Unidad 1. Números complejos y funciones de variable compleja

Programa de la asignatura:

Variable compleja

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Números complejos y funciones de variable compleja

Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales | Ingeniería en Biotecnología

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Variable compleja Números complejos y funciones de variable compleja

Índice

Presentación de la Unidad ........................................................................................................ 2 Propósitos.................................................................................................................................. 3 Competencia específica ............................................................................................................ 3 1.1. Campo de los números complejos ..................................................................................... 4 1.1.1. Definición y reglas algebraicas de números complejos en forma cartesiana ................. 4 1.1.2. Adición, sustracción; multiplicación y división ................................................................. 7 1.1.3. Complejo conjugado de un número ................................................................................ 9 1.1.4. Representación polar de un número complejo ............................................................. 11 1.1.5. Raíces en la teoría de ecuaciones ................................................................................ 13 1.2. Operaciones y representación en el plano de Argand-Gauss ......................................... 15 1.2.1. Números complejos como pares ordenados en el plano .............................................. 15 1.2.2. Operaciones geométricas con números complejos ...................................................... 18 1.2.3. Raíces de números complejos en el Plano Argand-Gauss .......................................... 23 1.3. Funciones de variable compleja ....................................................................................... 26 1.3.1. Dominio en el plano complejo (Argand-Gauss) ............................................................ 27 1.3.2. Funciones analíticas ...................................................................................................... 29 1.3.3. Funciones trigonométricas y trascendentes.................................................................. 30 1.3.4. Funciones inversas ....................................................................................................... 32 1.3.5. Funciones elementales de variable compleja ............................................................... 34 1.3.6. Límites y continuidad ..................................................................................................... 36 Actividades .............................................................................................................................. 37 Autorreflexiones....................................................................................................................... 37 Cierre de la Unidad ................................................................................................................. 37 Para saber más ....................................................................................................................... 38 Fuentes de consulta ................................................................................................................ 39

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Variable compleja NĂşmeros complejos y funciones de variable compleja

PresentaciĂłn de la Unidad Por muchas razones el concepto de nĂşmero ha tenido que extenderse incluso mĂĄs allĂĄ del continuo de los nĂşmeros reales, con la introducciĂłn de los llamados nĂşmeros complejos. Se espera que tales extensiones ofrezcan nuevas herramientas matemĂĄticas para nuevas aplicaciones en las ciencias e ingenierĂ­a y de esta forma permitirte el acceso a nuevos conocimientos.

A lo largo de esta Unidad, se estudiarĂĄn las operaciones fundamentales entre nĂşmeros complejos; en el entendido de que la combinaciĂłn de una cantidad imaginaria con una cantidad real, forman a un nĂşmero complejo. TambiĂŠn se darĂĄ su interpretaciĂłn geomĂŠtrica y sus posibles aplicaciones a la ingenierĂ­a como en el caso de los fasores.

ResolverĂĄs algunas ecuaciones de segundo y tercer grado en donde las raĂ­ces de tales ecuaciones, son del tipo imaginario. Asimismo, se calcularĂĄn las raĂ­ces de un nĂşmero complejo y se introducirĂĄ la forma polar de este tipo de nĂşmeros, lo que facilitarĂĄ el cĂĄlculo de operaciones tales como la potenciaciĂłn. En esta misma Unidad describirĂĄs funciones de variable compleja y su definiciĂłn de continuidad.

Uno de los resultados mĂĄs importantes y usados dentro de la variable compleja y sus aplicaciones es la fĂłrmula de Euler y su histĂłrica identidad đ?‘’ đ?‘–đ?œ‹ + 1 = 0, considerada por la comunidad MatemĂĄtica Internacional como la fĂłrmula matemĂĄtica mĂĄs bella de todos los tiempos, la cual tendrĂĄs oportunidad de utilizar en el cĂĄlculo de las raĂ­ces de un nĂşmero complejo.

Entre las aplicaciones de la variable compleja tendrĂĄs la posibilidad de aplicar los conceptos estudiados a fenĂłmenos de transporte y al flujo de fluidos.

La invitaciĂłn es que disfrutes y aprendas en esta parte del curso, los conceptos que te darĂĄn las bases para desarrollar competencias que te serĂĄn de mucha utilidad en las diferentes aplicaciones de la ingenierĂ­a en biotecnologĂ­a.

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Números complejos y funciones de variable compleja

Propósitos

El estudio de esta Unidad te permitirá:    

Llevar a cabo operaciones básicas del álgebra de números complejos.

Comprender el concepto geométrico de un número complejo y su utilidad en el cálculo de raíces.

Definir los conceptos de función, límite y continuidad en el campo de los números complejos.

Resolver problemas usando operaciones algebraicas básicas con funciones de variable compleja.

Competencia específica

Analizar las operaciones básicas de los números complejos y su representación geométrica en el plano de Argand para resolver problemas de modelos físico-matemáticos empleando números complejos en contextos específicos de la ingeniería.

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1.1. Campo de los nĂşmeros complejos El siglo XVI surgiĂł entre los matemĂĄticos de aquella ĂŠpoca, la inquietud de cĂłmo interpretar las raĂ­ces cuadradas de nĂşmeros negativos. Se vieron obligados a introducir ciertas expresiones para estas raĂ­ces, a las cuales mĂĄs tarde llamaron cantidades imaginarias por considerarlas “irrealesâ€?. Para el siglo XIX, la apariciĂłn de los nĂşmeros imaginarios se vuelve mĂĄs frecuente en muchas de las ĂĄreas de las matemĂĄticas; por lo que se ven en la necesidad de darles incluso una interpretaciĂłn geomĂŠtrica. Esta interpretaciĂłn permitiĂł que las operaciones entre nĂşmeros complejos se hicieran mĂĄs intuitivas, lo que facilitĂł su posterior desarrollo y ampliĂł la gama de aplicaciones a otras ciencias. Los tĂłpicos a tratar en esta prmera parte te abrirĂĄn la primera puerta al interesante campo de la variable compleja. Estos temas serĂĄn, las operaciones fundamentales entre nĂşmeros complejos en sus formas posibles cartesiana y polar; y el cĂĄlculo de las raĂ­ces de una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica.

1.1.1. DefiniciĂłn y reglas algebraicas de nĂşmeros complejos en forma cartesiana Como se mencionĂł anteriormente, los nĂşmeros complejos surgen como una necesidad de resolver un cierto tipo de problemas que no es posible solucionar usando sĂłlo cantidades reales. Tal es el caso de la “sencillaâ€? ecuaciĂłn de segundo grado, đ?‘Ľ 2 + 1 = 0, que al intentar despejar la incĂłgnita đ?‘Ľ, nos encontramos con el inconveniente de que đ?‘Ľ 2 = −1, No existe en todo el campo de los nĂşmeros reales, una cantidad que al ser elevada al cuadrado resulte ser una cantidad negativa. Pues como podremos probar toda cantidad positiva o negativa, siempre serĂĄ positiva si ĂŠsta se eleva al cuadrado.

Introduzcamos una nueva expresiĂłn que nos permita tener una soluciĂłn de la ecuaciĂłn planteada, sea đ?‘Ľ 2 = đ?‘– 2, donde đ?‘– = √−1, la que llamaremos en adelante la unidad imaginaria. Al elevar al cuadrado se tiene que, đ?‘– 2 = −1.

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Podemos ahora regresar a la ecuaciĂłn cuadrĂĄtica y despejar la variable đ?‘Ľ, esta resulta ser, đ?‘Ľ = Âąđ?‘–. ÂżQuĂŠ significa este resultado y quĂŠ consecuencias tiene?

1. La cantidad đ?‘– es meramente un sĂ­mbolo y no es Ăştil para contar.

2. La cantidad imaginaria đ?‘– permite hacer una extensiĂłn del campo de los nĂşmeros reales al campo de los nĂşmeros complejos.

En adelante hablaremos de la grĂĄfica de un nĂşmero complejo, previamente identifiquemos algunos nĂşmeros complejos tales como: 5 + 2đ?‘– −8đ?‘– 9−đ?‘– đ?œ‹ + đ?‘–√2 Podemos partir de una expresiĂłn mĂĄs general de nĂşmero complejo, a saber, đ?‘§ = đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘–.

En estĂĄ expresiĂłn se tienen dos cantidades importantes, la cantidad real đ?‘Ž y la cantidad imaginaria đ?’ƒđ?’Š. Ambas forman parte del nĂşmero complejo đ?‘§.

Esto nos permite decir que todo nĂşmero complejo estĂĄ formado de una cantidad real mĂĄs una cantidad imaginaria, incluso para aquellos nĂşmeros que en apariencia son cantidades 4

reales, por ejemplo: 1, 2, đ?‘’, đ?œ‹, 5,â‹Ż En virtud de la definiciĂłn de un nĂşmero complejo podemos asumir que: 1 = 1 + 0đ?‘–, đ?‘’ = đ?‘’ + 0đ?‘–, etc. Por lo que todo nĂşmero real es a su vez un nĂşmero complejo.

Por tanto un nĂşmero complejo đ?‘§ se puede reescribir como, đ?‘§ = đ?‘…đ?‘’(đ?‘§) + đ?‘– đ??źđ?‘š(đ?‘§), donde đ?‘Ž = đ?‘…đ?‘’(đ?‘§) y đ?‘? = đ??źđ?‘š(đ?‘§), son respectivamente, la parte real y la parte imaginaria del nĂşmero đ?‘§.

