Unidad 2. Primera ley de la termodinámica

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Termodinámica I Primera ley de la termodinámica

Programa de la asignatura:

Termodinámica I

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Primera ley de la termodinámica

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Termodinámica I Primera ley de la termodinámica

Índice

Presentación de la unidad ......................................................................................................... 2 Propósito .................................................................................................................................... 2 Competencia específica ............................................................................................................ 3 2.1. Calor ................................................................................................................................... 3 2.1.1. Capacidad calorífica y calor específico ........................................................................... 4 2.1.2. Transferencia de calor ..................................................................................................... 6 2.2. Trabajo.............................................................................................................................. 17 2.2.1. Trabajo efectuado por una fuerza ................................................................................. 18 2.2.2. El equivalente mecánico del calor ................................................................................. 19 2.2.3. Primera ley de la termodinámica ................................................................................... 26 2.2.4. Aplicaciones de la primera ley de la termodinámica ..................................................... 27 2.2.5. Calores específicos de un gas ideal .............................................................................. 33 2.2.6. La equipartición de la energía ....................................................................................... 44 Actividades .............................................................................................................................. 48 Autorreflexiones ....................................................................................................................... 48 Cierre de la unidad .................................................................................................................. 48 Para saber más ....................................................................................................................... 49 Fuentes de consulta ................................................................................................................ 49

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Presentación de la unidad Con frecuencia a la primera ley de la termodinámica se le llama ley de la conservación de la energía, y como se verá más adelante, esencialmente es cierto. La primera ley expresa que durante un ciclo cualquiera efectuado por un sistema, la integral cíclica del calor (o la trayectoria cerrada) es proporcional a la integral cíclica del trabajo.

En esta unidad discutirás los conceptos, definiciones y términos utilizados para la deducción de la primera ley de la termodinámica en sistemas cerrados y abiertos. Se describirá el experimento de Joule, que sirva como una experiencia objetiva para la deducción de la energía interna. Al final de la unidad serás capaz de usar modelos matemáticos específicos para la resolución de problemas aplicados a sistemas termodinámicos cerrados y abiertos.

Propósito

En esta unidad explicarás la transformación y conservación de la energía, desarrollarás las ecuaciones de la primera ley de la termodinámica, aplicarás los modelos matemáticos para resolver problemas en sistemas cerrados y abiertos de estado de flujo estable y estados de flujo uniforme.

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Competencia específica

Aplicar los principios de la primera ley de la termodinámica para resolver problemas emanados del entorno en sistemas cerrados y abiertos mediante el uso de ecuaciones de calor y trabajo.

2.1. Calor Es un hecho conocido que cuando se ponen en contacto térmico dos sistemas que se encuentran a diferentes temperaturas, después de cierto tiempo la temperatura final que ambos alcanzan tiene un valor comprendido entre las dos temperaturas iniciales.

Estas observaciones se explicaban postulando que en todos los cuerpos existía una sustancia material conocida como calórico y un cuerpo que tenía una temperatura más elevada, que otro contenía más calórico que la otra. La teoría del calórico explicaba satisfactoriamente diversos fenómenos como la conducción del calor, o bien, cuando en un calorímetro se mezclan sustancias a temperaturas diferentes. Sin embargo, la teoría del calórico tuvo que ser abandonada, ya que la idea de que el calor era una sustancia cuya cantidad total permanecía constante resultaba contradictoria con diversas observaciones.

El abandono de la teoría del calórico se debe a los físicos Benjamín Thompson y Joule.

Thompson encontró la primera evidencia de que el calor no podía ser una sustancia, al observar que cuando taladraba cañones para el gobierno Bávaro la fuente de calor generado por fricción era inagotable. Posteriormente, Joule demostró experimentalmente la equivalencia entre calor y trabajo mecánico.

Actualmente una definición descriptiva de este concepto es que el calor es la energía que se transfiere de un cuerpo a otro en virtud únicamente de una diferencia de temperaturas. Esta no

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es una definiciĂłn operacional, es decir, no proporciona alguna forma de medir o calcular, simplemente explica que el calor es una forma mĂĄs de la energĂ­a.

El calor, como se ha mencionado, es una forma de la energía por lo que una unidad de calor no es algo que pueda conservarse en un laboratorio. La cantidad de calor que interviene en un proceso se mide por algún cambio que acompaùa a este proceso. Dos unidades utilizadas para medir la cantidad de calor son: la caloría y el BTU.  

La calorĂ­a es la cantidad de calor que se debe suministrar a un gramo de agua para que su temperatura se eleve en un grado centĂ­grado.

La BTU es la cantidad de calor que se debe suministrar a una libra de agua para elevar su temperatura en un grado fahrenheit.

Como 1 đ?‘™đ?‘–đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘Ž = 454 đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘šđ?‘œđ?‘ y 1 đ?‘œđ??š =

5 đ?‘œ đ??ś, 9

entonces se tiene que la BTU es la cantidad de calor 5

que se debe suministrar a 454 g de agua para elevar su temperatura en 9 đ?‘œđ??ś , es decir, 1 đ??ľđ?‘‡đ?‘ˆ = 252 đ?‘?đ?‘Žđ?‘™.

Se revisa en este tema la forma operacional del calor, se revisarĂĄ nuevamente el concepto de calor, la forma en que se transfiere, la capacidad calorĂ­fica, el calor especĂ­fico y la relaciĂłn entre la temperatura y el calor. Al finalizar el tema usarĂĄs los modelos matemĂĄticos para analizar situaciones cotidianas y fenĂłmenos representativos de la ciencia actual, como el cuerpo negro.

2.1.1. Capacidad calorĂ­fica y calor especĂ­fico Cuando se transfiere una misma cantidad de calor a una masa dada de dos sustancias distintas se observa que el aumento en su temperatura es diferente. La relaciĂłn del calor đ?‘„ suministrado a un cuerpo y el aumento correspondiente de su temperatura (∆đ?‘‡) se conoce como capacidad calorĂ­fica del cuerpo (đ??ś), esto es: đ??ś=

đ?‘„ ∆đ?‘‡

La capacidad calorĂ­fica por unidad de masa (đ?‘š) se llama capacidad calorĂ­fica especĂ­fica o calor especĂ­fico, el cual es una caracterĂ­stica del material del que estĂĄ formado el cuerpo. Si se representa con đ?‘? al calor especĂ­fico, entonces se escribe simbĂłlicamente: đ?‘?=

đ??ś đ?‘„ = đ?‘š đ?‘šâˆ†đ?‘‡

El calor especĂ­fico se expresa en calorĂ­as por gramo-grado centĂ­grado, o bien en BTU por libragrado Fahrenheit.

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Se puede decir entonces que el calor especĂ­fico de una sustancia es numĂŠricamente igual a la cantidad de calor que se tiene que suministrar a la unidad de masa de dicha sustancia para incrementar su temperatura en un grado. Se debe destacar que ni la capacidad calorĂ­fica ni el calor especĂ­fico son constantes, sino que dependen de la ubicaciĂłn del intervalo de temperatura elegido. De manera que la ecuaciĂłn anterior proporciona valores promedio en el intervalo de temperaturas ∆đ?‘‡.

El calor especĂ­fico de una sustancia a una temperatura đ?‘‡ se define considerando una elevaciĂłn de temperatura infinitesimal đ?‘‘đ?‘‡, de manera que designando por đ?‘‘đ?‘„ a la cantidad de calor necesaria para producir este cambio de temperatura se tiene que đ?‘?=

�� ���

de donde se obtiene que đ?‘‘đ?‘„ = đ?‘šđ?‘?∆đ?‘‡, o bien đ?‘‡đ?‘“

đ?‘„ = âˆŤ đ?‘?đ?‘‘đ?‘‡ đ?‘‡đ?‘–

En general, el calor especĂ­fico es una funciĂłn de la temperatura por lo que se tiene que conocer primero esa relaciĂłn para poder realizar la integraciĂłn. Sin embargo, a las temperaturas comunes, y en intervalos pequeĂąos de temperatura los calores especĂ­ficos pueden considerarse constantes.

Como se ha mencionado, cada sustancia requiere una cantidad de calor especial para cambiar la temperatura de un kilogramo de la misma en un grado Celsius, como se muestra en la siguiente tabla.

Sustancia Agua Aluminio Cobre Mercurio Oro

đ?‘?đ?‘Žđ?‘™ đ?‘” đ?‘œđ??ś 1.00 0.215 0.0924 0.033 0.0308

Los valores de la tabla representan calores especĂ­ficos promedio en intervalos de temperatura ordinarios y a presiĂłn constante.

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El calor especĂ­fico muestra tambiĂŠn que el calor y la temperatura son dos conceptos diferentes, ya que si se le transfiere la misma cantidad de calor a una misma masa de oro y aluminio, entonces la temperatura de la masa de oro cambiarĂĄ mucho mĂĄs que el aluminio, lo cual es muy fĂĄcil de probar usando las propiedades de las desigualdades.

Sean đ?‘„đ??´đ??ż y đ?‘„đ??´đ?‘˘ la cantidad de calor que se transfiriĂł a las masas đ?‘šđ??´đ?‘™ y đ?‘šđ??´đ?‘˘ , entonces de acuerdo a la tabla el calor especĂ­fico del aluminio (đ?‘?đ??´đ?‘™ ) es mayor que el del oro (đ?‘?đ??´đ?‘˘ ), es decir, đ?‘?đ??´đ?‘™ > đ?‘?đ??´đ?‘˘ 1

1

đ??´đ?‘™

đ??´đ?‘˘

đ?‘„đ??´đ??ż đ??´đ?‘™ đ?‘?đ??´đ?‘™

de manera que đ?&#x2018;? < đ?&#x2018;? , de aquĂ­ que đ?&#x2018;&#x161;

<đ?&#x2018;&#x161;

đ?&#x2018;&#x201E;đ??´đ?&#x2018;˘ đ??´đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;?đ??´đ?&#x2018;˘

Por lo tanto â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2021;đ??´đ?&#x2018;&#x2122; < â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2021;đ??´đ?&#x2018;˘ , explica de donde se obtiene esta conclusiĂłn.

Por otra parte se debe mencionar que la ecuaciĂłn đ?&#x2018;? =

đ??ś đ?&#x2018;&#x161;

=

đ?&#x2018;&#x201E; đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2021;

no define al calor especĂ­fico de

una manera Ăşnica. TambiĂŠn se deben especificar las condiciones bajo las cuales se suministra el calor đ?&#x2018;&#x201E; a la muestra. Para obtener un valor Ăşnico para el calor especĂ­fico se deben especificar las condiciones, tales como calor especĂ­fico a presiĂłn constante (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ), o calor especĂ­fico a volumen constante (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ł ).

2.1.2. Transferencia de calor Como se ha dicho en secciones anteriores, cuando dos sistemas se encuentran en contacto tĂŠrmico, y a diferentes temperaturas, se produce una transferencia de energĂ­a entre ellos. Este proceso puede ocurrir de tres formas: por conducciĂłn, por convecciĂłn y por radiaciĂłn, las cuales se describirĂĄn a continuaciĂłn.

ConducciĂłn Al sostener con la mano un extremo de una varilla y colocar el otro extremo sobre una flama, como se muestra en la figura 1, es claro que la temperatura del metal que estĂĄ en contacto con la mano aumenta, ya que hubo una transferencia de energĂ­a en virtud de la diferencia de temperaturas. A esta forma en que se transfiere el calor se le llama conducciĂłn.

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Figura 1. Varilla de metal sobre una flama.

El fenĂłmeno de la conducciĂłn puede explicarse en funciĂłn de la composiciĂłn atĂłmica de una sustancia, en este caso del material que compone a la varilla de metal. Al principio, antes de que se inserte la varilla en la flama, los ĂĄtomos estĂĄn vibrando en torno a sus posiciones de equilibrio.

Una vez que se colocĂł la varilla en la flama, los ĂĄtomos en contacto con ella aumentan la amplitud de su vibraciĂłn. Estos ĂĄtomos chocan con sus vecinos y les transfieren parte de su energĂ­a, de manera que poco a poco la amplitud de la vibraciĂłn de los ĂĄtomos del metal aumenta, hasta llegar al extremo sostenido por la mano. El resultado de la ampliaciĂłn en la intensidad de la vibraciĂłn es el aumento en la temperatura.

Aun cuando la conducciĂłn se explica en tĂŠrminos de las colisiones entre los ĂĄtomos que constituyen una sustancia, la rapidez de conducciĂłn del calor depende del tipo de material de las sustancias que se calientan. Para probar esto basta con sostener dos materiales diferentes sobre la flama, si uno de los materiales es un trozo de asbesto, el tiempo que uno lo puede sostener sin quemarse es muy grande, mientras que si se trata de un trozo de metal el tiempo puede ser muy corto. En general, los metales son buenos conductores del calor y materiales como el vidrio, la madera, el asbesto, entre otros son malos conductores del calor.

