Unidad 3. Ecuaciones diferenciales con valores a la frontera by Jazina Ruiz Hernández

Matemáticas aplicadas para ingeniería Ecuaciones diferenciales con valores a la frontera

Programa de la asignatura:

Matemáticas aplicadas para ingeniería

Ecuaciones diferenciales con valores a la frontera

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Índice Presentación de la Unidad ........................................................................................................ 2 Propósitos ................................................................................................................................. 2 Competencia específica............................................................................................................ 3 3.1. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales separables ........................................... 3 3.1.1. Ecuación diferencial parcial (EDP) lineal ........................................................................ 3 3.1.2. Solución de una EDP ...................................................................................................... 4 3.1.3. Clasificación de las ecuaciones ...................................................................................... 8 3.2. Ecuaciones clásicas y problemas de valores en la frontera ............................................ 11 3.2.1. Condiciones iniciales .................................................................................................... 11 3.2.2. Condiciones en la frontera ............................................................................................ 15 3.2.3. Tipos de condiciones en la frontera .............................................................................. 17 3.3. Ecuación de Laplace ........................................................................................................ 19 3.3.1. Solución de un problema de valores en la frontera por separación de variables ........ 19 3.3.2. Ecuación de Laplace con dos variables ....................................................................... 26 3.4. Problemas de valores en la frontera con series de Fourier ............................................. 34 3.4.1. Ecuación de transmisión de calor en dos dimensiones ................................................ 34 3.4.2. Ecuación de onda en dos dimensiones ........................................................................ 40 3.4.3. Serie de senos, de cosenos con dos variables ............................................................ 47 Actividades .............................................................................................................................. 58 Autorreflexiones ...................................................................................................................... 58 Cierre de la Unidad ................................................................................................................. 58 Para saber más ....................................................................................................................... 59 Fuentes de consulta ................................................................................................................ 59

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Presentación de la Unidad En esta Unidad se presenta una breve introducción a las ecuaciones diferenciales parciales presentando conceptos elementales como son: orden, tipo y linealidad. Se presentan los conceptos con condiciones iniciales y condiciones de frontera. Después se utiliza el método de separación de variables para resolver este tipo de ecuaciones en rectángulos, semiplanos y semibandas, estas soluciones utilizan las series de Fourier en una o dos variables por lo cual se finaliza presentando la serie de Fourier de una función doblemente periódica.

Propósitos

 

Identificar los conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales. Utilizar el método de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales parciales.



Calcular la serie de Fourier de una función doblemente periódica.

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Competencia específica

Aplicar ED con valores a la frontera para obtener soluciones a problemas que varían en el tiempo, bajo condiciones específicas, para el análisis de procesos dinámicos.

3.1. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales separables En los cursos de matemáticas elementales, se estudian ecuaciones algebraicas, estas son expresiones que involucran expresiones derivadas de las operaciones de suma, resta, multiplicación y división, resolver una ecuación de esta naturaleza consiste en encontrar números que satisfagan la igualdad presentada. En esta sección se presenta el concepto de ecuación diferencial, que es similar al de ecuación algebraica.

3.1.1. Ecuación diferencial parcial (EDP) lineal En esta sección se presentan las definiciones de los conceptos básicos que hay que tener presente en el estudio de las ecuaciones diferenciales. Definición: Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene las derivadas de una o más funciones desconocidas con respecto a una o variables independientes.

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Antes de continuar, hay que tener presente que en cualquier curso de cálculo de una variable, si la función f depende de la variable x , la derivada de f con respecto a x se denota por:

df ó f '( x) ó Dx f dx De forma similar, si la función f depende de las variables x1 ,, xn las derivadas parciales de f con respecto a x k para k  1,n se denota por

f xk

f k ( x) ó Dxk f

Ejemplo: La ecuación d2 f  x2  y 2 2 dx y Es una ecuación diferencial donde es la función que depende de la variable independiente

x. Ejemplo: La relación y '' (sen x) y ' y 2  x3

Es una ecuación diferencial, donde la variable y depende de la variable independiente x . Ejemplo: La relación

f f   x y x y Es una ecuación diferencial, donde la función f depende de las variables independientes y y

x respectivamente. Ejemplo: La relación

2sen 2 x  y 2  sen  x  y  No es ecuación diferencial, ya que en ella no se presenta ninguna derivada.

3.1.2. Solución de una EDP En cursos elementales se muestra que la ecuación cuadrática ax 2  bx  c  0 donde a, b, c 

y a0

Tiene por solución x

¿Por qué la expresión

b  b 2  4ac cuando b2  4ac  0 2a

b  b 2  4ac es solución de ax 2  bx  c  0 ?, por la siguiente razón: 2a

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Al sustituir dicha expresión se tiene: 2

 b  b 2  4ac   b  b 2  4ac  a  b c0 2a 2a      b 2  2b b 2  4ac   b 2  4ac   b 2  b b 2  4ac   c0  4a  2a  

 2b

 



 2b b 2  4ac  4ac  2b 2  2b b 2  4ac  4ac 4a

0

0 0 4a 00

b  b 2  4ac satisface la expresión ax 2  bx  c  0 . 2a En analogía con las ecuaciones algebraicas, se tiene (en forma intuitiva) el siguiente concepto. Definición: una solución de una ecuación diferencial, es una función que al ser sustituida en la ecuación diferencial, esta conserva la igualdad, esta función puede presentarse de forma explícita o implícita.

Es decir, la expresión

Ejemplo: Muestre que la función y  e2x es solución de la ecuación diferencial: y '' y ' 2 y  0 .

Solución: Para resolver este ejercicio basta con sustituir la función y  e2x en la expresión y '' y ' 2 y  0 . Para ello se tiene que observar lo siguiente: y  e2 x

y '  2e2 x

y ''  4e2 x

Lo que implica que: y '' y ' 2 y  0

 4e    2e   2  e   0 2x

00

como la igualdad se tiene, la función y  e

es solución de la ecuación diferencial

y '' y ' 2 y  0 .

Ejemplo: Muestre que la función x2  y 2  4 es solución de la ecuación diferencial:

dy x  dx y

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Solución: Este ejercicio se resuelve de forma similar al anterior, teniendo en cuenta que la función está en forma implícita. Para ello se tiene que observar lo siguiente: d 2 d x  y2    4  dx dx d 2 d 2  x   dx  y   0 dx dy 2x  2 y 0 dx dy x y 0 dx dy x dy  . Despejando en la última relación, se tiene que dx dx y Ejemplo: Muestre que la función y 

1 2  4 x  3x 2   2e3 x es solución de la ecuación  27

diferencial: y '' 6 y  9 y  x2 .

Solución: Este ejercicio se resuelve de forma similar al anterior, solo basta con sustituir 1 la función y   2  4 x  3x 2   2e3 x en la expresión y '' 6 y  9 y  x2 . Para ello se tiene que 27 observar lo siguiente:

y

1  2  4 x  3x2   2e3x 27

y' 

1  4  6 x   6e3 x 27

y '' 

2  18e3 x 9

Lo que implica que: y '' 6 y   9 y  x 2 2  1  1 3x  3x  2 3x  2   18e   6   4  6 x   6e   9   2  4 x  3x   2e   x 9 27 27       1 2 2 2  3x 3x 3x 2    4  6 x    2  4 x  3x     18e  36e  18e   x 3 9 9  x2  x2

como la igualdad se tiene, la función y 

1 2  4 x  3x 2   2e3 x es solución de la ecuación  27

diferencial y '' 6 y  9 y  x2 . Ejemplo: Muestre que la función u  x, y   x 2  y 2  3x  4 y es solución de la ecuación diferencial:

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 2u  2u  0. x 2 y 2

Solución: De forma similar a lo anterior tienes que observar lo siguiente: u u  2 y  4  2x  3 y x

 2u 2 x 2

 2u  2 y 2

Lo que implica que:

 2u  2u  0 x 2 y 2

 2    2   0 00 como la igualdad se tiene, la función u  x, y   x  y 2  3x  4 y es solución de la ecuación 2

diferencial

 2u  2u  0. x 2 y 2

Ejemplo: Muestre que la función u  x, y   r n cos  n  donde n , es solución de la ecuación diferencial:  2u 1 u 1  2u    0. r 2 r r r 2 y 2

Solución: De forma similar a lo anterior tienes que observar lo siguiente: u u  nr n sen  n   nr n 1 cos  n   y r

 2u  n  n  1 r n  2 cos  n  2 r

 2u  n 2 r n cos  n  2 y

Lo que implica que:  2u 1 u 1  2u   0 r 2 r r r 2 y 2  n  n  1 r n2 cos  n    1r  nr n1 cos  n    r12  n2 r n cos  n    0 n  n  1 r n  2 cos  n   nr n  2 cos  n   n 2 r n  2 cos  n   0 00

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como la igualdad se tiene, la función u  x, y   r n cos  n  es solución de la ecuación diferencial  2u 1 u 1  2u    0. r 2 r r r 2 y 2

Ejemplo: Muestre que la función y  xe3x , no es solución de la ecuación diferencial: y '' 8 y ' 4 y  x .

Solución: Basta mostrar que al sustituir la función y  xe3x , esta no satisface la igualdad y '' 8 y ' 4 y  x , para ello se tiene lo siguiente:

y  xe3 x Esto implica que:

y '  1  3x  e3 x

y ''  3 2  3x  e3 x

y '' 8 y ' 4 y 2   3  2  3x  e3 x   8  1  3x  e3 x   4  xe3 x     2  11x  e3 x  x

como la igualdad no se tiene, por lo tanto y  xe3x no es solución de la ecuación diferencial y '' 8 y ' 4 y  x .

3.1.3. Clasificación de las ecuaciones Las ecuaciones diferenciales se clasifican en términos del tipo, orden y linealidad: Por tipo: Se dice que una ecuación diferencial ordinaria es aquella que tiene únicamente derivadas ordinarias de una o varias funciones desconocidas que dependen de una sola variable independiente. De forma similar, una ecuación diferencial parcial es aquella que tiene derivadas parciales de una o varias funciones desconocidas que dependen de varias variables independientes. Ejemplo: En la ecuación diferencial: d 2 x 2 dx   4t 2 x  e3 x 2 dt x dt es ordinaria. Observa que la variable desconocida x depende de la variable independiente t .

Ejemplo: En la ecuación diferencial: 2

 dx  dy  sen  x  y     dt  dt 

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es ordinaria. Observa que las variables desconocidas x y y dependen de la variable independiente t . Ejemplo: En la ecuación diferencial:

u u   ln  x  y  x y es parcial. Observa la variable desconocida u depende de las variables independientes x y y. Ejemplo: En la ecuación diferencial:  2u  2u  2u v    x 2 y 2 z 2 t

es parcial. Observa la variables desconocidas u y v depende de las variables independientes x, y , z y t . Por orden: En una ecuación diferencial, ya sea ordinaria o parcial, el orden es el orden de derivación más grande que aparece en dicha ecuación. Ejemplo: En la ecuación diferencial: 4

 2u  u    0 x 2  y 

es de orden 2 , ya que el término que tiene el orden máximo de derivación es

 2u . x 2

Ejemplo: En la ecuación diferencial: 3

d4x x  dx  d 2 y 2 3 x sen  2t  4     2 y e dt t  1  dt  dt

es de orden 4, ya que el término que tiene el orden máximo de derivación es

d 4x . dt 4

Por linealidad: Una ecuación diferencial ordinaria es lineal si y solo si tiene la siguiente forma: an ( x) y( n)  an1 ( x) y ( n1)   a2 ( x) y '' a1 ( x) y ' a0 ( x) y  b( x) Donde y es la variable desconocida dependiente, x es la variable independiente y las funciones an ( x),, a0 ( x), b( x) son funciones reales. Es decir, una ecuación diferencial lineal es aquella en que las derivadas de la variable dependiente tienen potencia 1 y los coeficientes de tales derivadas son funciones de la variable independiente, y es igual a una función de la variable independiente.

