Trigo_2

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Proyecto

MaTEX

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Razones

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Trigonom´ etricas II

Directorio

Tabla de Contenido Inicio Art´ıculo

c 2004 javier.gonzalez@unican.es � D.L.:SA-1415-2004

MaTEX Trigonometr´ıa II

Fco Javier Gonz´ alez Ortiz

ISBN: 84-688-8267-4

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1. Razones trigonom´ etricas de ..

1.1. Suma de ´ angulos 1.2. Diferencia de ´ angulos 1.3. El ´ angulo doble ´ 1.4. Angulo mitad 2. Ecuaciones trigonom´ etricas 3. Ampliaci´ on 3.1. Suma y diferencia de senos 3.2. Suma y diferencia de cosenos 3.3. Ejercicios Soluciones a los Ejercicios

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MaTEX Trigonometr´ıa II

Tabla de Contenido

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Secci´ on 1: Razones trigonom´ etricas de ..

3

1. Razones trigonom´ etricas de ..

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1.1. Suma de ´ angulos

#

Se trata de calcular las razones de (α + β) en funci´ on de las razones de α y β.

En la figura se tiene que OA = cos β

B

AB = sen β

M

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MaTEX

sen(α + β) =P B = N M =N A + AM =OA sen α + AB cos α = sen α cos β + cos α sen β cos(α + β) =OP = ON − P N =ON − BM =OA cos α − AB sen α = cos β cos α − sen β sen α

A

β 0

α P

N

Trigonometr´ıa II

Se tiene as´ı, que

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Secci´ on 1: Razones trigonom´ etricas de ..

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Para calcular la tan(α + β) realizamos el cociente del seno entre el coseno sen(α + β) cos(α + β) sen α cos β + cos α sen β = cos α cos β − sen α sen β =(dividiendo por cos α cos β) tan α + tan β = 1 − tan α tan β

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tan(α + β) =

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Razones de la suma de ´ angulos sen(α + β) = cos(α + β) =

sen α cos β + cos α sen β

cos β cos α − sen β sen α tan α + tan β tan(α + β) = 1 − tan α tan β

(1)

Trigonometr´ıa II

MaTEX

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Secci´ on 1: Razones trigonom´ etricas de ..

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Ejemplo 1.1. A partir de 30o y 45o obtener el valor exacto de sen 75o ,cos 75o y tan 75o .

Soluci´ on: sen 75o = sen(30 + 45) = sen 30 cos 45 + cos 30 sen 45 √ √ √ 1 2 3 2 = · + · 2 2 √ 2√ 2 2+ 6 = 4

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MaTEX Trigonometr´ıa II

cos 75o = cos(30 + 45) = cos 30 cos 45 − sen 30 sen 45 √ √ √ 3 2 1 2 = · − · 2 2 2 2 √ √ 6− 2 = 4 tan 30 + tan 45 tan 75o = tan(30 + 45) = 1 − tan 30 tan 45 √ √ (1/ 3) + 1 1+ 3 √ =√ = 1 − (1/ 3) 3−1

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Secci´ on 1: Razones trigonom´ etricas de ..

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1.2. Diferencia de ´ angulos Utilizando las razones de los ´ angulos opuestos y utilizando las f´ormulas para la suma de ´angulos se obtiene:

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cos(α − β) = cos[α + (−β)] = cos α cos(−β) − sen α sen(−β) = cos α cos β + sen α sen β tan(α − β) = tan[α + (−β)]

tan α + tan(−β) 1 − tan α tan(−β) tan α − tan β = 1 + tan α tan β =

MaTEX Trigonometr´ıa II

sen(α − β) = sen[α + (−β)] = sen α cos(−β) + cos α sen(−β) = sen α cos β − cos α sen β

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Secci´ on 1: Razones trigonom´ etricas de ..

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La diferencia de ´ angulos

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#

sen(α − β) = cos(α − β) =

sen α cos β − cos α sen β

cos β cos α + sen β sen α tan α − tan β tan(α − β) = 1 + tan α tan β

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(2)

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MaTEX Trigonometr´ıa II

Ejemplo 1.2. A partir de 30o y 45o hallar sen 15o y cos 15o .

Soluci´ on: sen 15o = sen(45 − 30) = sen 45 cos 30 − cos 45 sen 30 √ √ √ 2 3 2 1 = − 2 2 2 2 √ √ 6− 2 = 4 cos 15o = cos(45 − 30) = cos 45 cos 30 + sen 30 sen 45 √ √ √ 2 3 1 2 = + √2 2√ 2 2 6+ 2 = 4 �

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Secci´ on 1: Razones trigonom´ etricas de ..

