[Hình học 11] Chuyên đề Phép biến hình trong mặt phẳng

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Nguyễn Minh Tiến

1/ Phép Dời Hình ………………………………………………………………………. trang 2 2/ Phép Tịnh Tiến............................................................................................................ trang 5 3/ Phép Đối Xứng Trục……………………………………………………………….. trang 10 4/ Phép Đối Xứng Tâm……………………………………………………………… trang 18 5/ Phép Quay................................................................................................................. trang 22 6/ Hai hình bằng nhau………………………………………………………………… trang 30 7/ Phép Vị Tự…………………………………………………………………………. trang 32 8/ Phép Đồng Dạng…………………………………………………………………… trang 38

-1-

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Vần đề 1 : PHÉP DỜI HÌNH A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Phép biến hình.  ĐN: Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất điểm M ¢ của mặt phẳng. Điểm M ¢ gọi là ảnh của M qua phép biến hình đó.  Kí hiệu: f là một phép biến hình nào đó, và M ¢ là ảnh của M qua phép f . Ta viết: M ¢ = f ( M ) f hay f ( M ) = M ¢ hay f : M a M ¢ hay M ¾¾ ®M¢.

Lưu ý : + Điểm M gọi là tạo ảnh, M ¢ là ảnh. + f là phép biến hình đồng nhất Û f ( M ) = M , "M Î H . Điểm M gọi là điểm bất động, điểm kép, bất biến. + f1 , f 2 là các phép biến hình thì f 2 o f1 là phép biến hình.  Nếu H là một hình nào đó thì tập hợp các điểm M ¢ = f ( M ) , với M Î H , tạo thành hình H ¢ được

gọi là ảnh của H qua phép biến hình f , và ta viết: H ¢ = f ( H ) .

2/ Phép dời hình.

Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ, tức là với hai điểm bất kì M , N và ảnh M ¢, N ¢ của chúng, ta luôn có: M ¢N ¢ = MN .(Bảo toàn khoảng cách) 3/ Tính chất (của phép dời hình):  ĐL: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng.  HQ: Phép dời hình biến: + Đường thẳng thành đường thẳng. + Tia thành tia. + Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó. + Tam giác thành tam giác bằng nó. (Trực tâm ® trực tâm, trọng tâm ® trọng tâm,…) + Đường tròn thành đường tròn bằng nó. (Tâm biến thành tâm: I ® I ¢, R¢ = R ) + Góc thành góc bằng nó.

B . BÀI TẬP ì x¢ =2x - 1 1 Trong mpOxy cho pheù p bieá n hình f: M(x;y) I¾¾ ® M ¢ =f(M) = í . î y¢ =y +3 Tìm aû nh cuû a caù c ñieå m sau : a) A(1;2) b) B( - 1;2) c) C(2; - 4) Giaû i: a) A ¢ =f(A) =(1;5) b) B¢ =f(B) =( - 7;6) c) C¢ =f(C) =(3; - 1) ì x¢ =2x - y + 1 2 Trong mpOxy cho pheù p bieá n hình f : M(x;y) I¾¾ ® M ¢ =f(M) = í . î y¢ =x - 2y +3 Tìm aû nh cuû a caù c ñieå m sau : a) A(2;1) b) B( - 1;3) c) C( - 2;4) Giaû i: a) A ¢ =f(A) =(4;3) b) B¢ =f(B) =( - 4; - 4) c) C¢ =f(C) =( - 7; - 7) 3 Trong mpOxy cho pheù p bieá n hình f : M(x;y) I¾¾ ® M ¢ =f(M) =(3x;y) . Ñaâ y coùphaû i laøpheù p dôø i hình hay khoâ ng ?

-2-

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

Giaû i : Laá y hai ñieå m baá t kì M(x1;y1),N(x2;y2) Khi ñoùf : M(x1;y1) I¾¾ ® M ¢ =f(M) =(3x1; y1) . f : N(x2;y2) I¾¾ ® N¢ =f(N) =(3x2; y2) Ta coù: MN = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 , M ¢N¢ = 9(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 Neá u x1 ¹ x2 thì M ¢N¢ ¹ MN . Vaä y : f khoâ ng phaû i laøpheù p dôø i hình .

(Vì coù1 soáñieå m f khoâ ng baû o toaø n khoaû ng caù ch) .

4 Trong mpOxy cho 2 pheù p bieá n hình : a) f : M(x;y) I¾¾ ® M ¢ =f(M) =(y ; x-2) b) g : M(x;y) I¾¾ ® M ¢ =g(M) =( 2x ; y+1) .

Pheù p bieá n hình naø o treâ n ñaâ y laøpheù p dôø i hình ?

HD : a) f laøpheù p dôø i hình b) g khoâ ng phaû i laøpheù p dôø i hình ( vì x1 ¹ x2 thì M ¢N¢ ¹ MN ) 5 Trong mpOxy cho 2 pheù p bieá n hình : a) f : M(x;y) I¾¾ ® M ¢ =f(M) =(y +1 ; - x) b) g : M(x;y) I¾¾ ® M ¢ =g(M) =( x ; 3y ) .

Pheù p bieá n hình naø o treâ n ñaâ y laøpheù p dôø i hình ?

Giaû i: a) f laøpheù p dôø i hình b) g khoâ ng phaû i laøpheù p dôø i hình ( vì y1 ¹ y2 thì M ¢N¢ ¹ MN ) 6 Trong mpOxy cho pheù p bieá n hình f : M(x;y) I¾¾ ® M ¢ =f(M) =(-2x;y + 1) . Tìm aû nh cuû a ñöôø ng thaú ng (D) : x - 3y - 2 =0 qua pheù p bieá n hình f .

Giaû i: Caù ch 1: Duø ng bieå u thöù c toaïñoä ì -x¢ ì x¢ =- 2x ïx = Ta coùf : M(x;y) I¾¾ ® M ¢ =f(M) = í Ûí 2 î y¢ = y + 1 ïy = y¢ - 1 î -x¢ Vì M(x;y) Î (D) Û ( ) - 3(y¢ - 1) - 2 = 0 Û x¢ + 6y¢ - 2 = 0 Û M ¢(x¢;y¢) Î (D ¢) : x + 6y - 2 = 0 2 Caù ch 2: Laá y 2 ñieå m baá t kì M,N Î (D) : M ¹ N . +M Î (D) : M(2;0) I¾¾ ® M ¢ = f(M) = (-4;1) +N Î (D ) : N( - 1; - 1) I¾¾ ® N¢ = f(N) = (2;0) ìQua M ¢(-4;1) x+4 y - 1 uuuuur (D¢) º (M ¢N¢): í ® PTCtaé c (D¢) : = Þ PTTQ (D¢): x + 6y - 2 = 0 6 -1 îVTCP : M ¢N¢ = (6; -1) 7 Trong mpOxy cho pheù p bieá n hình f : M(x;y) I¾¾ ® M ¢ =f(M) =(x + 3;y + 1) . a) CMR f laøpheù p dôø i hình . b) Tìm aû nh cuû a ñöôø ng troø n (C) : (x +1)2 +(y - 2)2 =4 .

I¾¾ ® (C¢) : (x - 2)2 +(y - 3)2 =4

8 Trong mpOxy cho pheù p bieá n hình f : M(x;y) I¾¾ ® M ¢ =f(M) =(x - 3;y + 1) . a) CMR f laøpheù p dôø i hình . b) Tìm aû nh cuû a ñöôø ng thaú ng (D ) : x +2y - 5 =0 . c) Tìm aû nh cuû a ñöôø ng troø n (C) : (x +1)2 +(y - 2)2 =2 . x2 y2 d ) Tìm aû nh cuû a elip (E) : + =1 .

3 2

-3-

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

Giaû i : a) Laá y hai ñieå m baá t kì M(x1;y1),N(x2;y2) Khi ñoùf : M(x1;y1) I¾¾ ® M ¢ =f(M) =(x1 - 3; y1 + 1) . f : N(x2;y2) I¾¾ ® N¢ =f(N) =(x2 - 3; y2 + 1) Ta coù: M ¢N¢ = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 = MN Vaä y : f laøpheù p dôø i hình . b) Caù ch 1: Duø ng bieå u thöù c toaïñoä ìx¢ =x - 3 ìx = x¢ + 3 Ta coùf : M(x;y) I¾¾ ® M ¢ =f(M) = í Ûí îy¢ = y + 1 îy = y¢ - 1 Vì M(x;y) Î (D) Û (x¢ + 3) + 2(y¢ - 1) - 5 = 0 Û x¢ + 2y¢ - 4 = 0 Û M ¢(x¢;y¢) Î (D¢) : x + 2y - 4 = 0 Caù ch 2: Laá y 2 ñieå m baá t kì M,N Î (D) : M ¹ N . +M Î (D ) : M(5 ;0) I¾¾ ® M ¢ = f(M) = (2;1) +N Î (D) : N(3 ; 1) I¾¾ ® N¢ = f(N) = (0;2) ì Qua M ¢(2;1) x- 2 y-1 uuuuur (D¢) º (M ¢N¢): í ® PTCtaé c (D¢) : = ® PTTQ(D¢): x + 2y - 4 = 0 -2 1 î VTCP : M ¢N¢ = (-2;1) Caù ch 3: Vì f laøpheù p dôø i hình neâ n f bieá n ñöôø ng thaú ng (D) thaø nh ñöôø ng thaú ng (D¢) // (D ) . +Laá y M Î (D) : M(5 ;0) I¾¾ ® M ¢ = f(M) = (2;1) +Vì (D¢) // (D) Þ (D¢): x +2y + m =0 (m ¹ -5) . Do : (D¢) ' M ¢(2;1) Þ m =- 4 Þ (D¢): x + 2y - 4 = 0 c) Caù ch 1: Duø ng bieå u thöù c toaïñoä ìx¢ =x - 3 ìx = x¢ + 3 Ta coùf : M(x;y) I¾¾ ® M ¢ =f(M) = í Ûí îy¢ = y + 1 îy = y¢ - 1 Vì M(x;y) Î (C) : (x +1)2 +(y - 2)2 =2 Û (x¢ + 4)2 + (y¢ - 3)2 = 2 Û Û M ¢(x¢;y¢) Î (C¢) : (x + 4)2 + (y - 3)2 = 2 ì+Taâ ì+Taâ m I( - 1;2) f m I ¢=f [I( - 1;2)] = (-4;3) Caù ch 2: (C) í ¾¾ ® (C¢) í î+ BK : R = 2 î + BK : R¢=R = 2

® (C¢) : (x + 4)2 + (y - 3)2 = 2

d) Duø ng bieå u thöù c toaïñoä

ìx¢ =x - 3 ìx = x¢ + 3 Ta coùf : M(x;y) I¾¾ ® M ¢ =f(M) = í Ûí îy¢ = y + 1 îy = y¢ - 1

Vì M(x;y) Î (E) :

x2 y2 (x¢+3)2 (y¢ - 1)2 (x +3)2 (y - 1)2 + =1 Û + =1Û M ¢(x¢;y¢) Î (E¢) : + =1 3 2 3 2 3 2

9 Trong mpOxy cho pheù p bieá n hình f : M(x;y) I¾¾ ® M ¢ =f(M) =(x + 1;y - 2) . a) CMR f laøpheù p dôø i hình . b) Tìm aû nh cuû a ñöôø ng thaú ng (D ) : x - 2y + 3 =0. c) Tìm aû nh cuû a ñöôø ng troø n (C) : (x +3)2 +(y - 1)2 =2 . d) Tìm aû nh cuû a parabol (P) : y2 =4x . ÑS : b) x - 2y - 2 =0

c) (x +2)2 +(y + 1)2 =2

d) (y +2)2 =4(x - 1)

10 Trong mpOxy cho pheù p bieá n hình f : M(x;y) I¾¾ ® M ¢ =f(M) =(-x;y) . Khaú ng ñònh naø o sau ñaâ y sai ?

A. f laø1 pheù p dôø i hình B. Neá u A(0 ; a) thì f(A) =A C. M vaøf(M) ñoá i xöù ng nhau qua truïc hoaø nh D. f [M(2;3)]Î ñöôø ng thaú ng 2x +y +1 =0

-4-

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

ÑS : Choïn C . Vì M vaøf(M) ñoá i xöù ng nhau qua truïc tung ® C sai .

12 Trong mpOxy cho 2 pheù p bieá n hình : f1 : M(x;y) I¾¾ ® M ¢ =f1(M) =(x +2 ; y - 4) ; f2 : M(x;y) I¾¾ ® M ¢ =f2(M) =( - x ; - y) .

Tìm toaïñoäaû nh cuû a A(4; - 1) qua f1 roà i f2 , nghóa laøtìm f2[f1(A)] . f

1® A ¢(6; - 5) I¾¾ 2® A ¢¢( - 6 ; 5 ) . ÑS : A(4; - 1) I¾¾

x 11 Trong mpOxy cho pheù p bieá n hình f : M(x;y) I¾¾ ® M ¢ =f(M) =( ; -3y) . Khaú ng ñònh naø o sau ñaâ y sai ?

2 A. f (O) =O (O laøñieå m baá t bieá n) B. AÛ nh cuû a A Î Ox thì aû nh A ¢=f(A) Î Ox .

C. AÛ nh cuû a B Î Oy thì aû nh B¢=f(B) Î Oy .

D. M ¢=f [M(2 ; - 3)] =(1; - 9) ÑS : Choïn D . Vì M ¢=f [M(2 ; - 3)] =(1; 9)

Vấn đề 2 : PHÉP TỊNH TIẾN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

uuuuur r r 1/ ĐN: Phép tịnh tiến theo véctơ ulà một phép dời hình biến điểm M thành điểm M ¢ sao cho MM ¢ = u . uuuuu r r r .Khi ñoù: Tr (M) = M ¢ Û MM ¢ = u Kí hieä u : T hay Tu u gPheù p tònh tieá n hoaø n toaø n ñöôïc xaù c ñònh khi bieá t vectô tònh tieá n cuû a noù. r (M) = M ,"M thì Tr laøpheù gNeá u To p ñoà ng nhaá t. o r r.

2/ Biểu thức tọa độ: Cho u =(a;b) và phép tịnh tiến Tu r (M) = (x¢;y¢ ) thì ìí x¢=x +a M(x;y) I¾¾ ® M ¢=Tu î y¢=y +b 3/ Tính chất: gÑL : Pheù p tònh tieá n baû o toaø n khoaû ng caù ch giöõ a hai ñieå m baá t kì . gHQ : 1. Baû o toaø n tính thaú ng haø ng vaøthöùtöïcuû a caù c ñieå m töông öù ng .

2. Bieá n moä t tia thaø nh tia .

3. Baû o toaø n tính thaú ng haø ng vaøthöùtöïcuû a caù c ñieå m töông öù ng .

5. Bieá n moä t ñoaïn thaú ng thaø nh ñoaïn thaú ng baè ng noù.

6. Bieá n moä t ñöôø ng thaú ng thaø nh moä t ñöôø ng thaú ng song song hoaë c truø ng vôù i ñöôø ng thaú ng ñaõcho .

7. Bieá n tam giaù c thaø nh tam giaù c baè ng noù. (Tröïc taâ m I¾¾ ® tröïc taâ m , troïng taâ m I¾¾ ® troïng taâ m) 8. Ñöôø ng troø n thaø nh ñöôø ng troø n baè ng noù.

(Taâ m bieá n thaø nh taâ m : I I¾¾® I ¢ , R¢ =R )  PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM r (M) = (x¢;y¢ ) thì ìí x¢=x +a M(x;y) I¾¾ ® M ¢=Tu î y¢=y +b  PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH (H) .

Cách 1: Dùng tính chất (cùng phương của đường thẳng, bán kính đường tròn: không đổi) 1/ Lấy M Î (H) I¾¾ ® M ¢ Î (H¢) 2/

g(H) º ñöôø ng thaú ng ¾¾ ® (H¢) º ñöôø ng thaú ng cuø ng phöông

-5-

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

ì+ Taâ ì+ Taâ mI m I¢ g(H) º (C) í I¾¾ ® (H¢) º (C¢) í (caà n tìm I ¢) . î+bk : R î+bk : R¢=R Caù ch 2 : Duø ng bieå u thöù c toïa ñoä.

Tìm x theo x¢ , tìm y theo y¢ roà i thay vaø o bieå u thöù c toïa ñoä.

Caù ch 3 : Laá y hai ñieå m phaâ n bieä t : M, N Î (H) I¾¾ ® M ¢, N¢ Î (H¢) B. BÀI TẬP r 1 Trong mpOxy . Tìm aû nh cuû a M ¢ cuû a ñieå m M(3; - 2) qua pheù p tònh tieá n theo vectô u =(2;1) .

Giaû i uuuuu r r ìx¢ - 3 = 2 ìx¢ = 5 r (M) Û MM ¢ = u Theo ñònh nghóa ta coù: M ¢ =Tu Û (x¢ - 3;y¢ + 2) = (2;1) Û í Ûí îy¢ + 2 = 1 îy¢ = -1 Þ M ¢(5; -1) r 2 Tìm aû nh caù c ñieå m chæra qua pheù p tònh tieá n theo vectô u : r a) A( - 1;1) , u =(3;1) Þ A ¢(2;3) r b) B(2;1) , u =( - 3;2) Þ B¢( - 1;3) r c) C(3; - 2) , u =( - 1;3) Þ C¢(2;1) r 3 Trong mpOxy . Tìm aû nh A ¢,B¢ laà n löôït cuû a ñieå m A(2;3), B(1;1) qua pheù p tònh tieá n theo vectô u =(3;1) . uuur uuuur Tính ñoädaø i AB , A ¢B¢ .

Giaû i uuur uuuur r r ¢ ¢ ¢ ¢ Ta coù: A =Tu(A) = (5;4) , B =Tu(B) = (4;2) , AB =|AB |= 5 , A B =|A ¢B¢ |= 5 . r r r r (M),M = Tr (M ). Tìm v r (M) .

4 Cho 2 vectô u1;u2 . Gæ a söûM1 = Tu ñeåM 2 = Tv 2 u 1 1 2 Giaû i uuuuur r uuuuuuur r r (M) Û MM = u r (M ) Û M M = u Theo ñeà: M1 = Tu , M = T 1 1 2 u 1 1 2 2.

