Pruebas de Acceso a Ense˜ nanzas Universitarias Oficiales de Grado. Bachillerato L. O. E.
´ Materia: MATEMATICAS II Instrucciones: El alumno deber´ a contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo punt´ ua 2,5 puntos.
PROPUESTA A
1A. Se quiere construir un dep´osito de chapa abierto superiormente con forma de prisma recto de base cuadrada, de 1000m3 de capacidad, lo m´as econ´omico posible. Sabiendo que: El coste de la chapa usada para los laterales es de 100 euros el metro cuadrado El coste de la chapa usada para la base es de 200 euros el metro cuadrado ¿Qu´e dimensiones debe tener el dep´osito? ¿Cu´al es el precio de dicho dep´osito? (2,5 puntos)
2A. Dada la funci´on g(x) = (x + b) cos x,
b ∈ R.
a) Calcula la primitiva G(x) de g(x) que verifica que G(0) = 1. (1,25 puntos) b) Calcula el valor de b ∈ R sabiendo que G(x) − g ′ (x) = −2. x→0 x l´ım
3A. Dadas las matrices ( ) 1 0 A= , −1 1
1 0 0 1 0 , B= 0 0 −1 1
(1,25 puntos)
( C=
1 2 3 −1 2 −3
)
( y
D=
3 1 2 0 1 0
)
a) ¿Qu´e dimensi´on debe tener una matriz X para poder efectuar el producto matricial A · X · B? (0,5 puntos) b) Despeja X en la ecuaci´on matricial A · X · B + C = D. (1 punto) c) Calcula la matriz X. (1 punto)
4A. Dadas las rectas z r ≡2−x=y−2= 3
y
x = −1 + 2λ y = −1 + λ s≡ z = c − 3λ
λ∈R
donde c ∈ R, se pide: a) Estudiar la posici´on relativa de r y s en funci´on del par´ametro c ∈ R. (1,5 puntos) b) Hallar el punto de intersecci´on de r y s cuando dichas rectas sean secantes. (1 punto)
(sigue a la vuelta)
A1.- SoluciĂłn: Llamaremos x al nÂş de metros que mide el lado de la base; llamaremos y al nÂş de metros que mide la altura del depĂłsito.
y
x x
Tanto la funciĂłn volumen como la funciĂłn precio son de dos variables (x,y), pero al fijar el volumen en 1000, podemos establecer una relaciĂłn entre las dos variables y escribir la funciĂłn precio con una sola variable. Calculamos el mĂnimo de la funciĂłn precio utilizando derivadas. 1000 200 400 200 400
1000
400000
400000 800000
400
400000 1000 = 0 ⇒ 400 x 3 = 400000 ⇒ x 3 = 1000 ⇒ x = 10, luego y = = 10 2 x 10 2 800000 P' ' (10) = 400 + = 1200 > 0, luego hay MĂnimo en (10, (10)) = (10 , 60000) 1000 El depĂłsito pedido resulta ser un cubo, y el precio 60000 â‚Ź P' = 0 ⇒ 400 x =
A2.- SoluciĂłn:
a ) G ( x ) = âˆŤ ( x + b) cos xdx =( x + b) senx − âˆŤ senxdx = ( x + b)senx + cos x + K u = x + b ⇒ du = dx  dv = cos xdx ⇒ v = senx G (0) = 1 ⇒ G (0) = (0 + b) sen 0 + cos 0 + K = 1 ⇒ 0 + 1 + K = 1 ⇒ K = 0 Luego G ( x ) = ( x + b) senx + cos x g ( x ) = ( x + b) cos x ⇒ g ' ( x ) = cos x − ( x + b) senx
