Demostraciones Estadísticas

FACULTAD DE ECONOMÍA Y NEGOCIOS, FEN-ESPOL

Distribuciones de Probabilidad Demostración de la función generatriz de momentos Juan José Salcedo Cruz Diciembre, 2010

Este documento se diseñó como ayuda de estudio para los estudiantes que cursan Métodos Estadísticos II. Contiene varias demostraciones de cómo obtener las diferentes funciones generadoras de momentos para muchas de las funciones más conocidas.

Métodos Estadísticos II

Demostración Función Generatriz

INTRODUCCIÓN Estimado ayudado, estimada ayudada: Este documento se diseñó como ayuda de estudio para los estudiantes que cursan Métodos Estadísticos II. Aunque no está completamente culminado, por cuanto hacen falta varias demostraciones, constituye un documento muy técnico que fortalece las enseñanzas del profesor y complementa las horas de estudio del estudiante.

Para evitarles buscar en estas hojas respuesta que no se hallan, les enlisto las distribuciones que no incluí en el presente:     

Distribución Uniforme (Discreta) Distribución Beta Distribución Weibull Distribución Log-Normal Otras (no revisadas en clase)

Por otro lado, las distribuciones que aunque están incluidas, no tienen la demostración de sus generadoras de momentos son:  

Distribución Híper Geométrica Distribución Binomial Negativa

Espero que este documento sea una ayuda a la hora de estudiar y no constituya un compinche para ninguna actividad que los perjudique (aunque parezca que no) o ponga en riesgo su formación profesional. Por otro lado espero que despierte en Uds. el deseo de culminar esta importante tarea de extender el conocimiento al mayor número de estudiantes posible.

Para aquellos que deseen terminar o mejorar este documento siéntanse en la libertad de escribirme a jjsalcedo01@gmail.com, estoy seguro un mayor número de mentes podrán desarrollar lo que a este documento le hace falta, como:      

Mayor precisión al momento de definir qué indica cada variable aleatoria.

Definición los parámetros de cada distribución, así como su significado.

Una breve reseña de bajo qué circunstancias se motivó la creación de cada distribución.

Gráficos de las familias de distribuciones a medida que se varían los parámetros.

Ejercicios de los casos más complejos.

Relaciones que se pueden realizar entre las distribuciones: cuándo una binomial puede modelar una híper geométrica, o cómo un proceso de Poisson está vinculado con las distribuciones Exponencial y Gamma.

Asimismo, si hubiera errores u horrores cometidos por mí en cualquiera de las demostraciones queda en Uds. estimados ayudados avisarme de tales eventos.

Con aprecio, Juan José Salcedo Ayudante Métodos Estadísticos II II-Parcial 2010

ii

Juan José Salcedo Diciembre, 2010

Métodos Estadísticos II

1

Demostración Función Generatriz

C ONTENTS

Distribuciones Discretas 2

Distribución Binomial ..................................................................................................................................... 1 2.1

Generatriz de Momentos de la Distribución Binomial .......................................................................... 1

3

Distribución Binomial Negativa...................................................................................................................... 1

4

Distribución Geométrica ................................................................................................................................ 2 4.1

5

Generatriz de Momentos de la Distribución Geométrica ..................................................................... 2

Distribución de Poisson.................................................................................................................................. 2 5.1

6

Generatriz de Momentos de la Distribución Poisson ............................................................................ 3

Distribución Híper Geométrica ...................................................................................................................... 3

Distribuciones Continuas 7

Distribución Uniforme ................................................................................................................................... 4 7.1

8

Distribución Normal ....................................................................................................................................... 4 8.1

9

Generatriz de Momentos de la Distribución Normal ............................................................................ 5

Distribución Gamma ...................................................................................................................................... 6 9.1

10

11

Generatriz de Momentos de la Distribución Gamma ........................................................................... 6

Distribución Exponencial ............................................................................................................................... 7

10.1

Generatriz de Momentos de la Distribución Exponencial..................................................................... 7

Distribucion Ji-Cuadrado ................................................................................................................................ 8

11.1

iii

Generatriz de la Distribución Uniforme ................................................................................................ 4

Generatriz de la Distribucion Ji-Cuadrado ............................................................................................ 8

Juan José Salcedo Diciembre, 2010

DISTRIBUCIONES DISCRETAS 2

D ISTRIBUCIÓN B INOMIAL

Variable Aleatoria Binomial:

Numero de éxitos de

intentos.

