Razones y Proporciones
Recopilado por:
Lic. Javier Tinoco
OBJETIVO
Reconocer y resolver magnitudes directa e inversamente proporcionales en problemas prĂĄcticos de la vida diaria.
DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEĂ‘O
M.3.1.44. Reconocer las magnitudes directa o inversamente proporcionales en situaciones cotidianas, elaborar tablas y plantear proporciones.
INDICADORES DE LOGRO
Identifica razones y proporciones dentro de un contexto dado. Reconoce magnitudes directa e inversamente proporcionales en situaciones cotidianas.
RAZÓN
En matemáticas una razón es la comparación de dos cantidades, por medio de división o cociente. La razón entre a y b, cuando b es un número distinto de cero, se escribe:
𝑎 𝑏
o
𝑎: 𝑏, y se lee " 𝑎 es a 𝑏"
Por ejemplo, la razón entre 6 y 5 se escribe:
6 5
o
6: 5,
ELEMENTOS DE LA RAZÓN:
y se lee " 𝑠𝑒𝑖𝑠 es a 𝑐𝑖𝑛𝑐𝑜"
Ejemplo 1: Ana tiene 5 aĂąos y su madre 30. Hallar la razĂłn entre la edad de la hija y la edad de la madre. Explica que significa la razĂłn entre la edad de la hija con respecto a la edad de su madre. đ??´đ?‘›đ?‘Ž
→ 5
đ??¸đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘šđ?‘Žđ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘’→ 30
→ đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘–đ?‘“đ?‘–đ?‘?đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘đ?‘œ
1 6
1
La razĂłn es: 6 e indica que la edad d Ana es la sexta parte de la edad de la madre. Ejemplo 2: Hallar la razĂłn entre el dinero que tiene Jaime $5 y Tamara $20 y viceversa. đ??ˇđ?‘–đ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ??˝đ?‘Žđ?‘–đ?‘šđ?‘’ → 5
→ đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘–đ?‘“đ?‘–đ?‘?đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘đ?‘œ đ??ˇđ?‘–đ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘‡đ?‘Žđ?‘šđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Žâ†’ 20
1 4
Jaime tiene la cuarta parte de lo que tiene Tamara. đ??ˇđ?‘–đ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘‡đ?‘Žđ?‘šđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž → 20 đ??ˇđ?‘–đ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ??˝đ?‘Žđ?‘–đ?‘šđ?‘’→
5
→ đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘–đ?‘“đ?‘–đ?‘?đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘đ?‘œ 4
Tamara tiene cuatro veces mĂĄs dinero que Jaime.
Ejemplo 3:
Escriba como razĂłn la siguiente relaciĂłn, luego coloque sus tĂŠrminos y lectura.
1 caramelo cuesta $ 0,25
đ?&#x;? đ?&#x;Ž, đ?&#x;?đ?&#x;“
đ?’‚đ?’?đ?’•đ?’†đ?’„đ?’†đ?’…đ?’†đ?’?đ?’•đ?’† đ?’„đ?’?đ?’?đ?’”đ?’†đ?’„đ?’–đ?’†đ?’?đ?’•đ?’†
đ?&#x;?: đ?&#x;Ž, đ?&#x;?đ?&#x;“
đ?&#x;? đ?’†đ?’” đ?’‚ đ?&#x;Ž, đ?&#x;?đ?&#x;“
4 libros cuestan $ 100
𝟒 𝟏 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒄𝒆𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟓 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒆
𝟏: 𝟐𝟓
𝟏 𝒆𝒔 𝒂 𝟐𝟓
ACTIVIDAD N°1
1) Escriba como razón la siguiente relación, luego coloque sus términos y lectura. a. 1 helado cuesta $ 0,80 b. 4 libras de harina cuestan $ 2 c. 5 leñadores cortan 9 árboles al día.
2) Una chica tiene 15 años y su padre 45. Hallar la razón entre la edad de la hija y la edad el padre. Explica que significa la razón entre la edad de la hija con respecto a la edad de su padre.
3) Escribir en forma de razón los siguientes enunciados: a) En el curso de teatro, por cada siete niños hay seis niñas. b) Por cada diez dulces de fresa hay doce de naranja. c) En la ciudad donde vive Victoria, por diez bicicletas hay 390 carros. d) En la pizzería de la esquina, por cada cinco pizzas hawaianas venden tres de jamón.
PROPORCIĂ“N
Una proporciĂłn es una igualdad entre dos razones.
