Unidad 1. Conceptos generales de ingeniería de control de procesos

Programa de la asignatura:

Ingeniería de control de procesos

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Conceptos generales de ingeniería de control de procesos

Ciencias de la Salud Biológicas y Ambientales | Ingeniería en Biotecnología

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Ingeniería de control de procesos Conceptos generales de ingeniería de control de procesos

Índice Presentación de la Unidad ........................................................................................................ 2 Propósitos de la Unidad ............................................................................................................ 3 Competencia específica ............................................................................................................ 3 1.1. Definición y conceptos de ongeniería de control de procesos........................................... 4 1.1.1. Simbología y diagrama de bloques ................................................................................. 7 1.1.2. Sistema de control: entrada, salida, sistemas abiertos, variables y funciones………...13 1.2. Tipos de sistemas……………………………………………………………………………….19 1.2.1. Métodos gráficos………….…………………………………………………………………..21 1.2.2. Método del modelo de referencia……………………………………………………….…..24 1.2.3. Método de mínimos cuadrados…………………………………………………………..….27 1.3. Modelación dinámica de sistemas de control .................................................................. 30 1.3.1. Sistemas de primer orden……………………………………………................................31 1.3.2. Sistemas de sengundo orden……………………………………………………….………34 1.3.3. Sistemas de orden superior…………………………………………………………………35 Actividades .............................................................................................................................. 37 Autorreflexiones....................................................................................................................... 38 Cierre de la Unidad ................................................................................................................. 38 Para saber más ....................................................................................................................... 38 Fuentes de consulta ................................................................................................................ 39

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Presentación de la Unidad En esta asignatura conocerás los fundamentos de la ingeniería de control, misma que actualmente desempeña un papel vital en el avance de la ciencia.

Además, es de gran importancia en sistemas espaciales, robóticos, y el sistema de control se ha convertido en una parte importante e integral en los procesos industriales y de fabricación. Se puede mencionar que el sistema de control es esencial en el control numérico de las máquinas y herramientas de las industrias de manufactura, como lo es también el diseño de sistemas de piloto automático en la industria aeroespacial y el control de presión, temperatura, humedad, viscosidad y flujo en las industrias de procesos.

Los conceptos fundamentales de esta Unidad son de vital importancia para el (la) futuro(a) ingeniero(a), ya que te permiten adquirir la capacidad de aplicar su instrumentación en procesos de producción industrial para realizar las mediciones de las diferentes variables físicas que intervienen en dicho proceso. A su vez, te permitirán emplear la energía utilizando control de procesos, tipos de sistemas, simbología, diagramas de flujo y elementos finales de control.

En la primera Unidad se analizan los conceptos básicos en el campo de ingeniería de control de procesos, la variables principales, elementos, instrumentos de medición, la forma en que se determinan los errores de medición, y finalmente, la simbología empleada para la interpretación correcta de los instrumentos utilizados en este campo, tales como la modelación dinámica y los tipos de sistemas conocidos.

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Propósitos de la Unidad

    

Al finalizar esta Unidad podrás revisar, analizar y aplicar los siguientes conceptos: sistema, control, simbología y diagrama de flujo, así como los tipos de sistemas.

Establecer la influencia de la modelación dinámica de un sistema de control.

Comparar los métodos gráficos, de modelo de referencia y de mínimos cuadrados.

Comprenderás los principios de ingeniería de control de procesos.

Mediante el conocimiento, análisis y aplicación de los conocimientos de la Unidad 1 podrás manejar los fundamentos para los procesos en los que se utilicen de manera responsable los sistemas de control.

Competencia específica

Comparar los sistemas de control de lazo cerrado y abierto mediante el análisis de casos, identificando parámetros específicos definiendo el modelo matemático de control según sea el caso.

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1.1. Definiciones y conceptos de ingeniería de control de procesos En la era primitiva, los seres humanos sólo cazaban y recolectaban los alimentos de forma manual; aprovechaban las cuevas como viviendas y vivían esencialmente de la naturaleza. Fue desde entonces que el hombre comenzó a fabricar las primeras herramientas de trabajo. Con el paso del tiempo desarrolló la agricultura, la ganadería, y esta organización del trabajo generó la necesidad de facilitar e innovar para lograr más productividad y disminuir esfuerzos.

Uno de los primeros sistemas de control es el dispositivo de Herón de Alejandría en el siglo 1 D.C. para la apertura de puertas en un templo. Como se puede observar el la figura 1, la señal de mando del sistemas era el encendido del fuego: el aire se calentaba y se dilataba, provocando el traslado de agua de un tanque de depósito a una cuba; cuando el peso aumentaba, la cuba descendía y abría la puerta del templo por medio de una cuerda, dando lugar a que subiera el contrapeso. La puerta podía cerrarse apagando o disminuyendo el fuego.

Figura 1. Dispositivo de Herón. Serres M. (1991).

Otro ejemplo es el sistema de control que construyó James Watt en 1778, el cual es un control automático utilizado para el control de velocidad de una máquina de vapor.

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Observa la siguiente figura:

Figura 2. Máquina de vapor de James Watt Marshall T. (2001).

Más tarde, en 1922, otro gran científico contribuyó al desarrollo de la ingeniería de sistemas de control: Minorsky, quien trabajó en centrales automáticas de dirección de barcos y mostró cómo se podía determinar la estabilidad a partir de las ecuaciones diferenciales. Posteriormente, en 1932, Nyquist desarrolló un procedimiento relativamente simple para determinar la estabilidad de los sistemas de lazo cerrado sobre la base de la respuesta de lazo abierto.

En 1934 Hazen publicó el artículo “Teoría de servomecanismos”, donde relacionó los dispositivos de control automático, invento que marcó el principio de esta nueva actividad y el principio de la ingeniería de control. ¿Qué es la ingeniería de control de procesos?

Un sistema de control es representado por un conjunto de componentes físicos que se relacionan de manera tal que regulan y dirigen su función por sí mismos; es decir, sin intervenciones de agentes externos, corrigiendo las perturbaciones que se presentan cuando éstos funcionan. Un ejemplo de un sistema de control se encuentra en la siguiente figura, donde encontrarás un reactor que es controlado por un software que, a su vez, controla las entradas y salidas de este sistema, así como las variables que se involucran en este proceso (Pérez, et al, 2008).

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Figura 3. Servi Dynamics (2012).

Actualmente, cualquier mecanismo, sistema o planta industrial, presenta un actuador, que corresponde al sistema físico que realiza la acción, y otra parte de mando o control que genera las órdenes necesarias para que esta acción se lleve a cabo.

Ogata, K. (2004) menciona: “Un ejemplo de funcionamiento de un sistema de control es un tirador de arco, el tirador mira a la diana, apunta y dispara. Si el punto de impacto resulta bajo, en el próximo intento levantará más el arco; si la flecha va alta, en la siguiente tirada bajará algo más el arco; y así sucesivamente, hasta que consiga la diana.

El tirador seria el elemento de mando."