La rapidez con la que el calor se transfiere de un lugar a otro (đ??ť), se define como la cantidad de calor (đ?&#x2018;&#x201E;) transferida del lugar de un objeto a otro lugar de ese mismo objeto entre el intervalo de tiempo (â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ą) en que ocurriĂł esa transferencia, es decir, đ??ť=

đ?&#x2018;&#x201E; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ą

Para encontrar una expresiĂłn de la transferencia de calor en tĂŠrminos de la diferencia de temperaturas considĂŠrese una lĂĄmina de espesor â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľ, de secciĂłn transversal đ??´, de manera que sus caras se encuentren a una diferencia de temperaturas â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2021;, como se muestra en la figura 2.

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Figura 2. Transferencia de calor a travĂŠs de una lĂĄmina conductora.

Experimentalmente se encuentra que el flujo de calor por unidad de tiempo (đ??ť) es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas (â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2021;) y al ĂĄrea (đ??´), ademĂĄs es inversamente proporcional al espesor de la losa (â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľ); lo cual se puede escribir como đ??ťâ&#x2C6;?đ??´

â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2021; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľ

Esta proporciĂłn tambiĂŠn se puede escribir como una igualdad, đ??ť = đ?&#x2018;&#x2DC;đ??´

â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2021; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľ

o bien, en el lĂ­mite de una lĂĄmina de espesor infinitesimal đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ, a travĂŠs de la cual existe una diferencia de temperaturas đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; se obtiene la ley fundamental de la conducciĂłn del calor đ??ť = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC;đ??´

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

En esta expresiĂłn đ??ť es la razĂłn de transferencia de calor a travĂŠs del ĂĄrea đ??´ y tiene unidades de đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021;

potencia, es decir, de energĂ­a entre tiempo, đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ se conoce como gradiente de temperatura y đ?&#x2018;&#x2DC; es una constante de proporcionalidad llamada conductividad tĂŠrmica. El signo menos se introduce debido a que la direcciĂłn del flujo de calor serĂĄ aquella en la que aumenta đ?&#x2018;Ľ, mientras que el calor fluye en la direcciĂłn en la que disminuye đ?&#x2018;&#x2021;.

Una sustancia con una conductividad tĂŠrmica grande es un buen conductor del calor, y por el contrario, una sustancia con una conductividad tĂŠrmica pequeĂąa es un mal conductor del calor, pero es un buen aislante tĂŠrmico.

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Para encontrar la rapidez de transferencia en el estado estacionario, a travĂŠs de una losa compuesta formada por dos materiales que tienen diferentes espesores,đ??ż1 y đ??ż2 , y diferentes conductividades tĂŠrmicas đ?&#x2018;&#x2DC;1 y đ?&#x2018;&#x2DC;2 . Si las temperaturas en las superficies exteriores son,đ?&#x2018;&#x2021;2 y đ?&#x2018;&#x2021;1 como se muestra en la figura 3. En el estado estacionario la rapidez de transferencia de calor (đ??ť) es la misma en todas las secciones. ,-2.

,-1.

Flujo de calor

,-2. ,đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;Ľ.

,-2.

,-1.

,-1.

Figura 3. ConducciĂłn del calor a travĂŠs de dos losas con diferentes conductividades tĂŠrmicas.

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Entonces si se llama, đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;Ľ a la temperatura en la frontera entre las dos losas se tiene que

đ??ť1 =

đ?&#x2018;&#x2DC;1 đ??´(đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2021;1 ) đ??ż1

y

đ??ť2 =

đ?&#x2018;&#x2DC;2 đ??´(đ?&#x2018;&#x2021;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;Ľ ) đ??ż2

De manera que en el estado estacionario đ??ť2 = đ??ť1 = đ??ť, de donde se tiene que đ?&#x2018;&#x2DC;2 đ??´(đ?&#x2018;&#x2021;2 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;Ľ ) đ??ż2

=

đ?&#x2018;&#x2DC;1 đ??´(đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2021;1 ) , đ??ż1

de esta expresiĂłn se despeja,đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;Ľ y se obtiene đ??ż1 đ?&#x2018;&#x2DC;2 (đ?&#x2018;&#x2021;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;Ľ ) = đ??ż2 đ?&#x2018;&#x2DC;1 (đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2021;1 ), o bien đ??ż1 đ?&#x2018;&#x2DC;2 đ?&#x2018;&#x2021;2 â&#x2C6;&#x2019; đ??ż1 đ?&#x2018;&#x2DC;2 đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;Ľ = đ??ż2 đ?&#x2018;&#x2DC;1 đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ??ż2 đ?&#x2018;&#x2DC;1 đ?&#x2018;&#x2021;1

o equivalentemente đ??ż1 đ?&#x2018;&#x2DC;2 đ?&#x2018;&#x2021;2 + đ??ż2 đ?&#x2018;&#x2DC;1 đ?&#x2018;&#x2021;1 = đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;Ľ (đ??ż2 đ?&#x2018;&#x2DC;1 + đ??ż1 đ?&#x2018;&#x2DC;2 ) De donde se obtiene que đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;Ľ =

Sustituyendo đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;Ľ en la ecuaciĂłn đ??ť1 =

đ??ż1 đ?&#x2018;&#x2DC;2 đ?&#x2018;&#x2021;2 + đ??ż2 đ?&#x2018;&#x2DC;1 đ?&#x2018;&#x2021;1 đ??ż2 đ?&#x2018;&#x2DC;1 + đ??ż1 đ?&#x2018;&#x2DC;2

đ?&#x2018;&#x2DC;1 đ??´(đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2021;1 ) đ??ż1

se obtiene

đ??ż đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x2021; + đ??ż2 đ?&#x2018;&#x2DC;1 đ?&#x2018;&#x2021;1 â&#x2C6;&#x2019; đ??ż2 đ?&#x2018;&#x2DC;1 đ?&#x2018;&#x2021;1 â&#x2C6;&#x2019; đ??ż1 đ?&#x2018;&#x2DC;2 đ?&#x2018;&#x2021;1 đ?&#x2018;&#x2DC;1 đ??´ ( 1 2 2 ) đ??ż2 đ?&#x2018;&#x2DC;1 + đ??ż1 đ?&#x2018;&#x2DC;2 đ??ť1 = đ??ż1 Eliminando y reagrupando se tiene que đ??ż đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x2021; â&#x2C6;&#x2019; đ??ż1 đ?&#x2018;&#x2DC;2 đ?&#x2018;&#x2021;1 đ?&#x2018;&#x2DC;1 đ??´ ( 1 2 2 ) đ??ż2 đ?&#x2018;&#x2DC;1 + đ??ż1 đ?&#x2018;&#x2DC;2 đ??ť1 = đ??ż1

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o bien đ??ż đ?&#x2018;&#x2DC; (đ?&#x2018;&#x2021; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2021;1 ) đ?&#x2018;&#x2DC;1 đ??´ ( 1 2 2 ) đ??ż2 đ?&#x2018;&#x2DC;1 + đ??ż1 đ?&#x2018;&#x2DC;2 đ??ť1 = đ??ż1 lo cual se puede escribir tambiĂŠn como đ??ť1 =

đ?&#x2018;&#x2DC;1 đ??´đ?&#x2018;&#x2DC;2 (đ?&#x2018;&#x2021;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2021;1 ) đ??ż2 đ?&#x2018;&#x2DC;1 + đ??ż1 đ?&#x2018;&#x2DC;2

y como đ??ť = đ??ť1entonces finalmente se tiene que đ??ť=

đ??´(đ?&#x2018;&#x2021;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2021;1 ) đ??ż1 đ??ż ( â &#x201E;đ?&#x2018;&#x2DC; ) + ( 2â &#x201E;đ?&#x2018;&#x2DC; ) 1

2

Y para un nĂşmero arbitrario de secciones en serie se tiene que la rapidez de transferencia de calor es đ??ť=

đ??´(đ?&#x2018;&#x2021;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2021;1 ) â&#x2C6;&#x2018; đ??żđ?&#x2018;&#x2013;â &#x201E;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x2013;

Flujo de calor radial en una sustancia entre dos esferas concĂŠntricas ConsidĂŠrese una sustancia de conductividad đ?&#x2018;&#x2DC; que se encuentra entre dos esferas concĂŠntricas.

La sustancia estĂĄ rodeada por una capa de material aislante, como se muestra en la figura 7.

đ?&#x2018;&#x;

r 1

r 2

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Figura 7. ConducciĂłn de calor radial en una esfera.

Si đ?&#x2018;&#x2021;2 y đ?&#x2018;&#x2021;1 son las temperaturas de las superficies interior y exterior del aislante, y đ?&#x2018;&#x;1 y đ?&#x2018;&#x;2 , los radios interior y exterior. Si se considera que,đ?&#x2018;&#x2021;1 > đ?&#x2018;&#x2021;2 , entonces el calor fluye hacia fuera, y en el estado estacionario la rapidez de transferencia de calor đ??ť es la misma a travĂŠs de todas las superficies situadas dentro de las esferas aislantes. Tal como ocurre con la esfera de radio đ?&#x2018;&#x;, en donde, đ?&#x2018;&#x;1 < đ?&#x2018;&#x; < đ?&#x2018;&#x;2 . Si se representa con đ??´ el ĂĄrea de esta superficie y,

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x;

es el gradiente de temperatura,

entonces la rapidez de transferencia de calor es: đ??ť = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC;đ??´

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021;

En este caso đ??´ = 4đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; 2 y sustituyendo esta expresiĂłn en la ecuaciĂłn đ??ť = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC;đ??´ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x; , se obtiene đ??ť = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC;(4đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; 2 )đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; la cual se puede escribir como đ??ť

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x; = â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; đ?&#x2018;&#x;2

Integrando đ?&#x2018;&#x;2

đ??ťâ&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x;1

đ?&#x2018;&#x2021;1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x; = â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; đ?&#x2018;&#x;2 đ?&#x2018;&#x2021;2

Esto es đ??ť đ??ť â&#x2C6;&#x2019; ( â&#x2C6;&#x2019; ) = â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x2DC;(đ?&#x2018;&#x2021;1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2021;2 ) đ?&#x2018;&#x;2 đ?&#x2018;&#x;1 Reagrupando tĂŠrminos se tiene que la rapidez de transferencia de calor queda expresada por la relaciĂłn đ??ť=

4đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x2DC;(đ?&#x2018;&#x2021;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2021;1 )đ?&#x2018;&#x;1 đ?&#x2018;&#x;2 đ?&#x2018;&#x;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x;1

Flujo de calor radial en una sustancia entre dos cilindros concĂŠntricos

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TermodinĂĄmica I

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Primera ley de la termodinĂĄmica

ConsidĂŠrese una sustancia de conductividad đ?&#x2018;&#x2DC; que se encuentra entre dos cilindros concĂŠntricos.

La sustancia estĂĄ rodeada por una capa de material aislante, como se muestra en la figura 8.

L đ?&#x2018;&#x; , 2 .

, 2 . ,

Figura- 8. ConducciĂłn de calor radial en un cilindro.

1 .

En el caso de una sustancia que se encuentra entre dos cilindros concĂŠntricos de longitud đ??ż, se tienen las mismas consideraciones que para la esfera, la Ăşnica diferencia es el ĂĄrea del cilindro cuyo radio es đ?&#x2018;&#x; , con ,đ?&#x2018;&#x;1 < đ?&#x2018;&#x; < đ?&#x2018;&#x;2, es: đ??´ = 2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x;đ??ż đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021;

De manera que sustituyendo en la ecuaciĂłn đ??ť = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC;đ??´ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x; , se obtiene đ??ť

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x;

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đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x;

de donde reagrupando queda

đ??ť

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x; = â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x2DC;đ??żđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; đ?&#x2018;&#x;

Integrando queda đ?&#x2018;&#x;2

đ??ťâ&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x;1

đ?&#x2018;&#x2021;1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x; = â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x2DC;đ??ż â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; r đ?&#x2018;&#x2021;2

de donde đ??ť(đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x;1 ) = â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x2DC;đ??ż(đ?&#x2018;&#x2021;1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2021;2 ) Reagrupando tĂŠrminos se tiene que la rapidez de transferencia de calor queda expresada por la relaciĂłn đ??ť=

4đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x2DC;đ??ż(đ?&#x2018;&#x2021;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2021;1 ) đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A; 2â &#x201E;đ?&#x2018;&#x;1

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Termodinámica I Primera ley de la termodinámica

Convección Una forma común de calentarse las manos en frías noches de invierno es sosteniéndolas en la parte de arriba de una fogata, ¿por qué razón se deben colocar en la parte de arriba? Esto se debe precisamente a que la mayor parte de la energía calorífica que produce la fogata va hacia arriba.

Es sabido que se puede acercar la mano a una vela encendida si se hace lateralmente, como se muestra en la figura 9.

Figura 9. Persona colocando una mano lateralmente cerca de la flama de una vela.

La mano se puede mantener fija a una distancia pequeña, unos centímetros, por un tiempo prolongado. Sin embargo, si la mano se coloca en la parte de arriba se pueden sufrir quemaduras, aun cuando la distancia sea mayor que cuando se hace lateralmente, lo cual se ilustra en la figura 10.

Figura 10. Persona colocando la mano en la parte superior de la flama de una vela.

