Unidad 3. Solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales b

Métodos Numéricos Unidad 3: Solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales Antología | Nombre de la asignatura Unidad 1. Nombre

Programa de la asignatura:

Métodos numéricos

U3

Solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales

Ciencias de la Salud Biológicas y Ambientales | Ingeniería en Biotecnología

U3

Métodos numéricos Solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales

Índice

Presentación de la unidad ......................................................................................................... 2 Propósitos de la unidad ............................................................................................................. 3 Competencia específica ............................................................................................................ 3 3.1. Métodos de Gauss Jordan ................................................................................................. 4 3.1.1. Sistema de ecuaciones...…………………………………………………………………..….4 3.1.2 Métodos iterativos para ecuaciones lineales……………………………..………………....8 3.1.3 Problema de un sistema de red de flujos por tuberías……….…………………………...12 3.2 Método de Gauss Seidel ................................................................................................... 18 3.2.1 Convergencia de los métodos iterativos…………………………………………………….22 3.2.2 Modelos lineales ............................................................................................................. 25 3.3 Método para obtener los valores y vectores característicos de una matriz…………….....29 3.3.1 Matrices y vectores ........................................................................................................ 29 3.3.2 Condicionamiento de un matriz ...................................................................................... 32 Actividades .............................................................................................................................. 34 Autorreflexiones....................................................................................................................... 34 Cierre de la unidad .................................................................................................................. 34 Para saber más ....................................................................................................................... 35 Fuentes de consulta ................................................................................................................ 36

Universidad Abierta y a Distancia de México

1

U3

Métodos numéricos Solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales

Presentación de la unidad Los métodos numéricos que se analizarán en esta última unidad modelan problemas reales de la ingeniería y en particular de la biotecnología. Lo anterior, involucra un conjunto de ecuaciones algebraicas que generalmente son demasiado grandes y requieren de gran cantidad de cálculos. Como hemos analizado anteriormente, esto significa poca exactitud y mucho tiempo para la solución.

En esta unidad analizaremos uno de los métodos más populares para la solución de ecuaciones algebraicas: método de Gauss Jordan. Es un método directo, útil y sencillo, que consiste en obtener sistemas equivalentes hasta llegar a la matriz identidad donde sea directo vislumbrar la solución del sistema. Además se ha implementado una rutina en Mathcad para su cálculo numérico.

A diferencia del método de Gauss Jordan, el método de Gauss Seidel es un método de aproximaciones sucesivas. Para esto, necesita un vector solución inicial que se va actualizando en cada iteración. Es un método sencillo de implementar y de rápida convergencia, cuando existe. Y una forma de determinar la convergencia del método es a través de la condición de una matriz.

Finalmente, se analiza otro método iterativo para determinar los valores característicos de una matriz. A partir de éstos, se determina la solución de un sistema de ecuaciones. Al igual que el método de Gauss Seidel es de fácil implementación numérica y rápida convergencia a la solución no trivial.

Al finalizar el curso, serás capaz de resolver problemas de la ingeniería que son de difícil solución analítica usando los métodos numéricos estudiados. En las actividades y evidencia de aprendizaje que se te propone, podrás poner en práctica tus conocimientos, para esto, no olvides apoyarte de la biblioteca de programas que se ha generado a lo largo del curso.

Finalmente, no me queda más que invitarte a disfrutar del curso y experimentar con ésta área del conocimiento científico.

Universidad Abierta y a Distancia de México

2

U3

Métodos numéricos Solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales

Propósitos de la unidad

El estudio de esta unidad te permitirá:   

Resolver sistemas de ecuaciones lineales usando el método de Gauss Jordan en el contexto de modelos matemáticos aplicados a la ingeniería.

Resolver sistemas de ecuaciones lineales usando el método de Gauss Seidel en el contexto de modelos matemáticos aplicados a la ingeniería.

Resolver sistemas de ecuaciones lineales transformándolos a matrices y vectores para representar modelos matemáticos.

Competencia específica

Resolver sistemas de ecuaciones lineales para la solución de problemas de ciencias e ingeniería a través de los métodos iterativos de Gauss Jordan y Seidel.

Universidad Abierta y a Distancia de México

3

U3

MĂŠtodos numĂŠricos SoluciĂłn numĂŠrica de sistemas de ecuaciones lineales

3.1. MĂŠtodo de Gauss Jordan Gran parte de los problemas de ingenierĂ­a se pueden expresar en tĂŠrminos de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. Por esta razĂłn, se estudia el mĂŠtodo de Gauss Jordan o de eliminaciĂłn de Gauss por ser una de las tĂŠcnicas mĂĄs usadas en la soluciĂłn de sistemas.

Por lo que, el objetivo de esta primera sección es determinar los valores x1 , x2 , x3 , ‌ , xn que en forma simultånea satisfacen un sistema de ecuaciones como (Chapra, S., 2010),

a11 x1 + a12 x2 + â‹Ż + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + â‹Ż + a2n xn = b2 â‹Ž an1 x1 + an2 x2 + â‹Ż + ann xn = bn

donde a son los coeficientes constantes, b son las constantes y n es el nĂşmero de ecuaciones.

3.1.1 Sistema de ecuaciones Un sistema de ecuaciones algebraicas lineales se puede expresar en forma matricial como (Iriarte, R., 2003), đ?‘Ž11 [ â‹Ž đ?‘Žđ?‘›1

‌ đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘Ľ1 đ?‘?1 â‹Ž â‹Ž ][ â‹Ž ] = [ â‹Ž ] ‌ đ?‘Žđ?‘›đ?‘› đ?‘Ľđ?‘› đ?‘?đ?‘›

o bien, đ??´đ?‘ĽĚ… = đ?‘?Ě…

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

4

U3

MĂŠtodos numĂŠricos SoluciĂłn numĂŠrica de sistemas de ecuaciones lineales

donde đ??´ es la matriz de coeficientes, đ?‘ĽĚ… el vector de incĂłgnitas y đ?‘?Ě… el vector de tĂŠrminos independientes. La matriz ampliada se forma de la matriz de coeficientes đ??´ y del vector de incĂłgnitas đ?‘?Ě… como, đ?‘Ž11 [đ??´, đ?‘?Ě…] = [ â‹Ž đ?‘Žđ?‘›1

‌ đ?‘Ž1đ?‘› | đ?‘?1 â‹Ž | â‹Ž ]. â‹Ž ‌ đ?‘Žđ?‘›đ?‘› | đ?‘?đ?‘›

A partir de la matriz ampliada, es posible resolver un sistema de ecuaciones por el mĂŠtodo de Gauss Jordan. Para ello, se realizarĂĄn una serie de operaciones hasta llegar a un sistema equivalente en el que se puede vislumbrar directamente su soluciĂłn. Esto es, las ecuaciones que componen al sistema serĂĄn reordenadas, multiplicadas por una constante y sumadas tĂŠrmino a tĂŠrmino. El objetivo es llegar a una matriz identidad como, 1 0 0 1

â‹Ž

‌ 0 0 0

0

đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2

đ?‘?1 đ?‘?2

â‹Ž â‹Ž â‹Ž = â‹Ž 0 0 1 0 đ?‘Ľđ?‘›âˆ’1 đ?‘?đ?‘›âˆ’1 [0 0 ‌ 0 1] [ đ?‘Ľđ?‘› ] [ đ?‘?đ?‘› ] donde queda una ecuaciĂłn con una sola incĂłgnita. A partir de este nuevo sistema de ecuaciones es posible deducir que, đ?‘Ľ1 = đ?‘?1 , đ?‘Ľ2 = đ?‘?2 ,

â‹Ž đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?đ?‘› .

