libro de 5ª matematica

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El material didáctico Matemática 5º, para Quinto Año de Educación Básica, es una obra colectiva, creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección de: MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA COORDINACIÓN DEL PROYECTO: EUGENIA ÁGUILA GARAY COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA: VIVIANA LÓPEZ FUSTER EDICIÓN: VIVIANA LÓPEZ FUSTER ÁNGELA BAEZA PEÑA MARCIA VILLENA RAMÍREZ AUTORAS: FRANCISCA MARÍN RODRÍGUEZ MARÍA ANTONIETA CASTILLO CHIPON REVISIÓN DE ESPECIALISTA: JAVIERA SETZ MENA CORRECCIÓN DE ESTILO: ISABEL SPOERER VARELA ASTRID FERNÁNDEZ BRAVO DOCUMENTACIÓN: PAULINA NOVOA VENTURINO JUAN CARLOS REYES LLANOS La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de: VERÓNICA ROJAS LUNA COORDINACIÓN GRÁFICA: CARLOTA GODOY BUSTOS COORDINACIÓN LICITACIÓN: XENIA VENEGAS ZEVALLOS DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN: MARIELA PINEDA GÁLVEZ PATRICIA LÓPEZ FIGUEROA ILUSTRACIONES: MARTÍN OYARCE GALLARDO FOTOGRAFÍAS: ARCHIVO SANTILLANA CUBIERTA: XENIA VENEGAS ZEVALLOS PRODUCCIÓN: GERMÁN URRUTIA GARÍN

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

© 2009, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile) PRINTED IN CHILE Impreso en Chile por Quebecor World Chile S.A. ISBN: 978 - 956 - 15 - 1485 - 0 Inscripción N° 176.848 www.santillana.cl

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FRANCISCA MARÍN RODRÍGUEZ PROFESORA DE EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA, LICENCIADA EN EDUCACIÓN, ESPECIALISTA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE

MARÍA ANTONIETA CASTILLO CHIPON PROFESORA DE EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA, LICENCIADA EN EDUCACIÓN, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE

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PRESENTACIÓN DEL TEXTO Te damos la bienvenida a este nuevo año escolar. El texto Matemática 5º te invita a comprender que la Matemática es parte del mundo que te rodea. A través de sus 7 unidades te enfrentarás a diversas situaciones en las que podrás explorar, aprender y construir conceptos relacionados con los números y las operaciones, geometría, datos y azar, y álgebra. En ellas encontrarás las siguientes páginas y secciones:

Páginas de inicio • CONVERSEMOS DE… Encontrarás preguntas relacionadas con la imagen y con los contenidos de la unidad que te permitirán exponer tus ideas, dar opiniones y argumentar a partir de tus experiencias.

Te invitamos a ingresar al hipertexto donde encontrarás recursos y actividades interactivas que complementarán tu aprendizaje.

• EN ESTA UNIDAD PODRÁS… En esta sección conocerás los principales objetivos que se espera que logres con el desarrollo de la unidad.

• ¿CUÁNTO SABES? Podrás resolver ejercicios y problemas que te ayudarán a recordar tus conocimientos que serán la base para el desarrollo de la unidad.

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Matemática 5

• ¿QUÉ DEBES RECORDAR? Encontrarás el resumen de los principales conceptos trabajados en años anteriores y que te servirán como apoyo para los aprendizajes que se espera que logres en la unidad.

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Páginas de desarrollo En estas páginas podrás explorar y construir nuevos conceptos y aplicarlos para resolver diversas situaciones, actividades y problemas.

• EN EQUIPO Desarrollarás en grupo entretenidas e interesantes actividades que te permitirán progresar en tu aprendizaje.

• PARA DISCUTIR Por medio de preguntas, explorarás el contenido matemático que aprenderás, pondrás en práctica lo que ya sabes, compartirás tus ideas y extraerás conclusiones.

• NO OLVIDES QUE… Encontrarás explicaciones, descripciones o definiciones que destacan y precisan lo que vas aprendiendo.

• EN TU CUADERNO Resolverás variadas actividades para ir construyendo los conceptos y reforzar así tu aprendizaje.

• DATO INTERESANTE Conocerás algunas relaciones o aplicaciones interesantes del contenido que se está desarrollando.

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• MI PROGRESO Resolverás actividades que te permitirán evaluar tu progreso en el logro de los aprendizajes.

• AYUDA Te recuerda un contenido o procedimiento.

• ESTRATEGIA MENTAL Encontrarás diversas estrategias de cálculo mental e imaginación espacial.

• HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Aprenderás a ocupar la calculadora para resolver diversos ejercicios y a utilizar planillas de cálculo o programas computacionales.

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Páginas de cierre

• BUSCANDO ESTRATEGIAS Observarás un problema resuelto paso a paso a través de una determinada estrategia, podrás aprender y practicar la estrategia utilizada y buscar otras que te permitan encontrar la solución.

• SÍNTESIS • CONEXIONES A partir de una noticia o tema desarrollarás en equipo una actividad que te permitirá aplicar lo que aprendiste en la unidad.

Podrás organizar y sintetizar lo aprendido utilizando una técnica de estudio. Además, aclararás los conceptos trabajados respondiendo preguntas sobre ellos y sus relaciones.

• ¿QUÉ LOGRÉ?

• ¿QUÉ APRENDÍ? En estas dos páginas responderás preguntas de selección múltiple y actividades de desarrollo para evaluar lo que has aprendido en la unidad.

Evaluarás y reflexionarás sobre los aprendizajes que adquiriste en esta unidad.

Además, en el texto se incluyen tres talleres de evaluación con actividades que integran los contenidos trabajados y que permitirán evaluar el progreso de tu aprendizaje.

Presentación del texto

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ÍNDICE 10

Unidad 1: Números naturales

12 ¿Cuánto sabes?

14 Lectura y escritura de números

32 Buscando estrategias

16 Valor posicional

34 Conexiones

18 Descomposición aditiva

35 Síntesis

20 Números en la recta numérica

36 ¿Qué aprendí?

22 Orden y comparación de números 24 Redondeo y estimación 26 Adición y sustracción 30 Propiedades de la adición

38

Unidad 2: Múltiplos, divisores y operaciones

40 ¿Cuánto sabes?

42 Múltiplos

60 Buscando estrategias

44 Factores y divisores

62 Conexiones

48 Factores primos

63 Síntesis

50 Mínimo común múltiplo y máximo común divisor

64 ¿Qué aprendí?

54 Multiplicación y división 58 Multiplicación y sus propiedades

66

Taller de evaluación 1

68

Unidad 3: Fracciones

70 ¿Cuánto sabes?

72 Lectura y escritura de fracciones

86 Buscando estrategias

74 Tipos de fracciones

88 Conexiones

76 Fracciones equivalentes 78 Orden y comparación de fracciones 80 Fracciones y números naturales en la recta numérica 82 Adición y sustracción de fracciones con igual denominador 84 Adición y sustracción de fracciones con distinto denominador 8

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89 Síntesis 90 ¿Qué aprendí?

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Unidad 4: Decimales

94 ¿Cuánto sabes?

96 Lectura y escritura de decimales

108 Buscando estrategias

98 Relación entre decimales y fracciones

110 Conexiones

100 Decimales finitos e infinitos

111 Síntesis

102

Decimales, fracciones y números naturales en la recta numérica

112 ¿Qué aprendí?

104 Orden y comparación 106 Adición y sustracción de números decimales 114

Taller de evaluación 2

116

Unidad 5: Perímetros y áreas

118 ¿Cuánto sabes?

120 Unidades de medida de longitud y de superficie

132 Buscando estrategias

124 Perímetro de triángulos

134 Conexiones

126 Perímetro de cuadrados y rectángulos

135 Síntesis

128 Perímetro y área de cuadrados y rectángulos

136 ¿Qué aprendí?

130 Área de figuras compuestas 138

Unidad 6: Ángulos

140 ¿Cuánto sabes?

142 Clasificación de ángulos

154 Buscando estrategias

144 Medición de ángulos usando el transportador

156 Conexiones

146 Ángulos entre paralelas

157 Síntesis

150 Ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros

158 ¿Qué aprendí?

152 Ángulos exteriores de triángulos y cuadriláteros 160

Unidad 7: Datos y azar

162 ¿Cuánto sabes?

164 Lectura e interpretación de información

178 Buscando estrategias

168 Construcción de gráficos

180 Conexiones

172 Tipos de variables

181 Síntesis

174 Probabilidad de ocurrencia de un evento (seguro, posible, imposible) 176 Probabilidad de ocurrencia de un evento (probable, improbable) 184

Taller de evaluación 3

186

Solucionario

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Bibliografía

182 ¿Qué aprendí?

Índice

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UNIDAD

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Números naturales

EN ESTA UNIDAD PODRÁS... • Leer, escribir, estimar y redondear números naturales de más de 6 dígitos para interpretar y comunicar información. • Representar números naturales en la recta numérica y establecer relaciones de orden entre ellos. • Resolver situaciones aplicando procedimientos de cálculo de adiciones y sustracciones. • Reconocer propiedades de la adición y utilizarlas para simplificar los cálculos. • Interpretar expresiones matemáticas en las que se emplean letras para representar números o cantidades.

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CONVERSEMOS DE... Nuestro planeta tiene aproximadamente 6134 millones de habitantes, según datos de la Organización de las Naciones Unidas (ONU). Solo en América habitan cerca de 900 000 000 de personas en alrededor de 45 000 000 km2. Es decir, por cada 1 km2, viven cerca de 20 personas. En cambio, en 1 cm2 de piel humana existen aproximadamente 3 millones de células. • ¿Alguna vez te imaginaste la cantidad de habitantes que vive en nuestro planeta o la cantidad de células hay en 1 cm2 de piel humana? • ¿Qué opinas de los datos anteriores? • Comenta acerca de la posibilidad de utilizar números de más de 6 cifras para nombrar la cantidad de: - personas que viven en un edificio, - estrellas en nuestra galaxia, - personas que asisten a un concierto en un estadio, - litros de agua en los océanos, - pelos de la cabeza. • ¿En qué otras situaciones ocupamos números con más de 6 cifras?

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¿CUÁNTO SABES? Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno. 1. Descubre los números correspondientes a las pistas dadas. Luego escríbelos en tu cuaderno. Es un número de 4 cifras formado por 9 unidades, 7 centenas, 4 decenas y 3 unidades de mil.

a)

b)

Es un número de 6 cifras formado por 5 unidades de mil, 7 decenas y 8 centenas de mil.

c)

El mayor número que se puede formar con los dígitos 2, 3, 5, 6 y 8.

d)

El menor número que se puede formar con los dígitos 2, 0, 4, 7, 5 y 9.

2. Completa con

<

,

>

o

=

, según corresponda.

a) 943 005

495 099

d) 490 493

940 943

b) 209 843

208 934

e) 628 481

682 418

c) 439 840

284 048

f) 966 999

966 345

3. Busca los dígitos que faltan en los siguientes ejercicios. 5 +

¿?

3

4

5

¿?

1

6

9

0

2

¿?

0

¿?

6

1

6

5

5

6

¿? ¿?

–

¿?

7

5

3

¿?

9

0

4

1

¿?

4

8

4. Según el último censo poblacional realizado en nuestro país (año 2002), en Puerto Montt hay aproximadamente 153 118 habitantes. Determina cuál de las siguientes descomposiciones expresa la cantidad mencionada. A. 1 • 100 000 + 5 • 10 000 + 3 • 1000 + 1 • 100 + 8 B. 100 000 + 50 000 + 3000 + 100 + 10 + 8 C. 5 DM + 1 C + 1 D + 8 U + 1 CM D. 1 CM + 5 DM + 3 UM + 1 C + 1 D + 1 U 12 Unidad 1

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5. Resuelve las siguientes actividades redondeando los números destacados, según estimes conveniente. Luego, explica el criterio que usaste para hacer el redondeo. a) Don José se ganó $ 790 000 en un concurso. Si ya ha gastado $ 310 000, ¿cuánto dinero le queda aproximadamente del premio a don José? b) Andrés desea comprar un CD que cuesta $ 8970 y un DVD a $ 13 540. Aproximadamente, ¿cuánto dinero necesita Andrés para comprar el CD y el DVD? c) Según el censo del año 2002, en Chile 169 776 hombres y 200 458 mujeres nunca asistieron a alguna institución educacional. Aproximadamente, ¿cuántas personas en Chile nunca han asistido a una institución educacional? 6. Lee la situación, inventa dos preguntas que se puedan responder a partir de los datos y luego respóndelas en tu cuaderno. Según datos publicados en el Instituto Nacional de Estadísticas (INE) en la región del Maule hay 946 722 habitantes. De ellos, 168 251 presentan alguna discapacidad. Del total de discapacitados, 5803 corresponden a menores de 15 años. Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿QUÉ DEBES RECORDAR? • Nuestro sistema de numeración es decimal, porque utiliza agrupaciones de 10 en 10. En él, una centena de mil equivale a 10 decenas de mil y a 100 000 unidades; una decena de mil equivale a 10 unidades de mil y a 10 000 unidades; una unidad de mil equivale a 10 centenas y a 1000 unidades. • En una recta numérica los números están ordenados. Al construir una recta numérica se debe elegir el número de inicio y de término asimismo decidir la graduación, según los datos que se desean representar. • Los símbolos < (menor que), > (mayor que) e = (igual a) se utilizan para comparar números. • La adición es una operación aritmética cuyos términos se llaman sumandos y su resultado, suma. • La sustracción es una operación aritmética cuyos términos se llaman minuendo y sustraendo, y su resultado, resta o diferencia.

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Lectura y escritura de números La cédula de identidad es un documento de registro que identifica a todas las personas del país. El RUN (Rol Único Nacional) es un número único que identifica a cada chilena y chileno. “Mi RUN es: 15.432.978–1 y se lee: “quince millones cuatrocientos treinta y dos mil novecientos setenta y ocho, guión uno”. Toda persona mayor de 18 años tiene la obligación de tener su cédula. Esta contiene la foto, firma e impresión dactilar, y algunos datos como el nombre completo, RUN, sexo, nacionalidad, fecha de nacimiento, entre otros.

PARA DISCUTIR • ¿Tienes cédula de identidad?, ¿cuál es tu RUN? • Si no tienes cédula todavía, ¿en qué situaciones crees que la vas a necesitar? • Averigua el RUN de tres personas y escríbelos en tu cuaderno en una tabla como la siguiente: RUN

Se lee

rno rno uade uade c c u u t t n n nde e nde e o o p p s s e e r r

NO OLVIDES QUE... Los números sirven para expresar distinto tipo de información y pueden usarse para identificar, ordenar o cuantificar. Para leer los números lo hacemos empezando por la cifra de la izquierda. Por ejemplo, el número 397 147 332 se lee: trescientos noventa y siete millones ciento cuarenta y siete mil trescientos treinta y dos.

EN TU CUADERNO 1. Busca en diarios o revistas 10 noticias o anuncios que contengan números mayores que un millón, en un contexto determinado. Pégalos en tu cuaderno y escribe cómo se lee cada número. 2. Reúnete con un compañero o compañera, compartan la información que recogieron anteriormente y clasifíquenla según la cantidad de cifras de los números y el tipo de información que comunican (distancias, precios, pesos, habitantes, etc.). 14

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3. Observa la siguiente tabla con datos de los últimos dos censos realizados en Chile, y luego responde. a) ¿Cómo se lee la población de hombres en el país, según el censo de 1992? P O B L A C I Ó N S E G Ú N S E X O b) ¿Cómo se lee la población de mujeres, según Censo Hombres Mujeres el censo de 2002? 1992 6 533 254 6 795 147 c) La población de hombres registrada en el censo de 2002, ¿es mayor o menor que la 2002 7 447 695 7 668 740 registrada en 1992?, ¿cómo lo supiste? Fuente: http://www.ine.cl (consultado en septiembre de 2007).

4. Escribe con palabras las siguientes cantidades: a) 3 791 468

c) 27 434 654

e) 436 053 999

b) 9 037 586

d) 59 000 371

f) 888 888 888

5. Escribe el número que corresponda en cada caso. a) Treinta y cinco millones doscientos ochenta y tres mil ciento nueve. b) Ocho millones cuatrocientos noventa y uno. c) Seiscientos veintiocho millones trescientos noventa y nueve mil ciento cuarenta y cinco. d) Doscientos ocho millones cuatrocientos setenta y seis mil veinticuatro. e) Novecientos nueve millones noventa y nueve mil novecientos nueve. f) Novecientos noventa millones setecientos mil quinientos sesenta y ocho. g) Novecientos noventa y nueve millones ochocientos mil setenta y tres. 6. Forma cinco números distintos con los siguientes dígitos: 4, 8, 0, 2, 5, 6, 7 y 1. a) Escribe cómo se lee cada uno. b) ¿Cuál es el mayor número que podrías haber formado?, ¿cómo lo supiste?

EN EQUIPO En esta actividad deberán construir una tabla con la población y la superficie de cinco países. Formen grupos de 3 integrantes y sigan las instrucciones: 1. Investiguen en diversas fuentes (enciclopedias, Internet, etc.) acerca de la población mundial. 2. Escriban en una tabla la cantidad de habitantes y la superficie de al menos 5 países, de un continente elegido por ustedes. 3. Escriban cómo se leen los datos anteriores. 4. Discutan sobre la cantidad de habitantes de cada uno de los países escogidos con relación a su superficie. 5. Expongan sus opiniones al resto de sus compañeros y compañeras.

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Valor posicional

D

ato interesante

Se estima que en el año 2050 nuestro planeta estará habitado aproximadamente por 9 075 900 000 habitantes. Fuente: http://www.un.org (consultado en septiembre de 2007).

Según datos de la Organización de las Naciones Unidas (ONU), en el año 2006 el continente asiático tenía una población aproximada de 3 950 600 000 habitantes. Se estima que en el año 2050, la población de Asia será de aproximadamente 5 217 200 000 habitantes.

PARA DISCUTIR • ¿Cómo se leen los números anteriores? • En el número 3 950 600 000, ¿qué valor representa el dígito 5? • En el número 5 217 200 000, ¿qué valores representa el dígito 2, según sus posiciones? • En el número correspondiente a la población de Asia en el año 2006, ¿qué valor representa el dígito 6?, ¿y el dígito 9?

Unidades de mil

Centenas

Decenas

Unidades

2

1

7

2

0

0

0

0

0

0

0

0

5 000 000 000

5

0

U

Decenas de mil

D

0

C

Centenas de mil

UM

200 000

DM

Unidades de millón

CM

7 000 000

UMi

Decenas de millón

DMi

10 000 000

CMi

Centenas de millón

UMMi

200 000 000

DMMi

Unidades de miles de millones

CMMi

Decenas de miles de millones

El valor posicional de cada dígito en el número 5 217 200 000 (cinco mil doscientos diecisiete millones doscientos mil), lo puedes observar en la siguiente tabla:

Centenas de miles de millones

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Por ejemplo, el dígito 5 en el número anterior está en la posición de las unidades de miles de millones y representa 5 000 000 000 (cinco mil millones).

NO OLVIDES QUE... El valor que representa cada dígito que forma un número, según la posición que ocupa, se denomina valor posicional. Por ejemplo, en el número 3 467 862 000 el dígito 4 está en la posición de las centenas de millón y su valor posicional es 400 000 000. 16

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EN TU CUADERNO 1. Averigua la cantidad de habitantes de Chile y escríbelo en una tabla como la de la página anterior. 2. Los siguientes números corresponden a la distancia aproximada que hay entre el Sol y los planetas mencionados. Identifica la posición y el valor que representa el dígito 9 en cada caso. Luego, escribe cómo se leen esas distancias.

Mercurio

Marte

Neptuno

57.895.000 km

227.990.000 km

4.496.976.000 km

3. Escribe la posición y el valor posicional del dígito 2 en cada caso. a) El diámetro del Sol es 1 392 000 km. b) América tiene aproximadamente 902 700 000 habitantes. c) La distancia de Saturno al Sol es 1 427 034 400 km. 4. Escribe el valor que representa el dígito destacado en cada número. Ejemplo: 3 457 000 el dígito destacado representa 400 000. a) 36 456 754

d) 300 453 123

b) 23 345 600

e) 524 834 967

c) 19 567 789

f) 125 982 000

5. Señala, en cada caso, qué ocurre con el número si intercambiamos los dígitos indicados. Ejemplo: 1 394 678 a)

intercambiando el 9 y el 3.

9 126 807

intercambiando el 1 y el 6.

b) 805 156 412

intercambiando el 6 y el 4.

c)

intercambiando el 3 y el 8.

23 461 089

El número aumenta en 540 000 unidades.

6. Escribe, en cada caso, tres números que cumplan las siguientes condiciones: a) Tiene 5 cifras, 3 unidades de mil y 7 decenas. b) Tiene 8 cifras, 4 unidades de millón y 9 decenas de mil. c) Tiene 9 cifras, 2 decenas de millón, 8 unidades de mil y 1 centena. d) Tiene 9 cifras, 2 centenas de millón y más de 5 unidades de millón. e) Tiene 9 cifras, 6 decenas de mil y no tiene decenas de millón. Números naturales

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Descomposición aditiva 32-127627-01 Cecilia González Pérez

SERIE 08C-52 9721134 OFICINA BANDERA Bandera 312 - Stgo.

$

87 315

012-0230 012

Stgo. 24 de septiembre

del año 20

09

O AL PORTADOR

PAGUESE A LA ORDEN DE

ntos quince enta y siete mil trecie LA CANTIDAD DE och

La señora Teresa fue al banco a cobrar el cheque correspondiente a su pensión. El cajero le cambió su cheque por los siguientes billetes y monedas:

PESOS M/L

BANCO DEL MUNDO 4567*987* 01 *0956754* 1845*3

8 billetes de $ 10 000

$ 80 000

A

yuda

1 CM = 10 DM 1 DM = 10 UM 1 UM = 10 C

Cecilia González P.

7 billetes de $ 1000

$ 7 000

3 monedas de $ 100

1 moneda de $ 10

5 monedas de $ 1

$ 300

$ 10

$5

PARA DISCUTIR • ¿Es correcta la cantidad de dinero que entregó el cajero? • ¿Cómo representarías esa cantidad de dinero utilizando otras cantidades de billetes y monedas? • ¿Cómo cambiaría el cajero un cheque por $ 873 105 utilizando la menor cantidad de billetes y monedas?

EN TU CUADERNO 1. Escribe el número que corresponde a las siguientes descomposiciones. a) 70 000 000 + 3 000 000 + 100 000 + 80 000 + 4000 + 500 + 60 + 9 b) 5 000 000 + 500 000 + 50 000 + 5000 + 500 + 50 c) 3 000 000 000 + 60 000 000 + 300 000 + 700 + 2 2. Completa con la menor cantidad de monedas y billetes que se puedan pagar las siguientes cantidades.

$ 2 485 031 $ 7 083 172 $ 11 197 391 18

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o adern u c u t de en n o p s re

o adern u c u t de en n o p s re

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3. Completa la tabla con el dígito ubicado en la posición indicada y su valor posicional correspondiente. Observa el ejemplo. Número

Escribe el dígito de:

234 645 376

DMi: 3

798 300 577

UMi:

926 834 582

DM:

12 309 867

UM:

Su valor posicional es:

o ern d a cu n tu e nde o p res 30 000 000

4. Escribe el número que corresponde a cada descomposición. a) 7 UMi + 6 CM + 3 DM + 2 UM + 8 D + 7 U b) 9 UMi + 8 C + 5 U c) 7 DMi + 3 CM + 3 DM + 3 UM + 1 C + 9 D + 9 U d) 9 CMi + 7 DM + 9 UM + 6 D + 8 U 5. Encuentra el error en cada una de las siguientes descomposiciones. Luego, corrígelas en tu cuaderno. a) 58 780 200 = 5 CMi + 8 UMi + 7 CM + 8 DM + 2 C b) 92 652 860 = 90 DMi + 2 UMi + 6 CM + 5 DM + 2 UM + 8 C + 6 D c) 609 792 003 = 6 CMi + 9 DMi + 7 CM + 9 DM + 2 UM + 3 U

NO OLVIDES QUE... Descomponer aditivamente un número consiste en expresar ese número como una adición de dos o más términos. Una forma de descomponer aditivamente un número es expresarlo como una adición en que los términos corresponden a la multiplicación de cada uno de sus dígitos por 1, 10, 100, 1.000, etc., según su valor posicional. Por ejemplo: 130 407 560 = 1 • 100 000 000 + 3 • 10 000 000 + 4 • 100 000 + 7 • 1000 + 5 • 100 + 6 • 10 El signo “•” se usa para expresar una multiplicación.

MI PROGRESO La señora Isabel pagó $ 49 017 por el último dividendo de su casa. En total pagó $ 13 840 738 por su casa. 1. Señala ¿cómo se pagaría la última cuota, utilizando la menor cantidad de billetes de $ 10 000 y $ 1 000, y de monedas de $ 10 y de $ 1. 2. Escribe, con palabras, el valor total de la casa. 3. Señala las posiciones del dígito 8 en el valor total de la casa, y el valor posicional, en cada caso. Números naturales

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Números en la recta numérica La tabla muestra la cantidad total de abonados a teléfonos móviles en Chile desde el año 2000 al 2007.

2001

5 100 783

diciembre

12 000 000

2002

6 244 310

diciembre

10 000 000

2003

7 268 281

diciembre

8 000 000

2004

9 261 385

diciembre

6 000 000

2005

10 569 572

diciembre

4 000 000

2006

12 450 801

diciembre

2 000 000

2007

12 734 083

marzo 0

Fuente: http://www.subtel.cl (consultado en septiembre de 2007).

Año

2007

14 000 000

2006

diciembre

2005

3 401 525

2004

2000

2003

Mes

2001

Año

2002

Abonados a teléfonos móviles en Chile

Abonados a nivel nacional

Abonados a nivel nacional

2000

U1 10-25

Ubica, aproximadamente, estas cantidades en la recta numérica y luego contesta:

3 000 000

5 000 000

7 000 000

9 000 000

11 000 000

13 000 000

PARA DISCUTIR • El número 12 450 801, ¿lo ubicaste más cerca del 12 000 000 o del 13 000 000?, ¿y el 12 734 083?, ¿por qué? • ¿Qué número es mayor: 12 450 801 ó 12 734 083?, ¿cómo puedes utilizar la recta numérica para comparar números? • ¿Qué puedes deducir sobre la cantidad de abonados a teléfonos móviles? En el año 2012, ¿crees que habrá mayor o menor cantidad de abonados que en el año 2007?, ¿cuál o cuáles podrían ser las causas?

NO OLVIDES QUE... Un número natural que está ubicado a la izquierda de otro en la recta numérica es siempre menor que él. Un número natural que está ubicado a la derecha de otro en la recta numérica es siempre mayor que él. Para construir una recta numérica debemos: • Elegir el número de inicio y de término. • Decidir la graduación (de 10 en 10, de 100 en 100, de 1000 en 1000, etc.), según los datos que se desean representar. 20

Unidad 1

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EN EQUIPO En esta actividad construirás una recta numérica para representar las superficies aproximadas de algunos países de América. Para esto reúnete con dos compañeros o compañeras y utilicen la siguiente tabla: País Argentina Bolivia Brasil Chile Ecuador Paraguay Perú Uruguay

Superficie (km2) 3 761 000 1 099 000 8 512 000 2 006 000 256 000 406 000 1 285 000 176 000 Fuente: Almanaque mundial 2006.

1. Construyan una recta numérica con los datos de la tabla. 2. Conversen acerca de los beneficios de comunicar datos empleando la recta numérica. 3. Respondan las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es el país con mayor superficie?, ¿y cuál es el con menor superficie? b) ¿Cómo es la distribución de las superficies en la recta construida?

EN TU CUADERNO 1. Andrés desea comprarse un vehículo por la menor cantidad de dinero posible y cotizó algunos modelos. Observa.

neta Camio o d n e V 000 $ 4 459

Vendo Va n $ 4 250 000

ion Stat o d Ve n 00 90 0 9 4 $

Vendo Sedan $ 4 780 000

a) Construye una recta numérica y ubica los precios en ella. b) Decide qué tipo de vehículo debe comprar. c) Si ese modelo estuviese agotado, ¿cuál debería comprar?, ¿por qué? d) Comenta con tus compañeros y compañeras las respuestas e identifiquen las semejanzas y diferencias entre las rectas construidas.

Números naturales

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Orden y comparación de números Con las reformas constitucionales aprobadas en 2005, el Gobierno inició la redacción de los proyectos de ley para crear dos nuevas regiones: región de Los Ríos y región de Arica-Parinacota. Observa la tabla que indica la población de Chile por regiones.

Arica

Iquique

Región gasta Antofa

ó Copiap

na La Sere

íso Valpara

o Santiag ua g ca n a R

Talca

Habitantes

Arica-Parinacota

189 692

Tarapacá

238 902

Antofagasta

493 984

Atacama

254 336

Coquimbo

603 210

Valparaíso

1 539 852

Metropolitana

6 061 185

O’Higgins

780 627

Maule

908 097

Biobío

1 861 562

Araucanía

869 535

Los Ríos

356 396

Los Lagos

716 739

Magallanes

150 826

Aisén

ción Concep Temuco

Fuente: diario El Mercurio, cuerpo C, 20 de diciembre de

91 492

2006

PARA DISCUTIR • ¿Qué región tiene la menor cantidad de habitantes?, ¿y cuál la mayor cantidad?, ¿cómo lo supiste? • ¿De qué otra forma podrías presentar estos datos? • Si tuvieses que representar la cantidad de habitantes de la región del Biobío en la recta numérica, ¿la ubicarías más cerca de 1 800 000 o de 1 900 000?, ¿por qué?

Valdivia Montt Puerto

ue Coyhaiq

Para saber qué región tiene mayor cantidad de habitantes (sin considerar la región Metropolitana), Paulina comparó la cantidad de habitantes de Valparaíso y Biobío, y dijo que el número mayor era el 1 861 562. ¿Por qué crees que comparó solo estas regiones y no otras?

renas Punta A

22

Unidad 1

Para estar segura de su respuesta, los escribió en el siguiente cuadro y comparó los dígitos según su posición, comenzando por los de mayor valor. UMi

CM

DM

UM

C

D

U

1

5

3

9

8

5

2

1

8

6

1

5

6

2

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EN TU CUADERNO 1. Utiliza el procedimiento anterior para comparar las siguientes parejas de números. En cada caso coloca >, < o =, según corresponda. a) 780 627

780 937

b) 48 286 607

48 268 607

c) 908 346 987

908 364 987

2. Utilizando los dígitos dados forma los números que se especifican: a) Forma el mayor número de 8 cifras con: 0 - 1 - 4 - 7 - 3 - 5 - 3 - 9 b) Forma el menor número de 9 cifras con: 3 - 6 - 5 - 5 - 0 - 1 - 1 - 0 - 7 c) Forma el mayor número de 9 cifras con: 7 - 6 - 7 - 2 - 4 - 0 - 1 - 8 - 9 3. Observa el cuadro que nos muestra las distancias al Sol (en kilómetros) de los planetas, y luego responde en tu cuaderno.

Planetas Marte

Distancia al Sol (km) 228 000 000

Mercurio

58 000 000

Venus

108 000 000

Urano

2 870 000 000

Tierra

149 000 000

Neptuno

4 497 000 000

Júpiter

778 000 000

Saturno

1 427 000 000

Fuente: Atlas de Chile y el mundo. 2007

a) ¿Cuáles son los planetas cuya distancia al Sol está entre 200 000 000 y 800 000 000 kilómetros? b) Nombra los planetas que están a una distancia del Sol mayor que mil millones de kilómetros. c) ¿Cuál es el planeta que se encuentra más cerca del Sol?, ¿cómo lo supiste? d) Ordena en una tabla los planetas, de menor a mayor, según su cercanía al Sol.

NO OLVIDES QUE... Al comparar dos números naturales podemos decir que es menor el que tiene menor cantidad de cifras. Si tienen igual cantidad de cifras, se comparan los dígitos de ambos números que están en la misma posición, partiendo del que se ubica en la posición de mayor valor. Números naturales

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Redondeo y estimación Observa la tabla que contiene datos de los últimos dos censos realizados en Chile. En ella se muestra la cantidad de vehículos de uso personal en cada vivienda. V E H Í C U L O S D E U S O PA R T I C U L A R E N E L H O G A R Censo 1992

Censo 2002

1 147 629

1 922 693

Moto o motoneta

38 263

65 553

Automóvil, station

519 724

915 961

Camioneta, van, jeep

149 734

353 470

1 814 155

1 680 387

Bicicleta

Sin vehículo

Fuente: http://www.ine.cl (consultado en septiembre de 2007).

PARA DISCUTIR • Según el censo de 1992, la cantidad de bicicletas era aproximadamente 1 000 000. ¿A qué número aproximarías la cantidad de bicicletas del censo de 2002?, ¿por qué? • La diferencia de automóviles y stations entre ambos censos es de aproximadamente 400 000. ¿Cómo se obtiene ese valor? • Entre 1992 y el 2002, la cantidad de motos o motonetas en los hogares aumentó aproximadamente en 200 000 vehículos. ¿Estás de acuerdo con la afirmación?, ¿por qué? • ¿Por qué crees que aumentó la cantidad de personas con vehículo en los últimos años? Si ubicamos la cantidad de camionetas, vans y jeeps, según el censo de 2002, en la recta numérica podemos observar que 353 470 se encuentra entre 300 000 y 400 000, pero más cerca de 400 000. 353 470

300 000

350 000

400 000

Entonces, podemos aproximar 353 470 a 400 000. En este caso, hemos redondeado a la centena de mil más cercana.

NO OLVIDES QUE... Al redondear, lo hacemos aproximando a los múltiplos de 10, 100, 1000, 10 000, etc. que estén más cercanos. Ejemplo: podemos redondear a la decena de millón más cercana. 872 632 345

870 000 000

2 058 000 512

872 632 345 870 000 000 24

Unidad 1

2 060 000 000 2 058 000 512

880 000 000

2 050 000 000

2 060 000 000

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EN TU CUADERNO 1. Redondea a la unidad de mil los datos de la tabla de la página 24. Dibuja una tabla similar para ello. 2. Redondea cada número a la unidad de millón más cercana y calcula el resultado aproximado. Luego, con ayuda de una calculadora obtén el resultado exacto. a) 12 315 960 + 4 000 000 =

c) 77 375 760 + 4 220 500 =

b)

d)193 016 019 + 1 078 080 =

5 127 463 + 82 400 002 =

3. Compara el resultado aproximado con el exacto de cada ejercicio anterior. ¿Qué ventajas tiene redondear números?, ¿y qué desventajas? Explícalas. 4. Redondea el precio de cada casa, según el valor que consideres adecuado. CASA A

CASA B

CASA C

$ 17 150 123

$ 28 120 300

$ 49 823 000

a) ¿Más o menos cuánto dinero se necesita para comprar la casa A?, ¿y para la B? b) Aproximadamente, ¿cuánto más cara es la casa C que la casa B? c) ¿En cuánto calculas la diferencia de precio entre la casa B y la casa A? d) ¿Alrededor de cuánto dinero se necesita para comprar las tres casas?

MI PROGRESO La tabla muestra la cantidad de turistas que ingresaron a Chile desde el 2001 al 2005.

Año

N° de turistas

2001

1 723 107

1. Responde:

2002

1 412 315

2003

1 613 523

2004

1 785 024

2005

2 027 082

a) ¿Cómo ha variado la cantidad de turistas que ingresaron a Chile entre el año 2001 y el 2005? b) ¿En cuál de estos años ingresó a Chile mayor cantidad de turistas?, ¿y en cuál la menor cantidad?

Fuente: Compendio estadístico 2006. INE.

2. Redondea cada una de las cantidades a la centena de mil y luego estima la cantidad total de turistas desde el año 2001 hasta el 2005. 3. Representa en una recta numérica todas las cantidades aproximadas.

Números naturales

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Adición y sustracción La siguiente tabla de datos presenta la cantidad aproximada de habitantes de cada región de América en el año 2006. Región

Año 2006

América del Sur

380 300 000

América central

149 200 000

América del Norte

333 700 000

Fuente: http://www.un.org (consultado en septiembre de 2007).

PARA DISCUTIR • ¿Cuál es el resultado de 380 300 + 149 200? Entonces, ¿cuál es la suma de 380 300 000 y 149 200 000? • ¿Cuál es resultado de 380 300 + 149 200 + 333 700?, ¿cómo lo calculaste? • Según los datos de la tabla, ¿a qué corresponde el valor 863 200 000? • ¿Cuál es el resultado de 380 300 – 333 700? ¿Qué número obtenemos al hacer la sustracción de 380 300 000 y 333 700 000?

Observa cómo calculamos con los datos anteriores la cantidad de habitantes que había en total en América del Norte y América central. Al realizar la adición: 333 700 000 habitantes de América del Norte + 149 200 000 habitantes de América central 482 900 000 En América del Norte y central había 482 900 000 habitantes en el año 2006. Si quisiéramos saber cuántos habitantes más había en América del Sur que en América central, en el año 2006, podemos realizar la siguiente sustracción: 380 300 000 habitantes de América del Sur – 149 200 000 habitantes de América central 231 100 000 América del Sur tenía aproximadamente 231 100 000 habitantes más que América central. 26

Unidad 1

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EN TU CUADERNO 1. Observa los siguientes ejercicios. ¿Están bien resueltos?, ¿por qué? a) 6 346 538 + 5 673 402 11 020 030

b)

10 098 011 – 1 309 932 8 799 079

c)

136 854 123 – 7 976 234 122 877 889

• Resuélvelos correctamente y explica paso a paso las estrategias que utilizaste. 2. Completa cada cuadro con el dígito que falta. 3

5

a) +

1

2

6

9

5

2 5

1

1

4

6

b)

3 2

–

1

9

2

5

2 7

3

1 1

3

9

2

8

4

3. Completa el término que falta en cada caso. Explica paso a paso el procedimiento utilizado. a)

3 497 819 + 14 079 615

b)

c) + 29 047 616 46 902 857

d) –

2 579 688 3 605 605

53 198 014 – 41 492 348

4. Encuentra el término que falta para que se cumpla cada igualdad. a) 1 528 089 – b)

= 703 423 + 68 570.000 = 123 600 000

c)

– 2 973 931 = 10 000 000

d) 9 503 270 +

= 148 000 952

5. Resuelve los siguientes problemas y compara tus estrategias con tus compañeros y compañeras. a) El volcán más alto de Chile es el nevado Ojos del Salado de 6893 m de altura, sobrepasando por 1343 m al volcán Tupungato. ¿Cuál es la altura de este volcán? b) Si el total de una adición es 89 570 648 y uno de los sumandos es 26 047 216, ¿cuál es el otro sumando? c) Si el sustraendo es 7 423 548 y la diferencia es 8 579 026, ¿qué valor tiene el minuendo? d) Si la diferencia en una sustracción es de 1 312 575 y el minuendo es 8 658 020, ¿cuál es el valor del sustraendo? e) La suma de 3 números es 38 659 542. El primer sumando es 11 912 346 y el segundo es 4 825 650 unidades mayor que el primero. ¿Cuál es el tercer sumando? 6. Resuelve primero la operación que está entre paréntesis y luego calcula el resultado. a) (920 400 – 123 155) + 48 273 = b) (6 000 000 – 9295) + (5 218 324 – 8649) = c) (375 418 + 94 219) – (215 327 – 695) = Números naturales

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NO OLVIDES QUE... Los términos de una adición se llaman sumandos y su resultado, suma.

Los términos de una sustracción se llaman minuendo, sustraendo y su resultado, resta o diferencia.

a – b = c

a + b = c suma sumandos

minuendo resta o diferencia sustraendo

• Como la adición y sustracción son operaciones inversas, a cada adición se le pueden asociar dos sustracciones.

c – a = b a + b = c c – b = a • En una adición, cuando se conoce solo un sumando y la suma, para encontrar el otro sumando se resta a la suma el sumando conocido. • En una sustracción, cuando se conoce solo el sustraendo y la diferencia, para encontrar el minuendo se suman el sustraendo con la diferencia. • En una sustracción, cuando se conoce solo el minuendo y la diferencia, para encontrar el sustraendo se resta al minuendo la diferencia.

EN EQUIPO En esta actividad realizarán cálculos y comparaciones con números de más de seis cifras. Para esto formen un grupo de tres integrantes y lean la siguiente información: Según datos de la ONU, se estima que en América del Sur el año 2050 habrá 526 900 000 habitantes; en América del Norte, 438 000 000 habitantes y en América central, 209 600 000 habitantes. En Chile, la cantidad de habitantes registrada en el 2006 fue de aproximadamente 16 500 000 y se proyecta que en el año 2050 será de aproximadamente 20 700 000 habitantes. 1. Según esta información y los datos de la tabla de la página 26, respondan. a) ¿Cuántos habitantes más tendrá Chile en el año 2050? b) ¿Qué consecuencias podría traer el aumento de habitantes en Chile, si consideramos que la superficie se mantiene? 2. Cada integrante elija una de las tres regiones de América. Calcule la diferencia de habitantes que tendrá la región escogida en el año 2050, respecto del año 2006. a) Considerando los datos de la página 26, ¿en qué región aumentará mayormente la población? b) Conversen sobre el aumento de población en esas regiones. Para realizar ese análisis, supongan que su curso es la población de América del Sur en 2006 y su sala de clase es la superficie de la región. 28

Unidad 1

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ESTRATEGIA MENTAL Observa las estrategias para resolver algunas adiciones y sustracciones mentalmente. 2 000 000 + 3 000 000

2+3=5

2 000 000 + 3 000 000 = 5 000 000

7 000 000 – 4 000 000

7–4=3

7 000 000 – 4 000 000 = 3 000 000

1. Practica la estrategia anterior para resolver las siguientes adiciones: a) 2 000 000 + 5 000 000

2+5=

2 000 000 + 5 000 000 =

b) 3 000 000 + 7 000 000

+

=

3 000 000 + 7 000 000 =

c) 4 000 000 + 9 000 000

+

=

4 000 000 + 9 000 000 =

d) 6 000 000 + 9 000 000

+

=

6 000 000 + 9 000 000 =

2. Practica la estrategia anterior para resolver las siguientes sustracciones: a) 5 000 000 – 3 000 000

5–3=

5 000 000 – 3 000 000 =

b) 8 000 000 – 2 000 000

–

=

8 000 000 – 2 000 000 =

c) 10 000 000 – 9 000 000

–

=

10 000 000 – 9 000 000 =

d) 11 000 000 – 5 000 000

–

=

11 000 000 – 5 000 000 =

3. Calcula mentalmente: a) 15 000 – 5000 =

e) 54 000 000 – 16 000 000 =

b) 24 000 + 25 000 =

f) 99 000 000 + 32 000 000 =

c) 220 000 + 500 000 =

g) 105 000 000 – 4 000 000 =

d) 350 000 – 250 000 =

h) 873 000 000 – 773 000 000 =

4. Redondea los siguientes números a la unidad de mil más cercana y estima mentalmente cada suma y resta. a) 13 140 + 12 927 =

d) 92 800 + 15 100 =

b) 24 060 – 14 080 =

e) 38 555 – 26 140 =

c) 18 990 + 3999 =

f) 97 980 – 36 249 =

5. Redondea los siguientes números a la decena de millón más cercana y luego calcula mentalmente los resultados aproximados. a) 58 113 140 + 90 512 927 =

d) 92 765 800 + 15 075 100 =

b) 22 100 039 – 17 055 780 =

e) 38 555 192 – 26 209 140 =

c) 456 224 060 – 214 909 080 =

f) 45 976 000 – 21 457 000 =

Números naturales

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Propiedades de la adición Andrea, Carmen, Raúl y Guillermo trabajan en una corredora de propiedades. En la siguiente tabla aparecen los valores de los tipos de departamentos que ellos venden. Tipo de departamento

Precio (en pesos)

Un dormitorio

24 851 044

Dos dormitorios

31 749 673

Tres dormitorios

39 028 098

El viernes, Andrea y Carmen vendieron igual cantidad de viviendas: un departamento de un dormitorio y otro de tres dormitorios. Raúl ha vendido un departamento de cada tipo. Guillermo, la primera semana, vendió un departamento de dos dormitorios, pero en la segunda, no ha vendido nada.