1 uuuuuu r r r uuuuuur 2 uuuuur uuuuuuur r r r r r r (M) Û MM = v Þ v = MM = MM + M M = u +u .Vaä Neá u : M 2 = Tv y : v = u1+u2 2 2 1 1 2 1 2 5 Ñöôø ng thaú ng D caé t Ox taïi A( - 1;0) , caé t Oy taïi B(0;2) . Haõ y vieá t phöông trình ñöôø ng thaú ng D¢ laøaû nh r cuû a D qua pheù p tònh tieá n theo vectô u =(2; - 1) . r (A) = (1; -1) , B¢ = Tr (B) = (2;1) .

Giaû i Vì : A ¢ = Tu u

1) r (D) Þ D¢ ñi qua A ¢,B¢ . Do ñoù: D¢ ìígqua A ¢(1;uu-uu ur Maë t khaù c : D¢ = Tu ¢ ¢=(1;2) g VTCP : A B î

ìx = 1+ t Þ ptts D¢ : í îy = -1+ 2t

6 Ñöôø ng thaú ng D caé t Ox taïi A(1;0) , caé t Oy taïi B(0;3) . Haõ y vieá t phöông trình ñöôø ng thaú ng D¢ laøaû nh r cuû a D qua pheù p tònh tieá n theo vectô u =( - 1; - 2) .

Giaû i r (A) = (0; -2) , B¢ = Tr (B) = (-1;1) .

Vì : A ¢ = Tu u 2) ì x = -t r (D) Þ D¢ ñi qua A ¢,B¢ . Do ñoù: D¢ ìígqua A ¢(0;uu-uu ur Maë t khaù c : D¢ = Tu Þ ptts D¢ : í î y = -2 + 3t îgVTCP : A ¢B¢=( - 1;3) r 7 Töông töï: a) D : x - 2y - 4 =0 , u =(0 ; 3) Þ D¢ : x - 2y + 2 = 0 r b) D : 3x + y - 3 =0 , u =( - 1 ; - 2) Þ D¢ : 3x + y + 2 = 0

-6-

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

r 8 Tìm aû nh cuû a ñöôø ng troø n (C) : (x +1)2 + (y - 2)2 = 4 qua pheù p tònh tieá n theo vectô u =(1; - 3) .

Giaû i x¢=x +1 ì x =x¢ - 1 r laø: ì Bieå u thöù c toaïñoäcuû a pheù p tònh tieá n Tu Ûí í ¢ î y =y - 3 î y =y¢+3 V ì : M(x;y) Î (C) : (x +1)2 + (y - 2)2 = 4 Û x¢2 + (y¢ + 1)2 = 4 Û M ¢(x¢;y¢)Î (C¢) : x2 + (y + 1)2 = 4 Vaä y : AÛ nh cuû a (C) laø(C¢) : x2 + (y + 1)2 = 4

9 Trong mpOxy cho pheù p bieá n hình f : M(x;y) I¾¾ ® M ¢ =f(M) =(x + 1;y - 2) . a) CMR f laøpheù p dôø i hình . b) Tìm aû nh cuû a ñöôø ng thaú ng (D ) : x - 2y + 3 =0. c) Tìm aû nh cuû a ñöôø ng troø n (C) : (x +3)2 +(y - 1)2 =2 . d) Tìm aû nh cuû a parabol (P) : y2 =4x . ÑS : b) x - 2y - 2 =0

c) (x +2)2 +(y + 1)2 =2

d) (y +2)2 =4(x - 1)

10 Trong mpOxy cho pheù p bieá n hình f : M(x;y) I¾¾ ® M ¢ =f(M) =(-x;y) . Khaú ng ñònh naø o sau ñaâ y sai ?

A. f laø1 pheù p dôø i hình B. Neá u A(0 ; a) thì f(A) =A C. M vaøf(M) ñoá i xöù ng nhau qua truïc hoaø nh D. f [M(2;3)]Î ñöôø ng thaú ng 2x +y +1 =0 ÑS : Choïn C . Vì M vaøf(M) ñoá i xöù ng nhau qua truïc tung ® C sai . r 9 Tìm aû nh cuû a ñöôø ng troø n (C) : (x - 3)2 + (y + 2)2 = 1 qua pheù p tònh tieá n theo vectô u =( - 2;4) .

r laø: ìíx¢=x - 2 Û ìí x =x¢+2 Giaû i : Bieå u thöù c toaïñoäcuû a pheù p tònh tieá n Tu îy¢=y + 4 î y =y¢ - 4 Vì : M(x;y) Î (C) : (x - 3)2 + (y + 2)2 = 1Û (x¢ - 1)2 + (y¢ - 2)2 = 1Û M ¢(x¢;y¢)Î (C¢) : (x¢ - 1)2 + (y¢ - 2)2 = 1

Vaä y : AÛ nh cuû a (C) laø(C¢) : (x - 1)2 + (y - 2)2 = 1 r BT Töông töï: a) (C) : (x - 2)2 + (y + 3)2 = 1, u =(3;1)

r b) (C) : x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, u =( - 2;3)

Þ (C¢) : (x - 1)2 + (y - 2)2 = 1 (C¢) : x2 + y2 + 2x - 2y - 7 = 0

10 Trong heätruïc toaïñoäOxy , xaù c ñònh toaïñoäcaù c ñæ nh C vaøD cuû a hình bình haø nh ABCD bieá t ñæ nh A( - 2;0), ñæ nh B( - 1;0) vaøgiao ñieå m caù c ñöôø ng cheù o laøI(1;2) .

Giaû i uur uur uur gGoïi C(x;y) .Ta coù: IC = (x - 1;y - 2),AI = (3;2),BI = (2; -1) gVì I laøtrung ñieå m cuû a AC neâ n: uur uur ìx - 1= 3 ìx = 4 C =Tuur (I) Û IC = AI Û í Ûí Þ C(4;4) AI îy - 2 = 2 îy = 4 gVì I laøtrung ñieå m cuû a AC neâ n: uur uur ìï x - 1= 2 ìïx = 3 D =Tuur (I) Û ID = BI Û í D Ûí D Þ D(3;4) BI ïî yD - 2 = 2 ïîyD = 4 Baø i taä p töông töï: A( - 1;0),B(0;4),I(1;1)

Þ C(3;2),D(2; - 2) .

11 Cho 2 đường thẳng song song nhau d và d ¢ . Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến d thành d ¢ . Hỏi có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế?

-7-

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

Giaû i : Choïn 2 ñieå m coáñònh A Î d , A ¢ Î d¢ uuuuu r uuur Laá y ñieå m tuyøyùM Î d . Gæ a söû: M ¢ =Tuuur (M) Û MM ¢ = AB AB uuuu r uuuur Þ MA = M ¢B Þ M ¢B / /MA Þ M ¢ Î d¢ Þ d¢ =Tuuur (d) AB Nhaä n xeù t : Coùvoâsoápheù p tònh tieá n bieá n d thaø nh d¢ .

12 Cho 2 ñöôø ng troø n (I,R) vaø(I ¢,R¢) .Haõ y chæra moä t pheù p tònh tieá n bieá n (I,R) thaø nh (I ¢,R¢) . uuuuu r uu r u u r Giaû i : Laá y ñieå m M tuyøyùtreâ n (I,R) . Gæ a söû: M ¢ =T (M) Û M M ¢ = II ¢ II ¢ uuu r uuuu r r [(I,R)] Þ IM = I ¢M ¢ Þ I ¢M ¢ = IM = R Þ M ¢ Î (I ¢,R¢) Þ (I ¢,R¢) =Tuu II ¢ 13 Cho hình bình haø nh ABCD , hai ñæ nh A,B coáñònh , taâ m I thay ñoå i di ñoä ng treâ n ñöôø ng troø n (C) .Tìm quyõtích trung ñieå m M cuû a caïnh BC. Giaû i uuu r uur Goïi J laøtrung ñieå m caïnh AB . Khi ñoùdeãthaá y J coáñònh vaøIM = JB .

Vaä y M laøaû nh cuû a I qua pheù p tònh tieá n Tuur . Suy ra : Quyõtích cuû a M laø JB uur aû nh cuû a ñöôø ng troø n (C) trong pheù p tònh tieá n theo vectô JB r 14 Trong heätruïc toaïñoäOxy , cho parabol (P) : y =ax2 . Goïi T laøpheù p tònh tieá n theo vectô u =(m,n) vaø(P¢) laøaû nh cuû a (P) qua pheù p tònh tieá n ñoù. Haõ y vieá t phöông trình cuû a (P¢) .

Giaû i: uuuuu r r uuuuu r r Tu gM(x;y) I¾¾¾ ® M ¢(x¢;y¢) , ta coù: MM ¢=u , vôù i MM ¢=(x¢ - x ; y¢ - y) uuuuu r r ìx¢ - x =m ìx =x¢ - m Vì MM ¢=u Û í Ûí îy¢ - y =n îy =y¢ - n Maø: M(x;y) Î (P): y = ax2 Û y¢ - n =a(x¢ - m)2 Û y¢ =a(x¢ - m)2 + n Û M ¢(x¢;y¢) Î (P¢) : y =a(x - m)2 + n r laø(P¢) : y =a(x - m)2 + n Û y =ax2 - 2amx + am2 + n .

Vaä y : AÛ nh cuû a (P) qua pheù p tònh tieá n Tu r r r (D ) .

15 Cho ñt D : 6x +2y - 1=0 . Tìm vectô u ¹ 0 ñeåD =Tu r r r r r (D ) Û u cuø Giaû i : VTCP cuû a D laøa =(2; - 6) . Ñeå: D =Tu ng phöông a . Khi ñoù: a =(2; - 6) = 2(1; -3) r Þ choïn u =(1; - 3) . r r r (A) , C =Tr (B) . Tìm u 16 Trong heätruïc toaïñoäOxy , cho 2 ñieå m A( - 5;2) , C( - 1;0) . Bieá t : B =Tu vaøv v ñeåcoùtheåthöïc hieä n pheù p bieá n ñoå i A thaø nh C ?

Giaû i uuur r uuur r uuur uuur uuur r r r Tu Tvr A( - 5;2) I¾¾¾ ® B I¾¾¾ ® C(-1;0) . Ta coù: AB = u,BC = v Þ AC = AB + BC = u + v = (4; -2)

r r Tu+v r r 17 Trong heätruïc toaïñoäOxy , cho 3 ñieå m K(1;2) , M(3; - 1),N(2; -3) vaø2 vectô u =(2;3) ,v =( - 1;2) . r roà r.

Tìm aû nh cuû a K,M,N qua pheù p tònh tieá n Tu i Tv uuur r uuur r uuur uuur uuur r r r r Tu Tv HD : Gæ a söû: A(x;y) I¾¾¾ ® B I¾¾¾ ® C(x¢;y¢) . Ta coù: AB = u,BC = v Þ AC = AB + BC = u + v = (1;5) uuuu r r r (K) Û KK ¢ = (1;5) Û ìíx¢ - 1= 1 Û ìíx¢ = 2 Þ K ¢(2;7) .

Do ñoù: K ¢=Tu +v îy¢ - 2 = 5 îy¢ = 7 Töông töï: M ¢(4;4) , N¢(3;2) .

18 Trong heätruïc toaïñoäOxy , cho DABC : A(3;0) , B( - 2;4) , C( - 4;5) . G laøtroïng taâ m DABC vaøpheù p r r r tònh tieá n theo vectô u ¹ 0 bieá n A thaø nh G . Tìm G¢ =Tu(G) .

-8-

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

Giaû i r r Tu Tu ¢ ¢) A(3;0) I¾¾¾ ® G(-1;3) I¾¾¾ ® G¢(x;y uuur u u u u r r r ìx¢ + 1= -4 ìx¢ = -5 Vì AG = (-4;3) = u . Theo ñeà: GG¢ = u Û í Ûí Þ G¢(-5;6). îy¢ - 3 = 3 îy¢ = 6 19 Trong maë t phaú ng Oxy , cho 2 ñöôø ng troø n (C) : (x - 1)2 + (y + 3)2 = 2,(C¢) : x2 + y2 - 10x + 4y + 25 = 0. r Coùhay khoâ ng pheù p tònh tieá n vectô u bieá n (C) thaø nh (C¢) .

HD : (C) coùtaâ m I(1; - 3), baù n kính R =2 ; (C¢) coùtaâ m I ¢(5; - 2), baù n kính R¢=2 . r Ta thaá y : R =R¢=2 neâ n coùpheù p tònh tieá n theo vectô u =(4;1) bieá n (C) thaø nh (C¢) .

20 Trong heätruïc toaïñoäOxy , cho hình bình haø nh OABC vôù i A( - 2;1) vaøB Î D :2x - y - 5 =0 . Tìm taä p hôïp ñæ nh C ?

Giaû i uuur uuur r r (B) vôù gVì OABC laøhình bình haø nh neâ n : BC = AO = (2; -1) Þ C = Tu i u =(2; -1) uuur r r Tu ìx¢ - x = 2 ìx = x¢ - 2 gB(x;y) I¾¾¾ ® C(x¢;y¢) . Do : BC = u Û í Ûí ¢ îy - y = -1 îy = y¢ + 1 ¢ y¢) Î D¢ : 2x - y - 10 =0 gB(x;y) Î D Û 2x - y - 5 =0 Û 2x¢ - y¢ - 10 =0 Û C(x; 21 Cho DABC . Goïi A1,B1,C1 laà n löôït laøtrung ñieå m caù c caïnh BC,CA,AB. Goïi O1,O2,O3 vaøI1,I 2,I 3 töông öù ng laøcaù c taâ m ñöôø ng troø n ngoaïi tieá p vaøcaù c taâ m ñöôø ng troø n noä i tieá p cuû a ba tam giaù c AB1C1, BC1A1, vaøCA1B1 . Chöù ng minh raè ng : DO1O2O3 = DI1I 2I 3 .

HD : w Xeù t pheù p tònh tieá n : T1uuur bieá n A I¾¾ ® C,C1 I¾¾ ® B,B1 I¾¾ ® A1 .

AB 2 T1uuur T1uuur T1uuur AB

AB

AB

2 ® DC BA ;O I¾¾¾¾ 2 ® O ;I I¾¾¾¾ 2 ®I . Þ DAB1C1 I¾¾¾¾ 1 1 1 2 1 2 uuuuuur uuuur Þ O1O2 = I1I 2 Þ O1O2 = I1I 2. w Lyùluaä n töông töï: Xeù t caù c pheù p tònh tieá n T1uuur ,T1uuur suy ra : BC CA 2 2 uuuuuur uuuur uuuuuu r uuuu r O2O3 = I 2I 3 vaøO3O1 = I 3I1 Þ O2O3 = I 2I 3,O3O1 = I 3I1 Þ DO1O2O3 = DI1I 2I 3 (c.c.c). µ = 60o,B µ = 150ovaøD µ = 90o.

22 Trong töùgiaù c ABCD coùAB =6 3cm ,CD = 12cm , A

Tính ñoädaø i caù c caïnh BC vaøDA .

HD : uuuu r uuur Tuuur · µ = 150o) BC ® M Û AM = BC.Ta coù: ABCM laøhình bình haø w Xeù t : A I¾¾¾ nh vaøBCM = 30o(vì B · · Laïi coù: BCD = 360o - (90o+ 60o+ 150o) = 60o Þ MCD = 30o. Ñònh lyùhaø m cos trong DMCD : 3 MD2 = MC2+ DC2- 2MC.DC.cos30o = (6 3)2+ (12)2 - 2.6 3.12. = 36 2 Þ MD =6cm .

1 Ta coù: MD = CD vaøMC =MD 3 Þ DMDC laøtam giaù c ñeà u 2 · · Þ DMCD laønöû a tam giaù c ñeà u Þ DMC = 90o vaøMDA = 30o. · · · Vaä y : MDA = MAD = MAB = 30o Þ DAMD laøtam giaù c caâ n taïi M .

-9-

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

6 3 Döïng MK ^ AD Þ K laøtrung ñieå m cuû a AD Þ KD=MDcos30o = cmÞ AD = 6 3cm 2 Toù m laïi : BC =AM =MD =6cm , AD =AB =6 3cm Vấn đề 3 : PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC A . KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ ĐN1:Điểm M ¢ gọi là đối xứng với điểm M qua đường thẳng a nếu a là đường trung trực của đoạn MM ¢ Pheù p ñoá i xöù ng qua ñöôø ng thaú ng coø n goïi laøpheù p ñoá i xöù ng truïc . Ñöôø ng thaú ng a goïi laøtruïc ñoá i xöù ng. ÑN2 : Pheù p ñoá i xöù ng qua ñöôø ng thaú ng a laøpheù p bieá n hình bieá n moã i ñieå m M thaø nh ñieå m M ¢ ñoá i xöù ng vôù i M qua ñöôø ng thaú uuuunug ura . uuuuuu r Kí hieä u : Ña(M) = M ¢ Û M oM ¢ = -M oM , vôù i M o laøhình chieá u cuû a M treâ n ñöôø ng thaú ng a .

Khi đó : gNeá u M Î a thì Ña(M) = M : xem M laøñoá i xöù ng vôù i chính noùqua a . ( M coø n goïi laøñieå m baá t ñoä ng )

gM Ï a thì Ña(M) = M ¢ Û a laøñöôø ng trung tröïc cuû a MM ¢ gÑa(M) = M ¢ thì Ña(M ¢) = M gÑa(H) = H¢ thì Ña(H¢) = H , H¢ laøaû nh cuû a hình H .

gÑN : d laøtruïc ñoá i xöù ng cuû a hình H Û Ñd(H) = H . gPheù p ñoá i xöù ng truïc hoaø n toaø n xaù c ñònh khi bieá t truïc ñoá i xöù ng cuû a noù.

Chuùyù: Moä t hình coùtheåkhoâ ng coùtruïc ñoá i xöù ng ,coùtheåcoùmoä t hay nhieà u truïc ñoá i xöù ng .

2/ Biểu thức tọa độ: M(x;y) I¾¾ ® M ¢ = Ñd(M) = (x¢;y¢ ) ìx¢=x ìx¢=- x ª d º Ox : í ª d º Oy : í îy¢ =- y îy¢ =y 3/ ĐL: Phép đối xứng trục là một phép dời hình.

gHQ :

1.Pheù p ñoá i xöù ng truïc bieá n ba ñieå m thaú ng haø ng thaø nh ba ñieå m thaú ng haø ng vaøbaû o toaø n thöùtöïcuû a caù c ñieå m töông öù ng .

2. Ñöôø ng thaú ng thaø nh ñöôø ng thaú ng .

