Matrices y Determinantes
CAPITULO I
1. MATRICES 1.1. INTRODUCCIÓN Las matrices aparecen como un método (una alternativa) para resolver problemas de sistemas de ecuaciones; las cuales se vuelven más complicadas a medida que aumentan sus variables; sin mencionar además los inconvenientes que surgen cuando alguna(s) de éstas faltan en los sistemas en cuestión. El estudio de la teoría de matrices, desarrollado en éste modesto trabajo, se hace indispensable en las carreras profesionales de Ingeniería, Ciencias ( Matemáticas, Estadística, Economía, Química) y Administración, principalmente; debido a sus numerosas
aplicaciones
en aquellas,
donde se
reducen
significativamente los cálculos que sin las matrices serian muy tediosas. 1.2. DEFINICIÓN.Una matriz es un arreglo rectangular de elementos aij los cuales son dispuestos en m filas y n columnas. a11 a12 a 21 a22 a31 a32 am1 am 2
a13 a1n a23 a2 n a33 a3n am3 amn
Se observa que hay “m” filas y “n” columnas. Entonces se tendrá que A es una matriz de mxn.
1
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Nota: Los elementos aij pueden ser números reales, números complejos o cualquier objeto no numérico, como por ejemplo la posición de las fichas en el tablero de ajedrez o los apellidos de personas cuando son codificados en orden alfabético.
Ejemplo: En la matriz siguiente: 1 3 5 7 sus elementos son: 1, 3, 5, 7.
1.3. DEFINICIÓN.Si aij K (K=R ó K=C) entonces definimos una matriz Amxn como una aplicación de I x J en K. IxJ
K
(i , j)
aij
1 j n, 1 i m
“a cada pareja (i, j) le corresponde un solo elemento aij K” 1.4. ORDEN DE UNA MATRIZ El orden de una matriz está dado por el producto mxn, donde m indica el número de filas y n el número de columnas, m y n son números naturales. Ejemplo: En la matriz dada: 10 2 4 5 6 1 8 9 2
Filas
Columnas
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Matrices y Determinantes
La matriz tiene 3 filas y 3 columnas, por lo tanto la matriz es de orden 3x3 Ejemplo: Dada la matriz: 2 3 5 6 7 12 34 65 6 8 44 5 6 7 9
3 Filas
5 Columnas La matriz tiene 3 filas y 5 columnas, por lo tanto la matriz es de orden 3x5. 1.5. NOTACIÓN.- A las matrices usualmente se denota por las letras mayúsculas A, B, C, D, etc. a sus elementos con letras minúsculas aij, bij, cij, etc. Ejemplo: Las siguientes matrices se escriben así. a11 A a 21 a31
a12 a 22 a32
a13 a 23 ; a33
b b B 11 12 b21 b22
c11 b13 ; C c21 b23 c31
c12 c22 c32
1.6. NOTACION.- Se denotan las matrices por Amxn= [aij] ó ( aij ) , i =1,2,.....m ;
j = 1,2,.....n., donde aij (elementos) es la i-j ésima
entrada. i = fila , j = columna.
Ejemplo: Escribir la matriz A = [ aij ]2x3. a
a
a
En efecto: A 11 12 13 , entonces la matriz A tiene 2 filas y 3 a 21 a 22 a 23 columnas. El elemento a23 corresponde a la segunda fila y tercera columna.
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Ejemplo: si 1 5 6 A 2 7 9 , es una matriz de 3x3. 3 0 2
El elemento a23 es 9 a31 es 3 a32 es 0 y así sucesivamente.
Observación.- Una matriz no tiene valor numérico, es simplemente una manera conveniente de representar arreglos de números.
Ejemplo: Escribir explícitamente la matriz
2 x3 ,
donde aij = 2i –j
3x 3 ,
donde bij = min( i, j)
a) A aij
b) B bij
Solución: Escribiremos las componentes de cada matriz según el orden que tienen y su correspondiente definición dada. a) a11 = 2(1) –1 = 1, a12 = 2(1) – 2= 0 , a13 = 2(1) – 3 = -1 a21 = 2(2) –1 = 3 , a22 = 2(2) –2 = 2 ,
a23 = 2(2) –3 = 1
1 0 1 A 3 2 1
b) b11 = min(1,1) = 1,
b12= min(1,2) = 1 ,
b13 = min(1,3) = 1
b21 = min(2,1) = 1, b22 = min(2,2) = 2 ,
b23 = min(2,3) = 2
b31 = min(3,1) = 1, b32 = min(3,2) = 2 ,
b33 = min(3,3) = 3
1 1 1 B 1 2 2 1 2 3
4
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1.7. MATRIZ FILA Se les denomina matriz fila, a las matrices de orden 1xn es decir en la forma siguiente: A = [ a11 a12 ... a1n], también se les conoce con el nombre de vector fila. Ejemplo: A = [ 1 –2 3 5 ] es una matriz o vector fila de orden 1x 4.
1.8. MATRIZ COLUMNA A las matrices de orden mx1 se les denomina matriz columna; es decir de la forma: a 11 a 21 a A 31 , también se les conoce como matriz columna. a m1
Ejemplo: 1 A = 2 es una matriz columna de orden 3 x1. 4
1.9. IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices A y B son iguales si se verifica simultáneamente que: a) Tienen igual orden b) Sus elementos correspondientes son iguales. Formalmente:
A B aij bij , i, j
5
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Ejemplo: Calcular m, x, y , z de modo que las matrices x 1 11 P 14 z y y 8 19
x5 5 Q m 2 16 z ; sean idénticas. 15 x 13
Solución: ( 1°) Por definición de igualdad de matrices, se cumple que son del mismo orden 3x2. ( 2° ) También deberá cumplirse que: los elementos correspondientes deberán ser iguales. x5 x 1 11 5 14 z = m 2 16 z y 8 19 15 x 13
[ x -1 = 5 11 = x + 5 14 = m –2 z = 16 – z y –8 = 15 19 = x +13 ] Resolviendo: x = 6, y = 23, m = 16, z = 8 1.10. MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ La aplicación producto es : “El producto de un escalar por una matriz de orden mxn es otra matriz de orden m x n”. Dados una matriz A y un número k K, el producto de k por A se define por : IK x IKm x n (k , [a i j] )
IKm x n k [a i j] = [k a i j]
1i m 1j n
Cada componente de A se multiplica por el escalar k. Nota: Kmxn = { A /A = [aij]mxn } ( Matrices de orden mxn)
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3 3 , entonces 5
Por ejemplo, si k = -3 y A 1
3(3) 3(3) 9 9 kA 3 15 3 ( 1 ) 3 ( 5 )
Propiedades del producto de un escalar por una Matriz. Sean r y k K y A y B dos matrices del mismo orden, entonces: 1) (rk)A = r(kA)
2) r.(A + B) = rA + rB
3) ( r + k )A = rA + kA
4) 1.A = A
5) 0.A = 0
1.11. SUMA DE MATRICES Dadas dos matrices A = [a i j]mxn y B = [b i j]mxn, se llama suma de A y B a otra matriz C = [c i j ]mxn; es decir [a i j] + [b i j] = [c i j ] tal que ci
j
= ai
j
+ b ij
1 i m,
1j n
Ejemplo: Calcular A + B si: 1 2 3 A 5 1 0 , 3 1 2
8 6 3 B 4 1 0 3 8 2
Solución: A B
1 2 3 8 6 3 1 8 2 6 3 3 9 8 6 5 1 0 + 4 1 0 = 5 4 1 1 0 0 9 2 0 3 1 2 3 8 2 3 3 1 8 2 2 6 9 4
Ejemplo: Sean las matrices: 2 x 1 y 5 y 2 x 2 5 ,B= yC= 2 2 x 1 4 1
A= 3 y
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Hallar A +C, sabiendo que A = B Solución: 2 x 1 5 y 2 x y 6 3 y x 1 x y 2
Si A = B
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos: x = 4, y = -2 7
A+C= 1
2 2 5 7 (2) 2 5 5 3 + = 2 1 4 2 (1) 3 1 4 1
Nota: La adición de matrices es la ley de composición interna que hace corresponder a dos matrices, del mismo orden, su suma. Se denota ( A, B) A + B Observación: La suma de matrices se define solamente cuando las matrices tienen el mismo número de filas y columnas. Si dos matrices se pueden sumar se llaman conformables respecto a dicha operación. Propiedades de la Suma de Matrices Si A, B, C y son matrices del mismo orden (elementos de IKm x n) entonces, se cumplen las siguientes propiedades : A1 ) A, B IKm x n, ( A + B ) IKm x n
Clausura
A2 ) A + B = B + A
conmutativa
A3 ) (A + B) + C = A + (B + C)
asociativa
A4 ) / A + = + A = A , A
Elemento neutro aditivo
A5 ) A , (-A) IKm x n / A + (-A) = (-A) + A = Elemento inverso aditivo. 1.12. DIFERENCIA DE MATRICES Dadas las matrices A y B del mismo orden mxn, la diferencia entre A y B es otra matriz C, del mismo orden, tal que C = [ aij ]mxn – [ bij ]mxn = [ aij – bij ]mxn
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Matrices y Determinantes
Ejemplo: Calcular A – B si: 7
A= 1
2 2 5 ,B= 2 4 1
Solución: 7
A–B= 1
2 2 5 7 (2) 2 5 9 7 - = 2 1 3 1 2 4 1 1 4
1.13. PRODUCTO DE MATRICES Sean las matrices: A = [aij]mxp y B = [bij]pxn , entonces A x B = [aij]mxp. [bij]pxn = [ cij]mxn Tal que: Cij = ai1b1j +a12b2j+ ... +aipbpj Cij = Es el producto de la “ i ésima” fila de la matriz A por la j ésima columna de B. Comentarios a la definición de Matrices. ( 1° ) La multiplicación de dos matrices está definido solo entre aquellos que tienen multiplicando de orden “mxp” y multiplicador de orden ”pxn”. Esquemáticamente: Amxpx Bpxn = Cmxn ( 2° ) Redundando: el producto de matrices sólo será posible cuando el número de columnas de A sea igual que el número de filas de B. ( 3° ) Los elementos de cij de la matriz producto se logran mediante el algoritmo: cij = (fila i de A por columna j de B)
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También:
j-ésima columna de B b1 j b 2j ai1 ai 2 aip bpj
i-ésima fila de A
o bien n
cij aipbpj , i 1,2,3,m;
j 1,2,3,, n
p 1
Ejemplo: Calcular AB si: 2 3
1 2 3 1 2
A= y B = 4 1 2 Solución:
1 2 3 2 3 1 2 3 4 AB = = 1 2 4 1 2 1 21 4
2 1 2 1 2 1
2 3
2(1) 3(4) 2(2) 3(1) 2(3) 3(2)
3 2 3 1 2 2
2 3
14 1 12 0 7
= 1(1) 2(4) 1(2) 2(1) 1(3) 2(2) 9
Nota: Observamos que BA no esta definido.
Propiedades del Producto de Matrices Si A, B y C son matrices de dimensiones conformables respecto de la suma y producto, entonces se tiene:
M1 ) Am x n (Bn x p Cp x q) = (Am x n Bn x p) Cp x q Asociatividad M2 ) A (B + C) = AB + AC
Distributividad
M,2 ) (B + C) A = BA + CA
Distributividad
M3 ) AB BA
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M4 ) In An x m = An x m o An x m Im = An x m M5 ) p x m Am x n = p x n M6 ) (AB) = (A) B = A (B) , K 1.14. MATRICES ESPECIALES Las matrices especiales son:
1) Matriz cuadrada.- Es aquella matriz cuyo número de filas es igual al número de columnas. Es decir, Amxn es cuadrada m = n
En este caso se dice que A es una matriz de orden nxn y se le representa por An , y al conjunto de matrices cuadradas se le denota por Kn. Ejemplo: a11 a12 A = a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
D.P
Observación 1: D.P: Diagonal Principal Formada por los elementos a11 a22 a33 En general en una matriz cuadrada de orden n, la Diagonal Principal es una línea formada por los elementos a11,a22 ,a33 , ........., ann Observación 2: Traza de una Matriz.
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Traza de An: Suma de todos los elementos de la diagonal principal . Notación: Traz(A); Tr(A). Esto es, n
Traz( A) =
a i 1
ii
Ejemplo: 2 A = 9 2
5 7 1 3 4 15 5 4
Traz(A) = 2 + ¼ + 15/4 = 6
2) Matriz Nula. Es aquella matriz Amxn en donde todos los elementos son nulos. Notación: Ejemplo: 0 0 0 A= 0 0 0 2 x 3
0 0 0 B = 0 0 0 0 0 0 3 x 3
3) Matriz Triangular Superior Dada una matriz cuadrada A cuyos elementos situados debajo de la diagonal principal son todos ceros, se llama matriz triangular superior. Esto es, aij = 0, si i > j. Ejemplo: 2 0 A= 0 0
1 3 0 0
2 3 5 0
4 2 es una matriz triangular superior. 3 6
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4) Matriz Triangular Inferior Una matriz cuadrada A cuyos elementos situados por encima de la diagonal principal son todos ceros, se llama matriz triangular inferior. Esto es, aij = 0, si i < j Ejemplo: 1 2 A= 8 5
0 2 4 4
0 0 4 1
0 0 es una matriz triangular inferior. 0 7
5) Matriz diagonal Matriz triangular superior e inferior a la vez. Es decir, aij 0 para i j
Ejemplo: 5 0 0 a) A = 0 2 0 0 0 8
Diag(A) = ( 5, 2, 8 )
6) Matriz Escalar Matriz diagonal en donde todos los elementos de su diagonal principal son iguales. Es decir, a11 = a22 = ... = ann = K Ejemplo: 3 0 0 A = 0 3 0 0 0 3
7) Matriz Identidad Matriz escalar cuyos elementos de su diagonal principal todos son iguales a la unidad. Ejemplo:
13
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1 0 A= 0 1
1 0 0 B = 0 1 0 0 0 1
;
8) Matriz Periódica Dada la matriz cuadrada A, si para un número entero y positivo p, ocurre que: Ap+1 = A
.........
(*)
Se dice que A es una matriz periódica, de periodo p. Ejemplo: Si A es una matriz cuadrada y periódica tal que A5 = A, hallar el periodo y calcular A99. Solución: De la relación ( * ), si Ap+1 = A5 p + 1 = 5 p = 4 es el periodo de la matriz. Multiplicando sucesivamente, por si mismo, la matriz A obtenemos A A A A AxAxAxAxAAxAxAxA... 5
Se observa que:
9
A9 = A4x2+1 = A A13 = A4x3+1 = A
Ap+1 = A4m+1 = A Ahora bien:
A99 = A2A97 = A2(A4x24+1) = A2A
A99 = A3
1 1 1 Ejemplo: Si A = 0 0 0 , hallar A25. 0 0 1
Solución: 1 1 1 1 1 1 1 1 0 A = AxA = 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2
14
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1 1 0 1 1 1 1 1 1 A = A xA = 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 = A 0 0 1 0 0 1 0 0 1 3
2
Luego, A3 = A p + 1 = 3 p = 2 es el periodo de la matriz A.
A25 = A2x12+1 = A
1.15. MATRIZ TRANSPUESTA Definición: La matriz transpuesta At, correspondiente a una matriz “Amxn” es aquella obtenida de transformar las filas en columnas o la iésima fila en la iésima columna. Ejemplos: 2
1
2 14
t A = A= , At es la transpuesta de la 14 16 1 16
Sea: matriz A
1 4 1 3 6 t Si A = A = 3 2 4 2 8 6 8
Propiedades de la matriz transpuesta.
P1. ( A-1 )t = (At)-1
La transpuesta de la inversa, es igual a la inversa de la transpuesta.
P2. (A + B)t = At + Bt
La transpuesta de una suma de matrices, es igual a la suma de las
P3. ( A) = A t
t
transpuestas. es una constante.
P4. (AB)t = Bt At
15
Matrices y Determinantes
La transpuesta de un producto conmuta
al
producto
de
transpuestas. P5. It = I P6. (At ) t = A
1.16. MATRIZ SIMÉTRICA Definición: Una matriz cuadrada A, se dice que es una matriz simétrica si A = At. Ejemplos: 1) 1 4 6 1 4 6 t Si A = 4 2 5 A = 4 2 5 = A 6 5 3 6 5 3
Como At = A entonces la matriz A es simétrica. 2)
1 3 6 1 0 6 t Si A = 0 2 7 A = 3 2 7 A 6 7 3 6 7 3
Como At A, entonces la matriz A no es simétrica. Observación: Para que una matriz A sea simétrica debe verificar que:
aij a ji para i j Teorema 1.1 Si A es una matriz cuadrada de orden n la matriz A + At es simétrica.
16
Matrices y Determinantes
Prueba: Sea A = [aij], entonces At =[aji]. Si llamamos B = [bij] a la matriz A + At probaremos que B es simétrica. En efecto, el elemento de la fila i y columna j de A es aij y el correspondiente de At es aji, por lo tanto: bij = aij +aji
( 1)
El elemento de la fila j y columna i de A es aji y el correspondiente de At es aij, de modo que: bji = aji +aji
(2)
De ( 1 ) y ( 2) se sigue que: bij = bji En consecuencia, B = A + At es una matriz simétrica.
1.17. MATRIZ ANTISIMÉTRICA Definición: Una matriz cuadrada A, se dice que es una matriz antisimétrica si A = - At.
Ejemplos: 1)
0
2
0 2 0 2 = - =-A 0 2 0
t A = Si A = 2 0 2
Como A = - At entonces A es una matriz antisimétrica.
2)
2 4 2 4 0 0 2 4 0 t Si A = 2 0 5 A = 2 0 5 = - 2 0 5 = -A 4 5 0 4 5 4 5 0 0
Como A = - At entonces A es una matriz antisimétrica
3)
4 1 4 1 0 0 4 1 0 t Si A = 4 0 2 A = 4 0 2 = - 4 0 2 = -A 0 1 2 0 1 2 1 2 0
Como A = - At entonces A es una matriz antisimétrica.
17
Matrices y Determinantes
Observación: Para que una matriz A sea antisimétrica debe verificar que:
a ij a ji
para i j
Y los elementos de la diagonal principal deben ser ceros.
Teorema 1.2 Si A es una matriz cuadrada de orden n, la matriz A – At es antisimétrica. Prueba: En efecto, consideremos que ( A + B )t = At + Bt se sigue que ( A - At )t = At – (At)t = At – A = - (A – At) Por lo tanto, A – At es antisimétrica.
Ejemplo: 0 1 2 0 1 2 t Si A = 1 0 3 A = 1 0 3 2 3 0 2 3 0
0 Luego, A – A = 2 4
2 4 0 6 y 6 0
0 2 ( A - A ) = 2 0 4 6
4 0 6 = - 2 4 0
t
t t
de donde, ( A - At )t = -
2 4 0 6 6 0
(A – At), por lo que, (A – At) es
antisimétrica.
Teorema 1.3 Toda matriz cuadrada A se puede descomponer en la suma de una matriz simétrica As = ½ ( A + At ) y otra antisimétrica Aa = ½ (A – At ). Prueba: (La demostración queda para el lector)
18
Matrices y Determinantes
Ejemplo: 1 2 3 1 1 2 0 3 1 4 3 2 1 3 0 3 0 2 1 2 4 2 0 4 1 2 0
A
=
As
+
Aa
1.18. POTENCIACION DE UNA MATRIZ Sea la matriz A = [aij]nxn
A. A. A. A ; m N m 2 A " m veces " A ; m 1 m
Propiedades 1. Ap.Aq = Ap+q ; p, q 2. (Ap)q = Apq ; p, q 3. A2 = A ; se dice que A es idempotente. 4. Ap = ; se dice que A es nilpotente de índice p ( p ) 5. A2 = I ; Se dice que A es involutiva Las matrices A y B se llaman conmutables si y solo si AB = BA.