La explicación de los hechos mencionados radica en que la masa de aire que está encima de la flama se calienta y se expande, de manera que su densidad disminuye, como consecuencia el aire sube y una masa de aire frío ocupa ese lugar produciéndose de esta manera una corriente de convección.

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Se llama convección a la propagación del calor de un lugar a otro por un movimiento de la sustancia. Este movimiento puede ser por la diferencia de densidad, que se produce por un aumento de la temperatura, en cuyo caso a este movimiento de la sustancia se le conoce como corriente de convección natural, una de las cuales se muestra en la figura 11.

Figura 11. Corriente de convección formada con agua caliente coloreada.

Cuando una máquina hace que se mueva la sustancia caliente, el proceso se llama corriente de convección forzada.

Las corrientes de convección se utilizan, por ejemplo, para calentar una habitación por medio de un radiador. El radiador eleva la temperatura del aire que se encuentra en la parte baja de la habitación. El aire caliente se expande y su densidad disminuye y sube. El aire frío que se encuentra en la parte de arriba de la mencionada habitación ocupa el lugar de aire caliente, estableciéndose así una corriente de convección.

Radiación La tercera forma de conducción del calor es por radiación. Una forma común de calentarse, cuando se acampa, es por medio de una fogata, como se muestra en la figura 12.

Figura 12. Fogata en campamento.

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TermodinĂĄmica I Primera ley de la termodinĂĄmica

Las personas se colocan a los lados de la flama para calentarse. Es claro que el calor no les llega a las personas por convecciĂłn, ya que como se mencionĂł antes, las corrientes de convecciĂłn son hacia arriba. En este caso tambiĂŠn se transfiere el calor por conducciĂłn, pero en pequeĂąas cantidades. AsĂ­ pues, el proceso importante para el calentamiento de las personas con la fogata es la radiaciĂłn de energĂ­a calorĂ­fica.

De hecho todos los objetos irradian energĂ­a continuamente en forma de ondas electromagnĂŠticas. AsĂ­ pues, la radiaciĂłn es la emisiĂłn continua de energĂ­a desde la superficie de los cuerpos. Esta energĂ­a se llama energĂ­a radiante y se propaga en forma de ondas electromagnĂŠticas, las cuales viajan a la velocidad de la luz. Estas ondas se propagan ya sea en el vacĂ­o o en un medio. Cuando esta radiaciĂłn incide sobre un cuerpo que no es transparente a ellas, como la piel de una persona, son absorbidas y su energĂ­a se transforma en calor.

La energĂ­a radiante emitida por una superficie, por unidad de tiempo y por unidad de ĂĄrea, depende del tipo de superficie y de su temperatura. Es decir, a bajas temperaturas, la radiaciĂłn por unidad de tiempo es pequeĂąa y la longitud de onda de la radiaciĂłn es grande, cuando la temperatura aumenta, la radiaciĂłn por segundo crece rĂĄpidamente, siendo este aumento proporcional a la cuarta potencia de la temperatura.

Por ejemplo, la superficie del Sol, que se encuentra a unos miles de kelvin, estĂĄ irradiando energĂ­a continuamente. AsĂ­ que una cierta cantidad de esa energĂ­a alcanza la parte superior de la atmĂłsfera de la Tierra. Parte de esta energĂ­a se refleja y regresa al espacio, pero tambiĂŠn la atmĂłsfera absorbe otra parte. AsĂ­ tambiĂŠn todos los dĂ­as llega hasta la superficie terrestre una gran cantidad de energĂ­a, y esta energĂ­a es la que mantiene la vida en el planeta. Una parte de esta energĂ­a se transforma para ser utilizada por la humanidad.

Ley de Stefan Josef Stefan, basĂĄndose en mediciones que hizo John Tyndall, encontrĂł que la razĂłn por la cual un objeto emite energĂ­a es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absoluta. A este resultado se le conoce como la ley de Stefan, la cual puede expresarse por medio de la relaciĂłn: đ?&#x2018;&#x192; = đ?&#x153;&#x17D;đ??´đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2021; 4 donde

đ?&#x2018;&#x192; es la potencia irradiada por el objeto, la cual se mide en watts đ?&#x2018;&#x160;

đ?&#x153;&#x17D; es una constante, cuyo valor es đ?&#x153;&#x17D; = 5.6696 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;8 đ?&#x2018;&#x161;2đ??ž4 đ??´ es el ĂĄrea de la superficie del objeto medida en metros cuadrados đ?&#x2018;&#x2021; es la temperatura del objeto medida en Kelvin, y đ?&#x2018;&#x2019; es una cantidad denominada emisividad, cuyo valor varĂ­a entre cero y uno

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AsĂ­ pues todos los cuerpos estĂĄn irradiando energĂ­a de acuerdo a la ley de Stefan y al mismo tiempo, el objeto tambiĂŠn estĂĄ absorbiendo radiaciĂłn electromagnĂŠtica, ya que si esto no ocurriera entonces el objeto terminarĂ­a por irradiar toda su energĂ­a y se enfriarĂ­a hasta la temperatura del cero absoluto (0 đ??ž). La energĂ­a absorbida proviene de otros objetos que irradian energĂ­a.

Si un objeto tiene una temperatura mayor a la del medio ambiente, la energĂ­a emitida excederĂĄ a la absorbida, por lo que habrĂĄ una pĂŠrdida de energĂ­a y el cuerpo se enfriarĂĄ. De la misma manera si un cuerpo se encuentra a una temperatura menor a la de los objetos que lo rodean, entonces la cantidad de energĂ­a absorbida serĂĄ mayor que la emitida y su temperatura se elevarĂĄ.

Si un objeto de emisividad đ?&#x2018;&#x2019;, estĂĄ a la temperatura đ?&#x2018;&#x2021; y se encuentra rodeado de paredes a una temperatura,0, entonces la energĂ­a neta que el objeto gana o pierde cada segundo a consecuencia de la radiaciĂłn es de acuerdo a la ley de Stefan đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D; = đ?&#x153;&#x17D;đ??´đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2021; 4 (đ?&#x2018;&#x2021; 4 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2021;04 ) Cuando un cuerpo estĂĄ en equilibrio con su entorno, irradia y absorbe energĂ­a en la misma proporciĂłn, por lo que su temperatura no cambia, sino que permanece constante. De manera que un buen absorbente es tambiĂŠn un buen emisor, y un mal absorbente es tambiĂŠn un mal emisor.

Pero como cada cuerpo tiene que absorber o reflejar la energĂ­a radiante que llega a ĂŠl, entonces se tiene que un mal absorbente tiene que ser un buen reflector y tambiĂŠn un buen reflector es un mal emisor.

Una superficie que absorbe toda la energĂ­a que recibe serĂĄ tambiĂŠn la mejor superficie emisora posible, de manera que esta superficie no refleja energĂ­a radiante, por lo que parecerĂĄ negra, siempre que la temperatura no se a tan alta y brille. Al cuerpo que tiene una superficie, como la que se ha descrito, se le conoce como cuerpo negro.

Se define un absorbente ideal como un objeto que absorbe toda la energĂ­a que incide en ĂŠl, su emisividad es igual a uno. A un objeto como este se le denomina cuerpo negro.

2.2. Trabajo ComĂşnmente la palabra trabajo se aplica a cualquier clase de actividad que requiere realizar algĂşn esfuerzo muscular, sin embargo, en fĂ­sica esta palabra tiene un significado mĂĄs restringido.

Se realiza un trabajo cuando se levanta un objeto contra la fuerza de gravedad, mientras mĂĄs pesado sea el objeto, o bien, mĂĄs alto se levante el trabajo, es mayor. Siempre que se hace un trabajo intervienen dos elementos: la aplicaciĂłn de una fuerza y el movimiento de un objeto por la acciĂłn de esta fuerza.

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En este tema se revisarĂĄ nuevamente el concepto de trabajo, su relaciĂłn con variables termodinĂĄmicas y la relaciĂłn con el calor, el equivalente mecĂĄnico del calor, aportaciĂłn realizada por Joule en uno de sus clĂĄsicos experimentos. Al final del tema podrĂĄs usar los modelos matemĂĄticos necesarios para calcular el trabajo realizado por dispositivos mecĂĄnicos.

2.2.1. Trabajo efectuado por una fuerza De forma cuantitativa, se recuerda que el trabajo đ?&#x2018;&#x160; realizado por una fuerza ( ) constante aplicada sobre un cuerpo, se define como el producto del desplazamiento đ?&#x2018;&#x2018;, por la componente de la fuerza en la direcciĂłn del desplazamiento đ??šđ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x153;&#x192;, es decir, đ?&#x2018;&#x160;=(đ??šđ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x153;&#x192;)đ?&#x2018;&#x2018;, como se muestra en la figura 13.

Figura 13. Trabajo realizado por una fuerza F durante un desplazamiento d en la direcciĂłn x.

Es importante destacar que se realiza trabajo Ăşnicamente cuando la fuerza ejercida por el cuerpo tiene un componente en la direcciĂłn en la que se mueve. En caso contrario, aun cuando exista movimiento, no habrĂĄ trabajo. Por ejemplo, se realiza trabajo cuando se levanta un objeto a cierta altura o cuando se comprime un gas que se encuentra dentro de un recipiente.

Si se representa la unidad de trabajo con [đ?&#x2018;&#x160;], entonces se tiene que en el Sistema Internacional la unidad para esta variable es de acuerdo a la definiciĂłn newton por metro, es decir, [đ?&#x2018;&#x160;] = đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;, a esta unidad se le llama joule, de manera que 1 đ??˝ = đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;. En el Sistema InglĂŠs la unidad de trabajo es el pie-libra.

Trabajo efectuado por una fuerza variable Cuando la fuerza que actĂşa sobre una partĂ­cula es variable, entonces esta se moverĂĄ por una trayectoria curva, como se muestra en la figura 14.

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Figura 14. PartĂ­cula moviĂŠndose en una trayectoria curva por la acciĂłn de una fuerza variable.

Para calcular el trabajo en este caso, se divide la trayectoria en pequeĂąos desplazamientos Î&#x201D;râ&#x192;&#x2014;, que estĂŠn en la direcciĂłn del movimiento a la largo de la trayectoria. El trabajo efectuado sobre la partĂ­cula en el desplazamiento Î&#x201D;râ&#x192;&#x2014; es đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x160; = đ??šâ&#x192;&#x2014; â&#x2039;&#x2026; drâ&#x192;&#x2014; = F cos θdr , donde la flecha encima de las variables significa que son cantidades vectoriales y las variables sin flecha son las magnitudes.

AsĂ­ pues el trabajo hecho por la fuerza variable đ??šâ&#x192;&#x2014; sobre la partĂ­cula cuando se mueve del punto A al punto B es: đ??ľ

B

đ?&#x2018;&#x160; = â&#x2C6;Ť đ??šâ&#x192;&#x2014; â&#x2039;&#x2026; drâ&#x192;&#x2014; = â&#x2C6;Ť Fcosθdr đ??´

A

Esta integral se puede evaluar cuando se conozca la variaciĂłn de đ??šâ&#x192;&#x2014; y θ a lo largo de la trayectoria.

2.2.2. El equivalente mecĂĄnico del calor Ya se ha mencionado que el calor, que tambiĂŠn se conoce como energĂ­a tĂŠrmica, se define como la energĂ­a que se transfiere entre dos cuerpos en virtud de una diferencia de temperaturas entre ambos. La unidad que se utilizĂł para medir el calor fue la calorĂ­a, definida como el calor que se requiere para elevar la temperatura de un gramo de agua de 14.5 đ?&#x2018;&#x153;đ??ś a 15.5 đ?&#x2018;&#x153;đ??ś , mientras que el joule se utilizĂł como una unidad para medir el trabajo.

El trabajo y el calor eran interpretados como dos conceptos separados, sin embargo, en 1798 Rumford sugiriĂł que el calor tenĂ­a un aspecto mecĂĄnico, por lo que deberĂ­a de existir una conexiĂłn entre estos dos conceptos. Posteriormente, Joule determinĂł por primera vez la equivalencia entre la calorĂ­a y el joule, igualdad conocida como el equivalente mecĂĄnico del calor.

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El experimento de Joule consiste en dejar hacer unos cuerpos, los cuales hacen girar un conjunto de aspas en el interior de un recipiente aislado, el cual contiene una masa conocida de agua, como se muestra en la figura 15.

Figura 15. Dispositivo de Joule.

La caĂ­da de los cuerpos contribuye con una cantidad conocida de trabajo que es efectuado sobre el agua, esto es đ?&#x2018;&#x160;1 = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201D;â&#x201E;&#x17D;, dondeđ?&#x2018;&#x160;1 es el trabajo realizado sobre el agua por una caĂ­da de los cuerpos, đ?&#x2018;&#x161; es la diferencia de las masas que caen, đ?&#x2018;&#x201D; es la aceleraciĂłn de la gravedad de la Tierra y h es la altura de la caĂ­da. De manera que si los cuerpos se dejan caer đ?&#x2018;&#x203A; veces entonces el trabajo efectuado sobre el agua es: đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201D;â&#x201E;&#x17D;, este trabajo se puede determinar, ya que las variables de la derecha se pueden medir directamente.