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En el caso particular cuando las funciones an ( x),, a0 ( x) constantes y b( x)  0 , a la ecuación diferencial lineal an y( n)  an1 y( n1) 

Se le asocia la ecuación algebraica: an mn  an1mn1 

 a2 y '' a1 y ' a0 y  0  a2 m2  a1m  a0  0

Las soluciones de la ecuación anterior proporcionan la solución de la ecuación diferencial lineal considerando los siguientes casos: Caso 1.

Soluciones reales y distintas: si las soluciones de la ecuación son m1 ,, mn

reales y distintas entonces la solución está dada por la relación: y  c1em1x  c2em2 x   cnemn x Ejemplo: Resolver y '' 3 y ' 2 y  0 Solución: La ecuación algebraica asociada es m2  3m  2m  0 cuyas soluciones son m1  1 y m2  2 , entonces la solución es y  c1e x  c2e2 x Caso 2.

Soluciones repetidas: si una solución mk se repite j veces la solución está

dada por c1emk x  c2 xemk x  c3 x2emk x 

 c1 xmk 1emk x .

Ejemplo: Resolver y ''' 3 y '' 3 y ' y  0 . Solución: La ecuación algebraica asociada es m3  3m2  3m  1  0 cuya única solución (repetida 3 veces) es m  1, entonces y  c1e x  c2 xe x  c2 x2e x es la solución buscada. Caso 3.

Soluciones complejas: cuando aparece una solución compleja, digamos

m  a  ib , la solución está dada por c1eax cos  bx   c2eax sen  bx  . Ejemplo: Resolver y '' 4 y ' 13 y  0 Solución: La ecuación algebraica asociada es m2  4m  13  0 cuyas soluciones

y  c1e2 x cos  3x   c2e2 x sen  3x  son m  2  3i , entonces es la solución buscada. A continuación se presentan otros ejemplos de ecuaciones lineales donde los coeficientes no necesariamente son funciones constantes. Ejemplo: La ecuación diferencial:

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2 d2y dy   x  1  xy  e x 2 dx dx 2 d y dy Es lineal, ya que las derivadas , y y de y con respecto a x tienen potencial 1 y sus dx 2 dx coeficientes x 2 , x  1 y x son funciones de la variable independiente x respectivamente, la

expresión es igual a la función ex es una función de la variable independiente x . Ejemplo: La ecuación diferencial: d3y dy   2 x3  1  ln  3x  2  3 dx dx 2 3 d y d y dy Es lineal, ya que las derivadas , , y y de y con respecto a x tienen potencial 1 dx 3 dx 2 dx cos  x 2 

y sus coeficientes cos  x2  , 0 , 2 x3  1 y 0 son funciones de la variable independiente x respectivamente, la expresión es igual a la función ln  3x  2  que es una función de la variable independiente x . Ejemplo: La ecuación diferencial:

dy dy  y2 0 dx dx dy No es lineal, ya que coeficiente de del término es y 2 y no es una función de la variable dx independiente x .

 2 x  3

3.2. Ecuaciones clásicas y problemas de valores en la frontera En esta sección se presentan los dos tipos de condiciones que se le imponen a las ecuaciones diferenciales, estos son muy importantes, ya que al momento de aplicar dichas ecuaciones tales condiciones aparecen de forma natural en los planteamientos.

3.2.1. Condiciones iniciales Las condiciones iniciales en una ecuación diferencial ordinaria o en parciales consiste en poner condiciones en un punto fijo.

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial:

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dny  f  x, y, y ',, y n 1  dx n

Sujeta a la condición:

y  x0   y0 , y '  x0   y1 , , y n1  x0   yn1 Donde y0 ,, yn 1 son constantes arbitrarias, punto fijo es x0 . Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial: y '  2 x sujeta a y(1)  2 . Solución: Hasta ahora no se ha presentado un método para resolver ecuaciones diferenciales, aquí se hará uso de resultados de cálculo de una variable. Para resolver lo anterior, tienes que preguntarte: ¿qué función tiene primera derivada igual a 2x ?, la respuesta a esta pregunta es y  x2  c , esto resuelve la ecuación diferencial, pero tienes que observar que es una familia de funciones (para cada c hay una solución), como lo muestra la siguiente figura:

Hay que encontrar los elementos de la familia que cumplan con la condición inicial y(1)  2 , observa que esta condición significa que la parábola que se busca tiene que pasar por el punto 1, 2  , para ello se hace lo siguiente: y  x2  c 2  1  c 2

c 1 Por consiguiente la función y  x  1 satisface el problema de valor inicial, gráficamente se 2

tiene lo siguiente:

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Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial: y ''  2 sujeta a y(0)  1 y y '(0)  1 Solución: De forma similar al ejemplo anterior, tienes que preguntarte: ¿qué función tiene segunda derivada igual a 2 ?, la respuesta a esta pregunta es y  x2  c1 x  c2 , es decir, la solución a la ecuación diferencial es el conjunto de todas las parábolas verticales que abren hacia arriaba. Solo resta encontrar qué parábola cumple con las condiciones iniciales y(0)  1 y y '(0)  1 , para ello se hace lo siguiente:

y  x 2  c1 x  c2

y '  2 x  c1

1   0   c1  0   c2

1  2  0   c1

1  c2

1  c1

Por consiguiente la función y  x  x  1 satisface el problema de valor inicial. Para interpretar 2

gráficamente el problema anterior, observa que la condición y(0)  1 significa que la parábola tiene que pasar por el punto  0,1 . Además, recuerda que la derivada es el valor de la pendiente de la recta tangente en el punto de contacto, es decir, la condición y '(0)  1 significan que la recta tangente a la parábola en el punto  0,1 tiene pendiente 1 . Juntando toda esta información se tiene la siguiente figura:

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Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial: y ''  y sujeta a y (0)  0 y y '(0)  1

Solución: De forma similar al ejemplo anterior, ¿qué función tiene segunda derivada igual a si misma?, la respuesta a esta pregunta es y  c1ex  c2e x . Solo resta encontrar qué función de la forma y  c1ex  c2e x cumple con las condiciones iniciales y (0)  0 y y '(0)  1 , para ello se hace lo siguiente:

y  c1e x  c2 e  x

y '  c1e x  c2 e  x

0  c1e0  c2 e  o

1  c1e0  c2 e 0

0  c1  c2

1  c1  c2

El anterior sistema tiene la solución c1 

1 1 y c2   . Por consiguiente la función 2 2

1 1 y  e x  e x satisface el problema de valor inicial. Gráficamente, se tiene la siguiente figura: 2 2

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3.2.2. Condiciones en la frontera Los problemas de valores de frontera, son similares a los problemas de valor inicial, consiste en resolver una ecuación diferencial ordinaria o parcial dando condiciones en la frontera del dominio de definición de la función solución. Ejemplo: Considera la ecuación diferencial: a2

 2u  2u  x 2 y 2

Sujeta a la condición

u (0, y)  0

u ( A, y)  0

u ( x,0)  f ( x)

y 0 0 x A

Hay que observar que el conjunto donde se está trabajando está determinado por las relaciones: y  0 y 0  x  A , gráficamente se presenta en la siguiente figura:

Ejemplo: Considera la ecuación diferencial:  2u  2u   x y x 2 y 2 Sujeta a la condición u (0, y )  0 x u (0, y )  0

u ( a, y )  0 x u ( a, y )  f ( x )

0 yb 0xa

Similarmente al ejemplo anterior, el conjunto donde se está trabajando está determinado por las relaciones: 0  x  a y 0  y  b , gráficamente se presenta en la siguiente figura:

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Ejemplo: Considera la ecuación diferencial: sen( x  y )

u  2u  ye x 2  0 x y

Sujeta a la condición

u (1, y )  sen( y ) x u (4  x 2 , y )  0

u ( x,0)  f ( x)

0  y  4  x2 1  x  2

El conjunto donde se está trabajando está determinado por las relaciones: 1  x  2 y 0  y  4  x2 , gráficamente se presenta en la siguiente figura:

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3.2.3. Tipos de condiciones en la frontera Como habrás notado en los ejemplos de la sección anterior, hay muchas condiciones que se pueden pedir en la frontera del dominio de definición de una función solución. En esta parte se presenta tres tipos de condiciones que son muy útiles en la modelación de algunos problemas clásicos de la física. Problema de Dirichlet: Para una función f

continua definida en  la frontera de una

región  de n y una ecuación diferencial ordinaria o en derivadas parciales, hay que encontrar una solución u en la región  de tal forma que u ( x)  f ( x) para todo x . Ejemplo: La ecuación diferencial:  2u  2u  0 x 2 y 2

Sujeta a la condición u (0, y )  g1 ( y ) u ( a, y )  g 2 ( y ) u ( x,0)  f1 ( x) 0 xa

u ( x, b )  f 2 ( y ) 0 yb

Es un problema de Dirichlet, observa que  y  son el rectángulo y su interior como se muestra en la siguiente figura:

Condición de Neumann: Dada una ecuación diferencial ordinaria o en derivadas parciales, hay que encontrar una solución u a partir de los valores que su derivada a lo largo de la frontera  de una región  de

Ejemplo: La ecuación diferencial:  2u  2u  0 x 2 y 2

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Sujeta a la condición u (0, y )  0 x u ( x,0)  0 y 0 xa

u ( a, y )  f ( y ) x u ( x, b )  g ( y ) y 0 yb

Presenta las condiciones de Neumann, observa que  y  son el rectángulo y su interior como se muestra en la siguiente figura:

Condición de Robin: Dada una ecuación diferencial ordinaria o en derivadas parciales, la condición del valor de frontera está dada entre combinaciones lineales de una función f y los valores de su derivada f ' a los largo de la frontera  de  de

Ejemplo: La ecuación diferencial:  2u  2u  0 x 2 y 2

Sujeta a la condición u (0, y )  0 u ( x,0)  f ( x) 0 xa

u ( a, y ) 

u ( a, y )  0 x

u ( x, b )  g ( y ) y 0 yb

Presenta condiciones de Neumann, observa que  y  son el rectángulo y su interior como se muestra en la siguiente figura:

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Como habrás observado, los tres ejemplos pretenden resolver la misma ecuación diferencial, sobre el mismo rectángulo, pero las condiciones que se le imponen sobre la frontera del mismo son distintas, esto provoca que la solución, si es que existe, sea distinta.

3.3. Ecuación de Laplace En las secciones anteriores se presentaron algunos conceptos básicos que se utilizan en las ecuaciones diferenciales parciales. En esta sección se presenta cómo resolver las ecuaciones diferenciales parciales de variables separables y la ecuación de Laplace en dos variables.