Desde la década de los 50 se orientó el interés en el proyecto de diseño de sistemas óptimos en algún sentido determinado, como lo son las plantas modernas con muchas entradas y salidas, que se van haciendo cada vez más complejas, por lo que la descripción de un sistema moderno de control requiere una gran cantidad de ecuaciones donde se describan las variables que afectan el sistema.

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Los sistemas de control se clasifican en dos tipos: 

Clásico: conduce sistemas estables que satisfacen un conjunto más o menos arbitrario de requisitos de comportamientos. En general, estos sistemas son aceptables pero no óptimos desde ningún punto de vista. Es relevante recordar que el control clásico hace métodos de regulación tales como sistemas mecánicohidráulicos, neumáticos o eléctricos y electrónicos. Una de las características principales del control clásico es que todas las señales son continuas y que los sistemas son lineales; en dado caso que no lo fuesen, se linealizan, pues este sistema se conforma de una variable, y lo más relevante, es invariante en el tiempo.



Moderno: la teoría moderna del control se basa en el análisis en el dominio del tiempo y la síntesis a partir de variables de estados. Se ha desarrollado para manejar la creciente complejidad de las plantas modernas y los requisitos cada vez más exigentes sobre precisión, peso y coste en aplicaciones militares, espaciales e industriales (Ogata, K. 2004). El control moderno es diferente al clásico. Desde que se inició con sistemas digitales, un procesador es hoy en día la herramienta del control moderno, originando la posibilidad de implementar controles de sistemas no lineales y con varias variables. Este sistema moderno se forma a partir de varias ramas de estudio, siendo las más importantes, el control adaptativo, el control robusto y el control inteligente (Torres, M. 2013).

SISTEMAS DE CONTROL

CONTROL CLASICO

CONTROL MODERNO

Figura 4. División de control.

1.1.1. Simbología y diagrama de bloques En la ingeniería de control existe básicamente una manera de representar los elementos que intervienen en los sistemas o procesos, la cual incluye los puntos de bifurcación y los diagramas de bloques.

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Los punto de bifurcación se emplean para aquellas señales de Laplace que atacan varias funciones de transferencia; las flechas representan la dirección de la información o flujo de la señal; las operaciones de adición y sustracción tienen una representación especial; el bloque se convierte en un pequeño círculo llamado punto suma, con el signo apropiado, más o menos, asociado con las flechas que entran en círculo; la señal de salida es la suma algebraica de las entradas (Cortés, et al 2012). En algunas ocasiones se encontrará una cruz dentro del círculo, pero esta notación se evitará aquí porque algunas veces se confunde con la operación de multiplicación. Para hacer que la misma señal o variables sean una entrada a más de un bloque de punto de suma, se utiliza un punto de bifurcación, lo que permite que la señal prosiga inalterada por diferentes trayectorias a varios destinos. Observa la siguiente figura.

F1 F

F

F2

F= F1+F2-F3

F F3

Figura 5. Puntos de bifurcación.

Los sistemas de control van a estar formados por conjuntos de elementos interrelacionados, capaces de realizar una operación predeterminada. La representación de estos sistemas se realiza por medio de los llamados diagramas de bloques, los cuales están formados por cajas negras donde se colocan el nombre y la descripción del elemento o la operación matemática que se ejecuta sobre la entrada para obtener la salida.

Los diagramas de bloques son una representación gráfica y abreviada de la relación de causa y efecto entre la entrada y la salida de un sistema físico. Proporcionan un método útil y conveniente para caracterizar las relaciones funcionales entre los diversos componentes de un sistema de control. Los componentes del sistema se llaman, de manera alterna, elementos del sistema, y la forma más simple de un diagrama de bloques es un solo bloque, con una entrada y salida, como se observa en la siguiente figura.

En el sistema de diagrama de bloques se ofrece una representación simplificada de las relaciones entre la entrada y la salida de los sistemas físicos. Observa la siguiente figura, que es un diagrama muy sencillo que consta de una sola entrada y una sola salida.

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Entrada

Salida Sistema

Figura 6. Diagrama de bloques

Cada bloque es una representación gráfica de la relación causa y efecto existente entre la entrada y la salida de un sistema físico (figura anterior).

La relación entre estos bloques constituye un sistema mediante fichas que indican el sentido del flujo de la información. Estos diagramas permiten efectuar operaciones de adición y de sustracción, representadas mediante un círculo, cuya salida es la suma algebraica de las entradas, teniendo en cuenta sus signos correspondientes. La relación de entrada y salida es la representación gráfica donde las flechas indican la dirección y el vector que representan. Observa la siguiente figura:

Figura 7. Relaciones de entrada y salida (Uriarte, J. 2011).

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Figura 8. Simbología básica de control (Johnson, C. 2005).

Los símbolos son representaciones graficas de la realidad que tienen por objetivo ser conocidos y crear normas universales. Todos los diagramas de control de procesos están compuestos de símbolos identificables y líneas para la representación gráfica de ideas, conceptos y aparatos involucrados.

Dichos símbolos representan en forma gráfica las ideas, conceptos y aparatos involucrados en el proceso; y, a su vez, describen funciones. El simbolismo es un proceso abstracto en el cual las características salientes de los dispositivos o funciones son representadas de forma simple por figuras geométricas como círculos, rombos, triángulos

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y otros para escribir caracteres como letras y nĂşmeros, e identificando la ubicaciĂłn y el tipo de instrumento.

En ingenierĂ­a de control de procesos, los diagramas de bloques son de mucha utilidad, porque permiten representar con un bloque un componente de que consta el sistema de control global. Se puede definir un diagrama de bloques como una representaciĂłn mediante bloques del sistema, donde se indican las relaciones entre bloques mediante los flujos de seĂąales.

Gracias al diagrama de bloques se tiene una idea global del conjunto y la comunicaciĂłn de las seĂąales entre los distintos componentes. Cada uno de los componentes puede identificarse mediante su funciĂłn de transferencia. Observa el siguiente diagrama:

Figura 9. Diagrama de bloques con las funciones de transferencia de cada componente.

GonzĂĄlez A.G. (2005).

En la figura anterior cada uno de los bloques se ve representado mediante su funciĂłn de transferencia, la cual expresa la relaciĂłn entre la variable de entrada con la de salida, asĂ­ como las funciones de transferencia para el controlador, actuador o proceso, y finalmente el sensor para representar estas variables de la siguiente forma: đ?‘ˆ(đ?‘ ) đ??¸(đ?‘ ) đ??´đ?‘? (đ?‘ ) đ??şđ?‘Žđ?‘? (đ?‘ ) = đ?‘ˆ(đ?‘ ) đ?‘Œ(đ?‘ ) đ??şđ?‘† (đ?‘ ) = đ??´đ?‘? (đ?‘ ) đ?‘Œđ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘ (đ?‘ ) đ??ť(đ?‘ ) = đ?‘Œ(đ?‘ ) đ??şđ??ś (đ?‘ ) =

Una vez identificadas las variables antes mencionadas, se podrĂĄ definir la funciĂłn de transferencia de la trayectoria directa como: Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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đ??şđ?‘Ąđ?‘‘ (đ?‘ ) = đ??şđ?‘’ (đ?‘ )đ??şđ?‘Žđ?‘? (đ?‘ )đ??şđ?‘ (đ?‘ ) =

