2008 M. Sc. Jorge Eliecer Hernández H
MATEMÁTICA: UNIDAD I. INTRODUCCIÓN A LOS NUMEROS REALES. Contenido de los objetivos 1,2 y 3 de la Unidad I de la asignatura Matemática dictada en el Decanato de Administración y Contaduría en la Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado
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Unidad I. Introducción a los números Reales. Objetivos 1 y 2: - Definición de R - Analizar las propiedades básicas de los números reales - Representar gráficamente los subconjuntos de R
1. Introducción: Conocemos los números desde nuestros estudios primarios, y fueron usados en ese entonces para contar, sumar, restar, multiplicar y dividir. A la vez, estas operaciones nos ayudaron a resolver pequeños problemas relacionados con el ambiente social que nos rodeaba. Una vez que pasamos a educación secundaria conocimos otros números que ampliaban el sistema numérico que conocíamos, dichos números constituyeron el conjunto de los números enteros; unos años después nos presentaron el conjunto de los números racionales e introdujeron otros llamados irracionales; la unión de todos estos forman un conjunto mucho más grande llamado conjunto de los números reales, y éste va ser la plataforma donde vamos a trabajar. Para efecto de traer estos conceptos desde nuestra memoria, revisemos las siguientes definiciones: 1.1 Definición: Conjunto de Números Naturales. Es el conjunto primario de números enteros, y como se dijo anteriormente son conocidos para contar. Este conjunto es
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denotado por la letra mayúscula N . A partir de los elementos que lo forman, este conjunto está definido por:
N = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,........ }
1.2 Definición: Conjunto de números Enteros.
Este conjunto contiene a los números naturales. Es denotado por la letra mayúscula Z. De acuerdo a los elementos que lo forman queda definido por: Z = { ....,−5. − 4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,.... } 1.3. Definición: Conjunto de números Racionales.
Este conjunto amplía los números enteros ya que contiene a los números decimales, con representación decimal finita y representación decimal infinita periódica, es decir, la fracciones de números enteros cuyo denominador es distinto de cero. Es denotado con la letra mayúscula Q. Entonces, este conjunto es: ⎧ n ⎫ Q = ⎨ :n∈Z ,m∈Z , m ≠ 0 ⎬ ⎩m ⎭
Ejemplos de estos números son: 1 -3 1 , , 2 5 3
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estas fracciones representan los números decimales: 0,5 ; - 0,6 ; 0,3333333.....
Es bueno recordar que una fracción indica una división, donde el numerador es el dividendo, y el denominador es el divisor. 1.4 Definición: Conjunto de números Irracionales.
Este conjunto está formado por aquellos números decimales que tienen representación decimal infinita no periódica; ejemplo: 0,111010001110010101000011110101110010100...... Además es denotado con la letra mayúscula I. 1.5 Definición: Conjunto de números Reales.
Este conjunto no es más que la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales; es denotado con la letra mayúscula R. Queda definido por: R = Q ∪ I.
En adelante usaremos letras minúsculas para denotar números reales y letras mayúsculas para denotar conjuntos.
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2. Propiedades básicas de los números reales. Ahora, conoceremos algunas propiedades de los elementos que forman a este conjunto, para esto nos concentraremos en dos operaciones naturales, las cuales son: la suma y la multiplicación. Estas propiedades las enunciaremos usando criterios de lógica proposicional, es decir, usaremos declaraciones que pueden tener un valor lógico de verdadero o falso. Con estos preliminares, vamos a conocer algunos axiomas correspondientes a la suma y a la multiplicación: 2.1 Axiomas de la suma o adición:
A.1 A.2 A.3 A.4 A.5
a, b ∈ R ⇒ ( a + b ) ∈ R (a + b) + c = a + (b + c) , ∀a, b, c ∈ R ∃ ! 0 ∈ R/ a + 0 = a, ∀a ∈ R ∀a ∈ R, ∃ ! (− a ) ∈ R/ a + (− a) = 0 a + b = b + a, ∀a, b ∈ R
Estos cuatro axiomas son de uso frecuente, y es fundamental su conocimiento. El axioma A.1 nos dice que dados cualesquiera números reales a y b , el número ( a + b ) siempre es un número real, es decir el resultado de la suma es un número real. El axioma A.2 nos permite sumar agrupando términos en la forma en que queramos. El axioma A.3 garantiza sumar cero a algún número a no altera su valor, además este cero es un número único. Por último, el axioma A.4 nos permite cambiar el orden de los sumandos sin alterar el resultado de la suma.
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2.2 Axiomas de la multiplicación o producto.
M.1 M.2 M.3 M.4 M.5
a, b ∈ R ⇒ (ab) ∈ R (ab)c = a (bc) , ∀a, b, c ∈ R ∃ !1 ∈ R/ a.1 = a, ∀a ∈ R 1 1 ∀a ∈ R, a ≠ 0, ∃ ! a −1 = ∈ R/ a.a −1 = a. = 1 a a ab = ba, ∀a, b ∈ R
Es recomendable, para el lector, hacer un análisis de la lectura de las propiedades anteriores, y dar algunos ejemplos que muestren la veracidad de estos axiomas.