3.3.1. Solución de un problema de valores en la frontera por separación de variables El método de separación de variables, también conocido como método de expansión de eigenfunciones o método de Fourier es una técnica estándar en la solución de ecuaciones diferenciales parciales, se utiliza en regiones acotadas. Todo se basa en el concepto de separación de variables el cual consiste en expresar una función escalar f que depende de las variables independientes x1 , xn como producto de funciones f1 ,, f n donde cada f k es una función exclusiva de la variable x k , en símbolos

f  x1 ,, xn   f1  x1 

f n  xn  para toda  x1 ,, xn   

Como caso particular de ecuaciones diferenciales ordinarias, cuando una variable y depende de la variable independiente x una ecuación diferencial es de variables separables si y solo si tiene la forma: f ( x)dx  g ( y )dy  0

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Esta ecuación diferencial se resuelve integrando ambos lados de la igualdad para obtener lo siguiente:

 f ( x)dx   g ( y)dy  c Donde c es una constante: Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial xy 2 dx  y xdy  0 . Solución: Basta observar que al dividir la ecuación xy 2 dx  y xdy  0 entre y 2 x se obtiene la forma deseada, como lo muestran las siguientes relaciones: xy 2 dx  y xdy  0 xy 2 dx  y xdy y2 x

0

dy 0 y dy xdx    c y xdx 



2 32 x  ln y  c 3 Aplicando propiedades algebraicas se tiene que:

ln y  c 

2 32 x 3 3

ye

2 c x2 3

  2 x2  e  e 3  

2   x2   Ce 3  

Aquí se ocupa el hecho de que si c es constante entonces ec también es contante. Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial y '   Solución: Sustituyendo y ' por

2x sujeto a y (1)  1 . y

dy se tienen las siguientes: dx dy 2x  dx y ydy   ydy  0   2 xdx   ydy  c x2 

1 2 y c 2

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Sustituyendo la condición inicial y (1)  1 se tiene que:

1



1 2 1  c 2 3 c 2

1 2 3 y  . 2 2 En el caso de ecuaciones diferenciales parciales, en esta sección solo se considerarán funciones f de dos variables x y t , en consecuencia se tiene que: Por lo tanto la solución es x 2 

f ( x, t )  g ( x)h(t )

Luego este producto se sustituye en la ecuación diferencial parcial, provocando que esta se descomponga en dos ecuaciones diferenciales parciales, la primera en términos de g ( x ) y la segunda en términos de h(t ) . Hay que observar que la sustitución del producto en las condiciones de frontera de la ecuación diferencial inducen condiciones de frontera sobre g ( x ) , lo que implica que hay una ecuación diferencial con valores de frontera para g ( x ) y una ecuación diferencial ordinaria para h(t ) . Estas dos ecuaciones se resuelven y su producto es la solución u ( x, t ) de la ecuación diferencial parcial con las condiciones de frontera dadas.

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial: u  2u k 2 t x Sujeta a la condición: u (0, t )  0 u (a, t )  0 u ( x,0)  f ( x) 0  x  a t  0 Por el método de separación de variables. Solución: Para resolver esta ecuación diferencial, se realiza lo que se describe en el párrafo anterior, el cual se muestra por medio de los siguientes pasos: Paso 1.

Debes supone que u ( x, t )  g ( x)h(t ) y sustituir esto en la ecuación diferencial

parcial, del siguiente modo:

u  2u k 2 t x  2  g ( x)h(t )   k 2  g ( x)h(t )  t x  2 g ( x)  h(t )   kh(t ) 2  g ( x)  t x g ( x)h '(t )  kh(t ) g ''( x) La última expresión es equivalente a:

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h '(t ) g ''( x)  kh(t ) g ( x) Observa que las variables en la última relación han sido separadas, si esto no sucede, este método no funciona. Paso 2. Ahora se procede a construir de ecuaciones diferenciales ordinarias una que depende de g ( x ) y otra de h(t ) . Como x y t son variables independientes para que una función de t sea igual a una función de x , esta forzosamente tiene que ser constante, digamos  . Por consiguiente se tienen las siguientes relaciones: h '(t ) g ''( x)  y  kh(t ) g ( x) De forma equivalente: h '(t )   kh(t )

g ''( x)   g ( x)

La constante  toma el nombre de constante de separación y tienes que tener en cuenta que es un valor desconocido. Paso 3. Se sustituye el producto en las condiciones de frontera dadas, del siguiente modo: u (0, t )  0 u ( x,0)  f ( x) u ( a, t )  0

g (0)h(t )  0 g ( x)h(0)  f ( x) g (a)h(t )  0 Ahora como h(t ) y g ( x ) no son idénticamente igual a cero se tiene que g (0)  g (a)  0 Lo que permite obtener la ecuación diferencial con valores de frontera para g ( x ) la cual queda del siguiente modo: g ''( x)   g ( x) sujeta a g (0)  0 y g (a)  0 donde 0  x  a Paso 4.

Se resuelve la ecuación diferencial del siguiente modo: g ''( x)   g ( x) sujeta a g (0)  0 y g (a)  0 donde 0  x  a

Se resuelve por casos: para   0 se tiene que g ''( x)  0 por consiguiente se tiene que g ( x)  Ax  B , pero las condiciones g (0)  0 y g (a)  0 inducen que A  0 y B  0 , en

consiguiente g ( x)  0 , es decir g ( x)  0 , lo cual es una solución que satisface las ecuación diferencial pero no cumple con las condiciones de frontera, ya que se requiere que u ( x,0)  f ( x) . Tomando   0 se tiene que la ecuación g ''( x)   g ( x)  0 se le asocia el polinomio m2    0 que tiene como soluciones m    , en consecuencia g ( x)  c1e x



 c2 e x  , aplicando las condiciones g (0)  0 y g (a)  0 se

obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales: c1  c2  0 c1ea



 c2 e a



0

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Cuya solución es c1  c2  0 , de forma similar al caso anterior se tiene que g ( x)  0 . Finalmente para   0 , para mejor entendimiento considera que   b2 , lo que induce la ecuación g ''( x)  b2 g ( x)  0 se le asocia el polinomio m2  b 2  0 que tiene como soluciones m  bi , en consecuencia g ( x)  c1 cos  bx   c2 sen  bx  , Aplicando la condición g (0)  0 se obtiene lo siguiente:

0  c1 cos  0   c2 sen  0  0  c1 Lo que implica que g ( x)  c2 sen  bx  . Aplicando la condición g (a)  0 implica que

0  c2 sen  ba  , claramente si c2  0 se satisface la relación anterior, pero eso nos lleva a los dos casos anteriores, por lo que hay que supone que c2  0 y esto implica que

\ 0 , así se obtiene que b 

sen  ab   0 y entonces ab   n donde n 

n a

y en

consecuencia:

  b 2  

 2 n2 a2

La solución es:

n  g ( x)  c2 sen  x  a  Finalmente se resuelve: h '(t )   kh(t ) dh  2n2  2 dt a dh  2n2  2 h a dh  2n2   h a2  2 n2 ln  h    2 a h(t )  Ce



 2 n2 a2

kh kdt

 kdt kt  c1 kt

Paso 5. Se presenta la familia que genera la solución de la ecuación diferencial, cada elemento de esta familia es el producto de las funciones encontradas en el paso anterior, en este caso se tiene que la solución es la función:   2 n2       n    k   a 2 t  u ( x, t )  g ( x)h(t )   c2 sen  x   Ce   a     

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\ 0 se tiene una solución, por consiguiente el

Observa que por cada valor n 

resultado se presenta de la siguiente manera:  2 n2

n  sen  x  a  Paso 6. Se presenta la solución general como combinación lineal de la familia encontrada en el paso anterior: un ( x, t )  cn e





u( x, t )   un ( x, t )   cn e n 1

Paso 7.



 2 n2 a2

n 1

n  sen  x  a 

Se procede a calcular los coeficientes cn con n 

\ 0 , utilizando la condición

u ( x,0)  f ( x) del siguiente modo: 



u ( x,0)   un ( x,0)   cn e n 1



 2 n2 a2

k  0

n 1

n   n  sen  x    cn sen  x  a  n 1  a 

Luego se tiene que:  n  f ( x)   cn sen  x  a  n 1 Observa que el lado derecho de la igual anterior es la serie de Fourier de f en el

intervalo  a, a  , por consiguiente se tiene que: 1 2 n  n  f (v)sen  v dv   f (v )sen  v dv .  a a a0  a   a  a

cn 

Paso 8.

Se presenta el resultado final:  n 2 a   n    a2 u ( x, t )     f (v)sen  v dv  e  a   n 1  a 0

2 2



Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial: u u 4 x t Sujeta a la condición: u(0, t )  8e3t x 

n  sen  x .  a 

t 0

Por el método de separación de variables. Solución: Se procede de forma similar al ejemplo anterior: Paso 1. Supóngase que u ( x, t )  g ( x)h(t ) y sustituyendo en la ecuación diferencial parcial se tiene que:

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u u 4 x t    g ( x)h(t )   4  g ( x)h(t )  x t   h(t )  g ( x)   4 g ( x)  h(t )  x t h(t ) g '( x)  4 g ( x) h '(t )

La última expresión es equivalente a:

h '(t ) g '( x)  h(t ) 4 g ( x) Paso 2. Como se mencionó en el ejemplo anterior, dado que x y t son variables independientes una función de t que sea igual a una función de x tiene que ser constante, digamos  . Por consiguiente se tienen las siguientes relaciones: h '(t ) g '( x)  y  h(t ) 4 g ( x) De forma equivalente: h '(t )   h(t )

g '( x)  4 g ( x)

Paso 3. Se sustituye el producto en las condiciones de frontera dadas, del siguiente modo: u (0, t )  8e3t

g (0)h(t )  8e3t Entonces g (0)  1 Lo que permite obtener la ecuación diferencial con valores de frontera para g ( x ) la cual queda del siguiente modo: g '( x)   g ( x) sujeta a g (0)  1 Paso 4.

donde x 

Se resuelve las ecuaciones diferenciales del siguiente modo: h '(t )   h(t ) dh  h dt dh   dt h dh  h    dt ln  h    t  c1 h(t )  C1e t

Por otro lado, la ecuación: g '( x)  4 g ( x) sujeta a g (0)  1

donde x 

Se resuelve de forma similar a la anterior:

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g '( x)  4 g ( x) dg  4 g dx dg  4 dx g dg  g  4  dx ln g  4 x  c1 g ( x )  C2 e 4  x

Tomando la condición g (0)  1 se tiene que C  1 Paso 5. es:

En este caso, la familia que genera la solución solo consta de un elemento que

u( x, t )  g ( x)h(t )  C2e4 x C1et   Ce  4 x t 

Paso 6. No procede ya que solo hay una función. Paso 7. Se procede a calcular el coeficiente C y la constante  . Tomando las condiciones de frontera u(0, t )  8e3t se tiene que:  4 0   t  u (0, t )  Ce   Cet  8e3t

Lo que implica que C  8 y   3 . Paso 8. Se presenta el resultado final:

u( x, t )  8e3 4 x t 

3.3.2. Ecuación de Laplace con dos variables El operador de Laplace o laplaciano para n variables independientes x1 ,, xn se define por: 2 

2  x1n



2 xn2

Algunos autores también utilizan el símbolo  para denotar al operador de Laplace. Cuando el operador de Laplace es aplicado a una función f se presenta de la siguiente forma: f  x  

2 f  x1n



2 f  x xn2

Donde

x   x1 ,, xn   La ecuación de Laplace es una de las ecuaciones básicas en el estudio de la físicamatemática, esta aparece de forma natural en muchos problemas de la física que no requieren del uso del tiempo, entre ellos el flujo de calor y los potenciales, además dentro de Universidad Abierta y a Distancia de México

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las matemáticas es parte fundamental en el estudio del análisis amónico. En esencia, la ecuación de Laplace busca funciones f que anulen al operador de Laplace en una determinada región  de

, es decir, la ecuación de Laplace es:

2 f  x   0 para todo x En esta presentación solo se trabaja la ecuación de Laplace para dos variables independientes x y y , en este caso se tiene lo siguiente: 2 f 2 f  0 x 2 y 2

Ejemplo: Resolver la ecuación de Laplace:  2u  2u  0 x 2 y 2 Sujeta a la condición: u (0, y )  0 x u ( x,0)  0 0 xa

u ( a, y )  0 x u ( x, b )  f ( x ) 0 yb

Por el método de separación de variables. Solución: Para resolver esta ecuación diferencial, se realiza lo que se describe en el párrafo anterior, el cual se muestra por medio de los siguientes pasos: Paso 1.

