Unidad 3. Programación lineal

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Programa de la asignatura:

Investigaciรณn de operaciones

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Programaciรณn lineal

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Investigación de operaciones Programación lineal

Índice Presentación de la unidad ......................................................................................................... 2 Propósito de la unidad ............................................................................................................... 3 Competencia específica ............................................................................................................ 3 3.1. Introducción a la programación lineal ................................................................................ 4 3.2. Supuestos de la programación lineal ................................................................................. 4 3.3. Estructura de un modelo de programación lineal............................................................... 6 3.4. Modelos de programación lineal ........................................................................................ 7 3.4.1. El problema del transporte………………………………………..……………....................7 3.4.2. El problema de la planificación de producción ................................................................ 9 3.4.3. El problema del flujo de una red ................................................................................... 11 3.4.4. El problema de vigas y cuerdas……………………………..…………......……………….15 3.5. Resolución de problemas de programación lineal ........................................................... 16 3.5.1. El método gráfico .......................................................................................................... 16 3.5.2. El método simplex ......................................................................................................... 21 3.5.3. El método dual simplex……………………..…………………………..……………………29 3.5.4. El método de cambio en la disponibilidad de recursos ................................................. 31 3.5.5. El método de cambio en los coeficientes de integración .............................................. 35 3.5.6. El método de cambio en los coeficientes tecnológicos ................................................. 37 Actividades….......…………………………………………………………………………………….39 Autorreflexiones……………………………………………………………………………………….39 Cierre de la unidad .................................................................................................................. 40 Para saber más ....................................................................................................................... 41 Fuentes de consulta ................................................................................................................ 41

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Presentación de la unidad Bienvenido(a) a la última unidad de esta asignatura. Como se sabe, cuando se está ante una decisión en un ambiente de certidumbre o certeza, la programación lineal es una herramienta que ayuda a tomar la decisión que mejor convenga a los intereses de la compañía en cuestión. En la primera sección de esta unidad se estudiarán los supuestos teóricos que son la base de la programación lineal, conceptos sobre los cuales se construye una teoría; dentro de la programación lineal se hace referencia a:      

Linealidad Continuidad Aditividad No negatividad Límites Certeza

Una vez que se conocen los supuestos básicos de la programación lineal, es importante definir la estructura de los modelos de programación, la cual revisarás en la primera sección de esta unidad. En la segunda sección se estudiarán los principales modelos utilizados en la programación lineal, los problemas que resuelven y los métodos empleados para aplicarlos. Los métodos son los pasos matemáticos que se usan para resolver el problema, por ejemplo el empleo de gráficas para encontrar una solución óptima; se recuerda que en un ambiente de certeza lo que se busca es optimizar la decisión. Por último, en el tercer tema se estudiarán los métodos más representativos de la programación lineal.

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Propósito de la unidad

Al término de esta unidad lograrás: 

Identificar los elementos más importantes de la programación lineal, para utilizarla como herramienta matemática para la solución de problemas de ingeniería en biotecnología. Analizar los conceptos, modelos y métodos más representativos de la programación lineal, para solucionar mediante éstos, problemas de ingeniería en biotecnología.

Competencia específica

Aplicar modelos matemáticos de investigación de operaciones para resolver problemas de Ingeniería en biotecnología, utilizando la programación lineal.

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3.1. IntroducciĂłn a la programaciĂłn lineal La programaciĂłn lineal es una herramienta importante ya que permite involucrar la mayorĂ­a de los criterios que se quiere que una decisiĂłn cumpla, de manera estructurada y manejable. Con ello permite calcular de forma rĂĄpida la mejor decisiĂłn para los intereses involucrados. Se considera que la programaciĂłn lineal empezĂł formalmente con la invenciĂłn del algoritmo simplex por George Dantzing en 1947, aunque los trabajos de matemĂĄticos y fĂ­sicos como Fourier y Gauss se pueden considerar como programaciĂłn lineal. Se iniciarĂĄ la presente unidad con la exposiciĂłn de los supuestos de la programaciĂłn lineal: linealidad, continuidad, aditividad, no negatividad, lĂ­mites y certeza.

Figura 1. George Dantzing. Imagen tomada de: http://home.ku.edu.tr/~mturk ay/indr501/INDR501_Intro_2 014_web.pdf

3.2. Supuestos de la programación lineal Los supuestos, según Bazaraa (1998) son condiciones que deben existir en un problema para que la teoría se pueda aplicar. A decir de Bazaraa (1998), dentro de la programación lineal los supuestos se refieren a las siguientes propiedades: Linealidad En matemåticas se entiende por función lineal aquella función que cumple que: �(�1 �1 + �2 �2 + ⋯ + �� �� ) = �1 �(�1 ) + �2 �(�2 ) + ⋯ + �� �(�� ) Una desigualdad lineal en las variables �1 , �2 , ⋯ , �� es una desigualdad que tiene alguna de las siguientes posibilidades: a) f(�1 , �2 , ⋯ , �� ) ≤ b b) f(�1 , �2 , ⋯ , �� ) ≼ b Donde f es una función lineal y b es una constante. Para poder utilizar la programación lineal en un problema, la función que se obtiene del anålisis del mismo, llamada función a optimizar, debe ser lineal. Universidad Abierta y a Distancia de MÊxico

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Una forma sencilla de saber que una función es lineal es la siguiente, sea una función: �(�1 , �2 , ⋯ , �� ) = �1 �1 + �2 �2 + ⋯ + �� �� Una vez se conoce que la función a optimizar es lineal, se debe cumplir que las restricciones del problema sean restricciones lineales. Continuidad Al trabajar con funciones se debe tener en cuenta que estas dependen de variables. Para que al problema en cuestión se le pueda aplicar programación lineal, los valores de las variables involucradas en Êl deben ser valores reales. La interpretación de estos valores depende de cada problema; por ejemplo: si el valor es negativo puede significar una pÊrdida de ganancia o una disminución de velocidad. Si en el problema las variables involucradas tienen sólo valores enteros, esto es, que los valores fraccionarios no tienen interpretación en nuestro problema, se utilizan tÊcnicas de programación entera. Aditividad Este supuesto implica que para poder aplicar programación lineal a un problema, cada una de sus variables debe ser independiente; de forma que si la variable a aumenta las variables b y c no tienen cambio alguno. En la ecuación que modela el problema se muestra este supuesto sin factores cruzados, es decir factores que tengan dos o mås variables, por ejemplo: a) �(�) = 5� + 6� + 7�� b) �(�) = 36��� + 3� + 5� + 88� En resumen, en la ecuación que modele el problema a solucionar, cada factor debe tener una y solo una de las variables. Certeza A los coeficientes de la ecuación que modela el problema se les conoce como los paråmetros del problema. Para aplicar programación lineal, se requiere conocer estos paråmetros. Cuando se tiene un problema de optimización se busca predecir el comportamiento de las cosas. En ocasiones, los paråmetros del problema no se conocen con certeza, pero se pueden definir de manera probabilística. Para la programación lineal no importa si se saben con certeza o si se definen de manera probabilística, lo importante es conocerlos.

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Proporcionalidad La proporcionalidad es el supuesto que indica que la relación entre los valores de las variables y los resultados obtenidos son proporcionales. Por ejemplo, se quiere producir un artículo que necesita a cantidad de materiales. Venderlo genera 200 pesos de utilidad, por lo que producir 30 unidades necesita 30a cantidad de materiales. La ganancia es de 6000 pesos. Como se puede observar, dentro de la programación lineal estos supuestos funcionan como síntomas que debe de presentar necesariamente el problema o el caso de estudio para que pueda aplicarse el método de programación lineal. A continuación se expone la estructura del modelo de programación lineal para que puedas aplicarlo a la solución de los problemas que en tu campo como futuro(a) ingeniero(a) en Biotecnología se te presenten.

Supuestos de la programación lineal

Linealidad

Continuidad

Aditividad

Certeza

Proporcionalidad

Figura 2. Supuestos de la programación lineal.

3.3. Estructura de un modelo de programación lineal La programación lineal es un método matemático para resolver problemas, presenta la peculiaridad práctica de que, dada la simplicidad de su aplicación, es viable económicamente para todo tipo de empresas. Existen supuestos que se deben cumplir en los problemas y sus modelos. Aunado a ello, de acuerdo a Bazaraa (1998), es importante conocer los siguientes conceptos: Variables de decisión

Restricciones

Función objetivo

Conjunto de variables involucradas en el problema. Las magnitudes o valores son lo que interesa pronosticar.

Es el conjunto de desigualdades que limitan los valores que pueden alcanzar las variables de decisión.

Es la función que modela el problema. Dicha función expresa la relación de las variables

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de decisión y los parámetros del problema. Estos conceptos complementan los supuestos; ambos conforman los requisitos que debe cumplir un problema para que se pueda resolver mediante la programación lineal. Después de haberse revisado los supuestos que debe cumplir el problema, es momento de estudiar la estructura matemática de un modelo de programación lineal.

3.4. Modelos de programación lineal Al enfrentarse a un problema que cumple los requisitos de continuidad, aditividad, certeza y proporcionalidad se está en condiciones de resolverlo con programación lineal. Para encontrar su solución, es importante saber si se le puede aplicar un modelo de programación lineal ya definido. Utilizar un modelo de este tipo ayuda a obtener la solución más fácilmente, puesto que el método para resolverlo, las restricciones y la función a optimizar ya están definidas. Lo único que faltaría sería sustituir por los valores particulares. Si el problema no cabe en un modelo ya definido, no te preocupes, sólo debes escribir tu función, tus restricciones y utilizar el método que creas conveniente. A continuación se reflexiona en torno a los problemas clásicos de la Ingeniería a través del problema del transporte, ya que este desempeña un papel importante en la economía de las empresas, dentro de las decisiones administrativas. Es un ejemplo que te será útil en el desempeño profesional.

3.4.1. El problema del transporte Cada vez que una empresa amplía su alcance, surge el problema de la distribución de sus productos, por ello la optimización de recursos para este fin es vital para la sobrevivencia de las empresas. Un problema de transporte se puede identificar si cuenta con la estructura definida por las siguientes relaciones: de una bodega a un centro de venta o de un centro de distribución a un punto de venta. En este tipo de problemas se conocen las fuentes y los destinos, el costo y el beneficio, las capacidades y la demanda, por citar algunos ejemplos. Como se conocen con certeza. La programación lineal define el modelo general del problema de transporte como la distribución de un bien desde cualquier grupo de centros de distribución (llamados orígenes), a cualquier grupo de centros de recepción (llamados destinos), de manera que se minimicen los costos totales.