Ejemplo 01: Un ejemplo de la diferencia del uso de nĂşmeros reales versus nĂşmeros complejos, lo podemos observar al resolver las ecuaciones cuadrĂĄticas:

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đ?‘Ľ2 − 1 = 0 y đ?‘Ľ2 + 1 = 0 Para el primer caso, la soluciĂłn resulta ser đ?‘Ľ = Âą1, mientras que en el segundo se tiene una soluciĂłn imaginaria đ?‘Ľ = Âąđ?‘–.

Lo interesante de esto viene al graficar las funciones đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 2 + 1 y đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 2 − 1.

Como puedes observar las soluciones de la ecuaciĂłn đ?‘Ľ 2 + 1 = 0 no cruzan con el eje real, pues son raĂ­ces imaginarias. Contrariamente, las soluciones de la ecuaciĂłn đ?‘Ľ 2 − 1 = 0 cortan al eje de las đ?‘‹ al ser raĂ­ces reales, pasando justamente en los puntos (−1, 0) y (1, 0). Esto lo puedes observar en las curvas de la grĂĄfica siguiente:

Figura 1. RaĂ­ces reales versus raĂ­ces complejas.

Los números complejos son una extensión de los números reales. El conjunto de los números complejos se designa como ℂ, siendo � el conjunto de los reales que cumple la condición de que � ⊂ ℂ (� subconjuto de ℂ). La mayor virtud hasta aquí de los números complejos, es que Êstos incluyen todas las raíces de los polinomios; a diferencia de los reales que no tienen definidas a las raíces negativas.

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Los nĂşmeros complejos satisfacen un conjunto de propiedades o leyes para poder llevar a cabo operaciones con ellos. Entre las propiedades mĂĄs importantes se encuentran la conmutativa, la asociativa y la distributiva.

Si quieres ampliar la información sobre el tema, puedes revisar los siguientes documentos: •Churchill, R. V., Brown, J.W. (2004). Variable Compleja y aplicaciones. 6ta. edición.

Espaùa: McGraw-Hill. ISBN: 0-07-010905-2 •Spiegel M. R., Lipschutz, S., Schiller, J.J., Spellman D. (2011). Variable Compleja. Serie Schaum. Espaùa. McGraw-Hill Interamericana de Espaùa S.L. ISBN: 9786071505514 •Wunsch, A. D. (1999). Variable compleja con aplicaciones. 2ª ed. MÊxico. Pearson Educación. ISBN: 968-444-402-8

1.1.2. AdiciĂłn, sustracciĂłn, multiplicaciĂłn y divisiĂłn Comencemos ahora con algunas operaciones entre nĂşmeros complejos. Estas operaciones son una extensiĂłn de algunas propiedades que ya son conocidas en el campo de los nĂşmeros reales. Estas mismas propiedades permitirĂĄn sumar, restar, multiplicar y dividir nĂşmeros complejos en forma correcta, por lo que es importante seguirlas al pie de la letra.

Al operar con nĂşmeros complejos, las operaciones algebraicas involucradas las podemos entender tal como cuando operamos usando pares ordenados que representan a vectores. Por ejemplo, sean đ?‘§1 = (đ?‘Ž1 , đ?‘?1 ) y đ?‘§2 = (đ?‘Ž2 , đ?‘?2 ) dos nĂşmeros complejos, se define la suma entre ellos mediante la suma de sus componentes, dada esta por đ?‘§1 + đ?‘§2 = (đ?‘Ž1 , đ?‘?1 ) + (đ?‘Ž2 , đ?‘?2 ) = (đ?‘Ž1 + đ?‘Ž2 , đ?‘?1 + đ?‘?2 ).

En adelante se definirĂĄn algunas otras operaciones tales como resta, multiplicaciĂłn y divisiĂłn adecuadas dentro del conjunto â„‚. Sin olvidar que seguirĂĄn siendo vĂĄlidas para nĂşmeros reales. Comencemos con un ejemplo.

Ejemplo 02: Realice las operaciones indicadas.

Suma: (3 − 4đ?‘–) + (4 + 9đ?‘–) = 7 + 5đ?‘– Resta: (10 − 4đ?‘–) − (8 + đ?‘–) = (10 − 8) + (−4đ?‘– − đ?‘–) = 2 − 5đ?‘–

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MultiplicaciĂłn: (5 − 3đ?‘–) ∙ (2 − đ?‘–) = 10 − 6đ?‘– − 5đ?‘– + 3đ?‘– 2 = (10 − 3) − (6đ?‘– + 5đ?‘–) = 7 − đ?‘–

DivisiĂłn:

3−2đ?‘– 4−5đ?‘–

=

3−2đ?‘– 4−5đ?‘–

∙

4+5đ?‘– 4+5đ?‘–

=

12−8đ?‘–+15đ?‘–−10đ?‘– 2 16−25đ?‘– 2

=

22+7đ?‘– 41

=

22 41

+

77 41

đ?‘–

En las operaciones anteriores hemos tomando en cuenta que đ?‘– 2 = −1. Para el caso de la divisiĂłn, se comienza multiplicando al cociente por la unidad. Obviamente en la forma 4+5đ?‘–

del cociente 4+5đ?‘– , muy similar a la racionalizaciĂłn de radicales del ĂĄlgebra bĂĄsica. Al tener el producto (4 − 5đ?‘–) ∙ (4 + 5đ?‘–) en el denominador, la operaciĂłn se resuelve usando el producto notable conocido como binomio conjugado. Un aspecto que no deja de ser relevante de mencionar aquĂ­ es cuando dividimos nĂşmeros complejos, a diferencia del cĂĄlculo vectorial en donde la divisiĂłn entre vectores no estĂĄ permitida; para el caso de nĂşmeros complejos estĂĄ operaciĂłn sĂ­ existe.

Por otra parte, algunas de las propiedades mĂĄs usadas para operar la suma y la multiplicaciĂłn de nĂşmeros complejos se muestran a continuaciĂłn.

Sean đ?‘§1 , đ?‘§2 y đ?‘§3 nĂşmeros complejos, en el momento de sumar o multiplicar se cumplen las siguientes propiedades: Propiedad Conmutativa đ?‘§1 + đ?‘§2 = đ?‘§2 + đ?‘§1 (para la suma) đ?‘§1 ∙ đ?‘§2 = đ?‘§2 ∙ đ?‘§1 (para el producto) Propiedad Asociativa đ?‘§1 + (đ?‘§2 + đ?‘§3 ) = (đ?‘§1 + đ?‘§2 ) + đ?‘§3 (para la suma đ?‘§1 ∙ (đ?‘§2 ∙ đ?‘§3 ) = (đ?‘§1 ∙ đ?‘§2 ) ∙ đ?‘§3 (para el producto) Propiedad Distributiva đ?‘§1 ∙ (đ?‘§2 + đ?‘§3 ) = đ?‘§1 ∙ đ?‘§2 + đ?‘§2 ∙ đ?‘§3 Un resumen mĂĄs amplio de estas operaciones y sus propiedades las podrĂĄs encontrar en la pĂĄgina 2 del texto Spiegel y col. (2011).

Un tema igualmente relevante surge cuando pasamos de las coordenadas cartesianas a las coordenadas polares. Esto se puede observar cuando las variables (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) se transforman mediante las expresiones: đ?‘&#x; = √đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 , đ?‘Ś đ?œƒ = đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘› ( ), đ?‘Ľ Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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en las coordenadas polares (đ?‘&#x;, đ?œƒ).

MĂĄs adelante, veremos que la representaciĂłn geomĂŠtrica de un nĂşmero complejo nos lleva obligatoriamente a requerir de la magnitud del radio vector que lo representa, esto a partir de su origen y hasta el punto donde el nĂşmero se encuentra.

Por lo que, sea đ?‘§ = đ?‘Ľ + đ?‘–đ?‘Ś un nĂşmero complejo en su forma cartesiana, se puede encontrar la magnitud del nĂşmero mediante la expresiĂłn |đ?‘§| = √đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 . De acuerdo con el primer esquema, đ?‘&#x; = |đ?‘§| representa la distancia de un vector desde el origen de coordenadas al punto (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) sobre el plano complejo.

Ejemplo 03: Calcular la magnitud |đ?‘§| del nĂşmero đ?‘§ = 4 − 3đ?‘–. |đ?‘§| = √(4)2 + (−3)2 = √25 = 5 por lo que |đ?‘§| = 5. Como hemos mencionado anteriormente, la cantidad calculada es la distancia de un vector desde el origen de coordenadas hasta el punto (4, −3).

TambiĂŠn, y a manera de conclusiĂłn para esta subsecciĂłn, podemos decir que dada una operaciĂłn entre dos nĂşmeros complejos, el resultado siempre serĂĄ otro nĂşmero complejo.

Por lo que es importante tomar en cuenta, e insistir que las operaciones algebraicas entre dos nĂşmeros complejos se concluyen en el momento que, el resultado queda expresado en tĂŠrminos de un solo nĂşmero complejo de la forma đ?’‚ + đ?’Šđ?’ƒ.

