Unidad 1. Funciones vectoriales

Programa de la asignatura:

Cálculo multivariado

U1

Funciones vectoriales

Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales | Ingeniería en Biotecnología

U1

Cálculo multivariado Funciones vectoriales

Índice Presentación de la Unidad………………………………………………………………...2 Propósitos……………………………………………………………………………………3 Competencia específica……………………………………………………………………4 Temario de la Unidad .……………………………………………………………………..4 1.1 Introducción a funciones vectoriales………………………………………..………..5 1.1.1 Límites y continuidad……………………………………………………………..….5 1.1.2 Funciones en el plano y en el espacio…………………………………………..…6 1.1.3 Gráficas de funciones de varias variables………………………………………....8 1.2 Algebra y operaciones vectoriales…………………………………………………...11 1.2.1 Vectores libres, vectores en el espacio, espacio vectorial………………………11 1.2.2 Módulo, cosenos directores y ángulo entre vectores; vector unitario………….14 1.2.3 Suma y diferencia vectorial…………………………………………………………15 1.2.4 Productos (multiplicación) vectoriales……………………………………………..16 1.3 Geometría analítica del espacio…………………………………………………..….21 1.3.1 Ecuación de la recta…………………………………………………………………22 1.3.2 Ecuación del plano…………………………………………………………………..25 Actividades…………………………………………………………………………………..28 Autorreflexiones……………………………………………………………………............28 Cierre de la Unidad ………………………………………………………………………..28 Para saber más……………………………………………………………………………..29 Fuentes de consulta……………………………………………………………………..…31

Universidad Abierta y a Distancia de México

1

U1

CĂĄlculo multivariado Funciones vectoriales

PresentaciĂłn de la Unidad En esta Unidad, se describen algunos conceptos bĂĄsicos del cĂĄlculo multivariado, tales como las funciones vectoriales. Las funciones son entes matemĂĄticos fundamentales con los que anteriormente ya trataste, en la asignatura de CĂĄlculo diferencial e integral. Es bien sabido que las funciones son reglas de correspondencia entre dos conjuntos, estos Ăşltimos comĂşnmente bien definidos.

Es importante no confundir el concepto de funciĂłn con el de relaciĂłn. Una relaciĂłn es una correspondencia entre dos conjuntos que asocia con cada elemento del primer conjunto algĂşn elemento del segundo conjunto. En cambio una funciĂłn es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto llamado dominio, exactamente un elemento de un segundo conjunto llamado contradominio.

En cĂĄlculo multivariado, el concepto de funciĂłn se extiende a mĂĄs dimensiones, por ejemplo, conjuntos de vectores como posibles dominios para una funciĂłn.

Particularmente, serån de interÊs en esta Unidad las funciones de dos variables, las cuales son una regla de correspondencia que asigna a cada par ordenado de números reales (�, �) en el dominio, con uno y sólo un número � en el contradominio. Es por ello que en esta Unidad, estudiarås nuevas operaciones matemåticas para generar un tipo nuevo de función, llamada función de varias variables. Estas operaciones las implementarås sobre vectores, y estudiarås nuevas operaciones como el producto escalar y el producto vectorial, los que revisarås con cierto detalle, a fin de construir, mås adelante, funciones vectoriales o funciones de varias variables.

TambiĂŠn llevarĂĄs a cabo una revisiĂłn de las operaciones bĂĄsicas entre vectores, junto con algunos ejercicios de graficaciĂłn de funciones de varias variables. El interĂŠs se centrarĂĄ en ampliar el campo de aplicaciĂłn de las funciones de varias variables a las ciencias e ingenierĂ­a; en particular, a la IngenierĂ­a en BiotecnologĂ­a.

A lo largo de esta Unidad, tendrĂĄs la oportunidad de ejercitar mediante problemas y ejercicios tipo los conceptos adquiridos, lo cual te permitirĂĄ comprender nuevos conceptos y realizar la soluciĂłn de problemas cada vez mĂĄs complicados.

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

2

U1

Cálculo multivariado Funciones vectoriales

Propósitos

El estudio de esta Unidad te permitirá:  Identificar las ideas fundamentales del álgebra de vectores y sus operaciones básicas.  Relacionar los conceptos de funciones vectoriales y sus representaciones geométricas, tanto en el plano como en el espacio.  Graficar superficies, tales como esferas, paraboloides, hiperboloides entre otras funciones de dos variables.  Analizar las ecuaciones de la recta y el plano en el espacio tridimensional, que dan pie a la geometría analítica en el espacio.

Universidad Abierta y a Distancia de México

3

U1

Cálculo multivariado Funciones vectoriales

Competencia específica

Analizar expresiones del álgebra vectorial a través de sus operaciones y representaciones en el sistema de ejes cartesiano del espacio, para extender su uso a situaciones y contextos de la física y la ingeniería.

Temario de la Unidad Unidad 1. Funciones vectoriales 1.1 Introducción a funciones vectoriales 1.1.1 Límites y continuidad 1.1.2 Funciones en el plano y en el espacio 1.1.3 Gráficas de funciones de varias variables 1.2 Algebra y operaciones vectoriales 1.2.1 Vectores libres, vectores en el espacio, espacio vectorial 1.2.2 Módulo, cosenos directores y ángulo entre vectores; vector unitario 1.2.3 Suma y diferencia vectorial 1.2.4 Productos (multiplicación) vectoriales 1.3 Geometría analítica del espacio 1.3.1 Ecuación de la recta 1.3.2 Ecuación del plano.

Universidad Abierta y a Distancia de México

4

U1

Cálculo multivariado Funciones vectoriales

1.1 Introducción a funciones vectoriales Las funciones vectoriales, así como los métodos de cálculo, describen algunas aplicaciones de curvas y problemas de mecánica. El concepto de función vectorial es fundamental en ello.

Una función cuyo dominio es un conjunto de número reales y cuyo recorrido es un subconjunto del espacio n dimensional se denomina función vectorial de una variable real.

Las funciones vectoriales se designan con letras mayúsculas cursivas tales como F, G, X, Y, etc., o mediante letras minúsculas cursivas negritas f, g, etc., el valor de una función F en t se designa corrientemente como F(t).

Las operaciones usuales del algebra vectorial pueden aplicarse para combinar dos funciones vectoriales o una función vectorial con una función real.

Para una función de variable real con valores vectoriales, la derivada se define como en el caso de funciones con valores reales, con pequeñas diferencias que surgen en relación con el teorema del incremento finito. Naturalmente que en el caso de funciones vectoriales hay una serie de cuestiones que no se plantean, como son las relativas al signo de la derivada, crecimiento y decrecimiento, convexidad, etc. La primera novedad respecto al caso de las funciones con valores reales surge en que ahora hay interpretaciones geométricas y físicas muy interesantes: La derivada primera y la derivada segunda proporcionan, respectivamente, la velocidad y la aceleración de una partícula que se mueve en el espacio.