Sea u ( x, y)  g ( x)h( y) , sustituyendo en la ecuación de Laplace se tiene lo

siguiente:  2u  2u  0 x 2 y 2 2 2 g ( x ) h ( y )     g ( x ) h( y )   0 x 2 y 2 h( y )

2 2 g ( x )  g ( x )    h( y )   0 x 2 y 2 h( y ) g ''( x)   g ( x) h ''( y )

La última expresión es equivalente a: h ''( y) g ''( x)  h( y ) g ( x)

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Paso 2.

Por la independencia de las variables x y y existe una constante  que

satisface las siguientes:

h ''( y)  h( y )

g ''( x)   g ( x)

h ''( y)   h( y)

g ''( x)   g ( x)

De forma equivalente: Paso 3. Se sustituye el producto en las condiciones de frontera dadas, del siguiente modo, pero antes hay que observar que u   ( x, y )   g ( x)h( y)   h( y)  g ( x)   h( y) g '( x) x x x Además como u ( x, y)  g ( x)h( y) implica u ( x,0)  g ( x)h(0)  0 y como g ( x ) no es idénticamente igual a cero implica que h(0)  0 . A demás, sustituyendo las condiciones

u u (a, y)  0 se tiene que: (0, y )  0 y x x h( y ) g '(0)  0 y h( y ) g '( a)  0 Ahora como h( y ) no es idénticamente igual a cero se tiene que g '(0)  g '(a)  0

Lo que permite obtener la ecuación diferencial con valores de frontera para g ( x ) la cual queda del siguiente modo: g ''( x)   g ( x) sujeta a g (0)  0 y g (a)  0 donde 0  x  a Y la otra ecuación diferencial a resolver es: h ''( y)   h( y) sujeta a h(0)  0 donde 0  y  b Paso 4. Se resuelve las ecuaciones diferenciales del siguiente modo: se comienza resolviendo la ecuación g ''( x)   g ( x) sujeta a g '(0)  0 y g '(a)  0 donde 0  x  a Esta se obtiene por casos: para   0 se tiene que g ''( x)  0 por consiguiente se tiene que g ( x)  C1 x  D1 , las condiciones g '(0)  0 , g '(a )  0 junto con el hecho g '( x )  A1 implican que C1  0 , es decir, g ( x)  B1 lo cual es una solución no trivial. Luego, tomando   0 se tiene que la ecuación g ''( x)   g ( x)  0 se le asocia el polinomio m2    0 que tiene como soluciones m    , en consecuencia

g ( x)  C2 e x



 D2 e x  , se aplican las condiciones g '(0)  0 , g '(a)  0 junto con el

hecho g '( x)  C2  e x



 D2  e  x



para obtener el siguiente sistema de ecuaciones

lineales: C2   D2   0 C2  e a



 D2  e  a



0

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Cuya solución es C2  D2  0 , lo que lleva a la solución trivial g ( x)  0 , el cual no se tomará en cuenta. Finalmente para   0 , para mejor entendimiento considera que

  k 2 , lo que induce la ecuación g ''( x)  k 2 g ( x)  0 se le asocia el polinomio m2  k 2  0 que tiene como soluciones m  ki , en consecuencia

g ( x)  C3 cos  kx   D3 sen  kx  , así se tiene que g '( x)  kC3 sen  kx   kD3 cos  kx  . Aplicando la condición g '(0)  0 se obtiene lo siguiente:

0  kC3 sen  0  kD3 cos  0   kD3 Como k  0 implica que D3  0 , así se tiene que g ( x)  C3 cos  kx  y

g '( x)  kC3 sen  kx  . Aplicando la condición g '(a)  0 implica que 0  kC3 sen  ka  , claramente si c2  0 se satisface la relación anterior, pero eso lleva a la solución trivial, por lo que hay que supone que c2  0 y esto implica que sen  ka   0 y entonces

ak   n donde n  \ 0 , así se obtiene que k    k 2  

n a

 2 n2 a2

y en consecuencia

La solución es:

n  g ( x)  C3 cos  x  para n  \ 0  a  Por otro lado, cuando   0 se tiene la siguiente ecuación diferencial: h ''( y)  0 sujeta a h(0)  0 cuya solución es h( y )  A1 y  B1 , la condición inicial h(0)  0 implican que B1  0 , luego h( y )  A1 y . Por otro lado cuando   

h ''( y ) 

 2 n2 a2

 2 n2

h( y )  0 sujeta a h(0)  0 ,

Tiene asociada la ecuación algebraica m2  n

luego se tiene que h( y)  A2e a  B2e



n

0  A2 e a

se tiene la ecuación diferencial

n a

 0

 2 n2 a

 0 que tiene soluciones m  

n a

, aplicando la condición h(0)  0 implica que:

 B2 e



n a

 0

 A2  B2

Luego: h( y )  A2 e

n a

 A2 e



n a

n  y   an y n   A2  e  e a   2 A2 senh  y  a   

n   A2 senh  y  a 

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Recuerda que si A2 es constante, también lo es 2A2 . Paso 5. La familia que genera la solución de la ecuación diferencial está formada por funciones de la forma u ( x, y)  g ( x)h( y) , entonces cuando   0 se tiene que

u0 ( x, y)   B1  A0 y   E0 y y cuando   0 se tiene que:    n     n  un ( x, y )  g ( x)h( y )  C3 cos  x    A2 senh  y    a, b   a    a   n  n   En cos  x  senh  y  a   a  Paso 6. Se presenta la solución general como combinación lineal de la familia encontrada en el paso anterior:   n  n  u ( x, t )   un ( x, t )  E0 y   En cos  x  senh  y  a   a  n 0 n 1 Paso 7. Se procede a calcular los coeficientes E n con n , utilizando la condición u ( x, b)  f ( x) del siguiente modo:  n  n  u ( x, b)  E0b   En senh  b  cos  x   f ( x)  a   a  n 1 Luego la expresión anterior tiene la siguiente forma:

f ( x) 

E0  n    En cos  x 2 n 1  a 

Es decir, la serie de Fourier de f en el intervalo  a, a  , haciendo las identificaciones: E0 n   E0b y En  En senh  b . 2  a 

Luego se tiene lo siguiente: a

E0 b 

1 f (v )dv 2a a a

1 E0  f (v )dv ab 0

Además: n  En  En senh  b  a  1 n  n  f (v)cos  v  dv  En senh  b a a a    a  a

2 n  f (v)cos  v  dv  a  n  0  a senh  b  a  a

En 

Paso 8.

Se presenta el resultado final: Universidad Abierta y a Distancia de México

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u ( x, t ) 

E0  n    En cos  x . 2 n 1  a 

Donde a

E0 

1 f (v)dv y En  ab 0

2 n  f (v)cos  v  dv   n a   0  a senh  b  a  a

Ejemplo: Resolver la ecuación de Laplace:  2u  2u  0 x 2 y 2 Sujeta a la condición: u (0, y )  f ( y )

u (1, y )  0

u ( x,0)  0 0  x 1

u ( x,1)  0 0  y 1

Por el método de separación de variables. Solución: Se procede de forma similar al ejemplo anterior: Paso 1. Sea u ( x, y)  g ( x)h( y) , sustituyendo en la ecuación de Laplace se tiene lo siguiente:  2u  2u  0 x 2 y 2 2 2 g ( x ) h ( y )     g ( x ) h( y )   0 x 2 y 2 h( y )

2 2 g ( x )  g ( x )    h( y )   0 x 2 y 2 h( y ) g ''( x)   g ( x) h ''( y )

La última expresión es equivalente a: h ''( y) g ''( x)  h( y ) g ( x) Paso 2.

Por la independencia de las variables x y y existe una constante  que

satisface las siguientes:

h ''( y)  h( y )

g ''( x)   g ( x)

h ''( y)   h( y)

g ''( x)   g ( x)

De forma equivalente: Paso 3. Se sustituye el producto en las condiciones de frontera dadas, del siguiente modo: como u ( x, y)  g ( x)h( y) implica u ( x,0)  g ( x)h(0)  0 y como g ( x ) no es

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idénticamente igual a cero implica que h(0)  0 , de forma similar cuando u ( x,1)  g ( x)h(1)  0 implica que h(1)  0 y finalmente u (1, y )  g (1)h( y )  0 implica que

g (1)  0 . La ecuación diferencial con valores de frontera que se obtiene es la siguiente: h ''( y)   h( y) sujeta a h(0)  0 y h(1)  0 donde 0  y  1

La otra ecuación diferencial a resolver es: g ''( x)   g ( x) sujeta a g (1)  0 donde 0  x  1 Paso 4. Se resuelve las ecuaciones diferenciales del siguiente modo. Se comienza resolviendo la ecuación h ''( y)   h( y) sujeta a h(0)  0 y h(1)  0 donde 0  y  1 Esta se obtiene por casos: para   0 se tiene que h ''( y)  0 por consiguiente se tiene que h( y )  C1 y  D1 , las condiciones h(0)  0 y h(1)  0 implican que C1  D1  0 , es decir, se tiene la solución trivial h( y)  0 . Luego, tomando   0 se tiene que la ecuación h ''( y)   h( y)  0 tiene como solución la función h( y )  C2 e y



 D2e  y



aplicando las condiciones h(0)  0 y h(1)  0 se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales: C2  D2  0 C2 e



 D2 e



0

Cuya solución es C2  D2  0 , obteniendo la solución trivial h( y)  0 . Finalmente para

  0 , se toma   k 2 , lo que permite tener g ''( x)  k 2 g ( x)  0 cuya solución es la función h( y)  C3 cos  ky   D3 sen  ky  , aplicando la condición h(0)  0 se obtiene lo siguiente:

0  C3 cos  0   D3 sen  0   C3 Es decir h( y)  D3 sen  ky  , aplicando la condición h(1)  0 se tiene que D3 sen  k   0 , como D3 no puede ser cero se tiene que sen  k   0 , lo que implica que k   n donde

n

y en consecuencia

  k 2   2 n2 La solución es:

h( y)  D3 cos  ny 

para

n  \ 0

Por otro lado,    n tomando la ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes: g ''( x)   2 n2 g ( x) sujeta a g (1)  0 donde 0  x  1 2

Los casos   0 y   0 inducen soluciones triviales por consiguiente solo basta tomar

   2 n2 lo que permite obtener la siguiente ecuación diferencial: g ''( x)   2 n2 g ( x) sujeta a g (1)  0 donde 0  x  1

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 nx  nx tiene como solución la función g ( x)  A2e  B2e , aplicando la condición g (1)  0

implica las siguientes relaciones:

A2 e n  B2 e n  0  A2 e n  B2 e n  A2 e2 n  B2 Luego:

g ( x)  A2 e nx    A2 e 2 n  e  nx  A2  e nx  e 2 n e  nx 



 A2 cosh  nx   senh  nx   e 2 n  cosh  nx   senh  nx  



 A2 cosh  nx  1  e 2 n   senh  nx  1  e 2







  1  e 2 n    A2  senh  nx   cosh  nx   2 n    1 e    A2  senh  nx   cosh  nx  tanh  n   

A2  senh  nx  cosh  n   cosh  nx  senh  n   cosh  n 



A2 senh 1  x  n  cosh  n 

Paso 5. La familia que genera la solución de la ecuación diferencial está formada por funciones de la forma u ( x, y)  g ( x)h( y) , entonces cuando   0 se tiene que

u0 ( x, y)   A1 x  A1  0   0 lo que nos da una solución trivial. Cuando   0 se tiene que:

un ( x, y)  g ( x)h( y)   A2 senh 1  x  n   D3 cos  ny   En senh 1  x  n  cos  ny 

Paso 6. Se presenta la solución general como combinación lineal de la familia encontrada en el paso anterior: 



n 1

u( x, t )   un ( x, t )   En senh 1  x n  cos  ny 

Paso 7.

