Zlota Proporcja

WALDEMAR GAJEWSKI autor

ZŁOTA PROPORCJA OGNIWO ŁĄCZĄCE PRZYRODĘ, NAUKĘ I SZTUKĘ Próba syntezy Motto: Geometria ma dwa wielkie skarby: jednym jest Twierdzenie Pitagorasa, drugim – podział odcinka w stosunku średnim i skrajnym. Pierwszy można przyrównać do miary złota, drugi możemy nazwać drogocennym klejnotem.

Johannes Kepler (1571-1630)

Specjalizacja różnych dyscyplin naukowych, nieustanne zwiększanie zasobów informacji w każdej z nich bez okresowego przeglądu wiedzy sprawiają, że zbieżne, dopełniające się ważne fakty naukowe umykają uwadze większości badaczy.

W różnych dziedzinach nauk analizuje się coraz to nowe odkrycia, zapominając o tym, że nauce potrzeba interdycyplinarnego oddechu, filozoficznego uogólnienia, które pozwoliłoby jej pójść do przodu. Zwrócił na to uwagę Jan Grzędzielski1. Prezentowany przez nas temat złotej proporcji2 jest okazją do takiej syntezy, bowiem materiał zebrany przez różnych badaczy znacznie wykracza poza ramy estetyki, z którą zazwyczaj złota proporcja jest kojarzona.

Postaramy się wykazać, że złota proporcja niesie nie tylko zewnętrzny efekt piękna, lecz ma głęboki sens fizyczny. Przedstawimy to, czego w podręcznikach jeszcze nie ma, a jest dostępne w literaturze przedmiotu – tj. energetyczną, optymalizacyjną, samoregulacyjną i harmonizującą rolę złotej proporcji w biologii, chemii, architekturze, astronomii, informatyce, sztuce filmowej, a także m.in. jej obecność i funkcję w komunikacie językowym na przykładzie wybranego utworu poetyckiego.

Wszechobecny rytm, harmonia i liczba Pojęciem fundamentalnym, odnoszącym się do całej naszej rzeczywistości i zarazem wspólnym dla wszystkiego co odbieramy organami zmysłów jest rytm3 . Wiadomo nam, że bez 1

2

3

Por. Grzędzielski J., Energetyczno-geometryczny kod przyrody, wyd. Warszawskie Centrum Studenckiego Ruchu Naukowego, Warszawa, 1986, str.8.

Znanej też jako „boska proporcja” (łac.„divina proportio”),„boski podział” (łac.„sectio divina”), „złote cięcie” (łac.„sectio aurea”), „złota liczba”; w j. rosyjskim znana jako: „zołotaja proporcyja”, „zołotoje sieczienije”, „zołotoje dielienije”, „zołotaja simmetrija”, „zołotoje czisło” ; w j. niemieckim: goldener Schnitt, goldene Teilung, goldene Proportion, goldene Zahl; w j. ang.: the golden ratio, the golden section, the divine proportion, the golden number.

Wg Słownika Języka Polskiego (Wyd PWN, Warszawa 1979) pod red. prof. M. Szymczaka rytm ( z j. greckiego rhytmós) to 1. „powtarzanie się czegoś w jednakowych odstępach czasu. Ustalona kolejność czegoś”.

Przykłady: r. miarowy, jednostajny, przyśpieszony, powolny; r. dobowy, r. kroków, r. kół, r. pracy, r. bicia serca, r. kwitnienia drzew owocowych; r. biologiczny - „okresowe natężenie procesów biologicznych u zwierząt i roślin, uzależnione od czynników związanych z porami roku. 2. archit.”regularne rozmieszczenie, powtarzanie się pewnych

właściwego rytmu pracy człowiek nie osiągnie zamierzonych efektów, naruszenie rytmu okołodobowego organizmu oznacza niewydolność, a zaburzenia rytmu serca są oznaką choroby i mogą być niebezpieczne dla życia. Każda żywa komórka, każdy organizm stanowi swoisty zegar biologiczny, dostrojony do otoczenia i rytmów astronomicznych, które można przestroić, ale nigdy na trwałe zmienić. Znajomość owego zegara, badana przez chronobiologię ma ogromne znaczenie w medycynie4. Właściwy, optymalny rytm, przejawia się w harmonii5, czyli pewnym porządku, obejmującym jakiś system, możliwym do zapisania za pomocą odpowiedniego systemu symboli, np. liczb6.

Zaburzenia rytmu mowy, np. nadmierne tempo wypowiadanych słów lub monotonia, powoduje, iż adresat komunikatu językowego może odbierać informację niepełną, zafałszowaną lub percepcja komunikatu męczy odbiorcę. Przykładem odmiennym, pozytywnym - jest chociażby sztuka krasomówcza, negatywnym – jednostajny, mało urozmaicony wykład. Ma to kapitalne zastosowanie w literaturze pięknej oraz w sztuce przekładu: to co potocznie nazywamy atrakcyjnością przekazu - to nic innego jak umiejętność utrzymania napięcia dramaturgicznego w utworze w ogólności, a ekspresji w poezji („wewnętrznego ognia”) w szczególności. Ta zasada znajduje również w pełni zastosowanie w metodyce nauczania języków obcych, czy w sztuce przekładu.

Mędrcy starożytności tacy jak Platon, Pitagoras – czytamy u Arystotelesa - utrzymywali, że wszystko co istnieje jest liczbą i podlega zasadom harmonii. W szczególności mikrokosmos (człowiek) jest odwzorowaniem makrokosmosu, czyli Wszechświata, stanowiącego doskonałą całość i jedność7 . Najważniejszą rolę odgrywały w nim harmonijne proporcje jako formuła piękna, którego antynomią, przeciwieństwem jest dysharmonia i brzydota. Pitagorejczycy w geometrii odkryli najważniejsze twierdzenia elementarne: o sumie kątów w trójkącie (suma kątów w trójkącie = 180°) oraz twierdzenie nazwane Twierdzeniem Pitagorasa (w trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych równa jest kwadratowi przeciwprostokątnej).

Pitagorejczycy dokonali też ważnego odkrycia, że oto p r z y c z y n ą d ź w i ę k u j e s t r u c h, a następnie, że dźwięki muzyczne wykazują matematyczną prawidłowość. Harmonijnie dźwięczące interwale odpowiadają najprostszym stosunkom liczbowym – połowa struny daje oktawę, a 2/3 kwintę tonu zasadniczego. W akordzie C, G, c długość strun (1, 2/3, 1/2) tworzy specjalną proporcję, którą nazwali „harmonijną” (1:1/2) = (1- 2/3) : (2/3 – ½). Zjawisko harmonii zostało wyjaśnione: h a r m o n i a j e s t s t o s u n k i e m l i c z b o w y m i powstaje dzięki proporcjom opartym na liczbie8.

Zdaniem rosyjskiego filozofa A.F. Łosiewa, który skomentował jedno z rosyjskich wydań dzieł Platona następująco: „cała jego kosmiczna proporcjonalność oparta jest na zasadzie złotego podziału lub harmonicznego podziału9, zapożyczonego od Pitagorejczyków”.

elementów budowlanych” 3. Lit. „równomierne powtarzanie się elementów dźwiękowych i składniowych, np. regularny rozkład sylab, akcentów, rymów, podobieństw w budowie zdań”. 4. muz.”element regulujący czas trwania dźwięków i wyznaczający ich następstwo w czasie”, np.: Mieć poczucie rytmu. Tańczyć w rytmie walca”.

4 Cymborowski B., Zegary biologiczne, PWN, Warszawa 1984, str.274-282; patrz także: DzierżykrayRogalski T., Rytmy i antyrytmy biologiczne w życiu człowieka, Wiedza Powszechna, Warszawa 1980.

5 Harmonia – z j. greckiego harmonia = zgodność dźwięków, kształtów. Dokładniej, w 1 znaczeniu: zgodność, wzajemne dopełnianie się elementów, właściwości, zjawisk itp., składających się na daną całość; w architekturze i sztukach plastycznych – zgodne i współmierne połączenie elementów twórczości artystycznej.

6 Liczba (podaję za cyt. Słownikiem...) to: „podstawowe pojęcie matematyczne, którego treścią jest wynik liczenia, wyrażany najczęściej za pomocą znaków zwanych cyframi”. Rozróżniamy np. liczby: naturalne, pierwsze, parzyste, nieparzyste, wymierne, niewymierne, całkowite itp. W tym wypadku liczbę rozumieć też będziemy jako zapis relacji pomiędzy porównywanymi wielkościami (przyp.aut.).

7 Patrz: Tatarkiewicz W., Historia filozofii, Wyd. Czytelnik, Warszawa, 1946, t. I, str. 63; por. np. Wasiutinskij N.A., Zołotaja proporcyja, Izdat.. Mołodaja gwardija, Moskwa,1990, str.4-5.

8 Podaję za: Tatarkiewicz W., tamże, str. 62.

9 Cyt. za: Soroko E.M., Strukturnaja garmonija sistiem” Mińsk, Nauka i Technika, str..39, wg:,Płaton.

Soczinienija: w 3-ch t., Moskwa, 1975.

