Análisis Matemático II
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3.3 VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCION Definición: Llamaremos sólido de revolución a aquel que se obtiene al rotar una región plana alrededor de una recta fija contenida en el plano de la región. La recta fija se llama eje de revolución.
Ejemplos: 1) Consideremos la región comprendida dentro de una semicircunferencia y su diámetro. Si la hecemos girar alrededor de su diámetro obtenemos una esfera. Ver fig. 1. 2) Consideremos la región comprendida dentro de un triángulo
al hacer girar alrededor de
uno de sus catetos, obtenemos un cono recto. Ver fig. 2.
fig. 1
fig. 2
Para calcular el volumen de un sólido de revolución consideraremos los siguientes métodos. 3.3.1 METODO DEL DISCO CIRCULAR Y DEL ANILLO CIRCULAR El método del DISCO CIRCULAR se deduce a partir del volumen de un cilindro recto.
V = r2h Donde: V = Volumen r2 = área del circulo de radio r. (área de la base del cilindro) h = altura
A) METODO DEL DISCO Otra aplicación importante de la integral, la tenemos en el uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional. Ahora veremos los sólidos de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos. Si giramos una región del plano alrededor de una línea, el sólido resultante es conocido como sólido de revolución y la línea como eje de revolución. El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del
1
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rectángulo como se muestra en la figura. El volumen de este disco es Volumen del disco =
R2 w
Donde R es el radio del disco y w es la anchura. Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general, considérese el sólido de revolución obtenido al girar la región plana de la figura alrededor del eje indicado. Para calcular el volumen de este sólido, consideremos un rectángulo representativo en la región plana. Cuando se gira este rectángulo alrededor del eje de revolución, genera un disco representativo cuyo volumen es V = R x 2
Si aproximamos el volumen de un sólido por n de tales discos de anchura x y de radio R(xi), tenemos 2
n
Volumen del sólido
2
n
R( x ) x R( x ) x i
i 1
i
i 1
Tomando el límite |||| 0 (n ), tenemos n 2
n
Volumen de un sólido =
b
2
Lim R( x ) x R( x) dx n
i 1
i
a
Esquemáticamente, representamos el método de discos:
Fórmula vista En precálculo Volumen del disco V= R w 2
Elemento Representativo
Nueva fórmula de integración
V= [R(xi)]2x
V= ab [R(x)]2 dx
2
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El MÉTODO DEL DISCO Para calcular el volumen de un sólido de revolución por el método de discos, úsese una de las fórmulas siguientes. Eje horizontal de revolución
Volumen = V=
b
a
[R(x)]2 dx
Eje vertical de revolución
Volumen = V =
d
c
[R(y)]2 dy
TEOREMA1: Sea f: [a, b]
R una función continua en [a, b], tal que f ( x) 0 x [a, b]. Sea S la
superficie de revolución que se obtiene al rotar, alrededor del eje x, la región limitada por la curva y = f(x), el eje X y las rectas x = a, y = b. Entonces el volumen de S es:
b
V=
[ f ( x)]2 dx a
B) METODO DEL ANILLO Sea la región R = { (x; y) /
0 f ( x) g ( x), a x b } en el que f y g son funciones
continuas en [a, b]. Cuando la región R se hace rotar alrededor del eje X se obtiene el sólido S cuyo volumen deseamos hallar.
DEDUCCIÓN DE LA FORMULA 1° Trazar una franja rectangular perpendicular al eje de rotación. Esta franja es un rectángulo de altura ( f - g) y base dx.
2° Hacer rotar el rectángulo alrededor del EJE generando un ANILLO.
