Matemáticas IV by jaime888

Cuarto Semestre Matemáticas IV

Secretaría de Educación Pública Subsecretaría de Educación Media Superior Dirección General del Bachillerato

Matemáticas IV

Cuarto semestre

Estimada alumna, estimado alumno:

El libro de texto gratuito que tienes en tus manos es el resultado del esfuerzo que realizan el gobierno federal, los gobiernos estatales, las maestras y los maestros para garantizar que todas las niñas, los niños y los adolescentes que cursan la educación media superior en el Telebachillerato Comunitario cuenten con materiales educativos para apoyar su aprendizaje, y con ello alcanzar una educación de excelencia. Tu libro de texto gratuito promoverá que te desarrolles integralmente y fomentará en ti el amor a la Patria y los valores; así reconocerás lo que te rodea, apreciarás tus fortalezas y sabrás lo que tu comunidad, México y el mundo necesitan, y lo que puedes hacer por ellos. Este libro ha sido elaborado por profesionales y especialistas en distintas disciplinas quienes tomaron en cuenta tus necesidades e inquietudes y forma parte de los materiales educativos que se ofrecen para que, con el trabajo diario de maestras, maestros, autoridades y familias, alcances el máximo logro de aprendizaje y el fortalecimiento de los lazos entre tu escuela y tu comunidad. Este libro ya es tuyo; es un regalo de todo el pueblo de México para ti. ¡Conócelo, cuídalo y disfrútalo!

Distribución gratuita, prohibida su venta

MatemรกticasIVIV Matemรกticas Matemรกticas IV

Telebachillerato Comunitario. Cuarto semestre Matemáticas IV Autor Misael Garrido Méndez Asesoría académica Marcos Jesús Núñez Linares Asesoría técnico-pedagógica Dirección de Coordinación Académica Diseño y diagramación Saúl Ríos Bernáldez D.R. Secretaría de Educación Pública, 2015 © Argentina 28, Centro, 06020, Ciudad de México. ISBN: 978-607-9463-07-6 Cuarta reimpresión Quinta Impreso en México

Prefacio Estimado estudiante, el libro que tienes en tus manos fue elaborado pensando en ti, en tus necesidades e inquietudes, como un instrumento que te apoye ahora que estudias el bachillerato. En sus páginas encontrarás contenidos y actividades que son fundamentales para que, paso a paso, puedas alcanzar las metas que esta asignatura te propone para este semestre. A ti te toca, ahora, sacarle el mayor provecho a este libro, que es fruto del esfuerzo de un grupo de profesores y especialistas. Si lo haces tu amigo, lo aprovechas al máximo y lo combinas con el apoyo de tu maestro y de los demás recursos didácticos que están a tu alcance, seguramente ampliarás tus competencias y habilidades para construir un mejor futuro para ti y contribuir al desarrollo de tu comunidad, de tu estado y de nuestro México. Te deseamos éxito en esta importante etapa de tu formación: el bachillerato.

Tabla de contenido Matemáticas IV Presentación general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ¿Cómo está estructurado este libro? . . . . . . . . . . . . . . 11 ¿Con qué conocimientos cuentas? . . . . . . . . . . . . . . . 16

Bloque I. Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones Relaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Regla de correspondencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5HSUHVHQWDFLyQ JUi¿FD GH IXQFLRQHV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Evaluación de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Dominio y rango de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Bloque II. Aplicas funciones especiales y transformaciones JUiÀFDV Concepto de funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Función inyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Función sobreyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Función biyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Función escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Función valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Función constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Función de identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3URSLHGDGHV \ FDUDFWHUtVWLFDV GH ODV WUDQVIRUPDFLRQHV JUi¿FDV . . . . . 63 Familia de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Tabla de contenido Bloque III. Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos Modelo general de las funciones polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5HSUHVHQWDFLyQ JUiÂżFD GH ODV IXQFLRQHV GH JUDGRV FHUR XQR \ GRV. . . . 76 &RPSRUWDPLHQWR JUiÂżFR GH OD IXQFLyQ SROLQRPLDO GH JUDGR FHUR . . . . . 76 &RPSRUWDPLHQWR JUiÂżFR GH OD IXQFLyQ SROLQRPLDO GH JUDGR XQR . . . . . . 79 &RPSRUWDPLHQWR JUiÂżFR GH OD IXQFLyQ SROLQRPLDO GH JUDGR GRV . . . . . . 85

Bloque IV. Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro Modelo matemĂĄtico de las funciones polinomiales de grado tres y cuatro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Propiedades geomĂŠtricas de la funciĂłn polinomial de grado tres . . . . .105 Propiedades geomĂŠtricas de la funciĂłn polinomial de grado cuatro . . . .106 MĂŠtodos de soluciĂłn de las ecuaciones factorizables asociadas a una funciĂłn polinomial de grado tres y cuatro . . . . . . . . . . . . . . . .108 &RPSRUWDPLHQWR GH OD JUiÂżFD GH XQD IXQFLyQ SROLQRPLDO HQ IXQFLyQ de los valores que toman sus parĂĄmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Bloque V. Utilizas funciones factorizables en la resoluciĂłn de problemas DivisiĂłn sintĂŠtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 MĂŠtodo de divisiĂłn sintĂŠtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125 Ceros y raĂces de la funciĂłn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Teorema del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Teorema del factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Teorema fundamental del ĂĄlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136 Teorema de factorizaciĂłn lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 *UiÂżFDV GH IXQFLRQHV SROLQRPLDOHV IDFWRUL]DEOHV . . . . . . . . . . . . . . 140

Tabla de contenido Bloque VI. Aplicas funciones racionales Funciones racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148 Concepto de función racional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148 Dominio de una función racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149 Rango de una función racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151 *Ui¿FDV GH IXQFLRQHV UDFLRQDOHV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152 Modelado y solución de problemas con funciones racionales . . . . . . .160

Bloque VII. Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas Concepto de función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172 *Ui¿FDV GH IXQFLRQHV H[SRQHQFLDOHV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173 Dominio y rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175 Función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Función exponencial natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182 Logarítmos comunes y naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Logarítmos de otras bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186 Propiedades generales de los logarítmos . . . . . . . . . . . . . . . . .186 Concepto de función logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191 Dominio y rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192 *Ui¿FDV GH IXQFLRQHV ORJDUtWPLFDV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Bloque VIII. Aplicas funciones periódicas Concepto de función trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Periodicidad de las funciones trigonométricas. . . . . . . . . . . . . . . . 211 Función seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212 Función coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215

Tabla de contenido Gráficas de funciones trigonométricas . trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Función seno generalizada (senoidal) . 220 (senoidal) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..220 Función coseno .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .229 229 Función coseno generalizada (cosenoide) . 230 (cosenoide) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..230 Modelado y solución de problemas con funciones trigonométricas . trigonométricas . . . . . . . 234

Glosario . 242 Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 244 Apéndice Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 306 Referencias Referenciasbibliográficas . bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

Presentaciรณn general Como parte de la formaciรณn bรกsica, se presenta la asignatura Matemรกticas IV. ร sta pertenece al campo disciplinar de las Matemรกticas, que conforme al Marco CurriFXODU &RP~Q WLHQH OD ยฟQDOLGDG GH SURSLFLDU HO GHVDUUROOR GH WX SHQVDPLHQWR OyJLFR y crรญtico, mediante procesos de razonamiento, argumentaciรณn y estructuraciรณn de LGHDV TXH IDFLOLWHQ WX IRUPDFLyQ FRPR FLXGDGDQR UHร H[LYR \ SDUWLFLSDWLYR HQIDWL]DQdo una perspectiva plural y democrรกtica. 3DUD TXH HO UHVXOWDGR ยฟQDO UHVSRQGD D HVWDV H[SHFWDWLYDV WHQGUiV TXH HVIRU]DUWH mucho en esta etapa de desarrollo, crecimiento y preparaciรณn para el futuro. Te invito a que aproveches al mรกximo todo lo que te ofrece este texto, realizando HMHUFLFLRV EXVFDQGR LQIRUPDFLyQ UHOHYDQWH VREUH OD FXDO UHร H[LRQDU \ DUJXPHQWDU R comprendiendo lo que tu programa de estudios busca lograr con su propuesta. Tienes la oportunidad de leer previamente, practicar, repasar para el examen, aclarar tus dudas, entre muchas otras posibilidades.

PresentaciĂłn general

ÂżQuĂŠ es una competencia? (Q HO FRQWH[WR HGXFDWLYR XQD FRPSHWHQFLD VH GHÂżQH FRPR ÂłOD LQWHJUDFLyQ GH KDELOLGDGHV FRQRFLPLHQWRV \ DFWLWXGHV HQ XQ FRQWH[WR HVSHFtÂżFRÂ´ $FXHUGR 6HFUHtarĂa de EducaciĂłn PĂşblica, 2008). (O %DFKLOOHUDWR *HQHUDO EXVFD FRQVROLGDU \ GLYHUVLÂżFDU ORV DSUHQGL]DMHV \ GHVHPSHĂąos, ampliando y profundizando el desarrollo de competencias relacionadas con el campo disciplinar que promueve la asignatura MatemĂĄticas IV. Por ello se busca el desarrollo de las 11 competencias genĂŠricas y se pondrĂĄ ĂŠnfasis particular en las que se resaltan en negritas: 1. Se conoce y valora a sĂ mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciaciĂłn e interpretaciĂłn de sus expresiones en distintos gĂŠneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables. 4. (VFXFKD LQWHUSUHWD \ HPLWH PHQVDMHV SHUWLQHQWHV HQ GLVWLQWRV FRQWH[WRV PHGLDQWH OD XWLOL]DFLyQ GH PHGLRV FyGLJRV \ KHUUDPLHQWDV DSURSLDGRV 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mĂŠtodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interĂŠs y relevancia geneUDO FRQVLGHUDQGR RWURV SXQWRV GH YLVWD GH PDQHUD FUtWLFD \ UHĂ&#x20AC;H[LYD 7. Aprende por iniciativa e interĂŠs propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 9. 3DUWLFLSD FRQ XQD FRQFLHQFLD FtYLFD \ pWLFD HQ OD YLGD GH VX FRPXQLGDG UHJLyQ 0p[LFR \ HO PXQGR 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prĂĄcticas sociales. 11. &RQWULEX\H DO GHVDUUROOR VRVWHQLEOH GH PDQHUD FUtWLFD FRQ DFFLRQHV UHVponsables. Las competencias disciplinares, que son las habilidades que debes desarrollar y lo que tienes que aprender dentro del campo del conocimiento y la asignatura, se HQXQFLDUiQ DO SULQFLSLR GH FDGD EORTXH \ WH VHUYLUiQ SDUD LGHQWLÂżFDU WX DSUHQGL]DMH

¿Cómo está estructurado este libro? Inicio del bloque Al inicio de cada bloque encontrarás una breve introducción para acercarte al contenido, las competencia disciplinares y los desempeños que se obtendrán a partir de las actividades y los productos de aprendizaje.

¿Cómo está estructurado este libro?

Desarrollo del bloque Esta parte es fundamental, aquí encontrarás el contenido general y disciplinar que necesitas para acercarte intelectualmente al tema de las Matemáticas. A lo largo del bloque se intercalan estrategias didácticas de aprendizaje, actividades acompañadas de imágenes, ejemplos, preguntas detonadoras y evaluaciones. Todo esto estará relacionado con los contenidos y las competencias a desarrollar. También encontrarás algunos apoyos de estudio como cápsulas con datos interesantes y cuadros al margen del texto para reforzar tu aprendizaje, por ejemplo:

1. Datos interesantes, que faciliten la relación de los contenidos con tu vida diaria.

2. Procedimientos, que muestran la secuencia lógica para llegar a soluciones.

¿Cómo está estructurado este libro?

3. Imágenes, que te ayudarán a la mejor comprensión de conceptos.

4. Figuras, que te permitirán realizar las actividades de aprendizaje.

ÂżCĂłmo estĂĄ estructurado este libro?

SimbologĂa que facilitarĂĄ tu proceso de aprendizaje DiseĂąo instruccional 3DUD LQLFLDU UHĂ H[LRQD Aprende mĂĄs

Actividad de aprendizaje

Apoyos para reforzar el aprendizaje Glosario ReĂ H[LRQHPRV VREUH OD DFWLYLGDG

SabĂas que...

9HULĂ&#x20AC;FD WXV ORJURV Portafolio de evidencias

ÂżCĂłmo estĂĄ estructurado este libro?

Cierre del bloque Al terminar cada tema se ofrece un resumen y se propone una actividad que te permita evaluar quĂŠ tanto has avanzado y cuĂĄles son tus ĂĄreas de oportunidad. Para este ÂżQ WHQGUiV TXH DQDOL]DU LQYHVWLJDU UHĂ&#x20AC;H[LRQDU \ DUJXPHQWDU VREUH OR DSUHQGLGR El libro incluye actividades de aprendizaje para que puedas autoevaluar tu desemSHxR HQ HO ORJUR GH ODV FRPSHWHQFLDV $O ÂżQDOL]DU FDGD DFWLYLGDG SXHGHV FRQVXOWDU OD UHWURDOLPHQWDFLyQ TXH VH HQFXHQWUD HQ HO DSpQGLFH DO ÂżQDO GHO OLEUR 7HQ SUHVHQWH que el trabajo realizado deberĂĄs asentarlo en una evidencia que irĂĄs recopilando en tu cuaderno para que tu maestro pueda evaluarte.

Los contenidos y las actividades se presentan de una manera atractiva. Aprovecha cada pregunta, el contenido, las actividades, ya que cada una incidirĂĄ en tu crecimiento personal, familiar y social. Trabaja con tu profesor y con tus compaĂąeros, acĂŠrcate a ellos, resuelvan dudas y aprendan juntos; date la oportunidad de construir con ellos este viaje. Esperamos que el curso sea interesante y fructĂfero.

ÂżCon quĂŠ conocimientos cuentas? EvaluaciĂłn diagnĂłstica El propĂłsito de esta secciĂłn es determinar los conocimientos, habilidades y actitudes en funciĂłn de las expectativas planteadas en MatemĂĄticas IV. Dependiendo de ORV UHVXOWDGRV GH HVWD HYDOXDFLyQ VH GHÂżQLUiQ ODV HVWUDWHJLDV SDUD DFRUWDU OD EUHFKD entre tus conocimientos antecedentes y los necesarios para acceder a los nuevos. Instrucciones (I): 5HDOL]D ODV UD]RQHV R MXVWLÂżFDFLRQHV QHFHVDULDV SDUD UHVROYHU OR que se solicita escribiendo los procedimientos completos en tu cuaderno de trabajo, D ÂżQ GH TXH VLUYDQ FRPR HYLGHQFLD GH WX DQiOLVLV \ VROXFLyQ 1. Escribe la respuesta correcta en el espacio correspondiente: TĂŠrmino algebraico 7x 2 y 3 3mn 2 7.5 a3 bc 2 x2 xy 5 x 4y 5 ab3 3 1 mn 2 3

10 r 2s 3 5.75

&RHÂżFLHQWH numĂŠrico

Literal

Grado absoluto

Grado relativo a la primera variable

ÂżConÂżCon quĂŠ conocimientos quĂŠ conocimientos cuentas? cuentas?

5a 1 para a Ă b = 3 y 2. Encuentra el valor de la expresiĂłn 4c 3c 2b 1 2 c=5 3. Encuentra el resultado del producto 7 x 2y 7 x 2y

4. Despeja la variable y de la expresiĂłn

5x 2 2y 1

5. Resuelve la ecuaciĂłn 3 x x 2 x

30 2 x

6LPSOLÂżFD OD IUDFFLyQ

x2 9 x 2 5x 6

Instrucciones (II): Subraya la respuesta correcta: 3 x 2 2 x 1 es de grado:

7. La ecuaciĂłn y a) 4

b) 3

c) 2

8. La ecuaciĂłn x 2 4 x 4 a) x 1 x 4

d) x 2 x 2

d) 1

0 factorizada es igual a:

b) x 4 x 1

c) x 2 x 2

Instrucciones (III): Realiza lo siguiente. 9. Determina la ordenada del punto P1(-1, y1) para que su distancia al punto P2(7, 4) sea igual a 10 unidades. 10. Ordena los siguientes tĂŠrminos de forma descendente (de mayor a menor) por el grado con respecto a la variable y: 30x3y7, 70xy8, 12x5y3 Ă x2y6, x4y.

Bloque I. Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

Bloque I Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

loque I

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

IntroducciĂłn El desarrollo de esta asignatura establece los principios bĂĄsicos que se requieren para resolver situaciones cotidianas y que, a diferencia de las demĂĄs ĂĄreas de las MatemĂĄticas, se presentan de manera clara y repetitiva, es decir, estĂĄn siempre a nuestro alrededor en espera de que las analicemos y las resolvamos. (O GHVDUUROOR GH OD FRPSHWHQFLD GLVFLSOLQDU TXH HVWDEOHFH TXH ORV HVWXGLDQWHV ÂłDQDOL]DQ ODV UHODFLRQHV HQWUH YDULDEOHVÂŤÂ´ \ HV SUHFLVDPHQWH HO WpUPLQR ÂłUHODFLyQÂ´ HO TXH denota los elementos a estudiar en el presente bloque. Si recuerdas, desde tu desarrollo mĂĄs elemental has relacionado entidades a partir GH VX VLJQLÂżFDGR 3RU HMHPSOR FXDQGR FRPHQ]DEDV D OHHU DSUHQGLVWH TXH FDGD XQD de las letras del abecedario se correspondĂa con un sonido llamado fonema. En cuestiĂłn de las cosas que comes, desde muy pequeĂąo estableces relaciones entre los alimentos y el sabor que tienen; o, incluso, cuando comenzabas a jugar con algunos objetos, estableciste el gusto por ellos y los relacionabas de acuerdo al tiempo que jugabas con cada uno, de tal forma que determinaste tu juguete favorito. /D JUiÂżFD HV XQD GH ODV IRUPDV PiV ~WLOHV FRQ OD TXH SRGHPRV UHSUHVHQWDU VLWXDFLRnes que pueden recibir los nombres de funciones y relaciones, ya que describen visualmente todos los elementos que se pueden analizar de dichas situaciones, tales como el dominio, el contradominio y la correspondencia de un modelo matemĂĄtico o fĂłrmula. Como comentamos al inicio, las relaciones entre entidades estĂĄn presente en todo momento y son el motivo que denota los elementos a desarrollar en el presente bloque. ÂżQuĂŠ entidades de tu entorno puedes representar en tĂŠrminos de una relaciĂłn? ÂżCĂłmo puedes representarla?

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

¿Qué aprenderás y cómo organizarás tu estudio? Bloque I Tiempo

horas

Contenidos curriculares que se abordan 1. Relaciones. 2. Funciones. • Regla de correspondencia. • 5HSUHVHQWDFLyQ JUi¿FD GH IXQFLRQHV • Evaluación de una función. • Dominio y rango de una función.

Competencias disciplinares que se desarrollan •

• • •

Evaluación del aprendizaje

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.

Durante este bloque realizarás los siguientes proGXFWRV GH DSUHQGL]DMH TXH SRQGUiQ GH PDQL¿HVWR HO desarrollo de tus competencias • • • • • •

Actividad de aprendizaje 1. Relación. Actividad de aprendizaje 2. Función. Actividad de aprendizaje 3. Regla de correspondencia. Actividad de aprendizaje 4. Representación y evaluación de funciones. Actividad de aprendizaje 5. Dominio y rango de funciones. Autoevaluación.

loque I

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

3DUD LQLFLDU UHĂ H[LRQD Desde la niĂąez hemos aprendido a establecer relaciones con todos los elementos que nos rodean. Por ejemplo, al probar las cosas ĂĄcidas, aprendiste si te gustan asĂ R VL SUHÂżHUHV ODV FRVDV GXOFHV WDPELpQ GHWHUPLQDVWH VL OD UHODFLyQ GHO REMHWR \ HO color es necesaria en tus objetos personales, como la ropa, zapatos, etcĂŠtera. I. Siguiendo la misma idea, asocia las imĂĄgenes y escribe una palabra que relaciones directamente con ellas:

II. Ahora escribe una palabra que relaciones con lo siguiente: Abeja

Vaca

Gallina

Borrego

III. En plenaria, o por equipos, comenten sus respuestas y establezcan lo siguiente: 1. ÂżCuĂĄles son las similitudes y diferencias con las respuestas de tus compaĂąeros?

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones 2. ÂżCĂłmo y por quĂŠ se relacionan los cuatro conceptos que se ilustran?

3. De los cuatro elementos que se mencionan, existe uno que no tiene relaciĂłn directa, ÂżcuĂĄl es?, Âżpor quĂŠ no se relaciona?

4. ÂżCuĂĄl es la relaciĂłn directa de los primeros cuatro elementos? ÂżPor quĂŠ?

Aprende mĂĄs Relaciones La idea intuitiva de conjunto estĂĄ relacionada con el concepto de agrupaciĂłn o colecciĂłn de objetos; por ejemplo, cuando escuchamos un grupo de mĂşsicos tocando juntos una melodĂa, decimos que se trata de un conjunto musical; a una agrupaciĂłn de casas construidas de manera similar podemos denominarla conjunto habitacioQDO 'H HVWD PDQHUD VH SXHGH GHÂżQLU

Para referirse a un conjunto se utilizan letras mayĂşsculas.

Para referirse a un elemento se utilizan letras minĂşsculas.

Conjunto Es el grupo o colecciĂłn de personas, objetos, etc. que tienen alguna caracterĂstica en comĂşn.

Elemento Los conjuntos estĂĄn formados por elementos y es cada una de las personas u objetos.

loque I

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

Existen tres formas de representar a los conjuntos: ExtensiĂłn RepresentaciĂłn de conjuntos

ComprensiĂłn Diagramas de Venn

Por ejemplo: el conjunto de los colores primarios (rojo, azul, amarillo) puede representarse por H[WHQVLyQ: A = {rojo, azul, amarillo} Por FRPSUHQVLyQ: A = {[ _ [ es un color primario} En donde la lĂnea _ GHEH OHHUVH FRPR ÂłWDO TXHÂ´ $Vt OR DQWHULRU UHSUHVHQWD DO ÂłFRQMXQto de x tal que x HV XQ FRORU SULPDULRÂ´ Por GLDJUDPD GH 9HQQ: para representar conjuntos mediante un diagrama de Venn primero debe indicarse quiĂŠn es el conjunto universo, es decir, el conjunto que contiene a todos los elementos con los que se va a trabajar (este conjunto puede variar). 3DUD UHSUHVHQWDU DO FRQMXQWR $ HQ XQ GLDJUDPD GH 9HQQ SRGHPRV GHÂżQLU HO FRQMXQWR universo de la siguiente manera: U = {[ _ [ es un color primario} A

rojo verde

azul

magenta

amarillo

Figura 1.1.

El sĂmbolo Â? sirve para indicar que un elemento pertenece a un conjunto, por ejemplo: azul Â? A VH OHH FRPR ÂłD]XO SHUWHQHFH DO FRQMXQWR AÂ´ El sĂmbolo Â? UHSUHVHQWD D XQ VXEFRQMXQWR GHÂżQLGR FRPR ÂłHV HO FRQMXQWR TXH TXHGD FRPSUHQGLGR GHQWUR GH RWURÂ´ SRU HMHPSOR HO FRQMXQWR A de los colores primarios es un subconjunto del conjunto U = {todos los colores}, esto es A Â? U..

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones Si analizamos los conjuntos: A = {rojo, azul, amarillo} B = {blanco, negro} Cuando se consideran dos conjuntos y tomamos el primer elemento del conjunto A: rojo, y formamos parejas que tengan como primer componente al rojo y como segundo componente a cada uno de los elementos de B, y así sucesivamente, repitiendo el procedimiento con el azul y amarillo, formamos un conjunto cuyos elementos sean todas estas parejas: (rojo, blanco), (rojo, negro), (azul, blanco), (azul, negro), (amarillo, blanco), (amarillo, negro), a este conjunto se le llama producto cartesiano de A y B. Se refiere al conjunto de parejas ordenadas cuyo primer componente pertenece al conjunto A y el segundo al B.

Se representa por A×B

Por extensión se representa así: A x B = {(rojo,blanco),(rojo,negro),(azul,blanco),(azul,negro),(amarillo,blanco),(amarillo,negro)}

Observemos que las parejas son ordenadas, es decir, no es lo mismo (rojo, blanco) que (blanco, rojo), de modo que debemos colocar antes del símbolo ×, los primeros componentes de las parejas pertenecientes al conjunto, así: (rojo, blanco) ∈A × B (blanco, rojo) ∈B × A Un producto cartesiano A × B puede representarse de la siguiente manera: en un eje horizontal marcamos los elementos de A y en uno vertical, los de B. Se trazan perpendiculares a los ejes a partir de cada una de estas marcas y el punto donde se cortan representa a la pareja correspondiente, por ejemplo: B

ε δ β α

(a, α)

Figura 1.2.

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loque I

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

Si comparamos con el conjunto A Ă&#x2014; B vemos que son las mismas parejas ordenadas. TambiĂŠn podemos obtener el producto cartesiano de un conjunto con ĂŠl mismo. Como ejemplo podemos considerar las estaciones del aĂąo y le llamaremos A: A = {primavera (p), verano (v), otoĂąo (o), invierno (i)} El producto cartesiano de A Ă&#x2014; A estĂĄ dado por: A = {(p, p), (p, v), (p, o), (p, i), (v, p), (v, v), (v, o), (v, i), (o, p), (o, v), (o, o), (o, i), (i, p), (i, v), (i, o), (i, i)} 3XHGH DÂżUPDUVH TXH VH DVRFLDQ WRGRV ORV HOHPHQWRV GH A con ellos mismos. Un caso importante es cuando se considera al conjunto de los nĂşmeros reales (^) y su producto cartesiano con ĂŠl mismo (^, ^). Este producto cartesiano ^ Ă&#x2014; ^ genera el plano, ya que sus elementos son todas las parejas (x, y) de nĂşmeros reales (abscisas, ordenadas), es decir: \ Ă&#x2014; \ = {([ \ _ [Â? \, yÂ? \} 2EVHUYD TXH D GLIHUHQFLD GHO HMHPSOR GH OD ÂżJXUD HVWH FDVR SRVHH XQD LQÂżQLGDG de elementos, ya que el conjunto ^ HV LQÂżQLWR

Actividad de aprendizaje 1 Instrucciones: En equipos resuelvan lo siguiente, escriban el desarrollo en su cuaGHUQR \ YHULÂżTXHQ FRQ RWURV HTXLSRV I. Problemas. 1. ÂżQuĂŠ obtendrĂas al relacionar los elementos de ^ con ^ mismo? 2. Considera el punto A Ă (QFXHQWUD ODV FRRUGHQDGDV GHO SXQWR % DJUHJDQGR 1 a la abscisa del punto A y 2 a su ordenada. Representa el punto sobre el plano cartesiano. Aplicando la misma regla (sumar 1 a la abscisa y 2 a la ordenada), encuentra ahora los puntos C y D y asĂ sucesivamente. Escribe la secuencia de los puntos A, B, C,â&#x20AC;Ś, F. ÂżCĂłmo pasas de un punto al subsecuente? ÂżCuĂĄl es la coordenada del punto L? Explica cĂłmo determinar las coordenadas del punto P y ÂżcuĂĄl es el modelo matemĂĄtico para relacionar los puntos obtenidos?

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones II. De forma individual, realiza en tu cuaderno los siguientes ejercicios: 3. Dar tres ejemplos de conjuntos: a) Representarlos en las tres formas. b) Utiliza los conjuntos para dar un subconjunto de cada uno de ellos. 4. Obtener los siguientes productos cartesianos si A = {2, 5} y B = {0, 4, 9}: a) A × B b) A × A c) B × B 5. Escribe un problema y represéntalo gráficamente con cualquiera de las formas estudiadas. Para verificar los logros obtenidos en esta actividad y realizar tu autoevaluación consulta el apéndice al final del libro. Guarda el desarrollo y solución de esta actividad en tu portafolio de evidencias.

Aprende más Las expresiones simbólicas, así como el significado de la relación entre las abscisas y las ordenadas de los puntos en la secuencia, son importantes.

Subconjunto del plano cartesiano

Anteriormente vimos que el plano cartesiano es una representación de  × , es decir, que contiene a todos los puntos cuyas coordenadas sean números reales. De esta manera podremos estudiar a los subconjuntos de  × , los cuales toman formas diversas. Un ejemplo es una curva (figura 1.3). Figura 1.3. Plano cartesiano.

loque I

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

A las rectas que forman el plano se les llama ejes: el horizontal es el eje X y el vertical, Y. Para comenzar se establecerĂĄn relaciones entre los elementos de X y Y. En la vida cotidiana, para comprender y organizar el entorno que nos rodea asociamos objetos o elementos que presentan alguna caracterĂstica comĂşn. Seguramente has escuchado frases como depende deâ&#x20AC;Ś o en funciĂłn deâ&#x20AC;Ś Por ejemplo: â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

A cada libro le corresponde un nĂşmero total de pĂĄginas. Los resultados obtenidos en los exĂĄmenes estĂĄn relacionados con el tiempo dedicado a estudiar. A cada persona le corresponde una fecha de nacimiento. La distancia recorrida por un vehĂculo con su velocidad o el consumo de gasolina. Una relaciĂłn es el subconjunto de un producto cartesiano formado por los HOHPHQWRV GH pVWH ~OWLPR QRUPDOPHQWH GHÂżQLGR SRU XQD UHJOD R OH\ GDGD 7DOHV elementos se denotan como (x, y \ VLJQLÂżFD TXH x estĂĄ relacionado con y.

Existen muchas formas de describir una relaciĂłn, por ejemplo: â&#x20AC;˘

Una oraciĂłn: a cada nĂşmero natural menor que 5 se le asocia su doble.

â&#x20AC;˘

Un diagrama:

â&#x20AC;˘

Una tabla: x

Parejas ordenadas: {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)}

â&#x20AC;˘

EcuaciĂłn: y = 2x

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones â&#x20AC;˘

*UiÂżFD

Todas las formas anteriores representan la misma relaciĂłn. Un ejemplo de relaciĂłn es sean A = {1, 5, 7} y B = {4, 8}, su producto cartesiano es: GH DFXHUGR FRQ OD GHÂżQLFLyQ GH UHODFLyQ FRQVLGHUHPRV OD UHJOD ÂłA menor que BÂ´ entonces analicemos quĂŠ parejas de A Ă&#x2014; B tienen como primer elemento un nĂşmero menor que el del segundo. Se observa que son (1,4),(1,8),(5,8),(7,8). El subconjunto formado por estas parejas es una relaciĂłn R = {(1,4),(1,8),(5,8),(7,8)} La representaciĂłn de esta relaciĂłn es la siguiente: A 1 5 7

4 8

Los conjuntos relacionados reciben nombres especiales: Dominio de la relaciĂłn Es el conjunto formado por los primeros componentes de las parejas que pertenecen a la relaciĂłn. En la relaciĂłn anterior el dominio es A.

Contradominio o codominio 6H UHÂżHUH DO FRQMXQWR DO FXDO pertenecen los segundos componentes de las parejas contenidas en la relaciĂłn. En la relaciĂłn anterior, B es el codominio. Es importante seĂąalar que en algunas relaciones no se utilizan todos los elementos del codominio y los que se utilizan forman un tipo de conjunto llamado:

Rango o conjunto imagen Es el conjunto formado por los primeros componentes de las parejas que pertenecen a la relaciĂłn. En la relaciĂłn anterior el dominio es A.

loque I

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3RU HMHPSOR HQ OD UHODFLyQ GH OD Â¿JXUD VH WLHQH TXH C = {0,1,2}

Äº Dominio

D = {0,1,2,3,4} 0, 1, 2

Äº Codominio

0, 2, 4 Äº

0 1 2 3 4

Äº Argumentos

E = {0,2,4} Äº

Rango

Figura 1.4.

ImÃ¡genes

Funciones Para iniciar a estudiar este tema te invitamos a realizar lo siguiente: en equipos construyan una caja rectangular sin tapa, que sirva para guardar diversos objetos. Cada equipo diseÃ±arÃ¡ una caja diferente. Dispones de una hoja de papel tamaÃ±o carta cuyas dimensiones son 21.6 cm de ancho por 27.9 cm de alto. 1. Recorta en las esquinas de ella cuadrados de x = 1, 2, 3, 4, 5, ... 10 cm de lado, VHJ~Q OR LQGLTXH HO PHGLDGRU GHO JUXSR Â¿JXUD 2EWHQGUiV XQD VXSHUÂ¿FLH FRPR OD TXH VH PXHVWUD HQ OD Â¿JXUD 'REOD ODV SHVWDxDV SDUD IRUPDU OD FDMD UHFWDQJXODU Â¿JXUD (O SURGXFWR Â¿QDO VHUi FRPR VH PXHVWUD HQ Â¿JXUD

Figura 1.5.

Figura 1.6.

Figura 1.8.

Figura 1.7.

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones Determina los siguientes datos: 1. Altura de la caja: ___________ cm; largo de la caja: ___________ cm; ancho de la caja: ___________ cm. 2. Área de la base: ____________ cm2, Áreas laterales: ___________ cm2, ___________ cm2, ___________ cm2, ___________ cm2. 3. Área total de la caja: 4. Volumen de la caja: ___________ cm3 Cada equipo dictará sus resultados y llenarán la siguiente tabla para formar pares ordenados (área, volumen) y analizar los resultados. x

Área

Volumen

(Área, volumen)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

¿Cuál es el máximo valor que puede tomar x y por qué?

¿Existe un valor máximo y un valor mínimo para el volumen de la caja? ¿De qué dependen esos valores?

loque I

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

Una función es una relación tal que cada elemento del dominio está relacionado con uno y sólo un elemento del codominio. Por ejemplo, si f es una función con dominio A y codominio B, su representación es: f : A ĺ B (se lee "f" va de "A" a "B") En cuanto a la notación de una función, la imagen de un argumento x bajo una función f se denota como y = f(x), y se lee "y" igual a "f" de "x". Analicemos el siguiente GLDJUDPD ¿JXUD A

25 Figura 1.9.

f : A ĺ B es una función, ya que cada elemento del dominio (A) está relacionado con un único elemento del codominio (B). Así, f (1) = 1 f (2) = 4 f (3) = 9 f(4) = 16 f (5) = 25 Otro ejemplo, es que en la vida real sabes que la cantidad de hierro contenida en un fruto depende del tipo de fruto seleccionado. Así, una fresa contiene 1 mg de este mineral, en tanto que una aceituna contiene 1.6 mg. x fruto (pieza) y hierro (mg)

Aceituna

Ciruela pasa

Higo seco

Lima

Pera

Cereza

1.6

3.9

4.0

0.4

0.5

La relación (x, y) = (fruto, cantidad de hierro) es una función. En cambio, la relación (y, x) = (cantidad de hierro, fruto) no es una función, ya que en este caso, a una misma cantidad de hierro, por ejemplo 0.5 mg, le corresponde más de un fruto.

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Actividad de aprendizaje 2 Instrucciones (1): A partir de las reglas de correspondencia encuentra el codominio e indica si se trata de una función o de una relación. a) I (x) = x2 + 5 I (1) = (1) + 5 = 6

Función

I (2) =

2 3

I (3) =

I (4) =

5 Figura 1.10

I (5) = b) I (x) =

x 5

I (1) = r 1 5 = r1 5 I í \ I í I (2) = I (3) =

Función

3 4 16

I (4) =

Figura 1.11.

I (16) =

loque I

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

c) f (x) = x − 3 f (7) = 7 − 3 = 4

f (8) = −4

f (9) =

f (10) =

Función

Los botones y ojales de una prenda de vestir se relacionan de modo que, en la forma ordinaria del uso de la prenda, a cada botón le corresponde sólo un ojal. Instrucciones (2): Responde en tu libreta o cuaderno cuál de las siguientes relaciones son funciones. Si es posible, determina el dominio y el rango. a) {(0, 2), (1, 3), (0, 4), (3, 5)} b) {(−1, 2), (−2, 3), (−4, 5), (−5, 5)} c) {(−1, 8), (0, 8), (1, 8)} Para verificar los logros obtenidos en esta actividad y realizar tu autoevaluación consulta el apéndice al final del libro. Guarda el desarrollo y solución de esta actividad en tu portafolio de evidencias.

Aprende más Una manera de denotar una función es como el subconjunto de un producto cartesiano  = {(x, y) | y = f(x)}, pero la notación más común es y = f(x), esta expresión se lee como: "y" es igual a "f" de “x” y representa el valor que f asigna a la variable

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones x HVWR VLJQLยฟFD TXH HO YDORU GH OD YDULDEOH y depende y estรก determinado exclusivamente por el valor de x. Una funciรณn es una regla de asociaciรณn entre dos conjuntos que relaciona a cada elemento del primer conjunto con uno y sรณlo un elemento del segundo. Una funciรณn es una regla de asociaciรณn que relaciona dos o mรกs conjuntos entre sรญ, en donde al primero se le llama dominio y al otro contradominio. Esta regla no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del contradominio o codominio.

Regla de correspondencia La funciรณn es una regla de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos llamados dominio y rango. Algunas de las fรณrmulas que conocemos tienen las caracterรญsticas de la funciรณn. En una relaciรณn entre nรบmeros reales, se presentan dos tipos de cantidades: constantes y variables. Una constante HV XQ VtPEROR TXH UHSUHVHQWD XQ YDORU ยฟMR PLHQWUDV TXH XQD variable es un sรญmbolo que puede representar diferentes valores. Por ejemplo: a) El รกrea A de un triรกngulo estรก dada por su base b y altura h, mismas que son las variables, mientras que el 2 siempre tiene el mismo valor, es una constante: A

buh 2

b) El volumen V de una esfera depende de su radio r. Esta relaciรณn estรก dada por la ecuaciรณn: 4S r 3 V r

3 Para expresar estas fรณrmulas como funciรณn, vamos a escribirlas en la forma y = f(x). En la siguiente pรกgina encontrarรกs una tabla con algunas fรณrmulas expresadas en forma de funciรณn y la explicaciรณn de la relaciรณn de sus variables.

loque I

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

Tabla 1.1. FĂłrmulas expresadas en forma de funciĂłn y = f (x)

FĂłrmula A A v

FunciĂłn A

Variables

Ley de relaciĂłn

f l

Elevar al cuadrado el valor de l.

buh 2

f b, h

b, h

Multiplicar las variables y dividir entre 2.

d t

f d, t

d, t

Dividir las variables.

2gh

f h

RaĂz cuadrada del producto de las constantes 2 y g por h.

c p

f p

Dividir la constante entre p.

Sr 2

f r

Elevar al cuadrado la variable y multiplicar por Ę&#x152;.

Actividad de aprendizaje 3 Instrucciones: En equipos formados por el mediador del curso, resuelvan los VLJXLHQWHV SUREOHPDV GHVDUUROOHQ VX UHVSXHVWD \ YHULÂżTXHQ FRQ RWURV HTXLSRV Expresen los siguientes enunciados como una funciĂłn. Reconozcan sus variables, constantes, la fĂłrmula y la ley de relaciĂłn. 1. El ĂĄrea de un rectĂĄngulo de largo igual al doble del ancho, en tĂŠrminos de uno de sus lados. 2. El ĂĄrea de las caras laterales de un cubo, en tĂŠrminos del lado. 3. El ĂĄrea de un triĂĄngulo equilĂĄtero, en tĂŠrminos del lado. 4. El volumen de un cilindro de altura igual al triple del radio en tĂŠrminos del radio. 5. Una caja cerrada de base cuadrada y con un volumen de 240.

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Para verificar los logros obtenidos en esta actividad y realizar tu autoevaluación consulta el apéndice al final del libro. Guarda el desarrollo y solución de esta actividad en tu portafolio de evidencias.

Aprende más Representación gráfica de funciones Para graficar una función usamos un sistema coordenado cartesiano, en el cual localizamos los pares ordenados (puntos en el plano cartesiano). Para trazar la gráfica de una función, primero determinamos un número suficiente de puntos cartesianos, cuyas coordenadas la satisfagan, y después los unimos con una curva o una recta para así determinar su comportamiento. La gráfica es una de las formas más útiles con la que podemos representar funciones y relaciones, ya que describen visualmente tanto el dominio, el contradominio y la correspondencia de una función o relación. También ayuda a determinar si la correspondencia es una función o relación al trazar rectas verticales sobre toda la gráfica. Si los trazos tocan en un solo punto a la gráfica, significa que tenemos una función. En caso de que cualquiera de las verticales toque en dos o más puntos, entonces es una relación pero no una función. A esto se le conoce como la prueba de la recta vertical. Por ejemplo, la circunferencia trazada en el plano cartesiano. ¿Se podrá considerar como una función? Observa que al trazar la recta roja, ésta toca en dos puntos a la curva, por lo tanto la circunferencia no es una función. El número de pares ordenados que permiten obtener una representación correcta de la gráfica depende de la función de que se trate; para cierto tipo de funciones basta determinar dos o tres pares ordenados, en otros casos se requieren una gran cantidad de ellos. Figura 1.12.

loque I

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

Existen ciertos pares ordenados caracterĂsticos que facilitan la construcciĂłn de la JUiÂżFD (V GHFLU ORV SXQWRV VL ORV KD\ GRQGH OD JUiÂżFD GH XQD HFXDFLyQ FRUWD D ORV ejes coordenados se llama intersecciones con los ejes.

Figura 1.13. Intersecciones con los ejes.

â&#x20AC;˘

La intersecciĂłn en Y es el valor de y cuando x = 0

â&#x20AC;˘

La intersecciĂłn en X es el valor de x cuando y = 0

&RQ UHVSHFWR DO JUiÂżFR GH OD ÂżJXUD E representa la intersecciĂłn en y, mientras que "a" representa la intersecciĂłn en x.

EvaluaciĂłn de una funciĂłn (O SURFHVR UHDOL]DGR SDUD REWHQHU SXQWRV GH OD JUiÂżFD GH XQD IXQFLyQ VH OODPD evaluar una funciĂłn, en general, para evaluar una funciĂłn y = f (x) se sustituye el YDORU GH OD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH VREUH OD UHJOD GHÂżQLGD SRU OD IXQFLyQ se puede evaluar con nĂşmeros reales y en forma algebraica. Debemos tener mucho cuidado cuando evaluamos una funciĂłn, puesto que el valor debe pertenecer al dominio de ĂŠsta. Por ejemplo: f x

1 HVWi GHÂżQLGD SDUD WRGR x z 0 , por lo que I QR HVWi GHÂżQLGR x

(MHPSOR GH HYDOXDFLyQ QXPpULFD f x

Si x t 0 el contradominio estĂĄ en los nĂşmeros reales. AsĂ, si x f 4

4 2 si x 0 , el contradominio estĂĄ en los nĂşmeros complejos. Por lo tanto, si x

4 , entonces f 4

(MHPSOR GH HYDOXDFLyQ DOJHEUDLFD GH XQD IXQFLyQ Si f x

3 x 2 2 evaluar cuando x

La soluciĂłn es f a b

3 a b 2

a b

3a 2 6ab 3b 2 2

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

Actividad de aprendizaje 4 Instrucciones: Completa con las diferentes representaciones de las siguientes funciones. )XQFLyQ 7DEOD 3DUHV RUGHQDGRV *UiÂżFD

b) G = {(1,1),(-1,1), (2,4),(-2,4)}

loque I

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

)XQFLyQ 7DEOD 3DUHV RUGHQDGRV *UiÂ¿FD

y x 3

f x

H 8WLOL]D OD SUXHED GH OD UHFWD YHUWLFDO \ GHWHUPLQD FXiOHV GH ODV VLJXLHQWHV JUiÂ¿FDV corresponden a una funciÃ³n.

III

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

I 8WLOL]D OD SUXHED GH OD UHFWD YHUWLFDO \ GHWHUPLQD FXiOHV GH ODV VLJXLHQWHV JUiÂ¿FDV corresponden a una funciÃ³n.

Â§ 1Â· g) Para cada funciÃ³n, evaluar f 2 , f a b , f Â¨ Â¸ , f 4 y f Â©xÂ¹ Â&#x2021; f x

Â&#x2021; f x

III

x 2 3x 3 x 3 x 1 x 3 x2 x 1 x 3

3DUD YHULÂ¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DSpQGLFH DO Â¿QDO GHO OLEUR *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

loque I

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

Dominio y rango de una funciĂłn Como ya se vio anteriormente, los valores del dominio se colocan sobre el eje X. Los valores del rango se colocan sobre el eje Y.

Rango eje Y

Dominio

Figura 1.14.

Figura 1.15.

(O VLJXLHQWH DQiOLVLV HV SDUD HMHPSOLÂżFDU DOJXQRV SURFHGLPLHQWRV SDUD REWHQHU HO dominio y el rango de algunas funciones. Por ejemplo, en una funciĂłn como f (x) = 3x + 2 el dominio es {x ^}, es decir, en LQWHUYDORV ĂÂ&#x2019; Â&#x2019; QR LPSRUWD TXp Q~PHURV VH VXVWLWX\DQ HQ OD IXQFLyQ DOJHEUDLFD pVWD VLHPSUH WLHQH VHQWLGR \ OD UHSUHVHQWDFLyQ JHRPpWULFD GH OD IXQFLyQ HV LQÂżQLWD sin interrupciones.

Figura 1.16.

Si una funciĂłn tiene la variable en el denominador, se excluyen del denominador aquellos valores de x que hacen cero al denominador. Por ejemplo: f x

1 x

Dominio x Â? \ , pero x z 0 , esto indica que x

0 no estĂĄ en el dominio, en

intervalos f,0 * 0, f

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones Su representaciĂłn geomĂŠtrica es:

Figura 1.17.

2EVHUYD TXH OD JUiÂżFD HV LQÂżQLWD SHUR QXQFD WRFDUi DO HMH < TXH UHSUHVHQWD DO YDORU de x = 0. /RV YDORUHV TXH KDFHQ D XQD IXQFLyQ LQGHÂżQLGD SRUTXH HO GHQRPLQDGRU VH FRQYLHUWH a cero se llaman asĂntotas y pueden ser lĂneas rectas o curvas a las que se aproxima RWUD FXUYD FRPR JUiÂżFD GH GHWHUPLQDGD IXQFLyQ VLQ OOHJDU D WRFDUOD SRU PiV TXH se acerque. Ahora, analicemos la siguiente forma de una funciĂłn racional: f x

p x

g x

Las raĂces del numerador S (x) son raĂces de la funciĂłn I (x) y las raĂces del denominador J (x) son asĂntotas o indeterminaciones de la funciĂłn I (x). Entonces, si deseĂĄramos hallar el dominio de la funciĂłn y excepto x 3 (asĂntota):

x 1 , dominio x Â? \ x 3

Observa que la lĂnea de color azul representa el valor indeterminado de la funciĂłn, es decir, a la asĂntota x Ă TXH HV HTXLvalente a x + 3 = 0. Figura 1.18.

loque I

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

Sabes que los intervalos se utilizan con mucha frecuencia en las funciones para determinar los dominios, entonces, se tiene que los intervalos son una forma de representar nĂşmeros reales. Se les puede asociar directamente a desigualdades de nĂşmeros reales de la siguiente manera: Â&#x2021; 6L a x b , entonces el intervalo para x es (a, b); es un intervalo abierto. Â&#x2021; 6L a d x b , entonces el intervalo para x es [a, b); es un intervalo semiabierto por la derecha. Â&#x2021; 6L a x d b , entonces el intervalo para x es (a, b]; es un intervalo semiabierto por la izquierda. Â&#x2021; 6L a d x d b , entonces el intervalo para x es [a, b]; es un intervalo cerrado. Una manera simple de observarlos consiste en el tipo de sĂmbolo empleado para delimitar; el parĂŠntesis no incluye al lĂmite indicado, mientras que el corchete sĂ lo incluye en el conjunto.

Actividad de aprendizaje 5 Instrucciones: En equipos, establezcan el dominio y la imagen de las siguientes IXQFLRQHV (VFULEDQ HO GHVDUUROOR HQ VXV FXDGHUQRV GH WUDEDMR \ DO ÂżQDOL]DU YHULÂżquen los resultados con los demĂĄs equipos. 1. f x

3x 2 5x

2. f x

3. f x

4. x 2 y 2

x 3 4 x 2 9Â&#x;y

r 9 x2

5. f x

x2 4

9. f x

6. f x

x 2 25 x 5

10. f x

7. f x

2x 2 7 x 3 x 3

8. f x

x 2 4x 3 x 1

( x 2 4)( x 3) x2 x 6 1 2 x 1

3DUD YHULÂżFDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DSpQGLFH DO ÂżQDO GHO OLEUR *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

Cierre del bloque I 5HĂ H[LRQD VREUH OR DSUHQGLGR Al inicio de esta secciĂłn se presentaron situaciones en las que se incluyĂł el concepto de relaciĂłn. A lo largo del texto se han abordado los conceptos bĂĄsicos al respecto de las relaciones y funciones. Siendo que estas Ăşltimas son el motivo principal del presente material, realiza una sĂntesis en la que describas las ventajas de conocer los elementos de relaciones y funciones descritos y como los aplicarĂas para mejorar determinadas situaciones. Es importante considerar que el trabajo de funciones es extenso y, en ocasiones, por la teorĂa formal se vuelve un tanto complejo; sin embargo, puedes comenzar con las bases respecto a quĂŠ elementos de una funciĂłn debes conocer, si existe alguna forma de organizarlas y, en general, los elementos aplicables a ellas. Integra todo lo DQWHULRU D WUDYpV GH XQD LQYHVWLJDFLyQ FX\R SURSyVLWR VHD LGHQWLÂżFDU OD LPSRUWDQFLD de trabajar adecuadamente con funciones de cualquier tipo.

