Evaumatiisep017casman

Evaluaci´ on para Acceso a la Universidad Convocatoria de 2017 ´ Materia: MATEMATICAS II Instrucciones: El estudiante deber´ a contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Dentro de cada opci´ on el estudiante elegir´ a cuatro ejercicios entre los cinco propuestos.

Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas.

Se puede utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo punt´ ua 2,5 puntos.

Duraci´ on de la prueba: 1 hora y 30 minutos.

PROPUESTA A

1A. a) Calcula razonadamente el ´ area de la regi´on determinada por la curva f (x) = (x − 1)(x + 2), las rectas x = −3, x = 2 y el eje de abscisas. Esboza dicha regi´on. (1,5 puntos) b) Encuentra razonadamente la ecuaci´ on de la recta tangente a la gr´afica de la funci´on f (x) en el punto de abscisa x = 2. (1 punto) 2A. a) Determina el valor de k ∈ R para que la siguiente funci´on sea continua en x = 0. 

x + 1 1/x    si x < 0 2x + 1 f (x) = (1,5 puntos)    6x + k si x ≥ 0 b) Enuncia el teorema de Bolzano y comprueba si la ecuaci´on cos x = 2 − x tiene alguna soluci´on real en el intervalo [0, 2π]. (1 punto) 3A. a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en funci´on del par´ametro a ∈ R  ax + y + z = 1  x + ay + z = 0 (1,5 puntos)  x + y + az = 0 b) Resu´elvelo razonadamente para el valor a = 0. (1 punto) 4A. Dados los planos α ≡ −x + 2y + z + 2 = 0 y β ≡ −2y + z = 0 a) Calcula razonadamente el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas y los puntos de intersecci´on del plano α con los tres ejes coordenados. (1,5 puntos) b) Encuentra razonadamente la ecuaci´ on general o impl´ıcita de la recta paralela a los planos α y β que pase por el punto P (0, −1, 3). (1 punto) 5A. a) En una empresa hay tres robots A, B y C dedicados a soldar componentes electr´onicos en placas de circuito impreso. El 25 % de los componentes son soldados por el robot A, el 20 % por el B y el 55 % por el C. Se sabe que la probabilidad de que una placa tenga un defecto de soldadura es de 0,03 si ha sido soldado por el robot A, 0,04 por el robot B y 0,02 por el robot C. a1) Elegida una placa al azar, calcula razonadamente la probabilidad de que tenga un defecto de soldadura. (0,75 puntos) a2) Se escoge al azar una placa y resulta tener un defecto de soldadura, calcula razonadamente la probabilidad de que haya sido soldada por el robot C. (0,5 puntos) b) Lanzamos cinco veces una moneda trucada. La probabilidad de obtener cara es 0,6. Calcula razonadamente la probabilidad de: b1) Obtener exactamente tres caras. (0,75 puntos) b2) Obtener m´ as de tres caras. (0,5 puntos) n 5

H HH

k 0 1 2 3 4 5

p H H H

0,01

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,33

0,35

0,40

0,45

0,49

0,50

0,9510 0,0480 0,0010 0,0000 0,0000 0,0000

0,7738 0,2036 0,0214 0,0011 0,0000 0,0000

0,5905 0,3281 0,0729 0,0081 0,0005 0,0000

0,4437 0,3915 0,1382 0,0244 0,0022 0,0001

0,3277 0,4096 0,2048 0,0512 0,0064 0,0003

0,2373 0,3955 0,2637 0,0879 0,0146 0,0010

0,1681 0,3602 0,3087 0,1323 0,0284 0,0024

0,1317 0,3292 0,3292 0,1646 0,0412 0,0041

0,1160 0,3124 0,3364 0,1811 0,0488 0,0053

0,0778 0,2592 0,3456 0,2304 0,0768 0,0102

0,0503 0,2059 0,3369 0,2757 0,1128 0,0185

0,0345 0,1657 0,3185 0,3060 0,1470 0,0282

0,0313 0,1563 0,3125 0,3125 0,1563 0,0313

A1.- Solución: F(x) es una parábola que corta al eje X en (-2,0) y en (1,0) por tanto el eje es la recta x=-0.5. El vértice es (0.5 , f(0.5))=(0.5 , -9/4)

