Gestión de Investigación de Operaciones
FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIÓN Y NEGOCIOS INTERNACIONALES
Mg. ALBITRES INFANTES, Jhonny
OPTIMIZACION LINEAL Óptimo Es una noción estrictamente matemática, en oposición al mundo real Decisión óptima Es la que ofrece la mejor respuesta para el problema teórico propuesto por el modelo de optimización
PROGRAMACION LINEAL Definición: La programación lineal es un conjunto de técnicas racionales, de análisis y de resolución de problemas; que tiene por objeto ayudar a los responsables en las decisiones sobre asuntos en los que interviene un gran número de variables. Es un método determinístico de análisis, que nos determina la mejor manera de distribuir una cantidad de recursos en pos de un objetivo. La palabra “programación” proviene de la terminología militar de la época de la Segunda Guerra mundial, durante la cual el entrenamiento, el abastecimiento y los planes de despliegue de unidades; eran llamados “programas”. Cada programa era una solución a un problema de asignación de recursos
Modelo de Programación Lineal Es un tipo especial de modelo de optimización en el cual las relaciones entre variables son lineales y donde hay un solo objetivo. Una ventaja de este tipo de modelo es que existe una técnica matemática llamada programación lineal, que puede determinar la decisión óptima de utilizar los recursos disponibles para conseguir un determinado objetivo. Debido a que un modelo de Programación Lineal considera que las variables de decisión tienen un comportamiento lineal, tanto en la función objetivo como restricciones del problema. En este sentido, la Programación Lineal es una de las herramientas más utilizadas en la Investigación Operativa debido a que por su naturaleza se facilitan los cálculos y en general permite una buena aproximación de la realidad
Formulación de Modelos de Programación Lineal Variables de decisión Son las cantidades desconocidas que deben determinarse en la solución del modelo. El valor numérico de estas variables implica la selección de una decisión. Generalmente, las variables de decisión se representan por: X1, X2, X3,…, Xn; donde cada subíndice denota una variable de decisión particular
Función Objetivo Es la representación matemática expresada como una función lineal de las variables de decisión, y cuyo valor se desea maximizar (beneficios, rendimientos, etc.) o minimizar (costo, tiempo, etc.) Procedimiento: •Identificar y definir las variables de decisión asociadas al problema. •Plantear la función objetivo (Maximizar o Minimizar). •Formular las restricciones: Determinar los requerimientos y disponibilidad del recurso. Determinar la tecnología del procedimiento •Definir las condiciones de no negatividad de las variables de decisión
Nota: Para seleccionar que función objetivo se toma en cuenta lo siguiente: a) Si vamos a encontrar situaciones en las cuales tendremos solo costos ya sea de materia prima, costo de mano de obra, costo de uso de máquina, costos de transporte, costos de depreciación ,etc. esto indica que indudablemente la F.O. será de MINIMIZACION. b) Si el enunciado solo da datos económicos de ganancia, precio de venta o dinero a recibir por unidad producida la F.O. será de MAXIMIZACION. c) Si el enunciado nos da al mismo tiempo costos y ganancias restaremos de la siguiente manera: GANANCIAS – COSTOS = UTILIDAD, la que tendrá como F.O. MAXIMIZACION
d) Si no nos dan ningún datos económico y solo se da tiempos, el tiempo se minimiza, si nos da solo producción, la producción se ha de maximizar, si el modelo corresponde a contratar al personal, la función objetivo se minimiza.
Estructura básica de un problema de Programación Lineal Ejemplo Maximizar
z = 4x + 7y
Sujeto a
2x + y 180
Función Objetivo Restricciones Estructurales
x + 3y 300 x 0 y 0
Restricciones de no negatividad
Solución Gráfica de Problemas de Programación Lineal Cuando un modelo de programación lineal se expresa en términos de dos variables puede resolverse mediante procedimientos gráficos.
Conceptos Claves: Conjunto Factible: Es el conjunto de puntos que integran la región de resolución. Solución Factible: Es cada punto que integra la región de resolución (satisfacen las restricciones del modelo). Solución óptima: programación lineal.
