Unidad 1. Aproximación numérica y errores

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Métodos numéricos Unidad 1. Aproximación numérica y errores

Programa de la asignatura:

Métodos numéricos

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Transformada de Laplace

Ciencias de la Salud Biológicas y Ambientales | Ingeniería en Biotecnología

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Métodos numéricos Aproximación numérica y errores

Índice Presentación de la unidad ......................................................................................................... 2 Propósitos de la unidad ............................................................................................................. 3 Competencia específica ............................................................................................................ 4 1.1. Introducción ........................................................................................................................ 4 1.1.1. Problemas fundamentales............................................................................................... 4 1.1.2. Presición y exactitud……………………………………………………………………………9 1.1.3. Cifras significativas…………………………………………………………………………….16 1.2. Errores……………………………………………………………………………...…………….21 1.2.1. Definiciones………….………………………………………………………………………...21 1.2.2. Tipos de errores………………………………………………………………….…………....21 1.2.3. Reglas de redondeo………………………………………………………………............... .24 1.3. Presición y exactitud .................................................................................................... …27 1.3.1.Métodos de aproximaciones sucesivas…......................................................................27 1.3.2. Estabilidad y convergencia…………………………………………………….………….…29 1.3.3. Método iterativo: Polinomio de Taylor………………………………………..………….…31 Actividades .............................................................................................................................. 34 Autorreflexiones....................................................................................................................... 35 Cierre de la unidad .................................................................................................................. 35 Para saber más ....................................................................................................................... 37 Fuentes de consulta ................................................................................................................ 38

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Presentación de la unidad Los métodos numéricos proporcionan técnicas con las cuales es posible encontrar soluciones a modelos matemáticos que representan a una gran variedad de sistemas físicos o fisicoquímicos dentro de las áreas de las ciencias e Ingeniería. Asimismo, y debido a las limitantes que presentan los métodos analíticos para resolver problemas matemáticos no lineales cuya solución suele ser muy complicada, es que los métodos basados en aproximaciones numéricas son una alternativa la mayor de las veces más certera que los primeros para encontrar soluciones a dichos problemas. Es bien sabido que los métodos numéricos, al ser programados e implementados en equipos de cómputo se convierten en una herramienta poderosa para la solución de problemas del mundo real. También es bien conocido que, pueden llegar a demandar una importante cantidad de operaciones y ser costosos desde el punto de vista computacional. Las dos vertientes de interés pueden llevarnos a requerir una revisión profunda de los métodos numéricos, previamente a su programación en algún lenguaje conocido. Por lo anterior, este curso es intento para despertar en ti el interés sobre los métodos numéricos partiendo de la idea de que este tipo de matemáticas es más cercano a los problemas de las ciencias e ingeniería. Con el advenimiento de las computadoras y el desarrollo de software cada vez más optimizado y diverso, los métodos numéricos se han convertido en una herramienta de gran versatilidad que te permitirá acceder a conocimientos de clave dentro de tu carrera. Este curso se apoya en algoritmos que serán desarrollados en entornos de cálculo y programación como: Excel, Matlab y/o Mathcad. La primera unidad comienza con la definición, evaluación y análisis de los diferentes tipos de error, concepto muy necesario para el posterior análisis de los algoritmos y métodos numéricos implementados para la solución de problemas de la ingeniería. Finalmente, no me queda más que invitarte a disfrutar del curso y experimentar con ésta área del conocimiento científico.

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Propósitos de la unidad

El estudio de esta unidad te permitirá:      

Identificar los conceptos de precisión y exactitud y la diferencia entre ellos. Identificar el concepto de cifra significativa en la representación de valores numéricos. Definir y evaluar errores por redondeo y truncamiento en el cálculo numérico. Programar algoritmos para el cálculo del error. Definir los conceptos de aproximaciones sucesivas a la solución exacta. Analizar la estabilidad y convergencia de un método numérico para encontrar soluciones a problemas. Programar algoritmos iterativos para la aproximación numérica a funciones a través de polinomios.

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Competencia específica

Analizar el concepto de error en la evaluación de resultados numéricos en modelos matemáticos, a través de los métodos de aproximaciones sucesivas, métodos iterativos y de estabilidad para determinar criterios de exactitud y precisión.

1.1. Introducción Debido a que los problemas reales de ingeniería no siempre pueden resolverse por métodos analíticos, los métodos numéricos resultan ser una alternativa en una importante cantidad de casos. A lo largo de esta unidad se usarán los métodos numéricos para formular, resolver y analizar problemas matemáticos, que representan a un sistema físico o diversos sistemas de ingeniería a través de modelos. Cuando un método numérico se implementa como solución de un problema es posible aproximarse a su solución exacta. Pero, ¿cuánto es que nos aproximamos? ¿la solución aproximada es menor a la tolerancia permitida? tú mismo podrás responder estas y otras preguntas al término de esta unidad. En esta primera unidad se llevarán a cabo implementaciones a soluciones numéricas como el famoso método de Euler, a problemas clásicos de la ingeniería. Se discutirán los conceptos de precisión y exactitud entre otros tópicos igualmente importantes.

1.1.1 Problemas fundamentales De manera general, en las áreas de la economía, medicina, química, física se modela el comportamiento de fenómenos como: el interés producido por una inversión, la propagación de enfermedades, el crecimiento de una población de bacterias, el decaimiento radioactivo, la tasa de flujo a través de un tubo, entre otras. Universidad Abierta y a Distancia de México

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La expresiĂłn matemĂĄtica resultante de alguno de estos modelos puede ser desde una simple expresiĂłn algebraica hasta un complicado sistema de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, si buscĂĄramos determinar la cantidad de sal en un suero fisiolĂłgico de 333 đ?‘”, cuya concentraciĂłn es del 0.9%, entonces se usarĂĄ una fĂłrmula que expresa la relaciĂłn entre la concentraciĂłn de una disoluciĂłn, el soluto y el disolvente. Y estĂĄ dada por, concentraciĂłn =

masa de soluto Ă— 100, masa de disoluciĂłn

despejando la masa del soluto, đ?‘šđ?‘Žđ?‘ đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘ đ?‘œđ?‘™đ?‘˘đ?‘Ąđ?‘œ =

đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› Ă— đ?‘šđ?‘Žđ?‘ đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘‘đ?‘–đ?‘ đ?‘œđ?‘™đ?‘˘đ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› , 100 =

0.9 Ă— 333 = 2.997. 100

Por lo tanto, la cantidad de sal presente en el suero es de 2.997 đ?‘”. Debido a su forma algebraica sencilla, la soluciĂłn analĂ­tica o exacta se obtiene con facilidad. Incrementemos ahora la dificultad al problema, (Zill, D., 2009). Analicemos el tanque mezclador de la siguiente figura con una soluciĂłn salina o salmuera de 300 đ?‘™đ?‘–đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ . Sobre esta soluciĂłn es inyectada otra salmuera a una velocidad de 3 đ?‘™đ?‘–đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ /đ?‘šđ?‘–đ?‘›, quedando con una concentraciĂłn de 2 đ?‘˜đ?‘–đ?‘™đ?‘œđ?‘ /đ?‘™đ?‘–đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ. Una vez que la soluciĂłn se ha mezclado bien, se extrae a la misma velocidad de la soluciĂłn de entrada. Si la razĂłn de cambio de la cantidad de sal presente en el tanque estĂĄ dada por, đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘ đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘ đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘ đ?‘Žđ?‘™đ?‘–đ?‘‘đ?‘Ž =( )−( ). đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘ đ?‘Žđ?‘™ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘ đ?‘Žđ?‘™

Nos interesa determinar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo đ?‘Ą. En este caso, la soluciĂłn analĂ­tica o exacta de la ecuaciĂłn diferencial no puede obtenerse por simples manipulaciones algebraicas. Por ello, vamos a desarrollar una soluciĂłn numĂŠrica que se aproxime a la soluciĂłn exacta.