P o j ę c i e „ z ł o t e j p r o p o r c j i ”, określonej podówczas jako „złote cięcie”,wprowadził słynny Klaudiusz Ptolemeusz (ok.90-ok.160 r. n.e.) 10, autor Almahestu i twórca geocentrycznego układu świata, który, jak wiemy, został obalony przez kopernikański układ heliocentryczny. Ptolemeusz określił tym terminem liczbę 0,618..., gdy przekonał się, że sylwetkę człowieka o prawidłowej budowie i wzroście można podzielić w takim właśnie stosunku. Według innych źródeł określenie to, mające najwyższą rangę estetyczną wprowadził kilkanaście wieków później, w epoce włoskiego Odrodzenia Leonardo da Vinci, genialny malarz, wszechstronny uczony i wynalazca. To on po mistrzowsku zastosował złoty podział w swych dziełach, sięgając do wzorców starożytności i m.in. nauki anatomii. A kiedy włoski matematyk, tłumacz Elementów Euklidesa, Fra Luca Pacioli (lub: Paccioli) napisał dzieło „De divina proportione” („O boskiej proporcji”), Leonardo zilustrował je własnymi rysunkami11 Definiuje on złoty podział jako taki nierówny podział czegoś, np. odcinka, przy którym całość tak się ma do części większej, jak większa do mniejszej. I na odwrót: część mniejsza tak się ma do większej, jak większa do całości. (Rys.1). Klaudiusz Ptolemeusz nazwał „złotym cięciem” liczbę wyrażającą nieskończony ułamek 0,618... W literaturze za jednostkę podstawową, za „złotą liczbę”, uznaje się także wielkość równą 1,618..., którą umownie oznaczono grecką literą Φ. (od imienia słynnego rzeźbiarza starożytnej Grecji Fidiasza).

Tak więc Φ = 1,618... I jedna i druga liczba są tzw. inwariantami złotej proporcji.

Rys.1

A B C |_______________|__________| Zapiszemy to tak: AC : AB = AB : BC , lub BC : AB = AB : AC

Możemy w ten sposób dzielić w nieskończoność kolejne, coraz mniejsze odcinki, wówczas wyrażająca je liczba będzie coraz bliższa granicy złotego podziału, ale nigdy go nie osiąga.

Zatrzymamy się chwilę nad inną konstrukcją geometryczną złotego podziału, która zadziwia swoją prostotą i pięknem.

Zbudujmy np. najprostszy trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne mają się jak 1:2 . W trójkącie tym długość mniejszej przyprostokątnej jest równa 1, a większej – 2. Zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa długość przeciwprostokątnej jest w nim równa √5. Trójkąt ten był doskonale znany w starożytności, bowiem w wielu budowlach z tego okresu przeważają proporcje równe stosunkowi przyprostokątnych i przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o bokach pozostających w stosunku 1:2:√5. Liczba √5 mogła zapoczątkować odkrycie liczb niewymiernych lub irracjonalnych.

Boki danego trójkąta pozostają do siebie w prostych proporcjach i są zrozumiałe dla każdego, znającego podstawy geometrii: a/b = 1:2 c/a = √5/1 c/b = √5/2.

Jednak z powyższych wielkości wynika jeszcze jeden stosunek: (c+a)/ b = (√5+1)/2, równy 1,6180339...

I to jest właśnie złota liczba, znana jako liczba Φ. Jej odwrotnością jest 1/Φ=0,618...

Złota liczba to jedyna liczba w zbiorze liczb, którą podnosimy do kwadratu dodając 1, i z której wyciągamy pierwiastek kwadratowy odejmując 1. Podnoszona do kolejnych potęg – daje szereg inwariantów złotej proporcji, np. 0,1, Φ, Φ², Ф³...

Istnieje wiele efektownych sposobów konstruowania złotego podziału za pomocą linijki i cyrkla, lecz wykracza to poza rozmiary niniejszego artykułu.

10 11

Wasiutinskij N.A., tamże, str. 5. (Konstrukcja złotego podziału Ptolemeusza – patrz: Tabl.I, rys.2 D).

Pacioli wyraża w tym dziele swój zachwyt nad zadziwiającymi geometrycznymi własnościami złotego podziału, niestety nie dostrzega w nim żadnej własności fizycznej.

Najsłynniejszymi figurami geometrycznymi zawierającymi największą liczbę złotych podziałów jest pięcioramienna gwiazda pitagorejska oraz pentagram – tajemny znak różokrzyżowców i masonów.12 W figurach tych wszystkie przekątne dzielą się nawzajem w stosunku złotym. Złota proporcja jest odtwarzana bez przerwy w tzw. spirali logarytmicznej, zbudowanej z rosnących w określonym rytmie boków kwadratów. Spirala taka odtwarza najwolniej rosnący ciąg, tzw. ciąg Fibonacciego i najwolniejszy, najbardziej ergonomiczny ruch w przyrodzie.13 Tymczasem w większości publikacji, zwłaszcza w podręcznikach estetyki, autorzy eksponują jedynie to, że złoty podział jest przyjemny dla oka, czyli dostarcza pozytywnych wrażeń estetycznych. Nikt z tych autorów nie wnika w wewnętrzną istotę tego podziału (określanego także jako „harmoniczny”), polegającą na optymalizacyjnej funkcji złotej proporcji.

Złota proporcja w przyrodzie Najlepszą ilustracją złotej proporcji i rosnącej „złotej spirali” jest tzw. ciąg Fibonacciego.

Leonardo z Pizy, znany pod przydomkiem Fibonacci („syn dobrej natury”), autor wydanego w 1202 r. dzieła „Liber abaci” [„Księga o abakusie” tj. liczydle], włoski matematyk i przyrodnik, znany z tego, że upowszechnił w praktyce liczenia 9 cyfr arabskich i zero, postanowił opisać matematycznie regułę rozmnażania się królików. Obdarzony dociekliwym umysłem wszędzie szukał prawidłowości liczbowych, w myśl znanego powiedzenia Plutarcha, iż „Bóg zawsze uprawia geometrię”. Fibonacci założył, że w zadaniu o królikach żyją one nieskończenie długo i każdego miesiąca para zwierząt rodzi nową parę, ta zaś staje się produktywna gdy ma 2 miesiące.

W 1 miesiącu eksperyment rozpoczyna się od nowo narodzonej pary królików, w drugim miesiącu jest jeszcze tylko ta jedna para. W trzecim są już 2 pary, w czwartym 3, w piątym 5, i tak dalej.

Powstały ciąg liczbowy: 1,1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377...., nosi nazwę ciągu Fibonacciego i zbudowany został na zasadzie rekurencyjnej, tzw. każde jego wyrażenie jest sumą dwóch poprzednich. Dzieląc kolejne wyrażenia ciągu przez wyrażenia poprzedzające je, zbliżamy się coraz bardziej go granicy ciągu, którą jest złota liczba 1,618..., ale nigdy granicy tej nie osiągamy. Dzieląc w podobny sposób kolejne dowolne wyrażenia ciągu przez wyrażenia następujące po nich, zbliżamy się także nieskończenie do granicy ciągu, którym jest 0,618..., czyli tzw. inwariant „złotej proporcji”, będący odwrotnością liczby 1,618...14 Najlepszym przykładem korzystania przez przyrodę ze złotej proporcji jest ciąg Fibonacciego uwidoczniony w rozkładzie liści na gałązkach drzew, zwanym przez botaników filotaksją (z łac. Phyllotaxis).15 Na niektórych drzewach, np. na wiązie lub lipie amerykańskiej, liście rozmieszczone są na przemian na dwóch przeciwległych bokach gałązki, w takim przypadku mówimy o ½ filotaksji. Na innych, np. na buku czy leszczynie, przejście od jednego liścia do drugiego odbywa się ruchem śrubowym, zawierającym obrót o jedną trzecią kąta pełnego, mówimy wówczas o ⅓ filotaksji. Podobnie, liczby te dla dębu i moreli są równe 2/5, dla topoli i gruszy 3/8, dla wierzby i migdału 5/13 itd. Jak widzimy ułamki te są ilorazami ciągu Fibonacciego.

Innym przykładem zjawiska filotaksji jest rozmieszczenie ziaren na tarczy słonecznika lub łusek na szyszce jodły w postaci spiralnych lub śrubowych zwojów.

Zwoje te są szczególnie dobrze widoczne na owocu ananasa, którego bardziej lub mniej sześciokątne klatki układają się w rzędy o różnych kierunkach: 5 równoległych rzędów 12

Patrz: TABL.I, rys.2E).

Patrz: TABL.II, ryc. 1 i pozostałe.

Przykład podany za: Coxeter H.S.M., Wstęp do geometrii dawnej i nowej, PWN, Warszawa, 1967, str.183-

13 14

184.

15

Patrz: TABL.I, rys. 3A).

podnoszących się łagodnie na prawo, 8 rzędów podnoszących się nieco bardziej stromo na lewo i 13 rzędów podnoszących się bardzo stromo w prawo.

Duże liczby Fibonacciego jak f10 =55, f11 =89, f12= 144, pojawiają się jako liczby wyraźnie widocznych spiral niektórych odmian słonecznika. Reasumując – zjawisko filotaksji nie jest prawem uniwersalnym w przyrodzie, a jedynie w sposób fascynujący przeważającą tendencją16.

Autor tego stwierdzenia nie wnika w przyczyny wyboru przez przyrodę takiego a nie innego układu liści na gałązkach, interesuje go czysta matematyka.

