Unidad 2. Ecuaciones diferenciales ordinarias

Programa de la asignatura:

Variable compleja

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Ecuaciones diferenciales ordinarias

Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales | Ingeniería en Biotecnología

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Variable compleja Ecuaciones diferenciales ordinarias

Índice Presentación de la Unidad ........................................................................................................ 2 Propósitos de la Unidad ............................................................................................................ 3 Competencia específica ............................................................................................................ 3 2.1. Definición y tipos de ecuaciones diferenciales……………………………………………….4 2.1.1. Definición, tipos y campo de soluciones reales y complejas de ecuaciones diferenciales…………………………………………………………………………………...........…4 2.1.2. Soluciones implícitas y explícitas de ecuaciones diferenciales ...................................... 7 2.1.3. Solución por el método de Variables Separables ......................................................... 10 2.1.4. Definición y solución de ecuaciones diferenciales homogéneas .................................. 11 2.2. Ecuaciones diferenciales de primer orden ....................................................................... 13 2.2.1. Definición y solución de ecuaciones diferenciales exactas .......................................... 13 2.2.2. Solución de ecuaciones diferenciales exactas: Factor integrante ................................ 15 2.2.3. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden ....................................................... 20 2.2.4. Ecuación de Bernoulli y aplicaciones…………………………………………..............….21 2.3. Ecuaciones diferenciales de segundo orden y de orden superior ................................... 27 2.3.1. Definición y solución de ecuaciones lineales de segundo orden y orden superior ...... 28 2.3.2. Aplicaciones .................................................................................................................. 32 Actividades .............................................................................................................................. 36 Autorreflexiones....................................................................................................................... 36 Cierre de la Unidad ................................................................................................................. 37 Para saber más ....................................................................................................................... 38 Fuentes de consulta ................................................................................................................ 38

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Presentación de la Unidad Modelar un problema de las ciencias físicas o de la ingeniería usando Ecuaciones Diferenciales no es nuevo. Por otra parte, aunque sigue siendo un camino intrincado la solución de una ecuación diferencial; no ha dejado de ser interesante. Existen entonces importantes razones para estudiar un tema tal como las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO). Las razones que nos ofrece esta área de las matemáticas son: 1) Las EDO permiten modelar problemas sobre sistemas dinámicos reales, 2) Ofrecen un amplio espectro de aplicaciones en las ciencias e ingeniería, 3) Permiten relacionar conceptos físicos y de otras áreas de las matemáticas.

Se espera que tales razones te motiven y que las nuevas herramientas matemáticas adquiridas a lo largo de esta Unidad, faciliten tu acceso a nuevas aplicaciones en las ciencias e Ingeniería.

Esta Unidad empieza por describir de manera intuitiva como surge una ecuación diferencial a partir de una situación física, hace también una clasificación de acuerdo con su tipo, orden y linealidad. Describe el método de variables separables y define que es una ecuación diferencial exacta. Se calcula un factor, llamado factor integrante con el fin de convertir a una EDO que no es exacta en EDO exacta. En la tercera parte de esta Unidad se estudian las Ecuaciones diferenciales de orden superior, haciendo enfasis en las EDO de segundo orden, lineales y homogéneas. Al mismo tiempo, se describen algunas aplicaciones al área de vibraciones.

Te invitamos a disfrutar y a aprender de esta parte de curso pues los conceptos te generarán conocimientos que te serán de mucha útilidad en las diferentes aplicaciones de la ingeniería en biotecnología.

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Propósitos de la Unidad

El estudio de esta Unidad te permitirá:   

Analizar tipos de ecuaciones diferenciales Aplicar métodos de solución de ecuaciones diferenciales Analizar el planteamiento de ecuaciones diferenciales a problemas de la Ingeniería

Competencia específica

Analizar los métodos de modelado y solución de ecuaciones diferenciales en problemas de la ingeniería, para proporcionar recursos de solución a problemas técnicos particulares.

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2.1. DefiniciĂłn y tipos de ecuaciones diferenciales Una gran cantidad de problemas de las ciencias e ingenierĂ­a tienen que ver con razones de cambio. Esto es, la forma de cĂłmo cambia una variable con respecto de otra. Por ejemplo, se sabe que la velocidad de un mĂłvil es conocida como la razĂłn de cambio del desplazamiento de ĂŠste, respecto del tiempo. En forma anĂĄloga, la aceleraciĂłn es la razĂłn de cambio de la velocidad con el tiempo. Estas razones de cambio forzosamente tienen que ver con el concepto de derivada. Por lo que es frecuente encontrar ecuaciones que contienen este tipo de derivadas con paramĂŠtros fĂ­sicos relacionados. Estas ecuaciones son llamadas Ecuaciones Diferenciales. Una ecuaciĂłn en la que intervienen una o mĂĄs derivadas ordinarias de la funciĂłn incĂłgnita se denomina ecuaciĂłn diferencial ordinaria. Si las ecuaciones contienen derivadas parciales entonces son conocidas como ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Esta Unidad en general, estudiarĂĄ a este tipo de ecuaciones incluyendo sus soluciones y algunas de sus aplicaciones.

2.1.1. DefiniciĂłn, tipos y campo de soluciones reales y complejas de ecuaciones diferenciales Este subtema empezarĂĄ con algunos ejemplos que relacionan conceptos de FĂ­sica, mediante razones de cambio o derivadas tal como lo hemos mencionado en la introducciĂłn. Particualrmente estudiaremos un caso de la mecĂĄnica clĂĄsica. Supongamos que una fuerza actĂşa sobre un cuerpo la cual depende sĂłlo de la posiciĂłn del mismo, esto es; đ??š = đ??š(đ?‘Ľ). El cuerpo mencionado dispone de una cierta energĂ­a potencial đ?‘˘(đ?‘Ľ), con la cual la fuerza estĂĄ relacionada mediante la expresiĂłn: đ??š(đ?‘Ľ) = −

��(�) . ��

El movimiento de un cuerpo bajo la acciĂłn de una fuerza es un problema conocido y la ecuaciĂłn bĂĄsica que describe este movimiento viene dada por đ?‘‘2 đ?‘Ľ đ??š(đ?‘Ľ) = đ?‘š 2 đ?‘‘đ?‘Ą esta Ăşltima expresiĂłn es conocida como la segunda ley de Newton. Esta ecuaciĂłn relaciona parĂĄmetros importantes sobre el movimiento de un mĂłvil a travĂŠs de las ecuaciones đ?‘Ž=

đ?‘‘2 đ?‘Ľ , đ?‘‘đ?‘Ą 2

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đ?‘Ł=

đ?‘‘đ?‘Ľ , đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘Ž=

đ?‘‘đ?‘Ł , đ?‘‘đ?‘Ą

en donde đ?‘Ľ es el desplazamiento, đ?‘Ł la velocidad y đ?‘Ž la aceleraciĂłn. Por lo que, la fuerza queda definida por đ?‘š

đ?‘‘đ?‘Ł(đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą

= đ??š(đ?‘Ľ).

Las consecuencias fĂ­sicas de esta expresiĂłn son ampliamente discutidas en textos destinados para tal estudio. Hasta aquĂ­ podemos observar que, el comportamiento dinĂĄmico de un sistema puede ser modelado mediante una ecuaciĂłn diferencial ordinaria, la cual involucra parĂĄmetros fĂ­sicos del sistema estudiado.