Es
la
solución
al
modelo
de
Objetivo: Encontrar, entre todas las soluciones factibles, el punto o los puntos que optimicen la función objetivo
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EJERCICIOS • PROBLEMA 01: la empresa Whitt Windows tiene solo tres empleados
•
que hacen dos tipos de ventanas: con marco de madera y con marco de aluminio, la ganancia es de $60 por cada ventana con marco de madera y de $30 por cada una con marco de aluminio. Doug hace marcos de madera, y puede terminar 6 al día, Linda hace 4 marcos de aluminio al día, Bob forma y corta el vidrio y puede hacer 48 pies cuadrados de vidrio por día, cada ventana con marco de madera usa 6 pies cuadrados de vidrio y cada de aluminio usa 8 pies cuadrados de vidrio. La compañía desea determinar cuántas ventanas de cada tipo producir al día para maximizar la ganancia total.
a) Formule el modelo de programación lineal. b) Use el método grafico para resolver el modelo. c) Un nuevo competidor en la ciudad también produce ventanas de madera, esto puede forzar a la compañía a bajar sus precios y por ende la ganancia debida a este tipo de ventanas. ¿Cómo cambiara la solución optima (si cambia) si la ganancia por ventana de madera disminuye de $ 60 a $ 40 y de $ 60 a $ 20?. d) Doug piensa reducir sus horas de trabajo, lo cual reducirá el número de ventanas de madera por día. ¿Cómo cambiara la solución optima si hace solo 5 marcos diarios?
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SOLUCION:
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SOLUCIO b)
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PROBLEMA 02: la Ápex Televisión debe decidir el numero de televisores de 27” y 20”, producidos en una de sus fabricas, la investigación de mercado indica ventas a lo más 40 televisores de 27” y 10 de 20” cada mes. El número máximo de horas-hombre disponible es de 500 por mes, un televisor de 27” requiere 20 horas-hombre y uno 20” requiere 10 horas-hombre, cada televisor de 27” produce una ganancia de $ 120 y cada uno de 20” da una ganancia de $ 80. Un distribuidor está de acuerdo comprar todos los televisores producidos siempre en cuando no exceda el máximo indicado por el estudio de mercado. a) formule el modelo de programación lineal. b) Use el método grafico para resolver el modelo.
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PROBLEMA 03:la compañía Word Light produce dos dispositivos para las lámparas (productos 1 y 2) que requieren partes de metal y componentes eléctricas. La administración desea determinar cuántas unidades de cada producto fabricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del producto 1 se requieren 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricas, por cada unidad del producto 2 se requieren 3 unidades de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricas, la compañía tiene 200 unidades de partes de metal y 300 de componentes eléctricas, cada unidad del producto 1 da una ganancia de $ 1 y cada unidad de producto 2, hasta 60 unidades da una ganancia de $ 2, cualquier exceso de 60 unidades no tiene ganancia por lo que fabricar más de 60 está fuera de consideración. a) Formule el modelo de programación lineal. b) Utilice el método grafico para resolver este modelo, y cuál es la ganancia total que resulta.
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PROBLEMA 04:la compañía de seguros primo está en proceso de introducir dos nuevas líneas de productos: seguro de riesgo especial e hipotecas, la ganancia esperada es de $ 5 por el seguro de riesgo especial y $ 2 por unidad de hipoteca. La administración desea establecer las cuotas de venta de las nuevas líneas para maximizar la ganancia total. Los requerimientos de trabajo son los siguientes.
a) Formule el modelo de programación lineal. b) Use el método grafico para resolver el modelo. c) Verifique el resultado de la solución óptima en el inciso b con la solución algebraica de las dos ecuaciones simultáneas relevantes.
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PROBLEMA 05: Weenis and Buns es una planta procesadora de alimentos que fabrica hotdogs, muelen su propia harina para el pan a una tasa máxima de 200 libras por semana. Cada pan requiere 0.1 libras. Tienen un contrato con Pigland, Inc., que especifica la entrega de 800 libras de productos de puerco cada lunes. Cada hotdog requiere ¼ de libra de producto de puerco, se cuenta con suficiente cantidad del resto de los ingredientes de ambos productos, por último la mano de obra consiste en 5 empleados de tiempo completo(40horas por semana), a cada hotdog requiere 3 minutos de mano de obra y cada pan 2 minutos de mano de obra cada hotdog proporciona una ganancia de $ 0,20 y cada pan $ 0.10, Weenis and Buns desea saber cuentos hotdog y cuantos panes debe producir cada semana para logara la ganancia más alta posible. a) Formule u modelo e programación lineal. b) Use el método grafico para resolver el modelo.
