Libro de concreto estructural reforzado y simple tomo i [ing basilio j curbelo] civilgeeks by Jhonatan Rios

CONCRETO ESTRUCTURAL TOMO I

Concreto Estructural Reforzado Y

Concreto Estructural Simple

Ing. BASILIO J. CURBELO

BASILIO J. CURBELO ES INGENIERO CIVIL, GRADUADO EN LA UNIVERSIDAD DE LA HABANA, CUBA. TIENE 30 AÑOS DE EXPERIENCIA EN DISEÑO DE PROYECTOS CIVILES DE CENTRALES TERMOELÉCTRICAS, HIDROELÉCTRICAS Y LÍNEAS DE TRANSMISIÓN ELÉCTRICAS EX-VICEPRESIDENTE DEL COMITÉ DE NORMALIZACIÓN DEL CÁLCULO ESTRUCTURAL DE CUBA (CONCE) Y EX-PRESIDENTE DEL COMITÉ DE CONCRETO ESTRUCTURAL DEL CONCE. MÁSTER EN CIENCIAS - INGENIERÍA CIVIL (AMSTEAD UNIVERSITY) (no acreditada) DOCTOR EN CIENCIAS - INGENIERÍA CIVIL (ASHWOOD UNIVERSITY) (no acreditada)

A todos los que han contribuido al conocimiento de este maravilloso material

República de Colombia Departamento del Quindío Ciudad Armenia Año 2015

ÍNDICE CAPÍTULO I I.1 COMPORTAMIENTO DEL CONCRETO SIMPLE, REFORZADO Y PRESFORZADO I.2 ENSAYOS DE MATERIALES I. 3. DATOS HISTÓRICOS I.4 VENTAJAS E INCONVENIENTES DEL CONCRETO I.5 EJEMPLOS PROPUESTOS CAPÍTULO II

CONCRETO II.1 COMPONENTES DEL CONCRETO II.2 AGREGADO GRUESO II.3 Dejado intensionalmente II.4. MATERIALES CEMENTANTES II.5. AGUA II.6. ADITIVOS II.7. ALMACENAMIENTO DE LOS MATERIALES II.8. REQUISITOS DE DURABILIDAD, CALIDAD, MEZCLADO Y COLOCACIÓN DEL CONCRETO II.9. PROPIEDADES DEL CONCRETO ENDURECIDO II.9.10 EJEMPLOS PROPUESTOS CAPÍTULO III

REFUERZO III.1. FUNCIONES DEL REFUERZO III.2. TIPOS DE REFUERZOS. III.3. REFUERZO DE ACERO NO PRESFORZADO III.4. DEFORMACIÓN UNITARIA III.5.COEFICIENTE DE DEFORMACIÓN TÉRMICA III.6. MÓDULO DE ELASTICIDAD DEL ACERO DE REFUERZO III.7.OXIDACIÓN III.8 RESISTENCIA DE CÁLCULO DE LOS ACEROS A LA FATIGA III.9 EVALUACIÓN Y ACEPTACIÓN DEL ACERO DE REFUERZO III.10 PROBLEMAS PROPUESTOS CAPÍTULO IV

DETALLES DEL REFUERZO IV.1 GANCHO ESTÁNDAR IV.2 DIÁMETROS MÍNIMOS DE DOBLAMIENTO IV.3 CONDICIONES PARA EL DOBLAMIENTO IV.4 LIMPIEZA DEL REFUERZO IV.5 COLOCACIÓN DEL REFUERZO IV.6 SEPARACIÓN ENTRE BARRAS IV.7 RECUBRIMIENTO DEL REFUERZO IV.8 DETALLES ESPECIALES DEL REFUERZO DE COLUMNAS IV.9 NÚCLEO DE ACERO ESTRUCTURAL IV.10 DETALLES ESPECIALES EN LOS NUDOS IV.11 REFUERZO TRANSVERSAL PARA ELEMENTOS SOMETIDOS A COMPRESIÓN IV.12 REFUERZO TRANSVERSAL PARA EL ELEMENTOS A FLEXIÓN IV.13 REFUERZO PARA RETRACCIÓN DE FRAGUADO Y VARIACIÓN DE TEMPERATURA 3

IV.14 REQUISITOS DE INTEGRIDAD ESTRUCTURAL IV.15 PROBLEMAS PROPUESTOS CAPÍTULO V

CIMBRAS Y ENCOFRADOS, EMBEBIDOS Y JUNTAS DE CONSTRUCCIÓN V.1 DISEÑO DE CIMBRAS Y ENCOFRADOS V.2 DESCIMBRADO, PUNTALES Y REAPUNTALAMIENTO V.3 EMBEBIDOS EN EL CONCRETO V.4 JUNTAS DE CONSTRUCCIÓN V.5 PROBLEMAS PROPUESTOS

CAPÍTULO VI

FUNDAMENTOS DE LAS TEORÍAS DE RESISTENCIA Y MÉTODOS DE CÁLCULO VI. 1. DATOS EXPERIMENTALES VI.2. ESTADO ESFUERZO-DEFORMACIÓN VI.3. MÉTODOS PARA CALCULAR LAS SECCIONES DE CONCRETO ESTRUCTURAL VI.4 PROBLEMAS PROPUESTOS CAPÍTULO VII

MÉTODO DE LOS ESTADOS LÍMITE VII.1 CLASIFICACIÓN DE LOS ESTADOS LÍMITE Y CONCEPTO DE SEGURIDAD VII 2.COMPROBACIÓN DE LA SEGURIDAD

CAPÍTULO VIII

ANÁLISIS Y DISEÑO CONSIDERACIONES GENERALES VIII.1 CARGAS Y FUERZAS DE DISEÑO Y DE SERVICIO VIII. 2 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO VIII.3 PRIMERA ETAPA –METODOLOGÍA DE ANÁLISIS VIII. 4 – ANÁLISIS ESTRUCTURAL ELÁSTICO GENERAL VIII.5 ANÁLISIS ELÁSTICO DE ESFUERZOS VIII.6 ANÁLISIS INELÁSTICO DE ESFUERZO VIII.7 ANÁLISIS EXPERIMENTAL DE ESFUERZO VIII.8.MODELOS DE CELOSÍAS VIII.9 PROBLEMAS PROPUESTOS

CAPÍTULO X CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE LAS SECCIONES

X.1. SECCIONES BRUTAS (Ag) X 2.SECCIONES REDUCIDAS (NETAS) X.3. SECCIONES HOMOGENEIZADAS (TRANSFORMADAS)

CAPÍTULO XI

ESTADO LÍMITE DE FISURACIÓN XI.1 TIPOS DE GRIETAS XI.2 CÁLCULO DEL ANCHO DE GRIETAS EN ELEMENTOS REFORZADOS XI.3 FISURACIÓN SEGÚN EL REGLAMENTO XI.4 FISURA INCLINADA XI.5 PROBLEMAS PROPUESTOS CAPÍTULO XII

ESTADO LÍMITE DE DEFORMACIÓN XII.1.ESTADO LÍMITE DE DEFORMACIÓN XII.2 COMPORTAMIENTO DE LA DEFORMACIÓN XII. 3 DEFORMACIÓN TOTAL PARA ELEMENTOS REFORZADO XII. 4. COMPORTAMIENTO DE LA DEFORMACIÓN EN UNA VIGA REFORZADA XII.5. ESPESOR MÍNIMO PARA VIGAS Y LOSAS REFORZADAS EN UN SOLO SENTIDO EN ELEMENTOS REFORZADO, A FIN DE NO TENER QUE CALCULAR LAS DEFORMACIONES DEL ELEMENTO XII.6 DEFORMACIONES MÁXIMAS PERMISIBLES XII.7 EJEMPLO. Determinación de la flecha (deformación) de una viga reforzada XII.8 EJEMPLO. Determinación de la flecha de una viga continua de tres luces reforzada XII.9. PROBLEMAS PROPUESTOS CAPÍTULO XIII ESTADOS LÍMITE ÚLTIMO

XIII.1. DIAGRAMA DE CÁLCULO DEL ESFUERZO-DEFORMACIÓN DEL CONCRETO XIII.2 HIPÓTESIS XIII.3 RESISTENCIA REQUERIDA XIII.4 RESISTENCIA DE DISEÑO XIII.5. DIAGRAMA DE DOMINIOS XIII.6 DIAGRAMA DE INTERACCIÓN DE RESISTENCIA XIII. 7. SECCIONES GENERALES CON UN PLANO DE SIMETRÍA COINCIDENTE CON LA DIRECCIÓN DE LA CARGA EXTERIOR XIII. 8 SECCIONES RECTANGULARES SIN ARMADURA EN LA ZONA COMPRIMIDA XIII.9 PASOS A SEGUIR PARA EL DISEÑO DE ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN SIMPLE CUANDO SE QUIERE UTILIZAR UN VALOR DETERMINADO DE t XIII. 10 PASOS A SEGUIR PARA EL DISEÑO DE ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN SIMPLE CUANDO SE CONOCE LA SECCIÓN XIII.12 REVISIÓN DE SECCIONES RECTANGULARES SIN ARMADURA EN LA ZONA COMPRIMIDA XIII.13 PASOS A SEGUIR PARA REVISIÓN DE SECCIONES RECTANGULARES SOMETIDAS A MOMENTO FLECTOR XIII. 15 SECCIONES RECTANGULARES CON ARMADURA EN LA ZONA COMPRIMIDA XIII.16 PASOS A SEGUIR PARA DISEÑAR UN ELEMENTO RECTANGULAR CON REFUERZOS EN LA ZONA A TRACCIÓN Y COMPRESIÓN XIII.17 Diseño de una sección sometida a flexión XIII.18 SECCIÓN T SIN ARMADURA EN LA ZONA COMPRIMIDA XIII.20 Revisión de una sección T sometida a momento flector XIII 21 Diseñar el refuerzo de la sección de la figura sometida a momento flector XIII. 22.SECCIÓN T CON ARMADURA EN LA ZONA COMPRIMIDA XIII.24 Diseño del refuerzo necesario de una sección sometida a momento flector XIII. 25 SECCIÓN CAJÓN XII.26.SECCIONES TRAPEZOIDAL Y TRIANGULAR XIII. 27. DISTANCIA ENTRE APOYOS LATERALES DE ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN XIII. 28 REFUERZO MÍNIMO DEL ELEMENTOS REFORZADO SOMETIDOS A FLEXIÓN XIII. 29 PROBLEMAS PROPUESTOS 5

CAPÍTULO XIV

102

FLEXIÓN ESVIADA INTRODUCCIÓN XIV.1-DETERMINACIÓN DEL REFUERZO PARA SECCIONES SIN REFUERZO EN LA ZONA COMPRIMIDA XIV 2. DETERMINACIÓN DE SECCIONES CON REFUERZO EN LA ZONA COMPRIMIDA XIV. 3-SOLUCIÓN CUANDO EL CENTROIDE DEL REFUERZO A TRACCIÓN NO COINCIDE CON EL PLANO DE ACCIÓN DEL MOMENTO FLECTOR XIV.4. Determinar el refuerzo necesario para una sección de base bw = 0.3 m, h = 0.6, sometida a un momento flector Mu = 0.4 MN-m, que forma un ángulo de 4 40’ con el eje y-y XIV.5 Determinar el refuerzo necesario de la sección del XIV.4 pero actuando : Mu = 0.15 MN-m XIV.7 PROBLEMAS PROPUESTOS CAPÍTULO XV

112

COMPRESIÓN Y FLEXO-COMPRESIÓN XV.1 CASOS EN FLEXO-COMPRESIÓN XV.2 SECCIÓN RECTANGULAR Y T XV.3 ELEMENTOS SOMETIDOS A CARGA BIAXIAL XV. 4 COLUMNAS CON REFUERZO EN TODAS LOS BORDES XV. 5 SECCIÓN CIRCULAR XV. 6 EFECTOS DE LA ESBELTEZ EN ELEMENTOS A COMPRESIÓN XV.7 CONSIDERACIÓN DE LA ESBELTEZ XV.7.6 B PASOS A SEGUIR PARA EL CÁLCULO DE COLUMNA ESBELTAS SIN DESPLAZAMIENTO LATERAL XV .7.7 A PASOS A SEGUIR PARA EL CÁLCULO DE COLUMNA ESBELTAS CON DESPLAZAMIENTO LATERAL XV.7. 8 TRANSMISIÓN DE LAS CARGAS DE COLUMNAS A TRAVÉS DE LOS 14SISTEMAS DE ENTREPISOS XV.7. 8 TRANSMISIÓN DE LAS CARGAS DE COLUMNAS A TRAVÉS DE LOS SISTEMAS DE ENTREPISOS XV.9 ELEMENTOS COMPUESTOS A COMPRESIÓN XV.10 LÍMITES PARA EL REFUERZO DE ELEMENTOS REFORZAD SOMETIDOS A COMPRESIÓN XV.11 PROBLEMAS PROPUESTOS CAPÍTULO XVI1

143

TRACCIÓN SIMPLE Y FLEXO-TRACCIÓN XVI.1 COMPORTAMIENTO XVI.2.HIPÓTESIS XVI. 3.CASOS DE COMPROBACIÓN DE SECCIONES XVI.4 PROBLEMAS PROPUESTOS CAPÍTULO XVII

148

SOLICITACIÓN TANGENTE (CORTANTE) XVII.1 INTRODUCCIÓN XVII.2.VALOR DEL ANCHO DEL ELEMENTO XVII.3 RESISTENCIA AL CORTANTE DE ELEMENTOS REFORZADOS 6

XVII.4 DETERMINACIÓN DE Vu XVII.5 DETERMINACIÓN DE Vc EN ELEMENTOS REFORZADOS XVII.6 Elementos circulares XVII. 7 RESISTENCIA A CORTANTE CONTRIBUIDA POR EL REFUERZO XVII.7.6 PASOS PARA EL DISEÑO DE CORTANTE EN VIGAS REFORZADAS XVII. 8 ESTRIBOS ADICIONALES EN VIGAS APOYADAS INDIRECTAMENTE SOBRE OTRAS VIGAS XVII. 9.ELEMENTOS CON REFUERZO DE PERFILES XVII. 10. ELEMENTOS CON ALTURA VARIABLE XVII.11 PROBLEMAS PROPUESTOS CAPÍTULO XVIII

158

TORSIÓN INTRODUCCIÓN XVIII.1. TORSIÓN COMO SOLICITACIÓN SECUNDARIA XVIII.2. CÁLCULO DEL MOMENTO TORSOR MAYORADO (Tu) XVIII.3 RESISTENCIA AL MOMENTO TORSOR XVIII.4. REFUERZO NECESARIO A TORSIÓN XVIII.5. REDUCCIÓN DEL REFUEZO LONGITUDINAL XVIII.6 DETALLES DEL REFUERZO PARA TORSIÓN XVIII.7 REFUERZO MÍNIMO PARA TORSIÓN XVIII.8 ESPACIAMIENTO DEL REFUERZO A TORSIÓN XVIII.9 PASOS A SEGUIR PARA EL CÁLCULO A TORSIÓN DE ELEMENTOS REFORZADOS XVIII.10.1 EJEMPLO DE VIGA SOMETIDA A MOMENTO TORSOR

Página XVIII.11 PROBLEMAS PROPUESTOS CAPÍTULO XIX

169

CORTANTE POR FRICCIÓN XIX.1 REFUERZO PERPENDICULAR AL PLANO DE CORTANTE XIX.2 REFUERZO INCLINADO AL PLANO DE CORTANTE XIX.3 EJEMPLO Diseño de anclaje por fricción XIX.4 PROBLEMAS PROPUESTOS

CAPÍTULO XX

172

ELEMENTOS DE GRAN ALTURA SOMETIDOS A FLEXIÓN (VIGA PARED) INTRODUCCIÓN XX. 1 DISEÑO A CORTANTE XX.2 Elementos simplemente apoyados XX.3 Elementos continuos XX. 3A SECCIÓN CRÍTICA XX. 4 VALOR DEL CORTANTE RESISTIDO POR EL CONCRETO XX. 5 VALOR DEL CORTANTE RESISTIDO POR EL ACERO XX. 6 REFUERZO LONGITUDINAL XX. 7 PASOS A SEGUIR PARA EL DISEÑO DE VIGAS PARED XX. 8 Diseño de una viga pared simplemente apoyada XX. 9 DISEÑO DE UNA VIGA PARED CONTINUA XX.10 MÉTODO DE MODELOS PUNTAL-TENSOR XX. 11 Diseño de una viga pared simplemente apoyada utilizando el modelo puntal-tensor XX.12 PROBLEMAS PROPUESTOS 7

CAPÍTULO XXI

186

MÉNSULAS Y CARTELAS INTRODUCCIÓN XXI.1 DISEÑO XXI. 2 PASOS A SEGUIR PARA EL DISEÑO DE UNA MÉNSULA XXI .3 EJEMPLO DISEÑO DE UNA MÉNSULA XXI.4 Diseño de una ménsula por el método de puntal-tensor XXI.5 PROBLEMAS PROPUESTOS CAPÍTULO XXII

191

MUROS (PAREDES) INTRODUCCIÓN XXII.1 REFUERZO MÍNIMO XXII.2 DISEÑO DE MUROS COMO COLUMNA XXII. 3 MÉTODO DE DISEÑO EMPÍRICO DE MUROS SOMETIDO A CARGA VERTICAL Y CARGA HORIZONTAL PERPENDICULAR A SU PLANO XXII. 4 MUROS NO PORTANTES XXII. 5 MUROS COMO VIGAS A NIVEL DEL TERRENO XXII. 6 DISEÑO ALTERNATIVO DE MUROS ESBELTOS SOMETIDOS A CARGAS VERTICALES Y CARGAS HORIZONTALES PERPENDICULAR A SU PLANO XX1I .7 EJEMPLO DE DISEÑO DE UN MURO XXII.8 EJEMPLO DE DISEÑO DE UN MURO XXII .9 EJEMPLO DE DISEÑO DE UN MURO POR EL MÉTODO EMPÍRICO XX1V.10 EJEMPLO DE DISEÑO DE UN MURO POR EL MÉTODO ALTERNATIVO XXII.11MUROS SOMETIDOS A CARGAS HORIZONTALES PARALELAS AL PLANO DEL MISMO Y A CARGAS VERTICALES XXII.1I.1 EFICIENCIAS DE LOS MUROS XXII.1I.2 RIGIDEZ DE LOS MUROS XXII.12.3 RIGIDEZ DE LOS MUROS CON ABERTURAS XXII.13 EJEMPLO de diseño de un muro con aberturas XXII. 14 CORTANTE EN LOS MUROS XXII. 16 DISEÑO DEL REFUERZO CORTANTE PARA MUROS XXII.17 DISEÑO DE UN MURO SOMETIDO A CARGAS HORIZONTALES PARALELA AL EJE DEL MISMO XXII.18 PROBLEMAS PROPUESTOS CAPÍTULO XXIII

208

ESFUERZOS DE CONTACTO (APLASTAMIENTO)

CAPÍTULO XXIV

209

DESARROLLO, EMPALMES DEL REFUERZO Y CORTES DE BARRAS XXIV.1 DESARROLLO DE BARRAS CORRUGADAS Y DE ALAMBRES CORRUGADOS A TRACCIÓN XXIV.2 EMPALME DEL REFUERZO XXIV.3 CORTE DE BARRAS XXIV.4.1 EJEMPLO DE EMBEBIMIENTO DEL REFUERZO XXIV.4.2 EJEMPLO DE EMBEBIMIENTO DEL REFUERZO CON GANCHO DE 90° XXIV.5 PROBLEMAS PROPUESTOS CAPÍTULO XXV

221

VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADA 8

XXV.1 VIGAS REFORZADAS XXV.2 PROBLEMA PROPUESTO CAPÍTULO XXVI

226

VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS XXVI.1 INTRODUCCIÓN XXVI.2 COEFICIENTES DE MOMENTOS Y DEFORMACIÓN DE VIGAS XXVI.3 EJEMPLO. Calcular una viga continua de tres luces reforzada XXVI.4 PROBLEMAS PROPUESTOS

Página CAPÍTULO XXVII

232

ELEMENTOS COMPUESTOS CONCRETO-CONCRETO SOMETIDO A FLEXIÓN XXVII.1 INTRODUCCIÓN XXVII.2 RESISTENCIA AL CORTANTE VERTICAL XXVII.3 RESISTENCIA AL CORTANTE HORIZONTAL XXVII.4 DISEÑO DEL REFUERZO XXVII.5 DEFORMACIÓN XXVII.6 PASOS A SEGUIR PARA EL DISEÑO DE UNA SECCIÓN COMPUESTA CON PUNTALAMIENTO XXVII.7 PASOS A SEGUIR PARA EL DISEÑO DE UNA SECCIÓN COMPUESTA SIN APUNTALAMIENTO XXVII.8 EJEMPLO DE SECCIÓN COMPUESTA XXVII.9 PROBLEMAS PROPUESTOS CAPÍTULO XXVIII

239

LOSA REFORZADA EN UNA DIRECCIÓN XXVIII.1 INTRODUCCIÓN XXVIII.2 ESPESORES DE LAS LOSAS XXVIII.3 ANÁLISIS XXVIII.4 DISEÑO XXVIII.5 FISURACIÓN XXVIII.6 DETALLES TÍPICOS DE COLOCACIÓN DEL REFUERZO XXVIII.7 CARGAS CONCENTRADAS XXVIII.8 REFUERZO DE TEMPERATURA XXVIII.9 EJEMPLO DE DISEÑO DE UNA LOSA REFORZADA EN UN SOLO SENTIDO XXVIII.10 EJEMPLO DE DISEÑO DE UNA LOSA REFORZADA EN UN SOLO SENTIDO CON UNA CARGA CONCENTRADA XXVIII.10A . ABERTURAS EN LAS LOSAS XXVIII.11 PROBLEMAS PROPUESTOS CAPÍTULO XXIX

247

SISTEMAS DE LOSAS REFORZADAS EN DOS DIRECCIONES XXIX.1 ALCANCE XXIX2. SISTEMAS DE LOSAS XXIX.3. LOSAS REFORZADAS EN DOS DIRECCIONES XXIX.4 MÉTODO DE DISEÑO DIRECTO 9

XXIX.5 PASOS A SEGUIR PARA EL DISEÑO UTILIZANDO EL MÉTODO DIRECTO PARA LOSAS REFORZADA XXIX.6 EJEMPLO DE DISEÑO DE UNA LOSA PLANA POR EL MÉTODO DIRECTO XXIX.7 EJEMPLO DE DISEÑO DE UNA LOSA CON VIGAS POR EL MÉTODO DIRECTO XXIX.8 MÉTODO DEL PÓRTICO EQUIVALENTE XXIX. 9 DEFORMACIÓN DE LAS LOSAS REFORZADAS EN DOS SENTIDOS XXIX. 10 A PASOS A SEGUIR PARA EL DISEÑO DE LOSAS REFORZADAS EN DOS DIRECCIONES POR EL MÉTODO DEL PÓRTICO EQUIVALENTE XXIX.11 EJEMPLO DEL DISEÑO DE UNA LOSA REFORZADA POR EL MÉTODO DEL PÓRTICO EQUIVALENTE XXIX.12 ANÁLISIS DEL MÉTODO DEL PÓRTICO EQUIVALENTE PARA CARGA HORIZONTALES EN PÓRTICOS NO ARRIOSTRADOS XXIX.13 PROBLEMAS PROPUESTOS CAPÍTULO XXX

286

LOSAS EN DOS DIRECCIONES APOYADAS EN MUROS O VIGAS RÍGIDAS XXX .1 INTRODUCCIÓN XXX.2 CARGAS LINEALES Y CONCENTRADAS XXX.3 EJEMPLO DE LOSAS EN DOS DIRECCIONES XXX.4 PROBLEMAS PROPUESTOS CAPÍTULO XXXI

294

CIMENTACIONES INTRODUCCIÓN XXXI.1 TIPOS DE CIMIENTOS XXXI.2 . CARGAS Y REACCIONES 2XXXI.3 CIMIENTOS AISLADO XXXI.4 CIMIENTO CORRIDO (L >> B) XXXI.5 Consideraciones adicionales XXXI.6 APLICACIONES DE LA FORMULA DE LA RESISTENCIA ÚLTIMA DEL SUELO XXXI.7 Ejemplo de cimiento corrido XXXI.8 EJEMPLO DE CIMIENTO CORRIDO EN ARCILLA XXXI.9 EJEMPLO DE CIMIENTO CUADRADO XXXI.10 EJEMPLO DE CIMIENTO RECTANGULAR XXXI.11 EJEMPLO DE CIMIENTO EN EL MANTO FREÁTICO XXXI.12 EJEMPLO DE CARGA EXCÉNTRICA XXXI.13 SOLUCIÓN DE SKEMPTON XXXI.14 PRESIÓN DE CONTACTO XXXI.15 Ejemplo de cimiento sometido a momento flector en dos sentido y a carga axial XXXI.16 Ejemplo cuando solamente una parte del cimiento está en contacto con el suelo XXXI.17 CIMIENTO SOMETIDO A FUERZA DE EXTRACCIÓN XXXI.18 EJEMPLO DE CIMIENTO SOMETIDO A FUERZA DE EXTRACCIÓN XXXI.19 ROTACIÓN DE CIMIENTOS XXXI.20 EJEMPLO DE ROTACIÓN DE CIMIENTOS XXXI.21 CIMENTOS COMBINADOS XXXI.21 CIMIENTOS CONTINUOS PARA MÁS DE DOS COLUMNAS XXXI.22 CIMIENTOS CORRIDOS BAJO MURO XXXI.23 CIMIENTOS ARRIOSTRADOS, CUANDO SE UNEN DOS CIMIENTOS POR VIGAS XXXI.24 CIMIENTO TIPO BALSA (LOSA) XXXI.24a CIMIENTOS EN PILOTES XXXI.25 . DISEÑO ESTRUCTURAL DE LOS CIMIENTOS AISLADOS XXXI.26 Transferencia al Cimiento de las Fuerzas en la Base de la Columna, Muro o Pedestal Reforzado XXXI.26A. MOMENTO DE VUELCO EN LOS CIMIENTOS AISLADOS XXXI.27 PASOS A SEGUIR EN EL DISEÑO DE CIMIENTOS AISLADOS 10

XXXI.27A EJEMPLO DE CIMIENTO AISLADO XXXI.28 EJEMPLO CIMIENTO TIPO BALSA XXXI.29 PILOTES Y CAISSONS XXXI.2 9.1 DISEÑO DE LAS CIMENTACIONES APOYADAS EN PILOTES XXXI.2 9.2 DISEÑO DEL CABEZAL DE UNIÓN DE LOS PILOTES XXXI.2 9.2A EJEMPLO DE DISEÑO DEL CABEZAL DE UNIÓN DE LOS PILOTES XXXI.2 9.3 DISEÑO DE LOS PILOTES XXXI.30 PROBLEMAS PROPUESTOS

CAPÍTULO XXXII

330

MUROS DE CONTENCIÓN XXXII.1 CONDICIONES BÁSICAS DE DISEÑO XXXII.2 ESTABILIDAD EXTERNA DE LOS MUROS DE CONTENCIÓN XXXII.3 EMPUJE LATERAL DEL SUELO XXXII.4 MUROS DE CONTENCIÓN Y MUROS SUBTERRÁNEOS XXXII.5 MUROS DE GRAVEDAD XXXII..6 MURO EN VOLADIZO XXXII.7 EJEMPLO DE MUROS DE CONTENCIÓN EN VOLADIZO XXXII..8 MUROS CON CONTRAFUERTES XXXII.9 DISEÑO DE UN MURO DE CONTENCIÓN CON CONTRAFUERTES XXXII.10 DRENAJE XXXII.11 EMPUJE LATERAL DEL SUELO DEBIDO AL SISMO XXXII.12 Ejemplo de determinación del peso de un muro de contención sometido a un sismo XXXII.13 MUROS SUBTERRÁNEOS XXXII.14Diseño de un muro de un sótano XXXII.14 PROBLEMAS PROPUESTOS

CAPÍTULO XXXIII

351

ESCALERAS XXXIII.1 INTRODUCCIÓN XXXIII.2 ESCALERAS REFORZADAS EN UN SÓLO SENTIDO XXXIII.2.1 Diseñar la escalera de la figura, reforzada en un sólo sentido XXXIII.3 ESCALERAS HELICOIDALES XXXIII.4 ESCALERAS ORTOPOLIGONALES XXXIII.5 ESCALERAS AUTOPORTANTES XXXIII.6 PROBLEMAS PROPUESTOS

CAPÍTULO XXXIV INTRODUCCIÓN AL DISEÑO DE CÁSCARAS Y LOSAS PLEGADAS

375

XXXIV.1 ANÁLISIS Y DEFINICIONES XXXIV.2 ANÁLISIS Y DISEÑO XXXIV.3 RESISTENCIA DE DISEÑO DE LOS MATERIALES XXXIV.4 REFUERZO DE LA CÁSCARA XXXIV.5 CONSTRUCCIÓN XXXIV.6 DISEÑO DE UNA CÁSCARA CIRCULAR CILÍNDRICA XXXIV.7 PROBLEMAS PROPUESTOS CAPÍTULO XXXV

383

CONCRETO PREFABRICADO XXXV.1 DISTRIBUCIÓN DE LAS FUERZAS A LOS ELEMENTOS

XXXV.2 DISEÑO DE LOS ELEMENTOS XXXV.3 INTEGRIDAD ESTRUCTURAL XXXV.4 DISEÑO DE LAS CONEXIONES Y LOS APOYOS XXXV.5 IMPLEMENTOS COLOCADOS EN EL CONCRETO XXXV.6 INDENTIFICACIÓN Y MARCAS XXXV.7 MANEJO XXXV.8 EVALUACIÓN DE LA RESISTENCIA DE LOS ELEMENTOS PREFABRICADOS XXXV.9 VASOS DE CONCRETO PARA COLUMNAS PREFABRICADAS XXXV.10 PROBLEMAS PROPUESTOS CAPÍTULO XXXVI

394

EVALUACIÓN DE LA RESISTENCIA DE ESTRUCTURAS EXISTENTES XXXVI.1 EVALUACIÓN DE LA RESISTENCIA XXXVI.2 DISPOSICIONES PARA LA ACEPTACIÓN DE CARGAS MENORES XXXVI.3. PRECAUCIONES DE SEGURIDAD XXXVI.4 PROBLEMAS PROPUESTOS CAPÍTULO XXXVII

398

REQUISITOS DE DISEÑO SISMO RESISTENTE XXXVII.1 INTRODUCCIÓN XXXVIII 2 GRUPOS DE USO DE LAS EDIFICACIONES XXXVIII 3 SISTEMAS ESTRUCTURALES DESIGNADOS COMO PARTE DE RESISTENCIA ANTE FUERZAS SÍSMICAS XXXVIII 3 SISTEMAS ESTRUCTURALES DESIGNADOS COMO PARTE DE RESISTENCIA ANTE FUERZAS SÍSMICAS XXXVII. 4. ANÁLISIS Y DISEÑO DE LOS ELEMENTOS ESTRUCTURALES XXXVII. 5. FACTORES DE REDUCCIÓN DE RESISTENCIA () XXXVII.6.CONCRETO EN ESTRUCTURAS CONCAPACIDAD DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA MODERADA (DMO) Y ESPECIAL (DES) XXXVII.7. RESISTENCIA DEL ACERO EN ESTRUCTURAS CON CAPACIDAD DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA MODERADA (DMO) Y ESPECIAL (DES) XXXVII.8. EMPALMES MECÁNICOS EN PÓRTICOS Y MUROS ESTRUCTURALES ESPECIALES CON CAPACIDAD DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA MODERADA (DMO) Y ESPECIAL (DES) XXXVII.9. EMPALMES SOLDADOS EN PÓRTICOS Y MUROS ESTRUCTURALES CON CAPACIDAD DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA (DMO) Y ESPECIAL (DES) XXXVII.10. ANCLAJES AL CONCRETO EN ESTRUCTURAS DE CAPACIDAD DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA MODERADA (DMO) Y ESPECIAL (DES) XXXVIII.11. PÓRTICOS ORDINARIOS RESISTENTES A MOMENTO CON CAPACIDAD MÍNIMA DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA (DMI) XXXVII.12 LOSA REFORZADA EN DOS DIRECCIONES SIN VIGAS CON CAPACIDAD MÍNIMA DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA (DMI) XXXVII.13 PÓRTICOS INTERMEDIOS RESISTENTE A MOMENTO CON CAPACIDAD MODERADA DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA (DMO) XXXVII.14. MUROS ESTRUCTURALES INTERMEDIOS CON CAPACIDAD MODERADA DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA (DMO) XXXVII.15. ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN EN PÓRTICOS ESPECIALES RESISTENTE A MOMENTO CON CAPACIDAD ESPECIAL DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA (DES) XXXVII.16 ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN Y CARGA AXIAL PERTENECIENTES A PÓRTICOS ESPECIALES RESISTENTES A MOMENTOS CON CAPACIDAD ESPECIAL DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA XXXVII.17.NUDOS EN PÓRTICOS ESPECIALES RESISTENTES A MOMENTO CON CAPACIDAD ESPECIAL DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA (DES) 12

XXXVII.18 PÓRTICOS ESPECIALES RESISTENTES A MOMENTO CONSTRUIDOS CON CONCRETO PREFABRICADO CON CAPACIDAD ESPECIAL DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA XXXVII.19 MUROS ESTRUCTURALES ESPECIALES DE CONCRETO REFORZADO Y VIGAS DE ACOPLES CON CAPACIDAD ESPECIAL DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA (DES) XXXVII. 20 MUROS ESTRUCTURALES ESPECIALES CONSTRUIDOS USANDO CONCRETO PREFABRICADO CON CAPACIDAD ESPECIAL DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA (DES) XXXVII. 21 DIAFRAGMAS Y CERCHAS ESTRUCTURALES ASIGNADAS A LA CAPACIDAD ESPECIAL DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA (DES) XXXVII.22 CIMENTACIONES DE ESTRUCTURAS ASIGNADAS A LA CAPACIDAD ESPECIAL DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA (DES) XXXVII.23 ELEMENTOS QUE NO SE DESIGNAN COMO PARTE DEL SISTEMA DE RESISTENCIA ANTE FUERZA SÍSMICAS XXXVII.24 PASOS A SEGUIR PARA LA APLICACIÓN DE LOS REQUISITOS ESPECIALES DE LAS ESTRUCTURAS DE CONCRETO REFORZADO SOMETIDAS A LA CARGA DE SISMO XXXVII.25 EJEMPLO DE DISEÑO DE REFUERZO CONFINADO EN UNA UNIÓN VIGACOLUMNA XXXVII.26 REFUERZO TRANSVERSAL EN UNA REGIÓN DE POTENCIAL ARTICULACIÓN DE UNA VIGA XXXVII.27 PROBLEMAS PROPUESTOS

CAPÍTULO XXXVIII

430

CONCRETO ESTRUCTURAL SIMPLE XXXVIII.1. INTRODUCCIÓN XXXVIII.2. LIMITACIONES XXXVIII.3. JUNTAS XXXVIII.4. MÉTODO DE DISEÑO XXXVIII.5. MUROS XXXVIII.6 Limitaciones XXXVIII.7 ZAPATAS XXXVIII.8. PEDESTALES XXXVIII.9. ELEMENTOS PREFABRICADOS XXXVIII.10 HORMIGON SIMPLE EN ESTRUCTURAS RESISTENTES A SISMO XXXVIII.11 EJEMPLO DE CIMIENTO XXXVIII.12 DISEÑO DE UN MURO DE UN SÓTANO XXXVIII.13 PROBLEMAS PROPUESTOS CAPÍTULO XXXIX

436

TANQUES Y ESTRUCTURAS DE INGENIERÍA AMBIENTAL DE CONCRETO INTRODUCCIÓN XXXIX.1 MÉTODOS DE DISEÑO XXXIX.2 CARGAS XXXIX.3 RESISTENCIA REQUERIDA XXXIX.5 CONCRETO ESTRUCTURAL SIMPLE XXXIX.6 MUROS XXXIX.7 Losas sobre terrenos en estructuras ambientales XXXIX.8 REQUISITOS ESPECIALES DE DURABILIDAD XXXIX.9 PROTECCIÓN CONTRA LA EROSIÓN XXXIX.10 REVESTIMIENTO Y COBERTURA XXXIX.11 COMPATIBILIDAD CON EL OZONO XXXIX.12 ENSAYOS DE LOS REVESTIMIENTOS XXXIX.13 TRANSMISIÓN DEL VAPOR A TRAVÉS DE COBERTURAS Y REVESTIMIENTOS XXXIX.14 SELECCIÓN DE LOS REVESTIMIENTOS Y COBERTURAS 13

XXXIX.15 JUNTAS XXXIX.16 BARRERAS IMPERMEABLES XXXIX.17 SELLANTES XXXIX.18 LLAVES DE CORTANTE XXXIX.19 JUNTAS DE CONSTRUCCIÓN XXXIX.20 JUNTAS PARA COMPENSAR MOVIMIENTOS XXXIX.21 JUNTAS DE CONTRACCIÓN XXXIX.22 REFUERZO DE RETRACCIÓN Y TEMPERATURA XXXIX.23 PROTECCIÓN DEL CONCRETO PARA EL REFUERZO EN ESTRUCTURAS AMBIENTALES XXXIX.24 Diseño de un tanque rectangular XXXIX.25 PROBLEMAS PROPUESTOS

CAPITULO XLI

464

INTRODUCCIÓN A LA PATOLOGÍA DEL CONCRETO ESTRUCTURAL XLI.1. INTRODUCCIÓN XLI.2 EFLORESCENCIA XLI.3 ELEMENTOS ESTRUCTURALES

CAPITULO XLII

470

PROCEDIMIENTO PARA EL DISEÑO DE CONSTRUCCIONES DE CONCRETO ESTRUCTURAL XLII.1.ESTUDIO GEOTÉCNICO XLII. 2. DISEÑO ARQUITECTÓNICO XLII.3.DISEÑO ESTRUCTURAL DEFINICIONES 474 NOTACIÓN REFERENCIAS EQUIVALENCIA ÍNDICE

481 487 488 490

PREÁMBULO Se considera Concreto Estructural todo tipo de concreto utilizado en elementos estructurales. El Concreto Estructural puede ser: Simple (sin refuerzo) y Reforzado (con acero presforzado y /o refuerzo no presforzado). En el presente libro se desarrolla con suficiente amplitud, la teoría del diseño y comprobación de elementos de Concreto Estructural. El fin principal de este libro es ayudar a todos los técnicos que utilizan Concreto Estructural del Reglamento Colombiano de Construcción Sismo Resistente NSR-10 en el diseño y comprobación de Concreto Estructural. Se han incluido: figuras, comentarios y ejemplos que facilitarán su aplicación. El Reglamento NSR-10 está basado en el documento Code Requirements for Structural Concrete (ACI 318-08 y ACI 318-11)) del American Concrete Institute La información del Reglamento ha sido tomado del Diario Oficial de Colombia No. 47663 del 26 de marzo de 2010, decreto 926 de 2010 y de la modificación de ese decreto, con el decreto 092 de 17 de enero de 2011 del Ministerio de Ambiente, Vivienda y Desarrollo Ambiental. A lo largo del libro cuando aparezca el Reglamento, nos estamos refiriendo al Reglamento Colombiano Las formulas e incisos que aparecen entre paréntesis corresponden al del Reglamento. Se ha tratado seguir la redacción del Reglamento. Se describe un método de diseño de Flexión Esviada, elaborado por el Autor. Al elaborar un proyecto para una obra de Concreto Estructural, es importante, entre otros, tener en cuenta lo siguiente: a) b) c) d) e) f)

Que cumpla los requisitos para el uso que va ser destinada Que sea resistente y tenga la rigidez adecuada Que sea duradera Que sea económica Que se pueda construir Que sea estética y agradable

Este libro trata en su alcance que se logre todo lo anterior El libro está divido en dos partes: Tomo I: Concreto Estructural Reforzado y Concreto Estructural Simple Tomo II: Concreto Estructural Presforzado

El sistema de unidades que se utiliza es el Sistema Internacional (SI) 15

La equivalencia entre el sistema SI, el sistema mks y el sistema Inglés es el siguiente: Sistema SI 1 MPa fc’ = 21 MPa fc’ = 28 MPa fc’ = 35 MPa fc’ = 24 MPa fy = 240 MPa fy = 420 MPa fpu = 1760 MPa fpu = 1900 MPa √fc’ en MPa 0.625 √fc’ en MPa 0.313 √fc’ en MPa √fc’ / 6 en MPa √fc’ / 12 en MPa 1 MN 10 N 4. 545 N 4545 N 1 kN 1m 0. 30488 m 1 MN / m

Sistema mks 10 kgf / cm^2 fc’ = 210 kgf / cm^2 fc’ = 280 kgf / cm^2 fc’ = 350 kgf / cm^2 fc’ = 420 kgf / cm^2 fy = 2400 kgf / cm^2 fy = 4200 kgf / cm^2 fpu = 17600 kgf / cm^2 fpu = 19000 kgf / cm^2 3.18 √fc’ en kgf / cm^2 √fc’ en kgf / cm^2 0.53 √fc’ en kgf / cm^2 0.27 √fc’ en kgf / cm^2 0.1 kgf 1 kgf 0.4545 kgf 454. 5 kgf 0.0001 kgf 1m 0. 30488 m 0.1 kgf / m

Sistema Inglés 142. 3 psi fc’ = 3000 psi fc’ = 4000 psi fc’ = 5000 psi fc’ = 6000 psi fy = 34000 psi fy = 60000 psi fpu = 250000 psi fpu = 270000 psi 12√fc’ en psi 7.5√fc’ en psi 3.76 √fc’ en psi 2 √fc’ en psi √fc’ en psi 0. 22 libras 2. 2 libras 1 libra 1 kips 0.00022 libras 3. 28 pies 1 pie 0.7216 kips / pie

EJEMPLOS PROPUESTOS 1. Qué tipo de concreto se considera Concreto Estructural? 2. Como puede ser el Concreto Estructural?

CAPÍTULO I I.1 COMPORTAMIENTO DEL CONCRETO SIMPLE, REFORZADO Y PRESFORZADO El concreto resiste bien las fuerzas de compresión, pues éstas, favorecen el proceso de endurecimiento de su masa debido al fraguado del cemento y tienden a unir las partículas que la forman, no así, las fuerzas de tracción que impiden ese endurecimiento y desunen las partículas. Una viga de concreto simple, simplemente apoyada y sometida a una carga P1, sufre tracción en sus fibras inferiores (Fig. 1A). Esta viga posee poca resistencia debido a la débil resistencia del concreto a la tracción y cuando las tensiones de tracción superen la resistencia del concreto a este esfuerzo, se agrietará. Esta viga posteriormente fallará. Eje neutro P2 P2 > P1 P1 Refuerzo ordinario

grieta

acero ordinario

grieta

zona grieta zona comprimida traccionada

grieta P3 > P2

Fuerza de Presforzado

Fuerza de Presforzado C) Fig. 1

Esta misma viga, provista de armadura ordinaria en la zona traccionada (Fig. 1B) cuando esté sometida a la carga P1 no fallará debido a que esta armadura tomará las tracciones en los lugares en que se formen las grietas y fallará a una carga P2 mayor que P1. Si a la misma viga se le introduce una fuerza de compresión (corrientemente tensando el acero), esta viga resistirá mucha más carga debido a que el concreto está comprimido y será necesario una fuerza exterior muy superior P3 para superar esta compresión y hacer que la viga falle (Fig.1C) Cuando se unen ambos materiales (concreto y armaduras) de propiedades mecánicas tan diferentes, no se crea un elemento todo heterogéneo en cuanto a su forma de trabajo, ya que la unión se efectúa de modo que esas propiedades mecánicas se complementan. El trabajo de conjunto de estos materiales es real cuando la transmisión mutua de los esfuerzos sea perfecta, lo cual se logra por la adherencia que se produce entre la armadura y el concreto. Como el concreto y el acero poseen coeficiente de dilatación térmica relativamente semejante, al variar la temperatura hasta 100 grados centígrados aparecen tensiones iníciales y deslizamiento del refuerzo en la masa del concreto de muy poca importancia. I.2 ENSAYOS DE MATERIALES (C.3.1) Se deben realizar ensayos de muestras representativas a los materiales que se vayan a utilizar en la obra proyectada para asegurar que mismos sean de la calidad requerida. Los ensayos de los materiales y del concreto se realizan siguiendo las normas técnicas colombianas, NTC, promulgadas por el Instituto Colombiano de Normas Técnicas y Certificación (ICOTEC). A falta de ellas deben seguirse las normas de la Sociedad Americana para Ensayos y Materiales (ASTM), de la Asociación Americana de Soldaduras (AWS), de la Asociación Americana de Oficiales Estatales de Carreteras y Transporte (AASHTO) y del Instituto del Postensado (PTI), de La Asociación Americana de Oficiales Estatales de Carreteras y Transporte (AASHTO) mencionadas en el Reglamento I. 3. DATOS HISTÓRICOS En la isla de Creta, en siglos antes de la tercera centuria antes de Cristo, el concreto fue empleado como material de construcción, cuyo aglutinante era la cal hidráulica o puzolana, el cual tenía la desventajas que no podía sumergirse en agua, posteriormente en Roma se utilizó como aglutinante una mezcla de cal y ceniza volcánica 17

Las investigaciones, con cales hidráulicas, realizadas por Guyson de Morreau (1756) y de calcinación de tierras apropiadas por Parker Lassage terminan con las investigaciones de Vicat en 1818. En 1824, Apsdin industrializa el cemento. El concreto de cemento y el concreto reforzado con armadura ordinaria aparecen en el antepasado siglo, por Lombot. En 1860, Monier lo utiliza en cubetas y tanques. En 1904 en Alemania y en 1906 en Francia, se editan las primeras Normas y Especificaciones que regulan el diseño de elementos utilizando estos materiales. En 1938 la URSS editó un código utilizando el método de Resistencia Ultima y en 1955 empezó a utilizar el método de Estados Límites. En 1956, los Estados Unidos e Inglaterra comienzan a utilizar el método de Resistencia Ultima. En la década de 1960, diferentes países comienzan a utilizar el método de Estados Límites Entre los principales investigadores del concreto reforzado puede mencionarse a Wayss, Koonen, Bach, Eaperger Graft, Salinger etc. en Alemania; Caignet, Considere, Hennebigue y Freysinet en Francia; Rivera Pena, Torroja en España; Talbot, Witney, Abrans, Hollisten, Lin en los Estados Unidos de América; Belieliubsky, Abramov, Loites, Vlasov, Beliaiev y Murashov en Rusia. En Colombia, en la década pasada se aprobó el Reglamento de Construcciones Sismorresistente NSR-98 que reguló el diseño del Concreto Estructural en el país y en la actualidad está en vigor el Reglamento Colombiano de Construcción Sismo Resistente NSR-10. El Instituto Colombiano de Normas Técnicas y Certificación (ICONTEC) ha editado una gran cantidad de Normas que regulan la elaboración y calidad de los materiales. En Colombia se han realizado grandes obras de Concreto Estructural, entre las que se encuentran: Centro Administrativo Municipal (CAM) en Armenia, Quindío Viaducto en Pereira Torre Corpatria (Bogotá) Edificio Coltager (Medellín) Torre Las Américas (Cali) I.4 VENTAJAS E INCONVENIENTES DEL CONCRETO Este material tiene las siguientes ventajas, entre ellas: -Es refractario -Puede adaptar cualquier forma -Puede trasladarse a cualquier lugar -Puede prefabricarse -Su resistencia al intemperismo es notable -Su gasto de mantenimiento es bajo -Tiene acción monolítica -Absorbe las vibraciones y oscilaciones -Tiene una relativa alta resistencia a compresión Entre sus inconvenientes están: -Su gran peso -Su baja resistencia a la tracción -El tiempo que tarda en adquirir su resistencia útil -La dificultad que ofrece al realizarse ampliaciones I.5 EJEMPLOS PROPUESTOS I.5.1 Por qué el concreto resiste bien las fuerzas de compresión? I.5.2 Cuando el trabajo de conjunto del concreto y el refuerzo es real? I.5.3 Si la temperatura varía hasta 100°C qué importancia tiene en concreto reforzado? I.5.4 Cuál son las ventajas y desventajas del concreto reforzado?

CAPÍTULO II CONCRETO

II.1 COMPONENTES DEL CONCRETO El concreto es el producto resultante de la mezcla en proporciones adecuadas de áridos gruesos, áridos finos, aglomerantes (cemento), agua y a veces aditivos; los cuales sufren procesos de fraguado y endurecimiento que lo convierte, después de cierto tiempo, en un sólido de características pétrea. Los agregados de peso normal deben cumplir con la norma NTC 174 (ASTM C33) Los agregados livianos deben cumplir la norma NTC 4045 (ASTM C330) Se permite el uso de agregados que han demostrado a través de ensayos o por experiencias prácticas que producen concreto de resistencia y durabilidad adecuada, siempre y cuando aprobados por el Supervisor Técnico II.2 Tamaño máximo de los áridos gruesos (agregados) (C.3.3) El tamaño máximo nominal de los áridos no debe ser mayor que: a) 1 / 5 de la dimensión menor entre los lados de las formaletas b) 1 / 3 del espesor de las losas c) 3 / 4 del espaciamiento libre entre las barras o alambres individuales del refuerzo, paquetes de barras o de los tendones o ductos del Presforzado Pueden obviarse estas limitaciones si, a juicio del Supervisor Técnico, los métodos de compactación y la manejabilidad son tales que el concreto pueda ser colocado sin que se produzcan hormigueros, vacíos o segregación de la mezcla II.3 MATERIALES CEMENTANTES (C.3.2) El Cemento Portland es el aglomerante más utilizado en el Concreto Estructural El Cemento Portland se define como una mezcla de clinker sometida a una molturación hasta darle una finura conveniente y añadiendo una pequeña cantidad de yeso. Se denomina clinker al producto formado por silicato y aluminatos de calcio, fundamentalmente obtenidos al calcinar materias calizas y arcillosas hasta la fusión parcial. Además, existen otros tipos de cementos, entre ellos, los siderúrgicos o de escorias, los aluminosos o fundidos, los puzolámicos, etc. Los materiales cementantes deben cumplir con las siguientes normas: a) Cementos fabricados bajo las Normas NTC 121 y NTC 321 y ASTM C150 b) Cementos hidráulicos adicionales fabricados bajo la norma ASTM C595, excluyéndose los tipos IS (≥70) ya que no pueden ser empleados como constituyentes cementantes principales en el concreto estructural c) Cemento hidráulico expansivo fabricado bajo la norma NTC 4578 (ASTM C845) d) Cemento hidráulico fabricado bajo la norma ASTM C1157 e) Ceniza volante, puzolana natural y materiales calcinados que cumple la norma NTC 3493 (ASTM 618) f) Escoria granulada molida de alto horno que cumple la norma NTC 4018 (ASTM C989) g) Humo de sílice que cumple la norma NTC 4637 (ASTM C1240) h) Cemento blanco que cumple la norma NTC 1362 i) Se prohíbe el uso de los cementos denominados de mampostería en la fabricación de concreto II.4 AGUA (C.3.4) El agua empleada en el mezclado del concreto debe cumplir con las disposiciones de la norma NTC 3459 o de la norma ASTM C1602M cuando sean menos exigentes que los de la norma los NTC 3459 El agua de mezclado para concreto presforzado o para concreto que contenga elementos de aluminio embebidos, incluyendo la parte de agua del agua de mezclado con la que contribuye la humedad libre de los agregados, no debe contener cantidades perjudiciales de iones cloruros El agua es un componente importante en la elaboración del concreto En general se puede utilizar para el amasado como para el curado del concreto, todas las aguas de acueductos y las de cualquier fuente de abastecimiento que estén sancionadas por la práctica aceptable. Al momento de utilizarlas, las aguas no deben estar contaminadas con arcillas o grasas (lubricantes, petróleo, etc.). Cuando no se poseen antecedentes de su utilización o en caso de duda, debe analizarse las aguas que se van a utilizar en el concreto, aceptándose las que cumplan con las siguientes condiciones: 19

Que la dosificación está basada en mezclas de concreto que se utilicen agua de la misma fuente Que los cubos para ensayos de morteros hechos con agua potable de mezcla, tengan resistencias a la compresión a los 7 y 28 días de edad, iguales o mayores al 90% de las resistencias a la compresión de probetas similares hechas con agua potable. La comparación de los ensayos de resistencia debe hacerse sobre métodos idénticos, con excepción del tipo de agua empleada en la muestra, preparados y ensayados de acuerdo con la norma NTC 220 (ASTM C 109) -Ph mayor de 5 y menor de 8. -Residuo seco menor de 2 g/litro -Materia orgánica expresada en oxigeno consumido: 0.03 g/l -Sustancias soluble menor de 35 g/l -Cloruro de sodio menor de 35 g/l -Sulfato (S03) menor de 0.3 g/l Aceites y grasas menor de 15 g/l Hidratos de carbono: exenta Azúcar: exenta No se utilizarán para el amasado y el curado, las aguas negras y las estancadas de zonas pantanosas II.5 ADITIVOS (C.3.6) Muy a menudo, en lugar de utilizarse un cemento especial, se pueden modificar algunas de las propiedades del cemento Portland mediante el uso de un aditivo adecuado. Los aditivos son productos simples o compuestos pulverizados, en suspensión o disuelto en agua, destinado a mejorar, reforzar o disminuir ciertas cualidades esenciales del Concreto, como son: -Plasticidad -Laborabilidad -Fluidez -Impermeabilidad -Tiempo de fraguado -Contracción -Expansión -Resistencias a aguas agresivas -Elaboración de hormigones ligeros -Aumento de la resistencia, etc. Hay gran número de productos, pero una característica importante de los aditivos se basa en la experiencia y pruebas Los aditivos se pueden clasificar en: -Reductor de agua en la mezcla -Retardadores -Aceleradores -Reductores Sin embargo, desde el punto de vista comercial, los fabricantes de estos productos, los clasifican bajo los siguientes nombres: -Plastificantes -Retardador de fraguado -Incorporado de aire -Plastificante-retardador de fraguado -Plastificante-retardador-incorporador de aire -Plastificante-acelerador de fraguado -Súper plastificante Los plastificantes como su nombre lo indica, tienen por objeto dar plasticidad al concreto, evitando todos los inconvenientes señalados anteriormente. La mayoría de estos plastificantes permiten reducir entre un 8% a un 12% el agua a usar en el amasado. Los aceleradores de fraguado tienen como objetivo principal el endurecimiento rápido del concreto, para facilitar entre otros aspectos, ejecutar trabajos en un mínimo de tiempo o de forma urgente, reducir el tiempo de encofrado o el uso de moldes de particular importancia en plantas de prefabricados. Los aditivos que se utilicen, deben someterse a la aprobación previa del Supervisor Técnico Debe demostrarse que los aditivos a utilizar durante la construcción de la obra son capaces de mantener esencialmente la misma composición y comportamiento que mostraron para establecer la dosificación del concreto

a) Los aditivos para reducción de agua y modificación del tiempo fraguado deben cumplir con la norma NTC 1299 (ASTM C494M). Los aditivos para producir concreto fluido deben cumplir la norma NTC 4023 (ASTM C1017M) b) Los aditivos incorporadores de aire deben cumplir con la norma NTC 3502 (ASTM C260) Los aditivos que se utilicen en el concreto y que no cumplan con a) y b) anteriores deben someterse a la aprobación previa del Supervisor Técnico El cloruro de calcio o los aditivos que contengan cloruros que no provengan de impurezas de los componentes del aditivo, no deben emplearse en concreto presforzado, en concreto que contengan aluminio embebido o en concreto construidos en encofrados permanentes de acero galvanizado Los aditivos empleados en la fabricación de concreto que contengan cementos expansivos deben cumplir NTC 4578 (ASTM C845) deben ser compatibles con el cemento y no producir efectos nocivos deben ser compatibles con el cemento y no deben producir efectos perjudiciales II.6 ALMACENAMIENTO DE LOS MATERIALES (C.3.7) Los materiales cementantes y los agregados deben almacenarse de tal manera que se prevenga su deterioro o la contaminación con materiales extraños En la fabricación del concreto no pueden utilizarse materiales que se hayan deteriorado o se hayan contaminado II.7 REQUISITOS DE DURABILIDAD, CALIDAD, MEZCLADO Y COLOCACIÓN DEL CONCRETO II.7.1 Categorías y Clases de exposición (Tabla C.4.2.1) La clasificación de Categorías y Clases de exposición que hace el Reglamento es la siguiente: Categoría Severidad Clase Condición No es aplicable F0 Concreto no expuesto a ciclos de congelamiento y deshielo F Moderada F1 Concreto expuesto a ciclos de congelamiento y Congelamiento deshielo y exposición ocasional a la humedad y deshielo Severa F2 Concreto expuesto a ciclos de congelamiento y deshielo y en contacto continuo con la humedad Muy severa F3 Concreto expuesto a ciclos de congelamiento y deshielo que estará en contacto continuo con la humedad y expuesto a productos químicos descongelantes ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ --------Sulfatos solubles en agua (SO4) en Sulfato (SO4) en el suelo, % en disuelto en agua, masa ppm S No aplicable S0 SO4 < 0.1 SO4 < 150 Sulfato Moderada S1 0.1 ≤ SO4 ≤ 0.20 150 ≤ SO4 < 1500 agua marina Severa S2 0.20 < SO4 1500 ≤ SO4 ≤ 10000 Muy severa S3 SO4 > 2.00 SO4 > 10000 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------P No aplicable P0 En contacto con el agua donde no se requiere baja permeabilidad Requiere Requerida P1 En contacto con el agua donde se requiere baja baja permeabilidad permeabilidad

C Protección del refuerzo para la corrosión

No aplicable Moderada Severa

C0 C1 C2

Concreto seco o protegido contra la humedad Concreto expuesto a la humedad, pero no a una fuente externa de cloruros Concreto expuesto a la humedad y una fuente externa de cloruros proveniente de productos químicos descongelantes, sal, agua salobre, agua de mar o salpicaduras del mismo origen

*El porcentaje en masa de sulfato en el suelo debe determinarse por medio de la norma ASTMC1580 La concentración de sulfatos disueltos en agua en partes por millón debe determinarse por medio de la norma ASTM D516 o la norma ASTM D4130 II.7.2 Requisitos para mezclas del concreto (C.4.3) Según a las clases de exposición asignadas en la Tabla anterior, las mezclas de los concretos deben cumplir con los requisitos de la Tabla II.8.7.2 Cuando a un elemento de concreto estructural se la ha asignado más de una clase de exposición, se le aplica el requisito más restrictivo Tabla II.7.2 Tabla (C.4.3.1) Requisitos para el concreto según la clase de exposición Clase de exposición

Rela a/mc a/mc, máx ±

fc’ min MPa

Requisitos mínimos adicionales Contenido de aire

F0 F1 F2 F3

N/A 0.45 0.45 0.45

17 31 31 31

N/A

0.50

0.45

N/A

Sin Sin RestinRestrinción en ción en en el tipo el tipo IP (MS), MS IS (<70) (MS) 31 Va IP(HS), HS IP(<70) (HS) 31 V IP(HS) y HS y Puzolanas Puzolanas o Puzonalas o o escorias** escorias** escorias** o IS(<70) (HS) y Puzolanas o escorias++ Ninguna

0.50

Ninguna

17 17 35

Contenido máximo de iones de cloruro (CI) soluble en agua en el concreto, porcentaje por peso de cemento Concreto Concreto reforzado Presforzado 1.00 0.06 0.30 0.06 0.45 0.06

C0 C1 C2

N/A N/A 0.40

N/A Tabla II.8.3 Tabla II.8.3 Tabla II.8.3 Tipos de material cementante+ ASTM ASTM ASTM C150 C595 C1157

Límites de los cementantes N/A N/A N/A Tabla II. 8.4 Aditivo cloruro de calcio

Sin Restrinción en el tipo 28 11+ a

Sin Restricción

Sin restricción

No se permite

Requisitos relacionados Ninguno Ninguno

*Se permiten combinaciones alternativas de materiales cementantes diferentes a los materiales de la Tabla siempre que sean ensayados para comprobar la resistencia a los sulfatos y debe cumplir los criterios de Materiales Cementantes Alternativos para Exposición a Sulfatos +Para exposición a agua marina, se permiten otros tipos de cemento Portland con contenido de hasta 10% de aluminato de tricálcico (C3A) si la relación a/mc no excede de 0.40 a Se permiten otros tipos de cemento como el tipo III o tipo I en exposiciones clase S1 ó S2 si el contenido de C3A es menor al 8 ó 5 por ciento, respectivamente ++La cantidad de la fuente de puzolana o escoria que se debe usar no debe ser inferior a la cantidad que haya sido determinada por experiencia a mejorar la resistencia a sulfatos cuando se utiliza en Concreto que contienen cemento tipo V. De manera alternativa, la cantidad de fuente específica de puzolana o escoria que se debe utilizar no debe ser menor a la cantidad ensayada según NTC 3330(ASTM C1012) y debe cumplir con los requisitos de Materiales Cementantes Alternativos para Exposición a sulfatos 11+El contenido de iones cloruros solubles en agua provenientes de los ingredientes incluyendo el agua, agregados, materiales cementantes t aditivos se la mezcla de Concreto, debe determinarse según los requisitos de la NTC4049 (ASTM C1218M) a la edades que van de 28 a 42 días II.7.3 Requisitos adicionales para exposición a congelamiento y deshielo (C4.4) Los hormigones de peso normal y liviano expuesto a clase de exposición F1, F2 o F3 deben tener aire incorporado, con el contenido en la Tabla II.8.3 La tolerancia en el contenido de aire incorporado debe ser de ±1.5%. Para fc’ mayor de 35 MPa se puede reducir el aire incorporado en la Tabla II.8.3 en 1% Tabla II.7.3 Tabla (C.4.4.1) CONTENIDO TOTAL DE AIRE PARA CONCRETO CON EXPUESTO A CICLOS DE CONGELAMIENTO Y DESHIELO Tamaño nominal máximo del Contenido de aire, porcentaje agregado, mm(Nota 1) Exposición Clase F1 Exposición Clases F2 y F3 9.5 6.0% 7.5% 12.5 5.5% 7.0% 19.0 5.0% 6.0% 25.0 4.5% 6.0% 37.5 4.5% 5.5% 50.0+ 4.0% 5.0% 75.0+ 3.5% 4.5 % Nota 1- Véase la Norma NTC 174 (ASTM C33) para la tolerancia en el tamaño nominal máximo de los agregados +Estos contenidos de aire se aplican a la mezcla total. Al ensayar estos hormigones, sin embargo, se retiran las partículas de agregados mayores de 40 mm sacándolas mediante tamizados, y se determina el contenido de aire en la fracción tamizada (la tolerancia en el contenido de aire incorporado, se aplica a este valor). El contenido de aire de la mezcla total se calcula a partir del valor determinado en la fracción cribada que pasa el tamiz 40 mm, indicado en la NTC 1032 (ASTM C231) II.7.4 La cantidad de puzolana, incluida la ceniza volante, humo de sílice y escoria en el Concreto para exposición F3 no debe exceder los límites establecido en la Tabla II.8.4 Tabla II.7.4 (Tabla C.4.4.2) Requisitos para concreto sometido a clase de exposición F3 Material cementante

Porcentaje máximo sobre el total de materiales cementantes en peso+ 25

Cenizas volantes u otras puzolanas que cumplen NTC 3493 (ASTM C618) Escorias que cumple NTC4018 (ASTM C989 50 Humo de sílice que cumple NTC 4637 (ASTM C1240) 10 Total de cenizas volantes u otras puzolanas, escorias y humo 50* de sílice Total de cenizas volantes u otras puzolanas y humo de sílice 35^ +El total de materiales cementantes también incluye cementos ASTM C150, ASTM C595, NTC 4578 (ASTM C 845) y ASTM C1157. Los porcentajes máximos en laTabla anteriores incluyen: 23

a) Cenizas volantes u otras puzolanas presentes en cementos adicionales tipo IP, según ASTM (595 ó ASTM C1157 b) Escoria usada en la fabricación de cementos adicionales Tipo IS, según ASTM C595 y ASTM C157 c) Humo de sílice según NTC 4637 (ASTM C1240), presentes en cementos adicionales ^ Las cenizas volantes u otras puzolanas y el humo de sílice, no deben constituir más del 25% y 10%, respectivamente, del peso total de materiales cementantes II.7.5 Materiales cementantes alternativos para exposición a sulfatos (C.4.5) El Reglamento permite utilizar combinaciones alternativas para los materiales cementantes mencionado en la Tabla II.7.2, cuando se lleven a cabo ensayos de resistencia a los sulfatos y se cumplen los criterios de la Tabla II.7.5 Tabla II.7.5 (Tabla C4.5.1) Requisitos para establecer la conveniencia de las combinaciones de materiales cementantes expuestos a sulfatos solubles en agua Clase de exposición S1 S2 S3

Expansión máxima al ser ensayada usando NTC 3330 (ASTM C1012) A 6 meses A 12 meses A 18 meses 0.10% 0.05% 0.10% + 0.10%

+El límite de expansión a los 12 meses sólo se aplica cuando el límite a los 6 meses no es alcanzado II.7.6 Calidad, Mezclado y Colocación del Concreto (C.5) II.7.6.1 Generalidades (C.5.1) La dosificación del concreto es la determinación de las cantidad de material cementante, áridos gruesos, áridos finos, agua y de aditivos en algunos casos, que han de dar una mezcla que cumplan con las condiciones solicitadas del concreto, tanto en su estado fresco como en su estado endurecido. El concreto debe obtenerse con el máximo de ahorro de materiales. La dosificación correcta es una de las tareas más importantes en la producción del concreto, por lo cual se recomienda la utilización de un método convenientemente ensayado. Un factor importante es la relación agua-material cementante (a/mc), que es la relación en peso, de la cantidad de agua con respecto a la del material cementante en la unidad de volumen de la mezcla. La relación (a/mc) para la combinación química necesaria es de aproximadamente de 0.25, pero debido a lograr la suficiente movilidad y laboriosidad de la mezcla del concreto, la cantidad de agua se toma con cierto exceso. Las mezclas sin utilizar vibradores poseen una (a/mc) de aproximadamente de 0.5-0.6 y las secas utilizando vibradores de 0.3-0.4 El concreto debe dosificarse con el fin de obtener una resistencia promedio a la compresión fc’ como lo señala el inciso II.8.6.2 y al mismo tiempo satisfacer los criterios de durabilidad del inciso anterior. El concreto debe producirse minimizando la frecuencia de resultados con resistencia por debajo del valor nominal para el Concreto fc’, como lo exige el epígrafe II.7.6.3.7.3 El Reglamento señala que para Concreto Estructural y construido según el Reglamento el valor de fc’ no puede ser menor de 17 MPa Los valores exigidos para fc’ deben basarse en ensayos sobre cilindros fabricados y probados de acuerdo con lo establecido en el epígrafe II.7.6.3.7 A menos que se especifique lo contrario, el fc’ se debe obtener por medios de ensayos a los 28 días y el valor debe corresponder al promedio de los resultados obtenidos del mismo concreto y ensayados el mismo día. Si se especifica una edad diferente de 28 días para la determinación del fc’, esta edad debe estar claramente marcada en los planos y especificaciones del proyecto La relación entre la resistencia del concreto a una determinada edad y su resistencia a los 28 días, se puede tomar aproximadamente según la siguiente Tabla Tiempo 7 días 14 días 28 días 90 días 6 meses 1 año 2 años 5 años fc´(t) / fc´28 0.67 0.86 1.0 1.17 1.23 1.27 1.31 1.35 En aquellos casos en los cuales se requiere el uso de la resistencia a tracción por hendimiento del concreto deben realizarse ensayos de laboratorios de acuerdo con NTC 4045 (ASTM C 330) para establecer un valor de fct correspondiente a fc’ 24

Los ensayos de resistencia a la tracción por hendimiento no deben emplearse como base para la aceptación del concreto en obra II.7.6.2 Dosificación de las mezclas del concreto (C.5.2) La dosificación de los componentes del concreto debe hacerse para proporcionar: a) Manejabilidad y consistencia adecuadas para el concreto fluya fácilmente dentro de las formaletas y alrededor del refuerzo, en las condiciones de colocación que se utilicen, sin segra- ción ni exudación excesivas b) Resistencia a condiciones especiales de exposición, de conformidad al Inciso II. 7.1 a II.7.5 c) Cumplimiento de los requisitos de los ensayos de resistencia indicados en el II.8.6.3.6 Evaluación y aceptación del Concreto Cuando se usen diferentes materiales para diversas partes de una obra, cada combinación debe estudiarse separadamente II.7.6.3 Dosificación basada en experiencia en obras anteriores o mezclas de pruebas, o ambas (C.5.3) II.7.6.3.1 Desviación estándar (C.5.3.1) Cuando una instalación productora de concreto disponga de registros ensayados de menos de 24 meses de antigüedad debe calcularse su desviación estándar (Ss) de la muestra. La desviación estándar se debe calcular utilizando los registros de ensayos que cumplan las siguientes condiciones a) Represente los materiales, procedimientos de control de calidad y condiciones similares a las esperadas en la obra y las variaciones permitidas en los registros de ensayos de los materiales y sus proporciones no deben ser más restrictivas que las permitidas en la obra b) Representen un concreto producido para una resistencia o resistencias nominales fc’, que no difieran en más de 7 MPa (1000 psi) de la resistencia nominal especificada para la obra c) Consistan de por lo menos 30 ensayos consecutivos, o de dos grupos de ensayos consecutivos que sumen, en total al menos 30 ensayos como los define II.7.6.3.6.1.4, exceptuando lo indicado en II.8.6.3.1a La distribución teórica de los valores de la resistencia de los materiales obtenidos según los resultados de los ensayos se representa según la siguiente figura:

fc´

En el grafico se han indicados tres valores de la resistencia del material, para cuando un 16%, un 5% y un 1% de los valores de resistencia den por debajo de la resistencia especificada. También se indica el valor de la resistencia medía fm Las diferentes Normas toman el valor según el método de cálculo que utilicen. El Reglamento toma el 1%, por lo cual puede considerarse que no es necesario aplicar algún factor de disminución para el valor de fc’. El valor de 5%, lo utiliza la Instrucción española EHE y el Eurocode 2 y el 16% otras normas , por lo cual le introducen un factor de minoración a la resistencia obtenida La fórmula para determinar la desviación estándar es la siguiente: S = {[∑ (fci – fm) ^2] / (n-1)} ^1/2 II.8.6.3.1a fci- resistencia individual de un ensayo fm – resistencia medía de todos los ensayos n – número de ensayo Si se utilizan dos probetas por ensayo, la fórmula a utilizar es: S = { [(n1 – 1) (s1) ^2] + [(n2 – 1) (s2) ^2])] / (n1 + n2 – 2)} ^1/2 II.8.6.3.1b s1 y s2 – desviación estándar calculada de dos probetas por ensayo 1 y 2 respectivamente 25

n1 y n2 – número de ensayos en el registro de cada ensayo Coeficiente de modificación para la desviación estándar cuando hay disponibles menos de 30 ensayos (Tabla C.5.3.1.2) Números de ensayos (Nota 1) Coeficiente de modificación para la desviación estándar (Nota 2) Menos de 15 Usar la Tabla del inciso Tabla II 8.6.3.2b 15 1.16 20 1.08 25 1.03 30 o mas 1.00 NOTA 1. Se puede interpolar entre el número de ensayo NOTA 2. La desviación estándar modificada debe usarse para determinar la resistencia promedio requerida fcr’, que se utiliza en II. 8.2.3.2 II.7.6.3.1a Cuando la instalación productora de concreto no tenga registros de ensayos previos que cumplan los requisitos anteriores, pero tengan registros que contengan no más de 24 meses entre 15 y 29 ensayos consecutivos, la desviación estándar debe ser la desviación estándar calculada de los datos, multiplicada por el Coeficiente de Modificación dado en la Tabla anterior. Para poder aplicar este procedimiento se deben cumplir los requisitos a) y b) anteriores y los ensayos deben corresponde a un solo registro de ensayos consecutivos obtenidos en un periodo mayor de 45 días calendario Para tener el Coeficiente de Variación se utiliza la siguiente fórmula V = S / fm II.7.6.3.1c Cuando: V > 0.140 Control pobre V = 0.105 Control promedio V < 0.070 Control excelente II.7.6.3.2. Resistencia promedio requerida (C.5.3.2) La resistencia promedio requerida fcr’, en MPa que se utiliza para dosificar el concreto debe ser la mayor de las obtenidas por las siguientes ecuaciones, utilizando la desviación estándar S, obtenida según el inciso anterior Tabla II.7.6.3.2ª (Tabla C.5.3.2.1) fc’ < 35 MPa fcr’ = fc’ + 1.34 S MPa II.7.6.3.2 a fc’ < 5000 psi fcr’ = fc’ + 1.34 S (psi) fcr’ = fc’ + 2.33 S – 3.5 (MPa) II.7.6.3. 2.b fcr’ = fc’ + 2.33 S – 500 (psi) fc’ > 35 MPa fc’ > 5000psi

fcr’ = fc’ + 1.34 S MPa II..6.3. 2.c fcr’ = fc’ + 1.34 S (psi) fcr’ = 0.90 fc’ + 2.33 S MPa II.8.6.3. 2.d fcr’ = 0.90 fc’ + 2.33 S (psi) La fórmula II.7.6.3.2a nos da la resistencia más baja para asegurar una probabilidad de 1 en 100 que el promedio de cualquier tres datos consecutivos de resistencia, no sea menor que fc’ La fórmula II.7.2.3.2b y II.7.6.3. 2.d asegura una probabilidad de 1 en 100 que ningún dato individual den una resistencia menor de 3.5 MPa (5000 psi) de la resistencia especificada fc’ Cuando la instalación productora de concreto no tenga registros de ensayos para calcular la desviación estándar como se explicó anteriormente, la resistencia promedio requerida fcr’ en MPa debe determinarse de la siguiente Tabla II 7.6.3.2b y la documentación de la resistencia promedio debe cumplir los requisitos del inciso II.7.6.3.3 Tabla II 7.7.3.2b (Tabla C.5.3.2.2) Resistencia promedio requerida a la compresión cuando no hay datos que permitan determinar la desviación estándar Resistencia nominal a la compresión fc’ en MPa Resistencia promedio requerida a la compresión (psi) fcr’ MPa (psi) Menor de 21 MPa ( 3000 psi) fc’ + 7 MPa (fc’ + 1000) De 21 MPa a 35 MPa (3000 psi) a (5000 psi) fc’ + 8.3 MPa ( fc’+ 1200) Más de 35 MPa (5000 psi) 1.1 fc’ + 5.0 MPa (1.1fc’ + 7000)

II.7.6.3.2 EJEMPLO Calcular la resistencia medía requerida fcr’ para obtener una mezcla de concreto, si la resistencia fc’ es 30 MPa (4266 psi) para: a) la desviación estándar es 3.0 MPa (426.6 psi) para más de 30 ensayos consecutivos b) la desviación estándar es 2.8 MPa (398.16 psi) para 20 ensayos consecutivos c) no hay registros de la desviación estándar Solución: a) Utilizando fcr’ = fc’ + 1.34 S II. 7.2.3.2 a fcr’ = 30 + 1.34 x 3 = 34.02 MPa (4837.64 psi) Utilizando fcr’ = fc’ + 2.33 S – 3.5 (MPa) II. 8.2.3.2 fcr’ = 30 + 2.33 x 3 – 3.5 = 33.49 MPa (4762.28 psi) Por lo tanto fcr’ = 34.02 MPa (4837.64 (psi) b) Como hay menos de 30 ensayos se debe modificar la desviación estándar. De la Tabla del inciso anterior, el Coeficiente de modificación es 1.08, entonces S’ = 1.08 x 2.8 = 3.024 MPa (430.01 psi) Utilizando fcr’ = fc’ + 1.34 S’ 8.2.3.2 a fcr’ = 30 + 1.34 x 3.024 = 34.05 MPa (4842 psi) Utilizando fcr’ = fc’ + 2.33 S’ – 3.5 (MPa) 8.2.3.2 fcr’ = 30 + 2.33 x 3.024 – 3.5 = 33.54 MPa (4769.3 psi) Entonces fcr’ es 34.05 MPa (4842 psi) c) Como no hay registros de la desviación estándar y fc’ = 3.0 MPa (426.6 psi) de la Tabla anterior fcr’ = fc’ + 8.3 MPa = 30 + 8.5 = 38.3 MPa (5474.7 psi)

II.7.6.3.3. Documentación de la resistencia promedio a la compresión (C.5.3.3) La documentación que debe dejarse para demostrar que la dosificación propuesta producirá una resistencia a la compresión igual o mayor que la resistencia promedio a la compresión requerida fcr’ debe consistir en uno o más registros de ensayos de resistencia en obra o en mezclas Los registros de ensayos de resistencia en obra o las mezclas de prueba no pueden tener más de 24 meses de edad Cuando se utilicen registros de ensayos para demostrar que la dosificación propuesta producirá la resistencia promedio requerida fcr’, los registros deben ser representativos de materiales y condiciones similares a las que se esperan. Las variaciones permitidas en los materiales, las condiciones y las proporciones dentro de los registros de ensayos no deben haber sido más restrictivas que las permitidas en la obra propuesta. Con el fin de documentar la resistencia promedio esperada, pueden usarse registros de ensayos consistentes en menos de 30 pero no menos de 10 ensayos consecutivos, siempre y cuando hayan sido obtenidas en un periodo de observación mayor de 45 días. La dosificación requerida del Concreto puede obtenerse interpolando entre las resistencias y dosificaciones de dos o más registros de ensayos que cumplen con otros de esta sección. 1-Cuando no se disponga de un registro aceptable de ensayos de obras anteriores, la dosificación del concreto puede establecerse por medios de mezclas de prueba que cumplan las siguientes restricciones. a) Debe utilizarse la misma combinación de materiales que la utilizada en el trabajo propuesto b) Las mezclas de prueba con la dosificación y consistencia requeridas para el trabajo propuesto deben hacerse capaces de producir un rango de resistencias que cubra la resistencia promedio requerida fcr’ y cubra los requisitos de durabilidad dentro del rango propuesto para el trabajo c) Las mezclas de prueba debe diseñarse de tal manera que su asentamiento este dentro del rango propuesto para el trabajo y el contenido de aire debe estar dentro la tolerancia para el trabajo propuesto, cuando se trate de concreto con aire incorporado d) Para cada mezcla de prueba, deben producirse al menos dos cilindro de 150 mm x 300 mm (6” x 12“) o tres cilindros de 100 mm x 200 mm (4” x 8”). Estos cilindros deben fabricarse y curarse de acuerdo con la norma NTC 1377 (ASTM C192). Los cilindros deben ensayarse a los 28 días o la edad designada para la determinación de fc’ Los resultados de la resistencia a la edad requerida de la mezcla de prueba debe ser utilizada para la composición de la mezcla del concreto propuesta para el trabajo. La mezcla propuesta debe ser registrada como promedio de la resistencia requerida según II.8.6.3.2. Resistencia promedio requerida y debe satisfacer el requerimiento de durabilidad de II.7.6.3.4 Dosificación cuando no se cuenta con experiencia en obras o mezclas de prueba (C.5.4)

Si no se dispone de los datos que se exige en II.8.6.3 Dosificación basada en experiencia en obras anteriores o mezclas de pruebas, o ambas, la dosificación del concreto puede determinarse usando otra información o experiencias, siempre y cuando sea aprobada por el Supervisor Técnico. La resistencia promedio requerida fcr’, para el concreto producido con materiales similares a los que se propone utilizar, debe ser al menos 8.3 MPa o mayor que la resistencia especificada. Esta alternativa no debe utilizarse para dosificar hormigones con una resistencia mayor de 35 MPa El concreto dosificado utilizando este inciso debe cumplir los requisitos de durabilidad y el criterio de resistencia a la compresión II.7.6.3.5 Reducción de la resistencia promedio (C.5.5) En la medida que se tengan datos disponibles durante la construcción, es posible disminuir la cantidad por la cual fcr’ debe exceder a fc’ siempre y cuando se cumplan los siguientes requisitos: : a) Se dispone de más de 30 ensayos y el promedio de los resultados de los ensayos excede el requerido por II.7.6.3.2, usando la desviación estándar calculada de acuerdo con II.7.6.3.1 Desviación estándar, o b) Se dispongan de 15 a 29 ensayos y el promedio de los resultados de los ensayos excede el requisito por II.7.6.3.2. Resistencia promedio requerida usando la desviación estándar calculada y c) Se cumplan los requisitos para condiciones de exposición II.7.6.3.6 Evaluación y aceptación del concreto (C.5.6) El concreto debe ensayarse de acuerdo con los requisitos II.8.63.61 a II.8.6.3.9. El laboratorio que realice los ensayos de aceptación debe cumplir con la norma ASTM C1077. Los ensayos de concreto fresco realizados en la obra, la preparación de probetas que requieran de un curado bajo condiciones de obra, la preparación de la probeta que se vayan a ensayar en el laboratorio y el registro de la temperatura del concreto fresco mientras se preparan las probetas de resistencia deben ser realizado por técnicos calificados en ensayos de campo. Todos los ensayos de laboratorio deben ser realizados por técnicos de laboratorios calificados. Los informes de los ensayos de aceptación se deben distribuir al profesional facultado al supervisor técnico, al contratista, al productor del concreto, y cuando se requiera, al propietario, y a la autoridad competente II.7.6.3.6.1 Frecuencias de los ensayos (C.5.6) 1- Las muestras para las pruebas de resistencia correspondientes a cada clase de Concreto, deben estar conformadas por una pareja de cilindros tomados no menos de una vez por día, ni menos de una vez por cada 40 m^3 (150 yardas) de concreto o una vez por cada 200 m^2 (5000 pie^2)de área de losas o muros. Como mínimo debe tomarse una pareja de muestras de Concreto de columna por piso. De igual manera, como mínimo debe tomarse una pareja de muestras por cada 50 bachadas de cada clase de concreto 2- Cuando la cantidad de una clase de concreto sea menos de 10 m^3 ( 37.5 yardas), pueden suprimirse las pruebas de resistencia si, a juicio del Supervisor Técnico, existe suficiente evidencia de que la resistencia que se va a obtener es satisfactoria 3- Un ensayo de resistencia debe ser el resultado del promedio de resistencia de 2 cilindros de 150 mm x 300 mm (6” x 12”) o tres cilindros de 100 mm x 200 mm (4” x 8”) tomados de una misma mezcla y ensayados a los 28 días, o la edad especificada en caso de que sea diferente de 28 días para determinar fc’ II.7.6.3.7 Probetas curadas en forma estándar (C.5.6.3) 1- Para el ensayo de resistencia, las muestras se deben tomar de conformidad con la Norma NTC 454 (ASTM C172) 2- Los cilindros para el ensayo de resistencia, deben fabricarse y curarse de conformidad con la Norma NTC 550 (ASTM C31) y ensayarse según la Norma NTC 673 (ASTM C39). Los cilindros deben ser de 100 x 200 mm o de 150 x 300 mm 3- El nivel de resistencia para cada clase de concreto se considera satisfactorio si cumple simultáneamente los siguientes requisitos: a) Que el promedio aritmético de todos los conjuntos de tres resultados consecutivos de ensayos de resistencia, igualen o excedan el valor nominal especificado para fc’, y b) Que ningún resultado individual de los ensayos de resistencia, tengan una resistencia inferior de 3. 5 MPa (500 psi) para fc’ ≤ 35 MPa (5000 psi) o por más de 0.10 fc’, cuando fc’ es más de 35 MPa (5000 psi) 4- Si no se cumple cualquiera de los requisitos de 3, se deben tomar de inmediato las medidas necesarias para aumentar el promedio de los resultados de los siguientes ensayos de resistencia. 28

Además, cuando no se cumplan los requisitos de II.8.6.3.7b, deben cumplirse los requisito de II.7.6.3.9 Investigación de los resultados bajos en los ensayos de resistencia II.7.6.3.8 Ensayos de muestras curadas en obra (C.5.6.4) El Supervisor Técnico puede exigir el ensayo de resistencia en cilindros curados bajo condiciones de campo, con el objeto de comprobar la bondad del curado y de la protección del concreto en la estructura Los cilindros curados bajo condiciones de campo deben someterse al procedimiento indicado en la Norma NTC 550 (ASTM C31) Los cilindros que vayan a ser curados bajo condiciones de campo, deben moldearse al mismo tiempo y tomarse del mismo material que se emplee para moldear los cilindros curados en el laboratorio Los procedimientos de protección y curado del concreto deben mejorarse cuando la resistencia de los cilindros curados bajo condiciones de campo, ensayados a la misma edad de determinación del fc’, sea menor del 85% de la resistencia de los cilindros compañeros curados en el laboratorio. La limitación del 85% no hay necesidad de aplicarla si la resistencia de los cilindros curados bajo condiciones de campo excede fc’, en más de 3. 5 MPa (500 psi)

II.7.6.3.9 Investigación de los resultados con baja resistencia (G.5.6.5) 1- Si cualquier ensayo de resistencia (promedio de dos cilindros) en cilindros curados en el laboratorio, resulta ser menor en 3. 5 MPa (500 psi) que fc’ (véase 8.2.7b). o si los ensayos de cilindros curados bajo condiciones de campo indican deficiencias en la protección o el curado del Concreto (Véase II.7.6.3.8) Ensayos de muestras curadas en obra deben tomarse las medidas necesarias para asegurar que la capacidad de carga de la estructura no se haya comprometido 2- En caso de confirmarse que el concreto es de baja resistencia, y si los cálculos indican que la capacidad de soportar carga de la estructura se ha reducido significativamente, se puede apelar al ensayo sobre núcleos extraídos de la zona en duda, de acuerdo con la Norma NTC 3658 (ASTM C42). En tal caso, deben tomarse tres núcleos por cada ensayo de resistencia que haya sido inferior de 3.5 MPa (500 psi) o más, a fc 3-Los núcleos deben ser extraídos, la humedad debe preservarse colocando los núcleos dentro de recipientes o bolsas herméticas, deben ser transportados al laboratorio y ensayarse de acuerdo con la NTC 3658 (ASTM C 42) Los núcleos deben ser ensayados no antes de las 48 horas y no más tarde de los 7 días de extraídos, a menos que el profesional facultado para diseñar la pruebe algo diferente. Quien especifique los ensayos relacionados en la NTC 3658 (ASTM C42M) debe ser un profesional facultado para diseñar 4-El concreto de la zona representada por núcleos es estructuralmente adecuado, si el promedio de los 3 núcleos resulta por lo menos es igual al 85% de fc’’, y si ningún núcleo presenta una resistencia menor del 75% de fc’. Para comprobar la precisión del ensayo, se pueden volver a tomar y ensayar núcleos en los lugares que representen resultados dudosos 5-Si los criterios del inciso 4 no se cumplen, y si la seguridad estructural permanece en duda el Supervisor Técnico puede ordenar que se hagan pruebas de carga como las descripta en el Capítulo de Pruebas de Carga, para la parte dudosa de la estructura, o tomar otra medida adecuada a las circunstancias. II.7.6.3.10 Preparación del equipo y el lugar de colocación del concreto (C.5.7) Los preparativos anteriores a la colocación del concreto deben incluir los siguientes puntos: a) Todo el equipo para el mezclado y transporte del concreto debe estar limpio b) Todos los residuos deben ser retirados de los lugares que ocupara el concreto c) La parte interna de las formaletas debe estar adecuadamente protegida d) Las unidades de mampostería que van a estar en contacto con el concreto, deben estar humedecidas e) El refuerzo debe estar completamente libre de recubrimientos perjudiciales f) El sitio de colocación del concreto debe estar libre de agua antes de depositar el concreto, excepto cuando se emplee un sistema de vaciado por medio de “tremie” u otro sistema aprobado por el Supervisor Técnico g) Las superficies de concreto endurecido sobre las cuales se vaya a colocar el concreto adicional, deben estar libres de lechada o de cualquier material perjudicial o no deseable II.7.6.3.11 Mezclado del Concreto (C.5.8) La duración del mezclado debe ser la necesaria para conseguir una mezcla íntima y homogénea de los distintos componentes; la mezcladora debe descargarse completamente antes de volverla a usar

El concreto premezclado debe cumplir con la Normas NTC 3318 (ASTM C94) o NTC 4027 (ASTMC686) Para la preparación del concreto mezclado en obra, debe observarse lo siguiente: a) Los hormigones deben prepararse en mezcladora y esta debe ser aprobada por el Supervisor Técnico b) La mezcladora debe ser operada a la velocidad recomendada por el fabricante c) El mezclado debe continuarse por lo menos durante un minuto y medio después de que todos los materiales estén en la mezcladora, a menos que con un tiempo menor se cumplan los requisitos de uniformidad de la Norma NTC 3318 (ASTM C94) d) El manejo de los materiales, su colocación en la mezcladora y el mezclado deben hacerse de acuerdo con los requisitos correspondientes de la Norma NTC 3318 (ASTM C94) e) Debe mantenerse un registro detallado que permita identificar: - El número de tandas de mezcla producidas - La dosificación de los materiales usados - La localización aproximada dentro de la estructura - Fecha y hora del mezclado como de su colocación II.7.6.3.12 Transporte del Concreto (C.5.9) El transporte del concreto desde la mezcladora hasta el lugar final de colocación debe hacerse por procedimientos que eviten la segregación o pérdida de materiales El equipo de transporte debe ser adecuado para suministra concreto al sitio de vaciado, sin segregación ni interrupciones excesivas que ocasionen perdida de manejabilidad entre mezcladas sucesivas II.7.6.3.13 Colocación del Concreto (C.5.10) 1- Para evitar la segregación debida a manipulación excesiva, el concreto debe ser colocado en un sitio tan próximo a su posición final como sea posible 2- La velocidad de colocación debe ser tal que permita al concreto permanecer en estado plástico y fluir fácilmente en los espacios entre las barras del refuerzo 3- El concreto que haya endurecido parcialmente o se encuentre contaminado por materiales extraños, no puede colocarse en la estructura 4- No debe utilizarse concreto al que después de preparado se le adicione agua para mejorar su manejabilidad, ni que el que haya sido mezclado nuevamente después de su fraguado inicial, excepto cuando lo permita el Supervisor Técnico 5- Una vez comenzada la colocación del Concreto, esta debe efectuarse de una manera continua hasta que se haya colocado completamente el panel o sección, hasta sus límites o juntas de contracción predeterminadas, con excepción de lo especificado en el epígrafe Juntas de Construcción del Capítulo – Formaletas, Tuberías Embebidas y Juntas de Construcción 6- La superficie superior del concreto sobre lo cual se colocara más Concreto debe ser dejada a nivel 7- Las juntas de construcción, cuando sean necesarias, deben realizarse de acuerdo con Juntas de Construcción del Capítulo – Formaletas, Tuberías Embebidas y Juntas de Construcción 8- Todo el concreto debe compactarse cuidadosamente durante su colocación, utilizando medios que permitan su adecuada colocación alrededor del refuerzo, de los elementos embebidos y de las esquinas de la formaleta 9- Cuando se trate de concreto masivo deben tomarse las precauciones apropiadas para evitar un aumento excesivo de la temperatura del Concreto al fraguar II.7.6.3.14 Curado del Concreto (C.5.11) 1- El concreto, diferente del de alta resistencia temprana, debe mantenerse a una temperatura por encima de los 10° C y húmedo para permitir su hidratación por lo menos durante los primeros 7 días contados a partir de su vaciado, excepto para concreto de alta resistencia El concreto de alta resistencia temprana debe mantenerse a una temperatura por encima de los 10° C y en condiciones de humedad por lo menos durante los primeros 3 días contados a partir de su vaciado, excepto cuando se cure de acuerdo inciso 2- Curado acelerado 2- Curado acelerado a) Para acelerar el aumento de resistencia y reducir el tiempo de fraguado, puede emplearse el curado con vapor a alta presión atmosférica, calor y humedad, o cualquier otro proceso previamente aceptado b) El curado acelerado debe proporcionar, en la etapa de carga bajo consideración, una resistencia del Concreto a la compresión, por lo menos igual a la resistencia de diseño requerida para la misma etapa de carga 30

El proceso de curado acelerado debe proporcionarle al concreto una durabilidad al menos equivalente a la esperada utilizando los métodos de curado en II.8.6.3.14

Cuando lo requiera el profesional facultado para diseñar, deben realizarse ensayos complementarios de resistencia de acuerdo con II.7.6.3.8 Ensayos de muestras curadas en obra, para asegurar que el curado sea satisfactorio

II.7.6.3.15 Requisitos para clima frío (C.5.12) En zonas sometidas a temperatura muy baja, menores de 5° C es necesario tener el equipo adecuado para calentar los materiales utilizados en la elaboración del concreto y para protegerlo del riesgo de congelación 1- Los materiales constituyentes del concreto , el refuerzo, la formaleta, los rellenos y el suelo, que van a estar en contacto con el concreto, deben estar libres de escarcha 2- No deben utilizarse materiales congelada o que tengan hielo II.7.6.3.16 Requisitos para clima cálido (C.5.13) En clima cálido, es necesario dar atención adecuada a los materiales, a los métodos de producción, manipulación, al vaciado, a la protección y al curado, para evitar temperaturas excesivas en el concreto o la correspondiente evaporación de agua, que pudieran perjudicar la resistencia requerida o las condiciones de servicio del elemento o estructura II.8 NO UTILIZADO II.9. PROPIEDADES DEL CONCRETO ENDURECIDO II.9.1 Resistencia a compresión La resistencia del concreto a compresión depende de las propiedades de los agregados, la forma del curado, del tiempo que pase después de producido, la compactación y otros factores. Se pueden obtener resistencia a la compresión de hasta 140 MPa. Pero normalmente se utilizan con una resistencia de 15 MPa a 60 MPa Para conocer la resistencia a compresión del concreto en Colombia y otros países se utilizan unas probetas cilíndricas estándar de 6” de diámetro y 12” de largo (15 cm x 30 cm) ensayadas a los 28 días de edad. También, en otros países se utiliza otro tipo de probetas Esas probetas se ensayan aplicándole una carga axial que se va amentando poco a poco hasta llegar a la rotura de la probeta, con lo cual se obtiene un gráfico esfuerzo-deformación unitario. En la siguiente figura se muestra este grafico típico La primera porción hasta el 40% de la resistencia ultima fc’, es casi lineal. Al 70% de fc’ aumenta rápidamente la deformación unitaria hasta que aparecen grietas visibles y la probeta falla Según el valor de la resistencia del concreto fc’, la forma del grafico varía, por lo cual no puede decirse que existe un solo gráfico para todo valor de fc’

fc’ Esfuerzo 70% fc’

x x

40% fc’

Deformación unitaria II.9.2 Resistencia a tracción La determinación del valor de la resistencia a tracción del concreto es más dificultosa. Existen varios métodos para obtenerlo, uno de los más utilizados es el método brasileño 31

La probeta se coloca horizontalmente en la máquina y se le somete a carga. La resistencia a tracción se puede obtener con la siguiente fórmula: ft’= 2 P / π D L II.9.2.1 P- carga total D- diámetro de la probeta cilíndrica L - longitud de la probeta cilíndrica Se puede considerar que el valor de ft’ esta entre estos valores: 0.1 fc’ < ft’ < 0.2 fc’ Para elementos sometidos a flexión es mejor utilizar el Módulo de Ruptura fr, que tiene un valor de fr = 0.62 √fc’ en MPa (7.5 √fc’ en psi) II.9.2.2 II.9.3 Resistencia a cortante Obtener la resistencia a cortante por medio experimental es muy dificultoso. Puede considerarse que varía entre 20% fc’ a 0.80% fc’, este último valor es cuando existe una fuerza de compresión. Muy raramente ocurre que un elemento este sometido a cortante solamente II.9.4 Módulo de elasticidad del concreto (C.8.5) Para el concreto de peso normal debe determinarse experimentalmente a partir de las curvas esfuerzodeformación obtenidas para un grupo representativo de cilindros estándar de concreto, como la pendiente de la línea trazada desde el origen hasta el punto de la curva esfuerzo-deformación correspondiente a un esfuerzo de 0.45 fc’ en compresión (módulo secante) , de acuerdo con la Norma NTC 4025 (ASTM C469). En caso de que no se disponga de este valor experimental, Ec = [(wc) ^1.5] 0.043fc’ en MPa, para concreto cuya masa unitaria varíe entre 1440 y 2560 kg/m^3, Para concreto de densidad normal Ec puede tomarse como 4700√fc’

σc 0.45 fc´

módulo tangente inicial módulo secante εc

II.9.4a Concreto liviano (C.8.6) Para el uso de concreto liviano, debe emplearse un factor de modificación λ como multiplicador de √fc´ en todas las ecuaciones y secciones y secciones aplicables del Reglamento donde λ = 0.85 para concreto liviano de arena de peso normal y 0.75 para los otros concretos de peso liviano. Se permite la interpolación entre esos valores con base a las fracciones volumétricas, cuando una porción de los agregados finos de peso liviano es reemplazada por agregados finos de peso normal. Se permite la interpolación lineal entre 0.85 y 1.0 para el concreto que contiene agregado fino de peso normal y una combinación de agregados grueso de peso normal y una combinación de agregados gruesos de peso normal y de peso liviano. Para el concreto de peso normal λ = 1.0. Si se especifica la resistencia promedio a la tracción por hendimiento del concreto liviano, fct, entonces λ = fct / (0.56 √fc) ≤ 1.0 II.9.5 Coeficiente de Polisón Debe determinarse por medio de ensayos de cilindros de concreto realizado de acuerdo con la Norma NTC 4025 (ASTM C469). En caso de que no se disponga del valor experimental puede utilizarse un valor de 0.20 II.9.6 Retracción del Concreto Cuando se amasa el concreto se introduce un exceso de agua para mejorar el amasado, esta agua no forma parte de la estructura cristalina del hormigón endurecido y sale al exterior, sino se mantiene en un 100% de humedad y el Concreto se retrae. Si está sumergido en agua entonces aumenta su volumen, lo cual se denomina entumecimiento La retracción se compone de:

retracción de secado (cd). Esta retracción se desarrolla lentamente, debido a que es debido a la migración del agua a través del Concreto

b) retracción autogenerada (ca). Se produce durante el endurecimiento y por ello se desarrolla en su mayor parte en los días posteriores al vaciado. Ella es una función lineal de la resistencia del concreto y tiene importancia especial cuando un concreto nuevo se vierte sobre concreto endurecido Los valores de retracción total (retracción de secado más retracción autogenerada) se puede tomar como

cs : cd + ca

II.9.6.3

cs – deformación unitaria total cd – deformación unitaria por retracción de secado II.9.7 Fluencia del concreto La fluencia del concreto es el aumento de las deformaciones relativas en el tiempo bajo la acción de cargas sostenidas Según Referencia 2, la deformación obtenida al aplicar un esfuerzo

σ1 es diferente según el tiempo de

aplicación de la carga. La deformación en el instante inicial es ε1, pero al dejar pasar varios días, manteniendo el mismo esfuerzo Fluencia

σ1se obtiene otra deformación diferente ε1´, ese proceso se denomina

Si mantenemos la deformación ε1, pasados unos fías, el esfuerzo disminuirá hasta un valor σ1´, ese proceso se le denomina Relajación deformación (bajo carga constante) período de carga C recuperación instantánea

fin de carga D recuperación diferida

B Fluemcia

deformación instantánea

deformación no recuperada

A 0

2 4 6 8 10 12 14 Figura II.9.7a. Ensayo de fluencia. Tipos de deformaciones

meses

Observando la Figura II.9.7a cuando aplicamos una carga constante a una probeta de concreto de 28 días de edad (punto A) se obtiene una deformación instantánea: AB, según avanza el tiempo, si se mantiene la carga, se observa que la deformación sigue creciendo, esa deformación adicional es la Fluencia(BC), en el instante C, se puede optar por continuar la carga y (se obtiene la deformación CF) o retirarla, si se elige esta opción, y se retira la carga en el punto C, se produce una recuperación instantánea CD y con el tiempo se produce una recuperación diferida DE y al final podemos ver que existe una deformación que no se recupera EF A la diferencia entre la deformación instantánea y la recuperación instantánea (AB – CD) se le denomina deformación remanente La Fluencia del Concreto depende de varios factores, siendo los más importantes, la humedad del ambiente, las dimensiones del elemento, la edad del concreto a que se aplica la carga por primera vez y la duración de esta, así como, composición del concreto 33

La fluencia puede ser expresada en término de la fluencia especificada δcu, que se define como la deformación unitaria dependiente del tiempo por esfuerzo Ccu = Ec δcu II.9.7.a El valor de δcu se puede obtener de la siguiente Tabla basada en los experimentos de la Universidad de Cornell Resistencia a compresión (MPa) δcu ( 10^-6) Ccu 21 145 3.1 28 116 2.9 41 80 2.4 55 58 2.0 Consideremos una columna de 0.5 m x 0.5 x 3.0 de altura. Concreto fc´ = 20 MPa Sometida a un esfuerzo de 1 MPa, después de varios años la fluencia final será: 1 x 145 x 10^-6 = 0.000145 II.9.8. Coeficiente de Dilatación Térmica del Concreto El Coeficiente de dilatación térmica medio del Concreto es 1.10^ (-5) 1/ C II.9.9 Resistencia del Concreto a la Fatiga. Como información al lector: Cuando el concreto es sometido a ciclos de cargas repetidas, su resistencia se reduce, por lo cual, es necesario conocer su valor para este tipo de carga. El valor se determina según la siguiente expresión: fcff = fc’/ cf II.9.9.1 fcff-Resistencia de cálculo a compresión del concreto sometido a la fatiga cf-Coeficiente de fatiga que se obtiene según la siguiente Tabla: kc 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1.30 1.23 1.19 1.14 1.09 1.05 1.05 cf Los valores intermedios pueden ser interpolados linealmente kc =min/max II.9.9.2 máx.- esfuerzo que se somete el concreto debido a la acción frecuentemente repetida de una carga mínima, no menos de 2 x 10^6 veces, siendo esta carga mínima la determinada por la acción de las cargas permanentes más la carga de uso temporal, afectada esta última por el Coeficiente de impacto min- esfuerzo que se somete el concreto por la acción de las cargas permanentes II.9.10 EJEMPLOS PROPUESTOS II.9.10.1 Cuales son los componentes del concreto? II.9.10.2 Que diámetro debe tener el agregado para ser considerado grueso? II.9.10.3 Entre las propiedades físicas de los áridos gruesos que más significativamente influyen el comportamiento final del concreto están? II.9.10.4 Que es el cemento y para que se utiliza en el concreto? II.9.10.5 Para que se utiliza el agua en la confección del cemento y todas las aguas sirven? II.9.10.6 Que son los aditivos y cuáles son? II.9.10.7 Cuales son las Categorías y Clases de exposición del concreto? II.9.10.8 Cuales son los Requisitos para el Concreto según la clase de exposición? II.9.10.9 Cual es menor fc´ que se debe utilizar en el concreto según el Reglamento? II.9.10.10 Que resistencia media fcm, resistencia media requerida fcr´ y cual es la fórmula para determinar la desviación estándar? II.9.10.11 Como se calcula la desviación estándar cuando la instalación productora de concreto tengan registros que contengan no más de 12 meses entre 15 y 29 ensayos consecutivos? II.9.10.12 Como se calcula la resistencia promedio requerida? II.9.10.13 Calcular la resistencia medía requerida fcr’ para obtener una mezcla de concreto, si la resistencia fc’ es 20 MPa: a) la desviación estándar es 2.0 MPa para más de 30 ensayos consecutivos b) la desviación estándar es 2.5 MPa para 20 ensayos consecutivos c) no hay registros de la desviación estándar II.9.10.14 De que depende resistencia a compresión del concreto? II.9.10.15 Hasta que valor de fc´ se puede obtener y que valores se utilizan? II.9.10.16 Que tipo de probetas se utiliza en Colombia para determinar la resistencia del concreto? II.9.10.17 Como se ensayan las probetas? II.9.10.18 Como es la primera porción hasta el 40% de la resistencia ultima fc’, y cómo se comporta después? 34

II.9.10.19 Como es el gráfico de la resistencia del concreto y como varía según la resistencia? II.9.10.20 Para elementos sometidos a flexión que valor se utiliza para ft´? II.9.10.21 Que valores se utiliza para el módulo de elasticidad del Concreto?

CAPÍTULO III REFUERZO

III.1. FUNCIONES DEL REFUERZO Las principales funciones del Refuerzo son tomar los esfuerzos de tracción en la zona traccionada del elemento y ayudar al concreto en la zona comprimida, además, absorber los esfuerzos producidos por la retracción del concreto, las variaciones de temperatura, repartir las cargas, conferir al Concreto cierta ductibilidad, repartir eventuales fisuras y limitar su abertura a los valores permitidos. Fundamentalmente el refuerzo que se utiliza es el acero, aunque se ha utilizado otros materiales, tales como fibra de vidrio, fibras de vegetales, etc. En este libro nos referiremos al ACERO. III.2. TIPOS DE REFUERZOS. Los refuerzos se clasifican en: No Presforzado y de Presforzado. El refuerzo no Presforzado es el que no está sometido a tensión previa y puede ser de acero natural o laminado en frío. Siendo el acero natural aquel que presenta en forma bien definida los puntos correspondientes al límite elástico y al escalón de relajamiento (punto de fluencia). El acero laminado en frío es aquel que no tiene bien definido un escalón de relajamiento. Su carácter mecánico básico es su límite elástico convencional para el 0.2% de su deformación remanente. No se permite la utilización de este tipo de acero, ni el trefilado, a menos que esté explícitamente permitido por la Norma bajo la cual se fabrica cualquiera de los materiales permitidos por el Reglamento Refuerzo de Presforzado es el refuerzo de alta resistencia que está sometido a tensión previa, mediante las cuales se introduce la fuerza de Presforzado a una estructura o elemento estructural y tiene doble aspecto: -Crear la fuerza de Presforzado. -Contribuir a la resistencia del elemento. El refuerzo de Presforzado puede ser adherente o no adherente y colocarse en la zona de alargamiento o en la zona de acortamiento del elemento. En el caso en que el refuerzo de presforzado se coloque en la zona de alargamiento, si se hace adherente, contribuye como refuerzo ordinario a la resistencia del elemento y en el caso de que se tense antes del vertido del concreto (PRETESADO) contribuye, además, a mejorar el comportamiento con respecto a la figuración de la zona eventualmente en tracción Cuando se coloca en la zona de acortamiento, disminuye algo la resistencia de agotamiento del elemento. Si el refuerzo de presforzado no se hace adherente, contribuye a la resistencia del elemento como si fueran tensores. III.3. REFUERZO DE ACERO NO PRESFORZADO Según las condiciones de su superficie pueden ser: -Barras o alambres lisos y Barras o alambres corrugados (alta adherencia) Según su soldabilidad pueden ser: -A-De buena soldabilidad B-De soldabilidad regular C-De baja soldabilidad Para las barras laminadas en caliente, la soldabilidad se determina según el contenido de carbono C (%) y el contenido de carbono equivalente Ceq (%) CLASE SOLDADURA POR CORDÓN SOLDADURA POR PUNTO CONTINUO A C0.24 % C0.22 % 16 (5/8’’) Ceq0.52 % C0.20 % 16(5/8’’)25(1’’) C0.18 %  > 25(1’’) Ceq=0.48 % B C 0.35% C0.28 % 16(5/8’’) Ceq0.60% C0.26 % 16(5/8’’) 25(1’’) C<0.24 % >25(1’’) Ceq=0.54 % Para todos los diámetros Ceq = C + Mn/6 + (Cr + V + Mo)/5 + (Ni + Cu) / 15 III.3.1 1-El refuerzo debe ser corrugado. El refuerzo liso solamente puede utilizarse en estribos, espirales o tendones y refuerzo de repartición de carga y temperatura. El refuerzo que consista de acero estructural o de tubería estructural, puede ser utilizado como se especifica en este Capitulo 36

2-En los planos debe indicarse el refuerzo que vaya a ser soldado y el procedimiento de soldadura. Las especificaciones para el acero, excepto las que fije la Norma NTC 2289 (ASTM A 706) deben complementarse incluyendo un informe sobre las propiedades del material necesarias para cumplir con los procedimientos de soldadura especificados en la Norma NTC 4040 (Procedimiento de soldadura para el acero de refuerzo ANSI/AWS D1.4 de la Sociedad Americana de Soldadura III.3.1 Refuerzo corrugado (C.3.5.3) El refuerzo corrugado debe cumplir con las Normas de calidad que se dan a continuación y se designan como se indican en las siguientes Tablas. La comprobación de la designación de la barra se realiza por medio de su peso por metro de acuerdo con los valores dados en las Tablas

DIMENSIONES NOMINALES DE LAS BARRAS DE REFUERZO (Tabla C.3.5.3-1) Diámetros basados en milímetros DIMENSIONES NOMINALES Designación Diámetro Área Perímetro Masa de la barra (mm) mm mm^2 mm kg/m 6M 6.0 28.3 18.85 0.222 8M 8.0 50.3 25.14 0.394 10M 10.0 78.5 31.42 0.616 12M 12.0 113.1 37.70 0.887 16M 16.0 201.1 50.27 1.577 18M 18.0 254.5 56.55 1.996 20M 20.0 314.2 62.83 2.465 22M 22.0 380.1 69.12 2.982 25M 25.0 490.9 78.54 3.851 32M 32.0 804.2 100.53 6.309 45M 45.0 1590.4 141.37 12.477 55M 55.0 2375.8 172.79 18.638 La M indica que son diámetros nominales en mm DIMENSIONES NOMINALES DE LAS BARRAS DE REFUERZO (Tabla C.3.5.3-2) Diámetro basado en octavos de pulgada Designación Diámetro de DIMENSIONES NOMINALES de la barra referencia en Diámetro Área Perímetro Masa pulgadas mm mm^2 mm kg/m No. 2 1/4” 6.4 32 20.0 0.250 No. 3 3/8” 9.5 71 30.0 0.560 No. 4 1/2” 12.7 129 40.0 0.994 No. 5 5/8” 15.9 199 50.0 1.552 No. 6 3/4” 19.1 284 60.0 2.235 No. 7 7/8” 22.2 387 70.0 3.042 No. 8 1” 25.4 510 80.0 3.973 No. 9 1 1/8” 28.7 645 90.0 5.060 No. 10 1 1/4” 32.3 819 101.3 6.404 No. 11 1 3/8” 35.8 1006 112.5 7.907 No. 14 1 3/4” 43.0 1452 135.1 11.380 No. 18 2 1/4” 57.3 2581 180.1 20.240

El No. de la barra indica el número de octavos de pulgada del diámetro de referencia 1-Las barras corrugadas para refuerzo deben cumplir con la Norma NTC 2289 (ASTM A 706) Además deben tenerse en cuanta los siguientes aspectos: La resistencia a la fluencia debe corresponder a la determinada por ensayos sobre barras de tamaño completo. Los esfuerzos obtenidos por medio del ensayo de tracción deben calcularse utilizando el área nominal de la barra tal como se indica en las Tablas anteriores III.3.2 Las barras corrugadas para refuerzo con una resistencia nominal a la fluencia fy de al menos de 420 MPa pueden utilizarse siempre y cuando fy sea el esfuerzo correspondiente a una deformación unitaria del 0.35% y además cumplan con la Norma NTC 2289 (ASTM A706). Las barras con fy menor de 420 37

MPa, la resistencia a la fluencia debe tomarse como el esfuerzo correspondiente a una deformación unitaria de 0.5 por ciento Se permite el uso de alambre corrugado que cumpla la Norma NTC 5806 (ASTM A1064/1064M) excepto que no puede ser menor que el tamaño MD25 ni mayor que MD200 y para alambre con una resistencia a la fluencia nominal que exceda de 420 MPa (60000 psi), la resistencia a la fluencia debe ser el esfuerzo correspondiente a una deformación unitaria de 0.35 por ciento El alambre liso electrosoldado, debe cumplir con la Norma NTC 5806 (ASTM A1064/1064M), excepto que para alambre con una resistencia a la fluencia nominal superior a 420 MPa (60000 psi), fy debe ser el esfuerzo que corresponde a una deformación unitaria del 0.35%. Las intersecciones soldadas no deben estar espaciadas a más de 300 mm (12”) en la dirección del esfuerzo calculado, excepto cuando la malla electro soldada se utiliza como estribo III.3.3 El alambre corrugado electrosoldado debe cumplir con la Norma NTC 5806 (ASTM A1064/1064M), excepto para alambre con fy mayor de 420 MPa, la resistencia a la fluencia debe ser el esfuerzo correspondiente a una deformación unitaria de 0.35 por ciento. Las interciones soldadas no deben estar espaciadas a más de 400 mm en el sentido del esfuerzo calculado, excepto para refuerzo de alambre electrosoldado utilizados como estribos. El alambre corrugado con diámetro mayor que MD200 se permite cuando se utiliza en refuerzo electrosoldado que cumpla con NTC 5806, pero debe tratarse como alambre liso para efectos de desarrollo y diseño de empalmes El alambre y el refuerzo electrosoldado de alambre recubiertos con epóxido deben cumplir con ASTM A884M. III.3.4 Aceros y tuberías estructurales de acero (C.3.5.7) Cuando se utilicen elementos de acero estructural en elementos compuestos sometidos a compresión deben cumplir las siguientes Normas: 1-El acero estructural utilizado con barras de refuerzo en elementos compuestos sometidos a compresión que cumplan los requisitos de XVI.9.6 Refuerzo en Espiral Colocado Alrededor del Núcleo Central de Acero Estructural o XVI.9.7 Estribos Colocados Alrededor del Núcleo de Acero Estructural debe cumplir con las Normas NTC 1920 (ASTM A36). Pero el acero estructural no cobijado por estas, debe cumplir con una de las Normas NTC 1950 (ASTM A242), NTC 1985 (ASTM A572 ó NTC 2012 (ASTM A 588) 2-Los tubos de acero o tuberías para miembros compuestos sometidos a compresión, formados por un núcleo de Concreto con una camisa de acero, que cumplan con los requisitos de Refuerzo en Espiral colocados alrededor del núcleo de Acero estructural deben reñirse a una de las siguientes Normas: ASTM 3470 (ASTM A53), ASTM A500 o NTC 2374 (ASTM A501) III.3.5 Acero Natural Los refuerzos no presforzado de acero natural se fabrican de una aleación de hierro y carbono que se obtienen con los procesos de fusión y afino de chatarras o arabio (hierro sólido de los altos hornos). De los hornos de afino sale en estado líquido y se hace solidificar en forma de lingotes o palanquillas. Estando los lingotes al rojo vivo, se le hace pasar por una serie de cilindros paralelos que al comprimirlos los estiran y reducen su sección hasta que por fin las muescas o canales de los cilindros acabadores, los fuerzan a tomar la forma y sección requerida. Esta operación recibe el nombre de laminado en caliente. Estos aceros se caracterizan por poseer un escalón de relajamiento o fluidez bien definido y un alargamiento de ruptura elevado. Para elevar la resistencia mecánica y disminuir el alargamiento de ruptura se le añade a sus componentes, además del carbono, diversos aditivos, como manganeso, silicio, cromo, cobre, níquel, etc. Un contenido de carbono de un 0.3 a 0.5 % disminuye la plasticidad y empeora la soldabilidad, el manganeso eleva la resistencia mecánica sin disminuir considerablemente la plasticidad; el silicio al elevar la resistencia mecánica empeora su soldabilidad. El contenido de estos aditivos en general es pequeño, oscilando entre el 0.6 al 2 %. En la próxima figura se muestra un diagrama típico de un acero natural. En ella podemos ver claramente: El escalón de fluencia (A) y se puede apreciar que sólo existe proporcionalidad en el tramo O-A. Límite de fluencia A fy

0  Diagrama tensión-deformación de un acero natural Por lo anterior, los investigadores, Normas y Códigos proponen un diagrama idealizado en la forma que se muestra en la figura de la siguiente página. III.3.6 Acero Laminado en frío. Un sustancial aumento de la resistencia mecánica de los aceros naturales laminados en caliente se alcanza por endurecimiento térmico o estiramiento en frío de los refuerzos ordinarios. Se estira el refuerzo hasta superar el límite de fluencia y bajo la acción de modificaciones estructurales del reticulado cristalino, se provoca un endurecimiento por deformación en frío. Si repetimos el estiramiento al haber sido agotadas las deformaciones plásticas, lo que obtendremos será un nuevo incremento artificial del límite de fluencia. Después de sucesivos estiramientos, que se realiza pasando la barra o alambre por agujeros cuyos diámetros se van disminuyendo sucesivamente, éste adquiere la cualidad del acero duro, o s s =fy

Compresión

tracción y

s

s = fy

fy-Límite elástico a tracción y compresión Diagrama idealizado de esfuerzo-deformación de los aceros naturales sea, no existe un escalón de fluencia; El límite de fluencia se eleva considerablemente y el alargamiento disminuye hasta un 4 a 6 % aproximadamente. Con el tiempo, estas propiedades tienden a variar, o sea, la tensión máxima de rotura y el límite elástico aumentan ligeramente pudiendo aparecer el escalón de relajamiento, su módulo de elasticidad se mantiene constante, pero el alargamiento disminuye, después se procede al envejecimiento del acero, calentándolo durante unas dos horas hasta 250 grados centígrados, pues pueden desaparecer completamente las características alcanzadas, por lo tanto, no se puede soldar ni doblar en caliente pues sus propiedades desaparecerían totalmente. Para mostrar lo explicado, en la figura de la próxima página se expone un diagrama de traccióndeformación de un acero laminado en frío y la comparación teórica del acero natural del que procede En este diagrama podemos ver una similitud de ambos aceros en la zona de proporcionalidad (zona O-A) pero a partir de ahí, al desaparecer el escalón de fluencia aparece una curva hasta el punto A’ que representa el límite elástico convencional cuya tensión se representa por (fy0.2), o sea, la tensión en el diagrama real correspondiente a una deformación remanente del dos por mil, que se obtiene al interceptar una línea paralela a la parte proporcional del diagrama, desde un valor de deformación unitaria de 0.002. Como podemos ver, la diferencia entre la tensión de fluencia en el acero natural y la correspondiente a la tensión convencional (fy0.2) es el incremento de tensión que obtenemos. Según algunos autores, los valores entre la tensión de rotura (punto B) y la del límite elástico convencional (fy0.2) debe ser al menos de un 25 % mayor, para garantizar una seguridad adecuada.

Diagrama de tracción-deformación del acero laminado en frío III.4. DEFORMACIÓN UNITARIA La deformación unitaria o elongación permanente porcentual es una característica de la ductilidad de los aceros. Los aceros naturales son más dúctiles y más deformables que los aceros laminados en frío o los de Presforzado. Esta propiedad es muy importante para los aceros naturales pues permite un incremento de las aberturas de las fisuras antes el fallo, lo que permite su observación y la toma de medidas a tiempo para evitar su colapso. Las Normas en general limitan esta deformación por la afectación que producen en la durabilidad del acero y del Concreto, o sea, evitar una deformabilidad y fisuración apreciable en el elemento. Generalmente las Normas limitan este valor a ε = 0.01 III.5.COEFICIENTE DE DEFORMACIÓN TÉRMICA Este valor es muy semejante al del Concreto, de ahí su éxito como refuerzo del Concreto. Su valor oscila entre 0.0000117 1/  C y 0.00001 1/  C III.6. MÓDULO DE ELASTICIDAD DEL ACERO DE REFUERZO El Módulo de Elasticidad para el acero de refuerzo no Presforzado puede tomarse como: Es =200 000 MPa (28440000 psi) Para el acero de Presforzado, debe determinarse por ensayo o puede utilizarse el suministrado por el fabricante

III.7 OXIDACIÓN El acero expuesto al oxígeno del aire sufre el fenómeno de oxidación y la oxidación es más rápida cuanto mayor sea la humedad ambiente. Los aceros naturales, por tener un bajo contenido de carbono, son los menos resistentes a este fenómeno. Los aceros con alto contenido de carbono aunque menos dúctiles son mucho más resistentes a la oxidación. Cuando el refuerzo se ha mantenido un prolongado tiempo a la intemperie, antes de usarlo en un elemento estructural, deberá comprobarse, en primer lugar, la pérdida de sección que ha sufrido por motivo de la oxidación y en segundo lugar, deberá limpiarse de toda escama suelta y de polvo de oxidación que rodea a la barra, lo cual puede efectuarse con un cepillo de alambre. Si la oxidación es elevada y se trata de gran cantidad de barras puede usarse el ‘sand-blast’ o chorro de arena a presión por medio de un compresor, el cual deja perfectamente limpia la barra. La protección principal a la oxidación se logra no sólo a partir de su propia resistencia, sino mediante la fabricación de elementos compactos, el uso de recubrimiento adecuado y un diseño que satisfagan los requerimientos de figuración III.8 RESISTENCIA DE CÁLCULO DE LOS ACEROS A LA FATIGA 40

Como referencia al lector: El acero cuando es sometido a cargas repetidas, reduce su resistencia de cálculo. La Resistencia del Acero a la Fatiga se determina como a continuación se indica: -Acero no Presforzado fsdf = fy/f III.8.1 -Acero de Presforzado fpfd = fp /f III.8.2 fsdf -Resistencia de Cálculo del Acero no Presforzado a la Fatiga fpuf-Resistencia de Cálculo del Acero de Presforzado a la Fatiga f-Coeficiente de Fatiga que tiene en cuenta la asimetría del ciclo de esfuerzos que se repiten y se obtiene de la siguiente Tabla en función de los Coeficientes: Ks=smin / smax Kp = pmin / pmax III.8.3 smax y pmax-esfuerzo a que se somete la armadura a tracción, a la acción frecuente máxima, no menor de 2 x 10^6 veces esta carga máxima, determinada en función de la acción de las cargas permanentes más la carga de uso afectada esta última por el coeficiente de impacto smin y pmin-esfuerzo a que se somete la armadura a tracción debido a la carga permanente

Ks, Kp Grado del Acero A24 A30 A40 A150 A180

-1

-2

0.2

2.08 2.5 3.12

1.39 1.67 2.08

1.23 1.49 1.85

1.15 1.35 1.69

Valores de f 0.4 0.7

1 1.15 1.43

1 1 1.11

0.75

0.8

0.85

0.9

1 1 1.05 1.18 1.28

1 1 1 1.03 1.22

1 1 1 1 1.15

1 1 1 1 1.11

Los valores intermedios de Ks y Kp se interpolan linealmente Los valores de f obtenidos, deben multiplicarse en presencia de empalmes soldados por los siguientes Coeficientes que tienen el fallo frágil por soldadura -Soldadura por puntos: 2.5 -Soldadura por cordón continuo: 2.5 -Soldadura a tope: 1.43

Los anclajes necesitan de una modificación particular en especial cuando se necesitan en la zona de tracción o de acoplamiento, en los cuales se requiere realizar ensayos de comprobación, si no se tienen estas se recomienda utilizar los valores de la siguiente Tabla (MPa)

Tipo de anclaje Rosca universal Rosca Cónica Cuña de Concreto Cuña de Acero Adherencia Lisa Perfil periódico Torones

Postesado 70 80

Pretesado

100 180 100 150 200

III.9 EVALUACIÓN Y ACEPTACIÓN DEL ACERO DE REFUERZO (C.3.5.10) Deben tomarse y ensayarse muestras representativas de los aceros de refuerzo utilizado en la obra. Los ensayos deben demostrar inequívocamente que el acero utilizado cumplen la Norma NTC correspondiente

y el laboratorio que realice los ensayos debe certificar la conformidad con ella. Copia de estos certificados de conformidad deben remitirse al Supervisor Técnico y al Ingeniero Diseñador El certificado de conformidad expedido por el laboratorio debe contener como mínimo lo siguiente: a) nombre y dirección de la obra b) fecha de recepción de las muestras y fecha de realización de los ensayos c) fabricante y Norma NTC bajo la cual se fabricó el material y bajo la cual se realizaron los ensayos d) peso por unidad de longitud de la barra, alambre, malla o torón de refuerzo y su conformidad con las variaciones permitidas y su diámetro nominal e) características del corrugado f) resultados del ensayo a tracción, los cuales deben incluir la resistencia a la fluencia y la resistencia ultima evaluadas utilizando el área nominal de la barra, alambre, malla o torón de refuerzo indicada en la Norma NTC correspondiente y el porcentaje de alargamiento obtenido del ensayo g) resultado del ensayo de doblamiento h) Composición química cuando esta se solicite i) conformidad con la Norma de fabricación j) nombre y firma del director del laboratorio

III.10 PROBLEMAS PROPUESTOS III.10.1 Cuales son las principales funciones del refuerzo? III.10.2 Como se clasifican los refuerzos? III.10.3 Cual es el refuerzo no Presforzado? III.10.4 Cual es el refuerzo Presforzado? III.10.5 Cual es el acero natural? III.10.6 Cual es el acero laminado en frio? III.10.7 Según las condiciones de su superficie como puede ser el acero no Presforzado? III.10.8 Como se caracterizan los aceros naturales? III.10.9 Que se realiza para obtener el acero laminado en frio? III.10.10 Cual es la deformación unitaria del acero no refuerzo no reforzado? III.10.11 Cual es el coeficiente de deformación térmica del refuerzo? III.10.12 Cual es módulo de elasticidad del refuerzo no Presforzado?

CAPÍTULO IV DETALLES DEL REFUERZO IV.1 GANCHO ESTÁNDAR (C.7.1) El término “gancho estándar” significa: IV.1.1 Un doblez de 180° más una extensión recta de longitud igual a 4 db, pero no menor de 60 mm en el extremo de la barra db- diámetro nominal de la barra, alambre o torón de presfuerzo, expresada en mm IV.1.2 Un doblez de 90° más una extensión mínima de 12 db, en el extremo de la barra IV.1.3 Para estribos solamente: a) Un doblez de 90° con una extensión recta de longitud mínima igual 6db en el extremo libre de la barra cuando se trate de barras No. 5 (5/8 “) y 16 M (16 mm) , o menores b) Un doblez a 90° con una extensión recta de longitud igual a 12 db en el extremo libre de la barra cuando se trate de barras No.6 (3/4”) y 18 M (18 mm), a No.8 (1”) y 25 M(25 mm) c) Parra barras No. 8 (1”) y 25 M (25 mm), y menores. Con ganchos de 135°, la longitud mínima de la parte recta en el extremo libre es 6 db En los estribos de confinamiento en estructuras de Capacidad de Energía Moderada (DMO) y Especial (DES) para construcción sismo resistente, deben emplearse ganchos sísmicos con un doblez de 135° o más, con un extensión de 6 db pero no menor de 75 mm (3”) que abraza el refuerzo longitudinal del elemento y se proyecta hacia el interior de la sección del elemento. En los estribos suplementarios el doblez de los extremos debe ser gancho sísmico de 135° o más con una extensión de 6 db pero no menor de 75 mm y se permite que en uno de los extremos se utilice un gancho de 90° o más con una extensión de 6 db Gancho con doblez de 135° o más con extensión de 6 db y mayor de 75 mm o

IV.2 DIÁMETROS MÍNIMOS DE DOBLADO (C.7.2) El diámetro interior para el doblamiento de las barras del refuerzo principal, no debe ser menor que los valores dados en siguiente Tabla DIÁMETRO MÍNIMO DE DOBLADO (TablaC.7.2) Barra Diámetro mínimo de doblamiento No. 3 (3/8”) a No. 8 (1”), 10 M (6mm) a 25 M (25 mm) 6 db No. 9 (1-1/8”) a No. 11 (1-3/8”) y 32 M (32 mm) 8 db No.14 (1-3/4”) y No. 18 (2-1/4”) 10 db 45 M (45 mm) y 55 M (55 mm) 10 db

Diámetro db

El diámetro interior de doblamiento de estribos de barra No 5 (5/8”) y 16 M (16 mm) o menor, no debe ser menos de 4 db y para barras mayores a la No. 5 (5/8”) y 16 M (16 mm) se debe cumplir los diámetros de la Tabla anterior Los diámetros internos de doblamiento para malla de alambre electro-soldada que se utilice como estribos o flejes no deben ser menores que 4 db para alambre corrugado de diámetro mayor de 7 mm y 2 db para los 43

otros alambres. No deben hacerse dobleces con diámetro menores de 8 db a distancias menores de 4 db de la intersección electro-soldada más cercano IV.3 DOBLADO (C.7.3) Todos los dobleces y ganchos deben hacerse en frío, a menos que el Ingeniero Diseñador o el Supervisor Técnico permita lo contrario Las barras deben tener las dimensiones indicadas en los planos y en esa forma deben colocarse dentro de las formaletas. Las barras que ya estén parcialmente embebidas dentro del Concreto no pueden doblarse o desdoblarse en el sitio, a menos que el Ingeniero Diseñador o el Supervisor Técnico lo permitan IV.4 CONDICIONES DE LA SUPERFICIE DEL REFUERZO (C.7.4) En el momento en que el concreto vaya a ser colocado, el refuerzo debe estar libre de barro, aceite o cualquier otra substancia no metálica que pueda disminuir la adherencia entre el acero y el Concreto. Se permiten barras con recubrimiento epóxido que cumplan las normas técnicas NTC El refuerzo de acero, excepto cables para presfuerzo, con óxido, escamas de laminación o combinación o combinación de ambos, puede considerarse satisfactorio, siempre y cuando las dimensiones mínimas (incluyendo la altura de los resaltes de corrugado) y el peso, de una Muestra limpiada con cepillo de acero de maño, no sean menores que las indicadas en las Normas NTC del ICONTEC y ASTM apropiadas IV.5 COLOCACIÓN DEL REFUERZO (C.7.5) El acero de refuerzo, el acero de presfuerzo y sus ductos, debe colocarse y apoyarse cuidadosamente de acuerdo con las medidas indicadas en los planos y las tolerancias que se indican en la siguiente Tabla. además, debe asegurarse adecuadamente para evitar que se mueva al colocarse o vibrar el Concreto La variación de la altura útil (de) en elementos a flexión, paredes y elementos a compresión no deben exceder las tolerancias que se dan en la siguiente Tabla Tolerancia de la altura útil y recubrimiento Altura útil, d, mm d ≤ 200 mm (8”) d > 200 mm (8”)

Tolerancia en altura útil, d, mm ±10 mm (0.4”) ±13 mm (0.5”)

Tolerancia en recubrimiento, m -10 mm (0.4”) -13 mm (0.5”)

Además, la tolerancia para la distancia libre a la parte inferior de elementos construidos con cimbra debe ser menor 6 mm (1/4”) y la tolerancia para recubrimiento no debe exceder de menos 1/3 del recubrimiento requerido en los planos y especificaciones La tolerancia en la localización de puntos de doblez y extremos de barras de refuerzo, debe ser ± 50 mm (2”) excepto en los apoyos terminales de vigas, en los cuales no debe ser mayor de ± 12mm (1/2”) No se permiten soldaduras en los puntos de intersección de barras que se cruzan para ensamblar el refuerzo a menos que sean autorizadas por el Ingeniero Diseñador o el Supervisor Técnico En losas macizas cuya luz no exceda de 3 m puede colocarse una sola malla electro soldada (con alambres de diámetro máximo de 6.5 mm (1/4”)) como refuerzo negativo y positivo a la vez, siempre y cuando este refuerzo sea continuo a través de los apoyos o esté debidamente anclado en ellos. La malla debe estar cerca de la parte superior de la losa sobre los apoyos y cerca de la parte inferior en los centros de las luces IV.6 LIMITES DEL ESPACIAMIENTO DEL REFUERZO (C.7.6) La distancia libre entre barras paralelas colocadas en una fila (o capa) no debe ser menor que el diámetro db de la barra, no menor de 25 mm (1”) ni menor de 1.33 veces el tamaño del agregado grueso Cuando se coloquen dos o más filas (o capas) de barras, las barras superiores debe colocarse directamente encima de las inferiores y la separación libre entre filas no debe ser menor de 25 mm (1”)

≥ 25 mm (1”)

no debe ser menor que el diámetro db de la barra, no menor de 25 mm (1”), ni menor de 1.33 veces el tamaño del agregado grueso

En columnas con estribos o refuerzo en espiral, la distancia libre entre barras longitudinales debe ser mayor o igual a 1. 5 db, 40 mm (0.4”) ó 1.33 veces el tamaño máximo del agregado Estribos o refuerzo en espiral

Columna

mayor o igual a 1. 5 db, 40 mm o 1.33 veces el tamaño máximo del agregado Las especificaciones de distancia libre entre barras, debe cumplirse también en la separación libre entre un empalme por traslapo y otros empalmes u otras barras En losas macizas y muros, las barras de refuerzo a flexión deben tener una separación máxima de 3 veces el espesor de la losa o muro, pero no mayor de 500 mm. Cuando se trate de refuerzo de temperatura la separación debe ser menor de 5 veces el espesor de la losa o muro, pero no mayor de 500 mm

3 veces el espesor de la losa o muro, pero no mayor de 500 mm. Cuando se trate de refuerzo de temperatura la separación debe ser menor de 5 veces el espesor de la losa o muro, pero no mayor de 500 mm (20”)

IV.6.1 PAQUETES DE BARRAS (C.7.6.6) En los paquetes de barras paralelas que se pongan en contacto para que actúen como unidad, deben cumplirse los siguientes requisitos: 1-Debe limitarse a 4 el número de barras 2-Todo paquete de barras debe quedar localizado en una esquina de estribo o en extremo de un estribo suplementario 3- No pueden atizarse barras de diámetro mayor de No. 11 (1-3/8”) o 32M (32 mm) en paquetes de barras para viga

viga

no más de 4 barras No. 11 (1-3/8”) o 32M (32 mm) estribo oo

4-El diámetro equivalente de un paquete, para efecto de las normas de separación y recubrimiento, debe ser el que se deduzca del área total de las barras colocadas 45

5- En paquetes, las barras individuales que terminen dentro de la luz de los elementos a flexión deben suspenderse en puntos diferentes con una separación, al menos de 40 db 6-En columnas de estructuras de capacidad de disipación de energía especial (DES) el número de barras en paquetes se limita a dos IV.7 PROTECCIÓN DE CONCRETO PARA EL REFUERZO C.7.7) IV.7.1 CONCRETO VACIADO EN SITIO Las barras del refuerzo deben tener los recubrimientos mínimos dados a continuación excepto IV.7.2.3 y IV.7.2.5. En ambientes agresivos deben utilizarse recubrimientos mayores que los mencionados, los cuales dependen de las condiciones de exposición: Recubrimiento mínimo a) Concreto colocado directamente sobre el suelo y en contacto permanente con la tierra…………………………………………………… 75 mm (2 -3/4”) b) Concreto expuesto a la intemperie o en contacto con suelo de relleno: Barras No. 6 (3/4”) y 18M (18 mm) a No.18 (2-1/4) y 55M ……. 50 mm (2”) Barras No.5 (5/8”) y 16M (16 mm) y menores ………………… 40 mm c) Concreto no expuesto a la intemperie, ni en contacto con la tierra: En losas, muros y viguetas: Barras No. 14 (1-3/4) 45M (45 mm), No.18 (2-1/4) y 55M ……… 40 mm (1- 1/2”) Barras No. 11 (1-3/8”) y 32M (32mm) y menores ……………… 20 mm (3/4”) En vigas y columnas: Refuerzo principal, estribos y espirales …………………………… 40 mm (1- 1/2”) En cascarones y losas plegadas; Barras No.6 (3/4”) y 18M (18 mm) y mayores ………………….. 20 mm (3/4”) Barras No. 5 (5/8”) y 16M (16 mm) y menores .............................. 13 mm (0.6”) IV.7.2 ELEMENTOS PREFABRICADOS CONSTRUIDOS EN PLANTA C.7.7.3) En elementos prefabricados, las barras de refuerzo deben tener los siguientes recubrimientos mínimos, excepto IV.7.2.3 y IV.7.2.5: a) Concreto expuesto a la intemperie o en contacto con suelo de relleno: En paneles de muros: Barras No. 11 (1-3/8”) y 32M (32 mm) y menores ……. 20 mm (3/4”) Barras No.14 (1- 3/4”) o 45M (45 mm) y ………………… 40 mm (1-1/2”) No 18 (2-1/4”) o 55M (55mm) ……………………………………40 mm (1-1/2”) En otros elementos Barras No. 5 (5/8”) o 16 mm y menores …………………… 30 mm (1-1/4”) Barras No.6 (3/4”) 18M (18mm) a No. 11 (1-3/8”) o 32M (32 mm) ……………………. 40 mm (1-1/2”) Barras No.14 (1-3/4”) o 45M (45 mm) y No.18 (2-1/3”) o 55M (55 mm) ……………………. 50 mm (2”) c) Concreto no expuesto a la intemperie, ni en contacto con la tierra: En losas, muros y viguetas: Barras No. 11 (1-3/8) o 32M (32 mm) y menores ………………. 15 mm (0.6”) Barras No. 14 (1-3/4”), 45M (45 mm), No.18 (2-1/4”) y 55M (55mm) ……………………………………………………… 30 mm(1-1/4”) En vigas y columnas: Refuerzo principal…………………….. ………………db, pero no menor de 15 mm, ni hay necesidad de exceder 40 mm Estribos, flejes y espirales……………………………………………10 mm (0.4”) En cascarones y losas plegadas; Barras No.6 (3/4”) y 18M (18 mm) y mayores ………………….. 25 mm (1“) Barras No. 5 (5/8”) o 16M (16 mm) y menores .............................. 10 mm (0.4”) IV.7.2.1 BARRAS EN PAQUETES Para barras en paquetes el recubrimiento mínimo del concreto debe ser igual al diámetro equivalente del paquete sin necesidad de ser mayor de 50 mm (2”) excepto para el concreto vaciado contra la tierra y permanentemente expuesto a ella, cuyo recubrimiento debe ser de 75 mm 46

IV.7.2.2 AMBIENTES CORROSIVOS (C.7.7.6) En ambientes corrosivos u otras condiciones severas de exposición, la protección del Concreto debe aumentarse convenientemente cuando lo considere necesario el profesional facultado para diseñar y así lo especifique para lo cual debe tenerse en cuenta la impermeabilidad del Concreto, de lo contrario debe proporcionarse otro tipo de protección IV.7.2.3 REFUERZO DE ESPERA (C.7.7.7) El refuerzo expuesto, los aditamentos y las platinas que sean conexiones en espera de una futura continuación de la construcción, deben protegerse de la corrosión IV.7.2.4 PROTECCIÓN CONTRA EL FUEGO (C.7.7.8) Cuando a juicio del Ingeniero Diseñador, el Supervisor Técnico o por solicitud del propietario, se requieran recubrimientos mayores de los indicados anteriormente, para protección contra el fuego, deben utilizarse los recubrimientos contra el fuego que determine el Ingeniero Diseñador. Además, deben cumplirse los requisitos del Título J del Reglamento- Requisitos de Protección Contra el Fuego en Edificaciones IV.7.2.5 CONCRETO ABUZARDADO En los elementos de concreto cuya superficie exterior se pica o aburzarda por razones estéticas, los recubrimientos dados en esta sección deben aumentarse en 10 mm (0.4”) en aquellas caras que se piquen IV.8 DETALLES ESPECIALES DEL REFUERZO DE COLUMNAS (C.7.8) 1- Doblamiento de barras en los cambios de sección Los cambios de sección de las columnas deben hacerse siempre en las losas de entrepiso. En un cambio de sección, las barras que pasen del piso inferior al superior deben doblarse de modo que la reducción tenga como máximo una inclinación de 1 a 6 con respecto al eje de la columna y las porciones de la barra localizada encima y debajo de la reducción deben ser paralela el eje de la columna Deben proporcionarse soportes horizontales a la barra doblada de cambio de sección por medio de estribos transversales, espirales o porciones del sistema de entrepiso. El soporte horizontal debe diseñarse para resistir 1.5 veces la fuerza calculada en la porción inclinada de la barra doblada. Los estribos transversales o espirales en caso de utilizarse se deben colocar a una distancia no mayor de 150 mm de los puntos de doblado

las barras dobladas para un cambio de sección, deben doblarse antes de ser colocadas en su posición. No se permite hacer doblamientos en barras que ya estén parcialmente embebidas en el Concreto endurecido a menos que le Ingeniero Diseñador o el Supervisor Técnico lo permitan

Columna superior Inclinación 1 a 6 losa de Concreto

columna inferior refuerzo de la columna inferior

b) El soporte horizontal del acero longitudinal en el doblez debe ser provisto por medio de estribos o espirales. El soporte horizontal debe diseñarse para que resista 1.5 veces la componente horizontal de la fuerza calculada en la porción inclinada de la barra que se dobla. Los estribos o la espiral deben colocarse a una distancia menor de 150 mm (6”) del doblez. Este refuerzo es adicional al requerido por consideraciones sísmicas

Columna superior 47

Inclinación 1 a 6 losa de Concreto < 150 mm columna inferior refuerzo de la columna inferior

Cuando se disminuya el ancho de una columna de manera que una de sus caras quede a 80 mm (3”) mm o más de la correspondiente en la columna del piso inferior, no pueden doblarse las barras longitudinales para adaptarse a la reducción y es necesario emplear barras adicionales de empalme, traslapadas por contacto con en las barras longitudinales adyacentes a las caras desplazadas de la columna. Los traslapos deben cumplir con los requisitos de Requisitos especiales de empalme en columnas del Capítulo Desarrollo y Empalmes del Refuerzo

IV.9 NÚCLEO DE ACERO ESTRUCTURAL (C.7.8.2) La transferencia de las cargas que llevan los núcleos de acero estructural en construcción compuesta, debe seguir los siguientes requisitos: Los extremos de los núcleos de acero estructural deben ser terminados con suficiente precisión para que haya un contacto adecuado en los empalmes y un alineamiento que permita un contacto concéntrico entre núcleos En los puntos terminales del núcleo de acero estructural debe considerarse que solo el 50% de los esfuerzos totales de compresión son transferidos por contacto La transferencia de esfuerzo entre la base de la columna y la zapata o elemento de cimentación debe diseñarse de acuerdo con los requisitos de Transferencia a la Zapata de las Fuerzas en la Base de la Columna, Muro o Pedestal reforzado del Capítulo de Cimentaciones La base del elemento de acero estructural debe diseñarse para que sea capaz de transferir a la zapata o elemento de cimentación la totalidad de la carga que lleva todo el elemento compuesto, o bien la base se diseña para que sea capaz de transferir sólo la carga que lleva el núcleo de acero estructural, pero debe proveerse una sección de concreto generosa para que transfiera la carga que proviene de la sección de Concreto reforzado, por medio de compresión en el concreto y el refuerzo IV.10 DETALLES ESPECIALES EN LOS NUDOS En los nudos de pórticos (punto de enlace de vigas y columnas) debe confinarse el concreto mediante la colocación de estribos adicionales, con el fin de garantizar la eficiencia de los empalmes del refuerzo, del refuerzo que continúa y el anclaje del refuerzo que termina en el nudo Cuando las cargas de gravedad, viento, sismo u otras fuerzas laterales causen transferencias de momento en las conexiones de los elementos de la estructura, el cortante resultante de la transferencia de momentos se debe considerar en el diseño del refuerzo lateral de las columnas Debe suministrarse el refuerzo lateral a las columnas dentro de los núcleos o conexiones con los otros elementos de la estructura. El área de refuerzo lateral no puede ser menor que la requerida por la siguiente ecuación: Av. = bw s / 3 fy), y se debe colocar sobre una distancia al menos igual a la altura del elemento mas alto de los que llegan a las columnas bw y s se expresan en mm y fy en MPa bw -ancho del alma s- espaciamiento del refuerzo lateral El confinamiento de los nudos puede consistir de concreto externo o estribos internos cerrados o espirales IV.11 REFUERZO TRANSVERSAL PARA ELEMENTOS SOMETIDOS A COMPRESIÓN (C.7.10) -El refuerzo transversal en los elementos a compresión deben cumplir los requisitos de este epígrafe y cuando se requiera por cortante y torsión deben cumplir los requisitos de los capítulos de Cortante y Torsión -El refuerzo transversal para elementos Compuestos sometidos a compresión debe cumplir los requisitos del epígrafe Elementos Compuestos a Compresión del Capitulo de Flexo-compresión IV.11.1 Espirales: El refuerzo en espiral para elementos a compresión debe cumplir lo siguiente: La cuantía del refuerzo en espiral no puede ser menor que el valor dado por:

ρs = 0.45 [(Ag/ Ac) – 1] (fc’ / fy)

IV .10.1.1

fy – resistencia nominal a la fluencia del refuerzo en espiral, la cual no puede ser mayor de 420 MPa Ag – área bruta de la sección, expresada en mm^2 Ac – área del núcleo de un elemento sometido a compresión, reforzado con espirales, medida hasta el diámetro exterior de la espiral, expresada en mm^2 -Las espirales deben consistir en barras continuas espaciadas uniformemente que pueden manejarse y colocarse sin distorsión de sus dimensiones -Para construcciones en el sitio, las espirales deben estar conformados por barras de diámetro mayor o igual al No.3 (3/8”) o 10M (10mm) -El espaciamiento entre espirales no debe exceder 800 mm, ni ser menor de 25 mm. -La espiral debe anclarse por medio de 1. 5 vueltas adicionales en cada extremo de unidad de espiral - Los empalmes del refuerzo en espiral deben ser empalmadas, si se requiere de la siguiente manera: a) Empalme por traslapo no menor que 300 mm, ni menor del largo indicado a continuación: 1- barra o alambre corrugado sin recubrimiento, o barra corrugada con recubrimiento de zinc ………………………………………………………………………….48 db 2 -barra o alambre liso sin recubrimiento, o barra lisa con recubrimiento de zinc (galvanizada) …………………………………………………………72 db 3- barras o alambre corrugado recubierto con epóxido, o barra corrugada con recubrimiento dual de zinc y epoxico……………… …………………..72 db 4- barras o alambres lisos sin recubrimiento o barra lisa con recubrimiento de zinc (galvanizada) con gancho estándar de estribo en sus extremos empalmado por traslapo. Los ganchos deben embebidos en el núcleo confinado por la espiral ……………………..,….48 db 5- barras o alambres corrugados recubierto con epóxico, o barra corrugada con recubrimiento dual de zinc y epoxico con gancho estándar de estribo en sus extremos empalmados por traslapo. Los ganchos deben estar embebidos en el núcleo confinado por la espiral…….48 db -La espiral debe ir desde la parte superior de la zapata o losa hasta el nivel del refuerzo inferior más bajo de los elementos que la columna soporte en el siguiente nivel -En situaciones donde a una de las caras de la columna no llegan vigas, o ménsulas, deben colocarse estribos por encima de la terminación de la espiral hasta la parte inferior de la losa o panel descolgado (ábaco) -En columnas con capitel, la espiral debe llevarse hasta el punto donde el diámetro o ancho del capitel es el doble del de la columna -Las espirales deben mantenerse firmemente en su lugar y totalmente alineadas por medio de espaciadores verticales IV.11.2 ESTRIBOS (C.7.10.5) Los estribos en elementos sometidos a compresión deben cumplir los siguientes requisitos: a) Todas las barras de refuerzo deben estar rodeadas por estribos al menos de barra No.3 (3/8”) o 10M (10 mm), cuando las barras longitudinales sean mayores al No. 10 (1-1/4”) o 32M (32 mm), y al menos No.4 (1/2”) 0 12M (12 mm) cuando se trate de barras longitudinales mayores o igual al No.11 (1-5/8”) o 35M (35mm) o de paquetes de barras . En estructuras de Capacidad de Disipación de Energía Mínima (DMI) se permiten estribos de barra No.2 (1/4”) o 6M (6mm) cuando las columnas soportan únicamente uno o dos pisos b) El espaciamiento vertical entre estribos no debe exceder 16 db de la barra longitudinal. 48 db de la barra estribo, o la menor dimensión de la sección del elemento sometido a compresión. c) Los estribos rectilíneos deben disponerse de tal manera que toda barra longitudinal de esquina y barra alterna tenga apoyo lateral proporcionado por la esquina de un estribo con un ángulo interior no mayor de 135°. Ninguna barra debe estar localizada en la sección a más de 150 mm libres, me, de una barra que esta soportada lateralmente.

o 49

< 150 mm < 6”

d) El primer estribo del tramo de columna debe localizarse verticalmente a menos de medio espaciamiento de estribo medido a partir de la parte superior de la zapata o losa de cualquier piso y en la parte superior de la columna a no más de medio espaciamiento de estribo medido a partir del plano de refuerzo horizontal en la losa que este localizado más abajo e) Cuando lleguen vigas o haya ménsulas en las cuatro caras de la columna, los estribos pueden suspenderse 75 mm por debajo del plaño del refuerzo inferior de la viga o ménsula de menor altura f) Cuando se coloquen pernos de anclajes en los extremos de las columnas o pedestales, estos deben ser circulados por refuerzo lateral que también rode al menos cuatro barras verticales de la columna o pedestal. El refuerzo transversal debe distribuirse dentro de 125 mm medidos desde la parte superior de la columna o pedestal y debe consistir en al menos dos barras No.4 (1/2”) ó 12M (12mm) ó tres barras No.3 (3/8”) ó 10M(10mm) Cuando las barras longitudinales estén localizadas alrededor del perímetro de un circulo. Se permite el uso de un estrbo circular completo. Los extremos del estribo circular debe traslaparse al menos 150 mm y terminar con gancho estándar que abracen una barra longitudinal de la columna. El tralapo en los extribos circulares adyacentes se deben escalonar a lo largo del perímetro encerrado por las barras longtudinales IV.12 REFUERZO TRANSVERSAL PARA EL ELEMENTOS A FLEXIÓN (C.7.11) El refuerzo transversal en vigas y elementos sometidos a flexión debe cumplir además de los requisitos dados en esta sección, los requisitos por cortante y torsión El refuerzo a compresión en elementos sometidos a flexión, debe asegurarse mediante estribos que cumplan lo especificado en el inciso C de IV.11.2 colocados en toda la longitud en que se necesita el refuerzo a compresión En los elementos sometidos a flexión y que además estén solicitados por esfuerzos alternantes o por torsión, los estribos deben ser cerrados o refuerzo en espiral Los estribos cerrados se deben conformar de una sola pieza con sus ganchos extremos colocados superpuestos abrazando la misma barra longitudinal, o se deben formar de una o dos piezas unida mediante un empalme por traslapo Clase B (longitud de traslapo 1.3 ld)

IV.13 REFUERZO PARA RETRACCIÓN DE FRAGUADO Y VARIACIÓN DE TEMPERATURA (C.7.12) 1-En losas estructurales reforzada en una dirección debe colocarse un refuerzo secundario para efectos de retracción de fraguado y temperatura, en la dirección perpendicular al refuerzo principal. La relación de área de refuerzo a área bruta de concreto debe tener, como mínimo, uno de los siguientes valores, los cuales son aplicables cuando la losa puede expandirse a contraerse libremente, o cuando se admite que se presente fisuración sin ningún control especial, o cuando el control de fisuración es necesario La cuantía del refuerzo de retracción y temperatura no debe ser menor que lo que se dice a continuación pero no menor de 0.0014 -En losas donde se utilice barras corrugadas Grado 280 ó 350…………….. 0.0020 -En losas para barras corrugadas Grado 420 o mallas electro soldadas de alambre liso o corrugado ………………………………………………………………………… …0.0018 -Para refuerzo con un punto de fluencia fy mayor de 420 MPa (60000 psi), correspondiente a una deformación unitaria de fluencia de 0.035% [(0.0018 x 420 MPa)] / (fy) Este refuerzo debe tener una separación máxima no mayor de 5 veces el espesor de la losa o 450 mm, la que sea menor Cuando la losa está restringida, o no pueda expandirse o contraerse libremente, o cuando se desee controlar la fisuración, las cuantías mínimas anteriores deben multiplicarse por los siguientes factores: a) para concreto expuesto a la intemperie …………………………………………………….. 1. 50 b) para concreto que no esté expuesto a la intemperie …………………………………. …… 1. 25

En losas aligeradas, el refuerzo para efectos de retracción y temperatura, colocado perpendicularmente a la dirección de las viguetas, debe tener las mismas cuantías especificadas anteriormente con relación a la plaqueta superior y a la plaqueta inferior, independientemente Todas las secciones donde se necesite refuerzo de retracción y temperatura, este refuerzo debe estar debidamente anclado para desarrollar la resistencia nominal a la fluencia fy en tracción con los requisitos del Capítulo de Desarrollo y Empalmes del Refuerzo IV.14 REQUISITOS DE INTEGRIDAD ESTRUCTURAL (C.7.13) Los diferentes elementos de la estructura deben estar adecuadamente amarrados entre sí para mejorar la integridad de la estructura, por medio de detalles del refuerzo y conexiones. Paras construcciones prefabricadas deben cumplirse los requisitos del Capítulo de Concreto Prefabricado Para construcción vaciada en el sitio, los siguientes constituyen requisitos mínimos para obtener la integridad requerida: a) En construcciones con viguetas, por lo menos una barra inferior debe ser continua, o debe empalmarse en el apoyo utilizando un empalme por traslapo en tracción Tipo A y cuando se trate del apoyo final, debe terminarse en un gancho estándar b) Las vigas del perímetro de la estructura deben tener refuerzo continuo a todo lo largo. Este refuerzo debe estar rodeado por estribos cerrados. Este refuerzo continuo debe ser al menos un sexto del refuerzo de tracción requerido para momentos negativos en el apoyo y al menos un cuarto del refuerzo positivo requerido en los centros de las luces. La continuidad requería puede darse con refuerzo superior empalmado en los centros de las luces y con refuerzo inferior empalmado en o cerca de los apoyos. Estos empalmes deben ser traslapos en tracción Tipo A. No hay necesidad de extender los estribos cerrados dentro de los nudos de apoyos c) En las vigas diferentes a vigas del perímetro, cuando no se dispongan estribos cerrados, al menos un cuarto del refuerzo positivo requerido en el centro de la luz debe ser continuo o empalmarse en el apoyo con traslapos de tracción Tipo A y en el apoyos finales terminarse en un gancho estándar d) Para losas que trabajen en dos direcciones ver el Capítulo de Losas Reforzadas en dos Direcciones En construcciones prefabricadas en las uniones y alrededor del perímetro de la estructura, deben disponerse amarres capaces de resistir tracción en las direcciones transversales, longitudinales, verticales y perimetral, con el fin de amarrar de una manera efectiva los elementos entre sí. Deben cumplirse los requisitos de Concreto Prefabricado en esta materia.

IV.15 PROBLEMAS PROPUESTOS IV.15.1 Que significa el término “gancho estándar”? IV.15.2 Cuales son los diámetro mínimo de doblado de las barras principales? IV.15.3 Cual es la separación entre barras? IV.15.4 Cuales son los recubrimiento del concreto vaciado? IV.15.5 Cuales son los recubrimientos de elementos prefabricados en planta? IV.15.6 Que es el refuerzo de espera? IV.15.7 Que son las barras en paquetes y cuales requisitos deben cumplir? IV.15.8 Como son los detalles especiales del refuerzo de columnas? IV.15.9 Donde debe colocarse el refuerzo de temperatura en losas reforzada en un sentido? IV.15.10 Diga 3 requisitos mínimos para obtener la integridad requerida, en concreto vaciado en sitio?:

CAPÍTULO V (Capitulo 6) CIMBRAS Y ENCOFRADOS, EMBEBIDOS Y JUNTAS DE CONSTRUCCIÓN V.1 DISEÑO DE CIMBRAS Y ENCOFRADOS (C.6.1) El objetivo de las cimbras y encofrados; es obtener una estructura que cumpla con las formas, los niveles y dimensiones de los elementos según lo indicado en los documentos contractuales 1-Las cimbras y encofrados deben ser fuertes y lo suficiente ajustadas para impedir que se escape el mortero 2-Las cimbras y encofrados deben ser adecuadamente arriostradas o amarradas para mantener su posición y su forma 3- Las cimbras y encofrados y sus apoyos deben diseñarse de modo que no dañen la estructura previamente vaciada o de apoyo 4-El diseño de las cimbras y encofrados debe incluir la consideración de los siguientes factores: a) Velocidad y método de colocación del concreto b) Cargas de construcción, incluyendo las cargas verticales, horizontales y de impacto c) Requisitos de formaletas para la construcción de cascarones, losas plegadas, cúpulas, concreto arquitectónico o similar Las cimbras y encofrados para elementos de concreto Presforzado, debe diseñarse y construirse de modo que permitan el movimiento del elemento durante la aplicación de la fuerza de presfuerzo sin que esta sufra daño V.2 DESCIMBRADO, PUNTALES Y REAPUNTALAMIENTO (C.6.2) V.2.1 Remoción de las cimbras (C.6.2.1) Las cimbras, deben retirarse de tal manera que no afecten la seguridad ni el funcionamiento futuro de la estructura. El concreto que se expone al retirar la formaleta debe tener suficiente resistencia para que no se vea afectado por ello. V.2.2 Retiro de puntales y reapuntalamiento. (C6.2.2) Los requisitos que se indican a continuación se deben cumplir en la construcción de vigas y losas, excepto cuando se vacíen contra el suelo Con anterioridad al inicio de la construcción, el constructor de la estructura debe definir un procedimiento y una programación para la instalación y remoción de la cimbra y las operaciones de recimbrado, cuando estas se utilicen. Así mismo debe establecer las fuerzas que se transfieren a la estructura debido a estos procesos a) Los análisis estructurales y los datos de las resistencias del concreto utilizadas en el planeamiento e implementación de la remoción de las formaletas y cimbras, deben ser entregados al Supervisor Técnico cuando este lo solicite b) Solamente cuando la estructura en su estado de avance, en conjunto con las formaletas y cimbras que se dejen, tenga suficiente resistencia para soportar adecuadamente su peso y las cargas existentes, puede removerse la cimbra de cualquier porción de la estructura c) La demostración de que la resistencia es adecuada debe basarse en un análisis estructural que tenga en cuenta las cargas existentes, la resistencia de la formaleta y cimbras y los datos de la resistencia del concreto. La resistencia del concreto de debe basar en el ensayo de muestras curadas en el campo, o cuando lo apruebe el Superviso Técnico con base en otros procedimiento para determinar la resistencia del concreto No se pueden soportar en la estructura sin cimbras cargas de construcción que excedan la suma de las cargas muertas más vivas en el diseño, a menos que por medio de un análisis estructural se demuestre que existe resistencia suficiente para soportar estas cargas Los apoyos de formaletas para elementos de concreto Presforzado, pueden removerse cuando se haya aplicado suficiente presfuerzo para permitir que el elemento presforzado soporte su carga muerta y las cargas de construcción previstas V.3 EMBEBIDOS EN EL CONCRETO (C.6.3) Pueden embeberse (previa aprobación del profesional facultado) conductos, tuberías y camisas de cualquier material que no produzca efectos nocivos al concreto, dentro de las limitaciones descriptas en esta sección No se pueden embeber conductos y tuberías de aluminio en el concreto estructural a menos que estén convenientemente revestidos o cubiertos para prevenir la reacción aluminio-Concreto o la acción electrolítica entre el aluminio y el acero

Los conductos, tuberías y camisas que atraviesan una losa, muro o viga, no deben afectar adversamente la resistencia de la estructura Los ductos y tuberías, incluyendo sus acoples, que estén embebidos dentro de una columna, no pueden desplazar más del 4% del área de la sección transversal sobre la cual se haya calculado la resistencia, o de la que se requiera para protección contra el fuego Excepto cuando los planos de conductos y tuberías son aprobadas por el Ingeniero Diseñador, los conductos y tuberías embebidas dentro de una losa, muro o viga (fuera de los que simplemente los atraviesas) deben cumplir los siguientes requisitos: a) Su dimensión externa no puede ser mayor de 1/3 del espesor total de la losa , muro o vigas dentro de los cuales estén embebidos b) Su separación, medida centro a centro, no puede ser menor de 3 diámetros o anchos medidos centro a centro. No deben afectar adversamente la resistencia de la estructura Pueden considerarse que los conductos, tuberías y camisas reemplazan estructuralmente el Concreto desplazado sometido a compresión si: a) No están expuestos a la oxidación u otro tipo de deterioro b) Son de hierro o acero, del tipo no revestido o galvanizados, y cuyo espesor es mayor o igual de calibre normal 40 para tuberías de acero c) Tienen un diámetro interno nominal no mayor de 50 mm. Y están separados a no menos de 3 diámetros medidos centro a centro Además de los anteriores requisitos, las tuberías que contengan líquidos, gases o vapor, pueden embeberse en concreto estructural diseñándolas de tal forma que resistan los efectos del material, la presión y la temperatura a las cuales van a estar sometidas No debe conducirse por las tuberías ningún líquido, gas o vapor, hasta que el concreto haya alcanzado su resistencia de diseño, excepto agua que no sobrepase los 32°C y los 0.35 MPa de presión En losas macizas, las tuberías deben colocarse entre el refuerzo superior y el inferior, a menos que sean para calefacción por radiación El recubrimiento del concreto para las tuberías y acoples, no debe ser menor de 38 mm para Concreto en contacto con el suelo o a la intemperie, ni menor de 19 mm para concreto que no vaya a estar expuesto a la intemperie o en contacto con el suelo Las tuberías deben fabricarse e instalarse de tal manera que no requiera cortar, doblar o desplazar el refuerzo de su localización correcta Debe colocarse refuerzo con un área no menor de 0.002 veces el área de la sección del concreto en sentido perpendicular a la tubería V.4 JUNTAS DE CONSTRUCCIÓN (C.6.4) Donde haya que hacer una junta de construcción, debe limpiarse completamente la superficie del concreto y remover toda lechada y agua estancada Todas las juntas verticales de construcción deben humedecerse inmediatamente antes de una nueva colocación del concreto Las juntas ce construcción deben hacerse y localizarse de tal manera que no perjudiquen la resistencia de la estructura. Deben tomarse precauciones para lograr la transferencia de cortante y otras fuerzas a través de las juntas de construcción Las juntas de construcción en las losas, deben localizarse en el tercio central de las luces de las losas, vigas o vigas principales a menos que una viga intercepte una viga principal en su parte central, en cuyo caso las juntas en las vigas principales deben desplazarse una distancia igual al doble del ancho de la viga que la intercepte Las vigas, vigas principales o losas apoyadas en columna o muros, no deben vaciarse o colocarse, cuando sean prefabricada.; antes de que el concreto de los elementos de apoyo verticales haya endurecido hasta el punto que haya dejado de ser plástico Las vigas, vigas principales, capitales de columnas y cartelas, deben considerarse como parte del sistema de losas y deben vaciarse monolíticamente con las mismas, a menos que en los planos se indique la forma de hacerlo adecuadamente. En ningún caso puede suspenderse el vaciado al nivel del refuerzo longitudinal

V.5 PROBLEMAS PROPUESTOS V.5.1 Cual es el objetivo de las cimbras y encofrados? V.5.2 Como debe retirarse las cimbra, puntales? V.5.3 Que elementos pueden embeberse en el concreto? V.5.4 Que debe hacerse cuando sea necesario hacer una junta?