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1.3. El ´ angulo doble

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A partir de las razones de la suma obtenemos:

#

sen(2 α) = sen[α + α] = sen α cos α + cos α sen α =2 sen α cos α

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MaTEX

cos(2 α) = cos[α + α] = cos α cos α − sen α sen α = cos α − sen α 2

tan(2 α) = tan[α + α] = =

2 tan α 1 − tan2 α

tan α + tan α 1 − tan α tan α

Trigonometr´ıa II

2

Razones del ´ angulo doble sen(2 α) =

2 sen α cos α

cos(2 α) =

cos2 α − sen2 α

tan(2 α) =

2 tan α 1 − tan2 α

(3)

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Ejemplo 1.3. A partir de las razones de 60o hallar sen 120o y cos 120o .

Soluci´ on: sen 120o = sen(2 · 60) =2 sen 60 cos 60 √ √ 3 1 3 =2 · = 2 2 2 cos 120o = cos(2 · 60) = cos2 60 − sen2 60 1 3 1 = − =− 4 4 2

� 1 Ejemplo 1.4. Si α est´a en el tercer cuadrante y cos α = − , obtener el valor 2 de sen 2 α y cos 2 α .

Soluci´ on: Primero calculamos sen α √ 1 2 3 3 2 2 sen α = 1 − cos α = 1 − ( ) = =⇒ sen α = − 2 4 2 √ √ 3 1 3 sen 2 α =2 sen α cos α = 2 · · = 2 2 2 1 3 1 cos 2 α = cos2 α − sen2 α = − = − 4 4 2 �

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MaTEX Trigonometr´ıa II

Secci´ on 1: Razones trigonom´ etricas de ..

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Secci´ on 1: Razones trigonom´ etricas de ..

10

´ 1.4. Angulo mitad

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sen2

α 1 − cos α = 2 2

α 1 + cos α = 2 2 Dividiendo las dos expresiones anteriores cos2

tan2

α 1 − cos α = 2 1 + cos α

(7) (8)

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MaTEX Trigonometr´ıa II

A partir del coseno del ´ angulo doble se tiene α α α cos 2 ( ) = cos2 − sen2 (4) 2 2 2 α cos α = 1 − 2 sen2 (5) 2 α cos α = 2 cos2 − 1 (6) 2 Despejando en las dos ultimas expresiones obtenemos las razones del seno y coseno para el ´angulo mitad

(9) ��

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Ejemplo 1.5. Con el ´angulo mitad obtener el valor exacto de sen 15o , cos 15o y tan 15o .

Soluci´ on: � √ √ 3 1 − 1 − cos 30 2− 3 2 o o 2 sen 15 = = =⇒ sen 15 = 2 2 4 � √ √ 1 + 23 1 + cos 30 2+ 3 2 o cos 15 = = =⇒ cos 15o = 2 2 4 � √ √ 1 − 23 1 − cos 30 2− 3 2 o o √ √ tan 15 = = =⇒ tan 15 = 1 + cos 30 2+ 3 1 + 23 � 1 Ejercicio 1. Si α est´a en el tercer cuadrante y cos α = − , obtener el valor 5 α α α de sen , cos y tan .

2 2 2

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MaTEX Trigonometr´ıa II

Secci´ on 1: Razones trigonom´ etricas de ..

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Secci´ on 2: Ecuaciones trigonom´ etricas

12

2. Ecuaciones trigonom´ etricas Llamamos ecuaci´on trigonom´etrica a una ecuaci´ on con razones trigonom´etricas, donde se pretende calcular el ´ angulo inc´ ognita α. No hay un m´etodo general de resoluci´on pero podemos indicar algunas pautas de resoluci´on, como: Sacar factor com´ un cuando el t´ermino independiente es cero.

Procurar que todas las razones tengan el mismo a´ngulo.

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MaTEX Trigonometr´ıa II

Y procurar obtener la misma raz´ on trigonom´etrica

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Secci´ on 2: Ecuaciones trigonom´ etricas

Ejemplo 2.1. Resolver la ecuaci´ on cos α =

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1 2

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1 .

2 Dibujamos un aspa como el de la figura a partir de 60o y obtenemos las soluciones entre 0 y 360.

A estas soluciones se le a˜ naden un m´ ultiplo cualquiera de vueltas con la expresi´on 360o k, siendo k un n´ umero entero.

Soluci´ on: Conocemos que cos 60o =

y π−α

α = 60

0

π+α

Las soluciones las puedes expresar en grados o en radianes

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MaTEX Trigonometr´ıa II

� 1 α = 60o + 360o k cos α = =⇒ α = 300o + 360o k 2  π    α = 3 + 2kπ =⇒ 5π    α = + 2kπ 3

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x

2π − α

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√ Ejemplo 2.2. Resolver la ecuaci´ on tan α = − 3 √ Soluci´ on: Conocemos que tan 60o = 3.