Nas jednak – jak zaznaczyliśmy na wstępie interesują nie same liczby, lecz odpowiedź na zasadnicze pytanie: co kryje się za liczbami i dlaczego ciąg Fibonacciego jest ciągiem uprzywilejowanym? Czy tylko dla jego walorów estetycznych, czy też za pięknem formy kryje się coś o wiele bardziej istotnego? Prof. M. S. Radiuk z Instytutu Fotobiologii Akademii Nauk Białorusi w artykule pt. „Co kryje się za złotym podziałem?” także stawia to pytanie.

Naukowiec przygotował tzw. homogenat (roztwór) składający się z zielonych liści jęczmienia i zwykłej wody. W roztworze były elementy chloroplastów i innych elementów żywych komórek. Homogenat został przygotowany w bardzo prosty sposób: drobno pokrojone liście jęczmienia zostały roztarte w moździerzu wraz z wodą, następnie przefiltrowane przez gęstą tkaninę. Po 12 godzinach lub później zaczynała się denaturacja i osadzanie się komponentów homogenatu. Gwałtownie spadało Ph otoczenia, prawdopodobnie z powodu uwolnienia jonów H+ przez membrany chloroplastów, których było w mieszaninie najwięcej. Najdziwniejsze było to, że w jednakowych warunkach (temperatura, oświetlenie, objętość roztworu, dostęp powietrza, kształt naczynia), denaturacja roztworu przebiegała w różny sposób. I tak np. w w jednym z jednakowych naczyń denaturacja już się zakończyła, podczas gdy w innym jeszcze się nie zaczęła. Przez około 2 lata naukowiec nie mógł zrozumieć dlaczego tak się dzieje.

Wreszcie zagadka została wyjaśniona. Okazało się, że wśród 11 naczyń ustawionych w jednej linii prędkość denaturacji była największa w naczyniu, dzielącym rząd naczyń w stosunku 1,4-1,7. Niestety, rozmiary naczyń wykluczały dokładny pomiar, dlatego eksperymentator użył wydłużonego naczynia (kuwety). Wynik doświadczenia został potwierdzony.

Najciekawsze było to, że w homogenacie utworzyły się jakby wzgórki, dzielące kuwetę w złotej proporcji, albo też wzgórki dzieliły odległości, podporządkowane tej regule. Gdy naukowiec rozstawił naczynia z homogenatem na obwodzie koła, w jednych naczyniach denaturacja była większa, niż w innych. Naczynia te ustawiono na wierzchołkach pięciokąta foremnego (podstawa pentagramu Pitagorejczyków), znanego ze złotych proporcji ( to jedyny wielokąt o proporcji przekątnej do boku, równym 1,618..., ponadto każda z przekątnych podzielona jest przez dwie inne przekątne także w stosunku złotym. 17Wychodzi na to – konkluduje naukowiec że pewne szczególne punkty geometryczne, odpowiadające złotej proporcji, posiadają pewne specyficzne właściwości18. I nie ma to żadnego związku z tzw. mistyką liczb, lecz z konkretnymi reakcjami fizycznymi. W późniejszych badaniach M.S. Radiuk stwierdził, że aparat fotosyntezy wyższych roślin – a ściślej membrany chloroplastów zbudowane są zgodnie z zasadą złotej proporcji. Okazało się, że grana chloroplastów układały się według ciągu Fibonacciego.19 Wymienione przykłady pokazują, że złota proporcja pojawia się nie tylko w formie zewnętrznej roślin, ale w ich wnętrzu. Czy wobec tego kryterium piękna nie jest w swej istocie czynnikiem kształtującym formę organelli komórkowych i warunkującym ich wszystkie funkcje biologiczne? Wszystko wskazuje, że tak.

16 17 18

19

Tamże, str.187-190.

Patrz; TABL.I, rys.1 E).

Radiuk M.S., Czto stoit za zołotym sieczenijem?, [w:] Chimija i żizń, nauczno-populiarnyj żurnał Akademii Nauk SSSR, Nr 7, 1988, str. 66-67.

Tenże, [art w jęz. białorus.:] Fibanaczyjewaja madel' razwiccia fotasintetycznaga aparatu [w:] Wiesci Akademii Nawuk DSSR, Serija bijałagicznych nawuk, Nr 1, Minsk „Nawuka i Technika”, 1990, str. 37-41, por. także. Zołotaja proporcyja w strukture chloroplastow wysszych rastienij [w:] Izwiestija AN SSSR, Serija biołog., 1987, № 5, str. 774-777.

Złota proporcja i człowiek Przyjrzyjmy się budowie ciała człowieka. U proporcjonalnie zbudowanego mężczyzny długość odcinka ręki od nadgarstka do końca palców dłoni tak się ma do odcinka od nadgarstka do łokcia, jak ten ostatni odcinek do całości – czyli od łokcia do końca palców dłoni. W ten sam sposób można podzielić każdy palec dłoni, oprócz kciuka. Złoty podział dzieli proporcjonalnie człowieka w w pasie, tak samo ręce opuszczone w dół i wyprostowane wzdłuż nóg (środkowy palec dłoni) również wyznaczają linię złotego podziału. Każdy z uzyskanych tym sposobem segmentów ciała stanowi mniejszy lub większy inwariant złotej liczby. 20 Czy złota proporcja jest obecna wewnątrz ludzkiego ciała, a jeżeli tak, jaki ma ona wpływ na funkcje organizmu? Na pytanie to udzielają odpowiedzi rosyjscy badacze w książce Złota proporcja i człowiek21. Złota proporcja jest zasadą kształtującą nie tylko układ kostno-szkieletowy człowieka, a więc jego wygląd, ale też wszelkie cechy fizjologiczne, związane z prawidłowym funkcjonowaniem organizmu żywego.

20 21 22 23 24

l

Ustalono np., że wiele wskaźników i funkcji krwi podporządkowane jest regule złotego podziału. Podstawowe komórki krwi (erytrocyty, leukocyty i trombocyty) układają się w organizmie zdrowego człowieka w proporcji 62:32:6, co odpowiada złotej proporcji.

l

Zaraz po urodzeniu krwinki białe noworodka w procesie przystosowywania się do zmieniających się warunków zewnętrznych, zaczynają modyfikować swe składniki stabilizując poziom ilościowy w odstępach czasu według ciągu Fibonacciego. Już w czwartym dniu życia struktura krwinek białych dochodzi do normy, zgodnie ze stanem harmonii zdrowego człowieka. Wskaźnik stabilności systemu krwi w tym okresie wynosi przeważnie H=0,617=1/d22, co jest bardzo bliskim odpowiednikiem złotej proporcji.

l

Ciekawe, że procesie rozwoju dziecka w określonych okresach życia struktury białych krwinek wchodzą w stany stabilności. W tych momentach życia w organizmie zachodzą „rewolucje fizjologiczne”, okresy te charakteryzują silne zmiany hormonalne i funkcjonalne gruczołów dokrewnych. Np. w wieku 2-3 lat wykształcają się zęby mleczne, w wieku 5-8 lat następuje ich wymiana, organizm „zdejmuje hamulce” z gruczołów płciowych, w wieku 13 lat zachodzi gwałtowna zmiana składu hemoglobiny i liczby erytrocytów we krwi itd. Na uwagę zasługuje fakt, iż węzły tej skali chronometrycznej organizmu odpowiadają liczbom Fibonacciego, natomiast wskaźniki stabilności struktury krwinek białych, przystosowane do owych pików „rewolucji fizjologicznych”, równe są odwrotności złotej p-proporcji.

l

Podział ludzi według grupy krwi również układa się w liczby ciągu Fibonacciego: AB – 8%, B – 21%, 0 – 35,5 %.23

l

Jak ustalił polski badacz Jan Grzędzielski kąt skoku spirali DNA organizmu człowieka wynosi 36º, zaś cosinus 36º = √5+1/4=0,809... (połowa złotej liczby). Teoria Grzędzielskiego hipotetycznie wyjaśnia mechanizm podziału komórki żywej w oparciu o geometrię tzw. Owalu Cassiniego jako figury równowagi termodynamicznej oraz Lemniskaty Bernoulliego jako jego fazy przed podziałem24. Jak dotychczas cytobiologia nie podała przekonywającego mechanizmu podziału komórki, pomimo iż jest on podstawą procesów życiowych, istnieją na ten temat różne hipotezy.

l

Liczne badania fizjologów wykazały, że w mózgu człowieku powstają fale elektrycznej aktywności, których częstotliwość określa stan organizmu. Ustalono, że istnieje 5 swoistych stanów w dojrzałym mózgu zdrowego człowieka, którym odpowiada oddzielny zakres Patrz: TABL.I, rys.3 E),F),G).

Korobko W.I., Primak G.N., Zołotaja proporcyja i cziełowiek”, Stawropol, Kawkazskaja Bibliotieka, Tamże, str.84. Por. także. Soroko E.M., Strukturnaja garmonija sistiem, Mińsk, Nauka i Technika, str.39.

Korobko W.I., Primak G.N., op. cit.. str. 85-6.