CAPÍTULO VI FUNDAMENTOS DE LAS TEORÍAS DE RESISTENCIA Y MÉTODOS DE CÁLCULO VI. 1. DATOS EXPERIMENTALES Las investigaciones realizadas demostraron que los elementos elaborados con concreto simple tenían muy baja capacidad resistente, debido a la poca resistencia del concreto a tracción, por lo cual, se comenzó a colocar refuerzo en la zona de tracción y nació lo que se llamó concreto reforzado, que en la actualidad se denomina Concreto Estructural El Concreto Estructural es un material formado por concreto y refuerzo (armadura de acero) que es la unión de dos materiales distintos en sus características físico-mecánico, pero que se complementan y trabajan conjuntamente cuando se le aplican las cargas, debido, fundamentalmente a la adherencia que se produce entre ellos. Experimentalmente se estableció que las deformaciones plásticas del concreto y las fisuras en la zona traccionada ejercen sustancial influencia en el estado esfuerzo-deformación de los elementos de concreto estructural. Para este material, las hipótesis de la linealidad entre esfuerzo-deformación y las fórmulas de la resistencia de los materiales elásticos no son aceptables, sobre todo en el estado de agotamiento. VI. 2. ESTADO ESFUERZO-DEFORMACIÓN Los ensayos de elementos de concreto simple y reforzado mostraron que al ir aumentando las cargas exteriores, se pueden observar tres fases características para el concreto simple y reforzado. FASE 1 En la cual no aparecen fisuras en la zona traccionada del concreto (ésta es la única fase para el concreto simple) y los esfuerzos de tracción son tomados por el concreto (en elementos de concreto simple), y por el concreto y el refuerzo en el concreto estructural reforzado FASE 2 Tiene lugar después de aparecer las fisuras en la zona traccionada del concreto. Los esfuerzos son tomados por el refuerzo y el sector de concreto que está sobre las fisuras en los lugares que existen fisuras. Los esfuerzos en la fisura son tomados por el refuerzo FASE 3 Hay dos casos: CASO 1. Cuando el refuerzo traccionado alcanza el límite físico o convencional de fluidez y el concreto en la zona comprimida no ha fallado. CASO 2. Cuando la rotura se produce en la zona comprimida del concreto. El fallo es quebradizo. VI. 3. MÉTODOS PARA CALCULAR LAS SECCIONES DE CONCRETO ESTRUCTURAL. Hasta la actualidad, los métodos para calcular las secciones son: MÉTODO SEGÚN LAS TENSIONES ADMISIBLES MÉTODO DE ROTURA MÉTODO A ESTADO LÍMITE

VI 3.1. Método según las Tensiones Admisibles. Este método toma como base la Fase 2 del estado esfuerzo-deformación y son aceptadas las siguientes hipótesis: a) No se considera la resistencia a tracción del concreto b) Los esfuerzos de tracción son tomados por el refuerzo a tracción c) El concreto en la zona comprimida trabaja elásticamente d) La dependencia entre los esfuerzos y las deformaciones es lineal de acuerdo con la Ley de Hooke 54

e) Las secciones planas antes de la flexión continúan siendo planas después de ellas f) Los materiales se trabajan a esfuerzo permisible g) Las cargas se consideran con su valor de servicio Analizando una sección rectangular sometida a flexión simple se tiene lo siguiente: 0.45 fc' x M

Método Esfuerzos Permisibles. Sección rectangular sometida a flexión simple El diagrama de esfuerzos del concreto en la zona comprimida se adopta triangular. Es constante el valor de la relación entre los módulos de elasticidad de los materiales: n=Es/Ec La sección se considera homogeneizada. Las deformaciones de los materiales son iguales a: s= fs/Ea c=fc’/Ec Por medio del Coeficiente de equivalencia n, se determina la función entre los esfuerzos del refuerzo y el concreto: fs=n fc’ El esfuerzo máximo del concreto se determina con: fc’=M/Ic Ic-Momento de inercia del concreto homogeneizado Los esfuerzos del refuerzo traccionado y comprimido son: fs=n M (d-x)/Ic fsc=n M (x-d’) / Ic La altura de la zona comprimida se halla en base de que el momento estático de la sección homogeneizada con respecto al eje neutro es igual a cero. El defecto principal de este método es que el concreto se considera un material elástico, y ‘n’ se le da un valor constante los cuales no son ciertos ya que depende de los esfuerzos del concreto, la duración de las cargas, etc. Tampoco se puede proyectar con un valor de seguridad fijado y no pueden determinarse los verdaderos esfuerzos a que trabajan los materiales en el estado de agotamiento. VI 3.2. Método de Rotura. En este método se aplican las siguientes hipótesis: a) No se considera la resistencia del concreto a tracción b) El esfuerzo en la zona comprimida del concreto se considera rectangular y con un valor de 0.85 fc’ c) Los materiales trabajan a sus esfuerzos de rotura. d) Las cargas se consideran con el valor que produce la rotura de los materiales. Este método toma como base la Fase 3 del estado esfuerzo-deformación.

Analizando una sección rectangular sometida a flexión simple se tiene lo siguiente: 0.85 fc’ As’ fy de As fy b

Método de Rotura. Sección rectangular sometida a flexión simple. El momento de rotura con respecto al eje que pasa por el centro de gravedad del refuerzo traccionado es: Mu= 0.85 fc’ Sc + As’ fy ( de – d’) Sc- Momento estático de la superficie del concreto de la zona comprimida con respecto al eje que pasa por el centro de gravedad del refuerzo traccionado La línea neutra se halla según la ecuación de equilibrio de los esfuerzos interiores, en la fase de rotura El coeficiente de seguridad se halla según la ecuación: Fs=Mu/ M Mu-momento de rotura M-momento de las cargas de servicio El coeficiente de seguridad varia entre 1.8 a 1.2 La desventaja de este método consiste en que las posibles desviaciones de las cargas y de los parámetros de la resistencia mecánica de los materiales con respecto a sus valores teóricos no pueden ser consideradas con suficiente exactitud

VI.4 PROBLEMAS PROPUESTOS VI.4.1 En el estado esfuerzo-deformación que fases se presentan? VI.4.2 Qué métodos existen para calcular las secciones de concreto estructural?

CAPÍTULO VII MÉTODO DE LOS ESTADOS LÍMITE El método de los Estados Límite es un enfoque más avanzado que el método de rotura, incorporando todos aquellos conceptos que son aplicables a la resistencia y comportamiento de los elementos sometidos a la acción de cargas conocidas o previsibles, con la finalidad de garantizar una seguridad adecuada de manera que puedan cumplir plenamente la función a la cual se destinan en el período de tiempo que se estime su durabilidad, de ahí, que no sólo se analice la probabilidad de su agotamiento por fallo de resistencia, sino que se considere que su deformación y fisuración en toda su etapa de uso no llegue a ser de magnitud tal que obligue a desechar la obra. La estructura en conjunto y cada una de sus partes debe analizarse, diseñarse y construirse de manera que sea capaz de resistir todas las solicitaciones, cargas y deformaciones que se puedan presentar durante su construcción y uso, sin llegar a los estados limites descripto a continuación VII.1 CLASIFICACIÓN DE LOS ESTADOS LÍMITE Y CONCEPTO DE SEGURIDAD Estado Límite es aquel estado que provoca en una estructura o parte de ella, una condición o situación particular en la que no puede cumplir con la función a que se destinaba, o sea, pierde su aptitud para el uso especificado. Estos Estados Límites pueden ser por agotamiento resistente, por deformación excesiva, por posible daño o deterioro de los materiales que constituyen la estructura, etc. En la práctica se clasifican en dos grandes grupos, que son: -Estado Límite de Funcionamiento o Servicio, que corresponde a los criterios que gobiernan el uso normal y la durabilidad. También llamado Estado Limite de Utilización. -Estado Límite de Resistencia que corresponde a la máxima capacidad portante 1. ESTADO LÍMITE DE FUNCIONAMIENTO O SERVICIO Es función de criterios de utilización normal o durabilidad, es decir, son aquellos que sin haber agotado la capacidad resistente la estructura deja de ser útil al no cumplir con la función para la cual se destina por: -Deformación o deflexiones excesivas para el uso normal de la estructura -Fisuración prematura o excesiva -Por desplazamiento excesivos aunque no implique perdidas de equilibrio -Por daños locales como la corrosión y el ataque al Concreto producido por ambientes salinos o que contienen sulfatos -Por vibraciones excesivas producidas por elementos móviles, o cargas cíclicas que causan efectos de fatiga -Por daño local evitable a través de la disposición de juntas de expansión y de control, y la disposición adecuada del refuerzo y del presfuerzo o -Por fuego Entre los Estados Límite de Utilización que analizaremos están: .Estado Límite de Deformación .Estado Límite de Fisuración 2. ESTADO LÍMITE DE RESISTENCIA Se puede llegar al estado límite de resistencia, entre otros, debido a: -Que la resistencia de diseño, afectada por los Coeficientes de Reducción de Resistencia,  apropiados sea menor que las fuerzas mayoradas -Que se presenten perdidas de la estructura en conjunto o en algunas de sus partes -Por la rotura de secciones críticas de la estructura -Por transformación de la estructura en mecanismo -Por inestabilidad que lleve a cambios geométricos incompatibles con las hipótesis iniciales de análisis, y -Por falta de integridad estructural, debida a ausencia de amarres adecuados entre los diferentes elementos que conforman la estructura Entre los Estados Límite Últimos, analizaremos: .Estado Límite Último por Capacidad Resistente a Esfuerzos Normales .Estado Límite de Cortante .Estado Límite de Torsión

VII 2.COMPROBACIÓN DE LA SEGURIDAD La comprobación de la seguridad consiste en: 1. Bajo la combinación más desfavorable de las cargas de servicio, las solicitaciones resultantes son como máximo iguales a los valores obtenidos a partir de las resistencias nominal de los materiales (Estado Límite de Utilización) 2. Bajo la combinación más desfavorable de las cargas de cálculo (mayoradas), las solicitaciones resultantes son como máximo, iguales a los valores de cálculo (de diseño) de los materiales (Estado Límite de Agotamiento) VII 3. PROBLEMAS PROPUESTOS VII.3.1 Como es el método de los Estados Límite y cual su finalidad? VII.3.2 Qué estado es el Estado Límite, como pueden ser y como se clasifican? VII.3.3 Cual es el estado límite de funcionamiento? VII.3.4 Cual es el estado límite de resistencia? VII.3.5 Qué estados límite último se tratará en este libro? VII.3.6 En que consiste la seguridad?

CAPÍTULO VIII ANÁLISIS Y DISEÑO CONSIDERACIONES GENERALES VIII.1 CARGAS Y FUERZAS DE DISEÑO Y DE SERVICIO Toda estructura de concreto estructural se dimensiona y se diseñan para que se comporte adecuadamente ante todas las solicitaciones que la puedan afectar. Para las condiciones relevantes de las diferentes cargas y solicitaciones, deben tomarse suficientes casos de combinación con el fin de poder identificar las condiciones críticas de diseño dentro de la estructura, o partes de ellas Las cargas que actúan sobre las estructuras pueden ser: carga muerta (D), carga viva o temporal (L) y cargas ambientales Las cargas muertas son aquellas que constante en su valor y posición a través de la vida útil de la estructura, entre las que se encuentran: el peso de la estructura misma, el peso de la terminación del piso, cielo raso, tuberías fijas, etc. Las cargas vivas consisten de la carga de ocupación de los edificios, ellas pueden estar colocadas en toda el área, en parte del área o en ningún área, Su valor y distribución, en cualquier tiempo, puede variar Las cargas ambientales consisten en las cargas de granizo, viento, sismo, presión del terreno, cambios de temperaturas etc. Estas cargas son variables en el tiempo Las cargas también se divide en cargas de servicio y cargas mayo radas. Las cargas de servicio son las cargas que actúan sobre la estructura sin factor de carga y las cargas mayoradas son las cargas multiplicadas por un factor de carga que considera que estas cargas tienen el máximo valor en la etapa de fallo último -Las cargas de servicio se determinan de acuerdo con lo prescripto en el Capítulo B..3 del Reglamento Para cargas permanentes (muertas) y Capitulo B. 4 para cargas temporales (vivas). También debe tenerse en cuenta el Capitulo B.5 para empujes de tierra y presión hidrostática, así como el Titulo H del Reglamento -Las cargas temporales (vivas) pueden afectarse por las reducciones que permite el Titulo B del Reglamento -Las fuerzas de viento deben determinarse siguiendo el Capitulo B.6 del Reglamento -Las fuerzas sísmicas y sus efectos se deben determinar siguiendo los requisitos del Título A del Reglamento -Deben tenerse en cuentas los efectos del presfuerzo, cargas de puentes grúas, vibración, impacto, retracción de fraguado, variaciones de temperatura, flujo plástico y asentamientos diferenciales Según el epígrafe B.2.3 del Reglamento las combinaciones de cargas para el método de esfuerzos de trabajo son las siguientes: 1-Las cargas de servicios se deben combinar de la forma que se describe a continuación y el diseño debe hacerse para la combinación que produzca el efecto más desfavorable en la edificación, en su cimiento o en el elemento estructural bajo consideración. El efecto más desfavorable puede ocurrir cuando una o varias de las cargas no actúen. D +F VIII.1.1 (B.2.3-1) D+H+F+L+T VIII.1.2 (B.2.3-2) D + H + F + (Lr o G) VIII.1.3 (B.2.3-3) D + H + F + 0.75 (L + T) + 0.75 (Lr o G) VIII.1.4 (B.2.3-4) D+L+HF+W VIII.1.5 (B.2.3-5) D + H + F + 0.7E VIII.1.6 (B.2.3-6) D + H + F + 0.75W + 0.75L + 0.75 (Lr o G) VIII.1.7 (B.2.3-7) D + H + F + 0.75(0.7E) + 0.75L + 0.75(Lr o G) VIII.1.8 (B.2.3-8) 0.6D + W + H VIII.1.9 (B.2.3-9) 0.6D + 0.75E + H VIII.1.10 (B.2.3-10) Deben considerarse los efectos más desfavorables de viento y de sismo tomándose independientemente Cuando una estructura está localizada en una zona de inundación las siguientes combinaciones de carga deben ser adicionadas: En zonas costeras: 1.5Fa debe incluirse en las combinaciones VIII.1.5 a VIII .1.8 y E debe ser eliminada en IX.116 y IX.1.8 En zonas no costeras: debe adicionarse 0.75 Fa en las mismas combinaciones y E debe eliminarse en VIII.1.6 y VIII.1.8 59

La clasificación de las cargas según el Reglamento, es la siguiente: D = Carga Permanente (muerta), consiste en: (a) Peso propio del elemento (b) Peso de todos los materiales de construcción incorporados a la edificación y que son permanentemente soportados por el elemento, incluyendo muros y particiones divisorias de ambiente (c) Peso de equipos permanentes E = Fuerzas sísmicas reducidas de diseño (E = Fs/R) que se emplean para diseñar los miembros estructurales Ed = Fuerza sísmica de umbral de daño F = Cargas debidas a fluidos de los cuales se conocen su peso específico, su presión y su máxima variación en la altura Fa = Carga debida a inundación Fs = Fuerzas sísmicas calculadas con los requisitos del Título A del Reglamento G = Carga debida al granizo, sin tener en cuenta la contribución de empozamiento L = Cargas temporales (vivas) debidas al uso y ocupación de la edificación, incluyendo cargas debidas a objetos móviles, particiones que se pueden cambiar de sitio. L incluye cualquier reducción que se permita. si se toma en cuenta la resistencia a cargas de impacto, este efecto debe tenerse en cuenta en la carga viva L Lr = Carga temporal (viva) sobre la cubierta H = Cargas debidas al empuje lateral del suelo de agua freática o de materiales almacenados con restricción horizontal P = Cargas debidas al punzonamiento Ro = Coeficiente de capacidad de disipación de energía básica definido para cada sistema estructural y cada grado de capacidad de disipación de energía del material estructural. Véase el Capítulo A.3 del Reglamento colombiano de Construcciones Sismo Resistente R = Coeficiente de capacidad de disipación de energía para ser empleado en el diseño, corresponde al coeficiente de disipación básico multiplicado por los Coeficientes de reducción de capacidad de la disipación de energía por irregularidades en altura y planta. y por ausencia de redundancia en el sistema estructural de resistencia sísmica R =  a  b  r , Véase el Capitulo A.3 del Reglamento T = Fuerzas y efectos causados por expansión o contracción debida a cambios de temperatura, retracción de fraguado, flujo plástico, cambios de humedad, asentamientos diferenciales, o combinación de varíos de estos efectos W = Carga de viento Las fuerzas sísmicas reducidas, E, utilizadas en las combinaciones VIII.1.6, VIII.1.8 y VIII.1.10 corresponden al efectos, expresado en termino de fuerza , Fs, de los movimientos sísmicos de diseño prescriptos en el Título A del Reglamento, dividido por R ( E = Fs / R) Cuando se trata de diseñar los elementos por el método de los esfuerzos de trabajo del material, el valor del coeficiente de carga que afecta las fuerzas sísmicas E, es 0.7 Para evaluar las derivas obtenidas de las deflexiones horizontales causadas por el sismo de diseño, deben utilizarse los requisitos del capítulo A.6 del Reglamento los cuales exigen que las derivas se verifiquen para las fuerzas sísmicas Fs, sin haber sido dividida por R, empleando 1.0E en vez de 0.7E en las ecuaciones que incluyan E Para evaluar los esfuerzos en los miembros estructurales y no estructurales, causados por el sismo de umbral de daño en edificaciones indispensables del grupo de uso IV deben utilizarse los requisitos del capítulo A12 del Reglamento los cuales exigen que los esfuerzos se verifiquen las fuerzas sísmicas Ed obtenidas allí, multiplicadas por un coeficiente de carga igual 1.0 en las combinaciones VIII.1.6, VIII.1.8 y VIII.1.10. Además, en la combinación VIIIX.1.8 puede emplearse un coeficiente de carga de 0.4 para la carga viva, en la evaluación de esfuerzos para el sismo de umbral de daño en la evaluación de esfuerzos para el sismo de umbral de daño y pueden emplearse los requisitos de VIII.14 Para las combinaciones de cargas mayoradas utilizando el método de resistencia según las modificaciones del epígrafe B.2.4 son las siguientes: 2- (C.9.2.1) La resistencia requerida U debe ser por lo menos igual al efecto de las cargas mayoradas en las ecuaciones VIII.1.11 a VIII.1.17.

Debe investigarse el efecto de una o más cargas que no actúan simultáneamente: U = 1.4 D VIII.1.11 (C.9-1) U = 1.2 D + 1.6 L o Le + 0.5(Lr ó G ó Le) VIII.1.12 (C.9-2) U = 1.2D + 1.6 (Lr o G o Le) + (1.0L ó 0.5W) VIII.1.13 (C.9-3) U = 1.2D + 1.0 W +1.0 L + 0.5 (Lr ó G ó Le) VIII.1.14 (C.9-4) U = 1.2D + 1.0 E+ L VIII.1.15 (C.9-5) U = 0.9D + 1.0 W VIII.1.16 (C.9-6) U = 0.9D + 1.0E VIII.1.17 (C.9-7) Excepto que: a)Se permite reducir a 0.5 el factor de carga de la carga viva L en las ecuaciones VIII.1.13 a VIII.1.15, excepto para estacionamientos, áreas ocupadas como lugares de reunión pública y en todas las áreas donde L sea mayor de 4.8 kN/m2 b) Las fuerzas de sismo reducida de diseño, E, utilizadas en las ecuaciones VIII.6.15 y VIII.6.17 corresponden al efecto, expresado en ternmino de fuerza, Fs, de los movimientos sísmicos prescriptos en el Titulo A del Reglamento, divididos por R (E = Fs/R). Cuando se trate de diseñar los miembros, el valor del coeficiente de carga es 1.0, dado que están prescriptas al nivel de resistencia. Para la verificación de la derivas obtenidas de las deflexiones horizontales causadas por el sismo de diseño, deben utilizarse los requisitos del capítulo A6, del reglamento, las cuales exigen que las derivas se verifiquen para las fuerzas sísmicas Fs, sin haber sido por R c) Cuando sea aplicable los efectos auto deformante, los efectos estructurales de T deben considerarse en combinación con otras cargas. El factor de carga para T debe establecerse considerando la incertidumbre asociada con la magnitud esperada de T, la probabilidad de que el máximo efecto ocurra simultáneamente con otras cargas aplicadas, y las consecuencias potencialmente adversas en caso de que el efecto T sea mayor que el supuesto. El factor de carga de T no puede ser menor que 1.0 e)Cuando F este presente, debe incluirse con el mismo factor de D en las ecuaciones VIII.1.11 a VIII.1.15 y en la ecuación VIII.1.17 d)Cuando H este presente se debe incluir en las combinaciones de cargas, con factores de cargas que se ajusten a lo indicado a continuación Cuando H actue solo o incremente el efecto de otras cargas, se debe incluir con un factor de 1.6 Cuando el efecto de H es permanente y contrarresta el efecto de otras cargas debe incluirse con un factor de 0.9 Cuando el efecto de H no es permanente, pero cuando contrarresta el efecto de otras cargas, no se debe incluir H f) Si una estructura se encuentra en una zona de inundación o está sometida a fuerzas por cargas de granizo debe utilizarse las cargas por inundación o por hielo y las combinaciones de carga adecuadas de ASCE/SEI 7 g) Si en el diseño se toma en cuenta la resistencia a los impactos, estos deben incluir en L Los estimados de asentamientos diferenciales, el flujo plástico, la retracción, la expansión del concreto o de retracción compensada o las variaciones de temperatura deben basarse en una evaluación realista de tales efectos que puedan ocurrir durante la vida útil de la estructura Para el diseño de zonas de anclajes de postensado debe utilizarse un factor de 1.2 para la fuerza del presfuerzo máxima alcanzada en el gato

D- carga muerta o momentos y fuerzas internas correspondientes F- cargas debidas al peso y presión de fluidos con densidades bien definidas y alturas máximas controlables o momentos y fuerzas internas correspondientes T- efectos acumulados de variación de temperatura, flujo plástico, retracción asentamiento diferencial y retracción del concreto compensada L- carga viva vivas, o momentos y fuerzas internas correspondientes Le- cargas por emponzamientos de agua o momento y fuerzas internas correspondientes Lr- cargas vivas de cubiertas o momentos y fuerzas internas correspondientes H- cargas debidas al peso y empujes de suelo, del agua en el suelo u otros materiales o momentos y fuerzas internas correspondientes G- cargas por granizos y fuerzas internas correspondientes E- efecto de carga producida producido por el sismo o momentos y fuerzas internas W- carga de viento o momento y fuerzas internas correspondientes

El Reglamento utiliza las definiciones de las cargas según el criterio del ACI 318-08, utilizado unos términos no muy adecuados, como carga muerta, viva etc El autor considera que la mejor definición de estas, son las siguientes: Son aquellas que como su nombre lo indica actúan durante la construcción y vida útil de la estructura de forma constante, pudiéndose mencionar entre dichas cargas: CARGAS PERMANENTES El peso propio de todos los elementos que conforman la obra El empuje de los suelos Los efectos permanentes del preesforzado Son aquellas que actúan durante algunos períodos de la construcción y utilización de la obra, siendo su duración y período de carácter variable y aleatorio Estas cargas se dividen en:

CARGAS TEMPORALES

-Cargas Temporales de Larga Duración Son aquellas que durante la utilización de la obra, se puede observar en el transcurso de un período largo de tiempo. Ej. Cargas de equipos estacionarios, tabiques temporales, presión de líquidos, granos, gases, cargas de entresuelos de locales de almacenamiento, salas de máquinas de centro de cálculo, acciones de temperaturas, productos de procesos tecnológicos, deformaciones diferenciales en los suelos, efecto de retracción y fluencia y otras. Este tipo de carga temporal también se le denomina como de acción prolongada. -Cargas temporales de Corta Duración. Son las que su valor teórico se puede observar en un período corto de tiempo durante la utilización de la estructura. Ej. Cargas debidas a personas y animales, los equipos y materiales de uso transitorio, las cargas producidas durante el proceso de fabricación, transporte y montaje de elementos estructurales, efecto climático de temperatura, presión de viento no extremo, el peso de agua acumulada en cubiertas planas y otras. -Cargas Especiales. Son las temporales de corta duración cuyo valor puede aparecer en casos excepcionales. Ej. Carga de sismo, carga de viento extremo, asentamiento diferencial de la cimentación en suelo colapsable, rotura de equipos y otras

VIII. 2 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO 1- El énfasis general de cálculo estructural se debe dirigir hacia el comportamiento global de la estructura, teniendo en cuenta todos los aspectos ambientales que la puedan restringir o afectar y hacia la conducción adecuada de las fuerzas, y sus efectos, dentro de ellas. En el diseño de concreto estructural, los elementos se deben dimensionar y detallar para que tengan la resistencia adecuada de acuerdo con los requisitos del Reglamento, utilizando los coeficientes de cargas y de reducción de resistencia  Etapas de diseño. Se deben cumplir dos etapas 62

1ª. Etapa. Análisis – Esta etapa consiste en calcular el estado nominal de esfuerzos y deformaciones dentro de estructura por medio de una idealización matemática o física de ella 2ª Etapa – Diseño – Esta etapa consiste en determinar y verificar las dimensiones definitivas de los elementos y la cantidad y dispositivos del refuerzo a colocarse VIII.3 PRIMERA ETAPA –METODOLOGÍA DE ANÁLISIS 1– General – Los sistemas estructurales deben diseñarse para los efectos máximos causados por las cargas mayoradas, tal como se manifiestan en las diferentes secciones de sus elementos. Estos efectos deben determinarse por medio de un análisis estructural realizado por uno de los métodos definidos en VIII. 3. a VIII.6 El objetivo del análisis es la determinación de la distribución de las fuerzas y momentos internos, o de los esfuerzos, deformaciones y desplazamientos, de toda o parte de la estructura. Deben realizarse análisis locales adicionales cuando sean necesarios. El análisis debe tener en cuenta los efectos de la rigidez de la cimentación y del suelo cuando estos afecten los resultados del análisis 2 – Equilibrio y compatibilidad – Todas las metodologías de análisis deben cumplir con los principios de equilibrio y compatibilidad de deformaciones - Normalmente el equilibrio se debe verificar con base en la estructura no deformada (teoría de primer orden). Sin embargo, en aquellos caso en los cuales las deformaciones pueden conducir a aumentos significativos de las fuerzas y momentos internos, el equilibrio debe verificarse considerando la estructura deformada (teoría de segundo orden, o efecto P-Delta) - En las metodologías elásticas el procedimiento de análisis debe cumplir explícitamente el principio de compatibilidad de deformaciones. En las metodologías inelásticas de análisis, la compatibilidad puede ser verificada directamente o bien indirectamente por medio de verificaciones de la capacidad de deformación cuando el procedimiento de análisis no verifica directamente en los lugares donde se presentan concentraciones de comportamiento inelástico, como pueden ser articulaciones plásticas o los lugares de fluencia - La metodología empleada debe tener en cuenta, además de las deformaciones causadas por flexión de los elementos, las deformaciones, elásticas o inelásticas, causadas por las fuerzas axiales, de cortante y de torsión, cuando sus efectos sean superiores al cinco por ciento de las deformaciones causadas por flexión 3-Criterio del ingeniero diseñador La metodología de análisis empleada debe ser consistente con las suposiciones realizadas por el ingeniero diseñador y con la precisión propia de la información de las cargas y restricciones. Los modelos de análisis empleados deben describir adecuadamente el comportamiento estructural. En la selección del procedimiento de análisis se debe tratar de identificar correctamente los mecanismos de falla, evitando complejidades innecesarias. Los procedimientos excesivamente refinados deben utilizarse en estructuras complejas y por parte de ingenieros que dominen sus fundamentos. Cuando se utilicen procedimientos de cálculo electrónicos, es obligación del ingeniero conocer a fondo los fundamentos bajos los cuales se desarrollaron los programas utilizados y las suposiciones que el programa utiliza internamente 4-Metodologías de análisis. Se reconocen la siguiente metodología: a) análisis estructural elástico b) análisis elástico de esfuerzo c) análisis inelástico de esfuerzo d) análisis experimental de esfuerzo e) procedimiento especial para el análisis de losas 5-Análisis complementarios- El análisis estructural elástico general debe complementarse con análisis locales, elásticos e inelásticos, que tomen en cuenta la incertidumbre en las cargas, tanto en magnitud como en ubicación y el comportamiento inelástico y la distribución de los esfuerzos locales debida a la fisuración, la adherencia del refuerzo y además debe llevarse a cabo comprobaciones de estabilidad local y general de la estructura 6-Documentación del análisis – Además de los resultados del análisis global de la estructura, deben realizarse y documentarse evaluaciones independientes utilizando metodologías elásticas e inelásticas que cumplan con los principios de equilibrio de los estados de esfuerzo en las secciones críticas y en las regiones donde haya discontinuidades. La memoria de los cálculos de estos procedimientos debe explicar las suposiciones realizadas, la metodología empleada y los resultados obtenidos, por medio de la

descripción de las fuerzas en las diferentes secciones, los estados de esfuerzos obtenidos, las verificaciones para los estados límites, y la localización y tipo de refuerzo obtenido, incluyendo sus empalmes y anclajes VIII. 4 – ANÁLISIS ESTRUCTURAL ELÁSTICO GENERAL 1-Limitaciones. Se permite el empleo de metodología lineales elásticas de análisis estructural general, en sistemas de estructuras donde la suposición de que existe una distribución lineal de las deformaciones dentro de las secciones sea valida 1a- En el análisis estructural elástico general se considera la estructura como un ensamblaje de elementos interconectados, que se clasifican de acuerdo con la naturaleza y con la función que desempeñan, tales como: vigas, columnas, losas, muros, etc. En la medida que la altura de la sección del elemento sea mayor, en comparación con su luz o altura libre, la suposición de que la distribución de las deformaciones internas dentro del elemento es lineal deja de ser cierta. En estos casos el comportamiento real difiere del que predice un análisis estructural elástico general, y por lo tanto debe recurrirse a otros procedimientos que describan de una manera adecuada el comportamiento real. 2 – Rigidez (C.8.7) El ingeniero diseñador de acuerdo con su criterio, debe definir las rigideces relativas a flexión y torsión de columnas, muros y sistemas de entrepisos y cubiertas de los elementos, a emplear en el análisis estructural, de acuerdo con suposiciones razonables. Las suposiciones adoptadas se deben mantener consistentemente durante todo el análisis. El efecto de las variaciones de la sección de los elementos, producidas por cartelas, mensuras, etc., debe ser tenido en cuenta en el análisis y el diseño. 3-Rigidez efectiva para determinar las deflexiones laterales (C.8.8) Las deflexiones laterales de los sistemas estructurales de concreto reforzado provenientes de las fuerzas laterales de servicio deben calcularse ya sea mediante un análisis linear usando una rigidez de los elementos como 1.4 veces la rigidez definidas a continuación o utilizando un análisis más detallado. Las propiedades de los elementos no se debe tomar mayores que las propiedades de la sección bruta 3.1) Las deflexiones laterales provenientes de fuerzas laterales mayoradas se deben calcular ya sea mediante un análisis linear con la rigidez de los elementos por (a) hasta (b) o usando un análisis más detallado que considera la rigidez reducida de todos los elementos bajo las condiciones de carga: a)por las propiedades de las secciones tomando Ec = [(wc) ^1.5] 0.043fc’ en MPa b) el 50 por ciento de los valores de la rigidez basados de rigidez basados en las propiedades de la sección bruta Cuando se designan losas de dos direcciones sin vigas como parte del sistema de resistencia de fuerzas simicas. Las deflexiones laterales que resultan de las cargas laterales mayoradas pueden ser calculadas usando un análisis linear. La rigidez de los elementos de la losa debe definirse con un modelo que este sustancialmente de acuerdo con los resultados de ensayos experimentales representativos y análisis, y la rigidez de los otros elementos estructurales, como se define en 3.1) anterior. Estos sistemas están restringidos en su uso por el Titulo A del Reglamento NSR-10 En ausencia de unas consideraciones como las indicadas anteriormente, para efectos de determinar deformaciones, pueden emplearse las propiedades aproximadas para elementos dadas en la Tabla IX.4a

Módulo de elasticidad, Ec Momento de inercia de vigas Momento de inercia columna Momentos de inercia muro No figurados Figurados Momento de inercia de losas en Sistemas losa-columna Área

Tabla VIII.4a Propiedades de Rigidez (EI) para el análisis de: Estado Limite de Servicio Estado Limite de Resistencia Módulo de elasticidad del Módulo de elasticidad del Concreto Concreto 0.50 Ig 0.35 Ig 1.00 Ig 0.70 Ig 0.70 Ig 1.00 Ig 0.35 Ig 0.50 Ig 0.35 Ig 1.00 Ag

0.25 Ig 1.00 Ag

Ig – momento de inercia de la sección bruta de concreto, con respecto a su eje centroidal, sin considerar el refuerzo Se permite para en el Estado Límite de Resistencia utilizar los momentos de inercia de elementos a compresión y flexión con los siguientes valores: Elementos a compresión: I = [33.29 + 1040 (Ast/ Ag)] [1 – (Mu/ Pu h) – 0.5 (Pu / Po) Ig ≤ 0.875 Ig VIII. 4.1 donde Ast y Ag en cm^2 y se obtiene I en cm^2, los otros valores tiene que ser consecuentes I = [0.80 + 25 (Ast / Ag)] [1 – (Mu / Pu h) – 0.5 (Pu / Po) Ig ≤ 0.875 Ig (psi) VIII. 4.2 Pu y Mu deben ser determinados de la combinación particular que esté en consideración o para la combinación de Pu y Mu determinada en el valor menor de I I no debe tomarse menor que 0.35 Ig Elementos a flexión: Para vigas continuas, I se permite tomar como el promedio de los valores obtenidos de para la sección de los momentos críticos positivos y negativos I no debe tomarse menor de 0.25 Ig La relación de las dimensiones de la sección y del refuerzo en las fórmulas anteriores debe estar dentro del 10% de las dimensiones y refuerzo detallado en los planos. Si no lo está la evaluación debe ser repetida Cuando exista una carga lateral de larga duración, I debe ser dividida por (1 + βds). El valor de βds es tomado como la relación del cortante mayorado producido por esa carga en el piso al máximo cortante mayorado en ese piso asociado a la misma combinación de carga, pero no debe tomarse mayor de 1.0 Un caso de ese tipo de carga es por ejemplo, si existen cargas laterales permanentes de valores diferentes a los dos lados del edificio 3d- La relación de Polisón para el concreto debe determinarse por medio del ensayo de cilindros de concreto, de acuerdo con la Norma NTC 4025 (ASTM C469). En el caso de que no se disponga del valor experimental puede utilizarse un valor de 0.2 4-Modulo de elasticidad del acero de refuerzo. El módulo de elasticidad para el acero de refuerzo no Presforzado puede tomarse como Es = 200 000 MPa. El módulo de elasticidad Ep, para tendones de presfuerzo, debe determinarse por ensayos o puede utilizarse el suministrado por el fabricante VIII. 4.2 Longitud de la luz- En el análisis de pórticos o en construcciones continua, la longitud de la luz para la determinación de momentos se toma como la distancia centro a centro de los apoyos, a menos que se realice un análisis más detallados de las condiciones de apoyo VIII 4.2.1 La longitud de la luz de elementos no construidos monolíticos con los apoyos se considera como la luz libre más la profundidad del elemento, pero no es necesario exceder la distancia entre los centros VIII 4.2.2 En las vigas construidas monolíticamente con sus apoyos pueden utilizarse para el diseño los momentos en las caras del apoyo VIII.4.3- Construcción con vigas T – En la construcción con vigas T, el ala y el alma deben construirse monolíticamente o de manera tal que se asegure su unión efectiva El ancho eficaz de la cabeza de compresión (bt) no debe exceder un cuarto de la luz de la viga b ≤ 1/4 de la luz de la viga El ala efectiva (b1) que se proyecta hacia cada lado del alma no debe exceder: - 8 veces el espesor de la losa b1 ≤ 8 hf -La mitad de la distancia hasta el alma siguiente b1 = b2 / 2

b hf h b1 bw b2

Para vigas con losa en un lado solamente. El ancho efectivo de ala que se proyecta no debe exceder de: a) 1/12 de la luz de la viga b ≤ 1/ 12 de la luz de la viga b) 6 veces el espesor de la losa, ni b ≤ 6 hf c) La mitad de la distancia hasta el alma siguiente hf b b2 Las vigas aisladas en las cuales la forma T se utiliza para proporcionar un ala como área adicional de compresión, debe tener un espesor de ala no menor que la mitad del ancho del alma y un ancho efectivo de ala que se proyecta hacia cada lado del alma, no mayor que 4 veces el ancho del alma b1

hf ≥ b/2 b1 ≤ 4 bw

VIII.4.3.1- Cuando el refuerzo principal de flexión de una losa que se considera como T (con excepción de las viguetas) es paralelo a la viga, debe colocarse refuerzo perpendicular a la viga en la parte superior de la losa de acuerdo con los siguientes requisitos: a) Es necesario diseñar refuerzo transversal para sostener la carga aplicada sobre la losa que sobresale del alma, suponiendo que actúa como un voladizo. Para vigas aisladas, debe considerarse el ancho total del ala.. Para otras vigas T, solo hay necesidad de considerar el ancho efectivo que se proyecta hacia el lado del alma b) El refuerzo transversal no debe espaciarse a más de 5 veces el espesor de la losa, ni más de 500 m Carga a considerar

o o

o o o o o o

o o o

refuerzo principal de la losa paralelo a la viga T refuerzo para sostener la carga VIII.4.4 Columnas. Las columnas deben diseñarse para resistir las cargas axiales mayoradas provenientes de todos los pisos que sostengan, inclusive la cubierta, y el máximo momento proveniente de las cargas mayoradas de los vanos adyacentes a la columna en el piso bajo consideración. Además deben considerarse las condiciones de cargas que resulten en la máxima relación de momento a carga axial (excentricidad) En los pórticos o en construcción continua, debe considerarse el efecto de cargas desbalanceadas provenientes de las losas o de cubierta, tanto en las columnas exteriores como interiores y de las cargas excéntricas debidas a otras causas. Al calcular los momentos provenientes de las cargas gravitacionales en las columnas, se permite suponer que estas están empotradas en los extremos lejanos correspondientes a las intersecciones de las columnas con las losas inmediatamente superior e inferior al tramo de columna bajo consideración La resistencia de la columna a momentos en cualquier piso o cubierta debe obtenerse distribuyendo el momento entre las columnas localizadas inmediatamente debajo y encima del piso bajo consideración, en proporción a las rigideces relativas de las columnas y según las condiciones de restricción al giro de los elementos de la losa en el piso VIII.4.5 Disposición de la carga temporal (viva). En la determinación de los efectos de las cargas temporales (vivas) se permiten las siguientes suposiciones: En el análisis de pórticos conformados por vigas horizontales y columnas verticales puede tomarse el pórtico constituido por el piso en consideración más las columnas localizadas inmediatamente encima y debajo de él, considerándolas empotradas en sus extremos más alejados. La carga puede suponerse que esta aplicada únicamente al piso bajo consideración 66

La distribución de la carga viva puede limitarse a combinaciones de: a) La carga muerta aplicadas sobre todas las luces, con la carga viva mayorada sobre dos luces adyacentes, y b) La carga muerta mayorada sobre todas las luces, con la carga viva mayorada sobre luces alternas

Empotramiento Pórtico real

se sustituye por

Empotramiento Distribución de carga Carga permanente (muerta) mayorada + Carga variable (viva) mayorada Carga muerta mayorada a) A B

Carga (muerta) mayorada

Carga (muerta) mayorada + Carga viva mayorada B

b) Carga muerta mayorada

Carga muerta mayorada +

Carga viva mayorada A

Carga viva mayorada B

VIII.4.6 Redistribución inelástica de momentos en elementos no presforzado sometido a flexión Excepto cuando se utilicen valores aproximados de los momentos, se permite aumentar o disminuir los mayorados calculados por medio de la teoría elástica en las secciones de máximo momentos negativos o máximo momento positivo de cualquier vano de elementos continuos sometidos a flexión para cualquier disposición de carga supuesta, en no más de 1000 εt, por ciento, con un máximo de 20% La redistribución de momentos debe hacerse solamente si εt es igual o mayor de 0.0075 en la sección en la que se está reduciendo el momento El momento reducido debe usarse para calcular los momentos redistribuidos en todas las otras secciones dentro del vano. El equilibrio estático se debe mantener después de la redistribución de los momentos para cada disposición de cargas VIII.4.7 Afinado de piso separado. El afinado de pisos no debe considerarse como parte del elemento estructural, a menos que se construya monolíticamente con la losa o se diseñe de acuerdo con los requisitos del Capitulo Elementos Compuestos Concreto-Concreto sometidos a tracción. Se permite considerar el afinado de piso como parte del recubrimiento requerido o como parte de la altura total del elemento para fines no estructurales

VIII.5 ANÁLISIS ELÁSTICO DE ESFUERZOS VIII.5.1 Métodos. Se permite el empleo de procedimientos tales como análisis por el método de los elementos finitos, de las diferencias finitas o de integración numérica, para determinar los efectos de las cargas y fuerzas y el estado de esfuerzos dentro de los materiales que componen la estructura VIII.5.2 Discreatización. Las redes de elementos y las condiciones de frontera deben definirse cuidadosamente y deben ser consistentes con la geometría, cargas y restricciones en los apoyos VIII.5.3 Equilibrio, compatibilidad y linealidad elástica. El análisis debe cumplir con los principios de equilibrio y compatibilidad de deformaciones. Las propiedades mecánicas de los materiales deben suponerse linealmente elástica VIII.5.4 Esfuerzos locales de compresión. Los esfuerzos locales máximos de compresión en la vecindad de fuerzas concentradas aplicadas o de las reacciones en los apoyos de los elementos pueden promediarse p sobre un área igual al área de contacto de apoyo o de fuerza aplicada VIII.5.5 Esfuerzos de tracción. La localización y magnitud de las fuerzas de tracción puede obtenerse integrando los esfuerzos de tracción o preferiblemente, determinando las fuerzas que actúan sobre las secciones críticas y con ellas evaluando las fuerzas de tracción sobre el refuerzo por medio de un procedimiento apropiado de 2a Etapa de diseño. VIII.6 ANÁLISIS INELÁSTICO DE ESFUERZO VIII.6.1 Definiciones Se entiende por un análisis inelástico de esfuerzos, un procedimiento por medio del cual las deformaciones y los estados internos de esfuerzo de la estructura se obtienen por medio de la aplicación del principio de equilibrio, el uso de relaciones esfuerzo-deformación no lineales del concreto y el acero de refuerzo, consideraciones de la fisuración, los efectos geológicos del Concreto y del acero y la compatibilidad de deformaciones o su capacidad de deformación cuando el procedimiento de análisis no verifica directamente la compatibilidad en los lugares donde se presentan articulaciones plásticas o puntos de fluencia. El procedimiento de análisis debe describir adecuadamente los efectos tridimensionales de los elementos y de la estructura VIII.6.2 Limitaciones. Los procedimientos de análisis inelástico de esfuerzo solo pueden emplearse cuando sea posible demostrar que describen adecuadamente el comportamiento de la estructura y sus elementos y que consecuentemente corresponden a un procedimiento seguro de diseño VIII.7 ANÁLISIS EXPERIMENTAL DE ESFUERZO VIII.12.1 Definición. Se entiende por análisis experimental de esfuerzos un procedimiento consistente en la medición de deformaciones y deflexiones de la estructura real o de un modelo físico de ella. El análisis experimental puede basarse en comportamiento elástico o inelástico de la estructura En el análisis experimental deben realizarse verificaciones de las resistencias internas y de las cargas externas para garantizar la consistencia en los resultados obtenidos Cuando se utilicen métodos de análisis experimental, los ensayos realizados deben ser supervisados por un laboratorio con experiencia en este tipo de trabajos VIII.7. 2 2a ETAPA – DISEÑO Y METODOLOGÍAS DE VERIFICACIÓN VIII.7.2.1 General. La definición definitiva de las dimensiones de las secciones, de la cantidad y tipo de refuerzo y de su despiece, debe llevarse a cabo de acuerdo con principio del Concreto reforzado que sea de aceptación general. En el dimensionamiento de los elementos y en la definición de los esfuerzos, deben utilizarse modelos adecuados que resalten el flujo de las fuerzas dentro de la estructura y la resistencia que se debe proveer a los elementos

VIII.7.2.2 Elementos donde haya deformaciones internas lineales En aquellas regiones de la estructura donde sea válida la suposición de que la distribución de las deformaciones es lineal, el estado interno de esfuerzo puede obtenerse por medio de principios de Concreto reforzado de aceptación general, y la resistencia de las diferentes secciones de los elementos puede obtenerse por medio de modelos de resistencia convencionales o bien por medio de modelos de celosías que describan los esfuerzos de una manera condensada por medios de bielas de compresión y tirantes de tracción, o bien por medio de campos de esfuerzo. Deben emplearse los requisitos generales de disposición, detalles y anclajes de refuerzo dados en el Capítulo de Desarrollo y Empalmes del Refuerzo Para garantizar que el refuerzo pueda desarrollar su resistencia en los puntos críticos

VIII.7.2.3 Elementos donde haya deformaciones internas no lineales En aquellas regiones donde se presenten discontinuidades geométricas, fuerzas concentradas o reacciones producidas por apoyos, intersecciones de vigas y vigas y columnas y haya distribuciones no lineales de las deformaciones internas de la estructura, la distribución de los esfuerzos puede obtenerse por medio de modelos de celosía en los cuales haya bielas de compresión, tirantes de tracción y elementos de nudo de geometría adecuada. Los esfuerzos de compresión deben conducirse por medio de bielas de compresión curvas o rectas y las fuerzas de tracción por medio de refuerzo Presforzado VIII.8.MODELOS DE CELOSÍAS En los modelos de celosías, cuando estos se utilicen, deben seguirse los requisitos dados a continuación: El modelo de celosía utilizado debe reflejar adecuadamente todas las fuerzas y condiciones de frontera de la región donde se presente la discontinuidad. Deben cumplirse los principios de equilibrio y compatibilidad en las fronteras de la región donde se presenta la discontinuidad En la determinación de la geometría del modelo de celosía deben tomarse en cuenta las dimensiones adecuadas para las bielas de compresión, los tirantes de tracción y los nodos de conexión Los esfuerzos admisibles utilizados en los elementos de los modelos de celosías deben estar adecuadamente documentados y esta información debe relacionarse en las memorias de cálculo VIII.9 PROBLEMAS PROPUESTOS VIII.9.1 Cuales son las combinaciones de cargas de servicio se deben analizar? VIII.9.2 Cuales son las combinaciones de cargas mayoradas se deben analizar? VIII.9.3 Que etapas de diseño se deben cumplir en el procedimiento de cálculo? VIII.9.4 Que propiedades aproximadas se pueden utilizar al calicular las deformaciones? VIII.9.5 Que valores de momentos de inercia de elementos a compresión y flexión en el estado límite de resistencia? VIII.9.6 Como deben disponerse las cargas vivas?

CAPÍTULO IX Dejado sin utilizar intencionalmente

CAPÍTULO X CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE LAS SECCIONES En el cálculo de las características geométricas de las secciones (áreas, centro de gravedad, momento estático y otros) se tiene en cuenta las dimensiones reales de la sección en la fase considerada X.1. SECCIONES BRUTAS (Ag) Para la determinación de las incógnitas hiperestáticas se tiene en cuenta las secciones brutas, es decir, sin deducción de agujeros o entalladuras para las armaduras de Presforzado.

aberturas que no se tienen en cuenta Se tiene en cuenta el área encerrada en línea gruesa El momento de Inercia de una sección rectangular es Ig = b h^3 / 12 X.1a El momento estático de una sección rectangular es S = b h^2 / 6 X.1b X. 2. SECCIONES REDUCIDAS (NETAS) Por lo que respecta a las solicitaciones normales, para el cálculo de Estados Limite de toda naturaleza, debido a las acciones y a la fuerza de Presforzado, a menos que se trate del caso que nos referiremos posteriormente, en las piezas prismáticas se deducen los huecos longitudinales y transversales, tales como agujeros y entalladuras practicadas para el paso de las armaduras de Presforzado o el anclaje de las mismas incluso si estos huecos se inyectan posteriormente. Esta precaución tiene por objeto evitar excesos de compresión durante el tesado en las zonas que rodean a las armaduras de Presforzado o a sus anclajes. No obstante en ciertos casos en que las compresiones fueran a prior débil sería lícito no deducir los agujeros. En los cálculos en Estado Límite Ultimo se deducen los huecos transversales (alojamiento de armaduras transversales de Presforzado). En los restantes Estados Límite pueden ser despreciados. Se trata especialmente de los agujeros reservados en las placas para efectuar un Presforzado transversal, si el diámetro de las vainas que contienen las armaduras de presforzadas es inferior a 0.30 del espesor de la placa, podrán despreciarse los huecos transversales incluso en los casos de Estado Limite Ultimo. Aneta = Ag – Ab

X.2a

El área de estas aberturas (Ab) se deducen X. 3 SECCIONES HOMOGENEIZADAS (TRANSFORMADAS) Después de la solidarización de la armadura al concreto (armadura adherente o hechas adherentes) puede homogeneizarse la sección utilizando un coeficiente de equivalencia correspondiente a la naturaleza de la acción considerada. Esta solidarización se considera como efectiva a partir del momento en que las armaduras son adherentes o hechas adherentes y que se justifique que no se expone a deslizarse. 70

Para los cálculos de Estados Limite debido a acciones instantáneas o de corta duración (exceptuando el Estado Limite Ultimo) puede tomarse como coeficiente de equivalencia para las armaduras de Presforzado u ordinarias, la relación del Módulo de Elasticidad del Acero al Módulo de Deformación Longitudinal del Concreto Para las acciones de larga duración, el coeficiente de equivalencia de las armaduras de presfuerzo o no pre esforzadas será determinado teniendo en cuenta la fluencia centro de gravedad

Considerando que no tiene aberturas Ah = Ag + 2(n – 1)As’ + n As X.3a Si tiene aberturas se utiliza Aneta en vez de Ag Ah- área homogeneizada n – Coeficiente de equivalencia del refuerzo

As’

As’ – áreas del refuerzo en compresión n = Es / Ec X.3b B = bw / (nAs) X.3c Ig = bw h³ / 12 X.3d Sin refuerzo a compresión

As a) Sección fisurada en sección rectangular bw

d´

kde = {[√(2 de B + 1) ] – 1} / B X.3e Icr = [bw (k de)³ / 3] + n As (de – k de)²

X.3f

Eje neutro As’ kde

(n – 1 ) As´ de

zona comprimida ns As As zona traccionada

Con refuerzo a compresión r = (n – 1) As’ / (n As) X.3g kde = {[√2 de B(1+ (rd´/d)) + (1 + r] / B X.3h Icr = [bw(kde)³/ 3] + nAs(de – kde)² + (n – 1) As´ (kde – d´)² X.3i

b) Sección fisurada en Sección T Refuerzo en la zona tracionada solamente b hf h

k de

C = bw / (n As),

f = hf (b – bw) / (n As)

o As

n As

y t= h – {(1/2) [(b – bw)hf^2 + bw h^2]] / [(b – bw)hf + bw h] X.3j Ig = [(b – bw)hf^3 / 12] + (bw h^3 /12) + [(b – bw) hf (h –(hf / 2) – yt]^2 + bw h [yt – (h /2)]^2 X.3k Sin refuerzo a compresión k de = {√ [C (2 de + hf f) + (1 + f)^2] – (1 – f)} / C X.31 Icr = [(b – bw) hf^3] / 12 + [bw (kde)^3] / 3 + [(b – bw) hf (k de – (hf / 2)]^2 + n As ( de – kde)^2 + + (n – 1) As´ (kde – d´) 2 X.3m Refuerzo en la zona traccionada y en la comprimida b

(n – 1) As’ 71

k de

C = bw / (n As),

f = hf (b – bw) / (n As)

n As

bw k de = {√[C (2 de + hf f) +2 r d’) + (f + r + 1)²] - (f + r + 1)} / C X.3n Icr = [(b – bw) hf^3] / 12 + [bw (kde)³] / 3 + [(b – bw) hf (k de – (hf / 2)]² + n As ( de – k de)² + + (n – 1) As’ (k de – d’)² X.3p

CAPÍTULO XI ESTADO LÍMITE DE FISURACIÓN Las exigencias funcionales o de durabilidad imponen limitaciones a la fisuración de los elementos en las fases de explotación y de construcción. La agresividad del medio ambiente, la sensibilidad de las armaduras a la corrosión y eventualmente otras condiciones particulares, tales como las de estanquidad o estado de las superficies, requieren verificar, para diferentes combinaciones de acciones, que ciertos Estados Límites de Fisuración no serán alcanzados. No obstante, la fisuración puede ser también limitada para asegurar la integridad de los elementos, la seguridad de los anclajes y del concreto en compresión, así como consecuencias de la fisuración tales que modifiquen la rigidez de los elementos, aumento de las tensiones de los elementos o de sus amplitudes en servicio XI.1 TIPOS DE GRIETAS Cuando un elemento es sometido a fuerza de tracción directa si se sobrepasa el esfuerzo a tracción permisible, es posible que se produzcan grietas perpendiculares a su sección:

Cuando el elemento está sometido a flexión con o sin carga axial las gritas son como se muestra en la siguiente figura:

Las grietas de cortante tienen la siguiente forma: Cuando existe cortante y torsión las grietas toman la siguiente forma:

grieta inclinada

Cuando se sobrepasa la adherencia se produce la siguiente grieta

Cuando existe una carga concentrada

Otros tipos de grietas pueden ser: La restricción plástica y el sentamiento del concreto producen grieta de asentamiento a lo largo del refuerzo o grietas casuales, referidas a trazas de grietas como se muestra en la siguiente figura:

asentamiento plástico de grietas

grietas casuales

Estas grietas se evitan si la mezcla del concreto es la apropiada y se evita el secado rápido de la superficie del elemento durante las primeras horas después del vaciado del concreto. Las grietas casuales pueden deberse a la reacción de los agregados alcalinos La corrosión del refuerzo también produce grietas debido a que ocupa casi tres veces el volumen del metal del que es formado

o o o o o

Este Capítulo establece reglas para la distribución del refuerzo a flexión a fin de controlar la fisuración (agrietamiento) por flexión en vigas y losas reforzadas en una dirección según el Reglamento. Para losas reforzadas en dos direcciones véase el Capítulo de Losas Reforzadas en dos Direcciones XI.2 CÁLCULO DEL ANCHO DE GRIETAS EN ELEMENTOS REFORZADOS Cuando un elemento está sometido a flexión y se sobrepasa el esfuerzo de tracción del concreto o módulo de ruptura (fr), se producen las grietas por flexión. El momento de agrietamiento es: Mcr = fr Ig / yt XI.2a fr = 0.62 √fc´ XI.2b Ig – momento de inercia de la sección bruta yt – distancia desde el eje neutro a la fibra extrema a tracción = h / 2 en sección rectangular Existen varias teorías para calcular el ancho de grieta, pero debido a la naturaleza del agrietamiento, los cálculos sólo deben ser utilizados como una guía Frosch, utiliza la teoría clásica y los resultados de Broms para calcular el ancho de grieta, obteniendo la siguiente fórmula: Wmax = 2(fs / Es) ß √[dc² + (a/2)²] XI.2c ß = (ε2 / ε1) = (h- c) / (d – c) XI.2d La separación de las grietas (a) para un valor de Wmax es: a = 2 √ [(Wmax Es / 2 fs ß)² - dc²]

XI.2de

ε2- deformación unitaria al nivel del borde en tracción del elemento ε1 – defoemación unitaria al nivel del refuerzo a tracción h- altura total del elemento c- distancia desde el borde más comprimido al eje neutro d- peralto efectivo fs – esfuerzo en el refuerzo Es – módulo de elasticidad del refuerzo a - separación entre grietas dc- recubrimiento del refuerzo (desde el centroide del refuerzo al borde en tracción del elemento)

XI.3 FISURACIÓN SEGÚN EL REGLAMENTO Este Capítulo establece reglas para la distribución del refuerzo a flexión a fin de controlar la fisuración (agrietamiento) por flexión en vigas y losas reforzadas en una dirección según el Reglamento. Para losas reforzadas en dos direcciones véase el Capítulo de Losas Reforzadas en dos Direcciones 74

El Reglamento no calcula el ancho de fisura por flexión, lo que hace es regular el espaciamiento del refuerzo para que no se produzcan fisuras indeseables. Está basada para un ancho de fisura de 0.41 mm, que responde para estructuras interiores El espaciamiento del refuerzo más cercano a una superficie en tracción, s, no debe ser mayor que el dado por: s = 380(280 / fs) – 2.5 cc XI.3a pero no mayor que 300(280 / fs) XI.3b Nota: En la fórmula debe utilizarse fs en MPa y cc en mm, obteniendo s en mm El esfuerzo calculado fs (MPa) en el refuerzo más cercano a la cara en tracción para cargas de servicio debe obtenerse con base al momento no mayorado, se puede tomar fs = 2 fy / 3 Cuando h, de una viga o vigueta sea mayor de 900 mm (35”), debe colocarse refuerzo superficial longitudinal uniformemente distribuido en ambas caras laterales del elemento dentro de una distancia h/2 cercana a la cara de tracción. El espaciamiento s debe ser el indicado por XI.3a El refuerzo longitudinal indicado en el párrafo anterior se puede incluir en los cálculos de resistencia si se realiza un análisis de compatibilidad de deformaciones, para determinar el esfuerzo de este refuerzo Para estructuras expuestas a medios muy agresivos, o cuando se diseñen para ser impermeables se requiere precauciones e investigaciones especiales Para estructuras expuestas a medios muy agresivos, o cuando se diseñen para ser impermeables se requiere precauciones e investigaciones especiales Aunque el Reglamento no lo establece se puede tomar para otros anchos de fisura (como información) lo siguiente: s = 380(280 / fs) – 2.5 cc) (w / 0.41) XI.3c pero no mayor que 300(280 / fs) (w / 0.41) XI.3d w en mm Para estructuras exteriores, w ≤ 0.33 mm Para estructuras sometidas a ataques químicos, w ≤ 0.18 mm Para estructuras sometidas a agua de mar o salpicadura de agua de mar, w ≤ 0.15 mm Para estructuras retenedoras de líquidos en condiciones normales, w ≤ 0.25 mm Para estructuras retenedoras de líquidos en condiciones severas, w ≤ 0.20 mm Para estructuras con presión de agua, w ≤ 0.10 mm Cuando las alas de las vigas T, están a tracción, parte del refuerzo de tracción por flexión debe distribuirse sobre un ancho efectivo del ala como está definido en IX.4.3 o en un ancho igual a 1/10 de la luz, el que se menor. Si el ancho efectivo del ala excede de 1/10 de la luz, se debe colocar algún refuerzo longitudinal en las zonas más externa del ala XI.4 FISURA INCLINADA El Reglamento no trata las fisuras inclinadas, de forma informativa para que el lector conozca una fórmula para calcularlas, se muestra a continuación: El ancho de las Fisuras Inclinadas con respecto al eje longitudinal (Wi), en mm, para elementos a flexión con estribos y barras dobladas se calcula mediante la siguiente expresión: Wi = Wk2 [1 + (Cd – 1) Vld / Vtotal] XI.4a W2 = Cd K (1 + 30 Φmax) η τ^2 / ρp Ep^2 XI.4b Vld-fuerza cortante de las cargas de larga duración (MN) Vtotal-fuerza cortante total (MN) Cd-Coeficiente que según las siguientes condiciones es: -cargas de corta duración o la acción de corta duración de las cargas permanentes y las de larga duración: Cd = 1.00 -cargas de repetición múltiple al igual que la acción a largo plazo de las cargas permanentes y de larga duración para: .Concreto pesado con humedad natural: Cd = 1.5 .Concreto pesado con saturación: Cd = 1.20 K = (20 – 1200 ρp) 10^3, pero no menor que 8 x 10^3 max-diámetro máximo de estribos o barras dobladas (mm) ρp-cuantía del refuerzo transversal y está dada por la expresión: ρp = ρest + ρbd ρest = Aest / bt t-espaciamiento de los estribos Aest-área de estribos ρbd-cuantía de barras doblas ρbd = Abd / bt Abd = área de las barras dobladas Τ = (Vs / bd) XI.4c Vs-fuerza cortante máxima en la zona que se analiza con cuantía de refuerzo transversal constante 75

0.3 m XI.5 Ejemplo de fisuración aplicando el Reglamento fy = 300 MPa Determinar de la sección de la figura: el espaciamiento máximo del refuerzo de tracción 0.45 m

2  12 4  16

Tomamos fs = 2 fy /3 = 200 MPa El espaciamiento del refuerzo más cercano a una superficie en tracción, s, no debe ser mayor que el dado por: s = 380(280 / fs) – 2.5 cc XIII.2, pero no mayor que 300(280 / fs) s = 380(280 / 200) – 2.5 x 50 = 407 mm, pero no mayor que s = 300(28 / fs) 300(280 / 200) = 420 mm Como la viga tiene 0.30m de base, el máximo espaciamiento es 0.30 m

XI.5 PROBLEMAS PROPUESTOS XI.5.1 Cuales tipos de grietas se pueden presentar en el concreto? XI.5.2 Cuando un elemento de concreto sometido a flexión se producen las grietas? XI.5.3 Cual es fórmula para calcular el momento de agrietamiento en flexión? XI.5.4 Como trata el Reglamento la fisuración? XI.5.5 Cual es una fórmula para hallar el ancho de la fisura Inclinada? XI.5.6 Resuelva el ejemplo XI.5, considerando fy = 420 MPa

CAPÍTULO XII ESTADO LÍMITE DE DEFORMACIÓN XII.1.ESTADO LÍMITE DE DEFORMACIÓN Para garantizar un buen comportamiento bajo las cargas de utilización, las deformaciones de los elementos de Concreto Estructural (simple y reforzado) no deben sobrepasar ciertos Límites de Deformación. El Estado Límite de Deformación debe comprobarse solamente en los casos en que las deformaciones puedan perturbar la utilización de la construcción o destruirla, por lo tanto, se impone solamente en los casos en los que exista peligro de sobrepasar uno de los Estados Límites siguientes: a) Fisuras perjudiciales en los elementos (ejemplo: tabiques) a causas de una deformabilidad excesiva de la estructura b) Deformaciones que puedan producir efectos perjudiciales sobre elementos no resistentes (ventanas, puertas, vidrieras etc.) c) Deformaciones excesivas que puedan producir efectos estéticos indeseables d) Vibraciones inadmisibles bajo la influencia de cargas variables e) Deformaciones que incrementen en forma no admisible los efectos no dinámicos de equipos sustentados (grúas viajeras) f) Deformaciones que afecten el funcionamiento tecnológico de los equipos sustentados g) Deformaciones que pueden provocar perjuicios en el funcionamiento del elemento. Para evitar perturbaciones como las indicadas, deben estudiarse todas las consecuencias posibles de la deformabilidad de la estructura y prever las disposiciones necesarias para evitar sus consecuencias a lo largo del elemento, en función del tipo de cargas y según los esfuerzos que puede haber en la zona traccionada, tramos sin fisuras y con fisuras. Se considera que los elementos o sus tramos carecen de fisuras si al actuar las cargas permanentes, las de larga duración y las de corta duración no se forman fisuras, o sea, que los esfuerzos de tracción no sobrepasan la Resistencia a Tracción del Concreto (fct) que es lo mismo Módulo de rotura fr = 0.62 √ fc’ Las deformaciones se calculan según las fórmulas de la teoría clásica de la resistencia de los materiales y la elasticidad; introduciendo en el cálculo, los valores de las cargas y de la resistencia nominales de los materiales. Para el caso de puentes, las flechas admisibles deben verse en la Norma o Código correspondiente Nota: El Reglamento utiliza el área bruta de la sección: para una sección rectangular: Ac = bw h XII.1A El Autor considera que debe utilizarse el área homogeneizada El área homogeneizada es Ah = Ac + ns As XII.1b Ah – área de Concreto homogenizada Ac- área de Concreto n = Es / Ec coeficiente de equivalencia del refuerzo ordinario Ec, Es- módulo de elasticidad del Concreto, y del acero respectivamente XII.2 COMPORTAMIENTO DE LA DEFORMACIÓN Cuando un elemento es cargado, el elemento comienza de deformarse y puede considerarse (mientras que el elemento no se fisure), que su comportamiento es en el estado elástico y se produce el: A) ESTADO I (Sección no fisurada) Se considera que los elementos o sus tramos carecen de fisuras si al actuar las cargas permanentes, las de larga duración y las de corta duración no se forman fisuras, o sea, que los esfuerzos de tracción no sobrepasan la resistencia a Tracción del Concreto (fct) o Módulo de rotura fr = 0.62 √ fc’ o lo que es lo mismo que el Momento de Fisuración (Mcr) sea mayor que el Momento actuante (M) Para Flexión, Flexo-Compresión y Flexo-Tracción En estos casos debe cumplirse que: Mcr ≥ M XII.2a La Deformación Instantánea por las cargas para este caso es: ∆ = (1/ ρ) = M / D XII.2b M- momento flector debido a aquellas cargas para la cual se determina la curvatura (Deformación) D = Ecr Ih / C XII.2c Ecr -Módulo de Deformación reducido al realizar un análisis elástico de la estructura Ecr = 0.85 Ec Ih- momento de inercia de la sección homogeneizada 77

C – 2.0 cuando la humead medía relativa del aire es superior de 40% C = 3.0 cuando la humedad medía relativa del aire es menor o igual a 40 Posteriormente si de aumentan las cargas, el elemento se fisura y se produce el B) ESTADO II (Sección Fisurada) Cuando el elemento se fisura: El diagrama de esfuerzos del Concreto en la zona comprimida se adopta triangular. Es constante el valor de la relación entre los Módulos de elasticidad de los materiales: n = Es/Ec fc c M

La sección se considera homogeneizada. Las deformaciones de los materiales son iguales a: s= fs/Ea c=fc/Ec XII.2d Por medio del coeficiente de equivalencia n, se determina la función entre los esfuerzos del refuerzo y el Concreto: fs = n f c XII.2e El esfuerzo máximo del concreto se determina con: fc = M / Ih XII.2f Ih-Momento de inercia del concreto homogeneizado Los esfuerzos del refuerzo traccionado y comprimido son: fs = n M (de-c) / Ih XII.2g fsc = n M (c-d’) / Ih XII.2h La altura de la zona comprimida (c) se halla en base de que el momento estático de la sección homogeneizada con respecto al eje neutro es igual a cero. El valor de c en secciones sin presfuerzo se puede obtener de la siguiente ecuación: (bw c^2 / 2) + n As c – n As de = 0 que se convierte en c = {√[2pn + (np)²] – (nρ)}de XII.2i El Momento de Inercia de la sección fisurada (Icr) se obtiene según Capítulo X Icr = (bw c³ / 3) + n As (de – c)² + (n – 1) As´(c – d´)² As – refuerzo en tracción As´ - refuerzo en compresión d´- recubrimiento del refuerzo en compresión n = Es / Ec c – distancia del eje neutro a la fibra extrema en compresión en consideraciones elásticas El Reglamento nos dice que la Rigidez a Flexión (EI) de una viga no es la misma a todo lo largo de ella debido a la diferencia de refuerzo y agrietamiento, por lo cual: El Momento de Inercia Efectivo para voladizo, viga simplemente apoyada y continua entre puntos de inflexión es: Ie = [(Mcr / Ma) ^3] Ig + [1 – (Mcr / Ma) ^3] Icr  Ig XII.2j Mcr = fr Ig / yi Ma-momento máximo para la carga de servicio considerado fr = 0.62 fc’ (MPa) Además debe considerarse lo siguiente: a) Para luces continuas, el momento efectivo de inercia se permite tomar como el promedio del momento de inercia de la sección critica de momento positivo y negativo b) Para miembros prismáticos, el momento de inercia efectivo (Ie) se permite tomar con la ecuación anterior en el centro de la luz para una luz , para elementos continuos y para voladizos en el apoyo 78

Para vigas continuas de elementos prismáticos y no prismáticos, se puede tomar el promedio de Ie según: -Para vigas con ambos extremos continuos: Ie = 0.7 Im + 0.15 (Ie1 + Ie2) XII. 2k -Para vigas con un extremo continuo: Ie = 0.85 Im + 0.15 (Icon) XII.2l Im – valor de Ie en el centro de la luz le1 y Ie2 – valor de Ie en los extremos de la viga Icon – valor de Ie en el extremo continúo También puede tomarse como el promedio de los Ies en la sección de momento positivo y negativo críticos. En el caso de viga sometida a una sola carga concentrada, sólo el valor de Ie en el medio de la luz debe ser utiliza XII. 3 DEFORMACIÓN TOTAL PARA ELEMENTOS REFORZADO La deformación total (∆t) para elementos reforzado con acero se obtiene con la siguiente fórmula: ∆t = ∆L + λ∞ ∆D + λx ∆Ls XII.3a ∆L, ∆D y ∆Ls - Deformación instantánea de la carga viva, carga muerta y la porción de la carga de larga duración de la carga viva λ∞ -coeficiente de la carga permanente (carga muerta) λx –coeficiente de la carga de ∆Ls (Cargas temporales de larga duración) La deformación para la carga de larga duración es diferente a la deformación instantánea debido a los efectos de fluencia y retracción. La misma es posible calcularla multiplicando la deformación instantánea por el factor:  =  / (1 + 50 ’) XIV. 3. 2 ’ = As’ / bw de ’ – cuantía del acero en compresión, en el centro de la luz, para viga continua y simplemente apoyada y en el apoyo para voladizo  2.0 1.4 1.2 1.0

Duración de la Carga 5 años o más 12 meses 6 meses 3 meses

XII. 4. COMPORTAMIENTO DE LA DEFORMACIÓN EN UNA VIGA REFORZADA Cuando la viga no está cargada no existente grietas, cuando empieza a cargarse la viga el momento flector aumenta y hasta tanto el momento en los apoyos no sea mayor que el momento de fisuración la viga no está agrietada (0-1) en que el momento es mayor que el momento de fisuración, la viga se fisura en esa región, causando una disminución del momento de inercia y de la rigidez (1-2). La rigidez disminuye sensiblemente cuando se produce la grieta en el centro de la viga. En el momento que el refuerzo llega a su límite elástico se produce un aumento en la deformación con un pequeño aumento de la carga (punto 4 y 5) La carga de servicio se indica en el punto 3. La viga es elástica en el punto 3 Al pasar el tiempo, la deformación debido a la carga de servicio aumenta hasta el punto 3´, por causa de la fluencia del concreto. La deformación instantánea se produce en el punto 3 y la deformación al tiempo es 3´

FALLO EN EL MEDIO 5 C A R G A

4 3

FALLO EN EL EXTREMO

CARGA DE SERVICIO

3´

2 – GRIETAS EN EL CENTRO 1 – GRIETAS EN EL APOYO 79

0 DEFORMACIÓN EN EL CENTRO DE LA LUZ

VIGA CONTINUA XII.5. ESPESOR MÍNIMO PARA VIGAS Y LOSAS REFORZADAS EN UN SOLO SENTIDO EN ELEMENTOS REFORZADO, A FIN DE NO TENER QUE CALCULAR LAS DEFORMACIONES DEL ELEMENTO Cuando el elemento soporta tabiques u otra construcción que no sufrirán daños por una gran deformación se puede utilizar la Tabla siguiente (Tabla C.9.5a) Para otros casos es necesario calcular la deformación

Elemento Losa Viga

Simplemente Apoyado L / 20 L / 16

Mínimo Espesor (h) Un Extremo Continuo L / 24 L / 18. 5

Ambos Extremos Continuos L / 28 L / 21

Voladizo L / 10 L/8

NOTA: Para fy que sea 420 MPa, para otros tipos de acero, los valores de la Tabla deben Multiplicarse por: (0.4 + (fy / 700)) XII.6 DEFORMACIONES MÁXIMAS PERMISIBLES Las deformaciones calculadas no deben ser superiores a los límites indicados en la siguiente Tabla Notas de la Tabla XII.6.1 1- La intención de este límite no es salvaguardar la eventualidad de acumulación de agua por efecto de la misma deflexión. Esta debe verificarse por medios de cálculos adecuados, incluyendo las deflexiones adicionales debidas al agua acumulada y además considerando los efectos a largo plazo de todas las cargas permanentes, contra flechas, tolerancias de construcción y confiabilidad de los sistemas de drenajes 2- Este límite puede ser excedido si se toman medidas adecuadas para evitar el daño de los elementos soportados 3- Las deflexiones a largo plazo deben determinarse de acuerdo con la deformación total para carga de larga duración anteriormente descripta y pero pueden reducirse en la deflexión que se calcule que ocurre antes de instalar los elementos no estructurales. Esta última deflexión debe determinarse con base en datos apropiados acerca de las características de deflexiones a largo plazo de elementos similares a los considerados 4 – No debe ser mayor que la tolerancia de los elementos no estructurales. El límite puede ser excedido si se provee una contra flecha tal que la deflexión total menos la contra flecha no exceda el limite

XII.6.1 Deformaciones máximas permisibles (Tabla C.9.5b) Tipo de elemento Cubiertas planas que no soportan o no están unidas a elementos no estructurales que puedan ser dañados por deflexiones grandes Losas que no soportan o no están unidas a elementos no estructurales que puedan ser dañados por deflexiones grandes Cubiertas o losas que soportan o están unidas a elementos no estructurales susceptibles de daños debido a deflexiones grandes

Deflexión que se considera Deflexión instantánea debida a la carga viva

Deflexión instantánea debida a la carga viva

La parte de la deflexión total que se presenta después de la unión a elementos no estructurales o sea la suma de las deflexiones a largo plazo debida a cargas

Deflexión limite L / 180

Nota 1

L / 360

L / 480 Nota 2 80

Cubiertas o losas que soportan o están unidas a elementos no estructurales que no puedan ser dañados por deflexiones grandes

permanentes, más las instantáneas debida a cualquier carga viva adicional (Véase la Nota 3) La parte de la deflexión total que se presenta después de la unión a elementos no estructurales o sea la suma de las deflexiones a largo plazo debida a cargas permanentes, más las instantáneas debida a cualquier carga viva adicional (Véase la nota 3)

L / 240 Nota 4

XII.7 EJEMPLO. Determinación de la flecha (deformación) de una viga reforzada Calcular la deformación inmediata y de larga duración (para más de 5 años) de una viga simplemente apoyada de 10 m de luz, sometida a una carga muerta de 15 kN/m, una carga viva de 8 kN/m y una carga concentrada en el centro de la luz de 20 kN: bw = 0.3 m, h = 0.60 m, de = 0.5 m, reforzada con 6 No 8, As = 30.6 cm^2 = 0.00306 m^2 fc’ = 28 MPa, fy = 400 MPa, n = 8, Ec = 25000 MPa Solución: -El peralto total menor es L/16 = 10/16 = 0.625 m > h = 0.6 m, es necesario comprobar la deformación - El momento de inercia efectivo (Ie) es según (C.9-8) Ie = (Mcr/ Ma) ^3 Ig + [1 – (Mcr/Ma) ^3] Icr  Ig Sustituyendo valores, obtenemos Ma = (w L^2 / 8) + P L/4 = 0.3375 MN-m Ig = (b h^3) / 12 = 0.0054 m^4 aplicando (C.9-10) fr = 0.62 fc’ = 0.62 x 28 = 3.28 MPa ys= h/2 = 0.6 / 2 = 0.3 m Mcr = fr Ig / ys = 0.059 MN-m La posición del eje neutro para la sección agrieta, o sea c = kd (distancia del eje neutro al borde comprimido) [(b c^2) / 2] – n As (d – c) = 0 n = 8 As = 0.00306 m^2 Y sustituyendo valores, obtenemos c = 0.23 m Icr = [(b c^3) / 3] + n As (d – c) ^2 y sustituyendo valores, tenemos Icr = 0.00296 m^4 Ie = [(Mcr / Ma) ^3] Ig + [1 – (Mcr / Ma) ^3] Icr  Ig XII.2j y sustituyendo valores, tenemos Ie = 0.00297 m^4 < Ig = 0.09522 m^4 Se cumple, Ahora calculamos las deformaciones de las diferentes cargas ∆cd (debido a la carga distribuida) = 5 w L^4 / (384 Ec Ie) y sustituyendo valores ∆cd = 0.001258 m ∆cc (debido a la carga concentrada) = P L^3 / 48 Ec Ie y sustituyendo valores ∆cc = 0.000175 m ∆it(deformación inmediata total) = 0.001258 + 0.000175 = 0.00143 m La deformación inmediata debida a una carga viva de 8 KN/m es 8/23 x 0.00143 = 0.000497 m La deformación permisible por carga viva es L / 360 = 10 / 360 = 0.0277 m > 0.00497 m -

La deformación de larga duración es causada por la carga muerta, que consiste de una carga distribuida de 0.015 MN/m y una carga concentrada de 0.02 MN - Deformación debida a la carga uniforme = (0.015/ 0.023) x 0.001258 = 0.00082 m - Deformación debida a la carga concentrada es 0.000175 m - La deformación total por carga muerta es = 0.00082 + 0.000175 = 0.000955 m - Para hallar la deformación de larga duración, se multiplica la deformación total de carga muerta por el factor  =  / (1 + 50 ’) como no hay refuerzo a compresión ’ = 0 y  = 2.0 Entonces  = 2.0 La deformación por larga duración es: 2 x 0.000955 = 0.00199 m La deformación total es la suma de la deformación inmediata más la deformación de larga duración =0.00143 + 0.00199 = 0.00342 m La deformación debido a la carga muerta más la deformación adicional de larga duración debido a la fluencia y a la retracción es 0.000955 + 0.00342 = 0.01297 m 81

XII.8 EJEMPLO. Determinación de la flecha de una viga continua de tres luces reforzada Determine la deformación de un viga continua de tres luces de 12 m cada una, que esta sometida a una carga muerta incluyendo su propio peso de 0.008 MN/ m y una carga viva de 0.015 MN / m. La viga tiene un ancho de bw = 0.3 m, un peralto efectivo de = 0.35 m y una altura total h = 0.40 m. La viga soporta una losa de ho = 0.1 m. El Gráfico de momento de la viga se muestra en la siguiente figura 1

M 2-3

M 3-4

M 1-2 Los momentos de Carga Muerta son: M1-2D= 0. 08893 MN-m M2-3D = 0. 041472 M3-4D= 0. 08893 MN-m M2D = M3D = 0.12336 MN-m Los momento de Carga Viva M1-2L = 0.16675 MN-m M2-3L = 0.07776 MN-m M3-4L = 0.166752 MN-m M2L = M3L = 0.508959 MN-m Los momentos totales son: M1-2(D+L) = 0.25568 MN-m M2-3(D+L) = 0.119232 MN-m M3-4(D+L) = 0.25568 MN-m M2 (D+L) = M3 (D+L) = 0.6323 MN-m La deformación máxima está a 0.446 l de A o D y es ∆ = 0.0069 w (l^4) / EI Las secciones de la viga se muestran en la siguiente figura: A

12 m

12m

2  No. 8 (0.00102 m^2)

4 12 m

6 No. 8 (0.00306 m^2)

Ac1

0.10 m 0.45 m

Ac2 0.05m 4  No.8 (0.00204 m^2) Sección A-A (0.446 m del apoyo A) fc’ = 28 MPa

fy = 420 MPa

2  No.8 (0.00102 m^2) Sección B-B (en el apoyo)

fr’ = 0.62√ fc’ = 3.29 MPa Ec = 24822 MPa n= Es / Ec = 8.05

1- El peralto mínimo para no comprobar la deformación es h = L / 18. 5 = 0.65 m > h = 0.5 m. Hay que comprobar la deformación 2 – Cálculo del momento efectivo de inercia (Ie) a 0.446 l del apoyo A o D Es una sección T El ancho del ala es b = bw + 16 hf = 0.3 + 16 x 0.1 = 1.9 m y (a partir del tope) = (A1 y1 + A2 y2) / (A1 + A2) = y= 0.119 m del tope ys = h – y = 0.5 – 0.119 = 0.381 m Momento de inercia de sección T, no agrietada: Ig = b hf^3 / 12 + b hf [y – (hf / 2)] ^2} + {[bw (h– hf) ^3] / 12} + {bw (h – hf) ((ys – (h – hf) / 2) ^2 Sustituyendo valores Ig = 0.0079 m^4 82

El momento de fisuración Mcr = fr Ig / ys = 3.29 x 0.0079 / 0.381 = 0. 06367 MN-m La profundidad del eje neutro se halla con: bw(c – hf) ^2 – 2n As (d –c) + b hf (2c-hf) = 0 donde c = 0.056 m < hf = 0.1 m, por lo tanto es una viga rectangular Hallemos el momento de inercia agrietado Sección rectangular con acero en la zona de tracción solamente: Icr = (b c^3 / 3) + n As (d – c) ^2 y sustituyendo valores Icr = 0.00266 m^4 Ahora hallemos la relación de Mcr/ M Carga muerta = Mcr/ Mcm = 0. 06367 / 0.08893 =0. 7159 Carga muerta + 0.6 de carga viva = Mcr / (Mcm + 0.6 Mcv) = 0.3369 Carga muerta + Carga viva = Mcr / (Mcm + Mcv) = 0. 06367 / (0.25568) = 0.249 Hallemos el momento de inercia efectivo en el centro de la luz: Ie = [(Mcr / Ma) ^3] Ig + [1 – (Mcr / Ma) ^3] Icr  Ig Sustituyendo valores Para Carga muerta Ie (cm) = 0.00458 < Ig, utilizamos Icr Para carga muerta + 0.6 Cv = Ie (cm+ 0.6cv) = 0.00286 < Ig, utilizamos Icr Para carga muerta + Carga viva = Ie (cm + cv) = 0.00274 < Ig, utilizamos Icr 3- Momento de inercia efectivo en el apoyo 2 Ig = b h^3 / 12 = 0.3 x 0.5^3 / 12 = 0.003125 m^4 ys = 0.5 / 2= 0.25 m El momento de fisuración es: Mcr = fr Ig / ys = 3.7 x 0.003125 / 0.25 = 0.04625 MN-m Sección rectangular con acero en las dos zonas: El eje neutro se halla con la siguiente fórmula: (bw c^2 / 2) + {n As + (n – 1) As’} c – n As de – (n – 1) As’ d’ = 0 y sustituyendo valores c = 0.14 m Icr = (b c^3) + (n – 1) As’ (c – d’) + n As (d-c) ^2 y sustituyendo valores Icr = 0.00255 m^4 Ahora hallemos la relación de Mcr/ M Carga muerta = Mcr/ Mcm = 0. 04625 / 0.12336 =0. 3749 Carga muerta + 0.6 de carga viva =Mcr / (Mcm + 0.6 Mcv) = 0.1079 Carga muerta + carga viva = Mcr / (Mcm + Mcv) = 0.0731 Hallemos el momento de inercia efectivo en el apoyo 2 Ie = [(Mcr / Ma) ^3] Ig + [1 – (Mcr / Ma) ^3] Icr  Ig Para carga muerta Ie(cm) = 0.00258 < Ig, utilizamos Icr Para carga muerta + 0.6 Cv = Ie (cm+ 0.6cv) = 0.00255 < Ig, utilizamos Icr Para carga muerta + Carga viva = Ie (cm + cv) = 0.0025 < Ig, utilizamos Icr 4- Hallemos el promedio de Ie -Para vigas con un extremo continuo: Ie = 0.85 Im + 0.15 (Icon) XIII. 2. 25 Para carga muerta Ie(prom(cm)) = 0.00428 m^4 Para carga muerta + 0.6 carga viva = Ie (prom (cm+ 0.6cv)) = 0.002806 m^4 Para carga muerta + carga viva = Ie (prom (cm + cv)) = 0.002704 m^2 5- Hallemos la deformación instantánea ∆max (0.446 l) = 0.0069 w l^4 / EI = [0.0069 (12^4) / 24822] (w/ Ie (prom)) = 0.005764 w / Ie (prom)) Deformación inicial para carga viva ∆v = ∆ (v + m) - ∆m = 0.038 m Deformación inicial para carga muerta ∆m = 0.005764 x 0.008 / 0.00428 = 0.011 m 83

Deformación inicial para carga muerta y 0.6 carga viva = ∆ (cm+ 0.6cv)) = 0.0240 m 6 Hallemos la deformación a largo plazo El factor para considerar la deformación a largo plazo es:  =  / (1 + 50 ’) En el centro de la luz ’ = 0 Para 36 meses = 1.75 Para 5 años  = 2.0 La deformación total es: ∆t = ∆L + λ∞ ∆D + λx ∆Ls ∆t = 0.038 + 2.0 x 0.011 + 1.75 x 0.0240 = 0.102 m

XIII. 3.1

7- Las deformaciones permisibles son: De la Tabla de la sección XII.6 L / 180 = 0.066 m > ∆v = 0.038 m L / 360 = 0.033 m > ∆m = 0.011 m L / 480 = 0.025 m < ∆t = 0.102 m L / 240 = 0.05 m < ∆t = 0.102 m XII.9. PROBLEMAS PROPUESTOS XII.9.1 Que no deben sobrepasar los elementos de Concreto Estructural (simple y reforzado) Para garantizar un buen comportamiento bajo las cargas de utilización? XII.9.2 Cuando un elemento es cargado, que estados se producen? XII.9.3 Que valor tiene el Momento de Inercia Efectivo para voladizo, viga simplemente apoyada y continua entre puntos de inflexión? XII.9.4 Como se obtiene la deformación total (∆t) para elementos reforzado con acero? XII.9.5 Calcular la deformación inmediata y de larga duración (para más de 5 años) de una viga simplemente apoyada de 12 m de luz, sometida a una carga muerta de 10 kN/m, una carga viva de 9 kN/m y una carga concentrada en el centro de la luz de 25 kN: bw = 0.3 m, h = 0.70 m, de = 6.5 m, reforzada con 6 No 8, As = 30.6 cm^2 = 0.00306 m^2 fc’ = 28 MPa, fy = 400 MPa, n = 8, Ec = 25000 MPa XII.9.6 Determinación de la flecha de una viga continua de tres luces reforzada Determine la deformación de una viga continua de tres luces de 10 m cada una, que esta sometida a una carga muerta incluyendo su propio peso de 0.007.5 MN/ m y una carga viva de 0.020 MN / m. La viga tiene un ancho de bw =0.3 m, un peralto efectivo de = 0.4m y una altura total h = 0.45 m. La viga soporta una losa de ho = 0.1 m.

CAPÍTULO XIII ESTADOS LÍMITE ÚLTIMO XIII.1. DIAGRAMA DE CÁLCULO DEL ESFUERZO-DEFORMACIÓN DEL CONCRETO En realidad no existe un diagrama único de esfuerzo-deformación del concreto, debido a que: -depende de la calidad (resistencia) del concreto -el ritmo de aplicación de las cargas -el tipo de probeta utilizada Según ensayos realizados, para probetas cilíndricas (que concuerda bastante bien con la zona de compresión del concreto de las vigas rectangulares a flexión), varía para cada calidad del concreto, por lo cual no podemos tomar un diagrama para todas las calidades del concreto Diferentes Normas utilizan un diagrama parábola-rectángulo que para calidades próximas a 20 MPa, puede ser bastante exacto, pero para otras calidades NO lo son, además, cual deformación límite tomar? El Reglamento permite utilizar un rectángulo con un valor de esfuerzo del concreto a compresión de 0.85fc’ y una deformación unitaria máxima de - 0.003 Otras normas utilizan como deformación unitaria máxima -0.0035 y para compresión simple - 0.002 XIII.2 HIPÓTESIS (C.10.2) 1-El acortamiento unitario máximo del concreto a compresión se considera c = - 0.003 2-Las secciones que antes de aplicarse las solicitaciones son planas se mantienen planas 3-Se considera que el refuerzo en la zona comprimida del concreto tiene las mismas deformaciones que el concreto que las rodea hasta alcanzar el agotamiento de la sección 4-Se utiliza un diagrama rectangular de compresión del concreto con un valor de 0.85 fc’, distribuido uniformemente sobre una zona equivalente de compresión, limitada por los bordes laterales de la sección transversal y por una línea recta paralela al eje neutro, localizada a una distancia a = 1 c de la fibra de máxima deformación unitaria sometida a compresión La relación (1=a/c), se considera según la siguiente Tabla: fc (MPa) 21 28 35 42 56 70 1

0.85

0.80

0.75

0.65

5- La distancia c desde la fibra de máxima deformación hasta el eje neutro, debe medirse en una dirección perpendicular a dicho eje 6-Los materiales se utilizan con sus valores de rotura 7-Se desprecia la resistencia del concreto a tracción 8- El esfuerzo en el refuerzo ordinario para valores menores a la resistencia nominal a la fluencia fy, debe tomarse como Es veces la deformación unitaria del acero. Para deformaciones unitarias mayores que las correspondientes a fy, el esfuerzo en el refuerzo debe considerarse independiente de la deformación e igual a fy 9-Se admite que el acero en la zona comprimida del concreto tiene la misma deformación que el concreto que las rodea hasta alcanzar el agotamiento de la sección 10-Puede considerarse que el refuerzo no presforzado, utilizado en combinación con tendón de presfuerzo, contribuye a la resistencia a tracción y puede incluirse en los cálculos de resistencia a momento con esfuerzo igual a su resistencia a la fluencia fy. Otros refuerzos no presforzado pueden ser incluidos en los cálculos de resistencia solamente si se hace un análisis de compatibilidad de deformaciones para determinar los esfuerzos en dicho refuerzo XIII.3 RESISTENCIA REQUERIDA El concreto reforzado debe diseñarse por el método de la resistencia tal como se define en las Combinaciones de Cargas usando el Método del Estado Límite de Resistencia La resistencia requerida se obtiene como el valor máximo, expresado en términos de cargas o momentos y fuerzas internas asociadas, que resulta de aplicar a la estructura las diferentes cargas permanentes (muertas), temporales (vivas), sísmicas, de viento e impuestas por cambios de temperatura, retracción de fraguado y flujo plástico, empuje de tierra o líquidos, mayoradas y combinadas con Combinaciones de Cargas usando el Método del Estado Limite de Resistencia XIII.4 RESISTENCIA DE DISEÑO (C.9.3) 85

La resistencia de diseño que tiene un elemento, sus conexiones con otros elementos y cualquier parte o sección de él, en términos de momentos flectores, carga axial, cortante y torsión, debe ser igual a su resistencia nominal multiplicada por un Coeficiente de Reducción de Resistencia , por lo tanto: Resistencia de diseño =  resistencia nominal ≥ resistencia requerida = U XIII.4. 1 El factor de reducción de resistencia, se utiliza para: a) Tener en cuenta la probabilidad de que los elementos tengan menor resistencia, debido a la variación en la resistencia de los materiales y sus dimensiones b) Tener en cuenta las inexactitudes de las ecuaciones de diseño c) Tener en cuenta el grado de ductilidad y la confiabilidad requerida para el elemento bajo los efectos de las carga que se considera d) Considerar la importancia del elemento en la estructura Se considera Tracción Controlada cuando la deformación unitaria neta del refuerzo extremo en tracción (εt), en el estado de resistencia nominal, sea igual o mayor de 0.005 y la deformación unitaria en la fibra extrema a compresión (εc) es -0.003 Se considera Compresión Controlada cuando la deformación unitaria neta del refuerzo extremo en tracción (εt), es igual o menor que el límite de deformación unitaria controlada por compresión cuando el concreto alcanza su límite de deformación supuesto de -0.003 El límite de deformación unitaria neta controlada por compresión es la deformación unitaria neta de tracción del refuerzo en condiciones de deformación unitaria balanceada. La condición de sección balanceada se alcanza cuando la deformación unitaria en la fibra extrema a compresión es -0.003 y la deformación del refuerzo en tracción alcanza una deformación unitaria igual a 0.002, para refuerzo de fy = 420 MPa y para todos los refuerzos Presforzado El valor de  es para: Tracción Controlada...................................................................................  = 0.9 Compresión Controlada a) Con refuerzo en espiral..................................... ...........................  = 0.70 b) Con otro refuerzo..........................................................................  = 0.65 En la zona de transición, o sea, entre tracción controlada y compresión controlada: a) Para elementos con refuerzo en espiral  = 0.70 + 0.2 { [1/(c/de)] – (5/3)]} XVI. 4. 2  = 0.70 + (t – 0.002) (200 / 3) XVI. 4. 3 b) Para otro tipo de refuerzo  = 0.65 + 0.25 {[(1/ (c/ de)] – (5/3)} XVI. 4. 4  = 0.65 + (t – 0.002) (250/3) XVI. 4. 5 Se utiliza un valor menor de  para las secciones controladas por compresión que para las secciones controladas por tracción, debido a que las secciones controladas por compresión tienen menor ductilidad, son más sensibles a las variaciones en la resistencia del concreto y se presentan en elementos que soportan mayores áreas cargadas que los elementos con secciones controladas por tracción A los elementos con espirales se le asigna un valor mayor de  que los elementos con estribos debido a que presentan mayor ductilidad o tenacidad Los límites de c/de para sección controlada por compresión es c/de = 0.6 y para sección controlada por tracción es c/de = 0.375 El límite de c/ de = 0.6 se aplica para secciones reforzadas con acero fy = 420 MPa y para secciones presforzadas El límite de 0.005 de deformación unitaria neta a tracción corresponde a una relación ρ / ρb= 0.63 para secciones rectangulares con refuerzo de fy = 420 MPa de- distancia desde el refuerzo extremo a tracción a la fibra extrema a compresión ρ- cuantía volumétrica = As / Ac ρb – cuantía balanceada Cortante y Torsión ………………………………………………………………………… 0.75 Aplastamiento en el Concreto (excepto para anclajes de postensado y modelo puntual-tensor) …………………………………………………………………………….. 0.65 Zonas de anclajes de postesados……………………………………………………… …. 0.85 Los modelos puntal-tensor y puntales, tensores, zonas de nodos y áreas de apoyos en esos modelos …………………………………………………………………………… 0.75 86

Las secciones en flexión en los elementos Preesforzados donde la longitud embebida del torón es menor que la longitud de desarrollo: a) Desde el extremo del elemento hasta el extremo de la longitud de transferencia ..0.75 b) Desde el extremo de la longitud de la transferencia hasta el extremo de la longitud de desarrollo. debe permitirse que  sea incrementado linealmente de 0.75 a 0.9 Donde la adherencia del torón no se extienda hasta el extremo del elemento, se debe asumir que el embebimiento del torón se inicia en el extremo de la longitud no adherida XIII.5. DIAGRAMA DE DOMINIOS Basándonos en las Hipótesis del inciso anterior, se obtiene una familia de Estados de Deformaciones Últimas que provocan el fallo por resistencia o deformaciones plásticas excesivas de la sección. Estos estados de deformaciones últimas se puede esquematizar gráficamente según el Diagrama de Deformaciones o Dominios que se muestra en la siguiente figura Plano de Referencia 6 fse - 0.003 B

As’

d’

1a 2

dp (de)

3 5

As, - 0.003

0.002 Fallo Balanceado

Compresión Controlada

A 0.005

(s) (  = 0.9) Tracción Controlada zona de Transición

Compresión

Tracción

NOTA: El fallo balanceado (t = 0.002), corresponde para los aceros fy = 420 MPa y de Presforzado DOMINIO 1. TRACCIÓN SIMPLE O EXCÉNTRICA En este Dominio toda la sección está traccionada, por lo tanto, todas las armaduras trabajan a su resistencia de cálculo fy La línea A-D, corresponde al caso de tracción centrada (c  0) Es tracción controlada por lo tanto,  = 0.9 DOMINIO 1a. TRACCIÓN EXCÉNTRICA

(s) La sección continúa traccionada. Las armaduras en la zona más traccionada trabajan igual que en el Dominio 1. Las armaduras de refuerzo menos traccionada varían desde fy a fy d’/de Es tracción controlada por lo tanto,  = 0.9

DOMINIO 2a. FLEXIÓN SIMPLE O COMPUESTA El esfuerzo de las armaduras más traccionadas siguen con los valores del Dominio 1 2a

Los esfuerzos en las menos traccionadas varían desde fy d’/d hasta 0 Es tracción controlada por lo tanto,  = 0.9

(s)

DOMINIO 2. FLEXIÓN SIMPLE O COMPUESTA - 0.003 d’ 0.23076 de

2 de

(s) Las armaduras traccionadas continúan con los esfuerzos de Dominio 1 El esfuerzo de la armadura en la zona de compresión del concreto varía: desde 0 hasta (0.003 – 0.01300052 d’/de) Es Es tracción controlada por lo tanto,  = 0.9 DOMINIO 3. FLEXIÓN SIMPLE O COMPUESTA - 0.003 0.23076 de 0.375 de

de 3

0.005

(s)

El esfuerzo de las armaduras traccionadas se mantiene en fy El esfuerzo de las armaduras de la zona comprimida del concreto varía desde el valor del Dominio 2 hasta: [0.003- (0.02133 d’/de)] Es, pero mayor de fy’ Es tracción controlada, por lo tanto,  = 0.9 4. FLEXIÓN SIMPLE O COMPUESTA - 0.003 0.375 de 0.6 de de

0.002

0.005

El esfuerzo de las armaduras en la zona traccionada se mantiene en fy 88

El esfuerzo de las armaduras en la zona comprimida varía desde el valor del Dominio 3 hasta: (0.003 – 0.005 d’/de) Es, pero no mayor de fy’ Estando en la zona de transición, el valor de  es variable DOMINIO 4a. FLEXIÓN COMPUESTA - 0.003

0.6 de de 4a

0.002 Es esfuerzo de las armaduras en la zona traccionada varía de fy hasta 0 El esfuerzo de las armaduras en la zona comprimida varía: desde el valor del Dominio 4 hasta [0.003 – (0.003d’/de) Es, pero no mayor que fs’ Es compresión controlada, por lo tanto  tomara el valor de este control DOMINIO 5. COMPRESIÓN COMPUESTA - 0.003

de 5

El esfuerzo de la armadura menos comprimida varía desde 0 hasta - 0.003 (h –de) / de Es El esfuerzo de la armadura más comprimida varía desde el valor del Dominio 4a hasta 0.003 d’ / h Es, pero no mayor de fs’ Es compresión controlada, por lo tanto  tomara el valor para ese control DOMINIO 6. COMPRESIÓN COMPUESTA O COMPRESIÓN CENTRADA - 0.003 6 de

El esfuerzo de la armadura menos comprimida varía desde el valor del Domino 5 hasta fy El esfuerzo de la armadura más comprimida varía desde el valor del Domino 5 hasta fy’ Es Compresión Controlada, por lo tanto  tomara el valor para ese control

XIII.6 DIAGRAMA DE INTERACCIÓN DE RESISTENCIA Es posible resumir todas las condiciones en que puede estar sometida una sección, aplicando un diagrama de interacción como se muestra en la Figura XIII.6.1 89

Toda combinación de carga axial y momento de flexión aplicada a una sección que caiga dentro de la curva de interacción es satisfactoria y puede ser resistida por la sección, pero toda combinación que caiga fuera de la curva, excede la resistencia de la sección Hay varios puntos críticos que son señalados en el diagrama: Punto A en el eje vertical, es el fallo a compresión axial (no hay momento flector) y la resistencia es Pu1 La sección está sometida a una deformación unitaria uniforme Punto B representa cero tracción. La combinación de la fuerza axial a compresión PuB y el momento flector (PuB eb) en el Punto B (cuando se combina con la fuerza del presfuerzo), produce cero deformación en la fibra externa de la sección. El fallo de la fibra externa del concreto se alcanza cuando fc = -0.003. Entre los Puntos A y Punto B, toda la sección está a compresión Cuando la excentricidad de la carga aplicada es mayor que eB, la flexión causa tracción sobre parte de la sección. El Punto C, se le llama Punto de fallo balanceado. La deformación unitaria en la fibra extrema a compresión es εcu = 0.003, y la deformación unitaria del refuerzo a tracción es el punto de fluencia del refuerzo εy = 0.2%. La excentricidad de la carga aplicada en el punto de fallo balanceado es eC = eb El Punto C es el punto de Compresión Controlada Cuando la sección tiene refuerzo Presforzado y no Presforzado con diferentes punto de fluencia y colocados en diferentes posiciones en la sección, el punto de fallo balanceado no está bien definido, pero se toma para refuerzo con fy =420 MPa y para Presforzado εt = 0.002 El Punto C casi siempre se toma como el punto correspondiente a una deformación εy en el refuerzo más próximo a la fibra extrema a tracción de la sección y es usualmente en o cerca del punto de máximo capacidad de resistencia a momento flector En todos los puntos entre Punto A y Punto C, el esfuerzo de tracción del refuerzo no llega al punto de fluencia por lo cual, el fallo es por compresión del concreto ( sección hiper-reforzada) El Punto Ca es el punto donde el refuerzo toma una deformación unitaria de εt = 0.005, y es el Punto de Tracción Controlada ( = 0.9) Entre los Puntos C y Punto Ca, la sección está en zona de transición El Punto D es el punto de flexión simple, donde la fuerza axial es cero El Punto E es el punto de fallo a tracción axial En todos los puntos, entre los Puntos C y Punto E, el refuerzo alcanza el punto de fluencia y el fallo es a tracción del refuerzo (sección hipo-reforzada) Cualquier línea recta a través del origen del gráfico representa una línea de excentricidad constante y se denomina una línea cargada. La pendiente de cada línea cargada es (1 / e). Cuando se aumenta la fuerza de compresión (Pu) a una excentricidad particular, ei, el ploteo de Pu – M (M = Pu ei) sigue la línea de pendiente 1/e hasta que la resistencia de la sección es alcanzada al punto donde la línea cargada y la curva es interceptada. Si la excentricidad de la carga aplicada es aumentada, la línea cargada se convierte más plana y la resistencia de la sección a la carga última Pu se reduce El contorno general de la curva es típica para cualquier sección que es hipo-reforzada en flexión simple (cualquier sección en la cual la tracción del refuerzo en el Punto D excede el punto de fluencia del refuerzo.

Un pequeño aumento de la fuerza de compresión axial Pu aumenta los esfuerzos internos de compresión resultantes en la sección, pero no apreciablemente reduce el esfuerzo interno de tracción, de este modo

aumentando la capacidad a momento , como se muestra por la parte de la curva entre los Puntos D y Punto C εcu = 0.003 Pu (fuerza axial de compresión) εcu = 0.003 x Punto A (compresión axial) x x

Pu1

PuB x

eB x x

Punto B (límite de cero tracción

εcu = 0.003

PuC (Pub) eC (eb) εy

εcu = 0.003 1

Pu Ca

x x Punto C (fallo balanceado)

1 e3

eCa

x x

e3a 1

Punto Ca (εt = 0.005)

εt = 0.005 Momento flector M (Pu e)

x x

Punto B Flexión Simple εcu = 0.003

x Nu (Fuerza axial de tracción) x > εy x

Punto E (Tracción axial)

Nu E

Figura XIII6.1 DIAGRAMA DE INTERACCIÓN DE RESISTENCIA

XIII. 6.1 FLEXIÓN SIMPLE Para el caso de Momento Simple (Punto B) la carga que produce el fallo de la sección se le llama la Carga Última. En flexión simple es recomendables debido a que el fallo es dúctil, o sea, que sea un fallo 91

por el refuerzo a tracción y no por el concreto en compresión, que produciría un fallo brusco. El aumento de la ductilidad de una sección puede aumentarse colocando refuerzo no Presforzado en la zona de compresión del concreto, por lo cual, los esfuerzos de compresión de la sección será resistido por ese refuerzo y el concreto. Al tener el concreto que resistir menor fuerza de compresión, la altura del bloque de compresión se reduce y aumenta el brazo entre la fuerza de tracción T y la resultante del bloque de compresión C Sea un elemento reforzado según la figura siguiente. La sección contiene refuerzo en la zona comprimida del concreto y en la zona a tracción. En la figura también se muestra la distribución de las deformaciones unitarias y los esfuerzos para cuatro diferentes casos de momento aplicado. Cuando el momento M desde la carga de servicio aumenta hasta la carga última, el eje neutro gradualmente asciende y el comportamiento de los materiales será no lineal El refuerzo puede tener el esfuerzo de fluencia si su deformación unitaria εs es mayor que εy = fy / Ey. El esfuerzo de compresión del concreto no será lineal cuando su esfuerzo en la fibra extrema excede de 0.5 fc´ εse εu o As’

εs2 (1) (2)

(3) (4)

o As

εy σc’ σc’ < 0.5fc’

σc’ < 0.5 fc’ fy As’

σd < 0.5 fc’ fs’ As’

fs’ As’ fs’ As’

Fc’

As σs As σs 1 - M en descompresión

As σs

As σs 2 – M en Mcr (momende fisuración)

3 -M después de la prime- 4 – en Mu grieta (momento último)

XIII. 7. SECCIONES GENERALES CON UN PLANO DE SIMETRÍA COINCIDENTE CON LA DIRECCIÓN DE LA CARGA EXTERIOR Consideremos el caso general de una sección de cualquier forma, reforzada con armaduras distribuidas en la sección. Notas: Denominaremos z, la distancia entre la fuerza de compresión del concreto (0.85 fc’ Ac’) y el refuerzo extremo (As1) Se denomina t, a la deformación unitaria del refuerzo extremo en tracción 92

Se considera las tracciones positivas y las compresiones negativas Se denomina h, a la altura total del elemento Las deformaciones de las armaduras se obtienen de las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones, tomando para la fibra extrema de la sección a compresión – 0.003 y para el refuerzo extremo a tracción t La posición del eje neutro se obtiene de la ecuación de equilibrio  Fx = 0 n  Así si – 0.85 fc Ac’ = 0 1 Entonces si  fy (tracción) y si  - 420 MPa (compresión) Ac’ d3’

d2´ As´1

As’2

d1’

- 0.003 o o o o

d’4’

0.85 fc’ As’1σ1’ As’2s2’

ho c As’3 As’4

d14 d13

d11

Ac’ 0.85 fc’ As’3 s3’

d12 As’4 σ4’

As4

As4 σs4 As3 As2

o o o o t

As1

As2 σs As3 s3 As1 σs1 Obteniéndose (si) de las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones Para que la sección se considere que satisface el Momento de Cálculo (Mu) debe cumplirse que: n-1 Mu  Mn =  [ 0.85fc’∑ Ac’ z -  Ai si (dn – hi)] 1

XIII. 7.1

z- la distancia desde el centroide del área Ac’ hasta la armadura Asn El momento nominal que aporta el concreto es: Mcn = 0.85 fc’ Ac’max z XIII. 7.2 Ace'max- área máxima comprimida del concreto con altura a = β1 c, Para que la zona comprimida de la sección resista, debe cumplirse que: Mu  Mcn  = ( 0.85 fc’ Ac’max z -  Fi zi)  zi- distancia desde cada refuerzo hasta el refuerzo extremo a tracción Fi- fuerza desarrollada por cada refuerzo

XIII. 7.3

El Fallo Balanceado, o sea, cuando falla el concreto y el refuerzo en el mismo instante es cuando: t = 0.002 (Compresión Controlada) y c’ = - 0.003 [para acero fy = 420 MPa y de Presforzado) Lo cual podría considerarse que el momento máximo que aporta el concreto es el que se obtiene en el fallo balanceado (como lo consideran otras normas) y a partir de ahí, reforzar la zona comprimida, modificar la sección, o utilizar otra calidad del concreto. El Reglamento, lo que hace, es que cuando no se alcanza un valor de  t  0.005 (Tracción Controlada), disminuye el valor de  = 0.9 hasta alcanzar el valor de Compresión Controlada. 93

Para elementos no preesforzados en flexión y elementos no preesforzados con carga axial mayorada de compresión menor a 0.1 fc’ Ag, el valor de εt en el estado de resistencia nominal no debe ser menor de 0.004 XIII. 8 SECCIONES RECTANGULARES SIN ARMADURA EN LA ZONA COMPRIMIDA Como sección rectangular se considera la sección rectangular propiamente dicha o cualquier sección en que la zona comprimida sea rectangular, independientemente de la forma que tenga la zona en tracción Sea la sección de concreto reforzada, sometida a momento flector bw -0.003 0.85 fc’ Fc’ a di c de Así i z o si Asi σi o As1 s1 Así σsi o s1 εt As fs1 Ap σs As Para que exista equilibrio Fc’ = T donde T representa la fuerza de tracción de todos los refuerzos Fc’ = 0.85 fc’ a bw = ∑Así fsi XIII. 8.1 El momento nominal máximo que resiste el concreto es Mcn max= Fc.’ z = 0.85 fc.’ a bw z Donde a = ∑Así fs / 0.85 fc.’ bw Tomando momento con respecto a la fuerza Fc’, hallamos que: Man = (∑Así fi zi) XIII. 8.3 - 0.003 zi = de – a/2 Mna– momento nominal del refuerzo El momento de cálculo que resiste la sección es: Mu =  Mn c Para conocer el valor de , es necesario conocer el valor εt como conocemos a, entonces hallamos c = a /1 de De la figura de deformación, hallamos s = -0.003 (de – c) / c con el valor de s, podemos determinar el valor de  considerando una camada de refuerzo El momento que resiste el acero es:  Mna=  (As fy ) z XIII. 8.4 El momento que resiste el concreto es:  Mnc = 0.85 fc’a bw z XIII. 8.5 con el que se obtenga el menor valor, ese es el momento de cálculo que resiste la viga Para t = 0.005

c = 0.375 de

a = 1 c

XIII. 8.2

z = de – a/2 = de (1 – 0.1875 1)

 Mc = 0.85 fc’ bw (de^2) [0.319 1 – 0.0598 (1) ^2] 0.9 XIII. 8.6  Mc = ct fc’ bw [(de) ^2] 0.9 XIII. 8.7 ct = [0.319 1 – 0.0598 (1)^2] XIII. 8.8 En la siguiente Tabla se muestra los valores de ct para t = 0.005 y las diferentes calidades de concreto fc’ MPa

0.228 0.228 0.217 0.205 0.182 0.182 ct Pudiéndose hallar el valor del peralto efectivo extremo necesario (de) según la siguiente ecuación: de =  ( Mu / 0.9 ct fc’ bw)

XVI.8.9

Si por cualquier motivo es necesario utilizar un peralto menor al valor obtenido por la fórmula anterior y se desea seguir utilizando t = 0.005, entonces se debe aumentar la calidad del concreto o reforzar la zona en compresión. Recordar que con este valor de t = 0.005, no se alcanza el fallo balanceado. El fallo balanceado se alcanza cuando t = 0.002, para aceros fy = 420 MPa y se utilizaría  = 0.65 ó 0.75 94

Para t = 0.002

c = 0.6 (de) a = 1 c z = de (1 – 0.3 1)  Mc = fc’ bw de^2 [0.51 1 – 0.153 (1) ^2]  XIII. 8.10  Mc = cc fc’ bw de^2 

XIII. 8.11

En la siguiente Tabla se muestra los valores de cc para t = 0.002 y diferentes calidades de concreto fc’ MPa cc

0.323

0.310

0.296

0.267

70 0.267

Pudiéndose hallar el valor del peralto efectivo extremo necesario (de) según la siguiente ecuación: de =  ( Mu /  tc fc’ bw)

XIII. 8.12

 = 0.65 (0.75) Si las dimensiones del elemento están determinadas, se comprueba que la zona de compresión cumpla que: Mu   Mc XIII. 8. 13 Si lo anterior no se cumple, se debe aumentar la calidad del concreto o mejor colocar refuerzo en la zona de compresión, este refuerzo debe ser de acero ordinario, ya que si coloca de Presforzado, disminuye la resistencia del elemento en la zona comprimida a) Zona de Tracción Ac’ = a bw La altura (a) de la zona comprimida se obtiene igualando las fuerzas horizontales bw a 0.85 fc’ =  Así σs) XIII. 8.14 a = ( Así fsi / 0.85 bw fc’ ....... XIII. 8.15 Considerando una camada de refuerzo y tomando momento con respecto al centroide de la zona comprimida, debe cumplirse que: Mu  [ Así fsi (  di – 0.5 a)]  ....... XIII. 8.16 NOTA: fsi representa el esfuerzo de las armaduras no extremas Para el diseño, lo mejor es considerar el caso de t  0.005 y sustituyendo XIII. 8.15 en XIII. 8.16 y tomando en cuenta , obtenemos: Mu = 085 fc’ a bw (de – 0.5 a)  XIII. 8.17 Dividiendo por (de), obtenemos: (Mu / de) = 0.85 fc’ a bw (1 – 0.5 a / de)  Mu = 0.85 fc’ de a bw (1 – 0.5 a /de)  XIII. 8.18 Multiplicando y dividiendo por (de) el segundo miembro Mu = 0.85 fc’ [(de) ^2 / de] a bw (1 – 0.5 a / de)  XIII. 8.19 Y llamando

Co = [(a / de) (1 – 0.5 a / de)] 

XIII. 8.20

Mu = [ Co 0.85 fc’ bw (de) ^2]

XIII 8.21

Volviendo a tomar momento con respecto al centroide de la fuerza de compresión: Mu = (As fy ) z 

XIII. 8.22

z = (de) – 0.5 a Dividiendo por (de)

(z / de) = 1 – 0.5 a / de = j

XIII. 8.23 XIII. 8.24 95

Considerando  As fy = Mu / j de 

XIII. 8.25

Utilizando un solo tipo de armadura As = Mu / fy j de 

XIII. 8.26

En la practica se halla Co = [Mu /] / 0.85 fc’ bw de^2 XIII.8.27 Con este valor buscamos el valor de (j) en la TablaXIII.8a y hallamos el refuerzo necesario con la fórmula correspondiente. Como se está diseñando, se considera que existe una sola camada de armadura, si posteriormente es necesario más de una camada se coloca en su posición la armadura y se revisa la sección Nota: En la Tabla k = a / de y j = z / de Predimensionamiento Para predimensionar las vigas se puede considerar que el peralto debe ser de (1/10 a 1/12) L, donde L es la luz e la viga Como referencia se puede tomar las siguientes dimensiones de vigas según la luz: L ≤ 5.5 m 25 x 50 cm, 30 x 50 cm L ≤ 6.5 m 25 x 60 cm, 30 x 60 cm, 40 x 60 cm L ≤ 7.5 m 25 x 70 cm, 30 x 70 cm, 40 x 70 cm L ≤ 8.5 m 30 x 75 cm, 40 x 75 cm, 40x 80 cm L ≤ 9.5 m 30 x 85 cm, 40 x 85 cm, 40 x 90 cm Cuando diseñamos un elemento para el fallo balanceado, obtenemos el peralto (de) menor, sin refuerzo en la zona de compresión, pero la cantidad de refuerzo es grande, debido a que (z) es pequeño y el valor de , es pequeño también, o sea, es compresión controlada Para t = 0.002 c = 0.6 (de) a = 1 c z = de (1 – 0.3 1) Co = [(a / de) (1 – 0.5 a / de)] /  XIII. 8.20 Si t < 0.002, se puede producir un fallo quebradizo por el concreto

TablaXIII.8a Valor de k y j según Co

Co 0.4278 0.4352 0.4422 0.4488 0.455 0.4608

k 0.62 0.64 0.66 0.68 0.7 0.72

J 0.69 0.68 0.67 0.66 0.65 0.64

Co 0.4662 0.47122 0.4758 0.48 0.4838 0.4872

k 0.74 0.76 0.79 0.80 0.82 0.84

J 0.63 0.62 0.61 0.60 0.59 0.58

Co 0.4902 0.4928 0.4950 0.4960 0.4982 0.4998

k 0.86 0.88 0.9 0.92 0.94 0.98

j 0.57 0.56 0.55 0.54 0.53 0.51

Cuando diseñamos un elemento para t = 0.005 , obtenemos un peralto (de) mayor, pero la cantidad de refuerzo es menor, debido a que (z) es mayor y el valor de , es mayor también, o sea, es tracción controlada y el fallo si se produce es por el refuerzo y no es un fallo quebradizo Para t = 0.005 c = 0.375 de a = 1 c z = de – a/2 = de (1 – 0.1875 1) Es aconsejable utilizar un valor de t = 0.0075, a fin asegurar una buena adherencia entre las barras y el concreto y proveer un buen control de deformación entre otros Tabla XIII.8b Para fc´= 21 MPa y fc´= 28 MPa, se obtienen los siguientes valores: 97

t = 0.0075 t = 0.005 t = 0.002

Co = 0.2133 Co = 0.2679 Co = 0.3799

c = 0.2857 k = 0.2428 j = 0.8786 c = 0.375 k = 0.3187 j = 0.8406 c = 0.600 k = 0.5100 j = 0.7450

 = 0.9 ß1 = 0.85  = 0.9 ß1 = 0.85  = 0.65 (0.75) ß1 = 0.85

c = 0.2857 k = 0.2285 c = 0.375 k = 0.3000 c = 0.600 k = 0.4800

 = 0.9  = 0.9  = 0.65 (0.75)

Para fc´= 35 MPa t = 0.0075 t = 0.005 t = 0.002

Co = 0.2024 Co = 0.2550 Co = 0.3648

j = 0.8857 j = 0.8500 j = 0.7600

ß1 = 0.80 ß1 = 0.80 ß1 = 0.80

Para fc´= 42 MPa t = 0.0075 t = 0.005 t = 0.002

Co = 0.1913 Co = 0.2417 Co = 0.3487

c = 0.2857 k = 0.2142 j = 0.8928 c = 0.375 k = 0.28125 j = 0.8594 c = 0.600 k = 0.4500 j = 0.7750

 = 0.9  = 0.9  = 0.65 (0.75)

ß1 = 0.75 ß1 = 0.75 ß1 = 0.75

XIII.9 PASOS A SEGUIR PARA EL DISEÑO DE ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN SIMPLE CUANDO SE QUIERE UTILIZAR UN VALOR DETERMINADO DE t 1) Determine Mu 2) Seleccione los valores de fc´, bw, fy, t y obtenga  y Co 3) Obtenga el valor del peralto efectivo (de) con la fórmula: Co = [Mu /] / 0.85 fc’ bw de^2 XIII.8.27 de^2 = [Mu /  ] / 0.85 fc’ bw Co 4) Obtenga el refuerzo necesario con: As = Mu / fy j de  XIII. 8.26 XIII. 10 Determine el peralto y el refuerzo necesario de un elemento que está sometido a Mu = 1 MN-m para A) t = 0.0075 B) t = 0.005 y C) t = 0.002 Solución: A) 1) Mu = 1 MN-m 2) fc´= 35 MPa, bw = 0.3 m, fy = 420 MPa, t = 0.0075 De la Tabla XIII.8b Obtenemos: t = 0.0075 Co = 0.2024 c = 0.2857 k = 0.2285 j = 0.8857  = 0.9 3) Hallamos el peralto efectivo con: de^2 = [Mu /  ] / 0.85 fc’ bw Co y sustituyendo valores de^2 = 0.6151m² de = 0.7842 m ≈ 0.79 m 4) Hallamos el refuerzo necesario con: As = Mu / fy j de  XIII. 8.26 As = 0.0038088 m² = 38.09 cm² La sección es de bw = 0.3m, de = 0.79 m y con refuerzo de As = 38.09 cm² B) 1) Mu = 1 MN-m 2) fc´= 35 MPa, bw = 0.3 m, fy = 420 MPa, t = 0.005 De la Tabla XIII.8b Obtenemos: t = 0.005 Co = 0.2550 c = 0.375 k = 0.3000  = 0.9 3) Hallamos el peralto efectivo con: de^2 = [Mu /  ] / 0.85 fc’ bw Co de^2 = 0.488217m² de = 0.698725 m ≈ 0.70 m 4) Hallamos el refuerzo necesario con: As = Mu / fy j de  XIII. 8.26 As = = 0.00445 m² = 44.54 cm² La sección es de bw = 0.3m, de = 0.70 m y con refuerzo de As = 44.54 cm²

j = 0.8500

C) 1) Mu = 1 MN-m 98

2) fc´= 35 MPa, bw = 0.3 m, fy = 420 MPa, t = 0.002 De la Tabla XIII.8b Obtenemos: t = 0.002 Co = 0.3648 c = 0.600 k = 0.4800  = 0.65 (0.75) 3) Hallamos el peralto efectivo con: de^2 = [Mu /  ] / 0.85 fc’ bw Co = 0.341267 m² de = 0.58418 m ≈ 0.58 m 4) Hallamos el refuerzo necesario con: As = Mu / fy j de  XIII. 8.26 As = 0.005958 6m² = 59.59 cm² La sección es de bw = 0.3m, de = 0.58 m y con refuerzo de As = 59.59 cm²

j = 0.7600

Conclusión: Al analizar los problemas anteriores comprobamos que para un elemento sometido a flexión simple, al aumentar el valor de t, se aumenta el peralto de la sección y se disminuye la cantidad de refuerzo XIII. 10 PASOS A SEGUIR PARA EL DISEÑO DE ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN SIMPLE CUANDO SE CONOCE LA SECCIÓN 1) Determine Mu 2) Seleccione los valores de fc´, fy 3) Se halla Co = Mu /  0.85 fc’ bw d^2 4) En la TablaXIII.8a, hallamos k y j 5) Suponemos que es tracción controlada y tomamos  = 09 6) Hallamos el esfuerzo necesario con As = Mu / fy j de  XIII. 8.26 7) Comprobamos que es tracción controlada con: εt = 0.003 (de – c) / c . Si no se cumple, entonces con el valor hallado de εt, se vuelve a diseñar el elemento XIII.11 Diseño de una sección rectangular reforzada con refuerzo ordinario Diseñar una sección reforzada que está sometido a un momento flector de cálculo de: Mu = 0.25 MN-m Datos: fc’ = 28 MPa armadura fy = 420 MPa bw = 0.25 m h = 0.50 m de = 0.46 m Solución: a. b. c.

0.25 MN-m fc´= 28 MPa, fy= 420 MPa con Co = Mu /  0.85 fc’ bw d^2 = 0.2206 y de la TablaXIII.8a j = z / de = 0.8735 k = a / de = 0.253 a = 0.253 x 0.46 = 0.11638 m c = 0.111638 / 0.85 = 0.1369 m La armadura necesaria es: As = Mu /  fy j de = 0.001164 m^2 = 16.45 cm^2 Hallemos t = 0.003 (de – c) / c = = 0.0071 > 0.005 Como st > 0.005 Es tracción controlada Se utilizará una sección de 0.25 x 0.60 m de = 0.46 reforzada con 16.45 cm² XIII.12 REVISIÓN DE SECCIONES RECTANGULARES SIN ARMADURA EN LA ZONA COMPRIMIDA Sea la sección de la figura bw 0.85 fc’

-0.003

Fc’

a di

de o o o o

Así As1

z si s1 s1

Así fs1 As fs1

As Para que exista equilibrio Fc’ = T 99

donde T representa la fuerza de tracción de todos los refuerzos Fc’ = 0.85 fc’ a bw = As fy donde a = (As fy) / 0.85 fc’ b Tomando momento con respecto a la fuerza Fc’, hallamos que: Mn = (As fy ) z - 0.003 z = de – a/2 Mn – momento nominal Momento de cálculo que resiste la sección es: Mu =  Mn c Para conocer el valor de , es necesario conocer el valor εt como conocemos a, entonces hallamos c = a /1 de De la figura de deformación, hallamos t = 0.003 (de – c) / c con el valor de p, podemos determinar el valor de  t El momento que resiste el acero es:  Mna=  (As fy ) z El momento que resiste el Concreto es:  Mnc = 0.85 fc’a b z con el que se obtenga el menor valor, ese es el momento de cálculo que resiste la viga XIII.13 PASOS A SEGUIR PARA REVISIÓN DE SECCIONES RECTANGULARES SOMETIDAS A MOMENTO FLECTOR 1- Determine Mu, fc´, fy, As, de, bw 2- Asuma que s  t 3- Halle T = As fy 4- Halle a = As fy / 0.85 fc’ bw 5- Halle c = a / 1 6- Determine s = (de – c) x 0.003 / c 7- Compruebe que s ≥ t 8- Halle el momento nominal del refuerzo Mna = As fy [h – (a/2)] 9- Halle  Mn, con  = 0.9 10- El momento que resiste es  Mn XIII.14 Revisión de una sección rectangular sometida a momento flector Determinar el momento de cálculo que resiste una sección que tiene una base bw = 25 cm (0.25 m) y peralto efectivo de de = 40 cm (0.4 m), reforzada con 3  No. 8 (As = 15.3 cm^2 = 0.00153 m^2), colocadas en la zona en tracción fc.’ = 28 MPa fy = 420 MPa Asumiendo que s  t T = As fy = 0.00153 x 420 = 0.6426 MN a = As fy / 0.85 fc’ bw = 0.6426 / 0.85 x 28 x 0.25 = 0.108 m c = a / 1 = 0.108 / 0.85 = 0.127 m El esfuerzo neto de tracción del refuerzo es: s = (de – c) x 0.003 / c =0.00645 > 0.005, por lo tanto, está en tracción controlada y  = 0.9 s > 0.004 que es el mínimo para flexión El momento nominal Mna = As fy [h – (a/2)] = 0.6426 [0.4 – 0.108 / 2) = 0.2223 MN-m No es necesario calcular el momento que resiste la zona comprimida ya que tracción controlada El momento de cálculo  Mn = 0.9 x 0.2223 = 0.20 MN-m XIII. 15 SECCIONES RECTANGULARES CON ARMADURA EN LA ZONA COMPRIMIDA En Flexión Simple no es aconsejable colocar armadura en la zona comprimida, si es necesario, entonces que ésta sea armadura ordinaria, ya que la preesforzada disminuye la resistencia de la zona comprimida, es mejor, aumentar las dimensiones de la sección, pero a veces, debido a necesidades tecnológicas o arquitectónicas, no es posible esto, por lo cual es necesario reforzar la zona comprimida. Las ventajas de refuerzo en la zona comprimida, son: - El aumento en la ductilidad, este comportamiento es bueno en zonas de riesgo sísmico, o si se desea la redistribución de esfuerzos - Disminuye las deflexiones a largo plazo Cuando se realiza el análisis de elemento con doble refuerzo, se divide la sección en dos partes: 100

1- Se considera que una parte del refuerzo As trabaja con el bloque de compresión del concreto o sea As1 = (As – As´ ) 2- Los dos refuerzoa As´ = As2 trabajan como un par de fuerzas Parte 1 El momento nominal

Mn1 = ( As – As´ ) fy [d – (a / 2)] XIII.15 a a = ( As – As´ ) fy / 0.85 fc´bw

Parte 2 El momento nominal Mn2 = As2 fy (d – d´) XIII.15 b Sumando las partes obtenemos: Mn = ( As – As´ ) fy [d – (a / 2)] + As2 fy (d – d´) XIII.15 c Debe cumplirse que Mu ≤  Mn La ecuación anterior es sólo válida si el refuerzo As’ llega a su límite elástico As’

0.85 fc’

-0.003

As’ fs’

As’ o

Fc´

As o t As fy As d’ – recubrimiento de la armadura en compresión Es aconsejable que Mu ≤ 1.33  Mc Para comprobar que es tracción controlada, la relación c/de ≤ 0.375, y si es esposible = 0.35. Halle s = (de – c) x 0.003 / c, compruebe que s ≥ t Halle la deformación unitaria del refuerzo a compresión con: εs´ = 0.003 (c – d)´/ c c = a / ß1 = As – As´) fy / 0.85 ß1 fc´bw debe comprobarse que εs´ ≥ fy / Es 0.003 { 1 – [0.85 ß1 fc´d´ / (ρ – ρ)´fy de)]} ≥ (fy / Es) XIII. 15.4 Si εs´ ≤ εs, el esfuerzo en el refuerzo a compresión, se calcula con: fs´ = Es εs´ fs´= 0.003 Es {1 – [(0.85 ß1 fs´d´) / (ρ – ρ)´fy d]} XIII. 15 d Cuando el refuerzo As´ no llega al límite elástico, entonces el bloque de compression debe ser calculado utilizando el actual esfuerzo del refuerzo As´ a = As fy – As´fs´/ 0.85 fc´bw XIII. 15.e La ecuación XIII. 15.5, se utiliza para un tanteo inicial para obtener (a) Cuando se conozca (c ), se halla εs´ El momento nominal es: Mn = (As fy – As´fs´) [(de – (a / 2)] + As´fs´(de – d´) XIII. 15.f En la siguiente Tabla se muestra el peralto mínimo que debe tener una viga para que el refuerzo a compresión llgue a su límite elástico Peralto mínimo para que el refuerzo a compresión llegue a su límite elástico

fy (MPa) 280 420 525

d´/ de máximo 0.23 0.13 0.06

εt = 0.004 de mínimo para d´ = 6.3 cm cm 26.7 47.7 108.5

εt = 0.005 de mínimo para d´ = 6.3 cm d´/ de máximo cm 0.2 31.2 0.12 54.5 0.05 123.9 101

XIII.16 PASOS A SEGUIR PARA DISEÑAR UN ELEMENTO RECTANGULAR CON REFUERZOS EN LA ZONA A TRACCIÓN Y COMPRESIÓN 1- Determine Mu, fc´, As, As´, de, bw 2- Determine Mn1 de una sección con refuerzo solamente en la zona de tracción con:´ As1 = As – As. Verifique que As1 no da ε1 < 0.005 3- Halle Mn2 = Mn = Mu y se determina As2 = As´ El refuerzo total en la zona de tracción es As = As1 + As´ 4- Compruebe que el refuerzo a compresión llega a su límite elástico o no 5- Se debe comprobar que se cumple el mínimo refuerzo requerido XIII.17 Diseño de una sección sometida a flexión Una sección con de = 0.70 m, con una base de 0.30 m. esta sometida a un momento último de 1.1 MN-m. Determine el refuerzo necesario utilizando un refuerzo de 420 MPa. El concreto es fc.’ = 28 MPa Solución: Vamos a diseñar para tracción controlada. Entonces la zona a compresión resiste un momento de:  Mc = ct fc’ bw [(de) ^2] 0.9 ct = [0.319 1 – 0.0598 (1) ^2] Para concreto de fc.’ = 28 MPa, ct = 0.228  Mc = ct fc’ bw [(de) ^2] 0.9 = 0.846 MN-m, como es menor que Mu se tiene que reforzar con acero, la zona en compresión. El momento que tiene que resistir el refuerzo es: Ma = Mu -  Mc =1.1 – 0.846 = 0.254 MN-m’ El área de acero es As’ = Ma / fy (de – recubrimiento) As´= 0.254 / 420 (0.70 – 0.05) = 0.00093 m^2 = 9.3 cm²cm^2 El refuerzo a tracción necesario es 0.00093 +  Mc / fy z para ε = 0.005 tenemos z = de – a/2 = 0.5888 m As = 0.00093 + 0.846 / (420 x 0.5888) = 0.00093 + 0.00342 = 0.00435 m^2 = 43.35 cm^2 En este caso el momento que resiste el concreto y el acero a compresión es menor que: 1.33 de  Mc = 1.125 MN-m

XIII.18 SECCIÓN T SIN ARMADURA EN LA ZONA COMPRIMIDA En el caso de que c  hf, el elemento se considera como si fuera un elemento rectangular donde (bw) se be toma como (be) hf de o bw Si c > hf, entonces la sección se considera como T y el valor de (a) puede ser mayor o menor que hf. Si c es mayor que hf y a es menor que hf, la viga puede ser considerada como viga rectangular Si c y a son mayores que hf entonces la viga se como viga T Las vigas T pueden considerarse como una viga reforzada a compresión y a tracción, donde la zona (be – bw) fc´ es el refuerzo a compresión o hallando el momento nominal que resiste la zona comprimida con: Mn = [ (ct + X) 0.85 fc’ b (de) ^2] XIII.18 a X = [(be/ bw) – 1] (hf /de) (1 – (hf/2 de) XIII.18 b El valor de ct es el mismo que para la sección rectangular con ancho (bw) y peralto (de) En vigas vaciadas con la losa: be = 16 hf + bw XIII.18 c La parte de un ala ≤ 8 hf y no mayor de la mitad de la luz libre de la losa En la zona traccionada: Tomando momento con respecto a la fuerza de compresión tenemos: Mn = As fy z XIII.18 d Además, tenemos que: 0.85 fc’ (be – bw) hf + 0.85 fc’ a bw = As fy XIII.18 d y con el valor de (a) se halla el valor de (z) 102

Para asegurar que es tracción controlada, la relación c / de ≤ 0.375 XIII.20 Revisión de una sección T sometida a momento flector Determinar el momento flector de cálculo que existe la sección de la figura Datos: fc’ = 28 MPa Armadura fy = 420 MPa be = 0.4 m hf =0.2 m de = 0.6 m

As = 50 x 10^ (-4) m^2 = 0.005 m^2 o bw = 0.2 m Solución: As fy = 0.85 fc’ bw a a = As fy / 0.85 fc’ b = 0.22 m > ho = 0.20 m. Trabaja como T Tenemos: Mn = [ (ct + X) 0.85 fc’ b (de) ^2] X = [(be/b) – 1] (ho/d) [1 – (ho / zd)] = 0.2777 Mn = 0.8666 MN-m El momento nominal del concreto es: 0.8666 MN-m a= [As fy – 0.85 fc’ (be – b) ho] / fc’ b = 0.205 m a = 0.205 m > hf por lo tanto trabaja como viga T El centro de gravedad de la zona comprimida está a: ycg = Sc / Ac = 0.10034 m del borde superior z = 0.6 – 0.10034 = 0.4996 = 0.5 m La resistencia nominal de la zona de tracción es: Mna = As fy z = 1.05 MN-m La zona comprimida resiste un momento nominal de Mnc = 0.8666 MN-m y la zona traccionada de: Mna = 1.05 MN-m, por lo tanto, la sección resiste un momento nominal de Mn= 0.866 MN-m c =a / β1 = 0.205 / 0.85 = 0.24118 m s = (de – c) 0.003 / c = 0.00465 < 0.005 Esta en la zona de transición, entonces  = 0.871  Mn = 0.871 x 0.866 = 0.754 MN-m Resiste un momento de cálculo de 0.754 MN-m XIII 21 Diseñar el refuerzo de la sección de la figura sometida a momento flector de: Mu = 0.97 MN-m be = 0.4 m Datos: fc’ = 28 MPa fy = 420 MPa hf = 0.15 m de de = 0.6 m

bw = 0.2 m Para el diseño del refuerzo es más cómodo, determinar el refuerzo necesario como la suma del refuerzo que trabaja con las alas y con el alma de la sección. El ala resiste un momento flector de cálculo considerando tracción controlada de: Mu ala /  = 0.396 MN-m El refuerzo para equilibrar este momento es: As = 0.396 / 420 x 0.5 = 0.001892 m^2 El alma debe resistir: 0.972– 0.396 = 0.574 MN-m Ahora consideremos como si fuera una viga rectangular de 0.2 m x 0.6 m y en tracción controlada Co = 0.574 / 0.9 x 28 x 0.2 x 0.6^2 = 0.318, de la Tabla de Co, hallamos z/d = 0.8225 a/d = 0.305 a = 0.42 x 0.6 = 0.19125 m > 0.15 m, por lo tanto la viga en su conjunto trabaja como viga T 103

z = 0.8025 x 0.6 = 0.4815 m As’ = 0.574 / 420 x 0.4815 = 0.00283 m^2 El refuerzo total será = 0.001892 + 0.00283 = 0.00473 m^2 = 47.30 cm^2 c = 0.19125/ 0.85 = 0.225 m s = (de – c) 0.003 / c = = 0.005 Es tracción controlada se puede utilizar El refuerzo necesario es 47.30 cm^2

 = 0.9

XIII. 22.SECCIÓN T CON ARMADURA EN LA ZONA COMPRIMIDA Una solución para elementos de sección T es la siguiente: Hallamos la fuerza que produce las alas, que es: Fal = (be – bw) 0.85 fc’ XIII. 22 a Hallamos que parte del refuerzo en la zona traccionada es igual: As(1) = Fa1/ fy XIII. 22 b Se revisa o se diseña la sección para un momento Mu – Fa1 (de – ho/2)  XIII. 22 c, considerándola rectangular Si se diseña, se aumenta el refuerzo en una cantidad igual As (1) y si se revisa se disminuye en la misma cantidad XIII.24 Diseño del refuerzo necesario de una sección sometida a momento flector Determinar el área necesaria de refuerzo para una viga de b = 0.3 m, d = 0.5 m fc.’ = 28 MPa fy = 420 MPa Sometida a un momento flector de cálculo (último) = 0.54 MN-m a) Determinemos el momento flector que resiste la zona en compresión del concreto (Mnh) considerando que es tensión controlada ( = 0.9), entonces Mn = 0.54 / 0.9 = 0.6 MN-m Para este caso: c = 0.375 d = 0.375 x 0.5 = 0.1875 m a = 1 c = 0.85 x 0.1875 = 0.159 m Mnh = 0.85 fc’ b a [h – (a/2)] = 0.477 MN-m Como Mn > Mnh, es necesario colocar refuerzo en la zona comprimida Colocando el refuerzo en compresión a 0.05 m de la parte superior de la viga tenemos que s’ = 0.002 fs’ = 0.002 x Es’ = 420 MPa Mn’ = Mn – Mnh = 0.6 – 0.477 = 0.13 MN-m El área de acero a compresión será: As’ = Mn’ / fs’ (h – d’) ) = As’ = 0.0006878 m^2 = 6.8783 cm^2 El área de acero en la zona traccionada será: As = As’ + Mnh / fy (d – a/2) As = 0.0033778 m^2 = 33.78 cm^2 Por lo tanto: As = 33.78 cm^2 y As’ = 6.8783, y el área total será: At = 40.65 cm^2 b) Determinemos el momento flector que resiste la zona de compresión en el fallo balanceado: s = 0.002 Esto es sólo como EJEMPLO, En este caso cb= 0.6 d = 0.6 x 0.5 = 0.3 m a = 0.85 x 0.3 = 0.255 m Mb = 0.85 fc’ a b (d – a /2) = 0.6782 MN-m Mb > Mn > Mtc, siendo Mtc el momento a tracción controlada Esto nos dice que estamos en la zona de transición Hallemos el valor de la altura de la zona en compresión para resistir un Mn = 0.6 MN-m Co = Mn / 0.85 fc’ b d^2 = 0.3361 De la Tabla tenemos: k = 0.427, entonces a = kde = 0.427 x 0.5 = 0.215 m c = a / 1 = 0.215 / 0.85 = 0.2511 m c/d =0.2511/0.5 = 0.5022 1/ (c/d) = 1.99  = 0.65 + 0.25 [(1/c/d – (5/3)] = 0.73 As = (Mn / ) / fy [d – (a/2)] = 0.00498 m^2 = 49.98 cm^2 Si diseñamos utilizando t = 0.005 y reforzando la zona de compresión se utiliza una cantidad de refuerzo menor XIII. 25 SECCIÓN CAJÓN Para su análisis, la sección cajón es equivalente a una sección T, cuya alma es igual a la suma de los anchos de cada una de las almas de la sección cajón, o sea, b = bi y la dimensión del ala es be y ho

104

be hf

hf de

b3 b =  bi

XIII.26.SECCIONES TRAPEZOIDAL Y TRIANGULAR XIII. 26.1 Sección Trapezoidal Cuando la forma de la zona en compresión es trapezoidal se aplica las ecuaciones para una sección de forma general. Mn = Co 0.85 fc’ bi (de^2) XIII.23.1 a Que para este caso: Co = [(n-1)/3] (a / de)^3 – [(2n – 1)/2] (a / de)^2 + (n a /de) Donde: n = bs/bi La posición del eje neutro se determina con la expresión:

As fy = de bi 0.85fc’ [(n a/de) – [(n – 1) (a /de) ^2]/2]

XIII. 23.1 b

XIII. 23.1 c

bs bs a

a de

de o 

As bi

bi XIII. 27. DISTANCIA ENTRE APOYOS LATERALES DE ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN El espaciamiento de los apoyos laterales para un elemento sometido a flexión no debe exceder de 50 veces el menor ancho b del ala o cara a compresión Debe tenerse en cuenta los efectos de excentricidad lateral de la carga para determinar el espaciamiento de los apoyos laterales XIII. 28 REFUERZO MÍNIMO DEL ELEMENTOS REFORZADO SOMETIDOS A FLEXIÓN XIII.28 .1 En toda sección de un elemento reforzado sometido a flexión donde debido al análisis se requiera refuerzo a tracción el As suministrado no debe ser menor que el dado por; As,mim = ρmin d bw = (√fc’ d bw / 4 fy) ≥ 1.4 d bw / fy XIII. 28.1 a (C.10.3) 105

XIII. 28.2 Para secciones de forma T donde el ala esta sometida a tracción y el alma a compresión, el As suministrado no debe ser menor que el mínimo obtenido por XIII. 28.1 a, sustituyendo bw por 2 bw o el ancho del ala, el que sea menor bw – ancho del alma bf - ancho del ala XIII. 28.3 los requisitos XIII. 28.1 y XIIII. 28.2 pueden dispensarse si en todas las secciones del elemento la cuantía del refuerzo a tracción suministrada es mayor al menos de un tercio de la requerida por análisis XIII. 28.4 En losas estructurales de espesor uniforme, el área mínima y el espaciamiento máximo del refuerzo en la dirección de la luz deben ser los que se requieren para retracción y variación de temperatura. El espaciamiento máximo del refuerzo no debe exceder del mínimo de tres veces el espesor de la losa o zapata, ni 500 mm XIII. 28.5 Para zapatas ver el Capitulo de Cimentaciones XIII. 28. 6 En las estructuras de Categoría D, E y F deben cumplirse los requisitos para estructuras con capacidad e disipación de energía XIII. 28.7 (Ver losas macizas reforzadas en dos sentidos) XIIII. 28.8 La longitud mínima del refuerzo adherido debe ajustarse a: En las zonas de momento positivo, la longitud mínima del refuerzo adherido debe ser 1/3 de la longitud de la luz libre y debe estar centrada dentro de la zona de momento positivo En las zonas de momento negativo, el refuerzo adherido debe extenderse hasta 1/6 de la luz libre a cada lado del apoyo Donde se coloque refuerzo adherido para resistencia a flexión o para condiciones de esfuerzo de tracción la longitud mínima además debe cumplir las disposiciones del Capitulo de Desarrollo y Empalmes del Refuerzo XIII. 29 PROBLEMAS PROPUESTOS XIII. 29.1 Debido a que no existe un diagrama único de esfuerzo-deformación del concreto? XIII.29.2 Que diagrama, esfuerzo y deformación unitaria del concreto permite utilizar el Reglamento en el estado límite último? XIII.29.3 Cuales son las hipótesis del Reglamento en el estado límite último? XIII.29.4 Cual es la resistencia de diseño que tiene un elemento, sus conexiones con otros elementos y cualquier parte o sección de él, en términos de momentos flectores, carga axial, cortante y torsión?, XIII.29.5 Que es tracción controlada y compresión controlada y que valores de , debe utilizarse? XIII.29.6 Cuales son los límites de c / de para sección controlada a tracción y compresión? XIII.29.7 Que es un diagrama de dominio? XIII.29.8 Que es un diagrama de interación de resistencia? XIII.29.9 Que es fallo balanceado? XIII.29.10 Diseño de una sección rectangular reforzada con refuerzo ordinario Diseñar una sección reforzada que está sometido a un momento flector de cálculo de: Mu = 0.30 MN-m Datos: fc’ = 28 MPa armadura fy = 420 MPa bw = 0.25 m h = 0.55 m de = 0.50 m XIII.29.11 Revisión de una sección rectangular sometida a momento flector Determinar el momento de cálculo que resiste una sección que tiene una base bw = 30 cm (0.3 m) y peralto efectivo de de = 45 cm (0.45 m), reforzada con 4  No. 8 (As = 20.4 cm^2 0.00204 m^2), colocadas en la zona en tracción fc.’ = 28 MPa fy = 420 MPa XIIII.29.12 Diseño de una sección sometida a flexión Una sección con de = 0.705m, con una base de 0.35 m. esta sometida a un momento último de1.3 MN-m. Determine el refuerzo necesario utilizando un refuerzo de 420 MPa. El concreto es fc’ = 28 MPa XIII.29.13 Revisión de una sección T sometida a momento flector Determinar el momento flector de cálculo que existe la sección de la figura Datos: fc’ = 28 MPa Armadura fy = 420 MPa 106

be = 0.5 m hf =0.2 m de = 0.7 m

As = 50 x 10^ (-4) m^2 = 0.005 m^2 bw = 0.2 m

XIII.29.14 Diseñar el refuerzo de la sección de la figura sometida a momento flector de: Mu = 1.3 MN-m be = 0.45 m Datos: fc’ = 28 MPa fy = 420 MPa hf = 0.2 m de de = 0.65 m

o bw = 0.25 m

107

CAPÍTULO XIV FLEXIÓN ESVIADA INTRODUCCIÓN Una sección está sometida a Flexión Esviada cuando sobre ella actúa un momento flector que no está contenido en algunos de sus ejes principales Para el diseño de estos elementos se han utilizado varios métodos, entre ellos: -Descomponiendo el momento flector esviado según los dos ejes principales y calculando éstos independientemente. -Flexión diagonal perfecta. Para lo cual, se adiciona una cantidad de refuerzo a fin de considerar que el plano de acción del momento flector coincide con una de las diagonales de la sección. Las hipótesis en que se basa el método que se expone a continuación son: 1- La recta que une los centroides de la zona de compresión del concreto, de los refuerzos a compresión y a tracción coincide con el plano en que actúa el momento flector y el mismo pasa por el centro de la sección 2- Se considera que el ángulo ‘t’ que forma el plano en que actúa el momento flector con el eje ‘y-y’ de la sección, es positivo según la figura 1 y negativo en caso contrario. 3- En el caso de que la zona comprimida del concreto sea triangular, el esfuerzo del concreto se considera como 0.80 fc’ 4- La sección es rectangular. y 5- Todos los refuerzos trabajan a sus valores de cálculo x

y FIGURA 1 NOTA: Este nuevo método de diseño elaborado por el Autor se basa en las mismas hipótesis del método de revisión de la SNIP II – B – Norma de Proyectos para Construcciones de Concreto y Concreto Armado- URSS

DESARROLLO DEL MÉTODO XIV.1-DETERMINACIÓN DEL REFUERZO PARA SECCIONES SIN REFUERZO EN LA ZONA COMPRIMIDA Una sección rectangular de base ‘bw’ y peralto efectivo ‘de’ está sometida a un momento flector que actúa formando un ángulo ‘t’ con el eje ‘y-y’, el centroide del refuerzo en tracción está situado en ese mismo plano y según la hipótesis 1, el centroide de la zona comprimida del concreto tiene que estar en ese plano. (Ver figura 2) Tomando momento con respecto al refuerzo A (en tracción) y proyectando sobre el eje ‘y-y’, tenemos que: Mu cos t = 0.85 fc’ Sc’ 

XIV.1 a

Despejando Sc’, tenemos: 108

Sc’ = Mu cos t / 0.85 fc’  ………… XIV.1 b Tomando momento con respecto al centroide de la zona comprimida del concreto y proyectando sobre el eje ‘y-y’. Mu cos t = As fy (de – rh)  XIV.1 c Despejando: As = Mu. cos t / fy de ( de – rh)  ………. XIV.1 d Donde: Mu- Momento Último t- ángulo del plano de acción del momento flector con respecto al eje ‘y-y’ Sc’- Momento estático de la zona comprimida del concreto con respecto al refuerzo en tracción fc’- Resistencia a compresión del concreto As- Área del refuerzo a tracción de- Peralto efectivo de la sección  – Coeficiente que depende de s (deformación unitaria del refuerzo) rh- Distancia desde el borde más comprimido hasta el centroide de la zona comprimida plano que actúa el momento flector y

■

t h

Centroide de la zona comprimida ■

bw Centroide del refuerzo a tracción FIGURA 2 Analizando la fórmula XIV.1 d, se deduce que es necesario conocer la posición de la zona comprimida del concreto, o sea, el valor de ‘rh’ para poder determinar el refuerzo necesario. La zona comprimida del Concreto puede ser triangular (Figura 3) o trapezoidal (Figura 4) gbw y ■



t ■

eh h

■

h1 bw FIGURA 3 Para la zona comprimida triangular, tenemos: Sc’= Ac’(de – rh) = (1/2) gbw eh ( de – rh) Y considerando de = nh

FIGURA 4 XIV.1 e

109

Sc’= (1/2) gbw e ( n – r) h^2 Ac- Área de la zona comprimida del concreto Llamando

m = (1/2) g e (n – r), tenemos:

Sc’= Mu cos t / 0.80 fc’  = m bw h^2 De lo cual obtenemos que: m = Mu cos t / 0.80 fc’ bw h^2  …………… XIV.1 f El centroide del triangulo está situado en:

Siendo: r = e/3

rh = (1/3) eh XIV.1 g cb = (1/3) gbw XIV.1 h c = g/3 XIV.1 i

Para la zona trapezoidal: Sc’= Ac’ (de – rh) = (1/2) (fh + eh) bw (ed – rh)

XIV.1 j

Y como d = nh Sc’ = (1/2) (f + e) (n – r) bw h^2

XIV.1 k

Llamando m = (1/2) (e + f) (n – r) Sc’= m bw h^2 según la fórmula XII1. 1 b Obteniéndose que:

XIV.1 l

Sc’ = Mu cos t / 0.85 fc’  = m b h^2

XIV.1 m

m = Mu cos t / 0.85fc’  bw h^2 ……….

XIV.1 n

La posición del centroide del trapecio es: rh = (1/3) {(eh)^2 + eh fh + (fh)^2} / (eh + fh) XIV.1 o De donde: r = {(e)^2 + e f + f^2} / 3 (e + f)……. XIV.1 p Para ayudar en el diseño se confeccionaron las Tablas 1 y 2, según la zona comprimida del concreto sea trapezoidal o triangular respectivamente. Según Figura 3 Tan t = [(bw/2) – cbw] / [(h/2) – rh]……….. XIV.1 q Para el diagrama triangular, el valor de ‘cbw’ es:

cbw= b/3

XIV.1 r

Sustituyendo este valor en la fórmula XIV. 1 m, se tiene: Tan t = {(bw/2) – (bw/3)} / {(h/2) – rh} = (bw/6)/ {(h/2) – rh} Tan t {(h/2) – rh} = bw/6 XIV.1 t despejando ‘rh’ tenemos que: rh = (h/2) – (bw / 6 Tan t)……………..