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Figura 1. Tanque de mezcla.

Primero se determina la tasa de entrada de sal como,

đ?‘ đ?‘œđ?‘™đ?‘˘đ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘ đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘˜đ?‘–đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘™đ?‘–đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘ đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž =( )( ) = (2 đ?‘™đ?‘–đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ ) (3 đ?‘šđ?‘–đ?‘› ) = 6 đ?‘˜đ?‘–đ?‘™đ?‘œđ?‘ /đ?‘šđ?‘–đ?‘›, đ?‘–đ?‘›đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘ đ?‘Žđ?‘™ đ?‘?đ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘’đ?‘œ

y la tasa de salida de sal como,

đ?‘Ľ đ?‘˜đ?‘–đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘™đ?‘–đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘Ľ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘ đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘ đ?‘Žđ?‘™đ?‘–đ?‘‘đ?‘Ž đ?‘ đ?‘œđ?‘™đ?‘˘đ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘ đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ =( )( ) = (300 đ?‘™đ?‘–đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ ) (3 đ?‘šđ?‘–đ?‘› ) = 100 đ?‘˜đ?‘–đ?‘™đ?‘œđ?‘ /đ?‘šđ?‘–đ?‘›. đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘ đ?‘Žđ?‘™ đ?‘ đ?‘Žđ?‘™đ?‘–đ?‘›đ?‘Ž đ?‘?đ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘’đ?‘œ

Sustituyendo en la ecuaciĂłn diferencial se obtiene,

đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ľ =6−( ). đ?‘‘đ?‘Ą 100

La razĂłn de cambio de la cantidad de sal presente en el tanque con respecto al tiempo (Chapra, S., 2010), se puede aproximar mediante

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đ?‘‘đ?‘Ľ ∆đ?‘Ľ đ?‘Ľ(đ?‘Ąđ?‘–+1 ) − đ?‘Ľ(đ?‘Ąđ?‘– ) ≅ = đ?‘‘đ?‘Ą ∆đ?‘Ą đ?‘Ąđ?‘–+1 − đ?‘Ąđ?‘– donde ∆đ?‘Ľ y ∆đ?‘Ą son diferencias en la cantidad de sal y en el tiempo, respectivamente. Reescribiendo la ecuaciĂłn diferencial nos queda, đ?‘Ľ(đ?‘Ąđ?‘–+1 ) − đ?‘Ľ(đ?‘Ąđ?‘– ) đ?‘Ľ(đ?‘Ąđ?‘– ) =6−( ) đ?‘Ąđ?‘–+1 − đ?‘Ąđ?‘– 100 despejando, đ?‘Ľ(đ?‘Ąđ?‘– ) đ?‘Ľ(đ?‘Ąđ?‘–+1 ) = đ?‘Ľ(đ?‘Ąđ?‘– ) + [6 − ( )] (đ?‘Ąđ?‘–+1 − đ?‘Ąđ?‘– ) 100

Como se observa, la ecuaciĂłn diferencial se ha transformado en una ecuaciĂłn que puede utilizarse para determinar algebraicamente la cantidad de sal en el tiempo đ?‘Ąđ?‘–+1, usando la pendiente y los valores anteriores de đ?‘Ľ y đ?‘Ą. Esta aproximaciĂłn se conoce como mĂŠtodo de Euler. Y al cambio ∆x = t i+1 − t i se le llama tamaĂąo del paso. Ejemplo 01: Supongamos un gran tanque mezclador con una cantidad inicial de 50 đ?‘˜đ?‘–đ?‘™đ?‘œđ?‘ de sal disuelta en los 300 đ?‘™đ?‘–đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ de salmuera. ÂżQuĂŠ cantidad de sal habrĂĄ en el tanque despuĂŠs de 10 â„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ ? SoluciĂłn Con ayuda de Mathcad el cual puede ser encontrado en http://es.ptc.com/product/mathcad/free-trial/ y una explicaciĂłn cuya liga viene en la secciĂłn Para saber mĂĄs‌ se implementĂł la soluciĂłn numĂŠrica y se graficĂł la cantidad de sal đ?‘Ľ(đ?‘Ą) presente en el tanque mezclador con respecto del tiempo đ?‘Ą. El cĂłdigo fuente puedes encontrarlo en la carpeta de actividades. Si consideramos que, en đ?‘Ą(0) se cuenta con una cantidad inicial de 50 đ?‘˜đ?‘–đ?‘™đ?‘œđ?‘ , entonces se determinarĂĄ đ?‘Ľ(đ?‘Ą) cada ∆đ?‘Ą = 50 đ?‘šđ?‘–đ?‘›, durante 600 đ?‘šđ?‘–đ?‘›.

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Figura 2. SoluciĂłn numĂŠrica de la cantidad de sal presente en el tanque en funciĂłn del tiempo.

De la grĂĄfica anterior es posible observar el incremento de sal presente en el tanque con respecto al tiempo. Por lo tanto, despuĂŠs de 10 â„Žđ?‘&#x;đ?‘ se determinĂł numĂŠricamente que la cantidad de sal es de 599.731 đ?‘˜đ?‘–đ?‘™đ?‘œđ?‘ en el tanque mezclador. Para obtener un resultado numĂŠrico mĂĄs preciso, se deberĂĄ reducir el tamaĂąo de paso ∆đ?‘Ą. Lo anterior significa incrementar el nĂşmero de operaciones. En la siguiente Tabla se muestra la soluciĂłn exacta đ?‘Ľ y soluciones aproximadas đ?‘Ľđ?‘Ž usando tamaĂąos de paso de ∆đ?‘Ą = 1,5,10.

t 50

SoluciĂłn Exacta đ?‘Ľ 266.4

Δt=1 �� 267.2

Δt=5 �� 253.4

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Δt=10 �� 239.1

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100 150 200 300 400

397.7 477.3 525.6 572.6 589.9

396.6 477 525.6 572.8 590

392.5 475.7 525.6 573.3 590.4

386.9 474.2 525.7 574.1 591

Tabla 1. Resultados numĂŠricos đ?‘Ľđ?‘Ž comparados con la soluciĂłn exacta đ?‘Ľ. Si ∆đ?‘Ą → 0, entonces đ?‘Ľđ?‘Ž → đ?‘Ľ.

Por lo anterior, es posible concluir que a mayor exactitud, mayor costo computacional. Pero, ÂżquĂŠ significan precisiĂłn y exactitud?

1.1.2. PrecisiĂłn y exactitud La exactitud se refiere a quĂŠ tan cercano estĂĄ el valor calculado del valor exacto. En estadĂ­stica se relaciona con el sesgo de una estimaciĂłn. Cuanto menor es el sesgo mĂĄs exacta es la estimaciĂłn. La precisiĂłn se refiere a quĂŠ tan cercanos o dispersos se encuentran entre si el conjunto de valores calculados o medidos. En las siguientes figuras se ilustran los conceptos de exactitud y precisiĂłn en estadĂ­stica

Figura 3. La exactitud se refiere a la distancia entre el valor exacto đ?‘Ľ y el valor aproximado đ?‘Ľđ?‘Ž , mientras que la precisiĂłn depende de la dispersiĂłn đ?œŽ de los valores calculados.

Ahora se ilustra la diferencia entre precisiĂłn y exactitud.

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Figura 4. Supongamos que la soluciĂłn exacta estĂĄ centrada en el origen del sistema de coordenadas. En el inciso (a) los datos de mediciĂłn son exactos y mĂĄs precisos que en (b). En (c) las mediciones no son exactas pero mĂĄs precisas que (b).