Grzędzielski J., op.cit.., str. 86-87, 91-92.

częstotliwości. Amplitudy i częstotliwości fal elektrycznych mózgu ulegają nieprzerwanym zmianom. Uczony rosyjski A. Sokołow wykazał, że w jednym z głównym biorytmów mózgu – rytmie β, właściwym tylko dla człowieka, obdarzonego zdolnością myślenia, maksimum aktywności mózgu odpowiada częstotliwości ok.22 Hz i można go uzyskać w drodze złotego podziału ogólnego spektrum rytmu β. Okazało się, że granice każdego z rytmów: 1) przedstawiają liczby ciągu Fibonacciego (1, 3, 8, 13, 34,55) 2) główną falę rytmu β uzyskano 2 metodami - poprzez podział zakresu rytmu beta przez złotą liczbę 13+ (34-13)/2,618...=21,02= ok. 21Hz oraz przez podział całego spektrum biorytmów mózgu przez złotą liczbę 55/2,618... = 21Hz 3) częstotliwość właściwa każdemu rytmowi otrzymywana jest także w drodze odpowiedniego zakresu przez złota liczbę.

podziału

A. Sokołow pisze: „Mózg stanowi logiczny, zdolny do samodzielnego nastrajania się logiczny system, który formułuje cele i wytycza drogi ich osiągania, optymalizując strukturę połączeń sieci neuronów... W każdym systemie sterowania można wyróżnić najbardziej ogólne zasady działania. Ich liczba zwykle jest niewielka. Mózg nie jest wyjątkiem...25.” Sokołow proponuje istnienie aż 4 inwariantów dla pięciu stanów aktywności elektrycznej mózgu. W.I. Korobko oraz G.N. Primak uznają natomiast, że to zbyt wiele i są zdania, że mózg korzysta wyłącznie z inwariantu złotej proporcji, ponieważ jest on najprostszy. l

Ci sami autorzy zauważają, że maksymalny wskaźnik ciśnienia tętniczego różni się w stosunku do ciśnienia diastolicznego (skurczowego) zdrowego człowieka w stanie spoczynku j 1,618 raza, ponieważ: 140x1,618=226,5 mm słupa rtęci.

Podobne prawidłowości zaobserwowano pomiędzy rytmem oddechu człowieka i częstotliwością skurczu serca, okresem maksimum i minimum dobowej aktywności człowieka.26

25 26 27

l

Okazało się, że znajomość własności ciągu Fibonacciego może być przydatna w medycynie. I tak np. K.S. Simonian wykorzystał złoty podział w diagnostyce niektórych chorób o ostrym przebiegu, z powikłaniami na skutek zapalenia otrzewnej, i podczas ich leczenia. Ustalono, że stosunek objętości cyrkulującej krwi do objętości plazmy ma się tak jak 5:3, zaś stosunek objętości plazmy do globulin jest w stosunku 3:2 (liczby Fibonacciego). Na podstawie stopnia przesunięcia w lewo od podanego wyżej stosunku można ocenić stopień zaawansowania zapalenia otrzewnej27

l

Dokonaliśmy krótkiego przeglądu funkcjonalnego występowania „złotej proporcji” w ludzkim organizmie, ale lista ta jest fragmentaryczna. Warto dodać, że ciąg Fibonacciego, znamionujący obecność złotej liczby występuje w rozgałęzieniach kanalików oskrzelowych, że charakteryzuje rytm pracy serca, dobowe wahania temperatury ciała, a także odgrywa istotna rolę w optymalizacji ludzkiego wzroku, zwłaszcza jego dostosowania do fali świetlnej, kontrastu, natężenia światła. To samo dotyczy ciśnienia krwi i dobowych rytmów zdolności człowieka do pracy (np. optymalne ciśnienie krwi to 130/80, czyli stosunek liczb 13/8, tj. liczb ciągu Fibonacciego). W chwili obecnej takich prawidłowości odkrywa się coraz to więcej.

Korobko W.I, Primak G.N., op.cit., str.70-72.

Tamże, str.74.

Tamże, str.85.

l

Przykłady działania złotej proporcji w w rytmach fizjologicznych funkcjach organizmu człowieka dobrze ilustrują wzajemne powiązania procesów i zjawisk świata fizycznego i biologicznego z ogólnym prawem proporcjonalności w przyrodzie. Dotyczy ono nie tylko fizjologii człowieka, lecz wszystkich zwierząt, żyjących na planecie Ziemia. Otwierają się nowe perspektywy leczenia chorób, bowiem ustalono, że większość ludzkich schorzeń powstaje na skutek naruszenia rytmów fizjologicznych niektórych organów. Stan tzw. homeostazy, stabilności organizmu i harmonii z otoczeniem zapewnia zdrowie i prawidłowe funkcjonowanie. Po przeanalizowaniu wybranych przykładów złotej proporcji dochodzimy do wniosku, że zewnętrzne oblicze tego zjawiska w obiektach przyrodniczych, postrzegane przez zmysły jako przejaw harmonii, piękna, stanowi jedynie „kamuflaż” dla jego prawdziwej istoty. Albowiem tym co kryje się za złotym podziałem jest funkcjonalność i optymalizacja, piękno jest jakby wtórnym efektem harmonii, jaka towarzyszy tej jedynej w swoim rodzaju proporcji. Przyroda i żyjący w niej człowiek zawdzięczają złotej proporcji zdolność do samoregulacji i replikacji form, ponieważ, jak to ilustruje tzw. złota spirala w procesie rozwoju odtwarzany jest ten sam kąt (powielanie tej samej geometrii i proporcji kształtów). Przykładem – muszla Nautilusa i wielu ślimaków, spiralny rozwój roślin, spirala (helisa) DNA i RNA żywej komórki, spiralny (śrubowy) ruch planet i gwiazd, spiralna forma galaktyk itd.28 Przykładów „złotego cięcia” jest tak wiele, że nie starczyłoby tu miejsca na ich wyliczenie. Trzeba jednak zwrócić uwagę na to, iż proporcja złota bywa nazywana przez niektórych autorów „złota symetrią”, ponieważ właśnie od symetrii się wywodzi29 . Nie jest to absolutna symetria, ponieważ ta wywołuje całkowity bezruch, statykę, martwotę. Nie jest to również asymetria w pełnym znaczeniu słowa.30 Najtrafniejszym określeniem jest tzw. naruszona symetria, której przejawem jest dynamika dzieła rzeźbiarza, malarza, lecz nie tylko. Przykłady dzieł malarskich to klasyczne zastosowanie złotego podziału, dlatego nie będziemy tego działu omawiać. Informacje dostępne są w każdym podręczniku rysunku i kompozycji. Wypada jednak podkreślić, że znajomość teorii proporcji złotej była i jest aktualna do dziś, począwszy od starożytności poprzez epokę Odrodzenia, o czym wspomnieliśmy przy okazji wyjątkowej roli L. da Vinci.

A oto przykłady praktycznego zastosowania złotego podziału w niektórych dziedzinach nauki.

l

Złoty podział w architekturze Złota proporcja w architekturze kojarzy się zazwyczaj z architekturą antyczną starożytnej Grecji i Rzymu jako najdawniejszymi przykładami zastosowania harmonijnych proporcji ludzkiego ciała w otoczeniu człowieka.

W tym miejscu trzeba koniecznie koniecznie zaznaczyć, że złoty podział występuje o wiele wcześniej w starożytnym Egipcie, a konkretnie w budowlach takich jak piramidy. I tak np. stosunek wysokości Wielkiej Piramidy w Gizie do połowy długości jej podstawy daje nam liczbę Φ=1,618... wyrażająca złoty podział. Doc. dr Wiesław Koziński, autor pracy „Organizacja procesu inwestycyjnego Piramidy Cheopsa” 31 jako pierwszy wyraził pogląd, że złoty podział nie został zastosowany ze względów estetycznych, lecz z uwagi na optymalne parametry wytrzymałościowe bloków kamiennych na złamanie pod własnym ciężarem. Ten pogląd podzielają inni autorzy32 28 29 30

31

32

Patrz: TABL.II, ryc.1,2,3,5,8.

Kowaliow F.W., Zołotoje sieczienije w żiwopisi, Kijew, Wyszcza szkoła, 1989.

Symetrię można zdefiniować najprościej jako tożsamość przeciwieństw. Patrz: Szewielew I.Sz., Marutajew M.A., Szmielew I.P., Zołotoje sieczienije. Tri wzgliada na prirodu garmonii., Strojizdat, Moskwa 1990, str.174. Por. także: Weyl H. Symetria, PWN, Warszawa, 1960, str.11-16.

Koziński W., Organizacja procesu inwestycyjnego Piramidy Cheopsa”, Prace Instytutu Organizacji i Mechanizacji Budownictwa, Warszawa 1969.

Grzędzielski J., op.cit., Warszawa, 1985.

Jako jeden z pierwszych, wypowiedział myśl o antropometrii architektury antycznej rzymski architekt Witruwiusz. W jego dziele „O architekturze”, zawierającym 10 ksiąg, szczególną uwagę poświęcił on proporcjom ludzkiego ciała, które człowiek przenosi na domy i inne dzieła architektury. Witruwiusz uważał, że bez symetrii i właściwych proporcji budowa świątyni pozbawiona jest harmonijnych proporcji ludzkiego ciała. I tak np. długość antycznej stopy =0,3087m była jedną z podstawowych miar antycznych. Wzrost człowieka równy był 6 stopom i równał się 1 orgii (1,8522 m). Właśnie wybór części ludzkiego ciała jako standardowych modułów, spowodował wykucie pierwszych ogniw historycznego łańcucha, który wiąże postacie Witruwiusza, A. Dürera, L. da Vinci, nieskończenie wielu artystów malarzy i architektów na czele ze współczesnym architektem francuskim Le Corbusierem33 l

Klasycznymi przykładami zastosowania złotego podziału zgodnego z budową ciała mężczyzny jest grecka kolumna w stylu doryckim.34 Podczas budowy świątyni na cześć Diany Grecy wyszukali także proporcje harmonijnie zbudowanej kobiety.