G( x) − g ' ( x) ( x + b) senx + cos x − [cos x − ( x + b) senx ] 2( x + b) senx = −2 ⇒ lim = lim x x x x →0 x →0 x →0 2( x + b) cos x + 2 senx = lim = 2b. He aplicado L' Hôpital 1 x →0 Por tanto 2b = −2 ⇒ b = −1
b) lim
A3.- Solución:
a ) A2 x 2 ⋅ X mxn ⋅ B3 x 3 ⇒ m x n = 2 x 3 o sea que X tiene 2 filas y 3 columnas b) A ⋅ X ⋅ B + C = D ⇒ A ⋅ X ⋅ B = D − C ⇒ A−1 ⋅ A ⋅ X ⋅ B = A−1 ( D − C ) ⇒ I ⋅ X ⋅ B = A −1 ( D − C ) ⇒ X ⋅ B = A −1 ( D − C ) ⇒ X ⋅ B ⋅ B −1 = A−1 ( D − C ) B −1 ⇒ X ⋅ I = A−1 ( D − C ) B −1 ⇒ ⇒ X = A −1 ( D − C ) B −1 1 t 1 1 1 1 1 0 t −1 c ) A = (Aij ) = = ; del mismo modo B = 0 A 1 0 1 1 1 0 1 0 2 − 1 − 1 1 0 2 − 1 − 1 D − C = . Luego X = ⋅ ⋅ 0 1 1 −1 3 1 1 1 − 1 3 0 1 −1
0 0 1 0 1 1 0 2 − 2 − 1 0 = 3 0 2 1
A4.- Solución: De las ecuaciones de las rectas dadas obtenemos un punto y un vector director de cada una de ellas
En r obtenemos el punto A(2,2,0) y el vector v(1,1,3); en s obtenemos el punto B(-1,-1, c) y el vector w(2,1,-3) Con el vector AB y los vectores v y w formamos un determinante. Cuando valga cero las rectas se cortan, cuando no, se cruzan. Nunca son paralelas porque no lo son v y w. -3 -3 c 1 1 3 = 0 ⇒ c + 9 = 0 ⇒ c = −9 ⇒ se cortan para c = -9 2 1 -3 x = −1 + 2λ - 9 - 3λ Ahora s ≡ y = −1 + λ ⇒ Sustituimos en r ⇒ 2 + 1 - 2λ = -1 + λ - 2 = ⇒λ =0 3 z = −9 − 3λ x = −1 ⇒ P = y = −1 es el punto de corte, o sea P(-1,-1,-9) z = −9
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´ Materia: MATEMATICAS II
PROPUESTA B
1B. Dada la funci´on f (x) = 2xe1−x se pide: a) Estudiar si tiene as´ıntotas horizontales (1.25 puntos) b) Calcular sus puntos de inflexi´on. (1,25 puntos)
2B. Dadas las funciones f (x) = x2 y g(x) = 3 − x, se pide: a) Esbozar la regi´on encerrada entre las gr´aficas de f (x) y g(x). (0,5 puntos) b) Calcular el ´area de la regi´on anterior. (2 puntos)
3B. a) Enuncia el Teorema de Rouch´e-Fr¨obenius. (0,5 puntos) b) Razona que un sistema de tres ecuaciones lineales con cuatro determinado. (0,5 puntos) c) Determina para qu´e valores del par´ametro a ∈ R el sistema 2x + 3y − z + 2t = 5x + y + 2z = x + 8y − 5z + 6t =
inc´ognitas no puede ser compatible
2 1 a
es incompatible. (1,5 puntos)
4B. Dados los planos π ≡ 2x − 3y + z = 0
y
x=1+λ+µ ′ y =λ−µ π ≡ z = 2 + 2λ + µ
λ, µ ∈ R
y el punto P (2, −3, 0), se pide: a) Hallar la ecuaci´on continua de la recta r que pasa por P y es paralela a la recta s determinada por la intersecci´on de π y π ′ . (1,5 puntos) b) Calcular el ´angulo entre los planos π y π ′ . (1 punto)
B1.- Solución:
a ) lim 2 xe 1− x = lim x →∞
