Unidad 2. Series de Fourier

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace

Programa de la asignatura:

Matemáticas aplicadas para ingeniería

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Series de Fourier

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace

Índice Presentación de la Unidad ........................................................................................................ 2 Propósitos.................................................................................................................................. 2 Competencia específica ............................................................................................................ 3 2. Series de Fourier ................................................................................................................... 3 2.1. Funciones ortogonales ....................................................................................................... 4 2.1.1. Producto interno de funciones………………………………………………………………..4 2.1.2. Funciones y conjuntos ortogonales………………………………………………………….8 2.1.3. Funciones periódicas…………………………………………………………………………12 2.2. Series de Fourier .......................................................................................................... …23 2.2.1. Series trigonométricas................................................................................................... 23 2.2.2. La serie de Fourier de una función……………………………………………………….…38 2.2.3. Convergencia de una serie de Fourier………………………………………………….….39 2.2.4. Serie de Fourier de funciones pares e impares…………………………………………...48 2.3. Aproximación en media .................................................................................................... 56 2.3.1. Desviación máxima…………………………………………………………………………...56 2.3.2. Desviación media cuadrática………………………………………………………………..61 2.3.3. Igualdad de Parseval-Liapunov……………………………………………………………..69 Actividades .............................................................................................................................. 74 Autorreflexiones....................................................................................................................... 74 Cierre de la Unidad ................................................................................................................. 74 Para saber más ....................................................................................................................... 75 Fuentes de consulta ................................................................................................................ 75

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Presentación de la Unidad En esta Unidad se presenta una introducción a las series de Fourier, la primera sección comienza con el concepto de producto interno de funciones, a partir de éste se define la ortogonalidad de funciones e inmediatamente se presenta la definición de función periódica.

La segunda parte presenta cómo se obtiene la serie de Fourier de una función periódica junto con las propiedades que posee la misma. Finalmente, se presentan los conceptos básicos de la aproximación para las series de Fourier.

Propósitos



Calcular los coeficientes de la serie de Fourier de una función periódica.



Calcular la serie de Fourier de una función periódica par o impar.



Aproximar una función por medio de una serie de Fourier.

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Competencia específica

Identificar problemas que no tienen función periódica secuencial, para proponer su solución mediante la aplicación de las series de Fourier.

2. Series de Fourier Las series de Fourier aparecen en año de 1807 como una propuesta para resolver la ecuación del calor que describe la conducción de un flujo de calor a lo largo de una lámina metálica, estas toman el nombre del matemático francés Joseph Fourier.

La esencia fundamental detrás de las series de Fourier es que una función con ciertas características se puede expresar en términos de una única serie que tiene funciones senos y cosenos.

Joseph Fourier.

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2.1. Funciones ortogonales En esta sección se presenta el concepto de producto interno de funciones, este es una generalización natural del producto escalar de vectores, a partir de este se define la ortogonalidad de funciones de forma similar a la perpendicularidad de vectores.

2.1.1. Producto interno de funciones Recuerda que para un par de vectores ,

,  

3

, donde    a1 , a2 , a3  y    b1 , b2 , b3 

El producto punto de  y  está definido por la relación: 3

 ·   a1b1  a2b2  a3b3   ak bk k 1

La anterior definición se generaliza al espacio de funciones (continuas a pedazos

definidas sobre un intervalo fijo) del siguiente modo: Sea C a, b  el conjunto de todas las funciones continuas a pedazos definidas sobre el intervalo  a , b  .

Definición: Dadas f , g  C a, b  , el producto interno

f , g de f y g se define por la

relación: b

f , g   f ( x) g ( x)dx . a

Observa que lo que se obtiene de calcular un producto interno de funciones sobre un intervalo, es un número real, tal y como sucede en el caso de los vectores en

Ejemplo: Dadas las funciones

3

.

f ( x)  x3 y g ( x)  x 2 calcular f , g en el intervalo

 1, 2 .

Solución: Para resolver este ejercicio solo basta aplicar la definición de producto interno del siguiente modo:

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b

f , g   f ( x) g ( x)dx  a

 Por lo tanto

f,g 

2

3 2   x  x  dx 

1

2

1 6  5 1 x dx   6 x  1 2

1 1 32 1 21 6 6  2    1    6 6 3 6 2

21 .

2

Ejemplo: Dadas las funciones f ( x )  sen(2 x) y g ( x )  x calcular

f , g en el

intervalo  1,1 .

Solución: De forma similar al ejemplo anterior, este ejercicio se resuelve aplicando la definición de producto interno del siguiente modo: b

f , g   f ( x) g ( x)dx  a

1

  sen(2 x)  x  dx

1

En el siguiente paso se aplica la técnica de integración por partes, lo que permite obtener:

1

1

 x sen(2x)dx   2 x cos(2x)  4 sen(2x) Evaluando de 1 a 1 la integral anterior se tiene: 1

1  1  1 x sen(2 x)dx   2 x cos(2 x)  4 sen(2 x)  1 1

1 1  1   1     cos(2)  sen(2)     (1) cos(2)  sen(2)  4 4  2   2  1  2 cos(2)  sen(2) 2 1 Por lo tanto f , g  2cos(2)  sen(2) .

2 Ejemplo: Dados f , g  C 1, 2 , con

f ( x)  x 2 y g ( x)  2 x  1 . Calcular f , g .

Solución: Basta aplicar la definición de producto interno a las funciones f y g , como se muestra a continuación:

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2

 x3 x 4  f , g    x   2 x  1 dx    2 x  x  dx       3 2  1 1 1 2

2

2

3

2

  2 3  2 4    13  14          2   3 2   3 9  2

f,g 

Por lo tanto, se tiene que

9 2

Recuerda que, sobre conjunto C a, b  se definen las siguientes operaciones: 

Suma: Para f , g  C a, b  la función f  g se define por:

 f  g  ( x)  

Multiplicación por escalares: Para c 

f ( x)  g ( x) . y f  C a, b  , la función cf se define

por:

 cf  ( x)  cf ( x) .

En un curso de cálculo de una variable se demuestra que las funciones f  g y cf son continuas a pedazos sobre el intervalo  a , b  , es decir, se cumple que f  g , cf  C a, b  .

Estas dos operaciones le proporcionan al conjunto C a, b  una estructura de espacio vectorial real.

A continuación se presentan las propiedades que tiene el producto interno sobre C a, b  . 

Definido positivo:

f , f  0 para cualquier f  C a, b  .

Esto se obtiene del hecho siguiente: b

b

f , f   f ( x) f ( x)dx    f ( x)  dx  0 .

2

a



Conmutatividad:

f , g  g, f

a

para cualesquiera f , g  C a, b  .

Esto se obtiene del hecho siguiente:

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b

b

a

a

f , g   f ( x) g ( x)dx   g ( x) f ( x)dx  g , f 

Linealidad:

cf  g , h  c f , h  g , h para cuales quiera f , g , h  C a, b  y

c

.

Esto se obtiene del hecho siguiente: b

b

f  g , h     cf  g  ( x)   h( x)  dx    cf ( x)  g ( x)  h( x)dx a

a

b

b

a

a

  cf ( x)h( x)dx   g ( x)h( x)dx  c f , h  g, h Recuerda que para vectores en 3 , la norma de un vector es otro concepto que se relaciona con el producto punto de vectores, la relación entre dichos conceptos se presenta en la siguiente relación: Dado a 

3

, donde    a1 , a2 , a3  , se tiene que:

  a12  a22  a32   ·  .

A partir de la relación anterior se puede definir una norma sobre C a, b  de forma similar al caso en

3

:

Definición: Dado f  C a, b  , la norma f

de f se define por la relación: b

f 

f, f 

  f ( x)

2

dx .

a

Además una función f  C a, b  se dice normalizada sí y solo sí f  1 .

Cuando f  0 y f no es normalizada, se tiene que la función

1 f es normalizada y f

es llamada la forma normalizada de f , observa que este proceso es similar al de encontrar vectores unitarios en

3

.

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Ejemplo: Dada f C0,2 , definida por f ( x)  3sen( x) . Calcular f

y presentar su

forma normalizada.

Solución: Basta aplicar la definición de norma del siguiente modo: b

f 

f, f 

  f ( x) 

2

2

dx 

a

 3sen( x)

2

dx

o 2

1 1  x 1   9    cos(2 x)  dx  3   sen(2 x)  2 2  2 4 0 o  2

 (2) 1   (0) 1  3   sen  2 (2)      sen  2 (0)    2 4   2 4   3 1 0  3

1 1 f ( x)  sen( x) . f 3

Por lo tanto f  3 y su forma normalizada es

2.1.2. Funciones y conjuntos ortogonales El concepto de perpendicularidad es uno de los más importante en el estudio de los vectores en

3

, este se caracteriza por la relación  ·    cos  , donde  es el

ángulo que forman  y  , del siguiente modo: Si  es perpendicular a  entonces



 2

, lo que implica que:

   ·    cos       0   0 2 



Inversamente, si  ·  0 implica que   cos   0 , si  ,   0 entonces cos  0 por consiguiente   

 2

, por consiguiente  es perpendicular a  . En resumen  es

perpendicular a  si y solo sí  ·  0 . Esta misma idea es llevada al espacio de funciones para definir la ortogonalidad de funciones de forma análoga a la perpendicularidad de vectores.

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Definición: Sean f , g  C a, b  , se dice que f es ortogonal a g en  a , b  sí y sólo si b

f , g   f ( x) g ( x)dx  0 a

Ejercicio: Muestra que las funciones f ( x)  cos( x) y g ( x)  sen(2 x) son ortogonales en  1,1 .

Solución: Basta aplicar la definición de ortogonalidad de funciones del siguiente modo: b

1

a

1

f , g   f ( x) g ( x)dx   cos( x) sen(2 x) dx Utilizando la identidad:

sen A cos B 

1 sen  A  B   sen  A  B  2

En consecuencia: 1

 cos( x) sen(2 x)dx 

1

1

1

 2  sen( x  2 x)  sen(2 x   x) dx

1

1

1 1  1     sen(3 x)  sen( x) dx    cos(3 x)  cos( x)  2 2  6  1 1 1

1 1  1   1    cos(3 )  cos( )     cos(3 )  cos( )  2 2  6   6  0 Por lo tanto f es ortogonal a g .