Se procede a calcular los coeficientes E n con n , utilizando la condición

u (0, y)  f ( y ) del siguiente modo: 

u(0, y)   En senh  n  cos  ny   f ( y) n 1

Luego la expresión anterior tiene la siguiente forma: f ( x) 

E0    En cos  nx  2 n 1

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Es decir, la serie de Fourier de f en el intervalo  1,1 , haciendo las identificaciones:

E0  0 y En  En senh  n  . 2 Luego se tiene lo siguiente: En  En senh  n  1 n  f (v)sen  v  dv  En senh  n   1 1  a  1

2 n  f (v)sen  v  dv  senh  n  0  a  1

En 

Paso 8.

Se presenta el resultado final: 

u( x, t )   Fn cos  ny  . n 1

Donde

Fn 

senh  nb  0

f (v)sen  nv  dv

3.4. Problemas de valores en la frontera con series de Fourier Como habrás notado en los ejemplos presentados en la sección anterior, muchas ecuaciones diferenciales con valores de fronteras se resuelven por medio de una serie de Fourier, en esta sección se continúa con la resolución de algunas ecuaciones diferenciales clásicas donde aparecen las series de Fourier como solución de las mismas.

3.4.1. Ecuación de transmisión de calor en dos dimensiones El objetivo de la ecuación de transmisión del calor consiste en encontrar una función u  x, t  que representa la temperatura en el punto x  n de un cuerpo sólido en el instante t . La ecuación del calor es la siguiente: u  k  2u t En particular, la ecuación del calor en una dimensión es: u  2u k 2 t x En dos dimensiones es:

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  2u u 2  u  k 2  2  t y   x En tres dimensiones:

  2u u 2 u 2  u  k 2  2  2  t y z   x En el modelo físico original, esta ecuación es planteada en tres dimensiones, además la K constante k toma el nombre de difusión y es igual a k  donde K es la conductividad

 térmica del cuerpo,  es el calor específico de cuerpo y  es la densidad del mismo, las tres cantidades se consideran constantes. Esta ecuación se resuelve por medio de variables separables, como se muestra a continuación.

Ejemplo: Resolver la ecuación de difusión del calor: u  2u 2 2 t x Sujeta a la condición: u (0, t )  0 u (3, t )  0 0  x  3 t  0 u ( x,0)  5sen  4 x   3sen 8 x   12sen 10 x 

Supóngase que u ( x, t )  g ( x)h(t ) , esto implica que:

h '(t ) g ''( x)  2h(t ) g ( x) Paso 2.

Sea  tal que satisface h '(t )  2h(t )

g ''( x)  g ( x)

g ''( x)   g ( x)

De forma equivalente: h '(t )  2 h(t )

Paso 3.

Sustituyendo las condiciones de frontera dadas, se tiene que: u (0, t )  0 u(3, t )  0

g (0)h(t )  0

g (3)h(t )  0

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Lo que permite obtener que g (0)  g (3)  0 . Luego se llega a las siguientes ecuaciones diferenciales: g ''( x)   g ( x) sujeta a g (0)  0 y g (3)  0 donde 0  x  3

Junto con la ecuación diferencial h '(t )   kh(t ) Paso 4.

Por otro lado la ecuación g ''( x)   g ( x) sujeta a g (0)  0 y g (3)  0 donde 0  x  3

Se procede por casos: para   0 se tiene que g ''( x)  0 lo que implica que g ( x)  Ax  B , pero las condiciones g (0)  0 y g (3)  0 inducen que A  0 y B  0 , en

consiguiente g ( x)  0 . Para   0 la ecuación g ''( x)   g ( x)  0 tiene solución

g ( x)  c1e x



 c2 e x  , las condiciones g (0)  0 y g (3)  0 permiten se obtiene el

siguiente sistema de ecuaciones lineales: c1  c2  0 c1e3



 c2 e3



0

Cuya solución es c1  c2  0 , es decir g ( x)  0 . Finalmente para   0 , donde   b2 , se tiene la ecuación g ''( x)  b2 g ( x)  0 cuya solución está dada por

g ( x)  c1 cos  bx   c2 sen  bx  , aplicando la condición g (0)  0 se obtiene lo siguiente: 0  c1 cos  0   c2 sen  0  0  c1 Lo que implica que

g ( x)  c2 sen  bx 

Aplicando la condición g (3)  0 implica que 0  c2 sen  3b  , para c2  0 implica que

sen  3b   0 y entonces 3b   n donde n 

\ 0 , luego b 

n 3

y   b 2  

 2 n2 9

La solución es:

n  g ( x)  c2 sen  x  3  Por otro lado se tiene que:

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h '(t )  2 h(t ) dh  2 n2  2 h dt 9 dh 2 2 n 2  dt h 9 dh 2 2 n 2   dt h 9  2 2 n 2 ln  h    t  c1 9 h(t )  Ce

Paso 5.



2 2 n 2 t 9

La familia que genera la solución de la ecuación diferencial es la siguiente: 2 2 n 2 t 9

n  sen  x  3  Paso 6. Se presenta la solución general como combinación lineal de la familia encontrada en el paso anterior: un ( x, t )  cn e



u ( x, t )   cn e

Paso 7.

2 2 n 2 t 9

n  sen  x  3  n 1 Para calcular los coeficientes cn , observa que: 



u( x,0)  5sen  4 x   3sen 8 x   12sen 10 x  : Entonces: 

u ( x,0)   cn e



2 2 n 2  0 9

n 1

n   n  sen  x    cn sen  x  9  n 1  9 

Luego se tiene que:

n  sen  x   5sen  4 x   3sen 8 x   12sen 10 x   3  n 1 Observa que la igualdad anterior solo se puede dar cuando n  12, 24, 30 , en 

c

consecuencia: c12  5 c24  3 c30  12 cn  0 en otro caso

Paso 8.

La solución es: u ( x, t )  5e



2 2 122 t 9

sen  4 x   3e



2 2 242 t 9

sen  8 x   12e



2 2 302 t 9

sen 10 x  .

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial:

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u  2u  t x 2

Sujeta a la condición:

u (0, t )  0 u ( , t )  0 0  x  

t 0

  si 0  x   x 2 u ( x, 0)      x si  x    2 Por el método de separación de variables. Solución: Realizando los pasos antes mencionados se tiene: Sea u ( x, t )  g ( x)h(t ) y sustituyendo se tiene que: g ( x)h '(t )  h(t ) g ''( x)

Lo cual es equivalente a:

h '(t ) g ''( x)  . h(t ) g ( x) Paso 1.

Tomando  de tal forma que: h '(t )  h(t )

g ''( x)  g ( x)

g ''( x)   g ( x)

Implica que: h '(t )   kh(t )

Paso 2.

Sustituyendo las condiciones iniciales se tiene lo siguiente: u (0, t )  0 u( , t )  0

g (0)h(t )  0 g ( )h(t )  0 Esto implica que g (0)  g (a)  0 . Lo que permite obtener: g ''( x)   g ( x) sujeta a g (0)  0 y g ( )  0 donde 0  x   Paso 3.

Para resolver la ecuación: g ''( x)   g ( x) sujeta a g (0)  0 y g ( )  0 donde 0  x  

Como ya se vio previamente, para   0 y   0 se obtiene la solución trivial por lo cual no serán tomados en cuenta. Para   0 y tomando   b2 , la ecuación g ''( x)  b2 g ( x)  0 tiene solución g ( x)  c1 cos  bx   c2 sen  bx  , las condiciones iniciales

g (0)  g ( )  0 implican que c1  0 y sen  b   0 . Luego  b   n con n 

\ 0 , es

decir, b  n obteniendo que   b 2  n2 . Así g ( x)  c2 sen  nx  es la función buscada. Finalmente se resuelve

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h '(t )   h(t ) dh  n 2 h dt dh   n 2 dt h dh 2  h  n  dt ln  h    n 2t  c1 h(t )  Ce  n kt 2

Paso 4. Cada elemento de la familia que genera la solución de la ecuación diferencial tiene la forma: un ( x, t )  cn e  n kt sen  nx  . 2

Paso 5.

La solución buscada tiene la forma: 

u( x, t )   cn e n kt sen  nx  2

n 1

Paso 6.

La relación:

  si 0  x   x 2 u ( x,0)      x si  x    2 Permite obtener: 



u( x,0)   cn e n k  0 sen  nx    cn sen  nx  n 1

n 1

Luego se tiene que:

  si 0  x   x 2 cn sen  nx      n 1   x si  x    2 Así, la solución buscada es la serie de Fourier de la función u ( x,0) en el intervalo 

  ,  , la cual se procede a calcular a continuación:

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cn 





f (v )sen  nv  dv 





 f (v)sen  nv  dv 0



   2 2     v sen  nv  dv     v  sen  nv  dv   0    2     2   v cos  nv  sen  nv   2   v    cos  nv  sen  nv             n n2  0  n n2     2  

                cos  n  sen  n       cos  n  sen  n      2 2 2   2      2  2   2      2   n n n n2             

4   sen  n  2 n 2 

Observa que: si n  2k

    0 sen  n    k  2   1

si n  2k  1

Por consiguiente c2 n  0

Paso 7.

c2 n 1 

4  1

  2n  1

La solución es: 

4  1

n 1

  2n  1

u ( x, t )  

e  2 n 1 t sen   2n  1 x  2

3.4.2. Ecuación de onda en dos dimensiones El objetivo de la ecuación onda consiste en encontrar una función u  x, t  que representa el movimiento de una superficie en el punto x  n en el instante t . La ecuación del calor es la siguiente:  2u  k  2u 2 t En particular, la ecuación onda en una dimensión  2u  2u  k t 2 x 2 Modela la oscilación de una cuerda. Universidad Abierta y a Distancia de México

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En dos dimensiones la ecuación:

  2u u 2   2u  k  2 2 t 2 y   x Modela la oscilación de una membrana, por ejemplo el movimiento una bandera con respecto al viento. En tres dimensiones

  2u u 2 u 2   2u  k  2 2 2 t 2 y z   x Modela la oscilación de un sólido, por ejemplo la vibración de una sustancia gelatinosa. Inicialmente, esta ecuación es planteada en una dimensión donde la constante k es positiva y es la velocidad de propagación. El objetivo de esta sección es resolver la ecuación de onda para el caso de dos dimensiones por medio de variables separables, esto pretende ejemplificar el método de variables separables para más de dos variables independientes, este caso concreto serán tres variables. Ejemplo: Resolver la ecuación de onda:

  2u  2u   2u  k  2 2 t 2 y   x

para k  0

Sujeta a la condición: u (0, y, t )  0 u ( x,0, t )  0 u (a, y, t )  0 u ( x, b, t )  0 0 xa

0 yb

u ( x, y,0)  f ( x, y ) u ( x, y,0)  g ( x, y ) t 0t

Solución: Se procede de manera similar a los ejemplos anteriores, cabe mencionar que solo se presenta parte del algoritmo para calcular la solución, ya que esta requiere del contenido desarrollado en la siguiente sección. Paso 1.

