Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado
Composición de Funciones
Unidad I. Objetivos 3.
11/11/208
M.Sc. Jorge Eliecer Hernández H.
Unidad II. Objetivo 3. Composición de Funciones.
Asignatura: Matemática Clase 3. Unidad II
Introducción. En clases anteriores asociamos al concepto de función un diagrama de entrada-procesosalida. Ahora pondremos estos diagramas uno a continuación del otro, siendo las salidas del primero la entrada del segundo. El diagrama quedaría así:
Entrada 1
Proceso 1
Salida 1
Proceso 2
Salida 2
De esta forma, si pensamos en los procesos como funciones y las entradas y salidas como valores del dominio y rango de las funciones, entonces una representación diagramática quedaría de esta forma:
De esta forma podemos hacer la siguiente definición: Definición: Función compuesta
Dadas las funciones f : Dom ( f ) → R y
g : Dom( g ) → R definimos la función
compuesta g o f : {x ∈ Dom ( f ) : f ( x ) ∈ Dom ( g )} → R por medio de la regla:
g o f ( x ) = g( f ( x ))
Ejemplo: Sean las funciones f ( x ) = 3
g ( x ) = x 2 − 3. Entonces la función
y
compuesta g o f queda definida por la regla: g o f ( x ) = g ( f ( x )) = g ( 3 ) = 3 2 − 3 = 6 Si lo representamos por medio del diagrama, tenemos: f
x ∈ Dom ( f )
g
3
6
Hagamos otros ejemplo. Ejemplo: #1. Encuentre la función compuesta de las siguientes funciones dadas: Para:
a ) f ( x ) = x 2 − 3 , g( x ) = b) f(x)=
3
x + 1 , encuentre f o g y g o f
x−1 , g( x ) = x( x + 1 ) , encuentre f o g y g o f x+1
Respuesta: a) Debemos proceder así:
x ∈ Dom( g )
g
3
(
f
x+1
3
)
2
x+1 −3
Es decir, la regla que define la función compuesta es: f o g( x ) = f ( g ( x )) =
(
3
)
2
x+1 −3
Procediendo de manera similar, encontramos: g o f ( x ) = g ( f ( x )) = g ( x 2 − 3 ) =
3
x2 − 3 + 1 =
x2 − 2
b) Siguiendo el mismo procedimiento, tenemos: f o g ( x ) = f ( g ( x )) = f ( x ( x + 1 )) =
x( x + 1 ) − 1 x( x + 1 ) + 1
Análogamente, tenemos: g o f ( x ) = g( f ( x )) = g(
x−1 ⎛ x − 1⎞ ⎛ x − 1 ⎞ )=⎜ + 1⎟ ⎟ ⎜ x+1 ⎝ x + 1⎠ ⎝ x + 1 ⎠