Unidad 1. Transformada de Laplace

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace

Programa de la asignatura:

Matemáticas aplicadas para ingeniería

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Transformada de Laplace

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Índice Presentación de la Unidad ........................................................................................................ 2 Propósitos.................................................................................................................................. 2 Competencia específica ............................................................................................................ 3 1. Transformada de Laplace ..................................................................................................... 3 1.1. Definición y cálculo de la transformada de Laplace ........................................................... 4 1.1.1. Definición de la transformada de Laplace ....................................................................... 4 1.1.2. Propiedades básicas y existencia de la transformada de Laplace………………….…..14 1.1.3. Transformada de algunas funciones básicas……………………………........................31 1.2. La transformada inversa de Laplace………………………………………………………....43 1.2.1. Definición y propiedades básicas de la transformada inversa de Laplace…………….43 1.2.2. Método de Heavisade…………………………………………………………………….….56 1.3. Aplicaciones de la transformada de Laplace ................................................................... 60 1.3.1. Aplicación a problemas de población……………………………………………………....63 1.3.2. Aplicación a circuitos eléctricos……………………………………………………………..66 Actividades .............................................................................................................................. 73 Autorreflexiones....................................................................................................................... 74 Cierre de la Unidad ................................................................................................................. 74 Para saber más ....................................................................................................................... 74 Fuentes de consulta ................................................................................................................ 75

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Presentación de la Unidad Mucho de los modelos que se estudian en biotecnología se resuelven a través de una ecuación diferencial ¿Qué herramientas crees que utiliza para resolver dichas ecuaciones?, una respuesta adecuada a la pregunta anterior es la transformada de Laplace. En esta Unidad se presenta un breve estudio sobre la transformada de Laplace, comenzando con su definición, sus propiedades y las trasformadas de algunas funciones básicas. Posteriormente se estudia el concepto de transformada inversa de Laplace, junto con sus propiedades.

Para finalizar, se expone la aplicación de la transformada de Laplace a la solución de ecuaciones diferenciales.

Propósitos



Calcular la transformada de Laplace de una función.



Calcular la transformada inversa de Laplace de una función.



Aplicar la transformada de Laplace a la solución de ecuaciones diferenciales.

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Competencia específica

Aplicar la transformada de Laplace, mediante la resolución de problemas, para el análisis de procesos dinámicos.

1. Transformada de Laplace Una de las herramientas más poderosas que existe en las matemáticas que se aplican a la ingeniería son las transformadas integrales, éstas consisten en transformar funciones por medio de integrales. La transformada de Laplace tiene sus orígenes en el año 1744, cuando el matemático suizo Leonard Euler presenta la solución de ecuaciones diferenciales en términos de integrales. La idea de representar una función por medio de una integral es tomada por el físico-matemático ítalo-francés Joseph-Louis de Lagrange en el estudio del cálculo de la probabilidad de un evento.

Figura 1. Pierre –Simon Laplace

Esta forma de representar a una función influyó en el matemático francés Pierre-Simon Laplace en sus estudios sobre ecuaciones diferenciales, y es debido a los mismos que la transformación integral toma el nombre de Laplace.

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace 1.1. Definición y cálculo de la transformada de Laplace La transformada de Laplace se aplica a funciones reales que dependen de un tiempo, es decir, cuando la variable está definida para valores positivos. Hay que mencionar que no todas las funciones tienen transformada de Laplace.

1.1.1. Definición de la transformada de Laplace Dada una función f de valores reales definida sobre la variable t  0 y s una variable real. Se define la transformada de Laplace de f (t ) por la integral impropia 

L  f (t )   f (t )e st dt 0

Partiendo del hecho que: 

 f  t  dt  lim  f t  dt a

b

b 

a

Cuando el límite anterior existe se dice que la integral converge, en caso contrario se dice que la integral diverge. En consecuencia la transformada de Laplace se obtiene calculando: L  f (t )  lim  f (t )e st dt b

b 

0

Hay que observar que la transformada de Laplace de la función f (t ) es una función de la variable s , por simplicidad se denota por F  s  , es decir L  f (t )  F (s) , donde F  s  b

estará definida para todos los valores s tal que el límite lim  f (t )e st dt existe. b 

0

Observación: La definición de la transformada de Laplace de f (t ) , requiere integrar la función f (t )e st , en muchos casos, esta integral requiere la técnica de integración por partes. Un límite importante que hay que tener en cuenta es lim e ax  0 cuando x 

a  0 . Gráficamente se tiene lo siguiente: x y

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace

Ahora se presentan ejemplos de la transformada de Laplace de algunas funciones obtenidas a partir de la definición de la misma.

Ejemplo: Dada la función f (t )  1 para toda t   0,   . Calcular L  f (t ) .

Solución: Para resolver este ejemplo, basta aplicar la definición del siguiente modo: b

 e  st  L  f (t)  L 1   (1)e dt  lim  e dt  lim    0 b  0 b   s 0 

 st

b

 st

 e  sb 1  1 1  lim       lim e  sb   b  s s b s  s Por la observación anterior, hay que tomar en cuenta que lim e sb  0 cuando s  0 . Por lo b

tanto L 1  F ( s) 

1 cuando s  0 . Gráficamente se tiene lo siguiente: s

Ejemplo: Dada la función f (t )  2t  1 para toda t   0,   . Calcular L  f (t ) .

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Solución: Para resolver este ejemplo, basta aplicar la definición del siguiente modo: L  f (t )  L 2t  1  



m   2t  1 e st dt  2t  1 e st dt  bli 0 0 b

Como lo menciona la observación anterior, para calcular la integral

  2t  1 e

 st

dt se utiliza

integración por partes cuya fórmula es  udv  uv   vdu , tomando u  2t 1 y dv  e st dt

1 entonces du  2dt y v   e  st , en consecuencia: s

 udv  uv   vdu   2t  1 e

 st

 1   1  dt   2t  1   e  st      e  st   2dt   s   s  1 2    2t  1 e  st   e  st dt s s 1 2    2t  1 e  st  2 e  st s s  st e  2  2  s  2st  s

Evaluando la integral anterior de 0 a b se tiene que: b

 e st  e sb 1 2 t  1 e dt   2  s  2 st      2   2  2  s  2sb   2  2  s  0 s s s  0 b

 st

Tomando b   se llega al siguiente resultado: b  e  sb  1 lim   2t  1 e  st dt  lim  2  2  s  2sb   2  2  s   b  b  s  s  0

 e  sb  1  lim  2  2  s  2sb    2  2  s  b   s  s 2 1  2 s s

2 1  e sb  ya que lim  2  2  s  2sb   0 cuando s  0 . Por lo tanto L  f (t )  F  s   2  para b  s s  s  s  0 . Gráficamente se tiene lo siguiente:

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Ejemplo: Dada la función f (t )  sen  3t  para toda t   0,   . Calcular L  f (t ) .

Solución: Hay que aplicar la definición del siguiente modo: L  f (t)  L sen  3t    sen  3t  e st dt  lim  sen  3t  e st dt  0

b

b 

0

Utilizando la fórmula  udv  uv   vdu , cuando u  sen  3t  y dv  e st dt entonces

1 du  3cos  3t  dt y v   e  st , en consecuencia: s

 sen  3t  e

 st

 1   1  dt  sen  3t    e st      e st   3cos  3t  dt   s   s  1 3   sen  3t  e st   cos  3t  e st dt s s

Aplicando nuevamente integración por parte a  cos  3t  e st dt , cuando u  cos  3t  y

1 dv  e st dt entonces du  3sen  3t  dt y v   e  st , en consecuencia: s

 cos  3t  e

 st

 1   1  dt  cos  3t    e  st      e  st   3sen  3t  dt   s   s  1 3   cos  3t  e  st   sen  3t  e  st dt s s

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Lo que implica:

 sen  3t  e

 st

1 3 dt   sen  3t  e  st   cos  3t  e  st dt s s 1 3 1 3    sen  3t  e  st    cos  3t  e  st   sen  3t  e  st dt  s s s s  1 3 9   sen  3t  e  st  2 cos  3t  e  st  2  sen  3t  e  st dt s s s

Despejando  sen  3t  e st dt en la relación anterior se tiene:

 sen  3t  e

9 1 3 sen  3t  e  st dt   sen  3t  e  st  2 cos  3t  e  st 2  s s s 9 1 3   st  st  st 1  s 2   sen  3t  e dt   s sen  3t  e  s 2 cos  3t  e   s2  1 3   st sen 3 t e dt   sen  3t  e  st  2 cos  3t  e  st    2   s 9 s s  s 3  st  st  st  sen  3t  e dt   s 2  9 sen  3t  e  s 2  9 cos  3t  e

 st

dt 

Evaluando la integral anterior de 0 a b se tiene que: b

s 3   st  st  st  0 sen  3t  e dt   s 2  9 sen  3t  e  s 2  9 cos  3t  e  0 s 3 s 3  2 sen  3b  e sb  2 cos  3b  e sb  2 sen  0   2 cos  0  s 9 s 9 s 9 s 9 b

Cuando b   se tiene que:

s sen  3b  e sb  0 y s 9 2

Por lo tanto F  s  

3 cos  3b  e sb  0 s 9 2

3 para s  0 . Gráficamente se tiene lo siguiente: s 9 2

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace

Se dice que una función f (t ) definida en un intervalo  a, b  es continua a pedazos si y sólo si existe un números finito de discontinuidades entre a y b y en tales discontinuidades los limites unilaterales son finitos. Gráficamente una función continua a pedazos se ve de la siguiente forma:

Ahora toca el turno de presentar ejemplos de la transformada de Laplace de funciones definidas en pedazos.

Ejemplo: Dada la función

0  t 1  3t f (t )   1 t cos(2t )

Calcular L  f (t ) .

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Solución: Como en los ejemplos anteriores, hay que aplicar la definición de transformada de Laplace, teniendo en cuenta cómo se secciona la integral: 

1



0

0

1

L  f (t )   f (t )e  st dt    3t  e  st dt   cos  2t  e  st dt Aplicando integración por partes se tienen las siguientes igualdades:  st   3t  e dt  

3e st 1  st  y s2

 st  cos  2t  e dt 

e st  s cos  2t   2sen  2t   4  s2

Evaluando la primera integral se tiene: 1

 3e  st  3e s 3 3 t e dt   1  st   1 s  2       2 2  0 s s  s 0 1

 st

Evaluando la segunda integral se tiene: b

 e st   st cos 2 t e dt   s cos  2t   2sen  2t       2  1 4  s 1 b



e sb e s  s cos 2 b  2sen 2 b         s cos  2   2 sen  2   4  s2 4  s2

Haciendo b   se tiene que 

b

 st  st  cos  2t  e dt  lim  cos  2t  e dt b 

1

1

 e  sb  e s  lim   s cos  2b   2sen  2b     s cos  2   2sen  2     2 2  b  4  s 4s    e  sb  e s  lim   s cos 2 b  2sen 2 b        4  s 2  s cos  2   2sen  2   b  4  s 2   s e   s cos  2   2sen  2  , cuando s  0 4  s2

Por lo tanto F  s   

3e  s 3 e s 1  s     2  s cos  2   2sen  2   , para s  0 . s2 s 4  s2

Gráficamente se tiene lo siguiente:

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Ejemplo: Dada la función

 t  2 0  t  2 f (t )   2t  0 Calcular L  f (t ) .

