Unidad 2. Solución numérica de ecuaciones algebraicas no lineales

Métodos numéricos Unidad 2. Solución numérica de ecuaciones algebraicas no lineales

Programa de la asignatura:

Métodos numéricos

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Solución numérica de ecuaciones algebraicas no lineales

Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales | Ingeniería en Biotecnología

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Métodos numéricos Solución numérica de ecuaciones algebraicas no lineales

Índice

Presentación de la unidad ......................................................................................................... 2 Propósitos de la unidad ............................................................................................................. 3 Competencia específica ............................................................................................................ 3 2.1. Métodos de bisección ......................................................................................................... 4 2.1.1. Teorema del cambio de signo ......................................................................................... 4 2.1.2. Métodos iterativos ........................................................................................................... 9 2.1.3. Regula falsi .................................................................................................................... 11 2.2. Método de Newton-Raphson............................................................................................ 19 2.2.1. Interpolación inversa ..................................................................................................... 23 2.2.2. Problemas ..................................................................................................................... 27 2.3. Interpolación polinómica................................................................................................... 32 2.3.1. Interpolación .................................................................................................................. 32 2.3.2. Interpolación polinómica segmentaria ........................................................................... 37 2.3.3. Problemas de interpolación ........................................................................................... 42 Actividades .............................................................................................................................. 48 Autorreflexiones....................................................................................................................... 48 Cierre de la unidad .................................................................................................................. 48 Para saber más ....................................................................................................................... 50 Fuentes de consulta ................................................................................................................ 51

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Métodos numéricos Solución numérica de ecuaciones algebraicas no lineales

Presentación de la unidad Los métodos numéricos que se presentan en esta segunda unidad son útiles para la solución de problemas reales de la ingeniería, debido a que la solución analítica, de la ecuación que lo modela, generalmente resulta ser muy complicada. Aunado a esto, la implementación de estas técnicas en una computadora permite un análisis profundo de la exactitud de los resultados generados.

Uno de los métodos más sencillos para la solución de ecuaciones es el método gráfico. A través de él se tendrá conocimiento del comportamiento de la función. Nuevamente te apoyarás de los entornos de programación matemática como Excel, MATLAB, MathCad entre otros, para el graficado y análisis de datos.

En la primera sección se analizan los métodos de bisección, cerrados para la búsqueda de raíces: Teorema del cambio de signo, Métodos iterativos y Regula falsi (también llamado Falsa posición). Estos métodos requieren de dos valores iniciales que acoten sucesivamente a la raíz. Además son métodos iterativos que siempre convergen a la solución, pero son lentos.

Por lo anterior, en la sección 2 se analizan los métodos abiertos de Newton-Raphson e interpolación inversa, los cuales son más rápidos en la búsqueda de la raíz, aunque existe la posibilidad de que no converjan a la solución. Además, en el caso de Newton Raphson se requiere de una derivada analítica, lo cual limita su implementación general.

Tanto en los métodos cerrados como en los abiertos, su eficiencia depende de los valores iniciales. De ellos dependen tanto la velocidad como la convergencia de los métodos.

Por último, en la sección 3, se analizan técnicas de interpolación de un conjunto de puntos usando polinomios. Para ello, se han implementado algoritmos de interpolación polinomial y segmentaria.

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Propósitos de la unidad

El estudio de esta unidad te permitirá:  



Analizar las características de solución de ecuaciones algebraicas usando los métodos de bisección, aplicados a modelos matemáticos.

Analizar soluciones de ecuaciones algebraicas usando los métodos de Newton Raphson e interpolación adaptándolos a las características del modelo matemático a resolver.

Resolver el modelo matemático usando un método de interpolación polinómica.

Competencia específica

Aplicar métodos numéricos para solucionar modelos matemáticos en contextos de ingeniería utilizando métodos dirigidos a ecuaciones algebraicas lineales.

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MĂŠtodos numĂŠricos SoluciĂłn numĂŠrica de ecuaciones algebraicas no lineales

2.1. MĂŠtodos de bisecciĂłn Un problema constante en el campo de la ingenierĂ­a es resolver ecuaciones algebraicas de la forma đ?‘“(đ?‘Ľ) = 0. Para ello, las tĂŠcnicas numĂŠricas tienen una gran utilidad prĂĄctica. A lo largo de esta unidad se usarĂĄn los mĂŠtodos numĂŠricos para resolver ecuaciones algebraicas cuya soluciĂłn no se puede determinar fĂĄcilmente.

En esta primera secciĂłn estudiarĂĄs los mĂŠtodos cerrados de bisecciĂłn y regula falsi, o tambiĂŠn llamado de falsa posiciĂłn, para encontrar la soluciĂłn o raĂ­z de la ecuaciĂłn.

Debido a su naturaleza iterativa, estos mĂŠtodos son implementados en Mathcad para el cĂĄlculo automĂĄtico de la soluciĂłn.

2.1.1. Teorema del cambio de signo El mĂŠtodo mĂĄs sencillo para obtener una soluciĂłn aproximada de la ecuaciĂłn es el grĂĄfico, el cual consiste en graficar la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) a resolver y observar dĂłnde cruza el eje đ?‘Ľ. Por lo que, la soluciĂłn, raĂ­z o ceros de la ecuaciĂłn, son aquellos valores đ?‘Ľ que hacen que đ?‘“(đ?‘Ľ) = 0.

En la siguiente figura es posible deducir que la raĂ­z đ?‘Ľ de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) se encuentra en el intervalo [1,2]. Por lo tanto, una soluciĂłn aproximada puede ser el punto medio đ?‘Ľđ?‘š = 1.5 del intervalo.

MĂŠtodo grĂĄfico para determinar las raĂ­ces de una ecuaciĂłn

Figura 1. MĂŠtodo grĂĄfico para determinar las raĂ­ces de una ecuaciĂłn Fuente: ElaboraciĂłn propia.

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MĂŠtodos numĂŠricos SoluciĂłn numĂŠrica de ecuaciones algebraicas no lineales

Si realizamos un acercamiento al nuevo intervalo [1,1.5], entonces la siguiente aproximaciĂłn a la soluciĂłn es el nuevo punto medio đ?‘Ľđ?‘š = 1.25. De esta manera, al reducir el intervalo de bĂşsqueda el punto medio đ?‘Ľđ?‘š se aproxima a la soluciĂłn exacta de la ecuaciĂłn algebraica.

MĂŠtodo grĂĄfico para determinar las raĂ­ces de una ecuaciĂłn

Figura 2. MĂŠtodo grĂĄfico para determinar las raĂ­ces de una ecuaciĂłn.

Fuente: ElaboraciĂłn propia.

Por lo anterior, si đ?’‡(đ?’™) es real y continĂşa en el intervalo que va desde đ?‘Ľđ?‘Ž hasta đ?‘Ľđ?‘? y đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘Ž ) y đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘? ) tienen signos opuestos, entonces hay al menos una raĂ­z real entre đ?‘Ľđ?‘Ž y đ?‘Ľđ?‘? , (Chapra, S., 2010).

De manera general, 1. Si đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘Ž ) y đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘? ) tienen signos opuestos, existe un nĂşmero impar de raĂ­ces en el intervalo.

2. Si đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘Ž ) y đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘? ) tienen el mismo signo, no existen raĂ­ces o hay un nĂşmero par de ellas.

Con el mĂŠtodo de bisecciĂłn o de cambio de signo se reduce el intervalo [đ?‘Ľđ?‘Ž , đ?‘Ľđ?‘? ] hasta acercarnos a la soluciĂłn đ?‘Ľ con una exactitud dada, de la siguiente forma (Mathews, J., 2004): Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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|đ?‘Ľ − đ?‘Ľđ?‘? | ≤

đ?‘Ľđ?‘? + đ?‘Ľđ?‘Ž , 2đ?‘›+1

para đ?‘› = 0,1, ‌ la expresiĂłn anterior indica que el intervalo [đ?‘Ľđ?‘Ž , đ?‘Ľđ?‘? ] que acota la raĂ­z se reduce (đ?‘› + 1) veces a la mitad por 2đ?‘›+1 .

Ejemplo 01: Determina la raĂ­z real positiva de la ecuaciĂłn, đ?‘’ −đ?‘Ľ − đ?‘Ľ = 0.

SoluciĂłn A partir de su grĂĄfica es posible observar que la raĂ­z se encuentra en el intervalo [đ?‘Ľđ?‘Ž , đ?‘Ľđ?‘? ] = [0,1].

GrĂĄfica de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ)

Figura 3. GrĂĄfica de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ). Fuente: ElaboraciĂłn propia.

