UCLA - DAC
09/12/2008
ALGUNAS GRAFICAS DE FUNCIONES
Unidad II. Funciones y sus grรกficas El presente documento trata acerca de las grรกficas de algunas funciones estudiadas en la asignatura Matemรกtica
Algunas grá…cas de funciones consideradas en este curso. M.Sc. Jorge E. Hernández H. UCLA . DAC Diciembre 9, 2008 Resumen El presente trabajo es un manual de grá…cas de funciones.
1
Grá…cas de funciones constantes.
Las funciones constantes, son funciones cuya regla de transformación no dependen del valor del argumento, siempre tienen como grá…cas rectas horizontales. Algunos ejemplos: y 7.5 5 2.5 0 -5
-2.5
0
2.5
5 x
-2.5 -5 -7.5
gr.01. Grá…ca de f(x)=5 y
5
2.5
0 -5
-2.5
0
2.5
5 x
-2.5
-5
gr.02 grá…ca de f (x) =
3
En general, si f (x) = k la recta horinzontal estará en el semiplano superior si el valor de k es positivo, y estará en en el semiplano inferior si k es negativo, si k = 0 la recta se confunde con el eje x: 1
2
Funciones del tipo f (x) = ax + b:
Estas funciones son llamadas, con frecuencia, lineales o a…nes; son rectas inclinadas, ascendentes o descendentes. La variable argumento es x, y los parámetros a y b, son denominados respectivamente, pendiente y ordenada en el origen. El primero de ellos, a, representa la pendiente de la recta, mide el ángulo de inclinación de la recta con respecto al eje de las abscisas; el segundo de ellos, b, representa el valor en el eje y, donde la recta corta a este eje. Para gra…car una función de este tipo, primero marcamos el punto (0; b) en el eje y, luego determinamos un segundo punto asignandole a x cualquier valor distinto de cero c, y mediante la sustitución de éste en la función determinamos el valor de y; f (c), con esto marcamos el punto (c; f (c)) en el plano; por último pasamos a unir los dos puntos marcados y así obtener la grá…ca deseada. y
20
15
10
5 0 -5
-2.5
0
2.5
5 x
-5
-10
gr.03 grá…ca de f (x) = 3x + 5 Algunos datos interesantes, son los siguientes: 1. Si a > 0 la recta es inclinada hacia arriba, es decir es ascendente. 2. Si a < 0 la recta es inclinada hacia abajo, es decir es descendente. 3. Si a = 0 la recta es horizontal. 4. Si b = 0 la recta es inclinada y pasa por el origen.
3
Funciones del tipo f (x) = ax2 + bx + c:
Estas funciones son denominadas cuadráticas, y su grá…ca es una parábola. Entre las características de esta grá…ca más resaltantes tenemos: el vértice, los puntos de corte con el eje x y el punto de corte con el eje y: El vértice se encuentra por medio de las siguientes reglas xv =
b 2a
, 2
yv = f (xv ):
Los puntos de corte con el eje x se encuentran por medio de p b b2 4ac x1;2 = : 2a El punto de corte con el eje y se encuentra por medio de y = f (0): Veamos un ejemplo. Encontremos la grá…ca de f (x) = x2 + 5x + 6: El vértice de la parábola asociada a esta función cuadrática se consigue así: 5 = 2:1
xv = yv =
5 2
2
+ 5:
5 2
5 = 2
2; 5
25 +6= 4
+6=
1 = 4
0; 25:
Entonces el vértice está en el punto ( 2; 5 , 0; 25) : Los puntos de corte con el eje x los obtenemos así: p 5 5 1 25 24 x1;2 = = 2 2 con lo que x1 = 2 y x2 = 3: De esta forma los puntos ( 2; 0) y ( 3; 0); sobre el eje x son los puntos de corte buscados. El punto de corte con el eje y se encuentre por medio de y = f (0) = 6: Es decir la parábola corta al eje y en el punto (0; 6): Veamos la grá…ca. 20
y
15
10
5
0 -5
-2 .5
0
2 .5
5 x
gr.04 Grá…ca de f (x) = x2 + 5x + 6 Algunos datos de interésson los siguientes: 3