PARA DISCUTIR • Para calcular el total de su venta del viernes, Andrea planteó la siguiente adición: 24 851 044 + 39 028 098, y Carmen resolvió 39 028 098 + 24 851 044. ¿Quién planteó bien la adición para obtener la venta del viernes?, ¿por qué? ¿Qué resultado obtuvo cada una? • Carmen hizo una nueva venta y realizó el siguiente cálculo: (39 028 098 + 24 851 044) + 31 749 673. ¿Qué tipo de departamento vendió ahora Carmen? ¿Cuánto es el total de las ventas de Carmen con este departamento?, ¿cómo lo calculaste? • Raúl plantea el siguiente ejercicio para calcular sus ventas: 39 028 098 + (24 851 044 + 31 749 673). ¿Qué departamentos vendió Raúl? ¿Cuánto es el total de las ventas de Raúl? ¿En qué se parece el cálculo que hizo Raúl con el que hizo Carmen?, ¿en qué se diferencia? • ¿Cómo representarías las ventas de Guillermo con una adición?, ¿cuánto dinero obtuvo por sus ventas?

EN TU CUADERNO 1. Sustituye los valores correspondientes y completa con el resultado en cada caso. a

b

c

4

9

11

38

51

90

600

492

222

1973

7100

5000

a+b

b+a

(a + b) + c a + (b + c)

no der a u c n tu e e ond resp

a+0

e ond p s re

0+b

0+c

o ern d a u cu en t

• ¿Qué observas en los resultados de las columnas de igual color?, ¿ocurrirá siempre lo mismo? 30

Unidad 1

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2. Resuelve las siguientes adiciones: a) 597 391 000 + 0 =

b) 0 + 6 891 999 666 =

c) 0 + 2 784 391 013 =

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Con ayuda de una calculadora, realiza las siguientes operaciones: a) 9 041 343 + 3 905 782 = 3 905 782 + 9 041 343 =

c) (40 035 876 + 73 082 991) + 5 295 381 = 40 035 876 + (73 082 991 + 5 295 381) =

b) 80 486 023 + 79 638 288 = 79 638 288 + 80 486 023 =

d) (805 399 + 29 400 581) + 11 111 111 = 805 399 + (29 400 581 + 11 111 111) =

• ¿Qué ocurre con los resultados en cada caso?

NO OLVIDES QUE... • En una adición, al cambiar el orden de los sumandos, la suma no cambia. En general, si a y b son dos números naturales: a + b = b + a Esta es la propiedad conmutativa de la adición. • En una adición, al agrupar los sumandos de diferentes maneras, la suma no cambia. En general, si a, b y c son dos números naturales: (a + b) + c = a + (b + c) Esta es la propiedad asociativa de la adición. • La adición entre un número y cero da como resultado el mismo número. El elemento neutro en la adición es el cero. En general, si a es un número natural: a+0=0+a=a

MI PROGRESO La familia Miranda está participando en un programa de concursos en televisión. El animador les muestra los siguientes ejercicios y pregunta: ¿en cuál se obtiene el mayor resultado? 12 8 40 0 0 4 8 5 0 3 0 0 2 6 75 + + 9 5 83 6 6 839 23 + 0 0 4 8 0 0 60

(7 191 284 +

4 566 730) +

1 082 061

0+1 7 191 284 + (4 566 73

082 061)

Luego, la madre de la familia responde que todos tienen igual resultado. 1. ¿Estás de acuerdo con la respuesta de la mamá?, ¿por qué? 2. Determina en cuáles ejercicios se pueden observar las propiedades aprendidas y explica cómo las identificaste. 3. Si en la primera parte del concurso llevaban ganados $ 1 250 000 y al término de este se ganaron $ 4 100 000, ¿cuánto dinero ganaron después de la primera parte del concurso?, ¿cómo lo calculaste? Números naturales

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BUSCANDO ESTRATEGIAS

La superficie de Brasil es 7 755 014 km2 mayor que la de Chile. Si la superficie de Chile es 756 950 km2, entonces, ¿cuál es la superficie de Brasil? Comprender • ¿Qué sabes del problema? La superficie de Chile es 756 950 km2 La superficie de Brasil es 7 755 014 km2 mayor que la de Chile. • ¿Qué debes encontrar? La superficie de Brasil. Planificar • ¿Cómo puedes resolver el problema? Calculando la suma de la superficie de Chile con la diferencia entre la superficie de Brasil y la de Chile. • ¿Qué operación puedes utilizar? Una adición. Resolver 7 755 014 + 756 950 8 511 964

Diferencia entre la superficie de Brasil y la de Chile Superficie de Chile Superficie de Brasil

Responder La superficie de Brasil es 8 511 964 km2 Revisar • ¿Cómo puedes comprobar tus resultados? 8 511 964 – 756 950 7 755 014

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Superficie de Brasil Superficie de Chile Diferencia entre la superficie de Brasil y de Chile.

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Unidad 1

1. Resuelve los siguientes problemas, aplicando la estrategia de la página anterior. a) La población de una ciudad aumentó en 17 892 su número de habitantes el año pasado, tomando en cuenta el número de nacimientos y defunciones. Si hubo 929 fallecimientos, ¿cuántos nacimientos se registraron? b) Francisca compró un refrigerador por $ 195 870, es decir, $ 29 530 menos de lo que lo había visto en otra tienda. ¿Cuál era el precio del refrigerador en la otra tienda? c) La señora Carmen había ahorrado $ 4 394 509 para poder comprar su casa. Ella ganó un premio en un juego de azar de $ 750 000, y enseguida lo depositó en su cuenta de ahorro para la vivienda. ¿Cuánto dinero tiene ahorrado ahora para adquirir su casa? d) Andrés compró un auto usado que costaba $ 1 590 000, pero gastó $ 1 389 000 en pintarlo y desabollarlo. ¿Cuánto gastó en total en el auto? e) La familia de Nicolás ganó $ 45 875 000 en un juego de azar. Si con esa cantidad de dinero deciden comprar una casa que cuesta $ 33 872 000 y el resto ahorrarlo, ¿cuánto dinero podrán ahorrar? 2. Ahora resuelve el problema de la página anterior utilizando otra estrategia de resolución, explícala paso a paso y compárala con las usadas por tus compañeros y compañeras. 3. Resuelve los siguientes problemas utilizando la estrategia que tú quieras. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a) Un avión ha pasado de una altitud de vuelo de 4391 metros a otra de 8025 metros. ¿Cuántos metros se ha elevado? b) Para un recital se han vendido 39 048 entradas y aún quedan 10 952 entradas sin vender. Entonces, ¿cuál es la capacidad del estadio? c) Hernán, papá de Laura, recibió una herencia por $ 97 873 452. Lo primero que hizo Hernán fue comprar una casa que costaba $ 42 000 000. Laura y sus hermanos le pidieron a su padre que comprara un auto. Él gastó $ 3 800 000 en una camioneta usada. ¿Cuánto ha gastado el papá de Laura?, ¿cuánto dinero de la herencia le queda a Hernán? ¿Cuántas casas de aproximadamente $ 12 000 000 se podrían comprar con el total de la herencia?

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CONEXIONES

ACTUALIDAD

El masivo uso de teléfonos celulares Cuando caminamos por las calles de nuestra ciudad, generalmente vemos a muchas personas hablando por celular. La ajetreada vida de algunas ciudades en Chile ha hecho que el teléfono celular sea indispensable para facilitar el diario vivir.

Después de ser considerado por varios años como un producto “de lujo” y al alcance de unos cuantos ejecutivos, hoy en día los nuevos planes de pago y lo accesible de los aparatos ha hecho que sea un objeto al alcance de todo el que requiera comunicación instantánea desde cualquier lugar. Según cifras entregadas por la SUBTEL (Subsecretaría de Telecomunicaciones), en el año 2004 había nueve millones doscientos sesenta y un mil trescientos ochenta y cinco celulares en nuestro país; en el año 2005 esta cifra llegó a diez millones quinientos sesenta y

nueve mil quinientos setenta y dos equipos; a su vez, en el 2006, la cantidad aumentó en un millón ochocientos ochenta y un mil doscientos veintinueve, en comparación con el año anterior. Se estima que en el 2010, la cantidad de celulares será equivalente a la cantidad de habitantes. El celular tiene bastantes ventajas, pero la proliferación masiva de estos ha generado nuevos tipos de problemas que nadie imaginaba hace algunos años. Riesgos al manejar, radiaciones peligrosas e interrupciones indeseadas en lugares públicos suelen verse ahora con frecuencia cuando se abusa de la tecnología y de los teléfonos celulares.

Fuente: http://www.subtel.cl (consultado en septiembre de 2007, adaptación).

Formen un equipo de trabajo, y desarrollen las siguientes actividades: 1. Examinen la información e identifiquen la idea central. 2. Extraigan las afirmaciones u opiniones que se expresan en torno a la idea central. 3. Construyan una tabla de datos y un gráfico de barras que represente el aumento en la cantidad de celulares a partir del año 2004, incluyendo la proyección hacia el 2010. 4. Aproximadamente, ¿cuántos equipos celulares habrá el año 2010? 5. Averigüen tres planes para contratar un servicio de telefonía celular, de compañías diferentes. Comparen los datos e indiquen cuál de los planes elegirían y por qué.

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Unidad 1

SÍNTESIS

Durante esta unidad has aprendido a entender y comunicar números tan grandes como los miles de millones. A continuación te presentamos un modelo de una técnica de estudio, llamada resumen, que consiste en reproducir un texto leído o la materia de estudio, utilizando tu vocabulario y tu estilo.

MODELO: Lectura y escritura: para escribir números se hacen grupos de 3 cifras, empezando por la derecha y separándolos por un punto, y para leerlos lo hacemos empezando por la cifra de la izquierda. Ejemplo:

3 910 399 403

Tres mil novecientos diez millones trescientos noventa y nueve mil cuatrocientos tres.

1. Realiza un resumen de los siguientes conceptos, siguiendo el modelo anterior. • Valor posicional.

• Redondeo y estimación.

• Descomposición aditiva.

• Adición y sustracción.

• Orden de números.

• Propiedades de la adición.

• Comparación de números. 2. Compara tu resumen con el de tus compañeros y compañeras. ¿Te faltó alguna idea importante?, ¿cuál? 3. Comenta en tu curso las siguientes preguntas, según lo realizado anteriormente: a) ¿En qué contextos pueden utilizar números de más de seis cifras? b) ¿Qué reglas conocen acerca de la escritura y lectura de números? c) ¿Cómo se puede descomponer un número? d) ¿De qué depende el valor de cada uno de los dígitos de un número? e) ¿En qué debemos fijarnos al construir una recta numérica? f) ¿Qué utilidad tiene ubicar los números en una recta numérica? g) ¿Qué procedimientos podemos realizar para comparar y ordenar dos o más cantidades? h) ¿Qué significa redondear un número?, ¿en qué situaciones es conveniente redondear una cantidad?, ¿cómo la redondeamos? i) ¿En qué deben poner atención al sumar y restar dos o más números? j) ¿Cuáles son las propiedades de la adición?, ¿en qué consiste cada una de ellas? k) ¿Qué pasos deben realizar en un ejercicio de planteamiento de problema?

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¿QUÉ APRENDÍ? Marca, en tu cuaderno, la alternativa que consideres correcta en las actividades 1 a la 8. 1. Joaquín ganó $ 13 456 901 en un juego de azar. Este número se lee: A. trece mil millones cuatrocientos cincuenta y seis mil novecientos uno. B. trece millones cuatrocientos mil novecientos uno. C. trece millones cuatrocientos cincuenta y seis mil novecientos uno. D. trece mil cuatrocientos cincuenta y seis novecientos uno. 2. El número que tiene un 9 en la posición de la unidad de mil es: A. 48 799 125 B. 24 893 912

5. Al ordenar los números 49 967 274, 49 975 834 y 49 976 274, de mayor a menor, se obtiene: A. 49 976 274 > 49 975 834 > 49 967 274 B. 49 967 274 > 49 975 834 > 49 976 274 C. 49 975 834 > 49 967 274 > 49 976 274 D. 49 975 834 > 49 976 274 > 49 967 274 6. Si al número 5 691 208 le agregamos tres unidades de mil, se obtiene: A. 5 693 208 B. 5 694 000 C. 5 694 208 D. 5 991 208

C. 196 791 D. 7916 3. El número 9 239 557 015 corresponde a: A. 9 UMMi + 2 CMi + 3 DMi + 9 UMi + 5 CM + 5 DM + 7 UM + 1 D + 5 U B. 9 UMMi + 2 CMi + 3 DMi + 9 CM + 5 DM + 7 UM + 1 D + 5 U C. 9 UMMi + 2 CMi + 3 DMi + 9 UMi + 5 CM + 5 DM + 7 UM + 1 C + 5 U D. Ninguna de las anteriores. 4. Felipe recorre 878 000 metros el primer día de su viaje y 297 000 metros el segundo día. ¿Cuál es la mejor estimación de los kilómetros totales recorridos por Felipe? A. 1000 km

7. Si en una casa comercial se vendió $ 17 934 071 en una semana, y a la semana siguiente, $ 21 734 893. ¿Cuánto más se vendió en la segunda semana? Puedo resolver esta situación con una: A. adición. B. sustracción. C. adición y sustracción. D. Ninguna de las anteriores. 8. Si redondeamos 8 247 406 a la decena de mil más próxima se obtiene: A. 8 000 000 B. 8 250 000

B. 1100 km

C. 8 300 000

C. 1200 km

D. 8 500 000

D. 1400 km

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Unidad 1 9. Los datos presentados en la tabla corresponden a las llamadas desde el extranjero, recibidas en nuestro país, durante los años 2000 al 2005. Año

2000

2001

2002

2003

2004

2005

Minutos

288 388

362 106

395 584

471 710

572 385

561 442

Fuente: http://www.subtel.cl (consultado en septiembre de 2007).

a) Ubica en una recta numérica los datos de la tabla. b) Compara y calcula en cuánto aumentaron o disminuyeron las llamadas recibidas cada año. c) Calcula el total de minutos de llamadas recibidas en nuestro país desde el extranjero durante los años 2000 al 2005. 10. Si a = 235 830, b = 569 012 y c = 1 679 012, verifica si se cumplen las igualdades. a) a + b = b + a

c) b + 0 = b

b) (c + b) + a = c + (b + a)

d) 0 + c = c

Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿QUÉ LOGRÉ? 1. Marca según tu apreciación.

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

Lectura y escritura de números. Valor posicional. Descomposición aditiva.

rno uade c u t n nde e respo

Números en la recta numérica. Orden y comparación de números. Redondeo y estimación. Adición y sustracción. Propiedades de la adición. Resolución de problemas.

derno u cua t n e nde respo

2. Reflexiona y responde. a) ¿Qué dificultades tuviste en la unidad?, ¿cómo las superaste? b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la unidad?, ¿por qué? c) Vuelve a la página 10 y revisa el recuadro “En esta unidad podrás…”, ¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Comenta. Números naturales

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UNIDAD

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Múltiplos, divisores y operaciones

EN ESTA UNIDAD PODRÁS... • Reconocer múltiplos, divisores y factores primos de números naturales. • Formular y verificar algunas propiedades de los números naturales. • Calcular multiplicaciones y divisiones de números naturales. • Resolver problemas usando adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones de números naturales.

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Unidad 2

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CONVERSEMOS DE... Daniel visitó al doctor porque se sentía cansado. Luego de hacerle algunas preguntas, el doctor le comentó que todos los seres humanos necesitamos alimentarnos adecuadamente y, que probablemente, si aumentaba el consumo de frutas y verduras, carnes blancas, lácteos, legumbres y líquido, disminuiría la cantidad de grasas y se sentiría mejor. Daniel, considerando la sugerencia del doctor, fue a la feria que se muestra en la imagen y compró: 3 kg de manzanas, 2 kg de naranjas, 1 kg de papas, 3 kg de tomates, 4 lechugas y 6 pepinos. Luego fue a un supermercado y compró 12 L de leche, 7 L de agua mineral y 1 kg de lentejas. Según los datos anteriores y la información de la imagen, responde: • ¿Cuánto dinero gastó Daniel en la feria?, ¿cómo lo calculaste? • Si en el supermercado el litro de leche estaba a $ 649, el de agua mineral a $ 519 y el kilogramo de lentejas a $ 759, ¿cuánto dinero gastó Daniel aproximadamente en el supermercado?, ¿cómo lo calculaste? • De los alimentos que consumes habitualmente, ¿cuáles crees que no favorecen tu salud?, ¿por qué? • ¿Qué alimentos debieras incluir en tu alimentación diaria? • Elabora una lista con los alimentos saludables que comprarías en una feria, almacén o supermercado, estima sus valores y calcula cuánto gastarías aproximadamente.

Múltiplos, divisores y operaciones

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¿CUÁNTO SABES? Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno. 1. Expresa en forma de multiplicación las siguientes adiciones: a) 3 + 3 + 3

c) 9 + 9 + 9 + 9 + 9

b) 5 + 5 + 5 + 5

d) 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10

2. Calcula mentalmente y escribe el resultado en tu cuaderno: a) 5 • 9

f) 120 : 6

b) 7 • 8

g) 250 : 2

c) 15 • 4

h) 1800 : 3

d) 130 • 3

i) 8500 : 10

e) 95 • 100

j) 56 000 : 100

3. Completa las tablas con los términos que faltan: Factor 5

Factor 9 1000

12 6 9 9

6

Producto 4500 72 36 000 144 42 9000

Dividendo 47 540 72 104 105 16 300 100 000

Divisor 7 6 2 8 9 10 100

Cociente

e nd o sp re

en

Resto

tu

o rn e ad cu

4. Calcula las siguientes multiplicaciones y divisiones. Explica los procedimientos utilizados. a) 230 • 5

f) 5125 : 5

b) 1569 • 9

g) 567 : 3

c) 9546 • 25

h) 2580 : 9

d) 13 242 • 34

i) 6712 : 4

e) 25 438 • 50

j) 32 136 : 6

5. Catalina fue al cine. Tenía $ 6300 y gastó de ida $ 380 en locomoción. Si después de pagar la entrada al cine, le quedan $ 3520, ¿cuánto le costó la entrada?

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6. Pedro y su familia entraron a comer a un lugar en el que había el siguiente cartel: Pasteles Pastel relleno con manjar

$ 850

Postres Flan de vainilla

$ 390

Helados Simples $ 550

Pastel con crema

$ 790

Flan de caramelo

$ 210

Dobles

Pastel con mermelada

$ 645

Mouse de manjar

$ 420

Mouse de chocolate

$ 670

$ 735

a) ¿Cuánto deben pagar por 3 pasteles rellenos con manjar, 2 flanes de caramelo y 3 helados dobles? b) Si contaban con $ 5000, ¿les alcanzó para pagar lo que consumieron?, ¿cuánto les sobró o les faltó? c) Si la familia de Pedro está compuesta por 8 personas y todos quisieran pedir un pastel relleno con manjar, ¿les alcanza con el dinero que tenían? Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿QUÉ DEBES RECORDAR? • Los términos de la multiplicación se llaman factores y su resultado, producto. 10 • 8 = 80 Factores

Producto

• En una división de números naturales, sus términos se llaman dividendo y divisor y su resultado, cociente. Si la división no es exacta, se obtiene un resto que es menor que el divisor y distinto de cero. Divisor Dividendo

Cociente 15 : 5 = 3 – 15 Resto 0 División exacta

Divisor Dividendo

Cociente 18 : 7 = 2 – 14 Resto 4 División inexacta

• La multiplicación y la división son operaciones inversas. A una multiplicación se le 60 : 4 = 15 60 : 15 = 4 pueden asociar dos divisiones. Ejemplo: 15 • 4 = 60

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Múltiplos Pedro vende choclos en la feria y los guarda en sacos para llevarlos a su puesto. Él echa cada vez tres choclos en el saco y los va contando.

A

3, 6, 9, 12…

yuda

Para representar una multiplicación de dos números cualesquiera a y b , utilizamos la expresión a • b y se lee a p o r b.

PARA DISCUTIR • ¿Cuántos choclos hay dentro del saco después de echar 5 grupos de choclos?, ¿y después de echar 6 grupos? ¿Cómo lo calculaste? • Si él está contando el total de choclos que va teniendo en el saco cada vez y lleva 12 veces, ¿cuáles serán los próximos cinco números que dirá? • Si siempre echa de a 3 choclos, ¿puede haber en algún momento 38 choclos en el saco?, ¿y 39 choclos? ¿Cómo lo supiste? • Si el saco tiene capacidad para 100 choclos, ¿cuántas veces echará los grupos de a 3 choclos, 33 ó 34?, ¿por qué?

EN EQUIPO En esta actividad deberán trabajar con material concreto y contar colecciones de objetos haciendo diferentes agrupaciones. Para esto formen un grupo de 3 intregantes y sigan las instrucciones.

Materiales: • 60 palos de helado • 1 bolsa

1. Pongan todos los palos de helado sobre la mesa. 2. Uno de los integrantes los guarda, echando cada vez dos palos de helado en la bolsa, mientras otro integrante va contando cuántos palos hay en total en la bolsa cada vez que se echa un nuevo grupo. 3. El tercer integrante anota la secuencia que se forma con los números que va contando su compañero o compañera. 4. Repitan estos pasos, pero echando a la bolsa grupos de 4, 5 y 10 palos de helado cada vez. 5. Observen las secuencias que escribieron y respondan: a) ¿En qué se parecen las secuencias que escribieron? b) ¿Cuál podría ser la regla de formación de cada una de estas secuencias? c) Si hubiesen trabajado con 100 palitos de helado más, ¿cuáles serían los números que seguirían en cada secuencia? 42

Unidad 2

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NO OLVIDES QUE... Cuando un número lo multiplicamos por cada uno de los números naturales, obtenemos los múltiplos del número. Por ejemplo: 3•1=3

3•2=6

3•3=9

3 • 4 = 12

3 • 5 = 15

3 • 6 = 18 …

Los múltiplos de 3 son: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,… Para obtener múltiplos de un número también podemos formar una secuencia sumando el mismo número al término anterior. Por ejemplo: +3

3

+3

6

+3

9

+3

12

+3

15

+3

18

+3

21

24

EN TU CUADERNO 1. Une cada secuencia con el recuadro que indica a los múltiplos de qué número corresponde. 7, 14, 21, 28, 35, 42,…

Múltiplos de 3

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,…

Múltiplos de 6

6, 12, 18, 24, 30, 36, 42,…

Múltiplos de 8

8, 16, 24, 32, 40, 48, 56,…

Múltiplos de 7

2. Completa cada afirmación. Guíate por el ejemplo. 24 es múltiplo de 6, porque 6 • 4 = 24 a) 56 es múltiplo de 7, porque 7 •

= 56

c) 20 es múltiplo de 10, porque 10 •

b) 25 es múltiplo de 5, porque 5 •

= 25

d) 72 es múltiplo de 8, porque 8 •

= 20 = 72

3. Escribe en tu cuaderno los primeros 10 múltiplos de 9, 10, 11 y 12. 4. Escribe los múltiplos que se indican en cada caso. a) Múltiplos de 4 que sean menores que 48 y mayores que 8. b) Múltiplos pares de 5 que sean menores que 50 y mayores que 25. c) Múltiplos de 8 que sean menores que 120 y mayores que 80. 5. En la semana del colegio, Matilde ayuda a llenar bolsas con chocolates para entregar en los distintos concursos. En cada bolsa debe colocar 5 chocolates. a) ¿Cuántos chocolates ha repartido en total si ha llenado 16 bolsas?, ¿y si ha llenado 65 bolsas? b) ¿En algún momento, Matilde podría haber ocupado 46 chocolates para llenar cierta cantidad de bolsas? Explica.

Múltiplos, divisores y operaciones

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Factores y divisores EN EQUIPO En esta actividad deberán descomponer números en forma multiplicativa, identificando sus factores. Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones:

Materiales: • 3 pliegos de papel lustre (amarillo, verde, rojo) • Tijeras • Plumón delgado

1. Calquen en el papel lustre la tarjeta de muestra, según las indicaciones y recórtenlas. • 15 de color amarillo • 10 de color verde • 6 de color rojo 2. Cada integrante elige un color de tarjetas y escribe en la cara de color los siguientes números: • En las tarjetas amarillas: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28 y 30. • En las tarjetas verdes: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 y 30. • En las tarjetas rojas: 5, 10, 15, 20, 25 y 30.

a tarjet ra uest de m

3. Al reverso de las tarjetas, escriban todas las multiplicaciones posibles de dos factores cuyos productos sean los números escritos en la cara de color. Por ejemplo:

6

1•6 2•3 3•2 6•1

Los números que escribieron al reverso: 1, 2, 3 y 6, corresponden a los divisores del número 6.

4. Intercambien sus tarjetas y revisen si las multiplicaciones que escribieron sus compañeros y compañeras son correctas y si están todas las posibles. 5. Recuerden que los divisores de un número son aquellos que dividen en forma exacta a dicho número. Considerando esta afirmación, respondan: ¿Los factores en los que se puede descomponer un número son también divisores de dicho número?, ¿por qué?

PARA DISCUTIR • ¿El 1 es múltiplo o divisor de todos los números escritos en las tarjetas?, ¿por qué? • ¿Qué números tienen como factor el 2?, ¿en qué se parecen estos números? • ¿Qué números tienen como divisor el 5?, ¿en qué se parecen estos números? • ¿Cuántos divisores tiene el número 12?, ¿y cuántos múltiplos?, ¿cómo lo supiste? 44

Unidad 2

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NO OLVIDES QUE... • Los factores de un número son los términos en que se puede descomponer multiplicativamente el número. Ejemplo: Los factores de 27 son: 1 y 27 ó 3 y 9, porque: 1 • 27 = 27 ó 3 • 9 = 27 • Todo factor de un número es divisor de él. • Los divisores de un número son aquellos que lo dividen en forma exacta. Ejemplo: Los divisores de 27 son: 1, 3, 9 y 27, porque: 27 : 1 = 27 27 : 3 = 9

27 : 9 = 3

27 : 27 = 1

De esta forma, 27 es divisible por 1, 3, 9 y 27. • Todo número natural tiene siempre como divisores el 1 y sí mismo.

EN TU CUADERNO 1. Escribe todas las multiplicaciones posibles de dos factores cuyos productos sean los siguientes números. a) 36

d) 50

b) 45

e) 60

c) 48

f) 90

2. Pablo está haciendo un álbum del verano. En total tiene 72 fotografías y está pensando en la cantidad de páginas que debe tener su álbum para poner exactamente la misma cantidad de fotos en cada una de ellas. a) ¿Puede hacer un álbum de 72 páginas?, ¿cuántas fotografías quedarían en cada página? b) Si el material que compró le alcanza para hacer un álbum de un máximo de 30 páginas, ¿cuál es la cantidad de páginas que debería tener su álbum? ¿Cuántas fotografías irían en cada página? 3. Francisca colecciona postales y para mantenerlas ordenadas las guarda en sobres, colocando la misma cantidad de postales en cada uno. Si no pone una postal en cada sobre ni todas en uno, solo las puede guardar en cada sobre grupos de 3, de 5 y de 25, ¿cuántas postales tiene Francisca? 4. Escribe todos los divisores de los siguientes números. Puedes utilizar calculadora. a) 100

c) 143

e) 155

g) 168

b) 122

d) 144

f) 156

h) 189 Múltiplos, divisores y operaciones

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5. Copia la tabla en tu cuaderno y marca un si los números de la primera columna son divisibles por 2, 3, 5, 6 ó 10 y una en caso contrario. Guíate por el ejemplo. Es divisible por

2

3

5

6

10

24 50 65 73 85

rno uade c u t n nde e respo

96 102 189 234 390 1208 rno cuade u t n nde e respo

2000 2555 3600 4236 6. Observa la tabla anterior, comenta y responde:

a) ¿En qué se parecen los números que son divisibles por 2? b) Suma los dígitos que forman los números que son divisibles por 3, ¿cómo se relacionan los resultados? c) Si un número es divisible por 2 y por 3, ¿por cuál otro número es divisible siempre? d) ¿En qué se parecen los números que son divisibles por 5?, ¿y los números que son divisibles por 10? 7. Escribe cinco números que sean divisibles por: a) 2

c) 5

b) 3

d) 10

8. Completa los espacios con el dígito que corresponda, para que se cumpla la afirmación. Puedes encontrar más de una respuesta. a) 3

5 es divisible por 3

b) 123 c) 19

es divisible por 2 es divisible por 5

d) 212 e) 6

es divisible por 10 891 es divisible por 3

f) 12 56

• Compara tus respuestas con tus compañeras y compañeros. 46

Unidad 2

es divisible por 6

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9. Los siguientes números son múltiplos de 9. Obsérvalos y luego responde: 135

396 342

1233 522

2070

9756

1899

3690

a) Suma los dígitos que los forman, ¿qué observas? b) ¿Son divisibles por 3?, ¿ocurrirá siempre? c) Si un número es divisible por 3, ¿es siempre divisible por 9?, ¿por qué? 10. Los siguientes números son múltiplos de 4. Obsérvalos y luego responde: 112

452 300

1360 500

2080 7000

6948 10 000

a) Observa los dígitos ubicados en las posiciones de las decenas y unidades de los números destacados con rojo, ¿qué números forman?, ¿de cuál número son múltiplos? b) ¿En qué se parecen los números destacados con azul? c) Si un número es divisible por 4, ¿es siempre divisible por 2?, ¿por qué? d) Si un número es divisible por 2, ¿es siempre divisible por 4?, ¿por qué? 11. Completa los espacios con el dígito que corresponda, para que se cumpla la afirmación. Puedes encontrar más de una respuesta. a) 7

6 es divisible por 6.

b) 32

4 es divisible por 9.

c) 192

es divisible por 4.

d) 230

es divisible por 4.

12. Utilizando las regularidades que descubriste en las actividades anteriores acerca de la divisibilidad, encuentra todos los divisores de los siguientes números: a) 63 b) 124

c) 145 d) 250

NO OLVIDES QUE... Un número es divisible por 2 cuando el dígito ubicado en la posición de las unidades es 0, 2, 4, 6 u 8, es decir, si es 0 o un número par. Un número es divisible por 3 cuando la suma de los dígitos que lo forman es múltiplo de 3. Un número es divisible por 4 cuando los dígitos ubicados en las posiciones de las decenas y unidades forman un múltiplo de 4 o ambos son 0. Un número es divisible por 5 cuando el dígito ubicado en la posición de las unidades es 0 ó 5. Un número es divisible por 6 cuando cuando lo es por 2 y por 3. Un número es divisible por 9 cuando la suma de los dígitos que lo forman es múltiplo de 9. Un número es divisible por 10 cuando el dígito ubicado en la posición de las unidades es 0.

Múltiplos, divisores y operaciones

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Factores primos En un curso de 45 estudiantes se requiere formar grupos con igual cantidad de integrantes para realizar un trabajo en equipo. Si revisamos todas las posibles cantidades de integrantes que pueden tener los grupos, se puede obtener las siguientes combinaciones: 1 solo grupo de 45 integrantes 1 • 45 = 45 3 grupos de 15 integrantes 3 • 15 = 45 5 grupos de 9 integrantes 5 • 9 = 45 9 grupos de 5 integrantes 9 • 5 = 45 15 grupos de 3 integrantes 15 • 3 = 45 45 grupos de 1 integrante 45 • 1 = 45 Luego, los grupos pueden tener 1, 3, 5, 9, 15 y 45 integrantes.

PARA DISCUTIR • ¿Las posibles cantidades de integrantes por cada grupo corresponden a los múltiplos o a los divisores de 45? • ¿Cuántos divisores tiene el número 45?, ¿y el 36?, ¿cómo lo supiste? • Si en otro curso hay 37 estudiantes, ¿cuántas posibilidades existen para formar grupos?, ¿y cuántos divisores tiene el número 37? • ¿En qué se parecen los números 45 y 36?, ¿y en qué se diferencian de los números 37 y 23? • Si quisieran formar grupos en tu curso con igual cantidad de integrantes cada uno, ¿cuáles serían las posibilidades?

NO OLVIDES QUE... Los números primos son aquellos números mayores que 1 que tienen solo 2 divisores y distintos entre sí, el 1 y el mismo número. Aquellos números que tienen más de dos divisores se llaman números compuestos. Por ejemplo: el número 25 es un número compuesto porque sus divisores son 1, 5 y 25, en cambio, el 43 es un número primo porque sus divisores son 1 y 43.

EN TU CUADERNO 1. Escribe, en orden, los números del 1 al 100 y sigue las indicaciones. a) Encierra en una circunferencia el número 2 y tacha sus múltiplos. b) Encierra el número siguiente, que aún no se ha tachado, o sea el 3, y tacha sus múltiplos. c) Encierra el número siguiente, que aún no se ha tachado, o sea el 5, y tacha sus múltiplos. d) Repite el paso anterior, hasta terminar con todos los números. 48

Unidad 2

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2. Comenta y responde, según lo que obtuviste en el ejercicio anterior. a) ¿En qué se parecen los números encerrados en una circunferencia?, ¿son números primos o compuestos? b) ¿En qué se parecen los números tachados?, ¿son números primos o compuestos? c) ¿Cuál o cuáles no son ni primos ni compuestos?, ¿por qué? 3. Completa con el factor que falta para que se cumpla cada igualdad. a) 8 = 2 • 2 •

d) 28 =

•

2•7

•

2•3

b) 10 =

•

5

e) 30 =

c) 26 =

•

2

f) 66 = 3 •

•

2

4. ¿En qué se parecen los factores de los números del ejercicio anterior? Comenta. 5. Paula dice que los números compuestos se pueden descomponer en factores primos. ¿Estás de acuerdo con ella? Da 3 ejemplos. 6. Observa y comenta las siguientes estrategias para descomponer un número en sus factores primos. 12 2 12 6 2 2 • 6 3 3 2

•

1

3

Busco dos números cuyo producto sea el número que deseo descomponer. Repito el procedimiento con los factores que sean números compuestos, hasta obtener solo números primos.

Divido el número que deseo descomponer por el menor número primo que sea factor, en este caso el 2, y escribo el cociente debajo. Repito lo anterior cuántas veces sea posible y luego continúo, pero con los siguientes números primos hasta obtener 1 como cociente.

En ambas estrategias se obtiene que los factores primos de 12 son 2 y 3. Escribe la descomposición en factores primos de los siguientes números, utilizando una de las estrategias anteriores. a) 13 b) 15 c) 18

d) 25 e) 27 f) 32

g) 35 h) 42 i) 90

j) 100 k) 120 l) 144

NO OLVIDES QUE... Todo número compuesto se puede escribir como multiplicación de dos o más números primos, esta se llama descomposición en factores primos.

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Mínimo común múltiplo y máximo común divisor Dos colegios se organizaron para ayudar a un jardín infantil de escasos recursos. Uno le entrega alimentos no perecibles cada 2 meses y el otro, materiales escolares cada 3 meses. El primer colegio recolectó 24 kg de arroz, 40 kg de fideos y 72 kg de leche en polvo mientras que el segundo reunió 90 cartulinas de colores, 45 barras de pegamento y 30 paquetes de plasticina. La entrega de estas donaciones se distribuyó en cajas y bolsas tal como se observa en las imágenes.

PARA DISCUTIR • ¿Cuántas cajas se pueden armar para que contengan la misma cantidad de cada uno de los alimentos y no sobre nada? Y si tuvieran que armar la mayor cantidad, ¿cuántas cajas necesitarían?, ¿cómo lo calculaste? • ¿Los alumnos del segundo colegio cuántas bolsas pueden armar para que contengan la misma cantidad de cada uno de los materiales escolares y no sobre nada? Y si tuvieran que armar la mayor cantidad, ¿cuántas bolsas necesitaría? • Si ambos colegios entregaron juntos en marzo, ¿en cuántos meses más volverán a coincidir en el mes que entregan?, ¿cómo lo supiste? Una manera de encontrar todas las posibilidades de colocar la misma cantidad de cada uno de los alimentos no perecibles en las cajas es calculando los divisores de 24, 40 y 72. Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. Divisores de 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 y 40. Divisores de 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 y 72. Como puedes observar, los divisores comunes entre los números 24, 40 y 72 son el 1, 2, 4 y 8. Ahora veamos qué significan estos números en la situación. 1 caja con 24 kg de arroz, 40 kg de fideos y 72 kg de leche en polvo. 2 cajas con 12 kg de arroz, 20 kg de fideos y 36 kg de leche en polvo. 4 cajas con 6 kg de arroz, 10 kg de fideos y 18 kg de leche en polvo. 8 cajas con 3 kg de arroz, 5 kg de fideos y 9 kg de leche en polvo. 50

Unidad 2

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Luego, la cantidad máxima de cajas es 8. Observa que el 8 corresponde al mayor de los divisores comunes de 24, 40 y 72 y recibe el nombre de máximo común divisor (mcd). Una manera de saber en cuántos meses más coincidirán en la entrega es calcular los múltiplos de 2 y 3. Múltiplos de 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,… Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15,… Como puedes observar, los múltiplos comunes entre los números 2 y 3 son el 6, 12,… Ahora veamos qué significan estos números en la situación. 6 meses después de la primera entrega (marzo) volverán a coincidir en la entrega, es decir, en septiembre. 12 meses después de la primera entrega (marzo) volverán a coincidir en la entrega, es decir, en marzo del año siguiente. Luego, la primera vez que volverán a coincidir en la entrega es en 6 meses después de marzo. Observa que el 6 corresponde al menor de los múltiplos comunes de 2 y 3 y recibe el nombre de mínimo común múltiplo (mcm).

EN TU CUADERNO 1. ¿Cuánto es el máximo de bolsas con materiales escolares que puede armar el colegio para que contengan la misma cantidad de cada uno de los materiales escolares y no sobre nada? Responde utilizando la estrategia anterior. 2. Responde si estás o no de acuerdo con cada una de las siguientes afirmaciones. Explica el porqué. a) El mcm entre 4 y 8 es 8.

c) El mcm entre 6, 12 y 24 es 48.

b) El mcd entre 4 y 8 es 8.

d) El mcd entre 6, 12 y 24 es 6.

3. Calcula el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor entre los siguientes números. a) 5 y 7

d) 4 y 20

g) 5 y 15

j) 24, 32 y 48

b) 7 y 13

e) 6 y 48

h) 7 y 49

k) 21, 42 y 63

c) 11 y 17

f) 9 y 36

i) 11 y 121

l) 20, 30 y 40

NO OLVIDES QUE... El mínimo común múltiplo (mcm) es el menor de los múltiplos comunes entre dos o más números. El máximo común divisor (mcd) es el mayor de los divisores comunes entre dos o más números. Múltiplos, divisores y operaciones

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4. Daniel y Andrea deben calcular el mcm y el mcd entre los números 45, 90 y 135. Observa cómo lo hacen y luego responde. Primero descomponen los números en sus factores primos: 45 15 5

3 3 5

1

90 45 15

2 3 3

135 3 45 3 15 3

5

5

5 5 1

1

Para calcular el mcm, Daniel considera todos los factores primos que están en alguna de las descomposiciones: 2, 3 y 5. Luego, revisa en cuál de las descomposiciones se repite la mayor cantidad de veces cada uno de estos factores y los multiplica por sí mismo esa cantidad de veces: - El 2 aparece solo una 1 vez 2 - La mayor cantidad de veces que aparece el 3 es tres veces 3•3•3 - La mayor cantidad de veces que aparece el 5 es una vez 5

El producto de 2•3•3•3•5 es igual a 270.

El mcm entre 45, 90 y 135 es 270. Para calcular el mcd, Andrea considera todos los factores que se repiten: 3 y 5. Luego, revisa en cuál de las descomposiciones se repite la menor cantidad de veces cada uno de estos factores y los multiplica por sí mismo esa cantidad de veces: - La menor cantidad de veces que aparece el 3 es dos veces 3•3 - La menor cantidad de veces que aparece el 5 es una vez 5 El mcd entre 45, 90 y 135 es 45.

El producto de 3•3•5 es igual a 45.

a) ¿Es correcto el cálculo del mcm realizado por Daniel? Verifica utilizando otra estrategia. b) ¿Es correcto el cálculo del mcd realizado por Andrea? Verifica utilizando otra estrategia. c) ¿Qué opinas de las estrategias utilizadas por Daniel y Andrea?, ¿cuándo sería conveniente utilizarlas?, ¿por qué?

5. Calcula el mcm y el mcd entre los siguientes números utilizando la estrategia de Daniel. a) 12 y 27

e) 32, 48 y 64

b) 45 y 63

f) 27, 54 y 81

c) 28, 42 y 70

g) 15, 25 y 30

d) 25, 50 y 60

h) 140, 210 y 280

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6. Resuelve los siguientes problemas, explica paso a paso cómo llegaste a la solución. a) Don José tiene 2 listones de madera, uno de 72 cm y otro de 48 cm. Si desea obtener de los dos listones trozos más pequeños pero todos de la misma medida, ¿de cuánto deberían ser los cortes para que no sobre nada? b) El médico da la siguiente receta a Vicente: cada 8 horas tomar las gotas para el dolor de cabeza, cada 6 horas tomar el remedio para el malestar estomacal, y cada 4 horas el antibiótico. Si Vicente comienza a las 14:00 horas a tomar los tres medicamentos, ¿a qué hora volverá a tomar los tres medicamentos juntos? c) Andrea y Guillermo trabajan en una florería y hoy deben hacer ramos con la misma cantidad de claveles y rosas. Si tienen 12 claveles y 18 rosas, ¿cuántos ramos podrán hacer?, ¿cuántos claveles y rosas tendrá cada ramo? 7. Francisco asiste a una escuela de fútbol y tiene entrenamiento a las 16:00 horas. Si entre cada entrenamiento tiene 2 días de descanso y su primer entrenamiento fue el 31 de mayo, anota 9 fechas posibles en que Francisco va a la escuela de fútbol. a) Si Francisco está de cumpleaños el 21 de junio y decide celebrarlo en su casa a partir de las 15:30 horas, ¿podrá asistir a su entrenamiento?, ¿por qué? b) Si el entrenador se enferma los días 13, 14 y 15 de junio, ¿Francisco perderá días de entrenamiento?, ¿cuántos?

2009 JUNIO VIERNES

8. Piensa, comenta y responde: a) Daniela dice que el mcm entre dos o más números primos es el producto entre ellos y su mcd es 1. ¿Estás de acuerdo?, ¿por qué? Escribe 3 ejemplos. b) Carlos dice que cuando calcula el mcm entre dos números se fija si uno es múltiplo del otro y, si es así, el mcm es el que es múltiplo del otro. ¿Qué opinas tú? Da 5 ejemplos.

LUNES

8 15 22 29

17

16

24

23 30

1

18 25 2

14

13

12

11

10

9

7

6

5

4

3

2

1

JUEVES

LES MIÉRCO

MARTES

O DOMING

SÁBADO

19 26 3

21

20

28

27

5

4

MI PROGRESO Resuelve de dos maneras distintas la siguiente situación y explica paso a paso cómo la resolviste. Los cursos de 5° Básico de un colegio van a campamento cada 6 meses y los cursos 6° Básico cada 4. Este año los cursos 5° y 6° Básico se van de campamento a la montaña juntos. El profesor decide hacer con ellos grupos con igual cantidad de estudiantes para ocupar cada carpa. 1. Si el 5° A tiene 24 estudiantes, el 5° B, 36; el 6° A, 25; 6° B, 30. Y cada carpa tiene una capacidad para 8 personas ¿cuántas carpas utilizarán en los cursos de 5° Básico?, ¿y cuántas en los cursos 6° Básico?, ¿cómo lo supiste? 2. Si los cursos de 5° y 6° Básico coincidieron este año, ¿en cuántos años más volverán a coincidir? Múltiplos, divisores y operaciones

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Multiplicación y división En una pastelería se hacen galletas caseras y se venden en bolsitas que contienen 12 galletas cada una. Observa.

PARA DISCUTIR • ¿Cuántas galletas deben hacer para entregar un pedido de 7 bolsitas?, ¿cómo lo resolviste? • ¿Cuántas galletas deben hacer para entregar un pedido de 14 bolsitas?, ¿y de 28? • Al aumentar al doble la cantidad de bolsas de galletas, ¿qué ocurre con la cantidad de galletas?, ¿y al aumentar al triple la cantidad de bolsitas? • Si se hacen 324 galletas, ¿cuántas bolsitas se pueden llenar?, ¿sobra alguna galleta?, ¿cómo lo calculaste? • Si se hacen 330 galletas, ¿se pueden armar más bolsitas que con las 324 galletas?, ¿por qué?