Se supone que la función u ( x, y, t ) tiene la forma siguiente: u ( x, y, t )  X ( x)Y ( y)T (t ) .

Sustituyendo es se tiene que:  2 2 2  X ( x ) Y ( y ) T ( t )  k     2   X ( x )Y ( y )T (t )  t 2 y 2   x X ( x)Y ( y )

  2 2 2 T ( t )  k Y ( y ) T ( t ) X ( x )  X ( x ) T ( t ) Y ( y)        2 2 2  t x y  

X ( x)Y ( y )T ''(t )  k Y ( y )T (t ) X ''( x )  X ( x )T (t )Y ''( y ) 

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Dividiendo la última expresión entre kX ( x)Y ( y)T (t ) se tiene lo siguiente: T ''(t ) X ''( x) Y ''( y)   kT (t ) X ( x) Y ( y )

Paso 2.

Como las variables x , y y t son independientes se tiene que existe una

constante  tal que: T ''(t )  kT (t )

X ''( x) Y ''( y )   X ( x) Y ( y )

De forma equivalente se tiene que: T ''(t )   kT (t )

Observa que la ecuación

X ''( x) Y ''( y)  X ( x) Y ( y)

X ''( x) Y ''( y) relaciona las variables independientes x y  X ( x) Y ( y)

y por lo cual existe una constante  tal que: X ''( x)  X ( x)



Y ''( y)  Y ( y)

Lo que lleva al siguiente sistema:

X ''( x)   X ( x)  0 Y ''( y )       Y ( y )  0 Paso 3.

Sustituyendo en las condiciones de frontera se tiene lo siguiente: u (0, y, t )  0 u ( x,0, t )  0 X (0)Y ( y )T (t )  0 X ( x)Y (0)T (t )  0 u ( a, y , t )  0

u ( x, b, t )  0

X (a)Y ( y )T (t )  0

X ( x)Y (b)T (t )  0

Esto implica que X (0)  X (a)  Y (0)  Y (b)  0 . Ahora ternemos las siguientes ecuaciones diferenciales: X ''( x)   X ( x)  0

sujeta a X (0)  X (a)  0

Y ''( y )       Y ( y )  0

sujeta a Y (0)  Y (b)  0

T ''(t )   kT (t )  0

Paso 4.

Se resuelve primero la ecuación: X ''( x)   X ( x)  0 sujeta a X (0)  X (a)  0

Esta depende de los valores que tome el parámetro  : para   0 se tiene que la ecuación X ''( x)  0 tiene por solución X ( x)  A1 x  B1 , las condiciones de frontera X (0)  X (a)  0 implican que A1  B1  0 , obteniendo la función X ( x)  0 . Para   0 se x tiene que la ecuación X ''( x)   X ( x)  0 tiene solución X ( x)  A2 e



 B2 e x



, las

condiciones de frontera X (0)  X (a)  0 llevan al sistema de ecuaciones lineales:

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A2  B2  0

A2 ea



 B2 e a



0

Cuya solución es A2  B2  0 , obteniendo la función X ( x)  0 . Para   0 y haciendo   r 2 se tiene que la ecuación diferencial X ''( x)  r 2 X ( x)  0 tiene por solución a la

función X ( x)  A3 cos(rx)  B3 sen(rx) , sustituyendo las condiciones de frontera X (0)  X (a)  0 se tiene que A3  0 y sen( ra)  0 , lo que implica que ra   m con

m \ 0 , es decir r 

m

y  

 2 m2 2

a a De forma similar la ecuación diferencial

m  , así se tiene que X ( x)  B3 sen  x .  a 

Y ''( y)      Y ( y)  0

sujeta a Y (0)  Y (b)  0

 n n  Tiene por solución Y ( y)  D3 sen  y  , donde      2 , así se obtiene le valor b b   de  : 2

 Finalmente, sustituyendo   

 2 n2 b





 2 m2 a2

 2 n2 b



 2 m2 a2

en T ''(t )   kT (t )  0 permite obtener la

siguiente ecuación diferencial:   2 n2  2 m2 T ''(t )    2  2 a  b

  kT (t )  0 

  2 n2  2 m2 T ''(t )   2  2 a  b

  kT (t )  0 

Cuya solución es

Paso 5. forma:

   2 n 2  2 m2   2 n 2  2 m2  T (t )  Emn cos  t k   F sen t k  2    mn 2 2 2    b a b a     Cada elemento de la familia que genera la solución de la ecuación tiene la

m  n  u ( x, y, t )  H mn sen  x  sen  y   Emn cos  mnt   Fmn sen  mnt    a   b    2 n2  2 m2  Donde mn  k  2  2  . a   b De forma equivalente se tiene que: m  n  u ( x, y, t )  sen  x  sen  y   Emn cos  mnt   Fmn sen  mnt    a   b 

Recuerda que H mn , Emn y Fmn son constantes entonces H mn Emn y H mn Fmn también lo son.

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Paso 6.

La solución de la ecuación diferencial es:   m  n  u ( x, y, t )   sen  x  sen  y   Emn cos  mnt   Fmn sen  mnt    a   b  n 1 m 1

  2 n2  2 m2  Donde mn  k  2  2  . a   b Paso 7. Toca el turno de calcular los valores H mn , para ello se hace uso de las

condiciones de frontera la condición u ( x, y,0)  f ( x, y) , lo que permite obtener que:   m  n  f ( x, y)  u ( x, y,0)   Emn sen  x  sen  y  a   b  n 1 m 1

u ( x, y,0)  g ( x, y) permite lo siguiente: t u g ( x, y )  ( x, y,0) t    m  n     sen  x  sen  y   Emn cos  mn t   Fmn sen  mn t    t  n 1 m 1  a   b   t 0

La condición

  m  n     sen  x  sen  y   Emn cos  mn t   Fmn sen  mn t   t  0 a    b  t n 1 m 1   m  n    sen  x  sen  y   mn Emn sen  mn t   mn Fmn cos  mn t    a   b  n 1 m 1 t 0   m  n    mn Fmn sen  x  sen  y  a   b  n 1 m 1

Como habrás observado, en los ejemplos anteriores se hacia el uso de las series de Fourier de una función de una variable, las dos series que se encontraron son dos ejemplos de series de Fourier de dos variables, este tema se expondrá en la siguiente sección, por lo que la respuesta queda pendiente. Paso 8. El resultado que se obtendrá en la siguiente sección es:

u ( x, y , t ) 



m  n  x  sen  y   Emn cos  mn t   Fmn sen  mnt   a   b 

 sen 

m , n 1

Donde:   2 n2  2 m2   2  2 a   b

mn  k  Emn 

1 m  n  f ( x, y ) cos  x  cos  y  dxdy   ab 0 0  a   b 

Fmn 

1 m  n  g ( x, y ) cos  x  cos  y  dxdy   mn ab 0 0  a   b 

b a

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Ejemplo: Resolver la ecuación de onda:

  2u  2u   2u  4  2  2 t 2 y   x Sujeta a la condición: u (0, y, t )  0 u ( x,0, t )  0

u ( x, y,0)  xy u ( x, y,0)  xy t 0t

u (a, y, t )  0 u ( x, b, t )  0 0 x 

0 y 

Solución: Se procede de manera similar a los ejemplos anteriores, cabe mencionar que solo se presenta parte del algoritmo para calcular la solución ya que esta requiere del contenido desarrollado en la siguiente sección. Paso 1. Se tiene que u ( x, y, t )  X ( x)Y ( y)T (t ) Sustituyendo:  2 2 2  X ( x ) Y ( y ) T ( t )  k       X ( x)Y ( y )T (t )  2 t 2 y 2   x

X ( x)Y ( y )T ''(t )  k Y ( y )T (t ) X ''( x)  X ( x)T (t )Y ''( y) 

De forma equivalente se tiene que: T ''(t ) X ''( x) Y ''( y)   4T (t ) X ( x) Y ( y ) Paso 2.

Luego existe una constante  tal que: T ''(t ) X ''( x) Y ''( y )  y   4T (t ) X ( x) Y ( y )

Es decir: T ''(t )  4T (t )

X ''( x) Y ''( y)  X ( x) Y ( y)



Luego, existe una constante  tal que: X ''( x)  X ( x)

Y ''( y)  Y ( y)

Lo que lleva al siguiente sistema:

X ''( x)   X ( x)  0 Y ''( y )       Y ( y )  0 Paso 3.

Las condiciones de frontera implican que: X (0)Y ( y )T (t )  0 X ( x)Y (0)T (t )  0 X (a )Y ( y )T (t )  0

X ( x)Y (b)T (t )  0

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Es decir X (0)  X ( )  Y (0)  Y ( )  0 . Obteniendo las siguientes ecuaciones diferenciales: X ''( x)   X ( x)  0

sujeta a X (0)  X ( )  0

Y ''( y )       Y ( y )  0

sujeta a Y (0)  Y ( )  0

T ''(t )  4kT (t )  0

Paso 4.

De forma similar al ejemplo anterior la ecuación: X ''( x)   X ( x)  0 sujeta a X (0)  X (a)  0

Depende de los valores que tome el parámetro  : para   0 y   0 obtienen la solución X ( x)  0 . Para   0 y haciendo   r 2 se tiene que la ecuación diferencial X ''( x)  r 2 X ( x)  0 tiene por solución a la función X ( x)  A3 cos(rx)  B3 sen(rx) , las

condiciones de frontera X (0)  X ( )  0 , implican que A3  0 y r  m , en consecuencia

X ( x)  B3 sen  mx  . Similarmente, la ecuación diferencial

Y ''( y)       Y ( y)  0

sujeta a Y (0)  Y ( )  0

Tiene por solución Y ( y)  D3 sen  ny  , donde     n2 , luego:

  n2    n2  m2    n2  m2  Sustituyendo     n2  m2  en T ''(t )  4T (t )  0 permite obtener la siguiente ecuación diferencial T ''(t )  4  n2  m2 T (t )  0 , cuya solución es





T (t )  Emn cos 2t n 2  m2  Fmn sen 2t n2  m2 Paso 5.



La familia que genera la solución de la ecuación tiene la forma:

u ( x, y , t )  H mn sen  mx  sen  ny   Emn cos  mnt   Fmn sen  mnt  

Donde mn  2 n 2  m 2 . Paso 6.

La solución de la ecuación diferencial es: 



u( x, y, t )   sen  mx  sen  ny   Emn cos  mnt   Fmn sen  mnt   n 1 m 1

Donde:

mn  2 n 2  m 2 . Paso 7.

