A 1 . - S o lu c ió n a ) S e a h u n a f u n c i ó n c o n ti n u a e n u n i n t e r v a l o c e r r a d o [ a , b ] y q u e t o m a v a l o r e s d e s i g n o c o n tr a r i o e n l o s e x t r e m o s , e n t o n c e s e x i s t e a l m e n o s u n v a l o r c ( a , b ) ta l q u e h ( c ) = 0 . b) Consideramos la función h(x)=f(x)-g(x), que es continua en todo R por se diferencia de continuas. Ocurre que h(-1)=-3-10-10+3-1/e < 0 y h(0)=3-1=2 > 0, luego hay un punto c en el intervalo (-1 , 0) donde h(c)=0. En ese punto f(c)=g(c), por tanto es punto común a ambas gráficas (ver gráfico)
c) Para calcular los puntos de inflexión vemos donde se anula la derivada segunda y comprobamos si en ellos la tercera es distinta de cero f’’(x)=60x3-120x2+60x=60x(x2-2x+1)=60x(x-1)2, luego se anula sólo en x=0 y en x=1 f’’’(x)=180x2-240x+60 que no se anula en 0 luego Punto Inflexión en (0,3). Como sí se nula en 1 tenemos que seguir probando en la siguiente derivada, probamos la derivada cuarta, como no se anula no hay punto de inflexión: f’’’’(x)=360x-240, f’’’’(1)=120. A2.- Solución:
El área encerrada es 2
a 0
x
2
2
a dx
2
x3 3
a 2
a x
2 0
a3 3
La pendiente es el valor de la derivada en –a, f’(x)=-2x luego f’(-a)=2a
a3
4 3 a 3
4 3 a 3
2 2 a 3
2a
1
3 porque sabemos que a 2
a
0
A3.- Solución: Primero sumamos, después restamos y por fin despejamos
1 0
A B
2A
1 3
A B
M2
M ·M
2M
4M
0
2B
2 4
M ·M
A
2 5
0 1
a)
b)
2 3
3
2
1 3 2 1 5 2
3
3
0
B
3
1
2 2
49
28
A4.- Solución: a) La posición relativa depende de las soluciones del sistema formado por la recta y el plano
x
y
z
a
2 x y az x 2y 0 si a
5,
2
0
1
2 1
1 2 1
1
1
1
a 0
a 5
1
5y 2 1
2
1
1 2
si a
5 la recta y el plano se cortan (sistema c.d.)
5 5 0
20 y la recta es paralela al plano (sistema incompatible)
b) Las ecuaciones paramétricas de la recta cuando a=-5 son
2x
y 5z
x 2y
0
0
2x y x 2y z
5 0
5 x 10 5y 5
x 2 y luego (0,0,0) es un punto y (2,1,1) un v.d.
z
z
Cuando se cortan la distancia es 0, cuando son paralelos es la de un punto de la recta por ej. El (0,0,0) al plano d (P, )
0 0 0 5 1 1 1
5 3
B1.- Solución: a)La pendiente de la asíntota es 2 y también es:
ax 2 bx lim x 1 x x
f ( x) lim x x
ax 2 lim 2 x x
bx x
a, luego a
2
La ordenada en el origen de la asíntota es 3 y también:
2 x 2 bx 2x x x x 1 por tanto 3 b - 2, luego b 5
lim f ( x ) 2 x
lim
lim x
2x2
bx 2 x 2 x 1
2x
lim x
( b 2) x x 1
b 2,
b)Tenemos ya que la función es:
2 x 2 5x ( 4 x 5)( x 1) ( 2 x 2 5 x ) 2 x 2 6 x 5 f ' ( x) x 1 ( x 1) 2 x2 2x 1 y como f (0) 0, recordando que y - f(0) f' (0)(x - 0) es la tangent e en x f ( x)
f ' ( 0)
0, resulta y
En la gráfica vemos todos los elementos del problema
B2.- Solución: La primera integral es inmediata y la segunda es racional con raíces simples:
2 senx cos x dx 1 sen2 x A x
B x
ln(1 sen2 x ) k ;
C 2
x 2
dx
1 x
1/ 4 x 2
x2 x 4 dx x3 4x 1/ 4 dx x 2
ln x
x2 x 4 dx x( x 2)( x 2) ln x 4
2
ln x 2 4
5
k
5x
Para determinar A, B y C podemos hacer lo siguiente:
x
2
x
3
x 4 4x
A x
B x
x 2 x 4 A( x 2 4) B( x ( x x 0 4 4A A 1 x 2 2 8B B 1/ 4 x 2 2 8C C 1/ 4
C 2
x
2
2) Cx ( x
2)
B3.- Solución:
a 1 b 1 c 1 a 2 1 b2 1 c 2 1 5
5
a 1 b 1 c 1 5 a 2 1 b2 1 c 2 1
5
1
1
a 5a2
b b2
c c2
1 5a
1 b
1 c =10
1
1
1
a2
b2
c2
1
Hemos empleado las siguientes propiedades: 1ª Si se multiplica o divide una fila por un número el determinante queda multiplicado o dividido por ese número. 2ª Si se añade a una fila una combinación lineal de otras paralelas el determinante no varía. 3ª Si cambiamos entre sí dos filas o dos columnas el determinante cambia de signo
( a 1) 2
(b 1) 2
( c 1) 2
1
1
1
a
b
c
a
b
c
a2
b2
c2
a2
b2
c2
2, hemos restado a la primera fila
la segunda multiplicada por 2 y la tercera, es decir le hemos añadido una combinación lineal de la segunda y la tercera b) Los parámetros deben ser distintos porque de haber dos iguales quedaría un determinante con dos columnas iguales y entonces valdría 0 no 2. B4.- Solución: Primero escribiremos las ecuaciones de las rectas en forma paramétrica y así veremos un punto y un vector director de cada una:
r
x y z 1 2x y 2z 1
s
x x
z 0 2y z
x 2x z
y
1 y
x 1 2
x 12
x z
y z
1
Punto A(0,1,0), vector (1,0,1)
6
Punto B(0,6,0), vector (1,0,1)
x 2y
12
y z
Luego las rectas son paralelas. El vector AB y el vector director de cualquiera de ellas nos
AB x v sirven para calcular la distancia: d ( r, s )
v
5 2 2
5