Ejemplo 01.

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando el mĂŠtodo de Gauss Jordan.

3đ?‘Ľ1 8đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ1

−6đ?‘Ľ2 0 −2đ?‘Ľ2

+7đ?‘Ľ3 = 4 −5đ?‘Ľ3 = 19 +6đ?‘Ľ3 = 5

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

5

U3

MĂŠtodos numĂŠricos SoluciĂłn numĂŠrica de sistemas de ecuaciones lineales

SoluciĂłn Para trabajar con el mĂŠtodo de Gauss Jordan, es necesario formar la matriz ampliada del sistema con los coeficientes de đ??´ y đ?‘?Ě… como,

3 [đ??´, đ?‘?Ě…] = [đ?&#x;– 1

−6

7 |

0 −5 | 6 | −2

4 19].

5

Paso 1. Seleccionaremos como pivote al elemento a21 = 8 cuyo valor en absoluto es el mayor de todos, para despuĂŠs dividir todos los elementos del segundo renglĂłn entre el pivote como, 3

−6

7

= [1 0 −0.6 1 −2 6

| | |

4 2.3] 5

Paso 2. A continuaciĂłn se debe convertir en ceros los elementos a11 y a31 . Para esto, haremos las siguientes operaciones sobre los renglones de la matriz,

3

−6

7

= [1 0 −0.6 1 −2 6

| | |

4 (−3)(segundo renglĂłn ) + (primer renglĂłn) 2.3] 5

Y asĂ­ obtenemos, đ?&#x;Ž −6 8.8 −0.6 = [1 0 6 1 −2

| | |

−3.1 2.3 ] 5

Y para convertir en cero el elemento a31 se harĂĄ lo siguiente, 0

−6

= [1 0 1 −2

8.8

−0.6 6.6

| |

−3.1 2.3 ] | 5 (−1)(segundo renglĂłn ) + (tercer renglĂłn)

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

6

U3

MĂŠtodos numĂŠricos SoluciĂłn numĂŠrica de sistemas de ecuaciones lineales

y se obtiene, đ?&#x;Ž −6 đ?&#x;–. đ?&#x;– −0.6 = [1 0 đ?&#x;Ž −2 6.6

| | |

−3.1 2.3 ].

2.6

Paso 3. Se selecciona un nuevo pivote, de una columna y renglĂłn diferente al pivote anterior. El mayor elemento es đ?‘Ž13 = 8.875.

Paso 4. Como aĂşn no se ha llegado a la matriz identidad. Entonces regresar al Paso 1.

IteraciĂłn 2 P1. Dividir todos los elementos del renglĂłn por el pivote 8.875, 0 −6 đ?&#x;–. đ?&#x;– −0.6 = [1 0 0 −2 6.6

0 = [1 0

−0.6

1

0 −2

6.6

−0.6

| | |

−3.1 0 −0.6 1 2.3 ] = [1 −0.6 0 2.6 0 −2 6.6

| −0.3 | 2.3 ] = | 2.6

| −0.3 | 2.3 ] (0.6)(primer renglĂłn ) + (segundo renglĂłn ) | 2.6 (−6.6)(primer renglĂłn ) + (tecer renglon)

Hacemos cero los elementos que pertenecen a la misma columna del pivote, 0 = [1 0

−0.6

−0.4 2.4

1

0 0

| −0.3 (0.6)(primer renglĂłn ) + (segundo renglĂłn ) | 2.1 ] (−6.2)(primer renglĂłn ) + (tecer renglon) | 4.9

Finalmente, elegimos como tercer pivote a 2.4 y operamos de la siguiente forma, 0 = [1 0

−0.6

−0.4 2.4

1

0 0

| −0.3 (0.6)(tercer renglĂłn ) + (primer renglĂłn ) | 2.1 ] (0.4)(tercer renglĂłn ) + (segundo renglĂłn ) | 4.9 (1/2.4)(primer renglĂłn )

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

7

U3

MĂŠtodos numĂŠricos SoluciĂłn numĂŠrica de sistemas de ecuaciones lineales

Y entonces nos queda, 0 = [1 0

0

1

0 0 1 0

| 1 | 3] | 2

A partir de la matriz resultante, es posible deducir que, x1 = 3.001 x2 = 2.000 x3 = 1.000 Como te has dado cuenta, el mĂŠtodo de Gauss Jordan es repetitivo, por ello, es posible implementarlo en entornos de programaciĂłn que faciliten el cĂĄlculo numĂŠrico.

3.1.2 MĂŠtodos iterativos para ecuaciones lineales Para la implementaciĂłn del mĂŠtodo de Gauss Jordan es necesaria como parĂĄmetro de entrada la matriz ampliada. A partir de entonces es necesario determinar el valor del pivote, y realizar operaciones sobre los renglones de la matriz hasta llegar a la condiciĂłn de paro que es la matriz identidad.

A continuaciĂłn se define el algoritmo de eliminaciĂłn de Gauss Jordan para generar la matriz identidad a partir de la matriz ampliada, (Burden, R., 2001).

Paso 1. Seleccionar un elemento diferente de cero como pivote, generalmente se elige el mayor elemento en valor absoluto de la matriz del sistema.

Paso 2. Convertir en ceros todos los elementos de la columna donde se encuentra el elemento pivote.

Paso 3. Seleccionar un nuevo pivote, el cual no debe de estar en ningĂşn renglĂłn ni en la columna donde se encontraba en pivote anterior.

Paso 4. Si ya se obtuvo la matriz identidad entonces determinar los valores �1 , �2 , ‌ �� sino volver al Paso 1.

Figura 1. Algoritmo de Gauss Jordan para soluciĂłn de un sistema de ecuaciones.

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

8

U3

Métodos numéricos Solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales

Para ejemplificar el método descrito, a continuación resolveremos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, de la sección anterior. Se muestra una implementación del algoritmo en Mathcad.