Dibujamos un aspa como el de la figura a partir de 60o y obtenemos las soluciones entre 0 y 360. tan α = −

√

=⇒

3 =⇒      α     α

�

α α

= 120o + 360o k = 300o + 360o k

y π−α

2π + 2 kπ 3 5π = + 2kπ 3

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MaTEX

α = 60

=

0

π+α

x

2π − α

En este caso como entre dos soluciones consecutivas hay 180o , todas las soluciones se pueden expresar de la forma α=

2π + kπ 3 �

Trigonometr´ıa II

Secci´ on 2: Ecuaciones trigonom´ etricas

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√

2 Ejemplo 2.3. Resolver la ecuaci´ on cos α = − 2 √ 2 Soluci´ on: Conocemos que cos 45o = .

2 Dibujamos un aspa como el de la figura a partir de 45o y obtenemos las soluciones entre 0 y 360 donde el coseno es negativo √

�

2 α = 135 + 360 k =⇒ α = 225o + 360o k 2   3π   + 2 kπ  α = 4 =⇒  5π   α = + 2kπ  4

cos α = −

o

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MaTEX

y

o

α = 45

π−α

0

π+α

x

2π − α

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Trigonometr´ıa II

Secci´ on 2: Ecuaciones trigonom´ etricas

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16

Ejercicio 2. Resolver las ecuaciones trigonom´etricas: √ 1 3 1 a) sen α = b) sen 2α = c) cos 3α = 2 2 2 Ejercicio 3. Resolver las ecuaciones trigonom´etricas: 1 α 1 a) cos 2α = − b) tan = 1 c) cot(α − π) = − √ 2 4 3 Ejercicio 4. Resolver las ecuaciones trigonom´etricas: √ a) sec 2 α = 2 b) sen x = 3 cos x c) sen(2 α − 135o ) = 0 Ejercicio 5. Resolver las ecuaciones trigonom´etricas: √ α a) tan 3 α = −1 b) cosec2 = 1 c) 2 cos 2 α = 3 4 Ejercicio 6. Resolver las ecuaciones trigonom´etricas: (a) sen 2α = sen α

(b) cos 2α = cos α

(c) sen α = cos α

(d) cos α = cot α √ (f) sen α + 3 cos α = 0

(e) tan α = 2 sen α (g) 2 sen(α − 30 ) = −1 o

(h) sen 2α cosec α = tan α + sec α

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MaTEX Trigonometr´ıa II

Secci´ on 2: Ecuaciones trigonom´ etricas

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Secci´ on 2: Ecuaciones trigonom´ etricas

Ejercicio 7. Resolver las ecuaciones trigonom´etricas:

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#

(a) 2 − sen x = cos2 x + 7 sen2 x (b) 2 sen2 x + 3 cos x = 0

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MaTEX

(f) sen 2x − 2 sen 4x = 0

Trigonometr´ıa II

(c) sen x + cos x = 1

(g) 2 sen(α − 30o ) = −1

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(d) sen2 x + cos x + 1 = 0 (e) sen x + cos x =

√

2

(h) sen 2α cosec α = tan α + sec α

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Secci´ on 3: Ampliaci´ on

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3. Ampliaci´ on

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3.1. Suma y diferencia de senos

#

Del seno de la suma y diferencia de ´ angulos :

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sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β sen(α − β) = sen α cos β − cos α sen β

sen(α + β) + sen(α − β) = 2 sen α cos β sen(α + β) − sen(α − β) = 2 cos α sen β

(10)

Si llamamos A = α + β y B = α − β las anteriores identidades son: sen A + sen B = sen A − sen B =

A+B A−B cos 2 2 A+B A−B 2 cos sen 2 2 2 sen

(11)

Trigonometr´ıa II

MaTEX

Si sumamos y restamos las dos identidades obtenemos

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� Doc

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Secci´ on 3: Ampliaci´ on

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3.2. Suma y diferencia de cosenos

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Del seno de la suma y diferencia de ´ angulos :

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cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β

&%$5&%"'

cos(α − β) = cos α cos β + sen α sen β

MaTEX

Si sumamos y restamos las dos identidades obtenemos cos(α + β) − cos(α − β) = −2 sen α sen β

(12)

Si llamamos A = α + β y B = α − β las anteriores identidades son: A+B A−B cos 2 2 A+B A−B cos A − cos B = −2 sen sen 2 2 cos A + cos B =

2 cos

(13)