AutoevaluaciĂłn Instrucciones: Lee los siguientes ejercicios y encuentra las soluciones. Realiza las DQRWDFLRQHV QHFHVDULDV HQ WX FXDGHUQR FRQ RUGHQ \ OLPSLH]D 5HJLVWUD \ UHĂ&#x20AC;H[LRQD tus respuestas para que despuĂŠs las comentes con tus compaĂąeros de clase. I. Realiza en tu cuaderno un mapa conceptual con los aspectos mĂĄs importantes sobre relaciones y funciones. II. Empieza un glosario con los tĂŠrminos mĂĄs importantes del bloque I. ,,, 5HDOL]D XQD SUHVHQWDFLyQ JUiÂżFD TXH H[SOLTXH ORV VLJXLHQWHV SXQWRV â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ Â&#x2021;

NociĂłn de relaciĂłn y nociĂłn de funciĂłn. Distintas formas de representar una funciĂłn. Dominio y rango de una funciĂłn. ÂżCuĂĄl es la caracterĂstica que debe tener una relaciĂłn para que sea funciĂłn? (VFULEDQ XQD UHĂ&#x20AC;H[LyQ DFHUFD GH OR DSUHQGLGR \ UHDOL]DGR KDVWD HO PRPHQWR

Bloque II. Aplicas funciones especiales y transformaciones grรกficas

Bloque II Aplicas funciones especiales y WUDQVIRUPDFLRQHV GH JUiร FDV

loque II

$SOLFDV IXQFLRQHV HVSHFLDOHV \ WUDQVIRUPDFLRQHV GH JUiĂ&#x20AC;FDV

IntroducciĂłn Hasta ahora se han desarrollado las caracterĂsticas y conceptos de relaciones y funciones, asĂ como de las diferentes operaciones que se pueden realizar entre ĂŠstas. En este bloque consideraremos ciertos tipos de funciones especiales, asĂ como su aplicaciĂłn en diferentes ramas del saber. Desde que conocimos las operaciones aritmĂŠticas bĂĄsicas hemos considerado que tienen cierto orden o relaciĂłn entre ellas; por ejemplo, y con respecto a nuestro objetivo, cada una de estas operaciones bĂĄsicas tiene una operaciĂłn que llamamos LQYHUVD OR FXDO UHDOL]D OR FRQWUDULR R ÂłGHVKDFHÂ´ OR TXH OD RSHUDFLyQ DQWHULRU LQGLFD 0iV HVSHFtÂżFDPHQWH OD RSHUDFLyQ FRQWUDULD R LQYHUVD GH OD VXPD HV OD UHVWD \ DVt de modo contrario (la operaciĂłn contraria a la resta es la suma); por lo tanto, se dice que la suma y la resta son operaciones inversas. AsĂ ocurre con la multiplicaciĂłn y la divisiĂłn; lo mismo se cumple en la potenciaciĂłn y la radicaciĂłn. Estos conceptos de operaciones inversas se pueden aplicar tambiĂŠn a las funciones, de ahĂ que estudiemos las funciones inversas o tambiĂŠn llamadas funciones recĂprocas. Para ir comprendiendo el concepto de inversa, te propongo analizar la siguiente serie de operaciones: a)

3 4 6 5

4.6 (nĂşmero inicial: 3)

9 5 3

6 (nĂşmero inicial: 9)

Para el caso de a), supĂłn que el nĂşmero inicial es el 3, y para el de b) es 9. DespuĂŠs GH XQD VHULH GH RSHUDFLRQHV HQ HO SULPHU LQFLVR VH REWXYR HO UHVXOWDGR Ă HQ HO VHJXQGR FDVR (Q OD SULPHUD UHODFLyQ OR TXH VH UHDOL]y SDUD REWHQHU Ă D SDUWLU del nĂşmero 3 fue: sumarle 4, dividir esa suma entre 5 y restarle 6 al resultado de la divisiĂłn. La cuestiĂłn en este inciso es tratar de realizar las operaciones inversas, utiOL]DQGR ORV YDORUHV \ SDUD TXH D SDUWLU GHO YDORU Ă YDORU ÂżQDO REWHQJDPRV el valor 3 (valor inicial). Como se trata de aritmĂŠtica bĂĄsica, seguramente podremos realizar las operaciones inversas mentalmente. El resultado para este proceso serĂĄ, HQWRQFHV Ă Ă Observemos que se aplicaron las operaciones aritmĂŠticas inversas para llegar al resultado buscado, el 3. Ahora contesta las siguientes preguntas: ÂżquĂŠ ocurrirĂĄ si a este valor de 3, que obtuvimos con las operaciones inversas, le realizamos de nuevo las operaciones aritmĂŠticas originales, es decir, que valor se obtendrĂĄ? ÂżExistirĂĄ relaciĂłn entre las operaciones inversas? En el caso de b), ÂżcĂłmo serĂĄn las operaciones inversas?

$SOLFDV IXQFLRQHV HVSHFLDOHV \ WUDQVIRUPDFLRQHV GH JUiÀFDV

¿Qué aprenderás y cómo organizarás tu estudio? Bloque II Tiempo

horas

Contenidos curriculares que se abordan 1. Concepto de funciones especiales. • Función inyectiva. • Función sobreyectiva. • Función biyectiva. 2. Función inversa. 3. Función escalonada. 4. Función valor absoluto. 5. Función constante. 6. Función de identidad. 7. Propiedades y características de las WUDQVIRUPDFLRQHV JUi¿FDV • Familia de rectas.

Competencias disciplinares que se desarrollan •

• • •

Evaluación del aprendizaje Durante este bloque realizarás los siguientes proGXFWRV GH DSUHQGL]DMH TXH SRQGUiQ GH PDQL¿HVWR HO desarrollo de tus competencias • • • •

Actividad de aprendizaje 1. Funciones inversas. Actividad de aprendizaje 2. Función escalonada. Actividad de aprendizaje 3. Transformaciones JUi¿FDV Autoevaluación.

loque II

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3DUD LQLFLDU UHĂ H[LRQD En algunos paĂses las temperaturas se manejan en grados Fahrenheit y en otros HQ JUDGRV FHQWtJUDGRV 6L WHQHPRV SRU HMHPSOR OD JUiÂżFD TXH FRUUHVSRQGH D OD funciĂłn f (x) = 1.8x + 32

Figura 2.1.

Esta funciĂłn permite convertirde grados centĂgrados a grados Fahrenheit. De esta manera, el eje de las ordenadas representa los Fahrenheit y el de las abscisas los centĂgrados. 6L DQDOL]DPRV OD JUiÂżFD GH HVWD IXQFLyQ LGHQWLÂżFDPRV TXH HV XQD IXQFLyQ LQ\HFWLYD o uno a uno. Si le aplicamos la prueba de la vertical descubrimos que tocarĂĄ en un VROR SXQWR D OD JUiÂżFD 'H HVWD PDQHUD VH SXHGHQ REVHUYDU HQ OD JUiÂżFD ORV YDORUHV de la siguiente tabla: *UDGRV *UDGRV FHQWtJUDGRV )DKUHQKHLW 0

&DGD XQR GH ORV YDORUHV GH OD IXQFLyQ SXHGH FDOFXODUVH \ DVt LGHQWLÂżFDPRV HO YDlor de los centĂgrados en Fahrenheit. ÂżPero cĂłmo logramos convertir de grados Fahrenheit a centĂgrados? Para dar respuesta a la pregunta anterior es necesario conocer los conceptos de las funciones especiales y en particular la funciĂłn inversa.

Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas

Aprende más Concepto de funciones especiales Las funciones especiales se clasifican en: Funciones explícitas. La variable dependiente está despejada. Ejemplo: y = f (x). Funciones implícitas. La función está dada por una ecuación; es decir, la variable dependiente no está despejada. Ejemplo: x2y − 4y = 2 Funciones continuas. Su gráfico no presenta ningún punto aislado, saltos o interrupciones. Todas las funciones polinomiales son continuas. Funciones discontinuas. Presentan saltos o interrupciones. Todas las funciones racionales son discontinuas para todos los valores de x que hacen cero el denominador.

Figura 2.2. Función continua.

Figura 2.3. Función discontinua.

Figura 2.4. Función escalonada.

Funciones escalonadas. Existen funciones que se definen a través de intervalos cuyo dominio es (−∞,∞), sin embargo, no son continuas. Funciones crecientes. Una función f es creciente sobre un intervalo en R. si para cualquier valor x1 y x2 en R donde x1< x2 , se tiene que f(x1)< f(x2 ), los valores de la función se incrementan (figura 2.4). Funciones decrecientes. Una función f es decreciente sobre un intevalo R si, para cualquier x1 y x2 en R, donde x1 > x2 se tiene que f(x1) > f(x2), es decir, los valores de una función disminuye (figura 2.5).

loque II

Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas

Figura 2.5. Función creciente.

Figura 2.6. Función decreciente.

Función inyectiva Una función f es inyectiva, univalente o uno-uno si y sólo si cada f (x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio; es decir, es función inyectiva si cada elemento del dominio tiene una imagen diferente en forma general: f (x1) = f (x2) lo que implica que x1 = x2 Ejemplo: A

Figura 2.7.

Método de línea horizontal para identificar si la función es inyectiva El método de línea horizontal se utiliza para saber si una función es inyectiva o no. Por ejemplo, si tenemos la función f (x) = 2x2 + x + 1, necesitariamos comprobar si la recta horizontal f(x) = 4 corta la gráfica de la función en dos puntos. Observa la figura 2.8. La función f(x) = 2x2 + x + 1 no es inyectiva, porque la recta horizontal f(x) = 4 corta a la gráfica de la función en dos puntos (figura 2.8). Por el contrario, con una función como p(x) = x3 − 1 se observa que la función f(x) = 4 corta la gráfica en un solo punto (figura 2.9), por lo que la función sí es inyectiva.

Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas

f(x) = 4

p(x) = x3 − 1

f(x) = 2x2 + x + 1

Figura 2.8.

Figura 2.9.

Función sobreyectiva Sea f una función de A en B, f es una función sobreyectiva, si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, bajo f. A

Figura 2.8.

Función biyectiva Sea f una función de A en B, f es una función biyectiva si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez. Una vez definidas las funciones inyectiva, sobreyectiva e inyectiva, podemos aplicar estos conceptos a las funciones f(x), a qué clasificación pertenecen. Por ejemplo, sean los conjuntos M = {p, q, r} y N = {1, 2, 3} para los cuales se definen las siguientes funciones: M p

Figura 2.9. Función biyectiva de N en M.

loque II

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FunciĂłn inversa Sabemos que existen funciones inversas: suma-resta; producto-cociente; radicaciĂłn-potencia; logaritmo-exponencial. Se expresan asĂ: Sumaâ&#x20AC;&#x201C;resta: a c

b Â&#x; b c

Producto-cociente: a u c RadicaciĂłn-potencia:

bÂ&#x;

b c

b Â&#x; b

Logaritmo-exponencial: In a

a 2

b Â&#x; eb

La palabra inversa en ĂĄlgebra tiene el mismo sentido de la palabra inversa en la vida FRWLGLDQD HV GHFLU ÂłOR FRQWUDULR GHÂ´ ÂłOR RSXHVWR GHÂ´ Una forma prĂĄctica de expresar una funciĂłn inversa es intercambiar el dominio y el rango de una funciĂłn. La funciĂłn inversa se expresa como f Ă (x \ VH OHH ÂłLQYHUVD de f Â´ \ VH UHSUHVHQWD FRPR f Ă : B Äş A. Considerando una funciĂłn f que tiene por dominio un conjunto A y por codominio un conjunto B, entonces se llamarĂĄ funciĂłn inversa de f, a aquella funciĂłn que tiene como dominio B y por codominio al conjunto A. Denotaremos a la funciĂłn inversa como f Ă (y) = x y su diagrama es: AfB

A f Ă1B

f Äş

Ä¸

Äş

Ä¸

Äş

Ä¸

FunciĂłn f FunciĂłn f Ă1 Figura 2.10.

El proceso para encontrar la funciĂłn inversa de otra dada es el siguiente: â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

Se despeja la variable x de la funciĂłn original, para la funciĂłn inversa, esa es la variable dependiente. Se intercambia la variable x por y. La ecuaciĂłn resultante corresponde a la funciĂłn inversa de la expresada.

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Ejemplo 1: Obtener la funciรณn inversa de y

2x 1

Soluciรณn: /D HFXDFLyQ VH H[SUHVD FRPR IXQFLyQ f x

2x 1

$KRUD VH GHVSHMD [ y 1 2

g y

/D IXQFLyQ LQYHUVD HV f 1 x

x 1 2

1 x 1

Ejemplo 2: Obtener la funciรณn inversa de y Soluciรณn: 'HVSHMDQGR [ y x 1 1

ย

1 y

x 1

ย

1 1 y

3RU OR TXH f 1 x

ย

1 y y

1 x x

Ejemplo 3: Calcular la inversa de la funciรณn inyectiva f ( x ) 1.8 x 32 Soluciรณn: 6XVWLWX\H f ( x ) SRU \ f ( x ) 1.8 x 32 ,QWHUFDPELD HQWUH HOODV WRGDV ODV [ \ ODV \ x 1.8y 32 'HVSHMDQGR \ VXVWLWX\HQGR \ SRU I รญ [ y

x 32 1.8

(VWD IXQFLyQ LQYHUVD HQ HO FDVR GH FRQYHUVLRQHV HV ~WLO SDUD FRQYHUWLU GH )DKUHQKHLW D FHQWtJUDGRV

loque II

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/D Â¿JXUD PXHVWUD HQ XQ PLVPR SODQR ODV JUiÂ¿FDV GH ODV IXQFLRQHV DQWHULRUHV Interpretamos que en cada situaciÃ³n de uno a uno se conserva y existe una lÃnea que parece ser la que las separa, la funciÃ³n y = x. y = 1.8x + 32

y=x

y = (x Ã

Figura 2.11.

Ejemplo 4: La siguiente fÃ³rmula permite convertir x grados centÃgrados a F(x) grados Farenheit: 9 F x

x 32 5 D Â¢4Xp VLJQLÂ¿FDGR WLHQH F 1 x ? b) Â¿A cuÃ¡ntos grados centÃgrados equivalen 68 grados Farenheit? c) Hallar F 1 x

SoluciÃ³n: D &RQVWUX\H XQD IyUPXOD SDUD FRQYHUWLU [ JUDGRV )DUHQKHLW D JUDGRV FHQWtJUDGRV

E C 68

5 68 32

9 x 32 ,QWHUFDPELDQGR [ SRU \ REWHQHPRV OD IXQFLyQ LQYHUVD 5 9 5 5 y 32 (Q pVWD y x 32 (VFULELPRV C x x 32 $Vt C x F 1 x . 5 9 9

F (VFULELPRV y x

20qC

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Actividad de aprendizaje 1 Instrucciones: Lee detenidamente las indicaciones de los siguientes ejercicios, realiza las actividades que se te piden, anota las respuestas en orden y con limpieza HQ WX FXDGHUQR 5HJLVWUD \ UHÃ&#x20AC;H[LRQD WXV UHVSXHVWDV SDUD TXH GHVSXpV ODV FRPHQWHV con tus compaÃ±eros. Escucha con respeto las aportaciones de los demÃ¡s para mejorar tu trabajo. I. Desarrolla las actividades que se solicitan. ObtÃ©n la inversa de cada funciÃ³n y determina cuÃ¡les de estas funciones son inversas y comprueba usando composiciÃ³n de funciones. 1. p x

3x 7

4. y

1 1 x 6 3

2. m x

x2 1

5. y

6x 2 1

3. y

6. Comprueba que son inversas cada par de funciones. a) p x

x 1 ;

g x

b) F x

6 x 3; G x

x 1 x 3 6

7UD]D OD JUiÂ¿FD GH ODV VLJXLHQWHV IXQFLRQHV LQYHUVDV a) f x

b) x 2 y

c) y

5 1

1 x

d) y 4 x

loque II

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Aprende mÃ¡s FunciÃ³n escalonada Las funciones escalonadas son un tipo particularmente sencillo de funciones que se GHÂ¿QHQ HQ XQ LQWHUYDOR GH PDQHUD TXH H[LVWD XQD SDUWLFLyQ GHO PLVPR HQ HO TXH OD funciÃ³n se mantenga constante en cada uno de los subintervalos. ,QIRUPDOPHQWH XQD IXQFLyQ HVFDORQDGD HV DTXHOOD TXH DO VHU GLEXMDGD VX JUiÂ¿FD tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes). Este tipo de funciones tienen un comportamiento diferente por intervalos; es decir, una funciÃ³n distinta en cada escalÃ³n. Por ejemplo, si deseas asistir a un concierto de tu grupo musical favorito y preguntas por los precios de los boletos, tal vez te dirÃan que de la primera Â¿OD D OD TXLQWD FXHVWDQ GH OD VH[WD D OD GpFLPD \ GH DKt HQ DGHODQWH 'H DFXHUGR FRQ HVWR SRGHPRV YHU TXH

Figura 2.12.

â&#x20AC;¢

Es una funciÃ³n discreta.

â&#x20AC;¢

Dominio = nÃºmeros naturales 1, 2, 3, 4, â&#x20AC;¦

â&#x20AC;¢

Contradominio = 500, 350 y 200

â&#x20AC;¢

En general: P

f F donde P

precio y F

fila

Entonces: f 1

f 2 ... f 5

f 6 ... f 10

350

Y para F ! 10 ; f F

Figura 2.13.

500

200

Ejemplo 1: /RV HVWDFLRQDPLHQWRV FREUDQ XQD FXRWD Â¿MD SRU KRUD DXQ FXDQGR VyOR VH XWLOLFH XQD IUDFFLyQ GH HVWH WLHPSR 'HVFULEH JUiÂ¿FDPHQWH y con una ecuaciÃ³n la funciÃ³n para la tarifa que debe pagarse en un estaFLRQDPLHQWR TXH FREUD OD KRUD R IUDFFLyQ VL XQ DXWR SHUPDQHFH de una a cinco horas.

$SOLFDV IXQFLRQHV HVSHFLDOHV \ WUDQVIRUPDFLRQHV GH JUiÃ&#x20AC;FDV

SoluciÃ³n:

(Q JHQHUDO OD IXQFLyQ GHO SUREOHPD HV P

f t

Â10 si Â°20 si Â°Â° Â®30 si Â°40 si Â° Â°Ì&#x201E;50 si

0 t d1 1dt 2 2dt 3 3dt 4 4 dt 5

Debemos recordar que en una funciÃ³n ningÃºn elemento del dominio puede tener GRV R PiV YDORUHV SRU HVD UD]yQ ORV LQWHUYDORV VH GHEHQ HVSHFLÂ¿FDU FRQ GHWDOOH Ejemplo 2: Representa y describe las caracterÃsticas de las siguientes funciones. f (x)

Â3 x 1 si Â® Â¯ x 2 si

x 1 x t1

Dominio: D(f) = R; Recorrido: (f) = R SoluciÃ³n: 3XQWRV GH FRUWH GHO HMH < [ Â&#x; I Ã&#x201A; Ã Ã Â&#x; Ã

3XQWRV GH FRUWH FRQ HO HMH ; f(x)

3DUD [

3x 1

x 1

x 2

x t1

\ \ [ Ã Â&#x; [ Ã Â&#x; [ Â&#x;

3DUD [ Â&#x2022; \ \ [ Ã Â&#x; [ Ã Â&#x; [ Â&#x2022; Â&#x;

*UiÂ¿FD

loque II

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Actividad de aprendizaje 2 Instrucciones: Lee detenidamente las indicaciones de los siguientes ejercicios, realiza las actividades que se te piden, anota las respuestas en orden y con limpieza HQ WX FXDGHUQR 5HJLVWUD \ UHÃ&#x20AC;H[LRQD WXV UHVSXHVWDV SDUD TXH GHVSXpV ODV FRPHQWHV con tus compaÃ±eros. Escucha con respeto las aportaciones de los demÃ¡s para mejorar tu trabajo. 1. El costo del estacionamiento en un centro comercial es de 2.50 pesos cada 15 PLQXWRV ODV SULPHUDV GRV KRUDV $ SDUWLU GH OD WHUFHUD KRUD HO FRVWR HV Â¿MR H LJXDO a 15 pesos por hora a) b) c) G

Â¿CuÃ¡nto pagarÃas por estar en el centro comercial 1.5 horas? Â¿CuÃ¡nto pagarÃas por estar 2.5 horas? Â¿CuÃ¡nto pagarÃas por estar 5 horas? 7UD]D OD JUiÂ¿FD HQ OD FXDO VH UHÃ&#x20AC;HMH OR TXH SDJDUtDV SRU HVWDU ODV SULPHUDV horas en el estacionamiento.

/RV LPSRUWHV GHO HQYtR GH SDTXHWHV GH GLIHUHQWHV SHVRV HQ XQD RÂ¿FLQD GH FRUUHRV son.

Peso (g)

Importe ($)

0 < p Â&#x201D;

12.50

100 < p Â&#x201D;

19.00

200 < p Â&#x201D;

25.25

300 < p Â&#x201D;

31.50

400 < p Â&#x201D;

37.50

500 < p Â&#x201D;

43.50

600 < p Â&#x201D;

49.35

700 < p Â&#x201D;

55.20

800 < p Â&#x201D;

61.00

900 < p Â&#x201D;

66.50

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D 7UD]D OD JUiÂ¿FD HQ OD FXDO VH UHÃ&#x20AC;HMH OR TXH SDJDUtDV SRU HQYLDU XQ SDTXHWH GH 3.5 kg.

Aprende mÃ¡s FunciÃ³n valor absoluto El valor absoluto se representa por el sÃmbolo x HVWR VLJQLÂ¿FD TXH VL x es de signo positivo se queda igual, si es negativo se le cambia de signo para que quede positivo, por ejemplo: 5

( 5)

loque II

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/XHJR HQWRQFHV OD IXQFLyQ GH YDORU DEVROXWR VH GHÂżQH SRU f : R o R, tal que f x

x , x Â?R

De otra forma se representa por: f

^ x, y | y

x , x Â? R`

La anterior es la funciĂłn valor absoluto. La representaciĂłn geomĂŠtrica de la funciĂłn valor absoluto f x

f x

x es:

Figura 2.14. RepresentaciĂłn geomĂŠtrica de la funciĂłn de valor absoluto.

Sus caracterĂsticas son: Â&#x2021; Es biyectiva. Â&#x2021; Su dominio D son todos los reales, es decir, D = \ . Â&#x2021; Su contradominio C son todos los reales no negativos, es decir, C = R+ Â&#x2030; {0}.

FunciĂłn constante Esta funciĂłn la puedes observar cuando compras por menudeo, por ejemplo: si compras una camisa, un pantalĂłn o unos zapatos, el precio de estos artĂculos se PDQWLHQH FRQVWDQWH HV GHFLU QR FDPELD FRPR VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD

Es aquella que para cada valor de x, su imagen es K

I (x) = K

f(x) = K FunciĂłn constante

Donde K es una constante Figura 2.15. GrĂĄfica de una funciĂłn constante.

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FunciĂłn de identidad En tu casa, escuela, iglesia y en otros espacios puedes encontrar escaleras, si las miras de costado, verĂĄs que algunas cuentan con escalones que tienen la misma medida de ancho y altura. Si colocas sobre los escalones una tabla, vas a observar FyPR VH SXHGH JHQHUDU OD JUiÂżFD TXH VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD

El valor del argumento es igual al de la imagen

FunciĂłn de identidad

f(x) = x

/D UHSUHVHQWDFLyQ JUiÂżFD GH OD IXQFLyQ GH LGHQWLGDG HV una recta que pasa por el origen con una inclinaciĂłn de Â&#x192; ÂżJXUD

f x

Figura 2.16.

Propiedades y caracterĂsticas de las WUDQVIRUPDFLRQHV JUiÂżFDV Algunas de las transformaciones de funciones se conocen como familias de funFLRQHV VLPLODUHV WLHQHQ OD PLVPD IRUPD SHUR SRVLFLRQHV GLIHUHQWHV HQ XQD JUiÂżFD 3DUD HMHPSOLÂżFDU HVWH FRQFHSWR GH WUDQVIRUPDFLRQHV JUiÂżFDV DQDOL]DUHPRV XQ ejemplo de lĂnea recta.

Familia de rectas Hemos estudiado que una recta del plano queda determinada por un par de datos o condiciones: dos puntos, un punto y su pendiente, su pendiente y ordenada al origen, etcĂŠtera. Si se determina una Ăşnica condiciĂłn, entonces un conjunto de rectas, y no necesariamente una sola, la cumplirĂĄn. Al conjunto de todas las rectas que satisfacen una Ăşnica condiciĂłn se le denomina familia de rectas o haz de rectas. 3DUD REWHQHU OD HFXDFLyQ GH XQD IDPLOLD R KD] GH UHFWDV VH GHÂżQH OD FRQGLFLyQ \ el dato mĂĄs conveniente para obtenerla representado por un parĂĄmetro variable k, perteneciente a los nĂşmeros reales. Como estudiaremos en cursos posteriores, existen tambiĂŠn familias de circunferencias, parĂĄbolas, elipses y, en general, de diferentes lugares geomĂŠtricos.

loque II

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Los siguientes ejemplos explican el procedimiento recomendado para obtener la HFXDFLyQ GH XQD IDPLOLD WUDQVIRUPDFLyQ JUiÂżFD R KD] GH UHFWDV \ VX FRQVWUXFFLyQ JUiÂżFD Ejemplo: Determina la ecuaciĂłn de la familia de rectas que pasan por el origen del plano. SoluciĂłn: â&#x20AC;˘

La condiciĂłn que deben cumplir todas las rectas de la familia es que pasan por el punto (0, 0) sin importar su inclinaciĂłn.

â&#x20AC;˘

El haz de rectas debe tener por ecuaciĂłn y = x.

Dado que las rectas pueden tener cualquier ordenada al origen (valor en el que la recta corta al eje y), hacemos b = k en la ecuaciĂłn al origen tomando la forma: y = x + k.

(Q OD VLJXLHQWHV ÂżJXUDV VH PXHVWUDQ ODV JUiÂżFDV GH IXQFLRQHV f(x), g(x) y h(x) y la fĂłrmula de f(x) = x2 Â˘&XiOHV VRQ ODV IyUPXODV GH ODV RWUDV JUiÂżFDV"

g(x)

f(x) = x2

h(x)

Figura 2.17.

$SOLFDV IXQFLRQHV HVSHFLDOHV \ WUDQVIRUPDFLRQHV GH JUiĂ&#x20AC;FDV

6L DQDOL]DV OD JUiÂżFD ÂżJXUD SXHGHV YHU TXH DPEDV IXQFLRQHV VRQ VLPLODUHV SHUR HQ SRVLFLRQHV GLIHUHQWHV VH LQWHUSUHWD TXH OD JUiÂżFD GH f(x) tiene su origen en el punto (0, 0), tambiĂŠn se observa que g(x) tiene su origen en (0, 3) y h(x) inicia en Ă HV GHFLU HVWiQ GHVSOD]DGDV XQLGDGHV KDFLD DUULED \ GRV XQLGDGHV KDFLD abajo. 3DUD JHQHUDOL]DU HO FRQFHSWR DQWHULRU D OD KRUD GH JUDÂżFDU XQD IXQFLyQ HV PX\ LPportante tener en cuenta este tipo de transformaciones. Los tipos elementales bĂĄsicos para la transformaciĂłn de funciones f(x) se resumen en la siguiente tabla. Tipo de transformaciĂłn

FĂłrmula

TraslaciĂłn horizontal de c unidades a la derecha

y = f (x Ă c)

TraslaciĂłn horizontal de c unidades a la izquierda

y = f (x + c)

TraslaciĂłn vertical de c unidades hacia abajo

y = f (x Ă c

TraslaciĂłn vertical de c unidades hacia arriba

y = f (x) + c

Actividad de aprendizaje 3 Instrucciones: Lee detenidamente las indicaciones de los siguientes ejercicios, realiza las actividades que se te piden, anota las respuestas en orden y con limpieza en tu cuaderno. 5HJLVWUD \ UHĂ&#x20AC;H[LRQD WXV UHVSXHVWDV SDUD TXH GHVSXpV ODV FRPHQWHV FRQ WXV compaĂąeros. Escucha con respeto las aportaciones de los demĂĄs para mejorar tu trabajo. 1. Dada la funciĂłn y = x + 2, realiza el tipo de transformaciĂłn que se indica. a) b) c) d)

y = f (x Ă c) y = f (x + c) y = f (x Ă c y = f (x) + c

loque II

$SOLFDV IXQFLRQHV HVSHFLDOHV \ WUDQVIRUPDFLRQHV GH JUiÃ&#x20AC;FDV

2. Representa geomÃ©tricamente las funciones valor absoluto f(x) = |x|. a) y = |x Ã _ b) y = |x_ Ã 3. Representa geomÃ©tricamente las funciones denominadas constantes. a) y = 3 b) y Ã 5HSUHVHQWD JUiÂ¿FDPHQWH ODV VLJXLHQWHV IXQFLRQHV a) f ( x )

Â x 2 si x 1 Â® Â¯2 x 1 si x t 1

b) f ( x )

Â3 x 1 si Â® Â¯ x 2 si

x 1 x t1

$SOLFDV IXQFLRQHV HVSHFLDOHV \ WUDQVIRUPDFLRQHV GH JUiĂ&#x20AC;FDV

Cierre del bloque II 5HĂ H[LRQD VREUH OR DSUHQGLGR Una vez estudiada la parte principal de este bloque, lo consecuente es que desarrolles las habilidades y actitudes necesarias, para asĂ evidenciar que estĂĄs aprendiendo sus criterios, asĂ como las competencias genĂŠricas de la asignatura. (Q HVWH SXQWR \ DQWHV GH FHUUDU HO EORTXH UHĂ&#x20AC;H[LRQD DFHUFD GHO DQWHV \ HO GHVSXpV de conocer dichas herramientas. Utiliza las siguientes preguntas para ayudarte a GLFKD UHĂ&#x20AC;H[LyQ â&#x20AC;˘ ÂżConozco y empleo las diversas funciones en mis actividades cotidianas? Â&#x2021; Â˘'HWHUPLQR H LGHQWLÂżFR HO ERVTXHMR GH XQD JUiÂżFD GH IXQFLyQ HVFDORQDGD" Â&#x2021; Â˘&RPELQR HÂżFLHQWHPHQWH ODV UHJODV \ WHRUHPDV SDUD GHWHUPLQDU ODV FDUDFWHUtVWLFDV GH ODV WUDQVIRUPDFLRQHV JUiÂżFDV" Â&#x2021; Â˘%RVTXHMR PHQWDOPHQWH OD JUiÂżFD GH XQD IXQFLyQ HVSHFLDO LQYHUVD" &RPSDUWH HO SURGXFWR GH WXV UHĂ&#x20AC;H[LRQHV FRQ WX GRFHQWH \ JUXSR REVHUYD ORV UHVXOtados de tus compaĂąeros y contrasta con los tuyos todos los elementos recopilados.

AutoevaluaciĂłn Instrucciones: (Q WX FXDGHUQR GH WUDEDMR UHDOL]D OD LQWHUSUHWDFLyQ JUiÂżFD GH ODV VLJXLHQWHV IXQFLRQHV \ HVFULEH VX FODVLÂżFDFLyQ 5HJLVWUD \ UHĂ&#x20AC;H[LRQD WXV UHVSXHVWDV para que despuĂŠs las comentes con tus compaĂąeros. )XQFLyQ &ODVLÂżFDFLyQ 1. f x

x3 3x 2

2. f x

lnx 1

3. f x

cosx senx

4. f x

e 2 x 1

loque II

$SOLFDV IXQFLRQHV HVSHFLDOHV \ WUDQVIRUPDFLRQHV GH JUiÃ&#x20AC;FDV

)XQFLyQ &ODVLÂ¿FDFLyQ

5. f x

x 1 x2 1

6. f x

2x 1

7. f x

log x 1

8. f x

2 x 1

9. f x

3 x senx x 6

10. f x

2x 1 x

11. f x

12. f x

13. y

14. y

cos 2 x 1 Âx2 1 Â° Â®ax b Â°x a Â¯

15. 4 d x 6

Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

16. x d 5 3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DSpQGLFH DO ¿QDO GHO OLEUR *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

Si de la actividad anterior obtuviste de 14 a 16 aciertos considera tu resultado como excelente, de 11 a 13 aciertos como bien, de 8 a 10 como regular y si tus respuestas correctas fueron menos de 8 aciertos considera tu desempeño como QR VX¿FLHQWH, lo que exige que refuerces tus conocimientos previos.

¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en función de las respuestas correctas que tuviste?

Excelente Bien Regular 1R VXÀFLHQWH

Bloque III. Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

Bloque III Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

loque III

Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

IntroducciÃ³n Una vez concluidas las aplicaciones para las funciones inversas y las transformacioQHV JUiÂ¿FDV SRGHPRV GLULJLUQRV D ORV VLJXLHQWHV HMHV WHPiWLFRV GHO FXUVR (Q HVWH caso, las funciones polinomiales. $Vt FRPR VH DQDOL]y HQ HO FXUVR 0DWHPiWLFDV , HVSHFtÂ¿FDPHQWH HQ HO EORTXH DOJHbra de polinomios, manejaremos Ã©stos de igual forma; sin embargo, aquÃ abordaremos las funciones polinÃ³micas, es decir, cada polinomio de una variable puede dar origen a una funciÃ³n polinÃ³mica que contenga a esa misma variable. Por ejemplo, el siguiente polinomio de una variable, 3x2 Ã x + 5, puede dar origen a una funciÃ³n SROLQRPLDO TXH GHÂ¿QLUHPRV GH IRUPD JHQHUDO PiV DGHODQWH GH OD IRUPD f (x) = 3x2 Ã 2x + 5 Ã³ y = 3x2 Ã x + 5

5HFXHUGD WDPELpQ TXH ORV SROLQRPLRV VH SXHGHQ FODVLÂ¿FDU SRU VX JUDGR R SRWHQFLD DVt TXH ODV IXQFLRQHV SROLQRPLDOHV VHUiQ FODVLÂ¿FDGDV SRU VXV JUDGRV $GHPiV FDGD XQD GH ODV IXQFLRQHV SROLQRPLDOHV GDUi RULJHQ D GLIHUHQWHV UHSUHVHQWDFLRQHV JUiÂ¿cas. Esto es precisamente lo que abarcarÃ¡ este bloque, a saber, la representaciÃ³n de las funciones polinomiales y sus aplicaciones en diferentes ramas. (Q HVWH EORTXH VH LGHQWLÂ¿FDQ ODV VLWXDFLRQHV GH XQ PRGHOR JHQHUDO GH ODV IXQFLRQHV polinomiales de grados cero, uno y dos, empleando los criterios de sus comportaPLHQWRV JUiÂ¿FRV UHVSHFWLYRV (VWDV IXQFLRQHV VRQ PRGHORV PDWHPiWLFRV TXH GHVcriben muchos fenÃ³menos naturales como la presiÃ³n atmosfÃ©rica (grado cero), la distancia recorrida por un mÃ³vil a una velocidad constante (grado uno), la distancia recorrida por un mÃ³vil cuando tiene aceleraciÃ³n (grado dos); asimismo, ayudan a VROXFLRQDU SUREOHPDV GH OD YLGD FRWLGLDQD HQ WHPDV Â¿QDQFLHURV R HVWLPDU OD FDQWLGDG de ingredientes a usar para preparar un determinado alimento.

Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

¿Qué aprenderás y cómo organizarás tu estudio? Bloque III Tiempo

10 horas

Contenidos curriculares que se abordan 1. Modelo general de las funciones polinomiales. 2. 5HSUHVHQWDFLyQ JUi¿FD GH ODV IXQFLRQHV GH grados cero, uno y dos. • &RPSRUWDPLHQWR JUi¿FR GH OD IXQFLyQ polinomial de grado cero. • &RPSRUWDPLHQWR JUi¿FR GH OD IXQFLyQ polinomial de grado uno. • &RPSRUWDPLHQWR JUi¿FR GH OD IXQFLyQ polinomial de grado dos.

Competencias disciplinares que se desarrollan •

• • •

Evaluación del aprendizaje

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia.

Durante este bloque realizarás los siguientes proGXFWRV GH DSUHQGL]DMH TXH SRQGUiQ GH PDQL¿HVWR HO desarrollo de tus competencias • • • • •

Actividad de aprendizaje 1. Función constante. Actividad de aprendizaje 2. Función lineal. Actividad de aprendizaje 3. Función cuadrática. Actividad de aprendizaje 4. Reto. Autoevaluación.

loque III

Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

3DUD LQLFLDU UHĂ H[LRQD Las funciones polinomiales nos ayudan a resolver problemas en la vida diaria, a pesar de ello, rara vez estamos conscientes de los procesos matemĂĄticos involuFUDGRV HQ OR TXH UHDOL]DPRV 5HĂ&#x20AC;H[LRQHPRV DFHUFD GH OD LPSRUWDQFLD GHO GLVHxR GH modelos matemĂĄticos para la toma de decisiones. En equipos resuelvan la siguiente situaciĂłn: Francisco solicita un empleo de ventas en una compaĂąĂa de telĂŠfonos celulares en su ciudad. DespuĂŠs de pasar por todo el proceso de selecciĂłn le informan que serĂĄ contratado y que venderĂĄ sĂłlo un modelo particular de telĂŠfono celular que cuesta HV GH &XDQGR VH SUHVHQWD D ÂżUPDU VX FRQWUDWR OH RIUHFHQ WUHV RSFLRQHV de planes de sueldo: Plan A: sueldo base de 6500 pesos mensuales. Plan B: sueldo base mensual de 2500 pesos mĂĄs 10% de comisiĂłn sobre las ventas del mes. Plan C: sueldo base mensual de 5500 pesos mĂĄs 7% de comisiĂłn sobre las ventas realizadas en el mes. Si estuvieras en el lugar de Francisco, ÂżquĂŠ plan eligirĂas? ÂżPor quĂŠ? Escribe en las lĂneas tus conclusiones.

$O ÂżQDOL]DU HO EORTXH HVWH SUREOHPD VH UHWRPD SDUD TXH OH GHV XQD VROXFLyQ IRUPDO como soluciĂłn de un proyecto.

Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

Aprende mĂĄs Modelo general de las funciones polinomiales Las funciones polinomiales son modelos matemĂĄticos que describen relaciones enWUH GRV YDULDEOHV FRPR VX QRPEUH OR LQGLFD VH GHÂżQHQ SRU PHGLR GH XQ SROLQRPLR que, como sabemos, es la expresiĂłn de suma o resta de tĂŠrminos algebraicos no semejantes entre sĂ. La forma general de una funciĂłn polinomial es: f x

an x n an 1x n 1 ! a2 x 2 a1x a0

En esta expresiĂłn Q es un nĂşmero entero no negativo, que se denomina JUDGR GH OD IXQFLyQ SROLQRPLDO. Â&#x2021; Los valores numĂŠricos reales se denominan FRHÂżFLHQWHV GHO SROLQRPLR. Â&#x2021; (O FRHÂżFLHQWH an , un nĂşmero real diferente de cero ( an z 0 ) que actĂşa como FRHÂżFLHQWH GHO WpUPLQR GH PD\RU JUDGR VH GHQRPLQD FRHÂżFLHQWH SULQFLSDO de la funciĂłn. Â&#x2021; (O FRHÂżFLHQWH a0 se denomina FRHÂżFLHQWH FRQVWDQWH. Â&#x2021; De este modo, an x n es el WpUPLQR SULQFLSDO de la funciĂłn y el tĂŠrmino a0 es el WpUPLQR FRQVWDQWH o WpUPLQR LQGHSHQGLHQWH de ĂŠsta. Entonces, la forma general de una funciĂłn polinomial se puede representar con la expresiĂłn siguiente: Grado P

f x

an N

an 1x n 1 ! a2 x 2 a1x

Coeficiente principal

Coeficiente o tĂŠrmino constante

TĂŠrmino principal

Por ejemplo, para la funciĂłn f x

a0 N

2 x 2 7 x 5 , tenemos:

*UDGR GHO SROLQRPLR TXH GHÂżQH D OD IXQFLyQ 2 &RHÂżFLHQWHV a2 = 2, a1 Ă a0 = 5 &RHÂżFLHQWH SULQFLSDO a2 = 2

&RHÂżFLHQWH FRQVWDQWH a0 = 5 7pUPLQR SULQFLSDO 2x2 7pUPLQR FRQVWDQWH R LQGHSHQGLHQWH 5

loque III

Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

5HSUHVHQWDFLyQ JUiÂ¿FD GH ODV IXQFLRQHV GH JUDGRV FHUR XQR \ GRV /RV HOHPHQWRV GH XQD IXQFLyQ SROLQRPLDO JUDGR FRHÂ¿FLHQWHV FRHÂ¿FLHQWH SULQFLSDO FRHÂ¿FLHQWH FRQVWDQWH WpUPLQR SULQFLSDO \ WpUPLQR FRQVWDQWH QRV SURSRUFLRQDQ LQIRUPDFLyQ SDUD DSUR[LPDU VX FRPSRUWDPLHQWR JUiÂ¿FR Una caracterÃstica importante de las funciones polinomiales es que se trata de funciones continuas, que intuitivamente se pueden interpretar como funciones cuya JUiÂ¿FD QR HVWi URWD OR FXDO PDWHPiWLFDPHQWH KDEODQGR TXLHUH GHFLU TXH HVWiQ GHÂ¿QLGDV HQ WRGRV ORV Q~PHURV UHDOHV VX GRPLQLR HV ^ ). /D JUiÂ¿FD GH ODV IXQFLRQHV SROLQRPLDOHV QR WLHQHQ FRUWHV \ VX WUD]R HV GH XQD ~QLFD lÃnea, como si se dibujara colocando el lÃ¡piz sobre el papel y arrastrÃ¡ndolo sin desSHJDUOR GH OD KRMD FRPR VH PXHVWUD HQ ODV VLJXLHQWHV Â¿JXUDV \

Figura 3.1. FunciÃ³n continua. Las funciones polinomiales son funciones continuas.

Figura 3.2. FunciÃ³n discontinua. Las funciones discontinuas no son polinomiales.

Los siguientes conceptos de los polinomios de grados cero, uno y dos nos ayudarÃ¡n D LGHQWLÂ¿FDU FDGD XQR GH ORV HOHPHQWRV \ JUiÂ¿FD GH ORV SROLQRPLRV REMHWR GH HVWXGLR de este bloque.

&RPSRUWDPLHQWR JUiÂ¿FR GH OD IXQFLyQ SROLQRPLDO GH JUDGR FHUR La funciÃ³n constante (grado cero) es la funciÃ³n polinomial mÃ¡s simple. Su expresiÃ³n general es: f x a 0 x 0 a0 1 a Se sabe que toda cantidad elevada a la potencia cero es uno, es decir x 0 1.

Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

Dado que a0 es un nĂşmero real constante, suele expresarse con la letra c. AsĂ, la expresiĂłn de la funciĂłn constante mĂĄs comĂşn es: f x

$QDOLFHPRV OD H[SUHVLyQ DQWHULRU (O SROLQRPLR TXH GHÂżQH D HVWD IXQFLyQ WLHQH D OD variable x con exponente cero, de modo que su grado es cero. En la funciĂłn constante se expresa una relaciĂłn de correspondencia entre los valores de la variable y el valor c, de modo que, para cada valor de x HQ HO LQWHUYDOR ĂÂ&#x2019; Â&#x2019; HO YDORU REWHQLGR por la funciĂłn es c. /DV IXQFLRQHV SROLQRPLDOHV GHVFULEHQ HQ XQ SODQR FDUWHVLDQR JUiÂżFDV GHSHQGLHQGR del grado al que pertenezcan. $ SDUWLU GH HVWR GHGXFLPRV TXH WRGRV ORV SXQWRV GH OD JUiÂżFD GH OD IXQFLyQ FRQVWDQWH HVWiQ GHÂżQLGRV SRU OD H[SUHVLyQ x, c) y, consecuentemente, a la misma altura respecto del eje X, dando lugar a una recta horizontal (paralela al eje X), que corta al eje Y a la altura de y = c FRPR JUiÂżFD GH OD IXQFLyQ HQ HO SODQR FDUWHVLDQR Si c = 0, la recta es el eje X del plano cartesiano. Entonces, la ecuaciĂłn del eje X es f(x) = 0.

f(x) = 0

Figura 3.3. GrĂĄfica de la funciĂłn constante f(x) = c.

Si c = 0, la funciĂłn f(x) = 0 representa al eje X del plano cartesiano Recordando que toda funciĂłn polinomial tiene como dominio a los reales y que el UDQJR HV HO FRQMXQWR GH YDORUHV TXH WRPD OD IXQFLyQ SRGHPRV DÂżUPDU TXH HO GRPLnio de la funciĂłn constante es el conjunto de los nĂşmeros reales, y que su rango es el conjunto cuyo Ăşnico elemento es c, es decir: Domf

\ y Rangof

^c` 77

loque III

Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

3RU HMHPSOR VL GHVHDPRV WUD]DU OD JUiÂżFD GH OD IXQFLyQ f (x) = 3, tabulamos algunos puntos y luego los unimos. x

y = f(x) = 3

Punto

A Ă

B Ă

C(0, 3)

D(2, 3)

E(4, 3)

f(x) = 3

Figura 3.4. GrĂĄfica de la funciĂłn f(x) = 3.

(Q OD JUiÂżFD GH OD IXQFLyQ I (x) = 3 tenemos que Domf

\ u Rangof

^3`

Actividad de aprendizaje 1 Instrucciones: Lee detenidamente las indicaciones de los siguientes ejercicios, realiza las actividades que se te piden, anota las respuestas en orden y con limpieza HQ WX FXDGHUQR 5HJLVWUD \ UHĂ&#x20AC;H[LRQD WXV UHVSXHVWDV SDUD TXH GHVSXpV ODV FRPHQWHV con tus compaĂąeros. Escucha con respeto las aportaciones de los demĂĄs para mejorar tu trabajo. 1. $ SDUWLU GH OD JUiÂżFD VLJXLHQWH GHWHUPLQD OD H[SUHVLyQ GH OD IXQFLyQ

FunciĂłn

f(x) =

Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

*UDÂ¿FDU OD IXQFLyQ f(x Ã *UDÂ¿FDU OD IXQFLyQ f(x) = 2.5

Aprende mÃ¡s

&RPSRUWDPLHQWR JUiÂ¿FR GH OD IXQFLyQ SROLQRPLDO GH JUDGR XQR Es la funciÃ³n de grado impar mÃ¡s simple. Su expresiÃ³n general es: f x

a1x a0

Otras formas comunes en que se expresa esta funciÃ³n son: f x

ax b

f x

mx b

6H GHQRPLQD IXQFLyQ OLQHDO SRUTXH VX JUiÂ¿FD HQ HO SODQR FDUWHVLDQR HV XQD OtQHD recta.

loque III

Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

Ejemplo: *UDÂ¿FDU OD IXQFLyQ f x

1 x 2 2

SoluciÃ³n: 6DELHQGR TXH HV XQD IXQFLyQ GH JUDGR LPSDU WHQHPRV TXH HO VLJXLHQWH DQiOLVLV HV LQGLVSHQVDEOH SDUD FRQRFHU H LGHQWLÂ¿FDU ORV HOHPHQWRV GH OD JUiÂ¿FD GH OD IXQFLyQ GH SULPHU JUDGR (O FRHÂ¿FLHQWH SULQFLSDO D HV SRVLWLYR SRU OR TXH OD JUiÂ¿FD GH HVWD IXQFLyQ YD GHVGH PHQRV LQÂ¿QLWR ÃÂ&#x2019; SRU GHEDMR GHO HMH ; FRUWD DO HMH ; \ FRQWLQ~D KDVWD LQÂ¿QLWR Â&#x2019; SRU HQFLPD GH pVWH (O WpUPLQR FRQVWDQWH HV D SRU OR TXH OD JUiÂ¿FD FRUWD DO HMH < HQ HO SXQWR $GHPiV VDEHPRV TXH HVWD IXQFLyQ GHEH WHQHU XQ FHUR R UDt] HQ OD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ SRU OR TXH VH GHEH GHVSHMDU [ f x

1 x 2 2

1 x 2 0 2 1 2 Â§Â¨ x 2 Â·Â¸ 0 2

Â©2 Â¹ x 4 0 x 0 4 x 4

x Ã

f x

1 6 2 2

Ã Ã

3 2

3XQWR 1 A(Ã Ã

B(Ã

1 2 2 2

1 x 2 2

1 2 1

C(Ã

1 2 2 1 2 2

1 4 2 2

2 2

/D IXQFLyQ WLHQH XQ FHUR R UDt] HQ HO SXQWR Ã

Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

Aprende más Parámetros y características de la función de grado uno. Al trazar la gráfica de una ecuación polinomial y = mx + b de grado uno, se obtiene una recta, en estas gráficas se observa una cierta inclinación, el valor de esa inclinación se determina con el valor de (m) y se llama pendiente de la recta, también se observa en la ecuación el valor de (b) que se llama ordenada al origen y señala el valor en el que la recta corta al eje y. Por ejemplo, al trazar la gráfica de y = 3x + 2 (figura 3.5), se puede identificar el valor de la pendiente (m = 3) y el valor de la ordenada al origen (b = 2). y = 3x + 2

b=2

m=3

Figura 3.5.