Nowy styl zyskał nazwę jońskiego, zaś kolumny wznoszone w tym stylu przypominały zgrabną kobietę. Zasługą Le Corbusiera jest m.in. stworzenie tzw. Modulora – uniwersalnego wzorca, pozwalającego przekształcać dowolny obiekt architektoniczny z zachowaniem zasad harmonii i złotego podziału. Niestety, złoty podział, tak często spotykany w budowlach starożytnych rzadko bywa świadomie stosowany we współczesnej architekturze. Jednakże wszystkie arcydzieła architektury starożytnej i współczesnej zawierają ten sam kod złotej proporcji, którego podstawą jest złoty podział, kwadrat i jego podwojenie (zasada podwójnego kwadratu).35

l

Złoty podział w astronomii

Złoty podział jako niezwykły fenomen przyrody wkroczył do nauki za sprawą Johannesa Keplera, który na podstawie dzieła Kopernika i danych Tychona de Brahe wyprowadził słynne 3 prawa ruchu planetarnego, nazwane Prawami Keplera36 Odkrywca pisze, że dzięki „Twierdzeniu Pitagorasa i „złotej proporcji” doszedł do końcowego efektu – ustalenia harmonijnych relacji między planetami. Uwieńczeniem jego pracy było ustalenie eliptycznych orbit planetarnych. Prawa Keplera są aktualne do dziś37.

Od starożytności Kepler przejął pojęcie „muzyki sfer”, które u współczesnego odbiorcy jest traktowane tylko jako przenośnia. Astronomowie do dziś nie ustalili przyczyn takiej a nie innej konfiguracji planet układu słonecznego. Pewną empiryczną regułę stworzyli niemieccy astronomowie w 1766 r., zwaną od ich nazwisk prawem TitiusaBodego, ale nie 38 przybliża nas ona do wyjaśnienia zagadki .

Badania rosyjskich naukowców K. Dąbrowskiego (1956) i K.P. Butusowa (1978) pozwoliły ustalić, że stosunek okresów obiegów planet wokół Słońca równe jest albo Φ , albo Φ². Częstotliwości obiegów planet i ich różnice tworzą spektrum, podporządkowane złotej proporcji. Wygląda na to, że potwierdziły się intuicyjne spostrzeżenia Pitagorejczyków. Tym bardziej, że uczony białoruski E. Soroko dostrzegł liczby Fibonacciego także w okresach obiegu planet wokół Słońca. W przeliczeniu na ziemskie doby, układają się one w następujący ciąg liczbowy: 88; 224,7; 365,3; 687,1; 4332,4; 10761,7; 30688,8;; 60164,9; 90923,2. Zdaniem E. Soroko, liczby te stanowią ciąg Fibonacciego U11 = 89; 33 34 35 36 37

38

Pidou D., Gieomietrija i iskusstwo. Moskwa, 1979.

Patrz: TABL.I, rys.1.

Korobko W.I., Primak, G.N., op.cit., str.122.

Kepler.J., Tajemnica kosmosu , wyd. Ediciones Altaya, Warszawa 2003, str.126-132.

Gwoli ścisłości należy zaznaczyć, że z uwagi na precesję swych osi, planety poruszają się w przestrzeni międzyplanetarnej po otwartych liniach śrubowych (przyp. mój - W.G.).

Przypomnijmy, regułę stworzyli: Daniel Titius, a uściślił ją Johann Ehlert Bode, stąd r. Titiusa-Bodego: a=0,4 +0,3x2ⁿ - gdzie a – średnia odległość planety od Słońca, n= 0,1,2,3,4... (patrz: Wasiutinskij N., op.cit. str.133.

U 13=233; U14 =377; U15= 610; U19 = 4181;U21 = 10946; U26 =121393.

U23 = 28657; U25

= 75025;

Od czasów Keplera aż do XIX wieku „boska proporcja” została zapomniana, przypomniał o niej dopiero niemiecki badacz Adolf Zeising39 Autor ten jako jeden z pierwszych dostrzegł uniwersalność i wyjątkowy charakter złotej proporcji, lecz współcześni mu autorzy z połowy XIX w. uznali jego poglądy za zbyt pretensjonalne i nie do przyjęcia. Okazało się, że wiele zjawisk fizycznych przebiega tak, jak zakładał Zeising. Potwierdzili to w swojej pracy m.in. rosyjscy badacze I.Sz.Szewieliew, M.A. Marutajew i I.P. Szmieliew40.

Pierwszy i ostatni z wymienionych autorów to inżynierowie i architekci badający proporcje pomiędzy tworami przyrody a człowiekiem i dziełami sztuki architektonicznej, drugi z autorów to znany kompozytor i badacz harmonii w przyrodzie. Wszyscy stworzyli unikatowe dzieło wiążące poprzez złotą proporcję najważniejsze nauki ścisłe: matematykę, fizykę, astronomię, chemię, biologię, fizjologię, antropodynamikę, muzykologię itd. Jednocześnie wskazali oni na ścisły związek złotej liczby z aktywnością twórczą człowieka: muzyką, malarstwem, rzeźbą i innymi dziedzinami sztuki.

Z uwagi na brak miejsca w niniejszym artykule, nie możemy wymienić wszystkich przykładów złotej proporcji zawartych w tej wyjątkowej książce. Ograniczymy się do stwierdzenia, iż Autorzy ci za pomocą języka matematyki udowodnili zgodność budowy Układu Okresowego pierwiastków chemicznych D. Mendelejewa z zasadami harmonii muzycznej i złotej proporcji, obecność złotego podziału w utworach wielu kompozytorów, w budowie i zasadach funkcjonowania roślin, zwierząt i całych ekosystemów, jako wskaźnika równowagi biologicznej, co więcej, ich zdaniem złota proporcja decyduje o równowadze termodynamicznej w całym świecie fizycznym. l

Złota proporcja w poezji i w utworach muzyki klasycznej

Rosyjski badacz, prekursor badań poezji i teorii wiersza, B. Tomaszewski uważał, iż rytm mowy wiązanej to prawidłowość brzmienia w danym czasie41 . ” W poezji, tak samo jak w muzyce ruch rytmiczny rozwija się w określonym czasie. Rytm muzyczny i rytm mowy wiązanej są tej samej natury. Dźwięk jest niezbędny zarówno w muzyce jak i w mowie, ruch rytmiczny rozkłada się w czasie, dlatego rytmy te powinny podlegać wspólnym prawidłowościom. W celach oceny rytmu wiersza lub rytmu muzycznego konieczne jest wyodrębnienie jednostki rytmu, czyli należy podzielić utwór poetycki lub muzyczny na okresy możliwe do odmierzenia w czasie. W wierszach rolę jednostki rytmu pełni wers (linijka). Wers jest okresem, którego powtarzalność stwarza rytm wiersza. Wers stanowi element wyodrębnienia, gdyż jest ograniczony pauzami i odznacza się innymi cechami, a także czasem, w którym jest wypowiadany.”42 Odrębnymi elementami rytmicznymi w poezji, znanymi od czasów starożytnych są stopy rytmiczne, takie jak np. jamb, trochej, amfibrach, anapest itd., mające, jak wiadomo sylaby akcentowane i nieakcentowane.

Teoretykom literatury doskonale znana jest tzw. średniówka, występująca np. w klasycznym sylabotonicznym wierszu polskim. Średniówka dzieli kolejne wersy utworu wierszowanego na dwie n i e r ó w n e części i pełni niezwykle ważną funkcję stabilizującą strukturę wiersza. Badacze zapewne nie zwrócili na to uwagi, lecz pozycja i estetyczna rola średniówki w wierszu to nic innego jak nieświadome naruszenie symetrii w wersie, zmierzające ku z ł o t e j p r o p o r c j i. Jak wiadomo średniówka to rodzaj pauzy, rytmicznego przerywnika. Podział wersu nigdy nie może być równy, w przeciwnym razie struktura wiersza ulegnie nieuchronnie rozpadowi. W podanym niżej 39 40

41 42

Zeising A., Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers, Leipzig, 1854.

Szewieliew I.Sz., M.A. Marutajew, I.P.Szmieliew, Zołotoje sieczienije. Tri wzgliada na prirodu garmonii.

Moskwa, Strojizdat, 1990.

Kałaczewa S.W., Stichi i ritm, Moskwa, 1979.

Tamże, str.128-129.

fragmencie utworu średniówkę zaznaczono linią pionową: „Litwo! Ojczyzno moja! | ty jesteś jak zdrowie; Ile cię trzeba cenić, |ten tylko się dowie, Kto cię stracił. Dziś piękność | twą w całej ozdobie Widzę i opisuję, | bo tęsknię po tobie...”

(A.Mickiewicz, Pan Tadeusz, Księga I)

Proporcja złota jako przejaw harmonijnej budowy utworu poetyckiego bardzo często pojawia się w prozie i poezji największego poety rosyjskiego A. Puszkina. W prozie – stanowi ona zazwyczaj punkt kulminacyjny tekstu, moment najwyższego napięcia skorelowanego następnie z jego rozładowaniem. W poezji złoty podział występuje jako podświadomy chwyt techniczny, dający efekt artystyczny i zarazem kompozycyjny, decydujący o spoistości utworu. Tak ma się rzecz w przypadku słynnego poematu A.Puszkina Eugeniusz Oniegin. Zwróćmy uwagę, iż symetria tzw. strofy onieginowskiej, składającej się z 14 wersów jest jakby „złamana” w wersach 7 i 8 (rymy męskie, sąsiadujące), natomiast wersy 13 i 14 (znów rymy męskie, sąsiadujące) stanowią przeważnie pointę każdej oddzielnej strofy. W wersie 5 (liczba ciągu Fibonacciego) obserwujemy zmianę obrazu lub tematu wypowiedzi. Zauważamy, że liczby 5, 8 i 13 to również liczby ciągu Fibonacciego, sygnalizującego obecność złotej proporcji.