En la pĂĄgina 8, capĂ­tulo 1 del texto Churchill y Brown (2004) podrĂĄs encontrar un ejemplo del cĂĄlculo del mĂłdulo de un nĂşmero complejo.

1.1.3. Complejo conjugado de un nĂşmero Es muy comĂşn el uso del complejo conjugado de un nĂşmero đ?‘§. Este se puede denotar usando dos formas diferentes: đ?‘§ ∗ o đ?‘§Ě…. A manera de ejemplo, sean đ?‘§1 = 3 − 2đ?‘– y đ?‘§2 = 8 + 9đ?‘–, donde sus respectivos conjugados son: đ?‘§1∗ = 3 + 2đ?‘– y đ?‘§2∗ = 8 − 9đ?‘–, observemos el cambio de signos en las partes imaginarias de los nĂşmeros đ?‘§1∗ y đ?‘§2∗ . No estarĂ­a completa la discusiĂłn sobre el complejo conjugado de un nĂşmero sin su representaciĂłn grĂĄfica.

Aunque hemos dejado para la segunda parte de esta Unidad las representaciones grĂĄficas de nĂşmeros complejos, podemos ver el esquema que se presenta en la pĂĄgina 121 del texto Courant y Robbins (2006). En este esquema observamos la grĂĄfica de un

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nĂşmero complejo y la de su conjugado. Este Ăşltimo aparece ahĂ­, como una reflexiĂłn alrededor del eje de las đ?‘‹.

Por otra parte, observemos que el complejo conjugado cumple con un conjunto de propiedades muy interesantes, una de ellas y la mĂĄs ampliamente usada es: đ?‘§ ∙ đ?‘§ ∗ = |đ?‘§|2 .

Ejemplo 04: Si đ?‘§ = 3 − 2đ?‘–. Probar que đ?‘§ ∙ đ?‘§ ∗ = |đ?‘§|2 .

Llevando a cabo el producto del lado izquierdo de la igualdad: đ?‘§ ∙ đ?‘§ ∗ = (3 − 2đ?‘–) ∙ (3 − 2đ?‘–)∗ = (3 − 2đ?‘–) ∙ (3 + 2đ?‘–) = 9 + 4 = 13, en donde hemos tomado en cuenta el hecho de que đ?‘– 2 = −1.

Calculemos ahora, 2

|đ?‘§|2 = (√(3)2 + (−2)2 ) = 9 + 4 = 13.

Las propiedades mĂĄs importantes del complejo conjugado se mencionan a continuaciĂłn.

Sean đ?‘§1 y đ?‘§2 dos nĂşmeros complejos para los cuales se cumple que: a) (đ?‘§1 + đ?‘§2 )∗ = đ?‘§1∗ + đ?‘§2∗, esta propiedad significa que, el complejo conjugado de la suma de dos nĂşmeros complejos es igual a la suma de los complejos conjugados de los nĂşmeros.

AnĂĄlogamente para la diferencia, la multiplicaciĂłn y la divisiĂłn de dos nĂşmeros complejos, se puede ver que:

b) (đ?‘§1 − đ?‘§2 )∗ = đ?‘§1∗ − đ?‘§2∗ c) (đ?‘§1 ∙ đ?‘§2 )∗ = đ?‘§1∗ ∙ đ?‘§2∗ đ?‘§

∗

đ?‘§âˆ—

d) (đ?‘§1 ) = đ?‘§1∗ 2

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Un ejemplo muy interesante sobre las ventajas del uso del complejo conjugado y sus propiedades lo podrĂĄs encontrar en la pĂĄgina 10 del texto Wunsch A. D. (1999). Por el momento propongamos un ejemplo mĂĄs.

Ejemplo 05.

Si đ?‘§ = 2 + 8đ?‘–. Probemos que: Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 1 1 ( )= đ?‘§ đ?‘§Ě… Resolviendo para el primer miembro de la igualdad: Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 1 1 1Ě… 1 ( )=( )= = Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘§ 2 + 8đ?‘– 2 − 8đ?‘– (2 + 8đ?‘–)

Tomando ahora para el segundo miembro de la igualdad: 1 1 1 = = đ?‘§Ě… Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 2 − 8đ?‘– (2 + 8đ?‘–) Al comparar ambos resultados queda probada la aseveraciĂłn inicial.

En la pĂĄgina 9-11, capĂ­tulo 1 del texto Churchill y Brown (2004) podrĂĄs encontrar un ejemplo y propiedades del uso del complejo conjugado de un nĂşmero complejo.

1.1.4. RepresentaciĂłn polar de un nĂşmero complejo Introduzcamos una nueva forma de representar al mismo nĂşmero complejo, llamada forma polar, esto mediante la expresiĂłn đ?‘§ = đ?‘&#x;đ?‘’ đ?‘–đ?œƒ . La forma polar de un nĂşmero complejo guarda ciertas ventajas respecto de la forma cartesiana. MĂĄs adelante veremos algunas de estas ventajas. Por el momento, sea đ?‘§ ∗ = đ?‘&#x;đ?‘’ −đ?‘–đ?œƒ , el complejo conjugado en forma polar. Igual que en el caso cartesiano, el cambio sustancial estĂĄ en el signo del imaginario. Usando estas relaciones se puede probar que đ?‘§ ∙ đ?‘§ ∗ = |đ?‘§|2 .

Existe una fĂłrmula que es muy usada, la llamada fĂłrmula de Euler, đ?‘’ đ?‘–đ?œƒ = cos đ?œƒ + đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?œƒ.

Si hacemos que đ?œƒ = đ?œ‹, entonces obtendremos una de las mĂĄs famosas de las fĂłrmulas matemĂĄticas de todos los tiempos; Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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đ?‘’ đ?‘–đ?œ‹ = cos đ?œ‹ + đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?œ‹ = −1 + đ?‘–0 = −1,

reduciendo, đ?‘’ đ?‘–đ?œ‹ + 1 = 0 Para el caso del complejo conjugado, đ?‘’ −đ?‘–đ?œƒ = cos đ?œƒ − đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?œƒ, se te recomienda ampliamente que veas el video llamado Identidad de Euler. www.youtube.com/watch?v=yRIJww3xORE Ahora usemos la forma polar para llevar a cabo las operaciones entre los nĂşmeros complejos siguientes.

Ejemplo 06: Dividir y elevar a la potencia indicada, (

1 + đ?‘–√3 1 − đ?‘–√3

10

) .

Calculemos las magnitudes de ambos nĂşmeros: 2

|đ?‘§| = √(1)2 + (Âąâˆš3) = 2,

Para el numerador el valor de đ?œƒ es:

đ?œƒ = arctan (

đ?œ‹ √3 )= 1 3

y para el denominador đ?œƒ es:

đ?œƒ = arctan (

−√3 đ?œ‹ )=− 1 3

Por lo tanto el cociente queda de la forma, đ?œ‹

2đ?‘’ đ?‘– 3

đ?œ‹

10

( đ?œ‹) 2đ?‘’ −đ?‘– 3

=

đ?œ‹

10

(2)10 (đ?‘’ đ?‘– 3 ∙ đ?‘’ đ?‘– 3 ) (2)10

2đ?œ‹

10

= (đ?‘’ đ?‘– 3 )

= đ?‘’đ?‘–

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20đ?œ‹ 3

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Factorizando y usando la fĂłrmula de Euler, 2đ?œ‹ 2đ?œ‹ 2đ?œ‹ 1 √3 đ?‘’ đ?‘–6đ?œ‹ ∙ đ?‘’ đ?‘– 3 = (1) ∙ (cos ( ) + đ?‘– sin ( )) = − + đ?‘– 3 3 2 2

En este primer tema partimos del hecho que se conocen operaciones bĂĄsicas tales como la potenciaciĂłn y la radicaciĂłn de expresiones algebraicas. Es importante hacer notar que el uso de los productos notables y la factorizaciĂłn de expresiones algebraicas suele ser comĂşn en el momento de resolver ciertos problemas de la variable compleja. Por lo que se te recomienda tener a la mano algĂşn texto relacionado con estas operaciones fundamentales. PodrĂĄs encontrar en la pĂĄgina 4 del texto Spiegel y col. (2011) la forma polar de un nĂşmero complejo.

1.1.5. RaĂ­ces en la teorĂ­a de ecuaciones Comencemos este tĂłpico con un ejemplo.

Ejemplo 07: En el siguiente caso de estudio se presenta la soluciĂłn de la ecuaciĂłn de tercer grado đ?‘Ľ 3 + 2đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ + 2 = 0.

La soluciĂłn de esta ecuaciĂłn se resuelve usando la divisiĂłn sintĂŠtica, la cual se presenta a continuaciĂłn. Se toman los coeficientes de la ecuaciĂłn 1, 2, 1, 2; y se colocan en el primer reglĂłn del arreglo mostrado a continuaciĂłn. DespuĂŠs se buscan los factores del tĂŠrmino independiente 2, tal que: 2 = (2) ∙ (2) Ăł 2 = (−2) ∙ (−2). Por tanteo se ensaya con cada uno de ellos, por ejemplo tomemos el valor −2 y coloquemoslo en la esquina superior derecha. Bajemos el coeficiente +1, al Ăşltimo renglĂłn y multipliquĂŠmoslo por (−2). Como se puede ver, la suma da cero y volvemos a multiplicar y a sumar consecutivamente hasta terminar con todos los tĂŠrminos. Si la Ăşltima suma resulta ser cero, entonces hemos encontrado la primera raĂ­z. En este caso la raĂ­z es justamente −2.