Solución: Se procede de manera similar al ejemplo anterior del siguiente modo: 

2



2

0

0

2

0

L  f (t )   f (t )e st dt    t  2  e  st dt    0 e st dt    t  2  e st dt Por medio de la integración por parte se tiene que:  st   t  2  e dt 

e  st 1  s  2  t   s2 

Evaluando de 0 a 2 la integral anterior se tiene: 2

 e  st  e 2 s 1  t  2 e dt   1  s  2  t    2 1  2s  .      2  2  0 s s 0 s 2

Por lo tanto F  s  

 st

e2 s 1  2 1  2s  , con s  0 . Gráficamente se tiene: s2 s

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Ejemplo: Calcular la transformada de Laplace de la función f (t ) con t  0 , cuya gráfica se presenta en la siguiente figura:

Solución: La dificultad que presenta este ejemplo radica en el hecho que no se da la regla de correspondencia de la función, ésta hay que encontrarla, para ello hay que observar lo siguiente: 

En el intervalo  0,2 la gráfica de f (t ) es el segmento de recta que va del punto

 0,0

al punto  2,2 , aplicando la fórmula de la ecuación de la recta que pasa por

dos puntos se tiene que la relación buscada es y  t . 

En el intervalo  2,3 la gráfica de f (t ) es el segmento de recta que va del punto

 2,2

al punto  3,1 , aplicando la fórmula de la ecuación de la recta que pasa por

dos puntos se tiene que la relación buscada es y  t  4 . 

En el intervalo  3,  la gráfica de f (t ) es el segmento de recta horizontal a altura 1 , así la relación buscada es y  1 .

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Por consiguiente la función f (t ) está dada por la siguiente regla de correspondencia: 0t 2  t  f (t )  t  4 2  t  3  1 3t 

Aplicando la definición de transformada de Laplace se tiene lo siguiente: 

2

3



0

0

2

3

L  f (t )   f (t )e  st dt    t  e  st dt    t  4  e  st dt   1 e  st dt Las primeras dos integrales se calculan aplicando integración por partes, lo que permite obtener las siguientes igualdades:  st te dt   1  st 

e st s2

 st   t  4  e dt  1  s  4  t  

y

e st s2

Evaluando cada integral en los parámetros antes presentados se tiene: 2

 st  te dt 

1  e2 s 1  2s  s2

0

3

y

 st   t  4  e dt 

e3 s 1  s  e s  1  2s   s2

2

Finalmente la tercera integral se calcula directamente del siguiente modo: Cuando s  0 

b

1  1   1  1 e dt  lim  e st   lim  e sb  e3s   e3s 3 e dt  blim   b  b   s  s 3  s  s 3 b

 st

 st

Por lo tanto F ( s) 

1 3e3s 4e2 s 2e    s2 s s

2 s

1  2s   e3s 1  3s  s2

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s2

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace 1.1.2. Propiedades básicas y existencia de la transformada de Laplace Como se mencionó anteriormente, no todas las funciones tienen transformada de Laplace: por ejemplo si se considera la función f (t )  e2t definida para t  0 , en 2

consecuencia para toda s 

 0

se cumple 



f (t )e  st dt   e 2t e  st dt   e 2t 2

0

2

 st

dt  

0

  no existe. Una pregunta natural que te puedes plantear en este

Por lo tanto L e2t

2

momento es la siguiente: ¿qué condiciones debe de tener una función para garantizar la existencia de su transformada de Laplace? Si se observa el último ejemplo de la sección anterior, la transformada existe porque  e sb  lim  2  2  s  2sb   0 b   s 

Lo cual no se ve inmediatamente. La función funciones

e sb  2  s  2sb  es el producto de las s2

e  sb y 2  s  2sb , partiendo del hecho que s  0 , se tiene que s2 e sb  0 y lim  2  s  2 sb    b  s 2 b  lim

 e sb  e  sb Dado que lim  2  2  s  2sb   0 significa que la función exponencial 2 domina a la b  s  s  función polinomial 2  s  2sb . Éste es un ejemplo de lo que se necesita para garantizar la existencia de la transformada de Laplace.

Primero, se dice que una función f (t ) es de orden exponencial  cuando t   si existen N , M  , con M  0 , tales que f (t )  Me t para todo t  N . Intuitivamente, la definición anterior dice que una función es de orden exponencial si ésta es dominada por una exponencial.

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Ejemplo: Todo polinomio con coeficientes reales es una función de orden exponencial.

El siguiente resultado presenta las condiciones de suficiencia para garantizar la existencia de la transformada de Laplace.

Teorema: Dada una función f (t ) definida para t  0 que satisface las siguientes condiciones: f (t ) es continua a pedazos en el intervalo cerrado finito  0, N  y es de orden exponencial  en  N ,   , entonces la transformada de Laplace L  f (t )  F (s) existe para todo s   .

Debes de tener claro que el resultado anterior es de suficiencia, esto quiere decir que hay funciones que no cumplen lo anterior pero que sí tienen transformada de Laplace.

Por la forma en cómo se define la transformada de Laplace, si dos funciones f (t ) y g (t ) definidas para t  0 , difieren sólo en número finito de punto entonces F ( s )  G ( s ) . De manera inversa, se puede mostrar que si dos funciones f (t ) y g (t ) satisfacen que

F ( s )  G ( s ) entonces f (t )  g (t ) salvo un conjunto finito de puntos. Por consiguiente se tiene el siguiente resultado:

Teorema: Dada una función f (t ) definida para t  0 si L  f (t ) existe entonces

L  f (t ) es única.

Debido a que la transformada de Laplace se define en términos de una integral, muchas de las propiedades de la integral se heredan a la transformada de Laplace. En un principio se parte del hecho de que todas las funciones presentadas tienen transformada de Laplace.

Para dos funciones reales f (t ) y g (t ) definidas para toda t  0 se tiene que: 





L  f (t )  g ( s)    f (t )  g ( s)  e dt   f (t )e dt   g ( s)e st dt 0

 st

 L  f (t )  L  g (t )

 st

0

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Además, para c

se tiene lo siguiente: 



0

0

L cf (t )   cf (t )e  st dt  c  f (t )e  st dt  cL  f (t ) Las dos relaciones anteriores juntas toman el nombre de propiedad de linealidad, es decir:

L cf (t )  g (t )  cF (s)  G(s) Ejemplo: En la sección anterior se calculó por definición L 2t  1 , sin embargo, la propiedad anterior garantiza que puede tomar el siguiente camino:

L 2t  1  L 2t  L 1  2L t - L 1 Así, conociendo L t y L 1 puede obtener L 2t  1 .

Antes de continuar recuerda que cuando en una función f ( x) la variable x se sustituye por x  a (en símbolos x

x  a ) para a , se obtiene una nueva función definida por

f  x  a  y su gráfica es la traslación a unidades de la gráfica de f ( x) . Concretamente, cuando a  0 la gráfica se traslada hacia la derecha, si a  0 la gráfica se traslada hacia la izquierda.

Ejemplos: A partir de la gráfica función f ( x)  x2  1 , graficar la función que resulta de sustituir x

x 3.

Solución: Se tiene que la gráfica de la función f ( x)  x2  1 es la siguiente:

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace

Cuando se realiza la sustitución x

x  3 , la nueva función que se obtiene es

f ( x  3)   x  3  1   x 2  6 x  9   1  x 2  6 x  8 2

La gráfica se tiene que trasladar 3 unidades hacia la derecha, en consecuencia la gráfica buscada es la siguiente:

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace En resumen se tiene lo siguiente:

Las siguientes propiedades se conocen como propiedades de traslación. Para presentar dichas propiedades hay que recordar que 

L  f (t )   f (t )e  st dt  F ( s ) 0

Observa que la variable s se obtiene de la expresión e  st .

La primera propiedad de traslación es la siguiente: Dado a  0 entonces 





0

0

0

L e at f (t )   e at f (t )e  st dt   f (t )e at  st dt   f (t )e  ( s  a )t dt Observa que de la expresión e  ( s  a ) t se tiene la nueva variable s  a en consecuencia 

L e at f (t )   f (t )e  ( s  a )t dt  F ( s  a ) 0

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U1

Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Ejemplo: Calcular L e3t  2t  1 .

Solución: Hay que observar que L e3t  2t  1 tiene la forma L eat f (t ) , identificando objetos se tiene que a  3 y f (t )  2t 1 , como se vio en la sección anterior

2 1 2 1  , así F (s)  2  . La propiedad afirma que hay que 2 s s s s s  a , en este caso s s  3 , por consiguiente:

se presentó que L 2t  1  realizar la sustitución s

 2 1 L e3t  2t  1   2   s s s



 s 3

2

 s  3

2



1 .  s  3



Ejemplo: Calcular L e4t sen(3t ) .





Solución: Hay que observar que L e4t sen(3t ) tiene la forma L eat f (t ) donde

a  4 y f ( x)  sen(3t) en consecuencia F ( s) 

3 . Entonces se tiene lo siguiente: s 9 2

 3  L e4t sen(3t )  L eat f (t )  F (s  a)   2  s  9  s





Por lo tanto L e4t sen(3t ) 

 s 4

3 ( s  4)2  9

3 . s  8s  25 2

Para la segunda propiedad de traslación se define la función escalón unitario del siguiente modo:

0 si t  0 Ut    1 si 0  t

Gráficamente la función escalón unitario se presenta:

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U1

Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace





Además en el primer ejemplo de la sección anterior se muestra que L U  t  

1 . s

Observa que cuando se multiplica una función definida sobre todos los números reales por la función escalón unitario, ésta se anula para valores menores o iguales que cero y se conserva para valores mayores a cero. De manera gráfica se tiene lo siguiente:

La transformada de Laplace se aplica a funciones que están definidas para valores mayores a cero, estas funciones se pueden ver como una función multiplicada por la función escalón unitario. Ahora se presentará la segunda propiedad de traslación. Dado a  0 se tiene lo siguiente:





0

a

L  U  t  a  f (t  a )   U  t  a  f (t  a )e  st dt   f (t  a )e  st dt

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20

U1

Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Haciendo el cambio de variable u  t  a se tiene que t  u  a y du  dt entonces 

 a





0

0

f (t  a )e  st dt   f (u )e  s  u  a  du  e  sa  f (u )e  su du  e  sa F ( s)

Por lo tanto se tiene: L  U  t  a  f (t  a )  e  sa F ( s )

Ejemplo: Calcular L  U  x  2  .

