. + ℓω-1 . v ω-1 ℓx, vx + Dx+2 + Dx+3 + ….. + Dω-1 Dx,

Ejemplo: Calcular la prima única o valor actual de una renta vitalicia constante inmediata, vencida de $20.000 anuales, para una persona de 55 años.

50.

= N56 . 20.000 = 11.912.952 . 20.000 = 193.240.40 D50 1.232.967

Ejemplo: Una persona deja al morir a su esposa un seguro sobre la muerte de $ 2.000.000.00 la mujer tiene 67 años y desea invertir ese dinero asegurándose una renta anual vencida, calcule el valor que recibirá cada año. Llamando C a cada pago: ca64 = 2.000.000 = C N65 C = 2.000.000 . D64 = 2.000.000 . 569.125 = 215.204.63 D64 N65 5.289.152 Recordemos que para ingresar a la tabla en el caso de las mujeres debemos entrar con tres años menos. Ejemplo: En un accidente muere un hombre de 50 años. El juez estima que sus deudos pierden un ingreso anual de $90.000, durante toda la vida del occiso, por tal motivo el juez condena al culpable a cancelar un valor actual de esa renta, Cual es ese valor.

50.

= N51 = 17.252.890 . 90.000 = 1.259.368.74 D50 1.232.967

4.7. RENTAS VITALICIAS DIFERIDAS

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

Para realizar el cálculo del valor actual o prima única pura de una renta vitalicia diferida debemos pensar en la suma que debe abonar una persona a los x años de recibir un dólar anual a partir de la edad x+n+1, si la renta esta diferida a n años.

El primer dólar vencido, como podemos observar en el gráfico se recibe a la edad x+n+1. Si la persona tuviera x+n años en el momento de realizar el contrato, esta renta se pagaría en forma inmediata a una persona de x+n años su valor por tanto sería ax+n Tratamos de traer a valor presente al momento que el asegurado tiene x años, para lo cual se debe aplicar el factor de actualización vn y además la probabilidad npx de que llegue con vida a x+n Representemos a n/ax al valor que se obtiene por renta diferida.

a a .v

a a

. npx siendo nEx = npx . v n resulta n/ x = x+n . nEx Si remplazamos las ecuaciones anteriormente citadas, tendremos: n/

x+n

tEx = Dx+t

a a x=

x+n . nEx =

N X+N+1 . Dx+n = Dx+n Dx

Ejemplo: Calcule la prima única que debe abonar una persona de 30 años para percibir una renta anual vencida vitalicia diferida en 40 años de $ 5.000 cada pago 40/

30 =

N71 . 5.000 = 5.000 . 2.628.858 = 4.496.89 D30 2.922.971

Ejemplo: Calcule la prima única pura que debe pagar un hombre de 32 años para tener derecho a percibir $ 11.000 anuales desde el día que cumpla 61años hasta el final de su existencia. Si se trata de una renta diferida

28/

32= N61

. 11.000 = 11.000 . 7.803.827 = 31.902.20 D32 2.690.789

Ejemplo: Una mujer de 45 años decide invertir $ 900.000 obtenidos de una herencia, en la contratación de una renta anual pagadera a partir de 58 años ¿Cuánto percibirá anualmente? Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

Por el análisis del ejemplo anterior, se trata de una renta diferida en 12 años 12/

45 = N58

. C= 900.000

D45

C = D45 . 900.000 = 1.549.174 . 900.000 = 137.613.26 N58 10.131.702

RENTAS VITALICIAS TEMPORARIAS Una renta vitalicia temporaria es aquella prima única pura que se pago desde el momento en que se celebra el contrato y por un tiempo n determinado anterior al final de la existencia del grupo ℓx de personas de edad x, y se calcula únicamente restando el valor actual de una renta inmediata, el correspondiente a una renta diferida.

Este sería el símbolo de la renta temporaria Se puede observar en los gráficos anteriores que la renta inmediata sería la suma de una temporaria mas una diferida. Estando todas valuadas al mismo momento, la edad x, es correcto realiza el siguiente planteamiento:

Si reemplazamos sus formulas obtenemos: /n a x = Nx+1 - N x+n+1 Dx Dx

Ejemplo: Calcule la prima única pura que debe pagar a un hombre de 38 años para recibir una renta anual de $ 120.000 a fin de cada año hasta los 52 /14

38 = N39

- N53 . 120.000 = 36.433.063 – 14.957.043 . 120.000 = 1.230.10.37.71 D38 2.095.038

Ejemplo: Se recibe la suma de 2.000.000 como indemnización por despido, a los 45 años de edad, calcule el importe de cada pago de una renta vitalicia temporaria anual vencida, que se podría adquirir con el 80% de esa suma, si se desea recibir a) durante 12 años b) durante 16 años. /12

45 =

N46 - N58 . C = 2.000.000 *0.8 D45 Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

C = 1.600.000 . D45 = 1.600.000 . 1.549.174 = 173.855.52 N46 - N58 4.029.109 – 10.131.702 /16

N46 - N62 . C = 2.000.000 *0.8 D45 C = 1.600.000 . D45 = 1.600.000 . 1.549.174 = 146.540.23 N46 - N62 24.029.109 – 7.114.447 45 =

4.9. RENTAS VITALICIAS ADELANTADAS a) Si se realiza un pago al principio de cada año, se dice que la renta es adelantada. En el caso de las inmediatas con respecto a las vencidas, la diferencia sería de un pago inicial de $ 1 ya que el último, adelantado o vencido se pagará a la edad ω-1 que es la última a que se llega con vida.

El valor actual de ese primer pago es uno, ya que hay certeza de estar con vida y la actualización financiera no es necesario hacerlo. Simbolizamos con

a a

a el valor actual de una renta vitalicia unitaria adelantada y tenemos x

ax + 1

x = Nx+1

- Dx Dx Dx

x=D x

x = Nx

+ (D x+1 + D x+2 + D x+3 + ….+ D ω-1) Dx

Dx b) si seguimos con el razonamiento de las rentas vencidas, el valor actual de una renta vitalicia adelantada y diferida para una persona de x años es igual al valor actual de una renta inmediata para una persona de x+n años considerando a éste como un capital diferido:

/ax =

x+n . nEx = Nx+n

. Dx+n

Dx+n

/ax =

Nx+n Dx c) En razón de las consideraciones hechas a las rentas vencidas, la prima única de una renta vitalicia adelantada temporaria será igual a la diferencia entre el valor actual de una renta inmediata y el valor actual de una renta diferida. n

/nax = ax - n/ax = Nx

Nx+n Dx Dx -

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

/nax = Nx

Nx+n

Dx Ejemplo: El valor de la cuota social de una entidad es de $ 3.000 anuales adelantados. Calcule el valor que equitativamente deberá cobrar a cada empleado, de una sola vez, para adjudicarle el derecho a pertenecer a la entidad por toda la vida a) para socios de 27 años b) para socios de 47 años; c) para mujeres de 46 años.

27 = N27 =

D27

68.371.954 . 3.000 = 62.004.45 3.308.083

47 = N47 =

D47

22.547.488 . 3.000 = 47.758.97 1.416.330

43 = N43 = 28.888.924

D43

. 3.000 = 51.235.61

1.691.534

Ejemplo: Calcule la cuota social anual adelantada que deberá cobrarse al empleado de 31 años de una institución, durante 25 años, declarándolo socio “vitalicio”, en lugar del cobro de $ 3.000. Se plantea por equivalencia de capitales.

C/25

31 =

3.000 .

C . N31 - N56 = 3.000 . N31 D31 D31

C = 3.000 . N31 = 3.000 . 55.920.155 = 3.812.11 N31 - N56 (55.920.155 – 11.912.952)

4.10. RENTAS VITALICIAS SUPERPERIODICAS a) Con este tipo de rentas se trata de resolver el problema de una renta pagadera en períodos menores a un año. No teniendo tablas de mortalidad que nos señalen la cuantía de los decesos subperíodicos. Usamos el método de aproximación. Una renta periódica vencida vale a x si se adelanta un año valen:

a a

+1 Si la adelantamos J del período siendo j<m, valdrá x + J m m Esta interpolación lineal se ha prescindido de la mortalidad y del factor de actualización financiero: de ahí que se trate de una aproximación. Si la renta superperíodica es vencida dentro de cada período, la última no se adelantará siendo por lo tanto j=0 la primera se adelantará m-1 siendo por lo tanto j= m-1 m Si hacemos variar J entre 0 y m-1 tenemos: x=

Los pagos al final del 1er subperíodo valen

x + m-1

m Los pagos al final del 2do subperíodo valen

x + m-2

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Los pagos al final del 3er subperíodo valen

x + m-3

Los pagos al final del penúltimo subperiodo valen

x+1

Los pagos al final del último subperiodo vale

x+0

m Si sumamos todos los valores tendremos el valor actual de una renta subperíodica unitaria representada por

ax(m) al valor actual de una renta subperíodica de $ 1/m es decir de un dólar anual

tendremos. m ax(m)= a x + m-1 + a x + m-2 + .….. + a x + 1 +a x + 0 m m

(m)

ax a (m)

x +1+2+3+

……( m-2) +(m-1) = m m

m(m-1) 2m

x + (m-1)

b) Si la renta es adelantada, habrá que agregarle en el primer pago de $ 1 m

a a (m) x =

x + (m-1) +

a a (m) x =

1 = m

x +m-1+2

x + m+1

Ejemplo: Calcule el valor actual de una renta vitalicia de $ 900 mensuales vencida inmediata, para una persona de 47 años. Aplicamos la siguiente fórmula:

ax a (m)

x + (m-1)

a47(12) = (a 45 + (12-1) ). 900 . 12 = (N48+ 11 ).10.800 =(21.131.158 + 11) . 10.800 2.12 D47 24 1.416.330 24 Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

(12)

= 166.082.29

4.11. SEGURO SOBRE LA MUERTE INMEDIATO El seguro que cubre el riesgo de muerte tiene por objeto proporcionar a los sobrevivientes un recurso económico que le permita enfrentar los gastos del fallecimiento y la falta de recursos por algún tiempo. Cuando un seguro cobre la muerte en cualquier época de su ocurrencia, se dice que es un seguro sobre la muerte inmediato y en la parte comercial se lo conoce como “seguro de vida entera” Se define a la suma que deberá pagar una persona que recién a cumplido x años para que un tercero llamado beneficiario, tenga derecho a cobrar un dólar si el asegurado muere en el lapso considerado. Para el caso de un seguro inmediato, el lapso considerado es toda la vida a partir de la edad x Consideramos que el lapso del beneficiario se realiza “al final del año en que muere el asegurado”, entendiéndose por año al período que concluye en cada aniversario de la póliza o contrato de seguro y lo representamos con Ax a la prima única. Tomemos en consideración a un grupo ℓx de personas de edad x que ingresaron a un seguro cada uno pagando $ Ax, la compañía aseguradora recibirá $ ℓx . Ax. Si consideramos que en el primer año mueren dx personas y a cada uno de los beneficiarios tendremos que pagarle un dólar al final del año. El total será $dx, cuyo valor será $dx . v

Se prevé la muerte en el segundo año de dx+1 personas y habrá que cancelar al fin $dx+1 y cuyo valor actual será dx+1 . v2; en el tercer año de dx+2 personas y habrá que cancelar al fin $dx+2 y cuyo valor actual será dx+1 . v3; y así sucesivamente. Igualando capitales, podemos igual lo que recibirá el asegurador y el valor actual que deberá pagar. ℓx, Ax, = dx . v + dx+1 . v2 + dx+2 . v3 + ….. + dω-2 . v ω-x-1 + dω-1 . v ω-x Despejando Ax y multiplicando numerador y denominador tenemos: Ax, = dx . vx+1+ dx+1 . vx+2 + dx+2 . vx+3 + ….. + dω-2 . v ω-1 + dω-1 . v ω ℓx, . v x Si hacemos Cx, = dx, . vx+1 y recordamos que Dx, = ℓx . vx reemplazamos en la formula: Ax, = Cx + Cx+1 + Cx+2 + ….. + Cω-2 + Cω-1 Dx Y haciendo que: t = ω-x-1 Mx

Cx + Cx+1 + Cx+2 + ….. + Cω-1 =

∑C

x+t

t=0 Tenemos la fórmula final: Ax = Mx Dx Los valores de conmutación Cx, Mx se encuentran tabulados, pues las formulas anteriores permiten a anticipación del cálculo.

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Ejemplo: a) Calcule la prima pura que deberá pagar un hombre de 35 años para ingresar a un seguro de “vida total” con un capital de $120.000; b) lo mismo para una mujer de esa edad. A33 = M35 = 630.587.4 . 120.000 = 31.854.98 D35 2.375.468 A33 = M32 = 647.882.3 . 120.000= 28.893.34 D32 2.690.789 Ejemplo: Si deponemos de $ 15.000 para contratar un seguro de muerte inmediato, calcule el capital que podría asegurar a) un hombre de 25 años b) un hombre de 52 años. A25 = M25 = 691.555.4 . C = 15.000 D25 3.591.982 C = 77.910.94 A52 = M52 = 501.810.6 . C= 15.000 D52 1.120.165 C = 33.483.69 4.12. SEGURO DIFERIDO Y TEMPORARIO Tomemos en consideración el procedimiento para calcular el valor actual en las rentas diferidas, tendremos lo siguiente: n/Ax = Ax+n . nEx = Mx+n . Dx+n Dx+n Dx n/Ax = Mx+n Dx El valor actual de un seguro temporario será igual al de un inmediato menos un diferido, todos para la persona de una misma edad. Ax = Mx n/Ax = Mx+n Dx Dx /nAx = Ax -

/Ax = Mx - Mx+n

Dx Dx /nAx

Mx - Mx+n Dx

Ejemplo: Calcule la prima única pura que debe cancelar una persona de 30 años para cubrir con un capital de $ 90.000: a) el riesgo de muerte hasta los 65 años; b) el riesgo de muerte desde los 65 años en adelante. /35A30 = M30 - M65 = 659.774.5 – 327.915.3 . 90.000 = 10.218.14 D30 2.922.971 35/A30 = M65 = 327.915.3 . 90.000 = 10.096.71 D30 2.922.971

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Ejemplo: Si contamos un con un valor de $30.000 dólares para conseguir un seguro, una persona de 36 años desea saber el capital con que podría asegurarse a) cubriendo el riego de muerte hasta los 67 años; b) cubriendo el riego de muerte desde los 67 años en adelante /31A36 = M36 - M67 . C = 624.854.4 – 295.169.6 . C = 30.000 D36 2.278.371 C= 207.322.66 31/A36 = M67 = 295.169.6 . C = 30.000 D36 2.278.371 C= 231.565,62 4.13. SEGUROS CON PAGO INMEDIATO En la práctica, el seguro se pago inmediatamente de constatado el deceso. Si las muertes dentro del año, se distribuyen equidispaciadamente, la diferencia entre suponer el pago a fin de año y el pago inmediato, es que en éste, con respecto a aquél, la efectivización se produce en promedio, medio año antes. De tal forma, si el valor actual del seguro con pago a fin de año lo capitalizamos medio año, tendremos el valor actual del seguro con pago inmediato. Esta prima única es simbolizada con Āx Āx = Ax . ( 1+ i)½ = Mx . ( 1+ i)½ Dx

Ēx = Mx . ( 1+ i)½

Āx = Ēx Dx Los valores de Āx pueden ser tabulados; Para los seguros sobre la muerte diferidos, tendremos: ½ haciendo Ēx+n = Mx+n . ( 1+ i)½ n/Āx = Mx+n ( 1+ i) Dx n/Āx = Ēx+n Dx Para los temporarios: /nĀx = /n Ax . ( 1+ i)½ = Ēx - Ēx+n . ( 1+ i)½ Dx /nĀx = Ēx - Ēx+n Dx Ejemplo: Calcule la prima única pura que cubre el riesgo inmediato sobre la muerte de una persona de 30 años, con pago de capital de $130.000 al producirse el deceso al 5% Ā27 = M27 . ( 1+ i)½ = 678.382.9 ( 1+ 0.05)½ . 130.000 = 32.650.32 D27 3.308.083 Ejemplo: Calcule la prima única pura que deberá cancelar un hombre de 40 años para cubrir un capital de $ 85.000 el riesgo de muerte hasta los 55 años, con pago inmediato del capital al 5%. /15Ā40 = = M40 - M55 . ( 1+ i)½. 80.000 = 600.848.5 – 468.312.4 . (1+0.05) ½ . 80.000 = 5.644.38 D40 1.924.874

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4.14. SEGUROS MIXTOS Los seguros mixtos son convenciones contractuales en la que se cubren varios riesgos a la vez. a) Esta póliza conviene a quien busca realizar una inversión a largo plazo. Comúnmente, las aseguradoras ofrecen productos derivados del dotal, tal como el seguro educativo o bien para jubilación. Se lo presenta como cubriendo el riesgo de muerte de una persona de x años hasta la edad x+n a favor de un beneficiario; en caso de que el asegurado no fallezca en el intervalo, el mismo asegurado recibe el capital asegurado a la edad x+n Técnicamente podemos ubicar este convenio como un seguro sobre la muerte temporario y un capital diferido. Sumando los valores actuales de estos dos seguros, lograremos el correspondiente al seguro mixto. Simbolizando a este último con A x:n¬ = /nAx + nEx A x:n¬ = Mx - Mx+n + Dx+n Dx Dx A x:n¬ = Mx - Mx+n + Dx+n Dx Si al fallecimiento se convierte el pago inmediato: A x:n¬ = Mx - Mx+n ( 1+ i)½ + Dx+n Dx Dx A x:n¬ = Ēx - Ēx+n + Dx+n Dx b) En general un contrato de seguro puede contener varias coberturas de riesgos; para hallar la prima única o valor actual se suman los valores actuales de cada uno de ellos. Supongamos que se conviene lo siguiente: a) un seguro para una persona de x años que cubra el riesgo de muerte hasta la edad x+n b) si no muere, se le abona al asegurado el capital a esta última edad; c) cuando muera, después de la edad x+n se le cancela al beneficiario nuevamente el capital. Técnicamente se trata a) de un seguro temporario; b) unn capital diferido; d) un seguro sobre la muerte diferido. Su valor actual será V = /nA x + E x +. A x V = Mx

+ Dx+n = Mx Dx Dx

como sabemos que +

= n/Ax + /nAx

Dx+n Dx

Ejemplo: Calcule la prima única para un seguro dotal de 30 años con un capital de $ 120.000 para un hombre de 25 años. A 25:30¬ = M25 – M55 + D55 . 120.000 = 691.555.4 - 468.312.4 + 963.563 . 120.000 = 39.648.51 D25 3.591.982 Ejemplo: Calcule la prima única pura de un seguro que cubra a una mujer de 27 años el riesgo de muerte en los próximos 30 años por $ 90.000, capital que será pagado a ella si vive a los 58 años y continuará asegurada sobre la muerte hasta que ello ocurra . V = A27 + 30E 27 Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

V = M24

D54 . 90.000 = 698.429.0 + 1.014.174 .. 90.000 = 41.181.43 D24 3.742.810

4.15. PRIMAS NATURALES EN EL SEGURO SOBRE LA MUERTE Contratar seguros, sobre vida o sobre muerte, abonando de una sola vez su valor actual, significa excluir a la mayoría de la población de acceder al sistema. Los seguros sobre la muerte inmediatos pueden ser convenidos de manera que el asegurado pague una prima anual que cubra el riesgo de ese período, es decir de un año; al año siguiente la prima del segundo año, etc. Si así se procede las primas serían crecientes. a) Estas primas se llaman naturales y su fórmula por esperanza matemática es sencilla: P.Nx = qx . v Si el capital se abona al final del año de fallecimiento o, si se pago al deceso: P . Nx = qx . v½ Estas primas crecerían a medida que aumentan la edad x, teniendo por ejemplo para un capital asegurado de $ 100.000

P.N23 = 18.167 . 100.000 = 189.00 9.612.127 P.N33 = 21.850 . 100.000 = 420.99 9.418.208 P.N43 = 41.382 . 100.000 = 452.99 9.135.122 P.N53 = 108.307 . 100.000 = 1.299.99 8.331.317 P.N63 = 191.174 . 100.000 = 2.657.00 7.195.099 P.N73 = 299.289 . 100.000 = 6.326.00 4.731.089 P.N83 = 249.858 . 100.000 = 13.937.99 1.792.639 P.N93 = 57.881 . 100.000 = 29.930.09 200.072 El crecimiento observado haría dificultoso el pago en los años avanzados, una de las cuales no han sido de aplicación. En períodos de alta desvalorización monetaria han vuelto aplicarse en un intento de ajustar los contratos a valores actuales y teniendo en cuenta el mayor daño económico que causa a los sobrevivientes un fallecimiento es en las edades no superiores. Las primas naturales son primas únicas de un seguro temporario sobre la muerte; en efecto: PNx = /aAx = M x – Mx+1 Dx Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

PNx = (Cx + Cx+1 + Cx+2 + …) – (Cx+1 + Cx+2 + Cx+3 + …) = Cx = dxvx+1 Dx Dx ℓx,. vx

PNx = qx . v 4.16. PRIMAS PERIODICAS Las primas únicas puras o valores actuales representan valores de “contado” en los seguros, pagaderos en el momento del contrato. En estas condiciones pocas personas tendrían accesos a coberturas y quedarían fuera del sistema precisamente quienes más necesitan cubrirse de los riesgos. En remplazo de las primas únicas se pactan primas anuales constantes, las que se pagan por adelantado, para evitar que el asegurado sea deudor de la compañía. Los pagos vencidos o diferidos significarían que la empresa corre primero el riesgo y después cobra. El problema de la determinación de la prima periódica se resuelve por equivalencia de capitales: igualando el valor actual del compromiso de la compañía con el valor actual del compromiso del asegurado. Sea H el valor actual o prima pura de cualquier seguro, que representa el valor actual del compromiso de la entidad aseguradora. El asegurado se compromete a abonar una prima constante P durante toda la vida y pagará si está vivo. Este compromiso es de una renta vitalicia adelantada inmediata de P dólares, cuyo valor actual es de $ ax .P; H = ax .P nos interesa determinar el valor de P P

H ax

(i)

También se puede pagar el seguro con una prima temporaria, cuyo valor actual sería /nax . P en cuyo caso sería: H = /nax . P P

H /nax

(ii)

Si la prima se paga en períodos menores de un año el valor actual de una prima de $P pagaderas por enésimas partes durante un año sería: P . ax(m) H = P . ax(m) P

(iii)

(m) x

De las formulas (i) (ii) (iii) podemos obtener la siguiente formula conceptual. Prima periódica pura = Prima única pura que cubre el riego de que se trate Prima única pura de una renta vitalicia adelantada Correspondiente a la forma de pago La prima periódica de cualquier seguro se simboliza con la letra P, a su izquierda, si es temporaria lleva el subíndice /n y a su derecha, como subíndice el símbolo de la prima única pura del seguro de que se Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

trate. La excepción el seguro sobre la muerte inmediato. Cuya prima periódica es P x o /nPx, según sea inmediata o temporaria. Ejemplo teórico: Calcule la prima periódica pura inmediata para un seguro sobre la muerte inmediato. PX = AX ax Ejemplo teórico: Calcule la prima periódica pura temporaria para un seguro sobre la muerte inmediato. /nPX = AX /nax Ejemplo teórico: Calcule la prima periódica pura temporaria para un seguro sobre la muerte diferido /nPX n/AX = n/AX /nax Ejemplo teórico: Calcule la prima periódica pura inmediata para un seguro sobre la muerte temporario PX /nAX = / n AX

ax Esta prima, aunque esté bien calculada, no es comercial, ya que el asegurado quedaría deudor de la compañía, pues el riesgo concluye antes de terminar de pagar. Ejemplo teórico: Calcule la prima periódica pura temporaria para un seguro mixto total. /nPX n A x:n¬ = A x:n¬ /nax Ejemplo teórico: Calcule la prima periódica pura temporaria para una renta vitalicia vencida diferida. /nPX

/nax Ejemplo teórico: Calcule la prima sub periódica pura inmediata para un seguro sobre la muerte inmediato. PX(m) = AX

ax(m) Ejemplo: Calcule la prima periódica pura inmediata que debe abonar una persona de 25 años para cubrir un seguro de “vida entera” por $ 130.000

PX = AX

MX / DX = MX = M25 . 130.000 = 691.555.4 . 130.000 = 1.1192.16 NX / DX NX N25 75.411.099

Ejemplo: Calcule la prima periódica pura que debe cancelar una persona de 25 años hasta los 65 años para cobrar una renta vencida de $12.000 desde esta última edad hasta el final de su vida Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

/nPX /n

/nax

/40P25 /40

Nx+n+1m / DX

X =

25 =

(N25

Nx+n+1

( Nx - Nx+n)/ DX ( Nx - Nx+n)

N62 - N65)

7.114.447 . 12.000 = 1.217.5 75.411.099 – 5.289.152

Ejemplo: Calcule la cuota vencida mensual que debe abonar una persona de 28 años para adquirir una casa cuyo valor es de $ 1.000.000 pagadera al 4% anual durante 30 años a) Si se condicionan los pagos a que el comprador permanezca con vida, cancelando la deuda a su muerte b) En el caso de muerte deben seguir pagando la deuda sus herederos. Se trata de pagar la casa con una renta vitalicia temporaria sub periódica siendo por tanto aplicable la formula conceptual. Prima periódica pura = Prima única pura que cubre el riego de que se trate Prima única pura de una renta vitalicia adelantada Correspondiente a la forma de pago C

1.000.000 (/30

). 12

1.000.000

12[(/30

1.000.000

+ 12-1 ( 1 – 30E29)] 2*12

12[N30 – N60 + 11 . ( 1 – D59 )] D29 24 D29

1.000.000 = 4.930.26 12[ 61.889.352 – 9.311.200 + 11 . ( 1 – 820.502)] 3.174.619 24 3.174.519 La segunda pregunta se resuelve como una renta cierta temporaria, constante

V n¬ .

-1

n¬ = 1.000.000

-1

360¬(0,04/12) = 4.774.15

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

Resumen de las formulas actuales de rentas vitalicias Renta Vitalicia Valor Actual PA Inmediata PV De vida Entera PA Diferida PV PA Inmediata PV Temporal PA Diferida PV Resumen de formulas de seguros Seguro Formula prima Ăşnica

Grafico

De vida inmediato entera Diferido Temporal

inmediato Diferido

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

CAPITULO 5 OPERACIONES DEMOGRAFICAS FINANCIERAS A CAPITAL VARIABLE. En este capítulo veremos cosas de los pasados capítulos, ya sea en rentas como de seguros en el caso de muerte, ya que solo hemos visto lo relacionado a capitales constantes para cada prestación. Es decir el mismo pago para cada año a un mismo capital de fallecimiento. Cualquiera sea el momento del deceso. En este capítulo veremos lo relacionado con capitales variables en dos operaciones demográficas financieras, en su versión simple cuyos términos varían en progresión aritmética y los seguros de muerte con capitales variables cada año 5.1. RENTAS VITALICIAS EN TERMINOS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMETICA Caso primero será la renta de vida entera, inmediato, de pago anticipado Si consideramos que P es el primer término y h

(Vä)x =PoEx + (P+h)1Ex + (P+2h)2Ex + + [P +(ω-x)h]w-xEx Dx(Vä)x =PoDx + (P+h)1Dx+1 + (P+2h)2Dx+2 + + [P +(ω-x)h]Dω Realizando los cálculos Dx(Vä)x =PoDx + PDx+1 + PDx+2 + hDx+1 + hDx+2 + + hDx+2 + +

+ PDω = PNx + hDω = hNx+1 + hDω = hNx+2 + hDω = hNx+3 + hDω = hNω

Dx(Vä)x =PNx + hNx+1 + hNx+2 + hNx+3 + +hNω (Vä)x =PNx + hNx+1 + hNx+2 + hNx+3 + +hNω Dx Si reemplazamos con: Sx = Nx + Nx+1 + Nx+2 + Nx+3 + (Vä)x =PNx + hSx+1 Dx (Iä)x =Nx + Sx+1 Dx

+Nω

si hacemos que P=h=1

(Iä)x = Sx+1 Dx

Caso segundo este caso se refiere a la renta indefinida, inmediata de pago vencido.

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

Si tomamos la fórmula del caso anterior el primer pago se hace x+1 mientras que los incrementos h se hacen a la edad x+2, la formula debe ser: (Vä)x =PNx+1 + hSx+2 Dx

(Ia)x = Sx+1

si y solo si P=h=1

Caso tercer renta de vida entera, diferida, de pago anticipado.

Si utilizamos el procedimiento de los dos anteriores casos, habrá que considerar la prima única a la edad x+m y luego actualizamos hasta x con el factor mEx (Vmjä)x = (Vä)x+m . mEx = PNx+m + hSx+m+1 . Dx+m si P=h=1 Dx+m Dx Caso cuarto renta de vida entera, diferida, de pago vencido.

(Vmjä)x = PNx+m+1 + hSx+m+2 Dx (Imja)x = Sx+m+1 si y solo si P=h=1 Dx 5.2. Rentas temporales de términos variables en progresión aritmética. Al igual que el caso anterior se analizará cuatro casos, siguiendo la clasificación de rentas. Y su desarrollo es: Caso primero renta temporal, inmediata de pago anticipado

(Vä)x,n¬= PoEx + (P+h)1Ex + (P+h)2Ex + + [P+(n-1)h]n-1 Ex Dx(Vä)x,n¬= PoDx + (P+h)1Dx+1 + (P+2h)2Dx+2 + + [P+(n-1)h] Dx+n-1 Realizando los cálculos Dx(Vä)x,n¬= PDx + PDx+1 + PDx+2 + + PDx+n-1= P(Nx hDx+1 + hDx+2 + + hDx+n-1= h (Nx+1 + hDx+2 + + hDx+n-1= h (Nx+2 + + hDx+n-1= h (Nx+3 + hDx+n-1= h (Nx+n-1 - Nx+n)

Nx+n) Nx+n) Nx+n) Nx+n)

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

Dx(Vä)x,n¬= P(Nx - Nx+n)+ h(Nx+1 + Nx+2 + Nx+3 + Dx(Vä)x,n¬= P(Nx - Nx+n)+ h(Nx+1 + Nx+2 + Nx+3 +

+ Nx+n-1) - (n-1) Nx+n ] + Nx+n-1+ Nx+n- nNx+n) - (n-1) Nx+n ]

Siendo h, la suma de N, está dada por Sx+1 - Sx+n+1 resulta lo siguiente: (Vä)x,n¬= P(Nx - Nx+n)+ h(Sx+1 - Sx+n-1 - nNx+n) Dx

el incremento sería P=h=1

(Iä)x,n¬= Nx - Nx+n+Sx+1 - Sx+n-1 - nNx+n Dx (Iä)x,n¬= Sx - Sx+n - nNx+n Dx Caso segundo renta temporal, inmediata de pago vencido (Va)x,n¬= P(Nx+1 - Nx+n+1)+ h(Sx+2 - Sx+n-2 - nNx+n+1) Dx (Ia)x,n¬= Sx +1- Sx+n+1 - nNx+n+1 Dx Caso tercero renta temporal, inmediata de pago anticipado

(Vm/nä)x = P(Nx+m - Nx+m+n)+ h(Sx+m+1 - Sx+m+n-1 - nNx+m+n) Dx

(Im/nä)x = Sx+m - Sx+m+n - nNx+m+n Dx Caso cuarto renta temporal, diferida de pago vencido (Vm/na)x = P(Nx+m+1 - Nx+m+n+1)+ h(Sx+m+2 - Sx+m+n+2 - nNx+m+n+1) Dx (Im/na)x =Sx+m+1 - Sx+m+n+1 - nNx+m+n+1 Dx Caso especial Este caso se relaciona con una renta en la que la razón h la que tiene que terminar al cabo de n años y no la renta misma. En tal caso debemos aumentar a la formula el primero y segundo caso temporal el valor de una renta constante de [P+(n-1)h] diferida para n años. El valor actual de esta nueva renta sería para el caso de pago anticipado y vencido respectivamente. Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

(V n¬ä)x = P(Nx - Nx+n)+ h(Sx+1 - Sx+n+1 - nNx+n) + [P+(n-1)h]Nx+n Dx Dx

(V n¬ä)x = PNx + h(Sx+1 - Sx+n+1 - Nx+n) Dx (V n¬ä)x = PNx + h(Sx+1 - Sx+n) Dx

si y solo si P=h=1 resulta

(I n¬ä)x = Nx + Sx+1 - Sx+n Dx (I n¬ä)x = Sx - Sx+n Dx

(V n¬a)x = PNx+1 + h(Sx+2 - Sx+n+1) Dx

(I n¬a)x = Sx+n+1 Dx

5.3. Seguros para el caso de fallecimiento, a capitales variable en progresión aritmética. Se trata de un seguro, que si fallece el asegurado durante su primer año, sus deudos cobran la suma K, si fallece el segundo año la suma es K+b, tercero K+2b y así sucesivamente, el objetivo es calcular la prima única también llamado valor actual. De acuerdo al estudio realizado se presentaran dos casos para seguros de vida entera y dos para seguros temporales. Seguros de vida entera Caso primero, seguro de vida entera inmediato. La prima única será (VA) y es el resultado de sumar las esperanzas matemáticas o primas de alternativa anual de fallecimiento, entendiéndose que el capital será pagado al final del año del deceso,

(VA)x = vdxK + v2dx+1(K+b) + v3dx+2(K+2b) + Ix Ix Ix

+ vω-x+1 dω*K+(ω-x)b] Ix

Multipliquemos numerador y denominador por vx (VA)x = vx+1dxK + v x+2dx+1(K+b) + v x+3dx+2(K+2b) + Ix vx Ix vx Ix vx

+ vω+1 dω*K+(ω-x)b] Ix vx Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

Ordenando en columna sus subíndices en función de Cx nos queda: Dx(VA)x = K Cx + K Cx+1 + K Cx+2 + + b Cx+1 + b Cx+2 + + b Cx+2 + +

+ K Cω = KMx + b Cω = KMx+1 + b Cω = KMx+2 + b Cω = KMx+3 + b Cω = KMω

Dx(VA)x = KMx + bMx+1 + bMx+2 + bMx+3+ + b Mω (VA)x = KMx + b(Mx+1 + Mx+2 + Mx+3+ + Mω) Dx Al ingresar un nuevo símbolo Rx= Mx+1 + Mx+2 + Mx+3+

+ Mω

(VA)x = KMx + bRx+1 K=b=1 (VA)x = Mx + Rx+1 = Rx Dx Dx Dx Caso segundo, seguro de vida entera diferido o interceptado

Como hemos visto en los caso anteriores en necesario determinar el valor actual o prima única a la edad (x+m) y posteriormente deberemos actualizar m años. (Vm/A)x = (VA)x+m . mEx = KMx+m + bRx+m+1 . Dx+m = KMx+m + bRx+m+1 Dx+m Dx Dx (Im/A)x =Rx+m Dx 5.4. Primas únicas para seguros temporales con capitales variables en progresión aritmética. Caso primero, seguro temporal inmediato Bastará con que sumemos los n primeros términos del primer caso de vida visto anteriormente.

