Área de polígonos regulares por descomposición en triángulos.

MATERIAL DE ESTUDIO 2019 - 2020 Lic. Javier Tinoco

OBJETIVO

Aplicar las razones trigonométricas en la descomposición de polígonos regulares para calcular el área.

DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO

M.4.2.18. Calcular el área de polígonos regulares por descomposición en triángulos.

INDICADOR DE LOGRO

I.M.4.ASU10.5.2. Reconoce y aplica las razones trigonométricas y sus relaciones en la resolución de triángulos rectángulos.

CALCULAR EL ÁREA DE POLÍGONOS REGULARES POR DESCOMPOSICIÓN EN TRIÁNGULOS.

EJEMPLO1: Calcular el ĂĄrea del siguiente triĂĄngulo equilĂĄtero, sabiendo que su lado mide 18cm.

1) Colocamos la fĂłrmula correspondiente: đ??´ =

đ?‘?â„Ž 2

2) Elaboramos el grĂĄfico para saber los elementos conocidos y los desconocidos.

3) Calculamos la altura del triĂĄngulo: Varias funciones que nos sirven para calcular la altura (h) del triĂĄngulo equilĂĄtero: đ?’„đ?’?đ?’” đ?&#x;‘đ?&#x;ŽÂ° =

đ?’„đ?’?đ?’” đ?&#x;‘đ?&#x;ŽÂ° =

đ?’„đ?’‚ đ?’‰

đ?’„đ?’‚ đ?&#x;?đ?&#x;–đ?’„đ?’Ž

(đ?’„đ?’?đ?’” đ?&#x;‘đ?&#x;ŽÂ°)(đ?&#x;?đ?&#x;–đ?’„đ?’Ž) = đ?’„đ?’‚

đ?&#x;?đ?&#x;“, đ?&#x;“đ?&#x;—đ?’„đ?’Ž = đ?’„đ?’‚

đ?’•đ?’‚đ?’? đ?&#x;‘đ?&#x;ŽÂ° =

đ?’•đ?’‚đ?’? đ?&#x;‘đ?&#x;ŽÂ° =

đ?’„đ?’‚ =

đ?’„đ?’? đ?’„đ?’‚

đ?’”đ?’†đ?’? đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ° =

đ?&#x;—đ?’„đ?’Ž đ?’„đ?’‚

đ?&#x;—đ?’„đ?’Ž đ?’•đ?’‚đ?’? đ?&#x;‘đ?&#x;ŽÂ°

đ?’”đ?’†đ?’? đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ° =

đ?’„đ?’? đ?’‰

đ?’„đ?’? đ?&#x;?đ?&#x;–đ?’„đ?’Ž

đ?’•đ?’‚đ?’? đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ° =

đ?’•đ?’‚đ?’? đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ° =

(đ?’•đ?’‚đ?’? đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ°)(đ?&#x;—đ?’„đ?’Ž) = đ?’„đ?’‚

đ?&#x;?đ?&#x;“, đ?&#x;“đ?&#x;—đ?’„đ?’Ž = đ?’„đ?’‚

đ?&#x;?đ?&#x;“, đ?&#x;“đ?&#x;—đ?’„đ?’Ž = đ?’„đ?’‚

4) Aplicamos la fĂłrmula y encontramos el ĂĄrea del triĂĄngulo:

�=

đ?’„đ?’? đ?&#x;—đ?’„đ?’Ž

(đ?’”đ?’†đ?’?đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ°)(đ?&#x;?đ?&#x;–đ?’„đ?’Ž) = đ?’„đ?’?

đ?’„đ?’‚ = đ?&#x;?đ?&#x;“, đ?&#x;“đ?&#x;—

�=

đ?’„đ?’? đ?’„đ?’‚

đ?’ƒđ?’‰ đ?&#x;?

(đ?&#x;?đ?&#x;–đ?’„đ?’Ž)(đ?&#x;?đ?&#x;“, đ?&#x;“đ?&#x;—đ?’„đ?’Ž) đ?&#x;?

đ?‘¨ = đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;Ž, đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?’„đ?’Žđ?&#x;?

Ejemplo 2: Hallar el ĂĄrea del siguiente cuadrado, sabiendo que la diagonal mide 12cm:

đ?‘ đ?‘’đ?‘›45° = đ?‘ đ?‘’đ?‘›45° =

đ?‘?đ?‘œ â„Ž

đ?‘™ 12đ?‘?đ?‘š

(đ?‘ đ?‘’đ?‘›45°)(12đ?‘?đ?‘š) = đ?‘™ 8,49đ?‘?đ?‘š = đ?‘™

đ??´ = đ?‘™2

đ??´ = (8,49đ?‘?đ?‘š)2

đ??´ = 72,08đ?‘?đ?‘š2

Ă REAS DE POLĂ?GONOS MAYORES A CUATRO LADOS Para calcular el ĂĄrea de un polĂ­gono regular cualquiera se divide en triĂĄngulos uniendo el centro con cada uno de los vĂŠrtices. La altura de cada uno de los triĂĄngulos coincide con la apotema del polĂ­gono. Se calcula el ĂĄrea de uno de estos triĂĄngulos y se multiplica por el nĂşmero de triĂĄngulos que se han formado.