AFIRMACIÓN: Si las matrices A y B son conmutables. Entonces cualquier
potencia
natural
de
los
mismos
conmutables y (AB)p =Ap.Bp, p arbitrarios. Ejemplos: 1)
1 1
Sea: A = , calcular An 0 1 Solución: Por inducción
19
también
son
Matrices y Determinantes
1 1
A1 = A = 0 1 1 1 1 1
1 2
A2 = A. A = = 0 1 0 1 0 1 1 2 1 1
1 3
A3 = A2. A = = 0 1 0 1 0 1 1 3 1 1 1 4 = 0 1 0 1 0 1
A4 = A3. A =
1 n
An = 0 1 4 1 2 Determinar si al matriz A = 1 2 4 es idempotente 1 2 4
2)
Solución: 4 1 2 4 1 2 4 1 2 A = A. A = 1 2 4 . 1 2 4 = 1 2 4 = A 1 2 4 1 2 4 1 2 4 2
Por lo tanto, la matriz A es idempotente. 1 Demostrar que la matriz A = 12 2
3)
1 2 es idempotente. 1 2
En efecto: 1 A = A. A = 12 2 2
1 1 2 . 2 1 1 2 2
1 2 = 1 2
1 1 4 4 1 1 4 4
20
1 1 1 4 4 = 2 1 1 1 4 4 2
1 2 = A 1 2
Matrices y Determinantes
1 3 1 Determinar si la matriz A = 5 2 6 es nilpotente. 2 1 3
4)
Solución: 0 0 0 3 3 9 1 1 3
1 3 1 1 3 1 A = A. A = 5 2 6 . 5 2 6 = 2 1 3 2 1 3 2
0 0 0 A = A . A = 3 3 9 1 1 3 3
2
1 3 1 5 2 6 = 2 1 3
0 0 0 0 0 0 = 0 0 0
Por lo tanto, A es una matriz nilpotente de índice p = 3. 1 0 es involutiva. 1
5)
Determinar si la matriz A = 0 Solución:
1 0 1 0 1 0 0 0 = = 1 0 1 0 0 0 1
A2 = A. A = 0
1 0 0 1 = I
Como A2 = I entonces A es una matriz involutiva. 3 6 2 Determinar si la matriz A = 2 4 1 es involutiva. 2 3 0
6)
Solución: 3 6 2 3 6 2 A = A. A = 2 4 1 2 4 1 = 2 3 0 2 3 0 2
1 0 0 0 1 0 = I 0 0 1
Por lo tanto, la matriz A es involutiva.
7)
Si A es una matriz involutiva. Demostrar que ½ (I + A ) es idempotente. Solución: En efecto:
21
Matrices y Determinantes
Sea B = ½ ( I + A ) B2 =1/4 ( I + A)(I + A) = ¼ (I2 + IA +AI + A2) = ¼ ( I + A + A +I )= ½ ( I + A) como B2 = B entonces ½ (I + A ) es idempotente.
1.19. MATRIZ ORTOGONAL Definición: Una matriz cuadrada A se llama ortogonal, si cumple: A.At = At.A = I
Ejemplo: Verificar que la matriz dada es ortogonal cos x senx 0 A = senx cos x 0 0 0 1
En efecto: cos x senx 0 cos x senx 0 A. A = senx cos x 0 senx cos x 0 0 0 1 0 0 1 t
cos2 x sen2 x senxcos x senxcos x 0 0 1 0 0 = senxcos x senxcos x sen2 x cos2 x 0 0 = 0 1 0 = I 00 00 0 1 0 0 1
como A.At = I entonces es ortogonal. Observación: 1) En particular toda matriz ortogonal es invertible 2) Puesto que (At)t = A de ( 1) se deduce que la inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal.
Teorema 1.4 El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal.
22
Matrices y Determinantes
Prueba: Sean A y B dos matrices ortogonales entonces At = A-1, Bt = B-1 sabemos que ( AB)t =BtAt Luego ( AB)t =B-1 A-1 = (AB)-1 por lo tanto AB es una matriz ortogonal. 1.20. MATRIZ HERMITIANA Definición: Una matriz cuadrada y compleja A se denomina hermitiana si es igual a la transpuesta de su conjugada.
Nota: Una matriz compleja es aquella que tiene como elementos a los números complejos. Ejemplo: Una matriz compleja es 4i i 1 __ A = 4 i 2 2 i y su conjugada, denotada por A , es: i 2 i 3 4i i 4i i 1 1 __ t A = 4i 2 2 i ( A ) = 4 i 2 2 i = A i i 2 i 2i 3 3
__
__
observamos que A = ( A )t, luego, A es una matriz hermitiana.
Observación: En una matriz hermitiana los elementos de la diagonal principal son números reales.
1.20. MATRIZ INVERSA Si A Kn, se dice que A es invertible si existe una matriz B tal que AB = BA = I, para los que B recibe el nombre de matriz inversa de A y se denota, B = A-1. Ejemplo: Hallar la matriz inversa de:
23
Matrices y Determinantes
1 2
A= 3 5 Solución: a b
Sea A-1 = la matriz inversa por calcular. c d Entonces se tiene A.A-1 = I 1 2 a b 1 0 , efectuando operaciones = 3 5 c d 0 1
A.A-1 =
a 2c b 2d 1 0 3a 5c 3b 5d = 0 1 por igualdad se tiene:
a 2c 1 b 2d 0 al resolver el sistema se tiene: 3a 5c 0 3b 5d 1
a = -5 , b = 2, c = -3, d = 1 5 2
por lo tanto A-1 = 3 1
Propiedades. Si A y B son matrices cuadradas de orden n, invertibles, entonces se cumplen las siguientes propiedades 1) A.A-1 = A-1.A = I 2) (A-1)-1 = A 3) Si AB = BA = I B = A-1 4) (AB)-1 = B-1 A-1 5) (At)-1 = (A-1)t
24
Matrices y Determinantes
CAPITULO II
2. DETERMINANTE 2.1 DETERMINANTE Definición : Sea la matriz cuadrada
A = [aij]n de orden
n,
llamaremos determinante de la matriz A, al número real que está relacionado con los elementos ai j de la matriz. NOTACION :
A , det(A) indican la determinante de la matriz
cuadrada A. La definición formal de determinante es como sigue : det : IRnxn
IR
“La determinante es una función de IRnxn en IR”. 2.2 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 2
D. SECUNDARIA a
a
Sea : A = 11 12 a21 a22 D. PRINCIPAL Entonces det (A) = A =
a11 a12 = a11a22 –a21a12 a21 a22
“ El det(A) es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria”. Ejemplo: 3 2
Si A = det(A) = A = (3)(6)-(4)(2) =18 – 8 = 10 4 6
25
Matrices y Determinantes
a
a
Teorema 2.1 La matriz A = 11 12 tiene inversa A-1 si y solo si a21 a22 A 0 y A
-1
=
1 A
a22 a12 a 21 a11
Prueba: ( Para el lector) Ejemplo: Hallar A-1 si existen de las siguientes matrices 2 2
a) Si A = A = 6 – 2 = 4 0 1 3 Como -1
A = 4 0 A
=
1 a22 a12 A a21 a11
2 3 1 3 2 4 -1 4 A = 4 1 2 1 2 4 4 11 7
b) Si A = A = 99 - 91= 8 0 13 9 Como -1
A = 8 0 A
==
1 a22 a12 A a21 a11
7 9 7 8 1 9 8 A = 8 13 11 13 11 8 8 -1
2.3 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 3 Sea la matriz cuadrada A = [aij]3x3
a11 a12 det a21 a22 a31 a32
a13 a23 = a11a22a33 + a21a32a13 +a31a12a23 – (a31a22a13 a33
+ a21a12a33 +a11a32a23 )
26
Matrices y Determinantes
2.3.1 Regla de Sarrus: Sea la matriz cuadrada A = [aij]3x3
det[aij]3x3
a11 a12 = a21 a22 a31 a32
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 a11 a12 a23 a21 a22 a33 a31 a32
-
-
a13 a11 a12 a23 a21 a22 = a33 a31 a32
+
+
+
producto de 3 en 3 de los elementos de la diagonal principal y sus paralelas
producto de 3 en 3 de los - elementos de la diagonal sec undaria y sus paralelas
Ejemplo: Calcular el determinante de la matriz siguiente mediante la regla de Sarrus. 15 3 4 A = 7 11 9 2 10 13
Solución: De acuerdo a la regla de Sarrus 1° ) Transcribimos las dos primeras columnas al lado derecho de la matriz. 15 3 4 15 3 7 11 9 7 11 2 10 13 2 10
2° ) Calculamos los productos de los elementos paralelos a la diagonal principal. 15 3 4 15 3 7 11 9 7 11 = (15)(11)(13)+(3)(9)(2)+(4)(7)(10) = 2479 2 10 13 2 10
27
Matrices y Determinantes
3° ) Calculamos los productos de los elementos paralelos a la diagonal secundaria y tomamos los opuestos. 15 3 4 15 3 7 11 9 7 11 = - [(2)(11)(4)+(10)(9)(15)+(13)(7)(3)] = -1711 2 10 13 2 10
4° ) Finalmente 15 3 4 det 7 11 9 = 2479 – 1711= 768 2 10 13
2.3.2 Menor Complementario.- El menor complementario de un elemento de una matriz A de orden 3, es el determinante de una matriz cuadrada de orden 2, que se obtiene después de borrar la fila i y la columna j. Notación: Al menor complementario de aij denotaremos por Mij. Ejemplo: Sea A = [aij]3x3
a11 a12 = a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
El menor complementario de a11 es M11 =
a22 a32
El menor complementario de a12 es M12 =
a21 a23 a31 a33
El menor complementario de a13 es M13 =
a21 a22 a31 a32
Ejemplo: Sea A = [aij]3x3
1 2 3 = 2 4 1 3 2 5
El menor complementario de a11 es M11 =
4 1 2 5
El menor complementario de a12 es M12 =
2 1 3 5
28
a23 a33
Matrices y Determinantes
El menor complementario de a13 es M13 =
2 4 3 2
El menor complementario de a21 es M21 =
2 3 2 5
2.3.3 Cofactor de un elemento de una Matriz Al cofactor del elemento aij de una matriz A es denotado por Aij y está definida por:
Aij =(-1)i+j Mij Ejemplo: Consideremos la matriz de tercer orden. A = [aij]3x3
a11 a12 = a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
El cofactor de a11 es A11 = (-1)1+1 M11 = M11 El cofactor de a12 es A12 = (-1)1+2 M12 = - M12 El cofactor de a13 es A13 = (-1)1+3 M13 = M13 El cofactor de a21 es A21 = (-1)2+1 M21 = -M21
Ejemplo: Sea A = [aij]3x3
1 2 3 = 2 4 1 3 2 5
El cofactor de a11 es A11 = (-1)1+1 M11 = M11=
4 1 = 20- 2= 18 2 5
El cofactor de a12 es A12 = (-1)1+2 M12 = - M12=El cofactor de a13 es A13 = (-1)1+3 M13 = M13=
2 4 = 4- 12 = -8 3 2
El cofactor de a21 es A21 = (-1)2+1 M21 = -M21 =-
29
2 1 =-(10 –3)=-7 3 5
2 3 = -(10 – 6)= -4 2 5
Matrices y Determinantes
2.3.4 Definición: Sea A = [aij]3x3
a11 a12 = a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
El det(A) ó A es igual a la suma algebraica de los productos de los elementos de una fila o columna por sus respectivos cofactores, es decir: A = a11A11 + a12A12 +a13A13 = a11M11 – a12M12 + a13M13
= a11
a22 a32
a23 a - a12 21 a33 a31
a23 a + a13 21 a33 a31
a22 a32
= a11(a22a33 – a23a32) – a12(a21a33 – a23a13) + a13(a21a32 – a31a22) Ejemplo: Calcular el determinante de la matriz 1 2 3 A = 2 4 1 3 2 5
Solución: det(A) = A = 1
4 1 2 1 2 4 -2 +3 2 5 3 5 3 2
= 20 – 2 –2(10 –3 ) + 3 (4 – 12 ) =18 – 14 –24= - 20 det(A) = -20
Ejemplo: Calcular el determinante de la matriz 2 1 5 A = 1 3 1 3 4 7
Solución: det(A) = A = 2
1 1 1 3 3 1 -1 +5 3 7 3 4 4 7
30
Matrices y Determinantes
= 2(21 –4) –(-1)(7 – 3 ) + 5 (4 – 9 ) = 13 det(A) = 13
Por Sarrus tenemos: 2 1 5 2 1 1 3 1 1 3 =[ (2)(3)(7)+ (-1)(1)(3) + (5)(1)(4)] - [(3)(3)(5)+ 3 4 7 3 4
(4)(1)(2)+ (7)(1)(-1)] = 13 2.3.5 Propiedades de los determinantes 1.- Si se intercambian las filas por las columnas en un determinante su valor no se altera.
a1 Es decir: b1 c1
a2 b2 c2
a3 a1 b3 a 2 c3 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
2.- Si todos los elementos de una fila o columna son ceros, el determinante vale cero.
a1 Es decir: 0 c1
a2 0 c2
a3 a1 0 b1 c3 c1
0 0 0
a3 b3 0 c3
3.- Si se intercambian dos filas o dos columnas continuas en un determinante, el valor de éste cambia de signo.
a1 Es decir: b1 c1
a2 b2 c2
a3 b1 b3 a1 c3 c1
b2 a2 c2
b3 a3 c3
31
Matrices y Determinantes
4.- Si un determinante tiene dos filas o dos columnas iguales o proporcionales, su valor es cero, es decir:
a1 b1 c1
ka1 kb1 kc1
a3 b3 0 c3
5.- Si todos los elementos de una fila o una columna de un determinante se multiplica por un mismo número k, el valor del determinante queda multiplicado por k.
ka1 kb1 kc1
a2 b2 c2
a3 a1 b3 kb1 c3 c1
a2 kb2 c2
a3 a1 kb3 k b1 c3 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
6.- Si todos los elementos de una fila o una columna son expresados como la suma de dos o más números, el determinante puede expresarse como la suma de dos o más determinantes. a1 x a 2 Es decir: b1 y b2 c1 z c 2
a3 a1 b3 b1 c3 c1
a2 b2 c2
a3 x a 2 b3 y b2 c3 z c 2
a3 b3 c3
7.- Si a cada uno de los elementos de una fila o columna se le multiplica por “m” y a éste resultado se le suma a otra fila o columna, el valor del determinante no se altera.
32
Matrices y Determinantes
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 a1 ma 2 b3 b1 mb2 c3 c1 mc 2
a2 b2 c2
a3 b3 c3
Esta propiedad sirve para reducir el orden de un determinante y poder hallar su valor. 8. Si en un determinante, todos los elementos menos uno, de una fila o columna son nulos, el determinante es igual al producto de este elemento no nulo, con signo correspondiente, por su menor complementario. En efecto, dado el determinante: a1 a A = 2 a3 a4
b1 b2 b3 b4
c1 c2 c3 c4
0 0 d3 0
desarrollando por los menores complementarios con respecto a la 4ª. Columna, tres de sus términos son nulos por ser uno de sus factores igual a cero, luego: a1 b1 A = -d3 a2 b2 a4 b4
c1 c2 c4
2.3.6 Determinante de una matriz cuadrada de orden n. Consideremos la matriz cuadrada de orden nxn. a11 a12 a 21 a22 A = a31 a32 an1 an 2
33
a13 a23 a33 an 3
a1n a2 n a3n ann
Matrices y Determinantes
Se llama determinante de A al número real denotado por det(A) o A y definido por: n
i j A = (1) aij M ij
(1)
i 1
Siendo j fijo en 1 j n , donde el elemento aij pertenece a la iésima fila y a la j-ésima columna y Mij es el menor complementario del elemento aij .
2 1 5 Ejemplo: Hallar el determinante de la matriz A = 1 3 1 3 4 7
Solución: Aplicando la expansión por la primera columna, para j = 1, en la fórmula (1), se tiene: 3
i 1 A = (1) ai1M i1 i 1
A = (-1)1+1 a11M11 +(-1)2+1 a21 M21 + (-1)3+1 a31 M31
= 2
3 1 1 5 1 5 1 3 4 7 4 7 3 1
= 2 (21 – 4) – (-7 –20) +3 (-1 – 15) = 13
2.3.7 Ejercicios Resueltos
1) Calcular: 1 0 1 2 3 1 4 5 A= 2 3 0 3 4 5 3 10
Solución:
34
Matrices y Determinantes
Para desarrollar un determinante de orden superior a 3, debemos hacer que se reduzca éste a uno ( unos) de tercer orden. Primera
forma:
Aplicando
el
desarrollo
por
menores
complementarios con respecto a la primera fila ( tomando cada elemento con su respectivo signo): 1 4 5 3 4 5 3 1 5 A = ( 1) 3 0 3 - (0) 2 0 3 + (-1) 2 3 3 + 5 3 10 4 3 10 4 5 10
3 1 4 (-2) 2 3 0 4 5 3 1 4 5 3 1 5 3 1 4 A = 3 0 3 - 2 3 3 -2 2 3 0 5 3 10 4 5 10 4 5 3
Desarrollando c/u de estos determinantes por Sarrus: A =[(0 – 45 +60) – (0 +120 +9)] – [ (-90 +12 –50) – (-60 +20 –
45)] – 2[ (-27 + 0 +40) – (48 + 6 + 0)] A = ( 15 – 129) – ( -128 + 85) – 2( 13 – 54) A = -114 + 43 + 82 A = 11
2) Segunda forma: Aplicando las propiedades, esto resulta más práctico. Se busca que todos los elementos de una fila o columna menos uno de ellos, sean iguales a cero. Esto es fácil conseguir si es que el determinante tiene un elemento igual a la unidad.
35
Matrices y Determinantes
1 0 1 2 3 1 4 5 A= 2 3 0 3 4 5 3 10
Haremos que los elementos de la 1ª. Fila, menos el primero de ellos, sean ceros, esto se consigue realizando las siguientes operaciones: a) Sumando a la 3ª. Columna la 1ª. Columna ( se altera la 3ª. Columna) b) Sumando a la 4ª. La 1ª.columna multiplicada por (-2) ( se altera la 4ª. Columna). 1 0 0 0 3 1 1 1 A= 2 3 2 1 4 5 7 2
Aplicando la propiedad ( 8 ): 1 1 1 A =(1) 3 2 1 5 7 2
a) Sumando a la 2ª. Columna la 1ª. Columna b) Sumando a la 3ª. Columna la 1ª. Columna 1 0 0 A = 3 1 4 5 2 3
Aplicando la propiedad ( 7 ): A = (1)
1 4 2 3
A = (3) – (-8) = 11
A = 11
36
Matrices y Determinantes
3) Hallar el valor de 10 1 5 7 A = 15 4 25 2 15 10
13 14 12 7 11 21 10 35 9 21
1 2 3 4 5
Solución: Sacando en la 1ª. Columna el factor 5 y en la 4ª. Columna el factor (-7): 2 1 1 7 A =5x(-7) 3 4 5 2 3 10
13 2 12 1 11 3 10 5 9 3
1 2 3 4 5
siendo las columnas1 y 4 iguales, el valor del determinante es cero:
A=0
3 2 6 5 4) Demostrar que: 9 3 12 2
2 1 4 2 =0 6 5 8 7
Solución: Aplicando propiedades Extraemos 3 como factor común de los elementos de la primera columna. Extraemos 2 como factor común de los elementos de la tercera columna, con lo cual tenemos:
37
Matrices y Determinantes
1 2 2 5 = (3)(2) 3 3 4 2
1 1 2 2 =3(2)0=0 3 5 4 7
0 se observa en este determinante 2 columnas iguales (1ra y 3ra ), lo cual sabemos por propiedad que es cero.
2.4 MATRIZ DE COFACTORES a11 a12 Consideremos la matriz. A = a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
Si a cada elemento de la matriz A sustituimos por sus respectivos cofactores, obtenemos una matriz que se denomina matriz de cofactores y denotaremos por: A11 CA = A21 A31
2.5
A12 A22 A32
A13 A23 A33
MATRIZ DE ADJUNTA Llamaremos matriz adjunta a la transpuesta de la matriz de los cofactores, es decir: A11 Si CA = A21 A31
A12 A22 A32
A13 A23 es la matriz de cofactores entonces la A33
matriz adjunta de A expresado por: A11 Matriz adjunta de A = Adj(A) =( CA) = A12 A13 t
38
A21 A22 A23
A31 A32 A33
Matrices y Determinantes
Ejemplo: 11 9
Sea la matriz A = obtener la matriz adjunta de A. 7 5 Solución: 1°) Obtengamos la matriz de los cofactores A12 (1)11 5 (1)1 2 7 A22 (1) 2 1 9 (1) 2 211
A CA = 11 A21
5 7 CA = 9 11
5 7 5 9 2°) Finalmente: Adj(A) = ( CA) = 9 11 7 11 t
t
5 9 Adj(A) = 7 11
Ejemplo: 11 2 4 Sea la matriz: A = 9 5 6 obtener la matriz adjunta de A. 7 8 13
Solución: 1°) De acuerdo a la definición obtenemos, la matriz de los cofactores. A11 CA = A21 A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33
2°) Por definición de cofactor Aij =(-1)
CA =
11 5 (1) 8 1 2 2 (1) 8 1 3 2 ( 1 ) 5
6 13 4 13 4 6
9 7 11 (1) 2 2 7 11 (1) 2 3 9 (1) 2 1
6 13 4 13 4 6
39
i+j
9 7 11 (1)3 2 7 11 (1)3 2 9 (1)31
Mij 5 8 2 8 2 5
Matrices y Determinantes
Desarrollando las sentencias se logra que la matriz de los cofactores es: 17 75 37 CA = 6 115 74 8 30 37
3°) Utilizando la definición Adj(A) = (CA)t 6 8 17 75 37 17 Adj(A) = 6 115 74 75 115 30 8 30 37 37 74 37 t
2.6
6 8 17 Adj(A) = 75 115 30 37 74 37
MATRIZ INVERSA Consideremos una matriz cuadrada A, si A 0 , entonces a la inversa de la matriz A definiremos de la siguiente manera:
A1
1 1 adj( A) (CA)t A A
Ejemplo: 11 2 4 Obtener la matriz inversa de A si existe, donde A = 9 5 6 7 8 13
Solución: Calculando el determinante de la matriz A. A = 11(65 – 48) – 2(117 – 42) + 4( 72 - 35) = 185
como A = 185 0 entonces existe A-1.