Solución: La expresión L  U  t  2  tiene la forma L  U  t  a  f (t  a ) donde a  2

1 1 y f (t )  1 , en la sección anterior se presentó que L 1  , así F ( s )  . Esta propiedad s s  as asegura que basta realizar el producto e F (s) , en este caso se tiene lo siguiente: L  U  t  2   L  U  t  a  f (t  a)  e  as F (s )  e 2 s Por lo tanto L  U  t  2  

1 s

e 2 s . s

Como se mencionó antes, cuando una función dada f (t ) es multiplicada por la función escalón unitario U  t  ésta se anula para t  0 y se conserva para t  0 , en consecuencia, si f (t ) se multiplica por un traslado de la función escalón U  t  a  , se tiene que f (t ) U  t  a  es nula para t  a y toma el valor de f (t ) para t  a , como lo muestra la siguiente figura:

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U1

Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace La propiedad de corte se obtiene del siguiente modo: 



0

a

L  f (t ) U  t  a    f (t ) U  t  a  e  st dt   f (t ) U  t  a  e st dt Tomando u  t  a se tiene que du  dt y además: 







0

0

f (t ) U  t  a  e  st dt   f (u  a)e  s (u  a ) du  e  as  f (u  a)e s du

a

Por lo tanto

L  f (t ) U  t  a   e  as L  f (t  a ) .

Ejemplo: Calcular L cos(2t ) U  t  3  .

Solución: La expresión L  U  t  3 tiene la forma L  f (t ) U  t  a  donde a  3 y

f (t )  cos(2t ) , entonces aplicando la propiedad anterior:

L  f (t ) U  t  a   e as L  f (t  a)





L cos(2t ) U  t  3  e3s L cos  2 t  3  e3s L cos  2t  6 

En la siguiente sección se presentará cómo calcular L cos  2t  6  de forma rápida.

La siguiente propiedad toma el nombre de propiedad de escalamiento, sea a  0 , entonces: 

L  f (at )   f (at )e  st dt 0

Haciendo u  at implica que t  

 0

u 1 y dt  du , en consecuencia: a a 

f (at )e  st dt   f (u )e 0

s

u a



s  u du 1 1 s   f (u )e a du  F   a a0 a a

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U1

Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Es decir L  f (at ) 

1 s F  a a

Ejemplo: Calcular L sen(6t ) .

Solución: La expresión L sen(6t ) tiene la forma L  f (at ) , para aprovechar el tercer ejemplo presentado en la sección anterior hay que hacer la identificación a  2 y 3 3 , lo que implica que F  s   2 . En f (t )  sen(3t) , donde L sen(3t )  2 s 9 s 9 consecuencia: L sen(6t )  L  f (at ) 

Por lo tanto L sen(6t ) 

1 s 1 3  F  a  a  2  s 2  9  s

 s 2

1 3 6  2 2 2s s  36   9 2

6 . s  36 2

Una función f (t ) es periódica y de periodo T si y sólo si f (t )  f  t  T  para todo t  0 .

Esto quiere decir que una función periódica se repite después de recorrer un intervalo de longitud T . Gráficamente una función periódica de periodo T se ve de la siguiente forma:

Ahora se presenta cómo encontrar la transformada de Laplace de una función f (t ) periódica de periodo T :

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace 

T



0

0

T

L  f (t )   f (t )e  st dt   f (t )e  st dt   f (t )e st dt Tomando la última integral y haciendo el cambio de variable u  t  T se tiene que du  dt , luego: 

 f (t )e

T

 st



dt   f  u  T  e

 s  u T 

du  e

 sT

0



 f u  e

 su

du  e  sT L  f (t )

0

Sustituyendo lo anterior se tiene que: T

L  f (t )   f (t )e  st dt  e  sT L  f (t ) 0

T

1  e  L  f (t )   f (t )e  sT

 st

dt

0

L  f (t ) 

1 1  e sT

T

 f (t )e

 st

dt

0

Ejemplo: Calcular L  f (t ) para la función periódica cuya gráfica es la siguiente:

Solución: Hay que observar que la función f (t ) es periódica y de periodo T  4 , además esta función se define del siguiente modo:

1 si 0  t  2 f (t)   y 0 si 2  t  4

f (t )  f (t  4)

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace 1 1  e  sT

T

1 1  e  sT

T

1  1  e 4 s

2

1 0 1 e dt  1  e4 s

1  1  e 4 s

1  1  st    s e   1  e 4 s  0

Aplicando la relación L  f (t ) 

L  f (t ) 

Por lo tanto L  f (t ) 

 f (t )e

 st

dt se tiene lo siguiente:

0



f (t )e  st dt 

0

1 1  e 4 s

 st

4

 f (t )e

dt

0

4

  0 e

2

 st

 st

dt

2

 1 2 s 1   s e  s   

1  1 1 2 s   e .

1  e4 s  s s 

Ahora toca el turno de presentar la transformada de Laplace de la función derivada f '(t ) de f (t ) con para t  0 , la definición de transformada es: 

L  f '(t )   f '(t )e  st dt 0

Haciendo uso de la integración por partes tomando u  e st y dv  f '(t )dt , esto implica que du   se st dt y v  f (t ) en consecuencia: 

 0





f '(t )e  st dt   f (t )e  st   s  f (t )e  st dt 0

0

Ahora para que la integral anterior sea finita se tiene que cumplir f (t )e st  0 cuando t   , por consiguiente 

 f '(t )e

 st

dt   f (0)  sL  f (t )

0

Por lo tanto

L  f '(t )  sF (s)  f (0) Ejemplo: Calcular L cos(3t ) .

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Solución: Hay que observar que la expresión L cos(3t ) tiene la forma L  f '(t )

1 donde f '(t )  cos(3t ) , en consecuencia f (t )  sen(3t ) , esto implica que f (0)  0 y 3 además

1 3  1 1  1 F ( s )  L  f (t )  L  sen(3t )   L sen(3t )   2  2  3 s  9 s  9 3  3 Finalmente sustituyendo en la relación L  f '(t )  sF (s)  f (0) se tiene lo siguiente:

s  1  L cos(3t )  s  2 0 2 .  s 9 s  9

De manera similar, para la segunda derivada f ''(t ) de una función f (t ) se tiene lo siguiente: 

L  f ''(t )   f ''(t )e  st dt 0

Aplicando integración por partes se tiene: 

 0



Observa que

 f '(t )e

 st





f ''(t )e dt   f '(t )e  st   s  f '(t )e  st dt 0  st

0

dt  L  f '(t ) y que la integral anterior converge si f '(t )e st  0

0

cuando t   , en consecuencia: 

 f ''(t )e

 st

dt   f '(0)  s  sF ( s )  f (0) 

0

Por lo tanto:

L  f ''(t )  s 2 F (s)  sf (0)  f '(0) En general, por medio de inducción matemática, se puede mostrar que para la n -ésima derivada f ( n) (t ) de una función f (t ) se tiene que:

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace L  f ( n) (t )  s n F (s)  f (0)s n1  f '(0)s n2 

 f ( n2) (0)s  f ( n1) (0)

Ejemplo: Utilizando la propiedad de la transformada de una derivada calcular

L cos(4t ) Solución: Hay que observar que la función f (t )  cos(4t ) satisface la relación

f ''(t )  16 f (t )  0 Entonces

L  f ''(t )  16 f (t )  L 0 L  f ''(t ) + 16L  f (t )  0  s 2 F ( s )  sf (0)  f '(0)   16 F ( s )  0 ( s 2  16) F ( s )  sf (0)  f '(0)  0 F (s) 

sf (0)  f '(0) s 2  16

Recuerda que f (0)  cos(0)  1 y f '(0)   sen(0)  0 entonces

F ( s) 

s . s  16 2

t

Ahora para una función f ( x) definida para x  0 se define la función  (t )   f ( x) dx , 0

gráficamente la función  (t ) es el área bajo la función f ( x) en el intervalo 0,t  , como lo muestra la siguiente figura:

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Aplicando la definición de transformada de Laplace a  (t ) se tiene lo siguiente:   t   L  (t )    (t )e st dt     f ( x)dx  e st dt 0 0 0 

t

Para aplicar integración por partes, hay que tomar u   f ( x)dx y dv  e  st dt , entonces 0

1 v   e  st y el teorema fundamental del cálculo garantiza que du  f (t )dt , luego: s 

  t t   st   1  st   1 f ( x ) dx e dt  f ( x ) d x  e  f (t )e  st dt      0  0    0 s 0  0   s



t  1  Como ya se ha mencionado antes se tiene que tener que   f ( x)dx    e st   0 cuando  0  s t

t   , además

 f ( x)dx  0

cuando t  0 lo que implica que:

0 

 t   1  st     f ( x)dx    e    0   0  0  s

Es decir t     F ( s) L   f ( x)dx   s   0 

Por otro lado, dada una función f (t ) definida para t  0 , entonces    dn dn dn   st  st F ( s )  f ( t ) e dt       n  f (t )e  dt ds n ds n  0 ds  0

Observa que: dn n  f (t )e  st    1 t n f (t )e  st n  ds

Por consiguiente:

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U1

Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace 

dn n F ( s )    1  t n f (t )e  st dt n  ds 0 Por lo tanto: L t n f (t )   1

n

dn  F ( s)  ds n

Finalmente se presenta el teorema de convolución, dadas dos funciones f (t ) y g (t ) definidas para t  0 se define la función convolución

 f * g  (t )

del siguiente modo:

t

 g * f  (t )   g ( x) f (t  x)dx 0

En consecuencia

t  L  g * f  (t )    g * f  (t )e dt =    g ( x) f (t  x)dx  e st dt 0 0 0  

 st



b t

 lim   g ( x) f (t  x)e st dxdt b 

0 0

La región de donde se está calculando la integral anterior es la siguiente:

Fijando t e integrando con respecto a t se tiene lo siguiente:

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace 

b t

lim   g ( x) f (t  x)e  st dxdt    g ( x) f (t  x)e  st dtdx b 

0 0

0 t

    g ( x)   f (t  x)e  st dt  dx 0 t  

Tomando u  t  x se tiene du  dt y además: 







0

0

f (t  x)e  st dt   f (u )e  s (u  x ) du  e  sx  f (u )e  su du  e sx F ( s)

t

Luego:     st  sx 0 g ( x)  t f (t  x)e dt  dx  0 g ( x)e F (s)dx



     g ( x)e  sx dx  F ( s )  G ( s ) F ( s ) 0  Por lo tanto:

L  g * f  (t )  G ( s ) F ( s ) .

2 Ejemplo: Dadas las funciones f (t )  2t y g (t )  t calcular  g * f  (t ) .

Solución: Basta aplicar la definición de convolución de funciones del siguiente modo: t

t

t

 g * f  (t )   g ( x) f (t  x)dx   x 2  2(t  x) dx    2tx 2  2 x3  dx 0

0

0

3 4  2tx3 2 x 4   2t  t   t    2t  0   0          4  0  3 2   3 2   3 2t 4 t 4 t 4    3 2 6 t

Por lo tanto  g * f  (t ) 

3

4

t4 .