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El origen i dispone de đ?‘ đ?‘– unidades para distribuir con đ?‘– ∈ {1,2, â‹Ż , đ?‘š} y el destino j tiene una demanda de đ?‘‘đ?‘— unidades que reciben de los orĂ­genes, con đ?‘— ∈ {1,2, â‹Ż , đ?‘›}. El costo de distribuciĂłn de unidades desde el origen i al destino j se denota por đ?‘?đ?‘–đ?‘— , de esta forma se puede construir la siguiente tabla:

Origen

Costo por unidad distribuida Destino 2 â‹Ż đ?‘?12 â‹Ż đ?‘?22 â‹Ż â‹Ž â‹Ž đ?‘?đ?‘š2 â‹Ż đ?‘‘2 â‹Ż

1 đ?‘?11 đ?‘?21 â‹Ž đ?‘?đ?‘š1 đ?‘‘1

1 2 â‹Ž M Demanda

Recursos n đ?‘?1đ?‘› đ?‘?2đ?‘› â‹Ž đ?‘?đ?‘šđ?‘› đ?‘‘đ?‘›

đ?’”đ?&#x;? đ?’”đ?&#x;? â‹Ž đ?’”đ?’Ž

Sea f(x) el costo total de distribuciĂłn, đ?‘Ľđ?‘–đ?‘— el nĂşmero de unidades que se distribuyen del origen i al destino j, se genera la siguiente funciĂłn a maximizar: đ?‘š

đ?‘›

đ?‘“(đ?‘Ľ) = ∑ ∑ đ?‘?đ?‘–đ?‘— đ?‘Ľđ?‘–đ?‘— đ?‘—=1 đ?‘–=1

Con las restricciones:

đ?‘›

đ?‘ đ?‘– = ∑ đ?‘Ľđ?‘–đ?‘— đ?‘—=1 đ?‘š

đ?‘‘đ?‘— = ∑ đ?‘Ľđ?‘–đ?‘— đ?‘–?1

Con estos datos se construye la siguiente tabla:

đ?‘Ľ11 1

đ?‘Ľ12 1

â‹Ż â‹Ż

đ?‘Ľ1đ?‘› 1

Coeficiente de cada variable đ?‘Ľ21 đ?‘Ľ22 â‹Ż đ?‘Ľ2đ?‘› đ?‘Ľđ?‘š1 đ?‘Ľđ?‘š2 1

1

1

â‹Ż

1 1

â‹Ż

1

â‹Ż

đ?‘Ľđ?‘šđ?‘› Restricciones de origen

1 â‹ą 1 1

1

â‹Ż

1

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1 Restricciones de destino

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â‹ą

â‹ą 1

â‹ą 1

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Cualquier programa de programaciĂłn lineal que se ajuste a esta formulaciĂłn especial es del tipo “problema de transporteâ€?, sin importar el contexto, es decir este modelo se origina en el ĂĄmbito de la distribuciĂłn, sin embargo cualquier problema de ingenierĂ­a que cumpla con los requisitos de este modelo podrĂĄ ser resuelto de la manera que aquĂ­ se presenta. Una condiciĂłn necesaria y suficiente para que un problema de transporte tenga soluciĂłn posible es: đ?‘š

đ?‘›

∑ đ?‘ đ?‘– = ∑ đ?‘‘đ?‘— đ?‘–=1

đ?‘—=1

Esta condiciĂłn indica que los recursos totales deben ser iguales a la demanda total. Recuerda que para aplicar este modelo al problema en cuestiĂłn, sĂłlo debes sustituir los valores particulares y realizar todo aquello que el modelo plantea. Una vez hecho, se estĂĄ en condiciones de utilizar un mĂŠtodo para resolver el problema.

3.4.2. El problema de la planificaciĂłn de producciĂłn La planificaciĂłn de la producciĂłn como la define Luenberger (1989) es un proceso cuyo objetivo es determinar anticipadamente decisiones que permitan optimizar el uso de los recursos productivos, su enfoque es la determinaciĂłn de la cantidad de producciĂłn, los niveles de inventarios y la cantidad de recursos necesarios con la finalidad de satisfacer la demanda a mediano plazo. El modelo que se desarrolla para este tipo de problemas es el siguiente: Se consideran N productos, J lĂ­neas producciĂłn, L materias primas y T periodos en el horizonte de planificaciĂłn. Se definen los siguientes parĂĄmetros: đ?‘?đ?‘–đ?‘— = costo de producciĂłn del producto i en la lĂ­nea j. â„Žđ?‘– = costo de inventario del producto i. đ?‘’đ?‘– = costo de penalizaciĂłn de escasez del producto i. đ?‘?đ?‘™ = costo de inventario de la materia prima l. đ?‘‘đ?‘–đ?‘Ą = demanda del producto i durante el mes t. đ?‘?đ?‘–đ?‘— = tasa de producciĂłn del producto i en la lĂ­nea j. â„Žđ?‘&#x;đ?‘—đ?‘Ą = horas disponibles para producir en la lĂ­nea j durante el mes t. đ?‘&#x; = constante de rendimiento de las materias primas.

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đ?‘ đ?‘™đ?‘Ą = suministro mĂĄximo de materia prima l en el periodo t. đ?›˝đ?‘–0 = inventario inicial del producto i. đ?›˝đ?‘–đ?‘‡ = inventario final del producto i al final del horizonte de planeaciĂłn. đ?›źđ?‘™0 = inventario inicial de materia prima l. đ?›źđ?‘–đ?‘™ = vale 1 si el producto i se puede fabricar de la materia prima l, 0 en caso contrario. T = horizonte de planeaciĂłn.

Las variables de decisiĂłn que se van a considerar en este modelo son las siguientes: đ?‘Ľđ?‘–đ?‘—đ?‘Ą = producciĂłn del producto i en la lĂ­nea j en el periodo t. đ?‘Śđ?‘™đ?‘Ą = materia prima l a recepcionar en el periodo t. đ?‘§đ?‘™đ?‘Ą = necesidad de materias primas l en el periodo t. đ?›˝đ?‘–đ?‘Ą = balance del inventario del producto i en el periodo t. đ?›˝đ?‘–đ?‘Ą+ = inventario fĂ­sico del producto i en el periodo t. đ?›˝đ?‘–đ?‘Ąâˆ’ = escasez del producto i en el periodo t. đ?›źđ?‘™đ?‘Ą = inventario final de materia prima l en el periodo t. Con estas variables y parĂĄmetros se define la siguiente funciĂłn, la cual calcula el costo de fabricaciĂłn, costo del inventario, la penalizaciĂłn de la escasez de producto y el costo de mantener la materia prima en el inventario: đ?‘‡

đ?‘

đ??˝

�

đ??śđ?‘? = ∑ ∑ ∑ đ?‘?đ?‘–đ?‘— đ?‘Ľđ?‘–đ?‘—đ?‘Ą + đ?‘Ą=1 đ?‘–=1 đ?‘—=1

đ?‘

�

∑ ∑ â„Žđ?‘– đ?›˝đ?‘–đ?‘Ą+ đ?‘Ą=đ?‘– đ?‘–=1

+

đ?‘

∑ ∑ đ?‘’đ?‘– đ?›˝đ?‘–đ?‘Ąâˆ’ đ?‘Ą=1 đ?‘–=1

�

đ??ż

+ ∑ ∑ đ?‘?đ?‘™ đ?›źđ?‘–đ?‘Ą đ?‘Ą=1 đ?‘™=1

Existen las siguientes restricciones: 

El balance de inventario de productos terminados: đ??˝

đ?›˝đ?‘–(đ?‘Ąâˆ’1) + ∑ đ?‘Ľđ?‘–đ?‘—đ?‘Ą − đ?‘‘đ?‘–đ?‘Ą = đ?›˝đ?‘–đ?‘Ą đ?‘—=1



La planificaciĂłn de inventario fĂ­sico y escasez: đ?›˝đ?‘–đ?‘Ą = đ?›˝đ?‘–đ?‘Ą+ − đ?›˝đ?‘–đ?‘Ąâˆ’



Los requerimientos de inventario de productos al tÊrmino del horizonte de planificación: ��� =

��� 2

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

La restricciĂłn de capacidad de producciĂłn de cada lĂ­nea: đ?‘

∑ đ?‘Ľđ?‘–đ?‘—đ?‘Ą đ?‘–=1



1 ≤ â„Žđ?‘&#x;đ?‘—đ?‘Ą đ?‘?đ?‘–đ?‘—

El balance de materias primas: đ?›źđ?‘™(đ?‘Ąâˆ’1) + đ?‘Śđ?‘™đ?‘Ą − đ?‘§đ?‘™đ?‘Ą = đ?›źđ?‘™đ?‘Ą



Los lĂ­mites de adquisiciĂłn de materias primas: đ?‘Śđ?‘™đ?‘Ą ≤ đ?‘ đ?‘™đ?‘Ą



Las necesidades de materias primas en funciĂłn de la fabricaciĂłn de cada producto: đ??˝

đ?‘

đ?‘§đ?‘™đ?‘Ą = đ?‘&#x; ∑ đ?‘Žđ?‘–đ?‘™ ∑ đ?‘Ľđ?‘–đ?‘—đ?‘Ą đ?‘–=1



đ?‘—=1

El inventario final de materia prima: ��� =

∑đ?‘‡đ?‘Ą=1 đ?‘§đ?‘™đ?‘Ą đ?‘‡

Para resolver un problema de planificaciĂłn de producciĂłn se minimiza la ecuaciĂłn đ??śđ?‘? . đ?‘‡

đ?‘

đ??˝

đ??śđ?‘? = ∑ ∑ ∑ đ?‘?đ?‘–đ?‘— đ?‘Ľđ?‘–đ?‘—đ?‘Ą + đ?‘Ą=1 đ?‘–=1 đ?‘—=1

�

đ?‘

∑ ∑ â„Žđ?‘– đ?›˝đ?‘–đ?‘Ą+ đ?‘Ą=đ?‘– đ?‘–=1

�

+

đ?‘

∑ ∑ đ?‘’đ?‘– đ?›˝đ?‘–đ?‘Ąâˆ’ đ?‘Ą=1 đ?‘–=1

�

đ??ż

+ ∑ ∑ đ?‘?đ?‘™ đ?›źđ?‘–đ?‘Ą đ?‘Ą=1 đ?‘™=1

Es importante que el problema tenga la estructura descrita en anteriormente para poder aplicar este modelo. Una vez que se asegura que tiene dicha estructura, sĂłlo queda sustituir los valores particulares para asĂ­ obtener las funciones y restricciones que describen el problema.