En un segundo caso de estudio, se puede modelar la razĂłn de cambio del flujo de calor đ?‘„ cuando ĂŠste cambia en el tiempo. El calor fluye a travĂŠs de un tubo con agua caliente de ĂĄrea transversal đ??´, el modelo nos proporciona la ecuaciĂłn diferencial ordinaria siguiente; đ?‘‘đ?‘„ đ?‘‘đ?‘Ą

��

= đ?‘˜đ??´ đ?‘‘đ?‘Ą ,

en donde đ?‘‡ es la temperatura y đ?‘˜ la constante de conductividad tĂŠrmica. Al observar esta Ăşltima EDO podemos notar que el cambio del flujo de calor en el tiempo, es proporcional a la razĂłn de cambio de la temperatura, la que igualmente depende del tiempo.

Desde el punto de vista matemĂĄtico, las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, las que pueden ser ordinarias como las que hemos seĂąalado en los dos casos anteriores y las ecuaciones diferenciales parciales. Un caso de este Ăşltimo tipo lo podemos observar con la ecuaciĂłn de onda como la que se muestra a continuaciĂłn; đ?œ•2 đ?‘˘

đ?œ•2 đ?‘˘

đ?‘Ž2 đ?œ•đ?‘Ľ 2 − đ?œ•đ?‘Ą 2 = 0, đ?‘‡ đ?œŒ

en donde đ?‘Ž2 = , siendo đ?‘‡ la tensiĂłn y đ?œŒ la masa. Como podemos observar, la funciĂłn đ?‘˘ = đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ą), depende de dos variables đ?‘Ľ, đ?‘Ą; y a eso se debe que al derivarla se tengan que introducir derivadas parciales en la ecuaciĂłn.

Ejemplo 01: Continuando con la clasificaciĂłn de EDO, podemos observar algunos aspectos interesantes. Las ecuaciones se clasifican de acuerdo con el orden mĂĄs alto de la derivada que contienen, tal y como se observa en la tabla siguiente. TambiĂŠn estas Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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pueden ser de primer orden o de órdenes superiores. Asimismo, la clasificación se realiza de acuerdo con su linealidad. Por lo que una EDO es lineal si los coeficientes �� (�); para � = 0,1,2, ‌ son todos funciones de � o a lo mås constantes. Si la EDO estå igualada a cero se dice que es homogÊnea, en caso contrario es no homogÊnea.

Tabla 1.

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đ?‘Ž4 (đ?‘Ľ)

EcuaciĂłn

Orden

Linealidad

Homogenea

đ?‘‘đ?‘Ś − 2đ?‘Ľ = 0 đ?‘‘đ?‘Ľ

Primero

lineal

Si

đ?‘‘2 đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś 3 2 + đ?‘Ľ ( ) − 15đ?‘Ś = cos đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ

Segundo

No lineal

No

Tercero

lineal

Si

Cuarto

lineal

đ?‘‘3 đ?‘Ś đ?‘‘2 đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś − 2 + đ?‘Ľ3 − 2đ?‘’ −đ?‘Ľ đ?‘Ś − 4 = 0 3 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘‘4 đ?‘Ś đ?‘‘2 đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś (đ?‘Ľ) − đ?‘Ž + đ?‘Ž1 (đ?‘Ľ) − đ?‘Ž0 (đ?‘Ľ)đ?‘Ś = đ?‘”(đ?‘Ľ) 2 4 2 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ

No

Un tĂłpico que resulta de mucho interĂŠs en el ĂĄrea de biotecnologĂ­a, es aquel que tiene que ver con campos de direcciones. Comencemos diciendo que cuando obtenemos la derivada de una funciĂłn de una variable real en un punto dado; obtenemos la pendiente de una recta tangente en dicho punto a la funciĂłn. De tal forma que, para cada punto es posible entonces obtener una recta y por tanto una pendiente a travĂŠs de la evaluaciĂłn de la derivada de đ?‘“ con las coordenadas del punto (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ). Normalmente esto se representa en la forma mostrada a continuaciĂłn: đ?‘š=

đ?‘‘đ?‘“(đ?‘Ľ0 ,đ?‘Ś0 ) . đ?‘‘đ?‘Ľ

Debido a esta situaciĂłn se puede graficar en cada punto un vector que indique en quĂŠ direcciĂłn cambia la derivada. Esto se observa en la figura siguiente:

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Figura 1. Campo de direcciones. Fuente: ElaboraciĂłn propia.

2.1.2. Soluciones implĂ­citas y explĂ­citas de ecuaciones diferenciales Comencemos ahora comentando algo sobre las soluciones de una ecuaciĂłn diferencial ordinaria (EDO). Se dice que las soluciones de una EDO pueden expresarse de dos formas diferentes: la forma explĂ­cita y la forma implĂ­cita. La primera de ellas (explĂ­cita) la tenemos cuando la variable dependiente se expresa sĂłlo en tĂŠrminos de la variable independiente y posiblemente de algunas constantes. Un ejemplo de este caso se describe a continuaciĂłn: Ejemplo 02: Muestra que la soluciĂłn explĂ­cita đ?‘Ś(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 2 + đ?‘?, en donde đ?‘? es una constante; satisface la EcuaciĂłn đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ

− 2đ?‘Ľ = 0.

Al reemplazar la funciĂłn soluciĂłn đ?‘Ś(đ?‘Ľ) en la EDO y derivar đ?‘‘ (đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ

+ đ?‘?) − 2đ?‘Ľ = 0,

2đ?‘Ľ + 0 − 2đ?‘Ľ = 0.

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Lo que resulta ser una identidad al observar que 0 ≥ 0. Como podemos ver, la solución � = �(�) es función explícita de �, estå fue sustituida para probar que satisfacía a la EDO. Como ejemplo de solución implícita observemos el siguiente caso.

Ejemplo 03: Pruebe que la relaciĂłn đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = 16, es una soluciĂłn implĂ­cita de la EDO siguiente; đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘Ľ =− đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ś Al derivar implĂ­citamente a la soluciĂłn; đ?‘‘ (đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘‘

+ đ?‘Ś 2 ) = đ?‘‘đ?‘Ľ (16), đ?‘‘đ?‘Ś

2đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ = 0, y al despejar para

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ

se tiene que đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘Ľ =− đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ś

Como puedes observar, la soluciĂłn implĂ­cita đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = 16; al ser derivada permite encontrar a la ecuaciĂłn diferencial. La soluciĂłn no estarĂ­a completa, si no mencionamos que la soluciĂłn representa a la ecuaciĂłn de una circunferencia de radio đ?‘&#x; = 4.

Asimismo, notemos que nada nos impide despejar a la variable đ?‘Ś, entonces la soluciĂłn cambia de implĂ­cita a explĂ­cita. đ?‘Ś = Âąâˆš4 − đ?‘Ľ 2 Al separar para los casos positivo đ?‘Ś = √4 − đ?‘Ľ 2 y negativo đ?‘Ś = −√4 − đ?‘Ľ 2 , para −4 ≤ đ?‘Ľ ≤ 4.

Se tienen en total tres tipos de soluciones para la misma EDO. En las grĂĄficas siguientes se puede ver este hecho.

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Figura 2. SoluciĂłn implĂ­cita đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = 16. Fuente: ElaboraciĂłn propia.

Figura 3. SoluciĂłn explĂ­cita đ?‘Ś = √4 − đ?‘Ľ 2 . Fuente: ElaboraciĂłn propia.

Figura 4. SoluciĂłn explĂ­cita đ?‘Ś = −√4 − đ?‘Ľ 2 . Fuente: ElaboraciĂłn propia.

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2.1.3. SoluciĂłn por el mĂŠtodo de Variables Separables Hasta aquĂ­, sĂłlo se ha discutido el tipo de ecuaciĂłn y de soluciĂłn de una EDO. A partir de este momento, empezaremos con ejemplos sencillos para resolver ecuaciones diferenciales usando el mĂŠtodo mĂĄs sencillo para resolverlas. Propongamos para ello el ejemplo siguiente.