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PROBLEMA 06: Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las del tipo A precisan 1 g de oro y 1,5 g de plata, vendiéndolas a 40 euros cada una. Para la fabricación de las de tipo B emplea 1,5 g de oro y 1 g de plata, y las vende a 50 euros. El orfebre tiene solo en el taller 750 g de cada uno de los metales. Calcula cuántas joyas ha de fabricar de cada clase para obtener un beneficio máximo. SOLUCION: x: Número de joyas del tipo A y: Número de joyas del tipo B
TIPO A TIPO B TOTAL
ORO 1 1,5 750
FUNCION OBJETIVO: Max (Z) = 40x + 50y RESTRICCIONES:
PLATA 1,5 1 750
INGRESOS 40 50 40X+50Y
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PROBLEMA 07: Con el comienzo del curso se van a lanzar una ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas: en el primer bloque pondrán 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán de 6,5 euros y 7 euros, respectivamente. ¿Cuántos paquetes les conviene hacer de cada tipo para obtener los máximos beneficios? SOLUCION: x: Número de paquetes del primer1er tipoTIPO y: Número de paquetes del segundo tipo 2doTIPO TOTAL
CUADERNOS
CARPETA S
BOLIGRAFOS
PRECIO
2 3 600
1 1 500
2 1 400
6,5 7 6,5X+7Y
FUNCION OBJETIVO: Max (Z) = 6,5x + 7y RESTRICCIONES:
Modulo: Programaci贸n lineal y entera
Presentaci贸n del Problema en hoja de c谩lculo
RESOLVER EL PROBLEMA
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EJERCICIOS PROBLEMA 08: En una urbanización se van a construir casas de dos tipos; A y B. La empresa constructora dispone para ello de un máximo de 18 millones de euros, siendo el coste de cada tipo de casa de 300 000 euros y 200 000 euros, respectivamente. El Ayuntamiento exige que el número total de casas no sea superior a 80. Sabiendo que el beneficio obtenido por la venta de una casa de tipo A es de 40 000 euros y de 30 000 euros por una del tipo B, ¿cuántas casas deben construirse de cada tipo para obtener el máximo beneficio? SOLUCION: x: Número de casas de tipo A y: Número de casas de tipo B
CANTIDAD TIPO A TIPO B TOTAL
FUNCION OBJETIVO: 000y
Max
X Y X+Y
BOLIGRA BENEFICIO FOS 300 000 40 000 200 000 30 000 18 000 000 40 000X+30 000Y
(Z) = 40 000x + 30
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PROBLEMA 09: Un camión de transporte tiene capacidad de transportar como máximo 9 toneladas y por viaje. En un viaje desea transportar al menos 4 toneladas de la mercancía A y un peso de la mercancía B que no sea inferior a la mitad del peso que transporta A. Sabiendo que cobra $800.000 por toneladas transportadas de mercancía A ya que ocupa un volumen por tonelada y $600.000 por tonelada transportada de mercancía B ya que ocupa un volumen 1.5 por tonelada ¿Cómo se debe cargar el camión para obtener la ganancia máxima si para cada tonelada cargada gasta en promedio $200.000 de gasolina? SOLUCION:
RESTRICCIONES
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PROBLEMA 10: una fábrica produce dos modelos A y B de un producto. El beneficio que arroja el modelo A es de $40.000/unidad y el de B $60.000/unidad. La producción diaria no puede superar 4000 unidades del modelo A ni 3000 del B debido a las condiciones producción de la planta. El departamento de mercadeo informa que la demanda de acuerdo a los pedidos recibidos es de 600 unidades ¿Cuántas unidades de cada modelo debe producir la fábrica para obtener el máximo beneficio?
PROBLEMA 11: Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima? PROBLEMA 12: Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.