XIV.1 s y

XIV.1 u

Válida para Tan t desigual a 0, ya que si Tan t = 0, estamos en flexión simple Y también (bw/h)  Tan t Si Tan t > bw/h, la sección se analiza en el eje ‘x-x’, o sea, se sustituye el ángulo ‘t’ por (90- t); ‘bw’ por ‘h’ y ‘h’ por ‘bw’ Si el valor de ‘rh’ es negativo o nulo, significa que el diagrama es trapezoidal El momento máximo del diagrama triangular con respecto al refuerzo es: Mhr = (1/2) bw rh (de – rh) 0.80 fc’  ……….. XIV.1 v Si este momento Mhr es mayor que Mu cos t / , el diagrama es triangular, en caso contrario es trapezoidal 110

…………………………………………………………………………………………….. CONCLUSIÓN PARA DIAGRAMA TRAPEZOIDAL 0 > rh y Mhr < Mu cos t /  y se utiliza la Tabla 1, en caso contrario el diagrama es TRIANGULAR y se utiliza la Tabla 2 ………………………………………………………………………………………………………………… IMPORTANTE Las tablas están confeccionadas para cualquier valor de bw/h por lo tanto los valores se buscan con: Tan t’ = Tan t / (bw/h) …………………………………….………………………………………………………………………….. Para hallar el valor de ‘r’ en las tablas es necesario primeramente hallar el valor de ‘m’, según las fórmulas XIV 1 e ó XIV.1 m, y según el tipo de diagrama Conociendo el valor de ‘r’ aplicamos la fórmula XIV 1 d y determinamos el refuerzo necesario a tracción. XIV.2. DETERMINACIÓN DE SECCIONES CON REFUERZO EN LA ZONA COMPRIMIDA Si s < 0.005, según el criterio del Autor se debe reforzar la zona comprimida del concreto, cuando no se desea modificar la sección o aumentar la calidad del concreto, para lo cual se calcula el momento flector que resistir ese refuerzo, que será igual: Mua’= Mu cos T –  ML XIV.2 a ML =ct fc’ bw de^2 XIV.2 b (Se toma el valor de ct para  = 0.005) En la siguiente Tabla se muestra los valores de ct para t = 0.005 y las diferentes calidades de Concreto fc’ MPa

ct

0.228

0.217

0.205

0.182

70 0.182

Y ese refuerzo a compresión es: As’= {(Mu cos T) –  ML} / ( de – d’) fy d’-recubrimiento teórico del refuerzo en compresión El refuerzo total a tracción es: As = As’ +  ML / fy de (1-rh) XIV.2 d El valor de ‘rh’ se halla del caso de diagrama trapezoidal con: m=  ML cos T / fy bw de^2 XIV .2 e

XIV.2 c

Si esto no se cumple se debe aumentar las dimensiones de la sección o la calidad del concreto

TABLA 1 DIAGRAMA TRAPEZOIDAL Tant t’ 0.749 0.678 0.633 0.617 0.565 0.555 0.544 0.518

m 0.332 0.348 0.311 0.364 0.378 0.328 0.287 0.392

r 0.331 0.303 0.268 0.307 0.312 0.270 0.234 0.318

Tant t’ 0.323 0.308 0.299 0.294 0.294 0.282 0.279 0.278

m 0.354 0.457 0.157 0.413 0.313 0.368 0.267 0.465

r 0.255 0.370 0.102 0.311 0.217 0.263 0.178 0.380

Tant t’ 0.141 0.14 0.135 0.132 0.132 0.127 0.120 0.115

m 0.199 0.318 0.373 0.488 0.138 0.467 0.072 0.270

r 0.117 0.204 0.253 0.423 0.078 0.364 0.039 0.165 111

0.506 0.476 0.472 0.455 0.438 0.418 0.411 0.409 0.403 0.423 0.370 0.368 0.368 0.355 0.345 0.339 0.339 0.330

0.345 0.405 0.260 0.360 0.417 0.322 0.229 0.375 0.428 0.278 0.439 0.388 0.338 0.195 0.296 0.248 0.448 0.401

0.275 0.325 0.201 0.280 0.333 0.242 0.168 0.287 0.341 0.205 0.350 0.940 0.248 0.135 0.210 0.172 0.360 0.302

0.278 0.268 0.246 0.244 0.233 0.227 0.215 0.213 0.213 0.208 0.208 0.195 0.182 0.174 0.171 0.161 0.161 0.145

0.215 0.425 0.479 0.382 0.116 0.435 0.235 0.478 0.178 0.395 0.345 0.445 0.302 0.407 0.360 0.453 0.253 0.199

0.140 0.321 0.391 0.272 0.070 0.311 0.147 0.402 0.108 0.282 0.233 0.341 0.194 0.292 0.243 0.352 0.156 0.117

0.108 0.103 0.089 0.089 0.076 0.074 0.074 0.068 0.068 0.058 0.048 0.042 0.038 0.036 0.034 0.033

0.429 0.334 0.468 0.218 0.492 0.438 0.288 0.398 0.348 0.160 0.475 0.237 0.447 0.305 0.410 0.362

0.314 0.215 0.376 0.127 0.438 0.326 0.176 0.276 0.226 0.088 0.368 0.138 0.338 0.188 0.288 0.238

m 0.014 0.305 0.037 0.067 0.104 0.146 0.192 0.007 0.242 0.028 0.057 0.093

r 0.033 0.283 0.067 0.100 0.133 0.167 0.200 0.017 0.233 0.050 0.083 0.117

Tan t’ 0.842 0.840 0.836 0.930 0.828 0.824 0.821 0.816 0.815 0.814 0.808 0.807

m 0.043 0.187 0.080 0.124 0.029 0.172 0.065 0.225 0.108 0.015 0.156 0.050

r 0.050 0.167 0.083 0.117 0.033 0.150 0.067 0.173 0.100 0.017 0.133 0.030

TABLA 2. DIAGRAMA TRIANGULAR Tan t’ 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.983 0.982 0.982

m 0.283 0.235 0.188 0.144 0.104 0.069 0.040 0.019 0.005 0.002 0.034 0.014

r 0.300 0.267 0.233 0.200 0.167 0.133 0.100 0.067 0.033 0.017 0.083 0.050

Tan t’ 0.931 0.930 0.929 0.926 0.923 0.920 0.917 0.915 0.913 0.912 0.909 0.906

112

0.981 0.980 0.980 0.979 0.978 0.977 0.976 0.966 0.964 0.963 0.962 h0.958 0.957 0.955 0.952 0.949 0.947 0.945 0.943 0.941 0.939 0.936 0.933

0.062 0.135 0.096 0.178 0.225 0.274 0.125 0.010 0.028 0.054 0.087 0.168 0.215 0.264 0.315 0.005 0.021 0.046 0.077 0.115 0.17 0.204 0.253

0.177 0.183 0.150 0.217 0.250 0.282 0.317 0.033 0.067 0.100 0.133 0.200 0.233 0.267 0.300 0.017 0.050 0.083 0.117 0.150 0.183 0.217 0.250

0.902 0.898 0.897 0.894 0.893 0.889 0.889 0.885 0.881

0.134 0.180 0.019 0.229 0.047 0.291 0.081 0.121 0.100

0.150 0.183 0.033 0.217 0.067 0.250 0.100 0.133 0.017

0.877 0.875 0.873 0.870 0.868 0.863 0.862 0.857 0.857 0.852 0.851 0.847 0.846

0.036 0.216 0.069 0.268 0.108 0.153 0.024 0.202 0.056 0.094 0.255 0.012 0.139

0.050 0.200 0.083 0.233 0.117 0.150 0.033 0.183 0.067 0.100 0.217 0.017 0.133

0.800 0.792 0.783 0.784 0.780 0.788 0.772 0.764 0.759 0.755 0.750 0.746 0.741 0.737 0.724 0.727 0.714 0.712 0.702 0698 0.690

0.092 0.139 0.075 0.191 0.017 0.121 0.057 0.103 0.039 0.153 0.074 0.020 0.135 0.064 0.043 0.115 0.093 0.022 0.071 0.028 0.048

0.083 0.177 0.067 0.150 0.017 0.100 0.050 0.083 0.033 0.117 0.067 0.017 0.100 0.050 0.033 0.083 0.067 0.017 0.050 0.017 0.033

XIV.3. Determinar el refuerzo necesario para una sección de base bw = 0.3 m, h = 0.6, sometida a un momento flector Mu = 0.4 MN-m, que forma un ángulo de 4 40’ con el eje y-y Acero fy = 420 MPa fc’ = 21 MPa. Cost t = 0.997, tant t = 0.08163

Solución: Primeramente hallamos el valor de “m”. Suponemos que el diagrama del concreto es trapezoidal y que 0.005, entonces = 0.9 y según fórmula XIV.1 f: m = Mu cos t / 0.85fc’ bw h^2 m = Mu cos t / 0.85 fc’ bw h^2 = 0.4 x 0.997 / 0.85 x 21 x 0.3 x 0.6^2 x 0.9 m = 0.2298 Como tant t 0 y tan t < b/h = 0.3 / 0.6 = 0.5, la sección la analizaremos según el eje y-y. Determinemos que tabla debe utilizarse, para eso, según la fórmula XIV.1 u: rh = (h / 2) – (bw / tan t) = (0.6 / 2) – (0/3 / 6 x 0.0816) = - 12.5 113

Al ser “rh” negativo, significa que el diagrama es trapezoidal, por lo tanto utilizaremos la Tabla No. 1, con tan t’ = tan t / (b / h) = 0. 8163 / 0.5 = 0.1633 En la tabla, hallamos los siguientes valores: Tan t’ M 1 0.161 0.453 2 0.161 0.253

r 0.352 0.156

f 0.6 0.2

e 0.8 0.4

Escogemos el valor de 2, debido que m = 0.2298 y el valor de m es el más próximo, por lo tanto: m = 0.253, r = 0.156, f = 0.2, e = 0.4 Con la fórmula de As, obtenemos: As = Mu cos t / fy ( de – rh) = 0.4 x 0.997 / 420 (0.56 – 0.156 x 0.6) 0.9 As = 0.00227 m^2 = 22.72 cm^2 Determinemos si es necesario reforzar la zona comprimida del Concreto ML = ct fc’ bw de^2 En la siguiente Tabla se muestra los valores de  ct para c t = 0.005 y las diferentes calidades de Concreto fc’ MPa ct

0.228

0.217

0.205

0.182

70 0.182

De la tabla, para c t = 0.005 y fc’ = 21 MPa Obtenemos ct = 0..228 ML = 0.228 x 21 x 0.3 x 0.56^2 = 0.45 MN-m ML = 0.45 x 0.9 = 0.405 MN-m > M cos t = 0.3988 MN-m  ML = 0.45 x 0.9 = 0.405 MN-m > M cos t = 0.3988 MN-m No necesita refuerzo en la zona de compresión del Concreto XIV.4 Determinar el refuerzo necesario de la sección del XIV.4 pero actuando : Mu = 0.15 MN-m t = 21 10’, refuerzo 420 MPa, concreto fc’ = 21 MPa tan t = 0.3872; cos t = 0.93358 bw/h = 12/24 = 0.5 > tan t, por lo tanto analizaremos la sección con respecto al eje y-y Según fórmula XIV.1 u: rh = h/2 – (bw / 6 tan t) = 0.171 > 0 rh = 3 rh = 3 x 0.171 = 0.5126 m Mutr = bw eh (de – rh) 0.8 fc’ /2 = 0.3 x 1.5378 x (0.56 – 0.5126) 0.8 x 21/ 2 = 0.1836 MN-m Mu cos t = 0.15 x 0.93358 = 0.14 MN-m Obtenemos que Mutr > Mu cost y rh > 0, el diagrama es triangular. Debemos utilizar la Tabla 2 m = Mu cos t / 0.8 fc’ bw h^2 = 0.15 x 0.93358 / 0.8 x 21 x 0.3 x 0.6^2 = 0.077 De la tabla 2, hallamos con tan t’ = 0.772 y m = 0.077 r = 0.05 y con la fórmula As = Mu cos t / fy (de – rh) = 0.15 x 0.93358 / 420 (0.56 – 0.05 x 0.6) 0.9 = 0.0007 m^2 = As = 7. 0 cm^2 ML = ct fc’ bw de^2 = 0.228 x 21 x 0.3 x 0.56 ^2 = 0.45 MN-m ML = 0.9 x 0.45 = 0.405 MN-m > Mcost = 0.15 x 0.93358 = 0.4 MN-m No necesita refuerzo en la zona de compresión del concreto XIV.14.5. Determinar el refuerzo necesario para una sección de base b = 0.3 m, h = 0.6, sometida a un momento flector Mu = 0.225 MN-m, que forma un ángulo de 6.6 con el eje y-y Acero fy = 420 MPa fc’ = 21 MPa. Cost t = 0.99337, tant t = 0.1151 Solución: Primeramente hallamos el valor de “m”. Suponemos que el diagrama del concreto es trapezoidal y que   0.005 (tracción controlada), entonces  = 0.9 114

Diseñaremos para Mn = 0.225 / 0.9 = 0.25MN – m y según la fórmula 1.14 de m m = Mn cos t / 0.85 fc’ b h^2 m = Mn cos t / 0.85 fc’ b h^2 = 0.25 x 0.99337 / 0.85 x 21 x 0.3 x 0.6^2 = 0.1288 m = 0.1288 Como tant t  0 y tan t < b/h = 0.3 / 0.6 = 0.5, la sección la analizaremos según el eje y-y. Determinemos que tabla debe utilizarse, para eso: rh = (h/2) – (b / 6 Tan t)…………….. 3.22.1.20 rh = (h / 2) – (b / 6 tan t) = (0.6 / 2) – (0.3 / 6 x 0.1157) = - 0.132 Al ser “rh” negativo, significa que el diagrama es trapezoidal, por lo tanto utilizaremos la Tabla No. 1, con tan t’ = tan t / (b / h) = 0.1157 / 0.5 = 0.2314 Hallemos el valor de rh En la tabla 2 hallamos con tant´= 0.233, m = 0.116, r = 0.07 y rh = 0.07 x 0.6 = 0.042 m Con la fórmula de As, obtenemos: As = Mn cos t / fy ( de – rh) = 0.25 x 0.99337/ 420 (0.54 – 0.07 x 0.6) As = 0.001187 m^2 = 11.87 cm^2 Comprobación La zona comprimida del concreto es Ac = As fy / fc´ = 0.00187 x 420 / 21 = 0.0237 m^2 Comprobación La zona comprimida del concreto es Ac = As fy / fc´ = 0.00187 x 420 / 21 = 0.0237 m^2 La fuerza de la zona comprimida es Fc = 0.0237 x 21 = 0.4987 MN La fuerza de tracción es Fs= 0.001187 x 420 = 0.4987 MN Fs = Fc Se cumple Comprobación de rh Cuando t = 0°, fh = eh = 0.0237 / 0.3 = 0.079 m La línea mn es perpendicular a la línea ad

t = 6.6° m zona comprimida del concreto fh a

d h = 0.6 m

n b = 0.3 m

Al ir girando la línea mn hasta alcanzar los 6.6°, fh disminuye y eh se incrementa con un valor de ac = (b / 2) tant t = (0.3 / 2) 0.1157 = 0.017355 m, entonces fh = 0.079 – 0.017335 = 0.061665 m y eh = 0.079 + 0.017225 = 0.096225 m 0.3

0.061665

0.061665 0.096225 – 0.061665 = 0.03456 115

rh = ΣAi ai ∕ ΣAi Ai – área de cada figura ai – distancia desde el centroide de la figura hasta el borde superior de la zona comprimida rh = {(0.061665 x 0.3 x 0.061665 / 2) + 0.5 x 0.3 x 0.03456 x (0.061665 + 0.03456 / 3)} / {0.061665 x 0.3 + 0.5 x 0.3 x 0.03456}= 0.041 m, supusimos rh = 0.042 m (una diferencia del 2.38%) Se acepta El momento nominal que resiste la zona comprimida del concreto es Mcn = Fc (h – rh) = 0.4987 x (0.6 - 0.07 x 0.6) = 0.278 MN-m Mcn = 0.278 MN-m. El momento resiste del concreto es 0.278 x 0.9 = 0.25 MN-m > Mu = 0.225 MN-m MN-m. Se cumple El momento nominal que resiste el refuerzo es Mcn = Fy (h – rh) = 0.4987 x (0.6 - 0.07 x 0.6) = 0.278 MN-m El momento de resistente del refuerzo es 0.278 x 0.9 = 0.25 MN-m > Mu = 0.225 MN-m. Se cumple XIV.6. Determinar el refuerzo necesario para una sección de base b = 0.3 m, h = 0.6, sometida a un momento flector Mu = 0.30 MN-m, que forma un ángulo de 4.5 con el eje y-y Acero fy = 420 MPa fc’ = 21 MPa. Cost t = 0.9974, tant t = 0.07168 Solución: Primeramente hallamos el valor de “m”. Suponemos que el diagrama del concreto es trapezoidal y que   0.005 (tracción controlada), entonces  = 0.9 Diseñaremos para Mn = 0.3 / 0.9 = 0.34 MN – m y según la fórmula 1.14 de m m = Mn cos t / 0.85 fc’ b h^2 m = Mn cos t / 0.85 fc’ b h^2 = 0.34 x 0.997 / 0.85 x 21 x 0.3 x 0.6^2 = 0.1758 m = 0.1758 Como tant t  0 y tan t < b/h = 0.3 / 0.6 = 0.5, la sección la analizaremos según el eje y-y. Determinemos que tabla debe utilizarse, para eso: rh = (h/2) – (b / 6 Tan t)…………….. 1.20 rh = (h / 2) – (b / 6 tan t) = (0.6 / 2) – (0.3 / 6 x 0.07168) = - 0.31 Al ser “rh” negativo, significa que el diagrama es trapezoidal, por lo tanto utilizaremos la Tabla No. 1, con tan t’ = tan t / (b / h) = / 0.5 = 0.2314 Hallemos el valor de rh rh = (h / 2) – (b / 6 tan t) = (0.6 / 2) – (0.3 / 6 x 0.0816) = - 0.31 Al ser “rh” negativo, significa que el diagrama es trapezoidal, por lo tanto utilizaremos la Tabla No. 1, con tan t’ = tan t / (b / h) = 0.07168 / 0.5 = 0.1433 Hallemos el valor de rh En la tabla, hallamos los siguientes valores: Tan t’ M r 1 0.161 0.253 0.156 2 0.145 0.199 0.117 3 0.141 0.199 0.117 4 0.14 0.318 0.204 Al observar los valores tomaremos r = 0.117 Con la fórmula de As, obtenemos: As = Mn cos t / fy ( de – rh) = 0.34 x 0.997 / 420 (0.56 – 0.117 x 0.6) As = 0.016521 m^2 = 16.52 cm^2 Comprobación La zona comprimida del concreto es Ac = As fy / fc´ = 0.0016521 x 420 / 21 = 0.03304 m^2 La fuerza de la zona comprimida es Fc = 0.03304 x 21 = 0.6938 Mn La fuerza de tracción es Fy= 0.0016521 x 420 = 0.6938 MN Fs = Fc Se cumple El momento nominal que resiste la zona comprimida del concreto es Mcn = Fc (h – rh) = 0.6938 x (0.6 - 0.117 x 0.6) = 0.367 MN-m Mcn = 0.367 MN-m. 116

El momento resiste del concreto es 0.367 x 0.9 = 0.338 MN-m > Mu = 0.3 MN-m. Se cumple El momento nominal que resiste el refuerzo es Mcn = Fy (h – rh) = 0.6938 x (0.6 - 0.117 x 0.6) = 0.368 MN-m El momento de resistente del refuerzo es 0.368 x 0.9 = 0.33MN-m > Mu = 0.3 MN-m. Se cumple XIV.7 PROBLEMAS PROPUESTOS XIV.7.1 Determinar el refuerzo necesario para una sección de base bw = 0.3 m, h = 0.7 M, sometida a un momento flector Mu = 0.5 MN-m, que forma un ángulo de 4 30’ con el eje y-y Acero fy = 420 MPa fc’ = 21 MPa. XIV.7.2 Determinar el refuerzo necesario de la sección del EJEMPLO XIII. 2, pero actuando: Mu = 0.15 MN-m t = 21 10’, refuerzo 420 MPa, concreto fc’ = 21 MPa tan t = 0.3872; cos t = 0.93358

CAPÍTULO XV COMPRESIÓN Y FLEXO-COMPRESIÓN COMPRESIÓN Cuando una sección está sometida a una carga axial de compresión en su eje se dice que está sometida a compresión simple y la solicitación de compresión que resiste el elemento es: La resistencia axial de diseño  Pn de elementos en compresión no debe ser mayor que  Pn max calculado utilizando XVa yXVb -Para elementos reforzados y con refuerzo en espiral y para elementos compuestos:  Pn max = 0.85  [0.85 fc’ (Ag – Ast) + fy Ast] XV a (C.10-1) -Para elementos reforzados y reforzados con estribos cerrados:  Pn max = 0.80  [0.85 fc’ (Ag – Ast) + fy Ast] XVb (C.10.2) La diferencia entre los valores de las fórmulas anteriores se debe a que cuando el elemento tiene refuerzo transversal constituido con estribos, la falla es inmediata y frágil al alcanzar la resistencia última, no así, cuando el refuerzo transversal es de espirales, debido que puede desarrollar grandes deformaciones con una pequeña pérdida de resistencia Cuando una sección está sometida a una solicitación normal de Compresión y un Momento Flector directo u ocasionado por una excentricidad real de la solicitación de compresión, está sección está sometida a: FLEXO-COMPRESIÓN En el análisis se considera una excentricidad (eo) de la solicitación de compresión (Pu) con relación al eje plástico. De forma que (Pu eo) es igual al momento flector actuarte Mu. Este eje tiene la propiedad de que una carga aplicada sobre él produce deformaciones uniformes en toda su sección. Cuando su sección es simétrica coincide con el centroide de la sección bruta, en secciones asimétricas coincide con el centroide de la sección transformada En caso de existir Mu y una carga Pu. La excentricidad es eo = Mu / Pu Se denomina As’ a la armadura más cercana al borde comprimido y As a las más cercanas al borde traccionado o menos comprimido XV.1 CASOS EN FLEXO-COMPRESIÓN En Flexo-Compresión se distinguen dos casos: CASO I Cuando se presentan zonas comprimidas y traccionadas en el peralto (de) del elemento Predominio de Flexión. DOMINIOS 2, 2a, 3, 4 y 4a. CASO II Cuando sólo se presenta zona comprimida en el peralto (de) Predominio de Compresión. DOMINIOS 5 y 6 A su vez el CASO I, presenta TRES SUB-CASOS: 117

SUB-CASOS Ia: DOMINIO 4a. Compresión Controlada (t  0.002) SUB-CASOS Ib: DOMINIO 4. Zona de Transición (0.002  t  0.005) SUB-CASOS Ic. DOMINIOS 3, 2 y 2a. Tracción Controlada (t  0.005) Nota: Cuando la carga axial es menor que 0.10 fc’ Ag el valor de t no debe ser menor que 0.004 El Límite entre Caso Ia y Caso Ib lo constituye cuando t = 0.002 El Límite entre Caso Ib y Caso Ic lo constituye cuando t = 0.005 A) LÍMITE ENTRE CASO I Y CASO II Ver figura en la próxima página De la suma de las fuerzas interiores obtenemos: Pfd = [ 0.85 fc’Ac’ + As’ fy’] XV.1.1 Tomando momento de las fuerzas interiores con respecto al centroide del refuerzo Mfd = Pfd z1 XV.1.2 Si Pu  Pfd ó Pu e1  Pfd z1 Estamos en CASO II En caso contrario estamos en CASO I e1- distancia entre la fuerza Pu y el refuerzo extremo, o sea a la distancia (de) del borde más comprimido, con esfuerzo nulo Pu c = 0.003

Pfd

0.85 fc’ 0.85 fc’Ac’ Ns’ = As’ fy’

c = de s = p = 0

Ns = 0

LÍMITE ENTRE CASO I Y CASO II NOTA: Se ha representado todo el refuerzo a tracción como si estuviera concentrado en una sola camada para que sea más fácil su análisis

B) LÍMITE ENTRE CASO Ia y CASO Ib Pu

PLa

c = 0.003 0.85 fc’ Ns’ = As’ fy’ z1 Nc’ = 0.85 fc’ Ac’

a c = 0.6 de

h–c

Ns = As fy

t = 0.002 LÍMITE ENTRE CASO Ia y CASO Ib De la suma de las fuerzas interiores obtenemos: PLa = [0.85 fc’ Ac’ + As’ fy’ – As fy ]

XV.1.3

Tomando momento de las fuerzas interiores con respecto al centroide de As, obtenemos que: MLd = PLa z1

XV.1.4

Si Pu e1  MLd. Estamos en el CASO Ia. DOMINIO 4a 118

Si no se cumple lo anterior estamos en CASO Ib. DOMINIO 4

C) LÍMITE ENTRE CASO Ib y CASO Ic Ver figura en la próxima pagina De la suma de fuerzas interiores, obtenemos: PLb= [ 0.85 fc’ Ac’ + As’ fy’ – As fy] XV.1.5 PLb Pu c = 0.003

0.85 fc’ a c = 0.375 de

As’ fy’ z1 0.85 fc’ Ac’

h-c As fy t = 0.005 LÍMITE ENTRE CASO Ib y CASO Ic Tomando momento de las fuerzas interiores con respecto al centroide As, obtenemos que: MLb = PLb z1

XV.1.6

Si Pu e1  MLb Estamos en CASO Ib. DOMINIO 4 En caso contrario estamos en CASO Ic. DOMINIOS 3, 2a y 2 XV.2 SECCIÓN RECTANGULAR Y T Sea la sección de la siguiente figura

Pu Pfb be As’

0.85 fc’ As’ fy’

z1 e1

a Ac’ 0.85 fc’

As fy d1

bw -0.003

εs’ – deformación unitaria de As’ εs’

119

εs La deformación unitaria del refuerzo en la zona a compresión As’ es: εs’ = 0.003 (de – c) / de XV.2a y la fuerza de compresión de este refuerzo es: Fas’ = As’ εs’ Es si εs’ < ε y = fy / Es XV.2b Fas’ = As’ fy si εs’ ≥ ε y = fy / Es XV.2c La deformación unitaria del refuerzo en la zona de tracción As es: εs = 0.003 de / c XV.2d y la fuerza de compresión de este refuerzo es: Fas = As εs Es si εs < ε y = fy / Es XV.2e Fas = As’ fy si εs ≥ ε y = fy / Es XV.2f n = Es / Ec Ac – área del concreto Ag –área de la sección bruta XV. 2.1.-Determinación de la Resistencia Si Pu  [0.85 fc’ be ho + As’ fy’ – As fy] 

XV.3

La sección se considera rectangular En caso contrario es sección T XV.2.2. Sección Rectangular Para sección rectangular hallamos: Pfd = (0.85 fc’ bw a + As’ fy’ – As fy) XV.4 a = [(Pu) – As’ fy’ + As fy] / 0.85 fc’ bw XV.5 Nota: se ha designado como ancho de la viga (bw), si es de forma T y se cumple XV.3, entonces debe utilizarse be Si Pu e1  Mfd Estámos en CASO II. DOMINIOS 5 Y 6 Debiéndose cumplir que: (Pu e1/)  [ Nc’ (de – 0.5 a) + As’ fy’ (de – d’) ] XV.6 Nc’ = 0.85 fc’ bw a XV.7 e1 = etot + (h/2) – d1 XV.8 En este CASO II el valor de  toma el valor de Compresión Controlada Donde: h-altura total de la sección Si Pu e1 < Mfd

Estamos en CASO I. Predominio de Flexión. DOMINIOS 2, 2a, 3, 4 y 4a PLB = Nc’ + As’ fy’ – As fy XV.9 MLd = PLB z1

Si Pu e1  MLd

XV.10

Estamos en CASO Ia. DOMINIO 4a

Debiéndose cumplir que: Pu e1   [Nc’ (de – 0.5 a) + As’ fy’ (de – d’)]

XV.10a

El valor de  es el Compresión Controlada Si no se cumple entonces estamos en CASO Ib o Ic 120

Si PLBb z1  MLd Debiéndose cumplir que:

Estámos en CASO Ib. DOMINIO 4

Pu e1   [ Nc’ (de – 0.5 a) + As’ fy’ (de – d’)]

XV.11

Estamos en la zona de transición por lo cual el valor de  es variable Si no se cumple, estamos en CASO Ic. DOMINIOS 3, 2 Y 2a En este caso  = 0.9 XV.2.3 Sección T Si es sección T el valor de (a) se halla con la siguiente fórmula: a = [ (Pu /) – As’ fy’ + As fy]/ [0.85 fc’ (be – bw) hf]

XV.12

En sección T se pueden utilizar las fórmulas de sección rectangular pero: Adicionándole a Pc’ Y sustituyendo: Pc’ (de – 0.5a) por:

Pc’t = 0.85 fc’ (be – bw) ho XV.13

Pc’ (de – 0.5 a) + (be – bw) ho (de – 0.5 ho)

XV.14

XVIII.2 4 Selección del Refuerzo en Secciones Rectangulares y T El dimensionamiento para elementos reforzado, en realidad, es indeterminado, debido que habrá muchas soluciones, pero conociendo las dimensiones del elemento, así como las calidades de los materiales, se puede resolver el problema. Hay varios métodos, entre los cuales están: Reducir la flexo-compresión a un problema de flexión simple, aplicando el teorema de Ehlers, que dice lo siguiente: 1- Teorema de Ehlers Todo problema de flexo-compresión puede reducirse a uno de flexión simple, sin más que tomar como momento flector, el que produce la fuerza normal respecto a la armadura de tracción (o menos comprimida) Mu = Nu e1. La capacidad mecánica de la armadura a tracción (o menos comprimida) necesaria en flexo-compresión es: Fs = Asf fy – Pu, siendo Asf fy correspondiente a flexión simple con el momento Mu El Teorema Ehlers funciona bien para el fallo a tracción, no así para el fallo a compresión. 2- Ecuaciones de Whitney Para este último fallo (fallo por compresión) y con refuerzo simétrico, se puede utilizar las ecuaciones aproximadas propuestas por Whitney, que para sección rectangular y concreto fc’ con un valor máximo de 28 MPa (4000 psi) y además debe cumplirse que Pn ≥ 0.6 fc’ bw h y que se satisfaga lo siguiente: -Para elementos reforzado y con refuerzo en espiral y para elementos compuestos:  Pn max = 0.85  [ 0.85 fc’ (Ag – Ast) + fy Ast] XV 15 -Para elementos reforzado y reforzados con estribos cerrados:  Pn max = 0.80  [ 0.85 fc’ (Ag – Ast) + fy Ast] XV 16 Las ecuaciones (en sistema ingles) son las siguientes: Pn = {[( 0.323 fc’ bw h)] / [[(eo h) / de^2)] + 0.38]]} + {[Ast fy] / [1 + 2 eo / (de – rec)]} XV 17 Pn = {[( 0.323 fc’ b h)] / [(eo h + de^2)] + [(de – rec) h / 2 de^2]} + + {[As’ fy] / [eo / (d’ – rec)] + 0.152} XV 18 Ast – acero total = As + As’ As= As’ As- acero traccionado o menos comprimido As’ – acero más comprimido Como puede verse Whitney propone el fallo balanceado, con lo cual el concreto resiste una fuerza de: Fc = 0.51 fc’ bw de y un momento de: Mc = 0.323 fc’ bw de^2 Sección Rectangular Para determinar la armadura necesaria cuando se conoce Pu, etot, y las dimensiones de la sección se realiza lo siguiente: 121

1-Cuando Pu e1  ML

Estamos en los DOMINIOS 2a, 2 y 3 (CASO Ia)

No se necesita armadura en la zona comprimida, si se desea se puede colocar la mínima. Hallamos el valor de Co, con la siguiente expresión: Co = [(Pu/) e1 – As’ fy’ (de – d’) / 0.85 fc’ bw d^2

XV.19

Con ese valor en la Tabla de Co en el Capítulo de flexión hallamos (k=a/de) y (j=z/de) y se halla las armaduras considerando Flexión Simple (Asf y Apf) La capacidad mecánica de las armaduras a tracción en flexo-compresión es: (As fy ) = (Asf fy ) – Pu/

XV.20

considerando  = 0.9 Si resultare que la anterior ecuación es negativa, nos dice que no es un Caso Ia. Lo anterior se produce por ser la excentricidad bastante pequeña y generalmente se coloca armadura simétrica, sino, entonces se aplica lo siguiente: a) Si Pu e2 < 0.85 fc‘ bw h (0.5 h – d’). La solución más económica se obtiene haciendo As = 0. Pero normalmente se coloca la mínima. La armadura en la zona de compresión se halla resolviendo las siguientes ecuaciones: Pu e2 = 0.85 fc’ bw a [(a/2) – d’] Pu = 0.85 fc’ bw a + As’ fy’

XV.21 XV.22

Cuando se halle (a) se puede determinar en el Dominio en que estamos Si 0.2307 1 d < a  0.375 1 d Si 0.375 1 d  a < 0.61 d Si 0.6 1 d  a  1d Si 1 d < a h

Dominio 3 Dominio 4 Dominio 4a Dominio 5

Caso I Tracción controlada Sub Caso Ib Zona de Transición Sub Caso Ia Compresión controlada Caso II Compresión Controlada

b) Si Pu e2  0.85 fc’ bw h (0.5 h – d’) la solución más económica es en Compresión Simple, por lo cual As fy = [(Pu e2 / ) – 0.85 fc’ b h (0.5 h – d’] XV.23 As’ fy’ = (Pu/) – (As fy) – bw de 0.85 fc’ XV.24 El valor de  es de Compresión Controlada NOTA: En las fórmulas anteriores se ha utilizado (de) como peralto efectivo de la armadura traccionada o menos comprimida y (d’) como el recubrimiento teórico de la armadura comprimida En los diferentes Casos: Si: 0.6 1  (a/de) > 0.375 1 Estamos en CASO Ib. DOMINIO 4 Estamos en la zona de transición, que aunque no se necesita refuerzo en la zona comprimida tendríamos que utilizar un valor de  menor de 0.9, por lo cual es aconsejable colocar refuerzo en la zona comprimida para poder utilizar este valor de 0.9 y que la sección sea más dúctil . Este refuerzo debe ser ordinario ya que si se coloca acero de Presforzado disminuiría la resistencia. Este refuerzo es: A’ = [(Pu e1/) – Mc] / fy’ (de – d’) XV.25 Mc = 0.85 fc’ {[(be – b) hf (de - 0.5 hf)] + b a (de – 0.5 a)}  XV.26 Donde a = 0.375 1 (de) 122

El refuerzo en la zona traccionada es: As fy = (Pu/) - 0.85 fc’ {[(be – bw) ho (de – 0.5 ho)] + b a (de- 0.5 a)} - As’-fy’ XV.27 Si a  hf, la sección se considera rectangular Si: 1  (a/de)  0.6 1 Estamos en CASO Ia. DOMINIO 4a Este caso es Compresión Controlada por lo tanto  tomará el valor de este control Hallamos el momento que toma la zona comprimida del concreto, este es: Mc = 0.85 fc’{(be – bw) ho (de – 0.5 ho) + bw a (de – 0.5 a)}

XV.28

El refuerzo de la zona comprimida es: As’ = [Pu e1/) – Mc] / fy’ (de – d’)

XV.29

El refuerzo de la zona traccionada es: As fs = (Pu / ) - [0.85 fc’ [(be – bw) ho + bw a ] - As’ fy’

XVI.30

Para hallar los esfuerzos en la armadura de la zona de tracción se realiza lo siguiente: Como conocemos (a), hallamos (c). Teniendo este valor podemos hallar el valor εp producido por las cargas, a la cual hay que sumarles las otras deformaciones, como se ha indicado anteriormente. Teniendo la deformación total de los refuerzos, con el diagrama suministrado por el fabricante, hallamos los valores de los esfuerzos de cada armadura. Si: (h/de )1  (a/de) > 1 Estamos en CASO II. DOMINIO 5 Es Compresión Controlada, por lo tanto , toma el valor de este control La armadura más comprimida se halla de la siguiente forma: Se halla el momento que resiste el concreto: Mc = 0.85 fc’ {(be – bw) ho (de – 0.5 hf) + a bw (de – 0.5 a)} XV.31 As’ = [(Pu e1 /) – Mc] / fy’ (de – d’)

XV.32

El refuerzo menos comprimido se halla: As fs’ = (Nu / ) - 0.85 fc’ [(be – bw) hf + a b] - As’ fy XV.33 Los esfuerzos en las armaduras menos comprimidas se halla de misma forma que se explicó para el Caso del DOMINIO 4a, teniendo en cuenta que en este caso la deformación t del refuerzo Presforzado es de compresión, por lo tanto se le debe restar a la deformación inicial Si: a > h Estamos en CASO II. DOMINIO 6 Es Compresión Controlada, por lo tanto , toma el valor de este control La armadura más comprimida se halla de la siguiente forma: Se halla el momento que resiste el concreto:

123

Mc = 0.85 fc’  [(be – bw) ho (de – 0.5 ho) + a bw (de – 0.5 a)] As’ = [( Pu e1 / ) – Mc] / fy’ ( de – d’)

XV.34

XV.35

La armadura menos comprimida se halla: As fs’ = (Pu / ) - 0.85 fc’ [(be – bw) hf + a b] – As’ fs’

XV.36

XV.2.4 Diseño de columna reforzada sometida a flexo-compresión Determine las armaduras necesarias para una sección de bw = 0.30m y de = 0.5 m Concreto: 28 MPa (4000 psi) Armadura: 420 MPa A) Para una solicitación de compresión de Pu = 0.3 MN, aplicada a una distancia de e1 = 1.0 m B) Para una solicitación de compresión de Pu. = 0.5 MN, aplicada a una distancia de e1 = 1.0 m NOTA: (e1) es la distancia entre la aplicación de la fuerza Pu y el refuerzo a tracción o menos comprimido Solución: A) Pu = 0.3 MN e1 = 1.0 m Hallamos el valor de Co, considerando  = 0.9 Co = Pu e1 /  0.85 fc’ b (de)^2 = 0.1866 De la Tabla de Co tenemos k = 0.209 a = k de = 0.209 x 0.5 = 0.1045 m 0.375 1 = 0.375 x 0.85 = 0.31875 Como: k = a / de  0.375 1, Estamos en Caso Ic. Dominios 2, 2a, 3 No se necesita refuerzo en la zona comprimida Como t > 0.005, tenemos que  = 0.9 El refuerzo de la zona traccionada será: fy As = 0.85 fc’ bw a – Pu /  As fy = 0.41279 MN As = 0.41279 / 420 = 0.0009828 m^2 = 9.828 cm^2 Comprobación: Debe cumplirse que: C = T + Pn C = a bw 0.85 fc’ 0.746 MN T = Asi fy = 0.0009828 x 420 = 0.413 MN Pn = Pu /  = 0.3 / 0.9 = 0.333 MN T + Pn = 0.413 + 0.333 = 0.746 MN = C Se cumple Tomando momento con respecto al refuerzo en tracción tenemos: M = C (h/2 – a/2) + (h/2 – r) y sustituyendo valores, tenemos, M = 0.33 MN-m Mn = Mu /  = 0.3 / 0.9 = 0.33 MN-m = M Se cumple B)

Pu = 0.5 MN

e1 = 1.0 m

Hallamos el valor de Co, considerando  = 0.9 Co = Pu e1 / 0.85 fc’ b (de)^2  = 0.3112, De la Tabla de Co Tenemos k = 0.388 a = k de = 0.388 x 0.5 = 0.194 m 0.6 1 = 0.6 x 0.85 = 0.51 0.375 1 = 0.375 x 0.85 =0.31875 Estamos en el Caso Ib. Dominio 4: 0.6 1  (a/de) > 0.375 1 0.51  0.388 > 0.31875 Al estar en ente caso, es la zona de transición del valor de , que aunque no se necesita refuerzo en la zona comprimida, tendríamos que utilizar un valor de  menor de 0.9, por lo cual es aconsejable colocar refuerzo en la zona comprimida para poder utilizar  = 0.9 y que la sección sea más dúctil Este refuerzo es: As’ = [(Pu e1 /) – Mc]/ fy’ (de – d’) a = 0.375 1 (de) = 0.375 x 0.85 x 0.5 = 0.1593 m Mc = 0.85 fc’ bw a (de – 0.5 a) = 0.4781 MN – m d’ = 0.05 m As’ = 0.0004098 m^2 = 4.098 cm^2 124

El refuerzo en la zona traccionada será: As fy = 0.85 fc’ bw a – (Pu / ) + As’ fy’ As fy = 0.754 MN As = 0.754 / 420 = 0.001796 m^2 = 17.96 cm^2 Comprobación: Debe cumplirse que: C = T1 + Pn – T2 C = 0.85 fc’ b a = 0.85 x 28 x 0.3 x 0.159 = 1.135 MN T1 = fs1 As = 0.001796 x 420 = 0.754 MN T2 = fs2 As’ = 0.0004098 x 420 = 0.172 MN Pn = Pu /  = 0.5 / 0.9 = 0.555 MN T1 + Pn – T2 = 0.754 + 0.555 – 0.172 = 1.137 MN  C se cumple T1 + Pn – T2 = 0.754 + 0.555 – 0.172 = 1.137 MN  C se cumple Tomando momento con respecto al refuerzo a tracción tenemos: M = C (de – a / 2) + T2 (de – r) = 1.135 (0.5 – 0.159 / 2) + 0.172 (0.5 – 0.05) = 0.554 MN-m  Mn Se cumple XV.2.5. Comprobación de una columna sometida a flexo-compresión Calcule la carga Pu nominal de la sección de la figura, para compresión controlada y tensión controlada, si está sometida a momento y carga axial. La columna la podemos considerar sin efecto de esbeltez y está arriostrada a desplazamiento fc’ = 30 MPa fy = 420 MPa recubrimiento 0.05 m oo oo As = As’ = 0.21 m^2 de = 0.45 m 0.5 m

0.30 m

Solución a) Compresión controlada Para compresión controlada tenemos Para t = 0.002 c = 0.6 (de) = 0.6 x 0.45 = 0.27 m z = de (1 – 0.3 1) = 0.45 (1 – 0.3 x 0.85) = 0.33 525 m Pu = [0.85 fc’ Ac’ + As’ fy’ – As fy ] XV..3 Pu = 2.0655 MN El momento de Pu con respecto al acero en tracción es: Pu e1 = [Fc’ (de – 0.5 a) + As’ fy’ (de – d’) – As fy s]

a = 1 c = 0.85 x 0.27 = 0.2295 m

Pu e1 = 35.97 MN-m e1 = 35.97 / 2.065 = 17.418 m La excentricidad con respecto al centro de la sección es eo = e1 – (h/2 – recubrimiento) eo = 17.418 – (0.25 – 0.05) = 17.218 m Pu = 2.0655 MN y eo = 17.218 m b) Tracción controlada Pu = [ 0.85 fc’ Ac’ + As’ fy’– As fy] Pu c = 0.003

0.85 fc’ a c = 0.375 de

As’ fy’

e1 0.85 fc’ Ac’ 125

h-c As fy t = 0.005 c = 0.375 de = 0.375 x 0.45 = 0.16875 m a = 1 c = 0.85 x 0.16975 = 0.14343 m Pu = [ 0.85 fc’ Ac’ + As’ fy’ – As fy] Pu = 1.097 MN Tomando momento con respecto al acero en tracción: Pu e1 = As’ fy’ (de – recubrimiento) + Fc’ (de – a/2) Pu e1 = 39.32 MN-m e1 = 39.32 / 1.097 = 35.84 m La excentricidad con respecto al centro de la sección es eo = e1 – (h/2 – recubrimiento) eo = 35.84 – (0.25 – 0.05) = 38.64 m Pu = 1.097 MN eo = 35.84 m XV.3 ELEMENTOS SOMETIDOS A CARGA BIAXIAL Cuando un elemento está sometido a una carga de compresión que no está contenido en ningún eje principal se llama elementos sometidos a carga biaxial. Sea la sección de la figura que está sometida a una carga de compresión aplicada según se muestra y Existen varios métodos para solucionar este problema Uno de ellos, es considerar que la carga de compresión Pu punto de aplicación está aplicada en uno de los ejes principales con una ey o de la carga excentricidad equivalente. Este método tiene las siguientes limitaciones: x x 1- La sección debe ser simétrica en ambos ejes 2- El refuerzo debe colocarse en las cuatros caras ex del elemento Llamemos ex la excentricidad en el eje x-x, y ey la excentricidad en el eje y-y y Entonces tenemos Muy = Pu ex y Mux = Pu ey Si (ex / x) ≥ (ey /y) XV.3.1 se diseña el elemento para la carga Pu y un momento de cálculo: Muy = Pu eox XV.3.2 donde eox = ex + α (ey x / y) XV.3.3 Para Pu / fc’ Ag ≤ 0.4 α = [0.5 + ( Pu / fc’ Ag)] \ [(fy +280) / 700] ≥ 0.6 XV.3.4 Para Pu / fc’ Ag > 0.4 α = [1.3 – (Pu / fc’ Ag)] / [(fy +280) / 700] ≥ 0.5 XV.3.5 Si la ecuación XV.3.1 no se cumple se intercambian x’s y y’s XV.3.1. Diseño de columna sometida a carga biaxial Una columna de 0.4 m x 0.4 m está sometida a una carga de compresión de 1.6 MN y a momentos biaxiales con los siguientes valores Mux = 0.1 MN-m y Muy = 0.11 MN-m Determine la carga y el momento de cálculo para considerar que está sometido a una carga de compresión en uno de sus ejes principales fc.’ = 210 MPa fy = 420 MPa Solución: ex = Mux / Pu = 0.1 / 1.6 = 0.06256 m ey = Muy / Pu = 0.11 / 1.6 = 0.06875 m ex/x = 0.06256 / 0.4 =0.1564 < ey/y = 0.06875 / 0.4 = 0.171875 Pu / fc’ Ag = 1.6 / (21 x 0.16) = 0.476 > 0.4, por lo cual para hallar α, utilizamos α = [1.3 – (Pu / fc’ Ag)] / [(fy +280) / 700] ≥ 0.5 XVI.3.5 α = 0.824 > 0.5 utilizamos α = 0.824 eox = ex + α (ey x / y) XVI.3.3 eox = 0.12415 m Muy = Pu eox XVI.3.2 Muy = 1.6 x 0.12415 = 0.19864 MN-m La columna se diseña para Pu = 1.6 MN y Muy = 0.19864 MN-m 126

XV. 4 COLUMNAS CON REFUERZO EN TODAS LOS BORDES Cuando una columna tiene refuerzo en todas las caras como se muestra en la figura. es necesario realizar un estudio de compatibilidad de deformaciones Pu O Pu o o ysc

o o x

yst

centro de gravedad del refuerzo en compresión εc = 0.003 0.85 fc’ o εsc1 a c o centroide plástico εsc2

o x o o o

o o

eo Fsc1 Fsc2

εst3

Fsc3 εst4

Fsc4

Centro de gravedad del refuerzo en tracción En la figura se muestra una sección de la columna, el gráfico de deformaciones y el gráfico de las fuerzas Del equilibrio de las fuerzas y momentos tenemos: Pu = 0.85 fc’ bw β1 c + Fsc – Fst XV. 4.1 Pu eo = 0.85 fc’ bw β1 c (h/2 - β1 c/2) + Fsc ysc + Fst yst XV. 4.2 Se realiza un tanteo, asumiendo un valor de c, y el esfuerzo del refuerzo es fsi = εsi Es XV. 4.3 Ejemplo de columna es todas sus caras Una columna de 0.60 m de altura y 0.30 m de base tiene el refuerzo que muestra la figura. Determinar la carga de nominal Pun y el momento nominal Mun que resiste para: a) Compresión controlada b) Tracción controlada fc’ = 28 MPa

fy = 420 MPa

refuerzo 14  18 M

área de  18 M = 2.545 cm^2 de = 0.55 m

o o

a) Compresión Controlada Para compresión controlada tenemos: εc = - 0.003 o o o o o

0.85 fc’ c = 0.33 m

o x

Fsc22

εsc2 0.05 m

Fsc1

εsc1

Fst3 εst3 Fst4

o o

εst4 = 0.002

c = 0.6 de = 0.6 x 0.55 = 0.33 m a = β1 c = 0.85 x 0.33 = 0.2805 m Del diagrama de deformaciones hallamos εsc1 = 0.003 (c – rec) / c = 0.002545, f1’ = εsc1 x Es = 534 MPa > 420 MPa, tomamos 420 MPa εsc2 = 0.003 (c – 0.25) / c = 0.003 (0.33 – 0.25) / 0.33 = 0.0007273, f2’ = 152 MPa 127

εst3 = 0.0005185 εst4 = 0.002

f3 = 108.88 MPa f4 = 420 MPa

La fuerza de compresión la hallamos de: Pu = 0.85 fc’ bw β1 c + Fsc – Fst XV. 4.1 Pu = 2.03108 MN El momento lo hallamos con: Pu eo = 0.85 fc’ bw β1 c (h/2 - β1 c/2) + Fsc ysc + Fst yst XV. 4.2 Pu eo = 0.3199 + 0.1107584 + 0.10966 = 0.54031 MN-m eo = Pu eo / Pu = 0.54031 / 2.0311 = 0.266 m Resiste una carga nominal Pu n= 2.03108 MN y un momento nominal de Mun = 0.54031 MN-m con una excentricidad de eo = 0.266 m a) Tracción Controlada Para tracción controlada tenemos: εc = 0.003 0.85 fc’ Fsc1 o o o o o εsc1 c = 0.20625 m a Fst2 o o εsc2 x 0.05 m Fst3 o o εst3 Fst4 oo o o o εst4 = 0.005 c = 0.375 de = 0.375 x 0.55 = 0.20625 m

a = β1 c = 0.85 x = 0.1753 m

Del diagrama de deformaciones hallamos εsc1 = 0.003 (c – rec) / c = 0.0022727, f1’ = εsc1 x Es = 477 MPa > 420 MPa. tomamos 420 MPa εst2 = 0.0006363, f2’ = 133.6 MPa εst3 = 0.0020909 f3 = 439 MPa > 420 MPa, tomamos 420 MPa εst4 = 0.005 f4 = 1050 MPa > 420 MPa. tomamos 420 MPa La fuerza de compresión la hallamos de: Pu = 0.85 fc’ bw β1 c + Fsc – Fst XVI. 4.1 Pu = 0.9699 MN El momento lo hallamos con: Pu eo = 0.85 fc’ bw β1 c (h/2 - β1 c/2) + Fsc ysc + Fst yst XVIII. 4.2 Pu eo = 0.4402 MN-m eo = Pu eo / Pu = 0.440 / 0.9699 = 0.7514 m La sección resiste una carga nominal de compresión Pun = 0.9699 MN y un momento nominal de Mun = 0.44 MN-m con una excentricidad de eo = 0.7514 m XV. 5 SECCIÓN CIRCULAR El Reglamento nos dice lo siguiente: En lugar de utilizar la totalidad del área para el diseño, un elemento a compresión con una sección cuadrada, octogonal o de otra forma puede considerarse como de sección circular, con un diámetro igual a la menor dimensión lateral de la forma real. El área bruta considerada, la cuantía del refuerzo requerido y la resistencia de diseño, deben basarse en esa sección circular equivalente Si tenemos una sección cuadrada de b x b, equivale a una sección circular con un diámetro b columna circular con diámetro igual al lado b de la forma cuadrada Asc = Ast /2 2 Ds / 3 forma cuadrada

2 Ds / 3

Ast = At /2

128

Forma cuadrada equivalente b Diseñándose como una forma cuadrada, en la cual la mitad del refuerzo se concentrado en la zona comprimida y la mitad en la zona traccionada a una distancia de 2 Ds / 3 en la dirección del momento, donde Ds es el diámetro medido centro a centro del refuerzo. Está simplificación no es bastante exacta por lo tanto a continuación realizaremos un estudio un poco más exacto Sea la columna circular de diámetro d, la cual está reforzada de tal forma que el refuerzo está colocado con un diámetro Ds = (d -2 recubrimiento) Pu 0.003 0.85 fc’ Fsc1 1 x εc1 eo Fsc2 2 x x εc2 c Fsc3 3 x x Ds εc2 3 de Fst4 4

5 x

εct 4

Fst5

εt5 Pu = 0.85 fc’ Ac’ + Fsc – Fst XV. 5.1 Pu eo = 0.85 fc’ Sc’ + Fsc ysc + Fst yst XV. 5.2 Donde Ac’ es el área comprimida del concreto Sc’- Momento estático de la zona comprimida con respecto al eje central del círculo La zona de compresión puede tener dos casos Caso 1 Caso 2

a ≤ h/2 θ < 90 ˚ a> h/2 θ > 90˚

Caso 1 a ≤ h/2 θ < 90 ˚ a = cos -1((h/2 – a) / (h/2))

Ac’ a x y θ

Caso 2 a> h/2

θ > 90˚ Ac’

θ φ

a – h/2

θ = 180 – φ φ = cos -1 ((a – h/2) / h/2)) El área comprimida es: Ac’= h^2 [(θrad – sen θ cos θ) / 4] El momento estático con respecto al centro del circulo es: Ac y = h^3 (sen^3 (θ) /12) γ = (h – 2 d’) / h di = (h/2) – [(γ hi /2) cos θbar )

129

A continuación se presenta un EJEMPLO donde se explica el método de cálculo XV. 5.1 Ejemplo de columna circular Una columna de 0.60 m de diámetro tiene el refuerzo que muestra la figura. Determinar la carga de nominal Pun y el momento nominal Mun que resiste para: a) Compresión controlada b) Tracción controlada fy = 420 MPa fc’ = 28 MPa refuerzo 8  18 M área de  18 M = 2.545 cm^2 = 0.0002545 m^2

a) Compresión controlada

Pu 0.05 m

0.003

Ac’

0.85 fc’ Fsc1 εc1

1 x

b 2 x

Fsc2 εc2

c = 0.33 m

b 3 x

Fsc3 Ds

εc2 3

b x

de Fst4

εct 4

b Fst5 5 x εt5 = 0.002 representa el refuerzo de = 0.55 m Ds = 0.50 m b = 0.125 m c = 0.6 de = 0.6 x 0.55 = 0.33 m a = β1 c = 0.85 x 0.33 = 0.2805 m Los refuerzos 1,2, 3(ver nota) están en compresión y los 4 y 5 en tracción εc1 = 0.0025 fs1 = Es x εc1 = 525 MPa > 420 MPa, se utiliza 420 MPa εc2 = 0.00125 fs2 = Es x εc2 = 262.5 MPa Nota: Según el gráfico de deformaciones el refuerzo 3 está en la zona comprimida, pero el valor de a de la zona de compresión del Concreto no alcanza este refuerzo, lo consideremos que está a compresión εc3 = 0.0003 fs3 = Es x εc3 = 63 MPa εt4 = 0.00086 fs4 = Es x εc4 = 181.3 MPa εt5 = 0.002 fs5 = Es x εc5 = 420 MPa La zona en compresión del Concreto a es igual a = 0.2805 m, no alcanza el diámetro del círculo, por lo cual estamos en Caso 1 Caso 1 a ≤ h/2 θ < 90 ˚ a = cos -1((h/2 – a) / (h/2))

θ = cos -1 [(h/2 – a) / h/2)] = cos -1 [(0.6/2 – 0.2805) / 0.6/2)] = θ = cos -1[0.065] = 86.27˚ 1 radian = 57.3 ˚, por lo cual θ en radian es: θ = 1.50558 radianes El área comprimida es: Ac’= h^2 [(θrad – sen θ cos θ) / 4] = Ac’ = 0.12966 m² El momento estático con respecto al centro del circulo es: Sc’ = Ac’ y = h^3 (sen^3(θ) /12) Ac’ y = 0.6 ^3(sen^3(86.27) /12 = 0.01788 m γ = (h – 2 d’) / h di = (h/2) – [(γ h1 /2) cos θbar) La carga de compresión es: Pu = 0.85 fc’ Ac’ + Fsc – Fst XV. 4.3 y sustituyendo valores Pun = 3.159 MN El momento es: Pu eo = 0.85 fc’ Sc’ + Fsc ysc + Fst yst XVI. 4.4 Pun eo = 0.50722 MN-m eo = Mu / Pun = 0.50722 / 3.159 = 0.16 m La carga nominal de compresión que resiste es Pun = 3.159 MN El momento nominal que resiste es Pun eo = 0.50722 MN-m, con una excentricidad de eo = 0.16 m En este caso para refuerzo en espiral  = 0.75  Pun = 0.75 x 3.159 = 2.36025 MN 130

 Pun eo = 0.75 x 0.50722 = 03804 MN-m

b) Tracción controlada 0.05 m

0.003

Ac’

0.85 fc’ Fsc1 εc1

1 x

b 2 x

c = 0. 20625 m

Fsc2

εc2

x b

3 x

Fsc3 Ds

εc2 3

b x

Fst4 εct 4

Fst5 εt5 = 0.005

5 x representa el refuerzo

de = 0.55 m

Ds = 0.50 m

b = 0.125 m

c = 0.375 de = 0.375 x 0.55 = 0.20625 m a = 0.85 x 0.20625 = 0.17531 m En ese caso el borde de a =0.17531 m casi coincide con el refuerzo 2 que está a 0.175 m del borde superior Los refuerzos 1,2, están en compresión y los 3, 4 y 5 en tracción εc1 = 0.00227 fs1 = Es x εc1 = 477.27 MPa > 420 MPa, se utiliza 420 MPa εc2 = 0.0004545 fs2 = Es x εc2 = 95.45 MPa εt3 = 0.001363 fs3 = Es x εc3 = 286.36 MPa εt4 = 0.0019 fs4 = Es x εc4 = 400.01 MPa εt5 = 0.005 fs5 = Es x εc5 =1050 > 420 MPa, se toma 420 MPa La zona en compresión del concreto a es igual a = 0.17531 m, no alcanza el diámetro del círculo, por lo cual estamos en Caso 1 Caso 1 a ≤ h/2 θ < 90 ˚ a = cos -1((h/2 – a) / (h/2)) es:

θ = cos -1 [(h/2 – a) / h/2)] = cos -1 [(0.6/2 – 0.17531) / 0.6/2)] = θ = cos -1[0.4156] = 65.44˚ 1 radian = 57.3 ˚, por lo cual θ en radian

θ = 1.1421 radianes El área comprimida es: Ac’= h^2 [(θrad – sen θ cos θ) / 4] Ac’ = 0.0687 m² El momento estático con respecto al centro del circulo es : Sc’ = Ac’ y = h^3 (sen^3( θ) /12) Ac’ y = 0.6 ^3(sen^3(65.44) /12 = 0.01352 m La carga de compresión es: Pu = 0.85 fc’ Ac’ + Fsc – Fst XV. 4.3 Pun = 1.334 MN El momento es: Pu eo = 0.85 fc’ Sc’ + Fsc ysc + Fst yst XVI. 4.4 Pun eo = 0.407 MN-m eo = Mu / Pun = 0.0.407 / 1.334 = 0.305 m La carga nominal de compresión que resiste es Pun = 1.334 MN El momento nominal que resiste es Pun eo = 0.407 MN-m, con una excentricidad de eo = 0.505 m En este caso para refuerzo en espiral  = 0.9  Pun = 0.9 x 1,334 = 1.2006 MN  Pun eo = 0.9x 0.407 = 03663 MN-m 131

XV. 6 EFECTOS DE LA ESBELTEZ EN ELEMENTOS A COMPRESIÓN (C.10.10) Un elemento se considera esbelto cuando tiene una reducción significativa de su capacidad para resistir una carga axial debido al momento producido por su deformación lateral (pandeo) XV. 6.1 Casos en que puede ignorar los efectos de esbeltez Se permite ignorar los efectos de esbeltez en los siguientes casos: a) en elementos sometido a compresión no arriostrados contra desplazamientos laterales cuando (k lu / r) ≤ 22 XV. 6.1 (C.10-6) b) en elementos a compresión arriostrados contra desplazamientos laterales cuando: (k lu / r) ≤ 34 – 12(M1 / M2) ≤ 40 XV. 6.2 (C.10.7) donde M1 / M2 es positivo si la columna está afectada en curvatura simple y negativo si el elemento tiene curvatura doble Se permite considerar los elementos a compresión como arriostrados contra desplazamientos laterales cuando los elementos de arriostramiento tienen una rigidez total que restringe los movimientos laterales de ese piso de al menos doce veces la rigidez bruta de las columnas dentro del piso XV. 6. 2 Longitud no soportada de elementos a compresión (C.10.10.1.1) La longitud no soportada (lu) de un elemento a compresión debe tomarse como la distancia libre entre losas de entrepiso, vigas u otros elementos capaces de suministrar soporte lateral al elemento a compresión Cuando la columna tenga capitel o exista ménsulas, la longitud no soportada debe medirse hasta la parte más baja del capitel o ménsula en el plano bajo consideración XV. 6.3 Radio de giro (C.10.10.1,2) El radio de giro r de los elementos a compresión puede tomarse como 0.30 veces la dimensión total de la sección en la dirección bajo estudio de estabilidad para secciones rectangulares y de 0.25 veces el diámetro para secciones circulares para otras clases r debe calcularse para la sección bruta de concreto. r = √ (I / Ab)

XV.7 CONSIDERACIÓN DE LA ESBELTEZ (C10.10.2) Cuando los efectos de la esbeltez no son ignorados como lo permite XV. 6.1, el diseño de los elementos a compresión, vigas de restricción y otros elementos de apoyos debe basarse en las fuerzas y momentos mayorados de un análisis de segundo orden que cumpla con XV.7.3 Análisis no lineal de segundo orden, XV.7.4 Análisis elástico de segundo orden o XV.7.5 Procedimiento de magnificación de momentos. Estos elementos también deben cumplir con XV.7.1 y XV.7.2 . Las dimensiones de la sección transversal de cada elemento usadas en el análisis deben encontrarse dentro del 10% de las dimensiones de los elementos señalados en los planos de diseño, de lo contrario el análisis debe repetirse XV.7.1 Los momentos totales incluyendo los efectos de segundo orden, de elementos en compresión, vigas de restricción u otros elementos estructurales no debe exceder 1.4 veces los momentos debidos a los efectos de primer orden XV.7.2 Los efectos de segundo orden se deben considerar a lo largo de la longitud de los elementos a compresión. Se permite calcular estos efectos usando el procedimiento de magnificación momento descripto en XVIII.7.6 XV.7.3 Análisis no lineal de segundo orden (C.10.10.3) El análisis de segundo orden debe considerar la no linealidad del material, la curvatura del elemento y la deriva, duración de la carga, retracción y flujo plástico e interacción con la cimentación. El procedimiento de análisis debe demostrar que lleva a una predicción de la resistencia sustancialmente de acuerdo con los resultados de los ensayos representativos de estructuras de Concreto reforzados estáticamente indeterminadas Las propiedades del elemento usados en el análisis deben multiplicarse por un factor de reducción de rigidez φk , menor que la unidad, el cual puede considerarse φk = 0.8 XV.7.4 Análisis elástico de segundo orden (C.10.10.4) El análisis elástico de segundo orden debe tener en cuenta las propiedades de la sección determinada considerando la influencia de las cargas axiales, la presencia de regiones agrietadas a lo largo del elemento y los efectos de duración de las cargas 132

Se permite utilizar las siguientes propiedades para los elementos de la estructura: Módulo de elasticidad……………………………… Ec de II.9.4 Módulo de elasticidad del Concreto Momento de inercia, I: Elementos en compresión: Columnas……………………………………………….. 0.70 Ig Muros- no agrietados………………………………… 0.70 Ig Muros- agrietados………………………………… 0.35 Ig Elementos a flexión Vigas …………………………………………………….. 0.35 Ig Placas planas y losas planas…………………………… 0.25 Ig Para viga T es permitido tomar Ig = 2(bw h^3 / 12), o sea dos veces el Ig del alma Área………………………………………………………1.0 Ag Los valores anteriores de momento de inercia son para elementos no presforzados, para elementos presforzados pueden diferir dependiendo de la cantidad, ubicación y tipo de refuerzo y del grado de agrietamiento previo al estado último Como alternativa, para valores más refinados para EI en la cual se considera la carga axial, excentricidad, cuantía del refuerzo y la resistencia a compresión del concreto Elemento en compresión: I = {0.80 + 25 [Ast / Ag}} {1 – (Mu / Pu h) – 0.5(Pu / Po)}Ig ≤ 0.875 Ig XV.7.4.1 (C.10-8) donde Pu y Mu deben provenir de la combinación de carga particular en consideración, o la combinación de Pu y Mu que resulta del menor valor de I. No hay necesidad de utilizar un valor de I menor de 0.35 Ig Elementos a flexión: I = (0.10 + 25 ρ)[1.2 – (0.2 bw /d)] Ig ≤ 0.5 Ig XV.7.4.2 (C.10-9) Para elementos continuos sometidos a flexión, se permite que I, sea el promedio de los valores obtenidos de la ecuación XV.7.4.2 para secciones críticas de momento positivo y negativo. No hay necesidad de usar un valor de I menor de 0.25 Ig Las dimensiones de la sección transversal de cada elemento usadas en el análisis no deben apartarse más del 10% de las dimensiones mostradas en los planos de construcción, de lo contrario debe repetirse el análisis Para elementos sometidos a compresión, I debe dividirse por (1 + βds) cuando existen cargas laterales sostenidas,. El término βds es la relación entre la máxima fuerza de cortante sostenida mayorada dentro de un piso y la máxima fuerza de cortante mayorada asociada con la combinación de carga, pero no debe ser mayor de 1.0 Como ejemplo de carga laterales sostenidas, es cuando hay cargas laterales permanentes provenientes de la presión desigual del terreno en los dos lados de la construcción XV.7.5 Procedimiento de magnificación de momentos (C.10.10.5) Las columnas y pisos en una estructura deben designarse como parte de una estructura sin desplazamiento XV.7.6 o con desplazamiento XV.7.7 : XV.7.6 De estructuras sin desplazamiento lateral (arriostradas) y su diseño debe basarse en lo siguiente: Se permite suponer como arriostrada una columna dentro de una estructura, si el incremento en los momentos extremos de la columna debido a los efectos de segundo orden no excede de un 5% de los momentos extremos de primer orden Se permite suponer como arriostrada a un piso en la estructura si el Índice de Estabilidad Q: Q = ∑(Pu ∆o / Vus lc) ≤ 0.05 XV .7. 6.1 (C.10-10) ∑Pu – la suma de cargas verticales acumuladas hasta el piso en consideración, sin mayorar, pero incluyendo toda carga muerta y viva Vus – Suma de las fuerzas horizontales sobre la estructura acumulada hasta el nivel del piso considerado lc – altura del piso bajo consideración medida centro a centro de los nudos del pórtico ∆o – deriva (desplazamiento horizontal relativo entre el nivel superior y el nivel inferior del piso considerado) debida a la fuerza cortante total Vus que actúa sobre el piso y calculada de acuerdo con una análisis elástico de primer orden entre la parte superior e inferior del piso debido a Vus XV.7.6 A Procedimiento de magnificación de momentos - estructuras sin desplazamiento(C.10.10.6): Los elementos a compresión deben ser diseñados para la carga axial mayorada (Pu) y el momento mayorado ampliado para los efectos de curvatura del elemento, pandeo (Mc), como sigue: 133

Mc =  M2 XVIII.7. 6.2 (C.10-11) = Cm / [1 – (Pu / 0.75 Pc)] ≥1.0 XV.7.6.3 (C.10.12) Pc = ^2 E I/ (k lu)^2 El valor de (EI) debe ser tomado como:

XV.7.6.4(C.10-13)

EI = (0.2 Ec Ig + Es Ise) / (1 + βdns) XV .7. 6.5 (C.10.14) o por la fórmula aproximada EI = 0.4 Ec Ig/ (1 + βdns) XV .7. 6.6 (C.10.15) Como alternativa se permite que EI sea calculado utilizando el valor de I de la ecuación I = {0.80 + 25 [Ast / Ag}}{1 – (Mu / Pu h) – 0.5(Pu / Po)}Ig ≤ 0.875 Ig XV.7.6.7 dividida por (1 + βdns) El término βdns es la relación entre la máxima carga axial sostenida mayorada dentro de un piso y la máxima carga axial mayorada asociada con la misma combinación de carga, pero no debe ser mayor a 1.0 El factor (1 + βdns) se utiliza para reflejar la fluencia prematura del acero en columnas sometidas a cargas sostenidas Como simplificación se puede suponer que βdns = 0.6 y en este caso la ecuación: EI = 0.4 Ec Ig/ (1 + βdns) XVIII .7. 6.6 se convierte en EI = 0.25 Ec Ig XV .7. 6.8 Se permite considerar el factor de longitud efectiva, k, como 1.0 Elementos sin cargas transversales entre apoyo En los elementos sin fuerzas laterales transversales entre apoyos, Cm debe tomarse como: Cm = 0.6 + (0.4 M1/M2) ≥ 0.4 XV .7.6.9 (C.10.16) donde M1/M2 es positivo si la columna está deformada en curvatura simple. Para elementos con fuerzas transversales entre apoyos el valor de Cm debe tomarse como la unidad (Cm = 1.0) El momento mayorado M2 que se utiliza en Mc =  M2 no debe tomarse menor de: M2min = Pu (15 + 0.03 h) XV .7. 6.10 (C.10.17) con respecto a cada eje separadamente. 15 y h están en mm En los elementos donde M2min excede a M2, el valor de Cm debe tomarse como la unidad o debe estar basado en la relación de los momentos calculados en los extremos M1 / M2 para (psi) M2m = Pu (0.6 + 0.03 h) XV .7. 6.11 Longitud efectiva para columnas sin desplazamiento K

Tope articulado

0.70

0.81

0.91

0.95

1.00

Elástico Ψ = 3.1

0.67

0.77

0.86

0.90

0.95

Elástico Ψ = 1.6

0.65

0.74

0.83

0.86

0.91

Ψ = 0.4

0.58

0.67

0.74

0.77

0.82

0.50

0.58

0.65

0.67

0’70

empotrado

Ψ = 0.4

Elástico Ψ = 1.6

Elástico Ψ = 3.1 articulado

134

Sin desplazamiento

Con desplazamiento

k-el valor de k puede tomarse como el menor de los dos valores siguientes: k = 0.7 + 0.05 ( A +  B) < 1.0 XV .7. 6.12 k = 0.85 + 0.05 min < 1.0 XV .7. 6.13 A y B-valores de  de los extremos de la columna min- relación de (EI/lc) de los miembros a compresión a (EI/l) de los miembros a flexión en un plano de un extremo del miembro a compresión l-longitud del elemento a flexión medido de centro a centro de juntas ano de un extremo del miembro a compresión l-longitud del elemento a flexión medido de centro a centro de juntas En los elementos sin fuerzas laterales transversales entre apoyos, Cm debe tomarse como: Cm = 0.6 + (0.4 M1/M2) ≥ 0.4 XV.7.9.14 donde M1/M2 es positivo si la columna está deformada en curvatura simple. Para elementos con fuerzas transversales entre apoyos el valor de Cm debe tomarse como la unidad (Cm = 1) El momento mayorado M2 que se utiliza en Mc = ns M2 no debe tomarse menor de: M2m = Pu (15 + 0.03 h) XV .7. 6.13 con respecto a cada eje independiente. 15 y h están en mm En los elementos donde M2min gobierne el valor de Cm debe tomarse como la unidad o debe obtenerse por medio de la ecuación XVI .7. 9.12 utilizando M2min en vez de M2 para (psi) M2m = Pu (0.6 + 0.03 h) XV .7.15 XV.7.6 B PASOS A SEGUIR PARA EL CÁLCULO DE COLUMNA ESBELTAS SIN DESPLAZAMIENTO LATERAL Después de estar definido las solicitaciones (Momentos flectores, Cortante, Fuerzas Axiales, Derivas) se sigue lo siguiente: 1- Se define la longitud de la columna. La longitud no soportada (lu) de un elemento a compresión debe tomarse como la distancia libre entre losas de entrepiso, vigas u otros elementos capaces de suministrar soporte lateral al elemento a compresión Cuando la columna tenga capitel o exista ménsulas, la longitud no soportada debe medirse hasta la parte más baja del capitel o ménsula en el plano bajo consideración 2-Se determina la longitud efectiva de la columna. Para columnas sin desplazamiento k debe ser 1 o menor. El valor de k se halla según el gráfico, la Tabla o las fórmulas: 135

k = 0.7 + 0.05 ( A +  B) < 1.0 k = 0.85 + 0.05 min < 1.0 3- Se determina el radio de giro según XVIII. 6.3 4-Se determina si el pórtico es sin desplazamiento. Se realiza según: Q = ∑(Pu ∆o / Vus lc) ≤ 0.05 5- Se halla la ampliación del momento según XVIII.7.6 A Procedimiento de diseño de estructuras sin desplazamiento: XV.7.6 Diseño de secciones reforzado sometido a flexo- compresión en pórtico sin desplazamiento Diseñar las columnas CD y DE del pórtico de la figura de la página siguiente. El Gráfico de momento Mu en MN-m se muestra en la figura. La carga axial total para la columna CD es Pu = 2.3 MN y para la DE es Pu = 1.4 MN y la mantenida es para Pu = 0.36 MN para CD y Pu = 0.25 MN para DE Las columnas descansan en cimientos cuadrados de 3.0 m en un terreno de capacidad de 20000 N / m^2 empotramiento E

1.4

6 .0m D

1.9

1.0

6.5m

0.25

Gráfico de Mu (MN-m) Solución: Utilizaremos columnas de 0.4 m x 0.4m por requerimientos arquitectónicos 1- Comprobemos si las columnas son esbeltas Si klu/r ≤ 34 – 12(M1/M2) ≤ 40 La columna es corta Para la columna CD lu = 6.5 – 0.5 = 6.0 m r = 0.3 x 0.4 = 0.12 m De la tabla de k hallamos k = 0.77 k lu / r = 0.77 x 6.0 / 0.12 = 38.5 M1 es negativo por doble curvatura y M2 es positivo 34 – 12(M1 / M2) = 34 –12 (-0.25 / 1.9) = 35.57 Como k lu / r > 34 – 12(M1 / M2) La columna es larga y hay que considerar el ladeo Para columna DE lu = 6 m r = 0.3 x 0.4 = 0.12 m De la tabla de k hallamos k = 0.67 k lu / r = 0.67 x 6.0 / 0.12 = 33.5 M1 y M2 son positivos 34 – 12(M1 / M2) = 34 – 12(1 / 1.4) = 25.42 Como k lu / r > 34 – 12(M1 / M2) La columna es larga y hay que considerar el ladeo k lu / r en ninguna de las columnas es mayor de 100 2- Calculemos EI Ec = 30500 MPa Ig =0.7( 0.4^3 / 12)= 0.00213 MPa Para CD βd = 0.36 / 2.3 = 0.156 MN-m^2 Puede obtenerse con la siguiente fórmula EI = 0.4 Ec Ig/(1 + ßd) 136

EI = 22.48 Para DE βd = 0.25 / 1.4 = 0.178 EI = 0.4 Ec Ig/ (1 + βd) = 22.05 MN-m^2 3-Calculemos el valor de amplificación del momento Mc =  M2 Para columna CD Cm = 0.6 + 0.4 (M1/M2) = 0.547 ≥ 0.4 Pc = ^2 E I/ (k lu)^2 = 10.39 MN = Cm / [1 – (Pu / 0.75 Pc)] = 0.547 < 1.0 hay que tomar ns = 1.0 La columna se diseña para Mc = 1.0 x 1.4 = 1.4 MN-m y una carga axial de: Pu = 1.0 x 2.3 = 2.3 MN-m Para la columna DE Cm = 0.6 + 0.4 (M1/M2) = 0.6 + 0.4 (1.0 / 1.4) = 0.885 ≥ 0.4 Pc = ^2 E I/ (k lu)^2 = 10.39 MN = Cm / [1 – (Pu / 0.75 Pc)] = 1.0786 > 1.0 ns = 1.0786 La columna se diseña para Mc = 1.0786 x 1.9 = 2.049 MN-m y Pu = 1.0786 x 1.4 = 1.51 MN XV.7.7 Diseño de estructuras con desplazamiento lateral (no arriostradas) (C.10.10.7), su diseño debe basarse en: Para columnas con desplazamiento lateral si: klu/r < 22 22 < klu/r < 100 klu/r > 100

Se desprecia el pandeo XV .7. 7.1 Se utiliza los métodos aproximados XVI.7.72 Se realiza según un análisis P- XV .7. 7.3

Para elemento no arriostrados contra el desplazamiento, el factor k, debe ser determinado usando E y I según lo indicado anteriormente y debe ser mayor de 1.0 Los momentos M1 y M2 en los extremos de los elementos individuales a compresión deben ser tomados como: M1 = M1ns + s M1s XV .7. 7.4 (C.10.18) M2 = M2ns +s M2s XV .7. 7.5 (C.10.19) Si Q = ( Pu Ao) / Vus lc > 0.05 el piso de la estructura tiene desplazamiento s = 1 / (1 – Q) ≥ 1

XV .7. 7.6

(C.10.20)

Si s excede de 1.5 debe ser calculado usando un análisis de segundo orden o s = 1 / [1 – (Pu / 0.75 Pc)] ≥ 1 XV .7. 7.6ª (C.10.21) Pu – es la sumatoria de todas las cargas verticales en un piso Pc-es la sumatoria de todas las columnas que resisten el desplazamiento lateral en un piso Pu se calcula utilizando la ecuación Pc = ^2 E I/ (k lu)^2 XV.7.6.7 XV .7.7 A PASOS A SEGUIR PARA EL CÁLCULO DE COLUMNA ESBELTAS CON DESPLAZAMIENTO LATERAL Después de estar definido las solicitaciones (Momentos flectores, Cortante, Fuerzas Axiales, Derivas,) se sigue lo siguiente: 1. Determinemos si las columnas son esbeltas, si k lu / r > 22. La columna es esbelta 2. Se determina Pu y Pc, Vus y ∆o 3.Se calcula Q = ( Pu Ao) / Vus lc 5. Se halla s = 1 / (1 – Q) ≥ 1 6. Si s excede de 1.5, s debe ser calculado usando un análisis de segundo orden o s = 1 / [1 – (Pu / 0.75 Pc)] ≥ 1 7. Calculemos M1 y M2 según XV .7. 7.4 y XV.7. 7.5 8- Comprobemos si el momento máximo está entre los extremos de la columna Si (lu / r) > 35 / √(Pu/fc’ Ag), el momento máximo está entre los extremos 137

XV.7.7.C Diseño de secciones reforzado con refuerzo ordinario sometido a flexo-compresión en pórtico con desplazamiento Sea el edificio de dos plantas que se muestra en la figura: A

techo

6.5 m

2do piso E

5m G 5m

6.5m 1er piso I

J 5m

5m K

PLANTA

SECCIÓN Diseñar las columnas IE y JF. Las columnas son de 0.4 m x 0.4 m y las vigas de b =0.3 m x h = 0. 5 m, por razones arquitectónicas Cargas verticales: Columnas exteriores carga muerta 1 MN, carga viva 0.05 MN por techo y 0.25 MN por piso Columnas interiores carga muerta 2.2 MN, carga viva 0.11 MN por techo y 0.3 MN por piso Los valores de las cargas ya tienen el factor de reducción por área Cargas de cálculo Analizaremos la siguiente combinación: Carga muerta mas carga viva más viento U = 1.05 D + 1.28 L +1.28 W Solución 1. Determinemos si las columnas son esbeltas, si k lu / r > 22. La columna es esbelta lu = 0.65 – 0.5 = 6.0 m y consideremos en este paso k = 1.2 k lu / r = 1.2 x 6.0 / 0.12 = 60 > 22. Las columnas son esbeltas 2. Se determina Pu y Pc y Vus Para el primer piso ∑Pu – la suma de cargas verticales acumuladas hasta el piso en consideración, sin mayorar, pero incluyendo toda carga muerta y viva ∑Pu = 59.83 MN Vus – Suma de las fuerzas horizontales sobre la estructura acumulada hasta el nivel del piso considerado Vus= 0.3 MN ∆o = 0.3 cm (del análisis de primer orden) 3.Se calcula Q = ( Pu Ao) / Vus lc Q = 59.83 x 0.003 / 0.3 x 5 = 0.12 > 0.10 Como el primer piso es desplazable, consideramos que todo el pórtico es desplazable 5. Se halla s = 1 / (1 – Q) ≥ 1 XVIII .7. 7.6 s = 1 / (1 – 0.12) = 1.136 < 1.5 (se utiliza este valor) 7. Calculemos M1 y M2 según XVIII .7. 7.4 y XVIII .7. 7.5 Calculemos las cargas axiales de cálculo. Mns, Ms y ∆o de los anales de primer orden Columna exterior Columna interior Carga axial mayorada Pu (MN) Carga Muerta 1. 050 2. 310 Carga Viva 0.384 0.5 25 Momento mayorado Mns (MN-m) extremo superior extremo inferior

- 0.45 - 0.48

0.055 0.057 138

Momento mayorado Ms (MN-m) extremo superior extremo inferior

0.29 0.31

0.48 0.50

La deriva en el análisis de primer orden es 0.30 cm en el primer piso y 0.38 cm en el segundo piso Mns- momentos debido a cargas que no causan desplazamiento Ms- momentos debido a cargas que causan apreciable desplazamiento Calculemos δs para cada piso δs = 1 / (1 – Q) Q = ∑Pu ∆o / Vus lc ∑Pu Vus ∆o del piso Q =∑Pu ∆o / Vus lc MN MN cm 2do piso 23.20 0.284 0.08 0.01094 1er piso 28.54 0.384 0.30 0.03716 Calculemos Ms, M1 y M2 Para la columna exterior del primer piso tenemos: Ms. sup = ± 0.29 MN-m δs Ms sup = 1.0386 x 0.29 = ± 0.3012 MN-m Ms inf = ± 0.31 MN-m δs Ms inf = 1.0386 x 0.31 = 0.322 MN-m Momentos totales en los extremos Msup =- 0.45 - 0.3012 = 0.7512 MN-m Este es el momento M1 Minf =- 0.48 - 0.322 = 0.802 MN-m Este es el momento M2 Columna interior Ms sup = ± 0.48 MN-m δs Ms sup = 1.0386 x 0.48 = ± 0.4985 MN-m δs Ms inf = 1.0386 x 0.50 =± 0.5193 MN-m Piso

δs 1.0116 1.0386

Momentos totales en los extremos Msup = 0.055 + 0.4985 = 0.5535MN-m Este es el momento M1 Minf = 0.057 + 0.5193 = 0.5763 MN-m Este es el momento M2 8 Comprobar si el momento máximo está entre los extremos de la columna Si (lu / r) > 35 / √ (Pu/fc’ Ag) el momento máximo está entre los extremos lu/r = 6/0.12 = 50 Columna exterior 35 / √(Pu/fc’ Ag) = 35 / √(1.434/ 21 x 0.16) = 53 Como (lu / r) < 35 / √(Pu/fc’ Ag) El momento máximo está en uno de los extremos Columna interior 35 / √(Pu/fc’ Ag) = 35 / √(2.835 /21x 0.16) = 38.1 Como (lu / r) < 35 / √(Pu/fc’ Ag) El momento máximo está en uno de los extremos Resumen de las solicitaciones de diseño Columna exterior: Pu = 1.434 MN Mc = 0.802 MN-m Columna interior: Pu = 2.835 MN Mc = 0.5763 MN-m 1- Diseñar la columna exterior, con refuerzo ordinario Columna exterior: Pu = 1.434 MN Mu = 0.802 MN-m Sección de la columna 0.40 m x 0.40 m fc’ 28 MPa fy = 420 MPa

eo = 0.559 m

Solución La excentricidad eo, corresponde al centro de la sección, entonces la excentricidad e1, corresponde al acero en tracción o menos comprimido y es: e1 = eo + (h/2 – recubrimiento) = 0.559 + (0.4 / 2 – 0.05) = 0.709 m 139

El momento con respecto a As es Muc = Pu e1 = Muc=1.434 x 0.709 = 1.016 MN-m Hallemos el valor de Co considerando tracción controlada Co = (Mu / 0.9) / 0.85 fc’ b (de^2) = 0.968 Como Co > 0.5, toda la sección está comprimida, a = h = 0.4 m y no es tracción controlada, es Compresión controlada, entonces  = 0.70

Pu refuerzo traccionado o menos comprimido (As) refuerzo más comprimido (As’)

El momento máximo que puede tomar el concreto cuando toda la sección está comprimida es: Mc = 0.85 fc’ b de^2 = 1.1662 MN-m Fc = 0.85 fc’ b h = 3.808 MN La armadura más comprimida es: As’ = [(Pu e1/  ) – Mc] / fy / (de – d’)] = 0.0026 m^2 La armadura menos comprimida es: As = (Pu/) - Fc - As’ fy) /fy’ As = {(1.434 / 0.7) – 3.808 - 0.00204 x 420]} / 420 = Da negativo, lo que nos dice que no necesita acero menos comprimido Debe cumplirse que: Para elementos no preesforzados y reforzados con estribos cerrados:  Pn max = 0.80  [ 0.85 fc’(Ag – Ast) + fy Ast] XVIII b  Pn max = 0.80 x 0.7 [0.85 x 28 (0.16 – 0.00204) + 420 x 0.00204] = 2.585 MN  Pn max = 2.585 MN > 1.91 MN Se cumple La cuantía es: Ast / Ag = 0.016 < 0.06 Se cumple Comprobación: Pu/ = 2.48 MN Fc + As’ fy = 3.808 + 0.0026 x 420 = 9.092 MN > Pu/ Momento con respecto a la posición de As Pu e1 /  = Mc + As’ fy (de – d’) = Pu e1 /  = 1.016/ 0.7 = 1.451 MN-m Mc + As’ fy (de – d’) = 1.1662 + 0.0026 x 420 (0.35 – 0.05) = 1.149 > Pu e1 /  XV.7. 8 TRANSMISIÓN DE LAS CARGAS DE COLUMNAS A TRAVÉS DE LOSAS DE ENTREPISOS (C10.12) Cuando la resistencia a la compresión especificada del Concreto de una columna sea 1.4 veces que la especificada para el sistema de entrepiso, en el caso de columnas interiores y de borde, o mayor que 1.2 veces para columnas esquineras, la transmisión de la carga a través del sistema de entrepiso debe lograrse de la forma siguiente: La resistencia de la columna en el nudo puede calcularse utilizando una resistencia efectiva del Concreto de la columna dentro del nudo, (fc’)efec, calculada en función de la resistencia del concreto de la columna (fc’)col y de la losa (fc’)losa, así: a) Para columnas interiores (fc’)efec = (0.25 (fc’)col) / (hp / bc) + {1.4 – [0.35 / (hp / bc)]}(fc’)losa ≤ (fc’)col

XV.7.8.1 (C.10.22) 140

En la ecuación anterior el cociente (hp / bc) no debe ser menor de un tercio, donde hp es la altura total de la losa y bc es la menor dimensión de la sección de la columna b) Para columnas de borde (fc’)efec = 1.4 (fc’)losa ≤ (fc’)col) XV .7.8.2 (C.10.23) c) Para columnas esquineras (fc’)efec = 1.2 (fc’)losa ≤ (fc’)col) XV.7.8.3 (C.10.24) en cualquiera de los casos (a) a (c) pueden utilizarse barras longitudinales adicionales y estribos o espirales si así se requiere Debe colocarse Concreto de la resistencia especificada para la columna, en el sistema de entrepiso, alrededor de ella, extendiéndose lateralmente 600 mm medidos a partir de la cara de la columna. El concreto de la columna debe quedar bien integrado con el concreto del piso XV.8.A DIMENSIONES DE DISEÑO PARA ELEMENTOS A COMPRESIÓN XV.8.A.1 Elementos aislados a compresión con espirales múltiples Los límites exteriores de la sección transversal efectiva de un elemento a compresión, con dos o más espirales entrelazadas, deben tomarse a una distancia, por fuera de los límites extremos de las espirales, igual al recubrimiento mínimo de concreto requerido XV.8.A.2 Elementos a compresión construidos monolíticamente con un muro. Los Límites exteriores de la sección transversal efectiva de un elemento a compresión, reforzado transversalmente con espirales o estribos, construidos monolíticamente con un muro o pila de Concreto, debe tomarse 40 mm por fuera de la espiral o los estribos

XV.8.A.3 Límites de la sección Para un elemento sometido a compresión, con una sección transversal mayor que la requerida por las condiciones de cargas, se puede utilizar un área efectiva reducida no menor que la mitad del área total con el fin de determinar el refuerzo mínimo y la resistencia. Esta disposición no se aplica no se aplica en elementos (pórticos resistentes a momento o muros estructurales) con Capacidad de Disipación de Energía Moderada (DMO) o Especiales (DES) XV.9 ELEMENTOS COMPUESTOS A COMPRESIÓN (C.10.13) XV.9.1 Los elementos compuestos a compresión incluyen todos los elementos reforzados longitudinalmente con perfiles de acero estructural o tuberías de acero, con o sin barras de refuerzo longitudinal Los elementos de concreto reforzados con perfiles de acero se utilizan en estructuras monolíticas que requieran un sistema complicado de encofrado. Durante el proceso de construcción los perfiles se emplean en lugar del encofrado para resistir las cargas de los encofrados, el concreto fresco y todo el sistema de montaje. Posteriormente que el concreto ha adquirido la suficiente resistencia, los dos materiales trabajan conjuntamente... Lo más conveniente es emplear los perfiles de acero en estructuras cuya masa propia no supere aproximadamente el 25% de la carga total. La cantidad de perfiles en la sección transversal de un elemento no debe ser superior a aproximadamente al 15%. Para un porcentaje mayor, se considera el Concreto como un recubrimiento protector, no activo. Puede utilizarse adicionalmente armadura ordinaria longitudinal y transversal. Los perfiles de acero se calculan según la Norma de Estructura de Acero, para las cargas que aparecen antes del fraguado del Concreto. Posteriormente para las siguientes cargas, el concreto trabaja junto con los perfiles de acero. La carga total de explotación podrá ser transmitida a la estructura únicamente desde el momento en que el Concreto alcance la resistencia requerida. Después que el Concreto alcance esa resistencia, toda la armadura, tanto los perfiles y la armadura flexible se consideran en el cálculo Al calcular los elementos a flexo-compresión, la zona comprimida del Concreto se toma excluyendo el área ocupada por la armadura, que es equivalente a disminuir la resistencia de cálculo de está zona hasta el valor fcrd – 0.85 fc’ XV.9.2 La resistencia de los elementos compuestos debe calcularse para las mismas condiciones límites aplicables a elementos concreto reforzado

141

XV.9.3 La resistencia a carga axial que se asigne al concreto de un elemento compuesto debe estar garantizada por la transferencia de la carga a través de elementos o acoples que tengan apoyo directo sobre el Concreto del elemento compuesto XV.9.4 La porción de la carga axial que se asigne al concreto del elemento compuesto debe ser transmitida al perfil de acero estructural por medio de una conexión directa al mismo XV.9.5 Para efectos de evaluar los efectos locales de esbeltez en los elementos compuestos a compresión el valor del radio r de la sección no debe tomarse mayor que el obtenido al despejar r de la ecuación siguiente: r = √ {[(Ec Ig / 5) + Es Isx] / [(Ec Ag / 5) + Es Asx)]} XV.9.5.1 (C.10-25) En lugar de un cálculo más preciso de EI en la ecuación Pc = ^2 E I/ (k lu)^2 XV.9.5.2. , éste puede tomarse con la ecuación EI = (0.2 Ec Ig + Es Ise) / (1 +βd) XVI .7. 9.8 ó por medio de: EI = [(Ec Ig / 5) / (1 + βd)] + Es Isx XV.9.5.3 (C.10.26) Isx – momento de inercia del perfil de acero estructural, tubo o tubería, alrededor del centroide de la sección transversal de un elemento compuesto At – área del perfil de acero estructural, tubo o tubería Ise- momento de inercia del refuerzo alrededor del eje centroidal de la sección transversal del elemento βd- relación de la carga máxima axial mayorada de la carga muerta a la máxima carga axial mayorada total XV.9.6 Núcleo de concreto confinado por acero estructural (C.10.13.6) En los elementos compuestos que tengan un núcleo de concreto confinado por acero estructural, el espesor del elemento de acero estructural no debe ser menor de: b√(fy / 3 Es) XV.9.6.1 para cada cara de ancho b, ni h√(fy / 8 Es) XVI9.6.2, para secciones circulares de diámetro, h Las barras de refuerzo longitudinal localizadas dentro del núcleo central pueden considerarse en el cálculo de At y It XV.9.7 Refuerzo en espiral colocado alrededor del núcleo de acero estructural (C10.13.7) Los elementos compuestos que tengan refuerzo en espiral alrededor del núcleo de acero estructural, deben cumplir los siguientes requisitos: a) la resistencia nominal especificada del concreto, fc’ no debe ser menor de 17 MPa (2420 psi) b) La resistencia nominal a la fluencia del acero del núcleo de acero estructural debe ser aquella del tipo de acero estructural utilizado, pero no debe ser mayor de 350 MPa (50000 psi) c) La espiral debe cumplir con: ρs = 0.45{(Ag/Ac) – 1]}(fc’ / fy) d) La suma de las áreas de las barras longitudinales localizadas dentro de la espiral no debe ser menor de 0.01 veces ni exceder 0.06 veces el área neta del concreto de la sección e) Las barras longitudinales localizadas dentro de la espiral pueden tomarse en cuenta para efectos de calcular At y It XV.9.7 Estribos colocados alrededor del núcleo de acero estructural (C.10.13.8) Los elementos compuestos que tengan refuerzo en forma de estribos colocados alrededor del núcleo de acero estructural, deben cumplir los siguientes requisitos: a) La resistencia nominal especificada del concreto, fc’, no debe ser menor de 17 MPa (2420 psi) b) La resistencia nominal a la fluencia del núcleo de acero estructural debe ser aquel del tipo de acero estructural utilizado, pero no debe ser mayor de 350 MPa (500000 psi) c) Los estribos deben rodear totalmente el núcleo de acero estructural d) Los estribos deben ser barra de un diámetro no menor de 1/50 veces la mayor dimensión del elemento compuesto, ni menor de No.3 (3/8”) o 10M (10 mm) y no se requiere que sean mayores de barra No.5 (5/8”) o 16M (16 mm). Se permite utilizar malla electro soldadas con un área equivalente e) El espaciamiento vertical entre estribos no debe exceder 16 veces el diámetro de las barra longitudinales, 48 veces el diámetro de la barra del estribo ni la mitad de la dimensión menor del elemento Compuesto f) El área de las barras longitudinales localizadas dentro de los estribos no debe ser menor de 0.01 ni mayor de 0.06 veces el área neta de concreto

142

g) Debe colocarse una barra longitudinal en cada esquina del estribo, con las otras barra longitudinales separadas no más de la mitad de la menor dimensión del elemento compuesto h) Las barras longitudinales localizadas de los estribos pueden tomarse en cuenta para calcular At para efectos de la resistencia del elemento pero no pueden incluirse en el cálculo de It en la evaluación de los efectos de esbeltez XV.9.8 Consideraciones del cálculo Normalmente la armadura rígida se coloca en dos lados opuestos de la sección, en la zona comprimida y traccionada como muestra la siguiente figura As’ ooo Asr’ Asr1

ooo Asr1 En este caso no se diferencia al cálculo con las armaduras flexibles, el peralto (de) se toma igual a la distancia desde el lado más comprimido hasta el centro de gravedad común de la armadura rígida y flexibles del lado opuesto Cuando la armadura se coloca según la figura siguiente As’ 0.85 fc’ ooo As’ fy’ Ac’

fsrd

h As

As fy ooo

fsrd

Se puede calcular empleando la metodología expuesta en los párrafos anteriores, con ello, en el caso de que los perfiles posean un límite de fluidez físico, se considera que toda su sección (incluyendo el alma de la sección comprimida) los esfuerzos son constante e igual a su resistencia de cálculo. XV.10 LÍMITES PARA EL REFUERZO DE ELEMENTOS REFORZADO SOMETIDOS A COMPRESIÓN XV.10.1 El área del refuerzo longitudinal para elementos a compresión no compuestos, no debe ser menor de 0.01 ni mayor de 0.06 veces el área bruta Ag de la sección. XV. 10.2 El número mínimo de barras del refuerzo longitudinal en los elementos a compresión es de 4 para barras colocadas dentro de estribos rectangulares o circulares, de 3 dentro de estribos triangulares y de 6 para barras longitudinales colocadas dentro de espirales que cumplan XV.10.3 XV.10.3 La cuantía del refuerzo en espiral no debe ser menor que el valor dado por: ρs =0.45[(Ag / Ac) – 1] (fc’ / fy) XV.10.1 fy – resistencia nominal; de la fluencia del refuerzo en espiral, la cual no debe ser mayor de 700 MPa Para fy mayor de 420 MPa, no debe utilizarse empalmes por traslapo XV.11 PROBLEMAS PROPUESTOS XV.11.1 Cuando un elemento está sometido a compresión axial y cuando a flexo-compresión? XV.11.2 Cuales son los casos de flexo-compresión? XV.11.3 Diseño de columna sometida a flexo-compresión reforzada Determinar las armaduras necesarias para una sección de b=0.30m y de= 0.6 m Concreto: 28 MPa Armadura: 420 MPa A) Para una solicitación de compresión de Pu = 0.4 MN, aplicada a una distancia de e1 = 1.1 m B) Para una solicitación de compresión de Pu = 0.6 MN, aplicada a una distancia de e1 = 1.1 m NOTA: (e1) es la distancia entre la aplicación de la fuerza Pu y el refuerzo a tracción o menos comprimido 143

XV.11.4 Comprobación de columna sometida a flexo-compresión reforzada Calcule la carga Pu nominal de la sección de la figura, para compresión controlada y tensión controlada, si está sometida a momento y carga axial. La columna la podemos considerar sin efecto de esbeltez y está arriostrada a desplazamiento fc’ = 30 MPa fy = 420 MPa recubrimiento 0.05 m oo oo As = As’ = 0.21 m^2 de = 0.55 m 0.6 m

0.30 m

XV.11.5 Diseño de columna sometida a carga biaxial Una columna de 0.5 m x 0.5 m está sometida a una carga de compresión de 1.8 MN y a momentos biaxiales con los siguientes valores Muz = 0.11 MN-m y Muy = 0.1 MN-m Determine la carga y el momento de cálculo para considerar que está sometida a una carga de compresión en uno de sus ejes principales fc’ = 210 MPa fy = 420 MPa XV.11.6 Una columna de 0.70 m de altura y 0.30 m de base tiene el refuerzo que muestra la figura. Determinar la carga de nominal Pun y el momento nominal Mun que resiste para: c) Compresión controlada d) Tracción controlada fy = 420 MPa fc’ = 28 MPa refuerzo 14  18 M área de  18 M = 2.545 cm^2

de = 0.65 m o o

o o

XV.11.7 Diseño de secciones reforzado con refuerzo ordinario sometido a flexo compresión en pórtico sin desplazamiento Diseñar las columnas CD y DE del pórtico de la figura de la página siguiente. El gráfico de momento Mu en MN-m se muestra en la figura La carga axial total para la columna CD es Pu = 2.5 MN y para la DE es Pu = 1.6 MN y la mantenida es para Pu = 0.38 MN para CD y Pu = 0.26 MN para DE Las columnas descansan en cimientos cuadrados de 3.0 m en un terreno de capacidad de 20000 N / m^2 empotramiento 1.4 E 6 .0m D

1.9

1.0

6.5m

144

0.25 Gráfico de Mu (MN-m)

XV.11.8 Diseño de secciones reforzado con refuerzo ordinario sometido a flexo-compresión en pórtico con desplazamiento Sea el edificio de dos plantas que se muestra en la figura siguiente: Diseñar las columnas IE y JF. Las columnas son de 0.45 m x 0.45 m y las vigas de b =0.3 m x h = 0.6m, por razones arquitectónicas Cargas verticales: Columnas exteriores Carga muerta 1.1 MN, Carga viva 0.06 MN por techo y 0.3 MN por piso Columnas interiores Carga muerta 2.4 MN, Carga viva 0.12 MN por techo y 0.35 MN por piso Los valores de las cargas ya tienen el factor de reducción por área

techo

6.5 m

2do piso E

5m G

H 5m

6.5m 1er piso I

J 5m

5m K

L 5m

PLANTA

XV.11.9 Cuales son los límites del refuerzo en columnas?

145

CAPÍTULO XVI TRACCIÓN SIMPLE Y FLEXO-TRACCIÓN Cuando un elemento está sometido a una solicitación de tracción en el centro de gravedad de la sección se dice que está sometido a Tracción Simple Cuando la sección está sometida a una Solicitación Normal de Tracción (Nu) y a un Momento Flector (Mu) directo u ocasionado por una excentricidad real de la solicitación de tracción, la sección está sometida a: FLEXO-TRACCIÓN NOTAS SOBRE LA NOMENCLATURA: En este Capítulo se usará lo siguiente: La fuerza de tracción mayorada se designa con: Nu La fuerza de tracción en el estado de servicio se designa con: N El refuerzo más traccionado con: As El refuerzo menos traccionado con: As’ XVI.1 COMPORTAMIENTO Antes de presentarse la fisuración del concreto, el refuerzo y el concreto actúan conjuntamente y su comportamiento puede determinarse considerando la sección transformada (homogeneizada) En el caso de una fuerza de tracción de servicio centrada (N) debe cumplirse que: N  Ncr = 0.62 √fc’ (Ac + 2 n As) XVI.1a Nota: El valor de 2 que aparece en la fórmula anterior es por considerar el Módulo Elastoplástico a Tracción del Concreto igual a 0.5 Ec n -coeficiente de equivalencia para la armadura As -área total de la armadura Ac – área de la sección del concreto XVI.2.HIPÓTESIS Además de las hipótesis generales y de las particulares de flexión simple que tienen plena vigencia en Flexo-Tracción, se establecen las siguientes hipótesis: a) En flexo-tracción, la sección está sometida a una solicitación normal de tracción y a un momento real o virtual producto de una excentricidad física de la solicitación de tracción. b) En los análisis se considera una excentricidad (eo) de la solicitación de tracción Nu con relación al eje geométrico de la sección que pasa por su centro de gravedad, de manera que (Nu eo) sea igual al momento Mu actuante, es decir, que: eo = Mu / Un

XVI.2a

En caso de no existir Mu y sí una excentricidad real (eo), el momento que puede considerarse que actúa sobre la sección será: Mu = Nu eo c)

XVI.2b

Se denomina As al refuerzo más cercano a la carga de tracción, o sea, la de la posición en la dirección y sentido del desplazamiento real o virtual eo As’ es el refuerzo ordinario más alejado de la carga, es decir, la que aparece en sentido contrario al desplazamiento 146

d) Cuando el refuerzo As’ trabaja en compresión junto con el concreto, su esfuerzo depende de la deformación de la sección a nivel de dichos refuerzos, aceptándose que alcancen el agotamiento siempre que (c  1.25 cc) y sus esfuerzos de cálculo se consideran iguales a: fy  420 MPa para As’ cc- recubrimiento del refuerzo XVI. 3 CASOS DE COMPROBACIÓN DE SECCIONES En Flexo-Tracción hay que considerar dos casos: CASO I. Según toda la sección esté a tracción CASO II. Según pueda surgir una zona comprimida cuyo valor estará en función de la posición que ocupe la carga Nu, en relación con los refuerzos CASO I Se presenta cuando la carga Nu actúa entre los refuerzos y en tal caso, se admite que toda la sección está traccionada, por ello se prescinde del Concreto y el equilibrio se establece exclusivamente sobre la base de los refuerzos (DOMINIOS 1 y 1a) - 0.003

C As’

d’

1a 2

3 A 4 As

0.002

0.005 (s) Tracción Controlada (  = 0.9)

- 0.003 Fallo Balanceado Compresión Controlada

zona de Transición Compresión

Tracción

DOMINIO 1. TRACCIÓN SIMPLE O EXCÉNTRICA En este Dominio toda la sección está traccionada, por lo tanto, todas las armaduras trabajan a su resistencia de cálculo fy para armadura ordinaria y fps para preesforzada La línea A-D, corresponde al caso de tracción centrada (c  0) Es tracción controlada por lo tanto,  = 0.9 A 1 Nu (para Dominio 1) 1a D p (s) Nu (para Dominio 1a)

DOMINIO 1a. TRACCIÓN EXCÉNTRICA La sección continúa traccionada. Las armaduras en la zona más traccionadas trabajan igual que en el Dominio 1. Las armaduras menos traccionadas varían desde fy a fy d’/de 147

Es tracción controlada por lo tanto,  = 0.9 CASO II Se presenta cuando la carga Nu está fuera de los refuerzos o fuera de la sección. Existe una zona comprimida y el equilibrio se establece en base de los refuerzos y el área de concreto a compresión (DOMINIOS 2, 2a, 3 y 4) El límite entre el CASO I y el CASO II, lo constituye la frontera entre el DOMINIO 1a y 2a (línea C-D) y la solicitación de tracción que provoca este Estado es: Ntl = [fy As + Es2 s( d’ / de) As’] Si Nu e1  Nt1 eI En caso contrario

XVI. 3a Estamos en CASO I Estamos en CASO II

eI-excentricidad de la fuerza Nt1 con respecto al centroide de las fuerzas producidas por As El CASO I tiene dos Sub-Casos: CASO Ia y CASO Ib CASO Ia Cuando todo el refuerzo está trabajando a su esfuerzo de cálculo ( fy) Debe cumplirse que: Nu [(h/2)) – et]  [(fy As) (de – d1)] 0.9 Nu [(h/2) – d’+ et]  [(fy A) (de – d’)] 0.9

XVI. 3b XVI. 3c

El límite entre CASO Ia y CASO Ib, lo constituye la frontera entre DOMINIO 1 y 1a, siendo la solicitación de tracción que provoca este Estado: Nt = [fy (As + As’))] XVI.3f Si Nu e1  Nt e Estamos en CASO Ia En caso contrario Estamos en CASO Ib e-excentricidad de la fuerza Nt con respecto al centroide de las fuerzas As El CASO II tiene tres Sub-Casos: CASO IIa, CASO IIb y CASO IIc CASO II Cuando el refuerzo más traccionado está trabajando a su esfuerzo de cálculo y la armadura ordinaria menos traccionada está trabajando a esfuerzo nulo. DOMINIO 2a El límite entre DOMINIO 2a y 2, corresponde cuando etot = de. Entonces tenemos que: Ntu = [ As fy – 0.85 fc’Ac’ ] 0.9 XVI.3g NOTA: Para sección rectangular o T............ Ac’ = 0.8 d’ be Debiéndose cumplir que: Nu [(h/2) – d’ + et]  [(fy As) (de- d’)] 0.9 - Sc’ 0.85 fc’ XVI.3h Nu = [fy As] 0.9 – 0.85 fc’ Ac’ XVI.3i CASO IIb Corresponde a los DOMINIOS 2 y 3. En este caso: Nu e1  [0.85 fc’ Sc’ + As’ fy (de – d’)] 0.9 Nu  As fs – As’ fs – Ac’ 0.85 fc’] 0.9

XVI.3j XVI.3k

Debiéndose cumplir que: Nu  [ fy As – fy As’ – 0.85 fc’ Ac’] 0.9 Nu e1  [0.85 fc’ Sc’ + (fy As’) (de – d’)] 0.9

XVI.3l XVI.3m 148

CASO IIc Corresponde al DOMINIO 4. En este caso: Nu  [ fy As – fy As’ – 0.85 fc’ Ac’]  Nu e1  [0.85 fc’ Sc’ + fy As’ (de – d’) ] 

XVI.3n XVI.3o

En este caso,  toma el valor de la zona de transición XIV. 3.1. Diseño de una sección reforzada sometida a flexo-tracción Determinar la armadura necesaria que se necesite para una sección de: bw = 0.3 m h = 0.55 m de = 0.5 m Para resistir una fuerza de tracción de Nu = 0.5 MN aplicada a 0.05 m del centro de la sección Concreto 28 MPa Acero 420 MPa Solución La solicitación está aplicada entre las armaduras, por lo tanto estamos en Caso 1 Considerando que estamos en el Caso Ia  = 0.9 As’ = Nt [(h/2) – et] / fy (de – d1) 0.9 y sustituyendo valores As’ = 6.6137 cm^2 As = Nu [(h/2) – d’ + et] / (de – d’) fy 0.9 y sustituyendo valores As= 0.000808 m^2 = 8.083 cm^2 Comprobación Nu [(h / 2) – et]  [(fy As’) (de – d1)] 0.9 = 0.112 = 0.112 Se cumple Nu [(h/2) – d’ + et]  (fy As) (de – d’) 0.9 0.5 [(0.55/2) – 0.05 + 0.05]  420 x 0.000808 x (0.5 – 0.05) 0.9 0.137 = 0.137 Se cumple

XIV.3.2. Diseño de una sección reforzada sometida a flexo-tracción Los mismos datos que el EJEMPLO XV. 2.1, pero la fuerza Nu = 0.5 MN, está aplicada a 3.0 m del acero más traccionado La fuerza está aplicada fuera de la sección, diseñamos para tracción controlada, en este caso c = 0.375 de a = 0.375 de x β1 = 0.375 x 0.5 x 0.85 = 0.1594 m El momento con respecto al acero más traccionado es: Mu = 0.5 x 3.0 = 0.15 MN-m El momento que resiste la zona en compresión del concreto es:  Mc = ct fc’ bw [(de) ^2] 0.9  Mc = 0.228 x 28 x 0.3 x 0.5^2 x 0.9 = 0.43 MN-m > Mu, No necesita acero en la zona comprimida El acero traccionado es: As = (Mu / ) / fy (de – a/2) = (0.15 / 0.9) / 420 / (0.5 – 0.1594/ 2) = As = 0.000944 m^2 = 9.44 cm^2 XVI.4 PROBLEMAS PROPUESTOS XVI.4.1 Cuando un elemento está sometido a tracción simple y cuando a flexo-tracción? XVI.4.2 Como es el comportamiento de un elemento sometido a tracción antes de que formen las grietas? XVI.4.3 Cuales hipótesis adicionales tiene el diseño de elementos sometidos a tracción? XVI.4.4 Cuales son los casos de comprobaciones? XVI.4.5 Diseño de una sección sometida a flexo-tracción reforzada Determinar la armadura necesaria que se necesite para una sección de: bw = 0.3 m h = 0.55 m de = 0.5 m Para resistir una fuerza de tracción de Nu = 0.5 MN aplicada a 0.05 m del centro de la sección Concreto 28 MPa Acero 420 MPa 149

XVI.4.6 Determinar la armadura necesaria que se necesite para una sección de: b = 0.3 m h = 0.55 m de = 0.5 m Concreto 28 MPa Acero 420 MPa A) Para resistir una fuerza de tracción de Nu = 0.7 MN aplicada a 0.055 m del centro de la sección B) Para resistir una fuerza de tracción de Nu = 0.7 MN aplicada a 4.0 m del centro de la sección

CAPÍTULO XVII SOLICITACIÓN TANGENTE (CORTANTE) Capitulo (C.11) XVII.1 INTRODUCCIÓN Los elementos de concreto reforzado pueden fisurarse de varias formas. Las grietas por flexión-cortante se presentan después de que han ocurrido las grietas a flexión que se extienden verticalmente partiendo desde la fibra con mayor tracción. Cuando se presenta una combinación crítica de esfuerzos de flexión y cortante, la grieta toma una dirección inclinada. Si no se proporciona suficiente refuerzo en el alma del elemento, dicha grieta producirá un fallo por compresión-cortante, en el cual la fuerza de compresión resistente en el concreto se ve disminuida por la presencia de la grieta diagonal. La grieta por cortante puede ocurrir cerca de los apoyos en vigas altamente esforzadas con almas relativamente delgadas. Este tipo de peligro en el alma conduce a la formación súbita de una gran grieta inclinada, y si no se encuentra refuerzo en el alma, conducirá a la falla del elemento que puede ser de las siguientes formas: a) En elementos I, separación del patín en tracción del alma b) Aplastamiento del alma por la compresión que actúa paralelamente a la grieta diagonal 150

c) En elementos T. agrietamiento por tracción que separa el patín en compresión del alma Las grietas debidas a tracción diagonal que se presentan en elementos reforzados son más inclinadas que en los elementos no reforzados. Por ello, ante el mismo refuerzo dado por estribos verticales, esa grieta atravesará más estribos lo que incrementa la eficiencia de los mismos En la siguiente figura se muestra las diferentes tipos de grietas que se producen en un elemento sin refuerzo en el alma Cargas externas

grietas

apoyo extremo apoyo intermedio

Cortante del alma

Flexión y

Flexión y Flexión – cortante

Cortante del alma

Flexión -cortante El agotamiento de los elementos de concreto estructural a flexión, se produce por la acción simultánea del momento flector y de la fuerza cortante en la sección analizada, por lo cual se desarrollan esfuerzos en los refuerzos que atraviesan esta sección, así como en el concreto de la zona comprimida. En la siguiente figura se muestra parte de un elemento reforzado próximo al apoyo, con refuerzo longitudinal, transversal e inclinado. Esta parte se separa del resto por la fisura inclinada que se produce. zw Vcd zd 

Nc A z fy As fwd Asw

Vsd

Para que la sección resista debe cumplirse que: Mu(A)   ( fy As z +fyw Asw zd + fy Ase zw) Vu   ( fyw Asw1 sen  + fyw Ase + Vc)

XVII.1.1 XVII.1.2

As, Ase y Asw-área de los refuerzos ordinarios longitudinales, transversales (estribos) e inclinados z, zd, zw-distancias entre los refuerzos longitudinales, inclinados y transversales hasta el punto A Mu(A) y Vu-momento flector y la fuerza transversal (Cortante) de cálculo con respecto al punto A Vc - esfuerzo cortante nominal absorbido por el concreto de la zona comprimida Vu-Fuerza cortante reducida La fórmula de Mu(A) expresa la condición de resistencia en lo que se refiere al momento y si se cumple las condiciones de anclajes de los refuerzos longitudinales, o sea, asegurando la plena resistencia del refuerzo longitudinal en el tramo, entonces la condición de resistencia a flexión del elemento queda garantizada en todas las secciones inclinadas que comiencen cerca del borde del apoyo. La fórmula de Vu expresa la condición de la resistencia a lo que se refiere a la fuerza de corte y si se cumple que la fuerza transversal Vu de todas las fuerzas exteriores no supera la suma de las proyecciones 151

sobre la normal al eje del elemento de los esfuerzos interiores en el refuerzo transversal e inclinados que crucen la posible grieta, además de la del concreto de la zona comprimida, la sección resiste

XVII.2.VALOR DEL ANCHO DEL ELEMENTO Cuando en la sección considerada, el ancho del elemento no es constante se adoptará como (bw) el menor ancho que presenta la sección a una altura igual a los 3/4 del peralto efectivo a partir del refuerzo traccionado

3de / 4 XVII.3 RESISTENCIA AL CORTANTE DE ELEMENTOS REFORZADOS El diseño de las secciones transversales sometidas a esfuerzos cortantes y tracción diagonal debe basarse en: Vu ≤  Vn XVII.3.1 (C.11-1)

Vn = Vc + Vs XVII.3.2 (C.11-2) Vu-fuerza cortante mayorada en la sección considerada Vc-cortante nominal resistido por el Concreto Vs-cortante nominal resistido por el refuerzo Al calcular el cortante nominal Vn debe tenerse en cuenta el efecto de todos los huecos que tenga el elemento Al calcular el cortante nominal del concreto, Vc, deben tenerse en cuenta los efectos de tracción axial debidos a retracción de fraguado o flujo plástico en los elementos que estén restringidos axialmente e igualmente los efectos de la compresión por flexión inclinada cuando se utilicen elementos acartelados o de sección variable El valor de fc’ utilizado en este Capítulo no debe exceder de 8.3 MPa (100 psi). Se puede utilizar valores de la expresión fc’ mayores que 8.3 MPa (100 psi) en el cálculo de Vc, Vci, Vcw en vigas reforzadas, o presforzadas y en viguetas, siempre y cuando el refuerzo transversal en el alma (fc’ / 35) ≤ 3 veces mayor que las cantidades dadas por las ecuaciones XVII.7.4.1, XVII.7.4.2 y por la mínima por Torsión

XVII.4 DETERMINACIÓN DE Vu Para que el valor de Vu determinado por este epígrafe sea válido debe cumplirse que: A-La reacción de apoyo en dirección del cortante aplicado, introduce compresión en la región extrema de la región B-Las cargas son aplicadas en o cerca de la parte superior del elemento C-No existe carga concentrada entre la cara del apoyo y la sección crítica Para elementos reforzados, la sección localizada entre la cara del apoyo y a una distancia del peralto efectivo (de), puede ser diseñada para el cortante (Vu) que existe a la distancia (de) Para elementos con refuerzo Presforzado, las secciones localizadas a una distancia menor de (h/2) de la cara del apoyo pueden ser diseñadas para el cortante que existe a la distancia h/2 Para elementos reforzados

X = de P1

P2 152

X Vu

La carga P1 no se tiene en cuenta, mientras P2 si se toma en cuenta XVII.5 DETERMINACIÓN DE Vc EN ELEMENTOS REFORZADOS (C11.2) XVII. 5 .1 A menos que se lleve a cabo un cálculo más detallado, como lo descrito en XVII.5. 2, el valor de la resistencia al cortante, Vc, puede calcularse así: -Si están sometidos a cortante y flexión únicamente Vc = (0.17fc’) λ bw de -Si están sometidos a carga de compresión axial:

XVII.5 .1.1

(C.11-3)

Vc = [1 + Nu/ 14 Ag] λ(0.17 fc’) bw de XVII.5.1.2 (C.11-4) Nu / Ag en MPa XVII.5 .1..3 Nn es positivo para compresión y negativo en tracción Los elementos sometidos a una tracción apreciable, deben diseñarse de tal manera que el refuerzo lleve todo el cortante, o sea, Vc = 0 a menos que se realice un análisis más detallado siguiendo los requisitos de XVII.5. 2 .2 XVII.5. 2 Es permitido, para un cálculo más exacto de Vc, aplicar lo siguiente: XVII.5. 2 .1 Para elementos sometidos a cortante y flexión: Vc = [0.16λ( fc’) + 17 w (Vu de / Mu) bw de  0.29λ (  fc’) bw de

XVII.5.2.1 (C.11-5)

NOTA: El valor de (Vu de / Mu) no debe ser mayor de 1.0 El momento Mu es el momento flector que ocurre simultáneamente con Vu en la sección considerada XVII.5. 2 .2 Para elementos sometidos a carga axial de compresión: Se puede utilizar la misma fórmula de flexión y cortante, sustituyendo Mu por Mm, Mn = Mu – Nu [(4h – de) / 8], XVII.5. 2. .2.1 (C.11-6) Sin embargo Vc no puede tomarse mayor que: Vc = [0.29λ( fc’) bw de √[1 + 0.29 Nu/ Ag] XVII.5. 2 .2.2 (C.11-7) y el término Vu d / Mu no tiene el límite de 1.0 donde Nu / Ag en MPa Cuando Mm, calculado por la fórmula XVII.5. 2. .2.1, es negativo, Vc debe calcularse por medio de la ecuación Vc = [0.29( fc’) bw de √[1 + 0.29 Nu/ Ag] XVII.5. 2 .2.2 Para elementos sometidos a solicitación de tracción significativa: Vc = 0.17(fc’ ) [1 + (0.29 Nu / Ag) λbw de  0, Nu es negativa para la tracción Nu / Ag en MPa

XVII. 5 .2. 6

(C.11-8)

XVII.6 Para elementos circulares, el área para calcular, Vc debe tomarse como el producto del diámetro y la altura efectiva de la sección del concreto. Se permite tomar (de) cómo 0.8 veces el diámetro de la sección del concreto XVII.7 RESISTENCIA A CORTANTE CONTRIBUIDA POR EL REFUERZO (C.11.4) XVII.7.1 T1POS DE REFUERZO DEL ALMA 153

-Estribos perpendiculares al eje del elemento -Refuerzo electrosoldado de alambre con alambre colocadas perpendiculares el eje del elemento -Espirales, estribos circulares y estribos cerrados de confinamiento Para miembros reforzados, el refuerzo a cortante puede ser también: -Estribos formando un ángulo de 45 grados o más con refuerzo longitudinal a tracción -Refuerzo longitudinal con doblados haciendo un ángulo de 30 grados o más con refuerzo longitudinal a tracción -Combinación de estribos y barras dobladas XVII.7.2 VALOR DE LA RESISTENCIA DE CÁLCULO DE LA ARMADURA DE ESTRIBOS La calidad (fy) del refuerzo del alma no debe ser mayor de 420 MPa, excepto para refuerzo electrosoldado con alambre corrugado que no debe exceder de 550 MPa XVII.7.2.1 Los estribos y otras barras o mallas electro soldadas, que se utilicen como refuerzo a cortante deben prolongarse hasta una distancia (de) medida desde la fibra extrema a compresión y deben anclarse en ambos extremos, de acuerdo con Desarrollo del Refuerzo del Alma del Capitulo Desarrollo y Empalmes del Refuerzo para desarrollar el refuerzo de fluencia de diseño del refuerzo XVII.7.3 LÍMITES DE ESPACIAMIENTO PARA EL REFUERZO DE CORTANTE (C11.4-5) 1-El espaciamiento del refuerzo a cortante colocado perpendicularmente al eje del elemento, no debe ser mayor de de/2 en elementos reforzados, ni 600 mm 2- Los estribos inclinados y el refuerzo longitudinal doblado deben espaciarse de manera que cada línea a 45 grados que se extienda hacia la reacción desde la mitad de la altura útil del elemento (de/2) hacia el refuerzo longitudinal en tracción sea cruzada por lo menos por una línea de refuerzo cortante 3- Cuando Vs sea mayor de (0.33) √fc’bw de los espaciamiento dados en esta sección deben reducirse a la mitad XVII.7.4 REFUERZO MÍNIMO DE CORTANTE (C11.6) 1- Debe colocarse un área mínima de refuerzo a cortante en todo Concreto reforzado (Presforzado o no) en donde el refuerzo cortante mayorado Vu sea mayor que la mitad de la resistencia suministrada por el Concreto, 0.5 Vc, excepto en: a) Losas sólidas y zapatas b) Elementos alveolares con altura total, sin incluir el afinado de piso, no mayor de 315 mm y unidades alveolares donde Vu no es mayor de 0.5 Vc c) Losas nervadas de concreto con viguetas d) Vigas con h no mayor de 250 mm e) Vigas integrales con losas con h no mayor de 600 mm, y no mayor que el mayor de 2.5 veces el espesor del ala, ó 0.5 veces del ancho del alma f) Vigas construidas con concreto de peso normal reforzado con fibra de acero, con un fc’ que no excede de 40 MPa, con un h no mayor de 600 mm y Vu no mayor de 0.17  √fc’bw de 2- Los requisitos mínimos del refuerzo a cortante de la presente sección pueden omitirse si se demuestra, mediante ensayos, que la resistencia última requerida a flexión Mn y cortante Vn puede desarrollarse cuando se omite el refuerzo a cortante. Los ensayos deben simular los efectos de asentamientos diferenciales, flujo plástico y retracción de fraguado del concreto y de las variaciones de temperatura, por medio de una evaluación realista de estos efectos en condiciones de servicio de la estructura. 3-Cuando se requiera refuerzo a cortante de acuerdo con lo establecido por este Capítulo, o por resistencia o cuando se permite que se desprecien los efectos de torsión el área mínima de refuerzo a cortante para elementos reforzado es, debe calcularse por medio de: Amin = 0.062 bw s / fyt XVII.7.4.1 (C.11-13) Pero no debe ser menor a (0.35 bw s) / fyt XVII.7.5 DISEÑO DEL REFUERZO A CORTANTE 154

XVII.7.5.1 Cuando el cortante mayorado Vu exceda a la resistencia a cortante Vc debe suministrarse refuerzo a cortante que cumplan las ecuaciones Vu ≤  Vn XVII.3.1 y Vn = Vc + Vs XVII.3.2 en las cuales la resistencia a cortante Vs debe calcularse según XVII.7.5.2 a XVII.7.5.8 XX.7.5.2 Cuando se utilice refuerzo a cortante perpendicular al eje del elemento: Vs = Av fyt de / s XVII.7.5.2 (Vs / s) = [(Vu) – Vc] /  fyt de Av-área del refuerzo a cortante dentro una distancia (s) fyt- esfuerzo en el estribo

(C.11-15) XVII.7.5.2a

Donde se utilicen estribos circulares, estribos cerrados de confinamiento o espirales como refuerzo a cortante, Vs debe calcularse utilizando la ecuación Vs = Av fyt de / s XVII.7.5.2, donde (de) se permite tomar como 0.80 veces el diámetro de la sección de concreto y Av debe tomarse como dos veces el área de la barra en un estribo circular, estribo cerrado de confinamiento, o espiral con un espaciamiento s, donde fyt es la resistencia a la fluencia especificada del estribo circular, estribo cerrado de confinamiento o espiral y s se mide en la dirección paralela al refuerzo longitudinal XVII.7.5.3 Cuando los estribos son inclinados: Vs = As fyt (sen  + cos ) (de / s)

XVII.7.5.3 (C.11-16)

XVII.7.5.4 Cuando el refuerzo a cortante consista de una barra o un solo grupo de barras paralelas dobladas todas a la misma distancia del apoyo Vs = As fyt de sen  ≤ 0.25 √fc´bw de XVII.7.5.4 (C..11-17) Donde  es el ángulo entre los estribos inclinados y el eje longitudinal del elemento, y s se mide en la dirección paralela al eje longitudinal  es el ángulo entre el refuerzo doblado y el eje longitudinal del elemento Donde el refuerzo a cortante consiste de una serie de barras paralela dobladas o grupos de barras paralelas dobladas a diferentes distancias del apoyo, Vs se debe calcular con: Vs = As fyt de (sen  + cos  ) / s XVII.7.5.4 XVII.7.5.6 Únicamente las 3/4 partes centrales de la porción inclinada de cualquier barra longitudinal doblada pueden considerarse efectivas como refuerzo cortante XVII.7.5.7 Donde se utilice más de un tipo de refuerzo a cortante para reforzar la misma porción de un elemento, la resistencia a cortante Vs debe calcularse como la suma de los valores Vs calculados para los diferentes tipos XVII.7.5.8 La resistencia a cortante contribuida por el refuerzo a cortante Vs no puede ser mayor de: (0.66) √fc’ bw de XVII.7.5.8 XVII.7.6 PASOS PARA EL DISEÑO DE CORTANTE EN VIGAS REFORZADAS 1– Se determina la sección crítica y se calcula Vu según XVII.4 DETERMINACIÓN DE Vu 2- Se comprueba que Vu ≤  Vc + 0.66  √fc’ bw de 3- Colocar el mínimo de Av, si Vu es mayor que  Vc / 2 con la excepción de lo indicado en XVII.7.4, inciso 1 4- Si Vu >  Vc, se debe colocar refuerzo de forma tal que Vu ≤  (Vc + Vs) 5- Comprobar el espaciamiento máximo XVII.7.6.1 Ejemplo de diseño a cortante en vigas reforzada sometidas a flexión Sea una viga de 8m de luz libre, que tiene que soportar una carga mayorada (incluyendo su propio peso) de 0.13 MN/m. La sección de la viga es bw = 0.3 m, de = 0.65 m, h = 0.70 tiene 5 barras No. 8 como refuerzo longitudinal. fy = 420 MPa fc’= 28 MPa carga total mayorada 0.1313 x 1.00 MN/m

155

0.52 MN Vu =0.435 MN

0.65 m

Vu(en la cara del apoyo) = w L/2 = 0.13 x 8 / 2 = 0.52 MN Vu (a “de” del apoyo) = 0.52 – 0.13 x 0.65) = 0.435 MN requerido Vu /  = 0.435 / 0.7 = 0.622 MN Vc = 0.17√fc’ bw de = 0.17 √28 x 0.3 x 0.65 = 0.1719 MN

L1= 2.026 m Vc = 0.1719 MN L/2=4m

Comprobemos que la sección es adecuada con: Vu ≤  Vc + 0.66  √fc’ b de = 0.435 MN ≤ 0.7 x 0.1719 +0.7 x 0.66 x √28 x 0.3 x 0.65 = 0.597 MN La sección es adecuada Como la sección es adecuada y Vu > Vc Se necesita colocar estribos El cortante que debe tomar los estribos es: Vs = Vu / - Vc = (0.435 / 0.7) – 0.1719 = 0.4495 MN Hay varias formas de coloca los estribos: En los primeros 0.65 m, el cortante es constante, con un valor Vs1 = 0.4495 MN utilizando estribos de No. 10 (área 0.0001 m^2), 2 patas = 0.0002 m^2 s1 = Av fs de /Vs1 XX.7.5.2 s1 = 0.0002 x 420 x 0.65 / 0.4495 = 0.12 m, se coloca el primero a 0.05 m del apoyo y el resto hasta 0.65 m del apoyo @ 0.12 m En el segundo tramo, tomamos el promedio desde 0.65 m desde el apoyo hasta 1.65 m más: A 1.65 m del apoyo Vu = 0.52 – 1.65 x 0.13 = 0.3055 MN Vs2= (0.3055 / 0.7 – 0.1719) + 0.4495 = 0.357 MN s2 = Av fs de /Vs2 XX.7.5.2 s2 = 0.0002 x 420 x 0.65 /0.357 = 0.153 m, pudiéndose colocar estribos a 0.15 m, en ese tramo En el tercer tramo de 1.026 m Vu = 0.52 – 0.13 x 2.676 = 0.1719 MN El promedio es: Vs3 = [(0.3035 + 0.1719) /2] / 0.7] – 0.1719 = 0.16767 MN s3 = Av fs de / Vs3 = 0.0002 x 420 x 0.65 / 0.16767 = 0.326 m, colocándose estribos a 0.32 m en este tramo En el cuarto tramo, como el concreto resiste el cortante se coloca el espaciamiento máximo que es de: de/2 = 0.65 / 2 = 0.325 m, se coloca a 0.32 m Se debe comprobar el espaciamiento mínimo y el máximo. El refuerzo se coloca simétricamente XVII.7.6.2 Ejemplo de diseño a cortante en vigas o columna reforzada sometidas a flexión y fuerza axial Diseñemos el refuerzo a cortante de una columna de 0.35 m x 0.35 m que está sometida a las siguientes solicitaciones Pu = 0.70 MN, Mu = 0.005 MN-m y Vu = 0.04 MN fc’ = 28 MPa fy = 420 MPa Solución:

156

Como la columna está sometida a carga de compresión axial, se puede utilizar la siguiente fórmula para conocer el cortante que toma el concreto: Vc = [ 1 + Nu/ 14 Ag] (0.17 fc’ ) bw de XVII.5.1.2 Nu / Ag en MPa XX.5 .1...3 Sustituyendo valores Vc = 0.13 MN Como Vc / 2 = 0.7 x 0.13 /2 = 0.045 MN > Vu = 0.04 MN, no se necesita refuerzo a cortante, si Vu > Vc / 2, entonces se calcularía igual que una viga normal, considerando Vc el obtenido por XXVII.5 1.2 XVII.7.7.2 EJEMPLO. Diseño de una sección sometida a cortante Diseñar el refuerzo a cortante necesario para una viga de 10 m de longitud con un peralto efectivo de 0.5 m y una b = 0.3 m, sometida a un cortante (Vu) de 0.3 MN desde una distancia (de) del apoyo hasta el centro de la viga Concreto 21 MPa Acero 420 MPa  = 0.75 Solución Resistencia del Concreto a esfuerzo cortante Vc = (0.17  fc’) (bw de) = Sustituyendo valores Vc = 0.08592 MN A la distancia (de) del apoyo Vu > Vc, por lo cual hay que colocar refuerzo a cortante El cortante que tiene que resistir el acero es: Vu -  Vc = 0.3 – 0.08592 = 0.2141 MN Usando Av = 0.00025808 m^2 s(req) =  Av fym (de) / (Vu -  Vc) = 0.189 m XVII. 8 ESTRIBOS ADICIONALES EN VIGAS APOYADAS INDIRECTAMENTE SOBRE OTRAS VIGAS XVII.8.1 Cuando en construcciones monolíticas, una viga transfiere la reacción de su extremo a la cara de otra viga de la misma altura o mayor, deben colocarse estribos adicionales en la viga apoyada indirectamente según lo prescripto en XVII. 8. 2 cuando: a) Vu en la viga apoyada indirectamente excede [ √fc’ bw de / 4] en la cara donde se encuentran las dos vigas y b) hb es menor que la mitad de la altura total de la viga que provee el apoyo XVII.8.2 Los estribos adicionales que se coloquen en la viga apoyada indirectamente deben ser estribos cerrados de altura total, o ganchos suplementarios que provean una resistencia igual a: Ai fy ≥[1 – (hb / hs ) Vu XVII.8.2 donde  tiene el valor correspondiente para cortante y Vu es la fuerza cortante en la viga apoyada indirectamente en la cara donde se encuentran las dos vigas. El área de refuerzo Ai correspondientes a los estribos adicionales debe colocarse además del refuerzo transversal necesario para cortante y torsión y debe deben estar bien anclados XVII.8.3 Por lo menos dos tercios de Ai deben colocarse dentro de la viga que da apoyo y deben estar tan cerca de la cara donde se encuentran las dos vigas, como lo permitan los requisitos de recubrimiento. Estos estribos se deben colocar dentro de una distancia medida a lo largo del eje longitudinal de la viga que da apoyo, por una distancia menor o igual al ancho de la viga apoyada más una distancia hb a cada lado. En el cálculo de los tercios de Ai sólo se toman en cuenta las ramas de los estribos que están localizadas cerca de la cara donde se apoya la viga indirectamente XVII.8.4 No más de un tercio de Ai debe colocarse como estribos dentro de la viga apoyada dentro de una distancia igual a de/4 medida a lo largo del eje de la viga apoyada, a partir de la cara de la viga que da apoyo XVII.8.5 El refuerzo longitudinal inferior de la viga apoyada debe localizarse por encima del refuerzo longitudinal inferior de la viga que da apoyo

157

estribos adicionales o

o acero principal de viga principal

acero longitudinal viga secundaria

viga principal viga secundaria

estribos adicionales

XVII. 9.ELEMENTOS CON REFUERZO DE PERFILES Los ensayos han demostrado que los elementos de Concreto reforzado a flexión con armadura rígida y ordinaria, el agotamiento por cortante se comporta de igual forma que los elementos reforzados con armaduras ordinarias. Antes del agotamiento, las fisuras inclinadas tienen un valor apreciable, lo que indica que las armaduras transversales y el alma del perfil se hallan en estado fluidez y la zona comprimida del concreto falla a causa de la acción conjunta de la compresión y de la fuerza cortante. Es también posible el fallo del Concreto por los esfuerzos principales de compresión. La resistencia a cortante se verifica con la siguiente expresión, considerando que la grieta forme un ángulo de 45 grados con la horizontal Vu   [Vwr + Vc + H bp fsdr (h – d1)/d] XVII. 9.1 Vwr – cortante asumido por el refuerzo a cortante fsdr – esfuerzo a cortante del perfil de-peralto efectivo de la sección medida desde el borde comprimido hasta la resultante de la fuerza de tracción de la armadura rígida

de H

h d1

XVII.10. ELEMENTOS CON ALTURA VARIABLE Como es conocido, el promedio del esfuerzo cortante entre dos grietas es v = Vu / bw j de, que se puede simplificar en v = Vu / bw de Si el peralto de la viga varía como se muestra en la siguiente figura: 158

M2 > M1

Las componentes de C y T debido a la flexión tienen componentes verticales C

γc

C tan γc jde

C’ Vr’ j’ de

Vr T tan γt

γt T’

En la figura anterior el momento M1, puede representarse en dos fuerzas horizontales C y T, separada por el brazo j de. La fuerza a tracción T actúa paralela al centroide del refuerzo y tiene una componente vertical T tan γt, donde γt, es el ángulo entre las fuerzas de tracción y la horizontal. Igualmente sucede con la fuerza de compresión C, que tiene C tan γc La fuerza de cortante Vu, entre los extremos es: Vu = Vr + C tan γc + T tan γt XVII. 10.1 donde Vr es el cortante reducido, el cual debe ser resistido por los estribos y el concreto sustituyendo C = T = M / jde y teniendo γ = γc + γ t Vr = Vu - [Mu tan γ] / j de XVII. 10.2 Mu es el momento absoluto γ – es positivo si el brazo j de aumenta en la dirección que Mu aumente entonces v = Vr / bw de

XVII. 10.3

XVII.11 PROBLEMAS PROPUESTOS XVII.11.1 Que dirección toman las grietas en una combinación crítica de esfuerzos de flexión y cortante? XVII.11.2 Que se produce si no se proporciona suficiente refuerzo en el alma del elemento y en que partes de los elementos se producen? XVII.11.3 Que ancho bw se debe considerar si el elemento no es constante en su altura? XVII.11.4 Que fórmulas se deben utilizar para hallar Vn? XVII.11.5 Que fórmulas se deben utilizar para hallar Vc, en elementos sometidos a cortante y flexión? XVII.11.6 Que fórmulas se deben utilizar para hallar Vc, si están sometidos a compresión axial? XVII.11.7 Cual es refuerzo mínimo para cortante y su máximo espaciamiento? XVII.11.8 Cuales son las fórmulas para calcular el refuerzo a cortante? XVII.11.9 Diseño a cortante en vigas reforzada sometidas a flexión Sea una viga de 10m de luz libre, que tiene que soportar una carga mayorada (incluyendo su propio peso) de 0.14 MN/m. La sección de la viga es bw = 0.35 m, de = 0.70 m, h = 0.75 tiene 7 barras No. 8 como refuerzo longitudinal. fy = 420 MPa fc’= 28 MPa Diseñar el refuerzo a cortante si es necesario XVII.11.10 Diseño a cortante en vigas o columnas reforzadas sometidas a flexión y fuerza axial Diseñemos el refuerzo a cortante de una columna de 0.4 m x 0.4 m que está sometida a las siguientes solicitaciones Pu = 0.80 MN, Mu = 0.004 MN-m y Vu = 0.05 MN fc’ 28 MPa fy = 420 MPa XVII.11.11Diseñar el refuerzo a cortante de la viga del EJEMPLO XX.7.7.1 La carga mayorada incluyendo carga muerta, viva y peso propio es 0.08 MN/m y la luz libre es 12 m

159

CAPÍTULO XVIII (C.11.5) TORSIÓN INTRODUCCIÓN El diseño para Torsión según el Reglamento se basa en la analogía de una cercha espacial para un tubo de pared delgada, o sea, se considera que el elemento sólido se sustituye por un tubo con un espesor t, en el cual se desprecia el núcleo de concreto de la sección transversal del elemento 160

Línea media de la pared Núcleo que se desprecia t

Cuando el elemento de concreto reforzado se agrieta debido a la torsión, su resistencia torsional es provista por los estribos cerrados y las barras longitudinales ubicadas cerca de la superficie del elemento En la analogía del tubo de pared delgada se supone que la resistencia es proporcionada por la capa exterior de la sección transversal centrada aproximadamente en los estribos cerrados Se considera como flujo de cortante por torsión (q) en un tubo cerrado de paredes delgadas, al producto del esfuerzo cortante (τ) y el espesor (t), o sea, q = τ t, este flujo es constante en todos los puntos alrededor del perímetro y su trayectoria se extiende alrededor del tubo a mitad del espesor del tubo En cualquier punto a lo largo del perímetro del tubo, el esfuerzo cortante debido a torsión es: τ = T / (2 Ao t) La trayectoria del flujo de cortante sigue el plano medio de las paredes del tubo y Ao es el área encerrada por el plano medio de las paredes del tubo. En un elemento hueco con paredes continuas. Ao incluye el área del hueco. Un elemento hueco se define como aquel que posee uno o más vacíos longitudinales, como viga cajón de celda simple o múltiple. Los vacíos longitudinales pequeños, como ductos de postesado no inyectados que resultan con una relación Ag / Acp mayor o igual a 0.95 pueden ser ignorados La interacción entre la fisuración por torsión y la fisuración por cortante para secciones huecas se supone que varía desde una relación elíptica para elementos con vacíos pequeños hasta una relación lineal para secciones de paredes delgadas con grandes vacíos. Para interacción lineal, un torque de 0.25 Tcr provoca un reducción en el cortante por agrietamiento inclinado de alrededor del 25% Tcr- momento torsor de fisuración En los elementos lineales de concreto estructural sometidos a Torsión (Torsión Pura o Torsión combinada con Flexión) con esfuerzos normales y cortantes, conviene distinguir: -Los casos en los que la torsión sea una solicitación secundaria porque no sea necesaria para el equilibrio y las deformaciones angulares estén limitadas por disposiciones de la obra (Ej.: la viga extrema de apoyo de una losa) -Los casos en los que la torsión sea una solicitación importante necesaria para el equilibrio (Ej.: la viga de apoyo de una placa volada de gran luz) XVIII.1. TORSIÓN COMO SOLICITACIÓN SECUNDARIA Para elementos reforzados, resistiendo solamente momento de torsión, el esfuerzo principal de tracción es igual al esfuerzo cortante por torsión, τ = T / (2 Ao t). La fisuración se produce cuando τ, es igual a (√fc’ /3) [4√fc’ en psi], por lo cual el momento torsor de fisuración es: Tcr = (√fc’ /3) [Acp^2 / Pcp] XVIII.1.1 Se permite no considerar los efectos del momento torsor cuando el Momento Torsor de cálculo (Tu) es menor que (C11.5.1): A) Para elementos sólidos reforzados: Tu <  (fc’ / 12) [(Acp) ^2 / Pcp] XVIII.1.1 B) Para elementos sólidos reforzados sometidos a tracción axial o compresión axial: Tu <  (fc’ / 12) [(Acp) ^2 / Pcp] [(1 + [3Nu / (Ag fc’)] XVIII.1.2 Nu se toma negativo cuando la fuerza axial es de tracción En elementos construidos monolíticamente con una losa, el ancho sobresaliente del ala para calcular Acp y Pcp debe cumplirse lo siguiente: 161

Tu debe estar expresada en unidades consistentes de fuerza por longitud Acp- área limitada por perímetro exterior de la sección de concreto. Para elementos fundidos monolíticamente con la placa, la zona a considerar de la placa para Acp y Pcp debe ser según lo siguiente:

hw < 4 hf

hw + 2h < bw + 8hf

hf hw hw

b = bw

Pcp-perímetro exterior de la sección del elemento Para una sección hueca, se debe utilizar Ag en lugar de Acp y en los límites externos de la sección deben cumplir con lo expresado anteriormente para elementos fundidos monolíticamente Para elementos aislados con alas y para elementos construidos monolíticamente con una losa, el ancho sobresaliente del ala utilizado para calcular Acp y Pcp debe cumplir con la figura anterior, excepto que las alas sobresalientes puede despreciarse cuando el parámetro Acp^2 calculado para una viga con alas es menor al calculado para la misma viga ignorando las alas XVIII.2. CÁLCULO DEL MOMENTO TORSOR MAYORADO (Tu) (C.11.5.2) La determinación de la torsión mayorada Tu debe realizarse de acuerdo con lo establecido en las siguientes secciones: XVIII.2 .1 Si el momento torsor actuante es mayor que el mínimo indicado en XVIII.1.1 anteriormente, la sección debe ser diseñada para ese momento torsor XVIII.2 2 En una estructura estáticamente indeterminada, cuando pueda ocurrir una reducción de la torsión mayorada debida a la redistribución interna de fuerzas al ocurrir la fisuración, se permite reducir el máximo Momento Torsor (Tu) a los valores dados en a,b,c según corresponda a) Para elementos sólidos reforzados Tu =  (fc’/3)[Acp^2 / Pcp]

XVIII.2 2.1

b) Para elementos sometidos a carga axial de compresión o tracción Tu =  (fc’/3) [(Acp) ^2 / Pcp]  [1 + (3 Nu / [ Ag fc’)] XVIII.2 2.3 En los casos a) b) , los momentos de flexión y las fuerzas cortantes redistribuidas a los elementos adecentes deben utilizarse en el diseño de estos elementos. Para secciones huecas, Acp no debe ser reemplazado por Ag en XVIII.2 2 A menos que se determine por medio de un análisis más exacto, se permite tomar la torsión proveniente de una losa, como una torsión uniformemente distribuida a lo largo del elemento Para elementos reforzados: La sección localizada a una distancia menor que (de) desde la cara del soporte debe ser diseñada para el torsor Tu a esa distancia (de). Si existe un momento torsor concentrado en esa distancia, la sección crítica debe ser la cara del soporte XVIII.3 RESISTENCIA AL MOMENTO TORSOR

(C.11.5.3)

Las dimensiones de una sección transversal se limitan por las siguientes razones La resistencia a torsión debe calcularse siguiendo los requisitos siguientes: 1) Para reducir la fisuración imperceptible 162

2) Para prevenir el aplastamiento de la superficie del concreto debido al esfuerzo inclinado de compresión producido por el cortante y la torsión XVIII.3.1 DIMENSIONES DE LA SECCIÓN Las dimensiones de la sección deben ser tales, que se cumplan las siguientes relaciones: a) Para secciones sólidas b) {[Vu / bw de] ^2 + [(Tu ph /1.7 (Aoh) ^2] ^2}   [ (Vc / bw de) + 2fc’ / 3] XVIII.3.1.1 (C.11-18) ph – perímetro definido por el centro del refuerzo transversal para torsión que se encuentra más afuera en la sección del concreto c) Para elementos huecos : d) {(Vu / bw de) + (Tu ph / 1.7 (Aoh) ^2}   [(Vc /bw de) + 2fc’ /3] XVIII.3.1.2(C.11-19) En las ecuaciones anteriores, los dos términos en el lado izquierdo corresponden a los esfuerzos cortantes debidos a cortante y torsión. La suma de estos esfuerzos no puede ser mayor que el esfuerzo que produce la fisuración por cortante más 2√fc’ / 3, similar a la resistencia límite para cortante sin torsión, y se puede utilizar para Concreto Presforzado y sin presfuerzo. No es necesario verificar el aplastamiento del alma dado que se produce con esfuerzos muchos mayores Si el espesor de la pared varía alrededor del perímetro, la anterior ecuación (XVIII.3.1.2) debe ser determinada cuando la parte izquierda de la ecuación es un máximo Si el grueso de la pared de una sección hueca es menor que (Aoh/ ph) el segundo término de la ecuación (XVIII.3.1.2) debe ser tomado como: Tu / 1.7 Aoh t Vu-fuerza cortante de cálculo bw-ancho del alma o diámetro de una sección circular Aoh-área encerrada por la línea central del refuerzo transversal exterior Vc-cortante resistente de la sección de concreto t-espesor de la pared de las secciones huecas En una sección hueca, los esfuerzos cortantes debidos a cortante y a torsión se producen en las paredes del cajón como se muestra en la siguiente figura a), y por lo tanto se pueden sumar directamente en el punto A como se hace en la ecuación XVIII.3.1.2 En una sección sólida los esfuerzos cortante debidos a torsión actúan en la sección “tubular” exterior, mientras que los esfuerzos cortantes debidos a Vu se reparten a través del ancho de la sección como se

C Esfuerzos Torsionales

C Esfuerzos de Corte

Esfuerzos Torsionales

Esfuerzos de Corte

a) Sección Hueca b) Sección Sólida muestra en la figura b). Por esta razón los esfuerzos se combinan en la ecuación XXI.3.1.1, utilizando la raíz cuadrada de la suma se los cuadrados en vez de la suma directa XVIII.4. REFUERZO NECESARIO A TORSIÓN La resistencia nominal a la fluencia del acero no presforzado fy y fyt no debe exceder de 420 MPa 163

Cuando Tu excede la torsión crítica, el diseño de la sección debe basarse en: Tn  Tu XVIII.4.1 (C.11-20) Para el cálculo de Tn se supone que todo el torque es resistido por los estribos y el refuerzo longitudinal con Tc = 0. Pero la resistencia nominal a cortante del concreto Vc se supone que no cambia por la presencia de torsión Tn se obtiene por medio de: Tn = 2Ao At fyt cot / s XVIII.4.2 (C.11-21) Ao-área bruta encerrada por el flujo del cortante, debe determinarse por análisis, excepto que se permite tomar Ao igual a 0.85 Aoh At-área de una pata del estribo a torsión dentro una distancia (s) fyt-resistencia de cálculo del refuerzo a torsión -ángulo de la diagonal a compresión en el análisis de armadura para torsión s-espaciamiento del refuerzo transversal  debe ser tomado no menor de 30 grados y no mayor de 60 grados. Puede permitirse tomar  igual a: 45 grados para elementos no Presforzado para elementos con un Presforzado menor que 40% de la resistencia del refuerzo longitudinal y 37.5 grados para elementos presforzados con una fuerza igual o mayor de 40% de la fuerzo total del refuerzo longitudinal El refuerzo longitudinal adicional para torsión no debe ser menor que: Al = [At ph (fy/fyl) (cot) ^2] / s

XVIII.4.3 (C.11.-22)

El refuerzo necesario para torsión debe ser adicionado al necesario para flexión, cortante y fuerza axial El refuerzo total de estribos es: [(Av + At) / s] = Av/2 + 2At / s XVIII.4.4 Av-área del refuerzo transversal para cortante dentro de una distancia (s) At-área de una pata del estribo a torsión Después del fisuramiento del concreto por torsión, la resistencia torsional proviene principalmente de los estribos cerrados, el refuerzo longitudinal y las diagonales de compresión. El concreto fuera de esos estribos es inefectivo. El área encerrada Ao por la trayectoria del flujo de cortante alrededor del perímetro del tubo, se define después del agrietamiento en términos Aoh el área encerrada por el eje del refuerzo transversal exterior por torsión En las siguientes figuras se muestra Aoh, que es el área rayada Aoh

164

XVIII.5. REDUCCIÓN DEL REFUEZO LONGITUDINAL Se permite reducir el área del refuerzo longitudinal a torsión en la zona comprimida a flexión en una cantidad igual a Mu / 0.9 de fyl Mu-momento de cálculo actuando en la sección en combinación a Tu fyl-resistencia de cálculo del refuerzo longitudinal a torsión El refuerzo longitudinal por flexión y torsión se deben determinar separadamente En la zona de tracción por flexión, el refuerzo longitudinal de torsión debe sumarse al de flexión En la zona de compresión a flexión, si la fuerza de tracción debido a la torsión es menor que la compresión en el concreto debido a la flexión, no es necesario colocar refuerzo longitudinal adicional. XVIII.6 DETALLES DEL REFUERZO PARA TORSIÓN El refuerzo para torsión debe cumplir los siguientes requisitos: 1) El refuerzo debe consistir en refuerzo longitudinal en barras o tendones y uno o más de los siguientes tipos de refuerzo a) Estribos cerrados colocados perpendicularmente al eje del elemento, o b) Una caja cerrada de malla electro soldada con los alambres transversales colocados perpendicularmente al eje neutro, o c) En vigas no presforzadas, refuerzo en espiral 2) El refuerzo transversal debe anclarse utilizando uno de los siguientes procedimientos: a) Un gancho de 135 grados alrededor del refuerzo longitudinal, o b) En las regiones donde el Concreto que rodea el anclaje estar restringido contra descascara miento por medio de un ala de la sección o losa, siguiendo los requisitos del Capítulo Desarrollo y Empalmes del Refuerzo 3) El refuerzo longitudinal para torsión debe desarrollar adecuadamente su resistencia a tracción en sus dos extremos 4) En las secciones huecas sometidas a torsión, la distancia medida desde el centro del refuerzo transversal hasta la cara interna de la pared no debe ser menor que 0.5 Aoh / pb pb- perímetro definido por el centro del refuerzo transversal para torsión que se encuentra más afuera en la sección del concreto XVIII.7 REFUERZO MÍNIMO PARA TORSIÓN (C11.5.5) Deben cumplirse las siguientes cantidades Una cantidad mínima de refuerzo debe ser provista en las regiones donde Tu excede los casos donde se puede no considerar Tu Donde el refuerzo a torsión es requerido, el área mínima del refuerzo transversal debe ser calculado con: (Av + 2At) = fc’ bw s / fyv / 16 ≥ bw s / 3 fys XVIII.7.1 (C.11-23) Donde el refuerzo a torsión es requerido, el área mínima del refuerzo longitudinal debe ser calculado con: Almin = [5 fc’ Acp] / 12 fyl] – At pb fys / s fyl XVIII.7.2 (C.11-24) Donde Atmin /s no debe ser tomado menor cero y At / s debe corresponder a la cantidad calculada del refuerzo por medio de la ecuación Tn = 2Ao At fyv cot / s XVIII.3.2.2, pero no menor que (bw / 6 fyv) fyv- Resistencia en el límite elástico del acero de los estribos cerrados XVIII.8 ESPACIAMIENTO DEL REFUERZO A TORSIÓN (C.11.6.6) 165

El espaciamiento del refuerzo para torsión debe cumplir los siguientes requisitos: a) El espaciamiento del refuerzo transversal para torsión no debe exceder el mayor pb / 8, ni 300 mm b) El refuerzo longitudinal requerido para torsión debe distribuirse alrededor del perímetro de los estribos cerrados, con una máxima separación entre barras de 300 mm Las barras longitudinales, o tendones de presfuerzo, deben colocarse por dentro de los estribos. Debe haber al menos una barra longitudinal, o tendón, en cada esquina del estribo. Las barras deben tener un diámetro por lo menos igual a 1/24 del espaciamiento entre estribos, pero no puede ser menores de barras No. 3 (3/8”) ó 10 M (10 mm) c) El refuerzo de torsión, tanto longitudinal como transversal. debe llevarse por una distancia al menos igual a (bt + de) más allá del punto donde ya no se necesite teóricamente bt – ancho de aquella parte de la sección transversal del elemento que contiene los estribos cerrados que resisten a torsión XVIII.9 PASOS A SEGUIR PARA EL CÁLCULO A TORSIÓN DE ELEMENTOS REFORZADOS 1- Se determina la sección crítica y se calcula Tu La sección crítica está: Para elementos no Presforzado a una distancia de la cara del apoyo Para elementos Presforzado a una distancia h/2 de la cara del apoyo 2 - Se comprueba si la torsión puede no ser considerada: Se permite no considerar los efectos del momento torsor cuando el Momento Torsor de cálculo (Tu) es menor que: A) Para elementos sólidos reforzados: Tu < (fc’ / 12) [(Acp) ^2 / Pcp] XVIII.1.1 B) Para elementos sólidos reforzados sometidos a tracción axial o compresión axial: Tu <  (fc’ / 12) [(Acp) ^2 / Pcp] [(1 + [3Nu / (Ag fc’)] XVIII.1.2 Nu se toma negativo cuando la fuerza axial es de tracción En elementos construidos monolíticamente con una losa, el ancho sobresaliente del ala para calcular Acp y Pcp debe cumplirse lo siguiente: Tu debe estar expresada en unidades consistentes de fuerza por longitud Acp- área limitada por perímetro exterior de la sección de concreto. En una estructura estáticamente indeterminada, cuando pueda ocurrir una reducción de la torsión mayorada debida a la redistribución interna de fuerzas al ocurrir la fisuración, se permite reducir el máximo Momento Torsor (Tu) en unidades consistentes de la fuerza por longitud se permite reducirlo según: a) Para elementos sólidos Tu =  (fc’/3)[Acp^2 / Pcp] B) Para elementos sometidos a carga axial de compresión o tracción Tu =  (fc’/3) [(Acp) ^2 / Pcp]  [1 + (Nu / [14 Ag fc’/6)] 4- Se Comprueba que la sección es satisfactoria con: a) Para secciones sólidas [Vu / bw d]^2 + [(Tu ph /1.7 (Aoh) ^2] ^2   [ (Vc / bw d) + 2fc’ / 3] b) Para elementos huecos: {(Vu / bw de) + (Tu ph / 1.7 (Aoh) ^2}   [(Vc /bw de) + 2fc’ /3] Si el espesor de la pared varía alrededor del perímetro, la anterior ecuación debe ser determinada cuando la parte izquierda de la ecuación es un máximo Si el grueso de la pared de una sección hueca es menor que (Aoh/ ph) el segundo término de la ecuación (XXI.3.1.2) debe ser tomado como: Tu / 1.7 Aoh t 166

4 - Se selecciona el refuerzo transversal necesario con Tn  Tu Tn = 2Ao At fyv cot / s XVIII.4.2 El refuerzo necesario para torsión debe ser adicionado al necesario para flexión, cortante y fuerza axial El refuerzo total de estribos es: [(Av + At) / s] = Av/2 + 2At / s XVIII.4.3 5 - Se selecciona el refuerzo longitudinal necesario con: El refuerzo longitudinal adicional para torsión no debe ser menor que: Al = [At ph (fyv/fyl) (cot) ^2] / s El refuerzo necesario para torsión debe ser adicionado al necesario para flexión, cortante y fuerza axial El refuerzo longitudinal adicional para torsión no debe ser menor que: Al = [At ph (fyv/fyl) (cot) ^2] / s El refuerzo necesario para torsión debe ser adicionado al necesario para flexión, cortante y fuerza axial 6- Se comprueba si se puede reducir el refuerzo longitudinal Se permite reducir el área del refuerzo longitudinal a torsión en la zona comprimida a flexión en una cantidad igual a Mu / 0.9 de fyl Mu-momento de cálculo actuando en la sección en combinación a Tu fyl- resistencia de cálculo del refuerzo longitudinal a torsión El refuerzo longitudinal por flexión y torsión se deben determinar separadamente En la zona de tracción por flexión, el refuerzo longitudinal de torsión debe sumarse al de flexión En la zona de compresión a flexión, si la fuerza de tracción debido a la torsión es menor que la compresión en el Concreto debido a la flexión, no es necesario colocar refuerzo longitudinal adicional. 7- Se comprueba el refuerzo mínimo Deben cumplirse las siguientes cantidades de refuerzo mínimo Una cantidad mínima de refuerzo debe ser provista en las regiones donde Tu excede los casos donde se puede no considerar Tu Donde el refuerzo a torsión es requerido, el área mínima del refuerzo transversal debe ser calculado con: (Av + 2At) = fc’ bw s / fyv / 16 ≥ bw s / 3 fys XVIII.7.1 Donde el refuerzo a torsión es requerido, la mínima área del refuerzo longitudinal debe ser calculado con: Almin = [5 fc’ Acp] / 12 fyl] – At pb fys / s fyl XVIII.7.2 Donde Atmin /s no debe ser tomado menor cero y At / s debe corresponder a la cantidad calculada del refuerzo por medio de la ecuación Tn = 2Ao At fyv cot / s XVIII.3.2.2, pero no menor que (bw / 6 fyv) 8- Se comprueba el espaciamiento del refuerzo El espaciamiento del refuerzo para torsión debe cumplir los siguientes requisitos: - El espaciamiento del refuerzo transversal para torsión no debe exceder el mayor pb / 8, ni 300 mm -El refuerzo longitudinal requerido para torsión debe distribuirse alrededor del perímetro de los estribos cerrados, con una máxima separación entre barras de 300 mm Las barras longitudinales, o tendones de presfuerzo, deben colocarse por dentro de los estribos. Debe haber al menos una barra longitudinal, o tendón, en cada esquina del estribo. Las barras deben tener un diámetro por lo menos igual a 1/24 del espaciamiento entre estribos, pero no puede ser menores de barras No. 3 (3/8”) ó 10 M (10 mm) 167

-El refuerzo de torsión, tanto longitudinal como transversal. debe llevarse por una distancia al menos igual a (bt + de) más allá del punto donde ya no se necesite teóricamente XVIII.10.1 Ejemplo de viga sometida a momento torsor Consideremos que la viga del Ejemplo XVII.7.7.2 está también sometida a un momento torsor de: Tu = 0.06 MN-m Consideremos el recubrimiento de los estribos igual a 0.02 m. Calcular el espaciamiento de los estribos combinados para los dos efectos Ao = 0.85 Aoh = 0.85 x (0.3 – 0.02) (0.5 – 0.02) = 0.11424 m^2 Utilizando  = 45 grados (At /s) = Tu / 2  Ao fyv cot 45 = 0.06 / 2 x 0.75 x 420 x 1.0 = 0.000095238 m^2 /m (As / s) = (Vu -  Vc) / fyv (de) = 0.2141 / 420 x 0.5 = 0.001019524 Determinemos el espaciamiento combinado (At/s) + (As/2s) = 0.000095238 + 0.00025808/2 = 0.0010778 m^2 / m Usando estribos de área igual a 0.0002508 m^2 s = 0.0002508/0.0010778 = 0.23 m Debe chequearse el máximo y el mínimo espaciamiento de los estribos XVIII.10B EJEMPLO de diseño a torsión en vigas reforzada sin refuerzo Presforzado sometidas a flexión Sea la viga del Ejemplo XVII.7.6.1que además tiene que soportar un momento torsor uniforme de Tu = 0.008 MN/m fy = 420 MPa fc’ 28 MPa bw = 0.3 m, de = 0.65 m, h = 0.70 m Momento torsor de Tu = 0.008 MN/m

Diseñe el refuerzo transversal para el primer tramo de 0.65 m 1- Se determina la sección crítica y se calcula Tu La sección crítica está: Para elementos no Presforzado a una distancia de la cara del apoyo Tu (en la cara del apoyo) = 0.0008 x 8 / 2 = 0.032 MN-m Tu(a una distancia (de) de la cara del apoyo) = 0.032 – 0.008 x 0.65 = 0.0268 MN-m Vu (a una distancia de la cara del apoyo) = 0.435 MN Vc = 0.1717 MN 2 - Se Comprueba si la torsión puede no ser considerada: Si se cumple lo siguiente la torsión no se considera A) Para elementos sólidos no pretensados: Tu < (fc’ / 12) [(Acp) ^2 / Pcp] XVIII.1.1 En nuestro caso la zona de la losa que hay que considerar para hallar Acp y Pcp, es la mostrada en la figura hw = 0.55 m bw = 0.30 m hw + 2h = 0.55 + 2 x 0.7 = 1.95 m hw + 2h < bw + 8hf bw + 8 hf = 0.3 + 8 x 0.15 = 1. 5 m hw + 2h > bw + 8 hf, se toma 1. 5 m Acp = ( bw + 8 hf ) hf + (h – hf) bw = hf h hw bw Acp = ( bw + 8 hf ) hf + (h – hf) bw = 0.39 m^2 Pcp = bw + 8 hf + 2 hf + 2 (h – hf) + bw = 3.2 m Tu = 0.0268 MN-m >  (fc’ / 12) [(Acp)^2 / Pcp] Se tiene que considerar el momento torsor

= 0.0157 MN-m

3- Se Comprueba que la sección es satisfactoria con: 168

a) Para secciones sólidas {[Vu / bw de]^2 + [(Tu ph /1.7 (Aoh)^2]^2}   [ (Vc / bw de) + 2fc’ / 3] XVIII.3.1.1 ph = 2 x 0.26 + 2 x 0.66 = 1.84 m Aoh = 0.26 x 0.66 = 0.1716 m^2 [0.435/ 0.3 x 0.65]^2 + [(0.0268 x 1.84 /1.7 (0.1716 ^2] ^2 = 2.2338 MN  [ (Vc / bw de) + 2fc’ / 3] = 0.75 [(0.1717/ 0.3 x 0.65) + 228 / 3] = 3.30 MN {[Vu / bw de] ^2 + [(Tu ph /1.7 (Aoh) ^2] ^2} <  [ (Vc / bw d) + 2fc’ / 3] Se cumple, la sección es satisfactoria 4 - Se selecciona el refuerzo transversal necesario con TN  Tu XVIII.4.1 Tu = 2Ao At fy cot  / s XVIII.4.2 Tu = 0.0268 MN Tu /  = 0.0268 / 0.75 = 0.03573 MN-m Aho = 0,85 Aho = 0.85 x 0.1716 = 0.14586 m^2 At = 0.0002 m^2 fy = 420 MPa Cot = 1.0 At = (Tu/) s / 2 Aho fy cot  At /s = (0.03573) / 2 x 0.14586 x 420 x 1.0 = 0.00029 m^2/ m en una pata El refuerzo para torsión es: Utilizando M10 con una pata 0.0001 m² s = 0.0001 / 0.00029 = 0.34 m Se coloca estribos M10 @ 0.30 m El refuerzo necesario para torsión debe ser adicionado al necesario para flexión, cortante y fuerza axial De la misma forma se realiza para los otros tramos Posteriormente se realizan los siguientes pasos (Los cuales no haremos en este EJEMPLO) 5 - Se selecciona el refuerzo longitudinal necesario con: El refuerzo longitudinal adicional para torsión no debe ser menor que: Al = [At ph (fyv/fyl) (cot) ^2] / s

XVIII...3

El refuerzo necesario para torsión debe ser adicionado al necesario para flexión, cortante y fuerza axial El refuerzo longitudinal adicional para torsión no debe ser menor que: Al = [At ph (fyv/fyl) (cot) ^2] / s

XVIII.3

El refuerzo necesario para torsión debe ser adicionado al necesario para flexión, cortante y fuerza axial 6- Se comprueba si se puede reducir el refuerzo longitudinal Se permite reducir el área del refuerzo longitudinal a torsión en la zona comprimida a flexión en una cantidad igual a Mu / 0.9 de fyl Mu-momento de cálculo actuando en la sección en combinación a Tu fyl-resistencia de cálculo del refuerzo longitudinal a torsión El refuerzo longitudinal por flexión y torsión se deben determinar separadamente En la zona de tracción por flexión, el refuerzo longitudinal de torsión debe sumarse al de flexión En la zona de compresión a flexión, si la fuerza de tracción debido a la torsión es menor que la compresión en el Concreto debido a la flexión, no es necesario colocar refuerzo longitudinal adicional. 7- Se comprueba el refuerzo mínimo

169

Deben cumplirse las siguientes cantidades de refuerzo mínimo Una cantidad mínima de refuerzo debe ser provista en las regiones donde Tu excede los casos donde se puede no considerar Tu Donde el refuerzo a torsión es requerido, el área mínima del refuerzo transversal debe ser calculado con: XVIII.7.1 Donde el refuerzo a torsión es requerido, la mínima área del refuerzo longitudinal debe ser calculado con: XVIII.7.2 Donde Atmin /s no debe ser tomado menor cero y At / s debe corresponder a la cantidad calculada del refuerzo por medio de la ecuación Tn = 2Ao At fyv cot / s XVIII.3.2.2, pero no menor que (bw / 6 fyv) 8- Se comprueba el espaciamiento del refuerzo El espaciamiento del refuerzo para torsión debe cumplir los siguientes requisitos: - El espaciamiento del refuerzo transversal para torsión no debe exceder el mayor pb / 8, ni 300 mm -El refuerzo longitudinal requerido para torsión debe distribuirse alrededor del perímetro de los estribos cerrados, con una máxima separación entre barras de 300 mm Las barras longitudinales, o tendones de presfuerzo, deben colocarse por dentro de los estribos. Debe haber al menos una barra longitudinal, o tendón, en cada esquina del estribo. Las barras deben tener un diámetro por lo menos igual a 1/24 del espaciamiento entre estribos, pero no puede ser menor de barras No. 3 (3/8”) ó 10 M (10 mm) -El refuerzo de torsión, tanto longitudinal como transversal. debe llevarse por una distancia al menos igual a (bt + de) más allá del punto donde ya no se necesite teóricamente

XVIII.11 PROBLEMAS PROPUESTOS XVIII.11.1 En que se basa el Reglamento para el diseño a torsión? XVIII.11.2 Cuando se permite no considerar el momento torsor? XVIII.11.3 Que deben cumplir las dimensiones de las secciones? XVIII.11.4 Como se calcula el refuerzo necesario a torsión? XVIII.11.5 Cual es refuerzo mínimo por torsión? XVIII.11.6 Que requisitos debe cumplir el espaciamientos del refuerzo? XVIII.11.7 Ejemplo de diseño a torsión en vigas reforzada sometida a flexión Sea la viga del EJEMPLO XX.7.6.1 que además tiene que soportar un momento torsor uniforme de Tu = 0.009 MN/m fy = 420 MPa fc’= 28 MPa bw = 0.3 m, de = 0.65 m, h = 0.70 m

170

CAPÍTULO XIX (C.11.6) CORTANTE POR FRICCIÓN XIX.1 REFUERZO PERPENDICULAR AL PLANO DE CORTANTE Las disposiciones de este Capítulo se aplican cuando es adecuado considerar la transmisión del cortante a través de un plano dado, tal como una fisura existente o potencial, una superficie de contacto entre distintos materiales, o una superficie de contacto entre dos hormigones colocados en diferentes momentos Debe considerarse que se presenta una fisura a lo largo del plano de cortante considerado. El área requerida de refuerzo de cortante por fricción Asf, a través del plano de cortante debe diseñarse aplicando lo indicado a continuación o cualquier otro método de diseño de transferencia de cortante concordante con los resultados de ensayos experimentales representativos Cuando el refuerzo de cortante por fricción es perpendicular al plano de cortante, la resistencia nominal de cortante se debe calcular utilizando: Vn = Avf fy μ XIX.1.1 (C.11-25) Vn – esfuerzo resistente nominal a cortante Avf – área del refuerzo de cortante por fricción μ – Coeficiente de fricción (según la Tabla) fy ≤ 420 MPa  1.4

Forma de la superficie Concreto colocado monolíticamente Concreto colocado contra concreto endurecido con una superficie intencionalmente rugosa Concreto colocado contra concreto endurecido sin que su superficie se haya hecho rugosa intencionalmente Concreto anclado a perfiles estructurales de acero por medio de barras de refuerzo o por medios de pernos

1.0

0.6

0.7

 = 1.0 para concreto normal  = 0.85 para Concreto ligero de arena  = 0.75 para otros hormigones ligeros Debe cumplirse que:

Vu   Vn

XIV.1.2

Vu – cortante último de fricción Vn - cortante nominal de fricción  = 0.75 XIX.2 REFUERZO INCLINADO AL PLANO DE CORTANTE Cuando el refuerzo de cortante por fricción está inclinado con respecto al plano de cortante, de tal manera que se produzca tracción en el refuerzo por cortante por fricción, la resistencia de cortante nominal se calcula utilizando Vn = Avf fy ( sen f + cos f) XIX.2.1 (C.11-26) Avf- área del refuerzo a cortante de fricción (m^2) fy- resistencia del refuerzo fy  420 MPa -- Coeficiente de fricción f- ángulo formado entre el plano de aplicación del cortante y la dirección del refuerzo

171

f

refuerzo Para hormigón de peso normal, ya sea colocado monolíticamente o colocado contra concreto endurecido con una superficie intencionalmente rugosa, Vn no debe exceder al menor de: - 0.2 fc’ Ac XIX.2.2 -( 3.3 + 0.08 fc’) Ac XIX.2.3 - 11 Ac XIX.2.4 donde Ac es el área de la sección del concreto que resiste la transferencia de cortante en mm^2 y 3.3 y 11 están en MPa Para todos los demás casos, Vn no debe exceder al menor de 0.2fc’ Ac ó 5.5 Ac (5.5 en MPa) Si se coloca concreto de menor resistencia contra un Concreto de mayor resistencia, el valor de fc’ debe ser el fc’ para el concreto de más baja resistencia La tracción neta directa a través de la grieta supuesta debe ser resistida por refuerzo adicional. La compresión neta permanente a través del plano de cortante puede adicionarse a la fuerza en el refuerzo de cortante por fricción (Avf fy), cuando se calcule el área de refuerzo requerida, Avf El refuerzo a cortante por fricción debe distribuirse a través de la supuesta grieta y anclarse adecuadamente en ambos lados por medios de anclajes, ganchos o soldaduras a dispositivos especiales, para desarrollar fy  La superficie de contacto para transferencia de cortante debe estar limpia y libre de lechada. Si  se supone igual a 1.0, la superficie de contacto debe tener rugosidades hechas intencionalmente con amplitudes de 6 mm aproximadamente  Cuando el cortante se transfiere entre concreto y acero laminado, utilizando pernos o barras de refuerzo, el refuerzo debe estar limpio y libre de pintura XIX.3 EJEMPLO Diseño de anclaje por fricción Diseñar los anclajes por fricción de una plancha de acero de 6 cm x 12 cm x 0.6 cm que está sometida a un cortante (Vu) de 0.02 MN fc’ = 35 MPa fy =420 MPa SOLUCIÓN Vu   (Avf fy ) De la Tabla  = 0.7 Avf = Vu / fy   = 0.02 / (420 x 0.7 x 0.75) = 0.00009 m^2 = 0.90 cm^2 Usando 2 - No 3 = 1.41 cm^2 Comprobemos el máximo cortante por fricción permitido Ac = 0.06 x 0.12 = 0.0072 m^2 Vn = 0.2 fc’ Ac = 0.2 x 35 x 0.0072 = 0.05 MN o Vn = 5.5 Ac = 5.5 x 0.0072 = 0.0392 MN Por lo tanto Vn(max) = 0.0392 MN > Vn = Vu /  = 0.02 / 0.75 = 0.027 MN Vn(max) > Vn XIX.4 PROBLEMAS PROPUESTOS XIX.4.1 Cuando es posible aplicar las disposiciones de este capítulo? XIX.4.2 Que fórmula debe aplicarse cuando el refuerzo de cortante por fricción es perpendicular al plano de cortante? XIX.4.3 Como se calcula el refuerzo de cortante por fricción está inclinado con respecto al plano de cortante, de tal manera que se produzca tracción en el refuerzo por cortante por fricción? XIX.4.4 Que valor no debe exceder Vn, para hormigón de peso normal? XIX.4.5 Diseñar los anclajes por fricción de una plancha de acero de 10 cm x 12 cm x 0.8 cm que está sometida a un cortante (Vu) de 0.05 MN fc’ = 35 MPa fy = 420MPa 172

CAPÍTULO XX (C.10.7) VIGAS DE GRAN ALTURA SOMETIDAS A FLEXIÓN

INTRODUCCIÓN

173

Las vigas de gran altura que trabajan a flexión y que la relación luz-altura es: (ln / h) < 4 o regiones con cargas concentradas dentro de una distancia 2h de la cara del apoyo, cargados en su parte superior o cara de compresión y con sus apoyos en la parte inferior, de tal manera que se puedan formar bielas de compresión entre las carga y sus apoyos El Reglamente indica que las vigas-pared deben ser diseñadas considerando la distribución no lineal de las deformaciones unitarias o utilizando el método de Modelos Puntal – Tensor del Apéndice C-A, que veremos posteriormente Losas (placas) de pisos sometidas a cargas horizontales, muros bajo cargas verticales, vigas de luz pequeñas sometidas a grandes cargas, etc., son ejemplos de ese tipo de estructuras. En estos elementos no se puede realizar un análisis lineal. La distribución de las deformaciones unitarias no son lineales y la deformación por cortante que se desprecian en las vigas normales, en estos elementos tienen un valor importante, por lo cual no se puede aplicar el método de vigas normales lu / de > 4 La distribución aproximada de los esfuerzos en el centro de la luz de estos tipos de vigas se puede considerar como muestra la siguiente figura P