Ejemplo 04: Resolver la ecuaciĂłn đ?‘‘đ?‘Ś = 3đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ usando el mĂŠtodo de variables separables. GrĂĄfique la familia de soluciones encontrada.

El mĂŠtodo de variables separables parte del hecho de reunir a cada lado de la igualdad a aquellas expresiones que sĂłlo dependen de una sola variable. Esto es, al separar las ′đ?‘Ľâ€˛ de las ′đ?‘Śâ€˛ tenemos đ?‘‘đ?‘Ś = 3đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ, integrando en ambos lados de la ecuaciĂłn âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ś = 3 âˆŤ đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘?, đ?‘Ś=

3đ?‘Ľ 3 3

+ đ?‘?,

đ?‘Ś = đ?‘Ľ 3 + đ?‘?.

La soluciĂłn contiene una constante que tendrĂĄ que ser evaluada de alguna forma. Una posibilidad son las condiciones iniciales (CI). Esto lo estudiaremos en la siguiente secciĂłn.

Por el momento, grafiquemos la soluciĂłn encontrada para diferentes valores de la constante đ?‘?, por ejemplo si đ?‘? = 1,3,5,7, obtenemos la familia de curvas: đ?‘Ś1 = đ?‘Ľ 3 + 1, đ?‘Ś2 = đ?‘Ľ 3 + 3, đ?‘Ś3 = đ?‘Ľ 3 + 5, đ?‘Ś4 = đ?‘Ľ 3 + 7.

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Un aspecto que no deja de ser importante de mencionar es que cualesquiera de las curvas mostradas en la Figura satisface la EDO, por lo que cualquiera de ellas es una soluciĂłn de dicha ecuaciĂłn. Asimismo, la combinaciĂłn lineal de dos o mĂĄs de estas soluciones tambiĂŠn es una soluciĂłn de la ecuaciĂłn. En tal sentido podemos afirmar que: đ?‘Ś = đ?‘?1 đ?‘Ś1 + đ?‘?2 đ?‘Ś2 + đ?‘?3 đ?‘Ś3 + đ?‘?4 đ?‘Ś4 , es tambiĂŠn una soluciĂłn de la misma ecuaciĂłn diferencial. En donde las constantes đ?‘?1 , đ?‘?2 , đ?‘?3 , đ?‘?4 pueden ser cantidades reales o complejas.

Figura 5. Familia de curvas de la soluciĂłn đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ľ 3 + đ?&#x2018;?, para đ?&#x2018;? = 1,3,5,7 en el intervalo â&#x2C6;&#x2019;1.5 < đ?&#x2018;Ľ < 1.5. Fuente: ElaboraciĂłn propia.

2.1.4. DefiniciĂłn y soluciĂłn de ecuaciones diferenciales homogĂŠneas En esta subsecciĂłn, resolveremos ecuaciones diferenciales homogĂŠneas. Definamos primero que entendemos como ecuaciĂłn diferencial homogĂŠnea.

Se dice que una ecuaciĂłn diferencial đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś = 0,

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es homogĂŠnea, si đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) y đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) son funciones homogĂŠneas del mismo grado. La ecuaciĂłn anterior puede reducirse a la forma, đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Ś

= đ?&#x2018;&#x201C; (đ?&#x2018;Ľ ),

la que por medio de la sustituciĂłn đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;˘, donde đ?&#x2018;˘ es una nueva funciĂłn incĂłgnita, se transforma en una ecuaciĂłn con variables separables. TambiĂŠn se puede emplear la sustituciĂłn đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;˘. A continuaciĂłn resolvamos un ejemplo.

Ejemplo 05: Hallar la soluciĂłn general de la ecuaciĂłn đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ

usando el cambio de variable đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;˘.

Al derivar ambos lados de đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;˘, tenemos que đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ (đ?&#x2018;Ś) = (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;˘) = đ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018;˘ =đ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ al sustituir los cambios en la ecuaciĂłn diferencial, đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ + đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;˘ + đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

y arreglando tĂŠrminos, đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ =

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ

ahora integremos đ?&#x2018;˘ = â&#x2C6;&#x2019; ln ln

đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľ

regresando el cambio de variable obtenemos đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ ln ln

đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľ

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Los temas estudiados son muy Ăştiles para la comprensiĂłn de conceptos relacionados con flujos y para abordar los siguientes temas. TambiĂŠn deberĂĄs revisar la teorĂ­a sobre ecuaciones diferenciales de primer orden, esto para un mayor entendimiento de todos los conceptos requeridos mĂĄs adelante en el curso.

2.2. Ecuaciones diferenciales de primer orden En este segundo tema se presentan los mĂŠtodos de soluciĂłn de ecuaciones diferenciales de primer orden mĂĄs comunmente encontrados y usados, en situaciones de las ciencias fĂ­sicas e ingenierĂ­a. Los mĂŠtodos descritos requieren que el tipo de ecuaciones a resolver cumplan la condiciĂłn de ser exactas. Este concepto serĂĄ discutido ampliamente a lo largo del desarrollo de esta Unidad. TambiĂŠn se harĂĄ una revisiĂłn sobre algunos otros conceptos tales como la linealidad de una ecuaciĂłn diferencial. Se calcularĂĄ el factor integrante que permitirĂĄ convertir a una ecuaciĂłn diferencial en exacta, cuando ĂŠsta no lo sea. Igualmente, se resolverĂĄn un par de ejemplos aplicados a mecĂĄnica clĂĄsica y circuitos.

2.2.1. DefiniciĂłn y soluciĂłn de ecuaciones diferenciales exactas Las ecuaciones diferenciales exactas son muy comĂşnes de encontrar en el estudio de fenĂłmenos fĂ­sicos. Por lo que una EDO lineal de primer orden se dice que es exacta si tiene la forma đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

+ đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ),

donde đ?&#x2018;&#x192; y đ?&#x2018;&#x201E; son funciones continuas.

Supongamos que đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ) = 0, entonces la ecuaciĂłn exacta se ve como đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

+ đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ś = 0.

Partiendo de estĂĄ Ăşltima expresiĂłn podemos separar las variables đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś despuĂŠs de integrar ambos lados de la ecuaciĂłn ln|đ?&#x2018;Ś| = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ + đ??ś, Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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reedefiniendo a la constante en la forma: đ??ś = ln|đ??ś|, ln|đ?&#x2018;Ś| = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ + ln|đ??ś|, al despejar la funciĂłn soluciĂłn đ?&#x2018;Ś(đ?&#x2018;Ľ) surge la funciĂłn exponencial; la cual es la inversa de la funciĂłn logaritmo đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ+ln|đ??ś| , đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2019; ln|đ??ś| .

Se concluye que, đ?&#x2018;Ś = đ??śđ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ Ahora resolvamos un ejemplo de este tipo de ecuaciones.

Ejemplo 06: Resolver la ecuaciĂłn diferencial, đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś = 0, đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ 3 sujeta a las condiciones iniciales đ?&#x2018;Ľ = 0 y đ?&#x2018;Ś = 2.

Al comparar la EDO con, đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

+ đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ś = 0,

đ?&#x2018;Ľ

podemos identificar a đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ) = 3.

Sabiendo que la soluciĂłn se expresa mediante; đ?&#x2018;Ś = đ??śđ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ , y al sustituir la funciĂłn đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ), la soluciĂłn resulta ser, đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Ś = đ??śđ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;Ť3đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ , despuĂŠs de integrar

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â&#x2C6;&#x2019;1 2

đ?&#x2018;Ś = đ??śđ?&#x2018;&#x2019; 6 đ?&#x2018;Ľ .

