Volumen 1, nº 1
ALGEBRA LINEAL—VECTORES
7 de Abril del 2019
Vectores
Contenido:
Vectores en el plano
1
Ecuación Vectorial del Plano
1
Aplicaciones Vectoriales 2
Suma y resta de Vectores
3
Vectores en el plano Supongamos que un automó-
tud (la longitud de dicho seg-
vil parte del reposo y después
mento), una dirección (la incli-
de viajar un cierto tiempo se
nación del segmento con res-
detiene a una distancia ; con
peto al eje x) y tiene un senti-
la ayuda del plano cartesiano
do (desde 0 hacia P). Estas tres
representamos gráficamente
cualidades (magnitud, direc-
este desplazamiento.
ción y sentido) definen lo que
Suma y resta de Vectores, Ley del Paralelogramo
3
Coordenadas en el Espacio
4
Vector en el Espacip
4
Componentes de un Vector Fijo
4
Componentes de un Vector Fijo, Demostración.
5
de recta 0P tiene una magni-
Distancia entre dos puntos
5
Ecuación Vectorial del Plano
humor
6
es un vector en el plano. Un vector es un segmento de recta orientado mediante una punta de flecha dibujada en uno de sus extremos.
Observemos que el segmento
Todos los vectores tienen una magnitud o módulo (que corresponde a la distancia entre el origen y el extremo) así como una dirección y un sentido. Para calcular la magnitud se utiliza la siguiente formula: |OP| = √ [ (OPx)2 + (OPy)2] Donde x e y son las coordenadas del vector.
El punto O se le llama origen y el punto de la flecha P se llama extremo del vector; el vector anterior se anota como OP.
Es posible determinar la ecuación general del plano, a partir de un punto y un vector normal.
vector cuya dirección es perpendicular al plano o a cualquier vector paralelo a este último.
PP0 · n = 0
Sea P0 = (x0, y0, z0) un punto del plano; existe un único segmento de línea que es perpendicular al plano y que pasa a través P0 . Este segmento se le denomina vector normal n y se define como un
Ahora, sea P = (x, y, z) otro punto en el plano, entonces el vector PP0 = (x –x0 , y – y0, z – z0) es perpendicular al vector n y por lo tanto, el producto escalar de ambos vectores es cero, es decir:
n=0
” (x – x0 , y – y0, z – z0) · ” (r – r0 ) · n = 0
La ecuación (r – r0 ) · n = 0 Se conoce como la ecuación vectorial de un plano.
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APLICACIONES VECTORIALES
Vector en R2
“Los vectores tienen un amplio campo de aplicaciones en matemáticas y física”
Algebra Lineal
Se llama observable a todo fenómeno detectable por los sentidos. Cuando un observable es medible, recibe el nombre de magnitud. Así, por ejemplo, la belleza es un observable, pero no una magnitud. Sin embargo, la masa de un cuerpo y la velocidad de un móvil son magnitudes. Las magnitudes son de dos tipos: escalares y vectoriales. Las primeras quedan perfectamente determinadas por un solo dato (su valor). Por ejemplo, la altura de un edificio, el volumen de agua en un recipiente, etc. Este valor se determina por medio de un número real por lo que, frecuentemente, estas magnitudes se conocen por escalares. Una magnitud vectorial, por el contrario, es la que no queda determinada por un solo dato. Por ejemplo, si un piloto que va a despegar conoce únicamente que el viento sopla a 40 km/h, su información será incompleta, porque además del valor de esa velocidad necesitará saber si es de componente norte, sur, etc. Las magnitudes vectoriales se representan por medio de unos segmentos orientados que se llaman vectores. El hecho de que un segmento sea orientado significa que se establece diferencia entre sus extremos, lo cual se indica representando uno de ellos por medio de un trazo y el otro por una punta de flecha. Intensidad En un vector se distinguen los siguientes elementos:
Intensidad: es el valor de la correspondiente magnitud. Se mide por la longitud del vector.
ecuaciones nos proporcionaría su ecuación cartesiana, es decir, la relación que liga a las abscisas y ordenadas constitutivas de la esa línea.
Dirección: es la recta que contiene al vector.
Especial interés tienen en matemáticas los vectores en el espacio, que se expresan con respecto a un sistema tridimensional de ejes cartesianos.
