Área y Volumen de Pirámides

ÁREA Y VOLUMEN DE PIRÁMIDES

Lcdo. Javier Tinoco R. 2019 - 2020

OBJETIVO

Aplicar las fórmulas usadas en el cálculo de volúmenes de pirámides, con el propósito de resolver problemas.

DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO

M.4.2.21. Calcular el área y volumen de pirámides, aplicando las fórmulas respectivas.

INDICADOR DE LOGRO

Resuelve ejercicios geométricos que requieran del cálculo de área y volumen de pirámides.

CUERPOS GEOMÉTRICOS

Un sólido o cuerpo geométrico es una figura geométrica de tres dimensiones (largo, ancho y alto), que ocupa un lugar en el espacio y en consecuencia tiene un volumen.

Los cuerpos geométricos pueden ser: Poliedros y Cuerpos Redondos.

La palabra poliedro proviene del griego y significa muchas caras. Los poliedros son cuerpos geométricos cuyas caras son todas polígonos (figuras geométricas planas). Por lo tanto tienen todas sus caras planas. Los elementos de un poliedro son caras, aristas y vértices

PIRÁMIDES La pirámide regular es un cuerpo geométrico limitado por un polígono regular, llamado base, y por tantos triángulos como lados tenga la base.

Se nombran diciendo PIRÁMIDE y el nombre del polígono de la base. (Ejemplo: Pirámide cuadrangular).

ELEMENTOS DE LA PIRÁMIDE

Podemos hallar el ĂĄrea lateral, ĂĄrea total y volumen de este cuerpo geomĂŠtrico, utilizando las siguientes formulas:

Ă REA LATERAL: El ĂĄrea lateral es igual al perĂ­metro del polĂ­gono de la base, multiplicado por la altura de una cara lateral (a) de la pirĂĄmide y dividido entre 2).

đ?‘ˇđ?’ƒ ∗ đ?’‚ đ?‘¨đ?‘ł = đ?&#x;? Ă REA TOTAL: El ĂĄrea total es igual al ĂĄrea lateral mĂĄs el ĂĄrea del polĂ­gono de la base.

đ?‘¨đ?‘ť = đ?‘¨đ?‘ł + đ?‘¨đ?’ƒ

VOLUMEN: Es decir, el volumen es igual al ĂĄrea del polĂ­gono de la base, multiplicado por la altura (h) de la pirĂĄmide dividida para tres.

đ?‘˝ =

đ?‘¨đ?’ƒ ∗đ?’‰ đ?&#x;‘

SabĂ­as que: el volumen de una pirĂĄmide, es la tercera parte de un prisma con las misas medida de su base y altura.

Ejemplo: 1. Calcula el ĂĄrea lateral, el ĂĄrea total y el volumen de una pirĂĄmide pentagonal sabiendo que su altura mide 9 cm; el lado de la base 2 cm y la apotema de la base 1,5 cm. Ă REA LATERAL đ?‘ˇđ?’ƒ ∗ đ?’‚ đ?‘¨đ?‘ł = đ?&#x;? đ?‘ˇđ?’ƒ = đ?‘™ ∗ 5

Ă REA TOTAL đ?‘¨đ?‘ť = đ?‘¨đ?‘ł + đ?‘¨đ?’ƒ

đ?‘¨đ?’ƒ =

đ?‘ƒ ∗ đ?‘Žđ?‘?

2

đ?‘ˇđ?’ƒ = 2 ∗ 5 đ?‘ˇđ?’ƒ = 10 đ?‘?đ?‘š

đ?‘¨đ?’ƒ =

10 ∗ 1,5 2

đ?‘¨đ?‘ť = đ?‘¨đ?‘ł + đ?‘¨đ?’ƒ đ?‘¨đ?‘ť = 45,6 + 7,5 đ?’‚ = √đ?‘?đ?‘Žđ?‘Ą 2 + đ?‘?đ?‘Žđ?‘Ą 2 2

đ?’‚ = √92 + 1,52 đ?’‚ = 9,12 đ?‘?đ?‘š

�� =

đ?‘ˇđ?’ƒ ∗ đ?’‚ đ?&#x;?