La soluciĂłn no estarĂ­a completa si no calculamos el valor de la constante đ??ś, esto se logra al usar las condiciones iniciales. Dado que đ?&#x2018;Ľ = 0 cuando đ?&#x2018;Ś = 2, y al sustituir ambos valores en la soluciĂłn encontrada â&#x2C6;&#x2019;1

2 = đ?&#x2018;Ś = đ??śđ?&#x2018;&#x2019; 6

(0)2

,

al despejar a đ??ś, đ??ś = 2, al regresar el valor de la constante en la soluciĂłn; se tiene 1 2

đ?&#x2018;Ś = 2đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;6đ?&#x2018;Ľ .

Una representaciĂłn grĂĄfica de esta Ăşltima funciĂłn se puede ver en la Figura siguiente;

Figura 6. FunciĂłn soluciĂłn đ?&#x2018;Ś = 2đ?&#x2018;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ2 6

. Fuente: ElaboraciĂłn propia.

2.2.2. SoluciĂłn de ecuaciones diferenciales exactas: Factor integrante Como se mencionĂł anteriormente, existen EDO de primer orden lineales que al intentar ser integradas por el mĂŠtodo descrito, estas tienen la desventaja de no ser exactas.

BĂĄsicamente, el tipo de ecuaciĂłn que ha sido resuelta en la secciĂłn anterior es aquella que estĂĄ igualada a cero. Esto significa, que al intentar resolver ecuaciones que no Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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cumplen con esta condiciĂłn, la mayorĂ­a de los casos tienen el inconveniente de no ser exactas.

Retomemos la expresiĂłn siguiente, đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

+ đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ),

con la condiciĂłn de que đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030; 0. Para poder emplear el mĂŠtodo de la secciĂłn anterior requerimos asegurarnos de que la ecuaciĂłn es exacta. Una forma de lograrlo es mediante la expresiĂłn ln|đ?&#x2018;Ś| â&#x2C6;&#x2019; ln|đ??ś| = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ, usando el lado izquierdo de la igualdad y la propiedad de los logaritmos siguiente, đ?&#x2018;&#x17D;

ln đ?&#x2018;? = ln đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; ln đ?&#x2018;?.

Obtenemos,

đ?&#x2018;Ś ln | | = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ, đ??ś al despejar a đ?&#x2018;Ś, đ?&#x2018;Ś đ??ś

= đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ ,

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = đ??ś.

Al derivar por el lado izquierdo de la ecuaciĂłn y usar la regla del producto, obtenemos đ?&#x2018;&#x2018; (đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś

đ?&#x2018;&#x2018;

= đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = (đ?&#x2018;Ś â&#x20AC;˛ + đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ś)đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ .

Retomando la ecuaciĂłn diferencial, đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

+ đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ),

y multiplicandola por ambos lados con el factor integrante đ?&#x153;&#x2021; = đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ , đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś

(đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ś) đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ , Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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que al reescribir el resultado, en la forma siguiente đ?&#x2018;&#x2018; (đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

= đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ .

Integrando ahora a ambos lados, obtenemos la siguiente soluciĂłn implĂ­cita, đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ + đ??ž, donde đ??ž es una constante.

Una soluciĂłn explĂ­cita de la ecuaciĂłn se obtiene al despejar a đ?&#x2018;Ś.

Ejemplo 07: Un objeto de masa đ?&#x2018;&#x161; es liberado de un globo aerostĂĄtico. Encontrar la distancia en la que estĂŠ cae despuĂŠs de đ?&#x2018;Ą segundos, si la fuerza de resistencia del aire es directamente proporcional a la velocidad del objeto.

El interĂŠs aquĂ­, es encontrar la distancia đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ą) recorrida a partir del origen hasta la posiciĂłn del objeto, esto en el tiempo đ?&#x2018;Ą. Lo cual se observa en la Figura siguiente. đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;

Por otra parte, sabemos que la velocidad del objeto estĂĄ dada por, đ?&#x2018;Ł(đ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą, y la magnitud de la aceleraciĂłn como đ?&#x2018;&#x17D; =

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

=

đ?&#x2018;&#x2018;2 đ?&#x2018; . đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą 2

TambiĂŠn sabemos que đ?&#x2018;&#x201D; es la constante

de gravedad. El objeto es atraĂ­do hacia tierra con una fuerza de magnitud đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x201D;.

La fuerza de resistencia del aire es igual a đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ł, para alguna constante đ?&#x2018;&#x2DC;. Esta fuerza estĂĄ dirigida hacia arriba, la cual es opuesta al movimiento. Al caer el objeto, tenemos que la fuerza resultante debe ser, đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ł. Esto es, la diferencia del peso con la fuerza que se opone al movimiento producida por la resistencia del aire.

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Figura 7. Punto de liberaciĂłn. Fuente: ElaboraciĂłn propia.

Partiendo de la expresiĂłn de la segunda ley de Newton ya comentada en la primera secciĂłn de esta Unidad. Tenemos que, đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł

đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ł, o equivalentemente, đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;&#x2DC;

+ đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ł = đ?&#x2018;&#x201D;,

đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x161;

haciendo que đ?&#x2018;? = , la ecuaciĂłn puede ser escrita como; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

+ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ł = đ?&#x2018;&#x201D;,

la que es identificada como una EDO lineal con đ?&#x2018;Ą como variable independiente.

Usando la definiciĂłn del factor integrante đ?&#x153;&#x2021; = đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ obtenemos; đ?&#x153;&#x2021; = đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą = đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą .

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Al multiplicar la ecuaciĂłn por este factor, đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł

đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ł = đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą , o equivalentemente, đ?&#x2018;&#x2018; (đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

= đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą .

Integrando ambos lados de la ecuaciĂłn tenemos, đ?&#x2018;&#x201D;

đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą = đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą + đ??ž, al despejar a la velocidad, đ?&#x2018;&#x201D;

đ?&#x2018;Ł = đ?&#x2018;? + đ??žđ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą , donde đ??ž es una constante.

Las condiciones iniciales se interpretan en este caso por la situaciĂłn fĂ­sica, ya que cuando đ?&#x2018;Ą = 0 entonces đ?&#x2018;Ł = 0. Al sustituir estos valores en la soluciĂłn, đ?&#x2018;&#x201D;

0 = đ?&#x2018;? + đ??ž, al despejar nuevamente, đ?&#x2018;&#x201D;

đ??ž = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?.

Al regresar el valor de la constante, đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;Ł = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą .

Como el interĂŠs lo tenemos en encontrar la forma de la funciĂłn đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ą), tenemos que volver a integrar la expresiĂłn anterior, por lo que partiendo de ella misma; y recordando que la đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;

velocidad es đ?&#x2018;Ł = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą. Usando esta expresiĂłn y el Ăşltimo resultado; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?

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al integrar respecto de la variable đ?&#x2018;Ą, đ?&#x2018;&#x201D;

đ?&#x2018;&#x201D;

đ?&#x2018;&#x201D;

đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ą + đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? 2, despuĂŠs de obtener factor comĂşn đ?&#x2018;&#x201D;

đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;? 2 (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą + đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 1), y volviendo a usar las condiciones inciales dadas como đ?&#x2018; (0) = 0. Esto es cuando đ?&#x2018;Ą = 0 el objeto estĂĄ en el origen; por lo que đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ą) =

đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x161;2 đ?&#x2018;&#x2DC; ( đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2DC;2 đ?&#x2018;&#x161;

+ đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;&#x2DC;â &#x201E;đ?&#x2018;&#x161;)đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 1).

Hemos encontrado una expresiĂłn para la posiciĂłn del objeto en la medida que este viene cayendo, en funciĂłn de đ?&#x2018;Ą.