40
Matrices y Determinantes
Calculando la matriz de los cofactores A11 CA = A21 A31
A13 A23 = A33
A12 A22 A32
M 11 M 12 M M 22 21 M 31 M 32
17 75 37 6 115 74 8 30 37
M 13 M 23 = M 33
6 8 17 75 37 17 1 1 1 1 1 t 75 115 30 A adj( A) (CA) = 6 115 74 A A 185 185 8 30 37 37 74 37 t
6 8 17 185 185 185 15 23 6 A1 37 37 37 74 1 1 5 185 5
Ejemplo: Calcular la matriz inversa de A: 4 2 11 Siendo: A = 3 6 3 5 7 1
Solución: Calculando el determinante de la matriz A. A = 4(6 – 21) – 2(3 – 15) + 11( 21 - 30) = - 135
como A = -135 0 entonces existe A-1. Calculando adj(A), es decir aplicando definición: Adj(A) = ( CA)t A11 Adj(A) = A21 A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33
t
.............................. ( * )
Obtengamos los cofactores: A11 (1)11
6 3 15 7 1
41
Matrices y Determinantes
A12 (1)1 2
3 3 12 5 1
A13 (1)1 3
3 6 9 5 7
A21 (1) 2 1
2 11 75 7 1
A22 (1) 2 2
4 11 51 5 1
A23 (1) 2 3
4 2 18 5 7
A31 (1)31
2 11 60 6 3
A32 (1)3 2
4 11 21 3 3
A32 (1)3 3
4 2 18 3 6
Sustituyendo el conjunto de los cofactores obtenidos sobre ( * ) 15 12 9 Adj(A) = 75 51 18 60 21 18
t
Realizamos la sentencia para la transpuesta
15 75 60 Adj(A) = 12 51 21 9 18 18 15
1 A adj( A) = 1 12 A 135 1
9
75 60 51 21 18 18
5 4 1 9 9 9 1 17 7 4 A 45 1 45 1 45 2 15 15 15
42
Matrices y Determinantes
2.7. EJERCICIOS DESARROLLADOS DIVERSOS 1) Escribir explícitamente la matriz A = [aii]2x4 donde aij = i2 + j Solución: a11= 12 +1 = 2 , a12 = 12 +2 = 3 , a13 = 12 +3 = 4, a14 = 12 + 4 = 5 a21= 22 +1 = 5 , a22 = 22 +2 = 6 , a23 = 22 +3 = 7, a24 = 22 + 4 = 8
A = 2
3 4 5 5 6 7 8 x y
1
2) Sean las matrices A = [aii]2x2 donde aij = 2i – (-1)j y B = ; 3 x y 3 Hallar los valores de x e y de modo que A = B. Solución: Determinemos los elementos de la matriz A a11 =21 – (-1)1 = 2 + 1 = 3 ; a12 =21 – (-1)2 = 2 - 1 = 1 a21 = 22 – (-1)1 = 4 +1 = 5 ; a22 = 22 – (-1)2 = 4 -1 = 3 3 1 x y 1 = ( x – y = 3) (3x – y = 5 ) 5 3 3 x y 3
Luego, si A =
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos: x = 1 , y = -2.
3) Sean las matrices 5 x 1 9 B= z 2 7 7
A =
y 1 3
Si: A = B, calcular: x + y –2z +1 Solución: Como A = B ( mismo orden) 5 9 x 1 = 7 z 2 7
y 1 3
x–1=9 y+1=5 z–2=3 x = 10 y = 4 z = 5
x + y –2z +1 = 5
43
Matrices y Determinantes
4) Sea la matriz diagonal: 0 b c 4 7 A = a b 3 b 0 0 ca 9 c
Indicar la Traz(A). Solución: Traz(A) = 7 + b + c
............. ( 1 )
Por definición de matriz diagonal tenemos: a + b –3 = 0 b + c – 4 = 0 c + a – 9 = 0 a+b=3 b+c=4 c+a=9 resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos: a = 4 b = -1 c = 5 reemplazando en ( 1 ): Traz(A) = 7 – 1 + 5 = 11
Traz(A) = 11 5) Si la matriz: x A = 5 2 y 3z
x 2y 10 2y 3z x es simétrica, calcular Traz(A). 7 3z
Solución: Traz(A) = x + 2y + 3z
....................... ( * )
x Como la matriz: 5 2 y 3z
x 2y 10 2y 3z x es simétrica; entonces: 7 3z
X + 2y = 5
......... ( 1 )
2y + 3z = 10 ......... ( 2 ) 3z + x = 7 ......... ( 3 ) Sumando: ( 1 ) + ( 2 ) + (3 ) obtenemos,
44
Matrices y Determinantes
2( x + 2y + 3z ) = 22 x + 2y + 3z = 11 reemplazando en ( * ) obtenemos Traz(A) = 11 1 4 2 7 6) Si A = 2 5 y B = 1 5 Calcular At, Bt, ( A B )t 3 6 3 0
Solución: 1 4 1 2 3 A = 2 5 At = 4 5 6 3 6 2 7 2 1 3 B = 1 5 Bt = 7 5 0 3 0 1 4 2 7 1 2 4 7 A + B = 2 5 + 1 5 = 2 1 5 5 = 3 6 3 0 3 3 6 0
3 11 3 10 6 6
3 11 3 3 6 A + B = 3 10 ( A + B )t = 11 10 6 6 6 1 4 2 7 1 2 4 7 A – B = 2 5 - 1 5 = 2 1 5 5 = 3 6 3 0 3 3 6 0
1 3 1 0 0 6
1 3 1 1 0 A – B = 1 0 ( A - B )t = 3 0 6 0 6
7) Calcular a, b y c si. a 2 7 5 21 c 21 11 4 15 14 b a 10 5 9 8 19 c 15 c
Solución:
45
Matrices y Determinantes
a 2 7 5 21 c 21 11 4 15 14 b a 10 5 9 8 19 c 15 c
a 2 5 7 21 c 21 11 15 4 14 b a 10 5 8 9 19 c 15 c a 7 28 c 21 26 18 b a 10 por igualdad de matrices obtenemos: 13 28 c 15 c
a = 28 b = 26 c = 28 1 2 4 8) Dada la matriz A = 6 0 9 . Hallar una matriz B tal que la suma 4 7 3
A + B dé la matriz identidad. Solución: Por la condición del problema se tiene: A + B = I de donde B = I – A, por lo tanto al reemplazar se tiene: 1 0 0 B = I – A = 0 1 0 0 0 1
1 2 4 6 0 9 = 4 7 3
1 1 0 2 0 4 0 6 1 0 0 9 = 0 4 0 7 1 3
0 2 4 6 1 9 4 7 2
9) La Sra. Armas y el Sr. León son representantes de ventas de una agencia de automóviles que ofrece sólo dos modelos. Agosto fue el último mes para los modelos de este año, y los modelos del próximo año se ofrecerán a partir de septiembre. Las ventas brutas de cada mes se presentan en las siguientes matrices:
46
Matrices y Determinantes
Ventas de agosto Compacto De lujo Sra. Armas $6000 $12000 =A Sr. León
$12000
0
ventas de septiembre compacto De lujo $24000 $48000 =B $30000 $36000
(Por ejemplo, La Sra. Armas tenía $6000 en ventas de automóviles compactos en agosto, y el Sr. León tenía $36000 en ventas de automóviles de lujo en septiembre.) a) ¿Cuáles fueron las ventas combinadas en agosto y septiembre por cada persona y cada modelo? b) ¿Cuál fue el aumento en ventas de agosto a septiembre? c) Si los dos representantes recibieron 5% de comisiones sobre las ventas brutas, calcule la comisión de cada persona por cada modelo vendido en septiembre. Solución: a)
Compacto De lujo $30000 $60000 Sra. Armas A+B= $42000
b)
$36000
Sr. León
Compacto De lujo $18000 $36000
Sra. Armas
B–A= $18000 c)
$36000
Sr. León
Compacto (0.05)($24000)
De lujo (0.05)($48000)
Sra. Armas
(0.05)($30000)
(0.05)($36000)
Sr. León
0.05B =
Compacto De lujo $1200 $2400 Sra. Armas = $1500
$1800
47
Sr. León
Matrices y Determinantes
En este ejercicio se escogió un ejemplo relativamente sencillo que se refiere a una agencia que sólo cuenta con dos representantes y dos modelos. Considere el problema más real de una agencia que tiene nueve modelos y quizá siete representantes entonces puede ver el valor matemático que tienen los métodos matriciales.
10) Si A = [ aij ]4x4 B = [ bij ]4x4 , donde 1, si i i aij 1, si i j , 0, si i j
1, si i i bij 1, si i j . Hallar Traz(AB) 0, si i j
Solución: Escribiendo explícitamente cada matriz se tiene 1 0 0 1 1 0 A= 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 , B= 0 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1
Si AB = C Traz(AB) = Traz( C )= c11 + c22 + c33 + c44 C11 = a1jbi1= (1, 0, 0, 0).(-1,0,0,0) = -1 C22 = a2jbi2= (-1, 1, 0, 0).(1,-1,0,0) = -1-1 = -2 C33 = a3jbi3= (-1, -1, 1, 0).(1,1,-1,0) = -1-1-1 = -3 C44 = a4jbi4= (-1, -1, -1, 1).(1,1,1,-1) = -1-1-1 -1= -4
Traz(A) = -10
cos x senx si A = B2. cos x
11) Sea la matriz B = senx
Hallar el valor de a11, a22, para x = Solución:
48
2 3
Matrices y Determinantes
cos x senx cos x senx . cos x senx cos x
A = B2 = senx
cos2 x sen2 x
=
2senx cos x
2senx cos x cos2 x sen2 x
cos 2 x sen2 x cos 2 x
= sen2 x
Luego: a11 .a22 =( cos2x)(cos2x) = cos2(
4 )= (-1/2)2 = ¼ 3
6 4 x y x y x 3 z w 1 2 w z w
12) Hallar x, y, z y w si 3 Solución:
Escribiremos a cada miembro como una sola matriz. x y 6 3x 3 y x 4 3z 3w z w 1 2w 3 , por igualdad de matrices se tiene:
3x x 4 2 x 4 x 2 3 y x y 6 2 y x 6 y 4 de donde 3z z w 1 2 z w 1 z 1 3w 2w 3 w 3 w 3
2
1
1 0 2
13) Dadas las matrices A = y B = 3 1 4 . Hallar AB y BA. 3 1 Solución: 1 2 1 2 1 1 0 2 3 AB = . = 3 1 3 1 4 3 11 3 2 3 0 1 4 4
5
1
2 1
0 1 0 3 1 1
2 4 2 3 1 4
2 1
8
= 3 3 0 1 6 4 0 1 2
BA no esta definido por el número de columnas de A es diferente al número de filas de A.
49
Matrices y Determinantes
2 1 0 3
14) Hallar el valor del polinomio f(A) de la matriz A = Si f(x) = 3x2 – 4 Solución: Si f(x) = 3x2 – 4 f(A) = 3 A2 – 4I 2 1 2 1
4 5
A2 = . = 0 3 0 3 0 9 4 5 1 0 8 15 f(A) = 3 - 4 = 0 9 0 1 0 23
zn 15) Dada la fórmula e k! z C se define k 1
z
An , A e k 0 k!
A
I
a) Demostrar que e = eI =e
0 1 1 b) Hallar e , si A = 0 0 1 0 0 0 A
Solución: a) En la definición dada, para A = I se tiene In I 1 e I k 0 k! k 0 k! k 0 k!
I
(1)
1 e Ahora, en la fórmula dada, para z = 1 obtenemos: k 1 k! 1
Por lo tanto, en ( 1 ): eI = Ie = e b) Desarrollando el segundo miembro de la definición se tiene:
A0 A1 A2 A3 A2 A3 e I A 0! 1! 2! 3! 4 6 A
50
(2)
Matrices y Determinantes
0 1 1 0 1 1 0 0 1 A = 0 0 1 . 0 0 1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
0 1 1 0 0 1 0 0 0 A = A.A = 0 0 1 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3
2
1 2
Luego, en ( 2 ): e A I A A2 1 1 0 0 0 1 1 0 0 2 A e = 0 1 0 + 0 0 1 + 0 0 0 = 0 0 1 0 0 0 0 0 0
1 1 1 2 0 1 1 0 0 1
0 1 0 16) Si A = 1 1 1 , calcular A100. 0 0 1
Solución: 0 1 0 A = A.A = 1 1 1 0 0 1 2
1 1 A = A .A = 0 0 0 0 3
2
0 1 0 1 1 1 = 0 0 1
1 0 1
1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 1 1 = 0 0 1
1 0 0
1 0 1 0 1 0
0 0 = -I 1
Entonces: A4 = A3A = ( -I ) A = - A A5 = A4A = ( -A) A = - A2 A6 = A5A = ( -A2) A = - A3 =- (-I) = I A7 = A6A = IA = A Luego, p + 1 = 7 p = 6 es el periodo de la matriz A
A100 = A3(A97) = A3(A6x16+1)= A3 (A) = A4 = - A 1 3 4 17) Demostrar que la matriz A = 1 3 4 es nilpotente. 1 3 4
51
Matrices y Determinantes
Solución: Una matriz es nilpotente si A2 = 0. 1 3 4 A = A.A = 1 3 4 . 1 3 4 2
1 3 4 1 3 4 3 9 12 4 12 16 1 3 4 12 16 4 = 1 3 4 3 9 12 1 3 4 1 3 4 3 9 12 4 12 16 0 0 0 A = 0 0 0 0 0 0 2
A es una matriz nilpotente. 3 6 2 18) Determinar si la matriz A = 2 4 1 es involutiva. 2 3 0
Solución: La matriz es involutiva si A2 = I 3 6 2 3 6 2 A = 2 4 1 2 4 1 = 2 3 0 2 3 0 2
9 12 4 18 24 6 6 6 0 6 8 2 12 16 3 4 4 0 6 6 0 12 12 0 4 3 0
1 0 0 A = 0 1 0 0 0 1 2
1 2 2 19) Determinar si la matriz A = 1 2 1 es involutiva. 1 1 0
Solución: La matriz es involutiva si A2 = I
52
Matrices y Determinantes
220 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 4 2 A = 1 2 1 1 2 1 = 1 2 1 2 4 1 2 2 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 220 2 1 0 2
1 0 0 A = 0 1 0 = I 0 0 1 2
Por lo tanto A es involutiva. 2 2 4 20) Demostrar que la matriz A = 1 3 4 es idempotente. 1 2 3
Solución: Una matriz A es idempotente si A2 = A 2 2 4 2 2 4 4 2 4 4 6 8 8 8 12 A = A.A = 1 3 4 1 3 4 = 2 3 4 2 9 8 4 12 12 1 2 3 1 2 3 2 2 3 2 6 6 4 8 9 2
2 2 4 A = 1 3 4 = A 1 2 3 2
A es idempotente. 3 1
21) Hallar la inversa de la matriz A = 2 4 Solución: Recordar A-1 =
1 A
a22 a12 a , A 0 21 a11
3 1
Como A = A = 12 – 2 = 10 0 2 4 Como A-1 =
1 A
a22 a12 1 4 1 2 5 1 10 = a 10 2 3 1 5 3 10 21 a11
53
Matrices y Determinantes
A-1 = 2 5
1 10 1 5 3 10
22) Hallar la matriz incógnita X de la ecuación. 1 2 3 2 3 X 4
2 5
Solución: X A1B AX B Si: X BA1 XA B 1 2
3
-1 A = Sea A = 2 3 2
2 , A =- 1 1 3
Como X = A-1B tenemos X = 2
X = 1 2
2 1
3 4
2 9 8 6 10 = 5 6 4 4 5
16 9
23) Sea A = [aij] una matriz de orden nxn entonces AAt es simétrica. Solución: Si A es simétrica At = A Entonces debemos probar que ( AAt)t = AAt ( AAt)t = (At)tAt = AAt por lo tanto AAt es simétrica. 24) Sea A = [aij] una matriz de orden nxn. Demostrar que A + At es simétrica. En efecto: A + At es simétrica si ( A + At )t = A + At Entonces ( A + At )t = At +(At)t = At + A = A + At 1 5 3 1 5 1 25) Sean las matrices A = 3 6 3 y B = 6 2 0 2 4 2 5 6 8
54
Matrices y Determinantes
Si (At + B )t = 2 ( X – At )+ 3B, hallar la suma de las componentes de la tercera fila de la matriz X. Solución: Por propiedades se tiene: ( At)t + Bt = 2X – 2At + 3B X = ½ (A + B + 2 At –3B) Luego: x31 = ½ (a31 +b31 +2 a13 – 3 b31) = ½ ( 2 + 1 +2(5) –3(5))= -1 x32 = ½ (a32 +b32 +2 a23 – 3 b32) = ½ ( -4 + 0 +2(3) –3(6))= -8 x33 = ½ (a33 +b33 +2 a33 – 3 b33) = ½ ( 2 + -8 +2(2) –3(-8))=11
x31 + x32 + x33 = 2
26) Resolver la siguiente ecuación matricial: 2 3 4 4 6 0 4 X 0 1 0 2 x 1 2 5 1 0 2 7 3 1
A
B
Solución: Operando algebraicamente tenemos: - 4X – 4 A = -2X + B - 4X + 2X = 4 A + B 1 2
- 2 X = 4 A + B X = - (4 A + B) 2 3 4 4 6 0 1 X = - 4 0 1 0 1 2 5 2 1 0 2 7 3 1
12 18 16 1 X = - 1 6 5 Rta. 2 3 3 9 1
0
27) Sea la matriz de orden 2x2, A = . 1 1 Demostrar que A2 =2 A - I y calcular An , n N. Solución:
55
Matrices y Determinantes
Primero demostraremos A2 = 2 A – I 1
0 1
0
1
0
A2 = A.A = = 1 1 1 1 2 1
…( 1 )
1 0 1 0 1 0 - = 1 1 0 1 2 1
2 A – I = 2
…( 2 )
de ( 1) y (2) se tiene A2 = 2 A – I A3 = A2 A = (2 A – I)A = 2 A2 – A = 2(2 A – I) –A A3 = 3 A – 2I A4 = 4 A – 3I
An = n A – ( n-1) I 1 0 1 0 - ( n-1) 1 1 0 1
Luego An = n A – ( n-1) I = n n
0
n 1
= - n n 0
0 1 0 = n 1 n 1
An = 1
0 n 1
0 1 0 28) Si A = 1 1 1 , Hallar A100 0 0 1
Solución: 0 1 0 A = A. A = 1 1 1 0 0 1 2
0 1 0 1 1 1 = 0 0 1
1 1 1 0 0 0 0 0 1
1 1 1 0 1 0 A = A .A = 0 0 0 1 1 1 = 0 0 1 0 0 1 3
2
1 0 0 0 1 0 = -I 0 0 1
Entonces: A4 = A3.A = (-I).A = - A A5 = A4.A = (-A).A = -A2 A6 = (-A2).A = - A3 =-(-I) = I A7 = A6.A = I.A = A
56
Matrices y Determinantes
Por consiguiente, p +1 = 7 p = 6 es el periodo de la matriz A.