1.1.1 Límites y continuidad La parte central del cálculo en una variable son las funciones. En el caso de cálculo multivariado, estas vuelven a ser de suma importancia, debido a sus múltiples aplicaciones. Una infinidad de problemas de las áreas científicas y tecnológicas pueden ser resueltos usando funciones, así como sus operaciones fundamentales (Stewart, 1999). Las aplicaciones de las funciones van desde el cálculo de la órbita de planetas o satélites, hasta el estudio del comportamiento de fenómenos meteorológicos. Asimismo, las funciones han sido aplicadas para estudiar el crecimiento poblacional como el crecimiento de colonias de bacterias en una muestra orgánica. Estas y otras aplicaciones requieren de la comprensión del

Universidad Abierta y a Distancia de México

5

U1

CĂĄlculo multivariado Funciones vectoriales

concepto de funciĂłn, tanto en el caso de una variable como en el caso de varias variables.

En esta primera parte del curso aprenderĂĄs que el domino de una funciĂłn de dos variables estĂĄ definido dentro del plano đ??— − đ??˜. Como podrĂĄs observar, el dominio es el conjunto de pares ordenados que definen a la funciĂłn y el contradominio de esta, se encuentra en el eje Z; tal como se aprecia en la Figura 1.

Figura 1. GrĂĄfica de una funciĂłn.

Asimismo, podrĂĄs recordar los conceptos continuidad y lĂ­mite de una funciĂłn junto con sus propiedades, pero ahora extendidas a dos variables (Zill, 2012).

1.1.2 Funciones en el plano y en el espacio Comenzaremos por abordar algunos conceptos bĂĄsicos de matemĂĄticas y de fĂ­sica, el espacio unidimensional R se identifica con una recta. El espacio R2 puede ser representado, de manera natural, mediante un plano: trazaremos un recta horizontal y una vertical, que llamaremos eje x y eje y, respectivamente.

Determinamos una escala en cada una de estas rectas (no es imprescindibles que sean iguales). Para cada punto P del plano trazaremos rectas paralelas a los ejes que pasen por P. De acuerdo a la identificaciĂłn de la recta con el conjunto de los Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

6

U1

CĂĄlculo multivariado Funciones vectoriales

numero reales, sea a el punto de corte de la paralela al eje y con el eje x y sea b el punto de corte de la paralela al eje x con el eje y. Al punto P le hacemos corresponder el par ordenado de nĂşmeros reales (a, b) ∈ đ?‘… 2, tal como se observa en la Figura 2.

Figura 2. IdentificaciĂłn de đ?‘…2 y el plano.

Consideremos el espacio tridimensional, se representa como (đ?‘… 3 = đ?‘… đ?‘Ľ đ?‘… đ?‘Ľ đ?‘…) y se identifica como el espacio tridimensional. Para establecer la correspondencia debemos considerar un eje adicional, usualmente llamado eje z perpendicular al plano formado por el eje x y el eje y. Cada punto P del espacio estĂĄ en correspondencia con un elemento. (x, y, z) de R3. Observemos en la Figura 3 esta correspondencia en la que se muestra de manera grĂĄfica al punto P correspondiente con la terna (a, b, c):

Figura 3. Puntos en el espacio elementos de đ?‘…3 .

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

7

U1

CĂĄlculo multivariado Funciones vectoriales

Como podrĂĄs observar, la definiciĂłn de continuidad en el punto (đ?‘Ž, đ?‘?), de una funciĂłn de dos variables y con dominio en đ??ˇ estĂĄ dada por: lim

(đ?‘Ľ,đ?‘Ś)→(đ?‘Ž,đ?‘?)

đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘“(đ?‘Ž, đ?‘?),

Se dice que la funciĂłn es continua en el dominio, si đ?‘“ es continua en todo punto (đ?‘Ž, đ?‘?) perteneciente a đ??ˇ.

1.1.3 GrĂĄficas de funciones de varias variables Existen varias maneras de visualizar una funciĂłn de dos o mĂĄs variables, mediante una superficie en el espacio tridimensional.

La grafica de una funciĂłn đ?‘“: đ??ˇâˆ đ?‘… 2 → đ?‘… es el conjunto de puntos (x, y, z) tales que đ?‘§ = đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) y đ?‘Ľ ∈ đ??ˇ , es decir: đ??şđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘“(đ?‘“) = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś))|(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ đ??ˇ La grafica de una funciĂłn de dos variables đ?‘§ = đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) puede interpretarse geomĂŠtricamente como una superficie S en el espacio de forma tal que si proyecciĂłn sobre el plano x,y es de D, es el dominio de f. en consecuencia, a cada punto (x,y) en D le corresponde un punto(x,y,z) en la superficie y a la inversa: a cada punto (x, y, z) en la superficie le corresponde un punto (x, y) en D TambiĂŠn, te encontrarĂĄs con el tĂłpico de cilindros, esferas y superficies cuadrĂĄticas (Zill, 2012). Es importante que reflexiones sobre la ecuaciĂłn general de segundo grado:

đ??´đ?‘Ľ 2 + đ??ľđ?‘Ś 2 + đ??śđ?‘§ 2 + đ??ˇđ?‘Ľđ?‘Ś + đ??¸đ?‘Śđ?‘§ + đ??šđ?‘Ľđ?‘§ + đ??şđ?‘Ľ + đ??ťđ?‘Ś + đ??źđ?‘§ + đ??˝ = 0 Como podrĂĄs observar esta Ăşltima ecuaciĂłn contiene los coeficientes đ??´, đ??ľ, đ??ś, đ??ˇ, đ??¸, đ??š, đ??ş, đ??ť, đ??ź, đ??˝; ten en cuenta que los valores de estas constantes, definen un tipo particular de superficie a partir de la misma ecuaciĂłn.

Por ejemplo, si đ??´, đ??ľ, đ??ś son distintos de cero y đ??ˇ, đ??¸, đ??š, đ??ş, đ??ť, đ??ź, đ??˝, son todos đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś2

�2

iguales a cero, podrĂĄs observar que la ecuaciĂłn se convertirĂĄ en: đ?‘Ž2+đ?‘?2 + đ?‘? 2 = 1. La grĂĄfica de dicha ecuaciĂłn serĂ­a muy similar a la que se presenta en la Figura 4.

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

8

U1

CĂĄlculo multivariado Funciones vectoriales

Figura 4. Elipsoide.

Asimismo, al dar diferentes valores a las constantes đ??´, đ??ľ, đ??ś, đ??ˇ, đ??¸, đ??š, đ??ş, đ??ť, đ??ź, đ??˝; se generarĂĄn diferentes superficies. Otro ejemplo es el caso del hiperboloide de una đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś2

�2

hoja, donde la ecuaciĂłn es de la forma: đ?‘Ž2+đ?‘?2 − đ?‘? 2 = 1. Como puedes observar sĂłlo hay un cambio de signo en la variable đ?‘§, respecto de la ecuaciĂłn del elipsoide. La grĂĄfica del hiperboloide se muestra en la Figura 5.

Figura 5. Hiperboloide de una hoja.