Ejercicio: Muestra que las funciones f ( x)  x y g ( x)  x 2 son ortogonales en  1,1

Solución: Se procede de forma similar al ejercicio anterior:

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2

f,g 

2   x   x  dx 

2



2

1 4  3 2 x dx   4 x  2 2

1 1 4 4  2    2   4  4  0 4 4

Por lo tanto f ( x) es ortogonal a g ( x ) .

Definición: Sea n nI un subconjunto de C a, b  , se dice que n nI es un conjunto ortogonal de funciones sobre  a , b  si y solo si

n

es ortogonal a

m , para cuales

quiera m, n  I con m  n . A demás, se dice que el conjunto n nI es un conjunto ortonormal sobre  a , b  si y solo si n nI es ortogonal y

n

es normalizada para toda

nI .

Como consecuencia inmediata de la definición anterior, un conjunto ortonormal n nI satisface la relación: b

  ( x) n

a

m

1 si m  n ( x)dx   0 si m  n

Observa que a partir de un conjunto ortogonal conjunto ortonormal  n nI , definido por n 

n nI de C a, b  1

n

se puede obtener un

n .

Ejercicio: Muestre que el conjunto de funciones cos( n x )n es ortogonal en  0,1 y presentar el conjunto ortogonal que se obtiene del mismo.

Solución: Por comodidad, sea

n

es ortogonal a

m

n ( x)  cos(n x) , con n

, hay que mostrar que

para m  n , esto se tiene aplicando la definición de producto interno

de funciones del siguiente modo: 1

1

0

0

n , m   n ( x)m ( x)dx   cos(n x) cos(m x)dx

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A partir de la siguiente identidad trigonométrica

cos A cos B 

1 cos  A  B   cos  A  B  2

Se tiene lo siguiente: 1

1

1 0 cos(n x) cos(m x)dx  0 2 cos  n x  m x   cos  n x  m x  dx 1

1   cos   n  m  x   cos   n  m  x   dx 2 0 1

1  1 1  sen   n  m  x   sen   n  m  x    2  n  m nm 0 1  1 1   sen  n  m  sen   n  m     0        2  n  m nm  0



Con esto se muestra que el conjunto cos( n x )n es ortogonal. La normalización se divide en dos caso: cuando n  0 se tiene que:

0

1

2

1

 0 , 0   0 ( x)  dx   1 dx  1.

2

0

0

Cuando m  n  0 , es decir:

n

1

2

1

 n , n   n ( x) dx   cos 2 (n x)dx 2

0

0

Utilizando la relación:

cos2 A 

1 1  cos  2 A 2 2

Se tiene lo siguiente: 1

1 1 1  x  0 cos (n x)dx  0  2  2 cos  2n x     2  4 n sen  2n x  0 1

1

2

1 1 1    sen  2n    0  2  2 4 n 

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Por consiguiente n 

1 . Finalmente, normalizando se tiene lo siguiente: 2 1 1 n ( x)  cos(n x)  2 cos(n x) 1 n 2





Por lo tanto, el conjunto 1, 2 cos( n x)

n \0

es ortonormal sobre  0,1 .

2.1.3. Funciones periódicas Considera que tienes una hoja de papel, en ella traza un sistema de ejes cartesianos, uno horizontal y otro vertical.

Enrolla dicha hoja de tal forma en que el eje horizontal coincida consigo mismo, formando un cilindro circular.

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Luego, sobre la superficie del cilindro, observando la posición del eje vertical marca el punto que está del otro lado del círculo que forma el eje horizontal con respecto al origen de coordenadas.

Dibuja una curva que se marque sobre todas las capas del cilindro:

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Finalmente desdoblas el cilindro:

Lo que se obtiene en una figura que se repite a partir de un intervalo igual a la longitud del círculo base del cilindro que formaste, una función periódica tiene este comportamiento, la diferencia radica en el hecho de que en vez de considerar un hoja, hay que considerar un plano infinito. Ahora se presenta la definición formal del proceso anterior.

Definición: Sea f una función definida de

en

. Se dice que f es periódica y de

periodo T  0 si y solo si f ( x  T )  f ( x) para todo x 

.

Esta definición afirma que basta conocer cómo se comporta la función en un intervalo de longitud T para tener el comportamiento de toda la función, por simplicidad se toma dicho

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 T T ,  , aquí se  2 2

intervalo alrededor del 0 , es decir, el intervalo base o fundamental es  

considerará el intervalo base indistintamente abierto o cerrado. De forma gráfica se tiene lo siguiente:

Ejemplo: En curso de trigonometría elemental se muestran que las funciones sen( x) y

cos x satisfacen las relaciones:   cos  x    sen x y sen( x)  sen(2  x) 2  Por lo tanto las funciones sen( x) y cos x son periódicas y de periodo 2 . Gráficamente se tiene lo siguiente:

A continuación se presentan algunas propiedades que poseen las funciones periódicas.

Propiedades: Sea f una función periódica y de periodo T . 

f es periódica de periodo nT con n  . Para obtener esto, primero hay que

observar que cuando se toma y  x  T implica que f ( x  T )  f ( y )  f ( y  T )  f ( x)

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En consecuencia si f es periódica de periodo T también es periódica y de periodo T , basta tomar T  0 y n  0 para obtener lo siguiente: f ( x  nT )  f ( x  (n  1)T )   f ( x  2T )  f ( x  T )  f ( x) 

Dada a  0 , la función dilatación periodo Ta 

f a definida por f a ( x)  f (ax) es periódica y de

T . Esto se obtiene de observar que: a T   T   f a  x    f  a  x     f (ax  T )  f (ax)  f a ( x) . a a    

Ejemplo: Un consecuencia inmediata de lo anterior que las funciones sen( nx ) y cos( nx) , donde n  0 , son periódicas y de periodo

2 . n

Dadas dos funciones periódicas su suma o diferencia no necesariamente es una función periódica, para que esta sea una función periódica, hay que observar el cociente de los periodos tiene que ser un número racional, es decir, tiene que existir un periodo común mínimo que es múltiplo común entero a los periodos de las funciones dadas. Si no se tiene esta condición, la función resultante no es periódica.

Ejercicio: Dadas las función f ( x)  sen  3 x  y g ( x)  sen(4 x) , muestra que la función h( x )  sen  3 x   sen  4 x  es periódica y encontrar dicho periodo.

Solución: Observa que las funciones f ( x)  sen  3 x  y g ( x)  sen(4 x) tienen por

2  2 y T2   respectivamente. Gráficamente, para la función 4 3 2 f ( x)  sen  3 x  :

periodo T1 

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Para la función g ( x)  sen(4 x) :

Tomando el siguiente cociente:

2  T1 3 1    T2 2 3 Implica que h( x )  sen  3 x   sen  4 x  es periódica. Para encontrar el periodo primero hay que observar que el denominador común 6 por consiguiente:

2 4 T1     3 6

1 3 y T2     2 6

Ahora, hay que calcular el mínimo común múltiplo entre los numeradores, en este caso es 12 . Por consiguiente:

4  3  3T1  3    y 4T2  4    6  6  Universidad Abierta y a Distancia de México

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Por lo tanto, h( x )  sen  3 x   sen  4 x  es periódica y de periodo T 

12   2 .

6

Gráficamente, se tiene lo siguiente:

 x 2

 x 3

Ejercicio: Dadas las función f ( x)  sen   y g ( x)  sen   , muestre que la

 x 3

 x 2

función h( x)  sen    sen   es periódica y encontrar dicho periodo.

Solución: Se procede de forma similar al ejercicio anterior: Observa que las

 x 2

 x 3

funciones f ( x)  sen   y g ( x)  sen   tienen por periodo:

T1 

2  6 1 3

y T2 

2  4 1 2

 x 3

respectivamente. Gráficamente, para la función f ( x)  sen   :

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 x 2

Para la función g ( x )  sen   :

Tomando el siguiente cociente:

T1 6 3    T2 4 2 Esto implica que h( x )  sen  5 x   sen  2 x  es periódica. Para encontrar el periodo, hay que observar que los periodos son múltiplos enteros de  , en consecuencia, solo hay que calcular el mínimo común múltiplo entre los coeficientes, en este caso es 12 . Por lo tanto,

h( x)  sen  3 x   sen  4 x  es periódica y de periodo T  12 . Gráficamente, se tiene lo

siguiente:

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Ejercicio: Dadas la funciones f ( x )  cos x y g ( x)  sen( x) , muestre que las función h( x)  cos x  sen( x) no es periódica.

Solución: Se tiene que las funciones f ( x )  cos x y g ( x)  sen( x) tienen periodos

T1  2 y T2  2 respectivamente, tomando el cociente T1 2   T2 2 Pero  no es un número racional. Por lo tanto, la función h( x)  cos x  sen( x) no es periódica.

A continuación se presentan algunas relaciones que hay entre las funciones periódicas y sus integrales: Sean  ,   , con    , entonces hay que analizar el comportamiento de la integral.  T



f ( x ) dx

 T

Para ello hay que observar que si y  x  T entonces: f ( y )  f ( y  T  T )  f ( x  T )  f ( x) :

Tomando y haciendo el cambio de variable se tiene lo siguiente:

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

 T





f ( x)dx 



 T



f ( y  T )dy 

 T

f ( y )dy

 T

Lo anterior implica se resume en el siguiente enunciado: Lema: Sea f una función periódica de periodo T , dados  ,    T

, con    , entonces





f ( x)dx   f ( x)dx

 T



Gráficamente se tiene lo siguiente:   T   T

Como consecuencia inmediata tomando   0 y   t se tiene que: t T



t

f ( x)dx   f ( x )dx

T

0

Otra consecuencia que se obtiene de lo anterior es lo siguiente: a

T 2





f ( x)dx 

T a 2

T 2



a

f ( x)dx 

T a 2

T 2



f ( x)dx

T  2

El lema anterior se aplica para obtener las siguientes relaciones: 

T 2



T a 2

f ( x)dx 

T T 2



 T  a   T 2 

f ( x)dx 

T 2



f ( x)dx

T a 2

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21

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace

Esto implica que: a

T 2

 a



f ( x)dx 

T 2



T 2

 a

T 2

a

T 2



a

f ( x)dx 



f ( x)dx 

f ( x)dx 

T 2

a

T 2

T 2



f ( x)dx 

T a 2

a



T 2



T  2

T 2



f ( x)dx 

T 2

T 2

 

f ( x)dx

T 2

f ( x)dx

T  2

Esto muestra la validez del siguiente resultado: Corolario: Sea f una función periódica de periodo T entonces para todo a se tiene que: a

T 2



f ( x)dx 

T a 2

T 2



f ( x )dx

T  2

Además se cumple lo siguiente: t

t T

0

T

 f ( x)dx  

f ( x )dx .

Aplicando el corolario anterior al caso particular cuando a  T

T 2

 f ( x)dx   0

T se tiene que: 2

f ( x)dx .

T  2

El resultado anterior se describe Gráficamente en la siguiente figura:

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2.2. Series de Fourier Como es sabido, las funciones senos y cosenos son funciones continuas y periódicas, la esencia detrás de la serie de Fourier es utilizar estas funciones para poder aproximarse a cualquier función periódicas.

2.2.1. Series trigonométricas Para poder expresar una función periódica en términos de seno y cosenos, primero hay que considerar el siguiente resultado, que muestra que este conjunto es ortogonal el intervalo de longitud 2 centrado en el origen: Proposición: El conjunto

1,sen( x),cos( x),sen(2 x),cos(2 x),sen(3x),cos(3x), Es ortogonal en   ,   .

Demostración: Para ubicarse mejor se define n ( x)  sen(nx) y  n ( x)  cos( nx) , entonces se tiene los siguientes casos:

Caso 1.

Norma de 1 : esto se obtiene de la siguiente relación: 

1,1 

 dx   x           2 . 





Caso 2.

Ortogonalidad entre n y 1 : Esto se obtiene inmediatamente de la

siguientes relaciones donde se utiliza el hecho de que cos( x)  cos( x) :

n ,1 



1

1

1

 sen(nx)dx   n cos(nx)   n cos(n )  n cos( n)  0



Es decir, n es ortogonal a 1 .

Caso 3.

Ortogonalidad entre  n y 1 : Esto se obtiene inmediatamente de la

siguientes relaciones donde se utiliza el hecho de que sen  k   0 para k  :

n ,1 



1

 cos(nx)dx  n sen(nx)  0



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23

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Es decir, n es ortogonal a 1 .

Caso 4.

Ortogonalidad entre n y  m : Para esto basta aplicar la identidad siguiente:

1 sen A sen B  cos  A  B   cos  A  B  2 Lo que implica que:

1   2 cos  m  n  x   cos  m  n  x   si m  n sen  mx  sen  nx    1  si m  n 1  cos  2nx    2 En consecuencia, cuando m  n se tiene

m ,n 



 sen  mx  sen  nx dx 







1

 2 cos  m  n  x   cos  m  n  x   dx





 1 1 1   sen  m  n  x   sen  m  n  x   2   m  n  m  n   0 Para m  n se tiene lo siguiente:

n ,  n 



 sen  nx  sen  nx dx 





1

 2 1  cos  2nx  dx







1 1 1  x  sen  2nx             2 2n   2

En resumen se tiene:

 0 si m  0 . si m  0

n ,m    Caso 5.

Ortogonalidad entre  n y  m : Para esto basta aplicar la identidad siguiente:

1 cos A cos B  cos  A  B   cos  A  B  2 Lo que implica que:

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1   2 cos  m  n  x   cos  m  n  x   si m  n cos  mx  cos  nx    1  si m  n 1  cos  2nx    2 En consecuencia, cuando m  n se tiene

m ,n 



 cos  mx  cos  nx dx 







1

 2 cos  m  n  x   cos  m  n  x   dx





 1 1 1   sen  m  n  x   sen  m  n  x   2   m  n  m  n   0 Para m  n se tiene lo siguiente:

n ,n 



 cos  nx  cos  nx dx 





1

 2 1  cos  2nx  dx







1 1 1  x sen  2nx            2  2n   2

En resumen se tiene:

0

n ,m    Caso 6.

si m  0 . si m  0

Ortogonalidad entre  m y  n : Para esto basta aplicar la identidad siguiente:

1 sen A cos B  sen  A  B   sen  A  B  2 Lo que implica que:

1 sen  mx  cos  nx   sen  m  n  x   cos  m  n  x   2

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En consecuencia, cuando m  n se tiene

m ,n 



 sen  mx  cos  nx dx 







1

 2 sen  m  n  x   sen  m  n  x   dx





 1 1 1   cos  m  n  x   cos  m  n  x   2   m  n  m  n   1  1 1 1  1 1 mn mn  mn mn      1   1       1   1   2   m  n  m  n m  n   2   m  n    0

Es decir,  m es ortogonal a  n .

Por lo tanto el conjunto

1,sen( x),cos( x),sen(2 x),cos(2 x),sen(3x),cos(3x), Es ortogonal en   ,   .

Ahora se tienen todos los ingredientes para poder presentar la serie de Fourier de una función periódica, lo que se realiza a continuación: Sea f una función periódica de periodo 2 y supóngase que tal función puede escribirse de la siguiente manera:  a f ( x)  0   an cos  nx   bn sen  nx  2 n1 Partiendo de una compatibilidad entre la integral y la serie, se puede integrar tal función de  a  para obtener lo siguiente: 





f ( x)dx 





 a0   an cos  nx   bn sen  nx   dx   2   n 1  a0 2







 dx     an cos  nx   bn sen  nx   dx



n 1 

 a0 Es decir, se tiene que a0 

1







f ( x)dx . Por otra parte para k 

se multiplica la función



por cos(kx) , luego se integra de  a  y utilizando las propiedades de ortogonalidad presentadas en la proposición anterior se obtiene lo siguiente:

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





f ( x) cos(kx)dx 



 a0   an cos  nx   bn sen  nx   cos(kx)dx   2   n 1  

 a0



  2 sen(kx)   a



n 1





a0 2





 cos  nx  cos( kx)  bn sen  nx  cos( kx)  dx 



 cos(kx)dx     an cos  nx  cos(kx)  bn sen  nx  cos(kx)  dx n 1  





 a



n

cos 2 (kx)dx  ak 

k



Por consiguiente ak 



1





f ( x)cos(kx)dx . Si el proceso anterior se realiza con sen(kx) se



tiene lo siguiente: 





f ( x)sen(kx)dx 



 a0   an cos  nx   bn sen  nx   sen(kx)dx   2   n 1  



  a0  sen( kx )  an cos  nx  sen( kx)  bn sen  nx  sen( kx)  dx    2 n 1 

a  0 2





 sen(kx)dx     a n 1 





 b





k

n

cos  nx  sen(kx)  bn sen  nx  sen( kx)  dx

sen 2 ( kx) dx  bk 



Por consiguiente bk 

1







f ( x)sen(kx)dx .



Las observaciones anteriores motivan la siguiente definición: Definición: Sea f una función periódica de periodo 2 . La serie trigonométrica de Fourier asociada a f es: a0    an cos  nx   bn sen  nx  2 n1

donde los coeficientes de Fourier son:

a0 

1









f ( x)dx an 

1









f ( x)cos(nx)dx bn 

1







f ( x)sen(nx) dx .



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27

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Cabe mencionar que cuando no hay peligro de confusión usualmente se dice serie de Fourier en vez de serie trigonométrica de Fourier.

Ejemplo: Determinar la serie de Fourier de la función 2 si    x  0   f ( x)   x si 0  x    f ( x  2 ) en otro caso 

Solución: Para tener una idea visual observa que f en el intervalo fundamental tiene la siguiente gráfica:

Luego se procede a calcular los coeficientes de Fourier del siguiente modo: (a) Para a 0 se realiza lo siguiente: a0  

1









f ( x)dx 

 0   1 1 0 1 2    2 dx  xdx   2 x  x       0     2        0  

 1  0   2     12  2  0   2  2    

(b) Para a n se realiza lo siguiente:

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28

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an 

1







f ( x)cos(nx)dx 



0   1    2  cos(nx)dx   x cos(nx) dx     0 



0  1  2   cos(nx) x sen(nx)    sen( n x )    2        n n    n  0 



n 1   cos(n ) 1   1   1 1   0     2  2 2  2    n n     n n 

Hay que observar la expresión:

 1

n

n2

 0 1   2  2 n  2  n

n es par n es impar

En consecuencia

n es par  0  an   2 n es impar   n 2 2 Finalmente se tiene que a2 k 1   2 .   2k  1 (c) Para bn se realiza lo siguiente:

bn 

1









0   1 f ( x)sen(nx)dx     2  sen(nx)dx   x sen(nx) dx     0 



0  1  2   x cos(nx) sen(nx)      cos(nx)         n n n 2  0    



   1n 1  2 2 n    1       n n n    2  2  1    1 n



    

n

n

2  2  1    1 n

Finalmente se tiene que bn 

n

n

.

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29

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace

Por lo tanto la serie de Fourier es de f es: f ( x) 

a0    an cos  nx   bn sen  nx  2 n 1

n n  2  2  1    1 1       2     a2 n 1 cos  (2n  1) x   sen  nx   2 2 n  n 1   n n  2  2  1    1 2        1     cos (2 n  1) x  sen nx      2 n  4  n 1    2n  1 

Ejemplo: Determinar la serie de Fourier de la función f ( x)  x si x    ,   y f ( x)  f ( x  2 ) en otro caso.

Solución: Para tener una idea visual observa que f en el intervalo base tiene la siguiente gráfica:

Luego se procede a calcular los coeficientes de Fourier del siguiente modo: (a) Para a 0 se realiza lo siguiente:

a0  

1









f ( x)dx 

 0   1  1 2 0 1 1 2    x dx  xdx   x  x     0     2    2  0      

1   1 2    1 2   0           0        2    2 

(b) Para a n se realiza lo siguiente:

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an 

1







f ( x)cos(nx)dx 



0   1     x  cos(nx)dx   x cos(nx)dx     0 



0  1   cos(nx) x sen(nx)   cos( nx) x sen( nx)        2        n2 n n    n  0 



n 0 1   1 cos(n )  1   cos(n ) 1   2   1      2   2   2 2  2      n n    n n     n n 

Hay que observar la expresión:

 1

n

n2

 0 1   2  2 n  2  n

n es par n es impar

En consecuencia

n es par  0  an   4 n es impar   n 2 4 Finalmente se tiene que a2 k 1   2 .   2k  1 (c) Para bn se realiza lo siguiente: bn  

1









0   1 f ( x)sen(nx)dx      x  sen(nx )dx   x sen(nx )dx     0 

0  1   x cos(nx) sen(nx)   x cos(nx) sen(nx )             n n 2    n n 2  0 

1    1     n 

n

    1n     n  

   0  

Finalmente se tiene que bn  0 .

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31

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace

Por lo tanto la serie de Fourier es de f es:

a0    an cos  nx   bn sen  nx  2 n 1  1       a2 n 1 cos  (2n  1) x    0  sen  nx   2 n 1   2   cos  (2n  1) x  2 n 1   2n  12

f ( x) 

Considera una función g ( x ) de periodo 2 , a partir de esta se define la función:

 2 f ( x)  g   T

 x 

Esta función es periódica y de periodo T , lo cual se verifica de la siguiente manera:

 2   2   2 f (x  T )  g   x  T    g  x  2   g  T  T  T

 x   f ( x) 

En consecuencia la representación de Fourier de g ( x ) dada por: g ( x) 

a0    an cos  nx   bn sen  nx  2 n1

Donde

a0 

Sustituyendo x

1





 g ( x)dx

an 



1





 g ( x)cos(nx)dx



bn 

1





 g ( x)sen(nx)dx



2 x se tiene que: T  2  a0   2 n   2 n  f ( x)  g  x     an cos  x   bn sen  x  T  2 n 1  T   T 

Además a0 

1





1



 g ( x)dx   





T

 T f  2

T

1 2 2 2 2  x  dx   f (u ) du   f (u )du  T T T T    2

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2

32

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace

Luego an 





1







2  T

1





 T



 f  2 x  cos  nx  dx



T 2

 2  2  f  u  cos  T nu  T du

1



g ( x)cos(nx)dx 



T 2

T 2

 2 n   f  u  cos  T u  du



T 2

De manera similar se tiene que: bn 

2 T

T 2

 2 n   f  u  sen  T u  du



T 2

Esto permite obtener la serie de Fourier de una función periódica de periodo arbitrario como se presenta a continuación: Definición: Sea f una función periódica de periodo T . La serie de Fourier asociada a f es:

a0   2   2    an cos  nx   bn sen  nx  2 n 1 T  T  donde los coeficientes de Fourier son: 2 a0  T

T 2





T 2

2 f ( x)dx an  T

T 2





T 2

T

2 2  2 n   2 n  f  x  cos  x  dx bn   f  x  sen  x  dx .

T T T   T    2

Ejemplo: Determinar la serie de Fourier de la función f ( x)  x si x   2,2  y f ( x)  f ( x  4) en otro caso.

Solución: Primero hay que observar que la función f es periódica de periodo T  4 . La gráfica de f en intervalo fundamental es la siguiente:

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33

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace

Luego se procede a calcular los coeficientes de Fourier del siguiente modo: (a) Para a 0 se realiza lo siguiente: 2 a0  T

T 2





T 2

2 f ( x)dx  4

4 2

2

1 1 1 2  1 1 2 2 4 xdx  2 2 xdx  2  2 x  2  4  2   4  2   0



2

2

(b) Para a n se realiza lo siguiente: 2 an  T

T 2





T 2

1  2 n  n  f  x  cos  x  dx   x cos  x  dx 2 2  T   2  2

  n x   n x   4cos  2 x sen     1  2   2    2 n 2 2 n    

2

2

1  4cos  n  4cos   n     0 2  n 2 2 n 2 2 

Así, se tiene que an  0 .

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(c) Para bn se realiza lo siguiente: 2 bn  T

T 2





T 2

1  2 n  n  f  x  cos  x  dx   x sen  x  dx 2 2  T   2  2

2

  n x   n x   2 x cos  4sen     1  2   2    2 n n 2 2    2  

1  2  2  cos  n  2  2  x cos  n      2 n n  4  1

n 1

n

Finalmente se tiene que bn 

4  1

n 1

n

.

Por lo tanto la serie de Fourier es de f es: f ( x) 

a0        an cos  nx   bn sen  nx  2 n 1 2  2 

n 1   1     4  1      sen  nx     0     0  cos  nx    2  2   n   2   n 1  

 4  1n 1     sen  nx     n  2  n 1   

Ejemplo: Determinar la serie de Fourier de la función periódica definida en el intervalo fundamental por la relación:  x2 f ( x)   x

si  1  x  0 si 0  x  1

Solución: Primero hay que observar que la función f es periódica de periodo

T  2 . La gráfica de f en intervalo fundamental es la siguiente:

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Luego se procede a calcular los coeficientes de Fourier del siguiente modo: (a) Para a 0 se realiza lo siguiente: 2 a0  T

T 2

1





f ( x)dx 

T 2

0

1

2 f ( x)dx   x 2 dx   xdx 2 1 1 0

0

1

3 1  1   1 1 2    x3    x 2    0   1    1  0   3  1  2  0  3  2  1 1 5    3 2 6 (b) Para a n se realiza lo siguiente:

2 an  T

T 2





T 2

 2 n   2 n  f  x  cos  x  dx   f ( x) cos  x  dx  T   2  1 1

0

1

|

0

  x 2 cos  nx  dx   x cos  nx  dx 1  2n x cos(n x )   2  n 2 2 x 2  sen(n x )   cos( n x) x sen(n x )      2 2  n3 3 n  n 0   1 0

 2n  1 cos( n )   cos( n ) 1   0   2 2  2 2 3 3 n n     n 

2  1 n 2

n

 1 

n

1

n 2 2

3  1  1 n



n 2 2

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3  1  1 n

Así, se tiene que an 

.

n 2 2

(c) Para bn se realiza lo siguiente:

2 bn  T

T 2





T 2

 2 n   2 n  f  x  sen  x  dx   f ( x)sen  x  dx  T   2  1 1

0

1

|

0

  x 2 sen  nx  dx   x sen  nx  dx 1   2  n 2 2 x 2  cos(n x)  2n x sen(n x )   x cos(n x) sen(n x)       n3 3 n n 2 2  0    1 0

 2 2  n 2 2  cos( n )   cos(n )        3 3  0 3 3 n n   n     

2 n3 3

 2  n    1   1  2

n

2

n3 3

2  2  1

n

2   2  n 2 2   1  n 2 2  1 n

n



n

n3 3

n

n3 3

Hay que observar la expresión:

0 n 2  2  1   4

n es par n es impar

En consecuencia

 0  bn   4   3 n3 Finalmente se tiene que b2 k 1 

n es par n es impar

4

  2k  1 3

3

.

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Por lo tanto la serie de Fourier es de f es: f ( x) 

a0    an cos  nx   bn sen  nx  2 n 1

n    1  5    3  1  1  4           cos  nx  sen  nx       3  2n  13  2  6  n 1  n 2 2      n      3  1  1  5 4         c os  nx  sen  nx       3  2n  13  12 n 1  n 2 2     

2.2.2. La serie de Fourier de una función El proceso anterior, se puede generalizar del siguiente modo: Sea f una función continua a pedazos definida sobre el intervalo  a, b  . Dado n n un conjunto ortonormal de funciones en el intervalo  a, b  . Supóngase que f es combinación de los elementos

n n

, es decir, existen an 

con n

tales que: 

f ( x)   ann ( x) n 1

para todo x   a, b  salvo en conjunto finito de puntos. El problema a resolver es determinar los valores de los coeficientes an 

, para ellos se procede de forma similar a

lo presentado en la sección anterior.

Por definición que n n es ortonormal en  a, b  significa que:

0 si n  m 1 si n  m

n , m  

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Dado k  con k fijo, suponiendo que la integral y la serie pueden conmutar, entonces se tiene las siguientes relaciones: f , k 



 a  ( x), ( x) n 1

n n

k

      ann ( x)  k ( x) dx  a  n 1 b

b 

 b

   ann ( x)k ( x) dx    ann ( x)k ( x)dx a n 1

n 1 a



b



n 1

a

n 1

  an  n ( x)k ( x)dx   an n ,k  ak

Por lo tanto se tiene que: 

b

n 1

a

f ( x)   ann ( x) donde an  f ,n   f ( x)n ( x)dx .

Esta última relación se conoce como la serie de Fourier generalizada con respecto al conjunto ortonormal n n de la función f en el intervalo  a, b  , finalmente los elementos an  son conocidos como las constantes de Fourier.





Ejemplo: En la sección anterior se mostró que el conjunto 1, 2 cos( n x)

n \0

es

ortonormal sobre  0,1 . Sea 0 ( x)  1 y n ( x)  2 cos  n x  entonces para una función

f C0,1 su serie de Fourier está dada por: 



f ( x)   ann ( x)  a0   an 2 cos  n x  n 0

n 1

1

1

1

0

0

0

Donde a0   f ( x)dx y an   f ( x)n ( x)dx  2  f ( x) cos(n x)dx .

2.2.3. Convergencia de una serie de Fourier En la sección anterior se presentó la función periódica: 2 si    x  0   f ( x)   x si 0  x    f ( x  2 ) en otro caso 

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Tiene como serie de Fourier la función: n n  2  2  1    1 2     f ( x)    1     cos  (2n  1) x   sen  nx   2 n 4  n 1    2n  1 

Para ejemplificar la esencia de la Fourier se toman k elementos de dicha serie, lo que induce la siguiente función: n n  2  2  1    1 2   k  f k ( x)  f ( x)    1     cos (2 n  1) x  sen  nx     2 n 4  n 1    2n  1 

Comparando la gráfica de f con la gráfica de la función f k para algunos valores de k se tienen las siguientes figuras:

Como observarás a medida que se k crece la discrepancia que hay entre las gráficas de las funciones f y f k es menor, este proceso toma el nombre de convergencia de funciones.

El matemático Peter Gustav Lejeune Dirichlet propuso un conjunto de hipótesis simples que tiene que cumplir una función periódica para que la serie de Fourier converja a la función original, estas hipótesis son conocidas como las condiciones de Dirichlet.

Definición: Una función f es suaves a pedazos en un intervalo dado si y solo si las funciones f y f ' son continuas a pedazos en dicho intervalo.

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De forma gráfica, una función a suave a pedazos debe de tener un número finito de discontinuidades y un número finito de picos.

Teorema: Sea f una función suave a pedazos y periódica de periodo T . Entonces la





1 f  x0   f  x0  , donde f  x0  y f  x0  denotan 2 los limites por la derecha e izquierda de f en x0 respectivamente. En particular, cuando serie de Fourier converge al promedio

f es continua en x0 se tiene que la serie de Fourier converge a f ( x0 ) .

Cabe mencionar que estas condiciones son de suficiencia, esto quiere decir, que si se cumplen se garantiza la convergencia de la serie de Fourier, sin embargo cuando una función no se cumpla con dichas condiciones su serie de Fourier puede o no converger.

Aplicando este teorema al ejemplo presentando anteriormente, debes observa que hay una discontinuidad en x0  0 . Luego f ( x)  2 cuando x  0 y además f ( x)  0 cuando x  0 , entonces la serie de Fourier converge en x0  0 a





1 1 f  x0   f  x0    0   2    1 2 2 Finalmente, observa que f k (0)  1 .

Como consecuencia de las condiciones de Dirichlet se tiene el siguiente resultado: Teorema: Sea f una función suave a pedazos y periódica de periodo T tal que f ' es suave a pedazos, entonces

2 n   2   2   an sen  nx   bn cos  nx   .   T   T  n 1 T  

f '( x)  

Demostración: Se tiene f ' es suave a pedazos y periódica de periodo T , en consecuencia se puede expresar por medio de una serie de Fourier:

f '( x) 

0

  2   2    n cos  nx   n sen  nx  2 n 1 T  T 

Donde 2 0  T

T 2





T 2

2 f '( x)dx  n  T

T 2





T 2

2  2 n  f '  x  cos  x  dx  n  T  T 

T 2

 2 n   f '  x  sen  T x  dx



T 2

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Por el teorema fundamental del cálculo se tiene que:

0 

2 T

T 2





f '( x)dx 

T 2

2 f T 

T    2

 T  f      0 ya que f  2 

T   T    f   .

2    2

Por otra parte, por medio de la integración por partes se tienen las siguientes relaciones: 2 n  T

T 2

 2 n   f '  x  cos  T x  dx



T 2

T T   2  2 n 2  2 n   2  2 n      f ( x) cos  x  f  x  sen  x  dx T  T    T T T T        2 2

 T  2 n  2 2  2 n   2 n  f  x  sen  x  dx  bn T  T T T   T    2 

De forma similar se tiene: 2 n  T

T 2

 2 n   f '  x  sen  T x  dx



T 2

T T   2  2 n 2  2 n   2  2 n      f ( x)sen  x   f  x  cos  x  dx T  T T  T  T  T     2 2  T   2 n  2 2 2 n  2 n      f  x  cos  x  dx    an  T T T T  T     2

Por lo tanto se tiene que:

2 n   2   2   an sen  nx   bn cos  nx   .   T   T  n 1 T  

f '( x)  

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Ejemplo: Dada la función f ( x)  e x en el intervalo  3,3 y f ( x  6) en otro caso, utilice los primeros 5 términos diferentes de cero de la serie de Fourier para aproxima a la función f .

Solución: Antes que nada hay que observar que la función f tiene periodo T  6 , Los coeficientes de la serie de Fourier, se calculan de forma similar a los ejemplos de la sección anterior:

(a) Para a 0 se realiza lo siguiente: 2 a0  T

T 2





3

f ( x)dx 

T 2

3 2 x 1 1 e dx  e x    e3  e 3    3 6 3 3 3

(b) Para a n se realiza lo siguiente: an 

2 T

T 2





T 2

2  2 n  n  f  x  cos  x  dx   e x cos  x  dx T 6    3  3 3

3

1  3e x   n x   n x      3cos    n sen    2 2  3 9  n    3   3    3  e3   e 3   3cos n  3cos  n         2 2 2 2  9  n   9  n   



3  1 e3   1 e 3 n

n

9  n 2 2

3  1  e3  e 3 

  3 1  e n

3

 e 3 

9  n 2 2

n

Así, se tiene que an 

9  n 2 2

.

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(c) Para bn se realiza lo siguiente: 2 bn  T

T 2

2  2 n  n  f  x  sen  x  dx   e x sen  x  dx 6 3  T   3  3





T 2

3

1  3e x   n x   n x       n cos    3sen    2 2  3 9  n    3   3    3  e3   e 3    n  cos n  n cos  n         2 2 2 2  9  n   9  n  

 n  1 e  n

3

 n  1 e 3 n

9  n 2 2

n  1  e3  e 3 

   n  1  e n

3

 e 3 

9  n 2 2

n

Así, se tiene que bn  

9  n 2 2

.

Por lo tanto la serie de Fourier es de f es: f ( x) 

a0        an cos  nx   bn sen  nx  2 n 1 3  3 

n n 3 3   3  1  e3  e 3  1 3 3    n  1  e  e        e  e    cos nx  sen    nx  6 9  n 2 2 9  n2 2 3   3   n 1  

En consecuencia, los primeros cinco términos no cero de la serie anterior son:

3 3 3 3 1  1 3 3  3  1  e  e    1   1  e  e    cos  1 x   sen  1 x   e  e    2 2 2 2 23  3  3  9  1  9  1 

1



3  1

 2

e

3

 e 3 

9   2  2 2

1

3 3    2    1  e  e    cos   2  x   sen   2  x  2 2 3  3  9   2 

 2

En consecuencia, la función buscada es:

3 3 3 3 1 3 3 3  e  e      e  e    g ( x)   e  e   cos  x   sen  x  2 2 6 9 9 3  3 



3  e3  e3  9  4

2

 2 cos   3

3 3  2  e  e   2 x  sen  2 9  4   3

 x 

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Gráficamente se tiene lo siguiente:

Ejemplo: Dada la función  1  f ( x)   1  f ( x  2) 

si  1  x  0 si

0  x 1

en otro caso

Utilice los primeros 7 términos diferentes de cero de la serie de Fourier para aproximar a la función f .

Solución: La función f tiene periodo T  2 , Los coeficientes de la serie de Fourier son los siguientes: (a) Para a 0 se realiza lo siguiente: 2 a0  T

T 2





1

f ( x)dx 

T 2

0

1

2 f ( x)dx    1dx   1 dx 2 1 1 0

   x 1   x 0   0   1    1  0   0 0

1

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(b) Para a n se realiza lo siguiente: 2 an  T

T 2

1





2  2 n   2 n  f  x  cos  x  dx   f ( x ) cos  x  dx 2 1  T   2 

T 2

0



1

  1 cos  nx  dx   1 cos  nx  dx

1

0 0

1

 1   1    sen  nx     sen  nx    n  1   n 0 0

Así, se tiene que an  0 . (c) Para bn se realiza lo siguiente: 2 bn  T

T 2





2  2 n   2 n  f  x  cos  x  dx   f ( x )sen  x  dx 2 1  T   2  1

T 2

0



1

  1 sen  nx  dx   1 sen  nx  dx

1

0 0

1

 1   1    cos  nx      cos  nx    n  1   n 0  1 cos   n    cos  n  1         n   n n  n 

2  2  1

n

n

Hay que observar la expresión:

0 n 2  2  1   4

n es par n es impar

En consecuencia:

 0  bn   4   n

n es par n es impar

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Finalmente se tiene que b2 k 1 

4

  2k  1

.

Por lo tanto la serie de Fourier es de f es:

f ( x)  

a0    an cos  nx   bn sen  nx  2 n 1      1 4  0     0  cos  nx     sen   2n  1 x   2 n 1      2n  1   

4 sen  nx  n 1   2n  1



En consecuencia, los primeros siete términos no nulos de la serie anterior son: 4 4 4 sen   2 1  1 x  sen   2  3  1 x  sen   2  3  1 x   2 1  1   2  2   1   2  3  1





























4 4 4 sen   2  4   1 x  sen   2  5   1 x  sen   2  6   1 x   2  4   1   2  5   1   2  6   1



4 sen   2  7   1 x   2  7   1



En consecuencia, la función buscada es: 4 4 4 4 g ( x)  sen  x   sen  3 x   sen  5 x   sen  7 x   3 5 7 4 4 4  sen  9 x   sen 11 x   sen 13 x  9 11 13

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Gráficamente se tiene lo siguiente:

2.2.4. Serie de Fourier de funciones pares e impares Como habrás visto, hay funciones periódicas que tienen serie de Fourier con exclusivamente cosenos o exclusivamente senos, en esta sección se presenta las condiciones para que esto resulte. Para esto se comienza con la siguiente definición: Definición: Sea f una función definida en algún intervalo I centrado en cero, entonces se dice que f es par si y solos si f ( x)  f ( x) para todo x  I . Por otro lado se dice que f es impar si y solo si f ( x)   f ( x) para todo x  I .

Como consecuencia inmediata de la definición anterior se tiene que: Si f es impar entonces f (0)  f (0)   f (0) , es decir 2 f (0)  0 , por lo tanto f (0)  0 .

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Gráficamente, una función par es simétrica con respecto al eje vertical, como lo muestra la siguiente figura:

De forma similar, una función impar es simétrica con respecto al origen de coordenadas, como lo muestra la siguiente figura:

Ejemplo: En cursos de trigonometría elemental se muestra que las siguientes relaciones: cos(  x)  cos( x)

y

sen(  x)   sen( x)

Esto afirma que cos( x) es par y sen( x) es impar.

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La multiplicación de funciones pares e impares satisface la siguiente tabla:



P I

P P I I

P I

Ejemplo: La tabla anterior a firma que la función cos(mx)cos(nx) es par, que la función cos(mx)sen(nx) es impar.

Ahora se presenta las propiedades que tienen las funciones pares e impares con respecto a la integral sobre un intervalo centrado en el origen.

Proposición: Sea f una función definida sobre un intervalo I centrado en 0 . Si f es par, entonces para cualquier a  I con a  0 se cumple que: a



a

a

f ( x)dx  2  f ( x)dx 0

Demostración: Para mostrar estoy solo basta observar lo siguiente: a

0

a

a

a

0

 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx

Luego tomando u  x se tiene que: 0



a

0

0

a

a

a

0

f ( x)dx   f (u )  du     f (u )du   f (u )du

Por consiguiente: 0



a

a

a

a

a

0

0

0

0

f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  2  f ( x)dx

Por lo tanto: a



a

a

f ( x)dx  2  f ( x)dx .

0

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Este resultado se puede obtener de forma gráfica, observando la simetría con respecto al eje vertical, como lo muestra la siguiente figura:

Existe un resultado similar al anterior para funciones impares, el cual se enuncia a continuación: Proposición: Sea f una función definida sobre un intervalo I centrado en 0 . Si f es impar, entonces para cualquier a  I con a  0 se cumple que: a

 f ( x)dx  0

a

Demostración: De formar similar a la prueba anterior se comienza con la siguiente relación: a



0

f ( x)dx 

a



a

a

f ( x)dx   f ( x)dx 0

Luego tomando u  x se tiene que: 0



a

0

0

a

a

a

0

f ( x)dx   f (u )  du       f (u )  du    f (u )du

Por consiguiente: 0

a

a

a

a

0

0

0

 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  0

Por lo tanto a

 f ( x)dx  0 .

a

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De forma gráfica se tiene lo siguiente:

Ahora se aplican las dos proposiciones anteriores para el cálculo de los coeficientes de funciones pares e impares.

Teorema: Sea f una función periódica de periodo T , supóngase que:

a0   2   2    an cos  nx   bn sen  nx  2 n 1 T  T  es su representación en serie de Fourier. Si f es par, entonces bn  0 para todo n  1 , similarmente, si f es impar, entonces an  0 para todo n  0 .

 2  nx  es impar Demostración: supóngase que f es par, dado que la función f ( x)sen  T  se tiene que: 2 bn  T

T 2





T 2

 2  f ( x)sen  nx  dx  0  T 

De manera similar si f es impar se tiene que: 2 a0  T

T 2



f ( x)dx  0

T  2

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 2  nx  es impar, lo que implica que: Además la función f ( x)sen  T  an 

2 T

T 2





T 2

 2  f ( x)cos  nx  dx  0 .  T 

Ejemplo: Calcular la serie de Fourier de la función f cuya grafica en el intervalo base está dada en la siguiente figura:

Solución: Primero hay que observa que la función f es periódica de periodo T  4 y es definida por

  x  2 si  2  x  0 f ( x)    x  2 si 0  x  2 Además, f es impar ya que es simétrica con respecto al origen de coordenadas, por consiguiente a0  0 para todo n  0 . Así, solo resta calcular los valores de bn , para hay

 2  nx  es par, lo cual implica lo siguiente: que observar que la función f ( x)sen  T 

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2 bn  T

T 2





T 2

2 2 2 1  2   2     f ( x)sen  nx dx   f ( x)sen  nx dx   2  f ( x)sen  nx dx  4 2 2 0  T   4  2   2

 4 2 x  4    n x   n x       x  2  sen  nx dx      cos    2 2 sen   2   2  n  2 0  n n  0 2

 4 2  2     4       cos  n       n   n   n  4  n 4 Es decir bn  . Por consiguiente la serie de Fourier de f es: n  a     f ( x)  0   an cos  nx   bn sen  nx  2 n 1 2  2 

4   sen  nx  2  n 1 n 



Ejemplo: Calcular la serie de Fourier de la función f cuya grafica en el intervalo fundamental está dada en la siguiente figura:

Solución: Primero hay que observa que la función f es periódica de periodo T  4 y es definida por

 x  2 si  2  x  0 f ( x)    x  2 si 0  x  2 Además, f es par ya que es simétrica con respecto al eje vertical, por consiguiente bn  0 para todo n  1 . Así, solo resta calcular los valores de a n para n  0 , tomando

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2 a0  T

T 2





f ( x)dx 

T 2

2 2  2 2 1 f ( x ) dx  2 f ( x ) dx       x  2  dx 4 2 2  0  0

2

1 2  1    x2  2 x     2  2  2  2 2  2 0

 2  nx  es par, lo cual implica lo siguiente: Luego, la función f ( x)cos  T  2 an  T

T 2





T 2

2 2 2 1  2   2     f ( x)sen  nx dx   f ( x) cos  nx dx   2  f ( x) cos  nx dx  4 2 2 0  T   4  2   2

 4    n x   4 2 x   n x       x  2  cos  nx dx    2 2 cos     sen   2   2   n n   2 0  n 0 2





4 4  4 n       2 2 cos  n      2 2   2 2   1  1  n   n  n

La expresión:

0 n 1   1   2

n es par n es impar

En consecuencia

 0  an   8   2 n 2 Finalmente se tiene que a2 k 1 

8



f ( x) 

2

 2k  1

2

n es par n es impar

. Por consiguiente la serie de Fourier de f es:

a0        an cos  nx   bn sen  nx  2 n 1 2  2    cos   2n  1 x  2 2   n 1   2n  1 

1 

8

2

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2.3. Aproximación en media Para comenzar esta sección, se presenta la definición de distancia entre dos funciones, la cual es análoga a la distancia entre dos vectores tridimensionales. Para vectores en distancia entre punto  y el punto  se define por:

3

la

d ( ,  )     Análogamente, se define la distancia para elemento de C a, b  , de la siguiente manera: Definición: Dadas f , g  C a, b  la distancia de f a g es: b

d ( f , g)  f  g 

  f ( x)  g ( x) 

2

dx .

a

2.3.1. Desviación máxima Como se vio en la sección anterior, una función periódica pude ser aproximada por un número finito de elementos de su serie de Fourier, en esta sección se presenta una forma de calcular dicha aproximación.

Como se vio en la sección anterior, para una función continua a pedazos f de periodo T su serie de Fourier es:

f ( x) 

a0   2   2    an cos  nx   bn sen  nx  2 n 1 T  T 

Donde 

2 2 a0   f ( x)dx an  T  T

T 2





T 2

T

2 2  2   2  f  x  cos  nx  dx bn   f  x  sen  nx  dx T T T  T     2

Sea  N ( x) la N -ésima suma parcial de la serie de Fourier, es decir:

 N ( x) 

a0 N  2   2    an cos  nx   bn sen  nx  2 n 1 T   T 

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Luego sustituyendo los valores a 0 , a n y bn junto con la identidad trigonométrica:

cos  A  B   cos  A cos  B   sen  A sen  B  se llega a la siguiente relación: 2  N ( x)  T



2 T

T 2





T 2

T 2





T 2

1 N  2   2   2   2   f (t )    cos  nt  cos  nx   sen  nt  sen  nx   dt  T   T   T   T   2 n 1 1 N  2  f (t )    cos  n  t  x    dt  T   2 n 1

Considerando la relación:

 A B   A B  sen  A  sen  B   2sen   cos    2   2  Implica las siguientes relaciones:

 2   2  1 1 t x  2  2sen  n    t  x    sen  n    t  x   cos  n  t  x    sen  2 2  2  T   T   T  Es decir

 2   2  1 1 sen  n    t  x    sen  n    t  x  2 2  2   T   T  cos  n  t  x    t  x T     2sen    2  Luego se sigue que:  2   2  1 1 sen  n    t  x    sen  n    t  x  2 2 1  2  1  T   T    cos  n  t  x      2 n 1 tx T  2 n 1 2sen    2  N

N

 2  1 sen  N    t  x  2  T   tx 2sen    2 

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Sustituyendo esta última expresión se tiene que:

1  N ( x)  T

T 2





T 2

 2  1 sen  N    t  x  T 2    dt f (t ) t x sen    2 

Esta es una manera de calcular la suma parcial  n de una serie de Fourier a través de una integral, esta integra toma el nombre de Integral de Dirichlet. En la práctica no es fácil calcular dicha integral, pero existen métodos como la regla de los trapecios o la regla de Simpson que permiten aproximar el valor de dicha integral adecuadamente.

Ejemplo: Dada la función periódica definida en el intervalo base por f ( x)  2 si 2  x  0 y f ( x)  2 si 0  x  2 . Calcular:

  1 sen  4    t  x   2   dx f (t ) . tx sen    2 

2



2

Solución: Hay que observar que la integral 2



2

  1 sen  4    t  x   2    dx f (t ) t  x   sen    2 

Tiene la forma de la integral: T 2





T 2

 2  1 sen  N    t  x  2  T  dt f (t ) tx sen    2 

Identificando las expresiones se tiene que T  4 y N  8 . En consecuencia: 2

1 4 2

  1 sen  4    t  x   2   dx   ( x) f (t ) 8 tx sen    2 

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Ahora hay que calcular la serie de Fourier de f , para esto observa que f es impar lo que implica que an  0 para toda n . Para los coeficientes bn se tiene lo siguiente: bn 

2 2 2 1  2     f ( x )sen nx dx  2    2  sen  nx  dx     4 2 2 0  4  2   2

 4 4 4      cos  nx    cos  n   n  2 0  n  n 4 n   1  1 n





Luego se tiene que:

a0 8  2   2    an cos  nx   bn sen  nx  2 n 1 T    T  8 4  n   1  1 sen  nx  2  n 1  n

8 ( x) 





8 x 8  3 x  8  5 x  8  7 x    sen  sen  sen  sen        2  3  2  5  2  7  2  Tienes que observar que también se toman en cuenta los coeficientes iguales a cero.

Finalmente, se tiene que   1 sen  4    t  x   2 2 1   dx   8 sen   x   8 sen  3 x  f (t )      4 2  tx  2  3  2  sen    2  8  5 x  8  7 x   sen  sen    5  2  7  2  Por consiguiente: 2



2

  1 sen  4    t  x   2   dx   32 sen   x   1 sen  3 x   1 sen  5 x   1 sen  7 x   f (t )      2  3  2  5  2  7 tx  2  sen    2 

Ejemplo: Dada la función periódica definida en el intervalo base por f ( x)   x si 1  x  0 y f ( x)  x si 0  x  1. Calcular:

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  1 sen  3    t  x   2   dx . 1 f (t ) t x sen    2  1

Solución: Se procede de forma análoga al ejemplo anterior, observando que la expresión:

  1 sen  3    t  x   2   dx 1 f (t ) t x sen    2  1

Es similar a la integral: T 2





T 2

 2  1 sen  N    t  x  2  T  dt f (t ) tx sen    2 

Lo que permite obtener que T  2 y N  3 . En consecuencia:

  1 sen  3    t  x   2 1   dx   ( x) f (t ) 3  2 1 t x sen    2  1

Toca el turno de calcular la serie de Fourier de f , para esto observa que bn  0 para toda n

ya que f es par. Para el coeficiente a 0 se tiene lo siguiente: 1

2 1  1 a0   f ( x)dx  2 xdx  2  x 2   2    1 2 1  2 0 2 0 1

1

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Para los restantes coeficientes a n se tiene lo siguiente: 2  2  f ( x)cos  nx  dx  2  x cos  nx  dx  2 1  2  0 1

an 

1

1

x  1   2  2 2 cos  n x   sen  n x   n  n   0  1   1   2  2 2 cos  n     2 2     n    n  2 n  2 2  1  1  n





Luego se tiene que: 3 a0  2   2    an cos  nx   bn sen  nx  2 n 1  T   T  3 1 2 n  2     2 2  1  1 cos  nx  2 n 1  n  T  1 4 4   2 cos  x   2 cos  3 v  2  9

 3 ( x) 





Al igual que en el ejemplo anterior, también se toman en cuenta los coeficientes iguales a cero. Finalmente, se tiene que:

  1 sen  3    t  x   2   dx  1  8 cos  x  8 cos 3 v    . 1 f (t ) 2 9 2 tx sen    2  1

2.3.2. Desviación media cuadrática Dada una función f continua a pedazos definida sobre el intervalo base  a, b  , dado un conjunto ortogonal de funciones continuas a pedazos n n definidas sobre  a, b  , con

n 

un conjunto ortogonal de funciones. Dado N 

se toma la combinación lineal de

los primeros N elementos del conjunto n n :  N ( x)   00 ( x)   11 ( x) 

Donde a0 ,, an 

  N  N ( x)

.

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El siguiente número: b

f  N

2

   f ( x)   n ( x)  dx 2

a

Mide la desviación cuadrática de la función  n de la función f en el intervalo base  a, b  .

El objetivo de esto es encontrar los valores  n de tal forma que EN  f   n

2

sea lo

menor posible, el número EN toma el nombre de error medio cuadrático.

Observa que:

 f ( x)   N ( x)    f ( x)  2

2

 2 f ( x ) N ( x )    N ( x)  .

2

Tomando el error cuadrático se tiene: b

EN  f   N

2

   f ( x )   N ( x )  dx 2

a

b



 f ( x)

2



 2 f ( x ) N ( x)    N ( x)  dx 2

a

b

b

b

   f ( x)  dx  2  f ( x ) N ( x)dx     N ( x)  dx 2

2

a

a

a

 f ( x)  2 f ,  N   N 2

2

Luego, se tiene lo siguiente: b

b

 N ,  N     N ( x)  dx     00 ( x)   11 ( x)  2

a

2

a

 2      00 ( x)   a

 2    N N ( x)   2   m nm ( x)n ( x)  dx m n 

b

  02 

  N N ( x)  dx

  N2

Además: b

b

a

a

f ,  N   f ( x) N ( x)dx   f ( x)  00 ( x)   11 ( x)  b

  0  f ( x)0 ( x)dx  a

  0 a0 

  N N ( x) dx

b

  N  f ( x)N ( x)dx a

  N an

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62

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Donde a n son los coeficientes de Fourier de la función f en el conjunto ortogonal n  .

Esto implica que: EN  f

2

 2 f ,  N  n

 f

2

 2   0 a0 

 f

2

  a0 2 

 f

2

  a0 2  2 0 a0   0 2  

 f

2

  N an     0 2   aN 2   2   0 a0 

  N2    N an     0 2 

  an 2  2 n an   n 2    a0 2 

  an   n    a0 2 

  a0   0   2

  N 2    a0 2 

 aN 2 

 aN 2 

 aN 2 

2

La última relación afirma que el error medio cuadrático es mínimo cuando:

 a0   0 

2

 0  a0

 1  a1   N  aN

  an   n   0



2

Lo que implica que:

Lo anterior demuestra el siguiente resultado: Teorema: Dados f C a, b y n  un conjunto ortonormal de funciones definidas en el intervalo fundamental  a, b  . Sean an  los coeficientes de Fourier en la base n  , para el conjunto finito de funciones 0 ,,N la combinación: a00 ( x)  a11 ( x) 

 aN  N ( x)

Es la que minimiza el error medio cuadrático en el intervalo  a, b  .

Por tal motivo el error medio cuadrático se define por: EN  f

Finalmente, como E N  f   N

f

2

2

2

  a0 2 

 aN 2 

 0 trae como consecuencia que:

  a0 2 

 aN 2   0 f

2

 a0 2 

 aN 2

Como la relación anterior es independiente del valor N , N puede ser tan grande como se desee, lo que implica que: a02 

 aN 2 



  an 2  f

2

n 0

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Con todo lo anterior se ha demostrado el siguiente resultado: Teorema: Dados f C a, b y n  un conjunto ortonormal de funciones definidas en el intervalo fundamental  a, b  . Sean an  los coeficientes de Fourier en la base n  , entonces: 

a n 0

2

n

 f

2

.

Esta relación se conoce como la desigual de Bessel. 

Como f

es finito, la serie

a

2

n

n0

es convergente, así an  0 cuando n   , es decir: b

lim f ,n  lim  f ( x)n ( x)dx  0 n 

n 

a

En particular, para la serie trigonométrica de Fourier de una función periódica de periodo T , se requiere del conjunto ortogonal:

  2   2   nx  ,sen  nx   1,cos   T   T   Como se vio en la sección anterior, para una función continua a pedazos f de periodo T su serie de Fourier es:

f ( x) 

a0   2   2    an cos  nx   bn sen  nx  2 n 1 T  T 

Donde: 

a0 

2 2 f ( x)dx an  T  T

T 2

 2   f  x  cos  T nx  dx



T 2

bn 

2 T

T 2

 2   f  x  sen  T nx  dx



T 2

Sea  N ( x) la N -ésima suma parcial de la serie de Fourier, es decir:

 N ( x) 

a0 N  2   2    an cos  nx   bn sen  nx  2 n 1 T   T 

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 T T Donde x    ,  . Luego:  2 2 N

T 2

2

N a  2   2      0   an cos  nx   bn sen  nx   dx  T   T  n 1 T 2  2



T 2

 a0 2 N 2  2   2   2   2  an cos 2  nx   bn 2 sen 2  nx   2  cos  nx  sen  mx   dx T  4    T   T  nm  T   T  n 1  2

T T N  2 2 a0     2 2  2 2 2  2  dx    an  cos  nx  dx  bn  sen  nx  dx  4 T  T   T   n 1 T T     2 2 2   T 2 2



N  a0 2  T T  T a 2 N T     an 2    bn 2      0    an 2  bn 2   4 2  2   2  2 n 1 n 1  

  2   2   nx  ,sen  nx   no es 1,cos   T   T   normalizado, por consiguiente el error medio cuadrático: El elemento

T se obtiene porque el conjunto 2

EN 

2 f T

2

a 2 N    0    an 2  bn 2    2 n1 

Luego, la desigualdad de Bessel garantiza que:  a0 2 N  2    an 2  bn 2    f   2 n 1  T

2

2  T

T 2

  f ( x)

2

dx

T  2

Ejemplo: Hallar el error medio cuadrático de la función: 2 si    x  0   f ( x)   x si 0  x    f ( x  2 ) en otro caso  Y la función  que está formada por los primeros seis términos no nulos de la serie de Fourier.

Solución: En la sección anterior se presenté que la función

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si    x  0

2   f ( x)   x  f ( x  2 ) 

si 0  x   en otro caso

tiene periodo T  2 y su serie de Fourier es: n n  2  2  1    1 2     f ( x)    1     cos  (2n  1) x   sen  nx   2 n 4  n 1    2n  1 

Donde: a0 

 2

2

a2 n 1  

2  2  1    1 n

2

bn 

2  2n  1 

n

n

Lo que implica que:

2 4  1 4    2 ( x)    1  cos( x)  cos(3x)  sen( x)  sen(2 x)  sen(3x) 9  2 3 4   De donde se obtiene que:

1   4  2 4 b1 

a0 



a1  

2



b2  

1 2

2 9 4 b3  3 a3 

En consecuencia:

a02  2 1

b

1 2   4  4

4    

2

2

a12 

4

1 b  4 2 2

a32 

2

2 3

b

4 81 2

4    

2

9 2

Por otro lado se tiene que: 2 f T

2

 0   1 1 2 2 0 1 3      f ( x) dx     2 dx    x  dx    4  x    x         3  0  0   

1





2

1 3  2 4    4     3 3

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66

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Por consiguiente el error medio cuadrático es:

E

2 f T

2

 a2 N    0    an2  bn2    2 n 1 

2   2  1 1 328 10  4     2   4        4     3   4 8 81 2 9 2  

 0.7957

Ejemplo: Hallar el error medio cuadrático de la función periódica definida en el intervalo base por:   x  1 si  1  x  0 f ( x)    x  1 si 0  x  1 Y la función  que está formada por los primeros siete términos no nulos de la serie de Fourier.