A100 = A3(A97) = A3( A6x16 +1) = A3.(A) = A4 = -A 3 1 1 2 yB= . Hallar f( A + B). 2 0 3 4
29) Sean: f(x) = x2 – x + 3, A = Solución:
4 1 1 0 4 1 4 1 f( A + B ) = A+B= - +3 5 4 0 1 5 4 5 4 2
11 8 4 1 3 0 10 7 + = 4 0 3 35 10
f( A + B) = - 40 11 5
a b 1 1 2 30) Si A = 2 3 b es una matriz simétrica, hallar A . b x a x 4
Solución: a b 2 Como A es simétrica se cumple: b x 1 a x b
(1) (2) (3)
De ( 1) y ( 2): ( 1 ) + ( 2) se tiene; a – x = 1 entonces b = 1, a = 3 1 2 1 por consiguiente la matriz resulta: A = 2 3 1 por tanto 1 1 4
1 2 1 1 2 1 6 7 3 A = A.A = 2 3 1 2 3 1 = 7 14 5 1 1 4 1 1 4 3 5 18 2
5 8 0 31) Si A y B son matrices involutivas y AB = BA = 3 5 0 1 2 1
Hallar la traza de la matriz M = ( A + B )2 Solución: M = A2 + B2 + 2AB
.......... ( 1 )
57
Matrices y Determinantes
Como A y B son matrices involutivas se cumple que A2 = I y B2 = I donde I es una matriz de orden 3, por consiguiente reemplazando los datos correspondientes en ( 1 ) se tiene: M = 2I + 2AB = 2 ( I + AB) 1 0 0 5 8 0 4 8 0 = 2 0 1 0 3 5 0 = 2 3 6 0 0 0 1 1 0 0 0 2 1 8 16 0 M = 6 12 0 0 0 0
Traz(M) = -8 + 12 = 4
32) En una página deteriorada de un antiguo texto se encuentra que 1 x 0 la matriz A = 0 0 y y del producto A2At solo se puede leer la 0 0 z . . 6 última columna . . 2 . Hallar x + y + z . . 1
Rta. 4
Solución: necesitamos hallar A2 y At, por consiguiente tenemos: 1 x 0 1 x 0 1 x xy 1 0 0 t A = A.A = 0 0 y 0 0 y = 0 0 yz y A = x 0 0 0 0 z 0 0 z 0 0 z 2 0 y z 2
. . 6 1 x xy Dato: A .A = . . 2 0 0 yz . . 1 0 0 z 2 2
t
58
1 0 0 . . 6 x 0 0 = . . 2 0 y z . . 1
Matrices y Determinantes
1 x 2 0 0
xy 2 y2z yz 2
xyz . . 6 yz 2 = . . 2 z 3 . . 1
por
xyz 6 consiguiente por igualdad de matrices se tiene: yz 2 2 de donde z 3 1
x+y+z=4
se obtiene z = -1, y = 2 y x = 3 n
a n a 1 33) Demostrar que: 0 a 0
na n 1 an
prueba: Por inducción. a 1
A1 = A = 0 a a 1 a 1 a 2 = 0 a 0 a 0
A2 = A.A =
a 2
A3 = A2.A =
0
a 3
A4 = A3.A =
0
2a a2
2a a2
a 1 a 3 0 a = 0
3a 2 a3
3a 2 a 1 a 4 = a 3 0 a 0
4a 3 a4
a n
An =
0
na n 1 an
34) Las matrices: B1= [ 2 a + 3 2b –2 c +1 ] ; B2 = [ a 4 d ] Son filas de la matriz B, si: a 5 b 1 2c 3 el valor de “ a + b + c + d ” es: 4 2b
B= 8
Solución: Por la condición se tiene:
59
Matrices y Determinantes
2 a + 3 = a – 5 ; 2b – 2 = b + 1; c +1 = 2c +3 a = -8 ; 2b = d resolviendo las ecuaciones se obtiene: a = -8, b = 3, c = -2 y d = 6
a + b + c + d = -1
35) Calcular el valor de X en: 2 3 1 2 3 1 3 4 X 2 5 4 2
Solución: 2 3 Sea: A = ,B= 3 4
1 2 2 5 y C =
3 1 4 2
Luego: A X B = C 1 A1 A. X . B .B A1.C.B 1 X A1.C.B 1 I
I
A1
Calculando :
1 4 3 4 3 1 3 2 3 2
1 5 2 5 2 B 1 1 2 1 2 1
Reemplazando: 4
X= 3
0
3 3 1 5 2 2 4 2 2 1
2 5
X= 1 1 2
4
X= 7
2 4 2 = 1 7 3
2 3
36) Sea la ecuación matricial: 1 2 1 3 3 5 X 0 1
siendo “X” una matriz cuadrada de orden 2. Hallar la suma de los elementos de la diagonal principal de “X”
60
Matrices y Determinantes
Solución: 1 2
1
3
Sea A = y B = 0 1 3 5 Luego: A.X = B A-1.A.X = A-1.B I.X = A-1.B -1
X = A .B
............. ( 1 )
Calculando: A1
1 5 2 5 2 1 3 1 3 1
Reemplazando en ( 1 ) obtenemos: 5
X= 3
2 1 3 5 17 . = 1 0 1 3 10
Por consiguiente la suma de los elementos de la diagonal es: -5 + 10 = 5
Elementos D.P
5
3 2 1 x 37) Sean las matrices A = 2 5 3 , B = y y C = (1, -2, 3 ) 1 0 1 z
Si BtA = C, hallar el valor de la suma S = x + y + z. Solución: Sea BtA = C ............. ( 1 ) Calculando: Bt = ( x, y, z) Reemplazando en ( 1 ) se obtiene: 3 2 1 ( x, y, z) 2 5 3 = (1, -2, 3) 1 0 1
( 3x +2y –z, 2x + 5y, -x –3y +z ) = (1, -2, 3) Por igualdad se tiene: 3x + 2y –z = 1 2x + 5y
= -2 ..... ( 3 )
-x – 3y + z = 3 ( 2 ) + ( 3 ) : 2x – y = 4
.... ( 2 )
.... ( 4 )
............................. ( 5 )
61
Matrices y Determinantes
De ( 3 ) y ( 5): ( 3 ) – (5) obtenemos; 6y = -6 y = -1, x = 3/2, z = 3/2 S = x + y + z = 3/2 – 1 + 3/2 = 2
S=2 3 1
1 2 . 4
38) Sean: f(x) = x2 – x + 3, A = y B = 3 2 0 Evaluar f(A + B). Solución: 3 1
1 2 3 1 1 2 4 1 = = 4 2 3 0 4 5 4
Calculando: A + B = + 3 2 0 Por consiguiente: 4 1 4 1 f(A + B) = +3I - 5 4 5 4 2
4 1 4
= 5
4 1 4 1 3 0 5 4 - 5 4 + 0 3
11 8
= 40 11
4 1 3 0 11 4 3 8 1 0 + = = 5 4 0 3 40 5 0 11 4 3
-
10 7 35 10
f(A + B) = 10 35
7 10
39) Se tiene: 1 2 1 2 3 AB = ; C = 1 3 ; 2 1 3 2 1
Además: D = (CtBt)At Calcular: Traz(D) + |D| Solución: Aplicando asociatividad y propiedad de transpuesta obtenemos:
62
Matrices y Determinantes
D = Ct (BtAt) = Ct(AB)t
…… ( 1 )
Calculando: 2 1 1 1 2 (AB) = 2 1 y Ct = 2 3 1 3 3 t
reemplazando en ( 1) se obtiene: 2 1 1 1 2 = 1 2 6 2 1 6 D= 2 1 2 6 3 4 3 3 1 2 3 3 3 3 7
D= Traz(D) = -3 + 4 = 1 Traz(A) = 1 y 1 4 |D| = -12 + 7 = -5. Por consiguiente: Traz(D) + |D|= 1 – 5 = -4
Traz(D) + |D = -4
40) Demostrar que adj( A1 ) (adj( A)) 1 si |A| 0 Prueba: Como A 1
1 -1 adj( A) adj(A) = |A|A A
adj(A-1) = |A-1|(A-1)-1 = |A|-1(A-1)-1= (|A|A-1)-1= adj(A)-1
adj( A1 ) (adj( A)) 1
41) Demostrar que: adj(An) = (adj(A))n Prueba: Adj(An) = |An|(An)-1 = |A|n (A-1)n =( |A|A-1)n = (adj(A))n
adj(A ) = (adj(A)) n
n
42) Demostrar que: adj(kA) = kn-1adj(A), k C . Prueba: adj(kA) = |kA|(kA)-1 = kn|A|k-1 A-1=kn-1|A|A-1 = kn-1adj(A)
63
Matrices y Determinantes
adj(kA) = k
n-1
adj(A)
43) Si |A| 0, |B| 0. Demostrar que adj(AB) = adj(B)adj(A) Prueba: adj(AB) = |AB|(AB)-1= |A||B| B-1A-1 =(|B|B-1)(|A|A-1) = adj(B)adj(A)
adj(AB) = adj(B)adj(A) 44) Demostra que: |adj(A)| = |A|n-1 Prueba: |adj(A)|= ||A|A-1|= |A|n|A-1| = |A|n|A|-1= |A|n-1 ( por la propiedad del ejercicio 38)
|adj(A)| = |A|
n-1
4 8 4 45) Dada la matriz adj(A) = 7 9 5 y |A|= 4. Hallar k y A 6 10 k
Solución: Como A 1 A 1
1 A
1 1 adj( A) A 1 adj( A) A A 2
3
adj( A) |adj(A)| =|A| = 16 |adj(A)|= 16
4(9k +50) + 8( -7k –30) + 4(-70 + 54) = 16 de donde se tiene: -20k + 200 – 240 –64 = 16 k = -6 calculando la matriz A. Como A 1
1 adj( A) tomando la inversa se tiene: A
A = |A|(adj(A))-1 = 4(adj(A))-1
.....................
4 12 16 4 8 4 8 Como adj(A) = 7 9 5 C(adj(A)) = 8 0 4 6 10 6 8 20
Además |adj(A)| = 4(-4) –8(-12) + 4(-16) = 16
64
(1)
Matrices y Determinantes
4 4 8 1 1 1 t adj( A) adj(adj( A)) (Cadj( A)) 12 0 8 adj( A) 16 16 16 8 20 1
.....
(2)
ahora reemplazando ( 2 ) en ( 1 ) se tiene: A = |A|(adj(A))
-1
4 4 8 1 =-4 12 0 8 = 16 16 8 20
1 2 1 3 0 2 4 2 5
1 2 1 A = 3 0 2 4 2 5
5 2 3 5 1 3 46) Sean las matrices: A = 1 4 5 ; B = 1 3 5 y 1 3 4 1 3 5
2 2 4 C = 1 3 4 donde AB = BA = 0, AC = A, CA = C. Hallar ACB, 1 2 3
CBA, A2 + B2, (A + B)2. Solución: i)
Calculando ACB: ACB = (AC)B = AB = 0 ACB = 0
ii)
Calculando CBA: CBA = C(BA) = C(0) = 0 CBA = 0
iii) Calculando A2 + B2: Como AC = A, CA = C entonces A y C son idempotentes A2 = A. Además B es idempotente B2 = B. 5 2 3 5 1 3 A + B = A + B = 1 4 5 + 1 3 5 = 1 3 4 1 3 5 2
2
1 0 0 = 0 1 0 0 0 1
65
2 1 3 3 5 5 1 1 4 3 5 5 1 1 3 3 4 5
Matrices y Determinantes
1 0 0 A + B = ( A + B) = 0 1 0 0 0 1 2
2
2
1 3
47) Para la matriz A = , verificar que A2 – 2 A – 5I = 0 2 1 Solución: A2 – 2 A – 5I = 0 1 3 1 3 1 3 1 0 1 6 3 3 2 6 5 0 0 0 2 1 2 1 -2 2 1 -5 0 1 = 2 2 6 1 - 4 2 - 0 5 = 0 0
4 2 4 48) Dada la matriz A = 2 10 5 ,hallar la matriz triangular inferior 4 5 21
B, tal que: BBt = A. Solución: a 0 Sea B = b c d e a 0 Si b c d e
0 0 f
0 a b d t 0 B = 0 c e 0 0 f f
2 4 2 4 ab ad a b d a 0 c e = ab b 2 c 2 bd ce = 2 10 5 0 0 f ad bd ce d 2 e 2 f 2 4 5 21
Entonces por la igualdad de matrices se tiene a2 = 4,
ab = 2,
ad = 4
ab = 2,
b2 + c2 = 10,
bd + ce = 5
ad = 4,
bd + ce = 5,
d2 + e2 + f2 = 21
de donde obtenemos: a = 2, b = 1, c = 3, d = 2, e = 1 y f = 4.
2 0 0 B = 1 3 0 2 1 4
0 0 1 / 3 1 2 1 49) Sean las matrices A = 4 0 5 y B = 3 1 / 3 0 0 3 1 3 0 1
66
Matrices y Determinantes
Si (AB)t + X = 3( Bt + A), hallar la traza de la matriz X. Solución: De la ecuación dada se tiene: X = 3 A + 3Bt – BtAt un elemento cualquiera de la matriz X es: xij = 3 aij + 3bji – (bjk)( aki) x11 = 3 a11 + 3b11 – (b1k)(ak1) = 3(1) + 3(1/3) – (1/3, 0, 0)(1, 4, -3) = 11/ 3 x22 = 3 a22 + 3b22 – (b2k)(ak2) = 3(0) + 3(-1/3) – (3, -1/3,0)(2, 0, 1) = -7 x33 = 3 a33 + 3b33 – (b3k)(ak3) = 3(-3) + 3( 1 ) – (0, 0, 1)(1, 5, -3) = -3
Traz(X) = 11/ 3 – 7 – 3 = - 19/3
2 3 4 50) Determinar la inversa de la matriz A = 4 2 2 si existe. 1 1 2
Solución: 1°) Calculando el determinante de A A = 2(4 –2) –3( 8 + 2) + 4( 4 +2) = 4 – 30 +24 = -2
2°) Calculando la matriz de los cofactores 2 10 6 CA = 2 8 5 2 12 8 2 2 2 3°) adj(A) = (CA) = 10 8 12 6 5 8 t
1 2 2 2 1 1 1 1 A1 adj( A) 10 8 12 = 5 4 6 A 2 5 6 5 8 3 4 2
1 1 1 A-1 = 5 4 6 . 5 4 3 2
67
Matrices y Determinantes
51) Hallar el valor de: M=
( x y) 2
y( x y) ( x y)
Solución: Efectuando primero el determinante obtenemos: (x-y)(x+y) – (-2)y(x+y) = x2 – y2 + 2xy + 2y2 = x2 + 2xy + y2 = (x + y )2 por consiguiente, M = ( x y)2 = x + y 52) Desarrollar y simplificar: M=
(3 2i ) (5 4i ) (5 3i ) (2 3i )
Solución: Efectuando el desarrollo: E = (3 + 2i)(2 –3i) – (5 + 3i)(5 - 4i) E = ( 6 –5i – 6i2) – ( 25 – 5i –12i2) E = ( 6 –5i +6 ) – (25 – 5i +12 ) E = -25 53) Calcular el determinante de 1 2 3 A= 4 5 6
2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
4 5 6 5 6 7 6 7 8 7 8 9 8 9 10 9 10 11
Solución: Observamos que si se restan los elementos de una fila o columna, menos la fila o columna anterior, sus elementos son iguales a 1. Teniendo dos columnas o filas iguales el valor del determinante es cero. 1°) A la 2ª. Fila le restamos la 1ª. Fila 2°) A la 4ª. Fila le restamos la 3ª. Fila
68
Matrices y Determinantes
1 1 3 A= 1 5 6
2 1 4 1 6 7
3 1 5 1 7 8
4 5 6 1 1 1 6 7 8 1 1 1 8 9 10 9 10 11
por tener el determinante su 2ª. Y 4ª. Fila iguales, su valor es cero. A =0 54) Calcular el determinante de orden n. 0 1 1 1
1 1 1 1 0 a a a a 0 a a a a a 0
Solución: A la 1ra. Fila se multiplica por a y se divide por a y a la 1ra. Columna se multiplica por a y se divide por a. 0 1 1 1
1 1 1 1 0 a a a a 0 a a
0 a 1 a = 2 a a a a 0 a
0 1 1 1 = 2 an a 1
1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1
a a a a 0 a a a a 0 a a
a a a 0
an 2 (n 1)(1)n 1
1 1 1 0
69
sacando a de cada fila
Matrices y Determinantes
0 1 1 1
1 1 1 1 0 a a a a 0 a a n2 n 1 = a (n 1)(1) a a a 0
55) Hallar el determinante de:
2 1 1 1 3 3 2 7 3 6 A = 5 6 18 12 4 9 7 4 17 19 4 0 17 10 3
Solución: 1 1 3 2 1 3 2 7 3 6 A = 5 6 18 12 4 7 4 17 19 9 4 0 17 10 3
Para hacer que los elementos de la 1ª. Fila menos el primero de ellos, sean iguales a cero. a) 2ª.C +1ª.C
b) 3ª.C + 1ª.C x(3)
c) 4ª.C +1ª.C x(-2)
d) 5ª.C +1ª.C x(-1)
1 3 A = 5 7 4
0 0 0 0 1 2 3 3 1 3 2 1 3 4 5 2 4 5 2 1
Aplicando la propiedad ( 8 ):
70
Matrices y Determinantes
1 2 3 3 1 3 2 1 A =(1) 3 4 5 2 4 5 2 1
Para hacer que los elementos de la 2ª. Fila, menos el primero de ellos sean iguales a cero: a) 2ª.C + 1ª.C x(-3)
b ) 3ª.C + 1ª.C x(2)
c) 4ª.C + 1ª.C x(-1)
1 1 1 2 1 0 0 0 A= 3 5 11 1 4 17 10 5
Aplicando la propiedad ( 8 ): 1 1 2 1 1 2 A = - (1) 5 11 1 = - 5 11 1 17 10 5 17 10 5
Para hacer que los elementos de la 1ª. Fila, menos el primero de ellos sean iguales a cero: a) 2ª.C + 1ª.C x (-1)
b) 3ª.C + 1ª.C x (2)
1 0 0 16 11 A = - 5 16 11 = - (-1) 27 39 17 27 39
A=
16 11 27 39
A =(16)(-39) – (27)(-11)
= - 327 x 56) Mostrar que: x 2 x3
y 1 y 2 1 xy( x 1)( y 1)( y x) y3 1
Solución:
71
Matrices y Determinantes
Extraemos los factores x e y de la primera y segunda columna tenemos:
1 xy x x2
0 1 1 1 C1 C3 0 y 1 ; luego C2 C3 x 1 y 1 1 =(xy)(x2 1 y 2 1 1 y2 1
1)1+3(1)
x 1 y 1 x2 1 y 2 1
=(xy)(x-1)(y-1)
1 1 =(xy)(x-1)(y-1)(y-1-x+1) x 1 y 1
=xy(x-1)(y-1)(y-x) senxcos y cos x cos y seny 57) Sea la matriz A = cos x cos y senxcos y seny cos y cos y 1
Calcular el | A | si x = y =
6
Solución: Factorizando cosy de la primera y segunda columna se tiene: senx cos x seny C3 C1 |A| = cos y cos x senx seny C3 C2 1 1 1 2
senx sey cos x sey seny = cos y cos x seny senx seny seny 0 0 1 2
= cos2y
senx seny cos x seny = cos2y( 1 + 2senxseny) cos x seny senx seny
Luego, para x = y =
|A| = ( 3 / 2)2 1 2(1/ 2)(1/ 2) 9 / 8 6
72
Matrices y Determinantes
0 x y 0 x 1 0 y .Hallar | A | 58) Si A = y 0 1 x 0 x y 1
Solución: Tomando la cuarta columna como línea pívot, efectuando las operaciones elementales: -x C4 + C2 y -yC4 + C3. x y 0 x 1 xy y 2 |A|= y x 2 1 xy 0 0 0
0 0 x y x 4 4 (1) x 1 xy y 2 x y x 2 1 xy 1
Desarrollando por los cofactores de la primera fila obtenemos | A | = -x
x 1 xy x y2 y = -x(x –x2y + y3) + y( -x3 – y +xy2 ) 2 y x y 1 xy
| A | = - ( x2 + y2 ).