Dx(V/nA)x = K Cx +( K+b) Cx+1 + ( K+2b) Cx+2 +

+[ K+(n-1)b] Cx+n-1

K Cx + KCx+1 + KCx+2 + +K Cx+n-1 = K(Mx – Mx+n) + bCx+1 + b Cx+2 + + b C x+n-1 = b(Mx+1 – Mx+n) + b Cx+2 + + b C x+n-1 = b(Mx+2 – Mx+n) + + b C x+n-1 = b(Mx+3 – Mx+n) + b C x+n-1 = b(Mx+n-1 – Mx+n) Dx(V/nA)x = K(Mx – Mx+n) +b[Mx+1 +Mx+2 + +Mx+n-1 – (n-1) Mx+n] Dx(V/nA)x = K(Mx – Mx+n) +b(Mx+1 +Mx+2 + +Mx+n – n Mx+n) Dx(V/nA)x = K(Mx – Mx+n) +b(Rx+1 -Rx+n+1 – n Mx+n) Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

(V/nA)x = K(Mx – Mx+n) +b(Rx+1 -Rx+n+1 – n Mx+n) Dx Si K=b=1 (V/nA)x = (Mx – Mx+n) +(Rx+1 -Rx+n+1 – n Mx+n) Dx (V/nA)x = Rx –Rx+n – n Mx+n Dx Caso segundo: seguro temporal diferido

(Vm/nA)x = K(Mx+m – Mx+m+n) +b(Rx+m+1 -Rx+m+n+1 – n Mx+m+n) Dx

Si K=b=1

(Im/nA)x = Rx+m -Rx+m+n – n Mx+m+n Dx Caso especial En este caso se analizará, que no sea el seguro, sino que sea variable la suma asegurada y que ha de cesar después de transcurridos los años. En este caso, como lo hicimos en lo de rentas, se agrega al seguro temporal variable un seguro constante de importe K + (n+1)b, diferido por n años y queda: (Vn¬A)x = KMx + b(Rx+1 – Rx+n) Dx Si K=b=1 (In¬A)x = Rx - Rx+m Dx

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CAPITULO 6 SEGURO DE SALUD Este seguro ampara según el límite establecido para cada caso, los gastos en que incurra el asegurado (y su familia en caso de que desee incluirlas en la póliza) por enfermedades y prestaciones médicas en general, tales como maternidad, cirugías, consultas médicas, medicinas y exámenes. Bajo este seguro se suele amparar tanto a los obreros, empleados y ejecutivos de una empresa, determinando para cada grupo los límites máximos de indemnización. Esta póliza tiene la gran ventaja brindar al empleado una estabilidad dentro de la empresa al obtener un beneficio cuyo costo puede ser compartido con el empleador y que puede incluso salvar la vida de su familia y la de él en un momento determinado. La información requerida para ofertar el seguro es básicamente un listado del personal a ser asegurado, incluyendo la fecha de nacimiento de cada uno de ellos. ¿Por qué debe considerar seriamente obtener un seguro médico? Porque los gastos médicos no cubiertos que se originan por enfermedades repentinas, lesiones u otras emergencias pueden tornarse inmanejables económicamente de manera repentina. Puede terminar endeudándose con la tarjeta de crédito, verse obligado a buscar un segundo empleo, incluso tener que decidir si vende la vivienda o presenta la quiebra para cancelar los gastos de atención médica si usted o alguien de su familia contrae una enfermedad grave, se lesiona o queda discapacitado. Y los estudios demuestran que quienes no están asegurados tiene mayor posibilidad de demorar o incluso obviar la atención necesaria. Es posible que la salud de usted y su familia empeoren si no tiene seguro médico. Si realizamos el análisis de los EEUU, podemos observar que según la Oficina del Censo de los Estados Unidos, cerca de 45 millones de estadounidenses no están asegurados. Esta situación puede alcanzar a una tremenda cantidad de individuos y familias. La catedrática de la Universidad de Harvard, Elizabeth Warren, descubrió que las facturas por asistencia sanitaria contribuyen a cerca de la mitad de todos los casos de quiebra individual (en la actualidad, un millón de estadounidenses presenta la quiebra a raíz de gastos médicos). Además, 29 millones de estadounidenses tienen este tipo de deudas, que comprenden elevados saldos en la tarjeta de crédito o préstamos garantizados con la vivienda para pagar tales gastos. Aun así, si está en una posición similar a muchos estadounidenses no asegurados, está luchando por cubrir los gastos básicos de todos los días. Aunque se preocupe por los riesgos que tiene al no contar con cobertura, los costos y la accesibilidad de este tipo de pólizas parecen estar fuera de su alcance. Ya sea que crea que puede pagar el seguro en la actualidad, dé el primer paso para cumplir la meta de conseguir cobertura. En la literatura básica sobre el tema, la financiación de la salud se concibe como una función que articula tres elementos o fases: i. la recaudación de fondos vía impuestos, donaciones, seguros sociales o privados y pagos directos; ii. la mancomunación de los riesgos de enfermarse y los riesgos financieros de su atención entre los individuos cubiertos por el fondo; y iii. contratación o compra estratégica de los servicios de salud a los proveedores del sistema. Un buen desempeño en materia de financiación, además de eficiencia en la recaudación, exige que la contribución financiera guarde relación con la capacidad de pago, pero que el consumo de los servicios esté ligado a la necesidad, y por tanto, los sanos subvencionen a los enfermos y los ricos a los pobres. Fuentes de financiamiento de la salud En términos generales, el financiamiento de las atenciones a la salud, se da a través de tres grandes mecanismos: Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

i. recaudación del Estado (mediante impuestos generales y específicos), ii. cotizaciones al seguro social (frecuentemente recaudadas a través de impuestos sobre la nómina, impuestos de otra índole u otras cotizaciones) y iii. pagos privados (que comprenden pagos directos o de bolsillo, y a seguros privados). Sin que sea una regla inflexible, en aquellos esquemas cuya cobertura es universal, la financiación es llevada a cabo a través de impuestos generales, puesto que ni el derecho ni la intensidad protectora están vinculados a una determinada aportación económica. De igual manera, los programas de asistencia social, aquellos focalizados en un grupo específico de población (personas en estado de pobreza, grupos de alto riesgo, etc.) también son financiados con fondos fiscales. Por el contrario, en los modelos contributivos, la financiación se realiza a través de las cotizaciones sociales, puesto que la protección, tanto en la adquisición del derecho como a la determinación de la cuantía de las prestaciones económicas, está relacionada con la obligación a contribuir al sistema. En los países de América Latina, los tres mecanismos de financiamiento se registran en volúmenes y formas diversas. a. Dado el rol preponderante que ejercen los ministerios de salud, en especial dando protección a los amplios grupos de personas sin capacidad contributiva que viven en la región, o que laboran en el sector informal, el financiamiento vía impuestos generales o particulares, continúa siendo una de las más importantes fuentes de financiamiento de salud. Las tendencias recientes en materia de financiamiento, privilegian este mecanismo sobre cualquier otro, aunque hay países en desarrollo con estructuras tributarias regresivas y serias dificultades en la gestión administrativa de la recaudación. La experiencia en América Latina, evidencia que pese a todo, el financiamiento público ha sido insuficiente, pues los servicios ofrecidos por los ministerios de salud enfrentan múltiples problemas, desde limitaciones en la accesibilidad y expansión de los servicios a nivel geográfico hasta una calidad y eficacia cuestionables. De igual manera, en algunos países como en Costa Rica, el Estado ha incumplido sistemáticamente con la responsabilidad financiera que adquiere por la cobertura de personas de escasos recursos o grupos vulnerables, poniendo en duda la estabilidad y sostenibilidad financiera de estos regímenes. b. La segunda fuente de financiamiento, corresponde a los gastos o pagos de bolsillo, es decir, los desembolsos que las familias y sus miembros efectúan por la adquisición de bienes y servicios de salud al momento de su atención, los cuales representan aproximadamente dos quintas partes del gasto total en salud en América Latina1. Los gastos de bolsillo pueden clasificarse en: Pagos directos o de bolsillo puro, que se dan cuando el financiamiento es de un 100% de la prestación, en una relación de pago privado por servicios privados; Pagos de usuarios, que se vinculan con las contribuciones adicionales entregadas a los servicios públicos de salud, en calidad de una forma complementaria de financiamiento, cubriendo tan sólo una fracción del servicio recibido; y, copagos y deducibles, los cuales tienen un objetivo de regular la demanda y evitar el uso excesivo de los servicios, por medio de pagos parciales establecidos según el número de servicios o el costo de los bienes otorgados (ticket moderador).

La OMS en el Informe sobre la salud en el Mundo, 2000, reporta que la mayoría de países de altos ingresos financian las atenciones a la salud vía impuestos generales o contribuciones obligatorias al seguro de salud de carácter social. Por el contrario, los países de bajos ingresos el financiamiento depende mucho más de los pagos directos del usuario: en 60% en los países de ingreso por debajo de US$1,000 per cápita, el gasto de bolsillo representa el 40% o más del total.

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

Cuando no se está protegido financieramente contra las contingencias de la salud, las familias y los individuos quedan expuestos a lo que se denomina gastos catastróficos y/o empobrecedores, es decir, gastos superiores a un 30% del presupuesto familiar, que pueden de forma inmediata someter a los individuos y sus familias a una situación de pobreza o que los induce gradualmente a esta condición. Un indicador determinante de la falta de protección financiera en salud, es la proporción del gasto en salud que es solventado directamente del bolsillo de los hogares. El porcentaje de gasto de bolsillo, es considerado como un indicador del grado de inequidad financiera de un sistema de salud, dado que los grupos de más bajos ingresos son quienes comprometen por este concepto una mayor proporción de sus presupuestos, es decir, el gasto de bolsillo tienden a ser regresivo. Por ejemplo, en Honduras, donde el gasto privado es elevado, un estudio reportó que el cuartil de la población con menores ingresos destinaba 7.1% de sus ingresos familiares al gasto en salud, mientras que el de mayores ingresos destina sólo 2.5%. Por el contrario, en Costa Rica, donde la participación del financiamiento privado es menor (30%), se observa una mayor progresividad, ya que el cuartil de menores ingresos destina 2.2% a la salud, mientras que el de mayores ingresos destina 4.5%2. Tabla 6 América Latina: Indicadores sobre el gasto en salud, 20023 Gasto en Salud Dólares per capita1/ Total Argentina Bolivia Brasil Chile Colombia Costa Rica Cuba Ecuador El Salvador Guatemala Honduras México Nicaragua Panamá Paraguay Perú República Dominicana Uruguay Venezuela

956 179 611 642 536 743 236 197 372 199 156 550 206 576 343 226 295 805 272

Distribución porcentual Público

% del PIB Gobierno 8.9 7.0 7.9 5.8 8.1 9.3 7.5 4.8 8.0 4.8 6.2 6.1 7.9 8.9 8.4 4.4 6.1 10.0 4.9

Seguridad Social 50.2 21.7 59.8 20.9 45.9 45.9 45.1 28.4 82.9 33.7 65.4 11.2 86.5 86.5 36.0 23.3 44.7 24.8 47.5 20.7 51.2 42.3 44.9 15.3 49.1 35.3 71.7 38.9 38.1 26.6 49.9 28.5 36.4 29.0 29.0 46.9

13.4 32.5

Total

Privado

28.5 38.9 0.0 16.7 49.2 54.2 0.0 12.7 19.9 26.8 8.9 29.6 13.8 32.8 11.5 21.4 7.4

Gobierno 49.8 40.2 54.1 54.9 17.1 34.6 13.5 64.0 55.3 52.5 48.8 55.1 50.9 28.3 61.9 50.1 63.6

31.1 32.7 34.7 26.7 9.7 34.3 10.2 56.6 51.9 45.3 41.7 52.1 48.9 23.1 54.8 39.8 56.1

15.6 14.4

71.0 53.1

17.8 46.3

Seguridad Social 18.7 7.5 19.4 28.2 7.4 0.3 3.3 7.4 3.4 7.2 7.1 3.0 2.0 5.2 7.1 10.3 7.5 53.3 6.8

Financiamiento de la seguridad social en la salud Existen al menos tres formas básicas de cotizaciones a la seguridad social en salud, cuya escogencia está condicionada, esencialmente, a las posibilidades reales de establecer con cierta precisión los salarios o ingresos sujetos a las contribuciones; por supuesto, cada una de ellas, tiene implicaciones sobre el grado de solidaridad generado en el seguro:

Molina et al, 2001 Fuente: Elaborado con base a Anexos Estadísticos del Informe de la Salud del Mundo 2004, OMS. 1/ Se utilizan datos en dólares ajustados por paridad de poder de compra 3

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel



Cotización uniforme: Este tipo de contribución es también conocida como de cuantía fija, pues se basa en el pago de una cantidad determinada, no vinculada con el nivel de salarios o ingresos de los afiliados. Una variante de este esquema, son las cotizaciones uniformes para ciertas categorías de afiliados, pero variables entre ellas. Por ejemplo, se puede fijar un monto de contribución igual para todos los residentes de una zona, y otro distinto, pero uniforme, para los residentes de otra zona. El hecho de no depender de los ingresos, limita la solidaridad financiera del seguro, aunque como ventaja, puede atraer a un mayor número de trabajadores de medios y altos ingresos, que valoren el esquema como más justo y equitativo respecto a la relación contribución servicios ofrecidos. En el fondo, la cuantía fija actúa como un tope mínimo y máximo, y dependiendo de su nivel, puede regular los problemas de evasión y sub-declaración salarial. Contribución en función del salario o ingresos: En la actualidad, este tipo de cotización es la más empleada en los sistemas de seguridad social. Sencillamente, están determinadas o en función del nivel de ingreso de las personas: entre mayor sea el ingreso mayor el monto total de contribución, y a la inversa. Normalmente, para no caer en contribuciones de montos excesivos o por debajo de un mínimo actuarialmente óptimo, se establecen topes a la cotización, no tanto restringiendo los ingresos reportados, sino más bien, definiendo cuantías de contribución máximas y mínimas. Contribución por categorías: El principio de operación de este esquema, es que el rango de ingresos o salarios posibles se divide en varias categorías o tramos. Necesariamente el ingreso o salario reportado de un/a afiliado/a, debe ubicarse en alguna de las tantas categorías existentes, entonces pueden darse varias opciones: el porcentaje de contribución es fijo dentro de cada una de las categorías, pero distinto entre ellas.

Normalmente, con el propósito de incrementar la progresividad del seguro y su impacto redistributivo, es factible, aumentar la tasa de contribución según se avanza en las categorías de ingreso. Este dispositivo es muy útil para abordar el tema de los trabajadores independientes, dado que permite incrementar su aporte según su capacidad de pago, sin que ello implique una obligación de equiparar ésta con la tasa de contribución a pagar por un/a asalariado/a y su empleador. En la práctica, los países emplean simultáneamente uno o más de uno de estos esquemas, o bien, desarrollan variantes de ellos según sean las necesidades particulares. De igual manera, los porcentajes de contribución y la distribución de éstos entre empleado, empleador y Estado, difieren de un país a otro. Así por ejemplo, en Bolivia, la cotización de los trabajadores asalariados activos está a cargo del empleador en su totalidad, quien aporta un 10% de los salarios devengados por éstos. En Colombia, la afiliación al Régimen Contributivo para un trabajador por cuenta ajena es de un 12% en total: 8% del empleador y 4% del empleado. En los países de la región centroamericana, la práctica usual son los aportes tripartitos, con el Estado asumiendo un rol subsidiario. En Ecuador, los trabajadores aportan con el 11,35% y el estado o empleador con el 9,65%. En Chile, los trabajadores deben cotizar un 7% como mínimo, sea que se afilien a FONASA o a una ISAPRE, pero con la opción de aportar un porcentaje adicional para mejorar el paquete de servicios al que tienen derecho. Una de las precauciones fundamentales al momento de establecer la tasa de contribución, es que el nivel de contribución elegido no debe constituirse en una carga excesiva para el/la empleado/a, el empleador, y en algunos casos para el Estado mismo. No debe ser tan elevado como para alterar la decisión de los agentes de ubicarse en el sector formal o en el sector informal, ni tampoco para que el riesgo de evadir las responsabilidades financieras con el seguro social esté suficientemente compensado por el ahorro generado. Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

Tabla 7 Grupo seleccionado de países de América Latina - Porcentajes de cotización y topes salariales4 País Argentina

Bolivia

Chile

Colombia

Costa Rica

Cuba Ecuador

Cotizaciones: porcentajes y topes salariales Los empleadores cotizan en promedio el 7.2% de la remuneración de sus trabajadores, sujeta a un tope mensual equivalente a 60 veces el valor del aporte medio provisional obligatorio del Módulo Provisional (MOPRE). Los trabajadores por cuenta ajena cotizan el 6% de sus remuneraciones, con un tope igual al aplicado a los empleadores. Los empleados cotizan el 10%, calculado sobre la totalidad de las remuneraciones percibidas por el trabajador, sin límite alguno. Los pensionados cotizan el 5%, calculado sobre la renta básica. El porcentaje de cotizaciones es del 7% del ingreso mensual imponible. En el caso de las ISAPRES, se puede pactar una mayor cotización. El ingreso máximo para fines de cotización es de 60 UF. Ingreso mínimo a diciembre de 2002: $ 111.200 ó U$ 158,85. 1 U$ = $ 700). 60 Unidades de Fomento a diciembre de 2002: 1.009.647 (U$ 143,2). Además de la cotización, los afiliados deben efectuar, en el momento de requerir la prestación, un «copago» directo. Cotización del 12% del ingreso base del trabajador, con un tope salarial de 25 salarios mínimos legales mensuales. (En 11/2003, US$ 2.964). 2/3 a cargo del empleador y 1/3 a cargo del trabajador. Los trabajadores independientes tienen a su cargo la cotización total. Las contribuciones para los trabajadores por cuenta ajena se desglosan de la siguiente manera: 5.5% trabajador, 9.25% empleador y 0.25% Estado. No existe un tope de cotización, aunque si una cuantía mínima de contribución. Para los trabajadores por cuenta propia o independientes aplica un 13.75% sobre los ingresos como cuota global, cuyo porcentaje es cubierto en parte por el trabajador, según una escala contributiva definida con base en cinco categorías ocupacionales, y el resto por el Estado. Éste también aporta subsidiariamente un 0.25% sobre los ingresos de referencia. Pensionados: 5% pensionado, 8.75% el Régimen que otorga la pensión y 0.25% el Estado. Asegurados por Cuenta del Estado: 13.75% de una cuantía fijada. No existe una cotización específica La contribución de los trabajadores es del 11,35% y de las empresas o Estado es del 9,65%

El financiamiento de la salud vía cotizaciones, se comporta de una manera pro cíclica con el desempeño de la economía.

Las aportaciones del Estado (y de la sociedad) En la mayoría de los seguros sociales del mundo, además de los ingresos por concepto de las cotizaciones de los afiliados, también se obtienen otros ingresos adicionales, cuyo peso relativo varía

Fuente: Información Organización Iberoamericana de la Seguridad Social, Banco de Datos sobre Sistemas Iberoamericanos de Seguridad Social

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significativamente de un país a otro. Los más frecuentes son las transferencias estatales asociadas con el pago del Estado por la cobertura de segmentos de la población de escasos recursos o alto riesgo social. De igual manera, muchos sistemas han implementado esquemas de participación en el pago, en parte, como moderadores de demanda, pero también como una fuente habitual de financiamiento.  Transferencias del presupuesto del Estado: En los países donde el seguro social de salud es la organización pública predominante en el sistema de salud, con frecuencia el Estado delega en éste la cobertura de la población de escasos recursos (pobres e indigentes) y/o de alto riesgo social (embarazadas, niños, adultos mayores) sin capacidad contributiva. En estos casos, el Estado se compromete a pagar una cuota anual de aseguramiento por las personas que integran tales grupos. Es también factible, que el Estado demande del seguro social de salud, la prestación de servicios de salud pública, tales como campañas de vacunación, atención prenatal, exámenes de laboratorio para detectar enfermedades infecto-contagiosas, y otros más. Por otro lado, en las legislaciones de muchos países, un porcentaje de los impuestos recaudados sobre ciertos productos, como el tabaco y licor, tienen como destino apoyar el financiamiento del seguro social de salud.  Participación en el pago: En una función inicial de regular o moderar la demanda de las prestaciones médicas otorgadas por el seguro, a menudo se imponen esquemas donde los beneficiarios de los sistemas deben pagar una tasa o cuantía por ellos. Aunque su efectividad en el control del consumo ha sido ampliamente cuestionada, no cabe duda, que es un instrumento útil para recaudar recursos financieros adicionales. Existen distintas modalidades de participación en el pago: i. tasa fija o uniforme de participación en el pago por artículo o por servicio recetados; ii. según el volumen, y no el precio de los productos recetados; iii. según determinadas categorías de precios; iv. un porcentaje determinado; y, v. otras.

Contratar un seguro nunca es fácil. Y menos, cuando se asegura la salud. Si a pesar de disponer de una cobertura médica pública, se contrata un seguro médico privado, hay que tener en cuenta los siguientes aspectos: MODALIDAD DEL SEGURO. Existen dos grandes tipos de seguros médicos privados. En los de cuadro médico se puede elegir el médico y la clínica, siempre dentro de los concertados por la compañía aseguradora. En los de reembolso es posible optar por el médico y la clínica sin necesidad de comprobar si está incluido en el cuadro médico de la compañía aseguradora. Después, la compañía te reembolsa un porcentaje de la factura. COBERTURA. Es importante saber qué cobertura médica concreta se necesita y quiénes estarán incluidos en el seguro. Por ejemplo, una mujer joven en edad fértil y con la idea de tener un hijo, necesitará fundamentalmente los servicios de ginecología, preparación y asistencia al parto, entre otros. COBERTURAS EXCLUIDAS. Las compañías aseguradoras no incluyen la totalidad de los servicios sanitarios y es especialmente relevante el apartado de las enfermedades preexistentes, es decir, las que el asegurado ya tiene con anterioridad a la firma del contrato. La aseguradora puede aceptarlas o no a la hora de hacer la póliza. HOSPITALIZACIÓN. En la mayoría de los casos, los días de hospitalización incluidos en la cobertura médica del seguro están limitados. Lo más normal es que el paciente solo disponga de entre 30 y 90 días al año. PERIODOS DE CARENCIA. Una vez contratada la póliza, las compañías suelen imponer periodos de carencia (sin cobertura médica). Es habitual que, durante los primeros seis meses de vigencia de la póliza, no se cubran intervenciones quirúrgicas ni el internamiento en hospitales.

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TARIFAS. Además del tipo de cobertura que se contrate, la edad, el lugar de residencia y el sexo también determinan la tarifa de la póliza. Normalmente, la más costosa corresponde a los mayores de 60 años y, en segundo lugar, a las mujeres de edad fértil. COPAGOS. La mayoría de las aseguradoras imponen un coste añadido aparte de las primas. Se trata de una pequeña cantidad que se abona cada vez que se utiliza un determinado servicio médico. RENOVACIÓN DEL CONTRATO. Lo normal es que los contratos de este tipo de pólizas se realicen por un año prorrogable automáticamente en los años siguientes. Tanto la compañía como el asegurado pueden oponerse a prorrogarlo, aunque deben avisar con al menos dos meses de antelación. Eso sí, si ya ha empezado un tratamiento, la compañía no puede rescindir la póliza hasta que haya concluido. TABLA COMPARATIVA PRIMAS MENSUALES MEDIAS DEL SEGURO MÁS BÁSICO, SEGÚN EL PERFIL DEL ASEGURADO Y LA CIUDAD EN LA QUE SE CONTRATE Ciudad

Soltero Embarazada

Matrimonio mayor

Familia

A Coruña

33,4

39,7

124,6

112,4

Barcelona

33,1

64,7

140,4

135,9

Bilbao

42,6

60,7

153,8

148,3

Madrid

33,4

45,6

124,7

128,5

Sevilla

31,0

56,5

136,3

129,3

Valencia

43,2

48,6

121,4

122,8

MEDIA

35,6

53,4

133,9

130,1

*Datos de diez compañías. PRIMAS MENSUALES MEDIAS DEL SEGURO MÁS BÁSICO, SEGÚN EL PERFIL DEL ASEGURADO Y LA COMPAÑÍA EN LA QUE SE CONTRATE COMPAÑÍA

Soltero Embarazada

Matrimonio mayor

Familia

Adeslas

38,2

38,1

126,1

125,6

Allianz

46,1

55,9

158,8

184,4

Aresa

27,6

62,8

142,4

89,6

Asisa

34,7

33,8

116,1

101,0

Axa Winterthur Salud 50,6

81,3

203,0

162,4

Caser

26,1

40,0

97,8

91,9

DKV Seguros

34,1

59,5

126,2

109,0

FIATC

33,9

35,5

137,8

127,4

Mapfre Caja Salud

28,9

63,8

124,8

114,1

Sanitas

37,4

62,1

142,5

177,2

MEDIA

35,6

53,4

133,9

130,1

*Datos de seis ciudades (A Coruña, Barcelona, Bilbao, Madrid, Sevilla y Valencia). PRIMAS MENSUALES MEDIAS DEL SEGURO MÁS COMPLETO, SEGÚN EL PERFIL DEL ASEGURADO Y LA CIUDAD EN LA QUE SE CONTRATE CIUDAD

Soltero

Embarazada

Matrimonio mayor Familia

A Coruña

54,6

60,2

207,7

210,4 Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

Barcelona

56,7

85,1

237,8

288,0

Bilbao

56,6

79,4

224,8

184,7

Madrid

53,0

75,6

234,4

352,9

Sevilla

54,7

78,6

217,0

189,1

Valencia

57,1

72,0

199,7

249,9

MEDIA

55,4

76,2

219,1

245,5

*Datos de diez compañías. PRIMAS MENSUALES MEDIAS DEL SEGURO MÁS COMPLETO, SEGÚN EL PERFIL DEL ASEGURADO Y LA COMPAÑÍA EN LA QUE SE CONTRATE COMPAÑÍA

Soltero

Embarazada Matrimonio mayor

Familia

Adeslas

64,8

73,5

222,1

270,1

Allianz

62,8

68,9

178,7

235,4

Aresa

60,2

94,2

277,9

273,0

Asisa

59,1

60,4

163,9

164,3

Axa Winterthur Salud

62,3

97,9

329,6

190,3

Caser

41,6

63,4

167,5

177,7

DKV Seguros

57,4

79,0

233,5

465,3

FIATC

44,4

47,8

181,7

158,2

Mapfre Caja Salud

49,3

85,5

193,4

217,7

Sanitas

56,2

85,0

249,2

224,3

MEDIA

55,4

76,2

219,1

>245,5

*Datos de seis ciudades (A Coruña, Barcelona, Bilbao, Madrid, Sevilla y Valencia). (1) Joven de 35 años, soltero, sin pareja ni tampoco hijos. Trabaja como policía municipal. (2) Mujer de 35 años, soltera y embarazada de un mes. En breve, necesitará acudir al

ginecólogo, y preparase para el parto. (3) Matrimonio de 60 y 62 años. Ella tiene diabetes. Desean una atención sanitaria eficaz y rápida para los dos. (4) Matrimonio de 37 y 40 años con dos hijos de entre 5 y 9 años. Buscan especialmente una buena atención sanitaria para sus hijos. Analicemos un caso real para la contratación de un seguro de salud en el que nos manifiesten las condiciones sobre el cual van a regir su contratación: COBERTURA de ASISTENCIA MÉDICA familiar Este amparo ayuda a costear los gastos incurridos por el titular o sus dependientes directos, a causa de incapacidad que requiera tratamiento CLÍNICO – QUIRÚRGICO – HOSPITALARIO, reembolsando de acuerdo al coaseguro contratado. COBERTURAS Cobertura las 24 horas del día, 365 días del año y en cualquier parte del mundo con su equivalente al valor nacional del Ecuador. Cobertura inmediata para accidentes.

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Se otorga continuidad de cobertura para los afiliados que vengan de otra póliza. Nuevas inclusiones tendrán cobertura para enfermedades preexistentes pasados los 90 días. Los Honorarios Médicos se cubre acorde a la tabla Harvard NIVEL 5, (Valor de consulta 31,43 USS). Se cubren enfermedades preexistentes para las personas que inician con el contrato. Cobertura de enfermedades profesionales y/o accidentes de trabajo para el titular del contrato, es decir para el empleado del contratante. Descuentos en la operación de exímer láser (cualquier dioptría) donde Salud S.A.lo indique. Para la cobertura de maternidad la misma deberá iniciar por lo menos 30 días después del ingreso al contrato. Cobertura de maternidad para titulares solas, siempre que se notifique dentro de las 8 primeras semanas del embarazo y se pague la tarifa familiar desde el inicio del embarazo de manera retroactiva. La maternidad se cubrirá al 100% en reclamos ambulatorios sin deducible, al 90% en reclamos hospitalarios (dentro del Hospital UTPL) con deducible y al 60% a libre elección con deducible. Si se cubre enfermedades Congénitas. Cobertura de cristales ópticos, una vez cada tres años al 60% sin deducible, hasta el monto establecido en la tabla de bonificaciones para titulares. No se cubren adquisiciones masivas Cobertura y alquiler de aparatos ortopédicos al 60% y con aplicación de deducible, para titulares y dependientes como cualquier incapacidad, siempre y cuando sean parte de un tratamiento. Tratamientos de medicina no tradicional:- Cubre consultas y medicina homeopática, medicina natural, acupuntura y bioenergética, siempre y cuando las realicen médicos aceptados por la Federación Médica Ecuatoriana y las medicinas tengan registro sanitario. Leche medicada.- para niños menores de 12 años siempre y cuando sean médicamente necesario, máximo 2 tarros al mes. Solo dependientes. Terceros Molares, hasta $100 por cada molar, al 100%, sin aplicación de deducible, dentro del Hospital UTPL y libre elección al 60% sin deducible Pap Test .-una vez por año contrato al 100% sin deducible hasta $35, para titulares y conyugues en el Hospital UTPL; al libre elección la cobertura al 60% Audífonos.- cobertura al 60% en Loja, siempre y cuando sean parte de un tratamiento Cobertura de Vitaminas siempre y cuando hagan parte de un tratamiento por insuficiencia ferrosa. Cobertura para control de niño sano, como cualquier incapacidad si es dentro del Hospital UTPL y al 60% sin aplicación de deducible si es fuera del Hospital: De 0 a 1 año 1 consulta mensual, De 1 a 3 años 1 consulta trimestral, De 3 a 6 años 1 consulta semestral. Incluye las siguientes vacunas: BCG, DPT, PVO, ROTAVIRUS, MMR o SRP. Los Recién Nacidos se cubren desde el primer día de nacidos, se los deberá incluir máximo en 30 días después de su nacimiento. Cobertura de vacunas Hepatitis A, Hepatitis B, Fiebre Amarilla y Meningitis como cualquier incapacidad, para titular y dependientes. Cuarto acompañante - siempre y cuando el paciente sea un dependiente menor de 12 años al 90% con deducible dentro del Hospital UTPL, al 60% en libre elección. Cobertura de un Examen Antígeno Prostático sin deducible hasta $35.00 en el Hospital UTPL; fuera del Hospital, la cobertura es al 60% CUADRO DE BENEFICIOS SEGURO DE ASISTENCIA MEDICA COBERTURAS SALUD Límite Máximo por incapacidad $22.000 Cuarto y alimento $120 Terapia intensiva 80% Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

Cobertura Adicional para enfermedades graves Deducible por incapacidad ambulatoria Deducible por incapacidad hospitalaria Coaseguro Ambulatoria dentro de Red UTPL Coaseguro Hospitalaria dentro de Red UTPL Coaseguro fuera de red UTPL Coaseguro Ambulatorio y Hospitalario en otras ciudades Coaseguro medicina ambulatoria libre elección Límite del coaseguro Cobertura adicional para enfermedades graves Emergencia Por Accidente al 100% Emergencia Médica internacional al 100 % Deducible emergencia internacional Máximo de días de viaje para emergencia internacional Ambulancia terrestre Ambulancia Aérea al 80% Sepelio para titulares Sepelio para dependientes Cristales Ópticos una vez cada tres años al 60% Audífonos una vez al año al 60% Nivel de Referencia Tope de Consulta Período de presentación de reclamos Período de incapacidad o año calendario MATERNIDAD Parto Normal Cesárea

$3.000 $30 $50 100% 90% 60% 80% 80% 2.000 3.000 800 10.000 150 30 días 100% 3500 3.000 3.000 100 140 Harvard 5 31,43 90 días 365 días PLAN ACTUAL $ 1.500,00 $ 1.500,00

IMPORTANTE

Las exclusiones e inclusiones de titulares y dependientes solo se realizarán en la renovación. Durante la vigencia se podrá aceptar únicamente en los siguientes casos: Cambio de estado civil (dentro de los 30 días ) Nacimiento de un nuevo dependiente (dentro de los 30 días) El titular deja de laborar en la empresa Por fallecimiento Para realizar la notificación respectiva a lo anteriormente descrito es necesario llenar el formulario de solicitud de inscripción: EXCLUSIONES

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Lesiones o afecciones por desastres naturales, guerra (declarada o no), conmoción civil, secuestro, huelgas o motines, actos terroristas. Curaciones de reposo, cuidado sanitario o períodos de cuarentena y epidemias declaradas por la autoridad competente. Exámenes dentales, y tratamientos odontológicos en general, salvo por accidentes ocurridos durante la vigencia del contrato. Exámenes de laboratorio o imagen no necesarios al diagnóstico, así como chequeos médicos. Lesiones y enfermedades mentales, psicológicas, nerviosas y/o estrés. Tratamiento de rehabilitación por alcoholismo y/o drogadicción. Tratamientos por fertilidad o esterilidad masculina o femenina, e inseminación artificial. Enfermedades y/o accidentes causados o provenientes del uso o consumo de alcohol, drogas y/o estupefacientes así como faltas a la ley o delitos. Lesión infligida a sí mismo estando o no en uso de sus facultades mentales. Gastos originados por defectos de refracción visual. Cirugía plástica, salvo para corregir lesiones por accidente o enfermedades ocurridos durante la vigencia del contrato. Lo relacionados con obesidad, delgadez o alopecia. Gastos de acompañantes en clínicas y hospitales. Hipoestrogenismo, climaterio, menopausia y/o complicaciones. Medicinas reconstituyentes, vitaminas y complementos proteicos alimenticios, excepto en caso de anemia carencial. QUE HACER PARA UTILIZAR EL SEGURO MEDICO EN CASOS AMBULATORIOS (casos que no requieren hospitalización) PROCEDIMIENTO CASOS AMBULATORIOS: Es necesario completar el formulario de reclamación de SALUD S. A. el mismo que presenta 3 secciones que deben llenarse completamente: Debe ser completada por el empleado asegurado con dos nombres y apellidos Debe ser completada la empresa con sello y firma. Debe ser completada por el médico tratante con sello, firma y debe indicar todos los diagnósticos sobre los cuales está reclamando. Al formulario deben adjuntarse los siguientes documentos originales: Factura de honorarios médicos. Hoja de emergencia o copia de historia clínica (para casos de emergencia) Recetas médica. Facturas de farmacia con desgloses por unidad. Ordenes de exámenes. Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

Facturas de exámenes y RX con costos desglosados, con copias de los resultados. Más todos los documentos que se generen y respalden el reclamo. Importante: Todo gasto realizado con excepción de la consulta médica, debe ser ordenado o solicitado por el médico tratante y por escrito. EN CASOS HOSPITALARIOS PROCEDIMIENTO CASOS HOSPITALARIOS: En caso de Hospitalización planificada fuera del Hospital UTPL Con 48 Horas de anticipación se debe entregar al Asesor de Seguros Asertec un formulario de preautorización, el cual debe ser llenado por el médico tratante, para enviarlo a la Cía. de Seguros. Este formulario será revisado por la compañía de seguros y regresado al cliente. El asegurado se debe acercar al hospital y presentar el formulario de reclamos lleno, la tarjeta del seguro y una identificación. El hospital solicitará una autorización a la aseguradora y ésta otorgará el crédito. Usted sale del Hospital con un crédito al 100 % del monto de la factura y de acuerdo a la cobertura. Se deberá dejar una garantía para el pago de los valores no cubiertos por la póliza (deducible, y el coaseguro que corresponde al 20% que asume el asegurado) El mismo será efectivizado después de 30 días posteriores al egreso de la Clínica u Hospital, por dichos valores. En caso de Hospitalización no planificada En el caso de cualquier emergencia médica o accidental que requiera hospitalización, se debe realizar el siguiente procedimiento. Se debe acudir a cualquiera de los hospitales de la red. Se deberá presentar la tarjeta de afiliación al seguro. Se deberá dejar una garantía. La compañía de seguros otorga la autorización de crédito correspondiente por el 100 % de la cuenta. Luego deberá realizar el proceso definido para una hospitalización planificada, formalizando todos los documentos requeridos (Formulario debidamente sellado y el formulario de autorización al departamento de Recursos Humanos). Seguir las mismas condiciones de la hospitalización programada. BENEFICIOS DE SU TARJETA Crédito hospitalario y ambulatorio. Crédito hospitalario al 100% en la red de clínicas y hospitales con convenio y crédito ambulatorio en el Hospital UTPL Loja sin deducible. En el caso de que en el Hospital UTPL Loja, no existan las especialidades requeridas, el Hospital debe direccionar a una clínica dentro o fuera de Loja y la cobertura es al 80%. Descuentos en prestadores afiliados: Usted mediante la presentación de su tarjeta recibirá descuentos Farmacias a nivel nacional como Fybeca y Sana Sana. CONVENIO CLÍNICAS

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CAPITULO 7 7.1 Antecedentes del seguro de automóviles5 Este seguro tiene sus antecedentes más remotos en Inglaterra, donde se cubría únicamente el riesgo de choque de dos vehículos dentro del ramo de transportes, como cascos de vehículos terrestres. Posteriormente operó como un ramo independiente y su difusión alrededor del mundo fue muy rápida. En 1935 se ofrecían siete coberturas: choques o colisiones, vuelcos accidentales, incendio, auto-ignición y rayo, robo del vehículo, conmoción civil y huelgas, daños a propiedad ajena y atropello de personas. Por cada evento se cobraba un deducible de cincuenta pesos. La tarificación se realizaba con base en el 'valor efectivo' del vehículo en la mayoría de las coberturas (el cual era de entre el 60% y el 80% del valor real); para las últimas dos coberturas la suma asegurada la fijaba el asegurado. El costo de este seguro en ese entonces fluctuaba entre $ 200 y $250 sucres anuales. Actualmente, la tarifa del seguro de automóviles es la única de todos los ramos de daños que trabaja con información estadística cien por ciento nacional. Se tienen noticias de la existencia de estadísticas elaboradas para el mercado mexicano donde la complejidad de los procesos de tarificación es enorme en sus distintos aspectos (matemáticos, estadísticos, administrativos, etcétera). La ciencia actuarial está en condiciones de ofrecer soluciones técnicas al problema de la tarificación, justificables teóricamente y con alto grado de operatividad. Dentro de este contexto, es posible distinguir dos tipos generales de sistemas de tarificación: a) La tarificación a priori o por clases de riesgo, y b) La tarificación a posteriori o según experiencia conocida. “El seguro de vehículos es el más importante para la industria aseguradora desde todo punto de vista, es decir como instrumento de seguridad para el gran número de asegurados, fuente de primas y ojalá de utilidades para las compañías de seguros, son pocos los grandes litigios que se presentan en comparación al número de siniestros” Tarificación a Priori o por Clases de Riesgo. El análisis de las tarifas vigentes en los diferentes países permite afirmar que existe un conjunto de factores de riesgo que se consideran en la mayoría de ellas, por lo que se les puede calificar como básico. En Ecuador se considera la marca (ej.Volkswagen), submarca-tipo (ej. Jetta, VR6 turbo) y modelo (Ej. año 2003), en consecuencia, el problema de elaborar tarifas para el seguro de automóviles exige, en primer término, la valoración de la influencia en la siniestralidad de los referidos factores sobre la base de la información disponible. Otros factores a tomarse en cuenta son las características del vehículo (potencia, plazas, valor del mismo, etcétera), el uso que se le da al vehículo (público, privado) y características del conductor habitual como lo son la edad y sexo, la antigüedad de la licencia de manejo, entre otras. Evidentemente, la presencia de estos factores de riesgo a diferentes niveles justifica, en cierta medida, la ocurrencia del siniestro y la cuantía económica de sus consecuencias. El problema básico de la tarificación a priori es establecer clases de riesgo, de modo que dentro de ciertos límites puedan considerarse homogéneos, desde el punto de vista de la exposición al riesgo. Un ejemplo típico del sistema de tarificación a priori es el caso de Ecuador, donde los factores de riesgo que se toman como base de tarificación son las características del vehículo. Tarificación a Posteriori o según Experiencia Conocida. En este sistema de tarificación se parte de una tarifa inicial para cada unidad de riesgo que se modifica en los períodos sucesivos de acuerdo con la experiencia. La justificación de estos sistemas se encuentra en el hecho de que dentro de cada clase de riesgo existe una cierta heterogeneidad, debido a la

Fuente: AMIS. Nota Técnica del Seguro de Automóviles. México, D.F. 1995.

