Resolve Educação - EF2 - 7 ANO by Max Brandão

Volume 3

MATEMÁTICA II

Módulo 14

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO A circunferência e o círculo são figuras geométricas planas que aparecem com frequência na natureza. Assim como as outras formas geométricas possuem seus elementos, a circunferência e o círculo também possuem algumas características especiais.

O QUE É CIRCUNFERÊNCIA? Uma circunferência o um lugar geométrico (LG) dos pontos que possuem uma mesma distância de um ponto fixo central (Centro).

d=r+r d = 2·r Como pode ser visto, o diâmetro é o dobro do raio. Qualquer outro segmento de reta que una dois extremos da circunferência e que não passe pelo centro é chamado de corda. Vamos a um exemplo: Determine o raio de uma circunferência que possui diâmetro igual a 20 cm.

Obs. Lugar Geométrico (LG) é um conjunto de pontos que gozam de uma mesma propriedade.

Como o diâmetro é duas vezes o raio, temos: D= 2.r O ponto no meio da circunferência é o centro. Note que a distância entre todos os pontos em azul até o centro é a mesma.

ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA Em toda circunferência, temos raio, diâmetro e corda. Vejamos agora cada um desses elementos:

20= 2.r r = 20/2 r = 10 cm Em outras palavras, o raio é a metade do diâmetro.

CORDAS Em uma circunferência, a corda é qualquer segmento de reta que liga dois de seus pontos. Atenção: o centro não é ponto da circunferência! Dessa maneira, as cordas, em um círculo, podem ser compreendidas como segmentos de reta que ligam dois pontos distintos de sua borda.

O raio (r) da circunferência é o segmento de reta que une o centro (C) da circunferência à sua extremidade (em azul). O segmento de reta que une as duas extremidades da circunferência e passa pelo centro C é chamado de diâmetro da circunferência e é denotado pela letra d. Observe que o diâmetro é a soma do raio da circunferência, logo: 7º Ano – Ensino Fundamental

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MATEMÁTICA II Como podemos observar na figura acima a corda máxima de uma circunferência é o diâmetro.

PERÍMETRO DA CIRCUNFERÊNCIA O perímetro da circunferência, também chamado de comprimento da circunferência, será representado por C. Imagine realizar um corte em um ponto qualquer da circunferência e “esticá-la” até que seja encontrado um segmento de reta. O que vamos realizar agora é determinar o tamanho desse segmento de reta. O matemático e filósofo grego Arquimedes, em um de seus estudos, percebeu que a razão entre o comprimento da circunferência (C) e o diâmetro (d) sempre resultava em um mesmo número. Essa constante foi chamada de pi, que é denotado pelo símbolo π. Dessa razão entre o comprimento de circunferência e o diâmetro, podemos encontrar uma expressão que possibilita determinar o comprimento da circunferência ou perímetro em função do raio. Veja: π = c/d C= π . d

Módulo 14 O QUE É O CÍRCULO? A definição de círculo é decorrente da definição de circunferência, pois um círculo é a região interna da circunferência. Fazendo um comparativo, temos que a circunferência é a extremidade, e o círculo é toda a região delimitada por essa extremidade. Veja a figura:

Toda a região pintada em azul é denominada círculo.

ELEMENTOS DO CÍRCULO Como o círculo é uma região do plano determinada por uma circunferência, os elementos do círculo coincidem com os elementos da circunferência, isto é, ele também apresenta raio, diâmetro e corda. Veja:

Sabemos que o diâmetro da circunferência é o dobro do raio, ou seja, d = 2r. Substituindo esse valor na expressão acima, teremos que o comprimento da circunferência em função da medida do raio é: C = π · 2r C = 2π r Usualmente, utilizamos o valor de pi como sendo 3,14. Vamos a um exemplo:

ÁREA DO CÍRCULO

Determine o comprimento de uma circunferência de raio 25 cm.

Substituindo o valor do raio na fórmula, temos: C = 2π r C = 2(3,14)(25)

A área do círculo é a medida de toda região delimitada pela circunferência. Considere um círculo de raio r:

A área do círculo é dada por: A = π r2

C = 157 cm

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Módulo 14

Vamos a um exemplo:

Um círculo possui raio igual a 5 cm. Determine sua área.

(D) 18 h.

Resolução:

(E) 20 h.