x→∞
2x 2 = lim x −1 = 0.He aplicado L' Hôpital. Hay A.H. y = 0 x −1 e x→0 e
b) Donde se anule la derivada segunda y no la tercera habrá punto de inflexión f'(x) = 2e1− x − 2 xe 1− x ⇒ f ' ' ( x ) = −4e1− x + 2 xe 1− x ⇒ f ' ' ' ( x ) = 6e1− x − 2 xe 1− x f ' ' ( x ) = 0 ⇒ −4e1− x + 2 xe 1− x = 0 ⇒ 4e1− x = 2 xe 1− x ⇒ 2 x = 4 ⇒ x = 2 f ' ' ' ( x ) = 6e1− x − 2 xe 1− x ⇒ f ' ' ' ( 2) = 6e1− 2 − 4e 1− 2 = 2e −1 ≠ 0. Luego P.I. en(2, f(2)) 4 P. I .( 2 , ) e
B2.- Solución:
Se trata de dos funciones básicas y bastante sencillas, una hipérbola y un recta
( f − g )( x ) =
x = 1 2 2 − 3 + x ⇒ − 3 + x = 0 ⇒ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇒ x x x = 2 2
Luego : Area =
∫
2
1
2 x2 3 ( − 3 + x )dx = 2 L x − 3 x + = − 2 ln(2) ≈ 0.11 x 2 1 2
B3.- Solución: a)Teorema de Rouché-Fröbenius. Si tenemos un sistema lineal de m ecuaciones y n incógnitas y además el rango R de la matriz de coeficientes de las incógnitas es igual al rango R’ de la ampliada con los términos independientes, entonces el sistema tiene solución. Si además el rango coincide con el número de incógnitas el sistema tiene solución única. Si siendo iguales no coinciden el rango y el número de incógnitas, entonces el sistema tiene infinitas soluciones dependiendo estas de (n-R) parámetros. Si los rangos no coinciden el sistema no tiene solución. b) Cuando el sistema tiene 4 incógnitas y 3 ecuaciones el rango de la matriz de coeficientes no puede ser mayor que 3, por tanto (n-R) tiene que ser 1 o mayor: (4-3)=1. O de otro modo n>R; es decir distintos.
2 3 − 1 2 2 3 −1 2 2 A = 5 1 2 0 ; B = 5 1 2 0 1 1 8 − 5 6 1 8 − 5 6 a 2 3 = −13 ≠ 0 1 5 2 3 − 1 ⇒ Rango A = 2 Rango A = Rango B = 2 2 3 2 Cuando a = 5. Sist. comp. ind. 5 1 2 = 0; 5 1 0 = 0 ⇒ 1 8 6 Si a ≠ 5, Rango A = 2, Rango B = 3 1 8 − 5 Sistema INCOMPATIB LE 2 3 2 − 13a + 65 = 0 5 1 1 = −13a + 65 ⇒ Si a = 5 1 8 a B4.- Solución: A) El vector característico (perpendicular) del primer plano es v(2,-3,1). El vector característico w del segundo plano lo obtenemos hallando su ecuación general o multiplicando vectorialmente los vectores que forman los coeficientes de λ y µ. La ecuación de la recta pedida tiene por vector director el producto vectorial de los dos vectores v y w.
x −1 1 1 π'≡ y 1 − 1 = 0 ⇒ x + 3 y − 2 z + 3 = 0 ⇒ w(1,3,−2) z − 2 2 −1 −3 1 1 2 2 −3 = (3,5,9) director de r, u x w = , , 3 − 2 − 2 1 1 3 x−2 y +3 z luego r ≡ = = 3 5 9 B) El ángulo formado por los dos planos viene dado por la fórmula
α = arccos
v⋅w v⋅w
= arccos
2−9−2 4 + 9 +1⋅ 1+ 9 + 4
= arccos
9 ≈ 50º 14