Para ejemplificar estos conceptos, analicemos un cultivo, donde la relaciĂłn carbononitrĂłgeno es el parĂĄmetro mĂĄs importante en la producciĂłn de biomasa de la levadura đ?‘ƒđ?‘–đ?‘?â„Žđ?‘–đ?‘Ž đ?‘œđ?‘›đ?‘Śđ?‘?â„Žđ?‘–đ?‘ en fermentaciĂłn lĂ­quida. En una secuencia experimental se evaluaron 8 tratamientos. Los resultados de producciĂłn de biomasa y concentraciĂłn de cĂŠlulas de la levadura son los siguientes:

Figura 5. AnĂĄlisis de los resultados experimentales en la producciĂłn de biomasa en una levadura.

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Figura 6. AnĂĄlisis de los resultados experimentales en concentraciĂłn de cĂŠlulas en una levadura.

Se determina como valor exacto el promedio de las mediciones de biomasa đ?œ‡ = 5.38 y la precisiĂłn estĂĄ dada por la desviaciĂłn de las mediciones de biomasa con đ?œŽ = 0.824 y de concentraciĂłn đ?œŽ = 1.566 Ă— 108. Como se observa, se tiene una mayor dispersiĂłn de los datos en el caso de la concentraciĂłn de cĂŠlulas que en producciĂłn de biomasa. Es decir, los datos relacionados a la producciĂłn de biomasa son mĂĄs precisos. La imprecisiĂłn tambiĂŠn se llama incertidumbre ∆đ?‘Ľ y se caracteriza con el parĂĄmetro de dispersiĂłn o desviaciĂłn estĂĄndar đ?œŽ. La incertidumbre o resoluciĂłn de un instrumento es igual a la mitad de su unidad de mediciĂłn, (Burden, R., 2001). Y la incertidumbre porcentual es el cociente entre la incertidumbre y el valor central de la mediciĂłn. Estos conceptos son necesarios cuando se requiere hacer medidas. Sin embargo, es comĂşn que al medir tengamos incluso que operar aritmĂŠticamente con estas medidas, por que ciertos errores suelen propagarse. La propagaciĂłn de la incertidumbre surge cuando operamos sobre un conjunto de mediciones con una incertidumbre asociada ∆đ?‘Ľ. Esta se debe, como ya se dijo, a la resoluciĂłn del instrumento o al tamaĂąo del paso en el cĂĄlculo numĂŠrico.

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Sean đ?‘Ľ0 , đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ , đ?‘Ľđ?‘› un conjunto de mediciones con una incertidumbre asociada ∆đ?‘Ľ0 , ‌ , ∆đ?‘Ľđ?‘› a cada dato. La incertidumbre que se genera, de la suma o resta de estos datos, đ?‘Ľ = đ?‘Ľ0 Âą đ?‘Ľ1 Âą đ?‘Ľ2 Âą â‹Ż Âą đ?‘Ľđ?‘› , es la suma de sus incertidumbres individuales, como, (Chapra, S., 2010), ∆đ?‘Ľ = ∆đ?‘Ľ0 + â‹Ż + ∆đ?‘Ľđ?‘› . Mientras que el producto o cociente de estos datos đ?‘Ľ = đ?‘Ľ0 Ă— đ?‘Ľ1 Ă— đ?‘Ľ2 Ă— ‌ Ă— đ?‘Ľđ?‘› genera una incertidumbre total, dada por, ∆đ?‘Ľ

∆đ?‘Ľ

0

1

∆đ?‘Ľ

∆đ?‘Ľ = |đ?‘Ľ| (|đ?‘Ľ 0| + |đ?‘Ľ 1| + â‹Ż + |đ?‘Ľ đ?‘›|). đ?‘›

A continuaciĂłn se ejemplifica el concepto de incertidumbre y propagaciĂłn de la incertidumbre. Ejemplo 02: El volumen de un lĂ­quido fue medido đ?‘› = 5 veces, con un recipiente graduado cuya incertidumbre es de ∆đ?‘Ľ =

1 2

đ?‘šđ?‘™. Las lecturas arrojadas fueron đ?‘Ľ = {34,33,34,34,35}.

(a) ÂżCuĂĄl es el valor aproximado de la mediciĂłn? (b) ÂżCuĂĄl es la dispersiĂłn de los datos? (c) ÂżCuĂĄl es el intervalo de confianza de la mediciĂłn? SoluciĂłn (a) El valor aproximado de los datos es obtenido por, đ?‘›

1 34 + 33 + 34 + 34 + 35 đ?‘ĽĚ… = ∑ đ?‘Ľđ?‘– = = 34đ?‘šđ?‘™ đ?‘› 5 đ?‘–=1

(b) La dispersiĂłn de los datos es,

∑đ?‘›đ?‘–=1(đ?‘Ľđ?‘– − đ?‘ĽĚ… ) 0 + 1 + 0 + 0 + 1 √2 √ đ?œŽ= =√ = = 0.632 đ?‘› 5 √5 (c) Como la incertidumbre de las mediciones es la misma para los đ?‘› datos, entonces la propagaciĂłn de la incertidumbre es, ∆đ?‘Ľ = (0.5)(đ?‘›) = (0.5)(5) = 2.5

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y por tanto el intervalo de confianza de la mediciĂłn estĂĄ dado por,

đ?‘Łđ?‘œđ?‘™đ?‘˘đ?‘šđ?‘’đ?‘› = đ?‘ĽĚ… + (∆đ?‘Ľ) = 34 Âą 2.5 = [31.5,36.5] Si usamos la definiciĂłn de la incertidumbre porcentual, entonces, đ?‘Łđ?‘œđ?‘™đ?‘˘đ?‘šđ?‘’đ?‘› = 34.0 Âą

2.5 100% = 34 Âą 7.353% 34

El error en la mediciĂłn es inversamente proporcional al nĂşmero de veces đ?’? que se repita la medida. Esto es, el error đ?’† disminuye conforme đ?’? aumenta. Es importante tener en cuenta, los siguientes criterios para determinar la precisiĂłn y exactitud en el momento de tomar las mediciones con el mismo sensor: A. Repetitividad. Es la variaciĂłn de las mediciones hechas por un solo evaluador. B. Reproducibilidad. Es la variaciĂłn en promedio de las mediciones hechas por varios evaluadores. Esto es, el error no sĂłlo depende del cĂĄlculo numĂŠrico sino de factores tales como la correcta calibraciĂłn del instrumento de mediciĂłn, la adecuada forma de tomar las lecturas y el ambiente en el momento de la mediciĂłn. La compresiĂłn de estos factores puede ayudarnos a diseĂąar algoritmos adecuados para el anĂĄlisis numĂŠrico. Para cuantificar el error se definen (Iriarte, R., 2003), el error absoluto đ?‘’đ?‘Ž de la aproximaciĂłn como, đ?‘’đ?‘Ž = |đ?‘Ľ − đ?‘Ľđ?‘Ž |, donde se toma el valor absoluto de la diferencia porque no importa saber si la aproximaciĂłn es mayor o menor al valor exacto. El error relativo đ?‘’đ?‘&#x; definido como, (Iriarte, R., .2003), đ?‘’đ?‘&#x; =

|đ?‘Ľ − đ?‘Ľđ?‘Ž | |đ?‘Ľ|

para đ?‘Ľ ≠0. A diferencia del đ?‘’đ?‘Ž , el đ?‘’đ?‘&#x; es adimensional. Lo anterior permite comparar los errores numĂŠricos aunque se hayan aplicado a diferentes problemas. Y el porcentaje de error relativo đ?‘’đ?‘?đ?‘&#x; como, (Iriarte, R., .2003),

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đ?‘’đ?‘?đ?‘&#x; =

|đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ľđ?‘Ž | Ă— |đ?‘Ľ|

100.