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

9

U1

CĂĄlculo multivariado Funciones vectoriales

Como un ejemplo mĂĄs, observa la grĂĄfica del hiperboloide de dos hojas en la Figura 6.

Figura 6. Hiperboloide de dos hojas.

Particularmente, para los casos de un elipsoide, un cono elĂ­ptico y los paraboloides elĂ­ptico e hiperbĂłlico, partirĂĄs de la ecuaciĂłn general de segundo grado.

En los temas expuestos, se comentĂł la definiciĂłn de una funciĂłn de varias variables y de algunas de sus aplicaciones. Es importante que complementes tu aprendizaje con el material recomendado para que refuerces los conceptos estudiados.

Este tema es de gran relevancia debido por medio del mismo, lograrĂĄs asociar las funciones de dos variables independientes con grĂĄficas en tres dimensiones. Se te recomienda primero graficar haciendo uso de esquemas o trazos desde diferentes perspectivas, para despuĂŠs desplegar la grĂĄfica por computadora a travĂŠs de un graficador, teniendo siempre en cuenta los valores de las constantes đ??´, đ??ľ, đ??ś, đ??ˇ, đ??¸, đ??š, đ??ş, đ??ť, đ??ź, đ??˝.

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

10

U1

Cálculo multivariado Funciones vectoriales

Además de las secciones 1.7 y 1.8 que revisaste en la actividad 1, lee y revisa las siguientes secciones del texto de Zill (2012):  

Sección 4. 1. Funciones de varias variables Sección 4.2. Límites y continuidad

Estas secciones abordan de manera concreta los diferentes tópicos de las funciones vectoriales.

El texto de Leithold, El Cálculo (2006) es recomendable cuando las bases del cálculo de una variable no están bien cimentadas. Los primeros capítulos están dedicados justamente al cálculo de una variable y la segunda parte del libro al cálculo multivariado. Es un libro clásico en las facultades de ciencias e ingeniería, y el número de impresiones índica que ha sido ampliamente revisado.

Se sugiere como libro de consulta, cuando algunos de los conceptos no queden bien comprendidos en los textos anteriores.

1.2 Algebra y operaciones vectoriales En el estudio de ciertas ciencias físicas como son: estática, electromagnetismo, óptica, así como de algunas de índole tecnológico; como en procesamiento de señales y en graficación por computadora, la comprensión de las operaciones básicas entre vectores es de importancia toral. Es por ello que se presentan los conceptos de cantidad escalar, así como de su contraparte: la cantidad vectorial (Zill, 2012).

1.2.1 Vectores libres, vectores en el espacio espacio vectorial En esta parte comenzaremos definiendo cantidades escalares y cantidades vectoriales. Se dice que una cantidad es vectorial cuando esta tiene dirección, magnitud y sentido, mientras que la cantidad escalar sólo tiene magnitud. Esto significa que, para el caso de la cantidad escalar solo consideraremos un solo número real.

Universidad Abierta y a Distancia de México

11

U1

CĂĄlculo multivariado Funciones vectoriales

Los vectores son Ăştiles en la representaciĂłn de cantidades fĂ­sicas, tales como el desplazamiento, la velocidad, la aceleraciĂłn o la fuerza, aunque tambiĂŠn pueden representar otras cantidades menos conocidas, como el campo elĂŠctrico o el campo magnĂŠtico.

Tipicamente, la grĂĄfica de los vectores mencionados puede ser ubicada en una simple recta numĂŠrica, o en el plano bidimensional de coordenadas đ?‘‹đ?‘Œ, tambiĂŠn llamado đ?‘… 2 o dentro del espacio vectorial tridimensional de coordenadas đ?‘‹đ?‘Œđ?‘?, conocido tambiĂŠn como đ?‘… 3. Esto Ăşltimo, en virtud de que cada eje coordenado es en realidad una recta numĂŠrica. Un ejemplo comĂşn de un vector libre se muestra en el grĂĄfico de la Figura 7.

Otra forma para la representaciĂłn de cantidades vectoriales es aquella donde simplemente se utiliza una flecha en una direcciĂłn determinada, a un ĂĄngulo dado y con una cierta longitud. Este tipo de vectores son llamados vectores libres y son muy usados en FĂ­sica, principalmente en el ĂĄrea de EstĂĄtica.

El concepto de espacio vectorial suele ser no tan simple de definir, debido a la complejidad matemĂĄtica con la cual podrĂ­amos argumentar un concepto de este tipo. En tĂŠrminos muy simplificados podrĂ­amos decir que, un espacio vectorial es un conjunto de entes matemĂĄticos (los vectores por ejemplo), que cumplen con ciertas propiedades algebraicas. Este concepto aunque no tan sencillo de explicar en unas cuantas palabras ha permitido ampliar el campo de aplicaciĂłn de las matemĂĄticas.

Teniendo entonces que en el caso de los vectores, el espacio en donde “habitan,“ se puede considerar un espacio vectorial. En el caso del plano se dice que es un espacio vectorial de dimensiĂłn dos, el caso del espacio se suele decir espacio vectorial de dimensiĂłn tres o simplemente đ?‘… 3.

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

12

U1

CĂĄlculo multivariado Funciones vectoriales

Figura 7. Vector libre en el espacio tridimensional

Es importante que puedas representar vectores tanto en el plano como en el espacio. Es recomendable que realices grĂĄficos como el que se observa en el espacio vectorial tridimensional de la Figura 7.

En la grĂĄfica se ha trazado una lĂ­nea que representa a un vector đ??´âƒ— dado, que parte justo en el punto đ?‘€. Y que llega al punto đ?‘ . El vector que se grĂĄfica estĂĄ en tres dimensiones y tiene la siguiente representaciĂłn analĂ­tica: đ??´âƒ— = đ?‘Ľđ?‘–Ě‚ + đ?‘Śđ?‘—Ě‚ + đ?‘§đ?‘˜Ě‚ Los vectores unitarios đ?‘–Ě‚, đ?‘—Ě‚, đ?‘˜Ě‚ suelen ser graficados, respectivamente, sobre los ejes coordenados đ?‘‹, đ?‘Œ đ?‘Ś đ?‘?. Estos vectores unitarios o de longitud unidad, al ser multiplicados por đ?‘Ľ, đ?‘Ś o đ?‘§ valores, forman al vector.

Partiendo de estos valores se puede encontrar la magnitud del vector, la cual, estĂĄ 2

dada por la expresiĂłn: |đ??´âƒ—| = √đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 + đ?‘§ 2 . Teniendo entonces definidos los valores de las componentes del vector đ??´âƒ— = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§), esto serĂĄ suficiente para poder operar con estos valores o con su magnitud.

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

13

U1

CĂĄlculo multivariado Funciones vectoriales

1.2.2 MĂłdulo, cosenos directores y ĂĄngulo entre vectores; vector unitario Los cosenos directores de un vector đ?‘Ž son cosenos de ĂĄngulos que forma el vector como positivos semiejes de coordinadas. Para determinar los cosenos directores de un vector đ?‘Ž es necesario las coordenadas respectivas del vector dividir en el mĂłdulo del vector. La suma de cuadrada de los cosenos directores equivale a ununo y es denominada atributo.

