Números Racionales

Números Racionales Las Fracciones

Alexjavier27@gmail.com I.E.P. “Santo Toribio de Mogrovejo”

Los babilónicos utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60, mientras que los egipcios usaron, sobre todo, las fracciones con numerador igual a 1. En la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado, ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1.

Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval. En el siglo XIII, Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, famoso, entre otras cosas por la serie de Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones.

A principios del siglo XV, el árabe Al Kashi fue el que generalizó el uso de los números decimales tal y como los conocemos hoy.

A finales del siglo XVI, Simon Stevin desarrolló y divulgó las fracciones decimales que se expresaban por medio de números decimales: décimas, centésimas, milésimas, etc., pero los escribía de una forma complicada; así para 456, 765 escribía 456 (0) 7(1) 6(2) 5(3).

A principios del siglo XVII, los números decimales ya aparecieron tal y como los escribimos hoy, separando con un punto o una coma la parte entera de la parte decimal. Los números decimales se impusieron, en casi todos los países, al adoptarse el Sistema Métrico Decimal, en el siglo XVIII, concretamente en 1792.

Leonardo de Pisa, mejor conocido por su apodo Fibonacci (que significa hijo de Bonacci) nació en la ciudad italiana de Pisa y vivió de 1170 a 1250.

Se hacía llamar a sí mismo "Bigollo" que quiere decir "bueno para nada".

Era hijo de Guilielmo Bonacci quien trabajaba como representante de la casa comercial italiana más importante de la época, en el norte de África.

Es en medio de esta actividad comercial que Leonardo de Pisa comienza a formarse como mercader y matemático en la ciudad de Bugia, hoy Bejaia un puerto al noreste de Argelia. Se conoce muy poco sobre su vida; sin embargo, en el prefacio de uno de sus libros más importantes, el Liber Abaci,

Leonardo comenta que fue su padre quien le enseñó Aritmética y lo animó a estudiar matemáticas.

En Bugia Leonardo recibió este tipo de enseñanza de maestros árabes, lo cual era, sin duda, lo mejor que podía sucederle a un joven medieval italiano que quisiera saber matemáticas.

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Se convirtió en un especialista en Aritmética y en los distintos sistemas de numeración que se usaban entonces. Muy pronto se convenció de que el sistema hindo-arábigo era superior a cualquiera de los que se usaban en los distintos países que había visitado. Decidió llevar este sistema a Italia y a toda Europa de ser posible, en donde aún se usaban los numerales romanos y el ábaco. El estudio de las matemáticas y de formas más prácticas de aplicarlas como un instrumento indispensable para el desarrollo del comercio le ocuparon prácticamente toda la vida.

Los mercaderes italianos al principio estaban renuentes a utilizar estos nuevos métodos pero poco a poco el sistema de numeración hindo-arábigo fue introducido en Europa gracias, en buena medida, al trabajo de Fibonacci.

Leonardo regresó a Pisa alrededor del año 1200 y ahí escribió una gran cantidad de libros y textos sobre matemáticas. En la época en la que vivió aún no existía la imprenta, por lo que sus libros eran escritos a mano y las copias que de ellos circulaban también se hacían a mano. Es fácil imaginar

la pequeña cantidad de copias que podían circular en ese entonces y aunque parezca imposible todavía hoy se conservan copias de los siguientes libros: "Liber Abaci", escrito en 1202; "Practica geometriae", escrito en 1220; "Flos", escrito en 1225 y "Liber quadratorum", escrito en 1227.

Sin embargo son muchos más los que se perdieron en el transcurso de la historia.

La reputación de Leonardo crecía de tal modo que para 1225 era reconocido como uno de los mejores matemáticos y de distintas cortes y comercios le pedían asesorías.

Debemos reconocer en él a uno de los primeros hombres que llevó la matemática árabe a Europa además de poner muy en alto el nombre de la matemática griega y darla a conocer entre los mercaderes y comerciantes, es decir sacarla de los monasterios y el monopolio de los eruditos.

Leonardo de Pisa fue sin duda el matemático más original y hábil de toda la época medieval cristiana, pero buena parte de sus trabajos eran demasiado difíciles para ser bien comprendidos por sus contemporáneos.

Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por:



a / a  ; b ; b  0 b

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El primer tipo de números que fueron construidos por el ser humano fueron los naturales. como bien sabrás, los naturales sirven para contar cantidades "naturales" de la naturaleza: un árbol, 5 personas, 20 cabras, etc. Los utilizaban para contar su ganado, los miembros de su familia, los bienes que intercambiaban con otras personas, etc.

Luego de eso, se dieron cuenta que no siempre habían solo números "naturales", también se podía tomar media manzana, un cuarto de una pera, cabra y media (jejej) y de ahí surgieron los racionales. Los mesopotámicos y los egipcios ya trabajaban con algunas fracciones como 1/2, 1/3, 1/5, etc., generalmente con 1 por numerador, eventualmente, utilizaban alguno que otro como 2/5 a diferencia de los 1/x. Uno de los primeros registros que se conocen (si no es que es el más antiguo) donde se encuentran números racionales, es la piedra roseta y los papiros de Rhind y de Moscú, ambos de la cultura egipcia.

Los racionales con los que trabajaban los antiguos, eran precisamente los fraccionarios, ya que los fraccionarios son para explicitar "fraccionamientos" de objetos conocidos. Ya el trabajo con racionales, entendiéndolos como los números de la forma a/b, con a y b naturales, y b distinto de cero, fue ya muy posterior a esas culturas, ya cerca del 1500.

