UNIVERSIDAD FERMÍN TORO FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE COMPUTACIÓN
Muestreo, Reconstrucción y Control Digital
Autor: Jessika Moreno
MUESTREO El uso del computador digital como controlador de un sistema hace necesaria la determinación de los efectos de las operaciones de muestreo y reconstrucción sobre el contenido de la señal a muestrear Se desarrolla un modelo matemático de la operación muestreo-reconstrucción, que permitirá el uso de la transformada en Z para el análisis de sistemas de control muestreado. Un muestreado real convierte una señal continua x(t) en un tren de pulsos x(kT) siendo T el periodo de muestreo Es importante señalar que entre dos T consecutivos no hay transmisión de información. Por ello dos señales y iguales en los instantes de muestreo darán lugar a una misma señal muestreada x1(KT) = x2(KT) Para n= 0, se tiene el mantenedor de orden 0, que utiliza un solo valor de x(kT), y para n diferente de 0 , mantenedor de orden n, que utiliza n+1 valores de x(kT) para generar h(kT, t) , concretamente x((k-n)T), x((k-n +1)T),… x((k-1)T), x(k-T) A medida que aumentan, mejora la precisión en la aproximación. No obstante, este mantenedor produce grandes desfases entre x(kT) y h(t) que hacen inestable el sistema de control en bucle cerrado El mantenedor más utilizado es el H0 (Hold0), definido por h(kT + t)= x(kt) 0 ≤ t ≤ T
Muestreo teórico Sea la señal de banda limitada y paso-bajo (dominio de la frecuencia) es nulo para:
El producto
(dominio del tiempo) cuyo espectro . Sea también la onda:
es una onda formada por deltas de peso igual a las muestras de
:
,
que dará lugar a otro tren de deltas:
Función escala fs.
La transformada de
es la de
repetida y centrada en cada armónico de la ffrecuencia
de muestreo, exceptuando el término constante o la función escala No se producirá solapamiento entre los espectros parciales de
si se verifica que:
De la observación del espectro pasando
se deduce la posibilidad de recuperar
por un filtro paso-bajo cuya frecuencia de corte
simplemente
cumpla la condición:
Teorema de Muestras
Espectro X(f) de la señal paso-bajo. Se considera la señal paso-bajo
, que cumple:
para
, cuyo espectro
se representa en la figura. Es posible establecer un desarrollo en Serie de Fourier de modo siguiente: ,
en dónde los coeficientes
del desarrollo vienen dados por:
, limitado a
del
Ahora bien, si
es la transformada inversa de
:
,
de dónde se infiere una relación inmediata entre los
y valores particulares de
,
concretamente:
Así pues, puede escribirse el espectro de
de
en términos de las propias muestras
sin más que sustituir los valores de
Para hallar los términos de
dados en la ecuación anterior:
bastará con calcular la transformada inversa, resultando así:
Obsérvese que éste resultado es consecuencia de la limitación de banda operación de muestreo aparece en el curso de la especificación de
y que la . De esta manera, se
demuestra el denominado Teorema de Muestras, el cual afirma que toda señal de banda limitada puede expresarse de modo único en función de sus muestras o valores puntuales tomados a intervalos regulares . El valor de será tal que: siendo la máxima frecuencia espectral de la señal. Este teorema es igualmente válido, adaptando ciertas condiciones para muestreo no uniforme y por supuesto para señales paso banda dependiendo en éste caso de la frecuencia de muestreo de la anchura de banda de paso y de la frecuencia central de la señal.
Como corolario del teorema, se puede afirmar que dada la colección discreta de valores existe una función y sólo una de banda limitada a que pasa por todos los puntos dados y se construye mediante la última ecuación RECONSTRUCCIÓN · La aplicación de la señal de control a la planta requiere la conversión de la señal muestreada a continua, para evitar las componentes de alta frecuencia de la señal de control · Esta conversión se realiza mediante circuitos de reconstrucción o Hold, que se comportan como filtros paso bajo que atenúan las componentes de alta frecuencia de la señal muestreada. Se van a examinar las características de los circuitos Hold ideal, Hold0 y Hold1. Para la reconstrucción de la señal a partir de la señal muestreada hay una frecuencia de muestreo mínima ω1 que debe satisfacer la operación de muestreo Esta frecuencia ω1 está relacionada con las características frecuenciales de la señal a muestrear x(t) (espectro de frecuencias o transf. de Fourier) CONTROL DIGITAL Un controlador digital es un sistema controlador en tiempo discreto. Los pasos para la construcción de un controlador digital son: ·
Elección del periodo de muestreo (Se escoge el periodo T varias veces más pequeño que la constante de tiempo más pequeña de la planta)
·
Se calcula la ley del control: Comando en función del error en las etapas actuales y anteriores y del comando en las etapas anteriores.
·
Algoritmo de control o
1. Leer la variable de salida mediante un sensor y conversor analógico digital
o
2. Calcular el error e(k)
o
3. Calcular u(k) con la ley de control y enviarlo al sistema mediante un conversor digital analógico
o
4. Esperar a que t=(k+1)*T
o
5. Hacer k=k+1
o
6. Ir al punto 1.
CONTROL DIGITAL – LECTOR DE HUELLAS
CONTROL Y ALIMENTACIÓN