3.4.3. El problema del flujo de una red El flujo de redes estĂĄ orientado a optimizar situaciones vinculadas a las redes de transporte; redes de comunicaciĂłn; sistema de vuelos de aeropuertos; rutas de navegaciĂłn de los cruceros; estaciones de bombeo que transportan fluidos a travĂŠs de tuberĂ­as; rutas entre ciudades; redes de conductos; todas aquellas situaciones que puedan representarse mediante una red. En las Ăşltimas los nodos deben representar

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estaciones o ciudades; los arcos, caminos; así como las líneas aéreas, los cables, las tuberías y el flujo representar los camiones, mensajes y fluidos que pasan por la red. Dentro del campo de la Biotecnología podemos utilizar redes que permitan no solo la distribución de materiales sino y aún más, debemos considerar la posibilidad de esta distribución en procesos, sean químicos, termodinámicos y cualquier proceso que pueda parametrizarse. Algunos conceptos (Bazaraa, 1998) que se utilizarán en los modelos de este problema son:  Red Una red consiste en un conjunto de puntos llamados nodos y un conjunto de líneas llamadas arcos o ligaduras, que unen pares de nodos. Los arcos se etiquetan con los nombres de los nodos que unen; por ejemplo, el arco AB es el arco entre los nodos A y B. 

Arcos dirigidos Se dice que un arco es dirigido cuando tiene flujo en una dirección. La dirección se indica por medio de una flecha en la dirección del flujo. La forma de etiquetar un arco dirigido es escribir primero el nodo de donde sale seguido de una flecha, terminando con el nombre del nodo al que llegan. Por ejemplo el arco A→B, es el arco dirigido que va del nodo A al nodo B.

Arcos no dirigidos Son arcos que tienen el flujo en ambas direcciones.

Trayectoria Una trayectoria entre dos nodos es una sucesión de arcos distintos que conectan ambos nodos. Se debe distinguir si los arcos incluidos en la trayectoria son dirigidos o no.

Trayectoria dirigida Una trayectoria dirigida entre dos nodos es una sucesión de arcos dirigidos distintos entre esos nodos.

Trayectoria no dirigida Es una trayectoria entre dos nodos cuyos arcos no tiene una misma dirección.

Ciclo Es una trayectoria que empieza y termina en el mismo nodo.

Red conexa Es una red en la que para cada par de nodos existe una trayectoria no dirigida que los conecta. Universidad Abierta y a Distancia de México

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Árbol de expansión Es una red conexa que carece de ciclos no dirigidos.

Capacidad de Arco Es la cantidad máxima de flujo que puede circular en un arco dirigido.

Red residual Es una red que muestra las capacidades restantes para asignar flujos adicionales.

Para trabajar con un problema como estos, la programación lineal propone cuatro modelos: 

Modelo de minimización de redes Este modelo se enfoca en encontrar aquellos ramales que unan todos los nodos de la red de tal manera que minimice las longitudes de dichos ramales. No se deben incluir ciclos en la solución del problema. Para crear el árbol de este modelo, de acuerdo con Bazaraa (1998), se necesitan las siguientes características: a) Tener todos los nodos, más no las ligaduras. b) Diseñar la red con suficientes ligaduras para satisfacer la condición de que entre cada nodo existe por lo menos un camino. Una red con n nodos requiere n-1 ligaduras para proporcionar una trayectoria entre cada par de nodos. El algoritmo para construir este árbol es el siguiente: a) Se selecciona de manera arbitraria cualquier nodo y se conecta al nodo distinto más cercano. b) Se encuentra el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado y se conectan ambos. Este paso se repite hasta haber conectado todos los nodos. c) Si existen dos caminos para el nodo más cercano distinto al que se obtuvo en los pasos anteriores, se puede romper uno de ellos de manera arbitraria, de esta forma el algoritmo llega a una solución óptima.

Modelo de flujo máximo Este modelo trata de enlazar un nodo fuente y un nodo distinto a través de una red de arcos dirigidos. Como cada arco tiene una capacidad máxima de flujo admisible, el objetivo es obtener la máxima capacidad de flujo entre fuente y destino.

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Las características a considerar, de acuerdo con Bazaraa (1998), son las siguientes: a) Todo flujo a través de una red conexa dirigida se origina en un nodo, llamado fuente, y termina en otro nodo, llamado destino. b) Los nodos restantes se llaman nodos de transbordo. c) Se permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección indicada por la flecha. La capacidad máxima de flujo está dada por la capacidad del arco. En la fuente, todos los arcos señalan hacia afuera; en el destino, todos señalan hacia el nodo. d) El objetivo es maximizar la cantidad total de flujo de la fuente al destino, la cual se mide en cualquiera de las dos direcciones, con la cantidad que sale de la fuente o con la cantidad que entra al destino. El algoritmo para resolver un problema de flujo máximo es: a) Se identifica una trayectoria de aumento encontrando alguna trayectoria dirigida del origen al destino en la red residual, tal que cada arco sobre esta trayectoria tiene la capacidad residual estrictamente positiva. En el caso de que no exista alguna trayectoria con capacidad residual estrictamente positiva, los flujos netos asignados constituyen un patrón del flujo óptimo. b) Se identifica la capacidad residual c de esta trayectoria de aumento encontrado el mínimo de las capacidades residuales de los arcos sobre esta trayectoria. Se aumenta en c el flujo de esta trayectoria. c) Se disminuye en c la capacidad residual de cada arco en esta trayectoria de aumento. Se aumenta en c la capacidad residual de cada arco en la dirección opuesta en esta trayectoria. Se regresa al primer paso. 

Modelo de la ruta más corta Este modelo se aplica a una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen y destino. A cada arco se asocia una distancia no negativa. El objetivo es encontrar la ruta con la distancia total mínima. El presente modelo carece de características especiales. El algoritmo propuesto por Bazaraa (1998) para resolver un problema así es el siguiente: a) Encontrar el nodo más cercano al origen. Si éste es el nodo destino se detiene la búsqueda, de lo contrario se busca el nodo más cercano a este nuevo nodo; si es el nodo origen se concluye la búsqueda, de lo contrario se continúa con el proceso hasta que el nodo que se escoja sea el de destino. b) Supóngase que el nodo destino se encuentra en la n-ésima iteración. Los n-1 nodos anteriores se conocen como nodos resueltos; los nodos no Universidad Abierta y a Distancia de México

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escogidos en el primer paso se les llama nodos no resueltos. La distancia desde el origen hasta el destino dada por los n nodos encontrados constituye la ruta de comparaciĂłn. c) Cada nodo resuelto que tiene conexiĂłn directa con uno o mĂĄs nodos no resueltos constituye un candidato de ruta mĂĄs corta. De cada candidato se escoge el nodo no resuelto que estĂŠ a menor distancia. d) Una vez se tienen los nodos resueltos y sus candidatos, se comparan las distancias de las rutas generadas por estos nuevos nodos con la original y se escoge la menor. Al igual que en los modelos anteriores, una vez que se haya identificado que el problema cumple con las caracterĂ­sticas necesarias, se sustituye con los datos particulares para obtener las funciones y restricciones que lo modelan.

3.4.4. El problema de vigas y cuerdas El problema de vigas y cuerdas nos sirve para definir la transportación idónea dentro de almacenes, considerando las vigas y el sistema de cuerdas para ejecutar dicho transporte, en este sentido dentro de la biotecnología, podrå apoyarnos en espacios abiertos, y en espacios de grandes dimensiones. El problema consiste en determinar la carga total admisible que puede soportar un sistema de vigas y cuerdas dentro del almacÊn. Para el modelo de este problema se consideran las siguientes características:         

I = conjunto de cargas. S = conjunto de cuerdas. B = conjunto de vigas. đ?‘‡đ?‘ = carga mĂĄxima permitida en la cuerda s. Ίđ?‘? = conjunto de cargas aplicadas en el punto medio de la viga b. đ?œ“đ?‘? = conjunto de cuerdas que soporta la viga b. Θđ?‘? = conjunto de cuerdas que cuelgan de la viga b. đ?‘‘đ?‘™đ?‘– = distancia de la carga i al punto izquierdo de la viga donde actĂşa. đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘ = distancia de la cuerda s al punto izquierdo de la viga b que soporta.

Se consideran las siguientes variables:  đ?‘Ľđ?‘– = la carga i.  đ?‘Ąđ?‘ = tensiĂłn generada en la cuerda s bajo la acciĂłn del conjunto de las cargas đ?‘Ľđ?‘– . Las restricciones que se obtienen de este sistema son las siguientes:

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

El equilibrio de fuerzas en cada viga b: ∑ đ?‘Ąđ?‘ = ∑ đ?‘Ľđ?‘– + ∑ đ?‘Ąđ?‘ đ?‘ ∈Ψđ?‘?



đ?‘–∈Ίđ?‘?

đ?‘ĽâˆˆÎ˜đ?‘?

El equilibrio de momentos en la viga b, considerados desde el extremo izquierdo de la viga: ∑ đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘Ąđ?‘ = ∑ đ?‘‘đ?‘™đ?‘– đ?‘Ľđ?‘– + ∑ đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘Ąđ?‘ đ?‘ ∈Ψđ?‘?



đ?‘–∈Ίđ?‘?

đ?‘ĽâˆˆÎ˜đ?‘?

La tensiĂłn mĂĄxima permitida en cada cuerda: 0 ≤ đ?‘Ąđ?‘ ≤ đ?‘‡đ?‘



Las cargas no pueden ser negativas.

Estos modelos son los mĂĄs utilizados para resolver problemas con programaciĂłn lineal. En el presente tema no se resolvieron, sĂłlo fueron presentadas las variables y restricciones que cada modelo maneja. En la siguiente secciĂłn se abordarĂĄn los mĂŠtodos de la programaciĂłn lineal para resolver los problemas, toda vez que ya se haya planteado el modelo a utilizar.

3.5. ResoluciĂłn de problemas de programaciĂłn lineal En la secciĂłn anterior se presentaron los modelos mĂĄs populares de la programaciĂłn lineal. Se recuerda que ĂŠstos son una forma de abstraer en lenguaje matemĂĄtico un problema. Para resolver un problema con programaciĂłn lineal se utilizan mĂŠtodos, es decir algoritmos que se utilizarĂĄn una vez estĂŠ definido el modelo. A continuaciĂłn se revisarĂĄn los mĂŠtodos mĂĄs conocidos de la programaciĂłn lineal.