đ?‘Œ(đ?‘ ) đ??¸(đ?‘ )

Y la funciĂłn de transferencia del bucle abierto queda representada por: đ??şđ?‘?đ?‘Ž (đ?‘ ) = đ??şđ?‘? (đ?‘ )đ??şđ?‘Žđ?‘? (đ?‘ )đ??şđ?‘ (đ?‘ )đ??ť(đ?‘ ) = đ??şđ?‘?đ?‘Ž (đ?‘ )đ??ť(đ?‘ ) =

đ?‘Œđ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘ (đ?‘ ) đ??¸(đ?‘ )

Es comĂşn que del anĂĄlisis de un sistema resulte un diagrama de bloques donde no sea inmediato obtener la funciĂłn de transferencia del sistema de lazo abierto o cerrado. En este caso, es preciso seguir una serie de reglas con las que es posible reducir el diagrama de bloques a una Ăşnica funciĂłn de transferencia que serĂĄ funciĂłn de todas las que aparecen en el diagrama.

Existen tres tipos de configuraciones bĂĄsicas. Observa la siguiente figura:

G1(s) G1(s)

G1(s)

G2(s)

Serie

G2(s)

G1(s)

Paralelo Bucle Cerrado

Figura 10. Configuraciones bĂĄsicas de agrupaciĂłn de bloques.



La funciĂłn de transferencia en serie resulta del producto de cada uno de los bloques. đ??ş(đ?‘ ) = đ??ş1(đ?‘ ) ∗ đ??ş2(đ?‘ )



La funciĂłn de transferencia en paralelo es la es suma resultante de las funciones de cada uno de los bloques. đ??ş(đ?‘ ) = đ??ş1(đ?‘ ) + đ??ş2(đ?‘ )

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

La funciĂłn de transferencia resultante se calculĂł anteriormente, donde es usual que la funciĂłn de realimentaciĂłn H(s) serĂĄ la unidad. đ??şđ?‘?đ?‘? (đ?‘ ) =

đ??ş(đ?‘ ) 1 + đ??ş(đ?‘ )đ??ť(đ?‘ )

Para simplificar la reducción de un diagrama de bloques, es posible trasladar un bloque al otro lado de un punto de suma o de ramificación donde se cumplan las siguientes condiciones:  

El producto de las funciones de transferencia a lo largo de todas la trayectorias directas debe ser el mismo que antes de la traslaciĂłn El producto de las funciones de transferencia a lo largo de todos los boques debe ser el mismo que antes de la traslaciĂłn.

Figura 11. TraslaciĂłn de bloques respetando las trayectorias directas GonzĂĄlez A.G. (2005).

1.1.2. Sistemas de control: entrada, salida, sistemas abiertos, variables y funciones ÂżQUE ES UN SISTEMA?

Un sistema de ingenierĂ­a de control es un conjunto de componentes que pueden regular su propia conducta a la de otros sistemas con el fin de lograr el funcionamiento predeterminado, de modo que se reduzcan las probabilidades de fallos y se obtengan los resultados buscados.

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Figura 12. Soluciones integrales (2013).

Los sistemas de control son una fuente importante para el campo interdisciplinario de la ingeniería y las matemáticas que trata con el comportamiento de sistemas dinámicos.

SALIDA

ENTRADA

SISTEMA

PERTURBACION

Figura 13. Características del sistema.

Un sistema posee características elementales entre las que puede mencionarse la variable de entrada, que es seleccionada de tal manera que se utiliza para la excitación del sistema (fuente de corriente para que el proceso funcione o se active), lo que modifica su magnitud o condición alterando el estado de todo el sistema. Y la variable de salida es utilizada para analizar los efectos que produjo una excitación en la entrada del sistema cuya magnitud o condición es medible (Pérez, M.A., et al, 2008).

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Un sistema, después de que se excita, produce una perturbación dentro de ella, la cual es una señal que afecta el valor de la salida del sistema. Si dicha perturbación se genera dentro del sistema, se la denomina interna, mientras que otra perturbación se genera fuera del sistema y constituye una entrada al sistema.

Un ejemplo de sistema es un motor, el cual es una máquina que transforma la energía química presente en los combustibles en energía mecánica disponible en su eje de salida.

En la siguiente figura se puede observar un diagrama de bloques donde se definen las variables de entrada del sistema, tensión de armadura, y las variables de salida, velocidad de giro del eje y posición del eje. Durante su funcionamiento, este motor presenta perturbaciones que influyen en el sistema; este tipo de perturbaciones son: la temperatura y el par de carga interna, lo que provocará que no sea un sistema de control lineal.

Motor de control interno Variables de entrada: Tensión de armadura

Perturbaciones: Externa: par de carga Interna: temperatura dentro del motor

Variables de salida: Velocidad de giro del eje.

Posición del eje

Figura 14. Diagrama de flujo de un motor de combustión interna.

Ya conoces un sistema, pero ahora: ¿Qué es un sistema de control?

Ya puedes analizar sistemas dentro de un proceso, ahora imagínate ese sistema controlado por un dispositivo que actúa en conjunto con el sistema para lograr un objetivo de control. Observa la siguiente figura:

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Perturbación

Objetivo de control

Sistema de control

Salida

Entrada

sistema

Figura 15. Sistema de control.

En un sistema de control, la entrada es una variable del sistema controlado que se elige de modo tal que, mediante su manipulación, se logra que el sistema cumpla un objetivo determinado. Las variables de entrada son variables que ingresan al sistema y no dependen de ninguna otra variable interna del mismo.

La salida de un sistema de control, es una variable del sistema controlado que se elige mediante el estudio y análisis del sistema si cumple o no con los objetivos propuestos.

Más adelante se verá que los sistemas con realimentación contribuyen a realizar el control propuesto.

Se pueden mencionar dos tipos de sistemas de control, mismos que se describirán a continuación, así como sus características fundamentales. a) Sistema de control en lazo abierto. Este sistema de control la salida ni se mide ni se realimenta para compararla con la entrada. Los sistemas de lazo abierto son sistemas de control en los que la salida no tiene efecto sobre la señal o acción de control. Observa la siguiente figura, donde encontrarás la implementación de un sistema de control de este tipo.

Señal de control

Controlador

Salida

Proceso o planta controlado

Entrada de referencia

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Figura 16. Sistema de control en lazo abierto.

Un sistema de lazo abierto, como se observa en la figura 10, está dividido en dos partes: el controlador y el proceso controlado. Se requiere de una entrada o comando en el controlador, cuya salida actúa como señal de control, la cual regula el proceso controlado de tal forma que la variable de salida o variable controlada desempeñe de acuerdo a ciertas especificaciones o estándares establecidos.