Todas estas definiciones y conceptos serĂĄn ejemplificados mediante el siguiente caso de estudio de la biotecnologĂ­a propuesto por Zill, D., 2009. Ejemplo 03: Cierto cultivo tiene un nĂşmero inicial đ?‘ƒ0 = 100 de bacterias, despuĂŠs de un tiempo đ?‘Ą se observa que la tasa de crecimiento de ciertas poblaciones de bacterias es proporcional a la poblaciĂłn presente en el tiempo đ?‘Ą. Si se conoce la cantidad de poblaciĂłn presente en algĂşn momento inicial arbitrario đ?‘Ą0 , entonces la poblaciĂłn futura estĂĄ dada por,

đ?‘‘đ?‘ƒ = đ?‘˜đ?‘ƒ đ?‘‘đ?‘Ą donde đ?‘˜ es la constante de crecimiento o decamiento. La soluciĂłn analĂ­tica es, 2 −1)

đ?‘ƒ(đ?‘Ą) = đ?‘’0.1(đ?‘Ą y la numĂŠrica es expresada como,

đ?‘ƒđ?‘–+1 = đ?‘ƒđ?‘– + 0.2đ?‘˜đ?‘Ąđ?‘– đ?‘ƒđ?‘– donde đ?‘Ą0 = 1 y đ?‘ƒ0 = 100. Determinar el error absoluto y relativo, entre la soluciĂłn analĂ­tica y numĂŠrica para cada ∆đ?‘Ą = 0.1, al determinar el crecimiento poblacional đ?‘ƒ. SoluciĂłn Se implementaron las funciones analĂ­ticas y numĂŠricas de crecimiento poblacional đ?‘ƒ(đ?‘Ą) y đ?‘ƒđ?‘–+1 . Y despuĂŠs evaluamos el error absoluto y el error relativo entre la soluciĂłn analĂ­tica y exacta.

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Figura 7. Implementación en Mathcad del crecimiento poblacional. La curva continúa es la solución analítica, mientras que la discontinúa es la solución numérica.

A continuación se muestran los valores numéricos generados en un archivo *.txt.

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Figura 8. Los resultados se encuentran listados para 1) el tiempo, 2) la soluciĂłn aproximada đ?‘ƒđ?‘– , 3) la soluciĂłn exacta, 4) el error absoluto y 5) el error relativo.

La grĂĄfica muestra el crecimiento poblacional en el tiempo. Como se observa, para un tamaĂąo de paso ∆đ?‘Ą = 0.1 la exactitud es de decimas para tiempos pequeĂąos y de decenas para tiempos grandes. Esto nos lleva a definir la exactitud en tĂŠrminos de cifras significativas.

1.1.3. Cifras significativas Otro de los conceptos bĂĄsicos en la representaciĂłn aproximada de los nĂşmeros es el de cifras significativas. Las cifras significativas de un nĂşmero son aquellas que pueden utilizarse en forma confiable, es decir, se trata de dĂ­gitos que se ofrecen con certeza. Por definiciĂłn (Mathews, J., 2004), se dice que un nĂşmero đ?‘Ľđ?‘Ž se aproxima a đ?‘Ľ con đ?‘‘ cifras significativas, si đ?‘‘ es el mayor entero no negativo para el cual, se cumple que: |đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ľđ?‘Ž | |đ?‘Ľđ?‘Ž |

<

10−đ?‘‘ . 2

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Para ejemplificar este concepto realicemos el siguiente caso. Ejemplo 04: Determinar el nĂşmero de cifras significativas đ?‘‘ con las cuales los siguientes nĂşmeros aproximados đ?‘Ľđ?‘Ž se acercan a los valores exactos đ?‘Ľ. đ?‘Ľ

đ?‘Ľđ?‘Ž

3.141592 1000000 0.00001

3.14 999996 0.000009

SoluciĂłn: Si evaluamos

10−đ?‘‘ 2

para � = 0,1, ‌ 8 en una hoja de Excel podemos obtener los valores

numĂŠricos de la siguiente Tabla. đ?‘‘

10−đ?‘‘ 2

0 0.5 1 0.0 5 2 0.005 3 0.0005 4 0.00005 5 0.000005 6 0.0000005 7 0.00000005 8 0.000000005 CĂĄlculo del nĂşmero đ?‘‘ en Excel.

Ahora, en una segunda Tabla se muestran los resultados de calcular los errores absolutos y relativos entre los valores numĂŠricos đ?‘Ľđ?‘Ž y đ?‘Ľ y se comparan con la condiciĂłn para determinar el nĂşmero de cifras đ?‘‘ con las cuales se aproximan entre ellos.

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đ?‘Ľ

đ?‘Ľđ?‘Ž

đ?‘’đ?‘Ž

đ?‘’đ?‘&#x;

3.141592 1000000 0.00001

3.14 999 96 0.000009

0.001592 4 0.000003

0.000506749 0.000004 0.25

Cifras significativas đ?‘‘ 2 5 0

Entre mĂĄs cifras significativas se usen, mayor serĂĄ la exactitud de la mediciĂłn. Y entre mĂĄs lecturas se realicen en un experimento dado, mayor serĂĄ la precisiĂłn de nuestros datos. Ahora consideremos los nĂşmeros đ?‘? = 3.1415957341 y đ?‘ž = 3.1415926536 expresados con una precisiĂłn de 11 cifras decimales y 6 cifras iguales. Si evaluamos su diferencia, đ?‘? − đ?‘ž = −0.0000030805 esta contiene sĂłlo 5 cifras decimales iguales. Esto se conoce como pĂŠrdida de cifras significativas o cancelaciĂłn. Ejemplo 05: Determinar el ĂĄrea de intercambio tĂŠrmico que se necesita para que un intercambiador de calor, con capacidad tĂŠrmica de đ?‘? = 3810

đ??˝đ?‘œđ?‘˘đ?‘™đ?‘’đ?‘ °đ??ś, đ??žđ?‘”

enfrĂ­e 6.9 đ?‘˜đ?‘”/đ?‘ đ?‘’đ?‘” de una soluciĂłn

de alcohol etĂ­lico desde 65.6°đ??ś hasta 39.4°đ??ś, utilizando 6.3 đ??žđ?‘” de agua por segundo a 10°đ??ś hasta 36.2°đ??ś.

Figura 9. Proceso de intercambio de calor entre dos fluidos que estĂĄn a diferentes temperaturas y separados por una pared sĂłlida. Fuente electrĂłnica: http://es.scribd.com/doc/41949346/Problemas-de-Transferencia-de-Calor-Intercambiadores

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MĂŠtodos numĂŠricos AproximaciĂłn numĂŠrica y errores

SoluciĂłn Se requiere determinar el ĂĄrea de intercambio tĂŠrmico, para esto usamos la expresiĂłn de transferencia de calor đ?‘ž, dada por, đ?‘ž = đ?‘ˆ Ă— đ??´ Ă— đ??żđ?‘€đ?‘‡đ??ˇ, donde đ?‘ˆ es el coeficiente global de transferencia de calor y LMTD es la diferencia de temperatura media logarĂ­tmica. Despejando el ĂĄrea đ??´, đ??´=

đ?‘ž , đ?‘ˆ Ă— đ??żđ?‘€đ?‘‡đ??ˇ

donde, đ?‘ž = đ?‘š Ă— đ?‘? Ă— ∆đ?‘‡đ??ś y đ??żđ?‘€đ?‘‡đ??ˇ =

∆đ?‘‡2 − ∆đ?‘‡1 ∆đ?‘‡2 ) ∆đ?‘‡1

�� (

.

A continuaciĂłn se muestra la implementaciĂłn en Mathcad.

Figura 10. ImplementaciĂłn en Mathcad de las funciones de transferencia de calor đ?‘ž y diferencia de temperatura media logarĂ­tmica.

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MĂŠtodos numĂŠricos AproximaciĂłn numĂŠrica y errores

Si el valor exacto del Ă rea es, đ??´ = 66.07037547, entonces el error relativo porcentual que se comete en los cĂĄlculos es del 4%. Esto es, nos acercamos a la soluciĂłn exacta con đ?‘‘ = 3 cifras significativas. AdemĂĄs, si tuviĂŠramos la incertidumbre asociada a los parĂĄmetros de entrada, entonces se podrĂ­a hacer un anĂĄlisis del error de propagaciĂłn en las operaciones debidas a la multiplicaciĂłn, divisiĂłn, sumas y restas de los valores numĂŠricos.