Con las đ?&#x2018;&#x203A; caĂ­das de los cuerpos se provoca un aumento de la temperatura Î&#x201D;đ?&#x2018;&#x2021;, en la masa đ?&#x2018;&#x161; del agua contenida en el recipiente, y este mismo aumento se puede provocar transfiriendo una cierta cantidad de energĂ­a calorĂ­fica, dada por:

đ?&#x2018;&#x201E;=đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;?Î&#x201D;đ?&#x2018;&#x2021; Esta cantidad de energĂ­a tambiĂŠn se puede determinar, pues las variables del lado derecho de la igualdad se pueden medir directamente en el experimento, de manera que: đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201D;â&#x201E;&#x17D; = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;?Î&#x201D;đ?&#x2018;&#x2021; Realizando esas mediciones Joule encontrĂł la igualdad: 1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122; =4.186 đ??˝ Igualdad que como se ha mencionado recibe el nombre de equivalente mecĂĄnico del calor.

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PresiĂłn Cuando se aplica una fuerza superficial a un fluido, esta le puede causar dos efectos, si la fuerza es tangencial entonces el fluido se deforma, de manera que las diferentes capas de fluido resbalan una sobre otra, a esta fuerza tangencial por unidad de ĂĄrea se le conoce como esfuerzo cortante. Mientras que si la fuerza es perpendicular, el fluido se comprime y a la magnitud de la fuerza perpendicular por unidad de ĂĄrea se llama presiĂłn.

En general, se define la presiĂłn (P) como la razĂłn de la magnitud de la fuerza normal đ?&#x2018;&#x2018;đ??š ejercida sobre una pequeĂąa superficie đ?&#x2018;&#x2018;đ??´, lo cual se puede escribir simbĂłlicamente como: đ?&#x2018;&#x192;=

đ?&#x2018;&#x2018;đ??š đ?&#x2018;&#x2018;đ??´

Si la presiĂłn es la misma en todos los puntos de una superficie plana finita de ĂĄrea đ??´, entonces se puede escribir simplemente đ?&#x2018;&#x192; =

đ??š đ??´

.Y como la fuerza se mide en newtons (đ?&#x2018; ) y el ĂĄrea en

metros cuadrados (đ?&#x2018;&#x161;2 ) en el Sistema Internacional, entonces se tiene [đ?&#x2018;&#x192;] = como pascal (đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x17D;). De aquĂ­ se tiene que que 1 đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x17D; =

đ?&#x2018; , đ?&#x2018;&#x161;2

unidad conocida

đ?&#x2018; 2. đ?&#x2018;&#x161;2

Otras unidades de presiĂłn que son ampliamente utilizadas son: ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ

La unidad de presiĂłn atmĂłsfera (atm) El centĂ­metro de mercurio (cm hg)

ď&#x201A;ˇ

La libra sobre pulgada cuadrada (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x201D;2 )

ď&#x201A;ˇ

El bar

đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;?

Las equivalencias entre estas unidades son las siguientes: 1 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x161; = 1.013 Ă&#x2014; 105 đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x17D; 1 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x161; = 14.7

đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x201D;2

1 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x161; = 76 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x161; đ??ťđ?&#x2018;&#x201D; 1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x; = 105 đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x17D; Trabajo realizado en un cambio de volumen Para calcular el trabajo realizado en un cambio de volumen por un sistema sometido a presiĂłn, considĂŠrese un gas contenido en un recipiente cilĂ­ndrico provisto de un pistĂłn mĂłvil sin rozamiento y que se ajusta perfectamente, como se muestra en la figura 16.

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TermodinĂĄmica I Primera ley de la termodinĂĄmica

Figura 16. Gas contenido en un cilindro provisto de un pistĂłn mĂłvil.

Inicialmente el sistema, que es el gas, se encuentra en equilibrio con su medio ambiente externo, el cual estĂĄ formado por el depĂłsito de calor y el pistĂłn. En estas condiciones, el gas se encuentra a una presiĂłn, đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2013; y tiene un volumen đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2013; . AsĂ­ pues el calor sĂłlo puede entrar o salir del sistema a travĂŠs del fondo del cilindro y por medio del pistĂłn el gas se puede comprimir o expandir, realizĂĄndose un trabajo sobre el sistema. En el primer caso se dice que se realizĂł trabajo sobre el sistema y en el segundo caso se dice que el sistema realiza un trabajo.

ConsidĂŠrese un proceso mediante el cual el sistema interactĂşa con su medio ambiente y llega a un estado de equilibrio final, caracterizado por la presiĂłn,đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x201C; y un volumen đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x201C; . El trabajo realizado por el gas para desplazar al pistĂłn en una distancia infinitesimal đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018; es: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x160; = đ??šâ&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018; â&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x192;đ??´đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018; = đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; donde đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x160; es el trabajo y đ??šâ&#x192;&#x2014; es la fuerza aplicada sobre el pistĂłn y đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; es el cambio diferencial en el volumen del gas.

El trabajo total đ?&#x2018;&#x160; realizado en un cambio finito de volumen es de đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2013; a đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x201C; es: đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x201C;

đ?&#x2018;&#x160; = â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2013;

Para evaluar esta integral es necesario conocer la variaciĂłn de la presiĂłn en funciĂłn del volumen, lo cual significa que el trabajo realizado depende no solamente del volumen inicial y final, sino que depende tambiĂŠn de la forma en la que varĂ­a la presiĂłn durante el cambio de volumen.

La integral mencionada puede ser evaluada grĂĄficamente tambiĂŠn como el ĂĄrea bajo la curva de un diagrama P-V, un caso especial se muestra en la figura 17.

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Figura 17. El ĂĄrea bajo la curva P-V es el trabajo efectuado por un gas.

Se ha convenido que el trabajo realizado por el sistema es positivo, mientras que el trabajo realizado sobre el sistema es negativo. AsĂ­ que si una sustancia se dilata desde el estado đ?&#x2018;&#x2013;, hasta el đ?&#x2018;&#x201C;, entonces el ĂĄrea bajo la curva se considera positiva, mientras que la compresiĂłn desde el estado đ?&#x2018;&#x201C; al đ?&#x2018;&#x2013; origina un ĂĄrea negativa.

Para llevar un sistema de un estado que se representarĂĄ con 1 a otro representado con 2, se puede seguir una trayectoria, que bien puede ser distinta para llevar ahora a este sistema de 2 a 1, como se muestra en la figura 18.

đ?&#x2018;&#x192;

Trabajo realizado durante la dilataciĂłn.

đ?&#x2018;&#x192;

Trabajo realizado durante la compresiĂłn

đ??ź

(a)

đ??źđ??ź

đ?&#x2018;&#x2030;

(b)

đ?&#x2018;&#x2030;

Figura 18. Dos trayectorias para llevar a un sistema entre dos estados 1 y 2.

El trabajo realizado por la sustancia en la expansiĂłn estĂĄ indicada por el ĂĄrea sombreada debajo de la curva. De la misma manera para una compresiĂłn, el trabajo realizado sobre el sistema estĂĄ representado por el ĂĄrea sombreada bajo la curva II. Se debe destacar que de acuerdo a la

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convenciĂłn de signos para el trabajo, se tiene que el signo para el ĂĄrea debajo de la curva I es positiva, mientras que el signo para el ĂĄrea situada debajo de la curva 2 es negativa.

Cuando el sistema regresa a su estado inicial despuĂŠs de una serie de procesos se dice que ha ocurrido un ciclo. De manera que un ciclo se puede representar por una figura cerrada en un diagrama đ?&#x2018;&#x192;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2030; como se muestra en la figura 19.

đ?&#x2018;&#x192;

đ??ź

đ??źđ??ź

đ?&#x2018;&#x2030; Figura 19. Ciclo constituido por dos procesos.

Es claro que en un ciclo el ĂĄrea comprendida por la figura cerrada es la diferencia entre las ĂĄreas situadas bajo las curvas I y II, por lo que representa el trabajo realizado en el ciclo.

Trabajo y trayectoria El trabajo depende de la trayectoria que se siga para llevar al sistema del estado inicial al final, es decir, depende tanto del valor de los volĂşmenes inicial y final, como de la forma en que cambia la presiĂłn con el volumen. Existen muchos procedimientos por los cuales un sistema puede pasar de un estado inicial a uno final, algunos de los cuales se ilustran en la figura 20.

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đ?&#x2018;&#x192;

1

3

đ?&#x2018;&#x192;1

đ?&#x2018;&#x192;2

2 4

đ?&#x2018;&#x2030;

đ?&#x2018;&#x2030;1

đ?&#x2018;&#x2030;2

Figura 20. Dos procesos para llevar a un sistema entre los estados inicial y final.

En este diagrama se han representado por los puntos 1 y 2 un estado inicial 1, caracterizado por una presiĂłn đ?&#x2018;&#x192;1 y el volumen đ?&#x2018;&#x2030;1 y un estado final 2, caracterizado por la presiĂłn đ?&#x2018;&#x192;2 y el volumen đ?&#x2018;&#x2030;2 . Para que el sistema pase de 1 a 2 puede mantenerse la presiĂłn constante desde 1 a 3 y despuĂŠs mantener el volumen constante desde 3 a 2, en este caso el trabajo realizado es igual al ĂĄrea bajo la recta 1â&#x2020;&#x2019;3. Otra posibilidad es seguir la trayectoria 1â&#x2020;&#x2019;4â&#x2020;&#x2019;2, en cuyo caso el trabajo realizado es igual al ĂĄrea bajo la recta 4â&#x2020;&#x2019;2. La curva continua asĂ­ como la dentada representan otras trayectorias por las que se puede llevar al sistema entre los estados 1 y 2. Es claro que el trabajo realizado es diferente en todos los casos presentados, por lo que se puede decir que el trabajo depende de la trayectoria seguida para llevar a un sistema entre un estado inicial y uno final.

Trabajo y calor Se ha mencionado que el calor es la energĂ­a que se transfiere de un cuerpo a otro en virtud de una diferencia de temperaturas entre ellos. De manera que el calor no es una propiedad de los cuerpos, solo cuando la energĂ­a se transfiere a causa de una diferencia de temperaturas se le llama calor.

AsĂ­ tambiĂŠn, el trabajo no es una propiedad que contenga un sistema, mĂĄs bien sobre un sistema se puede realizar una cantidad definida de trabajo. Tanto el calor como el trabajo involucran una transferencia de energĂ­a. Cuando la transferencia de energĂ­a ocurre sin que intervenga la temperatura, a esa transferencia de energĂ­a se le llama trabajo. Si se transmite energĂ­a debido a una diferencia de temperaturas entonces se trata de calor.

Para decidir si una transformaciĂłn particular de un sistema implica la realizaciĂłn de un trabajo, o la transmisiĂłn de calor, se requiere en primer lugar tener claramente delimitado el sistema que se estĂŠ considerando, por ejemplo, en el caso de una resistencia elĂŠctrica que se encuentra inmersa, y se toma como sistema la resistencia y el agua como medio ambiente, entonces hay una transmisiĂłn de calor desde la resistencia, en virtud de una diferencia de temperaturas entre

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la resistencia y el agua. Si ahora se considera una porciĂłn del agua y el resto del lĂ­quido como medio exterior, existe de nuevo una transmisiĂłn de calor.

Si se considera como sistema al conjunto del agua y la resistencia, entonces no hay transmisiĂłn de calor entre el sistema y el medio exterior. AsĂ­ pues este ejemplo pone de manifiesto que primero debe definirse con claridad el sistema y su medio ambiente antes de decidir si el cambio en el estado del sistema se debe a un flujo de calor, a la realizaciĂłn de un trabajo o a ambos.

SĂłlo habrĂĄ transferencia de calor entre el sistema y su medio ambiente cuando exista una diferencia de temperaturas a travĂŠs de los lĂ­mites del sistema, si no hay diferencia de temperaturas entonces la transferencia de energĂ­a implica la realizaciĂłn de un trabajo.

La realizaciĂłn de trabajo y la transmisiĂłn de calor son formas de transferir energĂ­a a un cuerpo, o bien extraer energĂ­a de ĂŠl. En general, el trabajo realizado sobre un sistema depende de la trayectoria por la cual el sistema pasa de un estado inicial a uno final. Lo mismo se puede afirmar del calor transmitido a un cuerpo o cedido por ĂŠl. El calor depende tambiĂŠn de la trayectoria.

2.2.3. Primera ley de la termodinĂĄmica SupĂłngase que un sistema cambia de un estado de equilibrio inicial 1 hasta un estado de equilibrio final 2 a travĂŠs de una trayectoria determinada, y que se mide el calor đ?&#x2018;&#x201E; absorbido y el trabajo đ?&#x2018;&#x160; realizado por dicho sistema, de manera que se puede calcular la diferencia đ?&#x2018;&#x201E;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x160;.