a ) Como f ( x ) = x 2 + x - 2. El área pedida es : −2 1 2 x3 x2 x3 x2 x3 x2 f ( x ) dx − f ( x ) dx + f ( x ) dx = [ + − 2 x − [ + − 2 x + [ + − 2 x = ] ] ] ∫−3 ∫−2 ∫1 −3 −2 1 3 2 3 2 3 2 11 27 11 49 = + + = 6 6 6 6 b) f ' ( x ) = 2 x + 1 ⇒ f ' ( 2) = 5 Ecuación de la tangente y − f (2) = f ' ( 2)( x − 2) ⇒ y = 5 x + 6 −2

1

2

A2.- Solución:

 x + 1  1 x  f ( x ) =  2 x + 1     6x + k 

x<0 x≥0 1

 x +1  x f (0) = 0 + k = k para continua lim−   = lim+ 6 x + k x →0  2 x + 1  x →0 Para el primer límite tendremos en cuenta que el logarirmo del límite es el límite del logaritmo 1 2 − 1  x +1  1 x + 1 2 x + 1 = −1 lim− L  = lim− ( L( x + 1) − L( 2 x + 1)) = L' Hôpital = lim− x →0 x  2 x + 1  x →0 x x →0 1 1 1  x +1  −1 Luego lim−   = e = y como lim+ 6 x + k = k , resulta que k = x →0  2 x + 1  x → 0 e e

 g (0) = 1 − 2 + 0 = −1 < 0 b) g ( x ) = cos( x ) − 2 + x ⇒   g ( 2π ) = 1 − 2 + 2π = 2π − 1 > 0 El T. de Bolzano dice que si una función es continua en (a, b) y el signo de f(a) es distinto del signo de f(b) entonces existe, al menos, un punto c ∈ ( a, b) tal que f(c) = 0 He construido la función g(x) que como vemos cumple las hipótesis del teorema, luego existe, al menos un punto donde g se anula. Es el punto A, ver gráfica verde.

En resumen: el volumen máximo se obtiene cortando cuadros de un metro de lado y las dimensiones de la caja serán 6m por 3m por 1m y el volumen 18 metros cúbicos.

A3.- Solución: La matriz de coeficientes de las incógnitas es de orden 3x3, por eso cuando su determinante sea distinto de 0 su rango será 3 y coincidirá con el rango de la ampliada. Como el número de incógnitas también es 3 tendremos que en ese caso el sistema será compatible determinado

a 1 1   A =  1 a 1  ⇒ A = a 3 − 3a + 2 = (a − 1) 2 ( a + 2) ⇒ A = 0 cuando a = 1 y cuando a = −2 1 1 a   O sea que ∀a ≠ −2,1 el sistema es compatible determinado.

Para factorizar a 3 − 3a + 2 he probado los divisores del término independiente 2 , he visto que - 2 lo anula y he dividido por Ruffini, entre(a + 2) 1 1  Cuando a = 1 , A tiene evidentemente rango 1, pero la ampliada tiene una submatriz   1 0  con determinante distinto de 0, luego su rango es 2 y el sistema incompatible. - 2 1  Cuando a = -2, A tiene una submatriz   con determinante distinto de 0.  1 - 2  −1 1 1   Si la ampliamos con los términos independientes queda  1 − 2 0  con determinante 1 1 0   también distinto de 0. Luego el rango de A es 2 y el de la ampliada 3 y el sistema INCOMPATIB LE

b) Si a=0

−1  x = 2 y + z = 1 Sumando con 1ª   Restando 2ª y 3ª  1   ⇒  2z = 1 ⇒ {Sust en 1ª y 3ª ⇒  y = x + z = 0 ⇒  2  x + y = 0 - y + z = 0 luego z = 1/2    1   z = 2