Soporte de la Distribución Binomial: Definición de la Distribución: Media: Varianza: Generatriz de momentos: Observaciones:

 

Supuesto de independencia Probabilidad de éxitos constante.

2.1 G ENERATRIZ DE M OMENTOS DE LA D ISTRIBUCIÓN B INOMIAL Definición de la generatriz de momentos.

Planteamiento del problema a resolver.

Desarrollo del planteamiento.

Agrupación términos con exponente . Nos percatamos que esto es una expansión binomial. Por lo tanto, resolvemos para obtener el resultado.

3

D ISTRIBUCIÓN B INOMIAL N EGATIVA

Variable Aleatoria Binomial Negativa:

Número de intentos antes de garantizar

éxitos.

Soporte de la Distribución Binomial Negativa: Definición de la Distribución:

Media:

1

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Métodos Estadísticos II

Demostración Función Generatriz

Varianza:

Generatriz de momentos:

4

D ISTRIBUCIÓN G EOMÉTRICA

Variable Aleatoria Geométrica:

Número de intentos antes de garantizar un éxito.

Soporte de la Distribución Geométrica: Definición de la Distribución: Media: Varianza:

Generatriz de momentos:

4.1 G ENERATRIZ DE M OMENTOS DE LA D ISTRIBUCIÓN G EOMÉTRICA Definición de la generatriz de momentos.

Planteamiento del problema a resolver.

Desarrollo del planteamiento.

Excluimos constante, .

Empezamos a desarrollar. Nos percatamos de presencia de serie geométrica de Empleamos la formula de la sumatoria infinita de una progresión geométrica y obtenemos el resultado.

5

D ISTRIBUCIÓN DE P OISSON

Variable Aleatoria de Poisson:

Número de eventos en un intervalo de medida (tiempo, distancia, etc.) dado un promedio por intervalo.

Soporte de la Distribución Poisson:

2

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Demostración Función Generatriz

Definición de la Distribución:

Media: Varianza: Generatriz de momentos:

5.1 G ENERATRIZ DE M OMENTOS DE LA D ISTRIBUCIÓN P OISSON Definición de la generatriz de momentos.

Planteamiento del problema a resolver.

Desarrollo del planteamiento.

Excluimos término constante, términos con exponente igual.

. Agrupamos

Nos percatamos preescencia de serie de MacLaurin de con . Reemplazamos término.

Agrupamos términos con base igual, sumamos exponentes y presentamos resultado.

6

D ISTRIBUCIÓN H ÍPER G EOMÉTRICA

Variable Aleatoria híper geométrica:

Número de éxitos en una secuencia de elementos catalogados como éxitos de una población elementos sin reemplazo.

Soporte de la Distribución híper geométrica:

Definición de la Distribución:

Media: Varianza:

Generatriz de momentos:

3

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Métodos Estadísticos II

Demostración Función Generatriz

DISTRIBUCIONES CONTINUAS 7

D ISTRIBUCIÓN U NIFORME

Variable Aleatoria Uniforme: Soporte de la Distribución Uniforme: Definición de la Distribución:

Media:

Varianza:

Generatriz de momentos:

7.1 G ENERATRIZ DE L A D ISTRIBUCIÓN U NIFORME Definición de la generatriz de momentos.

Planteamiento del problema a resolver.

Desarrollo del planteamiento.

Excluimos constante de la integral. Resolvemos.

Presentamos resultado.

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D ISTRIBUCIÓN N ORMAL

Variable Aleatoria Normal:

Medida de cierto evento.

Soporte de la Distribución Normal: Definición de la Distribución:

Media: 4

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Métodos Estadísticos II

Demostración Función Generatriz

Varianza: Generatriz de momentos: Observaciones:

Es una distribución simétrica.

8.1 G ENERATRIZ DE M OMENTOS DE LA D ISTRIBUCIÓN N ORMAL Definición de la generatriz de momentos.

Planteamiento del problema a resolver.

Desarrollo del planteamiento.

Identificamos bases iguales, sumamos exponentes.

Desarrollamos paréntesis del exponente. También multiplicamos el termino por y lo dividimos para para no alterar la expresión.

