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Una inecuación es una expresión algebraica compuesta por dos expresiones algebraicas, relacionadas mediante los signos < , ≤ , > , ⩾.
Javier A. Huamán Angulo Jaha jhuaman@stm.edu.pe
Inecuaciones de Primer Grado con una variable
¿Dónde hay desigualdades? En el campo de los negocios tú puedes encontrar muchos ejemplos sobre estas entidades matemáticas llamadas desigualdades. Considera la siguiente situación: Roberto es un muchacho muy responsable que ha aceptado un trabajo de vendedor de pantalones, casa por casa. El dueño de la empresa que lo ha contratado le ha prometido que le pagará 8 soles diarios por gastos de transporte y 2 soles por cada pantalón que venda. Cada pantalón tiene un precio de 20 soles. Roberto quiere tener al final del día, ingresos mínimos (es decir, dinero en su bolsillo) de por lo menos 36 soles. ¿Cuál es el número mínimo de pantalones que debe vender para logar eso? Se que tú ya pensaste una solución aritmética para la situación. Veamos: El ingreso mínimo que desea Roberto es de 36 soles; este incluye por supuesto los 8 dólares de gastos de transporte. Por lo tanto la diferencia 36 – 8 = 28, es el ingreso por los pantalones vendidos. Si dividimos este resultado entre 2, que es lo que gana por cada pantalón vendido, obtenemos: 28/2 = 14, que es el número mínimo de pantalones que debe vender. Organicemos ahora una solución algebraica. Aquí es muy importante definir una variable para la incógnita o incógnitas. Llamemos “x”: “número de pantalones que vende Roberto al día” La expresión algebraica: (2x + 8) constituye la expresión correspondiente al ingreso. Esta, al ser igualada a 36, se convierte en la ecuación lineal: 2x + 8 = 36, cuya solución es, por supuesto x = 14. Para ganar “por lo menos 36 soles”, Roberto debe vender 14 pantalones. La ecuación 2x + 8 = 36 la podemos convertir en una desigualdad, cambiando el signo = por el signo ≥. Entonces: 2x + 8 ≥ 36 la cual llamamos desigualdad lineal o inecuación lineal. La solución de esta inecuación es el conjunto de enteros: {14, 15, 16 , 17 , …} Si vende 15 pantalones ganaría 2(15) + 8 = 38 > 36 Si vende 16 pantalones ganaría 2(16) + 8 = 40 > 36, etc. Si la variable x pudiera tomar cualquier valor en el conjunto de los números reales, entonces el conjunto solución de la desigualdad es el Intervalo: {xR/x ≥14} = [14 , +∞[
Ejemplo 1 Si el dueño de la empresa contrata a nuestro amigo Roberto y desea ingresos diarios mayores que 306 soles, ¿cuántos pantalones se deberían vender? La solución requiere la construcción de una desigualdad.
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Inecuaciones de Primer Grado con una variable ¿Qué piensas de esta?
18x > 36
Tiene sentido, ¿no te parece? Porque el dueño debe recibir 18 soles por cada pantalón vendido. Si ahora divides entre 19 ambos lados de la desigualdad, obtienes el intervalo solución: x > 306/18 ; x > 17. Se deben de vender más de 17 pantalones en el día.
Para resolver las desigualdades es importante conocer lo que significa que algo es < menor que y > mayor que en estos casos el valor a estudiar no está incluido. ≤ menor o igual que y ≥ mayor o igual que en estos casos el valor a estudiar está incluido.
Una inecuación es una expresión algebraica compuesta por dos expresiones algebraicas, relacionadas mediante los signos de orden: < , ≤ , > , ⩾. Relación de Orden
(3x - 5) ⩾ (x + 7)
Expresión algebraica
Se llama inecuación lineal, fundamentalmente, porque la variable x que aparece en las expresiones algebraicas se encuentra elevada a la potencia uno. La forma general de una inecuación lineal se expresa: ax + b ⩾ 0; con a y b que representan números reales y a ≠ 0. Ejemplos de inecuaciones lineales en su forma general: 2x – 12 > 0 5x + 3 ⩾ 0 -4x + 8 < 0 5y– 1 ≤ 0
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2x – 12 > 0 es una inecuación estricta en la variable x. 5y– 1 ≤ 0 es una inecuación débil en la variable y.