Los cosenos directores de un vector se determinan mediante đ?’‚ = {đ?’‚đ?’™ ; đ?’‚đ?’š }se calcula pos las formulas. đ?’‚đ?’™ đ?’„đ?’?đ?’” đ?’‚ = |đ?’‚| đ?’‚đ?’š đ?’„đ?’?đ?’” đ?œˇ = |đ?’‚| Retomando la idea de los vectores unitarios del espacio tridimensional, estos cumplen con ciertas propiedades interesantes respecto de un vector cualquiera.

Alguna de estas propiedades se enlistan a continuaciĂłn.

Siempre y cuando đ?‘–Ě‚, đ?‘—Ě‚ y đ?‘˜Ě‚ sean vectores unitarios del espacio tridimensional se cumplirĂĄ que; 1) đ?‘–Ě‚ Ă— đ?‘—Ě‚ = đ?‘˜Ě‚ 2) đ?‘–Ě‚ ∙ đ?‘—Ě‚ = 0 3) đ?‘–Ě‚ ∙ đ?‘–Ě‚ = 1 Estos tres casos ejemplifican el comportamiento de los vectores unitarios en el espacio o incluso en el plano. Falta decir que estos vectores, ademĂĄs de ser unitarios, son perpendiculares entre sĂ­. Entonces al conjunto {đ?‘–Ě‚, đ?‘—Ě‚, đ?‘˜Ě‚ } suele llamĂĄrsele conjunto ortonormal de vectores. Esto significa que tienen norma o tamaĂąo unitario y ademĂĄs son ortogonales entre sĂ­ (Leithold, 2006). 

 

En el caso del inciso 1, debes entender que el producto cruz de dos vectores es igual al tercero, aunque el signo no siempre es positivo. Esto se debe a que el producto cruz no es conmutativo y el signo puede cambiar.

En el caso del inciso 2, cuando calcules el producto escalar de dos vectores unitarios ortogonales, este serĂĄ igual a cero.

Finalmente, en el inciso 3, el producto escalar de un vector unitario consigo mismo serĂĄ igual a la unidad.

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

14

U1

CĂĄlculo multivariado Funciones vectoriales

Las operaciones bĂĄsicas entre vectores son suma, resta, multiplicaciĂłn por un escalar y los productos escalar y vectorial. Se definen las propiedades de la ⃗⃗, vectores y đ?‘˜ una cantidad escalar: aritmĂŠtica de vectores, para ello sean đ??´âƒ— yđ??ľ ⃗⃗ = đ??ľ ⃗⃗ + đ??´âƒ—; Conmutativa đ?‘–) đ??´âƒ— + đ??ľ ⃗⃗⃗⃗⃗ + đ??śâƒ—) = (đ??´ ⃗⃗⃗⃗⃗ + đ??ľ ⃗⃗) + đ??śâƒ—; Asociativa đ?‘–đ?‘–) đ??´âƒ— + (đ??ľ đ?‘–đ?‘–đ?‘–) đ??´âƒ— + ⃗0⃗ = ⃗0⃗ + đ??´âƒ—; Elemento Neutro de la Suma đ?‘–đ?‘Ł) đ??´âƒ— + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (−đ??´) = ⃗0⃗; Inverso aditivo ⃗⃗⃗⃗⃗ + đ??śâƒ—) = đ?‘˜đ??´âƒ— + đ?‘˜đ??ľ ⃗⃗; Distributiva para un escalar đ?‘Ł) đ?‘˜(đ??ľ đ?‘Łđ?‘–)(đ?‘˜1 + đ?‘˜2 )đ??´âƒ— = đ?‘˜1 đ??´âƒ— + đ?‘˜2 đ??´âƒ—; con đ?‘˜1 , đ?‘˜2 escalares đ?‘Łđ?‘–đ?‘–)(đ?‘˜1 )(đ?‘˜2 )đ??´âƒ— = đ?‘˜1 đ?‘˜2 đ??´âƒ—; con đ?‘˜1 , đ?‘˜2 escalares đ?‘Łđ?‘–đ?‘–đ?‘–)(1)đ??´âƒ— = đ??´âƒ— ⃗⃗ đ?‘–đ?‘Ľ)(0)đ??´âƒ— = 0

Si dos vectores tienen la misma dimensiĂłn, podrĂĄs llevar a cabo las operaciones ⃗⃗ = definidas anteriormente. SupĂłn que un segundo vector estĂĄ definido como: đ??ľ ⃗⃗ tambiĂŠn puede graficarse đ?‘˘đ?‘–Ě‚ + đ?‘Łđ?‘—Ě‚ + đ?‘¤đ?‘˜Ě‚ . AsĂ­ como el vectorđ??´âƒ—, este segundo vector đ??ľ en el espacio, una vez conocidos los valores de (đ?‘˘, đ?‘Ł, đ?‘¤).

1.2.3 Suma y diferencia vectorial La composiciĂłn de vectores o suma de un vector es un proceso de calculaciĂłn del vector đ?‘?Ě…, cuyos elementos equivalen a la suma de estos elementos respectivos de vectores đ?‘Žâƒ‘ đ?‘Ś đ?‘?⃗⃑, es decir, cada elemento de vector đ?‘?⃑ equivale a: đ?‘?đ?‘– = đ?‘Žđ?‘– + đ?‘?đ?‘– La descomposiciĂłn de vectores o diferencia de vectores đ?‘ŽĚ… − đ?‘?Ě… es un proceso de calculaciĂłn de vectores đ?‘?Ě… cuyos elementos equivalen a diferencia emparejada de todos los elementos respectivos de vectores đ?‘Žâƒ‘ đ?‘Ś đ?‘?⃗⃑, es decir cada elemento del vector đ?‘?⃑ equivale a: đ?‘?đ?‘– = đ?‘Žđ?‘– − đ?‘?đ?‘–

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

15

U1

CĂĄlculo multivariado Funciones vectoriales

1.2.4 Productos (multiplicaciĂłn) vectoriales TambiĂŠn se le llama producto vectorial ya que el vector o producto cruz de dos vectores AxB, es un cantidad vectorial que posee una magnitud es el ĂĄrea de un paralelogramos el cual estĂĄ formado por A y B y estĂĄ en la direcciĂłn de avance que indica la regla de mano derecha cuando A se mueve hacia B. Esto puede ser ejemplificado en la Figura 8.

Figura 8. MultiplicaciĂłn de vectores (MartĂ­nez, A. 2009).