2.2.3. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden Se requiere en estĂĄ subsecciĂłn de una expresiĂłn que sirva como base para identificar a una ecuaciĂłn diferencial de primer orden lineal; se dice que esta lo es cuando tiene la forma siguiente: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś

đ?&#x2018;&#x17D;1 (đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;0 (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ), en donde los coeficientes đ?&#x2018;&#x17D;1 (đ?&#x2018;Ľ), đ?&#x2018;&#x17D;0 (đ?&#x2018;Ľ) y đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) son funciones de la variable đ?&#x2018;Ľ o a lo mĂĄs constantes. Ejemplifiquemos resolviendo el siguiente caso.

Ejemplo 08: Un circuito elĂŠctrico consiste de los componentes đ?&#x2018;&#x2026; y đ??ż que se observan en el esquema, los cuales estĂĄn conectados en serie. El voltaje đ?&#x2018;&#x2030; que entrega la fuente es constante.

Justo en el momento en que se cierra el circuito, đ??ź = 0 para đ?&#x2018;Ą = 0. Siguiendo una de las leyes de Kirchhoff para circuitos elĂŠctricos, se tiene que cuando đ?&#x2018;Ą > 0, la corriente elĂŠctrica đ??ź satisface la EDO siguiente: đ?&#x2018;&#x2018;đ??ź

đ??ż đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą + đ?&#x2018;&#x2026;đ??ź = đ?&#x2018;&#x2030;.

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Figura 8. Circuito elĂŠctrico. Fuente: ElaboraciĂłn propia.

CĂłmo se puede observar la ecuaciĂłn planteada es de primer orden, lineal y con coeficientes constantes. Para resolverla, encontremos primero el factor integrante mediante đ?&#x153;&#x2021; = đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;Ť(đ?&#x2018;&#x2026;â &#x201E;đ??ż)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą = đ?&#x2018;&#x2019; (đ?&#x2018;&#x2026;â &#x201E;đ??ż)đ?&#x2018;Ą . Al multiplicar a la ecuaciĂłn por este mismo factor obtenemos: đ?&#x2018;&#x2018;đ??ź

đ?&#x2018;&#x2026;

đ?&#x2018;&#x2030;

đ?&#x2018;&#x2019; (đ?&#x2018;&#x2026;â &#x201E;đ??ż)đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą + đ??ż đ?&#x2018;&#x2019; (đ?&#x2018;&#x2026;â &#x201E;đ??ż)đ?&#x2018;Ą đ??ź = đ??ż đ?&#x2018;&#x2019; (đ?&#x2018;&#x2026;â &#x201E;đ??ż)đ?&#x2018;Ą .

Se requiere de un conjunto de pasos para obtener la soluciĂłn de la ecuaciĂłn, algunos de estos fueron descritos en la secciĂłn anterior. Por lo que despuĂŠs de integrar llegamos a: đ?&#x2018;&#x2030;

đ??źđ?&#x2018;&#x2019; (đ?&#x2018;&#x2026;â &#x201E;đ??ż)đ?&#x2018;Ą = đ?&#x2018;&#x2026; đ?&#x2018;&#x2019; (đ?&#x2018;&#x2026;â &#x201E;đ??ż)đ?&#x2018;Ą + đ??ś, despuĂŠs de emplear las condiciones iniciales, đ??ś = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2030;â &#x201E;đ?&#x2018;&#x2026;. Para que finalmente, la expresiĂłn para la corriente elĂŠctrica sea: đ?&#x2018;&#x2030;

đ??ź = đ?&#x2018;&#x2026; [1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019; (đ?&#x2018;&#x2026;â &#x201E;đ??ż)đ?&#x2018;Ą ].

Un anĂĄlisis de esta expresiĂłn puede ser hecha a travĂŠs de la grĂĄfica de la corriente en tĂŠrminos del tiempo. Para ello tendremos que especificar los valores de đ?&#x2018;&#x2030;, đ?&#x2018;&#x2026; y đ??ż.

2.2.4. EcuaciĂłn de Bernoulli y aplicaciones La ecuaciĂłn diferencial definida como: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

+ đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x203A; ,

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donde đ?&#x2018;&#x203A; es cualquier nĂşmero real, es conocida como ecuaciĂłn de Bernoulli. Prestemos atenciĂłn en los valores đ?&#x2018;&#x203A; = 0 đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x203A; = 1. Al sustituir alguno de estos valores, la ecuaciĂłn se hace lineal. Para los casos en que đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030; 0 y đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030; 1 se requiere el siguiente cambio de variable; đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;Ś1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; , para reducir esta ecuaciĂłn diferencial, en una ecuaciĂłn del tipo lineal. Consideremos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 09: Sea la ecuaciĂłn diferencial, đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

1

+ đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś 2 ,

1

observemos que đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ y đ?&#x2018;&#x203A; = 2. Al llevar a cabo el cambio de variable tenemos que: đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;Ś1â&#x2C6;&#x2019;2 = đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019;1 , o sea, đ?&#x2018;˘=

1 đ?&#x2018;Ś

o equivalentemente, đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2019;1 .

Este cambio lo podemos usar para convertir a la ecuaciĂłn diferencial en lineal, usemos entonces la regla de la cadena, đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ por lo que, đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ = (â&#x2C6;&#x2019;1)đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

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o analogamente, đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś 1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ =â&#x2C6;&#x2019; 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ al sustituir esta Ăşltima expresiĂłn y el cambio de variable đ?&#x2018;˘ =

1 đ?&#x2018;Ś

en la ecuaciĂłn diferencial

de nuestro problema, estĂĄ se convierte en; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;Ľ

â&#x2C6;&#x2019; + đ?&#x2018;Ľ = 0.

Calculando el factor integrante, đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľâ &#x201E;đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; ln đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;1, en donde hemos usado una vez mĂĄs las propiedades de los logaritmos. Al multiplicar la ecuaciĂłn diferencial Ăşltima por el factor integrante calculado, đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘

đ?&#x2018;˘

(đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;1 = 0, arreglando tĂŠrminos 1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;˘ â&#x2C6;&#x2019; = â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ 2 y al reescribir esta expresiĂłn en la forma, đ?&#x2018;&#x2018; [đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;˘] đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

= â&#x2C6;&#x2019;1.

Cuando hemos llegado a este punto, el problema se reduce a integrar la derivada para obtener la solucĂłn, entonces đ?&#x2018;˘ = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ, donde es la constante de integraciĂłn.

Recordando que 1

đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;˘,

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y regresando el cambio, la soluciĂłn se vee como, 1

đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ.

A continuaciĂłn se presenta un ejemplo de aplicaciĂłn de la ecuaciĂłn de Bernoulli.

Ejemplo 10: Un segmento de cadena uniforme de 20 centĂ­metros de longitud estĂĄ enredado alrededor de un clavo situado en la orilla de una tabla que se encuentra en forma horizontal y elevada respecto del piso como se observa en la Figura. La parte restante de la cadena cuelga en reposo sobre la orilla de la tabla, suponga que la longitud de la cadena que cuelga es de 7.5 centĂ­metros, y que la cadena pesa 90 gr/cm, suponiendo ademĂĄs que la dirfecciĂłn positiva es hacia abajo. En đ?&#x2018;Ą = 0 segundos, el peso de la porciĂłn que cuelga provoca que sobre la tabla, la cadena se desenrrolle suavemente y caiga hacia el piso.Si đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;Ą) representa la longitud de la cadena colgante que sobresale de la tabla justo cuando đ?&#x2018;Ą > 0, entonces su velocidad estarĂĄ dada por đ?&#x2018;Ł = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ â &#x201E;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą. Ignorando todas las fuerzas resistivas, es posible demostrar que la velocidad đ?&#x2018;Ł estĂĄ relacionada con đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;Ą) mediante la ecuaciĂłn: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą + đ?&#x2018;Ł 2 = 32đ?&#x2018;Ľ.