Procedimiento para trazar una función lineal. Los pasos a seguir son: 1. Con el término constante b (ordenada al origen), localizar la intersección con el eje Y, es decir, el punto (0, b). 2. Cambiar la expresión del coeficiente principal m (pendiente) a la forma fraccionaria, es decir, expresar: p m= r 3. Si m > 0, mover p unidades hacia arriba y r unidades hacia la derecha (o p unidades hacia abajo y r unidades hacia la izquierda) y trazar el nuevo punto. Si m = 0, la recta es horizontal y pasa por (0, b). Ya se puede trazar.

loque III

Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

4. Si m < 0, mover S unidades hacia abajo y U unidades hacia la derecha (o S unidades hacia arriba y U unidades hacia la izquierda) y trazar el nuevo punto. 5. Con los dos puntos obtenidos (excepto si m = 0), trazar la recta. Ejemplo: 7UD]D OD JUiÂ¿FD GH OD IXQFLyQ f x

1.5 x 2

SoluciÃ³n: /D SHQGLHQWH HV m

1.5

5 10

15 10

3 2

< OD RUGHQDGD DO RULJHQ E 7UD]DPRV HO SXQWR f (x Ã x + 2

&RPR P PRYHPRV XQLGDGHV KDFLD DEDMR \ GRV KDFLD OD GHUHFKD SDUD REWHQHU XQ QXHYR SXQWR WDPELpQ VH PXHVWUD HO PRYLPLHQWR GH XQLGDGHV KDFLD DUULED \ GRV D OD L]TXLHUGD

(0, 2)

8QLPRV ORV SXQWRV \ SURORQJDPRV OD OtQHD

m Ã

Recuerda que sobre el GRPLQLR se sabe que para todas las funciones polinomiales: Domf

(V GHFLU OD JUiÂ¿FD H[LVWH WLHQH SXQWRV SDUD YDORUHV GH x GHVGH ÃÂ&#x2019; KDVWD Â&#x2019; El UDQJR de la funciÃ³n lineal es el conjunto de todos los nÃºmeros reales, es decir: Rangof

/R DQWHULRU VLJQLÂ¿FD TXH OD JUiÂ¿FD VH H[WLHQGH YHUWLFDOPHQWH GHVGH ÃÂ&#x2019; KDVWD Â&#x2019; Si en el ejemplo anterior la pendiente es cero (m = 0), entonces la funciÃ³n dada es la funciÃ³n constante estudiada antes.

Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

Aprende mĂĄs /D IXQFLyQ OLQHDO FRPR PRGHOR GH YDULDFLyQ GLUHFWD Decimos que en la relaciĂłn de dos variables hay una variaciĂłn directa cuando al aumentar el valor de una aumenta el valor de la otra, o bien, cuando al disminuir el valor de una disminuye el valor de la otra. Por ejemplo, la cantidad de libros que se pueden comprar con cierta cantidad GH GLQHUR HV XQ FDVR GH YDULDFLyQ GLUHFWD ÂłD PD\RU FDQWLGDG GH OLEURV VH UHTXLHUH PD\RU FDQWLGDG GH GLQHURÂ´ R ELHQ ÂłD PHQRU FDQWLGDG GH OLEURV FRUUHVSRQGH XQD FDQWLGDG PHQRU GH GLQHURÂ´ Para expresar que la variable y varĂa directamente con respecto a la variable x, se utiliza la expresiĂłn: y v x TXH VH OHH Âły es directamente proporcional a xÂ´ Esta expresiĂłn puede transformarse en igualdad cambiando el sĂmbolo v por la igualdad e introduciendo una constante k, llamada constante de proporcionalidad, que multiplique a la variable x; es decir, y v x es lo mismo que y = kx, que, como funciĂłn, es: y

f x

(la cual, como hemos estudiado, es la funciĂłn lineal) AquĂ b es la pendiente y b = 0. Este modelo permite resolver problemas. Revisemos algunos ejemplos. Ejemplo 1: Se compraron 3 libros y se pagĂł 150 pesos por ellos. ÂżCuĂĄl es el modelo de variaciĂłn? Usando este modelo, ÂżcuĂĄnto se pagarĂĄ por 5 libros? SoluciĂłn: y x

k (O PRGHOR GH YDULDFLyQ HV f x

150 3

50 pesos/libro

50x GRQGH [ HV OD FDQWLGDG GH OLEURV TXH VH FRPSUDQ

3DUD VDEHU HO FRVWR GH OLEURV f 5

50 5

250 pesos

loque III

Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

Ejemplo 2: Si un automĂłvil recorre 75 kilĂłmetros en 80 minutos, ÂżquĂŠ distancia recorrerĂĄ en media hora? Resuelve el problema utilizando el modelo de variaciĂłn directa. SoluciĂłn:

f x

1 hora 2

y x

75 80

15 km/min 16

15 x GRQGH [ HV HO WLHPSR GHO UHFRUULGR HQ PLQXWRV 16 15 30 minutos SRU OR TXH f 30

30 28.125 kilĂłmetros 16

Actividad de aprendizaje 2 Instrucciones: Lee los siguientes ejercicios para encontrar las soluciones de cada uno de ellos, realizando las anotaciones necesarias en tu cuaderno con orden y OLPSLH]D 5HJLVWUD \ UHĂ&#x20AC;H[LRQD WXV UHVSXHVWDV SDUD TXH GHVSXpV ODV FRPHQWHV FRQ tus compaĂąeros de clase, escucha y respeta las aportaciones de los demĂĄs para mejorar tu trabajo. Resuelve los siguientes problemas: 1. Determina la ecuaciĂłn de la recta horizontal que pase por el punto P1 7.5, 2 . Â§5 7Âˇ 2. Halla la ecuaciĂłn de la recta vertical que pase por el punto P1 Â¨ , Â¸ . ÂŠ4 2Âš +DOOD OD JUiÂżFD GH OD HFXDFLyQ x + y Ă +DOOD OD HFXDFLyQ GH OD UHFWD TXH SDVH SRU HO SXQWR Ă \ FX\R iQJXOR GH LQclinaciĂłn sea igual a 315Â°. +DOOD OD HFXDFLyQ GH OD UHFWD FX\RV H[WUHPRV VHDQ ORV SXQWRV Ă Ă \

Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

6. Halla la pendiente, el ángulo de inclinación y la ordenada al origen de la recta cuya ecuación sea 5x í y í 7. Se compraron 6 libros y se pagó 300 pesos por ellos. ¿Cuál es el modelo de variación? Usando este modelo, ¿cuánto se pagará por 25 libros? 8. Si un automóvil recorre 115 kilómetros en 80 minutos, ¿qué distancia recorrerá en media hora? 9. Se compraron 5 conejos y se pagó 1500 pesos por ellos. ¿Cuál es el modelo de variación? Usando este modelo, ¿cuánto se pagará por 15 conejos? 10. Si un automóvil recorre 75 kilómetros con 15 litros de gasolina, ¿qué distancia recorrerá con 30 litros?

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DSpQGLFH DO ¿QDO GHO OLEUR *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

Aprende más

&RPSRUWDPLHQWR JUi¿FR GH OD IXQFLyQ SROLQRPLDO GH JUDGR GRV Su expresión general es f (x) = a2x2 + a1x + a0 que suele expresarse como: f (x) = ax2 + bx + c FRQ D DO JUD¿FDU HVWD IXQFLyQ VH GHVFULEH XQD SDUiEROD

Como cualquier función polinomial, su dominio es el conjunto de todos los números reales: Domf = ^ El análisis de los términos de una función cuadrática f (x) = a2x2 + a1x + a0 es: • •

La constante a R FRH¿FLHQWH FXDGUiWLFR LQGLFD TXp WDQ DQFKD R HVWUHFKD HVWD OD parábola. Si a < 1 (a menor que 1) la parábola es muy ancha.

loque III

Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

â&#x20AC;˘ Si a > 1 (a mayor que 1) la parĂĄbola es muy estrecha. Â&#x2021; (O FRHÂżFLHQWH b o tĂŠrmino lineal indica el desplazamiento de la parĂĄbola a la derecha si b es negativo y a la izquierda si b es positivo. â&#x20AC;˘ La parĂĄbola corta al eje Y en el punto (0, c). â&#x20AC;˘ Si a > 0, (a SRVLWLYD OD JUiÂżFD HV OD GH XQD SDUiEROD TXH DEUH KDFLD DUULED HV decir, empieza arriba del eje X y termina arriba de ĂŠl en un desplazamiento hori]RQWDO GH L]TXLHUGD D GHUHFKD ÂżJXUD â&#x20AC;˘ Si a < 0, (a QHJDWLYD OD JUiÂżFD HV OD GH XQD SDUiEROD TXH DEUH KDFLD DEDMR HV decir, empieza abajo del eje X y termina abajo de ĂŠl en un desplazamiento hori]RQWDO GH L]TXLHUGD D GHUHFKD ÂżJXUD

Figura 3.6. a > 0.

Figura 3.7. a < 0.

'H PRGR TXH HO UDQJR GH OD IXQFLyQ FXDGUiWLFD GHSHQGH GHO FRHÂżFLHQWH SULQFLSDO Para determinar los ceros de la funciĂłn cuadrĂĄtica es necesario resolver la ecuaciĂłn: f(x) = a2x2 + a1x + a0 Esta ecuaciĂłn puede resolverse usando la fĂłrmula general: x

b r b 2 4ac 2a

La expresiĂłn dentro de la raĂz cuadrada: b2 Ă ac se denomina discriminante de la ecuaciĂłn porque su valor determina si las raĂces son reales o complejas. â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

Si b2 Ă ac < ODV UDtFHV VRQ FRPSOHMDV \ VLJQLÂżFD TXH OD JUiÂżFD QR FRUWD DO HMH X, por lo que en este caso concluimos que la funciĂłn cuadrĂĄtica no tiene ceros LQWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH ; FRPR VH PXHVWUD HQ ODV ÂżJXUDV \ Si b2 Ă ac = KD\ XQD UDt] UHDO \ VLJQLÂżFD TXH OD JUiÂżFD FRUWD DO HMH ; HQ XQ Ăşnico punto, el vĂŠrtice de la parĂĄbola; por lo tanto, la funciĂłn sĂłlo tiene un cero en x Ăb a R ELHQ HQ HO YpUWLFH Ăb a GH DFXHUGR FRQ OD ÂżJXUD

Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

Â&#x2021; Si b2 Ă DF ! ODV GRV UDtFHV VRQ UHDOHV \ VLJQLÂżFD TXH OD JUiÂżFD FRUWD DO HMH ; HQ GRV SXQWRV ÂżJXUD HVWR HV OD IXQFLyQ FXDGUiWLFD WLHQH GRV FHURV LQWHUsecciones con el eje X) en: x1

b d , donde d = b2 Ă 4ac, que representa al punto (x1, 0) 2a

b d , donde d = b2 Ă 4ac, que representa al punto (x2, 0) 2a

Figura 3.8.

Figura 3.9.

Figura 3.10.

Figura 3.11.

Para determinar el vĂŠrtice en este Ăşltimo caso, se debe considerar que la parĂĄbola HV XQD JUiÂżFD VLPpWULFD HV GHFLU OD DOWXUD GH XQ SXQWR D U unidades a la izquierda del vĂŠrtice es la misma para el punto a U unidades a la derecha del vĂŠrtice. (QWRQFHV FRQVLGHUDQGR ODV LQWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH ; SRGHPRV DÂżUPDU TXH OD coordenada [ del vĂŠrtice es el punto medio del segmento que une las intersecciones con el eje X, es decir: x1 x2 xV 2

loque III

Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

Por lo tanto:

b d b d 2a 2a 2

d b

b b 4a

2a 2 1

2b 4a

b 2a

Ahora calculemos la coordenada y del vĂŠrtice: yV

f xV

a xV b xV c

Â§ b Âˇ Â§ b Âˇ aÂ¨ Â¸ bÂ¨ Â¸ c ÂŠ 2a Âš ÂŠ 2a Âš

ab 2 2ab 2 4a 2c 4a 2

Â§ b2 Âˇ b2 aÂ¨ 2 Â¸ c ÂŠ 4a Âš 2a

4a 2c ab 2 4a 2

ab 2 b 2 c 4a 2 2a

a 4ac b 2

4a 2

b 2 4ac 4a

d , donde d = b2 Ă 4ac, que es el discriminante de la ecuaciĂłn cuadrĂĄtica. 4a

Finalmente, el vĂŠrtice estĂĄ determinado por el punto: d Âˇ Â§ b 2 V Â¨ , Â¸ , donde d = b Ă 4ac ÂŠ 2a 4a Âš Â&#x2021; El rango de la funciĂłn cuadrĂĄtica, como se explicĂł antes, depende del valor del FRHÂżFLHQWH SULQFLSDO GH OD VLJXLHQWH PDQHUD Si a < 0, la parĂĄbola abre hacia abajo, de modo que el vĂŠrtice es el punto mĂĄximo GH OD JUiÂżFD (QWRQFHV d Âş Â§ 2 Â¨ f, 4a Âť , donde d = b Ă 4ac ÂŠ Âź Si a > 0, la parĂĄbola abre hacia arriba, de modo que el vĂŠrtice es el punto mĂnimo GH OD JUiÂżFD (QWRQFHV Rangof

Rangof

ÂŞ d Âˇ 2 ÂŤ 4a , f Â¸ , donde d = b Ă 4ac ÂŹ Âš

Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

En general, el comportamiento de una funciÃ³n polinomial puede entenderse meGLDQWH HO DQiOLVLV GH VXV SDUiPHWURV HQ HVSHFLDO GH VX FRHÂ¿FLHQWH SULQFLSDO an y de su tÃ©rmino independiente a0. Los siguientes ejemplos muestran la utilidad de este anÃ¡lisis de la funciÃ³n cuadrÃ¡tica. Ejemplo 1: Explica el comportamiento de la funciÃ³n f x

x2 2 \ WUD]D OD JUiÂ¿FD 8

SoluciÃ³n: (Q HVWD IXQFLyQ a

1 , b 8

0, c

/D JUiÂ¿FD SDVD SRU HO HMH < HQ HO SXQWR Ã 'DGR TXH D ! OD JUiÂ¿FD HPSLH]D SRU DUULED GHO HMH ; \ WHUPLQD SRU DUULED GHO HMH ; b2 4ac 2 Â§1 Â· Â§ 8Â· d 0 4 Â¨ Â¸ 2 0 Â¨ Â¸ 1 Â©8 Â¹ Â© 8Â¹ ,QWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH ; d

1 x2 2 8

1 2 x 8

2 x 2

16 x

/D JUiÂ¿FD FRUWD DO HMH ; HQ Ã \ b 2a

d 4a

0 2 18

1 4 18

9 Ã SXQWR PtQLPR

Domf

0 1

Rangof

> 2, f

*UiÂ¿FD

loque III

Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

Ejemplo 2: Explica el comportamiento de la funciÃ³n f x

JUiÂ¿FD

2 x 2 8 x 2 y traza la

SoluciÃ³n: (Q HVWD IXQFLyQ

2, b

8, c

/D JUiÂ¿FD SDVD SRU HO HMH < HQ HO SXQWR Ã

'DGR TXH D OD JUiÂ¿FD HPSLH]D SRU DEDMR GHO HMH ; \ WHUPLQD SRU DEDMR GHO HMH ; d d

b2 4ac 2 8 4 2 2 64 16

,QWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH ; x

8 r 48 2 2

8 r 16 3 4

4 2 B 3

8 r 4 3 4

2r 3

/D JUiÂ¿FD FRUWD DO HMH ; HQ 2 3 , 0 \ 2 3 , 0 xV

b 2a

8 2 2

8 4

d 4a

48 4 2

48 8

9 SXQWR PtQLPR

Domf

Rangof

f, 6 @

Ejemplo 3: Analiza la funciÃ³n f x

3 x 2 30 x 76 \ WUD]D VX JUiÂ¿FD

SoluciÃ³n: (Q HVWD IXQFLyQ

3, b

30, c

/D JUiÂ¿FD SDVD SRU HO HMH < HQ HO SXQWR

Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

'DGR TXH D ! OD JUiÂ¿FD HPSLH]D SRU DEDMR GHO HMH ; \ WHUPLQD SRU DEDMR GHO HMH ; d d

b2 4ac 2 30 4 3 76

900 912

'DGR TXH G OD JUiÂ¿FD QR WLHQH LQWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH ; xV

b 2a

30 2 3

30 6

d 4a

12 4 3

12 12

5 1

9 Ã SXQWR PtQLPR

Domf

Rangof

>1, f

Ejemplo 4: 8QD SDUiEROD WLHQH FRPR YpUWLFH HO SXQWR Ã \ SDVD SRU HO SXQWR Ã (QFXHQWUD OD IXQFLyQ FXDGUiWLFD GH HVWD SDUiEROD \ WUD]D VX JUiÂ¿FD SoluciÃ³n: 3RGHPRV YHU TXH OD SDUiEROD WLHQH FRPR SXQWR Pi[LPR DO YpUWLFH D GH PRGR TXH f x

ax 2 bx c

(O SXQWR Ã GHEH FXPSOLU OD IXQFLyQ SRUTXH HV SXQWR GH OD SDUiEROD 9

a 1 b 1 c

a b c 9 c a b 9 (O YpUWLFH Ã WDPELpQ HV SXQWR GH OD SDUiEROD SRU OR TXH 2

1 a 3 b 3 c 9a 3b c 1 c 9a 3b 1 ,JXDODQGR DPEDV H[SUHVLRQHV a b 9 9a 3b 1 9a a 3b b 9 1 8a 2b 8

ContinÃºa...

loque III

Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

2 4a b

4a b

$GHPiV SDUD HO YpUWLFH WHQHPRV TXH b xV 2a b 3 , 6a b, b 6a 2a 3RU OR WDQWR 4a 6a 4 2a

4, a

4 , a 2

'H GRQGH b 6 2

b 12 c a b 9

2 12 9

c c

2 21 19

)LQDOPHQWH f x

2x 2 12x 19

Ejemplo 5: Un tĂşnel de una carretera tiene forma de arco parabĂłlico. Su altura es de 8 metros y su anchura, a nivel de suelo, es de 4 metros. ÂżQuĂŠ altura mĂĄxima debe tener un camiĂłn de 2.5 metros de ancho para poder pasar por el tĂşnel? Si la mayorĂa de los camiones de carga que circulan en las carreteras de MĂŠxico tienen, SRU QRUPD RÂżFLDO PHWURV GH DQFKR SRU PHWURV GH DOWXUD Â˘HV DGHFXDGR HO GLseĂąo del tĂşnel para una carretera mexicana? SoluciĂłn: /D IXQFLyQ SDUD HO W~QHO HV f x

a 0 b 0 c c

ax 2 bx c

Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

$GHPiV HO SXQWR WDPELpQ SHUWHQHFH D OD SDUiEROD SRU OR TXH 0

a 2 b 2 8

4a 2b 8 2 2a b 4

0 0

2a b 4 0 6XVWLWX\HQGR ODV FRRUGHQDGDV GHO YpUWLFH WHQHPRV xV 0

b 2a b 2a

0 2a

b 0 b 0

2a 0 4 0 2a 4 0 2a 4 4 a 2 a 2

/D IXQFLyQ GHO W~QHO HV f x

2x 2 8

$KRUD FDOFXOHPRV OD DOWXUD GHO FDPLyQ TXH SXHGD SDVDU SRU HO W~QHO h

f 1.25

2 1.25 8

4.875

h 4.875 m 'DGR TXH OD DOWXUD GH ORV FDPLRQHV HV GH P PHQRU D P HO GLVHxR GHO W~QHO HV DGHFXDGR

Actividad de aprendizaje 3 Instrucciones: Lee detenidamente las indicaciones de los siguientes ejercicios, realiza las actividades que se te piden, anota las respuestas en orden y con limpieza HQ WX FXDGHUQR 5HJLVWUD \ UHÃ&#x20AC;H[LRQD WXV UHVSXHVWDV SDUD TXH GHVSXpV ODV FRPHQWHV con tus compaÃ±eros. Escucha con respeto las aportaciones de los demÃ¡s para mejorar tu trabajo.

loque III

Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

1. $QDOL]DU \ JUDยฟFDU ODV IXQFLRQHV a) y

0.5 x 2 3 x 1

b) y

2x 2 4 x 3

c) y

2 2 9 x 2x 3 4

([SOLFD HO FRPSRUWDPLHQWR GH OD VLJXLHQWH IXQFLyQ \ WUD]D OD JUiยฟFD f x

x2 3 9 x 4 2 4

3. Encuentra la funciรณn de la parรกbola con intersecciรณn con el eje Y en el punto รญ TXH SDVD SRU ORV SXQWRV รญ \ รญ 4. Determina el รกrea mรกxima del terreno rectangular que se puede cercar con 60 metros de reja. 6H ODQ]D YHUWLFDOPHQWH XQD SLHGUD FRQ XQD YHORFLGDG LQLFLDO GH P V /D DOWXUD que alcanza la piedra en t segundos estรก dada por la funciรณn: h t

60t 4.9t 2

ยฟCuรกnto tiempo le tomarรก a la piedra alcanzar la altura mรกxima? ยฟCuรกl es esa altura? 6. Los costos de producciรณn de x unidades de un producto estรกn dados por la funciรณn: c x

3 x 2 535 x 1030 pesos

Si el precio por unidad es de 347 pesos, ยฟcuรกl es la funciรณn para la utilidad si se venden todas las unidades producidas? ยฟCon cuรกntas unidades se obtiene la mรกxima utilidad?

3DUD YHULยฟFDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DSpQGLFH DO ยฟQDO GHO OLEUR *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

Actividad de aprendizaje 4 El reto consiste en buscar y encontrar las condiciones mĂĄs favorables para que Francisco elija el plan de salario mĂĄs lucrativo para ĂŠl. Para lograr esta meta, te sugerimos contestar las siguientes preguntas: ÂżQuĂŠ plan le conviene elegir? ÂżBajo quĂŠ circunstancias es mejor el plan C que los otros dos? ÂżEs el plan B mejor que los otros dos? ÂżEn quĂŠ circunstancias? ÂżDe quĂŠ depende que una opciĂłn sea mejor que otra? El proyecto se circunscribe al caso en que Francisco venderĂĄ Ăşnicamente telĂŠfonos celulares de 1000 pesos cada uno. Sabemos que en la realidad, un vendedor ofrece XQD OtQHD GH YDULRV SURGXFWRV VLQ HPEDUJR FRQ OD LQWHQFLyQ GH VLPSOLÂżFDU HO SURFHVR es necesario delimitarlo de esta manera. Es importante que se empleen ecuaciones y sistemas de ecuaciones en la bĂşsqueda de la mejor alternativa para Francisco. Delimitando el reto: elecciĂłn de la mejor alternativa ÂżCuĂĄl es el problema de contexto que se desea resolver? ÂżEn quĂŠ situaciones de tu comunidad puede ser Ăştil este conocimiento? Â˘4Xp EHQHÂżFLRV WLHQH SDUD WX FRPXQLGDG OD UHVROXFLyQ GH GLFKR SUREOHPD" ÂżEs importante para tu vida este conocimiento? ÂżPor quĂŠ? PlaneaciĂłn de actividades Organizados en equipos, de acuerdo con las indicaciones del docente facilitador, realicen el proyecto. Es muy importante que en los equipos se deleguen responsabilidades entre los integrantes, que elaboren un plan de trabajo y un cĂłdigo ĂŠtico que deberĂĄn cumplir con responsabilidad y respeto por el trabajo de sus compaĂąeros, de modo que logren realizar cabalmente las siguientes actividades: 1. Elijan el material necesario para el trabajo, por ejemplo: cartulina, plumones, juego geomĂŠtrico, software de computadora, calculadora, etcĂŠtera. Asimismo, decidan la escala adecuada para representar los datos y las ecuaciones, asĂ como el uso de colores o materiales para distinguir los diferentes planes. 2. En un mismo plano cartesiano dibujen los puntos correspondientes al salario de Francisco cuando vende 1, 2, 3,â&#x20AC;Ś, 15 unidades al mes, para cada una de las opciones disponibles.

loque III

Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

&RQ EDVH HQ OD JUiÂżFD REWHQLGD GLVFXWDQ DFHUFD GHO PHMRU SODQ GH SDJR SDUD )UDQFLVFR MXVWLÂżFDQGR SRU HVFULWR VXV DUJXPHQWRV \ ODV FRQGLFLRQHV SDUD YDOLdarlas. 4. Elaboren las ecuaciones de cada plan y grafĂquenlas en un nuevo plano cartesiano. Es necesario que los procedimientos completos empleados para obtenerlas sean escritos en un documento donde, ademĂĄs, se incluirĂĄn los elementos del lugar geomĂŠtrico considerados, por ejemplo, pendientes, intersecciones, etcĂŠtera. 5. Transformen las ecuaciones obtenidas para presentarlas en todas las formas estudiadas en esta unidad. Los procedimientos realizados deberĂĄn agregarse al documento de la actividad anterior. 6. Para encontrar la respuesta al problema de Francisco, es Ăştil la determinaciĂłn GH ORV SXQWRV GH LQWHUVHFFLyQ HQWUH ODV JUiÂżFDV GH FDGD SODQ GH VXHOGR TXH GHben calcularse mediante el uso de sistemas de ecuaciones y anoten sus conclusiones. 7. Redacten una conclusiĂłn acerca de su trabajo y formulen una respuesta al problema, de modo que Francisco pueda elegir el mejor plan de sueldo. 8. Todos los integrantes del equipo deberĂĄn coevaluar a sus compaĂąeros mediante DUJXPHQWRV TXH MXVWLÂżTXHQ XQD QRWD ÂżQDO 9. Deben entregar al docente facilitador el portafolio de evidencias, que contiene todos los productos de las actividades anteriores. 10. En la fecha asignada por el docente facilitador, todos los equipos presentarĂĄn VXV FRQFOXVLRQHV \ UHVXOWDGRV HQ SOHQDULD $O ÂżQDO HO GRFHQWH IDFLOLWDGRU UHWURDOLmentarĂĄ al grupo y realizarĂĄ la evaluaciĂłn del periodo. 5HĂ&#x20AC;H[LRQD Â˘4Xp LQIRUPDFLyQ WHyULFD QHFHVLWDV SDUD DIURQWDU HVWH UHWR"

Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

Cierre del bloque III 5HÁH[LRQD VREUH OR DSUHQGLGR Cabe señalar que cada modelación de problemas con variables presentes en este bloque, tiene una forma diferente de llegar a su solución; por ello se recomienda:

Leer con cuidado el problema y entenderlo. Dibujar una diagrama si es pertinente. Determinar las cantidades desconocidas y conocidas. Emplear variables para representar cantidades desconocidas.

Como recordarás, al inicio del bloque se propuso la elaboración de un proyecto que consistía en obtener los modelos lineales de situaciones comunes de una solicitud GH HPSOHR \ ODV RSFLRQHV GH VDODULR (O SUR\HFWR GHEHUi FXPSOLU FRQ ODV HVSHFL¿FDciones que se piden de entrega. Ha llegado la hora de entregar tu carpeta con los respectivos trabajos y hojas de operaciones, el profesor les pedirá que realicen algunos cálculos con base en sus modelos lineales.

Autoevaluación Instrucciones: Lee los siguientes ejercicios para encontrar las soluciones, realiza las anotaciones necesarias en tu cuaderno con orden y limpieza. Registra y UHÀH[LRQD WXV UHVSXHVWDV SDUD TXH GHVSXpV ODV FRPHQWHV FRQ WXV FRPSDxHURV GH clase, escucha y respeta las aportaciones de los demás para mejorar tu trabajo. Resuelve los siguientes problemas: 7UD]D OD JUi¿FD GH OD IXQFLyQ f x

2 x 3

2. Una casa que se compró hace 5 años cuesta 700 000 pesos. Si dentro de 3 años su precio será de 1 millón de pesos, ¿cuál es el modelo de variación del precio de esa casa en el tiempo? ¿Cuánto costó hace 5 años? 3. Una recta tiene los puntos (2, 9) y (7, 24). Encuentra la función de la recta y, usando esta función, calcula la altura del punto cuya abscisa es 10. 4. Un submarino sumergido a 10 metros soporta una presión de 98 pascales. Si el

loque III

Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

submarino se sumerge 6 metros, la presiĂłn soportada es de 157 pascales. ÂżCuĂĄl es el modelo de variaciĂłn lineal de la presiĂłn con respecto a la profundidad del submarino? Usando el modelo obtenido, calcula la presiĂłn a 200 metros de profundidad.

5. Un automĂłvil recorriĂł 45 kilĂłmetros con 5 litros de gasolina y 80 kilĂłmetros con 9 litros. Determina el modelo lineal del rendimiento del automĂłvil. ÂżQuĂŠ distancia recorre el automĂłvil con 20 litros de gasolina? 6. Explica el comportamiento de la funciĂłn f x

x2 3 9 x \ WUD]D OD JUiÂżFD 4 2 4

7. Encuentra la funciĂłn de la parĂĄbola con intersecciĂłn con el eje Y en el punto Ă TXH SDVD SRU ORV SXQWRV Ă Ă \ Ă

Si de la actividad anterior obtuviste 6 a 7 aciertos considera tu resultado como H[FHOHQWH, de 4 a 5 aciertos como ELHQ 3 aciertos UHJXODU y si tus respuestas correctas fueron menos de 3 considera tu desempeĂąo como QR VXÂżFLHQWH, lo que exige que refuerces tus conocimientos previos.

ÂżCĂłmo evalĂşas el nivel de tus conocimientos previos en funciĂłn de las respuestas correctas que tuviste?

Excelente Bien Regular 1R VXĂ&#x20AC;FLHQWH

Bloque IV. Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro

Bloque IV Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro

loque IV

Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro

Introducciรณn En el boque anterior estudiamos las caracterรญsticas de las funciones polinomiales de grado cero, uno y dos. Ademรกs analizamos algunas de las aplicaciones de dichas funciones en la representaciรณn de situaciones reales, con el propรณsito de transformarlas e incluso resolverlas. En el presente bloque ampliaremos el estudio de las funciones polinomiales, anali]DQGR ODV FDUDFWHUtVWLFDV SDUiPHWURV FRPSRUWDPLHQWR JUiยฟFR \ DSOLFDFLRQHV GH ODV que corresponden a grado tres y cuatro. Ademรกs, se presenta una estrategia aplicable a funciones polinomiales factorizaEOHV TXH SXHGH HPSOHDUVH SDUD ERVTXHMDU OD JUiยฟFD GH GLFKDV IXQFLRQHV Como observarรกs a lo largo de este bloque, la factorizaciรณn es una de las herramientas mรกs fรกciles de utilizar en el estudio de las funciones polinomiales de cualquier grado, incluso aplicaremos las tรฉcnicas descritas en el presente bloque en aquellos polinomios analizados en el bloque anterior. Si bien se pretende que apliques polinomios de grados tres y cuatro en la soluciรณn de problemas reales, observarรกs que las aplicaciones tienen que ver con elementos HVSHFtยฟFRV \ DYDQ]DGRV VLQ HPEDUJR VH PXHVWUD DOJXQD DSOLFDFLyQ SDUD HO FRQRcimiento general.

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Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro

¿Qué aprenderás y cómo organizarás tu estudio? Bloque IV Tiempo

10 horas

Contenidos curriculares que se abordan 1. Modelo matemático de las funciones polinomiales de grado tres y cuatro. • Propiedades geométricas de la función polinomial de grado tres. • Propiedades geométricas de la función polinomial de grado cuatro. 2. Métodos de solución de las ecuaciones factorizables asociadas a una función polinomial de grado tres y cuatro. 3. &RPSRUWDPLHQWR GH OD JUi¿FD GH XQD IXQFLyQ polinomial en función de los valores que toman sus parámetros.

Competencias disciplinares que se desarrollan •

• •

Evaluación del aprendizaje Durante este bloque realizarás los siguientes proGXFWRV GH DSUHQGL]DMH TXH SRQGUiQ GH PDQL¿HVWR HO desarrollo de tus competencias • • • •

•

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos, y variacionales para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia.

Actividad de aprendizaje 1. Funciones polinomiales de grado tres y cuatro. Actividad de aprendizaje 2. Ecuaciones asociadas a funciones polinomiales de grado tres y cuatro. Actividad de aprendizaje 3. Comportamiento GH OD JUi¿FD GH XQD IXQFLyQ SROLQRPLDO GH grado tres y cuatro. Autoevaluación.

101

loque IV

Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro

3DUD LQLFLDU UHĂ H[LRQD En el negocio de la familia PĂŠrez, se necesitan cajas sin tapa para transportar sus productos confeccionados. Se cuenta con cartones rectangulares de 50 x 60 cm, ÂżcuĂĄl puede ser el mĂĄximo volumen de las cajas que necesita la familia PĂŠrez?

Figura 4.1.

Inicio de la secuencia: 1. Realiza un dibujo que represente el cartĂłn rectangular y escribe las dimensiones en cada lado. 2. Realiza un dibujo indicando los cuadrados de ĂĄrea x2, que deberĂĄn ser recortados en cada esquina del cartĂłn y escribe las dimensiones de cada elemento despuĂŠs de recortar los cuadrados. 3. Realiza el dibujo de la caja e indica las dimensiones de cada uno de sus elementos. 4. Escribe la fĂłrmula para calcular el volumen de la caja formada en funciĂłn de la longitud del lado x de cada cuadrado cortado en cada una de las esquinas. 5. ÂżCuĂĄntas variables hay en este problema? 6. ÂżIndica cuĂĄles son y cuĂĄl de ellas depende de la otra? 7. Escribe la fĂłrmula del volumen de la caja como una funciĂłn polinomial. 8. De acuerdo con las condiciones del problema indica el intervalo de valores que puede tomar la longitud x del lado de cada uno de los cuadrados recortados al cartĂłn. 9. Completa la siguiente tabla, calculando los volĂşmenes correspondientes para los valores de x seĂąalados.

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Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro

X lado del cuadrado

V (x) volumen

0.5 1 3 6 10 11 13 15 18 19.5 20

10. Completa la siguiente tabla, calculando los volúmenes correspondientes para los valores de x señalados.

8QH ORV SXQWRV JUD¿FDGRV FRQ XQD OtQHD VXDYH 12. Para qué valor de x, el volumen de la caja será 5000 cm3.

103

loque IV

Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro

Aprende mĂĄs Modelo matemĂĄtico de las funciones polinomiales de grado tres y cuatro En primera instancia, una funciĂłn polinomial debe su grado al que corresponde al polinomio incluido en su regla de correspondencia. Los polinomios a estudiar en la presente secciĂłn son aquellos que contienen expresiones de grado tres como: f x

ax 3 bx 2 cx d con a, b, c, d Â? R y a Â?

Y los que corresponden al grado cuatro: f x

ax 3 bx 2 cx d con a, b, c, d Â? R y a Â?

&DEH VHxDODU TXH VL DOJXQR GH ORV FRHÂżFLHQWHV GHO SROLQRPLR HV LJXDO D FHUR VH considera un polinomio incompleto; sin embargo, se mantienen las mismas propiedades y los elementos que los correspondientes a un polinomio completo. Enunciemos las propiedades fundamentales de las funciones polinomiales. â&#x20AC;˘

El dominio de las funciones polinomiales es todo el conjunto de los nĂşmeros reales.

Â&#x2021; /DV IXQFLRQHV SROLQRPLDOHV VRQ FRQWLQXDV HV GHFLU VXV JUiÂżFDV QR SUHVHQWDQ interrupciones. A partir de las propiedades anteriores podemos intuir algĂşn comporWDPLHQWR LQLFLDO GH OD JUiÂżFD GH ODV IXQFLRQHV GH HVWH WLSR ÂżJXUDV \ 4.3); para ello, deberĂĄ realizarse la WDEXODFLyQ HQ WRGDV ODV JUiÂżFDV Como indican las propiedades, se SXHGH REVHUYDU TXH ODV JUiÂżFDV no tienen interrupciones y las funciones tienen como dominio todo el conjunto de nĂşmeros reales. Figura 4.2. f(x) = x3Ă1

104

Figura 4.3. f(x) = x4â&#x2C6;&#x2019;x2

Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro

Propiedades geomĂŠtricas de la funciĂłn polinomial de grado tres Su expresiĂłn general es: ax 3 bx 2 cx d , donde a z 0

f x

Como todas las funciones polinomiales, tiene como dominio el conjunto de los nĂşmeros reales: Domf \ Como funciĂłn de grado impar, su rango son todos los nĂşmeros reales: Rangof

IntersecciĂłn con el eje Y: (0, d) Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021;

Si a > 0, la funciĂłn va debajo del eje X, lo cruza y continĂşa arriba del eje X. Si a < 0, la funciĂłn empieza arriba del eje X y termina abajo del eje X. El nĂşmero mĂĄximo de intersecciones con el eje X (ceros de la funciĂłn) es 3. 3RU WDEXODFLyQ REWHQHPRV OD JUiÂżFD

Revisemos algunos ejemplos. Ejemplo 1: 'HVFULEH HO FRPSRUWDPLHQWR \ ERVTXHMD OD JUiÂżFD GH OD IXQFLyQ f x

1 3 x 3 2x 2 x 1 3 2

SoluciĂłn:

Domf

\, Rangof

,QWHUVHFFLyQ FRQ HO HMH < Ă

1 0 OD JUiÂżFD HPSLH]D 3 HQFLPD GHO HMH ; \ WHUPLQD GHEDMR GH pVWH 'DGR TXH a

/D JUiÂżFD SXHGH WHQHU Pi[LPR FHURV

105

loque IV

Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro

Ejemplo 2: 'HVFULEH HO FRPSRUWDPLHQWR \ ERVTXHMD OD JUiÂżFD GH OD IXQFLyQ f x

x3 4x 2 5x 2

SoluciĂłn:

Domf ^, Rangof ^ IntersecciĂłn con el eje Y: (0, Ă2) 'DGR TXH D ! OD JUiÂżFD HPSLH]D abajo del eje X y termina arriba de ĂŠste. /D JUiÂżFD SXHGH WHQHU Pi[LPR FHURV

Propiedades geomĂŠtricas de la funciĂłn polinomial de grado cuatro Sean f (x) = x4 y f (x Ăx4 IXQFLRQHV FX\DV JUiÂżFDV VH YLVXDOL]DQ D FRQWLQXDFLyQ

Figura 4.6.

106

Figura 4.7.

Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro

$ SDUWLU GH HVWDV JUiÂ¿FDV SRGHPRV JHQHUDOL]DU SDUD IXQFLRQHV SROLQRPLDOHV GH JUDdo cuatro, lo siguiente: 1. /D JUiÂ¿FD VH H[WLHQGH KDFLD HO PLVPR ODGR UHVSHFWR GHO HMH ; HQ IRUPD GH SDUiERODV. D 6L HO FRHÂ¿FLHQWH SULQFLSDO HV SRVLWLYR an > 0), los valores de f YDQ GHVGH LQÂ¿QLWR HV GHFLU OD JUiÂ¿FD HVWDUi DUULED GHO HMH ; \ XQD YH] TXH KD\D WHQLGR VX PD\RU cercanÃa al eje X, continuarÃ¡ arriba de Ã©l, considerando un desplazamiento hori]RQWDO KDFLD OD GHUHFKD Â¿JXUD E 6L HO FRHÂ¿FLHQWH SULQFLSDO HV QHJDWLYR an OD JUiÂ¿FD YD SRU DEDMR GHO HMH ; \ FRQWLQ~D KDFLD ÃÂ&#x2019; GHVSXpV GH KDEHU WHQLGR VX PD\RU FHUFDQtD FRQ HO HMH ; DEDMR GHO HMH ; FRQVLGHUDQGR XQ GHVSOD]DPLHQWR KRUL]RQWDO KDFLD OD GHUHFKD Â¿JXUD 4.7). (O UDQJR GH ODV IXQFLRQHV SROLQRPLDOHV GH JUDGR FXDWUR GHSHQGH GHO FRHÂ¿FLHQWH principal. a) Si an > 0, el rango incluirÃ¡ todos los valores de y GHVGH XQ PtQLPR KDFLD HO LQÂ¿QLto, es decir, 5DQJRI = [ymin Â&#x2019; b) Si an > 0, el rango incluirÃ¡ todos los valores de y GHVGH ÃÂ&#x2019; KDVWD XQ Pi[LPR HV decir, 5DQJRI = [ymin Â&#x2019; 3. La Ãºnica intersecciÃ³n con el eje Y es el punto (0, a0).

Actividad de aprendizaje 1 Instrucciones (1): $QDOL]D ODV VLJXLHQWHV IXQFLRQHV \ ERVTXHMD VX JUiÂ¿FD a) f x

x3 1

b) f x

x3 3x

c) f x

3 4x 3x 2 6x3

107

loque IV

Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro

Instrucciones (2): Responde a lo siguiente marcando con una X en el parĂŠntesis que corresponda y completando la parte faltante. , /D JUiÂżFD GH f x

x 4 3 x 2 1:

a) Comienza ( ) Arriba ( izquierda a derecha. b) Termina ( ) Arriba ( izquierda a derecha.

) Debajo del eje X, en un desplazamiento horizontal de ) Debajo del eje X, en un desplazamiento horizontal de

c) Corta al eje Y en ________. ,, /D JUiÂżFD GH f x

x 100

a) Comienza ( ) Arriba ( izquierda a derecha. b) Termina ( ) Arriba ( izquierda a derecha.

3 : 2

) Debajo del eje X, en un desplazamiento horizontal de ) Debajo del eje X, en un desplazamiento horizontal de

c) Corta al eje Y en ________.

3DUD YHULÂżFDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD OD VHFFLyQ GH 5HWURDOLPHQWDFLyQ DO ÂżQDO GHO OLEUR *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

Aprende mĂĄs MĂŠtodos de soluciĂłn de las ecuaciones factorizables asociadas a una funciĂłn polinomial de grado tres y cuatro En muchas de las funciones polinomiales que hemos analizado puedes notar que VX JUiÂżFD LQWHUVHFWD DO HMH ; HQ DOJXQDV QR &RQWDU FRQ ODV LQWHUVHFFLRQHV GH ODV

108

Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro

funciones polinomiales con el eje X es de gran ayuda si esta informaciĂłn se agrega a las tĂŠcnicas que has aprendido hasta este punto. Para mostrar hacia dĂłnde vamos, analiza lo siguiente. Se tiene la funciĂłn polinomial: f x x3 4x Para la cual deseamos responder la siguiente cuestiĂłn: Âża quĂŠ valor o valores de la variable x les corresponde una imagen igual a cero? Para responder, debemos considerar que si se requiere que la imagen de x sea igual a cero, tendremos que: f (x)

0 de donde se tiene la ecuaciĂłn x 3 4 x

Como recordarĂĄs, en tus cursos bĂĄsicos de ĂĄlgebra aprendiste que la ecuaciĂłn puede resolverse empleando la factorizaciĂłn que se describe a continuaciĂłn: x3 4x

La ecuaciĂłn dada se puede factorizar por factor comĂşn. Al factorizar el binomio en el parĂŠntesis se tiene:

x x2 4

x x 2 x 2

A partir de la Ăşltima expresiĂłn resultante podemos establecer que el producto serĂĄ igual a cero, cuando al menos uno de los factores lo sea, es decir: x 0 x 2 0 x 2

AsĂ, los valores de x a los que corresponde una imagen igual a cero son: x

De las parejas resultantes del proceso anterior, obtenemos que dichos puntos se XELFDQ HQ HO HMH ; OXHJR ODV LQWHUVHFFLRQHV GH OD JUiÂżFD FRQ HO HMH ; VRQ ORV SXQWRV (0, 0), (2, 0), (Ă2, 0). Con las intersecciones con el eje x determinadas y los elementos que hemos visto, VH SXHGH ERVTXHMDU OD JUiÂżFD GH OD IXQFLyQ FRPR VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD HQ OD pĂĄgina siguiente.

109

loque IV

Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro

Figura 4.8. GrÃ¡fica de la funciÃ³n f(x) = x3â&#x2C6;&#x2019;4x

Ejemplo 1: Despeja la variable y y exprÃ©sala como I (x). Analiza y bosqueja la grÃ¡Â¿FD GH OD IXQFLyQ 3y 6x 9 x2 1 SoluciÃ³n:

6x 9 x 2 1

6x 3 9x 2 6x 9

6x 3 9x 2 6x 9 3

2x 3 3x 2 2x 3

f x

2x 3 3x 2 2x 3

(V XQD IXQFLyQ F~ELFD SRU OR TXH Domf

Rangof

,QWHUVHFFLyQ FRQ HO HMH ; Ã

3DUD KDOODU ODV LQWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH ;

6x 9 x 2 1

2x 3 x 2 1

0 0

2x 3 x 1 x 1

110

Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro

'H GRQGH

2x 3 2x x1

0 3 3 2

x 1 0 x 1 x2

x 1 0 x 1

Â§ 3 Â· /DV LQWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH ; VRQ Â¨ , 0 Â¸ , Â© 2 Â¹

1, 0

'DGR TXH D ! OD JUiÂ¿FD FRPLHQ]D GHEDMR GHO HMH ; \ WHUPLQD DUULED GHO HMH ; /D JUiÂ¿FD HV

Ejemplo 2: 'HWHUPLQD ODV LQWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH ; \ ERVTXHMD OD JUiÂ¿FD GH OD funciÃ³n: f x x3 1 SoluciÃ³n: 3URFHGHPRV D GHWHUPLQDU ORV YDORUHV GH [ TXH WLHQHQ DO FHUR FRPR LPDJHQ HVWR HV x 1 0 $O VHU HO ELQRPLR GH XQD VXPD GH FXERV VH WLHQH

x 1 x 2 x 1

ContinÃºa...

111

loque IV

Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro

/D H[SUHVLyQ DQWHULRU SHUPLWH REVHUYDU TXH XQR GH ORV YDORUHV D GHWHUPLQDU HV [ Ã 6LQ HPEDUJR ORV YDORUHV GH [ HQ OD VHJXQGD H[SUHVLyQ UHTXLHUHQ GH RWUD WpFQLFD SDUD REWHQHUVH (Q HVWH FDVR VL DSOLFDPRV OD IyUPXOD JHQHUDO SDUD UHVROYHU HFXDFLRQHV GH VHJXQGR JUDGR REWHQHPRV x 2 x 1

0 x

b r b2 4ac \D TXH D E Ã F VXVWLWX\HQGR 2a

( 1) r

2 1

4 1 1

1 r 1 4 2

1 r 3 2

/D H[SUHVLyQ DQWHULRU PXHVWUD FODUDPHQWH TXH OD HFXDFLyQ QR WLHQH PiV VROXFLRQHV HQ HO FDPSR GH ORV Q~PHURV UHDOHV \ HQ FRQVHFXHQFLD OD JUiÂ¿FD QR WHQGUi PiV LQWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH [ TXH FXDQGR [ Ã 3RU OR TXH HQ OD JUiÂ¿FD VyOR VH SXHGH YLVXDOL]DU XQR GH ORV FHURV Ã \ OD LQWHUVHFFLyQ FRQ HO HMH < (V LPSRUWDQWH UHFRQRFHU TXH OD HFXDFLyQ LQLFLDO GH JUDGR WUHV WLHQH WUHV VROXFLRQHV HQ HVWH FDVR XQD VROXFLyQ UHDO \ GRV FRPSOHMDV

Ejemplo 3: Traza el bosquejo de la funciÃ³n f ( x ) SoluciÃ³n:

$O GHWHUPLQDU ORV YDORUHV GH [ TXH WLHQHQ DO FHUR FRPR LPDJHQ x4 x2 1 0 6H REVHUYD TXH OD HFXDFLyQ DQWHULRU QR WLHQH VROXFLRQHV UHDOHV HV GHFLU WHQGUi FXDWUR VROXFLRQHV FRPSOHMDV (PSOHDQGR VXV FRHÂ¿FLHQWHV \ JUDGR WHQHPRV

112

x 4 x 2 1.

Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro

Una de las tĂŠcnicas utilizadas para factorizar polinomios de tercer grado es enconWUDQGR \ FRPELQDQGR ORV IDFWRUHV GHO FRHÂżFLHQWH GH x de mayor grado y los factores del tĂŠrmino independiente, ya que las raĂces del polinomio siempre dan como producto a esos dos nĂşmeros, a este proceso se le llama UDtFHV UDFLRQDOHV. A continuaciĂłn se explica el procedimiento para encontrar las raĂces de un polinomio. Se toma como ejemplo el siguiente:

f(x) = 6x3 Ă x2 Ă x + 15

Denominador

Numerador

ÂżQuĂŠ relacion observas entre el 6 y el 15? El nĂşmero 6 y el 15 estĂĄn relacionados con el producto de sus factores: (2)(1)(3) = 6 (3)(1)(5) = 15 Las raĂces de este polinomio se formarĂĄn combinando los factores de estos nĂşmeros. Las raĂces racionales que se formarĂĄn sĂłlo pueden ser algunas de las que se construyan con estos nĂşmeros: a 1, 3, 5, 15 ( b 1, 2, 3, 6 E Por ejemplo, si consideramos que el denominador es 1, cada uno de estos nĂşmeros es una posible raĂz del polinomio: r1

r 15

De la misma manera, si consideramos al 2 como denominador, ĂŠstas serĂĄn las posibles raĂces: r

1 2

3 2

5 2

15 2

Evaluando cada uno de los valores en la funciĂłn original, los valores que obtuvieron una imagen igual a cero son: 3 5 1, , , es decir, x 2 3

1; x

3 ;x 2

5 3

113

loque IV

Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro

La ecuacion 6 x 3 7 x 2 14 x 15

0 factorizada es:

x 1 2x 3 3 x 5

Ejemplo 1: Encuentra las posibles combinaciones de raÃces racionales de: 6 x 4 13 x 3 16 x 2 53 x 30

f (x) SoluciÃ³n:

/DV SRVLEOHV FRPELQDFLRQHV GH UDtFHV UDFLRQDOHV VL HV TXH H[LVWHQ HVWDUiQ HQ ORV VL-JXLHQWHV Q~PHURV a b

30 6

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 1, 2, 3, 6

8QR GH ORV SURFHVRV PiV IiFLOHV SDUD HYDOXDU \ HQFRQWUDU OD LPDJHQ FHUR HV OD GLYLVLyQ VLQWpWLFD 6L VH WRPD OD FRPELQDFLyQ \ UHDOL]DPRV OD GLYLVLRQ VLQWpWLFD VH REWLHQH XQD LPDJHQ FHUR R UHVLGXR FHUR DÂ¿UPDQGR TXH HV XQD UDt] UDFLRQDO GH

5 3 Ã Ã Ã Ã Ã

f ( x ) 6x 4 13x 3 16x 2 53x 30

Ã Ã

/D YHQWDMD GH OD GLYLVLyQ VLQWpWLFD HVWi HQ TXH SURSRUFLRQD SROLQRPLRV GH JUDGR LQIHULRU SDUD VHJXLU SUREDQGR UDtFHV

Ã Ã $O FRPELQDU XQD YH] PiV ORV IDFWRUHV \ WRPDQGR DO Ã XQR SDUD UHDOL]DU OD GLYLVLRQ VLQWpWLFD REVHUYDPRV TXH WDPELpQ HV XQD UDt] Ã &XDQGR VH OOHJD D XQD IXQFLyQ FXDGUiWLFD VH SXHGH SURFHGHU GH OD PLVPD PDQHUD SDUD FDOFXODU ODV UDtFHV UHVWDQWHV R PHGLDQWH OD IyUPXOD JHQHUDO b r b2 4ac 2a

2 LQFOXVR XQD IDFWRUL]DFLyQ GH OD HFXDFLyQ FXDGUiWLFD SRU DOJXQR GH ORV PpWRGRV DSUHQ-GLGRV HQ ORV FXUVRV GH iOJHEUD /DV UDtFHV R IDFWRUHV GHO SROLQRPLR VRQ x 1

114

5 3

3 2

Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro

3RU OR WDQWR HO SROLQRPLR IDFWRUL]DGR HV LJXDO D

x 1 3x 5 2x 3 x 2

/D GHWHUPLQDFLRQ GH ODV UDtFHV GH XQ SROLQRPLR SHUPLWH IDFWRUL]DUOR $Vt FRPR KDFHU XQ HVER]R GH VX JUiÂ¿FR

3RGHPRV DÂ¿UPDU TXH HVWDV WpFQLFDV QRV SHUPLWHQ WHQHU XQ DFHUFDPLHQWR DO JUiÂ¿FR TXL]i PX\ FHUFDQR D OD JUiÂ¿FD Â¿QDO 0iV DGHODQWH DSUHQGHUiV HVWUDWHJLDV SDUD GHWHUPLQDU FRQ SUHFLVLyQ OD JUiÂ¿FD GH XQD IXQFLyQ SROLQRPLDO

Actividad de aprendizaje 2 Instrucciones (1): %RVTXHMD ODV JUiÂ¿FDV GH ODV VLJXLHQWHV IXQFLRQHV SROLQRPLDOHV a) f ( x )

3 x ( x 1)( x 3)

b) g ( x )

x3 1

c) y

x 4 3x 2 4

d) f ( x )

x 4 3

e) g ( x )

x 3 27

115

loque IV

Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro

Instrucciones (2): Se construye una caja de cartÃ³n abierta a partir de una pieza con dimensiones 40 cm por 20 cm. Para ello se cortan cuadrados de cierta longitud en cada esquina. Modela el volumen de la caja a travÃ©s de una funciÃ³n y responde las siguientes preguntas: 1. 2. 3. 4.

Â¿QuÃ© tipo de funciÃ³n es? Â¿CuÃ¡l es su dominio? Â¿Es una funciÃ³n continua? %RVTXHMD OD JUiÂ¿FD TXH OH FRUUHVSRQGH

3DUD YHULÂ¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD OD VHFFLyQ GH 5HWURDOLPHQWDFLyQ DO Â¿QDO GHO OLEUR *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

Aprende mÃ¡s &RPSRUWDPLHQWR GH OD JUiÂ¿FD GH XQD IXQFLyQ polinomial en funciÃ³n de los valores que toman sus parÃ¡metros (Q JHQHUDO ORV SROLQRPLRV FRQWLHQHQ Â³QÂ´ WpUPLQRV \ HQ FRQVHFXHQFLD PLVPR Q~PHUR GH FRHÂ¿FLHQWHV LQFOXVR pVWRV SXHGHQ YDOHU FHUR $ SDUWLU GH GLFKRV FRHÂ¿FLHQWHV VH SXHGH GHVFULELU HO FRPSRUWDPLHQWR GH OD JUiÂ¿FD GH OD IXQFLyQ \ ERVTXHMDUOD La forma general de una funciÃ³n polinomial es: f x

an x n an 1x n 1 ! a2 x 2 a1x a0

En esta expresiÃ³n es un nÃºmero entero no negativo, que se denomina JUDGR GH OD IXQFLyQ SROLQRPLDO. Â&#x2021; /RV YDORUHV QXPpULFRV UHDOHV an , an 1, !, a2 , a1, a0 se denominan FRHÂ¿FLHQWHV GHO SROLQRPLR.

116

Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro

Â&#x2021; (O FRHÂ¿FLHQWH an , un nÃºmero real diferente de cero ( an z 0 ) que actÃºa como FRHÂ¿FLHQWH GHO WpUPLQR GH PD\RU JUDGR VH GHQRPLQD FRHÂ¿FLHQWH SULQFLSDO de la funciÃ³n. Â&#x2021; (O FRHÂ¿FLHQWH a0 se denomina FRHÂ¿FLHQWH FRQVWDQWH. Â&#x2021; 'H HVWH PRGR an x n es el tÃ©rmino principal de la funciÃ³n y el tÃ©rmino a0 es el WpUPLQR FRQVWDQWH o WpUPLQR LQGHSHQGLHQWH de Ã©sta. Por ejemplo, en la funciÃ³n polinomial: f x

3 x 4 2x 3 x 2 2x 3

Grado TÃ©rmino principal &RHÂ¿FLHQWH SULQFLSDO &RHÂ¿FLHQWH FRQVWDQWH

Äº Äº Äº Äº

4 3x4 3 3

Debes tener en cuenta que en un polinomio de grado Q HO ~QLFR FRHÂ¿FLHQWH TXH GHEH VHU GLVWLQWR GH FHUR HV HO FRHÂ¿FLHQWH SULQFLSDO Â¢&XiO HV OD UD]yQ" &XDOTXLHUD GH ORV GHPiV FRHÂ¿FLHQWHV GHO SROLQRPLR SXHGH VHU LJXDO D FHUR FDVR GHO SROLQRPLR incompleto).

Actividad de aprendizaje 3 Instrucciones (1): Completa la siguiente tabla a partir de la funciÃ³n polinomial que se presenta. Polinomio

Grado

TÃ©rmino principal

&RHÃ&#x20AC;FLHQWH principal

&RHÃ&#x20AC;FLHQWH constante

f(x) = x6 Ã x f(x) = 2x3 Ã x + 2 g(x) = 3x4 + x Ã 1 h(x) = x3

117

loque IV

Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro

Instrucciones (2): Completa la siguiente tabla a partir de la función polinomial que se presenta. Polinomio

Término principal

&RHÀFLHQWH principal

&RHÀFLHQWH constante

í5

í8

Grado

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD OD VHFFLyQ GH 5HWURDOLPHQWDFLyQ DO ¿QDO GHO OLEUR *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

118

Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro

Cierre del bloque IV 5HĂ H[LRQD VREUH OR DSUHQGLGR Una vez estudiada la parte principal de este bloque IV, lo consecuente es que desarrolles las habilidades y actitudes necesarias, para asĂ evidenciar que estas aprehendiendo funciones polinomiales de grado tres y cuatro. $O ÂżQDO GHO SUHVHQWH EORTXH \D FXHQWDV QXHYRV HOHPHQWRV GH DSUHQGL]DMH SDUD TXH poco a poco te apropies de ellos y puedas trabajar y aplicar funciones polinomiales a situaciones teĂłricas, pero tambiĂŠn a algunas situaciones reales. Con estos elementos, te invito a que investigues acerca de algĂşn tipo de aplicaciĂłn de funciones polinomiales de grados tres y cuatro y comparte la informaciĂłn con tu docente y grupo. CuestiĂłnense acerca de la utilidad de estar desarrollando estos aprendizajes y la LPSRUWDQFLD GH PDQHMDUORV DGHFXDGDPHQWH $O ÂżQDO SUHVHQWD D WX GRFHQWH ODV REVHUvaciones del trabajo realizado para realimentar tu aprendizaje en cuanto a funciones polinomiales.

AutoevaluaciĂłn Instrucciones: Encuentra las soluciones a los siguientes ejercicios para lo cual debes realizar las anotaciones necesarias en tu cuaderno con orden y limpieza. RegisWUD \ UHĂ&#x20AC;H[LRQD WXV UHVSXHVWDV SDUD TXH GHVSXpV ODV FRPHQWHV FRQ WXV FRPSDxHURV de clase escucha y respeta las aportaciones de los demĂĄs para mejorar tu trabajo. 1. Despeja la variable y de la ecuaciĂłn:

y y 2x 3 2 9 x 10

Expresa la variable x como funciĂłn de la variable y, analiza la funciĂłn y bosqueja VX JUiÂżFD 2. Determina una de las raĂces del polinomio x 3 x 2 x . /D JUiÂżFD GH XQD IXQFLyQ SROLQRPLDO FRUWD DO HMH ; HQ ORV SXQWRV Ă \ GHWHUmina el polinomio que le corresponde.

119

loque IV

Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro

7UD]D OD JUDÂ¿FD TXH OH FRUUHVSRQGH D OD IXQFLyQ SROLQRPLDO f ( x ) *UDÂ¿FD OD IXQFLyQ f ( x )

x 4 1.

x 4 2 x 3 3 x 2 1.

Si de la actividad anterior obtuviste 5 aciertos considera tu resultado como excelente, si fueron 4 aciertos como bien, si tienes 3 aciertos como regular y si tus respuestas correctas fueron menos de 3 aciertos considera tu desempeÃ±o como no VXÂ¿FLHQWH, lo que exige que refuerces tus conocimientos previos.

Â¿CÃ³mo evalÃºas el nivel de tus conocimientos previos en funciÃ³n de las respuestas correctas que tuviste?

120

Excelente Bien Regular 1R VXÃ&#x20AC;FLHQWH

Bloque V. Utilizas funciones factorizables en la resoluciรณn de problemas

Bloque V Utilizas funciones factorizables en la resoluciรณn de problemas

loque V

Utilizas funciones factorizables en la resoluciรณn de problemas

Introducciรณn 3DUD OD FRQVWUXFFLyQ GH FDVDV HGLยฟFLRV \ FDUUHWHUDV HV QHFHVDULR FRQRFHU OD UHVLVWHQFLD GH ORV PDWHULDOHV SDUD WDO PRWLYR HV IUHFXHQWH HQFRQWUDU WDEODV \ JUiยฟFDV que apoyan el cรกlculo para ciertos diseรฑos arquitectรณnicos. /D DSOLFDFLyQ GH WDEODV \ JUiยฟFDV QRV SHUPLWH FDOFXODU HO FUHFLPLHQWR GH XQD SRblaciรณn animal o vegetal en funciรณn del tiempo, el peso de un bulto en funciรณn del diรกmetro del mismo, el consumo de oxรญgeno en funciรณn del trabajo realizado, etc. /DV JUiยฟFDV GH IXQFLRQHV VH KDFHQ SUHVHQWHV VLHPSUH TXH HQ XQ H[SHULPHQWR R fenรณmeno se establezca cierta relaciรณn algebraica o se utilice una fรณrmula. Los feQyPHQRV SXHGHQ VHU VRFLDOHV WHFQROyJLFRV H LQFOXVR SDUWLFXODUPHQWH HVSHFtยฟFRV Aรบn cuando la teorรญa de ecuaciones que estudiamos actualmente surge en el siglo XV, los egipcios, hacia el aรฑo 1890 aC, ya utilizaban ciertas proposiciones que los inducรญan a resolver ecuaciones hasta de segundo grado. En este bloque ampliaremos el conocimiento de la soluciรณn de ecuaciones polinomiales factorizables.

122

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas

¿Qué aprenderás y cómo organizarás tu estudio? Bloque V Tiempo

10 horas

Contenidos curriculares que se abordan 1. División sintética. • Método de división sintética. 2. Ceros y raíces de la función. 3. Teorema del residuo. 4. Teorema del factor. 5. Teorema fundamental del álgebra. 6. Teorema de factorización lineal. *Ui¿FDV GH IXQFLRQHV SROLQRPLDOHV factorizables.

Competencias disciplinares que se desarrollan •

• •

Evaluación del aprendizaje Durante este bloque realizarás los siguientes proGXFWRV GH DSUHQGL]DMH TXH SRQGUiQ GH PDQL¿HVWR HO desarrollo de tus competencias. • • • • • •

Actividad de aprendizaje 1. Ejercicios sobre división sintética. Actividad de aprendizaje 2. Uso del teorema del residuo. Actividad de aprendizaje 3. Ceros de una función polinomial. Actividad de aprendizaje 4. Teorema de factorización lineal. Actividad de aprendizaje 5. Raíces de funciones polinomiales. Autoevaluación.

123

loque V

Utilizas funciones factorizables en la resoluciĂłn de problemas

3DUD LQLFLDU UHĂ H[LRQD Organizados en equipos de cuatro estudiantes, respondan lo siguiente: ÂżquĂŠ sigQLÂżFD OD SHQGLHQWH" /D JUiÂżFD GH OD WHPSHUDWXUD HQ HO H[WHULRU HQ XQ FLHUWR SHULRGR es una recta. ÂżQuĂŠ tanto estĂĄ cambiando el tiempo si la pendiente de la recta es positiva? ÂżY si es negativa? ÂżY si es cero? Escriban su conclusiĂłn:

Aprende mĂĄs DivisiĂłn sintĂŠtica Las funciones polinomiales factorizables VH GHÂżQHQ D SDUWLU GH UHODFLRQHV DULWPpWLcas como la suma, la resta, la multiplicaciĂłn, la divisiĂłn, la potencia y la raĂz. Por la forma en que se presentan estas relaciones, las funciones algebraicas se FODVLÂżFDQ GH OD VLJXLHQWH PDQHUD Â ÂConstante: f x a0 Â° Â° Â° Â°Lineal: f x a1x a0 Funciones Â°Polinomiales Â°CuadrĂĄtica: f x a x 2 a x a 2 ÂŽ ÂŽ 1 0 algebraicas Â° Â° 3 2 Â° Â°CĂşbica: f x a3 x a2 x a1x a0 Â° Â°De grado mayor: f x a x n a x n 1 ! a x a n n 1 1 0 ÂŻ ÂŻ En este bloque estudiaremos las funciones polinomiales factorizables. Para lograr comprender el anĂĄlisis de la factorizaciĂłn de una funciĂłn polinomial, es necesario recordar la divisiĂłn entre polinomios, ampliando este conocimiento se estudiara la divisiĂłn sintĂŠtica.

124

Utilizas funciones factorizables en la resoluciĂłn de problemas

Figura 5.1. Teja de una casa. El diseĂąo de estas tejas estĂĄ basado en funciones polinomiales.

La GLYLVLyQ VLQWpWLFD es un proceso para dividir un polinomio entre otro de grado menor o igual, pero sin el uso de expresiones literales; es decir, empleamos ĂşnicaPHQWH ORV FRHÂżFLHQWHV QXPpULFRV GH ORV WpUPLQRV

MĂŠtodo de divisiĂłn sintĂŠtica El proceso de la divisiĂłn sintĂŠtica se basa en procedimientos desarrollados por RuÂżQL \ +RUQHU 3DUD UHDOL]DU HVWH SURFHVR GHEHPRV YHULÂżFDU TXH 1. Los polinomios dividendo y divisor estĂŠn ordenados descendentemente. 2. El grado del dividendo sea mayor o igual al grado del divisor. Si se desea dividir 11x 2 6 x 4 43 x 3 9 x 8 x 5 42 entre 3 x 2 x 2 6 por el mĂŠtodo de divisiĂłn sintĂŠtica, primero se deben ordenar el dividendo y el divisor: Dividendo: 8 x 5 6 x 4 43 x 3 11x 2 9 x 42 ; grado(Dividendo ) Divisor: 2 x 2 3 x 6 ; grado(Divisor )

Dado que grado(Dividendo ) ! grado(Divisor ) , 5 > 2, la divisiĂłn se puede realizar. El acomodo de los elementos en la divisiĂłn sintĂŠtica se apegarĂĄ al esquema de la ÂżJXUD

Dividendo Ă rea de trabajo Siguientes tĂŠrminos del divisor

Residuo

LĂnea de divisiĂłn

1er. tĂŠrmino del divisor

Cociente LĂnea de cierre

Figura 5.2. Elementos de la divisiĂłn sintĂŠtica.

125

loque V

Utilizas funciones factorizables en la resoluciĂłn de problemas

Pasos de la divisiĂłn sintĂŠtica 3DVR 6H HVFULEHQ ORV FRHÂżFLHQWHV QXPpULFRV del dividendo ordenado descendentemente en un primer renglĂłn. Si el polinomio estĂĄ incompleto, escribe cero en la columna del tĂŠrmino que falte. Dibuja una vertical junto al Ăşltimo FRHÂżFLHQWH HVFULWR 3DVR Se dejan algunos renglones en blanco SDUD HO ÂłiUHD GH WUDEDMRÂ´ /D FDQWLGDG GH UHQJORnes necesarios se puede calcular de la siguiente manera:

Ă Ă Ă

Ă Ă Ă RenglĂłn 1 RenglĂłn 2 RenglĂłn 3 RenglĂłn 4 Siguientes tĂŠrminos del divisor

Renglones de ĂĄrea de trabajo = grado(Dividendo) Ă grado(Divisor) + 1 En nuestro ejemplo, 5HQJORQHV GH iUHD GH WUDEDMR Ă 3DVR Se trazan dos lĂneas horizontales debajo del ĂĄrea de trabajo y se prolonga la vertical hasta cruzar estas dos horizontales. El proceso VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD

1er. FRHÂżFLHQWH del divisor

LĂnea de divisiĂłn

LĂnea de resultados

Figura 5.3. Paso 2 y 3. Ă Ă Ă

3DVR 6H HVFULEH HO SULPHU FRHÂżFLHQWH QXPprico del divisor en el espacio reservado para ĂŠl, como se indicĂł en el esquema. En nuestro HMHPSOR HVWH FRHÂżFLHQWH HV ÂżJXUD

+2 Figura 5.4. Paso 4. Ă Ă Ă

3DVR 6H HVFULEHQ ORV VLJXLHQWHV FRHÂżFLHQWHV del divisor pero se cambian sus signos. Este paso es muy importante para evitar errores en el resultado. TambiĂŠn deben escribirse ceros para los tĂŠrminos que el divisor no tenga.

+2 Figura 5.5. Paso 5.

3DVR 6H EDMD HO SULPHU FRHÂżFLHQWH GHO GLYLdendo hasta la lĂnea de divisiĂłn. 3DVR 6H GLYLGH HQWUH HO SULPHU FRHÂżFLHQWH GHO divisor y el resultado se coloca debajo del tĂŠrmino que se bajĂł.

Ă Ă Ă

+3 +2

8 Figura 5.6. Paso 6.

126

Utilizas funciones factorizables en la resoluciĂłn de problemas

Ă Ă Ă 3DVR Se multiplica este nĂşmero por los siJXLHQWHV FRHÂżFLHQWHV GHO GLYLVRU \ ORV UHVXOWDGRV se colocan en el ĂĄrea de trabajo en las columnas siguientes del renglĂłn nĂşmero dos. 3DVR Se checa que no se haya escrito algĂşn nĂşmero en la Ăşltima columna. De ser asĂ se termina el proceso y se deben determinar los resultados. En nuestro ejemplo, el Ăşltimo nĂşmero escrito es 24, que aĂşn no estĂĄ en la Ăşltima columna del ĂĄrea de trabajo (que es la columna GRQGH HVWi HO Ă 3DVR Si el proceso continua, entonces se EDMD OD VXPD GH ORV FRHÂżFLHQWHV GH OD VLJXLHQte columna a la lĂnea de divisiĂłn y se repite el proceso del paso 6 al 9, tantas veces como sea necesario y hasta llegar a la Ăşltima columna. 3DVR Cuando hemos escrito un nĂşmero debajo de la Ăşltima columna, como en el proceso prĂłximo anterior, debemos colocar unas lĂneas de cierre junto a la Ăşltima cifra escrita en el Ăşltimo renglĂłn. 3DVR Como vemos, quedaron dos columnas despuĂŠs de las lĂneas de cierre. Sumamos estas columnas y escribimos los resultados en la lĂnea de divisiĂłn, como se muestra a continuaciĂłn. 3DVR Ahora, determinemos el cociente. SĂłlo YHPRV ORV FRHÂżFLHQWHV GHO SROLQRPLR TXH UHSUHsenta al cociente. El Ăşltimo es el nĂşmero 7, que HV HO WpUPLQR GH JUDGR FHUR DQWHV HVWi HO Ă siendo el de grado 1; antes que ĂŠste estĂĄ el 3, que es el tĂŠrmino de grado 2, asĂ llegamos al primer tĂŠrmino que es el tĂŠrmino de grado 3. Como la variable es x, el cociente es:

Figura 5.7. Paso 7.

Ă Ă Ă +12 +24 +3

8 +4 Figura 5.8. Paso 8.

Ă Ă Ă Ă Ă +12 +24 +9 +18 Ă Ă +21 +42 +3

+2 Ă Ă Figura 5.9. Paso 9 y 10.

Ă Ă Ă Ă Ă +12 +24 +9 +18 Ă Ă +21 +42 +3 Ă 0 Ă

0 +2

Figura 5.10. Paso 11 y 12.

4x3 3x 2 5x 7

3DVR Ahora calculemos el residuo. Vemos que en la zona del residuo hay dos ceros. Esto VLJQLÂżFD TXH HO SROLQRPLR GHO UHVLGXR HV GH SULmer grado (un tĂŠrmino de grado cero y un tĂŠrmino de primer grado). Pero como ambos son FHUR SRGHPRV GHFLU TXH HO UHVLGXR ÂżQDO HV FHUR

Ă Ă Ă Ă Ă +12 +24 +9 +18 Ă Ă +21 +42 +3

Ă 0 0 +2 Ă Figura 5.11. Paso 13 y 14.

127

loque V

Utilizas funciones factorizables en la resoluciĂłn de problemas

3DVR Ahora sĂłlo resta expresar el resultado: 8 x 5 6 x 4 43 x 3 11x 2 9 x 42 2x 2 3 x 6

4x3 3x 2 5x 7

Ejemplo 1: Dividir por el mĂŠtodo de divisiĂłn sintĂŠtica la siguiente expresiĂłn: 10 x 4 29 x 3 8 x 2 85 x 70 5x 2 3x 8 SoluciĂłn: 10 29 8 85 70 6 16 21 56 27 72 3 8 10 35 45 2 2 5 2 7 9 Resultados:

10x 4 29x 3 8x 2 85 x 70 5 x 2 3x 8

2x 2 7 x 9

2x 2 5 x 3x 8 2

Ejemplo 2: Dividir por el mĂŠtodo de divisiĂłn sintĂŠtica la siguiente expresiĂłn: x 7 7 x 5 12 x 4 x 3 29 x 2 20 x 5 x 4 2x 3 5 x 7 SoluciĂłn: 29 20 5 1 0 7 12 1 2 0 5 7 4 0 10 14 6 0 15 21 5 7 2 0 5 2 0 6 2 1 1 2 3 1 0 0 1 2 3 1

5HVXOWDGR

128

x7 7 x 5 12x 4 x 3 29x 2 20x 5 x 4 2x 3 5 x 7

x 3 2x 2 3x 1

6x 12 x 2x 3 5 x 7 4

Utilizas funciones factorizables en la resoluciĂłn de problemas

Actividad de aprendizaje 1 Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas, anotando los procesos compleWRV HQ WX FXDGHUQR $O ÂżQDO GH OD DFWLYLGDG HVFULEH XQD FRQFOXVLyQ VREUH HO DYDQFH de tu aprendizaje en la divisiĂłn algebraica. 1. Divide por el mĂŠtodo de divisiĂłn sintĂŠtica:

18 x

24 x 3 3 x 6 76 x x 5 76 x 2 10 x 4 40 Ăˇ 4 x 2 x 4 3 x 5 8

2. Por divisiĂłn sintĂŠtica, encuentra el resultado de la divisiĂłn:

12m

19m 4 11m 3 3m 30m 5 1 y 4m 2 5m 3 2m 1

3. Por divisiĂłn sintĂŠtica, determina el resultado de

8a3 b3 4a 2 2ab b 2

4. Determina el resultado de x 2 5 x 6 y x 3 , usando el mĂŠtodo de divisiĂłn sintĂŠtica. 5. Usando divisiĂłn sintĂŠtica calcula

12 p 6 11p5 12 p 4 30 p3 7 p 2 13 p 7 4 p3 p2 2 p 1

Conclusiones:

3DUD YHULÂżFDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

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loque V

Utilizas funciones factorizables en la resoluciĂłn de problemas

Ceros y raĂces de la funciĂłn

A los valores de x que hacen que un polinomio an x n .... a1x a0 valga cero se les llaman UDtFHV o FHURV GHO SROLQRPLR. Por ejemplo, sea el polinomio: p x

Entonces, si x

x 1

1, al sustituir dicho valor en el polinomio obtenemos cero. $Vt TXH Ă HV XQD UDt] GH p x

En otro ejemplo, si q x

x 2 4x 5

Observamos que para x = 5 y x Ă HO SROLQRPLR YDOH FHUR Los ceros de una funciĂłn polinomial I [ son los valores que hacen que I [ 0 *UiÂżFDPHQWH VH UHFRQRFHQ SXHV VRQ ORV YDORUHV GH ODV DEVFLVDV GH ORV SXQWRV GH LQWHUVHFFLyQ GH OD JUiÂżFD FRQ HO HMH ; Si f(U HQWRQFHV DÂżUPDPRV TXH OD IXQFLyQ WLHQH XQ FHUR HQ x = U, con lo que queda determinado, de este modo, el punto (U, 0) como una intersecciĂłn de la grĂĄÂżFD GH f(x) con el eje X. Para hallar los ceros de un polinomio, se debe resolver la ecuaciĂłn: f(x) = 0. La cantidad de soluciones de una ecuaciĂłn polinomial depende del grado, de modo que si ĂŠste es Q, la ecuaciĂłn f(x) = 0 tendrĂĄ Q soluciones, cada una de las cuales SXHGH VHU UHDO R FRPSOHMD \ FRPR FRQVHFXHQFLD OD JUiÂżFD GH f(x) tendrĂĄ como mĂĄximo Q intersecciones con el eje X. Son Q intersecciones con el eje X en el caso de que todas las raĂces de la ecuaciĂłn sean reales. Por ejemplo, una funciĂłn de primer grado tiene sĂłlo una raĂz o cero y, como mĂĄximo, una intersecciĂłn con el eje X. Las funciones de primer grado se denominan IXQFLRQHV OLQHDOHV SRUTXH VX JUiÂżFD HV XQD UHFWD 6L OD UHFWD HV KRUL]RQWDO SDUDOHOD DO eje X, entonces no existe intersecciĂłn alguna con el eje X. Una funciĂłn de segundo grado o cuadrĂĄtica tiene dos ceros y, como mĂĄximo, dos intersecciones con el eje X. Una ecuaciĂłn cĂşbica tiene tres ceros y, por lo tanto, como mĂĄximo tres intersecciones con el eje X, etcĂŠtera. /DV LQWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH < TXH WLHQH OD JUiÂżFD VH FDUDFWHUL]DQ SRU VHU SXQWRV de abscisa igual a cero. Si x = 0, tenemos que:

130

Utilizas funciones factorizables en la resoluciÃ³n de problemas

f 0

an 0 an 1 0

n 1

! a2 0 a1 0 a0

por lo que para toda funciÃ³n polinomial se cumple que f 0

Se determina asÃ al punto (0, a0) como la Ãºnica intersecciÃ³n con el eje Y de cualquier IXQFLyQ SROLQRPLDO (O FRHÂ¿FLHQWH FRQVWDQWH a0 determina el punto sobre el eje Y por HO FXDO SDVD OD JUiÂ¿FD GH OD IXQFLyQ 6L HO FRHÂ¿FLHQWH FRQVWDQWH HV FHUR OD JUiÂ¿FD GH la funciÃ³n polinomial pasarÃ¡ por el origen del plano cartesiano, es decir, por el punto (0, 0). Para comprender mejor esto Ãºltimo, analicemos la funciÃ³n: f x

x 2 5x 6

Comencemos el anÃ¡lisis notando que el grado de la ecuaciÃ³n f(x) = 0 es 2, lo que QRV JDUDQWL]D TXH D OR PXFKR OD JUiÂ¿FD WRFDUi GRV YHFHV DO HMH ; 5HVROYLHQGR OD HFXDFLyQ REWHQHPRV TXH ODV UDtFHV VRQ \ OR TXH VLJQLÂ¿FD TXH f(x) = 2 y que f(x &RQ HVWR SRGHPRV FRQFOXLU VLQ PLHGR D HTXLYRFDUQRV TXH OD JUiÂ¿FD FRUWD al eje X en los puntos (2, 0) y (3, 0). 3RU RWUR ODGR HO WpUPLQR LQGHSHQGLHQWH HV FRQ OR TXH FRQFOXLPRV TXH OD JUiÂ¿FD FRUWD DO HMH < HQ HO SXQWR 9LVWR GH RWUD IRUPD OD JUiÂ¿FD FRUWD DO HMH < D XQD altura de 6 unidades sobre el eje X. &RQ OD LQIRUPDFLyQ DQWHULRU \ UHFRUGDQGR TXH OD JUiÂ¿FD QR SXHGH HVWDU URWD SRGHmos trazar Ã©sta:

Figura 5.15. GrÃ¡fica de la funciÃ³n f(x) = x2 Ã 5x + 6

Â¢&yPR VH XWLOL]D HO VDEHU TXH OD JUiÂ¿FD QR HVWi URWD " &RPHQWD WX UD]RQDPLHQWR con el grupo.

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loque V

Utilizas funciones factorizables en la resoluciĂłn de problemas

Aprende mĂĄs Los siguientes teoremas muestran cĂłmo se puede usar la divisiĂłn sintĂŠtica para evaluar polinomios fĂĄcilmente.

Teorema del residuo Si el polinomio P x se divide entre x c , entonces el residuo es el valor de P c . 'HPRVWUDFLyQ Si el divisor en el algoritmo de la divisiĂłn es de la forma [ Ă F para algĂşn nĂşmero real c, entonces el residuo debe ser una constante (puesto que el grado del residuo es menor que el grado del divisor). Si a esta constante se le denomina U, entonces: P x

x c Â&#x2DC;Q x r

Si se establece [ F en esta ecuaciĂłn, se obtiene: P x

x c Â&#x2DC;Q x r

0 r

Es decir, P c es el residuo U. Ejemplo: Aplicar el teorema del residuo para hallar el valor de un polinomio, sea: p( x )

3x5 5x 4 4x3 7x 3

a) Encuentre el cociente y el residuo cuando P x se divide entre [ 2 b) Usa el teorema del residuo para hallar P 2 . SoluciĂłn:

D 3XHVWR TXH x 2 VLJXLHQWH IRUPD

132

x 2 OD GLYLVLyQ VLQWpWLFD SDUD HVWH SUREOHPD WRPD OD

Utilizas funciones factorizables en la resoluciÃ³n de problemas

2 3 5 4 0 7 3 6 2 4 8 2 3 1 2 4 1 5 (O UHVLGXR HV SRU OR WDQWR p 2

(O FRFLHQWH HV 3x x 2x 4x 1 \ HO UHVLGXR HV E 3RU HO WHRUHPD GHO UHVLGXR P 2 HV HO UHVLGXR FXDQGR P x VH GLYLGH HQWUH x 2

x 2

'HO LQFLVR D HO UHVLGXR HV SRU OR WDQWR P 2

Teorema del factor El teorema siguiente establece que los ceros de polinomios corresponden a factores, c es un cero de P si y sÃ³lo si: x c es un factor de P x

'HPRVWUDFLyQ Si P x se factoriza como P x

P c

A la inversa, si P c

â&#x20AC;&#x201C; c Â&#x2DC; Q c

x c Â&#x2DC; Q x , entonces: 0 Â&#x2DC; Q c

0 , entonces por el teorema del residuo: P x

x c Â&#x2DC;Q x 0 x c Â&#x2DC;Q x

Por lo tanto, x c es un factor de P x

Ejemplo 1: Factorizar un polinomio por medio del teorema del factor, sea: p( x ) Demostrar que P 1

x3 7x 6

0 y factorizar P x por completo.

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loque V

Utilizas funciones factorizables en la resoluciÃ³n de problemas

SoluciÃ³n: Sustituyendo, se ve que:

3RU HO WHRUHPD GHO IDFWRU HVWR VLJQLÂ¿FD TXH HV XQ IDFWRU GH 3 [ 8VDQGR OD GLYLVLyQ sintÃ©tica se ve que:

Ejemplo 2: +DOODU XQ SROLQRPLR FRQ FHURV HVSHFLÂ¿FDGRV +DOODU XQ SROLQRPLR GH GH JUDGR FXDWUR TXH WLHQH FHURV Ã \ SoluciÃ³n:

Por el teorema del factor facto or deseado, asÃ que

Puesto que

deben ser factores del polinomio

es de grado cuatro es una soluciÃ³n del problema.

$O JUDÂ¿FDU VH GHEH REVHUYDU TXH ORV FHURV GH 3 FRUUHVSRQGHQ D ODV LQWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH ; GH OD JUiÂ¿FD

Figura 5.12.

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Utilizas funciones factorizables en la resoluciÃ³n de problemas

Actividad de aprendizaje 2 Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas, anotando los procesos compleWRV HQ WX FXDGHUQR $O Â¿QDO GH OD DFWLYLGDG HVFULEH XQD FRQFOXVLyQ VREUH HO DYDQFH de tu aprendizaje en la divisiÃ³n sintÃ©tica. I. Usa la divisiÃ³n sintÃ©tica y el teorema del residuo para evaluar 3 F . 1. p( x )

4 x 2 12 x 5

2. p( x )

2x 2 9 x 1

3. p( x )

5 x 4 30 x 3 40 x 2 36 x 14

c c

1 1 2 c

,, (QFXHQWUD XQ SROLQRPLR GH JUDGR HVSHFLÂ¿FDGR TXH WHQJD ORV FHURV GDGRV 4. Grado 4: ceros Ã1, 1, 3, 5 5. Grado 5: ceros Ã2, -1, 0, 1, 2 Conclusiones:

3DUD YHULÂ¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

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loque V

Utilizas funciones factorizables en la resoluciĂłn de problemas

Teorema fundamental del ĂĄlgebra Este teorema es de gran importancia dentro del estudio de las ecuaciones. Encontrar los ceros o raĂces de una ecuaciĂłn representa encontrar todos los valores de x para los cuales f (x) = 0. Carl Friedrich Gauss fue uno de los matemĂĄticos mĂĄs grandes de todos los tiempos. ContribuyĂł a muchas ramas de las matemĂĄticas. En 1798, a los 20 aĂąos de edad, demostrĂł su teorema que dice lo siguiente: 7HRUHPD IXQGDPHQWDO GHO iOJHEUD Todo polinomio de grado Q tiene Q raĂces. Es decir que la ecuaciĂłn: an x n an 1 x n 1 an 2 x n 2 an 3 x n 3 ... a3 x 3 a2 x 2 a1 x a0

0, con an

tiene Q soluciones Una forma en la que podemos interpretar este teorema es como sigue, ya que se puede factorizar un polinomio dadas las raĂces y hay Q raĂces para todo polinomio de este grado, entonces: f x

an x n an 1 x n 1 an 2 x n 2 an 3 x n 3 ... a3 x 3 a2 x 2 a1 x a0

f x

r2 ... x rn

donde r1, r2 ..., rn son las raĂces de f x

La demostraciĂłn de este teorema queda lejos del objetivo de esta unidad, sin embargo, daremos algunas herramientas para encontrar las Q raĂces. Con las herramientas analizadas, nos percatamos de que no es necesario el uso de fĂłrmulas para resolver ecuaciones de grado Q, a lo mĂĄs nos apoyamos en la fĂłrmula general de la ecuaciĂłn de segundo grado y en la evaluaciĂłn, teorema del factor, teorema del residuo, etcĂŠtera para resolver ecuaciones de grado dos o mayor. Por lo que, situaciones matemĂĄticas que pueden ser verdaderamente complicadas, se resuelven por mĂŠtodos que resultan ser sencillos y de mucha facilidad y, al abordar estas situaciones deben ser individuos capaces de ver la funciĂłn y bosquejar HQ VXV PHQWHV HO FRPSRUWDPLHQWR GH OD JUiÂżFD (VWR HV SUHFLVDPHQWH OR TXH YDV D lograr al tĂŠrmino de la presente secciĂłn.

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Utilizas funciones factorizables en la resoluciÃ³n de problemas

Actividad de aprendizaje 3 Instrucciones (1): Explica el procedimiento que debe seguirse paso a paso para determinar los ceros de una funciÃ³n polinomial. EscrÃbelo en las lÃneas siguientes:

Instrucciones (2): Encuentren los ceros de cada ecuaciÃ³n polinomial. Escribe el procedimiento y la respuesta en tu cuaderno de trabajo. a) y

x3 4x 2 x 6

b) y

x3 3x 2 4x 2

c) y

x 3 2x 2 4 x 8

d) y

3x 4 3x3 x 2 3x 1

e) y

4 x 5 12 x 2 x 3

3DUD YHULÂ¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

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loque V

Utilizas funciones factorizables en la resoluciĂłn de problemas

Aprende mĂĄs Teorema de factorizaciĂłn lineal El procedimiento que hemos utilizado para determinar las raĂces de un polinomio se ha centrado en la factorizaciĂłn de dicho polinomio y su expresiĂłn como la multiplicaciĂłn de sus factores lineales, de sus factores complejos o una combinaciĂłn de ellos. La multiplicidad tiene que ver con el nĂşmero de factores lineales repetidos o no de cada polinomio. Revisemos los ejemplos: Si f x x 2 3 x 18 existen las raĂces :

x 3 x 6 de acuerdo al anĂĄlisis con los ceros obtenidos,

Â&#x2021; Ă WLHQH PXOWLSOLFLGDG Â&#x2021; WLHQH PXOWLSOLFLGDG Si f x

x 3 2x 2 4 x 8

x 2i x 2i x 2 ; se observa que:

Â&#x2021; Ă i tiene multiplicidad 1. Â&#x2021; +2i tiene multiplicidad 1. Â&#x2021; 2 tiene multiplicidad 1. Si f x

x 4 4 x 3 16 x 16

x 2 x 2 ; hay tres raĂces iguales, entonces:

Â&#x2021; WLHQH PXOWLSOLFLGDG Â&#x2021; Ă WLHQH PXOWLSOLFLGDG Â&#x2021; La multiplicidad es 4 que es equivalente al exponente mayor de la funciĂłn polinomial. En general, dado un polinomio en x, se determinan sus ceros o raĂces lineales para poder establecer el conteo de las raĂces iguales y establecer su multiplicidad. Por lo tanto: Â&#x2021; /D PXOWLSOLFLGDG HVWi UHIHULGD DO H[SRQHQWH GH FDGD XQR GH ORV IDFWRUHV OLQHDOHV o complejos de un polinomio.

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Utilizas funciones factorizables en la resoluciĂłn de problemas

â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

La suma de las multiplicidades de las raĂces es equivalente con el grado del polinomio. Se hace uso del teorema del factor y de la divisiĂłn sintĂŠtica.

Actividad de aprendizaje 4 Instrucciones: En equipos encuentren los ceros de cada ecuaciĂłn polinomial. Determinen la multiplicidad en cada caso y compruĂŠbenla con el grado del polinomio. Comparen sus respuestas con sus demĂĄs compaĂąeros. Escriban los procedimientos y las respuestas en su cuaderno. 1. f x

x3 4x 2 x 6

2. f x

x3 3x 2 4x 2

3. f x

4 x 5 12 x 4 x 3

4. f x

x 4 2x 3 2x 2 2x 3

5. f x

3x 4 3x3 x 2 3x 1

3DUD YHULÂżFDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

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loque V

Utilizas funciones factorizables en la resoluciĂłn de problemas

Aprende mĂĄs *UiÂżFDV GH IXQFLRQHV SROLQRPLDOHV IDFWRUL]DEOHV Dado el caso de que tanto el dominio como la imagen de la funciĂłn polinomial sean ORV Q~PHURV UHDOHV OXHJR HQWRQFHV ORV SXQWRV HQ ORV TXH OD JUiÂżFD FRUWD DO HMH GH ODV DEVFLVDV HV XQD LQWHUSUHWDFLyQ JUiÂżFD GH ODV UDtFHV R FHURV GH GLFKD IXQFLyQ Aun asĂ, las raĂces de los polinomios reales no son necesariamente reales; algunas de ellas, pueden ser reales y otras complejas o incluso todas ellas pueden ser complejas. Una funciĂłn polinomial no puede tener mĂĄs ceros que el valor de su grado: f x

ax n ...a n tendrĂĄ Q ceros o raĂces

Analiza los siguientes ejemplos: Ejemplo 1. Determinar los ceros de la funciĂłn f ( x )

x2 4

SoluciĂłn: Â&#x2021;

3RU WDEXODFLyQ

f(x)

Â&#x2021;

x 2 4 FRQ D( x )

I [

3RU IDFWRUL]DFLyQ f(x)

x 2 x 2 SRU OR WDQWR x1

/D JUiÂżFD VH PXHVWUD D FRQWLQXDFLyQ

140

3, 2, 1, 0, 1, 2, 3

Utilizas funciones factorizables en la resoluciÃ³n de problemas

Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021;

7HQHPRV XQD SDUiEROD TXH WLHQH SRU HMH GH VLPHWUtD HO HMH GH ODV \ (O LQWHUFHSWR FRQ HO HMH \ HV HO SXQWR /RV LQWHUFHSWRV FRQ HO HMH [ FHURV R UDtFHV \

Ejemplo 2: Determinar los ceros de f x

&HUR R UDt]

x3 8

SoluciÃ³n: (YDOXDQGR IDFWRUHV GH Ã Ã Ã Ã \ Ã 3

3DUD [ 2 8

8 8

0 SRU OR WDQWR x 3 8 HV GLYLVLEOH HQWUH x 2

&RPSOHWDPRV HO SROLQRPLR SDUD UHVROYHU SRU GLYLVLyQ VLQWpWLFD 1x 3 0x 2 0x1 8x 0

f x

x3 8

x 2 x2 2 x 4

(O WULQRPLR x 2 2 x 4 QR HV IDFWRUL]DEOH SRU OR WDQWR UHVROYHUHPRV XWLOL]DQGR OD IyUPXOD JHQHUDO GH XQD HFXDFLyQ GH VHJXQGR JUDGR /OHYDGD D OD IRUPD ax 2 bx c c 4

0 o x 2 2x 4

0 FX\RV SDUiPHWURV a 1 b

$SOLFDQGR OD IyUPXOD x

b r b2 4ac 2a

2 r

2 4 1 4

2 1

2 r 12 2

2 2 3i r 2 2

1 r 3i

ContinÃºa...

141

loque V

Utilizas funciones factorizables en la resoluciÃ³n de problemas

(Q FRQFOXVLyQ f x

x3 8

x 2 x 2 2 x 4 x 2 ÂªÂ¬ x 1

3i Âº Âª x 1 3i Âº Â¼Â¬ Â¼

(V GHFLU x

2; x

1 3i ; x

1 3i

8Q FHUR R UDt] UHDO \ GRV UDtFHV FRPSOHMDV

Actividad de aprendizaje 5 Instrucciones: Encuentren las raÃces complejas de cada funciÃ³n polinomial. Comparen sus respuestas con sus demÃ¡s compaÃ±eros. 1. f x

x 2 81

2. f x

9 x 2 12 x 6

3. f x

x 2 2x 4

4. f x

x 3 3 x 2 4 x 30

5. f x

x5 x4 x3 x2 x 1

3DUD YHULÂ¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

142

Utilizas funciones factorizables en la resoluciĂłn de problemas

Cierre del bloque V 5HĂ H[LRQD VREUH OR DSUHQGLGR En el bloque anterior y en el presente hemos recorrido de un modo bĂĄsico el trabajo con funciones polinomiales de grado n. si bien es cierto que los polinomios se vuelven mĂĄs complejos a medida que su grado se incrementa, tambiĂŠn es cierto que las herramientas disponibles para el trabajo con ellos son abundantes y, sobre todo, la combinaciĂłn de estas produce elementos todavĂa mĂĄs Ăştiles para analizar el comportamiento de funciones polinomiales. (Q HVWH SXQWR \ DQWHV GH FHUUDU HO EORTXH UHĂ&#x20AC;H[LRQD DFHUFD GHO DQWHV \ HO GHVSXpV de conocer dichas herramientas. Utiliza las siguientes preguntas para ayudarte a GLFKD UHĂ&#x20AC;H[LyQ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

ÂżConozco y empleo diversas formas de factorizar polinomios? ÂżDetermino los ceros racionales de una funciĂłn polinomial a travĂŠs de herramientas distintas a la factorizaciĂłn lineal? Â&#x2021; Â˘&RPELQR HÂżFLHQWHPHQWH ODV UHJODV \ WHRUHPDV SDUD GHWHUPLQDU FHURV GH XQ polinomio? Â&#x2021; Â˘%RVTXHMR PHQWDOPHQWH OD JUiÂżFD GH XQ SROLQRPLR FRQ OD D\XGD GH ORV FHURV racionales que determino? &RPSDUWH HO SURGXFWR GH WXV UHĂ&#x20AC;H[LRQHV FRQ WX GRFHQWH \ JUXSR REVHUYD ORV UHVXOtados de tus compaĂąeros y contrasta con los tuyos todos los elementos recopilados.

AutoevaluaciĂłn Instrucciones: Lee los siguientes ejercicios para encontrar las soluciones de cada uno de ellos, realizando las anotaciones necesarias en tu cuaderno con orden y OLPSLH]D 5HJLVWUD \ UHĂ&#x20AC;H[LRQD WXV UHVSXHVWDV SDUD TXH GHVSXpV ODV FRPHQWHV FRQ tus compaĂąeros de clase, escucha y respeta las aportaciones de los demĂĄs para mejorar tu trabajo. 1. Encontrar los ceros o raĂces de la funciĂłn f ( x )

2 x 4 x 3 19 x 2 27 x 9

2. Hallar el cociente y el residuo de 2 x 4 x 3 16 x 2 18 x entre x 2 3. Dada f x x 3 2 x 2 5 x 6 WUD]DU VX JUiÂżFD GHWHUPLQDU ORV FHURV PDUFDU sus interceptos con el eje y (si los hay) y expresar la multiplicidad de sus raĂces.