Warto także zaznaczyć, że w wersach 7-8 także następuje zazwyczaj zmiana obrazu lub przedmiotu opisu świata przedstawionego lub też uzupełnienie go autorskim komentarzem.

Zachowanie funkcji tych szczególnych elementów strofy jest szczególnie ważne w sztuce przekładu, gdyż decyduje o jego dynamice. Punkty złotego podziału zaznaczyliśmy linią przerywaną, umieszczając z lewej strony oryginał, a z prawej - tłumaczenie: [...]

1. „Служив отлично-благородно,

„Służąc szlachetnie, doskonale,

2.

Долгами жил его отец,

Ojczulek jego żył na kredyt,

3.

Давал три бала ежегодно

Wyprawiał rocznie po trzy bale

4.

И промотался наконец.

I spłukał się nie wiedzieć kiedy.

5.

Судьба Евгения хранила, -----------------

Eugeniusza los ocalił -

6.

Сперва Madame за ним ходила,

Sumiennie o to się starali

7.

Потом Monsieur его сменил.

Madame, a gdy opadła z sił -

8.

Ребенок был резов, но мил.

-------------

Monsieur – i urwis grzeczny był.

9. Monsieur L'Abbe, француз убогий,

Monsieur L'Abbe, ubogi Francuz,

10. Чтоб не измучилось дитя,

Zdjął z ucznia trudy i kłopoty,

11. Учил его всему шутя, 12. Не докучал моралью строгой,

Lekcje obracał w anegdoty Nie ucząc srogich konwenansów -

13. Слегка за шалости бранил -------------------Pogroził palcem mu i wnet 14. Летний сад гулять водил.”

43

Przekład: Waldemar Gajewski

Zwiedzić z nim Letni Ogród szedł .”43

(A. Puszkin, Eugeniusz Oniegin, Rozdział I, strofa III, ) Przykładów złotego podziału w literaturze jest mnóstwo, lecz w zasadzie w każdym przypadku jest to efekt artystycznego instynktu autora, który tworząc dramaturgię utworu, rozmieszcza punkty kulminacyjne, skojarzone z maksymalnym i minimalnym napięciem odbiorcy.

W poezji i prozie Puszkina takich miejsc jest szczególnie dużo. Podobnie ma się rzecz w utworach słynnych kompozytorów.

Znany rosyjski kompozytor i analityk złotej proporcji L. Sabaniejew przeprowadził skrupulatne badania ok. 2 tysięcy utworów muzyki klasycznej różnych autorów. Każdy utwór muzyczny, podobnie jak utwór poetycki ma własna przestrzeń czasową i można w nim wyróżnić określone części, które zwracają na siebie uwagę i ułatwiają odbiór całości kompozycji. Mogą to być końcowe fragmenty struktury formalnej utworu, granice kompozycji w postaci fraz końcowych i początkowych, punkty dynamiki i intonacyjne punkty kulminacyjne, nastrojowe itp. Wszelkie tego rodzaju sytuacje twórcza intuicja autora znajdują odniesienie do takich punktów na przestrzeni całości, że dzielą one odcinki czasowe na poszczególne części, pozostające w relacji „złotego podziału”.

Jest to tym bardziej zastanawiające, że zarówno poeci jak i osoby komponujące utwory muzyczne nie mają teoretycznej wiedzy w omawianej dziedzinie, zaś wyniki ich prac są efektem wyłącznie wewnętrznego poczucia harmonii...”44 Przykłady: Najwięcej przypadków złotej proporcji (w %) L. Sabaniejew ujawnił u następujących kompozytorów: Beethoven, Bach, Borodin, Chopin, Haydn, Mozart, Skriabin, Tartini, Arenski. Najwięcej odkrytych przypadków złotego podziału w stosunku do przebadanej ilości utworów badacz odnalazł u następujących kompozytorów: Bach - na 100 utworów - 206 przypadków złotej proporcji; Beethoven – odpowiednio

120 i 194;

Haydn

''

100 i 140;

Liszt

''

100 i 110;

Mendelsohn

''

100 i 174;

Mozart

''

100 i 146;

Czajkowski

''

100 i 152;

Skriabin

''

50 i 76

Prokofjew

''

20 i 32;

Sabaniejew

''

30 i 67;

Chopin

''

100 i 410;

Schuman

''

100 i 121;

Schubert

''

100 i 206

Z powyższego zestawienia wynika, że najwięcej przypadków złotej proporcji odkrył L. Sabaniejew w utworach F. Chopina. Warto podkreślić, iż L. Sabaniejew poddał szczegółowej analizie etiudy F. Chopina. Okazało się, że wszystkie one z dużą precyzją spełniają 44

Korobko W.I., Primak G.N., op.cit. str.128.

zasadę złotego podziału i są potwierdzeniem geniuszu naszego wielkiego kompozytora.

Złoty podział w sztuce filmowej Większość arcydzieł sztuki filmowej jest owocem twórczej intuicji i zawodowego kunsztu ich reżyserów. Większość widzów nie zastanawia się nad mechanizmami powstawania dzieła, ważne, by porywało ono swoim niepowtarzalnym obrazem i wymową, by trafiało do serca odbiorcy poprzez trzy główne atrybuty: prawdę, dobro i piękno i zaspokajało estetyczne zapotrzebowanie odbiorcy. Jedynym bodaj reżyserem, który świadomie oparł budowę dzieła filmowego na złotym podziale był rosyjski reżyser Sergiusz Eisenstein. Wzorując się na tragedii antycznej stworzył on arcydzieło sztuki filmowej „Pancernik Potiomkin”.

Struktura i forma filmu opiera się ściśle na złotym podziale. Film wygląda jak kronika wydarzeń, a oddziałuje jak dramat. Za najbardziej prawidłową (kanoniczną) formę dramatu uznaje się dramat złożony z pięciu aktów. W klasycznej tragedii punkt kulminacyjny następuje tuż przed trzecim aktem. Pomiędzy aktem drugim i trzecim przebiega z reguły zasadnicza cezura tragedii (liczby 2 i 3 – to liczby ciągu Fibonacciego).

W filmie „Pancernik Potiomkin” punkt zatrzymania akcji (całkowitego bezruchu) przypada na koniec drugiego aktu w scenie śmierci marynarza Wakulinczuka. A w analogicznej proporcji rozmieszczone zostały cezury w odrębnych częściach filmu.

Zasada złotego podziału zachowana została również dla punktu stanowiącego apogeum filmu, czyli momentu wciągnięcia na maszt pancernika czerwonej flagi pod koniec trzeciej części filmu.

W celu nadania większej wyrazistości głównym wydarzeniom w filmie S. Eisenstein wykorzystał zasadę złotego podziału także podczas kształtowania kadru. I tak np. w apogeum filmu, w chwili najwyższego wzlotu czerwonej flagi, znajduje się ona nie w przypadkowym punkcie kadru, lecz w punkcie zbudowanym według zasad złotego podziału, analogicznie do kompozycji słynnego obrazu W. Surikowa „Bojarynia Morozowa”.45 l

Zastosowanie kodów złotej proporcji w informatyce

Uczony z Ukrainy, prof. Aleksiej Stachow zastosował kody liczbowe złotej proporcji w zaprojektowanych przez siebie i zbudowanych na Politechnice w Winnicy komputerach, wyróżniających się większą niezawodnością niż tradycyjne komputery oparte na kodach zerojedynkowych. Komputery takie, w razie wystąpienia błędu na jednej ścieżce, wykorzystują ścieżkę zapasową, tak jak czyni to w procesie budowy organizmów żywych przyroda. I, rzecz jasna, ma to związek nie tyle z estetycznymi walorami złotego podziału, ile z niezawodnością kodów istniejących w przyrodzie.

Prof. A. Stachow dokonał swoistego przełomu w nauce wykazując uniwersalny charakter zastosowań złotego podziału: w matematyce, naukach przyrodniczych, informatyce, skupiając wokół siebie międzynarodowe grono uczonych, badających zastosowania złotej proporcji. Jako pierwszy uczony zwołał w 1992 r. w Kijowie Międzynarodowe Seminarium „Złota proporcja i problemy harmonii systemów”. Uczestniczył w nim m.in. polski badacz fenomenu złotej proporcji Jan Grzędzielski i autor niniejszego artykułu, reprezentujący Polskę, przedstawiciele Białorusi, Rosji, Ukrainy, Węgier i innych krajów. Po tym seminarium przyszły następne (1993, 1996, 1998, 2003, 2006). Prof. Stachow wprowadził jako pierwszy do obiegu takie pojęcia jak „matematyka harmonii” „komputery Fibonacciego”, „złota technologia informatyczna”, stworzył pierwsze na świecie Wirtualne Muzeum Harmonii, w którym zgromadzono dostępne prace poświęcone złotej proporcji i jej zadziwiającym właściwościom46. Uczony odbył staże naukowe i wygłaszał wykłady 45 46

Patrz: TABL.III, ryc.1.