Nota: En el axioma M.4 leemos que para cada número real distinto de cero existe un único número real tal que cuando los multiplicamos, el resultado es uno, es decir, si escogemos un número a, arbitrario, distinto de cero, siempre existe un único número a −1 , tal que a.a −1 = 1 . Como ejemplo, veamos que si a = 5, el número a −1 = 5 −1 , es único, y además se cumple que 5.5 −1 = 1. Pero,
5 1 = 5 =1 , 5 5 es decir, 5.5 −1 = 5
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1 5
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lo cual nos conduce a escribir que
1 5 −1 = . 5
Generalizando este resultado afirmamos que a −1 =
1 , si a ≠ 0. a
Existe otro axioma, de utilización frecuente, el cual vamos a conocer ahora.
2.3 Axioma de Distributividad.
D.1
a (b + c) = ab + ac , ∀a, b, c ∈ R
Este axioma nos permite, como su nombre lo dice, distribuir la operación de multiplicación respecto a la suma, es decir, obtenemos el mismo resultado cuando sumamos b + c y luego lo multiplicamos por a, que si multiplicamos ab y ac para después sumarlos. También, nos muestra la idea conocida en álgebra por “Factor Común”. Veamos la expresión ab + ac y notemos que cada sumando tiene un factor, que multiplica, valga la redundancia, que es común a los dos. Ahora, veamos la expresión a (b + c) .
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Entonces, al compararlas, notamos que se extrajo a como un factor, es decir un elemento que multiplica, al resultado de la suma. Ejemplos:
1. Aplicando el axioma de distributividad, encontrar el valor de ( x + y) 2 . Respuesta: ( x + y ) 2 = ( x + y )( x + y )
(definición de potencia)
= ( x + y) x + ( x + y) y
= x.x + y.x + x. y + y. y
(axioma de distributividad) (axioma de distributividad)
= x 2 + 2 xy + y 2
2. Aplicando el axioma de distributividad, encontrar el valor de (x + y ) 4
Respuesta: ( x + y ) 4 = ( x + y )( x + y )( x + y )( x + y )
= ( x + y)2 ( x + y)2 = ( x 2 + 2 xy + y 2 )( x 2 + 2 xy + y 2 )
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= ( x 2 + 2 xy + y 2 ) x 2 + ( x 2 + 2 xy + y 2 )2 xy + ( x 2 + 2 xy + y 2 ) y 2
= x 4 + 2 x 3 y + y 2 x 2 + 2 x 3 y + 4 x 2 y 2 + 2 xy 3 + x 2 y 2 + 2 xy 3 + y 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 y 2 x 2 + 4 xy 3 + y 4 Como ejercicio queda para el lector justificar cada paso dado en el ejercicio anterior. Ejercicio Propuesto:
3. Aplicando el axioma de distributividad encontrar el valor de a) b) c) d) e)
( x − y )( x + y ) 2 ( x − y)2 ( x + y )( x − y ) 2 ( x − y) 3 ( x + y) 3
Existen además de los axiomas respecto a la suma, multiplicación y distribución de estas operaciones, otros, que le dan un orden al conjunto de los números reales, estos son llamados axiomas de orden. Antes de darlos a conocer, definiremos ciertos subconjuntos de R , ya conocidos, pero le daremos una notación especial. Definimos el conjunto de los números reales positivos como: R + . Es claro que R + ⊂ R.
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R + = { x ∈ R : x es positivo }
2.4 Axiomas de Orden.
O.1 O.2 O.3
∀a ∈ R : a = 0 ó a ∈ R + ó − a ∈ R + a, b ∈ R + ⇒ ( a + b) ∈ R + a, b ∈ R + ⇒ (ab) ∈ R +
El primero de estos axiomas nos dice que dado un número real cualquiera, solamente una de las siguientes posibilidades se cumple, ó es cero, ó es positivo, ó cuando lo multiplicamos por − 1 es positivo. Este axioma es conocido por “Axioma de Tricotomía”. Los axiomas O.2 y O.3 nos dicen que la suma y la multiplicación de números positivos siempre es positiva. Estos axiomas nos permiten establecer relaciones de orden en el conjunto de los números reales: < menor que , ≤ menor o igual que,
> mayor que ≥ mayor o igual que
Definición:
1.
a < b ⇔ (b − a ) ∈ R +
, 2. a ≤ b ⇔ a < b ó a = b
3.
a > b ⇔ ( a − b) ∈ R +
, 4. a ≥ b ⇔ a > b ó a = b
Con esta definición podemos entonces decir que: a es positivo
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⇔ a ∈ R+ ⇔
a>0
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a es negativo
⇔ − a ∈ R+ ⇔
a<0
Vamos a reformular los axiomas de orden usando la relación " >". O.1
∀a ∈ R : a = 0 ó a > 0 ó a < 0
O.2
a > 0 y b > 0 ⇒ ( a + b) > 0
O.3
a > 0 y b > 0 ⇒ (ab) > 0
Otras propiedades que se cumplen en el conjunto de los números reales son: 1. 2. 3. 4.
a<b y b<c ⇒ a<c ∀c ∈ R : a < b ⇒ a + c < b + c a < b y c > 0 ⇒ ac < bc a < b y c < 0 ⇒ ac > bc
Si identificamos cada número real con cada punto de una recta, y a esa recta la denominamos “Recta Real”, el axioma de tricotomía nos permite dividir la recta real en tres partes o conjuntos, el conjunto de los números positivos, el conjunto de los números negativos y el conjunto formado por el cero.
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