Toca el turno de calcular los valores H mn , para ello se hace uso de las

condiciones de frontera de la condición u ( x, y,0)  f ( x, y) , lo que permite obtener que: 



f ( x, y)  u ( x, y,0)   Emn sen  mx  sen  ny  n 1 m 1

La condición

u ( x, t ,0)  xy implican que: t

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u    ( x, y,0)    sen  mx  sen  ny   mn Emn sen  mnt   mn Fmn cos  mnt    t  n 1 m 1  t 0 



  mn Fmn sen  mx  sen  ny   xy n 1 m 1

El cálculo de los coeficientes queda pendiente para la siguiente sección. Paso 8. La solución está dada por la relación: mn  4  1m  n 4  1 2 2 u ( x, y, t )   sen  mx  sen  ny   cos 2 m  n t  sen 2 m2  n2 t 2 2  mn m , n 1 2mn m  n  









 

3.4.3. Serie de senos, de cosenos con dos variables La serie de Fourier de dos variables resuelves el problema de expresar una función doblemente periódica en términos de funciones senos y cosenos de dos variables, esta sección es análoga a la presentada en la segunda sección de la Unidad 2. Primero se comienza con definiendo una función doblemente periódica, dicho concepto es el siguiente: Definición: Una función f : 2  es doblemente periódica si y solo si existen T1 , T2  0 tales que f  x  T1 , y  T2   f  x, y  . El rectángulo fundamental de una función doblemente  T T   T T  periódica es   1 , 1     2 , 2  , gráficamente se tiene lo siguiente:  2 2  2 2

Observa que fijando y se tiene una función f  x, y  depende de x y es periódica de periodo T1 , esta tiene su serie de Fourier generada por el conjunto:

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  2 m   2 m     x  ,sen  x  1,cos  T T   1   1   

De la siguiente forma:

 2 m   2 m  a0    am cos  x   bm sen  x 2 m1  T1   T1 

f ( x, y)  Donde: 2 a0  T1

T1 2

2 f ( x, y )dx am  T1





T1 2





T1 2

 2 m   2 m  2 2 f  x, y  cos  x  dx bm  f  x, y  sen  x  dx  T1 T1 T1   T1    2

De forma similar, fijando x se tiene una función f 2 de y periódica de periodo T2 definida por f 2 ( y )  f ( x, y ) . su serie de Fourier generada por el conjunto

  2 n   2 n     x  ,sen  x  1,cos  T T   2   2   

De la siguiente forma:

 2 n   2 n  c0    cn cos  y   dn sen  y 2 n1  T2   T2 

f ( x, y)  Donde: c0 

2 T2

T2 2





f ( x, y )dy cn 

T2 2

2 T2

T2 2





T2 2

 2 n  2 f  x, y  cos  y  dy d n  T T 2  2 

T2 2





2 n  f  x, y  sen  T y  dy



T2 2

Combinando las dos representaciones se tiene que:

c0 

2 T2

T2 2





f ( x, y )dy 

T2 2

2 T2

T2 2

 a0   2 m   2 m    a cos x  b sen x   dy      m m T 2 m1  T1   T1    2  2

T2        T21  2  2 m    2 m   2 1 2   2  2      f ( x, y )dx  dy        f  x, y  cos  x  dx cos  x  dy  T2  2 T2 T1 T1 T2  m 1 T2 T1 T1 T1   T1              2 2  2  2    T2 2

T1 2

T2    T1   2 m    2 m   2   2 2 2       f  x, y  sen  x  dx cos  x  dy  T2  m 1 T2 T1 T1 T1   T1         2  2  

Análogamente, al agrupar términos se tiene que:

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2 c0  T1T2

T2 2

  4 f  x, y  dxdy    m 1 T1T2 

T1 2



 



T2 T1  2 2

T2 2

T1 2

 



T2 T1  2 2

  2 m   2 m   f  x, y  cos  x  dxdy  cos  x T1   T1   

T2 T1   2 2  2 m   2 m   4    f  x, y  sen  x  dxdy  sen  x   T1  T1  m 1 T1T2 T2 T1       2 2 De forma similar se tiene lo siguiente: 

2 cn  T2



2 T2

T2 2





2 n  f  x, y  cos  T y  dy



T2 2

 a0   2 m   2 m    2 n  am cos  x   bm sen  x   cos  y  dy T  2   T1  T1   T2  m 1    2   2



2 T1T2

T2 2

T1 2



T2 T1  2 2

  4   m 1 T1T2    4   m 1 T1T2  Finalmente se tiene que: T2 2

T1 2

 



T2 T1  2 2

T2 2



T1 2

 



T2 T1  2 2

T1 2

  2 m   2 n   2 m   f  x, y  cos  x  cos  y  dxdy  cos  x  T1   T2   T1     2 m   2 n   2 m   f  x, y  sen  x  cos  y  dxdy  sen  x T1   T1   T2    



2 n   f  x, y  sen  T y  dxdy



T2 T1  2 2

  4   m 1 T1T2  



T2 2



2 dn  T1T2



2 n   f  x, y  cos  T y  dxdy

T2 2

T1 2

 



T2 T1  2 2

  2 m   2 n   2 m   f  x, y  cos  x  sen  y  dxdy  cos  x T1   T1   T2   

T2 T1   2 2  2 m   2 n   2 m   4    f  x, y  sen  x  sen  y  dxdy  sen  x   m 1 T1T2 T2 T1  T1   T2   T1      2 2  Sustituyendo todas expresiones anteriores en 

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 2 n   2 n  c0    cn cos  y   dn sen  y 2 n1  T2   T2 

f ( x, y)  se obtiene que:

f ( x, y ) 





m,n 0

 2 m   2 n   2 m   2 n   x  cos  y   mnbmn cos  x  sen  y  mn amn cos    T1   T2   T1   T2 

 2 m   2 n   2 m   2 n   mn cmn sen  x  cos  y   mn d mn sen  x  sen  y   T1   T2   T1   T2   Donde

00 

1 4

0 n  m 0 

1 2

 mn  1

Además amn 

bmn

cmn

4 T1T2

4  T1T2 4  T1T2

d mn 

4 T1T2

T2 2

T1 2

 

T2 T1  2 2



T2 2

T1 2

 



T2 T1  2 2

T2 2

T1 2

 



T2 T1  2 2

T2 2

T1 2

 



T2 T1  2 2

 2 m   2 n  f ( x, y ) cos  x  cos  y  dxdy  T1   T2   2 m   2 n  f ( x, y ) cos  x  sen  y  dxdy  T1   T2   2 m   2 n  f ( x, y )sen  x  cos  y  dxdy  T1   T2   2 m   2 n  f ( x, y )sen  x  sen  y  dxdy  T1   T2 

Esta es la serie de Fourier de la función doblemente periódica de periodo T1 y T2 en el  T T   T T  intervalo fundamental   1 , 1     2 , 2  .  2 2  2 2 Observa que en representación de f ( x, y ) como doble serie se tiene que los términos bm 0 , c0n , d 00 son iguales a cero, por consiguiente solo hay que calcular los términos a00 , am 0 , a0m ,

b0n , bmn , cm 0 y d mn para m, n

\ 0 .

Ejemplo: En el rectángulo fundamental   ,    ( ,  ) se define la función f ( x, y)  xy 2 , hallar su serie de Fourier.

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Solución: Este ejercicio es similar a los realizados en la segunda Unidad, para ello hay observar que T1  T2  2 y después calcular los coeficiente de Fourier amn , bmn , cmn y d mn del siguiente modo: Para a00 se tiene que:

a00 



T2 2

4 T1T2

 





f ( x, y ) xdy 

T2 T1  2 2

1

  2 



T1 2



 

4 4 2



xy 2 dxdy 

 



1 2 2  x y  dy  2   2   1

   2  y 2  dy  0 

Para a0n se tiene que: 4 a0 n  T1T2

T2 2

T1 2

 



T2 T1  2 2



1 1   2   x 2 y 2 cos(ny )  dy  2    2    1

 

 2 n  4 f ( x, y )cos  y  dxdy  2 4  T2 

  xy

cos  ny  dxdy

 



1 2  2 2   2     y cos(ny)  dy  0

Para am 0 se tiene lo siguiente: am 0

T2 2

4  T1T2

T1 2

 

T T  2  1 2 2

 2 m  4 f ( x, y )cos  x  dxdy  2 4  T1  



 

  xy

cos  mx  dxdy

 

  cos(mx) x sen(mx)   1  2   y2     dy  2 2     m m     1

   1m  1m   2   y  m2  m2  dy  0    

Para amn se tiene lo siguiente: amn 

4 T1T2

T2 2

T1 2

 

T T  2  1 2 2

 2 m   2 n  4 f ( x, y ) cos  x  cos  y  dxdy  2 4  T1   T2  



 1  cos( mx) x sen(mx)    2   y 2 cos( ny )     dy  2 2    m   m    1

 

  xy

cos  mx  cos  ny  dxdy

 

   1m  1m 2   y cos(ny )  m2  m2     

   dy  

0 Para b0n te tiene lo siguiente:

4 b0 n  T1T2 

T2 2

T1 2

 

T T  2  1 2 2



 2 n  4 f ( x, y )sen  y  dxdy  2 4  T2  

1 1 2 2  x y sen(ny )  dy  2 2      2    1



1

  2 



 

  xy

sen  ny  dxdy

 

   2  y 2 sen(ny ) dy  0 

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Para bmn se tiene que: bmn

T2 2

4  T1T2 

T1 2

 



T2 T1  2 2

  xy

cos  mx  sen  ny  dxdy

 

   1m  1m 2   y  m2  m2  



 2  cos( mx) x sen( mx)   1 y    sen( ny )  dy  2 2   2     m m     1

 

 2 m   2 n  4 f ( x, y ) cos  x  sen  y  dxdy  2 4  T1   T2 

   sen( ny ) dy   

0 Para cm 0 se tiene:

cm 0

4  T1T2

T2 2

T1 2

 

T T  2  1 2 2

 2 m  4 f ( x, y )sen  x  dxdy  2 4  T1 

 

  xy



sen  mx  dxdy

 

  sen( mx) x cos(mx)   1  2   y2     dy  2 2     m m     1





 2  1m y   m  2



 dy  

m 1 m 1 m 1 2  1  2  1   1 3  1  2  1   2 3  4  1   y   2       2   3        m m 3m   3 

Para cmn se tiene que:

cmn

4  T1T2

T2 2

T1 2

 

T T  2  1 2 2



 2 m   2 n  4 f ( x, y )sen  x  cos  y  dxdy  2 4  T1   T2  

 1  sen(mx) x cos(mx)    2   y 2 cos(ny )     dy  2 2    m   m    1







 

  xy

sen  mx  cos  ny  dxdy

 

 2  1m y cos(ny )    m  2

 dy  

m 1 2 2 1  2  1   2 y cos(ny )  n y  2  sen(ny )      2  2 3    m n n   



Para d mn

m 1 n n m  n 1 2  1  8  1 1  2  1   2  1   2   2   n2   m n mn 2   se tiene que:

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d mn 

4 T1T2

T2 2

T1 2

 

T T  2  1 2 2



  sen(mx) x cos(mx)   1  2   y2    sen(ny )  dy  2 2     m m     1







   n 2 y 2  2   1  n 2 y 2  2   1     n3 n3   Por consiguiente se tiene que: 

m,n 0

sen  mx  sen  ny  dxdy

 

 2  1m y sen(ny )    m  2

 dy  



m 1  2  1  2    m



  xy

  2 y sen(ny )  n 2 y 2  2  cos(ny )      n2 n3   

m 1  2  1  2    m

f ( x, y ) 

 

 2 m   2 n  4 f ( x, y )sen  x  sen  y  dxdy  2 T T 4   1   2 

 0  

 2 m   2 n   2 m   2 n   x  cos  y   mnbmn cos  x  sen  y  mn amn cos    T1   T2   T1   T2 

 2 m   2 n   2 m   2 n    mn cmn sen  x  cos  y   mn d mn sen  x  sen  y   T1   T2   T1   T2   





m,n 0 



c sen  mx  cos  ny    m 0 cm 0 sen  mx  

mn mn

m 1

2 2  1

m 1

m 1

sen  mx  





m ,n 0

8  1

m  n 1

mn 2





m,n0

c sen  mx  cos  ny 

mn mn

sen  mx  cos  ny 

Ejercicio: En el rectángulo fundamental  2,2  (3,3) se define la función f ( x, y )  xy , hallar su serie de Fourier. Solución: Observa que T1  4 y T2  6 , solo resta calcula los coeficiente de Fourier amn , bmn , cmn y d mn del siguiente modo:

Para a00 se tiene que: 4 a00  T1T2

T2 2

T1 2

 



T2 T1  2 2

4 1 1  f ( x, y ) xdy  xydxdy    x 2 y  dy  0   24 3 2 6 3  2  2 3 2

Para a0n se tiene que: a0 n 

4 T1T2

T2 2

T1 2

 



T2 T1  2 2

3 2  2 n  4 n  f ( x, y ) cos  y  dxdy  xy cos  y  dxdy   24 3 2  3   T2  2

1 1   n     x 2 y cos  y   dy  0 6 3  2  3   2 3

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Para am 0 se tiene lo siguiente: am 0 

4 T1T2

T2 2

T1 2

 



T2 T1  2 2

3 2  2 m  4  m f ( x, y ) cos  x  dxdy  xy cos    24 3 2  2  T1 

 x  dxdy 

3 1   4  m x  2 x  m x     sen   y  2 2 cos      dy  24 3   m   2  m  2    2 m m 3 4  1 1  2  4  1 y    2 2 24 3   m 2 2 m 

   dy  0  

Para amn se tiene lo siguiente: amn 

T2 2

4 T1T2

T1 2

 



T2 T1  2 2

3 2  2 m   2 n  4 m  n  f ( x, y ) cos  x  cos  y  dxdy  xy cos  x  cos  y  dxdy   24 3 2  2   3   T1   T2  2

3 1   n y   4  m x  2 x  m x       y cos  sen    2 2 cos      dy 6 3   3  m   2  m  2    2

  4  1m 4  1m 2  2   y cos(ny )  2 2  2 2  m    m   Para b0n te tiene lo siguiente: 1



b0 n 

4 T1T2

T2 2

T1 2

 



T2 T1  2 2

   dy  0  

3 2  2 n  4 n  f ( x, y )sen  y  dxdy  xy sen  y  dxdy   T 24  3   2  3 2 2

1 1 1 1   n    n     x 2 y sen  y   dy     4  4  y sen  y  dy  0 6 3  2 6 3  2  3   2  3  3

Para bmn se tiene que: bmn

4  T1T2

T2 2

T1 2

 



T2 T1  2 2

3 2  2 m   2 n  4 m  n  f ( x, y ) cos  x  sen  y  dxdy  xy cos  x  sen  y  dxdy   24 3 2  2   3   T1   T2  2



3  1   4  m x  2 x  m x   sen   y  2 2 cos     sen( ny )  dy  6 3   m   2  m  2   2



  4  1m 4  1m  y2  2 2  2 2 2       m  m  1



   sen( ny ) dy  0   

Para cm 0 se tiene:

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4  T1T2

cm 0

T2 2

T1 2

 



T2 T1  2 2

3 2  2 m  4 m  f ( x, y )sen  x  dxdy  xy sen  x  dxdy   24 3 2  2   T1  2

3  1  2 4 1  m x  2 x  m x       y  2 2 sen  cos      dy   6 3   m  6   2  m  2    2

1  8  1   6  m

  1 2  3 1  8  1m  y      2  3 6  m  

 8  1m y  m 

 dy  

1     9  9   0 2  

Para cmn se tiene que: cmn

4  T1T2

T2 2

T1 2

 

T2 T1  2 2



3 2  2 m   2 n  4 m  n  f ( x, y )sen  x  cos  y  dxdy  xy sen  x  cos  y  dxdy   24 3 2  2   3   T1   T2  2

3 1    n  4  m x  2 x  m x       y cos  y   2 2 sen  cos      dy 6 3   3  m   2  m  2    2 3

3 m 1 1  8(1) m 1   9   n   8(1)   n y  3 y  n y     y cos  y   sen  dy     2 2 cos    6 3 m  6  m   n   3   3  n  3   3

9  1 4(1) m 1  9  1   2 2  2 2 3m  n  n n

 0 

Para d mn se tiene que: d mn 

4 T1T2

T2 2

T1 2

 



T2 T1  2 2

3 2  2 m   2 n  4 m  n  f ( x, y )sen  x  sen  y  dxdy  xy sen  x  sen  y  dxdy   24 3 2  2   3   T1   T2  2

3 3 1  1   n  4  m x  2 x  m x     n y     y sen  y   2 2 sen   cos d y  y sen      dy  6 3  6 3  3  m   2  m  2    2  3  m 1  8  1   6  m



24  1

m 1 n 3  9 4  1  18 y  1   n y  3 y  n y     2 2 sen   cos        n  3m  n  3  n  3   3  

mn2



24  1

m n

mn 2 mn 2 Por consiguiente se tiene que:  24 1   sen   m x  sen   n y  m  n  f ( x, y )   mn d mn sen  x  sen  y       2  2   3  m, n 0 mn  2   3  m , n 1 Para esta Unidad se muestra cómo se aplica la serie de Fourier en dos variables para la solución de la ecuación de onda presentada en la sección anterior. 

m n

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Ejemplo: En el Paso 7 del primer ejemplo de la sección anterior se llegó a que la solución de la ecuación diferencial

  2u  2u   2u  k  2 2 t 2 y   x

para k  0

Sujeta a la condición: u (0, y, t )  0 u ( x,0, t )  0 u (a, y, t )  0 u ( x, b, t )  0 0 xa

0 yb

u ( x, y,0)  f ( x, y ) u ( x, y,0)  g ( x, y ) t 0t

A partir de las condiciones de frontera se tiene que:   m  n  f ( x, y )   Emn sen  x  sen  y  a   b  n 1 m 1   m  n  g ( x, y )   mn Fmn sen  x  sen  y  a   b  n 1 m 1

Estas son las series de Fourier en el rectángulo fundamental  a, a    b, b  de las funciones f ( x, y ) y g ( x, y) respectivamente. Lo que implica que: Emn  d mn ( f )

mn Fmn  d mn ( g )

Donde d mn ( f ) y d mn ( g ) son los respectivos coeficientes d mn de la series de Fourier de f ( x, y ) y g ( x, y) respectivamente.

Emn  d mn ( f ) 

1 m  n  f ( x, y )cos  x  cos  y  dxdy   ab 0 0  a   b 

mn Fmn  d mn ( g ) 

1 m  n  g ( x, y )cos  x  cos  y  dxdy   ab 0 0  a   b 

b a

En resumen la ecuación diferencial

  2u  2u   2u  k  2 2 t 2 y   x

para k  0

Sujeta a la condición: u (0, y, t )  0 u ( x,0, t )  0 u (a, y, t )  0 u ( x, b, t )  0 0 xa

0 yb

u ( x, y,0)  f ( x, y ) u ( x, y,0)  g ( x, y ) t 0t

Tiene por solución:

u ( x, y , t ) 



m  n  x  sen  y   Emn cos  mn t   Fmn sen  mnt   a   b 

 sen 

m , n 1

Donde

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  2 n2  2 m2   2  2 a   b

mn  k 

1 m  n   f ( x, y ) cos  x  cos  y  dxdy   ab 0 0  a   b  b a

Emn

1 m  n  g ( x, y ) cos  x  cos  y  dxdy mn ab 0 0 a    b  b a

Fmn 

Ejemplo: Para la ecuación diferencial

  2u  2u   2u  4  2  2 t 2 y   x Sujeta a la condición: u (0, y, t )  0 u ( x,0, t )  0 u ( x, y,0)  xy u ( a , y , t )  0 u ( x , b, t )  0 0 x  0 y 

0t

Presentada en el segundo ejercicio de la sección anterior se lleva a que la solución debe tener la forma: 



u( x, y, t )   sen  mx  sen  ny   Emn cos  mnt   Fmn sen  mnt   n 1 m 1

Las condiciones de frontera implica que: 



xy  u ( x, y,0)   Emn sen  mx  sen  ny  n 1 m 1

xy 

  u ( x, y,0)   mn Fmn sen  mx  sen  ny  t n 1 m 1

Entonces Emn  mn F  d mn donde d mn son los correspondientes coeficientes de la serie de Fourier de la función f ( x, y )  xy . Realizando el cálculo de dicho coeficiente se tiene que: d mn  

 

4 4 2

  xy sen  mx  sen  ny  dxdy

 

1  2  1    m En consecuencia: 



  sen(mx) x cos(mx)   1 y   sen(ny )  dy  2  2    m m2     1

m 1







 2  1m y 2 sen(ny )    m 

 dy  

m 1 n mn   sen(ny ) y cos(ny )  2  1  2  1  4  1        2   n  m  n mn    n 

Emn 

4  1

mn

Fmn 

4  1

mn

2mn m2  n2

Por lo tanto, la solución buscada es:

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mn  4  1m  n 4  1 2 2 u ( x, y, t )   sen  mx  sen  ny   cos 2 m  n t  sen 2 m2  n2 t 2 2  mn m , n 1 2mn m  n  









 .  

Actividades La elaboración de las actividades estará guiada por tu docente en línea, mismo que te indicará, a través de la Planeación didáctica del docente en línea, la dinámica que tú y tus compañeros (as) llevarán a cabo, así como los envíos que tendrán que realizar. Para el envío de tus trabajos usarás la siguiente nomenclatura: BMAI_U3_A1_XXYZ, donde BMAI corresponde a las siglas de la asignatura, U3 es la unidad de conocimiento, A1 es el número de actividad, el cual debes sustituir considerando la actividad que se realices, XX son las primeras letras de tu nombre, Y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno.

Autorreflexiones Para la parte de autorreflexiones debes responder las Preguntas de Autorreflexión indicadas por tu docente en línea y enviar tu archivo. Cabe recordar que esta actividad tiene una ponderación del 10% de tu evaluación. Para el envío de tu autorreflexión utiliza la siguiente nomenclatura: BMAI_U3_ATR _XXYZ, donde BMAI corresponde a las siglas de la asignatura, U3 es la unidad de conocimiento, XX son las primeras letras de tu nombre, y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno

Cierre de la Unidad En esta Unidad los aprendiste los conceptos de orden, tipo, linealidad de las ecuaciones diferenciales parciales, estudiaste los problemas con condiciones iniciales y condiciones de frontera. Resolviste ecuaciones diferenciales parciales con valores de frontera sobre rectángulos, semiplanos y semibandas utilizando el método de separación de variables, finalmente calculaste la serie de Fourier de una función doblemente periódica. ¡Felicidades!

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Para saber más

Para un estudio más detallado sobre ecuaciones diferenciales ordinarias con valores iniciales y sus aplicaciones, puedes consultas las siguientes páginas:  http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/DE.aspx  http://mathinsight.org/ordinary_differential_equation_introduction_examples  http://www.analyzemath.com/calculus/Differential_Equations/applications.html

Fuentes de consulta



Churchill, R., Brown, J. (2011). Fourier series and boundary valued problems, 8 edición. USA: Mc Graw Hill.

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Matemáticas aplicadas para ingeniería Ecuaciones diferenciales con valores a la frontera



Dyke, P. (2004). An introduction to Laplace transforms and Fourier series. Great Britain: Springer-Verlag.



Pinchover, Y. Rubinstein J. (2005). An introduction to partial differential equations. USA: Cambridge University Press.



Tolstov, G. (1976). Fourier series. USA: Dover publications.



Zill, D. (2009). Ecuaciones diferenciales con problemas de valor de frontera, 7a edición. México: Cengage Learning Editores.

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