Los datos de la situación anterior los podemos registrar en la siguiente tabla: N° de bolsas

1

2

3

4

5

Cantidad de galletas

12

24

36

48

60

Observa que la cantidad de galletas que se necesita para llenar cierta cantidad de bolsas aumenta en forma proporcional, es decir, si dividimos la cantidad de galletas por el número de bolsas obtenemos un valor constante, en este caso 12. Si conocemos el número de bolsas que queremos llenar, bastaría con calcular el producto entre este número y 12 para conocer cuántas galletas debemos hacer: Para llenar 100 bolsas

Para llenar 500 bolsas

Para llenar 1000 bolsas

100 • 12 = 1200

500 • 12 = 6000

1000 • 12 = 12 000

Necesitamos 1200 galletas

Necesitamos 6000 galletas

Necesitamos 12 000 galletas

Si conocemos el número de galletas que tenemos, bastaría con calcular el cociente entre este número y 12 para conocer cuántas bolsas debemos llenar:

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Tenemos 300 galletas

Tenemos 6000 galletas

Tenemos 9000 galletas

300 : 12 = 25

6000 : 12 = 500

9000 : 12 = 750

Podemos llenar 25 bolsas

Podemos llenar 500 bolsas

Podemos llenar 750 bolsas

Unidad 2

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EN TU CUADERNO 1. Paulina y Manuel tienen una fábrica de muebles y hoy vendieron 126 sillas por $ 41 309 cada una para un restaurante nuevo. Observa los procedimientos que utilizan para calcular el total de su venta y responde.

40 000 + 1000

+ 300

4 000 000 100 000 800 000 20 000 6 000 + 240 000

30 000 6000 1800

+

9

•

100

•

20

•

6

900 180 54

5 040 000 + 126 000 + 37 800 + 1134 5 204 934

41 309 54 1800 6000 240 000 180 6000 20 000 800 000 + 4 130 900 5 204 934

•

126

a) Si tuvieras que explicarle los procedimientos anteriores a un compañero o compañera, ¿cómo lo harías? b) ¿Cuál de los procedimientos anteriores te parece más simple?, ¿por qué? c) ¿Conoces otro procedimiento para resolver esta multiplicación? Explícalo, paso a paso y compártelo con tus compañeros y compañeras.

2. Observa cómo resuelve Felipe la multiplicación anterior:

41 309 247 854 826 180 + 4 130 900 5 204 934

•

126 6 • 20 100 •

•

a) ¿Qué opinas del procedimiento que utiliza Felipe?, ¿por qué? b) ¿Cómo calcularías el producto de 13 420 • 231, utilizando el procedimiento de Felipe? Explícalo, paso a paso.

3. Resuelve las siguientes multiplicaciones utilizando los tres procedimientos anteriores y decide cuál es más simple. a) 12 560 • 13

b) 45 390 • 25

4. Resuelve las siguientes multiplicaciones utilizando el procedimiento que desees. a) 112 003 • 32

e) 125 • 1351

b) 11 • 234 500

f) 112 003 • 112

c) 13 987 • 54

g) 298 700 • 345

d) 65 • 240 070

h) 111 111 • 1111 Múltiplos, divisores y operaciones

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5. Carolina y sus amigos se organizan para la preparación de una cena a beneficio del curso. El menú contempla entrada (ensalada surtida o crema de verduras), plato de fondo (lasagna o cazuela de ave o pollo asado con puré) y postre (macedonia o helado o flan). Para saber cuántas combinaciones de cena diferentes pueden servir Carolina hace el siguiente diagrama:

Ensalada surtida

Lasagna

Macedonia Helado Flan

Cazuela de ave

Macedonia Helado Flan

Pollo con puré

Macedonia Helado Flan

Lasagna

Macedonia Helado Flan

Cazuela de ave

Macedonia Helado Flan

Pollo con puré

Macedonia Helado Flan

Menú

Crema de verduras

a) Si cuentas todas las posibilidades, te darás cuenta que hay 18 posibles combinaciones, ¿cómo podrías realizar este cálculo utilizando una multiplicación? b) Si en un restaurante ofrecen un menú que contempla 3 opciones para la entrada, 8 para el plato de fondo y 5 para el postre, ¿cuántas combinaciones diferentes de menús pueden servir? ¿Cómo lo resolviste? Comenta con tus compañeros y compañeras. 6. En una campaña en contra del cigarrillo se repartirán 5350 volantes informativos en 13 colegios cercanos. Para saber cuántos volantes recibirá cada colegio, si a todos se les reparte la misma cantidad, se puede resolver la división 5350 : 13. Observa dos maneras diferentes de resolverla. 5350 : 13 = 400 + 10 + 1 = 411 – 5200 150 – 130 20 – 13 7

5350 : 13 = 411 – 52 15 – 13 20 – 13 7

a) ¿Cómo le explicarías los procedimientos anteriores a un compañero o compañera? b) ¿Cuál de los procedimientos anteriores te parece más simple?, ¿por qué? c) ¿Conoces otro procedimiento para resolver esta división? Explícalo, paso a paso y compártelo con tus compañeros y compañeras. 56

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7. Resuelve las siguientes divisiones utilizando el procedimiento que desees. a) 4826 : 12 =

c) 132 320 : 10 =

e) 630 901 : 9 =

g) 1 026 325 : 5 =

b) 7800 : 24 =

d) 485 535 : 25 =

f) 909 909 : 16 =

h) 4 568 974 : 20 =

8. Completa el factor que falta para que se cumpla la igualdad. a) 36 •

= 216

b) 4 •

= 2080

c) 18 • d)

•

= 4680

e)

•

10 = 5210

12 = 7080

f)

•

24 = 61 512

9. Resuelve las siguientes situaciones: a) Si tienes 3864 manzanas y las quieres colocar en 56 cajas con igual cantidad de manzanas cada una, ¿cuántas manzanas puedes poner en cada caja?, ¿quedan cajas por llenar? ¿Cuántas manzanas necesitarías para llenar 80 cajas? Explica los procedimientos utilizados. b) Un computador tiene un valor de $ 550 000. Un colegio desea comprar 16 para la sala de computación. ¿Cuánto tendrá que pagar el colegio por los computadores? Si el en taller de computación asisten 48 estudiantes y se ubica la misma cantidad de estudiantes en cada computador, ¿cuántos estudiantes habrá por computador? Explica los procedimientos utilizados.

ESTRATEGIA MENTAL Algunas divisiones las puedes resolver suprimiendo ceros. Observa. 1200 : 200 1200 : 200 12 : 2 = 6

2800 : 70 2800 : 70 280 : 7 = 40

Calcula mentalmente utilizando la estrategia anterior. c) 1800 : 600 = a) 2100 : 300 = e) 1600 : 20 = d) 440 : 40 =

b) 3500 : 500 =

g) 900 : 30 = h) 42 000 : 600 =

f) 7200 : 90 =

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS En la calculadora si quieres calcular el producto de 14 • 10 • 10 • 10 basta con digitar las siguientes teclas: 1

4

x

1

0

=

=

=

y en la pantalla aparecerá el producto buscado 14000 .

1. Elige un número menor que 100, digítalo en la calculadora y luego digita: x

1

0

=

=

=

=

=

Registra en una tabla los números que vas obteniendo cada vez que digitas = . ¿Qué ocurre con los productos obtenidos?

2. ¿Se repite lo anterior si en vez de digitar x 0 ? Verifícalo con la calculadora.

x

1

0

digitas

x

1 ?, ¿y si calculas por

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Multiplicación y sus propiedades EN EQUIPO

Materiales: • Calculadora

En esta actividad deberán realizar multiplicaciones con calculadora para descubrir regularidades. Reúnete con un compañero o compañera y sigan las instrucciones. 1. Copien en sus cuadernos las siguientes tablas. Factores 123 562 • 5 = 89 671 • 7 = 6 778 916 • 4 =

Producto

Factores 5 123 562 7 • 89 671 4 • 6 778 916

Producto

•

2. Cada integrante elige una tabla de un color, calcula los productos usando la calculadora y los registra en la tabla. 3. Comparen los factores y los productos de cada fila. a) ¿En qué se parecen los factores?, ¿en qué se diferencian? b) ¿Cómo son los productos?, ¿ocurrirá siempre lo mismo? 4. Repitan los pasos anteriores con las siguientes tablas. Factores (651 16) • 487 = (629 • 81) • 299 = (15 • 292) • 584 =

Producto

•

Factores 651 • (16 • 487) = 629 • (81 • 299) = 15 • (292 • 584) =

Producto

PARA DISCUTIR • ¿Qué sucede con el producto al cambiar el orden de los factores? • ¿Cuál es el producto de las multiplicaciones si se cambian las agrupaciones de los factores?

NO OLVIDES QUE... En la multiplicación se cumplen las siguientes propiedades: • Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el valor del producto. Si a y b son números naturales, entonces a • b = b • a. • Propiedad asociativa: En el producto de varios factores, no importa cómo los agrupemos, el valor del producto no varía. Si a y b son números naturales, entonces (a • b) • c = a • (b • c).

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Unidad 2

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EN TU CUADERNO 1. Sustituye los valores correspondientes y completa con el resultado en cada caso. a

b

c

38

51

90

600

492

222

1200

3100

2000

a•b

e ond p s re

b•a

a•c

o ern d a u cu en t

c•a

e ond p s re

(a • b) • c

a • (b • c)

o ern d a u cu en t

• ¿Qué observas en los resultados de las columnas de igual color?, ¿qué propiedades de la multiplicación se cumplen en cada caso? 2. Javiera y Francisco conoce la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición y la utiliza para resolver multiplicaciones. Observa cómo resuelven 12 • 25 570. Javiera descompone 25 570. 12 • (20 000 + 5000 + 500 + 70) = 12 • 20 000 + 12 • 5000 + 12 • 500 + 12 • 70 = 240 000 + 60 000 + 6000 + 840 = 306 840

Francisco descompone 12. (10 + 2) • 25 570 = 10 • 25 570 + 2 • 25 570 = 255 700 + 51 140 = 306 840

a) Si ambos procedimientos son distintos y están correctos, ¿cuál de ellos te parece más sencillo? b) Calcula el producto entre 17 894 y 21, utilizando uno de los procedimientos anteriores. 3. Calcula los siguientes productos, utilizando el procedimiento anterior. a) 15 • 17 =

b) 11 • 19 =

c) 17 • 14 =

d) 16 • 11 =

NO OLVIDES QUE... En la multiplicación se cumplen también las siguientes propiedades: • Distributividad de la multiplicación respecto de la adición: Si se tienen los números naturales a, b y c, siempre se cumple que: a • (b + c) = a • b + a • c. • El elemento neutro en la multiplicación es el uno. En general, si a es un número natural: a•1=1•a=a

MI PROGRESO 1. Si sabes que un jugo cuesta $ 370, ¿cuánto cuestan 4, 8, 12 y 24 jugos?, ¿cuántos jugos se compró María si pagó $ 11 100 por ellos? 2. Identifica qué propiedad está presente en cada expresión y verifícala usando números. Luego, explica con tus palabras esa propiedad. a) m • n = n • m

b) x • (y • z) = (x • y) • z

c) p • (q + r) = p • q + p • r Múltiplos, divisores y operaciones

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BUSCANDO ESTRATEGIAS

Observa la estrategia que se utiliza para resolver la siguiente situación. La familia Serrano compró para el invierno 2 frazadas eléctricas por $ 12 000 cada una, 1 estufa eléctrica por $ 9750 y 4 chaquetas por $ 15 590 cada una. Si pagaron con 10 billetes de $ 10 000, ¿cuánto recibieron de vuelto? Comprender • ¿Qué sabes del problema? Compró: 2 frazadas eléctricas a $ 12 000 cada una; 1 estufa eléctrica a $ 9750 cada una; 4 chaquetas a $ 15 590 cada una. Pagó con 10 billetes de $ 10 000 • ¿Qué debes encontrar? ¿Cuánto recibieron de vuelto? Planificar • ¿Cómo puedes resolver el problema? Calcula el dinero gastado en los productos. Luego, la suma del dinero gastado en los productos comprados por la familia Serrano y, por último, la diferencia entre la cantidad de dinero con que pagaron y la suma del dinero gastado en los productos comprados. Resolver 12 000 • 2 24 000

15 590 • 4 62 360

dinero gastado en 2 frazadas eléctricas

dinero gastado en 4 chaqueta

9 750 • 1 9 750 dinero gastado en 1 estufa eléctrica

24 000 9 750 + 62 360 96 110

dinero gastado en 2 frazadas eléctricas dinero gastado en 1 estufa eléctrica dinero gastado en 4 chaquetas suma del dinero gastado en los productos comprados

100 000 – 96 110 3 890

dinero con que se pagó suma del dinero gastado en los productos comprados diferencia entre la cantidad de dinero con que pagaron y el gastado

Responder Recibieron $ 3890 de vuelto. Revisar Puedes comprobar el resultado sumando el dinero gastado con el vuelto recibido. 96 110 + 3890 = 100 000

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Unidad 2

1. Resuelve los siguientes problemas, aplicando la estrategia de la página anterior. a) Antonio tiene una florería en la cual venden distintos tipos de arreglos. Un ramo de 6 rosas tiene un valor de $ 1200 y un ramo de 9 lilium tiene un valor de $ 2100. Si vendió 5 ramos de rosas y 4 ramos de lilium, ¿cuánto dinero reunió con la venta? b) Paulina tiene ahorrados cinco billetes de $ 5000 y diez billetes de $ 2000. ¿Cuánto dinero tiene ahorrado Paulina? c) Por la compra de 15 litros de leche de frutilla y 12 litros de leche de chocolate se canceló un total de $ 15 210. Si un litro de leche de frutilla cuesta $ 550, ¿cuánto costó el litro de leche de chocolate? d) Felipe tiene $ 12 000 para comprar azulejos de 20 cm por 20 cm. Si los azulejos se venden por unidad a un valor de $ 970, ¿le alcanzará el dinero para comprar 12 azulejos? 2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución. Explícala paso a paso y compárala con las usadas por tus compañeros y compañeras. 3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia que tú quieras. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a) En el almacén de don Juan hay 632 sacos de yeso. Si compra cada saco por $ 1350 y lo vende por $ 3500, ¿cuál es su ganancia por la venta de todos los sacos del almacén? b) En un campo, de 3689 manzanas se han podrido 689. El resto se debe ubicar en cajas de 10 manzanas cada una. ¿Cuántas cajas se necesitan? c) En una pastelería se producen diariamente 1272 alfajores y 1704 berlines. Cada alfajor se vende en $ 152 y cada berlín en $ 258. Si se deben envasar en cajas de 12 unidades respectivamente, ¿cuántas cajas se necesitan para envasarlos? ¿Cuánto dinero recaudan diariamente si se venden todos los alfajores y todos los berlines? d) En un vivero de salmones había 1 248 570 salmones. Si se vendieron 648 273, murieron 123 516 y nacieron 213 500, ¿cuántos salmones quedaron en el vivero? e) Un grupo de papás se organizó para comprar libros para la biblioteca de un colegio. Ellos decidieron comprar 30 libros de cuentos latinoamericanos por $ 3350 cada uno y 30 libros de juegos matemáticos por $ 3000 cada uno. ¿Cuánto gastaron en total?

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CONEXIONES

Cantidad de dígitos posibles

Cantidad de dígitos posibles

Entonces, la cantidad de combinaciones posibles para las patentes se obtenía al calcular: 22 • 22 • 9 • 10 • 10 • 10, es decir, existían 4 356 000 de patentes. A partir del 3 de septiembre de 2007 se comenzaron a utilizar nuevas patentes entregadas por el Registro Civil. Estas nuevas patentes son similares a las anteriores, pero están formadas por cuatro letras y dos dígitos. En estas no se usan vocales, para impedir palabras que puedan ser consideradas burlas o menoscabo de su usuario y, al igual que las anteriores, no se utilizan la Ñ ni la Q, para no confundirlas con la N y la O, respectivamente.

Cantidad de dígitos posibles

Desde 1985 hasta el año 2007, en Chile, las patentes de los automóviles tenían dos letras (excluyendo las letras I, M, Ñ, O y Q) y cuatro dígitos (excluyendo la combinación de números desde el 0001 al 0999). ¿Cuántas patentes crees que existían?

Cantidad de dígitos posibles

Nuevas patentes

Cantidad de letras posibles

NACIONAL Cantidad de letras posibles

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22

22

9

10

10

10

Si se mantiene el ritmo actual de 250 mil patentes anuales en promedio, no habrá necesidad de crear otra patente por los próximos 38 años. Su costo será de $ 15 570 y se debe pagar $ 6000 para reponerla por extravío o daño.

Fuente: http://www.emol.com/especiales/infografias/patentes/index.htm

Reúnete con 2 compañeros o compañeras, comenten y luego redacten una respuesta: 1. ¿Por qué fue necesario la creación de nuevas patentes? 2. ¿Qué opinan del aumento de la cantidad de automóviles?, ¿en qué nos puede afectar? 3. ¿Qué ventajas y desventajas tiene el nuevo sistema de patentes, respecto del antiguo? 4. ¿Cuántas nuevas patentes se crearon en el año 2007? 5. Si sumáramos las patentes antiguas y las creadas el 2007, ¿cuántas habría? 6. Si se necesitara crear un sistema con mayor cantidad de patentes, ¿qué recomendarían: agregar una letra más o un número?, ¿por qué?, ¿cuántas patentes más se crearían?

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Unidad 2

SÍNTESIS

A continuación se presenta un esquema que relaciona los principales conceptos trabajados en la unidad. Cópialo en tu cuaderno y complétalo con los siguientes términos: • Multiplicación • Factores • Múltiplos

• Mínimo común múltiplo • Dividendo • Divisor

• Máximo común divisor

Números naturales ALGUNAS

TIENEN

SE PUEDEN DESCOMPONER EN

Operaciones aritméticas

Divisores Factores primos Máximo común divisor

SON SON OPERACIONES INVERSAS

División

SE UTILIZAN EN LA

SUS TÉRMINOS SON

SU RESULTADO SE LLAMA

SUS TÉRMINOS SON

Producto

SU RESULTADO SE LLAMA

Cociente

Resolución de problemas

Utilizando los contenidos aprendidos en la unidad y apoyándote en el esquema anterior, comenta con tus compañeros y compañeras las siguientes preguntas: a) ¿Cuándo un número es múltiplo de otro?, ¿cuál es el primer múltiplo de un número?, ¿cuántos múltiplos puede tener un número? b) ¿Cómo se calcula el mcm entre dos o más números? ¿Es posible calcular el máximo común múltiplo?, ¿por qué? c) ¿Cómo resuelves la multiplicación 13 415 • 67? Explícalo, paso a paso. d) ¿Cuándo un número es divisor de otro?, ¿cuál es el número que es divisor de todos los números? e) ¿Cómo se calcula el mcd entre dos o más números? ¿Es posible calcular el mínimo común divisor?, ¿cuál sería? f) ¿Cómo resuelves la división 5678 : 19? Explícalo, paso a paso.

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¿QUÉ APRENDÍ? Marca, en tu cuaderno, la alternativa que consideres correcta en las preguntas 1 a la 8. 1. Dos veces el mínimo común múltiplo entre 12 y 18 es: A. B. C. D.

24 36 48 72

5. Dos cometas se aproximan al Sol, uno cada 20 años y otro cada 45 años. Si se aproximaron juntos el año 1980, ¿en qué año se aproximarán juntos otra vez? A. B. C. D.

1860 2045 2160 2880

2. ¿Cuál de estos números no es divisor de 28? A. 4 B. 7 C. 8 D. 14

6. ¿Cuáles son los números primos entre 2 y 20? A. B. C. D.

3, 5, 7, 11, 13, 17 2, 3, 5, 7, 11, 13 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

3. ¿Con cuál de estos dígitos se debe completar el número 52_ para que sea divisible por 3? A. B. C. D.

0 4 5 7

4. Una fábrica de chocolates debe empacar 1050 unidades en cajas iguales. Si en cada caja caben 70 unidades, ¿cuántas cajas con chocolates se tendrán en total? A. B. C. D.

14 15 17 18

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7. La factorización prima de 30 es: A. B. C. D.

2 • 15 3 • 10 5•6 2•3•5

8. Valentina quiere comprar 15 bebidas para una fiesta. Si cada una de ellas cuesta $ 980, ¿cuánto gastará en total? A. $ 4900 B. $ 9800 C. $ 11 300 D. $ 14 700

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Unidad 2 9. Descompón en factores primos los siguientes números, utilizando una de las estrategias vistas en la unidad. a) 48 c) 125 b) 60

d) 243

10. Calcula el mcm y el mcd entre los siguientes números: a) 20, 70 y 110 b) 33, 77 y 231 11. En la casa de Catalina compraron 3 juegos de loza para 4 personas por $ 9990 cada uno, 4 sets de 6 vasos por $ 1490 cada uno y 2 juegos de cuchillería para 6 personas por $ 14 990 cada uno. Si pagaron con 14 billetes de $ 5000, ¿cuánto dinero les sobró? 12. Andrés tiene 50 CD de música: 10 de rock, 15 de pop y 25 de salsa. Si quiere guardarlos en cierta cantidad de cajas de manera que en cada una quede la misma cantidad de CD de cada tipo de música, ¿cuántos CD puede guardar en cada caja?, ¿cuántas cajas necesita en total? Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿QUÉ LOGRÉ? 1. Marca según tu apreciación.

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

Múltiplos. Factores y divisores. Factores primos. Mínimo común múltiplo y máximo común divisor. Multiplicación y división de números naturales.

rno cuade u t n nde e respo

Multiplicación y sus propiedades. Resolución de problemas. 2. Reflexiona y responde. a) ¿Qué dificultades tuviste en la unidad?, ¿cómo las superaste? b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la unidad?, ¿por qué? c) Vuelve a la página 38 y revisa el recuadro “En esta unidad podrás…”, ¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Comenta.

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Taller 1 21 x 27

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Taller de evaluación 1 I. Recuerda lo que aprendiste en las unidades 1 y 2. Contesta, escribiendo en tu cuaderno la alternativa correcta. 1. El último cómputo de la Teletón, que es el evento más grande de solidaridad de nuestro país, el año 2007 fue $ 13 255 231 970. Este número se escribe en palabras: A. Trece mil millones doscientos cincuenta y cinco millones doscientos treinta y un mil novecientos setenta. B. Trece mil doscientos cincuenta y cinco millones doscientos treinta y un mil novecientos setenta. C. Trece mil doscientos cincuenta y cinco doscientos treinta y un mil novecientos setenta. D. Trece mil doscientos cincuenta y cinco millones doscientos treinta y un mil setecientos noventa. 2. Si en el número 925 061 266 el cinco se cambia por un tres, el número: A. B. C. D.

aumenta en 2 000 000. disminuye en 2 000 000. aumenta en 200 000. disminuye en 200 000.

3. Isabel fue al banco a cobrar una herencia y le entregaron 19 billetes de $ 10 000, 7 billetes de $ 1000 y 9 monedas de $ 100, 8 monedas de $ 10 y 5 monedas de $ 1. Entonces la herencia era de: A. $ 97 985 B. $ 197 085 C. $ 197 985 D. $ 1 907 985 4. Si (5 208 990 + 13 470 000) + 1 000 003 = z + (13 470 000 + 1 000 003), el valor de z es: A. B. C. D. 66

5 208 990 14 470 003 18 678 990 19 678 993 Matemática 5

5. ¿Qué número no es múltiplo de 9? A. B. C. D.

135 450 560 783

6. ¿Cuántos divisores tiene 48? A. B. C. D.

8 9 10 12

7. El número que es divisible por 6 y 9 es: A. 3467 B. 5782 C. 28 890 D. 30 506 8. La descomposición prima de 36 es: A. B. C. D.

2•2•2•3 2•2•2•2•2 2•2•3 2•2•3•3

9. El mcm entre 32 y 48 es: A. B. C. D.

8 16 48 96

10. El mcd entre 18, 39 y 75 es: A. B. C. D.

3 4 5 9

Taller 1 21 x 27

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II. Desarrolla, en tu cuaderno, paso a paso, las siguientes actividades. 1. En una encuesta, a cierto número de personas se les preguntó acerca de su estilo de vida. Observa los datos de la tabla y luego contesta: Estilo de vida

N° de personas

Malo

567 037

Regular

2 933 337

Bueno

7 932 053

Muy bueno

536 589

a) Construye una recta numérica y ubica las cantidades en ella. b) Ordena de mayor a menor las cantidades. c) Calcula la diferencia entre la cantidad de personas con estilo de vida mala y muy buena. d) Realiza un cálculo aproximado sobre la cantidad de personas que contestaron la encuesta. Explica cómo lo realizaste. e) Pedro resolvió (567 037 + 2 933 337) para hallar la cantidad de personas con estilo de vida mala y regular. Andrea calculó (2 933 337 + 567 037). ¿Qué resultado obtuvo cada uno?, ¿por qué? 2. Resuelve las siguientes situaciones: a) Este año, la familia Pérez cosechó de su huerto 81 lechugas, 99 ciruelas y 27 tomates. Si desean hacer cajas con la misma cantidad de lechugas, ciruelas y tomates para regalarlas a sus trabajadores, ¿cuál es la mayor cantidad de trabajadores que se pueden beneficiar? b) Un estudiante está ordenando los libros que hay en la biblioteca de su escuela. Él coloca 120 libros en cada estante y 40 libros en cada repisa. Si hay 23 estantes y 15 repisas, ¿cuántos libros hay en la biblioteca? c) Un trabajador ahorra $ 15 977 el primer mes, $ 23 940 el segundo y $ 5671 el tercero. Al cabo del tercer mes, el trabajador decide repartir el dinero ahorrado entre sus tres hijos. ¿Cuánto recibió cada uno? d) Mi madre tuvo sus hijos cada tres años y mi tía cada cinco, a partir del año 1990. Si mi madre tuvo 6 hijos y mi tía 4, ¿es posible afirmar que estuvieron embarazadas al mismo tiempo después de 1990?, ¿en qué año?

Taller de evaluación 1

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UNIDAD

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Fracciones

EN ESTA UNIDAD PODRÁS... • Leer y escribir fracciones para comunicar e interpretar información. • Representar números naturales y fracciones en la recta numérica y establecer relaciones de orden entre ellos. • Resolver adiciones y sustracciones de fracciones, utilizando la amplificación o simplificación de fracciones. • Resolver problemas, aplicando procedimientos de cálculo de adición y sustracción de fracciones.

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Unidad 3

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CONVERSEMOS DE... Don Pedro tiene un pequeño almacén en el barrio donde vive. Ofrece muy buenos precios a sus clientes para competir con los supermercados y con los negocios que hay en el sector. Todos los días abre de 8:00 a 13:00 horas y de 14:00 a 21:00 horas, ya que entre las 13:00 y las 14:00 horas cierra para almorzar junto a su familia. • Cuando compras en un almacén 1 kilogramo de queso, ¿qué 2 entiendes por 1 kilogramo de queso?, ¿un medio es más o 2 menos que un cuarto? • Mira la imagen del negocio de don Pedro, ¿qué fracciones aparecen?, ¿qué representa cada una de ellas? Compara tus respuestas con las de tus compañeros y compañeras. • Mira el reloj que hay dentro del almacén, ¿cuánto tiempo falta para que don Pedro cierre el almacén para ir almorzar? • ¿Qué significa un cuarto de hora?, ¿cuántos minutos equivalen a un cuarto de hora? • ¿En qué otras situaciones se pueden utilizar fracciones? Comenta tus respuestas con tus compañeros y compañeras.

Fracciones

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¿CUÁNTO SABES? Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno. 1. ¿Qué fracción representa la parte pintada en cada caso?

a)

c)

b)

d)

2. ¿Cómo se leen las siguientes fracciones? Escríbelas con palabras. a) 2 5

b) 3 6

c) 4 9

d) 7 8

e) 5 7

3. Escribe con cifras las siguientes fracciones: a) Tres cuartos.

b) Siete décimos.

c) Cuatro octavos.

d) Dos sextos.

4. Dibuja una recta numérica como la que aparece a continuación y ubica en ella las siguientes fracciones.

3 4

1 4

1 2

2 4

0

1

• ¿En qué te fijaste para encontrar su ubicación correcta? 5. Observa la siguiente imagen y responde las preguntas. a) ¿Cuántos cuadrados rojos son necesarios para completar el rectángulo? b) ¿Qué fracción del rectángulo representa un cuadrado rojo? c) ¿Qué fracción del rectángulo representa tres cuadrados rojos? d) ¿Qué fracción del rectángulo representa dos cuadrados rojos? 70 Unidad 3

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6. Observa las siguientes imágenes, responde y explica tus respuestas. a) ¿Qué fracción representa la parte de la torta que se han comido?

b) ¿Qué fracción representa la parte del litro de jugo que se han tomado?

Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿QUÉ DEBES RECORDAR? • En una fracción a se distingue numerador y denominador, donde a es el numerador

b

y b, el denominador. • El numerador es el número de partes que se considera de la unidad o total. • El denominador es el número de partes iguales en que se ha dividido la unidad o total.

3 5

partes pintadas partes en que se dividió el entero

• Recuerda cómo se leen algunas fracciones:

1 se lee “un medio”. 2

1 se lee “un quinto”. 5

1 se lee “un octavo”. 8

1 se lee “un tercio”. 3

1 se lee “un sexto”. 6

1 se lee “un noveno”. 9

1 se lee “un cuarto”. 4

1 se lee “un séptimo”. 7

1 se lee “un décimo”. 10 Fracciones

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Lectura y escritura de fracciones Muchas veces hablamos de fracciones o las vemos escritas en algún lugar. Lo importante es saber qué representa cada fracción en determinados contextos. Observa las siguientes situaciones, en cada una aparece la misma fracción.

Un ramo de 8 flores

Marcela se comió 1 del chocolate 8 que le regalaron.

tiene una amarilla, es decir, 1 de ellas 8 es amarilla.

PARA DISCUTIR • ¿En qué situaciones has visto, escuchado o utilizado la fracción 1 ?, 8 ¿cómo leerías esta fracción? • Si Marcela se hubiese comido la mitad del chocolate, ¿qué fracción representa lo que se hubiese comido?, ¿qué fracción representa lo que le quedaría de chocolate? • ¿Qué fracción representa la cantidad de flores rojas?, ¿cómo se lee esa fracción? • La fracción que representa la parte del chocolate que se comió Marcela 1 y la parte del ramo de rosas que son rojas es , pero ¿en ambas 8 situaciones representa lo mismo?, ¿por qué?

NO OLVIDES QUE... Una fracción se puede representar gráficamente como partes consideradas de un entero (o unidad) o como partes consideradas de una colección de objetos iguales. 4 Por ejemplo, la fracción se puede representar: 10 Partes consideradas de una región, entero o unidad.

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Unidad 3

Partes consideradas de una colección de objetos iguales.

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EN TU CUADERNO 1. Copia el cuadro en tu cuaderno y luego completa según corresponda. Dibujo

Numerador

Denominador

o adern u c u t de en n o p s re rno uade c u t n nde e respo

7

10

Fracción

Se lee…

6 8

o adern u c u t de en n o p s re

2. Piensa, relaciona y responde: a) Si 1 se lee “un séptimo”, ¿cómo se lee la fracción 5 ?, ¿y la fracción 15 ? 7 7 7 b) Si 1 se lee “un décimo”, ¿cómo se lee la fracción 1 ?, ¿y la fracción 1 ? 1000 10 100 c) La fracción 1 se lee “un onceavo”, entonces, ¿cómo se leen las fracciones 3 , 4 y 10 ? 11 11 11 11 d) La fracción 5 se lee “cinco veinteavos”, entonces, ¿cómo se leen las fracciones 7 , 19 y 23? 20 20 20 20 3. Escribe la fracción correspondiente en cada caso. a) Tres novenos.

c) Doce dieciochoavos.

e) Diez centésimos.

b) Cinco doceavos.

d) Treinta y seis cuarentavos.

f) Quince milésimos.

NO OLVIDES QUE... • Para leer fracciones se lee primero el numerador y luego el denominador. • Las fracciones con denominador menor que 10 se leen como: medios, tercios, cuartos, quintos, sextos, séptimos, octavos y novenos, respectivamente. • Las fracciones con denominador mayor que 10 se leen agregando la terminación “avo”. Ejemplo: 5 se lee: cinco treinta y cuatroavos. 34 • Un caso particular son las fracciones con denominador 10, 100 y 1000. 4 2 3 Ejemplo: se lee: cuatro décimos; se lee: dos centésimos y se lee: tres 10 100 1000 milésimos. Fracciones

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Tipos de fracciones Don Marcos y su familia son felices a la hora del té, porque es el momento en que comparten, conversan y disfrutan de una deliciosa once con unas ricas marraquetas (pan francés o pan batido). Las marraquetas están divididas en cuatro trozos similares. Si suponemos que estos trozos son exactamente iguales, podemos representar gráficamente lo que come cada integrante de la familia. Observa.

Don Marcos

Señora Inés Esteban

Ignacia

PARA DISCUTIR • ¿Qué fracción representa lo que comió don Marcos, la señora Inés y Esteban?, ¿de qué otra forma se pueden expresar estas cantidades? • Ignacia se comió menos de dos marraquetas. Don Marcos dice que Ignacia comió 1 1 marraquetas y la señora Inés dice que comió 3 marraquetas, 2¿quién está en lo correcto?, ¿por qué? 2 • ¿Quién comió menos de una marraqueta?, ¿el numerador de la fracción que representa esta cantidad es menor o mayor que el denominador? • ¿Quiénes comieron más de una marraqueta?, ¿el numerador de las fracciones que representan estas cantidades es mayor o menor que el denominador respectivo?

NO OLVIDES QUE... Existen distintos tipos de fracciones: • Fracción igual a la unidad: es aquella fracción donde el numerador y el denominador son iguales. Por ejemplo: 2 , 5 , 6 ,10 . 2 5 6 10 • Fracción propia: es una fracción menor que la unidad, es decir, el numerador es menor que el denominador. Por ejemplo: 1 , 1 , 3 , 3 . 2 4 4 8 • Fracción impropia: es una fracción mayor que la unidad, es decir, el numerador es mayor que el denominador. Por ejemplo: 3 , 5 , 8 , 15 . 2 2 2 2 • Una fracción impropia se puede escribir como un número natural, si el númerador es múltiplo del denominador, o bien como número mixto, que se forma con un número entero y una fracción propia. 4 2 74

Unidad 3

2

8 3

2

2 3

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EN TU CUADERNO 1. ¿Qué tipo de fracción está representada en cada caso? Escribe la fracción correspondiente. a)

d)

b)

e)

c)

f)

2. Representa gráficamente las siguientes fracciones en tu cuaderno y clasifícalas en propias, impropias o iguales a la unidad. a) 3 5

c) 5 5

e) 15 4

g) 9 9

b) 6 3

d) 12 6

f) 7 10

h) 2 11

3. Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala, guiándote por el ejemplo. Representación gráfica

Fracción impropia

Número mixto

7 3 8 5

2 1 3

n tu e e ond p s re

tu en e ond p s re

rno e d cua

rno e d cua

1 1 4

Fracciones

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Fracciones equivalentes EN EQUIPO

Materiales: • 3 hojas blancas tamaño oficio • Lápices de colores

En esta actividad descubrirán fracciones equivalentes a partir de su representación gráfica. Formen grupos de 3 integrantes y sigan las instrucciones:

1. Cada integrante divide una hoja en 4 rectángulos iguales haciendo dobleces como se muestra en la figura, y luego pinta uno de los rectángulos obtenidos. ¿Qué fracción de la hoja representa la parte pintada? 2. Un integrante hace un doblez más para que la hoja quede dividida en 8 partes iguales. 3. Otro integrante hace dos dobleces más para que la hoja quede dividida en 16 partes iguales. 4. El otro integrante hace tres dobleces más para que la hoja quede dividida en 32 partes iguales. 5. Cada uno escribe la fracción de la hoja que representa ahora la parte pintada.

PARA DISCUTIR • ¿En qué se parecen las fracciones 1 , 2 , 4 y 8 ?, ¿y en qué se 4 8 16 32 diferencian? • ¿Podrías decir que las fracciones 1 y 4 son fracciones equivalentes?, 4 16 ¿por qué?

NO OLVIDES QUE... Las fracciones equivalentes se escriben de forma distinta, pero representan la misma cantidad, parte o medida. Por ejemplo, 1 = 2 . 2 4

EN TU CUADERNO 1. Escribe las fracciones equivalentes que se han representado por cada par de figuras. Encuentra otra fracción equivalente en cada caso y explica el procedimiento utilizado. a)

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b)

Unidad 3

c)

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2. Marcela obtiene fracciones equivalentes a 8 amplificando, y Felipe, simplificando. Observa sus 12 procedimientos. Marcela multiplica el numerador y denominador por el mismo número: 8 , 16 y 48 12 24 72 Son fracciones equivalentes.

Felipe divide el numerador y el denominador por el mismo número: 8 , 4 y 2 3 12 6 Son fracciones equivalentes.

a) ¿Qué opinas de los procedimientos que utilizan Marcela y Felipe?, ¿cuál es más simple?, ¿por qué? b) ¿Puedes aplicar el procedimiento de Marcela siempre?, ¿y el de Felipe?, ¿por qué? c) Para encontrar fracciones equivalentes de 1 , 2 , 4 , ¿utilizarías el procedimiento de 5 3 7 Marcela o Felipe?, ¿por qué? 3. Encuentra tres fracciones equivalentes en cada caso, amplificando o simplificando. Luego, responde. b) 2 5

a) 3 7

c) 12 36

d) 15 25

e) 18 24

f) 16 48

• ¿En qué casos amplificaste?, ¿y en cuáles simplificaste? Comenta.

NO OLVIDES QUE... • Amplificar una fracción consiste en multiplicar por el mismo número el numerador y denominador, para obtener una fracción equivalente. • Simplificar una fracción consiste en dividir por el mismo número el numerador y denominador, para obtener una fracción equivalente. Para esto se debe encontrar un número que sea divisor del numerador y del denominador. • Una fracción que no se puede simplificar se llama fracción irreductible.

MI PROGRESO Claudia todos los meses distribuye su sueldo de la siguiente manera: 1 en 6 alimentación, 2 en luz, agua y teléfono, 1 en dividendo, 1 para otros gastos 12 8 3 y 2 los ahorra. 12 1. Escribe en tu cuaderno cómo se lee cada una de las fracciones de dinero que gasta Claudia e indica qué tipo de fracción es. 2. Según los datos de la situación, responde. (Puedes ayudarte representando en un diagrama cómo distribuye Claudia su sueldo). a) ¿En qué gasta más dinero?, ¿y en qué menos? ¿Con qué fracciones se representan? b) ¿En qué gasta la misma cantidad de dinero?, ¿qué fracciones representan esa misma cantidad de dinero?, ¿cómo son esas fracciones entre sí?, ¿cómo podrías verificar tu respuesta? Fracciones

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Orden y comparación de fracciones Los siguientes diagramas son de igual forma y tamaño, y están divididos en partes iguales. Observa las fracciones que representa cada uno. 2 3

4 3

4 9

4 8

6 9

1

3 9

PARA DISCUTIR • ¿En qué se parecen los diagramas que están pintados con amarillo?, ¿en qué se parecen las fracciones 4 y 6 ? 9 9 • Imagina que colocas el diagrama que representa la fracción 4 sobre el 9 que representa 6 , ¿cuál tiene una mayor superficie pintada? 9 • Si comparas los diagramas que representan 4 y 4 , ¿cuál tiene una 3 8 mayor superficie pintada?, ¿qué fracción es mayor, 4 ó 4 ? 3 8 2 3 • Manuel dice que es mayor que , ¿qué opinas tú? 3 9 4 • Claudia dice que es equivalente a 1 3 , ¿estás de acuerdo con ella?, 3 9 ¿por qué?

NO OLVIDES QUE... • Al comparar fracciones de igual numerador, es mayor la que tiene menor denominador y menor la que tiene mayor denominador. • Al comparar fracciones de igual denominador, es mayor la que tiene el numerador mayor, y menor la que tiene el numerador menor. • Para comparar fracciones que tienen distintos denominadores y distintos numeradores, puedes seguir los siguientes pasos: 1º Encontrar fracciones equivalentes a las fracciones dadas, donde ambas tengan el mismo denominador. 2º Comparar los numeradores de las fracciones encontradas. Ejemplo: Para comparar las fracciones 2 y 3 , obtenemos el mínimo común múltiplo entre 5 7 los denominadores que es 35 y amplificamos cada una de las fracciones para que tengan este denominador: 2 5 78

•

7 14 = 7 35

Unidad 3

3 7

•

5 15 = 5 35

Como

14 15 3 < , entonces, 2 < . 35 35 5 7

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EN TU CUADERNO 1. Compara las siguientes fracciones, usando los signos <, > o =, según corresponda. a) 6 9

6 8

c) 3 11

5 11

e) 9 7

3 6

b) 5 9

4 9

d) 8 12

8 9

f) 10 16

5 8

2. Observa el siguiente procedimiento para comparar fracciones. Para comparar calcula los productos cruzados: Como entonces

5 6 5 • 8 = 40 40 5 6

y

< <

7 8 6 • 7 = 42 42 7 8

a) ¿Qué opinas del procedimiento?, ¿es correcto?, ¿por qué? b) Utiliza este procedimiento para comparar los siguientes pares de fracciones: 4 y 6 1 y 2 2 y 1 8 9 7 8 10 2 3. Resuelve los siguientes problemas y compara tus respuestas con el curso. a) En la pastelería de doña Julia se venden tartas. Todas son del mismo tamaño y se venden por trozos. El lunes se vendieron 2 de la tarta de frutilla y 5 de la tarta de frambuesa, ¿qué tipo de 6 8 tarta fue la más vendida ese día? b) Martín se demoró tres cuartos de hora en terminar su tarea y Pablo se demoró media hora en terminar la misma tarea, ¿quién se demoró menos tiempo en terminarla? 2 3 1 4. En un curso de gimnasia hay 20 personas, de las cuales usan malla, usan buzo y usan 4 10 5 pantalones cortos. a) ¿Cuántas personas del curso usan malla?, ¿y cuántas usan buzo?, ¿cómo lo calculaste? b) ¿La mayoría de las personas del curso usan malla, buzo o pantalones cortos?, ¿cómo lo supiste? 1 5. Una caja tiene 36 lápices, de los cuales 1 son azules, 2 son rojos y son verdes. ¿Hay más lápices 2 9 6 azules, rojos o verdes? Compara tu procedimiento con el de tus compañeros y compañeras.

NO OLVIDES QUE... Para calcular la fracción de un número n, puedes dividir n por el denominador de la fracción y luego multiplicarlo por el numerador, o bien multiplicar el numerador de la fracción por n y el resultado dividirlo por el denominador. Por ejemplo: 1 de 8 = 1 • 8 = 4. 2 2 Fracciones

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Fracciones y números naturales en la recta numérica En las siguientes rectas numéricas se han ubicado las fracciones 3 y 4 . 4 3 Observa.

0

0

PARA DISCUTIR

1 4

2 4

1 3

3 4

2 3

1 4 4

1 3 3

4 3

5 3

2 6 3

• ¿En cuántas partes se dividió la distancia entre el 0 y el 1 en cada recta?, ¿con qué se relaciona esta cantidad de partes? • Si 3 es una fracción propia y 4 es impropia, ¿cómo se distingue esto 3 4 en cada recta? • Si cada unidad de la recta en la que se representó la fracción 3 4 estuviese dividida en 8 partes iguales, ¿qué fracción ubicarías en la misma posición que 3 ?, ¿y si estuviese dividida en 12 partes iguales? 4 • Si quisiéramos representar las fracciones 3 y 4 en una sola recta, ¿en 4 3 cuántas partes debiéramos dividir una unidad?, ¿por qué? • ¿ 3 es mayor o menor que 4 ?, ¿cómo se observa esta relación en la 4 3 recta numérica?

NO OLVIDES QUE... • Al igual que ocurre en los números naturales, una fracción que esté ubicada a la izquierda de otra en la recta numérica es siempre menor que ella; y una fracción que esté ubicada a la derecha de otra en la recta numérica es siempre mayor que ella. • Como las fracciones propias son menores a la unidad, siempre se ubican entre 0 y 1. • Para ubicar una fracción en la recta numérica primero se divide la distancia entre dos números naturales consecutivos (0 y 1, 1 y 2, 2 y 3, etc.) en tantas partes iguales como indica el denominador de la fracción. Luego, debes avanzar desde el cero el número de veces que indica el numerador. 0 1 3 Ejemplo: Para ubicar la fracción 3 , como es una 5 5 fracción propia, divido en 5 partes iguales la distancia 5 partes iguales entre 0 y 1. Luego, avanzo 3 lugares desde el 0.