3. Tia thaø nh tia .

4. Ñoaïn thaú ng thaø nh ñoaïn thaú ng baè ng noù.

5. Tam giaù c thaø nh tam giaù c baè ng noù. (Tröïc taâ mI¾¾ ® tröïc taâ m , troïng taâ mI¾¾ ® troïng taâ m) 6. Ñöôø ng troø n thaø nh ñöôø ng troø n baè ng noù. (Taâ m bieá n thaø nh taâ m : I I¾¾ ® I ¢ , R¢ =R ) 7. Goù c thaø nh goù c baè ng noù. · PP : Tìm aû nh M ¢ =Ña(M) 1. (d) ' M , d ^ a 2. H =d Ç a 3. H laøtrung ñieå m cuû a MM ¢ ® M ¢ ? ª PP : Tìm aû nh cuû a ñöôø ng thaú ng : D¢=Ña(D) w TH1:(D)// (a) 1. Laá y A,B Î (D) : A ¹ B 2. Tìm aû nh A ¢=Ña(A) 3. D¢ ' A ¢,D¢// (a) ® D¢

- 10 -

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

w TH2 : D // a 1. Tìm K =D Ç a 2. Laá y P Î D : P ¹ K .Tìm Q =Ña(P) 3. D¢ º (KQ) ª PP : Tìm M Î (D) : (MA +MB)min.

Tìm M Î (D) : (MA+MB)min w Loaïi 1 : A, B naè m cuø ng phía ñoá i vôù i (D) : 1) goïi A ¢ laøñoá i xöù ng cuû a A qua (D) 2) "M Î (D), thì MA +MB = MA ¢+MB ³ A ¢B Do ñoù : (MA+MB)min=A ¢B Û M =(A ¢B) Ç (D) w Loaïi 2 : A, B naè m khaù c phía ñoá i vôù i (D) : "M Î (D ), thì MA +MB ³ AB Ta coù : (MA+MB)min =AB Û M =(AB) Ç (D) B . BÀI TẬP 1 Trong mpOxy . Tìm aû nh cuû a M(2;1) ñoá i xöù ng qua Ox , roà i ñoá i xöù ng qua Oy . Ñ

Ñ

Oy Ox ® M ¢(2; - 1) I¾¾¾ HD : M(2;1) I¾¾¾ ® M ¢¢(-2; -1)

2 Trong mpOxy . Tìm aû nh cuû a M(a;b) ñoá i xöù ng qua Oy , roà i ñoá i xöù ng qua Ox . Ñ

Ñ

Oy Ox ® M ¢¢(-a; - b) HD : M(a;b) I¾¾¾ ® M ¢( - a;b) I¾¾¾

Ñ

Ñ

b® M ¢¢.

3 Cho 2 ñöôø ng thaú ng (a) : x - 2 =0 , (b) : y +1 =0 vaøñieå m M( - 1;2) . Tìm : M I¾¾a¾ ® M ¢ I¾¾¾ Ñ

Ñ

b® M ¢¢(5; -4) [ veõhình ] .

HD : M( - 1;2) I¾¾a¾ ® M ¢(5;2) I¾¾¾

4 Cho 2 ñöôø ng thaú ng (a) : x - m =0 (m >0) , (b) : y +n =0 (n >0). Ñ

Ñ

b® M ¢¢(x¢¢;y¢¢).

Tìm M ¢¢: M(x;y) ¾¾a¾ ® M ¢(x¢;y¢) ¾¾¾ Ña Ñb ì x¢ = 2m- x ì x¢¢ = 2m- x HD : M(x;y) I¾¾¾¾ ® M¢ í I¾¾¾¾¾¾ ® M ¢¢ í tñ(m;y) tñ( 2m x; n) ¢ îy = y î y¢¢ = -2n - y

5 Cho ñieå m M( - 1;2) vaøñöôø ng thaú ng (a) : x +2y +2 =0 .

HD : (d) : 2x - y +4 =0 , H =d Ç a ® H( - 2;0) , H laøtrung ñieå m cuû a MM ¢ ® M ¢( - 3; - 2) 6 Cho ñieå m M( - 4;1) vaøñöôø ng thaú ng (a) : x +y =0 . Þ M ¢=Ña(M) = (-1;4) 7 Cho 2 ñöôø ng thaú ng (D ) : 4x - y +9 =0 , (a) : x - y +3 =0 . Tìm aû nh D¢=Ña(D ) .

HD : 4 -1 gVì ¹ Þ D caé t a ® K = D Ç a ® K(-2;1) 1 -1 gM( - 1;5) Î D ® d ' M, ^ a ® d: x + y - 4 = 0 ® H(1/ 2;7/ 2): tñieå m cuû a MM ¢ ® M ¢ = Ña(M) = (2;2) gD¢ º KM ¢: x - 4y +6 =0 8 Tìm b =Ña(Ox) vôù i ñöôø ng thaú ng (a) : x +3y +3 =0 .

HD : gaÇ Ox =K( - 3;0) .

3 9 gM º O(0;0) Î Ox : M ¢=Ña(M) =( - ; - ) .

5 5 ¢ gb º KM : 3x +4y + 9 =0 .

9 Tìm b =Ña(Ox) vôù i ñöôø ng thaú ng (a) : x +3y - 3 =0 .

- 11 -

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

HD : gaÇ Ox =K(3;0) . gP º O(0;0) Î Ox . ì+Qua O(0;0) gD í ® D :3x - y = 0 î+ ^ a 3 9 3 9 gE =aÇ D ® E( ; ) laøtrung ñieå m OQ ® Q( ; ) .

10 10 5 5 gb º KQ : 3x +4y - 9 =0 .

10 Tìm b =ÑOx(a) vôù i ñöôø ng thaú ng (a) : x +3y - 3 =0 .

Giaû i: Caù ch 1: Duø ng bieå u thöù c toaïñoä(raá t hay) Caù ch 2: gK=aÇ Ox ® K(3;0) gP(0;1) Î a Þ Q =ÑOx (P) =(0; - 1) gb º KQ : x - 3y - 3 =0 .

11 Cho 2 ñöôø ng thaú ng (D ) : x - 2y +2 =0 , (a) : x - 2y - 3 =0 . Tìm aû nh D¢=Ña(D ) .

PP : D / /a Caù ch 1 : Tìm A,B Î D ® A ¢,B¢ Î D¢ Þ D¢ º A ¢B¢ Caù ch 2 : Tìm A Î D ® A ¢ Î D¢ Þ D¢ / / D, D¢ ' A ¢ Giaû i : gA(0;1) Î D ® A ¢ = Ña(A) = (2; -3) gD¢ ' A ¢,D¢ / / D Þ D¢ : x - 2y - 8 = 0 12 Cho ñöôø ng troø n (C) : (x+3)2 + (y - 2)2 = 1 , ñöôø ng thaú ng (a) : 3x - y +1=0 . Tìm (C¢) =Ña[(C)] HD : (C¢) : (x - 3)2 + y2 = 1 .

13 Trong mpOxy cho DABC : A( - 1;6),B(0;1) vaøC(1;6) . Khaú ng ñònh naø o sau ñaâ y sai ?

A. DABC caâ n ôûB B. DABC coù1 truïc ñoá i xöù ng C. DABC = ÑOx (DABC) D. Troïng taâ m : G =ÑOy (G) HD : Choïn D 14 Trong mpOxy cho ñieå m M( - 3;2), ñöôø ng thaú ng (D) : x +3y - 8 =0, ñöôø ng troø n (C) : (x+3)2+ (y + 2)2= 4.

Tìm aû nh cuû a M, (D) vaø(C) qua pheù p ñoá i xöù ng truïc (a) : x - 2y +2 =0 .

Giaû i : Goïi M ¢, (D¢) vaø(C¢) laøaû nh cuû a M, (D) vaø(C) qua pheù p ñoá i xöù ng truïc a . ìg Qua M( - 3;2) a) Tìm aû nh M ¢ : Goïi ñöôø ng thaú ng (d) :í îg ^ a +(d) ^ (a) ® (d) : 2x + y +m =0 . Vì (d) ' M( - 3;2) Þ m = 4 Þ (d): 2x + y+ 4 =0 ì 1 ï xH = 2 (xM + xM ¢ ) +H =(d) Ç (a) Þ H( - 2;0) Þ H laøtrung ñieå m cuû a M,M ¢ Û H í ï y = 1 (y + y ¢ ) M î H 2 M ì 1 ï -2 = 2 (-3+ xM ¢ ) ìx = -1 Ûí Û í M¢ Þ M ¢(-1; -2) 1 y = 2 ¢ î M ï 0 = (2 + y ¢ ) M î 2 b) Tìm aû nh (D¢) : 1 3 gVì ¹ Þ (D ) caé t (a) Þ K =(D ) Ç (a) 1 -2 ì x +3y - 8 =0 Þ Toaï ñoäcuû a K laønghieä m cuû a heä: í Û K (2;2) î x - 2y +2 =0

- 12 -

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

gLaá y P ¹ K Þ Q =Ña[P( - 1;3)] =(1; -1) . ( Laø m töông töïnhö caâ u a) ) ìg Qua P( - 1;3) Goïi ñöôø ng thaú ng (b) : í îg ^ a +(b) ^ (a) ® (b) : 2x + y +m =0 . Vì (b) ' P( - 1;3) Þ m =- 1Þ (b): 2x + y - 1 =0 +E =(b) Ç (a) Þ E(0;1) Þ E laøtrung ñieå m cuû a P,Q Û ì ì 1 1 ïï xE = 2 (xP + xQ ) ïï0 = 2 (-1+ xQ ) ìïxQ = 1 Û Eí Ûí Ûí Þ Q(1; -1) ïîyQ = -1 ï y = 1 (y + y ) ï1= 1 (3+ y ) Q Q ïî E 2 P ïî 2 ìgQua K(2;2) x- 2 y- 2 uuur +(D¢) º (KQ) : í Þ (D¢): = Û 3x - y - 4 = 0 1 3 îgVTCP : KQ = (-1; -3) = -(1;3) c) +Tìm aû nh cuû a taâ m I( - 3;2) nhö caâ u a) . Ña Ña m I I¾¾¾ m I ¢ .Tìm I I¾¾¾ + Vì pheù p ñoá i xöù ng truïc laøpheù p dôø i hình neâ n (C): gTaâ ®(C¢): gTaâ ® I¢ gR = 2 gR¢ = R = 2 ì 2 2 Ña ï m I( - 3;2)I¾¾¾ m I ¢=Ña [I( - 3; -2)] = (- ; ) Vaä y : (C) +Taâ ® (C¢) í+Taâ 5 5 + BK : R =2 ïî+ BK : R¢=R =2 2 2 ® (C¢) : (x + )2 + (y - )2 = 4 5 5

{

{

{

15 Trong mpOxy cho ñieå m M(3; - 5), ñöôø ng thaú ng (D) : 3x +2y - 6 =0, ñöôø ng troø n (C) : (x+1)2+ (y - 2)2= 9.

Tìm aû nh cuû a M, (D) vaø(C) qua pheù p ñoá i xöù ng truïc (a) : 2x - y +1 =0 .

HD : Ña 33 1 9 13 a) M(3; - 5) I¾¾¾ ® M ¢(- ; - ),(d): x + 2y + 7 = 0,tñieå m H( - ; - ) 5 5 5 5 4 15 b) +K=D Ç (a) ® K( ; ) 7 7 +P Î (D) : P(2;0) ¹ K , Q =Ña[P(2;0)] =( - 2;2) Þ (D¢) º (KQ) : x - 18y + 38 = 0 Ña 9 8 9 8 c) +I(1; - 2) I¾¾¾ ® I ¢( - ; ) , R¢=R =3 Þ (C¢) : (x + )2 + (y - )2 = 9 5 5 5 5 16 Cho ñieå m M(2; - 3), ñöôø ng thaú ng (D) : 2x +y - 4 =0, ñöôø ng troø n (C) : x2+ y2 - 2x + 4y + 2 = 0.

Tìm aû nh cuû a M, (D) vaø(C) qua pheù p ñoá i xöù ng qua Ox . ÑOx ìx = x¢ ìx¢ = x HD : Ta coù: M(x;y) ¾¾¾ ® M¢ í (1) Þ í (2) îy = -y¢ îy¢ = -y Ñ

Ox ® M ¢(2;3) gThay vaø o (2) : M(2; - 3) ¾¾¾ gM(x;y) Î (D) Û 2x¢ - y¢ - 4 =0 Û M ¢(x¢;y¢) Î (D¢) : 2x - y - 4 =0 .

gM(x;y) Î (C) : x2+ y2 - 2x + 4y + 2 = 0 Û x¢2+ y¢2 - 2x¢ - 4y¢ + 2 = 0 Û (x¢ - 1)2 + (y¢ - 2)2 = 3 Û M ¢(x¢;y¢) Î (C¢) : (x - 1)2 + (y - 2)2 = 3 17 Trong mpOxy cho ñöôø ng thaú ng (a) : 2x - y+3 =0 . Tìm aû nh cuû a a qua ÑOx. ÑOx ìx¢ = x ìx = x¢ Giaû i : Ta coù: M(x;y) I¾¾¾ ® M¢ í Þí îy¢ = -y îy = -y¢ ¢ : 2x + y +3 =0 Vì M(x;y) Î (a) : 2x - y+3 =0 Û 2(x¢) - (- y¢)+3 =0 Û 2x¢ + y¢+3 =0 Û M ¢(x¢;y¢) Î (a) Ñ

Oy ¢ : 2x + y +3 =0 Vaä y : (a) I¾¾¾® (a)

- 13 -

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

18 Trong mpOxy cho ñöôø ng troø n (C) : x2 + y2 - 4y - 5 =0 . Tìm aû nh cuû a a qua ÑOy. ÑOy ì x¢ = -x ìx = -x¢ Giaû i : Ta coù: M(x;y) I¾¾¾® M ¢ í Þí î y¢ = y îy = y¢ Vì M(x;y) Î (C) : x2 + y2 - 4y - 5 =0 Û ( - x¢)2 + y¢2 - 4(y¢) - 5 =0 Û x¢2 + y¢2 - 4y - 5 =0

Û M ¢(x¢;y¢) Î (C¢) : x2 + y2 - 4y - 5 =0 ÑOy Vaä y : (C) I¾¾¾® (C¢) : x2 + y2 - 4y - 5 =0

19 Trong mpOxy cho ñthaú ng (a) : 2x - y - 3 =0 , (D) : x - 3y + 11 =0 , (C) : x2 + y2 - 10x - 4y + 27 =0 . a) Vieá t bieå u thöù c giaû i tích cuû a pheù p ñoá i xöù ng truïc Ña . b) Tìm aû nh cuû a ñieå m M(4; - 1) qua Ña. c) Tìm aû nh : (D¢) =Ña(D),(C¢) = Ña(C) .

Giaû i a) Toå ng quaù t (a) : Ax +By +C=0 , A 2 + B2 ¹ 0 uuuuu r uuuuu r r Ña r Goïi M(x;y) I¾¾¾ ® M ¢(x¢;y¢) , ta coù: MM ¢ = (x¢ - x;y¢ - y) cuø ng phöông VTPT n =(A;B) Þ MM ¢ = tn x + x¢ y + y¢ ìx¢ - x = At ìx¢ = x + At Þí Þí ("t Î ¡ ) . Goïi I laøtrung ñieå m cuû a MM ¢ neâ n I( ; ) Î (a) 2 2 îy¢ - y = Bt îy¢ = y + Bt x + x¢ y + y¢ x + x + At y + y + Bt Û A( ) + B( ) + C = 0 Û A( ) + B( )+ C = 0 2 2 2 2 -2(Ax +By +C) Û (A 2 + B2)t = -2(Ax +By +C) Û t = A 2 + B2 ìï 2A(Ax +By +C) 2B(Ax +By +C) Þ íx¢ = x ;y¢ = y ïî A 2 + B2 A 2 + B2 ì ì 4(2x - y - 3) 3 4 12 x¢ = - x + y + ïï x¢ = x ï ï 5 5 5 5 AÙ p duïng keá t quaûtreâ n ta coù: í Ûí 2(2x y 3) 4 3 6 ï y¢ = y + ïy¢ = y + y 5 5 5 5 îï îï Ña 4 7 b) M(4; - 1) I¾¾¾ ® M ¢(- ; ) 5 5 Ñ

a® D ¢ :3x + y - 17 = 0 c) D I¾¾¾ Ñ

a® (C¢):(x - 1)2 + (y - 4)2 = 2 d) (C) I¾¾¾

20 Trong mpOxy cho ñöôø ng thaú ng (D ) : x - 5y + 7 =0 vaø(D¢) : 5x - y - 13 =0 . Tìm pheù p ñoá i xöù ng qua ¢ truïc bieá n (D ) thaø nh (D ) .

Giaû i 1 -5 Vì ¹ Þ (D) vaø(D¢) caé t nhau . Do ñoùtruïc ñoá i xöù ng (a) cuû a pheù p ñoá i xöù ng bieá n (D ) thaø nh (D¢) chính 5 -1 laøñöôø ng phaâ n giaù c cuû a goù c taïo bôû i (D) vaø(D¢) . | x - 5y + 7| |5x - y - 13| é x + y - 5 = 0 (a1) = Ûê 1+ 25 25 +1 ë x - y - 1= 0 (a2) Vaä y coù2 pheù p ñoá i xöù ng qua caù c truïc (D1) : x + y - 5 = 0 , (D 2): x - y - 1= 0 Töøñoùsuy ra (a) :

21 Qua pheù p ñoá i xöù ng truïc Ña : 1. Nhöõ ng tam giaù c naø o bieá n thaø nh chính noù?

2. Nhöõ ng ñöôø ng troø n naø o bieá n thaø nh chính noù?

- 14 -

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

HD : 1. Tam giaù c coù1 ñæ nh Î truïc a , hai ñæ nh coø n laïi ñoá i xöù ng qua truïc a .

2. Ñöôø ng troø n coùtaâ m Îa.

22 Tìm aû nh cuû a ñöôø ng troø n (C) : (x - 1)2+ (y - 2)2= 4 qua pheù p ñoá i xöù ng truïc Oy. PP : Duø ng bieå u thöù c toaïñoä® ÑS : (C¢) : (x + 1)2+ (y - 2)2= 4 23 Hai DABC vaøDA ¢B¢C¢ cuø ng naè m trong maë t phaú ng toaïñoävaøñoá i xöù ng nhau qua truïc Oy .