Los sistemas abiertos pueden utilizar como amplificador un controlador, el cual puede ser una unión mecánica, filtro u otro elemento. Se puede mencionar como un ejemplo claro, una computadora como microprocesador. En este sistema no se compara la salida con la entrada de referencia, por lo que a la entrada de referencia corresponde una condición de operación fija. En el mercado existen sistemas económicos con fallas que los hacen inexactos e insensibles a las perturbaciones; dichos sistemas son únicamente utilizados en sistemas donde se usa, sólo si se conoce, la relación entrada y de salida, y no existen perturbaciones internas ni externas de ningún tipo.

Recuerda que las perturbaciones representan señales no deseadas que influyen de formas adversas al funcionamiento del sistema o proceso, y producen fallas o errores en el sistema.

Hoy en día se puede encontrar una variedad de sistemas de lazo abierto que cumplen con una función útil, como lo son las máquinas automáticas para lavado de ropa, que son un dispositivo con controles de lazo abierto donde las variables de entrada y salida son el grado de suciedad que posee la ropa y el grado de limpieza con el que sale. El lavado de la ropa se programa por una serie de operaciones de tiempo fijo como el lavado, enjuague, centrifugado, etc., que son la calibración de la máquina. b) Sistema de control de lazo cerrado Ahora se abordarán los sistemas de control de lazo cerrado, donde la salida o señal controlada debe ser realimentada y comparada con la entrada de referencia, y se debe enviar una señal actuante o acción de control proporcional a la diferencia entre la entrada y la salida a través del sistema para disminuir el error y corregir la salida.

Este sistema de control de lazo cerrado, donde la señal de salida tiene efecto directo sobre la acción de control, es un sistema de control retroalimentado. Existe una diferencia entre la señal de entrada y señal de salida, a la que se le denomina error del sistema; este error es una señal que actúa sobre el sistema de modo de llevar la salida a un valor

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deseado. En la siguiente figura podrás encontrar la relación que existe entre la entrada y salida (Ogata, K. 2004).

Señal de error

Entrada de referencia

Planta o proceso controlador

Controlador

Salida

Señal de realimentación

Elemento de regulación

Figura 17. Sistema de control de lazo cerrado.

El alumbrado público es un sistema de control de lazo cerrado. Este sistema tiene como principal objetivo mantener al mínimo la iluminación en las calles, al menor costo. Para lograr este objetivo se pueden proponer dos soluciones: encender los focos del alumbrado a la hora que comienza a oscurecer, y apagarlos cuando amanece, por lo que se programa encenderlos a las 20 horas y apagarlos a las 7:00 am. En este sistema, la entrada es independiente de la salida; es un mecanismo simple y económico de llevar a cabo. Otra manera de realizarlo es con el uso de fotoceldas para detectar la cantidad de iluminación y, de acuerdo con esto, encender o apagar. En este ejemplo pueden observarse las variables de entrada, las cuales son la cantidad de luz en las calles, las que se comparan con la señal de salida, donde la señal del error genera acciones para que funcione el interruptor y el alumbrado público se apague a determina hora.

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Figura 18. Sistema de alumbrado público. Smart Lighti (2012).

Para concluir este tema, recuerda la importancia de saber que en todo proceso vas a encontrar perturbaciones y variables que pueden afectar la señal de salida, por lo que deben existir ciertas estrategias de control para asegurar una estabilidad en el proceso.

Recuerda que no todos los procesos son iguales; por el contrario, cada uno tiene sus propias variables y perturbaciones, pero siempre tienen algo en común: hay una señal de entrada, un sistema, y una señal de salida, la cual siempre se desea que sea óptima, y la mejor forma de obtenerla es controlando el proceso. Para el control de procesos se cuenta con dos tipos de estrategias muy diferentes entre sí, y el proceso será quien ayude a determinar qué estrategia de control debe usarse, ya sea de control de lazo cerrado o de lazo abierto.

1.2. Tipos de sistemas Pérez M. (2008) sostiene que los sistemas de control retroalimentado se clasifican en diversas formas, las cuales puedes observar en la siguiente figura, donde podrás ver los tipos de sistemas de control en forma general, de acuerdo a su propósito. Por ejemplo, un sistema de control de posición y un sistema de control de velocidad, controlan las variables de salida de acuerdo con la forma.

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Tipos de sistemas de control

Sistemas de lazo cerrado

Sistemas de control de lazo abierto Sistemas de acuerdo s su propósito

Sistemas de control lineal y no lineal

Sistemas variantes en el tiempo

Sistemas continuos y en tiempo discreto

Sistemas modulados y no modulados Figura 19. Tipos de sistemas de control.

De manera general, existen muchas formas de identificar un sistema de control de acuerdo con alguna función del sistema, lo que permitirá obtener una perspectiva propia antes de emprender su análisis y estudiar su diseño.

La identificación de un sistema se debe obtener a partir de datos medibles. En la siguiente figura observarás la metodología que debes de seguir para resolver un sistema de control:

Metodología de la identificación

Conocimiento previo y diseño de experimento Análisis y tratamiento de datos Selección del tipo de modelo Estimación de parámetros Validación del modelo

Figura 20. Metodología a seguir en sistemas de control.

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1.2.1. MĂŠtodos grĂĄficos En la ingenierĂ­a de control de procesos existen mĂŠtodos para evaluar las variables que entran y salen en dicho proceso. ComenzarĂĄs con el mĂŠtodo mĂĄs sencillo, denominado el mĂŠtodo grĂĄfico, el cual es una representaciĂłn de diagramas de flujo de los procedimientos que se llevan ejecutados dentro de un proceso o un sistema. Un diagrama de flujo de control interno consiste en una representaciĂłn con sĂ­mbolos y por medio de flujo secuencial de los procesos. El diagrama de flujo debe representar todas las operaciones, movimientos, y procedimientos.

Este mÊtodo gråfico tiene como ventajas:  Establecer condiciones nominales de operación  Especificar variables de entrada  Seleccionar variables de salida (y periodo de muestreo)  Especificar duración experiencias.

La gran mayorĂ­a de los procesos no responden como sistemas de primer orden debido a la dificultad de generaciĂłn de escalĂłn perfecto, o porque el proceso no es de primer orden ni lineal, y la salida posee ruido que provoca contaminaciĂłn y variaciones en la entrada del sistema.

Para identificar a quĂŠ tipo de sistema pertenece y cĂłmo se debe de resolver, es importante conocer la respuesta de entrada, la cual puede ser de escalones o impulso, analizando la respuesta para determinar las variables que permiten la identificaciĂłn y caracterizaciĂłn del sistema.

Generalmente se estudian los sistemas en funciĂłn de la respuesta de los mismos ante determinadas seĂąales de entrada; asĂ­ es como se usan las seĂąales normalizadas como la seĂąal de impulso, la seĂąal escalĂłn, la seĂąal rampa y la seĂąal parĂĄbola en sistemas de primer orden.

Un sistema de primer orden es aquel donde la ecuaciĂłn diferencial es de orden uno, esto es, la funciĂłn de transferencia que caracteriza un sistema de primer orden contiene un Ăşnico polo. De esta manera se puede asumir que la expresiĂłn general para la funciĂłn de transferencia de un sistema de primer orden es: đ??ş(đ?‘ ) =

đ??ž 1 + đ?œ?đ?‘

Donde: K= ganancia del sistema

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Ahora se revisarĂĄn los sistemas de primer orden ante seĂąales de entrada normalizada, como lo es la respuesta ante una entrada de impulso como la transformada de Laplace.