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influencia de ciertos factores de riesgo no considerados, o bien a los límites que definen los distintos niveles en los diversos factores de riesgo que sí se consideraron, los cuales se pondrán de manifiesto en la siniestralidad con el transcurso del tiempo. Al considerar esta experiencia se podrá obtener un mayor grado de equidad en las primas de los ejercicios posteriores, al compararla con la inicialmente cobrada. Un medio para conseguir el grado de equidad ya mencionado es mediante el establecimiento de un sistema de bonificaciones y penalizaciones de acuerdo a los resultados obtenidos. No obstante, el establecimiento de un sistema de esta naturaleza, llamado bonos malos, tiene algunos inconvenientes. Algunos actuarios han rechazado categóricamente la idea de tarificar a posteriori, ya que consideran que contradice algunos de los principios fundamentales del seguro. Las compañías aseguradoras requieren calcular primas de flotillas de vehículos de acuerdo a la experiencia propia de dichas flotillas, en la actualidad para determinar el costo de este tipo de seguros, se considera la tarifa inicial de la unidad cuyo método de tarificación se describe en la sección 1.5, donde se expone al lector la nota técnica para obtener la prima inicial por marca, submarca-tipo y modelo. A continuación se determina un descuento aplicable a la flotilla en función de la experiencia de siniestralidad de esta flotilla en el pasado. Una limitante del método que se aplica actualmente es que no reconoce varios años de siniestros de la flotilla sino que únicamente reconoce el período inmediato anterior. En virtud de lo expuesto en el párrafo anterior, se propondrá en el presente trabajo una alternativa para obtener la prima de flotillas de vehículos automotores, mediante la aplicación de modelos de credibilidad, mismos que se contemplarán en los capítulos segundo y tercero del presente trabajo respectivamente y que permiten reconocer varios períodos anteriores de siniestros en las flotillas para obtener la prima del seguro. De acuerdo con la composición de las carteras del sector asegurador, las flotillas de vehículos representan un importante segmento de sus portafolios con más del 50% de los vehículos que se encuentra asegurados por las compañías de seguros, debido a que las empresas propietarias de estas flotillas mediante su administración de riesgos buscan el seguro, mientras que los vehículos de uso particular en Ecuador no se aseguran en su mayoría, sólo el 30% del parque vehicular cuenta con algún tipo de cobertura, por lo que el tarificar correctamente este tipo de riesgos permite garantizar que la cartera global se mantendrá dentro de los límites de suficiencia de prima aceptable y con menor probabilidad se presentarán problemas de siniestralidad. En el Ecuador año 2008 se creó por parte de la comisión de tránsito un seguro contra accidentes a terceros llamado SOAT según Decreto Ejecutivo No. 809 expedido el 19 de Diciembre de 2007 y publicado en el Registro Oficial No. 243 de 2 de Enero de 2008.

Nota técnica actual para el ramo de automóviles. En esta sección se expondrá la nota técnica del seguro de automóviles en pólizas individuales y en pólizas flotilla que es comúnmente utilizada en las compañías del sector asegurador ecuatoriano. Pólizas individuales Actualmente, el seguro de automóviles en Ecuador está basado en un sistema de tarificación a priori. El concepto de vehículo comprende la unidad automotriz descrita en la carátula de las pólizas que las compañías aseguradoras nacionales expiden, incluyendo las partes y accesorios que el fabricante aporta originalmente para cada modelo y tipo específico que presenta al mercado. Cualquier otra parte, accesorio, rótulo o conversión instalada adicionalmente y a petición expresa del comprador o propietario se considerará equipo especial y requerirá de cobertura específica. También se le considerará como equipo especial a aquellos accesorios, equipos u objetos que la agencia distribuidora de la fábrica le adiciona al automóvil para su venta, como son rines deportivos, franjas decorativas, spoilers, asientos especiales, equipos de sonido, etcétera. Esto ha ocasionado graves Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

problemas en el mercado por la falta de una delimitación clara entre el equipo original de fábrica y el equipo accesorio. Los riesgos que se pueden amparar por pólizas nacionales se definen en la especificación de coberturas que a continuación se describen. Especificación de coberturas 1. Daños materiales Incendio, accidente y robo: la póliza ampara al propietario del vehículo contra estos riesgos de acuerdo con la suma asegurada. En el caso de accidentes el seguro cubre los daños sufridos por al automotor. Los daños o pérdidas materiales que sufra el vehículo a consecuencia de los siguientes riesgos: a) Colisiones y vuelcos. b) Rotura de cristales (en general, cristales con que el fabricante equipa el vehículo). c) Incendio, rayo o explosión. d) Ciclón, huracán, granizo, terremoto, erupción volcánica, alud, derrumbe de tierra o piedras, caída o derrumbe de construcciones, edificaciones, estructuras u otros objetos, caída de árboles o sus ramas e inundación. e) Actos de personas que tomen parte en paros, huelgas, disturbios de carácter obrero, mítines o alborotos populares, o de personas mal intencionadas, durante la realización de tales actos, o bien ocasionados por medidas de presión tomadas por las autoridades en dichos actos. Principales exclusiones No cubre los daños al vehículo ni la Responsabilidad Civil que genere a consecuencia de:  Guerra, declarada o no, actos de fuerza extranjera  Reacción o radiación nuclear o contaminación radiactiva  Transportación de mercancías azarosas, inflamables o explosivas  Sobrepeso  Empleo para uso distinto a lo estipulado, o para la enseñanza de conducción o competencias o entrenamientos o se alquile o se remolque.  Lucro cesante  Multas por infracciones de tránsito.  Aprehensión por la autoridad, secuestro, embargo, decomiso.  Depreciación, daños eléctricos, mecánicos o desgaste natural.  Mejoras al vehículo  Circulación por lugares distintos al descrito en la póliza  Uso del vehículo en acciones ilícitas  Accidente voluntario  Poner en marcha el vehículo siniestrado sin las reparaciones pertinentes. Derechos y obligaciones de las partes: La compañía tiene derecho a ser propietaria del vehículo o salvamente o recuperos después de haber indemnizado al asegurado. La compañía tiene el derecho de pagar, reponer o reparar el bien El asegurado tiene derecho a indemnización si el siniestro ocurre dentro de Ecuador, Para Colombia, Perú extensión del territorio se cobra 25% a la prima neta para poder indemnizar en caso de siniestro fuera del país. El asegurado está obligado a efectuar el traspaso del vehículo a favor de la compañía en caso de pérdida total por robo o daño. 2. Robo total

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Ampara el robo total del vehículo, así como las pérdidas o daños materiales que sufra el vehículo a consecuencia de su robo total. En adición, cuando no se trate de la cobertura de daños materiales, quedarán amparados los daños ocasionados que se han mencionado para esta cobertura. 3. Responsabilidad civil por daños a terceros Esta cobertura ampara la responsabilidad civil en que incurra el asegurado o cualquier persona que con su consentimiento, expreso o tácito, use el vehículo y que a consecuencia de un accidente cause daños materiales a terceros en sus bienes y/o cause lesiones corporales o la muerte a terceros, incluyendo la indemnización por daño moral que en su caso determine la autoridad competente. Cuando se causen lesiones corporales a terceros, la póliza ampara los daños que se determinan en el código civil correspondiente. La cobertura se extiende a cubrir, dentro de los límites máximos de responsabilidad civil establecida en la carátula de la póliza, los gastos y costos a que fuere condenado el asegurado o cualquier persona que con su consentimiento expreso o tácito use el vehículo, en caso de juicio seguido en su contra con motivo de su responsabilidad civil. El límite máximo de responsabilidad de la compañía en esta cobertura, se establece en la carátula de la póliza y opera como límite único y combinado para los riesgos amparados en esta cobertura. SEGURO OBLIGATORIO DE DAÑOS CORPORALES CAUSADOS A PERSONAS EN ACCIDENTES DE TRANSITO SOAT En el Ecuador comienza a entrar en vigencia en Marzo del 2008, está hoy regulado por el sistema financiero, el cual contiene las normas que, inspiradas en la búsqueda permanente de una igualdad social, reflejan desde ese ángulo y con trascendencia económica la necesidad de brindar protección para las personas que pueden verse afectadas como consecuencia de un accidente de tránsito en el cual se involucre un vehículo. Como lo indica su denominación se trata de un seguro de daños, de acuerdo con la división que nos da la Ley sobre los seguros. Para el efecto que contrato de seguro es aquel que es consensual, bilateral, aleatorio, oneroso y de ejecución sucesiva. Obligatorio La obligatoriedad de un seguro sólo puede nacer por vía legislativa, lo que implica que por medio de una ley, donde todos los vehículos que circulen dentro del país por vías abiertas al público, por mandato de la misma ley deben tomarlo, quiere ello decir, que todo vehículo debe necesariamente e indefectiblemente contar con un seguro obligatorio de accidentes de tránsito. Esta obligatoriedad se extiende a personas ajenas a la celebración del mismo y se vinculan por su finalidad y espíritu, tal es el caso de las entidades prestatarias de servicios de salud las que deben prestar obligatoriamente el servicio a quien se vea afectado por un accidente de tránsito en donde participe un vehículo automotor y esté utilizando una vía pública o privada abierta. Accidente de tránsito Se dice que un accidente se desprende claramente que al hablar de un accidente de tránsito que quede cobijado dentro del amparo del seguro obligatorio, ‘este debe necesariamente presentar estas características: - El causante del daño sea un vehículo - Que el hecho se haya presentado en la vía destinada a la circulación vehicular - Que el daño sufrido se cause como consecuencia de la circulación o transito o violación de una norma legal o reglamentaria de transito por un vehículo. Todos los que posee un vehículo y dan cumplimiento a los mandatos para utilizar las vías deben contar con el SOAT, La parte que cargamos es lo denominado caratula de la póliza donde se indica quien es el Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

asegurador, cual es el vehículo amparado y sus características, la vigencia del seguro, los amparos y las máximas responsabilidades que adquiere el asegurador en el evento de la realización de uno o varios de los riesgos o eventos asegurados mediante la póliza, el precio o prima, en conclusión la parte que hace individual o especifico el seguro. Las condiciones generales como su nombre lo indica, traen para el seguro obligatorio de daños corporales causados en accidentes de tránsito, la descripción de los amparos, las obligaciones de las partes, el tiempo y la forma de reclamar y la forma y oportunidad de pagar para el asegurador, definiciones propias para el seguro y su régimen legal. Amparos Servicios médicos quirúrgicos Incapacidad permanente Muerte Gastos Financieros Transporte a un centro asistencial Montos asegurados:  USD 5.000,00 por muerte de una persona,  Hasta USD 3.000,00 por persona, por discapacidad permanente total o parcial:  Hasta USD 2.500,00 por persona, por gastos médicos;  Hasta USD 400,00 por persona, por gastos funerarios; y,  Hasta USD 50,00 por persona, por gasto de transporte y movilización, de los heridos; 4. Gastos Médicos a ocupantes Se ampara el pago de gastos médicos por concepto de hospitalización, atención médica, enfermeros, servicio de ambulancia, todos ellos cuando sean indispensables, y gastos de entierro, originados por lesiones corporales que sufra el asegurado o cualquier persona ocupante del vehículo en accidentes ocurridos mientras se encuentren dentro del compartimiento, caseta o cabina destinados al transporte de personas. Los gastos de entierro se consideran hasta un máximo del 50 % del límite por persona, mismos que serán reembolsados mediante la presentación de los comprobantes respectivos. El límite máximo de responsabilidad de la compañía por evento, en esta cobertura, se establece en la carátula de la póliza. Prima de Riesgo para Daños materiales y Robo total Obtenida la frecuencia y el siniestro medio, se calcula la prima de riesgo Π de la siguiente manera: Π=f*Ŝ Donde Π = Prima de riesgo f = Frecuencia de siniestro Ŝ = Siniestro medio Se denota i = i-ésima marca-tipo, i = 1,2,...,n k = k-ésima clase, k =1,2,..., i k j = j-ésimo modelo, j =2011,2010,..., 1987 En el cálculo de la frecuencia y siniestro medio se utilizan tres tipos de variables: Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

n i = Unidades expuestas m i = Número de siniestros M i = Monto de siniestros f = mi ni Ŝi = mi ni En el tercer capítulo del presente trabajo se expone la aplicación del método tradicional conjuntamente con los modelos de credibilidad. Prima de Tarifa o Prima Neta. Para obtener la Prima de Tarifa o Prima Neta se utilizan los siguientes factores de gastos y utilidad los que integran un factor de recargos: 1. El factor de gastos de administración γ % tiene valor base del 15%. 2. El factor de gastos de adquisición β % tiene valor base del 10% para automóviles residentes. 3. El factor de utilidad α% tiene valor base del 5%. Se define η% =1−γ %−β %−α% El factor de recargo, el cual se utiliza para obtener la prima de tarifa de la siguiente forma: P =Π η% El factor de recargo η% puede variar en función de que los factores de gastos de administración o de adquisición pueden ser modificados en función de lo siguiente: El factor de gasto de administración γ % con valor base del 15% puede ser disminuido de acuerdo al nivel de participación del agente emisor en los procesos administrativos y de emisión de la póliza, para los casos en los que el agente realiza la emisión de las pólizas en sus instalaciones con recursos propios del agente, entonces una parte de los gastos administrativos son realizados por el agente emisor y no por la empresa, por lo que el porcentaje de gastos se modifica para reconocer esta situación. Las comisiones del agente o gastos de adquisición β % con valor base de 10% pueden variar entre 0-35% y se aplica de acuerdo al siguiente esquema. Determinación de Valores V1 y V2. Para calcular los valores V 1 (valor de nuevo) y V 2 (valor de usado) se tomaron los 139 grupos de riesgo y de acuerdo a los valores de la tabla de AMIS a mayo de 2003 se aplican las siguientes ecuaciones utilizando las unidades expuestas para cada tipo y modelo de vehículo de la cartera en estudio:

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En donde n ijk representa las unidades expuestas por marca, tipo y modelo. Con la información obtenida en 1.5.2 al 1.5.8 se obtienen las cuotas de riesgo T1i y T 2i de acuerdo con las siguientes fórmulas:

En donde: V1 i =Valor de nuevo V 2 i =Valor de usado FPPD(i) =% de pérdida parcial para la i-ésimo grupo (DM) FPTD(i)=% de pérdida total para la i-ésimo grupo (DM) T1 i =Cuota aplicable sobre V1 i, para la estadística se denota como DM1 T 2 i =Cuota aplicable sobre V2 i, para la estadística se denota como DM2 Π i =Prima de Riesgo Conforme a la aplicación de las fórmulas (1.5.6) a la (1.5.8), se calculan los valores V1 i , V2 i y cuotas de riesgo por grupo y cobertura T1 i y T2 i para daños materiales y robo total. Primas de riesgo para Responsabilidad Civil y Gastos Médicos Ocupantes Obtenida la frecuencia, el siniestro medio, se calcula la prima de riesgo Π de igual forma que para las coberturas de daños materiales y robo total: Π=f*Ŝ Donde Π = Prima de riesgo f = Frecuencia de siniestro S = Siniestro medio Se denota Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

i = i-ésima marca-tipo, i = 1,2,...,n k = k-ésima clase, k =1,2,..., i k j = j-ésimo modelo, j =2002,2001,..., 1987 En el cálculo de la frecuencia y siniestro medio se utilizan tres tipos de variables: n i = Unidades expuestas m i = Número de siniestros M i = Monto de siniestros f = mi ni Ŝi = Mi mi En el tercer capítulo del presente trabajo se expone la aplicación del método tradicional conjuntamente con los modelos de credibilidad. Cálculo de Excesos Se considera el comportamiento de la curva de Responsabilidad Civil y Gastos Médicos Ocupantes, como una función exponencial: f ( x) = ae-bx Entonces se deriva lo siguiente P(L) = Ln(L) * P Ln(Pi) en donde: P(L)= Prima del límite “n” Ln = Logaritmo natural (L)= Límite “n” (Pi)=Límite pivote P = Prima para el límite pivote. Pólizas flotillas En esta sección se desarrolla un esquema que reconoce la buena experiencia que tienen las flotillas otorgando un descuento sobre la tarifa base de acuerdo con lo siguiente: 1. Se reconoce la buena experiencia en siniestralidad de la flotilla. 2. Se calcula el descuento máximo que se otorga a la flotilla y que se aplica sobre la tarifa de automóviles vigente al momento del inicio de vigencia de la misma. 3. Este descuento se aplica de forma individual a cada unidad de la flotilla y se otorgará el mismo descuento a toda unidad que ingrese a la misma posteriormente al inicio de su vigencia. Esquema que reconoce la experiencia de siniestralidad de la vigencia anterior del seguro: descuento máximo aplicable. Para calcular el descuento máximo que se podrá otorgar, se calcula el monto esperado en siniestros de la póliza para la siguiente vigencia considerando los siguientes supuestos: Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

1. Permaneciendo todo lo demás constante, el monto y el número esperado de siniestros en la póliza se considera proporcional al número de vehículos que la integran. 2. La frecuencia de siniestros por número de unidades en la póliza no varía considerablemente (en flotillas relativamente grandes). 3. El monto total por siniestros aumenta de una vigencia a otra debido fundamentalmente a la inflación del ramo y no a variaciones en la frecuencia de siniestros. Con base en lo anterior, el descuento máximo a otorgar a una póliza flotilla se calcula mediante la siguiente fórmula: D = 1 – S(1+a) .(1+s) . N1 P´ N0 Donde: D Descuento máximo que se podrá otorgar a cada unidad de la flotilla. S Monto de los siniestros durante la vigencia anterior. a Gastos de ajuste, para el cierre de diciembre del 2002 los gastos de ajuste son de 3.63%, estos gastos varían de acuerdo con el período que se considere para su análisis. s Incremento en siniestralidad. P' Prima de riesgo de toda la flotilla según la tarifa vigente al momento de la renovación. N1 Número de unidades al momento de la renovación. N0 Número de unidades aseguradas en la vigencia anterior. De tal manera que la prima que se cobraría por cada unidad de la flotilla sería igual a la siguiente cantidad: Pi = P’i . (1-D) (η%) Donde: 1 < i < N contador del número de unidades que conforman la flotilla η% es el factor de gastos En cuanto al incremento en siniestralidad s , éste se calculará con base en los índices de precios publicados por INEC (Índice General como Índices para partes y refacciones para automóviles y gastos médicos). Conforme a lo expuesto,, las coberturas del seguro de automóviles han evolucionado con el paso del tiempo en función de las necesidades de cobertura de riesgos que los asegurados demandan, por ejemplo en la década de los 30’s, se comenzó con tres coberturas: daños materiales, robo y responsabilidad civil por daños a terceros hasta complementar dichas coberturas en la actualidad como la de gastos médicos a ocupantes, asistencia legal y en viajes, entre otras. Hoy en día el segmento de los automóviles de lujo ha tenido un incremento importante en ventas por ejemplo BMW, Mercedes Benz, ,Volvo, Toyota, Jaguar, Alfa Romeo, Land Rover, Audi, Mini etc..., por lo que requieren coberturas especiales no aplicables a la mayoría de los vehículos, mencionándose por ejemplo: coberturas de robo parcial de exteriores e interiores, devolución de prima y deducible, auto sustituto por daños materiales, robo del vehículo, etc..., por lo que se concluye que el seguro de autos es dinámico en función de las necesidades del mercado. El significativo desarrollo que el seguro de automóviles ha tenido y tendrá en los próximos años en Ecuador constituye para el sector asegurador un reto en el sentido de que el cálculo de las primas de este ramo mediante métodos actuariales generalmente aceptados y sustentados científicamente deben ser suficientes para generar carteras rentables. El seguro de automóviles seguirá en crecimiento, tanto Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

en diversidad de marcas, como en número de unidades aseguradas, estimándose un incremento del 50% en las carteras de seguros con relación al año 2003, a pesar de que en la actualidad tan solo el 30% de los automovilistas se encuentran asegurados. Las flotillas representan más del 50% de los vehículos asegurados del ramo de automóviles, es decir un importante segmento de los portafolios de las empresas, aunado al hecho de que las empresas propietarias de estas flotillas mediante su administración de riesgos buscan contratar el seguro para sus unidades. Se concluye entonces que un segmento estratégico para el negocio de seguros de automóviles se constituye por las flotillas de los mismos, por lo que los modelos de credibilidad que serán expuestos en más adelante, permiten reconocer varios años de experiencia de siniestros de las flotillas para determinar su prima de manera tal que ponderan la experiencia propia de la flotilla con la experiencia global de la compañía de seguros para un riesgo en particular. Lo anterior quiere decir que resulta necesario encontrar otros métodos para el cálculo de la prima de tarifa y los modelos de credibilidad constituyen una opción viable para la tarificación de las pólizas flotilla y ahora como nunca antes estos modelos representan una de las alternativas que los estándares de práctica actuarial prevén como una opción para realizar el cálculo de primas basados en procedimientos actuariales. MODELOS DE CREDIBILIDAD Presentar los orígenes de la teoría de la credibilidad y su importancia, así como revisar las bases de la teoría de la estimación y estadística bayesiana para el estudio de los diversos modelos de credibilidad europea hasta llegar al modelo de Jewell. En este punto se desarrollan modelos de credibilidad: modelo clásico de Bühlmann, Bühlmann_Straub y el modelo jerárquico de Jewell. Estos modelos se utilizan para tarificar flotillas mediante la ponderación de la prima “teórica” de la compañía con la experiencia de siniestralidad de un asegurado en específico. Con base al desarrollo teórico de los modelos planteados en este capítulo serán aplicados a una cartera de flotillas que pertenece a una compañía del sector asegurador ecuatoriano. “La palabra credibilidad tiene su origen en la actuaría como una medida de la creencia que el Actuario atribuye a una posible experiencia con la finalidad de tarificar”6, en este caso con “tarificar” se refiere a la determinación de las primas. La teoría de la credibilidad fue diseñada para hacer frente a los problemas de heterogeneidad que existen en las carteras, esto es, se trata de cobrar lo justo para cada cliente de acuerdo al riesgo que éste represente. Es lógico pensar que al determinar primas, lo mejor que puede hacerse es buscar un valor que se encuentre entre lo que dice la experiencia particular del asegurado y la experiencia de la cartera o portafolio, o sea el comportamiento del portafolio de riesgos, por ejemplo, a una flotilla de vehículos que no tiene historial de siniestros no podría asignársele una prima cero, no obstante a una flotilla que tuvo muchos reclamos sería también injusto penalizarla con una prima más alta tomando como referencia su experiencia particular. Esta teoría tuvo sus orígenes primero con Whitney (1918), posteriormente por Bailey (1950), Bühlmann (1967), Goovaerts and Hoogstad (1987), Klugman (1992), entre otros. Fundamentos bayesianos de la teoría de la credibilidad La teoría de la credibilidad descansa en los métodos bayesianos. A principios de siglo, los actuarios desarrollaron un factor de credibilidad de acuerdo con la fórmula C = (1− z)B + zA , para ponderar su conocimiento a priori B , con los datos estadísticos actuales A que se encontraban disponibles, denominando a C como la prima de credibilidad, sin embargo, en sus comienzos este factor fue intuitivo

Fuente Trowbride, Charles. Fundamental concepts of Actuarial Science. 2ª Edición. Prentice Hall. 1996.

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debido a que las técnicas estadísticas de la época no consideraban el uso de información inicial en la inferencia estadística, en otras palabras no se contemplaban situaciones en las que se requiriera la utilización de información de naturaleza diferente a la procedente de observaciones puramente empíricas para ser incorporada a los análisis estadísticos. Posteriormente se desarrolla la estadística bayesiana, en la que se contempla una visión más amplia, que enriqueció la metodología actuarial, proporcionando un fundamento para la tarificación “a posteriori” mediante la teoría de credibilidad al demostrar la relación entre el teorema de Bayes y la credibilidad, siendo Arthur Bailey el que demostró que la fórmula de credibilidad puede ser obtenida desde el teorema de Bayes en determinados casos. Teorema de Bayes Sea { Bj} una partición del espacio muestral o universo, entonces

Se puede interpretar a las B j ´s como las posibles causas; a E , un subconjunto del espacio muestral Ω, con probabilidad de ocurrencia mayor o igual que cero, como el efecto producido por algunas de las causas B j ´s, Dado que se conoce un efecto determinado E , se desea la probabilidad de que dicho efecto venga de la causa específica B j entonces se tiene que: Para cualquier partición { B j } y para un evento E ≠ Ǿ,

Para aplicar el teorema de Bayes se requiere especificar la distribución inicial del parámetro; por lo que su uso como procedimiento inferencial implica la condición de variable aleatoria para el parámetro a estimar y una visión del concepto de probabilidad en términos de grados de creencia, personales o subjetivos, e inevitablemente condicionados a la información de la que se dispone. Distribución a priori y posteriori. Una posible aplicación del teorema de Bayes es la siguiente: Sea X1 , X2 ,..., X n una muestra de variables aleatorias continuas independientes dado θ , e idénticamente distribuidas de la función de densidad de probabilidad f(xiΙ θ) , con i =1,2,...nr , la función de densidad conjunta de las variables aleatorias X1,...Xn es:

Se supone que el parámetro θ es fijo y desconocido, además el conocimiento sobre el parámetro que tiene el investigador se puede modelar como una variable aleatoria, por lo que se habla de una función de densidad para θ y f (θ ) y considerándose una función de densidad conjunta para ambas, por lo que se define:

la densidad marginal de las

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Por:

Se tiene que:

La que puede ser escrito:

En donde

f ( )

no depende de y

L(θl )

es la función de verosimilitud, de la cual se obtiene la

información del parámetro que tiene la muestra;

f (θ)

es la distribución inicial, a priori o previa del

parámetro, e indica lo que se sabe acerca del parámetro de la distribución antes de tomar la muestra; f

(θl ) es la distribución final o a posteriori del parámetro θ dada la muestra x , y determina lo que se sabe del parámetro de la distribución dada la muestra.

Se supone una distribución de probabilidad que genera la muestra aleatoria, de igual manera que en estadística clásica, pero ahora se incorpora la información acerca de los parámetros involucrados a través de f (θ). En estadística Bayesiana f (θ) , la distribución a priori, representa la información previa del parámetro θ en el modelo f (xlθ ), esta información puede consistir en el conocimiento de algún especialista en la materia o en información pasada acerca de la característica de interés que se desea estudiar. La selección de la distribución a priori es responsabilidad de quien realice el estudio. En el caso de no tener ningún tipo de información previa o cuando la información que se posea sobre el parámetro de interés no sea confiable, se utiliza lo que se llama una distribución previa no informativa, difusa o mínimo informativa, existe, entre otros métodos para calcular este tipo de funciones, el método de Jeffreys. Las distribuciones iniciales, en mayor o menor medida subjetivas, resultan útiles en el campo del seguro, como ocurre en el caso de riesgos nuevos sobre los que no existen datos disponibles donde, el actuario se verá obligado a hacer un establecimiento inicial del riesgo, basado, al menos parcialmente, en consideraciones no empíricas sobre las posibles fuentes de siniestralidad. En este sentido, Bühlmann señala: " En casos de incertidumbre hemos encontrado que en casos de incertidumbre que nuestras decisiones son más exitosas si expresamos nuestro criterio subjetivo sobre la incertidumbre que si nos abstenemos de dar algún juicio acerca de estos elementos”7. A continuación se describe el criterio de Jeffreys para el cálculo de previas no informativas.

Fuente: Bühlmann, H. Experience rating and credibility. Astin Bulletin, vol 5, nº 2, p. 157. 1969 Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

Criterio de Jeffreys8 Se tiene X1, ….,Xn una muestra aleatoria de la función de densidad f (xlθ ) y , la información de Fisher. La previa no informativa de Jeffreys se define como:

Función de densidad predictiva Ahora bien, si se tiene una muestra aleatoria X1, ….,Xn de la función de densidad f (xlθ ), y se quiere “pronosticar” o predecir el comportamiento de la siguiente realización de la función de densidad f (xlθ ), Xn+1 , si Xn+1 y X1, ….,Xn son independientes dado θ

Es decir, que se describe el comportamiento de Xn+1 dada la información disponible X a esta función se le llama función de densidad predictiva. Prima de credibilidad bayesiana y credibilidad completa Para obtener la prima de credibilidad bayesiana se calcula el valor esperado de la función Prima de Credibilidad Bayesiana = E(Xn+1

)

Se dice que existe “credibilidad completa” cuando la prima de credibilidad es igual a la prima de credibilidad bayesiana. Por último, es importante señalar que la teoría de la utilidad proporciona una justificación formal, de carácter axiomático, del enfoque bayesiano. De estos axiomas se deriva el uso de estos métodos para la toma de decisiones, y de ahí el papel crucial que la teoría de la decisión juega en este enfoque estadístico. El problema de la inferencia se considera, en sí mismo, como un problema de decisión, entonces el enfoque bayesiano es capaz de ofrecer un tratamiento unificado y general. Teoría de la credibilidad La teoría de la credibilidad consiste en combinar la experiencia de la empresa con la de un asegurado en específico, por lo que es conveniente determinar cómo se debe equilibrar la información que se tiene, para este caso, de una flotilla y la información que posee de toda la cartera. La credibilidad se basa en la siguiente fórmula C = (1− z)B + zA Donde: z es el factor de credibilidad 1<= z <= 1 A Prima “propia” que corresponde a los siniestros de una flotilla en los últimos t periodos. B Prima de la cartera o prima “teórica”. C Balance entre los extremos A y B. Credibilidad total y credibilidad parcial El objetivo de la fórmula de credibilidad fue establecer un balance entre la prima individual y la prima de la cartera, por lo que el factor de credibilidad “z” tiene una importancia en particular de acuerdo a la siguiente:

Fuente: Mood M., Alexander: Introduction to the theory of statistics, Third Edition. Singapur. McGrawHill, International Edition. 1974 564 páginas. Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

Tabla 2.1.A Interpretación del factor de credibilidad “z”.

Debido a que “z” expresa el peso asignado a la experiencia propia, esta variable juega un papel clave en la teoría de la credibilidad. Se dice que existe credibilidad parcial si 0 < z < 1. El factor de credibilidad “z” esté dado por la siguiente expresión propuesta por Bühlmann,

Donde: t= Período de observación t єΝ (números de años de experiencia) a= Grado de heterogeneidad entre las diferentes flotillas a > 0 (medición de la similaridad o disparidad del riesgo) s2 = Variabilidad de las reclamaciones Ahora bien, se analizará en detalle el factor de credibilidad “z” haciendo variar sus componentes, en cada uno de los siguientes casos: Caso I: Variación de “t” a) Si t →∞ ⇒z = 1(z →1) Calculando el límite de “z” cuando “t” tiende a infinito, se tiene:

b) Si t →0 ⇒z = 0(z →0) Calculando el límite de “z” cuando “t” tiende a cero, se verifica:

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De acuerdo al análisis de este caso, nótese que a mayor experiencia, es mayor la credibilidad a las primas de riesgo de las flotillas, por lo tanto cuando la experiencia de la cartera es nula, se da mayor credibilidad a las primas de la experiencia de la cartera. Caso II: Variación de “a” c) Si a →∞ ⇒z = 1(z →1) Calculando el límite de “z” cuando “a” tiende a infinito, se observa:

d) Si a →0 ⇒z = 0(z →0)

Calculando el límite de “z” cuando “a” tiende a cero, se tiene que:

Es evidente que a mayor heterogeneidad, es mayor la credibilidad a las primas de riesgo de las flotillas, por lo tanto, cuando la cartera es homogénea, se da mayor credibilidad a las primas de la experiencia de la cartera. Caso III: Variación de “s2” e) Si s2 →∞ ⇒ z = 0(z →0) Calculando el límite de “z” cuando “s2” tiende a infinito:

f) Si s2 →0 ⇒z = 1(z →1) Calculando el límite de “z” cuando “s2” tiende a cero, se determina:

De este caso en particular, se conoce que si existe poca variabilidad en los siniestros(es decir nula), se le da credibilidad a la prima de experiencia de la flotilla, no obstante, a mayor variabilidad de siniestros, se toma como base la prima de la experiencia de la cartera. Por lo expuesto anteriormente, se concluye que entre más años de experiencia se tengan, mayor heterogeneidad o menor variabilidad de siniestros, se puede optar por la prima de experiencia de la flotilla, si por el contrario, no se tienen años de experiencia (nuevos clientes), la cartera es realmente homogénea o la variabilidad de los siniestros es mucha, es conveniente tomar como base la prima de experiencia de la cartera.

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2.3 Notaciones y resultados preliminares9 Se definen algunas notaciones y resultados preliminares sobre los cuales descansan los modelos de credibilidad. Si el lector desea orientarse o recordar algunos conceptos probabilistas y estadísticos, puede revisar las fuentes de consulta del presente capítulo y el anexo “Bases de probabilidad y Estadística” localizado en el presente trabajo. Tabla 2.3.A Definición de variables en los modelos.

A continuación se especifican los modelos de credibilidad europeos que serán desarrollados 2.4 Modelo clásico de Bühlmann Con el objetivo de obtener la prima de riesgo de una flotilla, se determina un estimador lineal que permita ponderar la experiencia individual con la de toda la cartera. Esta es la idea esencial del modelo original planteado por Bühlmann. La flotilla involucrada en el modelo se encuentra expuesta a un riesgo fijo y desconocido Θ =θ, durante el período de t años. Sean X1 , X2 ,..., Xt los siniestros individuales en los períodos 1,...,t respectivamente y sea θ que se distribuye como la función estructural U(θ ). Conocido el parámetro de riesgo Θ, las reclamaciones son condicionalmente independientes e idénticamente distribuidas con una función de distribución F x/ θ (x θ) . A continuación se definen las siguientes variables con la finalidad de desarrollar el modelo: μ (θ ) =E[Xr / Θ = θ + La prima teórica M= E[Xr]=E*μ (θ )] La esperanza de la prima teórica a= Var[E[Xr / Θ = θ ++= Var*μ(θ )] La varianza del parámetro σ 2 (θ ) = Var[ Xr/Θ =θ + La varianza de los siniestros que pertenecen a la flotilla s 2 = E[Var [Xr / Θ++ = E*σ 2 (Θ)+

Fuente: N. Herzog, Thomas. Introduction to the Credibility Theory. 1996. Págs.65-67

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Heterogeneidad promedio en el tiempo de los montos de siniestros de las flotillas. Ahora bien, se debe determinar μ (θ ) =E (Xr /Θ =θ ) Que es la prima de cobro que se estima según Bühlmann a través de una función g(*) , que depende de las reclamaciones observadas = (X1 X2,…,Xt) , es decir de la experiencia propia de la flotilla. Si se tiene una variable aleatoria X , con función de densidad f (x,θ ) y si ( , ,..., ) T =U(X1 X2,…,Xt) es cualquier estadística, mediante el cálculo del error cuadrático medio de T , denotado como ECM(T) , se encontrará una función μ que nos proporcione la mejor estimación del parámetro θ ; el estimador incluye dos cantidades mayores a cero, varianza y cuadrado del sesgo. Se puede verificar que si X y Y son dos variables aleatorias, la función g(*) de X / Y que minimiza el ECM es: g(X ) = E[Y / X ] De aquí g(X ) = E*μ (Θ) /

]

Bühlmann estima la prima restringiendo la función g(X ) a un conjunto de funciones lineales de tal forma que se tiene:

g( ) =c0+c1X1+….+ctXt Minimizando el ECM , se pretende encontrar la función que estime mejor la prima de riesgo que se desea, por lo tanto se minimizará E*,μ (Θ) − g (X1,…., Xt) }2 considerando el conjunto de funciones lineales. El objetivo es encontrar las ci 's para obtener la combinación lineal de las Xi ' s o experiencia dela flotilla más la constante, de aquí se deriva lo siguiente:

El problema será obtener el mínimo en relación a cada uno de los coeficientes de X i , mediante la teoría del cálculo diferencial e integral, bajo condiciones de regularidad, es conocido que se pueden obtener valores mínimos de las variables utilizando las derivadas de las funciones e igualándolas a cero, por lo que si se deriva la última expresión respecto a c0 se tiene:

Igualando a cero se observa que:

Sustituyendo c0 , ahora será necesario minimizar:

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Entonces conviene generalizar el proceso de la siguiente manera: derivando respecto a c r para alguna r=1,2,..., t e igualando a cero se obtiene:

Se deduce que:

Sean X 1, X 2,...., Xt variables aleatorias condicionalmente independientes. Si es conocido el parámetro de riesgo (Θ=θ) , con esperanza μ (θ ) y varianza σ2(θ ) condicionales, entonces: Para r, r ' = 1,2,...,t , donde δ es la δ de Kronecker.