Evaluando la funciĂłn en los puntos đ?‘Ľđ?‘Ž = 0 y đ?‘Ľđ?‘? = 1, đ?‘Ľ

đ?‘“(đ?‘Ľ)

0

1

1

−0.632

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observamos que hay un cambio de signo, por tanto existe una raĂ­z entre 0 < đ?&#x2018;Ľ < 1. El punto medio đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x161; es, đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x161; =

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;? 0 + 1 = = 0.5, 2 2

y su evaluaciĂłn, đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x161; ) = đ?&#x2018;&#x201C;(0.5) = 0.107.

Como đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x161; ) es positivo y đ?&#x2018;&#x201C;(1) negativo, entonces la raĂ­z ahora se encuentra en el intervalo [0.5,1]. Hacemos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x17D; = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x161; = 0.5 y repetimos la misma operaciĂłn.

đ?&#x2018;&#x203A;=1

đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x17D;

0.5

0.107

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x161;

0.75 â&#x2C6;&#x2019;0.278

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;?

1

â&#x2C6;&#x2019;0.632

El cambio de signo ahora estĂĄ en el intervalo [0.5,0.75]. Por lo que đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;? = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x161; = 0.75. Para las siguientes iteraciones đ?&#x2018;&#x203A; = 2,3,4 tenemos,

đ?&#x2018;&#x203A;=2

đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x17D;

0.107

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x161;

0.5 0.625

â&#x2C6;&#x2019;0.09

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;?

0.75

â&#x2C6;&#x2019;0.278

đ?&#x2018;&#x203A;=3

đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x17D;

0.5

0.107

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x161;

0.563

0.006

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;?

0.625 â&#x2C6;&#x2019;0.09

đ?&#x2018;&#x203A;=4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;?

đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)

0.563 0.006 0.594 â&#x2C6;&#x2019;0.042 0.625 â&#x2C6;&#x2019;0.09

Las sucesivas aproximaciones a la soluciĂłn son đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x161; = 0.5, 0.75, 0.625, 0.563, 0.594.

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El resultado aproximado para las primeras iteraciones đ?&#x2018;&#x203A; = 20 se muestra a continuaciĂłn:

Figura 4. SoluciĂłn aproximada xm = 0.56714 de la ecuaciĂłn eâ&#x2C6;&#x2019;x â&#x2C6;&#x2019; x = 0. Como se observa, la soluciĂłn estĂĄ expresada en 5 cifras significativas y a partir de la iteraciĂłn n = 17, ĂŠsta no cambia. Estos hechos pueden ser usados como criterio de paro de algĂşn algoritmo.

2.1.2. MĂŠtodos iterativos Como hemos visto, el mĂŠtodo de bĂşsqueda de la raĂ­z es iterativo, esto es, en cada paso el intervalo que â&#x20AC;&#x153;encierraâ&#x20AC;? a la soluciĂłn se reduce continuamente a la mitad. Por lo que, el algoritmo para la bĂşsqueda de la soluciĂłn estĂĄ estructurado de la siguiente forma:

ParĂĄmetros de entrada Intervalo inicial: [đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x17D; , đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;? ], La ecuaciĂłn algebraica a resolver: đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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El nĂşmero de iteraciones: đ?&#x2018; Paso 1. Verificar que existe una raĂ­z en el intervalo como đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x17D; )đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;? ) < 0.

Paso 2. Calcular una aproximaciĂłn a la raĂ­z a travĂŠs del cĂĄlculo del punto medio, đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x161; = , 2 Paso 3. Evaluar la nueva aproximaciĂłn y determinar el nuevo intervalo que â&#x20AC;&#x153;encierraâ&#x20AC;? la raĂ­z como, A. Si đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x17D; )đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x161; ) < 0, entonces la raĂ­z se encuentra en el intervalo inferior.

Sustituimos el lĂ­mite superior por el valor medio como đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;? = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x161; . Volver al Paso 2.

B. Si đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x17D; )đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x161; ) > 0, entonces la raĂ­z se encuentra en el intervalo superior.

Sustituimos el lĂ­mite superior por el valor medio como đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x17D; = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x161; . Volver al Paso 2.

C. Si đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x17D; )đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x161; ) = 0, entonces la raĂ­z es igual a đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x161; . Termina el cĂĄlculo.

Algoritmo para la bĂşsqueda de raĂ­ces usando el mĂŠtodo de bisecciĂłn.

El mĂŠtodo de bisecciĂłn implementado en Mathcad es mostrado en la siguiente figura:

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Figura 5. Algoritmo para aproximarse a la raíz de una función f(x) a partir de un intervalo inicial [xa , xb ] y N iteraciones, usando el método de bisección.

Por la lógica del método de “encerrar” la raíz, este algoritmo sólo es capaz de encontrar una solución a la vez. Por lo que, para casos donde se tienen múltiples raíces, el algoritmo resulta deficiente.

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2.1.3. Regula falsi Otro de los mĂŠtodos que â&#x20AC;&#x153;encierraâ&#x20AC;? la raĂ­z en un intervalo definido es el de Regula falsi o Falsa posiciĂłn, sĂłlo que a diferencia del mĂŠtodo de bisecciĂłn que reduce el intervalo [đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x17D; , đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;? ] siempre a la mitad, este mĂŠtodo traza una recta entre đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x17D; ) y đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;? ). Los triĂĄngulos semejantes que se forman estĂĄn relacionados por (Chapra, S., 2010), đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x17D; ) đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;? ) = , (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x17D; ) (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;? ) despejando, đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x; = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;? )(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;? ) , đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x17D; ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;? )

se tiene una aproximaciĂłn đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x; a la soluciĂłn exacta.

Figura 6. MĂŠtodo Regula falsi para encontrar la raĂ­z de una ecuaciĂłn algebraica. La recta que une f(xa ) con f(xb ) estĂĄ marcada en verde. La intersecciĂłn de esta recta con el eje x es la nueva aproximaciĂłn xr a la raĂ­z. El nuevo intervalo de bĂşsqueda es [xa , xr ], donde xb se sustituye por xr .

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La aproximaciĂłn đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x; sustituye uno de los lĂ­mites del intervalo, de tal forma que siempre exista un cambio de signo entre đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x17D; ) y đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;? ).

Ejemplo 02: Determina la raĂ­z real positiva de la ecuaciĂłn, đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ = 0.

SoluciĂłn A partir de su grĂĄfica es posible observar que la raĂ­z se encuentra en el intervalo [đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x17D; , đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;? ] = [0,1].

GrĂĄfica de la funciĂłn đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)

Figura 7. GrĂĄfica de la funciĂłn đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ).

Fuente: ElaboraciĂłn propia.

Evaluando la funciĂłn en los puntos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x17D; = 0 y đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;? = 1, đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)

0

1

1

â&#x2C6;&#x2019;0.632

observamos que hay un cambio de signo, por tanto existe una raĂ­z entre 0 < đ?&#x2018;Ľ < 1. El punto đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x; es calculado como, Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x; = 1 â&#x2C6;&#x2019;

(â&#x2C6;&#x2019;0.632)(0 â&#x2C6;&#x2019; 1) 0.632 =1â&#x2C6;&#x2019; = 0.613 (1) â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;0.632) 1.632

y su evaluaciĂłn, đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x; ) = đ?&#x2018;&#x201C;(0.613) = â&#x2C6;&#x2019;0.071.

Como đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x; ) es negativo y đ?&#x2018;&#x201C;(0) positivo, entonces la raĂ­z se encuentra en el intervalo [0,0.613]. Hacemos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;? = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x; = 0.613 y repetimos la misma operaciĂłn.

đ?&#x2018;&#x203A;=1

đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x17D;

0

1

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x;

0.572 â&#x2C6;&#x2019;0.0078

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;?

0.613

â&#x2C6;&#x2019;0.071

El cambio de signo ahora estĂĄ en el intervalo [0,0.572]. Por lo que đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;? = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x; = 0.572. El resultado aproximado para las primeras đ?&#x2018;&#x203A; = 20 iteraciones se muestra a continuaciĂłn:

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Figura 8. SoluciĂłn aproximada đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x161; = 0.56714 de la ecuaciĂłn đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ = 0. Como se observa, la soluciĂłn estĂĄ expresada en 5 cifras significativas y a partir de la iteraciĂłn đ?&#x2018;&#x203A; = 5 ĂŠsta no cambia.

Estos hechos pueden ser usados como criterio de paro del algoritmo.

