jhua man @stm
Una ecuación es una igualdad en la cual participan algunas cantidades desconocidas, en genral designadas por letras. Las cantidades desconocidas se denominan incógnitas. La palabra ecuación proviene d “aequeare” que en latín significa igualar.
Javier A. Huamán Angulo Jaha jhuaman@stm.edu.pe
Ecuaciones 1er. y 2do. Grado
Desde el siglo XVII a.C. los matemáticos de Mesopotamia y de Babilonia ya sabían resolver ecuaciones de primer y segundo grado. Además resolvían también, algunos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incógnitas. En el siglo XVI a.C. los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental que usaron para resolver problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de cosechas y de materiales. Tenían un método para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el "método de la falsa posición". Alrededor del siglo I d.C. los matemáticos chinos escribieron El Arte del cálculo, en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Con su ábaco tenían la posibilidad de representar números positivos y negativos. En el siglo II, el matemático griego Nicómaco de Gerasa publicó su Introducción a la Aritmética y en ella expuso varias reglas para el buen uso de los números. En el siglo III, el matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética en la cual, se trataba de una forma rigurosa no sólo las ecuaciones de primer grado, sino también las de segundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incógnita con un signo que es la primera sílaba de la palabra griega arithmos, que significa número. En el siglo VII los hindúes habían desarrollado ya las reglas algebraicas fundamentales para manejar números positivos y negativos. En el siglo IX, el astrónomo y matemático musulmán AlJwarizmi investigó y escribió acerca de los números, de los métodos de cálculo y de los procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. En el siglo X, el gran algebrista musulmán Abu Kamil, continuó los trabajos de Al-Jwarizmi y sus avances fueron aprovechados en el siglo XIII por Fibonacci. Durante este mismo siglo, el matemático Abul Wafa al Bujzani, hizo comentarios sobre los trabajos de Diofanto y Al-Jwarizmi y gracias a ellos, ahora conocemos la Arithmetica de Diofanto. En 1202 Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci, después de viajar al norte de África y a Oriente, donde aprendió el manejo del sistema de numeración indoarábigo, publicó el Tratado del Ábaco. En el siglo XV, el matemático francés Nicolás Chuquet introdujo en Europa occidental el uso de los números negativos. En 1489 el matemático alemán Johann Widmann de Eger inventó los símbolos "+" y "-“ para expresar la suma y la resta. En 1525, el matemático alemán Christoph Rudolff introdujo el símbolo de la raíz cuadrada que usamos hoy en día: Este símbolo era una forma estilizada de la letra "r" de radical o raíz. Entre 1545 y 1560, los matemáticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli se dieron cuenta de que el uso de los números imaginarios era indispensable para poder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado. En 1557 el matemático inglés Robert Recorde inventó el símbolo de la igualdad, =. En 1591 el matemático francés François Viète desarrolló una notación algebraica muy cómoda,
Mg. Javier A. Huamán A.
Ecuaciones 1er. y 2do. Grado representaba las incógnitas con vocales y las constantes con consonantes. En 1637 el matemático francés René Descartes fusionó la geometría y el álgebra inventando la "geometría analítica". Inventó la notación algebraica moderna, en la cual las constantes están representadas por las primeras letras del alfabeto, a, b, c,… y las variables o incógnitas por las últimas, x, y, z.
Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita. Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe). Tienen la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni en el denominador. Las ecuaciones lineales con dos incógnitas representan una recta en el plano. Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir estos pasos:
1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible. 2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho. 3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible. 4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.
Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo: Resolver la ecuación: 2x – 3 = 53 Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma). Entonces hacemos: 2x – 3 + 3 = 53 + 3
Mg. Javier A. Huamán A.
Ecuaciones 1er. y 2do. Grado En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos: 2x = 53 + 3 2x = 56 Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación: 2x • ½ = 56 • ½ Simplificamos y tendremos ahora: x = 56 / 2 x = 28 Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.
Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano. Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:
En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo). Para proceder a la resolución se debe: Eliminar paréntesis. Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro. Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes. Ejemplo: 4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16) 4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192 4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10 –35x = 182
Mg. Javier A. Huamán A.