Bieá t A( - 1;5),B(-4;6),C¢(3;1) . Haõ y tìm toaïñoäcaù c ñæ nh A ¢, B¢ vaøC . ÑS : A ¢(1;5), B¢(4;6) vaøC( - 3;1) 24 Xeù t caù c hình vuoâ ng , nguõgiaù c ñeà u vaøluïc giaù c ñeà u . Cho bieá t soátruïc ñoá i xöù ng töông öù ng cuû a moã i loaïi ña giaù c ñeà u ñoùvaøchæra caù ch veõcaù c truïc ñoá i xöù ng ñoù. ÑS : gHình vuoâ ng coù4 truïc ñoá i xöù ng , ñoùlaøcaù c ñöôø ng thaú ng ñi qua 2 ñæ nh ñoá i dieä n vaøcaù c ñöôø ng thaú ng ñi qua trung ñieå m cuû a caù c caë p caïnh ñoá i dieä n. gNguõgiaù c ñeà u coù5 truïc ñoá i xöù ng ,ñoùlaøcaù c ñöôø ng thaú ng ñi qua ñæ nh ñoá i dieä n vaøtaâ m cuû a nguõgiaù c ñeà u. gLuïc giaù c ñeà u coù6 truïc ñoá i xöù ng , ñoùlaøcaù c ñöôø ng thaú ng ñi qua 2 ñæ nh ñoá i dieä n vaøcaù c ñöôø ng thaú ng ñi qua trung ñieå m cuû a caù c caë p caïnh ñoá i dieä n.

25 Goïi d laøphaâ n giaù c trong taïi A cuû a DABC , B¢ laøaû nh cuû a B qua pheù p ñoá i xöù ng truïc Ñd . Khaú ng ñònh naø o sau ñaâ y sai ?

A. Neá u AB <AC thì B¢ ôûtreâ n caïnh AC .

B. B¢ laøtrung ñieå m caïnh AC .

C. Neá u AB =AC thì B¢ º C .

D. Neá u B¢ laøtrung ñieå m caïnh AC thì AC =2AB . ÑS : Neá u B¢=Ñd(B) thì B¢ Î AC . gA ñuù ng . Vì AB <AC maøAB¢=AB neâ n AB¢<AC Þ B¢ ôûtreâ n caïnh AC .

1 gB sai . Vì giaûthieá t baø i toaù n khoâ ng ñuûkhaú ng ñònh AB = AC. 2 ¢ ¢ ¢ gC ñuù ng . Vì AB =AB maøAB =AC neâ n AB =AC Þ B º C . ¢ gD ñuù ng . Vì Neá u B laøtrung ñieå m caïnh AC thì AC=2AB¢ maøAB¢=AB neâ n AC=2AB .

26 Cho 2 ñöôø ng thaú ng a vaøb caé t nhau taïi O . Xeù t 2 pheù p ñoá i xöù ng truïc Ña vaøÑb : Ñ

Ñ

a® B I¾¾¾ b® C . Khaú A I¾¾¾ ng ñònh naø o sau ñaâ y khoâ ng sai ?

A. A,B,C Î ñöôø ng troø n (O, R =OC) .

B. Töùgiaù c OABC noä i tieá p.

C. DABC caâ n ôûB D. DABC vuoâ ng ôûB HD : gA. Khoâ ng sai . Vì d1 laøtrung tröïc cuû a AB Þ OA =OB , d2 laøtrung tröïc cuû a BC Þ OB =OC Þ OA =OB =OC Þ A,B,C Î ñöôø ng troø n (O, R =OC) . gCaù c caâ u B,C,D coùtheåsai .

27 Cho DABC coùhai truïc ñoá i xöù ng . Khaú ng ñònh naø o sau ñaâ y ñuù ng ?

A. DABC laøD vuoâ ng B. DABC laøD vuoâ ng caâ n C. DABC laøD ñeà u HD : Gæ a söûDABC coù2truïc ñoá i xöù ng laøAC vaøBC ìAB =AC Þí Þ AB = AB = BC Þ DABC ñeà u. îBC =BA

- 15 -

D. DABC laøD caâ n.

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

µ = 110o. Tính B µ vaøC µ ñeåDABC 28 Cho DABC coùA coùtruïc ñoá i xöù ng . µ µ µ =45o vaøC µ = 25o o A. B =50 vaøC = 20o B. B

µ =40o vaøC µ = 30o C. B HD : Choïn D . Vì : DABC coùtruïc ñoá i xöù ng khi DABC caâ n hoaë c ñeà u µ = 110o > 90o Þ DABC caâ Vì A n taïi A , khi ñoù:

µ =C µ = 35o D. B

o µ o o µB = C µ = 180 - A = 180 - 110 = 35o 2 2 29 Trong caù c hình sau , hình naø o coùnhieà u truïc ñoá i xöù ng nhaá t?

A. Hình chöõnhaä t B. Hình vuoâ ng C. Hình thoi ÑS : Choïn B. Vì : Hình vuoâ ng coù4 truïc ñoá i xöù ng .

D. Hình thang caâ n.

30 Trong caù c hình sau , hình naø o coùít truïc ñoá i xöù ng nhaá t?

A. Hình chöõnhaä t B. Hình vuoâ ng C. Hình thoi ÑS : Choïn D. Vì : Hình thang caâ n coù1 truïc ñoá i xöù ng .

31 Trong caù c hình sau , hình naø o coù3 truïc ñoá i xöù ng ?

A. Hình thoi B. Hình vuoâ ng ÑS : Choïn C. Vì : D ñeà u coù3 truïc ñoá i xöù ng .

C. D ñeà u

D. Hình thang caâ n.

D. D vuoâ ng caâ n.

32 Trong caù c hình sau , hình naø o coùnhieà u hôn 4 truïc ñoá i xöù ng ?

A. Hình vuoâ ng B. Hình thoi C. Hình troø n ÑS : Choïn C. Vì : Hình troø n coùvoâsoátruïc ñoá i xöù ng .

D. Hình thang caâ n.

33 Trong caù c hình sau , hình naø o khoâ ng coùtruïc ñoá i xöù ng ?

A. Hình bình haø nh B. D ñeà u C. D caâ n D. Hình thoi . ÑS : Choïn A. Vì : Hình bình haø nh khoâ ng coùtruïc ñoá i xöù ng .

34 Cho hai hình vuoâ ng ABCD vaøAB¢C¢D¢ coùcaïnh ñeà u baè ng a vaøcoùñæ nh A chung .

Chöù ng minh : Coùtheåthöïc hieä n moä t pheù p ñoá i xöù ng truïc bieá n hình vuoâ ng ABCD thaø nhøAB¢C¢D¢ . ¢ ¢ HD : Gæ a söû: BC Ç B C =E . µ =B µ ¢ = 90o,AE chung .

Ta coù: AB =AB¢ , B ÑAE ìEB =EB¢ Þ DABE =DAB¢F Þ í Þ B I¾¾¾® B¢ t AB =AB¢ î bieá ÑAE ìEC =EC¢ Maë t khaù c: í Þ C I¾¾¾® C¢ ¢ AC = AC = a 2 î · ¢ BAB · ¢AE = DAE · Ngoaø i ra : AD¢ =AD vaøD = 90o 2 ÑA ÑAE Þ D I¾¾¾ ® D¢ Þ ABCD I¾¾¾® AB¢C¢D¢

35 Goïi H laøtröïc taâ m DABC . CMR : Boá n tam giaù c ABC , HBC , HAC , HAC coù ñöôø ng troø n ngoaïi tieá p baè ng nhau .

HD : ¶ =C ¶ (cuø » ) Ta coù: A ng chaé n cung BK 1

2

¶ =C ¶ (goù ¶ =C ¶ A c coùcaïnh töông öù ng ^ ) Þ C 1 1 1 2 Þ DCHK caâ n Þ K ñoá i xöù ng vôù i H qua BC .

Xeù t pheù p ñoá i xöù ng truïc BC . Ñ

Ñ

Ñ

BC H ; B I¾¾¾® BC B ; C I¾¾¾® BC C Ta coù: K I¾¾¾® Ñ

BC Ñöôø Vaä y : Ñöôø ng troø n ngoaïi tieá p DKBC I¾¾¾® ng troø n ngoaïi tieá p DHBC

- 16 -

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

36 Cho DABC vaøñöôø ng thaú ng a ñi qua ñæ nh A nhöng khoâ ng ñi qua B,C . a) Tìm aû nh DABC qua pheù p ñoá i xöù ng Ña. b) Goïi G laøtroïng taâ m DABC , Xaù c ñònh G¢ laøaû nh cuû a G qua pheù p ñoá i xöù ng Ña.

Giaû i a) Vì a laøtruïc cuû a pheù p ñoá i xöù ng Ña neâ n: gA Î a Þ A = Ña(A) . gB,C Ï a neâ n Ña : B I¾¾ ® B¢,C I¾¾ ® C¢ sao cho a laøtrung tröïc cuû a BB¢,CC¢ b) Vì G Ï a neâ n Ña :G I¾¾ ® G¢ sao cho a laøtrung tröïc cuû a GG¢ .

37 Cho ñöôø ng thaú ng a vaøhai ñieå m A,B naè m cuø ng phía ñoá i vôù i a . Tìm treâ n ñöôø ng thaú ng a ñieå m M sao cho MA+MB ngaé n nhaá t.

Giaû i : Xeù t pheù p ñoá i xöù ng Ña : A I¾¾ ® A¢ .

"M Î a thì MA =MA ¢ . Ta coù: MA +MB =MA ¢+MB ³ A ¢B ÑeåMA +MB ngaé n nhaá t thì choïn M,A,B thaú ng haø ng Vaä y : M laøgiao ñieå m cuû a a vaøA ¢B .

38 (SGK-P13)) Cho goù c nhoïn xOy vaøM laømoä t ñieå m beâ n trong goù c ñoù. Haõ y tìm ñieå m A treâ n Ox vaøñieå m B treâ n Oy sao cho DMBA coùchu vi nhoûnhaá t.

Giaû i Goïi N =ÑOx(M) vaøP =ÑOx(M) . Khi ñoù: AM=AN , BM=BP Töøñoù: CVi =MA+AB+MB =NA+AB+BP ³ NP ( ñöôø ng gaá p khuù c ³ ñöôø ng thaú ng ) MinCVi =NP Khi A,B laà n löôït laøgiao ñieå m cuû a NP vôù i Ox,Oy .

39 Cho DABC caâ n taïi A vôù i ñöôø ng cao AH . Bieá t A vaøH coáñònh . Tìm taä p hôïp ñieå m C trong moã i tröôø ng hôïp sau : a) B di ñoä ng treâ n ñöôø ng thaú ng D . b) B di ñoä ng treâ n ñöôø ng troø n taâ m I, baù n kính R .

Giaû i a) Vì : C =ÑAH (B) , maøB Î D neâ n C Î D¢ vôù i D¢ =ÑAH (D ) Vaä y : Taä p hôïp caù c ñieå m C laøñöôø ng thaú ng D¢ b) Töông töï: Taä p hôïp caù c ñieå m C laøñöôø ng troø n taâ m J , baù n kính R laøaû nh cuû a ñöôø ng troø n (I) qua ÑAH .

Vấn đề 4 : PHÉP ĐỐI XỨNG TẤM A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 ÑN : Pheù p ñoá i xöù ng taâ m I laømoä t pheù p dôø i hình bieá n moã i ñieå m M thaø nh ñieå m M ¢ ñoá i xöù ng vôù i M qua I. Pheù p ñoá i xöù ng qua moä t ñieå m coø n goïi laøpheù p ñoá i taâ m. Ñieå m I goïi laøtaâ m cuû a cuû a pheù p ñoá i xöù ng hay ñôn giaû n laøtaâ m ñoá i xöù ng . uuur uuu r Kí hieä u : ÑI (M) = M ¢ Û IM ¢ = - IM . gNeá u M º I thì M ¢ º I gNeá u M ¹ I thì M ¢ = ÑI (M) Û I laøtrung tröïc cuû a MM ¢. gÑN :Ñieå m I laøtaâ m ñoá i xöù ng cuû a hình H Û ÑI (H) = H. Chuùyù: Moä t hình coùtheåkhoâ ng coùtaâ m ñoá i xöù ng .

- 17 -

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

ÑI 2 Bieå u thöù c toïa ñoä: Cho I(xo;yo) vaøpheù p ñoá i xöù ng taâ m I : M(x;y) I¾¾¾ ® M ¢ = ÑI (M) = (x¢;y¢ ) thì ïìx¢=2xo- x í ¢ ïîy = 2yo- y 3 Tính chaá t: 1. Pheù p ñoá i xöù ng taâ m baû o toaø n khoaû ng caù ch giöõ a hai ñieå m baá t kì .

2. Bieá n moä t tia thaø nh tia .

3. Baû o toaø n tính thaú ng haø ng vaøthöùtöïcuû a caù c ñieå m töông öù ng .

4. Bieá n moä t ñoaïn thaú ng thaø nh ñoaïn thaú ng baè ng noù.

5. Bieá n moä t ñöôø ng thaú ng thaø nh moä t ñöôø ng thaú ng song song hoaë c truø ng vôù i ñöôø ng thaú ng ñaõcho .

6. Bieá n moä t goù c thaø nh goù c coùsoáño baè ng noù.

7. Bieá n tam giaù c thaø nh tam giaù c baè ng noù. ( Tröïc taâ m ® tröïc taâ m , troïng taâ m ® troïng taâ m) 8. Ñöôø ng troø n thaø nh ñöôø ng troø n baè ng noù. ( Taâ m bieá n thaø nh taâ m : I I¾¾ ® I ¢ , R¢ =R ) B . BÀI TẬP 1 Tìm aû nh cuû a caù c ñieå m sau qua pheù p ñoá i xöù ng taâ mI : 1) A( - 2;3) , I(1;2) Þ A ¢(4;1) 2) B(3;1) , I( - 1;2) Þ B¢(-5;3) 3) C(2;4) , I(3;1) Þ C¢(4; -2) Giaû i: uur uur x¢ - 1= 3 x¢ = 4 a) Gæ a söû: A ¢ = ÑI (A) Û IA = -IA Û (x¢ - 1;y¢ - 2) = -(-3;1) Û Û Þ A ¢(4;1) y¢ - 2 = -1 y¢ = 1 Caù ch ¹ : Duø ng bieå u thöù c toaïñoä

{

{

2 Tìm aû nh cuû a caù c ñöôø ng thaú ng sau qua pheù p ñoá i xöù ng taâ mI : 1) (D): x + 2y + 5 = 0,I(2; -1) Þ (D¢): x + 2y - 5 = 0 2) (D) : x - 2y - 3 = 0,I(1;0) Þ (D¢) : x - 2y + 1= 0 3) (D):3x + 2y - 1= 0,I(2; -3) Þ (D¢):3x + 2y + 1= 0 Giaû i PP : Coù3 caù ch Caù ch 1: Duø ng bieå u thöù c toaïñoä Caù ch 2: Xaù c ñònh daïng D¢ // D , roà i duø ng coâ ng thöù c tính khoaû ng caù ch d(D;D¢) ® D¢.

Caù ch 3: Laá y baá t kyøA,B Î D , roà i tìm aû nh A ¢,B¢ Î D¢ Þ D¢ º A ¢B¢ ÑI ìx¢ = 4 - x ì x = 4 - x¢ 1) Caù ch 1: Ta coù: M(x;y) I¾¾¾ ® M¢ í Þí îy¢ = -2 - y î y = -2 - y¢ Vì M(x;y) Î D Û x + 2y + 5 = 0 Û (4 - x¢) + 2(-2- y¢) + 5 = 0 Û x¢ + 2y¢ - 5 = 0 Û M ¢(x¢;y¢) Î D¢ : x + 2y - 5 = 0 ÑI Vaä y : (D ) I¾¾¾ ® (D¢) : x + 2y - 5 = 0 Caù ch 2: Goïi D¢ =ÑI (D) Þ D¢ song song D Þ D¢: x +2y +m =0 (m ¹ 5) . |5| | m| é m = 5 (loaïi) Theo ñeà: d(I;D ) =d(I;D¢) Û = Û 5 = | - m|Û ê ë m = -5 12 + 22 12 + 22 ® (D¢): x + 2y - 5 = 0 Caù ch 3: Laá y : A( - 5;0),B( - 1; - 2) Î D Þ A ¢(9; -2),B¢(5;0) Þ D¢ º A ¢B¢ : x + 2y - 5 = 0

- 18 -

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

3 Tìm aû nh cuû a caù c ñöôø ng troø n sau qua pheù p ñoá i xöù ng taâ mI : 1) (C) : x2 + (y - 2)2 = 1,E(2;1) 2) (C) : x2 + y2 + 4x + 2y = 0,F(1;0) 3) (P) : y =2x2 - x + 3 , taâ m O(0;0) .

Þ (C¢):(x - 4)2 + y2 = 1 Þ (C¢) : x2 + y2 - 8x - 2y + 12 = 0 ñ / nghiaõhay bieå u thöù c toaïñoä ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾®(P¢): y = - 2x2 - x - 3

HD :1) Coù2 caù ch giaû i: Caù ch 1: Duø ng bieå u thöù c toaïñoä. ÑE Caù ch 2: Tìm taâ m I I¾¾¾ ® I ¢,R¢ = R = (ñaõcho) .

2) Töông töï.

4 Cho hai ñieå m A vaøB .Cho bieá t pheù p bieá n ñoå i M thaø nh M ¢ sao cho AMBM ¢ laømoä t hình bình haø nh .

HD : uuuu r uuuur ìï MA = BM ¢ Neá u AMBM ¢ laøhình bình haø nh Û í uuur uuuur MB = AM ¢ uuuuu r uuuu r uuuur uuuu r uuur ïî Vì : MM ¢ = MA + AM ¢ = MA + MB (1) uur uur Goïi I laøtrung ñieå m cuû a AB .

Ta coù : IA = IB uuuuu r uuu r uur uuu r uur uuuuu r uuu r ¢ = MI + IA + MI + IB Þ MM ¢ = 2MI Töø(1) ÞuMM uu r uuur Û MI = IM ¢ Û M ¢ = ÑI (M) .

5 Cho ba ñöôø ng troø n baè ng nhau (I1;R),(I 2;R),(I 3;R) töø ng ñoâ i tieá p xuù c nhau taïi A,B,C . Gæ a söûM laømoä t ñieå m treâ n (I1;R) , ngoaø i ra : ÑI ÑC ÑA ÑB 1® Q .