Substituindo o valor do raio na fórmula, temos: A = π r² A = (3,14) 52 A = 3,14 · 25 A = 78,5 cm² Agora que já aprendemos sobre círculos e circunferência vamos aos exercícios!!

EXERCÍCIO RESOLVIDO Qual é a metade da área do círculo cujo diâmetro mede 45 metros? (π = 3,14).

02. A respeito da definição básica das circunferências e de suas propriedades, assinale a alternativa correta. (A) Uma circunferência é uma região plana limitada por um círculo. (B) Uma circunferência é um conjunto de pontos cuja distância até o centro é sempre menor do que a constante r. (C) Uma circunferência possui apenas dois raios e a soma desses dois elementos é igual ao diâmetro. (D) Uma circunferência de centro O e raio r é um conjunto de

Solução: Se o diâmetro de um círculo mede 45 metros, seu raio mede metade disso. Logo, r = 22,5 m. Para calcular a área desse círculo, basta substituir os valores na fórmula. Observe: A = π·r2 A = 3,14·22,52 A = 3,14·506,25 A = 1589,62 m2

todos os pontos cuja distância até O é igual a r. (E) Círculo é a região do plano limitada por um diâmetro.

03. Uma praça tem formato circular e deseja-se cercá-la para a realização de um evento durante um final de semana. Para tanto, serão gastos R$ 8,50 por metro de material. Sabendo que o diâmetro dessa praça é de 30 metros, qual será o valor gasto com a cerca nesse evento? (A) R$ 1601,40

Agora basta calcular a metade dessa área: A = 1589,62 = 794,81m2 2

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. Um trabalhador gasta 3 horas para limpar um terreno circular de 6 metros de raio. Se o terreno tivesse 12 metros de raio, quanto tempo o trabalhador gastaria para limpar tal terreno? (A) 6 h. (B) 9 h.

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(B) R$ 800,70 (C) R$ 900,00 (D) R$ 1600,00 (E) R$ 94,20

04. Um ciclista deu 30 voltas em uma pista com formato de circunferência. Ao olhar seus equipamentos de medida, ele percebeu que a distância percorrida nessas 30 voltas foi de 90 km. Qual a medida aproximada do raio da pista em que se encontrava? (Considere π = 3,14). (A) 0,48 km.

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Módulo 14 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

(B) 0,58 km. (C) 0,68 km.

01. Uma roda de bicicleta tem diâmetro igual a 80cm. Qual é a distância, em metros, percorrida pela bicicleta, após essa roda dar 50 voltas?

(D) 0,78 km. (E) 0,88 km.

05. Para realizar o teste físico em determinado concurso da PM, os candidatos devem correr ao redor de uma praça circular cujo diâmetro mede 120 m. Uma pessoa que dá 9 voltas ao redor dessa praça percorre: (Dado: π = 3). (A) 1620 m

02.Uma circunferência possui perímetro igual a 628 cm. Determine o raio dessa circunferência e adote π = 3,14.

(B) 3240 m (C) 4860 m (D) 6480 m 03.Duas circunferências são concêntricas se elas possuem o mesmo centro. Sabendo disso, determine a área da figura em branco.

(E) 8100 m

06. Uma praça circular da cidade de Belo Horizonte, MG, tem raio de 50m. Pedro costuma se exercitar andando em torno dessa praça. Quantos metros, aproximadamente, Pedro anda quando dá 3 voltas nessa praça? Use π = 3,14 (A) 880 (B) 900 (C) 922 (D) 942

04. Determine a medida do raio de uma praça circular que possui 9420 m de comprimento (Use π = 3,14.).

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Módulo 15

ÁREAS E VOLUMES Áreas Para o cálculo de áreas você vai perceber que, vamos utilizar o que chamamos de fórmulas. Elas são como um molde no qual, colocando os valores corretos e efetuando as operações, encontramos o que estamos procurando, no caso, o valor da área. Algumas das principais figuras planas e as fórmulas para o cálculo da área:

a . h a=lado do triângulo  2 h= altura

TRAPÉZIO

RETÂNGULO

(B + b) . h 2

B= base maior b=base menor S=a.b

QUADRADO

TRIÂNGULO

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h= altura Como vimos acima às figuras geométricas que possuem apenas três ou quatro lados contam com fórmulas para determinar sua área de maneira prática. Entretanto, para a maioria das figuras geométricas não existe fórmula. Para essas é preciso realizar uma decomposição, isto é, cortar a figura a fim de obter outras que possuam fórmulas de área bem definidas. Depois disso, ao calcular a área de cada figura e somar seus resultados, obtém-se, então, a área da figura inicial. Para calcular a área do pentágono a seguir, por exemplo, basta dividi-lo em duas figuras: o quadrilátero EFGI e o triângulo GIH. Em seguida, deve-se calcular as áreas de ambos separadamente e depois somar os resultados.