1 1

2 1 −2 0 0 1

2 −2 0

−2

ÂżCuĂĄl es la correcta o es problema de versiĂłn de Word?

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DespuĂŠs de rearreglar los tĂŠrminos se tiene lo siguiente: đ?‘Ľ 3 + 2đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ + 2 = (đ?‘Ľ + 2)(đ?‘Ľ 2 + 0đ?‘Ľ + 1) = (đ?‘Ľ + 2)(đ?‘Ľ 2 + 1) = (đ?‘Ľ + 2)(đ?‘Ľ 2 − (−1)), en virtud de que đ?‘– 2 = −1, observamos que (đ?‘Ľ + 2)(đ?‘Ľ 2 − (−1)) = (x + 2)(đ?‘Ľ 2 − đ?‘– 2 ) = (đ?‘Ľ + 2)(đ?‘Ľ + đ?‘–)(đ?‘Ľ − đ?‘–).

Retomando la ecuaciĂłn cĂşbica, đ?‘Ľ 3 + 2đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ + 2 = (đ?‘Ľ + 2)(đ?‘Ľ + đ?‘–)(đ?‘Ľ − đ?‘–)=0.

Podemos concluir que se han obtenido tres soluciones para dicha ecuaciĂłn, dos imaginarias y una real, a saber; đ?‘Ľ1 = −2, por divisiĂłn sintĂŠtica y đ?‘Ľ = Âąđ?‘– por factorizaciĂłn.

Al graficar la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 3 + 2đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ + 2, se observa que sĂłlo una de las raĂ­ces cruza al eje đ?‘‹, debido a que nuevamente, como en el caso de la ecuaciĂłn cuadrĂĄtica las raĂ­ces imaginarias nunca cruzan al eje de las abscisas.

Figura 2. GrĂĄfica de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 3 + 2đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ + 2, sĂłlo existe un cruce con el eje đ?‘‹, debido a que solo una raĂ­z es real y dos mĂĄs son imaginarias

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1.2. Operaciones y representaciĂłn en el plano de Argand-Gauss Como se mencionĂł en la primera parte de esta Unidad, la interpretaciĂłn geomĂŠtrica de nĂşmeros complejos facilitĂł las operaciones entre ellos. Gauss (1777-1855) hizo que estas operaciones parecieran mĂĄs naturales al usar “vectoresâ€?, cuyas componentes sobre los ejes đ?‘‹ y đ?‘Œ, las asociĂł con la parte real e imaginaria del nĂşmero complejo. De tal manera que quedĂł establecida una correspondencia biunĂ­voca entre puntos en el plano con nĂşmeros complejos. Por lo que resulta directa la representaciĂłn de un nĂşmero complejo đ?‘§ = đ?‘Ľ + đ?‘–đ?‘Ś, al asociarlo a un punto cuyas coordenadas son (đ?‘Ľ, đ?‘Ś).

El concepto de plano complejo permite interpretar geomĂŠtricamente nĂşmeros complejos.

La suma de estos nĂşmeros se puede relacionar con la suma de vectores. Los diagramas de Argand-Gauss tambiĂŠn se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de polos y ceros de una funciĂłn en el plano complejo.

1.2.1. Números complejos como pares ordenados en el plano Si al número complejo � lo gråficamos en un plano, al que llamaremos de ahora en adelante plano complejo o de Argand-Gauss, la parte real queda representada sobre el eje de las abscisas, mientras que la parte imaginaria en el de las ordenadas.

( )

=

,

=

+

=

0 ( )

Figura 3. Gråfica de un número complejo � en el Plano de Argand-Gauss Universidad Abierta y a Distancia de MÊxico

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Un ejercicio interesante es la representaciĂłn de nĂşmeros complejos en el plano de Argand-Gauss como se muestra a continuaciĂłn en el ejemplo siguiente, en donde podrĂĄs relacionar conceptos de la geometrĂ­a analĂ­tica y de la teorĂ­a de variable compleja.

Ejemplo 08: Encuentre la ecuaciĂłn de una elipse cuyo eje mayor tiene longitud 10 y los focos se encuentran en (−3, 0) y (3, 0).

SoluciĂłn: Por la definiciĂłn de elipse se sabe que, la suma de las distancias desde cualquier punto đ?‘§ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ľ + đ?‘–đ?‘Ś de la elipse, a los focos es igual a una constante. O sea, đ?‘‘(đ??šÂ´, đ?‘§) + đ?‘‘(đ??š, đ?‘§) = đ?‘?đ?‘Ąđ?‘’.

Particularmente para este caso, la suma de las distancias desde el nĂşmero đ?‘§ a los focos đ??šÂ´ y đ??š, es igual a 10. Con ello se establece la siguiente ecuaciĂłn, la cual mide estas distancias: |đ?‘§ + 3| + |đ?‘§ − 3| = 10.

En tĂŠrminos del mĂłdulo o magnitud un nĂşmero complejo, đ?‘‘(đ??šÂ´, đ?‘§) = |đ?‘§ − (−3,0)| = |(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) − (−3,0)|, de donde; |(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) − (−3,0)| = √(đ?‘Ľ + 3)2 + (đ?‘Ś + 0)2 = √(đ?‘Ľ + 3)2 + đ?‘Ś 2 , AnĂĄlogamente para el otro foco, |(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) − (3,0)| = √(đ?‘Ľ − 3)2 + (đ?‘Ś − 0)2 = √(đ?‘Ľ − 3)2 + đ?‘Ś 2 , y al sustituir en la suma de distancias, resulta; √(đ?‘Ľ + 3)2 + đ?‘Ś 2 + √(đ?‘Ľ − 3)2 + đ?‘Ś 2 = 10.

Al despejar y elevar al cuadrado, Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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2

(đ?‘Ľ + 3)2 + đ?‘Ś 2 = [10 − √(đ?‘Ľ − 3)2 + đ?‘Ś 2 ] , despuĂŠs de desarrollar el binomio, 2

(12đ?‘Ľ − 100)2 = (−20√(đ?‘Ľ − 3)2 + đ?‘Ś 2 ) .

Nuevamente desarrollando algebraicamente, 256đ?‘Ľ 2 + 400đ?‘Ś 2 − 6400 = 0,

y finalmente, đ?‘Ľ2

đ?‘Ś2

+ 16 = 1.

25 DespuĂŠs de graficar la Ăşltima expresiĂłn, se obtiene el lugar geomĂŠtrico đ?‘Ľ2

mostrado abajo. Observemos que las expresiones |đ?‘§ + 3| + |đ?‘§ − 3| = 10 y 25 + đ?‘Ś2 16

= 1 ofrecen informaciĂłn complementaria de la elipse, y como puedes notar

son ecuaciones equivalentes.

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Figura 4. GrĂĄfica de una elipse con focos en (−3,0) y (3,0) con ecuaciĂłn |đ?‘§ + 3| + |đ?‘§ − 3| = 10

El cĂĄlculo de otras ecuaciones de la geometrĂ­a analĂ­tica, como la ecuaciĂłn de la circunferencia, desde el punto de vista de la variable compleja las podrĂĄs encontrar en la pĂĄgina 15, capĂ­tulo 1 del texto Spigel y col., (2011). Asimismo, en la pĂĄgina 40 capĂ­tulo 1 del libro de Wunsch (1999), podrĂĄs revisar una interesante discusiĂłn con ejemplos sobre otros lugares geomĂŠtricos y regiones en el plano complejo. Los cuales resultan Ăştiles para definir dominios de funciones de variable compleja. Muy usados en el entendimiento de algunos conceptos de las prĂłximas Unidades.

1.2.2. Operaciones geomĂŠtricas con nĂşmeros complejos Un problema que resulta interesante para estudiar aquĂ­, es aquel que trata con fasores.

Un fasor es la representaciĂłn grĂĄfica de un nĂşmero complejo, en las pĂĄginas 142-148 del capĂ­tulo 3 del texto Wunsch (1999) se discuten algunas de las aplicaciones de este mĂŠtodo para la soluciĂłn de problemas. Una de las aplicaciones mĂĄs Ăştil de los fasores es aquella que permite el manejo de funciones sinusoidales para representar oscilaciones.

Un fasor guarda muchas similitudes con un vector debido a que las diferencias entre ellos son muy sutiles. Un fasor puede ser dividido por otro nĂşmero complejo, a diferencia de un vector en el cual la divisiĂłn simplemente no existe.

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Sin embargo, desde un punto de vista geomĂŠtrico ambos entes matemĂĄticos tienen el mismo comportamiento. La ventaja del uso de los fasores radica en el hecho de que estos admiten las operaciones de: suma, resta, multiplicaciĂłn, divisiĂłn, potenciaciĂłn y radicaciĂłn. Esto resulta inmediato debido a que los fasores son nĂşmeros complejos.