143

loque V

Utilizas funciones factorizables en la resoluciĂłn de problemas

4. Determinar la multiplicidad de ceros o raĂces y los factores lineales del polinomio:

p( x )

x 5 6 x 4 15 x 3 30 x 2 44 x 1

5. Determinar el nĂşmero de raĂces de la ecuaciĂłn:

x 4 4 x 3 12 x 2 24 x 24

3DUD YHULÂżFDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

Si de la actividad anterior obtuviste 5 aciertos considera tu resultado como H[FHOHQWH, de 4 aciertos como ELHQ 3 aciertos UHJXODU y si tus respuestas correctas fueron menos de 3 considera tu desempeĂąo como QR VXÂżFLHQWH, lo que exige que refuerces tus conocimientos previos.

ÂżCĂłmo evalĂşas el nivel de tus conocimientos previos en funciĂłn de las respuestas correctas que tuviste?

144

Excelente Bien Regular 1R VXĂ&#x20AC;FLHQWH

Bloque VI. Aplicas funciones racionales

Bloque VI Aplicas funciones racionales

loque VI

Aplicas funciones racionales

Introducción Tomando como base el estudio de las funciones polinomiales se introducen las funciones racionales y se obtienen las principales características de las mismas, el bloque inicia con el estudio de algunos problemas cuyo modelo matemático son funciones racionales, lo que permite pasar posteriormente a estudiar otras características de las funciones.

146

Aplicas funciones racionales

¿Qué aprenderás y cómo organizarás tu estudio? Bloque VI Tiempo

horas

Contenidos curriculares que se abordan 1. Funciones racionales. • Concepto de función racional. • Dominio de una función racional. • Rango de una función racional. • *Ui¿FDV GH IXQFLRQHV UDFLRQDOHV • Modelado y solución de problemas con funciones racionales.

Competencias disciplinares que se desarrollan •

• • •

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos, y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.

Evaluación del aprendizaje Durante este bloque realizarás los siguientes proGXFWRV GH DSUHQGL]DMH TXH SRQGUiQ GH PDQL¿HVWR HO desarrollo de tus competencias. • • • •

Actividad de aprendizaje 1. Análisis de funciones racionales. Actividad de aprendizaje 2. Solución de problemas con funciones racionales. Actividad de aprendizaje 3. Aplicación de la variación inversa. Autoevaluación.

147

loque VI

Aplicas funciones racionales

3DUD LQLFLDU UHĂ H[LRQD Dado que las funciones racionales son divisiones de funciones, debemos tener cuidado con el valor del denominador. ÂżQuĂŠ pasa si intentamos realizar una divisiĂłn entre cero?

Aprende mĂĄs Funciones racionales Concepto de funciĂłn racional Las funciones racionales son las que expresan el cociente de expresiones polinomiales como fracciones donde el denominador (divisor) sea de grado mayor que cero. La expresiĂłn general de una funciĂłn racional es: f x

P x

Q x

donde el grado de Q x debe ser mayor que cero.

Un ejemplo es f x

2x x 4

Dado que las funciones racionales son divisiones de funciones, debemos tener cuidado con el valor del denominador. ÂżQuĂŠ pasa si intentamos realizar una divisiĂłn entre cero? Analiza el comportamiento de la funciĂłn f x

148

1 con base en la tabla 6.1. x

Aplicas funciones racionales

Tabla 6.1.

0.1

0.01

0.001

0.0001 0.00001

0.000001

...

g(x)

100

1000

10000

1000000

...

Â&#x2019;

100000

Puedes darte cuenta de que, a medida que x se aproxima a cero, el resultado de la divisiĂłn es una cantidad cada vez mĂĄs grande. Si seguimos aĂąadiendo celdas a la tabla, ÂżcuĂĄl serĂa el valor de f para x = 0? Pues bien, dado que las divisiones entre cero no existen, entonces tampoco existe un valor asociado a f cuando x = 0. Del anĂĄlisis anterior concluimos que la funciĂłn f va tomando valores cada vez mĂĄs JUDQGHV \ HVR VH GLFH TXH WLHQGH D LQÂżQLWR FXDQGR x tiende a cero, pero este tema es objeto de estudio de un curso de cĂĄlculo diferencial. Por ahora nos limitaremos D GHVFULELU JUiÂżFDPHQWH OR TXH VXFHGH FRQ XQD IXQFLyQ UDFLRQDO FXDQGR HO GHQRPLnador se anula.

Dominio de una funciĂłn racional Las funciones sĂłlo pueden relacionar valores reales para x con valores reales para y, de modo que la divisiĂłn entre cero no estĂĄ permitida para una funciĂłn. Esto da la pauta para explicar la forma en que se determinan los valores del dominio de la funciĂłn. Ya que en el dominio de la funciĂłn (Domf) sĂłlo pueden estar los valores de x que producen valores reales en f, entonces debemos excluir del dominio aquellos valores de x que provoquen divisiĂłn entre cero, es decir, la condiciĂłn que deben cumplir los valores de la variable x para pertenecer a 'RPI es que:

Q x z 0 Para entender este concepto, analizaremos primero la existencia de asĂntotas. $VtQWRWDV YHUWLFDOHV Los valores que hacen que Q(x) = 0, es decir, los ceros de Q(x) VH OODPDQ DVtQWRWDV YHUWLFDOHV GH XQD IXQFLyQ UDFLRQDO \ UHSUHVHQWDQ JUiÂżFDPHQWH OtQHDV UHFWDV YHUWLFDOHV TXH OD JUiÂżFD GH f no corta, pero que tienen la propiedad de OOHYDU OD JUiÂżFD GH f KDFLD XQ YDORU \ TXH WLHQGH D Â&#x2019; R ĂÂ&#x2019; 6H JUDÂżFDQ FRPR OtQHDV punteadas. AsĂ, el GRPLQLR GH XQD IXQFLyQ UDFLRQDO es el conjunto de todos los nĂşmeros reales excepto los ceros de Q(x). Las asĂntotas verticales tienen como ecuaciĂłn x = xi, donde xi representa los ceros de Q(x) como los valores x1, x2, ... que hacen que Q(x) = 0

149

loque VI

Aplicas funciones racionales

$VtQWRWDV KRUL]RQWDOHV Una funciĂłn racional tambiĂŠn puede tener asĂntotas horizonWDOHV TXH VRQ OtQHDV UHFWDV KRUL]RQWDOHV TXH OOHYDQ OD JUiÂżFD GH f KDFLD HO LQÂżQLWR (positivo o negativo) horizontalmente. Estas asĂntotas pueden determinarse anali]DQGR HO FRPSRUWDPLHQWR GH OD JUiÂżFD GH f cuando aproximamos el valor de x D Â&#x201C;Â&#x2019; Aunque esto es tema de cĂĄlculo diferencial, asignatura que cursarĂĄs posteriormente, es posible tratar un mĂŠtodo intuitivo del lĂmite de la funciĂłn f cuando la variable x WRPD YDORUHV FDGD YH] PiV FHUFDQRV D Â&#x201C;Â&#x2019; 1 se construye la tabla 6.2 en la siguiente x

Considera ahora que a partir de g x

pĂĄgina.

Tabla 6.2.

100

1000

10000

100000

1000000

...

Â&#x2019;

g(x)

0.1

0.01

0.001

0.0001 0.00001

0.000001

...

Puedes darte cuenta de que, a medida que x VH DSUR[LPD D Â&#x2019; HO UHVXOWDGR GH OD divisiĂłn es una cantidad cada vez mĂĄs cercana a cero. AsĂ, la funciĂłn racional tiene asĂntotas horizontales si, al aproximar el valor de x D LQÂżQLWR SRVLWLYR \ QHJDWLYR HO valor de f(x) se aproxima a un valor real L GH PRGR TXH OD JUiÂżFD GH f no corte la recta y = L, que es la ecuaciĂłn de la asĂntota horizontal. $VtQWRWD REOLFXD Si el grado de P(x) es mayor en una unidad que el grado de Q(x), es decir: grado P x grado Q x 1 Entonces la funciĂłn tiene ademĂĄs una asĂntota oblicua, por ejemplo: f x

x2 8 x 3

Las asĂntotas oblicuas se obtienen realizando la divisiĂłn algebraica indicada en f, y el cociente de la divisiĂłn es la ecuaciĂłn de la asĂntota oblicua. AsĂ, en f x

x2 8 tenemos: x 3

x 3

x 3 x2

x 2 3x 3x 8 3x 9 1

150

Aplicas funciones racionales

De donde f x

x 3

1 x 3

La asĂntota oblicua es y x 3 Esta funciĂłn tambiĂŠn tiene una asĂntota vertical en y

x 3

6X JUiÂżFD HV

y = xĂ $VLQWRWD REOLFXD Asintota oblicua

x Ă Asintota vertical

Figura 6.1. Figura 6.1.

Rango de una funciĂłn racional Para determinar el rango de la funciĂłn, es necesario cambiar f(x) por y en la expresiĂłn funcional y, si es posible, despejar la variable x. En caso de que sea posible tal despeje, tendremos una funciĂłn x = R(y), de modo que: el rango de f x

P x

Q x

es igual al dominio de la funciĂłn R(y)

Si descubres asĂntotas verticales para R(y), ĂŠstas serĂĄn asĂntotas horizontales para f(x (VWR SXHGHV FRPSUREDUOR FRQ HO SURFHGLPLHQWR GH DSUR[LPDFLyQ DO LQÂżQLWR H[plicado antes. Es importante que sepas que el cĂĄlculo del dominio de una funciĂłn implica conocimientos algebraicos previos, entre los cuales se encuentra el tema de GHVLJXDOGDGHV o LQHFXDFLRQHV que, de manera simple, fueron abordados en cursos anteriores.

151

loque VI

Aplicas funciones racionales

No siempre es posible el despeje, de modo que el rango de una funciĂłn racional no siempre se puede determinar. Las intersecciones con los ejes coordenados se obtienen mediante las expresiones: Â&#x2021; Ix: f(x) = 0, es decir, se buscan los ceros de f, que son las abscisas de las intersecciones con el eje X. Esto sĂłlo es posible si en el rango de la funciĂłn (5DQJRI) estĂĄ contenido el valor de y HQ FDVR GH QR VHU DVt HQWRQFHV OD JUiÂżFD GH f no tiene intersecciones con el eje X. Es fĂĄcil comprender que los ceros de P(x) son los ceros para f(x), de modo que basta calcular los ceros de P(x) mediante la soluciĂłn de la ecuaciĂłn P(x) = 0. Â&#x2021; Iy: y = f(0), es decir, se sustituye el valor x = 0 si este valor pertenece a 'RPI en la funciĂłn f y los resultados obtenidos son las ordenadas de las intersecciones con el eje Y.

Para comprender este anĂĄlisis se aplicarĂĄ de forma directa en los siguientes ejemSORV GH JUiÂżFD GH IXQFLRQHV UDFLRQDOHV

*UiÂżFDV GH IXQFLRQHV UDFLRQDOHV 3DUD JUDÂżFDU XQD IXQFLyQ UDFLRQDO VH VLJXH HO SURFHGLPLHQWR TXH VH H[SOLFD FRQ HO ejemplo inicial. Procedimiento

(MHPSOLÂżFDFLyQ

Partimos de la funciĂłn: f x

Ejemplo:

P x

f x

Q x

1. Buscar asĂntotas verticales: a) Q x

0 para obtener x1, x2 , !

Las asĂntotas verticales tienen ecuaciones: x

152

xi , para i

1, 2, !

2x x 4

x 4 0 x1 4

AsĂntota vertical: x

(1)

Aplicas funciones racionales

2. Determinar el dominio de la funciĂłn quitando del conjunto de los nĂşmeros reales los valores de x donde hay asĂntotas verticales.

\ ^4`

Domf

o bien f, 4 Â&#x2030; 4, f

Domf

usando notaciĂłn de intervalos

y x 4

xy 4 y 2 x xy 2 x 4 y

x y 2

(3)

2x x 4

3. Cambiar f x por la variable y .

4. Despejar, si es posible, la variable x.

(2)

(4) 0

4y y 2

R y

4y y 2

(5)

y 2 0 y 2

5. Obtener la funciĂłn R y y su dominio.

DomR

\ ^2` o bien,

DomR f, 2 Â&#x2030; 2, f en notaciĂłn de intervalos. 6. Rangof

DomR

Rangof

f, 2 Â&#x2030; 2, f

a) AsĂntota horizontal: y 7. AsĂntotas horizontales a) Como asĂntotas verticales R y

E 3RU DSUR[LPDFLyQ [ D Â&#x201C;Â&#x2019; No es necesario realizar ambos procedimientos. Si no es posible a), entonces debes realizar b).

(6) (7)

b) Para comprobar solamente: 2x 2 x f x

4 x 4 1 x x &XDQGR [ VH DSUR[LPD D LQÂżQLWR [ VH DSUR[LPD D FHUR SRU OR TXH SXHGH DÂżUPDUVH TXH KD\ XQD asĂntota horizontal en y = 2. Que resulta ser lo mismo que en a). 2x x 4

153

loque VI

Aplicas funciones racionales

8. Si grado >P @ grado >Q @ 1 , la función tiene asíntota oblicua, que se obtiene por la división algebraica de P entre Q.

Dado que los grados de 2 x y x 4 son iguales a 1, f(x) no tiene asíntotas oblicuas. 4y y 2

R y

4 0

R 0

9. Intersecciones con el eje X: sustituir y = 0 (puede ser en R(y)) si y = 0 pertenece 5DQJRI

(9) 0

0 2

o alternativamente P x

I X : 0,0

f x

10. Intersecciones con el eje Y: sustituir x = 0 en f (x). Si x = 0 pertenece a 'RPI

f 0

í 2

*UD¿FDU

6 8

154

(10) 0

0 4 IY : 0, 0

11. Tabular en caso de ser necesario.

2x x 4 2 0

f x

2 4

4 4 2 2

2 4 2 6

6 4 2 8

8 4

2x x 4 8 8

(11)

4 2

12 2

16 4

(8)

Aplicas funciones racionales

(12)

Figura 6.2. Figura 6.2.

x 3 \ ERVTXHMD VX JUiÂ¿FD x 3

Ejemplo 1: Analiza la funciÃ³n f x

SoluciÃ³n:

&iOFXOR GH DVtQWRWDV YHUWLFDOHV [ Ã [

f, 3 Â&#x2030; 3, f

'RPLQLR Domf &iOFXOR GHO UDQJR

x 3 x 3 xy 3y x 3 xy x 3 3y

x y 1

3 1 y

R y

3 1 y

y 1

y 1 0 AsÃntota horizontal: y DomR

Rangof

f,1 Â&#x2030; 1, f

,QWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH ; R 0

3 1 0

0 1 I X : 3, 0

ContinÃºa...

155

loque VI

Aplicas funciones racionales

,QWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH < 0 3 0 3 IY : 0, 1

f 0

7DEXODFLyQ y

x 9

f x

2 3 2 3

x 3 x 3 5 1

4 3 4 3 9 3 9 3

x 3 x 3

x=3 y=1

7 1

12 6

2 Figura 6.3.

5 \ ERVTXHMD VX JUiÂ¿FD x 9

Ejemplo 2: Analiza la funciÃ³n f x

SoluciÃ³n: &iOFXOR GH DVtQWRWDV YHUWLFDOHV x2 9

x 3 x 3

x1 'RPLQLR Domf

0 3

f, 3 Â&#x2030; 3, 3 Â&#x2030; 3, f

&iOFXOR GHO UDQJR y

5 x2 9

x 2 y 9y x2 y x2

156

5 9y 5 9y y

R y

5 9y y

Aplicas funciones racionales

3DUD TXH R y WHQJD UHVXOWDGRV UHDOHV VH GHEH FXPSOLU TXH \ ย DVtQWRWD KRUL]RQWDO HQ HO HMH ;

5 9y t0 y

y t

5 9

9y t 5

5 9y t 0

< HV SRVLWLYR R FHUR SDUD YDORUHV PD\RUHV R LJXDOHV D 6L y

5 5 9y t 0 9 y

6L y

5 5 9y 9 y

6L y !

5 GH PRGR TXH 9

5 \ y ! 0 HV GHFLU FXDQGR 9

y ! 0 WHQHPRV TXH

5 9y !0 y

$VtQWRWD YHUWLFDOHV \ HMH ; 1R KD\ LQWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH ; SRUTXH \ HVWi IXHUD GH 5DQJRI ,QWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH <

f 0

5 9

5ยท ยง IY : ยจ 0, ยธ 9ยน ยฉ

DomR

Rangof

5ยบ ยง ยจ f, ยป ย 0, f

9ยผ ยฉ

7DEXODFLyQ f x

5 2 x 9

f x

รญ

5 x 9

5 16 9

5 7

รญ

5 2 x 9

5 4 9

5 2 x 9

5 4 9

5 16 9

5 7

5 x 9 2

5 2

x 9

x=3

[ รญ

Figura 6.4.

157

loque VI

Aplicas funciones racionales

Ejemplo 3: Analiza la funciÃ³n f x

x 2 4x 4 \ ERVTXHMD VX JUiÂ¿FD x2 4

SoluciÃ³n: &iOFXOR GH DVtQWRWDV YHUWLFDOHV f x

x 2 4x 4 x2 4

x 2 x 2

'RPLQLR Domf

x 2

x 2 x 2

f, 2 Â&#x2030; 2, f

&DOFXOR GHO UDQJR x 2 x 2 xy 2y x 2 xy x 2 2y

x y 1

DomR

1 y 0 y 1

2 1 y

Rangof

f,1 Â&#x2030; 1, f

,QWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH ; ,QWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH < R 0

2 1 0

1 0

f 0

I X : 2, 0

IY : 0, 1

7DEXODFLyQ x

f x

x 2 4x 4 x2 4

4 4 4 4 2 4 4

36 12

Figura 6.5.

158

4 0 4

Aplicas funciones racionales

Actividad de aprendizaje 1 Instrucciones (1): $QDOL]D ODV IXQFLRQHV VLJXLHQWHV \ ERVTXHMD VX JUiÂ¿FD 5HDOL]DOR HQ WX OLEUHWD UHJLVWUD \ UHÃ&#x20AC;H[LRQD WXV UHVSXHVWDV SDUD TXH GHVSXpV ODV FRPHQWHV con tus compaÃ±eros de clase.

f x

3x 2 1 x

f x

x x 9

f x

x3 1 x2 1

f x

2x 4 x2

f x

2x 3 5 x2 3

3DUD YHULÂ¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD ODV UHVSXHVWDV HQ HO DSpQGLFH DO Â¿QDO GHO OLEUR *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

SabÃas que... Es posible visualizar funciones en un gran nÃºmero de formas que observas en tu entorno, ya que el desarrollo de funciones racionales permite describir patrones de estas formas de manera que se expresan en un lenguaje matemÃ¡tico.

Figura 6.6.

159

loque VI

Aplicas funciones racionales

Aprende mĂĄs Modelado y soluciĂłn de problemas con funciones racionales Las funciones racionales encuentran su aplicaciĂłn principalmente en problemas de variaciĂłn inversa, es decir, en relaciones donde el valor de una variable aumenta cuando el valor de otra variable disminuye y viceversa. Por ejemplo, si una obra de construcciĂłn la realizan 4 obreros en 5 dĂas, ÂżcuĂĄntos dĂas necesitarĂĄn 10 obreros? Si aumenta la cantidad de obreros, el tiempo para terminar la misma obra deberĂĄ ser menor. AquĂ la cantidad de obreros y el tiempo para terminar la obra son variables en una relaciĂłn de variaciĂłn inversa. Otro ejemplo lo encontramos en la OH\ GH JUDYLWDFLyQ XQLYHUVDO de Newton, que HQXQFLD TXH ÂłGRV FXHUSRV GH PDVDV m1 y m2 se atraen con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional a la distancia U HQWUH HOORVÂ´ HV GHFLU OD IXHU]D GH DWUDFFLyQ JUDYLWDFLRQDO HVWi GDGD SRU la expresiĂłn: F

m1m2 donde G r2

6.67 u 10 11

N Â&#x2DC; m2 es la FRQVWDQWH GH JUDYLWDFLyQ XQLYHUVDO kg2

A partir de la expresiĂłn anterior, a mayor distancia de separaciĂłn, menor serĂĄ la fuerza de atracciĂłn y viceversa. Un ejemplo mĂĄs lo encontramos en la ley de los gases ideales, que establece que ÂłHO SURGXFWR GH OD SUHVLyQ \ HO YROXPHQ GH XQ JDV LGHDO HV GLUHFWDPHQWH SURSRUFLRQDO D VX WHPSHUDWXUD DEVROXWDÂ´ HV GHFLU PV

nRT donde R

0.082

atm Â&#x2DC; L es la FRQVWDQWH XQLYHUVDO GH ORV JDVHV LGHDOHV mol Â&#x2DC; K

ÂżCĂłmo varĂa el volumen de un gas ideal si mantenemos su temperatura y aumentamos su presiĂłn? De la expresiĂłn anterior despejamos el volumen: V

nRT P

Nos damos cuenta de que la variaciĂłn entre el volumen y la presiĂłn de un gas ideal es inversa: a mayor presiĂłn disminuye el volumen y viceversa.

160

Aplicas funciones racionales

Otras aplicaciones las encontramos en el estudio del movimiento, el crecimiento de poblaciones, la depreciaciĂłn de bienes, geometrĂas arquitectĂłnicas, diseĂąo de motores, etcĂŠtera. Ahora te presentamos algunos ejemplos que ilustran la forma de emplear lo estudiado sobre las funciones racionales en la soluciĂłn de problemas de variaciĂłn inversa. Ejemplo 1: Si x hombres estĂĄn disponibles para realizar una obra que 4 hombres realizan en 5 dĂas, ÂżcuĂĄl es la funciĂłn del tiempo que realizarĂĄn dependiendo del valor de x? ÂżQuĂŠ tiempo les llevarĂĄ a 10 hombres realizar la misma obra? SoluciĂłn:

k HV OD UHODFLyQ GH YDULDFLyQ LQYHUVD HQWUH W \ N GRQGH W HVWi GDGD HQ GtDV x &XDQGR [ W SRU OR TXH N W[

$Vt TXH HO PRGHOR GH YDULDFLyQ GHO WLHPSR FRQ UHVSHFWR D OD FDQWLGDG GH KRPEUHV HV t x

20 x

(VWD IXQFLyQ WLHQH DVtQWRWD HQ [ HMH < SRU OR TXH QR WLHQH LQWHUVHFFLyQ FRQ HO HMH < 'DGR TXH 3 [ HV OD IXQFLyQ FRQVWDQWH OD IXQFLyQ QR FRUWD DO HMH ; 6X JUiÂżFD HV

t x

Figura 6.7.

3DUD [ VH WLHQH TXH t 10

20 2

4XH VLJQLÂżFD TXH D KRPEUHV OHV OOHYDUiQ GtDV UHDOL]DU OD REUD

161

loque VI

Aplicas funciones racionales

Ejemplo 2: Un gas a 25ยฐC tiene comportamiento ideal. ยฟCuรกl es la funciรณn de variaciรณn del volumen molar (Q = 1) con respecto al cambio de presiรณn de dicho gas? ยฟQuรฉ volumen tendrรก dicho gas si se somete a una presiรณn de 2 atmรณsferas? Soluciรณn: PV V P

V P

nRT nRT 1 0.08205 25 273.15

P P 24.4632075 P

$VtQWRWD HQ 3 HMH < SRU OR TXH QR KD\ DVtQWRWDV FRQ HO HMH < 7DPSRFR KD\ LQWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH ;

Figura 6.8.

(O YROXPHQ GHO JDV HV GH OLWURV D XQD SUHVLyQ GH DWPyVIHUDV

Ejemplo 3: El cambio de posiciรณn en metros de un objeto respecto al tiempo del movimiento (t), estรก dado por la expresiรณn

s t

2t 2 5t 2

Determina la funciรณn de su velocidad. ยฟQuรฉ velocidad tendrรก el objeto a los 10 segundo de iniciado su movimiento?

162

Aplicas funciones racionales

SoluciÃ³n: s t

v t

t 2

v t

2t 5t 2 t

$VtQWRWD YHUWLFDO HQ W HMH < 1R KD\ LQWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH < 3DUD KDOODU OD DVtQWRWD REOLFXD 2t 2 5t 2 2 2t 5 t t Aoblicua : y 2t 5 3DUD HQFRQWUDU LQWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH ;

s t

2t 2 5t 2

4 2 2

25 16

5 r 9

5 r3 4

2 2

1 t2 2 2 Â§1 Â· I X : Â¨ , 0 Â¸ 2, 0

2 t1

Figura 6.9.

163

loque VI

Aplicas funciones racionales

Actividad de aprendizaje 2 Instrucciones: 5HVXHOYH ORV VLJXLHQWHV SUREOHPDV HQ WX OLEUHWD 5HJLVWUD \ UHÃ&#x20AC;H[LRna tus respuestas para que despuÃ©s las comentes con tus compaÃ±eros de clase. Resuelve los siguientes problemas: a) Determina el modelo de variaciÃ³n del tiempo que requieren x obreros para realizar una tarea que 4 obreros realizan en 7 dÃas. Analiza la funciÃ³n obtenida y WUD]D VX JUiÂ¿FD Â¢4Xp WLHPSR UHTXLHUHQ REUHURV SDUD UHDOL]DU OD WDUHD" b) La ley de Ohm expresa la relaciÃ³n entre intensidad de corriente (I, en amperes), voltaje (V, en voltios) y resistencia (R, en ohm), con la expresiÃ³n V = IR. Si en un circuito particular el voltaje se considera constante e igual a 110 V, determina el modelo de variaciÃ³n de la corriente con respecto a la resistencia. Analiza la IXQFLyQ REWHQLGD \ WUD]D VX JUiÂ¿FD Â¢4Xp FRUULHQWH HQ DPSHUHV VH WHQGUi SDUD una resistencia total de 300 ohms? F /D SUHVLyQ TXH HMHUFH XQD IXHU]D VREUH XQD VXSHUÂ¿FLH HVWi GDGD SRU OD H[SUHVLyQ P

F A

Donde P se expresa en pascales (Pa), F en newtons (N) y A en metros cuadrados (m2). Determina la funciÃ³n de variaciÃ³n de la presiÃ³n que ejerce una fuerza GH 1 VREUH GLVWLQWDV iUHDV $QDOL]D OD IXQFLyQ REWHQLGD \ WUD]D VX JUiÂ¿FD Â¢4Xp SUHVLyQ VH HMHUFH VREUH XQD VXSHUÂ¿FLH GH Ê&#x152; m2?

164

Aplicas funciones racionales

Actividad de aprendizaje 3 Recordemos que dos cantidades mantienen una relaciĂłn de variaciĂłn directa cuando ambas crecen o decrecen juntas. Si k representa la constante de proporcionalidad, la relaciĂłn se puede representar como y = kx. A diferencia de la variaciĂłn directa, en la variaciĂłn inversa, si x crece, y decrece y viceversa. Esto es: y

k x

o bien

xy k

Donde el producto (k) resulta ser la constante de variaciĂłn y ni ĂŠsta ni x pueden ser cero (k Â? x Â? Instrucciones: Realiza una investigaciĂłn sobre el tema de variaciĂłn inversa: 1. En equipos conformados de acuerdo a las instrucciones de tu profesor, elaboren mapas conceptuales sobre el tema de variaciĂłn inversa como caso particular de la funciĂłn racional en hojas de rotafolio o cartulinas y explĂquenlos a sus compaĂąeros de clase. 2. Cada equipo deberĂĄ entregar al profesor evidencia de su investigaciĂłn y una conclusiĂłn que describa la importancia del trabajo realizado y sus aplicaciones en la soluciĂłn de problemas cotidianos en distintos ĂĄmbitos: social, polĂtico, cienWtÂżFR HWF

3DUD YHULÂżFDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD ODV UHVSXHVWDV HQ HO DSpQGLFH DO ÂżQDO GHO OLEUR *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

165

loque VI

Aplicas funciones racionales

Cierre del bloque VI

5HĂ H[LRQD VREUH OR DSUHQGLGR $O ÂżQDO GHO SUHVHQWH EORTXH \D FXHQWDV FRQ QXHYRV HOHPHQWRV GH DSUHQGL]DMH SDUD que poco a poco te apropies de ellos y puedas trabajar y aplicar funciones racionales a situaciones teĂłricas, pero tambiĂŠn a algunas situaciones reales. Con estos elementos, te invito a que investigues acerca de algĂşn tipo de aplicaciĂłn de funciones racionales y comparte la informaciĂłn con tu docente y grupo. CuestiĂłnense acerca de la utilidad de estar desarrollando estos aprendizajes y la LPSRUWDQFLD GH PDQHMDUORV DGHFXDGDPHQWH $O ÂżQDO SUHVHQWD D WX GRFHQWH ODV REVHUvaciones del trabajo realizado para realimentar tu aprendizaje en cuanto a funciones racionales Como recordarĂĄs, en el desarrollo de este bloque VI se propuso la elaboraciĂłn de una investigaciĂłn que consiste en realizar actividades relacionadas con la variaciĂłn GLUHFWD 7RPD HQ FXHQWD TXH HO SUR\HFWR GHEHUi FXPSOLU FRQ ODV HVSHFLÂżFDFLRQHV que se te pidieron. Ha llegado la hora de hacer la exposiciĂłn frente al grupo.

AutoevaluaciĂłn Instrucciones: Realiza los siguientes ejercicios, anotando en tu libreta los procedimientos completos con un orden y limpieza, como evidencia del anĂĄlisis y soluciĂłn del problema. 1. Determina la funciĂłn de la recta que pasa por los puntos (Ă5, 3) y (0, Ă4) y traza VX JUiÂżFD 2. Analiza la funciĂłn f x

6 x 2 6 x 36 \ WUD]D VX JUiÂżFD

3. Analiza la funciĂłn f x

x 3 4 x 2 x 6 \ WUD]D VX JUiÂżFD

([SOLFD HO FRPSRUWDPLHQWR GH OD JUiÂżFD GH f x

5. Analiza la funciĂłn f x

166

x7 3

x3 1 \ WUD]D VX JUiÂżFD x2 4

Aplicas funciones racionales

6. Una computadora que se compró hace 6 años cuesta 1850 pesos. Si hace 4 años su precio era de 3500 pesos, ¿cuál es el modelo de depreciación del precio de la computadora en el tiempo? ¿Cuánto costó la computadora cuando era nueva? 7. Determina el área máxima del terreno rectangular que se puede cercar con 248 metros de reja. 8. Determina el modelo de variación del tiempo que requieren x alumnos para resolver los problemas de un examen de matemáticas si se sabe que un equipo de 5 alumnos resuelve el examen en 30 minutos. Analiza la función obtenida y traza VX JUi¿FD ¢4Xp WLHPSR UHTXLHUH XQ DOXPQR SDUD UHVROYHU HO H[DPHQ pO VROR"

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD ODV UHVSXHVWDV HQ HO DSpQGLFH DO ¿QDO GHO OLEUR *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

Si de la actividad anterior lograste los 8 puntos, considera tu resultado como Excelente, y si lograste 7 a 8 puntos es Bien, de 5 a 6 es Regular y si tus respuestas correctas fueron menos de 6 considera tu desempeño como 1R VX¿FLHQWH, lo que exige que atiendas tus áreas de oportunidad. Excelente ¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en función de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXÀFLHQWH

167

Bloque VII. Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

Bloque VII Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

loque VII

Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

Introducción Las funciones exponenciales y logarítmicas se emplean en diferentes sectores, como el económico, el de salud, el de producción, el de población, por mencionar algunos, ejemplo de lo anterior se puede ver en periódicos y revistas donde se menciona la deuda externa de un país, los gastos en servicios de salud, el uso de internet y la población mundial. Donde se observa un crecimiento aun ritmo acelerado en sus indicadores. Algunas de las funciones especiales que se abordarán en este bloque, son la función exponencial natural y la función natural logarítmica. En ambas funciones la base es e, un número irracional cuyo valor es aproximadamente 2.7183. Algunos fenómenos, tales como el fechado con carbono en el caso de analizar restos fósiles, el decaimiento radiactivo del comportamiento de un elemento de la tabla periódica y el crecimiento de los ahorros invertidos en una cuenta en la que el interés sea capitalizado de forma continua, pueden describirse por medio de funciones exponenciales naturales.

170

Utilizas funciones exponenciales y logarĂtmicas

ÂżQuĂŠ aprenderĂĄs y cĂłmo organizarĂĄs tu estudio? Bloque VII Tiempo

10 horas

Contenidos curriculares que se abordan 1. Concepto de funciĂłn exponencial. â&#x20AC;˘ *UiÂżFDV GH IXQFLRQHV H[SRQHQFLDOHV â&#x20AC;˘ Dominio y rango. 2. FunciĂłn exponencial. 3. FunciĂłn exponencial natural. 4. LogarĂtmos comunes y naturales. â&#x20AC;˘ LogarĂtmos de otras bases. â&#x20AC;˘ Propiedades generales de los logarĂtmos. â&#x20AC;˘ Concepto de funciĂłn logarĂtmica. â&#x20AC;˘ Dominio y rango. â&#x20AC;˘ *UiÂżFDV GH IXQFLRQHV ORJDUtWPLFDV 5. Ecuaciones logarĂtmicas y exponenciales.

Competencias disciplinares que se desarrollan â&#x20AC;˘

â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

EvaluaciĂłn del aprendizaje Durante este bloque realizarĂĄs los siguientes proGXFWRV GH DSUHQGL]DMH TXH SRQGUiQ GH PDQLÂżHVWR HO desarrollo de tus competencias. â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

Actividad de aprendizaje 1. InvestigaciĂłn sobre series y sucesiones numĂŠricas. Actividad de aprendizaje 2. FunciĂłn exponencial. Actividad de aprendizaje 3. Logaritmos comunes y naturales. Actividad de aprendizaje 4. FunciĂłn logarĂtmica. Actividad de aprendizaje 5 *UiÂżFDV GH funciones logarĂtmicas. Actividad 6. Ecuaciones logarĂtmicas y exponenciales. AutoevaluaciĂłn.

â&#x20AC;˘

Construye e interpreta modelos matemĂĄticos mediante la aplicaciĂłn de procedimientos aritmĂŠticos, algebraicos, geomĂŠtricos y variacionales, para la comprensiĂłn y anĂĄlisis de situaciones reales, hipotĂŠticas o formales Formula y resuelve problemas matemĂĄticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e Interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales Argumenta la soluciĂłn obtenida de un problePD FRQ PpWRGRV QXPpULFRV JUiÂżFRV DQDOtWLcos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemĂĄtico y el uso de la tecnologĂa de la informaciĂłn y la comunicaciĂłn &XDQWLÂżFD UHSUHVHQWD \ FRQWUDVWD H[SHULPHQWDO o matemĂĄticamente las magnitudes del espacio y las propiedades fĂsicas de los objetos que lo rodean. ,QWHUSUHWD WDEODV JUiÂżFDV PDSDV GLDJUDPDV \ WH[WRV FRQ VtPERORV PDWHPiWLFRV \ FLHQWtÂżFRV

171

loque VII

Utilizas funciones exponenciales y logarĂtmicas

3DUD LQLFLDU UHĂ H[LRQD Se deja caer una pelota desde una altura de 10 m. Cuando rebota alcanza la mitad de la altura desde la que se dejĂł caer. ÂżA quĂŠ altura se encuentra la pelota despuĂŠs de 5 rebotes? En el recuadro dibuja un esquema que muestre la soluciĂłn a este problema:

Aprende mĂĄs Concepto de funciĂłn exponencial (Q IHEUHUR GHO DGTXLULVWH XQ DXWR HQ 6L FDGD DxR GLVPLQX\H GH su valor inicial, ÂżcuĂĄnto valdrĂĄ en el aĂąo 2015? Compara tus resultados con las respuestas de tus compaĂąeros de grupo. Se denomina funciĂłn exponencial a toda funciĂłn de la forma: y = a Ă&#x201A; bx

Ăł

f(x) = a Ă&#x201A; Ekx

Donde x acepta cualquier valor real, b es un nĂşmero positivo y distinto de 1 y a Â? y k Â?

172

Utilizas funciones exponenciales y logarÃtmicas

(Q OD GHÂ¿QLFLyQ DQWHULRU b se conoce como EDVH y la variable independiente x se conoce como H[SRQHQWH.

*UiÂ¿FDV GH IXQFLRQHV H[SRQHQFLDOHV (Q IRUPD JUiÂ¿FD VH UHSUHVHQWD GH OD VLJXLHQWH PDQHUD

Figura 7.1. f (x) = a Ã&#x192; bkx

Ejemplo 1: 2EWHQHU OD JUiÂ¿FD GH OD IXQFLyQ H[SRQHQFLDO GH EDVH SoluciÃ³n:

6H FDOFXODQ ORV YDORUHV GH f x 7 x 8WLOL]D XQD FDOFXODGRUD SDUD KDOODU ORV YDORUHV TXH VH PXHVWUDQ D FRQWLQXDFLyQ

I [

7UD]D ODV SDUHMDV GH FRRUGHQDGDV HQ HO VLJXLHQWH SODQR \ YHULÂ¿FD VL SHUWHQHFHQ DO JUiÂ¿FR Figura 7.2. GrÃ¡fica de f(x) = 7x

173

loque VII

Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

Ejemplo 2: 2EWHQHU OD JUi¿FD GH OD IXQFLyQ H[SRQHQFLDO GH EDVH

2 . 3

Solución:

6H FDOFXODQ ORV YDORUHV GH f x

§2· ¨ ¸ ©3¹

8WLOL]D XQD FDOFXODGRUD SDUD KDOODU ORV YDORUHV TXH VH PXHVWUDQ D FRQWLQXDFLyQ x

I [

7UD]D ODV SDUHMDV GH FRRUGHQDGDV HQ HO VLJXLHQWH SODQR \ YHUL¿FD VL SHUWHQHFHQ DO JUi¿FR GH OD ¿JXUD

Figura 7.3. Gráfica de f(x) = (2/3)x

Sabías que... La gráfica de la función exponencial tiene una curvatura característica que hace que la función crezca (presenta crecimiento) si el exponente es positivo x y = b ; o bien, si el exponente es negativo tienda a hacerse cero y = bíkx (presenta un decaimiento) o si la base es menor que uno y mayor que cero, esta característica es conocida como variación exponencial.

174

Utilizas funciones exponenciales y logarĂtmicas

Dominio y rango Al igual que cualquier otro tipo de funciones, la funciĂłn exponencial tiene un dominio y un rango para los cuales la funciĂłn tiene valores reales. $O DQDOL]DU OD JUiÂżFD GHO HMHPSOR VH REVHUYD TXH OD JUiÂżFD GH OD IXQFLyQ HV FRQWLnua y que siempre hay una valor de f(x) para cada valor de x, por lo tanto, el GRPLQLR GH XQD IXQFLyQ H[SRQHQFLDO es D = {x : ĂÂ&#x2019; x Â&#x2019;` TXH FRUUHVSRQGH D WRGRV ORV nĂşmeros reales. 2WUD FDUDFWHUtVWLFD GH HVWD JUiÂżFD HV TXH QXQFD WRPD YDORUHV QHJDWLYRV HQ HO HMH Y por tanto, el rDQJR GH XQD IXQFLyQ H[SRQHQFLDO es R = {y : 0 < y Â&#x2019;` R ELHQ HO conjunto de todos los nĂşmeros reales positivos. /DV IXQFLRQHV H[SRQHQFLDOHV SXHGHQ JUDÂżFDUVH VHOHFFLRQDQGR YDORUHV SDUD x, determinando los correspondientes valores de y, y trazando los puntos. En forma general, para toda funciĂłn exponencial de la forma y = a Ă&#x201A; bx Ăł f(x) = a Ă&#x201A; Ekx donde b > 0 y E Â? 1: Â&#x2021; El dominio de la funciĂłn es (ĂÂ&#x2019; Â&#x2019; Â&#x2021; (O UDQJR GH OD IXQFLyQ HV Â&#x2019; Â&#x2021; /D JUiÂżFD SDVD SRU ORV SXQWRV Ă1, a b), (0, a) y (1, ab) .En casi todos los casos, SXHGH WUD]DUVH XQD EXHQD JUiÂżFD H[SRQHQFLDO D SDUWLU GH HVWRV SXQWRV Â&#x2021; /DV JUiÂżFDV GH IXQFLRQHV H[SRQHQFLDOHV VRQ FRQWLQXDV \ WLHQHQ SRU DVtQWRWD DO eje X, es decir, se aproximan a dicho eje sin llegar a tocarlo nunca. Â&#x2021; /D JUiÂżFD GH XQD IXQFLyQ H[SRQHQFLDO SXHGH VHU FUHFLHQWH R GHFUHFLHQWH VHJ~Q la base b sea mayor o menor que 1 o los valores de su dominio estĂĄn entre 0 y 1. La base de las funciones exponenciales no puede ser negativa, pero ÂżquĂŠ tipo de JUiÂżFD UHVXOWD VL HO H[SRQHQWH HV QHJDWLYR" HV GHFLU TXp VXFHGH FRQ ODV IXQFLRQHV de la forma y = bĂ[ o su equivalente y bx, por la ley de los exponentes. Ejemplo 1: 2EWHQHU OD JUiÂżFD GH OD IXQFLyQ H[SRQHQFLDO GH EDVH \ H[SRQHQWH negativo. SoluciĂłn:

/D IXQFLyQ VH HVWDEOHFH FRPR f x

3 x

6H FDOFXODQ ORV YDORUHV \ VH REWLHQHQ ORV VLJXLHQWHV UHVXOWDGRV 9HULÂżFD VL ORV YDORUHV REWHQLGRV SHUWHQHFHQ D OD JUiÂżFD VLJXLHQWH

175

loque VII x

Utilizas funciones exponenciales y logarĂtmicas

f(x)

-2 -1.5 -0.5 0 0.5 0.75 1 Figura 7.4. GrĂĄfica de f(x) = 3Ăx

(Q FRQFOXVLyQ SRGHPRV DVHJXUDU TXH OD JUiÂżFD GH OD IXQFLyQ y = a Ă&#x201A; bx, es creciente si el exponente es mayor que uno y decreciente en los casos en que el exponente es negativo, o bien, si la base es mayor que cero y menor que uno.

Actividad de aprendizaje 1 Instrucciones (1): En equipos de 3 a 4 integrantes, realiza la investigaciĂłn sobre series o sucesiones numĂŠricas aritmĂŠticas y geomĂŠtricas; elaborar un mapa conceptual para su exposiciĂłn, donde se represente la informaciĂłn con ejemplos que muestren la diferencia entre sucesiones aritmĂŠticas y geomĂŠtricas. Instrucciones (2): Realiza los siguientes ejercicios conceptuales. a) ÂżQuĂŠ son las funciones exponenciales? b) Considera la funciĂłn exponencial y = 2x. Contesta lo siguiente: â&#x20AC;˘ ÂżQuĂŠ sucede con la variable y conforme x crece? â&#x20AC;˘ ÂżLa variable y puede ser cero? Explica. â&#x20AC;˘ ÂżEl valor de y puede ser negativo? Explica.

176

Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

c) Considera la función exponencial y = 2í[. Escribe una función exponencial equivalente a la anterior, pero que no tenga signo negativo en el exponente. Explique cómo obtuvo su respuesta. d) Considera las ecuaciones y = 2x y y = 3x • 'HWHUPLQD HO SXQWR GH LQWHUVHFFLyQ GH OD JUi¿FD GH FDGD IXQFLyQ FRQ HO HMH < &RPSDUH ODV JUi¿FDV GH ODV GRV IXQFLRQHV ¢&XiO GH ODV GRV SUHVHQWD XQ crecimiento más acelerado? Instrucciones (3): 7UD]D OD JUi¿FD GH ODV VLJXLHQWHV IXQFLRQHV HQ XQ PLVPR SODQR cartesiano y contesta las preguntas referentes al análisis de las respuestas. Utiliza GLIHUHQWHV FRORUHV SDUD JUD¿FDU Funciones: a) y = 3x b) y = x3 c) y = 3x

*Ui¿FDV

¢&XiO GH ODV WUHV JUi¿FDV WLHQH PD\RU crecimiento cuándo x > 2?

¢&XiO GH ODV WUHV JUi¿FDV WLHQH PD\RU FUHFLPLHQWR FXiQGR x < 4?

¢&XiO GH ODV WUHV JUi¿FDV WLHQH PD\RU crecimiento cuándo x "

•

Compara tus respuestas con la de otro compañero para hacer una conclusión acerca del crecimiento exponencial.

177

loque VII

Utilizas funciones exponenciales y logarÃtmicas

Instrucciones (5): De las siguientes funciones exponenciales, realiza una tabulaFLyQ \ HODERUDU OD JUiÂ¿FD \ HVFULEH WXV REVHUYDFLRQHV FRQWHVWDQGR D OD SUHJXQWD Â¢H[LVWH DOJ~Q SXQWR HQ FRP~Q HQ ODV WUHV JUiÂ¿FDV" Â¢3RU TXp" &RPSDUD WXV UHVXOWDdos con las respuestas de tus compaÃ±eros de grupo. )XQFLyQ 7DEXODFLyQ *UiÂ¿FD y = 3x

Observaciones:

)XQFLyQ 7DEXODFLyQ *UiÂ¿FD y = 10x

Observaciones:

178

Utilizas funciones exponenciales y logarÃtmicas

)XQFLyQ 7DEXODFLyQ *UiÂ¿FD y = Ê&#x152;x

Observaciones:

Instrucciones (6): Responde a lo siguiente. D Â¢3RU FXiOHV SXQWRV GHO HMH < SDVDQ ODV JUiÂ¿FDV GH ODV IXQFLRQHV H[SRQHQFLDOHV del ejercicio (4), respectivamente?

E ([SOLFD SRU TXp WRGDV ODV JUiÂ¿FDV H[SRQHQFLDOHV y = a Ã&#x201A; bx pasan por (0, a)?

c) Â¿Por quÃ© no puede ser igual a 1 la base de una funciÃ³n exponencial?

Instrucciones (7): (Q SDUHMDV HQ XQD KRMD PLOLPpWULFD WUDFHQ ODV JUiÂ¿FDV GH XQD ecuaciÃ³n exponencial con base 10, tomando valores para la constante a = 0.5 y a Ã 7H VXJHULPRV XWLOL]DU FRORUHV GLIHUHQWHV SDUD FDGD JUiÂ¿FD

3DUD YHULÂ¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

179

loque VII

Utilizas funciones exponenciales y logarĂtmicas

5HĂ&#x20AC;H[LRQHPRV VREUH OD DFWLYLGDG

ÂżDe quĂŠ te das cuenta?

'H ODV JUiÂżFDV GH ODV GLIHUHQWHV IXQFLRQHV TXH KDV UHDOL]DGR HQ OD DFWLYLGDG anterior, escribe las los cambios que observas segĂşn su funciĂłn y explica el porquĂŠ.

Aprende mĂĄs FunciĂłn exponencial 7LHQH XQD FXUYDWXUD FDUDFWHUtVWLFD TXH KDFH TXH OD JUiÂżFD FUH]FD VL HO H[SRQHQWH es positivo; o bien, tienda a hacerse cero o presente un comportamiento decreciente, si el exponente es negativo o si la base es menor que uno y mayor que cero, esta caracterĂstica es conocida como variaciĂłn exponencial, y se representa por: y = a Ă&#x201A; bkx donde k Â? Si k LPSOLFDUtD TXH OD JUiÂżFD GH OD IXQFLyQ VH FRQYLUWLHUD HQ OD JUiÂżFD GH OD IXQciĂłn y = 1, si k HV QHJDWLYR HQWRQFHV OD JUiÂżFD SUHVHQWDUi XQ decaimiento. Con k SRVLWLYR OD JUiÂżFD SUHVHQWDUi VLHPSUH XQ crecimiento. El factor de crecimiento es a, porque multiplica al tĂŠrmino exponencial.

180

Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

Ejemplo 1: 2EWHQHU OD JUi¿FD GH OD HFXDFLyQ H[SRQHQFLDO GH EDVH \ FRQVWDQWH k = 2, es decir f (x) = 4í x. Solución: Se tabula la función correspondiente. x

f(x)

0.503

0.247

1.95

0.0045

í0.503

4.03503

í0.628

5.718

(0, 1)

k es negativo, entonces OD JUi¿FD SUHVHQWD XQ decaimiento. Figura 7.5. Gráfica de f(x) = 4−2x.

Ejemplo 2: 2EWHQHU OD JUi¿FD GH OD HFXDFLyQ H[SRQHQFLDO GH EDVH \ FRQVWDQWH k = í2, es decir f (x) = 42x. Solución: Se tabula la función correspondiente. x

f (x)

0.503

4.035

0.6918

6.8083

0.0519

0.0037

(0 (0, 0,, 1 0 1)) (0, 1)

k es positivo, entonces OD JUi¿FD SUHVHQWD XQ crecimiento. Figura 7.6. Gráfica de f(x) = 42x.

181

loque VII

Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

Función exponencial natural Como se vio anteriormente, las condiciones para que un número sea base de una función exponencial es que sea positivo y diferente de uno, condiciones que dejan como opción al número irracional llamado e, el cual tiene un valor aproximado de 2.71828... En el interés compuesto, n veces los intereses se abonan en n periodos (año, trimestre, mes, etc.). En el interés compuesto continuo los intereses se abonan instantáneamente. Mientras más grande sea el valor de n la ganancia tiende a ser 2.7182818…, que es el valor del número e. La función exponencial natural es una función exponencial con base e: y = a Â ekx

Los criterios de una función exponencial son: y = a Â ekx es creciente si k es positivo y = a Â ekx es decreciente si k es negativo El dominio de la función exponencial natural es D = {x : í x ` TXH FRUUHVSRQGH al conjunto de todos los números reales. 2WUD FDUDFWHULVWLFD GH HVWD JUi¿FD HV TXH QXQFD WRPD YDORUHV QHJDWLYRV HQ HO HMH < por tanto, el rango de una función exponencial natural es R = {y : 0 < y ` R ELHQ el conjunto de todos los números reales positivos.

Sabías que... El número e apareció en 1618, en trabajos publicados por John Napier, pero su importancia no se ve reflejada sino hasta los trabajos de Jacob Bernoulli, quien estudió un problema particular llamado interés compuesto en el que se muestra el surgimiento del valor e. Ejemplo 1: ,GHQWL¿FDU OD IXQFLyQ y = 2e0.5x como crecimiento o decaimiento expoQHQFLDO QDWXUDO \ GLEXMDU VX JUi¿FD +DOODU ORV YDORUHV GH y, localizar los puntos de FRRUGHQDGDV VREUH OD JUi¿FD FRUUHVSRQGLHQWH

182

Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

Solución: Se tabula la función correspondiente. x

í3 í í (0, 2)

0 1

,QWHUSUHWDFLyQ JUi¿FD Crecimiento exponencial natural 0.5 es positivo. Figura 7.7. Gráfica de y = 2e0.5x.

Ejemplo 1: ,GHQWL¿FDU OD IXQFLyQ y = 2eí0.5x como crecimiento o decaimiento expoQHQFLDO QDWXUDO \ GLEXMDU VX JUi¿FD +DOODU ORV YDORUHV GH y, localizar los puntos de FRRUGHQDGDV VREUH OD JUi¿FD FRUUHVSRQGLHQWH Solución: Se tabula la función correspondiente. x

í í 0 1

(0, 2) (0 (0, (0 0, 2 2))

,QWHUSUHWDFLyQ JUi¿FD Decaimiento exponencial natural í HV QHJDWLYR

Figura 7.8. Gráfica de y = 2eí0.5x.

183

loque VII

Utilizas funciones exponenciales y logarÃtmicas

Actividad de aprendizaje 2 Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas, anotando en tu libreta los procesos completos que sean evidencia de la aplicaciÃ³n de las propiedades y conceptos estudiados. 1. Considera las ecuaciones y = ekx, y = ek + x y los valores Ã2, Ã1, Ã0.5, 0.75, 1 y 3 para la constante k. Con ayuda de una hoja de cÃ¡lculo (u otro programa de computadora apropiado), construye una tabla de valores para cada caso y realiza la JUiÂ¿FD FRUUHVSRQGLHQWH GH FDGD IXQFLyQ ,PSULPH WXV HMHUFLFLRV \ FRPSiUDORV con otras soluciones. ,GHQWLÂ¿FDU FDGD IXQFLyQ FRPR FUHFLPLHQWR R GHFDLPLHQWR H[SRQHQFLDO QDWXUDO \ GLEXMDU VX JUiÂ¿FD a) y = 4e0.5x b) y = 4eÃ0.5x 'HSRVLWDV HQ XQD FXHQWD EDQFDULD TXH WH SURGXFH LQWHUHVHV FRPSXHVtos a 15% anual. Calcula el saldo en tu cuenta al cabo de 3 aÃ±os, si los intereses se capitalizan: a) Mensualmente b) Semestralmente c) Continuamente Â¢&XiO VHUi HO PRQWR HQ DxRV GH GHSRVLWDGRV HQ XQD FXHQWD EDQFDULD que otorga 18% de interÃ©s anual, compuesto trimestralmente?

3DUD YHULÂ¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

184

Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

Aprende más Logarítmos comunes y naturales Existen dos tipos de logaritmos que son muy usados en la práctica. Primero, el logaritmo común de un número es la potencia a la que hay que elevar el número 10 para obtener el número propuesto, en general sea x un número real, entonces el logaritmo común es la función que asigna una potencia (o exponente) al cual hay que elevar la base 10 para obtener dicho número x. Simbólicamente es log x Ejemplo:

log 1 = 0 log 10 = 1 log 100 = 2 log 1000 = 3 log 10000 = 4 log 100000 = 5 log 1000000 = 6

porque porque porque porque porque porque porque

100= 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1000 104 = 10000 105 = 100000 106 = 1000000

Segundo, el logaritmo natural de base e o Neperiano de un número es la potencia a la que hay que elevar el número e, para obtener el número propuesto, en general sea x un número real, entonces el logaritmo natural es la función que asigna una potencia (o exponente) al cual hay que elevar la base e para obtener dicho número x. Simbólicamente es ln x donde e = 2.718281828459... ln 1 = loge1 = 0 porque e0 = 1 En general, todas las propiedades que se presenten para cualquiera de estos logaritmos, se cumplen para ambas bases (10 y e). Una propiedad básica de estos es: ln ex = x para cualquier valor de x eln x = x para x > 0 En general, logb(bx) = x para cualquier valor de x y blogb(x) = x para x > 0, un caso particular de la propiedad anterior es cuando x = 1, lo cual implicaría: ln e1 = ln e = 1 y En general, logb(b) = 0

eln1 = e0 = 1 y logb(1) = 0

185

loque VII

Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

Logarítmos de otras bases Para calcular logaritmos con base distinta a 10, se puede utilizar una calculadora FLHQWt¿FD TXH WHQJD OD FDSDFLGDG GH FDOFXODU GH PDQHUD DXWRPiWLFD ORJDULWPRV GH cualquier base o bien recurrir al cambio de base. Sabes que y = logb(x) si y sólo si x = by, entonces, si tomamos x = b\ y aplicamos ln a ambos lados de la ecuación tenemos: ln [ \ ln b, despejando y

logb x

ln x , sabemos que y = logb(x) entonces: ln b

ln x que también es válido para el logaritmo de base 10 ln b

Propiedades generales de los logarítmos 3URSLHGDG La base en todo sistema de logaritmo es siempre un número positivo mayor que cero. Ejemplo: 10 > 0. 3URSLHGDG El logaritmo de un número, cuando existe, es único. Ejemplo: log 1000 = 3 ln H = 1 log327 = 3 3URSLHGDG El logaritmo del número cero no existe. Ejemplo: 10? = 0 entonces log 0 = ? H?= 0 entonces ln 0 = ? 7? = 0 entonces log70 = ? 3URSLHGDG El logaritmo de la unidad en cualquier sistema de logaritmos es igual a cero. Ejemplo: log 1 = 0 es decir 100 = 1 ln 1 = 0 es decir e0 = 1 log41=0 es decir 40 = 1 3URSLHGDG Los números negativos carecen de logaritmos.

186

Utilizas funciones exponenciales y logarĂtmicas

log (Ă5) = ? porque 10? = Ă5 ln (Ă2) = ? porque H? = Ă2 log6(Ă8)= ? porque 6? = Ă8 3URSLHGDG La misma relaciĂłn de igualdad o desigualdad que se da entre dos o mĂĄs nĂşmeros existe entre sus logaritmos en un mismo sistema. 20 > 10 entonces log 20 > log 10 1.3010 > 1.000 3URSLHGDG Los logaritmos de los nĂşmeros mayores que la unidad son positivos. Los logaritmos de los nĂşmeros menores que la unidad, pero mayores que cero, son negativos. Ejemplo: log 10 = 1 porque 101 = 10 log 1000 = 3 porque 103 = 1000 log 0.1 = Ă1 porque 10-1 = log 0.0001 = Ă4 porque 10-4 =

1 = 0.1 10

1 10

= 0.0001

3URSLHGDG El logaritmo del producto de varios factores es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos. logb(A Ă&#x2014; B) = logbA + logbB a) (5 Ă&#x2014; 20 Ă&#x2014; 37) = ln 5 + ln 20 + ln 35 b) log2 (8 Ă&#x2014; 16 Ă&#x2014; 24) = log28 + log216 + log264 3URSLHGDG El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. Â§ AÂˇ logb Â¨ Â¸ ÂŠBÂš Â§ 430 Âˇ a) ln Â¨ Â¸ ÂŠ 12 Âš

ln 430 ln12

logb A logb B

Â§ 625 Âˇ b) log5 Â¨ Â¸ ÂŠ 25 Âš

log5 625 log5 25

187

loque VII

Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

3URSLHGDG El logaritmo de una potencia es igual al producto de dicha potencia por el logaritmo del número base.

logb An

n logb A

a) ln 254 = 41n25 b) log2 103 = 3 log2 10 3URSLHGDG El logaritmo de la raíz de un número es igual al logaritmo del número dividido entre el índice de la raíz. 1

logb n A

a) log 3 37

logb A n

log37 3

1 logb A n

logb A n

b) log8 45

log8 45 2

Sabías que... Los logaritmos constituyeron un recurso para realizar operaciones muy laboriosas antes de que se introdujeran calculadoras y computadoras. Por ejemplo, para hallar (0.00013)(0.5)í25 / (1.047)3: 1. Se aplicaban primero los logaritmos: log [(0.0013)(0.5)í25 / (1.047)3] = log (0.0013)(0.5)í25 í (1.047)3 = log (0.0013) + log (0.5)−25 − 3log 1.047 = −3.8860 + 7.5257 − 0.0598 = 3.5799 2. Se hallaba por último el antilogaritmo (función inversa) de este último número: antilog 3.5799 = 3801.01 Así (0.00013)(0.5)í25 / (1.047)3 ≈ 3801 (Los valores de logaritmos y antilogaritmos se consultaban en tablas)

188

Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

Actividad de aprendizaje 3 Instrucciones: Resuelve los siguientes logaritmos comunes y naturales en tu liEUHWD 5HJLVWUD \ UHÀH[LRQD WXV UHVSXHVWDV SDUD TXH GHVSXpV ODV FRPHQWHV FRQ WXV compañeros de clase. 1. Determina los siguientes logaritmos: a) log 0.9104

b) log 5767

c) log 3.003

d) log 300100

e) log 0.3

f) log 0.000347

2. Calcula el valor de x en cada una de las siguientes expresiones: a) log x = 3.1886

b) log x = 1.5736

c) log x = 4.6931

d) log x = 4.2351

e) log x = 3.6297

f) log x = 1.4437

g) log x = 3.8661

h) log x = 2.8393

i) log x = 0.1358

j) log x = 2.8464

k) log x = 2.6372

l) log x = 4.2867

m) log x = 2.1679

n) log x = 4.5791

o) log x = 3.7455

3. Escribe las siguientes expresiones en notación logarítmica: a) 23 = 8

b) 2x = y

c) 8 = 4

d) 53 = 125

e) 60 = 1

f) 10í2 = 0.01

g) 4í2

h) 43 = 64

i) 27 = 128

j) bx = m 4. Escribe las siguientes expresiones en notación logarítmica: a) log381 = 4

b) log91 = 0

c) logxy = z

189

loque VII

Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

d) log3 í5 e) log 1000 = 3 f) log36

g) log28 = í5 h) log3x = y i) log2x = y j) log 100 = 2 5. Encuéntrense los valores de las literales indicadas. a) log6Q = 3 b) log3Q = í5 c) logb27 = í3 d) logb27 = í3 e) logb í f) logb í g) logb1000 = 3 h) logb í i) log2n = 8 j) logb í 6. Empleando logaritmos efectúense las operaciones indicadas en los problemas, obténgase las respuestas con cuatro cifras. a)

d) g)

496 b)

6.16 3 81.2 e)

215

.801 c)

77.13 1.41 f)

(77.6)(66.5) (44.3)(33.2)

615 3

401

2/3 6

(16.2) 41.1

h) 10.66 i)

.1081

7. Utilizando el cambio de base, determina: a) log 5

b) log 6

c) log 8

d) log 100

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

190

Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

5HÀH[LRQHPRV VREUH OD DFWLYLGDG

¿De qué te das cuenta?

Al realizar la operación del logaritmo de un número, con diferentes bases. ¢&yPR LQÀX\H HQ HO UHVXOWDGR D PHGLGD TXH OD EDVH GLVPLQX\H R DXPHQWD"

Aprende más Concepto de función logarítmica Dado un número real x, mayor que cero, la función logarítmica es la inversa de la función exponencial de base b. Algebraicamente el logaritmo base b se denota como: logb (x) Dado que esta función y la función exponencial con b VRQ LQYHUVDV VH SXHGH D¿UPDU que y = logb (x VLJQL¿FD x = b y entonces, si existe una función: f(y) = x = b y La cual cumple con las características de las funciones exponenciales, su función inversa está dada por: f(x) = x = logb (y) Que resulta ser la función inversa de la función exponencial.

191

loque VII

Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

En la función logarítmica: a) La base b debe ser un número positivo y distinto de uno, igual que en la función exponencial. b) La variable x nunca puede ser cero pues no existe un número y real tal que b y sea cero.

c) La variable x sólo puede tomar valores positivos debido a que la base positiva genera sólo potencias positivas. Por ejemplo: 42

5 2

1 52

0.04

Dominio y rango Para obtener el dominio y el rango de la función logarítmica dado que es la función inversa de la función exponencial, el dominio de la función exponencial se convierte en el rango de la función logarítmica. Lo mismo sucede con el rango. Es decir, el dominio de una función logarítmica es D = {x : < x ` TXH HH OHH FRPR HO FRQMXQWR de todos los números reales positivos. Este dominio se puede verificar, ya que la gráfica nunca toma valores negativos sobre el eje x. El rango de una función logarítmica es R = {x : í x ` TXH HV HO FRQMXQWR GH todos los números reales. En resumen: y Dominio Rango

b x b ! 0, b z 1

f, f

0, f

§ 1· °¨ 1, b ¸ ¹ °© ° 0, 1

Puntos en la gráfica ® ° ° °¯ 1, b

logb x b ! 0, b z 1

0, f

f, f

x se transforma en y

y se transforma en x

§ 1 · °¨ b , 1¸ ¹ °© ° 1, 0

® ° ° °¯ b, 1

$ FRQWLQXDFLyQ VH LGHQWL¿FDQ ORV ORJDULWPRV \ ODV EDVHV GH ODV VLJXLHQWHV H[SUHVLRnes:

192

Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

0.25

2 2

log2 0.25

2 es el logaritmo base 3 de 9 í2 es el logaritmo base 2 de 0.25

log20 1

0 es el logaritmo de base 20 de 1

0.1 10 1

1 log10 0.1

í1 es el logaritmo base 10 de 0.1

2 es el logaritmo base 5 de 25

200

log3 9

log5 25

Actividad de aprendizaje 4 Instrucciones: Resuelve los siguientes logaritmos comunes en tu libreta. Registra \ UHÀH[LRQD WXV UHVSXHVWDV SDUD TXH GHVSXpV ODV FRPHQWHV FRQ WXV FRPSDxHURV GH clase. 1. Obtener el logaritmo y la base para cada número: a) 100000 = 105

b) 74 = 343

c) 64 = 43

d) 64 = 26

e) 64 = 26

f) 64 = 82

2. Escribe cada expresión en su forma exponencial o logarítmica, según el caso: a) 4 = log5 625 b) 252 = 625 c) 0.001 = 10í d) 2 = log 0.111 e) 61 = 6 3. Escriba cada ecuación en forma exponencial; luego determine el valor desconocido. a) log416 = \ b) log2 x = 5 c) log x = 2 e) log3 x = 3 f) log x = 4 i) logb 25 = 2

d) log5 125 = \

g) logb 81 = 4 h) logb í

193

loque VII

Utilizas funciones exponenciales y logarรญtmicas

3DUD YHULยฟFDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

Aprende mรกs

*UiยฟFDV GH IXQFLRQHV ORJDUtWPLFDV Cualquier funciรณn logarรญtmica con base mayor que cero y diferente de 1, que tenga la forma f(x) = logb (x GHVFULELUi XQD JUiยฟFD VLPLODU D OD TXH VH PXHVWUD D FRQWLQXDciรณn y siempre pasarรก por el punto (1, 0) sin importar la base que se utilice.

Figura 7.9. Grรกfica de f(x) = logb x

Ejemplo 1: *UDยฟTXH y = log2x e indique el dominio y el rango de la funciรณn. Soluciรณn: Dominio. El conjunto de valores de "x", es {x / x > 0} Rango. Conjunto de valores de "y", es el conjunto de todos los valores reales ^ . Esta es una ecuaciรณn de la forma y = logbx GRQGH E OR TXH VLJQLยฟFD TXH y = log2x

194

Utilizas funciones exponenciales y logarĂtmicas

Con esta expresiĂłn construiremos la tabla de valores seleccionados de "y" y determinando los valores correspondientes de "x". Los tres puntos listados en el cuadro del dominio y rango aparecen en la tabulaciĂłn. x

1/6

Ă4

1/8

Ă3

1/4

Ă2

1/2

Ă1

(0, 1)

Figura 7.10. GrĂĄfica de y = log2 x

Ejemplo 2: *UDÂżTXH y = log x e indique el dominio y el rango de la funciĂłn. SoluciĂłn: Dominio: El conjunto de valores de "x", es {x / x > 0} Rango: Conjunto de valores de "y", es el conjunto de todos los valores reales ^ . Esta es una ecuaciĂłn de la forma y = logbx GRQGH E OR TXH VLJQLÂżFD TXH x = (1/2)y Con esta expresiĂłn construiremos la tabla de valores seleccionados de "y" y determinando los valores correspondientes de "x". Los tres puntos listados en el cuadro del dominio y rango aparecen en la tabulaciĂłn. x

1/2

1/4

1/8

(1, 0)

Figura 7.11.

195

loque VII

Utilizas funciones exponenciales y logarĂtmicas

Dado que la funciĂłn logarĂtmica x = by (y = logbx) es la inversa de la funciĂłn exponencial y = bx VX JUiÂżFD VH REWLHQH UHĂ&#x20AC;HMDQGR OD JUiÂżFD H[SRQHQFLDO HQ OD UHFWD x = y

Fun ciĂłn expo nenc ial

f(x) = 2x

f(x) = x

a rĂtmic n loga FunciĂł f(x) = log2 x

Figura 7.12.

(Q OD ÂżJXUD VH PXHVWUDQ ODV JUiÂżFDV JHQHUDOHV GH y = bx y de y = logb x, b > 0 en los mismos ejes. Observa que son simĂŠtricos respecto de la recta y = x, podemos ver que el rango de la funciĂłn exponencial es el dominio de la funciĂłn logarĂtmica, y viceversa. AdemĂĄs, los valores de x y de y en los pares ordenados estĂĄn intercambiados en las funciones exponencial y logarĂtmica.

Actividad de aprendizaje 5 Instrucciones: 5HVXHOYH ORV VLJXLHQWHV HMHUFLFLRV HQ WX OLEUHWD 5HJLVWUD \ UHĂ&#x20AC;H[LRQD tus respuestas para que despuĂŠs las comentes con tus compaĂąeros de clase. 1. Escribe los conceptos que se piden de la funciĂłn logarĂtmica y = logb x â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

ÂżQuĂŠ restricciones hay sobre b? ÂżCuĂĄl es el dominio de la funciĂłn? Y, ÂżcuĂĄl es su rango? Escribe la funciĂłn y = logb x en forma exponencial. ÂżCuĂĄl es el concepto de funciĂłn exponencial?

*UDÂżTXH FDGD XQD GH ODV VLJXLHQWHV IXQFLRQHV a) y = log x b) y = log2 x

196

Utilizas funciones exponenciales y logarÃtmicas

c) y = log3 x d) y = log4 x *UDÂ¿TXH FDGD SDU GH IXQFLRQHV HQ ORV PLVPRV HMHV a) b) c) d)

y = 22, y = log x, y x, y = log2 x, y = 2x, y = log2 x, y x, y = log x, 3DUD YHULÂ¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

5HÃ&#x20AC;H[LRQHPRV VREUH OD DFWLYLGDG

Â¿De quÃ© te das cuenta?

6L DQDOL]DVWH ODV JUiÂ¿FDV SXHGHV REVHUYDU FRPR OD IXQFLyQ ORJDUtWPLFD HV OD funciÃ³n inversa de la funciÃ³n exponencial, pero esto no solo sucede en las JUiÂ¿FDV Â¢4Xp VXFHGH FRQ ODV RSHUDFLRQHV"

Aprende mÃ¡s Ecuaciones logarÃtmicas y exponenciales En este apartado analizaremos varios casos en los que se aplican ecuaciones exponenciales o logarÃtmicas, o bien se tendrÃ¡n que construir modelos a partir de datos proporcionados.

197

loque VII

Utilizas funciones exponenciales y logarĂtmicas

En ocasiones algunas ecuaciones logarĂtmicas o exponenciales deben resolverse SRU PpWRGRV JUiÂżFRV (VWR RFXUUH FXDQGR ODV H[SUHVLRQHV UHVXOWDQWHV PHGLDQWH transformaciones algebraicas son mĂĄs complejas que la expresiĂłn inicial, en tĂŠrminos generales se debe: 1. Tener presente las propiedades de logaritmos 2. Aislar los tĂŠrminos exponenciales o logarĂtmicos 3. Interpretar en forma inversa exponentes y logaritmos Ejemplos 1: Resuelva la ecuaciĂłn 5n = 20

SoluciĂłn: 6H FDOFXOD HQ DPERV ODGRV GH OD HFXDFLyQ HO ORJDULWPR \ VH GHVSHMD Q log 5 n log 20 n log 5 log 20 log 20 n log 5 n 1.8612

1 2

Ejemplos 2: Resuelva la ecuaciĂłn 8 x SoluciĂłn:

(VFULELU HO FRPR \ 3 x

23 x 3x x

1 2 2 1 1 1 3

Ejemplos 3: Resuelva la ecuaciĂłn log2 x 1

198

1 como 2 1 2

Utilizas funciones exponenciales y logarĂtmicas

SoluciĂłn: 3

x 1

3 x 1

x 1 x

Escribir en forma exponencial

16 3

-1

16 3

RaĂz cĂşbica de ambos lados

Despejar x

Los siguientes ejemplos muestran algunas aplicaciones prĂĄcticas: Ejemplo 4: Si al iniciar un cultivo hay 1000 bacterias este nĂşmero se duplica cada hora, entonces el nĂşmero de bacterias al cabo de horas puede calcularse mediante la fĂłrmula N = 1000 (2)t, ÂżCuĂĄnto tiempo tardarĂĄ el cultivo en tener 30000 bacterias? SoluciĂłn: 2EVHUYD TXH VH TXLHUH GHWHUPLQDU HO YDORU GH W SDUD KDFHUOR XWLOL]DUHPRV ORJDULWPRV HVFULELpQGROR HQ DPERV H[WUHPRV GH OD HFXDFLyQ log 30

log 2

log 30

t log 2

t t

log 30 log 2 4.91

6HUi QHFHVDULR XQ WLHPSR GH KRUDV SDUD TXH HO FXOWLYR WHQJD EDFWHULDV

Ejemplo 5: Los logaritmos se utilizan para medir la magnitud de los terremotos. En la escala Richter, desarrollada por el sismĂłlogo Charles F. Richter, por ejemplo, la magnitud, R, de un terremoto estĂĄ dada por la fĂłrmula: R = log10 I Donde I representa el nĂşmero de veces que es mĂĄs intenso el terremoto respecto de la actividad sĂsmica mĂĄs pequeĂąa que se puede medir con un sismĂłgrafo. a) Si el terremoto mide 4 grados en la escala Richter, ÂżcuĂĄntas veces es mĂĄs intenso respecto de la actividad sĂsmica mĂĄs pequeĂąa que se puede medir? b) ÂżCuĂĄntas veces es mĂĄs intenso un terremoto que mide 5 grados que uno de 4?

199

loque VII

Utilizas funciones exponenciales y logarÃtmicas

SoluciÃ³n: D (V LPSRUWDQWH HQWHQGHU HO SUREOHPD HO Q~PHUR DVLJQDGR HQ OD HVFDOD 5LFKWHU 5 HV 3DUD GHWHUPLQDU FXiQWDV YHFHV HV PiV LQWHQVR HO WHUUHPRWR UHVSHFWR GH OD DFWLYLGDG VtVPLFD PiV SHTXHxD TXH SXHGH PHGLUVH , VXVWLWXLPRV 5 HQ OD IyUPXOD \ GHVSHMDPRV , R

log10 I

Cambiar a la forma exponencial

10 I I 10000 5HVSXHVWD XQ WHUUHPRWR TXH PLGH JUDGRV HV YHFHV PiV LQWHQVR UHVSHFWR GH OD DFWLYLGDG VtVPLFD PiV SHTXHxD TXH VH SXHGH PHGLU E &DPELDU D OD IRUPD H[SRQHQFLDO \ UHVROYHU 5

log10 I

I 10 5 I 100000 5HVSXHVWD FRPR XQ WHUUHPRWR TXH PLGH HV YHFHV PiV LQWHQVR TXH XQ WHUUHPRWR TXH PLGH

Ejemplo 6: En el lugar de un accidente un socorrista atiende a una persona inconsciente y sin respiraciÃ³n, en tanto otro efectÃºa dos tomas de temperatura con diferencia de un minuto, siendo Ã©stas de 37Â°C y 36Â°C. El termÃ³metro ambiental de la ambulancia marca 21Â°C de temperatura. Si la primera toma se hizo a las 7:00 p.m., Â¿CuÃ¡nto tiempo lleva sin respirar la persona? SoluciÃ³n: /D WHPSHUDWXUD FRUSRUDO QRUPDO HV GH Â&#x192;& 8VDQGR OD IyUPXOD SDUD HO HQIULDPLHQWR GH ORV FXHUSRV kt

Tf Tm Ti Tm

2EWHQHPRV HO VLVWHPD GH HFXDFLRQHV ORJDUtWPLFDV kt

200

36 21 37 21

Utilizas funciones exponenciales y logarĂtmicas

1 Âˇ Â§ k Â¨t Â¸ 60 Âš ÂŠ

36 21 37 21

5HVROYLHQGR ODV HFXDFLRQHV HQFRQWUDPRV HO YDORU GH ODV YDULDEOHV k

0.0198, t

2.25

3RU WDQWR PLQXWRV DQWHV GH OD SULPHUD WRPD OD WHPSHUDWXUD FRUSRUDO HUD GH Â&#x192;& /D SHUVRQD OOHYD FHUFD GH PLQXWRV VLQ UHVSLUDU

Actividad de aprendizaje 6 Los estudios de funciones de crecimiento y decaimiento exponencial se relacionan con muchos procesos sociales. Tal es el caso del crecimiento de poblaciones vegetales, animales o humanas. Trabajo de investigaciĂłn: el estudio del crecimiento y decaimiento exponencial, es XQD KHUUDPLHQWD ~WLO HQ WUDEDMRV GH LQYHVWLJDFLyQ FLHQWtÂżFD Instrucciones: En equipos de tres a cuatro personas realiza las siguientes actividades: 1. Investiga en libros, revistas o gente que conozca del tema, tres ejemplos de crecimiento exponencial tomando como referencia lo descrito en cada inciso y presĂŠntalo al grupo. a) El nĂşmero de contagios de una enfermedad cuando no se toman medidas sanitarias. b) El nĂşmero de cĂŠlulas de un feto, mientras se desarrolla en el Ăştero materno. c) El nĂşmero de virus o bacterias que se desarrollan en un charco de cultivo. 2. InvestigaciĂłn en libros, revistas o gente que conozca del tema, tres ejemplos de decaimiento exponencial tomando como referencia lo descrito en cada inciso y presĂŠntalo al grupo

201

loque VII

Utilizas funciones exponenciales y logarĂtmicas

a) La cantidad de energĂa elĂŠctrica generada por una baterĂa. b) La cantidad de cĂŠlulas cancerĂgenas, despuĂŠs de aplicar radiaciĂłn. F /D FDQWLGDG GH PDWHULDO UDGLRDFWLYR HQ XQ UHDFWRU GH ÂżVLyQ

3. Elaboren mapas conceptuales sobre el tema en hojas de rotafolio o cartulinas y explĂquenlos a sus compaĂąeros de clase. 4. Cada equipo deberĂĄ entregar al profesor evidencia de su investigaciĂłn y una conclusiĂłn que describa la importancia del trabajo realizado y sus aplicaciones en la soluciĂłn de problemas cotidianos en distintos ĂĄmbitos: social, polĂtico, cienWtÂżFR HWF

3DUD YHULÂżFDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

202

Utilizas funciones exponenciales y logarĂtmicas

Cierre del bloque VII 5HĂ H[LRQD VREUH OR DSUHQGLGR Una vez estudiada la parte principal de este bloque VII de funciones exponenciales y logaritmicas, lo consecuente es que desarrolles las habilidades y actitudes necesarias, para asĂ evidenciar que estas aprehendiendo dichas funciones . $O ÂżQDO GHO SUHVHQWH EORTXH \D FXHQWDV QXHYRV HOHPHQWRV GH DSUHQGL]DMH SDUD TXH poco a poco te apropies de ellos y puedas trabajar o utilizar funciones exponenciales y logarĂtmicas a situaciones teĂłricas, pero tambiĂŠn a algunas situaciones reales. Con estos elementos, te invito a que investigues acerca de algĂşn tipo de aplicaciĂłn de funciones de crecimiento y decaimiento exponencial que se relacione con algĂşn proceso social y comparte la informaciĂłn con tu docente y grupo. CuestiĂłnense acerca de la utilidad de estar desarrollando estos aprendizajes y la LPSRUWDQFLD GH PDQHMDUORV DGHFXDGDPHQWH $O ÂżQDO SUHVHQWD D WX GRFHQWH ODV REVHUvaciones del trabajo realizado para realimentar tu aprendizaje en cuanto a funciones exponenciales y logarĂtmicas.

AutoevaluaciĂłn Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas, anotando en tu libreta los procesos completos que sean evidencia de la aplicaciĂłn de reglas y conceptos estudiados. 1. En tu casa te sirven en el desayuno unos huevos reciĂŠn sacados de la sartĂŠn, a 40Â°C. La temperatura ambiente es de 20Â°C y la temperatura (en Â°C) de tu desayuno estĂĄ relacionada con el tiempo (en horas), mediante el modelo: 4.1605t

T 20 40 20

ÂżCuĂĄnto tardarĂĄ tu desayuno en enfriarse a 30Â°C? 2. Cuando pones un refresco a enfriar en el congelador, si el refresco estĂĄ a 18Â°C \ VH FRQJHOD HQ KRUDV HVWDQGR HO FRQJHODGRU D Ă Â&#x192;& a) Determina la constante en la fĂłrmula del enfriamiento del problema 3. b) ÂżEn cuĂĄnto tiempo el refresco estarĂĄ a 6Â°C?

203

loque VII

Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

3. La ecuación y = 41.3 + H0.1527W modela la cantidad de personas (en millones) económicamente activas en el país, a partir de 2010 (t = 1). a) ¿Cuántas personas estaban produciendo ingresos en el país en el año 2010? b) ¿En cuánto tiempo la población económicamente activa ascenderá a 44 millones? 4. Si en tres horas se congela un refresco en el refrigerador, estando el refresco a 15°C al introducirlo, ¿Cuál es la temperatura del congelador? 5. La ecuación y = 4 + ln0.5ít modela la demanda de bicicletas cada año, entre 1951 (t = 1) y 1960. ¿Cuál fue la demanda en 1958? está expresada en millones. 6. Construir un modelo para el crecimiento de una población de mapaches en un zoológico, con capacidad máxima para 80 de ellos, iniciando con una pareja. El primer dato es para x = 0 (años), y = 4 (mapaches). Un segundo dato podría ser TXH DO ¿QDO GHO SULPHU DxR KXELHUDQ PDSDFKHV x = 1, y = 4 7. Una fórmula que se utiliza en ocasiones para calcular la energía sísmica liberada por un terremoto es log E = 11.8 + 1.5 mV, donde E es la energía sísmica y mV es OD PDJQLWXG GH OD VXSHU¿FLH GH OD RQGD D 'HWHUPLQD OD HQHUJtD OLEHUDGD SRU XQ WHUUHPRWR FX\D PDJQLWXG GH OD VXSHU¿FLH de la onda es 6. b) Si la energía liberada durante un terremoto es de ¿Cuál es la magnitud de la VXSHU¿FLH GH OD RQGD" 8. El nivel de presión del sonido es sp VRQLGR HQ GLQDV FP2.

20log

Pr , donde PU es la presión del 0.0002

D 'HWHUPLQH HO QLYHO VL OD SUHVLyQ GHO VRQLGR HV GH GLQDV FP2. b) Si el nivel es de 10.0, determine la presión del sonido. 9. La escala Richter, usada para medir la intensidad (o fuerza) de los terremotos, relaciona la magnitud, M del terremoto con la energía que libera, E, en ergios, mediante la fórmula: M

204

log E 11.8 1.5

Utilizas funciones exponenciales y logarĂtmicas

Si un terremoto libera 1.259 Ă&#x2014; 1021 ergios de energĂa, ÂżcuĂĄl es su magnitud en la escala Richter? 9. En equipos utilice la fĂłrmula de cambio de base para evaluar log3 45 10. Resolver la ecuaciĂłn log 3 x 5 log 5 x 1.23 11. Resolver la ecuaciĂłn log7 x

3 log7 64 2

3DUD YHULÂżFDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

Si de la actividad anterior obtuviste los SXQWRV, considera tu resultado como ([FHOHQWH y si lograste D SXQWRV es %LHQ, de D HV 5HJXODU y si tus respuestas correctas fueron PHQRV GH considera tu desempeĂąo como 1R VXÂżFLHQWH, lo que exige que atiendas tus ĂĄreas de oportunidad. Excelente ÂżCĂłmo evalĂşas el nivel de tus conocimientos previos en funciĂłn de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXĂ&#x20AC;FLHQWH

205

Bloque VIII. Aplicas funciones periรณdicas

Bloque VIII Aplicaciones funciones periรณdicas

loque VIII

Aplicas funciones periĂłdicas

IntroducciĂłn 8QD IXQFLyQ SHULyGLFD VH SXHGH GHÂżQLU FRPR XQD IXQFLyQ SDUD OD FXDO PDWHPiWLcamente f ÄŽ f ÄŽ t), para todo valor de t. La constante mĂnima t que satisface la relaciĂłn se llama el perĂodo de la funciĂłn. Una funciĂłn es periĂłdica si cumple la condiciĂłn de periodicidad, es decir, si despuĂŠs de cada cierto intervalo de tiempo o espacio constante, llamado periodo, la funciĂłn adquiere el mismo valor de partida. Las aplicaciones de las funciones trigonomĂŠtricas son extensas e interesantes. Por ejemplo, los fenĂłmenos de vibraciĂłn tales como los de las cuerdas de una guitarra para producir sonido y el sonido mismo se describen mediante funciones trigonomĂŠtricas. TambiĂŠn el estudio de los temblores es analizado mediante funciones trigonomĂŠtricas. La electricidad, y particularmente el cĂĄlculo de su intensidad en corriente alterna, estĂĄ determinada por funciones trigonomĂŠtricas, la luz y las ondas electromagnĂŠticas, como las ondas de radio y televisiĂłn, tambiĂŠn obedecen modelos trigonomĂŠtricos.

208

Aplicas funciones periĂłdicas

ÂżQuĂŠ aprenderĂĄs y cĂłmo organizarĂĄs tu estudio? Bloque VIII Tiempo

10 horas

Contenidos curriculares que se abordan 1. Concepto de funciĂłn trigonomĂŠtrica. 2. Periodicidad de las funciones trigonomĂŠtricas. â&#x20AC;˘ FunciĂłn seno. â&#x20AC;˘ FunciĂłn coseno. 3. *UiÂżFDV GH IXQFLRQHV WULJRQRPpWULFDV â&#x20AC;˘ FunciĂłn seno generalizada (senoidal). 4. FunciĂłn coseno. â&#x20AC;˘ FunciĂłn coseno generalizada (cosenoide). 5. Modelado y soluciĂłn de problemas con funciones trigonomĂŠtricas.

Competencias disciplinares que se desarrollan â&#x20AC;˘

â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

EvaluaciĂłn del aprendizaje

â&#x20AC;˘

Durante este bloque realizarĂĄs los siguientes proGXFWRV GH DSUHQGL]DMH TXH SRQGUiQ GH PDQLÂżHVWR HO desarrollo de tus competencias.

â&#x20AC;˘

â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

Actividad de aprendizaje 1. FunciĂłn seno Actividad de aprendizaje 2. FunciĂłn coseno. Actividad de aprendizaje 3. AnĂĄlisis de las caracterĂsticas de las funciones periĂłdicas. AutoevaluaciĂłn.

209

loque VIII

Aplicas funciones periĂłdicas

3DUD LQLFLDU UHĂ H[LRQD Para comenzar, te invitamos a realizar lo siguiente y responder las preguntas: 1. Traza un triĂĄngulo que mida dos unidades por lado y determina: a) ÂżQuĂŠ tipo de triĂĄngulo es?

2. Traza la altura y responde: c) ÂżQuĂŠ propiedades geomĂŠtricas tiene la altura del triĂĄngulo?

d) ÂżCuĂĄles son las medidas de los ĂĄngulos del triĂĄngulo?

e) ÂżCuĂĄl es la medida de la altura del triĂĄngulo?

Aprende mĂĄs Concepto de funciĂłn trigonomĂŠtrica Estas funciones surgen de la relaciĂłn entre dos lados de un triĂĄngulo rectĂĄngulo y un ĂĄngulo interior en una razĂłn matemĂĄtica. Para entender el comportamiento de estas funciones es necesario recordar algunos conceptos importantes: Figura 8.1.

210

Aplicas funciones periĂłdicas

1. Un triĂĄngulo rectĂĄngulo tiene dos lados perpendiculares entre sĂ: x y y, que forman un ĂĄngulo recto (cuya medida es de 90Â°). Estos lados se denominan catetos del triĂĄngulo. 2. El tercer lado: h, opuesto al ĂĄngulo recto, se denomina hipotenusa del triĂĄngulo y su medida es mayor que la de los catetos: h > x, h > y. 3. Los lados se relacionan mediante el teorema de PitĂĄgoras TXH HQXQFLD TXH ÂłOD VXPD GH ORV FXDGUDGRV GH ORV FDWHWRV HV LJXDO DO FXDGUDGR GH OD KLSRWHQXVDÂ´ h2 = x2 + y2 6L WRPDPRV DO iQJXOR ÄŽ WHQHPRV ODV VLJXLHQWHV UD]RQHV GH ORV GRV ODGRV y cateto opuesto de a h hipotenusa

â&#x20AC;˘

)XQFLyQ VHQR GHO iQJXOR ÄŽ sen a

â&#x20AC;˘

)XQFLyQ FRVHQR GHO iQJXOR ÄŽ cos a

â&#x20AC;˘

)XQFLyQ WDQJHQWH GHO iQJXOR ÄŽ tan a

â&#x20AC;˘

)XQFLyQ FRVHFDQWH GHO iQJXOR ÄŽ csc a

â&#x20AC;˘

)XQFLyQ VHFDQWH GHO iQJXOR ÄŽ sec a

â&#x20AC;˘

)XQFLyQ FRWDQJHQWH GHO iQJXOR ÄŽ cot a

x cateto adyacente de a h hipotenusa y cateto opuesto de a x cateto adyacente de a h hipotenusa y cateto opuesto de a

h hipotenusa x cateto adyacente de a x cateto adyacente de a y cateto opuesto de a

Para el ĂĄngulo b WDPELpQ VH SXHGHQ GHÂżQLU ODV PLVPDV VHLV IXQFLRQHV WULJRQRPptrica.

Periodicidad de las funciones trigonomĂŠtricas Si en el plano cartesiano dibujamos un cĂrculo de radio r con centro en el origen y trazamos uno de sus radios, tenemos una herramienta Ăştil para analizar a las funciones trigonomĂŠtricas, denominado cĂrculo trigonomĂŠtrico.

211

loque VIII

Aplicas funciones periĂłdicas

(0, r)

Y CI (+, +)

CII Ă

P(x, y) r (ĂU, 0)

(r, 0)

Č&#x2122; x

CIII Ă Ă

CIV Ă

(0, ĂU)

Figura 8.2.

Para el triĂĄngulo OPQ, que es un triĂĄngulo rectĂĄngulo, se cumple el teorema de PitĂĄgoras, de modo que: r2 = x2 + y2. 3DUD HO iQJXOR Č&#x2122; GHÂżQLGR SRU HO SXQWR P(x, y $ SDUWLU GH HVWDV GHÂżQLFLRQHV SRGHmos analizar las funciones trigonomĂŠtricas para entender y aplicar sus propiedades a la soluciĂłn de problemas.

FunciĂłn seno EstĂĄ determinada por la coordenada y del punto P y el radio r cuya medida permaQHFH FRQVWDQWH 'H HVWH PRGR SRGHPRV DÂżUPDU TXH HO YDORU GH HVWD IXQFLyQ GHSHQde, principalmente, del valor de y. En el primer cuadrante, los puntos tienen coordenadas positivas, de modo que la razĂłn y r se mantiene positiva en este cuadrante. El ĂĄngulo Č&#x2122; HV DJXGR Â&#x192; Č&#x2122; < 90Â°) y la coordenada y cambia desde 0 hasta r; es decir, 0 < y < r. El ĂĄngulo de 0Â°, que es la frontera inicial de los ĂĄngulos del primer cuadrante, estĂĄ determinado por el punto (r, 0) por lo que: sen 0$

0 0 r

< HO iQJXOR GH Â&#x192; TXH HV IURQWHUD ÂżQDO GH ORV iQJXORV GHO SULPHU FXDGUDQWH HVWi determinado por el punto (0, r), por lo que:

212

Aplicas funciones periĂłdicas

r 1 r

sen 90$

Por lo que se concluye que en el cuadrante I se cumple la condiciĂłn (0 < sen Č&#x2122; 1). Con la informaciĂłn obtenida hasta el momento, obtenemos la siguiente tabla: Cuadrante I: Č&#x2122;

0Â°

seno Č&#x2122;

30Â°

45Â°

60Â°

1 2

(0, r)

90Â° 1

Y CI (+, +)

CII Ă

P(x, y)

(ĂU, 0)

180 Ă Č&#x2122;

(r, 0)

Č&#x2122; O

CIV Ă

CIII Ă Ă

(0, ĂU)

Figura 8.3.

La coordenada y se mantiene positiva, con 0 < y < r, y los ĂĄngulos cumplen las condiciones 90Â°< y Â&#x192; \ VHQ Č&#x2122; /D IXQFLyQ VHQR SURGXFH YDORUHV SRVLWLYRV en el segundo cuadrante, siendo equivalentes a los valores del primer cuadrante REWHQLGRV FRQ OD H[SUHVLyQ Č&#x2122;r = Â&#x192;Ă Č&#x2122; GRQGH Č&#x2122;r se denomina ĂĄngulo de referencia. La expresiĂłn para el ĂĄngulo de referencia anterior es vĂĄlida para el cuadrante II, exclusivamente. Para la funciĂłn seno en el cuadrante II se tiene que: Č&#x2122;

120Â°

135Â°

150Â°

180Â°

Â&#x192;Ă Č&#x2122;

60Â°

45Â°

30Â°

0Â°

seno Č&#x2122;

1 2

213

loque VIII

Aplicas funciones periĂłdicas

Mediante un anĂĄlisis semejante tenemos lo siguiente. &XDGUDQWH ,,, ĂU < y Â&#x192; Č&#x2122; Â&#x192; Č&#x2122;U Â&#x192;Ă Č&#x2122; Ă VHQ Č&#x2122; 0. Č&#x2122;

210Â°

225Â°

240Â°

270Â°

Č&#x2122; Ă Â&#x192;

30Â°

45Â°

60Â°

90Â°

seno Č&#x2122;

1 2

2 2

3 2

&XDGUDQWH ,9 ĂU < y Â&#x192; Č&#x2122; Â&#x192; Č&#x2122;U Â&#x192;Ă Č&#x2122; Ă VHQ Č&#x2122; 0. Č&#x2122;

300Â°

315Â°

330Â°

360Â°

Â&#x192;Ă Č&#x2122;

60Â°

45Â°

30Â°

0Â°

seno Č&#x2122;

3 2

2 2

1 2

Observa que calcular la funciĂłn seno en ĂĄngulos ÄŽ mayores a 360Âş es equivalente a calcular la funciĂłn del ĂĄngulo ÄŽ Ă 360Âş asĂ que los valores de las tablas se repiten LQÂżQLWDPHQWH FDGD Â&#x17E; Si tenemos un ĂĄngulo mayor que 2Ę&#x152; (mayor de 360Â°), ÂżquĂŠ ocurre con los valores de la funciĂłn? Â§ 13S Consideremos el caso del ĂĄngulo de 390Â° Â¨ ÂŠ 6

Âˇ Â¸: Âš

390Â° = 360Â° + 30Â°, de modo que el punto que determina al ĂĄngulo de 30Â° es el mismo que para 390Â°. Dos ĂĄngulos determinados en el cĂrculo trigonomĂŠtrico por el mismo punto se denominan iQJXORV FRWHUPLQDOHV. 30Â° y 390Â° son iQJXORV FRWHUPLQDOHV. Si ambos ĂĄngulos estĂĄn determinados por el punto P, entonces sus funciones trigonomĂŠtricas tienen exactamente los mismos valores: sen 390q

cos 390q

214

sen 30q

cos 30q

1 2 3 2

Figura 8.4.

Aplicas funciones periódicas

Lo mismo ocurre si utilizamos ángulos negativos. Esta característica de la función seno se denomina SHULRGLFLGDG.

Función coseno Del círculo trigonométrico tenemos: Cuadrante I

Ŧ°

Ŧ°rad

Ŧref

cos Ŧ

0°

30°

45°

60°

90°

S 6

S 4

S 3

S 2

Ŧ°

Cuadrante II

120°

2 2

135°

2 150°

180°

Cuadrante III

Ŧ°

Ŧ°rad

210°

225°

240°

270°

5S 4 4S 3 3S 2

cos Ŧ

30°

45°

90°

2S 3 3S 4 5S 6 ʌ

Ŧref 60°

cos Ŧ

45°

30°

0°

1 2 2 2 3 2

Cuadrante IV

Ŧref

60°

Ŧ°rad

3 2 2 2

1 2

Ŧ° 300°

315°

330°

360°

Ŧ°rad 5S 3 7S 4 11S 6 2S

Ŧref 60°

45°

30°

0°

cos Ŧ

1 2 2 2 3

2 1

215

loque VIII

Aplicas funciones periĂłdicas

*UiÂżFDV GH IXQFLRQHV WULJRQRPpWULFDV $QWHV GH JUDÂżFDU D ODV IXQFLRQHV WULJRQRPpWULFDV FRPHQFHPRV GHÂżQLHQGR XQ UDGLiQ 8Q UDGLiQ VH GHÂżQH FRPR HO iQJXOR FHQWUDO TXH VH JHQHUD FXDQGR HO DUFR GH FLUFXQIHUHQFLD WLHQH XQD ORQJLWXG LJXDO DO UDGLR 2EVHUYD OD VLJXLHQWH ÂżJXUD r r

Č&#x2122; Č&#x2122;

r r

r Č&#x2122; Č&#x2122;

Č&#x2122; Č&#x2122;

ÄŽ

r r

Figura 8.5.

El ĂĄngulo en color azul tiene una medida de 1 radiĂĄn. Sabemos que el diĂĄmetro de la circunferencia se puede colocar sobre el perĂmetro de ella de modo que se cumple que: PerĂmetro p diĂĄmetro Es decir, el diĂĄmetro de la circunferencia cabe en su perĂmetro Ę&#x152; veces. Esto signiÂżFD TXH VL FRORFDPRV GLiPHWURV VREUH HO SHUtPHWUR GH OD FLUFXQIHUHQFLD SRGUHPRV colocar 3 diĂĄmetros completos y faltarĂĄ una curva de longitud w = 0.14159265, FRPR VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD TXH GHÂżQH HO YDORU GH OD FRQVWDQWH Ę&#x152;. Recuerda que Ę&#x152; es la razĂłn del perĂmetro de una circunferencia al diĂĄmetro de la misma; es decir, representa las veces que el diĂĄmetro de la circunferencia cabe en su contorno o perĂmetro. Dado que el diĂĄmetro mide lo que dos radios, entonces en el perĂmetro de la circunferencia caben 2Ę&#x152; radianes. 90Â° = Ę&#x152; UDG

0Â° = 0 rad 360Â° = 2Ę&#x152; rad

180Â° = Ę&#x152; rad

Â&#x192; Ę&#x152; rad

Figura 8.6.