(b)Cov*μ(Θ), X r]= a Se tiene

Para i = r se optimiza:

Se pudo realizar esta simplificación, dado que ∀ r =1,...,t se tiene la misma derivada con respecto a c1,c2,..., ct , es decir, existe un sistema de ecuaciones simétrico. Se puede reexpresar la función óptima en términos del promedio ponderado de la esperanza del riesgo individual y la esperanza de los siniestros de toda la cartera de la siguiente manera:

Con la fórmula se obtiene el factor de credibilidad propuesto por Bühlmann, establecido como

Mediante la fórmula se determina el factor de credibilidad de acuerdo al método deBülmann. Variables del factor de credibilidad “z” : Bühlmann10

Fuente: Dannenburg, D.R., et. al. Practical Actuarial Credibility Models. Bélgica. IAE (Institute of Actuarial Science

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De acuerdo con las ecuaciones anteriores se requiere conocer las variables m, a y s2 mismas que son desconocidas, sin embargo, dichos términos pueden ser sustituidos por estimadores. El modelo considera que si la cartera consta de "k" flotillas, se cuenta con los montos reclamados por cada uno de ellos en los últimos "t" períodos, esto es: Tabla 2.4.A Observación de las flotillas en el tiempo

A la flotilla " j", le corresponde un vector aleatorio (X j)= (X j1X j 2, ,..., X jt), donde X jt representa la reclamación de la j-ésima flotilla, en el momento “t”, y un parámetro de riesgo Θ . Ahora bien se parte del supuesto de que las “k” flotillas son independientes e idénticamente distribuidas, que conocido el parámetro Θ j = θ j, las variables X j1X j 2, ,..., X jt son condicionalmente independientes e idénticamente distribuidas. Se hace énfasis que la cartera no es homogénea debido a los diferentes parámetros de riesgo a los que se encuentran expuestas las flotillas. Será necesario estimar las primas que se deben cobrar al asegurado, una vez conocida la clase de riesgo al que se encuentra expuesto μ(Θj). Sin embargo, se desconoce la distribución del parámetro de riesgo, será necesario estimar cada uno de los parámetros que definen las ecuaciones. De acuerdo con la Sección a) se determina que los mejores estimadores son: μ(Θ) = M ja= (1- z)m+ zMj Donde:

El estimador de la prima involucra la prima correspondiente a toda la cartera m y el factor de credibilidad “z”, para el cual es necesario conocer tanto la heterogeneidad inducida por toda la cartera a, como la variación de la siniestralidad dentro de cada flotilla sujeta al mismo riesgo s2 , siendo estas variables desconocidas y los montos de los siniestros de las flotillas condicionalmente independientes e idénticamente distribuidos. Por lo anterior es posible estimarlos insesgadamente, obteniendo como estimadores los siguientes:

and Econometrics), 1996. 157 páginas

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Más adelante se presentara la aplicación de este modelo de credibilidad para obtener el factor de credibilidad “z”, mismo que representa la ponderación que se le otorga a la experiencia de siniestros de la flotilla y la prima teórica que corresponde a este riesgo. Modelo Bühlmann-Straub Un portafolio de vehículos es posible subdividirlo en grupos de riesgo que posean el mismo valor del parámetro ( ) j Θ . Se tomará para cada periodo de tiempo la suma ponderada de todos los vehículos en las flotillas sujetas a ese parámetro de riesgo conformados en grupos de riesgo. Los grupos de riesgo se determinan por la submarca-tipo de cada vehículo, ejemplo: Jetta A4, Audi A6, Passat W8, Nissan Sentra, Honda Civic, etc. Se utilizan ponderadores naturales por número de expuestos, se define una nueva flotilla (Y jr) como el promedio ponderado de vehículos en las flotillas sujeto a un mismo parámetro de riesgo (X jr) , es decir:

donde T j representa el grupo de vehículos en las flotillas sujetos al j-ésimo riesgo. X ir Para “i” en Tj, representa la i-ésimo vehículo sujeto al riesgo “j” en el momento “r”. Y jr Nueva variable ponderada que concentra al conjunto de reclamaciones de los vehículos en las flotillas que se encuentran sujetos al riesgo “j”, durante el r-ésimo período. A partir de ahora cada flotilla j=1,...,k será el promedio de un grupo de vehículos sujetos al mismo riesgo que conforman las flotillas. w j es el ponderador de los nuevos contratos Y j y generalmente coincide con el número de expuestos de los grupos creados. Sin embargo este modelo sugiere que todos los grupos de vehículos tienen el mismo peso a lo largo del tiempo debido a que para los diferentes periodos se utiliza el mismo ponderador w j. No obstante se crea un ponderador que cambie en el tiempo, de esta manera en vez de tener un solo ponderador j w para las flotillas sujetos al riesgo “j” en cualquier momento, habrá ponderadores que tomen en cuenta que el grupo “j” puede cambiar de tamaño en el tiempo y por lo tanto dependerá del periodo estudiado wj1 , wj2 ,...,wjt . Bajo estas condiciones los supuestos del modelo de Bühlmannn-Straub se traducen como sigue: 1) Cada flotilla j=1,...,k es el promedio de un grupo de vehículos sujetos a un riego similar en las flotillas. 2) Se supone que todos los contratos j Y , tienen el mismo monto esperado de la reclamación, el cual es función del parámetro de riesgo, es decir: E[ Y jq/ Θ j+ = μ (Θj) Para j=1,...,k q=1,...,t (periodo de tiempo) 3) Excluyendo el ponderador w jr la varianza de todas las flotillas Y j, una vez conocido el riesgo, también es la misma:

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Para j=1,...,k, r=1,...,t 4) Para cada flotilla “j”, la covarianza entre las observaciones en diferentes períodos de tiempo es nula, condicionado al factor de riesgo: Cov [Y jr Y jq / Θ j] = 0 Para j=1,...,k, r,q=1,...,t r ≠ q 5) Cada flotilla “j”, se puede ver como un vector que consta de un parámetro estructural Θ j y observaciones (Y j1,Y j2,…, Y jt, ), es decir cada flotilla puede verse de la forma (Θ j Y j1,Y j2,…, Y jt, )= (Θj, Yj). Este supuesto indica que las flotillas j=1,...,k expresados como (Θj, Yj ) Y son independientes. Aún más, supone que las observaciones Y jr tienen varianza finita: Var[ Y jr+ < ∞ 6) Las variables θ1,...,θ k son idénticamente distribuidas Se considerará X jr como el promedio de flotillas sujetas al mismo riesgo. Términos del Modelo Bülhmann-Straub

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Una vez definidos los conceptos anteriores y bajo los supuestos establecidos, los estimadores lineales de Bühlmann-Straub para ( ) j μ Θ (prima a cobrar en el j-ésimo grupo de riesgo), pueden obtenerse al resolver el siguiente problema de minimización:

El procedimiento de minimización es similar al realizado para obtener la prima a cobrar en el modelo de credibilidad original de Bühlmann, pero debido a la existencia de diferentes factores de riesgo parámetros de riesgo ( ) j Θ para j=1,...,k), se toman en cuenta algunas relaciones de covarianza para la determinación de los estimadores de credibilidad, como los diferentes parámetros. Dichas relaciones son las siguientes:

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La resolución al sistema de minimización, tomando en cuenta las relaciones existentes entre los vehículos de diferentes flotillas, da como resultado que para una “j” determinada (grupo de riesgo), la prima que se cobra es: Mja = (1-zj)m + zj Mj Con: Mj =Xjw

Esta ecuación indica que la prima de credibilidad es una combinación de la prima global obtenida para toda la cartera y la prima que le correspondería si únicamente se tomara en cuenta la experiencia presentada por los vehículos expuestos al mismo parámetro de riesgo Θ j o grupo de riesgo. Variables del factor de credibilidad “z” : Bühlmann-Straub El objetivo es calcular el estimador de la prima de credibilidad Bühlmann-Straub por lo que será necesario conocer la prima global obtenida para toda la cartera m, y el factor de credibilidad zj, del cual implica conocer la heterogeneidad inducida por toda la cartera a, y la variación generada por cada grupo de riesgo s2 . Estos parámetros son desconocidos y deben ser estimados. Dado que los montos de siniestros son condicionalmente independientes e idénticamente distribuidos, será posible estimarlos insesgadamente de la siguiente forma:

La razón de utilizar ZW X en lugar de ww X en la estimación de m, proviene de la minimización del error cuadrático medio (ECM), ya que ambos podrían ser utilizados. Otro posible estimador de a, se encuentra determinado por

Con: Mj= Xjw M0=Xzw a y s2son medidas de heterogeneidad, es decir que s2 mide las variaciones del riesgo a lo largo del tiempo, y a mide la heterogeneidad entre los grupos de riesgo. Se realizó la aplicación del modelo de Bühlmann-Straub para la siniestralidad de flotillas de autos durante los años 1998, 1999, 2000, 2001 y 2002, los resultados se presentan en el siguiente capítulo. La aplicación del modelo se encuentra en función de las particiones que defina el experto que se encuentra evaluando el riesgo así como de los años de experiencia siniestral que se encuentren disponibles. Modelo Jerárquico de Jewell El modelo anterior permite estimar las primas para diferentes grupos de riesgo, sin embargo existen varios factores adicionales, por ejemplo, dentro de cada grupo de riesgo existe la clasificación por modelo o años de uso del vehículo. Ante esta situación, se determina el número de periodos para los Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

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cuales se tiene información en cada subportafolio los cuales se representan por tpj, donde p indica el grupo de riesgo (1ª división) y j=1,...,kp el modelo dentro de cada sector. En este caso, en donde existen varios subportafolios y grupos de riesgo, se determina la prima por marca y modelo así como la prima global, por lo que el modelo a seguir cuando se presentan diferentes segmentos es una extensión del modelo con dos segmentos, por lo cual únicamente será exponer el modelo de dos segmentos y mostrar cómo podría llevarse a cabo esta generalización. En este modelo el portafolio puede dividirse en varios grupos; cada uno de ellos está caracterizado por un parámetro de riesgo, el cual sigue una determinada distribución. Dentro de cada grupo existen diferentes subgrupos caracterizados por otro parámetro de riesgo. Esquemáticamente el modelo podría observarse de la siguiente manera: Portafolio

(p,1). (p,j). (p,kp) Grupos de Riesgo

Donde: p=1,...,P representa el número de sectores o subportafolios; cada uno posee un parámetro estructural Θp ; j=1,...,Kp indica el número de clases de grupos de riesgo p, caracterizados por el factor de riesgo Θpj, y r indica el tiempo (r=1,...,tpj), donde tpj es el número de períodos para los cuales hay datos disponibles. Cada sector “p” se encuentra constituido por las variables estructurales Θp y Θp , y por las variables observadas Xp y puede representarse como (Θp,Θp, Xp ) = Θp,Θpj, Xpjr Para j=1,...,Kp, r=1,...,tpj y la clase de contratos (p, j), es un vector aleatorio que consta de un parámetro estructural Θj, y las variables observables Xpj ,...,Xpjtpt , siendo representado por:

(Θp,X pj) =Θp,Xpjr r=1,...,tpj Un vez que se ha observado cómo se encuentra integrado cada grupo de riesgo, así como cada sector y el portafolio mismo, será factible agrupar aquellos grupos de riesgo que posean el mismo valor de los parámetros de riesgo, definiendo nuevos contratos por grupo de riesgo y modelo como promedios ponderados de los vehículos que integran la flotilla y posteriormente de los modelos de dichos grupos de riesgo de manera análoga a como se definieron los grupos de riesgo en el modelo de Bühlmann-Straub. Los ponderadores se presentan a continuación.

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Al igual que en los modelos anteriormente presentados, los siniestros de los grupos de riesgo y modelos, deberán presentar los requisitos de independencia condicional, los cuales pueden enunciarse de la siguiente manera: a) Los sectores o portafolios, son mutuamente independientes, es decir (Θ p ,Θ p, X p) es independiente de (Θ k ,Θ k ,X k ) ∀k ≠ p b) Dado un sector, sus clases son condicionalmente independientes, o sea, dado Θ p =θ p las clases de contrato (Θ pj ,X PJ) son condicionalmente independientes para cada p =1,..., P . c) Los parámetros estructurales (Θp ,Θ pj) y los montos de las reclamaciones X PJ son condicionalmente independientes para todo p =1,..., P y J = 1,..., K p d) Todo par de variables dado los parámetros estructurales (Θ p ,Θ pj,) los montos de las reclamaciones XPJ son condicionalmente independientes para todo p =1,..., P y J = 1,..., K p 46

Lo anterior puede expresarse en términos de varianzas y covarianzas de la siguiente forma: e) E[Xpjr / Θp ,Θpj+=μ (Θp,Θpj) ∀r=1,..., tpj Que representa la reclamación esperada para este grupo de riesgo y modelo en particular, y por consiguiente la prima que debe cobrarse a ese grupo de riesgo. f) Cov [X pj / Θp ,Θpj+=σ 2 (Θp ,Θ pj) w pj Indica la variación de las reclamaciones de un mismo grupo de riesgo, donde w pj es una matriz diagonal de “r” por “r” y cada elemento de la diagonal es 1/ W pjr , es decir la variación en las reclamaciones se encontrará ponderada por el peso correspondiente a cada grupo de riesgo sujeto a los mismos riesgos (Θpj ,X PJ), y en el mismo periodo de tiempo “r”. Se ha dividido el portafolio en subportafolios formados por grupos de riesgo “homogéneos” y se estima la prima correspondiente a cada grupo de riesgo. Con base en la forma en cómo fue dividido el portafolio, se descubre que cada grupo de riesgo “j”, del sector “p” o modelo del vehículo, posee las mismas características, y que la prima de todo el portafolio dependerá de todos los sectores, observándose las siguientes relaciones entre las clases de contratos, los sectores o subportafolios y el portafolio: Se define γ (Θ p) = [ E pjr X / Θ p], como el valor esperado de las reclamaciones en el sector “p” y por lo tanto equivale a la prima que debe cobrarse a ese sector en particular, y por lo cual se necesita estimar. En este sentido m = m p = E γ* (Θ p) ] = E *μ (Θ p,Θ pj) ] = E [ X pjr] determina la prima total que deberá cobrarse al portafolio o cartera y representa el principal objetivo en el estudio.

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s 2= E*σ 2(Θ P ,Θ pj,) ]mide la heterogeneidad o las fluctuaciones de una clase de contratos a lo largo del tiempo. a = E[Var[ μ (Θp ,Θpj) / Θ p]] , puede interpretarse como el grado de variación o heterogeneidad dentro de un sector. b = Var[ γ( θ p)], muestra la heterogeneidad global entre los sectores. El objetivo será encontrar los estimadores de credibilidad para las primas que se deberán cobrar a cada clase de contratos, a los sectores y finalmente al portafolio total. Para obtener los resultados en el marco de los modelos de credibilidad y de esta manera poder obtener las primas se definen las siguientes relaciones y notación que simplifique las sumas ponderadas.

Se procede a determinar los estimadores de las primas correspondientes a cada clase de contratos, sector o subportafolio y la prima del portafolio total. La construcción y subdivisión del modelo y la Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

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homogeneidad proporcionada por esta división, permitirá estimar la prima del sector “p”, utilizando toda la información de las clases de contratos y los contratos pertenecientes a este sector, ya que poseen las mismas características. Así mismo, se utilizarán los resultados de todos los sectores para estimar la prima del portafolio. A continuación se expondrá la manera de estimar cada una de las primas. Las primas podrán obtenerse nuevamente, minimizando el error cuadrático medio (E.C.M) existente entre el estimador y el verdadero valor de la prima de tal forma que será necesario minimizar:

Para determinar la prima correspondiente al sector “p”; y para obtener la prima de cada clase de contratos sujetos a los parámetros (Θ p ,Θ pj) será necesario minimizar el error de la siguiente manera:

El procedimiento de cada una de las minimizaciones es similar al realizado para obtener la prima en el modelo de credibilidad original de Bühlmann, y en los modelos presentados anteriormente. Pero debido a la existencia de diferentes factores de riesgo (parámetros de riesgo Θj para j=1,...,k), es necesario tomar en cuenta algunas relaciones de covarianza, que serán importantes para determinar tanto los estimadores de credibilidad, así como los diferentes parámetros. A continuación se presentarán las relaciones.

Se resuelve la minimización para obtener las primas correspondientes, tanto para el sector como para cada clase de contratos, de tal forma que para un determinado sector “j” la prima que sería adecuado cobrar y que permite combinar la experiencia de ese sector con la prima global está determinada por la siguiente relación: La prima correspondiente a la clase de contratos sujetos a los riesgos (Θp,Θ pj)está determinada por: Donde:

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Los resultados obtenidos permiten observar la prima estimada para el riesgo j, y la correspondiente al modelo p, las cuales se obtienen como una combinación de la prima total que se cobra m=mp (sin importar los diferentes riesgos a los que se puede encontrar expuesto un contrato, ni el momento en el que se encuentra) y la prima que les correspondería si únicamente se tomara en cuenta su propia experiencia individual determinada por sus particulares condiciones o parámetros de riesgo (Θ p ,Θ pj). En el caso de los subportafolios, la prima que se obtendría con base en su propia experiencia estaría dada por Xpzw, que corresponde a la suma ponderada de las reclamaciones correspondientes (observaciones) a ese sector, independientemente de la clase de contratos de que se trate, obteniéndose así a partir de las primas a cada una de las clases de contratos X pjw. Puede observarse el cálculo de las primas que deberían cobrarse, pero es necesario conocer la prima total que se cobra a toda la cartera “m” y los distintos factores de credibilidad (de las diversas clases y sectores) para la obtención de los estimadores. Variables del factor de credibilidad “z”: Jewell. Los factores dependen de los parámetros estructurales presentes en los contratos (por lo general desconocidos), lo cual genera la necesidad de estimarlos y se pueden estimar de forma insesgada debido a las relaciones de independencia condicional entre las observaciones, las clases de contratos y los subportafolios, por lo tanto se tienen estimadores manejables, útiles e interpretables y son:

Si se sustituyen los estimadores en el estimador de las primas a cobrar, tanto en la clase como en el sector, dado que los distintos parámetros de riesgo son desconocidos y por consiguiente sus momentos distintos, se obtienen estimadores lineales homogéneos de las primas de riesgo tanto de la clase como del sector, y se obteniendo como estimadores:

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Como ejemplo se realizó la aplicación del modelo jerárquico de Jewell para la siniestralidad de flotillas durante los años 1998, 1999, 2000, 2001 y 2002 esta siniestralidad se particionó por grupo de riesgo, por modelo (año de fabricación del vehículo) y por zona.

Realicemos un FODA de los modelos de credibilidad y del modelo tradicional utilizado. MODELO FORTALEZAS DEBILIDADES TRADICIONAL

Requiere escaza o nula información histórica de siniestralidad sobre la flotilla que se tarifica

TRADICIONAL

No requiere un análisis profundo del riesgo, por lo que el suscriptor puede no tener conocimientos actuariales para determinar la prima.

MODELO

TRADICIONAL

Ocasiona que se tarifiquen "primas cuadradas", es decir primas iguales para riesgos diferenciados, provocando subsidios cruzados entre riesgos y la pérdida de negocios que representan buenos riesgos, pero a los que se les aplican tarifas altas. A pesar de ser comúnmente aplicado por el sector, en sus bases de cálculo falta incorporar el conocimiento del experto que evalúa el riesgo, opción que sí es posible en los métodos de credibilidad. Elimina una de las posibilidades que aportan más al cálculo de primas en los modelos de credibilidad: incorporar el conocimiento del experto que analiza el riesgo para combinar la experiencia propia de cada flotilla con el de la compañía

OPORTUNIDADES

AMENAZAS

Puede generar cálculos de primas sin considerar la información disponible sobre el riesgo.

Eliminar o reducir al mínimo el análisis del riesgo que se tarifica provocando una alta probabilidad de insuficiencia en primas con respecto a los siniestros que presenta la cartera. Eliminación del registro ante la Comisión Nacional de Seguros y Fianzas de este tipo de métodos para sustituirlos por métodos que con alta probabilidad obtengan suficiencia de primas.

Por no requerir un nivel de detalle de la información disponible de los siniestros permite generar cotizaciones en poco tiempo sin contar con un nivel alto de automatización vía sistemas.

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MODELO Bühlmann; Bühlmann Straub y Jewell

FORTALEZAS

DEBILIDADES

Requieren información histórica de siniestralidad sobre la flotilla que se tarifica, en caso de que no exista se remite a la credibilidad total Recientemente comenzó a registrar este tipo de modelos de tarificación

Difícil la aplicación del modelo sin un software para analizar y obtener primas a partir de la experiencia de la compañía

Requiere un análisis del riesgo, por lo que permite incorporar conocimiento del experto para determinar la prima y ponderar que proporción corresponde a la experiencia propia de la flotilla y que parte a la experiencia de la compañía

MODELO Bühlmann; Bühlmann Straub y Jewell

Debe ganar la confianza del sector asegurador para ser aplicable de manera común en el mercado. Requiere la comprensión del modelo por el tomador de decisiones que pretende tarificar.

OPORTUNIDADES

AMENAZAS

Permite generar cotizaciones en poco tiempo mediante la automatización del modelo vía sistemas y obtener primas "justas" por riesgo para que la compañía retenga riesgos con buena siniestralidad a buen precio. Genera utilidades para las empresas. Se requiere dedicar tiempo a diseñar la automatización de los modelos de credibilidad, una vez terminada la automatización ya no se requiere invertir más tiempo en ello. Herramienta para verificar la heterogeneidad de la cartera, a diferencia del modelo tradicional que no permite incorporar esta información en el cálculo de la prima

Incomprensión por parte de los tomadores de decisiones en cuanto a su aplicación y utilidad como herramienta de análisis.

Sector asegurador competido en costos que ocasione que a flotillas con alta siniestralidad se les cobre más prima y evite la consolidación de estos negocios Margen de error en los cálculos de las primas si la información histórica de siniestros es poco fidedigna.

Matriz de decisión para elegir el modelo más apropiado para cálculo de primas. Alternativas Modelo “T”: Tradicional

Modelo 1: Bühlmann

Información histórica de siniestralidad Bajo Requiere información de siniestros de a lo más un año de experiencia, o en su defecto no incorpora información histórica de siniestralidad para tarificar Medio Requiere información histórica y tiene la ventaja de incorporar varios años de información en el método de tarificación. Es posible que se aplique credibilidad total a la prima teórica de la cartera.

Nivel de detalle de la información disponible

Análisis del riesgo

Bajo Se requiere un nivel de detalle bajo para tarificar, la información no se requiere por marca, tipo o modelo del vehículo. De hecho llegan a considerarse en casos extremos la prima de tarifa calculada para primas de vehículos individuales y se aplican descuentos a la flotilla en función del número de unidades que forman la flotilla sin experiencia de siniestros. Bajo Se requiere un nivel de detalle bajo para tarificar, la información no es detallada por marca, tipo o modelo del vehículo. Se toman en cuenta dos alternativas: a) Se utiliza credibilidad total hacia la prima teórica de la compañía para el riesgo de la flotilla cuando no se tiene información disponible sobre los siniestros ocurridos en la flotilla. b) Se utiliza credibilidad parcial y el ponderador se obtiene en función a la información de siniestralidad a nivel global de la flotilla. Con este modelo se obtiene la prima de la flotilla en general no se determina una prima

Medio Tradicionalmente en las compañías de seguros se aplican las primas teóricas a las flotillas de automóviles, es decir se aplican primas de vehículos individuales a riesgos que pudieran presentar características especiales por formar parte de una flotilla y estas no se consideran en la tarificación

Alto Mediante la aplicación de los modelos de credibilidad se proporciona la posibilidad de realizar análisis del riesgo al incorporar la información que el experto conocedor de tal manera que se incorpora información adicional en el análisis del riesgo. De acuerdo con lo tratado en el capítulo 2 los fundamentos de la teoría de credibilidad se basan en la estadística bayesiana.

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por cada vehículo en la flotilla, sino que se determina una prima conjunta para toda la flotilla. Modelo 2 Bühlmann Straub

Modelo 3 Jewell

Medio Requiere información histórica y tiene la ventaja de incorporar varios años de información en el método de tarificación. En caso de que se disponga información de la flotilla es posible tarificar utilizando la credibilidad total a la experiencia de la compañía. Alto Requiere varios períodos de información con el fin de tener información a nivel de tipo y modelo de vehículo, aún se requiere mayor información que los modelos 1 y 2, debido a que estos modelos particionan en mayor grado.

Medio Se requiere un nivel de detalle medio para tarificar, la información es requerida por tipo de vehículo. Se toman en cuenta dos alternativas: a) Se utiliza credibilidad total hacia la prima teórica de la compañía para el riesgo de la flotilla cuando no se tiene información disponible b) Se utiliza credibilidad parcial y el ponderador se obtiene en función a la información detallada de siniestralidad a nivel de tipo de vehículo que integra la flotilla, esto es se obtiene la prima de la flotilla particionada por cada tipo de vehículo. Alto Se requiere un nivel de detalle alto para tarificar, La información es requisitada por tipo de vehículo y modelo Se toman en cuenta dos alternativas: a) Se utiliza credibilidad total hacia la prima teórica de la compañía para el riesgo de la flotilla cuando no se tiene información disponible b) Se utiliza credibilidad parcial y el ponderador se obtiene en función a la información detallada de siniestralidad a nivel de tipo y modelo del vehículo que integra la flotilla, o sea, se obtiene la prima de la flotilla particionada por cada tipo de vehículo.

Alto Los modelos de credibilidad incorporan las bases bayesianas para justificar su base teórica, por lo que el análisis del riesgo descansa implícitamente en la esperanza de la función de densidad predictiva y en la estadística bayesiana. La aportación de este modelo a diferencia del Modelo 1 es que permite analizar la cartera en función del tipo de vehículo que conforma cada flotilla.

Alto Los modelos de credibilidad a niveles jerárquicos permiten particionar la información de siniestros y encontrar las primas de credibilidad incorporando información adicional por marca, tipo y modelo de la unidad. Este resulta ser el modelo que requiere mayor grado de información para tarificar. La aportación de este modelo a diferencia de los modelos 1 y 2 es que permite analizar al portafolio en varios niveles inclusive por el año de fabricación de cada tipo de vehículo.

Matriz de la evaluación de las alternativas de la decisión. CONSECUENCIAS 1.- En relación al riesgo

TRADICIONAL (T) No existe una correcta evaluación del riesgo por el hecho de aplicar primas cuadradas, es decir primas iguales a riesgos distintos.

MODELO 1 Evaluación del riesgo utilizando información no detallada del riesgo, es decir se utiliza la información global de siniestralidad de la flotilla ,sin distinguir modelo, marca o tipo

MODELO 2 Evaluación del riesgo utilizando información detallada del riesgo, tomando en cuenta el tipo de vehículos que integran la flotilla

2.- En relación de la suficiencia de primas

Probabilidad alta de tener insuficiencia de primas

Probabilidad media de tener insuficiencia de primas

3.- Competitividad en el mercado

Pérdida de participación en el mercado o cancelación de Negocios

Competitividad promedio en la obtención de primas de flotillas

Menor probabilidad de tener insuficiencia de primas, respecto al modelo tradicional y modelo 1 Competitividad media alta en la obtención de primas de flotillas

4.- Suficiencia de Reservas

Probabilidad de no tener suficiencia de Reservas técnicas

Probabilidad aceptable de obtener suficiencia de reservas

Probabilidad media alta de obtener suficiencia de reservas técnicas

MODELO 3 Aplicación del conocimiento del experto utilizando información detallada por tipo y modelo de vehículos que integran la flotilla, esta información adicional permite evaluar el riesgo con mayor exactitud Baja probabilidad de tener insuficiencia de primas con respecto a los otros modelos Alta competitividad en la obtención de primas de flotillas Probabilidad alta de obtener suficiencia de reservas técnicas

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CAPITULO 8 Sistema de Pensiones Una pensión (o seguro o subsidio), en relación con el seguro social o a la seguridad social, es un pago, temporal o de por vida, que recibe una persona cuando se encuentra en una situación, establecida por ley en cada país, que la hace acreedora de hecho de una cantidad económica, ya sea de los sistemas públicos de previsión nacionales o de entidades privadas. Por lo regular la base de trabajadores en activo es la que da sustento al pago de dichas pensiones En general la pensión se entiende como un seguro social frente a los riesgos laborales (desempleo, accidente de trabajo, enfermedad, seguro médico, invalidez...) o contra la vejez (jubilación) u otras circunstancias sobrevenidas por dependencia como la discapacidad, viudez, orfandad, la separación o divorcio y otras derivadas de la acción militar, a víctimas de atentados terroristas o por sentencias derivadas de errores privados (accidentes laborales, accidentes de tráfico, errores médicos...) o públicos (sentencias de prisión erróneas, dejación de controles públicos, accidentes) que también pueden generar pensiones.

Estas situaciones de protección social generan a título individual distintas pensiones: 

Pensiones contributivas: se ha pagado a lo largo de un tiempo, normalmente en la vida laboral (por el pensionista y/o la empresa) el derecho a recibir una pensión. o Pensión de jubilación o Pensión por desempleo (seguro de desempleo o subsidio de desempleo)  Pensiones no contributivas: no se ha pagado por ese derecho directamente ya que se deriva del sistema de protección general o de las leyes establecidas. o Pensión de viudedad/viudez o Pensión de orfandad o Pensión al cónyuge o Pensión alimenticia Las pensiones han sido, tradicionalmente, un pago a un empleado jubilado o inválido o al cónyuge y descendientes de un empleado fallecido. La pensión creada por el empleador a beneficio de un empleado se conoce como plan de jubilación o de pensión privado. Los sindicatos y otras organizaciones también pueden ofrecer pensiones. En los estados donde existe un nivel de Estado del bienestar mínimo, suele existir un sistema público de pensiones. Se ha podido observar en varios países latinoamericanos han puesto en marcha programas de jubilación para sus empleados, en forma alternativa a las de los respectivos seguros sociales que les corresponde a los organismos gubernamentales, encargados de las pensiones de vejez, cesantía y jubilación a los trabajadores, que pasaban al término de su vida laboral o al cumplir una determinada edad. En los mencionados seguros privados de pensiones SPP se da estos beneficios cuando los trabajadores hayan alcanzado la edad comprendida entre los 60 y 65 años de edad, teniendo un tiempo de permanencia como afiliado al sistema. Por lo general se ha encomendado a las llamadas “Administradoras de Fondos de pensiones o también conocidas como las AFP”. 8.1. Cobertura del sistema de pensiones Por lo general este sistema privado de pensiones entrega dos clases de prestaciones o beneficios:  El llamado Jubilación, o renta vitalicia el concluir su periodo laboral. Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

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

Otros beneficios, que también se los conoce como previsionales que se entrega al afiliado y a sus dependientes, como son: lo llamado, pensiones por invalidez, afiliado que quede incapacitado de laborar en su periodo laboral; Pensiones de sobrevivencia, entregado a los dependientes del trabajador, cuando muere durante o después de su período laboral; además cubre los gastos que ocasionen el sepelio al fenecer el trabajador.

8.2. Administración y recursos La Administradora de Fondos son instituciones financieras privadas constituidas de acuerdo a las leyes de cada país encargadas con el objeto exclusivo de administrar los fondos y ahorros de pensiones. Y de invertir adecuadamente los fondos, observando estrictamente los principios de la seguridad social y las disposiciones de la presente ley y sus normas complementarias. Se crean para reforma el sistema previsional transformándole en un sistema de capitalización individual de las pensiones de vejez, invalidez y sobrevivencia. Anteriormente, había un sistema de reparto a cargo de las cajas previsionales por medio de las cuales cotizaban y entregaban las prestaciones correspondientes. El sistema ha sido adoptado por muchos países del mundo.  La cuenta individual de capitalización, se formará con el aporte obligatorio del 10% de la remuneración mensual del trabajador afiliado al AFP y también por los aportes voluntarios. Los recursos son invertidos y controlados por los organismos de control y supervisión, de tal forma que los recursos se incrementen, para que luego que el trabajador llegue al tiempo de jubilarse, sirva como prima única para un seguro de renta vitalicia o de jubilación  Aporte del trabajador con un monto de 1% mensual de su sueldo como prima para el financiamiento de los seguros previsionales de invalidez, sobrevivencia y gastos de sepelio  Comisiones pagados por los afiliados, para gastos operacionales, valor que puede ser por cantidades fijas o porcentuales que pueden ser de alrededor del 2% del sueldo mensual. 8.3. Bono de reconocimiento Es un documento que tiene un valor nominal monetario, cuya cuantía esta dado por la edad y meses de aportación hasta la fecha y vigencia de la ley. El valor de este bono se incorpora en la cuenta individual de capitalización del trabajador. Constituyendo un recurso adicional para el otorgamiento de las prestaciones del nuevo sistema. Por lo general se concede este bono a las personas que estaban aportando a un seguro social gubernamental y deciden trasladarse a un nuevo sistema llevando en su haber un determinado números de años en los que ha efectuado aportes para efecto de jubilación 8.4. Prestaciones



Invalidez, La disminución o anulación de la capacidad laboral del trabajador con carácter definitivo por enfermedad o accidente. En concreto se prevén los siguientes grados de invalidez: Incapacidad permanente parcial para la profesión habitual (si la merma en la capacidad supera el 33%). Incapacidad permanente total para la profesión habitual. Incapacidad permanente absoluta para todo trabajo. Gran invalidez. En los supuestos derivados de accidentes de trabajo se prevé una indemnización para quienes sufran lesiones permanentes no invalidantes. Sobrevivencia, Las prestaciones por muerte y supervivencia son aquellas destinadas a compensar la situación de necesidad económica que produce, para determinadas personas, el fallecimiento de otras y tienen derecho los herederos forzosos del afiliado, El orden excluyente, es el cónyuge o conviviente, los hijos sanos menores de 18 años de Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

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edad, los hijos inválidos sin límite de edad y el padre y/o madre del trabajador afiliado siempre que sean económicamente dependiente de este.



Las prestaciones se entenderán causadas en la fecha de fallecimiento del sujeto causante. En el caso de hijos póstumos, el día de su nacimiento. ¿Quiénes pueden ser causantes de estas prestaciones? Podrán causar derecho a las prestaciones por muerte y supervivencia:  Trabajadores en alta o situación asimilada al alta. Para las pensiones de viudedad, orfandad y prestaciones en favor de familiares, pueden ser también causantes los trabajadores que no se encuentren en alta o en alta asimilada, siempre que acrediten un período mínimo cotizado de 15 años, si bien los efectos económicos de tales prestaciones no pueden retrotraerse a una fecha anterior al 1-1-99.  Pensionistas por jubilación.  Los perceptores de los subsidios de incapacidad temporal, riesgo durante el embarazo o maternidad, que cumplan el período de cotización que, en su caso, esté establecido.  Pensionistas por incapacidad permanente, incluidos los trabajadores con derecho a pensión por incapacidad permanente total que optaron por la indemnización especial a tanto alzado a favor de los menores de 60 años. En este sentido se considerarán muertos por accidente de trabajo o enfermedad profesional quienes tuvieran reconocido por tales contingencias una incapacidad permanente absoluta o la condición de gran inválido.  Los trabajadores desaparecidos con ocasión de un accidente, sea o no laboral, en circunstancias que hagan presumible su muerte, y de los que no se haya tenido noticias durante los 90 días naturales siguientes al del accidente. En este caso, no se causará nunca derecho al auxilio por defunción. Los trabajadores que hubieran cesado en su trabajo con derecho a pensión de jubilación en su modalidad contributiva y falleciesen sin haberla solicitado. Perceptores del subsidio de Incapacidad Temporal por prórroga de sus efectos tras el agotamiento del plazo máximo de la misma.  Los perceptores del subsidio por recuperación. En el caso de que la muerte sea debida a enfermedad común se exigirá que los trabajadores reúnan un período mínimo de cotización de 500 días dentro de los 5 años inmediatamente anteriores al fallecimiento. En el caso de fallecimiento producido estando el trabajador en paro involuntario, sea o no perceptor del subsidio de desempleo, e inscrito como demandante de empleo, el período de cotización de 500 días deberá retrotraerse a los 5 años anteriores a la fecha del inicio de la situación de paro involuntario. No se exigirá ningún período previo de cotización para el auxilio por defunción Gastos de sepelio, Se otorga únicamente a los trabajadores que están afiliados al AFP y se otorga normalmente una cantidad fija, como un reembolso de gastos que se produjeran en las honras fúnebres del afiliado fallecido, pagadero a quien cubrió con los gastos.

8.5. Factores de Pensión, Las pensiones de invalidez y sobrevivencia son equivalentes a los siguientes porcentajes de la remuneración mensual del afiliado causante.  70% para el afiliado inválido, pago por vida entera, cuando la invalidez es total, transitoria o temporal, cuando es por un plazo determinado por el organismo de calificación.  35% para el cónyuge o conviviente, pensión por toda la vida, al momento del fallecimiento del afiliado. Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

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 

14%Para cada hijo sano menor de edad y por cado hijo invalido mayor de edad con incapacidad total y permanente para el trabajo y por vida. 14% para el padre o madre cuando se cumpla con lo siguiente: que sean inválidos total o parcial, que sean mayores de los 65 años de edad, y que dependan económicamente del causante.