⃗⃗y el producto vectorial đ??´âƒ— Ă— đ??ľ ⃗⃗ entre đ??´âƒ— đ?‘Ś đ??ľ ⃗⃗ de la Se define el producto escalarđ??´âƒ— ∙ đ??ľ siguiente forma: ⃗⃗ = đ?‘Ľđ?‘˘ + đ?‘Śđ?‘Ł + đ?‘§đ?‘¤; Producto escalar. đ?‘Ľ) đ??´âƒ— ∙ đ??ľ Como puedes observar la suma de los productos de las componentes resulta ser un escalar. ⃗⃗ = (đ?‘Śđ?‘¤ − đ?‘§đ?‘Ł)đ?‘–Ě‚ − (đ?‘Ľđ?‘¤ − đ?‘§đ?‘˘)đ?‘—Ě‚ + (đ?‘Ľđ?‘Ł − đ?‘Śđ?‘˘)đ?‘˜Ě‚; Producto vectorial. Este đ?‘Ľđ?‘–) đ??´âƒ— Ă— đ??ľ producto resulta ser un vector perpendicular al plano que hacen los vectores ⃗⃗. En la Figura 9 se muestra geomĂŠtricamente esta operaciĂłn; đ??´âƒ— đ?‘Ś đ??ľ

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

16

U1

CĂĄlculo multivariado Funciones vectoriales

Figura 9. Producto vectorial.

Producto vectorial đ?‘˘ ⃗⃗ Ă— đ?‘Łâƒ— entre los vectores đ?‘˘ ⃗⃗ y đ?‘Łâƒ—, siendo θ el ĂĄngulo entre ellos.

El resultado de las operaciones vectoriales se puede obtener multiplicando las magnitudes de los vectores y el seno del ĂĄngulo entre ellos, como el resultado debe ser un vector, se usa un vector unitario normal al plano que contiene a los vectores A y B. đ??´đ?‘‹đ??ľ = đ??´đ??ľ đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?œƒđ??´đ??ľ đ?‘Žđ?‘› Donde đ?‘Žđ?‘› = đ?‘Łđ?‘’đ?‘?đ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x; đ?‘˘đ?‘›đ?‘–đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œ đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?œƒđ??´đ??ľ=đ?‘Žđ?‘›đ?‘”đ?‘˘đ?‘™đ?‘œ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’ đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘‘đ?‘?đ?‘˘đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘Łđ?‘’đ?‘?đ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Žđ?‘™.

Se le llama producto cruz debido al sĂ­mbolo que usa para indicarse, tambiĂŠn se le llama producto vectorial debido a que el resultado es un vector.

Si tenemos los vectores: đ??´ = (đ??´đ?‘‹ , đ??´đ?‘Œ , đ??´đ?‘? ) đ?‘Œ đ??ľ = (đ??ľđ?‘‹ , đ??ľđ?‘Œ , đ??ľđ?‘? ).

Entonces: đ?‘Žđ?‘Ľ đ??´ đ??´đ?‘‹đ??ľ = | đ?‘‹ đ??ľđ?‘‹

đ?‘Žđ?‘Ś đ??´đ?‘Œ đ??ľđ?‘Œ

đ?‘Žđ?‘§ đ??´đ?‘? | đ??ľđ?‘?

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

17

U1

CĂĄlculo multivariado Funciones vectoriales

= (đ??´đ?‘Œ đ??ľđ?‘? − đ??´đ?‘? đ??ľđ?‘Œ )đ?‘Žđ?‘Ľ + (đ??´đ?‘? đ??ľđ?‘‹ − đ??´đ?‘‹ đ??ľđ?‘? )đ?‘Žđ?‘Ś + (đ??´đ?‘‹ đ??ľđ?‘Œ − đ??´đ?‘Œ đ??ľđ?‘‹ )đ?‘Žđ?‘§ El resultado de la matriz se obtiene cruzando los tĂŠrminos en permutaciones cĂ­clicas, el vector que resulta tiene magnitud igual al ĂĄrea del paralelogramo que forman los vectores, las propiedades del producto cruz son las siguientes. đ?‘ đ?‘œ đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘šđ?‘˘đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘Ąđ?‘–đ?‘Łđ?‘œ đ?‘¨đ?’™đ?‘Š ≠đ?‘Šđ?’™đ?‘¨ đ??¸đ?‘ đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘šđ?‘˘đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘Ąđ?‘–đ?‘Łđ?‘œ đ?‘¨đ?’™đ?‘Š = −đ?‘Šđ?’™đ?‘¨ đ?‘ đ?‘œ đ?‘’đ?‘ đ?‘Žđ?‘ đ?‘œđ?‘?đ?‘–đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘–đ?‘Łđ?‘œ đ?‘¨đ?’™(đ?‘Šđ?’™đ?‘Ş) ≠(đ?‘¨đ?’™đ?‘Š)đ?’™đ?‘Ş đ??¸đ?‘ đ?‘‘đ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘?đ?‘˘đ?‘Ąđ?‘–đ?‘Łđ?‘œ đ?‘¨đ?’™(đ?‘Š + đ?‘Ş) = đ?‘¨đ?’™đ?‘Š + đ?‘¨đ?’™đ?‘Ş Los vectores ortogonales son aquellos que estĂĄn tangentes entre si, es decir que forman un ĂĄngulo de 90 grados (recto) la cual puede ser una lĂ­nea horizontal y una vertical. đ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Žđ?‘Ś = đ?‘Žđ?‘§ đ?‘Žđ?‘Ś đ?‘Ľ đ?‘Žđ?‘§ = đ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘Žđ?‘§ đ?‘Ľ đ?‘Žđ?‘Ľ = đ?‘Žđ?‘Ś Las operaciones entre vectores tendrĂĄn importantes aplicaciones en las Unidades dos y tres, al definir las operaciones del cĂĄlculo diferencial vectorial; tales como la divergencia, el gradiente y el rotacional de un campo de fuerzas, Marsden, J. E., et al. (2004). Mientras tanto aquĂ­, estos productos los usarĂĄs para obtener rectas y planos en el espacio. Otra aplicaciĂłn de los vectores en dos y tres dimensiones asociada a las funciones en varias variables es aquella que presenta la posibilidad de parametrizar una funciĂłn.

A continuaciĂłn, en la grĂĄfica de la Figura 10, se muestra la curva de una cicloide, misma que podrĂĄs generar cuando un punto đ?‘ƒ del perĂ­metro de un cĂ­rculo que gira, describe una trayectoria similar a la mostrada en la grĂĄfica de la Figura 11. Un ejemplo de este fenĂłmeno es el que sufre una moneda al rodar en una superficie lisa. Evidentemente, podrĂĄs encontrar otras versiones de la cicloide en pĂĄginas de internet o en la bibliografĂ­a recomendada, Marsden, J. E., et al. (2004).

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

18

U1

CĂĄlculo multivariado Funciones vectoriales

Figura 10. Cicloide.

Figura 11. Trayectoria de un moneda que rueda.

La ecuaciĂłn de la cicloide es una clara aplicaciĂłn de las funciones en varias variables. Esta puede ser expresada por đ?‘?(đ?‘Ą) = (đ?‘Ľ(đ?‘Ą), đ?‘Ś(đ?‘Ą)) = (đ?‘Ą − đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ą, 1 − đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą), para toda đ?‘Ąđ?œ–[đ?‘Ž, đ?‘?]; en donde đ?‘Ž y đ?‘? son dos nĂşmeros cualesquiera.

