Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
SÔÛ GD & ÑT QUAÛNG BÌNH TRÖÔØNG THPT ÑAØO DUY TÖØ
Facebook: LyHung95
KYØ THI THÖÛ THPT QUOÁC GIA LAÀN 2 NAÊM 2016 Moân thi: TOAÙN Thôøi gian laøm baøi: 180 phuùt, khoâng keå thôøi gian giao ñeà
Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số y =
2x − 3 . x−2
Câu 2 (1,0 điểm). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 − 6 x 2 + 9 x − 2 tại điểm có hoành độ bằng x0 thỏa mãn phương trình y '' ( x0 ) = −12.
Câu 3 (1,0 điểm). a) Cho số phức z thỏa mãn (1 − i ) z + 2iz = 5 + 3i. Tìm môđun của số phức w = 2 ( z + 1) − z. b) Giải phương trình log 3 ( 9 x + 18 ) = x + 2. 2
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I = ∫ 0
(
)
2 x 2 + 1 − 3 x xdx.
Câu 5 (1,0 điểm). 4 3π tan α − 1 và < α < 2π . Tính giá trị của biểu thức A = . 5 2 2 − cos 2α b) Trường THPT X tổ chức hội thảo GDQP – AN. Trung đội 10A chọn một tiểu đội, trong đó có 6 chiến sĩ nam và 5 chiến sĩ nữ tham gia các nội dung: hiểu biết chung về GDQP – AN, điều lệnh từng người không có súng, băng bó cứu thương và đội ngũ đơn vị. Tiểu đội trưởng chọn ngẫu nhiên 3 chiến sĩ tham gia nội dung băng bó cứu thương. Tính xác suất để 3 chiến sĩ được chọn có cả nam và nữ. x y −1 z − 2 Câu 6 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = và mặt phẳng 1 2 3
a) Cho góc α thỏa mãn cos α =
( P ) : x + 2 y − 2 z + 3 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với d . Tìm
tọa độ điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến ( P ) bằng 3.
Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O với cạnh AB = 2a 3, BC = 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trung điểm H của đoạn thẳng OD. Góc hợp bởi đường thẳng SB và mặt phẳng đáy ( ABCD ) bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC. Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm A thuộc đường thẳng d1 : 2 x − y + 2 = 0, điểm D thuộc đường thẳng d 2 : x − y − 5 = 0. Gọi H là hình chiếu vuông góc của
9 2 A trên BD. Điểm M ; , N ( 9; 2 ) lần lượt là trung điểm của BH và CD. Xác định tọa độ các đỉnh của 5 5 hình chữ nhật ABCD, biết điểm D có tung độ dương.
4 1 + 2 x 2 y − 1 = 3 x + 2 1 − 2 x 2 y + 1 − x 2 Câu 9 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 2 x 3 y − x 2 = x 4 + x 2 − 2 x3 y 4 y 2 + 1
( x, y ∈ ℝ).
Câu 10 (1,0 điểm). Xét x, y, z là các số thực dương thỏa mãn y + z = x ( y 2 + z 2 ) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
1
(1 + x )
2
+
1
(1 + y )
2
+
1
(1 + z )
2
+
4 . (1 + x )(1 + y )(1 + z )
Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc
Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
SÔÛ GD & ÑT QUAÛNG BÌNH
HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI MOÄT SOÁ CAÂU
TRÖÔØNG THPT ÑAØO DUY TÖØ
KYØ THI THÖÛ THPT QUOÁC GIA LAÀN 2 NAÊM 2016 Thöïc hieän Anh Vuõ Vaên Baéc
Câu 2 (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 − 6 x 2 + 9 x − 2 tại điểm có hoành độ bằng x0 thỏa mãn phương trình y '' ( x0 ) = −12. Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc Ta có y ' = 3x 2 − 12 x + 9 ⇒ y '' = 6 x − 12 ⇒ y '' ( x0 ) = 6 x0 − 12. Bài ra y '' ( x0 ) = −12 ⇒ 6 x0 − 12 = −12 ⇔ x0 = 0 ⇒ y0 = −2. Phương trình tiếp tuyến có dạng d : y = y ' ( 0 ) . ( x − 0 ) − 2 = 9 x − 2. Đ/s: d : y = 9 x − 2 Câu 3 (1,0 điểm) a) Cho số phức z thỏa mãn (1 − i ) z + 2iz = 5 + 3i. Tìm môđun của số phức w = 2 ( z + 1) − z. b) Giải phương trình log 3 ( 9 x + 18 ) = x + 2.
Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc a) Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) ⇒ z = a − bi. Bài ra có (1 − i ) z + 2i.z = 5 + 3i nên (1 − i )( a + bi ) + 2i ( a − bi ) = 5 + 3i
⇔ a + bi − ai + b + 2ai + 2b = 5 + 3i ⇔ a + 3b + ( a + b ) i = 5 + 3i a + 3b = 5 a = 2 ⇔ ⇔ ⇒ z = 2+i ⇒ z = 2−i a + b = 3 b = 1
⇒ w = 2 ( z + 1) − z = 2 ( 3 + i ) − ( 2 − i ) = 4 + 3i ⇒ w = 42 + 32 = 5. Đ/s: w = 5 b) ĐK: 9 x + 18 > 0 ⇔ x ∈ ℝ (*)
Khi đó log 3 ( 9 x + 18 ) = x + 2 ⇔ 9 x + 18 = 3x + 2 = 9.3x
⇔ (3
)
x 2
3 x = 3 x = 1 thỏa mãn (*) − 9.3 + 18 = 0 ⇔ x ⇔ 6 x = log 3 3 = 6 x
x = 1 Đ/s: 6 x = log 3 2
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ 0
(
)
2 x 2 + 1 − 3 x xdx.
Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc 2
2
0
0
Ta có I = ∫ x 2 x 2 + 1dx − ∫ 3 x 2 dx = A − B.
Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc
Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG 2
•
B = ∫ 3x dx = x 2
0
Facebook: LyHung95
2
= 8.
3 0
3
2 1 1 ( 2 x + 1) 2 2 2 2 • A = ∫ x 2 x + 1dx = ∫ ( 2 x + 1) d ( 2 x + 1) = . 3 4 4 0 0 2 13 11 Do đó I = A − B = − 8 = − . 3 3 11 Đ/s: I = − 3 2
2
1 2
2
0
=
13 . 3
Câu 5 (1,0 điểm) 4 3π tan α − 1 và < α < 2π . Tính giá trị của biểu thức A = . 5 2 2 − cos 2α b) Trường THPT X tổ chức hội thảo GDQP – AN. Trung đội 10A chọn một tiểu đội, trong đó có 6 chiến sĩ nam và 5 chiến sĩ nữ tham gia các nội dung: hiểu biết chung về GDQP – AN, điều lệnh từng người không có súng, băng bó cứu thương và đội ngũ đơn vị. Tiểu đội trưởng chọn ngẫu nhiên 3 chiến sĩ tham gia nội dung băng bó cứu thương. Tính xác suất để 3 chiến sĩ được chọn có cả nam và nữ. a) Cho góc α thỏa mãn cos α =
Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc 2
7 4 a) Ta có cos 2α = 2 cos 2 α − 1 = 2. − 1 = . 25 5 1 1 25 9 3 tan 2 α + 1 = = = ⇔ tan 2 α = ⇔ tan α = ± . 2 2 cos α 4 16 16 4 5 3π 3 Bài ra < α < 2π ⇒ tan α < 0 ⇒ tan α = − . 2 4 3 − −1 tan α − 1 175 Do đó A = = 4 =− . 2 − cos 2α 2 − 7 172 25 175 Đ/s: A = − 172 b) Chọn 3 chiến sĩ từ 11 chiến sĩ của tiểu đội có C113 = 165 cách chọn ⇒ Ω = 165. Gọi K là biến cố: “ 3 chiến sĩ được chọn có cả nam và nữ ”. Ta có số kết quả thuận lợi cho K là Ω K = C51.C62 + C52 .C61 = 135. Do đó P ( K ) =
Đ/s: P ( K ) =
ΩK Ω
=
135 9 = . 165 11
9 11
Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc
Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Câu 6 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :
( P ) : x + 2 y − 2 z + 3 = 0.
