Funciones_Trigonométricas

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Matemáticas Décimo “ ” Prof: Javier Tinoco R.

2019 – 2020

OBJETIVO:

Calcular las razones trigonométricas en diversos ejercicios y problemas para aplicarlos en situaciones de la vida cotidiana.

DESTREZAS CON CRITERIOS DE DESEMPEÑO A SER DESARROLLADAS:

M.4.2.16. Definir e identificar las relaciones trigonométricas en el triángulo rectángulo (seno, coseno, tangente) para resolver numéricamente triángulos rectángulos.

INDICADORES ESENCIALES DE EVALUACIÓN:

I.M.4.ASU10.5.2. Reconoce y aplica las razones trigonométricas y sus relaciones en la resolución de triángulos rectángulos.

TrigonometrĂ­a

Es la ciencia que estudia las relaciones que ligan los lados y los ĂĄngulos de un triĂĄngulo, y aplica dichas relaciones al cĂĄlculo de los elementos desconocidos en el triĂĄngulo. EtimolĂłgicamente la palabra trigonometrĂ­a significa medida de los triĂĄngulos.

TRI

GONO

• TRES

• à NGULOS

METR�A • MEDIDA

MEDIDA

TRIĂ NGULO

Ă NGULOS Es la porciĂłn de plano comprendida entre dos semirrectas de origen comĂşn.

VĂŠrtice

�

3

CLASIFICACIÓN Ángulo Recto: Es aquel en el cual la posición final es perpendicular a la posición inicial.

Ángulo de lados colineales: llamado también ángulo llano o ángulo plano, es aquel que está formado por dos ángulos rectos, es decir que mide 1800. Donde la posición inicial y la posición final están en línea recta.

Ángulo de una vuelta completa: Es aquel que está formado por 4 ángulos rectos o por 2 ángulos planos, o sea que la posición final coincide con la posición inicial, y este ángulo mide 360 0.

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TRANSFORMACIĂ“N DE MEDIDAS ANGULARES Los ĂĄngulos se pueden medir a travĂŠs de diferentes sistemas, siendo los mĂĄs utilizados el sistema sexagesimal y el sistema cĂ­clico. Sabemos que la longitud de la circunferencia se calcula por la relaciĂłn 2đ?œ‹ đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘’đ?‘ y que un ĂĄngulo de una vuelta completa es igual a 360° . Por lo tanto: 2đ?œ‹ radianes = 360° . Y que al dividir para 2, nos queda: Si a los dos miembros de una igualdad, se los divide para una misma cantidad, la igualdad subsiste.

Ď€ radianes = 180°

Sistema Sexagesimal: La unidad es el ĂĄngulo de un grado es decir la noventava parte de un ĂĄngulo recto. B

O

A A

<AOB 90

=1

Unidad sexagesimal

Sistema cĂ­clico: La unidad es el radiĂĄn, que es el ĂĄngulo central formado por dos radios y un arco de longitud tambiĂŠn igual a la de un radio. B Radio

1 RadiĂĄn: Unidad CĂ­clica

ADIO

O

B

A

Radio MÉTODO DE LA FRACCIÓN Arco = 1 Radio

5

Para realizar la conversión de grados a radianes o de radianes a grados, podemos utilizar el mÊtodo de la fracción que se explica a continuación: APLICO LA REGLA 1) Pasar 285 ⠰ a radianes. 1. Anotamos la equivalencia de radianes a grados en forma de fracción. π radianes

đ?œ‹ rad = 180â ° como fracciĂłn tenemos

180â °

2. Anotamos el valor que vamos a cambiar de unidad de medida. 285 â °

285 â ° = x radianes como fracciĂłn tenemos

1

3. Anotamos las fracciones anteriores como multiplicaciĂłn, tomando en cuenta que las unidades iguales deben siempre estar colocadas en diagonal.

Observa las unidades de medida, y recuerda que en la multiplicaciĂłn de fracciones se debe simplificar en diagonal.