El algoritmo de Regula falsi implementado se muestra en la siguiente figura:

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Figura 9. Algoritmo para aproximarse a la raĂ­z de una funciĂłn f(x) a partir de un intervalo inicial [xa , xb ] y N iteraciones, usando el mĂŠtodo de Regula falsi o Falsa posiciĂłn.

Con los mĂŠtodos implementados se encuentra la soluciĂłn a las ecuaciones algebraicas.

La diferencia estĂĄ en que el mĂŠtodo de Regula falsi (đ?&#x2018; = 5 iteraciones) converge mĂĄs rĂĄpido a la soluciĂłn que el de BisecciĂłn (đ?&#x2018; = 17 iteraciones). Esto se puede observar en el nĂşmero de iteraciones que se necesitaron en los ejemplos 1 y 2 para encontrar la soluciĂłn con la misma exactitud.

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Ejemplo 03: Se modela un proceso de producciĂłn de queso con menos grasa, mediante la adiciĂłn de un concentrado protĂŠico de leche en forma de caseinato de calcio. La ecuaciĂłn que relaciona el caseinato de calcio en el queso đ?&#x2018;Ś, la presiĂłn del proceso de homogeneizaciĂłn đ?&#x2018;Ľ y el nivel de lĂ­pidos en los quesos es, đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) = 10.43 â&#x2C6;&#x2019; 0.58đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 0.91đ?&#x2018;Ś + 1.23đ?&#x2018;Ś 2 .

Si hacemos đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;0.2, ÂżcuĂĄl es la cantidad de caseinato que reduce a cero el nivel de lĂ­pidos?

SoluciĂłn Las siguientes figuras muestran la funciĂłn del nivel de lĂ­pidos en los quesos.

Figura 10. FunciĂłn del nivel de lĂ­pidos en los quesos valuada en x = â&#x2C6;&#x2019;0.2. Como se observa, cuanto mayor es la cantidad y de caseinato de calcio adicionada, menor es el nivel de lĂ­pidos en el queso.

Resolviendo la ecuaciĂłn para đ?&#x2018;Ś con los mĂŠtodos de bisecciĂłn, falsa posiciĂłn y la funciĂłn predefinida đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Ą( đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ś), đ?&#x2018;Ś), nos dan los siguientes resultados:

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Figura 11. La cantidad de caseinato que reduce a cero el nivel de lĂ­pidos es đ?&#x2018;Ś = 18.381. Como se observa el mĂŠtodo de Falsa posiciĂłn converge mĂĄs rĂĄpido a la soluciĂłn.

Ejemplo 04: Si analizamos la ecuaciĂłn que modela la adiciĂłn de caseinato de calcio en la producciĂłn de quesos con un nivel de lĂ­pidos como, đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 0.651đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1.03đ?&#x2018;Ľ + 9.37 donde đ?&#x2018;Ľ es la proporciĂłn de caseinato. ÂżquĂŠ tipo de raĂ­ces tiene la funciĂłn?

SoluciĂłn En la siguiente figura usaremos el mĂŠtodo grĂĄfico para analizar el comportamiento de la funciĂłn đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ).

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GrĂĄfica de la ecuaciĂłn đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x;&#x17D;. đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;?đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?. đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x;&#x2014;. đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2022;

Figura 12. GrĂĄfica de la ecuaciĂłn đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x;&#x17D;. đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x201C;đ?&#x;?đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?. đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x;&#x2014;. đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2022;. Fuente: ElaboraciĂłn propia.

En este caso, observamos que no existe cruce con el eje đ?&#x2018;Ľ, por lo tanto, las raĂ­ces son del tipo complejo. Usando la funciĂłn predefinida en mathcad đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018; (đ?&#x2018;&#x17D;) donde đ?&#x2018;&#x17D; son los coeficientes de la ecuaciĂłn, se obtienen las dos raĂ­ces complejas.

Figura 13. CĂĄlculo de las raĂ­ces complejas del polinomio.

Los dos mĂŠtodos hasta ahora analizados pertenecen a los mĂŠtodos cerrados que acotan la soluciĂłn, al reducir continuamente el intervalo en el que se encuentra. Si bien, los mĂŠtodos de BisecciĂłn y Falsa posiciĂłn siempre encuentran la raĂ­z, ĂŠstos son de lenta convergencia. Por ello, en la siguiente secciĂłn analizaremos los llamados mĂŠtodos

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abiertos para la bĂşsqueda de raĂ­ces: Newton Raphson e interpolaciĂłn inversa, los cuales convergen mĂĄs rĂĄpido a la soluciĂłn.

2.2. MĂŠtodo de Newton-Raphson Como mĂŠtodos abiertos se encuentran el de Punto fijo y Newton-Raphson, ĂŠste Ăşltimo de los mĂĄs usados para encontrar raĂ­ces.

El mĂŠtodo de Newton-Raphson se basa en la extrapolaciĂłn de la tangente a la curva đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) en un punto đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; .

Figura 14. RepresentaciĂłn grĂĄfica del mĂŠtodo de Newton-Raphson. La tangente a la funciĂłn f(x) en xi intersecta la recta x en el punto xi+1 . Este punto serĂĄ una aproximaciĂłn a la soluciĂłn exacta.

De la figura anterior se determina la primera derivada en đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; como (Chapra, S., 2010), đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; ) =

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; ) â&#x2C6;&#x2019; 0 , đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;+1

donde,

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đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;+1 = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; ) , đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; )

o bien (Iriarte, R., 2003), đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;1 ) . đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;1 )

La expresiĂłn anterior es la fĂłrmula de Newton-Raphson y serĂĄ implementada para la bĂşsqueda de la raĂ­z de una ecuaciĂłn.

Ejemplo 05: Determina la raĂ­z real positiva de la ecuaciĂłn, đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ SoluciĂłn La derivada de la ecuaciĂłn đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) es, đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;Ľ) = (đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ )(â&#x2C6;&#x2019;1) â&#x2C6;&#x2019; 1 = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1 = â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ + 1).

Sustituimos đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) y đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ) en la fĂłrmula de Newton-Raphson como, đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; [

đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;1 = đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; ] [ ]. đ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;1 + 1) 1 + đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;1

Ahora se tiene una fĂłrmula iterativa de aproximaciones sucesivas a la soluciĂłn exacta.

Para la primera iteraciĂłn đ?&#x2018;&#x2013; = 1, đ?&#x2018;Ľ1 = đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2019; [

đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0 ], 1 + đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0

se necesita una primera aproximaciĂłn đ?&#x2018;Ľ0 . Por lo que, a partir de la grĂĄfica usaremos đ?&#x2018;Ľ0 = 0.5.

GrĂĄfica de la funciĂłn đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)

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Figura 15. GrĂĄfica de la funciĂłn đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ). Fuente: ElaboraciĂłn propia.

Evaluando para đ?&#x2018;&#x2013; = 1, đ?&#x2018;Ľ1 = đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2019; [

đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0 0.5 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;0.5 â&#x2C6;&#x2019;0.107 = 0.5 â&#x2C6;&#x2019; [ ] = 0.5 â&#x2C6;&#x2019; [ ] ] = 0.566, â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;0.5 0 1+đ?&#x2018;&#x2019; 1+đ?&#x2018;&#x2019; 1.607

para đ?&#x2018;&#x2013; = 2, 0.566 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;0.566 đ?&#x2018;Ľ2 = 0.566 â&#x2C6;&#x2019; [ ] = 0.567.

1 + đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;0.566 El resultado aproximado para las primeras đ?&#x2018;&#x203A; = 20 iteraciones se muestra a continuaciĂłn:

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Figura 16. Solución aproximada xm = 0.56714 de la ecuación e−x − x = 0. Como se observa, la solución está expresada en 5 cifras significativas y a partir de la iteración n = 2 ésta no cambia.

Estos hechos pueden ser usados como criterio de paro del algoritmo.

El algoritmo de Newton-Raphson implementado se muestra en la siguiente figura:

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Figura 17. Algoritmo para aproximarse a la raĂ­z de una funciĂłn f(x) a partir de un valor inicial x0 y N iteraciones, usando el mĂŠtodo de Newton-Raphson.

La convergencia del mĂŠtodo de Newton-Raphson depende tanto de la naturaleza de la funciĂłn đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) como del valor inicial đ?&#x2018;Ľ0 . Y por la lĂłgica del mĂŠtodo, ĂŠste tiene el problema de oscilar alrededor de valores mĂ­nimos o mĂĄximos locales. Y ademĂĄs, cuando encuentra una pendiente cercana a cero entonces se aleja de la regiĂłn soluciĂłn.