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Módulo 15

EXERCÍCIO RESOLVIDO Qual a área da seguinte figura, sabendo que a parte curva é um semicírculo?

Observe que já existe um corte marcando a divisão em partes nessa figura. Como todos os ângulos desse quadrilátero são retos, todos os seus lados opostos são paralelos e congruentes. Assim, concluímos que o quadrilátero é um quadrado com lado igual a 12 cm. O diâmetro do semicírculo é um dos lados do quadrado, por isso, seu raio é a metade do lado, ou seja, r = 6 cm. Agora, basta calcular a área do quadrado e a área do semicírculo e somar as duas para encontrar a área da figura acima.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. Calcule a medida da área do pentágono na figura a seguir, considerando as medidas que foram colocadas nela.

(A) 750 cm2 (B) 1500 cm2 (C) 2250 cm2 (D) 3000 cm2 (E) 9000 cm2

Área do quadrado: A1 = l2 A1 = 122 A1 = 144

cm2

02. Qual é a área da figura a seguir, sabendo que a distância entre o ponto E e a base da figura CD é igual a 10 cm?

Área do semicírculo: um semicírculo é um círculo dividido ao meio. Então, basta dividir a área do círculo (de raio igual a 6 cm) por dois para obter a área desse semicírculo. Área do círculo com raio igual a 6 cm: A = π·r2 A = 3,14·62 A = 3,14·36 Área do semicírculo com raio igual a 6 cm: A2 = 113,04 2 A2 = 56,52 cm2 A área da figura é a soma A1 + A2:

(A) 100 cm2 (B) 187 cm2 (C) 287 cm2 (D) 387 cm2 (E) 487 cm2

144 + 56,52 = 200,52 cm2

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MATEMÁTICA II 03. Qual a área e o perímetro de um campo de futebol, de base 25 m e altura 5 m? (A) A= 100m², P= 50m (B) A= 150 m², P= 60m

Módulo 15 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01.Um trapézio, cuja base maior mede 10 m e base menor é igual à quinta parte desta, tem uma altura que é o dobro do valor da menor base. Calcule a sua área.

04. A tela de um celular é um retângulo de 5,2 m de largura por 8,6 m de comprimento. Calculando a área da tela desse celular, em m² temos:

02.Um campo de futebol tem 100 m de comprimento por 70 m de largura. Qual é a medida da superfície desse campo?

(A) 44,72 m² (B) 52,72 m² (C) 102, 32m² (D) N.D.A

03. Determine a área da figura pintada.

05. Calculando a área de um trapézio, cujo base maior mede 10m e base menor é igual a metade da base maior e a altura é o dobro da base menor, temos: (A) 75 m² (B) 30 m² (C) 150 m² (D) 7,5 m²

06. Num triângulo, a base mede 36 cm e a altura é a metade da base. Calculando sua área, temos:

04.Calcule a área do triângulo abaixo:

(A) 324 cm² (B) 162 cm² (C)648 cm² (D)245 cm²

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Módulo 15 ANOTAÇÕES

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Módulo 16

VOLUMES DE UM PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO O paralelepípedo retângulo é a figura geométrica utilizada em diversos objetos do nosso cotidiano, como caixas, tijolos, caixas de sabão em pó.

Vamos aos exercícios!

EXERCÍCIO RESOLVIDO (SAP SP – VUNESP 2011). Os produtos de uma empresa são embalados em caixas cúbicas, com 20 cm de aresta. Para transporte, essas embalagens são agrupadas, formando um bloco retangular, conforme mostrado na figura. Sabe-se que 60 desses blocos preenchem totalmente o compartimento de carga do veículo utilizado para o seu transporte. Pode-se concluir, então, que o volume máximo, em metros cúbicos, transportado por esse veículo é

Como podemos observar, é um prisma, com faces retangulares que são perpendiculares entre si. Marcamos como a, b e c as dimensões desse paralelepípedo retângulo. a é altura, b é comprimento e c é a largura.