8.6. Pensión de jubilación, Tienen derecho a la jubilación o renta vitalicia, de vejez cuando los afiliados lleguen a cumplir los 65 años de edad. Se da la jubilación anticipada, siempre que obtenga una pensión igual o superior a los 50% de las remuneraciones recibidas durante los últimos 120 meses actualizados. Y el cálculo se realiza como la base que arroje la cuenta individual del afiliado el momento que le corresponda la prestación en función de los siguientes: capital acumulado en su cuenta de capitalización; el producto de la venta o redención del bono de reconocimiento, en caso de que corresponda. 8.7. Factores del éxito del Sistema Privado de Pensiones El Sistema Privado de Pensiones ha tenido éxito, porque ha significado un cambio cualitativo en los regímenes de pensiones, al vincular la pensión del trabajador al esfuerzo de capitalización y ahorro individual, resultando en una solución adecuada frente al fracaso de los sistemas públicos de reparto que han convertido los regímenes pensionarios en una enorme carga para el Estado y han provocado una precarización de las pensiones y por consiguiente de la situación de los jubilados. Lo positivo de los fondos privados de pensiones es que los agentes del mercado financiero y las autoridades competentes han contribuido a dinamizar y hacer crecer el mercado previsional, colaborando también al crecimiento y fortalecimiento de la economía del país, trayendo resultados positivos no sólo a los individuos beneficiarios del sistema, sino también al mercado de valores y al proceso de capitalización de las empresas, todo ello bajo la atenta mirada fiscalizadora del Estado respecto al manejo de los fondos e inversiones. En este sentido, la estructura normativa del sistema previsional privado vigente y las medidas legales que se han venido implementando en los últimos años, han provocado el crecimiento y consolidación del sistema, lo cual ha permitido no solamente ofrecer mejores opciones al afiliado, sino también hacerla en forma más económica. Frente a la excesiva intervención e ineficiencia del Estado en materia previsional y como respuesta positiva en beneficio de los trabajadores, se ha ido consolidando el sistema privado a pesar de que en algunos casos se le ha querido desacreditar con generalidades o prejuicios sobre su carácter capitalista y privado o sobre su costo, sin tener en cuenta que este cuenta tan sólo con once años de vida, que es necesario que se le otorgue seguridad jurídica en el largo plazo y que no debe ser presa de influencias políticas o medidas populistas, porque debemos entender que al momento en que un trabajador se jubila, este sistema satisface de manera justa y adecuada las expectativas previsionales de sus afiliados y lo hace de mucha mejor manera que en el tradicional sistema de reparto, resultando más ventajoso desde todo punto de vista. Cabe destacar también, que parte importante del éxito del sistema ha sido y es la posibilidad de que los afiliados van a recibir una pensión mejor a la que recibirían si continuaran en el sistema público. Por otro lado, el fondo previsional privado ha creado un mercado de capitales que no existiría en la magnitud que actualmente tiene si no fuera por la inversión previsional. Ello contribuye a fortalecer las empresas, a mejorar las buenas prácticas de gobierno corporativo en las que están listadas en bolsa, incentivan la actividad de las empresas calificadoras y aún son útiles al gobierno cuando emite bonos para distintos fines. 8.8. Anualidades vitalicias con pagos fraccionados durante el año. Los pagos vitalicios ya sean vencidos o anticipados se cancelan en la práctica más de una vez en el año (normalmente de forma mensual). El valor actual de una anualidad vitalicia, vencida u ordinaria con pagos de valor 1 anual pagadera «m» veces al año se denota a(m)x En este caso el pago anual se divide en «m» cuotas de importe 1/m cada una, pagadera al final de cada m-avo de año si la persona de edad x se encuentra entonces con vida. Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

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VA = a(m)x= 1 ( 1/mEx + 2/m Ex + m

+ 1Ex+

)

Fórmula de Woolhouse (diferencias finitas) ∫(x+h)≈ ∫(x) +h*∫(x+1)-(x)+;

0≤h≤1

Anualidades vencidas u ordinarias con pagos «m» veces al año siendo 1 el pago anual. A partir de esta fórmula se pueden obtener los valores actuales de otras anualidades con pagos fraccionados. Anualidad ordinaria o vencida diferida a «n» años con «m» pagos Anuales (pago anual 1).

Anualidad ordinaria temporal por «n» años con «m» pagos anuales (Pago anual 1). Para anualidades anticipadas partimos usando

ax = ax – 1

Anualidad anticipada con pagos «m» veces al año (pago anual 1).

Anualidad anticipada diferida con «m» pagos veces al año (Pago anual 1).

Anualidad anticipada temporal «n» años con pagos «m» veces al Años (pago anual 1). Si expresamos las formulas anteriores en valores conmutativos tendremos: Ordinarias o Pago Vencido

Vida entera inmediato

Vida entera Diferido

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

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Temporal Inmediato Anticipadas

Vida entera inmediato

Vida entera Diferido

Temporal Inmediato 8.9. Esperanza de Vida (EV) Es un concepto que corresponde a los estudios demográficos, pero no se trata sólo de dicho aspecto sociológico. En general tiene que ver con la duración de vida de un ser humano o de un organismo biológico y se utiliza con más frecuencia en referencia a la ancianidad o la edad de un ser vivo.

Las reflexiones sobre la longevidad van habitualmente ligadas al reconocimiento de la brevedad humana e incluyen discusiones sobre métodos para extenderla más allá del límite tenido como normal. Es el tiempo estimado que una persona vivirá y depende de: edad, género, estado de salud, etnia, ubicación geográfica e incluso nivel socioeconómico. En vista que el futuro es incierto y sujeto a diversas contingencias, es imposible determinar la EV real de un individuo, sin embargo se hacen estimaciones utilizando datos empíricos provenientes de tablas de mortalidad y ciertas estadísticas en el caso de que la población cuente con esta información. La esperanza de vida es la media de la cantidad de años que vive una cierta población en un cierto período. Se suele dividir en masculina y femenina, y se ve influenciada por factores como la calidad de la medicina, la higiene, las guerras, etc, si bien actualmente se suele referir únicamente a las personas que tienen una muerte no violenta. La esperanza de vida como indicador social es utilizada por los sociólogos para medir el grado de desarrollo de un país, pero los datos pueden ser relativos en tal sentido porque pueden ser alterados por guerras, epidemias, violencia y otros fenómenos diferentes a los indicadores económicos. En muchos casos personas de países subdesarrollados o en vías de desarrollo o de culturas naturales pueden tener una gran longevidad que contradice el supuesto de que a mayor desarrollo, mayor esperanza de vida. En los países latinoamericanos se han hecho comparaciones de algunos resultados en el ámbito de las pensiones según tablas de mortalidad prescritas en sus respectivas legislaciones. La EV es el tiempo esperado que una persona vivirá. Se trata de una medida estadística que se utiliza para estimar el tiempo que falta por vivir sin importar lo que haya ocurrido en el pasado11. Es decir, se

Esta idea de que el pasado no importa, se conoce en probabilidad como la propiedad de pérdida de memoria o propiedad Marcoviana.

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

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trata de un cálculo prospectivo y por lo tanto incierto, es distinta la EV para un joven que para una persona mayor, pues a la primera le falta por vivir (al menos) el tiempo que la segunda ya vivió. Dicho tiempo es incierto para la primera persona, pero no para la segunda pues dicho tiempo es, literalmente, cosa del pasado y no se considera en el cálculo de la EV. En estadística, para describir eventos que dependen de alguna condición se utilizan probabilidades condicionales. La estimación de la EV se calcula con base en probabilidades condicionales, la condición es la descripción del estado actual de la persona y debido a que se acude a un modelo matemático, la condición actual se limita al grupo poblacional para el cual se va a hacer una valoración probabilística o si se quiere, actuarial. Cuando se menciona la EV es común que se omitan las características de la población a la cual se refiere, pero es importante anotar que la EV varía según la edad y el grupo en cuestión, por ejemplo, la EV para hombres es distinta que para mujeres (las mujeres viven más que los hombres). Con base en la EV se puede hacer planeación, por ejemplo, un posible enfoque de la planeación financiera, consiste en financiar el retiro de una persona elegible para ejercer tal derecho. Es decir, “garantizar” un determinado nivel de ingresos durante el tiempo esperado de vida de una persona. Un ejercicio consistiría en revelar sobre una base cuantitativa el costo más probable de la pensión, de tal manera que se puedan tomar decisiones informadas con base en la situación actual y las opciones disponibles de la persona elegible dada su condición actual. Así mismo, también hay que balancear las condiciones de inversión, pues un fondo constituido para financiar un beneficio pensional tiene retorno sobre las contribuciones y sobre el saldo del mismo. Cuando el ejercicio se hace a nivel grupal, se podría estimar el costo del sistema pensional de un país y se podrían formular algunas preguntas: ¿Es viable el financiamiento de los beneficios de jubilación ofrecidos en la legislación? ¿Durante cuánto tiempo se van a pagar tales beneficios? ¿Quién los pagará? Esta idea de que el pasado no importa, se conoce en probabilidad como la propiedad de pérdida de memoria o también llamada la propiedad Marcoviana Para realizar el cálculo de la EV se utiliza la distribución de probabilidad del tiempo de vida que tiene una persona. Dicha distribución sintetiza (estadísticamente hablando) todos los eventos futuros que detrimentan el tiempo futuro que vivirá una persona con características determinadas en una función o tabla de mortalidad. Los aspectos teóricos relacionados al cálculo de la estimación de la EV mediante las tablas de mortalidad12, se describen en el Anexo 1. Supongamos que de una población (con características comunes) se escogen 100,000 recién nacidos13. Si en esta población cerrada14 se hace un conteo anual de la cantidad de personas que continúan con vida en cada aniversario de su nacimiento hasta el fallecimiento del último sobreviviente se podría obtener una tabla de mortalidad. Seguir una población desde su nacimiento hasta su destrucción requeriría un periodo de observación tan largo en años, como años de vida alcance el último sobreviviente de la población inicial. Debido a que no es posible aguardar a que la última persona de la población fallezca, se hacen ajustes estadísticos para obtener la mortalidad actual de la población en cuestión. Con ayuda de 12

Se trata de la distribución de probabilidad del evento aleatorio de edad al fallecimiento presentada de forma tal que para cada edad entera se muestra la cantidad de individuos vivos de dicha edad. 13 Población inicial o Radix 14 Una población cerrada significa que se sigue a una población desde un cohorte determinado, hasta la muerte del último individuo del grupo sin permitir la entrada a nuevos individuos, es decir, es una función no creciente. En el caso del grupo que se describe, la población cerrada representa una población inicial desde su nacimiento hasta su destrucción (fallecimiento del último sobreviviente).

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

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este tipo de estimaciones, se construyen tablas de mortalidad. Es así como es posible calcular la probabilidad de que una persona con edad actual (x) sobreviva (t) años, es decir alcance la edad (x+t). Esta probabilidad está determinada por la razón entre la cantidad de personas en la población de estudio de edad (x+t) y la cantidad de personas de edad actual (x), es decir: tPx

=lx+t lx Es interesante observar que en esta fórmula no se hace referencia a ningún acontecimiento de la población previo a la edad (x). Es decir, la probabilidad que una persona de (x) años viva (t) años más, no depende del pasado, lo cual no necesariamente es cierto, pero es un supuesto que se hará en este modelo. A pesar que no se revisará en este punto, cabe mencionar que con otro tipo de suposiciones sería posible hacer ajustes estadísticos para tener en cuenta características particulares de la población, a saber, el tipo de trabajo, país de origen, situación económica o antecedentes de salud entre otros. Los cálculos se pueden refinar en este sentido si se utilizan tablas selectas o tablas de mortalidad para la población específica (fumadores, inválidos, adictos, etc.). La edad (x) a la que hace referencia, debe ser una edad entera, de tal manera que la información que se utilice debe redondearse de forma consistente para considerar edades enteras; este es un enfoque pragmático, el cual permite realizar cálculos actuariales con una muy buena precisión. Así mismo, este enfoque permite llegar a un balance adecuado entre información requerida y resultados de las valoraciones actuariales. Debido a que se trata de un promedio, parte de la población vivirá más allá de la esperanza de vida que actualmente tiene, otra parte vivirá menos. Es así que los resultados que se obtengan deben ser vistos con cautela, se deben entender como el valor promedio de una población con características comunes. Con esta probabilidad condicional, se puede calcular la probabilidad de los siguientes eventos aleatorios: Evento Probabilidad Vivir un año xp1 Vivir dos años xp2 …… Vivir t años tpx Cada uno de los eventos anteriores son mutuamente excluyentes entre sí, es decir, si una persona vive 10 años, no lo hace 9 ni 11, de tal manera que al sumar los para cada tpx, se obtiene la esperanza de vida promedio de una persona con edad de (x) años. Esta es la fórmula básica que se implementa en la hoja de cálculo (es necesario hacer unas aproximaciones, ver detalles en el Anexo 1). También es posible formar grupos de personas y calcular la probabilidad de vida del grupo. En este caso, hay varias posibilidades para definir el momento en el cual se destruye15 el grupo, las dos más comunes son las siguientes: • Conjunta: El grupo existe hasta que fallece la primera persona. • Último sobreviviente: El grupo existe hasta que fallece la última persona del grupo. El planteamiento teórico del cálculo de la esperanza conjunta se omite en este punto, sin embargo se hace la implementación para el caso de dos vidas conjuntas de edades (x) y (y) suponiendo que el tiempo que vivirá una es independiente del tiempo que vivirá la otra.

Un grupo se destruye o pierde vigencia cuando se dejan de cumplir los requisitos que lo definen.

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

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Descripción de Datos Se utilizan tablas de mortalidad de dominio público que se emplean actualmente en algunos países de América Latina para cálculos pensionales o de rentas vitalicias. Cada una de las tablas está separada para hombres y mujeres, para homogenizar los cálculos que hace la implementación en una hoja electrónica, se utiliza una edad mínima de 20 años (a pesar que algunas de las tablas reportan edades menores). Las tablas que se consideran son las siguientes: PAIS Brasil (Bra) Colombia (Col) Chile (Chi)

Nombre común de la Tabla AT83 Rentistas ISS 80-89 Beneficiarios 2006

Invalidez No Si Si

Costa Rica (CR)

SP 2005

EEUU (EU)

430(h)(3)(A) Static Mortality

México16 (Mex)

EMSS97

Perú (Per)

RV85

Referencia a la Legislación Vigente Resolução CGPC No. 18. 26/4/2006. Superintendencia Bancaria, Res. 585/94. Superintendencia de Administradores de Fondos de Pensiones. 1/1/2008. Consejo Nacional de Supervisión del Sistema Financiero Nacional Art. 7º. Gaceta 40. 26/2/2008 Internal Revenue Service. §1.430(h)(3). 6/10/2008. Comisión Nacional del Sistema de Ahorro para el Retiro Circular 17-1. 29/7/1997. Experiencia Mexicana del Instituto Mexicano del Seguro Social 1997. Ministerio de Economía y Finanzas. Sistema Nacional de Pensiones - SNP (DL N° 19990) y del DL N° 20530.

Se trata en total de 10 tablas: Colombia y Chile tienen tablas de mortalidad para inválidos, para Estados Unidos se incluyen tablas estáticas para el 2008 y 2009 antes y después del retiro (Pre y post). Cada una de dichas tablas (excepto las de Estados Unidos) viene separada por género. Resultados Para los países anteriores, la EV para personas en edad de retiro (a partir de los 60 años), es la siguiente:

País

E[x]

E[y]

E[y]-E[x]

Hombres

Mujeres

Delta(Muj – Hom)

Brasil

22.62

18.63

14.96

26.32

21.98

17.87

3.71

3.35

2.91

Colombia

19,51

15,94

12,75

20,78

16,95

13,59

1.27

1.02

0.84

Chile

21,99

18,04

14,43

27,79

23,04

19,02

5.30

5.01

4.58

Costa Rica

21.31

17.49

14.05

24.06

19.94

16.11

2.74

2.45

2.06

EU 08 Post|Pre

22.93

18.76

14.89

24.92

20.39

15.96

1.99

1.63

1.07

EU 09 Post|Pre

23.01

18.84

14.96

24.98

20.45

16.01

1.97

1.61

1.05

México

20.29

16.49

13.03

23.97

19.87

16.07

3.69

3.38

3.0

Perú

20,29

16,65

13,34

24,32

20,21

16,36

4.04

3.56

3.02

Ecuador

20,60

16,88

13,51

24,30

20,07

16,32

3,70

3,19

2,82

Hasta donde hemos logrado establecer según la regulación de República Dominicana y nuestras observaciones, este país utiliza las tablas de mortalidad de México (1997) con una diferencia en los valores de qx de en promedio 0.001%.

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

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Para un hombre|mujer ecuatoriano de 60 años se obtiene una EV de 20.60|24,30 años, es decir, en promedio un hombre|mujer 60 fallecerá a los 80,60|84.30 dada su condición actual. Al analizar los resultados de la tabla anterior se pueden hacer varios comentarios: • A medida que una persona envejece, aumenta su esperanza de vida, lo cual es un reflejo de que la EV es un cálculo prospectivo (el pasado no importa). En otras palabras, la esperanza de vida de una persona de 65 años es mayor que la de una de 60 más la diferencia de cinco años (que ya vivió la persona de 65 años). Por ejemplo si se toman los resultados obtenidos para Brasil para las edades descritas, los números serían los siguientes: 18.63 + 5 = 23.63 > 22.62 • La esperanza de vida es mayor para mujeres que para hombres. Este tema está documentado en la literatura de salud, de tal manera que todos los resultados de la EV reflejan este hecho. • Las tablas para Estados Unidos son para individuos antes y después del retiro, de tal manera que según estos resultados, cuando una persona se retira, tiende a vivir menos. • Financiar la seguridad social es relativamente más costoso para Estados Unidos y menos para Ecuador. Bajo el supuesto que el beneficio es equivalente, el tiempo por el cual se deben pagar beneficios pensionarios (tomando la EV para hombres a los 65 años como edad de retiro) es mayor para Estados Unidos que para Ecuador porque la esperanza de vida es mayor para el primer país que para el segundo. Según la magnitud del costo de la pensión, los países se podrían clasificar en orden decreciente así: Estados Unidos, Brasil, Chile, Costa Rica, Perú, México, Colombia y Ecuador. Si se toma la EV para mujeres de 65, en orden decreciente están Chile, Brasil, Estados Unidos, Perú, Costa Rica, México, Colombia y Ecuador. Los resultados para las tablas que están implementadas en esta herramienta, se muestran en el Anexo 2. La EV es una medida estadística, cuyo cálculo se basa en probabilidades condicionales. La condición sobre la cual se hacen los cálculos es una descripción del estado actual del personal que se valora. Así mismo, es un cálculo prospectivo en el cual se ignora la historia del individuo al momento en el cual se hace la valoración. Según los resultados obtenidos, las mujeres viven más que los hombres y los americanos viven menos cuando se retiran. Este punto se acompaña de una herramienta que permite explorar el cálculo de la EV para países resumidos en la tabla de resultados dada la regulación vigente a la fecha. Así mismo, hay la posibilidad de usar otras tablas de mortalidad que el lector puede agregar a dicha herramienta.

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

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CAPITULO 9 “ANALISIS ACTUARIAL DE UN MODELO PRIVADO DE PENSIONES QUE CUBRAN LAS NECESIDADES DE LOS EMPLEADOS DE UN SECTOR EMPRESARIAL” En el presente análisis se evalúa el fondo de pensiones para la jubilación de los trabajadores de una entidad del sector privado y se plantean diferentes propuestas para mejorar dicho fondo. En este análisis encontraremos los principales sistemas de pensiones como el sistema de reparto, el sistema privado y el sistema mixto. Se dan a conocer los aspectos legales que sustentan la seguridad social y privada en el país. Además se explica las bases teóricas actuariales en las cuales se rigen, permite conocer más a fondo al empleado de la empresa a la cual se le realiza el estudio, porque se realiza un estudio demográfico social. Se evalúa la situación actuarial del fondo de jubilación de la empresa en el presente año y se realizan proyecciones a 20 años. También se desarrollan recomendaciones pertinentes para la mejora del fondo de jubilación de los empleados de la empresa en estudio. Actualmente en el país la pensión de jubilación que se le otorga al jubilado no es un valor con el cual el jubilado pueda vivir dignamente, es por ello que muchas empresas cuentan con un sistema de pensiones Patrono – Obrero, con el fin de ayudar a que sus empleados jubilados puedan mantener una vida digna. En la actualidad se están implantando nuevos sistemas de jubilación, con el fin de mejorar la calidad de vida del jubilado. Para hacer el análisis se ha considerado un modelo actuarial que busca basarse en el artículo 219 del Código de Trabajo. 9.1. PRINCIPALES SISTEMAS DE PENSION SOCIAL Y PRIVADA Los principales Sistemas de Pensiones son los que nombramos a continuación: el Sistema Básico Social, el Sistema privado y el Sistema mixto. Estos sistemas pueden sufrir transformación y pueden ir evolucionando periódicamente y según las políticas que cada país adopte en mejorarlo. El sistema básico social o también llamado Sistema de Reparto, creado en Prusia – Alemania en el año de 1881 por el príncipe Otto von Bismark (1815-1898). El sistema de reparto es un acuerdo o contrato intergeneracional por el que las generaciones activas dan soporte a las jubiladas a cambio de un compromiso de que cuando alcancen la edad de jubilación también ellos recibirán la pensión. La crisis de los sistemas de reparto se refleja en una serie de consecuencias negativas como déficit crecientes del sistema de pensiones, mayor costo para el Estado, caída de los beneficios que reciben las personas que se jubilan, incremento permanente de las tasas de cotización y aumento de la pobreza y del descontento social. El sistema Privado, La capitalización individual constituye un esfuerzo personal de cada trabajador. Los aportes realizados representan un ahorro propio. El afiliado es el único dueño del dinero. El beneficio futuro (pensión) es proporcional a las cotizaciones entregadas durante su vida activa. Las cotizaciones acumuladas en la "Cuenta Individual" son incrementadas por la rentabilidad (ganancia) obtenida por las inversiones que con sus aportes (obligatorios y voluntarios), efectúan las Administradoras de Fondos de Pensiones. Los sistemas Mixtos. En la actualidad los programas de pensiones de la Seguridad Social pretenden alcanzar dos objetivos contrapuestos: uno asignativo que es el transferir capacidad adquisitiva individual de los periodos activos a los pasivos y otro redistributivo que significa redistribuir renta entre e Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

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intrageneraciones. Dos objetivos que representan un difícil compromiso entre seguro de rentas (equidad individual) y bienestar social o solidaridad. Aspectos legales que sustentan la seguridad social y privada en el Ecuador Ley de Seguridad Social La nueva ley fue diseñada para reducir significativamente el déficit actuarial del sistema de seguridad social vigente, que además de las pensiones jubilares, también llamada Seguro de Vejez, incluye otros seguros como el de Invalidez y Muerte. Esta nueva ley entró en vigencia desde el 1 de enero de 2002. Y se compone de dos regímenes: Solidaridad Intergeneracional (financia la Pensión Básica, hasta 82% de US $ 165) Ahorro Individual Obligatorio (financia la renta vitalicia = pensión complementaria) 9.2. MARCO TECNICO ACTUARIAL DE LOS FONDOS DE JUBILACION Se basa en el número de años que el servidor ha prestado a la institución privada. El principal beneficio del plan de pensiones es normalmente diferir la renta vitalicia de la jubilación por años de servicio. En un plan de contribuciones definido el valor actuarial presente es la acumulación bajo un interés de las contribuciones hechas por el participante del plan y el beneficio es una renta vitalicia que puede ser adquirida por acumulación. En tales planes la determinación del valor presente actuarial es completada por una acumulación en proceso. En otros planes, la jubilación está definida por una formula, la cual estipula el plan de beneficios definidos. A continuación se presentará una expresión integral para el valor presente actuarial (VPA) de los beneficios de jubilación por los años de servicio para un empleado que se encuentre activo con una edad x + h <α, donde α es la edad de jubilación. w–x–h τ

VPA =

∫ v tp τ x + h

μ τ x+h+t R( x, h, t) a- r x+ h+ t dt

α-x- h

Dada la suposición de Distribución Uniforme de jubilación en cada año de la edad en la ecuación anterior tenemos: w – x – h-1

VPA = Σ vk kp τ x + h

q τ x + h +k ∫ vs R( x, h, k+s) a- r x+ h+ k + s ds

k= α-x- h

Utilizando el teorema del valor medio obtenemos el Modelo de Fondo de Jubilación Patrono - Obrero con beneficios definidos. w – x – h-1 k τ

VPA = Σ v kp k= α-x- h

1 x+h

x + h +k

∫v

R( x, h, k+s) a- r x+ h+ k + s ds 0

El balance actuarial de un fondo de jubilación En un balance actuarial interviene muchas cuentas tanto de activo, pasivo y patrimonio. Las cuentas que serán consideradas en el balance actuarial son las siguientes: Reserva Jubilados y Reserva Activos: Cálculo actuarial de pensiones actuales. Esta cuenta proporcionará el valor actual que debe tener la empresa para respaldar las rentas actuales y futuras. Pago de Pensiones: Son consideradas las obligaciones laborales. Pago a Herederos: cuenta en la cual se registra el pago a herederos del jubilado fallecido. Reserva Inicial: Es considerada cuenta de activo y nos proporciona el valor con el cual el fondo de jubilación comienza el año contable. Intereses Ganados: Cuenta en la cual se registran los montos ganados por los intereses que se obtienen al tener el dinero depositado en una cuenta de un banco local. Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

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Déficit o Superávit Actuarial: Cuenta en la cual se registra un déficit o superávit del fondo de pensiones. 9.3. Estudio demográfico social del recurso Humano de la Institución en estudio Distribución de los ingresos por sueldo Para conocer la distribución de los sueldos de los empleados se utilizó la prueba K-S, la cual dio como resultado que los sueldos de los empleados no provienen de una distribución teórica conocida. La media de los sueldos es de 410.45, con desviación estándar de 567.70 sin considerar los datos aberrantes. Distribución de las edades Utilizando la prueba de Kolmogorov Smirnov la distribución de las edades sigue una distribución Normal con media 45.19 y desviación estándar de 11.89 9.4. EVALUACION ACTUARIAL DE LAS RESERVAS PARA LA JUBILACION DE LA INSTITUCION EN ESTUDIO Análisis de la composición de las reservas Para realizar el análisis se debe conocer el balance actuarial al 31 de diciembre de 2010. Pre - Balance Reserva Anterior 459.951,20 Pago de Pensiones - 4.712,51 Saldo de la Reserva 455.238,69 Incremento 722.258,56 Reserva Matemática $ 1.177.497,25 Balance Actuarial 2010 Pasivos Reserva Jubilados Reserva Activos Activos Reserva Inicial Intereses Ganados Déficit Actuarial Total

38.608,29 1.138.888,96 455.238,69 58.874,86 663.383,70 $ 1.177.497,25

$ 1.177.497,25

El balance actuarial nos muestra que la reserva del fondo de jubilación debería ser de 1.177.497,25 dólares, que se dividen en 38.608,29 dólares para la reserva de los jubilados y 1.138.888,96 dólares para la reserva de los trabajadores activos de la empresa. El cálculo de los valores de la reserva de jubilados y de activos se lo hizo siguiendo el procedimiento indicado en el Código de Trabajo artículo 219. Para dichos cálculos de trabajo con la tabla colombiana de decrementos para los activos y la Tabla de Coeficientes del Código de trabajo que nos muestra la expectativa de vida de un individuo. También se utilizó la tasa actuarial o también llamada tasa técnica del 4%, tasa financiera del 5% y una tasa de incremento salarial del 10%. La tasa financiera es la que nosotros obtenemos según inversiones, la tasa actuarial es impuesta por el organismo de control y es utilizada en el modelo actuarial y la tasa de incremento salarial es el porcentaje con el cual se incrementan los salarios de los empleados año a año. La diferencia entre las cuentas de Pasivos y Activos nos da como resultado el Déficit Actuarial de 663.383,70 dólares, por lo cual la empresa tendrá que tomar ciertos correctivos como poner en práctica las aportaciones de los empleados. Grafico de Tendencia del fondo de jubilación según los análisis de Sensibilidad

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El escenario 1 está desarrollado con una tasa actuarial 4%, tasa financiera del 6% y un incremento salarial del 10%. El escenario 2 se desarrolló con una tasa financiera del 5%, 4% de tasa actuarial y 8% de incremento salarial. El escenario 3 está desarrollado con una tasa actuarial 4%, tasa financiera del 8% y un incremento salarial del 8% y por último el escenario 4 se desarrolló con una tasa financiera del 8%, 4.5% de tasa actuarial y 8% de incremento salarial. Como se puede observar en el gráfico I el primer escenario generalmente proporciona un mayor monto para el fondo de jubilación que los otros escenarios, este fenómeno está dado debido a que el primer escenario trabaja con una tasa de incremento salarial del 10% y los otros escenarios trabajan con una tasa salarial del 8%, es por ello que el primer escenario beneficia más al empleado al brindar un mayor fondo de reserva para su jubilación. 9.5. RECOMENDACIÓN DE UN PROGRAMA DE FONDO DE JUBILACION ALTERNATIVO PARA EL RECURSO HUMANO DE LA INSTITUCION EN ESTUDIO Propuestas para la administración del fondo de pensiones. Contribución de empleados Esta opción busca encontrar un porcentaje de aportación óptimo por parte de los empleados, con el fin de ayudar a solventar el fondo de jubilación patronal que maneja la empresa en estudio. El porcentaje de aportación deberá ser de 7.86014% hasta el año 2018, porque a partir de ese año se deberá incrementar el porcentaje de aportación a 15.761899% para que no exista déficit actuarial en el fondo de jubilación de los empleados. Política de aportación Esta opción consiste en encontrar un porcentaje de aportación, que permita a la empresa aportar una cantidad fija anual por empleado. El porcentaje de aportación será el 10% del sueldo de cada empleado y una tasa efectiva anual del 5%. Encargo fiduciario a una administradora de fondo de pensiones El encargo fiduciario consiste en que la empresa afilie a sus empleados a una administradora de fondos de pensiones (AFP). La empresa aportará el 10% del sueldo de cada empleado a la AFP, estos dineros ganaran una rentabilidad fijada por la AFP, en la actualidad la rentabilidad es del 5% anual. Los empleados tienen opción a otros beneficios como cesantía, retiro anticipado de su dinero, seguro de vida y seguro médico.

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Entre estas tres opciones la más conveniente para los empleados es la del encargo fiduciario, debido a que los trabajadores obtienen más beneficios en su fondo de jubilación y los beneficios adicionales mencionados anteriormente. CONCLUSIONES Actualmente el fondo de jubilación de la empresa está quebrado, porque tiene un déficit actuarial muy alto y según las proyecciones realizadas el déficit actuarial con el paso del tiempo sigue en aumento. Por lo tanto, de acuerdo con el estudio realizado la empresa en estudio debe mejorar o cambiar su fondo de jubilación con el fin de disminuir o eliminar su déficit actuarial. La empresa debe considerar el primer escenario del análisis de sensibilidad o las opciones propuestas, entre las cuales la más recomendable y a la vez de costos más elevados es la tercera opción (encargo fiduciario). PENSIONES DE JUBILACION Por lo general los países asumen regulaciones legales, para regular el manejo de los porcentajes de amortización que se deberían aplicar al pasivo del cálculo actuarial por pensiones de jubilación de muchas empresas tendría que alcanzar el 100% lo que implica que se afectará el gasto por ese concepto. De acuerdo con esta regulación legal, los entes económicos que estén pagando pensiones de jubilación plenas o compartidas (o que por ley o convención colectiva deban asumir dichos riesgos o emitir bonos y/o títulos pensionales), deben al final de cada ejercicio contable elaborar un estudio o cálculo actuarial que incluya la totalidad de las pensiones actuales y eventuales por cubrir. Ese pasivo es el que se refleja, en el caso de los que utilizan el Plan único de cuentas, en la cuenta “2620Pensiones de Jubilación” la cual tiene una subcuenta de naturaleza crédito (262005-Calculo actuarial pensiones de jubilación) y otra subcuenta de naturaliza débito (262010-Pensiones de Jubilación por amortizar). Al valor de la subcuenta de saldo crédito, que se define cada año según el estudio o cálculo actuarial, se le aplica un porcentaje anual de amortización con lo cual se obtiene el saldo final al que debe llegar la cuenta mayor. Lo anterior significa que la subcuenta de saldo débito es una cuenta que se determina por diferencia aritmética simple. Y la diferencia entre un año y otro en el saldo de la cuenta mayor es el valor con que se afectaría la cuenta del gasto en el respectivo ejercicio (cuentas 510558 o 520558). Entre 1998 y 2010 se debía incrementar el porcentaje de amortización hasta llegar al 100% Justamente, según la regulación legal se dispuso que entre los años 1997 y 2010, y dependiendo de la fecha de constitución del ente económico y del monto del pasivo por amortizar a Diciembre 31 de 1997, se tendría que ir incrementando el porcentaje anual de amortización que se aplica al respectivo calculo actuarial de forma que al llegar a Diciembre 31 de 2010 dicho porcentaje fuera del 100% Supóngase que la sociedad “ABC LTDA” presenta la siguiente información en miles de dólares: VALOR RESERVA ACTUARIAL A 31-12-97 VALOR RESERVA ACTUARIAL A 31-12-98 VALOR AMORTIZADO A 31-12-97 Base de amortización a 31-12-97 (1.417 / 2.530) Fecha de constitución Porcentaje mínimo de amortización Comparación porcentual Porcentaje por amortizar 100% – 56%

$2.530 $3.036 $1.417 = 56% Febrero 1º de 1969 (D.1517/98): 55% 56% > 55% = 44%

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Teniendo en cuenta que la base de amortización es superior al porcentaje mínimo de amortización establecido por la Ley, la sociedad “ABC LTDA.” puede ampliar el plazo de amortización hasta el año 2.010 y en consecuencia obrará de la siguiente manera: Porcentaje fijo de amortización anual(a partir de 1998 y hasta el año 2.010): 44%/ 13 = 3.38% Nuevo porcentaje de amortización (para aplicar a la reserva actuarial a 31-12-98) 56% + 3.38% = 59.38%. Los cálculos al cierre de 1998 fueron: Saldo de amortización acumulada a 31 12-98: $3.036 x 59.38%= $1.803 Apropiación por el ejercicio contable de 1998 $1.803 – $1.417 = $ 386 Nuevos saldos contables a Diciembre 31 de 1998: 262005 CÁLCULO ACTUARIAL PENSIONES DE JUBILACIÓN (CR) $3.036 262010 PENSIONES DE JUBILACIÓN POR AMORTIZAR (DB) $1.233 2620 PENSIONES DE JUBILACIÓN (CR) $1.803 5105558 Amortización pensiones de Jubilación (DB) 386 Siguiendo ese cálculo hecho en el año 1998, entonces entre los años 1999 hasta 2010 el porcentaje de amortización que se aplicaría al valor del cálculo actuarial que se realizara en cada uno de esos años se iría incrementando cada año en un 3,38% así: Año Porcentaje a utilizar 1999

62,76 %

2000

66,15 %

2001

69,53 %

2002

72,92 %

2003

76,30 %

2004

79,69 %

2005

83,07 %

2006

86,46 %

2007

89,84 %

2008

93,23 %

2009

96,61 %

2010

100,00%

Lo anterior implicará que a partir del año 2010 y siguientes esa empresa, al momento de registrar el gasto por amortización pensiones de jubilación, lo único que tendrá que hacer es registrar directamente la diferencia entre el nuevo cálculo actuarial y el cálculo del año inmediatamente anterior.

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CAPITULO 10 FONDO DE PENSIONES. El fondo de pensiones es un patrimonio que no posee personalidad jurídica y es de carácter privado y se crea para dar cumplimiento al plan o planes de pensiones integrados por él, o más bien dicho es un patrimonio creado para que exista un plan de pensiones, es un medio para instrumentar un plan de pensiones con compromisos de aportar dinero en plazos preestablecidos, esta cuota formara parte de un fondo en el que ya otras personas son participes de estos. La entidad depositaria cuenta con una entidad gestora especializada, una entidad depositaria y un órgano de gobierno, llamada comisión de control en el caso de planes de pensiones de empleo. El fondo paga el importe el momento de la jubilación, incapacidad permanente total para la profesión habitual, absoluta y gran invalidez o supuestos de liquidez y a los beneficiarios en caso de fallecimiento ya sea en forma de capital, en forma de renta o una combinación de ambas. Los fondos de pensiones, están en la obligación de invertir con alta liquidez y comprobada solvencia, el resto de valores deberán ser activos monetarios, principalmente activos del Tesoro Público cuyos vencimientos podrían ser inferiores a 12 meses. Por lo general 3 de cada 10 personas que están próximas a jubilarse no saben o al menos no piensan que cantidad de dinero necesitarán en su jubilación para mantener un nivel de vida lo mas asemejado posible al que tienen antes de jubilarse. 10.1 Principios básicos Debido a su carácter de ahorro a largo plazo, los Planes de Pensiones deben responder a unos principios:  No discriminación: Debe garantizarse el acceso como partícipe de un Plan a cualquier persona física que manifieste voluntad de adhesión y reúna las condiciones de vinculación o tenga capacidad de obligarse en los términos contractuales estipulados.  Capitalización: Los Planes de Pensiones se instrumentalizarán mediante sistemas financieros y actuariales de capitalización, por lo que las prestaciones se ajustarán estrictamente al cálculo derivado de estos sistemas.  Integración obligatoria de todas las aportaciones de los partícipes o contribuciones de los promotores en un Fondo de Pensiones e irrevocabilidad de las mismas, no pudiendo disponer de ellas hasta el momento del cobro de la prestación por acaecimiento de la contingencia o en supuestos excepcionales de liquidez.  Atribución de derechos: Las aportaciones y contribuciones a un Plan de Pensiones supondrán el nacimiento para los partícipes del derecho a la correspondiente percepción de prestaciones.  Derechos consolidados no embargables: No pueden ser objeto de embargo hasta el momento en que se cause la prestación. 10.2. Agentes que intervienen Antes de contratar su Plan de Pensiones deberá familiarizarse con una serie de elementos que intervienen en su funcionamiento:  Promotor del Plan: Entidad, Corporación, Sociedad o Empresa, Asociación o Sindicato que promueve su creación o participa en su desenvolvimiento.  Partícipes: Son personas físicas para las que se crea el Plan, con independencia de que realicen o no aportaciones.  Beneficiarios: Personas físicas con derecho a la percepción de prestaciones, hayan sido o no partícipes.