2.2.1. InterpolaciĂłn inversa La interpolaciĂłn inversa cuadrĂĄtica es un mĂŠtodo que usa una funciĂłn cuadrĂĄtica o parabĂłlica generada a partir de tres puntos en la funciĂłn đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ). El objetivo es hacer cruzar la parĂĄbola con el eje đ?&#x2018;Ľ. Cabe la posibilidad de que la parĂĄbola nunca cruce el eje, por esta razĂłn se busca ubicar los puntos en una parĂĄbola en đ?&#x2018;Ś, invirtiendo los ejes. De ahĂ­ el nombre de interpolaciĂłn inversa.

En la siguiente figura se observa como la parĂĄbola intersecta el eje đ?&#x2018;Ľ en un punto đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;+1.

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Figura 18. RepresentaciĂłn grĂĄfica del mĂŠtodo de interpolaciĂłn inversa. La parĂĄbola intersecta la recta x en el punto xi+1. Este punto serĂĄ una sucesiva aproximaciĂłn a la soluciĂłn exacta.

A partir de los puntos (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;2 , đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;2 ), (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;1 , đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;1 ), (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; , đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013; ) se genera una funciĂłn cuadrĂĄtica de đ?&#x2018;Ś que pase por los puntos como (Chapra, S., 2010), đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ś) =

(đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;1 )(đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013; ) (đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;2 )(đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013; ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;2 + đ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;1 )(đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013; ) (đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;2 )(đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013; ) đ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;2 )(đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;1 ) + đ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;2 )(đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;1 ) đ?&#x2018;&#x2013;

Cuando đ?&#x2018;Ś = 0 entonces tenemos la raĂ­z đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;+1 , por lo que, la ecuaciĂłn anterior queda como đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;+1 =

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;2 + đ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;1 )(đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013; ) (đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;2 )(đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013; ) đ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;1 + đ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;2 )(đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;1 ) đ?&#x2018;&#x2013;

Ejemplo 06: Determina la raĂ­z real positiva de la ecuaciĂłn, đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ

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Se determinan tres puntos đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;2, â&#x2C6;&#x2019;0.2 đ?&#x2018;Ś 3 en la funciĂłn đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)

Figura 19. GrĂĄfica de la funciĂłn f(x)

su evaluaciĂłn es đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 9.3, 1.4 đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 2.9.

Usando la funciĂłn cuadrĂĄtica en una primera iteraciĂłn đ?&#x2018;&#x2013; = 2, đ?&#x2018;Ľ3 =

(1.4)(â&#x2C6;&#x2019;2.9) (9.3)(â&#x2C6;&#x2019;2.9) (â&#x2C6;&#x2019;2) + (â&#x2C6;&#x2019;0.2) (9.3 â&#x2C6;&#x2019; 1.4)(9.3 + 2.9) (1.4 â&#x2C6;&#x2019; 9.3)(1.4 + 2.9) (9.3)(1.4) (3) = 0.67 + (â&#x2C6;&#x2019;2.9 â&#x2C6;&#x2019; 9.3)(â&#x2C6;&#x2019;2.9 â&#x2C6;&#x2019; 1.4)

Por tanto, una primera aproximaciĂłn a la raĂ­z es đ?&#x2018;Ľ = 0.67. El resultado aproximado para las primeras đ?&#x2018;&#x2013; iteraciones se muestra a continuaciĂłn:

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Figura 20. SoluciĂłn aproximada xm = 0.56714 de la ecuaciĂłn eâ&#x2C6;&#x2019;x â&#x2C6;&#x2019; x = 0. Como se observa, la soluciĂłn estĂĄ expresada en 5 cifras significativas y a partir de la iteraciĂłn n = 5 â&#x2C6;&#x2019; 3 = 2 ĂŠsta no cambia. Estos hechos pueden ser usados como criterio de paro del algoritmo.

En la siguiente figura se muestra el algoritmo de interpolaciĂłn inversa implementado.

Figura 21. Algoritmo para aproximarse a la raĂ­z de una funciĂłn đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) a partir de un valor inicial đ?&#x2018;Ľ0 y đ?&#x2018; iteraciones, usando el mĂŠtodo de Newton-Raphson.

Con los mĂŠtodos cerrados y abiertos implementados, se encuentra soluciĂłn a las ecuaciones algebraicas del tipo đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 0. Una de las diferencias entre cada uno de los mĂŠtodos es la velocidad de convergencia. Como se observĂł en los ejemplos 1, 2 y 5, 6, todos encontraron la soluciĂłn con la misma exactitud, pero con diferente nĂşmero de iteraciones.

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MĂŠtodo NumĂŠrico BisecciĂłn Falsa posiciĂłn Newton Raphson InterpolaciĂłn inversa

NĂşmero de iteraciones đ?&#x2018;ľ 17 5 2 2

Hemos comprobado que los mĂŠtodos abiertos para la bĂşsqueda de raĂ­ces, Newton Raphson e interpolaciĂłn inversa, convergen mĂĄs rĂĄpido a la soluciĂłn. Sin embargo, algunas veces estos mĂŠtodos nunca encuentran la soluciĂłn. Como se mencionĂł, ĂŠstos oscilan alrededor de valores mĂ­nimos o mĂĄximos locales y cuando encuentra una pendiente cercana a cero entonces se aleja de la regiĂłn soluciĂłn.

2.2.2. Problemas En esta secciĂłn se plantean problemas de la ingenierĂ­a cuya soluciĂłn es encontrada a travĂŠs de los mĂŠtodos numĂŠricos hasta ahora estudiados. Se te recomienda usar los algoritmos implementados para resolver las ecuaciones algebraicas que modelan dichos problemas. No olvides que la convergencia de los mĂŠtodos implementados depende del intervalo o puntos iniciales.

Ejemplo 07: La operaciĂłn de un reactor de flujo tipo tapĂłn de densidad constante para la producciĂłn de una sustancia por una reacciĂłn enzimĂĄtica se describe mediante la ecuaciĂłn, đ?&#x2018;Şđ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;? đ?&#x2018;&#x2030; đ??ž 1 = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;Ť + đ?&#x2018;&#x2018;đ??ś đ??š đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x17D;ĂĄđ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2018;Şđ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022; đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x17D;ĂĄđ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2018;Ş

donde V es el volumen del reactor, F es el caudal del reactante C, Cent y Csal son las concentraciones del reactante a la entrada y salida del reactor, respectivamente, y K y k mĂĄx son constantes.

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Figura 22. Reactor de flujo

Para un reactor de 500 L, con una concentración de entrada de Cent = 0.5 M, un caudal de entrada de 40 L/s, k máx = 5X10−3 s −1 y K = 0.1 M, encuentra la concentración a la salida Csal del reactor.

Solución Operando sobre la ecuación, Csal V 1 K 1 [K(ln(Csal ) − ln(Cent )) + (Csal − Cent )] =− ∫ + 1 dC = − F k máx Cent C k máx

⟹ −k

1

máx

V

[K(ln(Csal ) − ln(Cent )) + (Csal − Cent )] − = 0 F

La gráfica de la ecuación anterior se muestra en la siguiente figura.

Figura 23. Gráfica de un reactor de flujo tipo tapón

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Usando los métodos de Bisección, Regula falsi e Interpolación inversa se obtuvieron los siguientes resultados.

Figura 24. La solución de la ecuación algebraica usando tres cifras significativas es de Cent = 0.448 . Esto es, la concentración a la salida del reactor.

Si la solución exacta es 𝐶𝑒𝑛𝑡 = 0.44839, la eficiencia de los algoritmos para encontrar la raíz se puede deducir de la función de error de cada método. En la siguiente figura se muestran las gráficas de error absoluto y error relativo.

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Figura 25. GrĂĄficas de error absoluto en rojo y relativo en azul para el cĂĄlculo de la soluciĂłn exacta usando los mĂŠtodos de BisecciĂłn, Falsa posiciĂłn e InterpolaciĂłn. El mĂŠtodo que mĂĄs rĂĄpido converge a la soluciĂłn es el de InterpolaciĂłn inversa y el mĂŠtodo mĂĄs lento es el de BisecciĂłn.

Ejemplo 08: Para calcular el nivel de oxĂ­geno đ?&#x2018;? (mg/L) en un rĂ­o aguas debajo de la descarga de un drenaje se usa la ecuaciĂłn, đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ľ) = 10 â&#x2C6;&#x2019; 20(đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;0.15đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;0.5đ?&#x2018;Ľ ), donde đ?&#x2018;Ľ es la distancia aguas abajo en kilĂłmetros. Determina la distancia aguas debajo de la corriente, a la cual el nivel de oxĂ­geno cae hasta una lectura de 5 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201D;/đ??ż. Encuentra la respuesta con un error de 1%. ObsĂŠrvese que los niveles de oxĂ­geno por debajo de 5đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201D;/đ??ż por lo general son daĂąinos para ciertas especies como la trucha y el salmĂłn.