Trigonometr´ıa II

cos(α + β) + cos(α − β) = 2 cos α cos β

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Secci´ on 3: Ampliaci´ on

20

Ejemplo 3.1. Convertir en productos las expresiones. a) sen 3x + sen x b) sen 3x − sen x c) cos 3x + cos x

e) cos 4x + cos 2x g) cos 4x + cos 2y

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#

d ) cos 3x − cos x

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&%$5&%"'

f ) cos 4x − cos 2x

MaTEX

h) sen 2x + sen 2y

Trigonometr´ıa II

Soluci´ on: a) sen 3x + sen x = 2 sen 2x cos x b) sen 3x − sen x = 2 cos 2x sen x c) cos 3x + cos x = 2 cos 2x cos x

d ) cos 3x − cos x = −2 sen 2x sen x e) cos 4x + cos 2x = 2 cos 3x cos x

f ) cos 4x − cos 2x = −2 sen 3x sen x

g) cos 4x + cos 2y = 2 cos(2x + y) cos(2x − y)

h) sen 2x + sen 2y = 2 sen(x + y) cos(x − y)

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� Doc

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21

3.3. Ejercicios Ejercicio 8. Simplificar las siguientes expresiones: 1 − cos 2 α 1 + cos 2 α (a) (b) cos2 α cos2 α 1 − cos 2 α cos 2 α (c) (d) sen2 α cos α − sen α Ejercicio 9. Simplificar las siguientes expresiones: (a) sen(45 + β) + cos(45 + β) (b) sen(30 + β) + cos(60 + β) (c) sen(30 + x) + sen(30 − x) (d) cos(30 + x) − cos(30 − x) Ejercicio 10. Demostrar la siguiente identidad: sen 3x cos 3x − =2 sen x cos x 2 y α es del 3o cuadrante, hallar tan α 3 Ejercicio 12. ¿Existe alg´ un ´ angulo menor de 360o cuya tangente sea igual a su cotangente?

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MaTEX Trigonometr´ıa II

Secci´ on 3: Ampliaci´ on

Ejercicio 11. Si tan 2α =

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22

Soluciones a los Ejercicios Ejercicio 1. Si α est´a en el tercer cuadrante, α/2 est´ a en el segundo cuadrante � 1 + 15 1 − cos α α 3 2 α sen = = =⇒ sen = 2 2 2 2 5 � 1 − 15 α 1 + cos α α 2 cos2 = = =⇒ cos = − 2 2 2 2 5 � sen 15 3 tan 15o = =− cos 15 2 Ejercicio 1

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MaTEX Trigonometr´ıa II

Soluciones a los Ejercicios

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Soluciones a los Ejercicios

23

Ejercicio 2. a)

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α α

b) √

    α

= 30o + 2kπ =⇒ = 150o + 2kπ    α

  2α

3 sen 2α = =⇒  2α 2   3α

1 cos 3α = =⇒  3α 2

#

π = + 2kπ 6 5π = + 2kπ 6

 π    α = + 2kπ 3 =⇒ 2π   = + 2kπ  α 3

  π    α = + 2kπ 3 =⇒ 5π   = + 2kπ   α 3

π + kπ 6 π = + kπ 3 =

π 2kπ + 9 3 5π 2kπ = + 9 3 =

Ejercicio 2

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MaTEX Trigonometr´ıa II

1 sen α = =⇒ 2

c)

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Soluciones a los Ejercicios

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Ejercicio 3. a)

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2π + 2kπ 3 =⇒ 4π   = + 2kπ  α 3 =

1 cos 2α = − =⇒  2  2α

 α  α 4 tan = 1 =⇒  α 4 4 1 c) cot(α − π) = − √ 3    √ tan(α−π) = − 3 =⇒  

    α

 π  α + 2kπ 4 =⇒ 5π  α = + 2kπ 4 =

α−π α−π

#

π = + kπ 3 2π = + kπ 3

= π + 8kπ = 5π + 8kπ

   α 2π   = + 2kπ 3 =⇒ 5π   = + 2kπ   α 3

5π + 2kπ 3 8π = + 2kπ 3 =

Ejercicio 3

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MaTEX Trigonometr´ıa II

   2α

b)

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� Doc

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Soluciones a los Ejercicios

25

Ejercicio 4. a) sec 2 α = 2

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�

2α 2α

b) √

    α

= 60o + 2kπ =⇒ = 300o + 2kπ    α

3 cos x ⇒ tan x =

√

c)

sen(2 α−135o ) = 0 =⇒

�

2 α − 135o 2 α − 135o

#

π = + 2kπ 6 5π = + 2kπ 6

 π  x = + 2kπ 3 3 =⇒  x = 4π + 2kπ 3     = 0 + 2kπ  α = π + 2kπ     α

3π +kπ 8 7π = +kπ 8 =

Ejercicio 4

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MaTEX Trigonometr´ıa II

1 cos 2 α = =⇒ 2

sen x =

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� Doc

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Soluciones a los Ejercicios

26

Ejercicio 5. a)

b) cosec2

α =1 4

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   3α   3α

     α

3π + 2kπ 4 =⇒ 7π   = + 2kπ   α 4 =

 α  =  α 4 sen2 = ±1 =⇒ α  4  = 4 √ c) 2 cos 2 α = 3  √   2α 3 cos 2 α = =⇒  2  2α