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 



Entidad Gestora: Entidad encargada de la gestión y administración de los Fondos de Pensiones; estas sociedades podrán recibir de los Fondos una comisión de gestión como remuneración de sus servicios, y con el límite máximo del 2% anual del patrimonio del Fondo. Entidad Depositaria: Cuyo cometido se centra en la custodia y depósito de los valores mobiliarios y demás activos financieros que integran el patrimonio del Fondo. La comisión máxima como remuneración de sus servicios tiene un límite máximo del 0,5% anual sobre el patrimonio del Fondo. Comisión de Control del Plan y del Fondo: Se trata de órganos de supervisión del funcionamiento y ejecución del Plan y Fondo; están formadas por representantes del promotor, partícipes y beneficiarios, de forma que garantice la presencia de todos los intereses.

10.3. Control en los planes: La principal ventaja es reducir la base imponible del IRPF (impuesto sobre la renta de las personas físicas), con los siguientes límites máximos, dependiendo de la edad del aportante, en Europa:  Si usted tiene hasta 50 años, el límite anual es 10.000 € (con el tope del 30% de la suma de los rendimientos del trabajo y de actividades económicas)  Si tiene más de 50 años, el límite es de 12.500 € (con un tope del 50% de los ingresos). Estos límites podrán subir ya que, con independencia de las reducciones anteriores, si su cónyuge percibe rentas inferiores a 8.000 euros anuales, podrá reducir las aportaciones realizadas a favor de su cónyuge, con el límite máximo anual de 2.000 euros. Existen casos especiales para aquellas personas con minusvalía igual o superior al 65%, que podrán aportar hasta un límite de 24.250 euros. Y si usted es familiar de minusválido en línea directa, colateral hasta el tercer grado o cónyuge, y quiere hacer aportaciones a favor de éste, podrá hacerlas de forma complementaria a la suya, siempre con el límite de 10.000 euros anuales. En ningún caso podrá superarse conjuntamente el límite de 24.250 €

Un caso práctico En este enlace se puede acceder a un ejemplo práctico completo que aquí resumiremos. Debemos tener en cuenta que la primera tabla se refiere a la retención que se aplica a cada tramo de ingresos expresado en porcentaje. De esta forma, los ingresos hasta 5.050 dólares tienen ningún tipo de retención, los que Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

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se sitúan en la franja de 5.050 y 17.360 dólares tributarán al 24% y así sucesivamente según lo que marca la tabla de tramos. La segunda tabla lo que hace es elevar las cantidades que tributan al 0%. Para una persona soltera y sin hijos que ganen 20.000 dólares el tipo general al 0% es de 5.050 dólares. Esto hace que todas sus ganancias hasta 5.050 no paguen impuestos. Todavía restan 14950 dólares, de los cuales 12.310 (el tramo que va entre 5.050 y 17.360) tributará al 24% y el resto, 2.640 dólares al 37%. En el caso de una persona con cónyuge y un hijo al cargo con el mismo salario el cálculo cambia de la siguiente forma. De los 20.000 dólares, 14.774 tributarían al 0%, lo que deja 2.586 dólares que tributan al 24% y los citados 2.640 dólares que lo harán al 37%. Por otro lado, es importante destacar que a principio de año debe informarse al empleador a todas las deducciones que le corresponden, a fin que se calcule bien la retención de IRPF, ya que es obligación de la empresa hacer el cálculo correctamente y asumir las consecuencias en caso contrario. Conviene no perder de vista que las retenciones de IRPF serán las que determinen si tendremos que pagar o no en la declaración de la renta, ya en nos deduciremos sobre ellas y habrá que pagar cuando lo aportado a través de ellas no alcance en el IRPF. 10.4. Plan de pensiones Es una modalidad de ahorro cuyo objetivo es complementar la pensión que se recibe en el momento de la jubilación, no siendo sustitutiva de esta última y que permite, pasado un tiempo, recuperar el valor de lo invertido más los rendimientos que haya generado en ese período. Generalmente, esos ahorros se invierten en un fondo (fondo de pensiones) con una serie de gratificaciones fiscales específicas. La cantidad de capital invertido por un ahorrador y que forma parte del fondo se denomina unidad de cuenta. El valor de la unidad de cuenta de un plan de pensiones se determina, diariamente y se calcula dividiendo el patrimonio total del fondo, donde se invierte, entre el número total de unidades de cuenta. Los planes de pensiones privados, se encuadran dentro de los medios utilizados por los individuos para complementar los sistemas de previsión públicos. Los planes tratan de cubrir la diferencia existente entre las rentas percibidas por los trabajadores cuando pasan de tener una situación laboral activa a otra pasiva. Ya sea la insuficiencia en el número de años de cotización, la inferioridad de las bases de cotización respecto a los salarios efectivamente percibidos durante la vida laboral activa o simplemente los recortes que sufren las pensiones de jubilación junto a los límites legales que se establecen a las mismas es lo que ha dado lugar a la búsqueda individual de mecanismos que garanticen una corriente de ingresos futuros. Los planes de pensiones se encuadrarán en una de las siguientes modalidades:  Sistema de empleo Corresponde a los planes cuyo promotor sea cualquier entidad, corporación, sociedad o empresa y cuyos partícipes sean los empleados de los mismos. En los planes de este sistema el promotor sólo podrá serlo de uno, al que exclusivamente podrán adherirse como partícipes los empleados de la empresa promotora, incluido el personal con relación laboral de carácter especial independientemente del régimen de la seguridad social aplicable. La condición de partícipes también podrá extenderse a los socios trabajadores y de trabajo en los planes de empleo promovidos en el ámbito de las sociedades cooperativas y laborales. Asimismo el empresario individual que emplee trabajadores en virtud de relación laboral, podrá promover un plan de pensiones del sistema de empleo en interés de éstos en el que también podrá figurar como partícipe. Varias empresas o entidades podrán promover conjuntamente un plan de pensiones de empleo en el que podrán instrumentar los compromisos susceptibles de ser cubiertos por el mismo. Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

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Dentro de un mismo plan de pensiones del sistema de empleo será admisible la existencia de subplanes, incluso si éstos son de diferentes modalidades o articulan en cada uno diferentes aportaciones y prestaciones. La integración del colectivo de trabajadores o empleados en cada subplan y la diversificación de las aportaciones del promotor se deberá realizar conforme a criterios establecidos mediante acuerdo colectivo o disposición equivalente o según lo previsto en las especificaciones del plan de pensiones. Sin perjuicio de lo establecido en el artículo 1.º, número 2, de la presente Ley, cuando en el convenio colectivo se haya establecido la incorporación de los trabajadores directamente al plan de pensiones se entenderán adheridos al mismo salvo que, en el plazo acordado a tal efecto, declaren expresamente por escrito a la comisión promotora o de control del plan que desean no ser incorporados al mismo. Lo anterior se entenderá sin perjuicio de que, en su caso, el convenio condicione las obligaciones de la empresa con los trabajadores a la incorporación de los mismos al plan de pensiones.  Sistema asociado Corresponde a planes cuyo promotor o promotores sean cualesquiera asociaciones o sindicatos siendo los partícipes sus asociados, miembros o afiliados.  Sistema individual Corresponde a Planes cuyo promotor son una o varias entidades de carácter financiero y cuyos partícipes son cualesquiera persona física a excepción de las que estén vinculadas a aquéllas por relación laboral y sus parientes, hasta el tercer grado inclusive El plan de pensiones es un producto de ahorro que brinda múltiples ventajas, aunque siempre hay que ser precavido y se deberá analizar cuál es el mejor beneficio según sus características y exigencia. Y las principales ventajas son: Seguridad: Los Fondos destinados a este rubro son propiedad de sus partícipes, están administrados por una sociedad Gestora y existe una entidad Depositaria distinta que custodia los títulos que forman parte del fondo. Control: Los partícipes a través de la Comisión de Control supervisan la marcha del fondo. Disponibilidad: se puede trasladar a otro Plan, sin ningún tipo de repercusión fiscal y sin coste alguno, además los parados que no tengan ningún subsidio podrán rescatar su plan de pensiones. Alto Rendimiento: Debido a la canalización del ahorro procedente de muchos pequeños inversores, el Plan tiene acceso a productos financieros y precios que serían imposibles de obtener por un ahorrador individual. Total Flexibilidad: El participe puede, por voluntad propia, modificar el importe de sus aportaciones, su periodicidad, realizar aportaciones extraordinarias, e incluso suspender sus aportaciones temporal o definitivamente sin perder ningún derecho como partícipe. Sus derechos consolidados seguirían generando los correspondientes rendimientos. Gestión Profesional: La gestión es dirigida por una Sociedad Gestora compuesta por un conjunto de especialistas en mercados financieros. Beneficio Fiscal: El plan de pensiones permite deducir las aportaciones en la base imponible del IRPF (Impuesto a la Renta sobre las Personas Físicas). Como ya sabemos, un Plan de Pensiones es un producto ahorro-inversión que se encuentra vinculado directamente a la jubilación. Básicamente podemos diferenciar tres tipos de planes: • Asociados: son para un colectivo determinado. • Individuales: para quien voluntariamente quiera suscribirlos. • De empleo: son promovidos por las empresas como fórmula de retribución en especie a sus trabajadores. Otra forma de clasificarlos puede ser la siguiente: Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

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Según el sujeto constituyente: es muy similar a la clasificación anterior, ya que estos planes tienen que ver con quien lo promueve. Así, los Planes de Pensiones del Sistema Individual son los promovidos por una o varias entidades de carácter financiero, entidades de crédito o compañías aseguradoras, y cuyos partícipes son las personas físicas que lo contratan. Por su parte, los Planes de Pensiones del Sistema Asociado, son los promovidos por cualquier asociación, sindicato, gremio o colectivo, siendo los partícipes sus asociados y miembros. Por último tenemos los Planes de Pensiones del Sistema de Empleo, son los constituidos por cualquier entidad, corporación, sociedad o empresa y cuyos partícipes son sus empleados. Según las obligaciones estipuladas: en este caso las prestaciones y aportaciones son las encargadas de definir esta clasificación. Los Planes de Pensiones son de Prestación Definida cuando en ellos se define la cuantía de las prestaciones a percibir por los beneficiarios. Una vez fijada la prestación, la aportación se obtiene de la aplicación del sistema financiero-actuarial establecido en el Plan y de la evolución de la rentabilidad. Por su parte son de Aportación Definida cuando en el momento de la creación del Plan se define la cuantía de las aportaciones de los partícipes y de las contribuciones del promotor, y en este caso la cuantía de las prestaciones no queda determinada hasta el momento de la contingencia como resultado del proceso de capitalización desarrollado por el Plan. Por último son Mixtos en el supuesto de que, simultáneamente, se defina la cuantía de la prestación y la cuantía de la contribución 10.5. Fondo de Pensiones Obligatorias. Administra el ahorro obligatorio con el cual las personas construyen el capital para financiar su pensión de vejez en el futuro; el mismo que le permite tener una cobertura, a ellos y a sus familias ante los riesgos de una invalidez o en caso de muerte. 10.6. Fondo de mayor riesgo. Es un fondo para potencializar el ahorro de las personas más jóvenes, que tienen una alta tolerancia al riesgo y se encuentran lejos de la edad proyectada para jubilarse. 10.7. Fondo Moderado Dirigido a las personas que se encuentran en la parte intermedia de su vida laboral a quienes les interesa ver crecer su capital sin asumir mayores riesgos, ya que la exposición del riesgo es moderada. 10.8. Fondo Conservador. Este fondo está destinado a las personas que están próximas a cumplir la edad para obtener la pensión y que no desean asumir riegos, pero que van a obtener grandes retornos, ya que su exposición al riesgo es baja. 10.9. Fondo especial. Este fondo está destinado para afiliados pensionados por retiro programado. RENTA VARIABLE SEGÚN EL TIPO DE FONDO TIPO DE FONDO

Límite mínimo Límite máximo Renta Variable Renta Variable

Conservador Moderado Mayor Riesgo

0% 20% 45%

20% 45% 70%

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

130

10.10 El Fondo de cesantía. Administra el auxilio de las cesantías; y las cesantías son una prestación a la que tiene derecho todo trabajador y consiste en una suma de dinero equivalente a un mes de salario por cada año de servicios, o proporcionalmente por fracción de año; este ahorro permite mejorar la calidad de vida de los afiliados y sus familias, ya que puede convertirse en unos recursos valiosos a la hora de invertir, en educación, compra y mejora de vivienda. Además constituye en un ahorro que servirá como soporte económico, para enfrentar eventuales períodos de inactividad laboral. 10.11. El Fondo voluntario. Es una atractiva alternativa de inversión que permite desarrollar mecanismo de ahorro para cumplir objetivos, metas y sueños. 10.12. Caso de análisis Para la realización de un análisis de fondo de pensiones gubernamental se puede observar en el caso de Ecuador se produce una situación de mucha complejidad que debe ser analizado, es así que desde el año 1950 el estado no canceló el 40% de las pensiones que le correspondía realizar de sus funcionarios públicos, ese valor asciende $ 800 millones, esta fue una de las razones por la cual este fondo produce un déficit, el estado aporta únicamente con el 40% para el fondo de pensiones, este fondo se encuentra actualmente alimentado con las aportaciones de los afiliados, los rendimientos de las inversiones, de los bienes privativos y no privativos del Instituto, con esto financia las pensiones de vejez, invalidez y muerte. En porcentaje podremos observar las aportaciones de los diferentes sectores: Sector Público Privado y Financiero Depósito banco Central Créditos e inversiones Inmob Privado no financiero

39,6% 18,6% 17,3% 16,6% 3,6%

De la serie de análisis se ha podido llegar a la conclusión que la esperanza de vida promedio ponderada es de 10 años para los jubilados con un crecimiento anual de las pensiones en un rango de 3% y un interés anual del 5% para el rendimiento de las inversiones. Amortización de Inversiones (en miles de dólares) Año

Saldo Inicial

Interés Anual

Pensiones Anuales

= saldo Final

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016

7.872.837 7.366.478 6.807.802 6.193.352 5.519.597 4.782.619 3.978.403 3.102.677 2.150.924

393.641.827 368.323.918 340.390.114 309.669.120 275.979.861 239.130.957 198.920.172 155.133.827 107.546.195

900.000.000 927.000.000 954.810.000 983.454.300 1.012.957.929 1.043.343.667 1.074.647.067 1.106.886.479 1.140.093.073

7.366.479.365 6.807.802.283 6.193.382.397 5.519.597.217 4.782.619.149 3.978.403.439 3.102.676.544 2.150.923.892 1.118.377.015

2017

1.118.377

55.918.851

1.174.295.865

TOTAL:

2.444.654.842

10.317.488.380

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

131

En los actuales momentos hay liquidez y solvencia, pero el problema se dará en el futuro cuando se pueda financiar las prestaciones, es necesario que se considere que para el año 2000, los afiliados aportaban en sucres, que se licuaron a raíz de la nueva vigencia de la nueva moneda. El gobierno, estableció la deuda en $888.358.006,75, para esto sumo la deuda desde 1942 y dividió para 25.000 sucres (cotización del dólar a esa fecha), a este valor se debe añadir los costos de prestaciones de salud otorgada a los jubilados y la deuda del Seguro Social Campesino y el déficit entre enero del 2004 y diciembre del 2007. Un estudio actuarial realizado en la década de 1950 estableció en un 40%, el des financiamiento del fondo de pensiones. Esto motivo al estado a aportar ese porcentaje. El déficit Actuarial es de $3.700 millones

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel

132

Ejercicio práctico, Fondo de pensiones: Tomemos en consideración una empresa XYZ de producción con 50 empleados de distinta edad y distinta ocupación laboral en una empresa de producción, la cual procede a aportar en su totalidad del personal, como uno de los beneficios de la empresa, brindar el beneficio de jubilación, para esto la empresa decide colocar sus recursos en un fondo de pensiones para que sea administrado con alta eficiencia y que una vez que se jubilen sus empleados con el pasar de los años con un techo de los 65 como mínimo

Gerente General 1, 3/1/1967, 2500

Gerente Ventas 2, 27/5/1970, 1200

Gerente Ventas 3, 27/5/1970, 1200

Ventas 5, 3/1/1971 900

Mercadeo 6, 12/7/1973 900

Inventario 7, 1/1/1975 900

Materia prima 8, 9/11/1973 900

Funcionarios 18, 300

Funcionarios 22, 300

Funcionarios 26, 300

Funcionarios 30, 300

Control de Calidad 9, 9//3/1969 900

Funcionarios 34, 300

Gerente Financiero 4, 14/12/1971, 1200

Inventario 10 23/8/1969 900

Funcionarios 38, 300

Contabilidad 11 15//2/1974 900

Funcionarios 42, 300

Presupuesto 12, 6//6/1971 900

Funcionarios 46, 300

Tesorería 13, 2/17/1968 900

Funcionarios 50, 300

Fecha de Fecha nacimiento Ingreso Inst.

Aporte Fecha de Numero Sueldo Mensual Jubilación aportac. mensual Emp.

Valor recibido AFP

Pago mensual Por 30 años Durac.Jubil. =30 Edad.Jubil. =65 Tasa Interés=4%

Gerente General

01/01/1967

26/12/1989

01/01/2032

495

2500

250

123.758,06

413,92

Gerente de Ventas

27/05/1970

22/05/1990

27/05/2035

530

1200

120

63.642,58

244,34

Gerente de Producción

13/08/1969

08/08/1989

13/08/2034

530

1200

120

63.642,58

228,53

Gerente Financiero

14/12/1971

09/12/1991

13/12/2036

530

1200

120

63.642,58

260,79

Jefe de Ventas

03/01/1971

29/12/1988

03/01/2036

554

900

49.851,29

195,59

Jefe de Mercadeo

12/07/1973

08/07/1991

12/07/2038

554

900

49.851,29

221,76

Jefe Inventario

01/01/1975

27/12/1992

01/01/2040

554

900

49.851,29

250,06

Jefe de Materia prima

09/11/1973

05/11/1991

09/11/2038

554

900

49.851,29

221,76

Jefe Control de calidad

09/03/1969

05/03/1987

09/03/2034

554

900

49.851,29

171,40

10 Jefe Inventario Mat.Prima

23/08/1969

19/08/1987

23/08/2034

554

900

49.851,29

171,40

11 Jefe de Contabilidad

15/02/1974

11/02/1992

15/02/2039

554

900

49.851,29

235,63

12 Jefe de Presupuesto

06/06/1971

01/06/1989

05/06/2036

554

900

49.851,29

195,59

13 Jefe de Tesorería

01/06/1978

27/05/1996

01/06/2043

554

900

49.851,29

296,91

14 Ventas

08/08/1969

04/08/1984

08/08/2034

589

300

17.676,77

57,13

15 Ventas

01/01/1970

28/12/1984

01/01/2035

589

300

17.676,77

61,09

16 Ventas

15/02/1969

12/02/1984

15/02/2034

589

300

17.676,77

57,13

17 Ventas

30/03/1968

27/03/1983

30/03/2033

589

300

17.676,77

53,33

18 Ventas

07/04/1969

03/04/1984

07/04/2034

589

300

17.676,77

57,13

19 Mercadeo

31/01/1970

27/01/1985

31/01/2035

589

300

17.676,77

61,09

20 Mercadeo

17/03/1969

13/03/1984

17/03/2034

589

300

17.676,77

57,13

21 Mercadeo

29/04/1968

26/04/1983

29/04/2033

589

300

17.676,77

53,33

22 Mercadeo

07/05/1969

03/05/1984

07/05/2034

589

300

17.676,77

57,13

23 Inventario

02/03/1970

26/02/1985

02/03/2035

589

300

17.676,77

61,09

24 Inventario

16/04/1969

12/04/1984

16/04/2034

589

300

17.676,77

57,13

25 Inventario

29/05/1968

26/05/1983

29/05/2033

589

300

17.676,77

53,33

26 Inventario

06/06/1969

02/06/1984

06/06/2034

589

300

17.676,77

57,13

27 Materia prima

01/04/1970

28/03/1985

01/04/2035

589

300

17.676,77

61,09

28 Materia prima

16/05/1969

12/05/1984

16/05/2034

589

300

17.676,77

57,13

29 Materia prima

28/06/1968

25/06/1983

28/06/2033

589

300

17.676,77

53,33

Fecha de Fecha nacimiento Ingreso Inst.

Aporte Fecha de Numero Sueldo Mensual Jubilación aportac. mensual Emp.

Valor recibido AFP

Pago mensual Por 30 años Durac.Jubil. =30 Edad.Jubil. =65 Tasa Interés=4%

30 Materia prima

06/07/1969

02/07/1984

06/07/2034

589

300

17.676,77

57,13

31 Control de calidad

01/05/1970

27/04/1985

01/05/2035

589

300

17.676,77

61,09

32 Control de calidad

15/06/1969

11/06/1984

15/06/2034

589

300

17.676,77

57,13

33 Control de calidad

28/07/1968

25/07/1983

28/07/2033

589

300

17.676,77

53,33

34 Control de calidad

05/08/1969

01/08/1984

05/08/2034

589

300

17.676,77

57,13

35 Inv. Materia Prima

31/05/1970

27/05/1985

31/05/2035

589

300

17.676,77

61,09

36 Inv. Materia Prima

15/07/1969

11/07/1984

15/07/2034

589

300

17.676,77

57,13

37 Inv. Materia Prima

27/08/1968

24/08/1983

27/08/2033

589

300

17.676,77

53,33

38 Inv. Materia Prima

04/09/1969

31/08/1984

04/09/2034

589

300

17.676,77

57,13

39 Contabilidad

30/06/1970

26/06/1985

30/06/2035

589

300

17.676,77

61,09

40 Contabilidad

14/08/1969

10/08/1984

14/08/2034

589

300

17.676,77

57,13

41 Contabilidad

26/09/1968

23/09/1983

26/09/2033

589

300

17.676,77

53,33

42 Contabilidad

04/10/1969

30/09/1984

04/10/2034

589

300

17.676,77

57,13

43 Presupuesto

30/07/1970

26/07/1985

30/07/2035

589

300

17.676,77

61,09

44 Presupuesto

13/09/1969

09/09/1984

13/09/2034

589

300

17.676,77

57,13

45 Presupuesto

26/10/1968

23/10/1983

26/10/2033

589

300

17.676,77

53,33

46 Presupuesto

03/11/1969

30/10/1984

03/11/2034

589

300

17.676,77

57,13

47 Tesorería

29/08/1970

25/08/1985

29/08/2035

589

300

17.676,77

61,09

48 Tesorería

13/10/1969

09/10/1984

13/10/2034

589

300

17.676,77

57,13

49 Tesorería

25/11/1968

22/11/1983

25/11/2033

589

300

17.676,77

53,33

50 Tesorería

03/12/1969

29/11/1984

03/12/2034

589

300

17.676,77

57,13

TOTAL EMPRESA

1.417.388,06

Si se considera 65 años la edad para jubilación Los datos obtenidos en la tabla anterior son los considerados sin que hubiéramos realizado inversiones con los recursos captados, ahora hagamos inversiones con los recursos obtenidos de esta empresa XYZ para esto analizamos: que la inversión es a un año plazo, al 9% de interés, pagamos al 0,25% de interés, la comisión de la gestión, La comisión de la depositaria es del 0,2 %, si consideramos una inflación anual esperada del 2,5%; Por lo tanto la rentabilidad real anual, descontada la inflación y gastos, sería del 6,05%. Con estos datos podemos observar cómo cambian los resultados.

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel |

135

INVERSION ANUAL AL 9% DE INTERÉS

Pago mensual Por 30 años

Pago mensual Por 30 años Valor entregado a AFP y con Durac.Jubil.=30 inversion a 30 Edad.Jubil.=65 Tasa años Interés=4%

Valor entregado a AFP y con inversion a 30 años

año

Rendimiento real descontada la inflación

30.360,00

Gerente General

211.449,45

707,21

30 Materia prima

30.202,03

97,61

62.556,78

Gerente de Ventas

108.737,87

417,47

31 Control de calidad

30.202,03

104,37

96.791,47

Gerente de Producción

108.737,87

390,45

32 Control de calidad

30.202,03

97,61

132.971,05

Gerente Financiero

108.737,87

445,57

33 Control de calidad

30.202,03

91,12

171.375,80

Jefe de Ventas

85.174,47

334,18

34 Control de calidad

30.202,03

97,61

212.104,04

Jefe de Mercadeo

85.174,47

378,89

35 Inv. Materia Prima

30.202,03

104,37

255.296,33

Jefe Inventario

85.174,47

427,25

36 Inv. Materia Prima

30.202,03

97,61

301.101,76

Jefe de Materia prima

85.174,47

378,89

37 Inv. Materia Prima

30.202,03

91,12

349.678,42

292,84

38 Inv. Materia Prima

30.202,03

97,61

401.193,96

Jefe Control de calidad 85.174,47 Jefe Inventario 10 Mat.Prima 85.174,47

292,84

39 Contabilidad

30.202,03

104,37

455.826,19

11 Jefe de Contabilidad

85.174,47

402,60

40 Contabilidad

30.202,03

97,61

513.763,67

12 Jefe de Presupuesto

85.174,47

334,18

41 Contabilidad

30.202,03

91,12

575.206,34

13 Jefe de Tesorería

85.174,47

507,29

42 Contabilidad

30.202,03

97,61

640.366,32

14 Ventas

30.202,03

97,61

43 Presupuesto

30.202,03

104,37

709.468,48

15 Ventas

30.202,03

104,37

44 Presupuesto

30.202,03

97,61

782.751,32

16 Ventas

30.202,03

97,61

45 Presupuesto

30.202,03

91,12

860.467,77

17 Ventas

30.202,03

91,12

46 Presupuesto

30.202,03

97,61

942.886,07

18 Ventas

30.202,03

97,61

47 Tesorería

30.202,03

104,37

1.030.290,68

19 Mercadeo

30.202,03

104,37

48 Tesorería

30.202,03

97,61

1.122.983,27

20 Mercadeo

30.202,03

97,61

49 Tesorería

30.202,03

91,12

1.221.283,76

21 Mercadeo

30.202,03

91,12

50 Tesorería

30.202,03

97,61

1.325.531,43

22 Mercadeo

30.202,03

97,61

1.436.086,08

23 Inventario

30.202,03

104,37

1.553.329,29

24 Inventario

30.202,03

97,61

1.677.665,71

25 Inventario

30.202,03

91,12

1.809.524,49

26 Inventario

30.202,03

97,61

1.949.360,72

27 Materia prima

30.202,03

104,37

2.097.657,04

28 Materia prima

30.202,03

97,61

2.254.925,29

29 Materia prima

30.202,03

91,12

2.421.708,27

PERSONAL

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel |

PERSONAL

Durac.Jubil .=30 Edad.Jubil. =65 Tasa Interés=4%

Si se considera 65 años la edad para jubilación

136

CAPITULO 11 TABLAS DE MORTALIDAD 11.1. Orden de eliminación por causa de muerte Documento o estados en que, previo estudio y cálculo actuariales, se reflejan las posibilidades de fallecimiento de una colectividad de personas en función de los diferentes tipos de edades de éstas y del período de vida más o menos prolongada que se considere. Las tablas de mortalidad, base para la fijación de los tipos de prima aplicables a las diferentes modalidades de seguro de vida, están determinadas sobre los principios que se deducen de la ley de los grandes números y el cálculo de probabilidades. Esta tabla por consiguiente, es una serie cronológica que expresa la reducción progresiva de un grupo inicial de individuos de la misma edad por efecto de los fallecimientos, de ahí que, con más propiedad debería llamarse tabla de sobrevivientes.

Siendo iguales todas las demás circunstancias, se ha comprobado que la mortalidad de un grupo de personas, que han contratado un seguro, es diferente de la de otro grupo cualquiera de la misma edad que no lo han contratado. La razón de ello estriba en el hecho de que si el seguro suscrito es de muerte (la compañía paga la suma asegurada en caso de muerte del asegurado), el asegurado sufre antes de contratar el seguro un examen médico previo que garantiza a la compañía su estado normal de salud. Por lo tanto, la prima a pagar será menor porque el riesgo de fallecimiento es menor. Si el seguro es de vida (la compañía paga la suma o sumas aseguradas si el contratante vive), el asegurado se juzga a sí mismo en condiciones de perfecta salud, ya que de otro modo no le interesaría el seguro. La prima a pagar será mayor porque el riesgo de supervivencia que tiene que cubrir la aseguradora es mayor. Para todas las edades, los tantos de mortalidad de seguros de muerte son mayores que los de la tabla de vida. Dado que la diferencia es considerable, las compañías utilizan tablas diferentes para el cálculo de las primas, según que el seguro sea de muerte o de vida. También suelen aplicar distintas tarifas según que se el asegurado sea un hombre o una mujer. Como por lo general esta vive más que aquel, la prima que paga es menor si el seguro es de fallecimiento y mayor si es de supervivencia. Para los seguros en caso de muerte, la visita médica previa es un obstáculo desde el punto de vista comercial, pese a lo cual la compañía no puede prescindir de ella, so pena de asegurar los peores riesgos. Este hecho ha conducido a muchas compañías a construir tablas de mortalidad mediante observaciones estadísticas sobre su clientela, teniendo en cuanta no sólo la edad del asegurado, sino también el tiempo transcurrido desde que suscribió el seguro; este tipo de tablas recibe el nombre de tablas seleccionadas. Por otra parte, en algunos países existe un desarrollo bastante acusado de la longevidad. Las tasas de mortalidad se van reduciendo cada año, siendo previsible que esta tendencia se mantenga en el futuro. En este contexto, la utilización de tablas estáticas puede originar problemas en las reservas técnicas, provocando diferenciales elevados en los primeros años, y reducidos o negativos en los últimos. En esta situación, sólo la utilización de tablas dinámicas puede garantizar el cumplimiento de los compromisos aceptados por la aseguradora.

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel |

137

11.2. Métodos de construcción de una tabla de mortalidad a) La construcción de una tabla de mortalidad puede efectuarse mediante estadísticas mortuorias, registrando a lo largo de un período de n años el número de fallecimientos ocurridos de personas de edad comprendida entre 0 y 1 años. (2.3) El de fallecimientos ocurridos de personas de edad comprendida entre 1 y 2 años: d11, d12, ...d1n (2.4) Y así sucesivamente. Reduciendo los n datos obtenidos para los fallecimientos entre 0 y 1 años a uno solo, que es la media aritmética de las observaciones (3.3); los datos referentes a los fallecimientos entre 1 y 2 años de edad, respecto a otro que sea la media aritmética de las observaciones (3.4), etc., se obtienen los números d 0, d1, d2... Y a partir de éstos: L = d0 + d1 + d2 + ... Obteniéndose luego los valores l1, l2, l3, ... Este procedimiento fue seguido por el astrónomo Edmund Halley (1656-1742) a través de observaciones efectuadas en Breslau, publicando su tabla -la primera de esta clase- en 1693. Este método tiene dos inconvenientes. Por un lado, supone una mortalidad constante en los distintos años 1, 2, ..., n que ha durado la observación; hipótesis falsa, pues los progresos de la medicina y de la higiene reducen la mortalidad. Por otro lado, no se tienen en cuenta los movimientos migratorios de la población, que es un factor de la máxima importancia. b) También se han construido tablas de mortalidad a partir de los censos de población, registrando los números l0, l1, l2, ..., de personas con edades comprendidas entre 0 y 1 años, 1 y 2 años, etc., existentes en el momento de confeccionar el censo. Admitiendo, como antes, una mortalidad constante a lo largo del tiempo, puede suponerse que las l1 personas registradas como vivas, con edades comprendidas entre 1 y 2 años, son las supervivientes de las l0 existentes en el período anterior; las l2 con edades comprendidas entre 2 y 3 años, son las supervivientes del grupo l1, etc. De este modo se obtienen el número de fallecidos a cada edad y, por tanto:

El método tiene, como es evidente, los mismos inconvenientes que el anterior. c) Método de las Compañías de Seguros, para construcción de tablas de supervivencia a partir de observaciones efectuadas sobre su clientela. Durante un período de tiempo largo, llamado período estadístico, que comprende 15 ó 20 años se tienen en cuenta, para cada edad x, no sólo los individuos que se aseguran, sino también los que con esa edad x están ya asegurados y los que, por muerte o por cualquier otra causa, cesan en el seguro. De la ficha de datos que tiene la compañía para cada asegurado con edad comprendida entre x y x+1 años, ésta puede deducir los siguientes valores: - El número de ingresados al principio del periodo: Sx. - El número de ingresados a lo largo del periodo: nx. - El número de existentes al final del periodo: ex. - El número de fallecidos durante el periodo: dx. - El número de eliminados por causas distintas a las de muerte: wx. Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel |

138

Representando ahora con a, la edad entera más pequeña de todos los asegurados tomados en consideración, y con lx el número de asegurados que alcanzan la edad x durante el período estadístico, será la = 0, pues la edad a la tienen, solamente, los asegurados insertos en la compañía durante el período y, siendo la más pequeña, no la alcanza ninguno durante el citado período. El número lx de asegurados, que durante el período estadístico alcanzan la edad x, se obtendrá aumentando a los lx-1 (que alcanzaron la edad x-1) los Sx-1 que ingresaron al principio del período y los nx-1 que lo hicieron durante el mismo, deduciendo los dx-1 fallecidos, los wx-1 eliminados por otras causas, y los ex-1 que alcanzan la edad x-1, precisamente al final del período de observación. Será, pues: lx = lx-1 + Sx-1 + nx-1 - (dx-1 + wx-1 + ex-1) Dando, en esta igualdad, a x el valor a+1 y teniendo en cuenta que la = 0, resulta: la+1 = Sa + na - (da+wa+ea) Dando, luego, los valores sucesivos a+2, a+3, ...x, resulta del mismo modo: la+2 = la+1 + Sa+1 + na+1 - (da+1 + wa+1 + ea+1) la+3 = la+2 + Sa+2 + na+2 - (da+2 + wa+2 + ea+2) ........................................................................... lx = lx-1 + Sx-1 + nx-1 - (dx-1 + wx-1 + ex-1) Sumando, ahora, miembro a miembro todas estas igualdades, y simplificando:

Conocido lx, el tanto de mortalidad para la edad x es:

11.3. Modelo de base teórica, considerando la formula de (Makeham) Hay algunas justificaciones para usar un modelo analítico para la mortalidad y las funciones de supervivencia. Una de ellas es que, al tener un modelo analítico que se ajuste bien a la realidad, se pueden explicar muchos fenómenos biológicos usando simples fórmulas. Muchos autores han sugerido que la mortalidad humana es gobernada por una ley. La segunda justificación es que es más fácil manejar unos pocos parámetros que definen una ley que manejar más de cien parámetros o probabilidades de mortalidad. La utilización de funciones de supervivencia analíticas ha declinado en años recientes, sin embargo, algunos recientes estudios han reiterado los argumentos biológicos para el desarrollo de leyes analíticas de mortalidad. En este estudio se construirá una tabla de mortalidad para la población ecuatoriana según el modelo de Makeham. El modelo de Makeham expresa la fuerza de mortalidad como:

ux = a + bcX Usando:

Obtenemos lo siguiente: Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel |

139

Luego, obtenemos un estimador para c a partir de la mediana de la variable aleatoria generada por:

Entonces, A partir de la técnica de los mínimos cuadrados se obtiene la función estimada de ux.

ux = -0,00351 + 0,00175 (1,07)x lx se calculará a través de :

Una vez obtenida la función de la fuerza de mortalidad, podemos seguir completando las demás funciones de la tabla usando las identidades que mencionamos anteriormente. El modelo de Makeham no posee mínimos locales, y la fuerza de mortalidad, generalmente posee un mínimo local en las edades juveniles, es por esto que en este estudio se ha construido una tabla de mortalidad basada en las edades de 20 a 80 años.