VOLUME DE UM PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO Para calcularmos o volume do paralelepípedo retângulo, basta multiplicarmos a dimensões entre si. V= a . b . c

VOLUME DE UM CUBO

(A) 4,96. (B) 5,76. (C) 7,25. (D) 8,76. Solução: O primeiro passo é calcular o volume de cada caixa. Como as respostas estão apresentadas em metros cúbicos, vamos considerar que cada aresta mede 0,2 m (20 cm). Vc = a³ Vc = 0,2³

O cubo é um paralelepípedo retângulo cujas dimensões são iguais entre si, ou seja, altura = largura = comprimento. Sendo assim, elevamos a medida de sua aresta ao cubo. V= a³ 7º Ano – Ensino Fundamental

Vc = 0,008 m³ Pela figura, percebe-se que um bloco retangular contém 12 caixas. Vamos calcular o volume de cada bloco:

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MATEMÁTICA II Vb = 12 . 0,008 = 0,096 m³ Para finalizar, cabem 60 blocos no caminhão. Calculando o volume total: Vt = 60 . 0,096 = 5,76 m³ Resposta: B

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. Em uma empresa, uma sala foi construída em forma de bloco retangular com as seguintes medidas: 6 metros de comprimento, 5 metros de largura e 3 metros de altura. Qual é o volume ocupado por essa sala?

Módulo 16 04. Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que tem o formato de cubo é igual a: (A) 5 cm. (B) 6 cm. (C) 12 cm. (D) 24 cm

(A) 14 m³. (B) 20 m³.

05. (PM ES – Exatus 2013). Determinado cubo possui volume de 729 cm³. Cada face desse cubo possui área de:

(A) 3 cm².

(D) 90 m³.

(B) 9 cm². 02. Em uma gráfica, há uma pilha de papel no formato A4 com 100c m. O papel A4 tem a forma retangular com 21 cm de largura por 30 cm de comprimento. Assim, o volume ocupado pela pilha de papel é de:

(A) 630 cm3.

06. Questão 4 (SES DF – IADES 2014). Sabe–se que o volume de um cubo de aresta α é dado por α³ . Considerando que a aresta de um cubo seja multiplicada por 2, em quantas vezes seu volume aumentará?

(B) 51 cm3. (C) 151 cm3.

(D) 81 cm².

(A) Duas.

(D) 63.000 cm3

(B) Três. 03. (PM ES – Exatus 2013). Determinado cubo possui volume de 729 cm³. Cada face desse cubo possui área de:

(A) 3 cm². (B) 9 cm². (C) 27 cm². (D) 54 cm².

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Módulo 16 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01.Uma piscina de 9 cm de comprimento por 4 cm de largura

03. Uma caixa de água com capacidade de 1000 l de água.

e 5 cm de profundidade está cheia até 3/5 do seu volume.

Determine a comprimento, largura e altura desta caixa, sabendo que ela tem formato cubico.

Quantos metros cúbicos de água ainda cabem na piscina?

02. Pedrinho construiu um aquário com as seguintes dimensões: 10 x 20 x 30 cm. Encheu de água até a metade do

04. Um cubo mágico possui volume de 1728 cm³, determine a medida de sua aresta

volume, sabendo que ele só pode encher o aquário até 2/3 do volume total. Quantos cm³ ainda podem ser utilizados?

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Módulo 16 ANOTAÇÕES

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Módulo 17

PLANO CARTESIANO Plano cartesiano, também conhecido como sistema cartesiano, é um traçado de retas perpendiculares onde perpassa outra, sendo uma na horizontal e outra na vertical, formando quadrantes de 90°.

OS EIXOS DO PLANO CARTESIANO Uma das principais partes que formam o plano cartesiano são os eixos, que são chamados de abscissas e ordenadas. Servem para ajudar na orientação dos cálculos, principalmente na identificação das direções corretas. Abscissa significa cortada, em latim. É uma coordenada na horizontal. Ela é geralmente denominada como X. A ordenada, que é o contrário da abscissa, é a linha vertical nomeada de Y.

