(La Parรกbola)
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Colegio San Ignacio de Recalde
Función Cuadrática Desde un barco que se halla en situación de emergencia se efectúa un disparo en forma vertical con una pistola de señales. El destello podrá verse desde la base naval más próxima únicamente mientras se encuentre a una altura no menor a 195 m.s.n.m. Se estima que la altura del destello se determina mediante la expresión de la altura en función del tiempo:
h( t ) = 80 t − 5 t
2
Como todo objeto lanzado verticalmente hacia arriba el destello que produce la señal luminosa ascenderá hasta cierto punto y luego comenzará a caer. ¿llegará a verse el destello desde la base naval? ¿en cuanto tiempo?
h
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Función Cuadrática Para calcular la altura del destello reemplazamos algunos valores de t , para obtener los valores de h en la expresión:
h( t ) = 80 t − 5 t 2 tiempo
Altura
0
0
2
140
4
240
6
300
8
320
10
300
12
240
14
140
16
0
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Función Cuadrática Analizamos la gráfica de esta situación y contestamos las siguientes preguntas: ¿Cuánto tiempo estará el destello en el aire? R: 16 segundos ¿Cuál es la altura máxima alcanzada? R: 320 metros ¿En cuánto tiempo alcanzara los 195 metros? R: a los 3 segundos ¿Cuánto tiempo estará visible el destello desde la base naval? R: durante 10 segundos
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Función Cuadrática Función Cuadrática Es aquella que tiene como dominio el conjunto de los números reales En donde : (R) y su regla de correspondencia es:
f ( x) = ax + bx + c 2
a ∈ R − { 0} b ∈ R c ∈ R
La gráfica de la función cuadrática es una parábola, la cual puede ser “abierta hacia arriba” o “abierta hacia abajo” Si a > 0 la parábola se abre hacia arriba Si a < 0 la parábola se abre hacia abajo a>0
a<0
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Función Cuadrática ( )
La representación gráfica de la función f x = una parábola vertical con vértice V (h;k), donde:
Forma Estándar de una función cuadrática
ax 2 + bx + c
−b h= 2a
es
k = f ( h)
Una función cuadrática f(x)=ax2+bx+c se puede expresar de la forma:
f ( x ) = a( x − h ) + k 2
Para ello recurrimos a completar cuadrados en la expresión general. La gráfica de f es una parábola con vértice (h;k). La parábola se abre hacia arriba si a>0, o hacia abajo si a<0 .
Vértice (h;k)
k h
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Función Cuadrática Ejercicio 1: Determina las coordenadas del vértice de la función y halla el valor máximo o mínimo de: V = ( 3 ;4 ) a = −1 Maximo valor 4 de f(x) f x = − x 2 + 6 x − 5 b = 6 3 c = −5
( )
2
Coordenadas del vértice (h;k) :
6 b =− =3 h=− 2 ( − 1) 2a
k = f ( h)
f ( 3 ) = −( 3 ) + 6 ( 3 ) − 5
1
−4
−3
−2
−1
1
2
3
−1
−2
2
f (3) = 4
vértice (3; 4)
−3
−4
Como a= - 1 entonces a<0; esto indica que la parabola se abre hacia abajo y tiene su valor maximo en el vertice (3;4)
4
5
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Función Cuadrática Ejercicio 2: Determina las coordenadas del vértice de la función y halla el valor máximo o mínimo de: a = 2 4 2 f x = 2 x − 4 x −1 b = −4 3 c = −1
( )
2
Coordenadas del vértice (h;k) :
b h=− 2a
k = f ( h)
−4 =− =1 2( 2 )
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1
−2
f (1) = 2 (1) − 4 (1) − 1 2
f (1) = −3
1
vértice (1; -3)
Minimo valor de f(x)
−3
V−4 = (1;− 3 )
Como a= 2 entonces a>0; esto indica que la parabola se abre hacia arriba y tiene su valor minimo en el vertice (3;4)
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Función Cuadrática Ejercicio 3: Expresa la función cuadrática en la forma paramétrica o estándar, determina las coordenadas del vértice de la función y encuentra el valor máximo o mínimo de:
f ( x) = x2 + 4 x + 3
4
3
Pasamos a la forma estándar:
f ( x) = ( x − h) + k 2
2
1
Completando cuadrados:
f ( x) = ( x2 + 4 x) + 3
2 4 f ( x) = x + 4 x + 2
f ( x ) = ( x + 2 ) −1 2
−4
2
+3 −4
−3
−2
−1
V = ( − 2 ;− 1 )
1 −1
2
3
4
5
Minimo valor de f(x)
−2
−3
Vértice (-2; -1) −4
Como a= 1 entonces a>0; esto indica que la parabola se abre hacia arriba y tiene su valor minimo en el vertice (-2;-1)
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Función Cuadrática Ejercicio 4: Expresa la función cuadrática en la forma paramétrica o estándar, determina las coordenadas del vértice de la función y encuentra el valor máximo o mínimo de:
f ( x ) = 2 x2 + 4 x + 3
4
3
Pasamos a la forma estándar:
f ( x) = ( x − h) + k 2
2
(
)
f ( x) = 2 x2 + 4 x + 3
f ( x) = 2 ⋅ ( x + 2 x) + 3
Minimo valor de f(x) = 1
1
Completando cuadrados: −4
2
2 2 2 f ( x ) = 2 ⋅ x + 2 x + + 3 −1 ⋅ 2 2 2 f ( x ) = 2 ⋅ ( x + 1) + 1 Vértice (-1; 1)
−3
−2
−1
1 −1
V = ( − 1; 1−2) −3
−4
2
3
4
5
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Aplicaciones de funciones cuadráticas. 1. Costo de Producción El costo C en dólares de producir x yardas de cierta tela se expresa mediante la función
C ( x ) = 1500 + 3 x + 0,02 x 2 + 0,0001x 3
a) Halle C(10) y C(100).
C (10 ) = 1500 + 3(10) + 0,02(10 ) + 0,0001(10 ) C (10 ) = 1500 + 30 + 2 + 0,1 C (10 ) = 1532,1 2
3
C (100 ) = 1500 + 3(100 ) + 0,02(100 ) + 0,0001(1000 ) C (100 ) = 1500 + 300 + 200 + 100000 = 102000 C (100 ) = 102000 2
3
b) ¿Qué representan las respuestas anteriores? c) Encuentra C(0). (Este número representa los costos fijos).
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Aplicaciones de funciones cuadráticas. 1. Lanzamiento vertical. Si se lanza una bola directamente hacia arriba con una velocidad de 40 pies/s, su altura (en pies) después de t segundos está dada por Y=40t – t 2. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota? La trayectoria de la bola se puede expresar como
h( x ) = 40t − t 2 h( x ) = −t 2 + 40t
Como el coeficiente de t 2 es (-4) < 0 la gráfica es una parábola que se abre hacia abajo. Cuando la bola vuelva a caer la altura será nuevamente de cero, entonces si hacemos h(x)=0 obtendré dos valores para t.
0 = 40t − t 2
t 2 − 40t = 0 t ( t − 40 ) = 0
t =0
t = 40
Tiempo inicial
Tiempo Total
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Aplicaciones de funciones cuadráticas. Cuando la bola vuelva a caer la altura será nuevamente de cero, entonces si hacemos h(x)=0 obtendré dos valores para t.
0 = 40t − t 2
t 2 − 40t = 0
t =0
t ( t − 40 ) = 0
t = 40
El tiempo de subida y el tiempo de bajada de la pelota son iguales, y la altura máxima (el vértice de la parábola) se alcanza justo a la mitad del movimiento es decir cuando el tiempo sea de 20 segundos. 2
h( 20 ) = 40 ⋅ ( 20 ) − ( 20 )
h( 20) = 800 − 400 = 400 Luego, la altura máxima alcanzada será de 400 m