3
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Luego, el área del anillo circular es:
f (ti )
g (t ) 2
2
i
por lo que el volumen del i-ésimo elemento sólido será:
Vi ( f (ti )
g (t ) ) 2
2
i
Entonces, la suma de aproximación para el volumen del sólido de revolución es:
( f (t ) g (t ) ).x n
i 1
2
2
i
i
i
Puede suponerse que mientras más delgados sean los anillos circulares, mayor será la aproximación de la suma anterior al volumen del sólido. 3° En el sólido S se tiene: dv = diferencial del volumen. dx = altura R=f r=g Luego: dv =
( f 2 g 2 )dx b
[ f 2 g 2 ]dx
Integrando: V =
a
dv = ( f 2 g 2 )dx b
V = [ f 2 ( x) g 2 ( x)]dx a
TEOREMA 2: Sean f, g: [a, b]
R dos funciones continuas en [a, b] cuyas gráficas están en un mismo lado
del EJE X. Si R = { (x; y) /
0 f ( x) g ( x) , x = a, x = b }es la región que gira alrededor del eje X genera
el sólido S cuyo volumen es 4
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b
V f 2 ( x) g 2 ( x) dx a
3.3.2 METODO DE LA CORTEZA CILÍNDRICA Sea y = f(x) una función continua en [a, b], donde a
0, f(x) 0. x [a, b] y sea R la
región limitada por la curva y = f(x), el eje X y las rectas verticales x = a, x = b.
El volumen del sólido de revolución S engendrado al hacer girar alrededor del eje Y, la región R esta dado por la fórmula:
b
V 2 xf ( x)dx OBSERVACIONES: 1)
a
El volumen del sólido de revolución generado al hacer rotar alrededor del eje Y, la
región R acotada por las curvas y = f(x), y = g(x) tal que g(x)
f(x), x [a, b], a 0 es
dado por la fórmula:
b
V=
2 x[ g ( x) f ( x)]dx a
5
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2)
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El volumen del sólido de revolución generado al hacer rotar alrededor de la recta x = c, la región R acotada por las curvas y = f(x), y = g(x) donde g(x) rectas verticales x = a, x = b , donde a
f(x), x [a, b], y las
c es expresado por la fórmula:
b
V 2 ( x c)[ g ( x) f ( x)]dx a
3)
Cuando la región R está a la izquierda del eje de revolución, el volumen del sólido generado esta dado por la fórmula.
b
V 2 (c x)( g ( x) f ( x))dx a
3.4 Problemas Resueltos
1.
Hallar el volumen del sólido formado al girar la región limitada por la gráfica de f(x) =
senx y el eje
x (0 x ) alrededor del eje x.
Solución: Se observa que el radio de este sólido viene dado por: R(x) = f(x) = senx Y se sigue que su volumen es:
V= =
b
a
0
( senx ) 2 dx
=
[R(x)]2 dx
0
senx dx 6
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= - cos x
2.
0
= (1+1) =2
Hallar el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje
, la región
y x , y 0, x 1, x 4 .
limitada por la gráfica de Solución :
4
V x dx 1
3.
15 3 u 2
Hallar el volumen del sólido generado cuando la región limitada por las gráficas de
y 2 x, x 0, y 0 gira alrededor del eje . Solución: La representación gráfica del sólido de revolución es la siguiente:
Luego, si f(x) = 2 – x , entonces el volumen del sólido está dado por: 2
2
V f ( x) dx 2 x dx 2
0
2
0
8 3 u 3
7
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4.
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Hallar el volumen engendrado cuando la superficie limitada por la curva rectas con ecuaciones
y senx , y las
y 0, x 0, x , gira en torno al eje .
Solución: La representación gráfica es la siguiente:
Si
f ( x) senx entonces:
1. El volumen del sólido está dado por:
1 cos 2 x 2 2 dx u 2 2 0
2 senx dx 0
5.
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje comprendida entre las parábolas con ecuaciones
, la superficie
y x2 , y x .
Solución La representación gráfica de la región y del i-ésimo rectángulo es la siguiente:
El volumen del i- ésimo anillo circular es:
La suma de aproximación del volumen es:
8
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Luego, el volumen del sólido de revolución está dado por: 1
2 3 V x ( x 2 ) 2 dx u 3 10 0
6.
Determinar el volumen del sólido de revolución obtenido por la rotación de la región limitada 2
por y = x , el eje x y la recta x = 2, alrededor de: (a) eje x, (b ) eje y . Solución: ( a ) Alrededor del eje x: 2
Identificando y = x , se tiene que es una parábola con vértice (0; 0) y se abre hacia arriba.
1
1
V y dx ( x 2 ) 2 dx u 3 5 0 0 2
( b ) alrededor del eje y Para x = c = 1, y = 1 d
V (c 2 x 2 )dy, y [c, d ] c
1
1
V (1 x 2 )dy (1 y )dy 0
7.