Resuelve la ecuaciĂłn diferencial usando la ecuaciĂłn de Bernoulli y calcula la velocidad de la cadena al caer al piso.

Figura 9. Cadena que se desliza hacia abajo. Fuente: ElaboraciĂłn propia.

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La ecuaciĂłn puede ser rearreglada en la forma siguiente, đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;Ł 32 + = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ł 1

de acuerdo con la EcuaciĂłn de Bernoulli podemos identificar a đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 32 y al nĂşmero real đ?&#x2018;&#x203A; = â&#x2C6;&#x2019;1. Por lo que el cambio de variable se construye a partir de este nĂşmero y es igual a, đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;Ł 1+1 = đ?&#x2018;Ł 2 , o en forma equivalente, đ?&#x2018;Ł = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;˘.

Antes de llevar a cabo el cambio de variable recordemos la regla de la cadena, đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ al derivar a đ?&#x2018;Ł, đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ł 1 1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ al sustituir los cambios de variable sobre la ecuaciĂłn diferencial se obtiene: 1 1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ 1 1 + â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;˘ = 32 2 â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;˘ al reacomodar los tĂŠrminos đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ 2 + đ?&#x2018;˘ = 64 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ Para esta Ăşltima expresiĂłn se calcula el factor integrante 2

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

2

đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2019; 2 â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2019; 2 ln đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2019; ln đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;Ľ 2

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al multiplicar a la ecuaciĂłn diferencial por el factor integrante encontrado, đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;˘ = 64đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

o equivalentemente, đ?&#x2018;&#x2018; 2 [đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;˘] = 64đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ al integrar ambos lados de la ecuaciĂłn, đ?&#x2018;Ľ2đ?&#x2018;˘ =

64 3 đ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018;?

3

despejando para đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;˘=

64 đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľ+ 2 3 đ?&#x2018;Ľ

al regresar el cambio de variable, 64 đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ł=â&#x2C6;&#x161; đ?&#x2018;Ľ+ 2 3 đ?&#x2018;Ľ Este resultado nos permite calcular la velocidad de la cadena, antes de ello calculemos el valor de la constante đ?&#x2018;? a partir de las condiciones iniciales del problema. Como đ?&#x2018;Ł = 0 cuando đ?&#x2018;Ą = 0 y đ?&#x2018;Ľ(0) = 7.5 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;. Al sustituir estos valores en la expresiĂłn de la velocidad, 64 đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x161; (7.5) + =0 (7.5)2 3 despejando la constante đ?&#x2018;? se tiene que, đ?&#x2018;? = 8998.59

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al regresar a la expresiĂłn para la velocidad

64 8998.59 đ?&#x2018;Ł=â&#x2C6;&#x161; đ?&#x2018;Ľ+ 3 đ?&#x2018;Ľ2 Sustituyendo đ?&#x2018;Ľ = 20 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161; en la ecuaciĂłn, đ?&#x2018;Ł = 449.15

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;

asumiendo que no existe fricciĂłn con el medio.

2.3. Ecuaciones diferenciales de segundo orden y de orden superior El amplio rango de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden superior, permite que estas sean una herramienta de anĂĄlisis que van desde teorĂ­as econĂłmicas y sociales hasta fenĂłmenos de las ciencias fĂ­sicas e ingenierĂ­a. Su capacidad de adaptaciĂłn a problemas reales ha permitido histĂłricamente, un interĂŠs importante para su desarrollo de parte de matemĂĄticos y cientĂ­ficos. Particularmente, las ecuaciones de segundo orden tienen un lugar aparte en el anĂĄlisis de vibraciones mecĂĄnicas, las que por cierto deben ser estudiadas por todo estudiante de ciencias e ingenierĂ­a. La razĂłn de ello, se debe a que estamos rodeados de fenĂłmenos oscilatorios o vibratorios, ademĂĄs de que las escalas de este tipo de fenĂłmenos van desde lo micrĂłscopico hasta las escalas astronĂłmicas. Pasando obviamente, por fenĂłmenos mĂĄs terrenales como los de las ciencias biĂłlogicas. La importancia del estudio de estos movimientos descansa en la soluciĂłn de ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales. Por lo que, la recomendaciĂłn serĂĄ no dejar de lado este tipo de ecuaciones y buscar nuevas aplicaciones para ellas.

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2.3.1. DefiniciĂłn y soluciĂłn de ecuaciones lineales de segundo orden y orden superior Partiremos de una definiciĂłn general para una ecuaciĂłn diferencial lineal de orden superior. Sea la ecuaciĂłn, đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ś

đ?&#x2018;&#x2018;2 đ?&#x2018;Ś

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś

+ đ?&#x2018;&#x201C;1 (đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 + â&#x2039;Ż + đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;2 (đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ),

donde đ?&#x2018;&#x201C;1, đ?&#x2018;&#x201C;2 , â&#x2039;Ż, đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x203A; y đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) son funciones de una variable que tienen el mismo dominio.

Si đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) = 0 la ecuaciĂłn es homogĂŠnea, para los casos en que đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030; 0 se dice que esta no lo es.

Tomemos el caso de una de ecuaciĂłn homogĂŠnea de segundo orden dada por la expresiĂłn, đ?&#x2018;&#x2018;2 đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ 2

+đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

+ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ś = 0.

El mĂŠtodo de soluciĂłn para la ecuaciĂłn diferencial lineal de segundo orden homogĂŠnea es diferente respecto a los casos estudiados anteriormente. En el sentido de que la funciĂłn soluciĂłn ahora la tenemos que proponer nosotros, si esta soluciĂłn trabaja; entonces asumiremos que hemos encontrado dicha soluciĂłn. La propuesta no es arbitraria y podemos partir de la siguiente expresiĂłn como soluciĂłn; đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ľ .

Al tener una posible soluciĂłn probemos si satisface a la ecuaciĂłn diferencial, por lo que empecemos por derivarla para despuĂŠs sustituirla en la misma ecuaciĂłn; al derivar una vez đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

= đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ľ ,

dos veces, đ?&#x2018;&#x2018;2 đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ 2

= đ?&#x2018;&#x161;2 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ľ .

Ahora vamos a reemplazar las tres expresiones en la ecuaciĂłn original, đ?&#x2018;&#x2018;2 đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ 2

+đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

+ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x161;2 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ľ = 0,

despuĂŠs de obtener factor comĂşn, Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;&#x161;2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161; + đ?&#x2018;?) = 0,

al reducir la expresiĂłn nos queda, đ?&#x2018;&#x161;2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161; + đ?&#x2018;? = 0, la cual es llamada ecuaciĂłn auxiliar, cĂłmo se puede observar se trata de una ecuaciĂłn algebraica de segundo grado cuya incognita es đ?&#x2018;&#x161;. Al resolver estĂĄ ecuaciĂłn se obtienen tres posibles casos debido a las raĂ­ces obtenidas, mediante ejemplos analicemos estos casos.

Ejemplo 11: CASO I. RaĂ­ces reales diferentes.

Resolver la siguiente ecuaciĂłn diferencial, đ?&#x2018;&#x2018;2 đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ 2

â&#x2C6;&#x2019;5

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

+ 6đ?&#x2018;Ś = 0.