M I¾¾¾ ® N ; N I¾¾¾ ® P ; P I¾¾¾ ® Q . CMR : M I¾¾¾ HD : · Do (I1;R) tieá p xuù c vôù i (I 2;R) taïi A , neâ n: uuuur uuuur ÑA ÑA ÑA M I¾¾¾ ® N ;I1 I¾¾¾ ® I 2 Þ MI1 I¾¾¾ ® NI 2 Û MI1 = - NI 2 (1) · Do (I 2;R) tieá p xuù c vôù i (I 3;R) taïi B , neâ n: uuuur uuur ÑB ÑB ÑB N I¾¾¾ ® P ;I 2 I¾¾¾ ® I 3 Þ NI 2 I¾¾¾ ® PI 3 Û NI 2 = - PI 3 (2) · Do (I 3;R) tieá p xuù c vôù i (I1;R) taïi C , neâ n: uuur uuur ÑC ÑC ÑC P I¾¾¾ ® Q ;I 3 I¾¾¾ ® I1 Þ PI 3 I¾¾¾ ® QI1 Û PI 3 = -QI1 (3) uuuur uuur Töø(1),(2),(3) suy ra : MI1 = -QI1 Û M = ÑI (Q) .

1 5 Cho DABC laøtam giaù c vuoâ ng taïi A . Keûñöôø ng cao AH . Veõphía ngoaø i tam giaù c hai hình vuoâ ng ABDE vaøACFG . a) Chöù ng minh taä p hôïp 6 ñieå m { B,C,F,G,E,D} coùmoä t truïc ñoá i xöù ng . b) Goïi K laøtrung ñieå m cuû a EG . Chöù ng minh K ôûtreâ n ñöôø ng thaú ng AH . c) Goïi P =DE Ç FG . Chöù ng minh P ôûtreâ n ñöôø ng thaú ng AH . d) Chöù ng minh : CD ^ BP, BF ^ CP . e) Chöù ng minh : AH,CD,BF ñoà ng qui .

- 19 -

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

HD : · · a) Do : BAD = 45ovaøCAF = 45o neâ n ba ñieå m D,A,F thaú ng haø ng . ÑDF ÑDF ÑDF ÑDF · Ta coù: A l¾¾¾® A ; D l¾¾¾® D ; F l¾¾¾® F ; C l¾¾¾® G; ÑDF B l¾¾¾® E (Tính chaá t hình vuoâ ng ).

Vaä y : Taä p hôïp 6 ñieå m { B,C,F,G,E,D} coùtruïc ñoá i xöù ng chính laøñöôø ng thaú ng DAF . · · b) Qua pheù p ñoá i xöù ng truïc DAF ta coù: DABC =DAEG neâ n BAC = AEG.

· · Nhöng : BCA = AGE ( 2 D ñoá i xöù ng =) · ¶ (do DKAG caâ ¶ =A ¶ Þ K,A,H thaú AGE =A n taïi K) . Suy ra : A ng haø ng Þ K ôûtreâ n AH .

2 1 2 c) Töùgiaù c AFPG laømoä t hình chöõnhaä t neâ n : A,K,P thaú ng haø ng . (Hôn nöõ a K laøtrung ñieå m cuû a AP ) Vaä y : P ôûtreâ n PH . d) · Do DEDC =DDBP neâ n DC =BP . ì DC =BP ï · · · Ta coù: íDB =AB Þ DBDC = DABP Þ CD = BP Þ BCD = APB nhöng hai goù c naø y coùcaë p ï BC =AP î caïnh : BC ^ AP Þ caë p caïnh coø n laïi : DC ^ BP. Lyùluaä n töông töï, ta coù: BF ^ CP. e) Ta coù: DBCP . Caù c ñöôø ng thaú ng AH, CD vaøBF chính laøba ñöôø ng cao cuû a DBCP neâ n ñoà ng qui .

6 Cho hai ñieå m A vaøB vaøgoïi ÑA vaøÑB laà n löôït laøhai pheù p ñoá i xöù ng taâ m A vaøB . a) CMR : ÑB oÑA = T uuur .

2AB

b) Xaù c ñònh ÑA oÑB. HD : a) w Goïi M laømoä t ñieå m baá t kyø, ta coù: u u u u r u u u u r ÑA M I¾¾¾ ® M ¢ : MA = AM ¢ uuur uuuuu r ÑB M ¢I¾¾¾ ® M ¢¢ : MB = BM ¢¢. Nghóa laø: M¢¢ =ÑB oÑA (M),"M (1) ÑB oÑA w Ta chöù n g minh : M I ¾¾¾¾¾ ® M ¢¢ : uuuuur uuuuu r uuuuuu r ¢¢ ¢ ¢ ¢¢ Bieá t : uMM uuuu r = MM uuuu r + MuuM uuuur uuuur ¢ = 2MA vaøM ¢M ¢¢ = 2M ¢B Maø: uMM uuuur uuuu r uuuur uuuu r uuuur uuur ¢¢ = 2MA + 2M ¢B = 2MA + 2M ¢A + 2AB Vaä yu:uu MM u r uuuur uuuu r uuuur r uuuuur uuur Vì : MA = AM ¢ neâ n MA + M ¢A = 0 . Suy ra : MM ¢¢ = 2AB Û M ¢¢ = T uuur (M),"M (2) 2AB

Töø(1) vaø(2) , suy ra : ÑB oÑA = T uuur .

2AB

b) Chöù ng minh töông töï: ÑA oÑB = T uuur .

2BA

7 Chöù ng minh raè ng neá u hình (H) coùhai truïc ñoá i xöù ng vuoâ ng goù c vôù i nhau thì (H) coùtaâ m ñoá i xöù ng .

HD : Duø ng hình thoi Gæ a söûhình (H) coùhai truïc ñoá i xöù ng vuoâ ng goù c vôù i nhau .

Laá y ñieå m M baá t kyøthuoä c (H) vaøM1 = Ña(M) , M 2 = Ñb(M1) . Khi ñoù, theo ñònh nghóa M1,M 2 Î (H) .

- 20 -

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

· · Goïi O =aÇ b , ta coù: OM =OM1 vaøMOM 1 = 2AOM1 · OM = 2M · OB OM1 =OM 2 vaøM 1 2 1 · · · · OB) Suy ra : OM =OM 2 vaøMOM1 + M1OM 2 = 2(AOM1 +M 1 · o o hay MOM1 = 2´ 90 = 180 Vaä y : O laøtrung ñieå m cuû a M vaøM 2 .

Do ñoù: M 2 = ÑO (M),"M Î (H),M 2 Î (H) Û O laøtaâ m ñoá i xöù ng cuû a (H) . · · 8 Cho DABC coùAM vaøCN laøcaù c trung tuyeá n . CMR : Neá u BAM = BCN =30o thì DABC ñeà u.

HD : · · · · Töùgiaù c ACMN coùNAM = NCM = 30o neâ n noä i tieá p ñtroø n taâ m O, bkính R=AC vaøMON = 2NAM = 60o. ÑN ÑN Xeù t : A I¾¾¾ ® B Þ (O) I¾¾¾ ® (O1) thì B Î (O1) vì A Î (O) . ÑM ÑM C I¾¾¾ ® B Þ (O) I¾¾¾ ® (O2) thì B Î (O2) vì C Î (O) . ìïOO = OO2 = 2R Khi ñoù, ta coù: í 1 Þ DOO1O2 laøtam giaù c ñeà u. · o ïî MON = 60 Vì O1B + O2B = R + R = 2R = O1O2 neâ n B laøtrung ñieå m O1O2.

Suy ra :DABC ; DOO1O2 (Vì cuø ng ñoà ng daïng vôù i DBMN) .

Vì DOO1O2 laøtam giaù c ñeà u neâ n DABC laøtam giaù c ñeà u.

Vấn đề 5 : PHÉP QUAY A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 ÑN : Trong maë t phaú ng cho moä t ñieå m O coáñònh vaøgoù c löôïng giaù c j. Pheù p bieá n hình bieá n moã i ñieå m ¢ ¢ ¢ M thaø nh ñieå m M sao cho OM =OM vaø(OM;OM ) =j ñöôïc goïi laøpheù p quay taâ m O vôù i goù c quay j. gPheù p quay hoaø n toaø n xaù c ñònh khi bieá t taâ m vaøgoù c quay gKí hieä u : Qj O .

Chuùyù: Chieà u döông cuû a pheù p quay º chieà u döông cuû a ñöôø ng troø n löïông giaù c. gQ2kp º pheù p ñoà ng nhaá t ,"k Î ¢ gQ(2k+1)p º pheù p ñoá i xöù ng taâ m I ,"k Î ¢ 2 Tính chaá t: gÑL : Pheù p quay laømoä t pheù p dôø i hình . gHQ : 1.Pheù p quay bieá n ba ñieå m thaú ng haø ng thaø nh ba ñieå m thaú ng haø ng vaøbaû o toaø n thöùtöïcuû a caù c ñieå m töông öù ng .

2. Ñöôø ng thaú ng thaø nh ñöôø ng thaú ng .

3. Tia thaø nh tia .

4. Ñoaïn thaú ng thaø nh ñoaïn thaú ng baè ng noù.

Q Q 5. Tam giaù c thaø nh tam giaù c baè ng noù. (Tröïc taâ mI¾¾¾ ® tröïc taâ m , troïng taâ mI¾¾¾ ® troïng taâ m) Q(O ; j ) 6. Ñöôø ng troø n thaø nh ñöôø ng troø n baè ng noù. ( Taâ m bieá n thaø nh taâ m : I I¾¾¾¾¾ ® I ¢ , R¢ =R ) 7. Goù c thaø nh goù c baè ng noù.

B. BÀI TẬP

- 21 -

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

1 Trong maë t phaú ng Oxy cho ñieå m M(x;y) . Tìm M / =Q(O ; j)(M) .

HD : ìx =rcosa Goïi M(x;y) . Ñaë t : OM =r , goù c löôïng giaù c (Ox;OM) =a thì M í îy =rsina Q(O ; j) Vì : M I¾¾¾¾¾ ® M / . Goïi M / (x¢;y¢) thì ñoädaø i OM / =r vaø(Ox;OM / ) =a +j .

Ta coù: x¢ =rcos(a +j) =acosa.cosj - asina.sinj = xcosj - ysinj . y¢ =rsin(a +j) =asina.cosj + acosa.sinj = xsinj + ycosj . ì x¢=xcosj - ysinj Vaä y : M/ í î y¢=xsinj + ycosj Ñaë c bieä t: Q(O ; -j) ì x¢¢ =xcosj + ysinj w M I¾¾¾¾¾® M // í î y¢¢ = - xsinj + ycosj Q(I ; j) ìï x¢ - xo =(x - xo)cosj - (y - yo)sinj w M I¾¾¾¾¾ ® M/ í I(xo;yo) ïî y¢ - yo =(x - xo)sinj + (y - yo)cosj Q(I ; -j) ïìx¢¢ - xo =(x - xo)cosj - (y - yo)sinj w M I¾¾ ¾¾¾ ® M // í I(xo;yo) ïîy¢¢ - yo =- (x - xo)sinj + (y - yo)cosj

2 Trong mpOxy cho pheù p quay Q . Tìm aû nh cuû a: (O;45o) a) Ñieå m M(2;2) b) Ñöôø ng troø n (C) : (x - 1)2+y2=4 Q (O; 45o) Giaû i . Goïi : M(x;y) I¾¾¾¾¾® M / (x/ ;y/ ) . Ta coù: OM =2 2, (Ox; OM) =a ìï x¢ =rcos(a+45o) = rcosa.cos45o- rsina.sin45o = x.cos45o- y.sin45o Thì M / í ïî y¢ =rsin(a+45o) = rsina.cos45o+ rcosa.sin45o = y.cos45o+ x.sin45o ì 2 2 xy ïï x¢= 2 2 Þ M/ í ï y¢= 2 x + 2 y ïî 2 2 Q (O ; 45o) a) A(2;2) I¾¾¾¾¾® A / (0 ;2 2) Q ìï ìgTaâ (O; 45o) m I(1;0) m I /? b) Vì (C) : í ¾¾¾¾¾® (C¢) : ígTaâ îgBk : R =2 ïîgBk : R¢ =R =2 Q 2 2 22 22 (O ; 45o) I(1;0)I¾¾¾¾¾® I / ( ; ) . Vaä y : (C¢) : (x ) +(y ) =4 2 2 2 2 ì 1 3 y ïïx¢= x 2 2 . Hoû 3 Trong mpOxy cho pheù p bieá n hình f : í i f laøpheù p gì ? ïy¢= 3 x + 1 y ïî 2 2

- 22 -

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

Giaû i ì p p ïïx¢=xcos 3 - ysin 3 Ta coùf : M (x;y) I¾¾ ® M ¢(x¢;y¢) vôù i í Þ f laøpheù p quay Q p (O; ) ïy¢=xsin p + ycos p 3 ïî 3 3 4 Trong mpOxy cho ñöôø ng thaú ng (D) : 2x - y+1=0 . Tìm aû nh cuû a ñöôø ng thaú ng qua : a) Pheù p ñoá i xöù ng taâ m I(1; - 2). b) Pheù p quay Q .

(O;90o) Giaû i ì x¢ = 2- x ìx = 2 - x¢ a) Ta coù: M ¢(x¢;y¢) =ÑI (M) thì bieå u thöù c toïa ñoäM ¢ í Ûí î y¢ = -4- y îy = -4- y¢ ¢ Vì M(x;y) Î (D) : 2x - y+1=0 Û 2(2 - x ) - (-4 - y¢) + 1= 0 Û -2x¢ + y¢ + 9 = 0 Û M ¢(x¢;y¢) Î (D¢): 2x - y - 9 = 0 ÑI Vaä y : (D ) I¾¾¾ ® (D¢) : 2x - y - 9 = 0 Q (O;90o) b) Caù ch 1 : Goïi M(x;y) I¾¾¾¾¾ ® M ¢(x¢;y¢) . Ñaë t (Ox ; OM) =a , OM =r , Ta coù(Ox ; OM ¢) =a + 90o,OM ¢ = r .

Q ìï x¢ = rcos(a + 90o) = - rsina = -y ìx = y¢ ìx =rcosa (O;90o) Khi ñoù: M í I¾¾¾¾¾ ® M¢ í Þí îy =rsina îy = - x¢ ïî y¢ = rsin(a + 90o) = rcosa = x Vì M(x;y) Î (D ) : 2(y¢) - ( - x¢) +1 =0 Û x¢ + 2y¢ +1 =0 Û M ¢(x¢;y¢) Î (D¢): x + 2y + 1= 0 Q (O;90o) Vaä y : (D) I¾¾¾¾¾ ® (D¢): x + 2y + 1= 0 Q (O;90o) Caù ch 2 : Laá y : · M(0;1) Î (D ) I¾¾¾¾¾ ® M ¢(-1;0) Î (D¢) Q 1 -1 (O;90o) · N( - ;0) Î (D ) I¾¾¾¾¾ ® N¢(0; ) Î (D¢) 2 2 Q (O;90o) · (D ) I¾¾¾¾¾ ® (D¢) º M ¢N¢ : x + 2y + 1= 0 Q 1 (O;90o) Caù ch 3 : · Vì (D) I¾¾¾¾¾ ®(D¢) Þ (D) ^ (D¢) maøheäsoágoù c : kD = 2 Þ kD¢ = 2 Q (O;90o) · M(0;1) Î (D ) I¾¾¾¾¾ ® M ¢(1;0) Î (D¢) ìgQua M¢(1;0) ï · (D¢) : í 1 Þ (D¢) : x + 2y + 1= 0 ïîghsg ; k =- 2 5 Trong maë t phaú ng toaïñoäOxy cho A(3;4) . Haõ y tìm toaïñoäñieå m A ¢ laøaû nh cuû a A qua pheù p quay taâ m O goù c 90o.

HD : Goïi B(3;0),C(0;4) laà n löôït laøhình chieá u cuû a A leâ n caù c truïc Ox,Oy . Pheù p quay taâ m O goù c 90o bieá n hình chöõnhaä t OABC thaø nh hình chöõnhaä t OC¢A ¢B¢.

Khi ñoù: C¢(0;3),B¢( - 4;0). Suy ra : A ¢( - 4;3).

- 23 -

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

6 Trong maë t phaú ng toaïñoäOxy . Tìm pheù p quay Q bieá n ñieå m A( - 1;5) thaø nh ñieå m B(5;1) . uuur uuur ìïOA = OB = 26 HD : Ta coù: OA = (-1;5) vaøOB = (5;1) Þ í uuur uuur ïîOA.OB = 0 Þ OA ^ OB Þ B =Q (A) .

(O ; 90o) 7 Trong maë t phaú ng toaïñoäOxy , cho ñieå m M(4;1) . Tìm N =Q (M) .

(O ; 90o) HD : uuuu r uuur o Þ OM.ON =0 Û 4x+y =0 Û y=- 4x (1) Vì N =Q (M) Þ (OM;ON) = 90 (O ; 90o) Do : OM = ON Þ x2 + y2 = 16 + 1= 17 (2) .

Giaû i (1) vaø(2) , ta coù: N(1; - 4) hay N( - 1;4) . w Thöûlaïi : Ñieà u kieä n (OM;ON) = 90o ta thaá y N( - 1;4) thoaûmaõ n.

8 a)Trong maë t phaú ng toaïñoäOxy , cho ñieå m A(0;3) . Tìm B =Q (A) .

(O ;- 45o) HD : Pheù p quay Q bieá n ñieå m A Î Oy thaø nh ñieå m B Î ñt: y = x,ta coù: (O ;- 45o) ìxB = yB > 0 3 3 3 . MaøOB = x2 + y2 = 3 Þ xB = Þ B( ; ). í B B 2 2 2 îOA = OB = 3 b) Cho A(4;3) . Tìm B =Q (A) (O;60o)

¾¾ ®B (

4 - 3 3 3+ 4 3 ; ) 2 2

9 Cho ñöôø ng troø n (C) : (x - 3)2 + (y - 2)2 = 4 . Tìm (C¢) =Q (C) .

(O ; 90o) HD : Tìm aû nh cuû a taâ mI : Q (I) = I ¢(-2;3) Þ (C¢):(x + 2)2 + (y - 3)2 = 4 .