59)
Demostrar
la
siguiente
identidad,
establecida
por
el
determinante de WANDERMONDE. 1 x = 2 x x3
1 y y2 y3
1 z z2 z3
1 w = (y-x)(z-x)(w-x)(z-y)(w-y)(w-z) w2 w3
Prueba: restando a cada fila la anterior multiplicada por x, tendremos:
=
1 0 0 0
1 yx y 2 xy y 3 xy 2
1 zx z 2 xz z 3 xz 2
1 w x .Aplicando w 2 xw w3 xw2
efectuando la factorización en cada elemento:
73
la propiedad (8) y
Matrices y Determinantes
yx zx w x = 1 y ( y x) z ( z x) w( w x) .Extrayendo los factores: y 2 ( y x) z 2 ( z x) w 2 ( w x)
(y – x)de la 1ª. Columna, ( z –x ) de la 2ª. Columna, (w -x) de la 3ª. Columna tendremos: = (y–x)(z-x)(w-x)
1 y y2
1 z z2
1 w . Restando a cada fila la anterior w2
1 1 1 multiplicada por y, tendremos: = (y–x)(z-x)(w-x) 0 z y w y . 0 z 2 yz w 2 yw
Aplicando la propiedad ( 8 ): = (y–x)(z-x)(w-x)
zy w y z ( z y ) w( w y )
Sacando los factores: (z-w) de la 1ª.col., y ( w-y) de la 2ª. Col. = (y–x)(z-x)(w-x)(z-y)(w-y)
1 1 = (y–x)(z-x)(w-x)(z-y)(w-y)(w-z) z w
60) Efectuar el desarrollo de: 1 1 1 1 2 3 5 6 4 9 25 36 8 27 125 216
Solución: 1 1 1 2 3 5 2 2 2 3 52 23 33 53
1 6 62 63
representa un determinante de VANDERMONTE = (3 -2)( 5 –2)(6 – 2)(5 – 3)( 6 – 3)(6 –5) =1X3X4X2X3X1
= 72
74
Matrices y Determinantes
61) Efectuar el desarrollo de: (a 1) 2 (b 1) 2 (c 1) 2 (d 1) 2
a2 b2 2 c d2
(a 2) 2 (b 2) 2 ( c 2) 2 ( d 2) 2
(a 3) 2 (b 3) 2 (c 3) 2 (d 3) 2
Solución: Efectuando el desarrollo de las potencias indicadas, se tiene: a2 b2 2 c d2
a 2 2a 1 b 2 2b 1 c 2 2c 1 d 2 2d 1
a 2 4a 4 a 2 6a 9 b 2 4b 4 b 2 4b 9 c 2 4c 4 c 2 4c 9 d 2 4d 4 d 2 4d 9
Para simplificar efectuamos las siguientes operaciones: a) 4ª. Columna menos la 3ª. Columna b) 3ª. Columna menos la 2ª. Columna c) 2ª. Columna menos la 1ª. Columna, luego se obtiene: a2 b2 2 c d2
2a 1 2b 1 2c 1 2d 1
2a 3 2b 3 2c 3 2d 3
2a 5 2b 5 2c 5 2d 5
Efectuando: a) 4ª. Columna menos la 3ª. Columna b) 3ª. Columna menos 2ª. Columna a2 b2 2 c d2
2a 1 2b 1 2c 1 2d 1
2 2 2 2
2 2 2 2
por tener el determinante la 3ª. Y 4ª. Columna iguales, su valor es igual a cero.
= 0
75
Matrices y Determinantes
a 1 62) Si A = 1 1
1 a 1 1
1 1 a 1
1 1 , descomponer en factores el |A|. 1 a
Solución: Tomando la cuarta columna como línea pívot, efectuamos las operaciones: -aC4 + C1 , -C4 + C2 , -C4 + C3 0 0 0 1 a a 1 0 |A| = 1 a 0 a 1 2 1 a 1 a 1 a
1 0 x y 1 y2 = (-1)1+4 x 1 xy 1 y x 2 1 xy a
Desarrollando por los cofactores de la primera fila obtenemos |A| = -x
x 1 xy x y2 y = -x(x –x2y + y3) + y(-x3 – y + xy2) 2 y x y 1 xy
|A| = -(x
2
+ y2)
3 3 k 1 63) Si A = 3 k 5 3 , hallar los valores de k de modo que 6 6 k 4
|A| = 0 Solución: k 1 3 3 C2 C1 k 2 3 0 |A| = 3 k 5 3 C2 C3 k 2 k 5 k 2 6 6 k 4 0 6 k2
Factorizamos k +2 de la primera y tercera columnas y obtenemos |A| = (k + 2)
2
1 3 0 1 0 0 2 1 k 5 1 3C1 C2 (k 2) 1 k 2 1 0 6 1 0 6 1
Desarrollando por los cofactores de la primera fila se tiene |A| = (k+2)2 (-1)1+1
k2 1 = (k +2)2 (k – 4) 6 1
76
Matrices y Determinantes
Luego, si |A|= 0 (k + 2)2(k –4) = 0 k = -2 ó k = 4.
64) Calcular el
x yz = 2y 2z
2x yxz 2z
2x 2y zx y
Solución: En el determinante de A efectuamos las operaciones: -C1 + C2, -C1 x yz x yz x yz + C3 |A| = 2y yxz 0 2z 0 x yz
Factorizando x + y + z de la segunda y tercera columna se tiene: x yz 1 1 x yz 1 1 2 |A| = ( x + y + z) 2y 1 0 F1 F3 ( x y z ) 2y 1 0 2z 0 1 x yz 1 0 2
Desarrollando por los cofactores de la tercera columna obtenemos: |A| = (x + y + z)2(-1)1+3
2y 1 = (x + y + z)3 x yz 1
65) Sea la matriz A = [ aij]4x4 tal que: si 2 i j 5 ij; aij . ij 4; si 6 i j 8
Calcular A Solución:
a11 = (1)(1) =1,
a12 =(1)(2) = 2,
a13 = (1)(3) =3, a14 = (1)(4) = 4
a21 = (2)(1) = 2,
a22 = (2)(2) = 4, a23 = (2)(3) = 6, a24 = 2(4) – 4= 4
a31 = (3)(1) = 3, 32 = (3)(2) = 6, a33 = (3)(3) - 4 = 5, a34 = (3)(4) - 4= 8 a41 =(4)(1)= 4, a42 =(4)(2) - 4= 4, a43 =(4)(3) - 4= 8, a44 =(4)(4)- 4= 12
77
Matrices y Determinantes
1 2 Por consiguiente A = 3 4
2 4 6 4
3 4 6 4 5 8 8 12
Realizando las siguientes operaciones al determinante de A: C2 – 2C1, C3 –3C1, C4 – 4C1 obtenemos: 1 0 0 0 0 0 4 2 0 0 4 = 1(-1)1+1 0 4 4 3 0 4 4 4 4 4 4 4 4 4
=
0
4
1(-4)(-1)1+3 4 4 = (-4)(-16)
= 64
|A| = 64 a 1 3a b 2a b 1 2b b 1 2 b 1 66) Hallar el determinante de: A a 2 0 1 a 3 1 a 2 a b b 1
Solución: a 1 3a b 2a b 1 2b b 1 2 b 1 . Realizando las siguientes operaciones: C1+ a2 0 1 a3 b 1 1 a2 ab
C3 y C2 + C4 obtenemos:
3a b 1 3a b 1 b 2a b 1 b2 b2 2b 1 |A| = 0 a3 a3 1 a3 a b 1 a b 1 a 2 a b
¿Por qué?
78
Matrices y Determinantes
CAPITULO III
3. TRANSFORMACIONES ELEMENTALES
Dada una matriz de cualquier orden, se pueden desarrollar algunas operaciones simples con las filas y columnas sin cambiar el orden de la matriz. El propósito fundamental es el desarrollo de matrices para simplificar algunos cálculos y también alcanzar resultados teóricos significativos para un mejor estudio de las matrices.
3.1 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES FILA O COLUMNA Las operaciones elementales o transformaciones elementales por filas o columnas sobre una matriz A son las siguientes:
1.- La permutación de la fila i y la fila j, se representa por Fij . 2.- La permutación de la columna i y la columna j se representa por Cij 3.- El producto de todos los elementos de la fila i por un escalar k distinto de cero, se representa por Fi(k). 4.- El producto de todos los elementos de la columna i por un escalar k distinto de cero, se representa por Ci(K). 5.- La suma de los elementos de la columna i, con los correspondientes elementos de la columna j multiplicados por un escalar k se representa por Cij(k) a las operaciones de tipo F se llaman operaciones elementales de fila a las operaciones del tipo C, se denomina operaciones elementales de columna.
79
Matrices y Determinantes
2 1 1 0 Ejemplo: Dado A = 3 0 4 1 se tiene: 2 5 1 3
1) Intercambio de la primera y segunda filas F12
3 0 4 1 = 1 1 0 2 2 5 1 3
2) Multiplicación por (-2) la segunda fila 1 0 2 1 1 0 2 1 F2(-2) = 2(3) 2(0) 2(4) 2(1) = 6 0 8 2 2 5 1 3 2 5 1 3
3) Multiplicando por 2 la segunda fila y luego sumando la primera fila 2(3) 1 2(0) 1 2(4) 0 2(1) 2 7 1 8 0 F12(2) = 3 0 4 1 = 3 0 4 1 2 2 5 1 5 1 3 3
Ejemplo.- Aplicar sucesivamente las operaciones F21(-2), F31(1), F2(1/5), donde: 2 1 4 1 A 2 4 3 5 1 2 6 7
Solución: 2 1 4 2 1 4 2 1 4 1 1 1 A 2 4 3 5 F21 (2) 0 0 5 3 F31 (1) 0 0 5 3 1 2 6 7 1 2 6 7 0 0 5 3 2 1 4 1 3 F2 (1 / 5) 0 0 1 5 0 0 5 3
80
Matrices y Determinantes
3.2 MATRIZ ELEMENTAL Una matriz cuadrada A de orden nxn se denomina matriz elemental si puede ser obtenida a partir de la matriz identidad de orden nxn (In) por una sola operación elemental de fila o columna a las matrices elementales se denotan por E. 1 0 0 Ejemplo: Dada la matriz I3= 0 1 0 , las matrices elementales 0 0 1
que podemos obtener, entre otras son: E12
0 1 0 = 1 0 0 intercambio de la primera y segunda fila. 0 0 1
1 0 0 E3(x) = 0 1 0 multiplicación de la tercera fila de la matriz 0 0 x
diagonal por x. 1 0 0 E32(x) = 0 1 x multiplicación de la tercera fila por x y sumando 0 0 1
a la segunda fila.
3.3 MATRIZ ESCALONADA Una matriz A = [ aij ]mxn , cuya estructura es de la forma: a11 a12 0 0 0 0 A = 0 0 0 0
a13 a23 0 0 0
a14 a24 a34 0 0
a1n a2 n a3n 0 0 mxn
r filas no nulas
s filas nulas
81
Matrices y Determinantes
Se dice que es escalonada reducida si satisface las condiciones siguientes: 1°) El primer elemento no nulo de cada una de las r filas no nulas es la unidad. 2°) Si existen s filas cuyos elementos son ceros, están se encuentran en la parte inferior de la matriz. 3°) En cada una de las r filas no nulas, el número de ceros que preceden a la unidad crece aritméticamente de fila a fila. 4°) Todas las columnas que tienen el primer elemento diferente de cero, de alguna fila, tienen ceros en todas las posiciones restantes. Si una matriz cumple las propiedades 1, 2, y 3, se dice que esta en forma escalonada. Ejemplos de matrices escalonadas reducidas 1 0 0 2 0 1 0 3 , 0 0 1 2
1 0 0 1 4 3 2 0 0 2 3 4 0 1 0 , 0 2 8 9 , 0 0 0 5 0 0 0 1 0 0 0 3 0 0 0 0 1
3.4 MATRICES EQUIVALENTES Una matriz A aij mxn se dice que es equivalente a la matriz
B bij
mxn
, si B se puede obtener de A por medio de una sucesión
de operaciones elementales de filas o columnas. La notación es A B ( A es equivalente a B ). 1 2 3 Ejemplo: Llevar a la matriz A 2 1 2 a la matriz identidad 3 1 2
mediante operaciones elementales.
82
Matrices y Determinantes
Solución: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 f 2 f 2 1 4 f 3 f 0 3 4 f 2 f 0 3 4 1 1 2 2 3 3 3 1 2 3 1 0 7 7 0 1 2 1
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 0 f 2 2 f 3 0 1 6 f 3 f 2 0 3 61 / 7 f 3 0 1 6 f1 2 f 3 0 3 6 0 1 0 0 0 0 0 0 1 7 1 1
1 2 0 1 0 0 f 2 6 f 3 0 1 0 f1 2 f 2 0 1 0 I 0 0 1 0 0 1
3.5 RANGO DE UNA MATRIZ. Definición.- : Sea
A = [ai j]m x n , diremos que el rango de A es r si
existe una submatriz cuadrada B más grande de A de orden r, tal que, |B|0
NOTACION : si A = [ai j]m x n , denotamos r(A) = r
para indicar el
rango de la matriz A. Propiedades : si A = [ai j]m x n 1) r( A ) mín. ( m , n ) 2) r ( AT ) = r ( A ) 3) si
A = [ai j]n implica r ( A ) < n, si y sólo sí, | A | = 0
Observación: Para calcular el rango de una matriz A, es suficiente que entre todas sus submatrices cuadradas más grande, encontremos una que tenga se determinante no nulo, y si esto no ocurre continuamos con las submatrices cuadradas de orden inferior.
83
Matrices y Determinantes
0 1 Ejemplo: Calcular el rango de la matriz A = 3 0
2 4 4 5 1 7 1 2
Solución: Como la matriz A es de orden 4x3, entonces por definición se tiene r(A) min{3,4} es decir r(A) 3 ahora formamos las submatrices cuadradas más grande de A, las cuales son de orden 3x3. 0 2 4 0 2 4 0 2 4 1 4 5 1 4 5, 3 1 7 , 1 4 5, 3 1 7 3 1 7 0 1 2 0 1 2 0 1 2
Como no existen mas submatrices cuadradas de orden 3x3 y al tomar el determinante de cada uno de ellas su valor es cero, entonces: r(A) 3 r(A) <3. Ahora formamos las submatrices de orden 2x2 y es suficiente que alguna de estas submatrices su determinante sea no nulo como por ejemplo el determinante de la matriz
3 1 0 1 es 3 por lo tanto el r(A) = 2 1 0 4
Ejemplo: Calcular el rango de la matriz A = 3 0 5 Solución: Como la matriz A es de orden 2x3, entonces por definición r(A) min{2,3} de donde r(A) 2. Entonces formamos las submatrices cuadradas mas grande de A, las cuales son de 2x2.
84
Matrices y Determinantes
1 0 0 4 1 4 3 0, 0 5, 3 5 1 4
como el determinante de la matriz es –7 entonces el r(A) = 2. 3 5 2 0 4
Ejemplo: Calcular el rango de la matriz A = 3 0 6 Solución: Como la matriz A es de orden 2x3, entonces por definición r(A) min{2,3} de donde r(A) 2. Entonces formamos las submatrices cuadradas mas grande de A, las cuales son de 2x2. 2 0 0 4 2 4 3 0 , 0 6 , 3 6
como el determinante de estas submatrices todas valen cero entonces r(A) 2, entonces r(A) < 2 ahora formamos las matrices cuadradas de orden 1x1. Tomamos [ 2 ] cuyo determinante es 0 por lo tanto r(A) = 1 Observaciones: 1) Todas las matrices no nulas tienen rango mayor que cero; las matrices nulas su rango es cero. 2) Si la matriz A es de orden mxn no nula 0 < r(A) min{m,n} 3) Si la matriz A es de orden nxn no nula 0 < r(A) n
85
Matrices y Determinantes
4) Si la matriz A es de orden nxn no nula, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes “ A1 A 0 es equivalente a decir A” es no singular. r(A) = n 5) Luego una matriz cuadrada A de orden n tiene inversa r(A) =n 6) Sean A y B dos matrices de orden mxn y nxp respectivamente r(AB) min{r(AB),r(AB)}. Observación: Otra forma practica de calcular el rango de una matriz, es usar transformaciones elementales. El rango de una matriz es igual al numero de filas no nulas que quedan en la ultima iteración de las sucesivas transformaciones elementales que se hacen con la matriz. 25 75 Ejemplo: Hallar el rango de la matriz A = 75 25
31 94 94 32
17 43 53 132 54 134 20 48
Solución: Por transformaciones elementales se tiene: 25 31 17 43 25 31 17 43 75 94 53 132 F (3) 0 1 2 3 21 A: 0 1 3 5 F32 (1) 0 0 1 2 F41 (1) 0 1 3 5 F34 0 0 1 2 F12 (6) 25 25 5 25 F1 (1 / 25) 1 0 1 2 3 0 0 F32 (1) 0 0 1 2 0 0 1 2 F43 (1) 0
86
1 1/ 5 1 2 0 1 0 0
1 3 =B 2 0
Matrices y Determinantes
La última matriz escalonada tiene tres filas no nulas, por lo tanto r(B) = r(A) = 3. 3.6 INVERSA DE UNA MATRIZ POR EL METODO DE GAUSS – JORDAN. El método de Gauss - Jordan consiste en construir una matriz de orden nx2n, formada por la matriz A y la matriz unitaria I es decir: ........ ( 1 )
A: I
Mediante las operaciones elementales sobre las filas de la matriz construida, transformando ( 1 ) en la forma: I: B Donde B = A-1 es la matriz inversa. Ejemplo 1: Determinar la inversa de la matriz A mediante el método 1 1 1 de Gauss – Jordán si existe donde: A = 0 0 1 1 1 1
Solución: 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 ( A: I ) = 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 F3 F1 0 2 2 1 0 1 1 1 1 1 0 0 F1 F3 1 1 0 1 1 0 F23 0 2 2 1 0 1 F2 2F3 0 2 0 1 2 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0
87
Matrices y Determinantes
1 1 0 1 1 1 F2 0 1 0 2 0 0 1 2 0
1 0 F1 F2 1 0 0 1 / 2 0 1 / 2 1 1 0 1 0 1 / 2 1 1/ 2 = (I:B) 2 0 0 1 0 1 0 1 0
1 / 2 0 1 / 2 A = 1/ 2 1 1/ 2 0 1 0 -1
Ejemplo 2: Mediante el método de Gauss – Jordan, hallar la inversa si 3 4 5 existe de la matriz A = 2 3 1 3 5 1
Solución: 3 4 5 1 0 0 F1 F2 1 1 4 1 1 0 1 1 4 1 1 0 2 3 1 0 1 0 2 3 1 0 1 0 F2 2 F1 0 1 7 2 3 0 3 5 1 0 0 1 3 5 1 0 0 1 F3 3F1 0 2 13 3 3 1 1 1 4 1 1 0 1 1 4 1 1 0 F1 4F3 1 1 0 3 11 4 0 1 7 2 3 0 0 1 7 2 3 0 F2 7 F3 0 1 0 5 18 7 0 2 13 3 3 1 F3 2F2 0 0 1 1 3 1 0 0 1 1 3 1
1 1 0 3 11 4 F1 F2 1 0 0 8 29 11 0 1 0 5 18 7 0 1 0 5 18 7 0 0 1 1 3 1 0 0 1 1 3 1
8 29 11 A = 5 18 7 1 3 1 -1
88
Matrices y Determinantes
1 1 2 Ejemplo 3: Hallar la inversa de: A = 2 3 3 , si existe. 4 4 5
Solución: Aplicando el método de Gauss – Jordan 1 1 2 1 0 0 2 3 3 0 1 0 F2 2 F1 4 4 5 0 0 1 F4 4 F 1
1 1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 0 0 3 4 0 1
F1 F2 1 0 3 3 1 0 F1 3F3 0 F2 F3 0 1 1 2 1 (1 / 3) F4 0 0 1 4 / 3 0 1 / 3
1 1 1 A = 2 / 3 1 1/ 3 4 / 3 0 1 / 3 -1
89
1 0 0 1 1 1 0 1 0 2 / 3 1 1/ 3 0 0 1 4 / 3 0 1/ 3
Matrices y Determinantes
CAPITULO IV
4. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 4.1
INTRODUCCION La resolución de una ecuación implica la búsqueda de ecuaciones
equivalentes más simples en los que resulta fácil determinar la raíz o raíces, la aplicación de este criterio a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales sugiere que, el método para hallar el conjunto solución de un sistema lineal consiste básicamente en reemplazar el sistema dado por otro equivalente en el que se pueda calcular fácilmente las raíces. En tal sentido las transformaciones elementales aplicadas a las matrices simplifican el desarrollo de estas y como tal, nos ofrecen la posibilidad de una ventajosa aplicación para resolver un sistema de ecuaciones lineales.