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140

0,9615

TABLA DE MORTALIDAD 1958 VALORES DE CONMUTACIÓN AL 4%

TABLA 1 qx . ℓx

Numero de los que vivien al comenzar al año designado

Numero de los que mueren durante el año designado

ℓ

d X

∑Dx

D x

N x

∑Cx

C x

(ℓx ℓx+n)/ℓx

M x

ℓx+1/ℓx

Probabilildad anual de fallecimiento

Probabililda d anual de supervivenci a

Nx/Dx

Mx/Dx

100 A

ax/Ax

1000 A x

10.000.000

70.800

10.000.000

234.749.983

68.076,9

971.154,8

0,00708

0,99292

23.474.998

9.711.548

4.136.975

9.929.200

17.475

9.547.308

224.749.983

16.156,6

903.077,9

0,00176

0,99824

23.540.665

9.458.979

4.018.144

9.911.725

15.066

9.163.947

215.202.675

13.393,6

886.921,3

0,00152

0,99848

23.483.623

9.678.377

4.121.330

9.896.659

14.449

8.798.094

206.038.728

12.351,1

873.527,7

0,00146

0,99854

23.418.564

9.928.602

4.239.629

9.882.210

13.835

8.447.355

197.240.634

11.371,4

861.176,6

0,00140

0,99860

23.349.396

10.194.630

4.366.122

9.868.375

13.322

8.111.085

188.793.279

10.528,6

849.805,2

0,00135

0,99865

23.275.959

10.477.084

4.501.247

9.855.053

12.812

7.788.592

180.682.194

9.736,1

839.276,6

0,00130

0,99870

23.198.313

10.775.717

4.645.043

9.842.241

12.401

7.479.294

172.893.602

9.061,3

829.540,5

0,00126

0,99874

23.116.300

11.091.160

4.797.983

9.829.840

12.091

7.182.568

165.414.308

8.495,0

820.479,2

0,00123

0,99877

23.029.968

11.423.201

4.960.146

9.817.749

11.879

6.897.820

158.231.740

8.025,0

811.984,2

0,00121

0,99879

22.939.384

11.771.606

5.131.614

9.805.870

11.865

6.624.494

151.333.920

7.707,3

803.959,2

0,00121

0,99879

22.844.601

12.136.160

5.312.485

9.794.005

12.047

6.361.999

144.709.426

7.524,5

796.251,9

0,00123

0,99877

22.745.905

12.515.750

5.502.419

9.781.958

12.325

9.109.782

138.347.427

7.402,1

788.727,4

0,00126

0,99874

15.186.689

8.658.027

5.701.063

9.769.633

12.896

5.867.388

132.237.645

7.447,1

781.325,3

0,00132

0,99868

22.537.737

13.316.408

5.908.494

9.756.737

13.562

5.634.272

126.370.257

7.530,5

773.878,2

0,00139

0,99861

22.428.853

13.735.194

6.123.895

9.743.175

14.225

5.410.039

120.735.985

7.594,8

766.347,7

0,00146

0,99854

22.317.027

14.165.290

6.347.302

9.728.950

14.983

5.194.366

115.325.946

7.691,9

758.752,9

0,00154

0,99846

22.202.122

14.607.228

6.579.204

9.713.967

15.737

4.986.891

110.131.580

7.768,2

751.061,0

0,00162

0,99838

22.084.216

15.060.706

6.819.670

9.698.230

16.390

4.787.319

105.144.689

7.779,4

743.292,8

0,00169

0,99831

21.963.167

15.526.285

7.069.238

9.681.840

16.846

4.595.412

100.357.370

7.688,3

735.513,4

0,00174

0,99826

21.838.601

16.005.385

7.328.943

9.664.994

17.300

4.410.977

95.761.958

7.591,8

727.825,1

0,00179

0,99821

21.709.920

16.500.315

7.600.357

9.647.694

17.655

4.233.732

91.350.981

7.449,6

720.233,3

0,00183

0,99817

21.576.940

17.011.783

7.884.243

9.630.039

17.912

4.063.447

87.117.249

7.267,4

712.783,7

0,00186

0,99814

21.439.248

17.541.356

8.181.889

9.612.127

18.167

3.899.893

83.053.802

7.087,3

705.516,3

0,00189

0,99811

21.296.431

18.090.658

8.494.690

9.593.960

18.324

3.742.810

79.153.909

6.873,6

698.429,0

0,00191

0,99809

21.148.257

18.660.552

8.823.683

9.575.636

18.481

3.591.982

75.411.099

6.665,9

691.555,4

0,00193

0,99807

20.994.286

19.252.752

9.170.472

9.557.155

18.732

3.447.163

71.819.117

6.496,6

684.889,5

0,00196

0,99804

20.834.268

19.868.208

9.536.312

9.538.423

18.981

3.308.083

28.371.954

6.329,7

678.392,9

0,00199

0,99801

8.576.554

20.507.131

23.910.687

9.519.442

19.324

3.174.519

65.063.871

6.196,3

672.063,2

0,00203

0,99797

20.495.663

21.170.552

10.329.284

9.500.118

19.760

3.046.226

61.889.352

6.092,4

665.866,9

0,00208

0,99792

20.316.730

21.858.749

10.758.990

9.480.358

20.193

2.922.971

58.843.126

5.986,4

659.774,5

0,00213

0,99787

20.131.273

22.572.051

11.212.431

9.460.165

20.718

2.804.563

55.920.155

5.905,8

653.788,1

0,00219

0,99781

19.938.990

23.311.585

11.691.457

9.439.447

21.239

2.690.789

53.115.592

5.821,5

647.882,3

0,00225

0,99775

19.739.783

24.077.782

12.197.592

9.418.208

21.850

2.581.476

50.424.803

5.758,6

642.060,8

0,00232

0,99768

19.533.322

24.871.849

12.733.035

9.396.358

22.551

2.476.430

47.843.327

2.714,8

636.302,2

0,00240

0,99760

19.319.475

25.694.334

13.299.706

9.373.807

48.213

2.375.468

45.366.897

5.733,0

630.587,4

0,00514

0,99486

19.098.088

26.545.817

13.899.725

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel |

141

TABLA DE MORATLIDAD 1958 VALORES DE CONMUTACIÓN AL 4%

TABLA 2 qx . ℓx

Numero de los que vivien al comenzar al año designado

Numero de los que mueren durante el año designado

ℓ

d X

∑Dx

D x

N x

∑Cx

C x

ℓx+1/ℓx

Probabilildad anual de fallecimiento

Probabililda d anual de supervivenci a

q x

Nx/Dx

Mx/Dx

100 A x

ax/Ax

1000 A

9.350.279

24.685

2.278.371

42.991.429

5.784

624.854,4

0,00264

0,99736

18.869.372

27.425.490

14.534.395

9.325.594

26.112

2.184.957

40.713.058

5.882,7

619.070,8

0,00280

0,99720

18.633.345

28.333.317

15.205.706

9.299.482

27.991

2.095.038

38.528.101

6.063,4

613.188,1

0,00301

0,99699

18.390.168

29.268.591

15.915.347

9.271.491

30.132

2.008.396

36.433.063

6.276,2

607.124,7

0,00325

0,99675

18.140.378

30.229.332

16.664.114

9.241.359

32.622

1.924.874

34.424.667

6.533,5

600.848,5

0,00353

0,99647

17.884.114

31.214.952

17.454.011

9.208.737

35.362

1.844.307

32.499.793

6.809,8

594.315,0

0,00384

0,99616

17.621.683

32.224.299

18.286.732

9.173.375

38.253

1.766.562

30.655.486

7.083,2

587.505,2

0,00417

0,99583

17.353.190

33.256.982

19.164.765

9.135.122

41.382

1.691.534

28.888.324

7.367,9

580.422,0

0,00453

0,99547

17.078.181

34.313.351

20.091.924

9.093.740

44.741

1.619.107

27.197.390

7.659,6

573.054,1

0,00492

0,99508

16.797.772

35.393.220

21.070.187

9.048.999

48.412

1.549.174

25.578.283

7.969,3

565.394,5

0,00535

0,99465

16.510.917

36.496.514

22.104.474

9.000.587

52.473

1.481.621

24.029.109

8.305,6

557.425,2

0,00583

0,99417

16.218.121

37.622.658

23.197.914

8.948.114

56.910

1.416.330

22.547.488

8.661,4

549.119,6

0,00636

0,99364

15.919.657

38.770.597

24.353.915

8.891.204

61.794

1.353.195

21.131.158

9.043,0

540.458,2

0,00695

0,99305

15.615.752

39.939.417

25.576.365

8.829.410

67.104

1.292.106

19.777.963

9.442,4

531.415,2

0,00760

0,99240

15.306.765

41.127.833

26.869.056

8.762.306

72.902

1.232.967

18.458.857

9.863,7

521.972,8

0,00832

0,99168

14.971.088

42.334.693

28.277.634

8.689.404

79.160

1.175.682

17.252.890

10.296,5

512.109,1

0,00911

0,99089

14.674.793

43.558.471

29.682.511

8.610.244

85.758

1.120.165

16.077.208

10.727,7

501.810,6

0,00996

0,99004

14.352.536

44.797.918

31.212.546

8.524.486

92.832

1.066.354

14.957.043

11.166,0

491.082,9

0,01089

0,98911

14.026.339

46.052.521

32.832.887

8.431.654

100.337

1.014.174

13.890.689

11.604,5

479.916,9

0,01190

0,98810

13.696.554

47.320.963

34.549.539

8.331.317

108.307

963.563

12.876.515

12.044,5

468.312,4

0,01300

0,98700

13.363.439

48.602.157

36.369.499

8.223.010

116.849

914.458

11.912.952

12.494,7

456.267,9

0,01421

0,98579

13.027.336

49.894.899

38.300.154

8.106.161

125.970

866.792

10.998.494

12.951,9

443.773,2

0,01554

0,98446

12.688.735

51.197.196

40.348.542

7.980.191

135.663

820.502

10.131.702

13.412,0

430.821,3

0,01700

0,98300

12.348.175

52.507.038

42.522.105

7.844.528

145.830

775.532

9.311.200

13.862,7

417.409,3

0,01859

0,98141

12.006.210

53.822.318

44.828.733

7.698.698

156.592

731.841

8.535.668

14.313,2

403.546,6

0,02034

0,97966

11.663.282

55.141.294

47.277.682

7.542.106

167.736

689.380

7.803.827

14.742,1

389.233,4

0,02224

0,97776

11.320.066

56.461.371

49.877.246

7.374.370

179.271

648.124

7.114.447

15.149,9

374.491,3

0,02431

0,97569

10.976.984

57.780.810

52.638.146

7.195.099

191.174

608.046

6.466.323

15.534,4

359.341,4

0,02657

0,97343

10.634.595

59.097.733

55.571.211

7.003.925

203.394

569.125

5.858.277

15.891,7

343.807,0

0,02904

0,97096

10.293.480

60.409.752

58.687.392

6.800.531

215.917

531.344

5.289.152

16.221,3

327.915,3

0,03175

0,96825

9.954.289

61.714.313

61.997.708

6.584.614

228.749

494.686

4.757.808

16.524,4

311.694,0

0,03474

0,96526

9.617.834

63.008.454

65.512.101

6.355.865

241.777

459.136

4.263.122

16.793,8

295.169,6

0,03804

0,96196

9.285.096

64.288.054

69.237.897

6.114.088

254.835

424.683

3.803.986

17.020,0

278.375,8

0,04168

0,95832

8.957.236

65.549.080

73.180.027

5.859.253

267.241

391.329

3.379.303

17.162,1

261.355,8

0,04561

0,95439

8.635.453

66.786.719

77.340.150

5.592.012

566.157

359.116

2.987.974

17.192,6

244.193,7

0,10124

0,95021

8.320.359

67.998.558

81.725.510

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel |

(ℓx -ℓx+n)/ℓx

142

TABLA DE MORATLIDAD 1958 VALORES DE CONMUTACIÓN AL 4%

TABLA 2 qx . ℓx

Numero de los que vivien al comenzar al año designado

Numero de los que mueren durante el año designado

ℓ

d X

∑Dx

∑Cx

C x

ℓx+1/ℓx

Probabilildad anual de fallecimiento

Probabililda d anual de supervivenci a

q x

Nx/Dx

Mx/Dx

100 A x

ax/Ax

1000 A

71 72 73 74

5.313.586 5.025.855 4.731.089 4.431.800

287.731 294.766 299.289 301.894

328.111 298.407 270.102 243.284

2.628.858 2.300.747 2.002.340 1.732.238

17.083,9 16.828,4 16.429,5 15.935,1

227.001,1 209.917,2 193.088,8 176.659,3

0,05415 0,05865 0,06326 0,06812

0,94585 0,94135 0,93674 0,93188

8.012.100 7.710.097 7.413.274 7.120.230

69.184.239 70.345.937 71.487.364 72.614.434

86.349.700 91.238.715 96.431.575 101.983.273

4.129.906

303.011

217.992

1.488.954

15.378,9

160.724,2

0,07337

0,92663

6.830.315

73.729.403

107.944.369

76 77 78 79

3.826.895 3.523.881 3.221.884 2.922.055

303.014 301.997 299.829 295.683

194.228 171.971 151.185 131.842

1.270.962 1.076.734 904.763 753.578

14.787,5 14.171,1 13.528,2 12.828,0

145.345,3 130.557,8 116.386,7 102.858,5

0,07918 0,08570 0,09306 0,10119

0,92082 0,91430 0,90694 0,89881

6.543.660 6.261.137 5.984.476 5.715.766

74.832.310 75.918.498 76.982.968 78.016.489

114.358.494 121.253.532 128.637.776 136.493.502

2.626.372

288.848

113.943

621.736

12.049,5

90.030,5

0,10998

0,89002

5.456.553

79.013.630

144.805.030

81 82 83 84

2.337.524 2.058.541 1.792.639 1.542.781

278.983 265.902 249.858 231.433

97.511 82.571 69.139 57.214

507.793 410.282 327.711 258.572

11.190,4 10.255,4 9.266,0 8.252,6

77.981,0 66.790,0 56.353,2 47.269,2

0,11935 0,12917 0,13938 0,15001

0,88065 0,87083 0,86062 0,84999

5.207.546 4.968.839 4.739.886 4.519.383

79.971.490 80.887.963 81.507.109 82.618.240

153.568.482 162.790.471 171.960.050 182.808.657

1.311.348

211.311

46.761

201.358

7.245,3

39.016,6

0,16114

0,83886

4.306.110

83.438.335

193.767.320

86 87 88 89

1.100.037 909.929 741.474 594.477

190.108 168.455 146.997 126.303

37.717 29.999 23.505 18.120

154.597 116.880 86.881 63.376

6.267,6 5.340,1 4.480,7 3.701,8

31.771,3 25.503,7 20.163,6 15.682,9

0,17282 0,18513 0,19825 0,21246

0,82718 0,81487 0,80175 0,78754

4.098.868 3.896.130 3.696.277 3.497.572

84.236.021 85.015.167 85.784.301 86.550.221

205.510.456 218.204.141 232.082.964 247.458.028

468.174

106.809

13.722

45.256

3.010,1

11.981,1

0,22814

0,77186

3.298.062

87.313.074

264.740.587

91 92 93 94

361.365 272.552 200.072 142.191

88.813 72.480 57.881 45.026

10.184 7.386 5.213 3.562

31.534 21.350 13.964 8.751

2.406,6 1.888,5 1.450,1 1.084,7

8.971,0 6.564,4 4.675,9 3.225,8

0,24577 0,26593 0,28930 0,31666

0,75423 0,73407 0,71070 0,68334

3.096.426 2.890.604 2.678.688 2.456.766

88.089.159 88.876.252 89.696.912 90.561.482

284.486.586 307.466.042 334.853.910 368.620.729

97.165

34.128

2.341

5.189

790,5

2.141,1

0,35124

0,64876

2.216.574

91.460.914

412.622.856

96 97 98 99

63.037 37.787 19.331 6.415

25.250 18.456 12.916 6.415

1.460 842 414 132

2.848 1.388 546 132

562,4 395,2 266,0 127,0

1.350,6 788,2 393,0 127,0

0,40056 0,48842 0,66815 1,00000

0,59944 0,51158 0,33185 0,00000

1.950.685 1.648.456 1.318.841 1.000.000

92.506.849 93.610.451 94.927.536 96.212.121

474.227.528 567.867.435 719.780.220 962.121.212

100

0,0

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel |

(ℓx -ℓx+n)/ℓx

143

####

TABLA DE MORATLIDAD PARA LA POBLACION ECUATORIANA DE BASE EMPIRICA

qx . ℓx

Numero de los que vivien al comenzar al año designado

Numero de los que mueren durante el año designado

ℓ

lx.v^x

∑Dx

dx.v^(x+1)

ℓ(x+1)/ℓx

Tabla 2

Probabilildad anual de fallecimiento

Probabililda d anual de supervivenc ia

Esperanza de vida

100.000

2.309

100.000

3.505.988

2.260

24.690

0,02309

0,976910

97.691

1.642

95.600

3.405.988

1.573

22.430

0,01681

0,983192

96.049

1.066

91.981

3.310.388

999

20.858

0,01110

94.982

622

89.013

3.218.406

571

19.858

0,00655

94.360

19.288

0,00360

94.020

177

84.379

3.042.857

155

18.983

0,00188

93.843

82.418

2.958.477

18.828

0,00102

93.747

18.746

0,00064

93.687

78.796

2.795.488

18.695

0,00046

93.644

77.074

2.716.692

18.660

0,00038

93.608

18.631

0,00037

93.574

73.755

2.564.222

18.604

0,00041

93.535

72.146

2.490.466

18.574

0,00050

93.488

18.539

0,00061

93.431

69.014

2.347.754

18.497

0,00074

93.361

67.486

2.278.739

18.447

0,00087

93.280

18.389

0,00100

93.187

104

64.508

2.145.269

18.325

0,00112

93.083

114

63.057

2.080.761

18.254

0,00122

92.970

18.179

0,00128

92.850

127

60.235

1.956.072

18.101

0,00137

92.724

130

58.866

1.895.837

18.021

0,00140

92.594

17.940

0,00149

92.456

142

56.210

1.779.447

17.856

0,00154

92.313

149

54.922

1.723.237

17.771

0,00161

92.165

17.685

0,00168

92.010

157

52.423

1.614.656

17.597

0,00171

91.853

161

51.213

1.562.233

17.509

0,00175

91.692

17.421

0,00179

91.528

163

48.871

1.460.990

17.334

0,00178

91.365

172

47.740

1.412.119

17.249

0,00188

91.194

17.161

0,00184

91.026

176

45.548

1.317.749

17.077

0,00193

90.850

184

44.487

1.272.200

16.991

0,00203

90.666

16.902

0,00213

90.473

16.812

0,00229

119

138

155

164

168

193 207

86.537

80.571

75.396

70.567

65.985

61.632

57.525

53.660

50.029

46.630

43.447 42.426

3.129.394

2.876.059

2.639.617

2.418.320

2.211.253

2.017.704

1.836.972

1.668.315

1.511.019

1.364.379

1.227.713 1.184.266

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel |

305

91 95

(ℓx -ℓx+n)/ℓx

340

∑Cx

o ex

7.202.779

72,02779

0,02016

7.107.179

72,75183

0,988891

0,01406

7.007.175

72,95439

0,993451

0,00887

6.914.890

72,80197

0,996397

0,00509

6.817.063

72,24544

0,998117

0,00275

6.726.076

71,53904

0,998977

0,00145

6.628.969

70,63911

0,999360

0,00083

6.538.364

69,74480

0,999541

0,00050

6.441.463

68,75507

0,999616

0,00042

6.350.984

67,82065

0,999637

0,00038

6.254.173

66,81217

0,999583

0,99959

6.350.913

67,87084

0,999498

0,00046

6.067.027

64,86370

0,999390

0,00056

5.976.700

63,93015

0,999251

0,00068

6.066.912

64,93499

0,999132

0,00081

5.789.843

62,01539

0,999003

0,00094

5.693.336

61,03487

0,998884

0,00106

5.603.287

60,12951

0,998786

0,00117

5.506.966

59,16189

0,998709

0,00125

5.417.124

58,26764

0,998643

0,00133

5.321.028

57,30750

0,998598

0,00139

5.231.425

56,41956

0,998510

0,00149

5.135.582

55,46370

0,998453

0,00152

5.046.241

54,58013

0,998397

0,00158

5.135.297

55,62923

0,998318

0,00164

4.861.617

52,74924

0,998294

0,00171

4.677.598

51,80247

0,998247

0,00173

4.582.641

50,92498

0,998211

0,00170

4.494.215

49,97858

0,998219

0,00178

4.399.584

49,10198

0,998128

0,00183

4.311.487

48,15394

0,998158

0,99816

4.217.196

47,27836

0,998066

0,00189

4.129.438

46,32959

0,997975

0,00198

4.035.499

45,45339

0,997871

0,00213

3.948.109

44,50956

0,997712

0,00221

3.854.557

43,63844

144

####

TABLA DE MORATLIDAD PARA LA POBLACION ECUATORIANA DE BASE EMPIRICA

qx . ℓx

lx.v^x

∑Dx

dx.v^(x+1)

∑Cx

Numero de los que vivien al comenzar al año designado

Numero de los que mueren durante el año designado

ℓ

90.266

214

41.423

1.141.840

90.052

219

40.441

1.100.417

89.833

226

39.479

1.059.976

89.606

89.381

239

37.617

981.961

89.142

232

36.713

944.345

88.910

88.661

88.396

286

34.118

836.830

88.109

325

33.279

802.712

87.784

343

32.447

769.433

87.441

362

31.628

736.987

87.079

86.694

391

30.030

674.536

86.303

426

29.255

644.506

85.877

85.456

457

27.741

586.764

84.998

487

27.001

559.024

84.511

83.981

586

25.548

505.750

83.395

615

24.827

480.202

82.780

82.143

665

23.419

431.258

81.478

675

22.732

407.839

80.804

80.046

738

21.387

363.046

79.308

815

20.736

341.659

78.493

77.603

991

19.431

300.840

76.612

1.146

18.772

281.409

75.466

74.276

1.249

17.429

244.541

73.027

1.301

16.769

227.112

71.727

70.426

226

250 264

385

421

530

637

758

890

1.189

1.301 1.457

38.536

35.834 34.968

30.823

28.487

26.272

24.117

22.061

20.084

18.096

16.118 15.487

1.020.498

907.632 871.798

705.359

615.251

532.022

455.375

385.107

320.923

262.637

210.343 194.225

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel |

(ℓx -ℓx+n)/ℓx

ℓ(x+1)/ℓx

Tabla 2

Probabilildad anual de fallecimiento

Probabililda d anual de supervivenc ia

Esperanza de vida

16.717

0,00237

16.621

0,00243

16.524

0,00252

16.427

0,00252

16.332

0,00267

16.234

0,00260

16.140

0,00281

16.042

0,00298

108

15.940

0,00324

120

15.832

0,00369

124

15.711

0,00391

128

15.587

0,00414

15.459

0,00442

133

15.326

0,00451

141

15.193

0,00494

15.052

0,00490

145

14.915

0,00535

151

14.770

0,00573

14.619

0,00627

175

14.457

0,00698

179

14.283

0,00738

14.104

0,00769

186

13.922

0,00810

184

13.737

0,00828

13.552

0,00938

193

13.350

0,00922

209

13.157

0,01028

12.948

0,01134

243

12.725

0,01277

275

12.483

0,01496

12.208

0,01576

287

11.929

0,01682

292

11.642

0,01781

11.350

0,01814

11.063

0,02069

99 102

133

137

161

181

203

223

279

286 314

o ex

0,997629

0,00233

3.767.579

42,70211

0,997568

0,00241

3.674.455

41,83779

0,997473

0,99748

3.587.916

40,90318

0,997489

0,00252

3.495.242

40,04095

0,997326

0,00267

3.409.159

39,10512

0,997397

0,00264

3.316.955

38,24403

0,997199

0,99710

3.231.344

37,30672

0,997011

0,00298

3.139.639

36,44620

0,996753

0,00312

3.054.559

35,51782

0,996311

0,00347

2.963.433

34,66784

0,996093

0,00381

2.878.997

33,75818

0,995860

0,00403

2.788.557

32,92498

0,995579

0,00442

2.704.846

32,02321

0,995490

0,00448

2.615.171

31,19992

0,995064

0,00474

2.532.252

30,30234

0,995098

0,00493

2.443.416

29,48711

0,994641

0,00514

2.361.353

28,59274

0,994270

0,00556

2.273.429

27,78113

0,993729

0,00602

2.192.345

26,90087

0,993022

0,00665

2.105.485

26,10512

0,992625

0,00711

2.025.564

25,24717

0,992305

0,00756

1.939.933

24,46933

0,991904

0,00792

1.861.287

23,61641

0,991728

0,00822

1.776.979

22,84399

0,990619

0,00887

16.997

21,99127

0,990780

0,00934

1.616.880

21,23407

0,989724

0,01011

1.541.117

20,38733

0,988661

0,01087

1.459.919

19,63377

0,987230

0,01213

1.385.945

18,81272

0,985042

0,01396

1.306.747

18,09042

0,984231

0,01548

1.235.028

17,31579

0,983184

0,01642

1.158.214

16,62746

0,982198

0,01747

1.088.990

15,86004

0,981862

0,01814

1.014.761

15,18250

0,979297

0,01939

948.191

14,40893

145

####

TABLA DE MORATLIDAD PARA LA POBLACION ECUATORIANA DE BASE EMPIRICA

qx . ℓx

72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

∑Dx

dx.v^(x+1)

∑Cx

(ℓx -ℓx+n)/ℓx

ℓ(x+1)/ℓx

Tabla 2

Probabilildad anual de fallecimiento

Probabililda d anual de supervivenc ia

Esperanza de vida

Numero de los que vivien al comenzar al año designado

Numero de los que mueren durante el año designado

ℓ

x 68.968

x 0,02016

lx.v^x

67.578 66.042 64.366 62.486 60.280 57.994 55.618 53.134 50.707 48.245 45.689 42.940 39.964 36.659 33.271 29.746 26.122 21.812 17.456 13.129 9.384 6.147 3.780

1.390

14.842

178.738

293

10.750

1.536

14.231

163.896

317

10.457

1.676

13.610

149.665

338

10.140

1.880

12.981

136.055

371

9.802

2.206

12.332

123.074

426

9.431

2.285

11.642

110.742

432

9.005

2.376 2.484

10.961 10.287

99.100 88.139

439 450

8.573 8.134

2.427

9.617

77.853

430

7.684

2.462

8.981

68.236

427

7.254

2.556

8.362

59.255

434

6.828

2.749

7.750

50.892

456

6.394

2.976 3.305

7.128 6.492

43.143 36.015

483 525

5.938 5.454

3.388

5.827

29.524

527

4.929

3.524

5.176

23.696

537

4.402

3.624

4.528

18.521

540

3.866

4.310

3.891

13.993

628

3.326

4.356

3.180

10.101

621

2.697

4.327

2.490

6.922

604

2.076

3.744

1.833

4.431

512

1.472

3.237

1.282

2.598

433

960

2.367

822

1.316

310

527

1.701

495

218

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel |

0,02273 0,02538 0,02921 0,03531 0,03791 0,04097 0,04467 0,04568 0,04855 0,05298 0,06016 0,06931 0,08270 0,09242 0,10593 0,12184 0,16500 0,19970 0,24790 0,28520 0,34500 0,38500 0,45000

0,979846 0,977271 0,974622 0,970792 0,964696 0,962077 0,959030 0,955338 0,954323 0,951447 0,947020 0,939832 0,930694 0,917301 0,907581 0,894052 0,878168 0,835005 0,800293 0,752120 0,714754 0,655051 0,614934 0,550000

0,02064

876.802

ex 13,74817

0,02168

813.083

12,97468

0,02435

744.764

12,31158

0,02768

684.419

11,57080

0,03280

619.901

10,95317

0,03730

563.887

10,28000

0,04000

503.943

9,72312

0,04377

452.686

9,06076

0,04623

397.656

8,51975

0,04917

351.285

7,84231

0,05210

301.198

7,28132

0,05824

259.972

6,59240

0,06694

215.394

6,05432

0,07930

180.154

5,38973

0,09165

142.104

4,91432

0,10447

113.657

4,27112

0,12095

82.644

3,82087

0,15513

61.642

3,16378

0,20155

39.036

2,82606

2,23623

26.720

2,23000

0,31032

12.584

2,03524

0,37944

5.862

1,34094

0,45463

3.037

0,95367

0,54199

0,80338

146

Tabla de mortalidad para la poblaci贸n Ecuatoriana de base te贸rica (Makeham) u x qx px dx lx x 20 99.901 0,003033 0,996967 303 0,002837 21 99.598 0,003484 0,996516 347 0,003281 22 99.251 0,003980 0,996020 395 0,003756 23 98.856 0,004501 0,995499 445 0,004265 24 98.411 0,005060 0,994940 498 0,004809 25 97.913 0,005658 0,994342 554 0,005391 26 97.359 0,006296 0,993704 613 0,006014 27 96.746 0,006977 0,993023 675 0,006680 28 96.071 0,007713 0,992287 741 0,007393 29 95.330 0,008497 0,991503 810 0,008156 30 94.520 0,009321 0,990679 881 0,008972 31 93.639 0,010220 0,989780 957 0,009846 32 92.682 0,011178 0,988822 1036 0,010781 33 91.646 0,012199 0,987801 1118 0,011781 34 90.528 0,013278 0,986722 1202 0,012851 35 89.326 0,014453 0,985547 1291 0,013996 36 88.035 0,015698 0,984302 1382 0,015221 37 86.653 0,017022 0,982978 1475 0,016532 38 85.178 0,018455 0,981545 1572 0,017935 39 83.606 0,019963 0,980037 1669 0,019436 40 81.937 0,021590 0,978410 1769 0,021042 41 80.168 0,023326 0,976674 1870 0,022760 42 78.298 0,025186 0,974814 1972 0,024599 43 76.326 0,027147 0,972853 2072 0,026566 44 74.254 0,029278 0,970722 2174 0,028671 45 72.080 0,031521 0,968479 2272 0,030924 46 69.808 0,033922 0,966078 2368 0,033334 47 67.440 0,036492 0,963508 2461 0,035913 48 64.979 0,039243 0,960757 2550 0,038672 49 62.429 0,042160 0,957840 2632 0,041625 50 59.797 0,045270 0,954730 2707 0,044784 51 57.090 0,048607 0,951393 2775 0,048164 52 54.315 0,052140 0,947860 2832 0,051781 53 51.483 0,055941 0,944059 2880 0,055651 54 48.603 0,059955 0,940045 2914 0,059792 55 45.689 0,064239 0,935761 2935 0,064223 56 42.754 0,068812 0,931188 2942 0,068964 57 39.812 0,073671 0,926329 2933 0.074037 58 36.879 0,078852 0,921148 2908 0,079465 59 33.971 0,084337 0,915663 2865 0,085274 60 31.106 0,090240 0,909760 2807 0,091488

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel |

147

Tabla de mortalidad para la poblaci贸n Ecuatoriana de base te贸rica (Makeham) u x qx px dx lx x 61 28.299 0,096435 0,903565 2729 0,098138 62 25.570 0,103011 0,896989 2634 0,105253 63 22.936 0,110089 0,889911 2525 0,112866 64 20.411 0,117535 0,882465 2399 0,121012 65 18.012 0,125416 0,874584 2259 0,129728 66 15.753 0,133752 0,866248 2107 0,139055 67 13.646 0,142679 0,857321 1947 0,149034 68 11.699 0,152064 0,847936 1779 0,159712 69 9.920 0,162097 0,837903 1608 0,171137 70 8.312 0,172522 0,827478 1434 0,183363 71 6.878 0,183629 0,816371 1263 0,196443 72 5.615 0,195191 0,804809 1096 0,210440 73 4.519 0,207789 0,792211 939 0,225416 74 3.580 0,220670 0,779330 790 0,241441 75 2.790 0,234409 0,765591 654 0,258587 76 2.136 0,248596 0,751404 531 0,276934 77 1.605 0,263551 0,736449 423 0,296565 78 1.182 0,280034 0,719966 331 0,317570 79 851 0,296122 0,703878 252 0,340045 80 599 0,313342 0,686658 188 0,364094

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel |

148

Último censo de población realizado en el Ecuador el año 2011 Población 15.007.343 (Julio 2011 est.) Distribución por edad 0-14 años: 30,1% (hombres 2.301.840/mujeres 15-64 años: 63,5% (hombres 4.699.548/mujeres 65 años y más: 6,4% (hombres 463.481/mujeres 500.982) (2011 est.) Tasa de crecimiento 1,443% (2011 est.) Tasa de natalidad 19,96 nacimientos/1.000 habitantes (2011 est.) Tasa de mortalidad 5 muertes/1.000 habitantes (July 2011 est.) Tasa de migración neta -0,52 migrante(s)/1.000 habitantes (2011 est.) Distribución por sexo al nacer: 1,05 hombre(s)/mujer Menores de 15 años: 1,04 hombre(s)/mujer 15-64 años: 0,97 hombre(s)/mujer 65 años y más: 0,93 hombre(s)/mujer Población total: 0,99 hombre(s)/mujer (2011 est.) Tasa de mortalidad infantil Total: 19,65 muertes/1.000 nacimientos Hombres: 23,02 muertes/1.000 nacimientos Mujeres: 16,11 muertes/1.000 nacimientos (2011 est.) Expectativa de vida al nacer Población total: 75,73 años Hombres: 72,79 años Mujeres: 78,82 años (2011 est.) Tasa de fertilidad 2,42 infantes nacidos/mujer (2011 est.) VIH/SIDA - tasa de incidencia en la población adulta 0,4% (2009 est.) VIH/SIDA - habitantes infectados con VIH/SIDA 37.000 (2009 est.) VIH/SIDA - muertes 2.200 (2009 est.) Tasa de alfabetización definition: age 15 and over can read and write población total: 91% hombres: 92,3% mujeres: 89,7% (2001 census)

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel |

2.209.971) 4.831.521)

149

TABLA 3 qx . ℓx Numero de los que Numero de mueren los que viven durante al comenzar el año al año designa designado do

lx.v^x

∑Dx

dx.v^(x+1)

∑Cx

(ℓx ℓx+n)/ℓx

ℓ(x+1)/ℓx

Probabilild Probabilild ad anual ad anual de de fallecimien supervive to ncia

ℓ

Nx/Dx

Mx/Dx

ax/Ax

100 A

1000 A

x x

15.007.343

180.757

15.007.343

x x 524.519.620 176.888

5.767.436

0,01204

0,98796

34.950.865

38.430.761

90.945.025

14.826.586

26.094

14.509.234

509.512.277 24.989

5.590.548

0,00176

0,99824

35.116.415

38.530.963

91.138.169

14.800.491

22.497

14.173.686

495.003.043 21.083

5.565.559

0,00152

0,99848

34.924.087

39.266.839

88.940.407

14.777.994

21.576

13.849.226

480.829.357 19.787

5.544.475

0,00146

0,99854

34.718.861

40.034.550

86.722.245

14.756.419

20.659

13.533.007

466.980.131 18.541

5.524.688

0,00140

0,99860

34.506.752

40.823.805

84.526.056

14.735.760

19.893

13.224.803

453.447.123 17.471

5.506.148

0,00135

0,99865

34.287.627

41.635.008

82.352.877

14.715.867

19.131

12.924.266

440.222.320 16.442

5.488.677

0,00130

0,99870

34.061.689

42.467.999

80.205.543

14.696.736

18.518

12.631.189

427.298.054 15.574

5.472.235

0,00126

0,99874

33.828.806

43.323.193

78.084.748

14.678.218

18.055

12.345.254

414.666.865 14.860

5.456.660

0,00123

0,99877

33.589.172

44.200.468

75.992.796

14.660.164

17.738

12.066.154

402.321.611 14.287

5.441.800

0,00121

0,99879

33.342.988

45.099.709

73.931.714

14.642.425

17.717

11.793.600

390.255.457 13.965

5.427.513

0,00121

0,99879

33.090.444

46.020.835

71.903.180

14.624.708

17.989

11.527.202

378.461.857 13.875

5.413.548

0,00123

0,99877

32.832.065

46.963.247

69.910.126

14.606.719

18.404

11.266.596

366.934.655 13.892

5.399.673

0,00126

0,99874

32.568.368

47.926.392

67.954.976

14.588.315

19.257

11.011.552

355.668.059 14.224

5.385.781

0,00132

0,99868

32.299.541

48.910.285

66.038.340

14.569.059

20.251

10.761.634

344.656.507 14.639

5.371.557

0,00139

0,99861

32.026.411

49.913.956

64.163.240

14.548.807

21.241

10.516.651

333.894.874 15.026

5.356.918

0,00146

0,99854

31.749.165

50.937.495

62.329.654

14.527.566

22.373

10.276.524

323.378.223 15.488

5.341.893

0,00154

0,99846

31.467.665

51.981.513

60.536.262

14.505.193

23.499

10.041.076

313.101.699 15.919

5.326.405

0,00162

0,99838

31.182.087

53.046.162

58.782.928

14.481.694

24.474

9.810.236

303.060.623 16.224

5.310.487

0,00169

0,99831

30.892.288

54.132.100

57.068.335

14.457.220

25.155

9.584.031

293.250.387 16.319

5.294.262

0,00174

0,99826

30.597.814

55.240.455

55.390.228

14.432.065

25.833

9.362.573

283.666.357 16.400

5.277.943

0,00179

0,99821

30.297.906

56.372.786

53.745.625

14.406.232

26.363

9.145.774

274.303.784 16.378

5.261.543

0,00183

0,99817

29.992.406

57.529.773

52.133.712

14.379.869

26.747

8.933.638

265.158.009 16.261

5.245.165

0,00186

0,99814

29.680.854

58.712.531

50.552.844

14.353.122

27.128

8.726.159

256.224.371 16.140

5.228.904

0,00189

0,99811

29.362.788

59.922.169

49.001.544

14.325.995

27.362

8.523.243

247.498.212 15.931

5.212.764

0,00191

0,99809

29.038.032

61.159.401

47.479.262

14.298.633

27.596

8.324.879

238.974.968 15.723

5.196.834

0,00193

0,99807

28.706.118

62.425.337

45.984.723

14.271.037

27.971

8.130.969

230.650.089 15.596

5.181.111

0,00196

0,99804

28.366.865

63.720.709

44.517.498

14.243.065

28.343

7.941.336

222.519.121 15.465

5.165.515

0,00199

0,99801

28.020.364

65.045.923

43.077.817

14.214.722

28.855

7.755.893

214.577.785 15.407

5.150.051

0,00203

0,99797

27.666.418

66.401.773

41.665.180

14.185.867

29.506

7.574.477

206.821.891 15.417

5.134.644

0,00208

0,99792

27.305.104

67.788.751

40.279.698

14.156.361

30.153

7.396.934

199.247.414 15.418

5.119.226

0,00213

0,99787

26.936.487

69.207.405

38.921.394

14.126.208

30.937

7.223.190

191.850.480 15.480

5.103.808

0,00219

0,99781

26.560.353

70.658.639

37.589.675

14.095.271

31.715

7.053.103

184.627.290 15.530

5.088.328

0,00225

0,99775

26.176.747

72.143.105

36.284.474

14.063.557

32.627

6.886.607

177.574.187 15.635

5.072.798

0,00232

0,99768

25.785.440

73.661.785

35.005.179

14.030.930

33.674

6.723.570

170.687.580 15.791

5.057.163

0,00240

0,99760

25.386.453

75.215.445

33.751.649

13.997.256

36.953

6.563.866

163.964.011 36.953

5.041.372

0,00264

0,99736

24.979.793

76.804.918

32.523.690

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel |

150

TABLA 3

lx.v^x

Numero de los que vivien al comenzar al año designado

qx . ℓx Numero de los que mueren durante el año designad o

ℓ

∑Dx

N x

dx.v^(x+1)