0
2
u3
Encontrar el volumen cuando el área plana encerrada por 2
y = -x –3x + 6, y, x + y –3 = 0 gira alrededor de y = 0. Solución: 2
y = -x –3x + 6
y
33 3 ( x ) 2 parábola 4 2
Hallar los límites de integración, resolviendo el sistema:
y x 2 3x 6 x 2 3x 6 3 x y 3 x 2
x +2x –3 = 0
(x +3)(x –1) = 0 x = 1, x = -3
9
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1
V [( x 2 3x 6) 2 (3 x 2 )]dx 3 1
V ( x 4 6 x 3 4 x 2 30x 27)dx 3
8.
1729 3 u 15
Calcular el volumen del sólido generado al girar la región limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas alrededor de los ejes indicados. 1) R :
y x 2 Eje: y = 6 y 4 x x 2
2) R = { xy = 6, y = 2, y = 6 , x = 6 } Eje: X = 6 Solución: a)
graficar la región.
b) Hallar los limites de integración resolviendo el sistema 2
4x – x = x
2
y x 2 y 4 x x 2
2x2 – 4x = 0 2x (x – 2) = 0 x = 0 x = 2
c) Fórmula: 2
V ( x 2 6) 2 (4 x x 2 6) 2 dx 0
2
V 8 x 3 40x 2 48x dx 0
64 3
2) a) Graficar R.
b)
Hallar los limites de integración: Y=2 y=6
c)
Fórmula:
10
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6 6 V ( 6) 2 (6 6) 2 dy y 2
6 36 72 V 2 36dy [156 72Ln3]u 3 y 2y
9.
Determinar el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar alrededor del eje X, la 2
región limitada por el eje X y la curva Y = - x + 2x + 3. Solución: 2
Y = - x + 2x + 3, completando cuadrados. 2
Y – 4 = -(x – 1) es una parábola de vértice V(1; 4).
x2 – 2x + 3 = 0
Para y = 0
(x – 3)( x + 1) = 0 x = -1, x = 3 3
3
V y dx ( x 2 2 x 3)dx 2
1
1
3
V ( x 4 4 x 3 2 x 2 12x 4)dx 1
V
512 3 u 15
5. La región encerrada por la curva:
( y 4)2 4 4x ; y 2x 2 gira alrededor de la recta y = -1. Hallar su volumen
Solución: Sean: x1 = 1 -
( y 4) 2 .... parábola 4
x2 = 1 – y / 2
...... recta.
Intersecciones: ( 0, 2 ), ( -3, 8 ) METODO: Corteza cilíndrica
V = 2 YXdy
11
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8
V 2 ( y 1)( x1 x2 )dy 2
y ( y 4) 2 2 ( y 1)( )dy 108u 3 2 4 2 8
6. Encuentre el volumen del sólido de revolución que se forma al rotar alrededor de la recta x = 4, la región acotada por:
y x3 6 x 2 8 x
y x 4 x , donde en ambos casos x [ 0, 4]. 2
Solución:
y1 x 3 6 x 2 8 x
y2 x 4 x 2
intersecciones: ( 0, 0), ( 3, -3), (4, 0 ) METODO: Corteza Cilíndrica. 3
V1 2 (4 x)( y1 y2 ) dx 60.3 0
4
V2 2 (4 x)( y1 y2 ) dx 3
4
2 (4 x)( y1 y2 )dx 0.56 3
Por lo tanto:
V = 60.86 u . 3
7. Encuentre el volumen del sólido de revolución que se forma al rotar alrededor de la recta y = 4, la región acotada por:
y x3 6 x 2 8 x
y x 4x 2
en ambos casos
x [ 0, 4]. Solución:
y1 x 3 6 x 2 8 x
y2 x 4 x 2
intersecciones: ( 0, 0), ( 3, -3), (4, 0 ) METODO DEL ANILLO: b
V (4 y1 ) 2 (4 y2 ) 2 dx a
del gráfico: V = V1 + V2 ,
.... ( 1 ) 12
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3
V1 ((4 x 3 6 x 2 8 x) 2 (4 x 2 4 x) 2 )dx 0