4.2
FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Consideremos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, es decir: a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bn
Este sistema se puede escribir en la forma:
90
(1)
Matrices y Determinantes
a11 a12 a1n x1 b1 a 21 a22 a2 n x2 = b2 am1 am 2 amn xn bm a11 a12 a1n a a22 a2 n 21 A.X = B, donde A = se llama matriz de los am1 am 2 amn
coeficientes, también se llama matriz asociada al sistema ( 1 ). x1 x 2 X = se llama matriz de las incógnitas. xn
b1 b B = 2 se llama matriz de los términos independiente. bm
Si bi = 0, i, el sistema ( 1 ) se llama homogéneo. Si bi 0 para algún i, el sistema ( 1 ) se llama no homogéneo. 4.3
MATRIZ AUMENTADA
Sea AX = B , al adjuntar el vector columna B a la matriz A, se determina una matriz de m x (n+1), que designaremos por Aa, a la cual llamaremos matriz aumentada o ampliada del sistema ( 1 ) y se escribirá del siguiente manera: a11 a12 a1n a a a2 n Aa = 21 22 am1 am 2 amn
91
b1 b2 bm
Matrices y Determinantes
Ejemplo: La matriz aumentada del sistema de ecuaciones: x1 –2x2 + x3 = 2 2x1 –x2 +4x3 = 3 x1 +x2 + 3x3 = 5 1 2 1 2 es: Aa = 2 1 4 3 1 1 3 5
Los siguientes ejemplos ilustran el procedimiento a seguir en la solución de sistemas de ecuaciones lineales, aplicando eliminación Gaussiana.
Ejemplo1: Resolver: x1 + 3x2 + 3x3 = 2 2x1 + 3x2 + 2x3 = -4 x1 + x2 + x3 = 6 Solución: 1 3 3 2 La matriz aumentada del sistema es: Aa = 2 3 2 4 1 1 1 6
El siguiente paso es transformar la matriz aumentada a la forma escalonada, es decir: 1°) A la 1ª.fila le multiplicamos por (- 2) y le sumamos la 2ª.fila. 1 3 3 2 0 3 4 8 1 1 1 6
2°) A la 1ª. fila la multiplicamos por (-1) y le sumamos a la 3ª. fila. 1 3 3 2 0 3 4 8 0 2 2 4
92
Matrices y Determinantes
Para realizar los pasos anteriores se ha tomado el coeficiente de x1: “1”, como el pivote para eliminar x1 de las otras ecuaciones. 3°) A la 3ª.fila la multiplicamos por (-1/2 ) y a la vez intercambiamos la fila 2 por la fila 3, es decir: 1 3 3 2 1 2 0 1 0 3 4 8
tomamos como pivote al coeficiente, 1 de x2 de la 2ª.ecuación para eliminar la variable x2 de las otras ecuaciones. 4°) A la 2ª. fila la multiplicamos por (3) y le sumamos a la tercera fila. 1 3 3 2 0 1 1 2 0 0 1 14
5°) A la 2ª. Fila le multiplicamos por (-3) y le sumamos a la primera fila y a la 3ª.fila la multiplicamos por (1) y le sumamos a la segunda fila y se tiene: 1 0 0 8 0 1 0 16 0 0 1 14
El sistema de ecuaciones correspondiente a esta última matriz escalonada es: x1
=8 x2
= -16 x3 = 14
En este caso el sistema tiene solución única. ¿En que caso el sistema no tiene solución única?
93
Matrices y Determinantes
Ejemplo2: Resolver: 2x1 - 2x2 + 3x3 = -2 x1 - 2x2 + 2x3 = 1 x1
+ x3 = 0
Solución: 2 2 3 2 La matriz aumentada del sistema es: Aa = 1 2 2 1 1 0 1 0
El siguiente paso es transformar la matriz aumentada a la forma escalonada, es decir: F13 1 0 1 0 1 2 2 1 F2 F1 2 2 3 2 F3 2F1
1 0 1 0 0 2 1 1 0 2 1 2 F3 F2
1 0 1 0 0 2 1 1 0 0 0 3
El sistema de ecuaciones correspondiente a esta última matriz escalonada es: x1
+ x3
=0
-2x2 + x3 = 1 0 = -3 Entonces, este sistema no tiene solución por que 0 = - 3 ( Es una contradicción).
Ejemplo 3: Resolver: x1 + x2 + 2x3 = 1 2x1 - 2x2 + 2x3 = 4 x1 - x2 + x3 = 2 Solución: 1 1 2 1 La matriz aumentada del sistema es: Aa = 2 2 2 4 1 1 1 2
94
Matrices y Determinantes
El siguiente paso es transformar la matriz aumentada a la forma escalonada, es decir: 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 F2 2 F1 0 4 2 2 F2 2F3 0 0 0 0 F23 0 2 1 1 0 2 1 1 0 0 F3 F1 0 2 1 1 0 0
El sistema de ecuaciones correspondiente a esta última matriz escalonada es: x1
+ x2 + x3
=1
-2x2 - x3 = 1 0=0 entonces, 0x3 = 0 x3 = t , x2 = - (1 + t) /2 , x1 = ( 3 – 3t) /2 , t El sistema tiene infinitas soluciones. Ejemplo 4: Resolver: x1 - 2 x2 + x3 – 4x4 = 1 x1 + 3x2 + 7x3 + 2x4 = 2 x1 - 12 x2 - 11x3 –16x4 = 5 Solución: La matriz aumentada del sistema: 1 2 1 4 1 Aa = 1 3 7 2 2 1 12 11 16 5
Reduciendo A’ a su forma escalonada se tiene: 1 2 1 2 1 4 1 1 4 1 F2 F1 0 5 6 6 1 0 5 6 6 1 F3 F1 0 10 12 12 4 F3 2F1 0 0 0 0 6
La última fila corresponde a la ecuación 0x1 + 0 x2 + 0x3 +0x4 = 6 0 = 6 Lo que es absurdo, por lo que, el sistema es incompatible y carece de solución.
95
Matrices y Determinantes
4.4
RANGO DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Consideremos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas del tipo general: a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bn
(1)
o bien, en la forma matricial AX = B
.................... ( 2 )
Donde A = [aij]mxn es la matriz de los coeficientes del sistema ( 1 ) X = [xi] es la matriz de las incógnitas. B = [bi] es la matriz de los términos independientes. Aa = [ A | b] la matriz aumentada. Ahora consideremos las siguientes propiedades. 1) Para que el sistema ( 1 ) sea consistente es necesario y suficiente que verifique r(A) = r(A’) = r Donde Aa = [ A | b] es la matriz aumentada del sistema (1). 2) Suponiendo que el sistema ( 1 ) es consistente, entonces se presentan los siguientes casos: a)
Que el sistema ( 1 ) tenga solución única. Esto sucede cuando el número de incógnitas n del sistema es igual al rango de la matriz aumentada, es decir: el sistema (1) tiene solución única si r(A) = r(Aa) = n.
b)
Que el sistema ( 1 ) tenga mas de una solución (existen infinitas soluciones) esto sucede cuando el número de incógnitas del sistema ( 1 ) es mayor que el rango de la
96
Matrices y Determinantes
matriz aumentada, es decir: El sistema ( 1 ) tendrá infinitas soluciones si r(A) = r(Aa) = r < n. Como r < n, entonces las n – r incógnitas toman valores arbitrarios, y a los que se les denomina valores libres o parámetros. 3) Si sucede que r(A) r(Aa), entonces el sistema ( 1 ) es inconsistente. ( no tiene solución). Ejemplo1: Investigar la consistencia y hallar la solución del sistema x1 – 2x2 + 3x3 = 2 2x1 – 3x2 + x3 = 1 3x1 - x2 + 2x3 = 9 Solución: Reduciendo la matriz aumentada [ A | b] a su forma escalonada se tiene: 1 2 3 2 [ A | b] = 2 3 1 1 F2 2 F1 3 1 2 9 F3 3F1
1 2 3 2 0 1 5 3 0 5 7 3
F1 2 F2 1 0 7 4 0 1 5 3 F3 5F2 0 0 18 18 ( 1 ) F 3 18
1 0 7 4 0 1 5 3 = Ba 0 0 1 1
B obsérvese que las matrices escalonadas B y B’ tienen 3 filas no nulas ( r = 3 ), entonces r(B) = r(Ba) = 3, y como A = B, A =Ba, se tiene que r(A) = r(Aa) = 3, además el número de incógnitas del sistema es n = 3, por consiguiente, el sistema dado tiene solución única.
97
Matrices y Determinantes
Para determinar esta solución transformamos la última matriz a su forma escalonada reducida. F1 7 F3 1 0 0 3 F2 5F3 0 1 0 2 x1 = 3 , x2 = 2 , x3 = 1 0 0 1 1
Ejemplo 2: Discutir el siguiente sistema de ecuaciones: x+y+z+w+u
=7
3x + 2y + z + w – 3u = -2 y + 2z + 2w + 6u = 23 5x + 4y + 3z + 3w – u = 12 Solución: Reduciendo la matriz aumentada [ A | b] a su forma escalonada se tiene: 1 3 [ A | b] = 0 5
1 2 1 4
1 1 2 3
1 1 1 1 7 1 1 1 7 1 3 2 F2 3F1 0 1 2 2 6 23 0 1 2 6 23 2 2 6 23 3 1 12 F4 5F1 0 1 2 2 6 23
1 1 1 1 1 7 0 1 2 2 6 23 r(A) = r(A ) = 2 el sistema es a 0 0 0 0 F3 F2 0 0 0 0 0 0 F4 F2 0 0
consistente N° de incógnitas > N° de ecuaciones 5 – 2 = 3 variables o parámetros. x z w 5u 16 , z , w, u y 23 2 z 2w 6u
y + 2z + 2w + 6u = 23 Luego
Ejemplo 3: Discutir el siguiente sistema de ecuaciones: x + y + 2z + w = 5 2x + 3y - z -2 w = 2 4x + 5y + 3z
98
= 7
Matrices y Determinantes
Solución: Formando la matriz aumentada [ A | b] y aplicamos transformaciones elementales (Método de Gauss – Jordan). 1 1 2 1 5 [ A | b] = 2 3 1 2 2 F2 2 F1 4 5 3 0 7 F3 4 F1
1 1 2 1 5 0 1 5 4 8 0 1 5 4 13
1 1 2 1 5 0 1 5 4 8 r(A) = 2 ; r(Aa) = 3 r(A) r(Aa) F3 F2 0 0 0 0 5
El sistema es incompatible. No existe solución. Ejemplo 4: Resolver el sistema de ecuaciones 2x1 + 4x2 + 6x3 = 2 4x1 + 6x2 2x1 +
=3 4x3 = 2
Solución: Formando la matriz ampliada 1 2 4 6 2 ( ) F1 1 2 3 1 2 [ A | b] = 4 6 0 3 4 6 0 3 2 0 4 2 2 0 4 2
1 2 1 2 3 1 3 1 1 F2 4 F1 0 2 12 1 ( ) F2 0 1 6 1 / 2 2 0 4 2 0 F3 2 F1 0 4 2 0 1 2 3 1 0 1 6 1/ 2 F3 4F2 0 0 22 2 ( 1 ) F 3 22
1 2 3 1 0 1 6 1 / 2 0 0 1 1 / 11
r(A) = r(Aa) = 3 ; n = 3 r(Aa) = n = 3
Como el rango es igual al número de variables del sistema éste es compatible y su solución es única. El conjunto solución es: x1 = 9/ 11; x2 = -1/22 ; x3 = 1/11
99
Matrices y Determinantes
Ejemplo 5: Resolver el sistema de ecuaciones 3x + y + 2z + 4w
=1
x – y + 3z – w
=3
x + 7y – 11z + 13w = -13 11x + y + 12z + 10w = 9
Solución: Formando la matriz ampliada
[ A | b] =
3 1 2 4 1 1 1 3 1 3 1 7 11 13 13 11 1 12 10 9 1 1
F12 1 1 3 1 11
1 3
1 F2 3F1 0 4 7 7 8 0 F3 F1 0 8 14 14 16 F 2 F 0 3 2 F4 11F1 0 12 21 21 24 F4 3F2 0
3
1 7 1
3 1 3 2 4 1 11 13 13 12 10 9
1 3 1 3 4 7 7 8 0 0 0 0 0 0 0 0
r(A) = r(Aa) = 2 el sistema es consistente N° de incógnitas >
N° de ecuaciones 4 – 2 = 2 variables o parámetros. x – y + 3z – w = 3
..... ( 1 )
4y – 7z + 7w = -8 ....... ( 2 ) entonces hacemos, z = t y w = s ; t, s ; entonces: de ( 2 ) 4y – 7t + 7s = -8 y = ( -8 + 7t – 7s)/4
..... ( 3 )
( 3 ) en ( 1 ) : x -( -8 + 7t – 7s)/4 + 3t – s = 3 x = 4 – 5t – 3s Luego las soluciones son: x = 4 – 5t – 3s , y = x = 4 – 5t – 3s , z = t , w = s. El sistema tiene infinitas soluciones.
Ejemplo 6 : Resolver el sistema lineal dado. x+y–z+w=0 3x – y +2z + 3w = 7 x + 2y – 2z – w = -1 3z + w = 9
100
Matrices y Determinantes
Solución:
Formando
la
matriz
ampliada
y
aplicando
transformaciones elementales, tendremos: 1 1 1 1 0 3 1 2 3 7 F2 3F1 [A | b] = 1 2 2 1 1 F3 F1 3 1 9 0 0
1 1 1 1 0 0 7 0 4 5 0 1 1 2 1 3 1 9 0 0
1 1 1 1 0 1 F23 0 1 1 2 1 0 0 4 5 0 7 F3 4F2 0 3 1 9 0 0 0
1 0 0 F4 3F3 0
1 1 1 0 1 1 2 1 0 1 8 3 0 0 25 0 1 / 25F4
F1 F4 1 F2 2 F4 0 F3 8 F4 0 0
1 1 0 0 F1 F3 1 1 0 1 F2 F3 0 1 0 3 0 0 1 0
1 1 1 0 1 1 2 1 0 1 8 3 0 3 1 9
1 0 0 0
1 0 0 0
1 1 1 0 1 1 2 1 0 1 8 3 0 0 1 0 1 1 0 0
0 0 1 0
0 3 0 2 0 3 1 0
De la ultima matriz observamos que: r(A) = r(Aa) = 4 Además n = 4 = r(Aa) Por lo tanto la solución es única. w = 0, z = 3, y = 2, x = 1.
Ejemplo 7: Para que valores de u, v el sistema de ecuaciones lineales.
3x – 2y + z = v 5x – 8y + 9z = 3 2x + y + uz = -1
Tiene a) solución única
b) No tiene solución
c) Infinitas soluciones.
101
Matrices y Determinantes
Solución: 3 2 1 v F1 F3 5 8 9 3 2 1 u 1
1 3 1 u v 1 9 3 5 8 2 1 u 1
1 3 1 u v 1 1 3 1 u v 1 F2 5 F1 0 7 4 5u 2 5v 4 5u 2 5v 0 7 F3 2 F1 0 7 3u 2 3 2v F3 F2 0 0 2u 6 1 3v
a) solución única: si r(A) = r(Aa) = 3 u -3 y v 1/3. b) No tiene solución si u = - 3 y v 1/3 c) Tiene infinitas soluciones si u = - 3 y v = 1/3 4.5
SISTEMA DE ECUACIONES HOMOGÉNEAS
Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos constantes son cero, es decir, el sistema tiene la forma a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a21 x1 a22 x2 a2 n xn 0 am1 x1 am 2 x2 amn xn 0
Observaciones:
1) Una solución evidente de cualquier sistema homogéneo es cuando: x1 = x2 = x3 = .... = xn = 0 ( solución trivial ) por lo tanto es consistente. Luego r(A) = r(Aa). 2) Suponiendo que existiera una solución de la forma: (r1, r2, ..., rn) en los cuales los ri no son todos nulos, se comprueba que al multiplicarla por una constante “k” cualquiera, el vector (kr1, kr2, ..., krn) es también solución de este sistema.
102
Matrices y Determinantes
Por lo tanto si se conoce una solución no trivial del sistema, se conocen infinitas soluciones, que son múltiplos de la anterior. Nota: No hay sistemas homogéneos inconsistentes; o la única solución es trivial o existen infinitas soluciones no triviales. En ningún caso pueden tener solución única no nula.
Diagrama de Flujo (Resumen del sistema de ecuaciones lineales Homogéneas y no homogéneas ) Inicio
AX = b [ A | b]
B0
B=0
Inconsistente (No hay solución. Si r(A) r(Aa)
Consistente (hay solución). Si r(A) = r(Aa) = r
Solución única. Si r = n
Solución única (trivial)
Infinitas solución. Si r <n
Ejemplos: 1) En el sistema de dos ecuaciones lineales: -4x + 6y = 0 5x + y = 0
103
Solución Múltiple (no trivial)
Matrices y Determinantes
Cuya expresión matricial AX = b es: 4 6 x 0 5 1 y 0
Este sistema lineal es homogéneo por cuanto el vector b de términos independientes, es un vector nulo. 2) Dado el sistema de ecuaciones lineales homogéneas. 2x + 3y = 0 6x + 9y = 0 cuya expresión matricial AX = b es: 2 3 x 0 6 9 y 0
Además de la solución trivial (x = y = 0), se tiene la solución no nula (1,5 ; -1). Todos los vectores de la forma ( 1,5k; -k ) en la cual “k” es un número real cualquiera. El sistema tiene infinitas soluciones que se obtienen variando en forma arbitraria el valor de la constante k. Ejemplos: Resolver el sistema de ecuaciones homogéneas x y z 0 1) 3x 6 y 5 z 0 x 4 y 3z 0
Solución: 1 1 1 0 [A: b ]= 3 6 5 0 F2 3F1 1 4 3 0 F3 F1
Los
sistemas
1 1 1 0 1 1 1 0 0 3 2 0 0 3 2 0 0 3 2 0 F3 F2 0 0 0 0
homogéneos
son
siempre
consistentes
(compatibles), el rango de la matriz original y la ampliada no pueden ser distintos ya que en estos, el vector de términos independientes es nulo.
104
Matrices y Determinantes
El sistema de ecuaciones correspondiente a esta última matriz escalonada es: x +y + z =0 3y + 2z = 0 r(A’)=2 ; n = 3 luego: 3 –2 = 1 (parámetros ) entonces, z = t , y = - 2t / 3 , x = 2t/3 - t = -t/3 , t Observación: Recuerde que t puede tomar valores arbitrarios con los cuales se obtendrían valores numéricos (soluciones no triviales) 3) Hallar el valor de “t”, de manera que el siguiente sistema lineal homogéneo tenga solución no trivial. (1–t)x+y -z =0 2x – ty – 2z = 0 x – y – ( 1 + t)z = 0 Solución: Para que exista solución de tipo no trivial deberá cumplirse que r(A) < n; siendo “n” = número de variables del sistema. 1 F13 1 1 (1 t ) 1 t 1 2 t 2 t 2 2 F2 2 F1 1 1 (1 t ) 1 t 1 1 F3 (1 t ) F1
1 1 (1 t ) 0 2 t 2t 0 2 t t 2
1 1 (1 t ) 0 2 t por condición del problema –t2 –2t = 0 2 t F3 F2 0 0 t 2 2t
t( t + 2 ) = 0 t = 0 t = -2 4) Determinar el valor del parámetro a, para los cuales el sistema dado tiene soluciones no triviales y hállese estas soluciones
105
Matrices y Determinantes
x + ay + 2z = 0 4x – y + 7z = 0 2x + y + 3z = 0 Solución: Reduciendo la matriz de los coeficientes a su forma escalonada, se tiene: 1 a 2 4 1 7 F 4 F 1 2 2 1 3 F3 2 F1
a 2 a 2 1 1 0 1 4a 1 F 2F 0 3 1 3 2 0 1 2a 1 0 1 2a 1
1 a 2 1 1 1 ( ) F2 0 3 0 1 2a 13
1 a 2 1 0 1 = Aa 3 F3 (2a 1) F2 2 0 0 (a 1) 3
Para que el sistema tenga soluciones no triviales es necesario que r(Aa) = 2, ya que el número de incógnitas del sistema es n = 3. Luego si r(A) = 2 -2/3 ( a + 1) = 0 a = -1. 1 1 2 F1 F2 1 0 5 / 3 1 0 1 1/ 3 Aa = 0 1 3 0 0 0 0 0 0
De la última matriz obtenemos: x + 5/3 z = 0, y – 1/3z = 0. Si designamos z = t como la variable libre, entonces: x = -5/3 t , y = 1/3 t. 4.6 REGLA DE CRAMER Consideremos un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, es decir: a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bn
106
()
Matrices y Determinantes
El sistema ( ) tiene solución única si y solo si |A| 0 y esta solución esta dado por x i
Ai A
, donde i = 1,2, ..., n, donde Ai es la matriz
que se obtiene al reemplazar la j-esima columna de A por la matriz B, es decir x1
A1 A
, x2
A2 A
, ... , x n
An A
, donde
b1 b A1 2 b n
a12 a1n a11 b 2 a1n a a 22 a 2 n b 2 a 2 n 22 A , 2 , etc a n 2 a nn a n1 b n a nn Si det(A) = |A| = 0, entonces el sistema ( ) es:
a) Incompatible si |A1| 0, |A2| 0, ... , |An| 0 b) Indeterminado si |A1| = 0, |A2| = 0, ... , |An| = 0 Ejemplo 1: Resolver 2x y 4z 4 x 2 y 8z 2 8x 3y 12z 16
Cálculo de x, y, z: 4 2 16 x 2 1 8
1 2 3 1 2 3
4 8 12 208 2, y 4 104 8 12
2 1 8 2 1 8
4 2 16 1 2 3
4 8 12 416 4 , z 4 104 8 12
Ejemplo 2: Al resolver el sistema, hallar el valor de “z”. 2 x y z 5 3x 2 y 2z 3 x 3y 3z 2
107
2 1 8 2 1 8
1 2 3 1 2 3
4 2 16 104 1 4 104 8 12
Matrices y Determinantes
Solución: 2 3 1 A Aplicando determinantes: z 3 = 2 A 3 1
4.7
1 2 3 1 2 3
5 3 2 42 1 = 1 42 2 3
Algunas Aplicaciones
1. Una empresa productora de ropa fabrica tres estilos de camisa. Cada estilo requiere de los servicios de tres departamentos, como se ve en la siguiente tabla. Los departamento de corte, costura y empaque disponen de un máximo de 1160, 1560 y 480 horas de trabajo por semana, respectivamente. ¿Cuántas camisas de cada estilo debe producir la planta cada semana para que funcione a plena capacidad ?. Estilo A
Estilo B
Estilo C
Departamento de corte
0.2h
0.4h
0.3h
Departamento de montaje
0.3h
0.5h
0.4h
Departamento de empaque
0.1h
0.2h
0.1h
Solución: Sea x = Número de camisas del estilo A producidas por semana y = Número de camisas del estilo B producidas por semana z = Número de camisas del estilo C producidas por semana Entonces 0.2x + 0.4y + 0.3z = 1160 Departamento de corte. 0.3x + 0.5y + 0.4z = 1560 Departamento de costura 0.1x + 0.2y + 0.1z = 480 Departamento de empaque Si se desea, pueden suprimirse los decimales, multiplicando los dos miembros de cada ecuación por 10. por lo tanto, 2x + 4y + 3z = 11600 3x + 5y + 4z = 15600
108
Matrices y Determinantes
x + 2y + 1z =
4800
Formando la matriz ampliada 2 4 3 11600 F13 1 2 1 4800 1 2 1 4800 [ A | b] = 3 5 4 15600 3 5 4 15600 F2 3F1 0 1 1 1200 1 2 1 4800 2 4 3 11600 F3 2 F1 0 0 1 2000
F1 F3 1 2 0 2800 F1 2F2 1 0 0 1200 F2 F3 0 1 0 800 0 1 0 800 0 0 1 2000 0 0 1 2000
de la última matriz obtenemos que: z = 2000, y = 800 , x = 1200. Por lo tanto, cada semana la empresa puede producir 1200 camisas del estilo A, 800 del estilo B y 2000 camisas del estilo C para funcionar a plena capacidad.