Facebook: LyHung95
x y −1 z − 2 = = và mặt phẳng 1 2 3
Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với d . Tìm
tọa độ điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến ( P ) bằng 3.
Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc Đường thẳng d co một VTCP là u = (1; 2;3) . Bài ra ( Q ) ⊥ d ⇒ ( Q ) sẽ nhận u = (1; 2;3) là một VTPT. Mà ( Q ) qua O ( 0; 0; 0 ) ⇒ ( Q ) :1. ( x − 0 ) + 2. ( y − 0 ) + 3. ( y − 0 ) = 0 ⇒ ( Q ) : x + 2 y + 3z = 0.
x = t Phương trình tham số của d là d : y = 1 + 2t z = 2 + 3t
(t ∈ ℝ).
Mà M ∈ d ⇒ M ( t ;1 + 2t ; 2 + 3t ) . Ta có d ( M ; ( P ) ) =
t + 2 (1 + 2t ) − 2 ( 2 + 3t ) + 3 12 + 22 + ( −2 )
2
=
−t + 1 =3 3
t = −8 ⇒ M ( −8; −15; −22 ) 1 − t = 9 ⇔ ⇔ 1 − t = −9 t = 10 ⇒ M (10; 21;32 ) M ( −8; −15; −22 ) Đ/s: ( Q ) : x + 2 y + 3z = 0 và M (10; 21;32 ) Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O với cạnh AB = 2a 3, BC = 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trung điểm H của đoạn thẳng OD. Góc hợp bởi đường thẳng SB và mặt phẳng đáy ( ABCD ) bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.
Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc •
Ta có SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ ( SB; ( ABCD ) ) = SBH = 600.
HB =
3 3 BD = AB 2 + AD 2 = 3a ⇒ SH = HB.tan 600 = 3 3a. 4 4
⇒ S ABCD = AB.BC = 2a 3.2a = 4 3a 2 1 1 ⇒ VS . ABCD = SH .S ABCD = 3a 3.4 3a 2 = 12a 3 (đvtt) 3 3
•
Do AD / / ( SBC ) ⇒ d ( AD; SC ) = d ( AD; ( SBC ) )
= d ( D; ( SBC ) ) =
4 d ( H ; ( SBC ) ) . 3
Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc
Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Kẻ HM ⊥ BC ( M ∈ BC ) , HK ⊥ SM Ta có
Facebook: LyHung95
( K ∈ SM ) ⇒ d ( H ; ( SBC ) ) = HK .
1 1 1 5 3 3 4 4 3 3 3 = + = a ⇒ d ( AD; SC ) = HK = . a = 4a . ⇒ HK = 2 2 2 2 HK SH HM 27 a 3 3 5 5 5
Đ/s: VS . ABCD = 12a 3 (đvtt) và d ( AD; SC ) = 4a
3 5
Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm A thuộc đường thẳng d1 : 2 x − y + 2 = 0, điểm D thuộc đường thẳng d 2 : x − y − 5 = 0. Gọi H là hình chiếu vuông góc của 9 2 A trên BD. Điểm M ; , N ( 9; 2 ) lần lượt là trung điểm của BH và CD. Xác định tọa độ các đỉnh của 5 5 hình chữ nhật ABCD, biết điểm D có tung độ dương.
Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc +) Gọi E là trung điểm của AH , ta có ME ⊥ AD ⇒ E là trực tâm của tam giác ∆ADM ⇒ DE ⊥ AM . +) Tứ giác EMND là hình bình hành ⇒ DE / / MN ⇒ AM ⊥ MN Đường thẳng AM qua M và vuông góc với MN ⇒ AM : 9 x + 2 y − 17 = 0.