1. Si a > 0 la parábola abre hacia arriba 2. Si a < 0 la parábola abre hacia abajo 3. Si b2
4ac > 0 la parábola tiene dos puntos de corte sobre el eje x
4. Si b2
4ac < 0 la parábola no corta al eje x
5. Si b2 4ac = 0 la parábola corta al eje x en un solo punto y coincide con el vértice 6. Si c = 0 la parábola no corta al eje y
4
Funciones del tipo f (x) = ax3 + bx2 + cx + d:
Las funciones de este tipo son denominadas cúbicas. La forma básica de una cúbica es f (x) = x3 y su grá…ca es como sigue y 100
50
0 -5
-2.5
0
2.5
5 x
-50
-100
gr.05 Grá…ca de f (x) = x3 De acuerdo a esta grá…ca veamos lo que sucede con ella cuando la modi…camos agregando un término más. Consideremos la función del tipo f (x) = ax3 + bx2 : Nótese que, ax3 + bx2 = x2 (ax + b) lo cual nos conduce a deducir que la función corta al eje de las x en dos puntos, x = 0 y x = b=a: Esto signi…ca que la curva cúbica mostrada inicialmente sufre un cambio, puesto que debe pasar po los dos puntos sin perder la forma de su trayectoria. Ejemplos son los siguientes por ejemplo f (x) = x3 + x2 = x2 (x + 1) o f (x) = x3 x2 = x2 (x 1)
4
y 2.5
1.25
0 -2
-1
0
1
2 x
-1.25
-2.5
gr.06 Grá…ca de f (x) = x3 + x2 y 2.5
1.25
0 -2
-1
0
1
2 x
-1.25
-2.5
gr.07 Grá…ca de f (x) = x3
x2
Debemos notar que en ambas grá…cas hay dos cortes con el eje x, veamos, x3 + x2 = x2 (x + 1) esto signi…ca que f (x) = 0 solo si x = 0 o si x = x3
x2 = x2 (x
1: Similarmente ocurre con
1)
donde f (x) = 0 solo si x = 0 o si x = 1: Por esa razón vemos que en ambas grá…cas la curva se contrae para pasar por esos puntos y después seguir su curso normal. Ahora estudiemos el caso en que f (x) = ax3 + bx2 + cx. Vemos que ax3 + bx2 + cx = x(ax2 + bx + c) = xa(x r1 )(x r2 ): Entonces, tenemos que 5
1. Si b2
4ac > 0 entonces tenemos tres raices, x = 0; x = r1 y x = r2 ; donde p b b2 4ac r1;2 = : 2a
2. Si b2
4ac = 0 entonces tenemos dos raices x = 0 y x =
3. Si b2
4ac < 0 entonces tenemos solo una raiz x = 0:
b=2a:
Ejemplos son los siguientes y
5
2 .5
0 -1 .2 5
0
1 .2 5
2 .5 x
-2 .5
-5
1)2
gr.08 Grá…ca de f (x) = x(x y
15
10
5
0 -4
-2
0
2
4 x
-5
-10
-15
gr.09 Grá…ca de f (x) = x(x + 3)(x
6
3)
y
150
100
50
0 -5
-2 .5
0
2 .5
5 x
-5 0
gr. 10 Grá…ca de f (x) = x(x2 + 2x + 2)
5
Criterios de Traslación Vertical.
Una función, a la cual se le sume o se le reste un valor numérico, varía su grá…ca con una traslación sobre el eje delas y en la misma cantidad. Por ejemplo, si a la función f (x) = x2 se le suma 5, obtenemos una nueva función h(x) = f (x)+5 = x2 + 5; cuya grá…ca es la misma que la de f excepto porque se traslada hacia arriba en 5 unidades. Véase la grá…ca. y
25
20
15
10
5
0 -5
-2.5
0
2.5
5 x
gr.11 Grá…ca de f (x) = x2
7
y
30
25
20
15
10
5 0 -5
-2.5
0
2.5
5 x
gr. 12 Grá…ca de h(x) = x2 + 5
6
Criterios de traslación horizontal.
Una función, a la cual se le sume o se le reste un valor numérico al argumento, varía su grá…ca con una traslación sobre el eje de las x en la misma cantidad. Por ejemplo, si al argumento de la función f (x) = x2 se le suma 2, obtenemos una nueva función h(x) = (x + 2)2 ; la cual posee una grá…ca igual a la de f pero trasladada sobre el eje x: Veamos las grá…cas.
y
25 20 15 10 5 0
-5
-2.5
0
2.5
5 x
gr. 13 Grá…ca de f (x) = x2
8
y
37.5
25
12.5
0 -10
-7.5
-5
-2.5
0
2.5
5 x
gr. 14 Grá…ca de f (x) = (x + 2)2 y
37.5
25
12.5
0 -5
-2.5
0
2.5
5
7.5
10 x
gr. 15 Grá…ca de f (x) = (x
9
2)2