La respuesta impulsional de un sistema de primer orden estĂĄ dada por la siguiente ecuaciĂłn: đ??ş(đ?‘ ) =

đ??ž 1 + đ?œ?đ?‘

Y la ecuaciĂłn en el dominio del tiempo tendrĂĄ como expresiĂłn: đ?‘Ś(đ?‘Ą) =

đ??ž −đ?‘Ą/đ?‘‡ đ?‘’ đ?‘Ą

En los sistemas de control, la entrada mĂĄs utilizada es la de escalĂłn, debido a la facilidad para aplicar y por tener conocimiento del tipo de respuesta que generarĂĄ la seĂąal de salida. Para aplicar un escalĂłn de entrada a un proceso, basta con la apertura de una vĂĄlvula para cerrar o un interruptor de voltaje. Estos ejemplos se pueden resolver con un mĂŠtodo grĂĄfico muy simple que consiste en registrar la respuesta y utilizar tĂŠcnicas grĂĄficas para estimar parĂĄmetros de la funciĂłn de transferencia. Observa la siguiente ecuaciĂłn de un sistema de primer orden con una entrada de escalĂłn (Ă‘eco R, P. 2013). đ?‘Œ(đ?‘ ) đ??žđ?‘’ −đ?‘Ąđ?‘šđ?‘ đ??ş(đ?‘ ) = đ?‘ˆ(đ?‘ ) 1 + đ?œ?đ?‘ đ?‘Ąâˆ’đ?‘Ąđ?‘š đ?œ?

đ?‘Ś(đ?‘Ą) = đ??žđ??´(1 − đ?‘’ −

)

El mĂŠtodo grĂĄfico en sistemas de control es utilizado cuando un sistema presenta dificultad en la generaciĂłn de un escalĂłn perfecto, y el proceso no es de primer orden y es no lineal, ademĂĄs de presentar contaminaciĂłn en la salida debido a un ruido, asĂ­ como variaciones en las entradas de perturbaciĂłn.

Este mĂŠtodo grĂĄfico es aplicado a procesos con respuesta escalĂłn Sigmoidal de primer orden mĂĄs tiempo muerto, como se muestra en la siguiente grĂĄfica que posee una constante de tiempo correspondiente al tiempo que tarda la salida en alcanzar el 63% de su valor en rĂŠgimen permanente, trazando una tangente en tiempo = 0, obteniendo la intersecciĂłn con la amplitud en rĂŠgimen permanente, como se observa.

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Figura 21. Respuesta a entrada escalón unitario de sistemas de primer orden (Ollero, A. 1991).

Se tienen métodos gráficos que son la curva de reacción o estadísticos, como se muestra en la figura siguiente, donde se tiene un sistema relacionado con el tiempo para ver su comportamiento:

Figura 22. Método gráfico (Marcos M. 2003).

Un método de identificación para sistemas de control es el de mínimos cuadrados en tiempo real de modelos con el único requisito de que éstos sean lineales en los parámetros. Esto incluye, por lo tanto, a modelos lineales y no lineales que sean lineales en los parámetros. El mayor interés práctico reside, sin embargo, en la identificación de los modelos lineales, dado que son los más utilizados en sistemas de control.

El método gráfico tiene como función llevar al proceso al punto nominal de operación.

Poseer una perturbación escalón en la señal de entrada ayuda a registrar la variable de salida.

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1.2.2. Método del modelo de referencia Los sistemas de control se ven afectados siempre por perturbaciones. Existen modelos en los cuales se pueden apoyar dichos sistemas para modelar estas perturbaciones y procesos cuya evolución se ve afectada. Es importante tener en cuenta que los modelos de procesos con perturbaciones tienen su origen en el modelado de perturbaciones y no de modo contrario.

La teoría clásica de control automático siempre ha tenido en cuenta el comportamiento de los sistemas frente a perturbaciones a la hora de diseñar el sistema de control; estas perturbaciones se modelan de manera simplificada. Es importante mencionar el tipo de permutaciones que pueden existir en un sistema (Rodríguez, D. 2012):

   

Pulsos Escalones Sinusoides Rampas

Observa la siguiente figura, donde las perturbaciones producen de forma inesperada y provocan una desviación de la señal real respecto de la señal deseada; pueden ser internas, por que dependen del propio sistema (como puede ser el envejecimiento de componentes), o externas (como la apertura de una ventana en un local que se esté aclimatando), o el uso de aire acondicionado.

Perturbaciones

Figura 23. Perturbaciones.

Todos estos modelos tienen en común que son absolutamente predecibles en su evolución en función de las condiciones iniciales, es decir, en cuanto la perturbación Universidad Abierta y a Distancia de México

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aparece, se puede predecir su evolución futura. Es una suposición común en estos casos, considerar que estas perturbaciones vienen generadas por sistemas dinámicos (Rodríguez D. 2005).

En los sistemas de control existe un modelo de referencia donde se explica en forma general el uso de los reguladores predictivos a reguladores de pasos que ayudan a optimizar al máximo la señal para predecir el comportamiento futuro de las variables y ajustar sus parámetros. Lo que se intenta hacer en este caso es contemplar en el diseño la dinámica de la referencia, es decir, el modelo a seguir. Se pueden tener dos visiones del problema: una determinística, y otra estocástica. En la figura 15 observarás la clasificación general de los métodos de modelo de referencia.

Métodos del modelo de referencia

Modelo de Referencia Determinista

 Más realista que los modelos clásicos  No predecible  Se suponen generados por sistemas lineales  La entrada permanece a cero salvo en ciertos instantes separados más de n tiempos de muestreo.

Modelo de Referencia Estocástico

 Son modelos más realistas, imprescindibles.  Relativo a una variables aleatoria.  Usualmente con varianza finita.

Figura 24. Clasificación de Modelos de Referencia (Pérez M.A et. al.2008).

El modelo de referencia determinista posee una fuente de perturbaciones con mayor variabilidad que los modelos clásicos antes comentados. Se puede considerar que las perturbaciones deterministas surgen de la necesidad de estudiar el efecto de perturbaciones más realistas en sistemas de control que se basan en algún tipo de esquema predictivo para calcular la señal de control. Este tipo de sistema se considera

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una perturbaciĂłn absolutamente predecible y no tiene utilidad alguna, pues se puede considerar directamente en el cĂĄlculo de la ley de control.

