´ Algebra y Geometr´ıa Anal´ıtica 4-Sistemas de ecuaciones lineales Docente: Ernesto Aljinovic
Resumen a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1m xm = b1 Sistema de n ecuaciones a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2m xm = b2 lineales con m inc´ ognitas ··· (Sistema de n × m) ··· an1 x1 + an2 x2 + · · · + a2m xm = b2 x b 1 1 a11 a12 · · · a1m b2 x 2 Forma matricial · · · · . = . −→ del sistema ··· .. .. an1 an2 · · · anm xm bn {z } | {z | } | {z } A=matriz de coeficientes
Matriz ampliada del sistema
a11
a12 ···
···
··· an1 an2 · · ·
a11
Sistema homogeneo asociado an1
a1m
X
b1 b2 .. .
A·X =b
b
anm bn
a12 · · · ··· ··· an2 · · ·
a1m
anm
x 1 x 2 · . ..
=
xm
0 0 .. .
−→
A·X =0
0
Operaciones de Gauss por filas de una matriz Intercambiar 2 filas. (elemental) Multiplicar una fila por un n´ umero distinto de cero. (elemental) A una fila, sumarle un multiplo de otra fila. (elemental) A un multiplo no nulo de una fila, sumarle un multiplo de otra fila. (no elemental)
Dos sistemas son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. Al utilizar operaciones de Gauss sobre las filas de la matriz ampliada de un sistema, obtenemos otra matriz ampliada de un sistema equivalente.
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Matriz escalonada en las filas reducida (Matriz reducida) Es una matriz que cumple con lo siguiente: Las filas de ceros est´ an abajo. El primer elemento no nulo de cada fila es un uno (unos principales). Cuanto m´ as abajo la fila, m´ as a la derecha su uno principal. En las columnas que tengan unos principales, los dem´as elementos son 0.
Tipos de sistemas Incompatible: No tienen soluci´ on. Compatible determinado: Tiene una u ´nica soluci´on. Compatible indeterminado: Tiene infinitas soluciones.
Propiedad Si X1 , X2 , · · · son soluciones del sistema Sb : A · X = b, Y1 , Y2 · · · son soluciones del sistema homogeneo asociado S0 : A · X = 0 y k1 , k2 · · · ∈ R, entonces: k1 Y1 es soluci´ on de S0 .
X1 − X2 es soluci´on de S0 .
Y1 + Y2 es soluci´ on de S0 .
X1 + Y1 es soluci´on de Sb .
k1 Y1 + · · · + kj Yj es soluci´ on de S0 .
X1 + k1 Y1 + · · · + kj Yj es soluci´on de Sb .
Si A ∈ Cn×n es equivalente por filas a I, entonces llamamos inversa de A a la u ´nica matriz A−1 −1 −1 tal que A A = A A = I. Dicha matriz se encuentra mediante el siguiente esquema de reducci´ on: (A|I)
−→
(I|A−1 )
Ejercicios Ejercicio 1 Expresar en forma de ecuaci´on matricial a los siguientes sistemas: 2x − 3y = 4 2x − 3y + 2z = 1 a) −3x + y = −2 −3x + y + 4z = 11/2 d) 2x + 5y − 4z = 0 3x1 − 2x2 + 2x3 = 1 2x − 4y = 8 −x1 + 2x2 = 2 b) e) −3x + 6y = −12 3x1 + 2x2 + 4x3 = 5 4x1 − 3x2 + 2x3 = 3 2x1 + 4x2 + 3x3 = 0 −x1 + 3x2 = 7 f) c) 2x1 − 6x2 = 4 2x1 + 15x2 + 7x3 = −3 2
g)
2x + 4y − 3z + 2w = 1 −x + 2y + 4z − w = 0
x1 + 2x2 − 3x3 + 2x4 = 3 2x1 − x2 + 2x3 − x4 = 1 h) 3x1 − 2x2 + 4x3 − x4 = 0
2x − 5y = 4 3x + 7y = 2 i) x − 17y = 6 −x − 12y = 1 j ) {x + 3y − 2z = 1
Ejercicio 2 Resolver los sistemas de ecuaciones lineales del ejercicio 1 llevando sus matrices ampliadas a la forma escalonada en las filas reducida e indicando que tipo de sistemas son. Si el sistema es compatible determinado, comprobar la soluci´on encontrada. Si el sistema es compatible indeterminado, dar dos soluciones y verificarlas. Ejercicio 3 Resuelva los sistemas homogeneos asociados a los sistemas del ejercicio 1. ¿ Cuantos fueron incompatibles? Explique. Ejercicio 4 Resolver los siguientes sistemas en forma simultanea. 4x1 − 3x2 + 2x3 = 2 4x1 − 3x2 + 2x3 = 3 2x1 + 4x2 + 3x3 = −2 2x1 + 4x2 + 3x3 = 0 b) a) 2x1 + 15x2 + 7x3 = −8 2x1 + 15x2 + 7x3 = −3 4x1 − 3x2 + 2x3 = 1 4x1 − 3x2 + 2x3 = 0 2x1 + 4x2 + 3x3 = −1 2x1 + 4x2 + 3x3 = 0 c) d) 2x1 + 15x2 + 7x3 = −3 2x1 + 15x2 + 7x3 = 0 Ejercicio 5 Encuentre una matriz B, siendo: X tal queA X = 2 3 1 2 −1 7 0 2 1 1 B = A= 3 −1 1 −1 1 4 1 1 2 0 Ejercicio 6 Exprese el siguiente sistema en forma de ecuaci´on matricial y luego resuelvalo. x + 2y − iz = 2 2x + 5y + (1 − i)z = 9 + 8i x − 3iy + 3z = 26 − i Ejercicio 7 Encuentre a, b, c y d tales que: −16 0 b+d c−d 2a − c b − 2a =3 − 22 8 a + 3d 1 a + c 3b + d Ejercicio 8 Resuelva los siguientes sistemas no lineales en R utilizando lo que aprendi´o para sistemas lineales: 2x2 − y 2 + 2z 2 = 0 2x2 − 3y 2 − 2z 2 = 0 −3x2 + 2y 2 + z 2 = 6 −3x2 + y 2 + 4z 2 = 11 a) b) 2 2 2 2x + y − 4z = 2 2x2 + 5y 2 − 4z 2 = −24 2x2 − 3y − z 2 = −4 −3x2 + y + 4z 2 = 32 c) 2x2 + 5y − 4z 2 = −39