Ecuaciones 1er. y 2do. Grado
Ejercicios de Aplicación: Resuelve: 1) x – 15 = - 27
6) (-2)(2 – 4x) = 3x - 7(7x - 2)
2) – 11x + 12 = 144
7) X + 7 (8 – 9x) – 8 = 5 + 6x – 8
3) x + 34 = 3x
8) (-5)(4 – 5x) = 7x - 3(3x - 9)
4) 4 – 7 (2x - 3) = 3x – 4(3x - 5)
9) -2 – 2(3x – 8) = -(1 – 9x) – (x – 3)
5) -6 – 7(8x - 4) = - (7 – 9x) - (x - 9)
10) 3(x + 3) – 3(x – 3) = x
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción). Para proceder a la resolución se debe: Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.) Ejemplo
m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12
Ejercicios de Aplicación: x 7x 5 6 2 3 5 7x 5 7 x 2 8 4 5 k 3 7x 1 2 4 2 4 2 3 2x 4 7 6 2x 1 1 7 x 3 2 3 3
1) 7 2) 3) 4) 5)
Mg. Javier A. Huamán A.
x x 3x 1 2x 3 1 5 3 10 3 5 1 x x 1 3x 1 7) 3 12 4 x x x 3 1 8) 5 2 1 5 10 2 x 3x 126 9) 2 7 x2 7x 5 2 10) 4 4 6 2 6) 2
Ecuaciones 1er. y 2do. Grado
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla. Ejemplo
Ejercicios de Aplicación: a)
xa 1 x 2 3a a 2
b)
ax 2a 2 2 x 3 2 a a a
d)
x m3 x m3 2 x 3 12m 3 a bax bx a b
e)
2
f)
1 4 4 x 2x 1 2x 2 2x 2
c)
xq x p x p xq
2
Para poder usar adecuadamente las ecuaciones en la solución de problemas es importante saber traducir el lenguaje verbal en un lenguaje algebraico que nos facilite el trabajo matemático. A continuación, te presento una tabla de equivalencias entre una expresión coloquial y su simbología, la cual puede resultarte muy útil cuando tengas que solucionar problemas utilizando ecuaciones: Expresión coloquial Dado un número El duplo, el doble de un número La mitad de un número Un número disminuido en... El antecesor, o el anterior de un número El sucesor, el consecuente, o el siguiente de un número El opuesto de un número Números consecutivos Un número par Números pares consecutivos Un número impar Números impares consecutivos El triple de un número
Mg. Javier A. Huamán A.
Simbología matemática
Ecuaciones 1er. y 2do. Grado El cuádruplo de un número La tercera parte, o el tercio de un número La cuarta parte de un número La quinta parte de un número El cuadrado de un número El cubo de un número El cuadrado del siguiente de un número El cubo del siguiente de un número La raíz cuadrada de un número La raíz cúbica de un número La raíz cuarta de un número La razón entre dos números: división El producto entre dos números: multiplicación La diferencia entre dos números: sustracción
Problemas de Aplicación: 1. Por un videojuego, un cómic y un helado, Andrés ha pagado 19,50 euros. El videojuego es cinco veces más caro que el cómic, y éste cuesta el doble que el helado. ¿Cuál es el precio de cada artículo? 2. Me faltan 1,80 euros para comprar mi revista de informática preferida. Si tuviera el doble de lo que tengo ahora, me sobrarían 2 euros. ¿Cuánto tengo? ¿Cuánto cuesta la revista? 3. Con los 12 euros que tengo, podría ir dos días a la piscina, un día al cine y aún me sobrarían 4,5 euros. La entrada a la piscina cuesta 1,5 euros menos que al cine. ¿Cuánto cuesta la entrada al cine? 4. Antonio tiene 15 años, su hermano Roberto 13 y su padre 43. ¿Cuántos años han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre? 5. La suma de las edades de cuatro miembros de una familia es 104 años. El padre es seis años mayor que la madre, que tuvo a los dos hijos gemelos a los 27 años. ¿Cuál es la edad de cada 6. Juan, el padre de Ana, tiene ahora tres veces la edad de su hija, pero hace 5 años la edad de Juan era 4 veces la de Ana. ¿Qué edades tienen Ana y Juan? 7. Un repostero ha mezclado 10 kg de azúcar con una cierta cantidad de miel. El precio del azúcar es 1,20 euros/kg, el de la miel 5,60 euros/kg y el de la mezcla ha resultado a 2,85 euros/kg. ¿Qué cantidad de miel mezcló? 8. Un depósito está lleno el domingo. El lunes se vacían sus 2/3 partes, el martes se gastan 2/5 de lo que quedaba y el miércoles 300 litros. Si aún quedó 1/10, ¿cuál era la capacidad del depósito?