Como puedes observar en la ecuaciĂłn anterior, se tienen tres variables, đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘Ą.

AdemĂĄs de las curvas paramĂŠtricas en dos dimensiones con parametro đ?‘Ą, podrĂĄs obtener curvas en el espacio tridimensional, tal como la curva de la grĂĄfica que se incluye a continuaciĂłn, cuya ecuaciĂłn se ve como: â„Ž(đ?‘Ą) = (đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą, đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ą, đ?‘Ą). Es preciso mencionar que estĂĄ curva es similar a la de la doble hĂŠlice del ADN, como la que se observa en Figura 12.

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

19

U1

Cálculo multivariado Funciones vectoriales

Figura 12. Doble hélice.

En los textos recomendados, podrás encontrar el material necesario para la comprensión de los conceptos de espacio tridimensional, así como el producto punto y el producto vectorial. Al mismo tiempo, será necesario que estudies las operaciones básicas entre vectores, tanto en dos como en tres dimensiones. Estos textos te serán de gran ayuda en el desarrollo de tus competencias al permitirte resolver problemas con diferente grado de dificultad. También te ayudarán a comprender como se genera una curva paramétrica, tanto en el plano como en el espacio. Como advertencia tendrás cuidado con el cambio de notación entre los diferentes textos.

Resuelve los ejercicios propuestos en las Actividades 2 y 3 que se encuentran en el documento de Actividades de aprendizaje U1. Aprenderás en estos ejercicios a identificar claramente entre cantidades escalares y vectoriales. Revisarás las operaciones básicas entre vectores y obtendrás las gráficas de funciones paramétricas en el plano y el espacio.

Universidad Abierta y a Distancia de México

20

CĂĄlculo multivariado

U1

Funciones vectoriales

A lo largo del material expuesto, tendrås que tomar en cuenta los siguientes puntos:  Las operaciones båsicas entre vectores te permitirån conocer el lenguaje propio de varias de las ciencias físicas. 





Las operaciones que tienen que ver con el producto entre vectores te permitirĂĄn generar nuevos vectores o nuevos escalares. Si usas el producto punto, el resultado serĂĄ un escalar. Si al contrario usas el producto cruz o vectorial el resultado serĂĄ un vector.

PodrĂĄs ademĂĄs graficar funciones paramĂŠtricas del parĂĄmetro đ?‘Ą, esta variable la podrĂĄs usar para representar el tiempo. Esto para el caso de funciones que describen movimiento o de procesos que dependen del tiempo.

Las operaciones de suma, resta, multiplicaciĂłn por un escalar y los productos punto y cruz, serĂĄn la base para encontrar las ecuaciones de planos y rectas en el espacio. Este tĂłpico los podrĂĄs estudiar en el siguiente tema dentro de esta misma Unidad.

Te sugerimos leer y revisar el texto de Zill, (2012): CapĂ­tulo 1. Vectores y espacio tridimensional.

SecciĂłn 1.3. y 1.4.

Las actividades de esta Unidad se basan en este texto, asĂ­ como en la secciĂłn 2.1, por lo que resulta conveniente su repaso.

1.3 GeometrĂ­a analĂ­tica del espacio El uso de rectas y planos es una tarea comĂşn en ciencias e ingenierĂ­a. Para el caso de ciertos fenĂłmenos, es recomendable graficar estos entes matemĂĄticos en el espacio tridimensional, debido a que existen problemas en donde se requiere de dos variables independientes. Son bien conocidas las diferentes formas de la ecuaciĂłn de una recta en el plano cartesiano y sus demostraciones para obtenerlas, Leithold, L., (2006).

En este tema se estudiarĂĄ una nueva forma para la ecuaciĂłn de la recta, pero en el espacio tridimensional y mediante el uso de vectores, esto junto con el empleo de las operaciones bĂĄsicas entre vectores que anteriormente fueron estudiadas. A

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

21

U1

CĂĄlculo multivariado Funciones vectoriales

manera de ilustraciĂłn, se grafica la ecuaciĂłn de una recta en el espacio tridimensional. Esta es mostrada en la Figura 13.

Figura 13. Recta en el espacio tridimensional.

Como sabemos en geometrĂ­a analĂ­tica en dos dimensiones, la recta es el lugar geomĂŠtrico de los puntos que equidistan a dos puntos fijos đ?‘ƒ y đ?‘„. Estos son llamados los extremos de un segmento de recta. La caracterĂ­stica primordial de una recta es su pendiente respecto al eje horizontal. Sin embargo, cuando la recta se grafica en el espacio, es comĂşn obtener su ecuaciĂłn a travĂŠs de la parametrizaciĂłn de las coordenadas (đ?‘Ľ(đ?‘Ą), đ?‘Ś(đ?‘Ą), đ?‘§(đ?‘Ą)) de todos sus puntos. Esta parametrizaciĂłn normalmente se lleva a cabo usando el parĂĄmetro đ?‘Ą, el cual, se define en algĂşn dominio dado, tal como đ?‘Ąđ?œ–[đ?‘Ą0 , đ?‘Ąđ?‘“ ].

1.3.1 EcuaciĂłn de la recta Las ecuaciones de la recta se presentan en diversas formas tales como puntopendiente: de los dos puntos pendientes y ordenados al origen y la forma general, cada una de ellas con sus respectivas demostraciones.

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

22

U1

CĂĄlculo multivariado Funciones vectoriales

Figura 14. Recta (Suarez M.O 2013).

Para poder determinar la ecuaciĂłn vectorial de un recta es necesario que se conozcan los puntos de la recta, vamos a halla la ecuaciĂłn a partir de un punto y un vector de posiciĂłn, si tuviĂŠramos dos puntos por ejemplo A y R en la figura ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ es un vector de posiciĂłn. Teniendo los anterior entonces tenemos el vector đ??´đ?‘… puntos A de la recta y un vector de direcciĂłn đ?‘?⃗⃗, un punto genĂŠrico R de la recta tendrĂĄ entonces una posiciĂłn con el vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘‚đ?‘…, el cual es ilustrado en la Figura 15.

Figura 15. Recta (Suarez M.O 2013).

Para definir la ecuaciĂłn de una recta en el espacio basta conocer un punto de la recta y un vector paralelo a la recta, este vector tomo el nombre o se denomina vector director. Y tenemos un punto đ?‘ƒ0 = (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘§đ?‘œ )el punto conocido, serĂĄ đ?‘ƒ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) un punto cualquiera de la recta y del vector đ?‘Łâƒ— = (đ??´, đ??ľ, đ??ś) el vector director la ecuaciĂłn quedara dada por:

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

23

U1

CĂĄlculo multivariado Funciones vectoriales

Desde un enfoque vectorial, la ecuaciĂłn de la recta en el espacio puede definirse de la siguiente forma: đ?‘&#x;⃗ = đ?‘&#x;⃗0 + đ?‘Ąđ?‘Łâƒ—, donde đ?‘&#x;⃗, đ?‘&#x;⃗0 y đ?‘Łâƒ— son vectores. Los cuales se escriben en tĂŠrminos de sus componentes como sigue: đ?‘&#x;⃗ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§), đ?‘&#x;⃗0 = (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘§0 ) y đ?‘Łâƒ— = (đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?).