ComĂşnmente, los fasores tienen representaciones grĂĄficas que son muy Ăştiles para tratar con problemas de las ciencias e ingenierĂ­a; particularmente, los circuitos de corriente alterna suelen usar representaciones en forma de nĂşmeros complejos y concretamente de fasores, aunque no es la Ăşnica situaciĂłn en donde se hace uso de este tipo de representaciones geomĂŠtricas. Por ejemplo en mecĂĄnica de fluidos se tiene una amplia gama de aplicaciones, en Ăłptica fĂ­sica estos representan disturbios luminosos y se emplean para determinar distribuciones de intensidad luminosa sobre superficies.

Debido a que en el caso de circuitos de CA, la corriente elĂŠctrica suele representarse como dependiente del tiempo. En la discusiĂłn de abajo abordaremos el tema de fasores en el contexto de fuentes de voltaje que son variables tambiĂŠn en el tiempo.

Antes de entrar de lleno en el tema de fasores, recordemos que toda corriente que cambia de forma armĂłnica (o sinusoidal) en el tiempo, es conocida como ya hemos mencionado como corriente alterna. Un ejemplo de este tipo de funciones se muestra a continuaciĂłn; đ??ź(đ?‘Ą) = đ??ź0 đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?œ”đ?‘Ą + đ?œ™), donde đ?œ” es la frecuencia angular, đ??ź0 es la amplitud de la seĂąal y đ?œ™ es la fase inicial.

En este punto, podemos introducir el fasor đ??źĚƒ, el cual se expresa por đ??źĚƒ = đ??ź0 đ?‘’ đ?‘–đ?œ™ ,

al relacionar las dos Ăşltimas expresiones, se tiene que, đ??ź(đ?‘Ą) = đ?‘…đ?‘’(đ??źĚƒđ?‘’ đ?‘–đ?œ”đ?‘Ą ).

Recordando la ley de Ohm en tĂŠrminos de fasores; đ??źĚƒ =

đ?‘‰Ěƒ đ?‘…

donde đ?‘… es la resistencia, đ??źĚƒ la corriente elĂŠctrica y đ?‘‰Ěƒ el voltaje.

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Debido a la naturaleza oscilatoria de la corriente elĂŠctrica, el voltaje tambiĂŠn tiene un comportamiento oscilatorio, de tal forma que; đ?‘Ł(đ?‘Ą) = đ?‘‰đ?‘š cos(đ?‘¤đ?‘Ą + đ?œ™).

La representaciĂłn fasorial de la onda sinusoidal đ?‘Ł(đ?‘Ą) se muestra en la siguiente figura:

Figura 5. RepresentaciĂłn grĂĄfica de un fasor en forma de vector dentro del cĂ­rculo.

Como se mencionĂł anteriormente, un fasor es un nĂşmero complejo, por lo que el vector o fasor que se observa en la grĂĄfica tiene ĂĄngulo −đ?œ™ con magnitud đ?‘‰0 . Se debe prestar atenciĂłn en el hecho de que, para cada fasor existe una correspondencia uno a uno con un punto sobre el plano đ?‘Ą − đ?‘Ł(đ?‘Ą), tal y como se indica en la figura anterior. La parte real de un fasor corresponde a una oscilaciĂłn como la que se grĂĄfica en la parte derecha de la misma figura. Estudiemos el siguiente ejemplo aplicado al tema de circuitos.

Ejemplo 09: Sea una fuerza electromotriz variable en el tiempo o đ?‘“đ?‘’đ?‘š, denotada por ℇ y definida por; ℇ(đ?‘Ą) = ℇ0 đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘¤đ?‘Ą + đ?œ‘),

cuyo fasor asociado es đ?œ€Ěƒ = đ?œ€0 đ?‘’ đ?‘–đ?œ‘ .

En la siguiente figura se muestra un circuito đ?‘…đ??żđ??ś, resistivo-inductivo-capacitivo.

Al emplear una de las leyes de Kirchhoff que dice: la suma de caĂ­das de tensiĂłn es igual al voltaje que entrega la fuente, la expresiĂłn matemĂĄtica que modela estĂĄ situaciĂłn estĂĄ dada por đ?œ€(đ?‘Ą) = đ?œ€đ?‘… (đ?‘Ą) + đ?œ€đ??ś (đ?‘Ą) + đ?œ€đ??ż (đ?‘Ą).

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en donde đ?œ€đ??ż (đ?‘Ą), đ?œ€đ?‘… (đ?‘Ą) đ?‘Ś đ?œ€đ??ś (đ?‘Ą) son las caĂ­das de tensiĂłn, respectivamente, sobre la bobina con inductancia đ??ż, la resistencia đ?‘… y el capacitor con capacitancia đ??ś.

Figura 6. Circuito RLC de voltaje dependiente del tiempo.

Al cambiar las cantidades reales por fasores la Ăşltima ecuaciĂłn puede ser descrita como đ?œ€Ěƒ = đ?œ€Ěƒđ??ż + đ?œ€Ěƒđ?‘… + đ?œ€Ěƒđ??ś .

Y teniendo en cuenta que cada fasor es equivalente a una nueva expresiĂłn, solo que en forma compleja, la ecuaciĂłn anterior se transforma en, đ?œ€Ěƒ = đ?‘‹đ??ż ∙ đ??źĚƒ + đ?‘… ∙ đ??źĚƒ + đ?‘‹đ?‘? ∙ đ??źĚƒ = đ?‘? ∙ đ??źĚƒ, en donde đ?‘‹đ??ż y đ?‘‹đ??ś son llamadas, respectivamente, reactancia inductiva y reactancia capacitiva. El nuevo tĂŠrmino đ?‘? se denomina impedancia del circuito đ?‘…đ??żđ??ś. Esta impedancia es ahora un nuevo nĂşmero complejo que relaciona a la inductancia đ??ż, la resistencia đ?‘… y la capacitancia đ??ś, de tal suerte que; đ?‘? = đ?‘… + đ?‘–(đ?‘‹đ??ż − đ?‘‹đ??ś ).

Este resultado se puede graficar en el plano de Argand-Gauss.

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Figura 7. Fasor de la impedancia del circuito en tĂŠrminos de la resistencia, la reactancia capacitiva y la reactancia inductiva.

Este mismo nĂşmero complejo pero en forma polar se expresa como, đ?‘? = |đ?‘?|đ?‘’ đ?‘–đ?›ź , donde la magnitud estĂĄ dada por |đ?‘?| = √đ?‘… 2 + (đ?‘‹đ??ż − đ?‘‹đ??ś )2 , y la fase es đ?‘‹đ??ż −đ?‘‹đ??ś ). đ?‘…

� = arctan (

Entonces, con las relaciones estudiadas, el fasor de intensidad elĂŠctrica puede escribirse como; đ?œ€Ěƒ đ??źĚƒ = đ??ź0 đ?‘’ đ?‘–đ?›źđ??ź = . đ?‘?

Usando la expresiĂłn para el fasor de la đ?‘“đ?‘’đ?‘š, đ?œ€Ěƒ y ademĂĄs la expresiĂłn para la impedancia tenemos que; đ?‘’ đ??źĚƒ = đ?œ€0

đ?‘–(đ?›źđ?œ€ −đ?›źđ??ź )

|đ?‘?|

,

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por lo que la amplitud y fase del fasor que representa a la intensidad se pueden calcular mediante, đ??ź0 =

đ?œ€0 √đ?‘…2 +(đ?‘‹đ??ż −đ?‘‹đ?‘? )2

.

Todo este desarrollo puede ser representado mediante los vectores de la grĂĄfica siguiente:

Figura 8. Fasores de las caĂ­das de tensiĂłn del circuito.

En el plano de Argand-Gauss, todas las caĂ­das de tensiĂłn pueden ser graficadas. Las fases y el fasor de corrientes elĂŠctrica tienen tambiĂŠn una representaciĂłn.

1.2.3. RaĂ­ces de nĂşmeros complejos en el Plano Argand-Gauss El concepto de nĂşmero complejo no estarĂ­a completo sin un mĂŠtodo que permita el cĂĄlculo de raĂ­ces de nĂşmeros complejos. Un ejemplo muy ilustrativo de este algoritmo se muestra al calcular las raĂ­ces de un nĂşmero complejo. Previamente a la graficaciĂłn, establezcamos un procedimiento para el cĂĄlculo de estas raĂ­ces. Para ello introduzcamos un teorema que serĂĄ de gran utilidad en dicho cĂĄlculo, este es el llamado teorema de De Moivre: (đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œƒ + đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?œƒ)đ?‘› = đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘›đ?œƒ) + đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘›(đ?‘›đ?œƒ), en resumen el teorema de De Moivre, dice que al elevar un nĂşmero complejo en forma polar a la potencia đ?‘›, es equivalente a incrementar su frecuencia angular.

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Ejemplo 10: Encuentre todos los valores de đ?‘§ para los que đ?‘§ 5 = −32 y localice estos valores en el plano complejo.

La soluciĂłn a este problema comienza con la representaciĂłn del nĂşmero, đ?‘§ = −32 en forma polar, esto es; −32 = 32đ?‘’ đ?‘–(đ?œ‹+2đ?‘˜đ?œ‹) = 32{đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?œ‹ + 2đ?‘˜đ?œ‹) + đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘›(đ?œ‹ + 2đ?‘˜đ?œ‹)}, para đ?‘˜ = 0, Âą1, Âą2, ‌ en donde se ha usado la fĂłrmula de Euler definida en la secciĂłn anterior.