Representação do plano cartesiano. (Foto: Educa Mais Brasil)

Quem teorizou e desenvolveu o plano foi René Descartes. Ele simplificou a álgebra através da geometria euclidiana, fazendo cálculos em um pressuposto plano. Para entender do que se trata o sistema de orientação e cálculos de Descartes é importante aprender sobre as retas e infinidade dos números.

Ilustração dos eixos do plano cartesiano. (Foto: Educa Mais Brasil)

QUADRANTES Os quadrantes são numerados no sentido anti-horário. Começa pelo lado em que as abscissas e ordenadas são coordenadas positivas. Vejamos o exemplo:

PROPRIEDADES Entende-se que uma reta, além de ser o caminho mais curto de um ponto a outro, não possui nem início nem fim (infinita). Como não existe um início ou final, foi-se estabelecido que para criar um norte é necessário um ponto de origem. Esse tal ponto conta sempre como 0, sendo também o eixo e o meio. Cada ponto que a reta segue para cima ou à direita os valores passam a ser positivos. Já os pontos para baixo ou à esquerda os números passam a ser negativos. Contagem dos quadrantes. (Foto: Educa Mais Brasil)

A relação dos quadrantes é dada por: 7º Ano – Ensino Fundamental

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Módulo 17

• Quadrante I: positivo, positivo; • Quadrante II: negativo, positivo; • Quadrante III: negativo, negativo; • Quadrante IV: positivo negativo. Os formatos que as retas perpendiculares desenham assemelham-se com o desenho de uma cruz ou a letra L. Por isso, elas também formam áreas que lembram um quadrado, que na verdade são quadrantes. Cada quadrante deve conter 90° graus, ainda que se recorte apenas um deles para exemplo.

PARES ORDENADOS E LOCALIZAÇÕES NO PLANO Um par ordenado é formado por dois números reais que representam uma coordenada. A ordem escolhida é a seguinte: Primeiro vêm as coordenadas x e, depois, as coordenadas y, que são colocadas entre parênteses para representar uma localização qualquer. Por exemplo, observe a imagem a seguir:

O ponto B é o encontro entre as linhas horizontais desenhadas, como ilustra a imagem acima. Agora que já aprendemos sobre plano cartesiano, vamos aos exercícios!

EXERCÍCIO RESOLVIDO Os pontos ( 2,3), (5,3) e (2,7) são vértices de um triângulo retângulo. Qual é a área desse triângulo? Resolução: Podemos representar esse triângulo como:

Perceba que o ponto A possui coordenadas x = 2 e y = 3. Caso seja dado um ponto para que sua localização seja marcada no plano, como o ponto B = (3, -3), devemos primeiro traçar uma linha vertical sobre o número 3 no eixo das abcissas (coordenadas x). Isso acontece porque a primeira coordenada sempre é a coordenada x. Posteriormente, desenhamos uma linha horizontal sobre o número – 3 no eixo das ordenadas (coordenadas y):

A área do triângulo é dada por: bxh 2 No triângulo dado , AB é a base e vale 3 unidades, AC é a altura e vale 4 unidades. Portanto, podemos calcular a área a partir dessas duas medidas.

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MATEMÁTICA II A= 3x4 = 6 u 2

Módulo 17 Quais as coordenadas de A, B e C, respectivamente, no gráfico? (A) (1,4), (5,6) e (4,2)

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01.Em quais quadrantes estão localizados os pontos:

(B) (4,1), (6,5) e (2,4) (C) (5,6), (1,4) e (4,2) (D) (6,5), (4,1) e (2,4)

(A) (-2, -4) (B) (3, 1) (C) (0, 6) (D) (8, -7) (E) (9, -3)

04. A área do triângulo dado pelos vértices A (2,1) , B( 6,1) e C( 6,4) é: (A) 6 u.a (B) 12 u.a (C)10 u.a (D) 14 u.a

02.Qual par ordenado não está representado no plano cartesiano?

05. A área da figura dada pelos pontos A(1,1), B(3,4), C(8,4) e D(10,1) é: (A)21 u.a

(A) (3, -4)

(B) 30 u.a

(B) (4, -3)

(D) N.D.A

(D) (8, 9) (E) (9, -8)

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. Localize os pares ordenados no plano cartesiano:

03.Observe a figura abaixo:

(A) (-9, 4) (B) (8, 3) (C) (0, -3) (D) (-4, -9) (E) (8, 0)

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MATEMÁTICA II 02. No plano cartesiano abaixo, escreva os pares ordenados de cada ponto:

Módulo 17 04.Considere o sistema de coordenadas representado a seguir:

Indique o par ordenado que representa: 03.Considere os segmentos g e k indicados no seguinte plano cartesiano. Determine as coordenadas de suas extremidades.

