Colegio San Ignacio de Recalde
x + y = 6 x − y = 2 2x = 8
Profesor Jorge De la Cruz G. jorge.delacruz@sir.pe
x=4→ y=2
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Ecuación de primer grado con dos variables Es una ecuación de la forma ax + by = c, con a, b y c ∈ R. Las ecuaciones de primer grado con dos variables tienen Las infinitas soluciones. soluciones representadas gráficamente en un plano cartesiano determinan una recta y las coordenadas de cualquier punto son solución de la ecuación.
x+ y =5
y = 5− x
Si en una ecuación de primer grado con dos variables despejamos una de las variables , a esta se le llama variable dependiente (y) y a la otra variable independiente (x). Variable dependiente
y = 5− x
Variable independiente
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Ecuación de primer grado con dos variables Buscamos parejas gráficamente
de
números que sumen 5 y representamos
Representamos dos números que suman 5 con una ecuación de 2 incógnitas como: x + y = 5 Hallamos algunas parejas de números que suman cinco. (1;4); (2;3); (3;2); (4;1); (5;0); (6;-1) Graficamos los pares ordenados y trazamos la recta que determinan Los infinitos puntos de la recta representan el conjunto solución.
CS =
{ ( x; y ) ∈ R
2
}
/x+ y =5
x+ y =5
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Ecuación de primer grado con dos variables Ejemplo 1 Grafica las soluciones de la ecuación: 3 x − 2 y = 6 Despejamos la variable ”y” en la ecuación:
3x − 6 = 2 y
3x − 6 y= 2
Asignamos valores a construimos una tabla: X
Y
-2 0
-6 -3
2 4
0 3
“x”
y
3x − 2 y = 6
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Sistemas de ecuaciones de primer grado Ejemplo 2
Grafica el siguiente par de rectas:
2 x + y = 7 3x − y = 3
Para graficar una recta basta con determinar dos puntos de ella. Despejamos la variable y en ambas ecuaciones y damos valores a x.
y = 7 − 2x
y = 3x − 3
X
Y
X
Y
0 3
7 1
0 1
-3 0
El punto de intersección (2;3) satisface ambas ecuaciones, por ello es solución del sistema formado.
y = 7 − 2x y = 3x − 3
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Sistemas de ecuaciones de primer grado Es un conjunto formado por ecuaciones de primer grado que tienen dos valores desconocidos o incógnitas.
Un sistema se representa de la forma
a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2
De acuerdo al número de soluciones un sistema puede ser: Compatible determinado
1 sola solución
Compatible indeterminado
Infinitas soluciones
Incompatible
No tiene soluciones
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Métodos de Resolución de Sistemas 2 x + y = 4 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x − y = 2
Método Gráfico
Para graficar una recta basta con determinar dos puntos de ella. Despejamos la variable y en ambas ecuaciones y damos valores a x. x−
y = 4 − 2x X
0 4
Y
4 -4
y = x−2 X
Y
0 4
-2 2
El punto de intersección (2;0) satisface ambas ecuaciones, por ello es solución del sistema.
y=2
2x + y = 4
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Métodos de Resolución de Sistemas 5 x − 2 y = 8 ... (1) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x + y = 3 ... ( 2 )
Método de Sustitución Despejamos la variable y en la ecuación (2) :
x+ y =3
y = 3− x
Reemplazamos ecuación (1) :
“y”
en
la
5x − 2 y = 8
5 x − 2( 3 − x ) = 8 Reemplazamos ecuación (2) :
2+ y =3
“x”
x=2 en
Gráficamente:
5x − 2 y = 8
( 2;1)
la
y =1 CS ( x; y ) = { ( 2;1)}
x+ y =3
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Métodos de Resolución de Sistemas 2 x − 3 y = −5 ... (1) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 2 x + y = 7 ... ( 2 )
Método de Igualación
Despejamos una misma variable en ambas ecuaciones:
3y − 5 x= 2 7− y x= 2
2 x − 3 y = −5 2x + y = 7
Gráficamente:
2x + y = 7
Igualamos ambas ecuaciones:
3y − 5 7 − y = 2 2
Reemplazamos ecuación (2) :
2x + 3 = 7
y=3
“y”
en
x=2
la
CS ( x; y ) = { ( 2;3)}
2 x − 3 y = −5
( 2;3)
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Métodos de Resolución de Sistemas Método de Reducción
3 x − y = 11 ... (1) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x + 2 y = −1 ... ( 2 ) Multiplicamos convenientemente cada ecuación para eliminar una variable.
Gráficamente:
x + 2 y = −1 × 2 →3 x − y = 11 6 x − 2 y = 22 x + 2 y = − 1 × 1 → x + 2 y = −1 Sumamos miembro a miembro:
6 x − 2 y = 22 x + 2 y = −1 7 x = 21 Reemplazamos ecuación (2) :
3 + 2 y = −1
3 x − y = 11
( 3;−2)
x=3 “x”
en
y = −2
la
CS ( x; y ) = { ( 3;−2 )}