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Unidad 3

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EN TU CUADERNO 1. Escribe en tu cuaderno la fracción que representa la posición destacada con color rojo en cada recta numérica. a)

d) 0

1

b)

0

1

0

1

2

0

1

2

e) 0

1

c)

f) 0

1

2. Copia en tu cuaderno cada recta numérica y ubica en ella la fracción o número mixto correspondiente. a) 2 5 b) 3 3 c) 1 1 6

0

0

0

d) 1 4 7

1

e) 8 3

1

1

2

f) 3 1 2

0

1

2

0

1

2

3

0

1

2

3

4

MI PROGRESO Carolina es una niña muy organizada y programa su tiempo de la siguiente manera para realizar distintas actividades después del colegio: • 1 1 hora para practicar su deporte favorito 2 2 • de hora para estudiar y hacer sus tareas 3 • 3 de hora para jugar con sus amigos y amigas 4 • 1 1 de hora para ver televisión 4 1. Ordena de menor a mayor las fracciones mencionadas. 2. Dibuja una recta numérica y ubica en ella estas fracciones. 3. Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas. a) ¿En qué actividad ocupa más tiempo?, ¿y en cuál menos tiempo? b) ¿Ocupa más tiempo en jugar o estudiar?, ¿cómo lo supiste? c) ¿Ocupa más tiempo en ver televisión o en estudiar y hacer sus tareas? Fracciones

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Adición y sustracción de fracciones con igual denominador 4 7 del curso se inscribieron en el taller científico y del 15 15 curso se inscribieron en el taller de pintura. Los talleres se realizan En el 5º A,

en el mismo horario, por lo que los alumnos y alumnas no pueden inscribirse en ambos. El resto del curso no se inscribió en ningún taller. Observa el diagrama que representa la situación:

PARA DISCUTIR • En el diagrama, ¿qué representa la parte pintada de verde?, ¿y la de naranja? • ¿Qué fracción representa la parte del curso que participará en alguno de los talleres?, ¿y cuál la que no se inscribió en ningún taller?, ¿cómo lo calculaste? • Si el curso tiene 45 alumnos y alumnas, ¿es correcto decir que 9 no se inscribieron en ningún taller y que 21 en el taller científico?, ¿por qué?

Para obtener la fracción del curso que se inscribió en algún taller podemos sumar las fracciones que representan a los inscritos en cada uno. 4 11 + 7 = 4+7 = 15 15 15 15 Luego, 11 del curso se inscribió en algún taller. 15 Si consideramos que el total del curso se puede representar por la fracción 15 , para saber qué parte del curso no participó en ningún 15 taller podemos restarle la parte del curso que se inscribió en alguno. 15 – 11 = 15 – 11 = 4 15 15 15 15 4 Luego, del curso no se inscribió en los talleres. 15

NO OLVIDES QUE... • Para resolver una adición de dos o más fracciones con igual denominador se suman los numeradores y se conserva el denominador. Por ejemplo: 1 + 2 = 1 + 2 = 3 . 7 7 7 7 • Para resolver una sustracción de dos fracciones con igual denominador se restan los numeradores y se conserva el denominador. Por ejemplo: 7 – 3 = 7 – 3 = 4 9 9 9 9 82

Unidad 3

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EN TU CUADERNO 1. Escribe las fracciones que representan las partes pintadas de cada color. Luego, calcula la fracción pintada en cada figura usando una adición, y la fracción sin pintar, con una sustracción. Fracción pintada: 7 + 9 = 16 24 24 24

Ejemplo:

Fracción sin pintar: 24 – 16 = 8 24 24 24

a)

b)

2. Calcula el resultado y simplifica hasta obtener una fracción irreductible. a) 1 + 3 = 7 7

c) 4 + 3 = 8 8

e) 5 – 1 = 9 9

g) 15 – 9 = 10 10

b) 6 + 6 = 15 15

d) 2 + 1 = 5 5

f) 12 – 2 = 20 20

h) 30 – 30 = 60 60

3. En cada caso, descubre la fracción incógnita para que se cumpla la igualdad. a) 14 + 5 = 25 25

c)

d) 9 – 4 = 10 10

= 17 18

b) 12 + 18

+ 16 = 23 30 30

e)

– 17 = 7 32 32

f) 12 – 13

= 10 13

4. Resuelve los siguientes ejercicios. a) 8 – 3 + 3 = 10 10 10

(

)

b) 18 – 7 + 9 = 25 25 25

(

)

c)

( 182 + 1418 ) – ( 187 + 182 ) =

A

yuda

Para resolver ejercicios con operaciones combinadas de adiciones y sustracciones, primero debes desarrollar los paréntesis y luego, las adiciones y sustracciones de izquierda a derecha.

5. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas, mostrando el desarrollo de cada paso. a) El huerto de don Hugo está dividido en 8 partes iguales. 3 del huerto está sembrado con 8 acelgas, 4 del huerto está sembrado con tomates y el resto aún no está sembrado. ¿Qué 8 fracción del huerto está sembrada?, ¿qué fracción del huerto falta por sembrar? b) En el cumpleaños de Martín había una bandeja con 20 pasteles. Si los invitados primero comieron 8 9 y luego comieron de los pasteles, ¿qué fracción de los pasteles quedó? 20 20 Fracciones

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Adición y sustracción de fracciones con distinto denominador Los abuelitos de Camila le hicieron en su cumpleaños una gran torta. 2 Con su familia se comieron de la torta y cuando se reunió con sus 5 amigos y amigas se comieron 13 más. 30

PARA DISCUTIR • Si la torta estaba dividida en 30 porciones iguales, ¿cómo representarías en un diagrama cuánta torta se comieron en total? • ¿Cuánto es 2 + 13 ?, ¿cómo lo supiste? 5 30 • ¿Cuál es la fracción de la torta que representa lo que queda después de que Camila, sus amigos, amigas y familiares comieron torta?, ¿cómo obtuviste el resultado? • ¿Cómo resolverías 30 – 2 + 13 ?, ¿a qué corresponde el resultado de 30 5 30 este ejercicio en el contexto del problema?

(

)

NO OLVIDES QUE... Para sumar o restar fracciones con distinto denominador puedes: 1º Amplificar o simplificar todas o algunas de las fracciones dadas, para obtener fracciones con igual denominador. 2º Sumar o restar los numeradores, según corresponda, y conservar el denominador. Recuerda que para expresar los resultados obtenidos como fracción irreductible debes simplificarlos. Ejemplo:

1 2 1•5 2•3 5 6 11 + = • + • = + = 3 5 3 5 5 3 15 15 15

EN TU CUADERNO 1. Resuelve los siguientes ejercicios amplificando o simplificando para igualar denominadores. Expresa tus resultados como una fracción irreductible. a) 1 + 2 = 4 6

c) 4 + 2 = 5 10

e) 7 + 2 = 9 3

g) 1 + 1 = 15 3

b) 7 – 2 = 12 6

d) 10 – 4 = 10 5

f) 7 – 2 = 9 3

h) 1 – 1 = 3 15

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Unidad 3

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2. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas: a) Esteban se demora 1 de hora en almorzar y Matías se demora 5 de hora. ¿Cuánto tiempo más 4 8 ocupa Matías en almorzar? b) Un agricultor cosecha primero 1 del total de sus plantaciones de lechuga y luego cosecha 1 del 5 2 total de sus plantaciones. ¿Qué fracción del total de las plantaciones de lechuga ha cosechado?, ¿cuánto le falta por cosechar?

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Usando una planilla de cálculo, resuelve adiciones y sustracciones de fracciones. Sigue las instrucciones. 1º En A1 escribe “Fracción 1”, en B1 “Fracción 2”, en C1 “Operación” y en D1 “Resultado”. En las celdas A2 y B2 anota 3 y 2 , respectivamente. 2 3 2º Para que las fracciones anotadas aparezcan como fracción propia o número mixto, selecciona todas las celdas (A2 a D3), haz clic en el botón derecho y elige Formato de celdas. Luego, elige Fracción y Hasta tres dígitos. 3º En las celdas correspondientes a “Operación” escribe la operación que se realizará. Para esto observa la pantalla. Ejemplo: suma de fracción 1 y fracción 2. 4º Luego, marca la celda D2, haz doble clic en ella y anota =A2+B2. Presiona enter. Así aparecerá la suma de la “Fracción 1” con la “Fracción 2”. 5º En D3 escribe =A2–B2. Esto te arrojará el valor de la diferencia entre la “Fracción 1” y la “Fracción 2”. Así, se obtiene:

Escribe una fracción en A2 y otra menor en B2, y observa los resultados que obtienes.

MI PROGRESO 1 Andrea tiene dinero ahorrado, pero ha gastado una parte. Si gastó en un 4 3 regalo para su mejor amiga, luego gastó para comprarse una polera y 1 para 8 8 ir al cine. 1. ¿Qué fracción del total del dinero ahorrado representa lo que gastó Andrea? 2. ¿Qué fracción del dinero le quedó después de estos gastos? 3. Explica los procedimientos utilizados. Fracciones

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BUSCANDO ESTRATEGIAS

En la sala del 5º B hay un diario mural. En el curso acordaron que la información que pondrían en él se distribuirá de la siguiente manera: • 2 del diario mural para informaciones del curso. 9 • 1 del diario mural para noticias nacionales e internacionales. 3 • 1 del diario mural para informaciones del colegio. 9 • El resto para la exposición de trabajos de los alumnos y alumnas del curso. ¿Qué fracción del diario mural está destinada a la exposición de trabajos de los alumnos y alumnas? Comprender • ¿Qué sabes del problema? La fracción del diario mural destinada a información del curso, información del colegio y noticias. • ¿Qué debes encontrar? La fracción del diario mural destinada a la exposición de trabajos de los alumnos. Planificar • ¿Cómo puedes resolver el problema? Para resolver el problema debo conocer la fracción total utilizada por las secciones: noticias, informaciones del curso y del colegio, para eso se suman las fracciones asignadas a estas secciones. Luego, este resultado se resta al entero o unidad, que representa todo el diario mural y se obtiene la fracción que corresponde a la sección para la exposición de trabajos de los alumnos y alumnas. Resolver Primero: 2 + 1 + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 = 2 9 3 9 9 9 9 9 3 Segundo: Representamos el diario mural entero con la fracción 3 y le restamos el resultado 3 anterior. 3 –2 = 1 3 3 3 Responder Un tercio del diario mural de la sala del 5º B está destinado a la exposición de los trabajos de sus alumnos y alumnas. Revisar Para comprobar la respuesta, suma las fracciones que corresponden a cada una de las secciones; verifica que el resultado obtenido es 1. 86 Unidad 3

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Unidad 3

1. Resuelve los siguientes problemas, aplicando la estrategia de la página anterior. a) En una de las repisas de la biblioteca de un colegio, del total de libros que hay, 3 son de 12 Lenguaje y Comunicación, 4 son de Educación Matemática, 2 son de Ciencias y lo que 8 12 queda es de Inglés. ¿Qué fracción de los libros que hay en la repisa son de Inglés? b) Para realizar un proyecto de Educación Tecnológica, Pablo y Carlos deben utilizar género. Pablo tiene 6 de un metro de género y Carlos tiene 3 de un metro de género. ¿Cuál de los 10 5 dos aportará más género para la realización del proyecto? c) Francisca compró 5 de kilogramo de pan y su vecina, Martina, compró 2 de kilogramo de 6 3 pan. ¿Cuánto pan compraron entre las dos?, ¿quién compró más pan?, ¿cuánto más? 2. Ahora resuelve el problema anterior, utilizando otra estrategia de resolución, explícala, paso a paso, y compárala con las usadas por tus compañeros y compañeras. 3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia que tú quieras. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a) Juan Carlos y su hermano, después de jugar en la plaza, sacaron del refrigerador una botella que contenía 3 de litro de bebida. Si 4 Juan Carlos tomó 2 de litro de bebida y su hermano tomó 1 de 6 3 litro de bebida, ¿qué fracción tomaron en total los dos?, ¿qué fracción de litro de la bebida queda ahora? b) Para el cumpleaños de Tadeo dividieron la torta en 10 partes 4 1 iguales. Si se comieron del total y le enviaron a sus primos 10 5 del total, ¿qué fracción de la torta les quedó?

D

ato interesante

Una fracción impropia se puede escribir como número mixto. 19 = 15 + 4 = 3 4 5 5 5 5

c) Doña Lucía pesaba 243 kg y perdió 11 kg después de una enfermedad. Cuando se recuperó, 4 2 aumentó 33 kg. ¿Cuánto pesa al final? 8 25 d) Un día, Juan durmió horas, leyó durante 11 horas y vio televisión 43 horas. ¿Cuánto 3 4 12 tiempo invirtió en estas tres actividades?, ¿cuántas horas del día le quedan a Juan para otras actividades?

Fracciones

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CONEXIONES

TENDENCIAS

¡La mitad de los escolares de 10 años hace las tareas con la TV encendida! Un estudio de la Universidad de Alicante, en España, realizado con niños y niñas entre 10 y 12 años, arrojó que más de 1/2 de ellos hace las tareas, estudia, juega y come, con la televisión encendida. Según esta investigación, la mayoría de los que estudian con la televisión encendida son las niñas, posiblemente debido a que

ellas son capaces de realizar con eficacia varias tareas simultáneamente, y a que tienden a estudiar y a realizar sus tareas en espacios donde hay otros familiares, como el living o la cocina. Los niños, en cambio, prefieren espacios con mayor soledad o aislamiento.

Fuente: http://www.tercera.cl/medio/articulo/0,0,38035857_165317001_266608341,00.html (consultada marzo de 2008, adaptación).

En grupos de tres integrantes, desarrollen la siguiente actividad. 1. Realicen un estudio sobre si los niños y niñas entre 10 y 12 años hacen sus tareas con la televisión encendida. 2. Para esto pregunten a 10 niños y 10 niñas del colegio o que vivan cerca de sus casas y que tengan entre 10 y 12 años si hacen sus tareas viendo televisión. Las opciones de respuesta son SÍ o NO. Registren las respuestas en una tabla como la siguiente para las niñas y otra para los niños: SÍ NO ¿Haces tus tareas viendo TV? 1. Nombre: X 2. Nombre: X A partir de los datos obtenidos, respondan: a) ¿Cuántos niños hacen sus tareas viendo televisión?, ¿qué fracción del total de los niños representa esta cantidad?, ¿y del total de los encuestados? b) ¿Cuántas niñas hacen sus tareas viendo televisión?, ¿qué fracción del total de las niñas representa esta cantidad?, ¿y del total de los encuestados? c) ¿Qué fracción del total de los niños y niñas hace sus tareas viendo televisión? d) ¿Quiénes ven más televisión cuando hacen sus tareas, los niños o las niñas? e) ¿De qué manera podrían ayudar a disminuir las cifras mencionadas en el reportaje?

88 Unidad 3

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Unidad 3

SÍNTESIS A continuación se presenta un esquema que relaciona los principales conceptos trabajados en la unidad. Cópialo en tu cuaderno y complétalo con los siguientes términos: • Número mixto • Fracción igual a la unidad

• Fracción propia: menor que la unidad • Fracción impropia: mayor que la unidad

• Recta numérica • Adición y sustracción

Clasificación

Representaciones gráficas

Amplificación y simplificación

FRACCIONES

Lectura y escritura

Cálculos

Orden y comparación

Fracciones equivalentes

Con distinto denominador

Con igual denominador

Utilizando los contenidos aprendidos en la unidad y apoyándote en el esquema anterior, comenta con tus compañeros y compañeras las siguientes respuestas. a) Cuando lees una fracción, ¿qué es lo primero que nombras? b) ¿Cómo se nombran las fracciones que tienen denominador mayor que 10? c) ¿De qué otra forma se puede expresar una fracción impropia? Escribe un ejemplo. d) Si dos fracciones tienen igual numerador, ¿cuál sería la mayor? e) Si dos fracciones tienen igual denominador, ¿cuál sería la menor? f) ¿Para qué nos sirve amplificar y simplificar fracciones? g) ¿Cómo representas una fracción menor que la unidad en la recta numérica? h) ¿Cuál es el procedimiento para resolver una adición de fracciones con distinto denominador? Inventa un ejemplo.

Fracciones

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¿QUÉ APRENDÍ? Marca, en tu cuaderno, la alternativa que consideres correcta en las preguntas 1 a la 8. 1. ¿Qué fracción del conjunto de pelotas son de color verde?

5. “Diez diecisieteavos” corresponde a la lectura de la fracción: A. 17 10 B. 10 7 10 C. 17 D. 10 27

A. 4 9 3 B. 6 C. 4 6 D. 2 9 5 se puede representar de la 4 siguiente manera:

2. La fracción

Y como número mixto se escribe: A. 1 5 4 4 B. 2 4

C. 2 1 4 D. 1 1 4

6. ¿Cuál fracción es mayor que A. 3 12 B. 2 4

I.

4 < 4 6 7

A. 2 4 B. 3 4

90 Unidad 3

II.

4 < 4 8 9

A. I.

C. II.

B. I y II.

D. Ninguna.

8. ¿Cuál es el resultado de la siguiente adición?

4. ¿Qué fracción está representada en el punto A? A

C. 9 12 D. 5 12

7. ¿Cuál o cuáles de las siguientes relaciones son correctas?

3. ¿Cuál de las siguientes fracciones es 3 equivalente a ? 6 1 2 A. C. 2 3 B. 1 D. 3 9 9

0

7 ? 12

1 + 1 + 3 4 4 8

1 C. 1 3 2 D. 3

A. 6 8 8 B. 4

C. 7 8 7 D. 4

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Unidad 3 9. Amplifica para encontrar dos fracciones equivalentes a cada fracción dada. a) 3 b) 2 c) 4 d) 2 5 4 7 3 10. Simplifica para encontrar la fracción irreductible de cada una de las fracciones dadas. 3 a) 6 b) 12 c) d) 18 15 24 24 12 11. Resuelve los siguientes ejercicios combinados. a) 6 + 2 – 2 12 12 6

(

)

b) 2 + 6 + 4 – 1 5 15 5 5

(

) (

)

c) 17 + 3 – 1 24 6 3

(

)

12. Alicia y Carolina fueron a una confitería y compraron gomitas. Alicia compró 2 kilogramo de gomitas y Carolina compró 1 kilogramo de 8 6 gomitas. ¿Cuál de las dos compró más gomitas?, ¿cuántos más? Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿QUÉ LOGRÉ? 1. Marca según tu apreciación.

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

Lectura y escritura de fracciones. Tipos de fracciones. Fracciones equivalentes.

rno uade c u t n nde e respo

Orden y comparación de fracciones. Fracciones y números naturales en la recta numérica. Adición y sustracción de fracciones con igual denominador. Adición y sustracción de fracciones con distinto denominador.

rno cuade u t n nde e respo

Resolución de problemas. 2. Reflexiona y responde. a) ¿Qué dificultades tuviste en la unidad?, ¿cómo las superaste? b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la unidad?, ¿por qué? c) Vuelve a la página 68 y revisa el recuadro “En esta unidad podrás…”, ¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Comenta. Fracciones

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UNIDAD

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Decimales

EN ESTA UNIDAD PODRÁS... • Leer y escribir números decimales para interpretar y comunicar información. • Expresar el resultado de una división no exacta como un número decimal. • Transformar una fracción en un número decimal, y viceversa. • Representar números naturales, fracciones y números decimales en la recta numérica, y establecer relaciones de orden entre ellos. • Utilizar diversos procedimientos para el cálculo de adiciones y sustracciones de números decimales. • Resolver problemas de distintos contextos, utilizando números decimales.

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CONVERSEMOS DE... El sobrepeso y la obesidad pueden causar en niñas y niños muchos problemas de salud: problemas con sus huesos y articulaciones, dificultad para respirar y cansancio al realizar deportes. Las niñas obesas pueden entrar antes en la pubertad, como asimismo tener un colesterol alto. Además, pueden presentar desánimo, depresión, baja autoestima, y ser discriminadas. Para prevenir este y otros problemas de salud es importante visitar periódicamente al pediatra. Como parte del control, el doctor o doctora medirá tu estatura y tu peso, pudiendo determinar si estos valores son normales o si tienes, por ejemplo, sobrepeso. Según la información de la imagen, responde: • ¿Quién es más alto, Valentina o Cristóbal? • ¿Cuál es la diferencia entre sus estaturas? • ¿Quién pesa más? • Si Cristóbal y Valentina pesan 37 1 kg cada uno, ¿es lo mismo decir 2 que pesan 37,5 kg?, ¿por qué? • En el control, el doctor dice que Valentina está muy bien, pero Cristóbal tiene sobrepeso. ¿Por qué ocurre esto si ambos pesan lo mismo?, ¿qué puede hacer Cristóbal para tener un peso adecuado a su edad? • ¿En qué otras situaciones ocupamos números decimales?

Valentina tiene 11 años, mide 142 cm y pesa 37,5 kg, y Cristóbal tiene 10 años, mide 135,5 cm y pesa también 37,5 kg.

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¿CUÁNTO SABES? Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno. 1. Escribe en tu cuaderno cómo se leen las siguientes fracciones. a) 4 5

b) 3 10

c) 24 100

d)

50 1000

2. Compara en tu cuaderno las siguientes fracciones, usando los signos <, > o =. a) 6 10

5 10

c) 2 3

7 4

b) 4 5

12 15

d) 10 5

10 9

3. Observa el cuadrado y luego responde en tu cuaderno.

a) ¿Qué fracción del cuadrado es naranja? b) ¿Qué fracción del cuadrado es morada? c) ¿Qué fracción del cuadrado es morada o verde? d) ¿Qué fracción del cuadrado es verde o naranja?

4. Escribe en tu cuaderno la fracción indicada en la recta numérica. a) 0

1

0

1

b)

5. Amplifica por un número apropiado para encontrar una fracción decimal equivalente en cada caso. a) 4 5 94 Unidad 4

b) 7 2

c) 9 25

d) 3 10

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6. Simplifica por un número apropiado para encontrar una fracción decimal equivalente en cada caso. a) 35 c) 15 g) 120 e) 28 50 50 600 280 b) 36 60

d) 45 300

f) 128 400

h) 168 8000

7. Resuelve los siguientes problemas y explica el procedimiento que utilizaste en cada caso. a) En una convivencia del colegio, Luis se tomó 1 de litro de jugo y 4 Carlos se tomó 0,3 de litro de jugo. ¿Quién tomó más jugo? b) Adriana se compró un chocolate. Si se comió 0,2 del chocolate y repartió 3 a su familia, ¿qué fracción del chocolate se comieron?, 5 ¿qué fracción del chocolate quedó? Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿QUÉ DEBES RECORDAR? • Las fracciones que tienen denominadores 10, 100, 1000, etc. se llaman fracciones decimales. Unidad decimal Fracción decimal Número decimal • El décimo y 1 centésimo se llaman Un décimo 0,1 10 unidades decimales 1 y pueden ser Un centésimo 0,01 100 representadas con fracciones. • Amplificar una fracción es multiplicar el numerador y denominador de una fracción por el mismo número natural. • Simplificar una fracción es dividir el numerador y denominador de una fracción por el mismo número natural. • Las fracciones irreductibles son aquellas que no se pueden seguir simplificando. • Si dos fracciones tienen igual numerador, es mayor la fracción con menor denominador. • Si dos fracciones tienen igual denominador, es mayor la fracción con mayor numerador. • Para comparar dos fracciones con distinto numerador y denominador, debes encontrar fracciones equivalentes a las dadas, que tengan el mismo denominador y así poder comparar los numeradores. • Para ubicar fracciones en la recta numérica, debes dividir los segmentos de la recta en partes iguales, como indica el denominador. Luego, debes avanzar desde el cero las veces que indique el numerador. Decimales

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Lectura y escritura de decimales Algunos estudiantes del colegio están postulando a un programa para niños y niñas con talentos académicos. Rindieron varios exámenes para medir sus habilidades y también su motivación por aprender. Los puntajes que obtuvieron en total se muestran en la tabla. Estudiante

Puntaje

Se lee

Laura

21,15

21 enteros 15 centésimos

Ignacio

22,97

22 enteros 97 centésimos

Antonia

26,004

26 enteros 4 milésimos

Gabriel

24,7

24 enteros 7 décimos

Valentina

22,2

22 enteros 2 décimos

Carlos

23,684

23 enteros 684 milésimos

PARA DISCUTIR • Su profesora sabe que están preseleccionados si el puntaje es igual o mayor que 24. ¿Quién está preseleccionado? • ¿Qué indican las cifras que se encuentran antes de la coma?, ¿y después de la coma? • ¿Por qué las cifras después de la coma no siempre se leen igual? • ¿En qué hay que fijarse para leer la parte decimal de un número? Un número decimal tiene una parte entera y una parte decimal. Por ejemplo, en el número decimal 2,38: el 2 indica la parte entera y el 38 indica la parte decimal. Parte entera Centena

Decena

Parte decimal Unidad

,

Décimos Centésimos Milésimos

Para leer números decimales es muy importante la ubicación de la coma decimal, porque separa la parte entera de la parte decimal. Observa los siguientes ejemplos: 308 Trescientos ocho. 30,8 Treinta enteros, ocho décimos. 3,08 Tres enteros, ocho centésimos. 0,308 Trescientos ocho milésimos. Si te fijas, las cifras son las mismas, solo cambia la posición en que está la coma decimal en cada número. La parte decimal de un número se lee completa (no por cifras) y usando la unidad decimal correspondiente a la posición de la última cifra decimal. Por ejemplo, 2,38 se lee “dos enteros treinta y ocho centésimos”. 96

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EN TU CUADERNO 1. Copia la siguiente tabla y complétala, guiándote por los ejemplos. Número decimal

C

D

3,7

U

,

Décimos

3

,

7

Centésimos Milésimos

3 enteros, 7 décimos. 14 enteros, 65 centésimos.

14,65

1

4

,

6

5

50,239

5

0

,

2

3

9

0

1

7

50 enteros, 239 milésimos.

,

125,25 34,017

Se lee

3

4

,

286 enteros, 7 décimos.

, 5

3

,

0

0

5

2. Escribe con palabras los siguientes números decimales: a) 0,649

c) 12,308

e) 20,02

g) 64,46

b) 4,054

d) 2,005

f) 125,125

h) 10,042

3. Escribe en tu cuaderno qué valor representa el dígito 3 en los siguientes números decimales. Guíate por el ejemplo. a) 3,05

c) 0,387

e) 8,3

g) 342,908

b) 31,7

d) 7,183

f) 5,139

h) 2,035

4. Escribe con cifras los siguientes números decimales: a) 11 enteros 12 centésimos

c) 8 enteros 123 milésimos.

e) 45 enteros 8 milésimos.

b) 28 centésimos.

d) 2 enteros 45 milésimos.

f) 100 enteros 4 décimos.

NO OLVIDES QUE... • Las cifras que se encuentran antes de la coma decimal indican la parte entera y las que se encuentran después de la coma indican la parte decimal del número. • Para leer un número decimal, primero se lee la parte entera y luego la parte decimal, con la unidad correspondiente a la posición de la última cifra decimal.

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Relación entre decimales y fracciones Constanza necesita una botellita que le sirva para llevar leche al colegio. Con su mamá buscan en casa y encuentran varias, de distintos tamaños: de 1 litro, de 1 litro, de 0,35 litros, y de 4 2 0,45 litros.

PARA DISCUTIR 1 es mayor o menor que 0,35? 4 1 • ¿Dé qué otra forma podríamos expresar la fracción ? 4 1 • ¿Es correcto decir que es equivalente al número decimal 0,25?, ¿por 4 qué?, ¿cómo podríamos saberlo? • ¿Cómo podría comparar Constanza las medidas de las botellas para tomar una decisión? • ¿La fracción

Las fracciones y los números decimales son dos formas de representar un mismo tipo de número: los números que no son naturales. Si se necesita comparar fracciones y decimales, hay que transformar algunos de los números, de modo de tenerlos todos expresados en decimales o todos expresados en fracciones. La fracción 1 es equivalente al resultado de la división 1 : 4. Al 4 resolverla, determinaremos cuál es el número decimal correspondiente a la fracción 1 . Pero al dividir 1 : 4, el resultado es 0 y el resto es 1. 4 ¿Cómo se puede resolver? La idea es amplificar el resto para poder seguir dividiendo. El procedimiento es el siguiente: 1º Como 1 es menor que 4, el resultado es 0 y el resto es 1. 2º Para continuar dividiendo se agrega una coma decimal a continuación (del 0 en este caso) y un 0 al lado del resto, en este caso 1. Entonces se transforma en 10 y ahora se divide 10 : 4. El resultado es 2 y el resto es 2. 3º Ahora se agrega un 0 al lado del 2, se transforma en 20 y se divide 20 : 4. El resultado es 5 y el resto es 0. Es decir, la división ya está terminada, 1 : 4 = 0,25. Y la fracción 1 es equivalente a 0,25. 4

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1 : 4 = 0,25 10 –8 20 – 20 0//

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EN TU CUADERNO 1. Transforma las siguientes fracciones a número decimal. 4 5 b) 10 4

12 600 d) 7 8

6 24 f) 3 8

c)

a)

e)

11 20 h) 37 100

9 10 j) 48 100 i)

g)

2. Descubre qué número es y compara tu resultado con el de tus compañeros y compañeras. “Soy un número decimal, mi parte entera es impar, mayor que 2 y menor que 4,5. En la posición de los décimos tengo un número natural mayor que 7 y menor que 9. En la posición de los centésimos tengo un número natural mayor que 5,2 y menor que 6,3”.

NO OLVIDES QUE... • Toda fracción se puede transformar en un número decimal, calculando la división entre su numerador y su denominador.

ESTRATEGIA MENTAL Observa la siguiente estrategia para transformar una fracción decimal en el número decimal correspondiente: • Se escribe solo el numerador de la fracción y se mueve la coma decimal (de derecha a izquierda) tantas veces como ceros tenga el número del denominador y, en esa posición, ubicar la coma decimal. • Si la coma se debe mover más lugares que las cifras que tiene el número, se completan los lugares faltantes con ceros. 6534 = 0,06534 Ejemplos: 562 = 5,62 100 100 000 Ahora, si quieres transformar un número decimal finito (es decir, con una cantidad limitada de cifras decimales) a fracción, puedes utilizar la siguiente estrategia: • Se escribe en el numerador el número decimal (sin la coma) y en el denominador, el número formado por un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el número decimal. • Si es posible, se simplifica la fracción. Ejemplos: 43,8 = 438 0,028 = 28 1000 10 1. Transforma las siguientes fracciones decimales a número decimal. a) 9 b) 6 c) 895 d) 78 e) 34 10 100 100 1000 1000 2. Transforma los siguientes decimales a fracción decimal. a) 0,027

b) 0,006

c) 0,0064

d) 0,895

e) 1,48

Decimales

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Decimales finitos e infinitos Claudia estaba revisando las funciones de las teclas de su calculadora y descubrió que algunas fracciones se transformaban en números decimales con muchas cifras decimales. Observa: 3 = 0,3333333… = 0,3_ 4 = 0,26666...= 0,26_ 2 = 0,2857142857142… 9 15 7 33

0.33333 m-

m+

mr

mc

1 0

–

6

5

4

x

9

8

7

PARA DISCUTIR :

+

3

2 .

c

=

• ¿Qué significan los puntos suspensivos?, ¿y la línea sobre los números? • ¿Las cifras decimales de estos números son limitadas? • ¿Las partes decimales de cada número decimal tienen dígitos repetidos?, ¿qué cifra crees que seguiría a continuación en cada caso? • ¿A qué fracción corresponde 0,555555…? ¿Cómo se podría calcular? • ¿Todos los números decimales se podrían escribir como fracción? Cuando un número decimal tiene una cantidad limitada de cifras decimales, se llama número decimal finito. En un número decimal: • Se llama período a la o las cifras que se repiten infinitamente en la parte decimal, siguiendo siempre la misma secuencia. Se representa dibujando una línea sobre las cifras que lo conforman. • Se llama anteperíodo a la o las cifras que se encuentran entre la coma decimal y el período del número. Los números decimales que tienen anteperíodo se llaman semiperiódicos y los que tienen período, pero no anteperíodo se llaman periódicos. Ejemplos: 0,7222222…

D

4,565656...

el período es 2 y el anteperíodo 7 el período es 56 y no tiene anteperíodo.

ato interesante

En las calculadoras, algunos números periódicos parecen que no fueran periódicos, porque cambia una de sus cifras. Por ejemplo, 11 : 3 = 3,66…; sin embargo, al ingresarlo en una calculadora se obtiene el número 3,6666667, que solo tiene 7 cifras decimales, y además la última cifra es 7 en lugar de 6. Esto es porque en los números decimales la calculadora siempre aproxima la última cifra.

100 Unidad 4

Observa el siguiente desarrollo: Si x = 0,444444… entonces multiplicando por 10, se obtiene 10x = 4,444444… y se pueden restar: 10x = 4,444444… – x = 0,444444… 9x = 4,000000… luego, x = 4 9 ¿Es cierto? Compruébalo realizando la división entre 4 y 9 para escribir la fracción como decimal. Ahora, para escribir un número decimal periódico como fracción, el procedimiento es el siguiente: • Se escribe en el numerador: la resta entre el número decimal sin la coma y la parte entera del número. • Se escribe en el denominador: un número formado por tantos 9 como cifras tenga el período. Por ejemplo: _ 1,3 = 13 – 1 = 12 = 4 18,16 = 1816 – 18 = 1798 9 9 3 99 99

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Los pasos para escribir como fracción un número decimal semiperiódico son los siguientes: • Se escribe en el numerador la resta entre el número decimal (sin la coma) y el anteperíodo. • Se escribe en el denominador: un número formado por tantos 9 como cifras tenga el período y tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo. _ _ Ejemplos: 0,514 = 514 – 51 = 463 7,43 = 743 – 74 = 669 = 223 90 90 30 900 900

EN TU CUADERNO 1. Clasifica los siguientes números decimales (finitos, infinitos periódicos, infinitos semiperiódicos). a) 1,5 e) 0,12444… g) 4,3232… c) 0,1666… b) 2,5

d) 126,014

f) 6,111…

h) 6,21333…

2. Expresa como fracción los siguientes números decimales. c) 0,24 –– d) 1,23

a) 2,15 b) 0,15

– e) 4,05 –– f) 2,145

–– g) 14,52 –– h) 10,125

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Para realizar cálculos con números decimales, a veces, es necesario realizar aproximaciones. Esta operación resulta bastante más sencilla con la utilización de una planilla Excel. En la barra de herramientas de Excel puedes encontrar los íconos

0 00 y

00 0 , los cuales

sirven para agregar o quitar cifras decimales de un número, respectivamente. Ejemplo: Ingresaremos el número 23,7654 y disminuiremos el número de cifras decimales haciendo clic en

00 . Observa que al disminuir cada cifra decimal, el programa aproxima 0

por redondeo. A las milésimas: 23,765

A las centésimas: 23,77

A las décimas: 23,8

Aproxima por redondeo los siguientes números a las milésimas, centésimas y décimas, luego, ingresa los números en Excel y comprueba tus resultados: 34,6578; 13,24001; 7,5824; 8,9870; 6,009; 234,6277; 45,6568; 4,4; 0,9999.

NO OLVIDES QUE... • Los números decimales infinitos que se pueden escribir como fracción son solo los números periódicos y semiperiódicos. • Hay números decimales infinitos que no se pueden expresar como fracción, porque sus cifras decimales no siguen una secuencia, como, por ejemplo, el número π = 3,141592… Decimales 101

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Decimales, fracciones y números naturales en la recta numérica En el lanzamiento de la pelotita, los atletas disponen de un sector circular donde está permitido realizar sus lanzamientos. Cada lanzamiento se mide por separado, desde el punto de partida. Los lanzamientos obtenidos esta jornada por los niños son:

Marcos Antonio Miguel Iván Luis

48,28 m 51,5 m 56,5 m 53,37 m 48,82 m

Como cada uno lanza la pelotita en distintas direcciones, para decidir quién ganó no basta con ver dónde quedaron las pelotitas. Entonces, el juez del campeonato ordena los valores obtenidos en una recta numérica.

PARA DISCUTIR • ¿Quién lanzó la pelotita más lejos?, ¿quién la lanzó más cerca? • Javier está lesionado, pero dice que él lanza la pelotita por lo menos 56 1 metros. ¿Dónde se ubicaría esa cantidad?, ¿está en la misma 2 posición que otra cantidad? • ¿Dónde ubicarías 52,4 metros?, ¿más cerca del 53 o más cerca del 54?, ¿por qué? • El lanzamiento de Iván ¿está más cerca de 53,4 o de 53,3?, ¿por qué? • ¿Antonio lanzó su pelotita aproximadamente a 52 metros? • ¿Quién lanzó su pelotita más lejos, Luis o Marcos? Para construir una recta numérica debemos elegir el número de inicio y de término, y decidir la graduación según los datos que se desean representar. Según las magnitudes de los números que se están representando en la recta numérica, en ocasiones se puede aproximar un número decimal antes de ubicarlo en la recta numérica. Por ejemplo, 54,38 se puede aproximar a 54,4 y 54,32 se puede aproximar a 54,3.

102 Unidad 4

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EN TU CUADERNO 1. Dibuja para cada caso, una recta numérica y ubica en ella los números que se presentan a continuación. Luego, compara los resultados con tus compañeros y compañeras. 0,75

5

4,8

1,2

2,4

4 10

3

57 10

0,6

2. La siguiente tabla muestra los promedios de 10 estudiantes en Matemática. Carolina Denisse 5,7

6,8

Rodrigo

Natalia

Martín

Joaquín

Sofía

4,2

3,8

6,6

6,3

5,5

Cristóbal Valentina Andrés 4,8

5,2

4,0

Dibuja una recta numérica en tu cuaderno, ubica en ella los promedios de estos alumnos y alumnas, y luego responde. a) ¿Cuántos estudiantes sacaron nota entre 5,0 y 6,0? b) ¿Cuál fue el promedio más bajo y el promedio más alto? c) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron promedio sobre 6?, ¿y quién estuvo más cerca de obtener promedio 7?

NO OLVIDES QUE... • Todo número (naturales, fracción o decimal) puede ser ubicado y asociado con un punto de la recta numérica. • Un número que está ubicado a la izquierda de otro en la recta numérica siempre es menor que él, y si está ubicado a la derecha, es mayor que él.

MI PROGRESO 1. Identifica el error en cada una de las equivalencias y corrígelas en tu cuaderno. a) 1 entero 5 centésimos se escribe 1,005 b) 2 enteros 7 décimos corresponden al número mixto 2 7 100 c) 4,567 se lee 4 enteros 567 décimos d) 0,89 =

89 1000

2. Representa en una recta numérica los números decimales y las fracciones de la actividad anterior. Luego, responde en tu cuaderno. a) ¿Qué números decimales se ubican entre el 0 y el 1?, ¿y qué fracciones? b) ¿Entre qué números naturales se ubica el número 4,567?, ¿a qué fracción corresponde este número? Decimales 103

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Orden y comparación Todos los años, al comenzar el año escolar, la profesora de Educación Física mide la estatura y la masa de sus alumnos y alumnas, para tener un registro de su crecimiento y determinar los ejercicios adecuados. Los datos de algunos de sus alumnos y alumnas son: Nombre del alumno

Estatura en metros

Masa en kilogramos

Nicolás

1,67

60,8

Belén

1,55

48

Paula

1,45

47,4

Juan Pablo

1,5

60,25

Marcelo

1,4

54,5

PARA DISCUTIR • Si observas en la tabla la estatura de los niños y niñas, podemos ver que todos miden más de un metro. ¿Quiénes miden más de 1 1 metro? 2 1 • ¿Hay algún alumno o alumna en la tabla que mida 1 metro? 2 • ¿Cuál de los niños o niñas tiene más masa y cuál tiene menos masa? • ¿Quién tiene más masa, Nicolás o Juan Pablo? Justifica tu respuesta. • Si tuvieras que ordenar a los alumnos y alumnas de la tabla, desde el más alto hasta el más bajo, ¿cuál sería el orden? • Si tuvieras que ordenar a los niños y niñas de la tabla, desde el que tiene más masa hasta el que tiene menos masa, ¿cuál sería el orden?

NO OLVIDES QUE... • Para comparar números decimales puedes comparar las partes enteras de los números decimales entre sí y luego las cifras decimales según su posición, comenzando por la de mayor valor (décimos), hasta que una de ellas sea menor o mayor que la otra. Por ejemplo, comparar 4,36 y 4,32. • Otra forma de comparar números decimales finitos e infinitos periódicos o semiperiódicos, es transformando cada número decimal en una fracción y luego comparar las fracciones como aprendiste en la unidad anterior.

104 Unidad 4

4,36

4,32 4=4 3=3 6>2

Por lo tanto, 4,36 > 4,32.

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EN TU CUADERNO 1. Completa en tu cuaderno con >, < o =, según corresponda. – a) 0,5

1,5

d) 3,57

– 3,56

g) 0,003

0,030

14 10

– 1,4

e)

35 100

28 100

h) 5,06

505 100

c) 8,0

0,8

f) 11,99

12

– i) 2,3

b)

2. Ordena los siguientes números de menor a mayor. – – a) 14,2; 15,02; 14,02; 1,52; 14,32 – – b) 8,05; 8,005 ; 8,5; 8,055; 8,55

3,2

_ – c) 10,04; 10,044; 10,404; 10,004 ; 10,444

3. Escribe un número que se encuentre entre los siguientes pares de números. a) 4 y 5

b) 3,2 y 3,6

c) 1,25 y 1,27

d) 4,357 y 4,365

4. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas. a) En la clase de Educación Física los alumnos y alumnas deben dar siete vueltas alrededor de una cancha. Si Marcela se demoró 9,5 minutos, Carlos se demoró 8,9 minutos, Felipe se demoró 9,9 minutos y Victoria se demoró 10,3 minutos, ¿quién se demoró menos tiempo en dar las siete vueltas?, ¿quién fue el último en llegar?, ¿cuál fue el orden de llegada a la meta? b) Determina el número decimal que cumpla con las siguientes condiciones. • Es menor que 15,9 y mayor que 15,3. • El dígito de los décimos es el número entero que se encuentra entre 4,25 y 5,2. • El dígito de los centésimos es par y es divisible por 3.

MI PROGRESO La siguiente tabla muestra la variación del dólar entre abril de 2007 y marzo de 2008. Con esta información responde. 1. ¿En qué fecha el dólar alcanzó su mayor valor? 2. ¿En qué fecha el dólar alcanzó su menor valor? 3. ¿Hay meses en que el dólar alcanzó el mismo valor? 4. ¿Por qué en la práctica el dólar se expresa en cantidades exactas como $ 529? Comenta tu respuesta con el curso.

Fecha Abril - 2007 Mayo - 2007 Junio - 2007 Julio - 2007 Agosto - 2007 Septiembre - 2007 Octubre - 2007 Noviembre - 2007 Diciembre - 2007 Enero - 2008 Febrero - 2008 Marzo - 2008

Valor (pesos) 527,08 527,52 527,46 523,08 524,63 511,72 494,64 508,47 495,82 465,30 458,02 435,60

Fuente: http://www.economiaynegocios.cl/mercados/monedas.asp (consultado en abril de 2008) Decimales 105

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Adición y sustracción de números decimales Alicia pesaba 56,5 kilogramos y durante su embarazo subió 12,3 kg. Cuando nació su hijo perdió 6,8 kilogramos.

PARA DISCUTIR • ¿Cuántos kilogramos pesaba Alicia al término de su embarazo?, ¿y cuántos después de nacer su hijo?, ¿cómo lo supiste? • Si 2,3 + 4,5 es igual a 6,8, ¿cómo se sumaron estos números?, ¿cuál es entonces el resultado de 5,3 + 4,6?, ¿cómo lo calculaste? • Si 4,25 + 1,64 es igual a 5,89, ¿cómo se sumaron estos números?, ¿cuál es entonces el resultado de 3,41 + 2,46?, ¿cómo lo calculaste? • Siguiendo el procedimiento anterior, ¿cuántos kilogramos pesaba Alicia al término de su embarazo? • Si 7,89 – 4,32 es igual a 3,57, ¿cómo se restaron estos números?, ¿cuál es entonces el resultado de 8,64 – 1,23?, ¿cómo lo calculaste? • Siguiendo el procedimiento anterior, ¿cuántos kilogramos pesaba Alicia cuando nació su hijo? • Para sumar o estar números decimales, ¿se pueden sumar o restar partes enteras con partes decimales? Para sumar o restar números decimales debes escribir los números en forma vertical, de modo que las comas queden en la misma columna. Si los números no tienen la misma cantidad de cifras decimales, se añaden a la derecha los ceros necesarios, para que tengan la misma cantidad de cifras decimales. Luego, se suma o resta como si fueran números naturales, manteniendo la coma del resultado en la misma columna. Observa los siguientes ejemplos: Adición 0,81 + 0,3222

0,8100 + 0,3222 1,1322

Sustracción 7,698 – 5,324 2,374

EN TU CUADERNO 1. Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios. a) 0,09 + 1,99 =

d) 3,67 – 2,24 =

g) (57,3 + 23,15) – 36,29 =

b) 4,79 + 12,5 =

e) 24,5 – 23,62 =

h) (5,008 – 2,078) + 10,06 =

c) 3,45 + 7,8 =

f) 9,06 – 3,47 =

i) 31,025 – (3,17 + 17,38) =

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2. Copia en tu cuaderno las siguientes secuencias de operaciones y luego complétalas. a) 20,4

b) 12,5

c) 1

+ 3,5

+ 3,5

+ 3,5

+ 3,5

– 0,7

– 0,7

– 0,7

– 0,7

– 0,25

– 0,25

– 0,25

– 0,25

3. Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno. a) En una competencia de natación, el primer lugar se demoró 2,43 min y el último lugar se demoró 3,89 min. ¿Cuántos minutos de diferencia hubo entre el primer y el último lugar de la competencia? b) Si Ricardo compró en la feria 1,5 kg de manzanas, 0,8 kg de cerezas, 2,3 kg de naranjas y 1,5 kg de plátanos, ¿cuántos kilogramos de fruta compró en total? c) La diferencia entre la estatura de Claudia y su papá es 0,19 m. Si el papá de Claudia mide 1,78 m y es más alto que su hija, ¿cuál es la estatura de Claudia?