3.5.1. El mĂŠtodo grĂĄfico De acuerdo con Luenberger (1998), este mĂŠtodo se utiliza para resolver problemas que presenten dos variables de decisiones. Consiste en trazar la grĂĄfica de cada una de las funciones de restricciĂłn. La intersecciĂłn de estas grĂĄficas delimita el ĂĄrea de soluciones factibles. La soluciĂłn Ăłptima del problema se encuentra en uno de los vĂŠrtices de esta ĂĄrea. Por ejemplo: Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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U3

InvestigaciĂłn de operaciones ProgramaciĂłn lineal

Una compaùía de biotecnologĂ­a se especializa en preparar compuestos sintĂŠticos y compuestos naturales. Dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas de revisiĂłn. Un producto sintĂŠtico en promedio requiere 40 horas directas y 10 horas de revisiĂłn; cada una aporta un ingreso de 3000 pesos. Mientras que un producto natural requiere de 8 horas directas y 5 horas de revisiĂłn; cada una aporta un ingreso de 1000 pesos. En sus estudios de producciĂłn se llegĂł a la conclusiĂłn de que mensualmente se cuenta con un mĂĄximo de 60 compuestos naturales. Las variables de decisiĂłn involucradas son:  

A = Cantidad de productos sintĂŠticos. L = Cantidad de productos naturales.

Las restricciones que se tienen son las siguientes: 

Tiempo disponible de trabajo directo: 40đ??´ + 8đ??ż ≤ 800



Tiempo disponible de revisiĂłn: 10đ??´ + 5đ??ż ≤ 320



NĂşmero mĂĄximo de productos naturales: đ??ż ≤ 60



La cantidad de productos sintĂŠticos y de productos naturales deben ser positivas: đ??´, đ??ż ≼ 0

La funciĂłn a maximizar es la siguiente: đ?‘? = 3000đ??´ + 1000đ??ż

Se elabora una grĂĄfica como la siguiente:

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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U3

Investigación de operaciones Programación lineal

14 12 10 8 L<=60 6

40A + 8L<= 800 10A + 5L <= 320

4 2 0 0

5

10

15

20

25

-2

Los vértices del conjunto de soluciones son:     

(0,60). (2,60). (12,40). (20,0). (0,0).

Considera que dentro del método gráfico para determinar la factibilidad es necesario revisar los vértices, discute el siguiente ejemplo con tus compañeros y espera la participación del docente, quien identificará el error y ahondará al respecto en los siguientes temas:   

Vértices Método gráfico Restricciones

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U3

InvestigaciĂłn de operaciones ProgramaciĂłn lineal

La solución debe cumplir con las restricciones, las cuales estån delimitadas por el årea de los vÊrtices presentados arriba. Entonces se evalúa estos vÊrtices en la función Z.     

đ?‘?(0,60) = 3000(0) + 1000(60) = 60000. đ?‘?(2,60) = 3000(2) + 1000(60) = 66000. đ?‘?(12,40) = 3000(12) + 1000(40) = 76000. đ?‘?(20,0) = 3000(20) + 1000(0) = 60000. đ?‘?(0,0) = 3000(0) + 1000(0) = 0.

Puesto que se busca maximizar las ganancias, la solución óptima es: 

12productos sintĂŠticos, 40 productos naturales con una ganancia de 76,000 pesos.

Un segundo ejemplo plantea que: Una agencia de publicidad es contratada para realizar una campaùa de promoción de una nueva línea de desodorantes fabricados por una empresa de biotecnología. Se tienen dos opciones de medios de difusión: televisión y radio. El estudio de mercado mostró los siguientes datos: 



La publicidad en televisiĂłn llega al 2% de las familias de ingresos altos y al 3% de las familias de ingresos medios por comercial. El costo por comercial es de 20000 pesos. La publicidad en radio llega al 3% de las familias de ingresos altos y al 6% de las familias de ingresos medios por comercial. El costo por comercial es de 5000 pesos.

La meta de la empresa es llegar al menos al 36% de las familias con ingresos altos y al 60% de las familias de ingresos medios, minimizando el costo por publicidad. Variables de decisión:  

đ?‘‹1 = Anuncios para las familias de ingresos altos. đ?‘‹2 = Anuncios para las familias de ingresos medios.

Restricciones: 

Porcentaje de presentación a familias de ingresos altos: 2�1 + 3�2 ≼ 36

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U3

InvestigaciĂłn de operaciones ProgramaciĂłn lineal



Porcentaje de presentación a familias de ingresos medios: 3�1 + 6�2 ≼ 60



El nĂşmero de anuncios debe ser positivo.

La función a minimizar es la siguiente: 

đ?‘? = 20000đ?‘‹1 + 5000đ?‘‹2 .

Al graficar se obtiene: 14 12 10 8 2X1 + 3X2 = 36 6

3X1 + 6X2 = 60

4 2 0 0

5

10

15

20

25

Los vÊrtices que delimitan el årea que cumple las restricciones son:   

(0,12). (12,4). (20,0).

Observa los vĂŠrtices del conjunto soluciĂłn y discute con tus compaĂąeros al respecto en el foro correspondiente.

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U3

InvestigaciĂłn de operaciones ProgramaciĂłn lineal

Sus valores en la función Z son:   

đ?‘?(0,12) = 20000(0) + 5000(12) = 60000. đ?‘?(12,4) = 20000(12) + 5000(4) = 260000. đ?‘?(20,0) = 20000(20) + 5000(0) = 400000.

Por lo tanto la opción óptima para minimizar costos de publicidad es: 

0 anuncios en televisiĂłn y 12 anuncios en radio con un costo de publicidad de 60000.

Como puedes observar este mĂŠtodo es sencillo una vez se entiende que la soluciĂłn estĂĄ en alguno de los vĂŠrtices de intersecciĂłn de las rectas, de ahĂ­ la importancia de que dichas intersecciones se calculen correctamente.

3.5.2. El mĂŠtodo simplex Para utilizar este mĂŠtodo es indispensable conocer quĂŠ es un modelo de programaciĂłn lineal en su forma estĂĄndar. Se dice que un modelo de programaciĂłn lineal estĂĄ en su forma estĂĄndar si cada restricciĂłn es una igualdad y las restricciones de signo para cada variable son del tipo mayor o igual a cero (Luenberger, 1989). Por ejemplo, el modelo: đ?‘? = 3đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś Con las restricciones 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś ≤ 100 đ?‘Ľ + đ?‘Ś ≤ 80 đ?‘Ľ ≤ 40 đ?‘Ľâ‰Ľ0 đ?‘Śâ‰Ľ0 No estĂĄ en su forma estĂĄndar, puesto que las restricciones no son igualdades. Para utilizar el mĂŠtodo simplex se requiere que el modelo estĂŠ en su forma estĂĄndar. En seguida se expone cĂłmo convertir un modelo en dicha forma.  Las restricciones se convierten en igualdades siguiendo los siguientes criterios:  Si la restricciĂłn es una desigualdad de menor o igual y los recursos o variables son positivas:

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U3

InvestigaciĂłn de operaciones ProgramaciĂłn lineal

Se convierte esa desigualdad en una igualdad agregando una variable de holgura positiva con coeficiente nulo en la funciĂłn objetivo. đ?›ź1 đ?‘Ľ1 + đ?›ź2 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?›źđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› ≤ đ?‘?đ?‘– Se transforma en: đ?›ź1 đ?‘Ľ1 + đ?›ź2 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?›źđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› + đ?‘ đ?‘– = đ?‘?đ?‘– 

Si la restricciĂłn es una igualdad y los recursos son positivos:

Se suma una variable positiva llamada variable artificial. A la funciĂłn objetivo se le suma un nuevo tĂŠrmino formado dicha artificial. Ésta tendrĂĄ coeficiente negativo de valor absoluto muy grande si el problema es de maximizaciĂłn y coeficiente positivo y de valor absoluto muy grande si el problema es de minimizaciĂłn: đ?›ź1 đ?‘Ľ1 + đ?›ź2 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?›źđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?đ?‘– Se transforma en đ?›ź1 đ?‘Ľ1 + đ?›ź2 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?›źđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› + đ?‘&#x;đ?‘– = đ?‘?đ?‘– La funciĂłn objetivo se modifica: Si el problema es de maximizaciĂłn đ?‘§ − đ?›ź1 đ?‘Ľ1 − đ?›ź2 đ?‘Ľ2 − â‹Ż − đ?›źđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› − đ?‘€đ?‘&#x;đ?‘– Si el problema es de minimizaciĂłn đ?‘§ − đ?›ź1 đ?‘Ľ1 − đ?›ź2 đ?‘Ľ2 − â‹Ż − đ?›źđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› + đ?‘€đ?‘&#x;đ?‘–  Si la restricciĂłn es una desigualdad de mayor o igual y los recursos son positivos: A la restricciĂłn se le resta una variable positiva de holgura, ya que es una igualdad; se suma una variable artificial, la cual se agregarĂĄ a la funciĂłn objetivo con un coeficiente segĂşn las reglas descritas en el punto anterior: đ?›ź1 đ?‘Ľ1 + đ?›ź2 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?›źđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› ≼ đ?‘?đ?‘– Se transforma en: đ?›ź1 đ?‘Ľ1 + đ?›ź2 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?›źđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› − đ?‘ đ?‘– + đ?‘&#x;đ?‘– = đ?‘?đ?‘– La funciĂłn objetivo se modifica: Si el problema es de maximizaciĂłn Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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U3