Esto permite reescribir la ecuación de la recta de forma tal que: (�, �, �) = (�0 + ��,

đ?‘Ś0 + đ?‘?đ?‘Ą,

đ?‘§0 + đ?‘?đ?‘Ą)

Para ilustrar mejor este concepto busca en la red el video “Ecuaciones de la recta en 3D� (2011), elaborado por la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas.

La ecuaciĂłn de la recta que paso por dos puntos diferentes en el espacio. Si la recta pasa por dos puntos đ??´(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1 )đ?‘Ś đ??ľ(đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 , đ?‘§2 ) tales que đ?‘Ľ1 ≠đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś1 ≠đ?‘Ś2 đ?‘Ś đ?‘§1 ≠đ?‘§2 entonces la ecuaciĂłn de la recta se puede calcular utilizando la fĂłrmula siguiente: đ?‘Ľ − đ?‘Ľ1 đ?‘Ś − đ?‘Ś1 đ?‘§ − đ?‘§1 = đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ1 đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1 đ?‘§2 − đ?‘§1 La ecuaciĂłn paramĂŠtrica de la recta en el espacio puede ser escrita de manera siguiente đ?‘Ľ = đ?‘™đ?‘Ą + đ?‘Ľ0 {đ?‘Ś = đ?‘šđ?‘Ą + đ?‘Ś0 đ?‘§ = đ?‘›đ?‘Ą + đ?‘§0 Donde (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘§0 ) son las coordenadas de los puntos que estĂĄn en la recta, y {đ?‘™, đ?‘š, đ?‘›} las coordenadas del vector director de la recta.

La ecuaciĂłn canĂłnica de la recta en el espacio se representa matemĂĄticamente si se conocen las coordenadas del punto que estĂĄ en la recta y del vector director đ?‘›âƒ—⃗ = {đ?‘™, đ?‘š. đ?‘›}, entonces la ecuaciĂłn de la recta puede ser escrita en la forma canĂłnica utilizando la siguiente expresiĂłn. đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 đ?‘Ś − đ?‘Ś0 đ?‘§ − đ?‘§0 = = đ?‘™ đ?‘š đ?‘›

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

24

U1

Cálculo multivariado Funciones vectoriales

Si la recta es intersección de dos planos, entonces su ecuación se puede expresar con el sistema siguiente de ecuaciones: 𝐴 𝑥 + 𝐵1 𝑥 + { 1 𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑥 +

𝐶1 𝑧 + 𝐷1 = 0 𝐶1 𝑧 + 𝐷1 = 0

1.3.2 Ecuación del plano

Figura 16. Plano en tercera dimensión (Suarez M.O 2013).

Para definir la ecuación de un plano en el espacio basta con conocer un punto en el plano y un vector o plano perpendicular, donde tenemos un punto 𝑃0 = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧𝑜 ) en el punto conocido del plano 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) un punto general del plano y del vector ⃗​⃗ = (𝐴, 𝐵, 𝐶) el vector es perpendicular al plano 𝑃 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑁 0 𝑃 el cual es perpendicular al ⃗​⃗, es decir ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗ = 0. Esto se observa en la imagen de la Figura 16. plano 𝑁 𝑃0 𝑃. 𝑁 Usando las mismas operaciones vectoriales, ahora puedes encontrar otros lugares geométricos en el espacio tales como, el del plano. Esto se consigue, a través del siguiente teorema:

La gráfica de una ecuación lineal 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, con las constantes 𝑎, 𝑏, 𝑐, no todas cero, es un plano con vector perpendicular a este, dado por 𝑛̂ = 𝑎𝑖̂ + 𝑏𝑗̂ + 𝑐𝑘̂. En la gráfica siguiente, podrás observar un plano en el espacio. Como se puede observar, cada plano puede extenderse infinitamente en cualquier dirección, a menos que se indique lo contrario en su ecuación. Un ejemplo de ello, se observa en la Figura 17.

Universidad Abierta y a Distancia de México

25

U1

CĂĄlculo multivariado Funciones vectoriales

Figura 17. Plano en el espacio.

La ecuaciĂłn general del plano, cualquier plano se puede expresar como una ecuaciĂłn del plano de la primera forma donde los valores de A, B y C no pueden ser cero al mismo tiempo. đ??´đ?‘‹ + đ??ľđ?‘Œ + đ??śđ?‘? + đ??ˇ = 0 EcuaciĂłn del plano en segmentos si el plano cruza los ejes đ?‘‚đ?‘‹, đ?‘‚đ?‘Œ đ?‘Ś đ?‘‚đ?‘? en los puntos con las coordenadas (đ?‘Ž, 0, 0), (0, đ?‘?, 0 )đ?‘Ś (0, 0, đ?‘?), entonces puede calcularse, utilizando la fĂłrmula de ecuaciĂłn del plano en segmentos. đ?‘Ľ đ?‘Ś đ?‘§ + + =1 đ?‘Ž đ?‘? đ?‘?

TambiĂŠn existe la ecuaciĂłn del plano, que pasa por un punto, perpendicular al vector normal, para formular la ecuaciĂłn de plano sabiendo las coordenadas del punto del plano đ?‘€(đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 , đ?‘§0 ) y el vector normal del plano đ?‘›âƒ—⃗ = {đ??´, đ??ľ, đ??ś} se puede utilizar la formula siguiente. đ??´(đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 ) + đ??ľ(đ?‘Ś − đ?‘Ś0 ) + đ??ś(đ?‘§ − đ?‘§0 ) = 0

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

26

U1

CĂĄlculo multivariado Funciones vectoriales

La ecuaciĂłn del plano que pasa por tres puntos dados, que no estĂĄn en una recta, si hay dadas coordenadas de tres puntos tenemos đ??´(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 , đ?‘§1 ), đ??ľ(đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 , đ?‘§2 )đ?‘Ś đ??ś(đ?‘Ľ3 , đ?‘Ś3 , đ?‘§3 ), que estĂĄn en el plano entonces la ecuaciĂłn del plano se puede calcular por la formula siguiente: đ?‘Ľ − đ?‘Ľ1 |đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ3 − đ?‘Ľ1

đ?‘Ś − đ?‘Ś1 đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1 đ?‘Ś3 − đ?‘Ś1

đ?‘§ − đ?‘§1 đ?‘§2 − đ?‘§1 | = 0 đ?‘§3 − đ?‘§1

Te invito a que revises los apartados 1.5 y 1.6 del texto de Zill (2012); en los que encontrarĂĄs respectivamente, los tĂłpicos: ecuaciĂłn de la recta y ecuaciĂłn del plano. Ten en cuenta que ambos lugares geomĂŠtricos se grafican en el espacio. Para ello, es necesario tener muy claros los conceptos de producto escalar y producto vectorial, analizados en el subtema anterior.