C ≈ 0.72 h de z ≈ 0.66 h

a P/2

P/2 ln

XX. 1 DISEÑO A CORTANTE (C.11.7.3) El valor de Vn para las vigas altas no debe exceder Vn ≤ 0.83 √fc’ bw de

XX.1.1

XX.2 Elementos simplemente apoyados El diseño a cortante para elementos simplemente apoyados debe basarse en las ecuaciones ya conocidas: Vu ≤  Vn Vn = Vc + Vs XX.2.1 El área de refuerzo para cortante perpendicular al refuerzo de tracción por flexión, Av, no debe ser menor de: Av = 0.0025 bw s1, XX.2.2 y s1 no debe exceder de d/ 5 ó 300 mm Vu-cortante último Vc-cortante resistido por el concreto Vs-cortante resistido por el refuerzo El área de refuerzo para cortante paralelo al refuerzo por tracción, Avh, no debe ser menor de: Avh = 0.0015 bw s2 XX.2.3 y s2 no debe exceder el menor de (de / 5) ó 300 mm XX.3 Elementos continuos El diseño de elementos continuos debe basarse en los requisitos XX..3 a XX.7, sustituyendo XX.4 por XX. 3 SECCIÓN CRÍTICA o por métodos que cumplan el principio de equilibrio y los requisitos de resistencia. En cualquier caso el diseño debe cumplir con XX. 2, además el área de refuerzo a cortante Av no debe ser menor de 0.0015 bw s, ni s puede exceder (de/5), ni 500 mm, el área de refuerzo horizontal a cortante Avh no debe ser menor de 0.0025 bw s2, ni s2 puede exceder (de / 3) ni 500 mm 174

XX. 3 SECCIÓN CRÍTICA La sección crítica para cortante medida desde la cara del apoyo se debe tomar para una distancia de (0.15 ln) para vigas uniformemente cargadas y de 0.50 a para vigas con cargas concentradas, pero no mayor de (de) a- luz de cortante, distancia entre una carga concentrada y la cara del apoyo XX. 4 VALOR DEL CORTANTE RESISTIDO POR EL CONCRETO El cortante resistido por el concreto, puede calcularse con la siguiente fórmula: Vc = (√fc’/6) bw de XX. 4.1 Calcular la resistencia del concreto con la fórmula XX.III. 4.1, es bastante conservadora, por lo cual se debe utilizar la siguiente fórmula: Vc = [3.5 – (2.5 Mu / Vu de)] [(√fc’ / 7) + (17.1 ρw Vu de / Mu)] bw de XX. 4.2 excepto que el término [3.5 – (2.5 Mu / Vu de)] ≤ 2.5, ni Vc debe exceder (√fc’ / 2) bw de Además Mu es el momento mayorado que se presenta simultáneamente con Vu en la sección crítica definida en XX. 3 XX. 5 VALOR DEL CORTANTE RESISTIDO POR EL ACERO Cuando el cortante mayorado Vu, exceda la resistencia a cortante Vc, debe colocarse el refuerzo a cortante necesario para satisfacer la ecuación Vn = Vc + Vs XX.3.2, en la cual Vs se calcula por medio de: Vs = {(Av / s) [(1 + [(ln / de) / 12]] + (Avh / s2) [11 – (ln / de)] / 12]} (fy de)

XX. 5.1

Av- área del refuerzo a cortante perpendicular al refuerzo a flexión en tracción dentro de la distancia s Ash – área del refuerzo a cortante paralelo al refuerzo de flexión dentro de una distancia s2 El refuerzo a cortante que se requiera en la sección crítica debe colocarse en toda la luz XX. 6 REFUERZO LONGITUDINAL La figura de la introducción muestra esquemáticamente la distribución de los esfuerzos en una viga pared simplemente apoyada y fue experimentalmente observado que el brazo z no cambia mucho aún después de comenzar la grieta inicial. Como es conocida la resistencia del momento nominal es: Mn = As fy (z)

XX. 6 .1

Entonces el área del refuerzo longitudinal es: As = Mu /  fy z ≥ (bw de) / (70 fy)

XX. 6 .2

El valor de z puede tomarse como z = 0.2 ((l) + 2h) para 1 ≤ (l) / h < 2 XX. 6.3 z = 0.6 (l) para l/h < 1 donde (l) es la luz efectiva medida centro a centro de los apoyos ó 1.15 de la luz libre de las caras de los apoyos, se utiliza el que se menor. El refuerzo longitudinal debe colocarse en el segmento inferior de la altura de la viga de forma que la altura del segmento es: y = 0.25 h – 0.05 (l) < 0.2 h Las vigas continuas se tratan de la misma forma que las vigas simplemente apoyadas, pero es necesario colocar refuerzo en los apoyos, además, del que se coloca en el centro de la luz, como se realiza en vigas normales continuas, y el refuerzo total en el apoyo a flexión es: Ast = Mu /  fy z ≥ (bw de) / (70 fy) XX. 6 .4 z = 0.2 [(l) + 1.5 h] para (l) ≤ (l) / h ≤ 2.5 XX. 6. 5 z = 0.5 (l) Para (l) / h < 1.0 XX. 6. 6 175

La distribución del refuerzo en el apoyo es tal que el área As debe colocarse en 0.2 h del tope y el refuerzo balanceado As’ en los próximos 0.6 h como se muestra en la siguiente figura

0.2 h

0.6 h

h As’

h3 As = 0.5 [(l) / h – 1] Ast As’ = Ast – As XX. 6. 7 Cuando la relación (l) / h tiene un valor ≤ que uno, se utiliza el refuerzo nominal As en el tope (h1) de la viga y se coloca un área total Ast en h2. En la distancia h3 el refuerzo que se coloca en el centro de la luz debe pasar por el apoyo para anclarse y dar continuidad XX.7 PASOS A SEGUIR PARA EL DISEÑO DE VIGAS DE GRAN ALTURA Los pasos a seguir son los siguientes: 1- Comprobar que es una viga de gran altura, si la relación luz- peralto es (ln / h) < 4, es una viga de gran altura 2- Determinar la sección crítica La sección crítica para cortante medida desde la cara del apoyo debe tomar para una distancia de (0.15 ln) para vigas uniformemente cargadas y de (0.50 a) para vigas con cargas concentradas, pero no mayor de (de) a- luz de cortante, distancia entre una carga concentrada y la cara del apoyo 3- Calcular el valor del cortante mayorado Vu en la sección crítica 4- Comprobar que: Cuando ln / de sea menor de 2, Vu ≤  Vn = (2 / 3) √fc’ bw de 2. X. 2.1 Cuando ln / de esté entre 2 y 5, Vn no debe exceder: Vu ≤  Vn =  (√fc’ / 18) [10 + (ln / de)] bw de XX. 2.2 Si no se cumple se debe cambiar la sección de la viga pared 5- Calcular el valor del cortante resistido por el concreto El cortante resistido por el concreto, puede calcularse con la siguiente fórmula: Vc = (√fc’/6) bw de XX. 4.1 o con siguiente fórmula: Vc = [3.5 – (2.5 Mu / Vu de)] [( √fc’ / 7) + (17.1 ρw Vu de / Mu)] bw de

XX. 4.2

excepto que el término [3.5 – (2.5 Mu / Vu de)] ≤ 2.5, ni Vc debe exceder (√fc’ / 2) bw de. Además Mu es el momento mayorado que se presenta simultáneamente con Vu en la sección crítica definida en XX. 3 6. Compruebe si se necesita acero por cortante Si Vu >  Vc, se necesita refuerzo a cortante 7- Seleccione sv (espaciamiento del refuerzo vertical) y sh (espaciamiento del refuerzo horizontal), asumiendo el diámetro del refuerzo 8- El área de refuerzo a cortante Av. no debe ser menor de 0.0025 bw s, ni s puede exceder (de/5), ni 300 mm El área de refuerzo horizontal a cortante Avh no debe ser menor de 0.0015 bw s2, ni s2 puede exceder (de / 5) ni 500 mm El refuerzo a cortante que se requiera en la sección crítica debe colocarse en toda la luz 9- Verifique que el tamaño y espaciamiento asumido cumpla el paso 8, si no: 10- Revisar y comprobar usando 176

Vs = {(Av / s) [(1 + [(ln / de) / 12]] + (Avh / s2) [11 – (ln / de)] / 12]} (fy de) XX. 4.1 11- Seleccionar el tamaño y espaciamiento razonable del refuerzo del cortante en las direcciones verticales y horizontales, Si es posible utilizar malla metálica, que provee mejor anclaje 12- Diseñe el refuerzo longitudinal según XX. 6 XX. 8 Diseño de una viga de gran altura simplemente apoyada Una viga de gran altura de 4 m de luz (ln) está sometida a una carga viva mayorada uniformemente distribuida de 1.0 MN/m en la parte superior. La altura de la viga es h = 2.0 m, su espesor es de bw = 0.40 m fc’ 28 MPa fy = 420 MPa El apoyo tiene un ancho de 0.4 m Solución: 1- Comprobar que es una viga de gran altura, si la relación luz- peralto es (ln / h) < 4, es una viga pared Asumimos que de = 0.9 h = 0.9 x 2.0 = 1.8 m ln / de = 4.0 / 1.8 = 2.2 <4, es una viga pared 2- Determinar la sección crítica La sección crítica para cortante medida desde la cara del apoyo debe tomarse para una distancia de (0.15 ln) para vigas uniformemente cargadas pero no mayor de (de) La sección crítica está a: 0.15 x 4.0 = 0.6 m de la cara del apoyo, y es menor que (de = 1.8 m) 3- Calcular el valor del cortante mayorado Vu en la sección crítica El peso propio de la viga es: 2. 0 x 0.4 x 0.024 = 0.0192 MN/m La carga del peso propio mayorada es: 1. 2 x 0.0192 = 0.02304 MN/m La carga total es: 1.0 + 0.02304 = 1.02304 MN/m Vu = (1.02304 x 4 / 2) - 1.02304 x 0.6 = 1.432256 MN 4- Comprobar que: Cuando ln / de esté entre 2 y 5, Vn no debe exceder: Vu ≤  Vn =  (√fc’ / 18) [10 + (ln / de)] bw de XX. 2.2 y sustituyendo valores Vu ≤  Vn = 1.7679 MN Vu = 1.432256 MN ≤  Vn = 1.7679 MN Se cumple no es necesario cambiar la sección de la viga pared 5- Calcular el valor del cortante resistido por el Concreto El cortante resistido por el concreto, puede calcularse con la siguiente fórmula: Vc = (√fc’/6 bw) de XX.III. 4.1 Vc = (√28/6) x 0.4 x 1.8 = 0.6 MN También se puede utilizar Vc = [3.5 – (2.5 Mu / Vu de)] [( √fc’ / 7) + (17.1 ρw Vu de / Mu)] bw de XX. 4.2, pero es necesario, conocer ρw, como EJEMPLO suponemos que ρw = 0.006 Mu = 1.02304 x 4.4 /2 x 0.8 – 1.02304 x 0.8 = 2.2322 MN-m, sustituyendo valores Vc es: Vc = 1.769 MN excepto que el término [3.5 – (2.5 Mu / Vu de)] = 1.3353 ≤ 2.5, se cumple ni Vc =1.432256 MN debe exceder (√fc’ / 2) bw de = 1.90 MN. Se cumple Utilizamos Vc = 1.769 MN. Como puede notarse mucho mayor que XX.4.1 6. Compruebe si se necesita acero por cortante Vu = 1.432256 > 0.75 x 1.769 = 1.32675 MN Como Vu >  Vc, se necesita refuerzo a cortante 7- y 8 Selecciones sv (espaciamiento del refuerzo vertical) y sh (espaciamiento del refuerzo horizontal), asumiendo el diámetro del refuerzo Utilizamos No. 3, colocado a cada cara en posición horizontal y vertical Av = 2 x 0.00007 = 0.00014 m^2 = Avh, asumimos s = 0.14 m, tanto vertical como horizontal entonces Av debe ser mayor que 0.0015 bw s = 0.0015 x 0.4 x 0.14 = 0.000084 m^2, se cumple, utilizamos Av = 0.00014 m^2 El área del refuerzo horizontal no puede ser menor que: 0.0025 bw s2 = 0.0025 x 0.4 x 0.14 = 0.00014m^2, se cumple y con esa cantidad de acero Avh, no se puede aumentar el espaciamiento El refuerzo a cortante que se requiera en la sección crítica debe colocarse en toda la luz 9- Verifique que el tamaño y espaciamiento asumido cumpla el paso 8, Vs = Vu /  - Vc = 1.432256 / 0.75 - 1.432256 = 0.6138 MN 10. Revisar y comprobar usando Vs = {(Av/ s) [(1 + [(ln / de) / 12]] + (Avh / s2) [11 – (ln / de)] / 12]} (fy de) Con el espaciamiento y el área de acero asumida el cortante que resiste el acero es: 177

Vsr = {(0.00014 / 0.14) [(1 + [(4.0 / 1.8) / 12]] + (0.00014 / 0.14) [11 – (4.0 / 1.8)] / 12]} (420 x 1.8) Vsr = 1.44 MN > Vs 11- Seleccionar el tamaño y espaciamiento razonable del refuerzo del cortante en las direcciones verticales y horizontales, Si es posible utilizar malla, que provee mejor anclaje 12- Diseñe el refuerzo longitudinal según XX.5 como ln / h = 4 / 2 = 2 el brazo es z = 0.2 ((l) + 2h) = 0.2 (4.0 + 2 x 2) = 1.6 m Entonces el área del refuerzo longitudinal es: Ast = Mu /  fy z ≥ (bw de) / (70 fy) XX.6 .2 Ast = 2.2322 / 0.75 x 420 x 1.6 = 0.004429 m^2 que tiene que ser ≥ (bw de) / (70 fy) = (0.4 x 1.8) / 70 x 420 = 0.000024 m^2 Se cumple Se utiliza Ast = 0.004429 m^2 El refuerzo longitudinal debe colocarse en el segmento inferior de la altura de la viga de forma que la altura del segmento es: y = 0.25 h – 0.05 (l) < 0.2 h XX. 6 3 y = 0.25 x 2.0 – 0.005 x 4.0 = 0.48 m > 0.2 x 2.0 = 0.4 m por lo tanto se debe colocar a y = 0.4 h

No 3 @ 0.14 m 1.6 m

h = 2.0 m No 3 @ 0.14 m 9  1“ 0.4 m

ln = 4.0 m

Refuerzo vertical Refuerzo horizontal

Refuerzo longitudinal o

Refuerzo longitudinal Refuerzo vertical Refuerzo horizontal

XX. 9 DISEÑO DE UNA VIGA DE GRAN ALTURA CONTINUA La viga del EJEMPLO XX.7 se considera continua con varias luces continuas de 4 m de luz (ln) y está sometida a la misma viva mayorada uniformemente distribuida de 1.0 MN/m en la parte superior. La altura de la viga es h = 2.0 m, su espesor es de bw = 0.40 m fc’ 28 MPa fy = 420 MPa El apoyo tiene un ancho de 0.4 m El peso propio de la viga es: 2. 0 x 0.4 x 0.024 = 0.0192 MN/m 178

La carga del peso propio mayorada es: 1. 2 x 0.0192 = 0.02304 MN/m La carga total es: 1.0 + 0.02304 = 1.02304 MN/m Diseñar el refuerzo necesario para una luz interior Solución: 1- Cortante Como la viga tiene una rigidez grande, se puede utilizar para el primer apoyo interior el mismo refuerzo que calculado para el ejemplo XX.III. 8 2– Flexión El peralto efectivo es (de) = 1.60 m El momento en el centro de la luz es: + Mu = wu ln^2 / 16 = +Mu =1.02304 x 4^2 / 16 = 1.02304 MN-m + Mn = Mu /  = 1.02304 / 0.9 = + 1.1367 MN-m Para viga continua z = 0.2 (ln + 1.5 h) = 0.2 (4 + 1.5x 2.0) = 1.4 m s = Mn / fy z = 1.1367 / 420 x 1.4 = 0.001933 m^2 = 19.33 cm^2 (bw de) / (70 fy) = 0.4 x 1.6 / (70 x 420) = 0.000021 < +As hallado. Se debe colocar As = ≥ 19.33 cm^2 El momento máximo en el apoyo es: - Mu = - wu ln^2 / 11 = 1.02304 x 4^2 / 11 = 1.488 MN-m Mn= Mu /  = 1.488 / 0.9 = 1.6534 MN-m - As = - Mn / fy z = 1.6534 / 420 x 1.6 = 0.00246 m^2 = 24.6 cm^2 El área de refuerzo en la parte superior es As = 0.5 (ln/h -1) As = 0.5 (4.0 / 2 -1) 0.00246 = As = 0.00123 m^2 y se coloca en 0.2 h = 0.8 m a partir del tope de la viga pared As’ = 0.00123 m^2 y se coloca en 0.6 h = 0.6 x 2.0 = 1.2 m a partir de los 0.8 m del tope XX.10 MÉTODO DE MODELOS PUNTAL-TENSOR XX.10.1 Definiciones Discontinuidad- cambio abrupto en la geometría de la carga Modelo puntual-tensor- Un modelo de cercha de un elemento estructural, o de una región-D de ese elemento, hechos con puntales y tensores conectados en los nodos, capaces de transferir las cargas mayoradas a los apoyos o hacia regiones-B adyacentes Nodo- Es un modelo puntual-tensor donde se interceptan los ejes de los puntales, tensores y fuerzas concentradas que actúan en el nodo Puntal- Un elemento a compresión con el modelo puntal-tensor. Un puntal representa la resultante de un campo de compresión paralelo o en forma de abanico Puntal en forma de botella- Un puntal que es más ancho en el centro que en sus extremos Región B- Parte de un elemento en la que pueden aplicarse las suposiciones de secciones planas Región D- La parte de donde elemento dentro de una distancia h de una discontinuidad de fuerza o geométrica Tensor- Un elemento a tracción en el modelo puntal-tensor Zona donal- El volumen de concreto alrededor de un nodo que se supone transfiere las fuerzas de los puntales y tensores a través del nodo región B región D

región D

región B

región D

D D

B XX.10.2 Procedimiento de diseño del modelo puntal-tensor Se permite diseñar elementos de concreto estructural, o regiones D en estos elementos, modelando el elemento o región como una cercha idealizada. El modelo de cercha debe ser puntales, tensores y nodos El modelo de cercha debe ser capaz de transferir todas las cargas mayoradas hacia los apoyos o regiones-B adyacentes El modelo puntal-tensor debe estar equilibrado con las cargas aplicadas y las reacciones Para determinar la teoría de la cercha, se deben considerar las dimensiones de los puntales, tensores y zonas nodales 179

Se permite que los tensores atraviesen los puntales. Los puntales deben cruzarse o superponerse sólo en los nodos El ángulo θ entre los ejes de cualquier puntal y de cualquier tensor entrando en un solo nodo no debe ser menos de 20° P zona nodal

biela a compresión idealizada

de tirante θ ≥ 20°

ln P/2

P/2 Método de Modelos Puntal – Tensor

lb C Zona nodal Para vigas de una luz sometida a carga uniformemente distribuida concentrándolas en dos cargas la distribución de los puntales y tensor es la que se muestra en la figura XX.10.2a ln ln / 4

ln / 2

6 a

C z

Tensor 1

2 x ≈ 0.05 ln ln 180

z ≈ 0.6 h a=h–z–x

Figura XX.10.2a Viga de una luz Las fuerzas se pueden hallar del siguiente triángulo de fuerzas w – carga uniformemente distribuida aplicada en la parte superior 3

T- fuerza de tracción en el tensor 1-2

C V1 = V2 = w ln / 2 θ C – fuerza de compresión en el puntal 1-3 T Para dos luces (luces extremas) se muestra en la figura XX.10.2b 1

0.4 ln

0.2 ln

0.4 ln

Td = 0.2 w ln

z = 0.5 ln x = 0.05 ln 0.35 ln

z T2 = 0.16 w ln

T1 = 0.16 w ln ln

ln x

XX.10.2 c Dos luces extremas Para dos luces (luces intermedias) se muestra en la Figura XX.10.2d T2 = 0.2 w ln 0.4 ln

0.2 ln

0.4 ln

h 0.5 ln y T1= 0.09 w ln ln

181

0.1 ln y = 0.6 ln para armadura T2

h = ln

x = 0.05 ln

x T1 = 0.09 w ln

XX.10.2d Dos luces intermedias En el caso de que la carga uniformemente distribuida está aplicada en la parte inferior de la viga-pared se muestra en la figura XX.10.2e

F F V1 XX.10.2e Además debe colocarse una armadura adicional en las dos caras a fin de colgar las cargas y anclarlas a partir de la distancia z El diseño de los puntales, tensores y zonas nodales debe basarse en:  Fn ≥ Fu

XX.10.2 a

Fu- fuerza mayorada que actúa en un puntal o en tensor, o en una cara de una zona nodal Fn- resistencia nominal del puntal, tensor o zona nodal

XX.10.3 Resistencia de los puntales La resistencia nominal a la compresión de un puntal sin refuerzo longitudinal, Fns, debe tomarse como el menor valor de: Fns = fce Acs

XX.10.3a

en los dos extremos del puntal Acs- área de la sección transversal en un extremo del puntal fce – es el menor valor entre a) y b) a ) la resistencia efectiva a la compresión del concreto en el puntal dado en XX.10.4 b ) la resistencia efectiva a la compresión en el concreto en la zona nodal XX.10.3.1 La resistencia efectiva a la compresión del concreto, fce, en el puntal es: fce = 0.85 ßs fc´

XX.10.3a 182

Para un puntal de sección transversal uniforme a lo largo de su longitud ßs = 1.0 Para los puntales ubicados de tal manera que el ancho de la sección media del puntal es mayor que el ancho en los nodos (puntales en forma de botella) a ) Con refuerzo que cumpla con XX.10.3.1 ßs = 0.75 b ) Sin refuerzo que cumpla con XX.10.3.1 ßs = 0.60 λ Para los puntales en elementos sometidos a tracción, o alas en tracción de los elementos Para todos los demás casos

ßs = 0.40 ßs = 0.60 λ

XX.10.3.2 Si se emplea el valor de ßs = 0.75 especificado en XX.10.3.1 a), el eje del puntal debe ser cruzado por el refuerzo diseñado para resistir la fuerza de tracción transversal resultante de la expansión de la fuerza de compresión en el puntal. Se permite suponer que la fuerza de compresión se expande en los puntales con un pendiente de 2 longitudinal a 1 transversal al eje del puntal XX.10.3.2a Para un fc´ no mayor de 40 MPa, se admite que las disposiciones de XX.10.3.2 se satisfacen cuando el eje del puntal es cruzado por filas de refuerzo que cumplan la ecuación siguiente ∑ (Asi sen αi / bs si) ≥ 0.003 XX.10.3.2 a Asi- área total del refuerzo de superficie con un espaciamiento (si ) en la capa ( i ) de refuerzo con barras a un ángulo αi con respecto al eje del puntal El refuerzo exigido en XX.10.3.1 debe colocarse en alguna de las siguientes formas: en direcciones ortogonales en ángulos α1 y α2 con respecto al eje del puntal, o en una dirección de un ángulo α con respecto al eje del puntal. Si el refuerzo se coloca en una sola dirección, α no debe ser menor de 40° Si se encuentra documentado mediante ensayos y análisis, se permite utiliza una resistencia efectiva a la compresión incrementada del puntal debido al refuerzo de confinamiento Se permite el uso de refuerzo de compresión para aumentar la resistencia de un puntal. El refuerzo de compresión debe colocarse dentro de él, paralelo al eje del puntal, anclarse adecuadamente y rodearse por estribos o espirales. En estos casos, la resistencia nominal de un puntal reforzado longitudinalmente es: Fns = fce Aes + As´ fs´ XX.10.3.2 b XX.10.4 Resistencia de los tensores XX.10.4.1 La resistencia nominal de un tensor, Fnt, debe calcularse para concreto reforzado como: Fnt = Ats fy XX.10.4.1a hmax = Fnt / fce XX.10.4.1b hmax – altura máxima efectiva del concreto con el tensor, utilizada para diseñar la zona nodal El eje del refuerzo del tensor debe coincidir con el eje del tensor en el modelo puntal-tensor El refuerzo del tensor debe anclarse mediante dispositivos mecánicos, dispositivos de anclaje postensados, gancho estándar o mediante el desarrollo de barras rectas Las zonas nodales deben desarrollar la diferencia entre las fuerza en el tensor de un lado del nodo y la fuerza en el tensor en el otro lado del nodo En las zonas nodales que anclan dos o más tensores, la fuerza del tensor en cada dirección debe desarrollarse en el punto donde el centroide del refuerzo del tensor sale de la zona nodal extendida XX.10.5 Resistencia de las zonas nodales XX.10.5.1 La resistencia nominal a la compresión de una zona nodal, Fnn, debe ser: Fnn = fce Anz

XX.10.5.1a

fce- resistencia efectiva a la compresión del concreto en una zona nodal, como se da en XX.10.5.2 Anz- es la menor de a) y b)

183

a) el área de la cara de una zona nodal en donde actúa Fu, tomada en forma perpendicular a la línea de acción de Fu, o b) el área de una sección a través de la zona nodal, tomada en forma perpendicular a la línea de acción de la fuerza resultante en la sección XX.10.5.2 A menos que se coloque refuerzo de confinamiento dentro de la zona nodal y que sus efectos sean respaldados por ensayos y análisis, los refuerzos de compresión efectivos, fce, calculados en una car a de una zona nodal debidos a las fuerzas del modelo puntal-tensor, no deben exceder el valor dado por: fce = 0.85 ßn fc´

XX.10..5.2a

En zonas nodales limitadas por puntales o áreas de apoyo, o ambas En zonas nodales que anclan un tensor En zonas nodales que anclan dos o más tensores

ßn = 1.0 ßn = 0.8 ßn = 0.6

En un nodo puntal-tensor tridimensional, el área de cada cara de una zona nodal no debe ser menor a la dada en XX.10.5.1, y la forma de cada cara de las zonas nodales debe ser similar a la forma de la proyección del extremo de los puntales sobre las caras correspondientes de las zonas nodales XX. 11 Diseño de una viga pared simplemente apoyada utilizando el modelo puntal-tensor Una viga pared de 4 m de luz (ln) está sometida a una carga viva mayorada uniformemente distribuida de 1.0 MN/m en la parte superior. La altura de la viga es h = 3.0 m, su espesor es de bw = 0.3 m fc’ = 28 MPa fy = 420 MPa El apoyo tiene un ancho de 0.3 m a) Seleccionamos el modelo de la cercha 1-Comprobemos que es una viga pared ln / de = 4.0 / 2.8 = 1.43 puede considerarse una viga pared debido que el límite es menor de 4 2- La carga uniformemente distribuidas se concentran en varias cargas, en este ejemplo la concentramos en dos cargas F = w ln/ 2 = 1.0 x 4.0 / 2 = 2 MN 3-Se hace el esquema de la cercha 4.00 m 1.0 m

2.0 m

1.0 m

6 a

h = 3.0 m

Tensor 1

θ = 60.9 °

2 0.2 m ln = 4.0 m

l = 4.45 m

z = 0.6 h = 1.8 m V2 a = 1.0 m

4 – Determinemos el ángulo θ Se puede asumir que para: ln / h ≤ 1, θ = 68° y para ln / h = 2 θ = 54° Entonces θ = 68 – (68 – 54) (ln / h – 1.0) = 68 – (68 – 54) (1.33 – 1.0) = 63.38° Tomaremos θ = 60.9 ° 184

5 – Hallemos las fuerzas en los elementos V1 = V2 = F = 2 MN Vn = V1 /  = 2 / 0.75 = 2.67 MN

2.67 MN

En el Nudo 1 3

ß 2.67 MN

ß = 90° - 60.9° = 29.1° T = 2.67 x tan 29.1° = 1.486 MN elemento 1-3 3.05 MN

T 6 – Refuerzo horizontal y vertical a través del elemento para controlar las grietas de cortante Refuerzo horizontal As = 0.0015 bw s Asumiendo un espaciamiento de 0.30 m centro a centro As = 0.0015 x 0.3 x 0.30 = 0.000135 m² = 1.35 cm² Refuerzo vertical Avmim = 0.0025 bw s = 0.0025 x 0.3 x 0.2 = 0.00015 m² = 1.5 cm² cada 0.2 m 7 – Refuerzo ortogonal cruzando el nodo a compresión Para fc´< 40 MPa = ∑ (Asi sen αi / bs si) ≥ 0.003 XX.10.3.2 a α1 = 29.1° inclinación del refuerzo vertical α2 = 60.9 ° inclinación del refuerzo horizontal sen 29.1° = 0.486 sen 60.9 ° = 0.874 ∑ (Asi sen αi / bs si) = 0.00015 x 0.486 / 0.2 x 0.3 + 0.0015 x 0.874 / 0.3 x 0.3 = 0.0033 > 0.003 Se cumple 8- Resistencia del puntal fce = 0.85 ßs fc´ XX.10.3a ßs = 0.75 fce = 0.85 x 0.75 x 28 = 17.85 MPa La resistencia de 1-3 y 2-4 es 3.05 MN Fnn = fce Anz XX.10.5.1a Anz = Fnn / fce= 3.05 / 17.85 = 0.196 m² Ancho de 1-3 y 2-4 = 0.196 / 0.3 = 0.65 m < altura de la viga-pared y para 3-5 y 4-6 A = 2.67 / 17.85 = 0.149 m² El ancho mínimo = 0.149 / 0.3 = 0.498 m < área de la viga 9 – Resistencia de tensor Fnt = 1.486 MN Fnt = Ats fy XX.10.4.1a Ast = Fnt / fy = 1.486 = 420 = 0.0035 m↓3 = 35.38 cm² hmax = Fnt / fce XX.10.4.1b hmax = 1.486 / 17.85 = 0.083 m 10 – Resistencia de la zona nodal De fce = 0.85 ßn fc´ XX.10..5.2a con ßn = 0.6 fce = 0.85 x 0.6 x 28 = 14.28 MPa el área del nodo perpendicular a 1-3: A = 0.3 ( 0.35 / cos θ = 0.3 x 0.35 / 0.486 = 0.21 m² De Fnn = fce Anz XX.10.5.1a Fnn = 14.28 x 0.22 = 3.15 MN > 3.05 MN El confinamiento en la zona nodal no es requerido, debido a que el esfuerzo en el concreto en la zona nodal no excede el esfuerzo permisible 185

Si en vez de concentrar la carga en dos cargas concentrada se hace en cargas, se reduce el refuerzo horizontal XX.12 PROBLEMAS PROPUESTOS XX.12.1 Que son las vigas pared? XX.12.2 Según el Reglamento como se debe diseñar las vigas paredes? XX.12.3 En el diseño de las vigas paredes se puede utilizar un análisis lineal y por qué? XX.12.4 Como es la distribución aproximada de los esfuerzos en el centro de la viga pared? XX.12.5 Que valor no debe exceder Vn? XX.12.6 Que ecuaciones se utilizan para diseñar el cortante en las vigas paredes simplemente apoyadas? XX.12.7 Donde se encuentra la sección crítica? XX.12.8 Con que fórmulas se calcula el cortante resistido por el concreto? XX.12.9 Como se calcula el valor de Vs? XX.12.10 Como se calcula el refuerzo principal? XX.12.11 Cuales son los pasos a seguir para calcular una viga pared? XX.12.12 Diseño de una viga pared simplemente apoyada Una viga pared de 4.1 m de luz (ln) está sometida a una carga viva mayorada uniformemente distribuida de 1.1 MN/m en la parte superior. La altura de la viga es h = 2.2 m, su espesor es de bw = 0.45 m fc’= 28 MPa fy = 420 MPa El apoyo tiene un ancho de 0.4 m Diseñar el refuerzo por cortante y flexión XX.12.13 Diseño de una viga pared continua La viga pared del problema propuesto anterior se considera continua con varias luces continuas de 4.1 m de luz (ln) y está sometida a la misma viva mayorada uniformemente distribuida de 1.1 MN/m en la parte superior. La altura de la viga es h = 2.2 m, su espesor es de bw = 0.45 m fc’ = 28 MPa fy = 420 MPa XX.12.14 Cuales son la región B y D? XX.12.15 En que debe basarse para diseñar los puntales, tensores y zonas nodales? XX.12.16 Como se diseñan los puntales XX.12.17 Como se diseñan los tensores? XX. 12. 18 Diseño de una viga pared simplemente apoyada utilizando el modelo puntal-tensor Una viga pared de 5 m de luz (ln) está sometida a una carga viva mayorada uniformemente distribuida de 1.2 MN/m en la parte superior. La altura de la viga es h = 3.5 m, su espesor es de bw = 0.35 m fc’ = 28 MPa fy = 420 MPa El apoyo tiene un ancho de 0.35 m

CAPÍTULO XXI MÉNSULAS Y CARTELAS INTRODUCCIÓN 186

El Reglamento permite utilizar el método de puntal-tracción cuando la relación luz de cortante a altura (a/de) menor de 2 y también el método que a continuación se describe Esta sección se refiere a ménsulas y cartelas que tengan una relación de luz de corte a altura útil (a/de) menor o igual a 1.00 y que estén sometidas a una fuerza de tracción Nu no mayor de Vu. La distancia (de) debe medirse en la cara del apoyo La altura útil en la cara externa del área de apoyo no debe ser menor de 0.5 de La grita son casi verticales o con muy poca inclinación. Esta grieta comienza a menudo desde el punto de aplicación de la carga concentrada y se propaga hacia la parte inferior de la unión de la ménsula y la columna, como se muestra en la siguiente figura XXI a) Vu

grieta grieta

Figura a)

Figura b)

Figura c)

Figura XXI Otro fallo que puede ocurrir es que la grieta comience en la parte superior de la ménsula en la unión con la columna y terminar en la parte inferior como se muestra en la figura XXI b) También puede presentarse el caso mostrado en la figura XXI c) Debe comprobarse que en el apoyo de la carga concentrada, el concreto resiste la compresión de contacto Véase el CAPÍTULO ESFUERZOS DE CONTACTO (APLASTAMIENTO) XXI.1 DISEÑO La sección en la cara del apoyo debe diseñarse para que pueda resistir simultáneamente la fuerza cortante Vu, un momento Mu = {Vu av + Nuc(h – de)} y una fuerza horizontal de tracción Nuc

av Nuc

refuerzo principal  As fy

h de

Ab (cercos) Figura XXI.1d

plano de cortante

El coeficiente en todo este capítulo es  = 0.75 El diseño del refuerzo de fricción por cortante Avf, debe hacerse según CAPÍTULO CORTANTE POR FRICCIÓN, el cual es: Avf = Vn / fy μ XXVI.1.1 a) Para concreto de densidad normal Vn no debe exceder de: 0.2 fc´ bw de (3.3 + 0.08 fc´) bw de 11 bw donde 3.3 y 11 están en MPa a) Para concreto liviano en todos sus componentes o concreto liviano con arena de peso normal Vn no debe tomarse mayor que el menor de: 187

(0.2 – 0.07 av / de fc´ bw de (5.5 – 1.9 av / de) bw de 5.5 y 1.9 están en MPa El refuerzo Af que resiste el Momento (Mu) debe ser determinado siguiendo lo indicado en Flexión Simple (con  = 0.75). Af = Vu av + Nuc (h- de) /  fy jde XXVI.1.2 El refuerzo que resiste la fuerza de tracción debe obtenerse de la relación Nuc   An fy. La fuerza de tracción Nuc no debe ser menor de 0.2 Vu a menos que se tomen precauciones especiales para evitar las fuerzas de tracción. La fuerza de tracción Nuc debe considerarse como carga viva, aun cuando la fuerza de tracción provenga de retracción de fraguado, flujo plástico o cambios de temperatura El área de refuerzo principal de tracción, As, debe ser igual a la mayor de (Af + An) ó [(2 Avf / 3) + An] El área total Ah, de estribos cerrados o estribos paralelos al refuerzo principal de tracción no debe ser menos que 0.5 (Ase – An) Ah debe distribuirse uniformemente dentro de los [(2/3) de] adyacentes al refuerzo principal Ase no debe ser menor que: 0.04 fc´/ fy) En la cara frontal de una ménsula o cartela, el refuerzo principal de tracción, As, debe quedar adecuadamente anclado en la cara del frente de la ménsula o cornisa por uno de los siguientes procedimientos: a) Soldadura estructural a una barra transversal, la cual debe ser al menos del mismo diámetro. La soldadura debe ser capaz de desarrollar el refuerzo de fluencia fy de las barras de As. b) Doblando las barras principales de refuerzo As hacia atrás de tal manera que formen un anillo horizontal c) Cualquier otro método de anclaje efectivo La superficie de contacto de la carga de la ménsula, no debe sobresalir más allá de la parte recta del refuerzo principal de tracción As, ni más allá de la cara interior de la barra transversal de anclaje, si se coloca una As (incluyendo Af)

Vu av Nuc

2de/3

min de de/2

estribos cerrado (mínimo 1/2 Af) Figura XXI.1e Si el refuerzo de cortante por fricción es inclinado al plano de cortante que la fuerza de cortante produce alguna tracción en el refuerzo de cortante por fricción, entonces: Vn = Avf fy (μ sen α + cos α) XXVI.1.3 α – ángulo entre el refuerzo de cortante por fricción y el plano de cortante El cortante nominal Vn no debe ser mayor que: Vn < 0.2 fc’ bw de (3.3 + 0.08 fc’)bw d y 11 bw de XXVI.1.4 donde 3.3 y 11 están en MPa XXI.2 PASOS A SEGUIR PARA EL DISEÑO DE UNA MÉNSULA Las fuerzas mayoradas que actúan sobre una ménsula son: la fuerza horizontal Nuc, la carga vertical Vu y el momento flector Mu = Vu av + Nuc (h – de) 188

Los cuales deben ser resistido por la ménsula y se calculan según la ménsula es: (1) fundida monolíticamente o no (2) 1- Para ménsula monolítica con la columna, el refuerzo Ah de los estribos cerrados que se colocan debajo del Asc. Parte de Ah es debido a An de la ecuación Nuc   An fy para resistir Nuc 2- Calculando el refuerzo Avf, según la hipótesis del cortante por fricción, si la ménsula no es vaciada simultáneamente, utilizando parte de Avf a lo largo de la altura de la ménsula e incorporando en Asc el refuerzo superior del refuerzo primario de tracción (As) El refuerzo As es el principal componente de ambos métodos. El calculo de As depende de las ecuaciones As = (Af + An) ó As = [(2 Avf / 3) + An], el que sea mayor: Si As = [(2 Avf / 3) + An], controla, As = 2/3 Avf + An, es utilizada, y el resto 1/3 Avf es distribuido en la altura 2/3(de) adyacente a As Si As = (Af + An) controla, con la adición de 1/2 Af suministrado como estribos cerrados paralelo a As y distribuido dentro los 2/3 d, adyacente a As Los pasos son: 1- Se calcula la carga mayorada vertical Vu y la resistencia nominal del concreto Vn de tal forma que: Vn ≥  Vu.  Vu debe ser Vn < 0.2 fc’ bw de ni de 5.5 bw de en (MN) XXVI.1.1 Si no lo es la sección del concreto debe ser aumentada 2- Se calcula Avf = Vn / fy μ 3- Se calcula el refuerzo de flexión Af = Vu av + Nuc (h- d) /  fy jde y An = Nuc /  fy 4- Se calcula el refuerzo primario a) As = [(2 Avf / 3) + An], b) As = (Af + An) Se determina cual gobierna: Si gobierna a) el resto 1/3 Avf debe ser distribuido en la altura 2/3 d adyacente a As como se muestra en Figura XXVI.1 Si caso b) gobierna, se utiliza Af como estribos cerrados distribuido dentro de la distancia 2 d / 3 adyacente a As como muestra la Figura XXVI.1 Ah ≥ 0.5 (As – An)  = As / b de no debe ser menor de 0.04 (fc’ / fy) ó As = 0.04 fc’ bw de / fy 5- Se selecciona el tamaño y espaciamiento del refuerzo XXI .3 EJEMPLO DISEÑO DE UNA MÉNSULA Diseñar una ménsula en una columna cuadrada de 0.40 m de lados fc’ = 35 MPa fy = 420 MPa Vu = 0.5 MN Nuc = 0.35 MN a = 0.08 m Solución: Hallemos el peralto (de) de la ménsula basado en Vn Vn es al menos de (1) Vn = 5.5 bw de ó (2) Vn = 0.2 fc’ bw de = 0.2 x 35 bw de = 7 bw d Por lo tanto debe usarse (1) d = Vu /  5.5 bw = 0.5 / 0.75 x 5.5 x 0.4 = 0.303 m, utilizamos de = 0.32 m y h = 0.35 m a / de = 0.08 / 0.32 = 0.25 < 1.0 Se cumple Nuc = 0.35 < Vu = 0.5 Se cumple Hallemos el refuerzo Avf Avf = Vu /  fy  = 0.00113 m^2 Hallemos el refuerzo An An = Nuc /  fy = 0.35 / 0.75 x 420 = 0.00111 m^2 Hallemos el refuerzo Af Mu = Vu a + Nuc (h – de) = 0.5 x 0.08 + 0.35 ( 0.35 – 0.32) = 0.0505 MN-m Utilizando j de = 0.9 de Af = 0.0505 / 0.75 x 420 x (0.9 x 0.32) = 0.000556 m^2 Hallemos el refuerzo As 2 Avf / 3 = 2 x 0.00113 / 3 = 0.000753 m^2 > Af = 0.000556, por lo tanto 2 Avf / 3 controla el diseño As = 2 Avf / 3 + An = 0.000753 + 0.00111 = 0.001863 m^2 Comprobemos el refuerzo mínimo 189

min = 0.04 ( fc’ / fy) = 0.04 (35 / 420) = 0.00333 Asm = 0.00333 x 0.4 x 0.32 = 0.000426 m^2 < As = 0.001863 m^2 Hallemos el refuerzo Ah Ah = 0.5 (As – An) = 0.5 ( 0.001863 – 0.00111) = 0.0003765 m^2 El refuerzo se distribuye en los dos tercios en la distancia (de) adyacente a Ah XXI.4 Diseño de una ménsula por el método de puntal-tensor En una columna cuadrada de 0.40 m de lados, con las siguientes características fc’ = 35 MPa fy = 420 MPa de = 0.32 m y h = 0.45 m a / de = 0.1 / 0.35 = 0.285 < 1.0 Se cumple Vu = 0.6 MN Nu = 0.12 MN av = 0.10 m Hallar las fuerzas en los puntales y los tensores Seleccionamos un modelo de puntal-tensor como se muestra en la figura siguiente, asumimos que la línea 1-2, está situada a 0.08 m del borde superior de la ménsula donde se colocará el refuerzo y que la línea 4-3 es horizontal, donde el punto C, está situado donde está colocado el refuerzo vertical de la columna 0.20 m 0.6 MN 0.10 m

1 0

0.12 MN 0.08 m 0.35 m 0.45 m 67.93°

2 0

60° 4 0

3 0 45 °

4´

0.30m 0.35 0.4 m

3´

Calculemos las fuerzas aplicando la estática 1 – 2-3 (compresión) longitud 2-3 = √[0.15² + 0.37² = 0.399 F2-3 = 0.6 x 0.399 / 0.37 = 0.647 2 -1-2 (tracción) F1-2 = 0.6 x 0.15 / 0.37 + 0.12 = 0.363 MN 3– 0-3 (compresión) F0-3 = 0.363 √0.3² + 0.37² = 0.173 MN 4 – 1-4 (tracción) F1-4 = 0.173 x 0.37 / √0.3² + 0.37² = 0.134 MN 5 – 3-3´ (compresión) F3-3´= 0.6 + 0.134 = 0.734 MN 6 – 3-4 (tracción) F3-4 = 0.363 – 0.16 x 0.15 / 0.37 = 0.298 MN Y con estas fuerzas se diseña el refuerzo necesario XXI.5 PROBLEMAS PROPUESTOS XXI.5.1Como son las grietas en las ménsulas? XXI.5.2 Como se diseñan las ménsulas? XXI.5.3 Diseñar una ménsula en una columna cuadrada de 0.45 m de lados fc’ = 35 MPa fy = 420 MPa Vu = 0.7 MN Nuc = 0.4 MN av = 0.09 m XXI.5.4 Diseñar la ménsula del XXI.5.3 con el método de puntal-tensor

190

CAPÍTULO XXII (Capitulo C.14) MUROS (PAREDES) INTRODUCCIÓN Los edificios son sometidos a diferentes cargas (verticales y horizontales) y a sus combinaciones Con ciertas simplificaciones, los cálculos de los edificios sometidos a las cargas verticales no son un gran problema para diseñar los mismos. El mayor problema se presenta con la combinación de las cargas horizontales, como ejemplo: Cargas de Viento y de Sismo Las cargas de viento y sismo tienen un efecto dinámico. El Reglamentos permite aplicar esas cargas como cargas estáticas equivalentes. Si el edificio es muy alto, se debe realizar un análisis dinámico. En la generalidad de los casos, los edificios no son muy altos y se puede utilizar los métodos de cargas estáticas equivalentes En la siguiente figura se muestra un edifico con muros estructurales y diagramas horizontales Muro estructural (B) que debe resistir las cargas horizontales paralelas a su plano

Muro (A) que debe resistir las cargas horizontales perpendiculares a su plano

Piso de concreto que actúa como un diagrama horizontal que transfiere las cargas del piso al muro Fuerza vertical 191

Fuerza horizontal Conexión entre el muro y el piso que transfiere las cargas del piso a los muros Los Muros Estructurales que hacen parte del sistema de resistencia sísmica son diseñados para resistir las fuerzas horizontales (que les transfieren los pisos) y que actúan paralelo al plano del muro, así como, las cargas verticales que les transfieren los pisos, además del peso propio del muro. Estos muros deben también resistir las cargas horizontales perpendiculares a su plano, cuando estas cargas actúan ese sentido Los Muros Estructurales que no hacen parte del sistema de resistencia sísmica son diseñados para resistir las cargas horizontales perpendiculares a su plano y las cargas verticales a que están sometidos Los Muros No Estructurales deben diseñarse para las cargas horizontales y verticales a que son sometidos Debemos tener en cuenta que es posible que las cargas verticales tengan alguna excentricidad con respecto a su eje, por lo cual producen momento flector (M = P e) En la figura siguiente se muestra un muro sometido a esas cargas Momento producido por Momento producido por la carga horizontal w perpendiP la excentricidad de la carga cular al eje del muro M=Pe h/2 Pe/2 h

w h^2 / 8

w h/2

A menos que se realice un análisis detallado, la longitud horizontal de muro que se considere efectiva para cada fuerza concentrada no debe exceder la distancia centro a centro entre fuerzas, ni el ancho de contacto más cuatro veces el espesor del muro Los muros deben amarrarse a los elementos que los interceptan, tales como entresuelos, cubiertas, columnas, pilastras, contrafuertes, otros muros que los interceptan y zapatas Los límites exteriores de la sección transversal efectiva de un elemento a compresión, reforzado transversalmente con espirales o estribos, construidos monolíticamente con un muro o pila de concreto, deben tomarse 40 mm por fuera de la espiral o los estribos Los muros de contención en voladizo deben diseñarse de acuerdo al Capítulo de Flexo- Compresión La transferencia de las fuerzas a la zapata en la base del muro debe hacerse lo indicado en el Capítulo de Cimientos XXII.1 REFUERZO MÍNIMO (C.14.3) El refuerzo mínimo, tanto horizontal como vertical son los indicados en este Capítulo a menos que se requiera una cantidad mayor por razones de cortante Las cuantías mínimas para refuerzo vertical, calculadas sobre el área bruta del muro, no debe ser menor que: a) 0.0012 para barras corrugadas no mayores de No.5 (5/8”) ó 16M (16 mm) con fy no menor que 420 MPa ó b) 0.0015 para otras barras corrugadas, o c) 0.0012 para refuerzo electrosoldado de alambre (liso o corrugado) no mayor que MW200 ó MD200 (16 mm de diámetro) La cuantía mínima para refuerzo vertical, es: a) 0.0020 para barras corrugadas no mayores que No.5 (5/8”) á 16M(16 mm) con fy no menor que 420 MPa ó b) 0.0025 para otras barras corrugadas, ó c) 0.0020 para refuerzo electrosoldado de alambre (liso o corrugado) no mayor que MW200 ó MD200 (16 mm de diámetro) Los muros con un espesor mayor de 250 mm, excepto los muros de sótanos, deben tener el refuerzo en cada dirección colocados en dos camadas paralelas a las caras del muro de acuerdo con: a) Una capa consistente en no menos de 1/2 y no más de 2/3 del refuerzo total requerido para cada dirección debe colocarse a no menos de 50 mm ni a más de 1/3 del espesor del muro a partir de la superficie exterior 192

b) La otra capa, consistente, en el resto del refuerzo requerido en esa dirección debe colocarse a no menos de 20 mm ni a más de 1/3 del espesor del muro, ni de 450 mm El refuerzo vertical y horizontal debe espaciarse no más de tres veces el espesor del muro, ni de 450 mm El refuerzo vertical no necesita estar confinado por estribos laterales cuando el refuerzo vertical no es mayor de 0.01 veces el área total del concreto, o cuando el refuerzo vertical no se requiere como refuerzo de compresión Alrededor de vanos, ventanas y puertas y aberturas de similar tamaño, además del refuerzo mínimo requerido, deben colocarse por lo menos dos barras No.5 (5/8”) ó 16M(16 mm) en todos los muros que tengan dos capas de refuerzo en ambas direcciones y una barra No.5 ó 16M en los muros que tengan una sola capa de refuerzo en ambas direcciones. Estas barras deben anclarse para desarrollar el fy en tracción en las esquinas de las aberturas XXII.2 DISEÑO DE MUROS COMO ELEMENTOS A COMPRESION (C.14.4) A menos que se diseñen de acuerdo con el Método de Diseño Empírico, los muros sometidos a fuerza axial y de flexión combinadas deben diseñarse con las disposiciones de columnas, en este caso EI toma el siguiente valor: EI = Ec Ig [0.5 – (e/h)] /   0.1 Ec Ig /  XXII.2.1  0.4 Ec Ig /  Ec- módulo de elasticidad del concreto Ig – momento de inercia de la sección bruta sobre el eje neutro, no tomando en cuenta el refuerzo e – excentricidad de la carga axial, para todas las combinaciones de carga h – espesor del muro  - 0.9 + 0.5 (d)^2 - 12  1.0  – relación de la carga muerta a la carga total  - relación del área del refuerzo vertical a la sección bruta del Concreto XXII.3 MÉTODO DE DISEÑO EMPÍRICO DE MUROS SOMETIDO A CARGA VERTICAL Y CARGA HORIZONTAL PERPENDICULAR A SU PLANO (C.14.5) Los muros de sección horizontal sólida y rectangular, pueden diseñarse de acuerdo con las disposiciones empíricas de la presente sección, si la resultante de las cargas axiales mayoradas está localizada dentro del tercio central del espesor total del muro y se cumplen todo lo indicado en este Capítulo La resistencia de diseño a carga axial, Pnw, de un muro dentro de las limitaciones del primer párrafo de este Inciso debe calcularse por medio de la siguiente ecuación o siguiendo lo indicado en XXIV.2 Pnw = 0.55  fc’ Ag [1 – (k lc / 32 h) ^2]  = 0.70 k es: Para muros arriostrados arriba y abajo contra traslación lateral y, además: (a) restringidos al giro en uno o en ambos extremos, (arriba y abajo) (b) libres para rotar arriba y abajo Para muros no arriostrados contra traslación lateral

XXII. 3.1

k = 0.8 k = 1.0 k = 2.0

El espesor de muros de carga calculado por este Método Empírico no debe ser menos de 1/25 de la longitud no soportada, horizontal o vertical, ni menos de 100 mm. El espesor de muros exteriores de sótano y muros que hagan parte de la cimentación no debe ser menor de 150 mm XXII.4 MUROS NO PORTANTES (C.14.6) El espesor de los muros que no sean de carga no debe ser menor de 80 mm ni menos de 1/30 de la menor distancia entre elementos que le den soporte lateral XXII.5 MUROS COMO VIGAS DE CIMENTACIÓN Los muros diseñados como vigas de cimentación deben tener refuerzo arriba y abajo tal como se requiera para momento flector. El diseño para cortante debe realizarse según el Capítulo de Cortante Las partes de los muros construidos como vigas a nivel del terreno y expuestas a él deben cumplir los requerimientos de refuerzo mínimo de este Capítulo Nota: Las cuantías del refuerzo y los límites de espesores de los muros dados anteriormente pueden ser dispensados en aquellos casos en que el análisis estructural demuestre resistencia y estabilidad adecuada 193

XXII.6 DISEÑO ALTERNATIVO DE MUROS ESBELTOS SOMETIDOS A CARGAS VERTICALES Y CARGAS HORIZONTALES PERPENDICULAR A SU PLANO (C14.8) Pu1- carga mayorada gravitaria Pu2 – carga mayorada del peso propio del muro total) e – excentricidad de la carga gravitaria wu- carga mayorada horizontal Pu = Pu1 + Pu2 / 2

XXII.6.1

Cuando se diseña el muro para la condición de tensión controlada ( 0.005), los requerimientos de este diseño alternativo satisfacen los requerimientos de efectos de la esbeltez en elementos a compresión El diseño del muro debe satisfacer lo que a continuación se indica (a) El muro debe ser diseñado como un elemento simplemente apoyado y cargado con carga axial y sometido a una carga lateral uniformemente distribuida, con el momento máximo y máxima deformación en el medio de la luz (b) La sección del muro es constante a todo lo largo del mismo (c) La cuantía del refuerzo () no debe exceder b (cuantía balanceada) (d) El refuerzo debe proveer una resistencia Mn mayor o igual a Mcr Mn  Mcr XXII.6.2 Mcr – momento de fisuración debido a las cargas aplicadas, usando un módulo dada por la siguiente fórmula, fr = 0.62 fc’ (MPa) (e) Las cargas concentradas aplicadas al muro por encima de la sección se consideran que se distribuyen sobre un ancho de: 1- Igual al área de contacto (A) más un ancho a cada lado que se aumentan con una pendiente vertical de 2 a 1 horizontal hasta la sección considerada

Pu1

Pu1 e e

Pu2

Pu1

wu ∆u Pu2 lc / 2

2- No mayor que el espaciamiento (E) de las cargas concentradas 3- No más allá del borde del muro B

194

Lc/2

2 Lc A + (Lc/4) + B  E

A + (Lc/2)  E

(f) El esfuerzo vertical (Pu/Ag) en el centro de Lc no debe exceder 0.06 fc’ El momento de diseño Mn en el medio de debe ser: Mn  Mu XXII.6.3 (C14.3) Mu = Mua + Pu u XXII.6.4 (C.14.4) Mua es el momento en el medio de Lc del muro de las cargas verticales y horizontales mayoradas, sin incluir los efectos P∆ y ∆u es: u = 5 Mu (Lc) ^2 / (0.75) 48 Ec Icr XXII.6.5 (C.14.5) Mu debe obtenerse por iteración de las deflexiones o por la siguiente ecuación: Mu = Mua / {1 – [5Pu (Lc) ^2 / (0.75) 48 Ec Icr]} XXII.6.6 (C.14-6) Icr = n Ase (de – c) ^2 + [lw(c) ^3]/3 XXII.6.7 (C.14-7) Ase = As + (Pu / f)[(h/2) / d] XXII.6.8 (C.14-7) El valor de n no debe tomarse menor que 6 La deformación máxima (s) debido a las cargas de servicio, incluyendo el efecto de P- no debe exceder Lc/150 Pu es la carga axial mayorada u es la deformación en Lc/2 Lc es la altura del muro Ec es el módulo de elasticidad del concreto Icr es el momento de inercia fisurado de la sección homogeneizada n = Es / Ec  6 Es- módulo de elasticidad del refuerzo ordinario Ase es el área del refuerzo longitudinal a tracción de es la distancia desde la fibra extrema a compresión al centroide del refuerzo a tracción c es la distancia desde la más comprimida hasta el eje neutro Si Ma, momento máximo a media altura del muro debido a las cargas laterales y verticales excéntricas, en servicio, incluyendo los efectos P∆, excede de (2Mcr / 3) , s debe calcularse con la siguiente ecuación: s = (2cr / 3) + {[Ma – (2 Mcr / 3)] /[ (Mn – (2Mcr / 3)]}{ n – (2cr / 3)} XXII. 6.9 (C.14-8) Si Ma no excede de (2Mcr / 3), s debe calcularse con la siguiente ecuación: s = Ma ∆cr / Mcr XXII. 6.10 (C.14-9) donde ∆cr = 5 Mcr lc^2 / 48 Ec Ig XXII.6.11 (C.14-10) ∆n = 5 Mn lc^2 / 48 Ec Icr XXII.6.12 (C.14-11) Icr debe calcularse con Icr = n Ase (d – c) ^2 + [lw(c) ^3]/3 XXII.6.13 (C.14-15) Ma debe obtenerse por interacción de las deflexiones XX1I .7 EJEMPLO DE DISEÑO DE UN MURO Diseñar una pared (muro) que está simplemente apoyada con Lu = 5.90 m, k = 1.0, Concreto fc’ = 28 MPa fy = 420 MPa Sin desplazamiento lateral, que está sometida a las siguientes cargas: Pu = 0.02 MN Mu = 0.002 MN-m  = 0.75 Solución Asumimos h = 0.20 m r = 0.3 h = 0.06 m 195

k Lu / r = 1.0 x 5.9 / 0.06 = 98.3 < 100 e = 0.1 m e/h = 0.1 / 0.2 = 0.5 Ec = 25000 MPa Ig = 1 x 0.2^3 / 12 = 0.00067 m^4 Consideremos que la cuantía del refuerzo es  = 0.0028 As = 0.000504 m^2  = 0.9 + 0.5 (d) ^2 – 12   1.0  =0.9 + 0.5 x 0.75^2 – 12 x 0.0028 = 1.15 > 1.0 Se cumple EI = 0.1 (Ec Ig / ) = 0.1 x 25000 x 0.00067 / 1.15 = 1.45 MPa Pc = ^2 EI / (k Lu) ^2 = ^2 x 1.45 / (1.0 x 5.9) ^2 = 0.41 MN Cm = 1.0 para elementos con cargas transversales entre apoyos ns = Cm / [ 1 – (Pu/ 0.75 Pc)] = 1.0 / [1 – (0.02 / 0.75 x 0.41) = 1.07 > 1 Se cumple Mc = sn M2 = sn Mu = 1.07 x 0.002 = 0.00214 MN-m Asumimos que s  0.005 y  = 0.9 Pn = 0.85 fc’ b a – As fy Pn = Pu / 0.9 = 0.02 / 0.9 = 0.0222 a = (Pn + As fy) / 0.85 fc’ b = (0.0222 + 0.000504 x 420) / 0.85 x 28 x 1.00 = 0.0098 m c = a/1 = 0.0098 / 0.85 = 0.01156 m t = (0.003 / c) (d – c) = (0.003 / 0.01156) (0.18 – 0.01156) = 0.0437 > 0.005 Es tensión controlada Mn = 0.85 fc’ b a [(h/2) – (a/2)] – As fy (h/2 – d) = Mn = 0.85 x 28 x 1.0 x 0.0098 [0.1 – 0.0049] – 0.000504 x 420 x 0.18 = 0.0222 MN-m > Mu Se cumple XXII.8 EJEMPLO DE DISEÑO DE UN MURO Diseñar la pared (muro) exterior de una nave que está restringida de movimiento en la parte superior. La carga del techo es transmitida por una viga prefabricada de 0.1 m de espesor espaciada a 1.5 m Carga muerta del techo 0.003 MN/ m^2 Pu 10 m de luz Carga viva 0.0012 MN/m^2 Carga de viento = 0.001 MN/m^2 lu = 4.0 m e k = 1.0 (articulado en los dos extremos 1.0 m fc’ = 28 MPa fy = 420 MPa

lu = 4. m

Solución 1- Suponemos que h = 0.15 m e = 0.15 m El refuerzo vertical es una camada No.4 @ 0.25 m en el centro de la pared (As = 0.000516 m^2 por metro) Para un metro de ancho ρ = As / bw h = 0.000516 / 1.0 x 0.15 = 0.00344 2- Longitud efectiva de la pared para la reacción del techo le = A + 4 h < E El valor de A (ancho de la viga) = 0.1 m le = 0.1 + 4 x 0.15 = 0.7 m < E = 1.5 m, le = 0.7 m 3- Cargas del techo por metro de pared Carga muerta = 0.003 x (1.5 / 0.7) x 10 /2 = 0.03214 MN/ m Carga viva = 0.0012 x (1.5 / 0.7) x 10 /2 = 0.012857 MN/m Peso propio de la pared en el centro de su altura = 0.0075 MN / m 196

3- Combinaciones de cargas mayoradas Combinación 1: U = 1.2 D + 0.5 Lr Pu = 1.2 (0.03214 + 0.0075) + 0.5 x 0.012875 =0.047 + 0.007 = 0.054 MN Mu = 1.2 (0.03214 x 0.15) + 0.5 x 0.012857 x 0.15 = 0.006749 MN-m βd = 0.047 / 0.054 = 0.87 Combinación 2 U = 1.2 D + 1.6 Lr + 0.8W Pu = 1.2 (0.03214 + 0.0075) + 1.6 x 0.012875 + 0 =0.047 + 0.0206 = 0.0676 MN Mu = 1.2 (0.03214 x 0.15) + 1.6 x 0.012857 x 0.15 + 0.8 (0.001 x 4^2 / 8) = 0.01047 MN-m βd = 0.047 / 0.0676 = 0.695 Combinación 3 U = 1.2 D + 1.6 W + 0.5 Lr Pu = 1.2 (0.03214 + 0.0075) + 0 + 0.5 x 0.012875 =0.047 + 0.007 = 0.054 MN Mu = 1.2 (0.03214 x 0.15) + 1.6 (0.001 x 4^2 / 8) + 0.5 x 0.012857 x 0.15 = 0.0109 MN-m βd = 0.047 / 0.054 = 0.87 Combinación 4 U = 0.9 D + 1.6 W Pu = 0.9 (0.03214 + 0.0075) + 0 = 0.035676 MN Mu = 0.9 (0.03214 x 0.15) + 1.6 (0.001 x 4^2 / 8) = 0.0075389 MN-m 5- Comprobación de la esbeltez del Muro r = 0.3 h = 0.3 x 0.15 = 0.045 m k lu / r = 1.0 x 4.0 / 0.045 = 88.88 < 100 Entonces se puede utilizar XVIII. 6 EFECTOS DE LA ESBELTEZ EN ELEMENTOS A COMPRESIÓN Mc = δns M2

δns = Cm / {1 – [Pu / 0.75 Pc]} ≥ 1

Pc = (π^2) EI / (k lu) ^2

EI = (Ec Ig / β) [0.5 – (e/h)] ≥ 0.1 (Ec Ig / β) ≤ 0.4 (Ec Ig / β) e / h = 0.15 / 0.15 = 1.0 > 0.5 EI = 0.1 [Ec Ig / β] Ec = 25000 MPa Ig = 0.00028125 m^4 β = 0.9 + 0.5 βde^2 -12ρ ≥ 1.0 β = 0.9 + 0.5 βde^2 – 12 x 0.00344 ≥ 1 β = 0.85872 + 0.5 βde^2 ≥ 1.0 EI = 0.1 [25000 x 0.00028125] / β] = 1.014 / β Pc = 0.6255 / β MN Cm = 1.0 (elemento con cargas transversales entre los apoyos) Para cada combinación de cargas Caso 1 2 3 4

Pu (MN) 0.054 0.0676 0.054 0.0356

M2 = Mu 0.006749 0.01047 0.0109 0.00753

βde 0.87 0.695 0.87 1.0

Β 1.23 1.10 1.23 1.36

EI(MPa) 0.8244 0.9218 0.8244 0.765

Pc (MN) 0.5085 0.5686 0.5086 0.459

δns 1.165 1.188 1.165 1.115

Mc(MN-m) 0.01220 0.01244 0.0127 0.0084

7. Comprobar la resistencia de diseño contra la resistencia requerida Consideramos que es tensión controlada εt ≥ 0.005 Para cada combinación de carga debe hallarse εt Como EJEMPLO lo haremos para la combinación 2 Primeramente se halla el valor de (a) con la ecuación: Pn = 0.85 fc’ b a – Asfy Pn = Pu /  = 0.0676 / 0.9 = 0.075 MN 0.075 = 0.85 x 28 x 1.0 x a - 0.000516 x 420 = 23.8 a – 0.2167 a = 0.0125 m c = a / β = 0.0125 / 0.85 = 0.0147 m εt = 0.003 (de – c) / c = 0.003 (0.075 – 0.0147) / 0.0147= 0.0123 > 0.005 Es tracción controlada  = 0.9 De la misma forma se realiza para las otras combinaciones de carga 197

Ahora hallamos el momento nominal para cada combinación. Como EJEMPLO hallaremos para la combinación 2 Mn = 0.85 fc’ b a (h/2 – a /2) – As fy (h/2 – recu) Mn = 0.85 x 28 x 1.0 x 0.0125 x (0.15/2 – 0.0125) - 0.000516 x 420(0.15/2 – 0.07) = 0.0175 MN-m Mn = 0.0175 / 0.9 = 0.0157 MN-m > Mu = 0.01047 M-m Resiste Para está combinación, el refuerzo propuesto es correcto De la misma manera realiza para las otras combinaciones Nota: El Muro (pared) debe comprobarse a Cortante, Deformación y Fisuración

XXII.9 EJEMPLO DE DISEÑO DE UN MURO POR EL MÉTODO EMPÍRICO Diseñar la pared (muro) exterior de una nave que está restringida de movimiento en la parte inferior y superior. La carga del techo es transmitida por una viga prefabricada de 0.1 m de espesor espaciada a 1.5 m Carga Muerta del techo 0.003 MN/ m^2 10 m de luz Carga viva 0.0012 MN/m^2 Pu lu = 4.0 m fc’ = 28 MPa fy = 420 MPa k = 0.7 (un extremo restringido)

lu = 4 m

1- Seleccionamos el espesor del muro h ≥ lu / 25 ≥ 0.1 m 4 / 25 = 0.16 m > 0.1 m Consideremos h = 0.16 m 2 – Calculamos la carga mayorada Cargas del techo por metro de pared Carga Muerta = 0.003 x (1.5 / 0.7) x 10 /2 = 0.03214 MN/ m Carga Viva = 0.0012 x (1.5 / 0.7) x 10 /2 = 0.012857 MN/m Pu = 1.2 Cm + 1.6 Cv = 1.2 x 0.04814 + 1.6 x 0.012857 = 0.07834 MN (Se incluyo el peso propio) 3- Comprobemos la presión de contacto (Véase Capítulo XXV) ancho de apoyo A1 = 0.16 x 0.15 = 0.024 m^2 Capacidad a presión de contacto =  0.85 fc’ A1 = 0.65 x 0.85 x 28 x 0.024 = 0.37128 MN > Pu 4- Calculemos la resistencia del Muro longitud efectiva- distancia entre apoyos 1.5 m ancho apoyo + 4 h = 0.1 + 4 x 0.16 = 0.74 m, Se utiliza el menor valor que es 0.74 m k = 0.8 Pn = 0.55  fc’ Ag [1 – (k ln / 32 h) ^2] = 0.55 x 0.7 x 28 x (0.16 x 0.74) [1 – (0.8 x 4.0 / 32 x 0.16) ^ 2 Pn = 1.27 MN > Pu El espesor del Muro es adecuado 5 Determinemos el refuerzo Refuerzo vertical = 0.0012 x 1.0 x 0.16 = 0.000192 m^2 / m Refuerzo horizontal = 0.002 x 1.0 x 0.16 = 0.00032 m^2 / m Espaciamiento 3 h = 0.48 m 0.45m Se escoge el menor que es 0.45 m Vertical: utilizar No.4 a 0.45 m (As = 0.000259 m^2) Horizontal: utilizar No.4 @ 0.40 m (0.00032 m^2) 198

XX1V.10 EJEMPLO DE DISEÑO DE UN MURO POR EL MÉTODO ALTERNATIVO Diseñar la pared (muro) exterior de una nave que está restringida de movimiento en la parte superior. La carga del techo es transmitida por una viga prefabricada de 0.1 m de espesor espaciada a 1.5 m Carga Muerta del techo 0.003 MN/ m^2 Pu 10 m de luz Carga Viva 0.0012 MN/m^2 Carga de viento = 0.001 MN/m^2 lu = 4.0 m e k = 1.0 (articulado en los dos extremos) 1.0 m fc’ = 28 MPa fy = 420 MPa

lu = 4. m

Solución 1- Suponemos que h = 0.15 m e = 0.15 m El refuerzo vertical es una camada No.4 @ 0.25 m en el centro de la pared (As = 0.000516 m^2 por metro) Para un metro de ancho ρ = As / bw h = 0.000516 / 1.0 x 0.15 = 0.00344 > 0.0012 Se cumple 2- Distribución de las cargas concentradas hasta el medio del muro Las cargas concentradas aplicadas al muro por encima de la sección se consideran que se distribuyen sobre un ancho de: 1- Igual al área de contacto (A) más un ancho a cada lado que se aumentan con una pendiente vertical de 2 a 1 horizontal hasta la sección considerada W + ln / 2 = 0.1 + 4 / 2 = 2.1 m 2- No mayor que el espaciamiento (E) de las cargas concentradas E = 1. 5 m Tomamos 1.5 m 3- No más allá del borde del Muro 3- Cargas del techo por metro de pared Carga Muerta = 0.003 x (1.5 / 0.7) x 10 /2 = 0.03214 MN/ m Carga Viva = 0.0012 x (1.5 / 0.7) x 10 /2 = 0.012857 MN/m Peso propio de la pared en el centro de su altura = 0.0075 MN / m 4- Combinaciones de cargas mayoradas Combinación 1: U = 1.2 D + 0.5 Lr Pu = Pu1 + 0.5 Pu2 = 1.2 (0.03214 + 0.0075) + 0.5 x 0.012875 =0.047 + 0.007 = 0.054 MN Pu1 = 0.04757 MN Pu2 = 0.012857 MN Mua = wu lc^2 / 8 + Pu1 e / 2 = 0 + 0.04757 x 0.15 = 0.00713 MN-m Pu1 = 0.04757 MN Pu2 = 0.012857 MN Mua = wu lc^2 / 8 + Pu1 e / 2 = 0 + 0.04757 x 0.15 = 0.00713 MN-m Ec = 25000 MPa Ig = 0.00028125 m^4 n = Es / Ec = 210000 / 25000 = 8.4 > 6.0 utilizamos 6 Ase = As + (Pu / fy) [(h/2) /de] XXIV. 7.7 Ase = (0.000516+ (0.054 / 420) [(0.15/2) / 0.10 = 0.000612 m^2 / m a = Ase fy / 0.85 fc’ lw = 0.000612 x 420 / 0.85 x 28 x 1 = 0.0114 m c = a / β1 = 0.0134 m 199

Icr = n Ase (de – c) ^2 + [lw(c) ^3]/3 XXIV. 7.6 Icr = 5.82 x 0.0006445 x (0.075 – 0.0114) ^2 + [1.0 x 0.0134^3] / 3 = 0.000239 m^4 εt = (0.003 / c) h – 0.003 = (0.003 / 0.0134) 0.15 – 0.003 = 0.0316 > 0.005 Es tracción controlada por lo cual  = 0.9 Mu = Mua / {1 – [5Pu (Lc) ^2 / (0.75) 48 Ec Icr]} XXIV. 7.5 Mu = 0.00713 / {1 – [5 x 0.054 (4.0) ^2 / (0.75) 48 x 36050 x 0.000239]} Mu = 0.00723 MN-m De la misma forma se realiza para las otras combinaciones Combinación 2 U = 1.2 D + 1.6 Lr + 0.8W Pu = 1.2 (0.03214 + 0.0075) + 1.6 x 0.012875 + 0 = 0.047 + 0.0206 = 0.0676 MN Mu = 1.2 (0.03214 x 0.15) + 1.6 x 0.012857 x 0.15 + 0.8 (0.001 x 4^2 / 8) = 0.01047 MN-m Combinación 3 U = 1.2 D + 1.6 W + 0.5 Lr Pu = 1.2 (0.03214 + 0.0075) + 0 + 0.5 x 0.012875 =0.047 + 0.007 = 0.054 MN Mu = 1.2 (0.03214 x 0.15) + 1.6 (0.001 x 4^2 / 8) + 0.5 x 0.012857 x 0.15 = 0.0109 MN-m

Combinación 4 U = 0.9 D + 1.6 W Pu = 0.9 (0.03214 + 0.0075) + 0 = 0.035676 MN Mu = 0.9 (0.03214 x 0.15) + 1.6 (0.001 x 4^2 / 8) = 0.0075389 MN-m 5- Comprobación de que es tracción controlada Pn = Pu /  = 0.054 / 0.9 = 0.06 MN a = (Pn + As fy) / 0.85 fc’ b = (0.06 + 0.000516 x 420) / 0.85 x 28 x 1.0 = 0.0116 m c = a / β1 = 0.0116 / 0.85 = 0.0136 m εt = 0.003 (d-c) / c = 0.003 (0.15 / 2 - 0.0136) / 0.0136 = 0.0158 > 0.005 Es tracción controlada

6 -Hallemos Mcr Ig = 0.00028125 m^4 ys = 0.15 / 2 = 0.075 m fr = 0.62 √fc’ = 0.7 √28 = 3.70 MPa Mcr = fr Ig / ys = 3.70 x 0.000281 / 0.075 = 0.0139 MN-m 7 – Comprobemos  Mn a- Combinación 1 Mn = Ase fy (de – a/2) = 0.0006445 x 420 (0.075 – 0.0116 / 2) = 0.0187 MN-m  Mn = 0.9 x 0.0187 = 0.0168 MN-m > Mu = 0.00723 MPa > Mcr = 0.0139 MPa De la misma forma se realiza para las otras combinaciones 8 – Comprobación de la deformación en el centro del muro Si Ma, momento máximo a media altura del muro debido a las cargas laterales y verticales excéntricas, en servicio, incluyendo los efectos P∆, excede de (2Mcr / 3) , s debe calcularse con la siguiente ecuación: s = (2cr / 3) + {[Ma – (2 Mcr / 3)] /[ (Mn – (2Mcr / 3)]}{ n – (2cr / 3)} XXIV. 6.8 Si Ma no excede de (2Mcr / 3), s debe calcularse con la siguiente ecuación: s = Ma ∆cr / Mcr XXIV. 6.9 donde ∆cr = 5 Mcr lc^2 / 48 Ec Ig XXIV. 6.10 ∆n = 5 Mn lc^2 / 48 Ec Icr XXIV. 6.11 Icr debe calcularse con Icr = n Ase (de – c) ^2 + [lw(c) ^3]/3 XXIV. 6.6 Msa = w lc^2 / 8 + Ps1 / 2 = 0.001 x 4.0^2 / 8 + 0.03214 + (0.012852 / 2) = 0.002 + 0.038566 = Msa = 0.040566 MN Ps = Ps1 + Ps2 / 2 = 0.045 MN Ma = Msa / {1 – [5 Ps (lc^2) / 48 Ec Icr]} = 0.040566 / {1 – [5 x 0.045 (4^2) / 48 x 25000 x 0.00028125]} Ma = 0.041 MN-m Mcr = 0.0139 MN-m 2 Mcr / 3 = 0.00926 MN-m Entonces Ma > 2 Mcr / 3, que para obtener s, se debe utilizar la ecuación 200

s = (2cr / 3) + {[Ma – (2 Mcr / 3)] /[ (Mn – (2Mcr / 3)]}{ n – (2cr / 3)} XXIV. 6.8 ∆cr = 5 Mcr lc^2 / 48 Ec Ig XXIV. 6.10 ∆cr = 5 x 0.0139 x 4^2 / 48 x 25000 x 0.00028125 = 0.00329 m ∆n = 5 Mn lc^2 / 48 Ec Icr XXIV. 6.11 Icr = n Ase (de – c) ^2 + [lw (c) ^3] / 3 XXIV. 7.6 Icr = 6 x 0.0006445 (0.075 - 0.0006445) ^2 + [1 x 0.0006445^3] /3 = 0.019 m^4 ∆n = 5 x 0.0187 x 4^2 / 48 x 25000 x 0.019 = 0.0000652 m s = (2x 0.00329 / 3) + {[0.041 – (2 x 0.00926 / 3)] /[ (0.0187 – (2 x 0.00926 / 3)]}{ 0.0000652 – (2 x 0.00329 / 3)} s = 0.00209 m lc / 150 = 0.02666 m > s = 0.00209 m Se Cumple XXII.11 MUROS SOMETIDOS A CARGAS HORIZONTALES PARALELAS AL PLANO DEL MISMO Y A CARGAS VERTICALES Este Epígrafe se aplica para el efecto de cargas horizontales paralelas al plano del muro, además de las fuerzas verticales que actúan sobre el mismo Estos muros son considerados como muros en voladizo y están sometidos a Momento Flector y Cortante Carga vertical

Plano del Muro

Carga horizontal paralela al plano del muro XXII.1I.1 EFICIENCIAS DE LOS MUROS Los muros continuos (sin aberturas) son los más eficientes, pero muchas veces es necesario hacerles aberturas por motivos funcionales (puertas, ventanas, etc.) que debilitan la rigidez del muro. Los segmentos horizontales entre dos aberturas adyacentes se les pueden considerar como una viga y la porción vertical entre dos aberturas como una columna corta

viga

Columna corta Un muro con aberturas puede analizarse como un pórtico XXII.1I.2 RIGIDEZ DE LOS MUROS El parámetro más importante que describe un muro es su rigidez. Se considera la rigidez de un muro como la fuerza necesaria para causar un desplazamiento unitario

201

XXII.1I.2.1 Rigidez de un muro en voladizo y en extremos fijos m P

d h

La deformación total (m) es la suma de la deformación producida por la carga horizontal (P) y la producida por el cortante (c)

Para un muro en voladizo m= p + c = P h^3 / (3 Em I) + 1.2 Ph/ A Gm XXII.1I.2.1A El factor 1.2 es el coeficiente de forma para sección rectangular Gm = 0.4 Em XXII.1I.2.1B m = (Ph^3 / 3 Em I) + (3Ph/A Em) XXIV.12.2.1C La Rigidez del Muro en voladizo es: Rmv = 1 / m XXII.1I.2.1D Para un muro de espesor (t) y ancho (d), obtenemos m = (P/ Em t)/ [4(h/d) ^3 + 3(h/d)] XXIV.12.2.1E Y la rigidez se obtiene de XXII.11.2.1D Para un muro de extremos fijos (MF) mf = (1/t) [(h/d) ^3 + (h/d)] XXII.1I 2.1F La rigidez relativa es lo que interesa, no su valor absoluto. Entonces: La rigidez relativa Ri, para un mismo material puede obtenerse con las siguientes fórmulas: Para muro con extremos fijos Ri = 1 / {0. 0833(h/d) ^3 + 0.25 (h/d)} XXII.1I.2.1G Para muro en voladizo Ri = 1/ {(0.333(h/d) ^3 + 0.25 (h/d)} XXII.1I.2.1F h – altura del muro d – longitud del Muro en dirección del desplazamiento Deformación de los Muros () (F) extremos fijos (v) voladizo h/d 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

(h/d)^3 0.001 0.008 0.027 0.064 0.125 0.216 0.343 0.512 0.729 1.000 1.331 1.728 2.197 2.744 3.375 4.096 4.913 5.832 6.859 8.000 9.261 10.648 12.167 13.824

0.0833(h/d)^3 + 0.25(h/d) 0.0251 0.0507 0.0773 0.1053 0.1354 0.1680 0.2036 0.2427 0.2857 0.3333 0.3859 0.4440 0.5080 0.5786 0.6561 0.7412 0.8343 0.9358 1.0464 1.1664 1.2964 1.4370 1.5885 1.7515

0.333(h/d)^3 + 0.25 (h/d) 0.0253 0.0527 0.0840 0.1214 0.1668 0.2221 0.2896 0.3710 0.4685 0.5840 0.7196 0.8772 1.0588 1.2665 1.5023 1.7368 2.0659 2.3949 2.7159 3.1720 3.6182 4.1064 4.6388 5.2172 202

2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

15.625 17.760 19.683 21.963 24.389

1.9265 2.1294 2.3146 2.5286 2.7567

5.8438 6.5818 7.2491 8.0320 8.8709

XXII.12.3 RIGIDEZ DE LOS MUROS CON ABERTURAS La rigidez efectiva del muro con aberturas solamente es desarrollada por los segmentos del muro sin aberturas Las columnas cortas o pedestales pueden tener diferentes anchos y alturas: su ancho es igual al ancho del segmento entre las aberturas y su altura igual al menor de las dos alturas a cada lado de la abertura. Cada pedestal es asumido que está atado al tope a la viga superior a él y al cimiento u otra viga inferior. Entonces cada pedestal actúa como una columna fija en cada extremo, el punto de inflexión para flexión está en el centro del pedestal En los muros estructurales, el análisis consta de dos partes: 1. Determinación del cortante que le transmite el diafragma 2. Distribución del cortante a los pedestales El cortante (Vu) que transmite un diagrama rígido a los pedestales es proporcional a su rigidez relativa El cortante de un pedestal individual es determinado con: Multiplicando el cortante (Vu) por un Factor de Distribución (FD) FD es definido como la relación de la rigidez de un pedestal particular (Rj) a la suma de la rigideces de todos los pedestales ( Rj) participando para resistir el cortante (Vu) DF = Rigidez de un pedestal / suma de la rigidez de todos los pedestales XXI 12.3.1 Primeramente se halla la deformación del muro considerándolo en voladizo sin abertura Después se resta la deformación de los voladizos en las zonas interiores del muro que tienen las aberturas. teniendo una altura igual a la mayor de las aberturas. A este resultado se le añade la suma de la deflexión empotrada de los pedestales dentro la faja interior que llega a la deformación del muro sin abertura. El inverso de este valor es la rigidez del muro En el siguiente ejemplo se detalla todo lo anterior XXII.13 EJEMPLO de diseño de un muro con aberturas. El muro de la siguiente figura consiste de varios pedestales. La altura de cada pedestal se toma como la altura de la menor abertura a cada lado del pedestal 1. Se determina la deformación y la rigidez del muro total en voladizo h = 7 m d = 9 m h/d = 7 / 0.7777 = 0.875 Con la Tabla de XXII.1I.2 hallamos m = 0.34658 La rigidez del muro total es: km = 1 /  = 1 / 0.3468 = 2.8853 2. Determinamos la parte del muro con abertura. La altura máxima de las aberturas es h= 4 m y su longitud (d) es 9 m h / d = 4 / 9 = 0.4444  = 0.14155 k = 1 / 0.14155 = 7.0646 3. Hallamos las deformaciones y las rigideces de los pedestales Para el pedestal (a) h/d = 4/2 = 2 Fa = 1.1664 ka = 1/1.1664 = 0.857 El Pedestal b, c y d h / d= 4 / 5 = 0.8 Fb,c,d = 0.2427 k(b.c.d) = 4.12 Zona b, c y abertura h/d = 1/5 = 0.2 F= 0.0507 k(b,c y abertura) = 19.723 pedestal (b) h/d = 1 / 2= 0.5 Fb = 0.1354 ki = 7.3855 pedestal (c) h/d = 1/1 = 1 Fc = 0.3333 kc = 3.0 k(b y c) = 7.3855 + 3.0 = 10.3855  = 1 / k(b y c) = 0.0963  = 0.2427 – 0.0507 + 0.0963 = 0.2883 k = 1 / 0.2883 = 3.4686 zona entera k = 0.857 + 3.4686 = 4.326  = 1 / k = 1 / 4.326 = 0.2311 Muro entero  = 0.34658 - 0.14155 + 0.2311 = 0.43613 k = 1/0.43613 = 2.292 El muro sin abertura tiene una rigidez de k = 2.8853 El muro con abertura es k = 2.2932 La rigidez relativa del muro con abertura es el 79 % del Muro sin abertura

3m 3m b

a 4m 203

9m 4. Hallemos la distribución de la fuerza dentro del muro Pedestales b, c y d Para el pedestal d: h/de = 3/5 = 0.6 d = 0.1680 (kde = 5.9524) b,c,d = d + 1 / [(1 / b) + (1/ c)] = 0.1680 + 1/ [(1/0.1354) + (1/ 0.333)] = 0.2642 k = 3.785 Pedestal (a) a = 1.1664 ka = 0.857 k = 3.785 + 0.857 = 4.642 Para el pedestal(a) ka /k = 0.857 / 4.642 = 0.1846 (18.46%) Para pedestales b, c, d= 3.785 / 4.642 = 0.8154 (81.54%) Los pedestales b,c y d toman el 81.54% del cortante del Muro y son distribuidos al pedestal b y al pedestal c como sigue: pedestal b: ki /k = 7.3855 / (7.3855 + 3.0) = 0.7112 ( 71.11%) pedestal c = 3.0 / 10.3855 = 0.2888 (28.88%) Resumen: Pedestal % del cortante del muro a 18.46 b 71.11% de 81.54% = 57.98 c 28.88% de 81.54% = 23.56 100.00

XXII.14 CORTANTE EN LOS MUROS El diseño para fuerzas cortantes horizontales en el plano del muro debe hacerse de acuerdo lo dispuesto en este Capítulo El diseño de la sección horizontal para cortante en el plano del muro debe hacerse con base en las siguientes ecuaciones: Vu ≤  Vn XXII.14.1 Vn = Vc + Vs Vu-cortante último Vc-cortante resistido por el concreto Vs-cortante resistido por el refuerzo

XXII.14.2

en las cuales la resistencia a cortante del concreto (Vc) y la resistencia a cortante del refuerzo (Vs) deben obtenerse de acuerdo con lo dispuesto en este inciso La resistencia nominal a esfuerzo cortante (Vn) en cualquier sección no debe exceder de: (5/6)fc’ h de, donde h espesor del muro En el diseño para fuerzas cortantes horizontales en el plano del muro, (de) debe ser igual a 0.8 lw (lw- longitud horizontal del muro en mm) Puede utilizarse un valor de (de), igual a la distancia desde la fibra extrema a compresión hasta el centro de fuerza de todo refuerzo a tracción, cuando aquella se haya determinado por medio de un análisis de compatibilidad de deformaciones A menos que se efectúe un cálculo más detallado de acuerdo con lo que a continuación se especifica, la resistencia al cortante contribuida por el concreto (Vc) no puede tomarse mayor que 0.17 fc’ h de para muros sometido a una fuerza de compresión (Pu) , ni (Vc) puede tomarse mayor que el valor dado por la siguiente ecuación, para muros sometidos a una fuerza de tracción (Nu): Vc = (0.17fc’ ) [1+ (0.29Nu / Ag)] h de  0 XXII. 14.3 donde Nu es positiva para compresión y negativa para tracción. La cantidad (Nu/ Ag) expresada en MPa 204

La resistencia al cortante contribuida por el Concreto (Vc), no debe ser mayor que el menor calculado por: Vc = (0.27fc’ ) h de+ (Nu / 4 lw h) XXII.14.4 (C.11-27) Ó Vc = {(0. 05 fc’) + [lw [(fc’) + (0.2 Nu / lw h)] / [(Mu / Vu) – (lw / 2)]} (h de) XXII.14.5 (C.11-28) lw- longitude total del muro donde Nu es positivo para compresión y negativo para tracción. Cuando (Mu/Vu) – (lw/2) sea negativo no debe usarse la ecuación XXIV. 5.3 Las secciones localizadas más cerca que lw/2 de la base, o que hw/2, la que sea menor, pueden diseñarse para el mismo Vc calculado a una distancia Lw/2 ó hw/2 Cuando Vu <  0.5 Vc h de XXII. 14.6 debe suministrarse refuerzo mínimo que se indicó en XXIV.1 Cuando Vu exceda de V/2 h de, el refuerzo que resiste cortante debe diseñarse de acuerdo con lo que a continuación se expresará XXII.16 DISEÑO DEL REFUERZO CORTANTE PARA MUROS Cuando el esfuerzo cortante Vu exceda la resistencia Vc, debe suministrarse refuerzo a cortante horizontal de modo que se cumplan las ecuaciones: Vu ≤  Vn XXII.16.1 Vn = Vc + Vs XXII.16.2 en las cuales el valor de (Vs), aplicable sobre un área (h d) debe calcularse por medio de: Vs = Av fy de / s2 XXII.16.3 (C.11-29) donde Av es el área del refuerzo a cortante horizontal dentro de una distancia (s2). de se puede considerar igual a 0.8 lw. Se puede utilizar un valor mayor de (de) igual a la distancia de la fibra extrema a compresión a la resultante de las fuerzas de todo el refuerzo a tracción, cuando la ubicación de la resultante se determine por un análisis de compatibilidad de deformaciones Debe colocarse refuerzo vertical para cortante de acuerdo con la cuantía de refuerzo vertical, indicada a continuación La cuantía (t) de refuerzo horizontal para cortante calculada sobre un área bruta de Concreto para una sección vertical no debe ser menor de 0.0025 El espaciamiento del refuerzo horizontal para cortante, s2, no debe exceder lw/5, 3h ni 450 mm La cuantía (l) de refuerzo vertical para cortante calculada sobre el área bruta del Concreto para una sección horizontal no debe ser menor de: n = 0.0025 + 0.5[2.5 – (hw/lw)] (t – 0.0025) XXII.16.4 (C.11-30) ni menor de 0.0025, pero no se necesita ser mayor que el refuerzo horizontal requerido para cortante El espaciamiento del refuerzo vertical para cortante s1 (espaciamiento del refuerzo vertical de un muro expresado en mm) no debe exceder lw/3, 3h ni 500 mm XXII.17 DISEÑO DE UN MURO SOMETIDO A CARGAS HORIZONTALES PARALELA AL EJE DEL MISMO Diseñar el pedestal(a) del EJEMPLO XXII.13, el cortante total que está sometido el muro (pared) es de Vu = 0.3 MN y actúa en el tope del muro, o sea a 7.0 m del piso h = 0.15 m lw = 2.0 m fc’ = 28 MPa fy = 420 MPa Pu = 0.01 MN Solución 1- Comprobemos el cortante máximo permitido La resistencia nominal a esfuerzo cortante (Vn) en cualquier sección no debe exceder de: (5/6)fc’ h de, donde h espesor del muro En el diseño para fuerzas cortantes horizontales en el plano del muro, (de) debe ser igual a 0.8 lw (lw- longitud horizontal del muro en mm) Puede utilizarse un valor de (de), igual a la distancia desde la fibra extrema a compresión hasta el centro de fuerza de todo refuerzo a tracción, cuando aquella se haya determinado por medio de un análisis de compatibilidad de deformaciones 0.8 lw = 0.8 x 2.0 m = 1.6 m Vn =  (5/6)fc’ h de = 0.75 x (5/6) 28 x 0.15 x 1.6 = 0.4134 MN > 0.3 MN 2- Hallemos el cortante que resiste el Concreto como la carga vertical es pequeña, consideremos que el cortante que resiste el concreto es: (1/6) fc’ h de entonces,  Vc = 0.75 x √28 x 0.15 x 1.6 = 0.952 MN > Vu = 0.3 MN 205

 Vc / 2 = 0.952 / 2 = 0.476 > Vu = 0.3 MN, sw debe colocar el refuerzo mínimo 3- Calculemos el refuerzo para flexión Mu = 0.3 x 7 = 2.1 MN-m de = 0.6 m Para tracción controlada el concreto resiste  Mc =  μct fc’ b de^2 = 0.9 x 0.228 x 28 x 0.15 x 1.6 =  Mc = 2.21 MN-m > Mu El concreto resiste z = de (1.0– 0.375 β1) = 1.6 (1.0 – 0.375 x 0.85) = 1.09 m As = Mu/ fy z = 2.1 / 0.85 x 420 x 1.09 = 0.0054 m^2 = 54 cm^2 XXII.18 PROBLEMAS PROPUESTOS XXII.18.1 Que fuerzas debe resistirlos Muros Estructurales que hacen parte del sistema de resistencia sísmica? XXII.18.2 Que refuerzo mínimo debe colocarse en los muros a menos que se requiera una cantidad mayor por razones de cortante XXII.18.3Diseñar una pared (muro) que está simplemente apoyada con Lu = 6.00 m, k=1.0, Concreto fc’ = 28 MPa fy = 420 MPa Sin desplazamiento lateral, que está sometida a las siguientes cargas: Pu = 0.03 MN Mu = 0.001 MN-m d = 0.75 XXII.18.4 Diseñar la pared (muro) exterior de una nave que está restringida de movimiento en la parte superior. La carga del techo es transmitida por una viga prefabricada de 0.1 m de espesor espaciada a 1.5 m Carga muerta del techo 0.0033 MN/ m^2 10 m de luz Carga viva 0.0015 MN/m^2 Carga de viento = 0.0015 MN/m^2 Pu lu = 4.0 m e k = 1.0 (articulado en los dos extremos 1.0 m fc’ = 28 MPa fy = 420 MPa

lu = 4. m

XII.18.5 DISEÑO DE UN MURO POR EL MÉTODO ALTERNATIVO Diseñar la pared (Muro) exterior de una nave que está restringida de movimiento en la parte superior. La carga del techo es transmitida por una viga prefabricada de 0.1 m de espesor espaciada a 1.5 m Carga Muerta del techo 0.0032 MN/ m^2 Pu 10 m de luz Carga viva 0.0012 MN/m^2 Carga de viento = 0.0015 MN/m^2 lu = 5.0 m e k = 1.0 (articulado en los dos extremos 1.0 m fc’ = 28 MPa fy = 420 MPa

lu = 4. m

206

CAPÍTULO XXIII ESFUERZOS DE CONTACTO (APLASTAMIENTO) Nota: Está sección no es aplicable a los anclajes de Presforzado La resistencia de diseño del concreto a esfuerzos de contacto (aplastamiento) no debe exceder de:  0.85 fc’ A1. Excepto cuando la superficie de apoyo sea más ancha en todos los lados que el área cargada, la resistencia de diseño de diseño a esfuerzo de contacto (aplastamiento) sobre el área cargada puede multiplicarse por  (A2 / A1)  2 En este caso  = 0.65

45 45

Área A1

Área

A1 45

207

CAPÍTULO XXIV (Capitulo C.12) DESARROLLO, EMPALMES DEL REFUERZO Y CORTES DE BARRAS DESARROLLO DEL REFUERZO Se entiende por longitud de desarrollo (ld) en el anclaje por adherencia, la longitud necesario para garantizar la resistencia del anclaje hasta la rotura del acero 1-La tracción o compresión calculada en el refuerzo de cada sección de elementos de concreto estructural debe ser desarrollada hacia cada lado de dicha sección mediante una longitud embebida en el concreto por medio de gancho, barra corrugada con cabeza o dispositivos mecánicos, o una combinación de ellos. Los ganchos y barras corrugadas con cabeza no se deben emplear para desarrollar barras en compresión 2-Los valores de √fc’ utilizados en este Capítulo no deben exceder de 8.3 MPa XXIV.1 DESARROLLO DE BARRAS CORRUGADAS Y DE ALAMBRES CORRUGADOS A TRACCIÓN (C.12.2) 1 -La longitud de desarrollo (ld), parra barras corrugadas y alambres corrugados a tracción se deben calcular según las expresiones de la siguiente Tabla XXIV.1, pero no puede ser menor de 300 mm (12”)

Separación libre entre barras, que se desarrollan o empalman, mayor o igual a db, recubrimiento libre mayor o igual a db y estribos a lo largo de ld cumpliendo el mínimo requerido o Separación libre entre barras, que se desarrollan o empalman, mayor o igual a 2 db y recubrimiento libre mayor o igual a db Otros casos (separación mínima entre barras, recubrimiento mínimo y sin estribos mínimos

Tabla XXIV.1 Barras no. 6 (3/4”) ó 20M (20 mm) o menores y alambres corrugados

Barras No 7 (7/8”) ó 22M (22 mm) y mayores

ld = [ fy Ψt Ψe / (2.1 λfc’)] db

ld = [ fy Ψt Ψe / (1.7 λ fc’)] db

(XXIV.1a)

ld = [ fy Ψt Ψe / (1.4 λ fc’)] db (XXIV.Ic)

(XXIV.Ib)

ld = [ fy Ψt Ψe/ (1.1 λ fc’)] db (XXIV.d)

3- Para barras corrugadas o alambres corrugados, ld debe calcularse utilizando la siguiente fórmula: ld = ( fy Ψt Ψe Ψs / {1.1 λ fc’ [ (cb + Ktr)/db)]}) db (XXIV.e) (C.12-1) cb- recubrimiento En donde el término (cb + Ktr/db) (XXIV.1f) no debe tomarse mayor de 2.5 y Ktr = 40 Atr / s n (índice de refuerzo transversal) n - es el número de barras o alambres que se empalman o desarrollan dentro del plano de hendimiento Atr – área total de refuerzo transversal en forma de estribos, dentro de una distancia (s) y que cruza un plano potencial de fractura adyacente al refuerzo que se desarrolla, en mm^2 fy– resistencia nominal a la fluencia del acero transversal, expresada en MPa 208

s – espaciamiento centro a centro del refuerzo transversal que existe en la longitud de desarrollo (ld) expresado en mm Nota: Como una simplificación de diseño, se permite utilizar Ktr = 0, aunque haya refuerzo transversal presente Ψt- Coeficiente relacionado con la localización de la barra Refuerzo horizontal colocado de tal manera que haya más de 300 mm de concreto fresco en el momento de fundir el concreto, debajo de la longitud de desarrollo o del empalme Ψt = 1.3 Otra situación Ψt = 1.0  - Coeficiente relacionado con el tipo de superficie del refuerzo Barras de refuerzo o alambre con recubrimiento epóxico, con recubrimiento de Concreto menor que 3 db o separación libre entre barras menores que 6 db Ψe = 1.5 Todos los otros casos de barras y alambres con recubrimiento epóxico Ψe = 1.2 Barras y alambres sin recubrimiento y refuerzo recubierto con cinc (galvanizado) Ψe = 1.0 El producto Ψt Ψe no hay necesidad de que exceda 1.7 Ψs - Coeficiente de escala relacionado con el diámetro de la barra Barras No 6 (3/4”) ó 20M (20 mm) o menores, y alambre corrugado Ψs = 0.8 Barras No 7 (7/8”) (22 mm) y mayores Ψs = 1.0 c – Dimensión del espaciamiento o del recubrimiento del refuerzo, expresado en mm λ -para concreto de peso normal igual a λ =1.0 y para concreto ligero λ =0.75 3. Refuerzo en exceso La longitud de desarrollo puede reducirse cuando el refuerzo en un elemento a flexión es mayor del que se requiere por análisis, exceptuando aquellos casos en los cuales el anclaje o el desarrollo de fy La reducción puede hacerse en la siguiente proporción: As(requerido) / As(suministrado) 4. Desarrollo de Barras y Alambres Corrugados a Compresión (C.12.3) La longitud de desarrollo (ld) en mm, en barras corrugadas a compresión debe calcularse como el producto de la longitud de desarrollo básica (ldb) y los Coeficientes de Modificaciones aplicables, pero (ld) no puede ser menor de 200 mm (8”) A longitud de desarrollo básica, debe tomarse como el mayor de: (ldb) = [0.24 fy / λ (fc’)] y db  0.043 db fy (XXIV.Ig) la constante 0.043 tiene unidades (mm^2 / N) La longitud de desarrollo (ldb), se puede multiplicar por los Coeficientes aplicables para: a) Refuerzo en exceso – Refuerzo en exceso del que requiere el análisis: ..... As(requerido) / As(suministrado) b) Espirales y estribos – Refuerzo encerrado dentro de refuerzo en espiral de diámetro no menor de No 2 (1/4”) ó 6M (6 mm) y cuyo paso no sea mayor de 100 mm, o estribos de barra No. 4 (1/2”) ó 12M (12 mm), que cumplan los requisitos de Estribos de Detalles de Refuerzo y espaciados a menos de 100 mm centro a centro.................... 0.75 5. Desarrollo de barras en paquete (C.12.4). La longitud de desarrollo de las barras individuales dentro de un paquete a tracción o a compresión, es la barra individual incrementada en un 20% para paquetes de 3 barras, y en un 33% para paquetes de 4 barras Para determinar los Coeficientes apropiados e, un conjunto de barras en paquete debe tratarse como una sola barra de un diámetro derivado del área total equivalente y con un centroide que coincide con el del paquete de barra 6. Desarrollo de ganchos estándar a tracción (C.12.5) La longitud de desarrollo (ldh), en mm, para barras corrugadas en tracción que terminan en un gancho estándar, debe obtenerse como el producto de la longitud de desarrollo básica, (lbh) por el Coeficiente o Coeficientes de Modificación, pero no puede ser menor que el mayor entre 8 db y 150 mm (6”) La longitud de desarrollo básica (lbh) para: - una barra corrugada (0.24 Ψe fy / λ√fc’)db XXIV.1g con Ψe = 1.0 para concreto de peso normal Ψe = 0.75 para concreto ligero La longitud de desarrollo (lhb) debe multiplicarse por el Coeficiente o Coeficientes apropiados siguientes: a) Resistencia a la fluencia de la barra- Barras con fy diferente de 420 MPa....... fy/420 b) Para barras No 11, 32M y menores, con recubrimiento lateral, (normal al plano del gancho) mayor de 65 mm, para ganchos de 90 con recubrimiento en la extensión después del gancho no menor de 50 mm ................. 0.7 209

Para ganchos de 90 grados de barras No. 36 y menores que se encuentran confinados por estribos perpendiculares a la barra que se está desarrollando espaciados a lo largo de ldh a no más de 3 db, o bien, rodeada de estribos paralelos a la barra que se está desarrollando y espaciados a no más de 3 db a lo largo de la longitud de desarrollo del extremo del gancho más el doblez…….. 0.8 d) Para ganchos de 180 grados de barras No. 11 ó 36M y menores que se encuentran confinados con estribos perpendiculares a la barra que se está desarrollando, espaciados a no más de 3db a lo largo de ldh…………………………………………………………………………0.8 e) Estribos – Para barras No 11 (1-3/8”), 32 M (32 mm) o menores en que el gancho está rodeado vertical u horizontalmente por estribos con un espaciamiento medido a lo largo de la longitud de desarrollo, (ldb), menor de 3 db donde db es el diámetro de la barra con el gancho... 0.8 f) Refuerzo en exceso – Donde no se requiera o no se necesite anclar o desarrollar específicamente fy, As(requerido) / As(suministrado) db es el diámetro de la barra del gancho, y el primer estribo debe confinar la parte doblada del gancho, a una distancia menor de 2db del borde extremo del gancho Para barras que son desarrolladas mediante un gancho estándar en extremos discontinuos de elementos con recubrimiento sobre el gancho de menos de 65 mm en ambos lados y en el bode superior (o inferior), la barra con el gancho se debe confinar con estribos, perpendicular a la barra en desarrollo, espaciados en no más de 3 db a lo largo de ldh. El primer estribo debe confinar la parte doblada del gancho dentro de 2 db del exterior del doblez, donde db es el diámetro de la barra con gancho. En este caso no deben aplicarse los factores de c) y d) anteriores Los ganchos no deben considerarse efectivos para el desarrollo de barras a compresión 7. Desarrollo de las barras corrugadas con cabeza y ancladas mecánicamente en tracción (C.12.6) El desarrollo del refuerzo se puede obtener a través de combinar anclajes mecánicos y longitud de anclaje adicional entre el anclaje mecánico y el lugar donde se debe desarrollar el máximo esfuerzo en la barra La longitud de desarrollo en tracción de las barras corrugas con cabeza es limitado a que satisfagan las condiciones a) hasta h) a) El fy de la barra no debe exceder 400 MPa b) El tamaño de la barra no debe exceder No.11 ó 36M c) El concreto debe ser de peso normal d) El área neta de compresión de contacto Abrg no debe ser menor que 4Ab Ab (área de la barra) e) El recubrimiento de la barra no debe ser menor que 2 db f) El espaciamiento libre entre barras no debe ser menor que 4 db El desarrollo a tracción se obtiene con ldt ≥ [(0.19 Ψe fy / (√fc’)] db (XXIV.Ih) fc’ no debe no debe excede 40 MPa (6000 psi) el factor debe ser tomado como Ψe =1.2 para recubrimiento con epoxi del refuerzo y 1.0 para otros casos Cuando el refuerzo es en exceso excepto donde el desarrollo de fy es necesario el factor: As requerido/ As colocado puede ser aplicado a la expresión de ldt La longitud ldt no debe ser menor del mayor entre 8db y 150 m sección crítica

ldt

Desarrollo de barra con anclaje mecánico

ldt

anclaje mecánico extendido más lejos del núcleo de la columna con anclaje que excede (ldt) Las cabezas no se consideran efectivas en el desarrollo de las barras a compresión Se permite cualquier fijación o dispositivo mecánico capaz de desarrollar el fy de las barras corrugadas, siempre que los resultados de los ensayos que demuestran que esa fijación o dispositivo es adecuado, estén aprobados por la autoridad competente. Se permite el desarrollo de las barras corrugadas consistente en una

210

combinación de anclaje mecánico más longitud de embebimiento de la barra corrugada entre la sección crítica y la fijación del dispositivo mecanico 8) Desarrollo de refuerzo electro soldado de alambre corrugado a tracción (C.12.7) La longitud de desarrollo ld en mm, del refuerzo electro soldado de alambre corrugado en tracción medida desde la sección crítica hasta el extremo del alambre, debe calcularse como el producto de la longitud de desarrollo para alambre corrugado y el Coeficiente o Coeficientes de Modificación. Se permite reducir la longitud de desarrollo, pero ld no debe ser menor de 200 mm (8”) excepto al calcular los empalmes por traslapo. Cuando se utilice el coeficiente dado, se puede utilizar un coeficiente de recubrimiento epóxido, E, igual a 1.0, para malla electro soldada con recubrimiento epóxido Para malla electro soldada de alambre corrugado que tenga al menos un alambre transversal dentro de la longitud de desarrollo a una separación no menor de 50 mm (2”) del punto de la sección crítica, el Coeficiente de malla electro soldada debe ser la mayor de: [(fy – 240) / fy] ó [ 5 dpb / si] pero se debe exceder 1.0 (XXIV.1i) Para malla electro soldada de alambre corrugado sin alambres transversales dentro la longitud de desarrollo, o con un solo alambre a menos de 50 mm (2”) de la sección crítica, el Coeficiente de malla electro soldada debe tomarse como 1.0 y la longitud de desarrollo deben ser la que se determina para alambre corrugado Cuando haya alambres lisos dentro de la malla electro soldada de alambres corrugados, en la dirección en que se calcula la longitud de desarrollo; debe calcularse utilizando los requisitos de Desarrollo de Malla electro soldada de Alambre Liso 9. Desarrollo del refuerzo electrosoldado de alambre liso a tracción (C.12.8) La resistencia a la fluencia de la malla electro soldada de alambre liso, se considera que se desarrolla por el anclaje de dos alambres transversales con el más cercano a no menos de 50 mm (2”) de la sección crítica. Sin embargo, la longitud de desarrollo, ld, en mm, medida desde la sección crítica al alambre transversal más alejado no debe ser, menor que: ld  3. 3 Aw fy / (sw λ fc’) (XXIV.1j) modificado para refuerzo en exceso del que requiere el análisis, pero ld no debe ser menor de 1560 mm (61”) excepto al calcular los empalmes por traslapo 10. Desarrollo del refuerzo a flexión – Generalidades (C.12.10) a-El refuerzo a tracción puede desarrollarse doblándolo a través del alma para anclarlo o haciendo continuo con el refuerzo de la cara opuesta del elemento b-Las secciones críticas para el desarrollo del refuerzo en los elementos a flexión. Están en los puntos de esfuerzos máximos y en los puntos dentro la luz donde termina o se dobla el refuerzo adyacente. Deben cumplirse, los requisitos de Desarrollo del Refuerzo para Momento Positivo c-El refuerzo debe extenderse más allá del punto en el cual ya no se requiera para resistir la flexión, por una distancia igual a la altura efectiva del elemento, d, ó 12 db, el que sea mayor, excepto en los apoyos de luces simples y en el extremo libre de los voladizos El refuerzo que continúa debe tener una longitud de anclaje no menor que la longitud de desarrollo ld más allá del punto donde se dobla o termina el refuerzo a tracción que ya no se requiera para resistir flexión El refuerzo de flexión no puede suspenderse en la zona a tracción a menos que se cumpla una de las siguientes condiciones: a- Que el cortante mayorado en el punto de suspensión no exceda los 2/3 de la resistencia de diseño a cortante (2 / 3)  Vn b- Que se proporcione un área de estribos adicional de la que se requiere para cortante y torsión a lo largo de cada terminación de barra o alambre de malla electro soldada, por una distancia igual a 3/4 de la altura efectiva del elemento, a partir del punto de terminación. El área de estribos Av adicional, no se debe ser menor que 0.41 bw s / fyt. El espaciamiento, s, no debe exceder de d/(8 d), donde d es la relación entre el área del refuerzo interrumpido y el área total del refuerzo a tracción en esa sección c- Que las barras No 36 y menores, el refuerzo que continúa sea el doble del área requerida por flexión en el punto de interrupción y el cortante mayorado no excede del 75% de la resistencia de diseño a cortante (0.75  Vn) Se debe dar anclaje extremo adecuado al refuerzo a tracción en elementos sometidos a flexión donde la tracción del refuerzo no sea directamente proporcional al momento, como es el caso de zapatas inclinadas, escalonadas o de sección variable, ménsulas, elementos profundos a flexión o elementos en los cuales el refuerzo a tracción no sea paralelo a la cara de compresión 211

11. Desarrollo del refuerzo para momento positivo (C.12.11) Al menos 1/3 del refuerzo para momento positivo en elementos simplemente apoyados, y 1/4 del refuerzo para el momento positivo en elementos continuos, debe extenderse a lo largo de la misma cara del elemento dentro del apoyo. En vigas, tal refuerzo debe extenderse dentro del apoyo al menos 150 mm (6”). Cuando un elemento a flexión sea parte de un sistema primario resistente a fuerzas horizontales, el refuerzo para momento positivo que es necesario extender dentro del apoyo de acuerdo con el párrafo anterior., debe anclarse para desarrollar la resistencia nominal a la influencia fy, a tracción en la cara del apoyo. En apoyos simples y en puntos de inflexión, el refuerzo a tracción para momento positivo debe limitarse a un diámetro tal que (ld) calculada para fy, Según Desarrollo de barras Corrugadas y Alambre Corrugado a Tracción, cumpla la condición expresada en la ecuación de este párrafo. En aquellos casos en los cuales el refuerzo termina después del centro de un apoyo simple, con un gancho estándar en su extremo, o se disponga un anclaje mecánico equivalente a un gancho estándar; no hay necesidad de cumplir la ecuación siguiente: ld  (Mn / Vu) + la (XXIV.1k) (C.12-5) Mn = resistencia nominal a momento, obtenida suponiendo que todo refuerzo de la sección está trabajando a un esfuerzo en tracción igual a la resistencia nominal a la fluencia fy, Vu = fuerza cortante mayorada en la sección. la = en un apoyo es igual a la longitud de anclaje más allá del centro del apoyo. En el punto de inflexión, debe limitarse a la altura efectiva del elemento, ó a 12 db, lo que sea mayor El valor de Mn/Vu, puede aumentarse en un 30% cuando los extremos del refuerzo estén confinados por una reacción de compresión., entonces ld  (1.3 Mn / Vu) + la (XXIV.1l) En apoyos simples de elementos a flexión de gran altura, el refuerzo positivo a tracción debe anclarse para que pueda desarrollar la resistencia nominal a la fluencia, fy, en tracción en la cara del apoyo. En apoyos de elementos a flexión de gran altura, el refuerzo de momento positivo en tracción; debe ser continuo o apoyarse con el de vanos adyacentes. 11a. Desarrollo del refuerzo para momento negativo C.12.12) El refuerzo para momento negativo en un elemento continuo, restringido o en voladizo o en cualquier elemento de un pórtico rígido, debe anclarse en o a través de los elementos de apoyos mediante una longitud embebida o anclaje mecánico El refuerzo para momento negativo debe tener una longitud embebida en el vano según lo requerido en XXIV.1 y además en XXIV.10c Por lo menos 1/3 del refuerzo total por tracción en el apoyo proporcionado para resistir momento negativo debe tener una longitud embebida más allá del punto de inflexión, no menor que d, 12 db o ln/16 la que sea mayor

ldh

Gancho estándar

En apoyos interiores de vigas de gran altura sometidas a flexión, el refuerzo de tracción por momento negativo debe ser continuo con el de los vanos adyacentes 12. Desarrollo del refuerzo del alma (C.12.13) El refuerzo del alma debe llevarse tan cerca de las superficies a comprensión y a tracción del elemento que permita los requisitos del recubrimiento y proximidad de otros refuerzos. El refuerzo de estribos de una sola rama, en U simple o múltiple, debe anclarse por uno de los medios. Para barras No. 8 (1”) 0 25 M. (25 mm) con resistencia a la fluencia, fy, de 280 MPa (3980 psi) o menos, debe utilizarse un gancho estándar que abraza el refuerzo longitudinal. 212

Para barras No. 6 (3/4) o 20 M (18 mm), No 7, N0 8, 25M con resistencia a la influencia mayor que 260 MPa, debe utilizarse un gancho estándar que abraza el refuerzo longitudinal más una longitud de anclaje entre la mitad de la altura del elemento y la parte del gancho igual o mayor que: 0.17 db fy /(λ fc’) (XXIV.1m) Cuando se utiliza malla electro soldada conformando estribos simples en U, cada rama debe cumplir uno de los dos casos siguientes. (a) dos elementos longitudinales separados a 50 mm (2”) en la parte superior de la U, o (b) un alambre longitudinal localizado a no más de d/4 de la cara de compresión y un segundo alambre. El segundo alambre puede localizarse en la rama del estribo después del doblez, o en un doblez con un diámetro interior de doblado mayor que 8 db. En cada extremo de una sola rama de malla electro soldada de alambre liso o corrugado, dos alambres longitudinales con una separación mínima de 50 mm y con el alambre interior localizado a una distancia mayor de d/4 o 50 mm de la medía altura, d/2, del elemento. El alambre exterior localizado en la cara de tracción del elemento no debe estar localizado más afuera que la barra de refuerzo para flexión que se encuentre más cerca de la tracción. En viguetas, para barras de diámetro No. 4 (1/2”), 13 M (12 mm) o menores, un gancho estándar. Entre los extremos anclados, cada doblez, en la parte continua de un estribo en U simple o en U múltiple debe alcanza una barra longitudinal. En el caso de que las barras longitudinales dobladas para actuar como refuerzo de cortante se extiendan a una región de tracción, deben ser continuas con el refuerzo longitudinal y, si se extienden a una región de compresión, deben anclarse más allá de la mitad de la altura útil, d/2, tal como se especifica para la longitud de desarrollo para aquella parte de fy, que requiere satisfacer la ecuación: Tu  (fc’ / 12) [(Acp)^2 / Pcp]. Los pares de estribos en U, o estribos colocados de tal modo que formen una unidad cerrada, deben considerarse empalmados correctamente cuando la longitud de los traslapos sea de 1.3 ld. Este tipo de traslapo también puede considerarse adecuado en elementos que tengan una altura al menos de 500 mm (20”), si Ab fy, es menor que 40 kN (8000 Libras) por rama de estribo, y si las ramas de los estribos se extienden en la totalidad de la altura disponible del elemento. XXIV.2 EMPALME DEL REFUERZO (C.12.14) 1. Empalmes del refuerzo - Generalidades Los empalmes del refuerzo deben diseñarse de acuerdo con los requisitos del presente Capítulo. En la obra los Empalmes deben localizarse únicamente como lo indiquen o permitan los planos de diseño o las especificaciones, y sólo se permiten variaciones cuando las autorice el ingeniero Diseñador. 2. Empalme por traslapo (C12.14.2) No pueden utilizarse empalmes por traslapo para barras mayores de la No. 11 (1-3/8”) ó 32 M (32 mm), con las excepciones indicadas empalmes de Barras Corrugadas en Compresión y en Fundiciones en Sitio de Transferencia a la zapata de las fuerzas en la Base de la Columna, Muro o Pedestal Reforzado Los empalmes por traslapo de barras en paquetes deben basarse en la longitud del empalme traslapado requerida para las barras individuales del paquete, incrementándolos de acuerdo con lo prescrito en Casos Especiales de este Capítulo. Los empalmes por traslapo de barra individuales dentro de un paquete no deben superponerse. El paquete en su totalidad no puede empalmarse por traslapo en un mismo punto. Las barras unidas por medio de empalmes por traslapo que no estén en contacto, en elementos a flexión no pueden espaciarse transversalmente a más de 1/5 de la longitud requerida para el empalme traslapado, ni a más de 150 mm (6”) 3. Empalme mecánicos y soldados (C.12.14.3) Pueden utilizarse empalmes mecánicos y soldados que cumplan las condiciones de este Requerimiento. Toda conexión mecánica total debe desarrollar a tracción o compresión, según se requiera, al menos un 125% de la resistencia nominal a la fluencia fy e la barra. Con las excepciones indicadas en este Capítulo, toda soldadura debe cumplir las disposiciones de la norma NTC 4004 (Norma ANSI/AWS D1.4 de la Sociedad Americana de Soldadura) Todo empalme totalmente soldado debe estar formado por barras soldadas para que desarrollen a tracción al menos un 125% de la resistencia nominal a la fluencia fy, de la barra. 213

Todo empalme totalmente soldado que no cumpla con los requisitos anteriores. se permiten únicamente para barras No 5 (5/8”) ó (16 mm), ó menores 4. Empalmes a tracción de barras corrugadas y de alambres corrugados. (C.12.15) La longitud mínima de traslapo para empalmes a tracción de las clases A y B no debe ser menor de 300 mm (12”), donde: Empalme Clase A....................... 1.0 ld Empalme Clase B ........................ 1.3 ld ld – longitud de desarrollo a tracción para la resistencia nominal a la fluencia fy, sin el Coeficiente de modificación Los empalmes por traslapo a tracción de barras corrugadas y alambres corrugados que formen parte de mallas electro soldadas, deben ser Clase B, excepto que se permiten los de Clase A, cuando el área de refuerzo suministrado es al menos el doble del requerido por análisis en toda la longitud de empalme y menos de la mitad del refuerzo total se empalma dentro de la longitud de traslapo, como se indica en la siguiente Tabla: Empalmes a Tracción por traslapo Porcentaje máximo de As, empalmado dentro de la longitud de As(suministrado)  traslapo requerida As(requerido) 50 100 Mayor o igual a dos Clase A Clase B Menor que dos Clase B Clase B Relación de área de refuerzo suministrada al área de refuerzo requerida por el análisis en el sitio de empalme Los empalmes mecánicos o soldados que se utilicen donde el área de refuerzo suministrado sea menor del doble de lo que se requiere por el análisis, deben cumplir los requisitos de Empalmes Mecánicos y Soldados Los empalmes mecánicos y soldados que no cumplan los requisitos de empalmes Mecánicos y Soldados se permiten para barras No. 5 (5/8”) ó 16M (16 mm), o menores donde el área de refuerzo suministrada sea al menos el doble del que se requiere por análisis y se cumplan los siguientes requisitos: a) Los empalmes deben escalonarse por lo menos 600 mm (24”) y deben realizarse de tal manera que desarrollen en cada sección por lo menos el doble de la fuerza de tracción calculada en esta sección, pero no menos de 140 MPa (20000 psi) para el área total de refuerzo suministrada b) Al calcularse la fuerza de tracción que se desarrolla en cada sección, el refuerzo empalmado puede evaluarse a la resistencia especificada del empalme. El refuerzo no empalmado debe evaluarse a aquella fracción de fy definida por la relación entre la longitud de desarrollo real, más corta y el ld que se requiera para desarrollar la resistencia nominal a la fluencia fy Los empalmes en tirantes, o elementos de amarre a tracción deben hacerse con una conexión mecánica total o ser totalmente soldados y los empalmes de barras adyacentes deben escalonarse al menos 750 mm (30”) 5. Empalmes de barras corrugadas a compresión (C.12.16) La longitud mínima para empalmes traslados a compresión es (0.071 fy db) para fy de 420 MPa [(0.0005 fy db en psi) para fy de 60000 psi} o menos, ó (0.13 fy – 24) db para fy mayor de 420 MPa, [ 0.0009 fy – 24) db en psi], pero nunca menor de 300 mm (12”). Para menores de 20 MPa (3000 psi), la longitud de traslapo debe incrementarse en 1/3 Cuando se empalmen por traslapo a compresión barras de diferente diámetro, la longitud del traslapo debe ser la mayor de la longitud de desarrollo de la barra mayor o de la longitud de traslapo de la barra menor. Las barras No 14 (1-3/4”), No 18 (2-1/4”), 45M (45 mm) ó 55M (55 mm) pueden empalmarse por traslapo a barras No 11 (1-3/8”), 32M (32 mm) o menores Los empalmes mecánicos o soldados que se utilicen a compresión deben cumplir con los requisitos de Empalmes Mecánicos y Soldados 6. Empalmes a tope (C.12.16.4) Los esfuerzos en las barras solicitadas únicamente a compresión pueden trasmitirse en sus extremos a otras barras., cuando éstos se cortan a 90 y se sostienen en contacto concéntrico con la otra barra mediante un dispositivo adecuado

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Los extremos de las barras deben terminarse en superficies planas, en ángulo recto, con una tolerancia de 1.5 con el eje de las barras y deben tener una tolerancia de 3 con respecto a un apoyo total después de ensamblarse Los empalmes por contacto en el extremo deben utilizarse únicamente en elementos que tengan estribos cerrados o espirales 7. Empalmes en columnas (C.12.17.1) Deben utilizarse empalmes por traslapo, empalmes mecánicos, empalmes soldados o empalmes por contacto en el extremo, con las limitaciones de este Requerimiento. Los empalmes deben cumplir los requisitos dados para todas las combinaciones de carga en la columna. Además, en las estructuras de capacidad de Disipación de Energía Especial (DES) deben cumplirse los requisitos de este Capítulo Empalmes por traslapo en columnas Deben cumplirse los requisitos siguientes para el empalme de barras por traslapo en columnas: a) Cuando los esfuerzos en la barra debidos a las cargas mayoradas son de compresión, los empalmes por traslapo deben cumplir los requisitos de Empalmes de barras Corrugas a Compresión y cuando sean apropiados los requisitos d) y e) b) Donde los esfuerzos en las barras longitudinales de una columna, debido a las cargas mayoradas y calculados para las diversas combinaciones de cargas, no exceda de 0.55 fy en tracción, los empalmes por traslapo deben ser Clase B en cualquier sección donde se empalman más de la mitad de las barras, o Clase A donde se empalman la mitad, o menos de las barras y los empalmes entre barras alternas se escalonan a una distancia al menos igual a ld c) Cuando los esfuerzos en las barras, debido a las cargas mayoradas, son mayores de 0.5 fy en tracción, los empalmes por traslapo deben ser Clase B d) En columnas con estribos, donde los estribos en la longitud de empalme por traslapo tienen al menos un área efectiva igual a 0.0015 hs, la longitud de empalme por traslapo puede multiplicarse por 0.83, pero no puede ser menor de 300 mm (12”). En el cálculo del área efectiva deben emplearse las ramas del estribo perpendicular a la dimensión h (espesor total del elemento) e) En columnas con esfuerzo en espiral, las longitudes de empalme por traslapo de barras localizadas dentro de la espiral, pueden multiplicarse por 0.75, pero la longitud del traslapo no puede ser menor de 300 mm (12”) Empalmes mecánicos o soldados en columnas (C12.17.4) Los empalmes mecánicos o soldados en columnas deben cumplir los requisitos de Empalmes por Traslapo y Empalmes Mecánicos y Soldados 8. Empalmes a tope en columnas Pueden utilizarse por contacto en el extremo que cumplan los requisitos de Empalmes por Contacto en el Extremo, en barras sometidas a esfuerzos de compresión, siempre y cuando los empalmes se escalonen y se coloquen barras adicionales en la zona de empalme. Las barras que continúan deben tener al menos una resistencia en tracción igual a 0.25 fy, veces el área del refuerzo vertical en esa cara de la columna. Las barras adicionales deben tener una longitud mínima igual a 2 ld 9. Empalmes a tracción de malla electro soldada de alambre corrugado (C.12.18) La longitud mínima de traslapo para empalmes de malla electro soldada de alambre corrugado, medida entre extremos de cada malla, no debe ser menor que 1.3 ld ni de 200 mm (8”) y el traslapo medido entre alambres transversales más externos de cada malla no debe ser menor de 50 mm (2”), donde ld es la longitud de desarrollo para la resistencia nominal a la fluencia fy Las longitudes de los empalmes por traslapo de malla electro soldada de alambre corrugado sin alambres transversales dentro de la longitud de empalme de traslapo, deben determinarse de la misma manera que para alambre corrugado Cuando haya alambres lisos dentro de la malla electro soldada de alambre corrugado en la dirección del empalme por traslapo, o cuando una malla electro soldada de alambre corrugado se empalma por traslapo con una de alambre liso, la malla debe empalmarse siguiendo los requisitos del epígrafe siguiente 10. Empalmes a tracción de malla electro soldada de alambre liso )C.12.19) La longitud mínima de traslapo para empalmes por traslapo de malla electro soldada de alambre liso, debe cumplir lo siguiente: a) Cuando el área de refuerzo suministrada sea menor de 2 veces la requerida por análisis en el sitio de empalme, la longitud de traslapo medida entre alambres transversales más externos de cada malla no debe ser menor que un espaciamiento de los alambres transversales más 50 mm, ni menor de 1.5 ld, ni 150 mm (6”), ld es la longitud de desarrollo para la

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resistencia nominal a la fluencia fy calculada de acuerdo con Desarrollo de malla electro soldada de Alambre Liso b) Cuando el área de refuerzo suministrada sea al menos 2 veces la requerida por el análisis en el sitio de empalme, la longitud de traslapo medida entre alambres transversales más externos de cada malla no debe ser menor que 1.5 ld, ni 50 mm (2”). donde ld es la longitud de desarrollo para la resistencia nominal a la fluencia fy XXIV.3 CORTE DE BARRAS Las barras de refuerzo deben ser bien ancladas en el concreto para prevenir el deslizamiento de las mismas a partir de los puntos donde no sean necesarias Los puntos críticos para cortar las barras son puntos a lo largo del elemento donde hay un rápido descenso del momento flector o en los esfuerzos, tales como los puntos de inflexión en el diagrama de momentos de los elementos continuos El refuerzo inferior a tracción en flexión puede inclinarse a 45 grados a través del alma del elemento y anclarse en la zona superior o haciéndolas continuas con las barras necesarias en el borde superior del elemento Las barras para que tengan buen desarrollo deben extenderse después del punto donde no sean necesarias para resistir las fuerzas de tracción por flexión o donde las restantes barras son adecuadas para resistirlo El Reglamento indica las condiciones del corte de barras, las cuales pueden resumirse de la siguiente manera: Para todas las barras Condición 1. Las barras deben extenderse una longitud mínima igual a la altura efectiva del elemento (de) ó 12 db, el que sea mayor, en los puntos en que no sean necesarias por el momento flector, excepto en los apoyos o en el apoyo de voladizos Condición 2. Las barras deben extenderse al menos la distancia ld desde el punto de esfuerzo máximo de la barra o desde los puntos de corte a flexión de las barras adyacentes Para barras de momento positivo Condición 3. Elementos simplemente apoyados: Al menos de 1/3 del refuerzo de momento positivo debe ser extendido 15 cm (6”) dentro del apoyo Elementos continuos interiores con estribos cerrados: Al menos 1/4 del refuerzo para momento positivo debe extenderse 15 cm (6”) dentro del apoyo Elementos continuos interiores sin estribos cerrados: Al menos 1/4 del refuerzo para momento positivo debe ser continuo, o empalmarse cerca del apoyo con empalme Clase A y en apoyo no continuo debe ser terminado con un gancho estándar Elementos continuos perimetral Al menos 1/4 del refuerzo para el momento positivo necesario en el medio de la luz debe ser continuo alrededor del perímetro del edificio y debe ser con estribos continuos o estribos con ganchos de 135 grados alrededor de las barras superiores. La continuidad del refuerzo puede ser provisto por empalme del refuerzo inferior en o cerca del apoyo con empalme Clase A Elementos que forman parte del pórtico que es el que resiste las cargas laterales del edificio Este refuerzo debe ser anclado para desarrollar la resistencia fy, en la cara del apoyo Condición 4. en el punto de inflexión del momento positivo, y en elementos simplemente apoyados, el refuerzo para momento positivo debe satisfacer las ecuaciones ld  (Mn / Vu) + la (XXVII.12) El valor de Mn/Vu,, puede aumentarse en un 30% cuando los extremos del refuerzo estén confinados por una reacción de compresión, entonces ld  (1.3 Mn / Vu) + la (XXVII.12a) Mn = resistencia nominal a momento, obtenida suponiendo que todo refuerzo de la sección está trabajando a un esfuerzo en tracción igual a la resistencia nominal a la fluencia fy, Vu = fuerza cortante mayorada en la sección. la = en un apoyo es igual a la longitud de anclaje más allá del centro del apoyo. En el punto de inflexión, debe limitarse a la altura efectiva del elemento, ó a 12 db, lo que sea mayor Barras para momento negativo 216

Condición 5. El refuerzo para momento negativo debe anclado dentro o a través del apoyo o elementos Condición 6. Elementos interiores Al menos 1/3 del refuerzo para momento negativo debe extenderse por el mayor valor de: a) de b) 12 db c) ln / 16 pasando el punto de inflexión del momento negativo Elemento perimetral En adición de satisfacer la condición de elementos interiores, 1/6 del refuerzo para momento negativo requerido en el apoyo debe ser continuado la mitad de la luz. Lo anterior puede ser cancelada por medio de un empalme Clase A 1. 3 Mn / Vu barra b ld

barra a Sección crítica para barra (a) en localización teórica del corte de la barra (b)

Max ld total embebimiento

Punto de corte de barra en elemento simplemente apoyado

eje del apoyo Sección crítica para barra d (en la cara del apoyo) - Mu Sección crítica para barra c ≥ de, 12 db o ln / 16 ≥ ld momento resistente ΦMn para barra c

Sección crítica para barra b

Momento resistente de barra ≥ de, 12 db + Mu ≥ ld

Sección crítica para barra a Anclaje de barra a barra b

barra c

barra d 217

≥ de, 12 db barra a

≥ ld Centro de la luz

Desarrollo del refuerzo en elementos continuos

ld = de ó 12 db

Punto de inflexión

Mn / Vu

Max ld barra b Punto de corte de barra en elemento continuo

XXIV.4.1 EJEMPLO DE EMBEBIMIENTO DEL REFUERZO Calcule la longitud de embebimiento del siguiente caso: barra No. 6 (diámetro 19.1 mm) 4 barras superiores, viga de 0.5 m de altura, fy = 420 MPa fc´ = 28 MPa confinadas con estribos utilizar la simplificación de Ktr = 0 ld = ( fy Ψt Ψe Ψs / {1.1 λ fc’ [ (cb + Ktr)/db)]}) db (XXIV.e) Ψt = 1.3, por tener más de 300 mm debajo de las barras Ψe = 1.0, por no tener las barras recubrimiento Ψs = 0.8 barra No. 6 cb = 50 mm fc’ = 28 = 5.29 MPa db = 19.1 mm ld = ( 420x 1.3 x 1.0 x 0.8 / {1.1x 1.0 x 5.29 [ (50 + 0 )/19.1)]}) 19.1 = 548 mm > 300 mm XXIV42.2 EJEMPLO DE EMBEBIMIENTO DEL REFUERZO CON GANCHO DE 90° Cual es la longitud de embebimiento si se utiliza un gancho estándar? Aplicando 6c el coeficiente es 0.8 por lo tanto la longitud es 0.8 x 548 = 438.4 mm > 150 mm

XXIV.5 PROBLEMAS PROPUESTOS XXIV.5.1 EJEMPLO DE EMBEBIMIENTO DEL REFUERZO Calcule la longitud de embebimiento del siguiente caso: barra No. 8 4 barras superiores, viga de 0.5 m de altura, fy = 420 MPa fc´ = 28 MPa confinadas con estribos sin utilizar la simplificación de Ktr

218

CAPÍTULO XXV VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADA XXV.1 VIGAS REFORZADAS En este inciso realizaremos un ejemplo de resumen de una viga estáticamente determinada Una losa y una viga de un sistema de piso consisten de una viga reforzada. La viga tiene una sección T y es simplemente apoyada, con una luz de 20.0 m y espaciada a 3.0 m. La losa es de 0.15 m de espesor, continua de concreto reforzado, reforzada en solo sentido de viga a viga. El piso soporta una carga permanente (wucd) de 1.5 kPa y una carga viva (wucl) de 3.0 kPa. 1- Momento en el centro de la viga Debido al peso propio Asumimos que la altura de la viga es L / 17 = 20.0 / 17 = 1.17 m, asumimos h = 1.2 m La carga por peso propio es: 0.024 {3.0 x 0.15 + 0.3 (1.2 – 0.15)] = 0.01836 MN/m El momento por peso propio es Mo = 0.01836 x 20.0^2 / 8 = 0.918 MN-m Debido a la carga permanente wcp = 0.0015 x 3.0 = 0.0045 MN/m Mcp = 0.0045 x 20.0^2 / 8 = 0.225 MN-m Debido a la carga viva wcv = 0.003 x 3 = 0.009 MN/m Mcv = 0.009 x 20.0^2 / 8 = 0.45 MN-m Mo = 0.918 MN-m Bajo la carga total Mt = Mo + Mcp + Mcv = 0.918 + 0.225 + 0.45 = 1.593 MN-m Mu = 1.4 (Mo + Mcp) + 1.7 Cv) = 1.4 (0.918 + 0.225) + 1.7 x 0.45) = 2.3652 Mn-m Ab = 0.72 m^2 yi = 0.8625 m ys = 0.3375 m 2.70 m 0.15 m 1.14 m yi = 0.8625 m

0 219

00 0 00 0.3 m fc’ = 35 MPa fy = 420 MPa 1- Hallemos Co considerando tracción controlada y como viga rectangular Co= (Mu / ) / 0.85 fc’ bw (de) ^2 = (2.3625 / 0.9) / [0.85 x 35 x 2.7 x 1.14^2] = 0.025 de la Tabla de Co hallamos k = 0.026 j = 0.98 a = k de = 0.026 x 1.14 = 0.023 m < 0.15 m, trabaja como viga rectangular c = a / β1 = 0.023 / 0.8 = 0.037 m εs = 0.003(de – c) / c = 0.003(1.14 – 0.037) / 0.037 = 0.09 > 0.005 es tracción controlada z = (de) – 0.5 a XVI. 8.23 z = 1.14 – 0.5 x 0.023 = 1.129 m el área de acero necesario es: Mu = (As fy ) z  As = (Mu/ ) / fy z = (2.3652 / 0.9) /[420 x 1.129] = 0.00554 m^2 = 55.42 cm^2 7  No. 10 tiene 57.33 cm^2

CORTE DE BARRAS Como es un elemento simplemente apoyado por lo menos 1/3 del refuerzo debe llevarse hasta los apoyos y anclarse 150 mm dentro de apoyo, por lo cual, serán 7 / 3 = 2.33 barras, o sea llevaremos 5 barras hasta el apoyo, las cuales resisten: Mu / = As fy z = = 1.194 MN Las 5 barras resisten un momento Mu / de 1.194 MN Haciendo un corte de 2 barras, Mu / = As fy z = 0.7767 MN-m La carga mayorada es 0.047304 MN/m l = √8 (Mu / ) / cu = √8 (0.7767) / 0.047304 = 11.46 m Longitud total es = 11.46 + 2 ld El momento nominal a 4.27 m del centro del apoyo es 0.7767 / 0.9 = 0.863 MN-m Vu = 0.473 - 0.0216 x 4.27 = 0.38 MN ld  ( Mn / Vu) + la (XXVII.12) ld1  (0.863 / 0.38) + 1.14 = 3.41 m longitud total 11.46 + 2 x 3.41 = 18.28 m 20.0 m

1.9415 MN-m 1.9415 MN-m resistido por 5 barras 2.7182 MN-m 0.7767 MN-m

Mu/  = 2.3625 / 0.9 = 2.625 MN-m 11.46 m +2 x ld1= 18.28 m

220

2 barras No. 10 x 18.28 m

5 barras No. 10 x 20.40 m 20.50 m

Fisuración El espaciamiento del refuerzo más cercano a una superficie en tracción, s, no debe ser mayor que el dado por: s = 380(280 / fs) – 2.5 cc XIII.2, pero no mayor que 300(280 / fs) XIII.2.1 Nota: En la fórmula debe utilizarse fs en MPa y cc en mm, obteniendo s en mm El esfuerzo calculado fs (MPa) (psi) en el refuerzo más cercano a la cara en tracción para cargas de servicio debe obtenerse con base al momento no mayorado, se puede tomar fs = 2 fy / 3 fs = 2 x 420 / 3 = 280 MPa s = 380(280 / 280) – 2.5 x 30 = 305 mm pero no mayor que 300(280 / fs) = 300(280/280) = 300 mm El refuerzo no se colocará espaciado a más de 300 m m Cortante Compruebe la resistencia a cortante Ab = 0.72 m^2 yb = 0.8625 m ys = 0.3375 m La carga mayorada (última) es: CU = 1.4 (Cpp + Cp) + 1.7 Cv = 1.4 (0.01836 + 0.0045 + 1.7 x 0.009 = CU = 0.0473 MN/m Vu = CU (L / 2) = 0.0473 x 20.0 / 2 = 0.473 MN El cortante a h/2 del apoyo es: Longitud de apoyo más h/2 = (0.473 – 0.0473) 0.2 + 0.6) = 0.4352 MN Hallemos el cortante resistido por el concreto XX.5. 2 .1 Para elementos sometidos a cortante y flexión: Vc = [ fc’ / 7) + 17.1 w (Vu de / Mu) bw de  0.3 (  fc’) bw de XX.5.2.1 NOTA: El valor de (Vu de / Mu) no debe ser mayor de 1.0 El momento Mu es el momento flector que ocurre simultáneamente con Vu en la sección considerada El cortante mayorado en la sección debido a las cargas externas que ocurre simultáneamente con Max es Vi = cu (L/2 – x) 0.0216 (20.0 – 0.8) = 0.4147 MN y Max = cu x (L – x) / 2 = 0.0216 x 0.8 (20.0 – 0.8) / 2 = 0.1659 MN-m Vu de / Mu = 0.4147 x 1.14 / 0.1659 = 2.84 > 1.0, se tiene entonces Vu de / Mu = 1.0 w = Aa / b de = 57.33/ 30 x 114 = 0.0167 Vc = [ 35 / 7+ 17.1 x 0.0167 x 1.0 x 0.3 x 1.14 = 0.9428 MN 0.3 (  fc’) bw de = 0.3(5.616) 0.3 x 1.14 =0.576 MN entonces Vc = 0.576 MN Vc = 0.576 x 0.7 = 0.403 < Vu = 0.4147 MN El gráfico de cortante es: Vu = 0.473 MN Vu = 0.4147 MN 0.0117 MN

a + h/2 = 0.8 m Vc = 0.403 MN

10.0 m 9.8 m Utilizando estribos  3/8 “ (Av = 0.0071 m^2) y las patas es 2 x 0.0071= 0.0142 m^2 (Av / s) = Vs / fy de = 0.0117 / 420 x 1.14 = 0.000244 m^2/m s = 0.0142 / 0.000244 = 58 m 221

Se debe colocar el mínimo Estribo de 3/8” a h/2 = 0.6 m Fisuración El espaciamiento del refuerzo más cercano a una superficie en tracción, s, no debe ser mayor que el dado por: s = 380(280 / fs) – 2.5 cc XIII.2, pero no mayor que 300(280 / fs) XIII.2.1 Nota: En la fórmula debe utilizarse fs en MPa y cc en mm, obteniendo s en mm El esfuerzo calculado fs (MPa) (psi) en el refuerzo más cercano a la cara en tracción para cargas de servicio debe obtenerse con base al momento no mayorado, se puede tomar fs = 2 fy / 3 fs = 2 x 420 / 3 = 280 MPa s = 380(280 / 280) – 2.5 x 30 = 305 mm pero no mayor que 300(280 / fs) = 300(280/280) = 300 mm El refuerzo no se colocará espaciado a más de 300 m Deformación - El momento de inercia efectivo (Ie) es Ie = (Mcr/ Ma) ^3 Ig + [1 – (Mcr/Ma) ^3] Icr  Ig Mt = 1.593 MN-m b) Sección fisurada en Sección T Refuerzo en la zona traccionada solamente b hf h

k de

C = bw / (n As),

f = hf (b – bw) / (n As)

o As

n As

bw C = bw / (n As) = 0.3 / 6 x 0.005733 = 8.72 f = hf (b – bw) / (n As) = 0.15 (20.7 – 0.3) = 0.36 k de = {√ [C (2 de + hf f) + (1 + f)^2] – (1 – f)} / C k de = {√ [8.72 (2 x 1.14 + 0.15 x 0.36) + (1 + 0.36)^2] – (1 – 0.36)} / 8.72 = 0.458 m k = 0.458 / 1.14 = 0.4018 Icr = [(b – bw) hf^3] / 12 + [bw (kde)^3] / 3 + [(b – bw) hf (k de – (hf / 2)]^2 + n As ( de – kde)^2 Icr = 0.9385 m^4 yi = h – (1/2) [(b – bw)hf^2 + bw h^2] / [(b – bw)hf + bw h] yi = 0.8625 m Ig = (b – bw)hf^3 / 12] + (bw h^3 /12) + [(b – bw) hf (h –(hf / 2) – yi]^2 + bw h [yi – (h /2)]^2 Ig = 0.2777 m^4 Mcr = fr Ig / yi XIV. 2. 9 Mcr = 4.14 x 0.2777 / 0.8625 = 1.33 MN-m Ie = (Mcr/ Ma) ^3 Ig + [1 – (Mcr/Ma) ^3] Icr Ie = (1.33/ 1.593) ^3 x 0.2777 + [1 – (1.33/1.593) ^3] 0.9385 0.1616 + 0.392 = 0.5536 m^$ Ie = 0.5536 m^4 > Ig tomamos Ig = 0.2777 m^4 Ahora calculamos las deformaciones de la carga total ∆cd (debido a la carga distribuida) = 5 w L^4 / (384 Ec Ig) = ∆cd = 5 (0.03186) x 20^4 / (384 x 29000 x 0.2777) = ∆cd = 0.00824 m (deformación inmediata)

La deformación inmediata debida a una carga viva de 0.009 MN/m es: 0.009/0.03186 x 0.00824 = 0.00233 m La deformación permisible por carga viva es L / 360 = 20 / 360 = 0.02770.0555 m > 0.00233 m -

La deformación de larga duración es causada por la carga muerta, que consiste de una carga distribuida de 0.02286 MN/m Deformación debida a la carga muerta = (0.02286/ 0.03186) x 0.00824 = 0.00591 m Para hallar la deformación de larga duración, se multiplica la deformación total de carga muerta por el factor  =  / (1 + 50 ’) como no hay refuerzo a compresión ’ = 0 y  = 2.0 Entonces  = 2.0 La deformación por larga duración es: 2 x 0.00591= 0.012 m 222

La deformación total es la suma de la deformación inmediata más la deformación de larga duración =0.00824+ 0.012 = 0.020 m La deformación debido a la carga muerta más la deformación adicional de larga duración debido a la fluencia y a la retracción es 0.00591 + 0.012 = 0.01791 m XXV.2 PROBLEMA PROPUESTO Diseñar una viga reforzada con los siguientes datos: Carga permanente = 0.002 MN / m Carga viva = 0.0035 MN / m Luz de cálculo 15 m fc´= 28 MPa fy = 420 MP

223

CAPÍTULO XXVI VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS XXVI.1 INTRODUCCIÓN Las vigas continuas son ampliamente utilizadas en estructuras de concreto reforzados, debido a que los momentos flectores son bastantes menores que en vigas simplemente apoyadas. Los pórticos y estructuras de concreto donde haya continuidad deben diseñarse para que su comportamiento sea satisfactorio bajo condiciones de carga de servicio y para que además tengan una resistencia adecuada XXVI.2 COEFICIENTES DE MOMENTOS Y DEFORMACIÓN DE VIGAS A continuación se muestran los coeficientes de momentos y deformación de algunas vigas con luces iguales M = α w L^2 XXVI.2 .1 ∆ = β w L^4 / E I XXVI.2 .2 M- momento flector αA- Coeficiente para momento E- módulo de elasticidad del concreto w- carga uniformemente repartida ∆- deformación I- momento de inercia de la sección L- luz β- Coeficiente para deformación w αA = - 0.0833 A B A βB = 1 / 384 L

w αC = - 0.125 βB = 2 / 384 A

C w

A αC = - 0.10 βD = 0.20 / 384 βB = 2.65 / 384

αC = - 0.05 βD = - 1.0 / 160 βB = 3.80 / 384

αC = - 0.05 βD = 2.60 / 384 βB = - 1.0 / 320

XXVI.3 EJEMPLO. Calcular una viga continua de tres luces reforzada La viga continua de tres luces de 12 m cada una, que está sometida a una carga muerta mayorada incluyendo su propio peso de 0.008 MN/ m y una carga viva mayorada de 0.014 MN / m. La viga tiene un ancho de bw = 0.3 m, un peralto efectivo de = 0.35 m y una altura total h = 0.50 m. La viga soporta una losa de hf = 0.1 m. fc’ = 28 MPa fy = 420 MPa fr’ = 0.62√ fc’ = 3.29 MPa Ec = 24822 MPa n= Es / Ec = 8.05

224

El gráfico de momento de la viga se muestra en la siguiente figura: 1 2 M 2-3 3 M 3-4

M 1-2 Los momentos de Carga Muerta son: M1-2D= 0. 08893 MN-m M2-3D = 0. 041472 M3-4D= 0. 08893 MN-m M2D = M3D = 0.12336 MN-m Los momento de Carga Viva M1-2L = 0.1617MN-m M2-3L = 0.07542 MN-m M3-4L = 0.1617 MN-m M2L = M3L = 0.4937 MN-m Los momentos totales son: M1-2(D+L) = 0.25063MN-m M2-3(D+L) = 0.11689 MN-m M3-4(D+L) = 0.25063 MN-m M2 (D+L) = M3 (D+L) = 0.6170 MN-m La deformación máxima está a 0.446 L de A o D y es ∆ = 0.0069 w (l^4) / EI Las secciones de la viga se muestran en la siguiente figura: A

2 12 m

3 12m

4 12 m

0.10 m 0.45 m Ac2 0.05m Sección A-A (5.352 m del apoyo A)

Sección B-B (en el apoyo)

Hallemos el refuerzo longitudinal necesario: -A 5.352 m del apoyo 1 Considerando tracción controlada  = 0.9 Co= (Mu / ) / 0.85 fc’ bw (de) ^2 = (0.25063 / 0.9) / 0.85 x 28 x 0.3 x 0.45 = 0.0866 De la Tabla de Co, hallamos k = 0.093 j = 0.952 a = k de = 0.093 x 0.45 = 0.042 m < 0.10 m, trabaja como viga rectangular c = a / β1 = 0.042 / 0.85 = 0.0494 m εs = 0.003(de – c) / c = 0.003(0.45 – 0.0494) / 0.0494 = 0.024 > 0.005 es tracción controlada z = (de) – 0.5 a z = 0.45 – 0.5 x 0.042 = 0.429 m el área de acero necesario es: As = (Mu/ ) / fy z = (0.25063 / 0.9) /[420 x 0.429] = 0.00154 m^2 = 15.45 cm^2 3  No 8 = 15.3 cm² (-0.97%, se acepta) -En el apoyo 2 Mu = 0.6170 MN-m Co= (Mu / ) / 0.85 fc’ bw (de) ^2 = (0.6170/ 0.9) / 0.85 x 28 x 0.3 x 0.45 = 0.218 De la Tabla de Co, hallamos k = 0.25 j = 0.875 a = k de = 0.25 x 0.45 = 0.1125m 225

c = a / β1 = 0.1125 / 0.85 = 0.132 m εs = 0.003(de – c) / c = 0.003(0.45 – 0.132) / 0.132 = 0.0072 > 0.005 es tracción controlada z = (de) – 0.5 a z = 0.45 – 0.5 x 0.1125 = 0.397 m el área de acero necesario es: As = (Mu/ ) / fy z = (0.6170 / 0.9) /[420 x 0.397] = 0.0041 m^2 = 41.11 cm^2 5  No 10 = 40.95 cm² (-0.3 %, se acepta) En el centro de la luz 2-3 Mu2-3 = 0.12336 MN-m Co= (Mu / ) / 0.85 fc’ bw (de) ^2 = (0.12336/ 0.9) / 0.85 x 28 x 0.3 x 0.45 = 0.0426 De la Tabla de Co, hallamos k = 0.042 j = 0.0.97 a = k de = 0.042 x 0.45 = 0.0189 z = (de) – 0.5 a = 0.45 – 0.5 x 0.189 = 0.355 c = a / β1 = 0.0189/ 0.85 = 0.022 m εs = 0.003(de – c) / c = 0.003(0.45 – 0.022) / 0.022 = 0.0058 > 0.005 es tracción controlada el área de acero necesario es: As = (Mu/ ) / fy z = (0.12336/ 0.9) /[420 x 0.355] = 0.000919 m^2 = 9.19 cm^2 2  No 8 = 10.2 cm²

El gráfico de cortante es el siguiente: 0.136 MN 0.0844 MN 2

Vu 5.352 m 0.1881 MN

Luz 1-2 0.0844 MN 6.768 m Vc 1

2 Vc 5.232 m 0.1782 MN Vs

0.45 m 0.1881 MN

El cortante resistido por el concreto es: Vc = (0.17fc’) λ bw de XVII.5 .1.1 Vc = (0.1728) 1.0 x 0.3 x 0.45 = 0.12144 MN El primer tramo de 5.232 m lo revisite el concreto, colocaremos estribos No.3 a 0.20 m e espaciamiento El cortante que debe resistir los estribos en el tramo de 6.768 m es: Vs = Vu / - Vc Vs = Vu / - Vc = 0.1782 / 0.75 – 0.12144 = 0.1162 MN utilizando estribos de No. 10 (área 0.0001 m^2), 2 patas = 0.0002 m^2 s1 = Av fs de /Vs1 = 0.0002 x 420 x 0.45 / 0.1162 = 0.325 m Se coloca 1 a 0.05 m del apoyo y el resto a 0.5 de = 0.225 m ≈ 0.2 m 0.136 MN Luz 2-3 0.1258 MN

0.12144 MN 0.45 m 226

2 6m El cortante resistido por el concreto es: Vc = (0.17fc’) λ bw de XVII.5 .1.1 Vc = (0.1728) 1.0 x 0.3 x 0.45 = 0.12144 MN El cortante que debe resistir los estribos es: Vs = Vu / - Vc = 0.1258 / 0.75 – 0.12144 = 0.0463 MN Hay varias forma de calcular el refuerzo transversal, puede tomarse el 75 % de Vs y considerarlo uniforme utilizando estribos de No. 10 (área 0.0001 m^2), 2 patas = 0.0002 m^2 s1 = Av fs de /Vs1 XX.7.5.2 s1 = 0.0002 x 420 x 0.45 / 0.0463 = 0.8 m, Se coloca 1 a 0.05 m del apoyo y el resto a 0.5 de = 0.225 m ≈ 0.2 m Fisuración El espaciamiento del refuerzo más cercano a una superficie en tracción, s, no debe ser mayor que el dado por: s = 380(280 / fs) – 2.5 cc XIII.2, pero no mayor que 300(280 / fs) XIII.2.1 Nota: En la fórmula debe utilizarse fs en MPa y cc en mm, obteniendo s en mm El esfuerzo calculado fs (MPa) (psi) en el refuerzo más cercano a la cara en tracción para cargas de servicio debe obtenerse con base al momento no mayorado, se puede tomar fs = 2 fy / 3 fs = 2 x 420 / 3 = 280 MPa s = 380(280 / 280) – 2.5 x 30 = 305 mm pero no mayor que 300(280 / fs) = 300(280/280) = 300 mm El refuerzo no se colocará espaciado a más de 300 m Deformación Aunque en el centro de las luces puede analizarse si es viga T, la analizaremos como viga rectangular carga muerta sin mayorar = 0.0571 MN / m carga viva sin mayorar = 0.00824 MN / m Carga total sin mayorar = 0.0653 MN / m Los momentos de Carga Muerta son: M1-2D= 0. 06352 MN-m M2-3D = 0. 02962 M3-4D= 0. 06352 MN-m M2D = M3D = 0.08811 MN-m Los momento de Carga Viva M1-2L = 0.09511 MN-m M2-3L = 0.04436 MN-m M3-4L = 0.096MN-m M2L = M3L = 0.29039 MN-m Los momentos totales son: M1-2(D+L) = 0.15863 MN-m M2-3(D+L) = 0.07398 MN-m M3-4(D+L) = 0.1592 MN-m M2 (D+L) = M3 (D+L) = 0.3785 MN-m 1– Cálculo del momento efectivo de inercia (Ie) a 0.446 l del apoyo A o D Ig = b h³ / 12 = 0.3 x 0.5³ / 12 = 0.003125 m^4 El momento de fisuración Mcr = fr Ig / ys = 3.29 x 0.003125/ 0.25 = 0. 041 MN-m La viga es fisurada debido que Mcr es menor de los momentos aplicados - A 5.232 m del apoyo A La profundidad del eje neutro se halla de: kde = {[√(2 de B + 1) ] – 1} / B X.3e B = bw / (nAs) X.3c n = 8.05 B = 0.30 / 8.05 x 0.001503 = 24.785 kde = {[√(2 x 0.45 x 24.785 + 1) ] – 1} / 24.785 = 0.154 m Hallemos el momento de inercia agrietado Sección rectangular con acero en la zona de tracción solamente: Icr = bw (kde)³ / 3 + n As (de – kde)² Icr = 0.3 x (0.154)³ / 3 + 8.05 x 0.001503 (0.45 – 0.154)² = Icr = 0.0014253 m^4 Ahora hallemos la relación de Mcr/ M 227

Carga muerta = Mcr/ Mcm = 0. 041 / 0. 06352 =0.647 Carga muerta + 0.6 de carga viva = Mcr / (Mcm + 0.6 Mcv) = 0. 041 / (0. 06352 + 0.6 x 0.09511 ) = Carga muerta + 0.6 de carga viva = 0.34 Carga muerta + Carga viva = Mcr / (Mcm + Mcv) = 0. 041 / (0.15863 ) = 0.25845 Hallemos el momento de inercia efectivo en el centro de la luz: Ie = [(Mcr / Ma) ^3] Ig + [1 – (Mcr / Ma) ^3] Icr  Ig Para carga muerta Iem = [(Mcr / Ma) ^3] Ig + [1 – (Mcr / Ma) ^3] Icr Iem = [(0.647) ^3] 0.003125+ [1 – (0.647) ^3] 0.0014253 = 0.00188 m^4 Para carga muerta + 0.6 caga viva Iem+0.6 cv = [(Mcr / Ma) ^3] Ig + [1 – (Mcr / Ma) ^3] Icr Iem+0.6 cv = [(0.34) ^3] 0.003125 + [1 – (0.34 ) ^3] 0.0014253 = 0.001492 m^4 Para carga viva Iev = [(Mcr / Ma) ^3] Ig + [1 – (Mcr / Ma) ^3] Icr Iev = [(0.041 / 0.09511) ^3] 0.003125 + [1 – (0.041 / 0.09511) ^3] 0.0014253 = 0.00156 m^4 Para carga muerta + carga viva = Ie (cm + cv) = 0.01726 x 0.003125 + [1 – 0.01726] x 0.0014253 = 0.001477 m^4 < Ig, utilizamos Icr = 0.00274 < Ig, utilizamos Icr 3- Momento de inercia efectivo en el apoyo 2 Ig = b h^3 / 12 = 0.3 x 0.5^3 / 12 = 0.003125 m^4 ys = 0.5 / 2= 0.25 m El momento de fisuración Mcr = fr Ig / ys = 3.29 x 0.003125/ 0.25 = 0. 041 MN-m La viga es fisurada debido que Mcr es menor de los momentos aplicados La profundidad del eje neutro se halla de: kde = {[√(2 de B + 1) ] – 1} / B X.3e B = bw / (nAs) X.3c n = 8.05 B = 0.30 / 8.05 x 0.0041 = 9.089 kde = {[√(2 x 0.45 x 9.089 + 1) ] – 1} / 9.089 = 0.223 m Hallemos el momento de inercia agrietado Sección rectangular con acero en la zona de tracción solamente: Icr = bw (kde)³ / 3 + n As (de – kde)² Icr = 0.3 x (0.223)³ / 3 + 8.05 x 0.0041 (0.45 – 0.223)² = Icr = 0.0028 m^4 Ahora hallemos la relación de Mcr/ M Carga muerta = Mcr/ Mcm = 0. 041 / 0.08811 =0.4652 Carga viva = 0.041 / 0.29039 = 0.141 Carga muerta + 0.6 de carga viva = Mcr / (Mcm + 0.6 Mcv) = 0. 041 / (0.26234 ) = = 0.156 Carga muerta + Carga viva = Mcr / (Mcm + Mcv) = 0. 041 / (0.15863 ) = 0.25845

Para carga muerta Iem = [(Mcr / Ma) ^3] Ig + [1 – (Mcr / Ma) ^3] Icr Iem = [(0.4652) ^3] 0.003125 + [1 – (0.4652) ^3] 0.0028 = 0.00283 m^4 Carga muerta + 0.6 de carga viva Iem+ 0.6 carga viva = [(Mcr / Ma) ^3] Ig + [1 – (Mcr / Ma) ^3] Icr [(0.156) ^3] 0.003125 + [1 – (0.156) ^3] 0.0028 = 0.0028 Carga muerta + Carga viva = Mcr / (Mcm + Mcv) = 0. 041 / ( 0.3785 ) = 0.108 Ie (cm + cv) = [(Mcr / Ma) ^3] Ig + [1 – (Mcr / Ma) ^3] Icr  Ig Ie = [(0.108) ^3] 0.003125 + [1 – (0.108) ^3] 0.0028 = 0.00319  Ig Para carga viva Ie ( cv) = [(0.141) ^3] 0.003125+ [1 – (0.141) ^3] 0.0028 = 0.0028 4- Hallemos el promedio de Ie -Para vigas con un extremo continuo: Ie = 0.85 Im + 0.15 (Icon) XIII. 2. 25 Para carga muerta Ie = 0.85 Im + 0.15 (Icon) = 0.85 x 0.00188 + 0.15 x 0.00283 = 0.0020 m^4 Para carga muerta + 0.6 carga viva Ie = 0.85 Im + 0.15 (Icon) = 0.85 x 0.001492 + 0.15 x 0.0028 = 0.001689 m^4 Para carga viva = Ie = 0.85 Im + 0.15 (Icon) = 0.85 x 0.00156 + 0.15 x 0.0028 = 0.001746 m^4 228

Para carga muerta + carga viva = Ie (prom (cm + cv)) = 0.85 x 0.00274 + 0.15 x 0.00319 = Ie prom (cm + cv)) = 0.0028 m^2 5- Hallemos la deformación instantánea ∆max (0.446 l) = 0.0069 w l^4 / EI = [0.0069 (12^4) / 24822] (w/ Ie (prom)) = 0.005764 w / Ie (prom)) Deformación para carga muerta ∆cm = 0.005764 w / Ie (prom)) = 0.005764 x 0.0057 / 0.0020 = 0.0164 m Deformación inicial para carga viva ∆cv = (0.005764 x 0.0082 / 0.0028) = 0.01688 m Deformación inicial para carga muerta y 0.6 carga viva = ∆ (cm+ 0.6cv)) = (0.005764 x 0.017 / 0.002806) - 0.005764 x 0.008 / 0.00428 = 0.0240 m Deformación inicial para carga viva + carga muerta ∆ (cm+ cv) = 0.005764 w / Ie (prom)) = 0.005764 x 0.0082 / 0.0028 = 0.0169 m 6 Hallemos la deformación a largo plazo La deformación total (∆t) para elementos reforzado c se obtiene con la siguiente fórmula: ∆t = ∆L + λ∞ ∆D + λx ∆Ls XII.3a ∆L, ∆D y ∆Ls - Deformación instantánea de la carga viva, carga muerta y la porción de la carga de larga duración de la carga viva λ∞ -coeficiente de la carga permanente (carga muerta) λx –coeficiente de la carga de ∆Ls (Cargas temporales de larga duración) ∆t = 0.01688 + 2 x 0.0164 + 1.75 x 0.0240 = 0.09 m 7- Las deformaciones permisibles son: De la Tabla de la sección XII.6 L / 180 = 0.066 m > ∆v = 0.01688 m L / 360 = 0.033 m > ∆m = 0.0164 m L / 480 = 0.025 m < ∆t = 0.09 m No se cumple L / 240 = 0.05 m < ∆t = 0.09 m No se cumple XXVI.4 PROBLEMAS PROPUESTOS XVVI.4.1 Cálculo de una viga contínua Viga continua de tres luces de 10 m cada una, que esta sometida a una carga muerta incluyendo su propio peso de 0.007.5 MN/ m y una carga viva de 0.020 MN / m. La viga tiene un ancho de bw =0.3 m, un peralto efectivo de = 0.5m y una altura total h = 0.55 m. La viga soporta una losa de hf = 0.1 m.

CAPÍTULO XXVII (Capitulo 17) ELEMENTOS COMPUESTOS CONCRETO-CONCRETO SOMETIDO A FLEXIÓN XXVII.1 INTRODUCCIÓN Las secciones compuestas generalmente son prefabricadas de concreto reforzado en la cual posteriormente se vacía una placa que son interconectadas de tal manera que en conjunto responden a las cargas como una unidad Para resistir el cortante y el momento flector puede utilizarse el elemento compuesto o parte del mismo Los elementos individuales deben investigarse para todas las etapas críticas de carga Al calcular la resistencia de los elementos compuestos, no debe distinguirse entre elementos con cimbra (encofrado) y sin cimbra Todos los elementos deben diseñarse para soportar todas las cargas introducidas antes del desarrollo total de la resistencia de diseño de los elementos compuestos Cuando se utilice apuntalamiento, ésta sólo debe retirarse cuando los elementos hayan desarrollado las propiedades de diseño que se requieran para soportar todas las cargas y para limitar las deflexiones y agrietamiento en el momento de la remoción En la siguiente figura se muestra una sección compuesta: Nivel B-B

Placa vaciada en el lugar

229

Nivel A-A

Placa prefabricada

vigas prefabricadas

XXVII.2 RESISTENCIA AL CORTANTE VERTICAL (C.17.4) Cuando se suponga que un miembro compuesto completo resiste cortante vertical, el diseño debe hacerse igualmente que un elemento vaciado monolíticamente con la misma sección transversal El refuerzo para cortante debe anclarse totalmente dentro de los elementos interconectados El refuerzo a cortante vertical, extendido puede incluirse como amarre para cortante horizontal XXVII.3 RESISTENCIA AL CORTANTE HORIZONTAL (C.17.5) Para que una sección constituida por dos elementos trabaje como sección compuesta es necesario que el cortante horizontal que se produce en la zona de unión sea resistida por la unión. Si los dos elementos no tienen una buena adherencia, se produce un deslizamiento, como se muestra en la siguiente figura y los dos elementos trabajan independientemente: vaciado en el lugar

deslizamiento elemento prefabricado Cuando se logra que no se produzca el deslizamiento por medio de la adherencia entre los elementos o colocando refuerzo que tomen los esfuerzos de cortante horizontal, la sección trabajo como elemento compuesto La distribución de los esfuerzos de cortante y la dirección del cortante horizontal se muestran en la siguiente figura En el estado límite vuh = (Vu / ) / bvc de = Vnh / bvc dec XXVII.3.a = 0.85 Vnh ≤ vnh bv dec XXVII.3.b Vnh es el cortante nominal horizontal bvc es el ancho de contacto de la sección prefabricada de es el peralto efectivo desde la fibra extrema a compresión de la sección compuesta al centro de gravedad del refuerzo vaciado en el lugar vh = V Q / I b

elemento prefabricado

eje centroidal de la sección compuesta

C vaciado en el lugar

230

vh prefabricado T

vnh tiene los siguientes valores: Cuando las superficies de contacto estén limpias, libres de lechadas y estriadas intencionalmente, se puede tomar como máximo igual a 0.55 MPa. Esta resistencia se aplica sobre un área igual bv dpc Cuando se coloquen estribos mínimos y la superficie de contacto esté limpia y libre de lechada, pero no se estrió se puede tomar como máximo a 0.55 MPa Cuando se coloquen estribos con XXVII.2 y la superficie de contacto esté limpia y libre de lechada y se hayan producido estrías de un profundidad de 6 mm, el valor es (1.8 + 0.6 ρv fy) λ bv dpc pero no mayor que 3.5 bv dpc en MPa ρv es la cuantía de refuerzo en forma de estribos calculada con respecto al área de la superficie de contacto ρv = Av = bv s s es el espaciamiento de los estribos medido a lo largo del eje longitudinal del elemento Cuando el esfuerzo cortante mayorado Vu en la sección exceda  (3.5) bv dpc en MPa, el diseño para cortante horizontal debe realizarse de acuerdo con el Método de Cortante por Fricción. En este caso, todo el cortante horizontal tiene que ser tomado por el refuerzo Vnh = μ Avf fy XXVII.3c μ es el coeficiente de fricción y es igual a: μ = 1.0 para concreto colocado sobre superficie hecha intencionalmente rugosa μ = 0.6 para el caso contrario Avf es el refuerzo de cortante por fricción XXXII.3 Como una alternativa, el cortante horizontal puede investigarse calculando el cambio en la fuerza real de compresión o tracción en cualquier segmento, y tomando medidas para transferir dicha fuerza como cortante horizontal al elemento de apoyo Vnh = vnh Acc XXVII.3.d Acc es el área de contacto y es igual a: Acc = bv lvh XXVII.3.e Vhu ≤  Vnh XXVII.3.f Vhu es el cortante horizontal mayorado lvh es para viga simplemente apoyada = L /2 Para viga continua es igual a la distancia entre momento iguales a 0 XXVII.4 DISEÑO DEL REFUERZO Cuando se coloquen estribos para resistir el cortante horizontal, la relación del área de estribos a su separación, debe reflejar aproximadamente la distribución de las fuerzas cortantes en el miembro. Cuando exista tracción perpendicular a cualquier superficie e contacto entre elementos interconectados, puede suponerse transferencia de cortante por contacto sólo cuando se proporcionen estribos mínimos El espaciamiento no debe exceder cuatro veces la dimensión del elemento o 60 cm, el que sea el menor Los estribos para cortante horizontal pueden consistir en barras o alambres individuales, estribos de ramas múltiples o ramas verticales de mallas soldadas (de alambre liso o corrugado) Todos los estribos deben anclarse totalmente dentro de los elementos interconectados XXVII.5 DEFORMACIÓN Para considerar la sección de la viga depende de que si la viga fue apuntalada o no. Si es apuntalada entonces se considera la sección compuesta. El módulo de elasticidad se basa en la resistencia del concreto en la zona a compresión y el módulo de ruptura fr se basa en en el concreto en la zona de tracción Si se cumple con las dimensiones dada en la Tabla del inciso XII.5, la deformación de la sección compuesta es satisfactoria Si la sección de la sección prefabricada cumple con las dimensiones dada en la Tabla del inciso XII.5, no es necesario considerar la deformación Si la sección de la sección compuesta cumple la Tabla pero la sección prefabricada no, no es necesario calcular la deformación ocurrida después que la sección es compuesta, pero es necesario calcular la deformación instantánea y que parte de la carga ocurre antes del comienzo del trabajo como sección 231

compuesta. Normalmente se puede asumir que ocurre cuando el módulo de elasticidad de la losa alcanza el 70 a 80% del valor de los 28 días, o sea, alrededor de 4 a 7 días de vaciar la losa XXVII.6 PASOS A SEGUIR PARA EL DISEÑO DE UNA SECCIÓN COMPUESTA CON PUNTALAMIENTO Paso1 Seleccione las dimensiones Para la luz final de la losa de concreto, seleccione el espesor mínimo de la Tabla del inciso XII.5 Seleccione el peralto de la viga prefabricada de Tabla del inciso XII.5 Paso 2 Asuma las dimensiones de la viga prefabricada Paso 3 Calcule las solicitaciones de la viga compuesta Mu y Vu Suponiendo que es tracción controlada El módulo de la sección se halla con Sc = (Mu / ) / fc´ Seleccione bw y de Halle Co y j de la Tabla de Co, si la sección es rectangular o se puede considerar rectangular Paso 5 Halla el refuerzo necesario a tracción y compruebe que es tracción controlada As = (Mu / ) / fy j de Compruebe que es tracción controlada Paso 4 Compruebe la viga compuesta al cortante vertical Diseñando el refuerzo a cortante vertical necesario Paso 5 Calcule el cortante horizontal Paso 6 Compruebe la fisuración Paso 7 Compruebe la deformación XXVII.7 PASOS A SEGUIR PARA EL DISEÑO DE UNA SECCIÓN COMPUESTA SIN PUNTALAMIENTO Paso1 Seleccione las dimensiones Para la luz final de la losa de concreto, seleccione el espesor mínimo de la Tabla del inciso XII.5 Seleccione el peralto de la viga prefabricada de Tabla del inciso XII.5 Paso 2 Calcule las cagas mayoradas de la viga prefabricada La viga debe soportar su propio peso (wpp), la caga muerta de la losa de concreto (wm) El peso de la cimbra para la losa (wmc), y alguna carga viva de construcción (cvc) asuma cvc = 2.5 kPa Asuma: U = 1.2D+ 1.6L Paso3 Calcule las solicitaciones mayoradas Mu y Vu sobe la viga prefabricada Paso 4 Calcule las dimensiones de la viga prefabricada Suponiendo que es tracción controlada El módulo de la sección se halla con Sc = (Mu / ) / fc´ Seleccione bw y de Halle Co y j de la Tabla de Co, si la sección es rectangular o se puede considerar rectangular Paso 5 Halla el refuerzo necesario a tracción y compruebe que es tracción controlada As = (Mu / ) / fy j de Compruebe que es tracción controlada Paso 6 Compruebe la resistencia de la viga compuesta a flexión Paso 7 Compruebe la viga compuesta al cortante vertical Diseñando el refuerzo a cortante vertical necesario Paso 8 Calcule el cortante horizontal Paso 9 Compruebe la fisuración Paso 10 Compruebe la deformación XXVII.8 EJEMPLO DE SECCIÓN COMPUESTA Calcular la viga compuesta de la figura Una losa y una viga de un sistema de piso consisten de una viga reforzada. La viga tiene una sección T y es simplemente apoyada, con una luz de 28.0 m y espaciada a 3.0 m. La losa es continua de concreto reforzado, reforzada en solo sentido de viga a viga. El piso soporta una carga permanente de 1.5 kPa y una carga viva de 3.0 kPa. En la siguiente figura se muestra la sección compuesta: Placa vaciada en el lugar 232

Nivel B-B

0.25 m

0.05 m

Nivel A-A

Placa prefabricada para soportar el concreto húmedo

vigas prefabricadas Los esfuerzos permisibles son los siguientes: fc’ = 28 MPa (peso normal) Ec = 29000 MPa, Es = 200000 MPa Paso1 Seleccione las dimensiones Para la luz final de la losa de concreto, seleccione el espesor mínimo de la Tabla del inciso XII.5 Seleccione el peralto de la viga prefabricada de Tabla del inciso XII.5 Espesor de la losa L/24 = 300 / 24 = 12.5cm = 0.125 m Viga prefabricada de 1.60 m = 1.6 x 18.5 = 29.6 m (suficiente para 28.0 m) Hallemos los valores para considerar la viga como T En la construcción con vigas T, el ala y el alma deben construirse monolíticamente o de manera tal que se asegure su unión efectiva El ancho eficaz de la cabeza de compresión (bt) no debe exceder un cuarto de la luz de la viga b ≤ 1/4 de la luz de la viga b ≤ 20.0 / 4 = 5.0 m < 3.0 m Se cumple El ala efectiva (b1) que se proyecta hacia cada lado del alma no debe exceder: - 8 veces el espesor de la losa b1 ≤ 8 hf b1 ≤ 8 x 0.15 = 1.2 m -La mitad de la distancia hasta el alma siguiente b1 = b2 / 2 b1 = 2.7 / 2 = 1.35 m Debemos utilizar como b = 2 b1 + bw = 2 x 1.2 + 0.3 = 2.7 m Paso 2 Calcule las cargas mayoradas en la viga prefabricada La viga debe soportar su propio peso (wpp), la carga muerta de la losa de concreto (wm) El peso de la cimbra para la losa (wmc), y alguna carga viva de construcción (cvc) asuma cvc = 2.5 kPa Asuma: U = 1.2D+ 1.6L Carga de la losa de concreto (wcm)= 0.0015 MN / m² Carga muerta de la losa sin fraguar y cimbra = 0.0012 MN/ m² Peso propio de la viga (wpp) = 0.012MN/m Carga viva de construcción = 0.0025 MN / m² Carga muerta por metro lineal de la viga= (0.0015x 3 + 0.0012 x 3) + 0.012 = 0.0201 MN-m Carga viva de construcción por metro lineal = 0.0025 x 3 = 0.0075 MN-m Carga mayorada por metro lineal de la viga = 0.0201 x 1.2 + 0.0075 x 1.6 = 0.0372 MN / m Paso3 Calcule las solicitaciones mayoradas Mu y Vu sobe la viga prefabricada Mu = 0.0372 x 28² / 8 = 3.64 MN-m Vu = 0.0372 x 28 / 2 = 0.521 MN Paso 4 Calcule las dimensiones de la viga prefabricada Suponiendo que es tracción controlada El módulo de la sección se halla con Sc = (Mu / ) / fc´ = (3.64 / 0.9) / 28 = 0.144 m³ Seleccione bw y de Probemos con la siguiente sección que es un poco mayor que la necesaria (sólo como ejemplo, en un cálculo real se debe escoger una sección más próxima al necesario) 0. 45 m A = 0.47 m^2 I = 0.14318 m^4 Sb = 0.1789 m^3 St = 0.1798 = m^3 hf r^2 = 0.3046 m^2 wcp = 0.012 MN/m ks = r^2 / ys = 0.3046 / 0.8 = 0.38075 m = ki 0.8 m 0.2 m 1.6 m hf = 0.30 m 233

0.8 m 0.3 m 0.45 m Halle Co y j de la Tabla de Co, si la sección es rectangular o se puede considerar rectangular Co = [Mu /] / 0.85 fc’ bw de^2 XIII.8.27 Co = [3.64 /0.9] / 0.85 x 28 x 0.45 x 1.45² = 0.1796 De la Tabla de Co hallamos: k = 0.20 j = 0.90 a = k de = 0.20 x 1.45 = 0.30m = hf Se puede considerar rectangular Paso 5 Halla el refuerzo necesario a tracción y compruebe que es tracción controlada As = (Mu / ) / fy j de = (3.64 /0.9) / 420 x 0.9 x 1.45 = 0.0074 m² = 73.79 cm² Compruebe que es tracción controlada c = a / ß = 0.30 / 0.85 = 0.353 m s = (de – c) x 0.003 / c = (1.45 – 0.53) x 0.003 / 0.53 = 0.0052 > 0.005 Es tracción controlada se puede utilizar  = 0.9 Nota: El eje neutro de los esfuerzo cae en el alma de la viga y los esfuerzo de compresión en el ala de la misma, lo cual es una pequeña contradicción al utilizar un valor de los esfuerzos rectangular Cortante Vu = 0.521 MN El cortante que resiste el hormigón es Vc = (0.17fc’) λ bw de XVII.5 .1.1 Vc = (0.1728) 1.0 x 0.2 x 1.45 = 0.26 MN < Vc Necesita refuerzo de cortante, lo cual comprobaremos con el que se colocará cuando se diseñe como viga compuesta Hemos considerado que la viga es rectangular con bw = 0.2 m y de = 1.45 m Paso 6 Compruebe la resistencia de la viga compuesta a flexión Las que se aplicaron a la viga compuesta son las cargas muertas sobre la viga prefabricada y la carga permanente de utilización más la carga viva, pero como ya hemos considerado una porción de la misma se le sumara la diferencia wu = [0.0372 + 0.0015 x 3] 1.2 + [(0.003 - 0.0025) x 3] 1.6 = 0.0524 MN-m Mu = 0.0524 x 28² / 8 = 5.135 MN-m Co = [Mu /] / 0.85 fc’ bw de^2 XIII.8.27 Co = [5.135 /0.9] / 0.85 x 28 x 2.7 x 1.45² = 0.0422 Se utiliza bw = 2.7 m como se vió anteriormente De la Tabla de Co hallamos: k = 0.042 j = 0.979 a = k de = 0.042 x 1.45 = 0.061m Se puede considerar rectangular Paso 5 Halla el refuerzo necesario a tracción y compruebe que es tracción controlada As = (Mu / ) / fy j de = (5.135 /0.9) / 420 x 0.979 x 1.45 = 0.0096 m² = 95.7 cm² mayor que la viga prefabricada por lo cual se colocará este refuerzo a tracción Compruebe que es tracción controlada c = a / ß = 0.061 / 0.85 = 0.05185 m s = (de – c) x 0.003 / c = (1.45 – 0.05185) x 0.003 / 0.05185 = 0.081 > 0.005 Es tracción controlada Paso 7 Compruebe la viga compuesta al cortante vertical El cortante a 1.6 m de la cara del apoyo, suponiendo columnas de 0.4 m de ancho Vu = 0.0524 x 28 / 2 - 0.0524 x 1.8 = 0.6393 MN El cortante que resiste el hormigón es Vc = (0.17fc’) λ bw de XVII.5 .1.1 Vc = (0.1728) 1.0 x 0.2 x 1.625 = 0.2924 MN  Vc = 0.70 x 0.2942 = 0.2059 MN Vu >  Vc Hay que colocar refuerzo vertical Vs = Av fyt de / s XVII.7.5.2 Vs = Vu – Vc = 0.6393 – 0.2059 = 0.4334 MN Utilizando  No.4 (A = 1.29 cm²) con dos patas 2.58 cm² el espaciamiento es: s = Av fyt de = Vs = 0.000258 x 420 x 1.625 = 0.4334 = 0.40 m Que cumple con el refuerzo mínimo y espaciamiento máximo Paso 8 Calcule el cortante horizontal Para calcular el cortante horizontal se utiliza el inciso XXVII.3 Vu = 0.0524 x 28 / 2 - 0.0524 x 1.8 = 0.6393 MN

234

Cuando las superficies de contacto estén limpias, libres de lechadas y estriadas intencionalmente, se puede tomar como máximo igual a 0.55 MPa. Esta resistencia se aplica sobre un área igual bv dpc Entonces sin estribos  Vnh =  0.55 bv dpc = 0.8 x 0.55 x 0.2 x 1.625 = 0.143 MN < Vu, se necesita colocar estribos Cuando se coloquen estribos con XXVII.2 y la superficie de contacto esté limpia y libre de lechada y se hayan producido estrías de un profundidad de 6 mm, el valor es (1.8 + 0.6 ρv fy) λ bv dpc pero no mayor que 3.5 bv dpc en MPa  Vnh = (1.8 + 0.6 ρv fy) λ bv dpc La cuantía de los estribos para cortante vertical es: ρv = Av / bv s = 0.000258 / 0.2 x 0.40 = 0.003225  Vnh = (1.8 + 0.6 ρv fy) λ bv dpc = 0.8 (1.8 + 0.6 x 0.003225 x 420 ) 1.0 x 0.2 x 1.625 = 0.6793 MN  Vnh >  Vnh Se utilizará estribos  No.4 @ 0.40 m Paso 9 Compruebe la fisuración Placa vaciada en el lugar Nivel B-B

0.25 m

0.05 m

Nivel A-A

Placa prefabricada para soportar el concreto húmedo

vigas prefabricadas 1.77 cm estribos No. 4 @ 0.40 m

12 de No.10 (98.28 cm²) barras constructivas

o o

El espaciamiento del refuerzo a tracción debe cumplir: s = 380(280 / fs) – 2.5 cc s = 380(280 / 252) – 2.5 x 40 = 322 mm = 32.2 cm Se cumple Paso 10 Compruebe la deformación La viga prefabricada cumple con la Tabla del inciso XII.5, no es necesario calcular la deformación para esta etapa Para la etapa final la Tabla del inciso XII.5, nos dice que debe cumplirse: L / 16 = 28.0 / 16 = 1.75 m < 1.77 m, No es necesario calcular deformaciones XXVII.9 PROBLEMAS PROPUESTOS XXVII.9.1 Que es un elemento compuesto? XXVII.9.2 Como se calcula el cortante vertical en un elemento compuesto? XXVII.9.3 Como se calcula el cortante horizontal en un elemento compuesto? XXVII.9.4 Cuales son los pasos a seguir para calcular un elemento compuesto? XXVII.9.5 Calcular la viga compuesta con los siguientes datos Una losa y una viga de un sistema de piso consisten de una viga reforzada. La viga tiene una sección T y es simplemente apoyada, con una luz de 25.0 m y espaciada a 3.2 m. La losa es continua de concreto reforzado, reforzada en solo sentido de viga a viga. El piso soporta una carga permanente de 1.52kPa y una carga viva de 3.2 kPa.

235

CAPÍTULO XXVIII LOSA REFORZADA EN UNA DIRECCIÓN XXVIII.1 INTRODUCCIÓN Se considera que la losa trabaja en una dirección cuando: (a) tiene dos bordes libres sin apoyo vertical y tiene vigas o muros, en los otros dos bordes opuestos aproximadamente paralelos Figura XXVIII.1a (b) el panel de la losa tiene forma aproximadamente rectangular con apoyo vertical en sus cuatro lados, con una relación de luz larga a luz corta mayor de 2.0 Figura XXVIII.1b (c) la losa nervada tiene sus nervios principales en una dirección Vigas

Columnas

Figura XXVIII.1a Vigas secundarias

Vigas principales Columnas

236

Figura XXVIII.1b

XXVIII.2 ESPESORES DE LAS LOSAS Las losas reforzadas que trabajen en un sentido y que sostengan muros divisorios y particiones frágiles susceptibles de no dañarse debido a grandes deflexiones deben cumplir los espesores mínimos indicados en la Tabla XII.5a del Capítulo Estado Límite de Deformación. Para las que sostengan muros divisorios y particiones frágiles susceptible de dañarse debido a deflexiones grandes, deben cumplir lo indicado en la siguiente Tabla XXVIII.2a: Tabla XXVIII.2a Mínimo espesor (h) Elemento Simplemente Un Apoyo Ambos Apoyos Voladizos Apoyados Continuo Continuos Losas macizas L / 14 L / 16 L / 19 L/7 Vigas o losas con nervios, armadas L / 11 L/ 12 L / 14 L/5 en una dirección L- luz de la losa Para refuerzo que no sea fy = 420 MPa, los valores deben multiplicarse por 0.4 + (fy / 700) XXVIII.3 ANÁLISIS Las losas que trabajan en una dirección, macizas o aligeradas, construidas monolíticamente con sus apoyos, pueden analizarse como losas continuas sobre apoyos simples, con luces iguales a las luces libres de la losa y despreciando el ancho de las vigas y su efecto torsional. Cuando la rigidez torsional de la viga de apoyo extrema, o de los intermedios influye en la distribución de momentos de la vigueta, debe tomarse en cuenta este efecto En lugar de un análisis detallado, en las losas en una dirección pueden utilizarse los siguientes momentos y cortantes aproximados, en lugar de un método más exacto de análisis y cuando cumplan los siguientes requerimientos: a) Existan dos luces o más b) Las luces sean iguales o que la diferencia entre dos luces adyacentes no sea más del 20% de la menor c) Las cargas sean uniformemente repartidas d) La varga viva unitaria no exceda de 3 veces la carga muerta e) Los elementos sean prismáticos Momentos Positivos Luces exteriores Apoyo exterior no restringido wu (ln)^2 / 11 Apoyo exterior construido integralmente con el elemento de soporte wu (ln)^2 / 14 Luces interiores wu (ln)^2 / 16 Momentos Negativos Cara exterior del primer apoyo interior Dos luces Más de dos luces Apoyos interiores

wu (ln)^2 / 9 wu (ln)^2 10 wu (ln)^2 / 11

Apoyos interiores de losas con luces menores de 3.50 m o elementos que Llegan a apoyos muy rígidos

wu (ln)^2 / 12

Apoyo exterior de elementos construidos integralmente con sus apoyos Apoyados sobre una viga Apoyados sobre una columna

wu (ln)^2 / 24 wu (ln)^2 / 16

Cortante En elementos extremos en la cara del primer apoyo interior En la cara de todos los más apoyos wu- carga última (mayorada) uniformemente repartida

1.15 wu (ln) / 2 wu (ln) /2 237

ln- luz de cálculo Notas: La luz que se utiliza en el cálculo de los momentos negativos debe ser el promedio de las luces adyacentes Cuando se utilizan los coeficientes anteriores no es permitido la redistribución de momentos A continuación se muestran las diferentes condiciones de apoyos Para momento positivo Extremo con apoyo no restringido wu

ln Mu+ = wu ln²/ 11 Extremo con apoyo restringido wu

ln Mu+ = wu ln²/ 14

Tramos interiores wu

ln Mu+ = wu ln²/ 16 Para momento negativo Cara exterior del primer apoyo interior con dos tramos Mu- = -wu ln² / 9

Cara del primer apoyo interior con más de 2 tramos Mu- = - wu ln² / 10

Caras interiores Mu- = - wu ln² / 11

238

Cara interior del apoyo exterior con viga viga

Mu- = -wu ln² /24

Cara interior del apoyo exterior con columna columna Mu- = -wu ln² /16

Cortante

ln1

ln2

Vu = wu ln1 / 2

Vu = wu ln2 / 2

Vu = 1.15 wu ln1 / 2 tramo exterior

Vu = wu ln2 / 2 tramo interior

XXVIII.4 DISEÑO El diseño de las losas reforzadas en un sentido se realiza igual que las vigas, pero considerando un ancho b = 1.00 m. En el sentido transversal se debe colocar un refuerzo de distribución de cargas y efectos de temperatura igual a la cuantía mínima Se recomienda que el peralto efectivo sea suficiente para no colocar refuerzo a cortante XXVIII.5 FISURACIÓN Se utilizará lo indicado en el epígrafe XI.3 FISURACIÓN SEGÚN EL REGLAMENTO XXVIII.6 DETALLES TÍPICOS DE COLOCACIÓN DEL REFUERZO Cuando las luces y las cargas distribuidas son aproximadamente iguales, puede utilizarse la longitudes de barra que aparecen en la figura XXVIII.6a. Si no se cumple lo anterior debe realizarse el corte de barra según el gráfico de momentos flectores refuerzo de temperatura L/4 L/4 L/4 L/4

0.125 L

min 0.15 m

239

Figura XXVIII.6a Longitudes de barras XXVIII.7 CARGAS CONCENTRADAS Hasta ahora hemos tratado el caso de que las cargas sean uniformemente distribuidas, en este epígrafe trataremos el caso de cargas concentradas Se puede utilizar el método del ancho efectivo be, el cual supone que la carga es resistida por una viga de un ancho be simétrica a la carga, el refuerzo obtenido se le suma al refuerzo de la carga uniformemente distribuida. Debe comprobarse el área de contacto, así como, que no se produzca un fallo de cortante por penetración de la carga concentrada, en forma similar a la que ocurre en el caso de losas apoyadas directamente sobre columnas, que se tratará en sistemas de losas reforzadas en dos direcciones L1 borde libre

apoyo

e h/2 bs be

L2 bo

El valor de be se determina según lo siguiente: a – Si la carga actúa en el centro geométrico de la losa be = [(bo + α L1) / (L2 + α L1)] para L2 ≤ 3 α L1 XXVIII.7.1 be = (3 / 4) (bo + α L1) para L2 > 3 α L1 XXVIII.7.2 b – Si la carga actúa a igual distancia de los apoyos, pero descentrada con respecto a los bordes libres el ancho efectivo tendrá el menor de los siguientes valores: El correspondiente al caso( a) El dado por las expresiones be = {[bo + (1 / 3) α L1] / [L2 + (1 / 3) α L1]} + e para L2 ≤ α L1 XXVIII.7.3 be = (3 / 4) [ bo + (1 / 3) α L1] + e para L2 > α L1 XXVIII.7.4 c – Si la carga actúa descentrada respecto a los bordes libres y a diferente distancia de los apoyos, el ancho efectivo es: be = (be´ - bo ) [1 – (ro / L1)²] XXVIII.7.5 be´ es el ancho efectivo correspondiente al caso anterior y ro es la distancia del centro teórico de aplicación de la carga al apoyo más próximo α depende de : Si los apoyo de la losa están libremente apoyados: α = 1.0 Si están empotrados: α = 0.5 En casos intermedios: α = 0.666 XXVIII.8 REFUERZO DE TEMPERATURA En toda losa reforzada en un sentido se debe colocar un refuerzo perpendicular de temperatura al refuerzo por flexión con las siguiente especificaciones: a – Un área igual a 0.0018 b h b – El espaciamiento no debe ser mayor de 5 veces el espesor de la losa ni más de 450 mm XXVIII.9 EJEMPLO DE DISEÑO DE UNA LOSA REFORZADA EN UN SOLO SENTIDO Diseñar una losa reforzada en un solo sentido de dos luces libres de 4.0 m, construida monolíticamente a las vigas de apoyo Carga viva de 3.0 kN / m Hormigón de 28 MPa Acero de 420 MPa carga viva de 3.0 kN /m

240

4.2 m

Luz libre 4.0 m El espesor de la losa la determinamos de la Tabla XII.5a h = L / 24 = 4.0 / 24 = 0.166 m tomamos h = 0.17 m Carga muerta = 0.00408 MN / m Carga viva = 0.003 MN / m wu = 1.2 x 0.00408 + 1.6 x 0.003 = 0.009696 MN / m Utilizaremos los coeficientes dados por el Reglamento wu (ln)^2 / 24 = 0.00646 MN-m wu (ln)^2 / 9 = 0.01723 MN-m wu (ln)^2 / 24 Mu wu (ln)^2 / 14 = 0.01108 MN-m

wu (ln)^2 / 14

wu (ln) /2 = 0.0193 MN

Vu 1.15 wu (ln) / 2 = 0.0223 MN Para el momento máximo de Mu = 0.01723 MN-m considerando tracción controlada Hallemos Co = ( Mu / ) / 0.85 fc´ bw de² = (0.01723 / 0.9) / 0.85 x 28 x 1.0 x 0.145² = 0.03825 De la tala de Co hallamos k = 0.04 j = 0.98 a = 0.04 x 0.145 = 0.0058 m As = ( Mu / ) / fy j de = ( 0.0172 / 0.9) / 420 x 0.98 x 0.145 = 0.00032 m² = 3.22 cm² / m Asmin = 0.0018 x 100 x 14.5 = 2.6 cm²  No.3 @ 0.22 m Para en el centro de la luz Mu = 0.01108 MN-m y el apoyo exterior Mu = 0.00646 MN-m Como son menores se colocará el mismo refuerzo El espaciamiento máximo 3 de = 3 x 14.5 = 43.5 cm Se colocará  No. 3 espaciado según fisuración Cortante Vc = (0.17fc’) λ bw de XVII.5 .1.1 Vc = (0.1728) x 1.0 x 1.0 x 0.145 = 0.13 MN > 0.0223 MN

Se cumple

Fisuración s = 380(280 / fs) – 2.5 cc XI.3a s = 380(280 / 252) – 2.5 x 25 = 359.7 mm= 35.9 cm Se colocará  No. 3 @ 0.22 m  No. 3 @ 0.22 m 1.0 m

1.0 m

refuerzo de temperatura 0.5 m

min 0.15 m

4.00 m

XXVIII.10 EJEMPLO DE DISEÑO DE UNA LOSA REFORZADA EN UN SOLO SENTIDO CON UNA CARGA CONCENTRADA Diseñar una losa reforzada en un solo sentido de una luz libre de 3.0 m, simplemente apoyada, construida monolíticamente a las vigas de apoyo, con una carga concentrada como se indica 241

Carga viva de 3.0 kPa

Hormigón de 28 MPa

Acero de 420 MPa

L1= 3.0 m borde libre bs = 0.5 m apoyo

e h/2 bs be

L2 = 8.0m bo

4.0 m

1.5 m Carga concentrada de 0.002 MN Espesor de la losa L / 14 = 3.00 / 14 = 0.214 m, utilizaremos 0.22 m Como la carga está centrada: bo = bs + h/2 = 0.5 + 0.22 /2 = 0.61 m α = 1.0 simplemente apoyado 3 α L1 = 3 x 1.0 x 3.0 = 9.0 m > L2 be = (3 / 4) (bo + α L1) para L2 > 3 α L1 XXVIII.7.2 be = (3 / 4) (0.61 + 1.0 x 3.0) = 2.70 m Momento de la carga concentrada: M = P L / 4 = 0.002 x 3.0 / 4 = 0.0015 MN-2.7m Mu de la carga concentrada = M x 1.2 = 0.0015 x 1.2 = 0.0018 MN-2.7m Carga de peso propio= 0.00528 MN/m² wu = 1.2 x 0.00528 x 1.6 x 0.003 = 0.0111 MN/ m El momento último de la carga uniformemente distribuida por m es: Mu = 0.0111 x 3² / 8 = 0.01253 MN/m Mu por be = 0.01253 x 2.7 = 0.033831 MN-2.7 m Mu total = 0.033831 + 0.0018 = 0.035631MN-2.7 m Hallemos Co = ( Mu / ) / 0.85 fc´ bw de² = (0.035631 / 0.9) / 0.85 x 28 x 2.7 x 0.195² = 0.0162 De la tala de Co hallamos k = 0.017 j = 0.991 a = 0.017 x 0.195 = 0.003315 m As = (Mu / ) / fy j de = (0.035631/ 0.9) / 420 x 0.991 x 0.195 = 0.00048 m² = 4.87 cm² / 2.7 m Asmin = 0.0018 x 270 x 19.5 = 9.477 cm² en 2.7 m El espaciamiento máximo 3 de = 3 x 19.5 = 58.5 cm Fisuración s = 380(280 / fs) – 2.5 cc XI.3a s = 380(280 / 252) – 2.5 x 25 = 359.7 mm= 35.9 cm Se colocará =  No. 3 @ 0.2 m en el ancho de 2.7 m En el resto el Asmin = 3.51 cm² / m Debe comprobarse el área de contacto, así como, que no se produzca un fallo de cortante por penetración de la carga concentrad, en forma similar a la que ocurre en el caso de losas apoyadas directamente sobre columnas, que se tratará en sistemas de losas reforzadas en dos direcciones Cortante Vc = (0.17fc’) λ bw de XVII.5 .1.1 Vc = (0.1728) x 2.7 x 1.0 x 0.195 = 0.47 MN > Vu Se cumple XXVIII.10A. ABERTURAS EN LAS LOSAS Cuando en las losas es necesario realizar aberturas, para que la misma no disminuya su resistencia, se le debe proveer refuerzo adicional a su alrededor Cuando las aberturas son muy grande se le debe colocar vigas en sus bordes El refuerzo que debe atravesar la abertura se corta y se coloca a su alrededor con la longitud de anclaje necesaria En las esquinas de la abertura se coloca refuerzo inclinado, este refuerzo no debe ser de diámetro menor que el refuerzo principal de la loza

242

refuerzo cortado debido a la abertura

No. 4 ó No 5

XXVIII.11 PROBLEMAS PROPUESTOS XXVIII.11.1 Cuando se puede considerar una losa reforzarlas en un solo sentido? XXVIII.11.2 Cuando puede utilizarse los coeficientes que indica el reglamento? XXVIII.11.3 Diseñar una losa reforzada en un solo sentido de dos luces libres de 3.0 m, construida monolíticamente a las vigas de apoyo Carga viva de 3.5 kPa Hormigón de 28 MPa Acero de 420 MPa XXVIII.11.4 Diseñar una losa reforzada en un solo sentido de una luz libre de 4.0 m, simplemente apoyada, construida monolíticamente a las vigas de apoyo, con una carga concentrada como se indica Carga viva de 3.5 kPa Hormigón de 28 MPa Acero de 420 MPa Carga concentrada de 0.002 MN L1= 4.0 m borde libre carga concentrada de 0.002 MN bs = 0.5 m apoyo e h/2 bs L2 = 9.0m be bo 4.0

1.5 m

CAPÍTULO XXIX SISTEMAS DE LOSAS REFORZADAS EN DOS DIRECCIONES XXIX.1 ALCANCE Este Capítulo se aplica al diseño de Sistemas de Losas Reforzadas en Dos Direcciones, ya sea con o sin vigas entre apoyos El sistema de losas incluye losas macizas y losas aligeradas con huecos o cavidades hechas mediante rellenos permanentes o removibles entre nervios en una o dos direcciones, con o sin loseta inferior Las losas pueden estar apoyadas sobre columnas, vigas o muros. Si se trata de losas con nervios en dos direcciones soportadas sobre columnas, incluyendo el reticular cedulado, se debe tener capiteles o ampliaciones en la zona que rodea a las columnas, las cuales deben tener, como mínimo, una dimensión del 1/ 6 de la luz en cada dirección XXIX2. SISTEMAS DE LOSAS XXIX.2.1 SISTEMAS PREFABRICADOS Es permitido utilizar elementos prefabricados como parte de los sistemas de losas XXIX.2.2 FORMALETAS PERMANENTES DE ACERO (STEEL DECKING) Los sistemas de losas de concreto cuyo vaciado se realice sobre formaletas permanentes de acero, se pueden diseñar siguiendo los requisitos de este Capítulo, cuando el sistema de formaleta no se toma en cuenta como parte del acero de refuerzo. Para tener en cuenta el acero de las formaletas permanentes, el diseño se debe realizar siguiendo los requerimientos para Estructuras Compuestas de Acero y Concreto XXIX.2.3 SISTEMA DE LOSA COMO PARTE DEL SISTEMA DE RESISTENCIA SÍSMICA 243

Cuando los sistemas de losa se utilicen como parte del sistema de resistencia sísmica, como es el caso de diafragmas, su diseño debe realizarse cumpliendo los requerimientos del presente Capítulo y los Requisitos de Diseño y Construcciones Sismo Resistentes El uso como sistema principal de resistencia sísmica de los sistemas losa-columna, tanto maciza como nervadas, en las cuales la losa cumple la función de viga debe cumplir los Requisitos de Diseño y Construcciones Sismo Resistentes, con respecto a las zonas de amenaza sísmica donde se permite y las alturas máximas que pueden tener los edificios construidos utilizando este sistema. Para efectos del análisis de sistema losa-columna ante cargas horizontales se deben utilizar los requerimientos de este Capítulo XXIX.2.4 SISTEMA RETICULAR CEDULADO Estos sistemas se consideran sistema losa-columna aligerada y deben ser diseñados siguiendo los requisitos del presente Capítulo. Sobre estos sistemas obran las mismas limitaciones respecto a su utilización como sistema de resistencia sísmica dadas en Sistema de Losa como Parte del Sistema de Resistencia Sísmica XXIX.2.5 LOSAS CON NERVADURAS O ALIGERADAS La construcción con nervaduras consiste en una combinación monolítica o prefabricada de nervios espaciados regularmente, en una o dos direcciones y de loseta superior que actúa también en una o en dos direcciones de acuerdo con la acción de las viguetas. La loseta puede ser parcialmente prefabricada, pero como mínimo una parte de su espesor debe ser vaciado en sitio

Losa plana aligerada Las losas con nervaduras deben cumplir las condiciones dimensiónales dadas a continuación: (a) Los nervios no deben tener menos de 100 mm de ancho en su parte superior y su ancho promedio no puede ser menor de 80 mm. Su altura libre no debe ser mayor de 5 veces el espesor promedio del alma (b) La porción vaciada en sitio de la loseta superior debe tener al menos 45 mm de espesor, pero ésta no debe ser menor de 1/20 de la distancia libre entre los nervios. Cuando se utilicen bloques de aligeramiento permanentes de concreto o de arcilla cocida o de plaquetas prefabricadas, estos elementos pueden considerarse como parte del recubrimiento del concreto y la parte vaciada en sitio del espesor mínimo de la loseta superior puede reducirse a 40 mm. La loseta superior debe tener como mínimo el refuerzo de repartición y temperatura y deben tenerse en cuenta los requerimientos propios para diagramas sísmicos cuando la losa en general actúa como tal (c) La separación máxima entre nervios, medida centro a centro, no puede ser mayor de 2. 5 veces el espesor de la losa, sin exceder 1.20 m (d) Cuando se trate de losas reforzadas en una dirección, deben colocarse viguetas transversales de repartición con una separación libre máxima de 10 veces el espesor total de la losa, sin exceder 4.0 m XXIX.2.6 SISTEMA DE NERVADURAS COMO CONJUNTO DE VIGAS Cuando se excede la separación máxima entre viguetas dada anteriormente o cuando la cantidad mínima de nervaduras en la dirección bajo consideración dentro del panel es menor de 4, las nervaduras deben considerarse como elementos aislados y su análisis y diseño no puede regirse por los procedimientos del presente Capítulo. La losa entre nervaduras en este caso, debe analizarse como una losa en una o dos direcciones, según sea el caso, cumpliendo los requisitos correspondientes XXIX.3. LOSAS REFORZADAS EN DOS DIRECCIONES Las losas reforzadas pueden ser las siguientes 244

columnas

ábaco columna Losa sobre columna con ábaco

Losa sobre columnas

capitel columna

ábaco capitel

Losa sobre columna con capitel

Losa sobre columna y capitel

XXIX.3.1 Definiciones XXIX.3.1.1 Franja de columnas. (C.13.2.1) La franja de columna es una franja de diseño con un ancho a cada lado del eje de columna igual a 0.25 L2 ó 0.25 L1, el que sea menor. Las franjas de columnas incluyen las vigas, si las hay. Para losas nervadas, incluyendo el reticular cedulado, la franja de columnas comprende las viguetas que llegan al capitel, una de las cuales, al menos, debe pasar por la columna. La suma de los anchos de las viguetas que llegan al capitel debe ser al menos igual a la suma de los anchos de las viguetas que no llegan al capitel y la suma de los anchos de los núcleos de las viguetas del capitel, medidos desde la parte externa de los estribos, debe ser mayor o igual a 200 mm XXIX.3.1.2 Franja central (C.13.2.2) La franja central es una franja de diseño limitada por dos franjas de columnas. Para losas nervadas, incluyendo el reticular cedulado, la franja central comprende las viguetas que no llegan al capitel XXIX.3.1.3 Panel (C.13.2.3) Un panel está limitado en todos sus lados por los ejes de las columnas, vigas o muros XXIX.3.1.4 Vigas (C.13.2.4) Para construcciones monolíticas o totalmente compuestas, la viga incluye aquella porción de losa que se extiende a cada lado de la viga una distancia igual al mayor de los salientes de la viga por encima o por debajo de la losa, pero no mayor de 4 veces el espesor de la losa hw  4 hf bw + 2 hw  bw + 8 hf

hf hw hw

XXIX.3.1.4a Ábaco (C.13.2.5) ábaco columna Losa sobre columna con ábaco El ábaco es un ensanchamiento de la loza y generalmente son cuadradas o rectangulares Cuando se utilice un ábaco para reducir la cantidad de refuerzo por momento negativo sobre una columna o el espesor mínimo requerido para una losa, el ábaco debe: a) proyectarse bajo la losa al menos un cuarto del espesor de la losa adyacente 245

b) extenderse en cada dirección desde la lía central de apoyo por una distancia no menor a un sexto de la longitud del vano medida al centro de los apoyos en esa dirección XXIX.3.1.4b Capitel (C13.2.6) La ampliación de la columna en su parte superior se le denomina Capitel. Su función principal es aumentar el perímetro de la sección crítica en cortante por penetración. Las caras del capitel no deben tener un ángulo mayor de 45° con el eje de la columna. Cuando se excede este ángulo, esta zona no puede considerarse parte del capitel

45°

zona que no se considera

franja de columna o

franja central

franja columna o

columnas L/2 eje de columna

o L1

Planta de una losa indicando las franjas XXIX.3.4. ESPESORES MÍNIMOS XXIX3.4.1. El espesor mínimo de losas sin vigas interiores entre apoyos debe cumplir los requerimientos de la siguiente Tabla XXVIII.4.5.1a y no debe ser menor de: Losa sin ábacos Losa con ábaco fy (MPa)

120 mm 100 mm Tabla XXIX.4.4.1a Sin ábacos

Panel exterior

Espesores mínimos de losas sin vigas interiores Sin ábaco

Panel interior

Con ábaco

Con ábaco Panel interior

Panel exterior

Sin vigas Con vigas Sin vigas Con viga de de borde bordes borde borde   240 L n / 33 Ln / 36 Ln / 36 Ln / 36 Ln / 36 Ln / 40 420 Ln / 30 Ln / 33 Ln / 33 Ln / 33 Ln / 36 Ln / 36 Para valores de la resistencia del acero entre 240 MPa ( y 420 MPa se puede interpolar  Losa con vigas entre columnas sólo en los bordes. El valor de  para la viga de borde no debe ser menor de 0.8 α = Ecb Ib / Ecs Is Ecb – módulo de elasticidad del concreto de la viga Ib – momento de inercia de la sección bruta de la viga alrededor del eje centroidal 246

Ecs – módulo de elasticidad del concreto de la losa Is – momento de inercia de la sección bruta de la losa alrededor del eje centroidal e igual a (h^3) / 12 veces el ancho de la losa XXIX.3.4.2 El espesor mínimo de losas con vigas entre apoyos en todos sus lados debe ser: m- valor promedio de  para todas las vigas existentes en los bordes del panel (a) Para m  0.2 se deben cumplir los requerimientos sin vigas interiores (b) Para 2.0  m > 0.2 el espesor (h) no debe ser menos de Ln [ 0.8 + (fy / 1500) ] 36 + 5  (m – 0.2)

Pero mayor de 125 mm

XXIX.3.4.2.1

( c) Para m > 2.0 el espesor (h) no debe ser menor de Ln[ 0.8 + (fy / 1500) ] 36 + 9

Pero mayor de 90 mm

XXIX.3.4.2.2

(c) Si en los bordes discontinuos no se coloca una viga de borde con una relación de rigidez  mayor de 0.8, hay necesidad de aumentar en un 10% el espesor requerido por las ecuaciones anteriores en el panel con borde discontinuo Cuando se calculan las deformaciones se debe tener en cuenta el tamaño y forma del panel, las condiciones de apoyo y el tipo de restricciones existentes en el borde del panel XXIX.3.4.3 SOLICITACIONES VERTICALES Para las cargas verticales, un sistema de losas, incluyendo las vigas entre apoyos (si los hay), y las columnas o muros de apoyos, pueden ser diseñados por el método directo de diseño o por el método del pórtico equivalente, por el método plástico de análisis y diseño o por el método para losas en dos direcciones apoyadas sobre muros o vigas rígidas, según sea apropiado

XXIX.3.4.4 SOLICITACIONES HORIZONTALES Y SÍSMICAS El análisis para fuerzas horizontales de sistemas losa-columna, en el cual la losa cumple la función de viga, debe hacerse considerando el efecto del agrietamiento y el refuerzo en la rigidez. En este caso se puede hacer usando un valor reducido de L2 de 0.25 a 0.5 L2, cuando calculamos el momento de inercia de la losa-viga, también se puede utilizar un valor reducido del momento de inercia de 0.33 Isb. El análisis se puede realizar por uno de los métodos reconocidos como por ejemplo los indicados en el Título A del Reglamento Colombiano de Construcción Sismo Resistes NSR-10 y teniendo en cuenta los requisitos de está Sección. En estos casos, los resultados del análisis para cargas verticales pueden combinarse con los resultados del análisis para cargas horizontales. Para el uso de sistemas losa-columna como sistema principal de resistencia sísmica, puede consultarse el Título A del Reglamento anteriormente indicado u otro reconocido El cumplimiento de los requerimientos de deriva, debe documentarse adecuadamente, incluyendo explícitamente la determinación de las rigideces ante fuerzas horizontales Para efectos de la rigidez ante fuerzas horizontales de sistemas losa-columna, en las cuales la losa cumple la función de viga, el máximo ancho de viga equivalente que puede utilizarse corresponde al ancho de la columna medido perpendicularmente a la dirección de aplicación de las fuerzas horizontales, c1 más 5 veces el espesor de las losas cada lado de la columna XXIX.3.5. MOMENTO DE DISEÑO La losa y las vigas entre apoyos (si los hay) se deben dimensionar para los momentos mayorados (de cálculo) que rigen en cada sección XXIX.3.6 TRANSFERENCIA DE MOMENTO A LAS COLUMNAS Cuando las cargas de gravedad, viento, sismo, u otras fuerzas laterales producen transferencia de momento entre la losa y la columna, una fracción del momento desequilibrado debe transferirse por flexión (f Mu) f = 1 / {1 + [2/3][(b1 / b2)]}

XXIX.3.6 .1

247

debe considerarse transferencia por flexión sobre un ancho efectivo de losa entre líneas que estén por fuera de las caras opuestas de la columna o capitel una y medía veces el espesor de la losa o del ábaco (1.5 h) Para la transferencia del momento desequilibrado alrededor de un eje paralelo al borde de un apoyo exterior, el valor de f de la ecuación anterior puede aumentarse hasta 1.0, siempre y cuando Vu en el apoyo de borde no exceda de 0.75  Vc ó en el apoyo de esquina 0.5  Vc. Para momentos desbalanceados en apoyos interiores y para columnas de borde con momento no balanceados alrededor de un eje perpendicular al borde, el valor de f en la ecuación anterior XXIX.3.6 .1 puede aumentarse hasta un 1.25, siempre y cuando Vu en el apoyo de borde no exceda 0.4  Vc La deformación unitaria neta (εt) calculada para la losa efectiva no debe ser menor de 0.010 La fracción del momento desequilibrado causado por cargas verticales, de viento, sismo u otra carga lateral que no se transfiera por flexión, debe transferirse por excentricidad de cortante (v Mu) de acuerdo con lo siguiente: v = 1 – {1 / [ 1 + [2/3] [(b1 / b2)]} XXIX.3.6 .2 Debe suponerse que los esfuerzos cortantes que resulten de la transferencia de momentos por excentricidad de cortante (v Mu) varían linealmente alrededor del centroide de la sección crítica Columna exterior Columna interior v Mu v Mu Vu

c2 b2 c’

c c = c’

vu2 vu1

vu2

vu1

vu1 = (Vu / Ac) + (v Mu c / J) XXVIII.4.8.3 vu2 =(Vu / Ac) + (v Mu c’ / J) XXVIII.4.8.4 Ac – Área de la sección del concreto que resiste el cortante transferido y es igual al perímetro bo multiplicado por el peralto efectivo de J – Momento polar de inercia de los segmentos que forman Ac c y c’ – distancias desde el eje central de la sección crítica al perímetro de la sección crítica en la dirección de análisis Caso Área de la sección Módulo de Sección Crítica Crítica c c’ J/c J/c’ Columna Exterior (b1 + 2 b2)de [ b1 de (b1 + 6 b^2) + b1 /2 b1/2 Momento + (de^3)]/6 paralelo al Borde Columna Interior 2(b1 + b2) de [b1 de(b1 + 3b2) + de^3] / 3 b1/2 b1/2 Columna 248

Exterior Momento Perpendicular al Borde Columna de Esquina

(2b1 + b2) de

Nota 1

(b1 + b2) de Nota 2

Nota 1 2 (b1)^2 de (b1 + 2 b2) + de^3 (2b1 + b2) (J/c) = 6 b1 Nota 2

b1(b1+2 b2 2(b1 + b2)

(b1)^2 2(b1 +b2)

b1(b1 +2 b2) 2(b1 + b2)

2 (b1)^2 de (b1 + 2b2) + de^3 (2 b1 + b2) (J/c’) = 6(b1 + b2)

(b1)^2 de(b1 + 4 b2) + de^3 (b1 + b2) (J/c) =

(b1)^2 2b1+ b2

(b1)^2 d (b1 + 4 b2) + de^3 (b1 + b2) (J/c) =

6 b1

6 (b1 + 2 b2)

La concentración de refuerzo sobre la columna, por espaciamiento o por refuerzo adicional, puede utilizarse para resistir el momento sobre el ancho efectivo de losa según lo definido para momento transferido por flexión El diseño para transferir la carga de la losa a la columna o muros que les den apoyo debe realizarse de acuerdo con los requisitos del Capítulo de Cortante XXIX.3.7 REFUERZO DE LA LOSA El área de refuerzo en cada dirección para sistemas de losa en dos direcciones debe determinarse según los momentos en las secciones críticas, pero no debe ser menor que la cuantía mínima El espaciamiento del refuerzo en las secciones críticas no debe ser mayor de 2 veces el espesor de la losa, excepto para aquellas porciones de la superficie de construcciones celulares o nervadas. El requisito de que el espaciamiento medido centro a centro del refuerzo no sea mayor de 2 veces el espesor de la losa se aplica solamente al refuerzo de losas macizas y no a viguetas o losas nervadas o reticulares, con esto se pretende asegurar la acción de la losa, reducir el agrietamiento y tener en cuenta la posible existencia de cargas concentradas en áreas pequeñas de la losa El refuerzo para momento positivo perpendicular a un borde discontinuo debe extenderse hasta el borde de la losa y tener allí un anclaje recto o con ganchos de por lo menos 150 mm en las vigas de borde, columna o muros. Los momentos de flexión de las losas en la unión con las vigas de bordes pueden estar sometidos a grandes variaciones. Si la viga perimetral se construye monolíticamente con los muros, la losa está prácticamente empotrada. Si no existe un muro completo, la losa trabaja como simplemente apoyada dependiendo de la rigidez a torsión de la viga perimetral o del borde de la losa. El refuerzo para momento negativo perpendicular a un borde discontinuo debe anclarse por medio de doblaje, formar ganchos en las vigas de borde, columnas o muros de manera que se obtenga la longitud de desarrollo en la cara de apoyo Donde la losa no se apoye en una viga de borde o muro o en borde discontinuo, o donde la losa quede en voladizo más allá del apoyo, el refuerzo puede anclarse dentro la losa En losas macizas con vigas entre apoyos cuyo valor de  sea mayor que 1.0, debe proporcionarse refuerzo especial, superior e inferior, en las esquinas exteriores de acuerdo con los siguientes requisitos: (a) El refuerzo especial tanto en la parte superior como en el inferior debe ser suficiente para resistir un momento igual al máximo positivo de la losa (b) Se supone que el momento actúa alrededor de un eje perpendicular a la diagonal desde la esquina en la parte superior de la losa y perpendicular a esa diagonal en la parte inferior (c) El refuerzo especial debe colocarse a una distancia igual a 1/5 de la luz mayor, en ambas direcciones, a partir de la esquina (d) El refuerzo especial debe colocarse en una banda paralela a la diagonal en la parte superior de la losa y en una banda perpendicular a la diagonal en la parte inferior de la losa. Alternativamente, el refuerzo especial puede colocarse en dos capas paralelas a los lados de la losa que se localizan en la parte superior o en la parte inferior de la losa Donde se utilicen ábacos para reducir la cantidad de refuerzo negativo sobre la columna, el tamaño del ábaco debe cumplir los siguientes requerimientos: (a) El ábaco debe extenderse en cada dirección a partir del eje del apoyo a una distancia no menor de 1/6 de la luz, medida centro a centro de apoyos en dicha dirección 249

(b) El saliente del ábaco debajo de la losa debe tener al menos, 1 / 4 del espesor de la losa por fuera del ábaco (c) Al calcularse el refuerzo que requiere la losa, no debe suponerse que el ábaco por debajo de ésta sea mayor de 1/4 de la distancia desde el borde de la columna o capitel Las dimensiones del ábaco anteriores indicados son necesarias cuando se utilice para reducir la cantidad de refuerzo por momento negativo o para satisfacer el espesor mínimo de la losa. Los ábacos con dimensiones menores pueden ser empleados para incrementar la resistencia a cortante de la losa Además de los requerimientos anteriores, el refuerzo en losas sin vigas debe tener los puntos de doblamiento y extensiones indicadas en la Figura de la próxima página. Donde las luces adyacentes sean desiguales, la extensión del refuerzo negativo más allá de la cara del apoyo según la figura anterior, debe basarse en los requisitos de la luz mayor Las barras dobladas pueden utilizarse sólo cuando la relación espesor-luz permita usar dobleces de 45 o menos para las losas de pórticos no arriostrados contra desplazamiento lateral o para las losas que resistan cargas laterales las longitudes del refuerzo deben determinarse por análisis, pero no pueden ser menores que las indicadas en la Tabla anterior Todas las barras inferiores localizadas dentro de la franja de columnas, en las dos direcciones, deben ser continuadas por traslapo con empalme Tipo A. Por lo menos dos de las barras inferiores de la franja de columnas, en cada dirección, deben ser continuas, o deben empalmarse en el apoyo con un empalme Tipo A, o se deben anclar allí. Las barras deben pasar a través de la columna dentro de la zona del núcleo de ésta El refuerzo inferior continuo de la franja de columna proporciona a la losa cierta capacidad residual para quedar suspendida de los apoyos adyacentes si un apoyo es dañado EXTENSIÓN MÍNIMA DEL REFUERZO EN LOSAS SIN VIGAS FRANJA LOCALIZACIÓN % MÍNIMO SIN ÁBACOS CON ÁBACOS DE As EN LA SECCIÓN 0.30 Ln 0.33 Ln ARRIBA

50% Restante 0.20 Ln

0.20 Ln

DE COLUMNA Mínimo dos barras ancladas 100% 150 mm

150 mm

ABAJO

ARRIBA

100% 0.22 Ln

0.22 Ln

CENTRAL 50%

150 mm

ABAJO Restante 150 mm 150 mm

150 mm

c1 luz libre (Ln)

Apoyo exterior sin continuidad de la losa L - luz centro a centro Apoyo interior con continuidad de la losa 250

(a) En el área común de la intersección de las franjas centrales pueden localizarse aberturas de cualquier tamaño, siempre que se mantenga la cantidad total de refuerzo requerida para la losa sin abertura (b) En el área común de la intersección de las franjas de columna no se puede interrumpir el refuerzo con aberturas de más de 1/.8 del ancho de la franja de columna en cualquiera de las luces. Una cantidad de refuerzo equivalente al refuerzo interrumpido debe añadirse en los lados de la abertura (c) En el área común a una franja de columna y una franja central, no se puede interrumpir más de 1/4 del refuerzo por encima de la abertura en cada franja. El equivalente del refuerzo interrumpido debe añadirse en los lados de la abertura (d) Que se cumplan los requisitos de corte En losas con cabeza de cortante (shear heads) o construidas por el sistema de losa izada (lift slab) deben colocarse por lo menos dos barras de refuerzo adherido en cada dirección, las cuales deben pasar a través de la cabeza de cortante o del collar de izaje, tan cerca de la columna como sea posible. Estás barras deben ser continuas, o empalmarse por traslapo, con un empalme Tipo B o con empalmes mecánicos o soldado. En las columnas exteriores, el refuerzo debe anclarse en la cabeza de cortante o en el collar de izaje XXIX.3.8 ABERTURAS EN LA LOSA Pueden disponerse aberturas de cualquier tamaño en el sistema de losa, si se demuestra por análisis que la resistencia proporcionada cumple con resistencia requerida y la resistencia de diseño y que se cumplen todas las condiciones de servicio, incluyendo los límites especificados para las deformaciones. En lugar del análisis especial anterior, pueden disponerse aberturas en sistemas de losa sin vigas, sólo cuando se cumplan los siguientes requisitos: (a) En el área común de la intersección de las franjas centrales pueden localizarse aberturas de cualquier tamaño, siempre que se mantenga la cantidad total de refuerzo requerida para la losa sin abertura (b) En el área común de la intersección de las franjas de columna no se puede interrumpir el refuerzo con aberturas de más de 1/8 del ancho de la franja de columna en cualquiera de las luces. Una cantidad de refuerzo equivalente al refuerzo interrumpido debe añadirse en los lados de la abertura franja franja franja no mayor de l1 / 8 columnas de columna central columna o o abertura de cualquier tamaño

eje de columna

o l1

Planta de una losa indicando las aberturas permitidas XXIX.3.9 RESISTENCIA A CORTANTE DE LOSAS La resistencia al cortante de losas y zapatas en la vecindad de cargas concentradas o reacciones, se rige por la más severa de las dos condiciones siguientes: a) La acción como viga para la losa o zapata, con una sección crítica que se extiende en un plano a través del ancho total y está localizada a una distancia (de) de la cara del área de la carga concentrada o reacción. Para esta condición la losa o zapata debe ser diseña según el Capítulo de Cortante b) La acción en dos direcciones (punzonamiento) para la losa o zapata, con una sección crítica perpendicular al plano de la losa y localizada de modo que su perímetro (bo) sea mínimo pero sin necesidad de aproximarse a menos de (de / 2) de: - Los lados y esquinas de las columnas, cargas concentradas o apoyos o - Cambios de espesor de la losa, tal como los bordes de capiteles o ábacos o cabezas de cortante

251

La sección crítica para el cortante en losas en dos direcciones sometidas a flexión sigue el perímetro del borde de la zona de carga. El esfuerzo cortante que actúa en esta sección para las cargas mayoradas es una función de √fc’ y de la relación de la dimensión lateral de la columna al espesor efectivo de la losa. Una ecuación más simple resulta suponiendo una sección crítica localizada a una distancia de (de / 2) a partir de la periferia de la carga concentrada. Cuando esto se hace la resistencia al cortante es independiente de la relación entre el tamaño de la columna y el espesor de la losa. Para columnas rectangulares, esta sección crítica está definida por líneas paralelas y a una distancia (de / 2) de los bordes de áreas de carga. Se permite el uso de una sección crítica rectangular. En losa de espesor uniforme es suficiente verificar el cortante en una sección. Para losas con cambios en el espesor, como sucede en bordes de ábacos, es necesario verificar el cortante en varias secciones. Para las columnas de borde, en donde la losa se extiende en voladizo más allá de la columna, el perímetro crítico consiste en tres o cuatro lados. Para columnas cuadradas o rectangulares, cargas concentradas o áreas de reacción, se permite secciones críticas con cuatro lados rectos El diseño para la acción en dos direcciones (punzonamiento) de losas o zapatas se debe llevar a cabo de acuerdo con los epígrafes siguientes En las columnas de sección cuadrado o rectangular, cargas concentradas o áreas de apoyos, la sección crítica puede reducirse a cuatro lados rectos XXIX.3.10 El diseño de la losa o zapata para la acción en dos direcciones (punzonamiento) debe basarse en las ecuaciones Vu ≤  Vn y Vn = Vc + Vs Para losas reforzadas y zapatas, Vc se toma como el menor valor de a) b) o c) a) Vc = (0.17√fc’ ) [ 1 + (2 / βc)] bo de XXIX.3.10.1 b) Vc = (0.083√fc’ )[ 2 + (αs de / bo)] bo de XXIX.3.10.2 c) Vc = (0.33√fc’)bo de XXIX.3.10.3 βc- es la relación entre lado largo y lado corto de la columna, carga concentrada o área de apoyo αs- tiene el valor de 40 para columnas interiores, de 30 para columnas de borde y de 20 para columnas de esquina Para formas distintas de la rectangular, βc se toma como la relación entre la dimensión más larga del área cargada y la mayor dimensión del área cargada medida perpendicularmente a la primera Sección crítica bn

ángulo recto an

área efectiva de carga

área real de carga βc = an / bn

El área efectiva cargada es aquella que encierra totalmente el área real, y para la cual el perímetro es mínimo XXIX.3.11 Se permite utilizar en losas y zapatas refuerzo de cortante que consista de barras o malla electrosoldada y estribos de una o varias ramas en losas y zapatas con (de) mayor o igual 150 mm (6”), pero no menor de 16 veces el diámetro de la barra de refuerzo al cortante de acuerdo con: La resistencia a cortante Vn debe calcularse por la ecuación Vn = Vc + Vs, teniendo en cuenta que Vc, no puede ser mayor que [(1 / 6) √fc’ bo de], y Vs debe estar de acuerdo con el Epígrafe Resistencia a Cortante Contribuida por el Refuerzo del Capítulo de Cortante y además bien anclado Vn no puede ser mayor de [(0.5√fc’ bo de], La distancia entre la cara de la columna y la primera línea de las ramas de los estribos que rodean la columna no debe exceder a (de / 2) El espaciamiento entre las ramas adyacentes de los estribos en la 252

primera línea de refuerzo para cortante no debe exceder los (2 de) medidos en una dirección paralela a la cara de la columna. El espaciamiento entre las líneas sucesivas de refuerzo para cortante que rodean la columna no debe exceder de (de / 2) en una dirección perpendicular a la cara de la columna El refuerzo para cortante en losas debe amarrar el refuerzo de flexión longitudinal en la dirección que esté siendo considerado En una conexión losa-columna en la cual la transferencia de momento es despreciable, el refuerzo para cortante debe ser simétrico alrededor del centroide de la sección crítica ver figura siguiente En columnas de borde, o en el caso de conexiones interiores donde la transferencia de momento es significativa, se recomienda estribos cerrados con un patrón lo más simétrico posible. Aunque los esfuerzos cortantes promedios en las caras AD y BC de la columna exterior de la figura (próxima página) son menores que en la cara AB. los estribos cerrados que se extienden desde la cara AD y BC proporcionan una cierta capacidad de torsión a lo largo del borde de la losa Sección crítica a través del refuerzo de cortante de la Sección crítica fuera de la zona de losa (primera fila de ramas de refuerzo de cortante de la losa estribo

de / 2

de / 2 estribos de / 2

Disposición de estribos de cortante en columna interior

Sección crítica fuera de la zona de refuerzo de cortante de la losa

Borde de la losa

A o

de / 2

B 253

de / 2

Sección crítica a través del refuerzo de cortante de la losa (primera fila de ramas de los estribos

Disposición de estribos de cortante en columnas de bordes XXIX.3.12 Se puede utilizar en las losas refuerzo a cortante que consista de perfiles de acero en I o canales (cabezas de cortante) Las disposiciones de XXIX.3.11 a XXIX.3.21 deben aplicarse donde el cortante debido a cargas gravitacionales se transfieren a columnas interiores. Donde halla transferencia de momento a las columnas, debe aplicarse XXIX.3.6 En el diseño de cabezas de cortante para conexiones que transfieren cortantes debido a cargas gravitacionales, deben considerarse tres criterios básicos. a) Debe proporcionarse una resistencia mínima a flexión con objeto de garantizar que se alcance la resistencia requerida a cortante de la losa antes que se exceda la resistencia a flexión de la cabeza de cortante b) Debe limitarse el esfuerzo cortante de la losa, en el extremo de la cabeza de cortante c) Después de satisfacer estos dos requisitos, se puede reducir el refuerzo negativo de la losa proporcionalmente a la contribución de momento de la cabeza de cortante en la sección de diseño XXIX.3.13 Cada cabeza de cortante debe consistir de perfiles fabricados de acero, soldado, por medio de soldaduras de penetración total, cuatro brazos idénticos que formen ángulos rectos. Los brazos de la cabeza de cortante deben ser continuos a través de toda la sección de la columna XXIX.3.14 La cabezas de cortantes no deben una altura mayor que 70 veces el espesor del alma del perfil de acero XXIX.3.15 Los extremos de cada brazo de la cabeza de cortante pueden cortarse en un ángulo no menor de 30˚ con respecto a la horizontal, si la capacidad del momento plástico de la sección en chaflán restante es adecuada para resistir la fuerza cortante asignada a ese brazo de la cabeza de cortante XXIX.3.16 Todas las aletas de compresión de los perfiles de acero deben localizarse dentro de (0.3 de) de la superficie de compresión de la losa XXIX.3.17 La relación αv entre la rigidez de cada brazo de la cabeza de cortante y de la sección compuesta fisurada de la losa que la circunda, con un ancho de (c2 + de) no debe ser mayor que 0.15 c2 es la dimensión de la columna, capitel o ménsula rectangular equivalente medida transversalmente a la dirección de la luz para la cual se determinan los momentos XXIX.3.18 El momento plástico resistente Mp que se requiere para cada brazo de la cabeza de cortante debe calcularse por medio de:  Mp = (Vu / 2 η) { hv + αv [ lv – c1 / 2] XXIX.3.18.1 φ es el Coeficiente de reducción de resistencia para flexión (tracción controlada) η es el número de brazos lc es la longitud mínima de cada brazo de la cabeza de cortante que se requiere para cumplir los requisitos XXIX.3.18 y XXIX.3.19 o sea, es la distancia desde el centro de la columna al punto en el cual ya no son necesarias las cabezas de cortante c1 es la dimensión de la columna, capitel o ménsula rectangular equivalente medida en la dirección de la luz para la cual se determinan los momentos La distribución idealizada de cortante supuesta a lo largo de un brazo de la cabeza de cortante en una columna interior se muestra a continuación Cara de la columna

lv – c1 / 2

254

(Vu / φ) – [Vc (1 – αv) / n] Cortante idealizado que actúa en la cabeza de cortante El cortante a lo largo de cada uno de los brazos se toma como (αc Vc / n) menos el cortante soportado en la columna por la zona de compresión del Concreto de la losa. La ecuación XXVIII 5.2.7.1 se deduce de la suposición de que la fuerza cortante que causa el agrietamiento inclinado φVc es aproximadamente la mitad de la fuerza cortante Vu. Mp es la resistencia al momento plástico requerida de cada brazo de la cabeza de cortante para asegurar que se alcanza Vu en el instante en que se alcanza la resistencia a momento de la cabeza de cortante XXIX.3.19 La sección crítica de la losa para cortante debe ser perpendicular al plano de la losa y atravesar cada brazo de la cabeza de cortante a (3 / 4) de la distancia [lv – (c1 / 2)] de la cara de la columna en el extremo del brazo. La sección crítica debe ser localizada de modo que su perímetro bo sea mínimo, pero sin necesidad de aproximarse más cerca que el perímetro definido en XXIX.3.10 XXIX.3.20 El cortante Vn no debe ser mayor de (1 / 3) √fc’, XXIX.3.21 Puede suponerse que la cabeza de cortante contribuye a cada franja de columna de la losa con una resistencia a momento Mv calculada co Mv =(  αv Vu / 2 η) [lv – (c1 / 2)] XXIX.3.21 Mv no debe tomarse mayor que: a) 30% del momento mayorado total que se requiera para cada franja de columna de la losa b) el cambio en el momento de la franja de columna en la longitud lv c) el valor de Mp calculado por la ecuación XXIX.3.18.1 XXIX.4 MÉTODO DE DISEÑO DIRECTO Por las limitaciones que tiene este método, no debe ser utilizado en losas presforzadas, ni para cargas horizontales Los sistemas de losas con las siguientes limitaciones pueden diseñarse por este método: (a) En cada dirección debe haber un mínimo de tres luces (b) Los paneles deben ser rectangulares con una relación de la luz más larga a la más corta dentro de cada panel no mayor de 2 (c) Las longitudes de las luces sucesivas, en cada dirección, no pueden diferir en más de 1/3 de la luz más larga (d) Las columnas pueden desalinearse un máximo del 10% de la luz (en la dirección del desalineamiento) de cualquier eje entre columnas sucesivas (e) Las cargas deben ser únicamente verticales, causadas por los efectos de la gravedad y estar uniformemente distribuidas sobre un panel completo. La carga viva no mayorada no debe exceder de 2 veces la carga muerta no mayorada (f) Para un panel con vigas entre apoyos por todos los lados, la rigidez relativa de las vigas en dos direcciones perpendiculares no debe ser menor de 0.2 ni mayor de 5.0 1 (L1)^2 / 2 (L2)^2 XXIX.4.1 -relación de rigidez a la flexión de la sección de un ancho de losa limitado lateralmente por los ejes centrales de los paneles adyacentes (si los hay) a cada lado de la viga 1 -  en la dirección de L1 2 -  en la dirección de L2

 = Ecb Ib / Ecs Is

XXIX.4.2

255

Ecb – Módulo de elasticidad del concreto de la viga Ecs – Módulo de elasticidad del concreto de la losa Ib – momento de inercia de la sección bruta de la viga alrededor del eje centroidal Is – momento de inercia de la sección bruta de la losa alrededor del eje centroidal e igual a (h)^3 / 12 del ancho de la losa definido en la notación de  y t t- relación de rigidez a la torsión de la sección de la viga de borde a la rigidez a la flexión de un ancho de losas igual a la longitud de la luz de la viga, centro a centro de apoyos (g) La redistribución de momentos, no debe aplicarse a los sistemas de losa diseñados por este método (h) Pueden considerarse aceptables variaciones a las limitaciones indicadas anteriormente si se demuestra por el análisis que se satisfacen los requisitos de anclajes, empalme y desarrollo del refuerzo El momento estático mayorado total para una luz debe determinarse en una franja limitada lateralmente por el eje del panel a cada lado del eje de los apoyos La suma de los valores absolutos del momento positivo y del promedio de los momentos negativos mayorados en cada dirección no debe ser menor de: Mo = wu (L2) (Ln)^2 / 8 XXIX.4.3 L2- Longitud de la luz transversal a Ln medida centro a centro de apoyos Ln – Longitud de la luz en la dirección en la cual se determinan los momentos, medida cara a cara de los apoyos wu- carga mayorada por unidad de área o por unidad de longitud en la vigueta Cuando varíe la luz transversal de los paneles a cualquier lado del eje de apoyos, L2 en la ecuación anterior debe tenerse como el promedio de las luces transversales adyacentes Cuando se considere la luz adyacente y paralelas a un borde, la distancia del borde al eje del panel debe sustituirse por L2 en la ecuación anterior La luz libre Ln debe extenderse de cara a cara de las columnas, capiteles, ménsulas o muros. El valor de Ln utilizado en la ecuación anterior no debe ser menor que 0.65 L1. Los apoyos de forma circular o de polígono regular deben tratarse como apoyos cuadrados de la misma área

0.5 franja de columna losa A 0.5franja central losa A

0.5 franja de columna losa B 0.5 franja central losa B

ancho de la franja en la dirección 1 Ln

LA / 2

LB / 2

Mo para el área rayada Momentos mayorados negativos y positivos 256

Los momentos mayorados negativos deben localizarse en la cara de los apoyos rectangulares. Los apoyos de forma circular o de polígono regular deben tratarse como apoyos cuadrados de la misma área En una luz interior, el momento estático total Mo debe distribuirse como sigue: a) Momento mayorado negativo = 0.65 b) Momento mayorado positivo = 0.35 En una luz externa, el momento estático total Mo, debe distribuirse según la siguiente Tabla Distribución del momento estático Borde exterior sin restricción

Momento mayorado negativo interior Momento mayorado positivo Momento mayorado negativo exterior

Losa sin vigas entre cualquier apoyo

Losa sin vigas entre apoyos Interiores Sin viga de Con viga de borde borde

Borde exterior con restricción total

0.75

0.70

0.65

0.63

0.57

0.52

0.50

0.35

0.16

0.26

0.30

0.65

Véase momentos mayorados en vigas, en este mismo Capítulo Las secciones de momento negativo en luces que concurren a un apoyo común deben diseñarse para resistir el mayor de los momentos mayorados negativos interiores determinados, a no ser que se haga un análisis para distribuir el momento desequilibrado de acuerdo con las rigideces de los elementos adyacentes Las vigas de borde o los bordes de las losas deben dimensionarse para resistir a torsión, su parte del momento mayorado negativo exterior El momento (v Mu) causado por cargas de gravedad que debe transferirse entre la losa y la columna de borde, debe ser 0.3 Mo

Borde exterior no restringido Losa con viga entre todos los apoyos

Losa plana, sin vigas Losa con viga en el borde pero sin viga en apoyos interiores

Borde exterior totalmente restringido Momentos mayorados en franjas de columnas La franja de columnas debe dimensionarse para resistir las porciones, en porcentajes de los momentos mayorados negativos interiores que se indican en la siguiente Tabla Momentos mayorados negativos interiores en porcentaje 257

L2 / L1 (1 L2 / L1) = 0 (1 L2 / L1)  1

0.5 75 90

1.0 75 75

2.0 75 45

Puede interpolarse linealmente entre los valores indicados Las franjas de columna deben dimensionarse para resistir las porciones, en porcentaje de los momentos mayorados negativos exteriores que se muestran en la siguiente Tabla Momentos mayorados negativos exteriores en porcentaje L2 / L1 0.5 100 (1 L2 / L1) = 0 t = 0 75 (1 L2 / L1) = 0 t  2.5 L2 / L1 0.5 100 (1 L2 / L1)  1 t = 0 90 (1 L2 / L1)  1 t  2.5 Pueden interpolarse linealmente entre los valores dados t = Ecb C / 2 Ecs Is

1.0 100 75 1.0 100 75

2.0 100 75 2.0 100 45

XXIX.4.4

C = [ 1 – (0.63 x / y)] [(x^3) y / 3) Constante de sección transversal utilizada para definir las propiedades de torsión. La constante C para secciones en forma T o de L debe evaluarse dividiendo la sección en rectángulos separados y sumandos los valores de C para cada parte Donde los apoyos consistan de columnas o muros que se extiendan una distancia igual o mayor que 3/4 de la longitud de la luz L2 utilizada para calcular Mo, los momentos negativos deben considerarse uniformemente distribuidos a través de L2 Las franjas de columna deben diseñarse para resistir las porciones, en porcentajes, de los momentos mayorados positivos que se muestran en la siguiente Tabla

L2 / L1 (L2 / L1) = 0 (L2 / L1) ≥ 1.0

Momentos mayorados positivos en porcentajes 0.5 1.0 60 60 90 75

2.0 60 45

Para losas con vigas entre apoyos, la porción de la losa de las franjas de columnas debe dimensionarse para resistir aquella parte de los momentos de la franja de columna no resistida por la viga Momentos mayorados en vigas Las vigas entre apoyos deben dimensionarse para resistir para resistir el 85% de los momentos de la franja de columna si (1 L2 / L1) es igual o mayor de 1.0 Para los valores de (1 L2 / L1) entre 1.0 y cero, la proporción de los momentos de la franja de la columna resistida por las vigas se obtiene por interpolación lineal entre 85% y 0% Además de los momentos calculados de acuerdo con la presente sección, las vigas deben dimensionarse para resistir los momentos causados por las cargas aplicadas directamente sobre ellas, incluyendo el peso de la porción de la viga que no está embebida en la losa Momentos mayorados en franjas centrales Aquella porción de los momentos mayorados negativos y positivos no resistida por las franjas de columna debe asignarse proporcionalmente a las medías franjas centrales correspondientes Cada franja central debe dimensionarse para resistir la suma de los momentos asignados a sus dos medías franjas centrales Una franja central adyacentes y paralela a un borde apoyado en un muro debe dimensionarse para resistir el doble de momento asignado a la medía franja central correspondiente a la primera fila de apoyos interiores

258

Modificación de los momentos mayorados Los momentos negativos y positivos pueden modificarse en un 10% siempre y cuando el momento estático total para un panel en la dirección considerada no sea menor que el requerido por Mo Cortante mayorado en sistemas de losa viga Las vigas donde 1 L2 / L1 es igual o mayor de 1.0 deben dimensionarse para resistir la fuerza cortante causada por las cargas mayoradas sobre las áreas tributarias limitadas por líneas trazadas a 45 desde las esquinas de los paneles y los ejes de los paneles adyacentes paralelos a los lados largos El área tributaria sobre cada viga multiplicada por el valor de la carga distribuida proporciona la carga total sobre la viga, la cual se divide entre su luz para obtener una carga uniformemente distribuida, esto puede producir un valor del momento flector menor del que se obtendría si se considerará el caso real, pero se ha comprobado en la práctica y experimentalmente que las losas y vigas trabajando conjuntamente tienen una resistencia mayor que la que obtendría utilizando los métodos de diseño usuales, por lo cual es posible utilizar lo anteriormente referido

Área tributaria para cortante sobre la viga interior

45

Las vigas con 1 L2 / L1 menor de 1.0 deben dimensionarse para resistir la fuerza cortante obtenida por interpolación lineal, suponiendo que las vigas con  = 0, no soportan cargas. Además de las fuerzas cortantes calculadas de acuerdo con los requisitos de la presente sección, las vigas deben dimensionarse para resistir los cortantes causados por las cargas mayoradas aplicadas directamente sobre ellas La resistencia a cortante de una losa puede calcularse bajo la suposición de que la carga se distribuye a las vigas de apoyo de acuerdo con los requerimientos de la presente sección. Debe proporcionarse resistencia a la fuerza cortante total que ocurre en un panel La resistencia a cortante debe cumplir los requisitos del Capítulo de Cortante Momentos mayorados en columnas y muros Las columnas y los muros construidos monolíticamente con un sistema de losa deben resistir los momentos causados por las cargas mayoradas sobre el sistema de losa. En un apoyo interior, los elementos de apoyo localizados por encima y por debajo de la losa deben resistir el momento especificado por la siguiente ecuación, en proporción directa a sus rigideces, a no ser de que realice un análisis general M = 0.07[(wd + 0.5 wl ) L2 (Ln)^2 – wd’ (L2’) (Ln)^2]

XXIX.4.4

Donde wd’, L2’ y Ln’ se refieren a la luz más corta XXIX.5 PASOS A SEGUIR PARA EL DISEÑO UTILIZANDO EL MÉTODO DIRECTO PARA LOSAS REFORZADA 1- Determine la geometría de la losa y las cargas que permita utilizar el método 259

2- Seleccione el espesor de la losa para satisfacer las deformaciones y el cortante. Como se requiere conocer las dimensiones de la losa y las vigas o columnas , lo cual no se conoce. Se puede utilizar: El perímetro de la losa dividido por 180 Para cortante la sección crítica está a (de / 2) de la cara del apoyo. 3- Divida la estructura en franjas a cada lado de la línea de columna 4- Calcule el momento total estático Mo = w L2 Ln^2 / 8 5- Selecciones el factor de distribución de los momentos negativos y positivos en las columnas interiores y exteriores y en la luz 6- Distribuya los momentos mayorados del paso 5 a las columnas y al medio de la luz 7- Determine si el espesor de la losa es adecuado para transmitir los momento-cortante en el caso de losas sin vigas (flat -slab) a la unión de las columnas calculando que porción de los momentos transferidos por cortante y las propiedades de la sección crítica para cortante a una distancia (de / 2) de la cara de las columnas 8- Calcule el refuerzo para flexión del paso 6 9- Determine el espaciamiento y el tamaño del refuerzo para cumplir los requerimientos de fisuración, el corte de barra, y refuerzo por temperatura XXIX.6 EJEMPLO DE DISEÑO DE UNA LOSA PLANA POR EL MÉTODO DIRECTO Diseñar la losa sin vigas por el Método Directo de la losa mostrada en la figura Dimensiones de las columnas: 0.5 m Las cargas laterales son resistidas por las paredes No tiene vigas externas Peso de las paredes divisorias móviles: 0.5 kN/m^2 Carga viva: 2.0 kN/m^2 Concreto: 28 MPa Acero: 420 MPa

1 Dirección 1

Dirección 2

Planta de un edificio de 4 plantas Paso 1 Determine la geometría de la losa y las cargas que permita utilizar el método La relación de luz larga a luz corta es: 6 / 5 = 1.2 < 2.0 Se cumple Las luces consecutivas son iguales Las columnas no están desalineadas 260

Las cargas son uniformemente distribuidas La relación de carga viva de servicio a carga muerta de servicio es 2 / 5.3 = 0.377 < 2.0 Se cumple La losa es sin viga Por lo tanto, el Método Directo se puede aplicar Paso 2 Seleccione el espesor de la losa para satisfacer las deformaciones y el cortante. Se puede utilizar: Para una losa sin vigas de la Tabla XXIX.4.4.1a el espesor mínimo total (h) es para acero 420 MPa del panel exterior h = Ln / 30 = 550 / 30 = 18.33 cm Para cortante la sección crítica está a (de/2) de la cara del apoyo. Utilizaremos h = 0.2 m y de = 0.18 m Control de la deformación Ln es la longitud libre en la luz mayor: 600 – 50 = 550 cm El peso propio de la losa es: 4.8 kN/m^2 La carga total mayorada: wu = 1.2 (0.5 + 4.8) + 1.6 x 2.0 = 9.56 kN/m^2 - Resistencia a cortante Para las columnas interiores La acción de cortante en dos direcciones se hace a una distancia d/2 alrededor de la columna

plano crítico B de / 2 = 0.18 / 2 = 0.09 m c1 = c2 = 0.5 m (ancho de la columna) 0.68 m

2 c1 0.68 m

Vu = wu [L2 Ln – (de + c1)(c2 + de)] Vu = 9.56 x [(5 x 6) – (0.09 + 0.5)(0.5 + 0.09) ] = 285.69 kN = 0.286 MN Vn = Vu /  = 0.28569 / 0.75 = 0.38092 MN Para losas reforzadas y zapatas, Vc se toma como el menor valor de a) b) o c) a) Vc = (0.17√fc’ ) [ 1 + (2 / βc)] bo de XXIX.3.10.1 b) Vc = (0.083√fc’ )[ 2 + (αs de / bo)] bo de XXIX.3.10.2 c) Vc = (0.33√fc’)bo de XXIX.3.10.3 βc- es la relación entre lado largo y lado corto de la columna, carga concentrada o área de apoyo αs- tiene el valor de 40 para columnas interiores, de 30 para columnas de borde y de 20 para columnas de esquina bo = 2 (c1 + c2 + 2 de) por ser la columna cuadrada bo = 2 (0.5 + 0.5 + 2 x 0.18) = 2.72 m βc = 0.5 / 0.5 = 1.0 Vc = (0.17√fc’ ) [ 1 + (2 / βc)] bo de XXIX.3.10.1 Vc = (0.17√28 ) [ 1 + (2 / 1.0)] 2.72 x 0.18 = 1.321 MN b) Vc = (0.083√fc’ )[ 2 + (αs de / bo)] bo de XXIX.3.10.2 Vc = (0.083√28)[ 2 + (40 x 0.18 / 2.72)] 2.72 x 0.18 = 1.097 MN c) Vc = (0.33fc’) bo de = [(0.3328)] x 2.72 x 0.18 = 0.855MN Entonces Vc = 0.855MN Vc = 0.75 x 0.855 = 0.647 MN > Vu = 0.286 MN Se cumple El espesor de la losa de h = 0.20 m es adecuado para el control de Deformación y Cortante Debemos tener en cuenta que no se ha incluido el cortante transferido por el momento, para columnas interiores este aumento de cortante sería alrededor del 20% más, para columna exterior alrededor de 70% más y para columna de esquina mucho más. No se necesita ábaco o capitel a)

261

No se necesita ábacos ni capiteles, pero como EJEMPLO, supongamos que Vu = 1.0 MN entonces Vu > Vc, por lo tanto se necesita un capitel o ábaco Probemos con un capitel El valor de bo, necesario sería bo = (Vu/) / (0.33fc’) de = (1.0/0.75) / 0.33 28 x 0.18 = 4.24 m bo = 2 (c1 + c2 + 2 de) por ser la columna cuadrada y c1 = c2 (lados del capitel) bo = 2(2c1 + 2de) c1 = (bo – 4de) /4 = (4.24 – 4 x 0.18)/4 = 0.88 m Utilizamos 0.90 m 0.90 m

ángulo 45° 0.5 m

Columna exterior x plano crítico

k de / 2 = 0.18 / 2 = 0.09 m c1 = c2 = 0.5 m (ancho de la columna)

0.68 m

B c1 x = g + d/2 0.58 m

Fig A

bo = 2 x 0.68 + 0.58 = 1.94 m Vu = 9.56 [5 x 3 – (0.5 + 0.18)(0.5 + 0.09)] = 139.56 kN = 0.139 MN Para losas reforzadas y zapatas, Vc se toma como el menor valor de a) b) o c) a) Vc = (0.17√fc’ ) [ 1 + (2 / βc)] bo de XXIX.3.10.1 b) Vc = (0.083√fc’ )[ 2 + (αs de / bo)] bo de XXIX.3.10.2 c) Vc = (0.33√fc’)bo de XXIX.3.10.3 El menor valor es con Vc = (0.33√fc’)bo de = 0.61 MN Vc = 0.75 x 0.61 = 0.457 MN > Vu Se cumple Columna de esquina plano crítico de / 2 = 0.18 / 2 = 0.09 m c1 = c2 = 0.5 m (ancho de la columna) 0.68 m

c2 c1 0.58 m

bo = 0.58 + 0.5 = 1.08 m Vu = 9.56 [3.0 x 2.5 – 0.58 x 0.58] = 68.48 kN = 0.068 MN El menor valor es con Vc = (0.33√fc’)bo de = 0.615 MN Vc = (0.33√28 x 1.08x 0.18 = 0.339 MN 262

Vc = 0.75 x 0.339 = 0.254 MN > Vu Se cumple Consideramos h = 0.2 m de = 0.18 m Paso 3 Divida la estructura en franjas a cada lado de la línea de columna En la siguiente figura se muestra solamente la franja en la dirección 1 franja de columna A

1.25 m

1 Dirección 1

franja del eje B

Dirección 2

5m frajas centrales Franjas en dirección 1

Paso 4 Calcule el momento total estático Mo = w L2 Ln^2 / 8 El Momento Mayorado en la losa es: Mo = wu L2 Ln^2 / 8 = 9.56 x 5 x 5.5^2= 9.56 x 5 x (5.5)^2/ 8 = Mo = 180.74 kN-m Paso 5 Selecciones el factor de distribución de los momentos negativos y positivos en las columnas interiores y exteriores y en la luz Paso 6 Distribuya los momentos mayorados del paso 5 a las columnas y al medio de la luz La distribución del momento Mo (kN-m) se muestra en la siguiente Tabla Momento Total

Momento en la franja de columna

Momento en las dos mitades de la franja del medio

Luz extrema Exterior negativo 0.26 Mo = 47.0 0.26 Mo = 47.0 0 Positivo 0.52 Mo = 93.98 0.31 Mo = 56.03 0.21 Mo = 37.95 Interior negativo 0.70 Mo = 126.52 0.53 Mo = 95.79 0.17 Mo = 30.73 Luz interior Positivo 0.35 Mo = 63.26 0.21 Mo = 37.96 0.14 Mo = 25.30 Negativo 0.65 Mo = 117.48 0.49 Mo = 88.56 0.16 Mo = 28.92  La porción del momento Mo no resistido por la franja de columna es asignada a las dos mitades de la franja del medio Paso 7 Determine si el espesor de la losa es adecuado para transmitir los momento-cortante en el caso de losas sin vigas (flat -slab) a la unión de las columnas calculando que porción de los momentos transferidos por cortante y las propiedades de la sección crítica para cortante a una distancia (de / 2) de la cara de las columna 263

Comprobemos la transferencia del momento por cortante en la columna exterior B-1 en kN-m Luz extrema Exterior negativo 0.26 Mo = 47.0 Interior negativo 0.70 Mo = 126.52 Vu = 0.139 MN en la cara de la columna La fuerza de cortante mayorado ajustado en el eje de la columna por el momento interior es: Vu = Vo – ( Md – Mizq) / L = 0.139 – (0.12652 – 0.047) /5.5 = 0.1245 MN Vn = Vu /  = 0.1245 / 0.75 = 0.166 MN bo = 1.94 m De la figura A y tomando momento con respecto al 3-4 del plano del área crítica de(2c1 + c2 + 2de) x = de (c1 + de/2)² (2 x 0.5 + 0.5 + 0.36) x = (0.5 + 0.18/2)² x = 0.206 m x-es la distancia al centroide del área crítica x = k + de/2 k = x – d/2 = 0.206 – 0.18/2 = 0.116m A fin de transferir Vu desde la cara de la columna al centroide de la sección crítica se suma un momento adicional con un valor de Mc = 47.0 kN-m = 0.047 MN-m El momento total es Muc = Vu x k + Mc = 0.166 x 0.116 + 0.047 = 0.0663 MN-m El momento desbalanceado requerido es: Mn = Muc /  = 0.0663 / 0.9 = 0.0736 MN-m La fracción del momento Mn transferido por cortante es : v = 1 – {1 / [ 1 + [2/3] [(b1 / b2)]} XXIX.3.6 .2 f = 1 / { 1 + (2/3) [(b1 / b2)]} bi = ci + d/2 = 0.50 + 0.18/2 = 0.59 m b2 = ci + d = 0.50 + 0.18 = 0.68 m f = 1 / {1 + (2/3) [ (0.59 / 0.68)]}= 0.6169 v = 1 - f = 0.6169 = 0.381 Ac = (2b1 + b2 ) de = (2 x 0.59 + 0.68) 0.18 = 0.3348 m^2 (J / c) = [2 (b1)^2 d (b1 + 2 b2) + (d^3)(2b1 + b2)] / 6 b1 = (J / c) = [2 x 0.59^2 x 0.18(0.59 + 2 x 0.68) + 0.18^3(2 x 0.59 + 0.68)] / 6 x 0.59 = 0.0721 m^3 El esfuerzo del cortante es: vu = Vu / Ac +[(v M) /(J / c) vu = (0.1515 / 0.3348) + (0.381 x 0.0736) / 0.0721 = 0.84 MPa El esfuerzo permisible a cortante es ( fc’) / 3 = 0.75 (28) / 3 = 1.32 MPa > vu Se cumple Se acepta el espesor de la losa de h = 0.2 m y de = 0.18 m Comprobemos la transferencia del momento por cortante en la columna interior B-2 Columnas interiores con iguales luces en la dirección analizada e iguales en la dirección transversal Mu = 0.07 [( wd + 0.5 wl)L2 Ln^2 – wd’ L2’(Ln’)^2 = 0.07( 5.3 x 1.2 + 0.5 x 2.0)x 5 x (5.5)^2 – 5.3 x 1.2 x 6 x (4.5)^2] = 23.84 kN-m = 0.02384 MN-m El cortante en la cara de la columna es: Vn = 0.38092 + (0.139 – 0.1245) / 0.75 = 0.40 MN Ac J/c c c´ Columna Interior 2(b1 + b2) de [b1 de(b1 + 3b2) + de^3] / 3 b1/2 b1/2 J/c = [0.68 x 0.18 (0.68 + 3 x 0.68) + 0.18^3] / 3 = 0.1129 m³ k = 0.5 / 2 = 0.25 m El momento desbalanceado es: Mn = 0.02384 / 0.9 + 0.40 x 0.25 = 0.1265 MN-m Se ha utilizado  = 0.9 Tracción controlada f = 1 / { 1 + (2/3) [(b1 / b2)]} = 1 / { 1 + (2/3) [(1.0)]} = 0.60 v = 1 – {1 / [ 1 + [2/3] [(b1 / b2)]} XXIX.3.6 .2 v = 1.0 – 0.60 = 0.4 El esfuerzo del cortante es: vu = Vu / Ac +[(v M) /(J / c)] = 0.4 / 0.485 + [(0.4x 0.1265) /(0.1129)] = vu = 1.273 MN < 1.32 MN Se cumple El espesor de la losa de h = 0.2m y de = 0.18 m es satisfactorio Determinación del refuerzo de la losa por el momento desbalanceado en la cara de la columna exterior Porción del momento desbalanceado transferido por flexión = f Mu f = 1 / { 1 + (2/3) [(b1 / b2)]} bi = ci + d/2 = 0.50 + 0.18/2 = 0.59 m b2 = ci + d = 0.50 + 0.18 = 0.68 m 264

f = 1 / {1 + (2/3) [ (0.59 / 0.68)]}= 0.6169 Mu = 0.6169 x 0.0736 MN-m = 0.045 MN-m El ancho efectivo de la losa es b = c2 + 3h = 0.5 + 3 x 0.20 = 1.1 m Co = Mu /  f’ b d^2 = 0.045 / 0.9 x 28 x 1.1 x 0.18^2 = 0.05 y en la Tabla de Co, hallamos k= 0.052 j = 0.974 As = Mu /  fy j de = 0.045 / 0.9 x 420 x 0.974 x 0.18 = 0.00068 m^2 = 6.79 cm^2 Asmin = 0.0018 x 1.1 x 0.18 = 0.000356 m^2 = 3.564 m² < As No. 4 @ 20 cm El momento que resiste el concreto para tensión controlado es Mn = 0.9 x 0.228 x 28 x 1.1 x 0.18^2 = 0.25 MN-m > 0.045 MN-m Se cumple, es tracción controlada Para el momento total fuera de la columna Mu = 0.047 MN-m Asumimos  = 0.9 (Tensión Controlada) Ancho de la franja de columna b = 5 / 2 – 0.68 = 1.82 m Co = Mu /  fc’ b de^2 = (0.047 / 0.9) x 28 x 1.82 x (0.18 )2 = 0.031 De la Tabla de Co Con Co = 0.031 j = 0.984 k = 0.032 As = Mu /  fy j de = (0.047 / 0.9) x 420 x 0.984 x 0.18 = 0.00077 m^2 = 7.7cm^2 No. 4 @ 30 cm De igual forma se realiza para la columna interior Paso 6 Calcule el refuerzo para flexión del paso 6 Paso 7 Determine el espaciamiento y el tamaño del refuerzo para cumplir los requerimientos de fisuración, el corte de barra, y refuerzo por temperatura Los momentos son los siguientes kN-m Momento en la franja de columna Momento en las dos mitades de la franja del medio Luz extrema Exterior negativo 0.26 Mo = 47.0 0 Positivo 0.31 Mo = 56.03 0.21 Mo = 37.95 Interior negativo 0.53 Mo = 95.79 0.17 Mo = 30.73 Luz interior Positivo 0.21 Mo = 37.96 0.14 Mo = 25.30 Negativo 0.49 Mo = 88.56 0.16 Mo = 28.92 Diseño de los refuerzos en la FRANJA DE COLUMNAS Luz extrema. Exterior negativo Mu = 0.047 MN-m Co = Mu /  fc’ b de^2 = (0.047 / 0.9) x 28 x 2.50 x (0.18 )² = 0.023 De la Tabla de Co Con Co = 0.023 j = 0.988 k = 0.023 As = Mu /  fy j de = (0.047 / 0.9) x 420 x 0.988 x 0.18 = 0.00077 m^2 = 7.7cm^2 No. 4 @ 30 cm en 1.25m de cada lado del eje B Luz extrema. Positivo Mu = 0.056 MN-m Co = Mu /  fc’ b de^2 = (0.056 / 0.9) x 28 x 2.5 x (0.18 )² = 0.045 De la Tabla de Co Con Co = 0.045 j = 0.976 k = 0.047 As = Mu /  fy j de = (0.056 / 0.9) x 420 x 0.976 x 0.18 = 0.0008m^2 = 8.6cm^2 No. 4 @ 40 cm en 1.25 m a cada lado del eje Luz extrema. Interior negativo Mu = 0.0958 MN-m Co = Mu /  fc’ b de^2 = (0.0958 / 0.9) x 28 x 2.50 x (0.18 )² = 0.0469 De la Tabla de Co Con Co = 0.023 j = 0.976 k = 0.047 As = Mu /  fy j de = (0.0958 / 0.9) x 420 x 0.988 x 0.18 = 0.0014m^2 = 14.0cm^2 No. 4 @ 23 cm en 1.25m de cada lado del eje B Luz interior. Positivo Mu = 0.03796 MN-m Se coloca No. 4 @ 30 cm en 1.25m de cada lado del eje B Luz interior. Negativo Mu = 0.088 MN-m Co = Mu /  fc’ b de^2 = (0.0088 / 0.9) x 28 x 2.50 x (0.18 )² = 0.0431 265

De la Tabla de Co Con Co = 0.0431 j = 0.98 k = 0.04 As = Mu /  fy j de = (0.088 / 0.9) x 420 x 0.98 x 0.18 = 0.0013m^2 = 13.0cm^2 No. 4 @ 23 cm en 1.25m de cada lado del eje B FRANJA CENTRAL Luz extrema Exterior negativo = 0 Positivo = 37.95 kN-m Interior negativo = 30.73 kN-m

Luz interior Positivo = 25.30 kN-m Negativo = 28.92 kN-m Como los valores de los momentos son muy parecidos, calcularemos en este ejemplo para el mayor valor Mu = 37.95 kN-m = 0.03795 MN-m Co = Mu /  fc’ b de^2 = (0.03795 / 0.9) x 28 x 1.25 x (0.18 )² = 0.03718 De la Tabla de Co Con Co = 0.03718 j = 0.9815 k = 0.037 As = Mu /  fy j de = (0.03718 / 0.9) x 420 x 0.9815 x 0.18 = 0.00048^2 = 4.76cm^2 Amin = 0.0018 x 1.25 x 0.18 = 0.0004 m² = 4.05 cm² No. 4 @ 34 cm en cada franja central de 1.25 m de ancho

En la siguiente figura se muestra el refuerzo del eje B No. 4 @ 34 (refuerzo inferior) luz central A

No. 4 @ 34 (refuerzo superior) Luz central

franja de columna B No. 4 @ 30 cm en 1.25m de cada lado del eje B en franja de columna

1 6m franja central No. 4 @ 40 cm en 1.25 m a cada lado del eje refuerzo inferior 2 266

No. 4 @ 20 cm(refuerzo superior en 1.10 m franja de columna)

No. 4 @ 23 cm en 1.25m de cada lado del eje B No. 4 @ 30 cm (refuerzo superior fuera en la columna, franja de columna)

Franjas en dirección 1 Para las franjas de los ejes A y B se realiza de igual forma que el eje B Para la dirección 2, se realiza de igual forma XXIX.7 EJEMPLO DE DISEÑO DE UNA LOSA CON VIGAS POR EL MÉTODO DIRECTO Se realizará el Ejemplo XXIX.6, pero utilizando vigas Dimensiones de las columnas: 0.5 m Las cargas laterales son resistidas por las paredes Tiene vigas externas e internas con b= 0.3 m y h = 0.5m

Peso de las paredes divisorias móviles: 0.5 kN/m^2 Carga viva: 2.0 kN/m^2 Concreto: 28 MPa Acero: 420 MPa

Consideremos h = 15 cm El peralto efectivo (de) será: 15 – 2 = 13 cm El peso propio de la losa es: 3.6 kN/m^2 La carga total mayorada: wu = 1.2 ( 0.5 + 3.6) + 1.6 x 2.0 = 8.12 kN/m^2 Comprobemos si el Método Directo es aplicable La relación de luz larga a luz corta es: 6 / 5 = 1.2 < 2.0 Se cumple Las luces consecutivas son iguales Las columnas no están desalineadas Hay más de tres paneles en cada dirección Las cargas son uniformemente distribuidas La relación de carga viva de servicio a carga muerta de servicio es 2 / 4.08 = 0.49 < 2.0 La losa es con viga Puede utilizarse el Método Directo Determinemos el espesor mínimo de la losa Consideremos el sentido longitudinal a lo largo de la luz de 6.0 m, el sentido transversal es el perpendicular a él Sentido longitudinal Ln = 5.70 m Transversal 4.70 m  = 5.50 / 4.50 = 1.22 Para un estimado preliminar utilizaremos la siguiente fórmula Ln[ 0.8 + (fy / 1500) ] = 5.7 [ 0.8 + (420 / 1500)] > 0.09 m Se cumple 36 + 9 36 + 9 x 1.22 h = 0.13 m Para determinar h de la ecuación 267

1.16 m Ln [ 0.8 + (fy / 1500) ] 36 + 5  (m – 0.2)

> 120 mm 0.17 m

Necesitamos la relación m. Para el panel exterior

y 0.43 m

45

Ib = 0.00525 m^4 0.30 m Is1= (0.15)^3 x 6 / 12 = 0.001687 m^4 Is2 = (0.15)^3 x 5 / 12 = 0.00141 m^4 m = (3.11 x 2 + 3.72 x 2) / 4 = 3.415 1 = 0.00525 / 0.001687 = 3.11 2 = 0.00525 / 0.00141 = 3.72 h = 5.7 (0.8 + 420/ 1500)/ [ 36 + 5 x 1.22(3.415 – 0.2)] = 0.08 m, pero tiene que ser mayor 0.12 m En el EJEMPLO seguiremos con h= 0.15 m de = 0.13 m Determinemos los momentos flectores Ln1 = 5.7 m

Ln2 = 4.7 m

0.65 L1 = 3.9 Usamos Ln1 = 5.7m 0.65 L2 = 2.6 Usamos Ln1 = 4.7

En la dirección longitudinal Mo = wu l2 (ln1)^2 / 8 = 8.12 x 5 x (5.7)^2 / 8 = 176.66 kN-m Para panel interior Momento negativo Mu = 0.65 Mo = 0.65 x 176.66 = 114.83 kN-m Momento positivo Mu = 0.35 Mo = 61.83 kN-m En la dirección transversal Mo = wu l1 (ln2)^2 / 8 = 8.70 x 6 x (4.7)^2 / 8 = 144.14 kN-m Para panel interior Momento negativo Mu = 0.65 Mo = 0.65 x 144.14 = 93.69 kN-m Momento positivo Mu = 0.35 Mo = 0.35 x 144.14 = 50.45 kN-m Distribución del momento en la franja central y en la columna 1) Relación de rigideces en la luz larga  = Ecb Ib2 / Ecs Is2 = 0.00525 / 0.00141 = 3.723 L2 / L1 = 5/6 = 0.8333 L2/L1 = 3.723 x 0.8333 = 3.10 Interpolando linealmente de las Tabla momentos negativos exteriores mayorados y positivos hallamos el factor de momento Para momento negativo y positivos 0.86 2) Relación de rigideces en la luz corta  = Ecb Ib1 / Ecs Is1 = 0.00525 / 0.001687 = 3.11 L1 / L2 = 6/5 = 1.2  L1 / L2 = 3.11 x 1.2 = 3.732 Utilizando las mismas Tablas e interpolando hallamos Momento negativo y positivo 0.66 En al siguiente Tabla se muestra el resumen de los momentos Dirección longitudinal Franja de columna momento negativo Mu (kN-m) 114.83 (1) Factor de distribución (%) 86 Momento total en la franja de columna kN-m 98.75 (2) Momento en viga (85%) 83.94 Momento en la franja de columna (kN-m) 14.81

momento positivo 61.83 86

Dirección transversal Momento negativo momento positivo 93.69 50.48 0.66 0.66

53.17 45.19

61.83 52.55

33.31 28.31

7.98

9.33

5.0 268

Momento total en la franja Central (kN-m)* 16.08 *Este momento es la diferencia entre (1) y (2)

8.56

31.86

17.17

Con estos momentos se determina la cantidad de refuerzo necesario, así como la capacidad del concreto para resistir los mismos Comprobación del espesor efectivo (de) de la losa para resistir el cortante 1 L2 / L1 = 3.72 > 1.0 Vu = 1.15 wu Ln2 /2 =1.15 x 8.70 x 4.7 / 2 = 23.53 kN/ m de ancho Vc =  (fc/6’) b de = 0.75[ (28)/6] x 1.00 x 0.13 = 0.099 MN = 78 kN/ m de ancho > Vu El espesor de la losa es suficiente Con los momentos flectores en cada franja se halla el refuerzo necesario La carga uniformemente distribuida sobre la viga del eje B es: wu = 8.12 x 5 x 12 / 12 = 40.6 kN/m² XXIX.8 MÉTODO DEL PÓRTICO EQUIVALENTE En este apartado se trata el diseño de losas por el Método del Pórtico Equivalente. Todas las secciones de la losa y de los elementos que le dan apoyo deben dimensionarse para los momentos y cortantes así obtenidos Donde se utilicen elementos metálicos de capitel para columnas, pueden tenerse en cuenta su contribución a la rigidez y a la resistencia de momento y cortante Pueden despreciarse los cambios en la longitud de las columnas y de losas debidos a los esfuerzos axiales y las deformaciones debidas a esfuerzo cortante El Método del Pórtico Equivalente se basa en los siguientes principios: (a) La estructura debe considerarse constituida por Pórticos Equivalentes tomados longitudinal y transversalmente a través del edificio sobre la línea de columnas (b) Cada pórtico consiste en una fila de columnas o apoyos equivalentes y franjas de losa-viga limitadas lateralmente por la línea central de la losa a cada lado del eje de columnas o apoyos (c) Las columnas o apoyos deben suponerse adheridos a las franjas de losa o viga por medio de un elemento torsional transversal a la dirección de la luz para la cual se están calculando los momentos y que se extienden hasta la línea medía de los paneles localizados a cada lado de la columna (d) Los pórticos adyacentes y paralelos a un borde están limitados por dicho borde y por la línea central de la losa adyacente (e) El Pórtico Equivalente debe analizarse en su totalidad. Alternativamente pueden realizarse análisis independientes, solamente para cargas de gravedad, aislando cada piso de los adyacentes, superior e inferior y considerando empotrados los extremos lejanos de las columnas (f) Cuando se analicen las vigas-losa separadamente para determinar el momento en un apoyo dado, puede suponerse que la viga-losa está empotrada en cualquier apoyo distante dos paneles de allí

eje de columnas

Pórtico equivalente exterior

269

Franja de columna L2 / 4

L2 / 2 (Pórtico Equivalente interior)

Empotramiento

Empotramiento Pórtico equivalente Fig No.1 Vigas-losa El momento de inercia de las vigas-losa en cualquier sección transversal de los nudos o capiteles de columna, puede basarse en el área bruta del concreto Debe tenerse en cuenta la variación del momento de inercia a lo largo del eje de las vigas-losa El momento de inercia de las vigas-losa desde el centro de columna hasta la cara de la columna, ménsula o capitel se supone igual a su momento de inercia en la cara de la columna, ménsula o capitel dividido por la cantidad (1 – c2 / L2)^2 donde c2 y L2 se miden transversalmente a la dirección de la luz para la cual se determinan los momentos Columnas El momento de inercia de las columnas en cualquier sección localizada fuera de los nudos o capiteles pueden determinarse de la sección bruta de concreto Deben tenerse en cuenta la variación del momento de inercia a lo largo del eje de la columna El momento de inercia de la columna dentro de la viga-losa puede considerarse infinito

I=

I = Lc

Ecc Ic

Lc Ecc Ic

I=

Sin viga

I =

Con capitel en columna I = I=

Ecc Ic

I= I=

Con ábaco

Con viga

270

Elementos a torsión Debe suponerse que los elementos a torsión adheridos tienen una sección transversal constante en toda su longitud, consistente en la mayor de: c)

Una porción de losa con ancho igual al de la columna, ménsula o capitel en la dirección de la luz para la cual se determinan los momentos c1

d)Para construcción monolítica o totalmente compuesta, la porción de la losa especificada en (a) más la porción de la viga transversal por encima y por debajo de la losa

hf hw bw

e) La viga transversal hw  4 hf c1 hf

hf hf hw hw

hw bw

bw + 2 hw  bw + 8 hf En el caso de que lleguen vigas a las columnas en las direcciones de la luz para la cual se determinan los momentos, la rigidez torsional debe multiplicarse por la relación entre el momento de inercia de la losa con dicha viga y el momento de inercia de la losa sin viga La rigidez torsional de la losa en la línea de columnas es: Kt = { 9 Ecs C / (L2) [ 1 – (c2 / L2 )] ^3} XXIX.8.1 El término C es la constante de la sección que define las propiedades torsionales de cada miembro en la unión C = { 1 – 0.63 (x / y)} (x^3 y / 3) XXIX.8.2 x- es la dimensión más corta e (y) es la dimensión más larga de los rectángulos Para calcular C, se divide la sección en rectángulos y se suma. Se debe dividir la sección de tal manera que se obtenga el valor mayor de C El valor de Kt anterior se debe incrementar, según la siguiente ecuación, si en la dirección del momento, las vigas del pórtico en el apoyo han sido determinadas 271

Kta = Kt Isb / Is XXIX.8.3 Kta – Aumento de la rigidez torsional, debido a las vigas paralela Is – Momento de inercia de un ancho de losa igual al ancho completo entre los centros de paneles, L2, incluyendo la porción de la viga extendida sobre y debajo de la losa Isb – Momento de inercia de la sección de la losa determinada para Is, incluyendo la parte de la viga extendida sobre y debajo de la losa. Isb es para la sección T completa Es conveniente utilizar el concepto de Columna Equivalente. La rigidez de la Columna Equivalente está dada por: ( 1 / Kec) = (1 / Kc) + (1 / Kt) XXIX.8.4 Para el diseño, es más conveniente utilizar la fórmula anterior en la forma siguiente: Kec = (Kc + Kt) / (Kc + Kt) XXIX.8.5 La rigidez de la Columna Equivalente se determina con la siguiente expresión: Kec = (Kct + Kcb) (Kta + Kta) / (Kct + Kcb + Kta + Kta) XXIX.8.6 Kct -Rigidez a flexión en la parte superior de la columna inferior en la unión Kcb -Rigidez a flexión en la parte inferior de la columna superior Kta - Rigidez torsional de cada elemento a torsión, a cada lado de la columna aumentadas por las vigas paralelas (si las hay) Distribución de la carga viva Cuando se conoce la distribución de cargas, el Pórtico Equivalente debe analizarse para esas cargas a) Cuando la carga viva es variable pero no exceda de los 3/4 de la carga muerta, o la naturaleza de la carga viva sea de tal que todos los paneles estén cargados simultáneamente, puede suponerse que los momentos mayorados ocurren en todas las secciones con carga viva mayorada sobre todo el sistema b) Para condiciones de cargas diferentes a las definidas en a), puede suponerse que el máximo momento mayorado positivo cerca del centro de un panel ocurre con los 3/4 de la carga viva mayorada sobre ese panel y sobre los paneles alternos wd + ¾ wl

wd + ¾ wl

B C D E Máximo momento positivo entre A-B, C-D, E-F

Y, además, que el máximo momento mayorado negativo sobre un apoyo ocurre con los 3/4 de la carga mayorada sobre los paneles adyacentes solamente

wd + ¾ wl wd + ¾ wl wd A

wd D

wd E

Máximo momento negativo en el apoyo B Los momentos mayorados no deben tenerse menores de los que ocurren con la carga viva mayorada total en todos los paneles Determinación del momento estático Mo Sea el panel interior de la fig. No.1 con luz igual a L1 en la dirección que el momento será considerado y L2 en la dirección perpendicular. La luz libre es Ln que se extiende de la cara de columna, capitel, muro o pared a cara de columna, capitel o muro (esta dimensión no debe menor que 0.61 L1. Cuando el apoyo es circular se considera como cuadrado teniendo la misma área. El momento total estático de una carga uniformemente distribuida en una viga simplemente apoyada es Mo = w L^2 / 8. En una losa de elemento en dos direcciones, idealizándola como un pórtico equivalente, es posible calcular Mo en dos direcciones (x e y) ortogonales. Entonces el momento en el medio de la luz es: Mo = [(w L2 Ln1) / 2][ ln1 / 2] - (w L2 Ln1) / 2][ ln1 / 4] ó Mo = w L2 (Ln1)^2 / 8 XXIX.8.7 272

Como existe restricciones en los apoyos, el momento Mo en la dirección x, debe ser distribuido en los apoyos y en el centro de la luz, como: Mo = Mc + [(Ma + Mb) / 2] XXIX.8.8 Mc es el momento en el centro de la luz Ma y Mb son los momentos en los apoyos En la dirección (y) Mo’ = Mc’ + [(Ma’ + Mb’) / 2] XXIX 8.9 Mo’ = w L1 (Ln2)^2 / 8 XXVIII 8.10 Momentos mayorados En los apoyos interiores la sección crítica para momento mayorado negativo (tanto en las franjas de columna como en la franja central) debe tomarse a (de/2) de la cara de los apoyos rectilíneos, siendo (de) el peralto efectivo de la losa en el apoyo, pero a no más de 0.175 L1, medido desde el centro de la columna En los apoyos exteriores provistos de ménsulas o capiteles, la sección crítica para momento mayorado negativo en la luz perpendicular a un borde debe tenerse en una distancia de la cara del elemento de apoyo no mayor de (de/2), siendo (de) el peralto efectivo Para la localización de la sección crítica para momento negativo, los apoyos de forma circular o de polígono regular deben tratarse como apoyos cuadrados con la misma área En un sistema de losas que cumplan las limitaciones del Método Directo, cuando se analiza por el Método del Pórtico Equivalente pueden obtenerse momentos calculados reducidos en tal proporción, que la suma absoluta del momento positivo y el promedio de los negativos utilizados en el diseño, no exceda el valor obtenido de Mo del Método Directo Los momentos en las secciones críticas a través de la franja de viga-losa de cada pórtico pueden distribuirse a franjas de columnas, vigas y franjas centrales tal que se indica en el Método Directo, si se cumplen los requerimientos de XXVIII 8. f Los momentos determinados para las columnas equivalentes en el análisis del pórtico deben utilizarse en el diseño de las columnas reales por encima y por debajo de las vigas-losas XXIX. 9 DEFORMACIÓN DE LAS LOSAS REFORZADAS EN DOS SENTIDOS Es conveniente utilizar el concepto de Columna Equivalente, para determinar la deformación de losas reforzadas en dos sentidos. La rigidez de la Columna Equivalente está dada por: ( 1 / Kec) = (1 / Kc) + (1 / Kt) XXIX. 9.1 El valor de Kec debe ser determinado para calcular la deformación por este método La franja de viga-columna es considerada apoyada en la franja de las vigas-columnas transversales en el centro de la línea de las columnas y no en las columnas. Eje de columna Eje de columna viga placa 0.25 L

L/2

0.25 L

0.25 c Eje columna 0.25 c Losa simplemente apoyada equivalente

0.25 c Eje de columna 0.25 c L

273

Nivel de la loza descargada ∆a

∆b

∆a

∆c 0.25 L

0.25 L

perfil de la losa cargada en el medio de la luz L Eje de columna

Eje de columna

La deformación de un panel típico es considerada en una sola dirección y después en otra. Por lo cual la deformación total es la suma de la deformación en el sentido X más la deformación en el sentido Y La deformación de cada panel puede considerarse de la suma de tres componentes 1 -La deformación en el centro de la luz, asumiendo los extremos fijos, dado por: δ’ = w L^4 / 384 Ec Ipórtico XXIX. 9.2 Tiene que considerarse la deformación δc de las franjas de columna y δm en la franja del medio δc = (δ’ Mfranja losa Ec Icm) / (Mpórtico Ec Ic) XXIX. 9.3 δm = (δ’ Mfranja columna Ec Icm) / (Mpórtico Ec Im) XXIX. 9.4 Icm es el momento de inercia del pórtico total Ic es el momento de inercia de la franja de columna Im es el momento de inercia de la franja del medio de la losa 2 - La deformación central, δcL = θL / 8, debido a la rotación del extremo izquierdo mientras el extremo derecho es considerado fijo, θL = Mnet izquierdo / Kec XXIX. 9.5 3 - La deformación central, δcR = θL / 8, debido a la rotación del extremo derecho mientras el extremo izquierdo es considerado fijo θL = Met derecho / Kec XXIX. 9.6 δcx o δcy = δc + θL + δcR XXIX. 9.7 δmx o δmy = δm + θL + δcR XXIX. 9.8 La deformación total es ∆ = δmx + δcy = δmy + δcx XXIX. 9.9 XXIX.10 A PASOS A SEGUIR PARA EL DISEÑO DE LOSAS REFORZADAS EN DOS DIRECCIONES POR EL MÉTODO DEL PÓRTICO EQUIVALENTE 1- Seleccione un espesor primario de la losa según XXVIII.4.5.2 y la Tabla de XXVII.4.5 Aumente el espesor por lo menos 10% al utilizar la Tabla 2Calcule Ecc, Ecs y Ecb, donde c es columna, s es losa y b es viga Kc = 4 EI / (L – 2h) Kt = ∑ [ 9 Ecs C] / [L2 (1 – c2 / L2)^3] C = ∑ (1 – (0.63x / y)) (x^3 y / 3) Halle Kec = [ (1 / Kc) + (1 / Kt)] ^ (-1) 3- Calcule Ks = 4 EcsI / (Ln1 – c1 / 2) Ln1 es la línea central de la luz c1 es espesor de la columna Halle DF = Ks / ∑K ∑K = Kec + Ksizq + Ksder 4- Calcule MEF para el valor de wu y corra la distribución de momento MEF = ± wu (Ln)^2 / 12. Ajuste Mu en la cara de la columna, de forma tal que el momento ajustado sea: Mu = Mu distribuido - Vc / 3. 5 – Halle Mn = Mu / 

274

6- Considere la redistribución del momento inelástico si es necesario, no excediendo 20%, pero no más de 1000εt porciento 7- Utilice el apropiado factor de α1(L2 / L1) de momentos mayorados negativos y positivos de las franjas de columnas y la faja central 8 – Calcule el refuerzo. Halle Mn = As fy (de – a / 2), para la sección del apoyo y del medio de la luz de las franjas de columnas y franja central Calcule Vu, seleccione Muc del paso 4 – Calcule la transferencia de cortante-momento y la 9 – Transferencia de cortante-momento Calcule Vu, seleccione Muc del paso 4, calcule (g) y el momento desbalanceado Mn = Muc + Vu g Calcule: f = 1 / {1 + [2/3][(b1 / b2)]} b1 = c1 + de / 2 para las columnas exteriores b1 = c1 + de para las columnas interiores b2 = c2 + de f = 1 - v Calcule CAB = x promedio Si f puede aumentarse a 1.0 en las columnas extremas utilice Vu en la columna ≤ 0.75 Vc, y 25% para las columnas interiores si Vu ≤ 0.4Vc y ρ ≤ 0.375 pg 10 – Calcule el cortante de la losa Determine vn = [Vu / ( Ac)] + (v CAB Mn / Jc) utilizando Vn = vn bo de El cortante admisible es el menor de: a) Vc = (0.17√fc’ ) [ 1 + (2 / βc)] bo de b) Vc = (0.083√fc’ )[ 2 + (αs de / bo)] bo de c) Vc = (0.33√fc’)bo de donde βc- es la relación entre lado largo y lado corto de la columna, carga concentrada o área de apoyo αs- tiene el valor de 40 para columnas interiores, de 30 para columnas de borde y de 20 para columnas de esquina Para formas distintas de la rectangular, βc se toma como la relación entre la dimensión más larga del área cargada y la mayor dimensión del área cargada medida perpendicularmente a la primera XXIX.11 EJEMPLO DEL DISEÑO DE UNA LOSA REFORZADA POR EL MÉTODO DEL PÓRTICO EQUIVALENTE Diseñar la losa sin vigas de la figura por el Método del Pórtico Equivalente A B C 1 Dirección 1

Dirección 2

Planta de un edificio de 4 plantas Dimensiones de las columnas: 0.5 m Las cargas laterales son resistidas por las paredes Peso de las paredes divisorias móviles: 0.5 kN/m^2 275

Carga viva: 2.0 kN/m^2 Columnas cuadradas de 0.5 m Concreto: fc’ =28 MPa

Refuerzo fy = 420 MPa

Solución: 1- Seleccione un espesor primario de la losa según XXVIII.4.5.2 y la Tabla de XXVII.4.5 Aumente el espesor por lo menos 10% al utilizar la Tabla Consideremos h = 15 cm El peralto efectivo (de) será: 15 – 2 = 13 cm El peso propio de la losa es: 3.6 kN/m^2 La carga total mayorada: wu = 1.2 ( 0.5 + 3.6) + 1.6 x 2.0 = 8.12 kN/m^2 L1 = 6.00 m L2 = 5.00 m 2y 3 Calcule Ecc, Ecs y Ecb, donde c es columna, s es losa y b es viga Kc = 4 EI / (L – 2h) Kt = ∑ [ 9 Ecs C] / [L2 (1 – c2 / L2)^3] C = ∑ (1 – (0.63x / y)) (x^3 y / 3) Halle Kec = [ (1 / Kc) + (1 / Kt)] ^ (-1) Calcule Ks = 4 EcsI / (Ln1 – c1 / 2) Ln1 es la línea central de la luz c1 es espesor de la columna Para el pórtico indicado en la figura Ln = 4 m Columnas exteriores: b= 0.5 m Ic = (0.5)^4 / 12 = 0.00521 m^4 Ecol/Elosa = Ecc/Ecs = 1.0 Para la parte superior e inferior de la columna Total Kc = [4 x 1 x 0.00521 / (4 – 2 x 0.15)] x 2 = 0.011265 MN-m/rad /Ecc C = [1 – 0.63(x/y)] (x^3) y / 3 = [1 – 0.63 (0.15 / 0.5)] 0.15^3 x 0.5 / 3 = 0.000456 Kt =  [9 Ecs C / L2 (1 – (c2 / L2)^3] = 9 x 1 x 0.000456 / 6 x (1 – 0.5 / 6)^3 = 0.00089 MN-m/rad/Ecc Kec = (1/Kc + 1/kt )^(-1) = (1/0.011265 + 1/0.00089) = 0.0008248 MN-m/rad/Ecc Columna interior b = 0.5m Ic = 0.00521 m^4 Total Kc = [4 x 1 x 0.00521 / 4 – 2 x 0.15)] = 0.0011265 MN-m/rad /Ecc C = 0.000456 Kt = 0.00089 MN-m/rad/Ecc Kec = 0.0008248 MN-rad/Ecc Losa Is = 6 x 0.15^3 / 12 = 0.0016875 Klosa = 4 Ecs Is / [Ln – (c1/2)] = 4 x 1.0 x 0.0016875 / [5 – (0.5 /2)] = 0.001421m-MN/rad/Ecs 4- Calcule MEF para el valor de wu y corra la distribución de momento MEF = ± wu (Ln)^2 / 12. Ajuste Mu = Mu distribuido - Vc / 3. El factor de distribución de momento (FEM) es: FD = Ks / K K = Kec + Ks der + Ks izq en este caso Ks der = Ks izq = 0.001421 Para losa exterior en A FD = 0.001421/ (0.0008248 + 0.0012421) = 0.6875 Para losa interior en B FD = 0.001421 / (0.0008248 + 0.001241 + 0.001241) = 0.427 Wnet = 0.00275 MN/m^2 El momento en extremos fijos = Wnet Ln^2 / 12 = 0.00275 x 6^2 / 12 = 0.00825 MN-m = M ext fijo =8.25 x 10^3 MN-m Utilizando el método de Cross A B C D FD 0.6875 0.427 0.427 0.427 0.427 0.6875 MU

0.5 - 8.25

0.5 0.5 8.25 -8.25

0.5 0.5 8.25 –8.25

0.5 8.25

MEF x 10^3 5.67

-5.67 276

OC Dis

TOTAL

- 2.58

2.83 0 - 1.21 –1.21

0 - 2.83 1.21 1.21

9.9 9.46

El momento neto en la columna B es el momento 0.0099 MN-m menos Vc/3 Mnet/max = 0.0099 – (1/3) (5 x 0.00275 x 6 /2) = -0.00385 MN-m/m De la misma forma se realiza en las distintas luces El refuerzo mínimo necesario es At = 0.00075 h L = 0.00075 x 0.15 x 6 = 0.000675 m^2 As = 6.75 cm^2 Este refuerzo debe distribuirse en el ancho del panel con un espaciamiento máximo de 15 cm y debe concentrarse en una franja igual al ancho de la columna más vez y medía el ancho de la losa a cada lado de la columna El momento que resiste la zona de compresión del concreto para  = 0.9 es: Mc = 0.205 fc’ b(de^2) = 0.205 x 28 x 1 x (0.13)^2 = 0.097 MN/m = 97 kN/m Mu = 3.85 10^3 kN/m< Mc, El concreto resiste y se puede utilizar  = 0.9 ya que t > 0.005 La altura de la zona en compresión es a = As fy / 0.85 fc’ b a = 1.78 / 0.85 x 28 x 1 = 0.0747 m d – a/2 = 0.13 – 0.0747 / 2 = 0.0927 Y el refuerzo resiste Mn = 1.78 x 0.0927 = 0.165 MN-m Mn/ 0.9 = 0.18 MN-m > Mu = 0.00385 MN-m De la misma forma se realiza en las otras luces Cortante Columnas exteriores VAB = 20.75 x 10^3 KN/m El cortante total = 20.75 x 10^3 x 5 = 103.75 X 10^3 kN/m Columna 0.5 x 0.5 m La sección crítica se encuentra d/2 = 0.13 / 2 = 0.065 m dpmax = dv = 0.8 d = 0.104 m c1 = c2 = 0.5 m b1 = c1 + d/2 = 0.5 + 0.065 = 0.565 m b2 =c2 + de = 0.63 m d(2 c1 + c2 + 2de) x = d (c1 + d/2)^2 Usando d = dv = 0104 m Ac = bo dv = (2 x 0.565 + 0.63) 0.104 = 0.183 m x = CAB = (b1)^2 dv / Ac = (0.565)^2 x 0.104/ 0.2288 = 0.1820 m CCD = b1 – CAB = 0.565 – 0.1820 = 0.383 m c1 = 0.5 m g = x – dv/2 = 0.1820 – 0.104/2 = 0.13 m v = 1 – 1 / [ 1 +(2/3)(b1/b2)] = 0.386 f = 1 / [ 1 + (2/3) (b1/b2)] = 0.613 Jc = [(c1 + dv/2)dv^3 / 6] + (2dv/3) (CAB^3 + CCD^3) + (c2 + dv1) dv / (CAB)^2 = 1.974 m^4 El momento unitario en el centro de la luz es Mu = 3.85 x10^3 kN-m, por lo cual el momento en al franja es Mu = 3.85 x 5 x 10^3 = 19.25x 10^3 kN-m Considerando que el Vu actúa en la cara de la columna para la transferencia del momento-cortante, de lo cual la transferencia del momento-cortante por excentricidad es Vu g = 20.75 x 10^3 x 0.13 = 2.396 x 10^3 kN-m El momento externo total es Muc = (19.25 + 2.695) x 10^3 = 21.945 x 10^3 kN-m La fracción del momento transferido por el cortante es v Muc = 0.386 x 21.945 x 10^3 = 8.47 x 10^3 kN-m vn = (Vu / 0.85 Ac) + v CAB Mu/  Jc = vn = 20.75 x 10^3 / 0.85 x 0.183 + (0.386 x 0.1820 x 19.25 x 10^3) / 1.974 = 134.26 kPa = 0.1343 MPa bo = 2 x 0.565 + 0.63 = 1.76 m^2 [( s d / bo) +1.5 ]/12 = [(30 x 0.13 / 1.76) + 1.5] / 12 = 0.3, por lo tanto se toma p = 0.39 El esfuerzo es vc = 0.29 x 28 + 0.3 x 1.204 = 1.89 MPa > vn Se cumple 277

En la columna interior se realiza un cálculo similar XXIX.12 ANÁLISIS DEL MÉTODO DEL PÓRTICO EQUIVALENTE PARA CARGA HORIZONTALES EN PÓRTICOS NO ARRIOSTRADOS Un pórtico consiste de columna y losa plana o losa con ábacos que no tienen paredes de cortante o arriostramiento, por lo cual son ineficiente para resistir cargas horizontales Cuando están sometidos a cargas verticales y horizontales, el procedimiento es el siguiente: A- Para cargas verticales a) Calcule Klosa = 4 Ecs Is / [Ln – (c1/2)] para la viga-losa utilizando el valor total de L2 y considerando que la losa no está fisurada b) Calcule Kc = 4 EI / (L – 2h) en la unión para columna, considerando que las columnas no están fisurada c) Calcule Kt = ∑ [ 9 Ecs C] / [L2 (1 – c2 / L2)^3] C = ∑ (1 – (0.63x / y)) (x^3 y / 3) para cada elemento no fisurado d) Calcule Kec = [ (1 / Kc) + (1 / Kt)] ^ (-1) utilizando ∑Kc y Kt e) Analice el pórtico para las cargas verticales utilizando Ks, Kec por el método del pórtico equivalente B) Para cargas horizontales a)- Calcule la rigidez de la viga- losa agrietada Ksb = 0.33 Ks, Ks es el valor obtenido por el paso: (A- a) o sea, Ks es la rigidez de la losa-viga no agrietada b) Calcule la rigidez efectiva de cada columna en la unión como ( Kec / ∑ Kc) Kec y Kc son los valores utilizados en (A –b) y (A – c) c) Analice el pórtico para las cargas horizontales utilizando Ksb,c) y Kc C) Para la combinación de las cargas verticales y las horizontales Sume los valores de A) y B) XXIX.13 PROBLEMAS PROPUESTOS XXIX.13.1 Diga algunos sistemas de losas XXIX.13.2 En que franjas se divide las losas cargas en dos sentidos? XXIX.13.4.Que es un ábaco y un capitel? XXIX.13.5 Cuales son los espesores mínimo? XXIX.13.6 Cuales son los pasos a seguir para el diseño de losas por el método directo? XXIX.13.7 Diseñar la losa sin vigas por el Método Directo de la losa mostrada en la figura Dimensiones de las columnas: 0.5 m Las cargas laterales son resistidas por las paredes No tiene vigas externas Peso de las paredes divisorias móviles: 0.7 kN/m^2 Carga viva: 2.5 kN/m^2 Concreto: 28 MPa Acero: 420 MPa A B C 1 Dirección 1

Dirección 2

3 278

XXIX.13.8 Diseñar el problema de XXIX.13.7 utilizando vigas XXIX.13.9 Cuales son los pasos a seguir para el diseño de losas reforzadas en dos direcciones por el método del pórtico equivalente XXIX.13.10 Diseñar de una losa reforzada por el método del pórtico equivalente de la figura Pórtico Equivalente Dimensiones de las columnas: 0.5 m Las cargas laterales son resistidas por las paredes Peso de las paredes divisorias móviles: 0.6 kN/m^2

A. 7m B

Carga viva: 2.5 kN/m^2

7m .

Columnas cuadradas de 0.5 m 7m . D .

. 6m Concreto: fc’ =28 MPa

Refuerzo fy = 420 MPa

CAPÍTULO XXX (C.13.9) LOSAS EN DOS DIRECCIONES APOYADAS EN MUROS O VIGAS RÍGIDAS XXX .1 INTRODUCCIÓN Este método se aplica cuando los paneles están apoyados en sus cuatro bordes sobre muros o sobre vigas rígidas ante flexiones verticales. Una viga se considera rígida cuando el parámetro  (  = Ecb Ib / Ecs Is) es mayor o igual a 0.5. Cuando se trate de losas nervadas, el mínimo número de nervaduras en cada dirección debe ser mayor o igual a seis Los paneles se dividen en cada dirección, en franjas de columnas y centrales En la aplicación del método se consideran dos condiciones de borde para efecto de la rigidez a flexión de la losa en el apoyo de borde: (a) Cuando la viga de apoyo en el borde es suficiente rígida a torsión, el apoyo puede considerarse equivalente a un apoyo central continuo y (b) Cuando la viga de apoyo en el borde tiene una rigidez despreciable, la losa debe considerarse que tiene un apoyo no continuo. En este caso, el momento negativo de diseño en el borde debe ser igual; a un tercio del momento positivo de diseño Las secciones críticas para momento, en cualquiera de las dos direcciones, son las siguientes; (a) Para momentos negativos, los bordes de los paneles en la cara de los apoyos (b) Para momento positivo, los centros de los paneles

279

Los momentos de diseño en la franja central deben calcularse utilizando lo que se muestra a continuación, utilizando las siguientes ecuaciones: Ma = Caj wj (La)^2 (A) XXX .1.1 (C.13-8) Mb = Cbj wj (Lb)^2 (B) XXX .1.2 (C.13-9) wj corresponde a wl, wd o wu, según se indica en cada una de las tablas La- lado corto Lb- lado largo Los momentos de diseño en la franja de columnas debe reducirse gradualmente de su valor total Ma o Mb en el límite de la franja central a 1/3 de estos valores en el borde del panel Cuando el momento negativo en un lado del apoyo sea menos del 80% del correspondiente al otro lado del apoyo, la diferencia debe distribuirse en proporción a la rigidez relativa de las losas Los esfuerzos de cortantes en la losa deben calcularse bajo la suposición de que la carga en el panel se distribuye a los apoyos en la proporción indicada en la Tabla L4 Las cargas sobre las vigas de apoyo del panel rectangular en dos direcciones se calculan utilizando las proporciones de carga, para cada una de las direcciones, indicadas en la Tabla L3. Estás cargas pueden considerarse como cargas uniformemente distribuidas sobre la longitud de la viga. En ningún caso, la carga sobre la viga que salva la luz corta puede ser menor que la carga aferente de un área de la losa contenida por la viga y dos líneas trazadas a 45 a partir de las esquinas del panel, y la carga equivalente uniformemente repartida sobre las vigas debe ser w La / 3 XXX.2 CARGAS LINEALES Y CONCENTRADAS En el caso que se presenten cargas lineales como un muro, se sustituye la carga lineal por una carga uniformemente distribuida cuyo valor se obtiene dividiendo el peso total de la carga lineal entre el área de la losa y multiplicando por los factores de la siguiente Tabla XXIX .2a Tabla XXX.2.a Coeficientes para transformar cargas lineales en cargas distribuidas siguientes Relación de lados 0.5 0.8 1.0 Muro paralelo al lado corto 1.3 1.5 1.6 Muro paralelo al lado largo 1.8 1.7 1.6 En el caso que se presenten cargas concentradas, se puede utilizar el siguiente método en aumentar la suma de los momentos, por unidad de ancho, positivos y negativos en las dos direcciones y en todos los puntos de la losa en la siguiente cantidad: (P / 2 π)[1 – (2 r / 3 R)] XXX.2.1 P- carga concentrada r- radio del círculo de igual área a la de aplicación de la carga R- la distancia del centro de la carga al borde más próxima a ella Se puede aplicar cuando la carga concentrada está aplicada en la zona de intersección en las franjas centrales de la losa Debe comprobarse el área de contacto, así como, que no se produzca un fallo de cortante por penetración de la carga concentrada, en forma similar a la que ocurre en el caso de losas apoyadas directamente sobre columnas, que se tratará en sistemas de losas reforzadas en dos direcciones TABLA L1 COEFICIENTES PARA MOMENTOS NEGATIVOS EN LA LOSA En las ecuaciones (A) y (B) se utiliza wj = wu

280

Un borde con línea gruesa significa que la losa continua hacia otro panel o está restringida a momento por rigidez. Un borde en línea fina significa que hay apoyo vertical, pero este apoyo da una restricción a momento despreciable

TABLA L2 COEFICIENTES PARA MOMENTO POSITIVO DE CARGA PERMANENTE (MUERTA) EN LA LOSA En las ecuaciones (A) y (B) se utiliza wj = wd

281

TABLA L3 COEFICIENTES PARA MOMENTOS POSITIVOS DE CARGA VARIABLE (VIVA) EN LA LOSA

282

En las ecuaciones (A) y (B) se utiliza wj = wl

TABLA L4 RELACIÓN DE LA CARGA w EN LAS DIRECCIONES La y Lb PARA DETERMINAR EL CORTANTE DE LA LOSA EN EL APOYO Y LA CARGA EN EL APOYO

283

Cuando Ir > Ircrit. El fallo es por corte general y se aplica la fórmula XXXI.3.2 .1c para hallar qo Cuando Ir < Ircrit el fallo es por punzonamiento y se aplica la fórmula XXXI.3.2 .1e para hallar qo XXXI.3.3 CIMIENTOS AISLADOS SOMETIDOS A CARGAS EXCÉNTRICA Los cimentos pueden estar sometidos a cargas excéntricas debidos a cargas horizontales o momentos además de la carga axial Caso 1 Cuando la excentricidad de la carga e1 < B / 6 (Pt / A > Mc / I) e1

Pt = N + P M = Pt e1 A=BxL σmax -es fuerzo máximo en el suelo σmin- esfuerzo mínimo en el suelo I – momento de inercia del Área del cimiento c=B/2 σmax = Pt/A + M c / I N – carga axial P – peso del cimiento y terreno sobre él nucleo de Kern

σmin = Pt/A – Mc / I

L B Esta solución debe utilizare para toda combinación de las cargas Caso 2 Cuando la excentricidad de la carga e2 = B / 6 (Pt / A = Mc / I) σmax = 2P / B L Esta solución debe utilizarse para todas las combinaciones de cargas Pt e2 σmax = 2Pt / B L

núcleo de Kern L

B Caso 3 Cuando la excentricidad de la carga e3 > B / 6 (P / A < M c / I) Esta solución debe utilizarse en la combinación de carga muerta, viva, sismo viento extremo

P e3

f = (B / 2) – e3

σmax = 2 Pt / {3 f [(B / 2) – e3]}

núcleo de Kern

290

B El autor considera que para carga muerta y viva la longitud de contacto debe ser 75% B. Cuando se incluye sismo y viento 2B/3 Caso 4 Cuando la excentricidad es en los dos ejes (momento biaxial) σmax = Pt / A ± P e1 c1 / I1 ± P e2 c2 / I2 x e2 L e1

B Se debe tener en cuenta el peso del terreno y del cimiento por metro cuadrado sobre el plano de contacto entre la cimentación y el terreno ya que puede producirse tracciones por flexión en la zona superior del cimiento, si este esfuerzo es mayor que el esfuerzo mínimo de contacto entre el cimiento y el suelo Nivel del terreno

zona con posible esfuerzo de tracción Df σ producido por P σ=P/A P – peso cimiento y terreno

plano de contacto

σ de contacto mínimo

XXXI.4 CIMIENTO CORRIDO (L >> B) N q = 2 Df

q = 2 Df

peso unitario del suelo 2

z= Df a



 d I

peso unitario del suelo 1 III e

f II

e III

Se considera un cimiento de ancho B y largo L, donde L >> B, y colocado a una profundidad z. La masa del suelo es de extensión semi-infinita y homogénea, como peso volumétrico () y característica de resistencia al esfuerzo cortante definida por una línea de resistencia intrínseca recta y curva, esfuerzo291

deformación típica de cuerpo rígido-plástico. Este cimiento se considera sometido a una carga axial y sin excentricidad Según Terzaghi hay tres zonas de fallas La zona I, que se encuentra debajo del cimiento y tiene forma de cuña y no penetra en el suelo a menos que la presión de los lados inclinados bf y cf alcance la presión pasiva del suelo adyacente. La zona I se mueve verticalmente junto con el cimiento La zona II, se llama zona de corte radial, es zona de falla y las grandes deformaciones provocan un levantamiento de la zona III, la cual trata de resistir el levantamiento con el peso del material de la misma. La resistencia de la zona III, varía de acuerdo a su tamaño, con el peso volumétrico del suelo y con la resistencia al deslizamiento a lo largo de la parte inferior f e d, de dicha zona. Esta resistencia es función del ángulo de fricción interna, de la cohesión y del peso del suelo; e f e d se compone de dos líneas rectas, b f, y, e d, con inclinación de 45 +  / 2 y 45 -  / 2, con respecto a la horizontal, respectivamente. La ecuación de Terzaghi para falla por corte general es: qu = c Nc + 0.5 (1) B N + (2) Df Nq XXXI.4a qu – resistencia última del suelo c – cohesión debajo del nivel del cimiento Nc – factor de capacidad portante, término de cohesión 2 z= 2 Df- sobrecarga que afecta el término Nq, de capacidad portante 1 - peso unitario efectivo del suelo debajo del nivel de cimentación 2 – peso unitario efectivo del suelo sobre el nivel del cimiento B – ancho del cimiento o zapata N - factor de capacidad portante, término de sobrecarga Nq = e^(tan ) { tan^2 [ ( / 4) + /2)]} XXXI.4b Nc = (Nq – 1 ) cot  XXXI.4c N = 2 (Nq – 1) tan  XXXI.4d En la siguiente Tabla se indican los valores de: Nq, Nc y N en función de   0 5 10 15

Nc 5.14 6.5 8.3 14.0

Nq 1.0 1.6 2.5 3.9

N 0.0 0.5 1.2 2.6

20 25 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

14.8 20.7 30.1 35.5 42.2 50.6 61.4 75.3 93.7 118.4 152.1 199.3 166.9

6.8 10.7 18.4 23.2 29.4 37.7 48.9 64.2 85.4 115.3 158.5 222.3 319.1

5.4 10.8 22.4 30.2 41.1 56.3 78.0 109.4 155.6 224.6 330.4 496.0 756.9

Para el caso de corte local y punzonamiento, en la fórmula de Terzagui se utiliza los valores de: c’ = 2c/3, Nc’, Nq, N’, donde para obtener estos valores se utiliza ’ = arctan [(2 tan )/ 3] en vez de . La ecuación es: qu = c’ Nc’ + 0.5(1) B ‘N + (2) Df Nq’ XXXI.4de XXXI.5 Consideraciones adicionales

292

El valor de qu obtenido en el epígrafe anterior corresponde al valor de la resistencia última bruta del suelo que puede ser impuesta al suelo al nivel de la base del cimiento, o sea, al nivel de (Df = z) pero para el diseño se necesita la resistencia última neta: qnet = qu - (2) Df XXXI.5a Cuando a los lados del cimiento hay diferentes niveles se utiliza el menor valor de Df

Df a utilizar Cuando el nivel del manto freático está sobre el nivel de cimentación debe utilizarse el peso sumergido del suelo. En el caso que el manto freático esté al nivel de la base del cimiento, se debe utilizar el valor de 1sum. Cuando el nivel del manto freático descansa a una distancia B debajo del cimiento se debe utilizar el valor 1. Para distancias intermedias se debe interpolar entre el peso húmedo y sumergido Adicionalmente cuando un sótano está debajo del nivel del manto freático, debe tenerse en cuanta la presión del agua que actúa en las paredes y el piso del sótano, además del valor del peso unitario del suelo Para tener seguridad por todas las condiciones que se asumen para obtener qnet, para el diseño se debe utilizar: qdiseño = qnet / Fs XXXI.5b donde Fs debe ser 2.5 á 3

Nivel del suelo exterior Nivel del manto freático nivel del sótano z p = w z

p = w z

XXXI.6 APLICACIONES DE LA FORMULA DE LA RESISTENCIA ÚLTIMA DEL SUELO El Epígrafe anterior se refería a cimientos corridos de gran longitud, con carga axial céntricamente aplicada, el terreno horizontal, además, que la resistencia a cortante del suelo sobre el nivel de cimentación se despreciaba, lo cual en realidad en los casos usuales no se presentan. Las fórmulas generales de la capacidad de resistencia neta del suelo (qneta) son: a) Para fallo general; qn = c Nc sc dc ic bc + 0.5 B (1) N s d i b + (2) Df (Nq –1) sq dq iq bq

XXXI.6a

b) Para fallo local y punzonamiento: qup = c’ Nc’ sc dc ic bc + 0.5 B (1) N’ s d i b + (2) Df (Nq’ –1) sq dq iq bq

XXXI.6 b

1- Para forma del cimiento rectangular, cuadrado o circular sc, s, sq – factor de forma para rectangular, cuadrado, circular sc =1 + (B/L) (Nq / Nc) s = 1 – 0.4(B/L) sq = 1 + (B/L) tan  para cimientos cuadrados y circulares (B/L) = 1.0 2- Para factor de profundidad dc, d, dq – factor de profundidad d = 1.0 dq = 1 + {2 tan [(1 – sen )^2][tan^(-1)(Df/B)]} / 57.3 dc = dq – [(1 – dq) / Nc tan ] cuando  > 0 dc = 1 + {[(tan^(-1) (Df/B)]} / [3 x 57.3] cuando  = 0 3- Para factor de inclinación y excentricidad de la carga ic, i, iq – factor de inclinación y excentricidad de la carga 293

La excentricidad de la carga no debe ser mayor que (1 / 6) B para evitar que el cimiento se levante y se debe considerar unas dimensiones ficticias en la cual: B’ = B – 2 eb L’ = L – 2 el B’ – ancho del cimiento a considerar L’ – longitud del cimiento a considerar B y L – ancho y longitud del cimiento eb – excentricidad de la carga en el sentido del ancho B el – excentricidad de la carga en el sentido del lado L Para la inclinación de la carga: iq = { 1 – [Pth / (Pt + B Lc cot )]}^m i = { 1 – [Pth / (Pt + B Lc cot )]}^(m + 1) ic = iq – [(1 – iq) / (Nc tan )] cuando  > 0 ic = 1 –[(mQh) / (c Nc B L)] cuando  = 0 Los valores recomendados de ‘m’ son: ml = (2 +(L/B)) / (1 +(L/B)) cuando el ángulo de inclinación es en el plano del eje L mb = (2 +(B/L)) / (1 + (B/L)) cuando el ángulo de inclinación es en el plano del eje B Si la carga inclinada actúa en un plano que forma un ángulo  con el eje L del cimiento, el valor de ‘m’ es: m = ml (cos^2)  + mb (sen^2)  Si la carga es además excéntrica, se deben utilizar B’ y L’ en las ecuaciones de iq, i y ic, pero se debe utilizar los valores B y L para determinar ‘m’ La componente horizontal de la carga hace que el cimiento pueda deslizarse lateralmente, por lo cual, debe cumplirse que Pth max = Ptv tan  + A’ ca A’ – área efectiva del cimiento A’ = B’ x L’  - ángulo de fricción entre el cimiento y el suelo ca – adherencia entre el cimiento y el suelo ( para arcilla la resistencia a cortante no drenado) Pt

Ptv e

eje

Pth

BóL

Eje para B Pt

Ptv Eje para L 

Pth

B Carga excéntrica e inclinada 4- Para base del cimiento inclinada bc, b, bq- factor por ser la base del cimiento inclinada b = [ 1 – (  tan  /57.3)] ^2 bq = b bc = bq – [(1 – bq) / (Nc tan ] cuando  > 0 bc = 1 – 0.0067  cuando  = 0  - ángulo de inclinación de la base con respecto a la horizontal en grados XXXI.7 Ejemplo de cimiento corrido Un cimiento corrido para una pared tiene un ancho B = 1.0m. Cuál es la resistencia del suelo qu?

294

Df = 2.0m

2 = 20 kN/ m^3 Manto freático

c = 20 kPa  = 25  Ir = 200 Ir crit = 130

B = 1.0m 1 = sum = 20 / 2 = 10 kN/m^3 Como Ir > Ircrit, el fallo es general y se utiliza la fórmula qu = c Nc sc dc ic bc + 0.5 B (1) N s d i b + (2) Df (Nq –1) sq dq iq bq Nc = 20.7, Nq = 10.7, N = 10.8 qu = 20 x 20.7 x 1.0 x 1.0 x 1.0 x 1.0 + 0.5 x 1.0 x 10 x 10.8 x 1.0 x 1.0 x 1.0 x 1.0 + 20 x 2.0 x x (10.7 – 1) 1.0 x 1.0 x 1.0 x 1.0 = 807.4 kPa

XXXI.8 EJEMPLO DE CIMIENTO CORRIDO EN ARCILLA Un cimiento corrido está sobre arcilla. El cimiento está sometido a una carga de 150 kN/ m. Hallar el ancho del cimiento B para que tenga un factor de seguridad de 2.5 para la resistencia última del suelo, No consideraremos el factor de profundidad Propiedades del suelo:  = 18.0 kN/m^3 c = 80 kN/m^2 =0 E = 5000 kN/m^2  = 0.3 Ir = 27 Ircrit = 14 Ir > Ircit, por lo tanto rc = 1.0 Para  = 0 Nc = 5.14 N = Nq = 0 qu = c Nc rc = 80 x 5.14 x 1.0 = 411.2 kN/m^2 con un factor de seguridad de 2.5: qdes = 411.2 / 2.5 = 164.48 kN/m^2 Ancho del cimiento B = 150 / 164.48 = 0.91 m XXXI.9 EJEMPLO DE CIMIENTO CUADRADO Un cimiento cuadrado para una carga Pt = 2000 kN, determine el ancho B del cimiento con un factor de seguridad de 3.0, según el siguiente suelo:  = 18.0 kN/m^3  = 35 c= 0 N = 52 Ir = 420 Ircrit = 160 Para un cimiento cuadrado en arena sin cohesión y sin inclinación qu + 0.5 B 1 N r s = s = 1 – 0.4 (B/L) = 0.6 Como Ir > Ircrit rc = 1.0 qu = 0.5 B x 18.0 x 52 x 1.0 x 0.6 = 280.8 B kN/m^2 Con un factor de seguridad de 3 tenemos: qdes = 280.8 B kN/m^2 / 3.0 = 93.6 B kN/m^2 qdes = Pt / A = 2000 / B^2 qdes = 93.6 B = 2000 / B^2 B^3 = 21.37 m^3 B 2.8 m XXXI.10 EJEMPLO DE CIMIENTO RECTANGULAR Obtener las dimensiones de un cimiento rectangular para dos cargas. Una de 1500 kN y la otra de 2000 kN, estando separada 3.0 m Propiedades del suelo:  = 18.0 kN/m^3 c = 80 kN/m^2 =0 E = 5000 kN/m^2  = 0.3 Ir = 27 Ircrit = 14 Ir > Ircit, por lo tanto rc = 1.0 Para  = 0 Nc = 5.14 N = 0 Nq = 1.0 Ir = 20 Ircrit = 10 Para un suelo de arcilla: qnet = c Nc rc sc Considerando L/B = 2 sc = 1 + (B/L) (Nq / Nc) = 1.0 + (1/2) (1 / 5.14) =1.097 Como Ir > Ircrit rc = 1.0 qu = 80 x 5.14 x 1.0 x 1.097 = 451.08 kN/m^2 qdes = 451.08 / 3 = 150.36 kN/m^2, tomamos qdes = 150 kN/m^2 El centro de gravedad de las cargas está: F x a = 2000 x 3 entonces a = 6000 / 3500 = 1.71 m B L x 150 = 3500 BL = 23.33 m^2 Como queremos que L/B = 2 L=2B B = 23.33 /L L = 2 x 23.33 /L L^2 = 46.64 = 6.82 m B = 23.33 / 6.82 = 3.42 m 295

Comprobación BL = 6.82 x 3.42 = 23.32  23.33 m^2 (se acepta)

F total = 3500 kN a 1500 kN

2000 kN 3.0 m

150 kN/m^2

3.41 m

XXXI.11 EJEMPLO DE CIMIENTO EN EL MANTO FREÁTICO Un cimiento cuadrado de 2.0 m de lados está situado bajo el manto freático, el cual está a nivel del suelo Propiedades del terreno  = 18.0 kN/m^3 c = 80 kN/m^2  = 20 Hallar la carga de diseño utilizando un factor de seguridad igual a 3.0 Como el cimiento está sobre un suelo flojo utilizaremos: qu = 1.2 c’ Nc’ +  Df Nq’ + 0.4  B N ’ c’ = 2c/3 = 2 x 8 /3 = 5.33 kN/m^2 ’ = arctan (2 tan  / 3) = 13.6  entonces Nc’ = 10 Nq’ = 3 N ’ = 1 B= 2.0 m Df = 2.0 m sum = 18.0 – 10.0 = 8 kN/m^2 ( Se debe utilizar sum ya que el manto freático está al nivel de la superficie qu = 1.2 x 5.33 x 10 + 8 x 2.0 x 3 + 0.4 x 8 x 2.0 x 1.0 = 118.36 kN/m^2 qdes = 118.36 / 3 = 39.45 kN/m^2 N = 39.45 x 2 x 2 = 1578 kN XXXI.12 EJEMPLO DE CARGA EXCÉNTRICA Un cimiento cuadrado de B = 1.8 m de lado, está sometido a una carga de Pt =150 kN con una excentricidad de eb = 0.2m en un sentido. El terreno  = 18.0 kN/m^3 c = 80 kN/m^2 Df = 1.5 m Hallar el factor de seguridad B’ = B – 2 eb = 1.8 – 2 x 0.2 = 1.4 m Nc = 5.14 Nq = 1.0 N = 0 M = Pt eb = 150 x 0.2 = 30.0 kN-m qu = 1.2c Nc +  Df Nq + 0.4  B’ N = qu = 1.2 x 80 x 5.14 + 18.0 x 1.5 x 1.0 + 0.4 x 18.0 x 0 = 520 kN / m² Pt = 150 kN eb = 0.2 m

B / 6 = 1.80 / 6 = 0.3 m eb < B / 6

I = L B³ / 12 = 1.8 x 1.8³ / 12 = 0.8748 m^4 c = 0.9 m σmax = Pt/A + M c / I σmax = 150/3.24 + 30.0 x 0.9 / 0.8748 = 77.16 kN/m² σmin = 150/3.24 - 30.0 x 0.9 / 0.8748 = 15.43 kN/m² Gráfico de esfuerzo en el suelo El factor de seguridad es: FS = 520 / 77.16 = 6.73 B = 1.80m

σmin

σmax

XXXI.13 SOLUCIÓN DE SKEMPTON Skempton propuso que para suelos puramente cohesivos ( = 0) se emplee la siguiente ecuación: 296

qo = cNc +  z

XXXI.13a

Los valores de Nc se indican en la siguiente Tabla z/B

0 0.25 0.60 0.75 1.00 1.60 2.00 2.50 3.00 4.00 > 4.00

Nc Zapata circular o cuadrada 6.2 6.7 7.1 7.4 7.7 8.1 8.4 8.6 8.8 9.0 9.0

zapata continua 5.14 5.60 5.90 6.20 6.40 6.80 7.00 7.20 7.40 7.50 7.50

XXXI.14 PRESIÓN DE CONTACTO Se considera presión de contacto la presión que actúa entre la base del cimiento y el suelo La presión de contacto se calcula con la siguiente expresión: qc = (Pt / A)  (Mx y / Ix)  (My x / Iy) XXXI.14a qc – presión de contacto Pt – carga total vertical (incluyendo el peso del cimiento) A – área del cimiento Mx, My – momento total respecto al eje x y al eje y respectivamente Ix, Iy – momento de inercia respecto al eje x y al eje y respectivamente x, y = distancia desde el centroide del cimiento al punto al cual la presión de contacto se calcula con respecto al eje x y al eje y XXXI.15 Ejemplo de cimiento sometido a momento flector en dos sentido y a carga axial Un cimiento cuadrado de 3.0m de lado, para una columna que soporta una carga Pt = 1000 kN, Mx = 100 kN-m, My = 80 kN-m. Determinar la presión de contacto en las cuatro esquinas del cimiento Pt = 1000 kN A = 9.0 m Mx = 100 kN-m My = 80 kN-m x = y = 1.5 m Ix = Iy = B^4 / 12 = (3 ^4) / 12 = 6.75 m^4 qc = (Pt / A)  (Mx y / Ix)  (My x / Iy) XIII 1.28.1 q1,2,3,4 = (1000/ 9.0)  (100 x 1.5 / 6.75)  ( 80 x 1.5 / 6.75) q1 = 111.11 + 22.22 + 17.77 = 151.1 kPa q2 = 111.11 + 22.22 - 17.77 = 115.56 kPa q3 = 111.11 - 22.22 + 17.77 = 106.65 kPa q4 = 111.11 - 22.22 - 17.77 = 91.12 kPa

91.12 kPa - 4

2 - 115.56 kPa

106.65 kPa -3

1- 151.1 kPa

XXXI.16 Ejemplo cuando solamente una parte del cimiento está en contacto con el suelo Supongamos que un cimiento está sometido a una cargaN = 80 kN y a un momento flector de: Mx = 60 kN . El cimiento es cuadrado de lado 3.0 m. A = 9.0 m² x = y = 1.5 m. Suponemos P = 20 kN, entonces Pt = N + P = 100 kN Ix = Iy = B^4 / 12 = (3 ^4) / 12 = 6.75 m^4 Hallar la presión de contacto 297

p = Pt/ A  M / I = (100 / 9)  ( 60 x 1.5 / 6.75) = 11.11  13.3 p1 =11.11 + 13.3 = 24.4 kPa p2 = 11.11 – 13.3 = - 2.19 (negativo). Físicamente nos indica que debe existir tracción entre el suelo y el cimiento, lo cual en realidad no puede ser, por lo cual la fórmula anterior no es aplicable En este caso, uno de los métodos a utilizar es el siguiente: Tenemos que la excentricidad de la carga es e = M/Pt = 60 / 100 = 0.6 m El gráfico de la presión de contacto la consideramos triangular, la fuerza total de la presión de contacto (F) tiene que coincidir con la posición y el valor de Pt y estar situada a 0.9 m del borde del cimiento, como conocemos, la longitud de contacto entre cimiento y suelo es: L’ =3 [(B/2) – e)] = 3 [ (3.0 /2) – 0.6 = 2.7 m F = Pt = 0.5 B L’ p de donde p =Pt / (0.5 B L’) = 100 / (0.5 x 3.0 x 2.7) = 24.691 kPa 3.0 m

Pt = 100 kN 0.6 m

0.9 m

p = 24.691 kPa F = 100 kN L’ = 2.7m Nota: El Autor considera que para cargas permanentes y vivas el valor de L’ debe ser mayor o igual que el 75% de B. Para cargas extraordinarias como viento extremo y sismo, o sea, de poca duración puede tener el valor de 2B/3 XXXI.17 CIMIENTO SOMETIDO A FUERZA DE EXTRACCIÓN Muchos cimientos debido a las condiciones de cargas están sometido a carga de tracción, en este caso se puede utilizar las siguientes ecuaciones desarrolladas por Meyerhof y Adams, utilizando un factor de seguridad de 2 a 2.5.

298

q1 = γ L1 XXXI.17a

Tu = s D x perímetro + W

XXXI.17b

Superficial

Profundo

Cimiento superficial Circular Tu = π B c D + sf π B γ [(D^2) / 2] Ku tan  + W XXXI.17c Rectangular Tu = 2cD(B + L) + γ (D^2) (2 sf B + L – B) Ku tan  + W sf = 1 + mD/b XXXI.17e

XXXI.17d

Cimientos profundos Circular Tu = π c B H + sf π B γ (2D – H) (h / 2) tan  + W XXXI.17f Rectangular Tu = 2 c H (B+L) + γ(2D – H)(2 sf B + L – B) H Ku tan  + W XXX17g sf = 1 + mH/B XXXI.17h Para cimientos cuadrados se utiliza L = B

Los valores de sf y m se obtienen de la siguiente Tabla  (grado) H/B m sf

2.5 0.05 1.12

3 0.10 1.30

4 0.15 1.60

5 0.25 2.25

7 0.35 4.45

9 0.50 5.50

48 11 0.60 7.60

El Coeficiente de presión lateral Ku puede tomarse como uno de los siguientes: Ku = tan^2(45 + (/2)) + Kp XXXI.17i Ku = tan ( 45 + (/2)) = √Kp XXXI.17j Ku = tan^2(45 - (/2)) + Ka XXXIV.13.10 Ku = 0.65 + 0.5  XXXI.17k Ku = Ko = 1 – sen  XXXI.17l Se puede realizar un análisis para Ku> Utilizando Ko o un promedio de Kp y Ka XXXI.18 EJEMPLO DE CIMIENTO SOMETIDO A FUERZA DE EXTRACCIÓN Un cimiento de 1.0 m x 1.0m x 0.5m está colocado a una profundidad de 2.0 m en un suelo con γ = 20 kN/m^3 φ = 25 grados su(resistencia a cortante no drenado) = 100 kPa Hallar la fuerza de tracción que resiste D/B = 2.0 / 1.0 = 2 < 3.0 para  = 25 grados, el cimiento se clasifica como superficial y se utiliza la fórmula Tu = 2cD(B + L) + γ (D^2) (2 sf B + L – B) Ku tan  + W Utilizando Ku = tan ( 45 + (/2)) = √Kp Ku = tan ( 45 + 25 / 2) = 1.57 sf = 1 + mD/b sf = 1 + 0.1 (2) = 1.2 W = peso del Concreto + peso del suelo = 50 kN 299

Tu = 2 x 0.1 x 2 x (1 + 1) + 20 ( 4)( 2 x 1.2 x 1.0 + 1 – 1) 1.57 x 0.466 + 50 = 191 kN El cimiento se debe diseñar estructuralmente para resistir esta fuerza XXXI.19 ROTACIÓN DE CIMIENTOS Cuando se desea conocer el giro aproximado que puede tener un cimiento aislado, se puede utilizar la siguiente expresión: tan Θ = ( 1 – (μ^2)) M (IΘ) / ( Es B^2 L)

XXXI.19a

B M

L e = M/V V M- momento resistido por la base B El factor de influencia (IΘ) se utiliza para cimientos rígidos y fueron dado por Taylor y se indican en la Tabla de la siguiente página Factor de Influencia para calcular la rotación (IΘ) de cimientos L/B Flexible Rígido 0.1 1.045 1.59 Para rígido IΘ = 16/ [π(1 + (0.22B/L))] 0.2 1.60 2.42 0.5 2.51 3.54 0.75 2.91 3.94 1.0 3.15 (3.00)* 4.17 (5.53)* * para circular 1.50 3.43 4.44 2.00 3.57 4.59 para circular B = diámetro 3.00 3.70 4.74 5.00 3.77 4.87 10.00 3.81 4.98 100.00 3.82 5.06 = 16 / π XXXI.20 EJEMPLO DE ROTACIÓN DE CIMIENTOS Un cimiento rectangular (4 x 3 x 0.6 m de grueso) que soporta una columna que tiene un momento de M = 100 kN y una carga axial P = 600 kN El terreno tiene las siguientes características: Es = 11000 kPa μ = 0.25 La columna es de 0.45 x 0.45 m en una longitud de 3.0 m Ec = 28 000000 kPa Calcular la rotación del cimiento L / B 3 / 4 = 0.75 300

IΘ = 2.91 Tan Θ = (1 – μ^2) M IΘ / (Es (B^2) L) = (1 – 0.0625) x 100 x 0.75 / (11000 x 16 x 3) = 0.0000133 rad XXXI.21 CIMENTOS COMBINADOS En muchas ocasiones es necesarios combinar el cimiento para dos columnas, como por ejemplo: Cimiento de una columna de lindero con un cimiento de una columna interior Cuando se une un cimiento de una columna de fachada con un cimiento inmediato interior con una viga de gran rigidez, se puede considerar una distribución uniforme para los esfuerzos de contacto en el suelo

P2 P1 L ao

N2 R1’

a1 P1

R2’

L + (ao/2)- a1 L

R1 = R1’ – N1 = P1[L / (L – e) R2 = P2 – P1[e /(L – e)] Debido a que la rigidez de la cimentación es mucho mayor que la rigidez de las columnas, sus esfuerzos pueden determinarse suponiendo que está apoyada en las columnas. Hemos supuesto que P1 y P2 son las cargas de utilización y N1 y N2 los pesos propios de los cimientos, entonces la resultantes de las reacciones del terreno, R1’ y R2’, se pueden determinar con las siguientes ecuaciones: (P1 + N1) + (P2 + N2) = R1’ + R2’ XXXI.21a R1’ = P1[L / (L – e)] + N1 XXXI.21b (P1) L = R1’ – N1) (L – e) XXXI.21c R2’ = P2 + N2 – P1[e / (L – e)] XXXI.21d Debiéndose cumplirse que R2’ > 0 Las dimensiones de los cimientos se determinan en funciones del esfuerzo permisible del suelo, según las siguientes ecuaciones: ( R1’ / a1 b1) = σ adm XXXI.21e (R2’ / a2 b2) = σ adm XXXI.21f ai, bi, a2, b2- dimensiones de los cimientos Para el cálculo estructural de los cimientos, no se considera el peso propio de los mismos. Puede admitirse que la viga de unión de los cimientos está apoyada en las columnas El cimiento de la izquierda se considera que está apoyada en la viga central El cimiento interior se considera como un cimiento aislado XXXI.21 CIMIENTOS CONTINUOS PARA MÁS DE DOS COLUMNAS Se supone que la distribución transversal de presiones es uniforme 301

La distribución longitudinal de presiones, para los casos normales, se utiliza la distribución aproximada de presiones. Para cimientos rígidos y suelo muy deformable, se supone reparto uniforme por secciones (a) y para cimientos flexibles y suelo poco deformable, se supone reparto triangular (b) P1 P2 P3 P4 (L3)/2 (L4)/2 (L1)/2 (L2)/2 (L2)/2

(a)

(b)

XXXI.22 CIMIENTOS CORRIDOS BAJO MURO Estos cimientos son una losa continua debajo del muro y su ancho es mayor que el ancho del muro. La proyección de la losa es trata como un voladizo y su ancho depende de la resistencia del terreno, la sección crítica se considera en la cara del muro. El refuerzo principal es perpendicular al muro La distribución de presiones es igual que para cimientos aislados XXXI.23 CIMIENTOS ARRIOSTRADOS, CUANDO SE UNEN DOS CIMIENTOS POR VIGAS Estos cimientos son construidos por dos cimientos independientes y son unidos por una viga Se supone distribución uniforme bajo cada cimiento XXXI.24 CIMIENTO TIPO BALSA (LOSA) Este tipo de cimentación normalmente se utiliza cuando el área de todos los cimientos es igual o mayor del 50% del área total En este caso se puede utilizar la distribución aproximada utilizada para cimientos continuos bajo varias columnas en los dos sentidos o el método que se llama convencional XXXI.24a CIMIENTOS EN PILOTES Estos cimientos se utilizan cuando el suelo bajo el cimiento es de baja resistencia, y el suelo resistente está a una gran profundidad. Las cargas son trasmitidas al suelo por fricción o por la punta de los pilotes o por las dos. Los pilotes pueden ser hincados o perforando el terreno y posteriormente vaciar el concreto. Normalmente los pilotes hincados son prefabricados de concreto reforzado o presforzado XXXI.25 . DISEÑO ESTRUCTURAL DE LOS CIMIENTOS AISLADOS Para hallar el área del cimiento se ha utilizado y se utiliza la resistencia admisible del suelo: (qdes = qu / Fs), pero para el diseño estructural del cimiento, se utiliza lo que se llama la resistencia neta del suelo (qnet) que es la resistencia qdes, reducida por el peso del suelo sobre el cimiento y el peso del mismo y sobrecarga si existe qnet = qu / Fs – γs Df – γc hc – sobrecarga del terreno XXXI.25a qnet – resistencia neta del suelo qu – resistencia última del suelo FS – factor de seguridad γs – peso específico del suelo Df – altura del suelo sobre el cimiento hc – espesor del cimiento Para obtener el espesor del cimiento, así como el refuerzo necesario se utiliza el esfuerzo del suelo neto multiplicado por el factor de carga (σu) = σ x Factor de carga Para carga axial solamente sería σu = (N / A) factor de carga

302

XXXI.25.1 Momento en el Cimiento El momento externo mayorado en cualquier sección de un cimiento se determina pasando un plano vertical a través del cimiento y calculando el momento de las fuerzas que actúan sobre la totalidad del área del cimiento en un lado de ese plano vertical El momento mayorado máximo para cimiento aislado se calcula como se indicó en el párrafo anterior en las siguientes secciones críticas: (a) En la cara de la columna, pedestal o muro, para cimientos que soportan columnas, pedestales o muros de concreto (b) En la mitad de la distancia entre el centro y el borde del muro, para los cimientos que soportan un muro de mampostería (c) En la mitad de la distancia entre la cara de la columna o pedestal y el borde de la base de acero, para los cimientos que soportan columnas o pedestales con placas en la base

plano de sección crítica

b/2 b = ancho del muro

columna eje del muro de mampostería b)

plano de sección crítica a)

c/2

c) En los cimientos que trabajan en una dirección y en los cimientos cuadrados que trabajan en dos direcciones, el refuerzo debe distribuirse uniformemente a todo su ancho 303

En los cimientos rectangulares que trabajan en dos direcciones, el refuerzo debe distribuirse de la siguiente manera: (a) El refuerzo en la dirección larga debe distribuirse uniformemente a todo lo ancho del cimiento (b) Para el refuerzo en la dirección corta, una porción del refuerzo debe distribuirse uniformemente sobre un ancho de banda centrada sobre el eje de la columna o pedestal, igual a la longitud del lado corto del cimiento. El resto del refuerzo que se requiere en la dirección corta, debe distribuirse uniformemente por fuera de la banda central del cimiento

Refuerzo en el ancho de la banda

2 = XXXI.25 .1a Refuerzo total en la dirección corta ( + 1) - relación del lado largo al lado corto del cimiento En cimientos que trabajen en una o en dos direcciones, el refuerzo de tracción debe tener una cuantía mínima de 0.0018 en ambas direcciones El refuerzo longitudinal de columnas y elementos de borde de muros estructurales que resistan fuerzas sísmicas debe llevarse hasta el refuerzo inferior de la losa de cimentación. zapata o dado y debe terminarse con un gancho horizontal El refuerzo horizontal de las columnas que se diseñen como empotradas a flexión en la cimentación, debe tener gancho en la parte inferior de la cimentación, y este gancho se debe orientar hacia el centro de la columna El refuerzo longitudinal debe anclarse según los criterios del capítulo de desarrollo del acero negativo. Si el voladizo del cimiento es mayor que ld, las barras pueden ser rectas o terminadas en ganchos estándar , sino se cumple entonces debe doblarse hacia arriba

≥ ld

< ld

Tipos de anclaje del refuerzo XXXI.25 .2 Cortante en los Cimientos La sección crítica debe localizarse a partir de la cara de la columna, pedestal o muro para cimientos que soportan una columna, pedestal o muro. Para cimientos que soportan una columna o pedestal con placas de acero en la base, la sección crítica debe localizarse midiendo a partir del sitio definido en XXXI.25 .1c En los cimientos aislados la fisura de cortante es parecida a la que se produce en las vigas, la cual forma un ángulo de aproximadamente de 45° con la horizontal tal como se aprecia en la Figura XXXI.25.2.1 Pu

refuerzo

45° formando una pirámide truncada. Este fallo suele llamarse fallo por punzonamiento La resistencia al cortante de losas y cimientos en la vecindad de cargas concentradas o reacciones, se rige por la más severa de las dos condiciones siguientes: (a) La acción como viga para losa o cimiento, con una sección crítica que se extiende en un plano a través del ancho total y está localizada a una distancia (de) de la cara del área de la carga concentrada o reacción. Para está condición, la losa o cimiento debe diseñarse de acuerdo con los requisitos del Capítulo de Cortante 304

Vn = Vc = (0.17fc’) λ bw de XVII.5 .1.1 Vn = Vu /  (b) La acción en dos direcciones (punzonamiento) para la losa o cimiento, con una sección crítica perpendicular al plano de la losa y localizada de modo que su perímetro (bo) sea mínimo pero sin necesidad de aproximarse a menos de (d/2) de: - los lados y esquinas de las columnas, cargas concentradas, o apoyos, o - cambio en espesor de la losa, tales como los bordes de los capiteles o ábacos Vc y Vs calcula según lo que a continuación se describe. Para losas o cimientos reforzados, Vc debe ser el menor de (a), (b) o (c) (a) Vc = [(fc’) / 6][ 1 + (2 / c)] bo de

(MN) XXXI.25 .2a

(b) Vc = [(fc’ ) / 6] [ 1 + (s d / 2 bo)] bo de (MN) (c) Vc = (fc’) / 3) bo de

(MN)

XXXI.25 .2b

XXXI.25 .2c

c- relación entre lado largo y lado corto de la columna, carga concentrada o área de apoyo s tiene un valor de 40 para columnas interiores, de 30 para columnas de bordes y de 20 para columnas de esquina El espesor mínimo del cimiento por encima del refuerzo inferior no puede ser menor de 150 mm (6”) para cimientos sobre suelo, ni menor de 300 mm (12”) para cimiento sobre pilotes XXXI.26 Transferencia al Cimiento de las Fuerzas en la Base de la Columna, Muro o Pedestal Reforzado Todos los momentos y fuerzas aplicadas en la base de una columna, muro o pedestal, deben transferirse a l cimiento por medio de esfuerzos de contacto adecuados al concreto y por medio de refuerzo o conectadores mecánicos. Si las condiciones de las cargas requeridas incluyen fuerzas de levantamiento, la fuerza de tracción total debe ser resistida por el refuerzo Los esfuerzos de contacto en la superficie entre el elemento soportante y el soportado no deben exceder la resistencia del concreto a los esfuerzos de contacto, en cualquiera de las dos superficies El refuerzo, las barras de empalme y los conectadores mecánicos entre el elemento soportante y soportado, deben ser adecuados para resistir: (a) toda la fuerza de compresión en exceso de los esfuerzos de contacto admisibles, para cualquier de los dos elementos (b) cualquier fuerza de tracción que actúe a través del plano de contacto Para la columna la presión de contacto es: PNB = (0.85 fc’ Al Fc’ – resistencia del concreto de la columna A1 –área cargada (área de la columna)  = 0.65 Para el cimiento: PNB =  (0.85 fc’ A1) (A2/A1)  2  (0.85 fc’ A1) Fc’- resistencia del concreto del cimiento AL es medida en este plano

45°

A2 es medida en este plano Cuando la columna está sometida a momento flector grande en el cual el refuerzo de la columna está a tracción , es necesario anclar todo el refuerzo a tracción y compresión de la columna en el cimiento. Para el refuerzo a tracción se ancla por medio de gancho y para el refuerzo en compresión se verifica que la porción recta del refuerzo sea mayor que la longitud de anclaje a compresión, debido que el gancho no es efectivo a compresión refuerzo a tracción y compresión 305

≥ ldh, ≥ ldcomp

La fuerza a cortante en el extremo de la columna se trasmite al cimiento por cortante-fricción El refuerzo de la columna perpendicular al área de contacto puede ser utilizado o colocar bastones de refuerzo El área de refuerzo en el área de contacto en columnas y pedestales no debe ser menor de 0.005 del área bruta de la columna o pedestal Para muros no debe ser menor que la cuantía mínima vertical del ismo refuerzo e columna de cualquier nominación

baston

XXXI.26A. MOMENTO DE VUELCO EN LOS CIMIENTOS AISLADOS Cuando el momento de vuelco es muy alto, como en el caso de sismo o viento extremo, la reacción en la base no es suficiente para equilibrar la fuerza externa, por lo cual es necesario tomar el empuje pasivo del suelo para garantizar el equilibrio como se muestra en la Figura XXXI.26A La altura y ancho de la cimentación se determina con: 1.5 P e ≤ R e1+ H h´

P e q1 ≤ qp

Empuje pasivo del terreno

H h

Empuje pasivo del suelo forma parabólica

h´ H q2 ≤ qp qdes e1 R qp - esfuerzo pasivo admisible del suelo h´ puede suponerse de 0.5h a 0.6 h

El refuerzo longitudinal se calcula como para las vigas en voladizo y el cortante se determina con el procedimiento convencional XXXI.27 PASOS A SEGUIR EN EL DISEÑO DE CIMIENTOS AISLADOS Paso 1. Se determina el esfuerzo permisible del suelo Paso 2. Se determina las cargas de servicio (sin mayorar) y el momento en la base del cimiento Paso 3. Se determina el área del cimiento Paso 4. Se termina las cargas y momentos mayorados Paso 5 Se determina las cargas y momentos nominales 306

Paso 6. Se determina el peralto efectivo del cimiento (de) por punzonamiento y cortante por flexión Paso 7. Se determina el momento mayorado en la cara de la columna Paso 8. Se determina el refuerzo y su espaciamiento Paso 9. Se determina la longitud de embebimiento del refuerzo Paso 10. Se determina la presión de contacto entre la columna y el cimiento

XXXI.27A EJEMPLO DE CIMIENTO AISLADO N M Diseñar un cimiento aislado con los siguientes datos: Carga muerta = 1.7 MN Carga viva = 1.5 MN 0.8 m Momento por carga viva = 1.17MN-m Peso del cimiento y terreno = 0.03 MN/m² 1.00 m P Momento por carga muerta = 1.33 MN-m Dimensión de la columna 0.8 x 0.40 m Concreto 28 MPa Resistencia del terreno qu = 6.0 MN/ m² qdes = qu / 3.0 = 2.0 MN / m^2 B Determinemos el área de la base Existen varias soluciones para el área del cimiento, pero como existe momento flector vamos a diseñar el área para que el diagrama de presiones sea triangular y que toda el área esté en compresión La carga total vertical (Pt) es (considerando el peso del cimiento y e = 0.757 m terreno como: 0.1 MN Pt Pt = 1.7 + 1.5 + 0.1 = 3.3 MN Entonces la excentricidad de la carga sobre el terreno es: e = M/Pt = 2.5 x 1.0 / 3.3= 0.757 m El largo del cimiento debe ser 3 x 0.757 = 2.27 m Lo consideramos B = 2.30 m El otro lado será L = 2 Pt / B adm = 2 x 3.3 / 2.3 x 2.0 = 1.434 m Lo consideramos L = 1.45 m max El esfuerzo sería: max = 2 Pt / B L = 2 x 3.3 / 2.3 x 1.45 = 1.98 MN/m^2 < adm = 2.0 MN-m Hallemos el esfuerzo neto mayorado qnet = max– γs Df – γc hc – sobrecarga del terreno XXXI.25a Considerando γs Df + γc hc = 0.02 MN/ m² y como no hay sobrecarga qnet = 1.98– 0.03 – 0 = 1.95 MN/m² Combinación de carga mayorada 1.2 x 1.7 + 1.6 x 1.5 = 4.44 Factor de carga FC = 4.44 / (1.7 + 1.5) = 1.3875 El esfuerzo del terreno mayorado será: 1.3875 x 1.95 = 2.70 MN / m² Determinemos el peralto del cimiento sin refuerzo a cortante 1- Como viga Asumiremos un peralto efectivo del cimiento igual a de = 0.65 m h= 0.75 m 0.75 m El vuelo del cimiento es 2.3 / 2 – 0.8 / 2 = 0.75 m El área tributaria es 1.45 x 0.1 = 0.145 m^2 Vu = 0.145x 2.7 = 0.392 MN Vn = (fc’/6) bw de = 0.75 (28 / 6) 1.5 x 0.65 = 0.6449 MN > Vu

1.05 1.15 m

2- Acción en dos sentidos Área tributaria = 1.45 x 2.3 – 1.125 x 1.05 = 2.15 Como el esfuerzo en el terreno es variable utilizaremos el 0.7 del s mayorado, entonces s mayorado = 0.7 x 2.7 = 1.89 MN/m^2 Vu = 2.15 x 1.925 = 4.13 MN c = 0.8 / 0.4 = 2 307

1 + 2/c = 1 + 2/2 = 2 (se utiliza este valor) s = 40 (columna interior) bo =2[0.8 + 0.65) + (0.4 + 0.65)] = 5 m bo/de = 5/0.65 = 7.69 Vc = (0.33√fc’)bo de XXIX.3.10.3  Vc = 0.75 x 0.33 (28) x 5 x 0.65 = 4.26 MN > Vu 3- Diseño del refuerzo El momento en la cara del cimiento es: Mu =1.717 x 0.75 x 0.75 / 2 + (2.7 – 1.717) x 0.75 / 2 x 0.75 x 2/ 3 = Mu = 0.677 MN-m 0.75 m Suponiendo  = 0.9 refuerzo Co = Mu /  0.85 fc’ b de^2 = Co = 0.677 / 0.9 x 0.85 x 28 x 1.45 x (0.65)^2 = 0.052 De la tabla de Co j = 0.97 As = Mu /  j fy de = 0.677 / 0.9 x 0.97 x 420 x 0.65 = As = 0.00284m^2 = 28.41 cm^2 8  No. 7 (As = 30.96 cm^2) 1.717 MN/m^2 2.7 MN/m² Asmin = 0.0018 x 0.65 x 1.0 = 0.00117 m² = 11.7 cm² < As 2.7 MN/m^2 El momento que resiste el concreto para t = 0.005 Mc = 0.205 fc’ b d^2 = 0.205 x 28 x 1.45 x 0.65^2 = 3.52 MN-m > Mu, por lo tanto estamos en el caso de t > 0.005 y podemos utilizar  = 0.9 Comprobemos si el peso del cimiento y terreno produce tracciones en la parte superior del cimiento En la siguiente se muestras los esfuerzos mayorados A Nivel del terreno

0.75 m Df σ u = 0.03 x 1.3875= 0.0416 MN/ m²

plano de contacto σ = 0.9 MN/m² σumax = 1.98 x 1.3875 = 2.75 MN/m^2 B El momento en el plano A-B (cara de la columna) es : Mu = (0.9 x 0.75/ 2) 0.75 / 3 - 0.0416 x 0.75² / 2 = 0.068 MN-m (no se produce tracciones en la parte superior del cimiento) Refuerzo en el otro sentido Mu = (2.75 x 2.3 x 0.75) / 2 x 0.75 x 0.525 / 2 = 0.457 MN-m Co = Mu /  0.85 fc’ b de^2 = Co = 0.457 / 0.9 x 0.85 x 28 x 2.3 x (0.65) ^2 = 0.022 De la tabla de Co j = 0.99 As = Mu /  j fy de = 0.457 / 0.9 x 0.97 x 420 x 0.65 = 0.00187 m² = 18.78 cm² 5  No. 7 (As = 19.35 cm^2) El % de refuerzo que se debe colocar debajo de la columna es: 2 / ( + 1) = 2 / [(2.3 / 1.45) + 1] = 0.77 El refuerzo que se coloca debajo de la columna es : 0.77 x 18.78 = 14.46 cm² 4 No. 7 (As = 15.48 cm^2) Presión de contacto entre columna y cimiento 308

A1 –área cargada (área de la columna) A2 – área a 45°  = 0.65 Para el cimiento: PNB =  (0.85 fc’ A1) (A2/A1)  2  (0.85 fc’ A1) PNB = 0.65 (0.85 x 28 x 0.4 x 0.8) (1.52/0.32)  2 x 0.65 (0.85 x 28 x 0.4 x 0.8) PNB = 10.79 MN > 9.90 MN Se toma PNB = 9.90 MN > 4.43 MN Se cumple XXXI.28 EJEMPLO CIMIENTO TIPO BALSA

Se debe utilizar para diseño preliminar Para la balsa de la figura, determinar el gráfico de presiones y las solicitaciones en la misma. Son 12 columnas cargada cada una con 300 kN (0.3 MN)

La resistencia del terreno es 30 kN/ m^2

5.5 m 4.5 m

3.5 m 4.5 m

3m X1

X10

X11 X12

4m 4m

4m 5m

3m 3m

4m 3m3m

Pu = 0.45 MN Se supone que las cargas de las columnas se distribuyen en un área formada por la mitad de las luces Para la columna X9 es  = 300 / 5.5 x 5 = 10.9 kN/m^2 < 30 kN/m^2 y así sucesivamente Para la faja de columnas X9, X10, X11 y X12 ten

1 10.9 kN/m^2

2 13.3 kN/m^2

13.3 kN/m^2 17.14 kN/m^2 Como la losa se va reforzar en los dos sentidos, las cargas en cada panel se divide según la relación de las luces, para la porción (1) es 5/10.5 = 0.479, o sea, 0.479 x 10.9 = 5.22, el Autor considera que se debe aumentar un 10%, lo cual sería 5.74 kN/m^2 y así sucesivamente

5.74 kN/m^2 6.93 kN/m2 6.8 kN/m^2 13.2 kN/m^2 Ahora hallamos el gráfico de cortante 3m 5m

V1 V3 V1 = 5.74 x 3 x 5 = 86.1 kN 2.233 m V2 = 300 x 5.5 x 1.1 /10.5 – 86.1 = 86.7 kN V3 = 86.7 - 5.74 x 2.5 x 5 – 6.8 x 2.5 x 5 = - 70.0 kN y así sucesivamente El gráfico de momento se obtiene de la siguiente manera, recordando que la diferencia de momento entre dos puntos es igual al área de cortante entre esos puntos, o sea: M1-2 = Área cortante entre 1-2 309

El momento en el apoyo X9 (en el voladizo) es M =  l ^2 / 2 = 5.74 x 3^2 / 2 = 25.83 kN/m^2

M = 70.97 kN-m

2.583 MN-m en el punto donde el cortante es V = 0, el momento es M = 86.7 x 2.233 / 2 – 25.83 = 70.97 kN-m y así sucesivamente Con los gráficos de cortante y momento se realiza el diseño de las bandas. Después en forma similar se realiza en el sentido transversal El refuerzo total longitudinal de las bandas debe repartirse en forma similar como se hace en las losas planas sin vigas (flat slab) Recuérdese que los momentos y cortante hallados son nominales, deben ser multiplicado por el factor de carga

Determinación del peralto de la losa por punzonamiento Las columnas son de 0.4 m x 0.40 m c = 0.4 / 0.4 = 1.0 s = 40 (todas las columnas son interiores) bo = 2 (c1 + c2 + 2 de) por ser la columna cuadrada bo = 2(0.4 + 0.4 + 2 de) = 1.6 + 4 de Pu = 0.45 MN El valor de (de) es el mayor de las siguientes ecuaciones, tomando Vc = Pu / 0.75 = 0.45 / 0.75 = Vc = 0.6 MN: (a) Vc = [(fc’) / 6][ 1 + (2 / c)] bo de (MN) XXXI.25 .2ª 0.6 = [(0.882][ 1 + (2)] bo de 0.6 = 2.646 bo de 0.6 = 2.646 (1.6 + 4 de) de 0.6 = 4.2336 + 10.584 de² de² + 0.4 de – 0.0567 = 0.0 de = 0.12 m (b) Vc = [(fc’ ) / 6] [ 1 + (s de / 2 bo)] bo de (MN) XXXI.25 .2b 0.6 = 0.8819[ 1 + (40 de / 3.2 + 8 de )] ( 1.6 + 4 de) de de = 0.13 m (c) Vc = (fc’) / 3) bo de (MN) XXXI.25 .2c 0.6 = 1.76(1.6 de + 4 de²) 0.6 = 2.816 de + 7.04 de² de² + 0.4 de – 0.085 de = 0.15 m El mayor valor es de = 0.15 m Tomamos ese valor por punzonamiento Utilizando el método convencional Este método se utiliza cuando las columnas se encuentran distribuidas en forma similar y las cargas no varían más del 20% El esfuerzo en el terreno se halla con la siguiente fórmula: σ = [(R/A) ± (Mx Y) / Ix ± (My X) / Iy] R- resultante de todas las cargas A – área de la loza Ix, Iy- momento de inercia en planta del área de la losa para X e Y Ix = L B³ / 12 Iy = B L³ / 12 ex, ey – excentricidad de R con respecto al eje centroidal fc´= 20 MPa fy = 420 MPa

310

9.0 m La resistencia del terreno es 30 kN/ m^2

5.5 m 4.5 m

3.5 m 4.5 m

3m X1 x

X3 X4 ex = 0.5 m X6 x X 7 X8

X10

7.0 m

5m x 4m

4m X11 X12 A

3m y 5m

4m 3m3m

y 12 columnas de P = 300 kN Factor de carga = 1.5 Pu = 1.5 x 0.3 = 0.45 MN R = 12 x 300 = 3600 kN ex = 0.5 m del eje y-y (a la derecha del centro) ey = 0.0 m (en el eje x-x) Hallemos los esfuerzos en el terreno en los siguientes puntos: 1.0 2.5 2.5

3.0

1.0 2.5 2.5

3.0 todo en m

D E

ex = 0.5 m I

L M

N O

7.0 m P 7.0 m

Ix = L B³ / 12

T U 18.0 m

= 18 x 14³ / 12 = 4116 m^4

Iy = B L³ / 12 = 14 x 18³ / 12 = 6804 m^4

My = 3600 x 0.5 = 1800 kN-m Mx = 3600 x 0 = 0 kN-m

σ = [(R/A) ± (Mx Y) / Ix ± (My X) / Iy] = [(3600/252) ± (0 Y) / 4116 ± (1800 X) / 6804] = σ = 14.28 ± 0.2645 X Puntos A, I, Q σ = 14.28 – 0.2645 x 9.0 = 11.90 kN /m² Puntos H, P, Z σ = 14.28 + 0.2645 x 9.0 = 16.66 kN / m² Puntos B, J, R σ = 14.28 – 0.2647 x 6.0 = 12.69 kN / m² Puntos G, O, W σ = 14.28 + 0.2647 x 6.0 = 15.87 kN/ m² Puntos C, K, S σ = 14.28 – 0.2647 x 3.5 = 13.35 kN / m² Puntos F, N, V σ = 14.28 + 0.2647 x 3.5 = 15.20 kN / m² Puntos D, L, T σ = 14.28 – 0.2647 x 1.0 = 14.01 kN / m² Puntos E, M, U σ = 14.28 + 0.2647 x 1.0 = 14.46 kN / m²

311

franja que se analizará 4.5 m 1. 5 m

3.0 m

Grafico de presiones en el terreno sin mayorar

15.53 kN / m² 11.90 kN / m²

15.13 kN / m² 16.66 kN / m²

Eje de columnas X4, X8 X12 Determinación del peralto de la losa a ) Por punzonamiento Las columnas son de 0.4 m x 0.40 m c = 0.4 / 0.4 = 1.0 s = 40 (todas las columnas son interiores) bo = 2 (c1 + c2 + 2 de) por ser la columna cuadrada bo = 2(0.4 + 0.4 + 2 de) = 1.6 + 4 de Pu = 0.45 MN El valor de (de) es el mayor de las siguientes ecuaciones, tomando Vc = Pu / 0.75 = 0.45 / 0.75 = Vc = 0.6 MN: (d) Vc = [(fc’) / 6][ 1 + (2 / c)] bo de (MN) XXXI.25.2a 0.6 = [(0.882][ 1 + (2)] bo de 0.6 = 2.646 bo de 0.6 = 2.646 (1.6 + 4 de) de 0.6 = 4.2336 + 10.584 de² de² + 0.4 de – 0.0567 = 0.0 de = 0.12 m (e) Vc = [(fc’ ) / 6] [ 1 + (s de / 2 bo)] bo de (MN) XXXI.25 .2b 0.6 = 0.8819[ 1 + (40 de / 3.2 + 8 de )] ( 1.6 + 4 de) de de = 0.13 m (f) Vc = (fc’) / 3) bo de (MN) XXXI.25 .2c 0.6 = 1.76(1.6 de + 4 de²) 0.6 = 2.816 de + 7.04 de² de² + 0.4 de – 0.085 de = 0.15 m El mayor valor es de = 0.15 m Tomamos ese valor por punzonamiento b ) Por flexión σmax = 0.01553 kN / m² línea σumax = 0.01553 x 1.5 = 0.02329 MN / m² σumax = 0.02329 x 4.5 = 0.1048 MN / m (ancho tributario 4.5 m)

Pu = 0.45 MN Pu =0.45 MN 3.0 m 4.0 m 4.0 m

Pu = 0.45 MN 3.0 m

σumax = 0.1048 MN / m 0.3145

0.1355

0.225 Vu

valore en MN 0.1355 312

0.225

0.3145

Vc = (0.17fc’) λ bw de XVII.5 .1.1 tomando Vc = Vu / 0.75 = 0.3145 / 0.75 = 0.42 MN de = Vc / (0.17fc’) λ bw = 0.42 / (0.9 x 1.0 x 4.5) = 0.1035 m Tomamos de = 0.15 m -Hallar el refuerzo longitudinal Puede tomarse para franjas interiores En columnas : Mu = - σumax l² / 10 En tramo central Mu = σumax l² / 10 Para franjas exteriores En columnas : Mu = - σumax l² / 8 En tramo central Mu = σumax l² / 8

XXXI.29 PILOTES Y CAISSONS (C15.11) XXXI.29.1 DISEÑO DE LAS CIMENTACIONES APOYADAS EN PILOTES Los cimientos en pilotes es una cimentación que contiene un cabezal que se apoya en los pilotes Los pilotes se utilizan cuando el terreno bajo la cimentación es de baja resistencia, se deben introducir en los suelos firmes, a fin de que las cargas sean resistidas por fricción, por la punta del pilote o ambas Los pilotes de concreto pueden ser vaciados en el sitio a través de perforaciones en el terreno o prefabricados que se hincan en el suelo Se debe tener un estudio del suelo a fin de determinar la longitud de los pilotes y las dimensiones del ismo Cuando se utilizan un grupo de pilotes por fricción la capacidad de carga no es una suma de los pilotes utilizados, es menor, puede ser un 30% menor, pero cuando se utilizan pilotes en punta en grava arenosa o en roca, se puede considerar como la suma de la capacidad de cada pilote El espaciamiento mínimo centro a centro debe no ser menor de: - el perímetro del pilote, para pilotes por fricción - tres veces el ancho del estreno final del pilote, en pilotes en punta Los pilotes se diseñan como columnas cortas a menos que sean esbeltos y que el terreno circundante sea muy débil. Los pilotes prefabricados deben además ser diseñados para los esfuerzos de montaje y traslados e hincado La carga total que actúa en un pilote es la suma de la carga que trasmite el cabezal, peso propio del pilote y el rozamiento negativo si existe Normalmente los cabezales le transmiten a los pilotes cargas verticales, momentos y cortante Para determinar la distribución de carga vertical en los pilotes se puede utilizar el método que a continuación se describe La carga para un pilote en un grupo de pilotes verticales, con un eje de simetría, admitiendo que el cabezal es rígido se determina con la siguiente fórmula: Pniu = (Ptu / n) ± Nu ex yn / Ix ± Nu ey xn / Iy XXXI.29.1a Pniu – carga axial mayorada en un pilote individual producido por la carga vertical Ptu Nu – carga mayorada en la columna Ptu- carga vertical total mayorada (incluye la carga Nu de la columna y el peso del cabezal mayorado ) sobre el grupo de pilotes n – cantidad de pilotes ex y ey- la excentricidad de la carga Nu respecto a los ejes X-X e Y-Y del grupo de pilotes Ix e Iy- momento de inercia del grupo de pilotes con respecto a los ejes X-X e Y-Y respectivamente xn y yn – son las distancias de cada pilote a los ejes X-X e Y-Y respectivamente Cuando el grupo de pilotes no es simétrico con respecto a los ejes de coordenadas la fórmula a utilizar es: Pnu = (Nu / n) ± A yn ± B xn XXXI.2 9.1b A = Nu (ex ∑xn² - ey ∑ xn yn) / [ ∑ xn² ∑ yn² - ( ∑ xn yn)²] XXXI.29.1c B = Nu (ey ∑yn² - ex ∑ xn yn) / [ ∑ xn² ∑ yn² - ( ∑ xn yn)²] XXXI.29.1c N Y cabezal columna pilotes 313

X x

Cargas verticales solamente Cuando además existe carga horizontal (Hu) se inclinan algunos pilotes un ángulo αi con respecto a la vertical , debiéndose cumplir que: ∑ Pniu tan αi = Hu XXXI.29.1d Si se supone que el cabezal es rígido, los pilotes inclinados tomarán las fuerzas axiales dados por: Pnuα = Pniu / cos αi XXXI.29.1e entonces son capaces de suministrar las componentes horizontales para absorber Hu Para cargas horizontales de direcciones inversas deben disponerse grupos de pilotes con inclinación opuestas, como se muestra en la siguiente figura

Y cabezal

columna

H pilotes Pt

X x

αi Pnuα αi

Pniu

Cargas verticales y horizontales La carga de rozamiento negativo se produce en terrenos compresibles y se puede obtener con la siguiente fórmula: Rn = 0.25 u [sc + γ l² / 2] XXXI.29.1f u – perímetro del pilote sc– sobrecarga unitaria en la superficie del terreno l – longitud del pilote γ- peso específico del terreno

XXXI.29.2 DISEÑO DEL CABEZAL DE UNIÓN DE LOS PILOTES El cabezal debe ser rígido y debe transmitir las cargas de la columna a los pilotes Debe comprobarse a punzonamiento, cortante, flexión y longitud de embebimiento. Su forma y dimensiones en planta dependen de la cantidad de pilotes de las dimensiones de los mismos y de su separación Se debe tratar que las resultantes de las cargas se encuentren en el centro de la gravedad del grupo de los pilotes para evitar los momentos producidos por la excentricidad Es conveniente tomar en cuenta las siguientes recomendaciones para el diseño del cabezal a≥θ/2

dp < b - bo 314

a ≥ 0.25 m

dp < 0.85 e

c ≥ 0.1 m c ≤ 0.15 m h c θ

h ≥ 0.4 m h ≥ 1.5 θ θ- diámetro del pilote

bo ( ancho de la columna) a b

Existen dos métodos para diseño del cabezal: 1- Utilizando la teoría de las vigas para cabezales flexibles, lo cual es considerado como una viga invertida y se considera las condiciones usuales de flexión y cortante cabezal flexible es aquel que presenta un voladizo ( e ) superior a 2 h. e > 2h El momento flector se hallará en un plano vertical que pase a una distancia (0.15 a1) de la cara de la columna o soporte hacia dentro, siendo (a1) la dimensión de la columna o soporte El refuerzo obtenido se dispondrá en bandas tal como se indica para los cabezales rígidos que se verá a continuación Los refuerzos secundarios se colocaron de la misma manera que para los cabezales rígidos El cálculo de cortante se realiza como para los cimientos flexibles. 2- Método de modelo puntal-tensor del Capítulo XX de este libro, para cabezales rígido cabezal rígido es aquel que su vuelo (e) en cualquier dirección no supera el doble del peralto total (h), (e < 2 h) Método de modelos puntal-tensor Al utilizar este método, cuando los pilotes son espaciados a más de tres veces el diámetro del pilote, solamente el refuerzo dentro de una distancia de 1.5 veces el diámetro del pilote desde el centro del pilote debe ser considerado como efectivo para proveer la resistencia a tracción La fuerza a tracción es: T = N l / 2 dp l-mitad de la distancia entre pilotes dp: peralto del cabezal En la siguiente figura se muestra la fuerza de tracción para 2, 3 y 4 pilotes

Dos pilotes

columna AO

Pilote x

B O

Tu = Nu l / 2 dp

Tres pilotes

Tu = 2 Nu l / 9 dp

2l x O B

OC 2l

315

Para cuatros pilotes simétricos

Tu = Nu l / 4 dp

Refuerzo longitudinal principal El refuerzo inferior se calculará para resistir la tracción mayorada (Tu) . Este refuerzo se colocará en toda su longitud del cabezal y se anclará por prolongación recta o ángulo recto, a partir de planos verticales que pasen por el eje de cada pilote Este refuerzo principal debe colocarse en bandas principales sobre el pilote Una banda principal es una zona el cual su eje es la línea que une los centros de los pilotes y su ancho es igual al diámetro del pilote más dos veces la distancia entre la cara superior del pilote y el centro de gravedad del refuerzo del tirante, este refuerzo debe anclarse a partir de un plano vertical que pase por el eje de cada pilote Entre las bandas se encuentra una banda secundaria del refuerzo principal, en la cual se colocará un refuerzo horizontal en retícula cuya capacidad mecánica resistente en cada sentido no será menor de 1 / 4 de la capacidad mecánica del refuerzo colocado en las bandas principales y un refuerzo vertical formado por cercos atado al refuerzo principal de las bandas Refuerzo secundario Se debe colocar un refuerzo longitudinal en la cara superior del cabezal y extendida en toda su longitud, la cual su capacidad de resistencia no debe ser menor que el 10% de la principal Un refuerzo horizontal y vertical dispuesto en retículas en las caras laterales La vertical serán cercos cerrados que aten el refuerzo longitudinal principal y secundario La horizontal consistirá de cercos cerrados que aten el refuerzo vertical anterior Se recomienda que la cuantía geométrica de estos refuerzos sea no menor de 0.004, referida al área de la sección del concreto perpendicular a su dirección. Si el ancho (b) supera a la mitad de (h), la sección se considera como un ancho igual a la mitad de (h) Diseño por cortante La resistencia a cortante del cabezal se debe comprobar según lo siguiente: - La reacción total de cualquier pilote cuyo centro se localice a una distancia dp/2 o mayor por fuera de esta sección debe considerarse que produce cortante en esta sección -La reacción de cualquier pilote cuyo centro se localice a una distancia de dp/2 o mayor por dentro de la sección debe considerarse pero no produce cortante en esta sección -Para posiciones intermedias del centro del pilote, la porción de reacción del pilote que se considera que produce cortante en la sección debe basarse en una interpolación lineal entre el valor total a dp/2 por fuera de la sección y cero a dp/2 dentro de la sección Diseño por punzonamiento Debe ser diseñado igual que para losas de dos direcciones

XXXI.29.2A EJEMPLO DE DISEÑO DEL CABEZAL DE UNIÓN DE LOS PILOTES Diseñar el cabezal de los pilotes de la figura. La carga mayorada de Ptu = 1.1 MN, está situada en el eje x-x y a 0.4 m del eje y-y. y 1.00

0.4

1.00

0.4 (aplicación de la carga de 1.1 MN)

1.00 x

x 2.80

x 2

Diámetro pilote = 0.3 m Tamaño columna = 0.4 m Distancias en metros

1.00

2.80 y Para hallar la carga que recibe cada pilote se utiliza la siguiente fórmula: 316

Pniu = (Ptu / n) ± Nu ex yn / Ix ± Nu ey xn / Iy XXXI.2 9.1a Pniu – carga axial en un pilote individual producido por la carga vertical Pt Ptu- carga vertical total (incluye la carga N de la columna y el peso del cabezal) sobre el grupo de pilotes n – cantidad de pilotes ex y ey- la excentricidad de la carga N respecto a los ejes X-X e Y-Y del grupo de pilotes Ix e Iy- momento de inercia del grupo de pilotes con respecto a los ejes X-X e Y-Y respectivamente xn y yn – son las distancias de cada pilote a los ejes X-X e Y-Y respectivamente Como no hay excentricidad en el eje Y-Y, la fórmula se convierte en: Pniu = (Ptu / n) ± Nu ex yn / Ix Ptu = 1.1 MN n = 4 Nu = 1.0 MN ex = 0.4 m Ix = ∑xn² = 2 x 1.0² + 2 x 1.0² = 4 m^4 Pniu = (1.1 / 4) ± 1.0 x 0.4 yn / 4 Pniu = (0.275) ± 0.1 yn Entonces: P1u= P3 = 0.275 – 0.1 x 1.0 = 0.175 MN P2u = P4 = 0.275 + 0.1 x 1.0 = 0.375 MN Asumiremos el peralto del cabezal como: dp = 1.5 θ = 1.5 x 0.3 = 0.45 m Utilizaremos dp = 0.45 m e / dp = 0.4 = 0.45 = 0.89 < 2.0 Es un cabezal rígido, por lo cual utilizaremos el método de : Método de modelos puntal-tensor La fuerza de tracción para cuatros pilotes simétricos = Tu = Nu l / 4 dp Tu = 1.0 x 1.0 / 4 x 0.45 = 0.555MN El refuerzo principal inferior será: As = Tu / fy = 0.555/ 420 = 0.00132 m² = 13.22 cm² = 7  No 5 (13.93 cm²) Este refuerzo se colocará en franjas principales que tendrán un ancho de θ + 2 c = 0.3 + 2 x 0.1 = 0.5 m espaciado a 0.5 / 7 = 0071 m = 7.14 cm Entre estas franjas principales se debe colocar franjas secundarias con un refuerzo que tenga una capacidad mecánica de 0.25 del refuerzo principal, la cual sería 0.25 x 13.22 = 3.305 cm² = 3  No 4 (3.87 cm²) Refuerzo secundario en la zona superior del cabezal debe ser 10% del principal = 0.1 x 13.22 = 1  No 4 Cercos cerrados con una cuantía de 0.004, o sea 0.004 x 0.45 x 1.0 = 0.0018 m² = 18.0 cm²  No.5 @ 0.11 m Diseño por cortante El cortante Vu producido por los pilotes a una distancia de dp / 2 del la cara de la columna es: Vu = 2 x 0.375 x 0.775 = 0.58 MN El cortante resistido por el concreto es :Vn = (fc’/6) bw dp = 0.75 x 28 /6 x 2.8 x 0.45 = 2.03 MN Vn > Vu Se cumple Diseño por punzonamiento Vc = (0.33√fc’)bo de XXIX.3.10.3 Vc = 0.75 x (0.33√28) 0.85 x 0.85 x 0.45 = 1.29 MN > Nu = 1.0 MN Se cumple Refuerzo inferior franja principal de 0.5 m franja principal de 0.5 m 7  No 5

3  No 4 en franjas secundarias XXXI.29.3 DISEÑO DE LOS PILOTES Los pilotes se diseñan como columnas ALCANCE. Los requisitos que se presentan en esta sección corresponden a los requerimientos mínimos por razones estructurales de pilotes y caissons de concreto, incluyendo pilotes hincados, pilotes vaciados en 317

el sitio con camisa de acero, pilotes barrenados y caissons excavados manual y mecánicamente. Las armaduras mínimas prescritas en la presente sección no cubren los efectos de impacto por hincado, ni las solicitaciones derivadas de empujes laterales y efectos sísmicos sobre los pilotes y caissons, los cuales deben ser definidos por los estudios geotécnicos de acuerdo con el Titulo H del Reglamento ANCLAJE DEL REFUERZO. El refuerzo longitudinal de los pilotes y caissons debe anclarse en la cimentación o dado, como mínimo, una distancia igual a la longitud de desarrollo en tracción, sin reducción por refuerzo en exceso ESFUERZOS AXIALES MÁXIMOS. Los esfuerzos axiales máximos admisibles sobre pilotes, o sobre el fuste cuando se trate de pilotes acampados en su base, son los siguientes: a) Esfuerzos de compresión causados por las cargas gravitacionales (no incluye efectos de hincado): D + L ≤ 0.2 fc’ Ag XXXI.2.3a 1.2 D + 1.6 L ≤ 0.35 fc’ Ag XXXI.29.3b b) Esfuerzos de compresión causado por las cargas gravitacionales más efecto sísmico: D + L + 0.7 E ≤ 0.33 fc’ Ag XXXI.29.3c 1.2 D + 1.0 L + E ≤ 0.35 fc’ Ag XXXI.29.3d c) Esfuerzos de tracción causados por efectos sísmicos, cuando hay levantamiento (en este caso el pilote debe armarse en toda su longitud, a menos que el estudio geotécnico defina una longitud menor): - 1.0 D + E ≤ 0.9 fy As XXXI.29 .3e ESFUERZOS DE FLEXIÓN. Cuando el pilote pueda verse sometido a momentos flectores debidos a empujes laterales o efectos sísmicos, la determinación de los momentos flectores de diseño debe realizarse de acuerdo con las recomendaciones del estudio geotécnico. El diseño a flexión del pilote debe realizarse de acuerdo con los requisitos del presente Capítulo CUANTÍA MÍNIMAS Y LONGITUDES MÍNIMAS DE ARMADO. A menos que se quiera un mayor refuerzo de acuerdo con lo expresado en ESFUERZOS AXIALES MÁXIMOS y ESFUERZOS DE FLEXIÓN, deben utilizarse las siguientes cuantías y longitudes mínimas de armado: Pilotes y caissons vaciados en sitio – En los pilotes y caissons vaciado en sitio, deben tenerse todas las recomendaciones para evitar que haya estrangulamiento causados por derrumbes internos dentro del pilote en el momento de vaciar el concreto. Las cuantías mínimas, longitudinales y transversales para pilotes y caissons están dadas en la Tabla de la página siguiente Pilotes con camisa de acero. Los mismos requisitos que para pilotes y caissons vaciados en el lugar. Una camisa de acero, de calibre No. 14 o mayor, del tipo de espiral electro soldada, puede considerarse que reemplaza el efecto de confinamiento de los estribos: siempre y cuando se garantice la protección contra la corrosión de la camisa de acero. Tubería rellena de concreto. Debe colocarse refuerzo longitudinal con una cuantía mínima de 0.01en la parte superior del pilote por una distancia de igual al doble de la longitud de anclaje requerida para el refuerzo. Deben colocarse los estribos necesarios para garantizar que el refuerzo permanece en su sitio durante el vaciado del concreto. Pilotes prefabricados de concreto reforzado. Debe colocarse refuerzo longitudinal con una cuantía mínima de 0.01 en toda la longitud del pilote. Deben colocarse estribos, o una espiral equivalente, con un dímetro de barra mínimo No. 2 (1/4”) ó 6M (6 mm) con una separación máxima de 100 mm (4”) en los 600 mm (24”) superiores del pilote. La conexión al cimiento o dado, debe hacerse por medio de barras adicionales. La resistencia mínima a la compresión del Concreto antes empezar el hincado debe ser fc’ 28 MPa (4000 psi) Pilotes de perfil laminado de acero. En estructuras con capacidad especial de disipación de energía (DES) la conexión con el cimiento o dado de cimentación debe ser capaz de resistir una fuerza de tracción igual al 10% de la capacidad a compresión del pilote. CUANTÍAS MÍNIMAS LONGITUDINALES Y TRANSVERSALES EN PILOTES Y CAISSONS VACIADO EN SITIO Requisitos

Estructuras de Categoría A

Estructuras de Categorías B, C, D , E y F (Véase Nota 318

Resistencia mínima del concreto Cuantía longitudinal mínima Número mínimo de barras longitudinales Longitud del refuerzo longitudinal, a menos que el estudio geotécnico demuestre que se puede utilizar una longitud menor Diámetro de la barra de de los estribos

17.5 MPa ( 2488 psi)

17.5 MPa (2488 psi)

0.0025

0.0050

tercio superior de la longitud del pilote, pero menos de 4 m (13 pies )

mitad superior de la longitud del pilote, pero menos de 6 m (20 pies)

No. 2 (1/4”) ó 6M (6 mm) para pilotes hasta 500 mm (20”) de diámetro y No. 3 (3/8”) ó 10M (10 mm) para pilotes de más de 500 mm (20”) de diámetro

No. 3 (3/8”) ó 10M (10 mm) para pilotes de 750 mm (30”) de diámetro y No. 4 (1/2”) ó 12M (12 mm) para pilotes de más de 750 mm de diámetro Separación máxima de los 100 mm ( 4”) en los 600 mm 75 mm (3”) en los 1.20 m estribos superiores del pilote y 16 diámetros del pilote y 16 diámetro de barra longitudinal a lo largo de la de barra longitudinal a lo zona armada longitudinalmente largo de la zona armada longitudinalmente Nota: En el caso que existan efectos sísmicos, deben evaluarse según los requisitos de: CAPITULO REQUISITOS ESPECIALES PARA ESTRUCTURAS DE CONCRETO REFORZADO SOMETIDAS A LA CARGA DE SISMO y deben tomarse las precauciones necesarias para garantizar que la articulación plástica se presenta en la zona confinada XXXI.29.4 VIGAS DE AMARRE DE LA CIMENTACIÓN (C.15.130 Fuerzas de diseño. Deben amarrarse por medio de elementos capaces de resistir en tracción o compresión una fuerza no menor de (0.25 Aa) veces la carga vertical total del elemento que tenga mayor carga entre los que interconecta, además de la fuerzas que trasmita la superestructura. Aa- Coeficiente que representa la aceleración pico efectiva Dimensiones mínima. Las dimensiones de las vigas de amarre deben establecerse en función de las solicitaciones que las afecten. dentro las cuales se cuentan la resistencia a fuerzas axiales por razones sísmicas y la rigidez y características para efectos de diferencia de carga vertical sobre los elementos de cimentación y la posibilidad de ocurrencia para efectos de diferencias de carga vertical sobre los elementos de cimentación y la posibilidad de ocurrencia de asentamientos totales y diferenciales. Refuerzo longitudinal. Las vigas de amarre sobre el terreno que enlacen dados o zapatas deben tener refuerzo longitudinal continuo, el cual debe ser capaz de desarrollar fy por medio de anclaje en la columna exterior del vano final. Refuerzo transversal. Deben colocarse estribos cerrados en toda su longitud, con una separación que no exceda la mitad de la menor dimensión de la sección ó 300 mm (12”) Las vigas de amarre que resistan momentos flectores provenientes de columnas deben cumplir los requisitos de separación y cantidad de refuerzo transversal XXXI.30 PROBLEMAS PROPUESTOS XXXI.30.1Que consideraciones hay que tomar de las cargas y reacciones? XXXI.30.2 Como son los cimientos aislados XXXI.30.3 A que se deben comprobar los cimientos? XXXI.30.4 Que tipo de fallas hay debajo de los cimientos? XXXI.30.5 Como es la distribución de presiones cuando un cimiento aislado está sometido a carga excéntrica? XXXI.30.6 Cuales son las fórmulas generales de la capacidad de resistencia neta del suelo? XXXI.30.7 Como se calcula la presión de contacto? XXXI.30.8 Como es el diseño estructural de los cimientos aislados? XXXI.30.10 Como se diseña los cimientos aislados sometidos a vuelco muy alto? XXXI.30.11 Cuales son los pasos a seguir en el diseño de los cimientos aislados? 319

XXXI.30.12 Diseñar el cimiento aislados con los siguientes datos: N M Carga muerta = 2.0 MN Carga viva = 2.5MN Momento por carga viva = 1.17MN-m Peso del cimiento y terreno = 0.035 MN/m² Momento por carga muerta = 1.33 MN-m Dimensión de la columna 0.8 x 0.40 m Concreto 28 MPa Resistencia del terreno qu = 6.0 MN/ m² qdes = qu / 3.0 = 2.0 MN / m^2

0.8 m 1.00 m

XXXI.30.13 Diseñar de cimiento tipo balsas Para la balsa de la figura, determinar el gráfico de presiones y las solicitaciones en la misma. Son 12 columnas cargada cada una con 400 kN (0.4 MN)

La resistencia del terreno es 30 kN/ m^2

5.5 m 4.5 m

3.5 m 4.5 m

3m X1

X10

X11 X12

4m 4m

4m 5m

3m 3m

4m 3m3m

Pu = 0.60 MN

XXXI.14 Diseñar el cabezal de los pilotes de la figura La carga mayorada de Ptu = 1.5 MN, está situada en el eje y-y y a 0.45 m del eje x-x. y 0.4 1.00 1.00 0.4 (aplicación de la carga de 1.5 MN) 3 4 1.00

x 2.80

Diámetro pilote = 0.3 m Tamaño columna = 0.4 m Distancias en metros

1.00

2.80 y

320

CAPÍTULO XXXII (C.15.12) MUROS DE CONTENCIÓN En este Capítulo trataremos el diseño de las estructuras para soportar cargas laterales de suelos y además las fuerzas de sismo en los muros de gravedad XXXII.1 CONDICIONES BÁSICAS DE DISEÑO Los muros de contención deben cumplir los siguientes requerimientos: a) Los componentes estructurales del muro deben resistir el momento flector y el cortante desarrollado por las fuerzas del suelo y otras cargas b) El muro de ser seguro contra el giro del mismo c) El muro debe ser seguro al deslizamiento d) La capacidad de resistencia del suelo no debe ser sobrepasada e) Los asentamientos y otras distorsiones deben limitarse a los valores admisibles XXXII.2 ESTABILIDAD EXTERNA DE LOS MUROS DE CONTENCIÓN El análisis para la estabilidad de los muros de contención debe realizarse para: XXXII.2.1 Volcamiento Las fuerzas laterales producidas por el suelo que actúan sobre los muros de contención hacen girar el muro y es contrarrestado por el momento estabilizador producido por el peso muerto del suelo sobre el cimiento y el peso propio del muro Normalmente no se toma en cuenta para el momento estabilizador de la presión pasiva del suelo en la parte frontal del muro El Factor de Seguridad de volcamiento (FSv) Fsv = 3.0 para suelos granulares Fsv = 2.0 para suelos cohesivos FSv = Momento total estabilizador / Momento de giro XXXII.2.2 Deslizamiento Las fuerzas laterales producidas por el suelo que actúan sobre los muros de contención hacen que el muro se deslice, y es contrarrestado por la presión pasiva que se desarrolla al frente del muro, así como la fuerza de fricción que se produce entre el suelo y el cimiento. El Factor de Seguridad de deslizamiento (FSd)debe ser: FSd = 1.6 en suelos granulares Fsd = 2.0 en suelos cohesivos FSd = Resistencia horizontal / Fuerza de deslizamiento XXXII.2.3 Capacidad portante La presión a que esté sometido el suelo debajo del cimiento no debe ser superior a la presión admisible del suelo. El factor de seguridad debe ser: FScp = 2. 5 FScp =Capacidad portante última / Capacidad portante admisible La presión en el terreno es: p = (P/A)  (Mc/I) 321

p- presión en el suelo P- Carga axial A- área de la cimentación I-momento de inercia del cimiento M- Momento neto XXXII.2.4 Estabilidad intrínseca (asentamiento) Factor de seguridad de la Estabilidad intrínseca = 1.6 XXXII.2.5 Estabilidad general del sistema Factor de seguridad de la estabilidad general del sistema = 1.5 XXXII.3 EMPUJE LATERAL DEL SUELO Los muros de contención están sometidos a la presión lateral del suelo. En este libro no se dará una explicación detallada de la teoría de la Mecánica de los Suelos, para eso debe consultarse la literatura especializada La presión que el suelo ejerce sobre el muro que lo contiene mantiene una estrecha interacción entre uno y otro y depende del desplazamiento del conjunto: 1. En el estado natural del suelo, se dice que la presión es la de reposo, el Coeficiente de Presión (Ko) en este estado es: Ko = 1 – sen ’ = ’3 / ’1 XXXII.3a ’-ángulo de fricción interna, ’3- esfuerzo efectivo secundario o menor ’1- esfuerzo efectivo principal Para suelo normalmente consolidado Koh = Ko Para suelo preconsolidado Kh = ( 1 – sen ) (RSC)^ sen  XXXII.3b =ángulo de fricción interna RSC – relación de sobre consolidación Terreno inclinado Ko = (1 – Sen ) [(RSC)^ sen ] (1 + 0.5 tan )^2 XXXII.3 c -ángulo de inclinación del suelo 2.El estado activo es cuando hay un desplazamiento pequeño del muro en el sentido contrario al del banco de suelo que contiene. El valor del Coeficiente Activo de presión de suelo es Ka Ka = tan² [45° - ] 3.El estado pasivo es la resistencia del banco del suelo cuando es empujado por el muro, en este caso el desplazamiento es mayor que el desplazamiento del estado activo. El valor del Coeficiente Pasivo de presión del suelo es Kp = tan² [45° + ] El Empuje Total Lateral (Ph) corresponde a la fuerza total lateral ejercida por el suelo sobre la estructura de contención y es la suma de las fuerzas Ph’ debida al empuje del suelo, la fuerza lateral Pw debida a la presión del agua subterránea y las fuerzas laterales Pex debidas a cargas externas Ph = Ph’ + Pw + Pex XXXII..13d Cuando el desplazamiento del muro es vertical o implica un giro sobre el cimiento, su distribución debe ser lineal, similar a la hidrostática, si el giro es alrededor del extremo superior del muro, la distribución debe adoptar una forma curvilínea. Los desplazamientos relativos se presentan en la siguiente Tabla XXXII..3 Tipo de suelo Granular denso Granular suelto Cohesivo firme Cohesivo suelto H- altura del muro

Estado activo 0.001 H 0.004 H 0.010 H 0.020 H

Estado pasivo 0.020 H 0.060 H 0.020 H 0.040 H

322

Los empujes debidos al agua subterránea deben minimizarse en lo posible, mediante el empleo de obras adecuadas de drenaje y despresurización. Sin embargo, cuando no es posible, deben sumarse a los empujes del suelo

h Manto freático h’

a h’

 h Ka s Ka h’

s -  saturado

Los empujes debidos a cargas externas, tales como sobrecargas en la parte superior del muro, cargas vivas temporales o permanentes, deben considerarse por separado de acuerdo con la incidencia sobre el muro que se calcula. Se puede considerar para los cálculos que la carga externa se sustituye por una capa equivalente con una altura Hs = ws / w ws- carga uniformemente repartida w= peso del suelo ws Hs H/2

45

H H H/3 Ps = w hs

H’

Pa= K H

H/3 H’/2

< (’ - )  = tan^(-1) [ah/(1 – av)] -ángulo del terreno con la horizontal -ángulo de la cara del muro con la horizontal ’-ángulo de las fuerzas con la normal a la cara del muro ah-aceleración horizontal del terreno, debida al sismo av-aceleración vertical del terreno, debida al sismo

 ’ H ’ 

Nota 1: Da = {1 + {sen (’ + ’)sen (’ - )} / {sen (- ’)sen ( + )}}^2 Nota 2: Dp = {1 - {sen (’ + ’) sen (’ + )} / {sen (+ ’)sen ( + )}}^2 Nota 3: Da = {1 + {sen (’ + ’)sen (’ - - )} / {sen (- ’)sen ( + )}}^2

XXXII.4 MUROS DE CONTENCIÓN Y MUROS SUBTERRÁNEOS Los muros de contención y muros subterráneos son formas de estructuras utilizadas de hace mucho tiempo. Su función principal es soportar terreno lateralmente. Principales Tipos Los principales tipos son: Muros de gravedad Muros en voladizo Muros con contrafuertes Muros subterráneos

323

XXXII.5 MUROS DE GRAVEDAD Este tipo de muro se denomina así porque su estabilidad se debe a su gran peso y no lleva refuerzo. Los esfuerzos de tracción son muy pequeños y se diseñan para que la resultante de las fuerzas pase en el tercio medio de la sección (núcleo de Kern) y la sección está a compresión. Se utiliza para altura de 3.0 m a 3.5 m Como un predimensionamiento se puede utilizar lo siguiente: 0.085 H ≥ 0.3 m

0.1H a 0.16 A b = 0.5 H a 0.75 H

XXXII.6 MURO EN VOLADIZO Se denominan así porque es un muro que trabaja en voladizo, pudiendo ser en forma de “L” o una “T” invertida. En estos muros la estabilidad se logra por el peso del muro y el peso del relleno Se utiliza en alturas de 3.0 m a 6.0 m El predimensionamiento puede ser: 0.15m a 0.3 m

A H / 14 a H / 10 b1

b1≈ B / 3

Empuje pasivo actuando en el taco Si al comprobar el deslizamiento no se cumple, es posible colocar un taco (ver figura superior) en la parte inferior de la cimentación, el cual estará sometido al empuje pasivo del suelo y colabora con la fricción para resistir la fuerza de deslizamiento Para la pantalla vertical. actúan el empuje activo del suelo y el efecto de la sobrecarga si existe, se considera esta pantalla como un voladizo Las cargas se mayoran y se determina el refuerzo principal vertical. La cuantía del acero de temperatura mínimo debe ser 0.0018 y debe colocarse en el borde exterior del muro 324

El talón delantero se diseña para resistir la reacción el suelo y se considera un voladizo. Si existiera relleno en esta zona es aconsejable no considerarla debido a que en la vida útil pude ser removida El refuerzo se coloca en la zona inferior El talón posterior se diseña considerando las cargas del peso del suelo, el peso del cimiento y la sobrecarga, que actúan hacia abajo y la carga de reacción del suelo que actúa hacia arriba El refuerzo se coloca en la zona de tracción El taco se diseña como un voladizo Se debe construir juntas de contracción y dilatación cada cierta distancia a lo largo del muro XXXII.7 EJEMPLO DE MUROS DE CONTENCIÓN EN VOLADIZO Sea un muro para soportar 4.0 m de desnivel, el cimiento se colocará a 1.0 m debajo del nivel del suelo, descansa sobre un suelo firme, la altura total del muro H = 3.0 m. Se utilizará un cimiento de 0.4 m de espesor. b= 3.0 m. Se utilizará concreto fc´= 28 MPa El terreno es granular con un  = 30 y  = 17.0 kN/m^3. El coeficiente de fricción entre suelo y el concreto es 0. 5. El esfuerzo permisible del terreno bajo la cimentación es de 120 kPa 0.2 m

0.9 m W1

4.0 m W2 Pa W3

1.333 m

0.4 m 2.0 m

3.0 m No se utiliza la presión pasiva frente al muro, debido a que el terreno no es rígido y es posible que en algún momento de la vida útil del muro, pueda no existir este suelo frente a él El Coeficiente Ka = (1-sen ) / 1+sen) para  = 30 = 0.333 El empuje total Pa =[Ka  (H^2) ]/ 2 = [0.333 x 17 x 4^2] / 2 = 45.29 kN / m El peso del muro por metro W1 =Volumen por peso especifico = 0.2 x 3.6 x 1.0 x 5.085 = 3.66 kN / m Peso del cimiento W3 = 3.0 x 0.4 x 1.0 x 24 = 28.8 kN / m Peso del relleno W2 = 2.0 x 3.6 x 17 = 122.4 kN / m Comprobación del volteo Tomando momento con respecto al punto A Momento estabilizador = Mo = 0.9 W1+ 2.0 W2 + 1.5 W3 = 0.9 x 3.66 + 2.0 x 122.4 + 1.5 x 28.8 = Mo =291.29 kN-m Momento de giro Mv = (H/3) Pa = (4/3) x 45.29 = 60.39 kN-m El factor de seguridad contra el vuelco = Mo / Mv = 291.29 / 60.39 = 4.82 > 3.0 Se Cumple Comprobación del deslizamiento Peso total W = W1 + W2 + W3 = 3.66 + 122.4 + 28.8 = 154.86 kN / m Coeficiente de fricción  = 0.5 Resistencia horizontal =  W = 0.5 x 154.86 = 77.43 kN Fuerza de deslizamiento Pa = 45.29 kN FSd = Resistencia horizontal / Fuerza de deslizamiento = 77.43 / 45.29 = 1.71 > 1.6 Se Cumple Comprobación de la capacidad resistente del suelo Hallemos el momento que actúa en el eje del cimiento Mc = Pa (H/3) + W1 ( 1.5 – 0.9) - W2 (1.5 – 1.0) + W3 x 0 = 60.39 + 3.66 x 0.6 – 122.4 x 0.5 + 0 = Mc = 13.86 kN-m La presión en el terreno es: 325

p = (P/A)  (Mc/I) c = 3.0 / 2= 1.5 I = a b^3 / 12 = 1.0 x 3^3 / 12 = 2.25 m^4 p = (154.86 / 3.0 x 1.0)  (13.86 x 1.5 / 2.25) = 51.62  9.45 pmax = 51.26 + 9.45 = 60.71 kN/m^2 < 120 kN/m^2 Se cumple pmin = 51.26 – 9.45 = 41.81 kN/m^2 > 0 y < 120 kN/m^2 Se Cumple Diseño estructural del muro En la parte inferior del muro, o sea, sobre la loza inferior, el momento es M ={[Ka  (H – 0.4)^2 ]/ 2} (H – 0.4) / 3 ={[0.333 x 1.7 (4.0 – 0.4)^2] /2} ( 4.0 – 0.4)/3 = 4.4 kN-m El diseño se realizará por el método de estado límite de resistencia Con: 1.2 D + 1.6 L + 1.6 H Como la carga axial es sólo del peso del muro (D) la despreciamos y L = 0, entonces el Mu = 4.4 x 1.6 = 7.483 kN-m = 0.00748 MN-m Refuerzo principal El momento que resiste la zona comprimida del concreto para tracción controlada es:  Mc = ct fc’ bw [(de) ^2] 0.9 XIII. 8.7 Para el concreto de fc´= 28 MPa ct = 0.228  Mc = ct fc’ bw [(de) ^2] 0.9  Mc = 0.228 x 28 x 1.00 x 0.15² x 0.9 = 0.10 MN-m = > Mu Co = [Mu /] / 0.85 fc’ bw de^2 XIII.8.27 Co = [0.00748 /0.9] / 0.85x 28 x1.0 x 0.15² = 0.0155 De la Tabla TablaXIII.8a de Co, obtenemos j = 0.99 As = [Mu /] / fy j de = [0.00748 /0.9] / 420 x 0.99 x 0.15 = 0.000133 m² = 1.33 cm² (2  No.3) Refuerzo mínimo = Amin = 0.0018 x 0.2 x 1.0 = 0.00036 m² = 3.6 cm² ( 6  No.3 = 4.26 cm²) Se colocará @ 0.16 m en ambos sentido Cortante Pa ={[Ka  (H – 0.4)^2 ]/ 2} =={[0.333 x 1.7 (4.0 – 0.4)^2] /2 = 3.668 kN Vu = Pa x 1.6 = 6.236 kN = 0.006236 MN Vc = (0.17fc’) λ bw de XVII.5 .1.1 Vc = (0.17 x 28) 1.0 x 1.0 x 0.15 = 0.135 MN Vc = 0.75 x 0.135 = 0.1 MN > Vu Se cumple Losa inferior La loza inferior está sometida a las siguientes cargas 1.2 x W1 = 3.66 kN x 1.2 = 4.392 kN / m 1.2 x W2 =146.88 kN / m W3 0.8 m 0.2 m 2.0 m 1.2 x W3 = 34.56 kN / m

Presión del suelo hacia arriba pmaxu = 75.63 kN/m^2

pminu = 48.25kN / m²

+ Presión de W1u + W2u + W3u hacia abajo 14.74 kN/ m² 109.14 k/ m² RESULTANTE 1.50 m

60.89 kN / m²

326

60.89 kN / m²

Como puede observarse en las figura anterior la loza inferior está sometida a cargas de dos sentidos 1.5m 80.69 kN / m² cara exterior Resultante 0.5175 37.65 kN / m² 80.69 kN / m² El momento último en la cara exterior del muro es: Mu = 21.22 kN-m = 0.0212 MN-m El momento que resiste la zona comprimida del concreto para tracción controlada es:  Mc = ct fc’ bw [(de) ^2] 0.9 XIII. 8.7 Para el concreto de fc´= 28 MPa ct = 0.228  Mc = ct fc’ bw [(de) ^2] 0.9  Mc = 0.228 x 28 x 1.00 x 0.35² x 0.9 = 0.7 MN-m > Mu Co = [Mu /] / 0.85 fc’ bw de^2 XIII.8.27 Co = [0.0212 /0.9] / 0.85 x 28 x 1.0 x 0.35² = 0.0 8 De la XIII.8a de Co, obtenemos j = 0.99 As = [Mu /] / fy j de = [0.0212 /0.9] / 420 x 0.99 x 0.35 = 0.000162 m² = 1.62 cm² (2  No.3) Refuerzo mínimo = Amin = 0.0018 x 0.2 x 1.0 = 0.00036 m² = 3.6 cm² ( 6  No.3 = 4.26 cm²) Se colocará @ 0.16 m en ambos sentido Cortante Vu = 47.34 kN = 0.0474 MN Vc = (0.17fc’) λ bw de XVII.5 .1.1 Vc = (0.17 x 28) 1.0 x 1.0 x 0.35 = 0.315 MN Vc = 0.75 x 0.315 = 0.236 MN > Vu Se cumple El momento último en la cara interior del muro es: Mu = 48.59 kN-m = 0.0485 MN-m As = [Mu /] / fy j de = [0.0485 / 0.9] / 420 x 0.98 x 0.35 = 0.00037 m² = 3.74 cm² (6  No.3) Refuerzo mínimo = Amin = 0.0018 x 0.2 x 1.0 = 0.00036 m² = 3.6 cm² ( 6  No.3 = 4.26 cm²) Se colocará  No.3 @ 0.16 m en ambos sentido El cortante en este caso no es necesario calcularlo

 No.3 @ 0.16 m 4.0 m refuerzo de temperatura No.3 @ 0.16 m

0.4 m 2.0 m 0.3 m 327

XXXII.8 MUROS CON CONTRAFUERTES Este tipo es similar al de voladizo, pero con la diferencia que a intervalos en su longitud se colocan contrafuertes y la pantalla trabaja como losa apoyada en tres lados. Se utiliza para alturas de 7.0 m o más sección A-A pantalla losa inferior

pantalla vertical

contrafuertes

losa inferior parte delantera

de la losa inferior l

parte posterior de la losa inferior

Los contrafuertes es recomendable colocarlos alrededor de 3.0 m de separación cuando el muro es de hasta 9.0 m y a 2.5 m si la altura es mayor .Su espesor será de 0.2 a 0.3 m La parte delantera de la losa inferior se diseña como un voladizo tal como para los muros en voladizo El refuerzo horizontal de la pantalla vertical se calcula como una losa apoyada en los contrafuertes, se puede suponer que los momentos positivos como (1/ 24)  h Ka l² y el negativo como (1 / 12)  h Ka l² h- distancia del borde superior de la pantalla hasta el punto que se calcula la presión activa a l – distancia entre contrafuerte Como el valor de la presión activa es variable dependiendo de la altura se supone una distribución según la figura siguiente:

H/4ó l/4

pa/ 2 pa Figura XXXII.8.1 El refuerzo vertical se calcula según la distribución de momento de la siguiente figura

M1 = - 0.03  Ka H² (l / H) 328

H/2 + M2

-M1 l – distancia entre contrafuertes H – altura de la pantalla vertical

M2 = - M1 / 4 H

H/4

pa – presión del suelo en la base de la pantalla =  h Ka H

Figura XXXII.8.2 La parte posterior de la losa inferior está sometida a una carga hacia abajo igual a: peso propio (Wp) + peso del relleno (Wr) y peso de la sobrecarga (Wsc) y una carga hacia arriba debido a la reacción del suelo sección A-A pantalla losa pantalla inferior

Wp + Wr + Wsc contrafuertes

vertical

A parte delantera

de la losa inferior l

parte posterior de la losa inferior

Reacción del suelo Dependiendo de la resultante es posible que las tracciones sean en la cara superior o inferior y el refuerzo se colocará en la zona a tracción tanto sea en la cara superior o inferior El contrafuerte se calcula como un voladizo empotrado en la loza inferior y con momento de inercia variable Estando sometido a la carga que le trasmite la pantalla vertical La tracción en el refuerzo es la suma de la componente de la fuerza cortante paralela a él y la componente de Mu / de en la misma dirección, entonces: Tu = Vu Cos α + (Mu / de ) Sen α XXXII..8a α – ángulo del refuerzo de tracción y la horizontal de- peralto efectivo Vu- cortante en el nivel considerado Mu- momento flector en el nivel considerado

Refuerzo del contrafuerte α Mu / de Vu

329

XXXII.9 DISEÑO DE UN MURO DE CONTENCIÓN CON CONTRAFUERTES Sea un muro para soportar 7.0 m de desnivel, el cimiento se colocará a 1.0 m debajo del nivel del suelo, descansa sobre un suelo firme, la altura total del muro H = 7.4 m . Se utilizará un cimiento de 0.4 m de espesor. b= 3.5 m. Se utilizará concreto fc´= 28 MPa El terreno es granular con un  = 30 y  = 2.0 kN/m^3. El coeficiente de fricción entre suelo y el concreto es 0. 5. El esfuerzo permisible del terreno bajo la cimentación es de 270 kPa 0.30 m contrafuerte cada 3.0 m

0.5 m

2.325 m

7.0 m W1 W3

2.0 m

W4 W2

Pa =182.35 kN

7.4 / 3 m

0.4 m A 4.0 m W1 (peso de la pantalla vertical) = Volumen por peso especifico = 50.4 kN / m W2 (peso de la loza inferior) = 38.4 kN / m W3 (peso del relleno) = 469.0 kN / m W4 (peso del contrafuerte) = 281.4 kN El Coeficiente Ka = (1-sen ) / 1+ sen) para  = 30 = 0.333 El empuje total Pa =[Ka  (H^2) ]/ 2 = [0.333 x 20 x 7.4^2] / 2 = 182.35 kN Comprobación del volteo Tomando momento con respecto al punto A Momento estabilizador Mo = 0.5 W1+ 2.0 W2 + 2.325 W3 + 1.766 W4 = = 0.5 x 50.4 + 2.0 x 38.4 + 2.325 x 469.0 + 1 .766 x 143.64 = Mo = 1470.49 kN-m Momento de giro Mv = (H/3) Pa = (7.4 /3) x 182.35 = 449.80 kN-m El factor de seguridad contra el vuelco = Mo / Mv = 1470.49 / 449.80 = 3.26 > 3.0 Se Cumple Comprobación del deslizamiento Peso total W = W1 + W2 + W3 + W4= 50.4 + 38.4 + 469.0 + 281.4 = 839.2 kN / m Coeficiente de fricción  = 0.5 Resistencia horizontal =  W = 0.5 x 839.2 = 419.6 kN Fuerza de deslizamiento Pa = 182.35 kN FSd = Resistencia horizontal / Fuerza de deslizamiento = 419.6 / 182.35 = 2.30 > 1.6 Se Cumple Comprobación de la capacidad resistente del suelo Hallemos el momento que actúa en el eje del cimiento Mc = Pa (H/3) + W1 ( 2.0 – 0.5) - W2 ( 0) - W3 x (2.325 – 2.0) - W4 x 0.234 = Mc = 182.35 x (4.4 / 3) + 50.4 x 1.5 + 0 - 469.0 x 0.325 - 281.4 x 0.234 = 124.78 kN-m La presión en el terreno es: p = (P/A)  (Mc/I) c = 4.0 / 2= 2 I = a b^3 / 12 = 1.0 x 4^3 / 12 = 5.33 m^4 p = (839.2 / 4.0 x 1.0)  (124.78 x 2.0 / 5.33) = 209.8  46.82 pmax = 209.8+ 46.82 = 255.82 kN/m^2 < 270 kN/m^2 Se cumple 330

pmin = 209.8 – 46.82 = 162.98 kN/m^2 > 0 y < 270 kN/m^2 Se Cumple Diseño estructural del muro Como el gráfico de presiones es variable (Ver Figura XXXII.8.1) , tomaremos dos secciones, una a 3.0 m desde la parte superior y la otra desde esa distancia hasta 7.0 m Utilizaremos la luz entre contrafuertes En el primer tramo, el empuje del suelo es pa = 0.333 x 20 x 3.0 = 19.98 kN / m pau = 19.98 x 1.6 = 31.97 kN-m El momento negativo es: Mu- = 19.98 x 3.0² / 12 = 14.985 kN-m = 0.0149 MN-m El momento positivo es: Mu+ = 19.98 x 3.0² / 24 = 7.493 kN-m = 0.007493 MN-m Refuerzo principal horizontal El momento que resiste la zona comprimida del concreto para tracción controlada es:  Mc = ct fc’ bw [(de) ^2] 0.9 XIII. 8.7 Para el concreto de fc´= 28 MPa ct = 0.228  Mc = ct fc’ bw [(de) ^2] 0.9  Mc = 0.228 x 28 x 1.00 x 0.25² x 0.9 = 0.359 MN-m = > Mu Para momento negativo Co = [Mu /] / 0.85 fc’ bw de^2 XIII.8.27 Co = [0.0149 /0.9] / 0.85 x 28 x 1.0 x 0.25² = 0.011 De la Tabla XIII.8a de Co, obtenemos j = 0.99 As = [Mu /] / fy j de = [0.0149 /0.9] / 420 x 0.99 x 0.25 = 0.000159 m² = 1.59 cm² Refuerzo mínimo = Amin = 0.0018 x 0.3 x 1.0 = 0.00054 m² = 5.4 cm² ( 3  No.5 = 5.94 cm²) Se colocará  No.5 @ 0.3 m en ambos sentido Para momento positivo se colocará el mismo refuerzo Segundo tramo, el empuje del suelo es: pa = 0.333 x 20 x 7.0 / 2 = 23.31 pau = 1.6 x 23.31 = 37.296 kN-m El momento negativo es: Mu- = 37.296 x 3.0² / 12 = 27.97 kN-m = 0.0279 MN-m El momento positivo es: Mu+ = 37.296 x 3.0² / 24 = 13.986 kN-m = 0.00139 MN-m Para momento negativo Co = [Mu /] / 0.85 fc’ bw de^2 XIII.8.27 Co = [0.0279 /0.9] / 0.85 x 28 x 1.0 x 0.25² = 0.021 De la Tabla XIII.8a de Co, obtenemos j = 0.98 As = [Mu /] / fy j de = [0.0279 /0.9] / 420 x 0.98 x 0.25 = 0.00031 m² = 3.01 cm² Refuerzo mínimo = Amin = 0.0018 x 0.3 x 1.0 = 0.00054 m² = 5.4 cm² ( 3  No.5 = 5.94 cm²) Se colocará No.5 @ 0.3 m en ambos sentido Para momento positivo se colocará el mismo refuerzo Cortante Vu = 37.296 x 3.0 / 2 = 55.944 kN = 0.0559 MN Vc = (0.17fc’) λ bw de XVII.5 .1.1 Vc = (0.1728) x 1.0 x 1.0 x 0.25 = 0.228 MN  Vc = 0.75 x 0.228 = 0.171 MN > Vu Se cumple Refuerzo vertical Para este refuerzo se utiliza la Figura XXXII.8.2 El momento en el empotramiento de la losa inferior es: M1 = - 0.03  Ka H² (l / H) M1 = - 0.03 x 20 x 0.333 x 7.0² (3.0 / 7.0) = - 4.196 kN-m = 0.0042 MN-m Se necesita el Asmim =  No.5 @ 0.3 m  Vc > Vu Losa inferior Hallemos el momento mayorado que actúa en el eje del cimiento Mcu = 1.6 Pa (H/3) +1.2 W1 ( 2.0 – 0.5) - 1.2 W2 ( 0) – 1.2 W3 x (2.325 – 2.0) – 1.2 W4 x 0.234 = Mcu = 1.6 x 182.35 x (4.4 / 3) + 1.2 x 50.4 x 1.5 + 0 – 1.2 x 469.0 x 0.325 - 1.2 x 281.4 x 0.234 = 331

Mcu = 256.7 kN-m La presión en el terreno es: p = (P/A)  (Mc/I) c = 4.0 / 2= 2 I = a b^3 / 12 = 1.0 x 4^3 / 12 = 5.33 m^4 p = (1007.28 / 4.0 x 1.0)  (256.7 x 2.0 / 5.33) = 251.82  96.32 pumax = 251.82+ 96.32 = 348.14 kN/m² pumin = 251.82– 96.32 = 155.50 kN/²

pumax = 348.14 kN /m²

pumin = 155.50 kN /m² +

La carga del terreno y peso del relleno Mcru = 227.71 kN-m p = (P/A)  (Mc/I) p = (1007.28/4)  (227.71 x 2.0/5.33) = 251.82  64.08 pumax = 251.82 + 64.08 = 315.90 kN-m² pumin = 251.82 – 64.08 = 187.74 kN/m²

pumin = 187.74 kN /m²

pumax = 315.90 kN / m²

Resultante

160.36 kN / m² 2.0 m

160.36 kN / m² 1.35 m

2.0 m 160.36 kN / m²

0.35 m parte inferior delantera

parte inferior trasera 108.24 kN / m²

160.36 kN/ m²

135.30 kN / m²

El momento en la parte inferior delantera es: Mu = 7.05 kN-m = 0.00705 MN-m Vu = 51.74 kN = 0.0517 MN Asmin = 0.0018 x 1.0 x 0.35 = 0.00063 m² = 6.3 cm² Con los valores obtenidos de Mu se nota que es necesario colocar el refuerzo mínimo y el cortante es menor que el cortante resistido por el concreto La parte inferior trasera está sometida a carga en los dos sentidos, o sea, hacia arriba y hacia abajo, pero la mayor parte es hacia abajo y se considerará esta solamente. Esta losa se cargará a los contrafuertes por lo tanto el momento flector es: Mu = ± 160.36 x 3.0² / 12 = 120.27 kN-m 0.120 MN-m (Tanto positivo como negativo) Co = [Mu /] / 0.85 fc’ bw de^2 XIII.8.27 Co = [0.12 /0.9] / 0.85 x 28 x 1.0 x 0.35² = 0.046 De la Tabla XIII.8a de Co, obtenemos j = 0.97 As = [Mu /] / fy j de = [0.12 /0.9] / 420 x 0.97 x 0.35 = 0.00094 m² = 9.35 cm² 332

Refuerzo mínimo = Amin = 0.0018 x 0.3 x 1.0 = 0.00054 m² = 5.4 cm² Se colocará No.5 @ 0.2 m en ambos sentido Cortante En la cara de la pantalla vertical Vu = 160.36 x 2.0 / 2 = 160.36 kN = 0.16 MN Vc = (0.17fc’) λ bw de XVII.5 .1.1 Vc = (0.1728) 1.0 x 1.0 x 0.35 = 0.31 MN  Vc = 0.31 x 0.75 = 0.23 MN > Vu El cortante en la cara de los contrafuertes: Vu = 160.35 x 2.7 / 2 = 216.47 kN = 0.216 MN <  Vc Contrafuerte El refuerzo del contrafuerte lo analizaremos a 3.0 m del tope y en la losa inferior A 3.0 m el valor de la carga al contrafuerte es (95.91) kN / m (cortante de la pantalla) Mu = [(95.91) x 3.0 / 2] (1 / 3) 3.0 = 143.86 kN-m = 0.1438 MN-m Vu = 95.91 x 3 / 2 = 143.86 kN Tu = Vu Cos α + (Mu / de ) Sen α XXXII..8a α = 25.57° Tu = 143.86 Cos 25.57 + (143.86 / 1.25 ) Sen 25.57 = 179.44 kN = 0.179 MN As = 0.179 / 420 = 0.00043m² = 4.3 cm² (2  No. 6 = 5.68cm²)) En la losa inferior : Mu = [0.1118 x 7.0 / 2] (1 / 3) 7.0 = 0.91 MN-m Vu = 0.1118 x 7 / 2 = 0.39 MN Tu = 0.39 Cos 25.57 + (0.91 / 2.6 ) Sen 25.57 = 0.502 MN As = 0.502/ 420 = 0.0012m² = 12 cm² (2 No. 9 = 12.9 cm²) Se acepta Cortante El contrafuerte se puede considerar como una viga con sección variable, entonces el cortante reducido es: Vr = Vu - [Mu tan γ] / j de XVII. 10.2 Vr = 0.39- [0.91 tan 25.57] / 0.94 x 2.6 = 0.212 MN Vc = (0.17fc’) λ bw de XVII.5 .1.1 Vc = (0.1728) x 1.0 x 0.25 x 2.6 = 0.585 MN  Vc = 0.438 MN > Vc  No.5 @ 0.2 m por arriba y por debajo refuerzo negativo contrafuerte

No.5 @ 0.3 m por debajo  No.5 @ 0.2 m  No.5 @ 0.3 m refuerzo positivo o

 No.5 @ 0.3 m refuerzo vertical

Planta de la pantalla vertical

losa inferior 333

2  No. 6  No.5 @ 0.3 m constructivo  No.4 @ 0.3 m constructivo

2 No. 9

contrafuerte XXXII.10 DRENAJE Si se acumula agua en el terreno que el muro tiene que sostener, esta agua producirá un empuje adicional al empuje del terreno, por lo cual es necesario colocar un sistema de drenaje Este drenaje usualmente consiste en tubos mayores de 4´´ espaciados alrededor de 1.50 m tanto horizontalmente y verticalmente. Los tubos atraviesan el muro y se colocará una capa de grava posterior, que evita que el relleno penetre en ellos Otra solución es colocar un tubo perforado a lo largo del muro, con grava rodeando el tubo relleno grava tubos

grava x

tubo relleno

XXXII.11 EMPUJE LATERAL DEL SUELO DEBIDO AL SISMO Cuando se produce un sismo, los muros están sometidos a fuerzas inerciales horizontales y verticales que actúan en el mismo muro y en el suelo que estos retienen como se indica en la siguiente: Figura XXXII.11a θ– ángulo de fricción interna del suelo, grados tan φ = Kh / (1 – Kv) Kh – aceleración horizontal = ah / g XXXII.11.1 Kv – aceleración vertical = av / g XXXII.11.2

Superficie de fallo i

Kh Ws

(1 – Kv) Ws Kh Ww

Dirección del movimiento del suelo Rn

(1 – Kv) W Bs φb 334

B Bn Figura XXXII.11a La fuerza sísmica activa (PAE) que actúa sobre el muro se puede obtener según Mononobe y Matsuo Okabe con la siguiente ecuación PAE = γ (H^2) (1 – kv) KAE XXXII.11.3

i Δ PAE = PAE - PAestática δ

PAestática = δ (H^2) Ka H

0.6 H

KAE = {( (cos^2 (φ – θ – β) ) / ( cos θ (( cos^2) β) cos (φ + θ + β) } { 1 / A) A = 1 + √ {sen (φ + δ) [ sen (φ – θ – β) / cos (φ + θ + β) cos (i – β)]^2}

0.33 H

XXXII.11.4 XXXII.11.5

Según Richards, R., D. G. Elms and Budhu. Seismic Bearing Capacity and Settlements on Sands. Journal of geotechnical Engineering Division (ASCE) 199, GT4, April 1993 indica que los muros sometidos a sismo primero tienden a trasladarse o deslizarse y el giro es inusual a menos que la resistencia del suelo falle, Cuando el relleno y el suelo son friccionales (c = 0) para determinar el peso del muro para mantener la estabilidad, esos autores proponen las siguientes fórmulas: Wmuro = {γ (H^2) KAE { [cos (δ + β) – sen (δ + β) tan φb] / (tan φb – tan θ)]}} / 2 XXXII.11.6 Wmuro = {ρ(H^2) KAE {[cos (δ + β) – sen (δ + β) tan φb] / (tan φb – tan θ)}} / 2 tan θ = kh / (1 – kv) XXXI.11.8 kh = A {{0.087 V^2)/ ΔAg}^ 0.25} = Aa { 0.2 (Av)^2 / Aa Δ}^0.25 XXXII.11.9 γ- peso unitario del suelo retenido ρ – densidad del suelo retenido detrás del muro A, Aa – coeficientes de aclaración para el sitio Δ – desplazamiento admisible (pulgadas) g – aceración de la gravedad (32.2 pie/seg^2) V - máxima velocidad del suelo (pulgada / seg)

XXXII.11.7

335

XXXII.12 Ejemplo de determinación del peso de un muro de contención sometido a un sismo El muro de la figura está sometido al sismo. Determine el peso del mismo para obtener un factor de seguridad de 1.1 i= 25 º β = 20 º δ = 20 º γ = 19 kN/m^3 Av = 0.3 PA eq Aa = 0.3 Desplazamiento permitido Δ = 100 mm = 4 pulg kv = 0 i = 25 º

H= 4.9 m φ = 30 º δ = 15 º

kh = Aa { 0.2 (Av)^2 / Aa Δ}^0.25 kh = 0.3[ 0.2 (0.3)^2 / ( 4 x 0.3)]^0.25 = 0.105 tan θ = kh / (1 – kv) = 0.105 / 1 = 0.105 θ=6º KAE = {( (cos^2 (φ – θ – β) ) / ( cos θ (( cos^2) β) cos (φ + θ + β) } { 1 / A) A = 1 + √ {sen (φ + δ) [ sen (φ – θ – β) / cos (φ + θ + β) cos (i – β)]^2} Sustituyendo valores obtenemos KAE = 0.74 El peso del muro debe ser: Wmuro = {γ (H^2) KAE { [cos (δ + β) – sen (δ + β) tan φb] / (tan φb – tan θ)]}} / 2 Que sustituyendo valores obtenemos Wmuro = 498 kN /m Con un factor de seguridad el peso requerido es Wmuro requerido = 1.1 x 498 = 547.8 kN /m XXXII.13 MUROS SUBTERRÁNEOS Los muros subterráneos sirven para resistir las cargas laterales de los suelos y resistir las cargas verticales que le transmite el edificio Las cargas laterales dependen del tipo de suelo, el grado de saturación y alguna sobrecarga en la parte superior del terreno. Se supone una distribución lineal. Debiéndose utilizar terreno granular para el relleno, debido a que ejerce una presión menor que los terrenos cohesivos Como conocemos, para que se desarrolle la presión pasiva, es necesario que el muro se separe del terreno, pero esto no puede suceder debido a que el muro está apoyado en el piso superior. Considero que se debe diseñar para la presión de reposo

336

XXXII.14Diseño de un muro de un sótano Sea un muro que tiene 3.0 m de altura, que tiene que soportar una sobrecarga de 0.5m de terreno y una carga axial (D) de 2 kN/m del edificio. El terreno tiene  = 30,  = 17 kN/m^2 Bloques de Concreto Ko = 1 – sen ’ = ’3 / ’1 P Ko = 0.5 pomax = Ko  (H + h) = 0.5 x 17 ( 3.0 + 0.5) = 29.75 kN/m^2 po(0.5 m) = Ko  h = 0.5 x 17 x 0.5 = 4.25 kN/m^2 El muro se considera simplemente apoyado en los dos extremos El momento a una distancia x desde el tope del muro debido a una carga variable es: M1v = Wx (H^2 – x^2)/ 3 H^2 Wx = Ko  H/2 =8.5 x 3^2 / 2 =38.25 kN 3m M1v = 38.25 (9 – x^2)/ (3 x 9) = 12.75 x – 1.4167 x^3 El momento a una distancia x debido a la carga uniformemente repartida es: M2x = 6.375 x – (4.25 x^2) / 2 = 6.375 x – 2.125 x^2 29.75 kN/m El momento total es: 12.75 x – 1.4167 x^3 + 6.375 x – 2.125 x^2 = - 1.4167 x^3 – 2.125 x^2 + 19.125 x Derivando obtenemos: - 4.25 x^2 – 4.25 x + 19.125 = 0 x^2 + x - 4.5 = 0, solución x = 1.6794 m - 6.70 – 5.99 + 32.118 = 19.43 kN-m Con: 1.2 D + 1.6 L + 1.6 H L=0 Pu = 1.2 x 2 = 2.4 kN = 0.0024 Mu = 19.43 x 1.6 = 33.0285 kN-m = 0.031 MN-m Cortante Vu = 0.0542 MN / m Con estos valores se diseña el muro XXXII.14 PROBLEMAS PROPUESTOS XXXII.14.1 Qué requerimientos deben cumplir los muros de contención? XXXII.14.2 Para qué análisis de estabilidad debe realizarse? XXXII.14.3 A qué presiones laterales puede estar sometidos los muros de contención? XXX.II.14.4 Cuales son los tipos principales de muros de contención? XXX.II.14.5 Diseñar el siguiente muro de contención en voladizo Sea un muro para soportar 5.0 m de desnivel, el cimiento se colocará a 1.0 m debajo del nivel del suelo, descansa sobre un suelo firme, la altura total del muro H = 5.5.0 m . Se utilizará un cimiento de 0.4 m de espesor. Se utilizará concreto fc´= 28 MPa El terreno es granular con un  = 35 y  = 18.0 kN/m^3. El coeficiente de fricción entre suelo y el concreto es 0. 6. El esfuerzo permisible del terreno bajo la cimentación es de 150 kPa XXXII.14.6 Diseñar el muro de contención con contrafuerte siguiente: Sea un muro para soportar 7.5 m de desnivel, el cimiento se colocará a 1.0 m debajo del nivel del suelo, descansa sobre un suelo firme, la altura total del muro H = 8.0 m . Se utilizará un cimiento de 0.5 m de espesor. distancia entre contrafuerte 3.0 m. Se utilizará concreto fc´= 28 MPa El terreno es granular con un  = 35 y  = 2.0 kN/m^3. El coeficiente de fricción entre suelo y el concreto es 0. 6. El esfuerzo permisible del terreno bajo la muro de contención es de 280 kPa XXXII.14.7 Muro de contención sometido a sismo Determinar del peso del muro de la figura está sometido al sismo. Determine el peso del mismo para obtener un factor de seguridad de 1.1

i = 30 º

i= 30 º β = 20 º δ = 25 º γ = 20 kN/m^3 337

H= 4.9 m φ = 30 º δ = 15 º

Av = 0.25 PA eq Aa = 0.25 Desplazamiento permitido Δ = 100 mm = 4 pulg kv = 0

CAPÍTULO XXXIII ESCALERAS XXXIII.1 INTRODUCCIÓN En este capítulo trataremos las escaleras que trabajan en un sólo sentido, las helicoidales, ortopoligonales y las autosoportantes de concreto reforzado En la siguiente figura se muestra las dimensiones de las huellas (H) y contrahuellas (CH), así, como el ángulo de inclinación α 338

CH CH H α α

No de pasos entre descansos

≤ 220 mm ≥ 230 mm ≤ 38 grados ≤ 16

700 mm > H + 2 CH > 600 mm Ancho mínimo: Vivienda = 1.0 m Escaleras secundarias = 0.80 m Cargas: Peso propio Acabado: puede tomarse como 1.0 kN / m² Carga viva: según Reglamento

Caracol = 0.60 m

Edificios = 1.20 m

XXXIII.2 ESCALERAS REFORZADAS EN UN SÓLO SENTIDO (Referencia 4) Este tipo de escalera son las reforzadas en un solo sentido y que se encuentran apoyadas en sus extremos, o apoyadas transversalmente o en voladizo Para el diseño puede considerarse: a ) Simplemente apoyas, para resistir cargas verticales solamente y con la luz proyectada horizontalmente

b ) Con la carga wu´ a toda su longitud y con la luz inclinada

wu¨ = wu cos α

339

L´

wu´ = wu¨ cos α = wu cos ² α α

L´

El diseño es igual para los dos casos, por proyección tenemos: α wu wu´ wu´= wu cos² α (carga inclinada por metro lineal inclinado) Considerando un factor ß de acuerdo con el tipo de apoyo, el momento flector Mu es: Mu = ß wu´ (L´ ) ² = ß wu cos² α (L´ )² y como L = L´ cos α Mu = ß wu L² Lo que demuestra que se obtiene el mismo resultado La viga que le sirve de apoyo está sometida a las siguientes fuerzas:

α Nu

Vu = W sen α cos α Nu = W sen α

Wu- peso total de la escalera

XXXIII.2.1 Escaleras de un solo tramo Estas escaleras según el tipo de apoyo están sometidas a diferentes valores de momentos flectores wu

340

Mu = 0 mampostería Mu = wu L² / 16

Mu = (1 / 16 a 1 / 12) wu l²

Mu = wu L² / 8

mampostería

XXXIII.2.2 Escaleras de dos tramos a ) Con apoyo superior deslizante wu1 wu2

b) Con apoyos fijos

apoyo en pared de mampostería L

En el apoyo 1 Mu = - (1/ 16 a 1 / 12) wu L² ó Mu = - (1/ 16 a 1 / 12 ) (wu1 + wu2) / L² Según tipo de apoyo En el apoyo 2 Mu = 0 En el centro de la luz Mu = + wu L² / 8 ó Mu = (wu1 + wu2) L² / 8

M2 M4 M1 = (1/16 a 1/12) wu L1² M2 = (1 / 10) wu L1² M3 = (1/9) wu [(L1 + L2) / 2]² M4 = wu L2² / 10 M5 = (1/16 a 1/12) wu L2²

Detalles de colocación del refuerzo refuerzo negativo

refuerzo positivo

341

fuerza que desprende el recubrimiento

solución adecuada

solución inadecuada XXXIII.2.1 Diseñar la escalera de la figura, reforzada en un sólo sentido fc´= 28 MPa fy = 240 MPa carga viva = 3.0 kN / m^2 acabado = 1 kN / m²

1.30 m

0.20 m

3.30 m

0.20 m

1.30 m

0.308 m H = 0.25 M

CH = 0.18 m

0.18 m α = 35.75°

0.25 m Cargas Peso propio = 6.0 kN/m² Acabado = 1 kN / m² Carga muerta mayorada total (wcmu) = 1.2 x 8.4 kN/m² Carga viva mayorada (wcvu) = 3.0 x 1.6 = 4.8 kN/m² wu = 13.2 kN/m² wu = 13.2 kN/m² A

wcmu = 8.4 kN/m²

B 6.60 kN-m

wu = 13.2 kN/m²

C 5.6 kN-m

0 Mu

0.50 kN-m 0.11 kN-m

wu = 8.4 kN/m²

4.74 kN-m

0.65 kN-m

wcmu = 13.2 kN/m²

11.52 kN-m

wu = 8.4kN/m²

10.5 kN-m

0 Mu

6.46 kN-m 9.1 kN-m

Valores máximos Primer apoyo = 0 kN-m Centro primera luz = + 0.11 kN-m 342

Segundo apoyo = - 11.52 kN-m Centro de la segunda luz = + 9.1 kN-m Tercer apoyo = - 10.5 kN-m² Último apoyo = + 6.46 kN-m de = 0.1 m Para momentos positivos, el mayor es Mu = + 6.46 kN-m = 0.00646 MN-m El momento que resiste el concreto para t = 0.005 Mc = 0.205 fc’ b d^2 = 0.205 x 28 x 1.0 x 0.10² = 0.0574 MN-m > Mu, se puede utilizar  = 0.9 Co = Mu /  0.85 fc’ b de^2 = Co = 0.00646 / 0.9 x 0.85 x 28 x 1.0 x (0.1 )^2 = 0.03 De la tabla de Co j = 0.98 As = Mu /  j fy d = 0.00646 / 0.9 x 0.98x 420 x 0.1 = 0.000174m² / m= 1.74 cm² /m espaciamiemto máximo 3t = 3 x 0.12 = 0.36 m 3  No 3 = 2.13 cm² Se coloca  No 3 @ 0.33 m Para momentos negativos, el mayor es Mu = -- 11.52 kN-m = 0.01152 MN-m Co = Mu /  0.85 fc’ b de^2 = Co = 0.01152 / 0.9 x 0.85 x 28 x 1.0 x (0.1 )^2 = 0.053 De la tabla de Co j = 0.97 As = Mu /  j fy de = 0.01152 / 0.9 x 0.97 x 420 x 0.1 = 0.000414 m² = 4.14 cm² 6  No 3 = 4.26 cm² Se coloca  No 3 @ 0.16 m Asmin = 0.002 b de = 0.002 x 1.0 x 0.1 = 0.0002 m² = 2.0 cm² = As Cortante El punto de intersección el más crítico es: Vu = wu1 /2 – (MBC + MCB) / L Vu = [(13.2 cos²α x 3.3) / 2 cos α] – cos α (11.52 + 10.5) / 3.3 Vu = 17.67 - 5.41 = 12.25 kN / m Mu + (wu x²/ 2) – Vu = 0 11.52 + (13.2 x² /2) – 12.25 = 0 x = 0.33 m Ld = 0.33 + 0.1= 0.43 m Vd = (wu L / 2) – wu de = wu cos ²α(L cos α / 2 - de) Vu = 13.2 cos ²α(3.3 cos α / 2 – 0.1) = 10.77 kN = 0.0107 MN Vc = (0.17fc’) λ bw de XVII.5 .1.1 Vc = (0.1728) x 1.0 x 1.0 x 0.1 = 0.09 MN  Vc = 0.067MN > Vc Se cumple  No 3 @ 0.16 m

o  No 3 @ 0.33 m (temperatura)  No 3 @ 0.33 m

1.30 m

0.20 m

3.30 m

0.20 m

1.30 m

XXXIII.3 ESCALERAS HELICOIDALES 343

Una escalera helicoidal es una estructura espacial de eje curvo que generalmente se encuentra sustentada en dos extremos opuestos El desarrollo tridimensional de la escalera determina que la estructura se encuentra simultáneamente a torsión, flexión, cortante y carga axial que carece de importancia en el diseño FORMULARIO PARA EL CÁLCULO DE UNA ESCALERA HELICOIDAL Ver formulario en Temas de hormigón armado. Marcelo Romo. Escuela Politécnica del Ejercito, Ecuador. Tomado por internet b h

S n

sss h

r b

αo D

Empotramiento

M1 M2

Tα Yα w Nα H β S

SIMBOLOGÍA H- distancia desde el punto de arranque (D) al punto de llegada (A) αo – mitad del ángulo de desarrollo horizontal de la escalera β – ángulo de inclinación vertical de la escalera α- ángulo horizontal medido desde el centro de la escalera hasta la sección en que se analizan las solicitaciones r- radio horizontal del eje central de la escalera b – ancho constante de la losa o viga de sección transversal rectangular, que sirve de sustento para la escalera h – altura constante de la losa o viga de sección transversal rectangular de la escalera 344

E- Módulo de elasticidad G- Módulo de cortante I – momento de inercia de la sección transversal respecto al eje horizontal de la losa o viga It- inercial torsional de la sección transversal respecto al eje longitudinal de la losa o viga Iv- inercia de la sección transversal respecto al eje vertical de la losa o viga M1α- momento flector respecto al eje horizontal de la losa o viga de la escalera, calculado en la sección transversal ubicada a un ángulo α desde el centro de la escalera M2α- momento torsor respecto al eje longitudinal de la losa o viga de la escalera, calculado en la sección transversal ubicada a un ángulo α desde el centro de la escalera M3α- momento flector respecto al eje vertical de la losa o viga de la escalera, calculado en la sección transversal ubicada a un ángulo α desde el centro de la escalera Yα – fuerza cortante horizontal en la losa o viga de la escalera, calculada en la sección transversal ubicada a un ángulo α desde el centro de la escalera Tα – fuerza cortante vertical en la losa o viga de la escalera, calculada en la sección transversal ubicada a un ángulo α desde el centro de la escalera Nα- fuerza axial en la losa o viga de la escalera, calculada en la sección transversal ubicada a un ángulo α desde el centro de la escalera Y- fuerza cortante horizontal en la losa o viga de la escalera calculada en el centro de la escalera EJEMPLO DE ESCALERA HELICOIDAL Diseñar una escalera helicoidal de concreto reforzada con acero (fy = 420 MPa) Con un ángulo total de 180ْ , con un radio respecto al eje centroidal de 1.80 m., tiene una losa de 1.40 m de ancho y 0.15 m de espesor, el desnivel es de 2.40 m. La carga viva (cv) es de 3 kN/ m^2. La calidad del concreto fc’ = 28 MPa Datos cv = 3 kN/ m^2 r = 1.8 m b = 0.14 m fc’ = 20 MPa fy = 420 MPa αo = 90ْ = 1.57 rad β = tan ^-1[H / π r] = tan ^-1[ 0.24 / 3.1416 x 0.18] = 23.01ْ = 0.401 rad Cargas Peso propio de la losa = 0.15 x 1.4 x 1.0 x 24.0 = 5.04 kN Son 14 escalones de 0.171m de contrahuellas y 0.404 m de ancho promedio de la huella Peso de los escalones 2.39 kN Peso del enlucido inferior 0.46 kN Peso de la losa de piso 0.48 kN Carga permanente por metro de longitud 8.37 kN Carga viva por metro de longitud 3 KN/ m^2 x 1.4 x 1.0 = 4.2 kN wu = 1.4 carga muerta + 1.7 carga viva = 1.4 x 8.37 + 1.7 x 4.2 = 18.858 kN/m wu= = 0.18858 kN/m

0.15 m w 1.40 m H = 2.40 m β S

r = 1.8 m

r = 1.8 90ْ

345

Empotramiento

CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS Y ELÁSTICAS I1 = 0.14 x 0.15^3 / 12 = 0.000039375 m^4 I3 = 0.15 x 1.4^3 / 12 = 0.0343 m^4 It = {[(b / h) – 0.63]h^4} / 3 = 0.00146869 m^4 E = 24596 MPa G= E / 2(1+μ) = 24596 / 2(1 + 0.15) = 1069 MPa FORMULARIO AUXILIAR Sustituyendo valores n1 = 87.11 n2= 53.71 A1 = 18.694204 A2 = 9.8005609 B1 = 104.28494 C1 = -40.37031 C2 = -21.09367 C3 = 0.8561334 D1 = - 24.39104 D2 = - 2.935849 D3 = 0.249382 D4 = - 0.16084 E1 = 17.704765 E2 = 2.2556972 E3 = 0.0192929 E4 = 0.6044797 CORRIMIENTOS REFERENCIALES Sustituyendo valores Θxw = 0.0057 φxx = 2.1852 E-08 φxy = -0.82209 E-06 ∆yw = - 0.723145 δyy = 0.0001286 FUERZAS Y MOMENTOS EN EL CENTRO DE LA LUZ Sustituyendo valores X= 26.786 kN-cm Y= 45.079 kN MOMENTOS FLECTORES Y TORSORES EN LA ESCALERAS Se prepara una Tabla evaluando las expresiones cada 10ْ α α β r wu X grados rad rad cm kN-cm kN-cm 0.00 0.00000 0.40137 180 0.18858 26.786 10.00 0.17453 0.40137 180 0.18858 26.786 20.00 0.3490 0.40137 180 0.18858 26.786 30.00 0.52360 0.40137 180 0.18858 26.786 40.00 0.69813 0.40137 180 0.18858 26.786 50.00 0.87266 0.40137 180 0.18858 26.786 60.00 1.04720 0.40137 180 0.18858 26.786 70.00 1.22174 0.40137 180 0.18858 26.786 80.00 1.39626 0.40137 180 0.18858 26.786 90.00 1.57080 0.40137 180 0.18858 26.786

Y kN 45.079 45.079 45.079 45.079 45.079 45.079 45.079 45.079 45.079 45.079

M1 α kN-cm -26.786 -14.813 17.57 59.96 95.70 102.82 55.369 -75.011 -317.34 -866.61

M2 α kN=cm 0.00 -3.656 -3.656 2.537 15.266 31.762 45.385 45.113 15.28 64.345

M3 α kN-cm 0.00 -1532.3 -3016.7 -4406.8 -5660.1 -6739.7 -7615.4 - 8264.9 -8675.3 - 8843.0

Con estos valores se procede al diseño a flexión y torsión de cada sección de la escalera para resistir cada una de las solicitaciones. Por simetría, el diseño de las secciones desde el centro hacia el lado izquierdo es similar al diseño desde el centro hacia el lado derecho

FUERZAS CORTANTES EN LA ESCALERA Preparemos una Tabla de las expresiones anteriores cada 10ْ α (grados) 0.00 10.00 20.00 30.00 40.00

α(radianes) 0.00000 0.17453 0.34907 0.52360 0.69813

r (cm) 180 180 180 180 180

wu (kN/cm) 0.18858 0.18858 0.18858 0.18858 0.18858

Y α (kN) 45.079 45.079 45.079 45.079 45.079

T α (kN) 0 5.92059 11.84917 17.76976 23.69834 346

50.00 60.00 70.00 80.00 90.00

0.87265 1.04720 1.22373 1.39626 1.57080

180 180 180 180 180

0.18858 0.18858 0.18858 0.18858 0.18858

45.079 45.079 45.079 45.079 45.079

29.61893 35.54751 41.4681 47.38869 53.31727

Con estos valores se procede al diseño por fuerza cortante

Refuerzo superior longitudinal o

refuerzo para cortante, torsor o constructivo

Refuerzo inferior longitudinal XXXIII.4 ESCALERAS ORTOPOLIGONALES Para el formulario ver Análisis y Diseño de Escaleras. Carlos Antonio Fernández Chea. Lima-Perú. Tomado por Internet) Las escaleras ortopoligonales tienen la siguiente forma:

18.6.1 Diseñar una escalera ortopoligonal considerándola como viga con cargas puntuales fc´= 28 MPa fy = 420 MPa Número de pasos = 10 Número de contrapasos = 9 0.28 m

0.12 m

0.18 m 0.12 m Peso propio para un metro de ancho = 1.40 kN Acabado = 0.28 kN Carga muerta total = 1.68 kN Carga viva CV = 3.0 (kN / m²) x 0.28 = 0.84 kN Wu = 1.2 x 1.68 + 1.6 x 0.84 = 3.36 kN Pu = Wu = 3.36 kN 9 cargas Pu Ma

0.28 m 347

n = 10 (números de pasos) n – 1 = 9 (números de contrapasos) L / n = separación entre fuerzas Mau = Mbu = Pu L (n² - 1) / 12 n = 3.36 x 2.8 (10² - 1) / 12 (10) = 7.7616 kN-m = 0.00776 MN-m Mcu = 0.0036 MN-m Diseñaremos para el máximo momento Co = Mu /  0.85 fc’ b d^2 = Co = 0.00776 / 0.9 x 0.85 x 28 x 1.0 x (0.10 )^2 = 0.0362 De la tabla de Co j = 0.98 As = Mu /  j fy de = 0.00776 / 0.9 x 0.98 x 420 x 0.10 = 0.000209 m² / m = 2.09 cm² / m Asmin = 0.002 bw de = 0.002 x 1.0 x 0.10 = 0.0002 m² = 2.0 cm² < As Colocaremos 1  No 3 = 2.13 cm²

Se coloca estribos cerrados  No 3 @ 0.33 m

XXXIII.5 ESCALERAS AUTOPORTANTES Ver formulario en Análisis y Diseño de Escaleras. Carlos Antonio Fernández Chea. Lima-Perú. Tomado por internet Estas escaleras tienen un comportamiento estructural más complicado que las demás escaleras. En caso de un sismo, se producen una gran cantidad de cargas dinámicas en el descanso al estar en voladizo, así, como en el tramo inferior, en el tramo superior y en los apoyos El análisis se realiza como un pórtico con un nodo en el descanso, el cual también transfiere un momento torsor (ver Figura XXXIII.5a). Además es necesario considerar adecuadamente las condiciones de borde, especialmente el apoyo superior y su grado de fijación horizontal y vertical Si se supone que el punto D de convergencia entre elementos no sufre desplazamiento, se puede considerar fijo, en caso contrario es necesario considerar el desplazamiento de este punto, lo cual puede solucionarse con el Teorema de Castigliario, respecto a la energía de deformacián Considerando que el punto D no se desplaza con un apoyo ficticio en ese punto, se puede realizar el diagrama de momento como si fuera una viga Figura XXXIII.5b

Rd B

C 348

Figura XXXIII.5a

Tramo 1 A

Tramo 2 B Figura XXXIII.5b Al considerar el apoyo B, se producen dos fuerzas, una de tracci贸n (T) en la rama superior y otra de compresi贸n ( C ) en la rama inferior, tal como se indica en la siguiente Figura XXXIII.5

Rd B

349

m M cos α N cos α

f2 T α

Q T m /2

2 RB f3 C

C α

b T = C = Q / sen α Q = RB b f4 Figura XXXIII.5c Las fuerzas T y C son excéntricas para cada una de las ramas, pero podemos colocar esas fuerzas en el centro de las ramas al adicionarle su momento debido al su excentricidad. Proyectando la fuerza T, mediante un momento y una fuerza hasta el centro de la rampa Tcentrado = T + Me Tcentrado = T + T (b + m ) / 2 M = T (b + m) / 2 El esfuerzo f1 = (T / A ) ± My / I [T (b + m) / 2] (b / 2) f1 = (T / bt ) t b³ / 12 f1 = (T / bt) [ 1 – [3 (b + m) / b]] f1 t cos α = (RB / tan α) [ 1 – [3 (b + m) / b]]

XXXIII.5a

De igual forma: f2 t cos α = (RB /tan α) [ 1 + [3 (b + m) / b]] XXXIII.5b f3 t cos α = - (RB / tan α) [ 1 + [3 (b + m) / b]] XXXIII.5c f4 t cos α = - (RB / tan α) [ 1 – [3 (b + m) / b]] XXXIII.5d Para calcular el descanso, necesitamos la proyección horizontal de estos esfuerzos 350

f2 sen α

f3 sen α

f3 α

f2 cos α

f3 cos α

f4 cos α

f1 cos α α f1

f4 f4 sen α

f1 sen α

Cálculo del refuerzo horizontal f 1 t cos α

f2 cos α f3 cos α

f4 cos α Debe comprobarse que el concreto resiste el esfuerzo siguiente: f = Mu c / I Cálculo el refuerzo vertical en el descanso RA

RA [ 1 – [3 (b + m) / b]]

RB [ 1 – [3 (b + m) / b]]

RA [ 1 + [3 (b + m) / b]]

RB [ 1 + [3 (b + m) / b]] 2b/3

3 RA (b + m) / b

3 RB (b + m) / b

Mmax = - RA b (b + m) / 2

Sumando todos los componentes, y siendo iguales, se tiene: F = 3 RB (b+ m) / 4 XXXIII.5e y el momento es: Mu = F 2b / 3 = RB b (b + m) / 2 XXXIII.5f Cuando se suma los dos efectos solamente se considera la torsión debido a que es la más crítica El refuerzo en el descanso se coloca en la mitad del mismo, debido a que es la parte más crítica, en el resto se coloca el refuerzo mínimo As (-) As min 351

o o

a/2 a Refuerzos en las ramas Este refuerzo se diseñara por los efectos de la flexión vertical que es la más crítica

Tramo 1 A

Tramo 2 B Se debe colocar refuerzo en los lados internos de las ramas, debido a que existe una fuerza de tracción que produce un momento flector alrededor del eje de la escalera, lo cual hace que en la rama superior se produzca una solicitación de flexo-tracción y en la rama inferior una solicitación de flexo-compresión Los esfuerzos son: f = (F / b h) ± M / b² h ≤ fr = 0.62 fc’ (MPa) Si f > fr, se debe diseñar para flexo-tracción y flexo-compresión Comprobación por flexo-tracción y flexo-compresión flexo- tracción

Mu = F (b + m) / 2 F = (RB b) / sen α

(b + m) / 2 (b + m) / 2

flexo-compresió Esfuerzo de empotramiento El efecto de la deformación aumenta la flexión de las dos ramas , que no se pueden despreciar δt

RB b / sen α α

α´

352

El efecto de torsión es pequeña y lo puede resistir el concreto, entonces: δ1 = (P L / EA) (RB L´ / sen² α E t ) = (RB L´ / sen² α E t) f=Mc/I I = t b³ / 12 M = RB b (b + m) / 2 sen α = (b (b + m) / 2) (RB / sen α f = {[b (b + m) RB] / [2 sen α (t b³ / 12)]} (C) f = [6 RB (b + m)] / (sen α t b²) (C) y como C = (b + m)] / sen α Tenemos f = 3 RB (b + m)² /( t b² sen² α) δ2 = 3 RB (b + m)² L / E t b² sen² α Sumando δ1 + δ2 δt = {RB L´ [1 + 3 (b + m)² / b²} / (E t sen² α) Realizando una analogía L´ RB L

δt = {RB´ L² L´ / 3 E (t³ / 12) = 4 RB´ L² L´ / E t³ 4 RB´ L² L´ / E t³ = {RB L´ [1 + 3 (b + m)² / b²} / (E t sen² α) RB´ = {RB t² [1 + 3 (b + m) / b²} / 4 t² sen²α M = RB´ L

Refuerzo por tracción Hu

As = Hu / fy

XXXIII.5g

h z

Hu = RB z / h RB

Hu 0.85 fc´ t/2

C = 0.85 fc´a b

t 353

As fy Por sumas de fuerza:

0.85 fc´ a b + Hu´ = As fy a = (As fy – Hu´) / 0.85 fc´b

Por suma de momento (Mu / ) = As fy (de – c/2) – (Hu´/ ) (t / 2 – a / 2) As = {Mu Hu´ (t / 2 – a / 2)} / [ fy (de – c/2)] XXXIII.5h Se utiliza la mayor de XXXIII.5g y de XXXIII.5h XXXIII.5.1 Ejemplo de escalera autoportante Diseñar la siguiente escalera 1.75 m 1.20m

0.25 m

0.18 m 0.12 m 0.12 m 2.88 m

α = 35.753 ° 1.68 m

fc´= 28.0 MPa

fy = 420 MPa

1.20 m

carga viva 3.0 kN / m²

Cuando la escalera es perpendicular al edificio, tal como es esta escalera, su análisis se puede considerar articulado. Si fuera perpendicular se debe considerar empotrada

Cargas en las ramas Peso propio Terminación CL

5.04 kN / m² 0.5 kN / m² CD = 5.504 kN / m² 3. 00 kN / m²

wu = 5.504 x 1.2 + 3.0 x 1.6 = 15.648 kN / m² consideramos wu = 15.65 k/ m² carga en el descanso peso propio terminación

2.88 kN / m² 0.50 kN / m² CD = 3.38 kN / m² CL = 3. 00 kN / m²

wu = 3.38 x 1.2 + 3.0 x 1.6 = 8.86 kN / m² Momento en las ramas y descanso 354

1– Carga viva en la rama

wu = 15.65 k/ m² B 1.68 m

4.05 kN / m² 1.20m

MuA = 0

MuB = - 2.916 kN-m Mu

Mu= 3.57 kN-m VA = 10.72 kN

4.86 kN Vu

VB = 15.58 kN 2 – carga viva en el descanso también wu = 15.65 k/ m² A

8.86kN / m² B

1.68 m

MuA = 0

1.20m

MuB = - 6.37 kN-m Mu

Mu= 2.67 kN-m VA =9.38 kN

10.63 kN Vu VB = 16.93 kN

Refuerzo longitudinal en las ramas máximo positivo Mu= 3.57 kN-m = 0.00357 MN-m máximo negativo Mu = - 6.37 kN-m = 0.00637 MN-m El momento que resiste el concreto para t = 0.005 Mc = 0.205 fc’ b de^2 = 0.205 x 28 x 1.0 x 0.1² = 0.0574 MN-m > Mu, se puede utilizar  = 0.9 Para refuerzo negativo Co = Mu /  0.85 fc’ bw d^2 = 0.00637 / 0.9 x 0.85 x 28 x 1.0 x 0.1² = 0.03 De la tabla de Co j = 0.98 As = 0.00637 / 0.9 x 420 x 0.98 x 0.1 = 0.00017 m² = 1.72 cm² Asmin = 0.002 x 1.0 x 0.1 = 0.0002 m² = 2.0 cm² 3  No 3 = 2.13 cm² Se coloca  No 3 @ 0.33 m como refuerzo negativo Para el refuerzo positivo Colocaremos lo mismo Refuerzo transversal en el descanso m = 0.1(separación entre descaso) RB = VB Momento negativo Mu = RB b (b + m) / 2 = 16.93 x 1.2 (1.2 + 0.1) = 26.41 kN-m = 0.0264 MN-m 87.41 kN-m f1t cos α = (RB / Tanα) [ 1 – [3 (b + m) / b]] XXXIII.5a f1 t cos α = (16.93 / 0.719) [ 1 – [3 (1.2 + 0.1) / 1.2]] = - 52.98 kN / m f2 t = (RB / sen α) [ 1 + [3 (b + m) / b]] XXXIII.5b f2 t cos α = (16.93 / 0.719) [ 1 + [3 (1.2 + 0.1) / 1.2]] = 76.53 kN / m 355

f3 t cos α = - (RB / tan α) [ 1 + [3 (b + m) / b]] XXXIII.5c f3 t cos α = - (16.93 / 0.719) [ 1 + [3 (1.2 + 0.1) / 1.2]] = - 76.53 kN / m f4 t cos α = - (RB / tan α) [ 1 – [3 (b + m) / b]] XXXIII.5d f4 t cos α = - (16.93 / 0.719) [ 1 – [3 (1.2 + 0.1) / 1.2]] = 52.98 kN / m f1 t cos α ξ = f1 b / ( f1+ f2 ) ξ = - 52.98 x 1.2 / (- 52.98 + 76.53 ) = 2.70 m

F b

ξ a2

a1 F f2 t cos α

Calculando las fuerzas tenemos: F1 = f1 t cos α ξ / 2 = -52.98 x 2.70 / 2 = 71.52 kN F2 = f2 t cos α ξ / 2 = 76.53 x 2.70 / 2 = 103.31 kN F3 = f3 t cos α ξ / 2 = - 76.53 x 2.70 / 2 = -103.31 kN F4 = f4 t cos α ξ / 2 = 52.98 x 2.70 / 2 = 71.52 kN Los momentos son: M = F2 a2 – F1 a1 M = F4 a4 – F3 a3 a1 = b – ξ = a3 a2 = b - – ξ = a4 Mu = 103.31 (1.2 – 2.70 / 3) + 71.52 (1.2 – 2.70) / 3 = 87.41 kN-m

-71.52 kN

87.41 kN-m

103.31kN -103.31kN

87.41 kN-m

71.52kN Comprobación si el concreto resiste el momento 3  No 3 Debe cumplirse que: f = Mu c / I ≤ 0.62 fc’ (MPa) I = b h³ / 12 = 1.2 x 0.12³ / 12 = 0.0001728 m^4 c = 0.06 m f = 0.08741 x 0.06 / 0.0001728 = 30.35 MPa fr = 0.62 fc’ = 0.62 x  28 = 3.28 MPa f > fr El concreto no resiste el momento flector 356

con Mu = 0.08741 MN-m y de = 1.2 – 0.05 = 1.15 m Co = Mu /  0.85 fc’ bw de^2 = 0.08741 / 0.9 x 0.85 x 28 x 1.0 x 1.15 ² Co = 0.003 De la tabla de Co j = 0.995 As = 0.08741 / 0.9 x 420 x 0.995 x 1.15 = 0.000203 m² = 2.03 cm² 3  No 3 = 2.13 cm²

Flexo-tracción de la rama superior Mu = F (b + m) / 2 F = RB b / sen α = 16.93 x 1.2 / 0.584 = 34.79 kN Mu = 34.79 (1.2 + 0.1) / 2 = 22.61 kN.m Flexo-tracción de la rama inferior Mu = F (b + m) / 2 F = RA b / sen α = 10.72 x 1.2 / 0.584 = 22.02 kN Mu = 22.02 (1.2 + 0.1) / 2 = 14.31 kN.m a ) Para flexo-compresión Se utilizará el momento mayor Mu = 22.61 kN-m y Fu = 34.79 kN f = (F / t b) ± 6 Mu / t b² = ( 0.03479/ 0.12 x 1.2 ) ± 6 x 0.02261/ 0.12 x 1.2² = 0.2415 ± 0.785 f1 = 1.02 MPa < 0.85 fc´ (permisible en compresión) f2 = - 0.54MPa < fr (permisible en tracción) Se cumple

b ) Para flexo-tracción f = - (F / t b) ± 6 Mu / t b² = - (0.03479 / 0.12 x 1.2 ) ± 6 x 0.0226 / 0.12 x 1.2² = f1 = 0.5431 MPa < 0.85 fc´ (permisible en compresión) f2 = - 1.02 MPa < fr (permisible en tracción) Se cumple No necesita refuerzo

Refuerzo por tracción

As = Hu / fy

XXXIII.5g

h z

Hu = RB z / h = 16.93 x 1.68 / 2.88 Hu = 9.87 kN As = 0.00 987 / 420 = 0.000235 m² As = 0.325 cm²

RB Hu ´

Momento de empotramiento RB´= RB t² / 4 L² sen² α [1 + 3 (b + m)² / b²] = 16.93 0.12² / 4 x 1.68² sen² α [1 + 3 (1.2 + 0.1)² / 1.2²] 357

RB´= 0.00876 kN Hu´= 9.87 √3 /2 = 12.09 kN = 0.01209 MN Mu = 0.01209 x 1.2 = 0.01052 kN-m = 0.0145 MN-m Consideremos a= 0.01m As = [Mu + Hu´(t / 2 – a / 2)] /  fy (de – a / 2) As = 0.0145 + 0.01209(0.12/ 2 – 0.01 / 2) / 0.9 x 420 (0.1 – 0.01 / 2) = 0.00042 m² As = As fy – Hu´ / 0.85 fc´b = 0.00042 x 420 – 0.01209 / 0.85 x 28 x 1.2 = 0.006 As = (0.0145 + 0.01209 x 0.006) / 0.9 x 420 x 0.094 = 0.00041 m² = 4.10 cm² 6  No 3 = 4.26 cm²

XXXIII.6 PROBLEMAS PROPUESTOS XXXIII.6.1 Diseño de una escalera en un solo sentido Diseñar la escalera de la figura, reforzada en un sólo sentido fc´= 28 MPa fy = 240 MPa carga viva = 4.0 kN / m^2 acabado = 1.2 kN / m² H = 0.25 M CH = 0.18 m

1.30 m

0.20 m

3.30 m

0.20 m

1.30 m

XXXIII.6.2 DISEÑO DE ESCALERA HELICOIDAL Diseñar una escalera helicoidal de concreto reforzada con acero (fy = 420 MPa) Con un ángulo total de 180 grados, con un radio respecto al eje centroidal de 2.0 m., tiene una losa de 1.50 m de ancho y 0.17 m de espesor, el desnivel es de 2.40 m. La carga viva (cv) es de 4.0 kN/ m^2. La calidad del concreto fc’ = 28 MPa

0.17 m w 1.50 m 358

H = 2.40 m β S

r = 1.8 m

r = 1.8 90ْ

Empotramiento Datos cv = 3 kN/ m^2 αo = 90ْ = 1.57 rad

r = 1.8 m b = 0.14 m fc’ = 20 MPa fy = 420 MPa β = tan ^-1[H / π r] = tan ^-1[ 0.24 / 3.1416 x 0.18] = 23.01ْ = 0.401 rad

XXXIII.6.3 DISEÑO DE UNA ESCALERA ORTOPOLIGONAL Diseñar una escalera ortopoligonal considerándola como viga con cargas puntuales fc´= 28 MPa fy = 420 MPa Número de pasos = 12 Número de contrapasos = 11 CARGA VIVA 3.0 kN / m²

0.28 m

0.12 m

0.18 m 0.12 m

XXXIII.6.4 DISEÑO DE UNA ESCALERA AUTOPORTANTE Diseñar la siguiente escalera 1.8 m 1.20m

0.25 m

0.18 m 0.12 m 0.12 m 2.88 m

α = 35.753 °

359

fc´= 28.0 MPa

fy = 420 MPa

carga viva 3.5 kN / m²

CAPÍTULO XXXIV (Capitulo C.19) INTRODUCCIÓN AL DISEÑO DE CÁSCARAS Y LOSAS PLEGADAS XXXIV.1 ANÁLISIS Y DEFINICIONES XXXIV.1.1 Cáscaras delgadas (C.19.1) Son estructuras espaciales tridimensionales, construidas de una o más losas curvas o losas plegables, cuyo espesor es pequeño en comparación con sus otras dimensiones. Las cáscaras delgadas se caracterizan por su comportamiento tridimensional frente a la carga, determinado por la geometría de sus formas, por la manera en que están apoyadas y por la naturaleza de la carga aplicada Los tipos principales de cáscaras delgadas son los domos (superficie de revolución)*, cáscaras cilíndricas*, bóvedas cilíndricas*, conoides*, paraboloides elípticos*, paraboloides hiperbólicos* y bóvedas de aristas* No es posible en este libro examinar en forma extensa el análisis, diseño y construcción de esta materia, por lo cual es posible consultar los siguientes documentos: Billington, D. P., Thin Shell Concrete Structures, 2ad Edición, McGraw-Hill Book Co, New york, 1982 Phase I Report on folded Plate Construction. ASCE Task Commite, Journal of Structrural Division, ASCE, V. 89, No ST6, 1963, pag 365-406 Concrete Thin Shell, SP-28, American Concrete Institute, Farmington Hills, MI, 1971 Esquillan N., The Shell Vault of the Exposition Palace, parís,. Journal of Structural división, ASCE, V 86, ST1, Jan. 1960 Hiperbolic Paraboloid Shells, SP-110, American Concrete Institute, Farmington Hill, MI 1988 XXXIV.1.2 Losas plegables Es una clase especial de estructura de cáscara, formada por losas delgadas planas, unidas a lo largo de sus bordes para crear estructuras espaciales tridimensionales Las losas plegables prismáticas o no prismáticas son losas planas delgadas unidas a lo largo de sus bordes longitudinales para formar estructuras similares a vigas que cubren vanos entre apoyos Las losas plegables poliédricas se construyen con losas delgadas planas triangulares o poligonales o ambas unidas a lo largo de sus bordes para formar estructuras espaciales tridimensionales XXXIV.1.3 Cáscaras nervadas Estructuras espaciales con el material colocado principalmente a lo largo de ciertas líneas nervadas preferidas, con el área entre nervaduras cubierta por losas delgadas o abierta XXXIV.1.4 Elementos auxiliares Nervaduras o vigas de borde que sirven para dar rigidez, reforzar y apoyar la cáscara. Por lo general, los elementos auxiliares actúan conjuntamente con la cáscara Casi todas las cáscaras requieren nervaduras o vigas de borde en sus límites para soportar las fuerzas de contorno de la misma, para ayudar a transmitirlas a la estructura de sustentación y para acomodar el aumento del refuerzo en esa área XXXIV.1.5 Análisis elástico

360

Análisis elástico es un análisis de deformaciones y fuerzas internas basado en el equilibrio, la compatibilidad de las deformaciones y en el supuesto de comportamiento elástico, y que representa con aproximación adecuada la acción tridimensional de la cáscara junto con sus elementos auxiliares Este método debe determinar las fuerzas y desplazamientos interno necesarios en el diseño de la cáscara en sí, de la nervadura y de la cáscara de apoyo. Debiéndose de satisfacer el equilibrio de las fuerzas internas y cargas externas, y la compatibilidad e deformaciones XXXIV.1.6 Análisis inelástico Análisis de deformaciones y fuerzas internas basado en el equilibrio, relaciones esfuerzo-deformación no lineales para el concreto y el refuerzo, la consideración de la fisuración y de los efectos dependiente del tiempo y la compatibilidad de las deformaciones. El análisis debe representar con aproximación adecuada a acción tridimensional de la cáscara, junto con sus elementos auxiliares Se debe consultar la siguiente documentación: Scordis, A C, Non-Linear material, Geometric and Time Depent Analisys of reinforced and Prestressed Concrete Shells,. Bulletin, International Association for Shell san Spatial Structures, Madrid, Spain, No 102 Apri 1990 Schnobrich, W: C: Refection on Behavior of Reinforced Concrete Shells. Engineering Structures, Buterworth Heinermann. LTd, Oxford, V. 13 NO2 Apr 1991 XXXIV.1.7 Análisis experimental Procedimiento de análisis basado en la medición de deformaciones de la estructura o de su modelo, el análisis experimental se basa ya sea en el comportamiento elástico o en el comportamiento inelástico XXXIV.2 ANÁLISIS Y DISEÑO (C.19.2) XXXIV.2.1 Análisis elástico El Reglamento permite utilizar para obtener las fuerzas y desplazamientos de las cáscaras el análisis elástico considerando que la sección del concreto no es fisurada, que el material es linealmente elástico, homogéneo e isotrópico. Se puede considerar el coeficiente de Poisson del concreto igual a cero Las cargas a utilizar deben ser las de servicio A continuación se da una información de la utilización del análisis elástico, según la Referencia 5 Una cáscara es delgada cuando la relación del espesor con el radio es igual o menor de 1 / 20

XXXIV.2 .1 ACCIÓN DE RESISTENCIA DE CARGA DE UNA CÁSCARA

361

Sea una cáscara esférica de radio r y espesor t, sometido a una presión uniforme P, Se obtiene que: N = P r / 2 ro = r sen  N es la fuerza en el plano por unidad de circunferencia y es válida en cualquier lugar de la cáscara y no varía con , y σ = - P r / 2 t M = - P t² / 24 σb = - P / 4 La relación del esfuerzo membranal al esfuerzo de flexión es: σ / σb = 2 r / t Como los esfuerzos membranales son mayores que los esfuerzos de flexión, la carga aplicada es resistida predominantemente por los esfuerzos membranales XXXIV.2.2 GEOMETRÍA DE LA CÁSCARAS DE REVOLUCIÓN Consideremos una cáscara descrito por una superficie de revolución según la siguiente figura que incluye la esfera, cilindro y cono

Los radios r1 y r2 son constantes 362

XXXIV.2 .3 Cáscaras de Revolución Simétricamente Cargadas En estas cáscaras no existen fuerzas de cortante, teniendo dos fuerzas de membranas por unidad de longitud Nθ y N Nθ es en sentido de los paralelos N es en sentido de los meridianos (N / r1) + (Nθ / r2) = Pz N = - (F / 2 π ro sen ) donde F representa la resultante de todas las carga externas aplicadas XXXIV.2.4 Cáscaras Esféricas N + Nθ = - Pz a N = - (F / 2 π ro sen ) a = r1 = r2 σ = P a / 2t XXXIV.2.5 Cáscara Cónica En esta cáscara el ángulo  es constante (r1= ∞), y noi puede unir una coordenada sobre el meridiano, por lo cual se introduce una coordenada S, la distancia de un punto de la superficie media, usualmente medido del vértice a lo largo del generador

Nθ = - Pz ro / sen  Ns = - F / 2 π ro sen 

ro es el radio de la base

XXXIV.2.6 Cáscara circular cilíndrica r1 = r2 = ro radio de la cáscara es = a ro = a sen  pd- peso propio pl – carga viva por área unitaria N = - a {[pd / (1 + cos ) ] + pl / 2} Nθ = (pd d / 2 sen ) { [1 / (1 + cos )] – cos ]} – (pl d / 2 sen ) cos 2 N es siempre negativa por lo cual la fuerza de compresión se desarrolla a lo largo del meridiano y aumenta tanto como el ángulo  aumenta, Nθ es negativa o sea, compresión, solamente cuando  ≤ 51° 49´, si  es mayor se producen tracciones en la dirección perpendicular a los meridianos d es la luz de la cáscara Como N es constante a lo largo de la altura de la cáscara, Nθ = - pz a cos 2 / 2 Para el caso de Nθ = 0, el ángulo  = 45°, entonces los esfuerzos debido a la fuerza tangencial Nθ para  menor de 45°, son de compresión y no se producen fisuras en el concreto Cuando se desee que no se produzcan fisuras la cáscara circular cilíndrica, debe ser lo más plana posible, como valor indicativo la relación h´ / d no debe exceder 1 / 8, y de esa forma tanto Nθ y N son fuerzas de compresión 363

Como referencia se puede consultar los siguientes documentos: Scordis, A C, Non-Linear material, Geometric and Time Depent Analisys of reinforced and Prestressed Concrete Shells,. Bulletin, International Association for Shell san Spatial Structures, Madrid, Spain, No 102 Apri 1990 Schnobrich, W: C: Refection on Behavior of Reinforced Concrete Shells. Engineering Structures, Buterworth Heinermann. LTd, Oxford, V. 13 NO2 Apr 1991

XXXIV.2.7 Análisis inelástico El Reglamento permite emplear análisis inelásticos cuando se puede demostrar que estos métodos proporcionan una segura para el diseño, puede consultarse las siguientes documentaciones para conocer los métodos de solución Scordis, A C, Non-Linear material, Geometric and Time Depent Analisys of reinforced and Prestressed Concrete Shells,. Bulletin, International Association for Shell san Spatial Structures, Madrid, Spain, No 102 Apri 1990 Schnobrich, W: C: Refection on Behavior of Reinforced Concrete Shells. Engineering Structures, Buterworth Heinermann. LTd, Oxford, V. 13 No2 Apr 1991 XXXIV.2.8 Análisis experimentales El Reglamento permite utilizar experimentales o análisis numéricos cuando se demuestre que estos métodos proporcionan una base segura para el diseño XXXIV.2.9 Análisis por métodos aproximados Se pueden utilizar estos métodos cuando se demuestre que tienen una base segura para el diseño XXXIV.2.10 Espesor de la cáscara El Reglamento permite hallar el espesor de una cáscara y su refuerzo utilizando el método de resistencia o de esfuerzo admisible Como las cáscaras delgadas experimentan fuerzas de compresión en su plano, están sometidas a pandeo cuando la carga aplicada llega a valores críticos (σcrit) Como referencia se puede tomar el esfuerzo crítico con la siguiente fórmula: (σcrit) = 0.25 Ec t / d t- espesor de la cáscara d – diámetro de la cáscara Para los domos esféricos, el espesor de la cáscara, según el ACI 344R, debe ser: tmin = a √ (1.5 pu / 0.7 ßi ßc Ec) pu – carga última distribuida debido a la carga muerta y viva a – radio del domo a = (d / 2) / sen  ßi – factor de reducción de pandeo por desviación de superficie real debido a imperfecciones ßi = (a /ri)², ri ≤ 1.4 a ßc- factor de reducción por fluencia, material no lineal y fisuración ßc = 0.44 + 0.063 wL wL – carga viva y de granizo en kN / m² Ec – módulo inicial del concreto XXXIV.2.11 Elementos auxiliares Se puede suponer que una porción de la cáscara igual al ancho del ala, según VIII.4.3 actúa con el elemento auxiliar. En dichas partes de la cáscara el refuerzo perpendicular al elemento auxiliar debe ser al menos igual a la establecida en VIII.4.3.1 para el ala de una viga T XXXIV.2.12 Diseño por resistencia de losas El diseño por resistencia de losas que hacen parte de cáscaras para esfuerzo de membrana y flexión debe estar basada en la distribución de esfuerzos y deformaciones determinadas a partir de un análisis elástico o inelástico. Estos esfuerzos son los multiplicados por los factores de cargas apropiados. Debe limitarse las 364

deformaciones unitarias de tracción calculadas en el esfuerzo para cargas mayoradas, debido a los efectos negativos de la fisuración de la cáscara En una región en la cual se ha previsto fisuración en la cáscara, la resistencia nominal a compresión en la dirección paralela a las fisuras debe tomarse como 0.4 fc´ Los experimentos indican que cuando el esfuerzo principal de tracción produce fisuración, se reduce la resistencia a compresión alcanzable en la dirección paralela a la fisura XXXIV.3 RESISTENCIA DE DISEÑO DE LOS MATERIALES (C19.3) La resistencia especificada a la compresión del concreto a los 28 días no debe ser menor de 21 MPa La resistencia a la fluencia especificada del refuerzo no debe exceder de 420 MPa XXXIV.4 REFUERZO DE LA CÁSCARA (C.19.4) En un punto de la cáscara pueden producirse dos clases de esfuerzos internos simultáneamente: los asociados con la acción de membrana y los asociados con flexión de la cáscara. Los esfuerzos de membrana actúan en el plano tangencial a la mitad de la distancia entre las superficies de la cáscara y son los esfuerzos axiales y los cortantes de la membrana. Los esfuerzos de flexión comprenden momentos de flexión, momentos de torsión y los cortantes transversales asociados. El control de la fisuración debido a retracción, temperatura y cargas de servicio constituye una consideración importante en el diseño. El refuerzo de la cáscara se debe proporcionar para resistir todo lo anterior El refuerzo por tracción debe disponerse en dos o más direcciones y debe proporcionarse de manera tal que su resistencia en cualquier dirección iguale o exceda a la componente de esfuerzo interno en esa dirección Alternativamente el refuerzo para los esfuerzos de membrana en la losa puede calcularse como el refuerzo requerido para resistir las fuerzas de tracción axial más las fuerzas de tracción debida a cortante por fricción necesaria para transferir el cortante a través de cualquier sección transversal de la cáscara El área de refuerzo de la cáscara en cualquier sección, medidas en dos direcciones ortogonales, no debe ser menor que el refuerzo de losa por retracción o temperatura El refuerzo por cortante y momento flector alrededor de ejes en el plano del eje de la cáscara debe calcularse según los Capítulos de esas solicitaciones El área de refuerzo a tracción debe ser limitada de manera que el esfuerzo debe fluir antes que tenga lugar el aplastamiento del concreto en compresión o el pandeo de la cáscara En regiones de gran tracción, el refuerzo debe colocarse, cuando resulte práctico, en las direcciones generales de las fuerzas principales de tracción. Cuando esta medida no resulte práctica se puede colocar el refuerzo en dos o más direcciones para las componentes Si la dirección del refuerzo varía más de 10° de la dirección de la fuerza principal de tracción, debe revisarse la cantidad de refuerzo respecto a la fisuración a nivel de carga de servicio Cuando la magnitud del esfuerzo principal de tracción de membrana dentro de la cáscara varía significativamente dentro del área de la superficie de la cáscara, se puede concentrar el refuerzo que resiste la tracción total de en las regiones de mayor esfuerzo de tracción, cuando se pueda demostrar que esto proporciona una base segura para el diseño, sin embargo, la cuantía de refuerzo de la cáscara en cualquier porción de la zona de tracción no debe ser menor de 0.0035, basada en el espesor total de la cáscara As min a colocar en la zona traccionada

concentración del refuerzo

El refuerzo requerido para resistir momentos de flexión de la cáscara debe diseñarse con l debida consideración a la acción simultánea de las fuerzas axiales de membrana en el mismo sitio. Cuando se requiera refuerzo de cáscara sólo en una cara para resistir los momentos de flexión, se deben colocar cantidades iguales cerca de ambas superficies de la cáscara, aunque el análisis no indique inversión de los momentos de flexión El refuerzo de la cáscara en cualquier dirección no debe espaciarse a más de 450 mm, ni más de 5 veces el espesor de la cáscara. Cuando el refuerzo principal de tracción de membrana sobre el área total de concreto, debidos a cargas mayoradas, excede de: 0.33λ√fc´, el refuerzo no debe espaciarse a más de 3 veces el espesor de la cáscara El valor de  debe ser para tracción axial 365

El refuerzo de la cáscara en la unión de ésta con los elementos de apoyos o elementos de borde se debe anclar o extender a través de dichos elementos de acuerdo con el CAPÍTULO XXIV, excepto que la longitud de desarrollo mínima debe ser 1.2 Ld, pero no menor de 450 mm Las longitudes de desarrollo de los empalmes del refuerzo de la cáscara deben regirse por las disposiciones del CAPÍTULO XXIV, excepto que la longitud mínima de empalme por traslapo de barras en tracción debe ser 1.2 veces el valor requerido en el CAPÍTULO XXIV, pero no menor de 450 mm. El número de empalmes en el refuerzo principal de tracción debe mantenerse en un mínimo práctico. Donde los empalmes sean necesarios, se debe escalonar al menos Ld, con no más de un tercio del refuerzo empalmado en cualquier sección XXXIV.5 CONSTRUCCIÓN (C.19.5) Cuando el descimbrado se basa en un módulo de elasticidad del concreto especificado, debido a consideraciones de estabilidad o deformación, el valor de Ec, utilizado se debe determinar mediante ensayos de flexión de viguetas curadas en obra. El profesional facultado para diseña debe especificar el número de probetas, las dimensiones de las viguetas y los procedimiento de ensayos Cuando es necesario un descimbrado temprano se debe investigar el valor del módulo de elasticidad en el momento del descimbrado propuesto para poder dar seguridad a la cáscara respecto al pandeo y para restringir deformaciones Se debe especificar las tolerancias para la forma de la cáscaras. Cuando la construcción tenga desviaciones de la forma mayores que las toleradas, se debe hacer un análisis del efecto de las desviaciones y se debe tomar las medidas correctivas necesarias para asegurar un comportamiento seguro Las pequeñas desviaciones locales de la geometría teórica pueden causar variaciones relativamente grandes en esfuerzos locales y en la seguridad general contra inestabilidad, las mismas pueden dar fisuraciones y fluencia locales que pueden hacer insegura la estructura o que puedan afectar significativamente la carga crítica, lo cual produce inestabilidad XXXIV.6 DISEÑO DE UNA CÁSCARA CIRCULAR CILÍNDRICA Diseñar la cáscara circular cilíndrica de la figura fc´= 28 MPa fy = 420 MPa d = 20.0m h´= 2.5 m  = 30°

carga viva = 0.718 kN / m²

2.5 m

 = 30° Como d = 20.0 m, h´ = 2.8 m  = 30°, la cáscaca estará completamente a compresión y el refuerzo será el de temperatura a = (d / 2) / sen  = (20.0/ 2) / 0.5 = 20.0 m el espesor mínimo de la cáscara debe ser: tmin = a √ (1.5 Pu / 0.7 ßi ßc Ec) asumiendo t = 0.06 m = 6 cm Pu = 1.2 x 0.06 x 24 + 1.6 x 0.718 = 2.878 kN / m² = 0.002878 MN / m² ßi = (a /ri)², ri ≤ 1.4 a ßi = (a /ri)² = (20.0 /1.4 x 20.0)² = 0.51 ßc = 0.44 + 0.063 wL= 0.44 + 0.063 x 0.718 = 0.485 Ec = 4700√fc’ = 24870 MPa tmin = 20.0 √ (1.5 x 0.002878 / 0.7 x 0.51x 0.485 x 24870) = 0.0063 m = 0.63 cm < 0.06 m El esfuerzo crítico es: (σcrit) = 0.25 Ec t / d = 0.25 x 24870 x 0.06 / 20.0 = 18.58 MPa < fc´ Utilizaremos t = 0.06 m, sen 30° = 0.5 cos 30° = 0.866 a = 20.0m Las fuerzas son: N = - a { [pd / (1 + cos ) ] + pl / 2} N = - 20.0 {[ 1.78 / (1 + 0.866 ) ] + 1.149 / 2} = - 30.0 kN / m 366

Nθ = (pd d / 2 sen ) { [1 / (1 + cos )] – cos ]} – (pl d / 2 sen ) cos 2 = - 20.33 kN / m Comprobación de los esfuerzos en el concreto en la sección crítica t = 0.06 m N = - 30.0 kN / m = - 0.03 MN / m de la circunferencia El esfuerzo de compresión es : fc = 0.03 / 0.06 = 0.5 MPa Se satisface Refuerzo en el borde La fuerza total es P = (d / 2) N cos  = (20.0 / 2) (- 30.0) 0.866 = - 259.8 kN / m = 0.26 MN / m As = 0.26 / 420 = 0.0062 m² = 6.19 cm² Asmin = 0.002 x 1.0 x 0.06 = 0.00012 m² = 1.20 cm² Se colocará en el borde 5  No 4 En la cáscara  No 2 @ 0.25 m como refuerzo de temperatura

refuerzo de temperatura  No 2 @ 0.25 m 5  No 4

o o o

apoyo

XXXIV.7 PROBLEMAS PROPUESTOS XXXIV.7.1 Que es una cáscara delgada? XXXIV.7.2 Que son losas plegables, cáscaras nervadas, elementos auxiliares? XXXIV.7.3 Que valor debe tener el espesor de las cáscaras? XXXIV.7.4 Diseñar la cáscara circular cilíndrica de la figura fc´= 28 MPa fy = 420 MPa d = 25.0m h´= 3.0 m carga viva = 0.8kN / m²  = 32°

3.0 m

 = 32°

CAPÍTULO XXXV (Capitulo C.16) CONCRETO PREFABRICADO Se define elementos de concreto prefabricado aquellos elementos que se funden en un lugar diferente de su posición final dentro de la estructura 367

El diseño de elementos prefabricados y sus conexiones debe tener en cuenta todas las condiciones de carga y de restricciones desde la fabricación inicial hasta su uso final en la estructura, incluyendo remoción de encofrado, almacenamiento, transporte, izaje y montaje Cuando los elementos prefabricados se coloquen dentro de un sistema estructural existente, las fuerzas y deformaciones que ocurran en las conexiones y sus cercanías, deben ser incluidas en el diseño El diseño de los elementos y sus conexiones debe incluir el efecto de las tolerancias especificadas para fabricación e instalación y los esfuerzos temporales de instalación. Las tolerancias deben indicarse en los planos y memorias Debe incluirse en los planos, los detalles de los refuerzos, aditamentos, elementos de izaje, resistencia del concreto en las diferentes etapas de construcción necesaria para resistir las cargas temporales de manejo, almacenamiento, transporte y montaje XXXV.1 DISTRIBUCIÓN DE LAS FUERZAS A LOS ELEMENTOS (C.16.3) La distribución de las fuerzas perpendiculares al plano de los elementos se debe determinar por análisis o por medios de ensayos Se ha comprobado que las losas tipo T y las losas sólidas con huecos longitudinales o sin ellos son capaces de transferir hasta el 25% de la carga concentrada a cada losa adyacente, si tiene una llave de cortante rellenada con mortero, así como si tienen planchas metálicas soldadas (estas uniones deben ser diseñadas para resistir la carga aplicada) Como la transferencia de la carga depende de compatibilidad de las deformaciones, la distribución cerca de los apoyos será menor para losas sólidas con huecos (losas alveolares), tal como se indica en la siguiente figura

0.25 Ln ancho efectivo Ln

ancho efectivo O

O 0.5 Ln

ancho efectivo O

O 0.25 Ln

interpolar

1.20m

interpolar

0.3 m 0.25 Ln

0.5 Ln

interpolar

O carga concentrada Losa sólida con huecos (losas alveolares)

P/2

368

45°

45° 0.2 m

1.5 m

Planta Losa doble T En el diseño deben identificarse las trayectorias de las fuerzas que actúan en el plano del elemento tanto en los elementos como en sus conexiones y debe verificarse su continuidad. En el caso de fuerzas de tracción, debe proporcionarse una trayectoria continua de acero o refuerzo Las fuerzas producidas por deformaciones debidas a retracción de fraguado, flujo plástico y variaciones de temperaturas deben tomarse en cuenta en el diseño de los detalles de las conexiones XXXV.2 DISEÑO DE LOS ELEMENTOS (C.16.4) Se debe tener en cuenta al diseñar los elementos prefabricados los procesos d fabricación, transporte y colocación. Los equipos disponibles tales como grúas, camiones, y la característica de la ruta de acceso desde la zona de fabricación a la zona de colocación. Un factor importante es si se tiene que cruzar puentes o túneles, por lo cual se debe conocer la capacidad de cargas de los puentes y las dimensiones de los túneles Se debe tener la mayor uniformidad de los elementos Los elementos pretensados prefabricados de un ancho de hasta de 3.7 m, tales como losas de entrepisos y de cubiertas (losas tipo T, losas sólidas con o sin huecos longitudinales), que actúen en una dirección y paneles de muros pretensados y en otros elementos que están conectados mecánicamente de una manera tal que las deformaciones transversales no estén restringidas, pueden dispensarse los requisitos de refuerzo de retracción y temperatura, en la dirección perpendicular al refuerzo de flexión, también es aplicable a losas reforzados con refuerzo ordinario (no pretensado). Esta dispensa no es aplicada a elementos que requieran refuerzo para resistir esfuerzo causados por flexión transversal En los muros prefabricados, no pretensados, el refuerzo debe diseñarse según el Capítulo de Muros, con la excepción de que la cuantía de refuerzo horizontal y vertical no debe ser menor de 0.001 Ag, calculada sobre el área bruta de la sección del panel de muro. El espaciamiento del refuerzo no debe exceder el menor de 5 veces el espesor del muro, 750 mm para muros interiores, ó 450 mm para muros exteriores XXXV.3 INTEGRIDAD ESTRUCTURAL(C.16.5) Con la excepción de lo siguiente: Cuando se utilicen elementos prefabricados para conformar diafragmas de piso o de cubierta, las conexiones entre el diafragma y los elementos adheridos al diafragma y a los cuales el diafragma los provee apoyo lateral, deben tener una resistencia nominal a la tracción tal que sean capaces de resistir al menos 4.4 kN/m. Deben cumplirse los siguientes requisitos mínimos de integridad estructural en estructuras de concreto prefabricado: - Deben emplearse los amarres longitudinales y transversales para conectar los elementos prefabricados al sistema de resistencia ante fuerzas horizontales, con lo cual se asegura la transmisión de la carga horizontal a través de los elementos prefabricados - En todo elemento estructural vertical prefabricado ahí la necesidad de cumplir los requisitos de amarre vertical, excepto elementos no portantes de fachada. Estos requisitos se pueden cumplir disponiendo conexiones en las juntas horizontales, diseñadas de acuerdo con lo siguiente: En columnas prefabricadas debe disponerse una resistencia a la tracción al menos igual a 1.4 Ag, expresada en kN. Para columnas con una sección mayor que la que se requiere por consideraciones de carga, se permite reducir, hasta en un 50%, el área efectiva, Ag, al valor requerido por resistencia Los paneles de muro prefabricados deben tener un mínimo de dos amarres por panel y por junta horizontal, con una resistencia nominal en tracción al menos a 44 kN por amarre Cuando las fuerzas de diseño indican que no se presenta tracción en la base, se permite anclar los amarres indicado en el párrafo anterior a la losa de contrapeso sobre el terreno

369

NOTA: No se permite el uso de detalles de conexiones que dependan únicamente de la fricción causada por las cargas verticales En estructuras prefabricadas de muros de carga de tres o más pisos de altura, deben cumplirse los siguientes requisitos: a)

Deben colocarse amarres longitudinales y transversales dentro de los sistemas de entrepiso y de cubierta, de tal manera que se disponga de 22 kN/m de longitud o de ancho del sistema. Deben colocarse amarres sobre los apoyos interiores y entre los elementos del sistema de entrepiso y los muros exteriores. Los amarres deben colocarse dentro del plano del sistema de entrepiso o de cubierta o dentro de los primeros 600 mm de los elementos verticales b) Deben colocarse amarres longitudinales, paralelos a la dirección de la luz de los elementos del sistema de entrepiso, distanciado al menos a 3 m centro a centro. Deben tomarse precauciones para transmitir las fuerzas en los amarres alrededor de las aberturas en el sistema de entrepiso o de cubierta c) Deben colocarse amarres transversales, en la dirección perpendicular a la luz de los elementos del sistema de entrepiso o de cubierta, separados una distancia no mayor al espaciamiento de los muros de cargas d) Deben colocarse amarres con una resistencia nominal a la tracción al menos de 71 kN, en el perímetro de los sistemas de entrepiso o de cubierta, dentro de una zona localizada a 1.20 m del borde e) Deben colocarse amarres verticales de tracción en todos los muros, los cuales deben ser continuos en toda la altura de la edificación. Estos amarres deben proveer una resistencia nominal a la tracción no menor de 44 kN por metro lineal horizontal del muro. Deben colocarse como mínimo dos amarres por cada panel prefabricado XXXV.4 DISEÑO DE LAS CONEXIONES Y LOS APOYOS (C.16.6) Se permite transferir las fuerzas entre elementos por medio de juntas con mortero, llaves de cortante, conectores mecánicos, conexiones utilizando acero de refuerzo, afinados de piso reforzado o combinación de estos medios La efectividad de las conexiones para transferir las fuerzas entre elementos puede determinarse por análisis o ensayo. En aquellos casos en que las fuerzas cortantes corresponden a las fuerzas impuestas predominantes en la conexión, se permite diseñarse utilizando los requisitos de Implementos Colocados Después de La Fundición del Concreto, cuando sean aplicables, que se indicará en el apartado siguiente Cuando se diseñen conexiones que contengan materiales con propiedades mecánicas diferentes, debe tomarse en cuenta la rigidez, resistencia y ductilidad relativas Cuando los elementos prefabricados sean parte de entrepisos que actúan como diafragmas que hacen del sistema de resistencia sísmica deben cumplirse los requisitos de los Diafragmas Los apoyos simples de elementos prefabricados que pertenezcan a sistemas de entrepisos o de cubiertas, deben cumplir los siguientes requisitos: Los esfuerzos de contacto en la superficie de contacto entre elementos soportados y los elementos que le den apoyo, o entre éstos y cualquier elemento intermedio de apoyo, no deben exceder las resistencias admisibles de contacto, en cualquiera de las superficies A menos que se demuestre por medio de ensayos o análisis que el comportamiento es adecuado, deben cumplirse los siguientes requisitos mínimos: a)

Las dimensiones de cada elemento y del sistema de apoyo, deben seleccionarse con la debida consideración de las tolerancias apropiadas, de tal manera que la distancia en la dirección de la luz, entre borde de apoyo y el extremo interno del elemento prefabricado sea al menos 1n/180 de la luz libre, pero no menor de: En elementos de losa maciza o aligerada internamente 50 mm En vigas o elementos en forma de T 75 mm b) Las almohadillas de apoyo en elementos sin refuerzo de esquina, deben retrocederse como mínimo 13 mm de la cara de apoyo o la dimensión del chaflán, en bordes achaflanados Un tercio del refuerzo positivo para flexión de elementos prefabricados estáticamente determinados debe extenderse hasta el centro de la longitud de apoyo 370

min 13 mm

longitud apoyada

mínimo 13 mm ln / 180 ≥ 50 mm en losa ln / 180 ≥ 75 mm en viga XXXV.5 ELEMENTOS EMBEBIDOS DESPUÉS DE LA FUNDICIÓN DEL CONCRETO Cuando sea permitido por el diseñador, pueden colocarse elementos tales como barras de empalme o insertos que sobresalen del concreto, después de fundido el concreto, pero cuando aún está plástico, siempre y cuando se cumpla las siguientes condiciones: a)

Los elementos que se insertan no tienen ganchos y no se deben amarrar al refuerzo que ya esté dentro del concreto b) Los elementos que se insertan se mantienen en su posición correcta mientras el concreto está plástico c) Hay posibilidad de compactar correctamente el concreto alrededor del inserto d) XXXV.6 IDENTIFICACIÓN Y MARCAS (C.16.8) Todo elemento prefabricado debe marcarse para indicar su colocación y orientación dentro de la estructura y su fecha de fabricación Las marcas de identificación deben corresponder con los planos de montaje XXXV.7 MANEJO

(C.16.9)

El diseño de los elementos debe tener en cuenta todas las fuerzas y distorsiones que se puedan presentarse durante el curado, desencofrado, almacenaje, transporte y erección, de tal manera que el elemento no sufra daño Las estructuras prefabricadas y sus elementos deben de estar adecuadamente apoyadas y arriostradas durante el montaje de tal manera que se pueda garantizar el alineamiento adecuado en su colocación y la integridad estructural hasta el momento en que estén terminadas las conexiones permanentes XXXV.8 EVALUACIÓN DE LA RESISTENCIA DE LOS ELEMENTOS PREFABRICADOS (C.16.10) Se pueden realizar pruebas de carga de los elementos independientemente que posteriormente trabajarán en conjunto con elementos fundidos en sitio, si se cumplen los siguientes requisitos: a) las cargas de ensayo sólo se pueden aplicar cuando los cálculos indiquen que el elemento ensayado aisladamente no fallaría en compresión o pandeo b) La carga de prueba debe ser una carga tal. que produzca en el refuerzo de tracción del elemento aislado la misma fuerza que se obtendría al aplicar la carga de prueba al elemento compuesto XXXV.9 VASOS DE CONCRETO PARA COLUMNAS PREFABRICADAS Referencia 6 Estos elementos se utilizan para unir las columnas prefabricas con el cimiento, el cual forma parte, pueden ser prefabricados o vaciados en el lugar Las caras interiores del vaso tendrán pendientes menores del 5% con la vertical Se considerarán solamente las solicitaciones usuales de carga normal de compresión Pu, momento Mu y empuje o cortante Tu, actuando todos en la columna y a nivel del empotramiento La fuerza horizontal actuará de forma que su efecto sea de igual sentido que el momento Mu Todas las solicitaciones actuarán en uno de los planos de simetría de la unión Se considera pared frontal, aquella en la que al actuar un momento flector, las presiones máximas ocurren en el borde superior

371

Las uniones se clasifican según la magnitud del menor ángulo  (determinado por una línea trazada desde el vértice superior interno de la pared frontal hasta la prolongación horizontal del fondo del vaso y con la condición de que la línea trazada quede comprendida en su totalidad dentro de la pared frontal de la unión. La unión de las columnas con los cimientos se clasifica de acuerdo a la rigidez de las paredes de los vasos en: a) Uniones Flexibles b) Uniones Rígidas Uniones Flexibles: Son aquellas que tienen el fondo por encima o a nivel de la cara superior de la base del cimiento y que cumplan las especificaciones constructivas establecidas, el ancho de sus paredes determinan el trazado de un ángulo igual o mayor que 65   65 hp H1  Hv

Hv 

Además, las que teniendo el fondo por debajo del nivel de la cara superior de la base del cimiento y cumplan las especificaciones constructivas establecidas y siempre que el ángulo sea igual o mayor que 65 y, además, la altura H1 por la zona externa de la pared no sea inferior al 80% de la profundidad Hv interna del vaso

H1  0.8 Hv Hv 

Uniones Rígidas. En estas uniones el ángulo  es igual o menor que 53 UNIONES MONOLÍTICAS Cuando se consideran combinaciones de solicitaciones que incluyan carga de viento o de sismo, las uniones flexibles se comportan como uniones monolíticas, si cumplen las siguientes condiciones: 1. Condiciones de cálculo a)

Restricciones al giro: Su  S(mínimo) siendo Su = Mu / (h – a) – Pu / 2 XXXV.9a

Su- Solicitación de tracción que se considere al comprobar la resistencia al giro (kN) a-recubrimiento teórico del acero traccionado o menos comprimido (m) Mu- Solicitaciones de cálculo de flexión de la columna en la sección de empotramiento superior del vaso (kN) h – espesor de la columna en la dirección del plano de acción del momento (m) Pu – Solicitaciones de cálculo de compresión axial de la columna en la sección de empotramiento superior 372

del vaso (kN) S(mínimo) – Se tomará el menor de los siguientes valores: 1.4  P1 He 1 m XXXV.9b 1.4 P2 He 2 m XXXV.9c P1 – Parte del perímetro exterior de la columna limitado por la recta situada a una distancia (h/4) del borde de tracción o menos comprimido de la columna P2 – Parte del perímetro interior del vaso limitado por la recta situada a una distancia (h/4) del borde de tracción o menos comprimido de la columna y tomado a una profundidad de (He/2) h

h/4

He – Longitud de empotramiento de la columna m – Tensión Límite de Fricción – Adherencia 1, 2 – coeficientes que considera la rigurosidad de la columna y del vaso respectivamente y cuyos valores se toman de la siguiente Tabla Cot   0.6 1.6 2.0

Superficie de contacto Lisa Rugosa

0 0.6 1.0

b) Restricciones al punzonamiento: Pru   (Ppbu + Nf) XXXV.9d Ppbu –Solicitación resistida por la base del cimiento Pf – p He m XXXV.9e Pru – Resultante de la presión del terreno p- perímetro de la columna empotrada (m) m – Para mortero o concreto de la junta fc’ = 20 MPa m = 1.40 MPa fc’ = 17.5 MPa m = 1.30 MPa Nota: el mortero u Concreto debe ser bien vibrado Pf

Ppbu

Pru

c) Restricciones a la compresión lateral: Pu < 0.4  fc Hc Pc Pc- Perímetro de la sección transversal de la columna en el empotramiento Pu’ – Solicitación de cálculo en la columna (Compresión axial) fc – Resistencia de cálculo del concreto a la tracción

XXXV.9f

2. Condiciones constructivas El espesor entre el fondo de la columna y el vaso será como mínimo de 50 mm

373

En el vaso se colocarán siempre 2 estribos de  10 mm en la zona superior del mismo. Este refuerzo tomará las posibles tensiones debidas al montaje y retracción del Concreto El material de la junta será como mínimo fc’ = 17.5 MPa La mezcla del concreto de la junta será de gravilla fina (tamaño del grano será 1/3 del espesor mínimo de la junta). Se utilizará cemento Pórtland P-250 como mínimo, teniendo un asentamiento de 75 mm Para la preparación de la mezcla se utilizará la cantidad mínima de agua necesaria para una buena elaboración de la mezcla (asentamiento no mayor de 75 mm), no se permitirá una mezcla líquida El acero mínimo longitudinal se calculará para la sección aligerada del vaso La superficie interior del vaso y de la parte empotrada de la columna se limpiará con cepillo de alambre y es necesario humedecerla La rugosidad de la superficie se alcanzará sin dañar la estructura del concreto fraguado, por el uso de cepillo de alambre El concreto de la junta se curará y se mantendrá por lo menos 72 horas Después de colocar la columna, ésta se asegurará contra todo movimiento hasta haber fraguado el concreto. En el caso de usar cuñas se colocarán sin que se dañe el vaso El espesor mínimo de las paredes de; vaso será 12 cm La longitud mínima de empotramiento de la columna será (1.1 h) pero no mayor de 1.2 m UNIONES NO MONOLÍTICAS La carga normal de compresión Pu, produce un efecto favorable en la unión cuya magnitud se tomará como: P ez ez- excentricidad virtual en el nivel inferior de la profundidad de cálculo Hc de la carga P, y tendrá el menor de las dos condiciones siguientes: ez < h/2 ez < 0.7 eo eo = (M + T Hc) / P XXXV.9g M- momento de servicio (sin factor de carga) de la columna, en la sección superior de empotramiento del vaso T – cortante de servicio de la columna en la sección superior del empotramiento del vaso Hc – profundidad de cálculo de la columna P –Carga axial de servicio en compresión de la columna en la sección superior de empotramiento de la columna ..................................................................................................................................................................... NOTAS: Si eo  h/6, no se considerarán las tensiones sobre las paredes del vaso y ésta se diseñará cumpliendo las disposiciones constructivas establecidas A los efectos del cálculo la Hc se tomará siempre igual a Hc de la columna. La longitud mínima de empotramiento se indica en el apartado de condiciones constructiva ......................................................................................................................................................................... En las uniones flexibles se admitirá proporcionalidad entre las deformaciones y las presiones, así como que las deformaciones en las zonas de las paredes que ocurren presiones, son elásticas y de variación lineal Para el análisis del espesor mínimo de las paredes en las uniones flexibles, se usará la presión media entre la máxima del borde superior y la presión correspondiente a 5/9 de la altura total (y) del correspondiente bloque de presiones. Se limitará el esfuerzo cortante a: v = (fc’) / 6 Se admitirá que el plano de contacto del extremo inferior de la columna con el mortero de relleno de la zona inferior del vaso, podrá desarrollarse una fuerza por fricción Pf (fuerza de fricción en el plano de contacto del extremo inferior de la columna con el mortero de relleno de la zona inferior del vaso), cuya magnitud máxima será en función del coeficiente de fricción y de la porción de carga normal (P) que llega al fondo a través de la columna En las uniones flexibles, el refuerzo de las paredes se determinará a partir de las ecuaciones de equilibrio de la estática aplicada Para el cálculo del refuerzo longitudinal de las paredes de uniones flexibles se considerará el vaso como sección tubular o hueca, sometido al momento flector resultante de las presiones en las paredes sin tener en cuenta la posible porción de la carga normal P, que puede pasar a las paredes por efecto de la fricción lateral 374

Las presiones sobre las paredes de la unión se determinará a partir de las solicitaciones de servicio P, M y T que actúan en la columna Las solicitaciones de cálculo para el diseño, se determinarán a partir de las solicitaciones de servicio afectadas por los coeficientes de carga Los diagramas de presiones para uniones no monolíticas para uniones flexibles son como a continuación se señalan: Se asume que la fuerza Pf es menor, igual o mayor que la Pfm en las paredes de unión. Se considera que las presiones pueden tener dos diagramas: Diagrama I. Diagrama triangular único (caso general) con presiones sólo en la pared frontal y en toda la profundidad efectiva de cálculo He La condición de este Diagrama es: Pf  Pfm Pf –fuerza de fricción en el plano de contacto del extremo inferior de la columna con el mortero de relleno de la zona inferior del vaso Pfm- fuerza de fricción máxima en el plano de contacto del extremo inferior de la columna con el mortero

de relleno de la zona inferior del vaso

M 1

P Hv

Hc = y

H1 Ff Pf   Pfm

Pared Frontal

En el caso de que H1 < Hv y que el fondo de la columna quedará 5 cm o más por debajo de la cara superior de la base del cimiento, es decir, He  H1 + 5 cm, se considere un Diagrama Triangular único, sin importar el valor de Pf Diagrama II Diagrama triangular doble de presiones, uno en la parte superior de la pared frontal y otro en la porción inferior de la pared posterior M La condición de este diagrama es: Ff >  Ffm T P 1 y Hc H1 2 Pf > pfm Ff El valor de Pf está dado por la siguiente expresión Pf = 3 (M – P ez) T / 2 Hc El valor de pfm es: pfm = 0.5 N’

XXXV.9h

Para el Diagrama I 1 = 3 P ( eo – ez) / b (Hc)^2 XXXV.9i Para el Diagrama II 1 = [6 P (eo – ez) – (P + 2 T) Hc] / b (Hc)^2 XXXV.9j 2 = - [ 6 P (eo – ez) – 2 (P + 2T) Hc] / b (Hc)^2 XXXV.9k Notas: El signo negativo de la presión 2 demuestra que las mismas se ejercen sobre la pared posterior 375

El parámetro (b) es el ancho de la columna en contacto con la pared frontal o con la posterior, o sea, la dimensión de la sección del empotramiento de la columna normal a la dimensión (h) (espesor de la columna en la dirección del plano de acción del momento M) La comprobación del espesor de la pared se efectuará con: v = ( 1u b / hp)  (fc’) / 6 XXXV.9l hp- espesor de la parte superior de la pared del vaso 1u- esfuerzo 1 mayorado b – ancho de la columna en contacto con la pared frontal o posterior del vaso, perpendicular a la dirección del plano de acción del momento M Refuerzo transversal de las paredes flexibles laterales Debido a la variabilidad del diagrama de presiones y para los fines de cálculo del refuerzo transversal de las paredes laterales, se divide la profundidad del diagrama de presiones en varias zonas, no menor de dos, en cada una de las cuales se considerará una distribución uniforme de presiones con una magnitud igual al promedio de los valores reales de las presiones de cada zona considerada. En cada zona se establecerán las ecuaciones de equilibrio entre las solicitaciones que originan las presiones y las correspondientes resistencias de las armaduras Se considerará siempre una zona básica superior con una altura igual al 25% de Hc. El resto del diagrama o de los diagramas se dividirá de acuerdo con la importancia que tenga la variación de las presiones, de modo que puedan obtenerse ventajas económicas apreciables, sin que impliquen grandes complicaciones constructivas, en ningún caso la altura de estas zonas se tomará inferior al 0.25 Hc En la pared lateral y para la altura establecida de 0.25 Hc, se cumplirá la siguiente expresión: As  psu b Hc / 0.9  s fy

XXXV.9m

As- área total del refuerzo de la zona básica superior psu – tensión de cálculo promedio en la zona básica superior fy- resistencia del refuerzo El espaciamiento máximo en la misma zona para barras de refuerzo de área (a) colocadas en una misma fila o camada en número igual a (n), cumplirá la siguiente expresión: s  2 (n a) 0.9  fy / psu b

XXXV.9n

n- número de barras en una misma fila o camada a- área de la barra de diámetro  psu- presión promedio de la zona básica. A los efectos prácticos y manteniéndose del lado de la seguridad se pueda utilizar los siguientes valores de acuerdo con la magnitud de la profundidad “y” del bloque triangular de presiones superiores: psu = 0.9 1 cuando 0.8 Hc < y  Hc psu = 0.85 1 cuando 0.6 Hc < y  0.8 Hc psu = 0.80 1 cuando y  0.6 Hc Se colocará el mismo refuerzo transversal en las paredes frontal y posterior que el calculado para las paredes laterales Para el cálculo del Refuerzo longitudinal de las paredes frontal y posterior, se considerará el vaso si fuera una viga hueca (viga cajón) en voladizo. Es decir, empotrado en la sección de unión con el resto del pedestal o con la base del cimiento, y sometida al momento flector que originen las presiones en la sección del empotramiento o en cualquier otra que se estime crítica. Se utilizarán en el cálculo del momento flector, tanto las presiones sobre la pared frontal como sobre la posterior en caso de existir Disposiciones constructivas Lateralmente en la zona del fondo, el relleno de la junta tendrá un espesor no menor de 5 cm y no mayor de 8 cm Entre la parte inferior de la columna y el fondo del vaso se colocará un relleno no mayor de 8 cm y no menor de 2 cm de espesor, constituida por mortero u Concreto de gravilla de resistencia no menor de 17.5 MPa 376

Sobre el relleno fraguado especificado anteriormente, se verterá en la unión con no más de 3/4 hora de antelación al momento en que la columna se introduzca en el vaso, una capa de mortero de 1 cm de espesor, de modo que la columna asiente sobre este mortero garantizándose así la fricción entre ambos elementos El relleno de la junta lateral se verterá después de colocada en posición la columna y fijada al vaso en forma firme por aditamentos provisionales, y se hará con concreto de gravilla que no exceda de 1 cm de grueso y la calidad del mismo no será igual o mayor a la del concreto de la unión y nunca menor de 17.5 MPa El concreto del vaso será de calidad igual a la del concreto de pedestal o de la base del cimiento Se recomienda que las esquinas interiores del vaso no se terminen en ángulo recto, para ello se utilizará un bisel colocado simétricamente con relación a las paredes, cuya longitud será variable por ser inclinadas las paredes interiores y cuyo valor será tal que en ningún punto de la altura la distancia de la arista de la columna al bisel sea menor del 70% del espesor de la junta a la altura correspondiente Cuando se usan columna con vértices achaflanados, la distancia entre el chaflán de la columna y el bisel del vaso será tal que el vértice que originará la prolongación de los lados, cumplan con lo especificado anteriormente La longitud mínima de empotramiento de la columna He cumplirá con el mayor de los siguientes valores: He  1.5 h, cuando Ho 0.7 h He  1.0 h, cuando h/6 < Ho < 0.7 h He  0.75 h, cuando eo  h/6 He  ld (longitud de anclaje) He  30 cm El espesor mínimo hf del fondo de la unión cumplirá con la mayor de las siguientes condiciones hf  h/2

hf  25 cm

En caso de que la solicitación predominante sea de compresión, es decir, con eo  h/6 se colocará a 5 cm por debajo del fondo del vaso, una malla formada por barras de  10 mm, espaciada a 10 cm en ambas direcciones. De no usarse dicho refuerzo se comprobará el fondo del vaso a presiones de contacto El área de contacto por debajo de la columna se considera igual al área exterior de la unión del vaso con la base. Si se necesita malla de refuerzo, ésta se coloca a 5 cm por debajo del fondo del vaso El espesor mínimo hp del borde superior cumplirá las siguientes condiciones: - El área de la sección transversal del vaso a nivel del extremo superior, será igual o mayor que el área de la sección transversal de la columna en el empotramiento - hp  12 cm Cuando el espesor del borde superior tiene el valor igual o menor de 15 cm, se admitirá que el refuerzo transversal está constituido por barras en forma de cercos octogonales soldados por sus extremos y colocados en el eje de la pared, además, se colocarán barras longitudinales en cada vértice que pueden constituir todo o parte del refuerzo requerido en dicha dirección Cuando hp > 15 cm el refuerzo se dispondrá en doble fila de barras, pudiendo la exterior estar constituida por un cerco continuo rectangular con sus extremos soldados. La interior, por barras individuales extendidas hasta el refuerzo exterior y soldadas a él en las zonas de contacto, en todos los vértices exteriores se colocarán barras longitudinales que pueden ser el total o parte del refuerzo requerido en dicha dirección En caso de no usarse soldadura, se debe garantizar el anclaje del refuerzo transversal indicando en los planos, las medidas constructivas apropiadas al caso Para el refuerzo transversal no se usarán barras de diámetro inferior a 10 mm El primer refuerzo transversal se situará a 5 cm del borde superior del vaso El espaciamiento del refuerzo transversal no excederá del siguiente valor: tx  Hc / 4 tx- espaciamiento máximo de las barras, filas o camadas del refuerzo en la zona x1 que se analiza en la pared lateral Los refuerzos cumplirán las cuantías mínimas XXXV.10 PROBLEMAS PROPUESTOS XXXV.10.1Qué son los elementos prefabricados? XXXV.10.2 Como es la distribución de las cargas puntuales en las losa con huecos y de viga T? XXXV.10.3 Qué factores se deben tener en cuenta al diseñar los elementos prefabricados? 377

CAPÍTULO XXXVI (Capitulo C.20) EVALUACIÓN DE LA RESISTENCIA DE ESTRUCTURAS EXISTENTES XXXVI.1 EVALUACIÓN DE LA RESISTENCIA (C.20.1) Cuando existan dudas de que una estructura, o parte de ella, no cumpla los requisitos de seguridad que establece el Reglamento, el Ingeniero Diseñador o el Supervisor Técnico, pueden ordenar la realización de una evaluación de la resistencia de la estructura, lo cual debe ajustarse a los requisitos del Reglamento, lo cual se relatan en este Capítulo A- Evaluación analítica. Si los efectos de la deficiencia en resistencia debidos a cargas axiales, flexión, flexo-compresión y flexo-tracción corresponden a fenómenos adecuadamente entendidos dentro de la mecánica estructural y el concreto estructural, y es posible determinar las dimensiones y propiedades de los materiales requeridas para poder realizar una evaluación analítica, se permite realizar la evaluación de la resistencia de la estructura por medio de análisis, de la forma siguiente: 1- Deben determinarse las dimensiones de los elementos estructurales en las secciones críticas de estos elementos . Las secciones críticas son aquellas en las cuales cada tipo de esfuerzo calculado para la carga en cuestión alcanza su valor máximo 2- La localización y tamaños de las barras de refuerzo, mallas electrosoldadas y torones de presfuerzo deben determinarse por medio de mediciones. La localización de los refuerzos debe definirse utilizando los planos disponibles de la estructura, siempre y cuando se realicen algunas verificaciones en la estructura que permitan confirmar que la construcción se realizó de acuerdo de los planos disponibles. Se permite utilizar los datos para un 5% del refuerzo o tendones en las regiones críticas, siempre que las mediciones confirmen los datos obtenidos de los planos constructivos 3- Las resistencias del concreto utilizado deben basarse en resultados de ensayos de cilindros o de núcleos extraídos de la porción de la estructura donde exista la duda. El número de ensayos dependen del tamaño de la estructura y de la sensibilidad de la seguridad estructural en la resistencia del concreto para el problema dado Para evaluar la resistencia de una estructura existente, se pueden utilizar los datos de los ensayos de cilindros o núcleos para calcular un fc’ equivalente. El método para obtener y ensayar los núcleos debe de estar de acuerdo con NTC 3658 (ASTM C42M) 4- La resistencia de los aceros de refuerzo o de los tendones de presfuerzo debe basarse en ensayos a tracción de muestra representativas de los materiales empleados en la estructura. Como recomendación, se requieren por lo menos tres muestras por cada tipo de refuerzo que afecte el problema bajo investigación. Si la muestras son extraídas de la estructura, éstas deben provenir de lugares en los cuales la extracción no afecte la seguridad de la estructura 5- Si las dimensiones y las propiedades de los materiales se determinan por medio de mediciones en la estructura y ensayos de materiales de ella, se permite incrementar los valores de los Coeficientes de Reducción de resistencia  , sin exceder los valores dados a continuación Sección controlada por tracción …………………………………………………  = 1.0 Sección controlada por compresión ……………………………………………..  = 0.9 Elementos con refuerzo en espiral ………………………………………………  = 0.9 Otros elementos reforzados ……………………………………………………..  = 0.8 Cortante y torsión ………………………………………………………………..  = 0.8 Esfuerzo de contacto en el Concreto ……………………………………………  = 0.8 Estos valores son mayores que los especificados en el diseño y se debe a que se utilizan propiedades más exactas para los materiales, obtenidas en el campo, de las dimensiones reales y métodos de análisis bien entendidos B- Prueba de carga. Si los efectos de la deficiencia en resistencia no corresponden a fenómenos bien entendidos, o no es posible determinar las dimensiones y propiedades de los materiales requeridas por medios de mediciones, debe realizarse además de la evaluación analítica, una prueba de carga de la estructura, o de la porción afectada, para que ésta pueda ser utilizada o pueda permanecer en servicio En el caso de cortante o a la adherencia de un elemento es crítica respecto a la seguridad de la estructura, un ensayo también puede ser la solución 1- El número y definición de las luces o paneles de losa que se cargan, debe seleccionarse de tal manera que se obtengan las deflexiones y esfuerzos máximos en las regiones críticas de los 378

elementos estructurales cuya resistencia está en duda. Debe emplearse más de una disposición de la carga del ensayo si una sola disposición no conduce simultáneamente a valores máximos de los efectos tales como deflexiones, rotaciones y esfuerzos, necesarios para demostrar la bondad de la estructura Es sumamente importante aplicar la carga en los lugares donde el efecto de ella con relación al defecto del máximo y que la probabilidad de que los elementos que no estén cargados tomen parte de la carga aplicada sea mínima 2- Cuando se trate de edificaciones no terminadas, o en construcción, con una anticipación no menor de cuarenta y ocho horas a la iniciación del ensayo de carga, debe aplicarse una carga que simule el efecto de la parte de las cargas muertas que todavía no actúan en la estructura y dejarla colocada hasta que termine el ensayo en su totalidad 3- La carga a emplear en la prueba de carga, incluyendo la carga muerta que ya esté colocada, no debe ser menor que: a) 1.15 D + 1.5 L + 0.4(Lr o G o Le) XXXVI.1 b) 1.15 D + 0.9 L + 1.5(Lr o G o Le) XXXVI.2 c) 1.3 D XXXVI.3 D - carga muerta L – carga viva Lr- carga viva sobre la cubierta Le – cargas por empozamiento de agua, o momentos y fuerzas internas correspondientes Se permite disminuir el factor de carga de la carga viva L hasta 0.45, excepto en garaje, áreas de asambleas públicas y área donde L sea mayor que 4.8 kN/m^2 4- No debe realizarse la prueba de carga hasta que la porción de la estructura tenga al menos 56 días, de haberse vaciado el concreto. Si el ingeniero diseñador, el supervisor técnico, el constructor de la estructura y el propietario están de acuerdo, la prueba de carga puede hacerse a una fecha más temprana 5- Con anterioridad, no mayor de una hora, a la colocación del primer incremento de carga deben obtenerse los valores iniciales de todas las mediciones tales como deflexiones, rotaciones, deformaciones, movimiento de los apoyos, longitud y espesor de las fisuras. Las mediciones deben hacerse en los lugares donde se esperan las máximas respuestas. Deben realizarse mediciones en lugares adicionales si así se requiere 6- La prueba de carga debe aplicarse en no menos de cuatro incrementos aproximadamente iguales 7- Las cargas de prueba distribuidas deben aplicarse de tal manera que garanticen la uniformidad de la carga que se transmiten a los elementos que se ensayan. Debe evitarse que el material utilizado para producir la carga de prueba trabaje en forma de arco 8- Debe realizarse un conjunto de mediciones de la respuesta de la estructura dentro de la hora siguiente a la terminación de la aplicación de cada incremento de carga y 24 horas después de que se haya colocado el último incremento de carga 9- Debe iniciarse el retiro de la carga de la prueba inmediatamente después de que se tomen las medidas de la respuesta. La totalidad de la carga de prueba debe haberse retirado dentro de las 24 horas siguientes a la realización de las medidas de respuestas 10- Deben tomarse las mediciones finales 24 horas después de que haya retirado la totalidad de la carga de ensayo C- Criterio de aceptación de la prueba de carga (C.20.5) Puede considerarse que la estructura es adecuada para carga vertical, cuando una vez realizada la prueba de carga, no presenta evidencia de falla y además se cumplen los requisitos dados en esta Sección. El descascaramiento y/o aplastamiento del concreto a compresión debe considerarse como indicación de falla Las deflexiones máximas (∆max) deben cumplir una de las siguientes condiciones: ∆max ≤ lt^2 / 20000 h XXXVI.4 (C.20.1) ∆rmax ≤ ∆max / 4 XXXVI.5 (C.20.2) lt- luz del elemento al que se le realiza la prueba de carga (luz más corta en las losas que trabajan en dos direcciones). La luz de un elemento, excepto para voladizos, es la distancia entre los centros de los apoyos, o la distancia libre entre ellos, más el espesor del elemento, la que sea menor, expresada en mm. Para voladizos es el doble de la distancia desde el apoyo y hasta el extremo del voladizo, en mm ∆max- máxima deflexión medida de un elemento bajo la carga de ensayo, con respecto a la línea que une los extremos de la luz, o el extremo libre de un voladizo con respecto al apoyo, expresada en mm h- espesor del elemento expresado en mm

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∆rmax- deflexión residual de un elemento de un elemento después de retirar la carga de ensayo, con respecto a la línea que une los extremos de la luz, o el extremo libre de un voladizo con respecto a su apoyo, expresada en mm Si las máximas medidas no satisfacen las dos últimas ecuaciones, se permite repetir la prueba de carga. La repetición de la prueba de carga puede llevarse a cabo no antes de 72 horas contadas a partir del retiro de la carga de la primera prueba. La segunda prueba de carga se considera satisfactoria si: a) la porción ensayada de la estructura no muestra evidencia de falla en la repetición del ensayo y b) La recuperación de la deflexión cumple la condición de: ∆rmax ≤ ∆fmax / 5 XXXVI.6(C.20.3) ∆fmax- es la máxima deflexión máxima medida durante la segunda prueba de carga, relativa a la posición de la estructura al iniciar la segunda prueba Los elementos estructurales ensayados no deben tener, ni presentar durante el ensayo, fisuras o grietas que indiquen inminencias de una falla por cortante o tracción diagonal En las regiones de los elementos estructurales que no dispongan de estribos o refuerzo transversales, la aparición de fisuras estructurales inclinadas con respecto al eje longitudinal y que tengan una proyección horizontal más largas que la altura del elemento en el punto medio de la fisura, debe ser evaluada y puede considerarse razón válida para definir que no se cumplió con la prueba de carga En las regiones donde se ancle el refuerzo, o haya empalmes de refuerzo por traslapo, la aparición a lo largo de la proyección del refuerzo en la superficie del elemento, de una serie de fisuras cortas e inclinadas, o de una fisura longitudinal, debe considerarse razón válida para definir que no se cumplió con la prueba de carga Si la duda de la seguridad de la estructura, o parte de ella, incluye fenómenos de deterioro progresivo, y el comportamiento observado durante la prueba de carga cumple con los criterios de aceptación dados en este Capítulo, se puede permitir el uso de la estructura, o de la región afecta. por un período de tiempo que se debe indicar explícitamente. La definición del período de tiempo debe basarse en consideraciones acerca de: a) la naturaleza del problema b) Los efectos ambientales c) El efecto de la carga de uso d) La historia de la estructura en condiciones de servicio e) El alcance del programa de inspección periódica Una vez que se agote el período de uso permitido a la estructura, para que ésta pueda continuar en servicio deben realizarse nuevas evaluaciones acerca de su resistencia y seguridad XXXVI.2 DISPOSICIONES PARA LA ACEPTACIÓN DE CARGAS MENORES (C.20.6) Si la estructura no satisface las condiciones o criterios de aceptación, se puede utilizar la estructura para un nivel menor de cargas con base a los resultados de la prueba de carga o del análisis, siempre que lo apruebe la autoridad competente deben afectar los resultados XXXVI.3. SEGURIDAD (C.20.7) Las pruebas de carga deben realizarse tomando todas las precauciones posible para salvaguardar la vida de las personas que participen en ellas. Además deben disponerse medidas que impidan el colapso parcial o total de la estructura en caso de presentarse una falla súbita durante el ensayo Las medidas de seguridad que se tomen no deben interferir con el procedimiento de la prueba de carga ni afectar los resultados

XXXVI.4 PROBLEMAS PROPUESTOS XXXVI.4.1 Cuando se debe realizar una evaluación de resistencia de una estructura? XXXVI.4.2 Cuando debe realizarse una evaluación analítica? XXXVI.4.3 Cuales son los coeficientes de reducción? XXXVI.4.4 Cuando debe realizarse una prueba de carga? XXXVI.4.5 Cual es el valor de la carga en una prueba de carga? XXXVI.4.6 Cuales son los criterios de aceptación de la prueba de carga?

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CAPÍTULO XXXVII (Capitulo C.21) REQUISITOS DE DISEÑO SISMO RESISTENTE XXXVII.1 REQUISITOS GENERALES XXXV.1 Alcance (C.21.1.1) 1-Las indicaciones del presente Capítulo deben cumplirse en el diseño y construcción de estructuras de concreto reforzado en las cuales su habilidad para resistir los movimientos sísmicos se determinan de acuerdo con su capacidad de disipación de energía en el rango no lineal de respuesta

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2-La capacidad de disipación de energía en el rango inelástico durante un sismo de las estructuras de concreto estructural diseñado de acuerdo con los requisitos del Título C del Reglamento, NSR-10, y de este libro está definida de la siguiente manera: a) Capacidad de Disipación Mínima (DMI) Cuando los elementos de concreto estructural se diseñan de acuerdo con los requisitos de los Capítulos C.1 A C.19 del Reglamento (Capítulos I al XXXVI y XXXVIII de este libro), además de los requisitos aplicables para este tipo de estructuras presentados en el Capítulo C.21 del Reglamento (Capítulo XXXVII del libro) b) Capacidad de Disipación Moderada (DMO) Cuando los elementos de concreto estructural se diseñan de acuerdo con los requisitos de los capítulos C.1 A C.19 del Reglamento (Capítulos I al XXXV y XXXVII de este libro), y además cumplen los requisitos especiales que para estructuras con Capacidad de Disipación de Energía Moderada que prescribe el Capítulo C 21 del Reglamento (este Capítulo XXXVII del libro) c) Capacidad de Disipación de Energía Especial (DES) Cuando los elementos de concreto estructural se diseñan de acuerdo con los requisitos de los capítulos C.1 A C.19 del Reglamento (Capítulos I al XXXV y XXXVII de este libro), y además cumplen los requisitos especiales que para estructuras con Capacidad de Disipación de Energía Especial que prescribe el Capítulo C 21 del Reglamento (este Capítulo XXXVIII del libro) Como información: La relación entre el Nivel de Riesgo Sísmico del Reglamento NSR-10 y las Categorías del ACI 318-08 son las siguientes: Nivel de riesgo sísmico (Reglamento NSR- 10) Capacidad Mínima de disipación de Energía (DMI) Capacidad Moderada de Disipación de Energía (DMO) Capacidad Especial de Disipación de Energía (DES)

Categoría del ACI 318-08 A, B C D, E F

XXXVIII 2 GRUPOS DE USO DE LAS EDIFICACIONES Grupo I. Estructuras de ocupación normal. Todas las edificaciones cubiertas por el alcance del Reglamento, pero que no se han incluido en los Grupos II, III y IV Grupo II. Estructuras de ocupación especial. Cubre las siguientes estructuras: a) Edificaciones en donde se puedan reunir más de 200 personas en un mismo salón b) Graderías al aire libre donde pueda haber más de 2000 personas a la vez c) Almacenes y centros comerciales con más de 500 m^2 por piso d) Edificaciones donde trabajen o residan más de 3000 personas e) Edificios gubernamentales Grupo III. Estructuras de atención a la comunidad. Este grupo comprende aquellas edificaciones y sus accesos, que son indispensables después de un sismo para atender la emergencia y preservar la salud y la seguridad de las personas exceptuando las incluidas en el Grupo IV. Este grupo debe incluir: a) Estaciones de bomberos, defensa civil, policía, cuarteles de las fuerzas armadas y sedes de las oficinas de prevención y atención de desastres b) Garajes de vehículos de emergencia c) Estructuras y equipos de centro de atención de emergencias d) Guarderías, escuelas, colegios, universidades y otros centros de enseñanzas e) Aquellas otras estructuras que la administración municipal, distrital, departamental o nacional designe como tales Grupo IV Edificaciones indispensables. Son aquellas de atención a la comunidad que deben funcionar durante y después de un sismo, y cuya operación no puede ser trasladada rápidamente a un lugar alterno. Este grupo incluye: a) Todas las edificaciones que componen hospitales, clínicas y centro de salud que disponga de servicios de cirugía, salas de cuidados intensivos, salas de neonatos y/o atención de urgencia b) Tosas las edificaciones que componen aeropuertos , estaciones ferroviarias, y de sistemas masivos de transportes, centrales telefónicas de telecomunicación y de radiodifusión c) Edificaciones designadas como refugios para emergencias, centrales de aeronavegación, hangares de aeronaves de servicios de emergencia d) Edificaciones de centrales de operación y control de líneas vitales de energía eléctricas, agua, combustibles, información de personas y productos e) Edificaciones que contengan agentes explosivos, tóxicos, y dañinos para el público

382

Estructuras que albergue plantas de generación eléctricas de emergencia, los tanques y estructuras que formen parte de sus sistemas contra incendio y los accesos peatonales y vehiculares de las edificaciones en los literales a, b, c, d y e del presente numeral

XXXVIII 3 SISTEMAS ESTRUCTURALES DESIGNADOS COMO PARTE DE RESISTENCIA ANTE FUERZAS SÍSMICAS (C.21.1.1.7) Los siguientes requisitos deben ser cumplidos por todo sistema estructural designados como parte del sistema de resistencia ante fuerzas sísmicas, sin distingo de su capacidad de disipación de energía a) Los pórticos de resistencia con Capacidad Mínima de Disipación de Energía (DMI) deben cumplir con XXXVII.11 b) Los muros estructurales ordinarios de concreto reforzado con Capacidad Mínima de Disipación de Energía (DMI) no necesitan cumplir requisito alguno del presente Capítulo XXXVII c) Los pórticos intermedios resistentes a momento con Capacidad Moderada de Disipación de Energía Moderada (DMO) deben con cumplir XXXVII.13 d) Los muros estructurales intermedios prefabricados y construidos en sitio con Capacidad Moderada de Disipación de Disipación de Energía (DMO) deben cumplir con XXXVII.14 e) Los pórticos especiales a momento con Capacidad Especial de Disipación de Energía (DES) deben cumplir con XXXVII.15 a XXXVII.18 f) Los muros estructurales especiales con Capacidad Especial de Energía (DES) deben cumplir con XXXVII.19 g) Los muros estructurales especiales prefabricados den Capacidad de Disipación Especial de Energía (DES) deben cumplir con XXXVII.20 Todos los pórticos especiales resistentes a momento y todos los muros estructurales especiales con Capacidad Especial de Disipación de Energía (DES) deben cumplir también con XXXVII.4 a XXXVII.9 En la siguiente Tabla XXXVII 3a se muestra las secciones que se deben satisfacer en las aplicaciones típicas* Tabla XXXVII 3a Componentes que resisten los efectos sísmicos a menos que se indique de otro modo

Capacidad de Disipación de Energía DMI DMO

DES

Requerimientos de Análisis y Diseño

XXXVII.4

XXXVII.4 y XXXVII.5

Materiales

Ninguna

XXXVII.6 a XXXVIII.9

XXXVII.6 a XXXII.9

Elementos de pórticos

XXXVII.11

XXXVII.13

DMI

DMO

Muros estructurales y vigas de acople

Ninguna

XXXVII.14

Muros estructurales prefabricados

Ninguna

XXXVII.14

Diafragmas y armaduras estructurales

Ninguna

Cimentaciones

Ninguna

Elementos de pórticos que no se han diseñado para resistir fuerzas inducidas

Ninguna

XXXVII .15, XXXVII.16, XXXVII.17, XXXVII.18 DES

XXXII.19

XXXVII.14++ XXXVII.20

XXXVII.21 XXXVII.22

XXXVII.23 383

por movimientos sísmicos Anclajes

Ninguna

XXXVII.10

*Además de las disposiciones de los Capítulos C.1 A C.19 del Reglamento (Capítulos I al XXXVI y XXXVIII de este libro excepto en lo que se modifique en este Capítulo. La sección XXXVIII.9 CONCRETO SIMPLE EN ESTRUCTURAS RESISTENTES A SISMO también se aplica en DES ++ Como lo permite el Título A del Reglamento XXXVII.4. ANÁLISIS Y DISEÑO DE LOS ELEMENTOS ESTRUCTURALES (C.21.1.2) Debe tenerse en cuenta la interacción entre todos los elementos estructurales y no estructurales que puedan afectar la respuesta lineal y no lineal de la estructura cuando ésta se vea sometida a los movimientos sísmicos Se permiten elementos rígidos no considerados como parte de un sistema de resistencia antes fuerzas sísmicas con la condición de considerar y tener en cuenta en el diseño de la estructura su efecto en la respuesta del sistema. Se deben considerar también las consecuencias de las fallas de los elementos estructurales y no estructurales que no forman parte del sistema de resistencia ante fuerzas sísmicas Los elementos estructurales que se encuentren localizados por debajo de la base de edificación, y que se requieren para transmitir a la cimentación las fuerzas resultantes de los efectos sísmicos deben cumplir también con los requisitos del presente Capítulo, que sean congruentes con el sistema de resistencia ante las fuerzas sísmicas localizado encima de la base de la estructura XXXVII.5. FACTORES DE REDUCCIÓN DE RESISTENCIA () (C.21.1.3) Los factores de reducción de la resistencia deben ser los indicados en XIII.4 RESISTENCIA DE DISEÑO

(DMO) y (DES) XXXVII.6. CONCRETO EN ESTRUCTURAS CON CAPACIDAD DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA MODERADA (DMO) Y ESPECIAL (DES) (C.21.1.4) 1-Se aplican a los pórticos especiales resistentes a momento, muros estructurales especiales y yodos componentes de muros estructurales especiales incluyendo vigas de acoples y manchones de muros 2-La resistencia del concreto no debe ser menor de 21 MPa. Las estructuras hasta de tres pisos cuyo sistema de resistencia sísmica consista de muros de cargas no tienen que cumplir lo anterior 3– La resistencia especificada a la compresión de concreto liviano fc´, no debe ser mayor de 35 MPa a menos que se demuestre por medio de evidencia experimental, que los elementos estructurales construidos con este material proporcionan resistencia y tenacidad iguales o mayores que las de los elementos comparables construidos con concreto de peso normal de la misma resistencia. El factor de modificación λ para concreto de peso liviano en este Capítulo debe concordar con el Inciso II.9.4a, a menos que se especifique lo contrario En estructuras asignada a Capacidad Especial de Disipación de energía (DES) los manchones de muros deben diseñarse de acuerdo a XXXVII.19 o XXXVII.23 XXXVII.7. REFUERZO EN ESTRUCTURAS CON CAPACIDAD DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA MODERADA (DMO) Y ESPECIAL (DES) (C.21.1.5) Se aplica a los pórticos especiales resistentes a momento, muros estructurales y vigas de acoples 1-El refuerzo corrugado que resiste fuerzas axiales y momentos inducidos por sismo en elementos de pórticos y elementos de borde de muros deben cumplir con NTC2289 (ASTM A706M) Grado 420 MPa y especialmente a) La resistencia real basada en ensayos no debe excede fy por más de 125 MPa, y b) La relación entre la resistencia real de tracción y la resistencia de fluencia no sea mayor de 1.25 2-La resistencia de presfuerzo para resistir flexión y carga axial inducido por sismo en elementos de pórticos y en muros estructurales prefabricados deben cumplir con NTC 2010 (ASTM A416M) o NTC 2142 (ASTM A722M) 3-El valor de fyt utilizado para calcular la cantidad de refuerzo de confinamiento (refuerzo transversal incluyendo espirales), no debe exceder 700 MPa 4-El valor de fy y fty utilizado en el diseño de cortante no debe exceder de 420 MPa, excepto en malla electro soldada 384

XXXVII.8. EMPALMES MECÁNICOS EN PÓRTICOS Y MUROS ESTRUCTURALES ESPECIALES CON CAPACIDAD DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA MODERADA (DMO) Y ESPECIAL (DES) (C.21.1.6) Los empalmes mecánicos se clasifican en Tipo 1 y Tipo 2, como se informa a continuación: a) Los empalmes mecánicos Tipo 1 deben desarrollar en tracción o compresión al menos 1.25 fy de la barra empalmada b) Los empalmes Tipo 2 deben desarrollar en tracción y compresión al menos 1.25 de fy y deben desarrollar la resistencia a tracción especificadas en las barras empalmadas El empalme Tipo 1 no debe utilizarse dentro de una distancia igual a dos veces la altura del elemento desde la cara de la columna o viga para pórticos a momentos especiales o desde secciones donde se produzca fluencia del refuerzo como resultados de desplazamiento laterales inelásticos. El empalme Tipo 2 puede utilizarse en cualquier localización XXXVII.9. EMPALMES SOLDADOS EN PÓRTICOS Y MUROS ESTRUCTURALES CON CAPACIDAD DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA (DMO) Y ESPECIAL (DES) (C.21.1.7) 1- Los empalmes soldados deben desarrollar en tracción o compresión al menos 1.25 de fy de las barras soldadas y no debe utilizarse dentro de una distancia igual a dos veces la altura del elemento desde la cara de la columna o viga para pórticos a momentos especiales o desde secciones donde se produzca fluencia del refuerzo como resultados de desplazamiento laterales inelásticos 2-No se puede soldar estribos, insertos, u otros elementos similares al refuerzo longitudinal requerido por el diseño XXXVII.10. ANCLAJES AL CONCRETO EN ESTRUCTURAS DE CAPACIDAD DE DISIPACIÓN DE ENERGIA MODERADA (DMO) Y ESPECIAL (DES) Anclajes resistiendo cargas inducidas por sismo en estructuras deben cumplir con el CAPITULO ANCLAJES AL CONCRETO

DMI XXXVIII.11. PÓRTICOS ORDINARIOS RESISTENTES A MOMENTO CON CAPACIDAD MÍNIMA DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA (DMI) (C.21.2) 1-Las disposiciones siguientes son aplicables a pórticos ordinarios resistentes a momento de Capacidad Mínima de Disipación de Energía (DMI) que forman parte del sistema de resistencia ante fuerzas sísmicas. Cuando se permita un sistema de losas en dos direcciones, sin vigas, que se considere como parte de un pórtico del sistema de resistencia ante fuerzas sísmicas con capacidad mínima de disipación de energía (DMI), los detalles del refuerzo de cualquier vano que resiste momentos causados por E deben cumplir con XXXVII.12 LOSA REFORZADA EN DOS DIRECCIONES SIN VIGAS 2-En vigas debe haber al menos dos barras longitudinales continuas en las caras superior e inferior. Es barras deben desarrollarse en la cara del apoyo Las columnas que tienen una altura libre menor o igual a cinco veces la dimensión c1 deben diseñarse de acuerdo con XXXVII.13.1 XXXVII.12 LOSA REFORZADA EN DOS DIRECCIONES SIN VIGAS CON CAPACIDAD MÍNIMA DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA (DMI) (C.21.4) a) El momento mayorado de la losa en el apoyo asociadas con efectos sísmico E, debe determinarse con las combinaciones de carga VIII.1.15 y VIII.1.17. El refuerzo proporcionado para resistir Mslab, relacionados con efectos sísmicos debe colocarse dentro de la franja de columnas como se define en el capítulo de sistemas de losas de dos direcciones b) La fracción de momento definida por Mslab f = 1 / [1 + (2/3)(b1/b2)] Mslab debe resistir por medio de refuerzo colocado dentro del ancho efectivo de la columna, El ancho efectivo de la losa para conexiones exteriores y de esquina no debe extenderse más allá de la cara de la columna una distancia mayor que ct, medida perpendicular a la luz de la losa c) Por lo menos la mitad del refuerzo de la franja de columnas en el apoyo debe colocarse dentro de un ancho efectivo de losa entre líneas que estén por fuera las caras opuestas de la columna o capitel una y medía veces el espesor de la losa o del ábaco (1.5h)

385

d) Por lo menos una cuarta parte del refuerzo superior de la franja de columnas en el apoyo debe ser continuo en toda la luz e) El refuerzo inferior continuo de la franja de columnas no debe ser menor que un tercio del refuerzo negativo en el apoyo de la misma franja de columnas f) Por lo menos la mitad del refuerzo inferior de la franja de la luz debe ser continuo y debe Desarrollar su resistencia a la fluencia en la cara del apoyo g) En los bordes discontinuos todo el refuerzo superior e inferior del apoyo debe desarrollarse en la cara del apoyo En las secciones críticas para columnas, el cortante en dos direcciones causado por las cargas gravitarias mayoradas no deben exceder 0.4  Vc. esto puede obviarse si la contribución del cortante mayorado en dos direcciones, inducido por el movimiento sísmico y transferido por excentricidad de cortante en el punto de esfuerzo máximo no excede la mitad del esfuerzo  Vn

DMO XXXVII.13 PÓRTICOS INTERMEDIOS RESISTENTE A MOMENTO CON CAPACIDAD MODERADA DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA (DMO) (C.21.3) 1-Las disposiciones de este inciso son aplicables a pórticos intermedios resistentes a momento con capacidad moderada de disipación de energía (DMO) que forman parte del sistema de resistencia ante fuerzas sísmicas 2-Los detalles del refuerzo en el pórtico deben satisfacer XXXVII.13.2, si el la carga axial de compresión mayorada, Pu, para el elemento no excede de Ag fc’ / 10. Si Pu es mayor, entonces debe satisfacer XXXVII.13.3 XXXVIII.13.1 El Vn en vigas y columnas que resisten los efectos del sismo E no debe ser menor que el menor de a) y b) a) La suma del cortante debido a flexión en curvatura inversa asociado con el desarrollo de los momentos nominales de la viga en cada extremo restringid de la luz libre y el cortante calculado para cargas gravitatorias mayoradas De acuerdo con lo anterior, el cortante mayorado es determinado de la resistencia del momento nominal del elemento y la carga gravitaria de este. Un ejemplo de vigas y columnas es ilustrado a continuación

Viga Columna

wu Mni

Mnd ln Vui

Vur cortante de la viga 386

Vu = (Mni + Mnd) / 2 + wu ln / 2

Mns Pu Vu cortante en la columna

lu Vu Vu = (Mns + Mni) / lu Mni

Cortante de diseño Para determinar el cortante máximo en la viga, se asume que la resistencia del cortante nominal ( = 1.0) son desarrollado simultáneamente a ambos lados de su luz libre. Como se indica en la figura anterior, el cortante asociado con esta condición [(Mni + Mnd) / ln] es sumado algebraicamente al cortante debido a la carga gravitaría mayorada para obtener el cortante de diseño de la viga. En el ejemplo se consideró que la carga muerta y la viva son uniformemente distribuidas La determinación del cortante de diseño para una columna es también considerando con un caso particular en la figura anterior. La carga mayorada de compresión Pu debe ser seleccionada para desarrollar el valor mayor de la resistencia a momento de la columna En esta aplicación, los cortantes son requeridos para ser calculado para el momento actuando en ambas direcciones (a favor y en contra de las agujas del reloj). La figura anterior muestra sólo una de las dos condiciones que deben ser considerados para cada elemento. b)El cortante máximo obtenido de las combinaciones de carga de diseño que incluya E, considerando E como el doble del prescrito por el Reglamento general legalmente adoptado para diseño sísmico vigente El Vn de de columnas para resistir efectos sísmicos, E, no debe ser menor que: a) La suma del cortante debidos flexión en curvatura inversa asociado con el desarrollo de los momentos nominales de la columna en cada extremo restringido de la longitud libre. La resistencia a flexión de la columna debe calcularse para la fuerza axial mayorada, constante con la dirección de las fuerzas laterales considerada, que resulten en el mayor valor de la resistencia a flexión b) El cortante máximo obtenido de las combinaciones de carga de diseño que incluyan E, con E incrementado por medio de Ωo XXXVIII.13.2 Vigas con capacidad moderada de disipación de energía (DMO) (C.21.3.4) El ancho del elemento bw, no debe ser menor de 200 mm La excentricidad respecto a la columna que le da apoyo no puede ser mayor que el 25% del ancho del apoyo medido en la dirección perpendicular a la dirección del eje longitudinal de la viga En cualquier sección de la viga el refuerzo superior e inferior no debe tener una cuantía ρ inferior a la que se obtiene de la ecuación As,mim = ρmin d bw = (√fc’ d bw / 4 fy) ≥ 1.4 d bw / fy XVI. 15.1.1 ni debe exceder de 0.025. Debe haber al menos dos barras continuas con diámetro igual o superior No 4 (1/2”) ó 12 M (12 mm), tanto arriba como abajo La resistencia del momento positivo en la cara del nudo debe ser no menor que un tercio de la resistencia del momento negativo de la cara del nudo. Tampoco la resistencia del momento negativo o del momento positivo en cualquier sección a lo largo de la viga debe ser menor que un quinto de la resistencia del momento máximo en la cara del nudo No se permiten empalmes por traslapo dentro del nudo A ambos lados de los extremos de la viga deben colocarse estribos cerrados de confinamiento al menos No. 3 ó 10 M por longitudes igual a 2h medidas desde la cara del elemento de apoyo hacia el centro de la luz 387

El primer estribo debe colocarse a no más de 5 cm de la cara del apoyo. El espaciamiento de los estribos debe cumplir con lo siguiente: a) de / 4 b) ocho veces el diámetro menor de los refuerzos longitudinales c) 24 veces el diámetro del estribo d) 30 cm Donde se requieran estribos cerrados de confinamiento, las barras longitudinales del perímetro deben tener soporte laterales conforme a IV.11.2c Deben colocarse estribos con ganchos sísmicos en ambos extremos espaciados a no más de d/2 en toda la longitud del elemento XXXVII.13.3 Columnas con capacidad moderada de disipación de energía (DMO) (C.21.3.5) La dimensión menor de la sección transversal, medida en una línea recta que pasa a través del centroide geométrico, no debe ser menor de 250 mm. Las columnas en forma T, C o I pueden tener una dimensión mínima de 0.20 m pero su área no puede ser menor de 0.0625 m^2 El área de refuerzo longitudinal, Ast, no debe ser menor que 0.01Ag ni mayor que 0.06Ag Los empalmes mecánicos deben cumplir con XXXVIII.8 y los empalmes soldados con XXXVIII.9 Deben utilizarse refuerzo en espiral, o estribos de confinamiento, como se indica a continuación a menos que se requieran cantidades mayores por esfuerzo cortante. La cuantía volumétrica de refuerzo en espiral o de estribos cerrado de confinamiento circular ρs, no debe ser menor que: ρs = 0.08 fc’ / fyt XXXVIII.13.3.1 (C.21.1) y no debe ser menor que ρs = 0.45[(Ag / Ach) – 1] fc´ fyt A ambos extremos del elemento debe proporcionarse estribos cerrados de confinamiento con un espaciamiento (so) sobre una longitud (lo) medida desde la cara de la unión. El espaciamiento (so) no debe exceder: a) ocho veces el diámetro menor de los refuerzos longitudinales b) 16 veces el diámetro del estribo cerrado de confinamiento c) un tercio de la menor dimensión de la columna d) 15 cm La longitud (lo) no debe ser menor que: a) 1 / 6 de la altura libre de la columna b) la dimensión máxima de la columna c) 50 cm a) El área total de la sección transversal del refuerzo de estribos cerrados de confinamiento rectangular, Ash, colocados en la longitud lo no debe ser menor que la requerida por: Ash = 0.2 (sbc fc’ / fyt) [(Ag / Ach) – 1] Ash = 0.06 sbc fc’ / fyt XXXVII.13.3.3

XXXVII.13.3.2 (C.21.2) (C.21.3)

b) El refuerzo transversal debe disponerse mediante estribos cerrados de confinamiento rectilíneos, como mínimo de diámetro No 3 ó 10M con o sin ganchos suplementarios. Se puede utilizar ganchos suplementarios del mismo diámetro de barra con el mismo espaciamiento de los estribos cerrados de confinamiento. Dada extremo del gancho suplementario debe enlazar una barra una barra perimetral del refuerzo longitudinal. Los extremos de los ganchos suplementarios consecutivos deben alternarse a lo largo del refuerzo longitudinal. El espaciamiento de los ganchos suplementarios o ramas con estribos de confinamiento rectilíneos dentro de la sección del elemento no debe exceder de 350 mm centro a centro de la dirección perpendicular al eje longitudinal del elemento estructural c) Como alternativa a lo indicado en a) y b) anteriores, pueden colocarse estribos de confinamiento de diámetro No. 3 ó 10M con fyt de 420 MPa con una separación s de 100 mm. Si la distancia horizontal entre dos ramas paralelas al estribo es mayor que la mitad de la menor dimensión de la sección de la columna ó 200 mm deben utilizarse cuantos estribos suplementarios de diámetro No. 3 ó 10M con fyt de 420 MPa sean necesarios para que esta separación entre ramas paralelas no exceda la mitad de la dimensión menor de la sección de la columna ó 200 mm. Este procedimiento alterno sólo puede emplearse en columnas cuyo concreto tenga un fc’, menor o igual a 35 MPa d) El primer estribo debe ser colocado a una distancia no mayor que so/2 de la cara del nudo 388

Fuera de la longitud lo deben colocarse estribos de confinamiento con la misma disposición, diámetro de barra y resistencia a la fluencia, fyt con un espaciamiento centro a centro que no debe ser mayor que dos veces el espaciamiento utilizado en la longitud lo Columnas soportando reacciones de elementos rígidos discontinuos, como muros, debe tener refuerzo transversal en un espacio (so) como se definió anteriormente sobre la altura total debajo del nivel en el cual ocurre la discontinuidad, si la porción de la fuerza de compresión mayorada en el elemento relativa al sismo excede Ag fc’ / 10. Donde la fuerza de diseño ha sido aumentada para tener en cuenta la sobre limitación de resistencia del elemento vertical del sistema de resistencia a sismo, el límite anterior puede ser incrementado a Ag fc’ / 4. Este refuerzo transversal debe extenderse abajo y arriba de la columna como indica XXXVII.16.3(1) XXXVII.13.4 Resistencia mínima a flexión de las columnas de pórticos con capacidad moderada de disipación de energía (DMO) (C.21.3.6) Las columnas de pórticos con capacidad de disipación de energía (DMO) deben satisfacer XXXVII.13.4.1 ó XXXVII.13.4.2 XXXVII.13.4.1 La resistencia a flexión de las columnas deben satisfacer la siguiente ecuación: ∑ Mnc ≥ 1.2 ∑ Mnb XXXVII.13.4.1 (C.21-4) ∑ Mnc – Suma de los momentos nominales de flexión que llegan al nudo, evaluados en las caras del nudo. La resistencia a la flexión de la columna debe calcularse para la fuerza axial mayorada, congruente con la dirección de las fuerzas laterales consideradas, que conduzcan a la resistencia a la flexión más baja ∑ Mnb- Suma de los momentos nominales de flexión que llegan al nudo, evaluados en las caras del nudo. En vigas T, cuando la losa está en tracción debida a momento en la cara del nudo, el refuerzo de la losa dentro del ancho efectivo de la losa, debe suponerse que contribuye a Mnb siempre que el refuerzo de la losa esté desarrollado en la sección crítica para flexión Las resistencias a la flexión deben sumarse de tal manera que los momentos de la columna se opongan a los momentos de la viga. Debe satisfacerse la ecuación XXXVII.13.4.1 para momentos de vigas que actúen en ambas direcciones en el plano vertical del pórtico que se considere XXXVII.13.4.2 Cuando XXXVII.13.4.1 no se satisface en el nudo, la resistencia lateral y la rigidez de las columnas que soportan las reacciones provenientes de dicho nudo deben ser ignoradas al determinar la resistencia y la rigidez calculada para la estructura. Estas columnas deben tener el refuerzo de confinamiento de ρs = 0.08 fc’ / fyt XXXVIII.13.3.1 y no debe ser menor que: ρs = 0.45[(Ag / Ach) – 1] fc´ fyt ó en XXXVII.13.3a a XXXVII.13.3c en toda la longitud vertical de la columna hasta la cimentación desde el nudo donde no se satisface. El incumplimiento del requisito sólo se permite hasta en un 10° de las columnas de un mismo piso. Si se excede este porcentaje deben rediseñarse las columnas y vigas hasta que se logre el cumplimiento contenido en XXXVII.13.4.2 XXXVII.14. MUROS ESTRUCTURALES INTERMEDIOS CON CAPACIDAD MODERADA DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA (DMO) (C.21.4) Este epígrafe se refiere a muros estructurales intermedios prefabricados o vaciado en el lugar que hacen parte del sistema de resistencia antes las fuerzas sísmicas en estructura con capacidad moderada de disipación moderada (DMO). Los muros estructurales prefabricados, deben cumplir con 1) y 2) además de los requisitos para muros vaciados en el sitio. Los muros vaciados en sitio deben cumplir con 3) 1-La conexión entre paneles de muros o entre los paneles y la cimentación, debe se debe restringir la fluencia a los elementos de acero o al refuerzo 2-Los elementos que no hayan sido diseñado para fluir deben desarrollar al menos 1.5 Sy 3-Los muros estructurales intermedios con capacidad de disipación de energía moderada (DMO) y sus vigas de acople deben cumplir todos los requisitos para muros estructurales especiales vaciado en sitio de XXXVII.19 con las modificaciones y excepciones que se presentan a continuación: a) En XXXVII.19.5.2 los elementos de borde deben colocarse cuando el esfuerzo de compresión máximo de la fibra extrema correspondiente a las fuerzas mayoradas incluyendo los efectos E, sobrepase 0.3 fc’ Los elementos de borde especiales pueden ser descontinuados donde el esfuerzo de compresión calculado sea menor de 0.22 fc’. El resto de los requisitos de esta sección se aplican allí b) La sección XXXVII.19.5.3 debe sustituirse por:

389

c) El refuerzo transversal de los elementos especiales de borde debe cumplir con los siguientes requisitos: -A ambos lados de las columnas estribos deben ser provisto a un espaciamiento (so) sobre una longitud (lo) medida desde la cara de la unión. El espaciamiento (so) no debe exceder: a) ocho veces el diámetro menor de los refuerzos longitudinales b) 16 veces el diámetro del estribo cerrado de confinamiento c) el límite de espaciamiento del refuerzo transversal debe ser al menos un medio de las dimensión menor del elemento de borde pero no hay necesidad de tomarla menor de 150 mm d) 15 cm - El área total de la sección transversal del refuerzo de estribos cerrados de confinamiento rectangular, Ash, colocados en la longitud lo no debe ser menor que la requerida por: Ash = 0.2 (sbc fc’ / fyt) [(Ag / Ach) – 1] XXXVII.13.3.2 (C.21-2) Ash = 0.06 sbc fc’ / fyt XXXVII.13.3.3 (C.21-3) El refuerzo transversal debe disponerse mediantes estribos cerrados de confinamiento rectilíneos como mínimo del diámetro No. 3 ó 10M con fyt de 420 MPa con o sin ganchos suplementarios. Se pueden utilizar ganchos suplementarios del mismo diámetro de barra con el m ismo espaciamiento de los estribos cerrados de confinamiento. Cada extremo del gancho suplementario debe enlazar una barra perimetral del refuerzo longitudinal. El espaciamiento de los ganchos suplementarios o ramas con estribos de confinamiento rectilíneos dentro de la sección del elemento no debe exceder de 350mm centro a centro de la dirección perpendicular al eje longitudinal del elemento No es necesario cumplir con la ecuación XXXVII.13.3.2 -Los requisitos de XXXVII.6.6 no hay necesidad de cumplirse

DES Las disposiciones de XXXVIII.15. son aplicables a elementos de pórticos especiales resistentes a momento diseñados principalmente para resistir flexión. XXXVII.15. ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN EN PÓRTICOS ESPECIALES RESISTENTE A MOMENTO CON CAPACIDAD ESPECIAL DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA (DES) (C.21.5) Estas disposiciones son aplicables a elementos de pórticos especiales resistentes a momentos diseñados principalmente para resistir flexión. Estos elementos de pórtico deben satisfacer las condiciones siguientes: a) La fuerza de compresión axial mayorada en el elemento no debe exceder 0.10 fc’ Ag b) La luz libre del elemento (ln) no debe ser menor que 4 veces su altura útil c) (bw  0.3h d) bw  0.25 m e) El ancho, bw, de la viga no debe ser mayor que el ancho del apoyo (c2) , medido en la dirección perpendicular a la dirección del eje longitudinal de la viga, más una distancia a cada lado del apoyo, igual al menor ancho del apoyo (c2) o 0.75 veces la dimensión total del elemento de apoyo, c1

XXXVII.15.1 Refuerzo longitudinal En el Inciso XVI.4 se limita la deformación unitaria neta del refuerzo εt, por lo cual indirectamente limita la cuantía de tracción del refuerzo a una fracción de la cantidad que produciría la condición balanceada. Para una sección sometida a flexión solamente y cargada monotánicamente hasta la fluencia, esta consideración es factible porque probabilidad del fallo a compresión puede estimarse confiablemente con el modelo asumido para determinar el refuerzo en la condición balanceada. El mismo modelo de comportamiento (debido a suposiciones incorrectas tales, como distribución lineal de deformaciones, el punto de fluencia bien definido del refuerzo, el límite de deformación unitaria del concreto de 0.003, así como el esfuerzo de compresión del recubrimiento) no puede describir las condiciones de un elemento a flexión sometido a inversión de desplazamiento en el rango inelástico. Así, existen pocas justificaciones para seguir refiriéndonos a la condición de fallo balanceado en el diseño de estructuras reforzadas en la condición de sismo a) En cualquier sección de la viga el refuerzo superior e inferior no debe tener una cuantía inferior a la que se obtiene con As, mim =  d bw As, min = (fc’/4 fy) d bw 390

1.4 de bw/fy ρ ≤ 0.025 Debe haber al menos dos barras continuas con diámetro igual o superior a No. 4 (1/2”) tanto arriba como abajo La resistencia a momento positivo en la cara del nudo no debe ser menor que 1/2 de la resistencia a momento negativo en la misma cara del nudo. La resistencia a momento, tanto positivo como negativo, no puede ser menor de 1/4 de la resistencia máxima a momento del elemento en cualquiera de los nudos No se permite empalmes por traslapo en los siguientes lugares: -Dentro de los nudos -Dentro de una distancia igual a (2de) de la cara del nudo y -En aquellos lugares donde el análisis indique que puede haber plastificación por flexión causada por los desplazamientos inelásticos de la estructura a) Se permiten empalmes por traslapo del refuerzo en lugares diferentes a los indicados en d), sólo si se proveen estribos de confinamiento a todo lo largo del empalme por traslapo. La separación máxima del refuerzo transversal que confine el empalme por traslapo no puede exceder (d/4) ó 100 mm b) Los empalmes mecánicos o soldados deben cumplir con epígrafe de empalmes mecánicos y soldados de refuerzo XXXVII.15.2. El presfuerzo cuando es utilizado, debe satisfacer los requerimientos a) a d) siguientes, a menos que se utilice en un pórtico especial a momento como es permitido en XXXVII.18 a) El esfuerzo promedio, fpc, calculado para un área igual a la más pequeña dimensión de la sección transversal multiplicada por la dimensión perpendicular de la sección transversal, no debe ser menor de 3.5 MPa y (fc’ / 10) En una viga la dimensión menor de la sección transversal normalmente es la dimensión del alma b) El acero de presfuerzo debe ser no adherido en las regiones que puedan producirse articulaciones plásticas y la deformación unitaria calculada en el acero de presfuerzo bajo el desplazamiento de diseño debe ser menor de 1% c) El acero de presfuerzo no debe contribuir a más de 1/4 de la resistencia del momento positivo o negativo en la sección crítica en la sección de articulación plástica y debe ser anclado en o cerca de la cara exterior de la unión d) Los anclajes de los tendones de postensionado que resisten carga de sismo deben ser capaz de resistir 50 ciclos de la carga, con un esfuerzo de 40 a 85% de la resistencia a tracción especificada para el acero de presfuerzo XXXVII.15.3 Refuerzo transversal (C.21.5.3) XXXVII.15.3.1 Deben colocarse estribos cerrados de confinamientos en las siguientes regiones de los elementos pertenecientes a pórticos: a )-Por una distancia igual a 2h medida desde la cara del elemento de apoyo hacia el centro de la luz, en ambos extremos del elemento en flexión b )-Por una distancia igual a 2h, a ambos lados de aquellos lugares donde el análisis indique que puede haber fluencia por flexión causada por los desplazamientos inelásticos del pórtico c )-El primer estribo de confinamiento debe colocarse al menos a 50 mm de la cara del apoyo. El máximo espaciamiento de los estribos de confinamiento no puede exceder: - d/4 - 8 db, de la barra longitudinal de menor diámetro -24db de la barra del estribo de confinamiento -150 mm d )Donde se requieran estribos cerrados de confinamiento, las barras longitudinales principales para flexión más cercanas a las caras de tracción y compresión deben tener el soporte lateral exigido en Detalles del Refuerzo El espaciamiento entre barras longitudinales con soporte lateral no debe exceder 350 mm e )Donde se requieran estribos de confinamiento, el espaciamiento máximo de los estribos debe ser d/2 a todo lo largo del elemento. f )Se permite que los estribos cerrados de confinamiento en elementos s flexión sean hechos hasta de dos piezas de refuerzo, un estribo con un gancho sísmico en cada extremo y cerrado con un gancho suplementario. Los ganchos suplementarios consecutivos que enlazan la misma barra longitudinal deben tener sus ganchos de 90 grados en lados opuestos del elemento en flexión. Si las barras de refuerzo

391

longitudinal aseguradas por los ganchos suplementarios están confinadas por una losa en un soldado del elemento en flexión los ganchos de 90 grados de los ganchos suplementarios deben colocado en dicho lado XXXVII.15.4 Requisitos de resistencia a cortantes (21.5.4) a) La fuerza cortante de diseño (Ve) se debe determinar a partir de las fuerzas estáticas en la parte del elemento que se encuentra entre las caras del nudo. Debe suponerse que en las caras de los nudos localizados en los extremos del elemento actúan momentos de signo opuesto correspondiente a la resistencia probable, Mpr, y que el elemento está además cargado con cargas aferentes gravitacionales mayorada a lo largo de la luz b) En la determinación del refuerzo transversal dentro de las zonas confinadas de las vigas, requerido para esfuerzo cortante, el esfuerzo cortante (Vc), debe suponerse igual a cero, si se cumplen las dos siguientes condiciones: - la fuerza cortante inducida por el sismo calcula de acuerdo XXXVII.13.3.2 a representa la mitad o más de la resistencia máxima de cortante requerida en esa zona -la fuerza axial mayorada Pu , incluyendo los efectos sísmicos, es menor que 0.05 fc’ Ag Viga

Columna

wu Mpri

M pe2 ln Ve1

Ve2 cortante de la viga Ve = (Mpr1 + Mpr2) / 2 ± wu ln / 2

Mpr3 Pu Ve3 cortante en la columna

lu Ve4 Ve3,4 = (Mpe3 + Mpr4) / lu Mpe4

Cortante de diseño para vigas y columnas Notas:

392

1 – La dirección de la fuerza cortante Ve depende de la relación de los valores de la carga gravitaria y del cortante generado por los momentos en los extremos 2- Los momentos en los extremos MPr son basado en el esfuerzo a tracción del refuerzo de 1.25 fy Ambos momentos en los extremos deben considerando actuando en el sentido de las manecillas del reloj y en contra 3 -Los momentos Mpr de las columnas no necesitan ser mayores que los momentos Mpr generados por las vigas del pórtico en el nudo. Ve no debe ser menor que el obtenido por el análisis de la estructura XXXVII.16 ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN Y CARGA AXIAL PERTENECIENTES A PÓRTICOS ESPECIALES RESISTENTES A MOMENTOS CON CAPACIDAD ESPECIAL DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA (DES) (C.21.6) Las disposiciones de este epígrafe se aplican a elementos pertenecientes a pórticos especiales resistentes a momento a ) que resistan fuerzas inducidas por sismo b) que tienen una fuerza axial mayorada de compresión, Pu, bajo cualquier combinación de carga que exceda Ag fc´/ 10. Estos elementos de pórtico deben satisfacer c) y d) c) La menor dimensión de la sección transversal del elemento, medida en una línea que pasa a través del centroide geométrico de la sección, no debe ser menor que 0.30 m. Las columnas de forma T, C, ó I pueden tener una dimensión mínima de 0.25 m, pero su área no puede ser menor de 0.09 m² d) La relación entre la dimensión menor de la sección del elemento y la dimensión perpendicular a ella, no debe ser menor que 0.4 XXXVII.16.1 Resistencia mínima a flexión de columnas Las columnas deben satisfacer XXXVII.16 .2 ó XXXVII.16 .3 XXXVII.16 .2 La resistencia a la flexión de las columnas debe cumplir la siguiente ecuación: Mnc  1.20  Mnb XXXVIII.16 Mnc = Suma de los momentos nominales que llegan al nudo, evaluados en la cara del nudo. La resistencia a la flexión de la columna debe calcularse para la fuerza axial mayorada, consistente con la dirección de las fuerzas horizontales consideradas, que resulta en la menor resistencia a la flexión Mnb- Suma de momentos resistentes nominales a flexión de las vigas que llegan al nudo. En vigas T en que la losa esté a tracción debido a momento en la cara del nudo., el refuerzo dentro el ancho efectivo debe suponerse que contribuye a Mnb si el refuerzo de la losa esta desarrollado en la sección crítica por flexión Las resistencias a flexión deben sumarse de tal manera que los momentos de las columnas se opongan a los de las vigas. La ecuación XXXVII.16 debe cumplirse para los momentos en las vigas actuando en ambas direcciones en el plano vertical del pórtico considerado El propósito de la ecuación XXXVII.16 es reducir la posibilidad de fluencia de la columna que se considere parte del sistema de resistencia de fuerzas laterales. Si las columnas no son más resistentes que las vigas que llegan a la unión existe la posibilidad de acción inelásticas en ellas. El caso peor es que en las columnas débiles de un piso se puedan producir fluencia por flexión en ambos extremos de todas las columnas del piso y se produciría el fallo de la estructura XXXVII.16 .3 Si no se cumple XXXVII.16 .2 en la unión de vigas y columnas, la resistencia lateral y la rigidez de la columna debe ser ignorada al calcular la resistencia y la rigidez del pórtico, entonces la columna debe ser considerada como que no forma parte del sistema de resistencia a sismo y debe ser diseñada según XXXVII.23 XXXVII.16.4 Refuerzo longitudinal (C.21.6.3) a) La cuantía de refuerzo longitudinal g, no debe ser menor que 0.01 ni mayor que 0.04 b) Los empalmes mecánicos deben cumplir XXXVII.8 y los empalmes soldados deben cumplir XXXVII.9 Los empalmes por traslapo se permiten únicamente en la mitad central de la longitud del elemento y deben diseñarse como empalmes a tracción y deben estar confinados dentro del refuerzo transversal

XXXVII.16.5 Refuerzo transversal (C.21.6.4) 1-El refuerzo transversal debe ser colocado en una longitud (lo) desde cada cara de la unión y en ambos lados de cualquier sección donde puede ocurrir una articulación plástica como resultado del desplazamiento inelástico del pórtico La longitud (lo) no debe ser menor que el mayor de a), b), y c) siguientes: 393

a) El peralto del elemento en la cara de la unión o en la sección donde pueda ocurrir fluencia por flexión b) 1/6 de la luz libre del elemento c) 45 cm 2-El refuerzo transversal debe disponerse de espirales sencillas o traslapadas, estribos cerrados de confinamiento sencillo o múltiple. Se pueden utilizar ganchos suplementarios del mismo diámetro de la barra y con el mismo espaciamiento que los estribos cerrados de confinamiento. Cada extremo del gancho suplementario debe enlazar una barra perimetral del refuerzo longitudinal. Los extremos de los ganchos suplementarios consecutivos deben alternarse a lo largo del refuerzo longitudinal 3-El espaciamiento horizontal de los ganchos suplementarios o las ramas de los estribos cerrados de confinamientos múltiples, hx, no debe exceder de 350 mm centro a centro 4-El espaciamiento del refuerzo transversal no debe exceder: -6 veces el diámetro del refuerzo longitudinal -1/4 de la dimensión mínima de la sección del elemento so = 10 + [(35 – hx)]/3 en cm XXXVII.16.2.1 (C.21.5) El valor de so no debe ser mayor de 15 cm, ni tomarse menor de 10 cm 6 db  7.5 cm

o o

o o o

o o

hx hx  35 cm Refuerzo Transversal en columna 5-Debe utilizarse refuerzo en espiral, o estribos de confinamiento, como se indica a continuación, a menos que se requieran cantidades mayores por refuerzo cortantes: Cuando se utilice refuerzo en espiral, la cuantía volumétrica de refuerzo en espiral, s, o de estribos de confinamiento circulares, no puede ser menor que el valor obtenido por medio de la siguiente ecuación: s = 0.12 fc’ / fyh XXXVII.16.5.1 fyh- resistencia nominal a la fluencia del acero de refuerzo transversal, MPa 6-Cuando se utilicen estribos rectangulares, el área total de los estribos rectangulares de confinamiento, no puede ser menor que la que se obtiene por medio de las ecuaciones siguientes, para las dos direcciones principales de la ecuación de la columna: Ash = 0.3s hc fc’ [(Ag/Ach) –1] / fyh XXXVII.16.5.2 (C.21.6) Ash = 0.09 s hc fc’ / fyh XXXVII.16.5.3 hc- dimensión de la sección del núcleo confinado de una columna medida centro a centro del refuerzo transversal de confinamiento que está más afuera en la sección, mm Ach- área de la sección de un elemento estructural, medida hasta la parte exterior del refuerzo transversal, 7 -Más allá de la longitud lo especificada en XXXVII.16.5(1) el resto de la columna debe contener refuerzo en forma de espiral o estribo cerrado de confinamiento, con un espaciamiento, s, medido centro a centro que no exceda al menor de seis veces el diámetro de las barras longitudinales de la columna o 150 mm a menos que XXXVII.16.5(1) ó XXXVII.16.7 ó XXXVII.16.4 requieran mayores cantidades de refuerzo transversal XXXVII.16.6- Las columnas que soporten reacciones de elementos rígidos discontinuos, tales como muros estructurales, deben satisfacer (a) y (b) a )El refuerzo transversal como se indica en XXXVII.16.5(2) a XXXVII.16.5(6) debe proporcionarse en su altura total, en todos los niveles, debajo del nivel en el cual ocurre la discontinuidad, cuando la fuerza de compresión axial en estos elementos, relacionada con el efectos sísmico, excede de Ag fc´/ 10. Donde se hayan magnificado las fuerzas de diseño para calcular la sobre resistencia de los elementos verticales del sistema de resistencia ante fuerzas sísmicas el límite de Ag fc´/ 10 debe aumentarse a Ag fc´/ 4 b ) El refuerzo transversal, debe extenderse por lo menos Ld de la barra de la columna longitudinal mayor, dentro del elemento discontinuo. Si el extremo inferior de la columna termina en un muro, el refuerzo 394

transversal requerido debe extenderse dentro del muro por lo menos Ld de la mayor barra longitudinal de la columna en el punto en que termina. Si la columna termina en una zapata o losa de cimentación, el refuerzo transversal requerido debe extenderse por lo menos 300 mm en la zapata o losa de cimentación XXXVII.16.(a)Si el recubrimiento del concreto fuera del refuerzo transversal de confinamiento, especificado en XXXVII.16.5(1), XXXVII.16.5(7) y XXXVII.16.6 excede 100 mm, debe colocarse refuerzo transversal adicional. El recubrimiento de concreto sobre el refuerzo transversal adicional no debe exceder de 100 mm con un espaciamiento del refuerzo transversal adicional no superior a 300 mm XXXVII.16.7 Requisitos de resistencia al cortante (C.21.6.5) XXXVII.16.7.1 La fuerza cortante de diseño Ve debe determinarse de la consideración de las máximas fuerzas que puedan desarrollarse en las caras de los nudos en los dos extremos del elemento. Estás fuerzas en los nudos deben determinarse utilizando la máxima resistencia probable a la flexión, Mpr en cada extremo del elemento, para el rango de fuerzas axiales mayoradas Pu en la columna No hay necesidad de que las fuerzas cortantes en el elemento excedan las fuerzas cortantes que se determinen a partir de las máximas resistencias probables a flexión Mpr, de las vigas que llegan al nudo. En ningún caso el valor de Ve puede ser menor que el cortante mayorado del que se obtiene en el análisis de la estructura XXXVII.16.7.2 El refuerzo transversal en la longitud (lo) de las columnas requerido para esfuerzos cortantes resistido por el concreto Vc, debe suponerse igual a cero, si se cumplen las dos siguientes condiciones: - El esfuerzo cortante inducido por el sismo, calculado con XXXVII.16.7.1 representa la mitad o más de la resistencia máxima al cortante requerida dentro de (lo - La fuerza axial de compresión mayorada, Pu, incluyendo el efecto sísmico es menor que Ag fc’ / 20 XXXVII.17.NUDOS EN PÓRTICOS ESPECIALES RESISTENTES A MOMENTO CON CAPACIDAD ESPECIAL DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA (DES) (C.21.7) XXXVII.17.1 Los requisitos de este epígrafe se aplican a los nudos vigas-columna de pórticos especiales resistentes a momento que forman parte del sistema ante fuerzas sísmicas a) Las fuerzas en el refuerzo longitudinal de las vigas en la cara del nudo deben determinarse suponiendo que el esfuerzo en el refuerzo de tracción por flexión es 1.25 fy b) El refuerzo longitudinal de las vigas, que termine dentro de un nudo debe extenderse hasta la cara opuesta del núcleo confinado de la columna y anclarse en tracción de acuerdo con el inciso Longitud de Desarrollo para el Refuerzo colocado dentro del Nudo y en compresión del Desarrollo y Empalmes del Refuerzo c) Cuando el refuerzo longitudinal de la viga pasa a través del nudo, la dimensión de la columna paralela al refuerzo longitudinal de la viga, no puede ser menor de 20 db, calculado para la barra longitudinal de mayor diámetro de la viga, para concreto de peso normal. Para concreto liviano, la dimensión no debe ser menor de 26 veces el diámetro de la barra XXXVII.17.2 Refuerzo transversal El refuerzo transversal del nudo debe satisfacer XXXVII.16.5(5) ó XXXVII.16.5(6) y además debe cumplir con XXXVII.16.5(2), XXXVII.16.5(3) y XXXVII.16.(a), excepto lo permitido en: XXXVII.17.2 .1 Cuando al nudo llegan por sus cuatro caras verticales, vigas que tengan un ancho al menos igual a 3/4 del ancho de la columna, dentro de la profundidad de la viga más pequeña, puede colocarse refuerzo transversal igual al menos a la mitad del requerido por XXXVII.16.5(5) ó XXXVII.16.5(6) dentro de la altura del elemento menor. En estos casos el espaciamiento máximo es 150 mm XXXVII.17.2 .2 El refuerzo transversal debe colocarse dentro de toda la altura del nudo para dar confinamiento al refuerzo longitudinal de la viga que queda por fuera del núcleo de la columna cuando ninguna viga le provee confinamiento a este refuerzo longitudinal XXXVII.18 Resistencia al cortante Para concreto de peso normal (Vn) en los nudos de pórticos no puede ser mayor a los valores que se dan a continuación: -Nudos confinados por vigas en sus cuatro caras: 1.7 ( fc’) Aj -Nudos confinados por vigas en tres caras o en dos caras opuestas: 1.2 (fc’) Aj -Otros nudos: 1.0 (fc’) Aj Aj- área efectiva de la sección transversal dentro del nudo calculada como el producto de la profundidad del nudo por el ancho efectivo. La profundidad del nudo es la altura total de la sección de la columna, h. Un nudo se considera confinado si tales elementos de confinamiento llegan a todas sus caras Se considera que un elemento que llega a una cara de un nudo, provee confinamiento cuando por lo menos 3/4 de la cara del nudo está cubierta por el elemento que llega. 395

Se permite considerar como elemento de confinamiento a las extensiones de las vigas que se extiende al menos una altura h de la viga más allá de la cara del nudo. La extensiones de las vigas deben cumplir con XXXVII.15 c), XXXVII.15d), XXXVII.15.1a), XXXVII.15.3.1c), XXXVII.15.3.1d), XXXVII.15.3.1f), Un nudo se considera confinado si tales elementos de confinamiento llegan a todas las caras del nudo Aj – es el área efectiva de la sección transversal del nudo, calculado como el producto de la profundidad del nudo por su ancho efectivo. La profundidad del nudo es la altura total de la sección de la columna (h) El ancho efectivo del nudo debe ser el ancho total de la columna, excepto que cuando la viga llega a una columna más ancha, el ancho efectivo del nudo no debe exceder el menor de (a) y (b) a) el ancho de la viga más la altura del nudo b) dos veces la distancia perpendicular más pequeña del eje longitudinal de la viga al lado de la columna Para concreto liviano, la resistencia nominal al cortante del nudo no debe exceder de las cuartas partes de los límites señalados en XXXVII.18 XXXVII.17.1 Longitud de desarrollo en barras en tracción a) La longitud de desarrollo, ldh, para una barra con un gancho estándar de 90 grados, no debe ser menor de 8 db, 150 mm o la longitud dada por la siguiente ecuación para barras No 3 o 10M a No 11 (1-3/8”) ó 32M (32 mm) para concreto de peso normal (ldh / db) = [fy / 5.4(fc’)] XXXVII.17.1 (C.21-9) Para concreto liviano, ldb, para una barra con gancho estándar de 90° no debe ser menor que el mayor valor entre 10db, 190 mm, y 1.25 veces la longitud requerida en la ecuación XXXVII.17.1 El gancho de 90° debe estar colocado dentro del núcleo confinado de una columna o elemento de borde b) Para barras No 3 a No 11 ó 32M la longitud de desarrollo, ld, para barra rectas no puede ser menos que: - 2.5 veces la longitud dada en a) si no hay más de 300 mm de concreto vaciado en una sola etapa por debajo de la barra - 3.25 veces la longitud requerida en a) si hay más de 300 mm de concreto fundido en una sola etapa por debajo de la barra c) Las barras rectas que terminen dentro del nudo deben pasar a través del confinado de la columna o del elemento de borde. Cualquier parte de la longitud de anclaje recta que no quede dentro del núcleo confinado debe ser incrementada por un factor igual a 1.6 d) Si se utiliza refuerzo con recubrimiento epóxico, las longitudes de desarrollo dadas en a) a c) deben multiplicarse por el Coeficiente de Desarrollo y Empalme del Refuerzo ldm = 1.6 (ld – ldc) + ldc o ldm = 1.6 ld – 0.6 ldc XXXVII.17.2 ldm- longitud de desarrollo requerido si la barra no está completamente embebida en el Concreto confinado ld- longitud de desarrollo de una barra recta de refuerzo ldc- longitud de la barra embebida en el Concreto confinad XXXVII.18 PÓRTICOS ESPECIALES RESISTENTES A MOMENTO CONSTRUIDOS CON CONCRETO PREFABRICADO CON CAPACIDAD ESPECIAL DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA (C.21.8) Los requisitos de este epígrafe se aplican a pórticos especiales resistentes a momento construidos utilizando concreto prefabricado que forma parte del sistema de resistencia ante fuerzas sísmicas 1-Los pórticos especiales resistentes a momento prefabricados con conexiones dúctiles deben cumplir con a). b) y con los requisitos para pórticos especiales resistentes a momento construidos en obra a) Vn para conexiones calculado de acuerdo con cortante por fricción no debe ser menor de 2Ve, donde Ve se calcula de acuerdo XXXVII.15.4a ó XXXVII.16.4a b) Los empalmes mecánicos del refuerzo de las vigas deben ubicarse a no menos de h/2 de la cara del nudo, XXXVII.18 .1 Los pórticos prefabricados especiales resistentes a momento con conexiones fuertes deben cumplir con los requisitos para pórticos especiales resistentes a momento construidos con concreto vaciado en obra, así como a). b) , c) y d) a) En los segmentos entre las zonas donde se pretende que la fluencia por flexión ocurra debido a los desplazamiento de diseño debe aplicarse que la luz libre (ln), no debe ser menor que 4 de b) La resistencia de diseño de conexiones fuerte  Sn no debe ser menor a Se c) El refuerzo longitudinal principal debe ser continuo a lo largo de las conexiones y debe desarrollarse fuera, tanto de la conexión fuerte como de la región plástica En los sistemas de pórticos de concreto prefabricado compuestos por elementos unidos mediante conexiones fuertes se pretende inducir la fluencia por flexión fuera de las conexiones. Las conexiones fuertes incluyen la longitud del sistema de acople, Las técnicas de diseño para el diseño por capacidad se usan en b) para asegurar que la conexión fuerte permanezca elástica después de la formación de la rótulas plásticas. 396

d) En conexiones columna-columna,  Sn no debe ser menor de 1.4 Se. En conexiones columna-columna,  Mn no debe ser menor de 0.4 Mpr para la columna dentro del piso y Vn de la conexión no debe ser menor de Ve determinado por XXXVII.16.4a XXXVII.18 .2 Los pórticos especiales resistentes a momento, construidos utilizando Concreto prefabricado y que no cumplen con los requisitos 1 y 2 anteriores deben cumplir con las disposiciones del ACI 374.1 y con los requisitos a) y b) siguientes: a) Los detalles y materiales empleados en los especímenes de ensayo deben ser representativos de los utilizados en la estructura b) El procedimiento de diseño utilizado para diseñar los especímenes de ensayo debe definir el mecanismo por el cual el pórtico resiste los efectos sísmicos y de gravedad, y debe establecer los valores de aceptación que garanticen ese mecanismo. Las partes del mecanismo que se desvían de las disposiciones del Reglamento deben estar contempladas en los especímenes de ensayo y deben ser ensayadas para determinar los límites superiores de los valores de aceptación XXXVII.19 MUROS ESTRUCTURALES ESPECIALES DE CONCRETO REFORZADO Y VIGAS DE ACOPLES CON CAPACIDAD ESPECIAL DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA (DES) (C.21.9) Los requisitos de este epígrafe se aplican a muros estructurales especiales de concreto reforzado y todos los componentes de muros especiales incluyendo vigas de acoples y manchones de muro que forman del sistema de resistencia ante fuerzas sísmicas. Los muros estructurales especiales construidos concreto prefabricado deben cumplir con XXXVII.19.3 XXXVII.19.1 Refuerzo (C.21.9.2) 1-Las cuantías de refuerzo distribuidos en el alma, ρl y ρt, para muros estructurales no debe ser menor de 0.0025, excepto que si Vu no excede a (Acv √fc’ / 12) se pueden reducir a los valores dados en XXII.1 El espaciamiento del refuerzo en cada dirección en muros estructurales no debe exceder de 450 mm El refuerzo que contribuye a Vn debe ser continuo y debe estar distribuido a través del plano de cortante Para edificaciones del Grupo de Uso I hasta de tres pisos y destinadas exclusivamente a vivienda, se permite utilizar las cuantías ρl y ρt requeridas en XXII.1 En un muro debe emplearse cuando menos dos capas de refuerzo cuando Vn exceda (0.17 Acv √fc’ ) El refuerzo en muros estructurales debe estar desarrollado o empalmado para fy en tracción, de acuerdo con el CAPÍTULO XXIV, excepto que: a )Se permite que la altura efectiva del elemento mencionada en XXIV .10c) sea 0.8lw, para muro b) los requisitos de XXIV.111, XXIV.1.1a y XXIV .1.12 pueden ser obviados c) En lugares donde es probable que se produzca la fluencia del refuerzo longitudinal como resultado de los desplazamientos laterales, las longitudes de desarrollo del refuerzo longitudinal debe ser de 1.25 fy en tracción d) Los empalmes mecánicos del refuerzo deben cumplir con XXXVII.8 y los empalmes soldados con XXXVII.9 XXXVII.19.2 Fuerza de diseño (C.21.9.3) El cortante de diseño Vu se obtiene se obtiene del análisis para carga lateral con los factores apropiados en las combinaciones de cargas. Pero debe considerarse la posibilidad de fluencia en componentes de tales estructuras, como por ejemplo, en la parte de un muro entre dos aberturas de ventana, en cuyo caso el cortante real puede ser bastante mayor que el cortante indicado por el análisis de carga lateral basado en fuerzas mayoradas de diseño XXXVII.19.3 Resistencia al cortante (C.21.9.4) 1-El valor de Vn no debe exceder: Vn = Acv[αc √fc’ + ρt fy] XXXVII.19.3.1 (C.21-10) Acv- área neta de la sección de concreto definida por el ancho del alma y la longitud de la sección en la dirección de la fuerza cortante en estudio αc- es 1/4 para(hw / lw) ≤ 1.5 αc- es 1/6 para (hw / lw) ≥ 2 αc- varía linealmente entre 1/4 y 1/6 para (hw / lw) entre 1.5 y 2.0 2- El valor de hw/lw empleada para determinar Vn para segmentos de un muro debe ser la mayor entre aquella para todo el muro y aquella para el muro considerado 3-Los muros deben tener refuerzo para cortante distribuido de tal manera que provea resistencia en dos direcciones ortogonales en el plano del muro. Si la relación hw/lw no excede de 2.0, la cuantía de refuerzo l no puede ser menor que la cuantía de refuerzo t (C21.9.4.3) 4-La resistencia nominal a cortante (Vn) de porciones del muro (machones) que comparten una fuerza horizontal común no debe exceder: 0.66 Acv (fc’), donde Acv representa el área total de la sección y el 397

cortante nominal de cualquier porción del muro individualmente no puede exceder 0.83 Acw (fc’), donde Acw representa el área del manchón de muro considerado (C.21.9.4.4) 4- La resistencia nominal a cortante de elementos horizontales del muro y vigas de acople no puede exceder: 0.83 Acw (fc’) donde Acw representa el área de la sección del elemento horizontal del muro

Manchón

Segmento horizontal del muro

Un segmento horizontal de muro se conoce también como viga de acople cuando las vigas están alineadas verticalmente en toda la altura de la edificación. Cuando se diseña un segmento horizontal (viga de acople) ρt se refiere al refuerzo vertical y ρl al refuerzo horizontal XXXVII.19.4 Diseño a flexión y carga axial (C.21.9.5) Los muros estructurales sometidos a flexión combinada con la fuerza axial deben diseñarse de acuerdo con los requisitos de Suposiciones de Diseño y Principios y Requisitos generales del Capítulo de Flexión y Fuerza Axial, excepto los requisitos para elementos de gran altura Debe considerarse como efectivos el concreto y el refuerzo longitudinal desarrollado dentro del ancho efectivo del ala, del elemento de borde y el alma del muro. Debe considerarse el efectos de las aberturas A menos que se realice un análisis más detallado, el ancho del ala efectiva que debe utilizarse en el diseño de secciones en forma de I, L, C o T no debe suponerse que se extiende una distancia medida desde la cara del alma, mayor que: a) la mitad de la distancia al alma de un muro adyacente. o b) 25 por ciento de la altura del muro XXXVII.19.5 Elementos de bordes para muros estructurales especiales (C.21.9.6) La necesidad de utilizar elementos especiales de bordes en los extremos de los muros estructurales debe evaluarse de acuerdo con XXXVII.19.5.1 ó XXXVII.19.5.2 y se deben considerar los requisitos de XXXVII.19.5.3 y XXXVII.19.5.4 XXXVII.19.5.1 Esta sección se aplica a muros y pilas de muros que son continuos desde la base de la estructura hasta la parte superior del muro y son diseñados para tener una única sección crítica para flexión y carga axial...Los muros que no satisfagan estos requisitos se deben diseñar según XXXVIII.19.5.2 a) Las zonas en compresión deben ser reforzadas con elementos de borde cuando: c  lw / 600 (u/hw) XXXVII.19.5.1a (C.21-11) donde (w/hw) debe tomarse no menor de 0.007 Cuando elementos especiales son requeridos según lo anterior, los refuerzos de los elementos de borde deben extenderse verticalmente desde la sección crítica a una distancia no menor que el mayor de lw o Mu/4Vu c es la distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el eje neutro, calculada para la carga axial mayorada y el momento nominal, consistente con el desplazamiento de diseño u, resultante en el mayor eje neutro del peralto u-desplazamiento de diseño XXXVII.19.5.2 Cuando no se diseñen según XXXVII.19.5.1, deben colocarse elementos de borde en los bordes y alrededor de las aberturas de los muros estructurales cuando el máximo esfuerzo en la fibra extrema producido por las fuerzas sísmicas mayoradas que incluyan efectos sísmicos, exceda 0.2 fc’. Los 398

elementos especiales de borde pueden descontinuarse cuando el esfuerzo de compresión calculado en la fibra extrema sea menor que 0.15 fc’. Los esfuerzos pueden calcularse utilizando las fuerzas mayoradas, un modelo matemático linealmente elástico y las dimensiones brutas de la sección. Para muros con alas, el ala efectiva debe utilizarse en el diseño, según XXXVII.19.4 XXXVII.19.5.3 En donde se requieran elementos especiales de bordes de acuerdo con XXXVII.19.5.1 ó XXXVI19.5.2, éstos deben cumplir lo siguiente: 1-Estos elementos deben extenderse horizontalmente desde el extremo de la fibra en compresión hasta una distancia no menor que el mayor de (c- 0.1 lw) y (c/2) c corresponde a la mayor profundidad del eje neutro calculada para la fuerza axial mayorada y resistencia nominal a momento consistente con el desplazamiento de diseño δu 2- En secciones con alas, estos elementos deben tener un ala efectiva en compresión y extenderse por lo menos 30 cm dentro del alma 3-El refuerzo transversal de los elementos especiales de borde deben cumplir con XXVII.16.5(1 al 6), pero la ecuación XXXVII.16.5.2 no es necesaria cumplirla y el límite de espaciamiento del refuerzo transversal de XXVII.16.511 debe ser al menos un tercio de la dimensión menor del elemento de borde 4-El refuerzo transversal del elemento en la base del muro debe extenderse dentro el soporte al menos la longitud de embebimiento de la armadura longitudinal más gruesa, a menos que estos elementos terminen en un cimiento o losa de cimentación , en el cual el refuerzo transversal debe extenderse al menos 30.5 cm en el cimiento o losa sde cimentación 5-El refuerzo horizontal del alma del muro debe anclarse para desarrollar la resistencia fy del acero dentro del núcleo confinado del elemento de borde XXXVII.19.5.4 Cuando no se requiere elementos de borde según todo lo anterior, se debe cumplir lo siguiente: Si la cuantía del refuerzo longitudinal en el elemento de borde es mayor que 2.8/fy, el refuerzo transversal del elemento debe satisfacer lo siguiente: -Pueden utilizarse estribos suplementarios del mismo diámetro de barra y con el mismo espaciamiento. Cada extremo del estribo suplementario debe abrazar una barra longitudinal de la periferia de la sección. Los estribos suplementarios deben alternar sus extremos a lo largo del eje longitudinal de la columna El refuerzo transversal no debe exceder: -6 veces el diámetro del refuerzo longitudinal 1/4 de la dimensión mínima de la sección del elemento y sx = 10 + [(36 – hx)]/3 en cm Estos elementos deben extenderse horizontalmente desde el extremo de la fibra en compresión hasta una distancia no menor que el mayor de (c- 0.1 lw) y (c/2) El espaciamiento longitudinal máximo del refuerzo transversal en el elemento de borde no debe exceder: 20 cm Excepto cuando Vu en el plano del muro es menor que Acv fc’/12. La terminación del refuerzo horizontal en el borde del muro sin elemento de borde debe tener un gancho estándar abrazando el refuerzo del borde o el refuerzo de borde debe encerrar en U estribo teniendo el mismo tamaño y espaciamiento que el refuerzo horizontal x a x Ab 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

s 5 barras barras distribuidas longitudinales del alma barras distribuidas del alma de bordes Ab igual a la distancia s ρ = 10 Ab / h(2 x + a) ρ = 2 Ab / h s La cuantía de refuerzo longitudinal incluye solamente el refuerzo en el borde del muro como se muestra en la figura anterior XXXVII.19.6 Vigas de acoples (vigas de enlace) (C.21.9.7)

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1- Las vigas de acople con ln /h  4, deben diseñarse de acuerdo con los requisitos de Vigas de Pórticos de este Capítulo. Se permite dispensar los requisitos de XXXVII.15c, XXXVII.15.d y XXXVII.15.e, si se puede demostrar que existe adecuada estabilidad de la viga 2- En las vigas de acoples con ln/ h < 2 y la fuerza cortante mayorada, Vu es mayor que [(fc’) λ bw de/ 3] deben reforzarse con dos grupos de barras que se intercepten diagonalmente, que se coloquen simétricamente con respecto al centro de la luz, a menos que se pueda demostrar que la perdida de rigidez y resistencia de la viga de acople no debilitará la capacidad de la estructura para soportar carga vertical o la evacuación de la estructura o la integridad de los elementos no estructurales y las conexiones con la estructura 3- Las vigas de acoples que no cumplan con 1 y 2 es permitido ser reforzada con dos grupos de barras que se intercepten diagonalmente que se coloquen simétricamente con respecto al centro de la luz o de acuerdo con XXXVII15.1 a XXXVII.4 4- Las vigas de acoples reforzadas con dos grupos de barras que se interceptan diagonalmente colocadas simétricamente con respecto al centro de la luz deben satisfacer a), b), y c) o d). Los requerimientos de vigas- pared no son aplicables. a) Vn debe ser determinada con: Vn = 2 Avd fy sen α ≤ 0.83 √fc’ Acw XXXVII.19.6.1 (C.21-12) α- ángulo entre las barras diagonales y el eje longitudinal de la viga de acople b) Cada grupo de barras diagonales que deben consistir de un mínimo de cuatro barras colocadas en dos o más capas. Las barras diagonales deben ser embebidas dentro de la pared no menor que 1.25 veces la longitud de desarrollo para fy en tracción c) Cada grupo de las barras diagonales ensambladas en un núcleo no menor de bw / 2 en la dirección paralela a bw y bw / 5 a lo largo de los otros lados, donde bw es el alma dentro de la viga de acople El refuerzo transversal debe satisfacer XXXVII.16.2, El espaciamiento medido paralelo a las barras diagonales satisfaciendo XXXVII.16.1 y no debe exceder seis veces el diámetro de las barras diagonales Para el propósito de calcular Ag, se supone el recubrimiento mínimo del concreto, en los cuatros costados de cada grupo de barras colocada diagonalmente El refuerzo transversal, o el refuerzo alternativo de refuerzo transversal deben satisfacer el espaciamiento el espaciamiento y la relación volumétrica requerida del refuerzo transversal a lo largo de la diagonal, debe ser continuo a través de la intercepción de las barras diagonales. Refuerzo longitudinal y transversal adicional debe ser distribuido alrededor del perímetro de la viga con un área total en cada dirección no menor de 0.002 bw s, y el espaciamiento no debe ser 30 cm d) Se debe proporcionar refuerzo transversal para toda la sección transversal de la viga satisfaciendo XXXVII.6.2. con el espaciamiento del refuerzo longitudinal no excediendo el menor de 15 cm o seis veces el diámetro de la barra diagonal y con espaciamiento que no exceda 20 cm en los ganchos suplementarios o ramas de los ganchos, tanto vertical como horizontalmente en el plano de la sección transversal de la viga. Cada gancho suplementario y cada rama del gancho deben enlazar una barra longitudinal de igual o mayor diámetro. Se permite configurar ganchos como se indica en XXXVII.15.3 f) 5- Juntas de construcción Todas las juntas de construcción en los muros estructurales deben realizarse según lo especificados en juntas de construcción y la superficie de contacto debe hacerse rugosa 6. Muros discontinuos Las columnas soportando muros estructurales discontinuos deben ser reforzados según XXXVII.16.5.7 XXXVII.19.7 Manchones de muros (C.21.9.8) Los manchones de muro deben cumplir los requisitos de columna de pórticos especiales a momento dados en XXXVII.16.4 (C.21.6.3) , XXXVII.16.5 (/C.21.6.4) y XXXVII.16.6 (C.21.6.5) interpretando las caras de los nudos como la parte inferior y superior de la altura libre del manchón del muro. Alternativamente, los manchones de muro que cumplan ( lw / bw) >2.5 (deben cumplir ( a) has ta (f) a) Vn La fuerza cortante de diseño debe determinarse de acuerdo con ( C.21.6.5.1) con las caras de los nudos tomadas como la parte superior y las partes inferior de la altura libre del manchón de muro. El Capitulo A.3 del Reglamento NSR-10 incluye requisitos para tener en cuenta la sobre resistencia del sistema de resistencia sísmica, la fuerza de diseño no debe exceder Ωo veces el corte mayorado obtenido del análisis de la estructura para los efectos de la fuerza sísmica b) Tanto como el refuerzo de cortante deben cumplir XXXVII.19.3 (C.21.9.4) c) El refuerzo transversal debe estar compuesto por estribos de confinamiento excepto que se permite el uso de refuerzo horizontal de una sola rama paralelo a lw cuando el muro tenga solo una capa de refuerzo distribuido. El refuerzo horizontal de una sola rama debe tener ganchos de 180 grados en cada extremo que abracen el refuerzo longitudinal del borde del manchón d) La separación vertical del refuerzo transversal no debe exceder 150 mm 400

El refuerzo transversal debe excederse como mínimo 300 mm por encima y por debajo de la luz libre del manchón del muro f) Se deben colocar elementos de borde especiales si son requeridos por XXXVII.19.5.2 ( C.21.9.6.3) En aquellos casos en que los manchones de muro queden localizados en los bordes del muro deben colocarse refuerzo horizontal en los segmentos adyacentes de muro por encima y por y por debajo del manchón del muro con el fin de que transfiera la fuerza cortante de diseño del manchón de muro a los segmentos de muro adyacente XXXVII.20 MUROS ESTRUCTURALES ESPECIALES CONSTRUIDOS USANDO CONCRETO PREFABRICADO CON CAPACIDAD ESPECIAL DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA (DES) (C.21.10) Este epígrafe se aplica a muros estructurales especiales construidos con concreto prefabricado que forman parte del sistema ante fuerzas sísmicas 1-Los muros estructurales especiales construidos usando concreto prefabricado deben cumplir con todos los requisitos XXXVII.19, además de XXXVII.14.1 y XXXVII.14.2 2- El Reglamento permite utilizar muros estructurales especiales construidos usando concreto prefabricado y tendones postensionado y que cumplen con los requisitos de ACI ITG-5.1 XXXVII.21 DIAFRAGMAS Y CERCHAS ESTRUCTURALES ASIGNADAS A LA CAPACIDAD ESPECIAL DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA (DES) (C.21.11) 1- Las losas de pisos y cubierta que actúen como diafragmas estructurales para transmitir acciones inducidas por los movimientos sísmicos en estructuras asignadas a la capacidad de disipación de energía especial (DES) deben diseñarse como se indica en esta epígrafe. Este epígrafe también se aplica a los puntales, tirantes, cuerdas y elementos colectores que transmiten fuerzas inducidas por sismos, como también a las cerchas que sirven como parte de los sistemas resistentes a fuerzas sísmicas Los diafragmas tal como son usados en edificaciones son elementos estructurales (tales como pisos y cubiertas) que cumplen algunas o todas las siguientes funciones: a) Apoyar los elementos de la edificación (tales como muros, tabiques y fachadas) que resisten fuerzas horizontales, pero que no actúan como parte del sistema vertical resistente a fuerzas laterales b) Transferir las fuerzas laterales desde el punto de aplicación al sistema vertical de resistencia a fuerzas laterales de la edificación c) Interconectar los diferentes componentes del sistema vertical resistente a fuerzas laterales de la edificación con la adecuada resistencia, rigidez y tenacidad de manera que la edificación responda de acuerdo con lo buscado en el diseño XXXVII.21.1 Fuerzas de diseño Las fuerzas de diseño sísmico para diafragmas estructurales se deben obtener del análisis para las cargas laterales de acuerdo con las combinaciones de cargas de diseño XXXVII.21.2 Trayectoria de las fuerzas sísmicas Todos los diafragmas y sus conexiones deben ser proporcionados y detallados para proveer una completa transferencia a los elementos colectores y elementos verticales del sistema de resistencia sismo resistente Los elementos de un sistema de diafragmas estructural que son sometidos primeramente a fuerzas axiales y utilizados para transferir el cortante del diafragma o fuerzas de flexión alrededor de aberturas u otra discontinuidades, debe cumplir con los requerimientos de XXXVII. 21.6 inciso 7 y 8 XXXVII.21.3 Sobrelosa compuesta vaciada en sitio actuando como diafragma Una sobrelosa compuesta construida en sitio sobre un piso o cubierta prefabricada y que sea adherida de manera que el sistema de piso o cubierta pueda proporcionar una restricción contra el pandeo de la losa, puede utilizarse como diafragma. La sobrelosa debe reforzarse y sus conexiones estén diseñadas y detalladas para proporcionar una transferencia completa de fuerzas a las cuerdas, elementos colectores y al sistema de resistente a las fuerzas laterales. La superficie del concreto previamente endurecido sobe el cual se coloca la sobrelosa debe estar limpia, libre de lechada y debe hacerse intencionalmente rugosa XXXVII.21.4 Sobrelosa vaciada en sitio actuando como diafragma Cuando la sobrelosa no compuesta construida sobre un piso o cubierta prefabricada esté diseñada y detallada para resistir las fuerzas de diseño de sismo puede considerarse como un diafragma 401

XXXVII.21.5 Espesor mínimo del diafragma Las losas de concreto y las sobrelosas compuestas que sirvan como diafragmas estructurales usadas para transmitir fuerzas sísmicas deben tener un espesor mínimo de 50 mm. Las sobrelosas colocadas sobre elementos de piso o cubierta prefabricados, que actúan como diafragmas estructurales y que no dependen de la acción compuesta con los elementos prefabricados para resistir las fuerzas sísmicas de diseño, deben tener un espesor mínimo no menor de 65 mm XXXVII.21.6 Refuerzo 1-La cuantía de refuerzo para los diafragmas estructurales corresponde a las cantidades de refuerzo requeridas por temperatura y retracción. En losas post-tensadas el espaciamiento del refuerzo en ambos sentidos no debe exceder los 450 mm. 2-El espaciamiento máximo para refuerzo en el alma tiene por objeto controlar el ancho de las fisuras inclinadas 3-Cuando se usa refuerzo electrosoldado de alambre como refuerzo distribuido para resistir el cortante en las sobrelosas colocadas sobre elementos de piso y cubierta prefabricados, los alambres paralelos a la dirección de los elementos prefabricados deben estar espaciados a no menos de 250 mm. El refuerzo provisto para la resistencia de cortante debe ser continuo y debe estar distribuido uniformemente a través del plano de cortante. Este requerimiento tiene por objeto evitar la fractura del refuerzo del refuerzo distribuido durante un sismo. Las fisuras en la sobrelosa se abren precisamente sobre la junta entre las alas de los elementos prefabricados adyacentes y los alambres que cruzan estas fisuras están restringidos por los alambres transversales. Por lo cual, toda la deformación asociada con la fisuración debe acomodarse en una distancia no mayor que el espaciamiento de los alambres transversales. El requerimiento de espaciamiento mínimo de 250 mm de los alambres transversales con el fin de reducir la posibilidad de rotura de los alambres que cruzan las fisuras críticas, durante el sismo de diseño. Los requisitos de espaciamiento mínimo no se aplican a los diafragmas reforzados con barras individuales debidos a que las deformaciones unitarias se distribuyen en una longitud mayor 4-Los tendones adheridos que se usen como refuerzo primario en cuerdas de diafragmas o elementos colectores deben diseñarse de forma tal que el esfuerzo debido a las fuerzas sísmicas de diseño no exceda de 420 MPa. Es permitido que la precompresión producida por tendones de presfuerzo no adherido resista fuerzas de diseño del diafragma si se proporciona una trayectoria de carga completa 5-Todo refuerzo continuo en diafragmas, cerchas, puntales, tensores, cuerdas y elementos colectores debe estar desarrollado o empalmado para fy en tracción 6-Se requieren empalmes Tipo 2 cuando se usan empalmes mecánicos para transferir fuerzas entre el diafragma y los elementos verticales del sistema resistente a fuerzas laterales 7-Los elementos colectores con esfuerzos de compresión que excedan 0.2 fc’ en cualquier sección deben tener refuerzo transversal a lo largo del elemento. Se permite descontinuar el refuerzo transversal especial en donde el esfuerzo de compresión calculado sea menor de 0.15 fc’. Los esfuerzos deben calcularse para la fuerza mayorada usando un modelo lineal elástico y las propiedades de las secciones brutas de los elementos considerado 8-Donde las fuerzas de diseño hayan sido ampliadas para tomar en cuenta la sobre resistencia de los elementos verticales del sistema de resistencia a fuerzas sísmicas, el límite de 0.2 fc’ debe ser incrementado a 0.5 fc’ y el límite de 0.15 fc’ debe ser aumentado a 0.4 fc’ 9-El factor de ampliación de los elementos de colectores de diafragma varía de 2 a 3 según el Reglamento utilizado y el tipo de sistema sismo resistente El refuerzo longitudinal para elementos colectores en los empalmes y zona de anclaje debe tener: a) Un espaciamiento mínimo centro a centro de tres diámetro de barra, pero menor que 4.0 cm y un recubrimiento mínimo de 2.5 del diámetro de la barra longitudinal, pero no menor de 5 cm b) Refuerzo transversal para Presforzado (con un esfuerzo efectivo menor de 0.4 de la resistencia del refuerzo a flexión) y no Presforzado debe ser calculado con: Avmin = 0.75 √fc’ bw s / fyt excepto lo requerido en XXXVII. 21.6 (7) XXXVII.21.7 Resistencia a flexión El diseño de los diafragmas y porciones de diafragmas a flexión debe realizarse como si fueran muros, columnas o vigas. Los efectos de las aberturas en las losas deben tenerse en cuenta No se aplica a no linealidad de la distribución de las deformaciones unitarias Antiguamente se consideraba que para resistir los esfuerzos producido por el momento flector era necesario colocar cordones en los bordes opuestos del diafragma, pero en la actualidad se considera que todo el refuerzo longitudinal contribuye a resistir el momento flector, con las limitaciones de XXXVIII. 21.6 402

XXXVII.21.8 Resistencia al cortante (C,21.11.9) Vn de diafragmas estructurales no debe exceder de: Vn = Acv [(0.17λ √fc’) + ρt fy] XXXII.21.8.1 (C.21-13) este requisito es el mismo que para los muros estructurales esbeltos Para sobrelosa vaciada en sitio sobre piso o techo prefabricado, Acv debe ser calculado usando el espesor de la sobrelosa solamente para sobrelosa no compuesta y la combinación del espesor de la sobrelosa y el elemento prefabricado para la sobrelosa compuesta. El valor de fc’ utilizado en Vn para sobrelosa compuesta no debe exceder el menor para fc’ para el elemento prefabricado y el valor de fc’ para la sobrelosa Vn para diafragma estructural no debe exceder 2 Acv √fc’/ 3 XXXII.21.8.2 (C.21-14) Por encima de las juntas entre elementos prefabricados en diafragmas no compuestos, o con afinado de pisos compuestos, Vn no debe exceder Vn = Avf fy μ XXXII.21.8.3(C.21-5) Avfes área total de refuerzo de fricción por cortante dentro de la sobrelosa, incluyendo el refuerzo distribuido y el refuerzo de borde, que es orientado perpendicular en la unión en el sistema prefabricado y el coeficiente de fricción μ, es 1.0λ. Por lo menos la mitad de Avf debe ser uniformemente distribuido a lo largo de la longitud del potencial plano de cortante XXXVII.21.9 Juntas de construcción Todas las juntas de construcción en los diafragmas deben adecuarse a las juntas normales y las superficies de contacto deben hacerse intencionalmente rugosa XXXVII.21.10 Cerchas estructurales Los elementos de las cerchas estructurales con esfuerzo de compresión excediendo 0.2 fc’ en cualquier sección debe tener refuerzo trasversal como el dado en XXXVII.16.2 párrafos 2, 3 y 4 en la longitud del elemento Todos los refuerzos continuos en elementos de cerchas estructurales deben estar desarrollados y empalmados para fy en tracción XXXVII.22 CIMENTACIONES DE ESTRUCTURAS ASIGNADAS A LA CAPACIDAD ESPECIAL DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA (DES) (C.21.12) Los cimientos que resisten fuerzas de sismo o transfieren la fuerza de sismo desde la estructura al suelo en estructuras designadas a la capacidad de disipación de energía especial (DES) deben cumplir los requerimientos de esta sección XXXVII.22.1 Los requisitos indicados en esta sección para pilotes, pilas excavadas, cajones de cimentación y losas sobre el terreno complementan otros criterios y de construcción aplicables del Reglamento XXXVII.22.2 Zapatas, losas de cimentación y cabezales de pilotes El refuerzo longitudinal de las columnas y muros estructurales que resisten las fuerzas inducidas por los efectos sísmicos debe extenderse dentro de la zapata, losa de cimentación o cabezal de pilotes y debe estar totalmente desarrollado por tracción en la interfaz Las columnas que sean diseñadas suponiendo condiciones de empotramiento en la cimentación, debe cumplir con lo indicado el párrafo anterior y si se requiere de ganchos de refuerzo longitudinal que resiste flexión debe tener gancho de 90 grados cerca de la base de la cimentación, con el extremo libre de las barras orientado hacia el centro de la columna Las columnas o elementos de bordes de los muros especiales de Concreto reforzado que tengan un borde dentro una longitud equivalente a la mitad de la profundidad de la zapata debe tener un refuerzo transversal de acuerdo con lo indicado en XXXVII.16.2 de los numerales 2 a 5 colocado bajo la parte superior de la zapata. Este refuerzo debe extenderse dentro de la zapata a una distancia que no sea inferior al menor valor entre la profundidad de la zapata, losa de cimentación o cabezal de pilotes, o la longitud de desarrollo en tracción del refuerzo longitudinal Cuando los efectos sísmicos crean fuerzas de levantamiento en los elementos de borde de los muros estructurales o en las columnas debe colocarse refuerzo superior para resistir la flexión producida XXXVII.22.3 Vigas y losas sobre el terreno

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Para condiciones sísmicas, las losas sobre el terreno a menudo son parte del sistema resistente a fuerzas laterales y deben diseñarse de acuerdo con el Reglamento, como también con otras normas o recomendaciones apropiadas Las vigas apoyadas en el terreno diseñadas para actuar como acoples horizontales entre la zapatas o cabezales de pilotes deben tener refuerzo longitudinal continuo que debe desarrollarse dentro o más allá de la columna, o anclarse dentro de la zapata o del cabezal del pilote en todas las discontinuidades. Las vigas sobre terreno diseñadas para actuar como acoples horizontales entre zapatas o cabezales de pilotes deben diseñarse de tal manera que la menor dimensión transversal sea igual o mayor que el espacio libre entre columnas conectadas dividido por 20, pero no necesita ser mayor de 450 mm. Se deben proporcionar estribos cerrados con un espaciamiento que no exceda al menor entre la mitad de la menor dimensión transversal o 300 mm. Estas vigas pueden consistir en vigas separadas bajo la losa apoyada en el terreno o pueden ser un engrosamiento de la losa. Las limitaciones de la sección transversal y los requerimientos mínimos de estribos proporcionan dimensiones razonables Las vigas sobre terreno y las vigas que sean parte de la losa de cimentación y estén sometidas a flexión por las columnas que son parte del sistema resistente a fuerzas laterales deben cumplir con lo indicado en XXXVII.15 Las losas sobre terreno que resisten fuerzas sísmicas provenientes de los muros o columnas que son parte del sistema resistente a fuerzas laterales deben diseñarse como diafragmas estructurales de acuerdo a lo indicado en XXXVII.21. Estas losas actuando como diafragmas mantienen la integridad de la edificación a nivel del terreno y minimizan los efectos de movimientos desfasados del terreno que pueden producirse con respecto a la cimentación de la edificación. Los planos de construcción deben especificar claramente que la losa sobre el terreno es un diafragma estructural y parte del sistema resistente a fuerzas laterales XXXVII.22.4 Pilotes, pilas y cajones de cimentación a) Un desempeño adecuado de los pilotes y cajones de cimentación bajo cargas sísmicas requiere que estas disposiciones se cumplan b) Los pilotes, pilas o cajones de cimentación que resistan cargas de tracción deben tener refuerzo longitudinal continuo a lo largo de la zona que resisten fuerzas de tracción. El refuerzo longitudinal debe detallarse para transferir las fuerzas de tracción en el cabezal de los pilotes a los elementos estructurales soportados c) Cuando las fuerzas de tracción inducidas por los efectos sísmicos sean transferidas, entre el cabezal del pilote o losa de cimentación y un pilote prefabricado, a través de barras de refuerzo colocadas con mortero inyectado o post instaladas en la parte superior del pilote, se debe demostrar mediante ensayos que el sistema de inyección desarrolla a lo menos 1.25 fy de la barra. Los pasadores colocados usando mortero de inyección en un orificio en la parte superior de un pilote prefabricado de Concreto necesitan ser desarrollado y los ensayos son un medio práctico de desarrollar la capacidad de estos elementos. Las barras pueden dejarse embebidas en la parte superior del pilote, para luego descubrirlas por picado del Concreto y ser empalmadas mecánicamente o soldadas a una extensión del refuerzo d) Los pilotes, pilas o cajones deben tener refuerzo transversal de acuerdo con lo indicado en XXXVII.16.2 de los numerales 2 a 5 en las zonas definidas en e) y f) e) En la parte superior del elemento en por lo menos 5 veces de la dimensión transversal del elemento, pero no menor de 1.8 m por debajo de la parte inferior del cabezal del pilote f) Para las partes de los pilotes en suelos que no son capaces de proveer soporte lateral, o están en el aire o agua, a lo largo de toda la longitud del tramo sin soporte más el largo requerido en e) g) Los pilotes durante los sismos son sometidos a demandas por extremadamente elevadas en puntos de discontinuidad, especialmente justo por debajo del cabezal del pilote o cerca de la base de un depósito de suelo suelto o blando h) Para los pilotes prefabricados de concreto la longitud donde se coloca el refuerzo transversal proporcionado debe ser suficiente como para tener en cuenta las variaciones potenciales de la profundidad a la que llega la punta de los pilotes i) Los pilotes, pilas o cajones que soportan edificaciones de uno o dos pisos con muros de carga de aporticamiento ligero, están exentos de los requisitos en d) y g) j) Los cabezales de pilotes que incorporan pilotes inclinados deben diseñarse para resistir la totalidad de la resistencia a compresión de los pilotes inclinados actuando como columnas cortas. Los efectos de esbeltez de los pilotes inclinados se deben considerar para la porción de los pilotes en suelos que no sean capaces de proporcionar soporte lateral, al que queda al aire libre o en el agua Además de los requisitos dados en C.21.12 deben cumplirse para pilotes y cajones de cimentación los requisitos de C.15.1

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XXXVII.23 ELEMENTOS QUE NO SE DESIGNAN COMO PARTE DEL SISTEMA DE RESISTENCIA ANTE FUERZA SÍSMICAS (C.21.13) XXXVIII.23 .1 Este epígrafe no puede ser empleado en el diseño de edificaciones nuevas y solamente puede ser utilizado en el diseño de rehabilitación sísmica en cuyo diseño original se utilizó el subterfugio de emplear elementos de pórticos que no se designaron como parte del sistema de resistencia ante fuerza sísmica en estructuras asignadas a la capacidad de disipación de energía especial (DES) . Los elementos estructurales que se suponen que no contribuyen a la resistencia lateral, excepto losas en dos direcciones sin vigas y manchones de muros, deben detallarse de acuerdo con lo indicado en XXXVII.23.2 y XXXVII.23.3 dependiendo de la magnitud de los momentos inducidos en aquellos elementos cuando son sometidos al desplazamiento δu. Si los efectos δu no son explícitamente verificados, se pueden aplicar los requisitos de XXXVII.23.3. Para losa de dos direcciones sin viga, las conexiones losa-columna deben cumplir con las disposiciones de XXXVII.23.5. Los manchones de muro deben cumplir los requisitos de C.21.13.7. XXXVII.23.2 Cuando los momentos y fuerzas cortantes inducidas por los desplazamientos de diseño δu combinados con las fuerzas cortantes y momentos gravitacionales mayorados no excedan la resistencia de diseño a cortante y momento del elemento, deben satisfacer las condiciones XXXVII.23.2.1 XXXVII.23.2.2 y XXXVII.23.2.3. Para este propósito, debe utilizarse la combinación de carga para gravedad más crítica entre (1.2D + 1.0L + 0.2S) ó 0.9D. Se puede reducir el factor de carga viva, L, a 0.5 salvo para garajes, áreas ocupadas como lugares de reunión pública y todas las áreas donde L sea mayor de 4.8 kN/m^2 XXXVII.23.2.1 Elementos sometidos a una fuerza axial gravitacional mayorada que no exceda Ag fc’ / 10 debe satisfacer XXXVII.15.1a). El espaciamiento de los estribos debe ser menor que de/2 a lo largo del elemento XXXVII.23.2.2 Los elementos con una fuerza axial gravitacional mayorada mayor que Ag fc’ / 10 deben satisfacer XXXVII.23.4.3, XXXVII.23.4.4.1c), XXXVII.23.4.4.3 y XXXVII.23.4.5. El espaciamiento longitudinal máximo de los estribos cerrados de confinamiento debe ser so en toda la altura de la columna. El espaciamiento so no debe exceder el menor de que seis diámetros de la barra longitudinal de menor diámetro o 150 mm XXXVII.23.2.3 Los elementos con una fuerza axial gravitacional mayorada que exceda de 0.35Po deben satisfacer XXXVII.23.2.2 y la cantidad de refuerzo transversal provisto debe ser la mitad del requisito XXXVII.16.2 numeral 5) sin exceder el espaciamiento so para la altura total de la columna XXXVII.23.3 Si el momento o el cortante inducido por los desplazamientos de diseño, δu de XXXVII.23 .1 exceden Mn o Vn del elemento, o si los momentos inducidos no se calculan, deben satisfacerse las condiciones XXXVII.23.3.1 a XXXVII.23.3.3 Los manchones de muro que no se designan como parte del sistema de resistencia de fuerzas sísmicas deben cumplir los requisitos de C.21.9.8. En el Capítulo A.3 del Reglamento se incluyen requisitos para sobre resistencia del sistema de fuerzas sísmicas, lo cual permite determinar la fuerza de diseño como Ω veces el cortante inducido bajo los desplazamientos de diseño δu XXXVII.23.3.1 Los materiales deben satisfacer XXXVII.6, XXXVII.7 numerales 1, 2 y 4. Los empalmes mecánicos deben cumplir con XXXVIII.8 y los empalmes soldados con XXXVII.9 numeral 1 XXXVII.23.3.2 Los elementos con una fuerza axial gravitacional mayorada menor de Ag fc’ / 10 deben satisfacer XXXVII.23.3.1 numeral 1 y XXXVII.15.4. El espaciamiento de los estribos debe ser no mayor que de/2 a, lo largo de todo el elemento XXXVII.23.3.3 Los elementos con una fuerza axial gravitacional mayarada mayor que Ag fc’ / 10 deben satisfacer XXXVII.16.1, XXXVII.16.2, XXXVII.16.3 y XXXVII.17 d XXXVII.23.4 Los elemento para pórticos de concreto prefabricado que se suponen no contribuyen con la resistencia lateral, incluyendo sus conexiones, deben cumplir con a), b) y c) además de XXXVIII.23.1 a a) Los estribos indicados en XXXVIII.23.2.2 deben proporcionarse en toda la longitud de la columna, incluyendo la altura de la viga b) Se debe proporcionar el refuerzo para integridad c) La longitud de apoyo de una viga debe ser al menos 50 mm mayor a la determinada por los cálculos usando los valores para resistencia de aplastamiento

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XXXVII.23.5 Para las conexiones losa-columna de losas en dos direcciones sin vigas, el refuerzo para cortante de la losa que satisface los requerimiento de cortante y proporciona un Vs no menor de: 7√fc’ bo de /24 debe extenderse al menos 4 veces el espesor de la losa desde la cara del apoyo, a menos que se satisfaga a) ó b) a) Los requisitos usando el cortante de diseño Vug y el momento inducido transferido entre la losa y la columna bajo el desplazamiento de diseño b) La deriva de piso de diseño no excede la mayor de entre 0.005 y [0.035 – 0.05(Vu /  Vc)] La deriva de piso de diseño debe tomarse como la mayor de las derivas de piso de diseño de los pisos adyacentes, sobre y bajo la conexión losa-columna. Vug es la fuerza de cortante mayorada en la sección crítica de la losa para una acción en dos direcciones, calculada para la combinación de carga: 1.2D + 1.0L + 0.2S El factor de la carga viva L, puede ser reducido a 0.5, excepto para garajes, áreas de lugares públicos y en lugares con carga viva mayor que 5 kN/m^2 XXXVII.24 PASOS A SEGUIR PARA LA APLICACIÓN DE LOS REQUISITOS ESPECIALES DE LAS ESTRUCTURAS DE CONCRETO REFORZADO SOMETIDAS A LA CARGA DE SISMO Paso 1. Obtención del nivel de amenaza sísmica y el valor del Aa y Av Este paso consiste en localizar el lugar donde se construirá la edificación dentro de los mapas de zonificación sísmica dados por el Reglamento y en determinar el nivel de amenaza sísmica del lugar, de acuerdo con el valor de los parámetros Aa y Av. El nivel de amenaza sísmica se clasificará como alta, intermedia o baja. En el Reglamento, se presenta una enumeración de los municipios colombianos, con su definición de la zona de amenaza sísmica y el valor de los parámetros Aa y Av, entre otros Paso 2. Movimientos sísmicos de diseño Deben definirse unos movimientos sísmicos de diseño en el lugar de la edificación, de acuerdo con los requisitos del Reglamento, tomando en cuenta: a) la amenaza sísmica para el lugar determinada en el Paso 1, expresada a través del parámetro Aa y Av, los cuales representan la aceleración horizontal pico efectivo y velocidad horizontal piso efectiva expresada en términos de aceleración del sismo de diseño. b) Las características de la estratificación del suelo subyacente en el lugar a través de un Coeficiente de sitio Fa y Fv S, y c) La importancia de la edificación para la recuperación de la comunidad con posterioridad a la ocurrencia de un sismo a través de un Coeficiente de importancia (I) La característica de los movimientos de diseño se expresa por medio de un espectro elástico de diseño. El Reglamento contempla descripciones alternativas del sismo de diseño, ya a través de familias de acelelogramas, o bien por medio de expresiones derivadas de estudios de micro zonificación sísmica; las cuales deben determinarse Paso 3. Características de la estructuración y del material estructural empleado El sistema estructural de resistencia sísmica de la edificación debe clasificarse dentro de uno de los sistemas estructurales prescriptos en el Reglamento, como sistemas de muros de cargas, sistema combinado, sistema de pórtico, o sistema dual. El Reglamento define limitaciones en el empleo de los sistemas estructurales de resistencia sísmica en función de la zona de amenaza sísmica donde se encuentre localizada la edificación, de la forma misma como se disponga el tipo de material estructural empleado, según esté en posibilidad de responder adecuadamente ante movimientos sísmicos como los esperados por medio de su capacidad de disipación de energía, la cual puede ser especial (DES), moderada (DMO) o mínima (DMI); de la altura de la edificación y de su grado de irregularidad

Paso 4 Grado de irregularidad de la estructura y procedimiento de análisis Definición del procedimiento de análisis sísmico de la estructura de acuerdo con la regularidad o irregularidad de la configuración de la edificación, tanto en planta como en alzado, su grado de redundancia o de ausencia de ella en el sistema estructural de resistencia sísmica, su altura, las características del suelo del lugar y el nivel de amenaza sísmica. 406

Paso 5. Fuerzas sísmicas Obtención de las fuerzas sísmicas, Fs, que deben aplicarse a la estructura para lo cual debe usarse los movimientos de diseño definidos en el Paso 4 La Fuerza Sísmica (Fs) se obtiene con la siguiente fórmula: Fs = Sa M g Sa – Valor del espectro de aceleraciones de diseño para un período de vibración dado. Máxima aceleración horizontal de diseño, expresada como una fracción de la aceleración de la gravedad, para un sistema de un grado de libertad con un período de vibración T Sa = 1.2 Av Fv I /T Cuando T sea menor que Tc = 0.48 Av Fv /(Aa Fa), entonces Sa = 2.5 Aa Fa I Cuando T sea mayor de TL = 2.4 Fv, entonces Sa = 1.2 Av Fv TL I / ( 1) T^2 T- Período fundamental de vibración de la edificación T puede calcularse como T = Ta = Ct hn^(α) hn- altura en metro, medida desde la base al piso más alto del edificio g- Fuerza de la gravedad M – Masa total de la edificación – M se expresa en kg. Debe ser igual a la masa total de la estructura más la masa de aquellos elementos tales, como: muros divisorios y particiones, equipos permanentes, tanques y sus contenidos, etc. En depósitos o bodegas debe incluirse, además, un 25% de la masa correspondiente a los elementos que causan la carga del piso Fuerzas Sísmicas Horizontales Equivalentes La fuerza horizontal, Fx, en cualquier nivel x, para la dirección en estudio, se determina según: Fx = Cvs Vs Vs Cortante sísmico en la base Vs = Sa g M n Cvs = mx (hx) ^k /  (mi (hi)^k i=1 Para T menor o igual a 0.5 segundos, k = 1.0 Para T entre 0.5 y 2.5 segundos, k = 0.75 + 0.5 T Para T mayor que 2.5 segundos, k = 2.0 Paso 6. Análisis sísmico de la estructura El análisis sísmico de la estructura se lleva a cabo aplicando los movimientos sísmicos de diseño prescriptos, a un modelo matemático apropiado de la estructura. Este análisis se realiza para los movimientos sísmicos de diseño sin ser dividido por el Coeficiente de capacidad de disipación de energía, R, y deben hacerse por el método que se haya definido en el Paso 5. Deben determinarse los desplazamientos máximos que se imponen los movimientos sísmicos de diseño a la estructura y las fuerzas internas que se deriven de ellos Paso 7 Desplazamientos horizontales. Evaluación de los desplazamientos horizontales, incluyendo los efectos torsionales de toda la estructura, y las derivas (desplazamiento relativo entre niveles contiguos), con base a los desplazamientos obtenidos en el paso 8 Paso 8. Verificación de la deriva Comprobación de que la deriva de diseño obtenido no exceda los límites permitidos. Si la estructura excede los límites de deriva, calculada incluyendo los efectos torsionales de toda la estructura, es obligatoria rigidizarla, llevando a cabo nuevamente los pasos 8, 9 y 10, hasta cuando cumpla la comprobación de derivas

Paso 9. Combinación de las diferentes solicitaciones Las diferentes solicitaciones que deben ser tenidas en cuenta, se combinan para obtener las fuerzas internas de diseño de la estructura, de acuerdo con el Reglamento, por el método de diseño propio de cada material estructural. En cada una de las combinaciones de cargas requeridas, las solicitaciones se multiplican por el Coeficiente de carga prescripto en el Reglamento. En los efectos causados por el sismo de diseño se tiene en cuenta la capacidad de disipación de energía del sistema estructural, lo 407

cual se logra empleando unos efectos sísmico reducidos de diseño, E, obtenidos dividiendo las fuerzas sísmicas Fs, determinadas en el Paso 5, por el Coeficiente de capacidad de disipación de energía R (E = Fs/R). El Coeficiente de disipación de energía, R, función de: a) el sistema de resistencia sísmica b) del grado de irregularidad de la edificación c) del grado de redundancia o de ausencia de ella en el sistema estructural de resistencia sísmica, y d) de los requisitos de diseño detallado de cada material, para el grado de capacidad de disipación de energía correspondiente (DMI, DMO o DES) Paso 12. Diseño de los elementos estructurales Se lleva a cabo de acuerdo con los requisitos propios del sistema de resistencia sísmica y del material utilizado. Los elementos estructurales deben diseñarse y detallarse de acuerdo con los requisitos Después de haber determinado todas las solicitaciones (momento, cortante, carga axial) en la estructura, se siguen los siguientes pasos 13- Diseñe para flexión y revise donde es necesario el refuerzo principal para la resistencia de momento en la estructura: vigas y viga-columna (viga-columna conde Pu > Ag fc´/ 10) 14-Utilizando el concepto de columna fuerte-viga débil según XXXVII.16 d) se asume que la articulación plástica se producirá en la viga ∑ Mcol ≥ (6 / 5) Mvig en el nudo La fuerza de cortante producida por el sismo en la viga es: Vi = [(Mpri¯ + Mprd+) / L] + [(1.2D + 1.6L ) / 2] en la izquierda Vd = [(Mpri¯ + Mprd+) / L] - [(1.2D + 1.6L ) / 2] en la derecha Vi- cortante en el extremo izquierdo de la viga Vd – cortante en el extremo derecho de la viga Mpri¯- momento probable en el extremo izquierdo de la viga Mprd+) - momento probable en el extremo derecho de la viga L- luz de la viga La fuerza de cortante producida por el sismo en la columna es: Ve = (Mpr1 + Mpr2) / h h- altura de la columna Para asegurar que la articulación será en la viga debe cumplirse que Mnc  1.20  Mnb XXXVIII.16 entonces ( Mn+  Mn¯)col ≥ 1.2 ( Mn+  Mn¯)viga Antes de la evaluación de la fuerza de cortante sísmica de la viga se debe evaluar el momento nominal y proporcional el elemento Viga: Momento de diseño y Pu insignificante Columna: Combinación de momento y carga axial Pu Viga-columna Pu ≥ 0.1 Ag fc’ La menor dimensión ≥ 30 cm 3- Refuerzo longitudinal viga-columna o columna: 0.01 ≥ ρg = As / Ag ≤ 0.06 Para consideraciones prácticas ρg ≤ 0.035 En cualquier sección de la viga el refuerzo superior e inferior no debe tener una cuantía inferior a la que se obtiene con As, mim =  d bw As, min = (fc’/4 fy) d bw 1.4 d bw/fy  < 0.025 Debe haber al menos dos barras continuas con diámetro igual o superior a No. 4 tanto arriba como abajo Para proporcionar el refuerzo longitudinal en la viga, el momento nominal requerido debe ser: Mn+ en la cara de la unión ≥ Mn¯ en esa cara / 2 Mn+ o Mn¯ ≥ Ma max en la cara 4- Refuerzo transversal confinado Debe utilizarse refuerzo en espiral, o estribos de confinamiento, como se indica a continuación, a menos que se requieran cantidades mayores por refuerzo cortantes: Cuando se utilice refuerzo en espiral, la cuantía volumétrica de refuerzo en espiral, s, o de estribos de confinamiento circulares, no puede ser menor que el valor obtenido por medio de la siguiente ecuación: s = 0.12 fc’ / fyh XXXVII.16.2.2 fyh- resistencia nominal a la fluencia del acero de refuerzo transversal, MPa 408

Cuando se utilicen estribos rectangulares, el área total de los estribos rectangulares de confinamiento, no puede ser menor que la que se obtiene por medio de las ecuaciones siguientes, para las dos direcciones principales de la ecuación de la columna: Ash=0.3s hc fc’[(Ag/Ach) –1]fyh XXXVII.16.2.3 Ash = 0.09 s hc fc’ / fyh XXXVII.16.2.4 El refuerzo transversal debe ser colocado en una longitud (lo) desde cada cara de la unión y en ambos lados de cualquier sección donde puede ocurrir una articulación plástica como resultado del desplazamiento inelástico del pórtico La longitud (lo) no debe ser menor que el mayor de a), b), y c) siguientes: a) El peralto del elemento en la cara de la unión o en la sección donde pueda ocurrir la articulación plástica b) 1/6 de la luz libre del elemento c) 45 cm El refuerzo transversal debe disponerse de estribos de confinamiento sencillo o múltiple. Se pueden utilizar ganchos suplementarios del mismo diámetro de la barra y con el mismo espaciamiento que los estribos cerrados de confinamiento. Cada extremo del gancho suplementario debe enlazar una barra perimetral del refuerzo longitudinal. Los extremos de los ganchos suplementarios consecutivos deben alternarse a lo largo del refuerzo longitudinal El espaciamiento horizontal de los ganchos suplementarios o las ramas de los estribos cerrados de confinamientos múltiples, hx, no debe exceder de 350 mm centro a centro 4-El refuerzo transversal no debe exceder: -6 veces el diámetro del refuerzo longitudinal -1/4 de la dimensión mínima de la sección del elemento so = 10 + [(35 – hx)]/3 en cm XXXVII.16.2.1 El valor de so no debe ser mayor de 15 cm, ni tomarse menor de 10 cm 5- Unión viga-columna. Concreto de peso normal en el nudo Debe cumplirse XXXVII.17 La resistencia del cortante nominal ≥ Vu Nudos confinados en sus cuatro caras: 1.7 ( fc’) Aj -Nudos confinados en tres caras o en dos caras opuestas: 1.2(fc’) Aj -Otros nudos: 1.0 (fc’) Aj Aj- área efectiva de la sección transversal dentro del nudo calculada como el producto de la profundidad del nudo por el ancho efectivo. Para concreto ligero el valor de Vn debe ser reducido en el 25% El cortante horizontal en el nudo es determinado asumiendo que el esfuerzo es 1.25 fy en el refuerzo 6- Longitud de desarrollo en barras en tracción Debe cumplirse el inciso XXXVII.17.4 7- Muros estructurales Deben cumplir el inciso XXXVII.19 XXXVII.25 EJEMPLO DE DISEÑO DE REFUERZO CONFINADO EN UNA UNIÓN VIGACOLUMNA Diseñe el refuerzo transversal de una unión en un pórtico estructural de un edificio. La estructura está localizado en una región donde Aa > 0.2 y el Grupo de uso es IV Carga muerta = 20 kN / m Carga viva = 40 kN / m Concreto fc’ =28 MPa Acero: fy = fvt = 420 MPa Las vigas son de bw = 0.3 m y h = 0.60 m, reforzada con 5 barras No.8 en la parte superior e inferior Las columnas son de 0.4 m x 0.6 m El momento probable es 550 kN-m = 0.55 MN-m Es DES Como es DES se debe aplicar lo indicado en XXXVII.15 a XXXVII.18

columna de 0.3 x 0.6 m Viga 0.3 x 0.6 m 409

0.6 m

Carga muerta 20 kN/m Carga viva 40 kN/m 6.0 m

Luz= 6.0 m altura del piso h = 3.5 m Va

Va = Vb = 180 kN 1-Refuerzo transversal a lo largo de la luz de la viga fuera de la zona inelástica As = 25.67 cm^2 = 0.002567 m^2

Vcol

H/2 = 3.5 / 2 =1.75 m Vu

H/2 = 1.75 m Mpr

Vcol Fuerzas cortante en la unión viga-columna ρ = 0.002567 / (0.3 x 0.55) = 0.011556 < 0.025 Se cumple a = 1.25 As fy / 0.85 fc’ bw = 1.25 x 0.0022567 x 420 / 0.85 x 28 x 0.3 = 0.1659 m Mn = 1.25 As fy [(de) – (a / 2)] ≥ Mpr Mn = 1.25 x 0.002567 x 420 [( 0.55 - (0.1659 / 2)] = 0.6043 MN-m = 604.25 kN-m > Mpr = 550 kN-m Entonces 5 barras No.8 asumida en la parte superior e inferior es correcto 2- Refuerzo transversal confinado en la viga en la zona inelástica de la rótula plástica Vi = [(Ma + Mb) / L] + [(1.2D + 1.6L ) / 2] /  Vi = [(0.55 + 0.55) / 6.0] + [(1.2 x 0.12 + 1.6 x 0.24) / 2] / 0.85 = 0.61 MN Vc = √fc’ bw de / 6 = √28 x 0.3 x 0.55 / 6 = 0.145 MN Note que Vc se puede asumir como Vc = 0 de acuerdo con XXXVIII.15.4 Vn a una distancia (de) de la cara de la columna es: Vn = 0.61 – (0.30 + 0.55) x (1.2 x 0.020 + 1.6 x 0.04) = 129 kN = 0.5352 MN Vs = Vn – Vc = 0.5352 – 0.145 = 0.3902 MN Con No.4 Av =2.43 cm^2 = 0.00024384 m^2 s = Av fyt de / Vs = 0.00024384 x 420 x 0.55 / 0.3902 = 0.144 m a) Deben colocarse estribos de confinamiento en los siguientes lugares: -Por una distancia igual a 2de medida hacia el centro del elemento a partir de la cara del apoyo, en ambos extremos de la viga= 2 x 0.55 = 1.1 m -Por una distancia igual a 2de = 1.1 m, a ambos lados de aquellos lugares donde el análisis indique que puede haber plastificación por flexión causada por los desplazamientos inelásticos de la estructura b) El primer estribo de confinamiento debe colocarse al menos a 50 mm de la cara del apoyo. El máximo espaciamiento de los estribos de confinamiento no puede exceder: - de/4 = 0.55 / 4 = 0.1375 m - 8 db, de la barra longitudinal de menor diámetro = 8 x 2.54 = 20.32 cm = 0.2032 m 410

-24db de la barra del estribo de confinamiento = 24 x 1.0 24 cm = 0.24 m -300 mm = 0.3 m c)Donde se requieran estribos de confinamiento, las barras longitudinales del perímetro de la sección de la viga deben tener el soporte lateral exigido en Detalles del Refuerzo Donde se requieran estribos de confinamiento, el espaciamiento máximo de los estribos debe ser d/2 a todo lo largo del elemento = 0.55 / 2 = 0.275 m Por lo tanto colocaremos estribos No. 4 @ 0.13 m, en una distancia de 1.1 m desde la cara de la columna. El primer estribo se coloca 0.05 m de la cara del apoyo y posteriormente a 0.275 m 3. Refuerzo de confinamiento en la columna en la unión viga-columna a) resistencia a cortante de la unión Hallemos el cortante en la columna Vcol = Mpr / (H/2 + H/2) = 0.55 / (1.75 + 1.75) = 0.1333 MN Vn en cada unión = As fy – Vcol = 0.002567 x 420 – 0.1333 = 0.945 MN El Vn permisible = 1.25 √fc’ Aj = 1.25 x √28 x 0.3 x 0.6 = 1.19 MN > Vn en la columna = 0.945 MN Por lo cual la unión confinada de la columna resiste la fuerza cortante del sismo b) Confinamiento de la columna en el rango inelástico (de) columna = 0.6 – 0.05 = 0.55 m En el plano de Aj, Vn = ( fc’) Aj / 6 Vn = √28 x 0.3 x 0.55 / 6 = 0.132 MN Vs = 0.945 – 0.132 = 0.813 MN s = As fyt de / Vs = 0.00024384 x 420 x 0.55 / 0.813 = 0.069 m = 0.07 m Cuando se utilicen estribos rectangulares, el área total de los estribos rectangulares de confinamiento, no puede ser menor que la que se obtiene por medio de las ecuaciones siguientes, para las dos direcciones principales de la ecuación de la columna: Ash=0.3s hc fc’[(Ag/Ach) –1] /fyh XXXVII.16.2.3 Ash=0.3 x 0.07 x 0.5 x 28 [(0.3 x 0.6/ 0.28 x 0.5) –1] / 420 = 0.0002 m^2 Ash = 0.09 s hc fc’ / fyh XXXVII.16.2.4 Ash = 0.09 x 0.07 x 0.5 x 28 / 420 = 0.00021 m^2 (controla) 3-El espaciamiento horizontal de los ganchos suplementarios o las ramas de los estribos cerrados de confinamientos múltiples, hx, no debe exceder de 350 mm centro a centro El espaciamiento del refuerzo transversal no debe exceder: -6 veces el diámetro del refuerzo longitudinal = 6 x 2.54 = 15.24 cm -1/4 de la dimensión mínima de la sección del elemento = 30/4 = 7.5 cm so = 10 + [(35 – hx)]/3 en cm XXXVII.16.2.1 so = 10 +[(35 – 10)] /3 = 18.33 cm El valor de so no debe ser mayor de 15 cm, ni tomarse menor de 10 cm por lo anterior domina el espaciamiento de 7.5 cm

estribos No.4 @ 7.0 cm en 0.55 m

8 No.8

estribos No.4 @ 7.0 cm en 0.55 cm

estribos No. 4 primer estribo a 5 cm de la cara de la columna No. 4 @ 13 cm en 1.1 m

5 No 8 411

resto @ 27.0 cm

XXXVII.26 REFUERZO TRANSVERSAL EN UNA REGIÓN DE POTENCIAL ARTICULACIÓN DE UNA VIGA Diseñe el refuerzo transversal en una región de articulación potencial de una viga del sistema de resistencia a sismo de un pórtico. La luz de la viga es 7.0 m y está sometida a una carga viva de 15.0 kN/m y a una carga muerta de 35.0 kN/m fy = 420 MPa fc’ = 28 MPa b = 0.4 m h = 0.65 m Recubrimiento 0.04 m As’ = 6 No. 8 ( 30.0 cm^2) As= 4 No.8 ( 20.0 cm^2) estribos No.3 La estructura está localizado en una región donde Aa > 0.2 y el Grupo de uso es IV Solución U = 1.2 x 35.0 + 1.6 x 15.0 = 66 .0 kN/ m = 0.066 MN/m 2 No. 8 4 No.8 4 No. 8

4 No. 8

2 No.8

4 No. 8 7.0 m

Probable momento negativo a = 1.25 As fy / 0.85 fc’ b = 1.25 x 0.002 x 420 / 0.85 x 28 x 0.4 = 0.165 m Mpr¯ = 1.25 As fy ( de – a / 2) = 1.25 x 0.003 x 420 ( 0.60 – 0.165 / 2) = 0.8346 MN-m Probable momento positivo a = 1.25 As fy / 0.85 fc’ b= 1.25 x 0.002 x 420 / 0.85 x 28 x 0.4 = 0.11 m Mpr+ = 1.25 As fy ( de – a / 2) = 1.25 x 0.002 x 420 ( 0.6 – 0.11 / 2) = 0.5723 MN- m Probable cortante Vpro = (wu lc / 2) ±[ (Mpr+ + Mpr¯) / lc] Vpro= 0.066 x 7 / 2 x 0.75 ± [(0.5723 + 0.8346) / 7)] = 0.308 ± 0.200 = 0.508 MN y 0.108 MN Entonces Vpro max = 0.508 MN Vpro max/2 = 0.251 MN (Mpr+ + Mpr¯) / lc = 0.200 MN ~ Vpro max/2 Utilizamos Vc = 0 en el diseño Se debe colocar refuerzo de confinamiento en la región de probable articulación plástica para resistir el cortante, considerando Vc = 0 y cuando la carga axial es menor de 0.05 Ag fc’ entonces Vs = Vpor max = 0.508 MN Utilizando estribos No. 3 s = As ft de / Vs = 3 x 0.00007 x 420 x 0.6 / 0.508 = 0.10 m El espaciamiento debe ser el menor de: de/4 = 0.60 / 4 = 0.15 m 8 db = 8 x 2.54 = 20.32 cm = 0.20 m 24 dest = 24 x 1.0 = 24 cm = 0.24 m 0.3 m Se colocan a 0.10 m en una zona de una longitud de 2 x h = 2 x 0.65 = 1.3 m estribo No. 3 @ 0.10m

No. 3 @ 0.10 m

412

XXXVII.27 PROBLEMAS PROPUESTOS XXXVII.27.1 Diseñe el refuerzo transversal de una unión en un pórtico estructural de un edificio. La estructura está localizado en una región donde Aa > 0.2 y el Grupo de uso es IV Carga muerta = 15 kN / m Carga viva = 30 kN / m Concreto fc’ = 28 MPa Acero: fy = fvt = 420 MPa Las vigas son de bw = 0.25 m y h = 0.50 m, reforzada con 4 barras No.8 en la parte superior e inferior Las columnas son de 0.3 m x 0.50 m El momento probable es 450 kN-m = 0.45 MN-m XXXVII.27.2 Diseñe el refuerzo transversal en una región de articulación potencial de una viga del sistema de resistencia a sismo de un pórtico. La luz de la viga es 6.0 m y está sometida a una carga viva de 13.0 kN/m y a una carga muerta de 30.0 kN/m fy = 420 MPa fc’ = 28 MPa b = 0.3 m h = 0.55 m Recubrimiento 0.04 m As’ = 5 No. 8 ( 30.0 cm^2) As= 3 No.8 ( 20.0 cm^2) estribos No.3

CAPÍTULO XXXVIII (Capitulo C.22) CONCRETO ESTRUCTURAL SIMPLE XXXVIII.1. INTRODUCCIÓN Se entiende como Concreto Estructural Simple aquel que no tiene refuerzo de acero o que contiene cantidades menores que los mínimos prescriptos para ser considerado Concreto Estructural Reforzado En este Capítulo se trata los requerimientos para el diseño y construcción de elementos estructurales de Concreto Estructural Simple, tanto como los fundidos en sitio como los prefabricados, con las excepciones siguientes: a) Muros de sótanos no deben cumplir los requerimientos de las condiciones de exposición a ambiente húmedo o marino b) Losas apoyadas sobre el terreno, tales como aceras y pavimentos, a menos que transmitan fuerzas verticales provenientes de otras partes de la estructura En el diseño de estructuras especiales, tales como arcos, estructuras subterráneas para conducción de servicios públicos, muros de contención de gravedad y barreras de protección, pueden utilizarse los requisitos del presente Capítulo cuando sean apropiados XXXVIII.2. LIMITACIONES (C.22.2) El uso del Concreto Estructural Simple se debe limitar a: a) elementos que están totalmente apoyados sobre el terreno, o apoyados sobre otros elementos estructurales capaces de proveer soporte continuo para cargas verticales, o b) Elementos en los cuales el efecto de arco produce esfuerzos de compresión en todas sus secciones bajo todas las condiciones de carga c) muros y pedestales No se permite el uso de Concreto Estructural Simple en columnas El Concreto Estructural Simple no debe emplearse en elementos estructurales donde haya efectos que requieran consideraciones especiales como pueden ser los producidos por explosiones, a menos que lo permitan los Títulos del Reglamento La resistencia mínima a la compresión del concreto fc’ que se utilizará en Concreto Estructural Simple será 17.5 MPa

413

XXXVIII.3. JUNTAS (C.22.3) Deben disponerse juntas de contracción o de aislamiento adecuadas para dividir los elementos estructurales en elementos discontinuos a flexión. El tamaño de cada elemento debe limitarse de tal manera que se evite la presentación de esfuerzos de tracción internos causados por la restricción a los movimientos producidos por los cambios volumétricos causados por la retracción de fraguado, el flujo plástico y las variaciones de temperatura En la definición de la cantidad y localización de las juntas de contracción o aislamiento deben tenerse en cuenta efectos tales como la influencia de las condiciones climáticas, la selección y proporciones de los materiales, el mezclado, la colocación y el curado del concreto, el grado de restricción al movimiento, los esfuerzos debidos a las fuerzas a que el elemento se ve sometido y las técnicas de construcción XXXVIII.4. MÉTODO DE DISEÑO (C.22.4) Los elementos estructurales de Concreto Estructural Simple deben diseñarse utilizando las cargas de diseño (las cargas de servicio multiplicas por el factor de carga) y las resistencias de cálculo de los materiales La relación esfuerzo-deformación del concreto es lineal tanto en compresión como en tracción en el diseño por resistencia de elementos de Concreto Estructural Simple para flexión y cargas axiales Se utiliza la resistencia de tracción del concreto cuando se cumple los requisitos XXXVIII.3 Juntas No se debe asignar resistencia al refuerzo de acero que pudiera estar presente No se permite suponer que hay transmisión de los esfuerzos de tracción a través de los bordes de los elementos, de las juntas de control o de las juntas de construcción localizadas dentro de un mismo elemento. No se debe suponer continuidad a flexión debida a esfuerzos de tracción entre elementos de Concreto estructural simple adyacentes. En el cálculo de la resistencia a flexión, a flexión y carga axial y a cortante debe considerarse en el diseño la sección completa, excepto para el Concreto construido contra el suelo en donde la altura total h debe tomarse 50 mm de la dimensión real XXXVI.4.1 DISEÑO POR RESISTENCIA (C.22.5) 1. El diseño de secciones sometidas a flexión de basarse en la siguiente ecuación:  Mn Mu XXXVI.4.1.a(C.22.1) donde: Mn = 0.42λ (fc’) Sm XXXVI 4.1b para tensión controlada Mn = 0.85 fc’ Sm XXXVI 4.1 .c para compresión controlada Sm- Módulo de la sección elástico, para sección rectangular = bw h^2 / 6 2.

El diseño de secciones sometidas a compresión debe basarse en la siguiente ecuación:  Pn  Pu XXXVI.4.1.d (C.22-4) donde: Pu es la fuerza axial mayorada a compresión Pn = 0.60 fc’ {1- [lc / (32 h)]^2 } A1 XXXVI.4.1.e

A1- área cargada 3. El diseño de elementos sometidos a la combinación de flexión y fuerza axial de compresión debe dimensionarse de tal manera que en la cara de compresión: (Pu /  Pn) + ( Mu /  Mn)  1

XXXVI.4.1.f

{(Pu / 0.6  fc’[1 – [(lc) / 32 h)]] ) + ( Mu / 0.85 fc’ S)  1

XXXVI.4.1.g

y en la cara de tracción: (Mu / Sm) – (Pu / Ag)  0.42  λ(fc’)

XXXVI.4.1.h

El diseño de secciones rectangulares sometidas a cortante debe basarse en:  Vn  Vu

XXXVI.4.1.i

Vu –fuerza cortante mayorada Vn = 0.11 (fc’) λbw h XXXVI.4.1.jpara vigas Vn = (0.11) [1 + 2 / ]λ (fc’) bo h  (2/9) λ(fc’) bo h XXXVI.4.1.k para acción en dos direcciones -relación de lado mayor a lado menor de la carga concentrada o área de reacción 414

El diseño de las áreas de contacto sometidas a compresión debe basarse en:  Bn  Pu

XXXVI.4.1.l

Pu – es la fuerza de aplastamiento mayorada aplicada Bn = 0.85 fc’ A1 XXXVI.4.1.m A1 – área de contacto Nota: Cuando la superficie de apoyo es más ancha en todos sus lados, que la zona cargada, la resistencia para esfuerzo de contacto puede Multiplicarse por (A2 / A1)  2.0 XXXVIII.5. MUROS (C.22-6) Los muros estructurales de Concreto Estructural Simple deben estar apoyados totalmente sobre el terreno, zapatas, muros de cimentación u otros elementos estructurales capaces de proveer un apoyo vertical continuo Los muros deben diseñarse para las fuerzas verticales, laterales y otras que los puedan afectar Los muros deben diseñarse según el inciso 3 anterior siempre y cuando el muro se diseñe para una excentricidad correspondiente al máximo momento que pueda acompañar la fuerza axial, pero no menor de 0.1 h. Si la resultante de todas las fuerzas mayoradas está localizada dentro del tercio central del espesor del muro, el diseño debe realizarse de acuerdo con el inciso 3 anterior o con el Método Empírico de Diseño. En los otros casos el muro debe diseñarse siguiendo los requisitos del enciso 3 anterior El diseño para cortante debe realizarse siguiendo el inciso 3 anterior XXXVIII.5.1 Método empírico de diseño (C.22.6.5) Los muros con sección transversal sólida y rectangular pueden diseñarse por medio de las siguientes ecuaciones, si la resultante de todas las fuerzas mayoradas está localizada dentro del tercio central del espesor total del muro  Pnw  Pu XXXVIII.5.1.a Pnw = 0.45  fc’ Ag { 1 – (lc/ 32h)^2} XXXVIII.5.1.b XXXVIII.6 Limitaciones (C.22.6.6) Deben tenerse en cuenta las siguientes limitaciones en el diseño de los muros de Concreto Estructural Simple a)

A menos que se encuentre por medio de un análisis detallado. La longitud de muros que puede considerarse efectiva para una fuerza vertical concentrada no debe exceder la distancia centro a centro entre fuerzas, ni el ancho de la superficie de contacto de la fuerza con el muro más cuatro veces el espesor del muro b) Con la excepción de lo indicado en el inciso c (a continuación) el espesor de los muros de carga no deben ser menor de 1/24 de la altura o de la longitud, la menor de las dos, ni menos de 140 mm ( c) El espesor de muros exteriores de sótanos y de muros que hagan parte de la cimentación no debe ser inferior de 160 mm d) Los muros deben estar arriostrados contra desplazamiento lateral e) Deben colocarse al menos dos barras No. 5 ó 16M alrededor de todas las aberturas para ventanas o puertas. Las barras deben anclarse para desarrollar fy en tracción XXXVIII.7 ZAPATAS (C.22-7) Las zapatas deben diseñarse para las fuerzas mayoradas y las reacciones inducidas por movimientos El área de la base de la zapata debe determinarse a partir de las fuerzas y momentos mayorados transmitidos por la zapata al suelo y los esfuerzos permisibles sobre el suelo dados por el estudio geotécnico El Concreto simple no debe utilizarse en zapatas apoyadas sobre pilotes El espesor de la zapata no debe ser menor de 200 mm Los momentos mayorados deben determinarse en las siguientes secciones críticas a) en la cara de las columnas, pedestales, o muros, para zapatas que den apoyo a columnas, pedestales o muros de concreto b) a la mitad de la distancia entre el centro y el borde del muro, para zapatas que den apoyo a muros de mampostería c) a la mitad de la distancia entre la cara de la columna y el borde de la platina de apoyo, para zapatas que den apoyo a columnas con platinas de apoyo de acero 415

XXXVIII.7.1 Cortante en Zapatas de Concreto Estructural Simple El cortante en zapatas de Concreto Estructural Simple se rige por los siguientes requisitos La máxima fuerza cortante mayorada debe calcularse siguiendo los requisitos del párrafo siguiente en las secciones críticas indicadas allí para zapatas que den apoyo a columnas, pedestales o muros. En las zapatas que den apoyo a columnas con platinas de apoyo de acero, la sección crítica debe medirse a partir de la localización en el ordinal c) anterior La resistencia a fuerzas cortantes en las zapatas de Concreto Estructural Simple está gobernada por la más severa de las dos condiciones siguientes: a)

acción como viga en la zapata, con la sección crítica contenida dentro de un plano que interfecta toda la zapata a lo largo de todo un ancho y que está localizada a una distancia h de la cara de la carga concentrada o del área del apoyo. Para está condición la zapata debe diseñarse utilizando la ecuación Vn = fc’ b h / 9, XXXVIII.7.1.a b) acción en dos direcciones para zapatas con una sección crítica perpendicular al plano de la zapata y localizada de tal manera que su perímetro bo, es un mínimo, teniendo en cuenta que el perímetro de la sección crítica puede estar a una distancia igual a h/2 de la carga concentrada o del área de apoyo. Para está condición la zapata debe diseñarse utilizando la ecuación Vn = (1/9)[1 + (2/] (fc’) bo h  (2/9)(fc’) bo h XXXVIII.7.1.b La columna y pedestales de forma circular o poligonal pueden tratarse como elementos de sección cuadrada con la misma área para efectos de la localización de las secciones críticas para momento y cortante La fuerza mayorada de contacto en la superficie de contacto no debe exceder la resistencia a los esfuerzos de contacto dado anteriormente en los dos elementos XXXVIII.8. PEDESTALES (C.22-8) Los pedestales deben diseñarse para las cargas verticales, horizontales y otras a que puedan verse sometidos La relación de altura no soportada lateralmente a la dimensión lateral de los pedestales no debe exceder de tres La máxima fuerza axial mayorada a un pedestal no debe exceder la resistencia a los esfuerzos de contactado XXXVIII.9. ELEMENTOS PREFABRICADOS (C.22-9) El diseño de elementos prefabricados debe tener en cuenta todas las condiciones de carga desde su fundición inicial hasta la terminación de la estructura, incluyendo el retiro de los encofrados, su almacenamiento, transporte y montaje Las limitaciones dadas en ente Capítulo son válidas para elementos prefabricados, no sólo en su posición final dentro de la estructura sino también durante su fabricación, transporte y montaje Los elementos prefabricados deben conectarse apropiadamente con el fin de que puedan transferir todas las fuerzas horizontales a un sistema estructural capaz de resistir esas fuerzas Los elementos prefabricados deben sujetarse y arriostrarse apropiadamente durante su montaje para garantizar su alineamiento adecuado y su integridad estructural hasta que estén permanentemente conectados a la estructura XXXVIII.10 HORMIGÓN SIMPLE EN ESTRUCTURAS RESISTENTES A SISMO (C.22.10) Las estructuras con Capacidad de Disipación de Energía Especial (DES) no pueden tener elementos de cimentación de Concreto Estructural Simple, excepto cuando: 1-En viviendas aisladas para una o dos familias, de tres pisos o menos de altura con muros de cargas de aporticamiento ligero, se pueden utilizar en zapatas de Concreto Estructural Simple sin refuerzo longitudinal que soporten los muros y zapatas aisladas de Concreto Estructural Simple 2- Para todas las demás estructuras, se permiten las zapatas de Concreto Estructural Simple que soporten muros de Concreto reforzado construidos en obras o muros de albañilería reforzada, siempre y cuando las zapatas sean reforzadas longitudinalmente con no menos de dos barras continuas, no menores a No.4 ó 12M y con un área no menor que 0.002 veces la sección bruta de la zapata 3- En viviendas aisladas para una o dos familias de tres piso o menos de altura con muros de cargas de aporticamiento ligero, se pueden utilizar cimentaciones o muros de cimentación de Concreto simple siempre y cuando el muro no tengan menos de 190 mm de ancho y no esté contenido más de 12 m de relleno no balanceado 416

XXXVIII.11 EJEMPLO DE CIMIENTO Diseñar un cimiento de Concreto simple para un pedestal que transmite una carga Pu = 800 kN Resistencia permisible del terreno 250 kN/m^2

Pedestal 0.4 x 0.4 m fc’ = 17.5 MPa  = 0.60 Solución Pn = Pu /  = 800 / 0.6 =1333 kN Af = 1454 / 250 = 5.82 m^2 Usaremos cimiento cuadrado de 2.45 m de lados (A = 6.00 m^2)

0.4 m

1.025 m

qu = 800 / 6 = 13.33 kN/m^2 El momento en la cara del pedestal es: Mu = 13.33 x 2.45 x (1.025)^2 / 2 = 17.16 kN-m  Mn  Mu S = b h^2 / 6  Mn = 5 fc’ S / 12 = 5 x 0.6  17 x 2.45 x h^2 / 6 x12  0.01716 h ^2 = 0.01716 x 72 / 2.45 x 17 x 0.6 x 5 = 0.0407 m^2 h  0.20 m Usaremos h = 0.25 m Comprobación como viga Vu = 13.33 x 2.45 x 0.775 = 25.31 kN = 0.02531 MN Vn  Vu Vn = fc’ b h / 9 = 17.5 x 2.45 x 0.25 / 9 = 0.28 MN  Vn = 0.6 x 0.28 = 0.168 MN > Vu = 0.025 MN Se cumple Comprobación para acción en dos sentidos Vu = 13.33 [ 2.45^2 – (0.4 + 0.25)^2 = 74.38 kN = 0.07438 MN Vn  Vu Vn = (1/9)[1 + (2/] (fc’) bo h  (2/9)(fc’) bo h Como (1/9) [ 1 + 2/1] = 0.333 > 2/9 Usaremos (2/9) fc’ bo h = (2/9) 17.5 x 4 x 0.65 x 0.25 = 0.595 MN Mn = 0.6 x 0.595 = 0.357 MN > Vu = 0.07438 MN Se cumple Comprobación para presión de contacto Pu = 800 kN = 0.8 MN Bn  Pu Bn = 0.85 fc’ A1 = 0.85 x 17 x 0.4 x 0.4 = 3.312 MPa > Pu = 0.8 MN se cumple XXXVIII.12 DISEÑO DE UN MURO DE UN SÓTANO Sea un muro que tiene 3.0 m de altura, que soporta una sobrecarga de 0.5m de terreno y una carga axial (D) de 2 kN/m del edificio. El terreno tiene  = 30,  = 17 kN/m^2 Concreto fc’ = 17.5 MPa, acero fy = 420 MPa Ko = 1 – sen ’ = ’3 / ’1 P Ko = 0.5 pomax = Ko  (H + h) = 0.5 x 17 ( 3.0 + 0.5) = 29.75 kN/m^2 po(0.5 m) = Ko  h = 0.5 x 17 x 0.5 = 4.25 kN/m^2 4.25 kN/m El muro se considera simplemente apoyado en los dos extremos El momento a una distancia x desde el tope del muro debido a una carga variable es: M1v = Wx (H^2 – x^2)/ 3 H^2 Wx = Ko  H/2 =8.5 x 3^2 / 2 = 38.25 kN 3.0 m

417

M1v = 38.25 (9 – x^2)/ (3 x 9) = 12.75 x – 1.4167 x^3 El momento a una distancia x debido a la carga uniformemente repartida es: M2x = 6.375 x – (4.25 x^2) / 2 = 6.375 x – 2.125 x^2 29.75 kN/m El momento total es: 12.75 x – 1.4167 x^3 + 6.375 x – 2.125 x^2 = - 1.4167 x^3 – 2.125 x^2 + 19.125 x Derivando obtenemos: - 4.25 x^2 – 4.25 x + 19.125 = 0 x^2 + x - 4.5 = 0, solución x = 1.6794 m - 6.70 – 5.99 + 32.118 = 19.43 kN-m Con: 1.4 D + 1.7 L + 1.7 H L=0 Pu = 1.4 x 2 = 2.8 kN = 0.0028 MN Mu = 19.43 x 1.7 = 33.0285 kN-m = 0.033 MN-m Consideremos un muro de h = 0.30 m La excentricidad es e = Mu / Pu = 0.033 / 0.0028 = 11.78 m > h / 6 = 0.3 / 6 = 0.05 m No puede utilizarse el método empírico, Se debe diseñar utilizando Mu y Pu El diseño de elementos sometidos a la combinación de flexión y fuerza axial de compresión dimensionarse de tal manera que en la cara de compresión: (Pu /  Pn) + ( Mu /  Mn)  1

debe

{(Pu / 0.6  fc’ [1 – [(lc) / 32 h)]]) + ( Mu / 0.85 fc’ S)  1 y en la cara de tracción: (Mu / S) – (Pu / Ag)  5  (fc’) / 12 { (Mu / S) – (Pu / Ag) 5  fc’} (en Sistema Inglés) como la excentricidad es muy grande la condición que predomina es: Pu = 0.0028 MN Mu = 0.033 MN-m

S = bw h / 6 = 1.0 x 0.3 / 6 = 0.167 m^3 Ag = 1.0 x 0.3 = 0.3 m^2 (Mu / S) – (Pu / Ag)  5  (fc’) / 12 (0.033 / 0.167) – (0.0028 / 0.3) = 0.188 5  (fc’) / 12 = 5 x 0.6 x 17.5 / 12 = 1.0458

Se cumple Comprobación por cortante Vu = 38.25 kN = 0.038 MN  Vn  Vu Vu –fuerza cortante mayorada Vn = (fc’) b h / 9 Vn = (17.5 ) 1.0 x 0.3 / 9 = 0.13 MN

XXXVIII.13 PROBLEMAS PROPUESTOS XXXVIII.13.1- Diseñar un cimiento de Concreto Estructural Simple para un pedestal que transmite una carga Pu = 1000 kN Resistencia permisible del terreno 300 kN/m^2 Pedestal 0.4 x 0.4 m fc’ = 17.5 MPa XXXVIII.13.2- DISEÑO DE UN MURO DE UN SÓTANO Sea un muro que tiene 4.0 m de altura, que soporta una sobrecarga de 0.5m de terreno y una carga axial (D) de 2 kN/m del edificio. El terreno tiene  = 30,  = 17 kN/m^2 Concreto fc’ = 17.5 MPa,

418

CAPÍTULO XXXIX (Capitulo C.23) TANQUES Y ESTRUCTURAS DE INGENIERÍA AMBIENTAL DE CONCRETO INTRODUCCIÓN Este capítulo trata de tanques y compartimientos estancos tales como piscinas, albercas, etc. que hacen partes de edificaciones, que se construirán con concreto reforzado vaciado en el sitio o elementos prefabricados. Son aplicables al diseño de estructuras propias de ingeniería ambiental y sanitaria, con excepción de estructuras primarias para evitar la fuga de materiales peligrosos Para este tipo de estructuras la resistencia mínima especificada del concreto a compresión fc´ no debe ser de 28 MPa. El Reglamento no define una resistencia máxima especificada a la compresión fc´, a menos que se indique explicativamente en alguna sección del Reglamento NSR-10 Estas estructuras se definen como estructuras de almacenamiento, flujo y tratamiento de líquidos y otros materiales afines tales como residuos sólidos. También aplica la denominación a estructuras secundarias para evitar la dispersión de materiales peligrosos y a estructuras auxiliares, cuando en todas ellas se requiere impermeabilidad ante líquido y gases, o propiedades especiales de durabilidad El propósito de este Capítulo es establecer los métodos de diseño y construcción que permitan cumplir con los objetivos de seguridad estructural y además permitan que el concreto producido para estructuras ambientales: a ) cuente con un diseño tal que controle el agrietamiento y la fisuración para impedir el flujo de líquidos entre el interior del tanque y su exterior b ) sea lo suficiente denso o impermeable para impedir la contaminación de los líquidos contenidos o que estos contienen c ) proceda la máxima resistencia a los elementos químicos contenidos en el líquido d ) tenga superficies poco rugosas que minimicen la resistencia al flujo y permitan cumplir los objetivos de sanidad Debe tenerse especial cuidado en la construcción de este tipo de estructuras con el fin de evitar la corrosión del refuerzo y obtener un concreto lo más impermeable posible Son aplicables los requisitos del Capítulo XXXVII de diseño sismo resistente en el diseño de todas las estructuras cubierta por el alcance del presente Capítulo, con las modificaciones que se señalen este Capítulo y siguiendo los requisitos para el diseño sismo resistente de estructuras ambientales dados en el Apéndice A-1 del Título del Reglamento NSR-10 XXXIX.1 MÉTODOS DE DISEÑO (C.23-C.8.1) 1- El diseño debe realizarse para los Estados Límites de Resistencia y de Utilización, utilizando los factores de cargas y de reducción de resistencia. El diseño de estructuras ambientales tiene como objetivo particular el de minimizar el agrietamiento y la fisuración, lo que da lugar a requisitos adicionales 2- Se tienen que tener en cuenta los efectos causados por la presión interna dentro de la estructura, los movimientos de las juntas y la separación entre ellas, además del llenado y vaciado del contenido de los tanques 3- Los efectos de las presiones del agua freática deben considerarse en el diseño, especialmente las sub presiones sobre los tanques vacíos. Se debe evitar la falla del tanque por efectos de flotación, colocando lastres adecuados. Si no se cuenta con un drenaje adecuado, debe considerarse el efecto que eventuales fugas puedan tener en la evaluación del nivel freático Los tanques enterrados cuando se les pruebe su estanqueidad antes de realizar su relleno exterior, deben contemplarse en su diseño estructural 4- Se debe tener cuidado al definir los valores de las presiones de los líquidos, de los empujes de suelos y de todas las fuerzas producidas por el funcionamiento de la estructura y de los eventuales equipos sobre ella

XXXIX.2 CARGAS Según el tipo de tanque (rectangular) o circular, colocación en el terreno (sobre el terreno, semi-enterrado, o enterrado completamente) y las condiciones del terreno y la zona geológicas del terreno, se pueden presentar las siguientes cargas: 419

XXXIX.2.1Cargas permanentes Como carga permanente se pueden contar el peso propio del tanque, el peso de los equipos, tuberías, así como toda carga que permanezcan constante XXXIX.2.2 Carga variable (viva) sobre la cubierta Debe considerarse una carga 4.8 kPa sobre la cubierta XXXIX.2.3 Cargas de los líquidos y/o sólidos contenidos La presión interior en el tanque es horizontal, variando verticalmente según el material que contenga. Si el material es agua o un líquido similar, la distribución vertical contra las paredes del tanque es triangular, con el máximo valor en el fondo, según la siguiente fórmula: p = γ y, donde p es el valor de la presión, γ es el peso específico del líquido, y es la distancia desde el punto en cuestión hasta el borde superior del líquido Si el material es gas entonces la presión es constante en toda la altura. Cuando el material es un material granular es similar al del gas, en la siguiente figura se muestra lo anterior

p = γa HI

Triangular agua o líquido similar

Rectangular gas

Trapezoidal material granular

XXXIX.2.4 Cargas de los empujes del terreno y los efectos de las presiones del agua freáticas sobre las paredes Las presiones del terreno sobre de las paredes dependen, entre otras, el peso específico del terreno, el coeficiente de presión que se considere, de reposo, activa o pasiva. Si el muro gira o se desplaza alejándose del terreno entonces se debe utilizar el coeficiente de presión activa, si el muro gira o se desplaza contra el terreno se debe utilizar el coeficiente de presión pasiva y si el muro no gira o no se desplaza se debe utilizar el coeficiente reposo. También depende del nivel del manto freático, si el nivel del manto freático alcanza el tanque, entonces el peso específico del terreno varía a peso específico saturado y también actúa la presión del agua

NMF- nivel del manto freático Ko – Coeficiente de reposo γm – peso específico del terreno γms- peso específico saturado del terreno H- altura de la pared del tanque a- distancia desde el NMF hasta el fondo de la pared p – presión del terreno γa- peso específico del agua

(H- a) 420

NMF

Ko γm (H – a)

Ko γm H p p = Ko γm (H – a) + Ko (γms) a + γa a Manto freático por debajo del fondo Manto freático por encima del fondo del tanque del tanque En las figuras anteriores se ha supuesto que las paredes del tanque no se desplacen, por lo cual se ha utilizado Ko. En el caso que las paredes se desplazan se debe utilizar Ka o Kp, según el caso XXXIX.2.5 Sub presión sobre el fondo del tanque desocupado y la flotación Cuando el manto freático se encuentra por encima del fondo del tanque se produce una sub -presión con un valor igual a p = γa a y actúa hacia arriba tal como se muestra a continuación nivel del terreno

NMF Tanque

a p(sub- presión) = γa a Hay que tener mucho cuidado cuando el tanque esté vacío para que no se produzca la flotación del mismo, por lo cual el peso del tanque u otros pesos sean superiores a 1.3 de la fuerza de flotación (Ff = A a γa) XXXIX.2.6 Cargas de impacto y vibración de los equipos instalados Se debe evaluar las cargas de impacto y vibración de los equipos que estén instalados en el tanque XXXIX.2.7 Carga de viento Si parte del tanque está por encima del terreno se debe considerar esta carga aplicando el Capítulo B.6 Fuerzas de Viento del Reglamento XXXIX.2.8 Carga de sismo (C.23-C21) Los requisitos para determinar las fuerzas sísmicas y el análisis correspondiente de estructuras ambientales de Concreto Estructural Reforzado se encuentran en el Apéndice A-1 del Título A del NSR-10 El diseñador debe tener en cuenta que en las estructuras ambientales las consideraciones de funcionamiento impiden que la estructura ambiental pueda tener oscilaciones excesivas en el rango inelástico. Por tal razón los valores del coeficiente de modificación de respuesta R para estructuras ambientales son substancialmente más bajos que los de edificaciones convencionales No hay necesidad de utilizar el coeficiente de durabilidad ambiental Sd en el diseño sismo resistente de estructura ambientales dado que en él se utiliza combinaciones de carga que incluyen efectos sísmicos XXXIX.2.8.1 Tanques para almacenamiento de líquidos 421

superficie oscilante del líquido

superficie del líquido en reposo

dmax dmax = 0.5 Di I Sac Di – diámetro interior del tanque Para tanque rectangular Di = L L – dimensión máxima del tanque

Peso del líquido

DoL

Movimiento del líquido dentro del tanque Las cargas que se producen en un tanque que contenga líquido cuando ocurre un sismo, consisten en las siguientes: 1- La respuesta amplificada de alta frecuencia de la cubierta del tanque, sus paredes y parte de los contenidos que se mueven en unísono con las paredes (mi) y a la altura (hi) o (hif) ante el movimiento lateral del sismo y se le llama fuerza impulsiva 2- La excitación del sismo también produce la oscilación del fluido que contribuye a la presión dinámica adicional en la pared del tanque (mc) a la altura (hc) o (hcf), esta fuerza se le llama fuerza convectiva (oleaje) hi es la altura en la cual la resultante de la presión impulsiva es localizada desde el fondo de la pared del tanque hif es la altura a la cual la resultante de la presión impulsiva de la pared y el fondo del tanque es localizada desde el fondo de la pared del tanque Si no se considera la presión en el fondo se utiliza hi, si se considera se utiliza hif hc es la altura en la cual la resultante de la presión convectiva es localizada desde el fondo de la pared del tanque hcf es la altura en la cual la resultante de la presión convectiva sobre la pared y el fondo es localizada Estas presiones son función de la relación de la altura del tanque, a su diámetro, la altura del líquido y la amplitud de la frecuencia del movimiento del terreno En la siguiente figura se muestran estas presiones Las presiones tienen una distribución curvilínea, pero para fines prácticos, se pueden considerar rectilíneas, tal como se muestran en las siguientes figuras:

Pi Pi

HI hif hi

Presión impulsiva en la pared

Pc Pc

Presión impulsiva en la pared y en el fondo

Pc 422

Presión convectiva en la pared

hcf

Presión convectiva en la pared y en el fondo

Las alturas hi, hif, hc y hcf son las siguientes a) Tanques rectangulares Para HI / L ≤ 0.75 (hi / HI) = 0.375 y Para HI / L > 0.75 hi = {0.5 – [0.09375 / (HI / L)]} HI Para HI / L ≤ 1.33 (hif / HI) = {[0.866 (L / HI)] / 2 tanh[0.866 (L / HI)]} – 0.125 Para HI / L > 1.33 ( hif / HI) = 0.45 (hc / HI) = 1 – {{cosh [3.16 (HI / L)] – 1.0} / (3.16 HI/L)senh[3.16 HI / L]} (hcf / HI) = 1 – {{cosh [3.16 (HI / L)] – 2.01} / (3.16 HI/L)senh[3.16 HI / L]} b ) Tanques circulares Para HI / D ≤ 0.75 (hi / HI) = 0.375 y Para HI / L > 0.75 hi = {0.5 – [0.09375 / (HI / D)]} H Para HI / D ≤ 1.33 ( hif / HI) = {[0.866 (D / HI)] / 2 tanh[0.866 (D / HI )]} – 1.125 Para HI / D > 1.33 ( hif / HI) = 0.45 (hc / H) = 1 – {{cosh [3.16 HI / D] – 1.0} / (3.16 HI/D)senh[3.16 HI / D]} (hcf / H) = 1 – {{cosh [3.16 HI / D] – 2.01} / (3.16 HI/L)senh[3.16 HI / D]} Las fuerzas Pi y Pc se determinarán posteriormente Masas del líquido de las fuerzas convectivas e impulsivas Cuando se produce un sismo la masa del líquido que se mueve con la fuerza impulsiva se obtiene con las fórmulas siguientes: Tanque circular: (mi / ma) = tanh[0.866 D / HI] / (0.866 D / HI) Tanque rectangular: (mi / ma) = tanh[0.866 L / HI] / (0.866 L / HI) Cuando se produce un sismo la masa del líquido que se mueve con la fuerza convectiva se obtiene con las fórmulas siguientes: Tanque circular: (mc / ma) = 0.23 {tanh[3.68 HI / D] / (HI / D)} Tanque rectangular: (mc / ma) = 0.264{tanh[3.16 HI / L] / (HI / L) mc – masa del líquido para la fuerza convectiva mi – masa del líquido para la fuerza impulsiva ma – masa total del líquido en el tanque D - diámetro interior del tanque L – longitud interior del tanque rectangular paralela a la dirección de la fuerza sísmica HI – altura del líquido en el interior del tanque XXXIX.2.8.2 Espectro de aceleración para tanques apoyados en el suelo (Sa) La forma del espectro elástico de aceleraciones, Sa expresado como fracción de la gravedad, para un coeficiente de 5% del amortiguamiento, que se debe utilizar en el diseño se muestra en la Figura XXXIX.2.8.2.1, Sa = SDS= 2.5 Aa Fa I SDS

Sa = Sai = 1.2 Av Fv I / T Sa SDI Sa = Sac = 7.2 Av Fv TL I / T²

To = 0.1 Av Fv / Aa Fa

1.0 Tc = 0.48 Av Fv / Av Fa

4.0

T (seg)

Ts = SDI / SDS 423

Nota: Para 0 a Ts, la nominación de Sa es SDS, para Ts a T = 4.0 seg, es Sai y para T > 4.0 seg es Sac SDI es cuando T es 1.0 seg La nomenclatura que se utilizará es la siguiente: Tc – periodo natural del primer modo de oleaje (convectivo) Ti- periodo fundamental de la estructura del tanque y del componente impulsivo de los líquidos contenidos Tv- periodo natural de la vibración vertical del sistema estructural del líquido y el tanque Vi- cortante en la base debido al componente impulsivo del peso del tanque y su contenido Vc- cortante en la base debido al componente convectivo de la masa de oleaje efectiva Wi- peso impulsivo (componente impulsivo de líquido, cubierta y equipo, paredes, fondo y componente interno) Wc- la parte del peso líquido de oleaje El cortante sísmico en la base es la combinación de los componentes impulsivos, convectivos, inercia de la pared y la inercia del techo V = √[(Pi + Pw + Pr)^2 + (Pc)^2] XXXIX.2.8.1a Pi= Sai Wi / R XXXIX.2.8.1b Pc = Sac Wc / Rc XXXIX.2.8.1c Pw es la fuerza de inercia de la pared, determinada posteriormente Pr es la fuerza de inercia del techo, determinada posteriormente Rc = 1.5 (factor de reducción de fuerza para la fuerza convectiva) Sai-aceleración espectral, en términos de aceleración debida a la gravedad, incluyendo los componentes impulsivos del sitio en el periodo Ti y asumiendo un 5% de amortiguamiento R – coeficiente de disipación de energía Para Ti ≤ Ts, Sa = Sai = SDS = 2.5 Aa Fa I XXXIX.2.8.1d Para Ts < Ti < 4.0 Sa = Sai = 1.2 Av Fv I / T XXXIX.2.8.1e Cuando T = 1.0 seg, Sai es SDI Cuando T = 4.0 seg, Sai es Sac Para Ts > 4.0 seg Sac = 7.2 Av Fv TL I / T² Cuando la aceleración espectral para la pared del tanque y la componente impulsiva del líquido sea independiente de Ti, Sai se deberá tomar igual a SDS, para todos los casos Sac- la aceleración espectral del oleaje líquido basado en el periodo Tc y asumiendo un porcentaje de amortiguamiento del 0.5% Para Tc ≤ 4.0 seg, Sac = (1.5 SDI / Tc) ≤ SDS XXXIX.2.8.1f Tc > 4.0 seg,

Sac = 7.2 SDI / (Tc)^2

XXXIX.2.8.1g

El periodo natural del primer modo de oleaje (convectivo) se determina según la siguiente fórmula: Tc = 2π {√(D / [3.68 g tanh ( 3.68 H1 / D])} XXXIX.2.8.1h D- diámetro del tanque H1- altura del líquido g- aceleración de la gravedad El oleaje del líquido almacenado debe tenerse en cuenta La altura del oleaje dmax se obtiene con la siguiente fórmula dmax = 0.5 Di I Sac XXXIX.2.8.1i Di- diámetro interno del tanque, para tanques rectangulares es la dimensión mayor en planta Es permitido utilizar el documento ACI 350.3, con la excepción de que las fuerzas de entrada de diseño deben ser modificadas de la siguiente forma: 1- Para Ti < To ó Ti > Ts, el término ZISC1 / Ri para las ecuaciones de cortante base y momento de vuelco se reemplaza por Sa I / 1.4 R 2- Para To ≤ Ti ≤ Ts, los términos ZICi/RI y ZISCi/Ri se reemplaza por SDS I / 1.4 R 3- Para todos los valores de Tc (ó Tw) los términos ZICc / Rc y Z I S Cc/ Rc se reemplazan con: 7.2 SDI I / Tc^2 ó 7.2 SDS I Ts / Tc^2 R- coeficiente de disipación de energía Ti- Periodo natural del primer modo convectivo To- Periodo de vibración al cual inicia la zona de aceleraciones constante del espectro de aceleración, en s Ts –Periodo de vibración fundamental, en segundo, del depósito del suelo subyacente en el sitio, Sa – Valor del espectro de aceleraciones de diseño para un periodo de vibración dado, Véase Título A.2.6 del Reglamento I – Coeficiente de importancia. Véase Título A.2.5.2 del Reglamento R- Coeficiente de capacidad de disipación de energía para ser empleado en el diseño 424

S- Coeficiente sísmico para el perfil del suelo característico del sitio bajo consideración. Véase Título A.2.4.2 del Reglamento Tc – Periodo natural del primer modo convectivo La mayoría de los tanques de concreto son bastante rígidos por lo cual el período de oscilación de la fuerza impulsiva Ti puede ser tomado como Ti = 0.3 s o menor para los cálculos preliminares o aproximados. Para los tanques flexibles es recomendado que Ti, no debe exceder Ti = 1s para tanques anclados y no anclados que contengan líquido. Para tanques no anclados y que no contengan líquido se recomienda Ti = 2s. Lo anterior limita que no se produzca una deformación excesiva XXXIX.2.8.3 Período de oscilación de tanques rectangulares y valores de Pi, Pc, Pw y Pr Para obtener el valor de Ti (período de oscilación de la fuerza impulsiva) en segundos, de los tanques rectangulares con las paredes empotradas al fondo se puede utilizar la siguiente fórmula: Ti = 2π √(d / g) XXXIX.2.8.3a d – deformación de la pared del tanque en la vertical del eje central a la altura (hi), cuando es cargado con una presión uniformemente distribuida (q) Para tanques sin techo el valor de la deformación (d), se puede obtener suponiendo que la pared es libre en el tope y empotrado en las otras caras Según ACI 350.3, se puede obtener el valor de (d) para tanques sin techo, asumiendo que la pared está en voladizo y que la carga q se concentra como P = q HI y d = P (hii)³ / 3 E Iw donde Iw = 1.0 x t³ / 12, por metro de longitud, esta simplificación es efectiva para tanques con paredes largas (la longitud del tanque es dos veces mayor que su altura) q = {(mi /2) + mww)g} / (B / HI) XXXIX.2.8.3b hii – {(mi hi / 2) + (mww HI / 2)} / {(mi / 2) + mww} XXXIX.2.8.3c mww- masa de la pared del tanque perpendicular a la dirección de la fuerza del sismo B – ancho interior del tanque hii –es la altura de la combinación del centro de gravedad de la mitad de la masa de la fuerza impulsiva (mi/2) y la masa de la pared El período de oscilación de la componente convectiva (Tc) para tanque rectangular es posible obtenerla con: Tc = Cc √(L/g) XXXIX.2.8.3d Cc - 2π / √(3.16 tanh (3.16 (HI / L) XXXIX.2.8.3e L- longitud de la pared rectangular (paralela a la acción del sismo) (m) Valores de Pi y Pc, Pw y Pr 1- Para Ti ≤ Ts Fuerza impulsiva Pi = Wi Sa I / 1.4 R Fuerza convectiva Pc = Wc Sa I / 1.4 R Inercia de la pared Pw = Ww Sa I / 1.4 R Inercia del techo Pr = Wr Sa I / 1.4 R 2 - Para Ts < Ti < 4.0 Fuerza impulsiva Pi = Wi SDS I / 1.4 R Fuerza convectiva Pc = Wc SDS I / 1.4 R Inercia de la pared Pw = Wp SDS I / 1.4 R Inercia del techo Pr = Wr SDS I / 1.4 R 3 - Para Ts > 4.0 seg Fuerza impulsiva Pi = Wi Sac I / 1.4 R Fuerza convectiva Pc = Wc Sc I / 1.4 R Inercia de la pared Pw = Ww Sc I / 1.4 R Inercia del techo Pr = Wr Sac I / 1.4 R 3- Para todos los valores de Tc (ó Tw) Fuerza impulsiva Pi = 4.2 Wi / SDI I / Tc^2 ó Pi = 7.2 Wi SDS I T / Tc^2 Fuerza convectiva Pc = 7.2 Wc SDI I / Tc^2 ó Pc = 7.2 Wc SDS I T / Tc^2 Inercia de la pared Pw = 7.2 Ww / SDI I / Tc^2 ó Pw = 7.2 Ww SDS I T / Tc^2 Inercia del techo Pr = 7.2 Wr / SDI I / Tc^2 ó Pr = 7.2 Wr SDS I T / Tc^2 R- coeficiente de disipación de energía Wi – peso de la masa del líquido de la fuerza impulsiva (mi g) Wc – peso de la masa del líquido de la fuerza convectiva (mc g) Wp – peso de la pared 425

Pr – peso del techo XXXIX.2.8.4 Período de oscilación de tanques circulares Para tanques circulares con paredes empotradas en el fondo del tanque el período de oscilación de la fuerza impulsiva en segundos (Ti), se puede obtener con la siguiente fórmula: Ti = Ci HI √g / √(t /D) √E Ci = 1 / {√(Hi / D) [0.46 – (0.3 /D) + 0.067(HI/D)²]} HI – altura del líquido D – diámetro interior del tanque t – espesor de la pared E – módulo de elasticidad del concreto de la pared El período de oscilación de la componente convectiva Tc = Cc √(D / g ) XXXIX.2.8.4h D - diámetro del tanque (m) Cc = 2π / [√3.68 tanh (3.68 HI / D)] XXXIX.2.8.4.1 Valores de Pi y Pc, Pw y Pr 1- Para Ti ≤ Ts Fuerza impulsiva Pi = Wi Sa I / 1.4 R Fuerza convectiva Pc = Wc Sa I / 1.4 R Inercia de la pared Pw = Ww Sa I / 1.4 R Inercia del techo Pr = Wr Sa I / 1.4 R 2 - Para Ts < Ti < 4.0 Fuerza impulsiva Pi = Wi SDS I / 1.4 R Fuerza convectiva Pc = Wc SDS I / 1.4 R Inercia de la pared Pw = Wp SDS I / 1.4 R Inercia del techo Pr = Wr SDS I / 1.4 R 3 - Para Ts > 4.0 seg Fuerza impulsiva Pi = Wi Sac I / 1.4 R Fuerza convectiva Pc = Wc Sc I / 1.4 R Inercia de la pared Pw = Ww Sc I / 1.4 R Inercia del techo Pr = Wr Sac I / 1.4 R 3- Para todos los valores de Tc (ó Tw) Fuerza impulsiva Pi = 4.2 Wi / SDI I / Tc^2 ó Pi = 7.2 Wi SDS I T / Tc^2 Fuerza convectiva Pc = 7.2 Wc SDI I / Tc^2 ó Pc = 7.2 Wc SDS I T / Tc^2 Inercia de la pared Pw = 7.2 Ww / SDI I / Tc^2 ó Pw = 7.2 Ww SDS I T / Tc^2 Inercia del techo Pr = 7.2 Wr / SDI I / Tc^2 ó Pr = 7.2 Wr SDS I T / Tc^2 R- coeficiente de disipación de energía Cortante en el fondo Vi = (Sa I / (1.4 R) (Ww + Wr + Wi) Impulsiva XXXIX.2.8.4n Vc = (Sa I / 1.4 R) Wc Convectiva XXXIX.2.8.4o Cortante total en el fondo Vt = √[(Vi)^2 + (Vc)^2 ] XXXIX.2.8.4p Momento total de volcamiento: Mt = √(Mi^2 + Mc^2) XXXIX.2.8.4q Mi = (Pw hw + Pr hr + Pi hi) Impulsiva XXXIX.2.8.4r Mc = Pc hc Convectiva XXXIX.2.8.4s Ww, Wr, Wi, Wc representan los pesos de la pared, del techo, y del peso de las componentes impulsivas y convectiva del líquido todos en kN El peso de Wi y Wc son expresada en fracción del peso total del líquido contenido, Wl de acuerdo con la figura siguiente 1.0 x 0.9 Wc / Wl x 0.8 x x 0.7

x 426

0.6 Wi / Wl o Wc / Wl

x x

0.5

0.4

0.3

Wi / Wl x

0.2

x x

0.1

x 2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12. 0

L/H Fuerza debido a los efectos verticales del sismo Cuando se produce un sismo, el líquido ejerce una presión hidrodinámica asimétrica sobre las paredes del tanque. En la ausencia de un análisis detallado, el valor de la aceleración vertical se puede tomar como dos tercio (2/3) de la aceración horizontal Este efecto es solamente considerado en los tanques circulares en casi todos los Códigos El ACI 350.3 utiliza la siguiente expresión para el período vertical Tv Tv = {2 / √(t / R)}{πH1 √(ρ / E)} t – espesor promedio de la pared del tanque R – radio del tanque E- módulo de elasticidad del material del tanque ρ- peso específico del líquido H1 – altura del líquido La presión hidrostática se puede obtener con: phy = uv qhy qhy = ρ(HI – y) presión unitaria al nivel y sobre el fondo del tanque uv es el valor de la aceleración vertical asociada con el periodo vertical (Tv) de la estructura La fuerza ejercida por los efectos de la aceleración verticales del sismo sobre las paredes se puede considerar según: 1 – El incremento de la presión hidráulica debido a la excitación vertical del líquido contenido debe corresponder a un incremento de la densidad, γL del líquido almacenado de 0.2 SDS I γL La distribución de la presión ejercida sobre la pared del tanque es: 2 – La fuerza tangencial en las paredes de los tanques cilíndricos, por unidad de altura, Nh, a la altura y desde el fondo del tanque se puede calcular con la siguiente fórmula: Nh = 0.2 SDS I γL (HI – y)(Di / 2) Di- diámetro interior del tanque HI – altura del líquido y – distancia desde el fondo del tanque al nivel que se está determinando 3 – Fuerza de inercia en tanques rectangulares y cilíndricos. La fuerza de inercia asociada con la aceleración vertical de la estructura misma debe tomarse como 0.2 SDS I W

Distribución de las cargas en tanques rectangulares La distribución de la presión hidrostática, inercia, impulsiva y convectiva presión se muestran en las siguientes figuras. Para el diseño, el tanque es dividido en dos partes. Se asume que las fuerzas impulsivas y convectivas son resistidas igualmente por las dos paredes perpendiculares a la dirección de la fuerza del sismo, por lo cual la mitad de las fuerzas impulsivas y convectivas son asignados a cada pared

427

Presión hidrostática (triangular)

Fuerza de inercia de la pared Pw (rectangular)

Pw Hl

H/2 Hl / 3

Presión unitaria pwy = Pw / B XXXIX.2.8.4al Presión unitaria H – altura de la pared phy = Ph / B XXXIX.2.8.4ak Fuerza total Ph = γ( H1)^2 B / 2 XXXIX.2.8.4am Hl - altura del líquido L – longitud interior de un tanque rectangular, en la dirección de la fuerza sísmica La distribución de la presión de la fuerza impulsiva a lo largo de la pared es: pi(y) = (Pi / 2) {4 H1 – 6 hi – [6 H1 – 12 hi](y / H1)} / H1² XXXIX.2.8.4an

Pi / 2

La distribución de la presión de la fuerza convectiva a lo largo de la pared es: pc(y) = (Pc / 2) {4 H1 – 6 hc – [6 H1 – 12 hc](y / H1)} / H1² XXXIX.2.8.4ao

Pc / 2

y – altura a la cual se determina la presión medida desde el fondo del tanque Debemos notar que las presiones impulsivas y convectivas actúan desfasadas, por lo cual su suma debe ser aplicando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada presión √(pi² + pc²) Las paredes paralelas al sismo deben ser diseñadas para las presiones en su plano debido (a) de su propia inercia y (b) la reacción del techo y pared

B L

428

Dirección sísmica

de la fuerza

Dirección de la fuerza sísmica

Descripción de L y B en tanques rectangulares Distribución de las presiones en tanques circulares En el caso de tanques circulares el cortante del sismo en la base es trasmitido parcialmente por cortante tangencial y parcialmente por cortante radial que causa flexión vertical, según ACI 350.3, el 80% del cortante en la base es transferido por el cortante tangencial para tanques con D/ H de 4 y el resto (20%) por la flexión vertical El valor máximo del cortante tangencial se produce en un punto de la pared orientada 90 grados de la dirección del sismo El tanque se divide en dos partes y la pared cilíndrica son diseñadas para (a) la inercia de la pared distribuida uniformemente alrededor de la circunferencia

Pi / 2 Pw / 2

Pi / 2

Pw / 2

(a) fuerzas de inercia

Pc / 2

(b) fuerzas impulsivas

Pc / 2

( c ) fuerzas conventivas (b ) La mitad de la fuerza impulsiva Pi, aplicada simétricamente alrededor del ángulo θ = 0 y la otra mitad θ = π, como se muestra en (b) (c ) la mitad de la fuerza conventiva Pc aplicada se muestra en (c ) La distribución horizontal de la presión a la altura (y) a través del diámetro (D) del tanque se determina según: pwy = Pwy / π r piy = 2 Piy cos θ / π r pcy = 16 Pcy cos θ / 9 π r Ny = √[(Nwy + Niy)² + Ncy²] σy = Ny / 12tw Para tanques circulares con fondo flexible, la fuerza máxima Nwy, Niw y Ncy pueden determinarse para θ=0 Nwy = Pwy / π Niy = 2 Piy / π Ncy = 16 Pcy / 9 π Para tanques con fondo no flexible las ecuaciones anteriores deben ser modificadas teniendo en cuenta los efectos de restricciones XXXIX.2.9 Carga de vehículo Cuando hay la posibilidad de que un vehículo se acerque a un tanque a 1.5 m de la pared del tanque debe considerarse una carga horizontal de 5 kPa uniformemente repartida XXXIX.2.10 Combinación de cargas mayoradas Las combinaciones que se deben considerar son las indicadas en el Reglamento: XXXIX.3 RESISTENCIA REQUERIDA

429

1- Para secciones que no sean controlada por compresión, la resistencia requerida U se debe multiplicar por el coeficiente de durabilidad ambiental Sd en aquellas porciones de las estructuras ambientales donde la durabilidad, la estanqueidad, u otras consideraciones de funcionamiento deben tenerse en cuenta: Sd =  fy / γ fs ≥ 1.0 XXXIX.3a (C.23-1) γ = carga mayorada / carga no mayorada XXXIX.3a fs es el esfuerzo permisible de tracción en el refuerzo (Ver XXXXIX.3.1) El coeficiente de durabilidad ambiental reduce el esfuerzo efectivo bajo condiciones de servicio a un nivel que se considera aceptable para control de la fisuración 2- En el caso de diseño a cortante el coeficiente Sd se aplica solamente a la porción de la resistencia a cortante que es llevada por el refuerzo cortante 3- El coeficiente de durabilidad no debe utilizarse en diseños que utilicen cargas de servicio o esfuerzos admisibles 4- No se requiere el uso del coeficiente de durabilidad ambiental Sd en combinaciones de carga que incluyen fuerzas sísmicas E XXXIX.3.1 Esfuerzos en el refuerzo 1- El esfuerzo fs en flexión de cumplir con lo siguiente: El esfuerzo fs calculado en la cara más cercana en tracción para carga de servicio debe obtenerse para el momento no mayorado. Se permite utilizar fs = 2 fy / 3 2- A tracción directa o esfuerzos anulares de tracción en exposición de ambiente normal fs = 140 MPa 3- Tracción directa o esfuerzos anulares de tracción en exposición ambiental severa fs = 120 MPa 4- Esfuerzos en el refuerzo para cortante causados por cortante en exposición ambiental normal: fs = 170 MPa 5-Esfuerzo en el refuerzo para cortante causados por cortante en exposición severa: fs = 140 MPa 6- Sd debe tomarse como 1.0 para el diseño a flexión de secciones controladas por compresión, en el refuerzo Presforzado y en las zonas de anclajes de elementos postesados, independientemente de la exposición ambiental El esfuerzo calculado en el refuerzo más cercano a la cara en tracción a nivel de servicio fs no debe exceder el valor dado a continuación y no debe exceder un máximo de 250 MPa En zonas de exposición ambiental normal: fs,max = 57000 / {β √[s^2 + 4 (50 + (db/2))^2]} XXXIX.3.1a (C.23-2) pero no menor de 140 MPa para elementos en una dirección, ni menor de 170 MPa para elementos en dos direcciones En zonas de exposición ambiental severa: fs,max = 46500 / {β √[s^2 + 4 (50 + (db/2))^2]} XXXIX.3.1b (C.23-3) pero no el menor de 120 MPa para elementos en una dirección, ni menor de 140 MPa para elementos en dos direcciones En las anteriores ecuaciones se permite utilizar un valor de 15625 para el término 4 (50 + (db/2))^2, como una simplificación El factor de amplificación del gradiente de deformación unitaria es: β = (h – c) / (d – c) XXXIX.3.1c (C.23-4) c es calculado para carga de servicio, pero es permitido utilizar β = 1.2 para h ≥ 400 mm e igual a 1.35 para h < 400 mm en las anteriores ecuaciones Para compartimientos estancos, una exposición normal es una exposición a líquidos con un ph > 5 o exposición a soluciones que contengan sulfatos en cantidades de 1000 ppm o menor. La exposición severa ocurre cuando se excede los límites que definen la exposición normal El esfuerzo por flexión en el refuerzo al nivel de carga de servicio, fs en MPa debe calcularse como el momento no mayorado dividido por el producto de área del refuerzo por el brazo interno de palanca Donde la apariencia de la superficie del concreto es importante y el recubrimiento de concreto excede de 75 mm los esfuerzos de tracción por flexión en el refuerzo a nivel de carga de servicio no debe exceder el esfuerzo fs calculado en la cara más cercana en tracción para carga de servicio y puede obtenerse para el momento no mayorado. Se permite utilizar fs = 2 fy / 3 El valor de s para el refuerzo más cercano a la cara de tracción no debe exceder del valor dado por: s = 380 [280 / fs] – 2.5 cc XXXIX.3.1d (C23-5) pero no mayor de 300 mm

430

XXXIX.4 RESISTENCIA A CORTANTE (C23-C11.1) El diseño de secciones transversales sometidas a cortante debe estar basado en:  Vn ≥ Vu XXXIX.4a (C23-C11.1) Vu – fuerza cortante mayorada en la sección considerada Vn – resistencia nominal al cortante Vn = Vc + Vs / Sd XXXIX.4b (C.23-C11.2) Vc- resistencia nominal al cortante proporcionado por el concreto Vs- resistencia nominal al cortante proporcionado por refuerzo de cortante XXXIX.5 CONCRETO ESTRUCTURAL SIMPLE No se permite el uso de Concreto Estructural Simple en estructuras ambientales

XXXIX.6 MUROS

(C.23-C.14)

XXXIX.6.1 El Reglamento permite aplicar las disposiciones del CAPÍTULO XXII al diseño de muros planeares sometidos a carga axial, con o sin refuerzo y muros circulares con carga axial y esfuerzos anulares con o sin flexión XXXIX.6.2 Refuerzo mínimo (C.23-C.14.3) El refuerzo mínimo vertical y horizontal para temperatura y retracción de fraguado debe cumplir con las disposiciones de XXII.1 La cuantía mínima de refuerzo vertical ρl = 0.003 La cuantía mínima para refuerzo horizontal ρt, es función dela distancia entre juntas para compensar movimiento y debe cumplir IV.13.1 Los muros con un espesor con un espesor mayor de 250 mm deben tener el refuerzo en cada dirección colocado en dos capas paralelas a las caras del muro de acuerdo con: a) Una capa consistente en no menos de 1 / 2 y no más de 2 / 3 del refuerzo total requerido para cada dirección debe colocarse a no menos del recubrimiento indicado en IV.7, ni más de 1 / 3 del espesor del muro a partir de la superficie exterior b) La otra capa, consistente en el resto del refuerzo requerido en esa dirección debe colocarse a no menos del recubrimiento indicado en IV.7 ni más de 1 / 3 del refuerzo del muro a partir de la superficie interior El refuerzo vertical y horizontal debe espaciarse a no más de 300 mm El refuerzo vertical no necesita estar confinado por estribos laterales cuando el refuerzo vertical no es mayor de 0.01 veces el área total de concreto, o cuando el refuerzo vertical no se requiere como refuerzo de compresión Además el refuerzo mínimo especificado anteriormente, una cantidad de refuerzo equivalente al refuerzo interrumpido por cualquier abertura debe adicionarse a los lados de la abertura. Estas barras deben extenderse para desarrollar el fy en tracción en las esquinas de las aberturas rectangulares y más allá de la intersección con otras barras de reemplazo del refuerzo interrumpido en aberturas circulares, pero no menos de 600 mm XXXIX.6.3 Espesor mínimo de muros diseñados por el método empírico de diseño El espesor del muros de carga cuya estabilidad vertical no se derive de curvatura del muro en planta no debe ser menor de 1 / 25 de la altura o longitud del muro, la que sea menor, ni tampoco puede ser menor que 200 mm XXXIX.6.4 Espesor mínimo de muros El espesor mínimo de muros que no sean de carga cuya estabilidad vertical no se derive de curvatura del muro en planta no debe ser menor de 150 mm, ni menor de 1 / 30 de la distancia mínima entre elementos que le proporcionen apoyo lateral El espesor mínimo de muros convencionales de concreto reforzado construidos en sitio que estén en contacto con líquidos y tengan más de 3 m de altura debe ser 300 mm XXXIX.7 Losas sobre terrenos en estructuras ambientales (C.23-C.15.14) En estructuras ambientales se consideran tres tipos de losas sobre el terreno: 2 – Losas estructurales de cimentación 3 – losas sobre terreno 431

4 -losas membranales Este inciso cubre los requisitos para losas sobre el terreno y losas-membranales de estructuras ambientales de Concreto Estructural Reforzado. El diseño de este tipo de losas está basado en la premisa de que la losa trasmite las cargas directamente a la sub-base sin distribuirlas, o distribuye cargas de ruedas de vehículos a la sub-base como pavimento XXXIX.7.1 Sub-base (C.23-C.15.14.2) La sub-base debe tener la suficiente resistencia, rigidez y estabilidad para soportar las cargas a que se va a ver sometida La posibilidad de asentamiento de la sub-base debe tenerse en cuenta en el diseño de la losa Puntos de mayor o menor resistencia dentro de la sub-base deben identificarse y tenerse en cuenta en el diseño. Debe considerarse el caso de que la losa esté apoyada sobre más de un tipo de sub-base, como puede ser parte sobre corte y parte sobre relleno Deben prevenirse la erosión de la sub-base causada por flujo de agua bajo la losa. La gradación del material de relleno debe seleccionarse para permitir el flujo del agua sin que se presente pérdida de finos o proveer un geo-textil para el caso de que se presente fuga de líquido a través de una junta de la losa. Si el suelo en el lugar no es apropiado, debe retirarse y reemplazarse por un terreno de material seleccionado La sub-base para losas debe tener densidad y compresibilidad uniformes para minimizar los asentamientos diferenciales, entre losa y zapatas de otras porciones de la estructura. El suelo remodelado o consolidado de forma suelta debe retirarse y reemplazarse por un material seleccionado apropiadamente compactado. La excavación y reemplazo del suelo por un material seleccionado apropiadamente compactado debe realizarse cuando los suelos en el sitio no son apropiados para cargas esperadas o no proveen un soporte uniforme El nivel de la superficie de la sub-base cuando se va a colocar la losa debe estar dentro de +0 mm y -25 mm en cualquier sección de 30 m de longitud. Todas las variaciones en el nivel deben ser suaves y graduales XXXIX.7.2 Espesor de la losa (C.23-C.15.14.3) El mínimo espesor para losas sobre el terreno es: - 100 mm para losas común solo una capa de refuerzo no presforzado - 125 mm para losas con presfuerzo - 150 mm para losas con refuerzo, superior e inferior El espesor mínimo para losas membranales es: - 75 mm con refuerzo electrosoldado - 100 mm para losas no presforzadas con refuerzo electrosoldado o barras de refuerzo No. 4 ó 12M o menores. Losas no presforzadas con barras de refuerzo con un diámetro mayor de No. 4 ó 12M deben tener un espesor mínimo tal que se cumplan los requisitos de recubrimiento - 125 mm para losas preeforzadas El máximo espesor de la losa es: - 150 mm para losas no preforzadas - 175 mm para losas presforzadas La tolerancia para el nivel de la superficie terminada de la losa son de -0 mm y +20 mm con una diferencia no mayor de ±6 mm en 3 m XXXIX.7.3 Refuerzo (C.23-C.15.14.4) Las losas sobre terreno sobre terreno pueden reforzarse con una o dos capas de refuerzo. Las losasmenbranales solo pueden tener una capa de refuerzo. El refuerzo mínimo no puede ser menor que el indicado en XXII.1. El refuerzo de presfuerzo si se utiliza no debe ser menor que la cantidad requerida para imponer un esfuerzo de compresión de 1.4 MPa a la losa La cuantía mínima sobre la sección bruta debe ser de 0.005 en cada dirección ortogonal en losasmembranas no presforzadas. Debe colocarse refuerzo adicional en los bordes y en otras discontinuidades de acuerdo con el diseño. Debe utilizarse refuerzo electrosoldado o barras de refuerzo corrugado El máximo espaciamiento entre barras corrugadas debe ser menor entre 300 mm y dos veces el espesor de la losa Las losas-membrana presforzadas deben tener refuerzo en las dos direcciones ortogonales principales y deben inducir un esfuerzo final de compresión de 1.4 MPa El refuerzo presforzado debe colocarse dentro del tercio central del espesor de la losa. Los tendones deben tensionarse tan pronto como la resistencia del concreto sea adecuada para resistir las fuerzas de anclajes. La cuantía mínima de refuerzo no presforzado debe ser de 0.0015 en cada dirección ortogonal. Debe colocarse refuerzo adicional en los bordes y en otras discontinuidades de acuerdo con el diseño XXXIX.7.4 Juntas (C.23-C.15.14.5) Debe utilizarse barreras impermeables en todas las juntas de losas de estructuras que vayan a contener líquidos. El vaciado de la losa debe hacerse de forma continua en secciones tan grandes como sea posible para evitar la necesidad de juntas de construcción especialmente cuando no haya espacio para colocar 432

barrera impermeable. No se deben utilizar barreras impermeables integrales en secciones con un espesor menor de 125 mm Las barreras impermeables integrales deben disponerse de por lo menos de 25 mm de concreto entre la superficie de la barrera y la superficie de concreto. Las barreras impermeables diseñadas para colocarse en la parte inferior de la junta deben colocarse de tal manera que la superficie de la barrera está alejada al menos 25 mm del acero de refuerzo El diseño de losas sobre el terreno debe tener en cuenta cualquier engrosamiento de la sección de la losa o las transiciones que se requieran XXXIX.7.5 Efecto de flotación por subpresión (C.23-C15.14.7) Las losas que puedan verse sometidas a un efecto de flotación causada por subpresión bajo la losa deben diseñarse para que tengan drenajes adecuados bajo la losa para disipar la subpresión, válvulas de alivio, o bien diseñarse para que resistan la subpresión. Cuando se diseñen válvulas de alivio, la losa debe diseñarse para resistir la subpresión que se presenta hasta el momento en que se abran las válvulas de alivio XXXIX.7.6 Curado (C.15.14.7) El concreto debe curarse XXXIX.8 REQUISITOS ESPECIALES DE DURABILIDAD (C.23-C4) El Reglamento presenta modificaciones que se deben realizar a los requisitos de durabilidad dados anteriormente en II.8. REQUISITOS DE DURABILIDAD, CALIDAD, MEZCLADO Y COLOCACIÓN DEL CONCRETO, para que sean aplicables a estructuras ambientales de concreto, las cuales se indican a continuación: XXXIX.8.1 Contenido mínimo de materiales cementantes En la siguiente Tabla se dan los valores mínimos del material cementante Tabla XXXIX.8.1 (Tabla C.23-C.4.1.1) Tamaño máximo del agregado Tamiz que pasa el agregado Contenido mínimo de (mm) grueso según NTC 174 material cementante (ASTM C 33)* (kg / m^3) 38 467 320 25 57 330 20 67 350 13 7 360 10 8 370 + Para tamaños nominales del agregado grueso que no se indican, se permite interpolar entre los tamaños indicados XXXIX.8.2 Categorías y Clases de Exposición

(C.23.C.4.1)

La clasificación de Categorías y Clases de exposición que hace el Reglamento para estructuras ambientales es la siguiente: Tabla XXXIX.8.2 (C.23.C-4.2.1) Categoría Severidad Clase Condición No es aplicable F0 Concreto no expuesto a ciclos de congelamiento y deshielo F Moderada F1 Concreto expuesto a ciclos de congelamiento y Congelamiento deshielo y exposición ocasional a la humedad y deshielo Severa F2 Concreto expuesto a ciclos de congelamiento y deshielo y en contacto continuo con la humedad Muy severa F3 Concreto expuesto a ciclos de congelamiento y deshielo que estará en contacto continuo con la humedad y expuesto a productos químicos descongelantes ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---Sulfatos solubles en agua (SO4) en Sulfato (SO4) en el suelo, % en disuelto en agua, peso ppm S No aplicable S0 SO4 < 0.1 SO4 < 150 Sulfato Moderada S1 0.1 ≤ SO4 ≤ 0.20 150 ≤ SO4 < 1500 433

agua marina Severa S2 0.20 ≤ SO4 ≤ 2.00 1500 ≤ SO4 < 10000 Muy severa S3 SO4 > 2.00 SO4 > 10000 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -

No aplicable

Requiere Requerida baja permeabilidad

C Protección del refuerzo para la corrosión

No aplicable Moderada

C0 C1

Severa

En contacto con el donde no se requiere baja permeabilidad En contacto con el agua donde se requiere baja permeabilidad

------------------------------------------------------------------------------------------------ --------------------------------Q No aplicable Q0 Concreto que no está expuesto a químicos corrosivos Exposición Severa Q1 Concreto expuesto a químicos corrosivos diferentes a químicos de descongelantes corrosivos ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----

XXXIX.8.3 Requisitos para mezclas del Concreto (C.23..4.3) Según a las clases de exposición asignadas en la Tabla anterior, las mezclas de los hormigones deben cumplir con los requisitos de la siguiente Tabla: Cuando a un elemento de concreto estructural se la ha asignado más de una clase de exposición, se le aplica el requisito más restrictivo Sólo se presentan las modificaciones que presentan modificación con respecto a la Tabla II.8.2 Tabla XXXIX.8.3 C.23-C.4.3.1) Requisitos para el Concreto según la clase de exposición Clase de exposición

Rela a/mc a/mc, máx ±

fc’ min MPa

Requisitos mínimos adicionales Contenido de aire

0.42

0.45

0.42

0.40

Tabla II.8.3 Tipos de material cementante+ ASTM ASTM ASTM C150 C595 C1157 28 Sin Sin Sin RestrinRestinRestrinción en ción en ción en el tipo en el tipo el tipo 31 11+ IP (MS), MS a IS(<70) (MS) 35 Va IP(HS), HS IP(<70) (HS) 35 V IP(HS) y HS y

Límites de los cementantes Tabla II.8.4 Aditivo cloruro de calcio

Sin Restrinción

Sin restricción

No se permite

No se per mite 434

0.45

0.42

Puzolanas Puzolanas o Puzonalas o o escorias** escorias** escorias** o IS(<70) (HS) y Puzolanas o escorias++ Ninguna

Ninguna

*Se permiten combinaciones alternativas de materiales cementantes diferentes a los materiales de la Tabla siempre que sean ensayados para comprobar la resistencia a los sulfatos y debe cumplir los criterios de Materiales Cementantes Alternativos para Exposición a Sulfatos +Para exposición a agua marina, se permiten otros tipos de cemento Portland con contenido de hasta 10% de aluminato de tricálcico (C3A) si la relación a/mc no excede de 0.40 a Se permiten otros tipos de cemento como el tipo III o tipo I en exposiciones clase S1 ó S2 si el contenido de C3A es menor al 8 ó 5 por ciento, respectivamente ++La cantidad de la fuente de puzolana o escoria que se debe usar no debe ser inferior a la cantidad que haya sido determinada por experiencia a mejorar la resistencia a sulfatos cuando se utiliza en Concreto que contienen cemento tipo V. De manera alternativa, la cantidad de fuente específica de puzolana o escoria que se debe utilizar no debe ser menor a la cantidad ensayada según NTC 3330(ASTM C1012) y debe cumplir con los requisitos de Materiales Cementantes Alternativos para Exposición a sulfatos 11+El contenido de iones cloruros solubles en agua provenientes de los ingredientes incluyendo el agua, agregados, materiales cementantes t aditivos se la mezcla de Concreto, debe determinarse según los requisitos de la NTC4049(ASTM C1218M) a la edades que van de 28 a 42 días XXXIX.8.4 Exposición a los sulfatos (C.23-C.4.5) El concreto expuesto al agua o a aguas residuales o a suelos que contengan sulfatos debe cumplir los requisitos de la Tabla XXXIX.8.3, o debe ser fabricado con un cemento que produzca resistencia a los sulfatos y que cumpla con la relación agua/material cementante y la resistencia mínima a la compresión dada en la Tabla XXXIX.8.3 XXXIX.8.5 Protección del concreto contra químicos (C.23-C.4.6) El concreto que pueda verse sometido al ataque químico o gases corrosivos debe protegerse de acuerdo con lo siguiente: El concreto debe dosificarse apropiadamente teniendo en cuenta el tipo de cemento, el mezclado, colocación, consolidación, acabado y curado con el fin de que sea impermeable a los líquidos y los gases El concreto expuesto a soluciones y suelos que contengan sulfatos debe cumplir los requisitos de XXXIX.8.6 Exposición a los sulfatos El concreto expuesto a solicitaciones químico de sulfatos, o químicos y gases corrosivos debe protegerse así: a) concreto expuesto a sulfato de cobre o sulfato de hierro, o ambos, debe fabricarse con cemento resistente a los sulfatos o se la debe colocar un revestimiento o cobertura de protección b) El concreto debe protegerse contra químicos corrosivos por medio de un revestimiento o cobertura de protección XXXIX.8.7 Materiales en las juntas Los materiales empleados en las juntas, incluyendo las barreras impermeables, las juntas de expansión, y los sellantes, deben ser resistente al ataque químico por toda la vida útil de la estructura. Los materiales se deben ensayar de acuerdo con la norma ASTM C 920 y la especificación del Gobierno Federal de los Estados Unidos TT-S-00277E para sellantes Y ASTM D 570, ASTM D 746, ASTM D 1149 Y CDRC572 para barras impermeables de PV XXXIX.8.8 Ensayos para establecer la posibilidad de ataque químico (C.23-C.4.7) La composición y temperatura del líquido o gas y su pH deben ser ensayados para establecer su agresividad contra el concreto y el sistema de barrera protectora 435

La idoneidad de la protección ante ataque químico debe ser confirmada por medio de ensayos. Los ensayos deben establecer la necesidad y la efectividad de los cementos especiales, las coberturas y revestimientos, y las otras medidas protectoras Los agregados deben ensayarse para reacción al ataque químico de acuerdo con la norma ASTM C 295 Cuando el concreto se expone a un ataque químico severo debe utilizarse un agregado resistente al ataque por ácido o un revestimiento o cobertura o ambos Véase el documento ACI 221R

XXXIX.9 PROTECCIÓN CONTRA LA EROSIÓN (C.23-C.4.8) La erosión se define como la desintegración progresiva de un sólido por abrasión o cavitación El daño por erosión causada por cavitación de las superficies de concreto se evidencia por pequeños agujeros en la superficie del concreto debida al colapso de burbujas en el líquido La erosión por abrasión se define como erosión causada por una acción abrasiva. El daño por erosión por abrasión en las superficies de concreto resulta del desgaste, molido, o frotado causado por limos, arenas, gravas, rocas u otros escombros que pasan sobre la superficie de concreto de una estructura Para evitar la erosión por cavitación debe emplearse uno de los siguientes métodos: a) Reducción de la velocidad y presión del flujo colocando deflectores u otras estructuras similares b) Utilización de formas estructurales, acabados de la superficie y tolerancias que conduzcan a una reducción del índice de cavitación a niveles aceptables por debajo del nivel de cavitación incipiente c) Incorporar aire al flujo de tal manera que la relación aire/líquido cerca de la frontera del sólido sea aproximadamente 8% por volumen d) Utilización de materiales resistentes a la erosión que cumplan los requisitos siguientes; Donde la estructura puede verse afectada por erosión por abrasión, los agregados deben cumplir los requisitos de la norma NTC 174 (ASTM C 33), y el concreto debe cumplir con los siguientes requisitos adicionales: a) Mínimo fc’ = 35 MPa a los 28 días b) Máxima relación agua/material cementante = 0.40 c) Máximo contenido de aire = 6% Si no se verá sometido a congelamiento y deshielo, el máximo contenido de aire = 3% d) Mínimo contenido de material cementante por metro cúbico de Concreto = 380 kg e) Agregados duros, densos y limpios Donde se requiera protección adicional se debe utilizar revestimiento y cobertura Las estructuras sometidas a erosión por cavitación deben construirse con Concreto de alta resistencia, baja relación agua/material cementante, y deben tener un acabado de superficie liso con cambios menores de inclinación en la dirección del flujo Cuando haya posibilidad de cavitación, las barras de refuerzo más cercanas a la superficie deben colocarse paralelas a la dirección del flujo Cuando haya posibilidad de cavitación la bondad de los métodos de protección contras la erosión por cavitación deben confirmarse por medio de ensayos realizados de acuerdo con ASTM C 1138 XXXIX.10 REVESTIMIENTO Y COBERTURA (C.23-C.4.3) Cuando el concreto esté en contacto con químicos o gases corrosivos que ataquen la matriz de mortero del concreto o el acero del refuerzo, deben utilizarse revestimientos o coberturas. Los revestimientos o coberturas para prevenir el contacto de químicos en solución de gases nocivos con la superficie del Concreto deben impermeables y tener buena adherencia Entre las guías para determinar cuándo una sustancia en particular puede atacar el concreto y la bondad de los procedimientos de protección que hay disponibles son el ACI 515.1R y Effects of Substances on Concrete and Guide to Protective Tratments de la Portland Cement Association Publication IS001T Se recomienda que los aceites utilizados en los encofrados, los agentes desmoldantes y los productos para el curado se verifiquen para su compatibilidad con los revestimientos superficiales XXXIX.11 COMPATIBILIDAD CON EL OZONO (C23-C4.10.4) Los revestimientos de superficie o coberturas no se deben utilizar en contacto con el gas ozono sin determinar por medio de ensayos de compatibilidad Las juntas de construcción que se diseñen en forma de cuña o se corten con disco de diamante deben llenarse con un sellador para proteger el acero de refuerzo XXXIX.12 ENSAYOS DE LOS REVESTIMIENTOS 436

Los revestimientos se deben especificar para el tipo de exposición esperado El espesor de los revestimientos se debe medir utilizando instrumentos apropiados para medir espesores de materiales en forma de películas. Deben realizarse ensayos de chispa de las uniones de las coberturas consultar Concrete Structures Containing Hazardous Material. ACI 350.2R, para información sobre revestimientos Cuando la cavitación en el fluido del flujo del proceso haya causado daño al revestimiento deben realizarse ensayos de acuerdo con las siguientes normas: ASTM D 660, ASTM D 661, ASTM d 662 y ASTM D 4214. Una pérdida del espesor del revestimiento de menos del 50% durante la vida útil estimada de la estructura ha sido considerada un límite aceptable

XXXIX.13 TRANSMISIÓN DEL VAPOR A TRAVÉS DE COBERTURAS Y REVESTIMIENTOS Cuando la transmisión de vapor de agua a través de revestimiento y coberturas son peligrosos, estos deben tener una transmisión de vapor menor de 1 x 10^(-8) (34 g/h/m^2) cuando se ensaye de acuerdo con la norma ASTM E 96

XXXIX.14 SELECCIÓN DE LOS REVESTIMIENTOS Y COBERTURAS La selección de los revestimientos y coberturas debe tener en cuenta los químicos a los cuales deben ser resistentes dentro de los que puedan existir en la estructura ambiental y que entren en contactos con ellos Los revestimientos y coberturas deben ser capaces de salvar las fisuras o juntas existentes en la sub-base. El revestimiento o coberturas deben cumplir con los requisitos y reglamentaciones nacionales, departamentales, distritales y municipales cuando se utilicen en instalaciones que manejen agua potable

XXXIX.15 JUNTAS (C.23-C.4.19) Las juntas para compensar movimientos (expansión y contracción) y las juntas de construcción deben diseñarse para impedir la fisuración y corrosión del refuerzo. El número, espaciamiento y detalles de las juntas debe diseñarse teniendo en cuenta las propiedades físicas y capacidad de los rellenos, sellantes, y barreras impermeables para resistir ciclos de deformaciones Se debe consultar el documento ACI 504R, para los detalles acerca del diseño y construcción de juntas refuerzo contínuo junta contra agua o o o o llave o

o o o Junta de construcción

junta contra agua

Junta de contracción junta contra agua material expansible

Junta de expansión Diferentes tipos de juntas en tanques XXXIX.16 BARRERAS IMPERMEABLES (C.23-C.4.10.2) Los materiales que se utilizan en las barreras impermeables para impedir el flujo de líquidos o gases deben ser capaces de aceptar movimientos y deformaciones de elongación y contracción sin deformaciones 437

permanentes o falla y deben resistir los ciclos de congelamiento y deshielo, variación de temperatura y efectos de ataque químico Las barreras pueden ser de caucho, PVC, acero, o de otro material. Para barreras de caucho y de PVC, el espesor mínimo es de 9.5 mm, y deben tener un ancho mínimo de 220 mm para juntas de expansión y de 150 mm paras otras juntas, el cual se repartirá mitad y mitad entre los dos hormigones al lado de la junta Cuando sean de acero deben ser de platina de 6 mm y deben estar embebidas a cada lado de la junta un mínimo de 75 mm, y un doblez central cuyo tamaño depende del movimiento esperado Donde exista ozono, se requiere barraras de acero inoxidable, para permitir los movimientos esperados XXXIX.17 SELLANTES (C.23 -4.10.3) Los sellantes de juntas deben colocarse a lo largo del perímetro expuesto de las juntas que impidan el paso de líquidos y gases y para prevenir que sólidos penetren en las juntas y afecten su funcionamiento. Estos sellantes deben diseñarse para que sean capaces de resistir las presiones, temperaturas y movimientos y no deben perder su adherencia ni verse afectados bajo el ataque químico o de gases esperado, y además deben resistir las presiones, temperaturas y movimientos esperados Los sellantes preformados cumplen la doble función de servir de formaleta para el vaciado del concreto del segundo lado de la junta y preservar el espacio donde pueda ocurrir la expansión. El elemento de relleno ideal debe ser capaz de resistir compresiones hasta de la mitad de su espesor y de expandirse posteriormente para llenar el espacio original cuando los elementos al lado de la junta se contraen. En general se utiliza corcho, neopreno, caucho, poliuretano (plástico espumoso o icopor) y otros materiales La madera no debe utilizarse como relleno.

XXXIX.18 LLAVES DE CORTANTE (C.23-C.4.10.4) Las llaves de cortante en juntas para compensar movimientos, deben diseñarse para evitar descascaramiento y hendimiento del concreto que conduzca a fugas y debe construirse cuidadosamente con el fin de que no interfiera con las barreras contra el paso de agua XXXIX.19 JUNTAS DE CONSTRUCCIÓN (C.23-C4.10.6) Las juntas de construcción deben tener una barrera integral impermeable Las juntas de construcción deben localizarse que cumplan lo siguiente: a) Deben tener el menor efecto posible sobre la resistencia de la estructura b) Deben separar la estructura en segmentos que faciliten su construcción Las juntas de construcción deben ser preparada antes de vaciarse el concreto de la segunda etapa contra la junta y así se garantiza una buena adherencia entre los hormigones, además todo el refuerzo debe continuarse a través de la junta El lapso mínimo entre el vaciado de unidades adyacentes debe ser al menos 48 horas XXXIX.20 JUNTAS PARA COMPENSAR MOVIMIENTOS (C.23-C6.5) Se debe tener en cuenta los cambios volumétricos que puedan ocurrir y minimizar el daño a la estructura Las juntas de expansión, donde se utilicen, deben incluir un relleno preformado compresible, un sellante de junta y cuando deban se impermeables, una barrera impermeable

XXXIX.21 JUNTAS DE CONTRACCIÓN Estas juntas pueden ser parciales o totales, dependiendo del refuerzo, debiéndose incluir superficie para la colocación del sellante de junta Estas juntas reducen los esfuerzos que se producen por la retracción del fraguado del concreto Los requisitos de estas juntas son los siguientes: a) En las juntas de contracción de profundidad total, el refuerzo se suspende a 50 mm de la junta. En la cara del concreto que se vacía en la primera etapa se coloca un compuesto que evite la adherencia de este concreto con la segunda etapa. Cuando se deba transferir esfuerzos cortantes de un lado al otro de la junta, debe utilizarse barreras de transferencia engrasada b) Las juntas de contracción de profundidad parcial, se utilizan cuando se desea transferir parte de los esfuerzos de tracción a través de la junta para amarrar las dos partes de la estructura. El refuerzo que pasa no puede ser más del 50% del refuerzo perpendicular a la junta. Se recomienda que estas juntas se deben espaciar a una distancia alrededor de las 2/3 partes de las juntas de profundidad total XXXIX.22 REFUERZO DE RETRACCIÓN Y TEMPERATURA

(C.23-C.7.12) 438

Los elementos que deben ser impermeables y elementos expuestos a condiciones ambientales incluyendo losas y muros deben cumplir lo que indica en la siguiente Tabla Cuantías mínimas de retracción de fraguado y variación de temperatura Distancia entre juntas para compensar Cuantías mínimas de refuerzo movimientos^ fy = 240 MPa fy = 420 M Pa menos de 6m 0.0030 0.0030 6 a menos de 9 m 0.0040 0.0030 9 a menos de 12 m 0.0050 0.0040 12 m o más 0.0060* 0.0050+ ^ En distancia entre juntas de expansión y juntas de contracción de profundidad total. Cuando se trate de juntas de contracción de profundidad parcial las cuantías mínimas se deben determinar multiplicando la distancia real entre juntas de contracción de profundidad parcial por 1.5 + Corresponde a la cuantía máxima a emplear cuando no se proveen juntas para compensar movimientos Para secciones de concreto que tiene un espesor mayor o igual a 600 mm el refuerzo de retracción y temperatura se puede determinar con base en una capa de Concreto de 300 mm de espesor en cada una de las superficies del elemento El refuerzo de la cara inferior de losas en contacto con el suelo se puede reducir en un 50%. de lo indicado en la Tabla anterior El refuerzo no se debe espaciar a más de 300 mm y el tamaño mínimo de barra debe ser No. 4 ó 12M. Al menos 1/3 del área requerida para refuerzo de retracción y temperatura debe colocarse en cualquiera de las caras del elemento XXXIX.23 PROTECCIÓN DEL CONCRETO PARA EL REFUERZO EN ESTRUCTURAS AMBIENTALES (C.23-C.7.7) La protección del concreto el Reglamento lo muestra en la siguiente Tabla Condición

Concreto construido en sitio

a) Concreto vaciado contra la tierra y en permanente contacto con ella b) Concreto expuesto a la tierra, líquidos, intemperie o en losas que sostienen rellenos de tierra

c) Otra condiciones

75 mm

Losas y viguetas 50 mm Vigas y columna. Estribos 50 mm Refuerzo principal 65 mm Muros 50 mm Zapatas Superficie y losas vaciada de base contra formaleta 50 mm Superficie superior de zapatas y losa de base 50mm Cascarones y losas plegables 40 mm

Losas y viguetas Barras No. 11 ó 36M y menores Barras No. 14 ó 45 mm y No. 18 ó 55mm

Concreto Concreto prefabricado Presforzado Nota 1 vaciado en sitio No aplica 40 mm

75 mm 40 mm

40 mm

50 mm 40 mm

No aplica

No aplica 25 mm

No aplica

No aplica 25 mm

20 mm

20mm*

20 mm

40 mm

40 mm **

40 mm

439

Vigas y columnas Estribos y espirales Refuerzo principal Muros Barras No.11 ó 36M y menores Barras No 14 ó 45M y No 18 y menores

40 mm 50 mm

25 mm 40 mm

20 mm

20 mm *

20 mm

40 mm

40 mm**

40 mm

20 mm 25 mm

Cascarones y losas plegables Barras No 5 ó 16M alambre MW30 ó MD30 ó menores 13 mm Barras No 6 ó 20M y mayores 20 mm Nota 1 Construido bajo condiciones de control en planta de fabricación + Incluye ductos de presfuerzo menores de 40 mm de diámetro ++ Incluye ductos de Presforzado mayores o iguales de 40 mm de diámetro

XXXIX.24 Diseño de un tanque rectangular Determinar las cargas que está sometido un tanque rectangular sobre tierra de 10 m x 10 m y 3.5 m (que incluye el oleaje) de altura (3.0 m altura del agua). Espesor de las paredes de 0.3 m. El tanque no tiene tapa. El fondo tiene 0.4 m de espesor. El tanque se construirá en la ciudad de Armenia, Quindio Concreto 28 MPa, refuerzo 420 MPa

0.3 m

10.0 m

0.3 m

nivel del agua

3.0 m

0.5 m

3.5 m

1-Carga permanente La carga permanente del tanque es el peso del tanque mismo - paredes 0.3 x 24 x 3.5 = 25.2 kN/ m - fondo 0.4 x 24 =96 kN / m²

440

2 – Carga viva sobre la cubierta No hay cubierta por lo cual la carga viva es 0 3 - Cargas de los líquidos Es agua p = γa HI p = 10 x 3.0 = 30 kN / m²

HI = 3.0 m

p = 30 kN/ m² 4-Cargas de los empujes del terreno El tanque está sobre el suelo, no hay empuje del terreno 5 - Sub presión sobre el fondo del tanque desocupado y la flotación No se produce carga de sub presión y flotación debido que el manto freático está por debajo del fondo 6-Cargas de impacto y vibración de los equipos instalados No hay equipos sobre el tanque 7-Carga de viento El tanque está sobre el terreno, pero debido a que su altura es de 3.50 m, la carga de viento es muy inferior a la carga sísmica 8- Carga de sismo a – cálculos de las masas - paredes 0.3 x 24 x 3.5 x 4 = 100.8 kN masa de las paredes, (mw) = 100.8 x 1000 / 9.81 = 10275 kg - masa del fondo (mf) 0.4 x 24 x 10.0 x 10.0 x 1000 / 9.81 = 97859 kg - masa del líquido (ma) 10.0 x 10.0 x 3.0 x 10.0 x 9.81 = 29430 kg b – Análisis en la dirección de la fuerza del sismo Como el tanque es cuadrado, las direcciones X e Y son las mismas L = 10 m B = 10 m c - Hallemos los diferentes parámetros Tanque rectangular: (mi / ma) = tanh[0.866 L / Hi] / (0.866 L / HI) (mi / ma) = tanh[0.866 x 10.0 / 3.0] / (0.866 x 10.0 / 3.0) = 0.3447 mi = 0.3447 x 29430 = 10234 kg Tanque rectangular: (mc / ma) = 0.264{tanh[3.16 HI / L] / (HI / L) (mc / ma) = 0.264{tanh[3.16 x 3.0 / 10.0] / (3.0 / 10.0) = 0.6502 mc = 0.6502 x 29430 = 19135 kg Tanques rectangulares Para HI / L ≤ 0.75 (hi / HI ) = 0.375 HI HI / L = 3.0 / 10.0 = 0.3 hi = 0.375 x 3.0 = 1.125 m Para HI / L ≤ 1.33 ( hif / HI) = {[0.866 (L / HI)] / 2 tanh[0.866 (L / HI )]} – 0.125 ( hif / HI) = {[0.866 (10.0 / 3.0)] / 2 tanh[0.866 (10.0 / 3.0 )]} – 0.125 = 2.05 hif = 2.05 x 3.0 = 6.15 m (hc / HI) = 1 – {{cosh [3.16 (HI / L)] – 1.0} / (3.16 HI/L)senh[3.16 HI / L]} (hc / HI) = 1 – {{cosh [3.16 (3.0/ 10.0)] – 1.0} / (3.16 x 3.0/10.0)senh[3.16 x 3.0 / 10.0]} = 0.56 hc = 0.56 x 3.0 = 1.67 m (hcf / HI) = 1 – {{cosh [3.16 (HI / L)] – 2.01} / (3.16 HI/L)senh[3.16 HI / L]} 1 – {{cosh [3.16 (3.0 / 10.0)] – 2.01} / (3.16 x 3.0/10.)senh[3.16x 3.0 / 10.0]} = 1.43 hcf = 4.28 m d – Hallemos el Período T q = {(mi /2) + mww)g} / (B / HI) XXXIX.2.8.3b mww se obtiene considerando la masa de las dimensiones interiores de la pared mww = 9.4 x 3.5 x 0.3 x 24 / 9.81 = 24.15 kg hii – {(mi hi / 2) + (mww HI / 2)} / {(mi / 2) + mww} XXXIX.2.8.3c hii – {(10234 x 1.125 / 2) + (24.15 x 3.0 HI / 2)} / {(10234 / 2) + 24.15 } = 441

hii = 1.127 m q = {(mi /2) + mww)g} / (B / HI) XXXIX.2.8.3b q = {(10234 /2) + 24.15) x 9.81} / (10.0 x 3.0) = 1681.1 kN/ m² Aplicando la simplificación del ACI 350.3 P = q HI = 1681.1 x 3.0 = 5043.46 kN Iw = 1.0 x t³ / 12 = 1.0 x 0.3³ / 12 = 0.00225 m^4 Ec = 27.39 x 10^6 kN / m² d = P (hii)³ / 3 E Iw = 5043.46 x 1.127³ / 3 x 27.39 x 10^6 x 0.00225 = 0.039 m Ti = 2π √(d / g) XXXIX.2.8.3a Ti = 2π √(0.039 / 9.81) = 0.39 seg Cc - 2π / √(3.16 tanh (3.16 (HI / L) XXXIX.2.8.3e Cc - 2π / √(3.16 tanh (3.16 (3.0 / 10.0) = 1.496 Tc = Cc √(L/g) XXXIX.2.8.3d Tc = 1.496√(10.0/9.81) = 1.51 seg e ) Hallemos los coeficientes de la fuerza horizontal del sismo Para la ciudad de Armenia tenemos según Tabla A.2.3-2 del Reglamento: Aa = Av = 0.25 De la tabla A.2.4-3 del Reglamento para Tipo de terreno E, Fa = 1.45 De la tabla A.2.4-4 del Reglamento para Tipo de terreno E, Fv = 3.0 Para estructuras de ocupación normal de la Tabla A.2.5-1 tenemos I = 1.0 To = 0.1 Av Fv / Aa Fa = 0.1 x 0.25 x 3.0 / 0.25 x 1.45 = 0.2069 Tc = 0.48 Av Fv / Av Fa = 0.48 x 0.25 x 3.0 / 0.25 x 1.45 = 0.9931 Sai = SDI para T = 1.0 seg tenemos SDI = 1.2 Av Fv I / T = 1.2 x 0.25 x 3.0 x 1.0 / 1.0 = 0.9 seg SDS= 2.5 Aa Fa I = 2.5 x 0.25 x 1.45 x 1.0 = 0.9062 Ts = SDI / SDS = 0.9 / 0.9062 = 0.993 seg Ti < Ts entonces: Sa = SDS= 2.5 Aa Fa I = 0.9062 f ) Hallemos las fuerzas Pi, Pc, Pw y Pr mi = 10234 kg Wi = 10234 x 9.81 = 100395.5 kN Sa = 0.9062 R = 1.5 I = 1.0 mc = 19135 kg Wc = 19135 x 9.81 = 187714.3 kN Ww = 100.8 kN Wr = 0 Fuerza impulsiva Pi = Wi Sa I / 1.4 R = 100395.5 x 0.9062 x 1.0 / (1.4 x 1.5) = 43323 kN Fuerza convectiva Pc = Wc Sa I / 1.4 R = 187714.3 x 0.9062 x 1.0 / (1.4 x 1.5)= 81003 kN Inercia de la pared Pw = Ww Sa I / 1.4 R = 100.8 x 0.9062 x 1.0 / (1.4 x 1.5) = 43 kN Inercia del techo Pr = Wr Sa I / 1.4 R = 0 (no tiene techo) g ) Hallemos el cortante en el fondo y el momento de volcamiento Cortante en el fondo Vi = (Sa I / (1.4 R) (Ww + Wr + Wi) Impulsiva XXXIX.2.8.4n Vi = (0.9062 x 1.0 / (1.4 x 1.5) (100.8 + 0 + 100395.5) = 43364 kN Vc = (Sa I / 1.4 R) Wc Convectiva XXXIX.2.8.4o Vc = (0.9062 x 1.0 / 1.4 x 1.5 ) 187714.3 = 81003 kN Cortante total en el fondo Vt = √[(Vi)^2 + (Vc)^2 ] XXXIX.2.8.4p Vt = √[(43361)^2 + (81003)^2 ] = 81003 kN Momento total de volcamiento: Mt = √(Mi^2 + Mc^2) XXXIX.2.8.4q Mi = (Pw hw + Pr hr + Pi hi) Impulsiva XXXIX.2.8.4r Mi = (43 x 1.75 + 0 + 43323 x 1.125) = 48813 kN Mc = Pc hc Convectiva XXXIX.2.8.4s Mc = 81003 x 1.67 = 135275 kN

h )Hallemos la distribución de las cargas en tanques rectangulares Presión hidrostática (triangular)

Fuerza de inercia de la pared Pw (rectangular)

442

Pw Hl

450 kN

H/2

1.0 m Presión unitaria Fuerza total Ph = γ( H1)^2 B / 2 XXXIX.2.8.4am Ph = 10 ( 3.0)^2 x 10.0 / 2 = 450 kN phy = Ph / B XXXIX.2.8.4ak phy = 450 / 10.0 = 45 kN / m

H – altura de la pared = 3.5 m Pw = 43 kN Presión unitaria pwy = Pw / B XXXIX.2.8.4al pwy = 43 / 10.0 = 4.3 kN / m

La distribución de la presión de la fuerza impulsiva a lo largo de la pared es: pi(y) = (Pi / 2) {4 H1 – 6 hi – [6 H1 – 12 hi](y / H1)} / H1² XXXIX.2.8.4an pi(y) = (43323 / 2) {4x 3.0 – 6 x 1.125 – [6 x 3.0 – 12 x 1.125 ](y / 3.0)} / 3.0² pi(y)= 12636 – 3610 y Para y = 0 tenemos pi(0) = 12636 kN / m Para y = 3.0 tenemos pi(03.0) = 1806 kN/m

1806 kN/m

Pi / 2

hi = 1.125 m 12636 kN/m La distribución de la presión de la fuerza convectiva a lo largo de la pared es: pc(y) = (Pc / 2) {4 H1 – 6 hc – [6 H1 – 12 hc](y / H1)} / H1² XXXIX.2.8.4ao pc(y) = 8910 + 38 y para y = 0 tenemos pc(0) = 8910 kN/ m para y = 3.0 m tenemos pc(3) = 9024 kN/ m 9024 kN/m Pc / 2

8910 kN/ m Debemos notar que las presiones impulsivas y convectivas actúan desfasadas, por lo cual su suma debe ser aplicando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada presión √(pi² + pc²) Para y = 0 √(12636² + 8910²) = 15461 kN/m Para y = 3.0 √(1806² + 9024²) = 9203 kN/m 9203 kN/m

443

15461 kN/m Resultantes de las presiones impulsivas y convectivas XXXIX.25 PROBLEMAS PROPUESTOS XXXIX.25.1 Para que estados debe realizarse el diseño de tanques? XXXIX.25.2 A que cargas pueden estar sometidos los tanques? XXXIX.25.3 Que cargas se producen en un tanque que contenga líquidos cuando se produce un sismo? XXXIX.25.4 Como es la forma del espectro elástico de aceleraciones, Sa expresado como fracción de la gravedad, para un coeficiente de 5% del amortiguamiento? XXXIX.25.5 Como se obtiene el período de oscilación de tanques rectangulares y valores de Pi, Pc, Pw y Pr XXXIX.25.6 Como se obtiene el período de oscilación de tanques circulares? XXXIX.25.7 Como se obtiene los valores de Pi y Pc, Pw y Pr en tanques circulares? XXXIX.25.8 Como se puede obtener la fuerza debido a los efectos verticales del sismo? XXXIX.25.9 Como se distribuye las cargas en tanques rectangulares? XXXIX.25.10 Como se distribuye las cargas en tanques circulares? XXXIX.25.11 Determinar las cargas que está sometido un tanque rectangular sobre tierra de 12 m x 12 m y 4.0 m (que incluye el oleaje) de altura (3.5 m altura del agua). Espesor de las paredes de 0.35 m. El tanque no tiene tapa. El fondo tiene 0.45 m de espesor. El tanque se construirá en la ciudad de Bogotá

CAPITULO XL DEJADO EN BLANCO INTENCIONALENTE

444

CAPITULO XLI INTRODUCCIÓN A LA PATOLOGÍA DEL CONCRETO ESTRUCTURAL XLI.1. INTRODUCCIÓN Referencia 7 Hasta ahora hemos estudiado el análisis y diseño del concreto estructura l reforzado y simple. En este capítulo, estudiaremos algunos de los problemas patológicos del concreto Principalmente veremos las grietas y fisuras que se presentan en el concreto estructural Si las aberturas solamente afectan a la superficie o acabado superficial no se consideran grietas sino fisuras Dentro de las grietas y en función del tipo de esfuerzo mecánico que las origina, se distinguen: a) Por exceso de carga. Que son las grietas que afectan al elemento estructural al ser sometidos a cargas para la que no fue diseñado. Este tipo de grieta requiere, un refuerzo adicional para mantener la seguridad b ) Por dilataciones y contracciones higrotérmicas. Son las grietas que afectan a los elementos estructurales cuando no se prevén las juntas de dilatación En los elementos de concreto estructural reforzado, a veces ocurre la oxidación y corrosión del refuerzo, son un conjunto de transformaciones moleculares que tiene como consecuencia la pérdida de material en la superficie del acero. Sus procesos patológicos son químicamente diferentes, pero se consideran un solo grupo, porque son prácticamente simultáneos y tienen sintomatología muy similar La oxidación es la transformación del acero en óxido al entrar en contacto con el oxígeno. La superficie del acero tiende a transformarse en óxido que es químicamente más estable y de ese modo protege el resto del acero de la acción del oxígeno La corrosión es la pérdida progresiva de partículas de la superficie del acero. Este proceso se debe a la acción de una pila electroquímica en la cual el acero actuara como ánodo o polo negativo y pierde electrones a favor del cátodo o polo positivo XLI.2 EFLORESCENCIA La eflorescencia es la cristalización de sales solubles contenidas en el concreto, en la superficie del elemento. El fenómeno se produce cuando el agua que se halla en el interior del material y que contiene una solución de esas sales, se evapora de manera relativamente rápida La eflorescencia se manifiesta en forma de manchas blancuzcas XLI.3 ELEMENTOS ESTRUCTURALES Los elementos estructurales son los que integran la estructura y que resistente las cargas y sobrecargas de cada construcción, manifiestan una sintomatología muy variada ante la aparición de lesiones Estas manifestaciones son desde fisuras y grietas hasta cambios de coloración, deformaciones, descascarillamientos, aplastamientos, erosiones, hinchazones etc., que se manifiestan con cierto retraso en las estructuras portantes Las causas mecánicas de las lesiones estructurales pueden ser acciones directas o por causas externas al elemento estructural En las causas directas tenemos: - Deficiencias originadas en la fase del diseño del proyecto, errores en el cálculo o mal dimensionamiento y utilización de materiales inadecuados - Baja calidad de los materiales - Ejecución inadecuada del proyecto 445

- Superación del límite de la capacidad admisible del trabajo de la estructura En las causas indirectas tenemos: - Asentamientos diferenciales del suelo - Deslizamientos y giros de los cimientos - Deformaciones excesivas Además existen causas inevitables como al propio utilización del edificio, al envejecimiento del mismo, movimientos sísmicos, a modificaciones del suelo, a la acción de aguas freáticas e incendios o inundaciones XLI.3.1 Estructuras aporticadas En los pórticos, las fisuras por salto térmicos aparecen en las zonas traccionadas de los cabezales y las bases de las columnas, se producen cuando la estructura no puede desplazarse y el concreto no puede resistir debido a su módulo de elasticidad, estas deformaciones Para prevenir estas fisuras debe disponerse juntas de dilatación que limiten las deformaciones originadas por cambios de temperaturas Los asentamientos diferenciales de los cimientos también producen lesiones en estos elementos, produciéndose desviaciones angulares que provocan roturas en las vigas, normalmente por cortante. Las fisuras debidas a los asentamientos diferenciales no aparecen de forma inmediatas, sino de forma paulatina, normalmente se muestran en los muros de cerramientos antes que en la propia estructura. En general fisuras menores de 0.3 mm no suelen provocar efectos serios sobre la estructura, sobre todo en los elementos sometidos a flexión. Para fisuras de 2 mm, la situación es preocupante, debido a que se comienza a producir envejecimiento acelerado. Cuando se producen fisuras superiores a 2 mm, los aspectos de funcionalidad y seguridad pueden estar comprometidos Columnas Las columnas son unos de los elementos principales de los pórticos, debido a que estos fallan, todo el edifico fallará, no así en las vigas En las columnas existe una enorme dependencia entre la calidad del concreto y su seguridad. Si la calidad del concreto desciende alrededor del 30%, la seguridad desciende algo más del 24%, si la cuantía mecánica es inferior 0.3 La rotura por aplastamiento, que se produce por exceso de carga, por sección y refuerzo insuficiente o por concreto de baja calidad, produce fisuras verticales que pueden cortar el dos a la columna y debe apuntalarse el elemento inmediatamente El aplastamiento produce un pandeo del refuerzo vertical en las esquinas, produciendo fisuras que pueden confundirse con la corrosión del refuerzo, si se observa la cara opuesta de la columna, ésta aparece partido, no hay confusión de que se trata de una rotura por aplastamiento

fisuras por exceso de compresión

Cuando se producen varias fisuras de ancho variable ortogonales a la directriz del refuerzo longitudinal es debido a la gran excentricidad de la carga. Estas fisuras se cierran al llegar a la cabeza comprimida, pero en caso de esfuerzos alternativos importantes pueden afectar a la sección completa M

446

La causa es el exceso de alargamiento del refuerzo vertical en la cara traccionada, son columnas sometidas a un gran valor relativo de M con respecto a N Cuando se producen fisuras sensiblemente paralelas a la directriz del refuerzo longitudinal de ancho de 0.05 a 0.1 mm y frecuentemente situadas en una sola cara, que no están superpuestas al refuerzo longitudinal es producto de pequeña excentricidad de la carga y su causa es la excesiva compresión de la zona comprimida de la sección de concreto N M

Vigas En pórticos con nudos rígidos en sus extremos, las fisuras en vigas sometidas a carga verticales se producen por flexión pura. Según la cuantía del refuerzo a tracción, en una primera fase, fisuras aisladas o en grupos. Después con un aumento de las compresiones en el concreto, se alcanza una deformación tal que provoca una subida de la línea neutra, y se manifiesta de fisuras horizontales superiores. Estas fisuras horizontales aparecen también de modo aislado en vigas muy reforzadas, con la calidad del concreto es baja En la zona central de una viga, una fisura de abajo hacia arriba, perdiendo ancho hasta desaparecer en la parte superior, indica una fisura a tracción y es una lesión grave En vigas la aparición de fisuras de aproximadamente a 45° con respecto a la horizontal, con máxima abertura en la zona de la fibra neutra es un indicio de fallo por cortante. En la primera fase de su formación, las fisuras siguen la dirección de las tracciones principales, coincidentes con líneas isostáticas de compresión. En la segunda fase, las fisuras avanzan hacia el borde inferior. También puede aparecer súbitamente, produciendo el colapso, sin que se haya manifestado el fallo en una fase anterior En las zonas cercanas a los nudos, cuando el momento flector es importante, se produce una rotura combinada de flexión y cortante, éstas siguen las direcciones de las tracciones principales hasta el borde superior comprimido del concreto, donde produce el fallo XLI.3.2 Diferente tipos de fisuras en vigas y columnas Fisuras por momento flector

Fisura vertical cortando la sección completa cercana al nudo, ancho variable, pero generalmente constante en toda su altura Fisuras por esfuerzo cortante

447

Fisura inclinada, ancho variable con abertura máxima a nivel del refuerzo de tracción Fisuras en la cabeza de la columna por baja resistencia del concreto, estribos en colocación inadecuada Fisura ortogonal a la directriz ancho muy grande, hasta 2 mm

junta de vaciado

Fisuración vertical en nudos de pórticos Fisuras paralelas a la directriz de la columna, se producen solamente el nudo, son de pequeño ancho, generalmente no mayores de 0.1 mm, se producen en estructuras en las que se emplea concreto más alta en las columnas que en las vigas y losas y se vacía el nudo con el concreto de la viga en vez del de la columna. También en que se omite los estribos de la columna en el nudo. En ambos casos se trata de un agotamiento local del concreto en compresión.

junta de vaciado Fisuración vertical en la cabeza de la columna Se produce por ausencia de estribo en la columna en esa zona: Deslizamiento de los estribos, que se encuentran juntos en la zona inferior. Baja de la resistencia del concreto en esa zona .

junta de vaciado Fisuración debido a dimensionamiento inadecuado para resistir los esfuerzos producidos por la acción sísmica Fisuras de flexión, generalmente varias y paralelas en caras opuestas de viga a cada lado del nudo Zonas de fisuración fina o deslaminación del concreto en caras opuestas de vigas a cada lado del nudo

Fisuración debido a dimensionamiento inadecuado para resistir los esfuerzos producidos por la acción sísmica Fisuras de flexión, generalmente varias y paralelas en caras opuestas de viga a cada lado del nudo Zonas de fisuración fina o deslaminación del concreto en caras opuestas de columnas a cada lado de la viga n 448

Fisuración debida a que la cuantía de los cercos de la columna contenida en el nudo es insuficiente para resistir los esfuerzos cortantes Fisuras de ancho variable en dos familias en la dirección

Fisuración de ausencia o insuficiencia de cercos de la columna en el nudo y agotamiento en compresión del concreto Una o varias fisuras paralelas

Fisuración debida a torsión Estas fisuras son inclinadas a 45° que aparecen en varias de las caras de la viga, formando siempre el mismo ángulo con el eje del refuerzo longitudinal y describiendo un trazado helicoidal

XLI.3.3 FISURAS DEBIDAS A LA CORROSIÓN DEL REFUERZO En el concreto, la corrosión se produce en las barras de acero. Los aceros de presfuerzo que se encuentran sometidos a tracciones muy próxima a su límite elástico son propicios a ser afectados por el fenómeno de la corrosión electroquímica, para que se produzca, es necesario que el medio posea determinadas características, debiéndose encontrar simultáneamente soluciones acuosas de sales, bases o ácidos y oxígeno Los elementos de concreto cuando están en ambiente completamente seco o sumergido en agua completamente, no se produce la corrosión, debido a que falta ría algunos de los elementos necesarios para producir dicho fenómeno 449

Cuando los elementos de concreto reforzado está a medio ambiente, un período corto pueden producirse daños de importancia en aceros no galvanizado Los pasos de la corrosión se muestra a continuación: 1– La humedad penetra por las grietas capilares y por los poros 2– Se inicia la formación de óxido 3 – La formación de productos de corrosión voluminosos produce tensiones expansivas 4 – La presión interna produce desprendimiento de porciones de concreto y el refuerzo de acero queda expuesta al aire 1-

234-

XLI.3.4 FISURAS DE AFOGARADO Son fisuras superficiales que se presentan en forma caprichosa, que no siguen líneas determinadas, sino que se ramifican, presentan sinuosidades, adaptándose al contorno de los áridos que ha de atravesar y se cortan unas a la otra, raramente alcanzan profundidades superiores a los 10 cm. Su aparición se vincula a un secado superficial enérgico, y ocurren entre una y diez horas después del vaciado, sin haber concluido la fase de fraguado. Está directamente relacionado con la temperatura ambiental, el viento seco, una alta dosificación de cemento, la proporción de fino en el concreto, la relación agua-cemento y la categoría de éste. Se presenta con mayor frecuencia en elementos de poco espesor y en grandes superficiales horizontales Cuando la concentración de fisuras es tal que apareen formando verdaderos nidos sobre la superficie afectada y debido a una concentración localizada de la pasta de cemento, que es sometida a un secado más rápido que el resto del material

CAPITULO XLII PROCEDIMIENTO PARA EL DISEÑO DE CONSTRUCCIONES DE CONCRETO ESTRUCTURAL Al elaborar un proyecto para una obra de Concreto Estructural, es importante, entre otros, tener en cuenta lo siguiente: g) Que cumpla los requisitos para el uso que va ser destinada 450

h) Que sea resistente y tenga la rigidez adecuada i) Que sea duradera j) Que sea económica k) Que se pueda construir l) Que sea estética y agradable El Reglamento, da una información bien detallada, que a continuación se analiza: XLII.1.ESTUDIO GEOTÉCNICO Debe realizarse una exploración del subsuelo en el lugar que se va a construir la edificación. El informe debe relacionar la exploración y los resultados obtenidos en el laboratorio, se den las recomendaciones que debe seguir el ingeniero estructural en el diseño de la cimentación y obras de contención, la definición de los efectos sísmicos, los procedimientos constructivos que debe emplear el constructor y los aspectos especiales a ser tenido en cuenta por el supervisor técnico, además, se debe indicar los asentamientos esperados, su variabilidad en el tiempo y las medidas que deben tomarse para no afectar adversamente las construcciones vecinas Comentario: Tener un buen Estudio Geotécnico, es muy importante, debido a que con el mismo, el ingeniero estructural puede determinar las cargas sísmicas, la resistencia del terreno, el tipo de cimentación más económica, resistente y duradera XLII.2. DISEÑO ARQUITECTÓNICO El proyecto arquitectónico de la edificación debe cumplir la reglamentación urbana vigente y, además, debe indicar los usos de cada una de las partes de la edificación y su clasificación dentro de los grupos de uso, el tipo de cada uno de los elementos no estructurales y el grado de desempeño mínimo que deben tener. Cuando los planos arquitectónicos incluyan los diseños sísmicos de los elementos no estructurales, éstos deben ir firmados, o rotulados Comentario: El Diseño Arquitectónico define en general el uso que se le dará a la edificación, su estética, así como que el usuario se sienta confortable en la edificación XLII.3.DISEÑO ESTRUCTURAL La estructura de la edificación debe diseñarse para que tenga resistencia y rigidez adecuada antes las cargas mínimas de diseño y debe, además, verificarse que dispone la rigidez adecuada para limitar la deformabilidad ante las cargas de servicio, de tal manera que no se vea afectado el funcionamiento de la edificación. A continuación se especifican las Etapas que deben llevarse a cabo. Comentario: Una de las principales funciones del Diseño Estructural es que la edificación sea segura (resistente y rígida) a fin de resistir las cargas a que va a ser sometida durante su vida útil y, además, duradera, económica y que se empleen solamente los materiales necesarios Paso 1. Predimensionamiento y coordinación con otros profesionales Definición del sistema estructural, dimensiones tentativas para evaluar preliminarmente las diferentes solicitaciones tales como: la masa de la estructura, las cargas muertas, las cargas vivas, los efectos sísmicos y las fuerzas de viento. Estás dimensiones preliminares se coordinan con los otros profesionales que participan en el diseño Comentario: Por mi experiencia profesional, considero que este es un paso muy importante del proyecto. Cuando se hace un buen predimensionamiento y una coordinación correcta, se puede decir que el proyecto cumplirá todos los requisitos necesarios, además, que facilitará y acortará el tiempo de ejecución del proyecto y de la construcción, así como que se gastarán los mínimos materiales. Paso 2. Evaluación de las solicitaciones definitivas Con las dimensiones de los elementos estructurales definidas como resultado del paso 1, se evalúan todas las solicitaciones que puedan afectar la edificación. Estás incluyen: el efecto gravitatorio de la masa de los elementos estructurales, o peso propio, las cargas de acabado y elementos no 451

estructurales, las cargas muertas, las fuerzas de viento, las deformaciones impuestas por efectos reológicos de los materiales estructurales y asentamientos del suelo que da apoyo a la cimentación. Así mismo, se debe determinar la masa de la edificación y su contenido cuando así lo exige el Reglamento, la cual será empleada en la determinación de los efectos sísmicos, de acuerdo con los siguientes pasos:

Paso 3. Obtención del nivel de amenaza sísmica y el valor del Aa y Av Este paso consiste en localizar el lugar donde se construirá la edificación dentro de los mapas de zonificación sísmica dados por el Reglamento y en determinar el nivel de amenaza sísmica del lugar, de acuerdo con el valor de los parámetros Aa y Av. El nivel de amenaza sísmica se clasificará como alta, intermedia o baja. En el Reglamento, se presenta una enumeración de los municipios colombianos, con su definición de la zona de amenaza sísmica y el valor de los parámetros Aa y Av, entre otros Paso 4. Movimientos sísmicos de diseño Deben definirse unos movimientos sísmicos de diseño en el lugar de la edificación, de acuerdo con los requisitos del Reglamento, tomando en cuenta: d) la amenaza sísmica para el lugar determinada en el Paso 3, expresada a través del parámetro Aa y Av, los cuales representan la aceleración horizontal pico efectivo y velocidad horizontal piso efectiva expresada en términos de aceleración del sismo de diseño. e) Las características de la estratificación del suelo subyacente en el lugar a través de un Coeficiente de sitio Fa y Fv S, y f) La importancia de la edificación para la recuperación de la comunidad con posterioridad a la ocurrencia de un sismo a través de un Coeficiente de importancia (I) La característica de los movimientos de diseño se expresa por medio de un espectro elástico de diseño. El Reglamento contempla descripciones alternativas del sismo de diseño, ya a través de familias de acelelogramas, o bien por medio de expresiones derivadas de estudios de micro zonificación sísmica; las cuales deben determinarse Paso 5. Características de la estructuración y del material estructural empleado El sistema estructural de resistencia sísmica de la edificación debe clasificarse dentro de uno de los sistemas estructurales prescriptos en el Reglamento, como sistemas de muros de cargas, sistema combinado, sistema de pórtico, o sistema dual. El Reglamento define limitaciones en el empleo de los sistemas estructurales de resistencia sísmica en función de la zona de amenaza sísmica donde se encuentre localizada la edificación, de la forma misma como se disponga el tipo de material estructural empleado, según esté en posibilidad de responder adecuadamente ante movimientos sísmicos como los esperados por medio de su capacidad de disipación de energía, la cual puede ser especial (DES), moderada (DMO) o mínima (DMI); de la altura de la edificación y de su grado de irregularidad

Paso 6 Grado de irregularidad de la estructura y procedimiento de análisis Definición del procedimiento de análisis sísmico de la estructura de acuerdo con la regularidad o irregularidad de la configuración de la edificación, tanto en planta como en alzado, su grado de redundancia o de ausencia de ella en el sistema estructural de resistencia sísmica, su altura, las características del suelo del lugar y el nivel de amenaza sísmica. Comentario: Es deseable que la edificación sea lo más regular y simétrica posible, a fin de disminuir las solicitaciones sobre los elementos Paso 7. Fuerzas sísmicas Obtención de las fuerzas sísmicas, Fs, que deben aplicarse a la estructura para lo cual debe usarse los movimientos de diseño definidos en el Paso 4 Comentario: La Fuerza Sísmica (Fs) se obtiene con la siguiente fórmula: Fs = Sa M g 452

Sa – Valor del espectro de aceleraciones de diseño para un período de vibración dado. Máxima aceleración horizontal de diseño, expresada como una fracción de la aceleración de la gravedad, para un sistema de un grado de libertad con un período de vibración T Sa = 1.2 Av Fv I /T Cuando T sea menor que Tc = 0.48 Av Fv /(Aa Fa), entonces Sa = 2.5 Aa Fa I Cuando T sea mayor de TL = 2.4 Fv, entonces Sa = 1.2 Av Fv TL I / ( 1) T^2 T- Período fundamental de vibración de la edificación T puede calcularse como T = Ta = Ct hn^(α) hn- altura en metro, medida desde la base al piso más alto del edificio g- Fuerza de la gravedad M – Masa total de la edificación – M se expresa en kg. Debe ser igual a la masa total de la estructura más la masa de aquellos elementos tales, como: muros divisorios y particiones, equipos permanentes, tanques y sus contenidos, etc. En depósitos o bodegas debe incluirse, además, un 25% de la masa correspondiente a los elementos que causan la carga del piso Fuerzas Sísmicas Horizontales Equivalentes La fuerza horizontal, Fx, en cualquier nivel x, para la dirección en estudio, se determina según: Fx = Cvs Vs Vs Cortante sísmico en la base Vs = Sa g M n Cvs = mx (hx) ^k /  (mi (hi)^k i=1 Para T menor o igual a 0.5 segundos, k = 1.0 Para T entre 0.5 y 2.5 segundos, k = 0.75 + 0.5 T Para T mayor que 2.5 segundos, k = 2.0 Paso 8. Análisis sísmico de la estructura El análisis sísmico de la estructura se lleva a cabo aplicando los movimientos sísmicos de diseño prescriptos, a un modelo matemático apropiado de la estructura. Este análisis se realiza para los movimientos sísmicos de diseño sin ser dividido por el Coeficiente de capacidad de disipación de energía, R, y deben hacerse por el método que se haya definido en el Paso 6. Deben determinarse los desplazamientos máximos que se imponen los movimientos sísmicos de diseño a la estructura y las fuerzas internas que se deriven de ellos Paso 9 Desplazamientos horizontales. Evaluación de los desplazamientos horizontales, incluyendo los efectos torsionales de toda la estructura, y las derivas (desplazamiento relativo entre niveles contiguos), con base a los desplazamientos obtenidos en el paso 8 Paso 10. Verificación de la deriva Comprobación de que la deriva de diseño obtenido no exceda los límites permitidos. Si la estructura excede los límites de deriva, calculada incluyendo los efectos torsionales de toda la estructura, es obligatoria rigidizarla, llevando a cabo nuevamente los pasos 8, 9 y 10, hasta cuando cumpla la comprobación de derivas Comentario Siguiendo los Pasos 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10, obtenemos las Cargas Sísmicas a que será sometida la edificación y con el Paso 2, ya tenemos todas las cargas. Paso 11. Combinación de las diferentes solicitaciones Las diferentes solicitaciones que deben ser tenidas en cuenta, se combinan para obtener las fuerzas internas de diseño de la estructura, de acuerdo con el Reglamento, por el método de diseño propio de cada material estructural. En cada una de las combinaciones de cargas requeridas, las solicitaciones se multiplican por el Coeficiente de carga prescripto en el Reglamento. En los efectos causados por el sismo de diseño se tiene en cuenta la capacidad de disipación de energía del sistema estructural, lo cual se logra empleando unos efectos sísmico reducidos de diseño, E, obtenidos dividiendo las fuerzas sísmicas Fs, determinadas en el Paso 7, por el Coeficiente de capacidad de disipación de energía R (E = Fs/R). El Coeficiente de disipación de energía, R, función de: e) el sistema de resistencia sísmica 453

f) del grado de irregularidad de la edificación g) del grado de redundancia o de ausencia de ella en el sistema estructural de resistencia sísmica, y h) de los requisitos de diseño detallado de cada material, para el grado de capacidad de disipación de energía correspondiente (DMI, DMO o DES) Comentario: En este Paso se combinan las solicitaciones y se obtienen los valores para el diseño Paso 12. Diseño de los elementos estructurales Se lleva a cabo de acuerdo con los requisitos propios del sistema de resistencia sísmica y del material utilizado. Los elementos estructurales deben diseñarse y detallarse de acuerdo con los requisitos propios del grado de capacidad de disipación de energía Mínimo, moderado o especial, lo cual le permitirá a la estructura responder, ante la ocurrencia de un sismo, en el rango inelástico de respuesta y cumplir con los objetivos del Reglamento. El diseño de los elementos estructurales debe realizarse para los valores más desfavorables obtenidos de las combinaciones obtenidas en el Paso 11, tal como prescribe en el Reglamento

DEFINICIONES A continuación se muestran los términos más utilizados en este Tomo I y en el Tomo II (se coloca entre paréntesis el término correspondiente en inglés. Aditivo (admixture). Material diferente al cemento, a los agregados o al agua que se añade al concreto, antes o durante la mezcla, para modificar una o varías de sus propiedades: sin perjudicar se durabilidad ni su capacidad de resistir esfuerzo Agregado (aggregate). Conjunto de partículas inertes, naturales o artificiales, tales como arena, grava, triturado etc. que al mezclarse con material cementante y el agua produce el Concreto Alambre (wire). Elemento de acero que cumple las normas, NTC 1907 (ASTM A496) y NTC 4002 (ASTM A82) utilizado como refuerzo, cuyo diámetro es menor del No. 2 (1/4”) ó 6M (6 mm). Puede ser liso o corrugado. Su utilización está limitada: a) como componente de las mallas electro soldadas b) individualmente como refuerzo de flexión en elementos que no formen parte de resistencia sísmica y cuyo espesor impide el uso de barras de refuerzo c) individualmente como refuerzo de retracción y temperatura de elementos cuyos espesor impide el uso de barras normales de refuerzo Alambre de presfuerzo (prestressing wire) Elemento de acero que cumple la norma NTC 159 (ASTM A421) utilizado individualmente como acero de presfuerzo Altura efectiva (effective depth of section) (de) En una sección, la distancia entre el extremo más comprimido y el centro de gravedad del refuerzo de tracción sometido a flexión o hasta el refuerzo más traccionado Amarres (tie elements). Son elementos que sirven para transmitir las fuerzas inerciales e impiden la separación entre componentes de la edificación como zapatas y muros. Elementos utilizados para dar continuidad alrededor de aberturas y huecos en un diafragma 454

Anclajes (anchorage). En Concreto postesado, un elemento utilizado para anclar el tendón al elemento de Concreto. En concreto [retesado, un elemento utilizado para anclar el tendón mientras el Concreto endurece Anclaje (anchor)- Un dispositivo de acero ya sea pre-instalado antes de colocar el Concreto o postinstalado en un elemento de Concreto endurecido y utilizado para transmitir fuerzas aplicadas, incluidos los tornillos con cabeza, los tornillos con extremos de gancho (J ó L) pernos con cabeza, anclajes de expansión o anclajes con sobre perforación en su base Anclaje con sobre perforación en su base (undercut anchor). Un anclaje post-instalado que desarrolla su resistencia a la tracción con base en un mecanismo de trabazón proporcionado por la sobre perforación del Concreto en el extremo embebido del anclaje. La sobre perforación se logra con un taladro especial antes de instalar el anclaje o de manera alternativa, por medio del mismo anclaje durante su instalación Anclaje de expansión (expansion anchor). Un anclaje post-instalado, insertado en el concreto endurecido que transfiere cargas hacia y desde el concreto por apoyo directo o fricción o ambos. Los anclajes de expansión pueden ser de torsión controlada, donde la expansión se obtiene mediante torsión que actúa en un tornillo o perno; o de desplazamiento controlado, donde la expansión se logra por fuerzas de impacto que actúan en una camisa o tapón y la expansión es controlada por la longitud de desplazamiento de la camisa o tapón Anclaje post-instalado ( post-installed anchor). Un anclaje instalado en el concreto endurecido. Los anclajes de expansión y los anclajes con sobre perforación en su base son ejemplos de anclajes postinstalados Anclaje pre-instalado (cast- in anchor). Un tornillo con cabeza, perno con cabeza o tornillo con gancho, instalado antes de colocar el Concreto Asentamiento (settlement). Hundimiento o descenso del nivel de una estructura debido a la compresión y deformación del suelo o roca de fundación Asentamiento (slump) (ensayo de) Resultado del ensayo de manejabilidad de una mezcla de concreto Barra corrugada (deformed bar). Barra con un núcleo circular en cuya superficie existen resaltes que tienen por objeto aumentar la adherencia entre el concreto y el acero, que cumple con las normas NTC 2289 (ASTM A706) y NTC 248 (ASTM A615) Barra lisa (plain reinforcement). Barra de sección transversal circular sin resalte o nervios especiales, que cumple con la norma NTC 161 (ASTM A615) Base de la estructura (base of structure). Nivel en el cual se supone que los movimientos sísmicos son transferidos al edifico. Este nivel no necesariamente coincide con el nivel del terreno Camisa de espaciamiento ( distance sleeve). Una camisa que envuelve la parte central de un elemento de anclaje con sobre perforación en su base, un elemento de anclaje de expansión de torsión controlada, o un elemento de anclaje de expansión de desplazamiento controlado Camisa de expansión ( expansion sleeve). La parte externa de un anclaje de expansión que es forzada hacia fuera por la parte central, ya sea aplicando una torsión o impacto, para apoyarse contra los lados de un orificio perforado previamente Capacidad de disipación de energía (energy dissipation capacity o toughness) Es la capacidad que tiene un sistema estructural, un elemento estructural o una sección de un elemento estructural, de trabajar dentro del rango inelástico de respuesta sin perder su resistencia. Se cuantifica por medio de la energía de deformación que el sistema, elemento o sección es capaz de disipar en ciclos histerésticos consecutivos. Cuando hace referencia al sistema de resistencia sísmica de la edificación como un todo, se define por medio del Coeficiente de capacidad de disipación de energía R Cargas (loads). Son fuerzas u otras solicitaciones que actúan sobre el sistema estructural y provienen del peso de todos los elementos permanentes en la construcción, los ocupantes y sus posesiones, efectos ambientales, asentamientos diferenciales y cambios dimensionales que se restringen. Las cargas permanentes son cargas que varían muy poco en el tiempo y cuyas variaciones son pequeñas en magnitud Cargas y fuerzas mayoradas (factored loads and forces) Cargas nominales que han sido afectadas por un Coeficiente de carga de acuerdo con las ecuaciones de combinación y mayoración. Las fuerzas sísmicas dada en el reglamento corresponden a fuerzas mayoradas pues han sido afectadas por el Coeficiente de carga, el cual va incluido en la probabilidad de ocurrencia del sismo de diseño Carga muerta (dead load). La constituida por el peso propio de la estructura más los materiales de construcción y demás elementos que vayan a actuar en forma no interrumpida durante la vida útil de la construcción Cargas nominales. Son las magnitudes de las cargas especificadas en el Reglamento. Las cargas muertas, vivas y de viento son cargas nominales o reales, las cuales NO han sido multiplicadas por el Coeficiente de carga Carga de servicio (service load). La carga muerta más la carga viva sin estar afectada por ningún Coeficiente de carga

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Carga viva (live load). Son aquellas cargas producidas por el uso y ocupación de la edificación y no deben incluir cargas ambientales tales como viento, sismo, ni carga muerta. La cargas vivas en la cubierta son aquellas causadas por materiales, equipos y trabajadores utilizados en el mantenimiento de la cubierta. Durante la vida de la estructura las causadas por objetos móviles y por personas que tengan acceso a ellas Cemento (Cement). Véase material cementante Cercha o armadura estructural (structural trusses). Ensamblaje de elementos de Concreto estructural que trabajan primordialmente bajo cargas axiales Cimbra o encofrado (shores). Estructura provisional de madera o elementos metálicos, de forma, dimensiones y seguridad adecuadas para la colocación del refuerzo y el concreto de un elemento estructural y sostenerlo mientras el concreto adquiere la resistencia adecuada Cimentación (foundation) Conjunto de los elementos estructurales destinados a transmitir las cargas de una estructura al suelo o roca de apoyo Coeficiente de carga (load factor). Es un Coeficiente que tiene en cuenta las desviaciones inevitables de las cargas reales con respecto a las cargas nominales y las incertidumbres que se tienen en el análisis estructural al transformar las cargas en efectos internos en los elementos Coeficiente de reducción de resistencia (strength reduction factor) () Coeficiente que multiplica la resistencia nominal para convertirla en resistencia de diseño. Este Coeficiente tiene en cuenta las desviaciones inevitables entre la resistencia real y la resistencia nominal del elemento y la forma y consecuencia de falla) Columna (columna) Elemento estructural cuya solicitación principal es la carga axial de compresión, acompañada o no de momentos flectores, torsión o esfuerzo cortante y con una relación a su menor dimensión de la sección de 3 o más. Combinaciones de cargas de diseño (design load combinations) Combinaciones de las fuerzas y cargas mayoradas Curado (curing). Proceso por medio del cual el concreto endurece y adquiere resistencia, una vez colocado en su posición final Deflexión (deflection) La ordenada de la línea elástica o deformación transversal del elemento estructural Deformación unitaria de control por compresión (compresion control strain). Es la deformación unitaria neta de tracción para condiciones balanceadas Deformación unitaria neta en tracción (net tensile strain). Es la deformación unitaria en el acero en tracción al nivel de resistencia nominal, sin incluir los efectos de deformación unitaria causados por el presfuerzo efectivo, la retracción del fraguado y las variaciones de temperatura Deriva (story drift) Diferencia entre los desplazamientos o deflexiones horizontales de dos pisos consecutivos Diafragmas estructurales (structural diaphagms). Es el conjunto de elementos estructurales, tales como las losas de entrepisos o de cubierta, que transmiten las fuerzas inerciales a los elementos del sistema de resistencia sísmicas Efectos sísmicos (earthquake effects) Las solicitaciones de flexión, fuerzas cortantes, cargas axiales y deformaciones ocasionadas por la acción de un temblor en una estructura cualquiera a los elementos estructurales Efectos térmicos (termal effects). Los esfuerzos y las deformaciones ocasionados en los elementos de las estructuras por variación en la temperatura Elementos a flexión de concreto compuesto ( composite concrete flexural members) Elementos de Concreto, prefabricados o vaciados en el sitio, o ambos, construidos en etapas diferentes pero interconectados de tal manera que toda sus partes respondan a las cargas como una unidad Elementos colectores (collector elements) Elementos que sirvan para transmitir las fuerzas inerciales dentro del diafragma, hasta los elementos del sistema vertical de resistencia sísmica Elementos de bordes (boundary elements). Parte del borde de la sección de los muros y diafragmas que se refuerza con armadura longitudinal y transversal. Los elementos de borde no tienen que ser más anchos que el elemento. Los bordes de las aberturas de los muros estructurales y diafragmas deben tener elementos de bordes si así se requiere Encofrados y formaletas (formwork). Moldes con la forma y las dimensiones de los elementos estructurales, en los cuales se coloca el refuerzo y se vierte el Concreto fresco Esfuerzo ( stress) Intensidad de fuerza por unidad de área Estado límite(limit state). Es una condición bajo la cual una estructura o uno de sus componentes deja de cumplir su función (estado límite de funcionamiento) o se vuelve insegura (estado límite de resistencia) Estribo y fleje (stirrup, tie). Elementos que corresponden a una forma de refuerzo transversal, utilizados para resistir esfuerzos cortantes, de torsión y para proveer confinamiento al elemento, doblados en forma de L, C o rectangulares y colocados perpendicularmente al refuerzo longitudinal o formando un ángulo con él. En elementos que llevan cargas de compresión, como en las columnas, el estibo debe abrazar el refuerzo 456

longitudinal para evitar que éste falle por pandeo y no puede ser fabricado con alambres o mallas electro soldadas. En este caso puede ser también una barra continua que se enrolla alrededor del refuerzo longitudinal formando círculos, rectángulos o cualquier otra forma poligonal sin tener esquinas hacia adentro de la sección. Cuando cumple ciertos límites de cuantía volumétrica se denomina refuerzo en espiral. Estribo de confinamiento (hoop). Es un estribo rectangular cerrado, de barra de diámetro al menos No.3 (3/8”) ó 10 M (10 mm) o un estribo continuo enrollado alrededor del refuerzo longitudinal. Los estribos de confinamiento pueden componerse de varios elementos de refuerzo, pero todos ellos deben tener en sus extremos ganchos sísmicos de 135 grados. o más, con una extensión de 6 diámetro de barra pero no menor de 75 mm. que abrazan el refuerzo longitudinal. Estribos suplementarios (crosstie). Es un elemento de refuerzo transversal fabricado con barra de diámetro No.3 (3/8”) ó 10 M (10 mm) o mayor, que tiene sus extremos un gancho sísmico de 135 grados, o más, con una extensión de 6 diámetros de barra, pero no menor de 75 mm y se permite que uno de sus extremos se utilice un gancho de 90 grados, o más, con una extensión de 6 diámetros de barra. Los ganchos deben abrazar las barras longitudinales de la periferia de la sección. Los extremos doblados a 90 grados de dios estribos suplementarios que abracen las mismas barras longitudinales deben alternarse de extremo. Los estribos suplementarios deben ser fabricados del mismo diámetro y resistencia a la fluencia de los estribos de confinamiento principales Fijación (attachment). Un dispositivo estructural, externo a la superficie del Concreto, que transmite o recibe cargas de los elementos de anclajes Fricción por curvatura (curvature friction).En Concreto Presforzado la fricción resultante de dobleces y curvas en el perfil especificado de los tendones de presfuerzo Fricción por desviación (wobble friction). En Concreto Presforzado la fricción causada por desviaciones, u ondulaciones, no intencionales del ducto de los tendones del presfuerzo de su perfil especificado Fuerza en el gato ( jacking force). En Concreto Presforzado, la fuerza temporal ejercida por el gato que induce la fuerza de tensiona miento en los tendones de presfuerzo Fuerza sísmica especificadas (specified lateral forces). Son las fuerzas sísmicas horizontales correspondientes a la distribución en la altura de la edificación del cortante sísmico en la base Gancho estándar (standard hook) Doblez en el extremo de una barra de refuerzo Gancho sísmico (seismic hook) Es el gancho que debe formarse en los extremos de los ganchos de confinamiento y estribos complementarios, consiste en un doblez de 135 grados, o más, con una extensión de 6 diámetro de barra, pero no menor de 75 mm, que abraza el refuerzo longitudinal del elemento y se proyecta hacia el interior de la sección del elemento Grupo de anclajes (anchor group) Un grupo de elementos de anclaje de aproximadamente la misma profundidad de embebido efectivo, en el cual cada elemento de anclaje está espaciado a menos de tres veces la profundidad de uno o más anclajes adyacentes Concreto o (concrete). El concreto es el producto resultante de la mezcla en proporciones adecuadas de áridos gruesos, áridos finos, aglomerantes (cemento), agua y a veces aditivos; los cuales sufren procesos de fraguado y endurecimiento que lo convierte, después de cierto tiempo, en un sólido de características pétrea. Concreto ciclópeo o concreto ciclópeo (cyclopean concrete). Mezcla de concreto simple y agregado grueso seleccionado con tamaño entre 150 mm y 300 mm, utilizada para la construcción de elementos estructurales que trabajan predominantemente a compresión y que se diseñan con los requisitos de concreto simple Concreto de peso normal o concreto de peso normal (normal weight concrete). Se entiende por aquel en el cual se ha utilizado agregados inertes cuya masa es mayor que 1840 kg/m^3 Concreto del recubrimiento o concreto del recubrimiento (shell concrete). Es el concreto localizado por fuera del refuerzo transversal de confinamiento Concreto estructural o concreto estructural ( structural concrete) Es el concreto estructural que cubre el concreto simple y el concreto reforzado utilizado para propósitos estructurales Concreto ligero o concreto ligero (lightweight agregate concrete). Concreto que contiene agregado ligero, cuya masa específica no excede 1840 kg/m^3 y por lo tanto el concreto producido con ellos tiene una masa específica inferior al del Concreto de masa normal. Este tipo de concreto no puede utilizarse sin una aprobación especial de la “Comisión Asesora Permanente para el Régimen de Construcciones Sismo Resistentes” debido a sus propiedades de baja resistencia a los esfuerzos cortantes Concreto Presforzado o concreto Presforzado (prestressed concrete). Concreto que previamente a su utilización se somete a tratamientos mecánicos destinados a crear esfuerzos de compresión en las zonas que posteriormente reciben esfuerzos de tracción debidos a la aplicación de las cargas. Según el procedimiento de aplicación de los esfuerzos en el acero de tensiona miento con respecto al vaciado del concreto se divide en concreto pretensado y concreto postesado 457

Concreto reforzado o concreto reforzado ( reinforced concrete) Material constituido por el concreto que tiene un refuerzo consistente en barras de acero corrugado, estribos transversales o mallas electro soldadas, colocadas principalmente en las zonas de tracción, en cuantías superiores a las mínimas especificadas , bajo la hipótesis de compatibilidad de deformaciones entre los dos materiales Concreto simple o concreto simple (plain concrete). El que no tiene acero de refuerzo, o tiene en cuantías menores a las mínimas especificadas. Concreto simple estructural o concreto simple estructural (plain structural concrete). Concreto simple utilizado para propósitos estructurales Junta de construcción (construction Joint. Interrupción de la colocación del concreto, ya sea temporal, de construcción o permanente Junta de contracción (contraction Joint). Junta de construcción, o junta parcial (una reducción del espesor del elemento) utilizada para reducir la aparición de esfuerzos internos causadas por la restricción a los movimientos causados por retracción de fraguado, flujo plástico, o variaciones de la temperatura, en elementos de concreto simple Junta de expansión (isolation Joint) Separación entre porciones adyacentes de la estructura de concreto, localizada en un lugar establecido durante el diseño de la estructura, de tal forma que no interfiera con el comportamiento de la estructura y que al mismo tiempo permita movimientos en las direcciones apropiadas y que impida la formación de fisuras y grietas en otras partes de la estructura. En la junta se puede interrumpir parte o todo el refuerzo adherido que la atraviese Longitud de desarrollo con gancho estándar (development lenght for a bar with a standar hook) Es la distancia más corta entre sección crítica donde la barra debe desarrollar su resistencia total, y una tangente a la cara exterior del gancho a 90 grados o de 180 grados Longitud de desarrollo (development lenght) Es la longitud del refuerzo en el concreto requerida para desarrollar la resistencia de diseño del refuerzo en una sección crítica Longitud embebida (embedment lenght) Es la menor longitud de refuerzo embebido dentro del concreto, medida perpendicularmente a la sección crítica Losa (slab). Elemento estructural horizontal, o aproximadamente horizontal, macizo o con nervaduras, que trabaja en una o dos direcciones, de espesor pequeño en relación a sus otras dos dimensiones Material cementante (cementitous materials) Material que tiene propiedades cementantes cuando se utiliza en la fabricación del concreto, ya sea por si mismo, como es el caso del cemento hidráulico (Portland), el cemento adicionado y el cemento expansivo; o cuando estos últimos obran en combinación con cenizas volantes, puzolanas, escoria siderúrgica y humo de sílice Módulo de elasticidad (modulus of elasticity) Relación entre ele esfuerzo de tracción o de compresión y la deformación unitaria producida por aquel, para esfuerzos inferiores al límite proporcional de la material Momento positivo (positive momento) l que produce esfuerzo de tracción en la cara inferior de vigas y losas Momento negativo (negative momento) El que produce esfuerzos de tracción en la cara superior de vigas y losas Muro (wall). Elemento cuyo espesor es mucho menor en relación con sus otras dos dimensiones, usualmente vertical, utilizado para delimitar espacios Muro estructural (structural wall) Son muros que se dimensionan y se diseñan para resistir la combinación de fuerzas cortantes, momentos y fuerzas axiales inducidas por cargas verticales y horizontales. Un “muro de cortante” (shearwall) es un “muro estructural” Nudo (Joint) Es la porción de la columna limitada por las superficies superiores e inferiores de las vigas que llegan a ella Pedestal (pedestal) Elemento vertical sometido a compresión, acompañada o no de momentos flectores, esfuerzos cortante o torsión y que tiene una longitud libre no mayor de tres veces su primera dimensión transversal Percentil del 5% ) five percent fractile). Un término estadístico que significa un 90% de confianza de que existe un 95% de probabilidad de que la resistencia real exceda a la resistencia nominal Pórtico (momento resisting frame) Conjunto estructural constituido por vigas y columnas unidas rígidamente Postensado (post-tensioning) Método de presfuerzo en el cual los tendones se tensionan después de que el concreto haya adquirido la resistencia requerida para la aplicación de las fuerzas de tensionamiento Presfuerzo efectivo ( effective prestress) Esfuerzo proveniente del tensionamiento, que permanece en un tendón después de que haya ocurrido las pérdidas, excluyendo los efectos de carga muerta o la viva Prefabricado (precast concrete) Elemento de Concreto. con o sin refuerzo que se construye en un lugar diferente al de su posición final dentro de la estructura Presforzado (prestressed concrete) Véase Concreto Presforzado

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Pretensado (pretensioning) Método de Presforzado en el cual los tendones se tensionan antes de vaciar el Concreto Profundidad efectiva de embebido (effective embedment depht). Profundidad total a través de la cual el anclaje transfiere fuerzas hacia o desde el concreto que lo rodea. La profundidad efectiva de embebido generalmente es la profundidad de la superficie de falla del concreto en las aplicaciones en tracción. Para tornillo de cabeza pre-instalados y pernos con cabeza, la profundidad efectiva de embebido se mide desde la superficie de contacto de apoyo de la cabeza Recimbrado (reshoring) Cimbra que se coloca bajo una losa u otro elemento de concreto, después de que la cimbra y formaleta original ha sido retirada de un área mayor habiendo permitido que la losa o el elemento estructural se deflecte y soporte su propio peso, y las demás cargas de construcción. Se emplea para disminuir las deflexiones permanentes que se producen debido a que el concreto se somete a cargas a una edad relativamente temprana Refuerzo (reinforcement) Acero en una de las tres formas siguientes, colocado para absorber esfuerzos de tracción. de compresión, de cortante o de torsión en conjunto con el concreto a) grupo de barras de acero corrugado que cumplen las normas NTC 2289 (ASTM A706) ó NTC 248 (ASTM A615). o barras lisa que cumplan las normas NTC 161 (ASTM A 615) , forma reta, dobladas, con o sin ganchos, o forma de estribos b) mallas electro soldadas c) Alambre o cables de alta resistencia destinados principalmente al Concreto Presforzado Refuerzo corrugado (deformed reinforcement) Todo refuerzo consistente en barras corrugadas, mallas o de barras corrugadas, alambre corrugado y mallas electro soldadas de alambre corrugado. Bajo esta denominación se incluyen también las mallas electro soldadas de alambre liso, las cuales se consideran una forma de refuerzo corrugado Refuerzo en espiral (spiral reinforcement) Refuerzo transversal consistente en una hélice continua de barra de acero liso o corrugado, que cumplen ciertas limitaciones de cuantía volumétrica Refuerzo extremo de tracción (extreme tension steel) Refuerzo (Presforzado o no Presforzado) que se encuentra más alejado de la fibra extrema en compresión) Refuerzo liso (plain reinforcement) Refuerzo consistente en barras de superficie lisa Refuerzo negativo ( negative reinforcement) El refuerzo destinado a resistir los efectos del momento negativo Refuerzo positivo (positive reinforcement) El refuerzo destinado a resistir los efectos del momento positivo Refuerzo transversal (tranverse or lateral reinforcement) El refuerzo destinado a resistir los efectos de los esfuerzos cortantes y de torsión. Incluye igualmente el destinado a impedir el pandeo del refuerzo principal en las columnas o en elementos sometidos a fuerzas de compresión y el que produce confinamiento Refuerzo de retracción y temperatura (shrinkage and temperature reinforcement) En losas el destinado a resistir los esfuerzos causados por variación de temperatura o por retracción de fraguado Región confinada (confinement region) Es aquella parte de los elementos de concreto reforzado confinada por refuerzo transversal de confinamiento Resistencia a la fluencia (yield strength) Valor de la resistencia nominal a la fluencia del acero de refuerzo en MPa que se utiliza en el diseño para determinar la resistencia nominal de los elementos de Concreto reforzado. La resistencia real a la fluencia debe determinarse por medio de ensayos de los materiales empleados en la obra, realizados de acuerdo con las Normas NTC o en su defecto ASTM, apropiadas y su variación con respecto a la resistencia nominal no debe ser mayor que la permitida por estas Normas Resistencia nominal del Concreto a la compresión (specified compressive strenght of concrete) Resistencia nominal especificada del concreto, expresada en MPa. que se utiliza en el diseño para determinar la resistencia nominal de los elementos de concreto reforzado. La resistencia real a la compresión debe determinarse por medio de ensayos de los materiales empleados en la obra, como promedio de la resistencia de dos probetas cilíndricas, de 150 mm de diámetro y 300 mm de altura, ensayada a los 28 días. Estos ensayos se deben realizar de acuerdo con las Norma NTC apropiadas y la variación de los resultados con respecto a la resistencia nominal no debe ser mayor que la permitida. El significado de la expresión fc’ precedida por un símbolo de radical √fc’ indica que se debe tomar la raíz cuadrada del valor de fc’ y que el resultado tiene unidades en MPa Resistencia de diseño (design strength) Resistencia nominal de un elemento, o sección de él, multiplicada por el Coeficiente de reducción de resistencia  Resistencia nominal (nominal strength) Resistencia de un elemento o sección de él, calculada analíticamente de acuerdo con los requisitos y suposiciones del método de resistencia y sin incluir ningún Coeficiente de reducción de resistencia 459

Resistencia requerida (required strength) Resistencia que debe poseer un elemento o sección de él, para que sea capaz de soportar las cargas mayoradas o sus efectos Resistencia al arrancamiento del concreto por tracción del anclaje (concrete breakout strength). Resistencia de un volumen de concreto que rodea al anclaje o grupos de anclajes, para despenderse del elemento Resistencia a la extracción por deslizamiento del anclaje ( anchor pullout strenght). Resistencia del anclaje o un componente principal del dispositivo de anclaje que se desliza fuera del Concreto sin romper una parte sustancial del concreto que lo rodea Resistencia al desprendimiento del concreto por cabeceo del anclaje (concrete pryout strenght) Resistencia que corresponde a la formación en anclajes cortos y rígidos de un descascaramiento de concreto detrás de elementos y en dirección opuesta a la fuerza cortante aplicada Resistencia al desprendimiento lateral del concreto (side-face blowout strenght). Resistencia de los anclajes con mayor profundidad de embebido, pero con menor espesor del recubrimiento lateral, que corresponde a un descascaramiento del concreto que rodea la cara lateral de la cabeza embebida, sin que ocurran arrancamientos mayores en la parte superior de la superficie de concreto Riostra (Strut). Es un elemento de un diafragma que se utiliza para proveer continuidad alrededor de una abertura en el diafragma Sección controlada por compresión (compression-controlled section) Es la sección de un elemento en la cual la deformación unitaria de tracción neta en el refuerzo extremo de tracción, para resistencia nominal es menor o igual al límite para la deformación unitaria de control de compresión Sección controlada por tracción (tension-controlled section) Es la sección de un elemento en la cual la deformación unitaria de tracción neta en el refuerzo extremo de tracción, para la resistencia nominal es mayor o igual a 0.005 Sistema de resistencia sísmica (lateral-force resisting system) Es aquella parte de la estructura compuesta por elementos diseñado para resistir las fuerzas provenientes de los efectos sísmicos Tendón (tendon) Refuerzo para Concreto Presforzado compuesto por uno o varios torones de presfuerzo Tendón adherido (bonded tendon) Tendón de presfuerzo que está adherido al concreto ya sea directamente o mediante mortero de inyección Tendón no adherido (unbonded tendon) Tendón de presfuerzo que no está adherido al concreto y por lo tanto puede desplazarse libremente dentro del ducto que contiene y que además está adecuadamente protegido contra la corrosión Tirante (tie) Elemento estructural sometido principalmente a tracción, acompañada o no de momentos de flexión Torón (strand) Cable para Concreto Presforzado compuesto por siete alambres de acero de alta resistencia trenzados, que cumplen la norma NTC 2010 (ASTM A146) Transferencia (transfer) Acción por medio de la cual se transfieren los esfuerzos en los tendones de presfuerzo del gato o del banco de tensionamiento al concreto Viga (beam, girder) Elemento estructural, horizontal o aproximadamente horizontal, cuya dimensión longitudinal es mayor que las otras dos y su solicitación principal es el momento flector, acompañado o no de cargas axiales y torsiones Vigueta, o nervadura (joint) Elemento estructural que forma parte de una losa nervads, el cual trabaja principalmente a flexión

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NOTACIÓN Notaciones más importantes para el Tomo I y Tomo II a-altura del bloque rectangular equivalente de esfuerzos a compresión del concreto a- luz de cortante, distancia entre la carga concentrada y la cara del apoyo A- área de aquella parte de la sección transversal entre la cara de tracción a flexión y el centro de gravedad de la sección bruta Ac- área del núcleo de un elemento sometido a compresión, reforzado con espirales, medida hasta el diámetro exterior de la espiral Ac- área de la superficie de contacto bajo investigación para cortante horizontal Ac- área de la sección de concreto que resiste la transferencia de cortante por fricción Ach- área de la sección de un elemento estructural, medida hasta la parte exterior del refuerzo transversal Acp- área limitada por el perímetro exterior de la sección de concreto. Para miembros vaciados monolíticamente con la losa, el ancho del ala que se extiende a cada lado y que se utiliza en el cálculo de Acp y Pcp Acp- área de la sección transversal del concreto que resiste esfuerzos cortantes de una porción de un muro estructural o de un segmento horizontal de muro Acv- área neta de la sección de concreto definida por el ancho del alma y la longitud de la sección en la dirección de la fuerza cortante en estudio Af- área de refuerzo que resiste un momento mayorado en una ménsula o cornisa Ag- área bruta de la sección. Para secciones huecas es el área de concreto únicamente y no incluye el área de los huecos Ah- área del refuerzo de cortante paralelo al refuerzo de flexión a tracción Ai- área del refuerzo de cortante adicional en vigas apoyadas indirectamente sobre otra viga Aj- área efectiva dentro de un muro, en un plano paralelo al plano del refuerzo que genera el cortante en el nudo. La altura de la sección efectiva del nudo debe ser la altura total de la sección de la columna. En aquellos casos en que la viga llega a un nudo que tiene un ancho mayor que la viga, el ancho efectivo del nudo no debe exceder al más pequeño del ancho de la viga más la altura efectiva del nudo, o dos veces la distancia perpendicular más corta medida desde el eje longitudinal de la viga al lado de la columna Al- área total del refuerzo longitudinal que resiste torsión A1 – área cargada A2- área de la base inferior del máximo tronco de pirámide, cono o cuña en su totalidad dentro del apoyo y que tiene como cara superior el área cargada y cuyos lados caen con una pendiente de 1 vertical a 2 horizontal An- área de refuerzo que resiste una fuerza de tracción Nuc en una ménsula o cornisa Ao- área bruta definida por la trayectoria del flujo de cortante Aoh- área definida por el centro del refuerzo transversal para torsión que se encuentre más fuera en la sección de concreto Aps- área del refuerzo Presforzado en la zona de tracción As- área del refuerzo no Presforzado que trabaja a tracción Ash- área total del refuerzo transversal, incluyendo estribos suplementarios que existe en una distancia s y perpendicular a la dimensión hc As’- área del refuerzo no Presforzado a compresión As,min- área mínima del refuerzo para flexión sometido a tracción Ast- área total del refuerzo longitudinal (barras o perfiles de acero) At- área del perfil de acero estructural, tubo o tubería en una sección compuesta At- área de una rama de estribo cerrado que resiste torsión dentro de una distancia sa en su totalidad dentro del apoyo y que tiene como cara superior el área cargada y cuyos lados caen con una pendiente de 1 vertical a 2 horizontal Av- área del refuerzo de cortante dentro de una distancia, s, o para vigas de gran altura, el área de refuerzo de cortante perpendicular al refuerzo a flexión a tracción dentro de una distancia, s Avd- área del refuerzo en diagonal en cada grupo Avh- área del refuerzo de cortante paralelo al refuerzo de flexión dentro de una distancia, s2 bo- perímetro de la sección crítica en losas y zapatas bt- ancho de aquella parte de la sección transversal del elemento que contiene los estribos cerrados que resisten la torsión 461

bv- ancho de la sección transversal bajo investigación para cortante horizontal bw- ancho de la cara a compresión del elemento bw- ancho del alma, o diámetro de una sección circular b1- ancho de la sección crítica medida en la dirección de la luz para la cual se determinan los momentos b2- ancho de la sección crítica medida en la dirección perpendicular a b1 Bn- resistencia nominal a los esfuerzos de contacto en zapatas c- distancia de la fibra extrema en compresión al eje neutro de la sección Cm – Coeficiente que relaciona el diagrama de momento real con un diagrama equivalente de momento uniforme C- constante de la sección transversal utilizada para definir las propiedades de torsión. Para secciones en forma T o de L debe evaluarse dividiendo la sección en rectángulos separados y sumando los valores de C para cada parte C = ∑[1 – (0.63x / y)]( x^3 y / 3) Cij- Coeficiente que se aplican a los momentos de losas en dos direcciones según el método de Losas en dos direcciones apoyadas sobre muros o vigas rígidas. El subíndice i indica la dirección corta a larga (la o lb) y el subíndice indica si es aplicable a la carga mayorada viva (wl), muerta (wd) o total (wu) c1- dimensión de la columna, capitel o ménsula rectangular equivalente, medida en la dirección de la luz para la cual se determinan los momentos c2- dimensión de la columna, capitel o ménsula rectangular equivalente medida transversalmente a la dirección de la luz para la cual se determinan los momentos db- diámetro de la barra de refuerzo dc- espesor del recubrimiento de concreto desde la fibra extrema sometida a tracción hasta el centro de la barra o alambre localizado más cerca de dicha fibra de- distancia de la fibra extrema en compresión del concreto al refuerzo extremo a tracción d’ – distancia de la fibra extrema a compresión al centroide del refuerzo a compresión dp- diámetro del pilote en la base de la zapata dp- distancia desde la fibra extrema a compresión hasta el centroide del refuerzo Presforzado ds- distancia de la fibra extrema a tracción al centroide del acero de refuerzo a tracción E- efecto de las fuerzas sísmicas o las fuerzas internas y momentos causados por el sismo Ec- módulo de elasticidad del concreto Ecb- módulo de elasticidad del concreto de la viga Ecc- módulo de elasticidad del concreto de la columna Ecs- módulo de elasticidad del concreto de la losa Es- módulo de elasticidad del acero de refuerzo EI- rigidez a la flexión de un elemento sometido a compresión fc’- resistencia nominal del concreto a compresión √fc’- raíz cuadrada de la resistencia nominal del concreto a compresión fci’- resistencia a la compresión del concreto en el momento de la transferencia del presfuerzo √fci’- raíz cuadrada de la resistencia a la compresión del concreto al momento de la transferencia fd- esfuerzo de tracción debido a la carga muerta no mayorada en la fibra extrema de la sección donde dicho esfuerzo es causado por cargas aplicadas externamente fpc- esfuerzo de compresión en el concreto (después de descontar todas las pérdidas de presfuerzo) en el centroide de la sección transversal que resiste las cargas aplicadas externamente o en la unión del alma y el ala cuando el centroide está dentro del ala. En un elemento compuesto es el esfuerzo de compresión resultante en el centroide de la sección compuesta , o en la unión del alma y el ala cuando el centroide está dentro de ésta, debido tanto al presfuerzo como a los momentos resistidos por el elemento prefabricado actuando solo fpe- esfuerzo de compresión del concreto debido únicamente a las fuerzas efectivas de presfuerzo (después de descontar todas las pérdidas de presfuerzo) en la fibra extrema de la sección donde el esfuerzo de tracción es causado por cargas aplicadas externamente fps- esfuerzo en el refuerzo Presforzado a la resistencia nominal del elemento fpu- resistencia nominal a la tracción de los tendones de presfuerzo fr- módulo de ruptura del concreto fr = 0.625 √fc’ fs- esfuerzo en el acero de refuerzo calculado al nivel de cargas de servicio fse- esfuerzo efectivo en el refuerzo Presforzado(después de descontar todas las pérdidas de presfuerzo) fy- resistencia nominal a la fluencia del acero de refuerzo fyh- resistencia nominal a la fluencia del acero de refuerzo transversal fpy- resistencia nominal a la fluencia de los tendones de presfuerzo fyv- resistencia nominal a la fluencia del refuerzo transversal para torsión fyl- resistencia nominal a la fluencia del refuerzo longitudinal para torsión 462

h- altura total de la sección del elemento hb- distancia desde la cara inferior de la viga que da apoyo indirecto a otra viga, hasta la cara inferior de la viga apoyada indirectamente hc- dimensión de la sección del núcleo confinado de una columna medida centro a centro del refuerzo transversal de confinamiento que está más afuera en la sección hs- altura total de la viga que da apoyo indirecto a otra viga hv- espesor total de la sección transversal de la cabeza de cortante hw- altura total del muro desde la base hasta la parte superior I-momento de inercia de la sección que resiste cargas mayoradas aplicadas externamente Ib- momento de inercia de la sección bruta de la viga alrededor del eje centroidal Ic- momento de inercia de la sección bruta de la columna Icr- momento de inercia de la sección fisurada transformada a Concreto Ie- momento de inercia efectivo Ig- momento de inercia de la sección bruta, sin considerar el refuerzo Is- momento de inercia de la sección bruta de la losa alrededor del eje centroidal e igual a (h^3 / 12) veces el ancho de la losa definido en las notaciones α y βt Ise- momento de inercia del refuerzo alrededor del eje centroidal de la sección transversal del elemento It- momento de inercia del perfil de acero estructural, tubo o tubería alrededor del centroide de la sección k- Coeficiente de longitud efectiva para elementos sometidos a compresión K- Coeficiente de fricción por desviación, por metro de tendón de presfuerzo l- luz de la viga o losa en una dirección. Proyección horizontal de la luz del voladizo la- longitud de la luz libre en la dirección corta, para ser aplicada en el método de Losas en dos direcciones apoyadas sobre muros o vigas rígidas lb- longitud de la luz libre en la dirección larga, para ser aplicada en el método de Losas en dos direcciones apoyadas sobre muros o vigas rígidas lc- longitud de un elemento sometido a compresión de un pórtico, medida centro a centro de los nudos del pórtico lc- distancia vertical entre apoyos ld- longitud de desarrollo de una barra recta de refuerzo ldh- longitud de desarrollo de una barra con un gancho estándar ln- luz libre medida cara a cara de apoyos ln- luz libre en la longitud larga en losas que trabajan en dos direcciones, medida de la cara a la cara de los apoyos en losas sin vigas, y de cara a la cara de las vigas u otros apoyos en los otros casos ln- longitud de la luz libre en la dirección en la cual se determinan los momentos, medida cara a cara de los apoyos lo- longitud mínima medida a lo largo del eje longitudinal del elemento desde la cara del nudo, a lo largo de la cual debe colocarse el refuerzo de confinamiento lu- longitud no soportada de un elemento sometido a compresión lv- longitud del brazo de la cabeza de cortante medida desde el centroide de la carga concentrada o reacción lw- longitud total horizontal del muro estructural (o diafragma) o del segmento de muro bajo estudio, que se considera en la dirección de la fuerza cortante l1- longitud de la luz en la dirección en la cual se determinan los momentos, medida centro a centro de apoyos l2- longitud de la luz transversal a l1 medida centro a centro de apoyos m- relación de la luz corta a la luz larga (m= la / lb) Ma- momento máximo en el elemento para el nivel de carga que se está evaluando Ma- momento de diseño, negativo o positivo, en la franja central que se utiliza para determinar el refuerzo paralelo a la dimensión (la) del panel según el método de Losas en dos direcciones apoyadas sobre muros o vigas rígidas Mb- momento de diseño, negativo o positivo, en la franja central que se utiliza para determinar el refuerzo paralelo a la dimensión (lb) del panel según el método de Losas en dos direcciones apoyadas sobre muros o vigas rígidas Mc- momento mayorado que debe utilizarse en el diseño de elementos sometidos a compresión Mcr- momento de fisuración Mm- momento mayorado Mn- resistencia nominal a momento flector de un elemento, con o sin fuerza axial, determinado utilizando las propiedades del elemento en la cara del nudo y con un Coeficiente de reducción de resistencia igual a 1.0 Max- momento mayorado máximo en la sección debido a las cargas aplicadas externamente Mo- momento estático mayorado total 463

Mp- resistencia requerida a momento plástico de la sección transversal de la cabeza de cortante Mpr- resistencia probable a momento flector de un elemento con o sin fuerza axial, determinado utilizando las propiedades del elemento en la cara del nudo y suponiendo que la resistencia a la fluencia del acero de refuerzo es 1.25 fy y con un coeficiente de reducción de resistencia igual a 1.0 - porción del momento de la losa en el apoyo que se equilibra con el momento de apoyo Mu- momento máximo mayorado Mv- resistencia a momento suministrada por la cabeza de cortante M1- es el menor de los momentos mayorados en los extremos de un elemento sometido a compresión, positivo si el elemento se deforma en curvatura simple y negativo si se deforma en curvatura doble M2- el mayor de los momentos mayorados en los extremos de un elemento sometido a compresión, siempre positivo M2,min- valor mínimo de M2 Nc- fuerza de tracción en el concreto debida a la carga muerta más la carga viva no mayorada Nu- fuerza axial mayorada normal a la sección transversal que se presenta simultáneamente con la fuerza cortante mayorada en la sección, Vu, positiva para compresión, negativa para tracción. Incluye los efectos de tracción ocasionados por el flujo plástico y de retracción de fraguado Nuc- fuerza de tracción mayorada que actúa simultáneamente con la fuerza cortante mayorada Vu sobre la ménsula o cornisa. positiva para tracción Pb- carga axial nominal en condición balanceada de deformación Pc- carga crítica Pcp- perímetro exterior de la sección de concreto Acp Pn- carga axial nominal con una excentricidad dada Pnw- resistencia nominal a carga axial de un muro Po- resistencia nominal a carga axial para excentricidad nula Ps- fuerza en el tendón de presfuerzo en el extremo del gato Px- fuerza en el tendón de presfuerzo en cualquier punto x ph- perímetro definido por el centro del refuerzo transversal para torsión que se encuentra más afuera en la sección de Concreto Q- índice de estabilidad r- radio de giro de la sección transversal de un elemento sometido a compresión r- porcentaje de redistribución de momentos s- espaciamiento del refuerzo de cortante o de torsión en una dirección paralela al refuerzo longitudinal so- separación máxima el refuerzo transversal de confinamiento s1- espaciamiento del refuerzo vertical de un muro s2- espaciamiento del refuerzo de cortante o de torsión en la dirección perpendicular al refuerzo longitudinal o espaciamiento del refuerzo horizontal en el muro S- módulo elástico de la sección (S = b h^2 / 6) t- espesor de la pared de una sección hueca de Concreto Tn- resistencia nominal a la torsión Tu- momento de torsión mayorado en la sección Vd- fuerza cortante en la sección debida a la carga muerta no mayorada Ve- fuerza de cortante de diseño Vi- fuerza cortante mayorada en la sección debida a las cargas aplicadas externamente que se presenta simultáneamente con Max Vn- fuerza cortante nominal a cortante Vp- componente vertical de la fuerza de presfuerzo efectiva en la sección Vu- suma de las fuerzas horizontales mayoradas que actúan sobre la estructura y acumuladas hasta el nivel del piso considerado. Fuerza cortante mayorada vc- resistencia nominal cortante suministrada por el concreto vci- resistencia nominal a cortante suministrada por el concreto, cuando la fisuración diagonal resulta de la combinación de cortante y momento vcw- resistencia nominal a cortante suministrada por el concreto cuando la fisuración diagonal proviene de un esfuerzo principal excesivo de tracción en el alma vn- esfuerzo resistente nominal a cortante vnh- resistencia nominal a esfuerzo cortante horizontal vs- resistencia nominal a cortante suministrada por el refuerzo de cortante vu- esfuerzo cortante mayorada en la sección wa- porcentaje de la carga del panel soportada en la dirección corta wb= wc- porcentaje de la carga del panel soportada en la dirección larga wd- carga muerta mayorada por unidad de área 464

wl = wv- carga viva mayorada por unidad de área wu- carga mayorada por unidad de área o por unidad de longitud en las viguetas x- dimensión total menor de una parte rectangular de una sección transversal y- dimensión total mayor de una parte rectangular de una sección transversal yt- distancia medida desde el eje centroidal de la sección total, sin considerar el refuerzo, hasta la fibra extrema a tracción α- relación de la rigidez a flexión de la sección de la viga con respecto a la rigidez de un sector de losa definido lateralmente por los ejes centrales de los paneles adyacentes (en caso de que existan) a ambos lados de la viga (α = Ecb Ib / Ecs Is) α- ángulo entre los estribos inclinados y el eje longitudinal del elemento α- variación angular total del perfil del tendón de presfuerzo, en radianes, desde el extremo del gato hasta cualquier punto x α- ángulo entre el refuerzo en diagonal y el eje longitudinal de la viga de enlace αc- Coeficiente que define la contribución relativa de la resistencia del concreto en la resistencia a fuerzas cortantes de un muro estructural αf- ángulo entre el refuerzo de cortante por fricción y el plano de cortante αm- valor promedio de α para todas las vigas existentes en los bordes del panel αs- constante utilizada en el cálculo de vc en losas y zapatas αv- relación entre la rigidez del brazo de la cabeza de cortante y la sección de la losa compuesta que la rodea α1 – α en la dirección de (l1) α2 – α en la dirección de (l2) β- relación de la luz libre larga a la corta, para losas que trabajan en dos direcciones βc- relación entre lado largo y el lado corto del área de carga concentrada o de reacción βd- relación de la máxima carga axial mayorada de carga muerta a la máxima carga axial mayorada total, cuando la carga se debe únicamente a los efectos gravitacionales en el cálculo de Pc, o la relación entre la máxima fuerza horizontal permanente y la máxima fuerza horizontal en el piso βp- constante utilizada en el cálculo de vc en losa preesforzadas βt- relación de la rigidez a la torsión de la sección de la viga de borde a la rigidez a la flexión de un ancho de losa igual a la longitud de la luz de la viga, centro a centro de apoyos [βt = Ecb C / 2 Ecs Is)] β1-Coeficiente definido en XVI.2 HIPÓTESIS ∆o- deriva de primer orden, o sea el desplazamiento horizontal relativo de la parte superior con respecto a la parte inferior del piso considerado, debida a la fuerza cortante total mayorada Vu que actúa sobre el piso εt- deformación unitaria neta a tracción para el refuerzo al nivel de resistencia nominal λ- magnificador para deflexiones adicionales a largo plazo ξ- Coeficiente que se utiliza para tomar en cuenta los efectos a largo plazo de las cargas permanentes γf- fracción de momento no balanceado transferido por flexión en las conexiones losa-columna γp- Coeficiente para el tipo de tendón de presfuerzo γp = 0.55 para fy/fpu no menor de 0.80 = 0.40 para fy/fpu no menor de 0.85 = 0.28 para fy / fpu no menor de 0.90 γv- fracción de momento no balanceado transferido por excentricidad de cortante en las conexiones losacolumna (γv = 1 – γf) η- número de cabezas de cortante idénticas μ- Coeficiente de fricción para ser utilizado por el método de cortante por fricción μ- Coeficiente de fricción por curvatura, por radián - Coeficiente de reducción de resistencia δ- Coeficiente de ampliación del momento flector debido a efectos de esbeltez δl- Coeficiente local de ampliación de momentos, para tener en cuenta los efectos de la curvatura producidos entre los extremos de un elemento sometido a compresión δg- Coeficiente global de ampliación de todas las fuerzas internas de los electos de un piso de un edificio para tener en cuenta los efectos globales de esbeltez (efecto P- ∆) ρ- cuantía del refuerzo no Presforzado en tracción (ρ = As / bw de) ρ’- cuantía del refuerzo no Presforzado en compresión (ρ’ = As’ / bw de) ρb- cuantía del refuerzo que produce condiciones balanceadas de deformaciones unitarias ρb- relación entre el área del refuerzo horizontal de cortante y el área bruta de Concreto de la sección vertical ρg- cuantía de refuerzo longitudinal de la columna calculada sobre el área total de la sección ρn- relación entre el área del refuerzo vertical de cortante y el área bruta de Concreto de la sección horizontal 465

ρn- cuantía del refuerzo para cortante distribuido en un plano perpendicular a Acv ρp- cuantía del refuerzo Presforzado (ρp = Aps / b dp) ρs- relación del volumen del refuerzo en espiral al volumen total del núcleo (medido por la parte exterior de las espirales), en un elemento a compresión reforzado con espirales ρv = (As + Ah) / b de ρv- cuantía de refuerzo en forma de estribos calculada con respecto al área de la superficie de contacto ρv = Av / bv s θ- ángulo de las diagonal de compresión en la analogía para torsión, en grados ω = ρ fy / fc’ ω’ = ρ’ fy / fc’ ωp = ρ’ fps / fc’ ωw, ωpw, ωw’ – índices de refuerzo para secciones con alas, calculados en igual forma que ω, ωp, y ω’ excepto que b debe ser el ancho del alma y el área del refuerzo debe ser la que se requiere para desarrollar la resistencia a la compresión del alma únicamente

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REFERENCIAS Referencia 1. Reglamento Colombiano de Construcción Sismo Resistente NSR-10 La información del Reglamento ha sido tomado del Diario Oficial de Colombia No. 47663 del 26 de marzo de 2010, decreto 926 de 2010 y de la modificación de ese decreto, con el decreto 092 de 17 de enero de 2011 del Ministerio de Ambiente, Vivienda y Desarrollo Ambiental Refencia 2 Concreto Reforzado y Presforzado Enrique Hernández Montes Luisa Marí Gil Martín Granada 2007 Edita: Grupo de Investigación TEP- Ingeniería e infraestructuras Maquetación: Luis Prieto Imprime: Gráficas Alhambra Impreso en España Tomado por internet Referencia 3 Temas de Hormigón Armado Marcelo Romo Escuela Politécnica del Ejercito-Ecuador Tomado por Internet Referencia 4 Análisis y Diseño de Escaleras Carlos Antonio Fernández Chea Lima-Perú Tomado por Internet Referencia 5 Universidad Mayor de San Simón- Facultad de Ciencias y tecnología Carrera Ingeniería Civil Apoyo didáctico para la enseñanza y aprendizaje de la asignatura de estructuras especiales- texto guía Javier Liendo López Ronald Marcelo Soliz Martínez Tutor: Ing Oscar Florero Ortuño Tomado por Internet Referencia 6 Norma NC 53-97 (Vasos de Concreto Simple y Armado) de la República de Cuba, elaborada por el Comité para la Normalización del Cálculo Estructural Referencia 7 Enciclopedia Broto de Patología de la Contrucción Tomado por Internet

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EQUIVALENCIA EQUIVALENCIA ENTRE EL SISTEMA INTERNACIONAL (SI) Y EL SISTEMA INGLES DE LAS ECUACIONES NO HOMOGENEAS

SI (MPa) SISTEMA INGLES (lb por pulg^2) fcr’ = fc’ + 2.33 S – 3.5 (MPa) fcr’ = fc’ + 2.33 S – 500 fc’ + 7 MPa fc’ + 1000 fc’ + 8.3 MPa fc’+ 1200 1.1 fc’ + 5.0 MPa 1.1fc’ + 7000 fr = 0.625 √fc’ 7.5 √fc’ Ec = [(wc) ^1.5] 0.047fc’ E c = [(wc) ^1.5] 33fc’ Ec = 4700√fc’ Ec = 57000√fc’ 0.4 + (fy / 700) 0.4 + (fy / 100000) espesor de losa con viga h = [ln (0.8 + fy / 1400))] / [36 + 5 β(αm – 0.2] h = [ln (0.8 + fy / 200000))] / [36 + 5 β(αm – 0.2] h ≥ 125 mm h ≥ 5 pulg h = [ln (0.8 + fy / 1400))] / [36 + 9 ] h = [ln (0.8 + fy / 200000))] / [36 + 9 β] h ≥ 90 mm h ≥ 3.5 pulg fps = fse + 70 + (fc’ / 100 p) fps = fse + 10000+ (fc’ / 100 p) fps = fse + 70 + (fc’ / 300 p) fps = fse + 10000 + (fc’ / 300 p) Clase U (ft  0.625 (fc’) Clase U (ft  7.5 (fc’) Clase T ( 0.626 fc’ < ft  fc’) Clase T ( 7.5 fc’ < ft  12 fc’) Clase C (ft > fc’) Clase C (ft > 12fc’) 0.50√fc’ 6√fc’ 0.25√fc’ 3√fc’ 0.17√fc’ 2√fc’ 2.1 bw de / fy 300 bw de / fy fps = fse + 70 fps = fse + 10000 s = (2/3) 380(280 /∆fps) – 2.5 cc s = 15( 40000 /∆fps) – 2.5 cc As,mim= (√fc’ d bw / 4 fy) ≥ 1.4 d bw / fy As,mim= (3√fc’ d bw / fy) ≥ 200 d bw / fy 1.4 d bw / fy 200 d bw / fy M2min = Pu (15 + 0.03 h) M2min = Pu (0.6 + 0.03 h) 8.3 MPa 100 Vc = (0.17fc’) bw de Vc = 2 fc’ bw de Vc = [1 + Nu/ 14 Ag] (0.17 fc’) bw de Vc = [1 + Nu/ 2000 Ag] (2.0 fc’) bw de Vc = [0.16( fc’) + 17 w (Vu de / Mu) bw de Vc = [1.9  fc’ + 2500 w (Vu de / Mu) bw de Vc 0.29 (  fc’) bw de Vc  3.5 (  fc’) bw de Vc = 0.17(fc’ ) [1 + (0.29 Nu / Ag) bw de Vc =2(fc’ ) [1 + ( Nu / 500Ag) bw de  0 Vc ≥ 0 Vc = [0.05 ( fc’) + (4.8 Vu dp / Mu)] bw de Vc = [0.6 ( fc’) + (700 Vu dp / Mu)] bw de (0.17 fc’) bw de ≤Vc ≤ 0.42fc’ (bw de) (2 fc’) bw de ≤Vc ≤ 5fc’ (bw de) Vc1 =0.05 (fc’) bw dp + Vd + (Vi Mcre / Mmax) Vc1 = (0.6 fc’ bw de + Vd + (Vi Mcr / Mmax)  fc’ / 7 bw de  1.7fc’ bw de Mcre = (I/yt) ( 0.5fc’ + fpe – fd) Mcre = (I / ys) ( 6fc’ + fpe – fd Vcw = [0.29 (fc’) + 0.3fpc] bw de + Vp Vcw = 3. 5 (fc’ + 0.3 fpc) bw de + Vp 0.33 fc’ 4fc’ 0.17  √fc’bw de 2  √fc’bw de Amin = 0.062 bw s / fyt Amin = 0.75 bw s / fyt Pero no debe ser menor a (0.35 bw s) / fyt Pero no debe ser menor a (50 bw s) / fy Vs = Av fy sen  Vs = Av fy sen  468

pero no mayor que 0.25 √fc’ bw de pero no mayor que 3 √fc’ bw de (0.66) √fc’ bw de 8√fc’ bw de √fc’ ≤ 8.3 √fc’ ≤ 100 ld = [ fy Ψt Ψe / (2.1 λfc’)] db ld = [ fy Ψt Ψe / (25 λfc’)] db ld = [ fy Ψt Ψe / (1.7 λ fc’)] db ld = [ fy Ψt Ψe / (20 λ fc’)] db ld = [ fy Ψt Ψe / (1.4 λ fc’)] db ld = [ 3fy Ψt Ψe / (50 λ fc’)] db ld = [ fy Ψt Ψe/ (1.1 λ fc’)] db ld = [ 3fy Ψt Ψe/ (40 λ fc’)] db ld = ( fy Ψt Ψe Ψs / {1.1 λ fc’ [ (cb + Ktr)/db)]}) db ld = ( 3fy Ψt Ψe Ψs / {40 λ fc’ [ (cb + Ktr)/db)]}) db (ldb) = [0.24 fy / λ (fc’)] y db  0.043 db fy (ldb) = [0.02 fy / λ (fc’)] y db  0.0003 db fy 0.24 Ψe fy / λ√fc’)db 0.02 Ψe fy / λ√fc’)db ldt ≥ [(0.19 Ψe fy / (√fc’)] db ldt ≥ [(0.016 Ψe fy / (√fc’)] db ld  3. 3 Aw fy / (sw λ fc’) ld  0.27 Aw fy / (sw λ fc’) 0.41 bw s / fyt 60 bw s / fyt 0.17 db fy /(λ fc’) 0.014 db fy /(λ fc’) 0.55 80 so = 10 + [(35 – hx)]/3 en cm so = 4+ [(14 – hx)]/3 en pulg El valor de so no debe ser mayor de 15 cm (6 pulg), ni tomarse menor de 10 cm (4 pulg) 1.7 ( fc’) Aj 20 ( fc’) Aj 1.2(fc’) Aj 15 (fc’) Aj 1.0 (fc’) Aj 12 (fc’) Aj (ldh / db) = [fy / 5.4(fc’)] (ldh / db) = [fy / 65(fc’)] Acv √fc’ / 12 Acv √fc’ 0.17 Acv √fc’ 2 Acv √fc’ Vn = Acv[αc √fc’ + ρt fy] Vn = Acv[αc √fc’ + ρt fy] αc- es 1/4 para(hw / lw) ≤ 1.5 αc- es 3.0 para(hw / lw) ≤ 1.5 αc- es 1/6 para (hw / lw) ≥ 2 αc- es 2.0 para (hw / lw) ≥ ( 2/3) Acv fc’ 8 Acv fc’ (5/6) Acw (fc’) 10 Acw (fc’) 2.8/fy 400/fy [(fc’) λ bw de/ 3] [4(fc’) λ bw de] Vn = 2 Avd fy sen α ≤ 0.83 √fc’ Acw Vn = 2 Avd fy sen α ≤ 10 √fc’ Acw Vn = Acv [(0.17λ √fc’) + ρt fy] Vn = Acv [(2λ √fc’) + ρt fy] 2 Acv √fc’/ 3 8 Acv √fc’ 7√fc’ bo de /24 3.5√fc’ bo de

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CONCRETO ESTRUCTURAL TOMO I CONCRETO ESTRUCTURAL REFORZADO Y CONCRETO ESTRUCTURAL SIMPLE En el presente Tomo I, se desarrolla con suficiente amplitud la teoría del diseño y comprobación de elementos de Concreto Estructural Simple y Concreto Estructural Reforzado con armaduras ordinarias, aplicando el método de Concreto Estructural del Reglamento Colombiano de Construcción Sismo Resistente NSR-10 El libro contempla el diseño y comprobación de elementos sometidos a momento flector, flexión esviada, cortante, cargas axiales, flexo-compresión, flexo-compresión esviada, flexo- tracción y torsión, comprobando la fisuración y la deformación de los elementos Además, se trata los temas de diferentes tipos de Escaleras, Pruebas de cargas, Tanques y Compartimientos Estancos, Anclajes al Concreto, Cimentaciones, Vigas determinadas e indeterminadas y otros temas Al elaborar un proyecto para una obra de Concreto Estructural, es importante, entre otros, tener en cuenta lo siguiente: Que cumpla los requisitos para el uso que va a ser destinada Que sea resistente y tenga la rigidez adecuada Que sea duradera Que sea económica Que se pueda construir Que sea estética y agradable Basilio J. Curbelo es Ingeniero Civil, graduado en la Universidad de la Habana, Cuba Tiene 30 años de experiencia realizando proyectos civiles de centrales eléctricas, hidroeléctricas y líneas de transmisiones eléctricas Ex Vicepresidente del Comité de Normalización del Cálculo Estructural de Cuba (CONCE) Ex Presidente del Comité de Concreto Estructural del CONCE Master en Ciencias-Ingeniería Civil- Amstead University (no acreditada) Doctor en Ciencias- Ingeniería Civil- Ashwood University (no acreditada)

República de Colombia Departamento del Quindío Ciudad Armenia Año 2015

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