AnĂĄlisis de error de los resultados.

Se te pide dirigirte a la actividad 1 e identificar los parĂĄmetros fĂ­sicos que caracterizan un intercambiador de calor asĂ­ como la funciĂłn algebraica que lo modela. En las actividades 2 y 3 se busca identificar quĂŠ tipo de error se tiene en el cĂĄlculo del coeficiente global de transferencia de calor. Hasta ahora, hemos aprendido que los errores en cĂĄlculos y medidas se pueden caracterizar con respecto a su exactitud y su precisiĂłn. Los errores de redondeo y el uso de cifras significativas se usan para expresar nuestra confianza en un resultado numĂŠrico. Si las desviaciones de la soluciĂłn son grandes, habrĂĄ que formular un nuevo modelo. Pero si los valores numĂŠricos estĂĄn agrupados en un intervalo muy cerca de la predicciĂłn entonces las desviaciones se consideran insignificantes y el modelo parecerĂĄ adecuado. El tema estudiado es muy Ăştil para la comprensiĂłn de conceptos relacionados a la exactitud, precisiĂłn, incertidumbre y propagaciĂłn de error. Se te recomienda llevar a cabo los ejercicios de la actividad 1. TambiĂŠn deberĂĄs revisar la teorĂ­a la distribuciĂłn normal o de Gauss, esto con el fin de alcanzar un mayor entendimiento de todos los conceptos requeridos mĂĄs adelante en el curso.

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MĂŠtodos numĂŠricos AproximaciĂłn numĂŠrica y errores

1.2. Errores El concepto de error surge de la necesidad de medir la diferencia entre lo medido y lo real. Surge tambiĂŠn como consecuencia del manejo de instrumentos que miden diversas magnitudes fĂ­sicas, dentro de las ĂĄreas de la ingenierĂ­a. El concepto de error ha sido redefinido de acuerdo con la magnitud a medir y se ha generado toda una teorĂ­a sobre su propagaciĂłn. Al mismo tiempo, se ha clasificado al error en una gama importante de mĂşltiples significados o acepciones con el fin de precisar el origen del error cometido dentro de una mediciĂłn o dentro de un cĂĄlculo numĂŠrico. A lo largo de esta secciĂłn, se revisarĂĄn los conceptos de error por redondeo asĂ­ como con sus reglas, tambiĂŠn se estudiarĂĄ el concepto de cifra significativa dentro del anĂĄlisis numĂŠrico.

1.2.1. Definiciones Los errores numĂŠricos surgen al llevar a cabo aproximaciones en las operaciones y en las cantidades matemĂĄticas exactas. En el mundo real existen nĂşmeros como đ?œ‹, đ?‘’ o √2 con los cuales operamos de manera anĂĄlitica para la soluciĂłn de problemas matemĂĄticos. Sin embargo, esto no sucede en el mundo digital, donde cada nĂşmero representable tiene sĂłlo un nĂşmero finito, fijo de cifras decimales. Para esto, se hace uso del redondeo o truncamiento de los valores numĂŠricos exactos. Para estos tipos de error, existe una relaciĂłn entre los valores aproximados y el valor exacto como, (Burden, R., 2001), đ?‘Łđ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘’đ?‘Ľđ?‘Žđ?‘?đ?‘Ąđ?‘œ = đ?‘Łđ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘Žđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ľđ?‘–đ?‘šđ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ + đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘&#x;, despejando el error, đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘&#x; = đ?‘Łđ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘’đ?‘Ľđ?‘Žđ?‘?đ?‘Ąđ?‘œ − đ?‘Łđ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘Žđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ľđ?‘–đ?‘šđ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ. Esta definiciĂłn posee algunas desventajas: no toma en cuenta el orden de magnitud de las cantidades comparadas, no permite una comparaciĂłn de error entre mĂŠtodos. Por ello, usaremos las definiciones de error absoluto, error relativo y error relativo porcentual, que no tienen estos problemas.

1.2.2. Tipos de errores En esta sección evaluaremos y analizaremos los errores que de acuerdo a su origen, se clasifican en:   

Errores inherentes Errores por truncamiento Errores por redondeo

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Los errores inherentes son propios de los equipos de mediciĂłn o bien por errores humanos en la lectura de los datos. El error de truncamiento se presenta cuando se usan nĂşmeros irracionales como đ?œ‹, đ?‘’ o √2 que no se pueden expresar exactamente con un nĂşmero finito de dĂ­gitos. Esto es, para đ?œ‹ = 3.141592653589793238462643 ‌ se toma un nĂşmero determinado de cifras significativas y se truncan las demĂĄs. En el caso de series infinitas, como, (Iriarte, R., 2003), ∞

đ?‘’=∑ đ?‘˜=0

1 đ?‘˜!

sĂłlo se usa un nĂşmero finito de tĂŠrminos para determinar đ?‘’ y el resto se trunca. Ejemplo 06. Sea đ?‘’ un nĂşmero irracional (a) Determinar el valor de đ?‘’ usando desde el primero hasta el cuarto tĂŠrmino đ?‘› de la serie. Si đ?‘’ = 2.71828 es expresado con 5 cifras decimales como valor exacto, (b) calcular el error absoluto y relativo entre el valor exacto đ?‘’ y las sucesivas aproximaciones. SoluciĂłn Primero se redefine la expresiĂłn anterior para un nĂşmero finito đ?‘› de tĂŠrminos como, 1

đ?‘’đ?‘› = ∑đ?‘›đ?‘˜=0 đ?‘˜!,

đ?‘› = 1,2, . .4.

esta suma se implementa en Mathcad como se muestra en la siguiente figura.

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MĂŠtodos numĂŠricos AproximaciĂłn numĂŠrica y errores

Figura 11. ImplementaciĂłn en Mathcad de la serie de Taylor para el cĂĄlculo del nĂşmero đ?‘’. Conforme aumentamos el nĂşmero de tĂŠrminos đ?‘› en la serie, disminuye el error entre el valor exacto y el aproximado.

El error de truncamiento tambiĂŠn de genera cuando una expresiĂłn matemĂĄtica es reemplazada por una fĂłrmula mĂĄs simple. Por ejemplo, el error que se produce por reemplazar la serie de Taylor, (Iriarte, R., 2003), đ?‘Ľ4 đ?‘Ľ6 đ?‘Ľ8 đ?‘Ľ 2đ?‘› 2 đ?‘’ đ?‘Ľ = 1 + đ?‘Ľ2 + + + + â‹Ż + +â‹Ż 2! 3! 4! đ?‘›! por los primeros 5 tĂŠrminos, 2

đ?‘’ đ?‘Ľ = 1 + đ?‘Ľ2 +

đ?‘Ľ4 đ?‘Ľ6 đ?‘Ľ8 + + 2! 3! 4!

El error de redondeo se produce por el uso de un nĂşmero limitado de cifras significativas, en el momento de representar nĂşmeros reales o realizar operaciones.