A continuaciĂłn, debes resolver la actividad integradora de esta Unidad, que te permitirĂĄ reforzar los conceptos discutidos y te entrenarĂĄ para la siguiente Unidad, sobretodo en el uso de planos tangentes a superficies. Estos planos tendrĂĄn ademĂĄs vectores normales a ellos, los cuales, estarĂĄn relacionados con el gradiente de la funciĂłn graficada. Asimismo, obtendrĂĄs las ecuaciones de rectas y planos. AprenderĂĄs tambiĂŠn a resolver problemas usando las dos nuevas operaciones entre vectores; que es el producto escalar y el producto vectorial.

En esta tercera parte de la Unidad 1, estudiaste las ecuaciones de rectas y planos en el espacio tridimensional. TambiĂŠn resolviste problemas empleando operaciones vectoriales.

Como seguramente ya habrĂĄs notado, las ecuaciones de la recta y el plano son en realidad funciones vectoriales o funciones de un parĂĄmetro đ?‘Ą. Este interesante resultado te permitirĂĄ graficar planos y rectas, usando una sola variable independiente. Por lo que, seguramente te serĂĄ de gran utilidad estudiar este tipo de funciones, ya que en experimentos de laboratorio el tiempo suele ser una variable de la que depende el proceso estudiado.

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

27

U1

Cálculo multivariado Funciones vectoriales

Actividades La elaboración de las actividades estará guiada por tu docente en línea, mismo que te indicará, a través de la Planeación didáctica del docente en línea, la dinámica que tú y tus compañeros (as) llevarán a cabo, así como los envíos que tendrán que realizar.

Para el envío de tus trabajos usarás la siguiente nomenclatura: BCMV_U1_A1_XXYZ, donde BCMV corresponde a las siglas de la asignatura, U1 es la unidad de conocimiento, A1 es el número de actividad, el cual debes sustituir considerando la actividad que se realices, XX son las primeras letras de tu nombre, Y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno.

Autorreflexiones Para la parte de autorreflexiones debes responder las Preguntas de Autorreflexión indicadas por tu docente en línea y enviar tu archivo. Cabe recordar que esta actividad tiene una ponderación del 10% de tu evaluación.

Para el envío de tu autorreflexión utiliza la siguiente nomenclatura: BCMV_U1_ATR _XXYZ, donde BCMV corresponde a las siglas de la asignatura, U1 es la unidad de conocimiento, XX son las primeras letras de tu nombre, y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno

Cierre de la Unidad A lo largo de esta Unidad has podido adentrarte en los conceptos de vectores en el espacio tridimensional y sus operaciones básicas. Entre estas operaciones se encuentran el producto escalar y el producto vectorial. Al mismo tiempo, has podido revisar los conceptos de función de varias variables y su representación gráfica en el espacio. Particularmente, las funciones de dos variables y algunas curvas paramétricas como la cicloide y la doble hélice en el espacio tridimensional.

Examinaste algunas superficies cuadráticas relevantes tales como: elipsoides, conos, cilindros, esferas, hiperboloides, paraboloides y sus diferentes variantes.

Revisaste los conceptos continuidad y límite de una función de dos variables.

Universidad Abierta y a Distancia de México

28

U1

Cálculo multivariado Funciones vectoriales

También, pudiste revisar algunas ecuaciones relacionadas con rectas y planos; y resolviste algunos problemas de geometría analítica en el espacio.

Todas estas nuevas herramientas matemáticas las aplicaste a ciertos problemas de las ciencias físicas o de la ingeniería. Al respecto, debes tomar en cuenta que todos los conceptos estudiados serán usados en las siguientes Unidades. Por ejemplo en la segunda Unidad, las operaciones vectoriales estudiadas aquí te serán muy útiles para calcular el gradiente, la divergencia y el rotacional, tanto de campos escalares como de vectoriales. Asimismo, las gráficas en el espacio te apoyarán para representar los conceptos de la derivada de una función.

Para saber más

Para saber más se recomiendan las siguientes fuentes de información: Todas estas páginas contienen materiales complementarios o video clases que apoyan el aprendizaje de algunos de los conceptos estudiados en esta Unidad. http://www.editorialrubinos.com/2012/07/problemas-resueltos-de-superficies.html En esta liga encontrarás problemas resueltos que ilustran como puedes graficar algunas de las superficies cuadráticas estudiadas en esta Unidad. http://www.matematicasypoesia.com.es/matematicas/SupSegOrden.htm En esta liga puedes consultar los apuntes sobre superficies cuadráticas, planos y rectas. http://infomat-fiei.blogspot.mx/2011/07/superficies-conicas-y-cuadricas.html

Universidad Abierta y a Distancia de México

29

U1

Cálculo multivariado Funciones vectoriales

Nuevamente, apuntes sobre las cónicas y algunas de sus características, como apoyo a la consulta de ciertos conceptos útiles en la solución de problemas. http://www.scielo.cl/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0718-07642010000200005 Artículo de Investigación en el área de biotecnología, en donde se muestra la aplicación de gráficas en el espacio. http://www.vitutor.com/geo/vec/a_e.html En esta liga encontrarás algunos ejercicios resueltos sobre el tópico de vectores. http://www.youtube.com/watch?v=sF6NAi9IRl4 En esta liga encontrarás un interesante video, sobre vectores y su representación.

Algunos ejemplos de vectores son enunciados. Este video puede ser un material muy ilustrativo complementario de la segunda parte de la Unidad 1. http://www.google.com.mx/search?q=cicloide&hl=es419&rlz=1C2CHFA_enMX484MX485&prmd=imvns&tbm=isch&tbo=u&source=univ& sa=X&ei=OJFkUMraCcHK2AW3sYGgCw&sqi=2&ved=0CCgQsAQ&biw=973&bih=5 46 En esta liga podrás observar esquemas diversos de la función cicloide y de algunas de sus características geométricas. También de algunas de sus implementaciones físicas.

Courant R., et al. (2006) ¿Qué son las Matemáticas? Conceptos y métodos fundamentales. México: Fondo de Cultura Económica.

En este libro podrás encontrar algunos de los tópicos estudiados en esta Unidad.

No es un libro de texto propiamente, es un más bien un tratado muy general de matemáticas. Muy recomendable para comprender justamente ¿Qué son las Matemáticas?

De acuerdo con los autores te permite lograr un contacto real con el quehacer matemático.

Universidad Abierta y a Distancia de México

30

U1

Cálculo multivariado Funciones vectoriales

Fuentes de consulta

1. Leithold, L. (2006). El Cálculo. México: Oxford.

2. Marsden, J. E., et al. (2004). Cálculo Vectorial. España: Pearson-Addison Wesley.

3. Stewart, J. (2006). Cálculo. Conceptos y Contextos. Estado de México.

México: Thompson.

4. Zill, D. G. et al. (2012). Matemáticas 3. Cálculo de Varias variables. México, D. F.: McGraw-Hill.

Universidad Abierta y a Distancia de México

31