De acuerdo a RodrĂ­guez (2005), los modelos de perturbaciones deterministas parten de suposiciones generadas por un sistema lineal, en el que la entrada es cero, excepto en ciertos instantes de tiempo separados por mĂĄs de n- tiempos de muestreo, donde norden del sistema:

đ?‘Ś(đ?‘˜) =

đ??ś(đ?‘§ −1 ) đ?‘¤(đ?‘˜) đ??´(đ?‘§ −1 )

Suponiendo que el grado de đ??ś(đ?‘§ −1 ) es igual al grado de đ??´(đ?‘§ −1 ). Si la entrada es cero excepto en ciertos instantes de tiempo que estĂĄn separados, quiere decir que la seĂąal w(k) es un tren de pulso. La amplitud y momento de apariciĂłn de estos pulsos son desconocidos. Esto es lo que le da variabilidad a la fuente de perturbaciones. Sin embargo, una vez que aparecen y se conoce la amplitud del pulso, la evoluciĂłn de la salida y (k) es perfectamente predecible, pues la dinĂĄmica del sistema es conocida; de ahĂ­ su nombre.

Los sistemas de modelo de referencia estocåsticos son utilizados para describir una amplia clase de perturbaciones, suficientemente realistas para formular problemas de predicción con postulados cercanos a la realidad. Un proceso estocåstico es una representación matemåtica que permite caracterizar una sucesión de variables aleatorias que provocan la evolución en función de otra variable, tales como el tiempo. El concepto de proceso estocåstico es complejo y alcanza su madurez en los trabajos de Kolmogorow (1930). Aquí se presentan sólo algunas ideas båsicas. Un proceso estocåstico puede ser considerado como una función variable. �(�, �) Donde t es la variable tiempo con su significado habitual, y w es una variable aleatoria; si se considera un valor fijo de w= w0 y se deja la variable t libre, lo que se denota como: �(: , �0 ) Se estå hablando de una realización del proceso. Esta realización es una función temporal común sin ningún tipo de caråcter aleatorio una vez que se conoce que w=w0.

Si, por otra parte, se considera un instante de tiempo fijo, es decir t=t0, que se denotarĂĄ como: đ?‘‹(đ?‘Ą0 , : ) ≜ đ?‘‹(đ?‘Ą0 ) Se tendrĂĄ una variable aleatoria.

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Se pude considerar, por tanto, que la evolución del proceso está dictada por un generador de señales aleatorias. En la siguiente figura se ilustra cómo es el comportamiento de un sistema y su representación gráfica, donde el valor de la función en cada instante es un valor aleatorio que en la figura se considera variable en un determinado rango. Cuando se habla de una realización, se hace referencia a una función que depende de t.

Figura 25. Procesos estocasticos; realizaciones y variables aleatoria.

1.2.3. Método de mínimos cuadrados Este método de identificación consiste en obtener el equivalente discreto de un sistema continuo lineal. Para ello, se debe especificar el periodo de muestreo y el intervalo de valores continuos que equivalen a un mismo valor discreto.

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Ajuste automĂĄtico de parĂĄmetros = identificaciĂłn de sistemas.

ExcitaciĂłn

Salida de planta Planta

Error

estimado

Modelo Salida de modelo

Figura 26. MĂŠtodo de mĂ­nimos cuadrados.

Aplicando la transformada Z se obtiene la funciĂłn discreta del sistema đ??ş(đ?‘§) =

đ?‘?1 đ?‘§ −1 + đ?‘?2 đ?‘§ −2 1 + đ?‘Ž1 đ?‘§ −1 + đ?‘Ž2 −2

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∆đ?‘Śđ?‘˜ + đ?‘Ž1 ∆đ?‘Śđ?‘˜âˆ’1 + đ?‘Ž2 ∆đ?‘˜âˆ’1 = đ?‘?1 ∆đ?‘˘đ?‘˜âˆ’1 + đ?‘?2 ∆đ?‘˘đ?‘˜âˆ’2 El problema de identificaciĂłn se basa en obtener los valores de las contantes a1, a2, b1, b2 conocidos ∆đ?‘˘0 , ∆đ?‘˘1 ‌ ‌ ∆đ?‘˘đ?‘› đ?‘Ś ∆đ?‘Ś0 , ∆đ?‘Ś1 ‌ ‌ . . ∆đ?‘Śđ?‘›

Figura 27. SeĂąales de entrada usuales (MartĂ­nez A. 2005).

Existen pasos a considerar para resolver sistemas de control con el mĂŠtodo de mĂ­nimos cuadrados, los cuales son los siguientes (Ă‘eco R, P, et al, 2013): ďƒź Se aplica una entrada constante hasta que el equilibrio llega al sistema. ďƒź Se produce el cambio de la entrada para obtener variaciĂłn de salida. ďƒź Restando el valor del punto de equilibrio se obtiene la secuencia de entrada y salida: ∆đ?‘˘0 , ∆đ?‘˘1 ‌ ‌ ∆đ?‘˘đ?‘› đ?‘Ś ∆đ?‘Ś0 , ∆đ?‘Ś1 ‌ ‌ . . ∆đ?‘Śđ?‘› ďƒź Se plantea un sistema de ecuaciones para resolver (mĂĄs incĂłgnitas que ecuaciones no lineales) ďƒź Se definen los errores de las ecuaciones. đ?‘’2 = ∆đ?‘Ś2 − (−đ?‘Ž1 ∆đ?‘Ś1 − đ?‘Ž2 ∆đ?‘Ś0 + đ?‘?1 ∆đ?‘˘1 + đ?‘?2 ∆đ?‘˘0 ) đ?‘’2 = ∆đ?‘Ś2 − (−đ?‘Ž1 ∆đ?‘Ś1 − đ?‘Ž2 ∆đ?‘Ś0 + đ?‘?1 ∆đ?‘˘1 + đ?‘?2 ∆đ?‘˘0 ) đ?‘’đ?‘ = ∆đ?‘Śđ?‘ − (−đ?‘Ž1 ∆đ?‘Śđ?‘ −1 − đ?‘Ž2 ∆đ?‘Śđ?‘ −2 + đ?‘?1 ∆đ?‘˘đ?‘ −1 + đ?‘?2 ∆đ?‘ −2 ) Se organiza de la siguiente forma matricial. ∆đ?‘Ś2 −∆đ?‘Ś1 đ?‘Ś = ∆đ?‘Ś3 đ?‘‹ = [ −∆đ?‘Ś2 ∆đ?‘Śđ?‘› −∆đ?‘Śđ?‘ −1

−∆đ?‘Ś0 −∆đ?‘Ś1 −∆đ?‘Śđ?‘ −1

đ?‘Ž1 ∆đ?‘˘1 ∆đ?‘˘0 đ?‘Ž2 ∆đ?‘˘2 ∆đ?‘˘1 ] đ?œƒ = đ?‘?

1 ∆đ?‘˘ ∆đ?‘˘đ?‘ −1 đ?‘ −1 đ?‘?2 đ?‘Œ = đ?‘‹. đ?œƒ → đ??¸ = đ?‘Œ − đ?‘‹. đ?œƒ

đ?‘’2 đ?‘’3 đ??¸= [ . ] đ?‘’đ?‘

Por Ăşltimo, se resuelve el sistema de forma que se minimiza la suma de errores al cuadrado, es decir: Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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đ??¸ đ?‘‡ đ??¸ = ∑ đ?‘’đ?‘–2 SoluciĂłn: đ?œƒĚ‚ = (đ?‘‹ đ?‘‡ đ?‘‹)−1 đ?‘‹ đ?‘‡ đ?‘Œ

Al finalizar este tema, cabe recordar la importancia de que los mĂŠtodos provean respuestas a las interrogantes humanas sobre sistemas y sus propiedades. En sistemas de control de procesos existen mĂŠtodos como el modelo de referencia estocĂĄstica y determinista. Los mĂŠtodos se basan en la experimentaciĂłn, que consiste en la realizaciĂłn de ensayos sobre el sistema en la observaciĂłn de las reacciones del mismo, y en la obtenciĂłn de leyes de su comportamiento, expresadas por lo general mediante el lenguaje matemĂĄtico.