EN EQUIPO En esta actividad deberán construir una tabla con sus estaturas y masas. Formen grupos de 5 integrantes y sigan las instrucciones.

Materiales: • Huincha de medir • Pesa

1. Midan la estatura y masa de cada uno de los integrantes. 2. Escriban en una tabla los resultados obtenidos. 3. Ordenen las estaturas y masas de menor a mayor. ¿Son similares las medidas?, ¿por qué creen que existen similitudes y/o diferencias entre los alumnos y alumnas de un mismo curso? Expliquen. 4. Si todos los integrantes del grupo se subieran juntos a una pesa, ¿cuánto marcaría la pesa? 5. Averigüen cuál es la estatura y masa recomendada para los niños y niñas de su edad. Luego, comparen con las medidas de cada uno de ustedes. ¿Qué pueden concluir? 6. Averigüen de qué factores dependen las medidas de estatura y masa de una persona, y relacionen con los resultados obtenidos.

MI PROGRESO Pablo es un deportista muy esforzado. Sale a correr tres veces a la semana. El lunes corrió 24,5 km, el miércoles 37,2 km y el viernes 28,6 km. 1. ¿Qué día corrió más y qué día corrió menos kilómetros?, ¿cómo lo supiste? 2. ¿Cuál es la diferencia de kilómetros entre el miércoles y el viernes?, ¿entre el lunes y miércoles?, ¿y entre el lunes y viernes? 3. ¿Cuántos kilómetros recorrió en total? Decimales 107

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BUSCANDO ESTRATEGIAS

Fernanda midió 48,5 centímetros cuando nació y cada mes crece aproximadamente 2,7 centímetros. ¿Cuántos centímetros, aproximadamente, medirá Fernanda cuando tenga seis meses? Comprender • ¿Qué sabes del problema? Fernanda midió 48,5 centímetros cuando nació y cada mes crece aproximadamente 2,7 centímetros. • ¿Qué debes encontrar? La estatura aproximada de Fernanda cuando tenga seis meses. Planificar • ¿Cómo puedes resolver el problema? Sumando la cantidad de centímetros que crece cada mes (seis veces) y el resultado obtenido sumarlo a la estatura que tenía Fernanda cuando nació. • ¿Qué operación puedes utilizar? Una adición. Resolver 2,7 centímetros que crece aproximadamente por mes 2,7 2,7 2,7 2,7 + 2,7 16,2 48,5 + 16,2

centímetros que crece aproximadamente en seis meses. centímetros que midió al nacer centímetros que crece aproximadamente en seis meses.

64,7 centímetros que medirá aproximadamente a los seis meses. Responder Fernanda medirá aproximadamente 64,7 centímetros cuando tenga seis meses. Revisar • ¿Cómo puedes comprobar tus resultados? Puedes comprobar el resultado restando los centímetros que medirá aproximadamente a los seis meses con los centímetros que crece aproximadamente en seis meses. 64,7 centímetros que medirá aproximadamente a los seis meses. – 16,2 diferencia entre la estatura a los seis meses y los 48,5 de 48,5 estatura de Fernanda cuando nació.

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Unidad 4

1. Resuelve los siguientes problemas, aplicando la estrategia de la página anterior. a) El diámetro de una naranja en determinado momento es 5,6 cm. Si crece 0,7 cm por semana, ¿cuál será el diámetro de la naranja al cabo de un mes? b) El cabello de Andrea mide aproximadamente 38 centímetros y el cabello de las personas crece aproximadamente 1,5 centímetros por mes. Si no se corta el cabello, ¿cuánto medirá después de tres meses? c) Una persona con problemas de obesidad siguió el tratamiento indicado por su nutricionista y bajó 1,6 kilogramos en una semana. Si al comenzar el tratamiento pesaba 120,78 kg, ¿cuánto pesaba a las cinco semanas de tratamiento? 2. Ahora resuelve el problema anterior, utilizando otra estrategia de resolución, explícala, paso a paso, y compárala con las usadas por tus compañeros y compañeras. 3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia que tú quieras. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a) La estatura de un bebé, después de un año de vida, aumentó en 0,32 metros. El año siguiente, en 0,14 metros. Si su estatura al final de este período es de 0,96 metros, ¿cuánto midió al nacer? b) La mamá de Fernando compró frutas y las colocó en una canasta. Si la canasta, incluyendo 1,2 kg de naranjas, 2,5 kg de manzanas y 1,4 kg de plátanos, tiene una masa de 5,85 kg, ¿cuál es la masa de la canasta vacía? c) Francisca anduvo en bicicleta desde su casa hasta la de su prima y juntas se dirigieron a la casa de su tía Paula, que se encontraba a 4,2 kilómetros de ahí. Si en total recorrió 12,9 km, ¿cuántos kilómetros anduvo desde su casa hasta la de su prima? d) De un cordel que mide 7,5 m de largo se corta un trozo de 2,05 m. ¿Cuánto mide el otro trozo de cordel? e) En una competencia de atletismo los tiempos de llegada fueron los siguientes: Claudio: 11,24 segundos Paula: 11,2 segundos Martín: 11,27 segundos - ¿Cuál es el orden de llegada a la meta? - Si Martín se hubiese demorado 9 décimas de segundo menos, ¿cuál habría sido el orden de llegada a la meta?

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CONEXIONES

NACIONAL

600 atletas se inscribieron para estar en forma en el Ironman 70,3 de Pucón No cabe duda que el deporte de moda en verano es el triatlón, más aún si la prueba, que se va a correr en Pucón, dio uno de sus mayores pasos al convertirse en el nuevo Ironman 70,3, perteneciendo así a una fecha de circuito mundial. Tanto es el éxito de esta competencia, que son 600 los atletas que se inscriben para participar, tanto nacionales, como extranjeros. Han participado atletas

destacados como el australiano Chris Mc Cormack, campeón del Ironman Hawai 2006 y el argentino Óscar Galíndez, cuatro veces campeón de esta prueba. La primera vez que se corrió esta competencia fue en el año 1986 y ya van 23 versiones de la competencia. La prueba considera un recorrido de 1,2 millas de natación, 56 millas de ciclismo y 13,1 millas de trote.

Fuente: El diario Austral de la Araucanía, deporte y recreación, viernes 11 enero 2008, Carlos Inostroza http://www.australtemuco.cl/ (consultado en abril de 2008).

Reúnete con dos compañeros o compañeras y desarrollen las siguientes actividades. 1. Ordenen las millas recorridas de cada deporte de menor a mayor. 2. Comenten y luego respondan: a) ¿Qué parte del triatlón es la más larga?, ¿y cuál es la más corta? b) ¿Cuántas millas se recorren en total en este triatlón? c) ¿Por qué el triatlón se llama Ironman 70,3? d) ¿Por qué creen que es necesario hacer deporte? e) ¿Por qué creen que Pucón es un buen lugar para realizar competencias de triatlón?, ¿en qué otros lugares de Chile se podría hacer un triatlón? 3. Investiguen nombres de atletas chilenos que han participado en algún triatlón de Pucón, y cuáles han sido sus mejores resultados. 4. Comenten en su curso: a) ¿Qué fue lo más difícil de estas actividades? b) ¿Cómo lo resolvieron?

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Unidad 4

SÍNTESIS

A continuación se presentan frases incompletas referidas a los principales conceptos trabajados en la unidad. Copia las frases en tu cuaderno y complétalas con los siguientes términos. • Comas • Fracciones decimales • Parte entera • Periódicos

• Recta numérica • Posiciones decimales • Números decimales

• Semiperiódicos • Unidades decimales • Parte decimal

• Las fracciones que tienen denominador 10, 100, 1000, etc. se llaman • El décimo, centésimo y milésimo son

.

.

• Toda unidad decimal puede representarse como una fracción decimal y como un . • Los números decimales se pueden ubicar en una

.

• Los números decimales se clasifican en finitos, infinitos • Para leer un número decimal, primero se lee la

e infinitos

.

y luego, la

.

• Para comparar números decimales se comparan las partes enteras entre sí y luego, las correspondientes. • Para sumar y restar números decimales es importante ordenar los números de manera vertical, dejando en la misma columna las

.

Utilizando los contenidos aprendidos en la unidad y apoyándote en las frases anteriores, comenta con tus compañeros y compañeras las siguientes preguntas: a) ¿En qué situaciones utilizas los números decimales? b) ¿Qué utilidad crees que tiene el uso de números decimales? c) ¿Qué relación existe entre los números decimales y las fracciones? d) ¿Existen equivalencias entre las unidades decimales? Nombra algunas.

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¿QUÉ APRENDÍ? Marca, en tu cuaderno, la alternativa que consideres correcta en las preguntas 1 a la 8. 1. De un bidón de cinco litros de agua, primero se tomaron 2,3 litros y luego 1,8 litros. ¿Cuántos litros de agua quedan en el bidón? A. 4,1 litros B. 4,3 litros C. 0,9 litros D. 0,8 litros 2. El número decimal 0,08 es igual a la fracción: 9 8 8 B. 10 C. 8 9 D. 8 100 A.

3. ¿Cuál de estos números decimales corresponde a 3 enteros, 52 milésimos?

5. El número decimal 2,05 se lee: A. 2 enteros, 5 décimos. B. 205 milésimos. C. 2 enteros, 5 centésimos. D. 2 enteros, 5 milésimos. 6. ¿Cuál de los siguientes números decimales podría estar en el recuadro? 4,307 < < 4,37 A. 4,378 B. 4,70 C. 4,306 D. 4, 36 7. ¿Cuál de los siguientes números decimales es mayor que 23 ? 10 A. 0,24 B. 2,30

A. 0,352

C. 4,306

B. 52,003

D. 0,23

C. 3,052 D. 3,52 4. Tres amigos midieron sus estaturas. Gabriel mide 1,67 metros, Pedro mide 1,76 metros y Antonio mide 1,61 metros. ¿En cuál de las siguientes alternativas los amigos están ordenados de menor a mayor estatura? A. Gabriel - Pedro - Antonio B. Antonio - Pedro - Gabriel C. Antonio - Gabriel - Pedro D. Pedro - Antonio - Gabriel

112 Unidad 4

8. Unos gemelos al nacer pesaron muy poquito, el mayor pesó 2,845 kilogramos y el menor 2,735 kilogramos. ¿Cuál es la diferencia entre el peso de ambos hermanos? A. 0,11 kilogramos. B. 0,1 kilogramos. C. 0,011 kilogramos. D. 0,01 kilogramos.

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Unidad 4 9. Sustituye los valores correspondientes y completa con el resultado en cada caso. a

b

c

38,5

18,91

27,18

12,407

7,05

11,508

a+b

a–b

b+c

c–b

(a + b) – c

derno a u c u e en t d n o p res

10. Un número aumentó en 2,3, luego en 5,4 y, después, disminuyó 3,1. Si finalmente el número obtenido es 10,7, ¿cuál es el número inicial? 11. La suma de tres números es 50. Si uno de ellos es 15,4 y el otro es 3,7 unidades mayor que el primero, ¿cuál es la diferencia entre el tercer número y el primero? Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿QUÉ LOGRÉ? 1. Marca según tu apreciación.

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

Lectura y escritura de decimales. Relación entre decimales y fracciones. Decimales finitos e infinitos.

rno uade c u t n nde e respo

Decimales, fracciones y números naturales en la recta numérica. Orden y comparación. Adición y sustracción de números decimales.

derno a u c u e en t d n o p res

Resolución de problemas.

2. Reflexiona y responde. a) ¿Qué dificultades tuviste en la unidad?, ¿cómo las superaste? b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la unidad?, ¿por qué? c) Vuelve a la página 92 y revisa el recuadro “En esta unidad podrás…”, ¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Comenta.

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Taller 2 21 x 27

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Taller de evaluación 2 I. Recuerda lo que aprendiste en las unidades 3 y 4. Contesta, escribiendo en tu cuaderno la alternativa correcta. 32 1. La representación de la fracción “siete doceavos” 6. La fracción equivale a: 90 es: A. 0,35 B. 0,32 A. 17 C. 12 C. 0,32 12 7 D. 0,35 B. 7 D. 7 12 2 7. ¿Cuál de estos números decimales 11 2. La fracción se puede clasificar como: corresponde a 2 enteros 25 milésimos? 8 A. 2,25 A. fracción propia B. 20,25 B. fracción impropia C. 2,025 C. igual a la unidad D. 2,0025 D. fracción decimal 3. La fracción 29 corresponde al número mixto: 7 1 A. 7 3 C. 7 7 4 4 1 B. 1 D. 4 7 7 4. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es 7 equivalente a ? 5 C. 14 A. 28 15 10 35 2 D. 1 B. 25 5 5. ¿Cuál de las siguientes alternativas está ordenada de menor a mayor? 4 A. 1 , 2 , , 8 , 6 9 9 9 9 9 3 5 7 9 11 B. , , , , 9 9 9 9 9 9 11 10 8 7 C. , , , , 9 9 9 9 9 10 9 8 7 6 D. , , , , 9 9 9 9 9

114 Matemática 5

8. ¿Cuál de estos números decimales es menor que 6,93? A. B. C. D.

6,952 6,96 6,929 6,942

9. El resultado de la adición 1,02 + 4,56 es: A. B. C. D.

1,476 3,54 4,458 5,58

10. Un atleta debe recorrer 46,8 kilómetros. Si lleva recorrido 21,06 kilómetros, ¿cuántos kilómetros le faltan por recorrer? A. B. C. D.

25,74 44,694 48,906 67,86

Taller 2 21 x 27

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II. Desarrolla, en tu cuaderno, paso a paso, las siguientes actividades. 1. Rodrigo, Luisa, Fernando, Marcela y Andrés compiten en una carrera desde la sala de clases al quiosco que se encuentra en el patio del colegio. Los tiempos (en segundos) que ellos demoraron fueron los siguientes: Rodrigo

Luisa

Fernando

Marcela

Andrés

28,5

31,2

26,4

21,8

30

a) Ordena estos tiempos de menor a mayor. b) ¿Quién ganó la carrera? ¿Quién obtuvo el último lugar? c) Si Luisa se hubiese demorado 8 segundos menos, ¿cuál será el orden desde el primer al último lugar? d) ¿Cuál es la diferencia de segundos entre el primer y el último lugar? 2. Resuelve las siguientes situaciones: a) Claudia le encargó a una amiga que viajaba fuera del país, que le comprara algunos libros. Si en total compró 3 libros a US$ 40,5 (40,5 dólares) y dos de ellos le costaron US$ 11 (11 dólares) y US$ 13,8 (13,8 dólares), respectivamente, ¿cuánto le costó el tercer libro? b) Felipe recorre 1,3 kilómetros más que Andrés, mientras que Ignacio recorre 0,7 kilómetros más que Felipe. Si Ignacio recorre 2,5 kilómetros, ¿cuántos kilómetros recorre Andrés? 1 del libro, después 1 del libro. ¿Qué fracción le falta por leer? 8 2 1 3 d) Ignacio gastó de sus ahorros en libros, en juegos para su computador y el resto lo guardó 10 10 para regalos de cumpleaños. ¿Qué fracción de sus ahorros gastó? ¿Qué fracción de sus ahorros c) Alicia leyó un libro. Primero leyó

guardó para los regalos? 2 e) Carolina y Alejandra rindieron una prueba de Matemática. Si Carolina demoró del tiempo total 3 8 y Patricia del tiempo, ¿quién demoró más tiempo en rendir la prueba? ¿Cuánto tiempo más 12 se demoró?

Taller de evaluación 2 115

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UNIDAD

5

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Perímetros y áreas

EN ESTA UNIDAD PODRÁS... • Interpretar fórmulas para calcular el perímetro de un triángulo, de un cuadrado o de un rectángulo. • Determinar y aplicar fórmulas para calcular áreas de cuadrados o de rectángulos. • Determinar y aplicar fórmulas para calcular áreas de figuras que pueden ser descompuestas en cuadrados y rectángulos. • Identificar y usar el milímetro, centímetro y metro como unidades de longitud; y el milímetro cuadrado, centímetro cuadrado y metro cuadrado como unidades de superficie. • Resolver problemas en situaciones variadas que implican el cálculo de perímetros y de áreas.

116 Unidad 5

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CONVERSEMOS DE... Al planificar una nueva vivienda, el arquitecto debe considerar: • las dimensiones del terreno disponible. • los requerimientos de la familia a la que está destinada la vivienda: cuántos dormitorios se necesitan, cuántos baños, o si se considera un escritorio, terrazas, etc. • las dimensiones de los distintos sectores de la vivienda: dormitorios, baños, sala de estar, comedor, cocina, clóset, etc. En consecuencia, el arquitecto debe asegurarse de que la vivienda sea confortable para vivir, es decir, tenga un tamaño adecuado, proteja a la familia de la lluvia, el viento, la humedad, los cambios de temperatura, la luz del sol, etc. A su vez debe decidir qué tipo de materiales puede adquirir, considerando el presupuesto estimado para la construcción. Observa el plano de la página 116 y responde: • ¿Cuál es el largo total de la vivienda? • ¿Cuál es el ancho de la vivienda? • ¿Cuál es la superficie de los dormitorios? • Si la alfombra que se piensa utilizar en los dormitorios cuesta $ 1250 por metro cuadrado, ¿cuál sería el costo de alfombrarlos? • ¿Cuál es la superficie del baño más grande? • Si con 16 baldosas se cubre 1 metro cuadrado, ¿cuántas baldosas se necesitan para cubrir el piso del baño? • ¿Cuál es la superficie total de la vivienda, aproximadamente?

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¿CUÁNTO SABES? Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno. 1. Escribe en tu cuaderno la unidad de medida que utilizarías para expresar: a) el largo de una pestaña. b) las dimensiones de tu sala de clases. c) la longitud de un lápiz. d) la distancia entre Santiago y Puerto Montt. e) la cantidad de harina necesaria para un pastel. f) la cantidad de líquido en una botella. g) la masa de dos marraquetas. 2. Completa, en tu cuaderno, las siguientes equivalencias: a) 1 m equivale a

cm.

b) 1 L equivale a

mL.

c) 1 kg equivale a

g.

d) 1 km equivale a

m.

3. Piensa y responde: a) ¿Qué tipos de triángulos conoces?, ¿qué características tiene cada uno? b) ¿Qué tipos de cuadriláteros conoces?, ¿qué características tiene cada uno?

4. Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y complétala, marcando una X donde corresponda. Figura geométrica

Nombre

Sus lados Todos sus opuestos son lados son de de igual igual medida medida

derno u cua t n e nde respo

Todos sus ángulos son rectos

No tiene ángulos rectos

derno u cua t n e nde respo

a) ¿En qué se diferencia un cuadrado y un rombo? b) ¿Cuál es la diferencia entre un rectángulo y un romboide? c) ¿Qué semejanzas existen entre un cuadrado y un rectángulo?, ¿y entre un rombo y un romboide? 118 Unidad 5

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5. Resuelve las siguientes multiplicaciones. a) 0,03 • 10

d) 101,43 • 100

g) 238,1 • 1000

b) 60,5 • 100

e) 26,03 • 1000

h) 400,01 • 10 000

c) 54,32 • 100

f) 0,05 • 1000

i) 5 • 10 000

Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿QUÉ DEBES RECORDAR? • Los triángulos son polígonos de 3 lados y se pueden clasificar según: - la medida de sus lados en: equiláteros, isósceles y escalenos. - la medida de sus ángulos en: rectángulos, acutángulos y obtusángulos. - el número de ejes de simetría que tenga: 0, 1 ó 3 ejes de simetría.

Triángulo isósceles

Triángulo equilátero

Triángulo escaleno

• Los cuadriláteros son polígonos de 4 lados y se clasifican en paralelogramos, trapecios y trapezoides. • Los paralelogramos son polígonos que tienen sus lados opuestos paralelos y de igual medida. Se clasifican en cuadrados, rectángulos, rombos y romboides.

Cuadrado Rombo

• Un cuadrado es un paralelogramo que tiene todos sus lados de igual medida y todos sus ángulos interiores son rectos. • Un rectángulo es un paralelogramo que tiene sus lados opuestos de igual medida y todos sus ángulos interiores son rectos.

Rectángulo

• Los cuadriláteros pueden tener 0, 1, 2 ó 4 ejes de simetría. • Algunas equivalencias entre unidades de medida son:

UNIDADES DE LONGITUD

UNIDADES DE MASA UNIDADES DE SUPERFICIE UNIDADES DE VOLUMEN

Un kilómetro (1 km) Un metro (1 m) Un centímetro (1 cm) Una tonelada (1 t) Un kilogramo (1 kg) Un metro cuadrado (1 m2) Un litro (1 L)

Romboide

1000 metros 100 centímetros 10 milímetros 1000 kilogramos 1000 gramos 10 000 centímetros cuadrados 1000 centímetros cúbicos

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Unidades de medida de longitud y de superficie Los alumnos y alumnas de 5° Básico se harán una polera con los nombres de todos los integrantes del curso. Para saber de qué tamaño deben ser, la profesora les pidió que midieran con una cinta métrica el largo de sus brazos, de su tronco y el contorno a la altura del pecho. El largo de tu brazo mide 42 cm y el contorno de tu pecho, 78 cm.

El largo de tu brazo mide 45 cm y el contorno de tu pecho, 84 cm.

PARA DISCUTIR • ¿Cuánto mide el brazo de Javiera?, ¿podrías expresarlo de otra forma? • ¿Es correcto decir que el brazo de Andrea mide 420 mm?, ¿por qué? • ¿Cuántos centímetros más mide el brazo del Miguel que el de Javiera?, ¿cómo lo calculaste? • ¿Cuántos milímetros más mide el contorno del pecho de Miguel que el de Javiera?, ¿cómo lo calculaste?

NO OLVIDES QUE... • El sistema métrico decimal, también llamado sistema métrico, es un conjunto de patrones de medida que permiten comparar lo que se desea medir con una unidad básica. En este sistema hay unidades de longitud, superficie y masa, entre otras. • La unidad de medida universal que se utiliza para las longitudes es el metro (m), pero existen múltiplos que son el kilómetro (km), hectómetro (hm) y decámetro (dam) y los usamos para expresar longitudes más grandes; y los submúltiplos, como el decímetro (dm), centímetro (cm) y milímetro (mm), que usamos para medir longitudes más pequeñas. • La unidad de medida universal que se utiliza para las superficies es el metro cuadrado (m2). Sus múltiplos son: kilómetro cuadrado (km2), hectómetro cuadrado (hm2) y decámetro cuadrado (dam2); y los submúltiplos son: decímetro cuadrado (dm2), centímetro cuadrado (cm2) y milímetro cuadrado (mm2).

120 Unidad 5

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EN TU CUADERNO 1. Encierra en un círculo la medida más adecuada, según la longitud que estimes conveniente en cada caso. a) El largo de una llave es:

1m

6 cm

20 mm

b) El ancho de mi escritorio mide:

60 cm

5 mm

3m

c) El alto de un poste de luz es:

10 cm

10 m

10 mm

2. Estima y completa con las palabras mayor o menor. a) La medida del largo de mi cuaderno es

que un centímetro.

b) La medida de mi estatura es

que un metro.

c) La medida de mi zapato es

que un milímetro.

d) La medida del largo de un camión es e) La medida del largo de mi regla es

que un metro. que un centímetro.

3. Indica qué unidades (mm2, cm2 y m2) te parecen más apropiadas para medir: a) La superficie de tu escritorio. b) La superficie de una fotografía tamaño carné. c) La superficie de una frazada. d) La superficie de una pared de tu pieza. 4. Considerando las siguientes equivalencias entre medidas de longitud, completa.

Medida

Equivalencia en metros

1 km

1000 m

1 hm

100 m

1 dam

10 m

a) 13 m =

cm

b) 200 dm = c) 32 m =

m cm

d) 500 cm = e) 2 hm =

m cm

1m

1m

1 dm

0,1 m

1 cm

0,01 m

h) 12 dam =

cm

1 mm

0,001 m

i) 9000 m =

km

f) 50 mm = g) 5 m =

cm cm

• ¿Qué procedimiento utilizaste para completar las igualdades? Compáralo con el de tus compañeros y compañeras. Perímetros y áreas 121

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5. Considerando las siguientes equivalencias entre medidas de superficie, completa. a) 5 m2 = Medida

Equivalencia en metros

1 km2

1 000 000 m2

1 hm2

10 000 m2

1 dam2

100 m2

1 m2

1 m2

1 dm2

0,01 m2

1 cm2

0,0001 m2

1 mm2

0,000001 m2

cm2

b) 40 cm2 =

mm2

c) 17 m2 =

cm2

d) 12 m2 =

mm2

e) 0,032 hm2 =

m2

f) 0,32 dam2 =

m2

g) 35 km2 =

m2

h) 46 m2 =

cm2

i) 36 000 mm2 = j) 1,5 mm2 =

cm2 m2

• ¿Qué procedimiento utilizaste para completar las igualdades? Compáralo con el de tus compañeros y compañeras. 6. Completa la tabla con las equivalencias entre las unidades de medida de longitud. Milímetros (mm)

Centímetros (cm)

Metros (m)

12,5 4 500 rno uade c u t n nde e respo

0,27 10,8

3 750 25

7. Completa la tabla con las equivalencias entre las unidades de medida de superficie. Milímetro cuadrado (mm2)

Centímetro cuadrado (cm2)

Metro cuadrado (m2)

1 600 720 rno cuade u t n nde e respo

196 22 500

122 Unidad 5

0,25 9,6

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8. Resuelve las siguientes situaciones y explica, paso a paso, el procedimiento utilizado en cada una. a) Adriana mide el largo de su pierna y dice: “Mi pierna mide 60 mm”. ¿Crees que es correcto lo que dice Adriana?, ¿por qué? b) El juez de una competencia le dio el primer lugar a Felipe porque corrió 35 metros y 45 cm en 1 minuto, el segundo lugar a Cristóbal que corrió 35 metros y 750 mm, y el tercer lugar se lo dio a Pablo que corrió 35 metros, 40 cm y 70 mm. ¿El juez de la competencia distribuyó correctamente los lugares? Explica por qué. c) Javier se compró un departamento que tiene en total una superficie de 48 m2 y Andrea uno con 2 dormitorios de 12 m2 cada uno, un baño de 6 m2, una cocina de 8 m2, una terraza de 10 m2 y una loggia de 22 500 cm2. ¿Cuál de los dos departamentos es más grande?, ¿cuánto más? d) La superficie de la cancha del Estadio Nacional es 7140 m2. ¿A cuántos kilómetros cuadrados corresponde esta superficie?

ESTRATEGIA MENTAL Si te fijas, las unidades de longitud aumentan o disminuyen de 10 en 10, y las de superficie de 100 en 100, como se muestra en los diagramas.

•

10

•

km

hm : 10

Utilizando los diagramas anteriores podemos encontrar equivalencias fácilmente. Observa:

•

•

•

•

•

•

100

m2

: 100

•

10

dm : 10

100

dam2

: 100

10

m

: 10

100

hm2

: 100

10

dam : 10

100

km2

300 cm = (300 : 10 : 10) m = 3 m

10

100

dm2 : 100

Longitud

10

cm

: 10

•

•

: 100

mm : 10

•

cm2

Superficie

100

mm2

: 100

0,25 m = (0,25 • 10 • 10) cm = 200 cm 500 m2 = (500 : 100 : 100 : 100) mm2 = 0,0005 mm2 8,16 m2 = (8,16 • 100 • 100) cm2 = 81 600 cm2 1. Calcula mentalmente y completa la tabla con las equivalencias de longitudes correspondientes. mm cm m

2500 250 2,5

32

22 500 75 0,000125

1,4

2. Calcula mentalmente y completa la tabla con las equivalencias de superficies correspondientes. mm2 cm2 m2

32

22 500

160 000

75 0,000125

1,4

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Perímetro de triángulos Don Hugo tiene una huerta de forma triangular donde tiene plantados diferentes tipos de verduras para el consumo familiar. Para protegerla quiere cercarla con una malla. ¿Cuántos metros de malla necesitará para cercar su huerta?

8m

PARA DISCUTIR

A

yuda

• Un triángulo equilátero tiene todos sus lados de igual medida. • Un triángulo isósceles tiene dos lados de igual medida. • Un triángulo escaleno tiene todos sus lados de distinta medida.

10 m

6m

• ¿Cómo podemos saber cuántos metros de malla necesitará don Hugo?, ¿qué operación debemos realizar?, ¿por qué? • Don Hugo sumó 6 m + 8 m + 10 m, ¿es correcto lo que realizó?, ¿por qué?, ¿cuál es el resultado de esa operación? • Entonces, ¿cuántos metros de malla necesitará para cercar la huerta? • Si su huerta triangular tuviera lados que miden 7 m, 7 m y 9 m, ¿cuál sería el resultado?, ¿qué operación realizaste?, ¿de qué otra forma se podría calcular? • Si todos los lados de la huerta midieran 5 m, ¿cuál sería el resultado?, ¿qué operación realizaste?, ¿de qué otra forma se podría calcular? • En el último caso, ¿sería correcto multiplicar 3 • 5 para conocer la cantidad de metros que necesita para cercar su huerta?, ¿por qué?

NO OLVIDES QUE... • El perímetro de una figura es la medida total de su frontera o contorno, expresada en la misma unidad de longitud. Lo simbolizamos con la letra P. • Para expresar el perímetro de figuras pequeñas utilizamos generalmente el milímetro o el centímetro; cuando son figuras más grandes (como el ancho de una pared) utilizamos el metro y cuando son más grandes aún (como la distancia entre dos ciudades) utilizamos el kilómetro. Pero recuerda que no son las únicas.

EN TU CUADERNO 1. Observa la figura formada por triángulos equiláteros y responde. a) ¿Cuánto mide el perímetro de uno de los triángulos pequeños? b) ¿Cuánto mide el perímetro del triángulo más grande? c) ¿Cuántos triángulos equiláteros puedes contar en la figura?, ¿cuáles son sus perímetros?

124 Unidad 5

2m

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2. Observa los siguientes triángulos: a) Expresa el perímetro de cada triángulo como la suma de la medida de sus lados.

3 cm 4 cm

3 cm 4 cm

4 cm

3 cm

3 cm 2 cm

3 cm

b) ¿Cómo son las medidas de los lados de los triángulos de color rojo?, ¿y las de los de color verde?, ¿y los de color azul? ¿Qué tipo de triángulos son?

4 cm

2 cm

3 cm 5 cm

3 cm

5 cm

4 cm

3 cm 6 cm

c) ¿Podrías expresar el perímetro de los triángulos de color rojo y verde de otra manera?, ¿cómo?, ¿y el de los triángulos de color azul?, ¿por qué? d) Si una persona calcula el perímetro de un triángulo equilátero de lado 7 cm, multiplicando 3 • 7, ¿estaría correcto su procedimiento?, ¿cómo lo supiste? e) ¿Cómo expresarías el perímetro de los siguientes triángulos?

b a

a

a

a

a

a

c b

3. Si a, b y c son los lados de un triángulo, responde: a) Si a = 4 cm, b = 6 cm y c = 70 mm, ¿cuál es su perímetro? b) Si a = b = 20,6 cm y su perímetro es 71,15 mm, ¿cuál es la medida de c? c) Si a = 9 mm, c = 11 mm y su perímetro es 25 mm, ¿cuál es la medida de b? d) Si a = 16 m, b = 21 m y c = 29 m, ¿cuál es su perímetro? 4. Dos lados de un triángulo miden 17 mm cada uno y su perímetro mide 50 mm, ¿cuánto mide el tercer lado? ¿A qué tipo de triángulo corresponde? Explica, paso a paso, cómo lo resolviste.

NO OLVIDES QUE... • El perímetro de un triángulo escaleno de lados a, b y c se puede calcular utilizando la siguiente fórmula: P=a+b+c • El perímetro de un triángulo isósceles de lados a y base b se puede calcular utilizando la siguiente fórmula: P = a + a + b, es decir, P = 2 • a + b • El perímetro de un triángulo equilátero de lado a se puede calcular utilizando la siguiente fórmula: P = a + a + a, es decir, P = 3 • a

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Perímetro de cuadrados y rectángulos El municipio de la comuna donde vive Patricia quiere inaugurar un centro recreacional con juegos y dos piscinas: una con forma cuadrada de 6 m por lado y otra con forma rectangular de dimensiones 9 m y 4 m. Por seguridad se quiere colocar rejas alrededor de las piscinas. Observa.

6m 9m 6m 4m

PARA DISCUTIR • ¿Cuántos metros de reja se necesitan para cerrar la piscina cuadrada?, ¿cómo lo calculaste?, ¿de qué otra forma se podría calcular? • ¿Cuántos metros de reja se necesitan para cerrar la piscina rectangular?, ¿cómo lo calculaste?, ¿de qué otra forma se podría calcular? • ¿Cuántos metros de reja se necesitan para cerrar las dos piscinas?, ¿qué operación matemática realizaste? • Para saber cuántos metros de reja se necesitan para cerrar la piscina cuadrada se puede calcular 6 + 6 + 6 + 6. ¿De qué otra forma se podría calcular?, ¿y cómo calcularías los metros de reja que se necesitan para la piscina rectangular? • La empresa encargada de cerrar las piscinas afirma que necesita 24 m de reja para cerrar la piscina cuadrada y 52 m de reja para cerrar la piscina rectangular. ¿Estás de acuerdo con ellos?, ¿por qué?

NO OLVIDES QUE... • El perímetro de un cuadrado, cuyos lados miden a, se puede calcular utilizando la siguiente fórmula: a

P = a + a + a + a, es decir, P = 4 • a

• El perímetro de un rectángulo, cuyos lados miden a y b, se puede calcular utilizando la siguiente fórmula: a b 126 Unidad 5

P = a + a + b + b, es decir, P = 2 • a + 2 • b

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EN TU CUADERNO 1. Calcula el perímetro de las siguientes figuras, utilizando las fórmulas dadas anteriormente. 6 cm

a)

7 cm

5 cm

2 cm 2 cm

b)

3 cm

c)

6 cm

d)

4 cm

2. Si a y b son las medidas de los lados de rectángulos, responde: a) Si a = 170 mm y b = 12 cm, ¿cuál es el perímetro del rectángulo? b) Si a = 18 m y el perímetro del rectángulo es 60 m, ¿cuál es la medida de b? c) Si a = 50 mm y b = 2a, ¿cuál es el perímetro del rectángulo? 3. Si el perímetro de un cuadrado es 49 cm, ¿cuánto miden sus lados? 4. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas y explica, paso a paso, el procedimiento utilizado. a) El perímetro de un terreno cuadrado mide 100 m, ¿cuánto miden sus lados? b) Calcula el perímetro de una mesa cuadrada cuyos lados miden 1,4 m. c) Se quiere cercar un terreno de forma rectangular de 50 m de ancho y 75 m de largo. Si se debe dejar un portón de 4 m de ancho, ¿cuántos metros de malla se necesitan para cercar todo el terreno? d) Si la medida del lado de un cuadrado se duplica, ¿el perímetro también se duplica? Justifica tu respuesta con un ejemplo.

MI PROGRESO Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas y explica el procediminto utilizado en cada uno. 1. El perímetro de un triángulo equilátero es igual al perímetro de un cuadrado. Si este es igual a 36 cm, ¿cuál es la medida de los lados del triángulo equilátero y del cuadrado? 2. El perímetro de un cuadrado es 16 cm. Si el ancho de un rectángulo mide lo mismo que el lado del cuadrado y su perímetro es 34 cm, ¿cuánto mide el largo del rectángulo? 3. Las canchas de básquetbol tienen dimensiones máximas de 29 m de largo y 15 m de ancho; y dimensiones mínimas de 22 m de largo y 13 m de ancho. a) ¿Cuál es el máximo y mínimo perímetro que puede tener la cancha? b) Si en la etapa de calentamiento un jugador debe dar 4 vueltas alrededor de la cancha, ¿qué distancia recorre si esta cancha tiene las dimensiones máximas? Perímetros y áreas 127

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Perímetro y área de cuadrados y rectángulos Don Humberto trabaja colocando cerámicas. Para calcular cuántas cerámicas necesita, antes de hacer cada trabajo, él hace un dibujo y cuenta las cerámicas. Ahora debe colocar cerámicas en una cocina en cuatro sectores diferentes. Observa lo que dibujó.

A B

C D

A

yuda

Recuerda que 1 dm = 10 cm.

PARA DISCUTIR • ¿Cuántas cerámicas necesita para cubrir cada superficie? Si cada cerámica es cuadrada y mide 1 dm2, ¿cuánto mide cada una de las superficies en las que debe colocar cerámicas?, ¿y si midieran 1 cm2?, ¿cómo lo calculaste? • ¿Qué relación observas entre las medidas de los lados de las figuras A y B y las medidas de sus superficies?, ¿ocurre lo mismo en las figuras C y D?, ¿por qué? • Si sabes que el ancho de la superficie C es 50 cm y el largo 70 cm, ¿cuánto mide su perímetro?, ¿cómo puedes calcular la medida de esta superficie? • Los lados de un cuadrado miden a, ¿cómo podrías expresar la medida de la superficie? • El largo y ancho de un rectángulo miden a y b cm, respectivamente, ¿cómo podrías expresar la medida de la superficie?

NO OLVIDES QUE... • El área es la medida de la superficie de una figura. • Para expresar el área de superficies pequeñas utilizamos generalmente el milímetro cuadrado o el centímetro cuadrado; cuando son superficies más grandes (como la de una pared) utilizamos el metro cuadrado y cuando son más grandes aún (como la de una ciudad) utilizamos el kilómetro cuadrado. Pero recuerda que no son las únicas que existen. • El área de un cuadrado de lado a es igual al producto de la medida de su lado por sí mismo. Á=a•a • El área de un rectángulo de lados a y b es igual al producto de la medida de su largo por su ancho. Á=a•b 128 Unidad 5

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EN TU CUADERNO 1. Completa las siguientes tablas utilizando las fórmulas aprendidas para el cálculo de perímetros y de áreas. Luego responde: Cuadrado de lado a 6 mm 9 cm 10 m

Rectángulo de lados: Perímetro

Área

o ern uad c u nt ee d n po res

a

b

7 cm

3 cm

9 mm

2 mm

5 cm

4 cm

Perímetro

Área

o ern uad c u nt ee d n po res

a) ¿Cómo puedes calcular el perímetro de un cuadrado sabiendo que la medida de su lado es a?, ¿y la de un rectángulo de lados a y b? b) ¿Cómo puedes calcular el área de un cuadrado sabiendo que la medida de su lado es a?, ¿y la de un rectángulo de lados a y b? c) Si el área de un cuadrado es 64 cm2, ¿cuánto mide su lado? d) Si el área de un rectángulo mide 64 cm2, ¿cuánto mide su lado?, ¿existe solo una posibilidad? 2. Resuelve los siguientes problemas y explica paso a paso el procedimiento que utilizaste. a) El área de un cuadrado es de 81 cm2. ¿Cuánto mide cada lado? b) Determina la medida de los lados de un rectángulo, sabiendo que su área es 180 cm2 y su perímetro es 54 cm. c) Si el área de un rectángulo es 28 cm2 y el ancho es 3 cm más corto que su largo, ¿cuál es la medida del largo y del ancho? 3. ¿Cuántos cuadrados o rectángulos diferentes de área 36 cm2 se pueden encontrar? Dibújalos y comenta con tu compañera o compañero. 4. Si en un cuadrado la medida de su lado se duplica, ¿cómo varía su perímetro?, ¿y su área?, ¿y si se triplica? Compara tu respuesta.

EN EQUIPO En esta actividad deberán calcular áreas en su sala de clases. Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones:

Materiales: • Cinta métrica

1. Con la cinta métrica, cada uno mide las dimensiones de una pared y el piso de la sala de clases. 2. Cada integrante calcula el área de cada pared y del piso de su sala. Luego, comparen los procedimientos utilizados. Perímetros y áreas 129

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Área de figuras compuestas En un edificio se venden dos tipos de departamentos con las dimensiones que se muestran en los siguientes planos. 12 m

3m 1m 4m 3m

4m A

B

8m

3m

3m 4m

9m

4m

PARA DISCUTIR • Observando los planos anteriores, ¿qué departamento crees que tiene mayor área?, ¿por qué? • ¿Cómo podrías calcular el área de cada departamento? • Descompón el plano del departamento A en cuadrados y rectángulos. ¿Cuántos cuadrados y rectángulos hay?, ¿cuál es el área de cada uno?, ¿cuál es el área total? • Ahora, descompón el plano del departamento B y calcula su área. ¿Qué departamento tiene mayor área?, ¿cuánto más?

NO OLVIDES QUE... Para calcular el área de una figura compuesta podemos seguir los siguientes pasos: 1° Descomponer la figura en cuadrados y/o rectángulos. 2° Calcular el área de cada una de estas nuevas figuras. 3° Sumar las áreas de las nuevas figuras. La suma corresponde al área total de la figura original.

EN TU CUADERNO 1. Calcula el área de las siguientes figuras, considerando que el área de cada a)

130 Unidad 5

b)

c)

equivale a 1 a2: d)

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2. Calcula el área de las siguientes figuras: 2 cm

5 cm

2 cm

a)

b) 4 cm

3 cm

2 cm

2 cm

c)

4 cm

2 cm 2 cm

1 cm

2 cm

6 cm

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Los pentominos son figuras que se forman con 5 cuadrados que van unidos uno a uno por al menos un lado. Las siguientes figuras son algunos pentominos: Ingresa a la página de Internet www.educacionmedia.cl/proyecto/enlaces.htm. Encontrarás un geoplano que te ayudará a realizar la siguiente actividad.

1. Construye todos los pentominos que puedas (existen 12 pentominos diferentes). 2. Una vez construidas las figuras, responde las siguientes preguntas considerando que: a) ¿Cómo son entre sí las áreas de tus pentominos? Justifica.

1 unidad

b) ¿Qué pentomino tiene el mayor perímetro? Fundamenta. 1 unidad

3. Imprime y recorta tus figuras. Utiliza todos tus pentominos para construir rectángulos, sin que queden espacios vacíos entre ellos.

MI PROGRESO En un centro deportivo se quiere construir una piscina de 36 m2. 1. Si la piscina fuera rectangular, ¿cuál puede ser el largo y ancho de la piscina? Nombra todas las posibilidades. 2. ¿Es posible que la piscina sea cuadrada?, ¿cuál sería la medida de su lado? 3. Si finalmente deciden hacer una piscina con un sector más profundo para los adultos y otro con menor profundidad para los niños y niñas como se muestra en la figura, ¿cuánto mide la superficie que necesitarían para construir de esta manera la piscina?

Sector niños y niñas 9m

4m

4m Sector adultos

4m

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BUSCANDO ESTRATEGIAS

Observa la estrategia que se utiliza para resolver la siguiente situación. Don Carlos quiere poner baldosas en el piso de una habitación. La superficie que debe cubrir es un rectángulo de 5 metros de largo por 3 metros de ancho y las baldosas son cuadrados de 25 cm de lado. ¿Cuántas baldosas necesitará? Comprender • ¿Qué sabes del problema? El piso de la habitación es un rectángulo de 5 metros de largo y 3 metros de ancho. Las baldosas son cuadrados de 25 cm de lado.

5m 25 cm 25 cm 25 cm 25 cm

3m

• ¿Qué debes encontrar? El número de baldosas necesarias para cubrir el piso. Planificar • ¿Cómo puedes resolver el problema? Como la longitud del largo y ancho de la habitación están dadas en metros y la longitud de las baldosas en centímetros, primero debemos expresar todas las medidas en la misma unidad. Por lo tanto, calculamos a cuántos centímetros corresponden 5 y 3 metros, respectivamente. Luego, calculamos cuántas baldosas cuadradas, de 25 cm, caben a lo largo y ancho de la habitación. Resolver 1 metro equivale a 100 cm. 3 metros equivalen a 300 cm. 5 metros equivalen a 500 cm.