Patrz: strona w internecie: www.goldenmuseum.com

na uczelniach w Austrii, Mozambiku, Kanadzie. Plonem jego 40-letnich badań jest wydana w Kanadzie w języku angielskim licząca 700 stron praca „The Mathematics Harmony. From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science”.47 Prof. A.Stachow jest członkiem Akademii Nauk Technicznych Ukrainy, profesorem matematyki w kilku uczelniach w Winnicy, specjalistą w zakresie teorii pomiarów, kodowania i kryptografii, arytmetyki komputerowej, podstaw i historii matematyki oraz liczb Fibonacciego i złotego podziału.

Po d s u mo w a n i e Na podstawie analizy przykładów złotej proporcji dochodzimy do ważnej konkluzji: złota proporcja nie jest wynalazkiem człowieka, lecz zakodowaną proporcją Przyrody , którą człowiek ma w genach i powtarza w dziełach swoich rąk świadomie (np. w kompozycji dzieł sztuki) bądź nieświadomie, kiedy kieruje się intuicyjnie zasadami estetyki, czy tzw. dobrego smaku. Kanon piękna w przyrodzie idzie często w parze z zasadą stabilności konstrukcji dzieła i ergonomii: mamy tu na myśli minimum użytego materiału i maksimum wytrzymałości. Dlatego nie przypadkiem z wzorców przyrody chętnie korzysta bionika architektoniczna.48 Ale nie tylko o dzieła architektury czy malarstwa tu chodzi: np. dobre dzieło literackie czy filmowe to taki utwór, gdzie punkty kulminacyjne ustawione w odpowiednich proporcjach decydują o jego wymowie i sile wyrazu.

Badacze złotej proporcji zazwyczaj kojarzą początki jej zastosowań ze starożytną Grecją i Rzymem, kręgiem Pitagorejczyków, Witruwiuszem oraz antyczną architekturą i rzeźbą. W tym miejscu trzeba wyraźnie podkreślić, że złoty podział i jego zastosowanie w życiu codziennym sięga wprost początku istnienia człowieka na Ziemi i ginie w pomroce dziejów. Co więcej, złota proporcja stanowi prawdopodobnie klucz do uformowania się planet naszego Układu Słonecznego (pozostają one względem siebie w stosunku złotego podziału). Jednymi z najstarszych artefaktów, czyli wytworów działalności człowieka z zakodowaną złotą proporcją, jest kalendarz wyrzeźbiony w kości mamuta w epoce górnego paleolitu, czyli przed ok. 20-25 tys. lat, odkryty w XX w. na Syberii. Ciekawe, że pasek złotej proporcji dzieli w stosunku złotym i rzeźbę jako taką, i wycięte na niej spirale cykli kalendarzowych, złożone z mikroskopijnych nacięć z zadziwiającą precyzją.49 W świetle przedstawionych faktów złota proporcja jawi się nam jako efekt tzw. naruszonej symetrii, której skutkiem jest wniesienie elementu ruchu, dynamiki, a więc istoty samego życia.

Narządy zmysłów postrzegają to zjawisko jako harmonię i piękno. Dotyczy to praktycznie całej sfery naszej rzeczywistości. Znaczenie owej „złotej dynamiki” możemy sobie w pełni uświadomić, wprowadzając np. do rysunku symetrię absolutną, którą odbieramy poprzez zmysły jako bezruch, jednakowy kształt lub barwa określonych przedmiotów, brył czy figur. Najwyraźniej mamy do czynienia ze zjawiskiem rezonansu zachodzącym między obiektem a mózgiem człowieka, gdzie dokonuje się selekcja informacji.

Z doświadczenia wiemy, że Przyroda nie toleruje dominacji jednego gatunku roślin czy zwierząt, jako zakłócenia stanu pewnej dynamicznej równowagi. Przykładem choćby jednorodne lasy szpilkowe, które są niszczone przez szkodniki, monokultury rolne prowadzące do wyjaławiania gleb i klęski nieurodzaju. Lekarstwem na te choroby cywilizacji jest różnorodność form roślinnych istniejąca w przyrodzie od zarania: lasy mieszane i tzw. płodozmian stosowany w uprawach rolnych. Zwierzęta żyją w ekosystemie w swej różnorodności i symbiozie, nie sposób wyobrazić sobie jednego, najdoskonalszego gatunku bez bogactwa pozostałych. Truizmem wydaje się stwierdzenie, że człowiek jest wewnątrz przyrody i nie uniknie kary, naruszając pewien układ jej sił.

W świetle tego, co powiedzieliśmy, nie dziwi nas klęska ustrojów totalitarnych, budowanych 47 48

49

Wydanie książki zaplanowano na rok 2009 w wydawnictwie kanadyjskim Word Scientific.

Patrz np. Architekturrnaja bionika. Mietod architekturnoj bioniki, woprosy modielirowanija. Pod red.

Ju.S.Lebiediewa, Strojizdat, Moskwa, 1990.

Chodzi tu o falliczną rzeźbę, zawierającą zakodowany kalendarz. Odkrył ją w 1972 r. w trakcie wykopalisk pod m. Aczyńsk w Zach. Syberii rosyjski archeolog, prof. Witalij Łariczew. Patrz: TABL.II, ryc. 4. Por. także informacje tego autora o innych tego rodzaju kalendarzach, zawarte w jego pracach (patrz: Bibliografia).

na rzekomo idealnych wzorach. Ludzie stworzyli je zapominając o zasadzie różnorodności z jakiej korzysta przyroda i na długo zdławili indywidualną aktywność twórczą każdego człowieka.

Ekonomiści nazwali to złamaniem praw ekonomii, tymczasem w istocie złamano podstawową zasadę przyrody - zasadę różnorodności, dążącą do harmonii układu społecznego i stabilności jego struktury.

Dlaczego Przyroda nie znosi jednakowych form organizmów żywych? Z tych właśnie powodów. Wydaje się, że wielość form sprzyja zachowaniu względnej stabilności i równowagi ekologicznej. Nasuwa się analogia bogactwa świata organicznego do bogactwa języków naturalnych, używanych przez człowieka na Ziemi. Przyroda, podobnie jak ludzkie języki, posługuje się swoim własnym kodem, opartym na liczbie 3 jako najbardziej stabilnej. Wystarczy porównać trójkowe kody DNA żywej komórki, troistą budowę atomu (proton, elektron, neutron), trzy rasy ludzkie - białą, czarną i żółtą, 3 wielkie grupy języków na Ziemi, 3 grupy języków słowiańskich, 3 kategorie rodzaju rzeczowników, trójkowe systemy kalendarzowe (np. przez trzy dni jednej fazy Księżyca jego tarcza nie ulega zmianom), 3 jako minimalna liczba atomów tworząca cząsteczkę wody, podstawę życia itd. Najlepszym potwierdzeniem uniwersalności złotej proporcji są liczby Fibonacciego w związkach chemicznych i układzie okresowym pierwiastków oraz podobne relacje pomiędzy dźwiękami skali muzycznej i planetami układu słonecznego.

Rodzi się pytanie: jeżeli złoty podział jest zjawiskiem tak uniwersalnym jak to pokazaliśmy na wybranych przykładach, to w jakiej mierze podlega mu język, jako środek komunikowania się ludzi?

Jeżeli przyjąć, że procesy jakim podlegają języki, leżą u podstaw zjawiska życia i ruchu, to ponieważ wytworzył je żywy człowiek, podlegają one także zasadzie minimalnego działania. Tę zasadę realizuje w przyrodzie złota proporcja poprzez ciąg najwolniejszego ruchu – ciąg Fibonacciego. Ona pozwala na replikację form żywej przyrody, podziały komórek, warunkując ciągłość życia. Ona także, dążąc do względnej równowagi, pozwala na nieustanną oscylację pomiędzy ruchem i bezruchem, symetrią i asymetrią, powodując nieustannie przechodzenie od jednego stanu do drugiego, realizując zasadę ruchu wahadła.

Zdarzenia tworzące obraz rzeczywistości zawsze cechuje pewien kierunek ruchu, pewien cel, do którego wszystko zmierza, nieuchronnie związany z rytmem i czasem. Różne rodzaje pisma mają własny kierunek zapisu i odczytu, informacja jest ściśle uporządkowana. Różne grupy języków mogą mieć także różne kierunki ewoluowania, wskazujące na pewną prawidłowość. Każde zjawisko ma swój symetryczny odpowiednik, czyli przeciwieństwo i do niego zmierza. Wszystko rozgrywa się pomiędzy „tak” i „nie”, przybiera różne odcienie tych przeciwieństw i polega nie tyle na „walce przeciwieństw” ile raczej na przejściu z jednej fazy ruchu w drugą. Symetria odgrywa fundamentalną rolę w nauce, zawdzięczamy jej wiele odkryć np. w fizyce cząstek elementarnych czy w astronomii.

Z kolei symetria poglądów jako pojęcie filozoficzne (tendencja do zachowania status quo) może przejawiać się jako opór niektórych sfer naukowych wobec nowych poglądów i odkryć, w istocie naruszających stabilny układ przyjętych wcześniej „nienaruszalnych prawd”. Przykłady walki starego i nowego w nauce są tak liczne, że tworzą one de facto jej historię.