A4.- Solución: a) Primero hallamos los puntos de intersección del plano α con los ejes:

α ∩ X ⇒ − x + 2 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ A( 2,0,0)  α ∩ Y ⇒ 2 y + 2 = 0 ⇒ y = −1 ⇒ B(0,−1,0) α ∩ Z ⇒ z + 2 = 0 ⇒ z = −2 ⇒ C (0,0,−2)  El volumen del tetraedro pedido lo determinamos a partir de los vectores que unen el origen con estos puntos. La fórmula es : 2 0 0 1 1 2 VT = 0 - 1 0 = * 4 = 6 6 3 0 0 -2 b) Con las ecuaciones de los dos planos hallamos las ecuaciones paramétricas de la recta intersección, que luego ponemos en forma implícita y por último con P escribimos la ecuación pedida:

 x = 2 + 2λ  − x + 2 y = −2 − λ 1 x−2 y z x−2 y z ⇒ y = 0 + λ ⇒ = = ⇔ = = ⇒  1 2 2 1 4 1 2 − 2 y = − λ  2  z = 0 + λ Haciendo intervenir el punto P , Ver gráfica

x y +1 z − 3 = = es la ecuacion general pedida 4 1 2

A5.- Solución: Consideremos los siguientes sucesos A que la placa elegida haya sido fabricada por el robot A, suceso B que la placa elegida haya sido fabricada por el robot B, suceso C que la placa elegida haya sido fabricada por el robot C, suceso D que la placa elegida tenga un defecto de soldadura

a1) P( D ) = P[( A ∩ D ) ∪ ( B ∩ D ) ∪ (C ∩ D )] = P( A)·P( D ) + P( B )·P( D ) + P(C )·P( D ) = A B C 265 25%·3% + 20%·4% + 55%·2% = = 2,65% 10000 P(C I D ) 55%·2% 110 a 2 ) P (C ) = = = = 41,5% D P( D ) 2,65% 265 b) Se trata de una distribución binomial B(n,p) con n=5 y p=6/10

 5 b1) Nos piden P( k = 3) =  ( 6 ) 3 ( 4 ) 2 = 0,3456 10  3 10 b2) Calculamos la probabilidad de que salgan exactamente 4 caras y la probabilidad de que salgan exactamente 5 caras, las sumamos y nos quedará la probailidad pedida P(c > 3) = 1 − P( + ≤ 2) = P( k > 3) = P( c = 4) + P( c = 5) = 0,2592 + 0,0778 = 0,3370

Evaluaci´ on para Acceso a la Universidad Convocatoria de 2017 ´ Materia: MATEMATICAS II Instrucciones: El estudiante deber´ a contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Dentro de cada opci´ on el estudiante elegir´ a cuatro ejercicios entre los cinco propuestos.

Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas.

Se puede utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo punt´ ua 2,5 puntos.

Duraci´ on de la prueba: 1 hora y 30 minutos.

PROPUESTA B

1B. Halla razonadamente las dimensiones m´as econ´omicas de una piscina de 32 m3 con un fondo cuadrado, de manera que la superficie de sus paredes y el suelo necesiten la cantidad m´ınima de material.

(2,5 puntos) 2B. Calcula razonadamente las siguientes integrales: Z a)

x3 + 2x2 + x − 10 dx x2 + x − 2

Z b)

x2 ln x dx

(1,25 puntos por integral)

Nota: ln denota logaritmo neperiano.