Por otra parte, sea el nĂşmero en forma polar đ?‘§ = đ?‘&#x;((đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œƒ) + đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘›(đ?œƒ)), que al elevarlo a la quinta potencia, este resulta ser igual a đ?‘§ 5 = đ?‘&#x; 5 (đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?œƒ) + đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘›(đ?œƒ))5 .

Usando el teorema de De Moivre, đ?‘&#x; 5 (đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?œƒ) + đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘›(đ?œƒ))5 = đ?‘&#x; 5 (đ?‘?đ?‘œđ?‘ (5đ?œƒ) + đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘›(5đ?œƒ)).

Comparando ambas expresiones, đ?‘&#x; 5 (đ?‘?đ?‘œđ?‘ (5đ?œƒ) + đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘›(5đ?œƒ)) = 32{đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?œ‹ + 2đ?‘˜đ?œ‹) + đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘›(đ?œ‹ + 2đ?‘˜đ?œ‹)}, se puede ver que: đ?‘&#x; 5 = 32 y 5đ?œƒ = đ?œ‹ + 2đ?‘˜đ?œ‹.

Despejando, đ?‘&#x; y đ?œƒ resulta que đ?‘&#x; = 2, đ?œƒ=

đ?œ‹ + 2đ?‘˜đ?œ‹ 5

Sustituyendo el valor encontrado para đ?œƒ, en đ?‘§ = đ?‘&#x;((đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œƒ) + đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘›(đ?œƒ)).

Por lo que, đ?œ‹+2đ?‘˜đ?œ‹ )+ 5

đ?‘§đ?‘˜ = 2 {đ?‘?đ?‘œđ?‘ (

đ?œ‹+2đ?‘˜đ?œ‹ )}, 5

đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘› (

al correr para las primeras cinco raĂ­ces đ?‘˜ = 0, 1, 2, 3, 4.

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đ?œ‹

đ?œ‹

đ?œ‹

đ?‘§0 = 2 {đ?‘?đ?‘œđ?‘ ( 5 ) + đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘› ( 5 )} = 2đ?‘’ đ?‘– 5 , 3đ?œ‹

3đ?œ‹

3đ?œ‹

5đ?œ‹ 5

5đ?œ‹ 5

7đ?œ‹

7đ?œ‹

7đ?œ‹

9đ?œ‹ 5

9đ?œ‹ 5

9đ?œ‹

đ?‘§1 = 2 {đ?‘?đ?‘œđ?‘ ( 5 ) + đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘› ( 5 )} = 2đ?‘’ đ?‘– 5 , đ?‘§2 = 2 {đ?‘?đ?‘œđ?‘ ( ) + đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘› ( )} = 2đ?‘’ đ?‘–đ?œ‹ , đ?‘§3 = 2 {đ?‘?đ?‘œđ?‘ ( 5 ) + đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘› ( 5 )} = 2đ?‘’ đ?‘– 5 , đ?‘§4 = 2 {đ?‘?đ?‘œđ?‘ ( ) + đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘› ( )} = 2đ?‘’ đ?‘– 5 .

DespuÊs de calcular los valores de las partes reales � y las partes imaginarias � de cada raíz, en cada forma � = � + ��; se obtienen los valores que se muestran en la tabla 1.

Tabla 1.

đ?‘Ľ 1.6180 -0.6180 -2.0 -0.6180 1.6180

đ?‘Ś 1.1756 1.902 0 -1.902 -1.1756

Los valores que se encuentran en la tabla, se grafican como pares ordenados (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) o similarmente, (đ?‘…đ?‘’(đ?‘§), đ??źđ?‘š(đ?‘§)). Obteniendo la grĂĄfica que se observa en la siguiente figura, 5 en donde cada vector graficado es en realidad una raĂ­z del nĂşmero đ?‘§ = √−32.

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đ?œ‹ 3đ?œ‹

Figura 9. GrĂĄfica de las raĂ­ces de un nĂşmero complejo en los ĂĄngulos , 5

5

, đ?œ‹,

7đ?œ‹ 9đ?œ‹ 5

,

5

.

Todos los radio-vectores tienen magnitud đ?‘&#x; = |đ?‘§| = 2.

1.3. Funciones de variable compleja Sabemos bien la importancia que han tenido las funciones de una variable real en la descripciĂłn de procesos y fenĂłmenos de las ciencias y de la ingenierĂ­a. Con las funciones de variable compleja, se amplĂ­a no solo el campo de aplicaciones de estas ĂĄreas, sino que tambiĂŠn se generan nuevas herramientas matemĂĄticas para indagar los secretos de nuevas ĂĄreas del conocimiento como aquellas que surgen en forma multidisciplinaria. En anĂĄlisis complejo, la teorĂ­a de funciones de variable compleja, es una de las ĂĄreas mĂĄs ricas de las matemĂĄticas que encuentra aplicaciĂłn en muchas otras ĂĄreas de fĂ­sica, electrĂłnica y muchos otros campos.

En las secciones siguientes se pondrĂĄ atenciĂłn especial en las funciones conocidas como analĂ­ticas. Estas funciones tienen ciertas propiedades que resultan ser muy adecuadas para la descripciĂłn de fenĂłmenos de las ciencias, tales como los relacionados a la mecĂĄnica de fluidos. Asimismo, estas funciones permiten el enlace con ciertas ecuaciones diferenciales parciales, que a su vez describen a otros fenĂłmenos interesantes de la

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FĂ­sica. Este estudio no estarĂ­a completo sino revisĂĄramos a las funciones trascendentes, tales como las funciones seno, coseno, exponencial y logarĂ­tmica.

1.3.1. Dominio en el plano complejo (Argand-Gauss) El concepto de funciĂłn de una variable real se extiende en esta parte del curso, a funciones de variable compleja. Esta extensiĂłn es interesante por el hecho de que las grĂĄficas de funciones de variable compleja propiamente no se pueden visualizar o graficar. Existen algunos casos de proyecciones en el plano đ?‘‹ − đ?‘Œ que permiten graficar a algunas de estas funciones, sin embargo no es tan directo como en el caso de variable real. La razĂłn de que las funciones de variable compleja no puedan graficarse, es que los nĂşmeros complejos estĂĄn definidos como parejas ordenadas, lo que impide que las grĂĄficas de estas funciones puedan ser representadas en el espacio euclidiano de tres dimensiones. Propiamente deberĂ­an ser graficadas en un espacio tetradimensional. En el cual el dominio de la funciĂłn estĂĄ sobre un plano y el contradominio en otro similar de dos dimensiones. Por lo anterior es importante no confundir las grĂĄficas de funciones de variable compleja, con las grĂĄficas de sus propios dominios.

Es útil establecer el concepto de variable compleja � para una función �(�) como aquella variable que representa un elemento cualquiera del conjunto de números complejos y es del tipo � = � + �� = (�, �). Dicha variable involucra en forma simultånea a dos cantidades, una real y otra imaginaria. Estas cantidades no dejan de ser interesantes en el sentido de que representan las componentes de un vector en el plano complejo, por lo que la variable compleja � es en realidad un vector que se encuentra en algún lugar del plano complejo o en una parte de este, de acuerdo con el tipo de dominio que tenga la función. Una función de una variable compleja puede denotarse como: �(�) = �(� + ��) = �(�, ��).

En otro orden de ideas, establezcamos una notación para abordar el estudio de las funciones de variable compleja. Por lo que, supongamos que tenemos una función � = �(�), cuyo dominio y contradomino se observan en el esquema de abajo.

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Figura 10. Dominio y contradomino de una función de variable compleja. Como se observa �(�) no es posible de graficar.

No habrå que olvidar que el dominio de la función es una región del plano complejo cuyos elementos tienen la forma � = � + ��, o en su forma equivalente � = (�, �). Asimismo, el contradominio de la misma función estå formado por pares ordenados del tipo � = � + �� = (�, �). Ambos espacios obedecen a una regla de correspondencia como la que se observa en la siguiente expresión, � = �(�) = �(�, �) + ��(�, �), en donde �(�, �) y �(�, �), son respectivamente, la parte real y la parte imaginaria de la función �. Como se puede ver, tanto � como � dependen de los valores de � e �.

Ejemplo 11.

Sea la funciĂłn đ?‘¤ = đ?‘“(đ?‘§) = đ?‘§(2 − đ?‘§). Encuentre el valor de đ?‘¤ correspondiente a đ?‘§ = 1 + đ?‘–.

Al sustituir đ?‘§ = 1 + đ?‘– en la funciĂłn tenemos đ?‘¤ = đ?‘“(1 + đ?‘–) = (1 + đ?‘–)(2 − 1 − đ?‘–) = (1 + đ?‘–)(1 − đ?‘–) = 1 + 1 = 2, de donde đ?‘¤ = 2. Nuevamente como en los casos anteriores đ?‘– 2 = −1.

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En las pĂĄginas 70-71 del capĂ­tulo 2 del texto Spiegel y col., (2011), encontrarĂĄs una serie de ejercicios propuestos que se te sugiere resuelvas a manera de reforzamiento de conceptos estudiados en esta parte del curso.