6

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace En resumen las propiedades de la transformada de Laplace se presentan en la siguiente tabla:

L cf (t )  g (t )  cF (s)  G(s)

Linealidad

L eat f (t )  F (s  a)

Traslados

L  U  t  a  f (t  a )  e  as F ( s )

L  f (t ) U  t  a   e  as L  f (t  a )

Corte Escalamiento Función periódica n -ésima derivada

Integral Multiplicación por la potencia n -ésima Teorema de convolución

L  f (at ) 

1 s F  a a

1 L  f (t )  1  e  sT

T

 f (t )e

 st

dt

0

L  f ( n) (t )  s n F (s)  f (0)s n1 

 f ( n1) (0)

t     F ( s) L   f ( x)dx   s   0  n n d L t n f (t )   1  F ( s)  ds n

L  g * f  (t )  G ( s ) F ( s )

1.1.3. Transformada de algunas funciones básicas En esta sección se presentan las transformadas de Laplace de funciones elementales, todas ellas se consideran que están definidas para valores mayores o iguales a cero.

Recuerda que la transformada de Laplace de la función escalonada es

1 L U  t   . s Cuando la función escalonada es trasladada su transformada de la place es la siguiente:

L  U(t  a)  e at L  U  t  

e at s

Ejemplo: Calcular la transformada de Laplace de la función f (t ) cuya gráfica es la siguiente figura:

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U1

Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace

Solución: Primero hay que observar que la función:

si t  a

0  U  t  a   U  t  b   1 0 

si a  t  b si b  t

La figura muestra la gráfica de f (t ) es una dilatación con factor A de la función

U  t  a   U  t  b  , lo que implica que f (t )  A  U  t  a   U  t  b   , en consecuencia:





L  f (t )  L A  U  t  a   U  t  b  

 AL  U  t  a   AL  U  u  b   e  at   e bt   A  A   s   s   

Por lo tanto L  f (t ) 

A  at bt e  e  . s

Para la función exponencial f (t )  e

at

donde a 

, se aplica el teorema de traslación de

la siguiente forma:

1 1  L eat   L eat U  t       s  s s  a s  a 

t

donde s  a .



Ejemplo: Calcular L e 4  .





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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace 

t



 

Solución: Basta observar que la expresión L e 4  es similar a L e at , cuando



a



1 , por consiguiente: 4  t 1 1 L e 4   L e at    sa 1   s   4 

t



Por lo tanto L e 4  





1 donde s  .

4

4 1 , donde s  .

4s  1 4





Ejemplo: Calcular L e3t U  t  4  .

Solución: Para este ejemplo se presentan dos formas de hallar la respuesta: 





Opción 1: La expresión L e3t U  t  4  es similar a L  f (t ) U  t  a  donde a  4 y f (t )  e . Aplicando la propiedad adecuada se tiene: 3t

L e3t U  t  4  = L  f (t ) U  x  a   e  as L  f (t  a )  e 4 s L  f (t  4)  e 4 s L e3(t  4)   e 4 s e12 L e3t   1   e 4 s 12    s 3





Por lo tanto L e U  t  4   

3t

e4 s 12 . s 3





Opción 2: Hay que observar que la expresión L e3t U  t  4  es parecida a la expresión L  U  x  a  f (t  a ) , claramente a  4 , pero la expresión e3t no tiene la forma f (t  4) , para ello hay que realizar lo siguiente e3t  e3( t  4) 12 . En 3t 12

consecuencia f (t )  e

, esto implica que:

L  f (t )  L e3t 12   e12 L e3t  

e12  F (s) s 3

Por consiguiente:

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33

U1

Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace  e12  L e3t U  t  4   L  U  x  a  f (t  a)  e  as F ( s )  e 4 s    s  3





Por lo tanto L e U  t  4   3t

e4 s 12 . s 3

3t En ambos casos se obtiene que obtener el mismo resultado L e U  t  4  

e4 s 12 . s 3

Como una aplicación inmediata de lo anterior se obtiene lo siguiente:

1 1  1 L senh(kt )  L   e kt  e  kt    L e kt   L e  kt  2 2  2 1 1 1 1 (s  k )  (s  k )    2 s  k 2 s  k 2( s  k )( s  k ) k  2 donde s | a | s  k2 Utilizando la propiedad de la transformada de Laplace de la derivada se tiene que para la función f '(t )  cosh( kt ) implica que f (t ) 

1 senh(kt ) . La relación L  f '(t )  sF (s)  f (0) k

implica lo siguiente:

 1  k  s L cosh(kt )  s   2  senh(0)  2 2  s  k2  k s  k 

donde s | a | .

Ejemplo: Calcular L senh(2t ) .

Solución: Hay que observar que la expresión L senh(2t ) es similar a L senh( kt ) donde k  2 en consecuencia:

L senh(2t ) = L senh(kt )  Por lo tanto L senh(2t ) =

k 2  2 2 2 s k s 2 2

donde s  2

2 donde s  2 . s 4 2

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace 

 t   2 

Ejemplo: Calcular L e3t cosh    .





 t   2 

Solución: Hay que observar que la expresión L e3t cosh    es similar a



t 2

L eat f (t ) donde a  3 y f (t )  cosh   , luego F ( s ) 

s 1 s2    2

2

4s , en 4s 2  1



consecuencia:

  t   4s  L e3t cosh     F ( s  3)   2   2   4s  1 s  

 t   2 

Por lo tanto L e3t cosh    



 s 3

4( s  3) 4( s  3)2  1

donde s 

1 2

4s  12 1 donde s  .

2 35  24s  4s 2

Para la función potencia f (t )  t con n n

se aplica la propiedad de la potencia n -

ésima del siguiente modo:

L t n   L t n U  t   (1)n



dn  1 n! n n!    (1)n  1 n1   n1 n   ds  s  s  s 



Ejemplo: Calcular L 3  5t  3t 2  5t 3 .

Solución: Basta aplicar el resultado anterior junto con la propiedad de lineal de la siguiente manera:

L 3  5t  3t 2  5t 3   L 3  L 5t  L 3t 2   L 5t 3   3L 1  5L t - 3L t 2   5L t 3   1   1!   2!   3!   3   5  2   3 3   5 4  s s  s  s 





Por lo tanto L 3  5t  3t 2  5t 3 

3 5 6 30    . s s 2 s3 s 4

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U1

Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace

 

Ejemplo: Calcular L e2t 3  2t  4t 2

 .

 

Solución: La expresión L e2t 3  2t  4t 2

 es similar a L e

at

f (t ) donde a  2 y

f (t )  3  2t  4t 2 esto implica que F ( s)  L  f (t )  L 3  2t  4t 2   3L 1  2L t  4L t 2  3 2 8   2 3 s s s Por consiguiente:





L e 2t  3  2t  4t 2   L e at f (t )  F ( s  a ) 3 2 8    2  3 s  ss 2 s s 3 2 8    2 ( s  2) ( s  2) ( s  2)3

 3  2t  4t   s 3 2  (s 22)

Por lo tanto L e

2t

2

2



8 . ( s  2)3

Ejemplo: Calcular la transformada de Fourier de la función f (t ) representada gráficamente en la siguiente figura:

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U1

Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Solución: Hay que observar que la gráfica de la función es el segmento de recta que une el punto  1,1 con el punto  3, 3  , la recta que pasa por estos dos puntos tiene por ecuación 2t  y  2 , es decir y  2t  2 . La figura muestra que hay que “cortar” en los valores t  1 y t  3 , la función que realiza estos cortes es U  t  1  U  t  3 por consiguiente se tiene que f (t )   2t  2   U  t  1  U  t  3  . Luego:

L  f (t )  L

 2t  2  U t 1  U t  4

 L  2t  2  U  t  1  L  2t  2  U  t  4  Aplicando la relación L  f (t ) U  x  a   e  as L  f (t  a ) se tiene lo siguiente:

L  2t  2  U  t  1  e s L  f (t  1)  e  s L 2(t  1)  2 2e s  e L 2t  2e L t  2 s s

s

De manera similar:

L  2t  2  U  t  3  e 3s L  f (t  3)  e 3s L 2(t  3)  2  e3s L 2t  4  e 3s  2L t  4L 1  2 4  e3s  2   s s Por lo tanto L  f (t ) 

2e s  2 4  e3s  2   .

2 s s s

Ejemplo: Calcular la transformada de Laplace de la función f (t ) cuya gráfica es la siguiente figura:

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U1

Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace

Solución: Dado que la función es constantemente igual a 1 en el intervalo  0, 2  , la función toma la regla U  t   U  t  2  , después toma el valor constante de 3 en el intervalo  2, 3  y se escribe por 3  U  t  2   U  t  3  , luego la función es constantemente igual a 2 en el intervalo  3, 5  , por lo que en este intervalo la función es

2  U  t  3  U  t  5  , finalmente en el intervalo  5,8  la función es constantemente igual a 1 por lo que la función es U  t  5   U  t  8  , por lo tanto se tiene que:

f (t )  U  t   U  t  2   3  U  t  2   U  t  3  2  U  t  3  U  t  5  U  t  5   U  t  8   U  t   2 U  t  2   5 U  t  3  3 U  t  5   U  t  8 

Aplicando transformada de Laplace se tiene lo siguiente:

L  f (t )  L  U  t   2 U  t  2   5 U  t  3  3U  t  5   U  t  8   L  U  t   2L  U  t  2   5L  U  t  3  3L  U  t  5   L  U  t  8  1 e 2t e 3t e5t e 8t  2 5 3  s s s s s Por lo tanto L  f (t ) 

1 1  2e2t  5e3t  3e5t  e8t  . s

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Cuando la potencia t  , donde   0 , se emplea la función gamma que se define de la 

siguiente forma      t



e dt . Luego L t

 1  t





  t

0

t

  st

e dt , tomando u  st se tiene que

0

u du y dt  en consecuencia: s s 







1  u  u du  u 0 t e dt  0  s  e s  s  1 0 u e du   st



1 s

 1



u

(  1) 1  u

e du 

0

    1 s  1

De forma similar a las funciones hiperbólicas se presentan las transformadas de Laplace de las funciones seno y coseno. Para la función seno se tiene lo siguiente: 

L sen(kt )   sen(kt )e st dt 0

Aplicado integración por partes se tiene lo siguiente:

e st  sen(kt )e dt   k 2  s 2  k cos  kt   s sen  kt    st

Evaluando la integral anterior de 0 a  se tiene que: 

 e  sb  1 m   2 2  k cos  kb   s sen  kb     2 2  k cos  0   s sen  0   0 sen(kt )e dt  lbi  k s  k s k  2 2 cuando s  0 k s  st

Por lo tanto:

L sen(kt ) 

k s  k2 2

De forma similar se tiene que: 

L cos(kt )   cos(kt )e st dt 0

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Aplicado integración por partes se tiene lo siguiente:  st  cos(kt )e dt 

e st  s cos  kt   k sen  kt   k 2  s2

Evaluando la integral anterior de 0 a  se tiene que: 

 e  sb  1  st cos( kt ) e dt  lim  s cos k b  k sen kb          k 2  s 2   s cos  0   k sen  0   2 2 0 b  k  s   s  2 2 cuando s  0 k s

Por lo tanto:

L cos(kt )  

s s  k2 2

 t   2 

Ejemplo: Calcular L sen    .





 t   2 

Solución: Observa que la expresión L sen    es similar a L sen(kt ) donde



k

1 , en consecuencia: 2

1   t  k 2 L sen     L sen(kt )  2  2 2 s k   2  1 2 s   2 

 t   2 

Por lo tanto: L sen    



2 .