π � + 2kπ α 2 =⇒ 3π α + 2kπ 2

π + 2kπ 6 10π = + 2kπ 3 =

    α    α

#

π 2kπ = + 4 3 7π 2 k π = + 12 3

= 2π + 8kπ = 6π + 8kπ

π +kπ 12 5π = +kπ 3 =

Ejercicio 5

% "#$#%#&#!#'

&%$5&%"'

MaTEX Trigonometr´ıa II

tan 3 α = −1 =⇒

!"#$!"#%&"' ()*+,-./0012,34

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�

� Doc

Doc �

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Soluciones a los Ejercicios

27

Ejercicio 6(a) Utilizamos el seno del ´angulo doble y sacamos factor com´ un:

(#$#!#&#"#) !

# % "#$#%#&#!#'

&%$5&%"'

MaTEX 5π + 2kπ 3 �

Trigonometr´ıa II

sen 2α = sen α 2 sen α cos α = sen α 2 sen α cos α − sen α =0 sen α (2 cos α − 1) =0  �   α = 0 + kπ sen α = 0 1 =⇒ π  cos α = + 2kπ  α = 2 3

!"#$!"#%&"' ()*+,-./0012,34

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�

� Doc

Doc �

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Soluciones a los Ejercicios

28

Ejercicio 6(b) Utilizamos el coseno del ´angulo doble, pasando todo a cosenos y resolvemos la ecuaci´on: cos 2α = cos α

(#$#!#&#"#) !

# % "#$#%#&#!#'

&%$5&%"'

cos α − sen2 α = cos α 2

= 0 + 2kπ 2π = + 2kπ 3

4π + 2kπ 3 �

Trigonometr´ıa II

MaTEX

cos2 α − (1 − cos2 α) = cos α 2 cos2 α − cos α − 1 =0  �   α cos α =1 1 =⇒  cos α = −  α 2

!"#$!"#%&"' ()*+,-./0012,34

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�

� Doc

Doc �

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Soluciones a los Ejercicios

29

Ejercicio 6(c) Expresamos el coseno en funci´ on del seno, elevamos al cuadrado y resolvemos la ecuaci´on: sen α = cos α � sen α = 1 − sen2 α

!"#$!"#%&"' ()*+,-./0012,34 (#$#!#&#"#) !

# % "#$#%#&#!#'

&%$5&%"'

MaTEX

sen2 α =1 − sen2 α

   sen α   sen α

√ 1 2 sen α = ± √ = ± 2 2  √ π  2   α = 4 + 2kπ = 2 √ =⇒ 5π  2   α = + 2kπ =− 4 2

3π + 2kπ 4 7π + 2kπ 4

Las que no tienen recuadro son del segundo y cuarto cuadrante que no cumplen la ecuaci´on inicial. Esto suele ocurrir cuando se eleva al cuadrado o hay denominadores �

Trigonometr´ıa II

2 sen2 α =1

��

��

�

�

� Doc

Doc �

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Soluciones a los Ejercicios

30

Ejercicio 6(d) Utilizamos la definici´on de la cotangente, operamos y sacamos factor com´ un:

# % "#$#%#&#!#'

&%$5&%"'

MaTEX π +k π 2 π = +2k π 2 =

La primera soluci´on incluye a la segunda, luego α=

(#$#!#&#"#) !

π +k π 2 �

Trigonometr´ıa II

cos α = cot α cos α cos α = sen α cos α sen α = cos α cos α sen α − cos α =0 cos α(sen α − 1) =0   �  α cos α = 0 =⇒ sen α = 1   α

!"#$!"#%&"' ()*+,-./0012,34

��

��

�

�

� Doc

Doc �

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Soluciones a los Ejercicios

31

Ejercicio 6(e) Utilizamos la definici´on de la tangente, operamos y sacamos factor com´ un:

(#$#!#&#"#) !

# % "#$#%#&#!#'

&%$5&%"'

MaTEX 5π +2k π 3 �

Trigonometr´ıa II

tan α =2 sen α sen α =2 sen α cos α sen α =2 sen α cos α sen α (1 − 2 cos α) =0  �   α = 0+k π sen α = 0 1 =⇒ π  cos α = +2k π  α = 2 3

!"#$!"#%&"' ()*+,-./0012,34

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�

�

� Doc

Doc �

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Soluciones a los Ejercicios

32

Ejercicio 6(f ) Expresamos el coseno en funci´ on del seno, elevamos al cuadrado y resolvemos la ecuaci´on: √ sen α + 3 cos α =0 √ � sen α + 3 1 − sen2 α =0 √ � 3 1 − sen2 α = − sen α 3 (1 − sen2 α) = sen2 α

   sen α   sen α

√ 3 sen α = ± 2  √  π  3   α = + 2k π = 3 2 √ =⇒  3 4π   α = =− + 2k π  2 3

2π + 2k π 3 5π + 2k π 3

Las que no tienen recuadro no cumplen la ecuaci´ on inicial.