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SoluciĂłn La ecuaciĂłn algebraica a resolver es, 5 = 10 â&#x2C6;&#x2019; 20(đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;0.15đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;0.5đ?&#x2018;Ľ ), entonces, 10 â&#x2C6;&#x2019; 20(đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;0.15đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;0.5đ?&#x2018;Ľ ) â&#x2C6;&#x2019; 5 = 0.

Para implementar el mĂŠtodo de Newton Raphson es necesario calcular la derivada de la funciĂłn đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ľ), đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ľ) = 10 â&#x2C6;&#x2019; 20đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;0.15đ?&#x2018;Ľ + 20đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;0.5đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 5 como, đ?&#x2018;? â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ) = 3đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;0.15đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 10đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;0.5đ?&#x2018;Ľ .

Usando los mĂŠtodos de BisecciĂłn, Falsa posiciĂłn e InterpolaciĂłn implementados se obtienen las siguientes aproximaciones a la soluciĂłn.

Figura 26. La soluciĂłn de la ecuaciĂłn algebraica usando tres cifras significativas es de x = 0.976.

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Si la soluciĂłn exacta es de x = 0.976, la eficiencia de los algoritmos para encontrar la raĂ­z se puede deducir de la funciĂłn de error de cada mĂŠtodo. En la siguiente figura se muestran las grĂĄficas de error relativo por debajo del 1%.

Figura 27. GrĂĄficas de error relativo para el cĂĄlculo de la soluciĂłn exacta usando los mĂŠtodos de BisecciĂłn, Falsa posiciĂłn, InterpolaciĂłn y Newton-Raphson. El mĂŠtodo que mĂĄs rĂĄpido converge a la soluciĂłn es el de InterpolaciĂłn inversa y el mĂŠtodo mĂĄs lento es el de BisecciĂłn.

2.3. InterpolaciĂłn polinĂłmica Una funciĂłn de interpolaciĂłn es aquella que pasa a travĂŠs de puntos asociados con datos, y sirve para estimar valores intermedios que se desconocen, a travĂŠs de su evaluaciĂłn.

La interpolaciĂłn de los datos puede hacerse mediante un polinomio, las funciones spline, una funciĂłn racional o las series de Fourier (Nakamura, S., 1992). Sin embargo, el polinomio de interpolaciĂłn de Newton en diferencias divididas es uno de los mĂĄs populares (Chapra, S., 2010). De manera general, un polinomio de orden n que pasa a travĂŠs de (n + 1) puntos es Ăşnico, esto es, todas las interpolaciones polinomiales que se ajustan a los mismos datos son matemĂĄticamente iguales.

La fĂłrmula general para un polinomio de n â&#x2C6;&#x2019; ĂŠsimo grado es (Burden, R., 2001), đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x17D;0 + đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;&#x17D;3 đ?&#x2018;Ľ 3 + â&#x2039;Ż + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A; , donde a0 , a1 , a2 , â&#x20AC;Ś , an son los coeficientes.

2.3.1. InterpolaciĂłn El polinomio de đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; ĂŠđ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x153; grado es, Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;?0 + đ?&#x2018;?1 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ0 ) + â&#x2039;Ż + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ0 )(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ1 ) â&#x20AC;Ś (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 ), donde b0 , b1 , b2 , â&#x20AC;Ś , bn son los đ?&#x2018;&#x203A; coeficientes. Para determinar su valor numĂŠrico se requieren đ?&#x2018;&#x203A; + 1 puntos [đ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ0 )], [đ?&#x2018;Ľ1 , đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ1 )], [đ?&#x2018;Ľ2 , đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ2 )], â&#x20AC;Ś , [đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A; , đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A; )] asociados con los datos. A partir de ellos, los coeficientes son calculados como (Chapra, S., 2010), đ?&#x2018;?0 = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ0 ), đ?&#x2018;?1 = đ?&#x2018;&#x201C;[đ?&#x2018;Ľ1 , đ?&#x2018;Ľ0 ], đ?&#x2018;?2 = đ?&#x2018;&#x201C;[đ?&#x2018;Ľ2 , đ?&#x2018;Ľ1 , đ?&#x2018;Ľ0 ], . đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x201C;[đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A; , đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 , â&#x20AC;Ś , đ?&#x2018;Ľ1, đ?&#x2018;Ľ0 ], donde, f[xi, xj ] =

f(xi ) â&#x2C6;&#x2019; f(xj ) , xi â&#x2C6;&#x2019; xj

es la primera diferencia finita.

La segunda diferencia es, f[xi, xj , xk ] =

f[(xi , xj ) â&#x2C6;&#x2019; f[xj, xk ] , xi â&#x2C6;&#x2019; xk

y la n â&#x2C6;&#x2019; ĂŠsima diferencia es, f[xn , xnâ&#x2C6;&#x2019;1 , â&#x20AC;Ś , x1 , x0 ] =

f[(xn , xnâ&#x2C6;&#x2019;1 , â&#x20AC;Ś , x1 ]) â&#x2C6;&#x2019; f[xnâ&#x2C6;&#x2019;1 , xnâ&#x2C6;&#x2019;2 â&#x20AC;Ś , x0 ] xn â&#x2C6;&#x2019; x0

Por lo tanto, el polinomio de interpolaciĂłn de Newton en diferencias divididas es, fn (x) = f(x0 ) + (x â&#x2C6;&#x2019; x0 )f[x1 , x0 ] + (x â&#x2C6;&#x2019; x0 )(x â&#x2C6;&#x2019; x1 )f[x2 , x1 , x0 ] + â&#x2039;Ż + (x â&#x2C6;&#x2019; x0 )(x â&#x2C6;&#x2019; x1 ) â&#x20AC;Ś . (x â&#x2C6;&#x2019; xnâ&#x2C6;&#x2019;1 )f[xn , xnâ&#x2C6;&#x2019;1 , â&#x20AC;Ś , x0 ].

A continuaciĂłn se ejemplifica este tipo de interpolaciĂłn.

Ejemplo 09: A partir de un conjunto de puntos, đ?&#x2019;&#x2122; 1 4 6 5

đ?&#x2019;&#x161; = đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;) 0 1.3 1.7 1.6

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estima el valor de la funciĂłn para đ?&#x2018;Ľ = 2 usando un polinomio de interpolaciĂłn de grado 3.

SoluciĂłn Utilizando la ecuaciĂłn, đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;?0 + đ?&#x2018;?1 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ0 ) + â&#x2039;Ż + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ0 )(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ1 ) â&#x20AC;Ś (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 ), para đ?&#x2018;&#x203A; = 3, queda como, đ?&#x2018;&#x201C;3 (đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;?0 + đ?&#x2018;?1 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ0 ) + đ?&#x2018;?2 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ0 )(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ1 ) + đ?&#x2018;?3 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ0 )(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ1 )(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ2 ),

Las diferencias divididas quedan como, đ?&#x2019;&#x160;

0

đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x160;

đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D; = đ?&#x;?

đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x160; )

Primera diferencia

đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x;?) = đ?&#x;&#x17D;

đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x;&#x2019;) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x;?) đ?&#x;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? đ?&#x;?. đ?&#x;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x17D; = đ?&#x;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? = đ?&#x;&#x17D;. đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201D;

â&#x;š =đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x;&#x17D;

â&#x;š = đ?&#x;&#x17D;. đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201D; đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x;?

1

đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? = đ?&#x;&#x2019;

đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x;&#x2019;) = đ?&#x;?. đ?&#x;&#x2018;

2

đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? = đ?&#x;&#x201D;

đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x;&#x201D;) = đ?&#x;?. đ?&#x;&#x2022;

3

đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x2018; = đ?&#x;&#x201C;

đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x;&#x201C;) = đ?&#x;?. đ?&#x;&#x201D;

đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x;&#x201D;) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x;&#x2019;) đ?&#x;&#x201D;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; đ?&#x;?. đ?&#x;&#x2022; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?. đ?&#x;&#x2018; = đ?&#x;&#x201D;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x2019; = đ?&#x;&#x17D;. đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;

Segunda diferencia

đ?&#x;&#x17D;.đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;.đ?&#x;&#x2019;đ?&#x;&#x201D; đ?&#x;&#x201D;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?