Efectuando operaciones: V1 = 106.97 u
3
4
V2 ((4 x 3 6 x 2 8 x) 2 (4 x 2 4 x) 2 )dx 3
efectuando operaciones: V2= 7 u
3
8 . Hallar el volumen generado por la rotación de la región limitada por las curvas:
y x3 2, 2 y 3x2 2x 1 alrededor de la recta x = 4. Solución:
y1 x 3 2 Haciendo:
y2
3 2 1 x x 2 2
Intersecciones: ( -1, 1), ( 1, 3 ), ( 3/2, 43/8)
METODO: Corteza Cilíndrica V = 2
b
XYdx a
Del gráfico: V = V1+ V2 1
V1 2 (4 x)( y1 y2 )dx 1
1
2 (4 x)( x3 1
3 2 3 x x )dx 2 2
Efectuando operaciones: V1=
248 3 u 15
3/ 2
V2=
2 (4 x)( y1 y2 )dx ; 1
reemplazando y efectuando: 13
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V2=
4
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V
u3
1007 3 u 60 2 2
9. La región limitada por las curvas: x y = 1;
2
y(x +3) = 4 gira alrededor de la recta y = -1. Hallar
el volumen del sólido que se genera. Solución:
x2y2=1 xy = 1 ( hipérbolas)
4 1 , y2 x 3 x
haciendo: y1=
2
puntos de intersección: (1, 1), ( 3, 1/3) por simetría: V = 2V1
METODO DEL ANILLO: 3
V=
2 (( y1 1) 2 ( y2 1) 2 )dx 1
Reemplazando y efectuando: 3
V 2 ( 1
16 8 1 2 2 2 )dx 2 ( x 3) x 3 x x 2
En las dos primeras integrales hacemos:
x 3 tg t , dx 3 sec2 tdt . Reemplazando y efectuando: 3
16 3 1 1 x 1 x 8 1 x 1 V = 2 tg ( ) sen 2 tg 1 ( ) tg 2 ln x 3 4 3 3 3 x 9 2 1 Sabiendo que:
tg 1 (
3 ) , 3 3
tg 1 (
1 ) 6 3
Al reemplazar en V y efectuar operaciones, tendremos:
16 3 2 V ( ln 9)u 3 2 3 2
2
10. Sea R la región limitada por: x = 6 – 2y , x = 4y . Hallar el volumen del sólido que se obtiene de rotar la región R alrededor de la recta y = -2. Solución: Graficando las parábolas, tendremos:
14
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Aplicando el método de las cortezas cilíndricas, de la figura tendremos: 4
6
0
4
V ((2 y ) 2 (2 y ) 2 )dx ((2 y1 ) 2 (2 y1 ) 2 )dx Reduciendo se logra: 4
6
4
0
4
0
V 8 ydx 8 y1dx 8
x 6 x dx 8 dx 2 2 4 6
Efectuando operaciones tendremos finalmente:
V
64 32 32u 3 . 3 3
11. Hallar el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje y, la región encerrada por las curvas: 2
3
x -2y = 0 e y =x – 3x + 4 y las rectas x = 2 , x = 0.
Solución: 2
a) x – 2y = 0 .... parábola con vértice en el punto ( 0, 0). 3
b) y = x –3x + 4
y = 3x2 – 3 y =6x
haciendo:
y = 0 x = 1 o x = -1
en x = 1,
y > 0 existe min. Cóncava hacia arriba.
En x = -1 ,
y < 0 existe un máx. Cóncava hacia
abajo.
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METODO DEL ANILLO:
2
V = 2 xf ( x)dx donde: 0
f(x) = ((x3-3x+4) – (1/2 x2)) Reemplazando y efectuando: 2
x3 V 2 ( x 3x 2 4 x)dx 2 0 4
Efectuando operaciones: V=
44 3 u . 5
12. Hallar el volumen del cono elíptico recto cuya base es una elipse con semiejes a y b, y cuya altura es igual a h. Solución:
Área de la elipse de semiejes a y b:
A = a. b.
