04 sistemas de ecuaciones

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´ Algebra y Geometr´ıa Anal´ıtica 4-Sistemas de ecuaciones lineales Docente: Ernesto Aljinovic

Resumen  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1m xm = b1    Sistema de n ecuaciones   a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2m xm = b2 lineales con m inc´ ognitas ···   (Sistema de n × m) ···    an1 x1 + an2 x2 + · · · + a2m xm = b2    x   b  1 1 a11 a12 · · · a1m   b2  x   2 Forma matricial  · · ·     · .  =  .  −→    del sistema ···  ..   ..  an1 an2 · · · anm xm bn {z } | {z | } | {z } A=matriz de coeficientes

  Matriz ampliada   del sistema 

a11

a12 ···

···

··· an1 an2 · · · 

a11

Sistema homogeneo    asociado an1

a1m

X

b1 b2 .. .

A·X =b

b

    

anm bn

a12 · · · ··· ··· an2 · · ·

a1m

anm

  x 1 x   2 · .    ..

    =  

xm

0 0 .. .

    

−→

A·X =0

0

Operaciones de Gauss por filas de una matriz Intercambiar 2 filas. (elemental) Multiplicar una fila por un n´ umero distinto de cero. (elemental) A una fila, sumarle un multiplo de otra fila. (elemental) A un multiplo no nulo de una fila, sumarle un multiplo de otra fila. (no elemental)

Dos sistemas son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. Al utilizar operaciones de Gauss sobre las filas de la matriz ampliada de un sistema, obtenemos otra matriz ampliada de un sistema equivalente.

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