=-

0.05

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;.đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;?+đ?&#x;&#x17D;.đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x201C; đ?&#x;&#x201C;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?

=

0.007

â&#x;š đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x;? = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;. đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x201C;

đ?&#x;&#x17D;.đ?&#x;?đ?&#x;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;.đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;&#x201C;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x2019;

Tercera diferencia

â&#x;š = đ?&#x;&#x17D;. đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x2022; đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x;&#x2018;

=-

0.02

đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x;&#x201C;) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x;&#x201D;) đ?&#x;&#x201C;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x201D; đ?&#x;?. đ?&#x;&#x201D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?. đ?&#x;&#x2022; = đ?&#x;&#x201C;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x201D; = đ?&#x;&#x17D;. đ?&#x;?đ?&#x;&#x2013;

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Por lo tanto, el polinomio de interpolaciĂłn de Newton en diferencias divididas es, đ?&#x2018;&#x201C;3 (đ?&#x2018;Ľ) = 0 + 0.46(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2C6;&#x2019; 0.05(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1)(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4) + 0.007(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1)(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4)(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6) al evaluar en đ?&#x2018;Ľ = 2, đ?&#x2018;&#x201C;3 (2) = 0 + 0.46(2 â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2C6;&#x2019; 0.05(2 â&#x2C6;&#x2019; 1)(2 â&#x2C6;&#x2019; 4) + 0.007(2 â&#x2C6;&#x2019; 1)(2 â&#x2C6;&#x2019; 4)(2 â&#x2C6;&#x2019; 6) = 0.62.

En la siguiente figura se muestra la funciĂłn para el cĂĄlculo de los coeficientes b0 , b1 , b2 , â&#x20AC;Ś , bn necesarios para el polinomio de interpolaciĂłn de Newton.

Figura 28. FunciĂłn que calcula los coeficientes b0 , b1 , b2 , â&#x20AC;Ś , bn del polinomio de interpolaciĂłn de Newton fn (x) = b0 + b1 (x â&#x2C6;&#x2019; x0 ) + â&#x2039;Ż + bn (x â&#x2C6;&#x2019; x0 )(x â&#x2C6;&#x2019; x1 ) â&#x20AC;Ś (x â&#x2C6;&#x2019; xnâ&#x2C6;&#x2019;1 ).

InterpolaciĂłn de Lagrange El polinomio de interpolaciĂłn de Lagrange es una reformulaciĂłn del polinomio de Newton y estĂĄ definido como (Iriarte, R., 2003),

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đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2013;=0 đ?&#x2018;&#x2014;=0 [ đ?&#x2018;&#x2014;â&#x2030; đ?&#x2018;&#x2013; ]

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;?

donde â&#x2C6;?

es el â&#x20AC;&#x153;producto deâ&#x20AC;?.

Ejemplo 10: A partir de un conjunto de puntos, đ?&#x2019;&#x161; = đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;) 5 7 9 15

đ?&#x2019;&#x2122; 0 1 2 5

encuentra el valor de la funciĂłn para x = 3 usando la fĂłrmula de interpolaciĂłn de Lagrange.

SoluciĂłn A partir de la fĂłrmula, đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2013;=0 đ?&#x2018;&#x2014;=0 [ đ?&#x2018;&#x2014;â&#x2030; đ?&#x2018;&#x2013; ]

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;? desarrollando,

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ) =

+

(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ1 )(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ2 )(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ3 ) (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ0 )(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ2 )(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ3 ) đ?&#x2018;Ś0 + đ?&#x2018;Ś + (đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ1 )(đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ2 )(đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ3 ) (đ?&#x2018;Ľ1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ0 )(đ?&#x2018;Ľ1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ2 )(đ?&#x2018;Ľ1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ3 ) 1

(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ0 )(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ1 )(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ3 ) (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ0 )(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ1 )(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ2 ) đ?&#x2018;Ś2 + đ?&#x2018;Ś (đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ0 )(đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ1 )(đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ3 ) (đ?&#x2018;Ľ3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ0 )(đ?&#x2018;Ľ3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ1 )(đ?&#x2018;Ľ3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ2 ) 3

evaluando en đ?&#x2018;Ľ = 3, đ?&#x2018;&#x201C;3 (3) =

+

(3 â&#x2C6;&#x2019; 1)(3 â&#x2C6;&#x2019; 2)(3 â&#x2C6;&#x2019; 5) (3 â&#x2C6;&#x2019; 0)(3 â&#x2C6;&#x2019; 2)(3 â&#x2C6;&#x2019; 5) (5) + (7) + (0 â&#x2C6;&#x2019; 1)(0 â&#x2C6;&#x2019; 2)(0 â&#x2C6;&#x2019; 5) (1 â&#x2C6;&#x2019; 0)(1 â&#x2C6;&#x2019; 2)(1 â&#x2C6;&#x2019; 5)

(3 â&#x2C6;&#x2019; 1)(3 â&#x2C6;&#x2019; 0)(3 â&#x2C6;&#x2019; 5) (3 â&#x2C6;&#x2019; 1)(3 â&#x2C6;&#x2019; 0)(3 â&#x2C6;&#x2019; 2) (9) + (15) = 11.

(2 â&#x2C6;&#x2019; 1)(2 â&#x2C6;&#x2019; 0)(2 â&#x2C6;&#x2019; 5) (5 â&#x2C6;&#x2019; 1)(5 â&#x2C6;&#x2019; 0)(5 â&#x2C6;&#x2019; 2) Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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Por lo tanto, para đ?&#x2018;Ľ = 3, el valor interpolado es đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 11.

En la siguiente figura se muestra el resultado de interpolaciĂłn usando la fĂłrmula de interpolaciĂłn de Lagrange.

Figura 29. FunciĂłn de interpolaciĂłn de Lagrange. Como parĂĄmetros de entrada se requieren los vectores x y y = f(x), el nĂşmero n de puntos y el punto x a interpolar.

2.3.2. InterpolaciĂłn polinĂłmica segmentaria Este mĂŠtodo divide un segmento en una serie de subintervalos y en cada subintervalo construye un polinomio de diferente aproximaciĂłn. La uniĂłn mĂĄs simple entre cada par de puntos es la lĂ­nea recta.

La aproximaciĂłn polinĂłmica segmentaria es la interpolaciĂłn lineal fragmentaria que une un conjunto de puntos (Burden, R., 2001), {(đ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ0 )), (đ?&#x2018;Ľ1 , đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ1 )), â&#x20AC;Ś , (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A; , đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A; ))} mediante una serie de rectas. En la siguiente figura se muestra un ejemplo de interpolaciĂłn entre cada par de puntos con lĂ­neas rectas.

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InterpolaciĂłn de puntos usando rectas

Figura 30. InterpolaciĂłn de puntos usando rectas. Fuente: ElaboraciĂłn propia.

Como se puede observar, la principal desventaja de los trazadores de primer grado es que no son â&#x20AC;&#x153;suavesâ&#x20AC;?. Esto es, la pendiente cambia de forma abrupta. Para resolverlo se usan trazadores polinomiales de orden superior. Estos aseguran una suavidad entre puntos adyacentes.

Generalmente se usan polinomios de tercer orden o trazadores cĂşbicos que aseguren primeras y segundas derivadas continuas. El objetivo de los trazadores cĂşbicos es obtener un polinomio de tercer orden entre cada par de puntos como (Burden, R., 2001) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2013; (đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013; (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; ) + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013; (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; )2 + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013; (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; )3 Para cada đ?&#x2018;&#x2013; = 0,1, â&#x20AC;Ś , đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1.

El sistema de ecuaciones anterior, requiere de 4đ?&#x2018;&#x203A; incĂłgnitas a evaluar. Para ello, las 4đ?&#x2018;&#x203A; condiciones para evaluar estas incĂłgnitas son (Chapra, S., 2010): 1. Los valores de la funciĂłn deben ser iguales en los puntos interiores, (2đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 2) condiciones.

2. La primera y Ăşltima funciĂłn deben pasar a travĂŠs de los puntos extremos, (2đ?&#x2018;&#x203A;) condiciones.

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3. Las primeras derivadas en los puntos interiores deben ser iguales, (2đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1) condiciones.

4. Las segundas derivadas en los puntos interiores deben ser iguales, (2đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1) condiciones.

5. Las segundas derivadas en los puntos extremos son cero, 2 condiciones.

Estas 5 condiciones proporcionan el total de las 4đ?&#x2018;&#x203A; ecuaciones requeridas para encontrar los 4đ?&#x2018;&#x203A; coeficientes.

En la siguiente figura se muestra el algoritmo para el cĂĄlculo de los coeficientes de los polinomios cĂşbicos interpolantes.