Figura 2. Algoritmo de Gauss Jordan para la solución de un sistema de ecuaciones. Las variables R1, R2 y R3 representan los renglones de la matriz ampliada. Selección y normalización del elemento pivote. Primera iteración. Elaboración propia

Universidad Abierta y a Distancia de México

9

U3

Métodos numéricos Solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales

Figura 3. Algoritmo de Gauss Jordan para la solución de un sistema de ecuaciones. Primera iteración. Elaboración propia

Figura 4. Implementación del algortimo de Gauss Jordan en Mathcad. Segunda iteración.

Elaboración propia

Universidad Abierta y a Distancia de México

10

U3

Métodos numéricos Solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales

Figura 5. Implementación del algortimo de Gauss Jordan en Mathcad. Tercera iteración.

Elaboración propia

La solución de ecuaciones algebraicas, usando software especializado para el calculo numérico, generalmente ya está implementada. Por ejemplo, usando Mathcad para la solución del ejemplo 1 se utiliza la función 𝑙𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒(𝐴, 𝑏).

Figura 6. Solución de un sistema de ecuaciones algebraicas usando una función predefinida en Mathcad. Elaboración propia

En la siguiente sección usaremos el método analizado e implementado para resolver un sistema de red de flujos por tuberías.

Universidad Abierta y a Distancia de México

11

U3

MĂŠtodos numĂŠricos SoluciĂłn numĂŠrica de sistemas de ecuaciones lineales

3.1.3 Problema de un sistema de red de flujos por tuberĂ­as A continuaciĂłn analizaremos el flujo de masa que entra en un reactor a travĂŠs de dos tuberĂ­as de entrada y una tuberĂ­a de salida, (Chapra, S., 2010). Este tipo de reactores son de gran utilidad para quĂ­micos y petroleros que diseĂąan reactores que mezclen una concentraciĂłn especĂ­fica.

La siguiente Figura se muestra un reactor en estado estacionario, con dos tuberĂ­as de entrada y una de salida.

Figura 7. Reactor en estado estacionario, completamente mezclado. Los caudales đ?‘„ estĂĄn en metros cĂşbicos por minuto, y las concentraciones đ?‘? estĂĄn en miligramos por metro cĂşbico.

ElaboraciĂłn propia

Supongamos que la velocidad del caudal en la tuberĂ­a 1 es de đ?‘„ = 2đ?‘š3 /đ?‘šđ?‘–đ?‘› y la concentraciĂłn de đ?‘? = 25đ?‘šđ?‘”/đ?‘š3 , entonces la velocidad con la cual la masa fluye por la tuberĂ­a es de, đ?‘Ł1 = đ?‘„1 đ?‘?1 = 50đ?‘šđ?‘”/đ?‘šđ?‘–đ?‘›

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

12

U3

MĂŠtodos numĂŠricos SoluciĂłn numĂŠrica de sistemas de ecuaciones lineales

De manera similar, en la segunda tuberĂ­a se tiene una velocidad de, đ?‘Ł2 = đ?‘„2 đ?‘?2 = (1.5)(10) = 15đ?‘šđ?‘”/đ?‘šđ?‘–đ?‘› Y en la tercera tuberĂ­a la velocidad del caudal es de đ?‘„ = 3.5đ?‘š3 /đ?‘šđ?‘–đ?‘›. A parir de esto, es posible determinar la concentraciĂłn en la tercera tuberĂ­a. Como el reactor se halla en estado estacionario, las entradas estĂĄn en balance con las salidas como, đ?‘„1 đ?‘?1 + đ?‘„2 đ?‘?2 = đ?‘„3 đ?‘?3 Sustituyendo los valores de la ecuaciĂłn nos queda, 50 + 15 = 3.5đ?‘?3 de donde la concentraciĂłn en la tercera tuberĂ­a es de, đ?‘?3 = 18.6 đ?‘šđ?‘”/đ?‘š3 Con simples operaciones algebraicas fue posible determinar la concentraciĂłn en una de las tuberĂ­as. A continuaciĂłn resolveremos una red de flujo con 5 tuberĂ­as.

Ejemplo 02.

Se tienen cinco reactores conectados por tuberĂ­as, las ecuaciones que modelan la concentraciĂłn en cada uno de ellos son, 6đ?‘?1 − đ?‘?3 = 50 −3đ?‘?1 + 3đ?‘?2 = 0 −đ?‘?2 + 9đ?‘?3 = 160 −đ?‘?2 − 8đ?‘?3 + 11đ?‘?4 − 2đ?‘?5 = 0 −3đ?‘?1 − đ?‘?2 + 4đ?‘?5 = 0 Se tiene un sistema de cinco ecuaciones con 5 incĂłgnitas que se puede resolver con el mĂŠtodo de Gauss Jordan.

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

13

U3

MĂŠtodos numĂŠricos SoluciĂłn numĂŠrica de sistemas de ecuaciones lineales

SoluciĂłn Determinamos la matriz caracterĂ­stica [đ??´|đ?‘?] como, 6 0 −1 0 −3 3 đ??´ = 0 −1 9 0 −1 −8 [−3 −1 0

0 0 0 11 0

0 0 0 −2 4 ]

y 50 0 đ?‘? = 160 0 [ 0 ]

Primera iteraciĂłn Paso 1. ElecciĂłn y normalizaciĂłn del elemento pivote |max(đ?‘€)| = 11.

0| 50 0| 50 6 0 −1 0 6 0 −1 0 0| 0 0| 0 −3 3 0 0 −3 3 0 0 0| 160 = 0 −1 0| 160 đ?‘€ = 0 −1 9 0 9 0 0 −1 −8 đ?&#x;?đ?&#x;? −2| 0 0 −0.9 −0.7 1 −0.1| 0 4| 4| [−3 −1 0 0 0 ] [−3 −1 0 0 0] Paso 2. Hacer cero los elementos de la misma columna.

Segunda iteraciĂłn Paso 1. ElecciĂłn y normalizaciĂłn del elemento pivote |max(đ?‘€)| = 9.

0| 50 0| 50 6 0 −1 0 6 0 −đ?&#x;? 0 0| 0 0| 0 −3 3 0 0 −3 3 0 0 0| 160 = 0 −0.11 0| 17.7 đ?‘€ = 0 −1 đ?&#x;— 0 1 0 0 −0.9 −0.7 1 −0.1| 0 0 −0.09 −đ?&#x;Ž. đ?&#x;• 1 −0.1| 0 4| 4| [−3 −1 0 0 0 ] [−3 0 0 0] −1

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

14

U3

MĂŠtodos numĂŠricos SoluciĂłn numĂŠrica de sistemas de ecuaciones lineales

Paso 2. Hacer cero los elementos de la misma columna.