500 : 25 = 20

300 : 25 = 12

cantidad de baldosas a lo largo

cantidad de baldosas a lo ancho

20 • 12 = 240 baldosas Responder Don Carlos necesitará en total 240 baldosas. Revisar Puedes utilizar una calculadora para comprobar si los cálculos están bien realizados.

132 Unidad 5

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Unidad 5

1. Resuelve los siguientes problemas, aplicando la estrategia de la página anterior. a) En un colegio le pidieron a los alumnos que tejieran cuadrados de lana de 20 cm de lado. Juntando los cuadrados que traen los alumnos se pueden confeccionar frazadas que luego se regalarán a los abuelitos. ¿Cuántos cuadrados se necesitan para tener una frazada de 2 metros de largo y 1 metro y 40 centímetros de ancho? b) La superficie de un terreno es de 144 m2. Si cada baldosa tiene una medida de 30 cm por lado, ¿cuántas baldosas se necesitan para cubrir todo el terreno? c) Jaime compró 60 baldosas cuadradas de 20 cm de lado para el baño de su casa. Si el baño mide 2 metros y 20 cm de largo, y 1 metro y 60 cm de ancho, ¿son suficientes las baldosas que compró Jaime?, ¿cuántas faltan o sobran? 2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución, explícala, paso a paso, y compárala con las usadas por tus compañeros y compañeras. 3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia que tú quieras. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a) La familia Pérez tiene su casa alfombrada. Aburridos de la suciedad, los Pérez decidieron cambiar la alfombra por azulejos. Si la casa tiene 100 m2, ¿cuántos azulejos cuadrados de 25 cm de lado deben comprar? b) Sofía quiere cubrir una pared de su pieza con papeles de colores de 10 cm de lado. Si su pared tiene 4 metros de ancho, y 2 metros y 30 cm de largo, ¿con cuántos papeles cubrirá Sofía la pared de su pieza? c) En un marco de fotos de 30 cm de largo por 20 cm de ancho quiero colocar fotos cuadradas de 10 cm de lado. ¿Cuántas fotos me caben en el marco? d) Con 20 baldosas cuadradas de 30 cm de lado se cubrió la cocina de una casa. ¿Cuántos metros cuadrados tiene la cocina? e) ¿Cuántas cerámicas cuadradas de 40 cm de lado se necesitan para cubrir una terraza de 8 metros y 40 cm de largo, y 4 metros y 80 cm de ancho? f) Se ha unido un cuadrado a un rectángulo de tal manera que forman una figura similar a una L. Si la medida del lado del cuadrado es 4 cm y las medidas del ancho y largo del rectángulo son, respectivamente, 6 cm y 10 cm, ¿cuál es el área de la figura que falta para que se forme un cuadrado de lado 10 cm?

Perímetros y áreas 133

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CONEXIONES

DEPORTE

El fútbol, deporte más popular en nuestro país En Chile, el fútbol es sin duda el deporte más importante y el que goza de mayor popularidad. Cada fin de semana, miles y miles de personas asisten a estadios a lo largo de todo Chile para ver en acción a sus equipos y jugadores favoritos. En nuestro país existen dos divisiones profesionales: la Primera A (que cuenta con 20 equipos) y la Primera B (que tiene 12). Entre los estadios más importantes de Chile están el Estadio Nacional de Santiago, el Sausalito de Viña del Mar, el Carlos

Dittborn de Arica y El Teniente de Rancagua, que fueron las sedes donde se jugaron los partidos del único mundial que ha organizado nuestro país en su historia, el de 1962. A nivel internacional existen reglas y medidas oficiales preestablecidas. Una cancha de fútbol debe ser un rectángulo que mida: un mínimo de 100 metros y un máximo de 110 metros de largo y un mínimo de 64 metros y un máximo de 75 metros de ancho.

Fuente: http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/proyectos/algolritmo_pri2006/01activ_e5_a2.htm

Reúnete con 2 compañeros o compañeras, comenten y luego redacten una respuesta: 1. Calculen el área máxima y mínima de una cancha de fútbol. 2. Piensen, comenten y respondan: a) ¿Cuántos metros cuadrados hay de diferencia entre el área máxima y mínima de una cancha de fútbol? b) ¿Cuál es el largo y ancho del “área grande o penal” de una cancha de fútbol?, ¿qué sucede en esta área? c) ¿Cuál es el largo y ancho del “área chica o de meta” de una cancha de fútbol?, ¿qué sucede en esta área? d) ¿Cuál es la superficie del “área grande o penal”?, ¿y la del “área chica o de meta”? e) ¿Cuál es la diferencia entre el área grande y la chica? f) ¿Cuánto mide el área de la cancha que no es ni área grande ni área chica? 134 Unidad 5

90 m 11 m

16,5 m

40,32 m

9,15 m

9,15 m 11 m 5,5 m

120 m

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Unidad 5

SÍNTESIS

A continuación te presentamos otra manera de hacer un resumen. Se trata de que seas capaz de explicar con tus palabras a un compañero o compañera los conceptos y dar ejemplos. Copia la tabla en tu cuaderno y complétala utilizando lo que has aprendido en la unidad. Luego, compártela con un compañero o compañera. Concepto

Unidades de medida de longitud.

Explicación Las medidas de longitud más utilizadas son: milímetro (mm), centímetro (cm) y metro (m). 1 m = 100 cm 1 cm = 10 mm 1 m = 1000 mm

Unidades de medida de superficie. Perímetro de triángulos.

Ejemplo

El largo de mi cama tiene 2 m. Mi lápiz mide 15 cm.

rno uade c u t n nde e respo

Perímetro de cuadrados y rectángulos. Área de cuadrados y rectángulos. Área de figuras compuestas por cuadrados y rectángulos.

rno uade c u t n nde e respo

Utilizando los contenidos aprendidos en la unidad y apoyándote en el resumen anterior, comenta con tus compañeros y compañeras las siguientes preguntas: a) ¿Qué unidades de medida de longitud conoces?, ¿y de superficie?, ¿cuáles usas comúnmente? b) ¿Cuántos milímetros hay en un centímetro?, ¿y en un metro? c) ¿Cuántos centímetros hay en un metro? d) ¿Cuántos milímetros cuadrados hay en un centímetro cuadrado?, ¿y en un metro cuadrado? e) ¿Cuántos centímetros cuadrados hay en un metro cuadrado? f) ¿Qué entiendes por perímetro de una figura?, ¿y por área? g) ¿Qué fórmulas conoces para calcular el perímetro de triángulos, cuadrados y rectángulos?, ¿y para calcular el área de cuadrados y rectángulos? h) ¿Cómo calculas el área de figuras compuestas por cuadrados y rectángulos?

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¿QUÉ APRENDÍ? Marca, en tu cuaderno, la alternativa que consideres correcta en las preguntas 1 a la 8. 1. El perímetro de un triángulo isósceles se puede expresar como:

5. El área de una región rectangular es 24 cm2. Si el largo mide 6 cm, su perímetro es:

A. (a + b) cm

A. 4 cm

B. (a + c) cm

B. 12 cm

C. (2a + b) cm

C. 20 cm

D. 3a cm

D. 30 cm

2. Se va a cercar un terreno rectangular con 74 m de malla. Si el largo del terreno mide 25 m, ¿cuánto mide el ancho? A. 12 m B. 24 m C. 25 m D. 49 m 3. Cierto terreno rectangular tiene una superficie de 700 m2. Si uno de sus lados mide 20 m, ¿cuánto mide el otro lado?

6. ¿Cuál es el perímetro de la figura? 30 mm

A. 12 cm 3 cm

B. 16 cm C. 20 cm

2 cm

D. 30 cm 50 mm

7. El patio del colegio tiene forma cuadrada y su área es de 144 m2. ¿Cuál es la medida de sus lados? A. 14 m B. 12 m

A. 17 m

C. 10 m

B. 35 m

D. 9 m

C. 330 m D. 340 m

8. El perímetro y área de la figura son: A. 40 cm y 80 cm2

4. El perímetro de un cuadrado es 20 cm. Entonces su área es:

B. 46 cm y 84 cm2

A. 16 cm

C. 84 cm y 46 cm2

B. 16 cm2

D. 96 cm y 126 cm2 40 mm

4 cm

C. 25 cm 30 mm

D. 25 cm2 8 cm

120 mm

136 Unidad 5

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Unidad 5 9. Completa las siguientes equivalencias: a) 30 cm = b) 15m =

mm

e) 8 m2 =

cm2

f) 15 cm2 =

cm

c) 900 mm =

cm

g) 60 000 cm2 =

d) 1700 cm =

m

h) 59 m2 =

mm2 m2 cm2

10. Doña Ester quiere cercar su jardín para que los conejos no se coman sus plantas. ¿Cuántos metros de alambre necesitará para cercarlo si el jardín tiene forma rectangular y mide 15 m de largo y 7 m de ancho?, ¿cómo lo resolviste? 11. Si una cancha mide 30 m de largo y 12 m de ancho, ¿cuántos metros cuadrados de pasto se necesitan para cubrir la mitad de su superficie? 12. Si un bosque de forma rectangular mide 7 km de largo y 3 km de ancho, ¿cuál es el área del bosque?

Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿QUÉ LOGRÉ? 1. Marca según tu apreciación.

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

Unidades de medida de longitud y de superficie. Perímetro de triángulos. Perímetro de cuadrados y rectángulos. Perímetro y área de cuadrados y rectángulos. Área de figuras compuestas por cuadrados y rectángulos.

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Resolución de problemas. 2. Reflexiona y responde. a) ¿Qué dificultades tuviste en la unidad?, ¿cómo las superaste? b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la unidad?, ¿por qué? c) Vuelve a la página 116 y revisa el recuadro “En esta unidad podrás…”, ¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Comenta.

Perímetros y áreas 137

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UNIDAD

6

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Ángulos

EN ESTA UNIDAD PODRÁS... • Medir ángulos con transportador o herramientas tecnológicas, empleando el grado como unidad de medida. • Identificar los ángulos internos y externos en triángulos, y cuadriláteros. • Verificar los teoremas relativos a la suma de los ángulos internos y externos de triángulos, y cuadriláteros. • Identificar las igualdades de medida que se dan en ángulos opuestos por el vértice en rectas que se cortan, ángulos correspondientes, alternos internos y alternos externos. • Resolver situaciones que implican formular y verificar las medidas de ángulos en figuras geométricas, utilizando mediciones o teoremas.

138 Unidad 6

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CONVERSEMOS DE... En sus inicios, la ciudad de Santiago (1541) se organizó de manera que la mayoría de sus calles eran paralelas o perpendiculares entre sí, formando entre ellas cuadrados o rectángulos. • Si observas el plano actual de un sector de Santiago, ¿qué sucede con la organización de las calles?, ¿qué figuras se forman entre ellas? • ¿A qué crees que se debe el cambio en la distribución de las calles? • Si observas las calles principales del plano del sector de Santiago, ¿cuáles de ellas son paralelas? • ¿Qué calles se intersectan formando un ángulo recto? • ¿Qué calles se intersectan formando un ángulo mayor o menor que un ángulo recto?

Ángulos 139

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¿CUÁNTO SABES? Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno. 1. Copia los siguientes polígonos en tu cuaderno y luego marca con verde los lados, con rojo los vértices y azul los ángulos interiores.

2. Observa los siguientes pares de rectas e identifica aquellas que son paralelas y aquellas que son perpendiculares.

a)

c)

e)

b)

d)

f)

3. Dibuja en tu cuaderno los siguientes ángulos y explica cómo los hiciste. a) Un ángulo recto. b) Un ángulo mayor que uno recto. c) Un ángulo extendido. d) Un ángulo menor que uno recto.

140 Unidad 6

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4. Observa el siguiente dibujo e identifica: a) 2 pares de rectas paralelas. b) 2 tipos diferentes de cuadriláteros y clasifícalos. c) 2 tipos diferentes de triángulos y clasifícalos. A

B

C

D F

G

H E

I N

M

L

K

J

Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿QUÉ DEBES RECORDAR? • Un ángulo es la porción de un plano limitada por dos semirrectas que comparten un mismo origen llamado vértice. vértice

• Una recta se representa indicando dos puntos que pertenecen a ella, por ejemplo, la siguiente recta se puede nombrar como recta AB, o bien AB. A

B

Rectas paralelas

Secantes

No se intersecan en ningún punto.

Se cortan en un único punto.

Perpendiculares Secantes que al intersecarse forman cuatro ángulos rectos.

Ángulos 141

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Clasificación de ángulos EN EQUIPO

Materiales: • Escuadra

En esta actividad deberán clasificar ángulos, según sus medidas. Formen parejas y luego, sigan las instrucciones: 1. Observen los siguientes ángulos: A

B

C

D

E

F

G

H

2. Utilizando la escuadra, clasifiquen los ángulos y registren en sus cuadernos la información en una tabla como la siguiente. Tipos de ángulos

Ángulos

Ángulos menores que el ángulo recto. Ángulos rectos. Ángulos mayores que el ángulo recto.

A

e nd o sp re

en

tu

o rn e ad u c

yuda PARA DISCUTIR

Los ángulos pueden nombrarse utilizando letras griegas. Por ejemplo: α: alfa β: beta γ: gamma B

δ: delta ε: épsilon A

α C

Así, el ángulo interior se puede nombrar como ⭿BAC o bien, α. 142 Unidad 6

• ¿Entre qué valores se hallan las medidas de los ángulos menores que el ángulo recto? • ¿Entre qué valores se hallan las medidas de los ángulos mayores que el ángulo recto? • Un ángulo mayor que el recto ¿puede medir 91,5°? • Un ángulo ¿puede medir 193°? Justifica. • Si un ángulo mide 90,2°, ¿es recto o mayor que el ángulo recto? • Si un ángulo que mide 17° aumenta su amplitud en 66°, ¿sigue siendo menor que el ángulo recto?

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NO OLVIDES QUE... • Los ángulos que miden más de 0º y menos de 90º se denominan ángulos agudos. • Los ángulos que miden 90º se denominan ángulos rectos. • Los ángulos que miden más de 90º y menos de 180º se denominan ángulos obtusos. • Los ángulos que miden 180º se denominan ángulos extendidos o llanos.

EN TU CUADERNO 1. Clasifica los siguientes ángulos, según sus medidas.

a)

d) 93°

67° b)

e) 172° 135°

c)

22°

180°

f)

2. Observa los siguientes ángulos y luego, responde: 197°

315°

220° 360°

a) ¿Podrías clasificar alguno de estos ángulos en agudos, rectos u obtusos?, ¿por qué? b) ¿Cómo son sus medidas respecto a los ángulos anteriores? c) ¿Existe la posibilidad de representar ángulos de más de 360°?

NO OLVIDES QUE... • Los ángulos que miden más de 180° y menos que 360° se denominan ángulos cóncavos. • Los ángulos que miden 360° se denominan ángulos completos. Ángulos 143

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A

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Medición de ángulos usando el transportador

yuda

Medir un ángulo significa determinar su amplitud y, para hacerlo, generalmente se utiliza el transportador.

Felipe tiene un transportador circular e Ismael uno semicircular. Ellos midieron algunos ángulos con sus transportadores. Observa.

El primero es agudo porque mide 50 y el segundo obtuso porque mide 130 .

A

No, ambos son obtusos porque miden 130 .

yuda PARA DISCUTIR

Un transportador es un instrumento de forma circular o semicircular y graduado angularmente.

• ¿Cuál de los dos niños está en lo cierto?, ¿cómo lo supiste? • ¿Por qué crees que se produjo la diferencia entre los valores de los ángulos obtenidos por cada uno? • ¿En qué debes fijarte para no cometer errores al medir ángulos?

NO OLVIDES QUE... Para medir ángulos utilizando el transportador semicircular debes: 1º Colocar el trazo recto del transportador sobre uno de los lados del ángulo. 2º Hacer que el punto medio de ese trazo coincida con el vértice del ángulo. 3º Observar el otro lado del ángulo y su valor según la escala angular del transportador. Si el ángulo está abierto hacia la izquierda debes fijarte en la escala externa y si está abierto hacia la derecha en la escala interna. Para medir ángulos utilizando el transportador circular debes: 1º Colocar uno de los lados del ángulo frente al 0°. 2º Hacer coincidir el centro de la circunferencia con el vértice del ángulo. 3º Observar el otro lado del ángulo y su valor según la escala angular del transportador.

144 Unidad 6

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EN EQUIPO En esta actividad deberán construir ángulos de diferentes medidas, utilizando el transportador. Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones:

Materiales: • Hojas • Lápiz mina • Transportador

1. Cada uno de los integrantes dibuje una recta. 2. Sobre cada una de ellas marquen un punto A, que será el vértice del ángulo. 3. Coloquen el transportador de manera que su trazo recto coincida con la recta y el punto medio de ese trazo con el punto A. 4. Dibujen tres ángulos de diferentes medidas: 60°, 110° y 90°. 5. Si desean que el ángulo se “abra” hacia la izquierda, deben buscar la medida en la escala externa, de lo contrario, deben buscarla en la escala interna. 6. Ahora, cada integrante debe construir los siguientes ángulos: 34°, 71°, 118° y 156°, y luego comparar su construcción con la del resto del equipo.

HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Puedes construir ángulos dada su amplitud, para esto ingresa al sitio http://www.geogebra.at/webstart y realiza los siguientes pasos. 1º Activa las opciones del siguiente botón

a

.

2º De ellas selecciona “Ángulo dada su amplitud”. 3º Haz clic en la hoja de trabajo para determinar dos puntos: el punto lateral y el vértice. 4º En la sección ángulo de la ventana “Ángulo dada su amplitud”, ingresa 65° (sentido antihorario) y luego aplica. 5º Luego, activa las opciones del siguiente botón

y selecciona “Semi–recta que pasa por

dos puntos”. 6º En la hoja de trabajo, haz clic en el vértice y uno de los puntos laterales, después realiza la misma acción con el vértice y el otro punto lateral. Puedes construir ángulos con otras medidas, para esto, en el paso 4º, ingresa la medida que desees.

Ángulos 145

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Ángulos entre paralelas Observa la siguiente figura, considera que L1 // L2: L1

140º α

γ

β

L2

ε

δ

ϕ

μ

L3

PARA DISCUTIR • ¿Qué tienen en común el ángulo de 140º y α? • Si el ángulo que muestra la figura mide 140°, entonces ¿cuánto mide el ángulo α? • ¿Qué tienen en común el ángulo de 140º y γ? • Con el transportador mide el ángulo γ. ¿Qué relación hay entre el ángulo γ y el ángulo de 140°?, ¿ocurrirá lo mismo en el caso de los ángulos α y β? • Ahora, mide con el transportador el ángulo δ. ¿Qué relación hay entre el ángulo de 140º y el ángulo δ?, ¿por qué crees que se cumple esto? Justifica. • ¿Qué relación existe entre el ángulo γ y el ángulo δ?, ¿ocurrirá lo mismo en el caso de los ángulos β y ε?

NO OLVIDES QUE... • Si dos paralelas (L1 y L2) son cortadas por una tercera recta (transversal), se forman 8 ángulos, los cuales reciben nombres según su posición relativa. L L1

L2

146 Unidad 6

2 1 3 4 6 5 7 8

Ángulos correspondientes (tienen igual medida) ⭿1 = ⭿5; ⭿2 = ⭿6; ⭿4 = ⭿8 y ⭿3 = ⭿7 Ángulos alternos externos (tienen igual medida) ⭿2 = ⭿8 y ⭿1 = ⭿7 Ángulos alternos internos (tienen igual medida) ⭿3 = ⭿5 y ⭿4 = ⭿6

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EN TU CUADERNO 1. Considerando que L1 // L2 // L3, escribe los pares de ángulos pedidos. L3 L2 L1

3 1

9

2

5 6 12 11

4 10

7 8

a) Ángulos alternos internos:

.

b) Ángulos correspondientes:

.

c) Ángulos adyacentes:

.

d) Ángulos alternos externos:

.

2. Marca en cada letra un par de ángulos que tengan igual medida. Indica a qué ángulos corresponden.

a)

b)

c)

3. Calcula el valor de los ángulos x, z e y.

15º a)

b) 156º

x

c) 43º

88º x y z

x

34º

Ángulos 147

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4. Encuentra la medida de cada ángulo indicado, sabiendo que L1 // L2. L3 es transversal. a)

L3

α=

d)

α

μ=

L1

55º

L3

L1

80º μ

L2

L2 L3

L3

b)

χ=

e)

δ=

L1

73,25º

L1

53º δ

L2

L2

χ

32,1º

c)

ε=

f)

β=

L3

L1

ε

β L2

L1

148,2º

L3

L2

5. Obtén la medida de los ángulos indicados en cada caso. L4

a)

⭿x = ⭿y = ⭿z =

x

y

L1

b) L2

⭿x = ⭿y =

L1

L2

L3

110,5º

y

L3

z

128º

L1 // L2 // L3

148 Unidad 6

x

L1 // L2 y L3 // L4

L4

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6. Observa la siguiente ilustración. Luego, determina si las proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F). Justifica tu respuesta. a) Los ángulos 1 y 2 son opuestos por el vértice. b) Los ángulos 7 y 12 son alternos internos. c) Los ángulos 6 y 14 son correspondientes. 2

1

d) Los ángulos 4 y 13 tienen distintas medidas.

3 6

5 9

e) Los ángulos 5 y 16 son alternos externos.

4 8

7 10

11 14

13

12 15

16

f) Los ángulos 7 y 5 son de igual medida. g) Los ángulos 12 y 15 no son opuestos por el vértice.

MI PROGRESO 1. Observa y mide los siguientes ángulos. ¿Cuál o cuáles de ellos están mal construidos? I.

II. 86°

A. B. C. D.

III.

IV. 58°

25°

77°

Solo I II y IV II y III I, II, III

2. En la figura, L1 // L2 // L3 y L4 // L5 // L6. Si α = 3 , ¿cuál o cuáles de las siguientes relaciones son verdaderas? A. = B. =

L4

L5

L6

L1

C. = 60º D. = 45º

L2

L3

Ángulos 149

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Ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros Observa el siguiente triángulo y cuadrilátero: C ε

A

α

yuda

α

β

• Si dos ángulos tienen en común el vértice formado por dos rectas que se cortan, entonces se llaman ángulos opuestos por el vértice y son de igual medida. α

α`

L1

μ

β

A

• Si dos ángulos tienen un vértice y un lado en común y los otros lados forman una recta, entonces se llaman á n g u l o s a d y a c e n t e s y suman 180°.

γ

L2

B

α, β y γ son ángulos interiores del triángulo ABC cualquiera. L1 // L2 son rectas paralelas. D δ` δ

γ

α` α A

C γ`

β β` B

L1

L2

α, β, γ y δ son ángulos interiores del cuadrilátero ABCD cualquiera. α`, β`, γ` y δ` son ángulos exteriores del cuadrilátero ABCD cualquiera. L1 // L2 son rectas paralelas.

PARA DISCUTIR Con respecto al triángulo ABC: • ¿Qué pares de ángulos son congruentes por ser alternos internos? • Los ángulos ε, γ y μ forman un ángulo extendido, entonces, ¿cuál es la suma de ε + γ + μ? • Si remplazamos ε por α y μ por β, ¿cuál es la suma de α + β + γ? • ¿Qué puedes concluir respecto a la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo? Con respecto al cuadrilátero ABCD: • ¿Qué pares de ángulos son congruentes por ser alternos internos? • ¿Qué pares de ángulos de la figura son adyacentes?, ¿cuánto suman? • Si remplazamos α` por δ, ¿cuánto resulta α + δ ? • Y si remplazamos β` por γ, ¿cuánto resulta β + γ? • Entonces, ¿cuánto resulta α + β + γ + δ? • ¿Qué puedes concluir respecto a la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero cualquiera?

NO OLVIDES QUE... En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos interiores es 180°. En todo cuadrilátero, la suma de las medidas de los ángulos interiores es 360°. 150 Unidad 6

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EN TU CUADERNO 1. Calca las figuras y recórtalas por la línea punteada. Luego, ubica los ángulos interiores recortados de manera que coincidan los vértices. ¿Qué se forma en cada caso?

2. Completa cada recuadro con la medida que debe tener el ángulo desconocido, según sea el caso. Ángulos interiores del triángulo 20,2°

Ángulos interiores del cuadrilátero

60°

115,25°

55°

25°

101°

12°

67°

145° 105,7°

89° 59,75°

123°

105,7°

75°

3. Completa cada tabla y luego, responde. Medida de los ángulos interiores de un triángulo 45°

90°

90°

76°

24°

80°

120°

23°

100°

Medida de los ángulos interiores de un cuadrilátero 167°

86°

90°

45°

176°

103°

87°

34°

76°

81°

128°

75°

¿Es posible construir un triángulo?

derno a u c tu de en n o p s re ¿Es posible construir un cuadrilátero?

derno a u c tu de en n o p s re

a) La medida de los ángulos basales de un triángulo isósceles es 67°, ¿cuánto mide el tercer ángulo?, ¿cómo lo calculaste? b) La suma de tres de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 256º, ¿cuánto mide el cuarto ángulo?, ¿cómo lo averiguaste? c) ¿Es posible que las medidas de los ángulos interiores de un triángulo acutángulo sean 89°, 45° y 50°?, ¿cómo lo supiste? d) ¿Es posible que las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero sean 90°, 81°, 53° y 136°?, ¿qué pasos realizaste?

Ángulos 151

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Ángulos exteriores de triángulos y cuadriláteros Observa el triángulo y el cuadrilátero: C γ

α` A

γ`

β

α

β` B

α, β, γ son ángulos interiores del triángulo ABC. α`, β`, γ` son ángulos exteriores del triángulo ABC. C γ γ` D δ` δ

β β` B

α` α A

α, β, γ , δ son ángulos interiores del cuadrilátero ABCD. α`, β`, γ`, δ` son ángulos exteriores del cuadrilátero ABCD.

PARA DISCUTIR • Sabemos que los ángulos α y α`, β y β` , γ y γ` son adyacentes, por lo tanto: α + α` = 180º; β + β` = 180º; γ + γ` = 180º. Entonces, ¿cuál es el resultado de α + α` + β + β` + γ + γ`? • Si la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°, ¿cuál es la suma de los ángulos exteriores de un triángulo? • ¿Qué puedes concluir respecto a la suma de los ángulos exteriores de un triángulo cualquiera? • Sabemos que los ángulos α y α`, β y β` , γ y γ`, δ y δ` son adyacentes, entonces, ¿cuál es el resultado de α + α` + β + β` + γ + γ` + δ y δ`? • Si la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360°, ¿cuál es la suma de los ángulos exteriores de un cuadrilátero? • ¿Qué puedes concluir respecto a la suma de los ángulos exteriores de un cuadrilátero cualquiera?

NO OLVIDES QUE... En todo triángulo y cuadrilátero la suma de sus ángulos exteriores es 360°. 152 Unidad 6

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EN TU CUADERNO 1. Calca las figuras y recórtalas por la línea punteada. Luego, ubica los ángulos exteriores recortados de manera que coincidan los vértices, ¿Qué se forma en cada caso?

2. Completa el valor que debe tener el tercer ángulo, según sea el caso. Ángulos exteriores del triángulo

Ángulos exteriores del cuadrilátero

100°

150°

78,8°

83,5°

174,25°

90°

90°

115°

135°

98º

156,75°

90°

90°

89,5°

65°

3. Determina el valor del ángulo x en los siguientes triángulos y cuadriláteros, sin medir. a)

c) 100°

A

x

C

x B

60°

78°

136°

b)

65°

d)

79°

129°

23°

91° x

73° x

MI PROGRESO Si L1 // L2 // L3, calcula la medida de los ángulos x, z e y. 72° 64° x

y

L1 L2

z

L3

65° Ángulos 153

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BUSCANDO ESTRATEGIAS

Observa la estrategia que se utiliza para resolver la siguiente situación. Don Ernesto plantó tomates y lechugas en su huerta, la cual tiene forma similar a un trapecio: F

E

D

47° Lechugas

A

Tomates

73° B

C

¿Cuál es la medida del ángulo EFA en el terreno donde se plantaron lechugas? Comprender • ¿Qué sabes del problema? La huerta tiene forma similar a un trapecio ACDF, donde AC // FD. En el terreno representado por el cuadrilátero ABEF se plantaron lechugas y en el terreno representado por el cuadrilátero BCDE, tomates. El ángulo DEB mide 47°. El ángulo FAB mide 73°. Los ángulos alternos internos tienen igual medida. La suma de los ángulos adyacentes es 180°. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360°. • ¿Qué debes encontrar? La medida del ángulo EFA del terreno en el cual se plantó lechugas. Planificar • ¿Cómo puedes resolver el problema? Como los ángulos FEB y DEB son adyacentes, podemos calcular la diferencia entre 180° y 47° para conocer la medida del ángulo FEB. La medida del ángulo EFA corresponde a la diferencia entre 360º y la suma de los ángulos ABE, BEF y FAB (por ser ángulos interiores de un cuadrilátero). Resolver

180 – 47 133 Medida del ángulo FEB

133 + 47 73 253 Suma de los ángulos ABE, BEF y FAB

360 – 253 107 Medida del ángulo EFA

Responder El ángulo EFA del terreno en que don Ernesto plantó lechugas mide 107°. Revisar Puedes comprobar sumando los ángulos interiores del cuadrilátero que representa el terreno donde se plantaron lechugas, el resultado debe ser 360º. 154 Unidad 6

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Unidad 6

1. Resuelve los siguientes problemas, aplicando la estrategia de la página anterior. a) Una empresa de ferrocarriles desea construir una línea de tren desde Temuco a Osorno. Al diseñarla se dieron cuenta de que se cruzaría con otra línea de tren. Observa cómo se intersectan las dos líneas: 78° 122°

¿Qué error están cometiendo en el diseño? b) Observa la distribución de las siguientes calles y comprueba si hay al menos un par de ellas que sean paralelas. 51°

42°

138° Calle 3

Calle 2 Calle 1

Calle 4

2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución, explícala, paso a paso, y compárala con las usadas por tus compañeros y compañeras. 3. Resuelve el siguiente problema, utilizando la estrategia que tú quieras. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a) Un agricultor desea sembrar dos filas paralelas de zanahorias y otra fila que las atraviesa de betarragas. ¿Cuánto debe medir el ángulo x para que las filas de las zanahorias sean realmente paralelas?

Betarragas

56° x

Zanahorias Zanahorias

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CONEXIONES

TENDENCIAS

Geometría y arte

Wassily Kandinsky, Composición VIII. Detalle.

El pintor ruso Vasily Kandinsky es considerado el pionero del arte abstracto y uno de los artistas más influyentes del siglo XX. Uno de sus períodos más importantes comienza en 1922, cuando se une a la afamada escuela Bauhaus, de Alemania, incorporando en sus obras formas

puramente geométricas que lo hicieron famoso en todo el mundo. Así, en sus cuadros más célebres podemos ver desde círculos que monopolizan telas, hasta triángulos, cuadrados, rectas y ángulos que adornan sus trabajos más aplaudidos.

http://www.babab.com/no07/wassily_kandinsky.htm http://www.ibiblio.org/wm/paint/auth/kandinsky/

Formen un equipo de trabajo y desarrollen las siguientes actividades: 1. ¿Qué elementos geométricos estudiados durante esta unidad observas en esta obra de Kandinsky? Anótenlos en una hoja. Describan cada uno de ellos en cuanto a los ángulos que se forman. 2. Elijan otras 2 obras de Kandinsky e identifiquen en ellas al menos tres figuras geométricas que haya utilizado. 3. Creen una obra propia, que contenga: ángulos, ángulos entre paralelas, triángulos y cuadriláteros. 156 Unidad 6

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Unidad 6

SÍNTESIS A continuación te invitamos a realizar un trabajo colaborativo, en el cual aplicarán los principales contenidos estudiados en la unidad. Para esto sigan las instrucciones: 1. Formen grupos de tres integrantes. 2. A partir de los siguientes temas, inventen 15 preguntas relacionadas con el trabajo realizado durante la unidad. a) Clasificación de ángulos. b) Medición de ángulos usando transportador. c) Medición de ángulos usando herramientas tecnológicas. d) Cálculo de ángulos entre paralelas cortadas por una transversal. e) Ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros. f) Ángulos exteriores de triángulos y cuadriláteros.

3. Las preguntas deben escribirlas en pequeñas tarjetas de cartulina de 10 cm • 5 cm. Al reverso de las tarjetas escriban las respuestas de cada una de las preguntas. 4. Cuando hayan finalizado, deben entregar las tarjetas al profesor (o profesora) para que las revise. Luego, deben intercambiarlas con otro grupo y hacerse las preguntas entre ustedes. 5. Es importante que anoten la cantidad de preguntas contestadas de manera correcta e incorrecta. En caso de que hayan respondido incorrectamente, vuelvan a contestar, revisando los apuntes del cuaderno o del libro. Utilizando los contenidos aprendidos en la unidad, responde en tu cuaderno las siguientes preguntas: a) ¿Qué unidad de medida se utiliza para expresar la amplitud de los ángulos? b) Si las medidas de tres ángulos son 17°, 89,3° y 151°, ¿qué tipo de ángulos es cada uno de ellos? c) ¿Cómo se construyen ángulos?, ¿qué elementos son necesarios conocer para construirlos? d) ¿Qué ángulos se forman entre rectas paralelas cortadas por una transversal? Realiza un dibujo explicativo. e) Si dos de los ángulos interiores de un triángulo miden 64° y 39°, ¿cuánto mide el ángulo exterior del tercer ángulo? Justifica. f) Si dos de los ángulos interiores de un cuadrilátero miden 129° y 102°, respectivamente, y el ángulo exterior del tercer ángulo mide 95°, ¿cuánto mide el ángulo interior del cuarto ángulo? Justifica.

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¿QUÉ APRENDÍ? Marca, en tu cuaderno, la alternativa que consideres correcta en las actividades 1 a la 8. 1. ¿Cuál de los siguientes tríos de ángulos NO pueden corresponder a las medidas de los ángulos interiores de un triángulo? A. 27°, 35°, 118° B. 80°, 60°, 40° C. 75°, 75°, 30° D. 28°, 49°, 102°

5. Un ángulo que mide 200º es: A. un ángulo extendido. B. un ángulo obtuso. C. un ángulo cóncavo. D. un ángulo completo. Para las preguntas 6, 7 y 8 utiliza la siguiente figura: y

2. Si dos ángulos exteriores de un triángulo miden

L1

65° y 100°, ¿cuánto mide el tercer ángulo 33°

exterior? A. 15°

47°

B. 105° C. 165° D. 195° 3. Si las medidas de los ángulos interiores de un

6. ¿Cuál es la medida del ángulo α? A. 33° B. 47°

cuadrilátero son 90º, 75° y 65°, ¿cuánto mide el

C. 80°

ángulo interior restante? A. 30°

D. 100°

B. 50°

7. ¿Cuál es la medida del ángulo x?

C. 130°

A. 33°

D. 180°

B. 47° C. 80°

4. Determina en qué caso NO siempre son iguales las medidas de los ángulos. A. Ángulos adyacentes B. Ángulos opuestos por el vértice

D. 100° 8. ¿Cuál es la medida del ángulo y? A. 33°

C. Ángulos alternos internos

B. 47°

D. Ángulos alternos externos

C. 80° D. 100°

158 Unidad 6

L2

x

α

L3

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Unidad 6 9. Mide los siguientes ángulos, usando el transportador. Luego, clasifícalos. a)

c)

b)

d)

10. Construye en tu cuaderno ángulos con las siguientes medidas. a) 73°

c) 216°

b) 107°

d) 25°

Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿QUÉ LOGRÉ? 1. Marca según tu apreciación.

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

Clasificación de ángulos. Medición de ángulos usando el transportador. Ángulos entre paralelas. Ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros.

derno u cua t n e nde respo

Ángulos exteriores en triángulos y cuadriláteros. Resolución de problemas. 2. Reflexiona y responde. a) ¿Qué dificultades tuviste en la unidad?, ¿cómo las superaste? b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la unidad?, ¿por qué? c) Vuelve a la página 138 y revisa el recuadro “En esta unidad podrás…”, ¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Comenta.

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UNIDAD

7

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Datos y azar

EN ESTA UNIDAD PODRÁS... • Leer e interpretar información entregada en tablas. • Leer e interpretar información entregada en gráficos de barras comparadas y en gráficos de líneas. • Construir gráficos de barras comparadas y de líneas. • Usar tablas y gráficos, y analizar las variables. • Conocer la probabilidad de ocurrencia de un evento.

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CONVERSEMOS DE... La lectora de las noticias está hablando de un tema muy común en estos días: el precio de algunos productos de consumo básico en los hogares chilenos. Ya habrás escuchado hablar sobre el alza de la mayoría de los precios, principalmente de productos alimenticios y combustibles. Los factores que afectan estas alzas de los precios son variados. Analiza la información entregada por la imagen y luego responde: • En la pantalla que acompaña a la lectora de noticias aparece un gráfico, ¿qué información está entregando ese gráfico?, ¿es fácil de comprender? • ¿Consideras que el gráfico es una buena forma de presentar algún tipo de información? • Da ejemplos de temas que hayan sido explicados con gráficos, puedes buscar en revistas o diarios. • La lectora de noticias dice que los expertos afirman que es muy probable que las alzas de los precios sigan en aumento. ¿Qué entiendes, cuando se dice que algo es muy probable?, ¿en qué se basarán para decir que algo es muy probable o improbable? • Da un ejemplo de algo que sea improbable que ocurra. • ¿Por qué crees que el alza de los precios es un tema tan importante para nuestra sociedad?

Datos y azar 161

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¿CUÁNTO SABES? Recuerda lo que aprendiste anteriormente y resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno. 1. La siguiente tabla muestra el número de salas de cine y el número de funciones dadas en algunas regiones durante el año 2004. Analiza los datos y luego responde. Región

Nº de salas

Nº de funciones

12

18 273

Coquimbo

7

9418

Valparaíso

41

44 069

Maule

13

12 501

Biobío

24

32 580

Araucanía

11

10 621

175

277 443

Antofagasta

Metropolitana de Santiago

Fuente: http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/encuestas_ consumo_cultural/pdf/cutura2004.pdf (consultado en abril de 2008)

De las regiones presentadas en la tabla: a) ¿Cuál es la que tiene el menor número de salas de cine? b) ¿Cuál es la que tiene el mayor número de salas de cine? c) ¿Cuáles son las dos que tienen el menor número de funciones de cine? d) ¿Puedes afirmar que mientras mayor es el número de salas de cine, mayor será el número de funciones? Justifica tu respuesta. 2. De la tabla de datos presentada en la pregunta anterior, construye en tu cuaderno un gráfico de barras que represente el número de salas de cine por región. 3. A partir de la siguiente tabla de datos construye un gráfico de barras.

162 Unidad 7

Año

Precio promedio kilogramo de pan corriente ($)

2007

676

2006

597

2005

578

2004

573

2003

571

2002

526

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4. El siguiente gráfico de barras nos muestra los valores promedios alcanzados por el litro de leche líquida durante los meses del año 2007. Valor en pesos

Precio promedio del litro de leche

700 600 500 400

Valor promedio litro de leche líquida

300 200 100 0 diciembre

noviembre

octubre

septiembre

agosto

julio

junio

mayo

abril

marzo

febrero

Meses enero

a) ¿Cuál o cuáles son los meses en que el litro de leche estuvo más caro? b) ¿Cuál o cuáles son los meses en que el litro de leche estuvo más barato? c) ¿Entre qué meses ocurrió la mayor alza en el valor de la leche? d) En relación al precio de la leche en el año 2007, ¿qué podrías concluir? 5. El siguiente gráfico de barras fue construido a partir de una encuesta realizada a 45 niños de un 5º Básico, en la que se les preguntó por la actividad que más les gusta realizar cuando están en sus casas. Los resultados se muestran en el siguiente gráfico de barras. A partir de él, completa en tu cuaderno la tabla de datos. Actividad

Número de niños

Actividades preferidas por los niños del 5º Básico A

18 16 14 12 10

Nº de niños

8 6

Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

4 2 0

Actividades leer

rno uade c u t n nde e respo

salir a la calle ver televisión escuchar música

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¿QUÉ DEBES RECORDAR? • Todo tipo de información puede organizarse en una tabla de datos y ser representada en algún tipo de gráfico. • El gráfico de barras se utiliza para representar información recogida desde una tabla de datos. • El gráfico de barras nos permite analizar información numérica y comparar categorías.

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Lectura e interpretación de información En una escuela ubicada en el norte de Chile, hay dos 5º Básicos. Ambos cursos se propusieron juntar dinero realizando diferentes actividades, como vender queques en los recreos y hacer bingos, entre otras, para hacer una fiesta de fin de año en conjunto. A continuación podrán ver un gráfico de barras comparadas que muestra el dinero reunido por cada curso en cada mes.

Dinero reunido durante el año 2008 por el 5º Básico A y el 5º Básico B

5º A 5º B

Dinero reunido ($) 35 000 30 000 25 000 20 000 15 000 10 000 5 000

Meses

0 mayo

junio

julio

agosto septiembre octubre

Ahora podrán ver para cada curso un gráfico de líneas que muestra la evolución del dinero reunido durante el año 2008.

Dinero reunido durante el año 2008 por el 5º Básico A

dinero reunido en el mes

Dinero reunido ($)

Dinero reunido durante el año 2008 por el 5º Básico B Dinero reunido ($) 40 000 35 000 30 000 25 000 20 000 15 000 10 000 5000

164 Unidad 7

octubre

septiembre

agosto

julio

octubre

septiembre

agosto

julio

junio

Meses

0 junio

Meses

0

mayo

40 000 35 000 30 000 25 000 20 000 15 000 10 000 5000 mayo

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PARA DISCUTIR • Según la información que se presenta en el gráfico de barras comparadas, ¿en qué meses, el 5º Básico A reunió más dinero que el 5º Básico B?, ¿y en qué meses, el 5º Básico B reunió más dinero que el 5º Básico A? • ¿En qué mes se presenta la mayor diferencia de dinero entre ambos cursos?, ¿cómo puedes determinar esto a partir del gráfico de barras comparadas? • Si observan la tabla de datos, ¿cuál de los dos cursos reunió más dinero?, ¿cómo lo calcularon? • Si observan el gráfico, ¿pueden saber con exactitud el total del dinero reunido por cada curso? • Si analizan los gráficos y comparan la cantidad de dinero ganado respecto del mes anterior, ¿en qué meses hubo un aumento?, ¿y en cuáles hubo una baja?, ¿cómo lo averiguaron? • ¿En qué mes se reunió menos dinero en ambos cursos?, ¿por qué creen que ocurrió esto?

NO OLVIDES QUE... • El gráfico de barras comparadas es también conocido como gráfico de barras doble, nos permite relacionar y comparar dos o más categorías de datos similares. • El gráfico de líneas se utiliza para mostrar la tendencia de una variable en un determinado período de tiempo.

EN TU CUADERNO 1. La doctora Gabriela recibió cuatro pacientes de 11 años, para ayudarlos a bajar de peso. Observa en el gráfico los resultados que obtuvo. a) ¿Cuál o cuáles de los pacientes pesaba al inicio del tratamiento más de 100 kg?, ¿y cuál logró bajar más de peso durante el tratamiento?, ¿cómo puedes saberlo? b) ¿Cuál de los pacientes bajó menos de peso durante el tratamiento? c) Según los datos del gráfico, construye una tabla de datos y compárala con la de tus compañeros y compañeras. d) ¿Se puede representar esta información en un gráfico de barras simples? Justifica.

Peso en kg

Resultados en tratamiento para bajar de peso

Peso inicial Peso final

120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Domingo

Tomás

Francisco

Pedro

Pacientes

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2. Los siguientes gráficos representan la evolución que tuvo cada paciente en el transcurso del tratamiento. Evolución de Domingo Peso en kg

Evolución de Tomás registro del peso

150

Peso en kg

100 80

100

60 40

50

20 Meses en tratamiento

Evolución de Francisco Peso en kg

abril

marzo

febrero

0 enero

abril

marzo

febrero

enero

0

Meses en tratamiento

Evolución de Pedro registro del peso

Peso en kg

120

120

100

100

80

80

60

60

40

40 20 abril

marzo

0 febrero

abril

marzo

febrero

0

Meses en tratamiento

enero

20 enero

U7 160-183

Meses en tratamiento

a) Al analizar este tipo de gráficos en el tratamiento de cada niño, ¿qué tendencia observas en cada uno de ellos? b) Si una persona se somete al tratamiento y en vez de bajar de peso, sube, ¿cómo sería la gráfica? c) ¿Para representar los datos entregados en cada gráfico, se podría haber utilizado un gráfico de barras simple?, ¿por qué? d) Para ver claramente cómo varía el peso de cada paciente, de un mes a otro, qué será mejor: ¿un gráfico de barras o de líneas? 3. Piensa y responde según lo que observaste en el desarrollo de las actividades anteriores. a) ¿Qué semejanzas hay entre un gráfico de barras comparadas y uno de líneas? Justifica. b) ¿En qué se diferencian los tipos de gráficos trabajados en estas páginas?