+) A = d1 ∩ AM ⇒ A (1; 4 ) . +) D ∈ d 2 ⇒ d ( d ; d − 5 ) .
d = 9 ⇒ D ( 9; 4 ) Do AD ⊥ DN ⇒ DA.DN = 0 ⇒ d = 4 ⇒ D ( 4; −1) Mà yD > 0 ⇒ D ( 9; 4 ) ⇒ C ( 9;0 ) . +) Phương trình AH : 2 x + y − 6 = 0; DM : x − 2 y − 1 = 0. 13 4 Do H = AH ∩ DM ⇒ H ; ⇒ B (1; 0 ) . 5 5
Đ/s: A (1; 4 ) , B (1;0 ) , C ( 9;0 ) , D ( 9; 4 ) 4 1 + 2 x 2 y − 1 = 3 x + 2 1 − 2 x 2 y + 1 − x 2 Câu 9 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 x 3 y − x 2 = x 4 + x 2 − 2 x3 y 4 y 2 + 1
( x, y ∈ ℝ).
Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc −1 ≤ x ≤ 1 ĐK: 1 + 2 x 2 y ≥ 0 (*) 2 1 − 2 x y ≥ 0 Với x = 0 thì ta dễ dàng thấy được hệ có nghiệm với mọi y ∈ ℝ. 2
1 1 1 1 1 Với x ≠ 0 có ( 2 ) ⇔ 2 y + 2 y ( 2 y ) + 1 = + +1 ⇔ f (2 y ) = f → 2 y = . x x x x x 2
Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc
Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
Thế vào (1) ta được 4 1 + x − 1 = 3x + 2 1 − x + 1 − x 2 . a = 1 + x ≥ 0 2a 2 = 2 + 2 x Đặt ⇒ 2 ⇒ 1 + 3 x = 2a 2 − b 2 b = 1 − x ≥ 0 b = 1 − x a + b = 2 ⇒ 4a − 1 = 2a − b − 1 + 2b + ab ⇔ 2a + ( b − 4 ) a + 2b − b = 0 ⇔ a = b 2 b 3 5 Mà a, b ≥ 0 nên a = ⇒ 2 1 + x = 1 − x ⇔ x = − ⇒ y = − thỏa mãn hệ đã cho. 2 5 6 2
2
2
2
3 5 Đ/s: ( x; y ) = ( 0; y ) , − ; − ( ∀y ∈ ℝ ) 5 6
Câu 10 (1,0 điểm) Xét x, y, z là các số thực dương thỏa mãn y + z = x ( y 2 + z 2 ) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
1
(1 + x )
+
2
1
(1 + y )
2
+
1
(1 + z )
2
+
4 . (1 + x )(1 + y )(1 + z )
Hướng dẫn – Mod Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc 2 2 Ta có 2 ( y + z ) = 2 x ( y 2 + z 2 ) ≥ x ( y + z ) ⇒ y + z ≤ . x Lại có P ≥
1
(1 + x )
Mà (1 + y )(1 + z )
2
+
2
(1 + y )(1 + z )
(1 + y + 1 + z ) ≤ 4
⇒P≤
Xét hàm số
+
2 x3 + 6 x 2 + x + 1
(1 + x )
3
f '( x) =
2
4 . (1 + x )(1 + y )(1 + z )
1 2 (1 + x ) ≤ 2+ = 4 x x2 2
1
(1 + x )
2
+
2 x2
(1 + x )
2
+
2
4 x2
(1 + x )
3
=
2 x3 + 6 x 2 + x + 1
(1 + x )
3
.
với x ∈ ( 0; +∞ ) có
10 x − 2 = 0; (1 + x)4
1 x ∈ ( 0; +∞ ) 1 91 ⇔ x = ⇒ P ≥ f ( x) ≥ f = . 5 5 108 f ' ( x ) = 0
1 x = Dấu " = " xảy ra ⇔ 5 y = z = 5 Vậy Pmin =
91 108
Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc