Unidad 2. Sistemas de control automatizado de simple realimentación

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Programa de la asignatura:

Ingeniería de control de procesos

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Sistemas de control automatizado de simple realimentación

Ciencias de la Salud Biológicas y Ambientales | Ingeniería en Biotecnología

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Índice Presentación de la Unidad ........................................................................................................ 2 Propósitos.................................................................................................................................. 3 Competencia específica ............................................................................................................ 4 2.1. Sistemas de control ............................................................................................................ 4 2.1.1. Desarrollo de la función de transferencia ........................................................................ 8 2.1.2. Tipos de sistemas de control retroalimentado……………………………..……………...13 2.1.3. Comportamiento dinámico de sistemas de control………………..……………………...18 2.1.4. Estabilidad de sistemas de control………………………………………………………….20 2.2. Controlador proporcional y control proporcional integral……………………………………25 2.2.1. Controlador proporcional con perturbaciones y retardo……………………...............….30 2.2.2. Controlador proporcional con perturbaciones y con retardo……………………..…..…..37 2.3. Controlador proporcional e integral derivativo ................................................................. 39 2.3.1. Controladores proporcionales e integral derivativo con perturbaciones…....................42 2.3.2. Controlador porporcional e integrak deruvativo con retardo……………………………..44 Actividades .............................................................................................................................. 45 Autorreflexiones....................................................................................................................... 45 Cierre de la Unidad ................................................................................................................. 45 Para saber más ....................................................................................................................... 46 Fuentes de consulta ................................................................................................................ 47

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Presentación de la Unidad Una de las áreas más importantes del control son los sistemas de control de procesos industriales o control de procesos. Los requerimientos de seguridad en la operación de equipos con mayor eficiencia, el cuidado de medio ambiente y el control de calidad de los productos, hacen contar en la empresa con los sistemas de supervisión y control cada vez más sofisticados.

Birreactor (Arenaza, M. Et. Al. 2006).

Los sistemas de control son muy utilizados en biorreactores, calentadores, intercambiadores de calor, fermentadores y destiladores (por mencionar algunos equipos con sistemas automatizados), para seleccionar los sistemas de control que se les instalará y las acciones que pondrá en servicio, para conocer las variables principales de un proceso y medir las condiciones de operación, su sintonización y la obtención de información para el diseño de sistemas de control. Los sistemas de control automático en un proceso industrial pueden requerir una instrumentación sencilla como un termómetro, barómetro y manómetro, o bien tener un sistema controlado por una computadora para monitorear los cambios del proceso. El uso de los controladores, en más del 95 % de los sistemas de control industrial, están representados por sistemas tales como:   

Proporcional Integral derivativo Proporcional integral

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Proporcional derivativo.

Dichos controladores se deben sintonizar adecuadamente para lograr un desempeño óptimo del lazo de control. Para lograr esta conexión es necesario contar con información del sistema a controlar, así como las variables que influyen en el mismo.

Propósitos de la Unidad

Al finalizar esta Unidad podrás:     

Revisar, analizar y aplicar los siguientes conceptos: retroalimentación, estabilidad, control proporcional y control derivativo. Establecer la influencia de la modelación dinámica de un sistema de control. Comparar los métodos gráficos, de modelo de referencia y de mínimos cuadrados. Comprender los principios de ingeniería de control de procesos. Establecer los fundamentos para diseñar, seleccionar, adaptar, operar, simular y optimizar procesos en los que se utilicen de manera responsable los sistemas de control.

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Competencia específica

Comparar los diferentes tipos de controladores mediante parámetros particulares de diseño de dichos sistemas para el análisis de los modelos matemáticos de los sistemas de control.

2.1. Sistemas de control Un sistema de control dinámico cuyos parámetros internos evolucionan siguiendo una serie de reglas temporales cambia con el tiempo. Por ejemplo, un sistema eléctrico, electrónico, mecánico, etc. se pueden representar por medio de una ecuación. Para obtenerla nos basamos en leyes fundamentales ya conocidas, como la ley de Ohm o ley de Kirchhoff para sistemas eléctricos, o en las leyes de Newton para sistemas mecánicos.

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Figura 1. Producción de energía eléctrica (Fernández, I. 2012)

La teoría de sistemas de control es una rama muy amplia que se puede aplicar a sistemas de todo tipo, por ejemplo: sistemas hidráulicos, térmicos, biológicos, químicos, económicos. Debemos destacar los sistemas de control de tipo mecánico, eléctrico y electrónico, que ayudaran a anular el error o disminuirlo, y su eficiencia es mayor (observa la figura anterior). Cuando se analizar un sistema de control se debe elaborar, en primera instancia, un modelo matemático que represente las variables del sistema, principalmente las entradas y salida del proceso para poder encontrar la solución. El planteamiento matemático de un sistema de control es un paso muy importante, porque de él depende la solución de dicho sistema, se tienen que tomar en cuenta todas las variables involucradas en el proceso, para que el planteamiento sea lo más apegado a la realidad del proceso mismo. Una vez determinando el modelo matemático existen técnicas analíticas como Cohencoon, Zingler-Nnichols, y mapas de sintonización o computacionales como Scada, Simulink, Matlab para realizar el análisis adecuado del sistema de control. El modelo del sistema puede ser sencillo con una o dos ecuaciones; cuando es simple su solución puede hacerse a mano, cuando se manejan muchas ecuaciones tal vez se requiera emplear técnicas computacionales para resolver el problema matemático, lo más simple posible, para poder tener una idea general de las solución.

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En la ingeniería de control existen un tipo de sistemas lineales que tienen como característica principal, manejar un lenguaje matemåtico, representado con ecuaciones diferenciales, por lo que es de suma importancia definir quÊ es una ecuación diferencial lineal. En las ecuaciones diferenciales los valores de los coeficientes son números constantes, la variable independiente estå representada por (t) o de la variable dependiente (x) a la primera potencia. Se aclara que en una ecuación diferencial siempre el tiempo es la variable independiente y la variable dependiente puede ser X, Y o Z generalmente, De igual manera existen sistemas lineales invariantes en el tiempo y sistemas lineales variables en el tiempo, los sistemas dinåmicos que son lineales y estån constituidos por componentes concentrados e invariables (Låzaro, F. 1996) en el tiempo, los sistemas de control se representan por ecuaciones diferenciales lineales dependientes del tiempo e independientes de Êl. A continuación se presenta una ecuación diferencial de un sistema lineal invariante en el tiempo, estos sistemas reciben el nombre de lineales invariantes en el tiempo y se representan por la siguiente ecuación diferencial � 2� �� + 5 + 10 � = 8 2 �� �� En los sistemas de control existen tambien sistemas que se representan por ecuaciones definidas en coeficientes dependientes del tiempo, tambien llamados sistemas lineales variables en el tiempo, lo que quiere decir ecuacion diferencial con cambio de tiempo y estå representada por la siguiente expresion matematica: �2 � �� + 6� + 4� = 12 2 �� �� El segundo tÊrmino de la ecuación cambia en forma constante. Los sistemas no lineales de control son generalmente representados matemåticamente por medio de ecuaciones lineales, pero la verdad es que en la vida real la mayor parte de los sistemas son no lineales. En algunos sistemas lineales tambiÊn dicha linealidad es restringida a un determinado rango de operación.

La linealidad se puede perder en un sistema de control, por ejemplo por superaciĂłn cuando el nivel de seĂąal de entrada o salida es muy elevado, en algunas ocasiones tambiĂŠn se puede perder la linealidad por haber una franja o zona muerta y por ultimo

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también se puede perder la linealidad por algunos componentes cuya operación sea proporcional a la relaciones cuadráticas o de orden superior. La solución de sistemas no lineales es más complicada que los sistemas lineales, por lo que se desea siempre trabajar con sistemas lineales, la mayoría de las veces aunque el sistema sea no lineal, es posible linealizarlo aunque sea en un rango restringido de operación. Observa la siguiente imagen donde notarás algunas curvas características de sistemas no lineales.

Salida

Salida

Entrada

Salida

Entrada

Entrada

Figura 2. Curvas caracteristicas de sistemas no lineales.

Es importante que un sistema sea lineal porque solamente a los sistemas lineales se les puede aplicar las siguientes dos principios (Lázaro, F. 1996).  

El principio de la superposición z El principio de la proporcionalidad

El principio de superposición establece que cuando tengamos un sistema de control con varias señales de entrada o también llamada función excitada es posible calcular las señales de salida actuando simultáneamente, en estos sistemas de control que se encuentran trabajando con señales de entrada y a las que se le sumando las salidas parciales obtenidas con cada entrada para calcular la salida total (Lázaro, F., 2006). El principio analiza los sistemas con diversas entradas considerando una sola entrada a la vez para simplifica el sistema, este principio nos permite determinar la respuesta de varias

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entradas, se determina una entrada a la vez y despuĂŠs se obtiene el resultado de las entradas en forma parcial. Para el principio de proporcionalidad queda establecido que en un sistema de control lineal las seĂąal de salida llamada tambiĂŠn funciĂłn de respuesta es proporcional a la seĂąal de entrada o funciĂłn de excitaciĂłn, esto quiere decir que si aumentamos las seĂąales de entrada de entrada la seĂąal de salida debe aumentar en la misma proporciĂłn. Si fuera el caso de que la seĂąal de entrada fuera menor o disminuye, tambiĂŠn la seĂąal de salida deberĂĄ disminuir en la misma proporciĂłn, la proporcionalidad en un sistema de control en forma lineal es una relaciĂłn causa efecto con las entradas y salidas.

2.1.1. Desarrollo de la funciĂłn de transferencia Una funciĂłn de transferencia es una forma bĂĄsica para describir modelos de sistemas lineales que se emplean en ingenierĂ­a de control de procesos, y se apoya en la transformada de Laplace. Esto nos permitirĂĄ obtener una respuesta temporal, la respuesta estĂĄtica y la respuesta en frecuencia. El anĂĄlisis de un sistema nos permitirĂĄ definir las condiciones iniciales, la respuesta del sistema, las variables dependientes e independientes que afectan el proceso (RodrĂ­guez, 2008). La funciĂłn de transferencia en un sistema de control lineal invariante en el tiempo se puede definir como la relaciĂłn de la transformada de Laplace de la funciĂłn de respuesta a la transformada de Laplace de la entrada, suponemos que todas las condiciones iniciales son cero (GonzĂĄlez, 2002). Observa la siguiente figura donde podrĂĄs encontrar la influencia de una seĂąal de entrada u (t) y una seĂąal de salida y (t), ambas estĂĄn relacionadas mediante una ecuaciĂłn diferencial con coeficientes constantes de orden n. đ?‘Ž0 đ?‘Ś(đ?‘Ą) + đ?‘Ž1

đ?‘‘đ?‘Ś(đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘› đ?‘Ś(đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘˘(đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘š đ?‘˘(đ?‘Ą) + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› = đ?‘? đ?‘˘(đ?‘Ą) + đ?‘? + â‹Ż + đ?‘? đ?‘œ 1 đ?‘š đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘› đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘š

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u(t)

y (t) EcuaciĂłn Diferencial F(s) Y(s)

U(s)

Figura 3. Diagrama de bloques de un sistema (RodrĂ­guez, 2008).

En un sistema de control la seĂąal de salida siempre depende de la seĂąal de entrada, pero normalmente en una ecuaciĂłn diferencial no siempre estĂĄ bien reflejada en la ecuaciĂłn diferencial, aunque en el diagrama de bloques sea muy explĂ­cito. Ahora transformaremos ambos miembros de la ecuaciĂłn si ambas seĂąales son causales, asĂ­ cada derivada se traduce simplemente en un producto por s, y la ecuaciĂłn diferencial en t se convierte en una ecuaciĂłn algebraica en s: đ??´(đ?‘ ) =

đ?‘› đ?‘– đ?‘Ą=0 đ?‘Žđ?‘– đ?‘

đ??ľ(đ?‘ ) =

đ?‘š đ?‘– đ?‘–=0 đ?‘?đ?‘– đ?‘

đ?‘Œ(đ?‘ ). đ??´(đ?‘ ) = đ?‘ˆ(đ?‘ ). đ??ľ(đ?‘ ) La salida puede expresarse como la entrada multiplicada por la funciĂłn de transferencia F(s) del sistema, expresada como cociente de polinomio. đ?‘Œ(đ?‘ ) = đ?‘ˆ(đ?‘ ). đ??š(đ?‘ ) đ??ľ(đ?‘ ) đ??š(đ?‘ ) = đ??´(đ?‘ )  



Los sistemas de orden no mĂ­nimo tienen raĂ­ces comunes a B(s) y A(s); la funciĂłn de transferencia debe escribirse de forma simplificada y es de orden inferior. Las funciones de transferencia propias tienen numerador de orden menor o igual al del denominador, esto siempre sucede en sistemas fĂ­sicos y se supondrĂĄ implĂ­citamente. Las raĂ­ces del denominador y el numerador se denominan respectivamente polos y ceros de F(s) (LĂĄzaro, F 1996).

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La funciĂłn de transferencia tiene varias aplicaciones en la ingenierĂ­a, entre lo que podemos mencionar estĂĄn los sistemas de control invariantes en el tiempo y los sistemas lineales, esta funciĂłn representa una descripciĂłn matemĂĄtica donde se relaciona la seĂąal de entrada sobre la seĂąal de salida de un sistema o proceso. La soluciĂłn de esta funciĂłn de transferencia ayudara a conocer la estabilidad del proceso y la respuesta de la seĂąal de entrada, Donde las variables son: đ?‘“(đ?‘Ą) = đ?‘“đ?‘˘đ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘œđ?‘› đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘Ąđ?‘–đ?‘’đ?‘šđ?‘?đ?‘œ đ?‘Ą đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘“(đ?‘Ą) = 0 đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘Ą < 0 đ?‘ = đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ž đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Žđ?‘?đ?‘™đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘’đ?‘—đ?‘Ž đ??ż = đ?‘˘đ?‘› đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘œđ?‘™đ?‘œ đ?‘œđ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘–đ?‘Łđ?‘œ đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘–đ?‘›đ?‘‘đ?‘–đ?‘?đ?‘Ž đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘?đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘ đ?‘Ž đ?‘™đ?‘Ž đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘?đ?‘’đ?‘‘đ?‘’ đ?‘ đ?‘’ đ?‘Łđ?‘Ž đ??´ đ?›ź đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘›đ?‘ đ?‘“đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘šđ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘šđ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ đ?‘‘đ?‘’ đ??żđ?‘Žđ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘?đ?‘’ âˆŤ0 đ?‘’ −đ?‘ đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą. đ??š(đ?‘ ) = đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘›đ?‘ đ?‘“đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘šđ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ??żđ?‘Žđ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘?đ?‘’ La funciĂłn escalĂłn estĂĄ dada por la siguiente funciĂłn. đ?‘“(đ?‘Ą) = 0

đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘Ą < 0

=đ??´

đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘Ą < 0

Donde: A es igual a la constante, donde el valor de a es igual a 0, la cual es la funciĂłn escalĂłn que no estĂĄ definida en el tiempo igual a cero. Su transformada de Laplace se obtiene mediante: ∞

đ??ż[đ??´] = âˆŤ đ??´đ?‘’ −đ?‘ đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą = 0

đ??´ đ?‘

Al realizar esta integraciĂłn supusimos que la parte real de s era mayor que cero y por tanto que đ?‘™đ?‘–đ?‘šđ?‘Ąâ†’∞ đ?‘’ −đ?‘ đ?‘Ą era cero. La funciĂłn escalĂłn cuya altura es la unidad denominada funciĂłn escalĂłn unitario, la funciĂłn escalĂłn unitario que ocurre en t=t0 se escribe con frecuencia como 1(t-t0). La transformada de Laplace de la funciĂłn escalĂłn unitario que se define de la siguiente forma:

đ?‘™(đ?‘Ą) = đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘Ą < 0 = 1, đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘Ą < 0

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Y queda. 1 , đ?‘œ đ?‘?đ?‘–đ?‘’đ?‘› đ?‘ đ??ż[1(đ?‘Ą)] =

1 đ?‘

En un sistema de control con una funciĂłn rampa tenemos las siguientes condiciones (Ogata K., 2003): đ?‘“(đ?‘Ą) = 0

đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘Ą < 0

= đ??´đ?‘Ą

đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘Ą ≼ 0

Donde A es la constante de la transformada de Laplace de esta funciĂłn rampa se obtiene como: ∞

đ??ż[đ??´đ?‘Ą ] = âˆŤ đ??´đ?‘Ąđ?‘’ −đ?‘ đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą = đ??´đ?‘Ą 0

đ?‘’ −đ?‘ đ?‘Ą −đ?‘

∞ ∞ 0

âˆ’âˆŤ 0

đ??´đ?‘’ −đ?‘ đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą −đ?‘

∞

đ??´ đ??´ = âˆŤ đ?‘’ −đ?‘ đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą = 2 đ?‘ đ?‘ 0

Otro tipo de sistemas de control es la funciĂłn Senoidal entre los que podemos mencionar la variaciĂłn de la intensidad electromagnĂŠtica que llega a una antena de recepciĂłn considerando en que se considera las siguientes condiciones: đ?‘“(đ?‘Ą) = 0

đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘Ą < 0

= đ??´đ?‘Ą đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?œ”đ?‘Ą,

đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘Ą ≼ 0

En donde A y ω son constantes, se obtiene del modo siguiente, remitiendo a la ecuaciĂłn de Euler la funciĂłn sen ωt se puede escribir como: đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘¤đ?‘Ą =

1 (đ?‘’ đ?‘—đ?‘¤đ?‘Ą − đ?‘’ −đ?‘—đ?‘¤đ?‘Ą ) −2đ?‘—

Por lo tanto: ∞

đ??´ đ??ż[đ??´ đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘¤đ?‘Ą] = âˆŤ (đ?‘’ đ?‘—đ?‘¤đ?‘Ą − đ?‘’ −đ?‘—đ?‘¤đ?‘Ą )đ?‘’ −đ?‘ đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą 2đ?‘— 0

đ??´ 1 đ??´ 1 đ??´đ?‘¤ = − = 2 2đ?‘—đ?‘ . đ?‘—đ?‘œ 2đ?‘—đ?‘ + đ?‘—đ?‘¤ đ?‘ + đ?‘¤ 2

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La funciĂłn impulso es un tipo de funciĂłn que existen fĂ­sicamente en la naturaleza tal es el caso de un martillo que golpea un clavo donde el tiempo en el que ocurre es muy corto y se considera las siguientes condiciones donde la A y to (tiempo inicial) son constantes por lo cual puede considerarse un escalĂłn de altura Alta que empieza en t=0 y que esta sobre impuesta mediante una funciĂłn escalĂłn negativo de altura Alto que empieza en t=to; esto es: đ?‘“(đ?‘Ą) =

đ??´ đ??´ − 1(đ?‘Ą − đ?‘Ąđ?‘œ ) đ?‘Ą0 đ?‘™(đ?‘Ą) đ?‘Ą0

La transformada de Laplace de f (t) se obtiene como: đ??´ đ??´ 1(đ?‘Ą)] − đ??ż [ 1(đ?‘Ą − đ?‘Ą0 )] đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘Ą0 đ??´ đ??´ −đ?‘ đ?‘Ą = − đ?‘’ 0 đ?‘Ą0 đ?‘ đ?‘Ą0 đ?‘ đ??´ = (1 − đ?‘’ −đ?‘ đ?‘Ą0 ) đ?‘Ą0 đ?‘

đ??ż[đ?‘“(đ?‘Ą)] = đ??ż [

La funciĂłn Impulso se puede utilizar en presencia de un voltaje por un instante muy breve es un caso muy limitado y especial que matemĂĄticamente quedarĂ­a representado de la siguiente manera: đ?‘”(đ?‘Ą) = lim đ?‘Ą0

= 0,

đ??´ , đ?‘Ąđ?‘œ

đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž 0 < đ?‘Ą < đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘Ą < 0, đ?‘Ąđ?‘œ < đ?‘Ą

Dado la altura de la funciĂłn de impulso es A/ to y la duraciĂłn es de to, el ĂĄrea bajo el pulso es igual a A y matemĂĄticamente se representa como: đ??ż[đ?‘”(đ?‘Ą)] = lim [ =

đ??´ (1 − đ?‘’ −đ?‘ đ?‘Ąđ?‘œ )] đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘

đ?‘Ąđ?‘œâ†’0 đ?‘‘ [đ??´(1 − đ?‘’ −đ?‘ đ?‘Ąđ?‘œ )] đ?‘‘đ?‘Ą0 lim đ?‘‘ đ?‘Ąđ?‘œâ†’0 (đ?‘Ą đ?‘ ) đ?‘‘đ?‘Ąđ?‘œ 0

=

đ??´đ?‘ =đ??´ đ?‘

Por lo tanto, la transformada de Laplace de la funciĂłn impulso es igual al ĂĄrea bajo el impulso.

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2.1.2. Tipos de sistemas de control retroalimentado ¿Qué es realimentación y sus efectos?

En los sistemas de control se realiza una realimentación de los sistemas, él cual no es otra cosa que un mecanismo de control de sistemas que está en movimiento, donde se hace pasar una señal de salida que es reenviado a la entrada y así se regula su comportamiento, gran parte de los sistemas con retroalimentación existen en aparatos y máquinas de la vida diaria que realizan la función de traspaso de datos. El motivo de utilizar realimentación es para reducir el error entre la entrada de referencia y la salida del sistema, el significado de los efectos de la realimentación en sistemas de control es más complejo para algunas aplicaciones, la reducción del error del sistema es solo uno de los efectos más importantes (Kuo, B. 1996), que la realimentación realiza sobre el sistema. Es importante señalar que la realimentación tiene efectos en características del desempeño del sistema como la estabilidad, ancho de banda, ganancia global, perturbaciones y sensibilidad (Pérez, 2008). Se puede establecer que cuando una secuencia cerrada de relaciones causa y efecto existe entre las variables de un sistema, existe realimentación. La realimentación puede tener muchas ayudar a corregir errores En ocasiones el esquema de control por retroalimentación simple debe ser modificado para enfrentar condiciones especiales de perturbación en el sistema y las características pobres en estabilidad y rapidez de respuesta que éstas pueden reproducir (Lamanna, R, 2012). Dichas modificaciones en la configuración del esquema por retroalimentación simple dan lugar a otras estructuras de control cuyos principales ejemplos se expondrán a continuación. Antes, recordamos el diagrama de bloque y los componentes del esquema por retroalimentación simple. Un sistema de control se representa con realimentación, si es mal aplicada esta realimentación provocará una inestabilidad o incorporará oscilaciones en una respuesta que está suave y quizás una alta sensibilidad al ruido, sin embargo tienen grandes ventajas, como reducir el efecto de un perturbación y disminuir la sensibilidad a errores de modelado. Observa el siguiente diagrama de bloques de un sistema retroalimentado.

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CONTROLADOR

COMPARADOR

VALVULA DE CONTROL

PROCESO

SALIDA

C(S)

R(S)

Gc REFERENCIA

Gv

Gp

E(S) M(S) SEÑAL DE ERROR

VARIABLE MANIPULADA

H

Figura 4. Diagrama de bloques en retroalimentación simple.

Es importante decir que los sistemas con realimentación son aquellos en los que la adopción de decisiones de cara al futuro está completamente influenciada por los efectos de los efectos previamente adoptados. En la figura anterior se representa en forma de diagrama de bloques el sistema, cuya variable de salida pretendemos controlar de forma que sigue a la entrada, para ello se dispone de un elemento de medición que nos proporciona el valor de la señal de salida y posteriormente una vez comparada con la señal de entrada se toma la decisión correspondiente para actuar sobre el sistema. La existencia de retardos en un circuito de realimentación (bucle), conduce a la aparición de fenómenos oscilatorios en el comportamiento dinámico del mismo (Arantegui, 2011). Este hecho tiene una importante señal al considerar el comportamiento dinámico de los sistemas realimentados y gran parte del problema de diseño de los mismos reside en el amortiguamiento.

SALIDA

Entrada Toma de decisión

Planta

Elemento de medición

Figura 5. Realimentación de un sistema de control.

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En la siguiente figura observaras un sistema de control de bucle realimentado, donde se describe cómo funciona un sistema de un chofer que conduce un vehículo, como sus sentidos le permiten detectar los obstáculos, la reacciona para esquivar girando el volante o frenando si es necesario, al detectar obstáculos el conductor toma una acción correctora donde se provocará un retardo que el sistema experimentara (Gordillo, et. al. 2004).

Perturbaciones

Referencia

Posición Ojos (sentidos)

Conducción

Coche

Figura 6. Ejemplo de Realimentación con un vehículo (Gordillo, 2004).

Se supone que se trata de mantener el coche en línea recta sobre una superficie completamente llana, sin ningún obstáculo, sobre el automóvil solo actúa las pequeñas perturbaciones, baches del terreno, y el conductor puede conseguir su objetivo con relativa facilidad.

Si suponemos ahora que el conductor debe realizarse su cometido con los ojos cerrados, llevando a su lado un copiloto que es el que le trasmite las indicaciones respecto a las desviaciones de la línea recta que se trata de seguir, el circuito de realimentación se modifica. Un punto muy importante en la realimentación es la sensibilidad del sistema, se dice sensible a la variación de un determinado parámetro cuando este influye de forma directa, por ejemplo: la conducción de un automóvil es extraordinariamente sensible al estado de la carretera (Aracil, et. al. 2013). Los sistemas que poseen una realimentación son menos sensibles a las perturbaciones que los sistemas sin realimentar (Gordillo, et. al. 2004). Podemos mencionar como un ejemplo claro: preparar una ducha de agua templada, el sistema se considera en bucle abierto sin realimentación una vez realizado el ajuste de

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las proporciones de agua fría y caliente, este permanecerá inalterado durante toda la ducha. Si aparece cualquier perturbación, si alguien por casualidad abre el grifo de agua caliente, lo que influye en la mezcla, las consecuencias desagradables para el que se ducha no se pueden atenuar. El sistema es sensible, es posible que se actué sobre los grifos durante todo el proceso, entonces se tienen un sistema en bucle cerrado en el que la persona que se duche puede tomar las decisiones oportunas. Podemos mencionar un sistema realimentado como el de un servomecanismo de posición, este sistema permite posicionar un eje que está relacionado con el eje de un motor, el cual constituye la señal de salida del sistema, en cambio la señal de entrada es otra posición que se pretende que produzca en el eje de salida del sistema, dentro de este sistema existe un mecanismo que detectada la discrepancia entre la señal de entrada y de salida. Este error es amplificado convenientemente para activar el motor que actuando sobre el eje de salida anula el error. Es importante recordar que un servomecanismo permite regular el sistema al detectar el error o la diferencia entra la entrada de señal y salida. Los tipos de realimentación se encuentran de la siguiente manera:   

Realimentación negativa Realimentación positiva Realimentación bipolar

Tipos de sistemas de realimentacion

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Realimentación de negativa

Realimentación positiva

Realimentación bipolar

Figura 7. Tipos de sistemas de realimentación.

El sistema de control con realimentación se encuentra representado en la vida cotidiana con sistemas tales como circuitos, amplificadores. De hecho generalmente la

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realimentación puede ser bipolar, es decir, positiva y negativa, según las condiciones medioambientales para adaptarse a cualquier sistema.

La retroalimentación positiva Representa un sistema en el cual las señales de salida afectan las señales de entrada por los efectos acumulados, esta retroalimentación es de utilidad en la construcción de osciladores, debido a la combinación en fase con la entrada. En los sistemas se presenta un punto de equilibrio sin estabilidad el cual posee realimentación positiva, ya que cualquier variación por mínima que esta sea, provoca que el sistema se aleje del equilibrio, los sistemas de realimentación pueden ser identificados en sistemas como la biosfera o para el clima. Este tipo de retroalimentación permitirá muestrear una parte de la señal de salida y aplicarla de vuelta a la entrada. La realimentación es positiva si existe un aumento en la señal de salida como resultado de la señal de entrada. Esta técnica de retroalimentación es útil para cambiar parámetros de un amplificador para el aumento de voltaje o impedancia de salida y entrada, la estabilidad del sistema así como el ancho de banda de ancha. La retroalimentación es también regenerativa por el aumento en la señal de salida como resultado da una señal de retroalimentación que al ser mezclada con la señal de entrada causa una mayor magnitud de la señal de salida. Como una gran ventaja podemos mencionar el aumento de la ganancia, y sus desventajas son que la ganancia tiende a ser inestable. Una gran ventaja es que esta retroalimentación aumenta la ganancia y sus desventajas son que dicha ganancia tiende a ser inestable, produciendo una distorsión y el ancho de banda de la señal disminuye.

La retroalimentación negativa Cuando se usa la retroalimentación negativa en amplificadores esta no genera prácticamente estabilidad, por esta razón este tipo de retroalimentación es más usada en amplificadores. Se obtiene cuando la señal retroalimentada es restada a la señal de entrada externa de manera que la señal aplicada al amplificador básico sea menor que cuando no está la retroalimentada. La retroalimentación negativa es el caso inverso. En este caso, la información proveniente del ciclo de retroalimentación no recomienda seguir con las acciones anteriores sino, por el contrario, cambiarlas o modificarlas. La retroalimentación negativa está presente en

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todo proceso de prosecución controlada de metas, porque significa la sucesión de acciones correctivas que mantienen al sistema en ruta hacia su objetivo.

La retroalimentación bipolar La retroalimentación bipolar se refiere a una sistema que aumenta o disminuye la señal o actividad de salida, la realimentación esté presente en muchos sistemas naturales y humanos, es decir positivo y negativo según las condiciones del ambiente por su diversidad, esto produce una respuesta sinérgica y antagónica como respuesta a cualquier sistema

2.1.3. Comportamiento dinámico de sistemas de control En los sistemas de control el comportamiento dinámico o la fase de análisis, o en su mejora en la evaluación temporal o frecuencia, es necesario poseer conocimiento de modelos matemáticos de los equipos, así como las señales de entrada y salida. Hoy en día es de vital importancia en los nuevos sistemas de elaboración y producción que están relacionados con la competitividad de las empresas el uso de simuladores que son programas que nos permiten predecir el comportamiento dinámico de los sistemas. Dichos simuladores son software que se basan en modelos matemáticos de las variables que componen el sistema principalmente las señales de entrada y salida del proceso. Existen una gran variedad de modelos dinámicos ocupados en áreas como la construcción, la aeronáutica, la producción industrial, así como la logística directamente sobre los sistemas de control, estos suelen ser componentes eléctricos y mecánicos acompañados de elementos neumáticos e incluso hidráulicos. Los sistemas dinámicos poseen parámetros internos llamados también variables de estado, porque que están descritos por un conjunto de modelos matemáticos que describen el proceso, estos sistemas dinámicos varían sus parámetros principalmente por el tiempo.

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ClasificaciĂłn de sistemas dinĂĄmicos

Discretos y continuos

Su caracteristica principales es que el tiempo para continuamente y se expresan en ecuaciones diferenciales.

AutĂłnomos y no autonomos

Se representa por ecuaciones diferenciales ordinarias, autĂłnomas

Invariantes tiempo o variantes en el tiempo

Los sistemas de control dependen del tiempo en invariantes en el tiempo

Lineales y no lineales

Son sistemas dinamicos sencillos de analizar y de trabajar

Figura 8. ClasificaciĂłn de sistemas dinĂĄmicos.

Los sistemas dinĂĄmicos de control Lineal y no lineal Esta clasificaciĂłn estĂĄ hecha de acuerdo con mĂŠtodos de anĂĄlisis para el diseĂąo de sistemas dinĂĄmicos. En la prĂĄctica no existen los sistemas lineales, los sistemas no lineales abundan. Los sistemas son lineales si cumple con la siguiente funciĂłn: đ?‘Ľ = đ??š(đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś) = đ?‘Žđ??š(đ?‘Ľ) + đ?‘?đ??š(đ?‘Ś) Un sistema de control lineal es sencillo de analizar y trabajar, ya que la soluciĂłn del sistema estĂĄ sujeta a condiciones complejas, las cuales simplifican el problema sumando respuestas. Para un sistema no lineal se tendrĂĄ que hacer un anĂĄlisis mĂĄs complejo, en la mayorĂ­a de las ocasiones no se puede encontrar una soluciĂłn analĂ­tica exacta por lo que la soluciĂłn para este sistema dinĂĄmico se debe apoyar en tĂŠcnicas geomĂŠtricas.

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Sistemas dinamicos invariantes en el tiempo y variantes en el tiempo Un sistema es invariante en el tiempo si este no depende del tiempo y cumple con la siguiente condicion : đ?‘Ľ(0) = đ?‘Ľ(đ?œŽ) = đ?‘Ľ0 → đ?‘Ľ(đ?‘Ą) = đ?‘Ľ(đ?‘– + đ?œŽ)∀ đ?‘Ą Una caracteristica principal es que el sistema es invariante en dos trayectorias pasando por el mismo punto en diferente tiempo.

Sistemas dinamicos discretos y continuos Los sistemas dinamicos son un sistema que se encuentra variando con respecto al tiempo, este tipo de sistemas dinamicos se definen por una ecuaciĂłn diferencial parcial o en derivadas parciales, estos sistemas se describen en ecuaciones diferenciales o tambien llamados mapas dinĂĄmicos.

Sistemas dinamicos AutĂłnomos y no autĂłnomos: El sistema autonomo se representa por una ecuacion diferencial ordinaria autĂłnoma o no forzada de la siguiente forma: đ?‘Ľ = đ??š(đ?‘Ľ) Y para el sistema no autĂłnomo: đ?‘Ľ = đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) En los sistemas no autĂłnomos no existe ningĂşn estĂ­mulo externo, depende del comportamiento natural de la dinĂĄmica del sistema. Los sistemas de control dinĂĄmico son de gran utilidad hoy en dĂ­a en dispositivos electrĂłnicos y opto- electrĂłnicos, para estudiar el flujo de huecos de sistemas manomĂŠtricos hetero-estructurados como lo son pozos cuĂĄnticos, barreras y superredes de semiconductores.

2.1.4. Estabilidad de sistemas de control La estabilidad se determina de acuerdo al problema que se quiere analizar, como por ejemplo para el estudio de sistemas lineales invariantes en el tiempo. Generalmente se suele escuchar sobre los tipos de estabilidad, tales como la estabilidad Absoluta, estabilidad asintĂłtica, estabilidad Relativa, estabilidad Bibo. Por otro lado, en un sistema Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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inestable, cualquier perturbaciĂłn, por pequeĂąa que se, llevara estados y/o salidas a crecer sin lĂ­mite o hasta que el sistema se queme. La estabilidad es un requerimiento bĂĄsico de los sistemas para realizar operaciones o procesar seĂąales para garantizar el diseĂąo de un sistema El estudio de un sistema con estabilidad tiene como principal objetivo identificar el comportamiento o respuesta de dicho proceso, siempre dentro de los lĂ­mites permitirles, es decir que exista control. El anĂĄlisis de estabilidad es utilizado de acuerdo al sistema que se tiende a analizar. La estabilidad para un sistema lineal se puede realizar en dominio del tiempo y de la frecuencia. Los sistemas de control poseen una estabilidad que es quizĂĄs un parte fundamental en los sistemas, pero es importante seĂąalar que para tener un mejor conocimiento de los sistemas estables existen definiciones y propiedades que se deben mencionar. Estabilidad de respuesta forzada: este sistema es estable si cualquier entrada acotada la salida estĂĄ acotada, esta propiedad depende del sistemas y no de las entradas o de las salidas, un sistema estable puede dar salidas no acotadas si se diera el caso que las entradas no lo estĂĄn y un sistema inestable puede dar salidas acotadas (para entradas particulares que no exciten las respuestas no acotadas). Estabilidad asintĂłtica (respuesta libre). Un sistema es asintĂłticamente estable si la respuesta libre tiende a anularse con el tiempo, para cualquier condiciĂłn inicial, de igual manera (RodrĂ­guez, 2008). La estabilidad en el dominio del tiempo es una funciĂłn de gran importancia. Podemos mencionar dos tipos: estabilidad absoluta y estabilidad relativa. La estabilidad absoluta indica si un sistema es estable o no mientras que el segundo indica que tan estable o inestable es un sistema, es decir, cuantifica la estabilidad. La estabilidad posee una entrada acotada y salida acotada. Sea u (t), y (t) y h (t) la entrada, la salida y la respuesta impulso de un sistema respectivamente. El sistema se encuentra en reposo, el sistema BIBO estable, si para una entrada acotada, la salida tambiĂŠn es acotada. A continuaciĂłn se muestra el anĂĄlisis matemĂĄtico. La salida del sistema se relaciona con u (t) y h (t) a travĂŠs de la integral de convoluciĂłn de las siguiente forma. đ?‘Ą

đ?‘Ś(đ?‘Ą) = âˆŤ đ?‘˘(đ?‘Ą − đ?œ?)â„Ž(đ?œ?) 0

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La definiciĂłn de estabilidad BIBO establece que la salida debe ser acotada; es decir que el valor de |đ?‘Ś(đ?‘Ą)| ≤ đ?‘ , por lo que. đ?‘Ą

đ?‘Ś(đ?‘Ą) ≤ |âˆŤ đ?‘˘(đ?‘Ą − đ?œ?)â„Ž(đ?œ?)đ?‘‘đ?œ?| 0 đ?‘Ą

≤ âˆŤ |đ?‘˘(đ?‘Ą − đ?œ?)||â„Ž(đ?œ?)|đ?‘‘đ?œ? 0

Adicionalmente, si |�(�)| ≤ � entonces: �

|đ?‘Ś(đ?‘Ą)| ≤ đ?‘€ âˆŤ |â„Ž(đ?œ?)|đ?‘‘đ?œ? 0

Y ya que |đ?‘Ś(đ?‘Ą)| ≤ đ?‘ , đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘ đ?‘Ą

đ?‘€ âˆŤ |â„Ž(đ?œ?)|đ?‘‘đ?œ? ≤ đ?‘ 0 đ?‘Ą

âˆŤ |â„Ž(đ?œ?)|đ?‘‘đ?œ? ≤ đ?‘„ 0

La condicion anterior indica que para que el sistema BIBO estable se debe cumplir que el area bajo la curva |â„Ž(đ?‘Ą)| sea finita. El analisis se concentra ahora en encontrar el valor que depedende de la estabilidad en este caso el tiempo.

Figura 9. Comportamiento de la estabilidad asintĂłtica

Observa la figura anterior donde se denomina como estabilidad asintótica el comportamiento de un sistema cuando t → ι, cuando la seùal de la entrada al sistema es cero y su respuesta depende únicamente de las condiciones iniciales. Matemåticamente

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se define a un sistema como asintóticamente estable cuando presenta las siguientes condiciones iniciales: |�(�)| ≤ � ����→� |�(�)| = 0 Se puede demostrar que para que se cumplan estas condiciones basta que los polos del sistema se encentran en el semiplano izquierdo. Es decir, que las condiciones sean las mismas para el caso de estabilidad BIBO.

La estabilidad en el dominio de la frecuencia, al igual que en el dominio del tiempo, se puede definir ciertos conceptos de estabilidad en el dominio de la frecuencia. En el dominio de la frecuencia, se establece si un sistema es o no estable, y es posible determinar cuan estable es este (Estabilidad Relativa) utilizando ciertas medidas que se pueden realizar observando las trazas de Nyquist o de Bode (Ogata, 2003). El criterio de estabilidad de Nyquist para sistemas de fase mĂ­nima, es un mĂŠtodo semi grafico que permite determinar la estabilidad absoluta y relativa de un sistema observando la traza de Nyquist de la funciĂłn de transferencia: đ??ż(đ?‘ ) = đ??ş(đ?‘ )đ??ť(đ?‘ ) Esta estabilidad se obtiene dibujando la parte real e imaginaria de L (jw) cuando w varĂ­a de 0 a ∞. Este mĂŠtodo posee ciertas caracterĂ­sticas que lo hacen un mĂŠtodo atractivo.    

Provee informaciĂłn sobre la estabilidad relativa; es decir, menciona quĂŠ tan estable o inestable es un sistema e indica cĂłmo se comporta dicha estabilidad. Las seĂąales mĂ­nimas de la estabilidad se elaboran fĂĄcilmente con el apoyo de una grĂĄfica o de una computadora. Las seĂąales de la grĂĄfica de Nysquist proporciona informaciĂłn sobre las caracterĂ­sticas del sistema en el dominio de la frecuencia. Este tipo de trazas son muy Ăştiles en sistemas de retardos puros que no se pueden arreglar con el mĂŠtodo de Routh- Huiwitz.

Para determinar la estabilidad de Bode se utiliza se utilizan algunos criterios que mencionaremos. En 1945 Bode utilizo la teorĂ­a de funciones analĂ­ticas para examinan las propiedades de lazos realimentados en el dominio de la frecuencia, y utilizo la teorĂ­a de variable compleja para demostrar que existen restricciones en la forma de la respuesta de Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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frecuencia que se puede obtener de sistemas de control estable. Bode tambiĂŠn demostrĂł que para sistemas de fase mĂ­nima es suficiente tener el diagrama de magnitud o de frecuencia. Es de suma importancia definir la sensibilidad como una funciĂłn de transferencia desde la perturbaciĂłn D(s) hacia la salida Y(s).

Es decir:

R(S)

D(S)

E(S)

Y(S)

G(s)

C(s)

Figura 10. Lazo de control.

El sistema de control quedarĂ­a representado matemĂĄticamente de la siguiente forma. 1 đ?‘†(đ?‘ ) = 1 + đ??ś(đ?‘ )đ??ş(đ?‘ ) Las integrales de Bode, se resumen de la siguiente forma partiendo de las siguientes ecuaciones para sistemas estables e inestables con ancho de banda. ∞

âˆŤ đ??źđ?‘›|đ?‘†(đ?‘—đ?‘¤)|đ?‘‘đ?‘¤ = 0 ∞

0

âˆŤ đ??źđ?‘›|đ?‘†(đ?‘—đ?‘¤)| đ?‘‘đ?‘¤ = đ?œ‹ ∑ đ?‘?đ?œ– đ?‘?đ?‘…đ?‘’{đ?‘?} 0

Las integrales de Bode establecen que el ĂĄrea bajo In|đ?‘†(đ?‘—đ?‘¤)| es una cantidad constante, ya sea para plantas estables o inestables, esto implica que la acciĂłn de cualquier controlador en el sistema experimentarĂĄ mejoras en ciertos rangos de frecuencia, pero esto a su vez repercutirĂĄ en detrimento de la respuesta de frecuencia en otros rangos de frecuencia (Kuo, B. 1996). Y quedarĂ­a S(s) no es una cantidad que indica de manera directa la respuesta de frecuencia, T (s) si lo es, y la relaciĂłn entre ellas es que: đ?‘‡(đ?‘ ) + đ?‘†(đ?‘ ) = 1 Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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La estabilidad relativa posee dos criterios conocidos como mårgenes de estabilidad, los cuales permitirå determinar si un sistema es estable o quÊ tan estable o inestable es. 



El margen de ganancia es el aumento en la ganancia del sistema cuando la fase es de -180 °C que resultarĂĄ en un sistema marginalmente estable con la intersecciĂłn del punto -1+j0 en el diagrama de Nyquist. MatemĂĄticamente se define como đ?‘€đ??ş = −20 log(|đ??şđ??ť(đ?‘—đ?‘¤)|). El margen de fase es la cantidad que resulta en un sistema marginalmente estable con intersecciĂłn del punto -1+j0 en el diagrama de Nyquist queda matemĂĄticamente definido como đ?‘€đ??š = 180° − ∅đ??şâˆ’

El margen de fase y de ganancia se puede medir grĂĄficamente de los diagramas de Nyquist o de Bode. Recuerda que en todos los sistemas de control automĂĄtico deben poseer retroalimentaciĂłn, que tiene como objetivo medir la seĂąal de salida real y su regreso. Esta mediciĂłn como una seĂąal a travĂŠs de la retroalimentaciĂłn para comparar con el valor que deseamos tener en la salida, el valor deseado en la salida se indica en la seĂąal de la entrada de referencia del sistemas.

2.2. Controlador proporcional y control proporcional integral Existen seis acciones de sistemas de control que se revisaran en esta Unidad y que son muy utilizados en sistemas de control automĂĄticos industriales. Los sistemas de control se pueden clasificar de varias formas, por ejemplo de acuerdo con el tipo de fuente de energĂ­a y componentes que utilizarĂĄ. Pueden ser elĂŠctricos, electrĂłnicos, hidrĂĄulicos o neumĂĄticos. Para seleccionar el tipo de controles adecuado para una aplicaciĂłn especĂ­fica se deberĂĄn tomar en cuenta diferentes aspectos como la naturaleza de la planta, sus condiciones de funcionamiento, ademĂĄs de consideraciones de seguridad, costo, disponibilidad, confiabilidad, precisiĂłn, tamaĂąo y peso. Debemos definir los controladores como elementos que se agregan al sistema para mejorar sus caracterĂ­sticas de funcionamiento, con el fin de satisfacer las especificaciones de diseĂąo tanto en rĂŠgimen transitorio como en estado estable. Una manera de modificar las caracterĂ­sticas de respuesta de los sistemas es el ajuste de ganancia, aunque por lo general el incremento en ganancia mejora el funcionamiento en estado estable, donde produce una pobre respuesta en rĂŠgimen transitorio y viceversa.

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Por tal motivo, es necesario agregar elementos a la simple variación de ganancia, lo cual da lugar a los tipos de controladores, control proporcional u control integral, así como control derivativo.      

Sistemas de control de dos posiciones o de si-no (on –off) Sistemas de control proporcional Sistemas de control integral Sistemas de control proporcional e integral Sistemas de control proporcional y derivativo Sistema de control proporcional, derivativo e integral.

Los sistemas de control SI/NO que poseen dos posiciones llamadas “encendido” y “apagado” son relativamente simples y de precio accesible, son muy utilizados en sistemas de alumbrado público, o en el controlador de temperatura de refrigeradores.  

Diagrama a bloques de controladores sí o no Diagrama a bloques de un controlador de si- no con brecha diferencial o zona muerta.

Estos sistemas de control generalmente son eléctricos, neumáticos o una combinación de ambos, la mayoría de los controladores de dos posiciones tienen una brecha diferencial que protege al sistema de una acción excesivamente frecuente de energizar- des energizar o abrir y cerrar para encender mejor lo que es la brecha diferencial, se analiza en seguida un sistema de control de nivel de líquido quien se representa en la siguiente figura:

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Figura 11. Control de dos posiciones (Santos P. 2013).

Un sistema de control On-Off es un sistema simple, de bajo costo, muy común utilizado en la industria, también muy utilizado en electrodomésticos. En este tipo de sistemas la medición es más sensible a perturbaciones en la entrada, la amplitud y la frecuencia que tiende a incrementarse. Tomemos por ejemplo, el caso de un horno eléctrico: • •

• • •

La temperatura aumenta al activar las resistencias calentadoras mediante un contacto, gobernado a su vez por un relevador dentro del controlador. El modo de control ON/OFF es el más elemental y consiste en activar el mando de calentamiento cuando la temperatura está por debajo de la temperatura deseada SP y luego desactivarlo cuando la temperatura esté por arriba. Debido a la inercia térmica del horno la temperatura estará continuamente fluctuando alrededor del SP (punto Fijo). Las fluctuaciones aumentarán cuanto mayor sea la inercia térmica del horno (retardo). Este control no es el más adecuado cuando se desea una temperatura constante y uniforme.

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Figura 12. Diagrama en bloques de un control de temperatura con histĂŠresis todo/ nada (Lamanna, R., 2012).

Los controladores en los sistemas todos o nada toman Ăşnicamente dos valores: encendido y apagado. Cuando la temperatura es mayor a la deseada, la salida se apaga en el caso de sistemas de calentamiento, o se enciende en el caso de sistemas de enfriamiento, cuando es menor toma el valor opuesto. Los controladores de este. tipo cuentan con histĂŠresis o banda muerta para evitar que la salida sea inestable cuando la temperatura se acerque al valor desea como se muestra en el diagrama.

ÂżQue un sistema de control proporcional?

Un sistema de control proporcional se caracteriza por presentar una relaciĂłn fija entre la seĂąal de mando y la del controlador, generando un mĂşltiplo por el cambio en la mediciĂłn. Este mĂşltiplo es denominado “ganancia “para los controladores de acciĂłn proporcional. Los sistemas de control proporcional son ajustados por medio de la ganancia, mientras que en otros sistemas se usan “bandas proporcionalesâ€?. En un sistema de control proporcional existe una relaciĂłn entre la entrada y la salida del control u (t) y la entrada que es la seĂąal del error e (t) r, se puede expresar matemĂĄticamente con la siguiente ecuaciĂłn: đ?‘˘(đ?‘Ą) = đ??žđ?‘?đ?‘’(đ?‘Ą)

O en cantidades transformadas por el mĂŠtodo de Laplace:

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đ?‘ˆ(đ?‘ ) = đ??žđ?‘? đ??¸(đ?‘ ) En cualquier sistema de control este Kp es un amplificador de ganancia. La teorĂ­a de control proporcional indica con un algoritmo de control dĂłnde se representan la seĂąal de la salida del controlador, la cual es proporcional a la seĂąal de error, que es la diferencia entre el punto de ajuste y la variable de proceso. Esta teorĂ­a menciona que la salida de un controlador proporcional es el producto de la multiplicaciĂłn de la seĂąal de error y la ganancia proporcional. Queda representado con las siguientes variables:     

La salida del controlador proporcional Ganancia proporcional Error de proceso instantĂĄneo en el tiempo t Punto de Referencia Variables de proceso

Los sistemas de control proporcional se basan principalmente en establecer la relaciĂłn lineal en forma continua, entre el valor de la variable que se controla y la posiciĂłn del elemento final de control. Un sistema de control proporcional sirve para amplificar la seĂąal de error, si el error es pequeĂąo, la seĂąal que se envĂ­a al actuador harĂĄ que se modifique ligeramente la entrada, mientras que si el error es grande, al actuador modificara sustancialmente la entrada. Un ejemplo de sistemas de control proporcional es un depĂłsito de agua, al abrir la vĂĄlvula de drenaje se puede determinar el calor del elemento final. La seĂąal de salida es una variable que se puede controlar mediante un estudio y anĂĄlisis del sistema si cumple o no con el objetivo del sistema, mĂĄs adelante se estudiarĂĄn sistemas realimentados para evitar perturbaciones en los sistemas de control como en tanques para nivel de agua.

v Cm V

C Figura 13. Tanque.

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Observa la siguiente imagen donde puedes ver un regulador de caudal que atraviesa una conducción a partir de cierta altura del tanque, este es un sistema proporcional al que se le determina el caudal y a continuación se presenta el balance general:

Caudal de Salida

Caudal de entrada

Nivel de agua contante

En este ejemplo puedes observar Kp la relación entre el desplazamiento del flotador y el de la válvula. Este balance no tiene la capacidad de llevar al sistema al equilibrio que tenía anteriormente, a los sistemas con un controlador proporcional es difícil llevar la variable controlada a su valor de referencia, tendremos un error permanente en estado estable. Reduce el efecto de una determinada perturbación pero no lo elimina.

2.2.1. Controlador proporcional con perturbaciones y retardo D R

E

T Kp

1 𝑠(𝐽𝑠 + 𝑏)

C

Figura 14. Diagrama del sistema de control.

Observa el diagrama anterior del sistema de control donde existe un par de control proporcional para posicionar el elemento de carga que consiste en el momento de inercia y fricción, la perturbación en dicho diagrama se representa mediante la letra D. El modelo matemático queda representado como: 𝐶(𝑠) 1 = 2 𝐷(𝑠) 𝐽𝑠 + 𝑏𝑠 + 𝐾𝑝

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Donde la entrada de referencia es cero u R(s)= 0, la funciĂłn de transferencia se realiza entre la seĂąal de salida C(s) y la seĂąal de perturbaciĂłn. đ??¸(đ?‘ ) đ??ś(đ?‘ ) =− − đ??ˇ(đ?‘ ) đ??ˇ(đ?‘ ) đ??˝đ?‘ 2 + đ?‘?đ?‘ + đ??žđ?‘?

El error en estado estable produce un par de perturbaciones tipo escalĂłn de magnitud Td y se representa matemĂĄticamente de la siguiente forma: đ?‘’đ?‘ đ?‘ = lim đ?‘ đ??¸(đ?‘ ) đ?‘ →0

= lim đ?‘ →0

−đ?‘ đ?‘‡đ?‘‘ + đ?‘?đ?‘ + đ??žđ?‘? đ?‘ đ?‘‡đ?‘‘ =− đ??žđ?‘?

đ??˝đ?‘ 2

Un controlador proporcional en estado estable aporta un escalĂłn (Td) con una magnitud igual pero con distinto signo debido a las perturbaciones. En una seĂąal escalĂłn (Td) la salida en estado estable produce una perturbaciĂłn. Recuerda que una perturbaciĂłn es una seĂąal que tiene como objeto afectar adversamente el valor de la seĂąal de salida de un sistema de control. Si la perturbaciĂłn se genera dentro del sistema serĂĄ interna o una externa que se genera fuera del sistema. Un sistema de control proporcional con perturbaciĂłn, es siempre representado por un control de realimentaciĂłn, la cual es una operaciĂłn que presenta indudablemente una perturbaciĂłn, lo que refleja un sistema que tiene como funciĂłn reducir la diferencia entre la salida del sistema y alguna entrada de referencia.

La funciĂłn de transferencia de un controlador de retardo se representa como: đ??şđ?‘?(đ?‘ ) = đ??žđ?‘?

đ?‘ + đ?‘§1 đ?‘ + đ?‘?1

En donde el controlador es de adelanto si p1>z1 y de retraso cuando p1<z1. Un sistema de control proporcional de retraso de forma adecuada presenta las siguientes ventajas: Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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  

Incrementa el amortiguamiento del sistema Mejora los tiempos de subida y estabilizaciĂłn No afecta al error de estado estacionamiento.

En los sistemas de control existen procesos difĂ­ciles de controlar por presentar cierto tipo de complejidad pasa su control, unos de estos sistemas difĂ­ciles es que presenta retardos. Es importante mencionar que un sistema de retardos posee elementos tĂ­picos como los son đ?‘’ −đ?œƒđ?‘ en la funciĂłn de transferencia de la respuesta del sistema y cuya grafica tĂ­pica de respuesta se muestra a continuaciĂłn. Si el sistema de control presenta un retardo importante es porque demora en sentir o responder ante alguna acciĂłn de control como se observa en esta grĂĄfica, esto representa que en un sistema de retardo, el controlador debe desintonizarse, lo que quiere decir que se reducirĂĄ la ganancia del controlador para obtener estabilidad.

Figura 15. FunciĂłn de un sistema de control de retardo (Flores, A. 2006).

Sistema de control integral

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En un controlador con acciĂłn de control integral, el valor de la salida del controlador estĂĄ representada por u (t) se cambia a una razĂłn proporcional a la seĂąal de error e (t). Es decir: đ?‘‘đ?‘˘(đ?‘Ą) = đ??žđ?‘– đ?‘’(đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą U(s)

+

E(s)

W(s)

Kp/ s

10 (đ?‘ + 19(đ?‘ + 5)

Y(s)

-

Ks

ÂżQuĂŠ es el control integral?

Es lo que tenemos cuando la seĂąal de activaciĂłn del sistema de control obtiene integrando el error en el sistema, la funciĂłn de transferencia es Kp/s, se piensa en tĂŠrminos de funciones de transferencia y transformadas de Laplace, y estĂĄ representado por el diagrama anterior de control integral. En la figura anterior observarĂĄs un esquema general, pero es necesario conocer cĂłmo funciona un control integral, para utilizar estos sistemas de control es necesario que conozcas y entiendas lo que es un integrador, recuerda: una integral es realmente el ĂĄrea bajo la curva. El sistema de control integral es llamado tambiĂŠn acciĂłn integral o Reset, observa la figura anterior, donde se observa una seĂąal escalĂłn de cambio en determinado tiempo. Al realizar la mediciĂłn no existirĂĄ ningĂşn cambio en la salida debido a la acciĂłn de control. Con la acciĂłn de control integral un error pequeĂąo de carga positiva siempre producirĂĄ el aumento en la seĂąal de control y un error negativo. En un sistema de control cuando hay un error en la mediciĂłn el valor de consigna, la acciĂłn integral hace que la seĂąal de salida cambie y continĂşe cambiando hasta que el error exista, esta acciĂłn actĂşa siempre sobre la salida para que cambie hasta tener el valor correcto.

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Sistema de control derivativo

Cuando una acciĂłn de tipo derivativo se agrega a un controlador proporcional, aporta un medio para obtener un controlador de alta sensibilidad, este sistema tiene como ventaja usar una acciĂłn de control derivativo que responde a la velocidad del cambio de error y produce una correcciĂłn significativa antes que la magnitud del error se vuelva demasiado grande. El control derivativo nos proporciona o prevĂŠ el error, inicia una acciĂłn correctiva oportuna y tiende a aumentar la estabilidad del sistema. Este tipo de control no afecta de forma directa el error en estado estable, aĂąade amortiguamiento al sistema, por lo tanto, permite el uso de un valor mĂĄs grande que la ganancia K, lo cual provoca una mejora en la precisiĂłn en estado estable (Ogata, 2003). Debido a la acciĂłn de control derivativa se activa con la velocidad que produce el error sobre el mismo error, este tipo de acciĂłn deberĂĄ siempre estar acompaĂąado de otra acciĂłn y la mĂĄs comĂşn es la proporcional por lo que se convierte en un sistema de control proporcional integral. Un sistema de control es de tipo derivativo cuando la salida del controlador v (t) es proporcional a la derivada del error e (t): đ?‘Ł(đ?‘Ą) = đ??žđ?‘‘

đ?‘‘đ?‘’(đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą

Donde Kd es la ganancia del control derivativo, la constantes Kd puede estar representada tambiĂŠn en tĂŠrminos de Kp: đ??žđ?‘‘ = đ??žđ?‘?đ?‘‡đ?‘‘ Donde la variable Td es el factor de proporcionalidad ajustable que indica el tiempo de derivaciĂłn. Otra forma de representar matemĂĄticamente el sistema de control derivativo: đ?‘‰(đ?‘ ) = đ??žđ?‘‘ đ?‘ đ??¸(đ?‘ ) ∴ đ??şđ?‘Ą (đ?‘ ) =

đ?‘‰(đ?‘ ) = đ??žđ?‘‘ đ?‘ = đ??žđ?‘? đ?‘‡đ?‘‘ đ?‘ đ??¸(đ?‘ )

El significado de la derivada se relaciona con la velocidad de cambio de la variable dependiente, que en el caso del control derivativo indica que este responde a la rapidez

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de cambio del error, lo que produce una correcciĂłn importante antes de que el error sea elevado. Es importante seĂąalar que la acciĂłn derivativa es anticipativa, esto la acciĂłn del controlador se adelanta frente a una tendencia de error. Para que este sistema de control derivativo sea Ăştil debe actuar junto con otro tipo de acciĂłn de control, ya que, aislado el control no responde a errores de estado. Una acciĂłn derivativa nos permite tener una buena estabilidad en sistemas de control de lazo cerrado. El sistema de control tardara un instantes en corregir el error para que la acciĂłn entre y pueda lograrse la estabilidad (AmĂŠstegui, 2001).

Controlador proporcional e integral

En nuestra vida diaria no existen controladores que actĂşen solo con acciĂłn integral, tienen que combinarse siempre con reguladores de acciĂłn proporcional para ser completados ambos tipos de reguladores, primero entra en acciĂłn el regulador proporcional, y el integral actuarĂĄ durante el transcurso del tiempo, el sistema proporcional integral queda representado matemĂĄticamente de la siguiente manera: đ?‘˘(đ?‘Ą) = đ??žđ?‘?đ?‘’(đ?‘Ą) +

đ??žđ?‘? đ?‘Ą âˆŤ đ?‘’(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‡đ?‘– 0

O en la funciĂłn de transferencia del controlador es: đ?‘ˆ(đ?‘ ) 1 = đ??žđ?‘? (1 + ) đ??¸(đ?‘ ) đ?‘‡đ?‘–đ?‘ El valor de salida del controlador proporcional varĂ­a en razĂłn proporcional al tiempo en que ha permanecido el error y la magnitud del mismo, su funciĂłn de transferencia donde: Kp= ganancia proporcional (valor ajustable) Ti= tiempo integral (valor ajustable). Un sistema de control con acciĂłn integral, se va ajustando con el tiempo, en ese mismo instante se hace el cambio de valor de la ganancia proporcional. AfectarĂĄ la parte integral. El control proporcional y el escalĂłn son variables que se van cambiando de acuerdo a las necesidades del sistema.

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e(t)

1 t

Figura 16. Representación gráfica de un sistema de control que representa una acción de respuesta a un controlador integral en una cambio tipo escalón

t

2Kp Acción del control pi Kp Acción del control P

t T1

Figura 17. Características de un controlador integral, donde la entrada es el error a control y la salida es la señal controlada. Variable de salida regulada

Señal de error PI

e(t)

Y(t)

Un sistema de control proporcional integral PI debe cumplir con las siguientes características: Si Kp>>Ki  

El valor cero se encuentra muy cercano al punto de origen y la ganancia del controlador viene dado por el control proporcional. Si el valor proporcional es grande, crecerá la ganancia de un sistema en lazo abierto del sistema para mejorar la exactitud sin cambiar la velocidad de respuesta y la estabilidad. Universidad Abierta y a Distancia de México

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Un regulador PI serĂĄ la suma de respuestas debida a un control proporcional P, que serĂĄ instantĂĄneamente detectada la seĂąal de error, el control integral que serĂĄ el encargado de eliminar la seĂąal de error. En la gran mayorĂ­a de los procesos no se pueden controlar con una desviaciĂłn, es decir se deben controlar en el punto de control, se debe anexar inteligencia al controlador proporcional para eliminar desviaciones. A esta inteligencia se le denomina acciĂłn integral o reajuste, por esta razĂłn se convierte en un controlador proporcional integral (PI).

2.2.2. Controlador proporcional integral con perturbaciones y con retardo El controlador proporcional integral es un sistema, el cual posee dos grandes ventajas: al ser combinada la acciĂłn proporcional y la acciĂłn integral para entra en funciĂłn la acciĂłn reguladora proporcionalmente o instantĂĄneamente, mientras que en la integral actĂşa durante un intervalo de tiempo. En un sistema de control proporcional integral, la perturbaciĂłn es una seĂąal no deseada, la cual afecta la salida del sistema, puede ser interna generĂĄndose dentro del sistema, por ejemplo al modificarse los parĂĄmetros internos de dicho proceso o ser externa si esta es generada fuera del sistema y constituye una entrada.

Recuerda que la acciĂłn de control proporcional e integral se representa matemĂĄticamente: đ?‘š(đ?‘Ą) = đ??žđ?‘?đ?‘’(đ?‘Ą) +

đ??žđ?‘? đ?‘Ą âˆŤ đ?‘’(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‡đ?‘– 0

La adiciĂłn del elemento integral permite la eliminaciĂłn del error:

E(s)

đ??žđ?‘?(1 + đ?‘‡đ?‘–đ?‘ ) đ?‘‡đ?‘–đ?‘

M(s )

Figura 18. Control proporcional e integral

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La funciĂłn de transferencia de un sistema de control proporcional e integral se representa de la siguiente forma. đ?‘€(đ?‘ ) 1 = đ??žđ?‘? (1 + ) đ??¸(đ?‘ ) đ?‘‡đ??ź đ?‘

Un sistema como el PI posee una gran sensibilidad debido a la proporcionalidad o ganancia y al tiempo integral, el tiempo regula la acciĂłn de control integral, mientras una modificaciĂłn en la Kp afecta la parte integral y la proporcional. Dicho sistema de control se ve afectado por una seĂąal que afecta en forma negativa el valor de la seĂąal de salida llamado perturbaciĂłn y al mismo tiempo se presenta un retardo. Dicho retardo puede ser causado por un transporte de masa, energĂ­a o informaciĂłn, efecto causado por varios sistemas de bajo orden conectados en serie, o por el tiempo de procesamiento, estas seĂąales deben ser tomada en cuenta para su anĂĄlisis, son variables que deberĂĄn incluirse en la ecuaciĂłn del sistema de control integral, el estudio de estas seĂąales de retardo se realizan por el efecto que causan las perturbaciones pro la demora al percibirla, asĂ­ como la acciĂłn de control que retarda el efecto en la variable controlada. Al finalizar este tema recordemos la importancia de que los mĂŠtodos proveen respuestas a las interrogantes humanas sobre sistemas y sus propiedades, hoy en dĂ­a en la prĂĄctica no existen controladores que tengan solo acciĂłn integral sino que llevan combinaciĂłn una acciĂłn proporcional, estas dos acciones se complementan: la primera en actuar es la acciĂłn proporcional mientras que la integral actĂşa durante un intervalo de tiempo. Recuerda que la respuesta del controlador PI es la suma de respuestas de un controlador proporcional y un control integral lo que proporciona una respuesta instantĂĄnea al producir la correspondiente seĂąal de error provocada por el control proporcional y un posterior control integral que se encargara de extinguir totalmente la seĂąal de error. El conocimiento de los tipos de sistemas de control es bĂĄsicamente una herramienta que nos permitirĂĄ responder interrogantes sobre el proceso donde se puede utilizar la combinaciĂłn de sistemas de control proporcional y control integral.

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2.3. Controlador proporcional e integral derivativo En los sistemas de control proporcional derivativos es un sistema de control que mediante un actuador, es capaz de mantener una variable o proceso en un punto deseado dentro del rango de mediciĂłn del sensor que la mide. El sistema de control proporciona integral derivativo o PID estĂĄ compuesto de una parte : Proporcional, acciĂłn integral y acciĂłn derivativa, la influencia que cada una de esas partes tiene en la suma final, viene dado por la constante proporcional, el tiempo integral y el tiempo derivativo, respectivamente. Algunas veces se aĂąade otro modo de controlador al controlador PI, este nuevo modo de control es la acciĂłn derivativa que tambiĂŠn se conoce como rapidez de derivaciĂłn o pre activaciĂłn y su funciĂłn es anticipar hacia dĂłnde va el proceso mediante una observaciĂłn.

AcciĂłn de control PD

đ??žđ?‘? (1 + đ?‘‡đ?‘‘ đ?‘ )

Rampa unitaria

Solo proporcional

Figura 19. a) Diagrama de bloques de un controlador proporcional-derivativo: (b) y (c) diagramas que muestran una entrada rampa unitaria y la salida del controlador (Ogata, 2003).

Observa la imagen anterior donde se observa un diagrama de bloques de un controlador proporcional integral derivativo en el inciso (a), en el inciso (b) e (t) es una funciĂłn rampa unitaria, y el inciso (c) es la salida del controlador u (t). La ecuaciĂłn matemĂĄtica de un sistema PID es: đ??žđ?‘? đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘’(đ?‘Ą) đ?‘˘(đ?‘Ą) = đ??žđ?‘ƒ đ?‘’(đ?‘Ą) + âˆŤ đ?‘’(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą + đ??žđ?‘? đ?‘‡đ?‘‘ đ?‘‡đ?‘– 0 đ?‘‘đ?‘Ą

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O la funciĂłn de transferencia es: đ?‘ˆ(đ?‘ ) 1 = đ??žđ?‘ƒ (1 + + đ?‘‡đ?‘‘ đ?‘ ) đ??¸(đ?‘ ) đ?‘‡đ?‘– đ?‘ Donde: Kp= ganancia proporcional Ti= tiempo integral Td= tiempo derivativo.

El PID es un mecanismo de control por realimentación que se utiliza en sistemas de control industrial, una características de este sistema de control es que corrige el entre un valor medido y el valor que se quiere obtener calculando y luego sacando una acción correctora que puedes ajustar al proceso. Debido a la combinación el valor proporcional determinan la reacción del error actual, el integral genera una corrección proporcional a la integral del error, esto nos asegura que aplicando un esfuerzo de control suficiente, el error de seguimiento se reduce a cero. El derivativo determina la reacción del tiempo en el que el error se produce, la suma de estas tres acciones es usada para ajustar al proceso vía elemento de control como la posición de una vålvula de control o la energía suministrada a un calentador, por mencionar un ejemplo. Algunas aplicaciones pueden sólo requerir de uno o dos modos de lo que se provee este sistema de control, un controlador PID puede ser llamado tambiÊn PI, PD, P o I en la ausencia de las acciones de control respectivamente. Los controladores PI son mås comunes ya que la acción derivativa es muy sensible al ruido y la ausencia del proceso integral puede evitar que se alcance al valor deseado debido a la acción de control: Para el correcto funcionamiento de un controlador PID que regule un proceso o sistema se necesita al menos:   

Un sensor que determine el estado del sistema (termĂłmetro caudal metro, manĂłmetro, etc.). Un controlador que genere la seĂąal que gobierna al actuador. Un actuador, que modifique al sistema de manera controlada (resistencia, elĂŠctrica, motor, vĂĄlvula, bomba).

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E(S)

𝐾𝑃 (1) + 𝑇1𝑆 + 𝑇𝑖 𝑇𝑑 𝑠 2 𝑇𝐼 𝑠

U(S)

Acción de control PID Rampa unitaria

e(t)

w (t)

Acción de control PD

SOLO PROPORCIONAL

0

0 (b)

(c)

Figura 20. Diagrama de bloques de un controlador proporcional-integral-derivativo;(b) y (c) diagramas que muestran una entrada rampa unitaria y la salida del controlador.

Un ejemplo de un sistema de control proporcional derivativo seria la conducción de un automóvil, cuando el cerebro (controlador) da una ordene de cambio de dirección o velocidad a las manos y los pies (actuadores), si la maniobra corresponde con una situación normal de conducción, el control predominante del sistema es proporciona, lo cual modificara la dirección hasta la deseada con más o menos precisión. Una vez que la dirección esta próxima al valor deseado entra en acción el control integral que reducirá el posible error debido al control proporcional, hasta posiciona el volante en el punto preciso. Si en proceso se realiza en forma lenta la acción de control diferencial no tendrá efecto, si fuera el caso contrario el proceso se realizara rápidamente, entonces la acción derivativa será de mayor importancia, porque aumentará la velocidad de la respuesta inicial de sistema, para entrar la acción proporcional y al final será la acción integral. Existen tres símbolos empleados para identificar los sistemas de control y se representan con los siguientes símbolos.