Con el paso anterior hicimos que ambos términos del exponente tengan denominador igual. Por lo que sumamos sin inconvenientes (tener cuidado con signo) Agrupamos términos con factor común, , en el exponente.

Identificamos la presencia de trinomio cuadrado incompleto. Completamos el trinomio con el término, . Para eso sumamos y restamos este término a fin de no alterar la expresión.

Factorizamos el trinomio cuadrado que hemos completado. Excluimos términos constantes.

Definimos una nueva variable derivada.

5

y su respectiva

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Demostración Función Generatriz

Ingresamos las definiciones del paso anterior y simplificamos. Al mismo tiempo desarrollamos el paréntesis del término constante.

Identificamos la integral como una variable aleatoria normal estándar, lo simplificamos a 1. Reordenamos términos y presentamos resultado.

9

D ISTRIBUCIÓN G AMMA

Variable Aleatoria Gamma:

1.

2.

Modelación de comportamiento de ciertas medidas.

Tiempo de espera antes de la ocurrencia de eventos de un proceso de Poisson.

Soporte de la Distribución Gamma: Definición de la Distribución:

Media: Varianza: Generatriz de momentos:

9.1 G ENERATRIZ DE M OMENTOS DE LA D ISTRIBUCIÓN G AMMA Definición de la generatriz de momentos.

Planteamiento del problema a resolver.

Desarrollo del planteamiento.

Sumamos exponentes de factores con base igual.

Agrupamos términos.

Definimos una nueva variable derivada.

6

y su respectiva

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Métodos Estadísticos II

Demostración Función Generatriz

Ingresamos las definiciones del paso anterior y simplificamos.

Desarrollamos y simplificamos la expresión anterior.

Nos percatamos de la presencia de términos constantes.

Excluimos de la integral al termino constante y desarrollamos porque tienen exponente igual, .

Identificamos a la integral como una distribución gamma con , sabemos por definición que su integral es 1.

Presentamos resultado.

10 D ISTRIBUCIÓN E XPONENCIAL Variable Aleatoria Exponencial:

1.

2.

3.

Tiempo de vida antes de algún evento.

Tiempo de espera antes de la ocurrencia de un evento de un proceso de Poisson.

Tiempo de espera entre la ocurrencia de dos eventos de un proceso de Poisson.

Soporte de la Distribución Exponencial: Definición de la Distribución:

Media: Varianza: Generatriz de momentos:

10.1

G ENERATRIZ DE M OMENTOS DE LA D ISTRIBUCIÓN E XPONENCIAL Definición de la generatriz de momentos.

Planteamiento del problema a resolver.

Desarrollo del planteamiento.

Sumamos exponentes de factores con base igual.

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Métodos Estadísticos II

Demostración Función Generatriz

Agrupamos términos.

Definimos una nueva variable derivada.

y su respectiva

Ingresamos las definiciones del paso anterior y simplificamos.

Desarrollamos y simplificamos la expresión anterior.

Nos percatamos de la presencia de términos constantes.

Excluimos de la integral al termino constante y desarrollamos. Identificamos a la integral como una distribución exponencial con , sabemos por definición que su integral es 1.

Presentamos resultado.

11 D ISTRIBUCION J I -C UADRADO Variable Aleatoria Ji-Cuadrado: Soporte de la Distribución Ji-Cuadrado: Definición de la Distribución:

Media: Varianza: Generatriz de momentos:

11.1

G ENERATRIZ DE LA D ISTRIBUCION J I -C UADRADO Definición de la generatriz de momentos.

Planteamiento del problema a resolver.

Desarrollo del planteamiento.

8

Juan José Salcedo Diciembre, 2010

Métodos Estadísticos II

Demostración Función Generatriz

Sumamos exponentes de factores con base igual.

Agrupamos términos.

Definimos una nueva variable derivada.

y su respectiva

Ingresamos las definiciones del paso anterior y simplificamos.

Desarrollamos y simplificamos la expresión anterior.

Nos percatamos de la presencia de términos constantes.

Excluimos de la integral al termino constante y desarrollamos porque tienen exponente igual, .

Identificamos a la integral como una distribución gamma con y , sabemos por definición que su integral es 1.

Presentamos resultado.

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