Mg. Javier A. Huamán A.
Ecuaciones 1er. y 2do. Grado 9. En el mes de agosto cierto embalse estaba a los 3/5 de su capacidad. En septiembre no llovió y se gastó 1/5 del agua que tenía. En octubre se recuperaron 7000 000 m3, quedando lleno en sus tres cuartas partes. ¿Cuál es su capacidad? 10. Calcula el capital que colocado al 8% durante dos años se ha convertido en 6998,40 euros (los intereses se han sumado al final de cada año).
Se llama sistema de ecuaciones todo conjunto de ecuaciones distintas que tiene una o más soluciones comunes. Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores que satisfacen simultáneamente cada una de sus ecuaciones. Características de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Los resultados característicos de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables son:
Existe Unicamente una solucion. Existe una cantidad infinita de soluciones. No existe solucion.
Un sistema es consistente si tiene por lo menos una solución. Un sistema con un número infinito de soluciones es dependiente y consistente. Un sistema es inconsistente si carece de solución. Para resolver un sistema de N ecuaciones con N incógnitas podemos utilizar uno de los siguientes métodos:
Sea el sistema
Primero en una de las ecuaciones se halla el valor de una de las incógnitas. Despejemos la y en la primera ecuación suponiendo como conocido el valor de x y = 11 - 3x Se sustituye en la otra ecuación el valor anteriormente hallado, es decir donde se encuentre una "y" colocaremos "(11 – 3x)". 5x - (11-3x) = 13 Ahora tenemos una ecuación con una sola incógnita; la cual resolvemos normalmente
Mg. Javier A. Huamán A.
Ecuaciones 1er. y 2do. Grado 5x – 11 + 3y = 13 5x + 3x = 13 + 11 8x = 24 x=3 Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la expresión del valor de "y" que obtuvimos a partir de la primera ecuación del sistema y = 11 - 3x y = 11 – 9 y=2 Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto será x=3 e y=2
Ejercicios de Aplicación: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método de SUSTITUCIÓN 1.
2x y 0 x y 1
2.
2x 4 y 2 x 2y 1
3.
2 x 3 y 1 4 x 6 y 4
4.
x 5y 2 4 x 3 y 9
5.
10 x 7 y 4 0 6x 5 y 2 0
6.
x y 8 x7 7. 7 x 13 4 3y 5
8.
5 x 2 3 y 1 23 3 x 2 5 y 1 19
x 3 y 5 x 1 y 8 2x 35 y 7 2 5x 6 y 1
Sea el sistema
Lo primero que haremos será despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita
Mg. Javier A. Huamán A.
Ecuaciones 1er. y 2do. Grado Igualamos ambas ecuaciones 11 - 3x = -13 + 5x 8x = 24 x=3 Este valor de x lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones de y y = 11 – 9 y=2
Ejercicios de Aplicación: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método de IGUALACIÓN 1.
2 x 3 y 14 3x 4 y 19
2.
3x 2 y 17 5x y 11
3.
3x 2 y 7 5x y 3
4.
3x 5 y 21 x 4 y 10
5.
1,5 x 1,1y 0,01 2 x 1,7 y 0,08
6.
8x 6 y 2 9 x 6 y 15
x4 2 y 1 3 7. x2 3 y 1
3x 2 y 5 x 3 y x 1 5 3 8. 2x 3 y 4x 3 y y 1 3 2
Sea el sistema
Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema, la intención es eliminar una variable por lo que si no se puede eliminar ninguna así nomás se multiplicarán las ecuaciones por números que igualen alguno de los términos, para que se elimine uno: Para este ejemplo eliminamos "y"
Mg. Javier A. Huamán A.