2. Repita el problema anterior suponiendo que los departamentos de corte, costura y empaque disponen de un máximo de 1180, 1560 y 510 horas de trabajo por semana, respectivamente. Rta. 900 camisas del estilo A, 1300 camisas del estilo B y 1600 camisas del estilo C.
3. Una fundidora produce tres esculturas diferentes de bronce. El departamento de fundición dispone de un máximo de 350 horas de trabajo por semana. La escultura A necesita 30 horas para fundición y 10 horas para acabado; la escultura B necesita 10 horas para fundición y 10 horas para acabado; y la escultura C requiere 10 horas para fundición y 30 horas para acabado. Si la planta debe funcionar a su máxima capacidad, ¿Cuántas esculturas de cada tipo debe producir cada semana?. Solución:
109
Matrices y Determinantes
Horas de trabajo por escultura
Máximo de horas de trabajo
A
B
C
Departamento de fundición
30
10
10
350
Departamento de acabado
10
10
30
150
Sean x = Número de esculturas A producidas por semana Y = Número de esculturas B producidas por semana Z = Número de esculturas C producidas por semana Entonces
30x + 10y + 10z = 350 Departamento de fundición 10x + 10y + 30z = 150 Departamento de acabado
Ahora se puede transformar la matriz aumentada del sistema y resolver utilizando la eliminación de Gauss – Jordan. 30 10 10 350 1 / 10F1 10 10 30 150 1 / 10F2
3 1 1 35 F12 1 1 3 15 1 1 3 15 3 1 1 35
1 1 1 1 3 15 F1 F2 1 0 1 10 3 15 F2 3F1 0 2 8 10 1 / 2 F2 0 1 4 5 0 1 4 5
de la ultima matriz se obtiene que r(A) = r(Aa) = 2 el sistema es consistente N° de incógnitas > N° de ecuaciones 3 – 2 = 1 variable libre o parámetro. x – z = 10 y +4z = 5
..... ( 1 ) ....... ( 2 )
entonces hacemos, z = t , t ; entonces: x = 10 + t,
y = 5 – 4t , z = t
es una solución o bien, ¿es ésta la solución? No se puede producir un número negativo o fraccionario de esculturas. Por lo tanto, t debe ser un número entero no negativo. Debido a que la ecuación central ( y = -4t + 5 ), t puede sólo tomar los valores 0 y 1, entonces, para t = 0, se tiene x = 10, y = 5, z = 0; y para t = 1 se
110
Matrices y Determinantes
tiene x = 11, y = 1, z = 1. Estos son los únicos resultados posibles del programa de producción que satisfacen el requisito de plena capacidad de la planta.
4. Suponer que la dieta mínima vital es 72 unidades de proteínas, 104 unidades de carbohidratos y 88 unidades de minerales. Un nutricionista dispone empaquetados tres tipos de alimentos A, B, y C, que por paquete contienen:
Proteínas
Carbohidratos
Minerales
A
1
2
4
B
4
4
2
C
2
4
3
Es decir, un paquete del alimento A contiene 1 unidad de proteínas, 2 de carbohidratos y 4 de minerales. Se debe entregar a cada comenzal una dieta mínima en un número entero de paquetes. ¿Cuántos paquetes de alimentos constituye la dieta mínima? Solución: Sean x, y, z el número de paquetes de los tres tipos de alimentos A, B y C respectivamente. Entonces, x + 4y + 2z = 72 2x + 4y + 4z = 104 4x + 2y + 3z = 88 Ahora se puede transformar la matriz aumentada del sistema y resolver utilizando la eliminación de Gauss – Jordan.
111
Matrices y Determinantes
1 2 4 1 0 0
4 2 72 4 4 104 F2 2 F1 2 3 88 F3 4 F1 4 2 72 1 0 10 14 5 200
1 4 2 72 0 4 0 40 (1/ 4) F2 0 14 5 200
1 4 2 72 1 4 2 72 F1 2F3 1 4 0 48 0 1 0 10 0 1 0 10 0 1 0 10 0 0 1 12 F3 14F2 0 0 5 60 (1 / 5) F2 0 0 1 12
F1 4F2 1 0 0 8 0 1 0 10 . Por lo tanto x = 8, y = 10, z = 12 0 0 1 12
Esto quiere decir que, la dieta mínima esta constituida por 8 paquetes del tipo A, 10 paquetes del tipo B y 12 paquetes del tipo C. 5. Si sabemos que: x = número de unidades fabricadas del producto U. y = número de unidades fabricadas del producto U. Productos
U
V
Disponibilidad
Máquinas
(hrs. Semanales)
R
7
4
50
S
8
6
60
¿Cuántas unidades de x
y
y deben producirse semanalmente
para tener ocupadas plenamente las máquinas R y S?.
Solución: Según los datos tenemos el siguiente sistema: 7x + 4y = 50 8x + 6y = 60
112
Matrices y Determinantes
Formando la matriz ampliada y aplicando transformaciones elementales, tendremos: 7 4 50 F1 F2 1 2 10 1 2 10 6 60 F2 8F1 0 10 20 8 8 6 60 (1) F1 1 2 10 F1 2F2 1 0 6 (1 / 10) F2 0 1 2 0 1 2
De la última matriz obtenemos: x = 6 , y = 2. Deben producirse 6 y 2 unidades semanalmente para tener ocupadas plenamente las máquinas R y S. 6. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de hombres. a) Plantear un sistema para averiguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión. b) Resolver el problema. Solución: Apartado a: Si llamamos x, y, z, al número de hombres, mujeres y niños, respectivamente, que fueron de excursión, tendremos: x y z 20 x y z 20 ; ordenamos x y 3z 0 x y 3z y 1 x x y 1
Apartado b: Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes A y la matriz ampliada con los términos independientes Aa:
113
Matrices y Determinantes
1 1 1 A 1 1 3 1 1 0
1 1 1 20 Aa = 1 1 3 0 1 1 0 1
1 1 1 como A 1 1 3 8 0 r (A) r (Aa ) 3 S.C.D 1 1 0
Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores de: 20 1 1 1 20 1 1 1 20 A x 0 1 3 64; A y 1 0 3 56; A z 1 1 0 40 1 1 0 1 1 0 1 1 1
x
Ax A
Ay A 56 64 40 7; z z 8; y 5 A 8 8 A 8
Luego, habrán asistido 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños a la excursión. 7.
Cierto estudiante obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas, una calificación de 8 puntos. En la segunda pregunta sacó dos puntos más que en la primera y un punto menos que en la tercera. a. Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuación obtenida en cada una de las preguntas. b. Resolver el sistema. Solución: Apartado a: Si llamamos x, y, z, ala puntuación obtenida en cada pregunta, respectivamente, tendremos: x y z 8 x y z 8 y x 2 ; ordenamos x y 2 y z 1 y z 1
114
Matrices y Determinantes
Apartado b: Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes A y la matriz ampliada con los términos independientes Aa: 1 1 1 A 1 1 0 0 1 1
1 1 1 8 Aa = 1 1 0 2 0 1 1 1
1 1 1 como A 1 1 0 3 0 r(A) r(Aa ) 3 S.C.D 0 1 1
Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores de: 8 1 1 1 8 1 1 1 8 A x 2 1 0 3; A y 1 2 0 9; A z 1 1 2 12 1 1 1 0 1 1 0 1 1
x
Ax A
Ay A 9 3 12 3; z z 1; y 4 A 3 3 A 3
Luego, habrá obtenido 1 punto en la primera pregunta, 3 en la segunda y 4 en la tercera. 8.
Una ama de casa adquirió en el mercado ciertas cantidades de patatas, manzanas y naranjas a un precio de 100, 120 y 150 soles/kg, respectivamente. El importe total de la compra fueron 1160 soles. El peso total de la misma es 9 kg. además, compró 1kg. más de naranjas que de manzanas. a) plantear un sistema para determinar la cantidad comprada de cada producto. b) Resolver el problema. Solución:
115
Matrices y Determinantes
Apartado a: Si llamamos x, y, z, al número de kg. comprados de patatas, manzanas y naranjas, respectivamente, tendremos: 100x 120y 150z 1160 100x 120y 150z 1160 ; ordenamos x y z 9 x y z 9 y 1 z y z 1
Apartado b: Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes A y la matriz ampliada con los términos independientes Aa: 10 12 15 A 1 1 1 0 1 1
10 12 15 116 Aa = 1 1 1 9 0 1 1 1
10 12 15 como A 1 1 1 7 0 r(A) r(Aa ) 3 S.C.D 0 1 1
Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores de:
116 12 15 Ax 9 1 1 14; 1 1 1
x
Ax A
10 116 15 Ay 1 9 1 21; 0 1 1
10 12 116 Az 1 1 9 28 0 1 1
Ay A 21 14 28 3; z z 2; y 4 A 7 7 A 7
Por tanto, habrá comprado 2 kg. de patatas, 3 kg. De manzanas y 4 kg. de naranjas.
116
Matrices y Determinantes
9. En una confitería los bombones en cajas de 250 gr, 500gr. y 1 kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (250 gr.) que de tamaño mediano (500 gr), sabiendo que el precio del kg. de bombones es 4 000 soles y que el importe total de los bombones envasados asciende a 125 000 soles. 1. Plantear un sistema para determinar cuántas
cajas se han
envasado de cada tipo. 2. Resolver el problema. Solución: Apartado a: Tenemos que: Precio de la caja de 250 gr. = 1000 soles Precio de la caja de 500 gr. = 2000 soles Precio de la caja de 1kg. = 4000 soles Si llamamos x, y, z, al número de cajas envasadas de 250 gr., 500 gr. y 1kg., respectivamente, tendremos: x y z 60 x y z 60 ; simplificando: x y 5 x y 5 1000x 2000y 4000z 125000 x 2 y 4z 125
Apartado b: Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de los coeficientes A y la matriz ampliada con los términos independientes Aa: 1 1 1 A 1 1 0 1 2 4
1 1 1 60 Aa = 1 1 0 5 1 2 4 125
117
Matrices y Determinantes
1 1 1 como A 1 1 0 5 0 r (A) r(Aa ) 3 S.C.D 1 2 4
Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer; para ello calculamos los valores de:
60 1 1 A x 5 1 0 125; 125 2 4
x
Ax A
1 60 1 A y 1 5 0 100; 1 125 4
1 1 60 A z 1 1 5 75 1 2 125
Ay A 100 125 75 20 ; z z 25 ; y 15 A 5 5 A 5
Por tanto, se habrán envasado 25 cajas pequeñas, 20 medianas y 15 grandes. 10. Las edades (en años) de un niño, su padre y su abuelo, verifican las siguientes condiciones: La edad del padre es veces la edad del hijo. El doble de la edad del abuelo más la edad del niño y más la del padre es de 182 años. El doble de la edad del niño más la del abuelo 100. a) Establece las edades de los tres su poniendo que =2 b) Para =3 ¿Qué ocurre con el problema planteado? c) Siguiendo con =3 ¿Qué ocurre si en la segunda condición la suma es 200 en vez de 182? Solución: Si llamamos “x” a la edad del niño, “y” a la del padre y “z” a la del abuelo, el sistema que podemos plantear con los datos del problema es el siguiente:
y x 2 z x y 182 2 x z 100
0 x y x y 2 z 182 2x z 100
Las matrices del sistema y la ampliada, son en este caso las siguientes:
118
Matrices y Determinantes
1 0 A 1 1 2 2 0 1
1 0 0 B 1 1 2 182 2 0 1 100
a) =2 A 5 0 RangA 3 RangB el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos y las soluciones son: x = 18, y = 36, z = 64. Por tanto, para =2, el hijo tendrá 18 años, el padre 36 y el abuelo 64. b) 3 A 0 .
En este caso,
Rang A 2 el RangB 3
sistema es
incompatible.El problema no tiene solución. c) Ahora nos mandan analizar el
0 3x y sistema x y 2 z 200 2x z 100
cuyas
matrices de los coeficientes y ampliada, son respectivamente: 3 1 0 A 1 1 2 2 0 1
3 1 0 0 B 1 1 2 200 2 0 1 100
Puesto que como en el caso anterior Rang A =2 pero Rang B =2, ahora el sistema es compatible indeterminado. El problema en este caso, tiene infinitas soluciones que dependen de un parámetro. Puesto que el determinante de orden dos
3 1 0 , para resolver 1 1
el sistema podemos quedarnos con las dos primeras ecuaciones y dejar libre la incógnita z. Las soluciones serían: 3 ; x 50 ; y 150 2 2
z
Para cada valor que demos a ,
obtendremos una solución. Obviamente, como se trata de edades de tres personas, no todas las soluciones tendrán sentido.
119
Matrices y Determinantes
11. En un cajero automático se introducen billetes de 10, 20 y 50 euros. El número total de billetes es de 130 y el total de dinero, 3000 €. Se sabe que el número de billetes de 10 € es m veces los billetes de 50 €. a) Calcula el número de billetes de cada tipo, suponiendo que m = 2. b) Para m=3 ¿qué ocurre con la situación del cajero planteada? c) Siguiendo con m = 3, si se tuvieran 100 billetes en el cajero, ¿cuánto dinero debería haber para que sea posible una composición del cajero? Solución: a)
Llamando x al nº de billetes que hay de 10 €, y al nº de billetes de 20 € y z al de 50 €, el enunciado puede traducirse en el siguiente sistema: x 80
x y z 130 10x 20 y 50z 3000 y 10 z 40 x 2z
b)
Para m = 3, el sistema es así:
x y z 130 10 x 20 y 50 z 3000 x 3z 0
Estudiemos
los rangos de la matriz del sistema y de la ampliada respectivamente: 1 1 1 A 10 20 50 1 0 3
RangA 2
1 130 1 1 B 10 20 50 3000 1 0 3 0
y rangB 3 El sistema es incompatible.
En esas condiciones, no se puede componer el cajero. c)
En este caso, y llamando k al dinero (en Euros) que hay en el cajero, el sistema que se plantea es el siguiente: x y z 100 0 10x 20 y 50z k 0 . x 3z 0
Las matrices del sistema y ampliada, son ahora estas:
120
Matrices y Determinantes
1 1 1 A 10 20 50 1 0 3
1 100 1 1 B 10 20 50 k 1 0 3 0
Ya sabemos por el apartado anterior, que rang A = 2. Si queremos que sea posible una composición del cajero es decir, si queremos que ese sistema tenga solución (o para ser exactos, soluciones), hemos de obligar a la matriz B a tener rango dos, para lo cual ha de ser cero el siguiente determinante: 1 1 100 10 20 k 0 k 2000 0 k = 2000 1 0 0
Para que en esas condiciones sea posible una composición del cajero, tiene que haber 2000 €. 12. Cierto país importa 21 000 vehículos de tres marcas A, B y C al precio de 10 000, 15 000 y 20 000 euros respectivamente. El total de la importación asciende a 3222 millones de euros. Se ha observado que también hay 21 000 vehículos, contando solamente los de la marca B y veces los de la A. a) Plantea un sistema de ecuaciones con las condiciones del problema en función del número de vehículos de cada marca. b) Establece el número de vehículos de cada marca suponiendo 3. c) Estudia si existe algún valor de para el que la situación no pueda darse en el campo de los números Reales. Solución: a) Llamemos: x = vehículos importados de la marca A y = vehículos importados de la marca B z = vehículos importados de la marca C El sistema es el siguiente: x y z 21000 x y z 21000 10000 x 15000 y 20000 z 322000000 2 x 3 y 4 z 64400 x y 21000 x y 21000
121
Matrices y Determinantes
x 1400 b) Resolviéndolo para 3 , obtenemos que: y 16800 z 2800
c) En el sistema planteado en el primer apartado, sea A la matriz de los coeficientes y B la ampliada. 1 1 1 A 2 3 4 1 0 A 0 2 0 2
1 1 1 21000 B 2 3 4 64400 1 0 21000
Para 2 , resulta que Rang A= 2 y Rang B = 3. Por tanto, para 2 el sistema es incompatible.