4s  1



2



Ejemplo: Calcular L e4t cos(3t )





Solución: Observa que la expresión L e4t cos(3t ) es similar a L eat f (t ) donde

a  4 y f (t )  cos(3t) , luego

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace F ( s )  L cos(3t ) 

s s   3 2

2



s s 9 2

En consecuencia:

s4  s  L e 4t cos(3t )  L e at f (t )  F ( s  a )   2  2   s  9  ss 4  s  4   9





Por lo tanto L e4t cos(3t ) 

s4 . s  8s  25 2

Finalmente se presenta la función delta de Dirac o función de impulso, la cual se define de la siguiente manera: para un valor fijo a  , considera un rectángulo con base r de tal forma que este centrado en a y que su altura sea

1 , este rectángulo tiene área A  1 , r

como lo muestra la siguiente figura:

Esta función se define por:

1   

r

 

r 

 r (t  a)   U  t  a    U  t  a    r 2 2 



La delta de Dirac se define por:

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace 1    

r

r  

 

 (t  a)  lim  r (t )  lim   U  t  a    U  t  a     r 0 r 0 r 2 2 

 

 si t  a   0 si t  a Además se tiene que: 









  (t  a)dt   lim  (t  a)dt  lim   (t  a)dt  lim 1  1 r 0

r

r 0

r



r 0

Observa que la delta de Dirac no se comporta como una función usual. Para calcular la transformada de Laplace de la función  (t ) se realiza lo siguiente:





1   r r    L  (t  a)  L lim  r (t )  lim L   U  t  a    U  t  a     r 0 r 0 2 2    r   1    r     r    lim L   U  t  a      L  U  t  a    r 0 r 2   2        r     a  2r  s   a s  2    1 e e e  as  2r s  2r s    lim    lim e e  r 0 r s s  r 0 rs    

  rs    senh  2       e  as  e  as lim  r 0 rs     2  as Por lo tanto L  (t  a )  e , en particular para a  0 se tiene que L  (t )  1 .

En resumen, la siguiente tabla presenta las transformadas de algunas funciones elementales: Función escalonada Funciones escalonada trasladada Funciones exponencial

L U  t  

1 s

donde s  0

e at L  U(t  a)  donde s  0 s 1 L eat   donde s  a sa

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U1

Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Funciones hiperbólicas

n -ésima potencia entera

 -ésima potencia real Funciones trigonométricas Delta de Dirac

L senh(kt )  L cosh(kt ) 

k s  k2

donde s | a |

2

s s  k2 2

donde s | a |

L t n  

n! donde s  0 s n1     1 L t    donde s  0 s  1 k L sen(kt )  2 cuando s  0 s  k2 s L cos(kt )  2 cuando s  0 s  k2 L  (t  a )  e  as

1.2. La transformada inversa de Laplace Muchos de los procesos que se presentan en matemáticas son invertibles, por ejemplo la suma, el producto tienen en la resta y la división sus procesos inversos. La transformada de Laplace no es la excepción. En esta sección se presenta la definición y las propiedades de la transformada inversa de Laplace.

1.2.1. Definición y propiedades básicas de la transformada inversa de Laplace En la sección anterior se presentó que la transformada de Laplace una función, cuando existe, es única. Ahora toca el turno de realizar el proceso inverso vía la siguiente relación: si la transformada Laplace de f (t ) es la función F ( s ) entonces la transformada inversa de Laplace de F ( s ) es f (t ) , en símbolos lo anterior se presenta del siguiente modo:

L 1  F ( s )  f (t ) si y solo si L  f (t )  F ( s ) .

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Gráficamente se tiene lo siguiente:

Las propiedades que posee la transformada inversa de Laplace se obtiene de las propiedades que tiene la trasformada de Laplace como se presenta a continuación.

La linealidad se obtiene de observa que:

L cf (t )  g (t )  cF (s)  G(s) Por lo tanto:

L1 cF (s)  G(s)  cf (t )  g (t ) De las propiedades de traslación se obtiene lo siguiente:

L eat f (t )  F ( s  a)  L1 F ( s  a)  e at f (t )

1  as L  U  t  a  f (t  a )  e  as F ( s)  L e F ( s)  U  t  a  f (t  a )

De la propiedad de escalamiento L  f (at ) 

 Lf 

 t      kF  ks    k 

1  Lf k 

1 1 s F   y haciendo a  se obtiene: a a k

1 t  t  1     F  ks   L F (ks )  f   k k  k 

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U1

Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace De la relación L t n f (t )   1

n

dn  F ( s)  se tiene que: ds n

 dn  n L1  n  F ( s)    1 t n f (t )  ds 

Del teorema de convolución se tiene lo siguiente:

L  g * f  (t )  G ( s ) F ( s )  L1 G ( s ) F ( s )   g * f  (t ) Para las transformadas de Laplace que se obtienen por medio de funciones elementales

 

se tiene lo siguiente: De la relación L t n 

 n!  L1  n1   t n s 

n! se tiene que: s n1

 1   n !L1  n1   t n s  1  s

En particular cuando n  0 se tiene que L1   

n  1  t  L1  n1    s  n!

t0 = 1.

0!

10  .

4  s 

1 Ejemplo: Calcular L 

10  1  1  es similar a L  n 1  , donde n  1  4 4  s  s 

1 Solución: Observa que la expresión L 

, es decir n  3 . En consecuencia:

tn  t3 5 10  1  1  L 1  4   10L 1  4   10L 1  n 1   10    10  t 3 .

3! 3 s  s  s   n !

10  5 3  t .

4  s  3

1 Por lo tanto L 

Ejemplos: Utilizando la relación anterior y la propiedad de linealidad, las siguientes transformadas inversas de Laplace se obtiene de forma inmediata: 

4 1  L1    4L1    4 . s s

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U1

Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace 

2 3  3  3 1 3t L1  3   L1  3    t2 .  2s  2  s  2 2! 4



t2 t 1 1 2 5 1  1 1 1 1  L1  3  2    2L1  3   5L1  2   L1    2  5   t 2  5t  .

2s  2! 1! 2 2 s s s  s  2 s

 

  .

2 s  3      

Ejemplo: Calcular L1 

1

Solución: Observa que la expresión

F ( s) 

1

 s  3

2

tiene la forma F ( s  a ) donde

1 t2 1  1  y , lo que implica que . Aplicando la propiedad de a  3 f ( t )  L    3 s3 s  2

traslación se tiene lo siguiente: 2   1   1 at 3t t L1   L F ( s  a )  e f ( t )  e   2 2    s  3  

 

  1 3t 2  e t . s  3       2

Por lo tanto L1 

1

2

 

Luego tomando el hecho que L eat 

1 se obtiene que: sa

 1  at L 1  e s  a  3  .  2s  5 

1 Ejemplo: Calcular L 

 3  1  1   , pero hay  es similar a L   2s  5  s  a que tener cuidado ya que el coeficiente de s siempre tiene que ser igual a 1 por lo que factorizar el 2 en el denominador para encontrar el valor de a : 1 Solución: Observa que la expresión L 

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U1

Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace         3 3 3 1    1  1 L1  L   L  5  2s  5   2  s  5   2 s    2    2   Así a 

5 , finalmente se tiene lo siguiente: 2

    3 1  1  3 at 3 52 t 3 3 1   1 L1   L   5 L   e  e 2 s  a 2  2s  5  2   2 s    2 5  3  3 2t  e .  2s  5  2

Por lo tanto L1 

Ejemplo: Aplicando la relación anterior, las siguientes transformadas inversas de Laplace se obtiene de forma inmediata: 

 4  1  1  3t L 1    4L    4e .  s  3  s  3



1   3  1  5t L1    3L    3e s  5  s  (5) 



        3 14 t 3 1 3 1    1  1 L1   3 L  L     1 e 1 4    4s  1 4 s    s   4  4  4    



    2 1 1 1 1 1  12 t     1 1 3t L1    2 L  L  2 e  e     1 2  s  3 2s  1  s  3 2 s    2

Para el siguiente ejemplo se empleará el siguiente resultado, conocido como el teorema de la descomposición en fracciones parciales: Teorema: Para un fracción polinomial

f ( x) con coeficiente reales, donde el grado de g ( x)

g ( x ) es mayor que el grado de f ( x) , supóngase que g ( x)  g1 ( x)

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gn ( x) donde gk ( x)

47

U1

Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace son polinomios con coeficientes reales irreducibles para k  1, , n , entonces existen

f k ( x) polinomios con coeficientes reales donde el grado de gk ( x) es mayor que el grado

f k ( x) y que satisfacen: f ( x) f1 ( x)   g ( x) g1 ( x)



f n ( x) . g n ( x)

En el caso de polinomios con coeficientes reales, los polinomios irreducibles son de grado 1 y algunos de grado 2 , en el primer caso, al numerador le corresponde una constante y para el segundo un polinomio de grado 1 .

 2s  6  .

2  3  2 s  8s 

1 Ejemplo: Calcular L 

Solución: Este ejemplo se puede resolver por dos métodos, para el primero aplica fracciones parciales y para el segundo se aplica una propiedad traslación.