285 â ° Ď€ radianes ∙ 1 180â °

x=

4. Para realizar la multiplicaciĂłn de las fracciones primero hago la simplificaciĂłn de unidades de medida. Simplificando grados con grados

5. Simplificando 285 y 180, la quinta:

x=

x=

6. De donde:

285 â ° 1

∙

Î radianes 180â °

285 ∙ Ď€ radianes 1 ∙ 180

x=

57 ∙ Ď€ radianes 1 ∙ 36

179,07radianes

7. Realizando el producto

x=

8. Dividiendo

x = 4,97radianes

36

Por lo tanto, decimos que 285â ° es igual a 4,97 radianes. 6

2) Pasar 5,3 radianes a grados. El procedimiento es el mismo, observa con cuidado: 1. Anotamos la equivalencia de radianes a grados en forma de fracciĂłn. 180â °

đ?œ‹ rad = 180â ° como fracciĂłn tenemos

đ?œ‹ radianes

2. Anotamos el valor que vamos a cambiar de unidad de medida. 5,3 radianes

5,3 radianes = x grados como fracciĂłn tenemos

1

3. Anotamos las fracciones anteriores como multiplicaciĂłn, tomando en cuenta que las unidades iguales deben siempre estar colocadas en diagonal. 5,3 radianes 180â ° x= ∙ 1 đ?œ‹ radianes 4. Para realizar la multiplicaciĂłn de las fracciones primero hago la simplificaciĂłn de unidades de medida. Simplificando radianes con radianes:

x=

5. Realizando la multiplicaciĂłn tenemos: 6. Multiplicando y dividiendo

5,3 radianes 1

x= x=

954â ° đ?œ‹

∙

180â ° đ?œ‹ radianes

5,3 ∙ 180â ° 1 ∙ đ?œ‹

= 303,67â °

7. Por lo tanto decimos que 5,3 radianes es igual a 303,67⠰ ACTIVIDAD 1 Realizar la conversión de las siguientes unidades: 1) 45° pasar a radianes 2) 78° pasar a radianes 3)

2 3

đ?œ‹ radianes pasar a grados

4) 3,2 radianes pasar a grados 5) 140° pasar a radianes 6) 1 radiån pasar a grados 7) 320° pasar a radianes 7

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Son razones (divisiones, fracciones) entre lados y ángulos de un triángulo. En un triángulo rectángulo los ángulos agudos, es decir los ángulos complementarios tienen las siguientes funciones: seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante.

Seno: El seno del ángulo B, es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Sen ∡B=

Cateto opuesto

Sen ∡C=

Hipotenusa Cateto opuesto Hipotenusa

Sen ∡B=

b a c

Sen ∡C= a

Coseno: El coseno del ángulo B, es la razón entre el cateto adyacente o contigua al ángulo y la hipotenusa. Cos ∡B= Cos ∡C=

Cateto adyacente Hipotenusa Cateto adyacente Hipotenusa

c

Cos ∡B= a Cos ∡C=

b a

Tangente: La tangente del ángulo B, es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente al ángulo. Cateto opuesto

Tan ∡B= Cateto adyacente Cateto opuesto

Tan ∡C= Cateto adyacente

Tan ∡B=

b c c

Tan ∡C= b

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APLICACIĂ“N: EJEMPLO1: En el triĂĄngulo rectĂĄngulo đ??šđ??şđ??ť, đ?‘” = 7, đ??š = 35°. Hallar los elementos que le faltan đ??ť, đ?‘“, â„Ž. Realizar el grĂĄfico y colocar los datos:

Se reemplaza los datos conocidos y encuentro los desconocidos: Sen âˆĄF=

đ??‚đ??¨

Cos âˆĄF=

đ??‚đ??¨

đ??Ą

đ??Ą

Sen đ?&#x;‘đ?&#x;“° =

đ??&#x; đ?&#x;•

đ??Ą

Cos đ?&#x;‘đ?&#x;“° = đ?&#x;•

Sen đ?&#x;‘đ?&#x;“°(đ?&#x;•) = đ??&#x;

đ??&#x; = đ?&#x;’, đ?&#x;Žđ?&#x;?

Cos đ?&#x;‘đ?&#x;“°(đ?&#x;•) = đ??Ą

đ??Ą = đ?&#x;“, đ?&#x;•đ?&#x;‘

âˆĄđ?‘Ž − âˆĄđ?‘­ = âˆĄđ?‘Ż âˆĄđ?&#x;—đ?&#x;Ž° − âˆĄđ?&#x;‘đ?&#x;“° = âˆĄđ?&#x;“đ?&#x;“° Se coloca la respuesta: Lado f= 4,02 Lado h= 5,73 Ă ngulo H= 55Âş

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EJEMPLO 2: Hallar las razones trigonométricas de los ángulos B y C del siguiente triángulo rectángulo.