Inecuaciones de Primer Grado con una variable También son ejemplos de inecuaciones lineales las siguientes:
x<2 4x + 2 ⩾ −1 −x > −3 + 2x
Diríamos en estos casos que la primera inecuación ya estaría resuelta, pues si x toma valores menores que 2 siempre se cumplirá la desigualdad, y que las siguientes inecuaciones se deberían resolver, es decir, encontrar para qué valores de x se cumplen las inecuaciones respectivas.
En el ejemplo 1 hicimos una operación que decía: “si ahora divides entre 18 ambos lados de la inecuación”, obtienes… en realidad esta es una operación que tú has empleado en la solución de ecuaciones, pero no hemos dicho que sea válida para resolver inecuaciones.
Solución de una inecuación Dada una inecuación, consideraremos que la hemos resuelto cuando encontremos una expresión del tipo x < a, x > a, x ⩽ a , x ⩾ a, donde a simboliza un número. Al encontrar esta expresión ya podremos decir que para que la inecuación sea cierta, x deberá cumplir la condición encontrada y consideraremos que hemos resuelto la inecuación. Diremos entonces que un número real satisface una determinada inecuación, si al ser sustituido en la variable, convierte a la desigualdad en una proposición verdadera, es decir en algo que es cierto. Por ejemplo, en la inecuación 2x – 12 > 0, el número 7 la satisface, ya que 2(7) – 12 = 2 > 0, que es una proposición verdadera. El número 4 sin embargo no lo satisface, puesto que 2(4) – 12 = -4 > 0, es una proposición falsa. Resolver una inecuación significará hallar el conjunto total de números reales que satisfacen esa desigualdad. Cuando dos inecuaciones tienen la misma solución diremos que éstas son inecuaciones equivalentes.
Ejemplo 2 Comprueba si el conjunto numérico que acompaña a cada inecuación se puede considerar conjunto solución de la misma. a) 3x – 15 < 0 ; CS = ]- ∞ , 5[ b) 4x + 8 ⩾ 0; CS = [-2 , + ∞[
Solución a) Es una desigualdad estricta. Debemos tomar números menores que 5 para ver qué sucede. Tomemos el número 4.99 y hagamos la sustitución: 3 (4.99) – 15 = -0.03 >0 es una proposición verdadera. Lo mismo sucederá para cualquier otro número que sea menor que éste. b) Es una desigualdad débil. El número –2 hace la igualdad a cero: 4 (-2) + 8 = -8 + 8 = 0. Cualquier otro número mayor que -2, dará por resultado valores mayores que cero.
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Inecuaciones de Primer Grado con una variable
Para operar con las desigualdades o inecuaciones se emplean básicamente las mismas reglas que se utilizan con las ecuaciones para mantener la equivalencia (excepto por una que verás luego y que funciona de otra forma). Así: Se puede sumar o restar una misma cantidad a ambos lados de la inecuación y ésta mantiene la equivalencia con la primera.
Adicción y Sustracción Se puede sumar o restar una misma cantidad a ambos lados de la inecuación y ésta mantiene la equivalencia con la primera. Supongamos que A, B y C son tres números cualesquiera, entonces: si A < B ⇒ { A + C < B + C ⇒ A – C < B − C si A > B ⇒ { A + C > B + C ⇒ A – C > B − C Como vemos, podemos sumar o restar un mismo valor a cada lado de la desigualdad sin tener problemas con el símbolo de la desigualdad. Lo que nos permite esta propiedad es sumar y restar un mismo valor a cada lado de una desigualdad o inecuación, pudiendo así aislar la variable x en un lado de la inecuación. Dada la inecuación: x + 3 < 4, vamos a resolverla: x+3<4 ⇒x+3–3<4–3 ⇒ x<4–3 ⇒ x<1
Multiplicación y división Se puede multiplicar o dividir por una misma cantidad POSITIVA a ambos lados de la inecuación y ésta mantiene la equivalencia con la primera. Supongamos pues que A, B y C son tres números cualesquiera, entonces: Si C es positivo y A < B entonces A⋅C < B⋅C y AC < BC (la desigualdad no cambia). Si C es positivo y A > B entonces A⋅C > B⋅C y AC > BC (la desigualdad no cambia).