Un modelo de un sistema es bĂĄsicamente una herramienta que permitirĂĄ responder interrogantes sobre el proceso donde se puede utilizar un mĂŠtodo de referencia o mĂ­nimos cuadrados y grĂĄficos.

1.3. Modelación dinåmica de sistemas de control Para el diseùo de un controlador, los pasos a seguir son (Rodríguez, D., 2012):   

ModelaciĂłn del sistema, lo que permitirĂĄ obtener la estructura de las ecuaciones diferenciales que rigen la dinĂĄmica y los parĂĄmetros caracterĂ­sticos del sistema.

AnĂĄlisis de la respuesta; pueden realizarse en el dominio del tiempo o de la frecuencia, ante las entradas tĂ­picas a que se somete durante el funcionamiento.

DiseĂąo de un controlador de manera que el sistema controlado cumpla unas determinadas especificaciones.

AnalizarĂĄs la respuesta en el dominio del tiempo, que puede considerarse compuesta de un transitorio inicial, mĂĄs un estado de rĂŠgimen permanente, que es el que se mantiene pasados los primeros instantes de la evoluciĂłn. El rĂŠgimen permanente de valor constante es estable y la entrada es un escalĂłn o impulso, u otro tipo de perturbaciĂłn debido a la excitaciĂłn del sistema. Observa la figura 19, la cual es una rampa senoidal. Este tipo de seĂąal permite realizar anĂĄlisis experimentales y matemĂĄticos con mayor facilidad y representarlos por funciones de transferencia simple relacionados con el tiempo.

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Figura 28. Función senoidal (López, M., et al., 2008).

La relación al tipo de excitación durante las etapas del diseño del controlador no puede prever las posibles combinaciones de entradas aplicadas al sistema, por lo que no puede diseñarse el controlar atendiendo a todas las posibles entradas. Sin embargo, sí puede determinarse el tipo de señales de entrada a que se verá sometido el sistema con más frecuencia. Dependiendo del carácter de la señal previsto, debe diseñarse un controlador optimizado para entradas de tipo escalón, rampa, señoidal.

Es importante el concepto de estabilidad absoluta y relativa. En términos absolutos, estabilidad es la propiedad de un sistema que presenta una respuesta muy cercana a la señal de la entrada, la cual tendrá también una señal pequeña.

La estabilidad relativa se define de forma subjetiva para sistemas estables como el grado de alejamiento respecto de las condiciones de inestabilidad absoluta. En el dominio de la frecuencia es difícil establecer una magnitud que cuantifique dicha idea, salvo en el caso de sistemas estándar de segundo orden.

1.3.1. Sistemas de primer orden Comenzarás con el sistema de primer orden, donde la función de transferencia de la forma, figura 19: Un sistema de primer orden trabaja en el dominio de Laplace, y no solamente es útil para la solución matemática de ecuaciones, sino que se presta especialmente para ser utilizado con el concepto de función de transferencia.

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En forma general, un proceso quĂ­mico recibe una entrada denotada por u (s), y genera una salida y(s). Si llevas estas seĂąales al dominio de la transformada de Laplace, tendrĂĄs una entrada U(s) que genera una salida Y(s), de modo que la relaciĂłn de salida con la entrada se denota: đ?‘Œ(đ?‘ ) = đ?‘”(đ?‘ ) ∗ đ?‘ˆ(đ?‘ )

U(s)

Y(S)

g(s)

Figura 29. Sistema de primer orden.

Los sistemas de primer orden son aquellos que, en lo que la ecuaciĂłn general aparece solamente una derivada de primer orden del lado izquierdo, tiene la forma: đ?œ?=

đ?‘‘đ?‘Ś + đ?‘Ś = đ?‘˜đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘Ą

Donde K = ganancia del proceso đ?œ? = constante del tiempo.

Si el valor de y(0) = 0 y u(0)=0, la transformada de Laplace para un sistema de primer orden queda denotado por:

đ?œ?[đ?‘ đ?‘Œ(đ?‘ ) − đ?‘Ś(0)] + đ?‘Œ(đ?‘ ) = đ?‘˜đ?‘ˆ(đ?‘ ) đ?œ?đ?‘ đ?‘Œ(đ?‘ ) + đ?‘Œ(đ?‘ ) = đ?‘˜đ?‘ˆ(đ?‘ ) (đ?œ?đ?‘ + 1)đ?‘Œ(đ?‘ ) = đ?‘˜đ?‘ˆ(đ?‘ ) đ?‘˜ đ?‘Œ(đ?‘ ) = đ?‘ˆ(đ?‘ ) đ?œ?đ?‘ + 1 đ?‘Œ(đ?‘ ) = đ?‘”(đ?‘ )đ?‘ˆ(đ?‘ ) đ?‘˜ đ?‘”(đ?‘ ) = đ?œ?đ?‘ + 1

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Un ejemplo de sistema de primer orden es:

v Cm V

C Figura 30. Tanque agitado.

Observa la figura anterior, donde existe un tanque de V= 5m3 con v=1 m3/min, concentraciĂłn en estado estacionario 1.25 mol/m3. Considerar un cambio en la concentraciĂłn de entrada desde1.25 mol/m3 a 1.75 mol/min.

∆đ?‘ˆ = 0.5 đ?‘šđ?‘œđ?‘™/đ?‘š3 đ?œ? = 5đ?‘šđ?‘–đ?‘› ∆đ?‘ˆ 0.5 đ?‘ˆ(đ?‘ ) = = đ?‘ đ?‘ 1 0.5 đ?‘Œ(đ?‘ ) = 5đ?‘ + 1 đ?‘ Por lo tanto, la respuesta en el dominio del tiempo serĂĄ: 1

đ?‘Ś(đ?‘Ą) = 0.5 [1 − đ?‘’ −5 ] Y es la variable reducida, por lo que la concentraciĂłn en el tanque serĂĄ:

Figura 31. Comportamiento de tanque agitado (RodrĂ­guez, D. 2005).

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1.3.2. Sistemas de segundo orden A diferencia de los sistemas de primer orden, los sistemas de segundo orden responden a funciones de transferencia cuyo denominador es un polinomio de segundo grado. Dentro de Êstas se encuentran únicamente los sistemas que cumplen con las siguientes condiciones:  

El termino independiente del numerador y denominado coinciden El numerador no contiene cero, sino que se limita al tĂŠrmino independiente.