Posteriormente se hace un cambio del sistema desde el mismo estado inicial 1 hasta el mismo estado final 2, por medio de otra trayectoria resulta que la diferencia đ?&#x2018;&#x201E;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x160; es la misma que en el primer caso. Si se hace lo mismo para muchas trayectorias diferentes, se encuentra que en todos los casos đ?&#x2018;&#x201E;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x160; es la misma para todas las trayectorias que unan el estado 1 con el estado 2. De manera que aun cuando đ?&#x2018;&#x201E; y đ?&#x2018;&#x160; dependan por separado de la trayectoria seguida su diferencia đ?&#x2018;&#x201E;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x160; no depende de la forma en que el sistema pasa del estado inicial 1 al estado final 2, solo depende de los estados de equilibrio inicial y final.

AsĂ­ pues, cuando un sistema cambia desde un estado inicial 1 hasta un estado final 2, la cantidad đ?&#x2018;&#x201E;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x160; no cambia, es decir, esta cantidad depende solamente de las coordenadas iniciales, y no de la trayectoria seguida para llevar al sistema entre estos dos estados. De aquĂ­ se concluye que existe una funciĂłn de las coordenadas cuyo valor final menos su valor inicial es igual a la diferencia đ?&#x2018;&#x201E;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x160;. A esta funciĂłn se le llama energĂ­a interna y se representa como đ?&#x2018;&#x2C6;, de manera que: đ?&#x2018;&#x2C6;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2C6;1 = đ?&#x2018;&#x201E; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x160; o bien si

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â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2C6; = đ?&#x2018;&#x2C6;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2C6;1 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2C6;=đ?&#x2018;&#x201E;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x160; Esta expresiĂłn indica que la cantidad de energĂ­a que posee un cuerpo se puede alterar transfiriĂŠndole o extrayĂŠndole energĂ­a en forma de calor o en forma de trabajo.

Lo que realmente interesa en la energĂ­a interna es sĂłlo su cambio, de modo que se puede asignar un valor arbitrario a dicha energĂ­a en un cierto estado de referencia, su valor en cualquier otro estado queda definido, ya que đ?&#x2018;&#x201E;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x160; es la misma para cualquier proceso que lleve de un estado a otro.

La expresiĂłn â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2C6;=đ?&#x2018;&#x201E;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x160; se puede escribir tambiĂŠn de otra forma que resulta Ăştil desde el punto de vista matemĂĄtico. El cambio consiste en considerar que si el sistema sufre un cambio infinitesimal en su estado, entonces sĂłlo se absorbe una cantidad infinitesimal de calor đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x201E; y se efectĂşa una cantidad infinitesimal de trabajo đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x160;, de manera que el cambio en la energĂ­a interna es tambiĂŠn infinitesimal. SimbĂłlicamente se escribe:

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2C6; =đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x201E;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x160; Esta expresiĂłn se conoce como la primera ley de la termodinĂĄmica.

Si el sistema es tal que el Ăşnico trabajo posible es el que se realiza mediante una expansiĂłn o una compresiĂłn, entonces el trabajo estĂĄ dado por đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x160; =đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030;, de manera que la primera ley se puede escribir como:

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2C6; =đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x201E;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030;

2.2.4. Aplicaciones de la primera ley de la termodinĂĄmica La primera ley de la termodinĂĄmica se puede aplicar a algunas situaciones particulares, de manera que se puede obtener informaciĂłn sobre la energĂ­a interna. Los casos que se analizarĂĄn a travĂŠs de la primera ley son: transformaciĂłn adiabĂĄtica, transformaciĂłn isotĂŠrmica, transformaciĂłn isovolumĂŠtrica, transformaciĂłn isobĂĄrica y expansiĂłn libre.

Transformaciones adiabĂĄticas Se llama transformaciĂłn adiabĂĄtica a cualquier proceso en el cual un sistema no recibe ni pierde calor, por lo cual serĂ­a necesario que el sistema estuviera rodeado por un aislador perfecto del

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calor, o bien que el medio ambiente se mantuviera a la misma temperatura que el sistema.

Cuando un gas sufre una expansiĂłn o compresiĂłn rĂĄpida, aun cuando las paredes del recipiente donde estĂŠ contenido no sean aislantes, esta transformaciĂłn se puede considerar adiabĂĄtica, ya que como el proceso se efectĂşa rĂĄpidamente entonces no entrarĂĄ ni saldrĂĄ una cantidad apreciable de calor en el pequeĂąo intervalo de tiempo en que ocurre el proceso.

AsĂ­ pues en una transformaciĂłn adiabĂĄtica la cantidad de calor que entra o sale del sistema es cero, đ?&#x2018;&#x201E; =0, de donde aplicando la primera ley de la termodinĂĄmica â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2C6; =đ?&#x2018;&#x201E;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x160;, se tiene que: â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2C6; =â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x160; Si en un proceso adiabĂĄtico el sistema se expande, entonces este realiza un trabajo positivo đ?&#x2018;&#x160; >0, de manera que el cambio en la energĂ­a interna serĂĄ negativo, esto es đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x2013; < 0 De acuerdo con esta Ăşltima expresiĂłn se tiene que si un sistema efectĂşa trabajo adiabĂĄtico, entonces la energĂ­a interna del sistema disminuye, ya que el trabajo se realiza a expensas de esta energĂ­a interna. Una disminuciĂłn en la energĂ­a interna de un gas implica una reducciĂłn de su temperatura.

En el caso de que el sistema sufra una compresiĂłn adiabĂĄtica, entonces se harĂĄ un trabajo sobre el sistema el cual es negativo đ?&#x2018;&#x160; < 0, y como â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2C6; =â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x160; de acuerdo a la primera ley de la termodinĂĄmica, entonces se tiene â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2C6; > 0 , es decir đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2C6;đ?&#x2018;&#x2013; > 0, de donde se tiene que la energĂ­a interna final es mayor que la energĂ­a interna inicial, esto es, la energĂ­a interna aumenta en una compresiĂłn adiabĂĄtica, y en este caso habrĂĄ una disminuciĂłn de la temperatura del sistema.

AsĂ­ pues, en un proceso adiabĂĄtico, la energĂ­a interna de un sistema aumenta en la misma cantidad de trabajo efectuado sobre ĂŠl. Asimismo si en una transformaciĂłn adiabĂĄtica el sistema hace trabajo, entonces la energĂ­a interna disminuye en la cantidad de trabajo que realice.

Para llevar a cabo un proceso adiabĂĄtico se puede considerar como sistema una cierta masa de gas, que bien puede ser aire, contenida en un cilindro construido de material aislante, provisto de un ĂŠmbolo que se puede mover libremente como el que se muestra en la figura 21.

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Figura 21. Gas contenido en un cilindro provisto de un émbolo.

El calor no puede entrar en el sistema, ni pasar del sistema a su medio ambiente, de manera que la única interacción que se permite entre el sistema y su medio ambiente es mediante la realización de un trabajo. Así pues una transformación adiabática ocurre cuando se pone o se quita una masa sobre el émbolo, de manera que el gas puede comprimirse o dilatarse contra el émbolo.

Los procesos adiabáticos son importantes en ingeniería, ya que la dilatación de los gases calientes en una máquina de combustión interna, la compresión del aire en una máquina diesel, son aproximaciones a procesos adiabáticos.

Transformación isobárica Se llama transformación isobárica la que ocurre a presión constante, mientras que el volumen cambia en una cantidad finita. En una transformación isobárica tanto el trabajo realizado como el calor transferido son diferentes a cero.

Considérese un sistema formado por agua en un recipiente cilíndrico provisto de un émbolo que se puede mover libremente sin fricción, como se muestra en la figura 22.

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Figura 22. Agua contenida en un cilindro provisto de un ĂŠmbolo.

A este sistema se le puede transferir calor por medio de una fuente. Si el proceso continĂşa entonces durante el tiempo suficiente, entonces el agua hierve y una parte de ella se convierte en vapor. El sistema puede dilatarse lentamente pero la presiĂłn que ejerce sobre el ĂŠmbolo debe ser siempre la misma.

Por otra parte, en el proceso de ebulliciĂłn, el agua cambia de fase de lĂ­quido a vapor en ciertas condiciones de presiĂłn y temperatura, por ejemplo, el agua hierve a 100 grados Celsius a nivel del mar. Se sabe que para que una sustancia cambie de fase se le tiene que transferir o quitar calor.

ConsidĂŠrese pues el cambio de fase de una masa đ?&#x2018;&#x161; de lĂ­quido a vapor, a temperatura y presiĂłn constantes. Si đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2122; es el volumen de lĂ­quido y đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;Ł es el volumen del vapor, entonces el trabajo realizado al aumentar el volumen desde đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2122; hasta đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;Ł es: đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;Ł

đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;Ł

đ?&#x2018;&#x160; = â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; = đ?&#x2018;&#x192; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; = đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2122; ) đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2122;

đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2122;

Por otra parte, el calor absorbido por unidad de masa para que ocurra el cambio de fase se representa con đ??ż y se llama calor de vaporizaciĂłn. Entonces el calor absorbido por la masa đ?&#x2018;&#x161; durante el cambio de fase es đ?&#x2018;&#x201E; = đ?&#x2018;&#x161;đ??ż De manera que por la primera ley de la termodinĂĄmica:

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â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2C6; = đ?&#x2018;&#x201E; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x160; se tiene que â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2C6; = đ?&#x2018;&#x161;đ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2122; ) TransformaciĂłn isovolumĂŠtrica Se llama transformaciĂłn isovolumĂŠtrica o isocĂłrica al proceso que experimenta un sistema a volumen constante. Como en este proceso no hay variaciĂłn del volumen, entonces no se realiza ningĂşn trabajo, đ?&#x2018;&#x160; =0 y de acuerdo a la primera ley de la termodinĂĄmica: â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2C6; =đ?&#x2018;&#x201E; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x160; de donde se tiene que â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2C6; =đ?&#x2018;&#x201E; De manera que en un proceso isovolumĂŠtrico todo el calor que se suministra a un sistema se utiliza para aumentar su energĂ­a interna.

TransformaciĂłn isotĂŠrmica Se llama transformaciĂłn isotĂŠrmica al proceso mediante el cual el volumen cambia manteniendo la temperatura constante. ConsidĂŠrese un gas que absorbe cierta cantidad de calor y se expande realizando un trabajo đ?&#x2018;&#x160;, como se muestra en la figura 23.

Figura 23. Agua contenida en un cilindro provisto de un ĂŠmbolo.

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En el caso de un gas ideal la energĂ­a interna es proporcional a la temperatura Kelvin, y sĂłlo depende de esta, de manera que para una transformaciĂłn isotĂŠrmica tambiĂŠn la energĂ­a interna es constante asĂ­ que â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2C6; =0 y usando la primera ley de la termodinĂĄmica. â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2C6; =đ?&#x2018;&#x201E; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x160; Se tiene que 0=đ?&#x2018;&#x201E; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x160; De donde se tiene que

đ?&#x2018;&#x201E; =đ?&#x2018;&#x160; De manera que para que un gas se pueda expandir isotĂŠrmicamente, debe recibir una cantidad de calor igual a trabajo que realiza en la expansiĂłn. De la misma manera para que un gas sea comprimido sin que se eleve su temperatura, tiene que liberar una cantidad de calor igual al trabajo realizado sobre ĂŠl.

Por otra parte, cuando el volumen đ?&#x2018;&#x2030; de un gas ideal varĂ­a a temperatura đ?&#x2018;&#x2021; constante, entonces la presiĂłn se puede expresar como: đ?&#x2018;&#x192;=

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021; đ?&#x2018;&#x2030;

Donde đ?&#x2018;&#x203A; es el nĂşmero de moles y đ?&#x2018;&#x2026; es la constante universal de los gases. đ?&#x2018;&#x2030;

Y como el trabajo es đ?&#x2018;&#x160; = â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x2030; 2 đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030;, entonces el trabajo realizado en una transformaciĂłn 1

isotĂŠrmica es: đ?&#x2018;&#x2030;2

đ?&#x2018;&#x160;=â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x2030;1

đ?&#x2018;&#x2030;2 đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; đ?&#x2018;&#x2030;2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021; â&#x2C6;Ť = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2030; đ?&#x2018;&#x2030;1 đ?&#x2018;&#x2030;1 đ?&#x2018;&#x2030;

de modo que đ?&#x2018;&#x201E; = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x2030;2 đ?&#x2018;&#x2030;1

ExpansiĂłn libre La expansiĂłn libre o expansiĂłn en el vacĂ­o consiste en un proceso adiabĂĄtico en el cual no se efectĂşa trabajo sobre el sistema ni se hace trabajo por ĂŠl. ConsidĂŠrese un recipiente de paredes aislantes de manera que el recipiente se encuentra dividido en dos partes por medio de una vĂĄlvula y que una parte contiene un gas mientras que en la otra se ha hecho el vaciĂł, como se muestra en la figura24.

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Figura 24. Recipiente divido por una vĂĄlvula.