Al proponer la misma soluciĂłn que en el caso general llegamos a la ecuaciĂłn de segundo grado, đ?&#x2018;&#x161;2 â&#x2C6;&#x2019; 5đ?&#x2018;&#x161; + 6 = 0, la que se puede resolver mediante la mĂŠtodo de factorizaciĂłn del trinomio de la forma đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;? = 0. Al encontrar los factores, (đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2019; 3)(đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2019; 2) = 0.

Despejando đ?&#x2018;&#x161;1 = 3, y đ?&#x2018;&#x161;2 = 2.

Al regresar a la expresiĂłn de la soluciĂłn propuesta se tiene, đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľ ; para đ?&#x2018;&#x161; = 3 y đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ para đ?&#x2018;&#x161; = 2.

La combinaciĂłn lineal de ambas soluciones nos lleva a, Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľ + đ??ś2 đ?&#x2018;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ , la Ăşltima expresiĂłn tambiĂŠn es una soluciĂłn de la ecuaciĂłn diferencial. Las constantes que hemos agregado se tendrĂĄn que calcular mediante las condiciones iniciales de un problema particular.

El siguiente ejemplo ofrece una soluciĂłn diferente a la ecuaciĂłn diferencial lineal de segundo orden.

Ejemplo 12: CASO II. RaĂ­ces reales iguales.

Resolver la siguiente ecuaciĂłn diferencial, đ?&#x2018;&#x2018;2 đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ 2

+4

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

+ 4đ?&#x2018;Ś = 0.

DespuĂŠs de sustituir la propuesta de soluciĂłn y operar algebraicamente como en el caso general encontramos, đ?&#x2018;&#x161;2 + 4đ?&#x2018;&#x161; + 4 = 0, usando la fĂłrmula general,

đ?&#x2018;&#x161;=

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? Âą â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;? 2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019;4 Âą â&#x2C6;&#x161;16 â&#x2C6;&#x2019; 16 â&#x2C6;&#x2019;4 Âą â&#x2C6;&#x161;0 = = 2đ?&#x2018;&#x17D; 2 2

despejando, đ?&#x2018;&#x161;1 = â&#x2C6;&#x2019;2, y đ?&#x2018;&#x161;2 = â&#x2C6;&#x2019;2.

Al regresar a la soluciĂłn propuesta y combinar linealmente ambas soluciones, đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľ + đ??ś2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľ como se puede observar en el segundo tĂŠrmino de la soluciĂłn, se ha agregado un factor nuevo (đ?&#x2018;Ľ), el cual permite hacer diferente la primera soluciĂłn de la segunda. Esto sĂłlo es

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en el caso de soluciones reales e iguales. Para concluir esta subsecciĂłn resolvamos un tercer caso.

Ejemplo 13: CASO III. RaĂ­ces imaginarias.

Resolver la siguiente ecuaciĂłn diferencial, đ?&#x2018;&#x2018;2 đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ 2

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś

â&#x2C6;&#x2019; 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ + 5đ?&#x2018;Ś = 0.

DespuĂŠs de sustituir la propuesta de soluciĂłn y operar algebraicamente como en los casos anteriores đ?&#x2018;&#x161;2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x161; + 5 = 0, resolviendo mediante fĂłrmula general,

đ?&#x2018;&#x161;=

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? Âą â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;? 2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019;2 Âą â&#x2C6;&#x161;4 â&#x2C6;&#x2019; 20 â&#x2C6;&#x2019;2 Âą â&#x2C6;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;16 â&#x2C6;&#x2019;2 Âą 4đ?&#x2018;&#x2013; = = = 2đ?&#x2018;&#x17D; 2 2 2

despejando, đ?&#x2018;&#x161;1 = â&#x2C6;&#x2019;1 + 4đ?&#x2018;&#x2013;, y đ?&#x2018;&#x161;2 = â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;&#x2013;.

Como podemos observar las soluciones ahora son de tipo complejo, lo que nos lleva a un tipo de soluciĂłn diferente para la ecuaciĂłn diferencial. La combinaciĂłn lineal es entonces, đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;1+4đ?&#x2018;&#x2013;)đ?&#x2018;Ľ + đ??ś2 đ?&#x2018;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;&#x2013;)đ?&#x2018;Ľ al operar algebraicamente đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;&#x2019; 4đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ľ + đ??ś2 đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ľ ) usando la fĂłrmula de Euler, Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x153;&#x192; = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x153;&#x192; + đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x192;, tenemos, 1 đ?&#x2018;Ś = [đ?&#x2018;?1 (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 4đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;4đ?&#x2018;Ľ) + đ?&#x2018;?2 (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 4đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;4đ?&#x2018;Ľ)] đ?&#x2018;&#x2019; combinando algebraicamente, 1

đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x2019; [(đ?&#x2018;?1 + đ?&#x2018;?2 )đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 4đ?&#x2018;Ľ + (đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?2 )đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;4đ?&#x2018;Ľ], haciendo đ?&#x2018;?3 = đ?&#x2018;?1 + đ?&#x2018;?2 y đ?&#x2018;?4 = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?2 .

Finalmente se tiene la soluciĂłn dada por, 1 đ?&#x2018;Ś = [đ?&#x2018;?3 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 4đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?4 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;4đ?&#x2018;Ľ] đ?&#x2018;&#x2019;

2.3.2. Aplicaciones En esta parte, haremos uso de las ecuaciones diferenciales de segundo orden para analizar las vibraciones mecĂĄnicas causadas por diferentes sistemas, tales como las cuerdas de un instrumento, los golpes de un martillo, las vibraciones en puentes; entre otros casos similares. Se dice que las vibraciones mecĂĄnicas son causadas por fuerzas externas al sistema. Debido a ello, se requiere recordar a la ley de Hooke. El siguiente esquema serĂĄ de gran utilidad para explicar esta ley.

Dado un resorte de longitud đ?&#x2018;&#x2122;0 que cuelga del techo de una habitaciĂłn y que tiene atada una masa đ?&#x2018;&#x161;, la ley de Hooke dice que, la fuerza necesaria para restituir este resorte es igual a đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2026; = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ś, donde đ?&#x2018;&#x2DC; es una constante que tiene que ver con el material del que estĂĄ hecho el resorte. Normalmente, se usa la ley de Hooke con signo negativo pues se asume que el estiramiento provocado por el peso es contrario a la fuerza de restituciĂłn, que es la fuerza que lo regresa hacia arriba. Como hemos dicho el resorte tiene una masa y por tanto tiene un peso đ?&#x2018;&#x160; = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201D;.

Cuando se ata el peso en el resorte, estĂŠ tiende a bajar y el estiramiento aumenta una distancia đ?&#x2018;&#x2122;1 . Por lo que la longitud total del resorte es đ?&#x2018;&#x2122;0 + đ?&#x2018;&#x2122;1 . Las condiciones fĂ­sicas nos llevan a la ecuaciĂłn, đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201D; = đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2122;1 ,

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esto es, el peso tiende a bajar la masa y la fuerza de restituciĂłn a subirla, hasta que alcanzan el equilibrio. Hemos asumido que la masa del resorte es despreciable, asĂ­ que: đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2122;1 = 0.

Figura 10. La longitud total del resorte en equilibrio, despuĂŠs de que este se ha estirado: đ?&#x2018;&#x2122;0 + đ?&#x2018;&#x2122;1

Supongamos ahora que le damos un jalĂłn a la masa con alguna fuerza externa, rompemos el equilibrio y la ecuaciĂłn anterior se modifica de tal forma que, đ??š = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;(đ?&#x2018;&#x2122;1 + đ?&#x2018;Ś), en donde đ?&#x2018;Ś es la nueva longitud de estiramiento del resorte debido a la fuerza externa.