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4. Observa el gráfico de líneas y luego responde. TEMPERATURAS REGISTRADAS DURANTE 6 HORAS Temperatura (ºC) 30 25 20 15 10 5

10

11

12

13

14

Tiempo (horas)

15

a) ¿Qué temperatura se registró a las 11 de la mañana? b) ¿A qué hora se registraron 25 grados? c) ¿A qué hora se registró la temperatura más baja? d) ¿Cuál es la temperatura promedio de las últimas 5 horas? e) Construye una tabla de frecuencias que resuma la información del gráfico.

5. Observa el siguiente gráfico que muestra el índice de radiación UV (ultravioleta) en Iquique durante 10 días y luego, responde: a) ¿Qué día se registró el mayor índice UV? b) ¿A qué tipo de gráfico corresponde? c) ¿En qué valor del índice se mantiene la tendencia? 14 Extremo

12 10

Muy alto 8 5

5 4

4

Alto

6 5

5

5

5

30/07

5

29/07

6

Moderado

2

Bajo 28/07

27/07

26/07

25/07

24/07

23/07

22/07

0 21/07

Índice

U7 160-183

Días Datos y azar 167

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Construcción de gráficos En un colegio se realizaron las elecciones para el centro de alumnos. Las listas presentadas fueron: lista A1 y lista B2. El equipo encargado de contar, ordenar y presentar el conteo final, está muy complicado en dar a conocer los resultados en un gráfico, por lo que inicialmente construyeron la siguiente tabla de datos. Lista

8º Básico 1º Medio

2º Medio

3º Medio

Total

A1

44

47

58

37

186

B2

36

33

22

43

134

PARA DISCUTIR • ¿Cuál sería el tipo de gráfico más apropiado que utilizarías para graficar la información entregada en la tabla? • Según lo revisado en la unidad, júntate con dos compañeros y compañeras y elijan el tipo de gráfico que consideren más adecuado. Constrúyanlo. • ¿Cómo construyeron el gráfico?, ¿en qué cosas se fijaron para hacerlo? • Presenten al curso sus gráficos y comparen lo que hicieron con el resto de sus compañeros y compañeras.

EN TU CUADERNO 1. Observa el siguiente gráfico y luego responde. En una encuesta que fue realizada a niños, jóvenes y adultos, se les preguntó: ¿Le gusta la comida chatarra? Los resultados fueron ordenados en la siguiente tabla, y luego, presentados en un gráfico. ¿Le gusta la comida chatarra?

a) ¿Fue construido correctamente? Justifica. b) ¿Puedes representar estos datos en un gráfico circular? Explica. c) ¿Qué puedes decir de la tendencia de la cantidad de personas que les gusta la comida chatarra? Justifica. d) ¿Qué elementos faltan en este gráfico? Justifica por qué son necesarios para interpretar correctamente el gráfico. 168 Unidad 7

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2. Observa la siguiente tabla y el gráfico correspondiente, y luego responde: En una encuesta que fue realizada a niños, jóvenes y adultos, se les preguntó: ¿Cuál es su lugar favorito para pasar las vacaciones? Los resultados fueron ordenados en la siguiente tabla, y luego presentados en un gráfico. Lugar

Frecuencia absoluta

Mar Lago Campo Montaña Desierto

240 120 200 160 80

Lugares favoritos para las vacaciones 250 200 150 100 50 desierto

montaña

campo

lago

0 mar

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a) Según los datos de la tabla, ¿el gráfico fue construido correctamente? Justifica. b) ¿Faltan elementos en este gráfico? Explica. c) Construye en tu cuaderno un gráfico de barras que represente los datos de la tabla. ¿En qué se diferencia del gráfico construido aquí? d) ¿Qué se necesita corregir en el gráfico para que represente fielmente los datos de la tabla?

3. El uso del computador, se ha hecho cada vez más necesario y acceder a él es ahora más fácil. A continuación, podrás ver una tabla de datos que muestra el promedio del precio de un computador en el transcurso de 5 años. Año

2003

2004

2005

2006

2007

Precio promedio de un computador

250 000

222 000

208 000

186 000

157 000

a) ¿Cuál sería el gráfico que utilizarías para representar los datos de la tabla anterior? b) Construye el gráfico y luego, compáralo con los realizados por tus compañeros. 4. En la siguiente tabla, se muestran los resultados sobre el tiempo destinado a las vacaciones por los jóvenes chilenos el verano de 2003. a) ¿Qué tipo de gráfico es el más adecuado para representar esta información? b) Construye el gráfico. Recuerda incluir todos los elementos necesarios para interpretarlo correctamente.

Duración de las vacaciones Menos de una semana Una semana Dos semanas Tres semanas Un mes Más de un mes

Cantidad 46 83 112 54 58 62

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HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Para la construcción de cualquier tipo de gráfico, podemos utilizar un programa computacional que tiene múltiples aplicaciones. A continuación aprenderemos a utilizar una de ellas: Construcción de gráficos. PASOS PARA CONSTRUIR UN GRÁFICO DE BARRAS COMPARADAS EN EL PROGRAMA EXCEL: 1º Al ingresar a esta planilla de cálculo, copia los datos entregados en la tabla de la página 168. 2º Selecciona los datos de tu tabla y luego presiona el ícono , el cual te llevará a una pantalla que te pedirá elegir el tipo de gráfico, en este caso elegiremos el primero: Columnas.

3º Luego presiona la opción Siguiente, ingresarás a una pantalla que te mostrará el Rango de datos que has seleccionado. Puedes elegir la Serie que sea mostrada, haciendo clic en Siguiente.

4º Pasarás así a la nueva pantalla que te permitirá escribir el Título del gráfico, y nombrar el Eje vertical y Eje horizontal. Esta pantalla te permitirá eliminar o añadir Líneas de división, disponer la Leyenda en distintas posiciones, Rotular los datos y poner o no la Tabla de datos en la gráfica.

5º Por último, al presionar Siguiente tendrás la opción de elegir si el gráfico se inserta dentro del documento donde tienes tus datos como un objeto, o bien agregarlo a una nueva hoja.

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NO OLVIDES QUE... Para construir un gráfico de barras comparadas o lineal, puedes seguir estos pasos: Paso 1: Escribir el título del gráfico. Paso 2: Dibujar el eje horizontal y vertical. Luego, nombrarlos. Paso 3: Indicar la escala de las cantidades correspondientes (eje vertical) y los valores de las variables (eje horizontal). Paso 4: En un gráfico de barras comparadas: simbolizar las subcategorías, con algún color. En un gráfico de líneas: marcar con un punto la posición que corresponda. Paso 5: En un gráfico de barras comparadas: representar los datos de una tabla en un gráfico. En un gráfico de líneas: unir con líneas rectas cada uno de los puntos en forma consecutiva. Por ejemplo, Gráfico de barras comparadas

Gráfico de líneas

votos votos lista A1 60

Precio promedio de un computador precio promedio

votos lista B2 300 000

50 40

200 000

30 20

100 000

10 Cursos

Año

0

3º Medio

2006

2º Medio

2006

1º Medio

2005

8º Básico

2004

0

2003

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MI PROGRESO La siguiente tabla muestra la cantidad vendida de 2 tipos de cuadernos por cuatro tiendas. Tipo de cuaderno

Tienda 1

Tienda 2

Tienda 3

Tienda 4

Cuadriculado

35

20

40

35

Composición

30

30

20

10

1. ¿Qué tipo de gráfico es el más apropiado para representar esta información? Justifica y luego construye el gráfico. 2. ¿Qué tienda fue la que vendió más cuadernos en total?, ¿cuál fue la que vendió la mayor cantidad de cuadernos cuadriculados?, ¿y la que vendió la menor cantidad de cuadernos de composición? Datos y azar 171

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Tipos de variables El centro de alumnos del colegio de David realizará una encuesta para obtener algunos datos sobre los y las estudiantes. Para tener los resultados más rápidamente, elegirán al azar solo algunos alumnos de cada curso. En la encuesta las preguntas se organizaron en dos grupos.

. sta: ás te gu m e u . q bre El nom : ido r prefer so: Tu colo del cur o r e ñ a a: r comp te gust El mejo s á m e qu natura La asig

. .

Horas diarias q ue estudias: . Número de her manos: . Número de ve ces que tomas agua al día: Peso: . Estatura:

. .

PARA DISCUTIR Respondan las preguntas anteriores. Y luego, lean atentamente las siguientes preguntas para responderlas. • ¿Qué características tienen en común las respuestas que dieron al primer grupo? • ¿Qué características tienen en común las respuestas que dieron al segundo grupo? Como puedes observar, las respuestas del primer grupo corresponden a atributos o categorías. En cambio, las respuestas del segundo grupo se caracterizan por ser valores numéricos. En general, las variables estadísticas se pueden clasificar en: • Variables cualitativas (o categóricas): son aquellas que responden a un atributo o categoría. • Variables cuantitativas (o numéricas): son aquellas que se pueden expresar mediante números. Además, las variables cuantitativas se pueden clasificar en dos grupos distintos: - Variables discretas: son aquellas que provienen del resultado de contar, por ejemplo, la cantidad de hermanos, el número de veces que toma agua al día, etc. (no pueden tomar valores intermedios como “1,5 hermanos”). - Variables continuas: son aquellas que provienen del resultado de medir, por ejemplo, la estatura, el peso, el tiempo de funcionamiento de un artefacto, etc. (pueden tomar valores intermedios). 172 Unidad 7

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NO OLVIDES QUE... • En el siguiente esquema se muestra la clasificación de las variables estadísticas. si es una categoría o clasificación

Cualitativas

Variables si se puede contabilizar

si es un conteo

Discretas

si es una medición

Continuas

Cuantitativas

EN TU CUADERNO 1. Indica si las siguientes variables son cualitativas o cuantitativas. En el caso de ser cuantitativas, clasifícalas en discretas o continuas. a) Sexo de una persona.

d) Nivel socioeconómico.

b) Tiempo de espera en una fila.

e) Duración de una llamada telefónica .

c) Color de ojos. 2. Para cada tipo de variable escribe un ejemplo. a) Cualitativa

c) Cuantitativa continua

b) Cuantitativa discreta

MI PROGRESO Una de las primeras tareas que realizó una bibliotecaria fue clasificar todos los textos literarios en: cuentos, novelas, drama, acción. Como resultado de su orden obtuvo lo siguiente: Nº de libros en la biblioteca

Número de libros 100 80 60

Tipo de texto literario

Nº de libros

Cuento

85

Novela

70

Drama

43

Acción

28

nº de libros

40 20 Acción

Drama

Novela

0 Cuento

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Tipo de texto literario

1. La bibliotecaria ¿graficó correctamente los datos registrados en la tabla?, ¿por qué? 2. ¿Cuál es la variable que se podría estudiar en esta situación? Justifica. 3. ¿Qué tipo de variable es?, ¿por qué? 4. Si es cuantitativa, ¿es discreta o continua? Justifica. Datos y azar 173

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Probabilidad de ocurrencia de un evento (seguro, posible, imposible) En el colegio de Mariana se celebró una kermés familiar, donde hubo diferentes entretenciones. A Mariana le gustó el local en el que había juegos de azar (juegos en los cuales no se puede predecir el resultado). El juego que atrajo a más personas fue la ruleta de colores. Consistía en un círculo dividido en 4 partes iguales. Cada parte estaba pintada de un color distinto: amarillo, azul, verde y rojo. Mariana jugó mucho rato en la ruleta, ganando distintos tipos de premios.

PARA DISCUTIR • ¿Conoces juegos de azar? Menciona aquellos que conozcas. • Si Mariana juega una vez en la ruleta, ¿qué color es más probable que acierte? • ¿Es posible que Mariana acierte al color blanco en la ruleta? Justifica. • Si las cuatro partes de la ruleta son de color rojo, ¿podemos afirmar que con seguridad que acertará en ese color?, ¿por qué?

EN TU CUADERNO 1. Dibuja la siguiente ruleta en tu cuaderno, con sus respectivos colores, y luego responde. a) ¿Cuántos son los resultados posibles al tirar la ruleta? ¿Cuáles son estos? b) ¿Se puede afirmar que al lanzar la ruleta una primera vez, la flecha atinará en el color azul? c) Al lanzar la ruleta una vez, ¿podemos decir que es seguro, posible o imposible que la flecha atine en el color amarillo? Justifica. d) ¿Es posible que la flecha acierte en el color rojo?, ¿por qué? e) Compara tus respuestas con las de tus compañeros y compañeras. 2. Dibuja tres ruletas similares a esta, en tu cuaderno. Píntala, según lo pedido en las claves, de modo que al lanzar una vez la flecha acierte en el color rojo. a) seguro b) imposible c) posible 174 Unidad 7

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3. Copia las siguientes afirmaciones en tu cuaderno y complétalas con alguna de las siguientes palabras: seguro, posible o imposible, según corresponda. a) Al lanzar un dado, es

que el resultado sea un número par.

b) Al lanzar un dado, es

que el resultado sea 6.

c) Al lanzar un dado, es

que el resultado sea 7.

d) Al lanzar una moneda, es

que el resultado sea cara.

e) De una bolsa con 10 fichas rojas y 5 fichas verdes, es f) De una caja donde hay solo tiza blanca, es

sacar una ficha café. sacar tiza blanca.

g) En un partido de fútbol entre Colo–Colo y U. de Chile, es h) En una prueba de Matemáticas, es i) Si juegas al loto es

que gane el Colo–Colo.

que te saques un 7,5. que ganes.

4. Una bolsa contiene 5 bolitas rojas, 6 verdes y 7 amarillas. Determina en cada caso si el evento es seguro, posible o imposible. a) Sacar dos bolitas del mismo color. b) Sacar tres bolitas rojas. c) Sacar una bolita azul. d) Sacar una bolita de cualquier color. e) Sacar dos bolitas de distinto color. f) Sacar una bolita que no sea negra.

NO OLVIDES QUE... • Cuando se habla de probabilidad, nos referimos a la posibilidad de que una situación, suceso o evento ocurra. • Cuando un suceso o evento es seguro, quiere decir que ese resultado siempre ocurrirá. • Cuando se habla de un suceso o evento posible, quiere decir que ese resultado puede ocurrir como no. • Cuando un suceso o evento es imposible, quiere decir que ese resultado nunca ocurrirá.

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Probabilidad de ocurrencia de un evento (probable, improbable) En un concurso de televisión, que regala un auto cero kilómetros, el finalista tiene dos posibilidades de escoger de entre 10 llaves numeradas en un tablero. Su nerviosismo es grande y el público del estudio le dice que elija la llave 5. Él la elige y lamentablemente pierde. En su segunda opción, angustiado, le pide al animador que lo ayude. El animador solo le dice que el número de la llave ganadora es un número par. El concursante elige la llave número 2 y se juega su última posibilidad de ganar el automóvil.

PARA DISCUTIR • ¿Qué “tan probable” es que el concursante se gane el auto? Justifica tu respuesta. • Si el concursante elige un número impar, en vez de elegir el número 2, ¿es probable que gane el auto? • Una vez que el concursante eligió la llave número el 5, y no acertó, si el animador le hubiera dicho que la llave correcta era un número impar, ¿era más o menos probable que ganara el auto?

EN TU CUADERNO 1. Al lanzar un dado tienes 6 diferentes posibilidades de resultados, es decir, te puede salir 1, 2, 3, 4, 5 ó 6. Determina si es “improbable”, “más probable”, “menos probable” o “igualmente probable”, en cada caso. a) Obtener un número menor que 6.

d) Obtener un número par.

b) Obtener el 1.

e) Obtener un número mayor que 0.

c) Obtener un número impar.

f) Obtener el 8.

NO OLVIDES QUE... • La probabilidad de que ocurra un evento, también se puede interpretar como que el evento es probable, improbable o imposible. • Se dice que un evento o suceso es imposible, cuando no puede ocurrir. • Se dice que un evento es probable, cuando existe la probabilidad de que ocurra. • Cuando se habla que un suceso o evento es probable, podemos decir que es más probable, cuando hay más posibilidades de que ocurra; que es menos probable, cuando hay menos posibilidad de que ocurra, o que es igualmente probable, cuando existe la misma posibilidad de que ocurra como de que no ocurra. 176 Unidad 7

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EN EQUIPO En esta actividad deberán describir y fundamentar la probabilidad de un evento o suceso. Formen grupos de 3 integrantes y sigan las siguientes instrucciones. 1. Recorten siete cuadraditos de 2 cm de lado de color rojo, cuatro de color azul y una de color verde (cada cuadradito corresponde a una ficha).

Materiales: • Hojas de papel lustre color rojo, azul y verde • Tijeras • Pegamento • Una bolsa pequeña de color oscuro.

2. Introduzcan las fichas recortadas dentro de la bolsa y muévanla, para que las fichas se mezclen. 3. Cada uno, en orden, saca una ficha, anota el resultado y luego la devuelve a la bolsa. Repetir este procedimiento 5 veces cada uno. Analicen los resultados y luego respondan: a) ¿Cuál de las fichas es la que tiene más posibilidades de ser extraída de la bolsa?, ¿y la que tiene menos posibilidad? Justifica en cada caso. b) ¿Se puede afirmar que existe la misma posibilidad de sacar una ficha roja, azul o verde de la bolsa? c) Escriban un suceso en el que extraer una ficha sea improbable. d) Escriban un suceso en el que sacar una ficha sea seguro. e) ¿Cómo debería ser el juego de fichas, para que sea igualmente probable sacar una ficha de cada color?

MI PROGRESO Responde en tu cuaderno. 1. ¿Cuál de los siguientes eventos es imposible? Justifica en cada caso. a) Que una persona que juega ajedrez gane. b) Que al lanzar una moneda, dé como resultado cara. c) Que de una caja con fichas rojas se saque una ficha verde. 2. Se tiene una bolsa con 3 pelotitas amarillas, 2 pelotitas moradas y 3 pelotitas rojas. Dada esta situación, escribe: a) un suceso improbable. b) un suceso probable. c) un evento que tenga igual posibilidad de ocurrir. d) un evento seguro. Datos y azar 177

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BUSCANDO ESTRATEGIAS

Observa la estrategia que se utiliza para resolver la siguiente situación. La siguiente tabla muestra la población según el censo del 2002 en cuatro regiones de nuestro país, dividida por sexo.

Habitantes

Población (censo 2002)

700 000

Hombres Mujeres

600 000 500 000 400 000 300 000 200 000 100 000 0

Regiones Antofagasta Valparaíso

La Los Lagos Araucanía

Pedro, un estudiante de Geografía, necesita saber el número aproximado de habitantes de cada región, para lo cual decidió ordenar la información en una tabla. Comprender • ¿Qué sabes del problema? El número aproximado de habitantes de cada región diferenciado por sexo. • ¿Qué debes encontrar? El número aproximado de habitantes de cada región. Planificar • ¿Cómo puedes resolver el problema? Calcular el número aproximado de hombres y mujeres por región (te puedes ayudar con el uso de una regla). Ordenar los datos en una tabla y luego, sumar el número de hombres y mujeres para obtener el número total de habitantes en cada caso. Resolver Número de habitantes aproximado: Región

Hombres

Mujeres

Total

Antofagasta

255.000

240.000

495.000

Valparaíso

420.000

455.000

875.000

La Araucanía

430.000

440.000

870.000

Los Lagos

540.000

535.000

1.075.000

Fuente: http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/censos_población_vivienda/censo2002/mapa_interactivo/mapa_interactivo.htm

Responder • El total aproximado de habitantes de cada región es: Antofagasta: 495 000; Valparaíso: 875 000; La Araucanía: 870 000; Los Lagos: 1 075 000 Revisar • Puedes comprobar ingresando al sitio web http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/censos _población_vivienda/censo2002/mapa_interactivo/mapa_interactivo.htm (consultado en mayo de 2008) y verificar los valores obtenidos. 178 Unidad 7

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Unidad 7

1. Resuelve los siguientes problemas, aplicando la estrategia de la página anterior. a) El siguiente gráfico muestra el número de alumnos y alumnas que entró a la universidad el año 2007 y 2008 de un colegio de Santiago que tenía cuatro cuartos medios. Determina el número total de alumnos y alumnas del colegio que ingresaron a la universidad en cada año. Número de alumnos y alumnas

Nº de alumnos y alumnas que ingresó a la universidad

40

2007

30

2008

20 10 Cuartos medios

0 4º A

4º B

4º C

4º D

b) El siguiente gráfico muestra los kilos de pan corriente y especial que venden en una panadería de lunes a viernes. Determina el total de kilos de pan que se venden en una semana. Kilos de pan Kilogramo de pan que vende la panadería 40

corriente

30

especial

20 10 Días

0 lunes

martes

miércoles

jueves

viernes

2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución, explícala, paso a paso, y compárala por las usadas por tus compañeros y compañeras. 3. Resuelve el siguiente problema, utilizando la estrategia que tú quieras. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? El siguiente gráfico muestra el número de asistentes a una obra de teatro en la función de la mañana y de la noche, los días martes, jueves y viernes, en los que se representa la obra. Determina el número total de asistentes en una semana. Asistentes a una obra 80 60 40

tarde

20

noche

0 martes

jueves

viernes

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CONEXIONES

TENDENCIAS

Recomendaciones para disminuir el consumo de agua en la casa En tiempos en que los factores climáticos están afectando la disponibilidad y acceso al agua, tomar conciencia de que cada uno debe aportar al cuidado de este recurso, es vital para nuestra sociedad. Por esta razón, aplicar algunas medidas tales como: reutilizar el agua, “duchas cortas”, no dejar “correr el agua” al regar o lavar la loza, entre otras, son medidas que ayudarían a reducir el consumo de agua doméstico,

aliviarían el presupuesto familiar y sería un real aporte para nuestro país. De acuerdo a cifras entregadas por la Comisión Nacional del Medio Ambiente, CONAMA, el consumo de agua de Chile es el más alto de América Latina, con 15 000 litros diarios por persona. La siguiente tabla, muestra el consumo diario de agua potable de una persona que vive en ciudad.

Fuente: Miércoles 5 de marzo de 2008, La Segunda Internet.

En la ducha (cinco minutos) En la descarga del baño En lavado de ropa En lavado de loza En el jardín En lavar y cocinar alimentos Otros usos (como beber o lavarse las manos)

100 litros 50 litros 30 litros 27 litros 18 litros 15 litros 10 litros

Fuente: http://www.explora.cl/otros/agua/consumo2.html (consultado en abril de 2008).

Reúnete con 2 compañeros y compañeras, comenten y luego respondan. a) ¿Qué medidas se podrían tomar para ayudar al cuidado del agua potable? b) Construyan un gráfico de barras con los datos que se presentan en la tabla anterior, y luego respondan: ¿en qué actividades consumimos más agua potable?, ¿cómo podemos contribuir a que este nivel de consumo disminuya? c) Si analizan una cuenta de agua potable, en ella podrán observar un gráfico de barras que indica los niveles de consumo mensual, comparen al menos dos cuentas. ¿En qué meses se consume más agua potable?, ¿por qué creen que ocurre esto? d) ¿Consideran probable o improbable que el agua potable en los próximos años sea un recurso muy escaso? Justifiquen.

180 Unidad 7

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Unidad 7

SÍNTESIS

A continuación se presenta un esquema que relaciona los principales conceptos trabajados en esta unidad. Cópialo en tu cuaderno y complétalo con los siguientes términos: • Probable • Líneas

• Excel • Computador

• Barras comparadas

DATOS Y AZAR LA INFORMACIÓN PUEDE SER EXPRESADA EN

Tablas

Gráficos ESTOS PUEDEN SER

SE ESTUDIA LA

Probabilidad de un evento QUE PUEDE SER

Seguro

SE PUEDEN CONSTRUIR CON

Imposible

Papel, regla y lápiz UTILIZANDO EL PROGRAMA

Improbable

Utilizando los conceptos aprendidos en la unidad y apoyándote en el esquema anterior, comenta con tus compañeros y compañeras las siguientes preguntas: a) ¿Puedes construir un gráfico a partir de una tabla? b) ¿Puedes construir una tabla de datos a partir de un gráfico? Justifica. c) ¿Qué diferencias se dan entre un gráfico de barras comparadas y un gráfico lineal? d) Si deseas graficar la variación de un dato a lo largo del tiempo, ¿qué tipo de gráfico es conveniente construir? e) Explica los pasos que seguirías para construir un gráfico de barras comparadas en el programa Excel. f) ¿Un evento puede ser seguro e imposible a la vez?, ¿por qué? g) ¿Qué características debe tener un suceso para que sea seguro?

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¿QUÉ APRENDÍ? Marca, en tu cuaderno, la alternativa que consideres correcta en las actividades 1 a la 8. 1. ¿Quién obtuvo el mejor promedio en Lenguaje? A. Paula.

Promedio de notas

B. Vania.

5. ¿A qué tipo de variable estadística corresponde la estatura de una persona? A. Cuantitativa discreta.

7

B. Cuantitativa continua.

6

C. Natalia.

5

C. Cualitativa.

D. Verónica.

4

D. Cualitativa discreta.

3 2 Alumnas Verónica

0 Natalia

Matemática

Vania

Lenguaje

6. Al lanzar un dado, es más probable que salga:

1 Paula

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2. ¿Quién obtuvo mejor promedio en Matemática? A. Paula. B. Vania. C. Natalia. D. Verónica. 3. ¿Quién tiene el más bajo rendimiento? A. Paula.

A. Un número par. B. El número 6. C. Un número menor que 7. D. Un número menor que 6. 7. Si lanzas una moneda, se podría decir que la probabilidad que dé como resultado cara es: A. Seguro. B. Improbable. C. Igualmente probable que salga sello. D. Imposible.

B. Vania. C. Natalia. D. Verónica. 4. Para graficar la variación del precio de la bencina

8. Tienes en una bolsa con diez caramelos. Cinco de ellos son rojos, tres son verdes y dos amarillos. ¿Qué tendría que ocurrir para que sea seguro que salga un caramelo rojo? A. Nada, porque hay más cantidad.

en los últimos cinco años, ¿qué tipo de gráfico es

B. Que 8 sean de color rojo.

conveniente utilizar? A. Circular.

C. Que todos sean rojos.

B. De barras comparadas. C. De líneas. D. De barras simples.

182 Unidad 7

D. Que ninguno sea rojo.

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Página 183

Unidad 7 9. Don Ricardo tiene un taller mecánico. Su especialidad son autos y camionetas. Necesita saber cuántos autos y camionetas ha arreglado en los últimos seis meses, para así determinar los meses de más ganancias y trabajo. A continuación observa la tabla que elaboró don Ricardo con la información: Mes

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Nº de autos

15

8

28

22

20

18

Nº de camionetas

9

3

25

17

18

12

a) Construye en tu cuaderno un gráfico de barras comparadas con los datos presentados en la tabla. b) ¿En qué mes se repararon más autos y camionetas en total?, ¿y menos? c) Ordena los meses de menor a mayor, según la cantidad de arreglos de autos en total (autos y camionetas). Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

¿QUÉ LOGRÉ? 1. Marca según tu apreciación.

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

Lectura e interpretación de información. Construcción de gráficos. Tipos de variables. Probabilidad de ocurrencia de un evento (seguro, posible, imposible).

rno uade c u t n nde e respo

Probabilidad de ocurrencia de un evento (probable, improbable). Resolución de problemas. 2. Reflexiona y responde. a) ¿Qué dificultades tuviste en la unidad?, ¿cómo las superaste? b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la unidad?, ¿por qué? c) Vuelve a la página 160 y revisa el recuadro “En esta unidad podrás…”, ¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Comenta. Datos y azar 183

Taller 3 21 x 27

31/12/08

12:24

Página 184

Taller de evaluación 3 I. Recuerda lo que aprendiste en las unidades 5, 6 y 7, y marca en tu cuaderno la alternativa correcta. 1. ¿Qué opción corresponde al perímetro de un triángulo equilátero? A. B. C. D.

a+b+c a + 2b a+a+c 3a

2. El rectángulo 1 mide 5 cm de largo y 9 cm de ancho, y el rectángulo 2 mide 15 cm de largo y 3 cm de ancho. ¿Qué relación existe entre sus áreas? A. B. C. D.

El área del rectángulo 1 es mayor que la del 2. El área del rectángulo 1 es menor que la del 2. Son iguales No existe relación

3. Si el área de un rectángulo es 56 cm2 y su perímetro 30 cm, ¿cuál es la medida de sus lados? A. B. C. D.

6 cm y 9 cm 7 cm y 8 cm 3,5 cm y 4 cm 5 cm y 6 cm

4. En la figura, L1 // L2 y el triángulo ABC es equilátero. ¿Cuál es la medida del ángulo x? A. B. C. D.

26° 51° 52° 103°

5. Tres de los ángulos interiores de un cuadrilátero miden: 89°, 76° y 156°. ¿Qué tipo de ángulo es el cuarto? A. B. C. D.

Agudo. Recto. Obtuso. Cóncavo.

6. Para graficar los datos recogidos en una encuesta sobre preferencias de programas de TV de hombres y mujeres, ¿qué tipo de gráfico es conveniente utilizar? A. B. C. D.

De líneas. Circular. De barras comparadas. De barras simples.

7. En una reunión de apoderados se vendieron 40 números para una rifa. Si el señor Pérez fue el que compró más números, compró un total de 10, la probabilidad de que gane el señor Pérez es: A. Segura. B. Igualmente probable que los demás apoderados. C. Imposible. D. Muy probable. 8. ¿Qué porcentaje falta en el siguiente gráfico circular?

B

A

184 Matemática 5

L1

C

L2

A. B. C. D.

38% 28% 35% 23%

28% 15%

22%

Taller 3 21 x 27

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12:24

Página 185

II. Desarrolla, en tu cuaderno, paso a paso, las siguientes actividades. 1. Mide con el transportador y clasifica los siguientes ángulos, según su medida:

2. La siguiente tabla de datos muestra el número de chalecos y mantas que vendió la señora Yolanda en su negocio de La Ligua durante un fin de semana largo. Días

Chalecos

Mantas

Jueves

7

5

Viernes

8

7

Sábado

15

12

Domingo

10

8

a) Construye un gráfico de barras comparadas con los datos presentados en la tabla. b) ¿Qué día se vendieron más prendas (chalecos y mantas) en total? c) ¿Qué día se vendieron menos prendas (chalecos y mantas) en total? d) Ordena de menor a mayor los días, según la cantidad de ventas de chalecos. e) Ordena de menor a mayor los días, según la cantidad de ventas de mantas. 3. Matilde quiere cambiar el piso de su sala de juegos por baldosas de forma cuadrada que miden 20 cm por lado. El piso tiene forma rectangular cuyo ancho mide 2,2 m y el largo mide 3 m. a) ¿Cuál es el área del piso en cm2? b) ¿Cuántas baldosas debe utilizar para cubrir todo el piso?, ¿cómo lo calculaste? c) Si se utilizan baldosas de forma cuadrada de 30 cm de lado, ¿se cubre todo el piso? Explica.

Taller de evaluación 3 185

Solucionario 21 x 27

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Página 186

Solucionario d) Cincuenta y nueve millones trescientos setenta y uno. e) Cuatrocientos treinta y seis millones cincuenta y tres mil novecientos noventa y nueve. f) Ochocientos ochenta y ocho millones ochocientos ochenta y ocho mil ochocientos ochenta y ocho.

Unidad 1: Números naturales Página 12 ¿CUÁNTO SABES? 1. a) 3749 b) 805 070 2. a) > b) >

c) 86 532 d) 204 579 c) > d) <

e) < f) >

3. 5

3

4

5

9

1

6

9

0

2

5

6

0

3

6

1

6

5

5

6

3

8

9

8

1

0

4

1

7

5

3

4

8

+

– 4 4. B

Página 13 5. a) $ 500 000. Cada número fue redondeado a la centena de mil más próxima. b) $ 22 500. $ 8970 fue redondeado a la unidad de mil más próxima y $ 13 450 fue redondeado a la centena más próxima. c) 370 000. 169 776 fue redondeado a la decena de mil más próxima y 200 458 fue redondeado a la centena de mil más próxima. 6. Pregunta abierta Página 14 1. y 2. Preguntas abiertas Página 15 3. a) Seis millones quinientos treinta y tres mil doscientos cincuenta y cuatro. b) Siete millones seiscientos sesenta y ocho mil setecientos cuarenta. c) Mayor, porque 7 000 000 es mayor que 6 000 000 4. a) Tres millones setecientos noventa y un mil cuatrocientos sesenta y ocho. b) Nueve millones treinta y siete mil quinientos ochenta y seis. c) Veintisiete millones cuatrocientos treinta y cuatro mil seiscientos cincuenta y cuatro.

186 Matemática 5

5. a) b) c) d)

35 283 109 8 000 491 628 399 145 208 476 024

e) 909 099 909 f) 990 700 568 g) 999 800 073

6. a) Pregunta abierta b) 87 654 210. Los números se deben ubicar de mayor a menor, porque los valores de las posiciones disminuyen de izquierda a derecha. EN EQUIPO 1. a 5. Preguntas abiertas Página 17 1. La cantidad de habitantes de Chile, según el último censo es 15 116 435 (pueden encontrar otro dato, pero deben citar la fuente). 2. Mercurio: decena de mil; 90 000; cincuenta y siete millones ochocientos noventa y cinco mil Marte: centena de mil; 900 000; decena de mil; 90 000; doscientos veintisiete millones novecientos noventa mil Neptuno: centena de mil; 900 000; decena de millón; 90 000 000; cuatro mil cuatrocientos noventa y seis millones novecientos setenta y seis mil. 3. a) unidad de mil; 2000 b) unidad de millón; 2 000 000 c) decena de millón; 20 000 000 4. a) 6 000 000 b) 300 000 c) 10 000 000

d) 300 000 000 e) 20 000 000 f) 100 000 000

5. a) aumenta 495 000 unidades b) disminuye 1800 unidades c) aumenta 4 999 950 unidades 6. a) a e) Preguntas abiertas Página 18 1. a) 73 184 569

b) 5 555 550

c) 3 060 300 702

Solucionario 21 x 27

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Página 187

2. $ 2 485 031

248

5

0

3

1

$ 7 083 172

708

3

1

7

2

$ 11 197 391

1119

7

3

9

1

b) Debe comprar la Van que cuesta $ 4 250 000. c) Debería comprar la camioneta que cuesta $ 4 459 000. d) Pregunta abierta. Página 23 1. a) <

b) >

2. a) 97 543 310 b) 100 135 567

Página 19 3. Número 234 645 376

Escribe el dígito de: DMi: 3

Su valor posicional es: 30 000 000

798 300 577

UMi: 8

8 000 000

926 834 582

DM: 3

30 000

12 309 867

UM: 9

9 000

4. a) 7 632 087 b) 9 000 805

b) 9 DMi

c) 9 UMi

MI PROGRESO 1. 4 billetes de $ 10 000, 9 billetes de $ 1000, 1 moneda de $ 10, 7 monedas de $ 1. 2. Trece millones ochocientos cuarenta mil setecientos treinta y ocho. 3. 8 centenas de mil = 800 000 y 8 unidades = 8

Mercurio

58 000 000

Venus

108 000 000

Tierra

149 000 000

Marte

228 000 000

Júpiter

778 000 000

Saturno

1 427 000 000

Urano

2 870 000 000

Neptuno

4 497 000 000

Fuente: Atlas de Chile y el mundo. 2007 Página 25 1.

Página 21 EN EQUIPO 1. Pregunta abierta.

Valores aproximados censo 1992

Valores aproximados censo 2002

1 148 000

1 923 000

Moto o motoneta

38 000

66 000

Automóvil, station

520 000

916 000

Camioneta, van, jeep

150 000

353 000

1 814 000

1 680 000

Bicicleta

2.

000 256 1 099

0 1 00

000

3 76

176 000 000 000 406 2 066

0

2 00

8 51

3. Pregunta abierta.

Sin vehículo

4. a) El país con mayor superficie es Brasil y el con menor superficie es Uruguay. b) La superficie de Uruguay se encuentra a la izquierda de la superficie de Brasil, porque es menor. 1. a)

4 25

0 00

0

c) 987 764 210

3. a) Marte y Júpiter b) Saturno, Urano y Neptuno c) Mercurio, porque es el que tiene menos cifras, y por lo tanto es el menor. d) Planetas Distancia al Sol (km)

c) 70 333 199 d) 900 079 068

5. a) 5 DMi

c) <

4 45

9 00

0

4 78

0 00

0

4 99

0 00

0

2. a) b) c) d)

16 000 000; 16 315 960 87 000 000; 87 527 465 81 000 000; 81 596 260 194 000 000; 194 094 099

3. Una ventaja es que puedes realizar un cálculo rápido, y una desventaja es que el valor no es exacto.

Solucionario 187

Solucionario 21 x 27

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Página 188

4. a) Para comprar la casa A se necesita aproximadamente $ 17 000 000 y para comprar la casa B se necesita aproximadamente$ 28 000 000. b) La casa C es aproximadamente $ 22 000 000 más cara que la casa B. c) La diferencia de precio aproximada es $ 11 000 000. d) Para comprar las tres casas se necesita aproximadamente $ 95 000 000 MI PROGRESO 1. a) Aumentó en 300 000 turistas. b) mayor cantidad de turistas en 2005 y menor en 2002. 2. 1 700 000; 1 400 000; 1 600 000; 1 800 000; 2 000 000. En total 8 500 000 3.

1 800 000

1 600 000 1 400 000

1 700 000

Página 27 1. a) 12 019 940 b) 8 788 079

2 000 000

c) 128 877 889

2. +

5

7

3

6

2

8

4

1

2

5

5

1

3

9

6

9

9

1

4

2

3

–

6

9

9

1

4

2

3

1

2

5

5

1

3

9

5

7

3

6

2

8

4

3. a) 10 581 796. Se realizó una sustracción entre 14 079 615 y 3 497 819. b) 17 855 241. Se realizó una sustracción entre 46 902 857 y 29 047 616. c) 6 185 293. Se realizó una adición entre 3 605 605 y 2 579 688. d) 11 705 666. Se realizó una sustracción entre 53 198 014 y 41 492 348. 4. a) 824 666 b) 55 030 000

c) 12 973 931 d) 138 497 682

5. a) 5550 m. b) 63 523 432 c) 16 002 574

d) 7 345 445 e) 10 009 200

6. a) 845 518 Página 28 EN EQUIPO 1. a) 4 200 000 188 Matemática 5

b) 11 200 380

2. a) América del Sur.

b) Pregunta abierta.

Página 30 a+b

b+a

a+0

0+b

13

13

(a + b) + c a + (b + c) 24

24

4

9

0+c 11

89

89

179

179

38

51

90

1092

1092

1314

1314

600

492

222

9073

9073

14 073

14 073

1973

7100

5000

- Los resultados en las columnas de igual color son iguales. - Siempre ocurre lo mismo, porque son propiedades de la adición de números naturales. Página 31 2. a) 597 391 000 b) 6 891 999 666 c) 2 784 391 013 MI PROGRESO 1. Sí, porque el resultado de todos los ejercicios es 12 840 075 2. La propiedad conmutativa de la adición: 6 839 235 + 6 000 840 = 6 000 840 + 6 839 235 La propiedad asociativa de la adición: (7 191 284 + 4 566 730) + 1 082 061 = 7 191 284 + (4 566 730 + 1 082 061) La propiedad del elemento neutro de la adición: 12 840 075 + 0 = 12 840 075 3. $ 2 850 000. Se calcula restando $ 4 100 000 – $ 1 250 000. Página 33 BUSCANDO ESTRATEGIAS 1. a) 16 963 nacimientos d) $ 2 979 000 b) $ 225 400 e) $ 12 003 000 c) $ 5 144 509 2. Pregunta abierta. 3. a) 3634 m b) 50 000 personas. c) El papá de Laura ha gastado $ 45 800 000. Le queda $ 52 073 452. Podría comprar 8 casas.

c) 255 005

b) Pregunta abierta.

Página 36 ¿QUÉ APRENDÍ? 1. C 3. A 2. A 4. C

5. A 6. C

7. B 8. B

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Página 189

Página 37 9. a)

5. $ 2400 326

388

268

106

395

471

710

584

572

561

442

385

b) Aumentaron en 73 718 minutos; aumentaron en 33 478 minutos; aumentaron en 76 126 minutos; aumentaron en 100 675 minutos; disminuyeron en 10 943 minutos. c) 2 651 615 minutos. 10. a) b) c) d)

804 842 2 483 854 569 012 1 679 012

Unidad 2: Múltiplos, divisores y operaciones Página 40 ¿CUÁNTO SABES? 1. a) 3 • 3 b) 4 • 5 2. a) 45 b) 56

c) 60 d) 390

c) 5 • 9 d) 6 • 10 e) 9500 f) 20

g) 125 h) 600

i) 850 j) 560

3. Factor

Factor

5

900

8

9

72

36

1000

36 000

12

12

144

7

6

42

9

1000

9000

9

6

54

Dividendo

4. a) b) c) d) e)

Producto 4500

Divisor

Página 42 EN EQUIPO 5. a) Todas tienen una regularidad: 2 en 2, 4 en 4, 5 en 5 ó 10 en 10. Además los grupos de 2 y 4 así como los grupos de 5 y 10, tienen elementos comunes. b) 2 • 1, 2 • 2, 2 • 3, 2 • 4, 2 • 5, 2 • 6, ... 4 • 1, 4 • 2, 4 • 3, 4 • 4, 4 • 5, 4 • 6, ... 5 • 1, 5 • 2, 5 • 3, 5 • 4, 5 • 5, 5 • 6, ... 10 • 1, 10 • 2, 10 • 3, 10 • 4, 10 • 5, 10 • 6, ... La regla sería multiplicar el tipo de grupo (2, 4, 5 ó 10) por cada uno de los números naturales. Como los números naturales son infinitos, estas secuencias también son infinitas. c) 102, 104, 106, 108, 110, ... 104, 108, 112, 116, 120, ... 105, 110, 115, 120, 125, ... 110, 120, 130, 140, 150, ... Página 43 1. 7, 14, 21, 28, 35, 42,... son múltiplos de 7. 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,... son múltiplos de 3. 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42,... son múltiplos de 6. 8, 16, 24, 32, 40, 58, 56,... son múltiplos de 8. 2. a) 7 • 8 = 56 b) 5 • 5 = 25

c) 10 • 2 = 20 d) 8 • 9 = 72

3.

Cociente

Resto

47

7

6

5

540

6

90

0

72

2

36

0

104

8

13

0

105

9

11

6

16 300

10

1630

0

100 000

100

1000

0

1150 14 121 238 650 450 228 1 271 900

Página 41 6. a) $ 5175 b) no les alcanza para pagar, les falta $ 175 c) no les alcanza porque deberían pagar $ 6800 y sólo tienen $ 5000.

f) g) h) i) j)

1025 189 286 y resto 6 1678 5356

9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120 4. a) 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44 b) 30, 40 c) 88, 96, 104, 112 5. a) 80 chocolates; 325 chocolates b) No podrá haber ocupado 46 chocolates, porque 46 no es múltiplo de 5. Página 44 EN EQUIPO 5. Los factores de un número también sus divisores, porque dividen al número en forma exacta.