Ejemplo: Calcular el ĂĄrea de un pentĂĄgono regular si uno de sus lados mide 8cm.

1. Recordar que, si se trata de un polĂ­gono regular, todos sus lados miden lo mismo, por lo tanto, en el pentĂĄgono todos sus lados medirĂĄn 8cm.

2. Descomponemos en triĂĄngulos al pentĂĄgono, uniendo con una lĂ­nea cada vĂŠrtice con su centro, y obtendremos 5 triĂĄngulos isĂłsceles.

3. Calculamos el apotema, para ello recurrimos a las razones trigonomÊtricas, es decir aplicamos la tangente del ångulo central (3600 á5 =720 y luego para 2 = 360).

Calculamos el apotema 4 đ?‘‡đ?‘Žđ?‘› 36° = đ?‘Žđ?‘?

Hallamos el ĂĄrea del ∆ đ?‘?đ?‘Ľâ„Ž đ??´= 2

4 ��� 36°

đ??´=

8đ?‘Ľ5,51 2

đ?‘Žđ?‘? = 5,51 đ?‘?đ?‘š

đ??´=

44,08 2

đ?‘Žđ?‘? =

Ă rea del pentĂĄgono Multiplicamos el ĂĄrea del triĂĄngulo por 5 (ya que se dividiĂł al pentĂĄgono en 5 triĂĄngulos). đ??´ = (22,04 đ?‘?đ?‘š2 )(5) đ??´ = 110,2 đ?‘?đ?‘š2

đ??´ = 22,04 đ?‘?đ?‘š2

Otro proceso: El mismo ejercicio puede ser realizado tambiĂŠn con el siguiente proceso:

đ??´=

đ?‘?.đ?‘Žđ?‘?

2

đ?‘ƒđ?‘’đ?‘&#x;Ă­đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ: đ?‘ƒ = 5đ?‘™ đ?‘ƒ = 5(8đ?‘?đ?‘š) đ?‘ˇ = đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?’„đ?’Ž

đ??´đ?‘?đ?‘œđ?‘Ąđ?‘’đ?‘šđ?‘Ž: 360° á 5 = 72° 72° á 2 = 36°

(40đ?‘?đ?‘š)(5,51đ?‘?đ?‘š) đ??´= 2 đ??´ = 110,2đ?‘?đ?‘š2

���36° =

đ?‘?đ?‘œ đ?‘?đ?‘Ž

���36° =

4đ?‘?đ?‘š đ?‘Žđ?‘?

(đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›36°)(đ?‘Žđ?‘?) = 4đ?‘?đ?‘š đ?‘Žđ?‘? =

4 ���36°

đ?’‚đ?’‘ = đ?&#x;“, đ?&#x;“đ?&#x;?đ?’„đ?’Ž

POLÍGONOS INSCRITOS Y CIRCUNSCRITOS A UNA CIRCUNFERENCIA

Un polígono está inscrito a una Un polígono está circunscrito a la circunferencia, cuando todos sus circunferencia, cuando todos sus lados vértices se encuentran sobre la son tangentes a la circunferencia. circunferencia.

Centro

Centro

Debes saber que: Radio = Cateto

Radio = Hipotenusa

Cuando un polígono está inscrito a una circunferencia, el radio será igual a la hipotenusa del triángulo rectángulo

Cuando un polígono está circunscrito a una circunferencia, el radio será igual al cateto del triángulo rectángulo.

Ejemplo: Se tiene un pentĂĄgono regular, cuyo perĂ­metro es igual a 50 cm, el cual estĂĄ inscrito en una circunferencia. Encontrar el ĂĄrea del polĂ­gono.

Anålisis del problema:   

 

En primer lugar, el polĂ­gono del cual nos habla es regular, lo que quiere decir que todos sus lados tienen la misma medida, y al ser pentĂĄgono tiene 5 lados.

Sabemos tambiĂŠn que el perĂ­metro es la suma del contorno de una figura geomĂŠtrica, por consiguiente, el perĂ­metro dividido para el nĂşmero de lados nos darĂĄ el valor de un lado del polĂ­gono.