1.3.2. Funciones analĂ­ticas Existe una clasificaciĂłn para las funciones de variable compleja que tiene que ver con su “continuidadâ€?. Estas funciones se llaman funciones analĂ­ticas. Una funciĂłn đ?‘“(đ?‘§) es analĂ­tica en đ?‘§0 si su derivada đ?‘“ ′ (đ?‘§0 ) no solo existe en đ?‘§0 , sino en todos los puntos de una vecindad de đ?‘§0 dentro de la regiĂłn đ?‘… de su dominio.

Dada una funciĂłn đ?‘¤ = đ?‘“(đ?‘§) = đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) + đ?‘–đ?‘Ł(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) se requiere de una condiciĂłn necesaria para que esta sea analĂ­tica en la mencionada regiĂłn đ?‘…. EstĂĄ condiciĂłn se puede expresar mediante las ecuaciones siguientes, đ?œ•đ?‘˘ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘˘ đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•đ?‘Ł

= đ?œ•đ?‘Ś, đ?œ•đ?‘Ł

= − đ?œ•đ?‘Ľ,

estas relaciones son llamadas Ecuaciones de Cauchy-Riemann y las funciones �(�, �) y �(�, �) se dice que son funciones conjugadas.

Ejemplo 12 Dada la función � = �(�) =

1+đ?‘§ 1−đ?‘§

Encuentre dĂłnde no es analĂ­tica.

Al calcular la derivada đ?‘‘đ?‘¤ 2 = đ?‘‘đ?‘§ (1 − đ?‘§)2

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Al examinar el denominador de la expresión anterior se puede ver que para � = 1 la derivada de la función no existe. Por lo que el punto � = 1 es un punto singular y la función no es analítica justo en este punto.

En las pĂĄginas 86-87 del capĂ­tulo 3 del texto Spiegel y col., (2011), encontrarĂĄs una forma de derivar la funciĂłn anterior mediante el uso de lĂ­mites. Se te recomienda consultar este interesante mĂŠtodo.

Si ademĂĄs las segundas derivadas de đ?‘˘ y đ?‘Ł existen, y son continuas en la regiĂłn đ?‘…, entonces de acuerdo con las Ecuaciones de Cauchy-Riemann se puede verificar que, đ?œ•2 đ?‘˘

đ?œ•2 đ?‘˘

+ đ?œ•đ?‘Ś 2 = 0, đ?œ•đ?‘Ľ 2

y đ?œ•2 đ?‘Ł đ?œ•đ?‘Ľ 2

đ?œ•2 đ?‘Ł

+ đ?œ•đ?‘Ś 2 = 0.

Esto significa que las funciones � y � satisfacen la ecuación de Laplace y toda función que satisface la ecuación de Laplace se dice que es una función Armónica.

En la pĂĄgina 89 del capĂ­tulo 3 del texto, Spiegel y col.,(2011), encontrarĂĄs el caso de la funciĂłn đ?‘˘ = đ?‘’ −đ?‘Ľ (đ?‘Ľđ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ś − đ?‘Śđ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ś), revisa el ejercicio y demuestra que es una funciĂłn armĂłnica.

1.3.3. Funciones trigonomÊtricas y trascendentes Entre las funciones de mayor utilidad se encuentra la función exponencial �(�) = � � . Esta función cumple con ciertas propiedades útiles en el momento de llevar a cabo algunos cålculos. Estudiemos el siguiente caso.

Ejemplo 13: Dada la función �(�) = � � , graficar sus partes real e imaginaria.

Debido a que đ?‘§ = đ?‘Ľ + đ?‘–đ?‘Ś, sustituimos a esta variable dentro de la funciĂłn, đ?‘’ đ?‘§ = đ?‘’ đ?‘Ľ+đ?‘–đ?‘Ś = đ?‘’ đ?‘Ľ ∙ đ?‘’ đ?‘–đ?‘Ś = đ?‘’ đ?‘Ľ (cos(đ?‘Ś) + đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘›(đ?‘Ś)),

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en donde hemos usado el teorema de Euler. Al separar a la funciĂłn resultante en las partes real, đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘’ đ?‘Ľ ∙ cos(đ?‘Ś),

e imaginaria, đ?‘Ł(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘’ đ?‘Ľ ∙ sen(đ?‘Ś),

se logra tener a la funciĂłn đ?‘“(đ?‘§) en la forma đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) + đ?‘–đ?‘Ł(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘’ đ?‘Ľ ∙ cos(đ?‘Ś) + đ?‘’ đ?‘Ľ ∙ sen(đ?‘Ś).

Las grĂĄficas de ambas funciones se pueden observar en las figuras siguientes:

Figura 11. Función �(�, �) = � � cos(�)

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Figura 12. FunciĂłn đ?‘Ł(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘’ đ?‘Ľ sen(đ?‘Ś)

1.3.4. Funciones inversas Una funciĂłn đ?‘¤ = đ?‘“(đ?‘§) tiene inversa si se cumple que đ?‘§ = đ?‘”(đ?‘¤) = đ?‘“ −1 (đ?‘¤). Algunos 1

ejemplos de este tipo de funciones son: đ?‘ đ?‘’đ?‘›âˆ’1 (đ?‘§) = đ?‘– đ?‘™đ?‘›(đ?‘–đ?‘§ + √1 − đ?‘§ 2 ) para el seno y đ?‘¤ = đ?‘ đ?‘’đ?‘›â„Žâˆ’1 (đ?‘§) para seno hiperbĂłlico. Existe una lista importante de funciones en las pĂĄginas 44-45 del capĂ­tulo 2 del texto Spiegel y col., (2011), donde pueden ser consultadas las funciones inversas de funciones trigonomĂŠtricas e hiperbĂłlicas. Se te recomienda revisar cada una de ellas. Realicemos el ejemplo siguiente para ver cĂłmo se calcula la inversa de una funciĂłn.

Ejemplo 14: Encontrar el valor de đ?‘§, donde đ?‘§ = cos−1 2.

Otra forma de calcular a �, es mediante cos � = 2. Por lo que partiremos de este hecho y en virtud de la identidad: cos � =

đ?‘’ đ?‘–đ?‘§ +đ?‘’ −đ?‘–đ?‘§ 2

= 2,

haciendo el cambio de variable đ?‘˘ = đ?‘’ đ?‘–đ?‘§ . Entonces đ?‘˘âˆ’1 = đ?‘’ −đ?‘–đ?‘§ , y la ecuaciĂłn anterior se convierte en, đ?‘˘ + đ?‘˘âˆ’1 =2 2

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Multiplicando por 2 y por � obtenemos �2 + 1 = 4�, o equivalentemente, �2 + 4� + 1 = 0.

Al resolver la ecuaciĂłn de segundo grado, la soluciĂłn resulta ser đ?‘˘ = 2 Âą √3.

Al regresar al cambio de variable, đ?‘’ đ?‘–đ?‘§ = 2 Âą √3,

y al calcular el logaritmo de ambos lados, ln đ?‘’ đ?‘–đ?‘§ = ln(2 Âą √3), que al reducir tĂŠrminos se convierte en, đ?‘–đ?‘§ = ln(2 Âą √3) = đ??żđ?‘›(2 Âą √3) + 2đ?‘›đ?œ‹đ?‘–.

el paso anterior se queda como ejercicio de investigaciĂłn para el estudiante.

Al despejar a đ?‘§ tenemos que, cos−1 2 = đ?‘§ =

đ??żđ?‘›(2Âąâˆš3) 2đ?‘›đ?œ‹đ?‘– + đ?‘– , đ?‘–

y al reducir tĂŠrminos llegamos al valor de đ?‘§, cos−1 2 = đ?‘§ = 2đ?‘›đ?œ‹ − đ?‘–đ??żđ?‘›(2 Âą √3) = 2đ?‘›đ?œ‹ Âą đ?‘–đ??żđ?‘›(2 Âą √3), donde đ??żđ?‘›(2 − √3) = −đ??żđ?‘›(2 + √3).

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1.3.5. Funciones elementales de variable compleja AsĂ­ como las funciones de variable real, las funciones de variable compleja se clasifican en algebraicas, trascendentes, inversas etc. A continuaciĂłn mostraremos un ejemplo clĂĄsico de una funciĂłn de variable compleja, el equivalente a una parĂĄbola. El ejemplo es vĂĄlido aun cuando sabemos que en variable compleja solamente se puede graficar la parte real o la parte imaginaria.

Ejemplo 15: Sea đ?‘“(đ?‘§) = đ?‘§ 2 una funciĂłn cuya variable es đ?‘§ = đ?‘Ľ + đ?‘–đ?‘Ś. Al sustituir la variable en la funciĂłn y desarrollar algebraicamente los tĂŠrminos la funciĂłn toma la forma siguiente, đ?‘“(đ?‘§) = đ?‘§ 2 = (đ?‘Ľ + đ?‘–đ?‘Ś)2 = đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘–đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘– 2 đ?‘Ś 2 = đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ś 2 − 2đ?‘–đ?‘Ľđ?‘Ś, esto significa que la funciĂłn đ?‘“ contiene una parte real đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) y otra imaginaria đ?‘Ł(đ?‘Ľ, đ?‘Ś), đ?‘“(đ?‘§) = đ?‘“(đ?‘Ľ + đ?‘–đ?‘Ś) = đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) + đ?‘–đ?‘Ł(đ?‘Ľ, đ?‘Ś),

en donde đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ś 2 y đ?‘Ł(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 2đ?‘Ľđ?‘Ś.