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MĂŠtodos numĂŠricos AproximaciĂłn numĂŠrica y errores

1.2.3. Reglas de redondeo Sea đ?‘Ľ un nĂşmero, (Mathews, J., 2004), đ?‘Ľ ≈ ∓đ?‘ž Ă— 2đ?‘› donde đ?‘ž se llama mantisa con 1â „2 ≤ đ?‘ž < 1 y đ?‘› es el exponente. Si ahora se define un nĂşmero đ?‘Ľ de mĂĄquina decimal con đ?‘˜ dĂ­gitos como, (Mathews, J., 2004), đ?‘Ľ ≈ ∓0. đ?‘‘1 đ?‘‘2 ‌ đ?‘‘đ?‘˜ Ă— 10đ?‘› para cada đ?‘– = 1,2, ‌ , đ?‘˜. Entonces para đ?‘‘đ?‘˜+1 ≼ 5, sumamos 1 a đ?‘‘đ?‘˜ , es decir, redondeamos hacia arriba. De otra manera simplemente truncamos y redondeamos hacia abajo. Ejemplo 07: El nĂşmero đ?œ‹ = 3.13159265 ‌ escrito en forma normalizada es, đ?œ‹ = 3.14159265 ‌ Ă— 101 con truncamiento a cinco cifras significativas es, đ?œ‹ = 3.1415 mientras que el redondeo a cinco cifras es, đ?œ‹ = 3.1416 Se puede verificar que el error de redondeo es menor o igual que el de truncamiento. Una forma de reducir el error consiste en reducir el nĂşmero de cĂĄlculos u operaciones aritmĂŠticas que pueden producir errores. Ejemplo 08: En un intercambiador de calor con flujos en contracorriente, el agua entra a 20°đ??ś y sale a 40°đ??ś, mientras que el aceite entra a 90°đ??ś y sale a 77°đ??ś. Donde đ??śđ?‘Žđ?‘”đ?‘˘đ?‘Ž = 5 đ??žđ?‘?đ?‘Žđ?‘™/°đ??śđ?‘šđ?‘–đ?‘› y đ??śđ?‘Žđ?‘?đ?‘’đ?‘–đ?‘Ąđ?‘’ = 7.736 đ??žđ?‘?đ?‘Žđ?‘™/°đ??śđ?‘šđ?‘–đ?‘›. Determinar la eficiencia đ?œ€ del intercambiador. SoluciĂłn

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MĂŠtodos numĂŠricos AproximaciĂłn numĂŠrica y errores

El cĂĄlculo de la eficiencia estĂĄ determinado por el nĂşmero de unidades de transferencia (NTU) asĂ­ como de los caudales mĂ­nimo y mĂĄximo de los fluidos. A continuaciĂłn se muestran los resultados del cĂĄlculo numĂŠrico.

Figura 12. CĂĄlculo de la eficiencia de un intercambiador.

La eficiencia del intercambiador es de đ?œ€ = 0.28502486. Si redondeamos a 2 cifras significativas tenemos đ?œ€ = 0.3, con un error relativo de 0.0149. Lo que significa un error porcentual del 1%. En el caso de truncamiento de cifras significativas, los resultados se muestran en la siguiente figura.

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Métodos numéricos Aproximación numérica y errores

Figura 13. Análisis de error por truncamiento del cálculo de la eficiencia.

En la gráfica anterior se muestra como decrece el error conforme usamos más cifras significativas en los cálculos numéricos. Ahora dirígete a la actividad 2, donde analizarás el error entre los valores teóricos y experimentales que caracterizan un intercambiador de calor. Implementa tus cálculos usando el software de tu preferencia. Como te has dado cuenta, el análisis de error es indispensable durante la operación aritmética. Esto es, de acuerdo al comportamiento de una curva de error se podrá determinar la eficiencia del método de solución a través de la estabilidad y convergencia del método numérico.

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MĂŠtodos numĂŠricos AproximaciĂłn numĂŠrica y errores

TambiĂŠn se hablĂł de la existencia de errores como el de redondeo y de truncamiento que son inherentes en el cĂĄlculo digital, debido a la representaciĂłn finita de cantidades numĂŠricas, y que a partir de un margen de error serĂĄ posible determinar la tolerancia de la soluciĂłn con al menos đ?‘› cifras significativas. De manera general, cuando hablamos de error nos referimos a imprecisiĂłn e inexactitud de la soluciones. Y hasta ahora hemos cuantificado el error a partir del conocimiento de la soluciĂłn exacta y la soluciĂłn aproximada. Sin embargo, en la vida real, no siempre se conoce đ?‘Ž đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘– la soluciĂłn verdadera. Para ello se han usado los mĂŠtodos iterativos donde el error se calcula como la diferencia entre la aproximaciĂłn previa y la actual como, (Chapra, S., 2010), đ?‘Žđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ľđ?‘–đ?‘šđ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘Žđ?‘?đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ − đ?‘Žđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ľđ?‘–đ?‘šđ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘’= 100% đ?‘Žđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ľđ?‘–đ?‘šđ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘Žđ?‘?đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘Žđ?‘™

En la siguiente secciĂłn del curso estudiaremos tĂłpicos como estabilidad y convergencia, mĂŠtodos iterativos y aproximaciones sucesivas a la soluciĂłn. Se te recomienda resolver los ejercicios de la actividad 2 de la primera unidad.

1.3. Precisión y exactitud Los mÊtodos iterativos se clasifican en mÊtodos de aproximaciones sucesivas y mÊtodos de paso a paso (Iriarte, R., 2003). Los mÊtodos de aproximaciones sucesivas �1 , �2 , �3 , ‌ , �� parten de una solución aproximada inicial �0 que mediante una fórmula de recurrencia se va aproximando a la solución exacta �, mientras que los mÊtodos de paso a paso se aproximan a una solución compuesta por una sucesión de números y no de un solo valor. A lo largo de esta sección implementarås mÊtodos de aproximaciones sucesivas y algoritmos iterativos que se aproximen al valor numÊrico o función deseada.

1.3.1. MĂŠtodo de aproximaciones sucesivas La mayorĂ­a de los mĂŠtodos numĂŠricos son procesos cĂ­clicos o iterativos y se basan en las denominadas fĂłrmulas de recurrencia. Por ejemplo, se pueden determinar los valores del nĂşmero đ?‘’ usando la fĂłrmula de recurrencia (Burden, R., 2001). đ?‘’đ?‘˜ = đ?‘’đ?‘˜âˆ’1 +

1 đ?‘˜!

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MĂŠtodos numĂŠricos AproximaciĂłn numĂŠrica y errores

para đ?‘˜ = 1,2,3. Notemos que đ?‘’đ?‘˜ es la đ?‘˜ − ĂŠđ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘Ž aproximaciĂłn del nĂşmero đ?‘’ y que ademĂĄs estĂĄ en funciĂłn del valor anterior đ?‘’đ?‘˜âˆ’1. Para esto es necesario un valor inicial dado, como por ejemplo đ?‘’0 = 1, para generar las siguientes aproximaciones a la soluciĂłn. A continuaciĂłn mostramos un ejemplo.

Figura 14. ImplementaciĂłn en Mathcad del algoritmo recursivo. Se observa que conforme aumenta el nĂşmero de iteraciones el error en el cĂĄlculo de đ?‘’ disminuye.

Figura 15. Calculo de error como la diferencia entre la aproximaciĂłn previa y la actual.

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MĂŠtodos numĂŠricos AproximaciĂłn numĂŠrica y errores

Los mĂŠtodos iterativos no siempre proporcionan soluciones đ?‘Ľđ?‘Ž aceptables, esto es, en algunas ocasiones el error aumenta conforme aumenta el nĂşmero de iteraciones. Por ello, es necesario analizar la convergencia y estabilidad del sistema.