(O ; 90o) 10 Cho ñöôø ng troø n (C) : (x - 2)2 + (y - 2 3)2 = 5 . Tìm (C¢) =Q (C) .

(O ; 60o) HD : Tìm aû nh cuû a taâ mI : Q (I) = I ¢(-2;2 3) Þ (C¢):(x + 2)2 + (y - 2 3)2 = 5 . o (O ; 60 ) 11 Cho ñöôø ng troø n (C) : (x - 2)2 + (y - 2)2 = 3 . Tìm (C¢) =Q (C) .

(O ; 45o) HD : Tìm aû nh cuû a taâ mI : Q (I) = I ¢(1- 2;1+ 2) Þ (C¢):(x - 1+ 2)2 + (y - 1- 2)2 = 3 .

(O ; 45o) 12 [CB-P19] Trong maë t phaú ng toaïñoäOxy , cho ñieå m A(2;0) vaøñöôø ng thaú ng (d) : x +y - 2 =0.

Tìm aû nh cuû a A vaø(d) qua pheù p quay Q .

(O ; 90o) HD : w Ta coù: A(2;0) Î Ox . Goïi B =Q (A) thì B Î Oy vaøOA =OB .

(O ; 90o) w Vì toaïñoäA,B thoaûmaõ n pt (d) : x +y - 2 =0 neâ n A,B Î (d) .

Do B =Q (A) vaøtöông töïQ (A) =C( - 2;0) (O ; 90o) (O ; 90o) x y x y neâ nQ (d) =BC Þ (BC) : + = 1Û + = 1Û x - y + 2 = 0 o (O ; 90 ) xC yC -2 2

- 24 -

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

13 Cho (d) : x - 3y - 1 =0 . Tìm D =Q (d) . Þ (D ) : 3x + y - 1= 0 (O ; 90o) 14 Cho (d) : 2x + y - 2 =0 . Tìm D =Q (d) .

(O ; 60o) 1 3 aû nh HD : d Ç Ox =A(1;0) , d Ç Oy =B(0;2) ¾¾¾ ® A ¢( ; ),B¢(- 3;1) 2 2 Þ (D) : ( 3 - 2)x - (2 3 + 1)y + 4 = 0 15 Cho tam giaù c ñeà u ABC coùtaâ m O vaøpheù p quay Q .

(O;120o) a) Xaù c ñònh aû nh cuû a caù c ñæ nh A,B,C . b) Tìm aû nh cuû a DABC qua pheù p quay Q (O;120o) Giaû i · · · a) Vì OA =OB =OC vaøAOC = BOC = COA = 120oneâ nQ : A I¾¾ ® B,B I¾¾ ® C,C I¾¾ ®A (O;120o) b) Q : DABC ¾¾ ® DABC (O;120o) 16 [CB-P19] Cho hình vuoâ ng ABCD taâ mO . a) Tìm aû nh cuû a ñieå m C qua pheù p quay Q .

(A ; 90o) b) Tìm aû nh cuû a ñöôø ng thaú ng BC qua pheù p quay Q (O ; 90o) · HD : a) Goïi E =Q (C) thì AE=AC vaøCAE = 90o neâ n DAEC o (A ; 90 ) vuoâ ng caâ n ñæ nh A , coùñöôø ng cao AD . Do ñoù: D laøtrung ñieå m cuû a EC . b) Ta coù: Q (B) = C vaøQ (B) = C Þ Q (BC) = CD. (O ; 90o) (O ; 90o) (A ; 90o) 17 Cho hình vuoâ ng ABCD taâ m O . M laøtrung ñieå m cuû a AB , N laøtrung ñieå m cuû a OA . Tìm aû nh cuû a DAMN qua pheù p quay Q .

(O;90o) HD : w Q (A) = D , Q (M) = M ¢ laøtrung ñieå m cuû a AD .

(O;90o) (O;90o) Q (N) = N¢ laøtrung ñieå m cuû a OD . Do ñoù: Q (DAMN) = DDM ¢N¢ (O;90o) (O;90o) 18 [ CB-1.15 ] Cho hình luïc giaù c ñeà u ABCDEF , O laøtaâ m ñöôø ng troø n ngoaïi tieá p cuû a noù. Tìm aû nh cuû a DOAB qua pheù p dôø i hình coùñöôïc baè ng caù ch thöïc hieä n lieâ n tieá p pheù p quay taâ m O , goù c 60o vaøpheù p uuur . tònh tieá n TOE

HD : uuur oQ Goïi F =TOE

. Xeù t: (O;60o)

(O) = O,Q (A) = B,Q (B) = C .

(O;60o) (O;60o) (O;60o) uuur (O) = E,Tuuur (B) = O,Tuuur (C) = D w TOE OE OE wQ

w Vaä y : F(O) =E , F(A) =O , F(B) =D Þ F(DOAB) =DEOD

- 25 -

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

19 Cho hình luïc giaù c ñeà u ABCDEF theo chieà u döông , O laøtaâ m ñöôø ng troø n ngoaïi tieá p cuû a noù. I laø trung ñieå m cuû a AB . a) Tìm aû nh cuû a DAIF qua pheù p quay Q .

(O ; 120o) b) Tìm aû nh cuû a DAOF qua pheù p quay Q .

(E ; 60o) HD : a) w Q bieá n F,A,B laà n löôït thaø nh B,C,D , trung ñieå mI (O ; 120o) thaø nh trung ñieå m J cuû a CD neâ nQ (DAIF) = DCJ B .

(O ; 120o) b) w Q bieá n A,O,F laà n löôït thaø nh C,D,O .

(E ; 60o) 15 Cho ba ñieå m A,B,C theo thöùtöïtreâ n thaú ng haø ng . Veõcuø ng moä t phía döïng hai tam giaù c ñeà u ABE vaø BCF . Goïi M vaøN töông öù ng laøhai trung ñieå m cuû a AF vaøCE . Chöù ng minh raè ng : BMN laøtam giaù c ñeà u.

HD : Xeù t pheù p quay Q .Ta coù: Q (A) = E , Q (F) = C (B;- 60o) (B;-60o) (B;-60o) ÞQ (AF) = EC .

(B;- 60o) Do M laøtrung ñieå m cuû a AF , N laøtrung ñieå m cuû a EC , neâ n: o · Q (M) = N Þ BM =BN vaøMBN = 60 Þ DBMN laøtam giaù c ñeà u.

(B;-60o) 21 [ CB-1.17 ] Cho nöû a ñöôø ng troø n taâ m O ñöôø ng kính BC . Ñieå m A chaïy treâ n nöû a ñöôø ng troø n ñoù.

Döïng veàphía ngoaø i cuû a DABC hình vuoâ ng ABEF . Chöù ng minh raè ng : E chaïy treâ n nöû a ñöôø ng coáñònh .

HD : Goïi E =Q (A) . Khi A chaïy treâ n nöû a ñöôø ng troø n (O) , (B;90o) E seõchaïy treâ n nöû a ñöôø ng troø n (O¢) =Q [(O)] .

(B;90o) 22 Cho ñöôø ng (O;R) vaøñöôø ng thaú ng D khoâ ng caé t ñöôø ng troø n . Haõ y döïng aû nh cuû a (D ) qua pheù p quay Q .

(O ; 30o) Giaû i TöøO haïñöôø ng vuoâ ng goù c OH vôù i D . Döïng ñieå m H¢ sao cho (OH;OH¢) =30o vaøOH¢ =OH . Döïng ñöôø ng troø n qua 3 ñieå m O,H,H¢ ; ñöôø ng troø n naø y caé t D taïi ñieå m L . Khi ñoùLH¢ laøñöôø ng thaú ng phaû i döïng .

23 Cho ñöôø ng thaú ng d vaøñieå m O coáñònh khoâ ng thuoä c d , M laøñieå m di ñoä ng treâ n d . Haõ y tìm taä p hôïp caù c ñieå m N sao cho DOMN ñeà u. · Giaû i : DOMN ñeà u Þ OM = ON vaøNOM = 60o . Vì vaä y khi M chaïy treâ n d thì : gN chaïy treâ n d¢ laøaû nh cuû a d qua pheù p quay Q .

(O;60o) gN chaïy treâ n d¢¢ laøaû nh cuû a d qua pheù p quay Q (O;-60o)

- 26 -

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

24 Cho hai ñöôø ng troø n (O) vaø(O¢) baè ng nhau vaøcaé t nhau ôûA vaøB .

Töøñieå m I coáñònh keûcaù t tuyeá n di ñoä ng IMN vôù i (O) , MB vaøNB caé t (O¢) taïi M ¢ vaøN¢. Chöù ng minh ñöôø ng thaú ng M ¢N¢ luoâ n luoâ n ñi qua moä t ñieå m coáñònh.

Giaû i Xeù t pheù p quay taâ m A , goù c quay (AO; AO¢) =j bieá n (O) thaø nh (O¢) .

Vì MM ¢ vaøNN¢ qua B neâ n (AO;AO¢) =(AM;AM ¢) =(AN;AN¢) .

Qua pheù p quay Q : MI¾¾ ® M ¢ , NI¾¾ ® N¢ vaødo ñoù Q(A;j ) MNI¾¾¾¾® M ¢N¢ Ñöôø ng thaú ng MN qua ñieå m coáñònh I neâ n ñöôø ng thaú ng M ¢N¢ qua ¢ ñieå m coáñònh I laøaû nh cuû a I qua Q(A;j ) 25 Cho hai hình vuoâ ng ABCD vaøBEFG a) Tìm aû nh cuû a DABG trong pheù p quay Q .

(B;-90o) b) Goïi M,N laà n löôït laøtrung ñieå m cuû a AG vaøCE .

Chöù ng minh DBMN vuoâ ng caâ n.

Giaû i ïì BA = BC ïìBG = BE a) Vì í vaø í o o ïî(BA; BC) = -90 ïî(BG;BE) = -90 ÞQ : A I¾¾ ® C,G I¾¾ ®E Þ Q : DABG ¾¾ ® DCBE (B;-90o) (B;-90o) b) Q : AG ¾¾ ® CE Þ Q : M I¾¾ ® N Þ BM = BN vaø(BM;BN) =- 90o o o (B;-90 ) (B;-90 ) Þ DBMN vuoâ ng caâ n taïi B .

26 Cho DABC . Qua ñieå m A döïng hai tam giaù c vuoâ ng caâ n ABE vaøACF . Goïi M laøtrung ñieå m cuû a BC vaøgiaûsöûAM Ç FE =H . Chöù ng minh : AH laøñöôø ng cao cuû a DAEF .

HD : Xeù t pheù p quay Q : Keù o daø i FA moä t ñoaïn AD =AF .

(A;90o) Vì AF =AC Þ AC =AD neâ n suy ra : Q bieá n B , C laà n löôït thaø nh E , D (A;90o) Ñ/nghóa neâ n goïi trung ñieå m K cuû a DE thì K=Q (M) ¾¾¾¾¾ ® MA ^ AK (1) . o (A;90 ) Trong DDEF , vì AK laøñöôø ng trung bình neâ n AK // FE (2) Töø(1),(2) suy ra : AM ^ FE Þ AH laøñöôø ng cao cuû a DAEF .

27 Cho hình vuoâ ng ABCD coùcaïnh baè ng 2 vaøcoùcaù c ñæ nh veõtheo chieà u döông . Caù c ñöôø nrg cheù o caé n caïnh BC laá y BJ =1 . Xaù c ñònh uu uurt nhau taïi I. Treâ pheù p bieá n ñoå i AI thaø nh BJ .

AB 2 · HD : Ta coù: AI= = = 1Þ AI = BJ . Laïi coù: (AI,BJ) = 45o .

2 2

Þ BJ =Q m O =ttröïc cuû a AB Ç cung chöù a goù c 45oñi o (AI) . Taâ (O;45 ) uur uur qua A,B Þ BJ =Q (AI) (O;45o)

- 27 -

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

28 [CB-1.18] Cho DABC . Döïng veàphía ngoaø i cuû a tam giaù c caù c hình vuoâ ng BCIJ,ACMN,ABEF vaøgoïi O,P,Q laà n löôït laøtaâ m ñoá i xöù ng cuû a chuù ng . a) Goïi D laøtrung ñieå m cuû a AB . Chöù ng minh raè ng : DDOP vuoâ ng caâ n taïi D . b) Chöù ng minh raè ng : AO ^ PQ vaøAO =PQ .

HD : a) w Vì : AI =Q (MB) Þ MB =AI vaøMB ^ AI .

(C;90o) 1 BM , DO Maë t khaù c : DP AI 2 ng caâ n taïi D . Þ DP =vaø^ DO Þ DDOP vuoâ b) Töøcaâ u a) suy ra : Q Q (D;90o) (D;90o) O I¾¾¾¾¾ ® P,A I¾¾¾¾¾ ® Q Þ OA = vaø^ PQ. 29 Cho DABC coùcaù c ñæ nh kí hieä u theo höôù ng aâ m . Döïng veàphía ngoaø i tam giaù c ñoùcaù c hình vuoâ ng ABDE vaøBCKF .

Goïi P laøtrung ñieå m cuû a AC , H laøñieå m ñoá i xöù ng cuû a D qua B , M laøtrung ñieå m cuû a ñoaïn FH .r uuu uuu r a) Xaù c ñònh aû nh uû a hai vectô BA vaøBP trong pheù p quay Q .

(B;90o) b) Chöù ng minh raè ng : DF ^ BP vaøDF = 2BP .

HD : ìï BA =BH (cuø ng baè ng BD) a) Ta coù:í o ïî(BA;BH) = 90 uuur uuur o 90o(BA) Þ H = Q90 (A) Þ BH = Q B B uuur uuu r o o 90 (C) = F Þ Q90o(AC) = HF .

Vì : Q90 (A) = H,Q B B B uuu r uuuu r o 90o(BP) = BM .

Maø: F laøtrung ñieå m cuû a AC , Q90 (F) = M laø trung ñieå m cuû a HF .

Do ñoù : Q B B uuu r uuuu r o b) Vì : Q90 B (BP) = BM Þ BP = BM,BP ^ BM .

1 1 Maø: BM = DF vaøBM // DF (Ñöôø ng trung bình cuû a DHDF ). Do ñoù: BP = DF , DF ^ BP .

2 2 30 Cho töùgiaù c loà i ABCD . Veàphía ngoaø i töùgiaù c döïng caù c tam giaù c ñeà u ABM , CDP . Veàphía trong töùgiaù c, döïng hai tam giaù c ñeà u BCN vaøADK . Chöù ng minh : MNPK laøhình bình haø nh . o

HD : Xeù t pheù p quay Q60 ® A , N I¾¾ ®C B : M I¾¾ Q (B;90o) Þ MN I¾¾¾¾¾ ® AC Þ MN = AC (1) o

Xeù t pheù p quay Q60 ® C , K I¾¾ ®A D : P I¾¾ Q (D;90o) Þ PK I¾¾¾¾¾ ® CA Þ PK = CA (2) Töø(1) , (2) suy ra : MN =PK .

Lí luaä n , töông töï: MK =PN Þ MKNP laøhình bình haø nh .

- 28 -

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

31 Cho DABC . Veàphía ngoaø i tam giaù c , döïng ba tam giaù c ñeà u BCA1,ACB1,ABC1 . Chöù ng minh raè ng : AA1,BB1,CC1 ñoà ng quy .

HD : Q Q (B;60o) (B;60o) Gæ a söûAA1 Ç CC1 = I . Xeù t : A1I¾¾¾¾¾ ® C,A I¾¾¾¾¾ ® C1 Q (B;60o) · A;CC ) = 60o Þ AJC · o Þ A1A I¾¾¾¾¾ ® CC1 Þ (A 1 1 1 = 60 (1) · Laá y treâ n CC1 ñieå m E sao cho : IE =IA . Vì EIA = 60o Þ DEIA ñeà u.

Q Q Q (A;60o) (A;60o) (A;60o) Xeù t : B I¾¾¾¾¾ ® C1,I I¾¾¾¾¾ ® E , B1 I¾¾¾¾¾ ®C Vì : C1,B,C thaú ng haø ng neâ n B,I,B1 thaú ng haø ng Þ AA1,BB1,CC1 ñoà ng quy .

32 Chöù ng minh raè ng caù c ñoaïn thaú ng noá i taâ m caù c hình vuoâ ng döïng treâ n caù c caïnh cuû a moä t hình bình haø nh veàphía ngoaø i , hôïp thaø nh moä t hình vuoâ ng .

HD : Goïi I1,I 2,I 3,I 4 laøtaâ m cuû a hình vuoâ ng caïnh AB,BC,CD,DA .

Duø ng pheù p quay Q(I;90o): B I¾¾ ® C . Vì DI1BA = DI 3CD · · o Þ CI 3 = BI1 vaøDCI 3 = ABI1 = 45 . MaøDC // AB Þ CI 3 ^ BI1 Q (I;90o) Vaä y : I 3I¾¾¾¾¾ ® I1 Þ I 2I1 = I 2I 3 vaøI 2I1 ^ I 2I 3 .

Lyùluaä n töông töï, ta coù: I1I 2I 3I 4 laømoä t hình vuoâ ng .

Vấn đề 6 : HAI HÌNH BẰNG NHAU A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 ÑL : Neá u ABC vaøA ¢B¢C¢ laøhai tam giaù c baè ng nhau thì coùpheù p dôø i hình bieá n DABC thaø nh DA ¢B¢C¢.

2 Tính chaá t: 1. Neá u thöïc hieä n lieâ n tieá p hai pheù p dôø i hình thì ñöôïc moä t pheù p dôø i hình .

2. Hai hình goïi laøbaè ng nhau neá u coùpheù p dôø i hình bieá n hình naø y thaø nh hình kia .

B. BÀI TẬP 1 Cho hình chöõnhaä t ABCD . Goïi E,F,H,I theo thöùtöïlaøtrung ñieå m cuû a caù c caïnh AB,CD,BC,EF. Haõ y tìm moä t pheù p dôø i hình bieá n DAEI thaø nh DFCH .