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Ejercicio 9 Si A y B son matrices de R2×2 , utilizar operaciones elementales para resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales matricial. −1 −5 A − 3B = −3 13 3 0 2A − B = −1 1 Ejercicio 10 Si P (x), Q(x) ∈ C[x], utilizar operaciones elementales para resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales polinomial. 2P (x) − 3Q(x) = −3x + 8x2 − 6x3 + 2x4 −P (x) + 2Q(x) = 1 + 2x − 5x2 + 3x3 − x4 5 1 5 4 7 2 2 1 tres soluciones del sistema A · x = Ejercicio 11 Sean , y 9 3 1 −2 8
a) Determine el tama˜ no de la matriz A. 0 0 b) Encuentre 2 soluciones del sistema A · x = 0 0
c) Encuentre dos soluciones mas del sistema original. 5 7 d ) Encuentre dos soluciones del sistema A · x = 3 9 8
Ejercicio 12 Hallar en caso que sea posible las inversas de las siguientes matrices: 2 4 3 1 b) B = a) A = 3 6 4 3 2 3 0 2 i d ) D = −4 4 1 c) C = 2 1+i 7 1 −1 2 4 1 1 3 2 e) E = −5 4 5 f ) F = −2 3 3 3 1 −1 −1 15 12 Ejercicio 13 Resolver los siguientes sistemas utilizando lo que obtuvo en el ejercicio anterior. 3 1 x 2 a) = 4 3 y 1 2 i x −1 b) = 2 1+i y 1 2 4 1 x 1 c) −5 4 5 y = 1 3 1 −1 z −2
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Ejercicio 14 Optativo. Determinar para que valores de k, los siguientes sistemas son compatibles determinados, compatibles indeterminados e incompatibles. 2 k x+y =1 a) x+y =k kx − (5 + 4k)y + 5z = 2 + k (2 − 3k)y + b) 9kz = 3 + k 4 − k2 z = k − 2 2 k −1 0 k+2 x1 k+4 2 k − 9 k 2 + 4k + 5 x2 = k + 4 c) k+2 0 0 x3 k+4 k 1 k+2 x1 k 1 x2 = 4 d ) 2k k −k 2 12 x3 0
Te´ oricos 1 Sea S0 : A · X = 0 un sistema de n × m, y X1 , X2 dos soluciones. Demostrar que si k ∈ R, entonces: a) k X1 es soluci´ on de S0 . b) X1 + X2 es soluci´ on de S0 . 2 Sea Sb : A · X = b un sistema de n × m, y X1 , X2 dos soluciones. Sean tambi´en S0 : A · X = 0 y X3 una soluci´ on. Demostrar que: a) X1 − X2 es soluci´ on de S0 . b) X1 + X3 es soluci´ on de Sb . 3 Describa con sus palabras y en forma precisa cuales son las tres operaciones elementales entre ecuaciones de Gauss y que es lo que permite que estas operaciones sean u ´tiles en la resoluci´ on de sistemas de ecuaciones. 4 Demostrar que si A, B ∈ Cn×n son inversibles y k ∈ C 6= 0, entonces a) (A B)−1 = B −1 A−1 −1 t b) At = A−1 ∗ c) (A∗ )−1 = A−1
d) A
−1
= A−1
e) (kA)−1 =
1 −1 A k
5 ¿Es cierto que si dos matrices son inversibles la suma tambi´en lo es? Si es cierto demuestrelo y si no encuentre un contraejemplo. 6 ¿Es cierto que si dos matrices cuadradas no son inversibles la suma tampoco lo es? Si es cierto demuestrelo y si no encuentre un contraejemplo. 7 ¿Es cierto que toda matriz cuadrada no nula tiene inversa? Justifique su respuesta y de un ejemplo claro en matrices de 2x2. 8 Explicar porque al utilizar operaciones elementales de Gauss sobre las filas de I, nunca puede anularse una fila. 5
9 Demostrar que si S : A · X = b es un sistema de ecuaciones cuadrado, entonces: A es inversible
=⇒
S tiene una u ´nica soluci´on
10 Responder verdadero o falso. En caso que sea falso explicar porque. a) Un sistema lineal de ecuaciones con mas incognitas que ecuaciones siempre es compatible indeterminado. b) Un sistema lineal homog´eneo de ecuaciones con mas incognitas que ecuaciones siempre es compatible indeterminado. c) Que un sistema de ecuaciones lineales y homog´eneo tenga soluci´on no trivial significa que es compatible indeterminado. d ) Hay sistemas que son incompatibles indeterminados. e) Si A · B es inversible, entonces lo son A y B. f ) Sea S1 un sistema de ecuaciones y S2 el mismo sistema S1 al cual se le agrega una ecuaci´ on m´as. Sea A el conjunto soluci´ on de S1 y B el conjunto soluci´on de S2 . Entonces se cumple que B ⊂ A.
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