Ejemplo 03: 3x + 5 < 11 3x + 5 – 5 < 11 – 5 ; se resta – 5 a ambos lados para aislar 3x 3x < 6 3x 6 3 3 ; se divide entre 3 a ambos lados para dejar sola la variable x
X < 2; se llega a la última desigualdad equivalente; que resulta ser la solución. CS = ]- ∞ , 2[ es la solución de la desigualdad. Se puede multiplicar o dividir por una misma cantidad NEGATIVA a ambos lados de una desigualdad, siempre y cuando se invierta la relación de orden. Si la relación es < debe cambiarse
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Inecuaciones de Primer Grado con una variable por >; si la relación es ≥ debe cambiarse por ≤. Supongamos pues que A, B y C son tres números cualesquiera, entonces:
Si C es negativo y A < B entonces A⋅C > B⋅C y AC > BC (la desigualdad cambia de orden). Si C es negativo y A > B entonces A⋅C < B⋅C y AC < BC (la desigualdad cambia de orden).
En los números reales la proposición: -2 < 5 es verdadera. Si la multiplicas por una cantidad negativa, por ejemplo -3, y no cambias la relación de orden, la proposición se vuelve falsa:
Observa: a) (-3)(-2)<(-3)(5) 6 < -15 ¡Falso! No debes olvidar esto. Es un error muy frecuente cuando se resuelven inecuaciones. b) -2x < 8
2 x 8 2 2 ; al dividir entre -2, para aislar la variable, invertimos la relación de orden. La solución x 4 de la inecuación es CS = ]-4 , +∞[ Esta propiedad nos permitirá multiplicar y dividir por un mismo valor a los dos lados de una inecuación, y así podremos aislar nuestra variable x sin problemas en uno de los lados de la inecuación.
ACTIVIDAD 01 Utiliza las propiedades explicadas en los párrafos anteriores para resolver las siguientes desigualdades o inecuaciones: 1. 5x + 4 > -6
6. 10x – 9 (2x + 1) – 3x > 5 (x – 5)
2. 6x –3 > 5x – 7
7. (x – 2) (x + 3) ≤ x (x – 1) – 8
3. (x - 9) ≤–2 (x–3) + 5
8. 3x – 4 < 2 + x
4. –2 (x–2) + 5 ≤ 4 (2x – 7) – 3
9. 2x + 9 < 8 – x – 9
5. 6 (2x – 1) – 7 ≤ –2 (5x – 2) + 5x
10. 2x + 1 ≤ x + 3
Consideremos la inecuación:
La resolveremos aplicando los siguientes pasos, si son posibles realizarlos: 1º Quitar corchetes.
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Inecuaciones de Primer Grado con una variable 2º Quitar paréntesis.
3º Quitar denominadores.
4º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.
5º Efectuar las operaciones
6º Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.
7º Despejamos la incógnita.
Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla: De forma gráfica:
Como un intervalo [3, +∞)
Ahora que ya sabemos cómo sumar y restar, multiplicar y dividir a los dos lados de una inecuación por un valor concreto, ya somos capaces de resolver cualquier inecuación de primer grado.
ACTIVIDAD 02 Utiliza las propiedades explicadas en los párrafos anteriores para resolver las siguientes desigualdades o inecuaciones de 1er grado con denominadores: 1) 6) 2) 3) 4)
7) 8) 9)
5) 10)
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2 x 3 5
7x 4 12
Inecuaciones de Primer Grado con una variable
Cuando tenemos un sistema de desigualdades o inecuaciones resolvemos cada una de ellas por separado, la solución va a ser la común a las desigualdades.