Esta fuerza generarĂĄ un movimiento oscilatorio en la masa.

Al desarrollar la Ăşltima expresiĂłn tenemos que, đ??š = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2122;1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ś,

observemos que hemos desaparecido dos tĂŠrminos de la ecuaciĂłn anterior debido a que el peso y la fuerza de restituciĂłn se equilibran y el movimiento que se generĂĄ es debido a Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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la fuerza externa que es igual a đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ś. Usando la segunda ley de Newton ya comentada en secciones anteriores, đ??š=đ?&#x2018;&#x161;

đ?&#x2018;&#x2018;2 đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą 2

= â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ś,

o equivalentemente, đ?&#x2018;&#x2018;2 đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą 2

đ?&#x2018;&#x2DC;

â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ś = 0.

Figura 11. El resorte desciende una distancia đ?&#x2018;Ś debido a la fuerza externa que lo jala hacia abajo. El resorte deja la posiciĂłn de equilibrio.

Sabemos de la subsecciĂłn anterior, cĂłmo se resuelve esta ecuaciĂłn diferencial. Por tanto su soluciĂłn la podemos expresar por, đ?&#x2018;&#x161;2 + đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x2013; = 0, đ?&#x2018;Ś = đ??ś1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą + đ??ś2 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą,

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este tipo de movimiento es llamado armĂłnico simple y es de tipo oscilatorio. La constante đ?&#x153;&#x201D; es la frecuencia angular con la que vibra la masa alrededor de la posiciĂłn de equilibrio.

Ejemplo 14: Supongamos que una masa de 2 libras estira un resorte 6 pulgadas. DespuĂŠs en el tiempo đ?&#x2018;Ą = 0, la masa se suelta de un punto situado a 8 pulgadas por debajo de la 4 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2019;

posiciĂłn de equilibrio con una velocidad de 3 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;. Determinar la ecuaciĂłn del movimiento de la masa.

Empecemos por convertir las unidades, 1

6 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018; = 2 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; , 2

8 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018; = 3 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; , đ?&#x2018;&#x161;= donde el đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x201D; =

đ?&#x2018;&#x160; đ?&#x2018;&#x201D;

2

1

= 32 = 16 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x201D;,

1 đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x201C;â&#x2C6;&#x2122;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;2 . đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2019;

Usando la ley de Hooke, đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2026; = 2 = đ?&#x2018;&#x2DC;

1 2

despejando, đ?&#x2018;&#x2DC;=4

đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2019;

por tanto la ecuaciĂłn diferencial para el movimiento es, 1 đ?&#x2018;&#x2018;2 đ?&#x2018;Ś

đ??š = 16 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą 2 = â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;Ś, arreglando tĂŠrminos resulta, đ?&#x2018;&#x2018;2 đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą 2

+ 64đ?&#x2018;Ś = 0.

2 3

Se pueden deducir la condiciones iniciales mediante, đ?&#x2018;Ś(0) = y

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

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4 3

=â&#x2C6;&#x2019; .

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Al reolver la ecuaciĂłn 2

1

đ?&#x2018;Ś(đ?&#x2018;Ą) = 3 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 8đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 6 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;8đ?&#x2018;Ą.

Actividades La elaboraciĂłn de las actividades estarĂĄ guiada por tu docente en lĂ­nea, mismo que te indicarĂĄ, a travĂŠs de la PlaneaciĂłn didĂĄctica del docente en lĂ­nea, la dinĂĄmica que tĂş y tus compaĂąeros (as) llevarĂĄn a cabo, asĂ­ como los envĂ­os que tendrĂĄn que realizar.

Para el envĂ­o de tus trabajos usarĂĄs la siguiente nomenclatura: BVCO_U2_A1_XXYZ, donde BVCO corresponde a las siglas de la asignatura, U2 es la unidad de conocimiento, A1 es el nĂşmero de actividad, el cual debes sustituir considerando la actividad que se realices, XX son las primeras letras de tu nombre, Y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno.

Autorreflexiones Para la parte de autorreflexiones debes responder las Preguntas de AutorreflexiĂłn indicadas por tu docente en lĂ­nea y enviar tu archivo. Cabe recordar que esta actividad tiene una ponderaciĂłn del 10% de tu evaluaciĂłn.

Para el envĂ­o de tu autorreflexiĂłn utiliza la siguiente nomenclatura: BVCO_U2_ATR _XXYZ, donde BVCO corresponde a las siglas de la asignatura, U2 es la unidad de conocimiento, XX son las primeras letras de tu nombre, y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno

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Cierre de la Unidad A lo largo de esta Unidad has podido adentrarte en la solución de ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden, asimismo has podido estudiar algunos casos de aplicación de las EDO a ciencias e ingeniería.

Como una interesante aplicación del uso de las ecuaciones diferenciales de segundo orden, se han revisado conceptos sobre mecánica clásica; en particular el tema de vibraciones, en donde se dedujó la ecuación del oscilador armónico simple, obteniendo las soluciones de esta ecuación. Como pudimos ver, las soluciones de esta EDO resultaron ser complejas debido al tipo de raíces obtenidas al resolver la ecuación auxiliar cuadrática. Aunque en todas las secciones se buscó aplicar los conceptos estudiados en la forma más práctica posible, no se dejó de lado el desarrollo matemático de las soluciones.

En contextos como en biotecnología, el uso de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias te serán de gran ayuda para comprender tópicos de los fenómenos de transporte, electromagnetismo, flujo de fluidos; entre otras áreas. Estos temas serán abordados en las Unidades tres y cuatro, en donde además se discutirán tópicos como la diferenciación e integración de funciones de variable compleja y el mapeo conforme.

En la tercera unidad, se retomarán algunos casos de ecuaciones diferenciales. En las páginas 223-255 del capítulo 5 del texto, Spiegel, M, R. (1983), se tienen problemas resueltos y propuestos de este tipo, podrás reproducir algunos de ellos para un mejor entendimiento de lo expuesto aquí.

En los textos recomendados podrás revisar también, los temas expuestos de esta parte del curso, es indispensable que analices la teoría como en las secciones anteriores, previamente a la solución de los problemas. Se te recomienda que uses algún graficador de funciones para visualizar las soluciones.

(Sugerencia:http://es.ptc.com/product/mathcad/free-trial/). En los ejercicios que se te proponen, encontrarás algunos con un mayor grado de complejidad a los realizados hasta aquí.

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Para saber más

Se te recomienda leer los tópicos que aparecen en: 





En las páginas 47-52, capítulo 2 del texto Boyce, W. E. et al (2000) podrás encontrar una descripción muy detallada del método de variables separables, así como algunos ejemplos.

La definición de una ecuación diferencial exacta la podrás encontrar en la página 31 capítulo 2 del texto Boyce, W. E. et al (2000). Igualmente ahí mismo, podrás revisar el cálculo del factor integrante que convierte a una EDO que no es exacta a una que si lo sea.

Un resumen interesante sobre la ecuación de Bernoulli lo podrás leer en las página 47, capítulo 2 del texto Boyce, W. E. et al (2000).

Fuentes de consulta



Boyce, W. E. (2000). Ecuaciones Diferenciales y Problemas con valores en la frontera. México, D.F.: McGraw-Hill. ISBN: 968-18-4974-4

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  

Courant, R., Robbins, H.(2006) ¿Qué son las Matemáticas? Conceptos y métodos fundamentales. México: Fondo de Cultura Económica. ISBN: 97896816677 Spiegel M. R. (1983). Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones. México D.F.: Mc Graw-Hill. ISBN: 978-607-15-0551-4 Zill D. G. et al. (2008). Ecuaciones Diferenciales. México, D.F.: McGraw-Hill.

ISBN: 970-10-6514-X

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