𝐂𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐨𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨

Sen ∡B=

𝟖

𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚 𝐂𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐚𝐝𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞

Cos ∡B=

𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚 𝐂𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐨𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨

Tan ∡B= 𝐂𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐚𝐝𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞

Sen ∡B= 𝟏𝟎

Sen ∡C=

𝟔

Cos ∡C=

Cos ∡B= 𝟏𝟎 𝟖

Tan ∡B= 𝟔

𝐂𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐨𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨 𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚 𝐂𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐚𝐝𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚 𝐂𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐨𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨

Tan ∡C= 𝐂𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐚𝐝𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞

𝟔

Sen ∡C= 𝟏𝟎 𝟖

Cos ∡C= 𝟏𝟎 𝟔

Tan ∡C= 𝟖

EJEMPLO 3: Hallar el valor de los ángulos B y C

Ángulo B: Sen ∡B=

𝐂𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐨𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨

Cos ∡B=

𝐂𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐚𝐝𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞

𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚

𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚 𝐂𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐨𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨

Tan ∡B= 𝐂𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐚𝐝𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞

Sen ∡B=

𝟖 𝟏𝟎 𝟔

Cos ∡B= 𝟏𝟎 𝟖

Tan ∡B= 𝟔

∡B= 𝑺𝒆𝒏−𝟏 ( )

SHIFT sin Ans=53,130….

∡B=

𝟔 𝑪𝒐𝒔−𝟏 (𝟏𝟎)

SHIFT cos Ans=53,130….

∡B=

𝟖 𝑻𝒂𝒏−𝟏 (𝟔)

SHIFT tan Ans=53,130….

𝟔

𝟖

𝟏𝟎

53°7´48,37´´ 53°7´48,37´´ 53°7´48,37´´

Ángulo C: Sen ∡C=

𝐂𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐨𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨

Cos ∡C=

𝐂𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐚𝐝𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞

Tan ∡C=

𝐂𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐨𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨

𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚

𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚

𝐂𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐚𝐝𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞

Sen ∡C= 𝟏𝟎

𝟔

∡C= 𝑺𝒆𝒏−𝟏 (𝟏𝟎)

SHIFT sin Ans=36,869….

𝟖

∡C=

𝟖 𝑪𝒐𝒔−𝟏 (𝟏𝟎)

SHIFT cos Ans=36,869….

∡C=

𝟔 𝑻𝒂𝒏−𝟏 ( ) 𝟖

SHIFT tan Ans=36,869….

Cos ∡C= 𝟏𝟎 Tan ∡C=

𝟔 𝟖

36°52´11,63´´ 36°52´11,63´´ 36°52´11,63´´

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EJEMPLO 4: En el triĂĄngulo rectĂĄngulo RST, t= 12, R= 32°. Hallar los elementos que faltan (T, s, r). Para hallar el valor del ĂĄngulo T, recordemos que: âˆĄđ?‘š + âˆĄđ?‘ş + âˆĄđ?‘ť = đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;Ž° T= 180° - R – S T= 180° - 32° - 90° T= 58°

Una vez encontrado el ĂĄngulo T, se puede proceder a encontrar el valor de r y s, aplicando las razones trigonomĂŠtricas, es decir el Seno, Coseno o Tangente segĂşn sea el caso. En ĂŠste ejercicio para hallar el valor de r, se puede realizar de las siguientes maneras: Tan 32° đ?‘&#x; Tan 32°= 12 Despejamos tenemos: đ?‘&#x; = đ?‘‡đ?‘Žđ?‘› 32° . 12 đ?‘&#x; = 7,49

Tan 58° 12 Tan 58°= đ?‘&#x; r,

entonces Despejamos tenemos:

r,

entonces

12

đ?‘&#x; = đ?‘‡đ?‘Žđ?‘› 58° đ?‘&#x; = 7,49

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De igual manera para hallar el valor de s, se puede realizar de las siguientes maneras:

Sen 32° Sen 32°=

Cos 32° 7,49 đ?‘

7,49

Cos 32°= 12

Cos 58° 12 đ?‘

Cos 58°= 7,49

7,49 đ?‘

Teorema PitĂĄgoras â„Ž = √đ?‘Ž2 + đ?‘? 2

s= đ?‘†đ?‘’đ?‘› 32°

s= đ??śđ?‘œđ?‘ 32°

s= đ??śđ?‘œđ?‘ 58°

ℎ = √122 + 7,492

đ?‘ = 14,13

đ?‘ = 14,15

đ?‘ = 14,13

ℎ = √200,1

de

â„Ž = 14,14 EJEMPLO 5: Un obrero tiene una escalera de 12m. ÂżQuĂŠ ĂĄngulo β debe hacerle formar con el suelo, si quiere alcanzar una altura de 6m?