ACTIVIDAD 03 Halla el conjunto de soluciones de los siguientes sistemas de inecuaciones 1)
3x 1 5 x 7 x 4 2x 1
2)
3x 1 2 x 5 2x 1 x 3
8)
3)
2x 3 1 x 2 1
9)
4)
2x 3 1 x 2 1
5x 3 1 x x 2x 3
10)
5)
2x 3 1 x 6 3
3x 2 x 6x 4 3 x
11)
4x 6 x 2 6) 2 3x x
12)
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7)
x 15 3 x
4 2 x 5
x 3
5x 8
x 2
49x 5
2x 5
4x 23
2 x 3 3x 7
2 x 4 2 3x x 6 10
Inecuaciones de Primer Grado con una variable
Una inecuación de tres partes pertenece a la forma: Significa que:
A≤B≤C
A < B y que B < C Ejemplo 04:
Ejemplo 05:
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Inecuaciones de Primer Grado con una variable Ejemplo 06:
x
ACTIVIDAD 04 Resuelve las siguientes ecuaciones de tres partes:
1) 2 < x + 4 < 5 2) 3 > 2x – 5 ≥7
11) 2 ≤ x + 1 ≤ 6 12)
2 12 x 6 8
13)
1 347 x 6
3) 2≤ 5 – 3x ≤ 5 4) 1 < 3(x + 4) – 3 < 5 5) 6)
3 x21 4
2 223x 53
7) -3 ≤ 2t – 7 < 8 8)
3 5 1 2
x 2
9) 6 ≤ 4x – 2 < 7 10) -7 ≤ 2x + 1 ≤ 19
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7
154 x 32
3
3x 15 52
14) 2 15) 7
16) 1 < x + 1 < 5 17) -5 < x – 3 ≤ -3 18)
7 3 12 x 8
Inecuaciones de Primer Grado con una variable
1- Ezequiel y sus amigos organizaron un equipo de futbol. Tienen que comprar su indumentaria para competir. Recorriendo tiendas encontraron que cada remera les puede costar entre $ 28 y $ 32; cada pantalón, entre $ 20 y $ 25. Ellos están dispuestos a gastar, por la compra de los 18 conjuntos, no más de $ 2000. a) Escriban la inecuación que expresa el gasto que deberán realizar, en función de la compra de las remeras y los pantalones. b) Escriban, por lo menos, tres soluciones posibles para la adquisición de la indumentaria 2- “Fernando tiene más edad que Álvaro. Jorge es menor que Claudio y Álvaro es mayor que Claudio. ¿Indiquen con una cruz cual es el menor de todos? 3- Al organizar un baile escolar, los alumnos de una escuela encuentran que una banda toca por $250, más el 50% del total de ventas por entradas. Otra banda lo hace por una suma fija de $550. Los alumnos de este colegio suponen que asistirán al baile aproximadamente 300 personas. i) ¿a cuál banda les conviene contratar? ¿Por qué? ii) si decidieran contratar a la primer banda ¿Cuál es el precio máximo que pueden cobrar por entrada? Suponiendo que la asistencia será de 300 personas. 4- La NASA envía dos satélites al planeta Venus. El primero envía datos informando que la temperatura del planeta es cierta localidad es de 5t – 50 ≥3t + 550, mientras que el segundo satélite informa que la temperatura en la misma localidad es de 6t + 500 – t≤ 4t + 1200. Si “t” corresponde a la temperatura en ºC y la información de ambos satélites es correcta. -Cuál es la temperatura en la localidad analizada. -Interpretar sobre una recta la solución de la temperatura. -Representar gráficamente el conjunto solución. 5- Se desea saber el mayor número de alumnos que hay en el aula, si al doble del número de éstos se le disminuye en 7, el resultado es mayor que 29 y sí al triple se le disminuye en 5, el resultado es menor que el doble del número aumentado en 16. 6- Un comerciante adquirió cierto número de artículos de los que vendió 70 y le quedaron más de la mitad; al día siguiente le devolvieron 6, pero logró vender 36, después de lo cual le quedaron menos de 42. ¿Cuántos artículos formaban el lote? 7- Un padre dispone de S/. 320 para ir a un evento deportivo con sus hijos, si toma entradas de S/. 50 le falta dinero y si las tomas de S/.40, le sobra dinero. ¿Cuál es el número de hijos? 8- Para la confección de la parte final de un libro habían cierto número de problemas, se duplicó este número y se eliminaron 39 problemas porque eran muy sencillos, de este modo quedaron menos de 65 problemas. Si se hubiera triplicado el número original de problemas y eliminando luego 70 por considerarlos repetidos en capítulos anteriores. ¿Cuántos problemas habían inicialmente? 9- Se compró un número impar y múltiplo de 3 de naranjas, tal que, si se vende la cuarta parte, quedan por vender menos de 120, pero si se vendiera la sexta parte, quedarían más de 129 por vender. ¿Cuántas naranjas se compraron? 10- Hallar un número de dos cifras, sabiendo que la suma de ellas es mayor que 10 y que la diferencia entre la cifra de las decenas y el doble de la que ocupa el lugar delas unidades es mayor que 4. Indicar como respuesta el producto de las cifras.
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Inecuaciones de Primer Grado con una variable
Mg. Javier A. Huamán A. Mg. Javier A.Aula Huamán A. Administrador Virtual
I.E.P. “Santo Toribio de Mogrovejo” Chiclayo - Perú