Evidentemente no se puede graficar a đ?‘“, sin embargo, la parte real đ?‘…đ?‘’[đ?‘“] = đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ś 2 Ăł la parte imaginaria đ??źđ?‘š[đ?‘“] = đ?‘Ł(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 2đ?‘Ľđ?‘Ś de la funciĂłn, pueden ser visualizadas en el espacio Euclidiano de tres dimensiones. Un ejemplo de ello, puede ser visto en las grĂĄficas mostradas mĂĄs adelante (Figura 13).

Una grĂĄfica que resulta interesante es aquella que representa a la funciĂłn đ?‘“1 la cual toma valores del dominio, generado en forma polar y los envĂ­a a la parte real del contradominio. En la tercera grĂĄfica de la figura 13 se muestra un ejemplo de este tipo de funciones. Una lista muy completa de este tipo de funciones las podrĂĄs encontrar en las pĂĄginas 72-83 capĂ­tulo 3, del texto Churchill y Brown (2004).

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Parte real đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ś 2 de la funciĂłn đ?‘“.

Parte imaginaria đ?‘Ł(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 2đ?‘Ľđ?‘Ś de la funciĂłn đ?‘“.

Figura13. GrĂĄfica de una funciĂłn đ?‘“1 usando el dominio de đ?‘“ en forma polar y đ?‘…đ?‘’(đ?‘“) sobre el eje Z.

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1.3.6. LĂ­mites y continuidad En esta subsecciĂłn partiremos de la definiciĂłn del lĂ­mite y de continuidad de una funciĂłn, ambas definiciones se pueden ver en la pĂĄgina 46 del capĂ­tulo 2 del texto Spiegel y col., (2011).

Sea đ?‘“(đ?‘§) unĂ­voca y definida en una vecindad de đ?‘§ = đ?‘§0 . Se dice que el nĂşmero đ??ź, es el lĂ­mite de đ?‘“(đ?‘§) cuando đ?‘§ → đ?‘§0 , y esto se escribe como: lim đ?‘“(đ?‘§) = đ??ź.

�→�0

Ejemplo 16 Evaluar el límite de la función, 2 �(�) = {� 0

�≠� �=�

A medida de que đ?‘§ se acerca a đ?‘–, đ?‘“(đ?‘§) se acerca a đ?‘– 2 = −1. Entonces, lim đ?‘“(đ?‘§) = lim đ?‘§ 2 = −1. đ?‘§â†’đ?‘–

�→�

Se define a continuación el concepto de continuidad de una función �(�). Se dice que la función �(�) es continua en � = �0 si lim �(�) = �(�0 ). Las tres condiciones siguientes �→�0

deben ser satisfechas para probar la continuidad de una funciĂłn: a) lim đ?‘“(đ?‘§) = đ??ź debe existir đ?‘§â†’đ?‘§0

b) đ?‘“(đ?‘§0 ) debe existir, es decir, đ?‘“(đ?‘§) debe estar definida en đ?‘§0 c) đ??ź = đ?‘“(đ?‘§0 ) La funciĂłn del ejemplo 16 satisface las tres condiciones por lo que se dice que đ?‘“(đ?‘§) es continua en đ?‘§ = đ?‘–.

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Actividades La elaboración de las actividades estará guiada por tu docente en línea, mismo que te indicará, a través de la Planeación didáctica del docente en línea, la dinámica que tú y tus compañeros (as) llevarán a cabo, así como los envíos que tendrán que realizar.

Para el envío de tus trabajos usarás la siguiente nomenclatura: BVCO_U1_A1_XXYZ, donde BVCO corresponde a las siglas de la asignatura, U1 es la unidad de conocimiento, A1 es el número de actividad, el cual debes sustituir considerando la actividad que se realices, XX son las primeras letras de tu nombre, Y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno.

Autorreflexiones Para la parte de autorreflexiones debes responder las Preguntas de Autorreflexión indicadas por tu docente en línea y enviar tu archivo. Cabe recordar que esta actividad tiene una ponderación del 10% de tu evaluación.

Para el envío de tu autorreflexión utiliza la siguiente nomenclatura: BVCO_U1_ATR _XXYZ, donde BVCO corresponde a las siglas de la asignatura, U1 es la unidad de conocimiento, XX son las primeras letras de tu nombre, y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno

Cierre de la Unidad A lo largo de esta Unidad, has podido adentrarte en el concepto de número complejo y sus operaciones básicas. Estas incluyen el cálculo de las raíces de un número imaginario o complejo. Al mismo tiempo, se revisaron los Teoremas de Euler y De Moivre. Como una interesante aplicación del uso de los números complejos, se buscaron las raíces imaginarias de una función cuadrática y de un polinomio de tercer grado o cúbico. En la segunda parte, se representaron en el plano de Argand-Gauss las raíces de un número complejo y algunos lugares geométricos como los de la circunferencia y elipse.

Igualmente, se llevó a cabo una discusión del tópico de fasores, esto con el fin de asociar las cantidades complejas con un ente muy conocido como son los vectores. Por lo que se lograron además algunas aplicaciones de los fasores al análisis de circuitos. En la tercera parte, se estudiaron algunas funciones de variable compleja y se graficaron en forma separada las partes reales e imaginarias de una función de variable compleja. Se Universidad Abierta y a Distancia de México

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introdujo el concepto de continuidad y se calcularon algunos límites modelo de este tipo de funciones. En todas las secciones, se realizaron las operaciones algebraicas de la forma más amplia posible, con el fin de que tú mismo reproduzcas los cálculos paso a paso y con la intención de que tengas desde un principio la posibilidad de manipular números complejos En la siguiente Unidad se estudiará el tópico de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Este tema es de gran importancia para modelar fenómenos físicos y problemas a la Ingeniería.

Tiene además el importante ingrediente de usar las operaciones básicas con números complejos, en el momento de proponer soluciones a ecuaciones de orden superior. Justo en este punto podrás estudiar el movimiento armónico simple, el que por cierto es un tema de importancia toral en la explicación de muchos fenómenos vibratorios u oscilatorios que ocurren en la naturaleza.

En otros contextos como en biotecnología, el uso de los conceptos de variable compleja te será de gran ayuda para comprender tópicos de los fenómenos de transporte, electromagnetismo y flujo de fluidos, entre otras áreas.

Para saber más

Para saber más se recomiendan las siguientes fuentes de información:  Spiegel M. R., Lipschutz, S., Schiller, J.J., Spellman D. (2011). Variable Compleja.

Serie Schaum. España. McGraw-Hill Interamericana de España S.L. ISBN: 9786071505514 Presta atención a los capítulos 1 y 2, en los que se muestra la aplicación de las operaciones básicas entre números complejos. Contienen una sección de problemas resueltos para facilitar la comprensión de las operaciones básicas. Se

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te recomienda reproducir por lo menos el 70% de los problemas resueltos y resolver la mayor parte de los complementarios. 

Wunsch, A. D. (1999). Variable compleja con aplicaciones. México: McGraw-Hill.

ISBN: 968-444-402-8 Presta atención a los capítulos 1 y 2, en los que se presenta una exposición muy amplia sobre la representación de números complejos en el plano de ArgandGauss y de sus operaciones básicas desde el punto de vista geométrico. Este texto cuenta con una exposición muy amplia sobre funciones de variable compleja.

En el capítulo 2, se da una breve introducción al flujo de fluidos usando funciones de variable compleja, por lo tanto, es muy recomendable leer esta parte. En las páginas 5-7 se realiza un desarrollo para llegar a la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado junto algunos comentarios históricos y sobre el teorema fundamental del álgebra.



Churchill, R. V., Brown J.W. (2004).Variable compleja y aplicaciones. 6ta. Edición.

España: McGraw-Hill. ISBN: 0-07-010905-2 Presta atención a los capítulos 1, 2 y 3, en los que se presentan algunos ejercicios. El capítulo 1 describe las operaciones básicas entre números complejos, incluyendo la raíz de un número complejo. El capítulo 2 contiene una sección dedicada a las funciones analíticas y sus propiedades. En el capítulo 3 se amplían los conceptos de las funciones trascedentes, funciones trigonométricas, hiperbólicas y sus relaciones con las funciones exponenciales.

Fuentes de consulta



Churchill, R. V., Brown J.W. (2004).Variable compleja y aplicaciones. 6ta. Edición.

España: McGraw-Hill. ISBN: 0-07-010905-2

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Courant, R., Robbins H. (2006) ¿Qué son las Matemáticas? Conceptos y métodos fundamentales. Serie Ciencia y Tecnología. México. Fondo de Cultura Económica.

ISBN: 978968166177.

Spiegel M. R., Lipschutz, S., Schiller, J.J., Spellman D. (2011). Variable Compleja.

Serie Schaum. España. McGraw-Hill Interamericana de España S.L. ISBN: 978607-15-0551-4 Wunsch, A. D. (1999). Variable compleja con aplicaciones. 2ª ed. México.

McGraw-Hill. ISBN: 968-444-402-8.

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