Un polĂ­gono inscrito, quiere decir que estĂĄ dentro de la circunferencia, pero tocando Ăşnicamente sus vĂŠrtices, es decir que el radio en este caso serĂĄ la hipotenusa del triĂĄngulo rectĂĄngulo, que lo utilizaremos cuando se requiere el valor de la hipotenusa.

Luego debemos calcular la altura, que serĂĄ el cateto del triĂĄngulo rectĂĄngulo.

Finalmente calculamos el ĂĄrea de un triĂĄngulo isĂłsceles y lo multiplicamos por 5, para encontrar el ĂĄrea del polĂ­gono.

Graficamos la figura, encontramos el valor de un lado del polĂ­gono y colocamos los datos: 50đ?‘?đ?‘š

P = 50 cm

đ?‘™=

A =?

đ?‘™ = 10đ?‘?đ?‘š

5

10cm

10c

10cm

10cm

10cm Extraemos uno de los triĂĄngulos y lo dividimos en dos triĂĄngulos rectĂĄngulos:

Como el ångulo de una vuelta completa es igual a 360° lo dividimos para el número de lados del polígono y obtenemos el ångulo �, que sería igual a 72°, a este valor para dos ya que son dos triångulos rectångulos: 36°

Ahora podemos calcular el cateto del triĂĄngulo rectĂĄngulo, que serĂ­a a su vez la altura del triĂĄngulo isĂłsceles, aplicando la funciĂłn tangente. đ?’•đ?’‚đ?’?đ?œś =

đ?’„đ?’? đ?’„đ?’‚

đ??­đ??šđ??§ đ?&#x;‘đ?&#x;”° =

đ?&#x;“đ?’„đ?’Ž đ?’„đ?’‚

đ?’„đ?’‚ =

đ?&#x;“đ?’„đ?’Ž đ?’•đ?’‚đ?’?đ?&#x;‘đ?&#x;”°

đ?’„đ?’‚ =

đ?&#x;“đ?’„đ?’Ž đ?&#x;Ž, đ?&#x;•đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;?đ?&#x;–

đ?’„đ?’‚ = đ?&#x;”, đ?&#x;–đ?&#x;–đ?’„đ?’Ž Luego encontramos el ĂĄrea del triĂĄngulo isĂłsceles: đ?‘¨=

đ?’ƒđ?’‰ đ?&#x;?

�=

(đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’„đ?’Ž)(đ?&#x;”, đ?&#x;–đ?&#x;–đ?’„đ?’Ž) đ?&#x;?

đ?‘¨ = đ?&#x;‘đ?&#x;’, đ?&#x;’đ?’„đ?’Žđ?&#x;?

Finalmente, el valor del ĂĄrea del triĂĄngulo lo multiplicamos por 5 que son los triĂĄngulos que hay en un pentĂĄgono regular: đ?‘¨ = (đ?&#x;‘đ?&#x;’, đ?&#x;’đ?’„đ?’Žđ?&#x;? )(đ?&#x;“) đ?‘¨ = đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;?đ?’„đ?’Žđ?&#x;?

Colocamos la respuesta: El ĂĄrea del pentĂĄgono es de 172 đ?’„đ?’Žđ?&#x;?

Actividad N°1 1) Hallar el área de un cuadrado, sabiendo que la diagonal mide 8cm.

2) Hallar el perímetro de un cuadrado, sabiendo que la diagonal mide 24cm.

3) Calcular el área de un triángulo equilátero, sabiendo que su lado mide 10cm.

4) Calcular el perímetro de un triángulo equilátero, sabiendo que su altura mide 14cm.

Actividad N°2 Resolver: Calcular el área y perímetro de un polígono regular, si su uno de sus lados mide 4m.

Calcular el área y perímetro de un polígono regular, si su apotema mide 8.5 m.

Calcular el área y perímetro de un polígono regular, si su uno de sus lados mide 6cm.

Calcular el área y perímetro de un polígono regular, si su uno de sus lados mide 7m.

Calcular el área y perímetro de un polígono regular, si su apotema mide 6.5 cm.

Calcular el área y perímetro de un polígono regular, si la mitad de un lado mide 7cm.

Calcular el área y perímetro de un polígono regular, si su uno de sus lados mide 9m.

Calcular el área y perímetro de un polígono regular inscrito en una circunferencia, si su radio es de 8m.

Calcular el área y perímetro de un polígono regular inscrito en una circunferencia, si su apotema es de 9.5m

Calcular el área y perímetro de un polígono regular inscrito en una circunferencia, si su radio es de 10m.

Calcular el área y perímetro de un polígono regular inscrito en una circunferencia, si su radio es de 12m.

Calcular el área y perímetro de un polígono regular inscrito en una circunferencia, si su radio es de 8cm.