3B. Dadas matrices 

 0 1 1 A =  1 0 0 , 0 0 1



 −1 0 1 B =  0 −1 0  1 1 0



 1 1 0 y C= 0 3 0  −1 0 1

a) Calcula razonadamente A−1 . (1 punto) b) Calcula razonadamente la matriz X que verifica que A · X + B = C 2 . (1,5 puntos) 4B. a) Halla razonadamente el valor de a ∈ R para el cual el plano α ≡ x − y − az + 5 = 0 es paralelo a la recta x−2 y z r≡ = = (1,25 puntos) 3 −5 2 x−3 = y−1 = z b) Calcula razonadamente la distancia del punto P (1, 2, 3) a la recta r ≡ 2 (1,25 puntos) 5B. a) De una urna que contiene tres bolas blancas y dos bolas rojas extraemos, sucesivamente y sin reemplazamiento, dos bolas. Calcula razonadamente la probabilidad de: a1) Que la segunda bola extra´ıda sea blanca. (0,75 puntos) a2) Si la segunda bola extra´ıda ha sido blanca, que la primera fuera roja. (0,5 puntos) b) El tiempo de duraci´ on de las llamadas telef´onicas a cierta centralita se distribuye seg´ un una distribuci´ on normal de media 5 minutos y varianza 4. Calcula razonadamente: b1) La probabilidad de que una llamada dure menos de 4,5 minutos. (0,75 puntos) b2) El tiempo de duraci´ on que no es superado por el 33 % de las llamadas. (0,5 puntos) a 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

0,00 0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554

0,01 0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591

0,02 0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628

0,03 0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664

0,04 0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700

0,05 0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736

0,06 0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772

0,07 0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808

0,08 0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844

0,09 0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879

B1.- Solución:

32 y sabemos que S = x 2 + 4 xy , luego 2 x 32 128 128 256 ⇒ S' = 2x − 2 ⇒ S' ' = x + 3 S = x2 + 4x 2 ⇒ S = x2 + x x x x 128 Para mínimo S ' = 0 ⇒ 2 x − 2 = 0 ⇒ x 3 − 64 = 0 ⇒ x = 3 64 = 4 metros x 256 Como S ' ' ( 4) = 4 + > 0 ⇒ Mínimo en (4, S(4)) 64 32 Las dimensiones 4 x 4 en la base y altura y = = 2 metros 16

Sabemos que V = x 2 y = 32 ⇒ y =

B2.- Solución: Para la primera efectuamos la división, pues el grado del numerador es mayor que el del denominador, y luego descomponemos en fracciones:

x 3 + 2 x 2 + x − 10 2x − 8 ∫ x 2 + x − 2 dx = ∫ ( x + 1)dx + ∫ x 2 + x − 2 dx = 2x − 8 A B −2 4 ∫ x 2 + x − 2 dx = ∫ x − 1 dx + ∫ x + 2 dx = ∫ x − 1 dx + ∫ x + 2 dx = − 2 L x − 1 + 4 L x + 2  Si x = 1, − 6 = 3 A ⇒ A = −2 Porque 2 x − 8 = A( x + 2) + B ( x − 1) ⇒   Si x = −2, − 12 = −3B ⇒ B = 4

a)

x3 x3 1 x3 x3 Lx − ∫ dx = Lx − +K 3 3 x 3 9 1  u = Lx ⇒ du = x dx Por partes donde :  y teniendo en cuenta ∫ udv = uv − ∫ vdu 3 x 2 dv = x dx ⇒ v =  3

b)

2 ∫ x Lxdx =

B3.- Solución: Tendrá inversa si su determinante es distinto de cero. Calculamos primero su determinante:

 0 1 1   1 A =  1 0 0  = −1, luego tiene inversa. La calcularemos con la fórmula A −1 = Adj ( AT ) A  0 0 1   Donde Adj ( AT ) es la matriz adjunta de la traspuesta o matriz de adjuntos de la matriz traspuesta  0 1 1  0 1 0  0 −1 0  0 1 0          T T −1 1  ⇒ A =  1 0 − 1 A =  1 0 0  ⇒ A =  1 0 0  ⇒ Adj ( A ) =  − 1 0  0 0 1  1 0 1 0 0 0 1  0 − 1       