216

Aplicas funciones periódicas

De este modo podemos establecer una relación de equivalencia de las medidas angulares entre grados y radianes: 1 rev 1 rev 2 1 rev 2

360q 360q 2

2S rad

S rad

180q S rad

Así, si deseamos saber cuál es la equivalencia en radianes de 30° realizamos la siguiente conversión: 30q

30 q

S rad 180 q

30S rad 180

S 6

rad ; 30° equivalen a

S 6

radianes

Sabías que... Cuando la medida de un ángulo está expresada en radianes no es necesario escribir la unidad rad. El radián es la unidad por defecto de la medida angular en Matemáticas. Ejemplo 1: ¿Cuál es la equivalencia de 45° en radianes? Solución:

45q

45 q

S 180 q

45S 180

9 5 S

9 20

Ejemplo 2: ¿Cuál es la medida, en grados, de

Por lo tanto, 45q S

3S ? 2

Solución:

3S 2

3S 180q 2 S

§ 3 180 S ¨¨ 2S ©

· ¸¸ q ¹

§ 3 90 · ¨ ¸q © 1 ¹

270q Por lo tanto, 3S 2

270q

8QD YH] HQWHQGLGR HO FRQFHSWR GH UDGLiQ SRGHPRV JUD¿FDU D ODV IXQFLRQHV WULJRQRmétricas.

217

loque VIII

Aplicas funciones periÃ³dicas

Utilizando los valores calculados para la funciÃ³n seno, mediante el cÃrculo unitario, WHQHPRV OD JUiÂ¿FD VLJXLHQWH

f (x) = sen x

Figura 8.7.

5HFRUGDQGR OD SHULRGLFLGDG GH OD IXQFLyQ VHQR WHQHPRV TXH OD JUiÂ¿FD GH OD IXQFLyQ seno hasta 390Â° es: f (x) = sen x

Figura 8.8.

(Q Â¿JXUD OD FXUYD D]XO TXH UHSUHVHQWD ORV YDORUHV GH OD IXQFLyQ VHQR SDUD Ã¡ngulos comprendidos entre 0Â° y 360Â° (0 y 2Ê&#x152;), denominada curva seno base, se reproduce totalmente para Ã¡ngulos desde 360Â° hasta 720Â° (2Ê&#x152; a 4Ê&#x152;).

218

Aplicas funciones periĂłdicas

f(x) = sen x

Figura 8.9.

3RU ~OWLPR WHQHPRV TXH OD JUiÂżFD SDUD YDORUHV QHJDWLYRV \ SRVLWLYRV HV OD VLJXLHQWH

f (x) = sen x

Figura 8.10.

8QD YH] TXH KHPRV FRPSUHQGLGR FyPR HV OD JUiÂżFD FRPSOHWD GH OD IXQFLyQ VHQR analicemos sus elementos: 'RPLQLR 'RPI [Â? ĂÂ&#x2019; Â&#x2019; /D JUiÂżFD VH H[WLHQGH KRUL]RQWDOPHQWH FRQWLQXDPHQWH desde ĂÂ&#x2019; hasta Â&#x2019;. 5DQJR 5DQJRI \Â? Ă /D JUiÂżFD YDUtD YHUWLFDOPHQWH GHVGH Ă hasta 1.

219

loque VIII

Aplicas funciones periĂłdicas

IntersecciĂłn con el eje Y. El origen del plano cartesiano, que es el punto (0, 0).

Intersecciones con el eje X. Todos los puntos (nĘ&#x152; GRQGH Q Ă Ă Ă 2, 3... 4n 1 p SDUD Q Ă Ă Ă 2 4n 3 Puntos mĂnimos. p SDUD Q Ă Ă Ă 2

Puntos mĂĄximos.

Periodo (T). 2Ę&#x152;, que es la longitud de la onda que se reproduce periĂłdicamente (en OD JUiÂżFD HV OD RQGD D]XO T = 2Ę&#x152;. La funciĂłn seno repite sus valores cada 2Ę&#x152; unidades del eje X. Frecuencia (f). Es el inverso del periodo: f

1 1 T 2p

Representa el nĂşmero de ondas seno base que se tienen cada 2Ę&#x152; unidades; es decir, hay una onda seno base cada unidades sobre el eje X. Amplitud (A). (V OD Pi[LPD GLVWDQFLD GHO HMH ; D OD JUiÂżFD GH OD IXQFLyQ VLQ LPSRUWDU la direcciĂłn; es decir, hacia arriba del eje X, el mĂĄximo se encuentra en 1 (distancia GH XQD XQLGDG \ KDFLD DEDMR GHO HMH ; OD Pi[LPD GLVWDQFLD VH SUHVHQWD HQ Ă GLVtancia de una unidad): A = 1.

FunciĂłn seno generalizada (senoidal) Se ha analizado, hasta el momento, la funciĂłn f(x) = sen x. Sin embargo, aĂąadiendo parĂĄmetros numĂŠricos a esta funciĂłn, podemos realizar algunas transformaciones JUiÂżFDV \ KDFHUOD ~WLO SDUD OD DSOLFDFLyQ D SUREOHPDV WDOHV FRPR HO HVWXGLR GHO VRQLdo, la electricidad, el movimiento de rotores, etcĂŠtera. Cuando aĂąadimos parĂĄmetros numĂŠricos a la funciĂłn f(x) = sen x, obtenemos una IXQFLyQ FX\D JUiÂżFD VH GHQRPLQD senoide, onda seno, onda senoidal, sinusoide u onda sinusiodal. La expresiĂłn de la funciĂłn seno generalizada o senoidal es: f(x) = a Ă&#x201A; sen (bx + c) + d

220

Aplicas funciones periĂłdicas

Donde: a es el parĂĄmetro de amplitud, b es el parĂĄmetro de periodo, c es el parĂĄmetro de fase inicial (desplazamiento horizontal) y d HV HO GHVSOD]DPLHQWR YHUWLFDO \ G Â? Si a = 1, b = 1, c = 0 y d = 0, se tiene la funciĂłn base f(x) = sen x, que se acaba de analizar. El parĂĄmetro d UHSUHVHQWD HO GHVSOD]DPLHQWR GH OD JUiÂżFD FRQ UHVSHFWR DO HMH ; /D JUiÂżFD EDVH WLHQH VX LQLFLR HQ HO SXQWR d). Si d HO HMH KRUL]RQWDO GH OD JUiÂżFD es el eje X. Si d ! OD JUiÂżFD EDVH GH VHQR VH GHVSOD]D KDFLD DUULED \ VL d < 0, la JUiÂżFD VH GHVSOD]D KDFLD DEDMR (O SDUiPHWUR a GH DPSOLWXG PRGLÂżFD OD GLVWDQFLD Pi[LPD GHVGH HO HMH EDVH GH OD JUiÂżFD XELFDGR HQ y = d KDVWD OD JUiÂżFD VHQRLGDO (hacia arriba y hacia abajo del eje).

f (x) = a sen (x) + d

Figura 8.11.

â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

Si a ! OD JUiÂżFD VH DODUJD YHUWLFDOPHQWH FRQ UHVSHFWR D OD JUiÂżFD GH f(x) = sen x. Si 0 < a OD JUiÂżFD VH DFRUWD YHUWLFDOPHQWH FRQ UHVSHFWR D OD JUiÂżFD GH f(x) = sen x. 6L Ă a OD JUiÂżFD VH DFRUWD H LQYLHUWH YHUWLFDOPHQWH FRQ UHVSHFWR D OD JUiÂżFD GH f(x) = sen x. Si a Ă OD JUiÂżFD VH DODUJD H LQYLHUWH YHUWLFDOPHQWH FRQ UHVSHFWR D OD JUiÂżFD de f(x) = sen x.

221

loque VIII

Aplicas funciones periÃ³dicas

El parÃ¡metro b GH SHULRGR SHUPLWH FRPSULPLU R DODUJDU OD JUiÂ¿FD EDVH VHQRLGDO KRUL]RQWDOPHQWH &RQ HVWH SDUiPHWUR VH SXHGH GHWHUPLQDU HO SHULRGR GH OD JUiÂ¿FD mediante la expresiÃ³n: T

2p b

Si 0 < b OD JUiÂ¿FD VH DODUJD KRUL]RQWDOPHQWH \ VL b ! OD JUiÂ¿FD VH DFRUWD KRrizontalmente.

sen x/2 f (x) =

)= x sen

f (x)

f (x

= se n 2x

ParÃ¡metro c (desplazamiento horizontal)

Figura 8.12.

Si b OD JUiÂ¿FD VH LQYLHUWH KRUL]RQWDOPHQWH GH PRGR TXH OD JUiÂ¿FD EDVH VH WUD]D de derecha a izquierda.

f (x ) Ãx

f (x )=

sen (x)

Figura 8.13.

222

Aplicas funciones periÃ³dicas

El parÃ¡metro c, de fase inicial (o desplazamiento horizontal) se emplea para desSOD]DU OD JUiÂ¿FD KRUL]RQWDOPHQWH (O LQLFLR GH OD JUiÂ¿FD VH ORFDOL]D HQ OD VROXFLyQ GH la ecuaciÃ³n: bx c

0 ; es decir, en x0

c b

(O Â¿QDO GH OD JUiÂ¿FD GHSHQGH GHO SHULRGR GH PRGR TXH HO Â¿QDO GH OD JUiÂ¿FD HVWDUi dado en la soluciÃ³n de la ecuaciÃ³n: bx c

2S c , que es lo mismo que b

2S ; es decir, x4

x0 T

c 2S b b

2S c b

6L F ! OD JUiÂ¿FD GH OD IXQFLyQ EDVH VHQRLGDO VH GHVSOD]DUi KRUL]RQWDOPHQWH KDFLD OD L]TXLHUGD \ VL F OD JUiÂ¿FD GH OD IXQFLyQ EDVH VHQRLGDO VH GHVSOD]DUi KRUL]RQtalmente hacia la derecha.

Ê&#x152; se n( x+ )=

Ê&#x152;

[ Ã n( se

f (x

)= f (x

f (x) = sen (x)

Figura 8.14. 8.14. Figura

AnÃ¡lisis de la funciÃ³n senoide: 'RPLQLR 'RPI ÃÂ&#x2019; Â&#x2019;

5DQJR 5DQJRI [G _D_ G _D_] ,QWHUVHFFLyQ FRQ HO HMH < [ \ = a Ã&#x201A; sen (c) + d, (0, a Ã&#x201A; sen (c))

223

loque VIII

Aplicas funciones periÃ³dicas

,QWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH ; 3XHGHQ GHWHUPLQDUVH GHVSXpV GH WUD]DU OD JUiÂ¿FD 3XQWRV Pi[LPRV 3XHGHQ GHWHUPLQDUVH GHVSXpV GH WUD]DU OD JUiÂ¿FD 3XQWRV PtQLPRV 3XHGHQ GHWHUPLQDUVH GHVSXpV GH WUD]DU OD JUiÂ¿FD 2S b

3HULRGR (T) T )UHFXHQFLD (f) f

b 2S

$PSOLWXG (A) A = _D_ $KRUD YHDPRV HO SURFHGLPLHQWR SDUD JUDÂ¿FDU IXQFLRQHV VHQR JHQHUDOL]DGDV WRPDremos como ejemplo la funciÃ³n: f x

a Â&#x2DC; sen bx c d

Procedimiento

(MHPSOLÂ¿FDFLyQ

1. ,GHQWLÂ¿FD ORV parÃ¡metros a, b, c, y d.

2. Calcula el periodo: T

2S b

3. Calcula los puntos principales por los TXH SDVDUi OD JUiÂ¿FD senoidal, resolviendo las ecuaciones: x0 bx2 c

c , bx1 c b

S , bx3 c bx4 c

224

S 2

3S y 2

1 2

2S b

2S 1 2

S 4

4 2S S 1 4 2 2 x1 S S x1 3S 3S o o x1 2 4 2 2 4 2 x2 S x2 5S 5S S o o x2 2 4 2 4 2 x3 S 3S x3 7S 7S o o x3 2 4 2 2 4 2 x4 S x4 9S 9S 2S o o x4 2 4 2 4 2 x0

Aplicas funciones periĂłdicas

4. Traza el plano cartesiano, y en ĂŠl, la lĂnea horizontal y = d

Figura 8.15.

5. Localiza, sobre el eje trazado, los valores x0, x1, x2, x3, x4.

Figura 8.16.

6. Con el valor del parĂĄmetro a limita los YDORUHV GH OD JUiÂżFD colocando lĂneas punteadas en y = d + a y en y = d Ă a

y Ă

x4 y Ă Ă Ă

Figura 8.17.

y = d + |a|

(x2, d + |a|)

7. Colocar los puntos (x0, d), (x1, d + |a|) y (x4, 0).

(x1, d)

(x3, d)

y =1

(x5, d) (x4, d Ă |a|)

y = d Ă _a|

y Ă

Figura 8.18.

225

loque VIII

Aplicas funciones periÃ³dicas

8. 7UD]D OD JUiÂ¿FD empezando en x0 en direcciÃ³n hacia x4 considerando que: Si a > 0, debes trazar OD JUiÂ¿FD VHQR EDVH original y si a < 0, GHEHV WUD]DU OD JUiÂ¿FD seno invertida.

(x2, d + |a|)

(x1, d)

y = d + |a|

(x3, d)

y =1

(x5, d)

(x4, d Ã |a|)

y = d Ã _a|

y Ã

Figura 8.19.

/RV VLJXLHQWHV HMHPSORV LOXVWUDQ HO SURFHVR UHFRPHQGDGR SDUD JUDÂ¿FDU IXQFLRQHV senoidales. Ejemplo 1: $QDOL]D \ WUD]D OD JUiÂ¿FD GH OD IXQFLyQ f(x) = 3 Ã&#x201A; sen x. SoluciÃ³n: AnÃ¡lisis de la funciÃ³n senoide: 'RPLQLR 'RPI ÃÂ&#x2019; Â&#x2019;

Rango: Rangof = [0 Ã |3|, 0 + |3|] = [Ã , 3] ,QWHUVHFFLyQ FRQ HO HMH < [ \ Ã&#x201A; VHQ ,QWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH ; 3XHGHQ GHWHUPLQDUVH GHVSXpV GH WUD]DU OD JUiÂ¿FD 3XQWRV Pi[LPRV SXHGHQ GHWHUPLQDUVH GHVSXpV GH WUD]DU OD JUiÂ¿FD 3XQWRV PtQLPRV SXHGHQ GHWHUPLQDUVH GHVSXpV GH WUD]DU OD JUiÂ¿FD 2p 2p 2p b 1 b 1 Frecuencia (f): f 2p 2p

Periodo (T): T

Amplitud (A): A = |3| = 3 Los parÃ¡metros son: a 3, b 1, c 0, d 0 'DGR TXH D OD JUiÂ¿FD WLHQH FRPR HMH SULQFLSDO DO HMH ;

226

Aplicas funciones periÃ³dicas

&DOFXODPRV ORV SXQWRV SULQFLSDOHV GH OD JUiÂ¿FD x0

c b

0 1

S 2

3S 2

'DGR TXH D WUD]DPRV OD JUiÂ¿FD VHQRLGDO VLQ GHVSOD]DPLHQWRV \ DODUJDGD YHUWLFDOPHQWH

f (x) = 3 sen x

f (x) = sen x x0

,QWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH ; x 3XQWRV Pi[LPRV x 3XQWRV PtQLPRV x

! , 3S , 2S , S , 0, S , 2S , !

2S n S 2S n, n ! , 2, 1, 0,1, 2, ! 2 1 2 3S 2S n 3S 2S n, n ! , 2, 1, 0,1, 2, ! 2 1 2

Ejemplo 2: $QDOL]D \ FRQVWUX\H OD JUiÂ¿FD GH OD IXQFLyQ f x

SÂ· Â§ 4 sen Â¨ x Â¸ 4Â¹ Â©

SoluciÃ³n: 'RPLQLR 'RPI ÃÂ&#x2019; Â&#x2019;

5DQJR 5DQJRI [ Ã _ _ _ _] = [Ã , ] ,QWHUVHFFLyQ FRQ HO HMH < x

Â§S Â· 4 Â&#x2DC; sen Â¨ Â¸ 0 Â©4Â¹

Â§ 2Â· 4 Â¨Â¨ Â¸Â¸ Â© 2 Â¹

2 2 ,

0, 2 2

,QWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH ; 3XHGHQ GHWHUPLQDUVH GHVSXpV GH WUD]DU OD JUiÂ¿FD 3XQWRV Pi[LPRV SXHGHQ GHWHUPLQDUVH GHVSXpV GH WUD]DU OD JUiÂ¿FD

ContinÃºa...

227

loque VIII

Aplicas funciones periÃ³dicas

3XQWRV PtQLPRV SXHGHQ GHWHUPLQDUVH GHVSXpV GH WUD]DU OD JUiÂ¿FD 2S b

3HULRGR 7 T )UHFXHQFLD I f

2S 1

b 2S

1 2S

$PSOLWXG $ $ _Ã _ /RV SDUiPHWURV VRQ a

4, b 1, c

S 4

, d

'DGR TXH G OD JUiÂ¿FD WLHQH FRPR HMH SULQFLSDO DO HMH ; &DOFXODPRV ORV SXQWRV SULQFLSDOHV GH OD JUiÂ¿FD

c b

S 4 1

4 3S x3 4 2

2 5S 4

x1 x4

S 4

S x4

3S 4

7S 4

'DGR TXH D Ã WUD]DPRV OD JUiÂ¿FD LQYLUWLHQGR YHUWLFDOPHQWH OD FXUYD EDVH VHQRLGDO TXH GHEH VHU XQD JUiÂ¿FD GHVSOD]DGD Ê&#x152; D OD L]TXLHUGD DODUJDGD YHUWLFDOPHQWH H LQYHUWLGD FRQ UHVSHFWR D OD VHQRLGDO EDVH I [ Ã VHQ [ Ê&#x152;/4)

,QWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH ;

3S nS , n ! , 2, 1, 0,1, 2, ! 4

5S nS , n ! , 2, 1, 0,1, 2, ! 4 3S nS , n ! , 2, 1, 0,1, 2, ! 3XQWRV PtQLPRV 4 3XQWRV Pi[LPRV

228

f (x) = sen x

Aplicas funciones periĂłdicas

Actividad de aprendizaje 1 Instrucciones: Determina la amplitud y el periodo para cada ecuaciĂłn y traza su JUiÂżFD a) y

6 Â&#x2DC; sen x

b) y

5 Â&#x2DC; sen 3 x

c) y

1.5 Â&#x2DC; sen 4 x

d) y

1 Â§1 Âˇ Â&#x2DC; sen Â¨ x Â¸ 2 ÂŠ2 Âš

e) y

Â§x S Âˇ sen Â¨ Â¸ ÂŠ5 4Âš

Aprende mĂĄs FunciĂłn coseno Los elementos de la funciĂłn coseno son los siguientes: 'RPLQLR 'RPI [Â? ĂÂ&#x2019; Â&#x2019; /D JUiÂżFD VH H[WLHQGH KRUL]RQWDOPHQWH FRQWLQXDPHQWH desde ĂÂ&#x2019; hasta Â&#x2019;. 5DQJR 5DQJRI \Â? Ă /D JUiÂżFD YDUtD YHUWLFDOPHQWH GHVGH Ă hasta 1.

229

loque VIII

Aplicas funciones periÃ³dicas

,QWHUVHFFLyQ FRQ HO HMH < El punto (0, 1).

Â§ nS Â· ,QWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH ; Todos los puntos Â¨ , 0 Â¸ , donde Q Ã Ã Ã Â© 2 Â¹ 1, 2, 3... . 3XQWRV Pi[LPRV 2QÊ&#x152; para Q Ã Ã Ã 3XQWRV PtQLPRV QÊ&#x152;, para Q Ã Ã Ã 3HULRGR (T) 2Ê&#x152;. )UHFXHQFLD (f) Es el inverso del periodo: f

1 T

1 2S

$PSOLWXG (A) (V OD Pi[LPD GLVWDQFLD GHO HMH ; D OD JUiÂ¿FD GH OD IXQFLyQ VLQ LPSRUWDU la direcciÃ³n; es decir, hacia arriba del eje X, el mÃ¡ximo se encuentra en 1 (distancia GH XQD XQLGDG \ KDFLD DEDMR GHO HMH ; OD Pi[LPD GLVWDQFLD VH SUHVHQWD HQ Ã GLVtancia de una unidad): A = 1.

f (x) = cos x

Figura 8.20.

FunciÃ³n coseno generalizada (cosenoide) Su expresiÃ³n general es: f(x) = a Ã&#x201A; cos (bx + c) + d Donde: a es el parÃ¡metro de amplitud,

230

Aplicas funciones periĂłdicas

b es el parĂĄmetro de periodo, c es el parĂĄmetro de fase inicial (desplazamiento horizontal) y d HV HO GHVSOD]DPLHQWR YHUWLFDO \ G Â? AnĂĄlisis de la funciĂłn cosenoide: 'RPLQLR 'RPI ĂÂ&#x2019; Â&#x2019;

5DQJR 5DQJRI [G _D_ G _D_] ,QWHUVHFFLyQ FRQ HO HMH < [ \ = a Ă&#x201A; cos (c) + d, (0, a Ă&#x201A; cos (c) + d) ,QWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH ; 3XHGHQ GHWHUPLQDUVH GHVSXpV GH WUD]DU OD JUiÂżFD 3XQWRV Pi[LPRV 3XHGHQ GHWHUPLQDUVH GHVSXpV GH WUD]DU OD JUiÂżFD 3XQWRV PtQLPRV 3XHGHQ GHWHUPLQDUVH GHVSXpV GH WUD]DU OD JUiÂżFD 3HULRGR (T) T

)UHFXHQFLD (f) f

2S b b 2S

$PSOLWXG (A) A = _D_ Si a = 1, b = 1, c = 0 y d = 0, se tiene la funciĂłn base f(x) = cos x que se acaba de DQDOL]DU /RV SDUiPHWURV GH OD IXQFLyQ FRVHQRLGH DIHFWDQ OD JUiÂżFD GH OD IXQFLyQ coseno base de la misma manera que en la funciĂłn senoide. El procedimiento para JUDÂżFDU ODV IXQFLRQHV FRVHQRLGHV HV VHPHMDQWH DO GHO WUD]DGR GH OD JUiÂżFD GH OD funciĂłn senoide. Con los siguientes ejemplos se ilustra el proceso de anĂĄlisis de las funciones cosenoides: Ejemplo: $QDOL]D \ WUD]D OD JUiÂżFD GH OD IXQFLyQ f x

3 Â§xÂˇ cos Â¨ Â¸ 2 . 2 ÂŠ4Âš

SoluciĂłn:

'RPLQLR Domf

f, f

5DQJR Rangof

ÂŞ 3 3Âş ÂŤ2 2 , 2 2 Âť ÂŹ Âź

ÂŞ1 7 Âş ÂŤ2 , 2 Âť ÂŹ Âź

231

loque VIII

Aplicas funciones periÃ³dicas

,QWHUVHFFLyQ FRQ HO HMH < [ \ D Ã&#x201A; FRV F G D Ã&#x201A; FRV F G

3 3 Â&#x2DC; cos 0 2 Â&#x2DC; 1 2 2 2 7 Â§ 7Â· y , Â¨ 0, Â¸ 2 Â© 2Â¹

3 2 2

,QWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH ; SXHGHQ GHWHUPLQDUVH GHVSXpV GH WUD]DU OD JUiÂ¿FD 3XQWRV Pi[LPRV SXHGHQ GHWHUPLQDUVH GHVSXpV GH WUD]DU OD JUiÂ¿FD 3XQWRV PtQLPRV SXHGHQ GHWHUPLQDUVH GHVSXpV GH WUD]DU OD JUiÂ¿FD

3HULRGR 7

2S 1 4

)UHFXHQFLD I f

1 8S

$PSOLWXG $ A

3 2

/RV SDUiPHWURV VRQ a x0

c b

0 1 4

3 ,b 2

1 x1 0 4

1 x3 0 4

1 ,c 4

3S 2

0, d

S 2 x3

2 x1

1 x4 0 4

1 x2 0 4 2S

'DGR TXH D WUD]DPRV OD JUiÂ¿FD GH OD FXUYD EDVH FRVHQRLGDO VLQ GHVSOD]DPLHQWR KRUL]RQWDO DODUJDGD YHUWLFDOPHQWH \ GHVSOD]DGD YHUWLFDOPHQWH FRPR VH PXHVWUD HQ OD Â¿JXUD f (x) = 3/2 cos (x/4) +2

232

Aplicas funciones periÃ³dicas

Actividad de aprendizaje 2 Instrucciones: Realiza los ejercicios en tu cuaderno. 1. Contesta las siguientes preguntas: a) Â¿CuÃ¡les son el dominio y el rango de las funciones seno y coseno? b) Â¿CÃ³mo se comporta la funciÃ³n seno? Â¿y el coseno? c) Â¿CuÃ¡l es el procedimiento recomendado para trazar la JUiÂ¿FD GH OD IXQFLyQ VHQR JHQHUDOL]DGR" Â¢\ GHO FRVHQR generalizado?

Figura 8.21.

7UD]D OD JUiÂ¿FD GH ODV IXQFLRQHV GDGDV a) f x

SÂ· Â§ cos Â¨ x Â¸ 2Â¹ Â©

Compara lo obtenido de la funciÃ³n anterior con la funciÃ³n seno. Â¿QuÃ© puedes concluir de este ejercicio? b) f x

5 1 cos 2 x 2 2

c) f x

SÂ· 1 3 Â§ cos Â¨ 3 x Â¸ 4 6Â¹ 4 Â©

Figura 8.22.

233

loque VIII

Aplicas funciones periĂłdicas

Aprende mĂĄs Modelado y soluciĂłn de problemas con funciones trigonomĂŠtricas Las aplicaciones de las funciones trigonomĂŠtricas son extensas e interesantes. Por ejemplo, los fenĂłmenos de vibraciĂłn tales como los de las cuerdas de una guitarra para producir sonido y el sonido mismo se describen mediante funciones trigonomĂŠtricas. TambiĂŠn el estudio de los temblores es analizado mediante funciones trigonomĂŠtricas. La electricidad, y particularmente el cĂĄlculo de su intensidad en corriente alterna, estĂĄ determinada por funciones trigonomĂŠtricas, la luz y las ondas electromagnĂŠticas, como las ondas de radio y televisiĂłn, tambiĂŠn obedecen modelos trigonomĂŠtricos. Los movimientos periĂłdicos, es decir aquellos que cada cierto intervalo de tiempo repiten los valores su posiciĂłn, velocidad y aceleraciĂłn, variando desde un valor mĂnimo hasta un valor mĂĄximo en cada oscilaciĂłn, se dice que son movimientos armĂłnicos simples (MAS). Por ejemplo, los pĂŠndulos, los resortes, las cuerdas de una guitarra, etcĂŠtera. El modelo que obedece el MAS es: x = a Ă&#x201A; sen (ČŚ Ă&#x201A; W + x0) Donde x es la posiciĂłn de un punto del objeto que vibra en MAS, a es la elongaciĂłn mĂĄxima o amplitud, ČŚ es la frecuencia angular (nĂşmero de ciclos por unidad de tiempo) y x0 es la posiciĂłn inicial o de equilibrio. Los siguientes son algunos ejemplos de la forma de analizar y resolver problemas con el uso de las funciones trigonomĂŠtricas. Ejemplo 1: 8Q REMHWR VH VXVSHQGH GH XQ UHVRUWH ÂżMR VH HORQJD \ VH VXHOWD GH PRGR que produce un movimiento vibratorio donde: a 25 cm

3 Hz 4

p 6

&RQVWUX\H OD JUiÂżFD GHO PRYLPLHQWR GHO UHVRUWH \ FDOFXOD VX SRVLFLyQ D ORV VHJXQdos.

234

Aplicas funciones periÃ³dicas

SoluciÃ³n:

SÂ· Â§3 25 Â&#x2DC; sen Â¨ Â&#x2DC; t Â¸ 6Â¹ Â©4

/D H[SUHVLyQ SDUD OD SRVLFLyQ GHO REMHWR HV x

4XH GH DFXHUGR DO HVWXGLR GH OD IXQFLyQ VHQR WLHQH XQD JUiÂ¿FD FRQ DPSOLWXG GH XQLGDGHV DVt FRPR XQ GHVSOD]DPLHQWR KRUL]RQWDO KDFLD OD L]TXLHUGD GH Ê&#x152; UHVSHFWR D OD IXQFLyQ EDVH GH VHQR 2S 8S (O SHULRGR GH OD IXQFLyQ HV OD JUiÂ¿FD VH DODUJD KRUL]RQWDOPHQWH

T 3 3 4

3 S x0 4 6 3 S x2 4 6

3 S x4 4 6

2S 9

3 S x1 4 6

10S 9 2S

S 2

3 S x3 4 6

o 3S 2

4S 9

16S 9

22S 9

*UiÂ¿FD y = 25 sen (3/4t + Ê&#x152;/6)

Ã Ê&#x152;

Ê&#x152;

Ã FP

/D SRVLFLyQ D ORV VHJXQGRV HV GH f 4

SÂ· Â§3 25 Â&#x2DC; sen Â¨ 4 Â¸ 6Â¹ Â©4

SÂ· Â§ 25 Â&#x2DC; sen Â¨ 3 Â¸ 6Â¹ Â©

9.32

235

loque VIII

Aplicas funciones periĂłdicas

Ejemplo 2: La ecuaciĂłn para calcular la intensidad de la corriente elĂŠctrica alterna en un dispositivo de cĂłmputo estĂĄ dada por la expresiĂłn: I t

I p Â&#x2DC; sen kt

Donde IS es el valor de pico de la corriente o su amplitud, en amperes, k es la constante de frecuencia, en Hertz (Hz) y t es el tiempo, en segundos. Si el pico mĂĄximo de corriente es de 10 amperes y k &RQVWUX\H OD JUiÂżFD GHO FRPSRUWDPLHQWR de la corriente en este dispositivo. SoluciĂłn: /D IXQFLyQ GHO SUREOHPD HV Â§tÂˇ I t 10 Â&#x2DC; sen Â¨ Â¸ ÂŠ2Âš

'RQGH OD DPSOLWXG \ HO SHULRGR HV T

2S 1 2

'RQGH QR KD\ GHVSOD]DPLHQWRV x0

*UiÂżFD I (t) = 10 sen (t/2)

Ejemplo 3: Por una de las cuerdas de una guitarra se propaga una onda transversal FRQ DPSOLWXG GH FP IUHFXHQFLD GH +] \ YHORFLGDG GH SURSDJDFLyQ GH FP V &DOFXOD OD HFXDFLyQ GH RQGD \ WUD]D VX JUiÂżFD (O PRGHOR GH ODV RQGDV TXH VH SURpagan en cuerdas estĂĄ dado por la expresiĂłn: f(t) = a Ă&#x201A; cos (bt)

236

Aplicas funciones periĂłdicas

Donde a es la amplitud, b = 2Ę&#x152;f, f es la frecuencia y t es el tiempo. Encuentra la ecuaciĂłn de las ondas sonoras producidas por una cuerda de una guitarra con una amplitud de 7 cm y frecuencia de 40 Hz. SoluciĂłn: /D HFXDFLyQ EXVFDGD HV f t 7 Â&#x2DC; cos 2S 40 t 7 Â&#x2DC; cos 80S t

/D JUiÂżFD QR WLHQH GHVSOD]DPLHQWRV SRU OR TXH 80S t0

80S t3

3S 2

80S t1 o

S 2

3 160

1 160

80S t4

80S t2 o

1 80

1 40

/D JUiÂżFD HV f (t) = 7 cos (80Ę&#x152;t)

237

loque VIII

Aplicas funciones periÃ³dicas

Actividad de aprendizaje 3 Instrucciones: 5HVXHOYH ORV VLJXLHQWHV HMHUFLFLRV HQ WX OLEUHWD 5HJLVWUD \ UHÃ&#x20AC;H[LRQD tus respuestas para que despuÃ©s las comentes con tus compaÃ±eros de clase. $QDOL]D HO HIHFWR GH ODV FRQVWDQWHV HQ OD JUiÂ¿FD GH ODV VLJXLHQWHV HFXDFLRQHV a) y

sen x 1

b) y

sen x 1

c) y

2 Â· Â§ cos Â¨ x S Â¸ 3 Â¹ Â©

d) y e) y

2 Â· Â§ cos Â¨ x S Â¸ 3 Â¹ Â© 2 Â· Â§ cos Â¨ x S Â¸ 3 3 Â¹ Â©

Â¢&XiO HV OD JUiÂ¿FD GH ODV IXQFLyQ y a)

238

3 sen x ? 2

Aplicas funciones periÃ³dicas

Â¢&XiO HV OD HFXDFLyQ GH OD JUiÂ¿FD TXH VH PXHVWUD"

a) y

Â§xÂ· 2 cos Â¨ Â¸ Â©2Â¹

b) y

2 cos 2 x

c) y

Â§xÂ· cos Â¨ Â¸ 1 Â©2Â¹

d) y

cos 2 x 1

239

loque VIII

Aplicas funciones periĂłdicas

Cierre del bloque VIII

5HĂ H[LRQD VREUH OR DSUHQGLGR $O ÂżQDO GH HVWH WH[WR VH SUHVHQWDURQ VLWXDFLRQHV HQ ODV TXH VH LQFOX\y HO FRQFHSWR de aplicas funciones periĂłdicas. A lo largo del texto se han abordado los conceptos bĂĄsicos al respecto de las relaciones y funciones. Siendo que estas Ăşltimas son el motivo principal del presente material, realiza una sĂntesis en la que describas las ventajas de conocer los elementos de las funciones periĂłdicas descritos y como los aplicarĂas para mejorar determinadas situaciones. Es importante considerar que el trabajo de funciones es extenso y, en ocasiones, la teorĂa formal se vuelve un tanto compleja; sin embargo, puedes comenzar con las bases respecto a quĂŠ elementos de una funciĂłn periĂłdica debes conocer, si existe alguna forma de organizarlas y, en general, los elementos aplicables a ellas. Integra WRGR OR DQWHULRU D WUDYpV GH XQD LQYHVWLJDFLyQ FX\R SURSyVLWR VHD LGHQWLÂżFDU OD LPSRUtancia de trabajar adecuadamente con funciones de cualquier tipo.

AutoevaluaciĂłn Instrucciones (1): En tu libreta escribe una soluciĂłn para los siguientes planteaPLHQWRV 5HJLVWUD \ UHĂ&#x20AC;H[LRQD WXV UHVSXHVWDV SDUD TXH GHVSXpV ODV FRPHQWHV FRQ tus compaĂąeros de clase. a) Describe el anĂĄlisis para trazar una funciĂłn seno generalizada (senoidal): f x

A sen tx

b) Describe el anĂĄlisis para trazar una funciĂłn coseno generalizada (cosenoide) f x

A cos tx

Instrucciones (2): Investiga diferentes situaciones donde consideres que se pueGHQ REVHUYDU ODV JUiÂżFDV GH IXQFLRQHV WULJRQRPpWULFDV VHQR \ FRVHQR 5HJLVWUD \ UHĂ&#x20AC;H[LRQD WXV UHVSXHVWDV SDUD TXH GHVSXpV ODV FRPHQWHV FRQ WXV FRPSDxHURV GH clase.

240

Aplicas funciones periódicas

10. Resolver la ecuación log 3 x 5 log 5 x 1.23 11. Resolver la ecuación log7 x

3 log7 64 2

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

241

Glosario â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

242

*UiÂżFD una de las formas mĂĄs Ăştiles con la que podemos representar situaciones que pueden recibir los nombres de funciones y relaciones. Conjunto: grupo o colecciĂłn de personas, objetos, etc., que tienen alguna caracterĂstica en comĂşn. FunciĂłn: relaciĂłn tal que cada elemento del dominio estĂĄ relacionado con uno, y sĂłlo un elemento del codominio. RelaciĂłn: subconjunto de un producto cartesiano formado por los elementos de pVWH ~OWLPR QRUPDOPHQWH GHÂżQLGR SRU XQD UHJOD R OH\ GDGD 6XV HOHPHQWRV VH denotan como (x, y VLJQLÂżFD TXH [ HVWi UHODFLRQDGR FRQ y. Dominio: conjunto formado por los primeros componentes de las parejas que pertenecen a la relaciĂłn. Imagen: conjunto formado por los segundos componentes de las parejas que pertenecen a la relaciĂłn, el cual es un subconjunto del codominio. Contradominio: conjunto al cual pertenecen los segundos componentes de las parejas contenidas en la relaciĂłn. Regla de correspondencia: la funciĂłn es una regla de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos llamados dominio y rango. Constante: VtPEROR TXH UHSUHVHQWD XQ YDORU ÂżMR PLHQWUDV TXH XQD YDULDEOH HV un sĂmbolo que puede representar diferentes valores. AsĂntotas: ORV YDORUHV TXH KDFHQ D XQD IXQFLyQ TXH VHD LQGHÂżQLGD SRUTXH DO denominador se convierte a cero. Funciones explĂcitas: la variable dependiente estĂĄ despejada. Funciones implĂcitas: la funciĂłn estĂĄ dada por una ecuaciĂłn; es decir la variable dependiente no estĂĄ despejada. FunciĂłn inyectiva: funciĂłn univalente o uno-uno si y sĂłlo si cada f (x) en el recorrido es la imagen de exactamente un Ăşnico elemento del dominio; es decir, es funciĂłn inyectiva si cada elemento del dominio tiene una imagen diferente. FunciĂłn escalonada: DTXHOOD FX\D JUiÂżFD WLHQH OD IRUPD GH XQD HVFDOHUD R XQD serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes). Valor absoluto: se representa por el sĂmbolo |x_ HVWR VLJQLÂżFD TXH VL x es de signo positivo se queda igual, si es negativo se le cambia de signo para que quede positivo. Funciones polinomiales: modelos matemĂĄticos que describen relaciones entre dos variables por medio de un polinomio, que, como sabemos, es la expresiĂłn de suma o resta de tĂŠrminos algebraicos no semejantes entre sĂ. Pendiente de la recta: valor numĂŠrico de la inclinaciĂłn de una recta, se representa por la letra (m). FunciĂłn cuadrĂĄtica: su expresiĂłn general es f (x) = a2x2 + a1x + a0 que suele expresarse como f (x) = ax2 + bx + c con a Â? VH OH FRQRFH FRPR IXQFLyQ FXDGUiWLFD DO JUDÂżFDU HVWD IXQFLyQ VH GHVFULEH XQD SDUiEROD Dominio de las funciones polinomiales: todo el conjunto de los nĂşmeros reales. FunciĂłn continua: VXV JUiÂżFDV QR SUHVHQWDQ LQWHUUXSFLRQHV

Glosario â&#x20AC;˘

â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

â&#x20AC;˘

â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

RaĂces racionales: tĂŠcnicas utilizadas para factorizar polinomios de tercer graGR FRQ HO SURSyVLWR GH HQFRQWUDU \ FRPELQDU ORV IDFWRUHV GHO FRHÂżFLHQWH GH [ GH mayor grado y los factores del termino independiente, ya que las raĂces del polinomio siempre dan como producto a esos dos nĂşmeros. Funciones algebraicas: VH GHÂżQHQ D SDUWLU GH UHODFLRQHV DULWPpWLFDV FRPR OD suma, la resta, la multiplicaciĂłn, la divisiĂłn, la potencia y la raĂz. RaĂces del polinomio: ceros del polinomio. Valores de x que hacen que un polinomio anxn + ... + a1x + a0 valga cero se les llaman raĂces o ceros del polinomio. Ceros de una funciĂłn polinomial I ([): son los valores que hacen que f (x) = 0. *UiÂżFDPHQWH VH UHFRQRFHQ SXHV VRQ ORV YDORUHV GH ODV DEVFLVDV GH ORV SXQWRV GH LQWHUVHFFLyQ GH OD JUiÂżFD FRQ HO HMH ; Rango: conjunto de todos los nĂşmeros reales, es decir, Rangof = ^ TXH VLJQLÂżFD TXH OD JUiÂżFD VH H[WLHQGH YHUWLFDOPHQWH GHVGH ĂÂ&#x2019; KDVWD Â&#x2019; FunciĂłn racional: aquella que se obtiene al dividir un polinomio entre otro polinomio de mayor o menor grado que el primero siempre que ambos polinomios tengan la misma variable. Dominio de una funciĂłn racional: Es el conjunto de todos los nĂşmeros reales excepto los ceros. FunciĂłn exponencial: se denomina funciĂłn exponencial a toda funciĂłn de la forma y = a Ă&#x192; bx o f (x) = a Ă&#x192; bkx donde x se acepta cualquier valor real, b es un nĂşmero positivo y distinto de 1 y a Â? \ k Â? FunciĂłn exponencial natural: funciĂłn con base e, es decir, y = a Ă&#x192; ekx. FunciĂłn logarĂtmica: potencia a la que hay que elevar el nĂşmero 10 para obtener el nĂşmero propuesto. FunciĂłn periĂłdica: funciĂłn que cumple la condiciĂłn de periodicidad, es decir, si despuĂŠs de cada cierto intervalo de tiempo o espacio constante, llamado periodo, la funciĂłn adquiere el mismo valor de partida. CĂrculo trigonomĂŠtrico: si en el plano cartesiano dibujamos un cĂrculo de radio r con centro en el origen y trazamos uno de sus radios, tenemos una herramienta Ăştil para analizar a las funciones trigonomĂŠtricas. Funcion seno: estĂĄ determinada por la ordenada y del punto P y el radio r cuya PHGLGD SHUPDQHFH FRQVWDQWH 'H HVWH PRGR SRGHPRV DÂżUPDU TXH HO YDORU GH esta funciĂłn depende, principalmente, del valor de y, de modo que la razĂłn y r se denomina funciĂłn seno. FunciĂłn coseno: estĂĄ determinada por la abscisa x del punto P y el radio r cuya PHGLGD SHUPDQHFH FRQVWDQWH 'H HVWH PRGR SRGHPRV DÂżUPDU TXH HO YDORU GH esta funciĂłn depende, principalmente, del valor de x, de modo que la razĂłn x r se denomina funciĂłn coseno. Radian: ĂĄngulo central que se genera cuando el arco de circunferencia tiene una longitud igual al radio. Valor de Ę&#x152;: razĂłn del perĂmetro de una circunferencia al diĂĄmetro de la misma; es decir, representa las veces que el diĂĄmetro de la circunferencia cabe en su contorno o perĂmetro.

243

Apรฉndice Retroalimentaciรณn de las actividades de aprendizaje Evaluaciรณn diagnรณstica I. 1. 7pUPLQR DOJHEUDLFR

&RHILFLHQWH QXPpULFR

/LWHUDO

*UDGR DEVROXWR

*UDGR UHODWLYR D OD SULPHUD YDULDEOH

7 x2 y 3

3mn 2

7.5a3 bc 2

abc

xy 5

1 5

x4 y 5

ab3 3

1 3

1 2

5.75

---

1 mn 2

10 r 2 s 3

5.75 2.

4 3 12

5 11

3 5 2 3 1 6 2

12 3

1 2

55 1 15 6 1 2

7 x 2y 7 x 2y

Producto de binomios conjugados

244

7 x 2y

Diferencia de cuadrados

49x 2 4y 2

55 1 22 2

5 11

2 11

1 2

5 1 2 2

ApÃ©ndice 6.

5x 2y 1

3x x 2 x

3x 6x x

2 2y 1

4y 2

5x 2

3x 7 x 2

3 x 9x 30

x 3 x 2

x 3 x 10

3 x 2 3x 10

x 5 x 2

x 5

x 2

x 3 x 3

x 2 x 3

30 2 x

3 x 7 x 2 x 30

5x 2 y 4 5x 2 y 4

30 2 x

x2 9 x 5x 6

30 2x

II. 7 F

G x 2 x 2 0

III. 9. 10

7 1

100 64

4 y1

Â&#x;

64 4 y

Â&#x;

4 y1

Â&#x;

Â&#x; 100

4 y1

Â&#x;

64 4 y1

4 y1

y1 r 6

Â&#x;

4 B 6 OR TXH LPSOLFD GRV VROXFLRQHV y1

/RV SXQWRV TXH GLVWDQ GHO SXQWR P2 7, 4 VRQ P1 1, 2

\ P1 ' 1,10

/D JUiÂ¿FD PXHVWUD OD YDOLGH] GH HVWD FRQFOXVLyQ

10. 70 xy 8 30x 3 y 7 7 x 2 y 6 12x 5 y 3 x 4 y

245

ApĂŠndice Bloque I 3DUD LQLFLDU UHĂ&#x20AC;H[LRQD I.

Palabras que se pueden asociar a las imĂĄgenes dadas:

)UtR

/X]

6RPEUD

Ă cido

II. Ahora establece una palabra que relaciones con lo siguiente: $EHMD Äş 0LHO 9DFD Äş /HFKH *DOOLQD Äş +XHYRV %RUUHJR Äş /DQD III. En plenaria o por equipos se comentan las respuestas basĂĄndose en las preguntas que se plantean para ese momento de la actividad.

Actividad de aprendizaje 1 I. 1. Es una actividad detonadora. El alumno deberĂĄ elegir los valores para la tabla que considere mejores con base en lo estudiado en clase. El conjunto de los nĂşmeros reales o el plano cartesiano. 2. El objetivo es modelar (linealmente) la situaciĂłn. Cada elemento de la secuencia se escribe como una funciĂłn del elemento previo, como una formula:

n ,y n

2n 1

II. 3. Es una actividad detonadora. El alumno deberĂĄ elegir los valores para la tabla que considere mejores con base en lo estudiado en clase. 4. Soluciones:

AuB

^ 2,0 , 2,4 , 2,9 , 5,0 , 5,4 , 5,9 ` A u A ^ 2,2 , 2,5 , 5,2 , 5,5 `

5. Es una actividad detonadora. El alumno deberĂĄ elegir los valores para la tabla que considere mejores con base en lo estudiado en clase.