La primera restricciĂłn no hace suposiciones sobre pĂŠrdida de generalidad, simplemente fuerza a que la ganancia del sistema sea la unidad; en cuanto al segundo punto, se limita el rango de posibilidades de los sistemas de segundo orden a estudiar.

El estudio de sistemas de este orden con ceros impide el obtener resultados analĂ­ticos de gran utilidad al explotar el comportamiento de sistemas de segundo orden sin cero a otros sistemas de orden superior.

Con estas restricciones, un sistema de primer orden tiene la forma:

đ?‘”(đ?‘ ) =

đ?‘˜ đ?‘˜/đ??˝ = đ??˝đ?‘ 2 + đ??ľđ?‘ + đ?‘˜ đ?‘ 2 + đ??ľ + đ?‘˜/đ??˝ đ??˝đ?‘

Un ejemplo de sistema de control de segundo orden se presenta en los estudios de teorĂ­a de control con un servomecanismo de posiciĂłn, donde por medio de una realimentaciĂłn se empelaba un controlador proporcional de ganancia k para regular la posiciĂłn de un motor que presentaba un rozamiento B y una inercia. En la figura 22 observarĂĄs un bucle de control de servomecanismo.

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1.3.3. Sistemas de orden superior Aparte de los sistemas de primer orden y los de segundo orden, existen sistemas de orden superior, los cuales son sistemas de orden mayor de dos, donde no se pueden obtener resultados analĂ­ticos como los obtenidos anteriormente. Estos tipos de sistemas no se pueden extrapolar a sistemas de orden dos, sin embargo, muchas de las ideas cualitativas vistas anteriormente son aplicables a estos tipos de sistemas de orden superior.

Existen, en cualquier caso, razonamientos que permiten obtener conclusiones de un sistema, cualquiera que sea su orden.

El comportamiento de los sistemas de orden superior, los que poseen tres o mĂĄs polos, depende fundamentalmente del carĂĄcter de los polos mĂĄs lentos del sistema. Como se menciona anteriormente, el polo mĂĄs lento es el que posee la contante del tiempo mĂĄs grande, es decir, el polo mĂĄs cercano al origen en el plano de s.

R

đ?‘?đ?‘˜đ?‘¤đ?‘›2 (đ?‘ 2 + 2đ?›žđ?‘¤đ?‘› đ?‘ + đ?‘¤đ?‘›2 )(đ?‘ + đ?‘?)

c

Figura 33. Sistema de tercer orden.

Observa un sistema de tercer orden en la figura 23, sistema en el que existen un polo real y dos complejos conjugados. La respuesta temporal depende de la posiciĂłn relativa de los polos.

Por ejemplo, si tienes un sistema de: đ?‘”(đ?‘ ) =

4 (đ?‘ + 1)(đ?‘ + 2)(đ?‘ + 30)

Observa la figura 24: es un sistema de tercer orden donde se observa una funciĂłn exponencial que inicia en el tiempo 0, -2 y -30, y muestra el aumento de la seĂąal. La tercera raĂ­z de este sistema es al menos 10 veces mayor a la segunda, por lo que se puede aproximar usando la siguiente ecuaciĂłn matemĂĄtica: đ?‘”(đ?‘ ) =

4/30 (đ?‘ + 1)

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El valor de 4/30 aparece debido a que el sistema debe mantener su valor en estado estable, es decir, se tiene đ?‘™đ?‘–đ?‘šđ?‘ →0 đ?‘ đ??ş(đ?‘ ). Observa la respuesta de los dos sistemas a una entrada de paso en la figura 18.

Figura 34. Sistema de control de tercer orden (RodrĂ­guez, D. 2005).

El sistema de control de un tostador es un claro ejemplo de sistemas de primer orden, por ejemplo; se identificarĂĄn las entradas y salidas del sistema mencionado (ArĂĄntegui, J. 2011).

Un tostador de pan automĂĄtico Este sistema es de control abierto, y su principal objetivo de control es lograr un determinado grado de tostado. Para lograrlo, se fija el tiempo de tostado en el sistema de control del tostador, durante el cual se suministra energĂ­a en forma de calor a la tostada; este lazo abierto de control se puede ver en el siguiente diagrama de bloques:

Tiempo Grado de tostado deseado

Control del tostador

Calor

Resistencia elĂŠctrica

Proceso de tostado

Grado de tostado

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Este mismo sistema también se puede diseñar con un sistema de control de lazo cerrado por retroalimentación. Ahora el medidor del grado de tostado podría medir el color en la superficie de la tostada, de manera que se lograra siempre tener el grado de tostado óptimo, así se evitará el problema más habitual de los tostadores: la primera tostada sale bien, pero las siguientes acostumbran a salir demasiado tostadas, ya que el sistema de control en adelante no tiene en cuenta el hecho de que el tostador ya está caliente.

Grado de tostado deseado

Control del tostador

Resisten cia eléctrica

Procesos de tostado

Medidor

Para finalizar este tema del análisis de un sistema, es necesario obtener un modelo matemático que represente las variables y las perturbaciones que afectan el sistema. El modelo matemático equivale a una ecuación matemática o un conjunto de ellas con base en las cuales puedes conocer el comportamiento del sistema debido a los diferentes sistemas, ya sea de primer orden, segundo orden o de orden superior.

Es importante señalar que el modelo matemático que se desarrolla de un sistema a partir de un sistema no es único, debido a lo cual pueden lograr representaciones diferentes del mismo proceso.

Estos modelos matemáticos se emplean para la representación en variables de estado, aunque no por ello el método de relación con la entrada y salida deja de ser importante.

Actividades La elaboración de las actividades estará guiada por tu docente en línea, mismo que te indicará, a través de la Planeación didáctica del docente en línea, la dinámica que tú y tus compañeros (as) llevarán a cabo, así como los envíos que tendrán que realizar.

Para el envío de tus trabajos usarás la siguiente nomenclatura: BINP_U1_A1_XXYZ, donde BINP corresponde a las siglas de la asignatura, U1 es la unidad de conocimiento, A1 es el número de actividad, el cual debes sustituir considerando la actividad que se realices, XX son las primeras letras de tu nombre, Y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno.

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Autorreflexiones Para la parte de autorreflexiones debes responder las Preguntas de Autorreflexión indicadas por tu docente en línea y enviar tu archivo. Cabe recordar que esta actividad tiene una ponderación del 10% de tu evaluación.

Para el envío de tu autorreflexión utiliza la siguiente nomenclatura: BINP_U1_ATR _XXYZ, donde BINP corresponde a las siglas de la asignatura, U1 es la unidad de conocimiento, XX son las primeras letras de tu nombre, y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno

Cierre de la Unidad Al finalizar te darás cuenta de que los sistemas de control son fundamentales para el manejo de los procesos de producción de las plantas industriales, pues está comprobado que el aumento de la productividad está muy relacionado a los sistemas de control de los procesos en la medida que se haga un uso eficiente de los equipos y sistemas asociados, identificando primeramente sus variables involucradas, así como las perturbaciones del sistema.

Para saber más

Gaspar, G. A. (2011). Apuntes de control. Universidad de Jaén. Departamento de ingeniería electrónica y automática.

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