Si de pronto se abre la vĂĄlvula, el gas se precipita hacia el espacio vacĂ­o y se expande libremente. Como el recipiente estĂĄ construido de paredes aislantes entonces el proceso es adiabĂĄtico, y como las paredes del recipiente son rĂ­gidas, entonces el proceso es isovolumĂŠtrico; de manera que el sistema no efectĂşa ningĂşn trabajo. Por lo tanto, poniendo estos datos en la primera ley de la termodinĂĄmica, resulta que: â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2C6; =0, Ya que tanto đ?&#x2018;&#x201E; =0, como đ?&#x2018;&#x160; =0.

Una expansiĂłn libre no tiene interĂŠs desde el punto de vista prĂĄctico, sin embargo este proceso tiene un gran interĂŠs teĂłrico, por lo pronto es un buen ejemplo de un proceso no reversible.

2.2.5. Calores especĂ­ficos de un gas ideal La temperatura de una sustancia se puede elevar bajo distintas condiciones, por ejemplo, se puede mantener el volumen constante o se puede mantener la presiĂłn constante, pero tambiĂŠn se puede dejar que tanto la presiĂłn como el volumen cambien. En cada uno de estos procesos la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de la unidad de masa en un grado es diferente. De modo que una sustancia puede tener diferentes calores especĂ­ficos, en esta parte se describirĂĄn dos: â&#x20AC;&#x153;a presiĂłn constanteâ&#x20AC;? y â&#x20AC;&#x153;a volumen constanteâ&#x20AC;?.

Por otra parte, se tiene que el calor especĂ­fico de una sustancia se define como el calor que se requiere para que la unidad de masa cambie su temperatura en una unidad. En el caso de que se utilice como unidad de masa al mol, entonces el calor especĂ­fico correspondiente recibe el nombre de capacidad calorĂ­fica molar y se representa por đ??ś. SimbĂłlicamente se escribe:

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đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x201E; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; donde C es la capacidad calorĂ­fica, đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x201E; es la cantidad de calor para que la temperatura de đ?&#x2018;&#x203A; moles cambie en đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021;. đ??ś=

De la misma manera, se tiene que para un gas ideal las molĂŠculas son esferas elĂĄsticas y no hay interacciones entre ellas a menos de que choquen, tambiĂŠn se supone que las molĂŠculas no se deforman en las colisiones. Esto implica que en un gas ideal no hay energĂ­a potencial interna, por lo que la energĂ­a interna de un gas ideal es solo energĂ­a cinĂŠtica.

Asimismo se ha mostrado que la energĂ­a cinĂŠtica de traslaciĂłn promedio por molĂŠcula (đ??¸ = 1 Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ł 2 ) se relaciona con la temperatura (đ?&#x2018;&#x2021;) por medio de la expresiĂłn: 2

đ?&#x2018;&#x2021;=

2 1 Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;2 ( đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ł ) 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ??ľ 2

đ??˝

donde đ?&#x2018;&#x2DC;đ??ľ = 1.38 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019;23 đ??ž es la constante de Boltzmann.

De manera que reagrupando la ecuaciĂłn anterior se obtiene: 1 Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;2 3 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ł = đ?&#x2018;&#x2DC;đ??ľ đ?&#x2018;&#x2021; 2 2 3 2

Es decir, la energĂ­a cinĂŠtica media de traslaciĂłn por molĂŠcula es đ?&#x2018;&#x2DC;đ??ľ đ?&#x2018;&#x2021;. De manera que la energĂ­a total de traslaciĂłn de đ?&#x2018; molĂŠculas de gas es đ?&#x2018; veces la energĂ­a media por molĂŠcula, esto es: 1 Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;2 3 3 đ??¸ = đ?&#x2018; ( đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ł ) = đ?&#x2018;&#x2DC;đ??ľ đ?&#x2018;&#x2021; = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021; 2 2 2 đ?&#x2018;&#x2026;

đ?&#x2018;

en donde đ?&#x2018;&#x2DC;đ??ľ = đ?&#x2018; , đ?&#x2018; đ??´ es el nĂşmero de Avogadro y el nĂşmero de moles đ?&#x2018;&#x203A; es đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018; . A đ?&#x2018;&#x2026; s ele đ??´

đ??´

conoce como la constante universal de los gases, cuyo valor es: đ?&#x2018;&#x2026; = 8.31

đ??˝ đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2122; â&#x2C6;&#x2122; đ??ž

De modo que la energĂ­a interna de un gas ideal monoatĂłmico que contiene đ?&#x2018; molĂŠculas es: 3 3 đ?&#x2018;&#x2C6; = đ?&#x2018;&#x2DC;đ??ľ đ?&#x2018;&#x2021; = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021; 2 2 Esta ecuaciĂłn establece que la energĂ­a interna de un gas ideal es proporcional a la temperatura Kelvin, y sĂłlo depende de la temperatura, es decir, es independiente de la presiĂłn y del volumen.

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Para encontrar una relaciĂłn entre los calores especĂ­ficos a presiĂłn constante (đ??śđ?&#x2018;? ) y a volumen constante (đ??śđ?&#x2018;Ł ) considĂŠrese un nĂşmero đ?&#x2018;&#x203A; de moles de un gas ideal encerrado en un cilindro provisto de un ĂŠmbolo. El cilindro se apoya sobre un depĂłsito de energĂ­a tĂŠrmica cuya temperatura puede aumentarse o disminuirse, de manera que se pueda transferir calor al sistema, o bien extraerlo de ĂŠl a voluntad.

El estado del sistema estĂĄ representado por el punto đ?&#x2018;&#x17D; del sistema đ?&#x2018;&#x192; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2030; de la figura 25.

Figura 25. Dos isotermas para un gas encerrado en un cilindro.

En la figura se muestran dos isotermas, en las que los puntos de una de ellas corresponden a una temperatura đ?&#x2018;&#x2021; y los puntos de la otra curva corresponden a una temperatura đ?&#x2018;&#x2021; +đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021;.

Ahora se eleva la temperatura del sistema en đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021;, aumentado muy despacio la temperatura del depĂłsito. Conforme se desarrolla el proceso se aumenta la presiĂłn exterior sobre el ĂŠmbolo del cilindro, de modo que el volumen đ?&#x2018;&#x2030; no cambie. AsĂ­, este proceso a volumen constante pasa al sistema del estado inicial đ?&#x2018;&#x17D; al estado final đ?&#x2018;?, como se muestra en la figura 11.

AsĂ­ pues, de acuerdo a la primera ley de la termodinĂĄmica â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2C6; = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x201E; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x160; Y para este proceso se tiene que por definiciĂłn đ?&#x2018;&#x201E; = đ?&#x2018;&#x203A;đ??śđ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; y como â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2030; = 0 puesto que el proceso es a volumen constante, entonces đ?&#x2018;&#x160; = đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; = 0

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Sustituyendo en la primera ley de la termodinĂĄmico se tiene que đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2C6; = đ?&#x2018;&#x203A;đ??śđ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; Posteriormente, se regresa el sistema a su estado inicial đ?&#x2018;&#x17D; y a partir de aquĂ­ se aumenta su temperatura otra vez en â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2021;, pero ahora aplicando la misma fuerza exterior sobre el ĂŠmbolo del cilindro, de manera que la presiĂłn no varĂ­e. Este proceso lleva al sistema desde su estado inicial đ?&#x2018;&#x17D; a su estado final, como se muestra en la figura 11.

Por la primera ley dela termodinĂĄmica se tiene que đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2C6; = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x201E; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x160; Y en este caso, por definiciĂłn đ?&#x2018;&#x201E; = đ?&#x2018;&#x203A;đ??śđ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; TambiĂŠn se tiene que el trabajo se determina por la relaciĂłn đ?&#x2018;&#x160; = đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; Ya se dijo que para un gas ideal la energĂ­a interna solo depende de la temperatura, de manera que cuando esta sea constante, tambiĂŠn lo serĂĄ la energĂ­a interna, es decir, las isotermas son curvas de energĂ­a interna constantes. AsĂ­ que la energĂ­a interna tiene un valor constante đ?&#x2018;&#x2C6; en todos los puntos de la isoterma de temperatura đ?&#x2018;&#x2021;, y un valor constante đ?&#x2018;&#x2C6;+đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2C6; en todos los puntos del isoterma de temperatura đ?&#x2018;&#x2021;+đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021;. AsĂ­ pues, los procesos đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;? y đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2020;&#x2019;, y en general en todos los procesos en los cuales el gas pasa de un punto cualquiera de una isoterma a un punto cualquiera de la otra, implican el mismo cambio en la temperatura, y por esta razĂłn tambiĂŠn implican el mismo cambio en la energĂ­a interna đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2C6;.

AsĂ­ pues para un proceso a presiĂłn constante la variaciĂłn de la energĂ­a interna es la misma que para un proceso a volumen constante, es decir, đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2C6; = đ?&#x2018;&#x203A;đ??śđ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; De modo que para un proceso a presiĂłn constante se tiene que de acuerdo a la primera ley de la termodinĂĄmica q đ?&#x2018;&#x203A;đ??śđ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; = đ?&#x2018;&#x203A;đ??śđ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030;

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Como la ecuaciĂłn de estado para un gas ideal estĂĄ dada por la expresiĂłn

đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2030;=đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021; Entonces se puede escribir como

đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030;=đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; Y esta Ăşltima permite escribir el trabajo đ?&#x2018;&#x160; como

đ?&#x2018;&#x160;=đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; de manera que đ?&#x2018;&#x203A;đ??śđ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; = đ?&#x2018;&#x203A;đ??śđ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; o bien đ??śđ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ł = đ?&#x2018;&#x2026; Esta Ăşltima ecuaciĂłn dice que la capacidad calorĂ­fica molar de un gas ideal a presiĂłn constante es mayor que la que la capacidad calorĂ­fica molar a volumen constante en una cantidad igual a la constante universal de los gases. Aunque esta ecuaciĂłn solo es exacta para gases ideales, se cumple con buena aproximaciĂłn para gases reales a bajas presiones.

Por otra parte, como se sabe en la teorĂ­a cinĂŠtica la energĂ­a interna đ?&#x2018;&#x2C6; se relaciona con la temperatura đ?&#x2018;&#x2021;, por medio de la expresiĂłn 3 đ?&#x2018;&#x2C6; = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021; 2 Entonces se pueden determinar las capacidades calorĂ­ficas molares, ya que đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2C6; = đ?&#x2018;&#x203A;đ??śđ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; de donde đ??śđ?&#x2018;Ł =

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x2018; 3 3 = ( đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021;) = đ?&#x2018;&#x2026; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; 2 2

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CompresiĂłn o expansiĂłn adiabĂĄtica en un gas ideal En el caso de un gas ideal, un proceso adiabĂĄtico no estĂĄ descrito solamente en funciĂłn de đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2030; =đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021;. La dificultad consiste en que las tres variables de estado đ?&#x2018;&#x192;, đ?&#x2018;&#x2030; y đ?&#x2018;&#x2021;, cambian durante el proceso. Para conocer el cambio de cada una de ellas se necesita otra ecuaciĂłn, que puede encontrarse al observar que el trabajo realizado sobre el gas se transforma completamente en energĂ­a interna. Al aumentar la energĂ­a interna cambia la temperatura del sistema. Sin embargo este cambio de la temperatura se puede lograr transfiriendo calor al sistema, de esta manera puede encontrarse una relaciĂłn entre calor, cambio de temperatura y trabajo, aĂşn para un proceso adiabĂĄtico.

Para encontrar una relaciĂłn entre la presiĂłn đ?&#x2018;&#x192; y el volumen đ?&#x2018;&#x2030; considĂŠrese que un gas experimenta una transformaciĂłn adiabĂĄtica reversible e infinitesimal, de manera que de acuerdo a la primera ley de la termodinĂĄmica:

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2C6; =đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x201E; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x160; en el caso de una transformaciĂłn adiabĂĄtica đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x201E; =0 y para un gas ideal đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2C6; =đ?&#x2018;&#x203A;,đ??ś-đ?&#x2018;Ł.đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021;.

Por lo tanto đ?&#x2018;&#x203A;đ??śđ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; + đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; = 0 Utilizando ahora la ecuaciĂłn de estado para un gas ideal đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2030; = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021;, se tiene que đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; + đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x192; = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; Como đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; = â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; đ?&#x2018;&#x203A;đ??śđ?&#x2018;Ł

Entonces đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; + đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x192; = â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; đ??śđ?&#x2018;Ł

Y como đ??śđ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ł = đ?&#x2018;&#x2026;, entonces đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; + đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x192; = â&#x2C6;&#x2019;

(đ??śđ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ł )đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; đ??śđ?&#x2018;Ł

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De manera que reagrupando se tiene

đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; + đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x192; +

(đ??śđ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ł )đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; =0 đ??śđ?&#x2018;Ł

đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; + đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x192; +

đ??śđ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; = 0 đ??śđ?&#x2018;Ł

o bien

lo cual se puede escribir como đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x192; +

đ??śđ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; = 0 đ??śđ?&#x2018;Ł

o equivalentemente đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x192; đ??śđ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; + =0 đ?&#x2018;&#x192; đ??śđ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;&#x2030; Si se define đ?&#x203A;ž =

đ??śđ?&#x2018;? đ??śđ?&#x2018;Ł

, entonces đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x192; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; +đ?&#x203A;ž =0 đ?&#x2018;&#x192; đ?&#x2018;&#x2030;

Si se considera que el proceso es finito y se integra la ecuaciĂłn anterior se obtiene đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x192; + đ?&#x203A;žđ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2030; = đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A;đ??ś Donde đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A;đ??ś es una constante de integraciĂłn. Es decir, đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2030; đ?&#x203A;ž = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019; O tambiĂŠn đ?&#x203A;ž

đ?&#x203A;ž

đ?&#x2018;&#x192;1 đ?&#x2018;&#x2030;1 = đ?&#x2018;&#x192;2 đ?&#x2018;&#x2030;2 donde 1 y 2 son dos puntos arbitrarios del proceso.