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Figura 31. Algoritmo para el cĂĄlculo de los coeficientes a, b, c, d de la funciĂłn interpolante fi (x) = a i + bi (x â&#x2C6;&#x2019; xi ) + ci (x â&#x2C6;&#x2019; xi )2 + di (x â&#x2C6;&#x2019; xi )3 evaluada en x.

A partir de un conjunto de puntos, {(đ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ0 )), (đ?&#x2018;Ľ1 , đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ1 )), â&#x20AC;Ś , (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A; , đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A; ))} el algoritmo de interpolaciĂłn que forma la curva interpolante por segmentos se muestra en la siguiente figura.

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Figura 32. Algoritmo que genera la curva interpolante por segmentos entre cada par de puntos {(x0 , f(x0 )), (x1 , f(x1 )), â&#x20AC;Ś , (xn , f(xn ))}

Ejemplo 11: Ajusta trazadores cĂşbicos a los datos, đ?&#x2019;&#x2122; 3.0 4.5 7.0 9.0

đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;) 2.5 1.0 2.5 0.5

y despuĂŠs estima x = 5.

SoluciĂłn El valor de los coeficientes es calculado con el algoritmo de interpolaciĂłn segmentaria ya definido, los valores que arrojan son: đ?&#x2018;&#x17D;0 = 2.5 đ?&#x2018;&#x17D;1 = 1 đ?&#x2018;&#x17D;2 = 2.5 đ?&#x2018;&#x17D;3 = 0.5

đ?&#x2018;?0 = â&#x2C6;&#x2019;1.42 đ?&#x2018;?1 = â&#x2C6;&#x2019;0.16 đ?&#x2018;?2 = 0.02

đ?&#x2018;?0 = 0 đ?&#x2018;?1 = 0.83 đ?&#x2018;?2 = â&#x2C6;&#x2019;0.76

đ?&#x2018;&#x2018;0 = 0.18 đ?&#x2018;&#x2018;1 = â&#x2C6;&#x2019;0.21 đ?&#x2018;&#x2018;2 = 0.12

Estos valores se sustituyen en la ecuaciĂłn, fi (x) = ai + bi (x â&#x2C6;&#x2019; xi ) + ci (x â&#x2C6;&#x2019; xi )2 + di (x â&#x2C6;&#x2019; xi )3 Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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El trazador cúbico para el primer intervalo queda como, f1 (x) = 1 − 0.16(x − 4.5) + 0.83(x − 4.5)2 − 0.21(x − 4.5)3 evaluando, f1 (x) = 1.103 (a) Conjunto de puntos relacionados con datos (b) Resultado de la interpolación segmentaria usando trazadores cúbicos.

Figura 33. a) Conjunto de puntos relacionados con datos (b) Resultado de la interpolación segmentaria usando trazadores cúbicos. Fuente: Elaboración propia.

2.3.3. Problemas de interpolación Ejemplo 12: Los datos, T, °C 0 8 16 24

O, mg/L 14.621 11.483 9.870 8.418

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32 40

7.305 6.413

definen la concentraciĂłn de oxĂ­geno disuelto a nivel del mar para agua dulce como funciĂłn de la temperatura. Estima la concentraciĂłn đ?&#x2018;&#x201A;(đ?&#x2018;&#x2021;) a đ?&#x2018;&#x2021; = 27°đ??ś usando interpolaciĂłn de Lagrange.

SoluciĂłn A partir de la fĂłrmula de interpolaciĂłn, đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2013;=0 đ?&#x2018;&#x2014;=0 [ đ?&#x2018;&#x2014;â&#x2030; đ?&#x2018;&#x2013; ]

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;?

implementada en Mathcad, interpolaremos en el punto đ?&#x2018;&#x2021; = 27°đ??ś , como se muestra a continuaciĂłn,

Y obtenemos que la concentraciĂłn a đ?&#x2018;&#x2021; = 27°đ??ś usando interpolaciĂłn de Lagrange, es de đ?&#x2018;&#x201A;(đ?&#x2018;&#x2021;) = 7.942. Usando la funciĂłn đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś, đ?&#x2018;§) = 8.00 definida por Mathcad. La curva de interpolaciĂłn segmentaria usando los puntos (đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) se muestra en la siguiente figura. La soluciĂłn exacta es de đ?&#x2018;&#x201A;(27) = 7.986. Por lo tanto, el resultado de interpolaciĂłn mĂĄs exacto fue usando polinomios cĂşbicos.

Curva de interpolaciĂłn generada a partir de los puntos (đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ś)) = (đ?&#x2018;&#x2021;, đ?&#x2018;&#x201A;(đ?&#x2018;&#x2021;)).

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Figura 34. Resultados a partir de la función de interpolación.

Figura 35.

Ejemplo 13: A partir del siguiente conjunto de puntos, Universidad Abierta y a Distancia de México

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genera un polinomio de tercer grado para cada intervalo entre los puntos asociados con los datos.

SoluciĂłn El valor de los coeficientes es calculado con el algoritmo de interpolaciĂłn segmentaria ya definido, los valores que arrojan son: đ?&#x2018;&#x17D;0 = 1.3 đ?&#x2018;&#x17D;1 = 1.5 đ?&#x2018;&#x17D;2 = 1.85 đ?&#x2018;&#x17D;3 = 2.1 â&#x2039;Ž đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = 0.25

đ?&#x2018;?0 = 0.54 đ?&#x2018;?1 = 0.421 đ?&#x2018;?2 = 1.087 â&#x2039;Ž đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 = 0

đ?&#x2018;?0 = 0 đ?&#x2018;?1 = â&#x2C6;&#x2019;0.297 đ?&#x2018;?2 = 1.407 â&#x2039;Ž đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 = 0

đ?&#x2018;&#x2018;0 = â&#x2C6;&#x2019;0.248 đ?&#x2018;&#x2018;1 = 0.947 đ?&#x2018;&#x2018;2 = â&#x2C6;&#x2019;2.956 â&#x2039;Ž đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 = 0

Estos valores se sustituyen en la ecuaciĂłn, fi (x) = ai + bi (x â&#x2C6;&#x2019; xi ) + ci (x â&#x2C6;&#x2019; xi )2 + di (x â&#x2C6;&#x2019; xi )3 El trazador cĂşbico para el primer intervalo queda como, f1 (x) = 1.5 + 0.421(x â&#x2C6;&#x2019; 1.3) â&#x2C6;&#x2019; 0.297(x â&#x2C6;&#x2019; 1.3)2 + 0.947(x â&#x2C6;&#x2019; 1.3)3 La curva interpolante segmentaria es mostrada en la siguiente figura.

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Figura 36. Curva interpolante segmentaria a partir de un conjunto de puntos

Ejemplo 14: Los datos de la vasija de un reactor de crecimiento bacterial (una vez que terminĂł la fase de retraso) son: Tiempo (h) 0 1 2 3 4 5 6

[cĂŠlulas] (g/L) 0.1 0.332 1.02 1.644 2.453 3.660 5.460

Se permite que las bacterias crezcan tan rĂĄpido como sea posible durante las primeras 2.5 horas, y despuĂŠs se les induce a producir una proteĂ­na recombinante, la cual disminuye el crecimiento bacterial en forma significativa. El crecimiento teĂłrico de las bacterias se describe por medio de, đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2039; = đ?&#x153;&#x2021;đ?&#x2018;&#x2039; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą donde đ?&#x2018;&#x2039; es el nĂşmero de bacterias, y đ?&#x153;&#x2021; es la tasa de crecimiento especĂ­fico de las bacterias durante el crecimiento exponencial. Con base en los datos, estima la tasa de crecimiento especĂ­fico de las bacterias durante las primeras 2 horas de crecimiento.

SoluciĂłn El valor de los coeficientes es calculado con el algoritmo de interpolaciĂłn segmentaria ya definido, los valores que arrojan son: đ?&#x2018;&#x17D;0 = 0.1 đ?&#x2018;&#x17D;1 = 0.332 đ?&#x2018;&#x17D;2 = 1.102 đ?&#x2018;&#x17D;3 = 1.644 â&#x2039;Ž đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = 5.460

đ?&#x2018;?0 = 0.068 đ?&#x2018;?1 = 0.559 đ?&#x2018;?2 = 0.7 â&#x2039;Ž đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 = 0

đ?&#x2018;?0 = 0 đ?&#x2018;?1 = 0.491 đ?&#x2018;?2 = â&#x2C6;&#x2019;0.351 â&#x2039;Ž đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 = 0

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đ?&#x2018;&#x2018;0 = 0.164 đ?&#x2018;&#x2018;1 = â&#x2C6;&#x2019;0.281 đ?&#x2018;&#x2018;2 = 0.193 â&#x2039;Ž đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 = 0

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Estos valores se sustituyen en la ecuaciĂłn, fi (x) = ai + bi (x â&#x2C6;&#x2019; xi ) + ci (x â&#x2C6;&#x2019; xi )2 + di (x â&#x2C6;&#x2019; xi )3 El trazador cĂşbico para el segundo intervalo queda como, f2 (x) = 1.102 + 0.7(x â&#x2C6;&#x2019; 1.02) â&#x2C6;&#x2019; 0.351(x â&#x2C6;&#x2019; 1.02)2 + 0.193(x â&#x2C6;&#x2019; 1.02)3 se evalĂşa en el tiempo đ?&#x2018;Ľ = 2, f2 (2) = 1.102.