Ecuaciones 1er. y 2do. Grado y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos y=2 Este método sirve para cualquier cantidad de ecuaciones con la única condición que el número de variables desconocidas no sea mayor a la cantidad de ecuaciones.
Ejercicios de Aplicación: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método de REDUCCIÓN 1.
6 x 4 y 38 5 x 2 y 5
2.
4 x 7 y 42 5x 5 y 30
3.
5 x 10 y 50 x 5 y 3
4.
3x 3 y 12 7 x 6 y 21
5x 3y 1 2 5. 3x 3 y 15 3
2x y x 1 5 6. 2x y 3x 5 5
8x 3 y 9 7. 4 3 y 12
8.
4 x 3 y 1 5 3 y 1 2 x 7
Problemas de Aplicación: 1- Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay? 2- El costo total de 5 libros de texto y 4 lapiceros es de $32.00; el costo total de otros 6 libros de texto iguales y 3 lapiceros es de $33.00. Hallar el costo de cada artículo. 3- Hallar dos números tales que la suma de sus recíprocos sea 5, y que la diferencia de sus recíprocos sea 1. 4- Si a los dos términos de una fracción se añade 3, el valor de la fracción es ½ y si a los dos términos se resta 1, el valor de la fracción es 1/3. Hallar la fracción. 5- Se tienen $120.00 en 33 billetes de a $5 y de a $2. ¿Cuántos billetes son de $5 y cuántos de $2?
Mg. Javier A. Huamán A.
Ecuaciones 1er. y 2do. Grado 6- La suma de las edades de un padre y de su hijo es 39 y su diferencia es 25, ¿cuál es la edad de cada uno? 7-Una parcela rectangular tiene un perímetro de 320 m. Si mide el triple de largo que de ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la parcela? 8- Hallar dos números sabiendo que el mayor más seis veces el menor es igual a 62 y el menor más cinco veces el mayor es igual a 78. 9. Al dividir un número entre otro el cociente es 2 y el resto es 5. Si la diferencia entre el dividendo y el divisor es de 51, ¿de qué números se trata? 10. La base de un rectángulo mide 20 dm más que su altura. Si el perímetro mide 172 dm, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar en la forma: ax2 + bx + c = 0, siendo a, b y c números reales y a ≠ 0. * Los coeficientes de la ecuación son a y b. El término independiente es c. * Si b = 0 ó c = 0 la ecuación es incompleta Reglas para resolver ecuaciones de segundo grado * Si la ecuación de segundo grado está completa (tiene todos sus términos), se aplica la fórmula general: x
b b2 4ac 2a
* Si es una ecuación incompleta se puede solucionar siguiendo algunos pasos definidos que se explicarán más adelante. * Si tiene una fisonomía complicada, se tiene que arreglar: quitar denominadores, suprimir paréntesis, agrupar términos y pasarlos todos al primer término e igualar a 0. * Se comprueba las soluciones. Si la ecuación proviene de un problema con enunciado, haz la comprobación sobre él, pues es posible que alguna de las soluciones carezca de sentido real. Definición. Tipos
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar en la forma: ax2 + bx + c = 0, siendo a, b y c números reales y a≠0. • Los coeficientes de la ecuación son a y b. El término independiente es c. • Si b≠0 y c≠0, se dice que la ecuación es completa. • Si b=0 ó c=0 la ecuación es incompleta.
Mg. Javier A. Huamán A.
Ecuación de segundo grado completa: 3x2 + 4x + 2 = 0 a=3;b=4;c=2 Ecuación de segundo grado incompleta: 3x2 + 2 = 0 ; 3x2 + 6x = 0 a=3;b=0;c=2 a=2;b=6;c= 0
Ecuaciones 1er. y 2do. Grado
3x2 + 9x = 0
La ecuación de segundo grado incompleta del tipo ax2+bx=0 tiene dos soluciones: x1=0 y x2=-b/a Se resuelve sacando factor común a la x e igualando los dos factores a cero.
X=0 X(3x + 9) = 0 3x + 9 = 0 x = -3
Ejercicios de Aplicación: 1) x2 − 5x = 0
6) −5x2 + 20x = 0
2) x2 + 3x = 0
7) 25x2 − 100x =0
3) 5x2 + 5x =0
8) −4x2 + 16x = 0
4) 6x2 = 30x
9) 5x − 4x2 =0
5) 2x2 − 8x =0
10) x (x − 3) + 8 = 4(x + 2)
3x2 - 27 = 0
La ecuación de segundo grado incompleta del tipo ax2+c=0, puede no tener solución ó tener dos
x2 = 9 x = ±
soluciones distintas de la forma: x c
9 =±3
a
Ejercicios de Aplicación: 1) x2 − 9 = 0
6) 18x2 − 72 = 0
2) x + 5 = 0
7) 25x2 – 1 = 0
3) 7x2 − 28 =0
8) x2 – 100 = 0
4) 5x2 = 45
9) 2x2 + 98 = 0
5) 5x2 − 180 =0
10) 16x2 = 100
2
La ecuación de segundo grado completa es una igualdad algebraica que se puede expresar de la forma ax2+bx+c=0, siendo a, b y c números reales ya≠0 Para obtener las soluciones utilizamos la formula:
b b2 4ac x 2a
Mg. Javier A. Huamán A.
x2 – 5x + 6 = 0 a=1;b=5;c=6
(5) (5)2 4(1)(6) 6 2(1) 3 2 5 25 24 5 1 x 2 2 4 2 2
x
Ecuaciones 1er. y 2do. Grado
Ejercicios de Aplicación: 1) 3x2 – 5x – 2 = 0 8)
2) 5x2 – 7x + 3 = 0 3) 2x2 + 5x – 3 = 0
9)
4) (3x + 4)(5x – 7) = (2x + 7)2 + 53
x 2 3x x 12 2 2 6
5x 4 5x 4 3x 1
5) (2x + 1)(x – 3) = (x + 1)(x – 1) – 8 6) (2x – 3)(2x + 3) – x (x + 1) – 5 = 0
10=
4
x 1
2
x2 – 5x + 6 = 0 Las raíces son x = 3 y x = 2 5 X1 + x2 = 2 + 3 = 5 =
b c X1 + x2 = ; X1 . x 2 = a a
Ecuación de 2do. Grado completa:
2
3x 1 x 1 0 15 5
7) (2x + 1)2 = 4 + (x + 2)(x – 2)
Si x1 y x2 son las raíces de una ecuación de segundo grado ax2+bx+c=0, estas cumplen las siguientes propiedades :
9
2
X1 . x2 = 2 x 3 = 6 =
1
6 1
X 2-Sx + P = 0 S = suma P = producto
Ejercicios de Aplicación: I- Escribe una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean: 1) x=3 y x=-5 2) x=2 y x=4 3) x=-1 y x=-9 4) x=0 y x=-5 5) x =2 y x = -3 6) x = 6 y x = -2
II- Resuelve cada situación 7) Determina la ecuación de segundo grado cuya suma de soluciones vale 5 y su producto es 6. 8) La suma y el producto de las raíces de la ecuación px2-2(q-1)x+6=0 son -3 y 3 respectivamente. El valor de q es… 9) Determinar una ecuación de segundo grado sabiendo que la suma de sus raíces es 4/3 y el producto es 5/2 10) Indicar la suma y producto de las raíces de: x2 + 5x +3 = 0
2x2 + 5x - 3 = 0
b2 4ac 52 4.2. 3 49 Se llama discriminante de una ecuación de segundo grado ax2+bx+c=0, a la expresión: Δ=b2-4ac • Si Δ>0 hay dos raíces reales distintas • Si Δ=0 hay dos raíces reales iguales • Si Δ<0 no hay raíces reales
Tiene dos raíces reales distintas 3x2 + 5x +6 3 = 0
b2 4ac 62 4.3.6 37 No tiene raíces reales x2 + 6x + 9 = 0
b2 4ac 62 4.1.9 0 0 Tiene dos raíces reales iguales
Mg. Javier A. Huamán A.