Solucionario 189

Solucionario 21 x 27

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Página 190

Página 45 1. a) 1 • 36, 2 • 18, 3 • 12, 4 • 9, 36 • 1, 18 • 2, 12 • 3, 9 • 4, 6 • 6 b) 1 • 45, 3 • 15, 5 • 9, 45 • 1, 15 • 3, 9 • 5 c) 1 • 48, 2 • 24, 3 • 16, 4 • 12, 6 • 8, 48 • 1, 24 • 2, 16 • 3, 1 • 24, 8 • 6 d) 1 • 50, 2 • 25, 5 • 10, 50 • 1, 25 • 2, 10 • 5 e) 1 • 60, 2 • 30, 3 • 20, 4 • 15, 5 • 12, 6 • 10, 10 • 6, 12 • 5, 15 • 4, 20 • 3, 30 • 2, 60 • 1 f) 1 • 90, 2 • 45, 3 • 30, 5 • 18, 6 • 15, 9 • 10, 10 • 9, 15 • 6, 18 • 5, 30 • 3, 45 • 2, 90 • 1 2. a) Sí, en cada página quedarían los divisores de 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 7, 12, 18, 24, 36, 72. b) 24 páginas; 3 fotos por página. 3. Francisca tiene 75 postales. 4. a) b) c) d) e) f) g) h)

1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 1, 2, 61, 122 1, 11, 13, 143 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144 1, 5, 31, 155 1, 2, 3, 4, 6, 26, 39, 52, 78, 156 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84, 168 1, 3, 7, 9, 21, 27, 63, 189

Página 46 5. Es divisible por

2

3

5

6

x

24

x

x

x

65

x

x

x

73

x

x

x

x

85

x

x

x

x

x

96

x

x

102

x

x

189

x

x

x

x

234

x x

390 1208

x

2000

x

x

x

x

2555

x

x

x

x x

3600 4236

190 Matemática 5

x

7. a) b) c) d)

Algunas opciones podrían ser: 2, 4, 6, 8 y 10. Algunas opciones podrían ser: 3, 6, 9, 12 y 15. Algunas opciones podrían ser: 5, 10, 15, 20 y 25. Algunas opciones podrían ser: 10, 20, 30, 40 y 50

8. a) b) c) d) e) f)

315, 345, 375 1230, 1232, 1234, 1236, 1238 190, 195 2120 60 891, 63 891, 66 891, 69 891 12 564

Página 47 9. a) La suma de los dígitos es un múltiplo de 9. b) Sí, son divisibles por 3. Siempre un número que es divisible por 9 es divisible por 3, porque todos los múltiplos de 9 son múltiplos de 3. c) No todos los números divisibles por 3 son divisibles por 9, porque no todos los múltiplos de 3 son múltiplos de 9.

10

x

50

6. a) El dígito que está ubicado en la posición de las unidades es 0 ó un número par. b) La suma de los dígitos es un múltiplo de 3. c) Un número divisible por 2 y por 3, siempre es divisible por 6. d) El dígito que está ubicado en la posición de las unidades es 0 ó 5; el dígito que está ubicado en la posición de las unidades es 0.

x

10. a) 12, 52, 60, 80, 48. Son múltiplos de 4. b) Los dígitos ubicados en las posiciones de las decenas y unidades son 0. c) Sí, porque todos los múltiplos de 4 son múltiplos de 2, y por lo tanto son divisibles por 2. d) No, porque no todos los múltiplos de 2 son múltiplos de 4, por lo tanto, no todos son divisibles por 4. 11. a) b) c) d)

726, 756, 786 3204, 3294 1920, 1924, 1928 2300, 2304, 2308

12. a) b) c) d)

1, 3, 7, 9, 21, 63 1, 2, 4, 31, 62, 124 1, 5, 29, 145 1, 2, 5, 10, 25, 50, 125, 250

Solucionario 21 x 27

31/12/08

12:22

Página 191

Página 48 1. a) a d) 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99 100

Página 49 2. a) Los números encerrados en una circunferencia son primos. b) Los números tachados son compuestos. c) El 1, porque sólo tiene un factor 3. a) 2 • 2 • 2 b) 2 • 5 c) 13 • 2

d) 2 • 2 • 7 e) 2 • 3 • 5 f) 2 • 3 • 11

4. Todos los factores de los números del ejercicio anterior son números primos. 5. La afirmación de Paula es correcta. Algunos ejemplos podrían ser: 70 = 2 • 5 • 7 50 = 2 • 5 • 5 165 = 3 • 5 • 11 6. a) b) c) d) e) f)

1 • 13 3•5 2•3•3 5•5 3•3•3 2•2•2•2•2

g) h) i) j) k) l)

5•7 2•3•7 2•3•3•5 2•2•5•5 2•2•2•3•5 2•2•2•2•3•3

Página 51 1. El máximo sería 15 bolsas. 2. a) De acuerdo, porque 8 es el primer múltiplo en común que tienen 4 y 8. b) En desacuerdo, porque 8 no es divisor de 4. c) En desacuerdo, porque el mínimo común múltiplo es 24. d) De acuerdo, porque 6 es el mayor divisor en común que tienen 6, 12 y 24.

3. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

mcm = 35, mcd = 1 mcm = 91, mcd = 1 mcm = 187, mcd = 1 mcm = 20, mcd = 4 mcm = 48, mcd = 6 mcm = 36, mcd = 9 mcm = 15, mcd = 5 mcm = 49, mcd = 7 mcm = 121, mcd = 11 mcm = 96, mcd = 8 mcm = 126, mcd = 21 mcm = 120, mcd = 10

Página 52 4. a) Es correcto el cálculo del mcm realizado por Daniel. b) Es correcto el cálculo de mcd realizado por Andrea. c) Es conveniente utilizar estas estrategias cuando necesitamos calcular el mcm y el mcd de números grandes, porque hacer listas de múltiplos y de divisores requiere mucho tiempo. 5. a) b) c) d) e) f) g) h)

mcm = 108, mcd = 3 mcm = 315, mcd = 9 mcm = 420, mcd = 14 mcm = 300, mcd = 5 mcm = 192, mcd = 16 mcm = 162, mcd = 27 mcm = 150, mcd = 5 mcm = 840, mcd = 70

Página 53 6. a) 24 cm b) A las 14:00 horas del día siguiente. c) 6 ramos, con 2 claveles y 3 rosas. 7. Las fechas en que Francisco va a la escuela de fútbol son: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 y 30 de junio. a) No, porque el entrenamiento comienza a las 16.00 horas y no alcanzará a llegar. b) Sí, perderá un día: el 15 de junio. 8. a) Es correcto lo que dice Daniela. b) Es correcto lo que dice Carlos. MI PROGRESO 1. El 5º A utilizará 4 carpas, el 5º B, 6 carpas, el 6º A, 5 carpas y el 6º B, 6 carpas. 2. Volverán a coincidir en un año más. Página 55 1. y 2. Preguntas abiertas. 3. a) 163 280

b) 1 134 750

Solucionario 191

Solucionario 21 x 27

4. a) b) c) d)

31/12/08

3 584 096 2 579 500 755 298 15 604 550

12:22

e) f) g) h)

Página 192

168 875 12 544 336 103 051 500 123 444 321

Factores

Producto

651 • (16 • 487)

5 072 592

629 • (81 • 299)

15 233 751

•

•

15 (292 584)

Página 56 5. a) 2 • 3 • 3 = 18 combinaciones b) 3 • 8 • 5 = 120 combinaciones 6. Preguntas abiertas Página 57 7. a) 402 y resto = 2 b) 325 y resto = 0 c) 13 232 y resto = 0 d) 19 421 y resto = 10

e) 70 100 y resto = 1 f) 56 869 y resto = 5 g) 205 265 y resto = 0 h) 228 448 y resto = 14

8. a) 6 b) 520 c) 260

d) 590 e) 521 f) 2563

9. a) 69 manzanas en cada caja y no quedan cajas por llenar. Para llenar 80 cajas se necesitarían 5520 manzanas. b) $ 8 800 000 y habrá 3 estudiantes por computador

Factores

Producto

123 562 • 5

617 810

89 671 • 7

627 967

•

6 778 916 4

27 115 664

Factores

Producto

5 • 123 562

617 810

7 • 89 671

627 967

4 • 6 778 916

27 115 664

2. Instrucciones de la actividad 3. a) Son iguales, pero están en distinto orden. b) Los productos son iguales. Siempre ocurre lo mismo, porque son propiedades de la multiplicación. 4. Factores •

Página 59 1. a•b

b•a

•

Producto

(651 16) 487

5 072 592

(629 • 81) • 299

15 233 751

(15 • 292) • 584

2 557 920

192 Matemática 5

a•c

1938

1938

3240

295 200

295 200

109 224

3 720 000

3 720 000

2 400 000

c•a

(a • b) • c

a • (b • c)

3240

174 420

174 420

109 224

65 534 400

65 534 400

2 400 000

7 440 000 000

7 440 000 000

• En las columnas de igual color los resultados son iguales. Se cumple la propiedad conmutativa y la propiedad asociativa de la multiplicación. 2. a) Pregunta abierta b) 375 774 3. a) 255 b) 209

Página 58 EN EQUIPO 1.

2 557 920

c) 238 d) 176

MI PROGRESO 1. $ 1480, $ 2960, $ 4440, $ 8880, compró 30 jugos 2. a) Conmutativa b) Asociativa c) Distributiva de la multiplicación respecto de la adición. Página 61 BUSCANDO ESTRATEGIAS 1. a) $ 14 400 b) $ 45 000 c) $ 580 d) Le alcanza el dinero para comprar 12 azulejos, porque cuestan $ 11 640. 3. a) Gana $ 1 358 800 b) Se necesitan 300 cajas c) 106 cajas para los alfajores y 142 cajas para los berlines. Recaudan diariamente $ 632 976 d) 690 281 salmones e) $ 190 500 Página 64 QUÉ APRENDÍ 1. D 3. C 2. C 4. B

5. C 6. D

7. D 8. D

Solucionario 21 x 27

31/12/08

12:22

Página 65 9. a) 2 • 2 • 2 • 2 • 3 b) 2 • 2 • 3 • 5

Página 193

c) 5 • 5 • 5 d) 3 • 3 • 3 • 3 • 3

3. a)

10. a) mcm = 1540, mcd = 10 b) mcm = 231, mcd = 11

3 4

c) 4 8 d) 2 6

b) 7 10

11. Le sobró $ 4090

4. 1 2

12. Puede guardar 10 CD: 2 CD de rock, 3 CD de pop y 5 CD de salsa. Necesita en total 5 cajas. 0

Página 66

1 4

2 4

3 4

1

Taller de evaluación 1 1. 2.

3. C 4. A

B B

5. C 6. C

7. C 8. D

9. D 10. A

Página 67 II. 1. a) 567 536

b) c) d) e)

2. a) b) c) d)

2

b) 1 6 7 93

037

589

c) 1

5. a) 6

d)

1 3

2 05

2 93

3

Página 71 6. a) 3 4

3 33

7

536 589, 567 037, 2 933 337, 7 932 053 30 448 personas 12 000 000 personas aproximadamente Ambos obtuvieron 3 500 374, porque aplicaron la propiedad conmutativa de la adición.

b) 2 3

Página 73 Dibujo

9 trabajadores 3360 libros Cada uno recibe $ 15 196. Ambas estuvieron embarazadas en el año 2005

Unidad 3: Fracciones

Numerador

Denominador Fracción Se lee…

4

4

4 4

Cuatro cuartos

6

8

6 8

Seis octavos

4

8

4 8

Cuatro octavos

7

10

7 10

Siete décimos

Página 70 1. a)

3 6

3 c) 4

b)

5 8

d)

2. a) b) c) d) e)

Dos quintos Tres sextos Cuatro novenos Siete octavos Cinco séptimos

8 8

2. a) b) c) d)

Cinco séptimos, quince séptimos Un centésimo, un milésimo. Tres onceavos, cuatro onceavos, diez onceavos. Siete veinteavos, diecinueve veinteavos, veintitrés veinteavos.

3. a) 3

c) 12 18

e) 10 100

b) 5

d) 36 40

f)

9

12

15 1000

Solucionario 193

Solucionario 21 x 27

31/12/08

12:22

Página 194

Página 75

Página 77 2. a) Pregunta abierta. b) El de Marcela sí, el de Felipe no siempre, porque a veces las fracciones no se pueden simplificar más. c) Utilizaría el procedimiento de Marcela, porque estas fracciones no se pueden simplificar más.

2 1. a) Fracción propia, . 3 b) Fracción impropia,

10 . 6

c) Fracción igual a la unidad,

d) Fracción impropia,

6 . 2

e) Fracción igual a la unidad,

f) Fracción impropia,

2. a) b) c) d) e) f) g) h)

8 . 8

6 . 6

11 . 6

Fracción propia. Fracción impropia. Fracción igual a la unidad. Fracción impropia. Fracción impropia. Fracción propia. Fracción igual a la unidad. Fracción propia.

3. a)

6 9 30 , , , por ejemplo 14 21 70

b)

4 12 10 , , , por ejemplo 10 30 25

c)

4 6 2 , , , por ejemplo 9 12 6

d)

3 30 45 , , , por ejemplo 5 50 75

e)

3 9 6 , , , por ejemplo 4 12 8

f)

3 9 6 , , por ejemplo 4 12 8

MI PROGRESO 1. Un sexto, fracción propia; dos octavos, fracción propia; un tercio, fracción propia; un doceavo, fracción propia; dos doceavos, fracción propia.

3. Representación gráfica

Fracción impropia

7 3 8 5 5 2 5

Número mixto

2 1

4 6 2

3 3 5

2

1 2

1 1

1 2 b) En alimentación y en ahorro. y . Son fracciones 6 12 equivalentes. Página 79 1. a) < b) >

c) < d) <

e) > f) =

2 3

3 5

1

2. a) Gasta más dinero en dividendo. Gasta menos dinero en otros gastos.

1 4 3

2. a) Pregunta abierta. b)

4 6 1 2 2 1 < ; < ; < 8 9 7 8 10 2

3. a) La tarta de frambuesa b) Pablo 4. a) 10 personas usan malla. 6 personas usan buzo. b) La mayoría de las personas usan malla.

Página 76

5. Hay más lápices verdes. 1. a) 12 , 4 , 2 , por ejemplo. 18

b)

c)

6

3

5 , 4 , 2 , por ejemplo. 10 8 4 6 , 2 , 4 , por ejemplo. 15 5 10

194 Matemática 5

Página 81 1. a) 1 5

c)

4 8

e)

6 7

d)

3 11

f) 3

b)

4 3

11

Solucionario 21 x 27

31/12/08

12:22

Página 195

2.

Página 84 0

2 3

3 4

1

1 1 1 1 4 2

2

1. a)

MI PROGRESO b)

1. 2 , 3 , 1 1 , 1 1 3 4 4 2 2. a)

d) 0

2 5

0

1

1

14 7

2. e)

0

1

0

11 1

c)

0

1

2

0

1

2

8 3

6

3

31 2

4

3. a) Ocupa más tiempo en practicar deporte y menos tiempo en estudiar. b) En jugar. c) En practicar deporte. Página 83

13 9

g)

2 5

1 4

d)

1 5

f)

1 9

h)

4 15

3 de hora. 8

plantaciones de lechuga. MI PROGRESO 1. 3 4 2. 1 4 3. Pregunta abierta.

4 1. a) En morado: 6 , en celeste: , fracción pintada: 14 14 10 4 14 , fracción sin pintar: 14 b) En morado:

2 8

4 7

c)

7 8

e)

4 9

g)

b)

4 5

d)

3 5

f)

1 2

h) 0

c)

b)

5 18

4. a)

2 10

3 5

7 30

e)

24 32

d)

5 10

f)

2 13

b)

20 25

c)

7 18

5. a) 7 del huerto está sembrado. 1 del huerto falta por

8

8

sembrar. b) Quedó 3 de los pasteles.

20

1. a) 2 12

c) Entre las dos compraron 1 1 de kilogramo de pan. 2 1 Francisca compró más, de kilogramo más. 6 2. Pregunta abierta. 3. a) Entre los dos tomaron 4 , queda 1 de la bebida 6 12

2. a)

19 25

Página 87

b) Ambos aportarán lo mismo

3 3 6 , en celeste: , fracción pintada: , 8 8 8

fracción sin pintar:

3. a)

e)

3. Ha cosechado 7 , falta por cosechar 3 del total de las 10 10

3

f) 2

c) 1

Página 85 2

3 3

b)

7 12

ahora. b) Quedó 4 de la torta. 10

c) 59 3 Kg. 8

d) 14 2 horas; 9 1 horas 3 3 Página 90 1. A 2. D

3. C 4. B

5. C 6. C

7. D 8. C

Página 91 9. a) 6 , 12 , por ejemplo. 8 16 b) 4 , 6 , por ejemplo. 14 21

1 3 d) 5 4 7 c) 8 5 12. Alicia compró más gomitas, de kilogramo más. 24 10. a) 1 2 11. a) 1 3

1 2 7 b) 5

c) 40 , 20 , por ejemplo. 50 25 d) 6 , 8 , por ejemplo. 9 12

b)

c)

Solucionario 195

Solucionario 21 x 27

31/12/08

12:22

Página 196

Unidad 4: Decimales

2. a) b) c) d) e) f) g) h)

Seiscientos cuerenta y nueve milésimos. Cuatro enteros, cincuenta y cuatro milésimos. Doce enteros, trescientos ocho milésimos. Dos enteros, cinco milésimos. Veinte enteros, dos centésimos. Ciento venticinco enteros, ciento venticinco milésimos. Sesenta y cuatro enteros, cuarenta y seis centésimos. Diez enteros, cuarenta y dos milésimos.

b) 8 25

3. a) b) c) d)

3 unidades. 3 decenas. 3 décimos. 3 milésimos.

36 100 30 d) 100

4. a) 11,12 b) 0,28 c) 8,123

Página 94 1. a) Cuatro quintos b) Tres décimos

c) Veinticuatro centésimos d) Cincuenta milésimos

2. a) > b) =

c) < d) >

3. a) 12 100 b) 52 100

c) 88 100 d) 48 100

4. a) 3 10 5. a) 8 10 b) 35 10 Página 95

c)

6. a) 7 10 b) 6 10 7. a) Carlos

c) 3

e) 1

10 d) 15 100

b) Se comieron

10 f) 32 100

10 h) 21 1000

4 1 del chocolate, quedó . 5 5

3 décimos. 3 centésimos. 3 centenas. 3 centésimas.

d) 2,045 e) 45,008 f) 100,4

Página 99 1. a) 0,8 b) 2,5 c) 0,02 d) 0,875

g) 2

e) f) g) h)

e) 0,25 f) 0,375 g) 0,55

2. 3,86

Página 97 1. Número decimal

C

D

3,7

U

,

Décimos

3

,

7

Centésimos

1

4

,

6

5

50,239

5

0

,

2

3

2

5

,

2

5

3

4

,

0

1

8

6

,

7

5

3

,

0

1

34,017 286,7 53,005

196 Matemática 5

2

Se lee 3 enteros, 7 décimos.

14,65

125,25

Milésimos

4 enteros, 65 centésimos. 9

50 enteros, 239 milésimos. 125 enteros 25 centésimos.

7

34 enteros 17 milésimos. 286 enteros, 7 décimos.

0

5

53 enteros 5 milésimos.

h) 0,37 i) 0,9 j) 0,48

Solucionario 21 x 27

31/12/08

12:22

Página 197

Página 101 1. a) Finito. b) Finito. c) Semiperiódico. d) Finito.

e) f) g) h)

2. a) 215 100

e) 401 90

b)

15 100

c) 24 100 d)

122 90

f)

Página 107 2. a) 23,9; 27,4; 30,9; 34,4 b) 11,8; 11,1; 10,4; 9,7 c) 0,75; 0,5; 0,25; 0

Semiperiódico. Periódico. Periódico. Semiperiódico.

2124 990

g) 1438 99 h)

10 024 990

Página 103 1. a) Tres alumnos. b) Más abajo: 3,8, más alto: 6,8. c) Tres estudiantes, Denisse.

7 10

3. a) 0,50 m b) 0,75 kg c) 8,7 km

c) Se lee 4 enteros, 567 milésimos. 89 100

Página 105 1. a) < b) < c) >

b) 42,5 cm

c) 112,78 cm

2. Pregunta abierta.

b) Corresponde a 2

89 2. a) 0,89; 100

MI PROGRESO 1. El miércoles corrió más y el lunes corrió menos. 2. 8,6 kilómetros, 12,7 kilómetros, 3,1 kilómetros. 3. 90,3 kilómetros. Página 109 1. a) 8,4 cm

MI PROGRESO 1. a) Se escribe 1,05.

d)

3. a) 1,46 minutos. b) 6,1 kilogramos. c) Claudia mide 1,59 m.

Página 112 1. C 2. D

4567 b) Entre 4 y 5; 1000

d) > e) > f) <

g) < h) > i) <

_ _ 2. a) 14,02; 14,2; 14,32; 15,02 ; 1,52 _ _ b) 8,005 ; 8,05; 8,055; 8,55; 8,5 _ _ c) 10,004 ; 10,044; 10,04 ; 10,404; 10,444 3. a) 4,2, por ejemplo. b) 3,4, por ejemplo.

c) 1,26, por ejemplo. d) 4,36, por ejemplo.

4. a) Carlos se demoró menos, Victoria fue la última. El orden fue: Carlos, Marcela, Felipe y Victoria. b)15,56 MI PROGRESO 1. En mayo de 2007. 2. En marzo de 2008. 3. No 4. Porque los pesos chilenos actualmente no tienen centavos.

d) 5,45 m e) Paula, Claudio, Martín; Martín, Paula, Claudio.

3. C 4. C

5. C 6. D

7. C 8. A

Página 113 9. a+b

a–b

57,41

19,59

19,457

5,357

b+c

c–b

(a + b) – c

46,09

8,27

30,23

18,558

4,458

7,949

10. 6,1

11.

0,1

Página 114

Taller de evaluación 2 I. 1. 2. 3. 4.

B B D A

5. B 6. D 7. C

8. C 9. D 10. A

Página 115 II. 1. a) 21,8; 26,4; 28,5; 30; 31,2;. b) Marcela ganó, Luisa obtuvo el último lugar. c) Marcela, Luisa, Fernando, Rodrigo y Andrés. d) 9,4 segundos. 2. a) US$ 15,7 b) 0,5 km

Página 106 1. a) 2,08 b) 17,29 c) 11,25

c)

d) 1,43 e) 0,88

f) 5,59 g) 44,16

h) 12,99 i) 10,475

3

8 4 de sus ahorros, guardó 6 . d) Gastó 10 10 e) Son iguales. Solucionario 197

Solucionario 21 x 27

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Página 198

Página 122

Unidad 5: Perímetros y áreas

5. a) 50 000 cm2 b) 4000 mm2

Página 118 1. a) mm b) m

c) cm d) km

e) kg f) L

g) g

c) 170 000

2. a) 100 cm b) 1000 ml

c) 1000 g d) 1000 m

j) 0,0000015 m2

Centímetros (cm)

125

Sus lados Todos sus No tiene opuestos son ángulos son ángulos de igual rectos rectos medida

x

i) 360 cm2

m2

Milímetros (mm)

4.

cuadrado

h) 460 000 cm2

6.

3. a) Pregunta abierta. b) Pregunta abierta.

Todos sus lados son de igual medida

g) 35 000 000 m2

cm2

d) 12 000 000 mm2 e) 320

Nombre

f) 32 m2

12,5

Metros (m) 0,125

4500

450

4,5

270

27

0,27

10 800

1080

10,8

37 500

3750

37,5

25

2,5

Milímetro cuadrado (mm2)

Centímetro cuadrado (cm2)

0,025

x

rectángulo

x

x

7. rombo

x

x

romboide

x

x

a) En la medida de sus ángulos. b) El rectángulo solo tiene ángulos rectos, el romboide no tiene ángulos rectos. c) En un cuadrado todos sus lados son iguales y en un rectángulo sus lados opuestos son de igual medida. En un rombo todos sus lados son iguales y en un romboide sus lados opuestos son de igual medida.

Metro cuadrado (m2)

160 000

1600

720

7,2

0,16

250 000

2500

9 600 000

96 000

19 600

196

0,0196

22 500

225

0,0225

0,00072 0,25 9,6

Página 123 Página 119 5. a) 0,3 b) 6050 c) 5432 Página 121 1. a) 6 cm

d) 10143 e) 26 030 f) 50

g) 238 100 h) 4 000 100 i) 50 000

a) No es correcto, porque 60 mm. equivale a 6 cm., y eso no corresponde a la medida de una pierna. b) No, el orden correcto de los lugares es Cristóbal, Felipe y Pablo. c) El departamento de Andrea es más grande,

b) 60 cm

c) 10 m

2,25 m2 más grande. d) 0,00714 km2

2. a) mayor b) mayor

c) mayor d) mayor

e) mayor Página 124 1. a) 6 m

3. a) cm2 b) mm2

c) m2 d) m2

b) 18 m c) 13 triángulos equiláteros (9 chicos, 3 medianos y 1 grande), 6m los chicos, 12 m los medianos y

4. a) 1300 cm b) 20 m c) 3200 cm

198 Matemática 5

d) 5 m e) 20 000 cm f) 5 cm

g) 500 cm h) 12 000 cm i) 9 km

18 m los grandes.

Solucionario 21 x 27

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Página 199

2. a) 9 cm b) 12 cm y 15 cm c) 7 cm y 4 cm

Página 125 2. Pregunta abierta. 3. a) 17 cm b) 29,95 mm

c) 5 mm d) 66 m

3. Pregunta abierta.

4. El tercer lado mide 16 mm, corresponde a un triángulo isósceles. Página 127 1. a) 8 cm b) 16 cm

Página 130 1. a) 12 a2 b) 13 a2

c) 24 cm d) 22 cm

2. a) 58 cm

b) 12 m

Página 131 2. a) 20 cm2 c) 246 m d) Sí

MI PROGRESO 1. El lado del triángulo equilátero mide 12 cm y el del cuadrado mide 9 cm. 2. 13 cm. 3. a) máximo 88 m, mínimo 70 m b) 352 m Página 129 1. Cuadrado de lado a

Perímetro

b) 14 cm2

c) 12 cm2

MI PROGRESO 1. El largo y ancho de la piscina puede ser: 36 m y 1m, 18 m y 2 m, 12 m y 3 m, 9 m y 4 m, respectivamente (sin considerar números decimales para las medidas de los lados de la piscina). 2. Sí, la medida de su lado sería 6 m. 3. 52 m2 Página 133 1. a) 70 cuadrados b) 1600 baldosas c) No, faltan 28 baldosas.

Área

2. Pregunta abierta.

6 mm

24 mm

36 m2

9 cm

36 mm

81 m2

40 mm

m2

10 m

Rectángulo de lados:

a) b) c) d)

c) 10 a2 d) 13 a2

c) 300 mm

3. Cada lado mide 12,25 cm 4. a) 25 m b) 5,6 m

4. Su perímetro se duplica y su área se cuadriplica. Cuando la medida del lado se triplica, su perímetro se triplica y su área es nueve veces la del área original.

100

3. a) b) c) d) e) f)

Perímetro

Área

3 cm

20 cm

21 cm2

9 mm

2 mm

22 cm

18 cm2

5 cm

4 cm

18 cm

20 cm2

a

b

7 cm

Pregunta abierta. Pregunta abierta. 8 cm Una posible respuesta es 16 cm y 4 cm. Existe más de una posibilidad.

1600 azulejos 1920 papeles de colores. 6 fotos 1,8 m2 252 cerámicas 24 cm2

Página 136 1. C 2. A Página 137 9. a) 300 mm b) 1500 cm c) 90 cm d) 17 m

3. B 4. D

5. C 6. C

e) f) g) h)

80 000 cm2 1500 mm2 6 m2 590 000 cm2

7. B 8. B

i) 44 m j) 180 m2 k) 21 km2

10. 44 m 11. 180 m2 12. 21 km2 Solucionario 199

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Página 200

5. a) x = 128º, y = 52º, z = 52º b) x = 110,5º, y = 69,5º

Unidad 6: Ángulos Página 140 ¿CUÁNTO SABES? 1. Pregunta abierta. 2. Solo a) o d) son paralelas. b) o f) son perpendiculares. 3. Pregunta abierta. Página 141 4. a) BL y CK son paralelas, por ejemplo. b) BCKL es un rectángulo; IKLN es un trapecio rectángulo, por ejemplo. c) FEJ es un triángulo escaleno; MIK es un triángulo rectángulo. Página 143 1. a) Agudo. b) Obtuso. c) Agudo.

Página 149 6. a) No, son adyacentes. b) Sí. c) Sí. d) No. e) No, no tienen relación. f) Sí, porque son correspondientes. g) No, sí son opuestos por el vértice. MI PROGRESO 1. D 2. D Página 151 EN TU CUADERNO 1. Pregunta abierta. 2.

d) Obtuso. e) Obtuso. f) Extendido.

Ángulos interiores del triángulo

2. a) No, porque sus ángulos son mayores que 180º. b) Mayores. c) No.

20,2º

60º

99,8º

55º

100º

25º

101º

67º

12º

Ángulos interiores del cuadrilátero

Página 147 EN TU CUADERNO 1. a) 2 y 9; 3 y 8; 4 y 11; 5 y 10. b) 1 y 3; 7 y 9; 2 y 4; 8 y 10; 1 y 5; 2 y 6; 7 y 11; 8 y 12; 3 y 5; 4 y 6; 9 y 11; 10 y 12. c) 1 y 2; 1 y 7; 7 y 8; 2 y 8; 3 y 4; 3 y 9; 9 y 10; 4 y 10; 5 y 6; 5 y 11; 11 y 12; 6 y 12. d) 1 y 10; 4 y 7; 3 y 12; 9 y 6; 1 y 12, 7 y 6.

115,25º

67º

89º

88,75º

145º

32,25º

59,75º

123º

73,6º

105,7º

105,7º

75º

3. Medidas de los ángulos interiores del triángulo

¿Es posible construir un triángulo?

45º

90º

90º

No

76º

24º

80º

Sí

120º

23º

100º

No

2. Pregunta abierta. 3. a) x= 156º b) x = 88º, y = 49º, z = 43º c) x = 41º Página 148 4. a) α = 55º b) χ = 106,75º c) ε = 31,8º

200 Matemática 5

d) μ = 80º e) δ = 53º f) β = 32,1º

Medidas de los ángulos interiores del cuadrilátero

¿Es posible construir un cuadrilátero?

167º

86º

90º

45º

No

176º

103º

87º

34º

No

76º

81º

128º

75º

Sí

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4. a) b) c) d)

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Página 201

46º 104º No Sí

Unidad 7: Datos y Azar Página 162 ¿CUÁNTO SABES?

Página 153 1. Pregunta abierta 2.

1. a) Coquimbo b) Metropolitana de Santiago

Ángulos exteriores del triángulo 150º

110º

83,5º

174,25º

102,25º

155º

90º

115º

d) Pregunta abierta 2. Número de salas

100º

c) Coquimbo y Araucanía

200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

90º

90º

90º

156,75º

89,5º

65º

Región Antofagasta

x = 40º x = 122º x = 37º x = 67

MI PROGRESO x = 129º y = 136º z = 51º

3.

Página 155 BUSCANDO ESTRATEGIAS 1. a) Los ángulos señalados deben sumar 180º, para que las líneas de tren sean realmente paralelas. b) La Calle 1 y la Calle 2 son paralelas. 2. Pregunta abierta 3. a) x = 124º

Precio ($)

3. a) b) c) d)

Metropolitana

90º 48,75º

Araucanía

98º

Biobío

48,2º

Maule

135º

Valparaíso

78,8º

Coquimbo

Ángulos exteriores del cuadrilátero

Precio promedio de pan corriente ($)

800 700 600 500 400 300

Página 159 9. a) 40º, agudo b) 135º, obtuso c) 130º, obtuso d) 90º, recto

200 100 Año 2002

2003

2004

0 2005

7. C 8. B

2006

5. C 6. A

2007

Página 158 ¿QUÉ APRENDÍ? 1. D 3. C 2. D 4. A

Página 163 4. a) Agosto b) Enero c) Entre abril y julio

10.

Pregunta abierta.

d) Pregunta abierta

Solucionario 201

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Página 202

5.

d) Falta la escala de las cantidades correspondientes, los Actividad

Número de niños

Salir a la calle

12

Ver televisión

17

Escuchar música

10

Leer

6

valores de las variables y la indicación de a qué corresponde cada color. Página169 2. a) No, porque las alturas de las barras están con errores. b) Sí, falta nombrar las variables que corresponden a cada eje. c) Pregunta abierta.

Página 165 1. a) Francisco y Pedro b) Pedro c)

250 Inicio (kg)

Término (kg)

200

97

63

150 100

Pedro

110

87

50 0

d) Pregunta abierta.

Desierto

60

Montaña

62

Campo

92 104

Mar

Tomás Francisco

Lago

Domingo

300

Página 166 d) Las alturas de las barras. 3.

Precio ($)

Las gráficas son descendentes. Ascendente. Pregunta abierta. Pregunta abierta.

Precio promedio de un computador

300 000

3. a) Pregunta abierta. b) Pregunta abierta.

250 000 200 000

Página 167 4. a) 20 ºC b) A las 13 horas. c) A las 10 y a las 12 horas d)

150 000 100 000 50 000 Región

20

12

15

13

25

a) Pregunta abierta.

14

30

b) Pregunta abierta.

15

30

Página 168 1. a) No. b) No. c) Ahora, nada, porque el gráfico no entrega toda la información necesaria.

202 Matemática 5

2007

15

11

2006

10

2004

Temperatura (0º C)

2005

0

Tiempo (horas)

2003

2. a) b) c) d)

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Página 203

Página 174 1. a) Dos, puede acertar en el color azul o en el color amarillo. b) No, porque también puede acertar en el color amarillo. c) Posible. d) No, porque ningún sector de la ruleta es de color rojo. e) Pregunta abierta.

4. a) Pregunta abierta. b) Pregunta abierta. Duración de las vacaciones 200 140 120

2. Pregunta abierta.

100 80 40

Más de

un mes

Un mes

Tres semanas

Dos semanas

Una semana

Menos de una semana

0

3. a) b) c) d) e)

Posible. Posible. Imposible. Posible. Imposible.

4. a) Posible. b) Posible. c) Imposible.

f) g) h) i)

Seguro. Posible. Imposible. Imposible.

d) Seguro. e) Posible. f) Seguro.

Página 171 Cuadernos vendidos

Página 176 1. a) Más probable. b) Menos probable. c) Igualmente probable. d) Igualmente probable. e) Más probable. f) Improbable.

Tienda 4

Tienda 3

Tienda 2

Tienda 1

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

MI PROGRESO 1. Pregunta abierta. 2. La tienda 1, la tienda 3 y la tienda 4. Página 173 1. a) Cualitativa. b) Cuantitativa continua. c) Cualitativa. d) Cuantitativa discreta. e) Cuantitativa continua. 2. Pregunta abierta. MI PROGRESO 1. Pregunta abierta. 2. La cantidad de textos literarios, según su clasificación. 3. Cuantitativa. 4. Discreta.

Página 177 MI PROGRESO 1. a) No b) No c) Sí 2. Pregunta abierta. Página 179 1. a) En 2007 entraron a la universidad 131 alumnos y alumnas. En 2008 entraron a la universidad 120 alumnos y alumnas. b) En una semana se venden 243 kilogramos de pan. 2. Pregunta abierta 3. Asisten a la obra 296 personas. Página 182 1. B 2. D 3. C 4. C 5. B 6. C 7. C 8. C Solucionario 203

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Página 204

Página 183 9. a) Número de autos y camionetas reparados en un taller mecánico. 45

Número de autos

25 20

Número de camionetas

15 10 5 Junio

Mayo

Abril

Marzo

Febrero

Enero

0

b) En marzo, en febrero c) Febrero, enero, junio, mayo, abril, marzo. Página 184

Taller de evaluación 3 I. 1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

D C B C

A C D C

Página 185 II. 1. 90º, ángulo recto, 120º, ángulo obtuso y 50º, ángulo agudo, respectivamente. 2. a) 16 14 12 10 8 6 4 2 0

Chalecos

b) c) d) e)

Domingo

Sábado

Viernes

Jueves

Mantas

El día sábado. El día jueves. Jueves, viernes, domingo, sábado. Jueves, viernes, domingo, sábado.

3. a) 66 000 cm2 b) 165 baldosas. c) Exactamente no, porque habría que cortar algunas baldosas.

204 Matemática 5

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Página 205

Bibliografía • Mineduc. Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios de la Educación Básica. Ministerio de Educación de Chile, 2001. • Mineduc. Propuesta Ajuste Curricular. Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios. Ministerio de Educación de Chile, septiembre 2007. Material CRA • Artigue, Michéle y otros. Ingeniería didáctica en educación matemática. Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1995, 1ª ed. Profundiza uno de los aspectos característicos de la escuela francesa de didáctica de las matemáticas: la ingeniería didáctica, que desarrolla el área de la educación matemática con una doble función, la investigación que ha utilizado metodologías externas a la clase y la metodología de la investigación específica. • Cedillo, Tenoch. Calculadoras: Introducción al Álgebra. Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1997.1ª ed. [r. 1996] Las actividades propuestas están orientadas a la enseñanza del código algebraico como herramienta para expresar generalizaciones y resolver problemas, e introducir la noción de función a partir de la construcción e interpretación de gráficas.

el proceso de construcción y estructuración lógica de los conceptos y de los saberes específicos abordados con los alumnos y alumnas. • Rodríguez, José y otros. Razonamiento matemático. International Thompson Editores, México, 1997, 1ª ed. Organizado en cinco capítulos, el texto trata el modelo de Polya y presenta estrategias utilizadas para resolver problemas, conceptos de álgebra relacionados con ecuaciones de primer grado, interpretación gráfica y las matemáticas de finanzas. • Steen, Lynn. La enseñanza agradable de las matemáticas. Editorial Limusa, México, 1998, 1ª ed. Pretende mostrar que es posible desarrollar el pensamiento matemático mediante experiencias informales a muy temprana edad, mucho antes de que los niños lleguen al punto de poder comprender fórmulas algebraicas. • Varios autores. Enseñanza efectiva de las Matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1995, 1ª ed. Guía básica que sugiere técnicas y habilidades para la enseñanza de las matemáticas; incluye aspectos que abarcan desde la preparación y desarrollo de una clase hasta la elaboración y aplicación de pruebas y exámenes.

• Guzmán, Miguel de. Para pensar mejor. Ediciones Pirámide, España, 1995, 2ª ed. El objetivo de la obra es mostrar cómo la exploración de los propios métodos de pensamiento es una tarea que puede mejorar la calidad del pensar y los aportes de la Matemática en este ámbito.

Libros • Artigue, M. “Una introducción a la didáctica de la matemática”, en Enseñanza de la Matemática. Selección bibliográfica, traducción para el PTFD, MCyE, 1994.

• Hitt, Fernando. Investigaciones en Matemática Educativa. Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1996, 1ª ed.

• Arenas Fernando y equipo. Geometría Elemental. Ediciones Universidad Católica de Chile, Santiago,1993.

Reúne un conjunto de artículos sobre diversas investigaciones que tratan la problemática de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas desde el nivel básico hasta el universitario.

• Bermeosolo, J. Metacognición y estrategias de aprendizaje e instrucción. Documentos de apoyo a la docencia, proyecto FONDECYT 1940767, Santiago, 1994.

• Orobio, H. y Ortiz, M. Educación Matemática y desarrollo del sujeto. Magisterio, Colombia, 1997, 1ª ed. El autor propone una estrategia pedagógica que implica la comprensión del desarrollo de los sujetos,

• Brousseau, Guy. Fundamentos y Métodos de la Didáctica de la Matemática. Traducción realizada por Dilma Fregona (FaMAF), Universidad de Córdoba, y Facundo Ortega, Centro de Estudios Avanzados, UNC, Argentina, 1993.

Bibliografía 205

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Wesley, EE.UU., 1966. • Moise, E. Geometría Elemental desde un punto de vista Avanzado. Compañía Editorial Continental, S.A., México, 1980. • Murray R. Spiegel. Álgebra Superior. Mc Graw Hill, Colombia, 1978. • National Council of Teachers of Mathematics. Principios y Estándares para la Educación Matemática. Sociedad Andaluza, Sevilla, 2003. • Novak, J. Aprendiendo a aprender. Ediciones Martínez Roca S.A., Barcelona, 1988. • Ontoria A. Mapas conceptuales. Editorial Nancea, 2ª edición, España, 1993. • Perelman, Yakov. Matemáticas recreativas. Ediciones Martínez Roca S.A., Barcelona, 1987. • Perero, Mariano. Historia e historias de matemáticas. Grupo Editorial Iberoamericano, México, 1994. • Pozo, J. L. Teorías cognitivas del aprendizaje. Morata, Madrid, 1990. • R. David Gustafson . Álgebra Intermedia. International Thomson Editores, México, 1997. • Rencoret, María del Carmen. Iniciación matemática - Un modelo de jerarquía de enseñanza. Editorial Andrés Bello, Santiago, 2002. • Sternberg, R., Apear-Swerling L. Enseñar a pensar. Aula XXI, Santillana, España, 1996. • Stewart, Ian. Ingeniosos encuentros entre juegos y matemáticas. Gedisa, Barcelona, 1990.

• Guedj, Denis. El imperio de las cifras y los números. Ediciones B S.A., Barcelona, 1998.

• Vygotski, L. El desarrollo de los procesos psicológicos superiores. Libergraf, S.A., Barcelona, 1995.

• Guzmán R., Ismenia. Didáctica de la matemática como disciplina experimental. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile, 2002.

• Winston H. Elphick D. y Equipo. 101 Actividades para implementar los Objetivos Fundamentales Transversales. Lom Ediciones, 2001.

• Jouette André. El secreto de los números. Ediciones Robinbook, Barcelona, 2000. • Julius, Edgard. Matemáticas rápidas. Norma, Bogotá, 2002. • Linares, Salvador. Fracciones, la relación parte-todo. Síntesis, Madrid, 1988. • Mateos, Mar. Metacognición y educación. Aique, Buenos Aires, 2001. • Miguel de Guzmán y otros. Matemáticas Bachillerato 3. Editorial Anaya, Madrid, 1991. • Moise, E.; Downs, F. Geometría Moderna. Addison

206 Matemática 5

RECURSOS TECNOLÓGICOS

Software educativos • SÚPER MIX MAT 3 - 4 Es un programa para apoyar la enseñanza de la Matemática. La metodología que utiliza este software, se sustenta en principios didácticos basados en la actividad y la libre experimentación. http://www.enlaces.cl/doc/catalogo_sw/Web_97/Fic ha28.html

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• MATEMATIX Es una herramienta creada para el estudio y comprensión de la Matemática. Funciona como un laboratorio, lo que nos permite organizar, clasificar, cuantificar, analizar y asimilar la información dispersa. Pretende dotar y capacitar a los estudiantes de las herramientas que permiten que puedan desenvolverse satisfactoriamente en el mundo científico y tecnológico. http://www.enlaces.cl/doc/catalogo_sw/Web_97/Fic ha30.html • ¿CÓMO EVALUAR EL PENSAMIENTO? Niveles Educativos: NM1 -– NM2 - NM3 - NM4 Desarrolla los OFT.

http://platea.pntic.mec.es/~aperez4 • Recursos matemáticos Redemat http://www.recursosmatematicos.com/redemat.html • Base de datos de documentos para Educación. http://www.cide.cl/campos/profes/setreduc.htm • REDUC: Red Latinoamericana de información y documentación en educación. Contiene base de datos sobre investigaciones, textos completos, recortes de prensa. http://www.reduc.cl • Sociedad de Matemática de Chile http://www.mat.puc.cl/~socmat • Recursos matemáticos Redemat http://www.recursosmatematicos.com/redemat.html

http://www2.redenlaces.cl/webeducativos/pensamie nto/menu.htm Páginas webs • Ministerio de Educación de Chile http://www.mineduc.cl • La Red Maestros cuyo propósito es fortalecer la profesión docente, mediante el aprovechamiento de las capacidades de los profesionales previamente acreditados como docentes de excelencia, contribuyendo así al desarrollo profesional del conjunto de los docentes de aula. http://www.rmm.cl • Portal de Centro de Perfeccionamiento Experimentación e Investigaciones Pedagógicas. http://www.cpeip.cl • Centro Comenius. Software educativos, en especial de matemáticas, recursos y muchas cosas más. Patrocinado por la USACH.

• La Sociedad Europea de Matemáticas (EMS) ofrece en este web una gran cantidad de información sobre matemáticas, desde congresos a los que te puedes apuntar por correo electrónico hasta monográficos de autores famosos que tratan sobre la materia. http://www.emis.de • Sitio que incluye unidades didácticas, aplicaciones y experiencias en Matemática respecto de los contenidos que se trabajan en Enseñanza Media. http://www.cnice.mecd.es/Descartes Buscador recomendado • Sitio educativo con diversos recursos, planificaciones e información de todas las áreas. Incluye buscador. http://www.educarchile.cl/home/escritorio_docente

http://www.comenius.usach.cl • El Paraíso de las Matemáticas http://www.matematicas.net • Enlaces a matemáticas básicas para niños, publicaciones y programas educativos. Debate, entretenimiento (juegos matemáticos) y bibliografía. http://www.arrakis.es/~mcj • Entretenimiento, recursos y enlaces. Software, libros, Escher, Fibonacci: el Número de Oro. Problemas: taller de matemáticas. IRC: canal sobre educación. Bibliografía 207

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