Por otro lado, la soluciĂłn analĂ­tica de la ecuaciĂłn de crecimiento es, đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ0 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x153;&#x2021;đ?&#x2018;Ľ evaluando, 0.1đ?&#x2018;&#x2019; 2đ?&#x153;&#x2021; â&#x2C6;&#x2019; 1.102 = 0

Resolviendo la ecuaciĂłn, la tasa de crecimiento especĂ­fico de las bacterias es, đ?&#x153;&#x2021; = 1.2

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Actividades La elaboración de las actividades estará guiada por tu docente en línea, mismo que te indicará, a través de la Planeación didáctica del docente en línea, la dinámica que tú y tus compañeros (as) llevarán a cabo, así como los envíos que tendrán que realizar.

Para el envío de tus trabajos usarás la siguiente nomenclatura: BEDI_U2_A1_XXYZ, donde BEDI corresponde a las siglas de la asignatura, U2 es la unidad de conocimiento, A1 es el número de actividad, el cual debes sustituir considerando la actividad que se realices, XX son las primeras letras de tu nombre, Y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno.

Autorreflexiones Para la parte de autorreflexiones debes responder las Preguntas de Autorreflexión indicadas por tu docente en línea y enviar tu archivo. Cabe recordar que esta actividad tiene una ponderación del 10% de tu evaluación.

Para el envío de tu autorreflexión utiliza la siguiente nomenclatura: BEDI_U2_ATR _XXYZ, donde BEDI corresponde a las siglas de la asignatura, U2 es la unidad de conocimiento, XX son las primeras letras de tu nombre, y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno

Cierre de la unidad A lo largo de esta unidad has podido adentrarte en los métodos de solución numérica de ecuaciones algebraicas del tipo f(x) = 0. Has estudiado dos tipos de procedimientos, los basados en los métodos cerrados como son Bisección y falsa posición (o regula falsi); y los métodos abiertos entre ellos Newton Raphson e Interpolación abierta. Cada uno de ellos son métodos iterativos, por lo que se han analizado e implementado algoritmos para el cálculo de soluciones aproximadas. Se determinó la eficiencia de los algoritmos a través del número de iteraciones n que cada uno necesita para encontrar la solución. El método de Bisección fue el más lento, y el método de interpolación inversa fue de los más rápidos. Sin embargo, existen casos en los cuales los métodos abiertos no encuentran la solución, a diferencia de los métodos cerrados que siempre la encuentran. Es necesario tener en cuenta que la eficiencia del algoritmo depende de los valores iniciales.

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Durante la unidad también analizaste los métodos de interpolación lineal entre puntos provenientes de mediciones e implementaste los algoritmos de interpolación de Newton en diferencias divididas e interpolación de Lagrange.

Un problema con la interpolación con rectas son los cambios abruptos, por ello se analizó el método de interpolación segmentaria usando polinomios cúbicos. La ventaja es el perfil suave que le da a la curva de interpolación. Debido a que el número de cálculos para obtener los coeficientes de este polinomio son demasiados, se implementó un algoritmo para obtener los coeficientes y la curva interpolante.

En contextos de la ingeniería, y en nuestro caso la biotecnología, siempre se requiere resolver ecuaciones que modelan problemas del mundo real, por lo que esta combinación de técnicas matemáticas, numéricas y algoritmos computacionales, te serán de gran utilidad para el análisis y modelado de problemas que requieran de la solución de una ecuación algebraica. En las actividades de aprendizaje se te plantean problemas de la biotecnología que requieren una solución numérica.

Es aconsejable que revises nuevamente la unidad en caso de que lo que se acaba de mencionar no te sea familiar, o no los recuerdes; de no ser éste tu caso, has concluido la unidad, por lo que puedes ingresar a la Unidad 3: Solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales. En esta ocasión, no sólo se busca una solución a una ecuación, sino se trata de encontrar un conjunto de soluciones que satisfagan simultáneamente a un conjunto de ecuaciones. Con lo anterior, podrás resolver una gran número de problemas de la ingeniería que modelen redes de flujos, reactores, sistemas de tuberías entre otros.

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Para saber mĂĄs

Te recomendamos ver los siguientes enlaces, ya que te serĂĄn de gran ayuda. ď&#x201A;ˇ MĂŠtodo de la bisecciĂłn http://www.youtube.com/watch?v=MUCwZKPntXg Para reforzar los conocimientos sobre el mĂŠtodo de bisecciĂłn. En este video se te explica el objetivo del mĂŠtodo de bisecciĂłn, cĂłmo se aplica y bajo quĂŠ condiciones es eficaz para el cĂĄlculo de la raĂ­z. AdemĂĄs se construye el pseudocĂłdigo para su implementaciĂłn en un editor a travĂŠs de una funciĂłn iterativa. Al final se resuelve un ejemplo con tres iteraciones. ď&#x201A;ˇ MĂŠtodo de la falsa posiciĂłn â&#x20AC;&#x201C;Regula Falsi http://www.youtube.com/watch?v=NPTZXh-hPxc Para reforzar los conocimientos sobre el mĂŠtodo de falsa posiciĂłn o regula falsi. Este video inicia con un recordatorio del cĂĄlculo de la pendiente a partir de dos puntos. De esta manera, se llega a la expresiĂłn del mĂŠtodo de falsa posiciĂłn para encontrar la soluciĂłn aproximada a la ecuaciĂłn algebraica. ď&#x201A;ˇ MĂŠtodo de Newton-Raphson http://www.youtube.com/watch?v=3C2MHKVVpwI En este video se te explica el objetivo del mĂŠtodo de Newton Raphson, cĂłmo funciona geomĂŠtrica y analĂ­ticamente. AdemĂĄs se deduce la expresiĂłn iterativa del mĂŠtodo para ser implementada. Al final se resuelve un ejemplo clĂĄsico para tres iteraciones. ď&#x201A;ˇ InterpolaciĂłn polinĂłmica http://www.youtube.com/watch?v=-vpLkViP7aI Se te explica el proceso de interpolaciĂłn a partir de un conjunto de đ?&#x2018;&#x203A; puntos. Paso a paso se deducen los coeficientes de un polinomio de grado đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1 usando diferencias divididas.

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Al final se sustituyen los coeficientes y los puntos para deducir la funciĂłn polinĂłmica que interpola los valores de đ?&#x2018;Ľ, que a su vez genera los valores de đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ). ď&#x201A;ˇ Crear funciones, ecuaciones y graficar http://www.youtube.com/watch?v=BHPfm2EVLU8 El objetivo de este video es dar una introducciĂłn a la programaciĂłn en Mathcad. Para ello, se implementa, grafica y evalĂşa una funciĂłn en este entorno. ď&#x201A;ˇ CreaciĂłn de funciones en MATLAB http://www.youtube.com/watch?v=ylry403w8Uk El objetivo de este video es dar una introducciĂłn a Matlab. Por ello, se implementa y evalĂşa una funciĂłn para el cĂĄlculo de raĂ­ces a partir de la fĂłrmula general.

Fuentes de consulta

Burden, R., Douglas J., (2001). AnĂĄlisis numĂŠrico. MĂŠxico: CENGAGE Learning.

Chapra, S. (2010). MĂŠtodos numĂŠricos para ingenieros. MĂŠxico: Mc GrawHill.

Dennis G. Zill, (2009). Ecuaciones diferenciales. Tercera EdiciĂłn. MacGrawHill.

Iriarte, R. (2003). MĂŠtodos numĂŠricos. MĂŠxico, D. F: Trillas.

Mathews, J., Fink K. (2004). MĂŠtodos numĂŠricos con MATLAB. EspaĂąa: Prentice Hall.

Nakamura, S., (1992). MĂŠtodos numĂŠricos aplicados con software. MĂŠxico: Prentice Hall.

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