2s  6 3  2s  8s 2 2 primero se factoriza el denominador, en este caso 3  2 s  8s  1  2 s  3  4 s  , después Opción 1: Para aplicar el teorema de las fracciones parciales a la expresión

como los polinomios 1  2s y 3  4s son de grado 1 el teorema de las fracciones parciales afirma que existen constantes A y B (polinomios de grado 0 ) tales que satisfacen:

2s  6 A B   2 3  2s  8s 1  2s 3  4s De lo anterior se obtienen las siguientes relaciones:

A  3  4s   B 1  2s   3 A  B    4 A  2 B  s 2s  6 A B     2 3  2 s  8s 1  2 s 3  4 s 1  2s  3  4s  1  2s 3  4s  Igualando los numeradores se tiene:

6  2 s   3 A  B    4 A  2 B  s Como dos polinomios son iguales si y sólo si sus coeficientes son iguales término a término, se llega al siguiente sistema de ecuaciones:

3A  B  6

4 A  2B  2

De donde se obtiene que A  1 y B  3 . Lo que implica que:

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48

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace 2s  6 1 2   2 3  2s  8s 1  2s 3  4s Aplicando transformada inversa de Laplace se obtiene:

        2 s  6 1 2 1 1 2 1     1 L 1   L 1    L 1   L    2  3  2 s  8s  1  2 s 3  4 s  2 s  1  4 s  3   2  4 1 12 t 1 34 t  e  e 2 2 Además, para las funciones hiperbólicas se tienen las siguientes relaciones:

L senh(kt ) 

k s  k2



L cosh(kt ) 

s s  k2



2

2

 k  L1  2  senh(kt ) 2 s  k   s  L1  2  cosh(kt ) 2 s  k 

Ejemplos: Aplicando la relación anterior, las siguientes transformadas inversas de Laplace se obtiene de forma inmediata: 

 4   1  1  1 1  L1  2  L  senh(4t ) .   2 2  s  16  4 s  4     4  



  s   2s  1  L  2  2cosh   2L  2  s  3  s2  3   



    3       1  1 1  1  1 1  1  1 2 1   1 3  1  2 L  2  L   L   senh  t   L   2 2  4s  9  4 2   s2  9  4  s2   3   4 3  s2   3   6      4    2    2  



    s 2  4 1    3s  4  1  L  2  L   3cosh   3L  2 2 2 2 2 s  2 s  2  s  2     

1

1

 

 





3t .

 

 2t  

4 senh 2

 2t 

Cuando se tengan polinomios de cuadráticos en el denominador, se puede expresar como suma o diferencia de cuadrados, de ahí se aplica la propiedad de traslado, como se muestra a continuación.

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49

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace 5   .

2  5  4s  s 

1 Ejemplo: Calcular L 

Solución: Hay que expresar el polinomio s 2  4 s  5 como suma o diferencia de cuadrados, del siguiente modo:

s 2  4s  5   s 2  4s   5   s 2  4s  4   5  4   s  2   9   s  2   32 2

Luego la expresión

5

 s  2

2

 32

2

tiene la forma F ( s  a ) donde F ( s) 

5 y a  2, s  32 2

luego

 5  5  3  5 t f (t )  L1  2 2   L 1  2 2   senh   s 3  3 s 3  3 3 Aplicando la propiedad de traslación se tiene lo siguiente:

  5 1   5 5 3   1  L 1   L  L     2 2 2 2 2  5  4 s  s    s  2   3  3   s  2   3  5 t  e 2t senh   3 3

3s   .

2  3  2s  s 

1 Ejemplo: Calcular L 

Solución: Hay que expresar el polinomio s 2  2 s  3 como suma o diferencia de cuadrados, del siguiente modo:

s 2  2s  3   s 2  2 s   3   s 2  2s  1  3  1   s  1  4   s  1  22 2

Luego la expresión

3s

 s  1

2

2

2

2

no es propiamente un traslado de

s , para resolver s  k2 2

esta situación se realizar lo siguiente:

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50

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace 3s

 s  1

2

 22



3  s  1  3

 s  1

2

 22



3  s  1

 s  1

2

 22



3

 s  1

2

 22

Aplicando la propiedad de traslación se tiene lo siguiente:

   3  s  1  3s 3s 3   1  1  L1   L  L       2 2 2 2 2 2 2  3  2s  s    s  1  2    s  1  2  s  1  2    s  1  3 1   2  3L1   L    2 2 2 2   s  1  2  2   s  1  2  t 1 t  3et cosh    et senh   2 2 2

3s   t 1 t  3e  t cosh    e  t senh   .

2  3  2 s  s  2 2 2

1 Por lo tanto L 

Para funciones trigonométricas se tiene lo siguiente:

L sen(kt ) 

k s  k2



L cos(kt ) 

k s  k2



2

2

 k  L 1  2  sen(kt ) 2 s  k   s  L1  2  cos(kt ) 2 s  k 

Ejemplos: Aplicando la relación anterior, las siguientes transformadas inversas de Laplace se obtiene de forma inmediata: 

 3   1  1  1 1  L1  2  sen(3t ) .  L  2  2 s  9 3   s   3   3



  s   3s  1  L  2  3cos   3L  2 2 s  5 s  5   



    2       1  1 3 1   3  5  5 1  1  5 1  2  3 L1  2  L  L  L  sen  t       2 2 4  9s  4  9 3   s2   9  s2   2   4 2  s2   2   8     9      3    3  

1

 

 5t  .

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace 

    s 3  1 1    2s  1  1  L  2  L   2cos   2L  2 2 3  s  3  s2  3   s2  3      1

 

 

 3t  

1 senh 3

 3t 

 2s  1  .

2 13  6s  s 

1 Ejemplo: Calcular L 

Solución: Se comienza expresando el polinomio 13  6s  s 2 como suma o diferencia de cuadrados del siguiente modo:

s 2  6s  13   s 2  6s   13   s 2  6s  9   13  9   s  3  4   s  3  22 2

2

En consecuencia se tiene lo siguiente:

 2 s  1     2s  1  1  1  2  s  3   1  6  L1   L  L      2 2 2 2 2 13  6 s  s    s  3  2    s  3  2   2  s  3  1   7  L1   L    2 2 2 2   s  3  2    s  3  2    s  3  7 1   2  2L1   L    2 2 2 2   s  3  2  2   s  3  2  t 7 t  2e 3t cos    sen   2 2 2

 2s  1  t 7 t  2e 3t cos    sen   .

2 13  6s  s  2 2 2

1 Por lo tanto L 

 as Finalmente, de la relación L  (t  a )  e se tiene lo siguiente:

L1 e as    (t  a) .

 

Ejemplo: Calcular L1 e 4t .

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52

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace

  es similar a L e  , donde a  4 , aplicando la 1

Solución: La expresión L1 e4t

 as

relación anterior se tiene lo siguiente:

L1 e4t   L1 e as    (t  a)    t  4  .

 

Por lo tanto L1 e4t    t  4  .

En resumen, la siguiente tabla presenta las propiedades elementales de la transformada inversa de Laplace: Linealidad

L1 cF (s)  G(s)  cf (t )  g (t )

L 1  F ( s  a )  e at f (t ) Traslados

Escalamiento Derivada n -ésima Teorema de convolución Potencia n -ésima Función exponencial

Funciones hiperbólicas

Funciones trigonométricas

Delta de Dirac

L1 e as F ( s)  U  t  a  f (t  a)

L1  F (ks ) 

1 t f  k k

 dn  n L1  n  F ( s)    1 t n f (t ) ds  

L 1 G ( s ) F ( s )   g * f  (t ) n  1  t L  n 1    s  n!  1  at L 1  e s  a  k  L 1  2  senh( kt ) 2 s  k   s  L 1  2  cosh( kt ) 2 s  k   k  L 1  2  sen(kt ) 2 s  k   s  L1  2  cos(kt ) 2 s  k  1

L1 e as    (t  a)

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53

U1

Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace  e 2t   s  4

Ejemplo: Calcular L 1 

 e 2t  1  as  es similar a L e F ( s) donde s  4  

Solución: Observa que la expresión L 1 

a  2 y F ( s) 

1 4t , lo que implica que f (t )  e .Finalmente s4

 e 2t  1  as L    L e F ( s )  U  t  a  f (t  a ) s  4 1

 U  t  2  e 4t 

t

t 2

 U  t  2  e 4(t  2)

 e 2 t  4 t 8   U  x  2 e . s  4  

Por lo tanto L 1 



 .   s  3 s  4   1

1 Ejemplo: Aplicando el teorema de convolución calcular L 

Solución: Observa que la expresión

G( s) 

1

 s  3 s  4 

tiene la forma G ( s ) F ( s ) donde

1 1 3t 4t y F ( s)  , esto implica que g (t )  e y f (t )  e , aplicando el teorema s4 s 3

de convolución se tiene lo siguiente: t   1 1 L1   L G ( s ) F ( s )  g * f ( t )       0 g ( x) f (t  x)dx   s  3 s  4   t

t

0

0

  e3 x e4(t  x ) dx  e4t  e x dx  e4t  e  x 

t 0

 e4t  e t  1  e3t  e4t



 3t 4t   e  e .   s  3 s  4  

1 Por lo tanto L 

1

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U1

Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace 

11  17 s  6s 2  .

2  s  4 5  2 s  s      

1 Ejemplo: Calcular L 

Solución: Como se ha visto en ejemplos previos hay que aplicar el teorema de las fracciones parciales del siguiente modo:

11  17 s  6s 2 A Bs  C   2  s  4   5  2s  s  s  4 5  2s  s 2 

A  5  2 s  s 2    Bs  C  s  4 

 s  4   5  2s  s 2   5 A  4C    2 A  4 B  C  s   A  B  s 2   s  4   5  2s  s 2 

Igualando numeradores se llega al siguiente sistema:

5 A  4C  11 2 A  4 B  C  17 A B  6 Cuya solución es:

A  3 B  3 C 1 En consecuencia:

11  17 s  6s 2 3 3s  1   2  s  4   5  2s  s  s  4 5  2s  s 2

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U1

Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Aplicando transformada inversa se tiene lo siguiente:

 11  17 s  6 s 2  3s  1   3 L 1   L 1   2 2   s  4 5  2s  s    s  4   5  2 s  s    3s  1  1  1   3L 1  L   2 s  4  5  1  1  2 s  s    3  s  1  1  3   3e 4t  L 1  2 2   2   s  1    s  1   2  1   3e 4t  3L 1  2  2 L  2 2 2  2   s  1   2   s  1   3e 4t  3et cos  2t   2et sen  2t 



11  17 s  6s 2   3e4t  3et cos  2t   2et sen  2t  .

2    s  4   5  2s  s  

1 Por lo tanto L 

1.2.2. Método de Heaviside Como se vio en la sección anterior, se puede emplear fracciones parciales para descomponer una fracción algebraica como suma de fracciones simples, para esto hay que resolver un sistema lineal, en muchos casos este sistema es tedioso de resolver. El método de Heaviside permite simplificar un poco el proceso de las fracciones parciales, el cual se enuncia del siguiente modo.