Sentido: el que marca la flecha. No se debe confundir con la dirección. Los dos siguientes vectores tienen la misma dirección, pero distinto sentido. Los vectores tienen un amplio campo de aplicaciones en matemáticas y física. En matemáticas se usan profusamente en geometría y en álgebra lineal. En geometría se emplean empleados para indicar posiciones de puntos y ecuaciones de líneas. P(x,y) L Así, por ejemplo, el pto P quedaría definido por el vector . A medida que P vaya cambiando de posición, se irá definiendo una línea, L, cuyos puntos quedarán determinados por su correspondiente vector de posición. Las componentes de dicho vector pueden ser expresadas en función de un parámetro, t, lo que conduciría a las expresiones: x = f (t) y = F (t) que son las llamadas ecuaciones paramétricas de la línea. La eliminación de t entre ambas
En álgebra lineal, el concepto de vector permite establecer una importante estructura, el espacio vectorial, de amplia aplicación en cálculo matricial, discusión de sistemas lineales, etc. En física, son múltiples las aplicaciones de los vectores. Así, en cinemática la posición de un móvil, al ir describiendo una trayectoria, puede quedar determinada por su vector posición. Si se toma como parámetro el tiempo (al ir variando éste, lo hará la posición del móvil), las correspondientes ecuaciones paramétricas se dicen leyes horarias y permiten determinar el lugar que ocupa el móvil en cada instante. También en cinemática, velocidad y aceleración son magnitudes vectoriales, determinables por derivación a partir de las leyes horarias.
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APLICACIONES VECTORIALES En estática y dinámica, las fuerzas se representan por vectores, lo que permite establecer una serie de conceptos, principios y teoremas, aprovechando las características de estos entes. Por ejemplo, pueden citarse las condiciones de equilibro de un cuerpo (resultante nula de las fuerzas a él aplicadas y momento resultante de dichas fuerzas también nulo).
y reacción son también fácil-
Los principios newtonianos de
vectoriales
la fuerza constante y de acción
amplia utilización.
mente expresables mediante la idea vectorial de fuerza y algunas
magnitudes
derivadas,
como la cantidad de movimiento (m ) también son de carácter vectorial. Asimismo, en
electricidad
(reactancia,
conductancia, impedancia) o en magnetismo las magnitudes encuentran
una
Suma y Resta de Vectores La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma: Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo
del segundo, por lo tanto el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la “Saliente” del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos vectores.
Suma de Vectores LEY DEL PARALELOGRAMO Según la ley del paralelogramo, la suma de los cuadrados de los cuatro lados de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de las dos diagonales de éste, es decir: 2[ (AB)2 + (CD)2 ] = (L1)2 + (L2)2
Si el paralelogramo es un
Vector R2
rectángulo, las diagonales L1 y L2 son iguales, por lo tanto, la ley del paralelogramo se reduce al teorema de Pitágoras. 2[ (AB)2 + (CD)2 ] = 2(L1)2
“La suma de dos vectores libres es otro vector libre”
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Coordenadas en el Espacio Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Vectores en el espacio
dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primer octante las tres coordenadas son positivas.
Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z). Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados
“Somos seres que vivimos en R3 y no ver o imaginar espacios Rn, con n mayor o igual a 4”
Vector en el Espacio Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.
Claudio Pita Ruiz
Componentes de un Vector Fijo Llamamos componentes de un vector fijo a la terna de números que resulta de restar las coordenadas del origen a las coordenadas del extremo.
Algebra lineal
Volumen 1, nยบ 1 Pรกgina 5
Componentes de un Vector Fijo, Demostraciรณn
Vectores en el espacio
Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos (X1 , Y1 , Z1) y (X2 , Y2 , Z2) no es mas que el mรณdulo del
Demostraciรณn
Revista elaborada con fines informativos y académicos como parte complemtaria del contenido programático de la asignatura Algebra Lineal del Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño” Extensión Mérida. REVISTA SOBRE VECTORES EN EL PLANO Y EL ESPACIO Suscribete
Autor: Javier Enrique Rivas Sánchez Edición y Montaje: Javier Enrique Rivas Sanchez
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E-mail: javiere60@gmail.com Asignatura: Algebra Lineal SAIA Carrera 47
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