6 0 −1 0 −3 3 0 0 = 0 −0.11 1 0 0 −0.9 −0.7 1 [−3 0 0 −1

0| 50 đ?‘…1 = đ?‘…3 + đ?‘…1 0| 0 0| 17.7 = −0.1| 0 đ?‘…4 = 0.7đ?‘…3 + đ?‘…4 4| 0] 6 −0.1 −3 3 0 −0.11 0 −0.1 [−3 −1

0 0 0 0 1 0 0 1 0 0

0| 67.7 0| 0 0| 17.7 −0.1| 12.9 4| 0 ]

Tercera iteraciĂłn Paso 1. ElecciĂłn y normalizaciĂłn del elemento pivote |max(đ?‘€)| = 6.

đ?&#x;” −0.1 −3 3 đ?‘€ = 0 −0.11 0 −0.1 [−3 −1

0 0 0 0 1 0 0 1 0 0

0| 67.7 1 −0.01 0| 0 −đ?&#x;‘ 3 0| 17.7 = 0 −0.11 −0.1| 12.9 0 −0.1 4| 0 ] [−đ?&#x;‘ −1

0 0 0 0 1 0 0 1 0 0

0| 11.2 0| 0 0| 17.7 −0.1| 12.9 4| 0 ]

Paso 2. Hacer cero los elementos de la misma columna.

1 −0.01 −đ?&#x;‘ 3 = 0 −0.11 0 −0.1 [−đ?&#x;‘ −1

0 0 0 0 1 0 0 1 0 0

0| 11.2 0| 0 đ?‘…2 = 3đ?‘…1 + đ?‘…3 0| 17.7 = −0.1| 12.9 4| 0 ] đ?‘…5 = 3đ?‘…1 + đ?‘…5 1 −0.01 0 2.9 0 −0.11 0 −0.1 [ 0 −1

0| 11.2 0 0 0| 33.8 0 0 0| 1 0 17.7 −0.1| 12.9 0 1 4| 0 0 33.8]

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

15

U3

MĂŠtodos numĂŠricos SoluciĂłn numĂŠrica de sistemas de ecuaciones lineales

Cuarta iteraciĂłn Paso 1. ElecciĂłn y normalizaciĂłn del elemento pivote |max(đ?‘€)| = 4.

1 0 đ?‘€= 0 0 [ 0

−0.01 2.9 −0.11 −0.1 −1

0| 11.2 0 0 0| 33.8 0 0 0| 1 0 17.7 = −0.1| 12.9 0 1 đ?&#x;’| 0 0 33.8] [

1 −0.01 0 2.9 0 −0.11 0 −0.1 0 −0.2

0 0 0 0 1 0 0 1 0 0

0| 11.2 0| 33.8 0| 17.7 −0.1| 12.9 1| 8.4 ]

Paso 2. Hacer cero los elementos de la misma columna.

1 0 = 0 0 [ 0

−0.01 2.9 −0.11 −0.1 −0.2

0 0 0 0 1 0 0 1 0 0

1 0 = 0 0 [ 0

−0.01 đ?&#x;?. đ?&#x;— −0.11 −0.2 −0.2

0 0 0 0 1 0 0 1 0 0

0| 11.2 0| 33.8 0| 17.7 = −đ?&#x;Ž. đ?&#x;?| 12.9 đ?‘…4 = 0.1đ?‘…5 + đ?‘…4 1| 8.4 ] 0| 11.2 0| 33.8 0| 17.7 0| 14.4 1| 8.4 ]

Quinta iteraciĂłn Paso 1. ElecciĂłn y normalizaciĂłn del elemento pivote |max(đ?‘€)| = 2.9.

1 0 đ?‘€= 0 0 [ 0

−0.01 đ?&#x;?. đ?&#x;— −0.11 −0.2 −0.2

0 0 0 0 1 0 0 1 0 0

0| 11.2 0| 33.8 0| 17.7 = 0| 14.4 1| 8.4 ] [

1 0 0 0 0

−0.01 1 −0.11 −0.2 −0.2

0 0 0 0 1 0 0 1 0 0

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

0| 11.2 0| 11.5 0| 17.7 0| 14.4 1| 8.4 ]

16

U3

MĂŠtodos numĂŠricos SoluciĂłn numĂŠrica de sistemas de ecuaciones lineales

Paso 2. Hacer cero los elementos de la misma columna.

1 0 = 0 0 [ 0

1 0 = 0 0 [0

−đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;?

1 −đ?&#x;Ž. đ?&#x;?đ?&#x;? −đ?&#x;Ž. đ?&#x;? −đ?&#x;Ž. đ?&#x;?

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0| 11.2 đ?‘…1 = 0.01đ?‘…2 + đ?‘…1 0| 11.5 0| 17.7 đ?‘…3 = 0.1đ?‘…2 + đ?‘…3 = 0| 14.4 đ?‘…4 = 0.2đ?‘…4 + đ?‘…4 1| 8.4 ] đ?‘…5 = 0.2đ?‘…2 + đ?‘…5

0 0 0 0 1 0 0 1 0 0

0| 0| 0| 0| 1|

11.5 11.5 19.0 16.9 11.5]

Como se observa, hemos llegado a la matriz identidad y por tanto es posible deducir que, las concentraciones en los reactores son: đ?‘?1 đ?‘?2 đ?‘?3 đ?‘?4 đ?‘?5

= 11.5 = 11.5 = 19.0 = 16.9 = 11.5

Usando la funciĂłn đ?‘™đ?‘ đ?‘œđ?‘™đ?‘Łđ?‘’(đ??´, đ?‘?) tambiĂŠn es posible determinar la soluciĂłn del sistema.

Figura 8. SoluciĂłn de un sistema de ecuaciones algebraicas usando una funciĂłn predefinida en Mathcad. ElaboraciĂłn propia

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

17

U3

MĂŠtodos numĂŠricos SoluciĂłn numĂŠrica de sistemas de ecuaciones lineales

3.2 MÊtodo de Gauss Seidel El mÊtodo de Gauss Seidel estå definido por una fórmula matricial de recurrencia. A partir de un sistema dado, es posible despejar las incógnitas �1 , �2 , �3 , ‌ , �� de las ecuaciones de la forma (Iriarte, R., 2003),

1 (đ?‘? − đ?‘Ž12 đ?‘Ľ2đ?‘˜ − đ?‘Ž13 đ?‘Ľ3đ?‘˜ − â‹Ż − đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘Ľđ?‘›đ?‘˜ ) đ?‘Ž11 1 1 = (đ?‘? − đ?‘Ž21 đ?‘Ľ1đ?‘˜+1 − đ?‘Ž23 đ?‘Ľ3đ?‘˜ − â‹Ż − đ?‘Ž2đ?‘› đ?‘Ľđ?‘›đ?‘˜ ) đ?‘Ž22 2

(đ?‘˜+1)

đ?‘Ľ1

(đ?‘˜+1)

đ?‘Ľ2

1 (đ?‘? − đ?‘Ž31 đ?‘Ľ đ?‘˜+1 − đ?‘Ž32 đ?‘Ľ2đ?‘˜+1 − â‹Ż − đ?‘Ž3đ?‘› đ?‘Ľđ?‘›đ?‘˜ ) đ?‘Ž33 3 1 đ?‘˜+1 = (đ?‘? − đ?‘Žđ?‘›1 đ?‘Ľ1đ?‘˜+1 − đ?‘Žđ?‘›2 đ?‘Ľ1đ?‘˜+1 − â‹Ż − đ?‘Žđ?‘›đ?‘› đ?‘Ľđ?‘›âˆ’1 ) đ?‘Žđ?‘›đ?‘› đ?‘›

(đ?‘˜+1)

đ?‘Ľ3

(đ?‘˜+1)

đ?‘Ľđ?‘›

=

=

para đ?‘˜ = 0,1,2,3, ‌ Como se puede observar, una vez que se calcula el valor de đ?‘Ľ1đ?‘˜+1 , este se usa en la misma iteraciĂłn para determinar đ?‘Ľ2đ?‘˜+1 y este a su vez para determinar đ?‘Ľ3đ?‘˜+1 y asĂ­ sucesivamente.

Ejemplo 03: Resolver el sistema de ecuaciones, 6đ?‘Ľ1 −đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ1

+2đ?‘Ľ2 +8đ?‘Ľ2 −đ?‘Ľ2

+đ?‘Ľ3 = 22 +2đ?‘Ľ3 = 30 +6đ?‘Ľ3 = 23

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

18

U3

MĂŠtodos numĂŠricos SoluciĂłn numĂŠrica de sistemas de ecuaciones lineales

SoluciĂłn Primero es necesario determinar las fĂłrmulas de recurrencia a partir del sistema de ecuaciones. Para esto, despejamos đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 y đ?‘Ľ3 .

1

(đ?‘˜+1)

= (6) (22 − 2đ?‘Ľ2đ?‘˜ − đ?‘Ľ3đ?‘˜ )

(đ?‘˜+1)

= ( ) (30 + đ?‘Ľ1đ?‘˜+1 − 2đ?‘Ľ3đ?‘˜ )

đ?‘Ľ1

đ?‘Ľ2

(đ?‘˜+1)

đ?‘Ľ3

1 8 1

= (6) (23 − đ?‘Ľ1đ?‘˜+1 − đ?‘Ľ2đ?‘˜+1 )

donde đ?‘˜ = 0,1,2,3, ‌ representa el nĂşmero de iteraciones y con ello la exactitud del cĂĄlculo.

Primera iteraciĂłn con đ?’Œ = đ?&#x;Ž, cuyo valor se sustituye en las fĂłrmulas de recurrencia previamente generadas.

1 (1) đ?‘Ľ1 = ( ) (22 − 2đ?‘Ľ20 − đ?‘Ľ30 ) 6 1 (1) đ?‘Ľ2 = ( ) (30 + đ?‘Ľ11 − 2đ?‘Ľ30 ) 8 1 (1) đ?‘Ľ3 = ( ) (23 − đ?‘Ľ11 − đ?‘Ľ21 ) 6 dado que el primer vector de aproximaciĂłn a la soluciĂłn es,

[đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 ] = [

đ?‘?1

,

đ?‘?2

đ?‘Ž11 đ?‘Ž22

,‌,

đ?‘?đ?‘› đ?‘Žđ?‘›đ?‘›

22 30 23

]=[ , 6

8

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

, ], 6

19

U3

MĂŠtodos numĂŠricos SoluciĂłn numĂŠrica de sistemas de ecuaciones lineales

se sustituye en las fĂłrmulas como, 1 30 23 (1) đ?‘Ľ1 = ( ) (22 − 2 ( ) − ) = 1.778 6 8 6 1 23 (1) đ?‘Ľ2 = ( ) (30 − 1.778 − 2( )) = 3.014 8 6 1 (1) đ?‘Ľ3 = ( ) (22 − 1.778 + 3.014) = 4.039 6 Por lo que, el siguiente vector de aproximaciĂłn a la raĂ­z es, đ?‘Ľ (1) = (1.778 3.014 4.039)đ?‘‡ Este proceso es repetitivo para los siguientes valores de đ?‘˜. Por lo que, para las sucesivas iteraciones tenemos, iteraciĂłn con đ?’Œ = đ?&#x;?

� 2 = [1.989 2.989 4.000]�

iteraciĂłn con đ?’Œ = đ?&#x;?

� 3 = [2.004 3.001 4.000]�

iteraciĂłn con đ?’Œ = đ?&#x;?

� 4 = [2.000 3.000 4.000]�

A partir de esto, la soluciĂłn es, đ?‘Ľ1 = 2.000 đ?‘Ľ2 = 3.000 đ?‘Ľ3 = 4.000

A partir de lo anterior, implementaremos un algoritmo iterativo basado en el mĂŠtodo de Gauss Seidel que resuelva sistemas de ecuaciones lineales. En la siguiente Figura se muestra en Mathcad la soluciĂłn y anĂĄlisis del ejemplo anterior.

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

20

U3

Métodos numéricos Solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales

Figura 9. Implementación de las fórmulas recursivas del método de Gauss Seidel para la solución del sistema de ecuaciones del ejemplo 3, iteración 𝒌 = 𝟎. Elaboración propia

Figura 10. Implementación de las fórmulas recursivas del método de Gauss Seidel para la solución del sistema de ecuaciones del ejemplo 3, iteración 𝒌 = 𝟏, 𝟐, 𝟑. Elaboración propia.

Universidad Abierta y a Distancia de México

21

U3

MĂŠtodos numĂŠricos SoluciĂłn numĂŠrica de sistemas de ecuaciones lineales

Existe casos en los cuales el mĂŠtodo de Gauss Seidel no converge a la soluciĂłn del sistema, por ello estableceremos las condiciones suficientes para su convergencia.

3.2.1 Convergencia de los mĂŠtodos iterativos Se considerarĂĄ una buena aproximaciĂłn a la soluciĂłn del sistema cuando se cumpla la condiciĂłn, |đ?‘ĽĚ… đ?‘˜+1 − đ?‘ĽĚ… đ?‘˜ | ≤∈ donde ∈ es un vector de tolerancia preestablecido.

La condiciĂłn que debe cumplirse para la convergencia del mĂŠtodo es que los coeficientes de la diagonal principal sean mayores en valor absoluto a la suma de los demĂĄs elementos del renglĂłn correspondiente (Chapra, S., 2010) como, đ?‘›

|đ??´đ?‘–,đ?‘– | > ∑|đ??´đ?‘–,đ?‘— | đ?‘—=1 đ?‘–≠đ?‘—

Este criterio es suficiente, pero no necesario, es decir, el mĂŠtodo puede funcionar aunque no se satisfaga la condiciĂłn.

A continuaciĂłn analizaremos la convergencia del mĂŠtodo para las ecuaciones del ejemplo anterior. Donde, đ?‘›

20 = 6 + 8 + 6 = |đ??´đ?‘–,đ?‘– | > ∑|đ??´đ?‘–,đ?‘— | = 2 + 1 + |−1| + 2 + 1 + |−1| = 8 đ?‘—=1 đ?‘–≠đ?‘—

por lo anterior, este sistema es diagonalmente dominante y por tanto estĂĄ garantizada la convergencia del mĂŠtodo.

La implementaciĂłn general del algoritmo de Gauss Seidel se muestra en la siguiente Figura.

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

22

U3

Métodos numéricos Solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales

Figura 11. Implementación de las fórmulas recursivas del método de Gauss Seidel para la solución del sistema de ecuaciones del ejemplo 3. Elaboración propia

El algortimo para determinar si un sistema es diagonalmente dominante se muestra en la siguiente Figura.

Universidad Abierta y a Distancia de México

23

U3

Métodos numéricos Solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales

Figura 12. Implementación de un algoritmo para determinar la convergencia del método de Gauss Seidel a partir de la matriz de coeficientes. Elaboración propia

Si resolvemos el sistema de ecuaciones que modela los cinco reactores conectados por tuberias usando el método de Gauss Seidel, obtenemos los resultados que se muestran en la siguiente Figura.

Universidad Abierta y a Distancia de México

24

U3

MĂŠtodos numĂŠricos SoluciĂłn numĂŠrica de sistemas de ecuaciones lineales

Figura 13. ImplementaciĂłn de las fĂłrmulas recursivas del mĂŠtodo de Gauss Seidel para la soluciĂłn del sistema de ecuaciones que modela los cinco reactores conectados por tuberĂ­as del ejemplo 2. ElaboraciĂłn propia

Como puedes observar, a diferencia del mĂŠtodo de Gauss Jordan, el mĂŠtodo de Gauss Seidel es de fĂĄcil implementaciĂłn y rĂĄpida convergencia a la soluciĂłn, cuando existe. Sin embargo, una desventaja del mĂŠtodo de Gauss Seidel es que el orden en el cual se implementan las ecuaciones, determina la convergencia del mĂŠtodo.

3.2.2 Modelos lineales Como te habrĂĄs dado cuenta, las ecuaciones algebraicas representan el comportamiento de un sistema que modela problemas de la ingenierĂ­a, donde las variables đ?‘Ľ representan la magnitud de la respuesta de cada uno de los componentes, los coeficientes đ?‘Ž las caracterĂ­sticas y propiedades de las interacciones entre los componentes y đ?‘? las funciones forzadas que actĂşan sobre el sistema (Chapra, S., 2010).

Esto es, con los modelos lineales se tiene una aproximaciĂłn del comportamiento de un sistema de manera ideal, mientras que con los modelos no lineales nos acercamos mĂĄs a la realidad. Sin embargo, generalmente la soluciĂłn de los primeros es exacta mientras que en los segundos es aproximada.

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

25

U3

MĂŠtodos numĂŠricos SoluciĂłn numĂŠrica de sistemas de ecuaciones lineales

En esta secciĂłn, analizaremos algunos modelos lineales que dan soluciĂłn a problemas de la ingenierĂ­a y biotecnologĂ­a. Usaremos como herramienta paquetes para el cĂĄlculo numĂŠrico como Mathcad, sin embargo tambiĂŠn existen otros paquetes muy adecuados para esta tarea como Mathlab, Matematica, Maple. Y como algoritmo de cĂĄlculo de las soluciones a un sistema de ecuaciones el mĂŠtodo de Gauss Seidel.

Ejemplo04: Una compaùía minera extrae mineral de dos minas, la cual contiene para la mina A el 1% de níquel y 2% de cobre, para la mina B el 2% de níquel y 5% de cobre. ¿QuÊ cantidad de mineral se deberå extraer de cada mina para obtener 4 toneladas de níquel y 9 toneladas de cobre?

SoluciĂłn Sea đ?‘Ľ1 el nĂşmero de toneladas que se extrae de la mina A y đ?‘Ľ2 el nĂşmero de toneladas que se extrae de la mina B. Si sabemos la cantidad de nĂ­quel y cobre en cada una de las minas, es posible establecer el siguiente sistema de ecuaciones, 0.01đ?‘Ľ1 + 0.02đ?‘Ľ2 = 4 y 0.02đ?‘Ľ1 + 0.05đ?‘Ľ2 = 9 Para saber cuĂĄntas toneladas hay que extraer de cada mina debemos resolver el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incĂłgnitas. La convergencia del mĂŠtodo, y con ello la soluciĂłn, estĂĄ garantizada porque la matriz es diagonalmente dominante.

Las relaciones de recurrencia estĂĄn dadas por, (đ?‘˜+1)

đ?‘Ľ1

(đ?‘˜+1)

đ?‘Ľ2

1 =( ) (4 − 0.02đ?‘Ľ2đ?‘˜ ) 0.01

1 =( ) (9 − 0.02đ?‘Ľ1đ?‘˜+1 ) 0.05

Las cuales necesitan de una soluciĂłn inicial dada por, đ?‘Ľ = [4â „0.01 , 9â „0.05]

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

26

U3

MĂŠtodos numĂŠricos SoluciĂłn numĂŠrica de sistemas de ecuaciones lineales

La soluciĂłn implementada en Mathcad se muestra a continuaciĂłn.

Figura 14. CĂĄlculo iterativo usando el mĂŠtodo de Gauss Seidel. ElaboraciĂłn propia

Por lo tanto, el nĂşmero de toneladas que se extrae de la mina A es de x1 = 72 y de la mina B de x2 = 164.

Ejemplo 05: La parte baja de un rĂ­o consiste en una serie de cuatro almacenamientos, que pueden modelarse a travĂŠs de las siguientes ecuaciones, đ?‘?1 13.4 0 750.5 0 0 đ?‘?2 −13.4 12.2 0 0 [ ] [ ] = [ 300 ] đ?‘?3 102 0 −12.2 12.3 0 30 0 0 −12.3 11.7 đ?‘?4

donde el vector del lado derecho consiste en cargas de cloruro hacia cada uno de los cuatro lagos y đ?‘?1 , đ?‘?2 , đ?‘?3 y đ?‘?4 las concentraciones de cloruro resultante en 4 diferentes lagos. (a) Determina si el mĂŠtodo converge a la soluciĂłn, (b) Encuentra la soluciĂłn usando el mĂŠtodo de Gauss Seidel.

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

27

U3

MĂŠtodos numĂŠricos SoluciĂłn numĂŠrica de sistemas de ecuaciones lineales

SoluciĂłn.

La condiciĂłn que debe cumplirse para la convergencia del mĂŠtodo es que, đ?‘›

49.6 = |đ??´đ?‘–,đ?‘– | > ∑|đ??´đ?‘–,đ?‘— | = 37.9 đ?‘—=1 đ?‘–≠đ?‘—

por lo tanto, estĂĄ garantizada la convergencia del mĂŠtodo. En la siguiente Figura se muestra el resultado de aplicar el algoritmo iterativo a la soluciĂłn del problema.

Figura 15. CĂĄlculo iterativo usando el mĂŠtodo de Gauss Seidel para la soluciĂłn del problema 5.

ElaboraciĂłn propia

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

28

U3

MĂŠtodos numĂŠricos SoluciĂłn numĂŠrica de sistemas de ecuaciones lineales

3.3 MĂŠtodo para obtener los valores y vectores caracterĂ­sticos de una matriz El objetivo de esta secciĂłn es obtener soluciones a un sistema de ecuaciones diferentes a la soluciĂłn trival del sistema, definido como, AxĚ… = ÎťxĚ…, donde A es la matriz de orden nxn, x es el vector de incĂłgnitas y Îť un escalar. A los escalares Îť se les llama valores caracterĂ­sticos y a la soluciĂłn del sistema se le llama vector caracterĂ­stico (Iriarte, R., 2003).

3.3.1 Matrices y vectores Para determinar el valor caracterĂ­stico analizaremos el mĂŠtodo de potencias, el cual consiste en usar la ecuaciĂłn,

đ??´đ?‘ĽĚ… = đ?œ†đ?‘ĽĚ… , en forma recursiva como,

đ??´đ?‘ĽĚ… (đ?‘˜âˆ’1) = đ?œ†(đ?‘˜) đ?‘ĽĚ… (đ?‘˜) para đ?‘˜ = 0,1,2,3, ‌ Para esto, es necesario definir una primera aproximaciĂłn como,

đ?‘ĽĚ… (0)

đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 =[ ] â‹Ž đ?‘Ľđ?‘›

donde

�̅ (0) = [1 0 0. . .0]� con la condición de que �̅ (0) ≠0.

Ejemplo 06: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones,

2đ?‘Ľ1 + 4đ?‘Ľ2 = 0 đ?‘Ľ1 + 3đ?‘Ľ2 = 0

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

29

U3

MĂŠtodos numĂŠricos SoluciĂłn numĂŠrica de sistemas de ecuaciones lineales

usando como vector característico �̅ (0) = [1 1 ]� .

SoluciĂłn El sistema expresado de la forma Ax = Îťx es,

[

x1 2 4 x1 ] [x ] = Îť [x ] 1 3 2 2

A partir de la fĂłrmula recursiva

đ??´đ?‘ĽĚ… (đ?‘˜âˆ’1) = đ?œ†(đ?‘˜) đ?‘ĽĚ… (đ?‘˜) Se llevan a cabo un conjunto de operaciones iterativas para đ?‘˜ = 1,2, ..

Para la iteraciĂłn đ?’Œ = đ?&#x;?,

đ??´đ?‘ĽĚ… (0) = đ?œ†(1) đ?‘ĽĚ… (1) donde, 2 [ 1

4 1 6 1 ][ ] = [ ] = 6[ ] 3 1 4 0.667

entonces, 1 Îť(1) = 6; x (1) = [ ] 0.667 Para la iteraciĂłn đ?’Œ = đ?&#x;?, [

2 4 1.000 4.668 1.000 ][ ]=[ ] = 4.668 [ ] 1 3 0.667 3.001 0.643

entonces, 1.000 Îť(2) = 4.668; x (2) = [ ] 0.643

Para la iteraciĂłn đ?’Œ = đ?&#x;‘, Îť(3) = 4.572; x (3) = [

1.000 ] 0.641

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

30

U3

Métodos numéricos Solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales

Para la iteración 𝒌 = 𝟒, λ(4) = 4.564; x (3) = [

1.000 ]] 0.640

Para la iteración 𝒌 = 𝟓, λ(5) = 4.560; x (3) = [

1.000 ] 0.640

λ(6) = 4.560; x (3) = [

1.000 ] 0.640

Para la iteración 𝒌 = 𝟔,

Figura 16. Implementación del método de potencias para determinar valores característicos.

Elaboración propia

Universidad Abierta y a Distancia de México

31

U3

MĂŠtodos numĂŠricos SoluciĂłn numĂŠrica de sistemas de ecuaciones lineales

3.3.2 Condicionamiento de un matriz Usando los mĂŠtodos estudiados hemos encontrado soluciones aproximadas đ?‘Ľ0 de sistemas de ecuaciones. Pero quĂŠ tan precisa es la soluciĂłn aproximada đ?‘Ľ0 a la exacta đ?‘Ľ.

En esta secciĂłn se verĂĄ como una caracterĂ­stica de la matriz A que se llama condicionamiento estĂĄ relacionada con esta precisiĂłn. La inversa de una matriz, puede ser usada para evaluar la condiciĂłn de un sistema.

Dentro de los mĂŠtodos usados se encuentran (Chapra, S., 2010), 1. Escalar la matriz de coeficientes [A], de tal manera que el elemento mĂĄs grande sea 1. Se invierte la matriz escalada, y si existen elementos de A−1 que sean varios ordenes de magnitud que uno, entonces es posible que la matriz estĂŠ mal condicionada.

2. Multiplicar la inversa de la matriz de coeficientes original y estimar si el resultado es lo suficientemente cercano a matriz identidad.

3. Invertir la matriz inversa y estimar si el resultado es cercano a la matriz original Se define la condiciĂłn de una matriz como, đ??śđ?‘œđ?‘›đ?‘‘[đ??´] = ‖đ??´â€– ‖đ??´âˆ’1 ‖ donde đ??śđ?‘œđ?‘›đ?‘‘[đ??´] se llama nĂşmero de condiciĂłn de una matriz.

A continuaciĂłn analizaremos un ejemplo clĂĄsico de matriz mal condicionada.

Ejemplo 07.

Determine la condiciĂłn de la siguiente matriz de Hilbert, 1 1/2 1/3 đ??´ = [1/2 1/3 1/4] 1/3 1/4 1/5 SoluciĂłn: Lo primero la matriz se normaliza de tal manera que el elemento mĂĄximo en cada renglĂłn sea 1, 1 1/2 1/3 đ??´ = [1 2/3 1/2] 1 3/4 3/5

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

32

U3

MĂŠtodos numĂŠricos SoluciĂłn numĂŠrica de sistemas de ecuaciones lineales

despuĂŠs se suman los elementos para cada renglĂłn de la matriz. La suma de los elementos de los renglones son de đ?‘…1 = 1.833, đ?‘…2 = 2.167 y đ?‘…3 = 2.35. De aquĂ­, el tercer renglĂłn tiene la suma mĂĄs grande. La matriz inversa es, 9 −18 10 đ??´âˆ’1 = [−36 96 −60] 30 −90 60

como se puede observar, los coeficientes de la matriz inversa son mayores a los coeficientes de la matriz original. La suma mĂĄs grande de los elementos de los renglones es đ?‘…2 = |−36| + 96 + |−60|.

Entonces, el nĂşmero de condiciĂłn se calcula como, đ??śđ?‘œđ?‘›đ?‘‘[đ??´] = ‖đ??´â€– ‖đ??´âˆ’1 ‖ = (2.35)(192) = 451.2 dado que el nĂşmero es mucho mayor a la unidad, es posible concluir que la matriz estĂĄ mal condicionada. En la siguiente Figura se muestra la implementaciĂłn en Mathcad.

Figura 17. Calculo de la condiciĂłn de una matriz. ElaboraciĂłn propia

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

33

U3

Métodos numéricos Solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales

Actividades La elaboración de las actividades estará guiada por tu docente en línea, mismo que te indicará, a través de la Planeación didáctica del docente en línea, la dinámica que tú y tus compañeros (as) llevarán a cabo, así como los envíos que tendrán que realizar.

Para el envío de tus trabajos usarás la siguiente nomenclatura: BEDI_U3_A1_XXYZ, donde BEDI corresponde a las siglas de la asignatura, U3 es la unidad de conocimiento, A1 es el número de actividad, el cual debes sustituir considerando la actividad que se realices, XX son las primeras letras de tu nombre, Y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno.

Autorreflexiones Para la parte de autorreflexiones debes responder las Preguntas de Autorreflexión indicadas por tu docente en línea y enviar tu archivo. Cabe recordar que esta actividad tiene una ponderación del 10% de tu evaluación.

Para el envío de tu autorreflexión utiliza la siguiente nomenclatura: BEDI_U3_ATR _XXYZ, donde BEDI corresponde a las siglas de la asignatura, U3 es la unidad de conocimiento, XX son las primeras letras de tu nombre, y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno

Cierre de la unidad A lo largo de esta unidad has podido adentrarte en los métodos de solución de ecuaciones algebraicas que modelan problemas reales de la ingeniería. A través de ellos has podido comprender los fenómenos físicos involucrados en el modelado de un problemas, tales como reactores de flujo.

Se analizó e implementó el método de Gauss Jordan. Dentro de sus ventajas se pueden citar que es un método directo. A través de sistemas equivalentes es posible llegar a su solución. La cual sería tediosa e inexacta sin el apoyo de una rutina computacional que se ha implementado en Mathcad. Cabe mencionar que este tipo de plataformas ya tienen

Universidad Abierta y a Distancia de México

34

U3

Métodos numéricos Solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales

rutinas o funciones programadas para la solución de estos sistemas a través de la matriz ampliada.

Los métodos de Gauss Seidel y de vectores característicos son métodos de aproximaciones sucesivas. En ambos casos, son necesarios vectores iniciales que se van actualizando en cada iteración. Debido a que son de fácil implementación numérica y rápida convergencia, cuando la matriz es diagonalmente dominante, te será fácil realizar un análisis de error del sistema propuesto.

En las actividades de aprendizaje se te plantean problemas de la biotecnología basados en reactores que requieren una solución numérica. Es importante que te apoyes de la biblioteca de programas que se generó a lo largo del curso, analices tus resultados e ingreses al foro de Preguntas de Autorreflexión y consultes las preguntas que tu facilitador(a) presente, a partir de ellas, debes elaborar tu Autorreflexión en un archivo de texto llamado 190930725_U3_BMN_XXYZ. Posteriormente envía tu archivo mediante la herramienta Autorreflexiones.

Para saber más

Para saber más se recomiendan las siguientes fuentes de información: 1. Ecuaciones lineales con tres incognitas metodo de gauss jordan http://www.youtube.com/watch?v=mN61HtWdwEE Para reforzar los conocimientos sobre el método de Gauss Jordan a través de la explicación paso a paso de la solución de un sistema de 3 ecuaciones algebraicas con 3 incógnitas.

2. Solución de un Sistema de 3x3 por Gauss-Jordan https://www.youtube.com/watch?v=91xUg1L7O7s Universidad Abierta y a Distancia de México

35

U3

Métodos numéricos Solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales

Para reforzar los conocimientos sobre el método de Gauss Jordan a través de la explicación paso a paso de la solución de un sistema de 3 ecuaciones algebraicas con 3 incógnitas.

3. Método de Gauss Seidel https://www.youtube.com/watch?v=CYbaH_3QyF8 Para reforzar los conocimientos sobre el método de Gauss Seidel. En el video se explica paso a paso el método de Gauss Seidel y se resuelven ejercicios que ejemplifiquen este método.

4. Crear funciones, ecuaciones y graficar https://www.youtube.com/watch?v=BHPfm2EVLU8 Para reforzar el aprendizaje de Mathcad. En este video se explica el entorno general de Mathcad, cómo implementar y graficar funciones básicas, así como los comandos de asignación y evaluación de funciones.

5. 2 Creación de funciones en MATLAB https://www.youtube.com/watch?v=ylry403w8Uk Para reforzar el aprendizaje de Matlab a través de la implementación de funciones básicas como el cálculo de raíces de una ecuación algebraica. Para esto, se tendrán que definir los parámetros de entrada y salida de una función en general.

Fuentes de consulta



Burden, R., Douglas J., (2001). Análisis Numérico. México: CENGAGE Learning.



Chapra S., (2010). Métodos Numéricos para ingenieros. México: Mc GrawHill.



Dennis G. Zill, (2009). Ecuaciones Diferenciales. Tercera Edición. MacGrawHill.

Universidad Abierta y a Distancia de México

36

U3

Métodos numéricos Solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales



Iriarte, R., (2003). Métodos Numéricos. México,D.F: Trillas.



Mathews, J., Fink K., (2004). Métodos Numéricos con MATLAB. España: Prentice Hall.



Nakamura, S., (1992). Métodos Numéricos aplicados con software. México: Prentice Hall.

Universidad Abierta y a Distancia de México

37