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Integral

Derivativa

Proporcional

Figura 21. SĂ­mbolos de acciones de control.

Los sistemas de control de primer orden se suelen utilizar con un controlador proporcional (PI) ya que la acciĂłn derivativa no tiene mayor efecto y si es sistema es de segundo orden se suele utilizar control PID para sistemas de orden mayor o con retardos muy grandes el control PID no es eficiente. Controlador proporcional e integral derivativo con perturbaciones es importante el efecto de la perturbaciĂłn de par que ocurre en el elemento de carga. Considere el sistema, el controlador proporcional produce un par t para posicionar el elemento de carga que consiste en el momento de inercia y una fracciĂłn viscosa, la perturbaciĂłn de par se presenta mediante D. Suponemos que la entrada de referencia es cero que la escala de referencia es cero, o R(s)= 0 la funciĂłn de transferencia entre C(s) y D(s) se obtiene mediante: đ??ś(đ?‘ ) 1 = 2 đ??ˇ(đ?‘ ) đ??˝đ?‘ + đ?‘?đ?‘ + đ??žđ?‘? Por tanto đ??¸(đ?‘ ) đ??ś(đ?‘ ) = =− đ??ˇ(đ?‘ ) đ??ˇ(đ?‘ ) đ??˝đ?‘ + đ?‘?đ?‘ + đ??žđ?‘? Es importante seĂąalar que el modelo matemĂĄtico que se desarrolla de un sistema a partir de un sistema no es Ăşnico, debido a lo cual pueden lograr representaciones diferentes del mismo proceso.

2.3.1. Controladores proporcionales e integral derivativo con perturbaciones El controlador PID surge de la combinaciĂłn de tres acciones bĂĄsicas como son: acciĂłn proporcional, integral y derivativa. Este tipo de controlador posee como caracterĂ­sticas

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importantes como son la estabilidad que aporta la acción proporcional con la ausencia del error en estado estacionario debido a la acción integral. En los sistemas de control PID la acción proporciona integral es la encarga de eliminar las perturbaciones que entran al sistema, las perturbaciones generalmente son desconocidas, las más importantes son las aportaciones extras debida a las lluvias y las extracciones, no siempre es posible medirlas, la utilización de un sistema de lazo cerrado nos permite corregir los problemas debidos a la presencia de las perturbaciones en el proceso. Tabla 1. Acciones de control

Proporcional

Integral

Derivativa

Efecto en el régimen transitorio y estabilidad Disminuye el tiempo de respuesta del sistema haciéndolo más rápido. En sistemas de segundo orden o superior, tiende a hacer la respuesta más oscilatoria e incluso inestables. Aumenta el sobre impulso y el tiempo de establecimiento del sistema, haciéndolo más oscilatorio e incluso inestable Reduce el tiempo de establecimiento, aumenta el amortiguamiento y disminuye el sobre impulso máximo.

Efecto en el régimen permanente

Acción ante perturbaciones

Otras características de interés.

Al aumentar la ganancia disminuye el error estacionario en sistemas de primer orden (tipo 0). En sistemas de tipo 1 o superior no mejorar el régimen permanente.

No es capaz de eliminar el efecto de una perturbación que se mantiene en el tiempo, aunque puede reducirlo aumentando la ganancia.

Implementación sencilla.

Elimina totalmente el error estacionario a una entrada escalón.

Elimina el efecto de perturbación en el tiempo.

Filtra el ruido de alta frecuencia, puede requerir condensadores muy grandes para su implementación.

No actúa en régimen permanente (derivada nula) por lo que no puede corregir el error estacionario.

No ejerce ninguna acción ante perturbaciones contantes por lo que no es capaz de eliminar su efecto.

Amplifica el ruido de alta frecuencia. Puede requerir condensadores grandes para su realización.

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En los sistemas PID una característica importante de los sistemas de control es su capacidad para reducir los efectos inferidos por las perturbaciones o disturbios, se debe a diferencias entre las perturbaciones de proceso y la de medición. Las perturbaciones en el proceso afectan el control, dan fluctuaciones en el señal de salida no importa si el sistema es retroalimentado o no. Dichas fluctuaciones pueden entrar en ciertas partes del proceso, este tipo de disturbio puede ser muy diferentes en cada caso, por ello es necesario elaborar un análisis de las características del sistema, es obvio que hay que tomar en cuenta el carácter y las dimensión de estos disturbios.

2.3.2. Controlador proporcional e integral derivativo con retardo Los controladores de acciones integral derivativa, se utilizan mucho en la industria, pero tienen como desventaja la acción derivativa, la cual presenta gran estabilidad a las perturbaciones o no siempre ayudan a estabilizar el sistema. En un sistema de control se puede tener un sistema de retardo usando un filtro, la cual es una técnica que afecta la presencia de ruido, incluso en pequeñas magnitudes dicho filtro introduce un retardo contante que afecta el desempeño del control en pequeñas magnitudes afectando el desempeño del controlador y puede ser fuente de inestabilidad. Dichos sistemas presentan una acción derivativa retardada utilizando ecuaciones lineales de error con retardos asintóticamente estables para el diseño, un sistema de retardo constituye una parte fundamental de la dinámica de muchos procesos industriales, siendo una limitante para conseguir un control adecuado. Los sistemas con retardos aparecen en sistemas que tienen tiempos de procesamiento considerables, dichos retardos están presentes en el transporte de variables, retardos en las mediciones. Como ejemplos de sistemas de control podemos mencionar los sensores como cámaras, columnas de destilación, procesos de secado de papel, plantas de reciclado, procesos de refinación, y sistemas tele operativos. Todos los sistemas de control PID están sujetos a algunas tipos de señales exógenas o ruido durante su operación, ejemplos de estas señales son el voltaje de ruido térmico o un circuito, en los sistemas PID las perturbaciones externas tales como el viento, son variables que se deben de tomar en cuenta para los sistemas de control, diseñando sistemas insensible al ruido ya perturbaciones externas e internas. Estos modelos matemáticos se emplean para la representación en variables de estado aunque no por ello el método de relación con la entrada y salida deja de ser importante, el desarrollo de Universidad Abierta y a Distancia de México

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los sistemas de control o acciones de control esta también influenciados por el desarrollo en el campo de la comunicación de datos, lo que ha permito hoy en día el uso de esquemas de distribución de controladores , en este sentido la comunicación de dispositivos como PLCs y otros sistemas de control de nivel, presión y temperatura.

Actividades La elaboración de las actividades estará guiada por tu docente en línea, mismo que te indicará, a través de la Planeación didáctica del docente en línea, la dinámica que tú y tus compañeros (as) llevarán a cabo, así como los envíos que tendrán que realizar. Para el envío de tus trabajos usarás la siguiente nomenclatura: BINP_U2_A1_XXYZ, donde BINP corresponde a las siglas de la asignatura, U2 es la unidad de conocimiento, A1 es el número de actividad, el cual debes sustituir considerando la actividad que se realices, XX son las primeras letras de tu nombre, Y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno.

Autorreflexiones Para la parte de autorreflexiones debes responder las Preguntas de Autorreflexión indicadas por tu docente en línea y enviar tu archivo. Cabe recordar que esta actividad tiene una ponderación del 10% de tu evaluación. Para el envío de tu autorreflexión utiliza la siguiente nomenclatura: BINP_U2_ATR _XXYZ, donde BINP corresponde a las siglas de la asignatura, U2 es la unidad de conocimiento, XX son las primeras letras de tu nombre, y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno

Cierre de la Unidad Al finalizar te darás cuenta de los sistemas de control son fundamentales para el manejo de los procesos de producción de las plantas industriales, está comprobado que el aumento de la productividad está muy relacionado a los sistemas de control de los procesos en la medida que se haga un uso eficiente de los equipos y sistemas asociados,

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identificando primeramente sus variables involucradas, así como las perturbaciones del sistema. En la actualidad, el control PID y PI dispone de una serie de prestaciones, que en el pasado han sido consideradas como secretos de los fabricantes. Un par de ejemplos típicos de este tipo de prestaciones son las técnicas de conmutación de modos de control del integrador, al conocer e identificar los sistemas de control PID, PI, PD te permitirá en la siguiente Unidad conocer métodos de sintonización los cuales están basados en datos experimentales de la respuesta escalón o rampa de un sistema de control que determina que metodología se tendrá que seguir para su solución.

Para saber más

Mazzone, V. (2002). Controladores PID, Automatización y control industrial universidad de Quilmes. Sistemas de control automático, http://www.udb.edu.sv/udb/archivo/guia/electronicaingenieria/sistemas-de-control-automatico/2013/ii/guia-5.pdf Tacconi, E. (2005). Controladores basados en estrategias PID. Facultad de ingeniería. UNLP. http://www.ing.unlp.edu.ar/cys/pdf/apunte_pid.pdf

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Fuentes de consulta

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Lamanna, R. (2012). Esquemas de control. Departamento de procesos y sistemas. Caracas Venezuela: Universidad Simón Bolívar. Larandi, P.et al (2011). Controladores PID y Controladores Difusos. Revista de ingeniería industrial. San José: Escuela de ingeniería eléctrica, Universidad de Costa Rica, López, M. et al (2008). Apuntes de introducción a los sistemas de control. Sevilla: Departamento de ingeniería de sistemas y automática. Universidad de Sevilla. Lázaro, F. (1996). Propuesta de materia de estudios para las materias de teoría de control I y II que imparten en la cime. Nuevo León: Universidad Autónoma de Nuevo León. Facultad de ingeniería mecánica y eléctrica. Marcos, M. (2003) Modelos empíricos, ingeniería de control. País Vasco: Departamento de ingeniería de sistemas automáticos. Universidad del País Vasco. Ogata, K. (2004). Ingeniería de control moderna. (4a Ed). Madrid España: Pearson- Hall. Pérez, M. et al (2004). Diseño de controladores avanzados para un motor D.C. Ingeniería e instrumentación y control del politécnico. Medellín: Revista politécnica Medellín Colombia. Rodríguez F. et al (1996). Control Adaptativo y Robusto. México: Prentice- Hall hispanoamericana. Rodríguez, D. (2012) Identificación mediante el método de los mínimos cuadrados. Ingeniería de control. Monterrey: Instituto Tecnológico de Estudios Superiores Monterrey.

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