đ?’‚ đ?’„ = o đ?’‚: đ?’ƒ âˆˇ đ?’„: đ?’…, y se lee " đ?’‚ đ??žđ??Ź đ??š đ?’ƒ đ?’„đ?’?đ?’Žđ?’? đ?’„ đ?’†đ?’” đ??š đ?’…" đ?’ƒ đ?’… Por ejemplo:
đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;Ž = o đ?&#x;?đ?&#x;Ž: đ?&#x;“ âˆˇ đ?&#x;?đ?&#x;Ž: đ?&#x;?đ?&#x;Ž, y se lee " đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ??žđ??Ź đ??š đ?&#x;“ đ?’„đ?’?đ?’Žđ?’? đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?’†đ?’” đ??š đ?&#x;?đ?&#x;Ž" đ?&#x;“ đ?&#x;?đ?&#x;Ž
Nota: Para comprobar que la proporciĂłn es correcta, debe haber igualdad entre las dos razones, es decir, en el ejercicio anterior 2=2, por lo tanto si es correcta la proporciĂłn.
đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;“
đ?&#x;?đ?&#x;Ž
= đ?&#x;? y đ?&#x;?đ?&#x;Ž = đ?&#x;?, entonces
ELEMENTOS DE LA PROPORCIĂ“N:
đ?’‚ đ?’ƒ
=
đ?’„ đ?’…
a y d se llaman extremos, b y c medios.
Importante: En cualquier proporciĂłn el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Actividad de comprensión:
Señale la razón que forma una proporción con la razón dada:
𝟓 𝟏𝟎 = 𝟗 𝟏𝟔
𝟓𝒙𝟏𝟔 = 𝟗𝒙𝟏𝟎
𝟖𝟎 = 𝟗𝟎
No forma una proporción.
𝟓 𝟏 = 𝟗 𝟑
𝟓𝒙𝟑 = 𝟗𝒙𝟏
𝟏𝟓 = 𝟗
No forma una proporción.
𝟓 𝟏𝟓 = 𝟗 𝟐𝟕
𝟓𝒙𝟐𝟕 = 𝟗𝒙𝟏𝟓
𝟏𝟑𝟓 = 𝟏𝟑𝟓
𝟓 𝟑 = 𝟗 𝟏𝟓
𝟓𝒙𝟏𝟓 = 𝟗𝒙𝟑
𝟕𝟓 = 𝟐𝟕
Si forma una proporción.
No forma una proporción.
¿Cuál de las siguientes razones forman una proporción?
𝟒 𝟖 𝒚 𝟓 𝟏𝟎
𝟑 𝟖 𝒚 𝟕 𝟗
𝟒𝒙𝟏𝟎 = 𝟓𝒙𝟖
𝟑𝒙𝟗 = 𝟕𝒙𝟖
𝟒𝟎 = 𝟒𝟎
𝟐𝟕 = 𝟓𝟔
𝟏𝟏 𝟑𝟑 𝒚 𝟕 𝟐𝟏
𝟑𝟔 𝟒 𝒚 𝟒𝟓 𝟒
𝟏𝟏𝒙𝟐𝟏 = 𝟕𝒙𝟑𝟑 𝟑𝟔𝒙𝟒 = 𝟒𝟓𝒙𝟒
𝟐𝟑𝟏
𝟏𝟒𝟒 = 𝟏𝟖𝟎
CĂ LCULO DEL ELEMENTO DESCONOCIDO EN UNA PROPORCIĂ“N
Al elemento faltante lo representaremos con la letra x. Dado que el producto de medios es igual al de extremos, podemos calcular cualquier tĂŠrmino de una proporciĂłn conociendo los otros tres.
ACTIVIDAD N° 2 1. Aplicar la propiedad de la proporción que nos ayude para hallar el valor de x.
đ?’™ đ?&#x;– = đ?&#x;“ đ?&#x;?đ?&#x;Ž
đ?&#x;• đ?’™ = đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;?
đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? = đ?&#x;’ đ?’™
đ?&#x;” đ?&#x;?đ?&#x;“ = đ?’™ đ?&#x;?đ?&#x;Ž
đ?’™ đ?&#x;— = đ?&#x;? đ?&#x;”
đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;“ = đ?’™ đ?&#x;?đ?&#x;Ž
đ?&#x;• đ?&#x;’đ?&#x;— = đ?&#x;” đ?’™
đ?&#x;— đ?’™ = đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;Ž
đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;? = đ?&#x;” đ?’™
đ?&#x;? đ?’™ = đ?&#x;’đ?&#x;Ž đ?&#x;”đ?&#x;Ž
đ?&#x;“ đ?’™ = đ?&#x;‘đ?&#x;“ đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;Ž
đ?&#x;” đ?&#x;’đ?&#x;? = đ?&#x;– đ?’™
đ?’™ đ?&#x;‘đ?&#x;“ = đ?&#x;– đ?&#x;’đ?&#x;Ž
đ?&#x;? đ?&#x;” = đ?’™ đ?&#x;’đ?&#x;?