HD : uuur Thöïc hieä n lieâ n tieá p pheù p tònh tieá n theo AE vaøpheù p ñoá i xöù ng qua ñöôø ng thaú ng IH w Tuuur : A I¾¾ ® E,E I¾¾ ® B,I I¾¾ ® H Þ Tuuur (DAEI) = DEBH AE AE w ÑIH : E I¾¾ ® F,B I¾¾ ® C,H I¾¾ ® H Þ ÑIH (DEBH) = DFCH u u u r w ÑIH : T (DAEI) = DFCH AE Do ñoù: ÑIH oTuuur (DAEI) = DFCH Þ DAEI = DFCH AE

- 29 -

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

2 Cho hình chöõnhaä t ABCD . Goïi O laøtaâ m ñoá i xöù ng cuû a noù; E,F,G,H,I,J theo thöùtöïlaøtrung ñieå m cuû a caù c caïnh AB,BC,CD,DA,AH,OG . Chöù ng minh raè ng : Hai hình thang AJOE vaøGJFC baè ng nhau .

HD : uuur Pheù p tònh tieá n theo AO bieá n A,I,O,E laà n löôït thaø nh O,J,C,F . Pheù p ñoá i xöù ng qua truïc cuû a OG bieá n O,J,C,F laà n löôït thaø nh G,J,F,C. Töøñoùsuy ra pheù p dôø i hình coùñöôïc baè ng caù ch thöïc hieä n lieâ n tieá p hai pheù p bieá n hình treâ n seõbieá n hình thang AJOE thaø nh hình thang GJFC .

Do ñoùhai hình thang aá y baè ng nhau . r 3 [CB-1.20] Trong mpOxy , cho u =(3;1) vaøñöôø ng thaú ng (d) : 2x - y =0 . Tìm aû nh cuû a (d) qua pheù p r dôø i hình coùñöôïc baè ng caù ch thöïc hieä n lieâ n tieá p pheù p quay Q vaøpheù p tònh tieá n Tu .

(O;90o) Q r Tu (O;90o) HD : PP : d I¾¾¾¾¾ ® d¢ I¾¾¾ ® d¢¢ w Goïi d¢ = Q (d) . Vì taâ m O Î d neâ nQ (O) = O Î d¢ .

(O;90o) (O;90o) ¢ x +2y =0 Maë t khaù c : d¢ ^ d Þ d¢ : x + 2y + C = 0 (C ¹ 0) maød¢ qua O neâ n C =0 Þ d: Q (O;90o) Caù ch khaù c : Choïn M(1;2) Î d I¾¾¾¾¾ ® M ¢ Î d¢ . ìïx¢ = OM cos(a + 90o) ïìx¢ = OM cosa cos90o- OM sina sin90o ïìx¢ = xcos90o- ysin90o Ta coù: M ¢ í =í =í ïîy¢ = OM sin(a + 90o) ïîy¢ = OM sina cos90o+ OM cosa sin90o ïîy¢ = ycos90o+ xsin90o ìïx¢ = 1cos90o - 2sin90o ìx¢ = -2 =í =í Þ M ¢(-2;1) ïîy¢ = 2cos90o + 1sin90o î y¢ = 1 r (d¢) Þ d¢¢ // d¢ Þ d¢¢ : x + 2y + C = 0 . w Goïi d¢¢ = Tu uuuu r r ì x¢ = x + 3 ìx¢ = 3 r (O) Û OO¢ =u Goïi O¢ = Tu Ûí Ûí Û O¢(3;1) . î y¢ = y + 1 îy¢ = 1 Vì d¢¢ ' O¢ Þ 3+ 2 + C = 0 Þ C = -5 Þ d¢¢ : x + 2y - 5 = 0 r oQ Vaä y :Tu (d) = (d¢): x + 2y - 5 = 0 (O;90o) 4 Tìm aû nh cuû a ñöôø ng troø n (C) : x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 coùñöôïc baè ng caù ch thöïc hieä n lieâ n tieá p pheù p r tònh tieá n theo u =(3; - 1) vaøpheù p ÑOy . ÑS : (C¢) : (x +4)2 + (y + 3)2 = 9 5 Tìm aû nh cuû a ñöôø ng troø n (C) : x2 + y2 - 6x - 2y + 6 = 0 coùñöôïc baè ng caù ch thöïc hieä n lieâ n tieá p pheù p quay Q vaøpheù p ÑOx .

(O;90o) HD : (C) coùtaâ m I(3;1) , bk : R =2 . Khi ñoù: Q ÑOx (O;90o) (C) : I(3;1) , R =2 I¾¾¾¾¾® (C¢) : I ¢( - 1;3) , R =2 I¾¾¾® (C¢¢) : I ¢¢( - 1; - 3) , R =2 Þ (C¢¢) :(x +1)2 + (y + 3)2 = 4 6 [CB-P23] Trong mpOxy cho caù c ñieå m A( - 3;2),B( - 4;5) vaøC( - 1;3). ¢ a) Chöù ng minh raè ng : Caù c ñieå m A (2;3),B¢(5;4) vaøC¢(3;1) theo thöùtöï laøaû nh cuû a A,B vaøC qua Q .

(O;- 90o) b) Goïi DA1B1C1 laøaû nh cuû a DABC qua pheù p dôø i hình coùñöôïc baè ng caù ch thöïc hieä n lieâ n tieá p pheù p

- 30 -

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

Q vaøpheù p ñoá i xöù ng ÑOx. Tìm toaïñoäcaù c ñæ nh cuû a DA1B1C1 .

(O;- 90o) HD : a) Goïi M,N laà n löôït laøhình chieá u cuû a A treâ n Ox,Oy thì M( - 3;0),N(0;2).

Q (O;- 90o) Khi ñoù: Hình chöõnhaä t OMANI¾¾¾¾¾¾ ® hcnhaä t OM ¢A ¢N¢ vôù i M ¢(0;3),N¢(2;0).

Do ñoù: A ¢(2;3) =Q (A) .

(O;-90o) Ttöï : B¢(5;4) =Q (B),C¢(3;1) =Q (C) .

(O;- 90o) (O;-90o) Q (O;- 90o) Caù ch khaù c : Gæ a söûA I¾¾¾¾¾¾ ® A ¢ Û DAOA ¢ vuoâ ng caâ n taïi O . uuur uuuu r Ñieà u ñoùñuù ng vì : OA =OA ¢= 13, OA.OA ¢ = 0 . Laø m töông töïcho B,C ta coùñieà u caà n chöù ng minh . b) w Pheù p quay : Q (DABC) = DA ¢B¢C¢ ,ÑOx(DA ¢B¢C¢) = DA1B1C1 (O;-90o) ìxA = xA ¢ = 2 ï Khi ñoù: í 1 Þ A1(2; -3).Ttöï : B1(5; -4),C1(3; -1). ïîyA1 = yA ¢ = -3 7 Trong mpOxy , cho hai parabol : (P1): y = 2x2, (P2): y = 2x2 - 4x - 1. Khaú ng ñònh naø o sau ñaâ y sai ?

A) y = 2x2 - 4x - 1Û y = 2(x - 1)2 - 3 B) Tònh tieá n sang traù i 1 ñôn vòroà i xuoá ng döôù i 3 ñôn vòta ñöôïc (P2).

C) (P1) vaø(P2) baè ng nhau . r D) Pheù p tònh tieá n theo u =(1; - 3) bieá n (P1) thaø nh (P2) . ÑS : B) 8 Trong mpOxy , cho 4 ñieå m A(2;0),B(4;4),C(0;2) vaøD( - 4;4) .

Khaú ng ñònh naø o sau ñaâ y sai ?

A) Caù c DOAC,DOBD laøcaù c tam giaù c vuoâ ng caâ n.

Q (O;90o) B) Pheù p quay : DOAB I¾¾¾¾¾ ® DOCD .

C) DOAB vaøDOCD laøhai hình baè ng nhau .

D) Toà n taïi moä t pheù p tònh tieá n bieá n A thaø nh B vaøC thaø nh D . ÑS : D) 9 Trong mpOxy cho DABC vôù i A( - 3;0),B(0;3),C(2;4) . Pheù p bieá n hình f bieá n A thaø nh A ¢(-;3) , B thaø nh B¢(2;6),C thaø nh C¢(4;7) . Khaú ng ñònh naø o sau ñaâ y ñuù ng ?

A) f laøpheù p quay Q .

(O;90o) r C) f laøpheù p tònh tieá n theo vectô u =(2;3) . ÑS : C)

3 B) f laøpheù p ñoá i xöù ng taâ m I( - 1; ) .

2 D) f laøpheù p ñoá i xöù ng truïc .

- 31 -

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

Vấn đề 7 : PHÉP VỊ TỰ 1 ÑN : Cho ñieå m I coáñinh vaømoä t soák ¹ 0 . Pheù p vòtöï taâ m I tæsoák . uuur uuu r Kí hieä u : VIk , laøpheù p bieá n hình bieá n moã i ñieå m M thaø nh ñieå m M ¢ sao cho IM ¢ = k IM. 2 Bieå u thöù c toïa ñoä: Cho I(xo;yo) vaøpheù p vòtöïVIk . ìïx¢=kx+(1- k)xo VIk M(x;y) I¾¾¾ ® M ¢ = VIk (M) = (x¢;y¢) thì í ïîy¢=ky+(1- k)yo 3 Tính chaá t: uuuuur uuuu r 1. M ¢ = VIk (M), N¢ = VIk (N) thì M ¢N¢=kMN , M ¢N¢=|k|.MN 2. Bieá n ba ñieå m thaú ng haø ng thaø nh ba ñieå m thaú ng haø ng vaøbaû o toaø n thöùtöïcuû a caù c ñieå m töông öù ng .

3. Bieá n moä t ñöôø ng thaú ng thaø nh moä t ñöôø ng thaú ng song song hoaë c truø ng vôù i ñöôø ng thaú ng ñaõcho .

4. Bieá n moä t tia thaø nh tia .

5. Bieá n ñoaïn thaú ng thaø nh ñoaïn thaú ng maøñoädaø i ñöôïc nhaâ n leâ n |k| .

6. Bieá n tam giaù c thaø nh tam giaù c ñoà ng daïng vôù i noù.

7. Ñöôø ng troø n coùbaù n kính R thaø nh ñöôø ng troø n coùbaù n kính R¢=|k|.R .

8. Bieá n goù c thaø nh goù c baè ng noù.

B . BÀI TẬP 1 Tìm aû nh cuû a caù c ñieå m sau qua pheù p vòtöïtaâ m I , tæsoák ¹ 0 : a) A(1;2) , I(3; - 1) , k =2 . b) B(2; - 3),I(-1; -2),k = -3 .

1 c) C(8;3), I(2;1) , k = .

2

® A ¢( - 1;5) ® B¢( - 10;1) ® C¢(5;2)

2 1 1 2 4 ® P¢(1; - ),Q¢( - ; - ),R¢( - ; ) 3 3 3 3 3 u u u r u u r V(I;2) ì x¢ - 3 = -4 HD : a) Goïi : A(1;2) I¾¾¾¾ ® A ¢(x¢;y¢) Û IA ¢ = 2IA Û (x¢ - 3;y¢ + 1) = 2(-2;3) Û í î y¢ + 1= 6 ì x¢ = -1 Ûí Þ A ¢(-1;5) . î y¢ = 5 d) P( - 3;2),Q(1;1),R(2; -4) , I º O,k = - 1/ 3

2 Cho ba ñieå m A(0;3),B(2; - 1),C(-1;5) . Toà n taïi hay khoâ ng toà n taïi moä t pheù p vòtöïtaâ m A , tæsoák bieá n B thaø nh C ?

HD : Gæ a söûtoà n taïi moä t pheù p vòtöïtaâ m A , tæsoák bieá n B thaø nh C . u u u r u u u r V(A;k) 1 ì-1= k(2) Khi ñoù: B I¾¾¾¾® C Û AC = kAB Û í Û k=2 î2 = k(-4) Vaä y : Toà n taïi pheù p vòtöïV ®C. 1 : B I¾¾ (A;- ) 2 3 Cho ba ñieå m A( - 1;2),B(3;1),C(4;3) . Toà n taïi hay khoâ ng toà n taïi moä t pheù p vòtöïtaâ m A , tæsoák bieá n B thaø nh C ?

HD : Gæ a söûtoà n taïi moä t pheù p vòtöïtaâ m A , tæsoák bieá n B thaø nh C . uuur uuur V(A;k) Khi ñoù: B I¾¾¾¾® C Û AC = kAB (1) .

- 32 -

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

4 Cho DOMN . Döïng aû nh cuû a M,N qua pheù p vòtöïtaâ m O , tæsoák trong moã i tröôø ng hôïp sau : 1 3 a) k =3 b) k = c) k =2 4 Giaû i uuuur uuuu r uuuu r uuur 3 : M I¾¾ a) Pheù p vòtöïVO ® M ¢ , N I¾¾ ® N¢ thì ta coùOM ¢ = 3OM,ON¢ = 3ON 1/2 : M I¾¾ b) Pheù p vòtöïVO ® H , N I¾¾ ® K thì HK laøñöôø ng trung bình cuû a DOMN . uuu r r uuur 3 uuuu 3 uuur -3/4 : M I¾¾ c) Pheù p vòtöïVO ® P , N I¾¾ ® Q thì ta coùOP = - OM,OQ = - ON 4 4 5 Cho hình bình haø nh ABCD (theo chieà u kim ñoà ng hoà ) coùtaâ m O . Döïng : a) AÛ nh cuû a hình bình haø nh ABCD qua pheù p vòtöïtaâ m O , tæsoák =2 .

1 b) AÛ nh cuû a hình bình haø nh ABCD qua pheù p vòtöïtaâ m O , tæsoák =- .

2 Giaû i uuuu r uuur 2 : A I¾¾ a) Goïi VO ® A ¢ thì OA ¢ = 2OA uuuu r uuur B I¾¾ ® B¢ thì OB¢ = 2OB uuuu r uuur C I¾¾ ® C¢ thì OC¢ = 2OC uuuu r uuur D I¾¾ ® D¢ thì OD¢ = 2OC 2 : Y ABCDM I¾¾ Þ VO ®Y A ¢B¢C¢D¢ .

Ta veõ: AB// A ¢B¢,BC // B¢C¢,CD// C¢D¢,DA // D¢A ¢ uuu r 1 uuur -1/2 : A I¾¾ b) Goïi VO ® P thì OP = - OA 2 uuur 1 uuur B I¾¾ ® Q thì OQ = - OB 2 uuur 1 uuur C I¾¾ ® R thì OR = - OC 2 uuu r 1 uuur D I¾¾ ® S thì OS = - OD 2 -1/2 : Y ABCDM ¾¾ Þ VO ® Y PQRS .

Ta veõ: AB// PQ,BC // QR,CD// RS,DA // SP . µ cuû 6 Cho DABC coùAB =4, AC =6 , AD laøphaâ n giaù c trong cuû aA a DABC (D Î BC) . Vôù i giaùtrònaø o cuû a k thì pheù p vòtöïtaâ m D , tæsoák bieá n B thaø nh C .

HD : µ , ta coù: Theo t cuû a phaâ n giaù c trong cuû aA uuur tính chaá V( D;-3/2) DB AB 4 2 uuur 3 uuur uuur = = - = - Þ DC = - DB Þ B I¾¾¾¾¾¾ ®C .

3 2 DC uuurAC uuur6 Do DB vaøDC ngöôïc höôù ng .

- 33 -

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

7 Cho DABC vuoâ ng ôûA vaøAB =6, AC =8 . Pheù p vòtöïV 3 bieá n B thaø nh B¢,C thaø nh C¢ .

(A; ) 2 Khaú ng ñònh naø o sau ñaâ y sai ?

9 2 A) BB¢C¢C laøhình thang . B) B¢C¢ =12 . C) SAB¢C¢ = SABC . D) Chu vi (DABC) = Chu vi(DAB¢C¢) .

4 3 HD : V(A;3/2) w A) ñuù ng vì B¢C¢ ¾¾¾¾¾ ® BC .

3 3 w B) sai vì : B¢C¢= BC = AB2 + AC2 = 15 2 2 1 3 3 SAB¢C¢ 2 .AB¢.AC¢ 2 .AB. 2 .AC 9 w C) ñuù ng vì : = = = .

1 SABC AB.AC 4 .AB.AC 2 Chu vi AB¢C¢ 3 w D) ñuù ng vì : = Chu vi ABC 2 8 Cho DABC coùhai ñæ nh laøB vaøC coáñònh , coø n ñæ nh A di ñoä ng treâ n ñöôø ng troø n (O) cho tröôù c.

Tìm taä p hôïp caù c troïng taâ m cuû a DABC . uur 1 uur HD : Goïi I laøtrung ñieå m cuû a BC . Ta coùI coáñònh . Neá u G laøtroïng taâ m cuû a DABC thì IG = IA .

3 1/3 Vaä y G laøaû nh cuû a A qua pheù p vòtöïVI .

Taä p hôïp ñieå m A laøñöôø ng troø n (O) neâ n taä p hôïp G laøñöôø ng troø n (O¢) , ñoùchính laøaû nh cuû a ñöôø ng troø n (O) qua pheù p vòtöïVI1/3 .

9 Trong mpOxy , cho ñieå m A( - 1;2) vaøñöôø ng thaú ng d ñi qua A coùheäsoágoù c baè ng 1 . Goïi B laøñöôø ng thaú ng di ñoä ng treâ n d . Goïi C laøñieå m sao cho töùgiaù c OABC laøhình bình haø nh .Tìm phöông trình taä p hôïp : a) Caù c taâ m ñoá i xöù ng I cuû a hình bình haø nh . b) Caù c troïng taâ m G caù c tam giaù c ABC .

HD : a) ìgQua A( - 1;2) w (AB): í ® (AB): y - 2 = 1(x + 1) Û y = x + 3 îgHsg : k =1 1 w Vaä y B chaïy treâ n d thì I chaïy treâ n d¢ // d vaøñi qua trung ñieå m M( - ;1) cuû a ñoaïn OA .

2 3 Vaä y d¢ : x - y + =0 .

2 uuur 2 uuur 2 4 2/3(B) . Vaä 2/3(A). b) w Ta coù: OG = OB Þ G = VO y G chaïy treâ n ñt d¢¢// d vaøqua ñieå m N( - ; ) == VO 3 3 3 Þ d¢¢: x - y + 2 =0 .