Propiedades 1. Interna: El resultado de sumar dos números racionales es otro número racional.

4. Elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

a+b a+0=a 2. Asociativa: 5. Elemento opuesto El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado. (a + b) + c = a + (b + c) ·

3. Conmutativa: El orden de los sumandos no varía la suma. a+b=b+a

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero. a + (-a) = 0 El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

Como consecuencia de estas propiedades, la diferencia de dos números racionales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo. a − b = a + (−b)

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El producto de dos números racionales es otro número racional que tiene: Por numerador el producto de los numeradores. Por denominador el producto de los denominadores.

Propiedades 1. Interna:

4. Elemento neutro:

a·b

a ·1 = a

2. Asociativa:

5. Elemento inverso:

(a · b) · c = a · (b · c) 6. Distributiva:

3. Conmutativa:

a · (b + c) = a · b + a · c

a·b=b·a

7. Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c)

El cociente de números racionales es otro número racional que tiene: Por numerador el producto de los extremos. Por denominador el producto de los medios.

Propiedades

1.

2.

3. Producto de potencias con la misma base:

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4. División de potencias con la misma base:

6. Producto de potencias con el mismo exponente:

5. Potencia de una potencia:

7. Cociente de potencias con el mismo exponente:

1º. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

2º. Calcular las potencias y raíces.

3º. Efectuar los productos y cocientes.

4º. Pasar a fracción los números mixtos y decimales.

5º. Realizar las sumas y restas.

1. Un hombre camina 4 1/2 km el lunes, 8 2/3 km el martes, 10 km el miércoles y 5/8 de km el jueves. ¿Cuánto ha recorrido en los cuatro días?

2. Pedro ha estudiado 3 2/3 horas, Enrique 5 3/4 horas y Juan 6 horas. ¿Cuántas horas han estudiado los tres juntos?

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3. Un campesino ha cosechado 2500 kilos de papas, 250 1/8 de trigo y 180 2/9 de arroz. ¿Cuántos kilos ha cosechado en conjunto?

4. Tres varillas tiene: la primera, 8 2/5 metros de largo; la segunda, 10 3/10 metros y la tercera, 14 1510 20 metros. ¿Cuál es la longitud de las tres varillas?

5.- Un agricultor ha cosechado 100 2/5 toneladas de frijoles, otro agricultor vecino cosechó 125 4/5 toneladas de frijoles y otro vecino cosechó 98 5/9 toneladas de frijoles. ¿Cuántas toneladas de frijoles cosecharon los tres agricultores juntos?

1. Una calle tiene 50 2/3 m de longitud y otra de 45 5/8 m. ¿Cuántos metros tienen las dos juntas y cuánto falta a cada una de ellas para tener 80 m de largo?

2. Un hombre gana mensualmente $200. Gasta $50 2/9 en alimentación de su familia; $60 en alquiler y $18 3/8 en otros gastos. ¿Cuánto puede ahorrar mensualmente?

3. Los ¾ de una finca se venden, los 2/5 del resto se siembran de caña y el resto de tabaco. ¿Qué parte de la finca se siembra de tabaco?

4. Una mujer gana mensualmente $450. Gasta $67 3/5 en alimentación de su familia; $96 en alquiler; 84 5/7 en transporte y $25 2/11 en otros gastos. ¿Cuánto puede ahorrar mensualmente?

5. Tres obreras tienen que tejer 200 m de tela. Una teje 53 2/7 m y otra 72 15/34 m.

Calcula la cantidad de metros que debe tejer la tercera obrera.

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1.- Un reloj adelanta 3/7 de minuto en cada hora. ¿Cuánto adelantará en 5 horas; en medio día; en una semana?

2.- Tengo $100. Si compro 5 cd´s a $3 2/5 cada uno y 9 cuadernos a $2 ¾ cada uno, además compro un maletín por $15 ½ . Calcula el saldo al final de las compras.

3.- En una calle de 300 metros de largo, un grupo de oreros realizan su trabajo de bacheo (reparación de los baches en una pista asfáltica) de la siguiente manera: primer día (lunes) hacen 3/11 del total, el segundo día ¾ del día anterior, el tercer días tres veces 1/9 del total y el último día 36 m. Averigua qué cantidad de bache queda para el día viernes.

4.- Si de una soga de 40 m de longitud se cortan tres partes iguales de 5 2/3 m de longitud. ¿cuánto falta a lo que queda para tener 31 5/8 m?

5.- Me pagan los 7/10 de $2 500 que me deben. Posteriormente me aportan 1/10, y finalmente me devuelven 3/5 del saldo de mis deudores. ¿Cuánto falta para que no me deban nada?

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1.- La distancia entre dos ciudades es de 140 k. ¿Cuántas horas debe andar un hombre que recorre los 3/14 de dicha distancia en una hora, para ir de una ciudad otra?

2.- Si una llave vierte 8 ¼ litros de agua por minuto, calcula el tiempo que empleará en llenar un depósito de 90 ¾ litros de capacidad.

3.- Si un kilo de frijoles cuesta los ¾ de uno de manteca, averigua con cuántos kilos de frijoles puedo comprar 15 de manteca.

4.- Si en 20 minutos estudio los 2/3 de una página de un libro, calcula el tiempo que demoraré en estudiar 10 páginas del mismo libro.

5.- Repartir $18 2/5 entre varias personas y a cada una le tocó $3 17/25. ¿Cuántas eran las personas en total?

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Mg. Javier A. Huamán A. Administrador Aula Virtual

I.E.P. “Santo Toribio de Mogrovejo” Chiclayo - Perú