��� � =

6 12

Para despejar đ?›˝, se debe pasar a la operaciĂłn inversa del Seno. 6

đ?›˝ = đ?‘†đ?‘’đ?‘›âˆ’1 (12) y cĂłmo llegamos a đ?‘†đ?‘’đ?‘›âˆ’1 Tomamos la calculadora y dividimos 6 para 12 = 0,5, luego las teclas SHIF sin = 30, despuĂŠs SHIFT y la tecla de grados, minutos y segundos. De donde: đ?›˝ = 30°

12

ACTIVIDAD 2 1. En el triĂĄngulo rectĂĄngulo RST, r = 9, R = 28°. Hallar los elementos que le faltan (đ?‘‡, đ?‘ , đ?‘Ą). 2. En el triĂĄngulo rectĂĄngulo ABC, b = 12, A = 5Âş. Hallar los elementos que le faltan, C, a, c. 3. Un obrero tiene una escalera de 8m. ÂżQuĂŠ ĂĄngulo đ?›˝ debe hacerle formar con el suelo, si quiere alcanzar una altura de 5m? 4. En un triĂĄngulo isĂłsceles cada uno de sus lados iguales miden 15cm y sus ĂĄngulos iguales son de 430. Encontrar el ĂĄrea del triĂĄngulo. 5. Si la altura de un triĂĄngulo isĂłsceles es igual a 23cm, el ĂĄngulo opuesto a la base es de 800. Encontrar el perĂ­metro del triĂĄngulo. 6. En un triĂĄngulo equilĂĄtero la altura es igual a 17,5 cm. Encontrar el perĂ­metro del triĂĄngulo. Ă NGULOS DE ELEVACIĂ“N Y DEPRESIĂ“N Ă NGULO DE ELEVACIĂ“N: Es el ĂĄngulo que se forma entre la visual de un observador que mira hacia arriba y la horizontal. Ă NGULO DE DEPRESIĂ“N: Es el ĂĄngulo que se forma entre la visual de un observador que mira hacia abajo y la horizontal.

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EJEMPLO 6: La medida del ángulo de depresión desde lo alto de una torre de 34 m de altura hasta un punto K en el suelo es de 80º. Calcule la distancia aproximada del punto K a base de la torre.

EJEMPLO 7: Un turista observa la parte más alta de un edificio de 15 m de altura, con un ángulo de elevación de 24º. Si realiza la observación con unos binoculares que sostiene a 1,75 m del suelo, calcule la distancia aproximada entre el turista y la parte más alta del edificio.

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EJEMPLO 8: Una mujer con una estatura de 1,64 m proyecta su sombra en el suelo. Si el ángulo de elevación que se forma desde la punta de la sombra hasta la mujer es de 42º, entonces, calcule la longitud aproximada de la sombra.

ACTIVIDAD 3 1. Un hombre observa desde el suelo la torre de un edificio de 23 m de altura. Si el ángulo que forma la visual es de 45º, ¿a qué distancia x del edificio se encuentra el hombre? 2. Un piloto de un barco observa al vigía de un faro con un ángulo de elevación de 32º. Si la altura del faro es de 135 m, calcular la distancia del faro al barco, y la visual del piloto. 3. De la cima de un faro de 8 m de alto se divisa una lancha con un ángulo de depresión de 30º. Calcula la distancia entre la lancha y el pie del faro. 4. Un hombre de 1.75 m de estatura observa la parte alta de un poste de 18.25 m de altura, con un ángulo de elevación de 30°. ¿La distancia horizontal que hay entre el hombre y el poste es? 5. Se desea construir una rampa para alcanzar una altura de 0,75 metros. Si el ángulo de inclinación es de 5°. ¿A qué distancia de la entrada debe comenzar la rampa?

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