1.3.2. Estabilidad y convergencia Se dice que el mĂŠtodo numĂŠrico converge a la soluciĂłn, si para todo ∈> 0 existe un entero đ?‘š, tal que para todo entero đ?‘› > đ?‘š, se cumple que |đ?‘Ľ − đ?‘Ľđ?‘› | <∈. Para evaluar la convergencia de un mĂŠtodo de aproximaciones sucesivas se evalĂşa la diferencia en valor absoluto de las Ăşltimas aproximaciones. Esto es, si sucede que |đ?‘Ľđ?‘› − đ?‘Ľđ?‘›âˆ’1 | < |đ?‘Ľđ?‘›âˆ’1 − đ?‘Ľđ?‘›âˆ’2 | entonces el mĂŠtodo converge. Un sistema se dice estable si para pequeĂąos cambios en los datos de entrada hay pequeĂąos cambios en los valores de salida. Cuando usamos el mĂŠtodo de aproximaciones sucesivas, la estabilidad de un mĂŠtodo tambiĂŠn se determina por el comportamiento de la curva de error absoluto đ?‘’đ?‘Ž . Esto es, si al aumentar el nĂşmero de iteraciones đ?‘› el error đ?‘’đ?‘Ž se incrementa de forma lineal entonces se tiene un mĂŠtodo estable. Pero si el crecimiento es exponencial, entonces el mĂŠtodo es inestable (Mathews, J., 2004). Ejemplo 09: Se digitalizĂł una secciĂłn de riùón de ratĂłn donde se observa la corteza renal. La imagen se muestra a continuaciĂłn.

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MĂŠtodos numĂŠricos AproximaciĂłn numĂŠrica y errores

Figura 16. Imagen đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) de riùón de ratĂłn vista con un objetivo de microscopio de 2.5X en campo brillante, luz transmitida y đ??´đ?‘› = 0.16. Imagen tomada en el Laboratorio de Ă“ptica de la UPT.

Representar la funciĂłn imagen đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) en tĂŠrminos de una serie de funciones sin(đ?‘›đ?‘Ľ)sin(đ?‘›đ?‘Ś) como, (Zill, D., 2009), đ?‘

đ??ż

đ?‘“đ?‘…đ?‘’đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘˘đ?‘–đ?‘‘đ?‘Ž (x, y) = ∑ ∑ Anâ„“ sen(nx)sen(ly) n=0 l=0

= đ??´0,0 đ?‘ đ?‘’đ?‘›(0đ?‘Ľ)đ?‘ đ?‘’đ?‘›(0đ?‘Ś) + đ??´0,1 đ?‘ đ?‘’đ?‘›(0đ?‘Ľ)đ?‘ đ?‘’đ?‘›(1đ?‘Ś) + â‹Ż + đ??´0,đ?‘™ đ?‘ đ?‘’đ?‘›(0đ?‘Ľ)đ?‘ đ?‘’đ?‘›(đ?‘™đ?‘Ś) + +đ??´1,0 đ?‘ đ?‘’đ?‘›(1đ?‘Ľ)đ?‘ đ?‘’đ?‘›(0đ?‘Ś) + đ??´2,0 đ?‘ đ?‘’đ?‘›(0đ?‘Ľ)đ?‘ đ?‘’đ?‘›(2đ?‘Ś) + â‹Ż + đ??´đ?‘›,đ?‘™ đ?‘ đ?‘’đ?‘›(đ?‘›đ?‘Ľ)đ?‘ đ?‘’đ?‘›(đ?‘™đ?‘Ś) + â‹Ż donde đ??´đ?‘›,đ?‘™ son los đ?‘ Ă— đ??ż coeficientes. SoluciĂłn Los coeficientes đ??´đ?‘›,đ?‘™ son calculados como, (Zill, D., 2009), đ?‘‹

đ?‘Œ

Ađ?‘›,đ?‘™ = ∑ ∑ f(x, y) sen(nx)sen(ly) x=0 y=0

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MĂŠtodos numĂŠricos AproximaciĂłn numĂŠrica y errores

donde đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) es la imagen original, đ?‘“đ?‘…đ?‘’đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘˘đ?‘–đ?‘‘đ?‘Ž (x, y) es la imagen reconstruida o recuperada. Los resultados de reconstrucciĂłn usando el mĂŠtodo de aproximaciones sucesivas se muestran a continuaciĂłn.

Figura 17. ReconstrucciĂłn de la funciĂłn imagen đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) usando (a) 100 coeficientes, (b) 60, (c) 40 y (d) 20.

Una forma de evaluar el mĂŠtodo de aproximaciones sucesivas para la reconstrucciĂłn de imĂĄgenes es comparando la imagen exacta con la imagen aproximada.

Figura 18. Error de reconstrucciĂłn entre la imagen exacta y la imagen aproximada. Conforme aumentamos el nĂşmero de coeficientes el error decrece. Lo anterior nos indica que el mĂŠtodo de aproximaciones sucesivas implementado es convergente.

1.3.3. MĂŠtodo iterativo: Polinomio de Taylor Un mĂŠtodo para expresar funciones de forma aproximada a travĂŠs de polinomios es mediante la serie de Taylor. Es decir, con la serie de Taylor es posible predecir el valor de una funciĂłn y sus derivadas en un punto.

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MĂŠtodos numĂŠricos AproximaciĂłn numĂŠrica y errores

Si una funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) posee derivadas continuas hasta orden đ?‘› en el punto đ?‘Ľ = 0, con đ?‘› ≼ 1, se buscarĂĄ un polinomio đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) que coincida con đ?‘“(đ?‘Ľ) y con sus đ?‘› primeras derivadas en đ?‘Ľ = 0. Para ello, el polinomio deberĂĄ de ser al menos de đ?‘› − ĂŠđ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘œ grado como đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘Ž2 đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ž3 đ?‘Ľ 3 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ľ đ?‘› donde đ?‘Žđ?‘– , đ?‘– = 0,1, . . đ?‘› son los coeficientes del polinomio. DespuĂŠs de derivar y evaluar la funciĂłn en el punto đ?‘Ľ = đ?‘Ž, la ecuaciĂłn queda como, (Iriarte, R., .2003), đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = ∑đ?‘›đ?‘˜=0

(đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ž)đ?‘˜ đ?‘˜!

đ?‘“ đ?‘˜ (đ?‘Ž).

Esta es la expresiĂłn del polinomio de Taylor de grado đ?‘› generado por đ?‘“(đ?‘Ľ) en el punto đ?‘Ž. Ejemplo 10: Determinar el polinomio de Taylor de grado đ?‘› de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘’ đ?‘Ľ en el punto đ?‘Ľ = 0. SoluciĂłn: El polinomio de Taylor đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) de grado đ?‘› para una funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) estĂĄ dado por la expresiĂłn, (Burden, R., 2001), đ?‘›

đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = ∑ đ?‘˜=0

đ?‘“ đ?‘˜ (0) đ?‘˜ đ?‘Ľ đ?‘˜!

đ?‘“ ′′ (0) 2 đ?‘“ đ?‘› (0) đ?‘› ′ (0)đ?‘Ľ = đ?‘“(0) + đ?‘“ + đ?‘Ľ + â‹Ż+ đ?‘Ľ 2! đ?‘›! y dado que la derivada đ?‘› − ĂŠđ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘Ž de la funciĂłn es, đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘“ ′(đ?‘Ľ) = đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘“ đ?‘› (đ?‘Ľ) = đ?‘’ đ?‘Ľ entonces, đ?‘?(đ?‘Ľ) =

1 0 đ?‘’0 1 đ?‘’0 2 đ?‘’0 đ?‘Ľ + đ?‘Ľ + đ?‘Ľ + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘› 0! 1! 2! đ?‘›! 1

1

đ?‘Ľđ?‘˜

đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = 1 + đ?‘Ľ + 2! đ?‘Ľ 2 + â‹Ż + đ?‘›! đ?‘Ľ đ?‘› = ∑đ?‘›đ?‘˜=0 đ?‘˜! , en donde cada derivada de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) ha sido evaluada en đ?‘Ľ = 0.

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MĂŠtodos numĂŠricos AproximaciĂłn numĂŠrica y errores

Ahora vamos a evaluar la eficiencia del mĂŠtodo para aproximarse a una funciĂłn soluciĂłn. La comparaciĂłn se harĂĄ con una expresiĂłn analĂ­tica.

Ejemplo 11: Analicemos nuevamente el gran tanque mezclador, cuya ecuaciĂłn diferencial para determinar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo đ?‘Ą es, đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘Ľ

= 6 − (100),

o bien, đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ľ + (100) đ?‘‘đ?‘Ą

= 6.