InvestigaciĂłn de operaciones ProgramaciĂłn lineal

đ?‘§ − đ?›ź1 đ?‘Ľ1 − đ?›ź2 đ?‘Ľ2 − â‹Ż − đ?›źđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› − đ?‘€đ?‘&#x;đ?‘– Si el problema es de minimizaciĂłn đ?‘§ − đ?›ź1 đ?‘Ľ1 − đ?›ź2 đ?‘Ľ2 − â‹Ż − đ?›źđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› + đ?‘€đ?‘&#x;đ?‘– ConsidĂŠrese el siguiente modelo de programaciĂłn lineal đ?‘? = 50đ?‘Ľ1 + 20đ?‘Ľ2 + 30đ?‘Ľ3 Con las restricciones 400đ?‘Ľ1 + 200đ?‘Ľ2 + 150đ?‘Ľ3 ≼ 500 3đ?‘Ľ1 + 2đ?‘Ľ2 ≤ 6 2đ?‘Ľ1 + 2đ?‘Ľ2 + 4đ?‘Ľ3 ≼ 10 2đ?‘Ľ1 + 4đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ3 = 8 đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 ≼ 0 La forma estĂĄndar de este modelo queda de la siguiente forma: đ?‘? − 50đ?‘Ľ1 − 20đ?‘Ľ2 − 30đ?‘Ľ3 = 0 Con las restricciones 400đ?‘Ľ1 + 200đ?‘Ľ2 + 150đ?‘Ľ3 − đ?‘Ľ4 + đ?‘Ľ5 = 500 3đ?‘Ľ1 + 2đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ6 = 6 2đ?‘Ľ1 + 2đ?‘Ľ2 + 4đ?‘Ľ3 − đ?‘Ľ7 + đ?‘Ľ8 = 10 2đ?‘Ľ1 + 4đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ3 + đ?‘Ľ9 = 8 đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 , đ?‘Ľ4 , đ?‘Ľ5 , đ?‘Ľ6 , đ?‘Ľ7 , đ?‘Ľ8 , đ?‘Ľ9 ≼ 0 Las variables agregadas despuĂŠs del proceso de estandarizaciĂłn del modelo se les llamarĂĄ variables bĂĄsicas, mientras que a las variables originales, no bĂĄsicas. Una vez se tiene el modelo en su forma estĂĄndar se continĂşa con lo trazado por el mĂŠtodo simplex: si la funciĂłn es a maximizar y todas las restricciones son desigualdades de menor igual y los recursos son positivos: 1. Se construye la tabla inicial. SupĂłngase que el sistema tiene n variables no bĂĄsicas y m variables bĂĄsicas, bajo el siguiente sistema estĂĄndar: FunciĂłn objetivo: đ?‘? = đ?‘?1 đ?‘Ľ1 + đ?‘?2 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘?đ?‘› đ?‘Ľđ?‘›

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U3

InvestigaciĂłn de operaciones ProgramaciĂłn lineal

Con las restricciones đ?‘Ž11 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž12 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘Ľđ?‘› + đ?‘Ľđ?‘›+1 = đ?‘?1 đ?‘Ž21 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž22 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Ž2đ?‘› đ?‘Ľđ?‘› + đ?‘Ľđ?‘›+2 = đ?‘?2 â‹Ž đ?‘Žđ?‘š1 đ?‘Ľ1 + đ?‘Žđ?‘š2 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘šđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› + đ?‘Ľđ?‘›+đ?‘š = đ?‘?đ?‘š đ?‘Ľđ?‘– ≼ 0 FunciĂłn objetivo đ?‘Ľđ?‘›+1 đ?‘Ľđ?‘›+2

0 0

đ?‘Ľđ?‘›+đ?‘š đ?‘&#x;đ?‘—

0

đ?‘?1

đ?‘?2

đ?‘?đ?‘›

0

0

0

đ?‘Ľ1 đ?‘Ž11 đ?‘Ž21

đ?‘Ľ2 đ?‘Ž12 đ?‘Ž22

đ?‘Ľđ?‘› đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘Ž2đ?‘›

đ?‘Ľđ?‘›+2 0 1

đ?‘Ľđ?‘›+đ?‘š 0 0

đ?‘Žđ?‘š1 −đ?‘?1

đ?‘Žđ?‘š2 -đ?‘?2

đ?‘Ľđ?‘›+1 1 0 â‹Ž 0 0

â‹Ż

â‹Ž đ?‘Žđ?‘šđ?‘› −đ?‘?đ?‘›

0 0

â‹Ż

1 0

Coef. objetivo variables đ?‘?1 đ?‘?2 â‹Ž đ?‘?đ?‘š 0

2. Se considera la soluciĂłn inicial dada por (0,0, â‹Ż ,0, đ?‘?1 , đ?‘?2 , â‹Ż , đ?‘?đ?‘š ); ĂŠsta va a ser la primera soluciĂłn bĂĄsica factible. 3. La soluciĂłn actual es Ăłptima si todos los costes reducidos coeficientes de la Ăşltima fila de la tabla son no negativos. De lo contrario se sigue con el paso cuatro. 4. Se busca una nueva soluciĂłn que mejore la funciĂłn objetivo de acuerdo a la siguientes reglas: a) Se selecciona una variable, denominada variable de entrada, que tenga el đ?‘&#x;đ?‘— mĂĄs negativo, supĂłngase đ?‘Ľđ?‘˜ . De haber mĂşltiples variables con el mismo valor, se escoge arbitrariamente alguna de ellas. b) Se selecciona una variable, denominada variable de salida, de la fila i, que haga mĂ­nimo el cociente entre el coeficiente interno y su correspondiente đ?‘Žđ?‘–đ?‘˜ , elemento definido por la variable de entrada, tales que ese cociente sea positivo. En caso de que ninguno lo sea, el problema no es acotado y no se puede solucionar con este mĂŠtodo. SupĂłngase que la fila l lo cumple. 5. El elemento đ?‘Žđ?‘™đ?‘˜ serĂĄ el elemento pivote. Se realiza el proceso de Gauss a la matriz para conseguir que la columna k tenga un 1 en el elemento pivote y 0 en todos los demĂĄs. AsĂ­ se obtiene una nueva soluciĂłn factible. Se regresa al paso tres.

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U3

InvestigaciĂłn de operaciones ProgramaciĂłn lineal

Observa el siguiente ejemplo: Se cuenta con el modelo: Max đ?‘? = đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 Con las restricciones: −đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 ≤ 2 đ?‘Ľ1 + 2đ?‘Ľ2 ≤ 6 2đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 ≤ 6 đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ≼ 0 Al estandarizar el sistema: Max đ?‘? = đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 Con las restricciones: −đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 + â„Ž1 = 2 đ?‘Ľ1 + 2đ?‘Ľ2 + â„Ž2 = 6 2đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 + â„Ž3 = 6 đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , â„Ž1 , â„Ž2 , â„Ž3 > 0 Se construye la tabla inicial FunciĂłn objetivo

1

1

0

0

0

đ?’™đ?&#x;?

đ?’™đ?&#x;?

đ?’‰đ?&#x;?

đ?’‰đ?&#x;?

đ?’‰đ?&#x;‘

Coef. objetivo variables

â„Ž1

0

-1

1

1

0

0

2

â„Ž2

0

1

2

0

1

0

6

â„Ž3

0

2

1

0

0

1

6

-1

-1

0

0

0

0

đ?‘&#x;đ?‘—

La primera soluciĂłn factible es (0,0, 2, 6,6). Sin embargo esta soluciĂłn no es Ăłptima puesto que hay valores en đ?‘&#x;đ?‘— que son negativos. Por lo tanto se selecciona đ?‘Ľ1 como nuestra variable de entrada.

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U3

InvestigaciĂłn de operaciones ProgramaciĂłn lineal

Al realizar los cocientes, se obtiene -2,6, 3; dado que el mĂĄs pequeĂąo positivo es 3, 2 es el pivote, siendo â„Ž3 la variable de salida. Al efectuar el proceso de Gauss se obtiene la siguiente tabla: FunciĂłn objetivo

1

1

0

0

0

đ?’™đ?&#x;?

đ?’™đ?&#x;?

đ?’‰đ?&#x;?

đ?’‰đ?&#x;?

đ?’‰đ?&#x;‘

Coef. objetivo variables

đ?’‰đ?&#x;?

0

0

3 2

1

0

1 2

5

đ?’‰đ?&#x;?

0

0

3 2

0

1

-

1 2

3

đ?’™đ?&#x;?

1

1

1 2

0

0

1 2

3

0

-

1 2

0

0

1 2

3

đ?’“đ?’‹

La nueva soluciĂłn es (3, 0, 5, 3, 0) Al retomar el paso 3, se descubre que ĂŠsta nueva soluciĂłn no es Ăłptima ya que hay đ?‘&#x;đ?‘— negativos. En seguida se escoge đ?‘Ľ2 como la nueva variable de entrada. 5

3

2

3 2

Se realizan los cocientes correspondientes para conseguir como resultado 3 , es decir

10 , 2

,

3 1 2

,

2, 6, quedando como mĂ­nimo 2. Este valor corresponde a â„Ž2 que es la 3 2

nueva variable de salida, quedando como pivote .

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U3

InvestigaciĂłn de operaciones ProgramaciĂłn lineal

Al aplicar el proceso de Gauss la tabla con nuestro nuevo pivote queda como la siguiente: FunciĂłn objetivo

1

1

0

0

0

đ?’™đ?&#x;?

đ?’™đ?&#x;?

đ?’‰đ?&#x;?

đ?’‰đ?&#x;?

đ?’‰đ?&#x;‘

Coef. objetivo variables

â„Ž1

0

0

0

1

-1

1

đ?‘Ľ2

0

0

1

0

2 3

-3

2

đ?‘Ľ1

1

1

0

0

-3

1

2 3

2

0

0

0

1 3

1 3

4

đ?‘&#x;đ?‘—

1

2

De esta manera se obtiene la nueva soluciĂłn factible (2, 2, 2, 0, 0). Esta nueva soluciĂłn es Ăłptima ya que ningĂşn đ?‘&#x;đ?‘— es negativo. Si la funciĂłn se va a minimizar, sĂłlo se modifican los pasos tres y el inciso a del cuarto de los pasos de la funciĂłn a maximizar vistos anteriormente. Las nuevas fases del mĂŠtodo quedan de la siguiente manera: 3. La soluciĂłn actual es Ăłptima si todos las đ?‘&#x;đ?‘— no son positivos. De lo contrario se sigue con el paso cuatro 4. Hallar una nueva soluciĂłn: Se selecciona como variable de entrada a đ?‘&#x;đ?‘— mĂĄs positiva. De haber mĂşltiples variables con el mismo valor, se escoge arbitrariamente una de ellas. Por ejemplo: ConsidĂŠrese el siguiente modelo Min đ?‘? = đ?‘Ľ2 − 3đ?‘Ľ3 + 2đ?‘Ľ5 Con las restricciones

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U3

InvestigaciĂłn de operaciones ProgramaciĂłn lineal

đ?‘Ľ1 + 3đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ3 + 2đ?‘Ľ5 = 7 −2đ?‘Ľ2 + 4đ?‘Ľ3 + đ?‘Ľ4 = 12 −4đ?‘Ľ2 + 3đ?‘Ľ3 + 8đ?‘Ľ5 + đ?‘Ľ6 = 10 đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 , đ?‘Ľ4 , đ?‘Ľ5 , đ?‘Ľ6 ≼ 0 Las restricciones del problema se encuentran como igualdades. Por otro lado, la funciĂłn objetivo sĂłlo depende de tres variables; por lo tanto đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ4 , đ?‘Ľ6 son las variables bĂĄsicas. Se construye la tabla inicial: FunciĂłn objetivo

0

1

-3

0

2

0

đ?’™đ?&#x;?

đ?’™đ?&#x;?

đ?’™đ?&#x;‘

đ?’™đ?&#x;’

đ?’™đ?&#x;“

đ?’™đ?&#x;“

Coef. objetivo variables

đ?‘Ľ1

0

1

3

-1

0

2

0

7

đ?‘Ľ4

0

0

-2

4

1

0

0

12

đ?‘Ľ6

0

0

-4

3

0

8

1

10

0

-1

3

0

-2

0

đ?‘&#x;đ?‘—

Se escoge como variable de entrada đ?‘Ľ3 , ya que tiene el đ?‘&#x;đ?‘— mĂĄs positivo. La variable de salida es đ?‘Ľ4 ya que 3 es el mĂ­nimo entre los cocientes. Al efectuar el proceso de Gauss a nuestra tabla se obtiene: FunciĂłn objetivo

0

1

-3

0

2

0

đ?’™đ?&#x;?

đ?’™đ?&#x;?

đ?’™đ?&#x;‘

đ?’™đ?&#x;’

đ?’™đ?&#x;“

đ?’™đ?&#x;“

0

1 4

2

0

7

1

1 4

0

0

12

0

-4

8

1

10

đ?‘Ľ1

0

1

5 2

đ?‘Ľ3

-3

0

-2

đ?‘Ľ6

0

0

-2

1

5

3

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Coef. objetivo variables

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U3

InvestigaciĂłn de operaciones ProgramaciĂłn lineal

đ?‘&#x;đ?‘—

0

1 2

0

3

-4

-2

0

-9

Como aĂşn se cuenta con đ?‘&#x;đ?‘— positivos, se sigue con el mĂŠtodo y se obtiene que đ?‘Ľ2 y đ?‘Ľ1 son 5

las nuevas variables de entrada y de salida respectivamente, dejando como pivote a 2. Al realizar el proceso de Gauss a esta nueva tabla se construye la siguiente: FunciĂłn objetivo đ?‘Ľ2

1

đ?‘Ľ3

-3

đ?‘Ľ6

0 đ?‘&#x;đ?‘—

0

1

-3

0

2

0

đ?’™đ?&#x;? 5 2 5 2 1

đ?’™đ?&#x;?

đ?’™đ?&#x;‘

đ?’™đ?&#x;“

đ?’™đ?&#x;“

1

0

2

0

4

0

1

0

0

5

0

0

đ?’™đ?&#x;’ 1 10 3 10 1 -2

Coef. objetivo variables

8

1

11

0

0

-- 5

-2

0

-11

5 2

12

La soluciĂłn (0, 4, 5, 0,0, 11) es la soluciĂłn Ăłptima. Si en el proceso de estandarizaciĂłn del modelo existen variables artificiales, antes de seguir los pasos descritos anteriormente se debe despejar cada una de ellas. Entonces se sustituye en la funciĂłn objetivo, para que nuevamente dependa sĂłlo de las variables no bĂĄsicas. Una vez hecho esto, el proceso es el mismo que el descrito previamente.

3.5.3. El mĂŠtodo dual simplex Al contar con un modelo de programaciĂłn lineal a veces realizar los cĂĄlculos del mĂŠtodo simplex es muy complicado; las cuentas pueden ser muy largas y difĂ­ciles. Para resolver este inconveniente se expondrĂĄ el dual de un modelo (Luenberger, 1989). El proceso de identificar polinomios con producto de matrices lo enseĂąa el ĂĄlgebra lineal. Si se tiene el modelo Max đ?‘? = đ?‘Ľ1 + 3đ?‘Ľ2 − 9đ?‘Ľ3 se puede visualizar como: 1 đ?‘Ą đ?‘? = ( 3 ) ∙ (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 ). −9 Si el siguiente modelo es para maximizar: Max đ?‘? = đ??ś đ?‘Ą ∙ đ?‘‹

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InvestigaciĂłn de operaciones ProgramaciĂłn lineal

Con las restricciones: đ??´đ?‘‹ ≤ đ?‘? đ?‘Ś đ?‘‹ ≼ 0 Donde A es una matriz de dimensiĂłn mxn, C es un vector columna de dimensiĂłn nx1, b es un vector columna de dimensiĂłn mx1 y X es un vector columna de dimensiĂłn nx1. A este modelo se le conocerĂĄ como programa primal. Se define el programa dual como: Min đ?‘Š = đ?‘? đ?‘Ą ∙ đ?‘Œ Con las restricciones đ??´đ?‘Ą ∙ đ?‘Œ ≼ đ??ś đ?‘Ś đ?‘Œ ≼ 0. Si el modelo es para minimizar: Min đ?‘? = đ??ś đ?‘Ą ∙ đ?‘‹ Con las restricciones đ??´đ?‘‹ ≼ đ?‘? đ?‘Ś đ?‘‹ ≼ 0 Su dual estĂĄ definido como: Max đ?‘Š = đ?‘? đ?‘Ą ∙ đ?‘Œ Con las restricciones đ??´đ?‘Ą ∙ đ?‘Œ ≤ đ??ś đ?‘Ś đ?‘Œ ≼ 0. Éstas son las reglas a cumplir para construir el dual de un modelo.      

El dual de un problema de maximizaciĂłn es un problema de minimizaciĂłn. El dual de un problema de minimizaciĂłn es un problema de maximizaciĂłn. El nĂşmero de incĂłgnitas del dual es el nĂşmero de restricciones del primal. El nĂşmero de restricciones del dual es el nĂşmero de incĂłgnitas del primal. Los coeficientes de coste del dual son los tĂŠrminos independientes de las restricciones del primal. Los tĂŠrminos independientes de las restricciones del dual son los coeficientes de coste del primal. Las matrices tecnolĂłgicas del primal y dual son transpuestas entre sĂ­.

El mĂŠtodo dual simplex es Ăştil para no introducir variables artificiales. Recuerda que cada vez que una de nuestras restricciones es de mayor igual, para hacer la igualdad se debe incluir una variable artificial. Dado que estas variables se manejan con dificultad, es mejor evitar incluirlas. Si se tiene una soluciĂłn bĂĄsica que no es factible, es decir cuando las đ?‘&#x;đ?‘— son positivas pero hay alguna variable no bĂĄsica menor a 0, en el caso de maximizar; o cuando las đ?‘&#x;đ?‘— son negativas pero hay alguna variable no bĂĄsica mayor a 0 en el caso de minimizar, se cuenta con el siguiente mĂŠtodo: Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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InvestigaciĂłn de operaciones ProgramaciĂłn lineal



Los pasos a seguir en un problema de maximizaciĂłn son los siguientes: 1. Si đ?‘Ľđ??ľ es una soluciĂłn factible y cumple que es positiva, entonces la soluciĂłn es Ăłptima. 2. Si no es Ăłptima, se utiliza como variable de salida aquella variable bĂĄsica con valor mĂĄs negativo. đ?‘&#x;đ?‘—

3. Para calcular la variable de entrada, se resuelven los cocientes đ?‘?đ?‘— = đ?‘Ž

đ?‘&#x;đ?‘—

para los đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘— < 0; si todas las đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘— > 0 el programa primal no es factible. Se escoge como variable de entrada aquella que tenga mayor đ?‘?đ?‘— . 4. Establecer una nueva tabla con đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘— como pivote y volver al paso uno. 

Los pasos a seguir en un problema de minimizaciĂłn son los siguientes: 1. Si đ?‘Ľđ??ľ es una soluciĂłn factible y cumple que es positiva, entonces la soluciĂłn es Ăłptima. 2. Si no es Ăłptima, se utiliza como variable de salida aquella variable bĂĄsica con valor mĂĄs negativo. đ?‘&#x;đ?‘—

3. Para calcular la variable de entrada, se resuelven los cocientes đ?‘?đ?‘— = đ?‘Ž

đ?‘&#x;đ?‘—

para los đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘— < 0; si todas las đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘— > 0 el programa primal no es factible. Se escoge como variable de entrada aquella que tenga mayor đ?‘?đ?‘— . 4. Establecer una nueva tabla con đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘— como pivote y volver al paso uno.

Como puedes ver, este mĂŠtodo es muy parecido al simplex; si en este Ăşltimo llegas a requerir variables artificiales se recomienda que utilices el mĂŠtodo dual. Asimismo, si al trabajar con el mĂŠtodo simplex se dificultan los cĂĄlculos, prueba el mĂŠtodo dual, con el cual puede que los cĂĄlculos se reduzcan en dificultad o cantidad.

3.5.4. El mĂŠtodo de cambio en la disponibilidad de recursos En general, la eficiencia en la organizaciĂłn de los negocios no es un tema que se valore. Toda la teorĂ­a convencional supone la asignaciĂłn eficiente de recursos bajo una base analĂ­tica de largo plazo. El problema consiste en que esta base no contempla situaciones que expliquen deficiencias en la organizaciĂłn de recursos o el mal ajuste econĂłmico de los mismos. El concepto de eficiencia se ha circunscrito a las condiciones necesarias en la asignaciĂłn de factores y productos, de modo que se obtenga una igualdad entre diferentes tasas marginales de transformaciĂłn-sustituciĂłn; este proceso se conoce como una eficiencia de precio. Por su parte, cuando el producto se maximiza para cualquier combinaciĂłn de salidas (outputs) observables, se conoce como eficiencia tĂŠcnica (Georgescu-Roegen, 1971).

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Investigación de operaciones Programación lineal

Si se elige como criterio de eficiencia el hecho de que un proceso o combinación productiva utilice menos de algún factor y no más de otros, la especialización y restricción del conjunto de posibilidades técnicas se consigue a través de las siguientes características: 1. Existen límites a las cantidades utilizadas de recursos, lo cual da una cota al conjunto de posibilidades. Esto sugiere la existencia de algún factor fijo de producción que no puede variarse en el contexto definido para su utilización. Es apropiada para tratar el concepto económico de corto plazo (T. C. Koopmans, 1957). 2. Las entradas y el producto son medibles en cantidad y tienen una dimensión de flujo por una unidad de tiempo. 3. Sobre el conjunto de producción acotado se selecciona el conjunto de puntos que representa su límite, llamados puntos frontera. Este subconjunto está constituido por segmentos consecutivos tal que cada uno de los segmentos pertenece a rectas, las cuales dejan el conjunto de puntos en un semiplano que no contiene al origen de coordenadas. Este supuesto garantiza la convexidad y supone que la producción es posible en los segmentos límite a combinaciones lineales de las entradas observadas; es decir, no existen picos o baches en las entradas. 4. Todas las unidades productivas potencialmente pueden acceder a la misma tecnología (subconjunto de actividades básica de fronteras), pero algunas no tienen éxito en hacerlo. Con la selección de procesos, se pretende obtener la tecnología como sinónimo del conjunto de todos los procesos productivos de fronteras posibles.

Figura 3. Subconjunto de actividades básica de fronteras.

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Bajo la idea de que las observaciones se encuentran situadas en el lĂ­mite del conjunto de producciĂłn factible o fuera de ĂŠl, el conjunto de producciĂłn o conjunto de tĂŠcnicas, definido por las condiciones anteriores para el caso de dos entradas đ?‘‰1 , đ?‘‰2 , estandarizados đ?‘‰ đ?‘‰ por la salida con coeficiente de fabricaciĂłn đ?‘‹1 , đ?‘‹2 se representa en la Figura 1. El proceso đ?‘ƒđ?‘˜ es ineficiente respecto al đ?‘„đ?‘— , al utilizar una mayor cantidad de entradas para producir una unidad de salida. Cada punto de la Figura 1 representa un proceso productivo que utiliza la misma tĂŠcnica a distinto nivel (đ?‘ƒđ?‘˜â€˛ , đ?‘ƒđ?‘˜â€˛â€˛ ) o distinta tĂŠcnica (đ?‘ƒđ?‘˜â€˛ đ?‘Ś đ?‘ƒđ?‘˜ ) que otro proceso del conjunto denominado industria. Para alcanzar la mĂĄxima eficiencia son posibles dos movimientos: 1. Un comportamiento racional de la explotaciĂłn representada por el proceso đ?‘ƒđ?‘˜ es trasladarse a đ?‘„đ?‘— con el fin de reducir el coste de producir una unidad de salida. Una medida de eficiencia tĂŠcnica de đ?‘ƒđ?‘˜ es: đ??¸đ?‘‡ =

đ?‘‚đ?‘„đ?‘— đ?‘‚đ?‘ƒđ?‘˜

đ?‘‚đ?‘„đ?‘— representa la cantidad mĂ­nima necesaria de entradas para producir una unidad de salida. ET varĂ­a entre 0 y 1. Mide el ahorro de entradas para producir una unidad de salidas respecto a una explotaciĂłn que utiliza la misma proporciĂłn de factores, pero sobre SS’. M. J. Farrel (1957) denomina a SS’ como la eficiencia de las cantidades iguales (isocuanta unitaria eficiente). 2. Un segundo movimiento puede establecerse en la Figura 1. đ?‘„đ?‘– es un punto donde la relaciĂłn de precios es igual a la producciĂłn del uso de factores. Tal movimiento đ?‘„đ?‘— − đ?‘„đ?‘– supone un ahorro en el costo de producir una unidad de salida por producir con la proporciĂłn adecuada de factores. Una medida eficiente se establece por la relaciĂłn: đ??¸đ?‘ƒ =

đ?‘‚đ??ś đ?‘‚đ?‘„đ?‘—

La eficiencia precio EP varĂ­a entre 0 y 1. Cada movimiento de đ?‘„đ?‘— a đ?‘„đ?‘– supone una reducciĂłn del coste de producir una unidad de producto en una fracciĂłn

đ?‘‚đ??ś . đ?‘‚đ?‘„đ?‘—

La eficiencia de cada observaciĂłn depende de la dotaciĂłn de recursos y de la proporciĂłn en que son utilizados. Dado un nivel de salida, los niveles de cada entrada pueden ser el factor limitativo de la salida y alguna porciĂłn de las restantes entradas pude quedar ociosa como consecuencia de la escasez relativa de entradas.

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Para obtener los Ă­ndices de eficiencia tĂŠcnica se define el conjunto R de recursos productivos y una matriz tecnolĂłgica V de coeficientes entrada/salida. La matriz V se compone de n vectores, columna de actividades productivas o explotaciones y m vectores, fila de recursos. Un elemento đ?‘Łđ?‘–đ?‘— de la matriz V, representa las necesidades de entrada para producir una unidad de salida. Cada actividad se describe y define por un vector que representa una forma concreta de producciĂłn: đ?‘ƒđ?‘— = (đ?‘‰1đ?‘— đ?‘‰2đ?‘— â‹Ż đ?‘‰đ?‘šđ?‘— ) Este problema de programaciĂłn lineal se plantea de la siguiente manera para obtener la eficiencia tĂŠcnica de una actividad đ?‘ƒđ?‘’ : Maximizar la funciĂłn đ?‘›

đ?‘Žâˆ— = ∑ đ?‘Žđ?‘— đ?‘—=1

Con las restricciones: ∑đ?‘›đ?‘—=1 đ?‘Žđ?‘— ∙ đ?‘‰đ?‘–đ?‘— ≤ đ?‘ƒđ?‘’ y đ?‘Žđ?‘— ≼ 0 Donde đ?‘Žâˆ— es el Ăłptimo de la funciĂłn objetivo đ?‘ƒđ?‘’ . La eficiencia tĂŠcnica se obtiene por: đ??¸đ?‘‡đ?‘’ =

1 đ?‘Žâˆ—

El impacto de la escala đ?‘†đ?‘— sobre la eficiencia puede obtenerse de la siguiente manera, basado en la actividad đ?‘ƒđ?‘’ de escala đ?‘†đ?‘’ : Maximizar la funciĂłn đ?‘Žâˆ—đ?‘ = ∑đ?‘›đ?‘—=1 đ?‘Žđ?‘— Con las restricciones: 

∑đ?‘›đ?‘—=1 đ?‘Žđ?‘— â‹… đ?‘‰đ?‘–đ?‘— ≤ đ?‘ƒđ?‘’



∑đ?‘›đ?‘—=1 đ?‘Žđ?‘— (đ?‘†đ?‘— − đ?‘†đ?‘’ ) = 0



�� ≼ 0

La segunda restricciĂłn introduce la escala en cada uno de los problemas de programaciĂłn lineal que se generan. Para đ?‘ƒđ?‘’ , đ?‘†đ?‘’ se compara con las escalas de aquellas explotaciones que componen la base Ăłptima del problema de programaciĂłn lineal.

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AsĂ­ la eficiencia tĂŠcnica de đ?‘ƒđ?‘’ , se define como: đ??¸đ?‘‡đ?‘†đ?‘’ =

1 đ?‘Žâˆ—đ?‘

Si đ?‘Žâˆ—đ?‘ > 1 entonces đ??¸đ?‘‡đ?‘†đ?‘’ < 1 lo cual indica que e es ineficiente. Usando la segunda restricciĂłn, si đ?‘ƒđ?‘’ es ineficiente: đ?‘›

đ?‘†đ?‘’ = ∑ đ?‘†đ?‘— đ?‘Žđ?‘— â‹… đ??¸đ?‘‡đ?‘†đ?‘’ đ?‘—=1

Por la definiciĂłn de đ??¸đ?‘‡đ?‘†đ?‘’ la ecuaciĂłn anterior queda de la siguiente manera: đ?‘›

đ?‘†đ?‘’ = ∑ đ?‘†đ?‘— đ?‘—=1

đ?‘Žđ?‘— đ?‘Žâˆ—đ?‘

Esta ecuaciĂłn significa que đ?‘ƒđ?‘’ tiene una escala igual a la media ponderada de las escala de explotaciones que componen la soluciĂłn Ăłptima del problema de programaciĂłn lineal (Boles, 1971). Dado que este mĂŠtodo es muy especĂ­fico, encontrar que tu problema se puede resolver con ĂŠl es sencillo. Aunque los cĂĄlculos son complicados, tienen una secuencia lĂłgica fĂĄcil de seguir, asĂ­ que no debes tener problema al utilizarlo.

3.5.5. El mĂŠtodo de cambio en los coeficientes de integraciĂłn Durante el desarrollo del modelo de programaciĂłn lineal se realizan muchos cĂĄlculos y se analizan estadĂ­sticas de transporte o historial de ventas. Todos estos cĂĄlculos y operaciones sirven para delimitar los coeficientes de la funciĂłn objetivo y de las restricciones. Durante el proceso de aplicar la programaciĂłn lineal a un problema, una vez que se cuenta con el modelo, se aplica un mĂŠtodo para resolverlo. Si el proceso de obtenciĂłn de los coeficientes y restricciones del modelo no fue el adecuado, el problema parecerĂĄ ser insoluble. Por ello existe un proceso llamado AnĂĄlisis de sensibilidad en programaciĂłn lineal. Este proceso es complicado, porque se encarga de analizar quĂŠ tan sensibles son los resultados del modelo en cuestiĂłn si se modifican el valor de los coeficientes y las restricciones. Dada la extensiĂłn del curso, dicho proceso no serĂĄ trabajado aquĂ­. Empero, se harĂĄ menciĂłn de un proceso contenido en dicho anĂĄlisis, que se aplica a las variables artificiales y de holgura.

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InvestigaciĂłn de operaciones ProgramaciĂłn lineal

ConsidĂŠrese el problema: Max đ?‘? = 60đ?‘Ľ1 + 30đ?‘Ľ2 + 20đ?‘Ľ3 Con las restricciones 8đ?‘Ľ1 + 6đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ3 ≤ 48 4đ?‘Ľ1 + 2đ?‘Ľ2 + 1.5đ?‘Ľ3 ≤ 48 2đ?‘Ľ1 + 1.5đ?‘Ľ2 + 0.5đ?‘Ľ3 ≤ 48 đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 ≼ 0 La tabla inicial es: FunciĂłn objetivo

60

30

20

0

0

0

â„Ž1 â„Ž2 â„Ž3

đ?’™đ?&#x;? 8 4 2 -60

đ?’™đ?&#x;? 6 2 1.5 -30

đ?’™đ?&#x;‘ 1 1.5 0.5 -20

đ?’‰đ?&#x;? 1 0 0 0

đ?’‰đ?&#x;? 0 1 0 0

đ?’‰đ?&#x;‘ 0 0 1 0

0 0 0 đ?‘&#x;đ?‘—

Coef. objetivo variables 48 20 8

Dando como soluciĂłn Ăłptima: FunciĂłn objetivo

60

30

20

0

0

0

đ?’™đ?&#x;?

đ?’™đ?&#x;?

đ?’™đ?&#x;‘

đ?’‰đ?&#x;?

đ?’‰đ?&#x;?

đ?’‰đ?&#x;‘

Coef. Objetivo variables

â„Ž1

0

0

-2

0

1

2

-8

24

đ?‘Ľ3

20

0

-2

1

0

2

-4

8

đ?‘Ľ1

60

1

1.25

0

0

-0.5

1.5

2

0

5

0

0

10

10

Z=280

đ?‘&#x;đ?‘—

Si se desea realizar un cambio en el coste đ?‘Ľ2 , de 30 a 30+l, ÂżquĂŠ cambio tendrĂ­a en la tabla anterior? ObsĂŠrvese el siguiente cĂĄlculo que muestra las restricciones del modelo: đ??ľâˆ’1 â&#x;¨đ??ľ|đ?‘ |đ?‘?â&#x;Š = â&#x;¨đ??ľâˆ’1 đ??ľ|đ??ľâˆ’1 đ?‘ |đ??ľâˆ’1 đ?‘?â&#x;Š = â&#x;¨đ??ź|đ??ľâˆ’1 đ?‘ |đ??ľâˆ’1 đ?‘?â&#x;Š Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

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De esta manera las đ?‘&#x;đ?‘— de las variables no bĂĄsicas se calculan como đ?‘?đ?‘?′ đ??ľâˆ’1 đ?‘ − đ?‘?đ?‘ ′ , siendo 0 en las variables bĂĄsicas. Dado que sĂłlo se cambiarĂĄ el costo de una variable no bĂĄsica, Ăşnicamente se debe calcular đ?‘&#x;2 de la siguiente manera: −2 (0,20,60) ( −2 ) − (30 + đ?‘™) = 5.0 + đ?‘™ 1.25 Por lo que la tabla queda de la siguiente forma: FunciĂłn objetivo

60

30+l

20

0

0

0

â„Ž1 đ?‘Ľ3 đ?‘Ľ1

đ?‘Ľ1 0 0 1 0

đ?‘Ľ2 -2 -2 1.25 5-l

đ?‘Ľ3 0 1 0 0

â„Ž1 1 0 0 0

â„Ž2 2 2 -0.5 10

â„Ž3 -8 -4 1.5 10

0 20 60 đ?‘&#x;đ?‘—

Coef. objetivo variables 24 8 2 Z=280

Este mĂŠtodo te permite modificar los rangos de valor de las variables involucradas en tu problema sin la necesidad de replantearlo por segunda vez. Es muy Ăştil cuando existe un problema y se quiere saber si alguna de las variables necesita ampliar su rango de valores.

3.5.6. El mĂŠtodo de cambio en los coeficientes tecnolĂłgicos De acuerdo con el proceso expuesto en el parĂĄgrafo anterior, cuando se modifican los coeficientes tecnolĂłgicos, que son los coeficientes que acompaĂąan a las variables en la funciĂłn objetivo y en las restricciones, sĂłlo se modifican las columnas de la tabla simplex (Luenberger,1989). SupĂłngase un problema que tiene la siguiente tabla simplex inicial: FunciĂłn objetivo

60

30

20

0

0

0

â„Ž1 â„Ž2 â„Ž3

đ?’™đ?&#x;? 8 4 2 -60

đ?’™đ?&#x;? 6 2 1.5 -30

đ?’™đ?&#x;‘ 1 1.5 0.5 -20

đ?’‰đ?&#x;? 1 0 0 0

đ?’‰đ?&#x;? 0 1 0 0

đ?’‰đ?&#x;‘ 0 0 1 0

0 0 0 đ?‘&#x;đ?‘—

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Coef. objetivo variables 48 20 8

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Si se altera el valor de la segunda variable no bĂĄsica en (5, 2, 2) Con X´2se obtiene la tabla inicial siguiente: FunciĂłn objetivo â„Ž1 â„Ž2 â„Ž3

0 0 0 đ?‘&#x;đ?‘—

60

30

20

0

0

0

đ?‘Ľ1 8 4 2

�2′ 5 2 2

đ?‘Ľ3 1 1.5 0.5

â„Ž1 1 0 0

â„Ž2 0 1 0

â„Ž3 0 0 1

-60

-43

-20

0

0

0

Coef. objetivo variables 48 20 8

Esta modificaciĂłn sĂłlo afecta la segunda columna de la tabla final FunciĂłn objetivo

60

30

20

0

0

0

â„Ž1 đ?‘Ľ3 đ?‘Ľ1

đ?‘Ľ1 0 0 1 0

�2′ -2 -2 1.25 5

đ?‘Ľ3 0 1 0 0

â„Ž1 1 0 0 0

â„Ž2 2 2 -0.5 10

â„Ž3 -8 -4 1.5 10

0 20 60 đ?‘&#x;đ?‘—

Coef. Objetivo variables 24 8 2 Z=280

Lo anterior se representa con la multiplicaciĂłn: 1 2 −8 5 −7 (0 2 −4) (2) = (−4) 0 −0.5 1.5 2 2 Y el coste reducido (đ?‘&#x;đ?‘— ) serĂĄ: −7 (0,20,60) (−4) − 43 = −3 2 De esta manera la tabla final queda como: FunciĂłn objetivo â„Ž1 đ?‘Ľ3 đ?‘Ľ1

0 20 60 đ?‘&#x;đ?‘—

60

30

20

0

0

0

đ?’™đ?&#x;? 0 0 1

đ?’™â€˛đ?&#x;? -2 -2 1.25

đ?’™đ?&#x;‘ 0 1 0

đ?’‰đ?&#x;? 1 0 0

đ?’‰đ?&#x;? 2 2 -0.5

đ?’‰đ?&#x;‘ -8 -4 1.5

0

5

0

0

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Coef. objetivo variables 24 8 2 Z=280

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Investigación de operaciones Programación lineal

En el presente apartado revisaste los métodos más populares para resolver problemas con programación lineal. El método gráfico se utiliza para problemas con dos variables de decisión, siendo este el más sencillo. Los métodos simplex y dual simplex son los más utilizados. Ambos resuelven problemas con múltiples variables de decisión. La diferencia entre ambos radica en que cuando se tiene una restricción con desigualdad mayor o igual, en el simplex se debe utilizar una variable artificial; en el dual simplex no se utiliza tal variable artificial, con lo que se facilitan los cálculos. El método de cambio en la disponibilidad de recursos es un método muy específico, lo cual simplifica los casos en los cuales se puede utilizarlo. Los métodos de cambio en los coeficientes de integración y cambio en los coeficientes tecnológicos son métodos que permiten modificar los rangos de las variables, permitiendo aumentar o disminuir sus límites sin modificar el planteamiento completo.

Actividades La elaboración de las actividades estará guiada por tu docente en línea, mismo que te indicará, a través de la Planeación didáctica del docente en línea, la dinámica que tú y tus compañeros (as) llevarán a cabo, así como los envíos que tendrán que realizar. Para el envío de tus trabajos usarás la siguiente nomenclatura: BIOP_U3_A1_XXYZ, donde BOIP corresponde a las siglas de la asignatura, U3 es la unidad de conocimiento, A1 es el número de actividad, el cual debes sustituir considerando la actividad que se realices, XX son las primeras letras de tu nombre, Y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno.

Autorreflexiones Para la parte de autorreflexiones debes responder las Preguntas de Autorreflexión indicadas por tu docente en línea y enviar tu archivo. Cabe recordar que esta actividad tiene una ponderación del 10% de tu evaluación.

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Investigación de operaciones Programación lineal

Cierre de la unidad Con esta unidad terminas el curso de investigación de operaciones. En este momento tienes los conocimientos para enfrentar problemas de ingeniería en dónde se deban distribuir materiales, o programar producción de cualquier tipo, o bien se pueden utilizar los métodos para las soluciones combinadas en problemas que así lo ameriten. En esta unidad se expuso una introducción de la herramienta de resolución de problemas de la Investigación de operaciones llamada programación lineal. Se estudiaron los supuestos y la estructura de un modelo de dicha herramienta. Esta estructura consta de una función lineal de múltiples variables denominada función objetivo. A esta función objetivo la acompañan restricciones, las cuales son desigualdades o igualdades lineales que acotan la libertad de nuestros resultados. Su función es mantener las soluciones que tengan sentido en la realidad, para evitar así que resultados al problema en cuestión que no sean posibles de aplicar en algún Problema. Después se vieron los modelos más populares en la programación lineal. Se trabajó con los modelos de transporte, de planificación de producción, flujo de redes y vigas y cuerdas. Los tres primeros abordan el problema de movimiento de mercancías, el segundo trabaja un problema de almacenaje y transportación dentro de las bodegas. Por último se estudiaron los métodos más populares para resolver problemas con programación lineal. Los más utilizados son el gráfico y el simplex, puesto que resuelven problemas con múltiples variables. Se trabajó con el modelo de cambio de disponibilidad de recursos; este modelo funciona con un problema no muy común en la perspectiva de las empresas. Ayuda a pronosticar, manejar y prever los recursos, estudiando la participación de cada uno de ellos en los procesos de la empresa. Con ello concluiste la unidad. Aplica estos conocimientos en tu trabajo. Recuerda que la investigación de operaciones es una herramienta; cómo la utilices depende de ti. También es importante recordar que al ser una herramienta es una guía, no es la única forma de resolver los problemas; ni siquiera los modelos y métodos estudiados en esta asignatura son los únicos, siempre se pueden adaptar a tus necesidades entre más los utilices.

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Investigación de operaciones Programación lineal

Para saber más

Existen diversos software que ayudan en el cálculo de las soluciones de un modelo de investigación de operaciones. En los siguientes hipervínculos podrás descargar una versión de prueba y el programa completo; también se encuentran los manuales y todo lo que necesitas para aprender a usarlos.  

http://tecoaxaca.blogspot.mx/2009/06/software-para-investigacion-de.html http://www.lindo.com/index.php?option=com_content&view=article&id=28&Itemid= 4

Fuentes de consulta

  

Ackoff y Sasieni, (1977). Fundamentos de Investigación de operaciones, México: Editorial Limusa. Bazaraa, M. S. (1998). Programación lineal y flujo de redes, 2da ed. México: Editorial Limusa. Farrel, M. J. (1957), The measurement of productive efficiency, Journal of the Royal Statistical Society, Series A, vol. 120, no. 3, 253-290.

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Investigación de operaciones Programación lineal

    

Georgescu-Roegen (1971), The entropy law and the economic process, E.U.A: Harvard University Press. Hiller, Frederick S. y Lieberman, Gerald J., (2010). Introducción a la investigación de operaciones. México: McGraw-Hill/Interamericana Editores. Kaufmann A. (1965) Métodos y modelos de la investigación de operaciones, tomo I. México: Cecsa. Koopmans, Tjalling C (1957), Three essays on the state of economic science. New York: McGraw-Hill. Luenberger David E (1989). Programación lineal y no lineal. E.U.A: AddisonWesley Iberoamericana.

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