Solución: Primer la función f es periódica de periodo T  2 y su gráfica en el intervalo fundamental se presenta en la siguiente figura:

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La figura muestra que f es impar, lo que implica que an  0 para toda n . Luego: 1

1

1

1

0

0

bn   f ( x)sen  nx  dx  2  f ( x)sen  nx  dx  2    x  1 sen  nx  dx 1

x 1  1   2   cos  n x   cos  n x   2 2 sen  n x   n n  n 0  1 1   1  2  2   cos  n   cos  n        n   n   n  n En consecuencia la serie de Fourier es: 

2 sen  nx  n 1 n

f ( x)   Lo que implica que:

2

1

2 1 sen  3 x   sen  4 x    3 2 2 1 2  sen  5 x   sen  6 x   sen  7 x  5 3 7

 ( x) 

sen  x  

De donde se obtiene que: 2 1 b1  b2 

b3 

2 3

En consecuencia: 4 1 b12  2 b22  2

b32 

4









9

sen  2 x  

b4 

2

b42 

1 2

1 4

2

b5 

b52 

2 5

4 25 2

b6 

b62 

1 3

1 9

2

b7 

b72 

2 7

4 49 2

Por otro lado se tiene que: 2 f T

1

2



  f ( x) 

2

1

1

1

dx  2    x  1 dx  2   x 2  2 x  1 dx 2

0

0

1

1  1  2  2  x3  x 2  x   2   1  1  3 0 3  3

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace

Por consiguiente el error medio cuadrático es:

 a2 N    0    an2  bn2    2 n 1  1 4 1 4 1 4  2  4   2  2  2  2   2 2  9 4 25 9 49 2   3   266681   0.05395 44100 2

E

2 f T

2

2.3.3. Igualdad de Parseval-Liapunov La igualdad de Parseval-Liapunov establece la relación que hay entre los coeficientes de la serie de Fourier y la integral del cuadrado de la misma función, esta es una consecuencia de la desigualdad de Bessel.

Teorema: Dados f C a, b y n  un conjunto ortonormal de funciones definidas en el intervalo fundamental  a, b  . Sean an  los coeficientes de Fourier en la base n  , entonces: 

a n 0

n

2

 f

2

si y solo si

lim EN  0 .

N 

Demostración: Esto se obtiene rápidamente de tomar N   en la relación: EN  f

2

N

  an 2 . n 0

Como consecuencia inmediata del teorema anterior es el siguiente resultado.

Corolario: Sea f una función continua a pedazos y periódica de periodo T con serie de Fourier

a0   2   2    an cos  nx   bn sen  nx  2 n 1 T  T  a0 2  2    an 2  bn 2   f Entonces 2 n 1 T

2

si y solo si lim EN  0 .

N 

Otra importante consecuencia se presenta a continuación.

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Corolario: Supóngase que f que satisface las hipótesis del corolario anterior. Si f es par, entonces: 2



a0 2   an 2  f 2 n 1 T

2



T 2

4 2  f ( x) dx .  T0

De forma similar, si f es impar entonces: 2



a0 2   bn 2  f 2 n1 T

2



T 2

4 2  f ( x) dx .

T 0

Ejemplo: Aplicar la igualdad de Parseval-Liapunov a la serie de Fourier de la función definida en el intervalo fundamental   ,   por f ( x)  x 

1 2 x para calcular 4

1  4n 2 .  n4 n 1 

Solución: La función f tiene periodo T  2 , los coeficientes de Fourier son los siguientes: para el coeficiente a 0 : a0  

1













1  1 1 1   f ( x)dx    x  x 2  dx   x 2  x 3     4   2 12   1

1  1 1 1 2 2 3 2 3  1                        2 12 12  2  6

Para los coeficientes a n : a0 

1







f ( x) cos  nx  dx 



1







1

  x  4 x



2

  cos  nx  dx 

2 1  2n  2  x  cos  nx    2  n x  4  x   sen  nx       4n3   





1  2n  2    cos  n    2n  2    cos  n         4n3 4n 3    

1  2n  2    1     4n 3 

n

  2n  2    1n    4n 3  

   1n   2  n 

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U2

Matemáticas aplicadas para ingeniería Transformada de Laplace

Para los coeficientes bn : b0 

1







f ( x)sen  nx  dx 





1





1

  x  4 x



2

  sen  nx  dx 

1   2  n x  4  x   cos  nx   2n  2  x  sen  nx       4n 3    

2

2 2 1   2  n   4     cos  n     2  n   4     cos   n              4n 3 4n 3     2 1   2  n   4      1    4n3 

n

   2  n 2  4      1n    4n3  

n  2  1     n 

En consecuencia la serie de Fourier de f es:

f ( x) 

2 12



 1

n 1

n2



n

cos  nx  

2  1 n

n

sen  nx 

La igual de Parseval-Liapunov afirma que: a0 2  2    an 2  bn 2   f 2 n 1 T 2 n   12     1     2  6  n 1   n 2 

2

  2  1n     n  

4

   

2

2

2     1  x  1 x 2  dx      4  



4  1  x3 x 4 x5   1   4  2       72 n 1  n n  3 8 80   

1  4n 2  2 2  4   4     n4 40  72 n 1  3 

1  4n 2  2   60   2  .

4 n 90 n 1 

Por lo tanto



Ejemplo: Utilizando la serie de Fourier de la función periódica definida en el intervalo  1 fundamental  1,1 por f ( x)  x2 , para calcular la serie  4 . n 1 n

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Solución: Es fácil ver que el periodo de f es T  2 y que f es par, en consecuencia bn  0 para toda n . Luego: 1

1  2 a0   f ( x)dx  2 x dx  2  x3    3 0 3 1 0 1

1

2

Además: 1

an 



1

1

f ( x) cos  n x  dx  2  x 2 cos  n x  dx  0

 2n x cos  n x    2  n 2 2 x 2  sen  n x     2 n3 3   0 1

 2n cos  n   4  1  2  2 2 n3 3   n

n

La identidad de Parseval, en el caso par, implica las siguientes relaciones: T

a0 2  2 4 2 2   an    f ( x)  dx 2 n 1 T 0 n 2   4 1   12      2  3  n 1  n 2 2

2

1  2 4     x 2  dx  20  1

2  16 1    4 4  2  x5  9 n 1 n   5 0  2 16 1 2  4 4  9  n 1 n 5 1 4 2 2      4 16  5 9  n 1 n 

Por lo tanto:

1 4  .  4 90 n 1 n 

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U2

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Ejemplo: Utilizando la serie de Fourier de la función periódica definida por secciones en el intervalo fundamental por f ( x)  1 si 2  x  0 y f ( x)  1 si 0  x  2 , para mostrar 

que

 n 1

1

 2n  1

2



2 18

.

Solución: Es fácil ver que el periodo de f es T  4 y que f es impar, en consecuencia an  0 para toda n . Luego: 2 2 2 1  n x   n x    2  n x   f ( x )sen dx  2 cos    1 sen     dx       4 2 2 0  2   2    n  2 0

2

bn 

2  2   cos  n   n  n



n  2 1   1   n



Por consiguiente: 4  2n  1 

b2 n 1 

El resultado se obtiene de aplicar la identidad de Parseval para el caso de una función impar del siguiente modo: T 

42 2 bn 2    f ( x)  dx  T 0 n 1  4   n 1   2 n  1   16 

 n 1

16



2

 2n  1  2



 n 1 

 n 1

2

 42 2    1 dx 40  2

  x 0

2

2

2



2

1

 2n  1 1

 2n  1

2 18

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Actividades La elaboración de las actividades estará guiada por tu docente en línea, mismo que te indicará, a través de la Planeación didáctica del docente en línea, la dinámica que tú y tus compañeros (as) llevarán a cabo, así como los envíos que tendrán que realizar.

Para el envío de tus trabajos usarás la siguiente nomenclatura: BMAI_U2_A1_XXYZ, donde BMAI corresponde a las siglas de la asignatura, U2 es la unidad de conocimiento, A1 es el número de actividad, el cual debes sustituir considerando la actividad que se realices, XX son las primeras letras de tu nombre, Y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno.

Autorreflexiones Para la parte de autorreflexiones debes responder las Preguntas de Autorreflexión indicadas por tu docente en línea y enviar tu archivo. Cabe recordar que esta actividad tiene una ponderación del 10% de tu evaluación.

Para el envío de tu autorreflexión utiliza la siguiente nomenclatura: BMAI_U2_ATR _XXYZ, donde BMAI corresponde a las siglas de la asignatura, U2 es la unidad de conocimiento, XX son las primeras letras de tu nombre, y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno

Cierre de la Unidad En esta Unidad aprendiste la definición y las propiedades del producto interno y como este caracteriza la ortogonalidad de funciones, luego estudiaste funciones periódicas y sus propiedades fundamentales. Luego estudiaste el concepto la serie de Fourier trigonométrica y su generalización de una función periódica. Finalmente, aprendiste a calcular el error medio cuadrático de una aproximación junto con la desigualdad de Bessel y la identidad de Parseval-Liapunov.

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Para saber más

Para más tener ejemplos de series de Fourier de funciones periódicas puedes consultar las siguientes páginas:  

http://www.fourier-series.com/ http://www.math24.net/definition-of-fourier-series.html

Fuentes de consulta



Churchill, R., Brown, J. (2011). Fourier series and boundary valued problems. 8 edición, USA: Mc Graw Hill.



Dyke, P. (2004). An introduction to Laplace transforms and Fourier series. Great Britain: Springer-Verlag.

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

Spiegel, M. (2010), Formulas y tablas de matemáticas aplicadas, 3a edición.

México: Mc Graw Hill.



Spiegel, M. (1964). Transformadas de Laplace. México: Mc Graw Hill.



Tolstov, G. (1976). Fourier series. USA: Dover publications.



Zill, D. (2009). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, 9a edición.

México: Mc Graw Hill.

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