246

ApĂŠndice Actividad de aprendizaje 2 1. Rango ^y Â? \ : y t 5`

f x

x2 5

f 1

f 2

(V XQD UHODFLyQ

f 3

f 4

f 5

b) f x

f 1

Rango ^ x Â? \ : y t 5`

x -5 r 1 - 5 = r 1-5 4

y f 1

(V XQD UHODFLyQ

f 2

f 3

f 4

f 16

Rango ^ x Â? \`

c) f x

x -3

f 7

7 - 3=4

f 8

f 9

(V XQD IXQFLyQ

f 10

d) 6H WUDWD GH XQD IXQFLyQ 2. D 5HODFLyQ E 5HODFLyQ F 5HODFLyQ

247

Apéndice Actividad de aprendizaje 3 1. A = (x)(2x)

2. A = l3

x 3 ( x )   2 A= 2

  

4. V =π ⋅ r 2 ⋅ 3r 5. x ( A − 2 x )( B − 2 x ) = 240 m 3

Actividad de aprendizaje 4 Función a) y = 5x

b) y = x2

Tabla

Pares ordenados

−1

−2

−3

G = {(1,5),(2,10), (3,15),(4,20)}

G = {(1,1),(-1,1), (2,4),(-2,4)}

c) y = x + 3

d) f (x) = 2x

248

G = {(−3,0),(0,3)}

G = {(0,0),(1,1), (2,2),(3,3)}

Gráfica

ApÃ©ndice e)

5HODFLyQ )XQFLyQ )XQFLyQ g) x

f x

x2 3 x 3

f 2

f a b

f 4

3 2 3

a b

3 4 3 3 t 3

x f x

2 3

f x

a b 3

f x

t 3

f x

4 3

f x

1 3 x

x 1 x 3

f( x)

2 1 2 3

f x

a b 1 a b 3

f x

1 1 x 1 3 x

f x

4 1 4 3

x 3

f x

3 a b 3

t t

x f x

1 5

5 1

t 1 t 3

249

ApĂŠndice Actividad de aprendizaje 5 1.

f x

3 x2 5 x

'RPLQLR

5DQJR

25 Â˝ Â ÂŽy Â? \ : y t Âž 12 Âż ÂŻ

f x

x 3

'RPLQLR

5DQJR

^x Â? \ : x t 3`

^y Â? \ : y t 0`

4 x 2

f x

'RPLQLR

5DQJR

x2 y 2

9Â&#x;y

'RPLQLR

^x Â? \ :

r 9 x2 5DQJR

3 d x d 3`

^y Â? \ : 0 d y d 3`

250

Apรฉndice

f x

x 4

5DQJR

'RPLQLR

^x ย \ : y t 0`

^x ย \ : x d 2

รณ x t 2`

f x

x 2 25 x 5

5DQJR

'RPLQLR

f x

2x 2 7 x 3 x 3

5DQJR

^y ย \ : y

'RPLQLR z 5`

^y ย \ : x z 3`

f x

x2 4 x 3 x 1

5DQJR

^y ย \ : y

'RPLQLR z 2`

^x ย \ : x z 1`

251

ApĂŠndice

f x

( x 2 4 )( x 3 ) x2 x 6

5DQJR

^y Â? \ : y

10. f x

'RPLQLR z 4 y y z 1`

^x Â? \ : x z 2

y x z 3`

1 x 1 2

5DQJR

'RPLQLR

^y Â? \ : y d 1

Ăł y ! 0`

^x Â? \ : x z 1

y x z 1`

Bloque II Actividad de aprendizaje 1 I. 1.

p x

3x 7

p x

y 7 sustituyendo a y por x 3 x 7 se obtiene la funcion inversa p 1 ( x ) 3 y

m x

3 x 7 despejando x

x2 1

m x

x 2 1 despejando x

r y 1 Â&#x; m 1 ( x )

r x 1

252

ApĂŠndice

Despejando x f 1 x

1 1 x 6 3

y sustituyendo a y por x, se obtiene la funcion inversa

Despejando x

6y 2 sustituyendo a y por x, se obtiene la funcion inversa

6x 2

6x 2 1

Despejando x f 1 x

y 1 sustituyendo a y por x, se obtiene la funcion inversa 6

x 1 6

6. a) p x

p x

x 1 ;

g x

x 1 Inversa

g( x ) es la funciĂłn inversa de p( x ) comprobaciĂłn : Despejando x de p( x ) , x

g x

x 1

F x

6 x 3; G x

F x

x 3 6

y 1 sustituyendo a y por x, se obtiene la funcion inversa

Inversa

G( x ) es la funciĂłn inversa de F( x ) comprobaciĂłn : y 3 Despejando x de F( x ) , x sustituyendo a y por x, se obtiene la funcion inversa 6 x 3 G x

253

ApĂŠndice 7. a) f ( x )

x2 y

Despejando x f

B 1 y sustituyendo a y por x, se obtiene la funcion inversa

B 1 x funciĂłn para realizar la grĂĄfica solicitada

1 x

Despejando x f 1 x

254

1 sustituyendo a y por x, se obtiene la funcion inversa y

1 funciĂłn para realizar la grĂĄfica solicitada x

ApÃ©ndice d)

y 4x

2 Despejando x f 1 x

y 2 sustituyendo a y por x, se obtiene la funcion inversa 4

x 2 funciÃ³n para realizar la grÃ¡fica solicitada 4

Actividad de aprendizaje 2 1. c) b) a)

d) e) /RV LPSRUWHV GHO HQYtR GH SDTXHWHV GH GLIHUHQWHV SHVRV HQ XQD RÂ¿FLQD GH FRUUHRV VRQ 3HVR J

S Â&#x201D;

,PSRUWH

S Â&#x201D;

255

Apéndice 2. a)

Actividad de aprendizaje 3 a)

1. a) \ I [ í F

\ [ í

b) y = f (x + c) y = 2( x + 1)

c) \ I [ í F \ [ í d) y = f (x) + c y = 2x + 1

2. a) y = |[ í | b) y = |x| í 2

a) b)

256

ApĂŠndice 3. a) \ a)

b) \ Ă 2

a) f ( x )

Â x 2 si x 1 ÂŽ ÂŻ2x 1 si x t 1

b) f ( x )

Â3x 1 si ÂŽ ÂŻ x 2 si

x 1 x t1

257

Apéndice Autoevaluación 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Algebraica Logarítmica Trigonométrica Exponencial Racional Radical Logarítmica Algebraica

9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Trigonométrica Exponencial Trigonométrica Algebraica Valor absoluto Idéntica Intervalos Intervalos

Bloque III Actividad de aprendizaje 1

f(x) = í2

f(x) = í1.5

f(x) = 2.5

258

ApÃ©ndice Actividad de aprendizaje 2 1. /DV UHFWDV KRUL]RQWDOHV WLHQHQ HFXDFLRQHV GH OD IRUPD y yp 0 3RU OR WDQWR OD HFXDFLyQ EXVFDGD HV y 2

2. Las rectas verticales tienen ecuaciones de la forma:

x xp

3RU OR WDQWR OD HFXDFLyQ EXVFDGD HV x

5 4

4x 5

Â&#x;

3. 6H EXVFD OD UHFWD A 2 TXH SDVH SRU 2 WDO TXH A1 & A 2 GRQGH

A1 : 2x y 6

/DV UHFWDV SDUDOHODV WLHQHQ SHQGLHQWHV LJXDOHV HQWRQFHV 2 m2 m1 2 1 8VDQGR OD IRUPD SXQWR SHQGLHQWH A2 : y 0

2 x 0

Â&#x;

2 x

Â&#x;

2x y

4. /RV iQJXORV GH LQFOLQDFLyQ GHEHQ H[SUHVDUVH HQ HO UDQJR 0q d T 180q HV GHFLU FRPR iQJXORV HQ &, \ &,, (O iQJXOR GH Â&#x192; HV XQ iQJXOR GH &,9 TXH HV FRWHUPLQDO GH Â&#x192; TXH HV RSXHVWR SRU HO YpUWLFH GHO iQJXOR GH &,, 180q 45 q 135 q GH PRGR TXH HQ UHDOLGDG T 135 q

y 3

1 x 5

tan 135 q

Â&#x;

y 3

x 5

Â&#x;

x y 2

259

5 7 2

2 2

6 10 2

4 2

M 1, 2

6H FDOFXOD OD SHQGLHQWH GHO VHJPHQWR GDGR 10 6 7 5

16 12

4 3

/D SHQGLHQWH GH OD PHGLDWUL] m2 HV UHFtSURFD H LQYHUVD GH m1 m2

3 4

3DUD REWHQHU VX HFXDFLyQ XVDPRV OD IRUPD SXQWR SHQGLHQWH

/D JUiÂ¿FD VLJXLHQWH PXHVWUD ORV UHVXOWDGRV

6. 3DVDPRV OD IRUPD JHQHUDO D OD IRUPD SHQGLHQWH RUGHQDGD DO RULJHQ GHVSHMDQGR OD YDULDEOH y 5 x 15

3y Â&#x; y

'H DTXt m

260

5 \ b 3

5 x 5 3

f x

k x , la cual, como hemos estudiado, despejando: y x

El modelo de variaciÃ³n es: f x

el costo de 25 libros:

300 6

50 pesos/libro

50x , donde x es la cantidad de libros que se compran. Para saber

f 25

50 25 1250 pesos

8. y x

k f x

115 80

23 km/min 16

23 x GRQGH [ HV HO WLHPSR UHFRUULGR HQ PLQXWRV 16 x

1 hora 2 f 30

30 minutos SRU OR TXH 23 30

43.125 km

9. /D IXQFLyQ HV y

f x

k x OD FXDO FRPR KHPRV HVWXGLDGR GHVSHMDQGR k

(O PRGHOR GH YDULDFLyQ HV f x

VDEHU HO FRVWR GH FRQHMRV

y x

1500 5

300 pesos/conejo

300x GRQGH [ HV OD FDQWLGDG GH FRQHMRV TXH VH FRPSUDQ 3DUD f 25

300 15

4500 pesos

10. k

f x

y x

75 15

5 km/litro

5 x , donde x es el nÃºmero de litros por lo que f 30

5 30 150 km

261

x 3

x 2 6x 9 4

f x

Â&#x;

x 3

4 y 0

6H WUDWD GH XQD SDUiEROD GH HMH YHUWLFDO FRQ YpUWLFH HQ 9 $EUH KDFLD DUULED 'DGR TXH HO WpUPLQR LQGHSHQGLHQWH GH OD IRUPD IXQFLRQDO HV

9 OD SDUiEROD FRUWD DO HMH < HQ HO SXQWR 4

x 3

4 1 0

Â&#x;

3 r 2 HV GHFLU \

/D JUiÂ¿FD HV

ax 2 bx c por lo que:

3. El modelo matemÃ¡tico buscado es de la forma f x

a 2 b 2 c

a 1 b 1 c 4

Â&#x;

4a 2b c

Â&#x;

a b c

a 0 b 0 c

$Vt VH REWLHQH HO VLVWHPD 2a b a b

1 8

Â&#x;

a b

3 5

'H GRQGH HO PRGHOR PDWHPiWLFR HV f x

3 x 2 5 x 4

/D JUiÂ¿FD HV

262

Â&#x;

10y

49t 2 600t

10y

10 y 49

9pUWLFH

Â§ 300 9000 Â· , Â¨ Â¸ | 6.122,183.67

49 Â¹ Â© 49

600 90000 90000 t t 49 2401 2401 2

10 90000 y 49 2401

(Q VHJXQGRV OD SLHGUD DOFDQ]D VX DOWXUD Pi[LPD GH P

347 x 3 x 2 535 x 1030

Ingresos

Utilidad

Costos de producciÃ³n

por ventas

y 347 x 3 x 2 535 x 1030 /D IXQFLyQ GH XWLOLGDG HV y

3 x 882 x 1030

1 y 3

x 147

1 y 3

x 147

63797 3

x 147

y 63797

9pUWLFH 147, 63797

&RQ XQLGDGHV VH REWLHQH OD XWLOLGDG Pi[LPD GH SHVRV

1 63797 y 3 3

263

ApÃ©ndice AutoevaluaciÃ³n 1. 6H WUDWD GH XQD OtQHD UHFWD FRQ SHQGLHQWH P Ã UHFWD GHFUHFLHQWH \ RUGHQDGD DO RULJHQ E Ã HV GHFLU FRUWD DO HMH < HQ HO SXQWR 2WUR SXQWR GH OD UHFWD HV Ã Ã Ã /D JUiÂ¿FD HV

2. $O PRPHQWR GH OD FRPSUD [ OD FDVD FRVWDED E SHVRV $ E &XDQGR KDQ SDVDGR DxRV [ OD FDVD FXHVWD SHVRV % &XDQGR KD\DQ SDVDGR DxRV [ OD FDVD FRVWDUi GH SHVRV & /D SHQGLHQWH HV m

1000000 700000 8 5

300000 3

100000

'H PRGR TXH 100000

700000 b 5 0

Â&#x;

500000

700000 b

200000

(O PRGHOR GH YDULDFLyQ GHO SUHFLR GH OD FDVD HQ HO WLHPSR HV

y +DFH DxRV OD FDVD FRVWy PLO SHVRV

264

100000x 200000

Â&#x;

700000 500000

y 9

15 5

3 x 2

(O PRGHOR PDWHPiWLFR GH OD UHFWD HV

3x 3

/D DOWXUD GHO SXQWR SDUD HO TXH [ HV y

3 10 3

30 3

$ %

y 98

157 98 16 10

59 x 10

&XDQGR [ 59 1 y 200 6 3

Â&#x;

5900 1 3 3

59 6 y

m 59 1 x 6 3

y 45

5899 | 1966.33 3

80 45 9 5

35 x 5

4 35 5 20 4 4

Â&#x;

35 4

35 5 x 4 4

705 | 176.25 4

/D GLVWDQFLD UHFRUULGD FRQ OLWURV GH JDVROLQD HV GH NP

$ XQD SURIXQGLGDG GH P OD SUHVLyQ VRSRUWDGD SRU HO VXEPDULQR VHUi GH 3D

f x

x 2 6x 9 4

x 3

Â&#x;

x 3

4 y 0

265

ApÃ©ndice 6H WUDWD GH XQD SDUiEROD GH HMH YHUWLFDO FRQ YpUWLFH HQ 9 $EUH KDFLD DUULED 'DGR TXH HO WpUPLQR LQGHSHQGLHQWH GH OD IRUPD IXQFLRQDO HV

9 OD SDUiEROD FRUWD DO HMH < HQ HO SXQWR 4

x 3

4 1 0

Â&#x;

3 r 2 HV GHFLU \

/D JUiÂ¿FD HV

3. Modelo matemÃ¡tico buscado es de la forma f x

a 2 b 2 c 2

a 1 b 1 c

2a b

a b

Â&#x;

'H GRQGH HO PRGHOR PDWHPiWLFR HV f x

3 x 2 5 x 4

/D JUiÂ¿FD HV

266

Â&#x;

4a 2b c

Â&#x;

a b c

a 0 b 0 c

$Vt VH REWLHQH HO VLVWHPD

ax 2 bx c por lo que:

Â&#x;

a) Se trata de una funciÃ³n polinomial impar, con FRHÂ¿FLHQWH SULQFLSDO SRVLWLYR D3 = 1), por tanto, la JUiÂ¿FD VH H[WLHQGH GHVGH OD SDUWH GH DEDMR GHO HMH x hasta la parte de encima de Ã©ste. Dado que el WpUPLQR LQGHSHQGLHQWH HV OD JUiÂ¿FD FRUWD DO HMH < HQ HO SXQWR 6X JUiÂ¿FD HV

b) Se trata de una funciÃ³n polinomial impar, con FRHÂ¿FLHQWH SULQFLSDO SRVLWLYR D3 = 1), por tanto, la JUiÂ¿FD VH H[WLHQGH GHVGH OD SDUWH GH DEDMR GHO HMH x hasta la parte de encima de Ã©ste. Dado que el WpUPLQR LQGHSHQGLHQWH HV OD JUiÂ¿FD SDVD SRU HO RULJHQ 6X JUiÂ¿FD HV

c) Se trata de una funciÃ³n polinomial impar, con FRHÂ¿FLHQWH SULQFLSDO QHJDWLYR D3 = -6), por tanto, la JUiÂ¿FD VH H[WLHQGH GHVGH OD SDUWH GH DUULED GHO HMH [ hasta la parte de abajo de Ã©ste. Dado que el tÃ©rmino LQGHSHQGLHQWH HV OD JUiÂ¿FD FRUWD DO HMH < HQ HO punto (0, 3).

267

Apéndice 2.

D 'HEDMR E 'HEDMR F

a) $UULED b) $UULED F

Actividad de aprendizaje 2 I. a)

II. 1. Es cúbica y

x 40 2 x ( 20 2 x )

2. Todos los números reales 3. Sí /D JUi¿FD HV

268

*UDGR

7pUPLQR SULQFLSDO

&RHÂ¿FLHQWH SULQFLSDO

&RHÂ¿FLHQWH FRQVWDQWH

f( x)

x6 x

[

f(x)

2 x3 3 x 2

[

g( x )

3 x4 x 1

[

h( x )

*UDGR

7pUPLQR SULQFLSDO

&RHÂ¿FLHQWH SULQFLSDO

&RHÂ¿FLHQWH FRQVWDQWH

[

2. 3ROLQRPLR \ [

\ Ã [ Ã

Ã [

\ [

[

AutoevaluaciÃ³n 1. /D HFXDFLyQ GHVSHMDGD HV y

2 x 3 9x 2 10 x 2

/D JUiÂ¿FD HV

2. 8QD HV LJXDO D FHUR \ GRV VRQ FRPSOHMDV 3. (O SROLQRPLR TXH FRUUHVSRQGH HV y

x3 2 x2 x 2

269

ApÃ©ndice

/D JUiÂ¿FD TXH OH FRUUHVSRQGH D OD IXQFLyQ SROLQRPLDO f ( x )

*UDÂ¿FD OD IXQFLyQ f ( x )

x 4 1 HV

x4 2 x3 3 x2 1

Bloque V Actividad de aprendizaje 1 6ROXFLRQHV GH ODV GLYLVLRQHV VLQWpWLFDV 1. 6x 2 5 x 3 2. 6m 2 m 1 3. 2a b 4. x 2

270

4x 4 8x 2 104x 16 3x 5 2x 4 4x 8

6m 5m 3 4m 2 2m 1

5. 3p3 2p2 p 7

4 1 12 1 5

1. (YDOXDFLyQ GHO WHRUHPD GHO UHVLGXR p( 1) 'LYLVLyQ VLQWpWLFD 5HVSXHVWD 4x 8

2. (YDOXDFLyQ GHO WHRUHPD GHO UHVLGXR p(1 / 2 ) 'LYLVLyQ VLQWpWLFD 5HVSXHVWD x 5

3 x 1 2

2 1 / 2 9 1 / 2 1 9

6 x 1 / 2 4

3. (YDOXDFLyQ GHO WHRUHPD GHO UHVLGXR P 7 5 7 30 7 40 7 36 7 14 'LYLVLyQ VLQWpWLFD Ã Ã Ã

5HVSXHVWD 5 x 3 5 x 2 5 x 71

483

483 x 7

II. 4. 3ODQWHDPLHQWR GH OD HFXDFLyQ

x 1 x 1 x 3 x 5

x 8x 14x 8x 15 0 6ROXFLyQ JUiÂ¿FD

271

Apéndice Apéndice 5. Planteamiento de la ecuación: 0 ( x + 2 )( x + 1)( x )( x − 1)( x − 2 ) = x 5 − 5 x 3 + 4x = 0 Solución gráfica:

Actividad de aprendizaje 3 1. •

Se debe resolver la ecuación: f (x) = 0

•

La cantidad de soluciones de una ecuación polinomial depende del grado, de modo que si éste es n, la ecuación f (x) = 0 tendrá n soluciones, cada una de las cuales puede ser real o compleja, y, como consecuencia, la gráfica de f (x) = 0 tendrá como máximo n intersecciones con el eje X.

•

Son n intersecciones con el eje X en el caso de que todas las raíces de la ecuación sean reales.

2. a) Factorización: (x − 1)(x + 2)(x + 3) = 0 Los ceros son: x = −3; x = −2; x = 1

b) Factorización 0 ( x − 1) ( x 2 − 2x + 2 ) = Solución compleja: x = 1 − i; x = 1 + i Solución real: x = 1

272

Apéndice Apéndice c) Factorización 0 ( x − 2 ) ( x2 + 4 ) = Solución real: x = 2 Solución compleja: x = −2i x = 2i d) Solución real x = −0.93 x = 0.46 Solución compleja: x = 0.73 – 0.5i x = 0.73 + 0.5i

e) Solución real x = −1.5 Solución compleja: x = 0.031 − 0.5i x = 0.031 – 0.5i x = 0.73 – 1.19i x = 0.73 + 1.19i

Actividad de aprendizaje 4 1.

Los ceros o raíces son x = -3 x = -2 x = +1 Tienen multiplicidad de 1.

273

Apéndice 2.

El cero real es x = 1 Tiene multiplicidad 1. Los ceros complejos son: x = 1 – i x = 1 + i 3.

Factorización :

0 ( x + 3 ) ( 2x 2 + 1)( 2x 2 − 1) =

Soluciones reales:

1 1 x= −3 ,x = − ,x = 2 2

Factorización :

0 ( x − 3 )( x + 1) ( x 2 + 1) =

Soluciones reales: x = −1; x = 3 Soluciones complejas : x = −i; x = i

Soluciones reales: x = −0.93; x = 0.45 Soluciones complejas : x = 0.74 – 0.5i x = 0.74 – 0.5i

274

Apéndice Actividad de aprendizaje 5 1. Raíces complejas : x = −9i x = 9i

2. Raíces complejas: 1 −2 + i 2 3 1 x= ( −2 + i 2 ) 3 x=

(

)

3. Raíces complejas: x =−1 − i 3 x =−1 + i 3

4. Raíz real x = 5 Solución compleja: x =−1 − i 5 x =−1 + i 5

275

Apéndice 5. Solución real: x =1 Solución compleja: x =− 3 −1 x=

( −1) 3

Autoevaluación 1. Solución real: x = 1

2. Cociente: 2 x 3 − 3 x 2 − 10 x Residuo :

38x x +2

3. Ceros: x = −3 x = −1 x = 2 Dominio ∈  Rango ∈ 

276

Apéndice 4. Raíz real x=-2.54 Raíces complejas: x = −0.75 − 0.85i x = −0.75 + 0.85i x = 2.02 − 1.78i x = 2.02 + 1.78i

5. Todas las raíces son complejas: x = 2.78 − 3.4i x = 2.78 + 3.43i x = −0.78 − 0.77i x = −0.78 + 0.77i

277 277

Apรฉndice Bloque VI Actividad de aprendizaje 1 1. a)

1 x z 0

ย 3 x2

y 1 x

g y

x z 1 Dom : x ย f,1 ย 1, f DVtQWRWD YHUWLFDO x 3 x 2 yx y

ย

y r y 2 4 3 y

2 3

y r y 2 12y y 2 12y t 0 ย Rango : y ย f, 12 ย 0, f @ >

6 6LQ DVtQWRWDV KRUL]RQWDOHV

12 r

12 12

0 r

12 0

0tQLPR 0, 0 Mรกximo: 2, 12 f 0

3 0

1 0

g 0

0 r 0 2 12 0

,QWHUVHFFLRQHV FRQ ORV HMHV 'DGR TXH HO JUDGR GHO QXPHUDGRU HV PD\RU TXH HO GHQRPLQDGRU HQ XQD XQLGDG VH WLHQHQ DVtQWRWDV REOLFXDV

3x 3 x 1

3x 2 3x 2 3x

f x

3x 3x 3 *UiยฟFD

278

3 x 3

DVtQWRWD REOLFXD y

3 1 x

3 x 3

Apéndice b)

x2 9 z 0

x z r3 Dom : x f, 3 3, 3 3, f DVtQWRWDV YHUWLFDOHV x

y x2 9

g y

yx 2 x 9y

1 r 1 36y 2 2y z 0 2y

1 r

4y 9y

y z 0 DVtQWRWD KRUL]RQWDO HQ y

3 x

0 HMH ;

Rango : f, 0 0, f

f 0

0 LQWHUVHFFLRQHV FRQ ORV HMHV

*Ui¿FD

c) x2 1 z 0

x z r1 Dom : x f, 1 1,1 1, f DVtQWRWDV YHUWLFDOHV x

x 1 x 2 x 1

x 1 x 1

x2 x 1 x 1

x 2 1 y x 1 y

y x 1

3 1 r

x2 x 1

1 y r

y 1 r 1 2y y 2 4 4y x 2

y 2 2y 3 t 0

g 3

g y

1 y

2 1

1 x

x 2 x yx 1 y

4 1 1 y

y 1 r y 2 2y 3 2

Rango : y f, 3 @ >1, f QR KD\ DVtQWRWDV KRUL]RQWDOHV

2 3 3

g 1

1 1 r

2 1 3

279

0 1 2 0 1

f 0

1 g 0 QR H[LVWH

,QWHUVHFFLRQHV x x2 x 1

x 1

f x

x2 x

1 x 1

DVtQWRWD REOLFXD y

*UiÂ¿FD

d) 4 x2

4y yx

Â&#x;

g y

yx 2x 4y

2 r 4 1 4y 2

Â&#x;

2 r

2 \ x

4y 4y

2 r 2 1 4y 2 2y

1 r 1 4y 2 y z 0 DVtQWRWD KRUL]RQWDO HQ HO HMH ; 1R KD\ Pi[LPRV QL PtQLPRV y f 0

280

x z r2 DVtQWRWDV YHUWLFDOHV x

2 0

4 0

0 LQWHUVHFFLRQHV

e) x2 3 z 0

x z r 3 Dom : f, 3 Â&#x2030; 3 , 3 Â&#x2030;

Â&#x;

DVtQWRWDV YHUWLFDOHV x

3 \ x

3, f

'DGD OD DOWD GLÂ¿FXOWDG SDUD GHVSHMDU OD YDULDEOH [ QR HV SRVLEOH GHWHUPLQDU UDQJR Pi[LPRV PtQLPRV QL DVtQWRWDV KRUL]RQWDOHV 3

f 0

2 0 5

x2 3

5 3

2x 3 5 x2 3

Â&#x;

2x 3

Â&#x;

5 2

Â§ 5Â· Â§ 5 Â· ,QWHUVHFFLRQHV Â¨ 0, Â¸ Â¨ 3 , 0 Â¸ Â© 3 Â¹ Â¨Â© 2 Â¸Â¹ 6 x 5 f x 2x 2 x 3 2x DVtQWRWD REOLFXD y 2x 2x 3 5 2 x3 6 x

6x 5

*UiÂ¿FD

281

Apéndice Actividad de aprendizaje 2 a) 6HDQ \ ORV GtDV QHFHVDULRV SDUD UHDOL]DU OD WDUHD \ [ OD FDQWLGDG GH REUHURV SDUD UHDOL]DUOD HQWRQFHV y

k SRU OR TXH 7 x

k 4

28 /D IXQFLyQ VROLFLWDGD HV f x

$VtQWRWD HQ [ HMH < 'DGR TXH DO GHVSHMDU [ VH REWLHQH g y

28 x

28 y

/D JUi¿FD WLHQH DVtQWRWD HQ \ HMH ; 1R WLHQH LQWHUVHFFLRQHV 3DUD YDORUHV QHJDWLYRV GH [ OD IXQFLyQ HV QHJDWLYD \ SDUD YDORUHV SRVLWLYRV HV SRVLWLYD *Ui¿FD

28 | 1.87 15 REUHURV QHFHVLWDUiQ GtDV FHUFD GH GtDV DSUR[LPDGDPHQWH f 15

b) 110

I R

110 R

$VtQWRWDV HQ ORV HMHV FRRUGHQDGRV 6LQ LQWHUVHFFLRQHV /D UHVLVWHQFLD QR SXHGH VHU QHJDWLYD SRU OR TXH HO GRPLQLR HV Dom : R 0, f

/D FRUULHQWH VLHPSUH VHUi SRVLWLYD SXHV 5 VLHPSUH HV SRVLWLYD Rango : 0, f

*Ui¿FD

I 300

110 300

11 | 0.37 30

3DUD XQD UHVLVWHQFLD GH RKP VH WLHQH XQD FRUULHQWH GH DPSHUHV

282

ApĂŠndice c) )XQFLyQ GH YDULDFLyQ P A

150 A

$VtQWRWDV HQ ORV HMHV FRRUGHQDGRV 6LQ LQWHUVHFFLRQHV (O iUHD QR SXHGH VHU QHJDWLYD SRU OR TXH HO GRPLQLR HV Dom : A Â? 0, f

/D SUHVLyQ VLHPSUH VHUi SRVLWLYD SXHV $ VLHPSUH HV SRVLWLYD Rango : 0, f *UiÂżFD

P 2S

150 2S

| 23.8732

1 DSOLFDGRV D XQD VXSHUÂżFLH GH 2S P SURGXFH XQD SUHVLyQ GH 3D

Actividad de aprendizaje 3 La actividad corresponde a un producto de aprendizaje. Revisar instrucciones.

AutoevaluaciĂłn 1. 4 3 0 5

0RGHOR PDWHPiWLFR f x

7 5

7 x 4 UHFWD GHFUHFLHQWH

*UiÂżFD

283

ApÃ©ndice 2.

6 x2 x 6

75 2

Â&#x;

x2 x 6

Â&#x;

x 2 x 3

Â&#x;

2, x2

,QWHUVHFFLRQHV

2, 0 3, 0 \ 0, 36

*UiÂ¿FD

3. )XQFLyQ SROLQRPLDO F~ELFD LPSDU &RHÂ¿FLHQWH SULQFLSDO SRVLWLYR a3 DEDMR GHO HMH ; KDFLD DUULED GH pVWH

1 6X JUiÂ¿FD VH GHVSOD]D GHVGH

'DGR TXH HO FRHÂ¿FLHQWH LQGHSHQGLHQWH HV OD JUiÂ¿FD FRUWD DO HMH < HQ 'RPLQLR \ FRQWUDGRPLQLR 7RGRV ORV UHDOHV /D JUiÂ¿FD VH PXHVWUD D FRQWLQXDFLyQ

284

Apéndice

4. )XQFLyQ SROLQRPLDO LPSDU GH JUDGR &RH¿FLHQWH SULQFLSDO SRVLWLYR a7 GHVGH DEDMR GHO HMH ; KDFLD DUULED GH pVWH

1 6X JUi¿FD VH GHVSOD]D

'DGR TXH HO FRH¿FLHQWH LQGHSHQGLHQWH HV OD JUi¿FD FRUWD DO HMH < HQ 'RPLQLR \ FRQWUDGRPLQLR 7RGRV ORV UHDOHV x7 3

7 3 | 1.17 GH GRQGH OD ~QLFD LQWHUVHFFLyQ FRQ HO HMH ; HV 7 3 , 0

*Ui¿FD

5. )XQFLyQ UDFLRQDO x2 4 z 0

$VtQWRWDV HQ x

x z r2 2 \ x

'RPLQLR x f, 2 2, 2 2, f .

285

ApÃ©ndice

f 0

0 1 2 0 4

'DGR TXH HO JUDGR GHO QXPHUDGRU HV PD\RU HQ XQD XQLGDG DO JUDGR GHO GHQRPLQDGRU x x3

x2 4

x 4x

$VtQWRWD REOLFXD y

4 x 1

*UiÂ¿FD

6. (Q HO PRPHQWR GH OD FRPSUD 0, b

$KRUD 6,1850

+DFH DxRV 2, 3500

3500 1850 2 6

(O PRGHOR HV y

1650 4

825 b 3500 0 2 2

825 x 4325 2

&XDQGR HUD QXHYD OD FRPSXWDGRUD FRVWy SHVRV 2EVHUYD OD JUiÂ¿FD

286

825 2

Â&#x;

b 3500

825

Â&#x;

4325

ApÃ©ndice 7.

2 x y

x y y A

x 124 x

x 2 124 x

x 62 3844

Â&#x;

248

124

124 x

x 2 124 x 3844 3844

x 62

A 3844

Â&#x;

x 62 3844

x 62

A 3844

Â§1 Â· 4 Â¨ Â¸ A 3844

Â©4Â¹

3DUiEROD GH HMH YHUWLFDO TXH DEUH KDFLD DEDMR (O YpUWLFH SXQWR GH PD\RU DOWXUD $ HV 9 GH GRQGH HO iUHD Pi[LPD GH P RFXUUH FXDQGR [ \ P HV GHFLU FXDQGR HO WHUUHQR HV GH IRUPD FXDGUDGD 8. (V XQD UHODFLyQ LQYHUVD GDGR TXH D PD\RU FDQWLGDG GH DOXPQRV VH UHTXLHUH PHQRU WLHPSR SDUD UHVROYHU HO H[DPHQ y

k 30 x

k 5

150

(O PRGHOR PDWHPiWLFR HV y 150 $VtQWRWD HQ [ HMH < 'DGR TXH DO GHVSHMDU [ VH REWLHQH g y

y Â&#x;

150 x

/D JUiÂ¿FD WLHQH DVtQWRWD HQ \ HMH ; 1R WLHQH LQWHUVHFFLRQHV 3DUD YDORUHV QHJDWLYRV GH [ OD IXQFLyQ HV QHJDWLYD \ SDUD YDORUHV SRVLWLYRV HV SRVLWLYD 8Q DOXPQR UHVXHOYH HO H[DPHQ HQ PLQXWRV KRUDV \ PHGLD FRQVLGHUDQGR HO PLVPR GHVHPSHxR HQ WRGRV ORV DOXPQRV *UiÂ¿FD

287

Apéndice Bloque VII Actividad de aprendizaje 1

¿Con qué conocimientos cuento? 1. Ejercicios conceptuales. Se sugiere que el alumno investigue en el texto las respuesta. /DV IXQFLRQHV JUD¿FDGDV VRQ

b) c)

•

/D JUi¿FD TXH WLHQH PD\RU FUHFLPLHQWR FXDQGR [ ! es 4x /D JUi¿FD TXH WLHQH PD\RU FUHFLPLHQWR FXDQGR [ HV x /D JUi¿FD TXH WLHQH PD\RU FUHFLPLHQWR FXDQGR [ HV [3 Los alumnos pueden manejar diferentes puntos de vista y llegar a una conclusión.

Actividad de aprendizaje 2 1. Ecuación (ecuaciones): y = ekx x -8.0 -7.0 -6.0 -5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0

288

y 0.0003 0.0009 0.0025 0.0067 0.0183 0.0498 0.1353 0.3679 1.0 2.7183 7.3891 20.0855 54.5982 148.4132 403.4288 1096.6332 2980.958 8103.0839

y 0.0183 0.0498 0.1353 0.3679 1.0 2.7183 7.3891 20.0855 54.5982 148.4132 403.4288 1096.6332 2980.958 8103.0839

/DV IXQFLRQHV VH LGHQWLÂ¿FDQ FRPR D &UHFLPLHQWR H[SRQHQFLDO E 'HFDLPLHQWR H[SRQHQFLDO

0HQVXDOPHQWH

FÃ³rmula M b)

C 1 i

27369.016 este es el saldo a los 3 aÃ±os

6HPHVWUDOPHQWH M

$20223.43 este es el saldo a los 3 aÃ±os

&RQWLQXDPHQWH

289

ApĂŠndice

0.15 Âˇ Â§ 17500 Â¨1 Â¸ 360 Âš ÂŠ

$27541.82 este es el saldo a los 3 aĂąos

4. M

0.18 Âˇ Â§ 1200 Â¨1 Â¸ 4 Âš ÂŠ

$1431.02 este es el saldo a los 4 aĂąos

Actividad de aprendizaje 3 1. D b) c) d) H I

Ă 3.7609 0.4776 5.4773 Ă Ă

2. a)

log x

x b)

x e)

17183.0400

7346.8302

702.1017

2.1679

101.5737

10 3 ,6297

log x

4.5791

10 4.5791

37940.2336

37.4714

4262.8495

2.8393

10 2.8393

log x

3.6297

log x

147.1974

1.5736

log x

x h)

10 2.1679

log x

2.8464

10 2.8464

log x

3.8661

10 3.8661

log x

1314.8009

4.2351

10 4.2351

log x

x d)

10 3.11886

log x

3.1886

690.7168

2.6372

10 2.6372

433.7106

a) 2 3

8 log 2 8 3

b) 8 2 / 3 log8 4

c) 6

4 2 3

1 16 1 log6 2 16

d) 4 2

e) b x

m log b m x

1 log6 1 0

f) 2 x log 2 y

290

g) 5 3

125 log5 125 3

h) 10 2

0.01 log10 0.01 2

i) 4 3

64 log 4 64 3

Apéndice

j) 27

128 log 2 128 7

4. a) log 3 81

4 34

b) log91

0 90

c) log x y

z xz

log 36 6

1 1 36 2 2

1 8

3 2 3

1 8

g) log 2

1 d) log 3 243

5 3

e) log 1000

3 10 3

h) log 3 x

y 3y

y 2y

1 243

log 2 x

1000

log100

2 10 2

100

a) log6 n 63

c) log b 27 3

d) log b 3 b

1 4

e) log b 4

27 b

1 3

log 496 3

2 3

b 3

1000

1 3

1 63

1 216

1 3

i) log2 n

j) log b125 0.898494

h) log b 27

1 3

1 4

1000 b 3 3

g) log b 6

1 243

3 5

216

b) log3 n

f) log b1000

1 27 3

1 19683

256 3

125 b 3

1 3

125

1 5

291

ApĂŠndice 6. log 496 3

a) 3 496

0.898494

log 0.801 4

b) 4 .801

(77.6 )(66.5 ) c) 3 ( 44.3 )( 33.2 )

0.024092

log 77.6 log 66.5 log 44.3 log 33.2 3

d) 6.16 3 81.2

log 6.16 log 81.2 2 3

e) 77.1 3 1.41

log 77.1 log1.41 2 3

615

log 615 log 401 2 3

401

215

2/ 3

i) 4 .1081 j)

6 log10.66 log 0.1081 4

457 3

228 16.5

2 log 41.1 log 215 log16.2 3 2

(16.2 ) 41.1

h) 10.66

1.03131

log 457

log 228 log16.5 3 2

292

a) log 5

log 5 log10

c) log 8

b) log 6

log 5 log10

d) log100

log 8 log10 log100 log10

0.181714

EDVH EDVH EDVH EDVH EDVH

a) 4 5

log5 625

625

b) 25 2

625

log5 625

c) 0.001 10 3

log10 0.001

e) 61

log6 6

a) log 4 16

e) log 3 x

4 y 16 y 2 b) log 2 x x c)

32 2

d) log5 125

log 1 x

1 4

i) log b 25

25 Â&#x; b

g) log b 81

log 1 x

1 81

b4 81 b 3 1 h) log b 27

1 27

b 3

5 y 125 y 3

1 3

293

Apéndice Actividad de aprendizaje 5 1.

¢4Xp UHVWULFFLRQHV KD\ VREUH E"

/D EDVH E GHEH VHU XQ Q~PHUR SRVLWLYR \ GLVWLQWR GH XQR LJXDO TXH HQ OD IXQFLyQ H[SRQHQFLDO /D YDULDEOH [ QXQFD SXHGH VHU FHUR SXHV QR H[LVWH XQ Q~PHUR \ UHDO WDO TXH Ey VHD FHUR /D YDULDEOH [ VyOR SXHGH WRPDU YDORUHV SRVLWLYRV GHELGR D TXH OD EDVH SRVLWLYD E JHQHUD VyOR SRWHQFLDV SRVLWLYDV 3RU HMHPSOR 4 2

16 ;

5 2

1 52

0.04

¢&XiO HV HO GRPLQLR GH OD IXQFLyQ" < ¢FXiO HV VX UDQJR"

(O GRPLQLR GH XQD IXQFLyQ ORJDUtWPLFD HV D

^x : 0 x f`

VH OHH FRPR FRQMXQWR GH WRGRV ORV Q~PHURV UHDOHV SRVLWLYRV

(VWH GRPLQLR VH SXHGH YHUL¿FDU \D TXH OD JUi¿FD QXQFD WRPD YDORUHV QHJDWLYRV VREUH HO HMH [ (O UDQJR GH XQD IXQFLyQ ORJDUtWPLFD HV R

: f x f`

TXH HV HO FRQMXQWR GH WRGRV ORV Q~PHURV UHDOHV

(VFULEH OD IXQFLyQ \ ORJb [ HQ IRUPD H[SRQHQFLDO

6DEHV TXH \ ORJb [ Vt \ VyOR VL [ Ey HV OD IRUPD H[SRQHQFLDO

¢&XiO HV HO FRQFHSWR GH IXQFLyQ H[SRQHQFLDO"

6H GHQRPLQD IXQFLyQ H[SRQHQFLDO D WRGD IXQFLyQ GH OD IRUPD \ D Ã bx R I [ D Ã b[ GRQGH [ DFHSWD FXDOTXLHU YDORU UHDO E HV XQ Q~PHUR SRVLWLYR \ GLVWLQWR GH \ D \ N (Q OD GH¿QLFLyQ DQWHULRU E VH FRQRFH FRPR EDVH \ OD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH [ VH FRQRFH FRPR H[SRQHQWH 2. a)

294

ApĂŠndice b)

3. a)

295

ApĂŠndice b)

296

ApĂŠndice Actividad de aprendizaje 6 1.

30 20 ln 40 20

4.1605t t

ln 0.5 4.1605

0.1666 horas

4 21 18 21 0.3069 ln

t 0.3069

6 21 18 21

5.2442

3. a) y y

4 8 ln 0.5

9.5452

7. a) f (log E ) 1

log E

f (log E ) 1

[

f (log E ) 1

11.8 1.5ms ,

[

0.1527 1

41.3 e 42.4650 millones de personas

41.3 e0.1527 t

ÂŞ log1.1650 Âş ÂŤ log 2.7183 Âť y 0.1527

ÂŹ Âź 1

8. a)

M ln

Tf Tm Ti Tm

3 0.3069

3.6288

T 15 ln f 18 15

20 log

0.0036 dinas / cm 2 0.0002

20 log

10 0.0002

25.1055

En un aĂąo la poblaciĂłn activa serĂĄ de 44 millones

p0 e kt

So HV HO YDORU LQLFLDO \ N HV OD WDVD GH DXPHQWR R GLVPLQXFLyQ

b) 42.4650 t

k 3

4 ln 0.5

2. a)

5. y

93.9794

log(1.259 u 10 21 ) 11.8 1.5

6.2

10.

log 3 45

log 45 log 3

3.4650

297

Apéndice 11. log 3 x 5 log 5 x 1.23

3x 5 1.23 5x Se debe calcular antilogaritmo en ambos extremos de la ecuación log

· 1.23 ¸ ¹

12.

64 2

512

Bloque VIII Actividad de aprendizaje 1 a) $PSOLWXG 3HULRGR 2S

b) $PSOLWXG 3HULRGR

298

2S 3

S 2

d) $PSOLWXG

1 2

3HULRGR 4S

e) $PSOLWXG 1R WLHQH 3HULRGR 10S

299

Apรฉndice Actividad de aprendizaje 2 1. a) &RVHFDQWH 'RPLQLR \ ^! , 2S , S , 0, S , 2S , !` 5DQJR f. 1@ ย >1, f

6HFDQWH

3S S S 3S ยญ ยฝ , , , , !ยพ 5DQJR f. 1@ ย >1, f

'RPLQLR \ ยฎ! , 2 2 2 2 ยฏ ยฟ &RWDQJHQWH 'RPLQLR \ ^! , 2S , S , 0, S , 2S , !` 5DQJR \ b) 6HFDQWH

ยญS ยฝ &RQWLQXD HQ x ย \ ยฎ kS , k ย ] ยพ ยฏ2 ยฟ

ยง S ยท ยงS ยท &UHFLHQWH HQ ! ย ยจ 0, ยธ ย ยจ , S ยธ ย ! ยฉ 2ยน ยฉ2 ยน ยง 3S 'HFUHFLHQWH HQ ! ย ยจ S , 2 ยฉ

ยท ยง 3S ยท , 2S ยธ ย ! ยธย ยจ ยน ยฉ 2 ยน

0i[LPRV HQ 2kS , 1 , k ย ] PtQLPRV HQ 2k 1 S , 1 , k ย ] &RVHFDQWH &RQWLQXD HQ x ย \ ^kS , k ย ]`

ยงS ยท ยง 3S &UHFLHQWH HQ ! ย ยจ , S ยธ ย ยจ S , 2 ยฉ2 ยน ยฉ

ยท ยง S ยท ยง 3S ยท , 2S ยธ ย ! ยธ ย ! GHFUHFLHQWH HQ ! ย ยจ 0, ยธ ย ยจ ยน ยฉ 2ยน ยฉ 2 ยน

ยง 3S ยท ยงS ยท 2kS , 1 ยธ , k ย ] PtQLPRV HQ ยจ 2kS , 1 ยธ , k ย ] 0i[LPRV HQ ยจ 2 2 ยฉ ยน ยฉ ยน &RWDQJHQWH &RQWLQXD HQ x ย \ ^kS , k ย ]` GHFUHFLHQWH HQ \ QR WLHQH Pi[LPRV QL PtQLPRV

300

ApÃ©ndice c) 6H UHFRPLHQGD XVDU DOJXQD DSOLFDFLyQ GH VRIWZDUH FRPR *HRJHEUD (Q HO &' GHO PDWHULDO FRPSOHPHQWDULR VH H[SOLFDQ HMHPSORV DFHUFD GHO WUD]DGR GH HVWDV IXQFLRQHV 2. D

&RQFOXVLyQ $PEDV IXQFLRQHV FRUUHVSRQGHQ DO PLVPR OXJDU JHRPpWULFR b)

301

Apéndice Actividad de aprendizaje 3 1.

a) 0XHYH OD JUi¿FD KDFLD DUULED XQD XQLGDG

b) 0XHYH OD JUi¿FD KDFLD DEDMR XQD XQLGDG

c) &RUUH OD JUi¿FD KRUL]RQWDOPHQWH KDFLD OD L]TXLHUGD

302

2S 3

Apéndice

d) &RUUH OD JUi¿FD KRUL]RQWDOPHQWH KDFLD OD GHUHFKD

e) 'HVSOD]DPLHQWR KDFLD OD L]TXLHUGD

2S 3

2S \ KDFLD DUULED XQLGDGHV 3

2. /D UHVSXHVWD FRUUHFWD HV E

3. /D UHVSXHVWD FRUUHFWD HV D

303

Apéndice Autoevaluación 1. a) 'RPLQLR Domf : x f, f

/D JUi¿FD VH H[WLHQGH KRUL]RQWDOPHQWH FRQWLQXDPHQWH GHVGH í KDVWD 5DQJR Rangof : y > 1,1@ /D JUi¿FD YDUtD YHUWLFDOPHQWH GHVGH í KDVWD ,QWHUVHFFLyQ FRQ HO HMH < HO RULJHQ GHO SODQR FDUWHVLDQR TXH HV HO SXQWR ,QWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH ; WRGRV ORV SXQWRV Qʌ GRQGH Q í í í

4n 1 S SDUD Q í í í 2 4n 3 S SDUD Q í í í 3XQWRV PtQLPRV 2 3HULRGR 7 ʌ TXH HV OD ORQJLWXG GH OD RQGD TXH VH UHSURGXFH SHULyGLFDPHQWH 7 ʌ /D IXQFLyQ VHQR UHSLWH VXV YDORUHV FDGD ʌ XQLGDGHV GHO HMH ;

3XQWRV Pi[LPRV

1 1 T 2S 5HSUHVHQWD HO Q~PHUR GH RQGDV VHQR EDVH TXH VH WLHQHQ FDGD ʌ XQLGDGHV HV GHFLU KD\ XQD RQGD VHQR EDVH FDGD ʌ XQLGDGHV VREUH HO HMH ; )UHFXHQFLD I HV HO LQYHUVR GHO SHULRGR f

$PSOLWXG $ HV OD Pi[LPD GLVWDQFLD GHO HMH ; D OD JUi¿FD GH OD IXQFLyQ VLQ LPSRUWDU OD GLUHFFLyQ HV GHFLU KDFLD DUULED GHO HMH ; HO Pi[LPR VH HQFXHQWUD HQ GLVWDQFLD GH XQD XQLGDG \ KDFLD DEDMR GHO HMH ; OD Pi[LPD GLVWDQFLD VH SUHVHQWD HQ í GLVWDQFLD GH XQD XQLGDG $ b) 'RPLQLR Domf

f, f

5DQJR Rangof

¬ªd a , d a º¼

,QWHUVHFFLyQ FRQ HO HMH < x

a cos c d ,

0, a cos c d

,QWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH ; SXHGHQ GHWHUPLQDUVH GHVSXpV GH WUD]DU OD JUi¿FD 3XQWRV Pi[LPRV SXHGHQ GHWHUPLQDUVH GHVSXpV GH WUD]DU OD JUi¿FD 3XQWRV PtQLPRV SXHGHQ GHWHUPLQDUVH GHVSXpV GH WUD]DU OD JUi¿FD 3HULRGR 7 T

304

2S b

)UHFXHQFLD I f

b 2S

$PSOLWXG $ A

Apéndice Si a = 1, b = 1, c = 0 y d = 0, se tiene la función base f(x) = cos x, que se acaba de analizar. /RV SDUiPHWURV GH OD IXQFLyQ FRVHQRLGH DIHFWDQ OD JUi¿FD GH OD IXQFLyQ FRVHQR EDVH GH OD PLVPD manera que en la función senoide. (O SURFHGLPLHQWR SDUD JUD¿FDU ODV IXQFLRQHV FRVHQRLGHV HV VHPHMDQWH DO GHO WUD]DGR GH OD JUi¿FD GH la función senoide. 2. $OJXQDV VLWXDFLRQHV GRQGH VH SXHGHQ REVHUYDU ODV JUi¿FDV GH IXQFLRQHV WULJRQRPpWULFDV VHQR \ coseno. •

Los aparatos utilizados en un hospital como el electroencefalograma y el electrocardiograma.

•

Las olas del mar.

•

Cuando observamos las montañas.

•

El ecualizador de la radio al escuchar música.

305

5HIHUHQFLDV ELEOLRJUiÀFDV Antonyan, N., Cendejas, L. y Aguilar, G. (2007). Matemáticas 2 Funciones. México: Thomson. Arriaga, A., Benítez, M., Ramírez, L. y Villamil, P. (2009). Matemáticas 4. México: Progreso. Cuéllar, J. A. (2006). Matemáticas IV – Relaciones y funciones. México: McGrawHill. Cuevas, C. A., Mejía, H. R. (2003). Cálculo visual. México: Oxford. Escalante, L., Pérez, Davy A. (2010). Matemáticas IV, México: Book Mart. García, M., Páez, R., Barkovich, M. y Murillo, J. (2007). Matemáticas 4 para SUHXQLYHUVLWDULRV 0p[LFR (V¿QJH Jiménez, R. (2006). Funciones. México: Pearson. Navarro, M. E., Preciado, A. P. (2011). Matemáticas 4. México: Fernández Editores (Bachillerato). Ortiz, F. (2006). Matemáticas IV: Funciones. México: Publicaciones Cultural. Pimienta, J. e Iglesias, R. (2007). Matemáticas IV: Un enfoque constructivista. México: Pearson. Ruiz, J. (2006). Matemáticas IV: Precálculo: Funciones y aplicaciones. México: Patria. Silva, J. y Lazo, A. (2007). Fundamentos de Matemáticas, Álgebra, Trigonometría, Geometría Analítica y Cálculo. México: Limusa.

306

Créditos Bloque VI Página 159 Functions in real life © N.Grazziano Tomado de: Funciones 'LVSRQLEOH HQ KWWS IXQFLRQHVPDWHPDWLFDV ZHHEO\ FRP curiosidades.html

307

Cuarto Semestre Matemáticas IV

Secretaría de Educación Pública Subsecretaría de Educación Media Superior Dirección General del Bachillerato

Matemáticas IV

Cuarto semestre