(A) O ponto H (B) O ponto O (C) O ponto F (D) O ponto L (E) O ponto E (F) O ponto M

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Módulo 18

SIMETRIAS Para a maioria das pessoas, a idéia de simetria está ligada mais a pensamentos sobre Arte e Natureza do que sobre Matemática. De fato, nossas idéias de beleza estão intimamente relacionadas a princípios de simetria e simetrias são encontradas por toda a parte no mundo que nos rodeia. Simetrias são encontradas, frequentemente, na natureza: olhe para o seu corpo, olhe para as imagens em um espelho, olhe as asas de uma borboleta, as pétalas de uma flor ou uma concha do mar.

Simetrias também podem ser achadas na arte (o desenho do corpo humano mostrado acima, é um trabalho de Leonardo da Vinci), na arquitetura e em objetos da nossa vida comum, como, por exemplo, uma tesoura.

Simetria é por vezes definida como “proporções perfeitas e harmoniosas” ou “uma estrutura que permite que um objeto seja dividido em partes de igual formato e tamanho”. Quando pensamos em simetria, provavelmente, pensamos em algum tipo de combinação de todas ou algumas dessas palavras. Isto porque quer em biologia, arquitetura, arte ou geometria, simetrias refletem, de alguma forma, todas estas características. Embora seja fácil reconhecer e compreender simetrias intuitivamente, é um pouco mais difícil defini-la em termos matemáticos mais precisos. No entanto, no plano, a idéia básica é bastante clara: uma figura no plano é simétrica se podemos dividi-la em partes de alguma maneira, de tal modo que as partes resultantes desta divisão coincidam perfeitamente, quando sobrepostas. Na geometria, um objeto apresenta simetria quando se parece o mesmo depois de uma transformação, como reflexão, rotação ou translação. Chama-se transformação isométrica de uma figura plana aquela em que as suas medidas mão se modificam, ocorrendo apenas sua movimentação no plano. 7º Ano – Ensino Fundamental

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MATEMÁTICA II Vamos analisar simetria em relação a um ponto e a um eixo!

Simetria em relação a um eixo SIMETRIA EM RELAÇÃO AO EIXO DAS ORDENADAS (EIXO Y) Um ponto P(4, 3) no plano cartesiano dista 4 unidades do eixo y, e o seu simétrico também dista 4 unidades do mesmo eixo, nesse caso no sentido negativo. O simétrico de P(4, 3) é o ponto P’(-4, 3). Observe que o simétrico de um ponto em relação ao eixo y é um outro ponto com sinal de x trocado.

Módulo 18 É importante destacar que o segmento PP’ é sempre perpendicular ao eixo de simetria.

SIMETRIA EM RELAÇÃO À ORIGEM DO PLANO CARTESIANO A simetria de uma figura em torno da origem do plano cartesiano é uma outra figura na qual o conjunto de pontos correspondentes tenha a origem como ponto médio dos segmentos formados entre o ponto original e o seu equivalente. De modo geral, o simétrico de um ponto de coordenadas (a,b), em relação a origem, é o ponto (-a, -b). Ou seja, trocando os sinais das coordenadas encontramos o seu simétrico. No exemplo abaixo o retângulo A’B’C’D’ é simétrico, em relação a origem, do retângulo ABCD. Repare que os pontos A(2, 5) e A’(-2, -5), B(6, 5) e B’(-6, -5), C(6, 3) e C’(-6, -3), D(2, 3) e D’(-2, -3) são simétricos em torno de O.

De modo geral, temos que o simétrico de um ponto qualquer (a, b) em relação ao eixo y é o ponto (-a, b).

SIMETRIA EM RELAÇÃO AO EIXO DAS ABSCISSAS (EIXO X) Em relação ao eixo x, o simétrico de P(4, 3) é o ponto P’(4, -3). A distância dos dois pontos ao eixo das abscissas é de 3 unidades.

TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS As transformações geométricas podem ser de três tipos: simetria por translação, simetria por reflexão e simetria por rotação.