La relaciĂłn entre la temperatura đ?&#x2018;&#x2021; y el volumen đ?&#x2018;&#x2030; se obtiene sustituyendo đ?&#x2018;&#x192; =

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021; đ?&#x2018;&#x2030;

en la ecuaciĂłn

đ?&#x203A;ž

đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2030; = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;, esto es,

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đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021; đ?&#x203A;ž đ?&#x2018;&#x2030; = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2030; o equivalentemente đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021;1 đ?&#x203A;ž đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021;2 đ?&#x203A;ž đ?&#x2018;&#x2030; = đ?&#x2018;&#x2030; đ?&#x2018;&#x2030;1 1 đ?&#x2018;&#x2030;2 2 de donde đ?&#x203A;žâ&#x2C6;&#x2019;1

đ?&#x2018;&#x2021;1 đ?&#x2018;&#x2030;1

đ?&#x203A;žâ&#x2C6;&#x2019;1

= đ?&#x2018;&#x2021;2 đ?&#x2018;&#x2030;2

Por lo tanto, la relaciĂłn entre la temperatura y el volumen para un proceso adiabĂĄtico estĂĄ dada por la expresiĂłn: đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;&#x2030; đ?&#x203A;žâ&#x2C6;&#x2019;1 = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019; Similarmente la relaciĂłn entre la temperatura đ?&#x2018;&#x2021; y la presiĂłn đ?&#x2018;&#x192;, se obtiene sustituyendo la ecuaciĂłn đ?&#x2018;&#x2030; =

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021; đ?&#x2018;&#x192;

en la expresiĂłn đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2030; đ?&#x203A;ž = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;, lo cual da đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021; đ?&#x203A;ž đ?&#x2018;&#x192;( ) = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x192;

o bien đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021;1 đ?&#x203A;ž đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021;2 đ?&#x203A;ž đ?&#x2018;&#x192;1 ( ) = đ?&#x2018;&#x192;2 ( ) đ?&#x2018;&#x192;1 đ?&#x2018;&#x192;2 que tambiĂŠn se puede escribir como đ?&#x203A;ž

đ?&#x2018;&#x192;1 đ?&#x2018;&#x2021;1 đ?&#x203A;ž

đ?&#x2018;&#x192;1

đ?&#x203A;ž

=

đ?&#x2018;&#x192;2 đ?&#x2018;&#x2021;2 đ?&#x203A;ž

đ?&#x2018;&#x192;2

o bien đ?&#x203A;ž

(1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x203A;ž)

đ?&#x2018;&#x2021;1 (đ?&#x2018;&#x192;1

đ?&#x203A;ž

(1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x203A;ž)

) = đ?&#x2018;&#x2021;2 (đ?&#x2018;&#x192;2

)

de donde (1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x203A;ž) đ?&#x2018;&#x2021;1 đ?&#x2018;&#x192;1 đ?&#x203A;ž

=

(1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x203A;ž) đ?&#x2018;&#x2021;2 đ?&#x2018;&#x192;2 đ?&#x203A;ž

Por lo tanto la relaciĂłn entre la temperatura y la presiĂłn ara un proceso adiabĂĄtico estĂĄ dada por la expresiĂłn

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đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;&#x192;

(1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x203A;ž) đ?&#x203A;ž

= đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;

La velocidad de sonido ConsidĂŠrese un tubo largo lleno de gas para que no se tengan reflexiones en uno de los extremos. SupĂłngase que es un pulso que viaja en este tubo, el cual es generado cuando se da un empujĂłn a un ĂŠmbolo ajustado perfectamente en el tubo.

Este pulso viaja de izquierda a derecha en el tubo con una rapidez đ?&#x2018;Ł a lo largo del tubo. Para analizar el movimiento del pulso se considerarĂĄ que este permanece estacionario y el fluido es el que se moverĂĄ de derecha a izquierda con rapidez đ?&#x2018;Ł, como se muestra en la figura 26.

Figura 26. Pulso que permanece estacionario con respecto al gas que se mueve de derecha a izquierda.

ConsidĂŠrese el movimiento de un volumen de fluido, que se desplaza con rapidez đ?&#x2018;Ł hasta que entra en la zona de compresiĂłn. Conforme cruza esta zona, encuentra una diferencia de presiĂłn â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x192; entre sus borde de enfrente y posterior. Este volumen se comprime y se desacelera, de manera que su rapidez đ?&#x2018;Ł+â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ł es menor en esta zona, debido a que la cantidad â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ł es negativa.

Conforme pasa el tiempo, este elemento de fluido sale de la cara izquierda de la zona de compresiĂłn y se expande hasta que recupera su volumen original, y la diferencia de presiones lo acelera hasta que su rapidez sea igual que la que tenĂ­a originalmente.

La fuerza resultante que actĂşa sobre la parte del elemento de fluido que entra en la zona de compresiĂłn apunta hacia la derecha, y su magnitud es

đ??š=,đ?&#x2018;&#x192;+â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x192;.đ??´â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x192;đ??´=â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x192;đ??´ En donde đ??´ es el ĂĄrea de la secciĂłn transversal del tubo.

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La longitud del elemento de volumen que se estĂĄ considerando cuando se encuentra fuera de la zona de compresiĂłn es đ?&#x2018;Łâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ą, donde â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ą es el tiempo que tarda este volumen en sobrepasar por un punto dado. AsĂ­ pues el volumen đ?&#x2018;&#x2030; de este elemento es: đ?&#x2018;&#x2030; = đ?&#x2018;Łđ??´â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2021; Y su masa es: đ?&#x2018;&#x161; = đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x2030; = đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ??´Î&#x201D;đ?&#x2018;Ą Donde đ?&#x153;&#x152; es la densidad del fluido exterior a la zona de compresiĂłn. La desaceleraciĂłn del elemento Î&#x201D;đ?&#x2018;Ł

de volumen al entrar en la zona de compresiĂłn es đ?&#x2018;&#x17D; = â&#x2C6;&#x2019; Î&#x201D;đ?&#x2018;Ą , y como Î&#x201D;đ?&#x2018;Ł es negativa entonces đ?&#x2018;&#x17D; es positiva, es decir, que apunta hacia la derecha, en la misma direcciĂłn que la fuerza â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x192;đ??´. De manera que aplicando la segunda ley de Newton, đ??š =đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;, al elemento de fluido se tiene â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x192;đ??´ = (đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Łđ??´Î&#x201D;đ?&#x2018;Ą) (â&#x2C6;&#x2019;

Î&#x201D;đ?&#x2018;Ł ) Î&#x201D;đ?&#x2018;Ą

lo cual se puede escribir como đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł 2 = â&#x2C6;&#x2019;

Î&#x201D;đ?&#x2018;&#x192; Î&#x201D;đ?&#x2018;Łâ &#x201E; đ?&#x2018;Ł

Por otra parte, como se mencionĂł anteriormente, el elemento de fluido tiene un volumen đ?&#x2018;&#x2030;=đ??´đ?&#x2018;ŁÎ&#x201D;đ?&#x2018;Ą, cuando se encuentra fuera de la zona de compresiĂłn, pero cuando se encuentra en esta regiĂłn se comprime a Î&#x201D;đ?&#x2018;&#x2030;=đ??´,Î&#x201D;đ?&#x2018;Ł.Î&#x201D;đ?&#x2018;Ą.

Î&#x201D;đ?&#x2018;&#x2030; đ?&#x2018;&#x2030;

=

đ??´(Î&#x201D;đ?&#x2018;Ł)(Î&#x201D;đ?&#x2018;Ą) đ??´đ?&#x2018;Ł(Î&#x201D;đ?&#x2018;Ą)

=

Î&#x201D;đ?&#x2018;Ł , đ?&#x2018;Ł

y se obtiene:

đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;Ł 2 = â&#x2C6;&#x2019;

Î&#x201D;đ?&#x2018;&#x192;

A la cantidad â&#x2C6;&#x2019; Î&#x201D;đ?&#x2018;&#x2030;

â &#x201E;đ?&#x2018;&#x2030;

Î&#x201D;đ?&#x2018;&#x192; Î&#x201D;đ?&#x2018;&#x2030;â &#x201E; đ?&#x2018;&#x2030;

se le conoce como mĂłdulo volumĂŠtrico y se representa con la letra đ??ľ. De

manera que: đ??ľ = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2030;

Î&#x201D;đ?&#x2018;&#x192; Î&#x201D;đ?&#x2018;&#x2030;

El mĂłdulo volumĂŠtrico es positivo porque un aumento de la presiĂłn causa una disminuciĂłn del volumen. En funciĂłn del mĂłdulo volumĂŠtrico đ??ľ, la velocidad del pulso que se mueve en el fluido es

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đ??ľ đ?&#x2018;Ł=â&#x2C6;&#x161; đ?&#x153;&#x152; Î&#x201D;đ?&#x2018;&#x192;

Ya se mencionĂł que el mĂłdulo volumĂŠtrico se define por la expresiĂłn đ??ľ = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2030; Î&#x201D;đ?&#x2018;&#x2030;, de manera que ĂŠste depende de la forma en que cambie la presiĂłn. Si la temperatura se mantiene constante, se obtiene en el lĂ­mite que đ??ľđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;ĄĂŠđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153; = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2030; (

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x192; ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;ĄĂŠđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;

Y como se sabe para un proceso isotĂŠrmico en un gas ideal se cumple que: đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2030; = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019; Por lo que derivando esta ecuaciĂłn con respecto a đ?&#x2018;&#x2030; se obtiene đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x192; đ?&#x2018;?+đ?&#x2018;&#x2030;( ) =0 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;ĄĂŠđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153; Esta ecuaciĂłn implica que el mĂłdulo volumĂŠtrico para un proceso isotĂŠrmico es đ??ľ=đ?&#x2018;&#x192; Sin embargo, en una onda sonora las condiciones no son isotĂŠrmicas, como las considerĂł Isaac Newton en 1687, por lo que cometiĂł un error en la deducciĂłn de la expresiĂłn para la velocidad del sonido.

Actualmente, se sabe que el proceso es adiabĂĄtico porque no hay gradientes de temperatura en el interior de la onda. AsĂ­ pues, el mĂłdulo volumĂŠtrico que se debe utilizar es el adiabĂĄtico, entonces đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x192; (đ??ľ)đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?ĂĄđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153; = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2030; ( ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?ĂĄđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153; Para un proceso adiabĂĄtico en un gas ideal se cumple que đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2030; đ?&#x203A;ž = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;, en donde đ?&#x203A;ž =

đ??śđ?&#x2018;? đ??śđ?&#x2018;Ł

lo cual se puede escribir tambiĂŠn derivando con respecto a đ?&#x2018;&#x2030; como

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đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x192; đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x203A;žđ?&#x2018;&#x2030; đ?&#x203A;žâ&#x2C6;&#x2019;1 + đ?&#x2018;&#x2030; đ?&#x203A;ž ( ) =0 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?ĂĄđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x192;

Combinando esta ecuaciĂłn las ecuaciones đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x203A;žđ?&#x2018;&#x2030; đ?&#x203A;žâ&#x2C6;&#x2019;1 + đ?&#x2018;&#x2030; đ?&#x203A;ž (đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030;)

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?ĂĄđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;

=0Y

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x192; (đ??ľ)đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?ĂĄđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153; = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2030; ( ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2030; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?ĂĄđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153; se obtiene (đ??ľ)đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?ĂĄđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153; = đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x203A;ž Por lo tanto, la velocidad del sonido en un gas ideal se obtiene por medio de la expresiĂłn: đ??ľ đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x203A;ž đ?&#x2018;Ł=â&#x2C6;&#x161; =â&#x2C6;&#x161; đ?&#x153;&#x152; đ?&#x153;&#x152;

2.2.6. La equiparticiĂłn de la energĂ­a La teorĂ­a cinĂŠtica es una descripciĂłn matemĂĄtica de la forma en que un gran nĂşmero de partĂ­culas muy pequeĂąas, en rĂĄpido movimiento, se pueden manifestar macroscĂłpicamente con las propiedades observadas de los gases. El modelo de la teorĂ­a cinĂŠtica considera los siguientes aspectos: 1. Un gas estĂĄ constituido por un nĂşmero grande de molĂŠculas y la separaciĂłn entre ellas es grande comparada con sus dimensiones.