- 34 -

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

10 Tìm aû nh cuû a caù c ñöôø ng thaú ng d qua pheù p vòtöïtaâ m I , tæsoák : 2 a) d : 3x - y - 5 =0 ,V(O; - ) 3 b) d : 2x + y - 4 =0 ,V(O;3) c) d : 2x + y - 4 =0 ,V(I; - 2) vôù i I( - 1;2) d) d : x + 2y - 4 =0 ,V(I;2) vôù i I(2; - 1)

® d¢ :9x - 3y + 10 = 0 ® d¢ :2x + y - 12 = 0 ® d¢ : 2x + y + 8 = 0 ® d¢ : x + 2y - 8 = 0

11 Tìm aû nh cuû a caù c ñöôø ng troø n (C) qua pheù p vòtöïtaâ m I , tæsoák : (Coù2 caù ch giaû i) a) (C) : (x - 1)2 + (y + 2)2 =5 ,V(O; - 2) ® (C) : (x + 2)2 + (y - 4)2 =20 b) (C) : (x - 1)2 + (y - 1)2 =4 ,V(O; 2) c) (C) : (x - 3)2 + (y + 1)2 =5 ,V(I; - 2) vôù i I(1;2)

® (C) : (x - 2)2 + (y - 2)2 =16 ® (C) : (x + 3)2 + (y - 8)2 =20

12 Tìm pheù p vòtöïbieá n d thaø nh d¢ : x y 2 a) d : - = 1,d¢ :2x - y - 6 = 0,V(O;k) ®k= .

2 4 3 HD : d : 2x - y - 4 = 0 // d¢ : 2x - y - 6 = 0 . Laá y A(2;0) Î d,B(3;0)Î d¢ . uuur uuur uuur uuur uuur 3 uuur Vì : pheù p vòtöïV(O;k) : A I¾¾ ® B Û OB = kOA . Vì : OA=(2;0),OB = (3;0) Þ OB = OA 2 3 3 V(O; ) V(O; ) 2 B Þ d I¾¾¾¾® 2 Vaä y : A I¾¾¾¾® d¢ Löu yù: Vì O,A,B thaú ng haø ng neâ n ta choïn chuù ng cuø ng naè m treâ n moä t ñöôø ng thaú ng . Ñeåñôn giaû n ta choïn chuù ng cuø ng naè m treâ n Ox hoaë c Oy . b) (C1):(x + 4)2 + y2 = 2 ; (C2) :(x - 2)2 + (y - 3)2 = 8 HD :

V(I; -2),I(-2;1)

w (C1) coùtaâ m I1(-4;0),R1 = 2 , (C2) coùtaâ m I 2(2;3),R2 = 2 2 V(I;k) w Gæ a söû:(C1) I¾¾¾¾ ® (C2) thì : R gR2 = |k |R1 Û |k | = 2 = 2 Û k = ±2 R1 uuu r uur gII 2 = kII1 thì « k = - 2 . Goïi I(xo;yo) thì (2 - xo;3- yo) = -2(-4- xo; - yo) Þ I(-2;1) « k =2 . Goïi I(xo;yo) thì (2 - xo;3- yo) = 2(-4 - xo; - yo) Þ I(-10; -3) Vaä y coù2 pheù p vòtöïbieá n (C1) ¾¾ ® (C2) laøV(I; - 2) vôù i I( - 2;1) hoaë c V(I;2) vôù i I( - 10; - 3) 13 Trong mpOxy , cho 2 ñöôø ng troø n (C1):(x - 1)2 + (y - 3)2 =1 vaø(C2) : (x - 4)2 + (y - 3)2 =4 . a) Xaù c ñònh toaïñoätaâ m vòtöïngoaø i cuû a hai ñöôø ng troø n ñoù. b) Vieá t phöông trình caù c tieá p tuyeá n chung ngoaø i cuû a hai ñöôø ng troø n ñoù.

HD : (C1) coùtaâ m I1(1;3) , bk : R1 = 1 ; (C2) coùtaâ m I 2(4;3) , bk : R2 = 2 . uuu r uur R 2 a) Goïi I laøtaâ m vòtöïngoaø i cuû a (C1) vaø(C2) , ta coù: II 2 = kII1 vôù i k = 2 = = 2 Þ I(-2;3) R1 1 b) Tieá p tuyeá n chung ngoaø i cuû a hai ñöôø ng troø n laøtieá p tuyeá n töøI ñeá n (C1).

Goïi ñt D ñi qua I vaøcoùheäsoágoù c k Þ D :y - 3 =k(x+2) Û ky - y + 3+ 2k = 0 . é D : 2.x - 4y + 12+ 3 2 = 0 1 D tieá p xuù c (C1) Û d(I1; D ) = R1 Û k = ± Þê 1 2 2 êë D2 : 2.x + 4y - 12 + 3 2 = 0

- 35 -

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

14 Cho ñöôø ng troø n (O,R) ñöôø ng kính AB . Moä t ñöôø ng troø n (O¢) tieá p xuù c vôù i (O,R) vaøñoaïn AB taïi º º C, D , ñöôø ng thaú ng CD caé t (O,R) taïi I . Chöù ng minh raè ng : AI = BI .

HD : w C laøtaâ m vòtöïcuû a 2 ñöôø ng troø n (O) vaø(O¢) . w D Î (O¢), I Î (O) vaøba ñieå m C,D,I thaú ng haø ng .

Goïi R¢ laøbaù n kính cuû a ñöôø ng troø n (O¢) , khi ñoù: R¢ VCR :O I¾¾ ® O¢,I I¾¾ ®D Þ OI // O¢D Þ OI ^ AB (V ì O¢D ^ AB) » Þ AI º = BI º . Þ I laøtrung ñieå m cuû a AB 15 Cho hai ñöôø ng troø n (O,R) vaø(O¢, R¢) tieá p xuù c trong taïi A (R >R¢) . Ñöôø ng kính qua A caé t (O,R) taïi B vaøcaé t (O¢, R¢) taïi C . Moä t ñöôø ng thaú ng di ñoä ng qua A caé t (O, R) taïi M vaøcaé t (O¢, R¢) taïi N . Tìm quyõtích cuû a I =BN Ç CM .

HD : IC CN Ta coù: BM // CN . Hai DBMI : DNCI . Do ñoù: = IM BM AC CN Hai DACN : DABM . Do ñoù: = AB BM IC AC 2R¢ R¢ IC R¢ Þ = = = Þ = IM AB 2R R IM + IC R + R¢ R¢ V(C;k= ) uur r CI R¢ R¢ uuuu R + R¢ ® I Þ = Þ CI = CM Þ M : I¾¾¾¾¾¾¾ CM R + R¢ R + R¢ Vaä y : Taä p hôïp caù c ñieå m I laøñöôø ng troø n (w) vòtöïcuû a ñöôø ng ¢ R troø n (O,R) trong pheù p vòtöï V(C ;k = ).

R + R¢ 16 Cho DABC . Goïi I , J . M theo thöùtöïlaøtrung ñieå m cuû a AB, AC vaøIJ . Ñöôø ng troø n ngoaïi tieá p taâ mO cuû a DAIJ , caé t AO taïi A ¢ . Goïi M ¢ laøchaâ n ñöôø ng vuoâ ng goù c haïtöøA ¢ xuoá ng BC . Chöù ng minh raè ng : A , M , M ¢ thaú ng haø ng .

HD : uuur uur uuur uur Goïi M1 laøtrung ñieå m BC .Ta coù: AB = 2AI vaøAC = 2AJ V(A;2) Töøñoù: DAIJ ¾¾¾¾® DABC . Khi ñoù: V(A;2) : O I¾¾ ® A ¢,M I¾¾ ® M1 Þ OM ^ IJ Þ A ¢M1 ^ BC .

Nhö theá: M1 º M ¢ Þ A,M,M ¢ thaú ng haø ng ( vì A,M ,M1 thaú ng haø ng ) 17 Cho DABC . Goïi A1,B1,C1 töông öù ng laøtrung ñieå m cuû a BC,CA, AB. KeûA1x,B1y,C1z laà n löôït song song vôù i caù c ñöôø ng phaâ n giaù c trong cuû a caù c goù c A,B,C cuû a DABC . Chöù ng minh : A1x,B1y,C1z ñoà ng quy.

HD : 1 Xeù t pheù p vòtöïtaâ m G , tæsoá- . G laøtroïng taâ m DABC , 2 I laøtaâ m ñöôø ng troø n noâ ïi tieá p DABC .

Ta coù: AJ I¾¾ ® A1x , BI I¾¾ ® B1y , CI I¾¾ ® C1z , GI 1 I I¾¾ ®J ( = - ) Þ A1x,B1y,C1z ñoà ng quy taïi J .

GJ 2 - 36 -

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

18 Cho hai ñöôø ng troø n (O1,R1) vaø(O2,R2) ngoaø i nhau R1 ¹ R2 . Moä t ñöôø ng troø n (O) thay ñoå i tieá p xuù c ngoaø i vôù i (O1) taïi A vaøtieá p xuù c ngoaø i vôù i (O2) taïi B . Chöù ng minh raè ng : Ñöôø ng thaú ng AB luoâ n luoâ n ñi qua moä t ñieå m coáñònh .

HD : uuuur uuur A laøtaâ m vòtöïbieá n (O1) thaø nh (O) : AO1 vaøAO ngöôïc höôù ng . uuuur uuur B laøtaâ m vòtöïbieá n (O) thaø nh (O2) : AO1 vaøAO ngöôïc höôù ng . uuur uuuuu r Keù o daø i AB caé t (O2) taïi C : AO vaøCO2 ngöôïc höôù ng . uuuur uuuuu r Vaä y : AO1 vaøCO2 ngöôïc höôù ng . Nhö vaä y AC hay cuõ ng laø AB phaû i ñi qua taâ m I aøtaâ m vòtöïngoaø i cuû a (O1) vaø(O2) .

19 Cho DABC . Ngöôø i ta muoá n ñònh ba ñieå m A ¢,B¢,C¢ laà n löôït treâ n caù c caïnh BC,CA,AB sao cho DA ¢B¢C¢ ñeà u vaøA ¢B¢ ^ CA , B¢C¢ ^ AB vaøC¢A ¢ ^ BC .

1. Goïi E,F,K laà n löôït laøchaâ n caù c ñöôø ng cao phaù t xuaá t töøA,B,C .

2/3(A),A ¢=V 2/3(E),B¢=V 2/3(F). Ñaë t : C¢=VB B B uuuur 2 uuur 2/3 a) Nghieä m laïi raè ng : A ¢=VB (E) vaøB¢C¢ = CK .

3 b) Suy ra raè ng : DA ¢B¢C¢ ñeà u.

2. Chöù ng minh raè ng tröïc taâ m H cuû a DABC cuõ ng laøtroïng taâ m cuû a DA ¢B¢C¢ .

HD : Trong DABC ñeà u caù c ñöôù ng cao : AE =BF =CK =

a 3 .(a laøcaïnh cuû a DABC) 2

vaøE,F,K laà n löôït laøtrung ñieå m caù c caïnh . uuuu r 2 uuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuu r 2/3(E) Û BA ¢ = BE Û BC + CA ¢ = 2 ( 1 BC) Û CA ¢ = 2 CB . Vaä 2/3(E) .

1. a) Vì A ¢=VB y : A ¢=VB 3 3 2 3 uuur 2 uuur uuur uuuu r 2 uuur uuuu r uuur 2 uuur 1 2/3(A) Û BC¢ = BA Û BA + AC¢ = BA Û AC¢ = - BA = AK Û B¢=V 2/3(C).

Vì C¢=VB A 3 3 3 3 2/3 uuuur 2 uuur VA2/3 VA Vaä y : C I¾¾¾® B¢, K I¾¾¾® C¢ Þ B¢C¢ = CK .

3 ng ^ AB uuuur 2 uuur ìïgB¢C¢ // CK cuø b) Ta coù: B¢C¢ = CK Þ í 2 a 3 3 ïgB¢C¢ = CK = 3 3 î uuuur 2 uuur 2 Töông töï: C¢A ¢ = AE vaøA ¢B¢ = BF .

3 3 a 3 Vaä y : B¢C¢ ^ AB,C¢A ¢ ^ BC,A ¢B¢ ^ AC vaøB¢C¢=C¢A ¢=A ¢B¢= Þ DA ¢B¢C¢ ñeà u.

3 2. Tröïc taâ m H cuû a DABC cuõ ng laøtroïng taâ m cuû a tam giaù c ñoù, neâ n: uuur 2 uuu r uuur 2 uuur uuur uuur 2 uuu r uuur uuuu r 2 uuu r BH = BF. Maø: BC¢ = BA Þ BH - BC¢ = (BF - BA) Û C¢H = AF .

3 3 3 3 Vaä y : C¢H // AF . Suy ra : C¢H ^ A ¢B¢ Lyùluaä n töông töï: A ¢H ^ B¢C¢ .

- 37 -

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

Vấn đề 8 : PHÉP ĐỒNG DẠNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 ÑN : Pheù p bieá n hình F goïi laøpheù p ñoà ng daïng tæsoák (k >0) neá u vôù i hai ñieå m baá t kì M , N vaøaû nh M ¢, ¢ ¢ ¢ N laøaû nh cuû a chuù ng , ta coùM N =k.MN .

2 ÑL : Moïi pheù p ñoà ng daïng F tæsoák (k>0) ñeà u laøhôïp thaø nh cuû a moä t pheù p vòtöïtæsoák vaømoä t pheù p dôø i hình D. 3 Heäquaû: (Tính chaá t ) Pheù p ñoà ng daïng : 1. Bieá n 3 ñieå m thaú ng haø ng thaø nh 3 ñieå m thaú ng haø ng (vaøbaû o toaø n thöùtöï) .

2. Bieá n ñöôø ng thaú ng thaø nh ñöôø ng thaú ng .

3. Bieá n tia thaø nh tia .

4. Bieá n ñoaïn thaú ng thaø nh ñoaïn thaú ng maøñoädaø i ñöôïc nhaâ n leâ n k ( k laøtæsoáñoà ng daïng ) .

5. Bieá n tam giaù c thaø nh tam giaù c ñoà ng daïng vôù i noù( tæsoák).

6. Bieá n ñöôø ng troø n coùbaù n kính R thaø nh ñöôø ng troø n coùbaù n kính R¢=k.R .

7. Bieá n goù c thaø nh goù c baè ng noù.

4 Hai hình ñoà ng daïng : ÑN : Hai hình goïi laøñoà ng daïng vôù i nhau neá u coùpheù p ñoà ng bieá n hình naø y thaø nh hình kia .

F H ñoà ng daïng G Û $ F ñoà ng daïng : H I¾¾® G B.BÀI TẬP 1 Cho ñieå mM a) Döïng aû nh cuû a pheù p ñoà ng daïng F laøhôïp thaø nh cuû a pheù p ñoá i xöù ng truïc Ña vaøpheù p vòtöïV taâ mO , vôù i O Ï a , tæsoák =2 . b) Döïng aû nh cuû a pheù p ñoà ng daïng F laøhôïp thaø nh cuû a pheù p vòtöïV taâ m O , tæsoák = - 3 vaøpheù p quay o taâ m I vôù i goù c quay j = 90 .

Giaû i 2 Ña VO a) Goïi : M I¾¾¾ ® M1I¾¾¾ ® M2 w M Î (a) thì M1 º M vaøM laøtrung ñieå m OM 2 w M Ï (a) vaøO ¹ M1 thì : ga laøtrung tröïc ñoaïn MM1 gM1 laøtrung ñieå m ñoaïn OM 2 w M Ï (a) vaøO º M1 thì : ga laøtrung tröïc ñoaïn MM1 gM1 laøtrung ñieå m ñoaïn OM 2 o

-3 VO Q90 I ® M . Khi ñoù: b) Goïi M I¾¾¾® M1I¾¾¾¾ 2 uuuuur uuuu r OM1 = -3OM , IM =IM1 vaø(IM1;IM) = 90o

- 38 -

N G U Y Ễ N M I N H T I Ế N – G V. Tr ư ờ n g T H P T T ô n Đ ứ c T h ắ n g – Đ ồ n g N a i

2 Cho DABC coùñöôø ng cao AH . H ôûtreâ n ñoaïn BC . Bieá t AH =4 , HB =2 , HC =8 . Pheù p ñoà ng daïng F bieá n DHBA thaø nh DHAC . F ñöôïc hôïp thaø nh bôû i hai pheù p bieá n hình naø o döôù i ñaâ y?

1 A) Pheù p ñoá i xöù ng taâ m H vaøpheù p vòtöïtaâ m H tæsoák = .

2 uuur B) Pheù p tònh tieá n theo BA vaøpheù p vòtöïtaâ m H tæsoák =2 .

C) Pheù p vòtöïtaâ m H tæsoák =2 vaøpheù p quay taâ m H , goù c (HB;HA) .

D) Pheù p vòtöïtaâ m H tæsoák =2 vaøpheù p ñoá i xöù ng truïc .

HD : 2 vaøQ(H;j) vôù Pheù p VH i j =(HB;HA) : B I¾¾ ® A, A I¾¾ ®C Vaä y : F laøpheù p ñoà ng daïng hôïp thaø nh bôû i V vaøQ bieá n DHBA thaø nh DHAC . uur uur r 3 Cho hình bình haø nh ABCD coùtaâ m O . Treâ n caïnh AB laá y ñieå m I sao cho IA + 2IB = 0 vaøgoïi G laø troïng taâ m cuû a DABD . F laøpheù p ñoà ng daïng bieá n DAGI thaø nh DCOD . F ñöôïc hôïp thaø nh bôû i hai pheù p bieá n hình naø o sau ñaâ y ?uuur A) Pheù p tònh tieá n theo GO vaøpheù p vòtöïV(B; - 1) .

1 B) Pheù p ñoá i xöù ng taâ m G vaøpheù p vòtöïV(B; ).

2 3 C) Pheù p vòtöïV(A; ) vaøpheù p ñoá i xöù ng taâ mO .

2 2 D) Pheù p vòtöïV(A; ) vaøpheù p ñoá i xöù ng taâ mG .

3 HD : uuur 3 uuur gVì G laøtroïng taâ m DABD neâ n AO = AG 2 uuur 3 uur gTheo giaûthieá t , ta coù: AB = AJ .

2 gPheù p ñoá i xöù ng taâ m O , bieá n A thaø nh C vaøB thaø nh D ( O laøbaá t bieá n) ÑO VA2/3 gA I¾¾¾® A I¾¾¾ ®C.

2/3 ÑO VA gG I¾¾¾® O I¾¾¾ ®O.

3 V(A; ) ÑO 2 Þ DAGI ¾¾¾¾® DAOB ¾¾¾ ® DCOD Pheù p ñoà ng daïng F

. . . .. . . . . . HẾT . . . . . . ..

- 39 -

ÑO VA2/3 gI I¾¾¾® B I¾¾¾ ®D.