Teorema: Dados dos polinomios p ( s ) y q ( s ) donde el grado de q ( s ) es mayor que el grado de p ( s ) . Supóngase que el polinomio q ( s ) es el producto de n factores de grado 1 de la forma  s  a1 

 s  an 

donde a j  ak para j  k . Entonces

 p( s)  n p(ak ) aK t L1  e   q( s)  k 1 q '(ak )

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56

U1

Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Lo anterior se obtiene de observar que el teorema de las fracciones parciales se tiene que:

A p( s)  1  q(s) s  a1



n An A  k s  an k 1 s  ak

Para 1  j  n se multiplica ambos lado de la igualdad por s  a j para obtener:

A1  s  a j  p( s) s  aj     q( s) s  a1

 Aj 



An  s  a j  s  an

Haciendo s  a j se tienen las siguientes relaciones:

 A1  s  a j   p( s)  lim  s  a j    lim    s a j q( s)   s a j  s  a1     A a a 1 j    1 j p (a j ) lim  s a j  q( s)  q(a )  a j  a1 j    s  aj  p(a j ) q '(a j )

 Aj 

 Aj 





An  s  a j    s  an  

An  a j  a j  a j  an

 Aj

En consecuencia: n

p(ak )

1

 q '(a ) s  a k 1

k

k



p( s ) q( s )

Aplicando la transformada inversa en ambos lados se tiene lo siguiente: n  p( s)  p(ak ) 1  n 1  p(ak ) 1  1  L1   L     L    q( s)   k 1 q '(ak ) s  ak  k 1  q '(ak ) s  ak 

p(ak ) 1  1  n p(ak ) ak t L  e  k 1 q '( ak )  s  ak  k 1 q '(ak ) n



 p ( s )  n p (ak ) 1  1  n p (ak ) ak t L  e .    q ( s )  k 1 q '(ak )  s  ak  k 1 q '(ak )

Por lo tanto L 1 

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace La dificultad de este método radica (como se ha mencionado antes) que no siempre se puede factorizar un polinomio con coeficientes reales como producto de factores distinto de grado 1 . Otra cosa que hay que resaltar es que todos los coeficientes de grado 1 en el denominador son 1 . En esta sección se presenta ejemplos donde se puede aplicar el resultado anterior:



2s  1  .  ( s  2)( s  3) 

Ejemplo: Calcular L1 

Solución: Observa que la expresión

p( s) 2s  1 tiene la forma donde ( s  2)( s  3) q( s)

p(s)  2s  1 y q(s)  (s  2)(s  3)  s 2  5s  6 Luego a1  2 , a2  3 y q '( s)  2 s  5 . Aplicando el método de Heaviside se tiene lo siguiente:

 2s  1  2 p(ak ) ak t p(a1 ) a1t p(a2 ) a2t p(2) 2t p(3) 3t L1  e  e  e  e  e  q '(a1 ) q '(a2 ) q '(2) q '(3)  ( s  2)( s  3)  k 1 q '(ak ) 2(2)  1 2t 2(3)  1 3t 5 2t 7 3t  e  e  e  e 2(2)  5 2(3)  5 1 1 

2s  1  2t 3t   5e  7e .  ( s  2)( s  3) 

Por lo tanto L1 

 1  7s  .

2  4  7 s  2s 

1 Ejemplo: Calcular L 

Solución: Primero se comienza factorizando el polinomio que se encuentra en el denominado, en este caso se tiene:

4  7 s  2 s 2   4  s 1  2 s 

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Después se realiza lo siguiente:

1  7 s  1 1  7s 1  7s 7s 1 2    1 1 4  7 s  2 s 2  4  s 1  2 s    2  s    s  4  s    s  4 2 2   Lo anterior se realizó para poder aplicar el método de Heaviside. Con la notación del teorema anterior se tiene que:

p( s) 

1 1  7 s  1 a1   2 2

Lo anterior implica que q '(s)  2s 

1  a2  4 q( s)   s    s  4  2 

7 .

2

Finalmente se tiene:

 1  7 s  1      p (a1 ) a1t p (a2 ) a2t  1  7s  L1   L1  2 e  e  2 1 q '( a ) q '( a )    4  7 s  2s  1 2   s    s  4     2 1  1  1 7    1 2   2    2t 2  7  4   1 4t  e  e 7  1 7 2  4  2    2  2 2 

1  2t e  3e 4t 2

t  1  7s  1  2  e  3e4t .

2 4  7 s  2 s 2  

Por lo tanto L1 



 s 2  2s  1 .  ( s  3)( s  1)( s  5) 

Ejemplo: Calcular L 1 

Solución: Se procede de manera similar a los ejemplos anteriores observando los siguientes elementos:

p( s)  s 2  2s  1 q( s)  ( s  3)( s  1)( s  5) a1  3 a2  1 a3  5

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace De los datos anteriores se tiene que q( s)  15  13s  3s  s lo que implica que 2

3

  s 2  2s  1 q '(s)  13  6s  3s . El método de Heaviside afirma que L   es  ( s  3)( s  1)( s  5)  1

2

igual a:

 3

2

 2  3  1

13  6  3  3  3

2

e

3t



1

2

 2 1  1

13  6 1  3 1

e  t

2

 5

2

 2 5  1

13  6  5   3  5 

2

e5 t



 1 3t 1 t 9 5t s 2  2s  1  e  e  e .

4 8  ( s  3)( s  1)( s  5)  8

Por lo tanto L 1 

1.3. Aplicaciones de la transformada de Laplace Una de las razones por la cual la transformada de Laplace es una herramienta muy útil en la ingeniería es dada por la siguiente propiedad:

L  f ( n) (t )  s n F (s)  f (0)s n1 

 f ( n1) (0)

La relación anterior dice que la transformada de Laplace convierte la derivada en un polinomio, así un problema que involucre derivadas la transformada de Laplace lo convierte en un problema algebraico.

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación diferencial:

y '(t )  2 y (t )  0 Donde y (0)  1 .

Solución: Se comienza aplicando la transformada de Laplace a la ecuación diferencial se tienen las siguientes relaciones:

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace L  y '(t )  2 y (t )  L 0 L  y '(t )  2L  y (t )  0

 sY ( s)  y(0)  2Y ( s)  0 ( s  2)Y ( s )  1  0 Y ( s) 

1 s2

Las relaciones anteriores afirman que la función y (t ) que es solución de la ecuación diferencial y '(t )  2 y (t )  0 tiene transformada de Laplace Y ( s) 

1 , por s2

consiguiente:

 1  2t y (t )  L1 Y ( s )  L1  e s  2 Por lo tanto y(t )  e

2t

.

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación diferencial:

y ''(t )  4 y '(t )  4 y (t )  cos(2t ) Donde y (0)  0 y y '(0)  1 .

Solución: Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación diferencial se tienen las siguientes relaciones:

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace L  y ''(t )  4 y '(t )  4 y (t )  L cos(2t ) s s  22 s  s 2Y ( s )  y (0) s  y '(0)   4  sY ( s )  y (0)   4Y ( s)  2 s 4 s  s 2Y ( s )  y (0) s  y '(0)   4  sY ( s )  y (0)   4Y ( s)  2 s 4 s  s 2Y ( s )  (0) s  (1)   4  sY ( s )  (0)   4Y ( s)  2 s 4 s  s 2Y ( s )  1  4  sY ( s )   4Y ( s )  2 s 4 s  s 2  4 s  4  Y ( s )  1  2 s 4 s  s 2  4 s  4  Y ( s )  2 1 s 4 4  s  s2  s 2  4 s  4  Y ( s )  4  s2 4  s  s2 Y ( s)   4  s 2  s 2  4s  4  L  y ''(t ) + 4L  y '(t )  4L  y (t ) 

2

De manera similar al ejemplo anterior, la función y (t ) que satisface

y ''(t )  4 y '(t )  4 y (t )  cos(2t ) tiene transformada de Laplace

Y ( s) 

4  s  s2  4  s2  s2  4s  4

por consiguiente:

  4  s  s2 y (t )  L1   2 2   4  s  s  4s  4  

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Aplicando fracciones parciales se tiene que:

4  s  s2 3 1 1 1   2 2 2 2  4  s  s  4s  4 4  s  2 4 s  4 Aplicando transformada inversa al desarrollo anterior, se tiene lo siguiente:

  4  s  s2 1 1 1   1  3 L 1   L     2 2 2 2  4  s  2  4 s  4    4  s  s  4 s  4  

Por lo tanto y(t ) 



3 1  1  1 1  1  L   L  2  2 4 s  4 s  2     4



3 2t t 1 1 e  sen(2t ) 4 1! 4 2

3 2t 1 te  sen(2t ) .

4 8

1.3.1. Aplicación a problemas de población Los comportamientos de crecimiento o decrecimiento de una población se pueden modelar por medio de una ecuación diferencial, para ellos se observa la razón con la que cambia dicha población.

El modelo que se presenta plantea que considerando que una población comienza con un número determinado de individuos, la razón de crecimiento de esta población es proporcional a su tamaño (esta proporción no tiene por qué ser constante), en términos de matemáticos, si p0 es el número de individuos que tiene inicialmente la población, p (t ) y

k (t ) denotan a la población y la constante de proporcionalidad en el instante t  0 , entonces la población crece bajo la siguiente regla:

p '(t )  k (t ) p(t )

cuando p(0)  p0

Observa que si k (t )  0 la población crece en el instante t  0 y de forma similar si

k (t )  0 la población decrece en el tiempo t  0 .

Cuando k (t ) es constante, esta ecuación se resuelve fácilmente aplicando transformada de Laplace de la cual se obtienen las siguientes relaciones:

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace L  p '(t )  L kp(t ) sP ( s )  p (0)  kP( s)

 s  k  P( s)  p0 P( s) 

p0 sk

Aplicando transformada inversa de Laplace se tiene lo siguiente:

 p  p (t )  L 1  P ( s )  L 1  0   p0e kt s  k  kt Por lo tanto la población p(t )  p0 e para t  0 .

Ejemplo: Una población de bacterias se triplica cada hora. Si la población inicial es de 1000 bacterias, ¿cuándo llegará la población a 10000 ?

Solución: Primero hay que observar que el tiempo t está medido en horas, la constante de proporcionalidad es k  3 y que la población inicial es p0  1000 . Luego la ecuación diferencial que modela lo anteriores es:

p '(t )  3 p (t )

cuando p(0)  1000

Aplicando transformada de Laplace se obtienen las siguientes relaciones:

L1  p '(t )  L1 3 p(t ) sP( s )  p (0)  3P( s)

 s  3 P(s)  1000 P( s) 

1000 s 3

Aplicando transformada inversa de Laplace se obtiene:

1000  1  1  3t p(t )  L1  P( s )  L1    1000L    1000e  s 3  s  3 Tomando p (t )  10000 se tienen las siguientes relaciones:

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace 10000  1000e3t 10  e3t 3t  ln10 t En el instante t 

ln10 3

ln10 hay 10000 bacterias.

3

Ejemplo: En un cultivo hay una plaga que tiene una población inicial 750 individuos, después de un día la población de la plaga se ha duplicado. Si la razón con la que crece la población de la plaga con respecto al tiempo es proporcional al número de elementos que conforman la plaga, ¿cuánta población de plaga hay después de 5 días?

Solución: Se tiene que cuando t  0 , entonces p(0)  p0  750 . Dado que la población de la plaga con respecto al tiempo es proporcional al número de elementos que conforman la plaga, se sigue que:

p '(t )  kp(t ) Aplicando transformada de Laplace a la relación anterior se sigue que:

L  p '(t )  L kp(t ) sP ( s )  p (0)  kP( s)

 s  k  P( s)  750 P( s) 

750 sk

Aplicando transformada inversa de Laplace se obtiene lo siguiente:

 750  kt p (t )  L 1  P( s )  L 1    750e s  k  Luego como después de un día la población se duplica, se sigue que:

p (1)  1500

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace La anterior relación permite obtener el valor de la constante k por medio de las siguientes relaciones:

1500  750ek 1 2  ek ln 2  k Así la población en cualquier instante t en días está dada por la relación:

p(t )  750etln 2 En particular para t  5 se tiene lo siguiente:

p(5)  750e5ln 2  24000 Por lo tanto después de 5 días la plaga tiene 24000 individuos.