C x

∑Cx

M x

(ℓx ℓx+n)/ℓx

ℓ(x+1)/ℓx

Probabililda d anual de fallecimient o

Probabililda d anual de supervivenc ia

Nx/Dx

Mx/Dx

ax/Ax

100 A

1000 A

13.960.303

36.856

6.406.413

157.400.145 16.551

5.004.419

0,00264

0,99736

24.569.152

78.115.761

31.452.234

13.923.447

38.986

6.252.738

150.993.731 17.133

4.987.868

0,00280

0,99720

24.148.418

79.770.933

30.272.202

13.884.461

41.792

6.101.770

144.740.993 17.973

4.970.734

0,00301

0,99699

23.721.149

81.463.812

29.118.634

13.842.669

44.988

5.953.193

138.639.223 18.934

4.952.761

0,00325

0,99675

23.288.211

83.195.038

27.992.308

13.797.681

48.706

5.806.836

132.686.030 20.059

4.933.828

0,00353

0,99647

22.849.969

84.965.851

26.893.121

13.748.975

52.797

5.662.486

126.879.194 21.279

4.913.769

0,00384

0,99616

22.406.977

86.777.582

25.821.158

13.696.179

57.113

5.520.006

121.216.708 22.526

4.892.490

0,00417

0,99583

21.959.524

88.631.961

24.776.078

13.639.065

61.785

5.379.329

115.696.701 23.847

4.869.964

0,00453

0,99547

21.507.646

90.531.067

23.757.199

13.577.281

66.800

5.240.342

110.317.372 25.231

4.846.117

0,00492

0,99508

21.051.560

92.477.119

22.764.074

13.510.481

72.281

5.102.946

105.077.030 26.716

4.820.887

0,00535

0,99465

20.591.445

94.472.620

21.796.204

13.438.200

78.344

4.967.005

99.974.085

28.338

4.794.170

0,00583

0,99417

20.127.639

96.520.345

20.853.261

13.359.856

84.969

4.832.353

95.007.080

30.076

4.765.833

0,00636

0,99364

19.660.627

98.623.450

19.935.042

13.274.887

92.261

4.698.844

90.174.727

31.958

4.735.757

0,00695

0,99305

19.190.833

100.785.576

19.041.249

13.182.626

100.189

4.566.311

85.475.883

33.961

4.703.799

0,00760

0,99240

18.718.806

103.010.923

18.171.671

13.082.438

108.845

4.434.611

80.909.572

36.106

4.669.837

0,00832

0,99168

18.245.021

105.304.331

17.325.993

12.973.592

118.189

4.303.586

76.474.961

38.366

4.633.731

0,00911

0,99089

17.770.057

107.671.414

16.503.969

12.855.404

128.040

4.173.104

72.171.376

40.674

4.595.365

0,00996

0,99004

17.294.409

110.118.625

15.705.254

12.727.364

138.602

4.043.108

67.998.271

43.087

4.554.691

0,01089

0,98911

16.818.317

112.653.207

14.929.284

12.588.762

149.807

3.913.481

63.955.164

45.574

4.511.603

0,01190

0,98810

16.342.270

115.283.641

14.175.706

12.438.956

161.706

3.784.142

60.041.682

48.141

4.466.030

0,01300

0,98700

15.866.656

118.019.603

13.444.085

12.277.249

174.460

3.655.005

56.257.540

50.826

4.417.889

0,01421

0,98579

15.391.920

120.872.313

12.734.032

12.102.790

188.078

3.525.946

52.602.535

53.621

4.367.063

0,01554

0,98446

14.918.700

123.855.060

12.045.289

11.914.712

202.550

3.396.856

49.076.589

56.510

4.313.442

0,01700

0,98300

14.447.652

126.983.388

11.377.592

11.712.162

217.729

3.267.638

45.679.733

59.445

4.256.932

0,01859

0,98141

13.979.434

130.275.500

10.730.670

11.494.433

233.797

3.138.252

42.412.095

62.466

4.197.487

0,02034

0,97966

13.514.561

133.752.394

10.104.164

11.260.635

250.436

3.008.614

39.273.843

65.479

4.135.021

0,02224

0,97776

13.053.800

137.439.397

9.497.859

11.010.199

267.658

2.878.738

36.265.230

68.484

4.069.542

0,02431

0,97569

12.597.615

141.365.491

8.911.380

10.742.541

285.430

2.748.636

33.386.492

71.468

4.001.057

0,02657

0,97343

12.146.566

145.565.181

8.344.417

10.457.112

303.675

2.618.336

30.637.856

74.409

3.929.589

0,02904

0,97096

11.701.271

150.079.657

7.796.707

10.153.437

322.372

2.487.883

28.019.520

77.300

3.855.180

0,03175

0,96825

11.262.394

154.958.244

7.268.018

9.831.065

341.530

2.357.332

25.531.637

80.141

3.777.881

0,03474

0,96526

10.830.733

160.260.833

6.758.191

9.489.535

360.982

2.226.735

23.174.304

82.892

3.697.740

0,03804

0,96196

10.407.303

166.061.077

6.267.154

9.128.553

380.478

2.096.181

20.947.570

85.499

3.614.848

0,04168

0,95832

9.993.205

172.449.195

5.794.869

8.748.075

399.000

1.965.816

18.851.388

87.742

3.529.349

0,04561

0,95439

9.589.602

179.536.134

5.341.321

8.349.075

452.103

1.835.997

16.885.573

97.291

3.441.607

0,05415

0,94585

9.196.950

187.451.696

4.906.304

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel |

151

TABLA 3 lx.v^x

Numero de los que vivien al comenzar al año designado

qx . ℓx Numero de los que mueren durante el año designa do

ℓ

∑Dx

dx.v^(x+1)

∑Cx

(ℓx ℓx+n)/ℓx

ℓ(x+1)/ℓx

Probabilild Probabilild ad anual ad anual de de fallecimien supervive to ncia

q x

p x

Nx/Dx

Mx/Dx

ax/Ax

100 A

1000 A

71 72 73 74

7.896.972 7.469.350 7.031.274 6.586.475

427.622 438.077 444.799 448.670

1.699.407 1.572.980 1.449.031 1.328.312

15.049.576 13.350.168 11.777.189 10.328.158

62.339 62.496 62.097 61.296

3.344.316 3.281.978 3.219.482 3.157.385

0,05415 0,05865 0,06326 0,06812

0,94585 0,94135 0,93674 0,93188

8.855.778 8.487.184 8.127.632 7.775.403

196.793.062 208.647.168 222.181.738 237.699.130

4.500.046 4.067.721 3.658.101 3.271.111

6.137.804

450.330

1.211.332

8.999.846

60.206

3.096.089

0,07337

0,92663

7.429.708

255.593.669

2.906.844

76 77 78 79

5.687.474 5.237.139 4.788.316 4.342.714

450.335 448.823 445.601 439.440

1.098.432 989.808 885.611 786.004

7.788.514 6.690.082 5.700.274 4.814.663

58.918 57.464 55.830 53.879

3.035.883 2.976.964 2.919.501 2.863.671

0,07918 0,08570 0,09306 0,10119

0,92082 0,91430 0,90694 0,89881

7.090.576 6.758.968 6.436.543 6.125.492

276.383.386 300.761.734 329.659.459 364.332.761

2.565.486 2.247.283 1.952.482 1.681.290

3.903.275

429.282

691.347

4.028.658

51.507

2.809.792

0,10998

0,89002

5.827.260

406.422.759

1.433.793

81 82 83 84

3.473.993 3.059.373 2.664.193 2.292.858

414.620 395.180 371.335 343.952

602.142 518.927 442.224 372.441

3.337.311 2.735.169 2.216.242 1.774.018

48.683 45.408 371.335 343.952

2.758.284 2.709.601 2.664.193 2.292.858

0,11935 0,12917 0,13938 0,15001

0,88065 0,87083 0,86062 0,84999

5.542.395 5.270.819 5.011.578 4.763.218

458.078.335 522.154.795 602.452.796 615.629.875

1.209.923 1.009.436 831.862 773.715

1.948.906

314.047

309.795

1.401.577

314.047

1.948.906

0,16114

0,83886

4.524.206

629.095.169

719.161

86 87 88 89

1.634.859 1.352.323 1.101.968 883.503

282.536 250.355 218.465 187.710

254.312 205.859 164.158 128.797

1.091.782 837.470 631.610 467.452

282.536 250.355 218.465 187.710

1.634.859 1.352.323 1.101.968 883.503

0,17282 0,18513 0,19825 0,21246

0,82718 0,81487 0,80175 0,78754

4.293.077 4.068.163 3.847.571 3.629.377

642.854.981 656.915.752 671.284.067 685.966.650

667.814 619.282 573.166 529.089

695.793

158.738

99.261

338.655

158.738

695.793

0,22814

0,77186

3.411.751

700.970.377

486.718

91 92 93 94

537.055 405.063 297.344 211.322

131.993 107.719 86.022 66.917

74.976 55.339 39.753 27.648

239.394 164.418 109.079 69.326

131.993 107.719 86.022 66.917

537.055 405.063 297.344 211.322

0,24577 0,26593 0,28930 0,31666

0,75423 0,73407 0,71070 0,68334

3.192.937 2.971.115 2.743.921 2.507.482

716.302.271 731.969.510 747.979.429 764.339.522

445.753 405.907 366.845 328.059

144.405

50.721

18.488

41.678

50.721

144.405

0,35124

0,64876

2.254.296

781.057.451

288.621

96 97 98 99

93.685 56.158 28.729 9.534

37.526 27.429 19.196 9.534

11.738 6.886 3.447 1.119

23.190 11.452 4.567 1.119

37.526 27.429 19.196 9.534

93.685 56.158 28.729 9.534

0,40056 0,48842 0,66815 1,00000

0,59944 0,51158 0,33185 0,00000

1.975.655 1.663.206 1.324.747 1.000.000

798.141.040 815.598.288 833.437.368 851.666.631

247.532 203.925 158.950 117.417

100

Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel |

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Norma Internacional de Contabilidad nº 26 Contabilización e Información Financiera sobre Planes de Beneficio por Retiro

Alcance 1 Esta Norma se aplica a los estados financieros de planes de beneficio por retiro, cuando éstos se preparan. 2 Los planes de beneficio por retiro son conocidos, en ocasiones, con otros nombres, tales como “planes de pensiones” o “sistemas complementarios de prestaciones por jubilación”. Los planes de beneficio por retiro se consideran, en la Norma, como entidades diferentes de los empleadores y de las personas que participan en dicho planes. El resto de las Normas Internacionales de Contabilidad son aplicables a las informaciones procedentes de los planes de beneficio por retiro, en la medida en que no queden derogadas por la presente Norma. 3 Esta Norma trata de la contabilidad y la información a presentar, por parte del plan, a todos los participantes como grupo. No se ocupa, por el contrario de las informaciones a los individuos participantes acerca de sus derechos adquiridos sobre el plan. 4 La NIC 19 Beneficios a los Empleados, se refiere a la determinación del costo de los beneficios por retiro, en los estados financieros de los empleadores que tienen establecido un plan. Por tanto, esta Norma complementa la citada NIC 19. 5 Los planes de beneficio por retiro pueden ser de aportaciones definidas o de beneficios definidos. Muchos de ellos exigen la creación de fondos separados, que pueden o no tener personalidad jurídica independiente, así como pueden o no tener administración fiduciaria. Estos fondos son los que reciben las aportaciones y pagan los beneficios por retiro. La presente Norma es de aplicación con independencia de la creación del fondo separado o de la existencia de una administración fiduciaria del plan. 6 Los planes de beneficio por retiro cuyos activos han sido invertidos en una compañía de seguros, están sometidos a las mismas obligaciones de contabilidad y capitalización que aquéllos donde las inversiones se administran privadamente. Por lo tanto, estos planes quedan dentro del alcance de esta Norma, a menos que el contrato con la compañía de seguros se haya hecho en nombre de un participante específico o de un grupo de participantes, y la obligación sobre los beneficios por retiro recaiga exclusivamente sobre la citada compañía. 7 La presente Norma no se ocupa de otros tipos de ventajas sociales de los empleados tales como las indemnizaciones por despido, los acuerdos de remuneración diferida, las gratificaciones por ausencia prolongada, los planes de retiro anticipado o de reestructuración de plantilla, los programas de seguros de enfermedad y de previsión colectiva o los sistemas de bonos a los trabajadores. También se excluyen del alcance de la Norma los programas de seguridad social del gobierno. Definiciones 8 Los siguientes términos se usan, en la presente Norma, con el significado que a continuación se especifica: Planes de beneficio por retiro son acuerdos en los que una entidad se compromete a suministrar beneficios a sus empleados, en el momento de terminar sus servicios o después, ya sea en forma de renta periódica o como pago único, siempre que tales beneficios, o las aportaciones a los mismos que dependan del empleador, puedan ser determinados o estimados con anterioridad al momento del retiro, ya sea a partir de las cláusulas establecidas en un documento o de las prácticas habituales de la entidad. Planes de aportaciones definidas son planes de beneficio por retiro, en los que las cantidades a pagar como beneficios se determinan en función de las cotizaciones al fondo y de los rendimientos de la inversión que el mismo haya generado.

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Planes de beneficios definidos son planes de beneficio por retiro, en los que las cantidades a pagar en concepto de beneficios se determinan por medio de una fórmula, normalmente basada en los salarios de los empleados, en los años de servicio o en ambas cosas a la vez. Financiación mediante un fondo es el proceso de transferencia de los activos del plan a una entidad separada (el fondo), con cuyo patrimonio se cubre el pago de las obligaciones derivadas del plan de beneficio por retiro. Para los propósitos de la presente Norma, se usan también los siguientes términos con el significado que a continuación se detalla: Participantes son los miembros del plan de beneficio por retiro y otras personas que tienen derecho a prestaciones en virtud de las condiciones del plan. Activos netos disponibles para el pago de beneficios son los activos del plan menos las obligaciones del mismo diferentes del valor actuarial presente de los beneficios prometidos. Valor actuarial presente de los beneficios prometidos por retiro es, en un plan de beneficio por retiro, el valor presente de los pagos que se espera hacer a los empleados, antiguos y actuales, en razón de los servicios por ellos prestados hasta el momento. Beneficios irrevocables son beneficios, derivados de las condiciones de un plan de beneficio por retiro, en los que el derecho a recibirlos no está condicionado a la continuidad en el empleo. 9 Algunos planes de beneficio por retiro son financiados por personas distintas de los empleadores; esta Norma también es de aplicación a la información financiera sobre tales planes. 10 La mayoría de los planes de beneficio por retiro se basan en un acuerdo contractual. Algunos planes son informales, pero han adquirido un carácter obligatorio como resultado de costumbres establecidas por los empleadores. Mientras que ciertos planes permiten al empleador terminar, en algún momento, con todas las obligaciones derivadas de los mismos, normalmente es difícil para el empleador cancelar un plan si los empleados han de permanecer a su servicio. Las mismas bases de contabilidad e información financiera se aplican a los planes formales y a los informales. 11 Muchos planes de beneficios prevén el establecimiento de fondos independientes, a los que se entregan las cotizaciones y se reclaman las prestaciones. Tales fondos son administrados por terceras personas, que actúan de forma independiente en la gestión de los activos del fondo. Estas personas son denominadas administradores fiduciarios en algunos países. El término administrador fiduciario se utiliza en esta Norma para describir a estas personas, con independencia de la existencia jurídica de la fiducia. 12 Normalmente, los planes de beneficio por retiro pertenecen a uno de los dos tipos ya mencionados: planes de aportaciones definidas o planes de beneficios definidos. Cada uno de ellos tiene sus características distintivas, pero ocasionalmente pueden encontrarse planes con caracteres de ambos. Tales planes mixtos se consideran, para los propósitos de esta Norma, como planes de beneficios definidos. Planes de aportaciones definidas 13 En la información procedente de un plan de aportaciones definidas, debe incluirse un estado de los activos netos para atender beneficios, así como una descripción de la política de capitalización. 14 Dentro de un plan de aportaciones definidas, la cuantía de los beneficios futuros a los participantes viene determinada por las aportaciones del empresario, del empleado o de ambos, junto con la eficiencia conseguida en la gestión del fondo y las rentas de las inversiones pertenecientes al mismo. El desembolso de las cotizaciones libera habitualmente al empleador de sus obligaciones con el fondo. Normalmente, no es necesario el asesoramiento de un profesional actuario, aunque tal asesoramiento se usa a veces para estimar los beneficios alcanzables en el futuro teniendo en cuenta las aportaciones actuales, así como los diversos niveles de aportaciones futuras y las ganancias que se consigan de las inversiones. Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel |

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15 Los participantes están interesados en las actividades del plan en tanto que afectan directamente a los importes de los beneficios futuros. Los participantes, asimismo, están interesados en saber si las aportaciones han sido recibidas y si se ha ejercido el control apropiado para la protección de los derechos de los beneficiarios. El empleador, por su parte, está interesado en el funcionamiento eficiente y equitativo del fondo. 16 El objetivo de la información procedente de un plan de aportaciones definidas es el de dar cuenta, periódicamente, de la situación del plan y de los rendimientos de sus inversiones. Tal objetivo se alcanza usualmente suministrando información que comprenda los siguientes extremos: (a) la descripción de las actividades más significativa del periodo y el efecto de cualesquiera cambios relativos al plan, así como a sus participantes, plazos y condiciones; (b) estados demostrativos de las transacciones y del rendimiento de las inversiones en el periodo, así como la situación financiera del plan al final del periodo; y (c) la descripción de la política de inversiones. Planes de beneficios definidos 17 La información proveniente de un plan de beneficios definidos debe contener la información reseñada en uno cualquiera de los siguientes apartados: (a) un estado que muestre los: (i) activos netos para atender beneficios; (ii) el valor actuarial presente de los beneficios prometidos, distinguiendo entre los beneficios irrevocables y los que no lo son; y (iii) El superávit o déficit resultante; o bien (b) un estado de los activos netos para atender beneficios incluyendo o bien: (i) una nota en la que se revele el valor actuarial presente de los beneficios prometidos distinguiendo entre beneficios irrevocables y los que no lo son; o bien (ii) una remisión al informe adjunto del actuario que contenga esta información. Si no se ha preparado valoración actuarial en la fecha de la información, la valoración más reciente de que se disponga debe ser usada como base, revelando la fecha en que se hizo. 18 Para los propósitos del párrafo 17, el valor actuarial presente de los beneficios definidos, debe basarse en los beneficios definidos en virtud del plan, teniendo en cuenta los servicios prestados hasta la fecha de la rendición de cuentas. El establecimiento de la cifra concreta se hará, ya sea en función de los salarios actuales o de los proyectados, con explícita indicación del método utilizado. Asimismo, debe revelarse el efecto de cualquier cambio en las suposiciones actuariales que puedan tener una incidencia significativa en el valor actuarial presente de los beneficios prometidos. 19 En la información debe explicarse la relación existente entre el valor actuarial presente de los beneficios prometidos y los activos netos para atender tales beneficios, así como de la política seguida para la capitalización de los beneficios prometidos. 20 Dentro de un plan de beneficios definidos, el pago de los beneficios prometidos depende tanto de la situación financiera del plan y de la capacidad de los aportantes para realizar las aportaciones futuras, como del rendimiento de las inversiones del plan y de la eficiencia conseguida en la gestión del mismo. 21 En un plan de beneficios definidos, es necesario el asesoramiento periódico de un profesional actuario para evaluar la situación financiera del plan, revisar las suposiciones actuariales y hacer recomendaciones sobre los niveles que deben alcanzar las aportaciones futuras. 22 El objetivo de la información contable periódica, procedente de un plan de beneficios, es dar cuenta de los recursos financieros y de las actividades del plan, datos que son útiles al evaluar las relaciones entre la acumulación de recursos y los beneficios satisfechos por el plan en cada momento. Tal objetivo se alcanza, usualmente, suministrando información que comprenda los siguientes extremos: Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel |

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(a) descripción de las actividades más significativas del periodo y del efecto de cualesquiera cambios relativos al plan, así como a sus participantes, plazos y condiciones; (b) estados demostrativos de las transacciones y del rendimiento de las inversiones en el periodo, así como la situación financiera del plan al final del ejercicio; (c) información actuarial, ya sea presentada formando parte de los anteriores estados o por separado; y (d) descripción de la política de inversiones. Valor actuarial presente de los beneficios prometidos 23 El valor presente de los beneficios a realizar en virtud de un plan de jubilación puede ser calculado, y presentados los cálculos, ya sea en función de los niveles de salarios actuales, o de los proyectados al momento de la jubilación de los participantes. 24 Entre las principales razones que pueden apoyar la adopción del método de los salarios actuales, están las siguientes: (a) el valor actuarial presente de los beneficios prometidos, esto es, la suma de los importes actualmente atribuibles a cada participante en el plan, el cual puede ser calculado con este método más objetivamente que usando el de los salarios proyectados, dado que implica un número menor de suposiciones valorativas; (b) los incrementos en los beneficios correspondientes a un aumento en el salario se convierten en obligaciones para el plan en el momento de producirse el citado aumento; y (c) usando salarios actuales, el importe del valor actuarial de los beneficios prometidos está más estrechamente relacionado con la cantidad a pagar si se produjese el cese o interrupción del plan. 25 Entre las principales razones que pueden apoyar la adopción del método de los salarios proyectados, están las siguientes: (a) la información financiera debe prepararse sobre la base de la continuidad del plan, cualesquiera que sean las suposiciones y estimaciones a realizar; (b) en el caso de planes según pagos finales, los beneficios se determinan en función de los salarios en el momento del retiro o en épocas cercanas al mismo, por lo cual es necesario hacer proyecciones de salarios, niveles de aportación y tasas de rendimiento de las inversiones; y (c) el hecho de no incorporar proyecciones de salarios, cuando la mayoría de las capitalizaciones se fundamentan en este tipo de datos, puede dar como resultado que el plan aparezca, en la información presentada, como supercapitalizado cuando en realidad no lo está, o aparezca suficientemente dotado cuando en realidad está infracapitalizado. 26 Dentro de las informaciones provenientes del plan, se suministra el valor actuarial presente de los beneficios prometidos en función de los salarios corrientes, para indicar el importe de las obligaciones acumuladas (devengadas) hasta la fecha del informe. El valor actuarial presente de los beneficios prometidos en función de los salarios proyectadas, se suministra para indicar el importe de las obligaciones potenciales en un régimen de gestión continuada, suposición que generalmente se toma como base para la capitalización. Además de presentar el valor actuarial presente de los beneficios prometidos, puede ser necesario dar una explicación suficiente para indicar claramente cuál es el contexto en el que debe ser leída e interpretada esta cifra. Esta explicación puede revestir la forma de información acerca de la capitalización planeada en el futuro y de la política de capitalización basada en las proyecciones de los salarios. Todo ello puede incluirse bien en la información financiera, bien en el informe del actuario. Frecuencia de las evaluaciones actuariales 27 En muchos países las evaluaciones actuariales requieren una frecuencia no mayor de una vez cada tres años. En caso de que no se haya hecho evaluación de la misma fecha del informe, se utiliza la evaluación más reciente indicando la fecha en que fue realizada. Contenido de la información presentada por los planes de beneficios con aportaciones definidas Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel |

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28 Para el caso de los planes de aportaciones definidas, la información se suministra utilizando uno de los siguientes formatos, que reflejan diferentes prácticas en la presentación de la información actuarial: (a) se incluye en el informe un estado que muestra los activos netos para atender beneficios, el valor actuarial presente de los beneficios prometidos y el déficit o superávit resultante de comparar ambas cantidades. La información sobre el plan contiene también estados que muestran los cambios habidos en los activos netos utilizables para el pago de beneficios, así como en el valor actuarial presente de los beneficios prometidos. La información puede incluir, por separado, un informe del actuario apoyando el cálculo del valor actuarial de los beneficios prometidos; (b) un informe que incluye el estado de los activos netos para atender beneficios y el estado de cambios habidos en tales activos netos. El valor actuarial presente de los beneficios prometidos se desglosa en una nota a los anteriores estados. La información puede incluir un informe del actuario apoyando el cálculo del valor actuarial de los beneficios prometidos; y (c) un informe que incluye el estado de activos netos para atender beneficios y el estado de cambios habidos en tales activos netos, suministrando por separado, a través del informe del actuario, el valor actuarial presente de los beneficios prometidos. En cada uno de estos formatos de información, los estados presentados pueden estar acompañados de un informe de la administración fiduciaria (a modo de informe de gestión) y de un informe sobre las inversiones. 29 Quienes apoyan los formatos descritos en los apartados 28(a) y 28(b), estiman que la cuantificación de los beneficios prometidos y el resto de la información suministrada, ayudan a los usuarios al evaluar la situación actual del plan y la probabilidad de que puedan cumplirse los compromisos del mismo. También opinan que los estados financieros deben ser completos en sí mismos, sin tener que depender de los informes o declaraciones que puedan acompañarlos. No obstante, algunos piensan que el formato descrito en el apartado 28(a) puede llevar a la impresión de que existe una obligación contraída, cuando el valor actuarial presente de los beneficios prometidos no tiene, en su opinión, todas las características de un pasivo. 30 Quienes apoyan el formato descrito en el apartado 28(c) creen que el valor actuarial presente de los beneficios prometidos no debe ser incluido en el estado de los activos netos disponibles para el pago de beneficios, como se hace en el formato descrito en el apartado 28(a), ni siquiera ser desglosado en una nota como se hace en el formato del apartado 28(b), porque tal importe sería comparado directamente con la cuantía de los activos del plan y tal comparación puede no ser válida. Ellos argumentan que los actuarios no necesariamente comparan el valor actuarial presente de los beneficios prometidos con los valores de mercado de las inversiones, sino que, en su lugar, pueden evaluar simplemente el valor presente de los flujos de efectivo esperados de las inversiones. Por tanto, quienes apoyan este formato estiman poco probable que tal comparación pueda llevar a una evaluación actuarial global del plan y, por ello, que el hecho de realizarla puede inducir a error al lector de la información. Además, algunos opinan que las informaciones sobre beneficios prometidos, ya sean cuantitativas o no, solamente deben contenerse en el informe separado del actuario, donde puede ser suministrada la explicación adecuada. 31 La presente Norma acepta el punto de vista favorable a permitir la presentación de la información relativa a los beneficios prometidos en un informe del actuario que se suministre por separado. La Norma rechaza los argumentos en contra de la cuantificación del valor actuarial presente de los beneficios prometidos. De acuerdo con ello, los formatos descritos en los apartados 28(a) y 28(b) se consideran aceptables en el contexto de la Norma, así como el formato descrito en el apartado 28(c), siempre que la información financiera contenida en el mismo remita al informe actuarial adjunto que incluye el valor actual presente de los beneficios prometidos. Referente a todos los planes Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel |

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Valoración de los activos del plan 32 Las inversiones del plan de beneficio por retiro deben contabilizarse por su valor razonable. En el caso de títulos cotizados, el valor razonable es el de mercado. Cuando existen inversiones, dentro del plan, cuyo valor razonable no puede estimarse, debe revelarse la razón por la cual no se ha podido usar tal método de valoración. 33 En el caso de títulos cotizados, el valor razonable es usualmente el valor de mercado, puesto que se considera como la medida más útil del valor de los mismos en la fecha de los estados financieros, así como del rendimiento de la inversión en el periodo. Los títulos con un valor fijo de reembolso, que han sido adquiridos para cumplir con las obligaciones que el plan tenga en el momento de su vencimiento, o con una parte de las mismas, puede ser contabilizados por importes basados en su valor de reembolso, de manera que se obtenga una rentabilidad constante hasta el momento del vencimiento. Cuando no se dispone de valores razonables para algunas inversiones del plan de beneficio por retiro, por ejemplo en caso de poseer la totalidad del capital de una entidad, se revelará en los estados financieros la razón para no usar el valor razonable. Si existen inversiones que no se contabilizan por su valor de mercado o por su valor razonable, este último se revela, generalmente, también en los estados financieros. Los activos usados en la gestión de las operaciones del fondo se contabilizan empleando la Norma Internacional de Contabilidad que sea relevante, según su naturaleza. Información a revelar 34 En la información procedente de un plan de beneficio por retiro, ya sea de aportaciones o de beneficios definidos, deben incluirse también los siguientes extremos: (a) un estado de cambios en los activos netos para atender beneficios; (b) un resumen de las políticas contables significativas; y (c) una descripción del plan y del efecto de cualesquiera cambios habidos en el plan durante el periodo. 35 La información suministrada por los planes de beneficio por retiro incluye, en la medida en que sean aplicables, los siguientes datos: (a) un estado de los activos netos para atender beneficios mostrando: (i) los activos al final del periodo, clasificados adecuadamente; (ii) las bases de valoración de los activos; (iii)Detalles de cualquier inversión individual que exceda el 5% de los activos netos para atender beneficios, o el 5% de cualquier clase o categoría de títulos; (iv)Detalles sobre cualquier inversión realizada en la entidad del empleador; y (v) Los pasivos distintos del valor actuarial presente de los beneficios prometidos; (b) un estado que muestre la evolución en el periodo de los activos netos para atender beneficios, mostrando lo siguiente: (i) Las aportaciones del empleador; (ii) Las aportaciones de los empleados; (iii)Los rendimientos de las inversiones, tales como intereses y dividendos; (iv)Los ingresos provenientes de otras fuentes; (v) los beneficios pagados en el periodo o exigibles a final del mismo (detallando, por ejemplo, los planes de beneficio por retiro, muerte e invalidez, así como los beneficios satisfechos mediante pagos únicos); (vi)Los gastos de administración y gestión; (vii)Otro tipo de gastos; (viii)Los impuestos sobre las ganancias; (ix)las pérdidas o ganancias por desapropiación de inversiones, así como los cambios en el importe en libros de las mismas; y Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel |

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(x) las transferencias hechas a, o recibidas de, otros planes; (c) una descripción de la política relacionada con la constitución y mantenimiento del fondo; (d) para los planes de beneficios definidos, el valor actuarial presente de los beneficios prometidos (pudiendo distinguir entre beneficios irrevocables y aquéllos que no lo son) en función de los beneficios por retiro prometidos según el plan y de los servicios prestados hasta la fecha, utilizando los niveles de salarios corrientes o proyectados, pudiendo incluirse esta información en el informe adjunto del actuario, el cual debe ser leído e interpretado de forma conjunta con la información financiera correspondiente; y (e) para los planes de aportaciones definidas, una descripción de las principales suposiciones actuariales realizadas y del método usado para calcular el valor presente de los beneficios definidos. 36 La información suministrada por un plan de beneficio por retiro contiene una descripción del propio plan, ya sea como parte de la información financiera o en documento aparte. Tal información puede contener los siguientes extremos: (a) los nombres de los empleadores y la identificación de los grupos de empleados cubiertos; (b) el número de participantes que reciben beneficios, así como el número de otros participantes, clasificados convenientemente; (c) el tipo de plan de aportaciones definidas o de beneficios definidos; (d) una nota en la que se precise si los participantes realizan sus cotizaciones al plan; (e) una descripción de los beneficio por retiro prometidos a los participantes; (f) una descripción de las eventuales condiciones de cese del plan; y (g) los cambios habidos en los apartados (a) y (f) durante el periodo cubierto por la información. No es infrecuente la práctica de remitir al usuario de la información a otros documentos, de fácil acceso y comprensión, donde se describe el plan, e incluir únicamente, en la información a que se refiere este párrafo, los cambios subsiguientes a la emisión de tales documentos.

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Anexo 1 Formulación de la esperanza de vida Esperanza de Vida Determinística La probabilidad de que una persona con edad actual entera (x) viva (t) años, es decir alcance la edad (x+t) está determinada por la razón de la cantidad de personas en la población de estudio de edad (x+t) y la cantidad de personas de edad (x), es decir:

Se define ex, la esperanza abreviada de vida para edades enteras, así:

La esperanza de vida completa, se denotada por e x y se define como:

Para propósitos de este artículo se hace uso del concepto anterior para calcular las estimaciones de la esperanza de vida en la implementación de la hoja de cálculo. Para llegar a la esperanza completa se hace un ajuste a la esperanza abreviada y se supone que los fallecimientos se distribuyen de manera uniforme entre edades enteras, de tal manera que la relación entre las dos anteriores definiciones es la siguiente: eOX = eX + ½ Esperanza de Vida Probabilística Sea T(x) la variable aleatoria que representa el tiempo en años que vivirá una persona de edad (x). Por lo tanto, la probabilidad de que una persona de edad (x) esté viva cuando tenga (x+t), es la siguiente: tpx = P(T (x) ≥ x + t| T(x) ≥ x) Esta corresponde a la probabilidad que el tiempo en años que vivirá una persona sea mayor a (x+t), dado que el tiempo vivido ha sido mayor a (x). Dicho de otra forma la probabilidad que una persona de edad (x), sobreviva hasta la edad (x+t). Con esto, la EV de una persona de edad (x) se estima como la sumatoria del tiempo de cada uno de los anteriores eventos:

La formula anterior corresponde a la definición planteada para el grupo determinístico de la esperanza completa de vida. Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel |

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Anexo 2 - Cálculos de Esperanza de Vida La EV para hombres y mujeres por quinquenios de edad desde la edad 20 hasta 70 años según información de distintos países latinoamericanos son los siguientes: Tabla de Datos de la Esperanza de Vida por quinquenios de Edad para Hombres País Brasil Colombia Chile Costa Rica EU 08 (Post) EU 09 (Post) México Perú Ecuador

20 59,50 55,87 58,19 57,29 60,57 60,68 56,18 56,08 56,71

25 54,66 51,04 53,52 52,61 55,64 55,75 51,39 51,27 51,94

30 49,83 46,24 48,88 47,95 50,73 50,84 46,67 46,52 47,21

35 45,03 41,47 44,23 43,29 45,85 45,97 42,02 41,82 42,51

40 40,25 36,77 39,61 38,65 41,02 41,14 37,46 37,21 37,86

45 35,57 32,16 35,06 34,10 36,24 36,35 32,98 32,71 33,31

50 31,07 27,70 30,59 29,67 31,67 31,78 28,59 28,36 28,88

55 26,77 23,46 26,21 25,39 27,29 27,39 24,34 24,20 24,62

60 22,62 19,51 21,99 21,31 22,93 23,01 20,29 20,29 20,60

65 18,63 15,94 18,04 17,49 18,76 18,84 16,49 16,65 16,88

70 14,96 12,75 14,43 14,05 14,89 14,96 13,03 13,34 13,51

60 26,32 20,78 27,29 24,06 24,92 24,98 23,97 24,32 24,13

65 21,98 16,95 23,04 19,94 20,39 20,45 19,87 20,21 20,07

70 17,87 13,59 19,02 16,11 15,96 16,01 16,07 16,36 16,32

Tabla de Datos de la Esperanza de Vida por quinquenios de Edad para Mujeres País Brasil Colombia Chile Costa Rica EU 08 (Pre) EU 09 (Pre) México Perú Ecuador

20 64,55 57,41 65,11 61,72 63,42 63,50 61,92 61,93 61,48

25 59,64 52,57 60,21 56,84 58,50 58,58 56,98 57,03 56,60

30 54,75 47,76 55,33 51,97 53,59 53,67 52,06 52,16 51,75

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35 49,87 42,99 50,52 47,13 48,72 48,80 47,16 47,31 46,94

40 45,02 38,29 45,75 42,30 43,91 43,98 42,29 42,52 42,19

45 40,20 33,69 41,02 37,56 39,11 39,18 37,50 37,79 37,50

50 35,46 29,22 36,32 32,92 34,33 34,40 32,83 33,16 32,90

55 30,83 24,89 31,73 28,41 29,58 29,65 28,31 28,65 28,42

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Ing. Oscar Marcelo Yumiceba Asquel |

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Oscar Marcelo Yumiceba Asquel, Nació en la ciudad de Quito - Ecuador el 14 de Diciembre del 1958, estudio en la escuela de religiosos San Pedro Pascual, y sus estudios secundarios los culminó en el Colegio Brasil, para luego ingresar a la Universidad Católica del Ecuador y obtener el título de Ingeniero Civil; continuando con sus estudios ingresó a la Politécnica Nacional del Ecuador para obtener la Maestría en Gerencia Empresarial, es un investigador y ha realizado varias obras en varios campos, como el arte culinario, informática, crucigramas, proyectos, la microempresa, planificación estratégica, el cálculo actuarial.

Mail: jacutraguta@hotmail.com

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