Mamy prawo podejrzewać, że w dążeniu człowieka do odkrywania zjawisk nowych oraz odrzucania tego co stare, mamy znów do czynienia z preferowaną przez przyrodę dynamiką złotego podziału lub prościej – z naruszeniem symetrii, tyle że dokonywanym przez człowieka nieświadomie. W istocie bowiem postęp nauki można sprowadzić (upraszczając problem) – do zmiany faz ruchu pewnych zasobów informacji i ponownego uporządkowania wiedzy w system bardziej optymalny, wzbogacony o nowe dane.

Złota proporcja zakodowana w ciągach Fibonacciego może mieć zastosowanie nie tylko w badaniach porównawczych systemów języków naturalnych, np. w celu ujawnienia ich optymalnych cech. Można np. uporządkować języki naturalne według liczby fonemów i ocenić stopień

optymalizacji funkcjonalnej ich alfabetów50, można podjąć poszukiwania prajęzyka w oparciu o ciągi Fibonacciego w różnych językach, za punkt wyjścia przyjmując badania porównawcze pewnych dystynktywnych cech języków naturalnych oraz uniwersaliów językowych. Aby jednak było to możliwe, językoznawcy byliby zmuszeni opanować aparat badawczy, oparty na złotej proporcji, uświadomić sobie jej pozaestetyczny sens. Obecnie krąg badaczy fascynującego zjawiska, jakim jawi się złota liczba, pomimo rozwoju środków masowego przekazu, w tym internetu, jest zbyt mały, a ich wpływ nazbyt znikomy, by przedstawiciele odmiennych dyscyplin naukowych zaczęli kojarzyć wspólne optymalizacyjne parametry obiektów ich badań, by zrozumieli ogromne możliwości nowej metodologii naukowej, opartej na fenomenie złotego podziału.

Wydaje się, że poprzez dążenie do optymalizacji energetycznej w różnych sferach życia można rozwiązać problem głodu w skali globalnej, zmian klimatycznych i ekologii, a poprzez ergonomię działań w zakresie rozwoju gospodarczego zaspokoić materialne potrzeby człowieka i ograniczyć wojny jako efekt konfliktów na tle ekonomicznym.51 Takie możliwości wskazuje człowiekowi filozofia przyrody i jej dążenie do harmonii, znajdujące swój wyraz w złotej proporcji.

Bibliografia 1. Architiekturnaja bionika. Mietod architiekturnoj bioniki, woprosy modielirowania, Pod red. Ju.S. Lebiediewa, Strojizdat, Moskwa, 1990.

2. Cymborowski M., Zegary biologiczne, PWN, Warszawa, 1984.

3. Coхeter, H.S.M., Wstęp do geometrii dawnej i nowej, tłumaczył Ryszard Krasnodębski, PWN, Warszawa, 1967.

4. Dzierżykray-Rogalski T., Rytmy i antyrytmy biologiczne w życiu człowieka, Wiedza Powszechna, Warszawa, 1980.

5. Grzędzielski J., Energetyczno-geometryczny kod przyrody, Warszawskie Centrum Studenckiego Ruchu Naukowego, Warszawa, 1986.

6. Ghyka Matila C., Złota liczba. Rytuały i rytmy pitagorejskie w rozwoju cywilizacji zachodniej. Przełożył Ireneusz Kania. Towarzystwo Autorów i Wydawców Prac Naukowych Universitas, Karków, 2001.

7. Kepler J., Tajemnica kosmosu, przekład: Mirosława Skrzypczak, Elżbieta ZakrzewskaGębka, Wydawnictwo Altaya, Warszawa, 2003.

8. Korobko W.I., Primak G.N., Zołotaja proporcyja i cziełowiek, Kawkazskaja Bibliotieka, Stawropol, 1992.

50

Uczynili to już cytowani wyżej badacze z Ukrainy. Wśród najbardziej optymalnych pod względem harmonii alfabetów znalazły się m.in. współczesne alfabety, zawierające od 28 do 45 znaków: duński, hiszpański, szwedzki, turecki (29) czeski (31), perski i polski (32), rosyjski, gruziński, birmański (33), indyjskie (41+43), ormiański (39), koreański (40), węgierski (44). Za punkt wyjścia obrano liczbę 1 (brak alfabetu) oraz najdłuższy alfabet świata -alfabet khmerski (kambodżański), liczący 72 znaki. Interwał 28-45 znaków alfabetu obliczono w prosty sposób: 1+(72-1): 1,618...~45 liter; 1+(72-1):2,618...~28 liter. Ciekawe są wywody uczonych, którzy stwierdzają m.in.

iż bardzo krótkie alfabety powodują przeciążenie słów jako nośnika informacji, a średnia długość słów jest stosunkowo duża i łatwo ulega rozbiciu nawet przy małych zakłóceniach., dlatego też nie jest wykorzystywana cała informacja zawarta w komunikacie językowym. Odmiennie rzecz ma się w przypadku długich alfabetów, kiedy powstaje olbrzymi słownik, znaczna część którego stanowi zbędny balast, nie wykorzystywany w praktyce komunikowania się ludzi. Wychodząc z powyższych założeń badacze dokonali obliczeń alfabetu najbardziej optymalnego. Patrz: Korobko W.I, Primak G.N., op.cit., str.157.

51 Takie możliwości zarysowują się dzięki zastosowaniu złotej proporcji w ekonomii, patrz: badania E.M. Soroko w cyt. wyżej książce „Strukturnaja garmonija sistiem”, Nauka i Tiechnika, Minsk 1984.

9. Kowaliew, F.W., Zołotoje sieczienije w żiwopisi, Gołownoje izdatielstwo izdatielskogo objedinienija „Wyszcza szkoła,” Kijew, 1989. str.7.

10. Łariczew W.E., Aczinskij żezł i jego znakowaja sistiema, [w:] Issliedowanija pamiatnikow drewnich kultur Sibiri i Dalniego Wostoka. Sbornik naucznych trudow, Izdatielstwo Akademii nauk SSSR, Nowosibirsk, 1987.

11. Łariczew, W.E., Mudrost' zmiei: Pierwobytnyj cziełowiek, Łuna i Sołnce, Izdatielstwo „Nauka”, Sibirskoje otdielienije, Nowosibirsk, 1989.

12. Mickiewicz A., Pan Tadeusz, [w:] Dzieła pod red. prof. Manfreda Kridla, Biblioteka Arcydzieł Literatury, Warszawa, 1929.

13. Puszkin A.S., Evgienij Oniegin. Roman w stichach, [w:] A.S. Puszkin, Sobranije soczinienij w 10 tomach, t. 5, Izdatielstwo „Nauka”, Moskwa, 1964, str.10.

14. Radiuk M.S., Czto stoit za zołotym sieczenijem? [w:] Chimija i żizń. Naucznopopuliarnyj żurnał AN SSSR, Nr 7/1988, str. 66-67.

15. Radiuk M.S., Zołotaja proporcyja w strukturie chłoroplastow wysszych rastienij, [w:] Izwiestija AN SSSR, Serija biołogia, 1987, № 5, str. 774-776.

16. Słownik Języka Polskiego. t.1-3, red. M. Szymczak, PWN, Warszawa, 1978.

17. Soroko E.M., Strukturnaja garmonija sistiem, Nauka i Tiechnika, Minsk, 1984.

18. Stachow A.P., Kody zołotoj proporcyji, Izdat. Radio i swjaz', Moskwa, 1984.

19. Steinhaus Hugo, Kalejdoskop matematyczny, oprac. Józef Łukaszewicz, Wyd. Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa, 1989.

20. Szewieliew I. Sz, Marutajew M.A., Szmieliew I.P., Zołotoje sieczienije.Tri wzgliada na prirodu garmonii. Strojizdat, Moskwa, 1990.

21. Tatarkiewicz W., Historia filozofii, t.1-3, Spółdzielnia Wydawnicza Czytelnik i Zakład Narodowy im. Ossolińskich, 1946.

22. Wasiutinskij, Zołotaja proporcyja, Izdat. Mołodaja gwardija, Moskwa, 1990.

23. Weyl H., Symetria, tłumaczył Stefan Kulczycki, PWN, Warszawa, 1960 24 . Zeising A., Der goldene Schnitt, Leipzig, 1884.

W tablicach wykorzystano ilustracje Autorów z pozycji: 1, 9, 10 i 20 podanej wyżej Bibliografii.

Copyright Waldemar Gajewski . Wszystkie prawa zastrzeżone. All rights reserved .Strona działa od 30 pazdziernika 2010 r. Wszelkie przedruki , publikacje mozliwe tylko za zgoda Autora .

Autor: Waldemar Gajewski e-mail etermachina@wp.pl .

Edytor strony int: Jan Rutkowski motion81@hotmail.com Konto Bankowe : Bank BGZ w Warszawie Nr. konta 87 2030 0045 1130 0000 0019 4740 .....

Autor tłumaczenia prosi o pomoc finansową w wydaniu całej książki W.Grebennikowa w Polsce ( potrzeba ok. 20 tys. zł - książka będzie bogato ilustrowana) . Kolejne rozdziały książki będa tłumaczone sukcesywnie i umieszczane na stronie internetowej / cyklicznie/, ale bez ilustracji, gdyż na razie brak praw autorskich. Ewentualne wpłaty sponsorow prosimy kierować na powyższe konto .

Bank BGZ w W-wie . 87 2030 0045 1130 0000 0019 4740 .

KONIEC