1.3.2. Aplicación a circuitos eléctricos En esta sección se presenta una aplicación de la transformada de Laplace en el estudio de algunos circuitos eléctrico sencillos.

Considera el siguiente circuito eléctrico en serie:

Está formado por un inductor, un resistor y capacitor (por tal motivo toma el nombre de circuito LRC), donde L es la inductancia en henry ( h ), R es la resistencia en ohm (  ) y C es la capacitancia en farads ( f ). La corriente que circula en el circuito anterior se denota por i (t ) , la carga que hay en el capacitor en el instante t  0 es q (t ) , observa que

i(t ) 

dq . dt

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Los voltajes que hay en cada componente del circuito se presentan en la siguiente tabla: Inductor Voltaje

L

di dt

Resistor

Capacitor

iR

1 q c

La segunda ley de Kirchhoff afirma que el voltaje E (t ) sobre un circuito cerrado es igual a la suma de los voltajes aplicados en el circuito. Aplicando esto en el circuito anterior se tiene que:

E (t )  VL  VR  VC Aplicando la información de la tabla anterior se tiene:

E (t )  L

di 1  iR  q . dt c

di d 2 q dq  Dado que i (t )  implica que en consecuencia: dt dt 2 dt d 2q dq 1 E (t )  L 2  R  q . dt dt c En particular cuando L  0 se tiene un circuito RC en serie, gráficamente tiene la siguiente forma:

La carga q (t ) en un instante dado t  0 está modelado por la ecuación diferencial:

E (t )  R

dq 1  q dt c

De forma similar cuando R  0 se tiene un circuito LC en serie, gráficamente tiene la siguiente forma:

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace

La carga q (t ) en un instante dado t  0 esta modelado por la ecuación diferencial:

E (t )  L

d 2q 1  q dt 2 c

Ejemplo: Encontrar la carga q (t ) en un circuito en serie LRC donde L  0.4 h ,

R  15  y C  0.002 f , suponiendo que E (t )  0 , q(0)  q0 y i (0)  0 .

Solución: Primero hay que sustituir los valores en la ecuación diferencial que modela al circuito en serie LRC, del siguiente modo:

d 2q dq 1 R  q 2 dt dt c d 2q dq 1 0   0.4  2  15   q dt dt 0.002 0  0.4q ''(t )  15q '(t )  500q(t )

E (t )  L

Aplicando transformada de Laplace se tiene:

L 0.4q ''(t )  15q '(t )  500q(t )  L 0 0.4L q ''(t )  15L q '(t )  500L q(t )  0

0.4  s 2Q( s )  q (0) s  q '(0)   15  sQ( s)  q(0)   500Q( s)  0

0.4  s 2Q( s )  q0 s  0   15  sQ ( s )  q0   500Q ( s )  0

 0.4s

2

 15s  500  Q( s)  0.4q0 s  15q0  0 Q( s) 

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0.4q0 s  15q0 0.4 s 2  15s  500

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Aplicando transformada inversa de Laplace se tiene:

 0.4q0 s  15q0  q (t )  L1 Q( s )  L1   2  0.4s  15s  500    q0 s  37.5q0  q s  37.5q0  1   L1  2 0  L   2   s  37.5s  1250    s  37.5s  351.5625   1250  351.5625      q0 s  37.5q0 q0 s  37.5q0 1   L1  L  2 2 2   s  18.75   898.4375    s  18.75    29.97    q  s  18.75   37.5q0  18.75q0    1  q0  s  18.75   18.75q0   L1  0 L  2 2 2 2   s  18.75   29.97      s  18.75    29.97     18.75   s  18.75 29.97  q0 L1   q0 L1  2 2 2 2   s  18.75    29.97   29.97   s  18.75    29.97    e 18.75t q0 cos  29.97t   0.625q0 e 18.75t sen  29.97t   e 18.75t q0 cos  29.97t   0.625 sen  29.97t   Por lo tanto q(t )  e18.75t q0 cos  29.97t   0.625 sen  29.97t   .

Ejemplo: Considera el siguiente circuito LC:

Donde E (t ) se define de la siguiente forma:

 25t si 0  t  4 E (t )   100 si 4  t Hallar la intensidad de corriente i (t ) en el instante t  0 suponiendo que i (0)  i '(0)  0 .

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Solución: Recuerda que i (t )  q '(t ) , luego i '(t )  q ''(t ) , entonces la ecuación que modela un circuito LC se convierte en:

d 2q 1  q dt 2 c 1 E (t )  (1)i '(t )  q(t ) 0.04 E (t )  L

Derivando ambos miembros de la relación anterior se tiene que:

E '(t )  i ''(t )  25i '(t ) Luego observa que la función E (t ) se escribe de la siguiente forma:

E (t )  25t  U  t   U  t  4    25 U  t  4  Implica que:

E '(t )  25  U  t   U  t  4  

Aplicando la transformada de Laplace a la relación E '(t )  i ''(t )  25i '(t ) se obtiene lo siguiente:

L  E '(t )  L i ''(t )  25i '(t )





L 25  U  t   U  t  4    L i ''(t )  25L  I (t ) 25L  U  t   25L  U  t  4    s 2 I ( s )  si (0)  i '(0)   25 I ( s) 25 25e 4 s    s 2  25  I ( s ) s s 25 1  e 4 s    s 2  25  I ( s )  s 25  1  e 4 s     I ( s) s  s 2  25 

1  e  s 4 s

25  I (s)  s  25 2

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Aplicando fracciones parciales se obtiene que:

25 1 s   2 s  s  25  s 25  s 2

Lo que permite obtener:

1  e   1s  25 s s 4 s

2

   I ( s )

Aplicando transformada inversa de Laplace se obtiene:

 s  1 i (t )  L 1  I ( s )  L1 1  e 4 s    2   s 25  s    1 s e 4 s e 4 s   L 1      2 s 25  s 2   s 25  s 4 s  1  4 s s  1   s  1  e  L 1   - L 1  L    L e  2 25  s 2  s  25  s    s   1  cos(5t )  U  t  4   U  t  4  cos  5  t  4  

Por lo tanto i (t )  t  cos(5t )  U  t  4  cos  5  t  4    1 .

Ejemplo: Calcular la carga q (t ) en el tiempo t  0 en un capacitor en un circuito RC que tiene resistencia constante R  1.5  y capacitancia constante C  0.05 f donde la carga inicial es q (0)  0 y la función potencial E (t ) está representada en la siguiente figura:

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace

Solución: Observa que la función de potencial E (t ) se escribe de la siguiente manera:

E (t )  3 U  t  2  .

Sustituyendo los datos en la ecuación diferencial que modela un circuito RC en serie se tiene que:

E (t )  R

dq 1  q dt c

1 q (t ) 0.05 3 U  t  2   1.5q '(t )  20q(t )

3 U  t  2   1.5q '(t ) 

Aplicando transformada de Laplace a la última igualdad se tienen las siguientes equivalencias:

L 3 U  t  2   L 1.5q '(t )  20q (t )

3L  U  t  2   1.5L q '(t )  20L q(t ) e 2 s 3  1.5  sQ( s )  q(0)   20Q( s ) s e 2 s 3  1.5s  20  Q( s ) s 3

e 2 s  Q( s) s 1.5s  20 

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Aplicando fracciones parciales se tiene que:

3 0.15 0.225   s 1.5s  20  s 1.5s  20

Esto implicando transformada inversa se tiene que:

  3 q (t )  L1 Q( s )  L1 e 2 s  s 1.5s  20     0.225    0.15  L1 e 2 s    1.5s  20    s   0.225    0.15  L1 e 2 s    1.5s  20    s 

 3  0.05 0.045e 13.33( 2t )  U  t  2 





Por lo tanto q(t )  0.15 5.718e13.33t U  t  2  .

Actividades La elaboración de las actividades estará guiada por tu docente en línea, mismo que te indicará, a través de la Planeación didáctica del docente en línea, la dinámica que tú y tus compañeros (as) llevarán a cabo, así como los envíos que tendrán que realizar.

Para el envío de tus trabajos usarás la siguiente nomenclatura: BMAI_U1_A1_XXYZ, donde BMAI corresponde a las siglas de la asignatura, U1 es la unidad de conocimiento, A1 es el número de actividad, el cual debes sustituir considerando la actividad que se realices, XX son las primeras letras de tu nombre, Y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno.

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace Autorreflexiones Para la parte de autorreflexiones debes responder las Preguntas de Autorreflexión indicadas por tu docente en línea y enviar tu archivo. Cabe recordar que esta actividad tiene una ponderación del 10% de tu evaluación.

Para el envío de tu autorreflexión utiliza la siguiente nomenclatura: BMAI_U1_ATR _XXYZ, donde BMAI corresponde a las siglas de la asignatura, U1 es la unidad de conocimiento, XX son las primeras letras de tu nombre, y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno

Cierre de la Unidad En esta Unidad aprendiste la definición y las propiedades de transformada de Laplace, después, calculaste transformadas de Laplace de algunas funciones elementales.

Posteriormente, estudiaste la transformada inversa de Laplace junto con sus propiedades, finalmente, aplicaste la transformada de Laplace, para encontrar la solución de una ecuación diferencial que modela algún proceso dinámico. Como habrás observado la transformada de Laplace tiene muchas aplicaciones, sin embargo existen otras herramientas muy útiles, como lo son las series de Fourier, que sirven para resolver ecuaciones diferenciales de otra naturaleza.

Para saber más

En la parte que corresponde a la transformada inversa de Laplace requiere de aplicar adecuadamente el teorema de las fracciones parciales, para ello se recomienda que revises las siguientes páginas:

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace Laplace 

http://www.fic.umich.mx/~lcastro/capitulo9.pdf



http://www.math.ubc.ca/~feldman/m101/partial.pdf

Fuentes de consulta



Boyce, W. y DiPrima, R. (2010). Ecuaciones diferenciales y problemas con valor de frontera (4ta. edición). México: Limusa-Wiley.



Dyke, P. (2004). An introduction to Laplace transforms and Fourier series. Great Britain: Springer-Verlag.



Gieck, K. (2007). Manual de fórmulas técnicas (31ª edición). México: Grupo editorial Alfaomega.



Schiff, J. (1999). The Laplace transform: theory and applications. USA: SpringerVerlag.



Spiegel, M. (2010). Fórmulas y tablas de matemáticas aplicadas (3a edición).

México: Mc Graw Hill.



Spiegel, M. (1964). Transformadas de Laplace. México: Mc Graw Hill.



Zill, D. (2009). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado (9a edición). México: Mc Graw Hill.

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