Simetria por translação

De modo geral, temos que o simétrico de um ponto qualquer (a, b) em relação ao eixo x é o ponto (a, -b).

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Observando a figura abaixo percebemos que a distancia entre um ponto da figura 1 e um ponto equivalente da figura 2 é sempre a mesma. A figura não sofre nenhum giro e suas dimensões não se modificam. Logo nesse caso as figuras são simétricas por translação.

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Módulo 18 SIMETRIA POR REFLEXÃO EM RELAÇÃO A UM PONTO Reflexão em relação a um ponto – Inicialmente vamos considerar a simetria de um ponto A em relação a um outro ponto O.

Simetria por reflexão Na reflexão a imagem original tem uma imagem equivalente de tal modo que os pontos correspondentes tenham a mesma distância em relação a um eixo ou em relação a um ponto. Disso, tiramos que existem dois tipos de simetria por reflexão. Uma em torno de uma reta e outra em relação a um ponto.

O simétrico do ponto A em relação a um ponto O é construído a partir da reta AO de maneira que AO = OA’. Ou seja, o ponto O é o ponto médio do segmento AA’.

REFLEXÃO EM RELAÇÃO A UMA RETA Na imagem abaixo temos uma figura do Bart Simpson associada a um espelho, podemos imaginar que a figura da direita, que representa o Bart Simpson invertido é o reflexo nesse espelho.

A simetria de uma figura por reflexão, em relação a um ponto, é a simetria do conjunto de pontos da figura dada em relação a esse ponto.

Dizemos, no caso que ocorre uma simetria por reflexão entre as duas figura, em relação a uma reta, que é denominado eixo de simetria. No caso, o segmento que une cada ponto da figura original ao ponto correspondente da figura refletida forma ângulo reto com eixo de simetria, e os dois pontos estão a igual distância desse eixo, ou seja, A= A’

A reflexão do retângulo ABOC acima em torno do ponto O é formada a partir da simetria dos pontos A, B, E e C em torno de O.

Na ilustração a seguir temos outro exemplo de simetria por reflexão:

Perceba que O é o ponto médio dos segmentos BB’, CC’, DD’ e AA’.

7º Ano – Ensino Fundamental

Matemática II

MATEMÁTICA II

Módulo 18

Simetria por rotação

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

Na simetria por rotação a figura gira em torno de um ponto, chamado centro de rotação, no sentido horário ou anti-horário.

01.Qual das figuras abaixo representa a simetria da circunferência em relação ao eixo?

(A) Na figura acima vemos o giro de 120° no sentido horário da letra P em relação ao ponto O.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

(B)

Na malha quadriculada, a figura II foi obtida aplicando uma transformação na figura I, assim como a figura III.

(C)

Qual transformação foi aplicada à figura I para obter: À figura II? Transformação de rotação. À figura III? Transformação de translação

Matemática II

(D)

6º Ano – Ensino Fundamental

MATEMÁTICA II 02.Observe o polígono ABCDE, ele será deslocado para outro quadrante, ou seja, ele sofrerá uma translação. Indique a figura que representa o deslocamento de forma simétrica para um dos quadrantes do plano.

(A)

Módulo 18 03.Observe a calota da roda do automóvel na figura ao lado. Esta calota apresenta simetria de rotação em relação ao seu centro. A medida do ângulo que determina a simetria de rotação desta calota é:

(A) 45º (B) 50º (C) 60º (D) 90º

(B)

04.Observe a figura. Se ela sofrer um giro de 90º no sentido horário sua imagem será:

(B)

7º Ano – Ensino Fundamental

(A)

(B)

(C)

(D)

Matemática II

MATEMÁTICA II 05.A professora Ana pediu para a sua aluna Clara observar a

Módulo 18 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

figura e fazer um desenho mostrando como fica a reflexão da bandeirinha sobre o eixo de simetria r.

01. Faça em seu caderno um desenho que tenha simetria de translação.

02. Faça em seu caderno um desenho que tenha simetria de reflexão.

(A)

(B)

03. Procure em jornais e revistas 3 imagens que tenha simetria e diga qual simetria é referente a cada imagem. ( realize a atividade no caderno) (C)

(D) 04. Use a sua criatividade e elabora uma questão sobre o conteúdo de simetria e peça para um amigo realizar.

Matemática II

6º Ano – Ensino Fundamental