Ecuaciones 1er. y 2do. Grado
Ejercicios de Aplicación: Calcula el discriminante de las ecuaciones y precisa el número de soluciones que tienen: 1) x2+ 6x + 5 = 0 2) x2 – 14x + 49 = 0 3) x2 – 6x + 25 = 0 4) 7x2+21 – 28 = 0 5) Calcula “n” para que x2 – 4x + n = 0 no tenga soluciones. 6) Calcula “m” para que mx2 + 8x + 5 = 0 tenga dos soluciones 7) Calcula “m” para que x2 + mx + 25 = 0 tenga una solución
8) ¿Qué valor (es) debe tomar k en la ecuación: 9x2 – kx + 1 = 0 para que sus soluciones sean números reales e iguales? 9) Hallar “m” para que las raíces de x2 – 6mx + 9m2 = 0 sean iguales. 10) ¿Cuánto debe valer “m” para que la suma de las raíces de la ecuación de segundo grado: 3x2 + (2m+1)x – 2 = 0 seaga igual a 7?
Para que un producto de varios factores sea cero, al menos uno de los factores ha de ser cero. Para resolver las ecuaciones en las que un producto sea igual a cero, (x-a)(x-b)=0, se igualan a cero cada uno de los factores y se resuelven las ecuaciones resultantes. x-a=0 ; x=a x-b=0 ; x=b
(x + 7) (x - 9) = 0 Para que un producto sea igual a cero basta con que uno de los factores sea cero. X + 7 = 0 x = -7 X-9=0x=9
Ejercicios de Aplicación: Resuelve 1) (x + 2)(x − 3) = 0 2) (x - 1)(x + 2) = 0 3) (3x + 1)(x + 5) = 0 4) (3x - 1) (x - 5)= 0 5) (2x + 8)(3x − 9) = 0
Mg. Javier A. Huamán A.
6) (3x + 1)(7x - 5) = 0 7) (4x +6)(5x - 15) = 0 8) (3x - 6)(2x + 8) = 0 9) (5x - 14)(3x + 12) = 0 10) (x - 6)(2x +8) = 0
Ecuaciones 1er. y 2do. Grado
Las ecuaciones de primer y segundo grado aparecen en multitud de ocasiones en la resolución de distintos problemas de la vida real La suma de los cuadrados de dos números naturales es 313. ¿Cuáles son los números?
Recuerda los pasos: Comprender el enunciado Identificar la incógnita
Llamamos x al menor de los números.Llamamos x+1 al
Traducir a lenguaje algebraico
consecutivo
Plantear la ecuación
La ecuación es: x2 + (x + 1)2 = 313
Resolver
Resolvemos:
Comprobar las soluciones
x 2 x 2 2 x 1 313 2 x 2 2 x 1 313 2 x 2 2 x 312 0 2 4 2496 2 2500 2 50 4 4 4 x 12 ; x 13
x
La solución es el número 12, (-13 no vale por no ser natural).
Problemas de Aplicación: 1- La suma de un número natural y su cuadrado es 42. ¿De qué número se trata? 2- Calcula el valor de m sabiendo que x=3 es solución de la ecuación de segundo grado: x2 - mx+27=0 3- La diagonal de un rectángulo mide 10 cm. Halla sus dimensiones si un lado mide 2 cm menos que el otro. 4- Encuentra dos números positivos que se diferencien en 7 unidades sabiendo que su producto es 44. 5- Encuentra dos números cuya suma sea 10 y su producto 24 6- Un campo de fútbol mide 30 m más de largo que de ancho y su área es de 7000 m2, halla sus dimensiones. 7- Tenemos un alambre de 17 cm. ¿Cómo hemos de doblarlo para que forme un ángulo recto de modo que sus extremos queden a 13 cm? 8- La diagonal de un rectángulo tiene 10 cm. Calcula sus dimensiones si el lado pequeño mide ¾ del lado grande. 9 Reparte el número 20 en dos partes de forma que la suma de sus cuadrados sea 202. 10- Encuentra dos números positivos sabiendo que se diferencian en 7 unidades y su producto es 60.
Mg. Javier A. Huamán A.
Ecuaciones 1er. y 2do. Grado
Mg. Javier A. Huamán A. Mg. Javier A.Aula Huamán A. Administrador Virtual
I.E.P. “Santo Toribio de Mogrovejo” Chiclayo - Perú