SoluciĂłn: La ecuaciĂłn diferencial anterior, requiere de un factor integrante para volverla exacta. El đ?‘Ą

factor integrante es đ?‘’ −100 , al multiplicar a la ecuaciĂłn por este factor, separar variables e integrar, resulta đ?‘Ą

đ?‘Ľ(đ?‘Ą) = 600 − 550đ?‘’ −100 Si usamos la serie, đ?‘›

đ?‘’

−đ?‘Ą

=∑ đ?‘˜=0

(−đ?‘Ą)đ?‘˜ đ?‘˜!

entonces tendremos aproximaciones a la soluciĂłn conforme aumentamos el nĂşmero de datos en la serie como, đ?‘›

đ?‘“(đ?‘Ą) = 600 − 500 ∑ đ?‘˜=0

(−đ?‘Ąâ „100)đ?‘˜ đ?‘˜!

La evaluaciĂłn de la funciĂłn đ?‘’ −đ?‘Ą y sus aproximaciones usando đ?‘› tĂŠrminos se muestran en el siguiente esquema.

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Figura 19. Las curvas discontinuas son sucesivas aproximaciones a la funciĂłn continĂşa đ?‘Ľ(đ?‘Ą) usando đ?‘› = 0,1, . . ,4 tĂŠrminos. Como se observa, el mĂŠtodo converge rĂĄpidamente a la curva soluciĂłn.

La funciĂłn đ?‘Ľ(đ?‘Ą) es la curva continĂşa, mientras que las funciones đ?‘“(đ?‘Ą), curvas discontinĂşas, y son las aproximaciones sucesivas. Cuando usamos đ?‘› = 0 tĂŠrminos, tenemos una recta constante, pero conforme đ?‘› se incrementa, la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ą) se aproxima a đ?‘Ľ(đ?‘Ą). Como te has dado cuenta, los mĂŠtodos de aproximaciones sucesivas y la representaciĂłn de funciones usando funciones trigonomĂŠtricas o polinomios son frecuentemente usadas en la soluciĂłn de diversos problemas de ingenierĂ­a. Por tanto, siempre es necesario un anĂĄlisis de convergencia del mĂŠtodo empleado.

Actividades La elaboraciĂłn de las actividades estarĂĄ guiada por tu docente en lĂ­nea, mismo que te indicarĂĄ, a travĂŠs de la PlaneaciĂłn didĂĄctica del docente en lĂ­nea, la dinĂĄmica que tĂş y tus compaĂąeros (as) llevarĂĄn a cabo, asĂ­ como los envĂ­os que tendrĂĄn que realizar. Para el envĂ­o de tus trabajos usarĂĄs la siguiente nomenclatura: BEDI_U1_A1_XXYZ, donde BEDI corresponde a las siglas de la asignatura, U1 es la unidad de conocimiento, A1 es el nĂşmero de actividad, el cual debes sustituir considerando la Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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actividad que se realices, XX son las primeras letras de tu nombre, Y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno.

Autorreflexiones Para la parte de autorreflexiones debes responder las Preguntas de Autorreflexión indicadas por tu docente en línea y enviar tu archivo. Cabe recordar que esta actividad tiene una ponderación del 10% de tu evaluación. Para el envío de tu autorreflexión utiliza la siguiente nomenclatura: BEDI_U1_ATR _XXYZ, donde BEDI corresponde a las siglas de la asignatura, U1 es la unidad de conocimiento, XX son las primeras letras de tu nombre, y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno

Cierre de la unidad A lo largo de esta unidad has podido adentrarte en los conceptos de incertidumbre, exactitud, error relativo, error absoluto, cifra significativa y precisión. Un tema que resulta interesante es el de análisis de error y su propagación. Como se mencionó, los errores numéricos surgen al llevar a cabo aproximaciones en las operaciones, por lo que se ha hecho una clasificación en esta unidad del tipo de errores que podemos encontrar. También se han resuelto algunos problemas con la idea de cuantificar algunos de estos parámetros. Se ha revisado el método de aproximaciones sucesivas y los conceptos de estabilidad asociado al comportamiento de una curva, asimismo se ha comentado la convergencia de una serie, tal como la serie de Taylor. A continuación se muestra la relación entre los conceptos estudiados a lo largo de la Unidad.

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Figura 20. Esquema de los conceptos y mĂŠtodos numĂŠricos estudiados.

Hasta ahora hemos estudiado mĂŠtodos de soluciĂłn numĂŠrica y anĂĄlisis de error. Con estas herramientas podrĂĄs abordar adecuadamente problemas de la biotecnologĂ­a como fue el caso de los intercambiadores de calor, los cultivos de levadura o el crecimiento bacterial. En la siguiente Unidad implementaremos tĂŠcnicas de soluciĂłn de ecuaciones algebraicas de la forma đ?‘“(đ?‘Ľ) = 0. Los mĂŠtodos numĂŠricos y grĂĄficos te permitirĂĄn abordar con ĂŠxito una gran variedad de problemas de la ciencia y la ingenierĂ­a.

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Para saber más

Para saber más se recomiendan las siguientes fuentes de información electrónica de video: 1. Diferencia entre exactitud y precisión Para reforzar los conceptos de precisión y exactitud. 2. Cifras significativas Para reforzar los conceptos de cifras significativas. 3. Aproximaciones de números decimales, errores y notación científicamp4 Para reforzar los conceptos de error absoluto, relativo, error por redondeo y truncamiento. 4. Aproximaciones sucesivas o punto fijo Para reforzar los conceptos de aproximaciones sucesivas a la solución y un análisis de error. 5. Series de Taylor (Maclaurin) Parte 1 Para reforzar el aprendizaje del método de polinomio de Taylor 6. Crear funciones, ecuaciones y graficar Para reforzar el aprendizaje de Mathcad 7. 2 Creación de funciones en MATLAB Para reforzar el aprendizaje de Matlab

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Fuentes de consulta

Chapra S. (2010). Métodos Numéricos para ingenieros. México: Mc GrawHill. (Capítulo 1: Modelos matemáticos y solución de problemas de ingeniería, Sección 1). Este texto es muy recomendable, sobre todo para la aplicación de los métodos numéricos en problemas de las ciencias e ingeniería. Los problemas que se realizan en esta unidad tienen un grado importante de complejidad, por lo que este texto se recomienda para esta parte del curso. Se asume que reproducirás los problemas en el cuaderno de notas y llevarás tu propio registro de los problemas realizados. Iriarte, R. (2003). Métodos Numéricos. México, D. F: Trillas. (Capítulo 1: Aproximación numérica, Sección 3) Este texto cuenta con una explicación muy concisa y directa de los temas expuestos. Se recomienda para consulta rápida. Requiere de habilidades en cálculo y algebra básica. Mathews, J., Fink K. (2004). Métodos Numéricos con MATLAB. España: Prentice Hall. (Capítulo 1: Preliminares) Este es un libro muy adecuado si tienes acceso a un entorno de desarrollo como Matlab, aunque no necesariamente el uso de este texto requiera estrictamente tener que programar en este lenguaje. La teoría es muy formal en este libro, lo que garantiza la exactitud de los métodos estudiados. Burden, R., Douglas J., (2001). Análisis Numérico. México: CENGAGE Learning.. (Capítulo 1: Preliminares matemáticos) En este libro encontrarás un análisis formal de los conceptos estudiados así como pseudocódigo de los métodos numéricos estudiados para ser implementados en el entorno de programación de tu preferencia. Dennis G. Zill, (2009). Ecuaciones Diferenciales. Tercera Edición. MacGraw Hill. (Capítulo 1: Introducción a las ecuaciones diferenciales) Es un texto sobre matemáticas avanzadas para ingeniería. En él encontrarás un compendio de proyectos de ciencia e ingeniería.

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