EJERCICIOS PROPUESTOS: Grupo 1 1. Escribir explícitamente las siguientes matrices a) A = [aij]3x2 , donde aij = i –2j b) A = [aij]3x3 , donde aij = i2 –2j c) A = [aij]3x4 , donde aij = max{ i, j} d) A = [aij]4x3 , donde aij = 2i – (-1)j 2. Sean las matrices: A = 2
C=
3 1
x 2 y 3
x , x y
B =
2 3
y 4 4
2 Si A = B, hallar A + 3C. 0
3 1 2 6 7 5 6 3 7 3. Si A = 7 1 4 B 8 4 2, C 12 5 6 8 3 6 1 9 1 1 14 10
resolver la
ecuación: 2( X – 2C) = 3X – C –2(A + 2B – X) x
y
y
x
6
4
4. Si z w 1 2 w z w
x y , hallar x + y + z +w Rta. 4 3
122
Matrices y Determinantes
1 2 2 5. Si A = 2 1 2 . Demuestre que A2 – 4 A – 5I = 0 2 2 1 5 8 4 6. Dada la matriz D = 3 2 5 , halle una matriz C tal que D + C de 7 6 0
4 8 4 Rta. C = 3 1 5 7 6 1
la matriz unitaria. 7. Calcular los productos: 4 3 10 3 6 2 7 3 1
a) 2 1 5 0 1 b) 2 3
0 1 2 3
0 1 1 2 4 2 2 1 3 1 1 4
8. Hallar a, b, c y d para que satisfagan la ecuación 1 a b c d 0 1 4 9 2 0 0
0 0 1 0
2 1 0 1
0 1 1 0 6 6 0 1 9 8 4 0
Rta. a = 1, b = -6, c = 0, d = -2 2 1 x 1 0 9. Si 2 0 1 y 5 , calcular x + y + z. Rta. 6 3 1 0 z 3
10. Hallar una matriz X de orden 2x1 tal que AX = 3X, donde 2i
1
A= 3 2i 3
2
4
2
2 2 11. Sean A = , B = 15 7 y f(x,y) = x –xy + y 15 8
a) Verificar que A y B conmutan
123
b) Evaluar f(A,B)
Matrices y Determinantes
12. Si f(x) = 3x2 –2x + 5, hállese el valor del polinomio f(A) para la 1 2 3 A = 2 4 1 3 5 2
matriz
13. Dado F(x) = x34 – 2x9 + 1 0 1 1
Halle F(M), si M = 1 14. Sean las matrices: 6
2
5 2 si P(x,y) = x3 + 2xy2 + 2x2y + y3 . 3
A= B 5 5 2
Calcule P(A,B) e indique la suma de la diagonal segundaria. 1 1 1 15. Si A = 0 1 1 , hallar la suma de los elementos de A5 0 0 1 1 3 1 16. Para la matriz de A = 5 2 6 , hallar (-A3) 2 1 3 3 2 1 1 0 1 0 1 17. Sean A = 1 0 , B C = 2 1 0 2 1 0 0 1 3 0 1
y P = ABC, hallar el valor de la suma S = p11 + p22 + p33 18. Determinar una fórmula para cada una de las siguientes potencias, y luego demostrarlo por inducción. n
1 a a) , nZ 0 1 n
1 1 1 c) 0 1 1 , n Z 0 0 1
cos x senx b) , nZ senx cos x n
1 1 1 d) 0 1 1 , n Z 0 0 1 n
124
Matrices y Determinantes
3 1
1 2 . Evaluar 4
19. Sean: f(x) = x2 – x + 3, A = y B = 3 2 0 f(A+B). 20. Si se cumple:
4 3 1 0 ; B2 + ( A – I )2 = 2 0 1
B + ( A + I )2 = 3
Calcular la Traz(A) si B es idempotente. 21. Dada la matriz A = [aij]3x3 definida por: 2 ij, i j aij 1 , i j
Determine una matriz B tal que: A + Bt = 2I donde I es la matriz identidad e indique como respuesta: Traz( B) b31 b23 b12 22. Determinar la suma de los elementos de la matriz B, si: 2 4 6 4 2 4 t A + B = 2 4 8 ; A – B = 6 2 4 4 6 2 6 6 2 t
1 3 1 2 2 1 23. Dadas las matrices A = 5 2 6 y B = 2 1 2 2 2 1 2 1 3
Despejar X de la ecuación ( A + B + X)t = 2 (At – B ) 2 0 4 1 1 1 0 3 1 2 4 2 24. Dadas las matrices A = yB= 1 0 5 6 3 1 2 2 1 4 0 2
Hallar la matriz X, si ( 2 A - 3B)t – 2 X = B - A 3 1 2 8 3 2 25. Dadas las matrices A = 1 6 3 y B 6 1 3 4 2 5 2 9 2
125
3 2 1 2 2 0 1 3
Matrices y Determinantes
y la ecuación ½ ( X – 3 A ) = (At –2B)t + At ; hallar la suma de las componentes de la segunda fila y la suma de las componentes de la tercera columna de la matriz X. 4 2 2 4 1 2 26. Demostrar que las matrices A = 1 3 4 y B = 1 2 4 1 2 3 1 2 4
son idempotentes y permutables. 5 8 0 27. Si A y B son matrices involutivas y AB = BA = 3 5 0 1 2 1
Hallar la traza de la matriz M = ( A + B )2 Rta. 4 3 3 0 1 1 4 28. Mostrar que A = 4 3 4 y B 1 0 1 son matrices 3 3 4 4 4 3
involutivas. 29. Se dice que una matriz A es ortogonal si A-1 = At. Comprobar si 1 2 2 la matriz A = 1/3 2 1 2 es ortogonal 2 2 1
( sugerencia: AAt= AtA = I ) 30. En una página deteriorada de un antiguo texto se encuentra 1 x 0 que la matriz A = 0 0 y y del producto A2At solo se puede 0 0 z . . 6 leer la última columna . . 2 . Hallar x + y + z . . 1 a b
Rta. 4
31. Demostrar que la matriz A = satisface la ecuación: c d X2 – ( a + d) x + ad – bc = 0
126
Matrices y Determinantes
32. Si A = BC y A + B = I, hallar AC – C 4 0 33. Sea A = 0 0
Rta. - A
3 2 6 3 2 6 . Hallar la suma de los componentes de la 0 2 6 0 0 6
diagonal principal de la matriz A-1. Rta. 1/4 a b 1 1 2 34. Si A = 2 3 b es una matriz simétrica, hallar A . b x a x 4 6 7 3 Rta. 7 14 5 3 5 10
35. Si A =
3 0 0 2 4 1 1 2 0 y B 0 5 5 , hallar la suma de los 5 3 5 0 0 2
elementos de la diagonal principal de la matriz M = 3 A-1 – 2B-1. 36. Determinar la inversa de las siguientes matrices si existen: 3 0 4 a) A = 4 1 3 2 0 4
2 1 c) A = 0 1
1 0 0 1 1 1 0 0
1 2 3 b) A = 2 2 0 1 0 0 0 1 1 3
1 2 d) A = 3 4
1 1 3 4
1 2 2 4
1 2 3 3
37. Halle la inversa de las siguientes matrices si existen 1 p 0 1 a) A = 0 0 0 0
p2 p 1 0
p3 p2 p 1
0 1 p 0 0 1 p 0 b) A= 0 0 1 p 0 1 0 0
127
Matrices y Determinantes
2 1 1 0 2 0 38. Si adj(A) = 0 6 5 0 2 0
0 1 , calcular det(A-1) 1 1
1 0 1 0 1 2 39. Calcular la matriz A si adj(A) = 0 1 2 0 0 1
0 0 0 1
1 1 a b 40. Calcular el determinante de la matriz A donde A = 2 2 a b 3 3 a b
1 c c2 c3
1 1 1 1
Rta. A = (b - a)(c – a)( d – a)(c – b)( d – b)( d – c) 1 1 41. Consideremos la matriz A = 1 1 x
1 1 1 x 1
Hallar el valor de “x” tal que A = 0
1 1 x 1 1
1 x 1 1 1
x 1 1 1 1
Rta. x = 4, x = 1
42. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: ( ) Si A es de orden 3x3 y At = -A; entonces A =0 ( ) Si A es de orden 4x4 y A = 2; entonces el valor de 2 A = 4 ( ) Si A es cuadrada y A2 es la matriz nula, entonces A = 0 43. Sean A y M matrices de orden “n”, donde: M = I – A(AtA)-1At. Calcular: M t Rta. 0 44. Dada la matriz A de orden 3; tal que sus elementos cumplen: i min(i, j ); i j; i 1; 2; 3 aij j min(i, j ); i j; j 1; 2; 3
Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: ( ) A es antisimétrica
128
Matrices y Determinantes
( ) A es simétrica ( ) A=0 45. Sea la matriz A = [ aij]4x4 tal que: si 2 i j 5 ij; aij . Calcular A ij 4; si 6 i j 8
1 1 1 46. Calcular: A = 1 2 3 k 1 1 4 k2 20
Rta. 2730
47. Calcular los determinantes ( i = 1 ) 1 1 i 1 0 1 i 1 2i i 1 1 i a) 1 i 0 1 i b) 1 i 0 2 3i c) 1 0 1 2i 1 1 i 1 1 2i i 6i 1 i 1 2i 2i
Rta. a) 2 – 2i , b) 6 , c) i
48. Calcular los siguientes determinantes cos x senxcos y senxseny cos(a b) cos(b c) cos(c a) a) senx cos x cos y cos xseny b) cos(a b) cos(b c) cos(c a) 0 senx cos y sen(a b) sen(b c) sen(c a)
Rtas. a) 1
b) sen(c-a)sen(c-b)sen(a-b)
senxcos y asenxseny a cos x cos y 49. Sea la matriz A = senxseny asenxcos y a cos xseny si A = ksenx, cos y 0 asenx
hallar el valor de k. Rta. k = -a2 50. Calcular el valor del determinante. a 1 3a b 2a b 1 2b b 1 2 b 1 A= Rpta. A 0 a2 0 1 a3 b 1 1 a2 ab
129
Matrices y Determinantes
51. Demostrar bc ca a) q r r p yz zx
ab a b c p q 2 p q r x y x y z
1 a a2 b) 1 b b 2 (b c)(c a)(a b) 1 c c2
52. Efectuar el desarrollo del siguiente determinante:
A
=
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 n
53. Hallar el valor del siguiente determinante. 1 1 A= 1
1
n n 1 2 n 1 n 1 1 2 n2 n2 1 2 n k 1 n k 1 1 2
n k 1 n 1 k 1 n2 k 1 n k 1 k 1
54. Efectuar el desarrollo de: a2 b2 A= 2 c d2
(a 1) 2 (b 1) 2 (c 1) 2 (d 1) 2
( a 2) 2 (b 2) 2 (c 2) 2 ( d 2) 2
(a 3) 2 (b 3) 2 (c 3) 2 (d 3) 2
130
Rta. A = 0
Matrices y Determinantes
55. Calcular el valor del determinante de las siguientes matrices: 3 1 a) A = 1 1
1 3 1 1
1 2 1 c) C = 2 2 3 1 2
1 1 3 1 1 2 1 2 1 3 1
3 1 1 2 7 1 , b) B = 0 0 1 0 0 3 0 0
1 0 1 3 1 2
1 0 1 2 0
5 4 0 1 1
3 2 1 1 1
1 2 1 2 0 0
1 a b 0 56. Si A = 2 5 a es una matriz simétrica, hallar A , y la matriz b x 3
inversa de A, usando operaciones elementales por filas. 1 0 2 57. Sea la matriz: A = 2 1 1 ; si B = adj(A). Hallar b12 + b13 + b21 1 3 4 0 0 1 58. Sea la matriz A = 3 0 0 . Hallar Traz[A63] – 729 Traz[A54] 0 3 0
131
Matrices y Determinantes
EJERCICIOS PROPUESTOS: Grupo 2
1. Hallar el rango de la matriz dada. 1 2 3 4 1 2 3 6 a) A = 2 4 6 8 Rta. r(A)=1 b) A = 2 3 1 6 Rta. r(A) = 3 3 6 9 12 3 1 2 6
4 3 2 2 1 0 2 0 3 0 c) A = 0 2 1 1 Rta. r(A) = 3 d) A = 0 1 0 2 0 0 0 0 3 3 2 0 4 0 6 0
Rta. 2 2. Mediante una sucesión finita de operaciones elementales con filas, demostrar que: a a 2 2 b b c c 2
a3 b3 c3
a 4 1 0 0 abc 4 b 0 1 0 (ab bc ca ) c 4 0 0 1 a b c
3. Hallar el rango de la matriz dada empleando el método de las transformaciones elementales. 2 1 3 2 4 a) 4 2 5 1 7 Rta. 2 2 1 1 8 2
3 5 c) 1 7
1 3 3 2 3 5 5 1
47 67 35 201 155 b) 26 98 23 294 86 Rta. 2 16 428 1 1284 52
2 5 3 4 Rta. 3 0 7 4 1
5 1 1 3 2 1 3 4 d) 5 1 1 7 9 1 7 7
En los ejercicios 4 a 5, resolver las ecuaciones matriciales
132
Matrices y Determinantes
3 2
1 2
4. AX = B, si A = y B = 5 6 5 4 3 1 5 1 2 3 8 3 0 5. AX = B, si A = 1 3 2 y B = 5 9 0 Rta. 4 5 6 5 2 7 8 9 2 15 0 1
6. Hallar la matriz X que cumple la ecuación: ( X – 2I)B + 3C = D 1 5 2 1 2 1 4 8 3 donde, B = 3 3 0 , C = 3 3 0 , D = 1 2 10 4 2 4 5 3 1 12 7 5
7. Hallar las inversas de las siguientes matrices, empleando el método de las transformaciones elementales. 2 3 a) 2 4
4 3 2 6 5 2 5 2 3 5 14 14
1 0 b) 0 0
a x z 0 1 1 b y c) 2 0 1 c 0 0 1 2
1 1 2 3
2 2 2 3
2 3 3 3
8. La matriz X = [xij] satisface la ecuación XA = B, en donde: 7 2 5 A = 7B + I = 6 3 4 . 5 2 3
Mostrar que A es inversible y hallar x23 + x31. 9. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones x 2 y 2 z 1 a) x 3 y z 4 Rta. x 7, y 4, z 1 x 3 y 2z 3
x y z 5 5 5 1 x y 4z b) 2 Rta. x 1, y 5, z 1 5 5 5 z 2x y 5 10 10 0
133
Matrices y Determinantes
2 x y z 8 10. 8 x y 3z 26 4 x y 4 z 8
Rta. x 3, y 4,
2 x y z 5 11. x 2 y 2 z 5 7 x y z 10 3x y z w 0 5 x y z w 0
12.
z 2
x 1 Rta. y 3 t , t R . z t x 5 / 3, y 5 / 4 t Rta. ,t R z 5, w t
2 x 4 y z w 0 x 5 y 2z 0 13. 2 y 2 z w 0 Rta. x y z w 0 x 3 y w 0 x 2 y z w 0
2 x 2 y z u 0 x y 2 z 3w u 0 14. Rta. x y 2 z u 0 z w u 0 2 x 4 y 6 z 18 15. 4 x 5 y 6 z 24 2 x 7 y 12z 40
x 5 t y 5 z t w 0, u t
Rta. Inconsistente
16. Analizar con detalle que tipo de solución tiene el sistema de ecuaciones lineales y resolverla. 3x 2 y 2 z 3 2 x 3 y 3z 4 a) 5 x 2 y 4 z 2 3x 4 y 2 z 3
Rta. Inconsistente
19 95t x 6 x 2 y 3z u 1 3x 2 y z u 1 y 11 43t Rta. b) 6 , tR 2 x 2 y 2 z u 1 1 5t 5 x 5 y 2 z 3 z 6 u t
134
Matrices y Determinantes
2 x 2 y 4 z 4 w 3 8 x 4 y 3w 7 17. x z w 1 5 x 4 y 5 z 6w 6 x 2 y 3z 2 w 2
x 2 y 2z 2 3x 2 y z 5 18. 2 x 5 y 3z 4 x 4 y 6 z 0
3t x 4 y 1 t Rta. 4 , tR 1 3t z 4 w t
Solución única x 2 Rta. y 1 z 1
2 x 5 y 3z 4u 2t 4 19. 3x 7 y 2 z 5u 4t 9 5 x 10 y 5 z 4u 7t 22
inf initas soluciones x 26 11z 15t Rta. y 12 5 z 8t u 3 3t
20. Hallar el valor de k para que el sistema de ecuación 3 x 5 y 2 z w 3 x y 4 z w 6 2 y 2 z w 5 2 z k 2 w 10k
i) Tenga solución única ii) Infinitas soluciones iii) Inconsistente. Rta. i) k 1solución única.
ii) k = -1 Infinitas soluciones
iii) k = 1 no existe solución. 21. Dado el sistema de ecuaciones lineales. ax y 2 z a x ay z 1 determinar el valor de a para que el sistema: 3x y z a
i) Tenga solución única.
ii) Tenga infinitas soluciones
iii) No tenga solución. Rta. i) Sol. Única si a 2,3,1/3 ii) a = 2
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iii) a = 3.
Matrices y Determinantes
22. Discutir y resolver para los distintos valores de m el sistema de 5 x 4 y 2 z 0 ecuaciones 2 x 3 y z 0 4 x y m 2 z m 1
23. Una autoescuela tiene abierta 3 sucursales en la ciudad. El número total de matriculados es 352, pero los matriculados en la tercera son sólo una cuarta parte de los matriculados en la primera. Además, la diferencia entre los matriculados en la primera y los matriculados en la segunda es inferior en dos unidades al doble de los matriculados en la tercera. a) Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar el número de alumnos matriculados en cada sucursal. b) Resolverlo. 24. La matriz de coeficientes asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales es: 1 1 1 2 A 2 1 4 0 1 1 2 5
a) Obtener las ecuaciones del sistema. b) Calcular el rango de la matriz formada por los coeficientes del sistema. c) Sin resolver el sistema, deducir razonadamente si admite soluciones y en qué número. 25. Las edades (en años) de un niño, su padre y su abuelo, verifican las siguientes condiciones: La edad del padre es veces la edad del hijo. El doble de la edad del abuelo más la edad del niño y más la del padre es de 182 años. El doble de la edad del niño más la del abuelo 100.
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Matrices y Determinantes
a) Establece las edades de los tres su poniendo que =2 b) Para =3 ¿Qué ocurre con el problema planteado? c) Siguiendo con =3 ¿Qué ocurre si en la segunda condición la suma es 200 en vez de 182? 26. En una farmacia se comercializan 3 tipos de champú de cierta marca: normal, con vitaminas y anticaspa. Se sabe que el precio al que se vende el normal es de 2 dólares y el de vitaminas es de 3 dólares. Se desconoce el precio al que se vende el anticaspa. Por otro lado, el dinero total obtenido por la venta de los tres tipos de champú el mes pasado fue de 112 dólares y el dinero obtenido en ventas con el champú normal fue 56 dólares inferior al dinero total obtenido en ventas con el resto. Además, el dinero total obtenido en ventas con el champú de vitaminas y anticaspa fue el mismo que el que hubiera obtenido vendiendo 28 unidades del anticaspa y ninguna de los demás. a. Plantea un sistema de ecuaciones (en función del precio desconocido del champú anticaspa, que puedes llamar por ejemplo m) donde las incógnitas (x, y, z) sean las unidades vendidas el mes pasado de cada tipo de champú. b. ¿Qué puedes concluir sobre el precio del champú anticaspa a partir de un estudio de la compatibilidad del sistema? c. Si se sabe que el número de unidades vendidas del anticaspa fue 20, utiliza el resultado del apartado ( b ) para calcular las unidades vendidas de los otros 2.
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Matrices y Determinantes
27. En un centro escolar, el 80% de los alumnos del 4° de ESO pasan Bachillerato, el 70% de los alumnos de 1° de Bachillerato pasa al 2°, el 65% de los alumnos de 2° aprueban el curso. Repiten curso el 20% de los alumnos de 1° y el 30% de los alumnos de 2°. En este centro no se admiten alumnos nuevos para Bachillerato y todos los que aprueban el curso pasan al curso siguiente. a) Escribe la matriz de dimensión evolución entre cursos.
que muestra la
b) En un cierto curso había 150 alumnos en 4° de ESO, 110 alumnos en 1° de Bachillerato y 100 alumnos en 2° de bachillerato. ¿Cuál será la distribución de alumnos en el curso siguiente? 28. Una empresa produce tres tipos de artículos, A, B y C. Los precios de coste pro unidad son 30 €, 46 € y 75 €, respectivamente. Los correspondientes precios de venta de una unidad de cada artículo son 50 €, 80 € y 150 €, respectivamente. El número de unidades vendidas anualmente es de 2000, 1500 y 800, respectivamente. Halla: a) La matriz fila de costes por unidad b) La matriz fila de ventas por unidad c) La matriz fila de beneficios por unidad. d) La matriz columna de unidades vendidas. e) El beneficio obtenido.
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Matrices y Determinantes
29. Una fábrica produce tres tipos de productos, A, B y C, que distribuye a cuatro clientes. En el mes de enero el primer cliente compró 9 unidades de A, 5 de B y 2 de C; el segundo cliente, 3 unidades de A, 8 de B y ninguna de C; el tercer cliente no compró nada y el cuarto cliente compró 6 de A, 7 de B y 1 de C. En el mes de febrero, el primer cliente y el segundo duplicaron el número de unidades que habían comprado en enero; el tercer cliente compró 4 unidades de cada artículo, y el cuarto cliente no hizo pedido alguno. a) Construye la matriz correspondiente a las ventas de enero. b) Construye la matriz correspondiente a las ventas de febrero. c) Halla la matriz correspondiente a las ventas de enero y febrero. d) Si los precios de los artículos son 100 €, 80 € y 90 €, respectivamente, calcula lo que factura la fábrica por sus pedidos en los meses de enero y febrero. 30. Una fábrica produce dos modelos de lavadoras A y B en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A 400 unidades en terminación N, 200 unidades en terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce el modelo B 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1.2 horas de administración, la terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración.
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Matrices y Determinantes
a. Represente la informaci贸n en dos matrices. b.Hallar matriz que exprese las horas de taller y de administraci贸n empleadas para cada uno de los modelos.
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