Área de la elipse interior: Por lo tanto: V =
De la figura:
Del triángulo:
( 2 ) en ( 1 ):
A(x) = y z
h
h
0
0
A( x)dx yzdx
b a a yz y 2 y z b
...... ( 1 )
y hx b 2 ( h x) 2 2 y b h h2 yz
ab2 (h x) 2 bh2
... ( 2 )
reemplazando en la integral:
h
ab abh 3 (h x) 2 dx u 2 3 0 h
V
16
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13. Una comunidad agrícola ha tenido una sobre producción de papas que desean almacenar en un silo, le encargan el proyecto a un ingeniero civil; el se da cuenta de lo que desean para el silo es que las paredes laterales estén limitadas por un cono que se obtiene al girar la recta y = x alrededor del eje Y, y el techo de silo por una semiesfera de radio 6, que se obtiene al girar el arco de circunferencia de radio 6 y centro en (0; 6) alrededor del eje Y. Hallar el volumen que puede que puede almacenar el silo. Solución: El problema se resuelve hallando El volumen V = V1 + V2 , donde: 12
V1 =
(36 ( y 6) 2 ) dy 6
12
V1 =
(12 y y 2 )dy 6
12
y3 432 3 ) m V1 = (6 y 3 6 3 2
6
V2 =
y dy 2
0
V=
y 3 3
6
0
216 3 m 3
432 3 216 3 m + m 216m 3 3 3
1. L a compañía Móvil desea hacer la cisterna de un camión para transportar gasolina de alto octanaje; para lo cual un ingeniero civil toma el reto de resolverles el problema; el ingeniero observa que las paredes de la cisterna están generadas por un sólido de revolución obtenido al girar un arco de y = senx alrededor del eje X. Calcular el volumen de gasolina que puede transportar el camión. Solución:
V=
0
V=
1 cos 2 x dx 2 0
sen xdx 2
2 2
u3
15. Sean S1 una esfera de radio 5cm; S2 un cono circular recto de altura 8 cm. Y radio de la base 6cm. Si el vértice del cono coincide con el centro de la esfera. Encontrar el volumen común a S1 y S2> Solución: Proyectando el sólido en el plano obtenemos: 17
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Sea: R = R1 U R2 la región limitada por la recta L, la circunferencia C y el eje Y; donde
L: y
4 x 3
C : x2 y 2 25 y además: L C {(3,4)}
y
Si a la región R la hacemos girar alrededor del eje Y obtenemos el volumen pedido entonces V( R) = V( R1) + V( R2 ) Calculemos V( R1 ) : Utilizando el método del anillo. 2
1,024 3 4 u V( R1) = y dy 3 27 0 4
Calculemos V(R2): utilizando el método del anillo 5
5
V ( R2 ) x dy (25 y 2 )dy 2
4
4
por lo tanto: V( R) = V( R1) + V( R2 ) =
V ( R)
14 3 u 3
1,024 14 27 3
1,150 3 u 27
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EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Hallar el volumen de tronco del cono generado al girar el área limitada por 2y = 6 – x, y =0, x = 0, x = 4 alrededor del eje x. 2. Halla el volumen que genera la superficie limitada por las curvas , y = x+3 a) girar alrededor del eje X. b) a) girar alrededor del eje y 3. Halla el volumen del solido generado por la rotación de la región plana definida por , alrededor del eje X. 4. Hallar el volumen del solido de revolución obtenido al rotar alrededor de la recta y = -1 la región comprendida entre las curvas . 5. Halla el volumen que genera la superficie limitada por la curva
, y = 0, al
girar alrededor del eje X. 6. Halla el volumen del solido generado al girar sobre el eje X, la región limitada por las curvas , . 7. Hallar el volumen que genera la superficie limitada por
al
girar alrededor del eje X. 8. Dada la región plana R en el primer cuadrante limitada por . Hallar el volumen generado, si rota R alrededor del eje X 9. Calcular el volumen del solido generado por la rotación de la región limitada por las curvas alrededor de la recta y = -1 10. Calcular el volumen del solido generado por la rotación de la región limitada por , x = 0 alrededor de la recta y = 4. 11. Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por
,
alrededor de la recta x = 4. 12. Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por alrededor de la recta x = 1 Calcule el volumen del solido generado al hacer girar la región limitada por las gráficas de las ecuaciones sobre las líneas indicadas. 13. a) El eje X
b) el eje y
c) la recta x = 4
d) la recta x = 6
14. a) El eje X 15.
b) la recta y = 6
b) El eje X
b) la recta y = 3
19