(#$#!#&#"#) !

# % "#$#%#&#!#'

&%$5&%"'

MaTEX Trigonometr´ıa II

4 sen2 α =3

!"#$!"#%&"' ()*+,-./0012,34

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�

� Doc

Doc �

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Soluciones a los Ejercicios

33

Ejercicio 6(g)

!"#$!"#%&"' ()*+,-./0012,34 (#$#!#&#"#) !

α = 240o + 2k π

# % "#$#%#&#!#'

&%$5&%"'

330o + 2kπ

MaTEX

330o + 2k π �

Trigonometr´ıa II

2 sen(α − 30o ) = − 1 1 sen(α − 30o ) = − 2 α − 30o = 210o + 2kπ

��

��

�

�

� Doc

Doc �

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Soluciones a los Ejercicios

34

Ejercicio 6(h)

!"#$!"#%&"' ()*+,-./0012,34 (#$#!#&#"#) !

sen 2α cosec α = tan α + sec α sen α 1 2 sen α cos α cosec α = + cos α cos α sen α + 1 2 cos α = cos α 2 cos2 α = sen α + 1

# % "#$#%#&#!#'

&%$5&%"'

2 (1 − sen2 α) = sen α + 1

2 sen2 α + sen α − 1 =0   �  1  α sen α = 2 =⇒   sen α = −1  α

π 5π + 2kπ + 2kπ 5 6 3π = + 2kπ 2 Las que no tienen recuadro no verifican la ecuaci´ on inicial. =

�

Trigonometr´ıa II

MaTEX

��

��

�

�

� Doc

Doc �

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Soluciones a los Ejercicios

35

Ejercicio 7(a)

!"#$!"#%&"' ()*+,-./0012,34 (#$#!#&#"#) !

2 − sen x = cos2 x + 7 sen2 x

#

2 − sen x =1 + 6 sen2 x  1   sen x = 2 3 6 sen x + sen x − 1 =0 =⇒   sen x = − 1 2 1 1 sen x = con la calculadora x = arc sen � 19,47o 3 3 � o x = 19,47 + 2 kπ

% "#$#%#&#!#'

&%$5&%"'

Trigonometr´ıa II

MaTEX

x = 160,53o + 2 kπ

  7π   + 2 kπ  x = 1 6 sen x = − =⇒  2 11π   + 2 kπ  x = 6

�

��

��

�

�

� Doc

Doc �

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Soluciones a los Ejercicios

36

Ejercicio 7(b)

!"#$!"#%&"' ()*+,-./0012,34 (#$#!#&#"#) !

2 sen2 x + 3 cos x =0

# % "#$#%#&#!#'

�

=2 1 2 cos x − 3 cos x − 2 =0 =⇒ cos x = − 2 cos x = 2 no tiene soluci´ on pues −1 ≤ cos x ≤ 1   2π   + 2 kπ  x = 1 3 cos x = − =⇒  2 4π   + 2 kπ  x = 3 2

&%$5&%"'

cos x

MaTEX

�

Trigonometr´ıa II

2 (1 − cos2 x) + 3 cos x =0

��

��

�

�

� Doc

Doc �

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Soluciones a los Ejercicios

37

Ejercicio 7(c)

!"#$!"#%&"' ()*+,-./0012,34 (#$#!#&#"#) !

sen x + cos x =1

#

(sen x − 1)2 = cos2 x

% "#$#%#&#!#'

&%$5&%"'

sen2 x − 2 sen x + 1 = cos2 x 2 sen x(sen x − 1) =0 =⇒ sen x = 1 =⇒ x = �

�

π + 2 kπ 2

x = 0 + 2 kπ x = π + 2 kπ La que no tiene recuadro no cumple la ecuaci´ on inicial. Comprobarlo. sen x = 0 =⇒

MaTEX

sen x = 1 sen x = 0

�

Trigonometr´ıa II

2 sen2 x − 2 sen x =0

��

��

�

�

� Doc

Doc �

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Soluciones a los Ejercicios

38

Ejercicio 7(d)

!"#$!"#%&"' ()*+,-./0012,34 (#$#!#&#"#) !

sen2 x + cos x + 1 =0

cos x − cos x − 2 =0 =⇒ 2

#

�

% "#$#%#&#!#'