AX + B = C 2 ⇒ AX = C 2 − B ⇒ A−1 AX = A −1 (C 2 − B ) ⇒ IX = A−1 (C 2 − B ) ⇒ X = A −1 (C 2 − B )  1 1 0  1 1 0  1     C =  0 3 0 · 0 3 0  =  0  − 1 0 1  − 1 0 1  − 2     4 − 1  2 0    C 2 − B =  0 10 0  ⇒ X =  1 − 3 − 2 1  0    2

4 0 4  1   2 9 0 ⇒ C − B =  0 9   − 1 1  − 2 −1 1 0  2 4 − 1  0    0 − 1· 0 10 0  =  5 0 1   − 3 − 2 1   − 3

0  − 1 0 1    0 −  0 − 1 0 ⇒ 1   1 1 0  10 0   6 − 2 − 2 1 

B4.- Solución:

α ≡ x − y + az + 5 = 0   x − y + az = −5 y x −2   =  3 x−2 y z  − 5 5 x + 3 y = 10 ⇒ 5 x + 3 y = 10  r ≡ 3 = − 5 = 2 ⇒  x − 2 z ⇒ 2 x − 3 z = 4  2 x − 3z = 4     =  3 2  1 −1 5 2

3 0

1 -1 5

3

a 0 = −9 − 6a − 15 = −6a − 24 ⇒ cuando a = −4 el determinante es cero −3

≠ 0 ⇒ rango matriz de coeficientes = 2 1 -1 - 5

y el sistema incompatible porque 5 2

3 10 = 42 ≠ 0.Rango de la matriz de coeficientes 3 0

4

distinto del rango de la ampliada, 2 ≠ 3. Por lo tanto la recta y el plano son paralelos b) Buscamos el punto C de la recta r que esté “enfrente” del B(1,2,3), es decir que el vector BC sea perpendicular al vector v(2,1,1) director de la recta r. El módulo del vector BC es la distancia pedida.

c1 − 3  C ∈ r ⇒ 2 = c 2 − 1 = c3 c1 − 2c2 = 1  Despejando en 1ª y 2ª    ⇒ c1 − 2c3 = 3 ⇒  y sustituy. en 3ª  BC = (c1 − 1, c2 − 2, c3 − 3)  2c + c + c = 7 6c = 18 ⇒ c = 3 1 3  1  BC .v = 0 ⇒ (c1 − 1)2 + c 2 − 2 + c3 − 3 = 0  1 2  c1 = 3  ⇒ c2 = 1 ⇒ d ( r, P ) = BC = 2 2 + ( −1) 2 + ( −3) 2 = 14 c = 0  3

B5.-Solución:

3 2 2 3 12 6 a ) P(2 ª B ) = P(( B ∩ B ) ∪ ( R ∩ B )) = P ( B )·P( B ) + P( R )·P( B ) = · + · = = = 60% B R 5 4 5 4 20 10 2 ·3 P( R ∩ B ) 6 1 P(1ª R )= = 5 4= = = 50% 2ª B 12 P(2 ª B ) 12 2 20

b) Se trata de una N(5,4) donde nos piden b1) P(x<4’5)=P(x>5’5)=1-P(x<5’5) Tipificamos

x −5 0'5 ⇒ 1 − P( x < 5'5) = 1 − P( z < ) = 1 − P( z < 0'125) = 1 − 0,5498 = 0,4502 4 4 Utilizando la tabla b2) Buscamos z1 tal que z1 / P ( z < z1 ) = 0,33.. como no viene en la tabla buscamos z 0 / P( z < z 0 ) = 0,66... ⇒ z 0 = 0,43 ver tabla, z1 será el simétrico respecto al origen ⇒ z1 = −0,43 x1 - 5 = −0,43 ⇒ x1 = −1,72 + 5 = 3,28 minutos 4 z=