2. Las molĂŠculas obedecen las leyes de Newton y en conjunto se mueven al azar.

3. Las molĂŠculas experimentan choques elĂĄsticos, ya sea entre ellas o con las paredes del recipiente.

4. No existe interacciĂłn entre las molĂŠculas salvo cuando chocan entre ellas.

5. El gas considerado es una sustancia pura, es decir, todas las molĂŠculas son iguales.

AsĂ­ pues, una molĂŠcula, desde el punto de vista de esta teorĂ­a, es considerada como una esfera elĂĄstica dura, asimismo su energĂ­a cinĂŠtica es puramente traslacional. La predicciĂłn del calor especĂ­fico que se obtuvo es adecuada en el caso de las molĂŠculas monoatĂłmicas.

Pero en el caso de los calores especĂ­ficos intervienen todas las formas posibles en que se puede absorber energĂ­a, de manera que si una molĂŠcula tiene estructura interna, es decir, que no estĂŠ formada solamente por una partĂ­cula, entonces esta molĂŠcula puede girar, vibrar y tener un

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movimiento de traslaciĂłn. AsĂ­ que en las colisiones con otras molĂŠculas podrĂ­an cambiar los movimientos rotacional y de vibraciĂłn, por lo que esto contribuirĂ­a a aumentar la energĂ­a interna del gas.

De esta manera, la energĂ­a interna de un sistema que contenga muchas molĂŠculas, todas las cuales tienen una estructura interna, serĂĄ la suma de la energĂ­a cinĂŠtica de traslaciĂłn, de la energĂ­a cinĂŠtica de rotaciĂłn y de la energĂ­a cinĂŠtica de vibraciĂłn de los ĂĄtomos de las molĂŠculas.

Utilizando la mecĂĄnica estadĂ­stica se puede mostrar que cuando el nĂşmero de partĂ­culas es grande y se les puede aplicar la mecĂĄnica newtoniana, entonces todos estos tĂŠrminos tienen el mismo valor promedio, el cual solo depende de la temperatura. Esto es que la energĂ­a disponible solamente depende de la temperatura, y se distribuye en partes iguales entre cada una de las formas mediante las cuales las molĂŠculas pueden absorber energĂ­a.

El teorema de la equiparticiĂłn de la energĂ­a establece que la energĂ­a de un sistema en equilibrio tĂŠrmico se divide por igual entre todos los grados de libertad.

En los gases monoatĂłmicos las molĂŠculas sĂłlo tienen movimiento de traslaciĂłn, ya que no tienen estructura interna. Para estos gases se encuentra que la energĂ­a cinĂŠtica molecular de traslaciĂłn estĂĄ relacionada con la temperatura por medio de la ecuaciĂłn 1 Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;2 3 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ł = đ?&#x2018;&#x2DC;đ??ľ đ?&#x2018;&#x2021; 2 2 3 1 Es decir, la energĂ­a cinĂŠtica media de traslaciĂłn por molĂŠcula es 2 đ?&#x2018;&#x2DC;đ??ľ đ?&#x2018;&#x2021; . Como Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ľ2 = 3 đ?&#x2018;Ł 2 ,

entonces: 1 Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;2 1 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2DC;đ??ľ đ?&#x2018;&#x2021; 2 2 AnĂĄlogamente para las direcciones đ?&#x2018;Ś y đ?&#x2018;§, se tiene que: 1 Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ś2 2

1

1

1

2 Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; = 2 đ?&#x2018;&#x2DC;đ??ľ đ?&#x2018;&#x2021; y 2 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;§ = 2 đ?&#x2018;&#x2DC;đ??ľ đ?&#x2018;&#x2021;

Por lo tanto, cada grado de libertad de traslaciĂłn aporta una cantidad igual de energĂ­a al gas, a 1

saber, 2 đ?&#x2018;&#x2DC;đ??ľ đ?&#x2018;&#x2021; .el concepto de grados de libertad se refiere al nĂşmero de medios independientes por los cuales una molĂŠcula puede tener energĂ­a.

Por otra parte, como se ha mencionado en los gases monoatĂłmicos la energĂ­a interna estĂĄ dada por la expresiĂłn:

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3 3 đ?&#x2018;&#x2C6; = đ?&#x2018;&#x2DC;đ??ľ đ?&#x2018;&#x2021; = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021; 2 2 đ?&#x2018;&#x2026;

đ?&#x2018;

en donde đ?&#x2018;&#x2DC;đ??ľ = đ?&#x2018; , đ?&#x2018; đ??´ es el nĂşmero de Avogadro y el nĂşmero de moles đ?&#x2018;&#x203A; es đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018; . A đ?&#x2018;&#x2026; s ele đ??´

đ??´

conoce como la constante universal de los gases, cuyo valor es đ?&#x2018;&#x2026; = 8.31

đ??˝ . đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2122;â&#x2C6;&#x2122;đ??ž

Usando este resultado se pueden calcular las capacidades calorĂ­ficas molares, ya que đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2C6; = đ?&#x2018;&#x203A;đ??śđ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; de donde đ??śđ?&#x2018;Ł =

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x2018; 3 3 = ( đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021;) = đ?&#x2018;&#x2026; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; 2 2

de donde se obtiene que đ??śđ?&#x2018;Ł = 3 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;â &#x201E;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2122; đ??ž De manera que de acuerdo a la ecuaciĂłn đ??śđ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ł = đ?&#x2018;&#x2026;, se tiene que 5 đ??śđ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x2026; 2 De donde se obtiene la relaciĂłn entre las capacidades calorĂ­ficas molares đ?&#x203A;ž=

đ??śđ?&#x2018;? 5 = = 1.67 đ??śđ?&#x2018;Ł 3

Los gases diatĂłmicos se interpretan como si cada molĂŠcula estuviera formada por dos esferas unidas por una varilla rĂ­gida. Esta molĂŠcula puede girar alrededor de cualquiera de sus tres ejes que son perpendiculares entre sĂ­. Sin embargo para esta molĂŠcula se debe eliminar un grado de libertad rotacional, ya que dos masas puntuales unidas por una varilla rĂ­gida no tienen energĂ­a de rotaciĂłn en torno a un eje a lo largo de esa varilla, por lo que la energĂ­a rotacional tiene solo dos 1

1

tĂŠrminos, que pueden ser 2 đ??źđ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ś2 y 2 đ??źđ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;§2, donde đ??ź es el momento de inercia y đ?&#x153;&#x201D; es la rapidez angular.

AsĂ­, de acuerdo al teorema de la equiparticiĂłn de la energĂ­a, se requiere que cada grado de libertad rotacional contribuya con la misma energĂ­a que cada grado traslacional, de modo que en un gas diatĂłmico que tenga los dos movimientos, el de rotaciĂłn y el de traslaciĂłn, se debe cumplir que:

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1 1 5 đ?&#x2018;&#x2C6; = 3đ?&#x2018;&#x203A; ( đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021;) + 2đ?&#x2018;&#x203A; ( đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021;) = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021; 2 2 2 de donde se tiene que:

đ??śđ?&#x2018;Ł =

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x2018; 1 1 5 = [3đ?&#x2018;&#x203A; ( đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021;) + 2đ?&#x2018;&#x203A; ( đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021;)] = đ?&#x2018;&#x2026; = 5 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;â &#x201E;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2122; đ??ž đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; 2 2 2

Usando nuevamente la relaciĂłn đ??śđ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ??śđ?&#x2018;Ł = đ?&#x2018;&#x2026;, se tiene que 7 đ??śđ?&#x2018;? = đ??śđ?&#x2018;Ł + đ?&#x2018;&#x2026; = đ?&#x2018;&#x2026; 2 Y la relaciĂłn entre las capacidades calorĂ­ficas molares es en este caso đ?&#x203A;ž=

đ??śđ?&#x2018;? 7 = = 1.40 đ??śđ?&#x2018;Ł 5

En el modelo de los gases poliatĂłmicos, cada molĂŠcula contiene tres o mĂĄs esferas, que corresponden a los ĂĄtomos, unidas entre sĂ­ por varillas, por lo que en este caso la molĂŠcula es capaz de girar alrededor de cada uno de los tres ejes perpendiculares entre sĂ­, y cada uno de esos grados de libertad rotacional contribuye con la misma energĂ­a que cada grado traslacional, de manera que: 1

1

đ?&#x2018;&#x2C6; = 3đ?&#x2018;&#x203A; (2 đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021;) + 3đ?&#x2018;&#x203A; (2 đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021;) = 3đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021; y đ??śđ?&#x2018;Ł =

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x2018; 1 1 = [3đ?&#x2018;&#x203A; ( đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021;) + 3đ?&#x2018;&#x203A; ( đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2021;)] = 3đ?&#x2018;&#x2026; = 6 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;â &#x201E;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2122; đ??ž đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2021; 2 2

de donde đ??śđ?&#x2018;? = đ??śđ?&#x2018;Ł + đ?&#x2018;&#x2026; = 4đ?&#x2018;&#x2026; y đ?&#x203A;ž =

đ??śđ?&#x2018;? đ??śđ?&#x2018;Ł

7

= 5 = 1.33

Se ha encontrado que los calores especĂ­ficos en los gases monoatĂłmicos y diatĂłmicos difieren poco de las predicciones experimentales para el gas ideal. Sin embargo, en el caso de algunos gases diatĂłmicos y en gases poliatĂłmicos, los calores especĂ­ficos son mayores que los predichos por la teorĂ­a, lo cual implica que al modelo que se ha ido mejorando todavĂ­a no se acerca lo suficiente a la realidad. En este modelo no se han considerado las contribuciones de energĂ­a de las vibraciones de los ĂĄtomos en las molĂŠculas.

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Actividades La elaboración de las actividades estará guiada por tu docente en línea, mismo que te indicará, a través de la Planeación didáctica del docente en línea, la dinámica que tú y tus compañeros (as) llevarán a cabo, así como los envíos que tendrán que realizar.

Para el envío de tus trabajos usarás la siguiente nomenclatura: BTER_U1_A1_XXYZ, donde BTER corresponde a las siglas de la asignatura, U1 es la unidad de conocimiento, A1 es el número de actividad, el cual debes sustituir considerando la actividad que se realices, XX son las primeras letras de tu nombre, Y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno.

Autorreflexiones Para la parte de autorreflexiones debes responder las Preguntas de Autorreflexión indicadas por tu docente en línea y enviar tu archivo. Cabe recordar que esta actividad tiene una ponderación del 10% de tu evaluación.

Para el envío de tu autorreflexión utiliza la siguiente nomenclatura: BTER_U1_ATR _XXYZ, donde BTER corresponde a las siglas de la asignatura, U1 es la unidad de conocimiento, XX son las primeras letras de tu nombre, y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno.

Cierre de la unidad Ya en él estudió de la presente unidad te adentraste a los principios básicos de la termodinámica, y en ellos podrás comenzar a aplicar la primera ley de la termodinámica.

Ahora prepárate para revisar la segunda ley de la termodinámica que emplearás constante mente en tu formación como ingeniero. } ¡Adelante!

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Para saber más

Para un enfoque axiomático de la termodinámica se te recomienda revisar el libro:   

García-Colín S. L. (1998). Introducción a la termodinámica clásica. México: Trillas.

Para una narración fascinante de los célebres experimentos de Joule, véase T.W. Chelmers. (1952). HistoricResearches, Cap. II, New York.

Para revisar los conceptos básicos de la termodinámica puedes consultar: http://estudiarfisica.wordpress.com/2009/01/17/fisica-general-13-conceptos-basicos-de-latermodinamica-principio-cero-temperatura-empirica-escalas-termometricas-gas-ideal/

Fuentes de consulta

 Cengel Y.A & Boles M. A. (2006). Termodinámica. México: Macgaw-Hill.  Granet, I. (1988). Termodinámica. México: PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA.

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 Huang, F. F. (1994). Ingeniería Termodinámica, Fundamentos y aplicaciones. México: CECSA.  Manrique, J. A., & Cárdenas, R. S. (1995). Termodinámica. México: HARLA.  Maron, S. H., &Prutton, C. F. (2002). Fundamentos de Fisicoquímica. México: LIMUSA.  Sherwin, K. (1995). Introducción a la Termodinámica. U.S.A.: Addison-Wesley Iberoamericana.  Smith, J. M., & Van Ness, H. C. (1988). Introducción a la Termodinámica en Ingeniería Química. México: McGRAW HILL.  Sonntag, R. E., & Van Wylen, G. J. (1977). Introducción a la Termodinámica Clásica y Estadística. México: LIMUSA.  Van Wylen, G. J., Sonntag, R. E., & Borgnakke, C. (2002). Fundamentos de Termodinámica. México: LIMUSA.  Resnick, R. y Halliday, D. (1977). Física. México: Compañía Editorial Continental.  Zemansky, M. W. y Dittman, R. H. (1984). Calor y termodinámica. México: McGraw-Hill.  Guilherme D. Santos. (2005). Lancha de vapor Ivana. G&I Producciones independientes.

Recuperado el 25 de mayo de 2011 de: http://www.youtube.com/watch?v=g1eIB8YV5Zk&feature=related%20

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