&%$5&%"'

cos x = 2 cos x = −1

MaTEX

cos x = 2 no tiene soluci´ on pues −1 ≤ cos x ≤ 1 cos x = −1 =⇒ x = π + 2 kπ

�

Trigonometr´ıa II

1 − cos2 x + cos x + 1 =0

��

��

�

�

� Doc

Doc �

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39

Ejercicio 7(e)

√ sen x + cos x = 2 √ (sen x − 2)2 = cos2 x √ sen2 x − 2 2 sen x + 2 = cos2 x � √ √ 2 2 2 sen x − 2 2 sen x + 1 =0 =⇒ sen x = 2  π √   x = + 2 kπ 2 4 sen x = =⇒  2  x = 3π + 2 kπ 4 La que no tiene recuadro no cumple la ecuaci´ on inicial. Comprobarlo.

!"#$!"#%&"' ()*+,-./0012,34 (#$#!#&#"#) !

# % "#$#%#&#!#'

&%$5&%"'

MaTEX

�

Trigonometr´ıa II

Soluciones a los Ejercicios

��

��

�

�

� Doc

Doc �

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Soluciones a los Ejercicios

40

Ejercicio 7(f )

!"#$!"#%&"' ()*+,-./0012,34 (#$#!#&#"#) !

sen 2x(1 − 2 cos 2x) =0 =⇒ sen 2x = 0 =⇒

�

x = 0+

kπ 2

#

  sen 2x  cos 2x

% "#$#%#&#!#'

&%$5&%"'

=0 =

1 2

 π  π   x = + kπ   2x = + 2 kπ 6 1 3 cos 2x = =⇒ =⇒ 5π  2x = 5π + 2 kπ  2   x = + kπ 3 6

MaTEX

�

Trigonometr´ıa II

sen 2x − 2 sen 4x =0 sen 2x − 4 sen 2x cos 2x =0

��

��

�

�

� Doc

Doc �

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Soluciones a los Ejercicios

41

Ejercicio 7(g)

!"#$!"#%&"' ()*+,-./0012,34 (#$#!#&#"#) !

α = 240o + 2k π

# % "#$#%#&#!#'

&%$5&%"'

330o + 2kπ

MaTEX

330o + 2k π �

Trigonometr´ıa II

2 sen(α − 30o ) = − 1 1 sen(α − 30o ) = − 2 α − 30o = 210o + 2kπ

��

��

�

�

� Doc

Doc �

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Soluciones a los Ejercicios

42

Ejercicio 7(h)

!"#$!"#%&"' ()*+,-./0012,34 (#$#!#&#"#) !

sen 2α cosec α = tan α + sec α sen α 1 2 sen α cos α cosec α = + cos α cos α sen α + 1 2 cos α = cos α 2 cos2 α = sen α + 1

# % "#$#%#&#!#'

&%$5&%"'

2 (1 − sen2 α) = sen α + 1

2 sen2 α + sen α − 1 =0    �  1  α sen α = 2 =⇒   sen α = −1   α

π + 2kπ 5 3π = + 2kπ 2 =

5π + 2kπ 6

�

Trigonometr´ıa II

MaTEX

��

��

�

�

� Doc

Doc �

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Soluciones a los Ejercicios

43

Ejercicio 8(a)

!"#$!"#%&"' ()*+,-./0012,34 (#$#!#&#"#) !

=

2 sen2 α cos2 α

� cos 2α

# % "#$#%#&#!#'

&%$5&%"'

� for. fundamental

MaTEX

=2 tan2 α �

Trigonometr´ıa II

1 − cos 2 α 1 − cos2 α + sen2 α = cos2 α cos2 α

��

��

�

�

� Doc

Doc �

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Soluciones a los Ejercicios

44

Ejercicio 8(b)

!"#$!"#%&"' ()*+,-./0012,34 (#$#!#&#"#) !

2 cos2 α cos2 α =2 =

� cos 2α

# % "#$#%#&#!#'

&%$5&%"'

� for. fundamental

MaTEX �

Trigonometr´ıa II

1 + cos 2 α 1 + cos2 α − sen2 α = cos2 α cos2 α

��

��

�

�

� Doc

Doc �

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Soluciones a los Ejercicios

45

Ejercicio 8(c)

!"#$!"#%&"' ()*+,-./0012,34 (#$#!#&#"#) !

2 sen2 α sen2 α =2 =

� cos 2α

# % "#$#%#&#!#'

&%$5&%"'

� for. fundamental

MaTEX �

Trigonometr´ıa II

1 − cos 2 α 1 − cos2 α + sen2 α = sen2 α sen2 α

��

��

�

�

� Doc

Doc �

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Soluciones a los Ejercicios

46

Ejercicio 8(d)

!"#$!"#%&"' ()*+,-./0012,34 (#$#!#&#"#) !