�� =

10 ∗ 9,12 2

đ?‘¨đ?‘ł = 45,6 đ?‘?đ?‘š2

đ?‘˝ =

7,5 ∗ 9 3

đ?‘˝ = 22,5 đ?‘?đ?‘š3

đ?‘¨đ?’ƒ = 7,5 đ?‘?đ?‘š2

2

VOLUMEN đ?‘¨đ?’ƒ ∗ đ?’‰ đ?‘˝ = đ?&#x;‘

đ?‘¨đ?‘ť = 53,1 đ?‘?đ?‘š2

2. Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura. ÁREA LATERAL 𝑷𝒃 ∗ 𝒂 𝑨𝑳 = 𝟐 𝑷𝒃 = 𝑙 ∗ 4 𝑷𝒃 = 10 ∗ 4 𝑷𝒃 = 40 𝑐𝑚

ÁREA TOTAL 𝑨𝑻 = 𝑨𝑳 + 𝑨𝒃

𝑽 =

𝑨𝒃 = 102

𝑽 = 400 𝑐𝑚3

𝑨𝑻 = 𝑨𝑳 + 𝑨𝒃 𝑨𝑻 = 260 + 100 𝑨𝑻 = 360 𝑐𝑚2 2

2

𝒂 = √122 + 52 𝒂 = 13 𝑐𝑚

𝑨𝑳 =

𝑷𝒃 ∗ 𝒂 𝟐

𝑨𝑳 =

40 ∗ 13 2

𝑨𝑳 = 260 𝑐𝑚2

100 ∗ 12 3

𝑨𝒃 = 𝒍𝟐

𝑨𝒃 = 100 𝑐𝑚2

𝒂 = √𝑐𝑎𝑡 2 + 𝑐𝑎𝑡 2

VOLUMEN 𝑨𝒃 ∗ 𝒉 𝑽 = 𝟑

3. Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide hexagonal de 16 cm de arista básica (lado base) y 28 cm de arista lateral (lado lateral). ÁREA LATERAL 𝑷𝒃 ∗ 𝒂 𝑨𝑳 = 𝟐 𝑷𝒃 = 𝑙 ∗ 6

ÁREA TOTAL 𝑨𝑻 = 𝑨𝑳 + 𝑨𝒃

𝑨𝒃 =

VOLUMEN 𝑨𝒃 ∗ 𝒉 𝑽 = 𝟑

𝑃 ∗ 𝑎𝑝 2

𝑷𝒃 = 16 ∗ 6 𝑷𝒃 = 96 𝑐𝑚

2

𝒂𝒑 = √ℎ𝑖𝑝2 − 𝑐𝑎𝑡 2

2

𝒉 = √ℎ𝑖𝑝2 − 𝑐𝑎𝑡 2 2

2

𝒂𝒑 = √162 − 82

𝒉 = √26,832 − 13,862 𝒉 = 22,97 𝑐𝑚

2

𝒂 = √ℎ𝑖𝑝2 − 𝑐𝑎𝑡 2

𝒂𝒑 = 13,86 𝑐𝑚

2

𝒂 = √282 − 82 𝒂 = 26,83 𝑐𝑚

𝑨𝒃 =

𝑨𝑳 =

𝑷𝒃 ∗ 𝒂 𝟐

𝑽 =

665,28 ∗ 22,97 3

𝑽 = 5093,83 𝑐𝑚3 𝑨𝒃 = 665,28 𝑐𝑚2

96 ∗ 26,83 2

𝑨𝑳 = 1287,84 𝑐𝑚2

𝑨𝒃 ∗ 𝒉 𝟑

𝑃 ∗ 𝑎𝑝 2

96 ∗ 13,86 𝑨𝒃 = 2 𝑨𝑳 =

𝑽 =

𝑨𝑻 = 𝑨𝑳 + 𝑨𝒃 𝑨𝑻 = 1287,84 + 665,28 𝑨𝑻 = 1953,12 𝑐𝑚2

ACTVIVIDAD N° 1

1. Calcular el área total y el volumen de las siguientes pirámides: