Publicación Nº 1, Año 1
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD FERMIN TORO FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN CABUDARE – ESTADO LARA
ENERO 2014
DIRECTORIO Director:
Contenido
JEFFERSON PAZ
Editorial………….……….........03 Programación lineal……......... 04 Redactor: JEFFERSON PAZ
Método simplex……..……….… 09 Lógica Bayesana……………..… 15 Teoría de juegos……………...… 21 Método de localización y transporte……………………..… 24
Diseño y Diagramación: JEFFERSON PAZ
Técnica de Monte Carlo……..… 27
Editorial
Según Leigh Buchanan y Andrew O’Connell, (2006), señalan que en algún momento de mitad del siglo pasado, el ejecutivo de una empresa telefónica, Chester Barnard, importó el término toma de decisiones desde la administración pública al mundo de los negocios. Así, comenzó a reemplazar términos más estrechos como “asignación de recursos” o “formulación de políticas”, cambiando la forma en que los ejecutivos pensaban su rol desde la deliberación continua, del tipo Hamlet, hacia una serie de conclusiones alcanzadas y acciones tomadas. Sin embargo, la toma de decisiones es una antigua y amplia búsqueda humana, que se remonta a una época en que las personas buscaban consejos de las estrellas. Desde entonces, nos hemos esforzado por inventar mejores herramientas con ese propósito, desde los sistemas numéricos hindú-arábigo y el álgebra hasta la aplicación de Descartes del método científico. Existen seis (06) técnicas para la toma de decisiones empresariales, las cuales corresponden a la programación lineal, el método simplex, la lógica bayesana, la teoría de juegos, método de localización y transporte y la técnica de Monte Carlo. Estas técnicas coadyuvan en los procesos administrativos 03
Métodos Determinísticos Programación lineal
Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que pretenden resolver lo siguiente: Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, función lineal de varias variables, sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales. Ejemplo: Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio. SOLUCION: 1. Elección de las incógnitas. x = nº de lámparas L1
y = nº de lámparas L2 2. Función objetivo f(x, y) = 15x + 10y
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Métodos Determinísticos Programación lineal
SOLUCION: 3. Restricciones
Pasamos los tiempos a horas 20 min = 1/3 h 30 min = 1/2 h 10 min = 1/6 h Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
Manual Máquina
L1 1/3 1/3
L2 1/2 1/6
Tiempo 100 80
4. Hallar el conjunto de soluciones factibles Tenemos que representar gráficamente las restricciones. Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante. Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes. Resolvemos gráficamente la inecuación: 1/3 x + 1/2 y ≤ 100; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0). 1/3·0 + 1/2·0 ≤ 100 1/3·0 + 1/6·0 ≤ 80
Métodos Determinísticos Programación lineal
SOLUCION: La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. estos son las soluciones a los sistemas: 1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200) 1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0) 1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60)
Métodos Determinísticos Programación lineal
SOLUCION: 6. Calcular el valor de la función objetivo
En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices. f(x, y) = 15x + 10y f(0, 200) = 15·0 + 10·200 = 2 000 € f(240, 0 ) = 15·240 + 10·0 = 3 600 € f(210, 60) = 15·210 + 10·60 = 3 750 € Máximo La solución óptima es fabricar 210 del modelo L1 y 60 del modelo L1 para obtener un beneficio de 3 750 € .
Métodos Determinísticos Método Simplex
Se refiere a un conjunto de métodos muy usados para resolver problemas de programación lineal, en los cuales se busca el máximo de una función lineal sobre un conjunto de variables que satisfaga un conjunto de inecuaciones lineales. El algoritmo simplex primal fue desarrollado por el matemático norteamericano George Dantzig en 1947, y procede examinando vértices adyacentes del poliedro de soluciones. Un algoritmo simplex es un algoritmo de pivote.
El doctor George Dantzig presentó el algoritmo que desarrolló y que denominó SIMPLEX. A partir de este logro se pudieron resolver problemas que por más de un siglo permanecieron en calidad de estudio e investigación con modelos formulados pero no resueltos. El desarrollo paralelo de la computación digital, hizo posible su rápido desarrollo y aplicación empresarial a todo tipo de problemas. 09
Métodos Determinísticos Método Simplex
Nivel 1.- Forma estándar.-El modelo de PL en forma canónica de máximo que se desea resolver, tiene m ecuaciones obtenidas al convertir las restricciones de desigualdad a igualdad, agregando m variables de holgura, que sumadas a las n variables de decisión, hacen un total de (m + n) incógnitas. Las m restricciones con las (m + n) variables, producen un número infinito de soluciones, entre ellas, un conjunto de factibles y también las no factibles. Nivel 2.- Calcule una primera solución básica factible.- Del total, (m + n) variables, sólo n se igualan con cero ( n = 0 ), lo cual produce (sí existen), un número finito de soluciones básicas con un límite máximo de (m + n)! / m! n!. Estas pueden ser, factibles y no factibles; se consideran sólo las primeras.
Nivel 3.- Se toman en cuenta sólo las soluciones básicas factibles, esto es, las que tienen todas las variables básicas >= cero; es decir, con un número de iteraciones menor a (m + n)! / m! n!, se obtienen soluciones básicas factibles: no degeneradas, si todas las incógnitas básicas son positivas y soluciones degeneradas, si al menos una variable básica es igual a cero. Se aplican los criterios del algoritmo en forma iterativa para evaluar la función objetivo en puntos extremos adyacentes que potencialmente puedan mejorar el valor Z.
Métodos Determinísticos Método Simplex
Nivel 4.- Se generan nuevas soluciones básicas factibles, tales que el valor de la función objetivo Z mejore; se repite el procedimiento (iteraciones) entre los niveles 3 y 4, hasta que ninguna solución básica factible adyacente resulte mejor; es decir, hasta que no haya incremento de valor, si el problema es de máximo, (hasta que no haya decremento, para el problema, no tratado ahora, de mínimo). Nivel 5.- Se interpretan los resultados de la última (iteración) tabla calculada, porque se identifican las características de una solución óptima.
Figura 2-1. Diagrama funcional del algoritmo simplex.
Métodos Determinísticos Método Simplex
Ejemplo: Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las del tipo A precisan 1 g de oro y 1,5 g de plata, vendiéndolas a 40 dólares cada una. Para la fabricación de las de tipo B emplea 1,5 g de oro y 1 g de plata, y las vende a 50 dólares. El orfebre tiene solo en el taller 750 g de cada uno de los metales. Calcular cuántas joyas ha de fabricar de cada clase para obtener un beneficio máximo. ORO
PLATA
PRECIO $
TIPO A (x)
1
3/2
40
TIPO B (y)
3/2
1
50
750
750
Métodos Determinísticos Método Simplex
Métodos Probabilísticos Lógica bayesiana
Se incorpora al análisis estadístico sus expectativas acerca de como se comporta la realidad. La estadística bayesiana es básicamente una respuesta a las tres grandes críticas que se han realizado a la inferencia estadística clásica. (Guiteras, 2012) El Teorema de Bayes se formuló por primera vez en 1763 por Bayes en su obra propuso una Thomas Bayes. Sigue un proceso fórmula para aplicar la probabilidad inverso al descrito por el Teorema inversa, conocida como el de la probabilidad total: «Teorema de Bayes», la cual en 1 Teorema de la probabilidad últimas es una fórmula de inferencia matemática que se basa total: a partir de las en la relación binomial entre unos probabilidades del suceso A valores a favor y unos valores en (probabilidad de que llueva o de contra de la ocurrencia de un que haga buen tiempo) determinado evento, valores que deducimos la probabilidad del son operados dentro de una suceso B (que ocurra un «Probabilidad Condicional» y una accidente). «Probabilidad Marginal», de tal forma que al final se llega a un valor que indica el grado de certeza atribuible a la creencia de que el fenómeno A está conformado de cierto modo dada la presencia del fenómeno aleatorio B que ha sido observado.
2 Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?). 15
Métodos Probabilísticos Lógica bayesiana
Ejemplo: Hay un colegio cuyo número de estudiantes está formado en un 60% por niños y en un 40% por niñas. A la hora del deporte las niñas del colegio en igual número se visten unas con falda y otras con pantalón corto deportivo. Todos los niños del colegio visten pantalón corto para deportes. Un observador a la distancia ve que a la puerta del colegio se asoma fugazmente una pequeña silueta oscura de alguien que viste con pantalón corto (D), pero no alcanza a distinguir muy bien si se trata de una niña o de un niño de los que allí estudian. El observador puede por igual lanzar la hipótesis de que la silueta con pantalón corto (D) que vio es la de una niña (H1) o la de un niño (H2). Aplicando el Teorema de Bayes puede obtener más seguridad matemática sobre la posible validez de cualquiera de las dos hipótesis. Así, supongamos que primero se plantea que la silueta con pantalón corto observada (D) fue la de una niña (H1), ¿Cuál es su probabilidad de validez? En este caso el evento D es una silueta que viste pantalón corto deportivo, mientras que la hipótesis H1 es suponer que corresponde a una niña y la hipótesis H2 es suponer que corresponde a un niño. Primero se clarifican los siguientes valores: a−) El valor P(H1), es decir, la Probabilidad Previa de que la hipótesis H1 (es una niña) sea cierta aún antes de que se observe la silueta D, se calcula asumiendo que como el evento observado es aleatorio, entonces por igual la silueta puede corresponder a una niña (H1) o a un niño(H2), y como el porcentaje entre niños y niñas del colegio es de 60% a 40%, entonces se concluye que la Probabilidad Previa para que la silueta de una niña se asome a la puerta del colegio es de 40/100 = 0,4;
Métodos Probabilísticos Lógica bayesiana
b−) El valor P(H2), es decir, la Probabilidad Previa de que sea cierta la hipótesis H2 (es un niño) aún antes de la observación de la silueta D, se calcula teniendo en cuenta también lo afirmado en el punto anterior, y por tanto, teniendo en cuenta el porcentaje de niños del colegio, su valor es de 60/100 = 0,6; c−) El valor P(D\H1), es decir, la Probabilidad Condicional de que la silueta que usaba pantalón corto sea de una niña (H1) partiendo del supuesto que es cierta esa hipótesis, se calcula teniendo en cuenta que las niñas del colegio en igual número visten con pantalón corto deportivo o con falda, y por tanto eso equivale a que si todas las niñas del colegio son tomadas como una unidad (1), entonces la mitad de esa unidad usa pantalón corto (1/2) y la otra mitad usa falda (1/2), es decir, la Probabilidad Condicional de que la silueta D sea H1 es de 1/2 = 0,5;
d−) El valor P(D\H2), es decir, la Probabilidad Condicional de que la silueta que usaba pantalón corto sea de un niño (H2) partiendo del supuesto que es cierta esa hipótesis, se calcula teniendo en cuenta que todos los niños del colegio usan pantalón corto, por lo tanto, si todos los niños son tomados como una unidad (1), entonces la Probabilidad Condicional de que la silueta D sea H2 es de 1;
Métodos Probabilísticos Lógica bayesiana
e−) El valor P(D), es decir, la Probabilidad Marginal de que el hecho D (la observación de la silueta con pantalón corto) pueda ocurrir aleatoriamente bajo todas las hipótesis posibles (H1 o H2), se calcula como: P(D) = P(D\H1)×P(H1) + P(D\H2)×P(H2) = (0,5×0,4)+(1×0,6) = 0,2+0,6 = 0,8 Con toda esta información se puede aplicar la fórmula de Bayes, teniendo en cuenta que la hipótesis analizada es H1 (es la silueta de una niña), y al sustituir los términos se obtiene: P(H1\D) = P(D\H1) × P(H1) = 0,5 × 0,4 = 0,2 = 0,25 P(D) 0,8 0,8 Es decir, existe una probabilidad del 0,25 o del 25% (porque: 0,25×100 = 25%) para creer que la silueta que usaba pantalón corto deportivo era de una niña. Si ahora aplicamos la misma fórmula de Bayes pero teniendo en cuenta los valores obtenido para la hipótesis H2 (es la silueta de un niño), al sustituir los términos se obtiene: P(H2\D) = P(D\H2) × P(H2) = 1 × 0,6 = 0,6 = 0,75 P(D) 0,8 0,8 Es decir, existe una probabilidad el 0,75 o del 75% (porque: 0,75×100 = 75%) para creer que la silueta que usaba pantalón corto era de un niño. A la luz de las matemáticas es más acertado creer que la silueta observada correspondió a un niño que a una niña, ya que las probabilidades a favor de esa hipótesis son mayores: 75% > 25%.
Métodos Probabilísticos Teoría de Juegos
Consiste en razonamientos circulares, los cuales no pueden ser evitados al considerar cuestiones estratégicas. Por naturaleza, a los humanos no se les va muy bien al pensar sobre los problemas de las relaciones estratégicas, pues generalmente la solución es la lógica a la inversa. La teoría de los juegos: es un área de la matemática aplicada que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados «juegos») y llevar a cabo procesos de decisión. Sus investigadores estudian las estrategias óptimas así como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos. Tipos de interacción aparentemente distintos pueden, en realidad, presentar estructura de incentivo similar y, por lo tanto, se puede representar mil veces conjuntamente un mismo juego.1
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Métodos Probabilísticos Teoría de Juegos
Tipos de Juegos : La teoría clasifica los juegos en muchas categorías que determinan qué métodos particulares se pueden aplicar para resolverlos (y, de hecho, también cómo se define "resolución" en una categoría particular). Las categorías comunes incluyen: 1. Juegos simétricos y asimétricos 2. Juegos de suma cero y de suma distinta de cero 3. Criterios «maximin» y «minimax» 4. Equilibrio de Nash. 5. Juegos cooperativos 6. Simultáneos y secuenciales 7. Juegos de información perfecta 8. Juegos de longitud infinita (SuperJuegos)
Un juego simétrico es un juego en el que las recompensas por jugar una estrategia en particular dependen sólo de las estrategias que empleen los otros jugadores y no de quien las juegue. Si las identidades de los jugadores pueden cambiarse sin que cambien las recompensas de las estrategias, entonces el juego es simétrico. Muchos de los juegos 2×2 más estudiados son simétricos. Las representaciones estándar del juego de la gallina, el dilema del prisionero y la caza del ciervo son juegos simétricos. Los juegos asimétricos más estudiados son los juegos donde no hay conjuntos de estrategias idénticas para ambos jugadores. Por ejemplo, el juego del ultimátum y el juego del dictador tienen diferentes estrategias para cada jugador; no obstante, puede haber juegos asimétricos con estrategias idénticas para cada jugador. Por ejemplo, el juego mostrado a la derecha es asimétrico a pesar de tener conjuntos de estrategias idénticos para ambos jugadores.
Métodos Probabilísticos Teoría de Juegos
Métodos Híbridos
Modelo de Transporte y Localización
El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son: 1. Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino. 2. El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino. Como solo hay una mercancía un destino puede recibir su demanda de una o más fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviará de cada fuente a cada destino, tal que se minimice el costo del transporte total. La suposición básica del modelo es que el costo del transporte en una ruta es directamente proporcional al numero de unidades transportadas. La definición de “unidad de transporte” variará dependiendo de la “mercancía” que se transporte. 24
Métodos Híbridos
Modelo de Transporte y Localización
Métodos Híbridos
Técnica de Monte Carlo El método de Monte Carlo1 es un método no determinista o estadístico numérico, usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud. El método se llamó así en referencia al Casino de Monte Carlo (Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser la ruleta un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Monte Carlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron enormemente con el desarrollo de la computadora.
Ejemplo: Si deseamos reproducir, mediante números aleatorios, la tirada sucesiva de una moneda, debemos previamente asignarle un intervalo de números aleatorios a CARA y otro a CRUZ, de manera de poder interpretar el resultado de la simulación. Tales intervalos se asignan en función de las probabilidades de ocurrencia de cada cara de la moneda. Tenemos así: CARA Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,000 al 0,499 CRUZ Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,500 al 0,999 Después, al generar un número aleatorio a partir de la función RAN de la calculadora, por ejemplo, obtenemos el resultado simulado. Así, si obtenemos el número aleatorio 0,385, observamos que está incluido en el intervalo asignado a CARA. En otras aplicaciones, se asocian intervalos de números aleatorios según las probabilidades de ocurrencia de los eventos a simular.
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Métodos Híbridos
Técnica de Monte Carlo
¿Qué es la simulación de Monte Carlo? La simulación de Monte Carlo es una técnica cuantitativa que hace uso de la estadística y los ordenadores para imitar, mediante modelos matemáticos, el comportamiento aleatorio de sistemas reales no dinámicos (por lo general, cuando se trata de sistemas cuyo estado va cambiando con el paso del tiempo, se recurre bien a la simulación de eventos discretos o bien a la simulación de sistemas continuos).
La clave de la simulación MC consiste en crear un modelo matemático del sistema, proceso o actividad que se quiere analizar, identificando aquellas variables (inputs del modelo) cuyo comportamiento aleatorio determina el comportamiento global del sistema. Una vez identificados dichos inputs o variables aleatorias, se lleva a cabo un experimento consistente en (1) generar – con ayuda del ordenador- muestras aleatorias (valores concretos) para dichos inputs, y (2) analizar el comportamiento del sistema ante los valores generados. Tras repetir n veces este experimento, dispondremos de n observaciones sobre el comportamiento del sistema, lo cual nos será de utilidad para entender el funcionamiento del mismo – obviamente, nuestro análisis será tanto más preciso cuanto mayor sea el número n de experimentos que llevemos a cabo.
Métodos Híbridos
Técnica de Monte Carlo
Métodos Híbridos
Técnica de Monte Carlo
Métodos Híbridos
Técnica de Monte Carlo
Referencias
http://www.derevistas.com/contenido/nota/4081/una-breve-historiade-la-toma-de-decisiones http://www.vitutor.com/algebra/pl/a_g.html http://es.scribd.com/doc/39774413/Ejercicios-de-ProgramacionLineal-Resueltos-Mediante-El-Metodo-Simplex http://www.eyeintheskygroup.com/Azar-Ciencia/Metodos/Teorema-deBayes-Probabilidad-Bayesiana.htm
http://indira-hinostroza.blogspot.com/2013/03/teoria-de-juegosejercicios-resueltos.html http://www.investigacion-operaciones.com/modelo_de_transporte.htm http://juanalmendras.tripod.com/sitebuildercontent/sitebuilderfil es/simulacion_mc.pdf