(cos α − sen α)(cos α + sen α) cos α − sen α = cos α + sen α =

� cos 2α

# % "#$#%#&#!#'

&%$5&%"'

� dif. cuadrados

MaTEX �

Trigonometr´ıa II

cos 2 α cos2 α − sen2 α = cos α − sen α cos α − sen α

��

��

�

�

� Doc

Doc �

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Soluciones a los Ejercicios

47

Ejercicio 9(a) Sumando las expresiones:

!"#$!"#%&"' ()*+,-./0012,34 (#$#!#&#"#) !

sen(45 + β) = sen 45 cos β + cos 45 sen β cos(45 + β) = cos 45 cos β − sen 45 sen β sen(45 + β) + cos(45 + β) =

√

&%$5&%"'

2 cos β �

MaTEX Trigonometr´ıa II

se obtiene

# % "#$#%#&#!#'

��

��

�

�

� Doc

Doc �

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48

Ejercicio 9(b) Sumando las expresiones:

(#$#!#&#"#) !

sen(30 + β) = sen 30 cos β + cos 30 sen β √ 1 3 = cos β + sen β 2 2

# % "#$#%#&#!#'

&%$5&%"'

MaTEX

cos(60 + β) = cos 60 cos β − sen 60 sen β √ 1 3 = cos β − sen β 2 2 se obtiene

!"#$!"#%&"' ()*+,-./0012,34

sen(30 + β) + cos(60 + β) = cos β �

Trigonometr´ıa II

Soluciones a los Ejercicios

��

��

�

�

� Doc

Doc �

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49

Ejercicio 9(c) Sumando las expresiones:

(#$#!#&#"#) !

sen(30 + x) = sen 30 cos x + cos 30 sen x √ 1 3 = cos x + sen x 2 2

# % "#$#%#&#!#'

&%$5&%"'

MaTEX

sen(30 − x) = sen 30 cos x − cos 30 sen x √ 1 3 = cos x − sen x 2 2 se obtiene

sen(30 + x) + sen(30 − x) = cos x

!"#$!"#%&"' ()*+,-./0012,34

�

Trigonometr´ıa II

Soluciones a los Ejercicios

��

��

�

�

� Doc

Doc �

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50

Ejercicio 9(d) Restando las expresiones:

(#$#!#&#"#) !

cos(30 + x) = cos 30 cos x − sen 30 sen x √ 3 1 = cos x − sen x 2 2

# % "#$#%#&#!#'

&%$5&%"'

MaTEX

cos(30 − x) = cos 30 cos x + sen 30 sen x √ 3 1 = cos x + sen x 2 2 se obtiene

cos(30 + x) − cos(30 − x) = − sen x

!"#$!"#%&"' ()*+,-./0012,34

�

Trigonometr´ıa II

Soluciones a los Ejercicios

��

��

�

�

� Doc

Doc �

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Soluciones a los Ejercicios

51

Ejercicio 10. Quitamos denominadores:

(#$#!#&#"#) !

sen 3x cos x − cos 3x sen x = 2 sen x cos x

#

Ejercicio 10

% "#$#%#&#!#'

&%$5&%"'

MaTEX Trigonometr´ıa II

En el miembro de la izquierda convertimos los productos en sumas 1 sen 3x cos x = (sen 4x + sen 2x) 2 1 cos 3x sen x = (sen 4x − sen 2x) 2 y restando se obtiene sen 3x cos x − cos 3x sen x = sen 2x = 2 sen x cos x

!"#$!"#%&"' ()*+,-./0012,34

��

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�

�

� Doc

Doc �

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52

Ejercicio 11. De la tangente del ´ angulo doble se tiene 2 tan α tan 2α = (haciendo tan α = a) 1 − tan2 α 2 2a = (operando) 3 1 − a2 0 =2a2 + 6a − 2 (resolviendo) √ −3 ± 13 a = tan α = (α ∈ 3o cuadrante) 2√ −3 + 13 tan α = 2

!"#$!"#%&"' ()*+,-./0012,34 (#$#!#&#"#) !

# % "#$#%#&#!#'

&%$5&%"'

MaTEX Ejercicio 11

Trigonometr´ıa II

Soluciones a los Ejercicios

��

��

�

�

� Doc

Doc �

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53

Ejercicio 12. Planteamos el problema como una ecuaci´on. Sea α el ´angulo buscado, entonces tan α = cot α 1 tan α = tan α tan2 α =1 tan α = ± 1

!"#$!"#%&"' ()*+,-./0012,34 (#$#!#&#"#) !

# % "#$#%#&#!#'

&%$5&%"'

MaTEX

α = 45o , 135o , 225o , 315o Ejercicio 12

Trigonometr´ıa II

Soluciones a los Ejercicios

��

��

�

�

� Doc

Doc �

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